{
"chapter": {
"id": "geometrie-plane",
"level": "college",
"theme": "Géométrie",
"title": "Angles, triangles et transformations",
"description": "Angles et parallélisme, somme des angles d'un triangle, droites\nremarquables, parallélogrammes particuliers. Symétries axiale et\ncentrale, translation.",
"parties": [
{
"id": "angles",
"title": "Angles et parallélisme"
},
{
"id": "triangles",
"title": "Triangles et droites remarquables"
},
{
"id": "quadrilateres",
"title": "Parallélogrammes"
},
{
"id": "transformations",
"title": "Symétries et translation"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"angles",
"alternes-internes"
],
"title": "Angle alterne-interne",
"partie": "angles",
"statement": "Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.\n\nCombien mesure l'angle marqué $2$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (Q) at (0,0);\n \\coordinate (P) at (1.1547,2);\n \\draw[thick] (-2,2) -- (4,2) node[right] {$(d)$};\n \\draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$(d')$};\n \\draw[thick] (-0.5,-0.866) -- (1.7,2.944);\n \\draw[blue] (P) ++(180:0.45) arc (180:240:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(210:0.75)$) {$1$};\n \\draw[blue] (Q) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(Q)+(30:0.75)$) {$2$};\n \\draw[blue] (P) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(30:0.75)$) {$3$};\n \\draw[blue] (P) ++(240:0.3) arc (240:360:0.3);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(300:0.65)$) {$4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$60°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les angles $1$ et $2$ sont alternes-internes, et les droites sont parallèles, donc ils sont égaux."
},
{
"text": "$120°$",
"correct": false,
"feedback": "$120°$ est le supplément de $60°$. Les angles $1$ et $2$ sont alternes-internes : avec des droites parallèles, ils sont égaux."
},
{
"text": "$30°$",
"correct": false,
"feedback": "$30°$ est le complément de $60°$, ce qui n'a pas de rapport ici. Les angles alternes-internes sont égaux : $60°$."
},
{
"text": "$90°$",
"correct": false,
"feedback": "Rien n'indique un angle droit. L'angle $2$ est alterne-interne avec l'angle $1$ : il mesure $60°$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles",
"vocabulaire"
],
"title": "Nommer une paire d'angles",
"partie": "angles",
"statement": "Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.\n\nComment appelle-t-on la paire formée par les angles $1$ et $2$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (Q) at (0,0);\n \\coordinate (P) at (1.1547,2);\n \\draw[thick] (-2,2) -- (4,2) node[right] {$(d)$};\n \\draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$(d')$};\n \\draw[thick] (-0.5,-0.866) -- (1.7,2.944);\n \\draw[blue] (P) ++(180:0.45) arc (180:240:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(210:0.75)$) {$1$};\n \\draw[blue] (Q) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(Q)+(30:0.75)$) {$2$};\n \\draw[blue] (P) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(30:0.75)$) {$3$};\n \\draw[blue] (P) ++(240:0.3) arc (240:360:0.3);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(300:0.65)$) {$4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Des angles alternes-internes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante."
},
{
"text": "Des angles correspondants",
"correct": false,
"feedback": "Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre non. Les angles $1$ et $2$ sont de part et d'autre."
},
{
"text": "Des angles opposés par le sommet",
"correct": false,
"feedback": "Des angles opposés par le sommet ont le même sommet. Les angles $1$ et $2$ sont aux deux points d'intersection."
},
{
"text": "Des angles adjacents supplémentaires",
"correct": false,
"feedback": "Des angles adjacents ont le même sommet et un côté commun. Ce n'est pas le cas des angles $1$ et $2$."
}
],
"explanation": "Alternes : de part et d'autre de la sécante. Internes : entre les deux droites."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles",
"supplementaires"
],
"title": "Angle adjacent supplémentaire",
"partie": "angles",
"statement": "Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.\n\nCombien mesure l'angle marqué $4$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (Q) at (0,0);\n \\coordinate (P) at (1.1547,2);\n \\draw[thick] (-2,2) -- (4,2) node[right] {$(d)$};\n \\draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$(d')$};\n \\draw[thick] (-0.5,-0.866) -- (1.7,2.944);\n \\draw[blue] (P) ++(180:0.45) arc (180:240:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(210:0.75)$) {$1$};\n \\draw[blue] (Q) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(Q)+(30:0.75)$) {$2$};\n \\draw[blue] (P) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(30:0.75)$) {$3$};\n \\draw[blue] (P) ++(240:0.3) arc (240:360:0.3);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(300:0.65)$) {$4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$120°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les angles $1$ et $4$ sont adjacents et forment un angle plat, donc $180° - 60° = 120°$."
},
{
"text": "$60°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle $4$ est obtus sur la figure. Avec l'angle $1$, il forme un angle plat : $180° - 60° = 120°$."
},
{
"text": "$30°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles $1$ et $4$ forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 60° = 120°$."
},
{
"text": "$300°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $60°$ d'un tour complet. Les angles $1$ et $4$ forment un angle plat : $180° - 60° = 120°$."
}
],
"explanation": "Deux angles adjacents dont les côtés non communs sont dans le prolongement l'un de l'autre sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles",
"correspondants"
],
"title": "Angles correspondants",
"partie": "angles",
"statement": "Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.\n\nComment appelle-t-on la paire formée par les angles $2$ et $3$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (Q) at (0,0);\n \\coordinate (P) at (1.1547,2);\n \\draw[thick] (-2,2) -- (4,2) node[right] {$(d)$};\n \\draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$(d')$};\n \\draw[thick] (-0.5,-0.866) -- (1.7,2.944);\n \\draw[blue] (P) ++(180:0.45) arc (180:240:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(210:0.75)$) {$1$};\n \\draw[blue] (Q) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(Q)+(30:0.75)$) {$2$};\n \\draw[blue] (P) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(30:0.75)$) {$3$};\n \\draw[blue] (P) ++(240:0.3) arc (240:360:0.3);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(300:0.65)$) {$4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Des angles correspondants",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ils sont du même côté de la sécante, chacun au-dessus d'une des deux droites."
},
{
"text": "Des angles alternes-internes",
"correct": false,
"feedback": "Les angles $2$ et $3$ sont du même côté de la sécante ; des angles alternes sont de part et d'autre."
},
{
"text": "Des angles opposés par le sommet",
"correct": false,
"feedback": "Les angles $2$ et $3$ n'ont pas le même sommet."
},
{
"text": "Des angles complémentaires",
"correct": false,
"feedback": "Leur somme vaut $60° + 60° = 120°$, pas $90°$."
}
],
"explanation": "Deux angles correspondants occupent la même position aux deux points d'intersection. Avec des droites parallèles, ils sont égaux."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 3,
"skills": [
"angles",
"supplementaires"
],
"title": "Deux angles du même côté",
"partie": "angles",
"statement": "Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.\n\nQue peut-on dire des angles $2$ et $4$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (Q) at (0,0);\n \\coordinate (P) at (1.1547,2);\n \\draw[thick] (-2,2) -- (4,2) node[right] {$(d)$};\n \\draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$(d')$};\n \\draw[thick] (-0.5,-0.866) -- (1.7,2.944);\n \\draw[blue] (P) ++(180:0.45) arc (180:240:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(210:0.75)$) {$1$};\n \\draw[blue] (Q) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(Q)+(30:0.75)$) {$2$};\n \\draw[blue] (P) ++(0:0.45) arc (0:60:0.45);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(30:0.75)$) {$3$};\n \\draw[blue] (P) ++(240:0.3) arc (240:360:0.3);\n \\node[blue,font=\\small] at ($(P)+(300:0.65)$) {$4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Ils sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle $2$ mesure $60°$ et l'angle $4$ mesure $120°$."
