{
  "chapter": {
    "id": "arithmetique-racine-carree",
    "level": "college",
    "theme": "Nombres et calculs",
    "title": "Arithmétique et racine carrée",
    "description": "Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers et\ndécomposition en facteurs premiers. Racine carrée d'un nombre positif,\nencadrement et problèmes.",
    "parties": [
      {
        "id": "divisibilite",
        "title": "Multiples, diviseurs et critères de divisibilité"
      },
      {
        "id": "premiers",
        "title": "Nombres premiers et décomposition"
      },
      {
        "id": "racine",
        "title": "Racine carrée"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "multiples"
      ],
      "title": "Reconnaître un multiple",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres est un multiple de $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$91$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $91 = 7 \\times 13$."
        },
        {
          "text": "$87$",
          "correct": false,
          "feedback": "$87 = 7 \\times 12 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
        },
        {
          "text": "$94$",
          "correct": false,
          "feedback": "$94 = 7 \\times 13 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
        },
        {
          "text": "$73$",
          "correct": false,
          "feedback": "$73 = 7 \\times 10 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre entier est un multiple de $7$ s'il s'écrit $7 \\times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $7$ est nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un multiple de $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$91$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $91 = 7 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$87$",
              "correct": false,
              "feedback": "$87 = 7 \\times 12 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
            },
            {
              "text": "$94$",
              "correct": false,
              "feedback": "$94 = 7 \\times 13 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
            },
            {
              "text": "$73$",
              "correct": false,
              "feedback": "$73 = 7 \\times 10 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est un multiple de $7$ s'il s'écrit $7 \\times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $7$ est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un multiple de $6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$84$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $84 = 6 \\times 14$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "$64 = 6 \\times 10 + 4$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $6$."
            },
            {
              "text": "$94$",
              "correct": false,
              "feedback": "$94 = 6 \\times 15 + 4$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $6$."
            },
            {
              "text": "$76$",
              "correct": false,
              "feedback": "$76 = 6 \\times 12 + 4$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est un multiple de $6$ s'il s'écrit $6 \\times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $6$ est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un multiple de $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$117$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $117 = 9 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$107$",
              "correct": false,
              "feedback": "$107 = 9 \\times 11 + 8$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$127$",
              "correct": false,
              "feedback": "$127 = 9 \\times 14 + 1$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$119$",
              "correct": false,
              "feedback": "$119 = 9 \\times 13 + 2$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est un multiple de $9$ s'il s'écrit $9 \\times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $9$ est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un multiple de $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$96$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $96 = 8 \\times 12$."
            },
            {
              "text": "$86$",
              "correct": false,
              "feedback": "$86 = 8 \\times 10 + 6$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $8$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "$100 = 8 \\times 12 + 4$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $8$."
            },
            {
              "text": "$92$",
              "correct": false,
              "feedback": "$92 = 8 \\times 11 + 4$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est un multiple de $8$ s'il s'écrit $8 \\times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $8$ est nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "diviseurs",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Sens du mot diviseur",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers, $a$ non nul. Que signifie « $a$ est un diviseur de $b$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le reste de la division euclidienne de $b$ par $a$ est nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $b = a \\times q$ avec $q$ entier. Par exemple, $6$ est un diviseur de $42$ car $42 = 6 \\times 7$."
        },
        {
          "text": "Le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sens est inversé : c'est $b$ que l'on divise par $a$. Par exemple, $6$ divise $42$, mais $6 \\div 42$ ne tombe pas juste."
        },
        {
          "text": "Le nombre $a$ est plus grand que le nombre $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est presque l'inverse : un diviseur non nul d'un entier positif $b$ est inférieur ou égal à $b$."
        },
        {
          "text": "Le quotient de $b$ par $a$ est un nombre décimal",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient doit être entier : $7 \\div 4 = 1{,}75$ est décimal, et pourtant $4$ ne divise pas $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Les phrases « $a$ divise $b$ », « $a$ est un diviseur de $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » ont le même sens."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "criteres-divisibilite"
      ],
      "title": "Critère de divisibilité par 3",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4521$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $12$, qui est un multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "$4523$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $14$, qui n'est pas un multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "$5212$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $10$, qui n'est pas un multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "$2153$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $11$, qui n'est pas un multiple de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4521$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $12$, qui est un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$4523$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $14$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$5212$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $10$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$2153$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $11$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7314$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $15$, qui est un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$7316$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $17$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$3704$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $14$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$1474$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $16$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2871$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$2873$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $20$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$8270$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $17$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$1288$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $19$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6012$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $9$, qui est un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$6014$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $11$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$6110$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $8$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            },
            {
              "text": "$1006$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $7$, qui n'est pas un multiple de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "criteres-divisibilite"
      ],
      "title": "Critère de divisibilité par 9",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3456$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$."
        },
        {
          "text": "$3453$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
        },
        {
          "text": "$5640$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
        },
        {
          "text": "$1230$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $6$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3456$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$3453$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$5640$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$1230$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $6$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2718$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$2715$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$4512$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $12$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$1101$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $3$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7290$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$7293$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $21$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$4800$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $12$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$2343$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $12$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1854$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$1857$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $21$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$2751$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            },
            {
              "text": "$3036$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme de ses chiffres vaut $12$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "criteres-divisibilite"
      ],
      "title": "Divisible par 2 et par 5",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4370$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$."
        },
        {
          "text": "$4375$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$."
        },
        {
          "text": "$4372$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$."
        },
        {
          "text": "$4357$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il se termine par $7$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus."
        }
      ],
      "explanation": "Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4370$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$."
            },
            {
              "text": "$4375$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$."
            },
            {
              "text": "$4372$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$."
            },
            {
              "text": "$4357$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $7$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus."
            }
          ],
          "explanation": "Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1290$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$."
            },
            {
              "text": "$1295$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$."
            },
            {
              "text": "$1292$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$."
            },
            {
              "text": "$1925$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus."
            }
          ],
          "explanation": "Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8640$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$."
            },
            {
              "text": "$8645$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$."
            },
            {
              "text": "$8642$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$."
            },
            {
              "text": "$6485$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus."
            }
          ],
          "explanation": "Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$530$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$."
            },
            {
              "text": "$535$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$."
            },
            {
              "text": "$532$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$."
            },
            {
              "text": "$355$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il se termine par $5$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus."
            }
          ],
          "explanation": "Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "division-euclidienne"
      ],
      "title": "Reste d'une division euclidienne",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Dans la division euclidienne de $89$ par $6$, quel est le reste ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $89 = 6 \\times 14 + 5$, et $5 < 6$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le quotient : $89 = 6 \\times 14 + 5$. Le reste est ce qui manque à $84$ pour atteindre $89$, soit $5$."
        },
        {
          "text": "$84$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le plus grand multiple de $6$ inférieur à $89$. Le reste vaut $89 - 84 = 5$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est ce qu'il faudrait ajouter à $89$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $89 - 84 = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \\times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \\leq r < b$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $89$ par $6$, quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $89 = 6 \\times 14 + 5$, et $5 < 6$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le quotient : $89 = 6 \\times 14 + 5$. Le reste est ce qui manque à $84$ pour atteindre $89$, soit $5$."
            },
            {
              "text": "$84$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le plus grand multiple de $6$ inférieur à $89$. Le reste vaut $89 - 84 = 5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est ce qu'il faudrait ajouter à $89$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $89 - 84 = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \\times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \\leq r < b$."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $100$ par $7$, quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 7 \\times 14 + 2$, et $2 < 7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le quotient : $100 = 7 \\times 14 + 2$. Le reste est ce qui manque à $98$ pour atteindre $100$, soit $2$."
            },
            {
              "text": "$98$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le plus grand multiple de $7$ inférieur à $100$. Le reste vaut $100 - 98 = 2$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est ce qu'il faudrait ajouter à $100$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $100 - 98 = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \\times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \\leq r < b$."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $75$ par $8$, quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $75 = 8 \\times 9 + 3$, et $3 < 8$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le quotient : $75 = 8 \\times 9 + 3$. Le reste est ce qui manque à $72$ pour atteindre $75$, soit $3$."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le plus grand multiple de $8$ inférieur à $75$. Le reste vaut $75 - 72 = 3$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est ce qu'il faudrait ajouter à $75$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $75 - 72 = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \\times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \\leq r < b$."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $125$ par $9$, quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $125 = 9 \\times 13 + 8$, et $8 < 9$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le quotient : $125 = 9 \\times 13 + 8$. Le reste est ce qui manque à $117$ pour atteindre $125$, soit $8$."
            },
            {
              "text": "$117$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le plus grand multiple de $9$ inférieur à $125$. Le reste vaut $125 - 117 = 8$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est ce qu'il faudrait ajouter à $125$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $125 - 117 = 8$."
            }
          ],
          "explanation": "Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \\times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \\leq r < b$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Nombre de diviseurs",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Combien le nombre $12$ a-t-il de diviseurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ diviseurs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs de $12$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
        },
        {
          "text": "$4$ diviseurs",
          "correct": false,
          "feedback": "$1$ et $12$ ont été oubliés : ils divisent $12$. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
        },
        {
          "text": "$5$ diviseurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
        },
        {
          "text": "$7$ diviseurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
        }
      ],
      "explanation": "On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $12$, alors $\\dfrac{12}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien le nombre $12$ a-t-il de diviseurs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ diviseurs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs de $12$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
            },
            {
              "text": "$4$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ et $12$ ont été oubliés : ils divisent $12$. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
            },
            {
              "text": "$5$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
            },
            {
              "text": "$7$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $12$, alors $\\dfrac{12}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent."
