{
  "chapter": {
    "id": "puissances-ecriture-scientifique",
    "level": "college",
    "theme": "Nombres et calculs",
    "title": "Puissances et écriture scientifique",
    "description": "Puissances d'un nombre, exposants négatifs, règles de calcul,\nécriture scientifique et ordres de grandeur.",
    "parties": [
      {
        "id": "definition",
        "title": "Définition et vocabulaire"
      },
      {
        "id": "regles",
        "title": "Règles de calcul"
      },
      {
        "id": "scientifique",
        "title": "Puissances de dix et écriture scientifique"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition-puissance",
        "calcul-mental"
      ],
      "title": "Valeur d'une puissance",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $3^{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$81$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3^{4}$ est le produit de $4$ facteurs tous\négaux à $3$, ce qui donne $81$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : $3^{4}$ ne vaut pas\n$3 \\times 4$. En multipliant les facteurs, on obtient $81$."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $4$ indique\n$4$ facteurs égaux à $3$, donc le résultat est $81$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $3$ et\nl'exposant $4$, ce qui donne $81$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit\nde $n$ facteurs tous égaux à $a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3^{4}$ est le produit de $4$ facteurs tous\négaux à $3$, ce qui donne $81$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : $3^{4}$ ne vaut pas\n$3 \\times 4$. En multipliant les facteurs, on obtient $81$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $4$ indique\n$4$ facteurs égaux à $3$, donc le résultat est $81$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $3$ et\nl'exposant $4$, ce qui donne $81$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit\nde $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2^{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{5}$ est le produit de $5$ facteurs tous\négaux à $2$, ce qui donne $32$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : $2^{5}$ ne vaut pas\n$2 \\times 5$. En multipliant les facteurs, on obtient $32$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $5$ indique\n$5$ facteurs égaux à $2$, donc le résultat est $32$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $2$ et\nl'exposant $5$, ce qui donne $32$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit\nde $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5^{3}$ est le produit de $3$ facteurs tous\négaux à $5$, ce qui donne $125$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : $5^{3}$ ne vaut pas\n$5 \\times 3$. En multipliant les facteurs, on obtient $125$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $3$ indique\n$3$ facteurs égaux à $5$, donc le résultat est $125$."
            },
            {
              "text": "$243$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $5$ et\nl'exposant $3$, ce qui donne $125$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit\nde $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2^{6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{6}$ est le produit de $6$ facteurs tous\négaux à $2$, ce qui donne $64$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : $2^{6}$ ne vaut pas\n$2 \\times 6$. En multipliant les facteurs, on obtient $64$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $6$ indique\n$6$ facteurs égaux à $2$, donc le résultat est $64$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $2$ et\nl'exposant $6$, ce qui donne $64$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit\nde $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Base et exposant",
      "partie": "definition",
      "statement": "Dans l'écriture $7^{5}$, comment appelle-t-on le nombre $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'exposant",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre écrit en haut est l'exposant. Il compte\nles facteurs du produit $7 \\times 7 \\times 7 \\times 7 \\times 7$."
        },
        {
          "text": "La base",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux rôles ont été échangés : la base est le nombre répété,\nc'est-à-dire $7$. Le nombre $5$ est l'exposant."
        },
        {
          "text": "Le coefficient",
          "correct": false,
          "feedback": "Il n'y a pas de coefficient dans $7^{5}$. Le nombre $5$ est placé\nen exposant et compte les facteurs égaux à $7$."
        },
        {
          "text": "Le multiplicateur",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce mot n'a pas de sens ici : $5$ ne multiplie pas $7$, il indique\ncombien de fois $7$ est utilisé comme facteur."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $a^{n}$, le nombre $a$ est la base et le nombre $n$ est\nl'exposant."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances-de-dix",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Zéros d'une puissance de dix",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10^{5}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $5$\nzéros, autant que l'indique l'exposant."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $5$ donne\nexactement $5$ zéros, et non $4$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un\nzéro. Il y en a $5$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : $10^{5}$ comporte $5$\nzéros, pas $10$."
        }
      ],
      "explanation": "L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10^{5}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $5$\nzéros, autant que l'indique l'exposant."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $5$ donne\nexactement $5$ zéros, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un\nzéro. Il y en a $5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : $10^{5}$ comporte $5$\nzéros, pas $10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros."
        },
        {
          "statement": "Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{8}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10^{8}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $8$\nzéros, autant que l'indique l'exposant."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $8$ donne\nexactement $8$ zéros, et non $7$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un\nzéro. Il y en a $8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : $10^{8}$ comporte $8$\nzéros, pas $16$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros."
        },
        {
          "statement": "Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{12}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10^{12}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $12$\nzéros, autant que l'indique l'exposant."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $12$ donne\nexactement $12$ zéros, et non $11$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un\nzéro. Il y en a $12$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : $10^{12}$ comporte $12$\nzéros, pas $24$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros."
        },
        {
          "statement": "Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{13}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10^{13}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $13$\nzéros, autant que l'indique l'exposant."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $13$ donne\nexactement $13$ zéros, et non $12$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un\nzéro. Il y en a $13$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : $10^{13}$ comporte $13$\nzéros, pas $26$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-puissances",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Produit de puissances de même base",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $3^{4} \\times 3^{7}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$3^{11}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants\ns'additionnent, donc $4 + 7 = 11$."
        },
        {
          "text": "$3^{28}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent, ce qui donne $3^{11}$."
        },
        {
          "text": "$9^{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $3$,\nseuls les exposants s'additionnent."
        },
        {
          "text": "$3^{-3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle\ndu quotient, pas celle du produit."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $3^{4} \\times 3^{7}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants\ns'additionnent, donc $4 + 7 = 11$."
            },
            {
              "text": "$3^{28}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent, ce qui donne $3^{11}$."
            },
            {
              "text": "$9^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $3$,\nseuls les exposants s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$3^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle\ndu quotient, pas celle du produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $2^{6} \\times 2^{3}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants\ns'additionnent, donc $6 + 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$2^{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent, ce qui donne $2^{9}$."
            },
            {
              "text": "$4^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $2$,\nseuls les exposants s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$2^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle\ndu quotient, pas celle du produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $5^{8} \\times 5^{2}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants\ns'additionnent, donc $8 + 2 = 10$."
            },
            {
              "text": "$5^{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent, ce qui donne $5^{10}$."
            },
            {
              "text": "$25^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $5$,\nseuls les exposants s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$5^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle\ndu quotient, pas celle du produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $5^{12} \\times 5^{2}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{14}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants\ns'additionnent, donc $12 + 2 = 14$."
            },
            {
              "text": "$5^{24}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent, ce qui donne $5^{14}$."
            },
            {
              "text": "$25^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $5$,\nseuls les exposants s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$5^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle\ndu quotient, pas celle du produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "quotient-puissances",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Quotient de puissances de même base",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $\\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se\nsoustraient, donc $9 - 4 = 5$."
        },
        {
          "text": "$2^{13}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit. Pour un quotient, on soustrait."
        },
        {
          "text": "$2^{-5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire, donc $9 - 4 = 5$."
        },
        {
          "text": "$2^{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication des\nexposants est la règle de la puissance d'une puissance."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$\nlorsque $a$ n'est pas nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $\\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se\nsoustraient, donc $9 - 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$2^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit. Pour un quotient, on soustrait."
            },
            {
              "text": "$2^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire, donc $9 - 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$2^{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication des\nexposants est la règle de la puissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$\nlorsque $a$ n'est pas nul."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\dfrac{3^{10}}{3^{4}}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se\nsoustraient, donc $10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$3^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit. Pour un quotient, on soustrait."
            },
            {
              "text": "$3^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire, donc $10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$3^{40}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication des\nexposants est la règle de la puissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$\nlorsque $a$ n'est pas nul."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\dfrac{5^{6}}{5^{2}}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se\nsoustraient, donc $6 - 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$5^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit. Pour un quotient, on soustrait."
            },
            {
              "text": "$5^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire, donc $6 - 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$5^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication des\nexposants est la règle de la puissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$\nlorsque $a$ n'est pas nul."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\dfrac{7^{14}}{7^{4}}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$7^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se\nsoustraient, donc $14 - 4 = 10$."
            },
            {
              "text": "$7^{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit. Pour un quotient, on soustrait."
            },
            {
              "text": "$7^{-10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire, donc $14 - 4 = 10$."
            },
            {
              "text": "$7^{56}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication des\nexposants est la règle de la puissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$\nlorsque $a$ n'est pas nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance-de-puissance",
        "produit-puissances"
      ],
      "title": "Puissance d'une puissance",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $\\left(2^{3}\\right)^{4}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{12}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc\n$3 \\times 4 = 12$."
        },
        {
          "text": "$2^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit $2^{3} \\times 2^{4}$, pas celle-ci."
        },
        {
          "text": "$2^{81}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement\nmultiplier $3$ par $4$, ce qui donne $12$."
        },
        {
          "text": "$2^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,\net leur produit vaut $12$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\left(a^{m}\\right)^{n} = a^{m \\times n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $\\left(2^{3}\\right)^{4}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc\n$3 \\times 4 = 12$."
            },
            {
              "text": "$2^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit $2^{3} \\times 2^{4}$, pas celle-ci."
            },
            {
              "text": "$2^{81}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement\nmultiplier $3$ par $4$, ce qui donne $12$."
            },
            {
              "text": "$2^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,\net leur produit vaut $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\left(a^{m}\\right)^{n} = a^{m \\times n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(3^{5}\\right)^{2}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc\n$5 \\times 2 = 10$."
            },
            {
              "text": "$3^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit $3^{5} \\times 3^{2}$, pas celle-ci."
            },
            {
              "text": "$3^{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement\nmultiplier $5$ par $2$, ce qui donne $10$."
            },
            {
              "text": "$3^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,\net leur produit vaut $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\left(a^{m}\\right)^{n} = a^{m \\times n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(10^{2}\\right)^{5}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc\n$2 \\times 5 = 10$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit $10^{2} \\times 10^{5}$, pas celle-ci."
            },
            {
              "text": "$10^{32}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement\nmultiplier $2$ par $5$, ce qui donne $10$."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,\net leur produit vaut $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\left(a^{m}\\right)^{n} = a^{m \\times n}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(7^{3}\\right)^{5}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$7^{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc\n$3 \\times 5 = 15$."
            },
            {
              "text": "$7^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du\nproduit $7^{3} \\times 7^{5}$, pas celle-ci."
            },
            {
              "text": "$7^{243}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement\nmultiplier $3$ par $5$, ce qui donne $15$."
