{
  "chapter": {
    "id": "probabilites",
    "level": "college",
    "theme": "Organisation et gestion de données",
    "title": "Probabilités",
    "description": "Vocabulaire (issue, événement, événement contraire), situations\nd'équiprobabilité, calcul de probabilités, expériences à deux\népreuves, lien entre fréquence observée et probabilité.",
    "parties": [
      {
        "id": "vocabulaire",
        "title": "Vocabulaire et événements"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Calculer une probabilité"
      },
      {
        "id": "deux-epreuves",
        "title": "Expériences à deux épreuves"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equiprobabilite",
        "de"
      ],
      "title": "Obtenir un nombre donné avec un dé",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle\nest la probabilité d'obtenir $4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les six faces ont la même chance de sortir, et une\nseule porte le numéro $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numéro $4$ n'apparaît que sur une face ; le nombre $4$\nn'est pas un nombre d'issues favorables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre d'issues possibles, $6$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Quand toutes les issues ont la même probabilité, la probabilité d'un\névénement vaut $\\dfrac{\\text{nombre d'issues favorables}}{\\text{nombre d'issues possibles}}$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "urne",
        "equiprobabilite"
      ],
      "title": "Tirer une boule dans une urne",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3$ boules rouges parmi $10$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ boules rouges parmi $10$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges, $7$ bleues et $3$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ boules rouges parmi $14$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules rouges, $6$ bleues et $1$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ boules rouges parmi $12$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges, $6$ bleues et $3$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{13}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ boules rouges parmi $13$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contraire"
      ],
      "title": "Probabilité de l'événement contraire",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}3 = 0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$-0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
        }
      ],
      "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}3 = 0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        },
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}45$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}45 = 0{,}55$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        },
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}72$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}72 = 0{,}28$."
            },
            {
              "text": "$0{,}72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        },
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}99$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}01$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}99 = 0{,}01$."
            },
            {
              "text": "$0{,}99$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}99$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "issue"
      ],
      "title": "Issue ou événement",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé à six faces. Que désigne « obtenir un nombre pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un événement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il est réalisé par les issues $2$, $4$ et $6$."
        },
        {
          "text": "Une issue de l'expérience",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une issue est un résultat unique, comme « obtenir $4$ ».\nIci, plusieurs résultats conviennent."
        },
        {
          "text": "Un événement impossible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dé porte trois nombres pairs, cet événement peut se\nréaliser."
        },
        {
          "text": "Un événement certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si l'on obtient $1$, $3$ ou $5$, l'événement n'est pas\nréalisé."
        }
      ],
      "explanation": "Issue : résultat possible de l'expérience. Événement : ensemble\nd'issues, décrit par une phrase."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "impossible",
        "certain"
      ],
      "title": "Probabilités extrêmes",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir un nombre inférieur à $10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes les faces portent un nombre inférieur à\n$10$ ; l'événement est certain."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ est la probabilité d'un événement impossible, comme\n« obtenir $7$ »."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre $10$ n'est pas un nombre d'issues ; il n'y a\nque six issues possibles."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les six issues réalisent toutes l'événement, pas une\nseule."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité est comprise entre $0$ (événement impossible) et $1$\n(événement certain)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evenement",
        "comptage"
      ],
      "title": "Tirer un multiple parmi des cartes",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire au hasard une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ sont $3, 6, 9$, soit $3$ issues favorables sur $10$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « un sur $3$ » n'est pas exact ici, car $10$ n'est pas un multiple de $3$. On compte les issues favorables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $3$, l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par le nombre total d'issues, $10$, pas par le nombre d'issues défavorables."
        }
      ],
      "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On tire au hasard une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ sont $3, 6, 9$, soit $3$ issues favorables sur $10$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « un sur $3$ » n'est pas exact ici, car $10$ n'est pas un multiple de $3$. On compte les issues favorables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $3$, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre total d'issues, $10$, pas par le nombre d'issues défavorables."
            }
          ],
          "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "On tire au hasard une carte parmi $12$ cartes numérotées de $1$ à $12$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $5$ sont $5, 10$, soit $2$ issues favorables sur $12$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « un sur $5$ » n'est pas exact ici, car $12$ n'est pas un multiple de $5$. On compte les issues favorables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $5$, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre total d'issues, $12$, pas par le nombre d'issues défavorables."
            }
          ],
          "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "On tire au hasard une carte parmi $20$ cartes numérotées de $1$ à $20$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ sont $3, 6, 9, 12, 15, 18$, soit $6$ issues favorables sur $20$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « un sur $3$ » n'est pas exact ici, car $20$ n'est pas un multiple de $3$. On compte les issues favorables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{14}{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $3$, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre total d'issues, $20$, pas par le nombre d'issues défavorables."
            }
          ],
          "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "On tire au hasard une carte parmi $15$ cartes numérotées de $1$ à $15$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $4$ sont $4, 8, 12$, soit $3$ issues favorables sur $15$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « un sur $4$ » n'est pas exact ici, car $15$ n'est pas un multiple de $4$. On compte les issues favorables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{12}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $4$, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre total d'issues, $15$, pas par le nombre d'issues défavorables."
            }
          ],
          "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Fréquence observée et probabilité",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance $600$ fois un dé équilibré et le $6$ sort $93$ fois. Que\npeut-on dire ?",
      "options": [
        {
          "text": "La fréquence observée est proche de $\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{93}{600} = 0{,}155$ et\n$\\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}167$ ; sur un grand nombre de lancers, la\nfréquence observée se rapproche de la probabilité, sans lui être\négale."