        },
        {
          "statement": "Combien le nombre $16$ a-t-il de diviseurs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ diviseurs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs de $16$ sont $1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16$."
            },
            {
              "text": "$3$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ et $16$ ont été oubliés : ils divisent $16$. La liste complète est $1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16$."
            },
            {
              "text": "$4$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16$."
            },
            {
              "text": "$6$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $16$, alors $\\dfrac{16}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent."
        },
        {
          "statement": "Combien le nombre $30$ a-t-il de diviseurs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ diviseurs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs de $30$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30$."
            },
            {
              "text": "$6$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ et $30$ ont été oubliés : ils divisent $30$. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30$."
            },
            {
              "text": "$7$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30$."
            },
            {
              "text": "$9$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $30$, alors $\\dfrac{30}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent."
        },
        {
          "statement": "Combien le nombre $36$ a-t-il de diviseurs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ diviseurs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs de $36$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$."
            },
            {
              "text": "$7$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ et $36$ ont été oubliés : ils divisent $36$. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$."
            },
            {
              "text": "$8$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$."
            },
            {
              "text": "$10$ diviseurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $36$, alors $\\dfrac{36}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Un intrus parmi des diviseurs",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $60$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $60 = 8 \\times 7 + 4$, le reste n'est pas nul."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$60 = 4 \\times 15$ : $4$ est bien un diviseur de $60$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "$60 = 15 \\times 4$ : $15$ est bien un diviseur de $60$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "$60 = 12 \\times 5$ : $12$ est bien un diviseur de $60$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $60$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $60 = 8 \\times 7 + 4$, le reste n'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60 = 4 \\times 15$ : $4$ est bien un diviseur de $60$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60 = 15 \\times 4$ : $15$ est bien un diviseur de $60$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60 = 12 \\times 5$ : $12$ est bien un diviseur de $60$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $72$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $72 = 16 \\times 4 + 8$, le reste n'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$72 = 8 \\times 9$ : $8$ est bien un diviseur de $72$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$72 = 9 \\times 8$ : $9$ est bien un diviseur de $72$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "$72 = 24 \\times 3$ : $24$ est bien un diviseur de $72$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $84$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $84 = 9 \\times 9 + 3$, le reste n'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "$84 = 7 \\times 12$ : $7$ est bien un diviseur de $84$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$84 = 12 \\times 7$ : $12$ est bien un diviseur de $84$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "$84 = 21 \\times 4$ : $21$ est bien un diviseur de $84$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $90$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $90 = 12 \\times 7 + 6$, le reste n'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$90 = 6 \\times 15$ : $6$ est bien un diviseur de $90$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "$90 = 15 \\times 6$ : $15$ est bien un diviseur de $90$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "$90 = 18 \\times 5$ : $18$ est bien un diviseur de $90$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "multiples",
        "probleme"
      ],
      "title": "Deux bus qui repartent ensemble",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $12$ minutes, le second toutes les $18$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?",
      "options": [
        {
          "text": "$36$ minutes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $36$ est le plus petit multiple commun non nul de $12$ et de $18$."
        },
        {
          "text": "$216$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "$216$ est bien un multiple commun de $12$ et $18$, mais pas le plus petit : $36$ convient déjà."
        },
        {
          "text": "$30$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $30$ n'est pas un multiple de $12$."
        },
        {
          "text": "$6$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "$6$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $12$ minutes."
        }
      ],
      "explanation": "Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $12$, ceux du second aux multiples de $18$. On cherche le plus petit multiple commun non nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $12$ minutes, le second toutes les $18$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $36$ est le plus petit multiple commun non nul de $12$ et de $18$."
            },
            {
              "text": "$216$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$216$ est bien un multiple commun de $12$ et $18$, mais pas le plus petit : $36$ convient déjà."
            },
            {
              "text": "$30$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $30$ n'est pas un multiple de $12$."
            },
            {
              "text": "$6$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $12$ minutes."
            }
          ],
          "explanation": "Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $12$, ceux du second aux multiples de $18$. On cherche le plus petit multiple commun non nul."
        },
        {
          "statement": "Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $10$ minutes, le second toutes les $15$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $30$ est le plus petit multiple commun non nul de $10$ et de $15$."
            },
            {
              "text": "$150$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$150$ est bien un multiple commun de $10$ et $15$, mais pas le plus petit : $30$ convient déjà."
            },
            {
              "text": "$25$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $25$ n'est pas un multiple de $10$."
            },
            {
              "text": "$5$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$5$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $10$ minutes."
            }
          ],
          "explanation": "Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $10$, ceux du second aux multiples de $15$. On cherche le plus petit multiple commun non nul."
        },
        {
          "statement": "Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $8$ minutes, le second toutes les $12$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $24$ est le plus petit multiple commun non nul de $8$ et de $12$."
            },
            {
              "text": "$96$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$96$ est bien un multiple commun de $8$ et $12$, mais pas le plus petit : $24$ convient déjà."
            },
            {
              "text": "$20$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $20$ n'est pas un multiple de $8$."
            },
            {
              "text": "$4$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$4$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $8$ minutes."
            }
          ],
          "explanation": "Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $8$, ceux du second aux multiples de $12$. On cherche le plus petit multiple commun non nul."
        },
        {
          "statement": "Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $6$ minutes, le second toutes les $9$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $18$ est le plus petit multiple commun non nul de $6$ et de $9$."
            },
            {
              "text": "$54$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$54$ est bien un multiple commun de $6$ et $9$, mais pas le plus petit : $18$ convient déjà."
            },
            {
              "text": "$15$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $15$ n'est pas un multiple de $6$."
            },
            {
              "text": "$3$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "$3$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $6$ minutes."
            }
          ],
          "explanation": "Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $6$, ceux du second aux multiples de $9$. On cherche le plus petit multiple commun non nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "diviseurs",
        "probleme"
      ],
      "title": "Composer des sachets identiques",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Un confiseur dispose de $84$ caramels et de $60$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$ sachets",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $84$ et $60$ ; le plus grand diviseur commun est $12$."
        },
        {
          "text": "$6$ sachets",
          "correct": false,
          "feedback": "$6$ divise bien $84$ et $60$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $12$ convient aussi."
        },
        {
          "text": "$420$ sachets",
          "correct": false,
          "feedback": "$420$ est un multiple commun de $84$ et $60$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet."
        },
        {
          "text": "$24$ sachets",
          "correct": false,
          "feedback": "La différence $84 - 60$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $12$."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $7$ caramels et $5$ chocolats.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un confiseur dispose de $84$ caramels et de $60$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ sachets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $84$ et $60$ ; le plus grand diviseur commun est $12$."
            },
            {
              "text": "$6$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ divise bien $84$ et $60$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $12$ convient aussi."
            },
            {
              "text": "$420$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$420$ est un multiple commun de $84$ et $60$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet."
            },
            {
              "text": "$24$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence $84 - 60$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $7$ caramels et $5$ chocolats."
        },
        {
          "statement": "Un confiseur dispose de $90$ caramels et de $54$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$ sachets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $90$ et $54$ ; le plus grand diviseur commun est $18$."
            },
            {
              "text": "$9$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ divise bien $90$ et $54$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $18$ convient aussi."
            },
            {
              "text": "$270$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$270$ est un multiple commun de $90$ et $54$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet."
            },
            {
              "text": "$36$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence $90 - 54$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $5$ caramels et $3$ chocolats."
        },
        {
          "statement": "Un confiseur dispose de $72$ caramels et de $40$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ sachets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $72$ et $40$ ; le plus grand diviseur commun est $8$."
            },
            {
              "text": "$4$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$4$ divise bien $72$ et $40$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $8$ convient aussi."
            },
            {
              "text": "$360$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$360$ est un multiple commun de $72$ et $40$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet."
            },
            {
              "text": "$32$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence $72 - 40$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $9$ caramels et $5$ chocolats."
        },
        {
          "statement": "Un confiseur dispose de $150$ caramels et de $90$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ sachets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $150$ et $90$ ; le plus grand diviseur commun est $30$."
            },
            {
              "text": "$15$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$15$ divise bien $150$ et $90$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $30$ convient aussi."
            },
            {
              "text": "$450$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "$450$ est un multiple commun de $150$ et $90$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet."
            },
            {
              "text": "$60$ sachets",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence $150 - 90$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $30$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $5$ caramels et $3$ chocolats."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pair-impair",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Expression toujours paire",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Pour tout nombre entier $n$, lequel de ces nombres est toujours pair ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2n + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2n + 4 = 2(n + 2)$ est le double d'un entier."
        },
        {
          "text": "$2n + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "$2n + 1$ est le successeur d'un nombre pair : il est toujours impair."
        },
        {
          "text": "$n + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pour $n = 3$, on obtient $5$, qui est impair."
        },
        {
          "text": "$3n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pour $n = 1$, on obtient $3$, qui est impair."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre pair s'écrit $2k$ avec $k$ entier, un nombre impair $2k + 1$. Pour montrer qu'une expression est paire, on factorise par $2$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pair-impair",
        "demonstration"
      ],
      "title": "Somme de deux impairs consécutifs",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Deux nombres impairs consécutifs s'écrivent $2n + 1$ et $2n + 3$, avec $n$ entier. Que peut-on dire de leur somme ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est toujours un multiple de $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)$."