},
{
"text": "Ils sont égaux, car ils sont alternes-internes",
"correct": false,
"feedback": "Les angles $2$ et $4$ sont du même côté de la sécante : ils ne sont pas alternes. Ils mesurent $60°$ et $120°$."
},
{
"text": "Ils sont égaux, car ils sont correspondants",
"correct": false,
"feedback": "L'angle $4$ est sous $(d)$ et l'angle $2$ au-dessus de $(d')$ : ils ne sont pas correspondants. Ils mesurent $60°$ et $120°$."
},
{
"text": "Ils sont complémentaires : leur somme vaut $90°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles mesurent $60°$ et $120°$ : leur somme vaut $180°$."
}
],
"explanation": "L'angle $2$ est égal à l'angle $1$ (alternes-internes), et l'angle $4$ est le supplément de l'angle $1$ : donc $2$ et $4$ sont supplémentaires."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles",
"parallelisme"
],
"title": "Des angles presque égaux",
"partie": "angles",
"statement": "Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent $72°$ et $74°$. Les deux droites sont-elles parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Non, car ces angles alternes-internes diffèrent",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si les droites étaient parallèles, les angles alternes-internes seraient égaux. Ils ne le sont pas."
},
{
"text": "Oui, car les deux angles sont presque égaux",
"correct": false,
"feedback": "Un écart de $2°$ suffit : les droites finissent par se couper. Pour être parallèles, il faudrait des angles exactement égaux."
},
{
"text": "Oui, car ce sont des angles alternes-internes",
"correct": false,
"feedback": "Être alternes-internes ne suffit pas : ces angles doivent en plus être égaux pour que les droites soient parallèles."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans mesurer des longueurs",
"correct": false,
"feedback": "Les angles suffisent : des angles alternes-internes différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles."
}
],
"explanation": "Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles. Si ces angles sont différents, elles ne le sont pas."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 1,
"skills": [
"angles",
"opposes-par-le-sommet"
],
"title": "Angle opposé par le sommet",
"partie": "angles",
"statement": "Deux droites sécantes forment un angle de $35°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?",
"options": [
{
"text": "$35°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure."
},
{
"text": "$145°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $35°$."
},
{
"text": "$55°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le complément de $35°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $35°$."
},
{
"text": "$325°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $35°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $35°$."
}
],
"explanation": "Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires.",
"variants": [
{
"statement": "Deux droites sécantes forment un angle de $35°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?",
"options": [
{
"text": "$35°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure."
},
{
"text": "$145°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $35°$."
},
{
"text": "$55°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le complément de $35°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $35°$."
},
{
"text": "$325°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $35°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $35°$."
}
],
"explanation": "Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites sécantes forment un angle de $48°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?",
"options": [
{
"text": "$48°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure."
},
{
"text": "$132°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $48°$."
},
{
"text": "$42°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le complément de $48°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $48°$."
},
{
"text": "$312°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $48°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $48°$."
}
],
"explanation": "Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites sécantes forment un angle de $70°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?",
"options": [
{
"text": "$70°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure."
},
{
"text": "$110°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $70°$."
},
{
"text": "$20°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le complément de $70°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $70°$."
},
{
"text": "$290°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $70°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $70°$."
}
],
"explanation": "Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites sécantes forment un angle de $25°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?",
"options": [
{
"text": "$25°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure."
},
{
"text": "$155°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $25°$."
},
{
"text": "$65°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le complément de $25°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $25°$."
},
{
"text": "$335°$",
"correct": false,
"feedback": "On a retranché $25°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $25°$."
}
],
"explanation": "Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires."
}
]
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 1,
"skills": [
"angles",
"supplementaires"
],
"title": "Angle adjacent sur une droite",
"partie": "angles",
"statement": "Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $38°$. Combien mesure l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$142°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$52°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$322°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$38°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $142°$."
}
],
"explanation": "Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires.",
"variants": [
{
"statement": "Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $38°$. Combien mesure l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$142°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$52°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$322°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 38° = 142°$."
},
{
"text": "$38°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $142°$."
}
],
"explanation": "Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires."
},
{
"statement": "Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $64°$. Combien mesure l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$116°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 64° = 116°$."
},
{
"text": "$26°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 64° = 116°$."
},
{
"text": "$296°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 64° = 116°$."
},
{
"text": "$64°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $116°$."
}
],
"explanation": "Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires."
},
{
"statement": "Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $27°$. Combien mesure l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$153°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 27° = 153°$."
},
{
"text": "$63°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 27° = 153°$."
},
{
"text": "$333°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 27° = 153°$."
},
{
"text": "$27°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $153°$."
}
],
"explanation": "Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires."
},
{
"statement": "Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $81°$. Combien mesure l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$99°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 81° = 99°$."
},
{
"text": "$9°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 81° = 99°$."
},
{
"text": "$279°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 81° = 99°$."
},
{
"text": "$81°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $99°$."
}
],
"explanation": "Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires."
}
]
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 1,
"skills": [
"angles",
"vocabulaire"
],
"title": "Nature d'un angle",
"partie": "angles",
"statement": "Un angle mesure $135°$. Comment est-il qualifié ?",
"options": [
{
"text": "Obtus",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $135°$ est compris entre $90°$ et $180°$."
},
{
"text": "Aigu",
"correct": false,
"feedback": "Un angle aigu mesure moins de $90°$ ; $135°$ dépasse $90°$."
},
{
"text": "Droit",
"correct": false,
"feedback": "Un angle droit mesure exactement $90°$."
},
{
"text": "Plat",
"correct": false,
"feedback": "Un angle plat mesure exactement $180°$ ; $135°$ est plus petit."
}
],
"explanation": "Aigu : entre $0°$ et $90°$. Droit : $90°$. Obtus : entre $90°$ et $180°$. Plat : $180°$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 3,
"skills": [
"angles",
"parallelisme"
],
"title": "Les huit angles de deux parallèles",
"partie": "angles",
"statement": "Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $50°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?",
"options": [
{
"text": "$50°$ et $130°$ seulement",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants."
},
{
"text": "$50°$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 50° = 130°$ : il y a deux mesures."
},
{
"text": "$50°$, $40°$ et $130°$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun angle de $40°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent."
},
{
"text": "Huit mesures toutes différentes",
"correct": false,
"feedback": "Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $50°$ et $130°$."
}
],
"explanation": "Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires.",
"variants": [
{
"statement": "Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $50°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?",
"options": [
{
"text": "$50°$ et $130°$ seulement",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants."
},
{
"text": "$50°$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 50° = 130°$ : il y a deux mesures."
},
{
"text": "$50°$, $40°$ et $130°$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun angle de $40°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent."
},
{
"text": "Huit mesures toutes différentes",
"correct": false,
"feedback": "Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $50°$ et $130°$."
}
],
"explanation": "Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $35°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?",
"options": [
{
"text": "$35°$ et $145°$ seulement",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants."
},
{
"text": "$35°$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 35° = 145°$ : il y a deux mesures."
},
{
"text": "$35°$, $55°$ et $145°$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun angle de $55°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent."