            },
            {
              "text": "$7^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,\net leur produit vaut $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tous exposants $m$ et $n$, $\\left(a^{m}\\right)^{n} = a^{m \\times n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-puissance",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Puissance d'un nombre négatif",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $(-2)^{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-2$ est répété $3$ fois, et le\nproduit vaut $-8$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du résultat est faux : un produit de $3$ facteurs\nnégatifs donne $-8$."
        },
        {
          "text": "$-6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de\n$-2 \\times 3$, mais d'un produit de $3$ facteurs."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque un facteur : l'exposant $3$ annonce $3$ facteurs\négaux à $-2$, ce qui conduit à $-8$."
        }
      ],
      "explanation": "Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est\npair, négative si l'exposant est impair.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $(-2)^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-2$ est répété $3$ fois, et le\nproduit vaut $-8$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du résultat est faux : un produit de $3$ facteurs\nnégatifs donne $-8$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de\n$-2 \\times 3$, mais d'un produit de $3$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur : l'exposant $3$ annonce $3$ facteurs\négaux à $-2$, ce qui conduit à $-8$."
            }
          ],
          "explanation": "Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est\npair, négative si l'exposant est impair."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-3)^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-3$ est répété $2$ fois, et le\nproduit vaut $9$."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du résultat est faux : un produit de $2$ facteurs\nnégatifs donne $9$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de\n$-3 \\times 2$, mais d'un produit de $2$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur : l'exposant $2$ annonce $2$ facteurs\négaux à $-3$, ce qui conduit à $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est\npair, négative si l'exposant est impair."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-5)^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-5$ est répété $3$ fois, et le\nproduit vaut $-125$."
            },
            {
              "text": "$125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du résultat est faux : un produit de $3$ facteurs\nnégatifs donne $-125$."
            },
            {
              "text": "$-15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de\n$-5 \\times 3$, mais d'un produit de $3$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur : l'exposant $3$ annonce $3$ facteurs\négaux à $-5$, ce qui conduit à $-125$."
            }
          ],
          "explanation": "Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est\npair, négative si l'exposant est impair."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-7)^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-343$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $-7$ est répété $3$ fois, et le\nproduit vaut $-343$."
            },
            {
              "text": "$343$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du résultat est faux : un produit de $3$ facteurs\nnégatifs donne $-343$."
            },
            {
              "text": "$-21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de\n$-7 \\times 3$, mais d'un produit de $3$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un facteur : l'exposant $3$ annonce $3$ facteurs\négaux à $-7$, ce qui conduit à $-343$."
            }
          ],
          "explanation": "Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est\npair, négative si l'exposant est impair."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "exposant-negatif",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Exposant négatif",
      "partie": "regles",
      "statement": "Que vaut $3^{-4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{81}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le\ndénominateur cherché est $3^{4}$."
        },
        {
          "text": "$-81$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le\nnombre : il annonce un inverse, pas un opposé."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur est faux : il faut calculer $3^{4}$, et non\n$3 \\times 4$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{81}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :\n$3^{-4}$ est un nombre positif."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3^{-4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{81}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le\ndénominateur cherché est $3^{4}$."
            },
            {
              "text": "$-81$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le\nnombre : il annonce un inverse, pas un opposé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est faux : il faut calculer $3^{4}$, et non\n$3 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{81}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :\n$3^{-4}$ est un nombre positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2^{-5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{32}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le\ndénominateur cherché est $2^{5}$."
            },
            {
              "text": "$-32$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le\nnombre : il annonce un inverse, pas un opposé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est faux : il faut calculer $2^{5}$, et non\n$2 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{32}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :\n$2^{-5}$ est un nombre positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5^{-3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{125}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le\ndénominateur cherché est $5^{3}$."
            },
            {
              "text": "$-125$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le\nnombre : il annonce un inverse, pas un opposé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est faux : il faut calculer $5^{3}$, et non\n$5 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{125}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :\n$5^{-3}$ est un nombre positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2^{-6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{64}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le\ndénominateur cherché est $2^{6}$."
            },
            {
              "text": "$-64$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le\nnombre : il annonce un inverse, pas un opposé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est faux : il faut calculer $2^{6}$, et non\n$2 \\times 6$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{64}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :\n$2^{-6}$ est un nombre positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique"
      ],
      "title": "Écriture scientifique d'un grand nombre",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $35\\,000$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5 \\times 10^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,\net il faut $4$ rangs pour revenir à $35\\,000$."
        },
        {
          "text": "$3{,}5 \\times 10^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant est trop petit d'une unité : $3{,}5 \\times 10^{3}$\nest dix fois plus petit que $35\\,000$."
        },
        {
          "text": "$3{,}5 \\times 10^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant est trop grand d'une unité : $3{,}5 \\times 10^{5}$\nest dix fois plus grand que $35\\,000$."
        },
        {
          "text": "$35 \\times 10^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur doit être compris entre $1$ et $10$."
        }
      ],
      "explanation": "L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \\times 10^{n}$\navec $1 \\leqslant a < 10$ et $n$ entier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $35\\,000$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,\net il faut $4$ rangs pour revenir à $35\\,000$."
            },
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop petit d'une unité : $3{,}5 \\times 10^{3}$\nest dix fois plus petit que $35\\,000$."
            },
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand d'une unité : $3{,}5 \\times 10^{5}$\nest dix fois plus grand que $35\\,000$."
            },
            {
              "text": "$35 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur doit être compris entre $1$ et $10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \\times 10^{n}$\navec $1 \\leqslant a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $720\\,000$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7{,}2 \\times 10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,\net il faut $5$ rangs pour revenir à $720\\,000$."
            },
            {
              "text": "$7{,}2 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop petit d'une unité : $7{,}2 \\times 10^{4}$\nest dix fois plus petit que $720\\,000$."
            },
            {
              "text": "$7{,}2 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand d'une unité : $7{,}2 \\times 10^{6}$\nest dix fois plus grand que $720\\,000$."
            },
            {
              "text": "$72 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur doit être compris entre $1$ et $10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \\times 10^{n}$\navec $1 \\leqslant a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $4\\,800$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}8 \\times 10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,\net il faut $3$ rangs pour revenir à $4\\,800$."
            },
            {
              "text": "$4{,}8 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop petit d'une unité : $4{,}8 \\times 10^{2}$\nest dix fois plus petit que $4\\,800$."
            },
            {
              "text": "$4{,}8 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand d'une unité : $4{,}8 \\times 10^{4}$\nest dix fois plus grand que $4\\,800$."
            },
            {
              "text": "$48 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur doit être compris entre $1$ et $10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \\times 10^{n}$\navec $1 \\leqslant a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $5\\,600\\,000$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5{,}6 \\times 10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,\net il faut $6$ rangs pour revenir à $5\\,600\\,000$."
            },
            {
              "text": "$5{,}6 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop petit d'une unité : $5{,}6 \\times 10^{5}$\nest dix fois plus petit que $5\\,600\\,000$."
            },
            {
              "text": "$5{,}6 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est trop grand d'une unité : $5{,}6 \\times 10^{7}$\nest dix fois plus grand que $5\\,600\\,000$."
            },
            {
              "text": "$56 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur doit être compris entre $1$ et $10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \\times 10^{n}$\navec $1 \\leqslant a < 10$ et $n$ entier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "exposant-negatif"
      ],
      "title": "Écriture scientifique d'un petit nombre",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}00047$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}7 \\times 10^{-4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant\nest négatif, et il vaut $-4$."
        },
        {
          "text": "$4{,}7 \\times 10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que\n$1$ a un exposant négatif."
        },
        {
          "text": "$4{,}7 \\times 10^{-3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque un rang : $4{,}7 \\times 10^{-3}$ est dix fois plus\ngrand que $0{,}00047$."
        },
        {
          "text": "$47 \\times 10^{-5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc\nl'écriture n'est pas scientifique."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \\times 10^{n}$ avec\nun exposant $n$ négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}00047$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}7 \\times 10^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant\nest négatif, et il vaut $-4$."
            },
            {
              "text": "$4{,}7 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que\n$1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$4{,}7 \\times 10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un rang : $4{,}7 \\times 10^{-3}$ est dix fois plus\ngrand que $0{,}00047$."
            },
            {
              "text": "$47 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc\nl'écriture n'est pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \\times 10^{n}$ avec\nun exposant $n$ négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}0000082$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8{,}2 \\times 10^{-6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant\nest négatif, et il vaut $-6$."
            },
            {
              "text": "$8{,}2 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que\n$1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$8{,}2 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un rang : $8{,}2 \\times 10^{-5}$ est dix fois plus\ngrand que $0{,}0000082$."
            },
            {
              "text": "$82 \\times 10^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc\nl'écriture n'est pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \\times 10^{n}$ avec\nun exposant $n$ négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}0035$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant\nest négatif, et il vaut $-3$."
            },
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que\n$1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$3{,}5 \\times 10^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un rang : $3{,}5 \\times 10^{-2}$ est dix fois plus\ngrand que $0{,}0035$."
            },
            {
              "text": "$35 \\times 10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc\nl'écriture n'est pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \\times 10^{n}$ avec\nun exposant $n$ négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}00063$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}3 \\times 10^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant\nest négatif, et il vaut $-4$."
            },
            {
              "text": "$6{,}3 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que\n$1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$6{,}3 \\times 10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque un rang : $6{,}3 \\times 10^{-3}$ est dix fois plus\ngrand que $0{,}00063$."
            },
            {
              "text": "$63 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc\nl'écriture n'est pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \\times 10^{n}$ avec\nun exposant $n$ négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "puissances-de-dix"
      ],
      "title": "Retour à l'écriture décimale",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quelle est l'écriture décimale de $2{,}6 \\times 10^{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2600$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $3$ déplace la virgule de $3$\nrangs, ce qui donne $2600$."
        },
        {
          "text": "$260$",
          "correct": false,
          "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu\nest dix fois trop petit."
        },
        {
          "text": "$26\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu\nest dix fois trop grand."
        },
        {
          "text": "$0{,}0026$",
          "correct": false,
          "feedback": "La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant\n$3$ indique le sens du déplacement."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la\ndroite, et vers la gauche si $n$ est négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture décimale de $2{,}6 \\times 10^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2600$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $3$ déplace la virgule de $3$\nrangs, ce qui donne $2600$."