        },
        {
          "text": "Le dé est truqué, car le $6$ aurait dû sortir $100$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100$ est le nombre moyen attendu. Un écart de quelques\nlancers est normal, le hasard fait fluctuer les résultats."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'obtenir $6$ vaut $0{,}155$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}155$ est une fréquence observée. La probabilité\nd'un dé équilibré est $\\dfrac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "Les prochains lancers donneront plus de $6$ pour compenser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dé n'a pas de mémoire ; chaque lancer est indépendant\ndes précédents."
        }
      ],
      "explanation": "Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence d'un événement\na tendance à se rapprocher de sa probabilité."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "independance",
        "lancers"
      ],
      "title": "Après plusieurs piles",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Une pièce équilibrée vient de tomber cinq fois de suite sur pile.\nQuelle est la probabilité qu'elle tombe sur face au lancer suivant ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer donne\nface avec la probabilité $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "Plus de $\\dfrac{1}{2}$, car face doit bientôt sortir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les lancers précédents n'influencent pas le suivant. Ce\nraisonnement est une erreur fréquente."
        },
        {
          "text": "Moins de $\\dfrac{1}{2}$, car la pièce favorise pile",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pièce est équilibrée ; cinq piles de suite sont\nrares, mais possibles avec une pièce équilibrée."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$, car c'est le sixième lancer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rang du lancer ne change rien ; il n'y a que deux\nissues à chaque lancer."
        }
      ],
      "explanation": "Des lancers successifs sont indépendants : le résultat d'un lancer\nne dépend pas des précédents."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre"
      ],
      "title": "Deux lancers d'une pièce",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux fois pile ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre issues PP, PF, FP et FF sont\néquiprobables, et une seule donne deux piles."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir pile en un\nseul lancer."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « deux piles », « deux faces » et « un de chaque » ne\nsont pas équiprobables : « un de chaque » arrive de deux façons."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{2}$ n'a pas de sens ici ;\ndeux piles de suite ne sont pas certains."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre ou un tableau montre toutes les issues d'une expérience à\ndeux épreuves : ici $2 \\times 2 = 4$ issues."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "tableau"
      ],
      "title": "Somme de deux dés",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on additionne les\nrésultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à\n$7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le tableau à double entrée compte $36$ issues\néquiprobables, dont six donnent $7$ : $(1\\,;\\,6)$, $(2\\,;\\,5)$,\n$(3\\,;\\,4)$, $(4\\,;\\,3)$, $(5\\,;\\,2)$ et $(6\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les onze sommes de $2$ à $12$ ne sont pas équiprobables ;\n$7$ s'obtient de six façons, $2$ d'une seule."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,6)$ et $(6\\,;\\,1)$ sont deux issues différentes,\nles deux dés se distinguent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre $7$ n'est pas le nombre d'issues favorables."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée\npermet de lister et de compter toutes les issues."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraire",
        "au-moins"
      ],
      "title": "Au moins un six",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés. La probabilité de n'obtenir aucun six\nvaut $\\dfrac{25}{36}$. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un\nsix ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{11}{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « au moins un six » est le contraire de « aucun\nsix », donc $1 - \\dfrac{25}{36}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $\\dfrac{1}{6}$ et $\\dfrac{1}{6}$ compte deux\nfois l'issue double six."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir **deux** six."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{25}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, « aucun\nsix »."
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » se traite souvent par l'événement contraire,\n« aucun »."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contraire",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Nommer l'événement contraire",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire une carte dans un jeu. Quel est le contraire de l'événement\n« la carte est un cœur » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« La carte n'est pas un cœur »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire est réalisé exactement quand\nl'événement ne l'est pas."
        },
        {
          "text": "« La carte est un pique »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une carte qui n'est pas un cœur peut aussi être un\ncarreau ou un trèfle."
        },
        {
          "text": "« La carte est noire »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les carreaux sont rouges sans être des cœurs ; ils font\npartie du contraire."
        },
        {
          "text": "« La carte est un cœur rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tous les cœurs sont rouges ; c'est le même événement."
        }
      ],
      "explanation": "L'événement contraire de $A$, noté « non $A$ », regroupe toutes les\nissues qui ne réalisent pas $A$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "roue",
        "aires"
      ],
      "title": "Roue partagée en secteurs égaux",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $9$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $4$ bleus et $2$ jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4$ secteurs bleus sur $9$, tous de même taille, soit $\\dfrac{4}{9} = \\dfrac{4}{9}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, $9$, bleus compris."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $9$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $4$ bleus et $2$ jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ secteurs bleus sur $9$, tous de même taille, soit $\\dfrac{4}{9} = \\dfrac{4}{9}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, $9$, bleus compris."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables."
        },
        {
          "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $12$ secteurs de même taille : $2$ rouges, $7$ bleus et $3$ jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ secteurs bleus sur $12$, tous de même taille, soit $\\dfrac{7}{12} = \\dfrac{7}{12}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, $12$, bleus compris."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables."
        },
        {
          "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $10$ secteurs de même taille : $5$ rouges, $2$ bleus et $3$ jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ secteurs bleus sur $10$, tous de même taille, soit $\\dfrac{2}{10} = \\dfrac{1}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, $10$, bleus compris."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables."
        },
        {
          "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $16$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $9$ bleus et $4$ jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9$ secteurs bleus sur $16$, tous de même taille, soit $\\dfrac{9}{16} = \\dfrac{9}{16}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, $16$, bleus compris."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "probabilite-inconnue",
        "total"
      ],
      "title": "Retrouver le nombre de boules",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{4}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
      "options": [
        {
          "text": "$24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{4}$ du\ntotal, donc le total vaut $6 \\times 4$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{6}{10}$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $6$ boules rouges, donc plus de\n$4$ boules."
