{
  "chapter": {
    "id": "calcul-litteral",
    "level": "college",
    "theme": "Nombres et calculs",
    "title": "Calcul littéral",
    "description": "Réduire, développer avec la simple et la double distributivité,\nfactoriser, tester une égalité, traduire un énoncé par une expression.",
    "parties": [
      {
        "id": "vocabulaire",
        "title": "Expressions littérales et substitution"
      },
      {
        "id": "reduire",
        "title": "Réduire et supprimer des parenthèses"
      },
      {
        "id": "developper",
        "title": "Développer et factoriser"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Somme de deux termes en x",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduis l'expression $3x + 5x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$8x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux termes sont de même nature, donc on\nadditionne les coefficients, soit $3 + 5 = 8$."
        },
        {
          "text": "$15x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $8$."
        },
        {
          "text": "$8x^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un carré est apparu sans raison : additionner deux termes en $x$\nne change pas la puissance de $x$."
        },
        {
          "text": "$15x^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux erreurs sont cumulées : les coefficients s'additionnent\net la lettre $x$ garde son exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Deux termes qui comportent la même lettre à la même puissance se\nregroupent en additionnant leurs coefficients.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduis l'expression $3x + 5x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux termes sont de même nature, donc on\nadditionne les coefficients, soit $3 + 5 = 8$."
            },
            {
              "text": "$15x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$8x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un carré est apparu sans raison : additionner deux termes en $x$\nne change pas la puissance de $x$."
            },
            {
              "text": "$15x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux erreurs sont cumulées : les coefficients s'additionnent\net la lettre $x$ garde son exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Deux termes qui comportent la même lettre à la même puissance se\nregroupent en additionnant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $7x + 6x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$13x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux termes sont de même nature, donc on\nadditionne les coefficients, soit $7 + 6 = 13$."
            },
            {
              "text": "$42x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $13$."
            },
            {
              "text": "$13x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un carré est apparu sans raison : additionner deux termes en $x$\nne change pas la puissance de $x$."
            },
            {
              "text": "$42x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux erreurs sont cumulées : les coefficients s'additionnent\net la lettre $x$ garde son exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Deux termes qui comportent la même lettre à la même puissance se\nregroupent en additionnant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $2x + 9x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux termes sont de même nature, donc on\nadditionne les coefficients, soit $2 + 9 = 11$."
            },
            {
              "text": "$18x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $11$."
            },
            {
              "text": "$11x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un carré est apparu sans raison : additionner deux termes en $x$\nne change pas la puissance de $x$."
            },
            {
              "text": "$18x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux erreurs sont cumulées : les coefficients s'additionnent\net la lettre $x$ garde son exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Deux termes qui comportent la même lettre à la même puissance se\nregroupent en additionnant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $7x + 13x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$20x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux termes sont de même nature, donc on\nadditionne les coefficients, soit $7 + 13 = 20$."
            },
            {
              "text": "$91x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $20$."
            },
            {
              "text": "$20x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un carré est apparu sans raison : additionner deux termes en $x$\nne change pas la puissance de $x$."
            },
            {
              "text": "$91x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux erreurs sont cumulées : les coefficients s'additionnent\net la lettre $x$ garde son exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Deux termes qui comportent la même lettre à la même puissance se\nregroupent en additionnant leurs coefficients."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Rôle d'un nombre dans une expression",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Dans l'expression $5x + 3$, quel est le rôle du nombre $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le coefficient de $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5x$ signifie $5 \\times x$, et le nombre placé\ndevant la lettre est son coefficient."
        },
        {
          "text": "L'exposant de $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant s'écrit en haut à droite de la lettre. Ici $x$ a\nl'exposant $1$, et $5$ le multiplie."
        },
        {
          "text": "Le terme constant",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant est celui qui ne comporte pas de lettre : il\ns'agit de $3$, et non de $5$."
        },
        {
          "text": "La valeur que prend $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "La lettre $x$ peut prendre n'importe quelle valeur. Le nombre $5$\nla multiplie, il ne la remplace pas."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un terme comme $5x$, le nombre $5$ est le coefficient et $x$ est\nla partie littérale."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Réduire une somme de quatre termes",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduis l'expression $3x + 4 + 5x + 2$.",
      "options": [
        {
          "text": "$8x + 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les\nnombres seuls de l'autre."
        },
        {
          "text": "$14x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres seuls ont été ajoutés aux termes en $x$ : ils sont de\nnatures différentes et ne se regroupent pas."
        },
        {
          "text": "$15x + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients de $x$ ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $8$."
        },
        {
          "text": "$6x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux groupes ont été échangés : ce sont les coefficients de\n$x$ qui donnent $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour réduire, on additionne séparément les termes en $x$ et les\ntermes constants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduis l'expression $3x + 4 + 5x + 2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8x + 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les\nnombres seuls de l'autre."
            },
            {
              "text": "$14x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres seuls ont été ajoutés aux termes en $x$ : ils sont de\nnatures différentes et ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$15x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$6x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont été échangés : ce sont les coefficients de\n$x$ qui donnent $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire, on additionne séparément les termes en $x$ et les\ntermes constants."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $6x + 5 + 3x - 2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$9x + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les\nnombres seuls de l'autre."
            },
            {
              "text": "$12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres seuls ont été ajoutés aux termes en $x$ : ils sont de\nnatures différentes et ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$18x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $9$."
            },
            {
              "text": "$3x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont été échangés : ce sont les coefficients de\n$x$ qui donnent $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire, on additionne séparément les termes en $x$ et les\ntermes constants."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $2x + 7 + 9x + 3$.",
          "options": [
            {
              "text": "$11x + 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les\nnombres seuls de l'autre."
            },
            {
              "text": "$21x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres seuls ont été ajoutés aux termes en $x$ : ils sont de\nnatures différentes et ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$18x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $11$."
            },
            {
              "text": "$10x + 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont été échangés : ce sont les coefficients de\n$x$ qui donnent $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire, on additionne séparément les termes en $x$ et les\ntermes constants."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $2x + 6 + 7x - 2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$9x + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les\nnombres seuls de l'autre."
            },
            {
              "text": "$13x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres seuls ont été ajoutés aux termes en $x$ : ils sont de\nnatures différentes et ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$14x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ ont été multipliés : dans une somme, ils\ns'additionnent, ce qui donne $9$."
            },
            {
              "text": "$4x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont été échangés : ce sont les coefficients de\n$x$ qui donnent $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire, on additionne séparément les termes en $x$ et les\ntermes constants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "developper-simple"
      ],
      "title": "Simple distributivité",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe $3(x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ multiplie chacun des deux termes\nde la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$3x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\nlui aussi être multiplié par $3$."
        },
        {
          "text": "$15x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient de $x$ a été multiplié deux fois : $3 \\times x$\ndonne $3x$."
        },
        {
          "text": "$15x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $3$ a été distribué au mauvais endroit : il donne\n$3x$ pour le premier terme et $15$ pour le second."
        }
      ],
      "explanation": "La simple distributivité s'écrit $k(a + b) = ka + kb$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe $3(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ multiplie chacun des deux termes\nde la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$3x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\nlui aussi être multiplié par $3$."
            },
            {
              "text": "$15x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ a été multiplié deux fois : $3 \\times x$\ndonne $3x$."
            },
            {
              "text": "$15x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $3$ a été distribué au mauvais endroit : il donne\n$3x$ pour le premier terme et $15$ pour le second."
            }
          ],
          "explanation": "La simple distributivité s'écrit $k(a + b) = ka + kb$."
        },
        {
          "statement": "Développe $4(x + 2)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $4$ multiplie chacun des deux termes\nde la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$4x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $2$ doit\nlui aussi être multiplié par $4$."
            },
            {
              "text": "$8x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ a été multiplié deux fois : $4 \\times x$\ndonne $4x$."
            },
            {
              "text": "$8x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $4$ a été distribué au mauvais endroit : il donne\n$4x$ pour le premier terme et $8$ pour le second."
            }
          ],
          "explanation": "La simple distributivité s'écrit $k(a + b) = ka + kb$."
        },
        {
          "statement": "Développe $6(x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6x + 42$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $6$ multiplie chacun des deux termes\nde la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$6x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $7$ doit\nlui aussi être multiplié par $6$."
            },
            {
              "text": "$42x + 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ a été multiplié deux fois : $6 \\times x$\ndonne $6x$."
            },
            {
              "text": "$42x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $6$ a été distribué au mauvais endroit : il donne\n$6x$ pour le premier terme et $42$ pour le second."
            }
          ],
          "explanation": "La simple distributivité s'écrit $k(a + b) = ka + kb$."
        },
        {
          "statement": "Développe $7(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7x + 35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $7$ multiplie chacun des deux termes\nde la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$7x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\nlui aussi être multiplié par $7$."
            },
            {
              "text": "$35x + 35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ a été multiplié deux fois : $7 \\times x$\ndonne $7x$."
            },
            {
              "text": "$35x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $7$ a été distribué au mauvais endroit : il donne\n$7x$ pour le premier terme et $35$ pour le second."
            }
          ],
          "explanation": "La simple distributivité s'écrit $k(a + b) = ka + kb$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "substituer"
      ],
      "title": "Remplacer x par une valeur",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Que vaut l'expression $4x + 3$ pour $x = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$23$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, puis on effectue la\nmultiplication avant l'addition."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du terme constant a été changé : l'expression se termine\npar $+ 3$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout a été additionné : le coefficient $4$ multiplie $x$, il ne\ns'ajoute pas."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les priorités ont été inversées : la multiplication porte sur\n$4$ et $x$, pas sur la somme entière."
        }
      ],
      "explanation": "Remplacer une lettre par une valeur, c'est écrire le calcul avec ce\nnombre, puis respecter les priorités opératoires.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $4x + 3$ pour $x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, puis on effectue la\nmultiplication avant l'addition."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a été changé : l'expression se termine\npar $+ 3$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le coefficient $4$ multiplie $x$, il ne\ns'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les priorités ont été inversées : la multiplication porte sur\n$4$ et $x$, pas sur la somme entière."
            }
          ],
          "explanation": "Remplacer une lettre par une valeur, c'est écrire le calcul avec ce\nnombre, puis respecter les priorités opératoires."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $6x - 2$ pour $x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$, puis on effectue la\nmultiplication avant l'addition."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a été changé : l'expression se termine\npar $- 2$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le coefficient $6$ multiplie $x$, il ne\ns'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les priorités ont été inversées : la multiplication porte sur\n$6$ et $x$, pas sur la somme entière."
            }
          ],
          "explanation": "Remplacer une lettre par une valeur, c'est écrire le calcul avec ce\nnombre, puis respecter les priorités opératoires."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $3x + 7$ pour $x = -2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $-2$, puis on effectue la\nmultiplication avant l'addition."
            },
            {
              "text": "$-13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a été changé : l'expression se termine\npar $+ 7$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le coefficient $3$ multiplie $x$, il ne\ns'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les priorités ont été inversées : la multiplication porte sur\n$3$ et $x$, pas sur la somme entière."
            }
          ],
          "explanation": "Remplacer une lettre par une valeur, c'est écrire le calcul avec ce\nnombre, puis respecter les priorités opératoires."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $6x + 3$ pour $x = 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $2$, puis on effectue la\nmultiplication avant l'addition."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a été changé : l'expression se termine\npar $+ 3$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le coefficient $6$ multiplie $x$, il ne\ns'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les priorités ont été inversées : la multiplication porte sur\n$6$ et $x$, pas sur la somme entière."
            }
          ],
          "explanation": "Remplacer une lettre par une valeur, c'est écrire le calcul avec ce\nnombre, puis respecter les priorités opératoires."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "developper-simple",
        "signe-parenthese"
      ],
      "title": "Distribuer un facteur négatif",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe $-3(x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$-3x - 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-3$ multiplie les deux termes, donc\nles deux changent de signe."
        },
        {
          "text": "$-3x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins n'a été distribué qu'au premier terme : le second\nchange de signe lui aussi."
        },
        {
          "text": "$3x - 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a été oublié devant le terme en $x$ : le facteur\nqui distribue vaut $-3$."
        },
        {
          "text": "$3x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a complètement disparu : il multiplie l'ensemble\nde la parenthèse."
        }
      ],
      "explanation": "Un facteur négatif change le signe de chacun des termes de la\nparenthèse.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe $-3(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-3x - 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-3$ multiplie les deux termes, donc\nles deux changent de signe."
            },
            {
              "text": "$-3x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été distribué qu'au premier terme : le second\nchange de signe lui aussi."
            },
            {
              "text": "$3x - 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié devant le terme en $x$ : le facteur\nqui distribue vaut $-3$."
            },
            {
              "text": "$3x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a complètement disparu : il multiplie l'ensemble\nde la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur négatif change le signe de chacun des termes de la\nparenthèse."
        },
        {
          "statement": "Développe $-4(x - 2)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-4x + 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-4$ multiplie les deux termes, donc\nles deux changent de signe."
            },
            {
              "text": "$-4x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été distribué qu'au premier terme : le second\nchange de signe lui aussi."
            },
            {
              "text": "$4x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié devant le terme en $x$ : le facteur\nqui distribue vaut $-4$."
            },
            {
              "text": "$4x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a complètement disparu : il multiplie l'ensemble\nde la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur négatif change le signe de chacun des termes de la\nparenthèse."
        },
        {
          "statement": "Développe $-6(x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-6x - 42$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-6$ multiplie les deux termes, donc\nles deux changent de signe."