            },
            {
              "text": "$260$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu\nest dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$26\\,000$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu\nest dix fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$0{,}0026$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant\n$3$ indique le sens du déplacement."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la\ndroite, et vers la gauche si $n$ est négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture décimale de $5{,}4 \\times 10^{-2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}054$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $-2$ déplace la virgule de $-2$\nrangs, ce qui donne $0{,}054$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0054$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu\nest dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$0{,}54$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu\nest dix fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$540$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant\n$-2$ indique le sens du déplacement."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la\ndroite, et vers la gauche si $n$ est négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture décimale de $1{,}8 \\times 10^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18\\,000$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $4$ déplace la virgule de $4$\nrangs, ce qui donne $18\\,000$."
            },
            {
              "text": "$1800$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu\nest dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$180\\,000$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu\nest dix fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$0{,}00018$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant\n$4$ indique le sens du déplacement."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la\ndroite, et vers la gauche si $n$ est négatif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture décimale de $7{,}3 \\times 10^{-3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0073$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $-3$ déplace la virgule de $-3$\nrangs, ce qui donne $0{,}0073$."
            },
            {
              "text": "$0{,}00073$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu\nest dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$0{,}073$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu\nest dix fois trop grand."
            },
            {
              "text": "$7300$",
              "correct": false,
              "feedback": "La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant\n$-3$ indique le sens du déplacement."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la\ndroite, et vers la gauche si $n$ est négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissances-de-dix",
        "produit-puissances"
      ],
      "title": "Produit de deux écritures scientifiques",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Que vaut $(2 \\times 10^{3}) \\times (4 \\times 10^{5})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8 \\times 10^{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on\nadditionne les exposants, soit $3 + 5 = 8$."
        },
        {
          "text": "$8 \\times 10^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde $10$, ils s'additionnent."
        },
        {
          "text": "$6 \\times 10^{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,\ndonc $2 \\times 4 = 8$."
        },
        {
          "text": "$6 \\times 10^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient\net les exposants s'additionnent."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances\nde $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $(2 \\times 10^{3}) \\times (4 \\times 10^{5})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 \\times 10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on\nadditionne les exposants, soit $3 + 5 = 8$."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde $10$, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,\ndonc $2 \\times 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient\net les exposants s'additionnent."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances\nde $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(3 \\times 10^{6}) \\times (3 \\times 10^{2})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9 \\times 10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on\nadditionne les exposants, soit $6 + 2 = 8$."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 10^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde $10$, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,\ndonc $3 \\times 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient\net les exposants s'additionnent."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances\nde $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(2 \\times 10^{4}) \\times (3 \\times 10^{7})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 \\times 10^{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on\nadditionne les exposants, soit $4 + 7 = 11$."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{28}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde $10$, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,\ndonc $2 \\times 3 = 6$."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 10^{28}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient\net les exposants s'additionnent."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances\nde $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(3 \\times 10^{8}) \\times (5 \\times 10^{2})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15 \\times 10^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on\nadditionne les exposants, soit $8 + 2 = 10$."
            },
            {
              "text": "$15 \\times 10^{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde $10$, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,\ndonc $3 \\times 5 = 15$."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient\net les exposants s'additionnent."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances\nde $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissances-de-dix",
        "quotient-puissances"
      ],
      "title": "Quotient de deux écritures scientifiques",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Que vaut $\\dfrac{6 \\times 10^{7}}{2 \\times 10^{3}}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 \\times 10^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on\nsoustrait les exposants, soit $7 - 3 = 4$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 10^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un\nproduit, la soustraction pour un quotient."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 10^{-4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc\n$6 \\div 2 = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les\nexposants des puissances de $10$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{6 \\times 10^{7}}{2 \\times 10^{3}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on\nsoustrait les exposants, soit $7 - 3 = 4$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un\nproduit, la soustraction pour un quotient."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc\n$6 \\div 2 = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les\nexposants des puissances de $10$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{8 \\times 10^{9}}{4 \\times 10^{2}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 10^{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on\nsoustrait les exposants, soit $9 - 2 = 7$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un\nproduit, la soustraction pour un quotient."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc\n$8 \\div 4 = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les\nexposants des puissances de $10$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{9 \\times 10^{5}}{3 \\times 10^{8}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on\nsoustrait les exposants, soit $5 - 8 = -3$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un\nproduit, la soustraction pour un quotient."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc\n$9 \\div 3 = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les\nexposants des puissances de $10$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{8 \\times 10^{10}}{2 \\times 10^{4}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\times 10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on\nsoustrait les exposants, soit $10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un\nproduit, la soustraction pour un quotient."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du\ndénominateur que l'on retire."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc\n$8 \\div 2 = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les\nexposants des puissances de $10$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "produit-puissances"
      ],
      "title": "Produit à remettre en écriture scientifique",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Donne l'écriture scientifique de\n$(5 \\times 10^{4}) \\times (4 \\times 10^{3})$.",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\times 10^{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $20 \\times 10^{7}$, et\n$20 = 2 \\times 10$, d'où l'exposant $8$."
        },
        {
          "text": "$20 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur $20$ dépasse $10$."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter\nl'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit."
        },
        {
          "text": "$20 \\times 10^{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le\nnombre obtenu est dix fois trop grand."
        }
      ],
      "explanation": "Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on\najoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de\n$(5 \\times 10^{4}) \\times (4 \\times 10^{3})$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $20 \\times 10^{7}$, et\n$20 = 2 \\times 10$, d'où l'exposant $8$."
            },
            {
              "text": "$20 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur $20$ dépasse $10$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter\nl'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$20 \\times 10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le\nnombre obtenu est dix fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on\najoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de\n$(6 \\times 10^{6}) \\times (5 \\times 10^{2})$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $30 \\times 10^{8}$, et\n$30 = 3 \\times 10$, d'où l'exposant $9$."
            },
            {
              "text": "$30 \\times 10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur $30$ dépasse $10$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter\nl'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$30 \\times 10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le\nnombre obtenu est dix fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on\najoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de\n$(8 \\times 10^{3}) \\times (5 \\times 10^{7})$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\times 10^{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $40 \\times 10^{10}$, et\n$40 = 4 \\times 10$, d'où l'exposant $11$."
            },
            {
              "text": "$40 \\times 10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur $40$ dépasse $10$."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter\nl'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$40 \\times 10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le\nnombre obtenu est dix fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on\najoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de\n$(2 \\times 10^{5}) \\times (5 \\times 10^{6})$.",
          "options": [
            {
              "text": "$1 \\times 10^{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $10 \\times 10^{11}$, et\n$10 = 1 \\times 10$, d'où l'exposant $12$."
            },
            {
              "text": "$10 \\times 10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le\npremier facteur $10$ dépasse $10$."
            },
            {
              "text": "$1 \\times 10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter\nl'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit."
            },
            {
              "text": "$10 \\times 10^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le\nnombre obtenu est dix fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on\najoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison",
        "puissances-de-dix"
      ],
      "title": "La plus petite puissance de dix",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{-5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre\nest celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-5$."
        },
        {
          "text": "$10^{-3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant $-3$ est plus grand que $-5$, donc $10^{-3}$ est\nplus grand que $10^{-5}$."
        },
        {
          "text": "$10^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant $2$ est plus grand que $-5$, donc ce nombre n'est\npas le plus petit des quatre."
        },
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant $4$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est\n$10^{-5}$ qu'il fallait choisir."
        }
      ],
      "explanation": "Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs\nexposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre\nest celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-5$."
            },
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-3$ est plus grand que $-5$, donc $10^{-3}$ est\nplus grand que $10^{-5}$."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $2$ est plus grand que $-5$, donc ce nombre n'est\npas le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $4$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est\n$10^{-5}$ qu'il fallait choisir."
            }
          ],
          "explanation": "Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs\nexposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre\nest celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-7$."
            },
            {
              "text": "$10^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-2$ est plus grand que $-7$, donc $10^{-2}$ est\nplus grand que $10^{-7}$."
            },
            {
              "text": "$10^{-1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-1$ est plus grand que $-7$, donc ce nombre n'est\npas le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $3$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est\n$10^{-7}$ qu'il fallait choisir."
            }
          ],
          "explanation": "Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs\nexposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre\nest celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-4$."
            },
            {
              "text": "$10^{0}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $0$ est plus grand que $-4$, donc $10^{0}$ est\nplus grand que $10^{-4}$."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $5$ est plus grand que $-4$, donc ce nombre n'est\npas le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-3$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est\n$10^{-4}$ qu'il fallait choisir."
            }
          ],
          "explanation": "Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs\nexposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre\nest celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-10$."
            },
            {
              "text": "$10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-5$ est plus grand que $-10$, donc $10^{-5}$ est\nplus grand que $10^{-10}$."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $6$ est plus grand que $-10$, donc ce nombre n'est\npas le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $11$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est\n$10^{-10}$ qu'il fallait choisir."
            }
          ],
          "explanation": "Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs\nexposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ordre-de-grandeur",
        "ecriture-scientifique"
      ],
      "title": "Ordre de grandeur d'un nombre",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $68\\,000$, c'est-à-dire la puissance de\n$10$ la plus proche ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{5}$\nqui est la plus proche de $68\\,000$."
        },
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le bas : $68\\,000$ est nettement plus\nproche de $10^{5}$ que de $10^{4}$."
        },
        {
          "text": "$10^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{6}$ est dix fois plus\ngrand que la puissance attendue."
        },
        {
          "text": "$10^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux rangs ont été perdus : le nombre $68\\,000$ est cent fois plus\ngrand que $10^{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est\nle plus proche.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $68\\,000$, c'est-à-dire la puissance de\n$10$ la plus proche ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{5}$\nqui est la plus proche de $68\\,000$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le bas : $68\\,000$ est nettement plus\nproche de $10^{5}$ que de $10^{4}$."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{6}$ est dix fois plus\ngrand que la puissance attendue."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs ont été perdus : le nombre $68\\,000$ est cent fois plus\ngrand que $10^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est\nle plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $3\\,200\\,000$, c'est-à-dire la puissance de\n$10$ la plus proche ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{6}$\nqui est la plus proche de $3\\,200\\,000$."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le bas : $3\\,200\\,000$ est nettement plus\nproche de $10^{6}$ que de $10^{5}$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{7}$ est dix fois plus\ngrand que la puissance attendue."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs ont été perdus : le nombre $3\\,200\\,000$ est cent fois plus\ngrand que $10^{4}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est\nle plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $940$, c'est-à-dire la puissance de\n$10$ la plus proche ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{3}$\nqui est la plus proche de $940$."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le bas : $940$ est nettement plus\nproche de $10^{3}$ que de $10^{2}$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{4}$ est dix fois plus\ngrand que la puissance attendue."
