{
  "chapter": {
    "id": "thales-grandeurs",
    "level": "college",
    "theme": "Géométrie",
    "title": "Thalès, aires et volumes",
    "description": "Théorème de Thalès et sa réciproque, agrandissement et réduction,\naires, volumes et conversions d'unités.",
    "parties": [
      {
        "id": "thales",
        "title": "Thalès, agrandissement et réduction"
      },
      {
        "id": "aires",
        "title": "Périmètres et aires"
      },
      {
        "id": "volumes",
        "title": "Volumes et conversions"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "thales",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Reconnaître la configuration",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient à $[AB]$ et le point\n$N$ à $[AC]$. Quelle condition permet d'appliquer le théorème de\nThalès ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le parallélisme qui garantit l'égalité des\ntrois quotients de longueurs."
        },
        {
          "text": "Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont sécantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux droites sécantes ne donnent aucune égalité de\nquotients. Il faut au contraire qu'elles soient parallèles."
        },
        {
          "text": "Les longueurs $AM$ et $AN$ sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette égalité n'a rien d'obligatoire. Thalès compare des\nquotients, pas des longueurs prises isolément."
        },
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : Thalès vaut dans n'importe quel triangle. L'angle droit\nest l'affaire du théorème de Pythagore."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites parallèles\ncoupent deux droites sécantes. Le parallélisme est l'hypothèse, les\négalités de quotients en sont la conclusion."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "thales",
        "longueur"
      ],
      "title": "Calculer une longueur avec Thalès",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{12} = 5$ cm."
        },
        {
          "text": "$45$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$."
        },
        {
          "text": "$11$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $5$ cm."
        },
        {
          "text": "$19$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{4}{12}$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{12} = 5$ cm."
            },
            {
              "text": "$45$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $5$ cm."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{4}{12}$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 5$ cm,\n$AB = 10$ cm et $BC = 14$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{5 \\times 14}{10} = 7$ cm."
            },
            {
              "text": "$28$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$."
            },
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $7$ cm."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{5}{10}$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm,\n$AB = 9$ cm et $BC = 12$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{3 \\times 12}{9} = 4$ cm."
            },
            {
              "text": "$36$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$."
            },
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $4$ cm."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{3}{9}$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 5$ cm,\n$AB = 10$ cm et $BC = 16$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{5 \\times 16}{10} = 8$ cm."
            },
            {
              "text": "$32$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $8$ cm."
            },
            {
              "text": "$21$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{5}{10}$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "thales",
        "longueur"
      ],
      "title": "Longueur sur le second côté",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 2$ cm,\n$AB = 6$ cm et $AC = 15$ cm. Combien mesure $AN$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{2 \\times 15}{6} = 5$ cm."
        },
        {
          "text": "$11$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart."
        },
        {
          "text": "$45$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$."
        },
        {
          "text": "$13$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle."
        }
      ],
      "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 2$ cm,\n$AB = 6$ cm et $AC = 15$ cm. Combien mesure $AN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{2 \\times 15}{6} = 5$ cm."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart."
            },
            {
              "text": "$45$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$."
            },
            {
              "text": "$13$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm,\n$AB = 9$ cm et $AC = 21$ cm. Combien mesure $AN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{3 \\times 21}{9} = 7$ cm."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart."
            },
            {
              "text": "$63$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 10$ cm et $AC = 35$ cm. Combien mesure $AN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{4 \\times 35}{10} = 14$ cm."
            },
            {
              "text": "$29$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart."
            },
            {
              "text": "$87{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$."
            },
            {
              "text": "$31$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 12$ cm et $AC = 27$ cm. Combien mesure $AN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{4 \\times 27}{12} = 9$ cm."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart."
            },
            {
              "text": "$81$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$."
            },
            {
              "text": "$23$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "thales",
        "rapport"
      ],
      "title": "L'égalité des quotients",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$ et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Quelle égalité est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on compare les petites longueurs aux grandes, dans\nle même ordre sur les deux côtés."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AC}{AN}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second quotient est retourné : il faut garder le même ordre des\ndeux côtés du signe égal."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{AM}{MB} = \\dfrac{AN}{AC}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux quotients ne sont pas construits pareil : à gauche une\npart du côté, à droite le côté entier."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{BC}{MN}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le troisième quotient est inversé : c'est $\\dfrac{MN}{BC}$ qui\nrejoint les deux premiers."
        }
      ],
      "explanation": "Les trois quotients s'écrivent toujours dans le même sens : chaque\npetite longueur au numérateur, la grande correspondante au\ndénominateur."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "aire",
        "triangle"
      ],
      "title": "Aire d'un triangle",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm.\nQuelle est son aire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$40$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié."
        },
        {
          "text": "$13$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs."
        },
        {
          "text": "$26$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire."
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm.\nQuelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$40$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié."
            },
            {
              "text": "$13$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs."
            },
            {
              "text": "$26$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une base de $12$ cm et une hauteur de $7$ cm.\nQuelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$42$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{12 \\times 7}{2} = 42$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$84$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié."
            },
            {
              "text": "$19$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs."
            },
            {
              "text": "$38$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une base de $9$ cm et une hauteur de $6$ cm.\nQuelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{9 \\times 6}{2} = 27$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$54$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié."
            },
            {
              "text": "$15$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs."
            },
            {
              "text": "$30$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une base de $10$ cm et une hauteur de $9$ cm.\nQuelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{10 \\times 9}{2} = 45$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$90$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié."
            },
            {
              "text": "$19$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs."
            },
            {
              "text": "$38$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "aire",
        "triangle"
      ],
      "title": "Retrouver une base",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un triangle a une aire de $24$ cm$^2$ et une hauteur de\n$6$ cm. Combien mesure la base correspondante ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 6}{2} = 24$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 24}{6} = 8$ cm."
        },
        {
          "text": "$4$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser."
        },
        {
          "text": "$2$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat."
        },
        {
          "text": "$18$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit."
        }
      ],
      "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un triangle a une aire de $24$ cm$^2$ et une hauteur de\n$6$ cm. Combien mesure la base correspondante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 6}{2} = 24$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 24}{6} = 8$ cm."
            },
            {
              "text": "$4$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser."
            },
            {
              "text": "$2$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une aire de $30$ cm$^2$ et une hauteur de\n$5$ cm. Combien mesure la base correspondante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 5}{2} = 30$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 30}{5} = 12$ cm."
            },
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser."
            },
            {
              "text": "$3$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat."
            },
            {
              "text": "$25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une aire de $42$ cm$^2$ et une hauteur de\n$12$ cm. Combien mesure la base correspondante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 12}{2} = 42$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 42}{12} = 7$ cm."
            },
            {
              "text": "$3{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser."
            },
            {
              "text": "$1{,}75$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat."
            },
            {
              "text": "$30$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un triangle a une aire de $36$ cm$^2$ et une hauteur de\n$12$ cm. Combien mesure la base correspondante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 12}{2} = 36$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 36}{12} = 6$ cm."
            },
            {
              "text": "$3$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser."
            },
            {
              "text": "$1{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat."
            },
            {
              "text": "$24$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conversion",
        "aire"
      ],
      "title": "Du mètre carré au centimètre carré",
      "partie": "volumes",
      "statement": "À combien de centimètres carrés correspond $1$ mètre carré ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10\\,000$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^2$ vaut\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$100$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la conversion des longueurs. Pour les aires, le facteur est\nmultiplié par lui-même."
        },
        {
          "text": "$1\\,000$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1\\,000$ est le facteur entre le mètre cube et le\ndécimètre cube, pas entre ces deux unités d'aire."
        },
        {
          "text": "$1\\,000\\,000$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le facteur entre le mètre cube et le centimètre cube. Pour\nune aire, on ne multiplie $100$ qu'une seule fois par lui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Une aire fait intervenir deux longueurs : le facteur de conversion des\nlongueurs est donc élevé au carré. Pour un volume, il est élevé au\ncube."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conversion",
        "longueur"
      ],
      "title": "Des mètres aux centimètres",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Convertir $2{,}5$ m en centimètres.",
      "options": [
        {
          "text": "$250$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$."
        },
        {
          "text": "$25$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres."
        },
        {
          "text": "$2500$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang."
        },
        {
          "text": "$0{,}025$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand."
        }
      ],
      "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Convertir $2{,}5$ m en centimètres.",
          "options": [
            {
              "text": "$250$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$."
            },
            {
              "text": "$25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres."
            },
            {
              "text": "$2500$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang."
            },
            {
              "text": "$0{,}025$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $0{,}35$ m en centimètres.",
          "options": [
            {
              "text": "$35$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$."
            },
            {
              "text": "$3{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres."
            },
            {
              "text": "$350$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang."
            },
            {
              "text": "$0{,}0035$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $12{,}4$ m en centimètres.",
          "options": [
            {
              "text": "$1240$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$."
            },
            {
              "text": "$124$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres."
            },
            {
              "text": "$12\\,400$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang."
            },
            {
              "text": "$0{,}124$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $15{,}78$ m en centimètres.",
          "options": [
            {
              "text": "$1578$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$."
            },
            {
              "text": "$157{,}8$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres."
            },
            {
              "text": "$15\\,780$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang."
            },
            {
              "text": "$0{,}1578$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "volume",
        "pave"
      ],
      "title": "Volume d'un pavé droit",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.\nQuel est son volume ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $60$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$12$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici."
        },
        {
          "text": "$94$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide."
        },
        {
          "text": "$30$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit."
        }
      ],
      "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.\nQuel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $60$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici."