        },
        {
          "text": "Elle est toujours un nombre impair",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme de deux impairs est paire : $4n + 4 = 2(2n + 2)$."
        },
        {
          "text": "Elle est toujours un multiple de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pour $n = 0$, la somme vaut $1 + 3 = 4$, qui n'est pas un multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "Elle est paire ou impaire selon $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quel que soit $n$, la somme vaut $4(n + 1)$ : elle est toujours paire."
        }
      ],
      "explanation": "Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tous les entiers à la fois, ce que des exemples ne font pas."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "criteres-divisibilite"
      ],
      "title": "Chiffre manquant pour un multiple de 9",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "On écrit un nombre à trois chiffres : $4$ pour les centaines, $3$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4 + 2 + 3 = 9$, multiple de $9$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "$4 + 5 + 3 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "$4 + 8 + 3 = 15$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "$4 + 3 + 3 = 10$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $4 + 3 = 7$ : il manque $2$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On écrit un nombre à trois chiffres : $4$ pour les centaines, $3$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 + 2 + 3 = 9$, multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$4 + 5 + 3 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$4 + 8 + 3 = 15$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "$4 + 3 + 3 = 10$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $4 + 3 = 7$ : il manque $2$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant."
        },
        {
          "statement": "On écrit un nombre à trois chiffres : $5$ pour les centaines, $6$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 + 7 + 6 = 18$, multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$5 + 1 + 6 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$5 + 4 + 6 = 15$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$5 + 9 + 6 = 20$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $5 + 6 = 11$ : il manque $7$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant."
        },
        {
          "statement": "On écrit un nombre à trois chiffres : $3$ pour les centaines, $1$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 + 5 + 1 = 9$, multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3 + 8 + 1 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3 + 2 + 1 = 6$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3 + 6 + 1 = 10$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $3 + 1 = 4$ : il manque $5$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant."
        },
        {
          "statement": "On écrit un nombre à trois chiffres : $2$ pour les centaines, $8$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 + 8 + 8 = 18$, multiple de $9$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$2 + 2 + 8 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$2 + 5 + 8 = 15$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "$2 + 0 + 8 = 10$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $2 + 8 = 10$ : il manque $8$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "multiples",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Compter des multiples",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Combien y a-t-il de multiples de $7$ compris entre $1$ et $100$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$14$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 = 7 \\times 14 + 2$, donc les multiples sont $7 \\times 1$, $7 \\times 2$, …, $7 \\times 14$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "$7 \\times 15 = 105$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $7 \\times 14$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un multiple a été oublié : $7 \\times 14 = 98$ est encore inférieur à $100$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le reste de la division de $100$ par $7$. Le nombre de multiples est le quotient, $14$."
        }
      ],
      "explanation": "Les multiples de $7$ entre $1$ et $100$ sont $7 \\times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $7$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien y a-t-il de multiples de $7$ compris entre $1$ et $100$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 7 \\times 14 + 2$, donc les multiples sont $7 \\times 1$, $7 \\times 2$, …, $7 \\times 14$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "$7 \\times 15 = 105$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $7 \\times 14$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiple a été oublié : $7 \\times 14 = 98$ est encore inférieur à $100$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le reste de la division de $100$ par $7$. Le nombre de multiples est le quotient, $14$."
            }
          ],
          "explanation": "Les multiples de $7$ entre $1$ et $100$ sont $7 \\times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $7$."
        },
        {
          "statement": "Combien y a-t-il de multiples de $6$ compris entre $1$ et $100$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 6 \\times 16 + 4$, donc les multiples sont $6 \\times 1$, $6 \\times 2$, …, $6 \\times 16$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "$6 \\times 17 = 102$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $6 \\times 16$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiple a été oublié : $6 \\times 16 = 96$ est encore inférieur à $100$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le reste de la division de $100$ par $6$. Le nombre de multiples est le quotient, $16$."
            }
          ],
          "explanation": "Les multiples de $6$ entre $1$ et $100$ sont $6 \\times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $6$."
        },
        {
          "statement": "Combien y a-t-il de multiples de $8$ compris entre $1$ et $100$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 8 \\times 12 + 4$, donc les multiples sont $8 \\times 1$, $8 \\times 2$, …, $8 \\times 12$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$8 \\times 13 = 104$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $8 \\times 12$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiple a été oublié : $8 \\times 12 = 96$ est encore inférieur à $100$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le reste de la division de $100$ par $8$. Le nombre de multiples est le quotient, $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Les multiples de $8$ entre $1$ et $100$ sont $8 \\times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $8$."
        },
        {
          "statement": "Combien y a-t-il de multiples de $9$ compris entre $1$ et $100$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 9 \\times 11 + 1$, donc les multiples sont $9 \\times 1$, $9 \\times 2$, …, $9 \\times 11$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9 \\times 12 = 108$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $9 \\times 11$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiple a été oublié : $9 \\times 11 = 99$ est encore inférieur à $100$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le reste de la division de $100$ par $9$. Le nombre de multiples est le quotient, $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Les multiples de $9$ entre $1$ et $100$ sont $9 \\times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $9$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Diviseur commun à deux nombres",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $36$ et à $48$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $36 = 12 \\times 3$ et $48 = 12 \\times 4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "$8$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $4$ pour $36$ et $0$ pour $48$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "$9$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $36$ et $3$ pour $48$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "$24$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $12$ pour $36$ et $0$ pour $48$."
        }
      ],
      "explanation": "Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $36$ et à $48$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $36 = 12 \\times 3$ et $48 = 12 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$8$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $4$ pour $36$ et $0$ pour $48$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $36$ et $3$ pour $48$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "$24$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $12$ pour $36$ et $0$ pour $48$."
            }
          ],
          "explanation": "Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $45$ et à $60$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $45 = 15 \\times 3$ et $60 = 15 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$4$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $1$ pour $45$ et $0$ pour $60$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $45$ et $6$ pour $60$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "$20$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $5$ pour $45$ et $0$ pour $60$."
            }
          ],
          "explanation": "Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $42$ et à $70$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $42 = 14 \\times 3$ et $70 = 14 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $42$ et $4$ pour $70$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "$10$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $2$ pour $42$ et $0$ pour $70$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "$35$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $7$ pour $42$ et $0$ pour $70$."
            }
          ],
          "explanation": "Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $54$ et à $72$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $54 = 18 \\times 3$ et $72 = 18 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "$27$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $54$ et $18$ pour $72$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$8$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $6$ pour $54$ et $0$ pour $72$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "$24$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $6$ pour $54$ et $0$ pour $72$."
            }
          ],
          "explanation": "Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'un nombre premier",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Qu'est-ce qu'un nombre premier ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un entier qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par exemple $7$ n'a que $1$ et $7$ pour diviseurs. Le nombre $1$, qui n'a qu'un diviseur, n'est pas premier."
        },
        {
          "text": "Un entier qui n'admet aucun diviseur, pas même le nombre $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout entier est divisible par $1$ et par lui-même. Un nombre premier n'en a pas d'autre."
        },
        {
          "text": "Un entier impair, c'est-à-dire non divisible par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$9$ est impair mais divisible par $3$, il n'est pas premier ; et $2$, pair, est premier."
        },
        {
          "text": "Un entier qui n'est divisible que par lui-même",
          "correct": false,
          "feedback": "Il est aussi divisible par $1$. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. Le seul nombre premier pair est $2$."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "Repérer un nombre premier",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Lequel de ces nombres est premier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$37$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $37$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs."
        },
        {
          "text": "$39$",
          "correct": false,
          "feedback": "$39 = 3 \\times 13$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
        },
        {
          "text": "$51$",
          "correct": false,
          "feedback": "$51 = 3 \\times 17$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
        },
        {
          "text": "$57$",
          "correct": false,
          "feedback": "$57 = 3 \\times 19$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est premier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$37$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $37$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs."
            },
            {
              "text": "$39$",
              "correct": false,
              "feedback": "$39 = 3 \\times 13$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$51$",
              "correct": false,
              "feedback": "$51 = 3 \\times 17$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$57$",
              "correct": false,
              "feedback": "$57 = 3 \\times 19$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est premier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$41$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $41$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "$49 = 7 \\times 7$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$87$",
              "correct": false,
              "feedback": "$87 = 3 \\times 29$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$91$",
              "correct": false,
              "feedback": "$91 = 7 \\times 13$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est premier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$53$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $53$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs."
            },
            {
              "text": "$63$",
              "correct": false,
              "feedback": "$63 = 3 \\times 21$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$69$",
              "correct": false,
              "feedback": "$69 = 3 \\times 23$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$77$",
              "correct": false,
              "feedback": "$77 = 7 \\times 11$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est premier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$59$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $59$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "$81 = 3 \\times 27$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$93$",
              "correct": false,
              "feedback": "$93 = 3 \\times 31$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            },
            {
              "text": "$119$",
              "correct": false,
              "feedback": "$119 = 7 \\times 17$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "Affirmation vraie sur les nombres premiers",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Laquelle de ces affirmations est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre $1$ n'est pas un nombre premier",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ n'a qu'un seul diviseur, lui-même ; un nombre premier en a exactement deux."
        },
        {
          "text": "Le nombre $2$ n'est pas premier, car il est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "$2$ a exactement deux diviseurs, $1$ et $2$ : il est premier. C'est le seul nombre premier pair."