            },
            {
              "text": "$-6x + 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été distribué qu'au premier terme : le second\nchange de signe lui aussi."
            },
            {
              "text": "$6x - 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié devant le terme en $x$ : le facteur\nqui distribue vaut $-6$."
            },
            {
              "text": "$6x + 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a complètement disparu : il multiplie l'ensemble\nde la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur négatif change le signe de chacun des termes de la\nparenthèse."
        },
        {
          "statement": "Développe $-7(x + 14)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-7x - 98$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-7$ multiplie les deux termes, donc\nles deux changent de signe."
            },
            {
              "text": "$-7x + 98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été distribué qu'au premier terme : le second\nchange de signe lui aussi."
            },
            {
              "text": "$7x - 98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié devant le terme en $x$ : le facteur\nqui distribue vaut $-7$."
            },
            {
              "text": "$7x + 98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a complètement disparu : il multiplie l'ensemble\nde la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur négatif change le signe de chacun des termes de la\nparenthèse."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-parenthese",
        "reduire"
      ],
      "title": "Parenthèse précédée d'un moins",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduis l'expression $7x + 4 - (3x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$4x - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant la parenthèse change le\nsigne des deux termes qu'elle contient."
        },
        {
          "text": "$4x + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le premier terme de la parenthèse a changé de signe : le\nsecond aussi doit être retranché."
        },
        {
          "text": "$10x + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "La parenthèse a été supprimée sans tenir compte du signe moins :\ntout a été additionné."
        },
        {
          "text": "$10x - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins n'a pas été distribué au terme en $x$ : il porte\nsur toute la parenthèse."
        }
      ],
      "explanation": "Supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins revient à changer\nle signe de chacun de ses termes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduis l'expression $7x + 4 - (3x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x - 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant la parenthèse change le\nsigne des deux termes qu'elle contient."
            },
            {
              "text": "$4x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le premier terme de la parenthèse a changé de signe : le\nsecond aussi doit être retranché."
            },
            {
              "text": "$10x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse a été supprimée sans tenir compte du signe moins :\ntout a été additionné."
            },
            {
              "text": "$10x - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas été distribué au terme en $x$ : il porte\nsur toute la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins revient à changer\nle signe de chacun de ses termes."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $5x - 2 - (9x + 3)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-4x - 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant la parenthèse change le\nsigne des deux termes qu'elle contient."
            },
            {
              "text": "$-4x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le premier terme de la parenthèse a changé de signe : le\nsecond aussi doit être retranché."
            },
            {
              "text": "$14x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse a été supprimée sans tenir compte du signe moins :\ntout a été additionné."
            },
            {
              "text": "$14x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas été distribué au terme en $x$ : il porte\nsur toute la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins revient à changer\nle signe de chacun de ses termes."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $8x + 6 - (2x - 4)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6x + 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant la parenthèse change le\nsigne des deux termes qu'elle contient."
            },
            {
              "text": "$6x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le premier terme de la parenthèse a changé de signe : le\nsecond aussi doit être retranché."
            },
            {
              "text": "$10x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse a été supprimée sans tenir compte du signe moins :\ntout a été additionné."
            },
            {
              "text": "$10x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas été distribué au terme en $x$ : il porte\nsur toute la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins revient à changer\nle signe de chacun de ses termes."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $9x + 2 - (14x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-5x - 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant la parenthèse change le\nsigne des deux termes qu'elle contient."
            },
            {
              "text": "$-5x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le premier terme de la parenthèse a changé de signe : le\nsecond aussi doit être retranché."
            },
            {
              "text": "$23x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse a été supprimée sans tenir compte du signe moins :\ntout a été additionné."
            },
            {
              "text": "$23x - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas été distribué au terme en $x$ : il porte\nsur toute la parenthèse."
            }
          ],
          "explanation": "Supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins revient à changer\nle signe de chacun de ses termes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "developper-double"
      ],
      "title": "Double distributivité",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre produits donnent $x^{2}$, les deux\ntermes en $x$ qui se regroupent, puis $3 \\times 5$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 15x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme $8$, le terme constant est le produit $15$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : la double\ndistributivité donne quatre produits, pas deux."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 8x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant a été obtenu par addition : les deux nombres se\nmultiplient, ce qui donne $15$."
        }
      ],
      "explanation": "La double distributivité s'écrit\n$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre produits donnent $x^{2}$, les deux\ntermes en $x$ qui se regroupent, puis $3 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 15x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme $8$, le terme constant est le produit $15$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : la double\ndistributivité donne quatre produits, pas deux."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été obtenu par addition : les deux nombres se\nmultiplient, ce qui donne $15$."
            }
          ],
          "explanation": "La double distributivité s'écrit\n$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 2)(x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 9x + 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre produits donnent $x^{2}$, les deux\ntermes en $x$ qui se regroupent, puis $2 \\times 7$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 14x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme $9$, le terme constant est le produit $14$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : la double\ndistributivité donne quatre produits, pas deux."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 9x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été obtenu par addition : les deux nombres se\nmultiplient, ce qui donne $14$."
            }
          ],
          "explanation": "La double distributivité s'écrit\n$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 3)(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 2x - 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre produits donnent $x^{2}$, les deux\ntermes en $x$ qui se regroupent, puis $-3 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 15x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme $2$, le terme constant est le produit $-15$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : la double\ndistributivité donne quatre produits, pas deux."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 2x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été obtenu par addition : les deux nombres se\nmultiplient, ce qui donne $-15$."
            }
          ],
          "explanation": "La double distributivité s'écrit\n$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 10x + 21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre produits donnent $x^{2}$, les deux\ntermes en $x$ qui se regroupent, puis $3 \\times 7$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 21x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme $10$, le terme constant est le produit $21$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : la double\ndistributivité donne quatre produits, pas deux."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 10x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été obtenu par addition : les deux nombres se\nmultiplient, ce qui donne $21$."
            }
          ],
          "explanation": "La double distributivité s'écrit\n$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "factoriser"
      ],
      "title": "Facteur commun numérique",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factorise $6x + 15$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3(2x + 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3$ divise les deux termes, et les quotients\nobtenus sont $2x$ et $5$."
        },
        {
          "text": "$3(6x + 15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur commun a été sorti sans être retiré de la parenthèse :\nl'expression obtenue est $3$ fois trop grande."
        },
        {
          "text": "$2(3x + 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $3$ qui divise à la\nfois $6$ et $15$."
        },
        {
          "text": "$3(2x + 15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul terme a été divisé : le second doit lui aussi être divisé\npar $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit en mettant\nen évidence un facteur commun.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Factorise $6x + 15$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3(2x + 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ divise les deux termes, et les quotients\nobtenus sont $2x$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$3(6x + 15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun a été sorti sans être retiré de la parenthèse :\nl'expression obtenue est $3$ fois trop grande."
            },
            {
              "text": "$2(3x + 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $3$ qui divise à la\nfois $6$ et $15$."
            },
            {
              "text": "$3(2x + 15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme a été divisé : le second doit lui aussi être divisé\npar $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit en mettant\nen évidence un facteur commun."
        },
        {
          "statement": "Factorise $15x + 20$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5(3x + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ divise les deux termes, et les quotients\nobtenus sont $3x$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$5(15x + 20)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun a été sorti sans être retiré de la parenthèse :\nl'expression obtenue est $5$ fois trop grande."
            },
            {
              "text": "$3(5x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $5$ qui divise à la\nfois $15$ et $20$."
            },
            {
              "text": "$5(3x + 20)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme a été divisé : le second doit lui aussi être divisé\npar $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit en mettant\nen évidence un facteur commun."
        },
        {
          "statement": "Factorise $14x + 21$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7(2x + 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ divise les deux termes, et les quotients\nobtenus sont $2x$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$7(14x + 21)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun a été sorti sans être retiré de la parenthèse :\nl'expression obtenue est $7$ fois trop grande."
            },
            {
              "text": "$2(7x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $7$ qui divise à la\nfois $14$ et $21$."
            },
            {
              "text": "$7(2x + 21)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme a été divisé : le second doit lui aussi être divisé\npar $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit en mettant\nen évidence un facteur commun."
        },
        {
          "statement": "Factorise $21x + 28$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7(3x + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ divise les deux termes, et les quotients\nobtenus sont $3x$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$7(21x + 28)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun a été sorti sans être retiré de la parenthèse :\nl'expression obtenue est $7$ fois trop grande."
            },
            {
              "text": "$3(7x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $7$ qui divise à la\nfois $21$ et $28$."
            },
            {
              "text": "$7(3x + 28)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme a été divisé : le second doit lui aussi être divisé\npar $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit en mettant\nen évidence un facteur commun."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factoriser"
      ],
      "title": "Facteur commun littéral",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factorise $5x^{2} + 3x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x(5x + 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la lettre $x$ est présente dans les deux termes,\net il en reste $5x$ puis $3$."
        },
        {
          "text": "$x(5x^{2} + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $x$ a été sorti sans être retiré du premier terme :\n$5x^{2}$ divisé par $x$ vaut $5x$."
        },
        {
          "text": "$5x(x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $5$ a été sorti lui aussi, alors qu'il ne divise\npas le second terme."
        },
        {
          "text": "$x^{2}(5 + 3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur commun choisi est trop grand : $x^{2}$ ne divise pas\nle terme $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre : ici $x$ apparaît dans\n$5x^{2}$ comme dans $3x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Factorise $5x^{2} + 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x(5x + 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la lettre $x$ est présente dans les deux termes,\net il en reste $5x$ puis $3$."
            },
            {
              "text": "$x(5x^{2} + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été sorti sans être retiré du premier terme :\n$5x^{2}$ divisé par $x$ vaut $5x$."
            },
            {
              "text": "$5x(x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $5$ a été sorti lui aussi, alors qu'il ne divise\npas le second terme."
            },
            {
              "text": "$x^{2}(5 + 3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun choisi est trop grand : $x^{2}$ ne divise pas\nle terme $3x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre : ici $x$ apparaît dans\n$5x^{2}$ comme dans $3x$."
        },
        {
          "statement": "Factorise $4x^{2} + 7x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x(4x + 7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la lettre $x$ est présente dans les deux termes,\net il en reste $4x$ puis $7$."
            },
            {
              "text": "$x(4x^{2} + 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été sorti sans être retiré du premier terme :\n$4x^{2}$ divisé par $x$ vaut $4x$."
            },
            {
              "text": "$4x(x + 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $4$ a été sorti lui aussi, alors qu'il ne divise\npas le second terme."
            },
            {
              "text": "$x^{2}(4 + 7x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun choisi est trop grand : $x^{2}$ ne divise pas\nle terme $7x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre : ici $x$ apparaît dans\n$4x^{2}$ comme dans $7x$."
        },
        {
          "statement": "Factorise $9x^{2} + 2x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x(9x + 2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la lettre $x$ est présente dans les deux termes,\net il en reste $9x$ puis $2$."
            },
            {
              "text": "$x(9x^{2} + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été sorti sans être retiré du premier terme :\n$9x^{2}$ divisé par $x$ vaut $9x$."
            },
            {
              "text": "$9x(x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $9$ a été sorti lui aussi, alors qu'il ne divise\npas le second terme."
            },
            {
              "text": "$x^{2}(9 + 2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun choisi est trop grand : $x^{2}$ ne divise pas\nle terme $2x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre : ici $x$ apparaît dans\n$9x^{2}$ comme dans $2x$."
        },
        {
          "statement": "Factorise $7x^{2} + 5x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x(7x + 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la lettre $x$ est présente dans les deux termes,\net il en reste $7x$ puis $5$."
            },
            {
              "text": "$x(7x^{2} + 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été sorti sans être retiré du premier terme :\n$7x^{2}$ divisé par $x$ vaut $7x$."
            },
            {
              "text": "$7x(x + 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $7$ a été sorti lui aussi, alors qu'il ne divise\npas le second terme."
            },
            {
              "text": "$x^{2}(7 + 5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun choisi est trop grand : $x^{2}$ ne divise pas\nle terme $5x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre : ici $x$ apparaît dans\n$7x^{2}$ comme dans $5x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "substituer"
      ],
      "title": "Substituer dans un terme au carré",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Que vaut l'expression $3x^{2}$ pour $x = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$48$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on élève $4$ au carré, puis on multiplie le\nrésultat par $3$."
        },
        {
          "text": "$144$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été appliqué au produit entier : l'exposant ne porte\nque sur $x$, pas sur le coefficient $3$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $x^{2}$ signifie\n$x \\times x$."
        },
        {
          "text": "$19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient a été additionné au lieu d'être multiplié :\n$3x^{2}$ signifie $3 \\times x^{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur la lettre qui le\nprécède : on calcule le carré avant de multiplier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $3x^{2}$ pour $x = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$48$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève $4$ au carré, puis on multiplie le\nrésultat par $3$."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été appliqué au produit entier : l'exposant ne porte\nque sur $x$, pas sur le coefficient $3$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $x^{2}$ signifie\n$x \\times x$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été additionné au lieu d'être multiplié :\n$3x^{2}$ signifie $3 \\times x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur la lettre qui le\nprécède : on calcule le carré avant de multiplier."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $5x^{2}$ pour $x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève $3$ au carré, puis on multiplie le\nrésultat par $5$."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été appliqué au produit entier : l'exposant ne porte\nque sur $x$, pas sur le coefficient $5$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $x^{2}$ signifie\n$x \\times x$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été additionné au lieu d'être multiplié :\n$5x^{2}$ signifie $5 \\times x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur la lettre qui le\nprécède : on calcule le carré avant de multiplier."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $2x^{2}$ pour $x = -3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève $-3$ au carré, puis on multiplie le\nrésultat par $2$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été appliqué au produit entier : l'exposant ne porte\nque sur $x$, pas sur le coefficient $2$."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $x^{2}$ signifie\n$x \\times x$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été additionné au lieu d'être multiplié :\n$2x^{2}$ signifie $2 \\times x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur la lettre qui le\nprécède : on calcule le carré avant de multiplier."