            },
            {
              "text": "$94$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide."
            },
            {
              "text": "$30$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $2$ cm, $6$ cm et $7$ cm.\nQuel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$84$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $84$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$15$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici."
            },
            {
              "text": "$136$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide."
            },
            {
              "text": "$42$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $5$ cm, $5$ cm et $8$ cm.\nQuel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$200$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $200$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$18$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici."
            },
            {
              "text": "$210$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide."
            },
            {
              "text": "$100$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $5$ cm, $2$ cm et $10$ cm.\nQuel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $100$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$17$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici."
            },
            {
              "text": "$160$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide."
            },
            {
              "text": "$50$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "cylindre",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "La formule du cylindre",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Quelle formule donne le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de\nhauteur $h$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi r^2 h$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire du disque de base est $\\pi r^2$, que l'on\nmultiplie par la hauteur."
        },
        {
          "text": "$2\\pi r h$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale : le périmètre du disque\nmultiplié par la hauteur."
        },
        {
          "text": "$\\pi r h^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les rôles sont échangés : c'est le rayon qui est élevé au carré,\npuisqu'il sert à calculer l'aire de la base."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi r^2 h}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $3$ est celle du cône ou de la pyramide, pas celle\ndu cylindre."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un prisme ou un cylindre, le volume est l'aire de la base\nmultipliée par la hauteur. Le tiers n'apparaît que pour les solides\npointus."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "thales",
        "longueur"
      ],
      "title": "Deux droites qui se croisent",
      "partie": "thales",
      "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 9$ cm et\n$AB = 5$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{9 \\times 5}{3} = 15$ cm."
        },
        {
          "text": "$11$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition."
        },
        {
          "text": "$4$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens."
        },
        {
          "text": "$14$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{9}{3}$, et non par une somme."
        }
      ],
      "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 9$ cm et\n$AB = 5$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{9 \\times 5}{3} = 15$ cm."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition."
            },
            {
              "text": "$4$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens."
            },
            {
              "text": "$14$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{9}{3}$, et non par une somme."
            }
          ],
          "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 4$ cm, $OC = 12$ cm et\n$AB = 7$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{12 \\times 7}{4} = 21$ cm."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition."
            },
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{12}{4}$, et non par une somme."
            }
          ],
          "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 5$ cm, $OC = 15$ cm et\n$AB = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{15 \\times 4}{5} = 12$ cm."
            },
            {
              "text": "$14$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{15}{5}$, et non par une somme."
            }
          ],
          "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 2$ cm, $OC = 21$ cm et\n$AB = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$42$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{21 \\times 4}{2} = 42$ cm."
            },
            {
              "text": "$23$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition."
            },
            {
              "text": "$17$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens."
            },
            {
              "text": "$25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{21}{2}$, et non par une somme."
            }
          ],
          "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "agrandissement",
        "longueur"
      ],
      "title": "Revenir à la figure de départ",
      "partie": "thales",
      "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $3$. Un côté\nmesure alors $21$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $21 \\div 3 = 7$ cm."
        },
        {
          "text": "$63$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $3$."
        },
        {
          "text": "$18$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe."
        },
        {
          "text": "$24$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher."
        }
      ],
      "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $3$. Un côté\nmesure alors $21$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $21 \\div 3 = 7$ cm."
            },
            {
              "text": "$63$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $3$."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe."
            },
            {
              "text": "$24$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $2{,}5$. Un côté\nmesure alors $20$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $20 \\div 2{,}5 = 8$ cm."
            },
            {
              "text": "$50$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$17{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe."
            },
            {
              "text": "$22{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $4$. Un côté\nmesure alors $54$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13{,}5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $54 \\div 4 = 13{,}5$ cm."
            },
            {
              "text": "$216$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$50$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe."
            },
            {
              "text": "$58$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $4$. Un côté\nmesure alors $46$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11{,}5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $46 \\div 4 = 11{,}5$ cm."
            },
            {
              "text": "$184$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$42$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe."
            },
            {
              "text": "$50$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "agrandissement",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire après agrandissement",
      "partie": "thales",
      "statement": "Une figure d'aire $15$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $2^2$, donc elle vaut\n$15 \\times 2^2 = 60$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$30$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire."
        },
        {
          "text": "$120$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré."
        },
        {
          "text": "$19$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une figure d'aire $15$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $2^2$, donc elle vaut\n$15 \\times 2^2 = 60$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$30$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire."
            },
            {
              "text": "$120$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré."
            },
            {
              "text": "$19$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Une figure d'aire $7$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $3$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?",
          "options": [
            {
              "text": "$63$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $3^2$, donc elle vaut\n$7 \\times 3^2 = 63$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$21$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire."
            },
            {
              "text": "$189$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré."
            },
            {
              "text": "$16$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Une figure d'aire $4$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $5$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $5^2$, donc elle vaut\n$4 \\times 5^2 = 100$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$20$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire."
            },
            {
              "text": "$500$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré."
            },
            {
              "text": "$29$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Une figure d'aire $2$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $7$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?",
          "options": [
            {
              "text": "$98$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $7^2$, donc elle vaut\n$2 \\times 7^2 = 98$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$14$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire."
            },
            {
              "text": "$686$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré."
            },
            {
              "text": "$51$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "agrandissement",
        "volume"
      ],
      "title": "Volume après agrandissement",
      "partie": "thales",
      "statement": "Un solide de volume $9$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quel est le volume du solide obtenu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$72$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $2^3$, ce qui donne\n$72$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$36$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions."
        },
        {
          "text": "$18$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $2$."
        },
        {
          "text": "$17$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas."
        }
      ],
      "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un solide de volume $9$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quel est le volume du solide obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $2^3$, ce qui donne\n$72$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$36$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$18$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $2$."
            },
            {
              "text": "$17$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$."
        },
        {
          "statement": "Un solide de volume $5$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $3$. Quel est le volume du solide obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$135$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $3^3$, ce qui donne\n$135$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$45$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$15$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $3$."
            },
            {
              "text": "$32$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$."
        },
        {
          "statement": "Un solide de volume $2$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $4$. Quel est le volume du solide obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$128$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $4^3$, ce qui donne\n$128$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$32$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$8$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $4$."
            },
            {
              "text": "$66$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$."
        },
        {
          "statement": "Un solide de volume $4$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $3$. Quel est le volume du solide obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$108$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $3^3$, ce qui donne\n$108$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$36$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $3$."
            },
            {
              "text": "$31$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire",
        "disque"
      ],
      "title": "Aire d'un disque",
      "partie": "aires",
      "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25\\pi$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$5^2 \\times \\pi = 25\\pi$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$10\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque."
        },
        {
          "text": "$100\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat."
        },
        {
          "text": "$5\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs."
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$5^2 \\times \\pi = 25\\pi$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$10\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque."
            },
            {
              "text": "$100\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat."
            },
            {
              "text": "$5\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $7$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$7^2 \\times \\pi = 49\\pi$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$14\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque."
            },
            {
              "text": "$196\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat."
            },
            {
              "text": "$7\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $9$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$9^2 \\times \\pi = 81\\pi$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$18\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque."
            },
            {
              "text": "$324\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat."
            },
            {
              "text": "$9\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $13$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$169\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$13^2 \\times \\pi = 169\\pi$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$26\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque."
            },
            {
              "text": "$676\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat."
            },
            {
              "text": "$13\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "disque",
        "perimetre"
      ],
      "title": "Périmètre d'un cercle",
      "partie": "aires",
      "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $6$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12\\pi$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 6 \\times \\pi = 12\\pi$ cm."
        },
        {
          "text": "$36\\pi$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle."
        },
        {
          "text": "$6\\pi$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon."
        },
        {
          "text": "$24\\pi$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$."
        }
      ],
      "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $6$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12\\pi$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 6 \\times \\pi = 12\\pi$ cm."
            },
            {
              "text": "$36\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle."
            },
            {
              "text": "$6\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon."
            },
            {
              "text": "$24\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$."
            }
          ],
          "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $10$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20\\pi$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 10 \\times \\pi = 20\\pi$ cm."
            },
            {
              "text": "$100\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle."
            },
            {
              "text": "$10\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon."
            },
            {
              "text": "$40\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$."
            }
          ],
          "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $9$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18\\pi$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 9 \\times \\pi = 18\\pi$ cm."
            },
            {
              "text": "$81\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle."
            },
            {
              "text": "$9\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon."
            },
            {
              "text": "$36\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$."
            }
          ],
          "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $8$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16\\pi$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 8 \\times \\pi = 16\\pi$ cm."
            },
            {
              "text": "$64\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle."
            },
            {
              "text": "$8\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon."
            },
            {
              "text": "$32\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$."
            }
          ],
          "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "volume",
        "cylindre"
      ],
      "title": "Volume d'un cylindre",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Un cylindre a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$45\\pi$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $3^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $5$."
        },
        {
          "text": "$30\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base."
        },
        {
          "text": "$15\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $3^2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$75\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base."
        }
      ],
      "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un cylindre a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $3^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $5$."
            },
            {
              "text": "$30\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base."
            },
            {
              "text": "$15\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $3^2\\pi$."
            },
            {
              "text": "$75\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$."
        },
        {
          "statement": "Un cylindre a pour rayon $4$ cm et pour hauteur $3$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$48\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $4^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $3$."
            },
            {
              "text": "$24\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base."
            },
            {
              "text": "$12\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $4^2\\pi$."
            },
            {
              "text": "$36\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$."
        },
        {
          "statement": "Un cylindre a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $4$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $5^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $4$."