        },
        {
          "text": "Tous les nombres impairs sont des nombres premiers",
          "correct": false,
          "feedback": "$15$ est impair et $15 = 3 \\times 5$ : il n'est pas premier."
        },
        {
          "text": "Un nombre premier peut avoir trois diviseurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre premier a exactement deux diviseurs. $9$, qui a pour diviseurs $1$, $3$ et $9$, n'est pas premier."
        }
      ],
      "explanation": "Retenir les deux pièges : $1$ n'est pas premier, et $2$ est premier bien qu'il soit pair."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition"
      ],
      "title": "Décomposition en facteurs premiers",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $60$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^2 \\times 3 \\times 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce produit vaut $60$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 3 \\times 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 3 \\times 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
        },
        {
          "text": "$2^2 \\times 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
        }
      ],
      "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $60$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^2 \\times 3 \\times 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce produit vaut $60$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 3 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 3 \\times 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2^2 \\times 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            }
          ],
          "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $84$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^2 \\times 3 \\times 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce produit vaut $84$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 3 \\times 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $84$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 6 \\times 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $84$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2^2 \\times 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $84$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            }
          ],
          "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $90$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 3^2 \\times 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce produit vaut $90$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 9 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $90$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $90$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$10 \\times 3^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $90$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            }
          ],
          "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $72$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^3 \\times 3^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce produit vaut $72$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $72$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2^3 \\times 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $72$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            },
            {
              "text": "$2^2 \\times 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit vaut bien $72$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour."
            }
          ],
          "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Nombres premiers inférieurs à 20",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à $20$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre a été oublié, souvent $2$, qui est premier bien que pair. La liste est $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre compté en trop, souvent $1$, qui n'est pas premier, ou $9 = 3 \\times 3$. Il y en a $8$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres impairs inférieurs à $20$ ne sont pas tous premiers : $9$ et $15$ ne le sont pas, et $1$ non plus."
        }
      ],
      "explanation": "On peut utiliser le crible d'Ératosthène : on barre $1$, puis les multiples de $2$, de $3$, de $5$… autres que ces nombres eux-mêmes."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Plus petit diviseur premier",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quel est le plus petit nombre premier qui divise $91$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $91 = 7 \\times 13$, et aucun nombre premier plus petit que $7$ ne divise $91$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "$13$ divise bien $91$, mais ce n'est pas le plus petit : $91 = 7 \\times 13$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $7$."
        },
        {
          "text": "Aucun, car $91$ est premier",
          "correct": false,
          "feedback": "$91$ n'est pas premier : $91 = 7 \\times 13$."
        }
      ],
      "explanation": "On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le plus petit nombre premier qui divise $91$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $91 = 7 \\times 13$, et aucun nombre premier plus petit que $7$ ne divise $91$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$13$ divise bien $91$, mais ce n'est pas le plus petit : $91 = 7 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $7$."
            },
            {
              "text": "Aucun, car $91$ est premier",
              "correct": false,
              "feedback": "$91$ n'est pas premier : $91 = 7 \\times 13$."
            }
          ],
          "explanation": "On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit nombre premier qui divise $85$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $85 = 5 \\times 17$, et aucun nombre premier plus petit que $5$ ne divise $85$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "$17$ divise bien $85$, mais ce n'est pas le plus petit : $85 = 5 \\times 17$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $5$."
            },
            {
              "text": "Aucun, car $85$ est premier",
              "correct": false,
              "feedback": "$85$ n'est pas premier : $85 = 5 \\times 17$."
            }
          ],
          "explanation": "On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit nombre premier qui divise $143$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $143 = 11 \\times 13$, et aucun nombre premier plus petit que $11$ ne divise $143$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$13$ divise bien $143$, mais ce n'est pas le plus petit : $143 = 11 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $11$."
            },
            {
              "text": "Aucun, car $143$ est premier",
              "correct": false,
              "feedback": "$143$ n'est pas premier : $143 = 11 \\times 13$."
            }
          ],
          "explanation": "On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit nombre premier qui divise $221$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $221 = 13 \\times 17$, et aucun nombre premier plus petit que $13$ ne divise $221$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "$17$ divise bien $221$, mais ce n'est pas le plus petit : $221 = 13 \\times 17$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $13$."
            },
            {
              "text": "Aucun, car $221$ est premier",
              "correct": false,
              "feedback": "$221$ n'est pas premier : $221 = 13 \\times 17$."
            }
          ],
          "explanation": "On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition",
        "fractions"
      ],
      "title": "Simplifier grâce aux décompositions",
      "partie": "premiers",
      "statement": "On sait que $84 = 2^2 \\times 3 \\times 7$ et $90 = 2 \\times 3^2 \\times 5$. Quelle est la forme irréductible de $\\dfrac{84}{90}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{14}{15}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{42}{45}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette fraction est égale à $\\dfrac{84}{90}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\\dfrac{14}{15}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\\dfrac{14}{15}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $84 = 2^2 \\times 3 \\times 7$ et $90 = 2 \\times 3^2 \\times 5$. Quelle est la forme irréductible de $\\dfrac{84}{90}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{14}{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{42}{45}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette fraction est égale à $\\dfrac{84}{90}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\\dfrac{14}{15}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\\dfrac{14}{15}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil."
        },
        {
          "statement": "On sait que $60 = 2^2 \\times 3 \\times 5$ et $126 = 2 \\times 3^2 \\times 7$. Quelle est la forme irréductible de $\\dfrac{60}{126}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{21}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{30}{63}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette fraction est égale à $\\dfrac{60}{126}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{21}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\\dfrac{10}{21}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\\dfrac{10}{21}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil."
        },
        {
          "statement": "On sait que $72 = 2^3 \\times 3^2$ et $180 = 2^2 \\times 3^2 \\times 5$. Quelle est la forme irréductible de $\\dfrac{72}{180}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{36}{90}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette fraction est égale à $\\dfrac{72}{180}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\\dfrac{2}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\\dfrac{2}{5}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil."
        },
        {
          "statement": "On sait que $150 = 2 \\times 3 \\times 5^2$ et $105 = 3 \\times 5 \\times 7$. Quelle est la forme irréductible de $\\dfrac{150}{105}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{50}{35}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette fraction est égale à $\\dfrac{150}{105}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\\dfrac{10}{7}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\\dfrac{10}{7}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "decomposition",
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Diviseur lu sur une décomposition",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 2^3 \\times 5 \\times 7$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $25$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les facteurs premiers de $14$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $14$ divise $N$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les facteurs premiers de $40$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $40$ divise $N$."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les facteurs premiers de $35$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $35$ divise $N$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 2^3 \\times 5 \\times 7$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $25$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $14$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $14$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $40$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $40$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $35$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $35$ divise $N$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux."
        },
        {
          "statement": "Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 2^2 \\times 3^2 \\times 5$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $18$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $18$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $20$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $20$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $45$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $45$ divise $N$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux."
        },
        {
          "statement": "Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 3 \\times 5^2 \\times 7$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$."
            },
            {
              "text": "$75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $75$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $75$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $21$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $21$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $35$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $35$ divise $N$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux."
        },
        {
          "statement": "Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 2 \\times 3^3 \\times 11$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$."
            },
            {
              "text": "$54$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $54$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $54$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $33$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $33$ divise $N$."
            },
            {
              "text": "$66$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les facteurs premiers de $66$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $66$ divise $N$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "decomposition",
        "puissances"
      ],
      "title": "Retrouver un nombre décomposé",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^3 \\times 3^2 \\times 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$360$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2^3 = 8$ et $3^2 = 9$, puis $8 \\times 9 \\times 5 = 360$."
        },
        {
          "text": "$180$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^3$ vaut $8$, pas $2 \\times 3$."
        },
        {
          "text": "$240$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3^2$ vaut $9$, pas $3 \\times 2$. Le nombre est $360$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été oubliés : $2 \\times 3 \\times 5 = 30$. Le nombre est $360$."
        }
      ],
      "explanation": "Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^3 = 2\\times2\\times2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^3 \\times 3^2 \\times 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$360$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^3 = 8$ et $3^2 = 9$, puis $8 \\times 9 \\times 5 = 360$."
            },
            {
              "text": "$180$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^3$ vaut $8$, pas $2 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$240$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3^2$ vaut $9$, pas $3 \\times 2$. Le nombre est $360$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été oubliés : $2 \\times 3 \\times 5 = 30$. Le nombre est $360$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^3 = 2\\times2\\times2$."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^4 \\times 3^2 \\times 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$720$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^4 = 16$ et $3^2 = 9$, puis $16 \\times 9 \\times 5 = 720$."
            },
            {
              "text": "$240$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^4$ vaut $16$, pas $2 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$480$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3^2$ vaut $9$, pas $3 \\times 2$. Le nombre est $720$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été oubliés : $2 \\times 3 \\times 5 = 30$. Le nombre est $720$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^4 = 2\\times2\\times2\\times2$."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^3 \\times 3^3 \\times 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1080$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^3 = 8$ et $3^3 = 27$, puis $8 \\times 27 \\times 5 = 1080$."
