{
"chapter": {
"id": "fonctions-convexes-mc",
"level": "maths-complementaires",
"theme": "Analyse",
"title": "Fonctions convexes",
"description": "Dérivée seconde, convexité définie par la position relative de\nla courbe et de ses sécantes (équivalences admises : position\npar rapport aux tangentes, croissance de $f'$, positivité de\n$f''$), concavité, points d'inflexion, lectures graphiques et\napplications (courbe de Lorenz).",
"parties": [
{
"id": "definition",
"title": "Définition et lecture graphique"
},
{
"id": "criteres",
"title": "Critères par les dérivées"
},
{
"id": "inflexion",
"title": "Points d'inflexion et applications"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"secantes"
],
"title": "Convexité et sécantes",
"partie": "definition",
"statement": "Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle\nest-elle définie au programme ?",
"options": [
{
"text": "Sa courbe est sous chacune de ses sécantes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre deux points de la courbe, le\nsegment qui les joint (la corde) passe **au-dessus** de\nla courbe : définition par les sécantes."
},
{
"text": "Sa courbe est au-dessus de chacune de ses sécantes",
"correct": false,
"feedback": "Inversé : la courbe au-dessus de ses cordes caractérise\nla **concavité** (bombée vers le haut)."
},
{
"text": "La fonction est croissante sur l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la convexité parle de la **courbure**, pas du\nsens : $e^{-x}$ est décroissante et convexe."
},
{
"text": "La fonction est positive sur l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun lien : $x^2 - 10$ est convexe et prend\ndes valeurs négatives."
}
],
"explanation": "Définition du programme : $f$ convexe sur $I$ si sa courbe\nest sous ses sécantes ; équivalences admises (pour $f$\ndérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$\ncroissante, $f'' \\geq 0$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"derivee-seconde"
],
"title": "Critère de la dérivée seconde",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f(x) = x^3$ sur $\\mathbb{R}$, de dérivée seconde\n$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x \\geq 0 \\Leftrightarrow x\n\\geq 0$ : convexe à droite de l'origine, concave à\ngauche."
},
{
"text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pour $x < 0$, $f''(x) = 6x < 0$ : la courbe y\nest **concave** (bombée vers le haut)."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,0]$",
"correct": false,
"feedback": "Inversé : c'est l'intervalle de **concavité**\n($f'' \\leq 0$)."
},
{
"text": "Nulle part",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le fait que $f$ change de signe est sans\nrapport ; seul le signe de $f''$ décide de la convexité,\net $f'' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,+\\infty[$."
}
],
"explanation": "Critère pratique (admis) : $f'' \\geq 0$ sur $I$\n$\\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $I$. Pour $x^3$ :\nconcave puis convexe, avec bascule en $0$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"inflexion"
],
"title": "Point d'inflexion",
"partie": "inflexion",
"statement": "Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?",
"options": [
{
"text": "Un point où la courbe change de convexité",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbure bascule (convexe-concave ou\nl'inverse) et la tangente y traverse la courbe ; pour\n$f$ deux fois dérivable, $f''$ s'y annule en changeant\nde signe."
},
{
"text": "Un point où la fonction atteint un extremum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'extremum concerne $f'$ (tangente\nhorizontale) ; l'inflexion concerne $f''$ (changement de\ncourbure)."
},
{
"text": "Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : couper l'axe est une affaire de **signe de\n$f$**, pas de courbure."
},
{
"text": "Un point où la tangente est verticale",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente de la tangente n'est pas en cause :\nau point d'inflexion, la tangente (de pente quelconque)\n**traverse** la courbe."
}
],
"explanation": "Inflexion $=$ changement de convexité. Signature graphique :\nla tangente traverse la courbe. Signature analytique : $f''$\ns'annule **en changeant de signe**."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire la convexité sur une courbe",
"partie": "definition",
"statement": "La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle\nlecture de convexité est correcte ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum\nlocal en (-1 ; 2), minimum local en (1 ; -2), traversée de\nl'origine. La courbe est bombée vers le haut à gauche de 0\n(concave) et creusée vers le haut à droite (convexe).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Concave sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, convexe sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : bombée à gauche (au-dessus de ses\ncordes), creusée à droite ; la bascule, le point\nd'inflexion, se fait à l'origine, où la tangente\ntraverse la courbe."
},
{
"text": "Convexe sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, concave sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Inversé : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »\n(creusée vers le haut) : c'est la **convexité**."
},
{
"text": "Convexe partout, car la courbe monte à la fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : monter n'est pas être convexe. Entre $-2$ et\n$-1$, la courbe monte en étant **concave**."
},
{
"text": "Deux points d'inflexion, en $-1$ et en $1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $-1$ et $1$ sont les **extremums locaux**\n(tangentes horizontales). L'inflexion, unique, est à\nl'origine."
}
],
"explanation": "Lecture attendue au programme : repérer les zones bombées\n(concaves) et creusées (convexes) et leurs frontières (points\nd'inflexion). Ici : bascule en $(0\\,;\\,0)$, cohérente avec\n$f''(x) = 6x$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tangentes"
],
"title": "Convexité et tangentes",
"partie": "inflexion",
"statement": "Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment\nla courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?",
"options": [
{
"text": "Au-dessus de chacune de ses tangentes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : équivalence admise au programme : courbe\nsous les sécantes $\\Leftrightarrow$ au-dessus des\ntangentes (pour une fonction dérivable)."
},
{
"text": "En dessous de ses tangentes",
"correct": false,
"feedback": "Inversé : sous les tangentes, c'est la **concavité**\n(pense au logarithme, toujours sous ses tangentes)."
},
{
"text": "Elle traverse chaque tangente",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la traversée de la tangente n'arrive qu'aux\n**points d'inflexion**, exclus d'un intervalle de\nconvexité stricte."
},
{
"text": "Cela dépend du signe de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la position courbe-tangentes ne dépend que de\nla courbure, jamais du signe des valeurs."
}
],
"explanation": "Pour $f$ dérivable : convexe $\\Leftrightarrow$ courbe\nau-dessus de ses tangentes $\\Leftrightarrow$ $f'$ croissante\n$\\Leftrightarrow$ $f'' \\geq 0$ (équivalences admises).\nMémo : $\\exp$ au-dessus, $\\ln$ en dessous."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonctions-usuelles"
],
"title": "Convexité des fonctions de référence",
"partie": "definition",
"statement": "Parmi ces fonctions, laquelle est **concave** sur son\nensemble de définition ?",
"options": [
{
"text": "$x \\mapsto \\ln x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)'' = -\\dfrac{1}{x^2} < 0$ : le\nlogarithme est concave (courbe sous ses tangentes,\ncroissance qui s'essouffle)."
},
{
"text": "$x \\mapsto e^x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(e^x)'' = e^x > 0$ : l'exponentielle est\n**convexe** (croissance qui s'emballe)."
},
{
"text": "$x \\mapsto x^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x^2)'' = 2 > 0$ : la parabole est le prototype\nde la convexité."
},
{
"text": "$x \\mapsto x$",
"correct": false,
"feedback": "Cas limite : une droite est à la fois convexe **et**\nconcave (au sens large), ses cordes étant confondues avec\nelle ; elle n'est pas « la » concave typique attendue."
}
],
"explanation": "Répertoire : convexes : $x^2$, $e^x$, $\\dfrac{1}{x}$ (sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$) ; concave : $\\ln x$, $\\sqrt{x}$. La\nconcavité du logarithme et de la racine dit le rendement\ndécroissant."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"f-prime-croissante"
],
"title": "Convexité et croissance de $f'$",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$\ncaractérise la convexité de $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$f'$ est croissante sur $I$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente ne cesse d'augmenter : la\ncourbe « tourne vers le haut ». (D'où $f'' \\geq 0$ quand\n$f''$ existe.)"