},
{
"text": "Huit mesures toutes différentes",
"correct": false,
"feedback": "Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $35°$ et $145°$."
}
],
"explanation": "Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $72°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?",
"options": [
{
"text": "$72°$ et $108°$ seulement",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants."
},
{
"text": "$72°$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 72° = 108°$ : il y a deux mesures."
},
{
"text": "$72°$, $18°$ et $108°$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun angle de $18°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent."
},
{
"text": "Huit mesures toutes différentes",
"correct": false,
"feedback": "Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $72°$ et $108°$."
}
],
"explanation": "Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires."
},
{
"statement": "Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $64°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?",
"options": [
{
"text": "$64°$ et $116°$ seulement",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants."
},
{
"text": "$64°$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 64° = 116°$ : il y a deux mesures."
},
{
"text": "$64°$, $26°$ et $116°$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun angle de $26°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent."
},
{
"text": "Huit mesures toutes différentes",
"correct": false,
"feedback": "Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $64°$ et $116°$."
}
],
"explanation": "Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires."
}
]
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles",
"parallelisme",
"demonstration"
],
"title": "Démontrer que deux droites sont parallèles",
"partie": "angles",
"statement": "Deux droites sont coupées par une sécante. Que suffit-il de montrer pour prouver qu'elles sont parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Que deux angles alternes-internes sont égaux",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la réciproque de la propriété des angles alternes-internes."
},
{
"text": "Que deux angles opposés par le sommet sont égaux",
"correct": false,
"feedback": "Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux, que les droites soient parallèles ou non."
},
{
"text": "Que deux angles adjacents formés sont égaux",
"correct": false,
"feedback": "Deux angles adjacents sur une droite sont égaux seulement si la sécante est perpendiculaire à cette droite ; cela ne dit rien de l'autre droite."
},
{
"text": "Que la sécante coupe chacune des deux droites",
"correct": false,
"feedback": "Une sécante coupe toujours les deux droites, qu'elles soient parallèles ou non."
}
],
"explanation": "Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, alors elles sont parallèles."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 1,
"skills": [
"triangle",
"somme-angles"
],
"title": "Troisième angle d'un triangle",
"partie": "triangles",
"statement": "Dans un triangle $ABC$, $\\widehat{BAC} = 48°$ et $\\widehat{ABC} = 67°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ACB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$65°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 48° - 67° = 65°$."
},
{
"text": "$245°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $65°$."
},
{
"text": "$115°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $65°$."
},
{
"text": "$132°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle $\\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $65°$."
}
],
"explanation": "Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un triangle $ABC$, $\\widehat{BAC} = 48°$ et $\\widehat{ABC} = 67°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ACB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$65°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 48° - 67° = 65°$."
},
{
"text": "$245°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $65°$."
},
{
"text": "$115°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $65°$."
},
{
"text": "$132°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle $\\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $65°$."
}
],
"explanation": "Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$."
},
{
"statement": "Dans un triangle $ABC$, $\\widehat{BAC} = 35°$ et $\\widehat{ABC} = 95°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ACB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$50°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 35° - 95° = 50°$."
},
{
"text": "$230°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $50°$."
},
{
"text": "$130°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $50°$."
},
{
"text": "$145°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle $\\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $50°$."
}
],
"explanation": "Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$."
},
{
"statement": "Dans un triangle $ABC$, $\\widehat{BAC} = 72°$ et $\\widehat{ABC} = 54°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ACB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$54°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 72° - 54° = 54°$."
},
{
"text": "$234°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $54°$."
},
{
"text": "$126°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $54°$."
},
{
"text": "$108°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle $\\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $54°$."
}
],
"explanation": "Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$."
},
{
"statement": "Dans un triangle $ABC$, $\\widehat{BAC} = 25°$ et $\\widehat{ABC} = 110°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ACB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$45°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 25° - 110° = 45°$."
},
{
"text": "$225°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $45°$."
},
{
"text": "$135°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $45°$."
},
{
"text": "$155°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle $\\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $45°$."
}
],
"explanation": "Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$."
}
]
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 2,
"skills": [
"triangle",
"isocele",
"somme-angles"
],
"title": "Angles à la base d'un triangle isocèle",
"partie": "triangles",
"statement": "Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\\widehat{BAC} = 40°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$70°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 40° = 140°$, soit $70°$ chacun."
},
{
"text": "$140°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $70°$."
},
{
"text": "$40°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $70°$."
},
{
"text": "$160°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 40°$ entre les deux angles à la base : $70°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$.",
"variants": [
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\\widehat{BAC} = 40°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$70°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 40° = 140°$, soit $70°$ chacun."
},
{
"text": "$140°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $70°$."
},
{
"text": "$40°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $70°$."
},
{
"text": "$160°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 40°$ entre les deux angles à la base : $70°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\\widehat{BAC} = 50°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$65°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 50° = 130°$, soit $65°$ chacun."
},
{
"text": "$130°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $65°$."
},
{
"text": "$50°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $65°$."
},
{
"text": "$155°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 50°$ entre les deux angles à la base : $65°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\\widehat{BAC} = 100°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$40°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 100° = 80°$, soit $40°$ chacun."
},
{
"text": "$80°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $40°$."
},
{
"text": "$100°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $40°$."
},
{
"text": "$130°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 100°$ entre les deux angles à la base : $40°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\\widehat{BAC} = 36°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$72°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 36° = 144°$, soit $72°$ chacun."
},
{
"text": "$144°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $72°$."
},
{
"text": "$36°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $72°$."
},
{
"text": "$162°$",
"correct": false,
"feedback": "Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 36°$ entre les deux angles à la base : $72°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$."
}
]
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"triangle",
"triangle-rectangle"
],
"title": "Angles aigus d'un triangle rectangle",
"partie": "triangles",
"statement": "Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $32°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?",
"options": [
{
"text": "$58°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 32° = 58°$."
},
{
"text": "$148°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 32° = 58°$."
},
{
"text": "$32°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $58°$."
},
{
"text": "$238°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 32° = 58°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.",
"variants": [
{
"statement": "Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $32°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?",
"options": [
{
"text": "$58°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 32° = 58°$."
},
{
"text": "$148°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 32° = 58°$."
},
{
"text": "$32°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $58°$."
},
{
"text": "$238°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 32° = 58°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$."
},
{
"statement": "Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $57°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?",
"options": [
{
"text": "$33°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 57° = 33°$."
},
{
"text": "$123°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 57° = 33°$."
},
{
"text": "$57°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $33°$."
},
{
"text": "$213°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 57° = 33°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$."
},
{
"statement": "Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $41°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?",
"options": [
{
"text": "$49°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 41° = 49°$."
},
{
"text": "$139°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 41° = 49°$."
},
{
"text": "$41°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $49°$."
},
{
"text": "$229°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 41° = 49°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$."
},
{
"statement": "Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $68°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?",
"options": [
{
"text": "$22°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 68° = 22°$."
},
{
"text": "$112°$",
"correct": false,
"feedback": "L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 68° = 22°$."
},
{
"text": "$68°$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $22°$."
},
{
"text": "$202°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 68° = 22°$."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$."
}
]
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 1,
"skills": [
"triangle",
"equilateral"
],
"title": "Angles d'un triangle équilatéral",
"partie": "triangles",
"statement": "Combien mesure chacun des angles d'un triangle équilatéral ?",
"options": [
{
"text": "$60°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les trois angles sont égaux et leur somme vaut $180°$, donc $180° \\div 3 = 60°$."