            },
            {
              "text": "$10^{1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs ont été perdus : le nombre $940$ est cent fois plus\ngrand que $10^{1}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est\nle plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $27\\,000$, c'est-à-dire la puissance de\n$10$ la plus proche ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{4}$\nqui est la plus proche de $27\\,000$."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le bas : $27\\,000$ est nettement plus\nproche de $10^{4}$ que de $10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{5}$ est dix fois plus\ngrand que la puissance attendue."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs ont été perdus : le nombre $27\\,000$ est cent fois plus\ngrand que $10^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est\nle plus proche."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "ecriture-scientifique"
      ],
      "title": "Condition de l'écriture scientifique",
      "partie": "definition",
      "statement": "Un nombre positif écrit en écriture scientifique est de la forme\n$a \\times 10^{n}$, avec $n$ entier. Quelle condition le nombre $a$\ndoit-il vérifier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 \\leqslant a < 10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le premier facteur a exactement un chiffre avant\nla virgule, et ce chiffre n'est pas $0$."
        },
        {
          "text": "$0 < a < 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition décrit un nombre qui commence par $0$ : le\npremier facteur doit au contraire atteindre $1$."
        },
        {
          "text": "$0 \\leqslant a \\leqslant 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux bornes sont mal choisies : $a$ ne peut valoir ni $0$ ni\n$10$, sinon l'écriture n'est plus unique."
        },
        {
          "text": "$a$ doit être un entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur est presque toujours décimal, par exemple\n$3{,}5$ : il n'a aucune raison d'être entier."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'écriture scientifique $a \\times 10^{n}$ d'un nombre positif,\nle facteur $a$ vérifie $1 \\leqslant a < 10$."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-puissances",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Puissance d'un produit",
      "partie": "regles",
      "statement": "À quelle expression $(2 \\times 5)^{3}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{3} \\times 5^{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du\nproduit."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 5^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux\ndeux, car la parenthèse les regroupe."
        },
        {
          "text": "$2^{3} + 5^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit est devenu une somme : les deux puissances se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
        },
        {
          "text": "$10^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : le produit $10$ garde\nl'exposant $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout exposant $n$, $(a \\times b)^{n} = a^{n} \\times b^{n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À quelle expression $(2 \\times 5)^{3}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{3} \\times 5^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du\nproduit."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux\ndeux, car la parenthèse les regroupe."
            },
            {
              "text": "$2^{3} + 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est devenu une somme : les deux puissances se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : le produit $10$ garde\nl'exposant $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout exposant $n$, $(a \\times b)^{n} = a^{n} \\times b^{n}$."
        },
        {
          "statement": "À quelle expression $(3 \\times 4)^{2}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{2} \\times 4^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du\nproduit."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 4^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux\ndeux, car la parenthèse les regroupe."
            },
            {
              "text": "$3^{2} + 4^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est devenu une somme : les deux puissances se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$12^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : le produit $12$ garde\nl'exposant $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout exposant $n$, $(a \\times b)^{n} = a^{n} \\times b^{n}$."
        },
        {
          "statement": "À quelle expression $(2 \\times 7)^{4}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{4} \\times 7^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du\nproduit."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 7^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux\ndeux, car la parenthèse les regroupe."
            },
            {
              "text": "$2^{4} + 7^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est devenu une somme : les deux puissances se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$14^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : le produit $14$ garde\nl'exposant $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout exposant $n$, $(a \\times b)^{n} = a^{n} \\times b^{n}$."
        },
        {
          "statement": "À quelle expression $(3 \\times 9)^{4}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{4} \\times 9^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du\nproduit."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 9^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux\ndeux, car la parenthèse les regroupe."
            },
            {
              "text": "$3^{4} + 9^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est devenu une somme : les deux puissances se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$27^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été doublé sans raison : le produit $27$ garde\nl'exposant $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout exposant $n$, $(a \\times b)^{n} = a^{n} \\times b^{n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance-de-puissance",
        "produit-puissances"
      ],
      "title": "Deux règles enchaînées",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $\\left(2^{3}\\right)^{2} \\times 2^{4}$ sous la forme\nd'une seule puissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $2^{3 \\times 2}$, puis\nle produit ajoute $4$, ce qui fait $10$."
        },
        {
          "text": "$2^{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se\nmultiplient d'abord."
        },
        {
          "text": "$2^{24}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car\nil vient d'un produit de puissances."
        },
        {
          "text": "$2^{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on\nmultiplie $3$ par $2$, puis on ajoute $4$."
        }
      ],
      "explanation": "On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis\ncelle du produit de puissances de même base.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $\\left(2^{3}\\right)^{2} \\times 2^{4}$ sous la forme\nd'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $2^{3 \\times 2}$, puis\nle produit ajoute $4$, ce qui fait $10$."
            },
            {
              "text": "$2^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se\nmultiplient d'abord."
            },
            {
              "text": "$2^{24}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car\nil vient d'un produit de puissances."
            },
            {
              "text": "$2^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on\nmultiplie $3$ par $2$, puis on ajoute $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis\ncelle du produit de puissances de même base."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(5^{2}\\right)^{4} \\times 5^{3}$ sous la forme\nd'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $5^{2 \\times 4}$, puis\nle produit ajoute $3$, ce qui fait $11$."
            },
            {
              "text": "$5^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se\nmultiplient d'abord."
            },
            {
              "text": "$5^{24}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car\nil vient d'un produit de puissances."
            },
            {
              "text": "$5^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on\nmultiplie $2$ par $4$, puis on ajoute $3$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis\ncelle du produit de puissances de même base."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(3^{4}\\right)^{2} \\times 3^{5}$ sous la forme\nd'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{13}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $3^{4 \\times 2}$, puis\nle produit ajoute $5$, ce qui fait $13$."
            },
            {
              "text": "$3^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se\nmultiplient d'abord."
            },
            {
              "text": "$3^{40}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car\nil vient d'un produit de puissances."
            },
            {
              "text": "$3^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on\nmultiplie $4$ par $2$, puis on ajoute $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis\ncelle du produit de puissances de même base."
        },
        {
          "statement": "Écris $\\left(2^{3}\\right)^{6} \\times 2^{4}$ sous la forme\nd'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{22}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la parenthèse donne $2^{3 \\times 6}$, puis\nle produit ajoute $4$, ce qui fait $22$."
            },
            {
              "text": "$2^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se\nmultiplient d'abord."
            },
            {
              "text": "$2^{72}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car\nil vient d'un produit de puissances."
            },
            {
              "text": "$2^{27}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on\nmultiplie $3$ par $6$, puis on ajoute $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis\ncelle du produit de puissances de même base."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "quotient-puissances",
        "exposant-negatif"
      ],
      "title": "Quotient donnant un exposant négatif",
      "partie": "regles",
      "statement": "Le quotient $\\dfrac{2^{3}}{2^{7}}$ se ramène à une seule\npuissance de $2$. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{-4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 - 7 = -4$, et rien n'interdit à un\nexposant d'être négatif."
        },
        {
          "text": "$2^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant\nnégatif : il faut pourtant l'accepter."
        },
        {
          "text": "$2^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les\nsoustrait."
        },
        {
          "text": "$-2^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être\ndevant l'exposant : le résultat cherché est positif."
        }
      ],
      "explanation": "La règle $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est\nplus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le quotient $\\dfrac{2^{3}}{2^{7}}$ se ramène à une seule\npuissance de $2$. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 - 7 = -4$, et rien n'interdit à un\nexposant d'être négatif."
            },
            {
              "text": "$2^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant\nnégatif : il faut pourtant l'accepter."
            },
            {
              "text": "$2^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les\nsoustrait."
            },
            {
              "text": "$-2^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être\ndevant l'exposant : le résultat cherché est positif."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est\nplus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif."
        },
        {
          "statement": "Le quotient $\\dfrac{5^{2}}{5^{8}}$ se ramène à une seule\npuissance de $5$. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{-6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 - 8 = -6$, et rien n'interdit à un\nexposant d'être négatif."
            },
            {
              "text": "$5^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant\nnégatif : il faut pourtant l'accepter."
            },
            {
              "text": "$5^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les\nsoustrait."
            },
            {
              "text": "$-5^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être\ndevant l'exposant : le résultat cherché est positif."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est\nplus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif."
        },
        {
          "statement": "Le quotient $\\dfrac{10^{4}}{10^{9}}$ se ramène à une seule\npuissance de $10$. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 - 9 = -5$, et rien n'interdit à un\nexposant d'être négatif."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant\nnégatif : il faut pourtant l'accepter."
            },
            {
              "text": "$10^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les\nsoustrait."
            },
            {
              "text": "$-10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être\ndevant l'exposant : le résultat cherché est positif."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est\nplus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif."
        },
        {
          "statement": "Le quotient $\\dfrac{11^{2}}{11^{10}}$ se ramène à une seule\npuissance de $11$. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11^{-8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 - 10 = -8$, et rien n'interdit à un\nexposant d'être négatif."
            },
            {
              "text": "$11^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant\nnégatif : il faut pourtant l'accepter."
            },
            {
              "text": "$11^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les\nsoustrait."
            },
            {
              "text": "$-11^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être\ndevant l'exposant : le résultat cherché est positif."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est\nplus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-puissances",
        "exposant-negatif"
      ],
      "title": "Produit avec un exposant négatif",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $3^{7} \\times 3^{-2}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$3^{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et\n$7 + (-2) = 5$."
        },
        {
          "text": "$3^{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant\nvaut $-2$, il diminue la somme."
        },
        {
          "text": "$3^{-5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la\nsomme cherchée vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$3^{14}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la\npuissance d'une puissance."
        }
      ],
      "explanation": "La règle $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des\nexposants négatifs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $3^{7} \\times 3^{-2}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et\n$7 + (-2) = 5$."
            },
            {
              "text": "$3^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant\nvaut $-2$, il diminue la somme."
            },
            {
              "text": "$3^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la\nsomme cherchée vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$3^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la\npuissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des\nexposants négatifs."
        },
        {
          "statement": "Écris $2^{4} \\times 2^{-9}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et\n$4 + (-9) = -5$."
            },
            {
              "text": "$2^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant\nvaut $-9$, il diminue la somme."
            },
            {
              "text": "$2^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la\nsomme cherchée vaut $-5$."
            },
            {
              "text": "$2^{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la\npuissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des\nexposants négatifs."
        },
        {
          "statement": "Écris $5^{6} \\times 5^{-4}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et\n$6 + (-4) = 2$."
            },
            {
              "text": "$5^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant\nvaut $-4$, il diminue la somme."
            },
            {
              "text": "$5^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la\nsomme cherchée vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$5^{24}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la\npuissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des\nexposants négatifs."