            },
            {
              "text": "$40\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base."
            },
            {
              "text": "$20\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $5^2\\pi$."
            },
            {
              "text": "$80\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$."
        },
        {
          "statement": "Un cylindre a pour rayon $7$ cm et pour hauteur $4$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$196\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $7^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $4$."
            },
            {
              "text": "$56\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base."
            },
            {
              "text": "$28\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $7^2\\pi$."
            },
            {
              "text": "$112\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciproque",
        "thales"
      ],
      "title": "Démontrer un parallélisme",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, placés\ndans le même ordre à partir de $A$. Que faut-il vérifier pour\nconclure que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité des deux quotients, avec des points bien\nrangés, donne le parallélisme."
        },
        {
          "text": "Que $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AC}{AN}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second quotient est retourné : les deux fractions doivent se\nlire dans le même sens."
        },
        {
          "text": "Que $AM = AN$ et que $AB = AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces égalités de longueurs sont bien trop exigeantes : seule\nl'égalité des deux quotients est nécessaire."
        },
        {
          "text": "Que $AM + AN = AB + AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une somme de longueurs ne prouve rien : la réciproque de Thalès\nrepose sur des quotients."
        }
      ],
      "explanation": "Réciproque du théorème de Thalès : si les points sont rangés dans le\nmême ordre et si les deux quotients sont égaux, alors les droites sont\nparallèles."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciproque",
        "thales"
      ],
      "title": "Longueur qui rend parallèle",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et\n$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 24$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{3}{8}$,\nd'où $AN = 9$ cm."
        },
        {
          "text": "$19$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients."
        },
        {
          "text": "$21$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale."
        },
        {
          "text": "$12$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{3}{8}$, qui ne\nvaut pas la moitié."
        }
      ],
      "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et\n$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 24$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{3}{8}$,\nd'où $AN = 9$ cm."
            },
            {
              "text": "$19$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients."
            },
            {
              "text": "$21$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale."
            },
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{3}{8}$, qui ne\nvaut pas la moitié."
            }
          ],
          "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 4$ cm et\n$AB = 10$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 30$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{4}{10}$,\nd'où $AN = 12$ cm."
            },
            {
              "text": "$24$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients."
            },
            {
              "text": "$26$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{4}{10}$, qui ne\nvaut pas la moitié."
            }
          ],
          "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 5$ cm et\n$AB = 20$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 32$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{5}{20}$,\nd'où $AN = 8$ cm."
            },
            {
              "text": "$17$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients."
            },
            {
              "text": "$27$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale."
            },
            {
              "text": "$16$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{5}{20}$, qui ne\nvaut pas la moitié."
            }
          ],
          "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et\n$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 40$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{3}{8}$,\nd'où $AN = 15$ cm."
            },
            {
              "text": "$35$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients."
            },
            {
              "text": "$37$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale."
            },
            {
              "text": "$20$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{3}{8}$, qui ne\nvaut pas la moitié."
            }
          ],
          "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conversion",
        "volume"
      ],
      "title": "Des mètres cubes aux litres",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Une cuve a un volume de $2$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2000$ L",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres."
        },
        {
          "text": "$200$ L",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre."
        },
        {
          "text": "$20$ L",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume."
        },
        {
          "text": "$0{,}002$ L",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand."
        }
      ],
      "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une cuve a un volume de $2$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2000$ L",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres."
            },
            {
              "text": "$200$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre."
            },
            {
              "text": "$20$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume."
            },
            {
              "text": "$0{,}002$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres."
        },
        {
          "statement": "Une cuve a un volume de $0{,}5$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$500$ L",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres."
            },
            {
              "text": "$50$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre."
            },
            {
              "text": "$5$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume."
            },
            {
              "text": "$0{,}0005$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres."
        },
        {
          "statement": "Une cuve a un volume de $3{,}5$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3500$ L",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres."
            },
            {
              "text": "$350$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre."
            },
            {
              "text": "$35$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume."
            },
            {
              "text": "$0{,}0035$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres."
        },
        {
          "statement": "Une cuve a un volume de $5$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5000$ L",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres."
            },
            {
              "text": "$500$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre."
            },
            {
              "text": "$50$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume."
            },
            {
              "text": "$0{,}005$ L",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand."
            }
          ],
          "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire",
        "perimetre"
      ],
      "title": "Du périmètre à l'aire",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un carré a un périmètre de $20$ cm. Quelle est son aire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $20 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $25$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$400$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$."
        },
        {
          "text": "$40$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même."
        },
        {
          "text": "$10$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire."
        }
      ],
      "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un carré a un périmètre de $20$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $20 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $25$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$400$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$40$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même."
            },
            {
              "text": "$10$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré."
        },
        {
          "statement": "Un carré a un périmètre de $36$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $36 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $81$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$1296$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$72$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même."
            },
            {
              "text": "$18$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré."
        },
        {
          "statement": "Un carré a un périmètre de $28$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $28 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $49$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$784$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$56$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même."
            },
            {
              "text": "$14$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré."
        },
        {
          "statement": "Un carré a un périmètre de $52$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$169$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $52 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $169$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$2704$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$."
            },
            {
              "text": "$104$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même."
            },
            {
              "text": "$26$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "volume",
        "pyramide"
      ],
      "title": "La formule de la pyramide",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Quelle formule donne le volume d'une pyramide dont la base a pour\naire $B$ et dont la hauteur vaut $h$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{B \\times h}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le volume d'une pyramide est le tiers du produit\nde l'aire de la base par la hauteur."
        },
        {
          "text": "$B \\times h \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : le tiers réduit le volume, il ne le triple pas."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{B \\times h}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le triangle : dans l'espace, le diviseur est $3$ et\nnon $2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{B + h}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une aire et une longueur ne s'additionnent pas : la formule fait\nintervenir leur produit."
        }
      ],
      "explanation": "Pyramides et cônes ont le même volume : un tiers de l'aire de la base\nmultipliée par la hauteur."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "volume",
        "pyramide"
      ],
      "title": "Volume d'une pyramide",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de\n$5$ cm. Quel est son volume ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $6^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{6^2 \\times 5}{3} = 60$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$180$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur."
        },
        {
          "text": "$10$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'aire de la base est $6^2$, pas $6$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface."
        },
        {
          "text": "$90$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de\n$5$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $6^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{6^2 \\times 5}{3} = 60$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$180$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$10$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'aire de la base est $6^2$, pas $6$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface."
            },
            {
              "text": "$90$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$."
        },
        {
          "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $3$ cm et une hauteur de\n$8$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{3^2 \\times 8}{3} = 24$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$72$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$8$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'aire de la base est $3^2$, pas $3$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface."
            },
            {
              "text": "$36$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$."
        },
        {
          "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $10$ cm et une hauteur de\n$9$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$300$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $10^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{10^2 \\times 9}{3} = 300$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$900$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$30$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'aire de la base est $10^2$, pas $10$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface."
            },
            {
              "text": "$450$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$."
        },
        {
          "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $12$ cm et une hauteur de\n$10$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$480$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $12^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{12^2 \\times 10}{3} = 480$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$1440$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$40$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'aire de la base est $12^2$, pas $12$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface."
            },
            {
              "text": "$720$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "thales",
        "rapport"
      ],
      "title": "Rapport de réduction",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ cm et\n$AB = 15$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{6}{15}$ par leur plus\ngrand diviseur commun."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment."
        }
      ],
      "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ cm et\n$AB = 15$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{6}{15}$ par leur plus\ngrand diviseur commun."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment."
            }
          ],
          "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 8$ cm et\n$AB = 12$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{8}{12}$ par leur plus\ngrand diviseur commun."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment."
            }
          ],
          "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 9$ cm et\n$AB = 24$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{9}{24}$ par leur plus\ngrand diviseur commun."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment."
            }
          ],
          "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 9$ cm et\n$AB = 27$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{9}{27}$ par leur plus\ngrand diviseur commun."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment."
            }
          ],
          "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "thales",
        "piege"
      ],
      "title": "Côté entier ou partie du côté",
      "partie": "thales",
      "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AB = 4 + 6 = 10$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{10} = 6$ cm."
        },
        {
          "text": "$10$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 10$."
        },
        {
          "text": "$5$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure."
        },
        {
          "text": "$11$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales."
        }
      ],
      "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = 4 + 6 = 10$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{10} = 6$ cm."
            },
            {
              "text": "$10$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 10$."
            },
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 8$ cm, $MB = 4$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = 8 + 4 = 12$, donc\n$MN = \\dfrac{8 \\times 15}{12} = 10$ cm."
            },
            {
              "text": "$30$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 12$."
            },
            {
              "text": "$3$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure."
            },
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 9$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 20$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = 9 + 6 = 15$, donc\n$MN = \\dfrac{9 \\times 20}{15} = 12$ cm."
            },
            {
              "text": "$30$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 15$."
            },
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure."
            },
            {
              "text": "$11$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 6$ cm, $MB = 10$ cm et\n$BC = 24$ cm. Combien mesure $MN$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = 6 + 10 = 16$, donc\n$MN = \\dfrac{6 \\times 24}{16} = 9$ cm."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{72}{5}$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 16$."
            },
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pave",
        "agrandissement"
      ],
      "title": "Arêtes multipliées, volume multiplié",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $2$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$2$, donc le volume l'est par $2^3 = 8$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $2$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$2$, donc le volume l'est par $2^3 = 8$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $4$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$4$, donc le volume l'est par $4^3 = 64$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $10$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1000$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$10$, donc le volume l'est par $10^3 = 1000$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$."