        }
      ],
      "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{4}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{4}$ du\ntotal, donc le total vaut $6 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{6}{10}$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $6$ boules rouges, donc plus de\n$4$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{5}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{5}$ du\ntotal, donc le total vaut $5 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{5}{10}$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $5$ boules rouges, donc plus de\n$5$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $9$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{3}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{3}$ du\ntotal, donc le total vaut $9 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $12$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{9}{12}$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $9$ boules rouges, donc plus de\n$3$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $7$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{7}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{7}$ du\ntotal, donc le total vaut $7 \\times 7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $14$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{7}{14}$."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $42$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $7$ boules rouges, donc plus de\n$7$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi",
        "somme"
      ],
      "title": "Probabilité de la troisième couleur",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P(\\text{rouge}) = 0{,}35$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}4$. Que vaut $P(\\text{bleu})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme $1$, donc $1 - 0{,}35 - 0{,}4 = 0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}75$ est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
        },
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}4 - 0{,}35$ ne correspond à rien ici ; on part de $1$."
        }
      ],
      "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P(\\text{rouge}) = 0{,}35$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}4$. Que vaut $P(\\text{bleu})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme $1$, donc $1 - 0{,}35 - 0{,}4 = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}75$ est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4 - 0{,}35$ ne correspond à rien ici ; on part de $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$."
        },
        {
          "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P(\\text{rouge}) = 0{,}2$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}45$. Que vaut $P(\\text{bleu})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme $1$, donc $1 - 0{,}2 - 0{,}45 = 0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}65$ est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}45 - 0{,}2$ ne correspond à rien ici ; on part de $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$."
        },
        {
          "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P(\\text{rouge}) = 0{,}15$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}65$. Que vaut $P(\\text{bleu})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme $1$, donc $1 - 0{,}15 - 0{,}65 = 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}8$ est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}65 - 0{,}15$ ne correspond à rien ici ; on part de $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$."
        },
        {
          "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P(\\text{rouge}) = 0{,}3$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}55$. Que vaut $P(\\text{bleu})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme $1$, donc $1 - 0{,}3 - 0{,}55 = 0{,}15$."
            },
            {
              "text": "$0{,}85$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}85$ est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}55 - 0{,}3$ ne correspond à rien ici ; on part de $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arbre",
        "deux-epreuves",
        "sans-remise"
      ],
      "title": "Deux tirages sans remise",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $1$ bleue. On tire une boule,\non ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la\nprobabilité de tirer deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : notons $R_1$, $R_2$ et $B$ les boules. Les six\ntirages ordonnés sont équiprobables, et deux d'entre eux,\n$(R_1\\,;\\,R_2)$ et $(R_2\\,;\\,R_1)$, donnent deux rouges."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le résultat avec remise. Sans remise, il ne reste\nqu'une rouge sur deux boules au second tirage."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que la **première** boule soit\nrouge."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut deux conditions à la fois, la première boule\nrouge puis la seconde aussi."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un tirage sans remise, la composition de l'urne change après le\npremier tirage. Un arbre aide à lister les issues."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "comparaison",
        "urnes"
      ],
      "title": "Choisir la meilleure urne",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $3$ noires et $7$ blanches, l'urne B contient $5$ noires et $15$ blanches. Quelle urne choisir ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'urne A, car $\\dfrac{3}{10} > \\dfrac{5}{20}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}3$ avec A et $0{,}25$ avec B."
        },
        {
          "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires."
        },
        {
          "text": "Les deux urnes se valent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{10}$ et $\\dfrac{5}{20}$ ne sont pas égales."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
        }
      ],
      "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $3$ noires et $7$ blanches, l'urne B contient $5$ noires et $15$ blanches. Quelle urne choisir ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'urne A, car $\\dfrac{3}{10} > \\dfrac{5}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}3$ avec A et $0{,}25$ avec B."
            },
            {
              "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires."
            },
            {
              "text": "Les deux urnes se valent",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{10}$ et $\\dfrac{5}{20}$ ne sont pas égales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables."
        },
        {
          "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $2$ noires et $3$ blanches, l'urne B contient $7$ noires et $13$ blanches. Quelle urne choisir ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'urne A, car $\\dfrac{2}{5} > \\dfrac{7}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}4$ avec A et $0{,}35$ avec B."
            },
            {
              "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires."
            },
            {
              "text": "Les deux urnes se valent",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ et $\\dfrac{7}{20}$ ne sont pas égales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables."
        },
        {
          "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $4$ noires et $6$ blanches, l'urne B contient $6$ noires et $14$ blanches. Quelle urne choisir ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'urne A, car $\\dfrac{4}{10} > \\dfrac{6}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}4$ avec A et $0{,}3$ avec B."
            },
            {
              "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires."
            },
            {
              "text": "Les deux urnes se valent",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{10}$ et $\\dfrac{6}{20}$ ne sont pas égales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables."
        },
        {
          "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $3$ noires et $5$ blanches, l'urne B contient $9$ noires et $21$ blanches. Quelle urne choisir ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'urne A, car $\\dfrac{3}{8} > \\dfrac{9}{30}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}375$ avec A et $0{,}3$ avec B."
            },
            {
              "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires."
            },
            {
              "text": "Les deux urnes se valent",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ et $\\dfrac{9}{30}$ ne sont pas égales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "equiprobabilite"
      ],
      "title": "Reconnaître une situation équiprobable",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Dans laquelle de ces expériences les issues sont-elles\néquiprobables ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tirer une carte au hasard dans un jeu bien mélangé",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque carte a la même chance d'être tirée."
        },
        {
          "text": "Noter la couleur d'une boule tirée dans une urne de $3$ rouges et\n$1$ verte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les issues « rouge » et « verte » n'ont pas la même\nprobabilité, $\\dfrac{3}{4}$ et $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "Noter la somme de deux dés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les sommes ne sont pas équiprobables ; $7$ est bien plus\nfréquent que $2$."