        },
        {
          "statement": "Écris $2^{6} \\times 2^{-16}$ sous la forme d'une seule\npuissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{-10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et\n$6 + (-16) = -10$."
            },
            {
              "text": "$2^{22}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant\nvaut $-16$, il diminue la somme."
            },
            {
              "text": "$2^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la\nsomme cherchée vaut $-10$."
            },
            {
              "text": "$2^{96}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la\npuissance d'une puissance."
            }
          ],
          "explanation": "La règle $a^{m} \\times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des\nexposants négatifs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "signe-puissance",
        "priorites"
      ],
      "title": "Signe moins devant une puissance",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $-3^{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en\npremier, puis on prend l'opposé de $9$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la\npuissance, donc le nombre cherché est négatif."
        },
        {
          "text": "$-6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $2$ répète\nle facteur $3$, il ne le multiplie pas."
        },
        {
          "text": "$-27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $2$, donc la\npuissance vaut $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire\n$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $-3^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en\npremier, puis on prend l'opposé de $9$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la\npuissance, donc le nombre cherché est négatif."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $2$ répète\nle facteur $3$, il ne le multiplie pas."
            },
            {
              "text": "$-27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $2$, donc la\npuissance vaut $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire\n$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $-2^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en\npremier, puis on prend l'opposé de $16$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la\npuissance, donc le nombre cherché est négatif."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $4$ répète\nle facteur $2$, il ne le multiplie pas."
            },
            {
              "text": "$-32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $4$, donc la\npuissance vaut $16$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire\n$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $-5^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en\npremier, puis on prend l'opposé de $25$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la\npuissance, donc le nombre cherché est négatif."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $2$ répète\nle facteur $5$, il ne le multiplie pas."
            },
            {
              "text": "$-125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $2$, donc la\npuissance vaut $25$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire\n$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $-2^{6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en\npremier, puis on prend l'opposé de $64$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la\npuissance, donc le nombre cherché est négatif."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $6$ répète\nle facteur $2$, il ne le multiplie pas."
            },
            {
              "text": "$-128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $6$, donc la\npuissance vaut $64$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire\n$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison",
        "ecriture-scientifique"
      ],
      "title": "Le plus grand de quatre nombres",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus\ngrand ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 \\times 10^{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : son exposant $8$ est le plus grand des quatre,\net c'est lui qui décide en premier."
        },
        {
          "text": "$9 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur $9$ est grand, mais l'exposant $7$ est\nplus petit que $8$ : c'est l'exposant qui l'emporte."
        },
        {
          "text": "$5 \\times 10^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant $6$ est plus petit que $8$, donc ce nombre est\nplus petit que le premier."
        },
        {
          "text": "$7 \\times 10^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec\nl'exposant $5$, ce nombre reste le plus petit."
        }
      ],
      "explanation": "Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on\ncompare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus\ngrand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : son exposant $8$ est le plus grand des quatre,\net c'est lui qui décide en premier."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $9$ est grand, mais l'exposant $7$ est\nplus petit que $8$ : c'est l'exposant qui l'emporte."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $6$ est plus petit que $8$, donc ce nombre est\nplus petit que le premier."
            },
            {
              "text": "$7 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec\nl'exposant $5$, ce nombre reste le plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on\ncompare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus\ngrand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : son exposant $6$ est le plus grand des quatre,\net c'est lui qui décide en premier."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $8$ est grand, mais l'exposant $5$ est\nplus petit que $6$ : c'est l'exposant qui l'emporte."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $4$ est plus petit que $6$, donc ce nombre est\nplus petit que le premier."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec\nl'exposant $3$, ce nombre reste le plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on\ncompare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus\ngrand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\times 10^{-2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : son exposant $-2$ est le plus grand des quatre,\net c'est lui qui décide en premier."
            },
            {
              "text": "$7 \\times 10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $7$ est grand, mais l'exposant $-3$ est\nplus petit que $-2$ : c'est l'exposant qui l'emporte."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $-4$ est plus petit que $-2$, donc ce nombre est\nplus petit que le premier."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec\nl'exposant $-5$, ce nombre reste le plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on\ncompare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus\ngrand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 \\times 10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : son exposant $4$ est le plus grand des quatre,\net c'est lui qui décide en premier."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $9$ est grand, mais l'exposant $3$ est\nplus petit que $4$ : c'est l'exposant qui l'emporte."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant $2$ est plus petit que $4$, donc ce nombre est\nplus petit que le premier."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec\nl'exposant $1$, ce nombre reste le plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on\ncompare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "definition-puissance",
        "calcul-mental"
      ],
      "title": "Somme de deux carrés",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $3^{2} + 4^{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on\nadditionne les deux résultats."
        },
        {
          "text": "$49$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le\ncarré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans\nune somme de deux carrés."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les carrés ont été remplacés par des doubles : $3^{2}$ signifie\n$3 \\times 3$, pas $2 \\times 3$."
        }
      ],
      "explanation": "L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au\ncarré, puis on additionne.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3^{2} + 4^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on\nadditionne les deux résultats."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le\ncarré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans\nune somme de deux carrés."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les carrés ont été remplacés par des doubles : $3^{2}$ signifie\n$3 \\times 3$, pas $2 \\times 3$."
            }
          ],
          "explanation": "L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au\ncarré, puis on additionne."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5^{2} + 12^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$169$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on\nadditionne les deux résultats."
            },
            {
              "text": "$289$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le\ncarré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans\nune somme de deux carrés."
            },
            {
              "text": "$34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les carrés ont été remplacés par des doubles : $5^{2}$ signifie\n$5 \\times 5$, pas $2 \\times 5$."
            }
          ],
          "explanation": "L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au\ncarré, puis on additionne."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $6^{2} + 8^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on\nadditionne les deux résultats."
            },
            {
              "text": "$196$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le\ncarré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans\nune somme de deux carrés."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les carrés ont été remplacés par des doubles : $6^{2}$ signifie\n$6 \\times 6$, pas $2 \\times 6$."
            }
          ],
          "explanation": "L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au\ncarré, puis on additionne."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $9^{2} + 16^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$337$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on\nadditionne les deux résultats."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le\ncarré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés."
            },
            {
              "text": "$288$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans\nune somme de deux carrés."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les carrés ont été remplacés par des doubles : $9^{2}$ signifie\n$9 \\times 9$, pas $2 \\times 9$."
            }
          ],
          "explanation": "L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au\ncarré, puis on additionne."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances-de-dix",
        "ecriture-scientifique"
      ],
      "title": "Un nombre écrit comme puissance de dix",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Comment s'écrit $1\\,000\\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $6$ zéros, et\nl'exposant les compte exactement."
        },
        {
          "text": "$10^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $6$, donc\nl'exposant vaut $6$."
        },
        {
          "text": "$10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les\nzéros comptent, et il y en a $6$."
        },
        {
          "text": "$6^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et\nl'exposant vaut $6$."
        }
      ],
      "explanation": "Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment s'écrit $1\\,000\\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $6$ zéros, et\nl'exposant les compte exactement."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $6$, donc\nl'exposant vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les\nzéros comptent, et il y en a $6$."
            },
            {
              "text": "$6^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et\nl'exposant vaut $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $10\\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $4$ zéros, et\nl'exposant les compte exactement."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $4$, donc\nl'exposant vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les\nzéros comptent, et il y en a $4$."
            },
            {
              "text": "$4^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et\nl'exposant vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $100\\,000\\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $8$ zéros, et\nl'exposant les compte exactement."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $8$, donc\nl'exposant vaut $8$."
            },
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les\nzéros comptent, et il y en a $8$."
            },
            {
              "text": "$8^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et\nl'exposant vaut $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $1\\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $3$ zéros, et\nl'exposant les compte exactement."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $3$, donc\nl'exposant vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les\nzéros comptent, et il y en a $3$."
            },
            {
              "text": "$3^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et\nl'exposant vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "exposant-negatif",
        "puissances-de-dix"
      ],
      "title": "Produit de puissances de dix signées",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écris $10^{-3} \\times 10^{-5}$ sous la forme d'une seule puissance\nde $10$.",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{-8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de\nleurs signes, et $-3 - 5 = -8$."
        },
        {
          "text": "$10^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent."
        },
        {
          "text": "$10^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée\nau quotient."
        },
        {
          "text": "$10^{-2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les\nadditionner, ce qui donne $-8$."
        }
      ],
      "explanation": "L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc\n$10^{p} \\times 10^{q} = 10^{p+q}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écris $10^{-3} \\times 10^{-5}$ sous la forme d'une seule puissance\nde $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de\nleurs signes, et $-3 - 5 = -8$."
            },
            {
              "text": "$10^{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée\nau quotient."
            },
            {
              "text": "$10^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les\nadditionner, ce qui donne $-8$."
            }
          ],
          "explanation": "L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc\n$10^{p} \\times 10^{q} = 10^{p+q}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $10^{-2} \\times 10^{7}$ sous la forme d'une seule puissance\nde $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de\nleurs signes, et $-2 + 7 = 5$."
            },
            {
              "text": "$10^{-14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$10^{-9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée\nau quotient."
            },
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les\nadditionner, ce qui donne $5$."
            }
          ],
          "explanation": "L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc\n$10^{p} \\times 10^{q} = 10^{p+q}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $10^{4} \\times 10^{-9}$ sous la forme d'une seule puissance\nde $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de\nleurs signes, et $4 - 9 = -5$."
            },
            {
              "text": "$10^{-36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$10^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée\nau quotient."
            },
            {
              "text": "$10^{-13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les\nadditionner, ce qui donne $-5$."
            }
          ],
          "explanation": "L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc\n$10^{p} \\times 10^{q} = 10^{p+q}$."
        },
        {
          "statement": "Écris $10^{6} \\times 10^{-3}$ sous la forme d'une seule puissance\nde $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de\nleurs signes, et $6 - 3 = 3$."
            },
            {
              "text": "$10^{-18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances\nde même base, ils s'additionnent."
            },
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée\nau quotient."
            },
            {
              "text": "$10^{-9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les\nadditionner, ce qui donne $3$."
            }
          ],
          "explanation": "L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc\n$10^{p} \\times 10^{q} = 10^{p+q}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "puissances-de-dix"
      ],
      "title": "Remettre en écriture scientifique",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Donne l'écriture scientifique de $340 \\times 10^{5}$.",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}4 \\times 10^{7}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la virgule recule de $2$ rangs dans $340$, et\nl'exposant gagne autant d'unités."
        },
        {
          "text": "$3{,}4 \\times 10^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le\npremier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$."