        },
        {
          "statement": "Que vaut l'expression $2x^{2}$ pour $x = -4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève $-4$ au carré, puis on multiplie le\nrésultat par $2$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été appliqué au produit entier : l'exposant ne porte\nque sur $x$, pas sur le coefficient $2$."
            },
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $x^{2}$ signifie\n$x \\times x$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été additionné au lieu d'être multiplié :\n$2x^{2}$ signifie $2 \\times x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur la lettre qui le\nprécède : on calcule le carré avant de multiplier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tester-egalite",
        "substituer"
      ],
      "title": "Tester une égalité",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Parmi ces nombres, lequel vérifie l'égalité $4x + 3 = 23$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche\nvaut $23$, comme celui de droite."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre donne $11$ au membre de gauche, et non $23$ :\nl'égalité n'est pas vérifiée."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre donne $27$ au membre de gauche : il faut tester\nchaque valeur avant de conclure."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre donne $-17$ au membre de gauche, ce qui est différent\nde $23$."
        }
      ],
      "explanation": "Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par la valeur proposée\net comparer les deux membres.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel vérifie l'égalité $4x + 3 = 23$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche\nvaut $23$, comme celui de droite."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $11$ au membre de gauche, et non $23$ :\nl'égalité n'est pas vérifiée."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $27$ au membre de gauche : il faut tester\nchaque valeur avant de conclure."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $-17$ au membre de gauche, ce qui est différent\nde $23$."
            }
          ],
          "explanation": "Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par la valeur proposée\net comparer les deux membres."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel vérifie l'égalité $6x - 4 = 14$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $3$, le membre de gauche\nvaut $14$, comme celui de droite."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $20$ au membre de gauche, et non $14$ :\nl'égalité n'est pas vérifiée."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $-22$ au membre de gauche : il faut tester\nchaque valeur avant de conclure."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $8$ au membre de gauche, ce qui est différent\nde $14$."
            }
          ],
          "explanation": "Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par la valeur proposée\net comparer les deux membres."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel vérifie l'égalité $3x + 7 = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $-2$, le membre de gauche\nvaut $1$, comme celui de droite."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $13$ au membre de gauche, et non $1$ :\nl'égalité n'est pas vérifiée."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $-2$ au membre de gauche : il faut tester\nchaque valeur avant de conclure."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $22$ au membre de gauche, ce qui est différent\nde $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par la valeur proposée\net comparer les deux membres."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel vérifie l'égalité $8x - 5 = 27$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $4$, le membre de gauche\nvaut $27$, comme celui de droite."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $43$ au membre de gauche, et non $27$ :\nl'égalité n'est pas vérifiée."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $-29$ au membre de gauche : il faut tester\nchaque valeur avant de conclure."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre donne $51$ au membre de gauche, ce qui est différent\nde $27$."
            }
          ],
          "explanation": "Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par la valeur proposée\net comparer les deux membres."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "developper-double"
      ],
      "title": "Double distributivité avec un coefficient",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $(2x + 3)(x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$2x^{2} + 13x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les produits croisés donnent $10x$ et $3x$,\ndont la somme vaut $13x$."
        },
        {
          "text": "$2x^{2} + 15x + 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme en $x$ et le terme constant ont été intervertis : le\nterme constant est le produit $3 \\times 5$."
        },
        {
          "text": "$2x^{2} + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : il faut multiplier\nchaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la\nseconde."
        },
        {
          "text": "$2x^{2} + 10x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul produit croisé a été pris en compte : il en manque un,\ncelui qui vaut $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Le développement produit quatre termes ; les deux termes en $x$ se\nregroupent ensuite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $(2x + 3)(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2x^{2} + 13x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les produits croisés donnent $10x$ et $3x$,\ndont la somme vaut $13x$."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 15x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ et le terme constant ont été intervertis : le\nterme constant est le produit $3 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : il faut multiplier\nchaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la\nseconde."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 10x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été pris en compte : il en manque un,\ncelui qui vaut $3x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le développement produit quatre termes ; les deux termes en $x$ se\nregroupent ensuite."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(3x + 4)(x + 2)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^{2} + 10x + 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les produits croisés donnent $6x$ et $4x$,\ndont la somme vaut $10x$."
            },
            {
              "text": "$3x^{2} + 8x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ et le terme constant ont été intervertis : le\nterme constant est le produit $4 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$3x^{2} + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : il faut multiplier\nchaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la\nseconde."
            },
            {
              "text": "$3x^{2} + 6x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été pris en compte : il en manque un,\ncelui qui vaut $4x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le développement produit quatre termes ; les deux termes en $x$ se\nregroupent ensuite."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(5x + 2)(x + 3)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x^{2} + 17x + 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les produits croisés donnent $15x$ et $2x$,\ndont la somme vaut $17x$."
            },
            {
              "text": "$5x^{2} + 6x + 17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ et le terme constant ont été intervertis : le\nterme constant est le produit $2 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$5x^{2} + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : il faut multiplier\nchaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la\nseconde."
            },
            {
              "text": "$5x^{2} + 15x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été pris en compte : il en manque un,\ncelui qui vaut $2x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le développement produit quatre termes ; les deux termes en $x$ se\nregroupent ensuite."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(2x + 6)(x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2x^{2} + 20x + 42$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les produits croisés donnent $14x$ et $6x$,\ndont la somme vaut $20x$."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 42x + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ et le terme constant ont été intervertis : le\nterme constant est le produit $6 \\times 7$."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits croisés ont été oubliés : il faut multiplier\nchaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la\nseconde."
            },
            {
              "text": "$2x^{2} + 14x + 42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été pris en compte : il en manque un,\ncelui qui vaut $6x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le développement produit quatre termes ; les deux termes en $x$ se\nregroupent ensuite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "developper-double",
        "signe-parenthese"
      ],
      "title": "Double distributivité avec des signes",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $(x - 3)(x - 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x^{2} - 8x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x$ vaut $-3 - 5 = -8$,\net le terme constant est le produit des deux nombres, soit $15$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} - 8x - 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du produit final est faux : la règle des signes donne\n$15$ pour $-3 \\times (-5)$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du terme en $x$ est faux : les produits croisés donnent\nune somme égale à $-8$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 15x - 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme des deux nombres."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des nombres négatifs, chaque produit croisé se calcule en\nappliquant la règle des signes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 3)(x - 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} - 8x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x$ vaut $-3 - 5 = -8$,\net le terme constant est le produit des deux nombres, soit $15$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 8x - 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du produit final est faux : la règle des signes donne\n$15$ pour $-3 \\times (-5)$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme en $x$ est faux : les produits croisés donnent\nune somme égale à $-8$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 15x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des nombres négatifs, chaque produit croisé se calcule en\nappliquant la règle des signes."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 2)(x + 4)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 2x - 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x$ vaut $-2 + 4 = 2$,\net le terme constant est le produit des deux nombres, soit $-8$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 2x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du produit final est faux : la règle des signes donne\n$-8$ pour $-2 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 2x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme en $x$ est faux : les produits croisés donnent\nune somme égale à $2$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 8x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des nombres négatifs, chaque produit croisé se calcule en\nappliquant la règle des signes."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x - 6)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} - 3x - 18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x$ vaut $3 - 6 = -3$,\net le terme constant est le produit des deux nombres, soit $-18$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 3x + 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du produit final est faux : la règle des signes donne\n$-18$ pour $3 \\times (-6)$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 3x - 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme en $x$ est faux : les produits croisés donnent\nune somme égale à $-3$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 18x - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des nombres négatifs, chaque produit croisé se calcule en\nappliquant la règle des signes."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 4)(x + 9)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 13x + 36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x$ vaut $4 + 9 = 13$,\net le terme constant est le produit des deux nombres, soit $36$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 13x - 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du produit final est faux : la règle des signes donne\n$36$ pour $4 \\times 9$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 13x + 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme en $x$ est faux : les produits croisés donnent\nune somme égale à $13$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 36x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nest la somme des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des nombres négatifs, chaque produit croisé se calcule en\nappliquant la règle des signes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "traduire-enonce"
      ],
      "title": "Traduire un programme de calcul",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On choisit un nombre $x$, on le multiplie par $5$, puis on ajoute\n$3$ au résultat. Quelle expression traduit ce programme ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la multiplication vient d'abord, et le nombre\n$3$ s'ajoute au produit obtenu."
        },
        {
          "text": "$5(x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'ordre des étapes a été inversé : la parenthèse ferait ajouter\n$3$ avant de multiplier."
        },
        {
          "text": "$3x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux nombres ont échangé leurs rôles : c'est $5$ qui\nmultiplie le nombre choisi."
        },
        {
          "text": "$x + 5 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication est devenue une addition : le nombre choisi est\nmultiplié par $5$."
        }
      ],
      "explanation": "On traduit les étapes dans l'ordre, en utilisant une parenthèse\nseulement lorsque l'addition précède la multiplication.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On choisit un nombre $x$, on le multiplie par $5$, puis on ajoute\n$3$ au résultat. Quelle expression traduit ce programme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5x + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la multiplication vient d'abord, et le nombre\n$3$ s'ajoute au produit obtenu."
            },
            {
              "text": "$5(x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'ordre des étapes a été inversé : la parenthèse ferait ajouter\n$3$ avant de multiplier."
            },
            {
              "text": "$3x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont échangé leurs rôles : c'est $5$ qui\nmultiplie le nombre choisi."
            },
            {
              "text": "$x + 5 + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication est devenue une addition : le nombre choisi est\nmultiplié par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On traduit les étapes dans l'ordre, en utilisant une parenthèse\nseulement lorsque l'addition précède la multiplication."
        },
        {
          "statement": "On choisit un nombre $x$, on le multiplie par $4$, puis on ajoute\n$7$ au résultat. Quelle expression traduit ce programme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la multiplication vient d'abord, et le nombre\n$7$ s'ajoute au produit obtenu."
            },
            {
              "text": "$4(x + 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'ordre des étapes a été inversé : la parenthèse ferait ajouter\n$7$ avant de multiplier."
            },
            {
              "text": "$7x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont échangé leurs rôles : c'est $4$ qui\nmultiplie le nombre choisi."
            },
            {
              "text": "$x + 4 + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication est devenue une addition : le nombre choisi est\nmultiplié par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On traduit les étapes dans l'ordre, en utilisant une parenthèse\nseulement lorsque l'addition précède la multiplication."
        },
        {
          "statement": "On choisit un nombre $x$, on le multiplie par $6$, puis on ajoute\n$2$ au résultat. Quelle expression traduit ce programme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6x + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la multiplication vient d'abord, et le nombre\n$2$ s'ajoute au produit obtenu."
            },
            {
              "text": "$6(x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'ordre des étapes a été inversé : la parenthèse ferait ajouter\n$2$ avant de multiplier."
            },
            {
              "text": "$2x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont échangé leurs rôles : c'est $6$ qui\nmultiplie le nombre choisi."
            },
            {
              "text": "$x + 6 + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication est devenue une addition : le nombre choisi est\nmultiplié par $6$."
            }
          ],
          "explanation": "On traduit les étapes dans l'ordre, en utilisant une parenthèse\nseulement lorsque l'addition précède la multiplication."
        },
        {
          "statement": "On choisit un nombre $x$, on le multiplie par $8$, puis on ajoute\n$7$ au résultat. Quelle expression traduit ce programme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8x + 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la multiplication vient d'abord, et le nombre\n$7$ s'ajoute au produit obtenu."
            },
            {
              "text": "$8(x + 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'ordre des étapes a été inversé : la parenthèse ferait ajouter\n$7$ avant de multiplier."
            },
            {
              "text": "$7x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont échangé leurs rôles : c'est $8$ qui\nmultiplie le nombre choisi."
            },
            {
              "text": "$x + 8 + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication est devenue une addition : le nombre choisi est\nmultiplié par $8$."
            }
          ],
          "explanation": "On traduit les étapes dans l'ordre, en utilisant une parenthèse\nseulement lorsque l'addition précède la multiplication."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "traduire-enonce"
      ],
      "title": "Le carré d'une somme",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Quelle expression traduit « le carré de la somme de $x$ et de\n$3$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 3)^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme se calcule d'abord, d'où la parenthèse,\net c'est elle que l'on élève au carré."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 3^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette expression est la somme des carrés : les deux nombres ont\nété élevés au carré avant d'être additionnés."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré n'a porté que sur $x$ : il porte sur la somme tout\nentière."
        },
        {
          "text": "$x + 3^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré n'a porté que sur $3$ : sans parenthèse, l'exposant ne\nconcerne qu'un seul terme."
        }
      ],
      "explanation": "La parenthèse indique l'ordre : on additionne d'abord, on élève au\ncarré ensuite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le carré de la somme de $x$ et de\n$3$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 3)^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se calcule d'abord, d'où la parenthèse,\net c'est elle que l'on élève au carré."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 3^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette expression est la somme des carrés : les deux nombres ont\nété élevés au carré avant d'être additionnés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $x$ : il porte sur la somme tout\nentière."