        },
        {
          "text": "Noter si une punaise lancée tombe pointe en haut",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien ne garantit que les deux positions aient la même\nchance ; seule l'expérience permet d'estimer ces probabilités."
        }
      ],
      "explanation": "L'équiprobabilité est une hypothèse de modélisation, justifiée par la\nsymétrie de la situation (dé équilibré, tirage au hasard)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "estimation",
        "frequence"
      ],
      "title": "Estimer une probabilité par une fréquence",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance $1\\,000$ fois une punaise : elle tombe $620$ fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $0{,}62$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, $\\dfrac{620}{1\\,000}$, fournit une estimation de la probabilité."
        },
        {
          "text": "Exactement $0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables."
        },
        {
          "text": "$620$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $620$ est un effectif. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}38$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
        }
      ],
      "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance $1\\,000$ fois une punaise : elle tombe $620$ fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}62$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, $\\dfrac{620}{1\\,000}$, fournit une estimation de la probabilité."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables."
            },
            {
              "text": "$620$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $620$ est un effectif. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}38$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
            }
          ],
          "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais."
        },
        {
          "statement": "On lance $500$ fois une punaise : elle tombe $335$ fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}67$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, $\\dfrac{335}{500}$, fournit une estimation de la probabilité."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables."
            },
            {
              "text": "$335$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $335$ est un effectif. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
            }
          ],
          "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais."
        },
        {
          "statement": "On lance $2\\,000$ fois une punaise : elle tombe $1\\,160$ fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}58$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, $\\dfrac{1\\,160}{2\\,000}$, fournit une estimation de la probabilité."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables."
            },
            {
              "text": "$1\\,160$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1\\,160$ est un effectif. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
            }
          ],
          "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais."
        },
        {
          "statement": "On lance $800$ fois une punaise : elle tombe $456$ fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}57$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, $\\dfrac{456}{800}$, fournit une estimation de la probabilité."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables."
            },
            {
              "text": "$456$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $456$ est un effectif. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}43$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
            }
          ],
          "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre",
        "comptage"
      ],
      "title": "Un menu tiré au sort",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $2$ et un dessert parmi $3$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 3 = 6$ menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $2$ par $3$, on n'additionne pas."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $6$ menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $2$ et un dessert parmi $3$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 3 = 6$ menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $2$ par $3$, on n'additionne pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte."
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $6$ menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $3$ et un dessert parmi $4$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 4 = 12$ menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $3$ par $4$, on n'additionne pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{11}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte."
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $12$ menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $2$ et un dessert parmi $5$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 5 = 10$ menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $2$ par $5$, on n'additionne pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte."
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $10$ menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité."
        },
        {
          "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $3$ et un dessert parmi $5$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 5 = 15$ menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $3$ par $5$, on n'additionne pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{14}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte."
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $15$ menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Écrire une probabilité de plusieurs façons",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Quelle écriture n'est **pas** égale à la probabilité\n$\\dfrac{3}{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3{,}4$ est supérieur à $1$, ce ne peut pas être\nune probabilité ; $\\dfrac{3}{4}$ vaut $0{,}75$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\div 4 = 0{,}75$, c'est bien la même probabilité."
        },
        {
          "text": "$75\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}75 = \\dfrac{75}{100}$, soit $75\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{6}{8}$ se simplifie en $\\dfrac{3}{4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre\ndécimal ou de pourcentage."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "avec-remise"
      ],
      "title": "Deux tirages avec remise",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $5$ boules dont $2$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $5 \\times 5$ couples de tirages\néquiprobables, dont $2 \\times 2$ sont formés de deux rouges."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
        }
      ],
      "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules dont $2$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $5 \\times 5$ couples de tirages\néquiprobables, dont $2 \\times 2$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules dont $3$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $4 \\times 4$ couples de tirages\néquiprobables, dont $3 \\times 3$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules dont $1$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 3$ couples de tirages\néquiprobables, dont $1 \\times 1$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $7$ boules dont $4$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $7 \\times 7$ couples de tirages\néquiprobables, dont $4 \\times 4$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{49}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "impossible"
      ],
      "title": "Un événement impossible",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire une boule dans une urne qui ne contient que des boules\nrouges et bleues. Quel événement est impossible ?",
      "options": [
        {
          "text": "« La boule est verte »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucune issue ne réalise cet événement, sa\nprobabilité vaut $0$."
        },
        {
          "text": "« La boule est rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'urne contient des boules rouges, cet événement peut\nse réaliser."
        },
        {
          "text": "« La boule est rouge ou bleue »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est au contraire un événement certain."
        },
        {
          "text": "« La boule n'est pas rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il est réalisé quand on tire une boule bleue."
        }
      ],
      "explanation": "Événement impossible : probabilité $0$. Événement certain :\nprobabilité $1$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equiprobabilite",
        "nombres"
      ],
      "title": "Tirer un nombre premier",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On choisit au hasard un entier entre $1$ et $20$, bornes comprises.\nQuelle est la probabilité qu'il soit premier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{20}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les nombres premiers jusqu'à $20$ sont $2$, $3$,\n$5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ n'est pas un nombre premier, il n'a qu'un seul\ndiviseur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{10}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait la probabilité d'obtenir un nombre impair ;\n$9$ et $15$, par exemple, ne sont pas premiers."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est premier ; c'est le seul nombre premier pair."
        }
      ],
      "explanation": "On liste soigneusement les issues favorables avant de calculer."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "jeu",
        "equite"
      ],
      "title": "Un jeu équitable",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance deux pièces équilibrées. Alice gagne si les deux pièces\ntombent du même côté, Bob gagne sinon. Le jeu est-il équitable ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, chacun a une probabilité $\\dfrac{1}{2}$ de gagner",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : PP et FF font gagner Alice, PF et FP font gagner\nBob ; les quatre issues sont équiprobables."