            },
            {
              "text": "$270$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^3$ vaut $8$, pas $2 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$360$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3^3$ vaut $27$, pas $3 \\times 3$. Le nombre est $1080$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été oubliés : $2 \\times 3 \\times 5 = 30$. Le nombre est $1080$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^3 = 2\\times2\\times2$."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^4 \\times 3^3 \\times 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2160$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^4 = 16$ et $3^3 = 27$, puis $16 \\times 27 \\times 5 = 2160$."
            },
            {
              "text": "$360$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^4$ vaut $16$, pas $2 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$720$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3^3$ vaut $27$, pas $3 \\times 3$. Le nombre est $2160$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été oubliés : $2 \\times 3 \\times 5 = 30$. Le nombre est $2160$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^4 = 2\\times2\\times2\\times2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "decomposition",
        "carres"
      ],
      "title": "Racine entière par la décomposition",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Le nombre $N = 2^{4} \\times 3^{4}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?",
      "options": [
        {
          "text": "$36$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(2^2 \\times 3^2)^2 = 2^{4} \\times 3^{4}$, et $2^2 \\times 3^2 = 36$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les puissances $2^2$ et $3^2$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $36$."
        },
        {
          "text": "$144$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $36$."
        },
        {
          "text": "$324$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $36$."
        }
      ],
      "explanation": "Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre $N = 2^{4} \\times 3^{4}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2^2 \\times 3^2)^2 = 2^{4} \\times 3^{4}$, et $2^2 \\times 3^2 = 36$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances $2^2$ et $3^2$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $36$."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $36$."
            },
            {
              "text": "$324$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $N = 2^{6} \\times 3^{4}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2^3 \\times 3^2)^2 = 2^{6} \\times 3^{4}$, et $2^3 \\times 3^2 = 72$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances $2^3$ et $3^2$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $72$."
            },
            {
              "text": "$576$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $72$."
            },
            {
              "text": "$648$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $72$."
            }
          ],
          "explanation": "Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $N = 2^{4} \\times 3^{6}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?",
          "options": [
            {
              "text": "$108$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2^2 \\times 3^3)^2 = 2^{4} \\times 3^{6}$, et $2^2 \\times 3^3 = 108$."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances $2^2$ et $3^3$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $108$."
            },
            {
              "text": "$432$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $108$."
            },
            {
              "text": "$2916$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $108$."
            }
          ],
          "explanation": "Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $N = 2^{8} \\times 3^{4}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?",
          "options": [
            {
              "text": "$144$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2^4 \\times 3^2)^2 = 2^{8} \\times 3^{4}$, et $2^4 \\times 3^2 = 144$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les puissances $2^4$ et $3^2$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $144$."
            },
            {
              "text": "$2304$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $144$."
            },
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $144$."
            }
          ],
          "explanation": "Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "pair-impair"
      ],
      "title": "Pourquoi 2 est le seul premier pair",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pourquoi $2$ est-il le seul nombre premier pair ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tout autre nombre pair a au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et lui-même",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par exemple $6$ est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$ ; un nombre pair autre que $2$ n'est donc jamais premier."
        },
        {
          "text": "Les nombres pairs n'ont jamais de diviseur autre que $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre pair a toujours $1$ et lui-même pour diviseurs, et souvent d'autres : $12$ est divisible par $3$."
        },
        {
          "text": "Parce que $2$ est le plus petit des nombres entiers non nuls",
          "correct": false,
          "feedback": "Le plus petit entier non nul est $1$, qui n'est pas premier. Ce n'est pas la raison."
        },
        {
          "text": "Les nombres pairs supérieurs à $2$ sont tous des multiples de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$6$ et $10$ sont pairs sans être multiples de $4$. Ce qui compte, c'est qu'ils soient divisibles par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre pair $n$ supérieur à $2$ est divisible par $1$, par $2$ et par $n$ : trois diviseurs distincts, donc il n'est pas premier."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "decomposition",
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Plus grand diviseur commun par les décompositions",
      "partie": "premiers",
      "statement": "On donne $a = 2^2 \\times 3 \\times 5$ et $b = 2 \\times 3^2 \\times 7$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
        },
        {
          "text": "$1260$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On donne $a = 2^2 \\times 3 \\times 5$ et $b = 2 \\times 3^2 \\times 7$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$1260$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant."
        },
        {
          "statement": "On donne $a = 2^3 \\times 5$ et $b = 2^2 \\times 5^2$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$200$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant."
        },
        {
          "statement": "On donne $a = 2 \\times 3^2$ et $b = 3^3$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$54$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant."
        },
        {
          "statement": "On donne $a = 2^2 \\times 7$ et $b = 2 \\times 7^2$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible."
            },
            {
              "text": "$196$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Diviseurs premiers d'un nombre",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quels sont les diviseurs premiers de $12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$ et $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ et $3$ divisent $12$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $12$ ne sont pas premiers."
        },
        {
          "text": "$1$, $2$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "$1$ divise $12$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $2$ et $3$."
        },
        {
          "text": "$2$, $3$, $4$ et $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont des diviseurs de $12$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $2$ et $3$ le sont."
        },
        {
          "text": "$2$, $2$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $2$ et $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quels sont les diviseurs premiers de $12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$ et $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ et $3$ divisent $12$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $12$ ne sont pas premiers."
            },
            {
              "text": "$1$, $2$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise $12$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $2$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$2$, $3$, $4$ et $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont des diviseurs de $12$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $2$ et $3$ le sont."
            },
            {
              "text": "$2$, $2$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $2$ et $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les diviseurs premiers de $45$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$ et $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ et $5$ divisent $45$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $45$ ne sont pas premiers."
            },
            {
              "text": "$1$, $3$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise $45$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $3$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$3$, $5$, $9$ et $15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont des diviseurs de $45$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $3$ et $5$ le sont."
            },
            {
              "text": "$3$, $3$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $3$ et $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les diviseurs premiers de $28$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$ et $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ et $7$ divisent $28$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $28$ ne sont pas premiers."
            },
            {
              "text": "$1$, $2$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise $28$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $2$ et $7$."
            },
            {
              "text": "$2$, $4$, $7$ et $14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont des diviseurs de $28$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $2$ et $7$ le sont."
            },
            {
              "text": "$2$, $2$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $2$ et $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les diviseurs premiers de $50$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$ et $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ et $5$ divisent $50$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $50$ ne sont pas premiers."
            },
            {
              "text": "$1$, $2$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$1$ divise $50$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $2$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$2$, $5$, $10$ et $25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont des diviseurs de $50$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $2$ et $5$ le sont."
            },
            {
              "text": "$2$, $5$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $2$ et $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "pair-impair"
      ],
      "title": "Un nombre premier plus grand que 2",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Un nombre premier supérieur à $2$ est forcément :",
      "options": [
        {
          "text": "impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : s'il était pair, il serait divisible par $2$, en plus de $1$ et de lui-même."
        },
        {
          "text": "pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre pair supérieur à $2$ est divisible par $2$ : il n'est pas premier."
        },
        {
          "text": "multiple de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "$5$ et $7$ sont premiers sans être multiples de $3$ ; seul $3$ est un premier multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "inférieur à $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il existe une infinité de nombres premiers, par exemple $101$ ou $103$."
        }
      ],
      "explanation": "À part $2$, tous les nombres premiers sont impairs. L'inverse est faux : $9$ est impair sans être premier."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "decomposition",
        "puissances"
      ],
      "title": "Décomposition d'un produit",
      "partie": "premiers",
      "statement": "On donne $a = 2^3 \\times 3$ et $b = 2 \\times 3^2 \\times 5$. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $a \\times b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^4 \\times 3^3 \\times 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on ajoute les exposants de chaque facteur, $2^{3 + 1}$ et $3^{1 + 2}$, et on garde le facteur $5$."
        },
        {
          "text": "$2^3 \\times 3^2 \\times 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "On a gardé le plus grand exposant de chaque facteur : on multiplie les puissances, donc on ajoute les exposants."
        },
        {
          "text": "$2^3 \\times 3^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ne sont pas ajoutés, et le facteur $5$ de $b$ a été oublié."
        },
        {
          "text": "$2^4 \\times 3^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $5$, présent dans $b$, a été oublié."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit de deux nombres réunit leurs facteurs : $2^3 \\times 2 = 2^4$ et $3 \\times 3^2 = 3^3$."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree"
      ],
      "title": "Racine carrée d'un carré parfait",
      "partie": "racine",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{49}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 7 = 49$ et $7$ est positif."
        },
        {
          "text": "$24{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $49$, c'est $7$."
        },
        {
          "text": "$2401$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le carré de $49$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\\sqrt{49} = 7$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "$14 \\times 14 = 196$, pas $49$. On trouve $7$, car $7^2 = 49$."
        }
      ],
      "explanation": "La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{49}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 7 = 49$ et $7$ est positif."
            },
            {
              "text": "$24{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $49$, c'est $7$."
            },
            {
              "text": "$2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $49$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$14 \\times 14 = 196$, pas $49$. On trouve $7$, car $7^2 = 49$."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{81}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 \\times 9 = 81$ et $9$ est positif."
            },
            {
              "text": "$40{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $81$, c'est $9$."
            },
            {
              "text": "$6561$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $81$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "$18 \\times 18 = 324$, pas $81$. On trouve $9$, car $9^2 = 81$."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{36}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6 \\times 6 = 36$ et $6$ est positif."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $36$, c'est $6$."
            },
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $36$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\\sqrt{36} = 6$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$12 \\times 12 = 144$, pas $36$. On trouve $6$, car $6^2 = 36$."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{121}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11 \\times 11 = 121$ et $11$ est positif."