            },
            {
              "text": "$x + 3^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $3$ : sans parenthèse, l'exposant ne\nconcerne qu'un seul terme."
            }
          ],
          "explanation": "La parenthèse indique l'ordre : on additionne d'abord, on élève au\ncarré ensuite."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le carré de la somme de $x$ et de\n$7$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 7)^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se calcule d'abord, d'où la parenthèse,\net c'est elle que l'on élève au carré."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 7^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette expression est la somme des carrés : les deux nombres ont\nété élevés au carré avant d'être additionnés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $x$ : il porte sur la somme tout\nentière."
            },
            {
              "text": "$x + 7^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $7$ : sans parenthèse, l'exposant ne\nconcerne qu'un seul terme."
            }
          ],
          "explanation": "La parenthèse indique l'ordre : on additionne d'abord, on élève au\ncarré ensuite."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le carré de la somme de $x$ et de\n$5$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 5)^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se calcule d'abord, d'où la parenthèse,\net c'est elle que l'on élève au carré."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 5^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette expression est la somme des carrés : les deux nombres ont\nété élevés au carré avant d'être additionnés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $x$ : il porte sur la somme tout\nentière."
            },
            {
              "text": "$x + 5^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $5$ : sans parenthèse, l'exposant ne\nconcerne qu'un seul terme."
            }
          ],
          "explanation": "La parenthèse indique l'ordre : on additionne d'abord, on élève au\ncarré ensuite."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le carré de la somme de $x$ et de\n$11$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 11)^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se calcule d'abord, d'où la parenthèse,\net c'est elle que l'on élève au carré."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 11^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette expression est la somme des carrés : les deux nombres ont\nété élevés au carré avant d'être additionnés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $x$ : il porte sur la somme tout\nentière."
            },
            {
              "text": "$x + 11^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré n'a porté que sur $11$ : sans parenthèse, l'exposant ne\nconcerne qu'un seul terme."
            }
          ],
          "explanation": "La parenthèse indique l'ordre : on additionne d'abord, on élève au\ncarré ensuite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Compter les termes",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Combien de termes compte l'expression $4x^{2} + 7x - 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Trois",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les termes sont séparés par les signes $+$ et\n$-$, il y en a donc trois."
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Un terme a été oublié : $4x^{2}$, $7x$ et $-5$ comptent chacun\npour un terme."
        },
        {
          "text": "Quatre",
          "correct": false,
          "feedback": "Un terme a été compté deux fois : la lettre $x$ n'est pas un\nterme à elle seule."
        },
        {
          "text": "Un seul",
          "correct": false,
          "feedback": "L'expression serait un seul terme si elle était un produit. Ici\nles signes $+$ et $-$ la séparent en trois."
        }
      ],
      "explanation": "Les termes d'une expression sont les morceaux séparés par les signes\nd'addition et de soustraction."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Produit de deux termes en x",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduis l'expression $3x \\times 5x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$15x^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient et\n$x \\times x$ donne $x^{2}$."
        },
        {
          "text": "$15x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit $x \\times x$ a été oublié : la lettre apparaît deux\nfois, donc son exposant vaut $2$."
        },
        {
          "text": "$8x^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients ont été additionnés : dans un produit, ils se\nmultiplient."
        },
        {
          "text": "$8x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit a été traité comme une somme : ni les coefficients ni\nla lettre n'ont été multipliés."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un produit, on multiplie les coefficients entre eux et les\nlettres entre elles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduis l'expression $3x \\times 5x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$15x^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient et\n$x \\times x$ donne $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$15x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times x$ a été oublié : la lettre apparaît deux\nfois, donc son exposant vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$8x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été additionnés : dans un produit, ils se\nmultiplient."
            },
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été traité comme une somme : ni les coefficients ni\nla lettre n'ont été multipliés."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on multiplie les coefficients entre eux et les\nlettres entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $4x \\times 6x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$24x^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient et\n$x \\times x$ donne $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$24x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times x$ a été oublié : la lettre apparaît deux\nfois, donc son exposant vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$10x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été additionnés : dans un produit, ils se\nmultiplient."
            },
            {
              "text": "$10x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été traité comme une somme : ni les coefficients ni\nla lettre n'ont été multipliés."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on multiplie les coefficients entre eux et les\nlettres entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $2x \\times 7x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$14x^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient et\n$x \\times x$ donne $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$14x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times x$ a été oublié : la lettre apparaît deux\nfois, donc son exposant vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$9x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été additionnés : dans un produit, ils se\nmultiplient."
            },
            {
              "text": "$9x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été traité comme une somme : ni les coefficients ni\nla lettre n'ont été multipliés."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on multiplie les coefficients entre eux et les\nlettres entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $4x \\times 9x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$36x^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient et\n$x \\times x$ donne $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$36x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times x$ a été oublié : la lettre apparaît deux\nfois, donc son exposant vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$13x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients ont été additionnés : dans un produit, ils se\nmultiplient."
            },
            {
              "text": "$13x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été traité comme une somme : ni les coefficients ni\nla lettre n'ont été multipliés."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on multiplie les coefficients entre eux et les\nlettres entre elles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factoriser"
      ],
      "title": "Factoriser une différence",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factorise $12x - 20$.",
      "options": [
        {
          "text": "$4(3x - 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4$ divise les deux termes, et le signe moins\nreste à l'intérieur de la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$4(3x + 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a disparu : en développant, on retrouverait\n$12x + 20$."
        },
        {
          "text": "$4(12x - 20)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur commun n'a pas été retiré de la parenthèse : le\nproduit obtenu est $4$ fois trop grand."
        },
        {
          "text": "$3(4x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $4$ qui divise à la\nfois $12$ et $20$."
        }
      ],
      "explanation": "Le facteur commun se met devant la parenthèse ; les signes des termes\nrestants ne changent pas.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Factorise $12x - 20$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4(3x - 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ divise les deux termes, et le signe moins\nreste à l'intérieur de la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$4(3x + 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a disparu : en développant, on retrouverait\n$12x + 20$."
            },
            {
              "text": "$4(12x - 20)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun n'a pas été retiré de la parenthèse : le\nproduit obtenu est $4$ fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$3(4x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $4$ qui divise à la\nfois $12$ et $20$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun se met devant la parenthèse ; les signes des termes\nrestants ne changent pas."
        },
        {
          "statement": "Factorise $12x - 18$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6(2x - 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6$ divise les deux termes, et le signe moins\nreste à l'intérieur de la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$6(2x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a disparu : en développant, on retrouverait\n$12x + 18$."
            },
            {
              "text": "$6(12x - 18)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun n'a pas été retiré de la parenthèse : le\nproduit obtenu est $6$ fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$2(6x - 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $6$ qui divise à la\nfois $12$ et $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun se met devant la parenthèse ; les signes des termes\nrestants ne changent pas."
        },
        {
          "statement": "Factorise $20x - 15$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5(4x - 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ divise les deux termes, et le signe moins\nreste à l'intérieur de la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$5(4x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a disparu : en développant, on retrouverait\n$20x + 15$."
            },
            {
              "text": "$5(20x - 15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun n'a pas été retiré de la parenthèse : le\nproduit obtenu est $5$ fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$4(5x - 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $5$ qui divise à la\nfois $20$ et $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun se met devant la parenthèse ; les signes des termes\nrestants ne changent pas."
        },
        {
          "statement": "Factorise $32x - 56$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8(4x - 7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8$ divise les deux termes, et le signe moins\nreste à l'intérieur de la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$8(4x + 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a disparu : en développant, on retrouverait\n$32x + 56$."
            },
            {
              "text": "$8(32x - 56)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur commun n'a pas été retiré de la parenthèse : le\nproduit obtenu est $8$ fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$4(8x - 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur sorti n'est pas le bon : c'est $8$ qui divise à la\nfois $32$ et $56$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur commun se met devant la parenthèse ; les signes des termes\nrestants ne changent pas."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "factoriser",
        "developper-double"
      ],
      "title": "Reconnaître une forme factorisée",
      "partie": "developper",
      "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^{2} + 8x + 15$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 3)(x + 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des deux nombres vaut $8$ et leur\nproduit vaut $15$."
        },
        {
          "text": "$(x - 3)(x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux signes ont été inversés : en développant, le terme en\n$x$ changerait de signe."
        },
        {
          "text": "$(x + 3)(x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul signe a été inversé : le produit des deux nombres ne\ndonne plus $15$."
        },
        {
          "text": "$(x + 8)(x + 15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients de l'expression ont été recopiés tels quels : il\nfallait chercher deux nombres de somme $8$ et de produit $15$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour factoriser $x^{2} + sx + p$, on cherche deux nombres dont la\nsomme vaut $s$ et le produit $p$, puis on vérifie en développant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^{2} + 8x + 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 3)(x + 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des deux nombres vaut $8$ et leur\nproduit vaut $15$."
            },
            {
              "text": "$(x - 3)(x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux signes ont été inversés : en développant, le terme en\n$x$ changerait de signe."
            },
            {
              "text": "$(x + 3)(x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul signe a été inversé : le produit des deux nombres ne\ndonne plus $15$."
            },
            {
              "text": "$(x + 8)(x + 15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de l'expression ont été recopiés tels quels : il\nfallait chercher deux nombres de somme $8$ et de produit $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour factoriser $x^{2} + sx + p$, on cherche deux nombres dont la\nsomme vaut $s$ et le produit $p$, puis on vérifie en développant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^{2} + 5x - 14$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 2)(x + 7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des deux nombres vaut $5$ et leur\nproduit vaut $-14$."
            },
            {
              "text": "$(x + 2)(x - 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux signes ont été inversés : en développant, le terme en\n$x$ changerait de signe."
            },
            {
              "text": "$(x - 2)(x - 7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul signe a été inversé : le produit des deux nombres ne\ndonne plus $-14$."
            },
            {
              "text": "$(x + 5)(x - 14)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de l'expression ont été recopiés tels quels : il\nfallait chercher deux nombres de somme $5$ et de produit $-14$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour factoriser $x^{2} + sx + p$, on cherche deux nombres dont la\nsomme vaut $s$ et le produit $p$, puis on vérifie en développant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^{2} - 7x + 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 3)(x - 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des deux nombres vaut $-7$ et leur\nproduit vaut $12$."
            },
            {
              "text": "$(x + 3)(x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux signes ont été inversés : en développant, le terme en\n$x$ changerait de signe."
            },
            {
              "text": "$(x - 3)(x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul signe a été inversé : le produit des deux nombres ne\ndonne plus $12$."
            },
            {
              "text": "$(x - 7)(x + 12)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de l'expression ont été recopiés tels quels : il\nfallait chercher deux nombres de somme $-7$ et de produit $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour factoriser $x^{2} + sx + p$, on cherche deux nombres dont la\nsomme vaut $s$ et le produit $p$, puis on vérifie en développant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^{2} - 6x - 16$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 8)(x + 2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des deux nombres vaut $-6$ et leur\nproduit vaut $-16$."
            },
            {
              "text": "$(x + 8)(x - 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux signes ont été inversés : en développant, le terme en\n$x$ changerait de signe."
            },
            {
              "text": "$(x - 8)(x - 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul signe a été inversé : le produit des deux nombres ne\ndonne plus $-16$."
            },
            {
              "text": "$(x - 6)(x - 16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de l'expression ont été recopiés tels quels : il\nfallait chercher deux nombres de somme $-6$ et de produit $-16$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour factoriser $x^{2} + sx + p$, on cherche deux nombres dont la\nsomme vaut $s$ et le produit $p$, puis on vérifie en développant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "substituer"
      ],
      "title": "Substituer deux lettres",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Que vaut $3x - 2y$ pour $x = 4$ et $y = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque lettre est remplacée par sa propre valeur,\npuis on effectue les deux produits."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux valeurs ont été échangées : $x$ vaut $4$ et $y$ vaut\n$5$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les nombres ont été additionnés : les coefficients\nmultiplient les lettres."
        },
        {
          "text": "$-120$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout a été multiplié : les deux termes de l'expression sont\nséparés par une addition."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque lettre reçoit sa valeur, et les priorités opératoires\ns'appliquent ensuite comme d'habitude.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3x - 2y$ pour $x = 4$ et $y = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque lettre est remplacée par sa propre valeur,\npuis on effectue les deux produits."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été échangées : $x$ vaut $4$ et $y$ vaut\n$5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les nombres ont été additionnés : les coefficients\nmultiplient les lettres."
            },
            {
              "text": "$-120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : les deux termes de l'expression sont\nséparés par une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque lettre reçoit sa valeur, et les priorités opératoires\ns'appliquent ensuite comme d'habitude."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5x + 4y$ pour $x = 2$ et $y = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque lettre est remplacée par sa propre valeur,\npuis on effectue les deux produits."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été échangées : $x$ vaut $2$ et $y$ vaut\n$3$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les nombres ont été additionnés : les coefficients\nmultiplient les lettres."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : les deux termes de l'expression sont\nséparés par une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque lettre reçoit sa valeur, et les priorités opératoires\ns'appliquent ensuite comme d'habitude."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2x - 3y$ pour $x = 6$ et $y = -4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque lettre est remplacée par sa propre valeur,\npuis on effectue les deux produits."