        },
        {
          "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $14$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2744$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$14$, donc le volume l'est par $14^3 = 2744$."
            },
            {
              "text": "$196$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "conversion",
        "piege"
      ],
      "title": "Du mètre cube au centimètre cube",
      "partie": "volumes",
      "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $2$ m$^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\,000\\,000$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$2000$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer."
        },
        {
          "text": "$20\\,000$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires."
        },
        {
          "text": "$200$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $2$ m$^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\,000\\,000$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$2000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer."
            },
            {
              "text": "$20\\,000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires."
            },
            {
              "text": "$200$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$."
        },
        {
          "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $0{,}5$ m$^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$500\\,000$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$500$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer."
            },
            {
              "text": "$5\\,000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires."
            },
            {
              "text": "$50$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$."
        },
        {
          "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $3$ m$^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\,000\\,000$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$3000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer."
            },
            {
              "text": "$30\\,000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires."
            },
            {
              "text": "$300$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$."
        },
        {
          "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $5{,}5$ m$^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\,500\\,000$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$5500$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer."
            },
            {
              "text": "$55\\,000$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires."
            },
            {
              "text": "$550$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "volume",
        "pyramide"
      ],
      "title": "Volume d'un cône",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Un cône a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15\\pi$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur."
        },
        {
          "text": "$45\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur."
        },
        {
          "text": "$22{,}5\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$."
        },
        {
          "text": "$30\\pi$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $3^2\\pi$\nqu'il faut utiliser."
        }
      ],
      "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un cône a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur."
            },
            {
              "text": "$45\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$22{,}5\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$."
            },
            {
              "text": "$30\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $3^2\\pi$\nqu'il faut utiliser."
            }
          ],
          "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un cône a pour rayon $9$ cm et pour hauteur $4$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$108\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $9^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur."
            },
            {
              "text": "$324\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$162\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$."
            },
            {
              "text": "$72\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $9^2\\pi$\nqu'il faut utiliser."
            }
          ],
          "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un cône a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $6$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $5^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur."
            },
            {
              "text": "$150\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$75\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$."
            },
            {
              "text": "$60\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $5^2\\pi$\nqu'il faut utiliser."
            }
          ],
          "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un cône a pour rayon $9$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$135\\pi$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $9^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur."
            },
            {
              "text": "$405\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur."
            },
            {
              "text": "$202{,}5\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$."
            },
            {
              "text": "$90\\pi$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $9^2\\pi$\nqu'il faut utiliser."
            }
          ],
          "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire",
        "piege"
      ],
      "title": "Doubler le côté d'un carré",
      "partie": "aires",
      "statement": "On double la longueur du côté d'un carré. Que devient son aire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est multipliée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux dimensions doublent, donc l'aire est\nmultipliée par $2 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "Elle est multipliée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur la plus fréquente : le coefficient agit sur la longueur et\nsur la largeur, donc deux fois."
        },
        {
          "text": "Elle est multipliée par $8$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le facteur des volumes, où trois dimensions sont doublées.\nUne aire n'en compte que deux."
        },
        {
          "text": "Elle augmente de $2$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'agrandissement multiplie l'aire, il ne lui ajoute pas\nune quantité fixe."
        }
      ],
      "explanation": "Doubler toutes les longueurs multiplie les aires par $2^2 = 4$ et les\nvolumes par $2^3 = 8$."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire",
        "agrandissement"
      ],
      "title": "Augmentation d'une aire",
      "partie": "aires",
      "statement": "Une photo a une aire de $12$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $2$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$36$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $48$ cm$^2$, soit\n$36$ cm$^2$ de plus qu'au départ."
        },
        {
          "text": "$48$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ."
        },
        {
          "text": "$12$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois."
        },
        {
          "text": "$84$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions."
        }
      ],
      "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une photo a une aire de $12$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $2$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $48$ cm$^2$, soit\n$36$ cm$^2$ de plus qu'au départ."
            },
            {
              "text": "$48$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois."
            },
            {
              "text": "$84$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions."
            }
          ],
          "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même."
        },
        {
          "statement": "Une photo a une aire de $5$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $3$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $45$ cm$^2$, soit\n$40$ cm$^2$ de plus qu'au départ."
            },
            {
              "text": "$45$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ."
            },
            {
              "text": "$10$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois."
            },
            {
              "text": "$130$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions."
            }
          ],
          "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même."
        },
        {
          "statement": "Une photo a une aire de $7$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $4$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$105$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $112$ cm$^2$, soit\n$105$ cm$^2$ de plus qu'au départ."
            },
            {
              "text": "$112$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ."
            },
            {
              "text": "$21$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois."
            },
            {
              "text": "$441$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions."
            }
          ],
          "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même."
        },
        {
          "statement": "Une photo a une aire de $13$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $4$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$195$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $208$ cm$^2$, soit\n$195$ cm$^2$ de plus qu'au départ."
            },
            {
              "text": "$208$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ."
            },
            {
              "text": "$39$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois."
            },
            {
              "text": "$819$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions."
            }
          ],
          "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "aires",
        "parallelogramme",
        "formule"
      ],
      "title": "Aire d'un parallélogramme",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un parallélogramme a une base de $8$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $5$ cm et un côté oblique de $6$ cm. Quelle est\nson aire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 8 \\times 5 = 40$ cm$^2$.\n"
        },
        {
          "text": "$20$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n"
        },
        {
          "text": "$48$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n"
        },
        {
          "text": "$28$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $28$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un parallélogramme a une base de $8$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $5$ cm et un côté oblique de $6$ cm. Quelle est\nson aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 8 \\times 5 = 40$ cm$^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$20$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n"
            },
            {
              "text": "$48$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n"
            },
            {
              "text": "$28$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $28$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique."
        },
        {
          "statement": "Un parallélogramme a une base de $12$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $4$ cm et un côté oblique de $5$ cm. Quelle est\nson aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$48$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 12 \\times 4 = 48$ cm$^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$24$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n"
            },
            {
              "text": "$60$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n"
            },
            {
              "text": "$34$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $34$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique."
        },
        {
          "statement": "Un parallélogramme a une base de $9$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $7$ cm et un côté oblique de $10$ cm. Quelle est\nson aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$63$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 9 \\times 7 = 63$ cm$^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$31$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n"
            },
            {
              "text": "$90$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n"
            },
            {
              "text": "$38$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $38$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique."
        },
        {
          "statement": "Un parallélogramme a une base de $10$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $5$ cm et un côté oblique de $8$ cm. Quelle est\nson aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 10 \\times 5 = 50$ cm$^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$25$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n"
            },
            {
              "text": "$80$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n"
            },
            {
              "text": "$36$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $36$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "thales",
        "papillon"
      ],
      "title": "Longueur dans une configuration en papillon",
      "partie": "thales",
      "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $O$, de même que $B$ et $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 6$ cm et $CD = 10$ cm. Combien mesure $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc $AB = 10 \\times \\dfrac{3}{6} = 5$ cm."
        },
        {
          "text": "$20$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rapport est inversé. $AB$ correspond à $OA$, et $CD$ à $OC$."
        },
        {
          "text": "$7$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les longueurs sont proportionnelles ; on ne raisonne pas par différences."
        },
        {
          "text": "$10$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $AB$ et $CD$ ne sont égales que si $OA = OC$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans la configuration en papillon, $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{OB}{OD} = \\dfrac{AB}{CD}$, en associant les points alignés avec $O$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $O$, de même que $B$ et $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 6$ cm et $CD = 10$ cm. Combien mesure $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc $AB = 10 \\times \\dfrac{3}{6} = 5$ cm."
            },
            {
              "text": "$20$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport est inversé. $AB$ correspond à $OA$, et $CD$ à $OC$."
            },
            {
              "text": "$7$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les longueurs sont proportionnelles ; on ne raisonne pas par différences."
            },
            {
              "text": "$10$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $AB$ et $CD$ ne sont égales que si $OA = OC$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans la configuration en papillon, $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{OB}{OD} = \\dfrac{AB}{CD}$, en associant les points alignés avec $O$."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $O$, de même que $B$ et $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 4$ cm, $OC = 10$ cm et $CD = 15$ cm. Combien mesure $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc $AB = 15 \\times \\dfrac{4}{10} = 6$ cm."
            },
            {
              "text": "$37{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport est inversé. $AB$ correspond à $OA$, et $CD$ à $OC$."
            },
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les longueurs sont proportionnelles ; on ne raisonne pas par différences."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $AB$ et $CD$ ne sont égales que si $OA = OC$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans la configuration en papillon, $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{OB}{OD} = \\dfrac{AB}{CD}$, en associant les points alignés avec $O$."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $O$, de même que $B$ et $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 5$ cm, $OC = 8$ cm et $CD = 12$ cm. Combien mesure $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7{,}5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc $AB = 12 \\times \\dfrac{5}{8} = 7{,}5$ cm."
            },
            {
              "text": "$19{,}2$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport est inversé. $AB$ correspond à $OA$, et $CD$ à $OC$."
            },
            {
              "text": "$9$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les longueurs sont proportionnelles ; on ne raisonne pas par différences."
            },
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $AB$ et $CD$ ne sont égales que si $OA = OC$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans la configuration en papillon, $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{OB}{OD} = \\dfrac{AB}{CD}$, en associant les points alignés avec $O$."
        },
        {
          "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $O$, de même que $B$ et $D$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 6$ cm, $OC = 9$ cm et $CD = 15$ cm. Combien mesure $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc $AB = 15 \\times \\dfrac{6}{9} = 10$ cm."