},
{
"text": "$f'$ est positive sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f' > 0$ donne la **croissance de $f$**, pas sa\nconvexité. Une pente peut être positive et diminuer\n(concave croissante, comme $\\ln$)."
},
{
"text": "$f'$ est constante sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pente constante $=$ droite, le cas frontière.\nLa convexité (au sens large) demande une pente\n**croissante**."
},
{
"text": "$f'$ s'annule au milieu de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'annulation de $f'$ signale un extremum de\n$f$, sans lien avec la courbure."
}
],
"explanation": "Lecture dynamique de la convexité : la **pente augmente** le\nlong de la courbe. Trois étages à ne pas mélanger : signe de\n$f$ (position), signe de $f'$ (sens), croissance de $f'$ ou\nsigne de $f''$ (courbure)."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inflexion",
"calcul"
],
"title": "Trouver un point d'inflexion par le calcul",
"partie": "inflexion",
"statement": "Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe,\nnégative avant, positive après : concave puis convexe."
},
{
"text": "En $x = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $6x - 12 = 0$ donne\n$x = \\dfrac{12}{6} = 2$, et non $12$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un\npassage par l'origine, sans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Il n'y en a pas",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est\nexactement la condition d'inflexion."
}
],
"explanation": "On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :\n$6x - 12$ est négatif avant $2$ et positif après. Le point\nd'inflexion est $(2\\,;\\,-6)$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe,\nnégative avant, positive après : concave puis convexe."
},
{
"text": "En $x = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $6x - 12 = 0$ donne\n$x = \\dfrac{12}{6} = 2$, et non $12$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un\npassage par l'origine, sans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Il n'y en a pas",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est\nexactement la condition d'inflexion."
}
],
"explanation": "On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :\n$6x - 12$ est négatif avant $2$ et positif après. Le point\nd'inflexion est $(2\\,;\\,-6)$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, avec $f''(x) = 6x - 6$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe,\nnégative avant, positive après : concave puis convexe."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $6x - 6 = 0$ donne\n$x = \\dfrac{6}{6} = 1$, et non $6$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un\npassage par l'origine, sans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Il n'y en a pas",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est\nexactement la condition d'inflexion."
}
],
"explanation": "On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :\n$6x - 6$ est négatif avant $1$ et positif après. Le point\nd'inflexion est $(1\\,;\\,0)$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^3 - 9x^2 + 4x$, avec $f''(x) = 6x - 18$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''$ s'annule en $3$ en changeant de signe,\nnégative avant, positive après : concave puis convexe."
},
{
"text": "En $x = 18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $6x - 18 = 0$ donne\n$x = \\dfrac{18}{6} = 3$, et non $18$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un\npassage par l'origine, sans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Il n'y en a pas",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est\nexactement la condition d'inflexion."
}
],
"explanation": "On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :\n$6x - 18$ est négatif avant $3$ et positif après. Le point\nd'inflexion est $(3\\,;\\,-42)$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^3 - 12x^2 + 7x$, avec $f''(x) = 6x - 24$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''$ s'annule en $4$ en changeant de signe,\nnégative avant, positive après : concave puis convexe."
},
{
"text": "En $x = 24$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $6x - 24 = 0$ donne\n$x = \\dfrac{24}{6} = 4$, et non $24$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un\npassage par l'origine, sans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Il n'y en a pas",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est\nexactement la condition d'inflexion."
}
],
"explanation": "On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :\n$6x - 24$ est négatif avant $4$ et positif après. Le point\nd'inflexion est $(4\\,;\\,-100)$."
}
]
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"concavite",
"interpretation"
],
"title": "Croissance qui s'essouffle",
"partie": "definition",
"statement": "La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en\nmoins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?",
"options": [
{
"text": "$f' > 0$ et $f'' < 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : croissante et concave. « Croît » : $f' >\n0$ ; « de moins en moins vite » : la pente diminue, $f'$\ndécroît, $f'' < 0$."
},
{
"text": "$f' > 0$ et $f'' > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f'' > 0$ décrirait une croissance qui\n**s'accélère** (convexe, type exponentielle)."
},
{
"text": "$f' < 0$ et $f'' < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f' < 0$ signifierait une production en\n**baisse**. Elle croît : $f' > 0$."
},
{
"text": "$f' > 0$ et $f'' = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f'' = 0$ partout donnerait une croissance\nparfaitement **linéaire** (vitesse constante), pas un\nessoufflement."
}
],
"explanation": "Traduire les phrases en dérivées : le sens (croît/décroît)\nse lit sur $f'$, l'allure de la vitesse (accélère/ralentit)\nsur $f''$. « Croît de moins en moins vite » $=$ croissante\nconcave."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 3,
"skills": [
"lorenz",
"application"
],
"title": "La courbe de Lorenz",
"partie": "definition",
"statement": "Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie\n$(0\\,;\\,0)$ à $(1\\,;\\,1)$ : en abscisse la part cumulée de\nla population, en ordonnée la part cumulée des richesses.\nQuelles sont ses propriétés mathématiques ?",
"options": [
{
"text": "Croissante et convexe, sous la bissectrice",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts cumulées croissent, les plus\nmodestes détiennent moins que leur part (courbe sous la\ndiagonale $y = x$), et l'accumulation s'accélère vers\nles plus riches : convexité."
},
{
"text": "Décroissante et concave, sous la bissectrice",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des parts **cumulées** ne peuvent que\ncroître ; et la bosse au-dessus de la diagonale n'a pas\nde sens ici."
},
{
"text": "Croissante et au-dessus de la bissectrice",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : au-dessus de $y = x$, les $20\\ \\%$ les plus\nmodestes détiendraient **plus** de $20\\ \\%$ des\nrichesses : contraire à la construction par ordre\ncroissant de richesse."
},
{
"text": "Croissante et concave, sous la bissectrice",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une courbe concave joignant $(0\\,;\\,0)$ à\n$(1\\,;\\,1)$ serait au-dessus de sa corde $y = x$, pas en\ndessous. Sous la bissectrice, la courbe de Lorenz est\nconvexe."
}
],
"explanation": "Thème du programme (répartition des richesses) : la courbe\nde Lorenz est croissante, convexe, de $(0\\,;\\,0)$ à\n$(1\\,;\\,1)$, sous la diagonale. Plus elle s'incurve, plus la\nrépartition est inégalitaire (indice de Gini)."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 2,
"skills": [
"secantes",
"position"
],
"title": "Utiliser la position sécante-courbe",
"partie": "definition",
"statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,4]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(2) \\leq 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la sécante joignant $(0\\,;\\,1)$ à\n$(4\\,;\\,9)$ vaut $\\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ au milieu,\net la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes."
},
{
"text": "$f(2) = 5$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$\net $4$ ; la convexité donne une inégalité."
},
{
"text": "$f(2) \\geq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "On ne peut rien dire sur $f(2)$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité fournit justement une information chiffrée : la\ncourbe reste sous la corde."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :\npour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne\ndes valeurs aux bornes, ici $f(2) \\leq 5$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,4]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(2) \\leq 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la sécante joignant $(0\\,;\\,1)$ à\n$(4\\,;\\,9)$ vaut $\\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ au milieu,\net la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes."
},
{
"text": "$f(2) = 5$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$\net $4$ ; la convexité donne une inégalité."