            },
            {
              "text": "$-26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été échangées : $x$ vaut $6$ et $y$ vaut\n$-4$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les nombres ont été additionnés : les coefficients\nmultiplient les lettres."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : les deux termes de l'expression sont\nséparés par une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque lettre reçoit sa valeur, et les priorités opératoires\ns'appliquent ensuite comme d'habitude."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $3x - 3y$ pour $x = 10$ et $y = -4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$42$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque lettre est remplacée par sa propre valeur,\npuis on effectue les deux produits."
            },
            {
              "text": "$-42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été échangées : $x$ vaut $10$ et $y$ vaut\n$-4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les nombres ont été additionnés : les coefficients\nmultiplient les lettres."
            },
            {
              "text": "$360$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : les deux termes de l'expression sont\nséparés par une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque lettre reçoit sa valeur, et les priorités opératoires\ns'appliquent ensuite comme d'habitude."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "developper-simple",
        "reduire"
      ],
      "title": "Développer puis réduire",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $3(2x + 5) + 4x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$10x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $6x + 15$, puis les\ntermes en $x$ se regroupent."
        },
        {
          "text": "$6x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme en $x$ situé hors de la parenthèse a été oublié dans le\nregroupement."
        },
        {
          "text": "$25x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant a été ajouté aux termes en $x$ : ils ne se\nregroupent pas."
        },
        {
          "text": "$10x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $3$ n'a pas été distribué au second terme de la\nparenthèse : celui-ci vaut $15$."
        }
      ],
      "explanation": "On développe d'abord la parenthèse, puis on regroupe les termes de\nmême nature.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $3(2x + 5) + 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $6x + 15$, puis les\ntermes en $x$ se regroupent."
            },
            {
              "text": "$6x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ situé hors de la parenthèse a été oublié dans le\nregroupement."
            },
            {
              "text": "$25x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été ajouté aux termes en $x$ : ils ne se\nregroupent pas."
            },
            {
              "text": "$10x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $3$ n'a pas été distribué au second terme de la\nparenthèse : celui-ci vaut $15$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe d'abord la parenthèse, puis on regroupe les termes de\nmême nature."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $5(3x - 2) + 2x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$17x - 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $15x - 10$, puis les\ntermes en $x$ se regroupent."
            },
            {
              "text": "$15x - 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ situé hors de la parenthèse a été oublié dans le\nregroupement."
            },
            {
              "text": "$7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été ajouté aux termes en $x$ : ils ne se\nregroupent pas."
            },
            {
              "text": "$17x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $5$ n'a pas été distribué au second terme de la\nparenthèse : celui-ci vaut $-10$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe d'abord la parenthèse, puis on regroupe les termes de\nmême nature."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $4(2x + 3) - 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x + 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $8x + 12$, puis les\ntermes en $x$ se regroupent."
            },
            {
              "text": "$8x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ situé hors de la parenthèse a été oublié dans le\nregroupement."
            },
            {
              "text": "$17x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été ajouté aux termes en $x$ : ils ne se\nregroupent pas."
            },
            {
              "text": "$5x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $4$ n'a pas été distribué au second terme de la\nparenthèse : celui-ci vaut $12$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe d'abord la parenthèse, puis on regroupe les termes de\nmême nature."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $5(2x + 9) + 6x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$16x + 45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $10x + 45$, puis les\ntermes en $x$ se regroupent."
            },
            {
              "text": "$10x + 45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme en $x$ situé hors de la parenthèse a été oublié dans le\nregroupement."
            },
            {
              "text": "$61x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été ajouté aux termes en $x$ : ils ne se\nregroupent pas."
            },
            {
              "text": "$16x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $5$ n'a pas été distribué au second terme de la\nparenthèse : celui-ci vaut $45$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe d'abord la parenthèse, puis on regroupe les termes de\nmême nature."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "developper-simple",
        "signe-parenthese"
      ],
      "title": "Soustraire un produit développé",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $7x - 3(x + 4)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$4x - 12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse est multipliée par $-3$, donc ses\ndeux termes changent de signe."
        },
        {
          "text": "$4x + 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins n'a pas atteint le second terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$10x - 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $3x$ a été ajouté au lieu d'être retranché : le\ncoefficient de $x$ vaut $7 - 3$."
        },
        {
          "text": "$10x + 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a été ignoré : c'est bien un produit que l'on\nretranche."
        }
      ],
      "explanation": "Retrancher $k(x + b)$ revient à ajouter $-k(x + b)$, donc à changer\nle signe des deux termes développés.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $7x - 3(x + 4)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x - 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse est multipliée par $-3$, donc ses\ndeux termes changent de signe."
            },
            {
              "text": "$4x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas atteint le second terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$10x - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $3x$ a été ajouté au lieu d'être retranché : le\ncoefficient de $x$ vaut $7 - 3$."
            },
            {
              "text": "$10x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été ignoré : c'est bien un produit que l'on\nretranche."
            }
          ],
          "explanation": "Retrancher $k(x + b)$ revient à ajouter $-k(x + b)$, donc à changer\nle signe des deux termes développés."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $5x - 2(x - 6)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x + 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse est multipliée par $-2$, donc ses\ndeux termes changent de signe."
            },
            {
              "text": "$3x - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas atteint le second terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$7x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2x$ a été ajouté au lieu d'être retranché : le\ncoefficient de $x$ vaut $5 - 2$."
            },
            {
              "text": "$7x - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été ignoré : c'est bien un produit que l'on\nretranche."
            }
          ],
          "explanation": "Retrancher $k(x + b)$ revient à ajouter $-k(x + b)$, donc à changer\nle signe des deux termes développés."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $9x - 4(x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x - 20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse est multipliée par $-4$, donc ses\ndeux termes changent de signe."
            },
            {
              "text": "$5x + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas atteint le second terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$13x - 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $4x$ a été ajouté au lieu d'être retranché : le\ncoefficient de $x$ vaut $9 - 4$."
            },
            {
              "text": "$13x + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été ignoré : c'est bien un produit que l'on\nretranche."
            }
          ],
          "explanation": "Retrancher $k(x + b)$ revient à ajouter $-k(x + b)$, donc à changer\nle signe des deux termes développés."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $7x - 3(x - 4)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse est multipliée par $-3$, donc ses\ndeux termes changent de signe."
            },
            {
              "text": "$4x - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a pas atteint le second terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$10x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $3x$ a été ajouté au lieu d'être retranché : le\ncoefficient de $x$ vaut $7 - 3$."
            },
            {
              "text": "$10x - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été ignoré : c'est bien un produit que l'on\nretranche."
            }
          ],
          "explanation": "Retrancher $k(x + b)$ revient à ajouter $-k(x + b)$, donc à changer\nle signe des deux termes développés."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Termes de degrés différents",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduis l'expression $3x + 5x^{2} + 4x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$5x^{2} + 7x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : seuls les termes en $x$ se regroupent, le terme\nen $x^{2}$ reste seul."
        },
        {
          "text": "$12x^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les coefficients ont été additionnés : un terme en $x$ et un\nterme en $x^{2}$ ne se regroupent pas."
        },
        {
          "text": "$12x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a disparu : le terme $5x^{2}$ ne peut pas rejoindre\nles termes en $x$."
        },
        {
          "text": "$7x^{2} + 5x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux groupes ont échangé leurs exposants : le coefficient\n$5$ est celui du terme en $x^{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "On ne regroupe que les termes qui comportent la même lettre à la même\npuissance.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduis l'expression $3x + 5x^{2} + 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x^{2} + 7x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : seuls les termes en $x$ se regroupent, le terme\nen $x^{2}$ reste seul."
            },
            {
              "text": "$12x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les coefficients ont été additionnés : un terme en $x$ et un\nterme en $x^{2}$ ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a disparu : le terme $5x^{2}$ ne peut pas rejoindre\nles termes en $x$."
            },
            {
              "text": "$7x^{2} + 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont échangé leurs exposants : le coefficient\n$5$ est celui du terme en $x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "On ne regroupe que les termes qui comportent la même lettre à la même\npuissance."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $6x + 2x^{2} - 2x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2x^{2} + 4x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : seuls les termes en $x$ se regroupent, le terme\nen $x^{2}$ reste seul."
            },
            {
              "text": "$6x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les coefficients ont été additionnés : un terme en $x$ et un\nterme en $x^{2}$ ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a disparu : le terme $2x^{2}$ ne peut pas rejoindre\nles termes en $x$."
            },
            {
              "text": "$4x^{2} + 2x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont échangé leurs exposants : le coefficient\n$2$ est celui du terme en $x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "On ne regroupe que les termes qui comportent la même lettre à la même\npuissance."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $5x + 7x^{2} + 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7x^{2} + 8x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : seuls les termes en $x$ se regroupent, le terme\nen $x^{2}$ reste seul."
            },
            {
              "text": "$15x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les coefficients ont été additionnés : un terme en $x$ et un\nterme en $x^{2}$ ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$15x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a disparu : le terme $7x^{2}$ ne peut pas rejoindre\nles termes en $x$."
            },
            {
              "text": "$8x^{2} + 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont échangé leurs exposants : le coefficient\n$7$ est celui du terme en $x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "On ne regroupe que les termes qui comportent la même lettre à la même\npuissance."
        },
        {
          "statement": "Réduis l'expression $9x + 3x^{2} + 2x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^{2} + 11x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : seuls les termes en $x$ se regroupent, le terme\nen $x^{2}$ reste seul."
            },
            {
              "text": "$14x^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les coefficients ont été additionnés : un terme en $x$ et un\nterme en $x^{2}$ ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$14x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a disparu : le terme $3x^{2}$ ne peut pas rejoindre\nles termes en $x$."
            },
            {
              "text": "$11x^{2} + 3x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux groupes ont échangé leurs exposants : le coefficient\n$3$ est celui du terme en $x^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "On ne regroupe que les termes qui comportent la même lettre à la même\npuissance."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "developper-simple"
      ],
      "title": "Distribuer la lettre x",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe $x(3x + 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3x^{2} + 5x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x$ multiplie les deux termes, et\n$x \\times 3x$ donne $3x^{2}$."
        },
        {
          "text": "$3x^{2} + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\naussi être multiplié par $x$."
        },
        {
          "text": "$3x + 5x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit $x \\times 3x$ a été mal calculé : la lettre apparaît\ndeux fois, donc le terme est en $x^{2}$."
        },
        {
          "text": "$3x^{3} + 5x$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant est trop grand : $x \\times x$ donne $x^{2}$, et non\n$x^{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "La distributivité fonctionne aussi lorsque le facteur est une lettre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe $x(3x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^{2} + 5x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ multiplie les deux termes, et\n$x \\times 3x$ donne $3x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$3x^{2} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\naussi être multiplié par $x$."
            },
            {
              "text": "$3x + 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times 3x$ a été mal calculé : la lettre apparaît\ndeux fois, donc le terme est en $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$3x^{3} + 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand : $x \\times x$ donne $x^{2}$, et non\n$x^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité fonctionne aussi lorsque le facteur est une lettre."
        },
        {
          "statement": "Développe $x(4x + 2)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x^{2} + 2x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ multiplie les deux termes, et\n$x \\times 4x$ donne $4x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$4x^{2} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $2$ doit\naussi être multiplié par $x$."
            },
            {
              "text": "$4x + 2x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times 4x$ a été mal calculé : la lettre apparaît\ndeux fois, donc le terme est en $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$4x^{3} + 2x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand : $x \\times x$ donne $x^{2}$, et non\n$x^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité fonctionne aussi lorsque le facteur est une lettre."
        },
        {
          "statement": "Développe $x(6x + 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6x^{2} + 7x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ multiplie les deux termes, et\n$x \\times 6x$ donne $6x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$6x^{2} + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $7$ doit\naussi être multiplié par $x$."
            },
            {
              "text": "$6x + 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times 6x$ a été mal calculé : la lettre apparaît\ndeux fois, donc le terme est en $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$6x^{3} + 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand : $x \\times x$ donne $x^{2}$, et non\n$x^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité fonctionne aussi lorsque le facteur est une lettre."
        },
        {
          "statement": "Développe $x(7x + 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7x^{2} + 5x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ multiplie les deux termes, et\n$x \\times 7x$ donne $7x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$7x^{2} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme a été oublié dans la distribution : $5$ doit\naussi être multiplié par $x$."
            },
            {
              "text": "$7x + 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $x \\times 7x$ a été mal calculé : la lettre apparaît\ndeux fois, donc le terme est en $x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$7x^{3} + 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand : $x \\times x$ donne $x^{2}$, et non\n$x^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité fonctionne aussi lorsque le facteur est une lettre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "developper-double",
        "reduire"
      ],
      "title": "Développer un carré",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $(x + 3)^{2}$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x^{2} + 6x + 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le carré est le produit\n$(x + 3)(x + 3)$, et les deux produits croisés donnent\n$6x$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les produits croisés ont été oubliés : le carré d'une somme n'est\npas la somme des carrés."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 6x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant est faux : c'est le carré de $3$, ce qui\ndonne $9$."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 9x + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient de $x$ est faux : les deux produits croisés valent\nchacun $3x$, leur somme est $6x$."
        }
      ],
      "explanation": "Un carré se développe comme un produit de deux facteurs identiques,\navec la double distributivité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 3)^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 6x + 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré est le produit\n$(x + 3)(x + 3)$, et les deux produits croisés donnent\n$6x$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les produits croisés ont été oubliés : le carré d'une somme n'est\npas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 6x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : c'est le carré de $3$, ce qui\ndonne $9$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 9x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ est faux : les deux produits croisés valent\nchacun $3x$, leur somme est $6x$."