        },
        {
          "text": "Non, Alice a une probabilité $\\dfrac{2}{3}$ de gagner",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a quatre issues équiprobables, et non trois ; « un\nde chaque » arrive de deux façons."
        },
        {
          "text": "Non, Bob a une probabilité $\\dfrac{3}{4}$ de gagner",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : Bob gagne avec PF et FP seulement, deux issues sur\nquatre."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans jouer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pièces étant équilibrées, on peut calculer les\nprobabilités sans jouer."
        }
      ],
      "explanation": "Un jeu est équitable quand chaque joueur a la même probabilité de\ngagner."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence",
        "effectif-attendu"
      ],
      "title": "Nombre de succès attendu",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{6}$. On répète\nl'expérience $300$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $50$ fois",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{6}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{300}{6}$ fois."
        },
        {
          "text": "Exactement $50$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
        },
        {
          "text": "Environ $6$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
        },
        {
          "text": "Environ $250$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{6}$. On répète\nl'expérience $300$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $50$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{6}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{300}{6}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $50$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $6$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $250$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        },
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{5}$. On répète\nl'expérience $200$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $40$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{5}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{200}{5}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $40$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $5$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $160$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        },
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{4}$. On répète\nl'expérience $600$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $150$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{4}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{600}{4}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $150$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $4$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $450$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        },
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{8}$. On répète\nl'expérience $1000$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $125$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{8}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{1000}{8}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $125$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $8$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $875$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraire",
        "deux-epreuves"
      ],
      "title": "Pas deux fois la même couleur",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire deux fois de suite, avec remise, une boule dans une urne de\n$1$ boule rouge et $1$ boule bleue. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux couleurs différentes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les issues RR, RB, BR et BB sont équiprobables, et\ndeux d'entre elles, RB et BR, donnent deux couleurs différentes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : RB et BR sont deux issues distinctes ; elles donnent\ntoutes deux des couleurs différentes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « deux rouges », « deux bleues » et « une de chaque » ne\nsont pas équiprobables."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec remise, on peut tirer deux fois la même boule."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à deux niveaux fait apparaître quatre issues équiprobables ;\non compte celles qui réalisent l'événement."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "echelle",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Placer une probabilité sur une échelle",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Un événement a une probabilité de $0{,}95$. Comment le qualifier ?",
      "options": [
        {
          "text": "Très probable, sans être certain",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}95$ est proche de $1$, mais inférieur à $1$ :\nl'événement peut ne pas se réaliser."
        },
        {
          "text": "Certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul un événement de probabilité $1$ est certain."
        },
        {
          "text": "Peu probable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un événement peu probable a une probabilité proche de\n$0$."
        },
        {
          "text": "Impossible, car $0{,}95$ n'est pas une fraction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité peut s'écrire en décimal ;\n$0{,}95 = \\dfrac{95}{100}$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur l'échelle de $0$ à $1$ : $0$ impossible, $\\dfrac{1}{2}$ une chance\nsur deux, $1$ certain."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evenement",
        "ou"
      ],
      "title": "Un événement décrit par « ou »",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité\nd'obtenir un nombre pair ou un multiple de $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les issues favorables sont $2$, $3$, $4$ et $6$ ;\nle $6$, pair et multiple de $3$, ne compte qu'une fois."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ issues paires et $2$ multiples de $3$ font $5$\nseulement si l'on compte le $6$ deux fois."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair **et**\nmultiple de $3$, c'est-à-dire $6$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair seulement ;\nle $3$ convient aussi."
        }
      ],
      "explanation": "On liste les issues qui réalisent au moins l'une des deux conditions,\nen veillant à ne pas compter deux fois la même."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "urne",
        "modification"
      ],
      "title": "Boules à ajouter pour équilibrer",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $5$ rouges et $5$ bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, $\\dfrac{5}{10} = \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $4$ rouges sur $9$ boules, la probabilité reste inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $8$ rouges sur $13$ boules, la probabilité dépasse $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit $5$ rouges, donc d'en ajouter $2$."
        }
      ],
      "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $5$ rouges et $5$ bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, $\\dfrac{5}{10} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $4$ rouges sur $9$ boules, la probabilité reste inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $8$ rouges sur $13$ boules, la probabilité dépasse $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit $5$ rouges, donc d'en ajouter $2$."
            }
          ],
          "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $7$ boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $7$ rouges et $7$ bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, $\\dfrac{7}{14} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $6$ rouges sur $13$ boules, la probabilité reste inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $9$ rouges sur $16$ boules, la probabilité dépasse $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit $7$ rouges, donc d'en ajouter $5$."
            }
          ],
          "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $10$ boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $10$ rouges et $10$ bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, $\\dfrac{10}{20} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $9$ rouges sur $19$ boules, la probabilité reste inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $14$ rouges sur $24$ boules, la probabilité dépasse $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit $10$ rouges, donc d'en ajouter $6$."
            }
          ],
          "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $6$ boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $6$ rouges et $6$ bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, $\\dfrac{6}{12} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $5$ rouges sur $11$ boules, la probabilité reste inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $8$ rouges sur $14$ boules, la probabilité dépasse $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit $6$ rouges, donc d'en ajouter $4$."
            }
          ],
          "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "issues",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Compter les issues de deux épreuves",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance une pièce puis un dé à six faces, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$ issues",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chacune des $2$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $6$ issues de la seconde :\n$2 \\times 6 = 12$.\n"
        },
        {
          "text": "$8$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
        },
        {
          "text": "$6$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
        },
        {
          "text": "$2$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à $2$ branches, chacune suivie de $6$ branches, a\n$2 \\times 6$ chemins : autant d'issues.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance une pièce puis un dé à six faces, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $2$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $6$ issues de la seconde :\n$2 \\times 6 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$2$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $2$ branches, chacune suivie de $6$ branches, a\n$2 \\times 6$ chemins : autant d'issues."