},
{
"text": "$f(2) \\geq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "On ne peut rien dire sur $f(2)$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité fournit justement une information chiffrée : la\ncourbe reste sous la corde."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :\npour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne\ndes valeurs aux bornes, ici $f(2) \\leq 5$."
},
{
"statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,6]$, avec $f(0) = 2$ et\n$f(6) = 10$. Que peut-on dire de $f(3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\leq 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la sécante joignant $(0\\,;\\,2)$ à\n$(6\\,;\\,10)$ vaut $\\dfrac{2 + 10}{2} = 6$ au milieu,\net la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes."
},
{
"text": "$f(3) = 6$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$\net $6$ ; la convexité donne une inégalité."
},
{
"text": "$f(3) \\geq 6$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "On ne peut rien dire sur $f(3)$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité fournit justement une information chiffrée : la\ncourbe reste sous la corde."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :\npour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne\ndes valeurs aux bornes, ici $f(3) \\leq 6$."
},
{
"statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,2]$, avec $f(0) = 0$ et\n$f(2) = 6$. Que peut-on dire de $f(1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(1) \\leq 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la sécante joignant $(0\\,;\\,0)$ à\n$(2\\,;\\,6)$ vaut $\\dfrac{0 + 6}{2} = 3$ au milieu,\net la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes."
},
{
"text": "$f(1) = 3$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$\net $2$ ; la convexité donne une inégalité."
},
{
"text": "$f(1) \\geq 3$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "On ne peut rien dire sur $f(1)$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité fournit justement une information chiffrée : la\ncourbe reste sous la corde."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :\npour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne\ndes valeurs aux bornes, ici $f(1) \\leq 3$."
},
{
"statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,10]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(10) = 15$. Que peut-on dire de $f(5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(5) \\leq 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la sécante joignant $(0\\,;\\,1)$ à\n$(10\\,;\\,15)$ vaut $\\dfrac{1 + 15}{2} = 8$ au milieu,\net la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes."
},
{
"text": "$f(5) = 8$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$\net $10$ ; la convexité donne une inégalité."
},
{
"text": "$f(5) \\geq 8$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "On ne peut rien dire sur $f(5)$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité fournit justement une information chiffrée : la\ncourbe reste sous la corde."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :\npour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne\ndes valeurs aux bornes, ici $f(5) \\leq 8$."
}
]
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"synthese",
"etages"
],
"title": "Ne pas confondre les trois étages",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,\n$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se\ncomporte-t-elle près de $a$ ?",
"options": [
{
"text": "Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : trois informations indépendantes :\nposition haute ($f > 0$), pente négative ($f' < 0$),\ncourbure vers le haut ($f'' > 0$) : la descente freine et\ns'adoucit, typique d'une décroissance exponentielle."
},
{
"text": "Sous l'axe, en montée, dans une zone convexe",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la convexité est bien là ($f''(a) > 0$), mais\n$f(a) > 0$ place le point **au-dessus** de l'axe et\n$f'(a) < 0$ le met en **descente**."
},
{
"text": "Au sommet d'une bosse, avec une tangente horizontale",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un sommet à tangente horizontale exigerait\n$f'(a) = 0$ et une courbure vers le bas ($f'' < 0$) ; ici\n$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$."
},
{
"text": "En un point d'inflexion, la courbe traversant sa tangente",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : traverser sa tangente demanderait $f''(a) = 0$\navec changement de signe ; ici $f''(a) > 0$ franchement,\nla courbe reste au-dessus de sa tangente."
}
],
"explanation": "Les trois étages de lecture : $f$ (position), $f'$ (sens),\n$f''$ (courbure), indépendants les uns des autres. $f > 0$,\n$f' < 0$, $f'' > 0$ : décroissance amortie, l'allure de\n$e^{-x}$."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"definition"
],
"title": "Définition par les sécantes",
"partie": "definition",
"statement": "Une fonction est convexe sur un intervalle. Où se situe la courbe par\nrapport à ses sécantes ?",
"options": [
{
"text": "En dessous de chacune d'elles",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre deux points de la courbe, celle-ci passe sous la\ncorde qui les relie."
},
{
"text": "Au-dessus de chacune d'elles",
"correct": false,
"feedback": "C'est la position par rapport aux tangentes, pas aux sécantes."
},
{
"text": "Confondue avec chacune d'elles",
"correct": false,
"feedback": "Seule une fonction affine coïncide avec ses sécantes."
},
{
"text": "Au-dessus de certaines, en dessous d'autres",
"correct": false,
"feedback": "Ce comportement signalerait un changement de convexité sur\nl'intervalle."
}
],
"explanation": "Une fonction convexe a sa courbe sous ses cordes et au-dessus de ses\ntangentes. Une fonction concave présente les deux positions inverses."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 2,
"skills": [
"derivee-seconde",
"critere"
],
"title": "Le critère par la dérivée seconde",
"partie": "criteres",
"statement": "Quelle condition sur $f''$ caractérise la convexité de $f$ sur un\nintervalle ?",
"options": [
{
"text": "$f''$ positive sur l'intervalle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une dérivée seconde positive traduit la croissance de\n$f'$, donc la convexité."
},
{
"text": "$f''$ négative sur l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Cette condition caractérise la concavité."
},
{
"text": "$f''$ nulle sur l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivée seconde nulle partout signale une fonction affine, à la\nfois convexe et concave."
},
{
"text": "$f'$ positive sur l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Le signe de $f'$ donne le sens de variation, pas la convexité."
}
],
"explanation": "La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, comme le sens de\nvariation se lit sur le signe de la dérivée première. Il faut distinguer\nsoigneusement les deux étages."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"calcul"
],
"title": "Convexité d'un polynôme",
"partie": "criteres",
"statement": "Sur quel intervalle la fonction $f(x) = x^3$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x$ est positive pour $x$ positif."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,0]$",
"correct": false,
"feedback": "La dérivée seconde y est négative, donc la fonction y est concave."
},
{
"text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "La dérivée seconde change de signe en $0$, qui est un point\nd'inflexion."
},
{
"text": "Sur aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "La dérivée seconde est bien positive sur toute la moitié droite."
}
],
"explanation": "On calcule $f''$, on étudie son signe, puis on conclut intervalle par\nintervalle. Un changement de signe de $f''$ marque un point d'inflexion."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"fonctions-usuelles"
],
"title": "Une fonction convexe sur R",
"partie": "definition",
"statement": "Parmi ces fonctions définies sur $\\mathbb{R}$, laquelle est\nconvexe sur $\\mathbb{R}$ tout entier ?",
"options": [
{
"text": "$x \\mapsto e^{-x}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sa dérivée seconde vaut $e^{-x}$, strictement\npositive sur $\\mathbb{R}$."
},
{
"text": "$x \\mapsto x^3$",
"correct": false,
"feedback": "Sa dérivée seconde $6x$ change de signe en $0$ : concave puis\nconvexe."
},
{
"text": "$x \\mapsto -x^2$",
"correct": false,
"feedback": "Sa dérivée seconde vaut $-2$ : la fonction est concave."
},
{
"text": "$x \\mapsto -e^{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Sa dérivée seconde $-e^{x}$ est négative : la fonction est\nconcave."
}
],
"explanation": "Pour étudier la convexité sur $\\mathbb{R}$, on étudie le signe de\nla dérivée seconde. Une décroissance n'empêche pas la convexité :\n$e^{-x}$ est décroissante et convexe."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inflexion",
"calcul"
],
"title": "Inflexion et extremum à ne pas confondre",
"partie": "inflexion",
"statement": "Pour $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$, où se situe le point d'inflexion\n?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 12$ s'annule en $2$ en\nchangeant de signe."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 12x$ s'annule en\n$0$, où $f''(0) = -12$ ne change pas de signe."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : la résolution de $6x - 12 = 0$ donne\n$x = 2$."