},
{
"text": "$90°$",
"correct": false,
"feedback": "Trois angles de $90°$ feraient $270°$, plus que la somme des angles d'un triangle."
},
{
"text": "$45°$",
"correct": false,
"feedback": "Trois angles de $45°$ feraient $135°$, moins que $180°$."
},
{
"text": "$120°$",
"correct": false,
"feedback": "Trois angles de $120°$ feraient $360°$, le double de la somme des angles d'un triangle."
}
],
"explanation": "Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux, de $60°$ chacun."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"triangle",
"inegalite-triangulaire"
],
"title": "Longueurs qui forment un triangle",
"partie": "triangles",
"statement": "Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?",
"options": [
{
"text": "$4$ cm, $5$ cm et $8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"text": "$3$ cm, $4$ cm et $8$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$2$ cm, $6$ cm et $9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$5$ cm, $5$ cm et $11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
}
],
"explanation": "On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres.",
"variants": [
{
"statement": "Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?",
"options": [
{
"text": "$4$ cm, $5$ cm et $8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"text": "$3$ cm, $4$ cm et $8$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$2$ cm, $6$ cm et $9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$5$ cm, $5$ cm et $11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
}
],
"explanation": "On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"statement": "Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm, $7$ cm et $12$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"text": "$2$ cm, $7$ cm et $10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$4$ cm, $5$ cm et $10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$3$ cm, $3$ cm et $7$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
}
],
"explanation": "On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"statement": "Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?",
"options": [
{
"text": "$3$ cm, $8$ cm et $9$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"text": "$3$ cm, $5$ cm et $9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$4$ cm, $4$ cm et $9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$2$ cm, $6$ cm et $10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
}
],
"explanation": "On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"statement": "Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm, $9$ cm et $10$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres."
},
{
"text": "$4$ cm, $5$ cm et $10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$3$ cm, $6$ cm et $11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
},
{
"text": "$2$ cm, $8$ cm et $11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre."
}
],
"explanation": "On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres."
}
]
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 1,
"skills": [
"mediatrice",
"definition"
],
"title": "Définition de la médiatrice",
"partie": "triangles",
"statement": "Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?",
"options": [
{
"text": "La droite perpendiculaire au segment en son milieu",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : elle coupe le segment en son milieu et forme un angle droit avec lui."
},
{
"text": "Une droite quelconque passant par le milieu du segment",
"correct": false,
"feedback": "Une infinité de droites passent par le milieu ; la médiatrice est celle qui est en plus perpendiculaire au segment."
},
{
"text": "La perpendiculaire au segment passant par une de ses extrémités",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice passe par le milieu du segment, pas par une extrémité."
},
{
"text": "La demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux",
"correct": false,
"feedback": "C'est la bissectrice d'un angle. La médiatrice concerne un segment."
}
],
"explanation": "La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"mediatrice",
"distances"
],
"title": "Un point de la médiatrice",
"partie": "triangles",
"statement": "Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 5$ cm. Combien mesure $MB$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"text": "$10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 5$ cm."
},
{
"text": "$2{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 5$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 5$ cm."
}
],
"explanation": "Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$.",
"variants": [
{
"statement": "Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 5$ cm. Combien mesure $MB$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"text": "$10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 5$ cm."
},
{
"text": "$2{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 5$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 5$ cm."
}
],
"explanation": "Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"statement": "Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 7$ cm. Combien mesure $MB$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"text": "$14$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 7$ cm."
},
{
"text": "$3{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 7$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 7$ cm."
}
],
"explanation": "Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"statement": "Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 4{,}5$ cm. Combien mesure $MB$ ?",
"options": [
{
"text": "$4{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 4{,}5$ cm."
},
{
"text": "$2{,}25$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 4{,}5$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 4{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"statement": "Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 6$ cm. Combien mesure $MB$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 6$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 6$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 6$ cm."
}
],
"explanation": "Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$."
}
]
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 1,
"skills": [
"hauteur",
"definition"
],
"title": "Hauteur d'un triangle",
"partie": "triangles",
"statement": "Dans un triangle $ABC$, qu'appelle-t-on la hauteur issue de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "La droite passant par $A$ perpendiculaire à $(BC)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : elle part du sommet $A$ et coupe la droite $(BC)$ à angle droit."
},
{
"text": "La droite qui passe par $A$ et par le milieu de $[BC]$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la médiane issue de $A$. La hauteur est perpendiculaire à $(BC)$."
},
{
"text": "La perpendiculaire à $[BC]$ menée en son milieu",
"correct": false,
"feedback": "C'est la médiatrice de $[BC]$ ; elle ne passe pas par $A$ en général."
},
{
"text": "La droite passant par $A$ parallèle à $(BC)$",
"correct": false,
"feedback": "Une parallèle à $(BC)$ ne la coupe jamais. La hauteur est perpendiculaire à $(BC)$."
}
],
"explanation": "Un triangle a trois hauteurs, une par sommet ; elles sont concourantes. La hauteur sert à calculer l'aire : base $\\times$ hauteur $\\div 2$."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"mediane",
"aire"
],
"title": "Aire partagée par une médiane",
"partie": "triangles",
"statement": "Un triangle $ABC$ a une aire de $24$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm$^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$."
},
{
"text": "$8$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $12$ cm$^2$ chacune."
},
{
"text": "$6$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $12$ cm$^2$."
},
{
"text": "$24$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $12$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire.",
"variants": [
{
"statement": "Un triangle $ABC$ a une aire de $24$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm$^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$."
},
{
"text": "$8$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $12$ cm$^2$ chacune."
},
{
"text": "$6$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $12$ cm$^2$."
},
{
"text": "$24$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $12$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ a une aire de $30$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?",
"options": [
{
"text": "$15$ cm$^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$."
},
{
"text": "$10$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $15$ cm$^2$ chacune."
},
{
"text": "$7{,}5$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $15$ cm$^2$."
},
{
"text": "$30$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $15$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ a une aire de $18$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?",
"options": [
{
"text": "$9$ cm$^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$."
},
{
"text": "$6$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $9$ cm$^2$ chacune."
},
{
"text": "$4{,}5$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $9$ cm$^2$."
},
{
"text": "$18$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $9$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ a une aire de $42$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?",
"options": [
{
"text": "$21$ cm$^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$."
},
{
"text": "$14$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $21$ cm$^2$ chacune."
},
{
"text": "$10{,}5$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $21$ cm$^2$."
},
{
"text": "$42$ cm$^2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $21$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire."
}
]
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"triangle-rectangle",
"cercle-circonscrit"
],
"title": "Cercle circonscrit à un triangle rectangle",
"partie": "triangles",
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 12$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\\dfrac{12}{2} = 6$ cm."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $6$ cm."
},
{
"text": "$24$ cm",
"correct": false,
"feedback": "L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $6$ cm."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $6$ cm."
}
],
"explanation": "Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse.",
"variants": [
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 12$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\\dfrac{12}{2} = 6$ cm."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $6$ cm."
},
{
"text": "$24$ cm",
"correct": false,
"feedback": "L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $6$ cm."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $6$ cm."
}
],
"explanation": "Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 15$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?",
"options": [
{
"text": "$7{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\\dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm."
},
{
"text": "$15$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $7{,}5$ cm."
},
{
"text": "$30$ cm",
"correct": false,
"feedback": "L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $7{,}5$ cm."
},
{
"text": "$5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $7{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 9$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?",
"options": [
{
"text": "$4{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\\dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $4{,}5$ cm."