            },
            {
              "text": "$22{,}5$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport est inversé. $AB$ correspond à $OA$, et $CD$ à $OC$."
            },
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les longueurs sont proportionnelles ; on ne raisonne pas par différences."
            },
            {
              "text": "$15$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $AB$ et $CD$ ne sont égales que si $OA = OC$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans la configuration en papillon, $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{OB}{OD} = \\dfrac{AB}{CD}$, en associant les points alignés avec $O$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciproque-thales",
        "contraposee"
      ],
      "title": "Des droites qui ne sont pas parallèles",
      "partie": "thales",
      "statement": "Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 3$, $AB = 8$, $AN = 4$ et $AC = 10$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, car $\\dfrac{3}{8} \\neq \\dfrac{4}{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{8} = \\dfrac{3}{8}$ et $\\dfrac{4}{10} = \\dfrac{2}{5}$ ne sont pas égaux ; si les droites étaient parallèles, ils le seraient."
        },
        {
          "text": "Oui, car les points sont dans le même ordre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ordre des points est nécessaire, mais il faut aussi l'égalité des quotients."
        },
        {
          "text": "Oui, car $AM < AN$ et $AB < AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : comparer les longueurs ne suffit pas ; on compare les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans figure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul des quotients suffit ; leur différence prouve que les droites ne sont pas parallèles."
        }
      ],
      "explanation": "Si les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$ sont différents, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 3$, $AB = 8$, $AN = 4$ et $AC = 10$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $\\dfrac{3}{8} \\neq \\dfrac{4}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{8} = \\dfrac{3}{8}$ et $\\dfrac{4}{10} = \\dfrac{2}{5}$ ne sont pas égaux ; si les droites étaient parallèles, ils le seraient."
            },
            {
              "text": "Oui, car les points sont dans le même ordre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'ordre des points est nécessaire, mais il faut aussi l'égalité des quotients."
            },
            {
              "text": "Oui, car $AM < AN$ et $AB < AC$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : comparer les longueurs ne suffit pas ; on compare les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans figure",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul des quotients suffit ; leur différence prouve que les droites ne sont pas parallèles."
            }
          ],
          "explanation": "Si les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$ sont différents, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$ et $AC = 7$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $\\dfrac{2}{5} \\neq \\dfrac{3}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2}{5} = \\dfrac{2}{5}$ et $\\dfrac{3}{7} = \\dfrac{3}{7}$ ne sont pas égaux ; si les droites étaient parallèles, ils le seraient."
            },
            {
              "text": "Oui, car les points sont dans le même ordre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'ordre des points est nécessaire, mais il faut aussi l'égalité des quotients."
            },
            {
              "text": "Oui, car $AM < AN$ et $AB < AC$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : comparer les longueurs ne suffit pas ; on compare les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans figure",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul des quotients suffit ; leur différence prouve que les droites ne sont pas parallèles."
            }
          ],
          "explanation": "Si les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$ sont différents, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 4$, $AB = 9$, $AN = 5$ et $AC = 12$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $\\dfrac{4}{9} \\neq \\dfrac{5}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{4}{9} = \\dfrac{4}{9}$ et $\\dfrac{5}{12} = \\dfrac{5}{12}$ ne sont pas égaux ; si les droites étaient parallèles, ils le seraient."
            },
            {
              "text": "Oui, car les points sont dans le même ordre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'ordre des points est nécessaire, mais il faut aussi l'égalité des quotients."
            },
            {
              "text": "Oui, car $AM < AN$ et $AB < AC$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : comparer les longueurs ne suffit pas ; on compare les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans figure",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul des quotients suffit ; leur différence prouve que les droites ne sont pas parallèles."
            }
          ],
          "explanation": "Si les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$ sont différents, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 6$, $AB = 10$, $AN = 7$ et $AC = 12$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $\\dfrac{6}{10} \\neq \\dfrac{7}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$ et $\\dfrac{7}{12} = \\dfrac{7}{12}$ ne sont pas égaux ; si les droites étaient parallèles, ils le seraient."
            },
            {
              "text": "Oui, car les points sont dans le même ordre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'ordre des points est nécessaire, mais il faut aussi l'égalité des quotients."
            },
            {
              "text": "Oui, car $AM < AN$ et $AB < AC$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : comparer les longueurs ne suffit pas ; on compare les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans figure",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul des quotients suffit ; leur différence prouve que les droites ne sont pas parallèles."
            }
          ],
          "explanation": "Si les quotients $\\dfrac{AM}{AB}$ et $\\dfrac{AN}{AC}$ sont différents, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "aire",
        "trapeze"
      ],
      "title": "Aire d'un trapèze",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un trapèze a des bases de $10$ cm et $6$ cm, et une hauteur de $4$ cm. Quelle est son aire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$32$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(10 + 6) \\times 4}{2} = 32$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$64$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée."
        },
        {
          "text": "$120$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux bases ont été multipliées ; on les ajoute."
        },
        {
          "text": "$8$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bases ont été soustraites ; on les ajoute."
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un trapèze $= \\dfrac{(\\text{grande base} + \\text{petite base}) \\times \\text{hauteur}}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un trapèze a des bases de $10$ cm et $6$ cm, et une hauteur de $4$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(10 + 6) \\times 4}{2} = 32$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$64$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$120$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux bases ont été multipliées ; on les ajoute."
            },
            {
              "text": "$8$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été soustraites ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un trapèze $= \\dfrac{(\\text{grande base} + \\text{petite base}) \\times \\text{hauteur}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Un trapèze a des bases de $12$ cm et $8$ cm, et une hauteur de $5$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(12 + 8) \\times 5}{2} = 50$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$100$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$240$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux bases ont été multipliées ; on les ajoute."
            },
            {
              "text": "$10$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été soustraites ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un trapèze $= \\dfrac{(\\text{grande base} + \\text{petite base}) \\times \\text{hauteur}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Un trapèze a des bases de $9$ cm et $5$ cm, et une hauteur de $6$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$42$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(9 + 5) \\times 6}{2} = 42$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$84$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$135$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux bases ont été multipliées ; on les ajoute."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été soustraites ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un trapèze $= \\dfrac{(\\text{grande base} + \\text{petite base}) \\times \\text{hauteur}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Un trapèze a des bases de $14$ cm et $6$ cm, et une hauteur de $3$ cm. Quelle est son aire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(14 + 6) \\times 3}{2} = 30$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$60$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$126$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux bases ont été multipliées ; on les ajoute."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bases ont été soustraites ; on les ajoute."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un trapèze $= \\dfrac{(\\text{grande base} + \\text{petite base}) \\times \\text{hauteur}}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "aire",
        "disque"
      ],
      "title": "Aire d'un demi-disque",
      "partie": "aires",
      "statement": "Quelle est l'aire d'un demi-disque de rayon $8$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$32\\pi$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le disque entier a pour aire $\\pi \\times 8^2 = 64\\pi$ ; on en prend la moitié."
        },
        {
          "text": "$64\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire du disque entier ; on en prend la moitié."
        },
        {
          "text": "$8\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8\\pi$ est la longueur d'un demi-cercle, pas une aire."
        },
        {
          "text": "$16\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'un quart de disque."
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$ ; un demi-disque en a la moitié.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un demi-disque de rayon $8$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le disque entier a pour aire $\\pi \\times 8^2 = 64\\pi$ ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$64\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire du disque entier ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$8\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8\\pi$ est la longueur d'un demi-cercle, pas une aire."
            },
            {
              "text": "$16\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'un quart de disque."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$ ; un demi-disque en a la moitié."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un demi-disque de rayon $6$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le disque entier a pour aire $\\pi \\times 6^2 = 36\\pi$ ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$36\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire du disque entier ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$6\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6\\pi$ est la longueur d'un demi-cercle, pas une aire."
            },
            {
              "text": "$9\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'un quart de disque."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$ ; un demi-disque en a la moitié."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un demi-disque de rayon $10$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le disque entier a pour aire $\\pi \\times 10^2 = 100\\pi$ ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$100\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire du disque entier ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$10\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\pi$ est la longueur d'un demi-cercle, pas une aire."
            },
            {
              "text": "$25\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'un quart de disque."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$ ; un demi-disque en a la moitié."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un demi-disque de rayon $3$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le disque entier a pour aire $\\pi \\times 3^2 = 9\\pi$ ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$9\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire du disque entier ; on en prend la moitié."
            },
            {
              "text": "$3\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3\\pi$ est la longueur d'un demi-cercle, pas une aire."
            },
            {
              "text": "$2{,}25\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'un quart de disque."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$ ; un demi-disque en a la moitié."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "perimetre",
        "cercle"
      ],
      "title": "Périmètre d'un demi-disque",
      "partie": "aires",
      "statement": "Quel est le périmètre d'un demi-disque de rayon $3$ cm, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3\\pi + 6$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'arc mesure la moitié de $2\\pi \\times 3$, soit $3\\pi$, et le diamètre $6$ cm ferme la figure."
        },
        {
          "text": "$3\\pi$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le diamètre, qui fait partie du contour, a été oublié."
        },
        {
          "text": "$6\\pi + 6$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a pris le cercle entier au lieu du demi-cercle."
        },
        {
          "text": "$9\\pi + 6$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9\\pi$ correspond à une aire, pas à une longueur."
        }
      ],
      "explanation": "Le contour d'un demi-disque comprend un demi-cercle, de longueur $\\pi r$, et un diamètre, de longueur $2r$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un demi-disque de rayon $3$ cm, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\pi + 6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'arc mesure la moitié de $2\\pi \\times 3$, soit $3\\pi$, et le diamètre $6$ cm ferme la figure."