},
{
"text": "En $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $4$, ce qui\ndonne un minimum local."
}
],
"explanation": "Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points\nd'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$\ns'annule en $0$ et $4$, $f''$ en $2$.",
"variants": [
{
"statement": "Pour $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$, où se situe le point d'inflexion\n?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 12$ s'annule en $2$ en\nchangeant de signe."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 12x$ s'annule en\n$0$, où $f''(0) = -12$ ne change pas de signe."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : la résolution de $6x - 12 = 0$ donne\n$x = 2$."
},
{
"text": "En $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $4$, ce qui\ndonne un minimum local."
}
],
"explanation": "Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points\nd'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$\ns'annule en $0$ et $4$, $f''$ en $2$."
},
{
"statement": "Pour $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, où se situe le point d'inflexion\n?",
"options": [
{
"text": "En $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 6$ s'annule en $1$ en\nchangeant de signe."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 6x$ s'annule en\n$0$, où $f''(0) = -6$ ne change pas de signe."
},
{
"text": "En $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : la résolution de $6x - 6 = 0$ donne\n$x = 1$."
},
{
"text": "En $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $2$, ce qui\ndonne un minimum local."
}
],
"explanation": "Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points\nd'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$\ns'annule en $0$ et $2$, $f''$ en $1$."
},
{
"statement": "Pour $f(x) = x^3 - 9x^2 + 2$, où se situe le point d'inflexion\n?",
"options": [
{
"text": "En $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 18$ s'annule en $3$ en\nchangeant de signe."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 18x$ s'annule en\n$0$, où $f''(0) = -18$ ne change pas de signe."
},
{
"text": "En $x = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : la résolution de $6x - 18 = 0$ donne\n$x = 3$."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $6$, ce qui\ndonne un minimum local."
}
],
"explanation": "Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points\nd'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$\ns'annule en $0$ et $6$, $f''$ en $3$."
},
{
"statement": "Pour $f(x) = x^3 - 12x^2 + 10$, où se situe le point d'inflexion\n?",
"options": [
{
"text": "En $x = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 24$ s'annule en $4$ en\nchangeant de signe."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 24x$ s'annule en\n$0$, où $f''(0) = -24$ ne change pas de signe."
},
{
"text": "En $x = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : la résolution de $6x - 24 = 0$ donne\n$x = 4$."
},
{
"text": "En $x = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $8$, ce qui\ndonne un minimum local."
}
],
"explanation": "Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points\nd'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$\ns'annule en $0$ et $8$, $f''$ en $4$."
}
]
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"interpretation"
],
"title": "Une croissance qui s'accélère",
"partie": "definition",
"statement": "Une grandeur croissante a une courbe convexe. Comment la croissance\névolue-t-elle ?",
"options": [
{
"text": "Elle s'accélère",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la dérivée, qui mesure la vitesse, est croissante."
},
{
"text": "Elle ralentit",
"correct": false,
"feedback": "Un ralentissement correspond à une courbe concave, dont la dérivée\ndécroît."
},
{
"text": "Elle reste constante",
"correct": false,
"feedback": "Une vitesse constante donnerait une droite, ni convexe ni concave au\nsens strict."
},
{
"text": "Elle s'inverse",
"correct": false,
"feedback": "L'énoncé précise que la grandeur croît : la dérivée reste positive."
}
],
"explanation": "La convexité décrit la façon dont la vitesse évolue, pas le sens de\nvariation. Croissante et convexe signifie une croissance de plus en plus\nrapide."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"inegalite"
],
"title": "Une inégalité par convexité",
"partie": "inflexion",
"statement": "Comment la convexité de l'exponentielle donne-t-elle l'inégalité\n$e^x \\geq 1 + x$ ?",
"options": [
{
"text": "La courbe est au-dessus de sa tangente en $0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : cette tangente a pour équation $y = 1 + x$."
},
{
"text": "La courbe est en dessous de sa tangente en $0$",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait le cas d'une fonction concave, ce que l'exponentielle n'est\npas."
},
{
"text": "La courbe est au-dessus de sa sécante",
"correct": false,
"feedback": "Une fonction convexe est au contraire sous ses sécantes."
},
{
"text": "La dérivée de $1 + x$ vaut $1$",
"correct": false,
"feedback": "Cette remarque est vraie mais ne démontre rien sur la position des deux\ncourbes."
}
],
"explanation": "Une fonction convexe reste au-dessus de chacune de ses tangentes. Écrire\nla tangente en un point bien choisi fournit une inégalité valable partout."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"lecture-graphique"
],
"title": "Reconnaître visuellement une courbe convexe",
"partie": "definition",
"statement": "À quoi reconnaît-on visuellement une portion de courbe convexe ?",
"options": [
{
"text": "Elle tourne sa concavité vers le haut",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe forme un creux, comme celle de la fonction\ncarré."
},
{
"text": "Elle monte de gauche à droite",
"correct": false,
"feedback": "La montée décrit le sens de variation : une courbe convexe peut\ndescendre."
},
{
"text": "Elle est au-dessus de l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "La position par rapport à l'axe relève du signe de la fonction."
},
{
"text": "Elle forme un angle",
"correct": false,
"feedback": "Un angle signale une non-dérivabilité, une question tout à fait\ndistincte."
}
],
"explanation": "Une portion convexe se creuse vers le haut, une portion concave vers le\nbas. Le point où la courbe change de courbure est un point d'inflexion."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"derivee"
],
"title": "Convexité et dérivée première",
"partie": "criteres",
"statement": "Quelle propriété de $f'$ traduit la convexité de $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$f'$ est croissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les pentes des tangentes augmentent le long de la\ncourbe."
},
{
"text": "$f'$ est positive",
"correct": false,
"feedback": "Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$, pas sa convexité."
},
{
"text": "$f'$ est constante",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivée constante caractérise une fonction affine."
},
{
"text": "$f'$ est décroissante",
"correct": false,
"feedback": "C'est la traduction de la concavité."
}
],
"explanation": "Trois formulations équivalentes de la convexité : courbe sous ses\nsécantes, courbe au-dessus de ses tangentes, dérivée croissante. La\ndernière se teste par le signe de $f''$."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"contre-exemple"
],
"title": "Dérivée seconde nulle",
"partie": "inflexion",
"statement": "La dérivée seconde de $f$ s'annule en $a$.\nLe point d'abscisse $a$ est-il un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "Pas sûr, il faut un changement de signe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $f(x) = x^4$, la dérivée seconde s'annule en $0$\nsans changer de signe, et la fonction reste convexe."
},
{
"text": "Oui, cette annulation suffit toujours",
"correct": false,
"feedback": "Le contre-exemple de $x^4$ montre que l'annulation ne suffit pas."
},
{
"text": "Non, jamais dans ce genre de situation",
"correct": false,
"feedback": "L'annulation est nécessaire : un point d'inflexion l'impose."
},
{
"text": "Oui, si $f'$ s'annule aussi",
"correct": false,
"feedback": "Cette condition supplémentaire ne change rien : $x^4$ la vérifie en\n$0$ sans point d'inflexion."