        },
        {
          "text": "$3{,}4 \\times 10^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre\nobtenu n'est plus égal à celui de départ."
        },
        {
          "text": "$340 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $340$ dépasse\n$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique."
        }
      ],
      "explanation": "Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant\npour que le nombre reste le même.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de $340 \\times 10^{5}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}4 \\times 10^{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule recule de $2$ rangs dans $340$, et\nl'exposant gagne autant d'unités."
            },
            {
              "text": "$3{,}4 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le\npremier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$."
            },
            {
              "text": "$3{,}4 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre\nobtenu n'est plus égal à celui de départ."
            },
            {
              "text": "$340 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $340$ dépasse\n$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant\npour que le nombre reste le même."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de $52 \\times 10^{3}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$5{,}2 \\times 10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule recule de $1$ rangs dans $52$, et\nl'exposant gagne autant d'unités."
            },
            {
              "text": "$5{,}2 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le\npremier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$."
            },
            {
              "text": "$5{,}2 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre\nobtenu n'est plus égal à celui de départ."
            },
            {
              "text": "$52 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $52$ dépasse\n$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant\npour que le nombre reste le même."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de $6\\,700 \\times 10^{-2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}7 \\times 10^{1}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule recule de $3$ rangs dans $6\\,700$, et\nl'exposant gagne autant d'unités."
            },
            {
              "text": "$6{,}7 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le\npremier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$."
            },
            {
              "text": "$6{,}7 \\times 10^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre\nobtenu n'est plus égal à celui de départ."
            },
            {
              "text": "$6\\,700 \\times 10^{1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $6\\,700$ dépasse\n$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant\npour que le nombre reste le même."
        },
        {
          "statement": "Donne l'écriture scientifique de $4\\,100 \\times 10^{2}$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}1 \\times 10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule recule de $3$ rangs dans $4\\,100$, et\nl'exposant gagne autant d'unités."
            },
            {
              "text": "$4{,}1 \\times 10^{-1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le\npremier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$."
            },
            {
              "text": "$4{,}1 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre\nobtenu n'est plus égal à celui de départ."
            },
            {
              "text": "$4\\,100 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $4\\,100$ dépasse\n$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant\npour que le nombre reste le même."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "definition-puissance"
      ],
      "title": "Exposant nul",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $a^{0}$ lorsque $a$ est un nombre non nul ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la règle $a^{0} = 1$ vaut pour tout nombre non\nnul, quelle que soit sa valeur."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a été confondu avec le résultat : ce n'est pas parce\nque l'exposant vaut $0$ que la puissance vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette réponse conviendrait à $a^{1}$ : avec l'exposant $0$, le\nrésultat vaut toujours $1$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend de $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat ne dépend pas de $a$ : tout nombre non nul élevé à la\npuissance $0$ donne $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "priorites",
        "calcul-mental"
      ],
      "title": "Priorité de la puissance",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $3 \\times 2^{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$48$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,\ndonc on multiplie $3$ par $2^{4}$."
        },
        {
          "text": "$1296$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la\npuissance : cela reviendrait à écrire $(3 \\times 2)^{4}$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de\n$2$, il ne multiplie pas le résultat."
        },
        {
          "text": "$216$",
          "correct": false,
          "feedback": "La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte\nsur $2$ seul et vaut $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le\nprécède immédiatement.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3 \\times 2^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$48$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,\ndonc on multiplie $3$ par $2^{4}$."
            },
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la\npuissance : cela reviendrait à écrire $(3 \\times 2)^{4}$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de\n$2$, il ne multiplie pas le résultat."
            },
            {
              "text": "$216$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte\nsur $2$ seul et vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le\nprécède immédiatement."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5 \\times 3^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,\ndonc on multiplie $5$ par $3^{2}$."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la\npuissance : cela reviendrait à écrire $(5 \\times 3)^{2}$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de\n$3$, il ne multiplie pas le résultat."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte\nsur $3$ seul et vaut $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le\nprécède immédiatement."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2 \\times 5^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$250$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,\ndonc on multiplie $2$ par $5^{3}$."
            },
            {
              "text": "$1000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la\npuissance : cela reviendrait à écrire $(2 \\times 5)^{3}$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de\n$5$, il ne multiplie pas le résultat."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte\nsur $5$ seul et vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le\nprécède immédiatement."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $2 \\times 7^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$686$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,\ndonc on multiplie $2$ par $7^{3}$."
            },
            {
              "text": "$2744$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la\npuissance : cela reviendrait à écrire $(2 \\times 7)^{3}$."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de\n$7$, il ne multiplie pas le résultat."
            },
            {
              "text": "$196$",
              "correct": false,
              "feedback": "La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte\nsur $7$ seul et vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le\nprécède immédiatement."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ordre-de-grandeur",
        "quotient-puissances"
      ],
      "title": "Ordre de grandeur d'un quotient",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de\n$\\dfrac{6 \\times 10^{9}}{3 \\times 10^{4}}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $2 \\times 10^{5}$, et\n$2$ est assez petit pour que $10^{5}$ reste le plus proche."
        },
        {
          "text": "$10^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur $2$ a été arrondi à $10$ : il en est\nnettement plus éloigné que de $1$."
        },
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $5$,\net non $4$."
        },
        {
          "text": "$10^{13}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les\nsoustrait."
        }
      ],
      "explanation": "On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \\times 10^{n}$,\npuis on garde la puissance de $10$ la plus proche.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de\n$\\dfrac{6 \\times 10^{9}}{3 \\times 10^{4}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $2 \\times 10^{5}$, et\n$2$ est assez petit pour que $10^{5}$ reste le plus proche."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $2$ a été arrondi à $10$ : il en est\nnettement plus éloigné que de $1$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $5$,\net non $4$."
            },
            {
              "text": "$10^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les\nsoustrait."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \\times 10^{n}$,\npuis on garde la puissance de $10$ la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de\n$\\dfrac{8 \\times 10^{7}}{2 \\times 10^{3}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $4 \\times 10^{4}$, et\n$4$ est assez petit pour que $10^{4}$ reste le plus proche."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $4$ a été arrondi à $10$ : il en est\nnettement plus éloigné que de $1$."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $4$,\net non $3$."
            },
            {
              "text": "$10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les\nsoustrait."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \\times 10^{n}$,\npuis on garde la puissance de $10$ la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de\n$\\dfrac{9 \\times 10^{12}}{3 \\times 10^{5}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $3 \\times 10^{7}$, et\n$3$ est assez petit pour que $10^{7}$ reste le plus proche."
            },
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $3$ a été arrondi à $10$ : il en est\nnettement plus éloigné que de $1$."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $7$,\net non $6$."
            },
            {
              "text": "$10^{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les\nsoustrait."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \\times 10^{n}$,\npuis on garde la puissance de $10$ la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de\n$\\dfrac{10 \\times 10^{14}}{2 \\times 10^{6}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $5 \\times 10^{8}$, et\n$5$ est assez petit pour que $10^{8}$ reste le plus proche."
            },
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur $5$ a été arrondi à $10$ : il en est\nnettement plus éloigné que de $1$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $8$,\net non $7$."
            },
            {
              "text": "$10^{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les\nsoustrait."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \\times 10^{n}$,\npuis on garde la puissance de $10$ la plus proche."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance",
        "notation"
      ],
      "title": "Écrire un produit répété sous forme de puissance",
      "partie": "definition",
      "statement": "Comment écrire $5 \\times 5 \\times 5 \\times 5$ sous la forme d'une puissance ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ est répété $4$ fois, donc le produit vaut $5^{4}$."
        },
        {
          "text": "$4^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $5$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $4$."
        },
        {
          "text": "$5 \\times 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 \\times 4$ est une somme répétée de $5$, pas un produit répété."
        },
        {
          "text": "$5^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a $4$ facteurs égaux à $5$, donc l'exposant vaut $4$."
        }
      ],
      "explanation": "$a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment écrire $5 \\times 5 \\times 5 \\times 5$ sous la forme d'une puissance ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ est répété $4$ fois, donc le produit vaut $5^{4}$."
            },
            {
              "text": "$4^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $5$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $4$."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5 \\times 4$ est une somme répétée de $5$, pas un produit répété."
            },
            {
              "text": "$5^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $4$ facteurs égaux à $5$, donc l'exposant vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "$a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Comment écrire $3 \\times 3 \\times 3 \\times 3 \\times 3 \\times 3$ sous la forme d'une puissance ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ est répété $6$ fois, donc le produit vaut $3^{6}$."
            },
            {
              "text": "$6^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $3$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $6$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 \\times 6$ est une somme répétée de $3$, pas un produit répété."
            },
            {
              "text": "$3^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $6$ facteurs égaux à $3$, donc l'exposant vaut $6$."
            }
          ],
          "explanation": "$a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Comment écrire $7 \\times 7 \\times 7$ sous la forme d'une puissance ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $7$ est répété $3$ fois, donc le produit vaut $7^{3}$."
            },
            {
              "text": "$3^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $7$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $3$."
            },
            {
              "text": "$7 \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7 \\times 3$ est une somme répétée de $7$, pas un produit répété."
            },
            {
              "text": "$7^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $3$ facteurs égaux à $7$, donc l'exposant vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "$a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        },
        {
          "statement": "Comment écrire $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2 \\times 2$ sous la forme d'une puissance ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $2$ est répété $5$ fois, donc le produit vaut $2^{5}$."
            },
            {
              "text": "$5^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $2$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $5$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 \\times 5$ est une somme répétée de $2$, pas un produit répété."
            },
            {
              "text": "$2^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a $5$ facteurs égaux à $2$, donc l'exposant vaut $5$."
            }
          ],
          "explanation": "$a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Valeur d'un cube",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $4^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$64$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4^3 = 4 \\times 4 \\times 4 = 64$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 \\times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $4$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le carré de $4$, avec deux facteurs seulement."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $4^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4^3 = 4 \\times 4 \\times 4 = 64$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4 \\times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le carré de $4$, avec deux facteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{4}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5^3 = 5 \\times 5 \\times 5 = 125$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5 \\times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le carré de $5$, avec deux facteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$243$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{5}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $6^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$216$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6^3 = 6 \\times 6 \\times 6 = 216$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 \\times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $6$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le carré de $6$, avec deux facteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$729$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{6}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $7^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$343$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7^3 = 7 \\times 7 \\times 7 = 343$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7 \\times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le carré de $7$, avec deux facteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$2187$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{7}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance",
        "exposant"
      ],
      "title": "Retrouver l'exposant d'une puissance",
      "partie": "definition",
      "statement": "Quel exposant $n$ vérifie $2^n = 32$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en multipliant $2$ par lui-même, on atteint $32$ avec $5$ facteurs."