            },
            {
              "text": "$3\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diamètre, qui fait partie du contour, a été oublié."
            },
            {
              "text": "$6\\pi + 6$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a pris le cercle entier au lieu du demi-cercle."
            },
            {
              "text": "$9\\pi + 6$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9\\pi$ correspond à une aire, pas à une longueur."
            }
          ],
          "explanation": "Le contour d'un demi-disque comprend un demi-cercle, de longueur $\\pi r$, et un diamètre, de longueur $2r$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un demi-disque de rayon $5$ cm, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\pi + 10$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'arc mesure la moitié de $2\\pi \\times 5$, soit $5\\pi$, et le diamètre $10$ cm ferme la figure."
            },
            {
              "text": "$5\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diamètre, qui fait partie du contour, a été oublié."
            },
            {
              "text": "$10\\pi + 10$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a pris le cercle entier au lieu du demi-cercle."
            },
            {
              "text": "$25\\pi + 10$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25\\pi$ correspond à une aire, pas à une longueur."
            }
          ],
          "explanation": "Le contour d'un demi-disque comprend un demi-cercle, de longueur $\\pi r$, et un diamètre, de longueur $2r$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un demi-disque de rayon $4$ cm, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\pi + 8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'arc mesure la moitié de $2\\pi \\times 4$, soit $4\\pi$, et le diamètre $8$ cm ferme la figure."
            },
            {
              "text": "$4\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diamètre, qui fait partie du contour, a été oublié."
            },
            {
              "text": "$8\\pi + 8$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a pris le cercle entier au lieu du demi-cercle."
            },
            {
              "text": "$16\\pi + 8$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $16\\pi$ correspond à une aire, pas à une longueur."
            }
          ],
          "explanation": "Le contour d'un demi-disque comprend un demi-cercle, de longueur $\\pi r$, et un diamètre, de longueur $2r$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le périmètre d'un demi-disque de rayon $7$ cm, exprimé en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7\\pi + 14$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'arc mesure la moitié de $2\\pi \\times 7$, soit $7\\pi$, et le diamètre $14$ cm ferme la figure."
            },
            {
              "text": "$7\\pi$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le diamètre, qui fait partie du contour, a été oublié."
            },
            {
              "text": "$14\\pi + 14$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a pris le cercle entier au lieu du demi-cercle."
            },
            {
              "text": "$49\\pi + 14$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $49\\pi$ correspond à une aire, pas à une longueur."
            }
          ],
          "explanation": "Le contour d'un demi-disque comprend un demi-cercle, de longueur $\\pi r$, et un diamètre, de longueur $2r$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conversion",
        "aire"
      ],
      "title": "Des centimètres carrés aux millimètres carrés",
      "partie": "aires",
      "statement": "Convertir $3{,}5$ cm$^2$ en mm$^2$.",
      "options": [
        {
          "text": "$350$ mm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm $= 10$ mm, donc $1$ cm$^2 = 10 \\times 10 = 100$ mm$^2$."
        },
        {
          "text": "$35$ mm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; pour une aire, le rapport est $10 \\times 10 = 100$."
        },
        {
          "text": "$3\\,500$ mm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$, le rapport des volumes ; pour une aire, c'est $100$."
        },
        {
          "text": "$0{,}035$ mm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on passe à une unité plus petite, le nombre doit augmenter."
        }
      ],
      "explanation": "Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur multiplie par $10 \\times 10 = 100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Convertir $3{,}5$ cm$^2$ en mm$^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$350$ mm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm $= 10$ mm, donc $1$ cm$^2 = 10 \\times 10 = 100$ mm$^2$."
            },
            {
              "text": "$35$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; pour une aire, le rapport est $10 \\times 10 = 100$."
            },
            {
              "text": "$3\\,500$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$, le rapport des volumes ; pour une aire, c'est $100$."
            },
            {
              "text": "$0{,}035$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on passe à une unité plus petite, le nombre doit augmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur multiplie par $10 \\times 10 = 100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $12$ cm$^2$ en mm$^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$1\\,200$ mm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm $= 10$ mm, donc $1$ cm$^2 = 10 \\times 10 = 100$ mm$^2$."
            },
            {
              "text": "$120$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; pour une aire, le rapport est $10 \\times 10 = 100$."
            },
            {
              "text": "$12\\,000$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$, le rapport des volumes ; pour une aire, c'est $100$."
            },
            {
              "text": "$0{,}12$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on passe à une unité plus petite, le nombre doit augmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur multiplie par $10 \\times 10 = 100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $0{,}8$ cm$^2$ en mm$^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$80$ mm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm $= 10$ mm, donc $1$ cm$^2 = 10 \\times 10 = 100$ mm$^2$."
            },
            {
              "text": "$8$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; pour une aire, le rapport est $10 \\times 10 = 100$."
            },
            {
              "text": "$800$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$, le rapport des volumes ; pour une aire, c'est $100$."
            },
            {
              "text": "$0{,}008$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on passe à une unité plus petite, le nombre doit augmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur multiplie par $10 \\times 10 = 100$."
        },
        {
          "statement": "Convertir $25$ cm$^2$ en mm$^2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\,500$ mm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm $= 10$ mm, donc $1$ cm$^2 = 10 \\times 10 = 100$ mm$^2$."
            },
            {
              "text": "$250$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; pour une aire, le rapport est $10 \\times 10 = 100$."
            },
            {
              "text": "$25\\,000$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$, le rapport des volumes ; pour une aire, c'est $100$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$ mm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on passe à une unité plus petite, le nombre doit augmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur multiplie par $10 \\times 10 = 100$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire",
        "figure-composee"
      ],
      "title": "Aire d'un rectangle percé d'un carré",
      "partie": "aires",
      "statement": "Dans une plaque rectangulaire de $10$ cm sur $6$ cm, on découpe un trou carré de $2$ cm de côté. Quelle est l'aire de la plaque percée ?",
      "options": [
        {
          "text": "$56$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10 \\times 6 - 2^2 = 60 - 4 = 56$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$60$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire de la plaque avant découpe ; on retire l'aire du trou."
        },
        {
          "text": "$64$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'aire du trou a été ajoutée au lieu d'être retranchée."
        },
        {
          "text": "$52$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a retranché le périmètre du trou, $4 \\times 2$, au lieu de son aire."
        }
      ],
      "explanation": "L'aire d'une figure composée s'obtient en ajoutant ou en retranchant les aires de figures simples.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans une plaque rectangulaire de $10$ cm sur $6$ cm, on découpe un trou carré de $2$ cm de côté. Quelle est l'aire de la plaque percée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$56$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\times 6 - 2^2 = 60 - 4 = 56$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$60$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire de la plaque avant découpe ; on retire l'aire du trou."
            },
            {
              "text": "$64$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du trou a été ajoutée au lieu d'être retranchée."
            },
            {
              "text": "$52$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a retranché le périmètre du trou, $4 \\times 2$, au lieu de son aire."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'une figure composée s'obtient en ajoutant ou en retranchant les aires de figures simples."
        },
        {
          "statement": "Dans une plaque rectangulaire de $12$ cm sur $8$ cm, on découpe un trou carré de $3$ cm de côté. Quelle est l'aire de la plaque percée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$87$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $12 \\times 8 - 3^2 = 96 - 9 = 87$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$96$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire de la plaque avant découpe ; on retire l'aire du trou."
            },
            {
              "text": "$105$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du trou a été ajoutée au lieu d'être retranchée."
            },
            {
              "text": "$84$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a retranché le périmètre du trou, $4 \\times 3$, au lieu de son aire."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'une figure composée s'obtient en ajoutant ou en retranchant les aires de figures simples."
        },
        {
          "statement": "Dans une plaque rectangulaire de $9$ cm sur $7$ cm, on découpe un trou carré de $3$ cm de côté. Quelle est l'aire de la plaque percée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$54$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 \\times 7 - 3^2 = 63 - 9 = 54$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$63$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire de la plaque avant découpe ; on retire l'aire du trou."
            },
            {
              "text": "$72$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du trou a été ajoutée au lieu d'être retranchée."
            },
            {
              "text": "$51$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a retranché le périmètre du trou, $4 \\times 3$, au lieu de son aire."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'une figure composée s'obtient en ajoutant ou en retranchant les aires de figures simples."
        },
        {
          "statement": "Dans une plaque rectangulaire de $15$ cm sur $10$ cm, on découpe un trou carré de $5$ cm de côté. Quelle est l'aire de la plaque percée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$125$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $15 \\times 10 - 5^2 = 150 - 25 = 125$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$150$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire de la plaque avant découpe ; on retire l'aire du trou."
            },
            {
              "text": "$175$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du trou a été ajoutée au lieu d'être retranchée."
            },
            {
              "text": "$130$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a retranché le périmètre du trou, $4 \\times 5$, au lieu de son aire."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire d'une figure composée s'obtient en ajoutant ou en retranchant les aires de figures simples."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire",
        "disque",
        "diametre"
      ],
      "title": "Aire d'un disque connaissant son diamètre",
      "partie": "aires",
      "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de diamètre $10$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25\\pi$ cm$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $5$ cm, et $\\pi \\times 5^2 = 25\\pi$."
        },
        {
          "text": "$100\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a élevé le diamètre au carré ; la formule utilise le rayon, $5$ cm."
        },
        {
          "text": "$10\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10\\pi$ est le périmètre du cercle, pas l'aire du disque."