}
],
"explanation": "L'annulation de la dérivée seconde est nécessaire mais non suffisante. Le\npoint d'inflexion exige en outre un changement de signe, donc un\nchangement de convexité."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"economie"
],
"title": "Rendements décroissants",
"partie": "inflexion",
"statement": "Une production croît avec le nombre d'ouvriers, mais chaque ouvrier\nsupplémentaire apporte moins que le précédent. Quelle propriété\ndécrit cette courbe ?",
"options": [
{
"text": "Elle est croissante et concave",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la production monte, mais la dérivée diminue."
},
{
"text": "Elle est croissante et convexe",
"correct": false,
"feedback": "La convexité décrirait des apports de plus en plus grands."
},
{
"text": "Elle est décroissante et concave",
"correct": false,
"feedback": "La production augmente, l'énoncé le précise."
},
{
"text": "Elle est affine",
"correct": false,
"feedback": "Une droite correspondrait à des apports identiques pour chaque\nouvrier."
}
],
"explanation": "Les rendements décroissants se traduisent par une courbe croissante et\nconcave. La convexité, elle, décrit une accélération, comme dans un\nphénomène de croissance exponentielle."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"tableau"
],
"title": "Ce que porte un tableau de convexité",
"partie": "criteres",
"statement": "Quelle ligne un tableau de convexité comporte-t-il nécessairement ?",
"options": [
{
"text": "Le signe de la dérivée seconde",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est elle qui justifie la convexité annoncée sur\nchaque intervalle."
},
{
"text": "Le signe de la fonction",
"correct": false,
"feedback": "Ce signe relève d'un tableau de signes, qui répond à une autre\nquestion."
},
{
"text": "Les valeurs de la dérivée première",
"correct": false,
"feedback": "Seul le sens de variation de $f'$ importe, et il se lit sur le signe de\n$f''$."
},
{
"text": "Les coordonnées de tous les points d'inflexion et des extremums",
"correct": false,
"feedback": "Les extremums appartiennent au tableau de variations, pas au tableau de\nconvexité."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité donne le signe de $f''$, la convexité qui en\ndécoule, et les points d'inflexion aux changements de signe."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"distinction"
],
"title": "Les trois étages à ne pas confondre",
"partie": "criteres",
"statement": "Que donne le signe de $f'$ ?",
"options": [
{
"text": "Le sens de variation de $f$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : positive, la dérivée fait croître la fonction."
},
{
"text": "La convexité de $f$",
"correct": false,
"feedback": "La convexité se lit sur le signe de $f''$, ou sur le sens de variation\nde $f'$."
},
{
"text": "La position de la courbe par rapport à l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Cette position dépend du signe de $f$ elle-même."
},
{
"text": "Les points d'inflexion de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Ils se repèrent aux changements de signe de $f''$."
}
],
"explanation": "Trois étages se succèdent : le signe de $f$ donne la position de la courbe,\nle signe de $f'$ les variations, le signe de $f''$ la convexité."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"tangente"
],
"title": "Position par rapport à une tangente",
"partie": "definition",
"statement": "La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $2$ a pour\néquation $y = 3x - 1$. Que peut-on affirmer ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) \\geq 3x - 1$ pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes."
},
{
"text": "$f(x) \\leq 3x - 1$ pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(x) = 3x - 1$ près de $2$",
"correct": false,
"feedback": "La tangente approche la courbe près du point de contact, sans\ncoïncider avec elle."
},
{
"text": "$f(x) \\geq 3x - 1$ seulement après $2$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du\npoint de contact."
}
],
"explanation": "La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la\nconvexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout\nl'intervalle de convexité.",
"variants": [
{
"statement": "La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $2$ a pour\néquation $y = 3x - 1$. Que peut-on affirmer ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) \\geq 3x - 1$ pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes."
},
{
"text": "$f(x) \\leq 3x - 1$ pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(x) = 3x - 1$ près de $2$",
"correct": false,
"feedback": "La tangente approche la courbe près du point de contact, sans\ncoïncider avec elle."
},
{
"text": "$f(x) \\geq 3x - 1$ seulement après $2$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du\npoint de contact."
}
],
"explanation": "La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la\nconvexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout\nl'intervalle de convexité."
},
{
"statement": "La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $1$ a pour\néquation $y = 2x + 1$. Que peut-on affirmer ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) \\geq 2x + 1$ pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes."
},
{
"text": "$f(x) \\leq 2x + 1$ pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(x) = 2x + 1$ près de $1$",
"correct": false,
"feedback": "La tangente approche la courbe près du point de contact, sans\ncoïncider avec elle."
},
{
"text": "$f(x) \\geq 2x + 1$ seulement après $1$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du\npoint de contact."
}
],
"explanation": "La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la\nconvexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout\nl'intervalle de convexité."
},
{
"statement": "La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $3$ a pour\néquation $y = -2x + 4$. Que peut-on affirmer ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) \\geq -2x + 4$ pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes."
},
{
"text": "$f(x) \\leq -2x + 4$ pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(x) = -2x + 4$ près de $3$",
"correct": false,
"feedback": "La tangente approche la courbe près du point de contact, sans\ncoïncider avec elle."
},
{
"text": "$f(x) \\geq -2x + 4$ seulement après $3$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du\npoint de contact."
}
],
"explanation": "La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la\nconvexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout\nl'intervalle de convexité."
},
{
"statement": "La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $4$ a pour\néquation $y = 5x - 3$. Que peut-on affirmer ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) \\geq 5x - 3$ pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes."
},
{
"text": "$f(x) \\leq 5x - 3$ pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(x) = 5x - 3$ près de $4$",
"correct": false,
"feedback": "La tangente approche la courbe près du point de contact, sans\ncoïncider avec elle."
},
{
"text": "$f(x) \\geq 5x - 3$ seulement après $4$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du\npoint de contact."
}
],
"explanation": "La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la\nconvexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout\nl'intervalle de convexité."
}
]
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"affine"
],
"title": "Le cas d'une fonction affine",
"partie": "definition",
"statement": "Une fonction affine est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "Oui, et concave en même temps",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sa dérivée seconde est nulle, elle vérifie donc les\ndeux définitions au sens large."
},
{
"text": "Oui, mais pas concave",
"correct": false,
"feedback": "Les deux définitions au sens large sont satisfaites simultanément."
},
{
"text": "Non, ni convexe ni concave",
"correct": false,
"feedback": "La courbe coïncide avec ses sécantes, ce qui satisfait les inégalités\nlarges."
},
{
"text": "Cela dépend du signe de sa pente",
"correct": false,
"feedback": "Le sens de variation n'intervient pas dans la convexité."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est à la fois convexe et concave, sa dérivée seconde\nétant nulle. C'est le seul cas où les deux propriétés coexistent."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"courbe-lorenz"
],
"title": "Une courbe de Lorenz",
"partie": "inflexion",
"statement": "Une courbe de Lorenz décrivant une répartition de revenus est\nconvexe. Que traduit l'écart à la diagonale ?",
"options": [
{
"text": "L'inégalité de la répartition",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : plus la courbe s'éloigne de la diagonale, plus la\nrépartition est inégale."
},
{
"text": "Le nombre total de personnes",
"correct": false,
"feedback": "L'effectif n'apparaît pas : les deux axes portent des parts cumulées."
},
{
"text": "Le revenu moyen de la population",
"correct": false,
"feedback": "Ce revenu n'intervient pas dans le tracé, qui ne manipule que des\nproportions."
},
{
"text": "La croissance des revenus dans le temps",
"correct": false,
"feedback": "Aucune dimension temporelle n'est représentée sur ce graphique."