            }
          ],
          "explanation": "Un carré se développe comme un produit de deux facteurs identiques,\navec la double distributivité."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 5)^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} - 10x + 25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré est le produit\n$(x - 5)(x - 5)$, et les deux produits croisés donnent\n$-10x$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les produits croisés ont été oubliés : le carré d'une somme n'est\npas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 10x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : c'est le carré de $-5$, ce qui\ndonne $25$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 25x + 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ est faux : les deux produits croisés valent\nchacun $-5x$, leur somme est $-10x$."
            }
          ],
          "explanation": "Un carré se développe comme un produit de deux facteurs identiques,\navec la double distributivité."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 4)^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré est le produit\n$(x + 4)(x + 4)$, et les deux produits croisés donnent\n$8x$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les produits croisés ont été oubliés : le carré d'une somme n'est\npas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : c'est le carré de $4$, ce qui\ndonne $16$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 16x + 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ est faux : les deux produits croisés valent\nchacun $4x$, leur somme est $8x$."
            }
          ],
          "explanation": "Un carré se développe comme un produit de deux facteurs identiques,\navec la double distributivité."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 2)^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{2} - 4x + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré est le produit\n$(x - 2)(x - 2)$, et les deux produits croisés donnent\n$-4x$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les produits croisés ont été oubliés : le carré d'une somme n'est\npas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 4x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : c'est le carré de $-2$, ce qui\ndonne $4$."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 4x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient de $x$ est faux : les deux produits croisés valent\nchacun $-2x$, leur somme est $-4x$."
            }
          ],
          "explanation": "Un carré se développe comme un produit de deux facteurs identiques,\navec la double distributivité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "traduire-enonce"
      ],
      "title": "Périmètre d'un rectangle",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Un rectangle a pour largeur $x$ et sa longueur dépasse sa largeur de\n$3$. Quelle expression donne son périmètre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4x + 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2 \\times (x + x + 3)$, ce\nqui se réduit ainsi."
        },
        {
          "text": "$2x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés : un rectangle en possède\nquatre."
        },
        {
          "text": "$2x + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les longueurs ont été doublées mais pas les largeurs : chaque\ndimension apparaît deux fois."
        },
        {
          "text": "$4x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $3$ n'a été compté qu'une fois : il figure dans les\ndeux longueurs."
        }
      ],
      "explanation": "Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme d'une longueur\net d'une largeur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un rectangle a pour largeur $x$ et sa longueur dépasse sa largeur de\n$3$. Quelle expression donne son périmètre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2 \\times (x + x + 3)$, ce\nqui se réduit ainsi."
            },
            {
              "text": "$2x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés : un rectangle en possède\nquatre."
            },
            {
              "text": "$2x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les longueurs ont été doublées mais pas les largeurs : chaque\ndimension apparaît deux fois."
            },
            {
              "text": "$4x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $3$ n'a été compté qu'une fois : il figure dans les\ndeux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme d'une longueur\net d'une largeur."
        },
        {
          "statement": "Un rectangle a pour largeur $x$ et sa longueur dépasse sa largeur de\n$5$. Quelle expression donne son périmètre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2 \\times (x + x + 5)$, ce\nqui se réduit ainsi."
            },
            {
              "text": "$2x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés : un rectangle en possède\nquatre."
            },
            {
              "text": "$2x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les longueurs ont été doublées mais pas les largeurs : chaque\ndimension apparaît deux fois."
            },
            {
              "text": "$4x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $5$ n'a été compté qu'une fois : il figure dans les\ndeux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme d'une longueur\net d'une largeur."
        },
        {
          "statement": "Un rectangle a pour largeur $x$ et sa longueur dépasse sa largeur de\n$7$. Quelle expression donne son périmètre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2 \\times (x + x + 7)$, ce\nqui se réduit ainsi."
            },
            {
              "text": "$2x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés : un rectangle en possède\nquatre."
            },
            {
              "text": "$2x + 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les longueurs ont été doublées mais pas les largeurs : chaque\ndimension apparaît deux fois."
            },
            {
              "text": "$4x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $7$ n'a été compté qu'une fois : il figure dans les\ndeux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme d'une longueur\net d'une largeur."
        },
        {
          "statement": "Un rectangle a pour largeur $x$ et sa longueur dépasse sa largeur de\n$11$. Quelle expression donne son périmètre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2 \\times (x + x + 11)$, ce\nqui se réduit ainsi."
            },
            {
              "text": "$2x + 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls deux côtés ont été comptés : un rectangle en possède\nquatre."
            },
            {
              "text": "$2x + 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les longueurs ont été doublées mais pas les largeurs : chaque\ndimension apparaît deux fois."
            },
            {
              "text": "$4x + 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $11$ n'a été compté qu'une fois : il figure dans les\ndeux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme d'une longueur\net d'une largeur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tester-egalite",
        "developper-simple"
      ],
      "title": "Deux écritures d'une même expression",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Les expressions $3(x + 2)$ et $3x + 6$ sont :",
      "options": [
        {
          "text": "égales pour toute valeur de $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la seconde est le développement de la première,\ndonc les deux donnent toujours le même résultat."
        },
        {
          "text": "égales seulement pour $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule valeur a été testée : l'égalité tient pour tous les\nnombres, car il s'agit du même calcul écrit autrement."
        },
        {
          "text": "différentes quelle que soit la valeur de $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le développement a été jugé faux : $3 \\times x$ donne $3x$ et\n$3 \\times 2$ donne $6$."
        },
        {
          "text": "égales seulement pour $x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $0$ n'a rien de particulier ici : les deux écritures\ncoïncident pour tous les nombres."
        }
      ],
      "explanation": "Développer ne change pas la valeur d'une expression : les deux\nécritures sont égales pour toute valeur de la lettre."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "substituer",
        "developper-simple"
      ],
      "title": "Substituer dans un produit",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Que vaut $4(x + 3)$ pour $x = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse se calcule en premier, puis le\nrésultat est multiplié par $4$."
        },
        {
          "text": "$23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $4$ n'a multiplié que $x$ : il multiplie toute la\nparenthèse."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout a été additionné : le nombre placé devant la parenthèse la\nmultiplie."
        },
        {
          "text": "$60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout a été multiplié : à l'intérieur de la parenthèse, les deux\nnombres s'ajoutent."
        }
      ],
      "explanation": "On peut soit calculer la parenthèse puis multiplier, soit développer\npuis remplacer : le résultat est le même.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $4(x + 3)$ pour $x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse se calcule en premier, puis le\nrésultat est multiplié par $4$."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $4$ n'a multiplié que $x$ : il multiplie toute la\nparenthèse."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le nombre placé devant la parenthèse la\nmultiplie."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : à l'intérieur de la parenthèse, les deux\nnombres s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On peut soit calculer la parenthèse puis multiplier, soit développer\npuis remplacer : le résultat est le même."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $6(x - 2)$ pour $x = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse se calcule en premier, puis le\nrésultat est multiplié par $6$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $6$ n'a multiplié que $x$ : il multiplie toute la\nparenthèse."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le nombre placé devant la parenthèse la\nmultiplie."
            },
            {
              "text": "$-84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : à l'intérieur de la parenthèse, les deux\nnombres s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On peut soit calculer la parenthèse puis multiplier, soit développer\npuis remplacer : le résultat est le même."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $3(x + 5)$ pour $x = -1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse se calcule en premier, puis le\nrésultat est multiplié par $3$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $3$ n'a multiplié que $x$ : il multiplie toute la\nparenthèse."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le nombre placé devant la parenthèse la\nmultiplie."
            },
            {
              "text": "$-15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : à l'intérieur de la parenthèse, les deux\nnombres s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On peut soit calculer la parenthèse puis multiplier, soit développer\npuis remplacer : le résultat est le même."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $7(x + 2)$ pour $x = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$91$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse se calcule en premier, puis le\nrésultat est multiplié par $7$."
            },
            {
              "text": "$79$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $7$ n'a multiplié que $x$ : il multiplie toute la\nparenthèse."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été additionné : le nombre placé devant la parenthèse la\nmultiplie."
            },
            {
              "text": "$154$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout a été multiplié : à l'intérieur de la parenthèse, les deux\nnombres s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On peut soit calculer la parenthèse puis multiplier, soit développer\npuis remplacer : le résultat est le même."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "developper-double",
        "reduire"
      ],
      "title": "Développer puis simplifier un carré",
      "partie": "developper",
      "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x + 5) - x^{2}$.",
      "options": [
        {
          "text": "$8x + 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le développement donne un terme en $x^{2}$, que\nla soustraction fait disparaître."
        },
        {
          "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction finale a été oubliée : le terme en $x^{2}$\ns'élimine."
        },
        {
          "text": "$15x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nvaut $8$."
        },
        {
          "text": "$8x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant est faux : il vient du produit des deux\nnombres, qui vaut $15$."
        }
      ],
      "explanation": "On développe entièrement, puis on retranche $x^{2}$ : les deux termes\ndu second degré s'annulent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 3)(x + 5) - x^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8x + 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne un terme en $x^{2}$, que\nla soustraction fait disparaître."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 8x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction finale a été oubliée : le terme en $x^{2}$\ns'élimine."
            },
            {
              "text": "$15x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nvaut $8$."
            },
            {
              "text": "$8x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : il vient du produit des deux\nnombres, qui vaut $15$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe entièrement, puis on retranche $x^{2}$ : les deux termes\ndu second degré s'annulent."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x - 2)(x + 7) - x^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x - 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne un terme en $x^{2}$, que\nla soustraction fait disparaître."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 5x - 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction finale a été oubliée : le terme en $x^{2}$\ns'élimine."
            },
            {
              "text": "$-14x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nvaut $5$."
            },
            {
              "text": "$5x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : il vient du produit des deux\nnombres, qui vaut $-14$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe entièrement, puis on retranche $x^{2}$ : les deux termes\ndu second degré s'annulent."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 4)(x - 6) - x^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-2x - 24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne un terme en $x^{2}$, que\nla soustraction fait disparaître."
            },
            {
              "text": "$x^{2} - 2x - 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction finale a été oubliée : le terme en $x^{2}$\ns'élimine."
            },
            {
              "text": "$-24x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nvaut $-2$."
            },
            {
              "text": "$-2x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : il vient du produit des deux\nnombres, qui vaut $-24$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe entièrement, puis on retranche $x^{2}$ : les deux termes\ndu second degré s'annulent."
        },
        {
          "statement": "Développe et réduis $(x + 5)(x + 8) - x^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$13x + 40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne un terme en $x^{2}$, que\nla soustraction fait disparaître."
            },
            {
              "text": "$x^{2} + 13x + 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction finale a été oubliée : le terme en $x^{2}$\ns'élimine."
            },
            {
              "text": "$40x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme et le produit ont été échangés : le coefficient de $x$\nvaut $13$."