        },
        {
          "text": "$50\\pi$ cm$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser $100$ par $2$ ne donne pas le carré du rayon ; on calcule $5^2 = 25$."
        }
      ],
      "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$, où le rayon est la moitié du diamètre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de diamètre $10$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $5$ cm, et $\\pi \\times 5^2 = 25\\pi$."
            },
            {
              "text": "$100\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a élevé le diamètre au carré ; la formule utilise le rayon, $5$ cm."
            },
            {
              "text": "$10\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\pi$ est le périmètre du cercle, pas l'aire du disque."
            },
            {
              "text": "$50\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser $100$ par $2$ ne donne pas le carré du rayon ; on calcule $5^2 = 25$."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$, où le rayon est la moitié du diamètre."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de diamètre $8$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $4$ cm, et $\\pi \\times 4^2 = 16\\pi$."
            },
            {
              "text": "$64\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a élevé le diamètre au carré ; la formule utilise le rayon, $4$ cm."
            },
            {
              "text": "$8\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8\\pi$ est le périmètre du cercle, pas l'aire du disque."
            },
            {
              "text": "$32\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser $64$ par $2$ ne donne pas le carré du rayon ; on calcule $4^2 = 16$."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$, où le rayon est la moitié du diamètre."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de diamètre $14$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $7$ cm, et $\\pi \\times 7^2 = 49\\pi$."
            },
            {
              "text": "$196\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a élevé le diamètre au carré ; la formule utilise le rayon, $7$ cm."
            },
            {
              "text": "$14\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $14\\pi$ est le périmètre du cercle, pas l'aire du disque."
            },
            {
              "text": "$98\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser $196$ par $2$ ne donne pas le carré du rayon ; on calcule $7^2 = 49$."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$, où le rayon est la moitié du diamètre."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de diamètre $6$ cm, exprimée en fonction de $\\pi$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9\\pi$ cm$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $3$ cm, et $\\pi \\times 3^2 = 9\\pi$."
            },
            {
              "text": "$36\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a élevé le diamètre au carré ; la formule utilise le rayon, $3$ cm."
            },
            {
              "text": "$6\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6\\pi$ est le périmètre du cercle, pas l'aire du disque."
            },
            {
              "text": "$18\\pi$ cm$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser $36$ par $2$ ne donne pas le carré du rayon ; on calcule $3^2 = 9$."
            }
          ],
          "explanation": "Aire d'un disque $= \\pi r^2$, où le rayon est la moitié du diamètre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conversion",
        "hectare"
      ],
      "title": "Hectares et mètres carrés",
      "partie": "aires",
      "statement": "Un champ a une superficie de $2$ hectares. Combien cela fait-il de mètres carrés ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20\\,000$ m$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$, l'aire d'un carré de $100$ m de côté."
        },
        {
          "text": "$200$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ ha ne vaut pas $100$ m$^2$ ; c'est $100$ m $\\times$ $100$ m $= 10\\,000$ m$^2$."
        },
        {
          "text": "$2\\,000$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$, pas $1\\,000$."
        },
        {
          "text": "$200\\,000$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un zéro de trop ; $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$1$ hectare est l'aire d'un carré de $100$ m de côté : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un champ a une superficie de $2$ hectares. Combien cela fait-il de mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20\\,000$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$, l'aire d'un carré de $100$ m de côté."
            },
            {
              "text": "$200$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha ne vaut pas $100$ m$^2$ ; c'est $100$ m $\\times$ $100$ m $= 10\\,000$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$2\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$, pas $1\\,000$."
            },
            {
              "text": "$200\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un zéro de trop ; $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ hectare est l'aire d'un carré de $100$ m de côté : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$."
        },
        {
          "statement": "Un champ a une superficie de $0{,}5$ hectares. Combien cela fait-il de mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\,000$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$, l'aire d'un carré de $100$ m de côté."
            },
            {
              "text": "$50$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha ne vaut pas $100$ m$^2$ ; c'est $100$ m $\\times$ $100$ m $= 10\\,000$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$500$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$, pas $1\\,000$."
            },
            {
              "text": "$50\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un zéro de trop ; $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ hectare est l'aire d'un carré de $100$ m de côté : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$."
        },
        {
          "statement": "Un champ a une superficie de $3{,}2$ hectares. Combien cela fait-il de mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32\\,000$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$, l'aire d'un carré de $100$ m de côté."
            },
            {
              "text": "$320$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha ne vaut pas $100$ m$^2$ ; c'est $100$ m $\\times$ $100$ m $= 10\\,000$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$3\\,200$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$, pas $1\\,000$."
            },
            {
              "text": "$320\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un zéro de trop ; $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ hectare est l'aire d'un carré de $100$ m de côté : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$."
        },
        {
          "statement": "Un champ a une superficie de $1{,}25$ hectares. Combien cela fait-il de mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12\\,500$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$, l'aire d'un carré de $100$ m de côté."
            },
            {
              "text": "$125$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha ne vaut pas $100$ m$^2$ ; c'est $100$ m $\\times$ $100$ m $= 10\\,000$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$1\\,250$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$, pas $1\\,000$."
            },
            {
              "text": "$125\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un zéro de trop ; $1$ ha vaut $10\\,000$ m$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ hectare est l'aire d'un carré de $100$ m de côté : $1$ ha $= 10\\,000$ m$^2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conversion",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire en mètres carrés à partir de centimètres",
      "partie": "aires",
      "statement": "Une table rectangulaire mesure $150$ cm sur $80$ cm. Quelle est son aire en mètres carrés ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}2$ m$^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en mètres, la table mesure $1{,}5$ m sur $0{,}8$ m, d'où l'aire $1{,}2$ m$^2$."
        },
        {
          "text": "$12\\,000$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire en cm$^2$ ; il faut encore la diviser par $10\\,000$."
        },
        {
          "text": "$120$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a divisé par $100$ ; pour passer des cm$^2$ aux m$^2$, on divise par $10\\,000$."
        },
        {
          "text": "$0{,}12$ m$^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a divisé par $100\\,000$ ; $1$ m$^2 = 10\\,000$ cm$^2$."
        }
      ],
      "explanation": "On convertit d'abord les longueurs en mètres, puis on calcule l'aire ; ou l'on divise l'aire en cm$^2$ par $10\\,000$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une table rectangulaire mesure $150$ cm sur $80$ cm. Quelle est son aire en mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}2$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en mètres, la table mesure $1{,}5$ m sur $0{,}8$ m, d'où l'aire $1{,}2$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$12\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire en cm$^2$ ; il faut encore la diviser par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$120$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100$ ; pour passer des cm$^2$ aux m$^2$, on divise par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$0{,}12$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100\\,000$ ; $1$ m$^2 = 10\\,000$ cm$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On convertit d'abord les longueurs en mètres, puis on calcule l'aire ; ou l'on divise l'aire en cm$^2$ par $10\\,000$."
        },
        {
          "statement": "Une table rectangulaire mesure $200$ cm sur $50$ cm. Quelle est son aire en mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en mètres, la table mesure $2$ m sur $0{,}5$ m, d'où l'aire $1$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$10\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire en cm$^2$ ; il faut encore la diviser par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$100$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100$ ; pour passer des cm$^2$ aux m$^2$, on divise par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100\\,000$ ; $1$ m$^2 = 10\\,000$ cm$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On convertit d'abord les longueurs en mètres, puis on calcule l'aire ; ou l'on divise l'aire en cm$^2$ par $10\\,000$."
        },
        {
          "statement": "Une table rectangulaire mesure $120$ cm sur $90$ cm. Quelle est son aire en mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}08$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en mètres, la table mesure $1{,}2$ m sur $0{,}9$ m, d'où l'aire $1{,}08$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$10\\,800$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire en cm$^2$ ; il faut encore la diviser par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$108$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100$ ; pour passer des cm$^2$ aux m$^2$, on divise par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$0{,}108$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100\\,000$ ; $1$ m$^2 = 10\\,000$ cm$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On convertit d'abord les longueurs en mètres, puis on calcule l'aire ; ou l'on divise l'aire en cm$^2$ par $10\\,000$."
        },
        {
          "statement": "Une table rectangulaire mesure $300$ cm sur $60$ cm. Quelle est son aire en mètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}8$ m$^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en mètres, la table mesure $3$ m sur $0{,}6$ m, d'où l'aire $1{,}8$ m$^2$."
            },
            {
              "text": "$18\\,000$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire en cm$^2$ ; il faut encore la diviser par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$180$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100$ ; pour passer des cm$^2$ aux m$^2$, on divise par $10\\,000$."
            },
            {
              "text": "$0{,}18$ m$^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $100\\,000$ ; $1$ m$^2 = 10\\,000$ cm$^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On convertit d'abord les longueurs en mètres, puis on calcule l'aire ; ou l'on divise l'aire en cm$^2$ par $10\\,000$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "volume",
        "prisme"
      ],
      "title": "Volume d'un prisme à base triangulaire",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm. Sa hauteur mesure $10$ cm. Quel est son volume ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $\\dfrac{3 \\times 4}{2} = 6$ cm$^2$, puis on multiplie par la hauteur $10$ cm."
        },
        {
          "text": "$120$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'aire du triangle de base se divise par $2$."
        },
        {
          "text": "$70$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les côtés du triangle ont été ajoutés ; l'aire de la base est un produit divisé par $2$."
        },
        {
          "text": "$20$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a divisé par $3$ comme pour une pyramide ; le volume d'un prisme vaut aire de la base $\\times$ hauteur."