}
],
"explanation": "La diagonale correspond à une répartition parfaitement égalitaire. L'aire\nentre la courbe et la diagonale mesure l'inégalité, et fonde le\ncoefficient de Gini."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"convexite",
"exponentielle"
],
"title": "Convexité de l'exponentielle",
"partie": "criteres",
"statement": "Pourquoi la fonction exponentielle est-elle convexe sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Sa dérivée seconde est toujours positive",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée à tous les\nordres."
},
{
"text": "Elle est croissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "La croissance ne suffit pas : le logarithme croît aussi et reste\nconcave."
},
{
"text": "Elle est strictement positive sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "La positivité de la fonction ne dit rien de sa convexité."
},
{
"text": "Elle vaut exactement $1$ au point $0$",
"correct": false,
"feedback": "Une valeur en un point ne renseigne pas sur la forme de la courbe."
}
],
"explanation": "L'exponentielle vérifie $f'' = f > 0$, donc elle est convexe sur tout\n$\\mathbb{R}$. Sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes, d'où\nl'inégalité $e^x \\geq 1 + x$."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 3,
"skills": [
"convexite",
"modelisation"
],
"title": "Choisir le bon vocabulaire",
"partie": "definition",
"statement": "Une épidémie voit le nombre de cas croître, mais de moins en moins\nvite. Comment le dire correctement ?",
"options": [
{
"text": "La courbe est croissante et concave",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les cas augmentent toujours, mais la dérivée diminue."
},
{
"text": "Le nombre de cas diminue",
"correct": false,
"feedback": "C'est la vitesse qui diminue, pas le nombre de cas, qui continue de\ncroître."
},
{
"text": "La courbe est décroissante et convexe",
"correct": false,
"feedback": "Une courbe décroissante correspondrait à une baisse du nombre de cas."
},
{
"text": "La courbe a atteint son maximum",
"correct": false,
"feedback": "Le maximum serait atteint si la dérivée s'annulait, ce qui n'est pas\nencore le cas."
}
],
"explanation": "Un point d'inflexion sur une courbe épidémique marque le moment où la\ncroissance cesse de s'accélérer. Le nombre de cas continue d'augmenter,\nmais de plus en plus lentement."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"concavite",
"critere"
],
"title": "Lire une dérivée seconde négative",
"partie": "criteres",
"statement": "Sur un intervalle $I$, la dérivée seconde d'une fonction $f$ est\nstrictement négative. Que peut-on dire de la courbe de $f$ sur $I$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est concave sur $I$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une dérivée seconde négative signifie que $f'$\ndécroît, donc que la courbe est concave et reste sous ses tangentes."
},
{
"text": "Elle est convexe sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Critère inversé : la convexité correspond à une dérivée seconde\npositive sur l'intervalle."
},
{
"text": "Elle est décroissante sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Étage confondu : le sens de variation se lit sur le signe de $f'$, et\nnon sur celui de $f''$."
},
{
"text": "Elle est au-dessous de l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : la position par rapport à l'axe dépend du signe de $f$\nelle-même, qui n'est pas donné ici."
}
],
"explanation": "Le signe de $f''$ donne la convexité : positif pour convexe, négatif pour\nconcave. Une fonction peut être concave tout en croissant, comme le\nlogarithme."
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"exponentielle",
"distinction"
],
"title": "Une fonction décroissante et convexe",
"partie": "criteres",
"statement": "La fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x}$ est\ndécroissante. Est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $f''(x) = e^{-x}$ est positive",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la dérivée vaut $-e^{-x}$ et la dérivée seconde\n$e^{-x}$, strictement positive. La fonction est donc convexe bien\nqu'elle décroisse."
},
{
"text": "Non, car une fonction décroissante est concave",
"correct": false,
"feedback": "Étages confondus : le sens de variation et la convexité sont deux\nlectures indépendantes l'une de l'autre."
},
{
"text": "Non, car $f''(x) = -e^{-x}$ est négative",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : chaque dérivation fait apparaître un facteur\n$-1$, et deux dérivations le font disparaître."
},
{
"text": "Oui, mais seulement sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la dérivée seconde est strictement positive sur\n$\\mathbb{R}$ tout entier."
}
],
"explanation": "Convexité et sens de variation sont indépendants : $e^{-x}$ décroît en\nrestant convexe, sa pente augmentant de valeurs très négatives vers $0$."
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"affine"
],
"title": "Convexe et concave à la fois",
"partie": "definition",
"statement": "Parmi ces fonctions, laquelle est à la fois convexe et concave sur son\nensemble de définition ?",
"options": [
{
"text": "$x \\mapsto 2x + 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sa dérivée seconde est nulle, donc positive et\nnégative au sens large. Sa courbe est confondue avec ses sécantes."
},
{
"text": "$x \\mapsto x^2 - 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Dérivée seconde égale à $2$, strictement positive : cette fonction\nest convexe, et seulement convexe."
},
{
"text": "$x \\mapsto e^x$",
"correct": false,
"feedback": "Dérivée seconde égale à $e^x$, strictement positive : l'exponentielle\nest convexe sur $\\mathbb{R}$."
},
{
"text": "$x \\mapsto \\ln x$",
"correct": false,
"feedback": "Dérivée seconde égale à $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative : le\nlogarithme est concave."
}
],
"explanation": "Les fonctions affines sont le seul cas où convexité et concavité\ncoexistent : leur dérivée seconde est nulle, et les inégalités larges qui\ndéfinissent les deux notions deviennent des égalités."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"f-prime-croissante",
"derivee"
],
"title": "Une dérivée qui décroît",
"partie": "criteres",
"statement": "Le tableau de variations de $f'$ montre que $f'$ est décroissante sur\n$[0\\ ;\\ 4]$. Qu'en déduit-on pour $f$ sur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 4]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente des tangentes diminue le long de la courbe,\nce qui est exactement la concavité."
},
{
"text": "$f$ est convexe sur $[0\\ ;\\ 4]$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : la convexité correspond à une dérivée croissante, pas\ndécroissante."
},
{
"text": "$f$ est décroissante sur $[0\\ ;\\ 4]$",
"correct": false,
"feedback": "Étage confondu : ce sont le signe de $f'$, et non ses variations, qui\ndonnent le sens de variation de $f$."
},
{
"text": "$f$ est négative sur $[0\\ ;\\ 4]$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun lien : le signe de $f$ ne se déduit pas du comportement de sa\ndérivée."
}
],
"explanation": "La convexité se lit sur le sens de variation de $f'$ : croissante pour\nconvexe, décroissante pour concave. Le signe de $f'$, lui, donne les\nvariations de $f$."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tableau",
"inflexion"
],
"title": "Un changement de signe dans le tableau",
"partie": "criteres",
"statement": "Dans un tableau de convexité, la ligne du signe de $f''$ présente un\nchangement de signe en $x = 3$. Que signale cette colonne ?",
"options": [
{
"text": "Un point d'inflexion",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un changement de signe de $f''$ marque une bascule de\nconvexité, donc un point d'inflexion de la courbe."
},
{
"text": "Un extremum de la fonction",
"correct": false,
"feedback": "Confusion de tableaux : un extremum apparaît quand $f'$ change de\nsigne, dans le tableau de variations."
},
{
"text": "Une tangente horizontale",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une tangente horizontale correspond à l'annulation de $f'$,\nsans rapport avec la courbure."
},
{
"text": "Une valeur interdite pour $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les valeurs interdites relèvent de l'ensemble de définition,\nfixé avant toute étude de convexité."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité aligne le signe de $f''$, la convexité qui en\ndécoule et, aux changements de signe, les points d'inflexion de la\ncourbe."