            },
            {
              "text": "$13x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant est faux : il vient du produit des deux\nnombres, qui vaut $40$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe entièrement, puis on retranche $x^{2}$ : les deux termes\ndu second degré s'annulent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire",
        "termes-semblables",
        "trois-termes"
      ],
      "title": "Réduire trois termes en x",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $5x - 2x + x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$4x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5 - 2 + 1 = 4$ ; le terme $x$ seul compte\npour $1x$.\n"
        },
        {
          "text": "$3x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dernier terme, $x$, vaut $1x$ et doit être compté.\n"
        },
        {
          "text": "$8x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2x$ est **soustrait**, pas ajouté.\n"
        },
        {
          "text": "$4x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner des termes en $x$ ne change pas l'exposant ;\non n'obtient $x^3$ qu'en multipliant.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Réduire, c'est additionner les coefficients des termes semblables :\n$5 - 2 + 1 = 4$, et $x$ reste $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $5x - 2x + x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 - 2 + 1 = 4$ ; le terme $x$ seul compte\npour $1x$.\n"
            },
            {
              "text": "$3x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $x$, vaut $1x$ et doit être compté.\n"
            },
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2x$ est **soustrait**, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$4x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner des termes en $x$ ne change pas l'exposant ;\non n'obtient $x^3$ qu'en multipliant.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est additionner les coefficients des termes semblables :\n$5 - 2 + 1 = 4$, et $x$ reste $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $7x - 3x + x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 - 3 + 1 = 5$ ; le terme $x$ seul compte\npour $1x$.\n"
            },
            {
              "text": "$4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $x$, vaut $1x$ et doit être compté.\n"
            },
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3x$ est **soustrait**, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$5x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner des termes en $x$ ne change pas l'exposant ;\non n'obtient $x^3$ qu'en multipliant.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est additionner les coefficients des termes semblables :\n$7 - 3 + 1 = 5$, et $x$ reste $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $9x - 2x + x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 - 2 + 1 = 8$ ; le terme $x$ seul compte\npour $1x$.\n"
            },
            {
              "text": "$7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $x$, vaut $1x$ et doit être compté.\n"
            },
            {
              "text": "$12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2x$ est **soustrait**, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$8x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner des termes en $x$ ne change pas l'exposant ;\non n'obtient $x^3$ qu'en multipliant.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est additionner les coefficients des termes semblables :\n$9 - 2 + 1 = 8$, et $x$ reste $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $11x - 3x + x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$9x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11 - 3 + 1 = 9$ ; le terme $x$ seul compte\npour $1x$.\n"
            },
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $x$, vaut $1x$ et doit être compté.\n"
            },
            {
              "text": "$15x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3x$ est **soustrait**, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$9x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner des termes en $x$ ne change pas l'exposant ;\non n'obtient $x^3$ qu'en multipliant.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est additionner les coefficients des termes semblables :\n$11 - 3 + 1 = 9$, et $x$ reste $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reduire",
        "parentheses",
        "signe-plus"
      ],
      "title": "Supprimer une parenthèse précédée d'un plus",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $5x + (2x - 5)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$7x - 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une parenthèse précédée d'un $+$ se supprime\nsans changer les signes : $5x + 2x - 5 = 7x - 5$.\n"
        },
        {
          "text": "$7x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $5$ a été changé, ce qui n'arrive\nqu'avec une parenthèse précédée d'un $-$.\n"
        },
        {
          "text": "$3x - 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2x$ s'ajoute à $5x$, il ne s'en retranche pas.\n"
        },
        {
          "text": "$7x - 5x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est un nombre seul, sans $x$ ; il ne se réduit\npas avec les termes en $x$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un $+$ devant une parenthèse : on l'enlève telle quelle, puis on\nréduit les termes semblables.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $5x + (2x - 5)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$7x - 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une parenthèse précédée d'un $+$ se supprime\nsans changer les signes : $5x + 2x - 5 = 7x - 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$7x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $5$ a été changé, ce qui n'arrive\nqu'avec une parenthèse précédée d'un $-$.\n"
            },
            {
              "text": "$3x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2x$ s'ajoute à $5x$, il ne s'en retranche pas.\n"
            },
            {
              "text": "$7x - 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est un nombre seul, sans $x$ ; il ne se réduit\npas avec les termes en $x$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un $+$ devant une parenthèse : on l'enlève telle quelle, puis on\nréduit les termes semblables."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $4x + (6x - 4)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10x - 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une parenthèse précédée d'un $+$ se supprime\nsans changer les signes : $4x + 6x - 4 = 10x - 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$10x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $4$ a été changé, ce qui n'arrive\nqu'avec une parenthèse précédée d'un $-$.\n"
            },
            {
              "text": "$-2x - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6x$ s'ajoute à $4x$, il ne s'en retranche pas.\n"
            },
            {
              "text": "$10x - 4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est un nombre seul, sans $x$ ; il ne se réduit\npas avec les termes en $x$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un $+$ devant une parenthèse : on l'enlève telle quelle, puis on\nréduit les termes semblables."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $8x + (3x - 7)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$11x - 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une parenthèse précédée d'un $+$ se supprime\nsans changer les signes : $8x + 3x - 7 = 11x - 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$11x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $7$ a été changé, ce qui n'arrive\nqu'avec une parenthèse précédée d'un $-$.\n"
            },
            {
              "text": "$5x - 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3x$ s'ajoute à $8x$, il ne s'en retranche pas.\n"
            },
            {
              "text": "$11x - 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est un nombre seul, sans $x$ ; il ne se réduit\npas avec les termes en $x$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un $+$ devant une parenthèse : on l'enlève telle quelle, puis on\nréduit les termes semblables."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $13x + (5x - 9)$.",
          "options": [
            {
              "text": "$18x - 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une parenthèse précédée d'un $+$ se supprime\nsans changer les signes : $13x + 5x - 9 = 18x - 9$.\n"
            },
            {
              "text": "$18x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $9$ a été changé, ce qui n'arrive\nqu'avec une parenthèse précédée d'un $-$.\n"
            },
            {
              "text": "$8x - 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5x$ s'ajoute à $13x$, il ne s'en retranche pas.\n"
            },
            {
              "text": "$18x - 9x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est un nombre seul, sans $x$ ; il ne se réduit\npas avec les termes en $x$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un $+$ devant une parenthèse : on l'enlève telle quelle, puis on\nréduit les termes semblables."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reduire",
        "deux-lettres",
        "termes-semblables"
      ],
      "title": "Réduire une expression à deux lettres",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $3a + 2b - 1a + 5b$.",
      "options": [
        {
          "text": "$2a + 7b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les termes en $a$ se réduisent entre eux,\n$3 - 1 = 2$, et les termes en $b$ entre eux,\n$2 + 5 = 7$.\n"
        },
        {
          "text": "$9ab$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a$ et $b$ sont des lettres différentes ; leurs termes\nne se regroupent pas en $ab$.\n"
        },
        {
          "text": "$4a + 7b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1a$ est soustrait, pas ajouté.\n"
        },
        {
          "text": "$2a + 2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme $5b$ a été oublié.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On ne réduit que des termes semblables : même lettre, même exposant.\nTermes en $a$ d'un côté, termes en $b$ de l'autre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $3a + 2b - 1a + 5b$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2a + 7b$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $a$ se réduisent entre eux,\n$3 - 1 = 2$, et les termes en $b$ entre eux,\n$2 + 5 = 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$9ab$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $a$ et $b$ sont des lettres différentes ; leurs termes\nne se regroupent pas en $ab$.\n"
            },
            {
              "text": "$4a + 7b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1a$ est soustrait, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$2a + 2b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $5b$ a été oublié.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On ne réduit que des termes semblables : même lettre, même exposant.\nTermes en $a$ d'un côté, termes en $b$ de l'autre."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $5a + 4b - 2a + 1b$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3a + 5b$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $a$ se réduisent entre eux,\n$5 - 2 = 3$, et les termes en $b$ entre eux,\n$4 + 1 = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$8ab$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $a$ et $b$ sont des lettres différentes ; leurs termes\nne se regroupent pas en $ab$.\n"
            },
            {
              "text": "$7a + 5b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2a$ est soustrait, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$3a + 4b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $1b$ a été oublié.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On ne réduit que des termes semblables : même lettre, même exposant.\nTermes en $a$ d'un côté, termes en $b$ de l'autre."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $7a + 1b - 3a + 6b$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4a + 7b$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $a$ se réduisent entre eux,\n$7 - 3 = 4$, et les termes en $b$ entre eux,\n$1 + 6 = 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$11ab$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $a$ et $b$ sont des lettres différentes ; leurs termes\nne se regroupent pas en $ab$.\n"
            },
            {
              "text": "$10a + 7b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3a$ est soustrait, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$4a + 1b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $6b$ a été oublié.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On ne réduit que des termes semblables : même lettre, même exposant.\nTermes en $a$ d'un côté, termes en $b$ de l'autre."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $11a + 2b - 5a + 10b$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6a + 12b$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $a$ se réduisent entre eux,\n$11 - 5 = 6$, et les termes en $b$ entre eux,\n$2 + 10 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$18ab$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $a$ et $b$ sont des lettres différentes ; leurs termes\nne se regroupent pas en $ab$.\n"
            },
            {
              "text": "$16a + 12b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5a$ est soustrait, pas ajouté.\n"
            },
            {
              "text": "$6a + 2b$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $10b$ a été oublié.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On ne réduit que des termes semblables : même lettre, même exposant.\nTermes en $a$ d'un côté, termes en $b$ de l'autre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factoriser",
        "facteur-commun"
      ],
      "title": "Mettre un nombre en facteur",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factoriser $6x + 15$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3(2x + 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6x = 3 \\times 2x$ et $15 = 3 \\times 5$ ; on vérifie en\ndéveloppant : $3(2x + 5) = 6x + 15$.\n"
        },
        {
          "text": "$3(2x + 15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $15$ n'a pas été divisé par $3$. En développant, on obtiendrait\n$6x + 45$.\n"
        },
        {
          "text": "$6(x + 15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "En développant, on obtiendrait $6x + 90$. Le facteur commun à $6$ et à\n$15$ est $3$.\n"
        },
        {
          "text": "$3x(2 + 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $x$ n'est pas un facteur commun : le terme $15$ ne contient pas de\n$x$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On cherche un\nfacteur commun à tous les termes, puis on vérifie en développant."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factoriser",
        "facteur-commun"
      ],
      "title": "Mettre x en facteur",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factoriser $x^2 - 7x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x(x + 7)$",
          "correct": false,
          "feedback": "En développant, on obtiendrait $x^2 + 7x$ : le signe moins a été perdu.\n"
        },
        {
          "text": "$7x(x - 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "En développant, on obtiendrait $7x^2 - 7x$. Le seul facteur commun est\n$x$.\n"
        },
        {
          "text": "$x(x - 7)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = x \\times x$ et $7x = x \\times 7$, donc\n$x^2 - 7x = x(x - 7)$.\n"
        },
        {
          "text": "$x^2(1 - 7)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $7x$ ne contient $x$ qu'une fois : $x^2$ n'est pas un facteur\ncommun.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le facteur commun peut être une lettre :\n$x^2 - 7x = x \\times x - x \\times 7 = x(x - 7)$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factoriser",
        "facteur-commun"
      ],
      "title": "Un facteur commun entre parenthèses",
      "partie": "developper",
      "statement": "Factoriser $(x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 4)$.",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 2)(2x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux facteurs ont été soustraits au lieu d'être additionnés. Entre\nles deux produits, il y a un signe plus : $(3x - 1) + (x + 4) = 4x + 3$.\n"
        },
        {
          "text": "$(x + 2)(4x + 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(x + 2)$ est commun aux deux termes, et\n$(3x - 1) + (x + 4) = 4x + 3$.\n"
        },
        {
          "text": "$(x + 2)^2(4x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur commun ne s'écrit qu'une fois :\n$(x + 2) \\times [(3x - 1) + (x + 4)]$.\n"
        },
        {
          "text": "$(2x + 4)(4x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur commun $(x + 2)$ a été doublé. En le mettant en facteur, il\napparaît une seule fois.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Quand un même facteur apparaît dans chaque terme, on le met en facteur :\n$ka + kb = k(a + b)$, même si $k$ est une expression entre parenthèses."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire",
        "carres"
      ],
      "title": "Réduire une somme de termes en x au carré",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $3x^2 + 5x^2$.",
      "options": [
        {
          "text": "$8x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x^2$ sont semblables, on ajoute leurs coefficients : $(3 + 5)x^2$."
        },
        {
          "text": "$8x^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ajoute les coefficients, pas les exposants : $x^2$ reste $x^2$."
        },
        {
          "text": "$8x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le carré a disparu. Les termes en $x^2$ donnent un terme en $x^2$."
        },
        {
          "text": "$15x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié les coefficients ; pour une somme, on les ajoute."
        }
      ],
      "explanation": "Seuls les termes semblables, ici en $x^2$, se regroupent en ajoutant leurs coefficients.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $3x^2 + 5x^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x^2$ sont semblables, on ajoute leurs coefficients : $(3 + 5)x^2$."
            },
            {
              "text": "$8x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ajoute les coefficients, pas les exposants : $x^2$ reste $x^2$."
            },
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le carré a disparu. Les termes en $x^2$ donnent un terme en $x^2$."
            },
            {
              "text": "$15x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié les coefficients ; pour une somme, on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les termes semblables, ici en $x^2$, se regroupent en ajoutant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $4x^2 + 7x^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$11x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x^2$ sont semblables, on ajoute leurs coefficients : $(4 + 7)x^2$."
            },
            {
              "text": "$11x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ajoute les coefficients, pas les exposants : $x^2$ reste $x^2$."
            },
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le carré a disparu. Les termes en $x^2$ donnent un terme en $x^2$."
            },
            {
              "text": "$28x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié les coefficients ; pour une somme, on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les termes semblables, ici en $x^2$, se regroupent en ajoutant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $2x^2 + 10x^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$12x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x^2$ sont semblables, on ajoute leurs coefficients : $(2 + 10)x^2$."
            },
            {
              "text": "$12x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ajoute les coefficients, pas les exposants : $x^2$ reste $x^2$."
            },
            {
              "text": "$12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le carré a disparu. Les termes en $x^2$ donnent un terme en $x^2$."
            },
            {
              "text": "$20x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié les coefficients ; pour une somme, on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les termes semblables, ici en $x^2$, se regroupent en ajoutant leurs coefficients."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $6x^2 + 7x^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$13x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x^2$ sont semblables, on ajoute leurs coefficients : $(6 + 7)x^2$."
            },
            {
              "text": "$13x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ajoute les coefficients, pas les exposants : $x^2$ reste $x^2$."
            },
            {
              "text": "$13x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le carré a disparu. Les termes en $x^2$ donnent un terme en $x^2$."
            },
            {
              "text": "$42x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié les coefficients ; pour une somme, on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les termes semblables, ici en $x^2$, se regroupent en ajoutant leurs coefficients."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reduire",
        "signes"
      ],
      "title": "Réduire avec plusieurs soustractions",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $3x - 7x - 2x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$-6x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 - 7 - 2 = -6$, donc l'expression vaut $-6x$."
        },
        {
          "text": "$6x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : on retire plus que $3$, le coefficient est négatif."
        },
        {
          "text": "$12x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les signes moins ont été ignorés ; $7x$ et $2x$ se retranchent."
        },
        {
          "text": "$-4x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dernier terme, $-2x$, a été oublié."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule la somme des coefficients avec leurs signes : $3 - 7 - 2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $3x - 7x - 2x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-6x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 - 7 - 2 = -6$, donc l'expression vaut $-6x$."
            },
            {
              "text": "$6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on retire plus que $3$, le coefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les signes moins ont été ignorés ; $7x$ et $2x$ se retranchent."
            },
            {
              "text": "$-4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $-2x$, a été oublié."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule la somme des coefficients avec leurs signes : $3 - 7 - 2$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $5x - 9x - 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-8x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 - 9 - 4 = -8$, donc l'expression vaut $-8x$."