        },
        {
          "statement": "On lance une roue à quatre secteurs puis une urne de cinq boules, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $4$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $5$ issues de la seconde :\n$4 \\times 5 = 20$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $4$ branches, chacune suivie de $5$ branches, a\n$4 \\times 5$ chemins : autant d'issues."
        },
        {
          "statement": "On lance un sac de trois jetons puis une urne de cinq boules, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $3$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $5$ issues de la seconde :\n$3 \\times 5 = 15$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$3$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $3$ branches, chacune suivie de $5$ branches, a\n$3 \\times 5$ chemins : autant d'issues."
        },
        {
          "statement": "On lance un dé à six faces puis une roue à quatre secteurs, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $6$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $4$ issues de la seconde :\n$6 \\times 4 = 24$.\n"
            },
            {
              "text": "$10$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $6$ branches, chacune suivie de $4$ branches, a\n$6 \\times 4$ chemins : autant d'issues."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre",
        "avec-remise"
      ],
      "title": "Probabilité d'un chemin de l'arbre",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{2}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{2}{5} \\times\n\\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{25}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{2}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{2}{5} \\times\n\\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $5$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{2}{7}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{2}{7} \\times\n\\dfrac{2}{7} = \\dfrac{4}{49}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{7}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{3}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{3}{5} \\times\n\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{4}{7}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{4}{7} \\times\n\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{16}{49}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{7}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "evenement-contraire",
        "au-moins-un"
      ],
      "title": "Au moins une boule rouge",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{16}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{9}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{9}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $5$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{24}{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{25}{49}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{25}{49} = \\dfrac{24}{49}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{49}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{49}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{25}{49}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{7}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{21}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{4}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{4}{25} = \\dfrac{21}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{40}{49}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{9}{49}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{9}{49} = \\dfrac{40}{49}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{49}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{16}{49}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{49}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{7}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "independance"
      ],
      "title": "Une pièce puis un dé",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 6 = 12$ issues équiprobables, dont une seule est favorable."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir $1$ avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face »."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les issues se combinent : $2 \\times 6 = 12$, et non $2 + 6$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 6 = 12$ issues équiprobables, dont une seule est favorable."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir $1$ avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face »."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se combinent : $2 \\times 6 = 12$, et non $2 + 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches."
        },
        {
          "statement": "On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 4 = 8$ issues équiprobables, dont une seule est favorable."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir $1$ avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face »."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se combinent : $2 \\times 4 = 8$, et non $2 + 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches."
        },
        {
          "statement": "On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à $8$ faces numérotées de $1$ à $8$. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 8 = 16$ issues équiprobables, dont une seule est favorable."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir $1$ avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face »."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se combinent : $2 \\times 8 = 16$, et non $2 + 8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches."
        },
        {
          "statement": "On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à $10$ faces numérotées de $1$ à $10$. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 10 = 20$ issues équiprobables, dont une seule est favorable."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir $1$ avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face »."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se combinent : $2 \\times 10 = 20$, et non $2 + 10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "tableau"
      ],
      "title": "Somme de deux dés lue dans un tableau",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Un tableau à double entrée présente les $36$ sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille $8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5$ cases du tableau contiennent la somme $8$, sur $36$ cases équiprobables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme $8$ : il y en a $5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $36$ cases du tableau sont équiprobables, pas les $11$ sommes ; on divise par $36$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec deux dés, on raisonne sur les $36$ couples équiprobables, pas sur les $11$ sommes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un tableau à double entrée présente les $36$ sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ cases du tableau contiennent la somme $8$, sur $36$ cases équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme $8$ : il y en a $5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $36$ cases du tableau sont équiprobables, pas les $11$ sommes ; on divise par $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec deux dés, on raisonne sur les $36$ couples équiprobables, pas sur les $11$ sommes."
        },
        {
          "statement": "Un tableau à double entrée présente les $36$ sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ cases du tableau contiennent la somme $4$, sur $36$ cases équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme $4$ : il y en a $3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $36$ cases du tableau sont équiprobables, pas les $11$ sommes ; on divise par $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec deux dés, on raisonne sur les $36$ couples équiprobables, pas sur les $11$ sommes."
        },
        {
          "statement": "Un tableau à double entrée présente les $36$ sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ cases du tableau contiennent la somme $5$, sur $36$ cases équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme $5$ : il y en a $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $36$ cases du tableau sont équiprobables, pas les $11$ sommes ; on divise par $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec deux dés, on raisonne sur les $36$ couples équiprobables, pas sur les $11$ sommes."
        },
        {
          "statement": "Un tableau à double entrée présente les $36$ sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille $11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ cases du tableau contiennent la somme $11$, sur $36$ cases équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme $11$ : il y en a $2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $36$ cases du tableau sont équiprobables, pas les $11$ sommes ; on divise par $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec deux dés, on raisonne sur les $36$ couples équiprobables, pas sur les $11$ sommes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arbre",
        "au-moins-un"
      ],
      "title": "Au moins une face en trois lancers",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance trois fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois « face » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur les $8$ issues équiprobables, une seule, « pile, pile, pile », ne contient pas de face : $1 - \\dfrac{1}{8} = \\dfrac{7}{8}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de n'obtenir aucune face, l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir exactement une face ; « au moins une » compte aussi deux et trois faces."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque lancer donne face avec probabilité $\\dfrac{1}{2}$, mais en trois lancers la probabilité d'au moins une face est plus grande."