        }
      ],
      "explanation": "Volume d'un prisme droit $=$ aire de la base $\\times$ hauteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm. Sa hauteur mesure $10$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $\\dfrac{3 \\times 4}{2} = 6$ cm$^2$, puis on multiplie par la hauteur $10$ cm."
            },
            {
              "text": "$120$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du triangle de base se divise par $2$."
            },
            {
              "text": "$70$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les côtés du triangle ont été ajoutés ; l'aire de la base est un produit divisé par $2$."
            },
            {
              "text": "$20$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $3$ comme pour une pyramide ; le volume d'un prisme vaut aire de la base $\\times$ hauteur."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un prisme droit $=$ aire de la base $\\times$ hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $5$ cm. Sa hauteur mesure $8$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$ cm$^2$, puis on multiplie par la hauteur $8$ cm."
            },
            {
              "text": "$240$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du triangle de base se divise par $2$."
            },
            {
              "text": "$88$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les côtés du triangle ont été ajoutés ; l'aire de la base est un produit divisé par $2$."
            },
            {
              "text": "$40$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $3$ comme pour une pyramide ; le volume d'un prisme vaut aire de la base $\\times$ hauteur."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un prisme droit $=$ aire de la base $\\times$ hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $4$ cm et $7$ cm. Sa hauteur mesure $5$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$70$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $\\dfrac{4 \\times 7}{2} = 14$ cm$^2$, puis on multiplie par la hauteur $5$ cm."
            },
            {
              "text": "$140$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du triangle de base se divise par $2$."
            },
            {
              "text": "$55$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les côtés du triangle ont été ajoutés ; l'aire de la base est un produit divisé par $2$."
            },
            {
              "text": "$23$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $3$ comme pour une pyramide ; le volume d'un prisme vaut aire de la base $\\times$ hauteur."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un prisme droit $=$ aire de la base $\\times$ hauteur."
        },
        {
          "statement": "Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $8$ cm et $3$ cm. Sa hauteur mesure $6$ cm. Quel est son volume ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $\\dfrac{8 \\times 3}{2} = 12$ cm$^2$, puis on multiplie par la hauteur $6$ cm."
            },
            {
              "text": "$144$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'aire du triangle de base se divise par $2$."
            },
            {
              "text": "$66$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les côtés du triangle ont été ajoutés ; l'aire de la base est un produit divisé par $2$."
            },
            {
              "text": "$24$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé par $3$ comme pour une pyramide ; le volume d'un prisme vaut aire de la base $\\times$ hauteur."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un prisme droit $=$ aire de la base $\\times$ hauteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conversion",
        "contenance"
      ],
      "title": "Des litres aux centimètres cubes",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Combien de centimètres cubes contient une bouteille de $2{,}5$ L ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\,500$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$250$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$25$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$0{,}0025$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a divisé au lieu de multiplier ; le centimètre cube est une unité plus petite que le litre."
        }
      ],
      "explanation": "$1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$, et $1$ mL $= 1$ cm$^3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien de centimètres cubes contient une bouteille de $2{,}5$ L ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\,500$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$250$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$25$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0025$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé au lieu de multiplier ; le centimètre cube est une unité plus petite que le litre."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$, et $1$ mL $= 1$ cm$^3$."
        },
        {
          "statement": "Combien de centimètres cubes contient une bouteille de $0{,}75$ L ?",
          "options": [
            {
              "text": "$750$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$75$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$7{,}5$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}00075$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé au lieu de multiplier ; le centimètre cube est une unité plus petite que le litre."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$, et $1$ mL $= 1$ cm$^3$."
        },
        {
          "statement": "Combien de centimètres cubes contient une bouteille de $4$ L ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\,000$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$400$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$40$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}004$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé au lieu de multiplier ; le centimètre cube est une unité plus petite que le litre."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$, et $1$ mL $= 1$ cm$^3$."
        },
        {
          "statement": "Combien de centimètres cubes contient une bouteille de $0{,}3$ L ?",
          "options": [
            {
              "text": "$300$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$30$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$3$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié par $10$ ; $1$ L vaut $1\\,000$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0003$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a divisé au lieu de multiplier ; le centimètre cube est une unité plus petite que le litre."
            }
          ],
          "explanation": "$1$ L $= 1$ dm$^3 = 1\\,000$ cm$^3$, et $1$ mL $= 1$ cm$^3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "volume",
        "pave",
        "equation"
      ],
      "title": "Hauteur d'un pavé de volume connu",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Un pavé droit a un volume de $240$ cm$^3$, une longueur de $8$ cm et une largeur de $5$ cm. Quelle est sa hauteur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 5 \\times h = 240$, donc $h = 240 \\div 40 = 6$ cm."
        },
        {
          "text": "$30$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on n'a divisé que par la longueur ; il faut diviser par l'aire de la base, $40$ cm$^2$."
        },
        {
          "text": "$200$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a soustrait l'aire de la base au lieu de diviser par elle."
        },
        {
          "text": "$18$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la base a pour aire $8 \\times 5$, pas $8 + 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Volume d'un pavé $=$ aire de la base $\\times$ hauteur : on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un pavé droit a un volume de $240$ cm$^3$, une longueur de $8$ cm et une largeur de $5$ cm. Quelle est sa hauteur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 5 \\times h = 240$, donc $h = 240 \\div 40 = 6$ cm."
            },
            {
              "text": "$30$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on n'a divisé que par la longueur ; il faut diviser par l'aire de la base, $40$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$200$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a soustrait l'aire de la base au lieu de diviser par elle."
            },
            {
              "text": "$18$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base a pour aire $8 \\times 5$, pas $8 + 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé $=$ aire de la base $\\times$ hauteur : on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a un volume de $360$ cm$^3$, une longueur de $9$ cm et une largeur de $5$ cm. Quelle est sa hauteur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 \\times 5 \\times h = 360$, donc $h = 360 \\div 45 = 8$ cm."
            },
            {
              "text": "$40$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on n'a divisé que par la longueur ; il faut diviser par l'aire de la base, $45$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$315$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a soustrait l'aire de la base au lieu de diviser par elle."
            },
            {
              "text": "$25$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base a pour aire $9 \\times 5$, pas $9 + 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé $=$ aire de la base $\\times$ hauteur : on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a un volume de $210$ cm$^3$, une longueur de $7$ cm et une largeur de $6$ cm. Quelle est sa hauteur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 6 \\times h = 210$, donc $h = 210 \\div 42 = 5$ cm."
            },
            {
              "text": "$30$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on n'a divisé que par la longueur ; il faut diviser par l'aire de la base, $42$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$168$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a soustrait l'aire de la base au lieu de diviser par elle."
            },
            {
              "text": "$16$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base a pour aire $7 \\times 6$, pas $7 + 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé $=$ aire de la base $\\times$ hauteur : on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base."
        },
        {
          "statement": "Un pavé droit a un volume de $480$ cm$^3$, une longueur de $10$ cm et une largeur de $4$ cm. Quelle est sa hauteur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ cm",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\times 4 \\times h = 480$, donc $h = 480 \\div 40 = 12$ cm."
            },
            {
              "text": "$48$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on n'a divisé que par la longueur ; il faut diviser par l'aire de la base, $40$ cm$^2$."
            },
            {
              "text": "$440$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a soustrait l'aire de la base au lieu de diviser par elle."
            },
            {
              "text": "$34$ cm",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la base a pour aire $10 \\times 4$, pas $10 + 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un pavé $=$ aire de la base $\\times$ hauteur : on retrouve la hauteur en divisant le volume par l'aire de la base."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "volume",
        "cube"
      ],
      "title": "Volume d'un cube",
      "partie": "volumes",
      "statement": "Quel est le volume d'un cube d'arête $8$ cm ?",
      "options": [
        {
          "text": "$512$ cm$^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 8 \\times 8 = 512$ cm$^3$."
        },
        {
          "text": "$64$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'une face ; le volume fait intervenir trois dimensions."
        },
        {
          "text": "$384$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'aire totale des six faces, pas le volume."
        },
        {
          "text": "$24$ cm$^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a multiplié l'arête par $3$ au lieu de l'élever au cube."
        }
      ],
      "explanation": "Volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le volume d'un cube d'arête $8$ cm ?",
          "options": [
            {
              "text": "$512$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 8 \\times 8 = 512$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$64$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'une face ; le volume fait intervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$384$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire totale des six faces, pas le volume."
            },
            {
              "text": "$24$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié l'arête par $3$ au lieu de l'élever au cube."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le volume d'un cube d'arête $5$ cm ?",
          "options": [
            {
              "text": "$125$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 5 \\times 5 = 125$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$25$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'une face ; le volume fait intervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$150$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire totale des six faces, pas le volume."
            },
            {
              "text": "$15$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié l'arête par $3$ au lieu de l'élever au cube."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le volume d'un cube d'arête $4$ cm ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 4 \\times 4 = 64$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$16$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'une face ; le volume fait intervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$96$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire totale des six faces, pas le volume."
            },
            {
              "text": "$12$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié l'arête par $3$ au lieu de l'élever au cube."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le volume d'un cube d'arête $7$ cm ?",
          "options": [
            {
              "text": "$343$ cm$^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 7 \\times 7 = 343$ cm$^3$."
            },
            {
              "text": "$49$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire d'une face ; le volume fait intervenir trois dimensions."
            },
            {
              "text": "$294$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'aire totale des six faces, pas le volume."
            },
            {
              "text": "$21$ cm$^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a multiplié l'arête par $3$ au lieu de l'élever au cube."
            }
          ],
          "explanation": "Volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$."
        }
      ]
    }
  ]
}