            },
            {
              "text": "$60{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $121$, c'est $11$."
            },
            {
              "text": "$14\\,641$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $121$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\\sqrt{121} = 11$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "$22 \\times 22 = 484$, pas $121$. On trouve $11$, car $11^2 = 121$."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "definition"
      ],
      "title": "Définition de la racine carrée",
      "partie": "racine",
      "statement": "Pour un nombre positif $a$, qu'est-ce que $\\sqrt{a}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre positif dont le carré vaut $a$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par exemple $\\sqrt{25} = 5$, car $5$ est positif et $5^2 = 25$."
        },
        {
          "text": "Le nombre positif dont le double vaut $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la moitié de $a$. La racine carrée est liée au carré : $\\sqrt{25} = 5$, pas $12{,}5$."
        },
        {
          "text": "Le nombre négatif dont le carré vaut $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "$(-5)^2 = 25$ aussi, mais la racine carrée est par définition le nombre positif : $\\sqrt{25} = 5$."
        },
        {
          "text": "Le nombre égal au carré du nombre $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'opération inverse : le carré de $25$ vaut $625$, alors que $\\sqrt{25} = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sqrt{a}$ n'existe que pour $a$ positif ou nul, et c'est toujours un nombre positif ou nul."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une racine carrée",
      "partie": "racine",
      "statement": "Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{50}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Entre $7$ et $8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, or $49 < 50 < 64$."
        },
        {
          "text": "Entre $25$ et $26$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as pris la moitié de $50$. On encadre $50$ entre deux carrés : $49 < 50 < 64$."
        },
        {
          "text": "Entre $49$ et $64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces nombres encadrent $50$ lui-même. Leurs racines, $7$ et $8$, encadrent $\\sqrt{50}$."
        },
        {
          "text": "Entre $6$ et $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "$7^2 = 49$ est encore inférieur à $50$, donc $\\sqrt{50}$ dépasse $7$. On encadre entre $7$ et $8$."
        }
      ],
      "explanation": "On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{50}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Entre $7$ et $8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, or $49 < 50 < 64$."
            },
            {
              "text": "Entre $25$ et $26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as pris la moitié de $50$. On encadre $50$ entre deux carrés : $49 < 50 < 64$."
            },
            {
              "text": "Entre $49$ et $64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces nombres encadrent $50$ lui-même. Leurs racines, $7$ et $8$, encadrent $\\sqrt{50}$."
            },
            {
              "text": "Entre $6$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "$7^2 = 49$ est encore inférieur à $50$, donc $\\sqrt{50}$ dépasse $7$. On encadre entre $7$ et $8$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{30}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Entre $5$ et $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5^2 = 25$ et $6^2 = 36$, or $25 < 30 < 36$."
            },
            {
              "text": "Entre $15$ et $16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as pris la moitié de $30$. On encadre $30$ entre deux carrés : $25 < 30 < 36$."
            },
            {
              "text": "Entre $25$ et $36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces nombres encadrent $30$ lui-même. Leurs racines, $5$ et $6$, encadrent $\\sqrt{30}$."
            },
            {
              "text": "Entre $4$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$5^2 = 25$ est encore inférieur à $30$, donc $\\sqrt{30}$ dépasse $5$. On encadre entre $5$ et $6$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{90}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Entre $9$ et $10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9^2 = 81$ et $10^2 = 100$, or $81 < 90 < 100$."
            },
            {
              "text": "Entre $45$ et $46$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as pris la moitié de $90$. On encadre $90$ entre deux carrés : $81 < 90 < 100$."
            },
            {
              "text": "Entre $81$ et $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces nombres encadrent $90$ lui-même. Leurs racines, $9$ et $10$, encadrent $\\sqrt{90}$."
            },
            {
              "text": "Entre $8$ et $9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9^2 = 81$ est encore inférieur à $90$, donc $\\sqrt{90}$ dépasse $9$. On encadre entre $9$ et $10$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{140}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Entre $11$ et $12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11^2 = 121$ et $12^2 = 144$, or $121 < 140 < 144$."
            },
            {
              "text": "Entre $70$ et $71$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as pris la moitié de $140$. On encadre $140$ entre deux carrés : $121 < 140 < 144$."
            },
            {
              "text": "Entre $121$ et $144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces nombres encadrent $140$ lui-même. Leurs racines, $11$ et $12$, encadrent $\\sqrt{140}$."
            },
            {
              "text": "Entre $10$ et $11$",
              "correct": false,
              "feedback": "$11^2 = 121$ est encore inférieur à $140$, donc $\\sqrt{140}$ dépasse $11$. On encadre entre $11$ et $12$."
            }
          ],
          "explanation": "On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "signes"
      ],
      "title": "Racine carrée du carré d'un négatif",
      "partie": "racine",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-5)^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-5)^2 = 25$ et $\\sqrt{25} = 5$."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une racine carrée n'est jamais négative : $\\sqrt{25} = 5$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur de $(-5)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $5$."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre sous la racine est $(-5)^2 = 25$, qui est positif : la racine existe et vaut $5$."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-5)^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-5)^2 = 25$ et $\\sqrt{25} = 5$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une racine carrée n'est jamais négative : $\\sqrt{25} = 5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $(-5)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $5$."
            },
            {
              "text": "Elle n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre sous la racine est $(-5)^2 = 25$, qui est positif : la racine existe et vaut $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-3)^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $\\sqrt{9} = 3$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une racine carrée n'est jamais négative : $\\sqrt{9} = 3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $(-3)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $3$."
            },
            {
              "text": "Elle n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre sous la racine est $(-3)^2 = 9$, qui est positif : la racine existe et vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-7)^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-7)^2 = 49$ et $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une racine carrée n'est jamais négative : $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $(-7)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $7$."
            },
            {
              "text": "Elle n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre sous la racine est $(-7)^2 = 49$, qui est positif : la racine existe et vaut $7$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-4)^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-4)^2 = 16$ et $\\sqrt{16} = 4$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une racine carrée n'est jamais négative : $\\sqrt{16} = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $(-4)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $4$."
            },
            {
              "text": "Elle n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre sous la racine est $(-4)^2 = 16$, qui est positif : la racine existe et vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "calcul"
      ],
      "title": "Somme de deux racines carrées",
      "partie": "racine",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{9} + \\sqrt{16}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{9} = 3$ et $\\sqrt{16} = 4$, d'où $7$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les racines carrées ont été oubliées : $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4$."
        },
        {
          "text": "$12{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $3 + 4 = 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ et $\\sqrt{a + b}$ sont différents.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{9} + \\sqrt{16}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{9} = 3$ et $\\sqrt{16} = 4$, d'où $7$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les racines carrées ont été oubliées : $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4$."
            },
            {
              "text": "$12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $3 + 4 = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ et $\\sqrt{a + b}$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{36} + \\sqrt{64}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{36} = 6$ et $\\sqrt{64} = 8$, d'où $14$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $\\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les racines carrées ont été oubliées : $\\sqrt{36} + \\sqrt{64} = 6 + 8$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $6 + 8 = 14$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ et $\\sqrt{a + b}$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{25} + \\sqrt{144}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{25} = 5$ et $\\sqrt{144} = 12$, d'où $17$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $\\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les racines carrées ont été oubliées : $\\sqrt{25} + \\sqrt{144} = 5 + 12$."
            },
            {
              "text": "$84{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $5 + 12 = 17$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ et $\\sqrt{a + b}$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{81} + \\sqrt{144}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{81} = 9$ et $\\sqrt{144} = 12$, d'où $21$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $\\sqrt{81 + 144} = \\sqrt{225}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les racines carrées ont été oubliées : $\\sqrt{81} + \\sqrt{144} = 9 + 12$."
            },
            {
              "text": "$112{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $9 + 12 = 21$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ et $\\sqrt{a + b}$ sont différents."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "probleme"
      ],
      "title": "Côté d'un carré d'aire donnée",
      "partie": "racine",
      "statement": "Un carré a une aire de $49$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \\sqrt{49} = 7$."
        },
        {
          "text": "$12{,}25$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\\sqrt{49} = 7$."
        },
        {
          "text": "$24{,}5$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 49$, donc $c = 7$."
        },
        {
          "text": "$28$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\\sqrt{49} = 7$ cm."
        }
      ],
      "explanation": "L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\\sqrt{A}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un carré a une aire de $49$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$12{,}25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$24{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 49$, donc $c = 7$."
            },
            {
              "text": "$28$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\\sqrt{49} = 7$ cm."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\\sqrt{A}$."
        },
        {
          "statement": "Un carré a une aire de $81$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$20{,}25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$40{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 81$, donc $c = 9$."
            },
            {
              "text": "$36$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\\sqrt{81} = 9$ cm."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\\sqrt{A}$."
        },
        {
          "statement": "Un carré a une aire de $36$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \\sqrt{36} = 6$."
            },
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\\sqrt{36} = 6$."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 36$, donc $c = 6$."
            },
            {
              "text": "$24$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\\sqrt{36} = 6$ cm."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\\sqrt{A}$."
        },
        {
          "statement": "Un carré a une aire de $144$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \\sqrt{144} = 12$."
            },
            {
              "text": "$36$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\\sqrt{144} = 12$."
            },
            {
              "text": "$72$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 144$, donc $c = 12$."