},
{
"text": "$18$ cm",
"correct": false,
"feedback": "L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $4{,}5$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $4{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 6$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?",
"options": [
{
"text": "$3$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\\dfrac{6}{2} = 3$ cm."
},
{
"text": "$6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $3$ cm."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $3$ cm."
},
{
"text": "$2$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $3$ cm."
}
],
"explanation": "Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse."
}
]
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"mediatrice",
"cercle-circonscrit"
],
"title": "Point commun aux trois médiatrices",
"partie": "triangles",
"statement": "Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point. Que représente ce point ?",
"options": [
{
"text": "Le centre du cercle circonscrit",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point est à égale distance des trois sommets, c'est le centre du cercle qui passe par eux."
},
{
"text": "Le milieu du plus grand côté du triangle",
"correct": false,
"feedback": "C'est le cas seulement pour un triangle rectangle. En général, le point est ailleurs."
},
{
"text": "Le point où se coupent les trois hauteurs",
"correct": false,
"feedback": "Les hauteurs passent par les sommets, pas les médiatrices. Les deux points diffèrent en général."
},
{
"text": "Un sommet du triangle, toujours le même",
"correct": false,
"feedback": "Une médiatrice ne passe pas par les extrémités du côté. Le point est à égale distance des trois sommets."
}
],
"explanation": "Chaque médiatrice contient les points équidistants de deux sommets ; leur point commun est équidistant des trois sommets."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"triangles-semblables",
"proportionnalite"
],
"title": "Triangles de mêmes angles",
"partie": "triangles",
"statement": "Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm. Le plus petit côté du second mesure $6$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\\dfrac{6}{3} = 2$, donc $6 \\times 2 = 12$ cm."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté $6 - 3$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $2$."
},
{
"text": "$8$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'image du côté moyen, $4$ cm. Le plus grand côté correspond à $6$ cm : $6 \\times 2 = 12$ cm."
},
{
"text": "$36$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a multiplié par $6$ au lieu du coefficient $\\dfrac{6}{3} = 2$ : on trouve $12$ cm."
}
],
"explanation": "Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand.",
"variants": [
{
"statement": "Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm. Le plus petit côté du second mesure $6$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\\dfrac{6}{3} = 2$, donc $6 \\times 2 = 12$ cm."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté $6 - 3$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $2$."
},
{
"text": "$8$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'image du côté moyen, $4$ cm. Le plus grand côté correspond à $6$ cm : $6 \\times 2 = 12$ cm."
},
{
"text": "$36$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a multiplié par $6$ au lieu du coefficient $\\dfrac{6}{3} = 2$ : on trouve $12$ cm."
}
],
"explanation": "Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand."
},
{
"statement": "Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm. Le plus petit côté du second mesure $15$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?",
"options": [
{
"text": "$30$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\\dfrac{15}{5} = 3$, donc $10 \\times 3 = 30$ cm."
},
{
"text": "$20$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté $15 - 5$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $3$."
},
{
"text": "$21$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'image du côté moyen, $7$ cm. Le plus grand côté correspond à $10$ cm : $10 \\times 3 = 30$ cm."
},
{
"text": "$150$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a multiplié par $15$ au lieu du coefficient $\\dfrac{15}{5} = 3$ : on trouve $30$ cm."
}
],
"explanation": "Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand."
},
{
"statement": "Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $4$ cm, $5$ cm et $7$ cm. Le plus petit côté du second mesure $6$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?",
"options": [
{
"text": "$10{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, donc $7 \\times 1{,}5 = 10{,}5$ cm."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté $6 - 4$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $1{,}5$."
},
{
"text": "$7{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'image du côté moyen, $5$ cm. Le plus grand côté correspond à $7$ cm : $7 \\times 1{,}5 = 10{,}5$ cm."
},
{
"text": "$42$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a multiplié par $6$ au lieu du coefficient $\\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ : on trouve $10{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand."
},
{
"statement": "Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $2$ cm, $3$ cm et $4$ cm. Le plus petit côté du second mesure $5$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?",
"options": [
{
"text": "$10$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\\dfrac{5}{2} = 2{,}5$, donc $4 \\times 2{,}5 = 10$ cm."
},
{
"text": "$7$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté $5 - 2$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $2{,}5$."
},
{
"text": "$7{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'image du côté moyen, $3$ cm. Le plus grand côté correspond à $4$ cm : $4 \\times 2{,}5 = 10$ cm."
},
{
"text": "$20$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On a multiplié par $5$ au lieu du coefficient $\\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ : on trouve $10$ cm."
}
],
"explanation": "Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand."
}
]
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parallelogramme",
"diagonales"
],
"title": "Diagonales qui se coupent en leur milieu",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu. Quelle est sa nature ?",
"options": [
{
"text": "C'est un parallélogramme",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est une propriété caractéristique du parallélogramme."
},
{
"text": "C'est forcément un rectangle",
"correct": false,
"feedback": "Il faudrait en plus des diagonales de même longueur. On sait seulement que c'est un parallélogramme."
},
{
"text": "C'est forcément un losange",
"correct": false,
"feedback": "Il faudrait en plus des diagonales perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme."
},
{
"text": "C'est forcément un carré",
"correct": false,
"feedback": "Il faudrait des diagonales de même longueur et perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme."
}
],
"explanation": "Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"rectangle",
"diagonales"
],
"title": "Parallélogramme aux diagonales égales",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Un parallélogramme a des diagonales de même longueur. Quelle est sa nature ?",
"options": [
{
"text": "C'est un rectangle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle."
},
{
"text": "C'est un losange",
"correct": false,
"feedback": "Le losange se reconnaît à des diagonales perpendiculaires, pas de même longueur."
},
{
"text": "C'est un carré",
"correct": false,
"feedback": "Un carré a des diagonales égales, mais aussi perpendiculaires, ce qui n'est pas donné ici."
},
{
"text": "C'est un trapèze",
"correct": false,
"feedback": "Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; le cas étudié ici est le rectangle."
}
],
"explanation": "Parallélogramme et diagonales de même longueur : rectangle. Parallélogramme et diagonales perpendiculaires : losange. Les deux à la fois : carré."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"losange",
"diagonales"
],
"title": "Parallélogramme aux diagonales perpendiculaires",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires. Quelle est sa nature ?",
"options": [
{
"text": "C'est un losange",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange."
},
{
"text": "C'est un rectangle",
"correct": false,
"feedback": "Le rectangle se reconnaît à des diagonales de même longueur, pas perpendiculaires."
},
{
"text": "C'est un carré",
"correct": false,
"feedback": "Un carré a des diagonales perpendiculaires, mais aussi de même longueur, ce qui n'est pas donné ici."
},
{
"text": "C'est un cerf-volant non parallélogramme",
"correct": false,
"feedback": "L'énoncé dit que c'est un parallélogramme ; avec des diagonales perpendiculaires, c'est un losange."
}
],
"explanation": "Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; ce sont aussi des axes de symétrie."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parallelogramme",
"cotes"
],
"title": "Côtés opposés d'un parallélogramme",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 7$ cm."
},
{
"text": "$11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $7$ cm."
},
{
"text": "$14$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 7$ cm."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur.",
"variants": [
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 7$ cm."
},
{
"text": "$11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $7$ cm."
},
{
"text": "$14$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 7$ cm."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 5$ cm et $BC = 9$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 5$ cm."
},
{
"text": "$14$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $5$ cm."