        }
      ],
      "explanation": "Pour « au moins un », on passe souvent par l'événement contraire, « aucun »."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "urnes"
      ],
      "title": "Une boule dans chacune de deux urnes",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "L'urne A contient $1$ boule rouge et $2$ boules bleues ; l'urne B contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{15}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{2}{15}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{11}{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre de couples possibles est $3 \\times 5$, pas $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités.",
      "variants": [
        {
          "statement": "L'urne A contient $1$ boule rouge et $2$ boules bleues ; l'urne B contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{2}{15}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{11}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de couples possibles est $3 \\times 5$, pas $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "L'urne A contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues ; l'urne B contient $1$ boule rouge et $4$ boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{2}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de couples possibles est $5 \\times 5$, pas $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "L'urne A contient $3$ boules rouges et $1$ boule bleue ; l'urne B contient $2$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{4} \\times \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{3}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de couples possibles est $4 \\times 4$, pas $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "L'urne A contient $1$ boule rouge et $4$ boules bleues ; l'urne B contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{5} \\times \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{3}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de couples possibles est $5 \\times 5$, pas $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "code"
      ],
      "title": "Deviner un code à deux chiffres",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi $1$, $2$, …, $3$, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 3 = 9$ codes équiprobables, et un seul est le bon."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les choix se combinent par multiplication : $3 \\times 3$, et non $3 + 3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de codes se compte avec un arbre : $3$ choix pour le premier chiffre, puis $3$ pour le second.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi $1$, $2$, …, $3$, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 3 = 9$ codes équiprobables, et un seul est le bon."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent par multiplication : $3 \\times 3$, et non $3 + 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de codes se compte avec un arbre : $3$ choix pour le premier chiffre, puis $3$ pour le second."
        },
        {
          "statement": "Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi $1$, $2$, …, $4$, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $4 \\times 4 = 16$ codes équiprobables, et un seul est le bon."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent par multiplication : $4 \\times 4$, et non $4 + 4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de codes se compte avec un arbre : $4$ choix pour le premier chiffre, puis $4$ pour le second."
        },
        {
          "statement": "Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi $1$, $2$, …, $5$, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $5 \\times 5 = 25$ codes équiprobables, et un seul est le bon."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent par multiplication : $5 \\times 5$, et non $5 + 5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de codes se compte avec un arbre : $5$ choix pour le premier chiffre, puis $5$ pour le second."
        },
        {
          "statement": "Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi $1$, $2$, …, $6$, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $6 \\times 6 = 36$ codes équiprobables, et un seul est le bon."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les choix se combinent par multiplication : $6 \\times 6$, et non $6 + 6$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux."
            }
          ],
          "explanation": "Le nombre de codes se compte avec un arbre : $6$ choix pour le premier chiffre, puis $6$ pour le second."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arbre",
        "produit"
      ],
      "title": "Deux lancers d'une pièce truquée",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}6$. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}36$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : $0{,}6 \\times 0{,}6 = 0{,}36$."
        },
        {
          "text": "$1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux."
        },
        {
          "text": "$0{,}64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire."
        }
      ],
      "explanation": "Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}6$. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : $0{,}6 \\times 0{,}6 = 0{,}36$."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}7$. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : $0{,}7 \\times 0{,}7 = 0{,}49$."
            },
            {
              "text": "$1{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}51$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}3$. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : $0{,}3 \\times 0{,}3 = 0{,}09$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}91$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité $0{,}8$. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : $0{,}8 \\times 0{,}8 = 0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$1{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "incompatibles",
        "somme"
      ],
      "title": "Probabilité de deux événements incompatibles",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}2$ et $P(B) = 0{,}35$. Que vaut la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}55$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}2 + 0{,}35 = 0{,}55$."
        },
        {
          "text": "$0{,}07$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "$0{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se produise."
        },
        {
          "text": "$0{,}15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute."
        }
      ],
      "explanation": "Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \\text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}2$ et $P(B) = 0{,}35$. Que vaut la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}2 + 0{,}35 = 0{,}55$."
            },
            {
              "text": "$0{,}07$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se produise."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \\text{ ou } B) = P(A) + P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}15$ et $P(B) = 0{,}45$. Que vaut la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}15 + 0{,}45 = 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}068$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se produise."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \\text{ ou } B) = P(A) + P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}1$. Que vaut la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se produise."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \\text{ ou } B) = P(A) + P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}12$ et $P(B) = 0{,}6$. Que vaut la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}72$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}12 + 0{,}6 = 0{,}72$."
            },
            {
              "text": "$0{,}072$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$0{,}28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se produise."
            },
            {
              "text": "$0{,}48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \\text{ ou } B) = P(A) + P(B)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reunion",
        "intersection"
      ],
      "title": "Probabilité de A ou B quand ils peuvent se réaliser ensemble",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour deux événements $A$ et $B$, on sait que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \\text{ et } B) = 0{,}2$. Que vaut $P(A \\text{ ou } B)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\text{ ou } B) + P(A \\text{ et } B) = P(A) + P(B)$, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, les issues communes sont comptées deux fois ; on retire $0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$1{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la probabilité de « $A$ et $B$ » se retranche, elle ne s'ajoute pas."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit $P(A) \\times P(B)$ ne donne pas $P(A \\text{ ou } B)$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(A \\cup B) + P(A \\cap B) = P(A) + P(B)$ : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour deux événements $A$ et $B$, on sait que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \\text{ et } B) = 0{,}2$. Que vaut $P(A \\text{ ou } B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\text{ ou } B) + P(A \\text{ et } B) = P(A) + P(B)$, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, les issues communes sont comptées deux fois ; on retire $0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$1{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la probabilité de « $A$ et $B$ » se retranche, elle ne s'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $P(A) \\times P(B)$ ne donne pas $P(A \\text{ ou } B)$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(A \\cup B) + P(A \\cap B) = P(A) + P(B)$ : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois."