        },
        {
          "text": "$n = 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32 \\div 2 = 16$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs."
        },
        {
          "text": "$n = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$, un facteur de trop."
        },
        {
          "text": "$n = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{4} = 16$, il manque un facteur."
        }
      ],
      "explanation": "Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel exposant $n$ vérifie $2^n = 32$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant $2$ par lui-même, on atteint $32$ avec $5$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $32 \\div 2 = 16$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$, un facteur de trop."
            },
            {
              "text": "$n = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{4} = 16$, il manque un facteur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs."
        },
        {
          "statement": "Quel exposant $n$ vérifie $3^n = 81$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant $3$ par lui-même, on atteint $81$ avec $4$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $81 \\div 3 = 27$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^{5} = 243$, un facteur de trop."
            },
            {
              "text": "$n = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^{3} = 27$, il manque un facteur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs."
        },
        {
          "statement": "Quel exposant $n$ vérifie $5^n = 125$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant $5$ par lui-même, on atteint $125$ avec $3$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $125 \\div 5 = 25$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^{4} = 625$, un facteur de trop."
            },
            {
              "text": "$n = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^{2} = 25$, il manque un facteur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs."
        },
        {
          "statement": "Quel exposant $n$ vérifie $2^n = 64$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant $2$ par lui-même, on atteint $64$ avec $6$ facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $64 \\div 2 = 32$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs."
            },
            {
              "text": "$n = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{7} = 128$, un facteur de trop."
            },
            {
              "text": "$n = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{5} = 32$, il manque un facteur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance",
        "signes"
      ],
      "title": "Puissance de moins un",
      "partie": "definition",
      "statement": "Que vaut $(-1)^{7}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(-1)^{7} = -1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $7$ est impair, donc le produit de $7$ facteurs égaux à $-1$ vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$(-1)^{7} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : avec un exposant impair, le résultat vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$(-1)^{7} = -7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié $-1$ par $7$ au lieu de l'élever à la puissance $7$."
        },
        {
          "text": "$(-1)^{7} = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^{7}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "$(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $(-1)^{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-1)^{7} = -1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $7$ est impair, donc le produit de $7$ facteurs égaux à $-1$ vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{7} = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : avec un exposant impair, le résultat vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{7} = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié $-1$ par $7$ au lieu de l'élever à la puissance $7$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{7} = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-1)^{7}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "$(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-1)^{10}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-1)^{10} = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $10$ est pair, donc le produit de $10$ facteurs égaux à $-1$ vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{10} = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : avec un exposant pair, le résultat vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{10} = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié $-1$ par $10$ au lieu de l'élever à la puissance $10$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{10} = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-1)^{10}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "$(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-1)^{13}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-1)^{13} = -1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $13$ est impair, donc le produit de $13$ facteurs égaux à $-1$ vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{13} = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : avec un exposant impair, le résultat vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{13} = -13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié $-1$ par $13$ au lieu de l'élever à la puissance $13$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{13} = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-1)^{13}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "$(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(-1)^{20}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-1)^{20} = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant $20$ est pair, donc le produit de $20$ facteurs égaux à $-1$ vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{20} = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : avec un exposant pair, le résultat vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{20} = -20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié $-1$ par $20$ au lieu de l'élever à la puissance $20$."
            },
            {
              "text": "$(-1)^{20} = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-1)^{20}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "$(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux puissances échangées",
      "partie": "definition",
      "statement": "Comment se comparent $2^{5}$ et $5^{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{5} > 5^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
        },
        {
          "text": "$2^{5} = 5^{2}$, mêmes nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
        },
        {
          "text": "$2^{5} < 5^{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité est inversée : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas les comparer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $32$ et $25$."
        }
      ],
      "explanation": "Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment se comparent $2^{5}$ et $5^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{5} > 5^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
            },
            {
              "text": "$2^{5} = 5^{2}$, mêmes nombres",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
            },
            {
              "text": "$2^{5} < 5^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inégalité est inversée : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $32$ et $25$."
            }
          ],
          "explanation": "Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Comment se comparent $3^{4}$ et $4^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{4} > 4^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3^{4} = 81$ et $4^{3} = 64$."
            },
            {
              "text": "$3^{4} = 4^{3}$, mêmes nombres",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $3^{4} = 81$ et $4^{3} = 64$."
            },
            {
              "text": "$3^{4} < 4^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inégalité est inversée : $3^{4} = 81$ et $4^{3} = 64$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $81$ et $64$."
            }
          ],
          "explanation": "Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Comment se comparent $2^{6}$ et $6^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{6} > 6^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{6} = 64$ et $6^{2} = 36$."
            },
            {
              "text": "$2^{6} = 6^{2}$, mêmes nombres",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $2^{6} = 64$ et $6^{2} = 36$."
            },
            {
              "text": "$2^{6} < 6^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inégalité est inversée : $2^{6} = 64$ et $6^{2} = 36$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $64$ et $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents."
        },
        {
          "statement": "Comment se comparent $3^{5}$ et $5^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{5} > 5^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3^{5} = 243$ et $5^{3} = 125$."
            },
            {
              "text": "$3^{5} = 5^{3}$, mêmes nombres",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $3^{5} = 243$ et $5^{3} = 125$."
            },
            {
              "text": "$3^{5} < 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inégalité est inversée : $3^{5} = 243$ et $5^{3} = 125$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $243$ et $125$."
            }
          ],
          "explanation": "Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance-de-dix",
        "prefixes"
      ],
      "title": "Préfixe et puissance de dix",
      "partie": "definition",
      "statement": "Le préfixe « kilo » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le préfixe « kilo » multiplie l'unité par $10^{3}$."
        },
        {
          "text": "$10^{-3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « kilo » correspond à $10^{3}$."
        },
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « kilo » correspond à $10^{3}$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$."
        }
      ],
      "explanation": "kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le préfixe « kilo » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le préfixe « kilo » multiplie l'unité par $10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « kilo » correspond à $10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « kilo » correspond à $10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$."
            }
          ],
          "explanation": "kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$."
        },
        {
          "statement": "Le préfixe « milli » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le préfixe « milli » multiplie l'unité par $10^{-3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « milli » correspond à $10^{-3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « milli » correspond à $10^{-3}$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$."
            }
          ],
          "explanation": "kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$."
        },
        {
          "statement": "Le préfixe « méga » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le préfixe « méga » multiplie l'unité par $10^{6}$."
            },
            {
              "text": "$10^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « méga » correspond à $10^{6}$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « méga » correspond à $10^{6}$."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$."
            }
          ],
          "explanation": "kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$."
        },
        {
          "statement": "Le préfixe « micro » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le préfixe « micro » multiplie l'unité par $10^{-6}$."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « micro » correspond à $10^{-6}$."
            },
            {
              "text": "$10^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « micro » correspond à $10^{-6}$."
            },
            {
              "text": "$6 \\times 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$."
            }
          ],
          "explanation": "kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient",
        "puissance-de-dix"
      ],
      "title": "Quotient de deux puissances de dix",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{7}}{10^{3}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on soustrait les exposants : $7 - 3 = 4$."
        },
        {
          "text": "$10^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait."
        },
        {
          "text": "$10^{-4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur."
        },
        {
          "text": "$1^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{7}}{10^{3}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on soustrait les exposants : $7 - 3 = 4$."
            },
            {
              "text": "$10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$1^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{2}}{10^{5}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on soustrait les exposants : $2 - 5 = -3$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$1^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{-1}}{10^{4}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on soustrait les exposants : $-1 - 4 = -5$."
            },
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$1^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{6}}{10^{-2}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on soustrait les exposants : $6 - (-2) = 8$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{-8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$1^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit",
        "meme-exposant"
      ],
      "title": "Produit de puissances de même exposant",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écrire $2^{3} \\times 5^{3}$ sous la forme d'une seule puissance.",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a^n \\times b^n = (a \\times b)^n$, donc $(2 \\times 5)^{3} = 10^{3}$."
        },
        {
          "text": "$10^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases."
        },
        {
          "text": "$7^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient."
        },
        {
          "text": "$2^{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ et $5$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour des exposants égaux, $a^n \\times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \\times a^n = a^{m + n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écrire $2^{3} \\times 5^{3}$ sous la forme d'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $a^n \\times b^n = (a \\times b)^n$, donc $(2 \\times 5)^{3} = 10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases."
            },
            {
              "text": "$7^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$2^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ et $5$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des exposants égaux, $a^n \\times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \\times a^n = a^{m + n}$."
        },
        {
          "statement": "Écrire $4^{2} \\times 5^{2}$ sous la forme d'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$20^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $a^n \\times b^n = (a \\times b)^n$, donc $(4 \\times 5)^{2} = 20^{2}$."
            },
            {
              "text": "$20^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases."
            },
            {
              "text": "$9^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$4^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ et $5$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des exposants égaux, $a^n \\times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \\times a^n = a^{m + n}$."
        },
        {
          "statement": "Écrire $2^{4} \\times 3^{4}$ sous la forme d'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$6^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $a^n \\times b^n = (a \\times b)^n$, donc $(2 \\times 3)^{4} = 6^{4}$."
            },
            {
              "text": "$6^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases."
            },
            {
              "text": "$5^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$2^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ et $3$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des exposants égaux, $a^n \\times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \\times a^n = a^{m + n}$."
        },
        {
          "statement": "Écrire $5^{2} \\times 3^{2}$ sous la forme d'une seule puissance.",
          "options": [
            {
              "text": "$15^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $a^n \\times b^n = (a \\times b)^n$, donc $(5 \\times 3)^{2} = 15^{2}$."
            },
            {
              "text": "$15^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases."
            },
            {
              "text": "$8^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient."
            },
            {
              "text": "$5^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ et $3$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des exposants égaux, $a^n \\times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \\times a^n = a^{m + n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse",
        "exposant-negatif"
      ],
      "title": "Inverse d'une puissance",
      "partie": "regles",
      "statement": "À quelle puissance $\\dfrac{1}{10^{3}}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{-3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$."
        },
        {
          "text": "$-10^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\\dfrac{1}{10^{3}}$ est positif."
        },
        {
          "text": "$3^{-10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change."
        },
        {
          "text": "$1^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1^{3}$ vaut $1$ ; la base $10$ ne disparaît pas."
        }
      ],
      "explanation": "$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À quelle puissance $\\dfrac{1}{10^{3}}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$."
            },
            {
              "text": "$-10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\\dfrac{1}{10^{3}}$ est positif."
            },
            {
              "text": "$3^{-10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change."