},
{
"text": "$10$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 5$ cm."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 6{,}5$ cm et $BC = 3$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
"options": [
{
"text": "$6{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 6{,}5$ cm."
},
{
"text": "$9{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $6{,}5$ cm."
},
{
"text": "$13$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 6{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 8$ cm et $BC = 11$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur."
},
{
"text": "$11$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 8$ cm."
},
{
"text": "$19$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $8$ cm."
},
{
"text": "$16$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 8$ cm."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur."
}
]
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallelogramme",
"angles"
],
"title": "Angles consécutifs d'un parallélogramme",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $\\widehat{DAB} = 70°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$110°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 70° = 110°$."
},
{
"text": "$70°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\\widehat{DAB}$ et $\\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $110°$."
},
{
"text": "$20°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 70° = 110°$."
},
{
"text": "$290°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $110°$."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles.",
"variants": [
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $\\widehat{DAB} = 70°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$110°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 70° = 110°$."
},
{
"text": "$70°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\\widehat{DAB}$ et $\\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $110°$."
},
{
"text": "$20°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 70° = 110°$."
},
{
"text": "$290°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $110°$."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $\\widehat{DAB} = 55°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$125°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 55° = 125°$."
},
{
"text": "$55°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\\widehat{DAB}$ et $\\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $125°$."
},
{
"text": "$35°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 55° = 125°$."
},
{
"text": "$305°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $125°$."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $\\widehat{DAB} = 62°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$118°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 62° = 118°$."
},
{
"text": "$62°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\\widehat{DAB}$ et $\\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $118°$."
},
{
"text": "$28°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 62° = 118°$."
},
{
"text": "$298°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $118°$."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme avec $\\widehat{DAB} = 48°$. Combien mesure l'angle $\\widehat{ABC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$132°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 48° = 132°$."
},
{
"text": "$48°$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\\widehat{DAB}$ et $\\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $132°$."
},
{
"text": "$42°$",
"correct": false,
"feedback": "Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 48° = 132°$."
},
{
"text": "$312°$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $132°$."
}
],
"explanation": "Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles."
}
]
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 1,
"skills": [
"losange",
"proprietes"
],
"title": "Propriété du losange",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Quelle propriété possède tout losange ?",
"options": [
{
"text": "Ses quatre côtés ont la même longueur",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du losange."
},
{
"text": "Ses quatre angles sont des angles droits",
"correct": false,
"feedback": "C'est le cas du rectangle ; un losange non carré n'a pas d'angle droit."
},
{
"text": "Ses deux diagonales ont la même longueur",
"correct": false,
"feedback": "C'est le cas du rectangle ; les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, pas égales."
},
{
"text": "Seuls deux de ses côtés ont la même longueur",
"correct": false,
"feedback": "Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur."
}
],
"explanation": "Le losange est un quadrilatère à quatre côtés égaux ; c'est un parallélogramme particulier, aux diagonales perpendiculaires."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 3,
"skills": [
"carre",
"nature"
],
"title": "Nature la plus précise",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit. Quelle est sa nature la plus précise ?",
"options": [
{
"text": "Un carré",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quatre côtés égaux en font un losange, et un losange qui a un angle droit est un carré."
},
{
"text": "Un losange qui n'est pas un carré",
"correct": false,
"feedback": "Un losange ayant un angle droit en a quatre : c'est un carré."
},
{
"text": "Un rectangle qui n'est pas un carré",
"correct": false,
"feedback": "Ses quatre côtés sont égaux : un rectangle à côtés égaux est un carré."
},
{
"text": "Un parallélogramme quelconque",
"correct": false,
"feedback": "C'est un parallélogramme, mais pas quelconque : côtés égaux et angle droit en font un carré."
}
],
"explanation": "Le carré est à la fois un rectangle et un losange : quatre côtés égaux et quatre angles droits."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 2,
"skills": [
"rectangle",
"diagonales"
],
"title": "Diagonales d'un rectangle",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "$ABCD$ est un rectangle avec $AC = 8$ cm. Combien mesure $BD$ ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $8$ cm."
},
{
"text": "$16$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 8$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 8$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.",
"variants": [
{
"statement": "$ABCD$ est un rectangle avec $AC = 8$ cm. Combien mesure $BD$ ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $8$ cm."
},
{
"text": "$16$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 8$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 8$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un rectangle avec $AC = 12$ cm. Combien mesure $BD$ ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur."
},
{
"text": "$6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $12$ cm."
},
{
"text": "$24$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 12$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 12$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un rectangle avec $AC = 9{,}5$ cm. Combien mesure $BD$ ?",
"options": [
{
"text": "$9{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur."
},
{
"text": "$4{,}75$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $9{,}5$ cm."
},
{
"text": "$19$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 9{,}5$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 9{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un rectangle avec $AC = 15$ cm. Combien mesure $BD$ ?",
"options": [
{
"text": "$15$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur."
},
{
"text": "$7{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $15$ cm."
},
{
"text": "$30$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 15$ cm."
},
{
"text": "Les données ne suffisent pas",
"correct": false,
"feedback": "Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 15$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallelogramme",
"diagonales"
],
"title": "Demi-diagonale d'un parallélogramme",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \\times 3 = 6$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 6$ cm."
},
{
"text": "$1{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 6$ cm."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 3 + 3 = 6$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$.",
"variants": [
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \\times 3 = 6$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 6$ cm."
},
{
"text": "$1{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 6$ cm."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 3 + 3 = 6$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 4{,}5$ cm. Combien mesure $AC$ ?",
"options": [
{
"text": "$9$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \\times 4{,}5 = 9$ cm."
},
{
"text": "$4{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 9$ cm."
},
{
"text": "$2{,}25$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 9$ cm."
},
{
"text": "$18$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 4{,}5 + 4{,}5 = 9$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 6$ cm. Combien mesure $AC$ ?",
"options": [
{
"text": "$12$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \\times 6 = 12$ cm."
},
{
"text": "$6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 12$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 12$ cm."
},
{
"text": "$24$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 6 + 6 = 12$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$."
},
{
"statement": "$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 7{,}5$ cm. Combien mesure $AC$ ?",
"options": [
{
"text": "$15$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \\times 7{,}5 = 15$ cm."
},
{
"text": "$7{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 15$ cm."
},
{
"text": "$3{,}75$ cm",
"correct": false,
"feedback": "$O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 15$ cm."
},
{
"text": "$30$ cm",
"correct": false,
"feedback": "On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 7{,}5 + 7{,}5 = 15$ cm."
}
],
"explanation": "Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"rectangle",
"proprietes"
],
"title": "Ce qui n'est pas toujours vrai d'un rectangle",
"partie": "quadrilateres",
"statement": "Laquelle de ces propriétés n'est pas vraie pour tous les rectangles ?",
"options": [
{
"text": "Ses diagonales sont perpendiculaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est vrai seulement pour les rectangles qui sont des carrés."
},
{
"text": "Ses diagonales ont la même longueur",
"correct": false,
"feedback": "C'est vrai pour tout rectangle."
},
{
"text": "Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux",
"correct": false,
"feedback": "C'est vrai pour tout rectangle, qui est un parallélogramme."
},
{
"text": "Ses quatre angles sont des angles droits",
"correct": false,
"feedback": "C'est la définition du rectangle."
}
],
"explanation": "Un rectangle a quatre angles droits ; ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. Elles ne sont perpendiculaires que si c'est un carré."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"symetrie-axiale",
"conservation"
],
"title": "Image d'un segment par symétrie axiale",
"partie": "transformations",
"statement": "Un segment mesure $6$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $6$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $6$ cm."