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 1,
"skills": [
"derivee-seconde",
"calcul"
],
"title": "Calculer une dérivée seconde",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3x^3 + 2x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = 18x + 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la première dérivation donne $9x^2 + 4x$, la\nseconde $18x + 4$."
},
{
"text": "$f''(x) = 9x^2 + 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = 18x^2 + 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une\nunité, ici de $3$ à $1$."
},
{
"text": "$f''(x) = 18x$",
"correct": false,
"feedback": "Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante\naprès deux dérivations."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est\nensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3x^3 + 2x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = 18x + 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la première dérivation donne $9x^2 + 4x$, la\nseconde $18x + 4$."
},
{
"text": "$f''(x) = 9x^2 + 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = 18x^2 + 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une\nunité, ici de $3$ à $1$."
},
{
"text": "$f''(x) = 18x$",
"correct": false,
"feedback": "Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante\naprès deux dérivations."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est\nensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -4x^3 + 5x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -24x + 10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la première dérivation donne $-12x^2 + 10x$, la\nseconde $-24x + 10$."
},
{
"text": "$f''(x) = -12x^2 + 10x$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = -24x^2 + 10x$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une\nunité, ici de $3$ à $1$."
},
{
"text": "$f''(x) = -24x$",
"correct": false,
"feedback": "Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante\naprès deux dérivations."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est\nensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 5x^3 - 6x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = 30x - 12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la première dérivation donne $15x^2 - 12x$, la\nseconde $30x - 12$."
},
{
"text": "$f''(x) = 15x^2 - 12x$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = 30x^2 - 12x$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une\nunité, ici de $3$ à $1$."
},
{
"text": "$f''(x) = 30x$",
"correct": false,
"feedback": "Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante\naprès deux dérivations."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est\nensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2x^3 - 3x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = 12x - 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la première dérivation donne $6x^2 - 6x$, la\nseconde $12x - 6$."
},
{
"text": "$f''(x) = 6x^2 - 6x$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = 12x^2 - 6x$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une\nunité, ici de $3$ à $1$."
},
{
"text": "$f''(x) = 12x$",
"correct": false,
"feedback": "Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante\naprès deux dérivations."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est\nensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modelisation",
"inflexion"
],
"title": "Le point d'inflexion d'une épidémie",
"partie": "inflexion",
"statement": "Le nombre total de cas d'une épidémie est modélisé par une fonction $f$\ndont la courbe présente un point d'inflexion à la date $t_0$. Que\nsignifie cette date pour l'épidémie ?",
"options": [
{
"text": "Le nombre de nouveaux cas y est maximal",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nouveaux cas sont donnés par $f'$. Au point\nd'inflexion, $f'$ cesse de croître et se met à décroître, elle y\natteint donc son maximum."
},
{
"text": "Le nombre total de cas y est maximal",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : le total continue d'augmenter après $t_0$, mais moins\nvite. Son maximum supposerait $f'$ nulle."
},
{
"text": "L'épidémie y est terminée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'inflexion marque un ralentissement de la croissance, pas\nson arrêt."
},
{
"text": "Le nombre de cas y diminue pour la première fois",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : le total ne diminue pas, c'est le rythme des nouveaux cas\nqui se met à baisser."
}
],
"explanation": "Sur une courbe de cas cumulés, la dérivée donne le nombre de nouveaux\ncas. Le point d'inflexion est l'instant où cette dérivée est maximale :\nla croissance cesse de s'accélérer."
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lorenz",
"courbe-lorenz",
"application"
],
"title": "Lire une courbe de Lorenz",
"partie": "inflexion",
"statement": "Sur une courbe de Lorenz, les $50\\ \\%$ les plus modestes d'une\npopulation détiennent $15\\ \\%$ du revenu total. Quelle part du revenu\ntotal les $50\\ \\%$ les plus aisés détiennent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$85\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc\nle reste vaut $100 - 15$, soit $85$ pour cent."
},
{
"text": "$15\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même\npart que dans une répartition parfaitement égalitaire."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\\ \\%$ de\nchaque côté, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$30\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une\nsoustraction à $100\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point\nd'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\\ \\%$ les plus modestes, et le\ncomplément à $100\\ \\%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale\nmesure l'inégalité.",
"variants": [
{
"statement": "Sur une courbe de Lorenz, les $50\\ \\%$ les plus modestes d'une\npopulation détiennent $15\\ \\%$ du revenu total. Quelle part du revenu\ntotal les $50\\ \\%$ les plus aisés détiennent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$85\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc\nle reste vaut $100 - 15$, soit $85$ pour cent."
},
{
"text": "$15\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même\npart que dans une répartition parfaitement égalitaire."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\\ \\%$ de\nchaque côté, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$30\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une\nsoustraction à $100\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point\nd'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\\ \\%$ les plus modestes, et le\ncomplément à $100\\ \\%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale\nmesure l'inégalité."
},
{
"statement": "Sur une courbe de Lorenz, les $50\\ \\%$ les plus modestes d'une\npopulation détiennent $22\\ \\%$ du revenu total. Quelle part du revenu\ntotal les $50\\ \\%$ les plus aisés détiennent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$78\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc\nle reste vaut $100 - 22$, soit $78$ pour cent."
},
{
"text": "$22\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même\npart que dans une répartition parfaitement égalitaire."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\\ \\%$ de\nchaque côté, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$44\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une\nsoustraction à $100\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point\nd'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\\ \\%$ les plus modestes, et le\ncomplément à $100\\ \\%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale\nmesure l'inégalité."
},
{
"statement": "Sur une courbe de Lorenz, les $50\\ \\%$ les plus modestes d'une\npopulation détiennent $9\\ \\%$ du revenu total. Quelle part du revenu\ntotal les $50\\ \\%$ les plus aisés détiennent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$91\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc\nle reste vaut $100 - 9$, soit $91$ pour cent."
},
{
"text": "$9\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même\npart que dans une répartition parfaitement égalitaire."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\\ \\%$ de\nchaque côté, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$18\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une\nsoustraction à $100\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point\nd'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\\ \\%$ les plus modestes, et le\ncomplément à $100\\ \\%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale\nmesure l'inégalité."
},
{
"statement": "Sur une courbe de Lorenz, les $50\\ \\%$ les plus modestes d'une\npopulation détiennent $18\\ \\%$ du revenu total. Quelle part du revenu\ntotal les $50\\ \\%$ les plus aisés détiennent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$82\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc\nle reste vaut $100 - 18$, soit $82$ pour cent."
},
{
"text": "$18\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même\npart que dans une répartition parfaitement égalitaire."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\\ \\%$ de\nchaque côté, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$36\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une\nsoustraction à $100\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point\nd'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\\ \\%$ les plus modestes, et le\ncomplément à $100\\ \\%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale\nmesure l'inégalité."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"economie",
"f-prime-croissante"
],
"title": "Coût marginal et convexité",
"partie": "inflexion",
"statement": "Le coût total de production d'une usine est modélisé par une fonction\n$C$ convexe, et le coût marginal est donné par $C'$. Comment le coût\nmarginal évolue-t-il quand la production augmente ?",
"options": [
{
"text": "Il augmente",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la convexité de $C$ signifie que $C'$ est croissante,\ndonc que chaque unité supplémentaire coûte plus que la précédente."
},
{
"text": "Il diminue",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : un coût marginal décroissant correspondrait à une\nfonction de coût concave."
},
{
"text": "Il reste constant",
"correct": false,
"feedback": "Cas d'une fonction affine : le coût de chaque unité produite serait\nalors toujours le même."
},
{
"text": "Il s'annule au-delà d'un seuil",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la convexité indique que $C'$ croît, elle ne dit rien d'une\néventuelle annulation."