            },
            {
              "text": "$1^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^{3}$ vaut $1$ ; la base $10$ ne disparaît pas."
            }
          ],
          "explanation": "$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul."
        },
        {
          "statement": "À quelle puissance $\\dfrac{1}{2^{5}}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$."
            },
            {
              "text": "$-2^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\\dfrac{1}{2^{5}}$ est positif."
            },
            {
              "text": "$5^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change."
            },
            {
              "text": "$1^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^{5}$ vaut $1$ ; la base $2$ ne disparaît pas."
            }
          ],
          "explanation": "$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul."
        },
        {
          "statement": "À quelle puissance $\\dfrac{1}{7^{2}}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7^{-2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$."
            },
            {
              "text": "$-7^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\\dfrac{1}{7^{2}}$ est positif."
            },
            {
              "text": "$2^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change."
            },
            {
              "text": "$1^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^{2}$ vaut $1$ ; la base $7$ ne disparaît pas."
            }
          ],
          "explanation": "$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul."
        },
        {
          "statement": "À quelle puissance $\\dfrac{1}{3^{4}}$ est-il égal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$."
            },
            {
              "text": "$-3^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\\dfrac{1}{3^{4}}$ est positif."
            },
            {
              "text": "$4^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change."
            },
            {
              "text": "$1^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^{4}$ vaut $1$ ; la base $3$ ne disparaît pas."
            }
          ],
          "explanation": "$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-de-dix",
        "regles"
      ],
      "title": "Simplifier un calcul de puissances de dix",
      "partie": "regles",
      "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{3} \\times 10^{5}}{10^{4}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{8}$, puis $8 - 4 = 4$."
        },
        {
          "text": "$10^{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait."
        },
        {
          "text": "$10^{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "$10^{-6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $5$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{3} \\times 10^{5}}{10^{4}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{8}$, puis $8 - 4 = 4$."
            },
            {
              "text": "$10^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$10^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant $5$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $3$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{6} \\times 10^{-2}}{10^{3}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{1}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{4}$, puis $4 - 3 = 1$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{-15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant $-2$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $6$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{2} \\times 10^{7}}{10^{4}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{9}$, puis $9 - 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$10^{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$10^{-9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant $7$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $2$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Écrire $\\dfrac{10^{-3} \\times 10^{8}}{10^{2}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{5}$, puis $5 - 2 = 3$."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait."
            },
            {
              "text": "$10^{-26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "$10^{-13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant $8$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance-de-dix",
        "decimaux"
      ],
      "title": "Multiplier un décimal par une puissance de dix",
      "partie": "regles",
      "statement": "Que vaut $3{,}5 \\times 10^{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$350$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $10^{2}$ déplace la virgule de $2$ rangs vers la droite."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique."
        },
        {
          "text": "$3\\,500$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop."
        },
        {
          "text": "$0{,}035$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $3{,}5 \\times 10^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$350$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $10^{2}$ déplace la virgule de $2$ rangs vers la droite."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique."
            },
            {
              "text": "$3\\,500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop."
            },
            {
              "text": "$0{,}035$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $0{,}47 \\times 10^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$470$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $10^{3}$ déplace la virgule de $3$ rangs vers la droite."
            },
            {
              "text": "$47$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique."
            },
            {
              "text": "$4\\,700$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop."
            },
            {
              "text": "$0{,}00047$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $12{,}6 \\times 10^{-1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}26$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $10^{-1}$ déplace la virgule de $1$ rang vers la gauche."
            },
            {
              "text": "$12{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique."
            },
            {
              "text": "$0{,}126$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop."
            },
            {
              "text": "$126$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $5{,}08 \\times 10^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50\\,800$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $10^{4}$ déplace la virgule de $4$ rangs vers la droite."
            },
            {
              "text": "$5\\,080$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique."
            },
            {
              "text": "$508\\,000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop."
            },
            {
              "text": "$0{,}000508$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux écritures scientifiques",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $3{,}2 \\times 10^{5}$ ou $8{,}1 \\times 10^{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}2 \\times 10^{5}$, car son exposant est plus grand",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $5 > 4$."
        },
        {
          "text": "$8{,}1 \\times 10^{4}$, car $8{,}1 > 3{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $5$ l'emporte sur $4$."
        },
        {
          "text": "Ils sont égaux, à l'arrondi près",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants."
        }
      ],
      "explanation": "Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $3{,}2 \\times 10^{5}$ ou $8{,}1 \\times 10^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}2 \\times 10^{5}$, car son exposant est plus grand",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $5 > 4$."
            },
            {
              "text": "$8{,}1 \\times 10^{4}$, car $8{,}1 > 3{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $5$ l'emporte sur $4$."
            },
            {
              "text": "Ils sont égaux, à l'arrondi près",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $1{,}5 \\times 10^{-3}$ ou $9{,}6 \\times 10^{-4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5 \\times 10^{-3}$, car son exposant est plus grand",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $-3 > -4$."
            },
            {
              "text": "$9{,}6 \\times 10^{-4}$, car $9{,}6 > 1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $-3$ l'emporte sur $-4$."
            },
            {
              "text": "Ils sont égaux, à l'arrondi près",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $2{,}7 \\times 10^{8}$ ou $9{,}9 \\times 10^{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}7 \\times 10^{8}$, car son exposant est plus grand",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $8 > 7$."
            },
            {
              "text": "$9{,}9 \\times 10^{7}$, car $9{,}9 > 2{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $8$ l'emporte sur $7$."
            },
            {
              "text": "Ils sont égaux, à l'arrondi près",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $4{,}4 \\times 10^{-2}$ ou $7{,}3 \\times 10^{-3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}4 \\times 10^{-2}$, car son exposant est plus grand",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $-2 > -3$."
            },
            {
              "text": "$7{,}3 \\times 10^{-3}$, car $7{,}3 > 4{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $-2$ l'emporte sur $-3$."
            },
            {
              "text": "Ils sont égaux, à l'arrondi près",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants."
            }
          ],
          "explanation": "Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "grand-nombre"
      ],
      "title": "Une distance astronomique",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "La distance moyenne de la Terre au Soleil vaut environ $150\\,000\\,000$ km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}5 \\times 10^{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de $8$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$."
        },
        {
          "text": "$1{,}5 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$."
        },
        {
          "text": "$1{,}5 \\times 10^{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$."
        },
        {
          "text": "$15 \\times 10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique."
        }
      ],
      "explanation": "Écriture scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et $n$ entier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La distance moyenne de la Terre au Soleil vaut environ $150\\,000\\,000$ km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5 \\times 10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de $8$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$."
            },
            {
              "text": "$1{,}5 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$."
            },
            {
              "text": "$1{,}5 \\times 10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$."
            },
            {
              "text": "$15 \\times 10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Écriture scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "La distance moyenne de la Terre à la Lune vaut environ $384\\,000$ km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}84 \\times 10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de $5$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$."
            },
            {
              "text": "$3{,}84 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $5$."
            },
            {
              "text": "$3{,}84 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $5$."
            },
            {
              "text": "$38{,}4 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Écriture scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "Le rayon de la Terre vaut environ $6\\,400$ km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}4 \\times 10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de $3$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$."
            },
            {
              "text": "$6{,}4 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $3$."
            },
            {
              "text": "$6{,}4 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $3$."
            },
            {
              "text": "$64 \\times 10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Écriture scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et $n$ entier."
        },
        {
          "statement": "La vitesse de la lumière dans le vide vaut environ $300\\,000$ km/s. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de $5$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $5$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $5$."
            },
            {
              "text": "$30 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique."
            }
          ],
          "explanation": "Écriture scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et $n$ entier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ecriture-scientifique",
        "petit-nombre"
      ],
      "title": "Taille d'un objet microscopique",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Un grain de sable fin mesure environ $0{,}0002$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\times 10^{-4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $2$, est au rang $4$ après la virgule."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 10^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 10^{-3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $2$ est au rang $4$ après la virgule."
        },
        {
          "text": "$20 \\times 10^{-5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $20$, qui dépasse $10$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un grain de sable fin mesure environ $0{,}0002$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $2$, est au rang $4$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $2$ est au rang $4$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$20 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $20$, qui dépasse $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite."
        },
        {
          "statement": "Un cheveu a un diamètre d'environ $0{,}00008$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 \\times 10^{-5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $8$, est au rang $5$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$8 \\times 10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $8$ est au rang $5$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$80 \\times 10^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $80$, qui dépasse $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite."
        },
        {
          "statement": "Une fourmi mesure environ $0{,}003$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 10^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $3$, est au rang $3$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 10^{-2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $3$ est au rang $3$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$30 \\times 10^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $30$, qui dépasse $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite."
        },
        {
          "statement": "Une bactérie mesure environ $0{,}000002$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $2$, est au rang $6$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 10^{-5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $2$ est au rang $6$ après la virgule."
            },
            {
              "text": "$20 \\times 10^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $20$, qui dépasse $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ordre-de-grandeur",
        "produit"
      ],
      "title": "Ordre de grandeur d'un produit",
      "partie": "scientifique",
      "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $(1 \\times 10^{3}) \\times (2 \\times 10^{5})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 2 = 2$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{3} \\times 10^{5} = 10^{8}$."
        },
        {
          "text": "$10^{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante."
        },
        {
          "text": "$10^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $3 + 5 = 8$."
        },
        {
          "text": "$10^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent."
        }
      ],
      "explanation": "On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $(1 \\times 10^{3}) \\times (2 \\times 10^{5})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 2 = 2$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{3} \\times 10^{5} = 10^{8}$."
            },
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante."
            },
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $3 + 5 = 8$."
            },
            {
              "text": "$10^{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $(3 \\times 10^{6}) \\times (1 \\times 10^{3})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 1 = 3$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{6} \\times 10^{3} = 10^{9}$."
            },
            {
              "text": "$10^{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante."
            },
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $6 + 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$10^{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $(2 \\times 10^{-4}) \\times (1 \\times 10^{7})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 1 = 2$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{-4} \\times 10^{7} = 10^{3}$."
            },
            {
              "text": "$10^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante."
            },
            {
              "text": "$10^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $-4 + 7 = 3$."
            },
            {
              "text": "$10^{-28}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ordre de grandeur de $(1 \\times 10^{4}) \\times (3 \\times 10^{3})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10^{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 3 = 3$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{4} \\times 10^{3} = 10^{7}$."
            },
            {
              "text": "$10^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante."
            },
            {
              "text": "$10^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $4 + 3 = 7$."
            },
            {
              "text": "$10^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche."
        }
      ]
    }
  ]
}