},
{
"text": "Cela dépend de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $6$ cm."
}
],
"explanation": "Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés.",
"variants": [
{
"statement": "Un segment mesure $6$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs."
},
{
"text": "$12$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $6$ cm."
},
{
"text": "$3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $6$ cm."
},
{
"text": "Cela dépend de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $6$ cm."
}
],
"explanation": "Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés."
},
{
"statement": "Un segment mesure $4{,}5$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?",
"options": [
{
"text": "$4{,}5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs."
},
{
"text": "$9$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $4{,}5$ cm."
},
{
"text": "$2{,}25$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $4{,}5$ cm."
},
{
"text": "Cela dépend de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $4{,}5$ cm."
}
],
"explanation": "Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés."
},
{
"statement": "Un segment mesure $8$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs."
},
{
"text": "$16$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $8$ cm."
},
{
"text": "$4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $8$ cm."
},
{
"text": "Cela dépend de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $8$ cm."
}
],
"explanation": "Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés."
},
{
"statement": "Un segment mesure $3{,}2$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?",
"options": [
{
"text": "$3{,}2$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs."
},
{
"text": "$6{,}4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $3{,}2$ cm."
},
{
"text": "$1{,}6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $3{,}2$ cm."
},
{
"text": "Cela dépend de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $3{,}2$ cm."
}
],
"explanation": "Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"symetrie-centrale",
"definition"
],
"title": "Définition de la symétrie centrale",
"partie": "transformations",
"statement": "Le point $A'$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$. Qu'est-ce que cela signifie ?",
"options": [
{
"text": "$O$ est le milieu du segment $[AA']$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la symétrie de centre $O$, ou demi-tour autour de $O$, envoie $A$ de l'autre côté de $O$, à la même distance."
},
{
"text": "$A$ est le milieu du segment $[OA']$",
"correct": false,
"feedback": "C'est $O$, le centre, qui est au milieu : $OA = OA'$, et $O$ est sur $[AA']$."
},
{
"text": "$A'$ est sur la perpendiculaire à $(OA)$ en $O$",
"correct": false,
"feedback": "Cela décrirait un quart de tour. Le demi-tour place $A'$ sur la droite $(OA)$, de l'autre côté de $O$."
},
{
"text": "$OA'$ est le double de $OA$",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie conserve les distances au centre : $OA' = OA$."
}
],
"explanation": "Dans la symétrie de centre $O$, chaque point $A$ a pour image le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu de $[AA']$ ; c'est un demi-tour autour de $O$."
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"symetrie-axiale",
"coordonnees"
],
"title": "Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées",
"partie": "transformations",
"statement": "Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(3\\,;\\,5)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(-3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $5$ et son abscisse devient $-3$."
}
],
"explanation": "Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\\,;\\,y)$ devient $(-x\\,;\\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\\,;\\,-y)$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(3\\,;\\,5)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(-3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $5$ et son abscisse devient $-3$."
}
],
"explanation": "Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\\,;\\,y)$ devient $(-x\\,;\\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(-2\\,;\\,4)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $4$ et son abscisse devient $2$."
}
],
"explanation": "Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\\,;\\,y)$ devient $(-x\\,;\\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(4\\,;\\,-1)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $-1$ et son abscisse devient $-4$."
}
],
"explanation": "Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\\,;\\,y)$ devient $(-x\\,;\\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(6\\,;\\,2)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(-6\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe."
},
{
"text": "$(-6\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $2$ et son abscisse devient $-6$."
}
],
"explanation": "Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\\,;\\,y)$ devient $(-x\\,;\\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\\,;\\,-y)$."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 3,
"skills": [
"symetrie-centrale",
"coordonnees"
],
"title": "Symétrique d'un point par rapport à un autre",
"partie": "transformations",
"statement": "Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(1\\,;\\,2)$ par rapport au point $B(3\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,8)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $2$ en abscisse et de $3$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(5\\,;\\,8)$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(5\\,;\\,8)$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$."
}
],
"explanation": "$B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(1\\,;\\,2)$ par rapport au point $B(3\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,8)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $2$ en abscisse et de $3$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(5\\,;\\,8)$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(5\\,;\\,8)$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$."
}
],
"explanation": "$B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$."
},
{
"statement": "Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(2\\,;\\,-1)$ par rapport au point $B(4\\,;\\,1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $2$ en abscisse et de $2$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(6\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(6\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$."
}
],
"explanation": "$B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$."
},
{
"statement": "Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(-1\\,;\\,3)$ par rapport au point $B(2\\,;\\,2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $-1$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(5\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(5\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$."
}
],
"explanation": "$B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$."
},
{
"statement": "Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(0\\,;\\,4)$ par rapport au point $B(3\\,;\\,1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $-3$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(6\\,;\\,-2)$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(6\\,;\\,-2)$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$."
}
],
"explanation": "$B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"symetrie-axiale",
"axes"
],
"title": "Axes de symétrie d'un rectangle",
"partie": "transformations",
"statement": "Combien d'axes de symétrie possède un rectangle qui n'est pas un carré ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Les diagonales d'un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie : le pliage selon une diagonale ne superpose pas les deux moitiés."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Il y a deux axes, l'un parallèle à la longueur, l'autre parallèle à la largeur."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Un rectangle se replie sur lui-même selon la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés."
}
],
"explanation": "Un carré a quatre axes de symétrie (les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales) ; un rectangle non carré n'en a que deux."
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 1,
"skills": [
"symetrie-axiale",
"conservation"
],
"title": "Ce que conserve une symétrie",
"partie": "transformations",
"statement": "Que conserve une symétrie axiale ?",
"options": [
{
"text": "Les longueurs, les angles et les aires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la figure et son image sont superposables."
},
{
"text": "Les longueurs mais pas les angles",
"correct": false,
"feedback": "Les angles sont conservés aussi : un angle droit a pour image un angle droit."
},
{
"text": "Les angles mais pas les aires",
"correct": false,
"feedback": "Les aires sont conservées : deux figures superposables ont la même aire."
},
{
"text": "Seulement l'alignement des points",
"correct": false,
"feedback": "L'alignement est conservé, mais aussi les longueurs, les angles et les aires."
}
],
"explanation": "Une symétrie axiale, une symétrie centrale et une translation conservent toutes les longueurs, les angles, les aires et l'alignement."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"translation",
"parallelogramme"
],
"title": "Translation et parallélogramme",
"partie": "transformations",
"statement": "La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en $D$. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$ABDC$ est un parallélogramme",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on va de $C$ à $D$ comme de $A$ à $B$, donc $[AB]$ et $[CD]$ sont deux côtés opposés : l'ordre des sommets est $A$, $B$, $D$, $C$."
},
{
"text": "$ABCD$ est un parallélogramme",
"correct": false,
"feedback": "L'ordre des sommets est faux : dans $ABCD$, $[AB]$ et $[CD]$ seraient parcourus en sens contraires. C'est $ABDC$."
},
{
"text": "$D$ est le milieu du segment $[BC]$",
"correct": false,
"feedback": "La translation déplace $C$ autant que $A$ : $CD = AB$, et $D$ n'est pas sur $[BC]$ en général."
},
{
"text": "$C$ est le milieu du segment $[AD]$",
"correct": false,
"feedback": "Rien n'aligne $A$, $C$ et $D$ : la translation fait de $ABDC$ un parallélogramme."