            },
            {
              "text": "$48$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\\sqrt{144} = 12$ cm."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\\sqrt{A}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "equation"
      ],
      "title": "Équation x au carré égale à un nombre",
      "partie": "racine",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{7})^2 = 7$ et $(-\\sqrt{7})^2 = 7$ aussi."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{-7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\sqrt{-7}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde\nsolution est $-\\sqrt{7}$, car $(-\\sqrt{7})^2 = 7$."
        },
        {
          "text": "$-3{,}5$ et $3{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as divisé par $2$ : $3{,}5^2 = 12{,}25$, pas $7$. Les solutions sont $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$."
        },
        {
          "text": "$-49$ et $49$",
          "correct": false,
          "feedback": "$49$ est le carré de $7$. On cherche les nombres dont le carré vaut $7$ : $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{7})^2 = 7$ et $(-\\sqrt{7})^2 = 7$ aussi."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{-7}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde\nsolution est $-\\sqrt{7}$, car $(-\\sqrt{7})^2 = 7$."
            },
            {
              "text": "$-3{,}5$ et $3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $2$ : $3{,}5^2 = 12{,}25$, pas $7$. Les solutions sont $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$."
            },
            {
              "text": "$-49$ et $49$",
              "correct": false,
              "feedback": "$49$ est le carré de $7$. On cherche les nombres dont le carré vaut $7$ : $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\sqrt{11}$ et $\\sqrt{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{11})^2 = 11$ et $(-\\sqrt{11})^2 = 11$ aussi."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{11}$ et $\\sqrt{-11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{-11}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde\nsolution est $-\\sqrt{11}$, car $(-\\sqrt{11})^2 = 11$."
            },
            {
              "text": "$-5{,}5$ et $5{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $2$ : $5{,}5^2 = 30{,}25$, pas $11$. Les solutions sont $-\\sqrt{11}$ et $\\sqrt{11}$."
            },
            {
              "text": "$-121$ et $121$",
              "correct": false,
              "feedback": "$121$ est le carré de $11$. On cherche les nombres dont le carré vaut $11$ : $-\\sqrt{11}$ et $\\sqrt{11}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\sqrt{13}$ et $\\sqrt{13}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{13})^2 = 13$ et $(-\\sqrt{13})^2 = 13$ aussi."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{13}$ et $\\sqrt{-13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{-13}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde\nsolution est $-\\sqrt{13}$, car $(-\\sqrt{13})^2 = 13$."
            },
            {
              "text": "$-6{,}5$ et $6{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $2$ : $6{,}5^2 = 42{,}25$, pas $13$. Les solutions sont $-\\sqrt{13}$ et $\\sqrt{13}$."
            },
            {
              "text": "$-169$ et $169$",
              "correct": false,
              "feedback": "$169$ est le carré de $13$. On cherche les nombres dont le carré vaut $13$ : $-\\sqrt{13}$ et $\\sqrt{13}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\sqrt{6}$ et $\\sqrt{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{6})^2 = 6$ et $(-\\sqrt{6})^2 = 6$ aussi."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{6}$ et $\\sqrt{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{-6}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde\nsolution est $-\\sqrt{6}$, car $(-\\sqrt{6})^2 = 6$."
            },
            {
              "text": "$-3$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $2$ : $3^2 = 9$, pas $6$. Les solutions sont $-\\sqrt{6}$ et $\\sqrt{6}$."
            },
            {
              "text": "$-36$ et $36$",
              "correct": false,
              "feedback": "$36$ est le carré de $6$. On cherche les nombres dont le carré vaut $6$ : $-\\sqrt{6}$ et $\\sqrt{6}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{a}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "equation"
      ],
      "title": "Carré égal à un nombre négatif",
      "partie": "racine",
      "statement": "Combien de solutions l'équation $x^2 = -16$ a-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir $-16$."
        },
        {
          "text": "Deux solutions, $-4$ et $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$(-4)^2 = 16$ et $4^2 = 16$, pas $-16$ : un carré n'est jamais négatif."
        },
        {
          "text": "Une solution, $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$(-4)^2 = (-4) \\times (-4) = 16$ : le produit de deux négatifs est positif."
        },
        {
          "text": "Une solution, $\\sqrt{-16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : aucun nombre n'a un carré négatif."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $x^2 = a$ a deux solutions si $a > 0$, une seule ($0$) si $a = 0$, et aucune si $a < 0$."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "carres"
      ],
      "title": "Racine carrée qui tombe juste",
      "partie": "racine",
      "statement": "Lequel de ces nombres est un nombre entier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sqrt{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $36 = 6^2$, donc $\\sqrt{36} = 6$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{37}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$37$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $6^2 = 36$ et $7^2 = 49$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$12$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{60}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$60$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
        }
      ],
      "explanation": "La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un nombre entier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $36 = 6^2$, donc $\\sqrt{36} = 6$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{37}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$37$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $6^2 = 36$ et $7^2 = 49$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$12$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{60}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …"
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un nombre entier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $49 = 7^2$, donc $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{50}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$50$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$14$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{70}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$70$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …"
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un nombre entier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{81}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $81 = 9^2$, donc $\\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{82}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$82$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $9^2 = 81$ et $10^2 = 100$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$18$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{90}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$90$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …"
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces nombres est un nombre entier ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{121}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $121 = 11^2$, donc $\\sqrt{121} = 11$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{122}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$122$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $11^2 = 121$ et $12^2 = 144$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{22}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$22$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{110}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$110$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière."
            }
          ],
          "explanation": "La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …"
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer une racine et un entier",
      "partie": "racine",
      "statement": "Quelle comparaison est juste ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sqrt{63} < 8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 = \\sqrt{64}$ et $63 < 64$, donc $\\sqrt{63} < 8$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{63} > 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "On compare les carrés : $(\\sqrt{63})^2 = 63$ et $8^2 = 64$. Comme $63 < 64$, c'est l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{63} = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "$8^2 = 64$, pas $63$ : les deux nombres sont proches mais différents."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice",
          "correct": false,
          "feedback": "Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $63 < 64$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $63$ et $8^2 = 64$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle comparaison est juste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{63} < 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8 = \\sqrt{64}$ et $63 < 64$, donc $\\sqrt{63} < 8$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{63} > 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "On compare les carrés : $(\\sqrt{63})^2 = 63$ et $8^2 = 64$. Comme $63 < 64$, c'est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{63} = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$8^2 = 64$, pas $63$ : les deux nombres sont proches mais différents."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $63 < 64$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $63$ et $8^2 = 64$."
        },
        {
          "statement": "Quelle comparaison est juste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{80} < 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 = \\sqrt{81}$ et $80 < 81$, donc $\\sqrt{80} < 9$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{80} > 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "On compare les carrés : $(\\sqrt{80})^2 = 80$ et $9^2 = 81$. Comme $80 < 81$, c'est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{80} = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9^2 = 81$, pas $80$ : les deux nombres sont proches mais différents."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $80 < 81$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $80$ et $9^2 = 81$."
        },
        {
          "statement": "Quelle comparaison est juste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{120} < 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11 = \\sqrt{121}$ et $120 < 121$, donc $\\sqrt{120} < 11$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{120} > 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "On compare les carrés : $(\\sqrt{120})^2 = 120$ et $11^2 = 121$. Comme $120 < 121$, c'est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{120} = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "$11^2 = 121$, pas $120$ : les deux nombres sont proches mais différents."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $120 < 121$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $120$ et $11^2 = 121$."
        },
        {
          "statement": "Quelle comparaison est juste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sqrt{24} < 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 = \\sqrt{25}$ et $24 < 25$, donc $\\sqrt{24} < 5$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{24} > 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "On compare les carrés : $(\\sqrt{24})^2 = 24$ et $5^2 = 25$. Comme $24 < 25$, c'est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{24} = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$5^2 = 25$, pas $24$ : les deux nombres sont proches mais différents."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $24 < 25$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $24$ et $5^2 = 25$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "decimaux"
      ],
      "title": "Racine carrée d'un décimal",
      "partie": "racine",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{0{,}09}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3 \\times 0{,}3 = 0{,}09$."
        },
        {
          "text": "$0{,}03$",
          "correct": false,
          "feedback": "$0{,}03 \\times 0{,}03$ est beaucoup plus petit que $0{,}09$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}3$."
        },
        {
          "text": "$0{,}045$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la moitié de $0{,}09$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$."
        },
        {
          "text": "$0{,}0081$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le carré de $0{,}09$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$."
        }
      ],
      "explanation": "Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}3^2 = 0{,}09$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{0{,}09}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3 \\times 0{,}3 = 0{,}09$."
            },
            {
              "text": "$0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "$0{,}03 \\times 0{,}03$ est beaucoup plus petit que $0{,}09$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}045$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $0{,}09$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $0{,}09$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}3^2 = 0{,}09$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{0{,}16}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}4 \\times 0{,}4 = 0{,}16$."
            },
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "$0{,}04 \\times 0{,}04$ est beaucoup plus petit que $0{,}16$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $0{,}16$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}16$ : $0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0256$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $0{,}16$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}16$ : $0{,}4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}4^2 = 0{,}16$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{0{,}25}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 \\times 0{,}5 = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "$0{,}05 \\times 0{,}05$ est beaucoup plus petit que $0{,}25$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}125$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $0{,}25$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}25$ : $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $0{,}25$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}25$ : $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}5^2 = 0{,}25$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sqrt{0{,}36}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}6 \\times 0{,}6 = 0{,}36$."