        },
        {
          "statement": "Pour deux événements $A$ et $B$, on sait que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \\text{ et } B) = 0{,}1$. Que vaut $P(A \\text{ ou } B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\text{ ou } B) + P(A \\text{ et } B) = P(A) + P(B)$, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}8$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, les issues communes sont comptées deux fois ; on retire $0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la probabilité de « $A$ et $B$ » se retranche, elle ne s'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$0{,}18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $P(A) \\times P(B)$ ne donne pas $P(A \\text{ ou } B)$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(A \\cup B) + P(A \\cap B) = P(A) + P(B)$ : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois."
        },
        {
          "statement": "Pour deux événements $A$ et $B$, on sait que $P(A) = 0{,}45$, $P(B) = 0{,}35$ et $P(A \\text{ et } B) = 0{,}15$. Que vaut $P(A \\text{ ou } B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\text{ ou } B) + P(A \\text{ et } B) = P(A) + P(B)$, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}45 + 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}65$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, les issues communes sont comptées deux fois ; on retire $0{,}15$."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la probabilité de « $A$ et $B$ » se retranche, elle ne s'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$0{,}158$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $P(A) \\times P(B)$ ne donne pas $P(A \\text{ ou } B)$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(A \\cup B) + P(A \\cap B) = P(A) + P(B)$ : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois."
        },
        {
          "statement": "Pour deux événements $A$ et $B$, on sait que $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \\text{ et } B) = 0{,}25$. Que vaut $P(A \\text{ ou } B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\text{ ou } B) + P(A \\text{ et } B) = P(A) + P(B)$, donc $P(A \\text{ ou } B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}55$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, les issues communes sont comptées deux fois ; on retire $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$1{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la probabilité de « $A$ et $B$ » se retranche, elle ne s'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $P(A) \\times P(B)$ ne donne pas $P(A \\text{ ou } B)$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(A \\cup B) + P(A \\cap B) = P(A) + P(B)$ : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "effectif",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Nombre de boules d'une couleur",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $30$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{2}{5}$. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $30 \\times \\dfrac{2}{5} = 12$."
        },
        {
          "text": "$75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des $30$ boules."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient $5$ boules."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables $=$ probabilité $\\times$ nombre total d'issues.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $30$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{2}{5}$. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $30 \\times \\dfrac{2}{5} = 12$."
            },
            {
              "text": "$75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des $30$ boules."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient $5$ boules."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables $=$ probabilité $\\times$ nombre total d'issues."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $24$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{3}{8}$. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $24 \\times \\dfrac{3}{8} = 9$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des $24$ boules."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient $8$ boules."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables $=$ probabilité $\\times$ nombre total d'issues."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $40$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{4}$. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $40 \\times \\dfrac{1}{4} = 10$."
            },
            {
              "text": "$160$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des $40$ boules."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient $4$ boules."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables $=$ probabilité $\\times$ nombre total d'issues."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $36$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{5}{9}$. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $36 \\times \\dfrac{5}{9} = 20$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des $36$ boules."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient $9$ boules."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables $=$ probabilité $\\times$ nombre total d'issues."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "probabilite",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Probabilité exprimée en pourcentage",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une probabilité vaut $\\dfrac{1}{4}$. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{25}{100}$, soit $25\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$1\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
        },
        {
          "text": "$4\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
        },
        {
          "text": "$75\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\\ \\%$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une probabilité vaut $\\dfrac{1}{4}$. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{25}{100}$, soit $25\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$1\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$75\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Une probabilité vaut $\\dfrac{3}{5}$. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{60}{100}$, soit $60\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$3\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Une probabilité vaut $\\dfrac{7}{20}$. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7}{20} = \\dfrac{35}{100}$, soit $35\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$65\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Une probabilité vaut $\\dfrac{9}{20}$. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{20} = \\dfrac{45}{100}$, soit $45\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$9\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur $100$."
            },
            {
              "text": "$55\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire."
            }
          ],
          "explanation": "Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\\ \\%$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "incompatibles",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Repérer deux événements incompatibles",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé équilibré à six faces. Lesquels de ces deux événements sont incompatibles ?",
      "options": [
        {
          "text": "« obtenir $2$ » et « obtenir un nombre impair »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ est pair, donc ces deux événements ne peuvent pas se produire en même temps."
        },
        {
          "text": "« obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de $3$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat $6$ réalise les deux événements à la fois."
        },
        {
          "text": "« obtenir plus de $3$ » et « obtenir un nombre pair »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les résultats $4$ et $6$ réalisent les deux événements à la fois."
        },
        {
          "text": "« obtenir $1$ » et « obtenir moins de $4$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat $1$ réalise les deux événements à la fois."
        }
      ],
      "explanation": "Deux événements sont incompatibles lorsqu'aucune issue ne les réalise tous les deux."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "evenement-certain",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Reconnaître un événement certain",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire au hasard une carte parmi dix cartes numérotées de $1$ à $10$. Quel événement est certain ?",
      "options": [
        {
          "text": "« obtenir au plus $10$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes les cartes portent un nombre compris entre $1$ et $10$ ; sa probabilité vaut $1$."
        },
        {
          "text": "« obtenir un nombre pair »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cinq cartes portent un nombre impair ; cet événement a une probabilité de $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "« obtenir le nombre $11$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune carte ne porte $11$ ; cet événement est impossible."
        },
        {
          "text": "« obtenir un nombre premier »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$, $4$, $6$, $8$, $9$ et $10$ ne sont pas premiers ; l'événement n'est pas certain."
        }
      ],
      "explanation": "Un événement certain est réalisé par toutes les issues ; sa probabilité vaut $1$. Un événement impossible a une probabilité nulle."
    }
  ]
}