}
],
"explanation": "Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en $D$, alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati si les points sont alignés."
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"translation",
"coordonnees"
],
"title": "Image d'un point par une translation",
"partie": "transformations",
"statement": "Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\\,;\\,2)$ en $B(4\\,;\\,3)$ transforme le point $C(0\\,;\\,5)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(3\\,;\\,6)$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(3\\,;\\,6)$."
}
],
"explanation": "Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\\,;\\,2)$ en $B(4\\,;\\,3)$ transforme le point $C(0\\,;\\,5)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(3\\,;\\,6)$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(3\\,;\\,6)$."
}
],
"explanation": "Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical."
},
{
"statement": "Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\\,;\\,2)$ en $B(4\\,;\\,3)$ transforme le point $C(-2\\,;\\,1)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(1\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(1\\,;\\,2)$."
}
],
"explanation": "Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical."
},
{
"statement": "Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\\,;\\,2)$ en $B(4\\,;\\,3)$ transforme le point $C(5\\,;\\,-3)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$(8\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(8\\,;\\,-2)$."
},
{
"text": "$(9\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(8\\,;\\,-2)$."
}
],
"explanation": "Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical."
},
{
"statement": "Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\\,;\\,2)$ en $B(4\\,;\\,3)$ transforme le point $C(2\\,;\\,4)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(5\\,;\\,5)$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(5\\,;\\,5)$."
}
],
"explanation": "Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"symetrie-centrale",
"reconnaitre"
],
"title": "Reconnaître un demi-tour",
"partie": "transformations",
"statement": "Sur le quadrillage ci-dessous, quelle transformation permet de passer de la figure $F$ à la figure $F'$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.55]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (10,6);\n \\draw[dashed] (5,-0.4) -- (5,6.4) node[above] {$(d)$};\n \\fill (5,3) circle (3pt);\n \\node[below left] at (5,3) {$O$};\n \\filldraw[fill=blue!20,draw=blue,thick] (1,3) -- (3,3) -- (3,4) -- (2,4) -- (2,6) -- (1,6) -- cycle;\n \\node[blue] at (0.5,4.5) {$F$};\n \\filldraw[fill=orange!25,draw=orange!80!black,thick] (9,3) -- (7,3) -- (7,2) -- (8,2) -- (8,0) -- (9,0) -- cycle;\n \\node[orange!80!black] at (9.6,1.5) {$F'$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' de même forme, retournée tête en bas, avec le pied tourné vers la gauche en haut.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La symétrie de centre $O$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $F'$ est $F$ retournée d'un demi-tour autour de $O$ ; chaque sommet a son image de l'autre côté de $O$, à la même distance."
},
{
"text": "La symétrie d'axe $(d)$",
"correct": false,
"feedback": "Le symétrique de $F$ par rapport à $(d)$ serait à la même hauteur que $F$, le pied tourné vers la gauche. $F'$ est plus bas et tête en bas."
},
{
"text": "Une translation",
"correct": false,
"feedback": "Une translation ne fait pas tourner la figure : le pied resterait en bas, tourné vers la droite."
},
{
"text": "La symétrie d'axe horizontal passant par $O$",
"correct": false,
"feedback": "Cette symétrie laisserait $F'$ du même côté de $(d)$ que $F$, à gauche. Or $F'$ est passée à droite."
}
],
"explanation": "Un demi-tour autour de $O$ retourne la figure tête en bas et inverse la gauche et la droite ; $O$ est le milieu de chaque segment joignant un point à son image."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 2,
"skills": [
"translation",
"reconnaitre"
],
"title": "Reconnaître une translation",
"partie": "transformations",
"statement": "Les figures $F$ et $F'$ sont tracées sur le quadrillage ci-dessous. Par quelle\ntransformation obtient-on $F'$ à partir de $F$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.55]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (10,6);\n \\draw[dashed] (5,-0.4) -- (5,6.4) node[above] {$(d)$};\n \\fill (5,3) circle (3pt);\n \\node[below left] at (5,3) {$O$};\n \\filldraw[fill=blue!20,draw=blue,thick] (1,3) -- (3,3) -- (3,4) -- (2,4) -- (2,6) -- (1,6) -- cycle;\n \\node[blue] at (0.5,4.5) {$F$};\n \\filldraw[fill=orange!25,draw=orange!80!black,thick] (7,0) -- (9,0) -- (9,1) -- (8,1) -- (8,3) -- (7,3) -- cycle;\n \\node[orange!80!black] at (9.6,2) {$F'$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' identique, dans la même position, avec le pied tourné vers la droite en bas.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Une translation",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $F'$ a la même orientation que $F$ ; chaque point a glissé de $6$ carreaux vers la droite et de $3$ vers le bas."
},
{
"text": "La symétrie de centre $O$",
"correct": false,
"feedback": "Un demi-tour retournerait la figure tête en bas. $F'$ garde le pied en bas, tourné vers la droite."
},
{
"text": "La symétrie d'axe $(d)$",
"correct": false,
"feedback": "Une symétrie axiale retournerait le pied vers la gauche et garderait la même hauteur. $F'$ a glissé sans se retourner."
},
{
"text": "Aucune de ces transformations",
"correct": false,
"feedback": "Le glissement de $6$ carreaux vers la droite et de $3$ vers le bas est une translation."
}
],
"explanation": "Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner : tous les points se déplacent de la même façon."
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 2,
"skills": [
"symetrie-centrale",
"droites"
],
"title": "Image d'une droite par un demi-tour",
"partie": "transformations",
"statement": "Quelle est l'image d'une droite $(\\Delta)$ par une symétrie centrale de centre $O$, si $O$ n'est pas sur $(\\Delta)$ ?",
"options": [
{
"text": "Une droite parallèle à $(\\Delta)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour transforme une droite en une droite parallèle."
},
{
"text": "Une droite perpendiculaire à $(\\Delta)$",
"correct": false,
"feedback": "Cela correspondrait à un quart de tour. Un demi-tour donne une droite parallèle."
},
{
"text": "Une droite qui coupe $(\\Delta)$ au point $O$",
"correct": false,
"feedback": "$O$ n'est pas sur $(\\Delta)$, ni sur son image : les deux droites sont parallèles."
},
{
"text": "Un segment dont $O$ est le milieu",
"correct": false,
"feedback": "L'image d'une droite est une droite entière, parallèle à $(\\Delta)$."
}
],
"explanation": "Une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle ; si le centre est sur la droite, la droite est sa propre image."
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 1,
"skills": [
"symetrie-axiale",
"reconnaitre"
],
"title": "Une lettre symétrique",
"partie": "transformations",
"statement": "Laquelle de ces lettres majuscules possède un axe de symétrie vertical ?",
"options": [
{
"text": "La lettre A",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite verticale qui passe par la pointe du A le partage en deux moitiés superposables par pliage."
},
{
"text": "La lettre N",
"correct": false,
"feedback": "Le N n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé."
},
{
"text": "La lettre F",
"correct": false,
"feedback": "Le F n'a aucune symétrie : ses barres partent toutes vers la droite."
},
{
"text": "La lettre Z",
"correct": false,
"feedback": "Le Z n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé."
}
],
"explanation": "Une figure a un axe de symétrie si le pliage selon cet axe superpose ses deux moitiés. Dans les lettres majuscules usuelles, A, H, M, O, T, U, V, W, X et Y ont un axe vertical."
}
]
}