            },
            {
              "text": "$0{,}06$",
              "correct": false,
              "feedback": "$0{,}06 \\times 0{,}06$ est beaucoup plus petit que $0{,}36$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}18$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $0{,}36$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}36$ : $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de $0{,}36$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}36$ : $0{,}6$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}6^2 = 0{,}36$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "probleme"
      ],
      "title": "Clôturer un champ carré",
      "partie": "racine",
      "statement": "Un champ carré a une aire de $400$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?",
      "options": [
        {
          "text": "$80$ m",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le côté mesure $\\sqrt{400} = 20$ m, et le périmètre $4 \\times 20 = 80$ m."
        },
        {
          "text": "$20$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \\times 20 = 80$ m."
        },
        {
          "text": "$100$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\\sqrt{400} = 20$ m, puis le multiplier par $4$."
        },
        {
          "text": "$40$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $80$ m."
        }
      ],
      "explanation": "On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un champ carré a une aire de $400$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$ m",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté mesure $\\sqrt{400} = 20$ m, et le périmètre $4 \\times 20 = 80$ m."
            },
            {
              "text": "$20$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \\times 20 = 80$ m."
            },
            {
              "text": "$100$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\\sqrt{400} = 20$ m, puis le multiplier par $4$."
            },
            {
              "text": "$40$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $80$ m."
            }
          ],
          "explanation": "On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$."
        },
        {
          "statement": "Un champ carré a une aire de $900$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$ m",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté mesure $\\sqrt{900} = 30$ m, et le périmètre $4 \\times 30 = 120$ m."
            },
            {
              "text": "$30$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \\times 30 = 120$ m."
            },
            {
              "text": "$225$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\\sqrt{900} = 30$ m, puis le multiplier par $4$."
            },
            {
              "text": "$60$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $120$ m."
            }
          ],
          "explanation": "On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$."
        },
        {
          "statement": "Un champ carré a une aire de $625$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$ m",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté mesure $\\sqrt{625} = 25$ m, et le périmètre $4 \\times 25 = 100$ m."
            },
            {
              "text": "$25$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \\times 25 = 100$ m."
            },
            {
              "text": "$156{,}25$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\\sqrt{625} = 25$ m, puis le multiplier par $4$."
            },
            {
              "text": "$50$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $100$ m."
            }
          ],
          "explanation": "On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$."
        },
        {
          "statement": "Un champ carré a une aire de $1600$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$160$ m",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté mesure $\\sqrt{1600} = 40$ m, et le périmètre $4 \\times 40 = 160$ m."
            },
            {
              "text": "$40$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \\times 40 = 160$ m."
            },
            {
              "text": "$400$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\\sqrt{1600} = 40$ m, puis le multiplier par $4$."
            },
            {
              "text": "$80$ m",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $160$ m."
            }
          ],
          "explanation": "On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "carres"
      ],
      "title": "Carré d'une racine carrée",
      "partie": "racine",
      "statement": "Que vaut $(\\sqrt{7})^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par définition, $\\sqrt{7}$ est le nombre positif dont le carré vaut $7$."
        },
        {
          "text": "$49$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $7^2$. Or le carré de $\\sqrt{7}$ redonne $7$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\\sqrt{7})^2 = 7$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré n'est pas oublié : $\\sqrt{7} \\times \\sqrt{7} = 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout nombre positif $a$, $(\\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $(\\sqrt{7})^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $\\sqrt{7}$ est le nombre positif dont le carré vaut $7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $7^2$. Or le carré de $\\sqrt{7}$ redonne $7$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\\sqrt{7})^2 = 7$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'est pas oublié : $\\sqrt{7} \\times \\sqrt{7} = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre positif $a$, $(\\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(\\sqrt{5})^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $\\sqrt{5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $5^2$. Or le carré de $\\sqrt{5}$ redonne $5$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\\sqrt{5})^2 = 5$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'est pas oublié : $\\sqrt{5} \\times \\sqrt{5} = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre positif $a$, $(\\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(\\sqrt{11})^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $\\sqrt{11}$ est le nombre positif dont le carré vaut $11$."
            },
            {
              "text": "$121$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $11^2$. Or le carré de $\\sqrt{11}$ redonne $11$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\\sqrt{11})^2 = 11$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'est pas oublié : $\\sqrt{11} \\times \\sqrt{11} = 11$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre positif $a$, $(\\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(\\sqrt{3})^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $\\sqrt{3}$ est le nombre positif dont le carré vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $3^2$. Or le carré de $\\sqrt{3}$ redonne $3$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\\sqrt{3})^2 = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'est pas oublié : $\\sqrt{3} \\times \\sqrt{3} = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre positif $a$, $(\\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "arrondi"
      ],
      "title": "Arrondi d'une racine carrée",
      "partie": "racine",
      "statement": "Quel est l'arrondi au dixième de $\\sqrt{20}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{20} \\approx 4{,}47$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur."
        },
        {
          "text": "$4{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\\sqrt{20} \\approx 4{,}47$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la moitié de $20$, pas sa racine carrée. On trouve $\\sqrt{20} \\approx 4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$4{,}47$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $4{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'arrondi au dixième de $\\sqrt{20}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{20} \\approx 4{,}47$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur."
            },
            {
              "text": "$4{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\\sqrt{20} \\approx 4{,}47$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $4{,}5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $20$, pas sa racine carrée. On trouve $\\sqrt{20} \\approx 4{,}5$."
            },
            {
              "text": "$4{,}47$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $4{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'arrondi au dixième de $\\sqrt{30}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{30} \\approx 5{,}48$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur."
            },
            {
              "text": "$5{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\\sqrt{30} \\approx 5{,}48$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $5{,}5$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $30$, pas sa racine carrée. On trouve $\\sqrt{30} \\approx 5{,}5$."
            },
            {
              "text": "$5{,}48$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $5{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'arrondi au dixième de $\\sqrt{70}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{70} \\approx 8{,}37$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur."
            },
            {
              "text": "$8{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\\sqrt{70} \\approx 8{,}37$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $8{,}4$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $70$, pas sa racine carrée. On trouve $\\sqrt{70} \\approx 8{,}4$."
            },
            {
              "text": "$8{,}37$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $8{,}4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'arrondi au dixième de $\\sqrt{12}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{12} \\approx 3{,}46$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur."
            },
            {
              "text": "$3{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\\sqrt{12} \\approx 3{,}46$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la moitié de $12$, pas sa racine carrée. On trouve $\\sqrt{12} \\approx 3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$3{,}46$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $3{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "equation"
      ],
      "title": "Équation qui se ramène à x au carré",
      "partie": "racine",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 9 = 25$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-4$ et $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 25 - 9 = 16$, et $16 = 4^2$."
        },
        {
          "text": "$4$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "La solution négative manque : $(-4)^2 = 16$ aussi."
        },
        {
          "text": "$-16$ et $16$",
          "correct": false,
          "feedback": "On a $x^2 = 16$ : il reste à prendre la racine carrée, $\\sqrt{16} = 4$."
        },
        {
          "text": "$-\\sqrt{34}$ et $\\sqrt{34}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $9$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 25 - 9 = 16$."
        }
      ],
      "explanation": "On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\\sqrt{a}$ ou $x = \\sqrt{a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 9 = 25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$ et $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 25 - 9 = 16$, et $16 = 4^2$."
            },
            {
              "text": "$4$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La solution négative manque : $(-4)^2 = 16$ aussi."
            },
            {
              "text": "$-16$ et $16$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a $x^2 = 16$ : il reste à prendre la racine carrée, $\\sqrt{16} = 4$."
            },
            {
              "text": "$-\\sqrt{34}$ et $\\sqrt{34}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $9$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 25 - 9 = 16$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\\sqrt{a}$ ou $x = \\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 11 = 47$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6$ et $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 47 - 11 = 36$, et $36 = 6^2$."
            },
            {
              "text": "$6$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La solution négative manque : $(-6)^2 = 36$ aussi."
            },
            {
              "text": "$-36$ et $36$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a $x^2 = 36$ : il reste à prendre la racine carrée, $\\sqrt{36} = 6$."
            },
            {
              "text": "$-\\sqrt{58}$ et $\\sqrt{58}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $11$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 47 - 11 = 36$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\\sqrt{a}$ ou $x = \\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 20 = 69$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-7$ et $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 69 - 20 = 49$, et $49 = 7^2$."
            },
            {
              "text": "$7$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La solution négative manque : $(-7)^2 = 49$ aussi."
            },
            {
              "text": "$-49$ et $49$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a $x^2 = 49$ : il reste à prendre la racine carrée, $\\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$-\\sqrt{89}$ et $\\sqrt{89}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $20$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 69 - 20 = 49$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\\sqrt{a}$ ou $x = \\sqrt{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 5 = 86$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$ et $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 86 - 5 = 81$, et $81 = 9^2$."
            },
            {
              "text": "$9$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La solution négative manque : $(-9)^2 = 81$ aussi."
            },
            {
              "text": "$-81$ et $81$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a $x^2 = 81$ : il reste à prendre la racine carrée, $\\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$-\\sqrt{91}$ et $\\sqrt{91}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $5$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 86 - 5 = 81$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\\sqrt{a}$ ou $x = \\sqrt{a}$."
        }
      ]
    }
  ]
}