            },
            {
              "text": "$8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on retire plus que $5$, le coefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$18x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les signes moins ont été ignorés ; $9x$ et $4x$ se retranchent."
            },
            {
              "text": "$-4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $-4x$, a été oublié."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule la somme des coefficients avec leurs signes : $5 - 9 - 4$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $2x - 6x - 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-7x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 - 6 - 3 = -7$, donc l'expression vaut $-7x$."
            },
            {
              "text": "$7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on retire plus que $2$, le coefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les signes moins ont été ignorés ; $6x$ et $3x$ se retranchent."
            },
            {
              "text": "$-4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $-3x$, a été oublié."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule la somme des coefficients avec leurs signes : $2 - 6 - 3$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $4x - 12x - 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-11x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 - 12 - 3 = -11$, donc l'expression vaut $-11x$."
            },
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on retire plus que $4$, le coefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$19x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les signes moins ont été ignorés ; $12x$ et $3x$ se retranchent."
            },
            {
              "text": "$-8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme, $-3x$, a été oublié."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule la somme des coefficients avec leurs signes : $4 - 12 - 3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reduire",
        "produit"
      ],
      "title": "Produit de deux termes de signes contraires",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $(-3x) \\times 4x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$-12x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3) \\times 4 = -12$ et $x \\times x = x^2$."
        },
        {
          "text": "$-12x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x \\times x$ donne $x^2$, pas $x$."
        },
        {
          "text": "$12x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le produit d'un négatif par un positif est négatif."
        },
        {
          "text": "$-7x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Pour réduire un produit, on multiplie les coefficients entre eux (règle des signes) et les puissances de $x$ entre elles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $(-3x) \\times 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-12x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-3) \\times 4 = -12$ et $x \\times x = x^2$."
            },
            {
              "text": "$-12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x \\times x$ donne $x^2$, pas $x$."
            },
            {
              "text": "$12x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le produit d'un négatif par un positif est négatif."
            },
            {
              "text": "$-7x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire un produit, on multiplie les coefficients entre eux (règle des signes) et les puissances de $x$ entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $(-2x) \\times 7x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-14x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-2) \\times 7 = -14$ et $x \\times x = x^2$."
            },
            {
              "text": "$-14x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x \\times x$ donne $x^2$, pas $x$."
            },
            {
              "text": "$14x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le produit d'un négatif par un positif est négatif."
            },
            {
              "text": "$-9x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire un produit, on multiplie les coefficients entre eux (règle des signes) et les puissances de $x$ entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $(-5x) \\times 3x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-15x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-5) \\times 3 = -15$ et $x \\times x = x^2$."
            },
            {
              "text": "$-15x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x \\times x$ donne $x^2$, pas $x$."
            },
            {
              "text": "$15x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le produit d'un négatif par un positif est négatif."
            },
            {
              "text": "$-8x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire un produit, on multiplie les coefficients entre eux (règle des signes) et les puissances de $x$ entre elles."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $(-6x) \\times 5x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$-30x^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-6) \\times 5 = -30$ et $x \\times x = x^2$."
            },
            {
              "text": "$-30x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x \\times x$ donne $x^2$, pas $x$."
            },
            {
              "text": "$30x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le produit d'un négatif par un positif est négatif."
            },
            {
              "text": "$-11x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour réduire un produit, on multiplie les coefficients entre eux (règle des signes) et les puissances de $x$ entre elles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reduire",
        "carres"
      ],
      "title": "Réduire des termes en x et en x au carré",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Réduire l'expression $5x^2 + 3x - 2x^2 + 4x$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3x^2 + 7x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(5 - 2)x^2 + (3 + 4)x$."
        },
        {
          "text": "$10x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les termes en $x^2$ et en $x$ ne sont pas semblables ; ils ne se regroupent pas."
        },
        {
          "text": "$7x^2 + 7x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe moins devant $2x^2$ a été oublié."
        },
        {
          "text": "$3x^2 + 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la lettre $x$ a disparu du second terme ; $3x + 4x = 7x$."
        }
      ],
      "explanation": "On regroupe séparément les termes en $x^2$ et les termes en $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Réduire l'expression $5x^2 + 3x - 2x^2 + 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^2 + 7x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(5 - 2)x^2 + (3 + 4)x$."
            },
            {
              "text": "$10x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les termes en $x^2$ et en $x$ ne sont pas semblables ; ils ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$7x^2 + 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe moins devant $2x^2$ a été oublié."
            },
            {
              "text": "$3x^2 + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la lettre $x$ a disparu du second terme ; $3x + 4x = 7x$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe séparément les termes en $x^2$ et les termes en $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $7x^2 + 2x - 3x^2 + 6x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x^2 + 8x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(7 - 3)x^2 + (2 + 6)x$."
            },
            {
              "text": "$12x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les termes en $x^2$ et en $x$ ne sont pas semblables ; ils ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$10x^2 + 8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe moins devant $3x^2$ a été oublié."
            },
            {
              "text": "$4x^2 + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la lettre $x$ a disparu du second terme ; $2x + 6x = 8x$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe séparément les termes en $x^2$ et les termes en $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $6x^2 + 5x - 2x^2 + 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4x^2 + 9x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(6 - 2)x^2 + (5 + 4)x$."
            },
            {
              "text": "$13x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les termes en $x^2$ et en $x$ ne sont pas semblables ; ils ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$8x^2 + 9x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe moins devant $2x^2$ a été oublié."
            },
            {
              "text": "$4x^2 + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la lettre $x$ a disparu du second terme ; $5x + 4x = 9x$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe séparément les termes en $x^2$ et les termes en $x$."
        },
        {
          "statement": "Réduire l'expression $8x^2 + 2x - 6x^2 + 4x$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2x^2 + 6x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(8 - 6)x^2 + (2 + 4)x$."
            },
            {
              "text": "$8x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les termes en $x^2$ et en $x$ ne sont pas semblables ; ils ne se regroupent pas."
            },
            {
              "text": "$14x^2 + 6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe moins devant $6x^2$ a été oublié."
            },
            {
              "text": "$2x^2 + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la lettre $x$ a disparu du second terme ; $2x + 4x = 6x$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe séparément les termes en $x^2$ et les termes en $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "termes-semblables"
      ],
      "title": "Des termes qui ne se regroupent pas",
      "partie": "reduire",
      "statement": "Peut-on réduire l'expression $3x + 2x^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle est déjà réduite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un terme en $x$ et un terme en $x^2$ ne se regroupent pas ; l'expression est déjà réduite."
        },
        {
          "text": "Oui, elle se réduit en $5x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne peut ajouter que des termes semblables ; $3x$ n'est pas un terme en $x^2$."
        },
        {
          "text": "Oui, elle se réduit en $5x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on n'ajoute pas les exposants dans une somme, et ces termes ne sont pas semblables."
        },
        {
          "text": "Oui, elle se réduit en $5x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme $2x^2$ n'est pas un terme en $x$ ; il ne se regroupe pas avec $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale : $3x$ et $5x$ le sont, $3x$ et $2x^2$ non."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nature-expression"
      ],
      "title": "Reconnaître un produit",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Laquelle de ces expressions est un produit ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5(x + 4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dernière opération à effectuer est la multiplication de $5$ par $(x + 4)$."
        },
        {
          "text": "$5x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dernière opération est l'addition de $5x$ et de $4$ : c'est une somme."
        },
        {
          "text": "$5 + (x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dernière opération est une addition : c'est une somme."
        },
        {
          "text": "$x + 4 \\times 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la multiplication est prioritaire, mais la dernière opération est l'addition : c'est une somme."
        }
      ],
      "explanation": "La nature d'une expression est donnée par la dernière opération à effectuer : somme, différence, produit ou quotient."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pair-impair",
        "expression"
      ],
      "title": "Le nombre pair suivant",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Le nombre $n$ est un entier. Quel est le nombre pair qui suit immédiatement $2n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2n + 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les nombres pairs vont de deux en deux, donc le suivant de $2n$ est $2n + 2 = 2(n + 1)$."
        },
        {
          "text": "$2n + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2n + 1$ est le nombre impair qui suit $2n$."
        },
        {
          "text": "$2(n + 2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2(n + 2) = 2n + 4$ : on a sauté un nombre pair."
        },
        {
          "text": "$3n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3n$ n'est pas toujours pair ; pour $n = 1$, il vaut $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre pair s'écrit $2k$ ; les nombres pairs consécutifs sont $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$, …"
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficient",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Coefficient du terme en x",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Dans l'expression $3x^2 - 5x + 2$, quel est le coefficient de $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le terme en $x$ est $- 5x$ ; son coefficient, signe compris, est $-5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est le coefficient de $x^2$, pas de $x$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est le terme constant, sans $x$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe fait partie du coefficient : le terme s'écrit $- 5x$."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient d'un terme est le nombre qui multiplie sa partie littérale, avec son signe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans l'expression $3x^2 - 5x + 2$, quel est le coefficient de $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme en $x$ est $- 5x$ ; son coefficient, signe compris, est $-5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est le coefficient de $x^2$, pas de $x$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le terme constant, sans $x$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe fait partie du coefficient : le terme s'écrit $- 5x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'un terme est le nombre qui multiplie sa partie littérale, avec son signe."
        },
        {
          "statement": "Dans l'expression $4x^2 + 7x - 1$, quel est le coefficient de $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme en $x$ est $+ 7x$ ; son coefficient, signe compris, est $7$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le coefficient de $x^2$, pas de $x$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-1$ est le terme constant, sans $x$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe fait partie du coefficient : le terme s'écrit $+ 7x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'un terme est le nombre qui multiplie sa partie littérale, avec son signe."
        },
        {
          "statement": "Dans l'expression $2x^2 - 6x + 9$, quel est le coefficient de $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme en $x$ est $- 6x$ ; son coefficient, signe compris, est $-6$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le coefficient de $x^2$, pas de $x$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est le terme constant, sans $x$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe fait partie du coefficient : le terme s'écrit $- 6x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'un terme est le nombre qui multiplie sa partie littérale, avec son signe."
        },
        {
          "statement": "Dans l'expression $5x^2 + 8x - 3$, quel est le coefficient de $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme en $x$ est $+ 8x$ ; son coefficient, signe compris, est $8$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le coefficient de $x^2$, pas de $x$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-3$ est le terme constant, sans $x$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe fait partie du coefficient : le terme s'écrit $+ 8x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'un terme est le nombre qui multiplie sa partie littérale, avec son signe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "traduire",
        "parentheses"
      ],
      "title": "Le multiple d'une somme",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Quelle expression traduit « le triple de la somme de $x$ et de $4$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3(x + 4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on calcule d'abord la somme $x + 4$, puis on la multiplie par $3$ ; les parenthèses sont indispensables."
        },
        {
          "text": "$3x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul $x$ est multiplié par $3$ ; c'est toute la somme qui doit l'être."
        },
        {
          "text": "$x + 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul $4$ a été multiplié par $3$."
        },
        {
          "text": "$3 + x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « le triple » indique une multiplication par $3$, pas une addition."
        }
      ],
      "explanation": "Les parenthèses indiquent l'opération faite en premier : ici la somme, ensuite multipliée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le triple de la somme de $x$ et de $4$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3(x + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on calcule d'abord la somme $x + 4$, puis on la multiplie par $3$ ; les parenthèses sont indispensables."
            },
            {
              "text": "$3x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $x$ est multiplié par $3$ ; c'est toute la somme qui doit l'être."
            },
            {
              "text": "$x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $4$ a été multiplié par $3$."
            },
            {
              "text": "$3 + x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « le triple » indique une multiplication par $3$, pas une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Les parenthèses indiquent l'opération faite en premier : ici la somme, ensuite multipliée."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le double de la somme de $x$ et de $7$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2(x + 7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on calcule d'abord la somme $x + 7$, puis on la multiplie par $2$ ; les parenthèses sont indispensables."
            },
            {
              "text": "$2x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $x$ est multiplié par $2$ ; c'est toute la somme qui doit l'être."
            },
            {
              "text": "$x + 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $7$ a été multiplié par $2$."
            },
            {
              "text": "$2 + x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « le double » indique une multiplication par $2$, pas une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Les parenthèses indiquent l'opération faite en premier : ici la somme, ensuite multipliée."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le quadruple de la somme de $x$ et de $9$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4(x + 9)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on calcule d'abord la somme $x + 9$, puis on la multiplie par $4$ ; les parenthèses sont indispensables."
            },
            {
              "text": "$4x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $x$ est multiplié par $4$ ; c'est toute la somme qui doit l'être."
            },
            {
              "text": "$x + 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $9$ a été multiplié par $4$."
            },
            {
              "text": "$4 + x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « le quadruple » indique une multiplication par $4$, pas une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Les parenthèses indiquent l'opération faite en premier : ici la somme, ensuite multipliée."
        },
        {
          "statement": "Quelle expression traduit « le double de la somme de $x$ et de $5$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2(x + 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on calcule d'abord la somme $x + 5$, puis on la multiplie par $2$ ; les parenthèses sont indispensables."
            },
            {
              "text": "$2x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $x$ est multiplié par $2$ ; c'est toute la somme qui doit l'être."
            },
            {
              "text": "$x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $5$ a été multiplié par $2$."
            },
            {
              "text": "$2 + x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « le double » indique une multiplication par $2$, pas une addition."
            }
          ],
          "explanation": "Les parenthèses indiquent l'opération faite en premier : ici la somme, ensuite multipliée."
        }
      ]
    }
  ]
}