}
],
"explanation": "Convexité du coût total et croissance du coût marginal sont la même\ninformation. Une fonction de coût concave décrirait au contraire des\néconomies d'échelle."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"contre-exemple",
"convexite"
],
"title": "Croissante donc convexe ?",
"partie": "definition",
"statement": "Une fonction croissante sur un intervalle y est-elle nécessairement\nconvexe ?",
"options": [
{
"text": "Non, le logarithme est un contre-exemple",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est croissante sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ et\npourtant concave, sa dérivée $\\dfrac{1}{x}$ étant décroissante."
},
{
"text": "Oui, toute fonction croissante est convexe",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le sens de variation porte sur $f$, la convexité sur $f'$.\nLes deux lectures sont indépendantes."
},
{
"text": "Non, mais uniquement si $f$ est négative",
"correct": false,
"feedback": "Condition inutile : le signe de $f$ n'intervient pas, et $\\ln$ reste\nconcave de part et d'autre de $1$."
},
{
"text": "Oui, dès que $f$ est dérivable",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la racine carrée est dérivable sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$,\ncroissante et concave."
}
],
"explanation": "Un seul contre-exemple suffit à réfuter l'implication : le logarithme\ncroît en restant concave. Croissance et convexité se lisent à deux étages\ndifférents."
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tangente",
"position"
],
"title": "Minorer une valeur par la tangente",
"partie": "inflexion",
"statement": "La fonction $f$ est convexe sur $\\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $2$ a pour équation $y = 3x + 1$. Que\npeut-on affirmer sur $f(5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(5) \\geq 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes, et la tangente vaut\n$3 \\times 5 + 1 = 16$."
},
{
"text": "$f(5) \\leq 16$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(5) = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $2$. Ailleurs, la\nconvexité ne donne qu'une inégalité."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sur $f(5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout\nl'intervalle de convexité, ici $16$."
}
],
"explanation": "Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en\ntout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une\nminoration de $f$.",
"variants": [
{
"statement": "La fonction $f$ est convexe sur $\\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $2$ a pour équation $y = 3x + 1$. Que\npeut-on affirmer sur $f(5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(5) \\geq 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes, et la tangente vaut\n$3 \\times 5 + 1 = 16$."
},
{
"text": "$f(5) \\leq 16$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(5) = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $2$. Ailleurs, la\nconvexité ne donne qu'une inégalité."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sur $f(5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout\nl'intervalle de convexité, ici $16$."
}
],
"explanation": "Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en\ntout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une\nminoration de $f$."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est convexe sur $\\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $1$ a pour équation $y = -2x + 5$. Que\npeut-on affirmer sur $f(4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(4) \\geq -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes, et la tangente vaut\n$-2 \\times 4 + 5 = -3$."
},
{
"text": "$f(4) \\leq -3$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(4) = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $1$. Ailleurs, la\nconvexité ne donne qu'une inégalité."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sur $f(4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout\nl'intervalle de convexité, ici $-3$."
}
],
"explanation": "Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en\ntout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une\nminoration de $f$."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est convexe sur $\\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 4x - 3$. Que\npeut-on affirmer sur $f(6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(6) \\geq 21$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes, et la tangente vaut\n$4 \\times 6 - 3 = 21$."
},
{
"text": "$f(6) \\leq 21$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(6) = 21$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $3$. Ailleurs, la\nconvexité ne donne qu'une inégalité."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sur $f(6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout\nl'intervalle de convexité, ici $21$."
}
],
"explanation": "Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en\ntout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une\nminoration de $f$."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est convexe sur $\\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -3x + 4$. Que\npeut-on affirmer sur $f(3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\geq -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de\nchacune de ses tangentes, et la tangente vaut\n$-3 \\times 3 + 4 = -5$."
},
{
"text": "$f(3) \\leq -5$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une\nfonction concave."
},
{
"text": "$f(3) = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $2$. Ailleurs, la\nconvexité ne donne qu'une inégalité."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sur $f(3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout\nl'intervalle de convexité, ici $-5$."
}
],
"explanation": "Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en\ntout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une\nminoration de $f$."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"secantes",
"position"
],
"title": "Une corde sous la courbe",
"partie": "definition",
"statement": "La fonction $f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 6]$, avec $f(0) = 2$ et\n$f(6) = 12$. Que peut-on affirmer sur $f(3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\geq 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses\nsécantes, et la corde vaut $\\dfrac{2 + 12}{2} = 7$ au milieu\nde l'intervalle."
},
{
"text": "$f(3) \\leq 7$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la\nfonction est convexe."
},
{
"text": "$f(3) = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue\navec ses cordes."
},
{
"text": "$f(3) \\geq 12$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la\ncorde au milieu, qui vaut $7$."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour\nune fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins\nla moyenne des valeurs aux bornes.",
"variants": [
{
"statement": "La fonction $f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 6]$, avec $f(0) = 2$ et\n$f(6) = 12$. Que peut-on affirmer sur $f(3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\geq 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses\nsécantes, et la corde vaut $\\dfrac{2 + 12}{2} = 7$ au milieu\nde l'intervalle."
},
{
"text": "$f(3) \\leq 7$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la\nfonction est convexe."
},
{
"text": "$f(3) = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue\navec ses cordes."
},
{
"text": "$f(3) \\geq 12$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la\ncorde au milieu, qui vaut $7$."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour\nune fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins\nla moyenne des valeurs aux bornes."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 8]$, avec $f(0) = 3$ et\n$f(8) = 7$. Que peut-on affirmer sur $f(4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(4) \\geq 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses\nsécantes, et la corde vaut $\\dfrac{3 + 7}{2} = 5$ au milieu\nde l'intervalle."
},
{
"text": "$f(4) \\leq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la\nfonction est convexe."
},
{
"text": "$f(4) = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue\navec ses cordes."
},
{
"text": "$f(4) \\geq 7$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la\ncorde au milieu, qui vaut $5$."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour\nune fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins\nla moyenne des valeurs aux bornes."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 10]$, avec $f(0) = 4$ et\n$f(10) = 14$. Que peut-on affirmer sur $f(5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(5) \\geq 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses\nsécantes, et la corde vaut $\\dfrac{4 + 14}{2} = 9$ au milieu\nde l'intervalle."
},
{
"text": "$f(5) \\leq 9$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la\nfonction est convexe."
},
{
"text": "$f(5) = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue\navec ses cordes."
},
{
"text": "$f(5) \\geq 14$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la\ncorde au milieu, qui vaut $9$."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour\nune fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins\nla moyenne des valeurs aux bornes."
},
{
"statement": "La fonction $f$ est concave sur $[0\\ ;\\ 12]$, avec $f(0) = 5$ et\n$f(12) = 9$. Que peut-on affirmer sur $f(6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(6) \\geq 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses\nsécantes, et la corde vaut $\\dfrac{5 + 9}{2} = 7$ au milieu\nde l'intervalle."
},
{
"text": "$f(6) \\leq 7$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la\nfonction est convexe."
},
{
"text": "$f(6) = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue\navec ses cordes."
},
{
"text": "$f(6) \\geq 9$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la\ncorde au milieu, qui vaut $7$."
}
],
"explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour\nune fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins\nla moyenne des valeurs aux bornes."
}
]
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 3,
"skills": [
"derivee-seconde",
"convexite"
],
"title": "Déterminer l'intervalle de convexité",
"partie": "criteres",
"statement": "La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ est\n$f''(x) = 6x - 12$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) \\geq 0$ équivaut à $6x - 12 \\geq 0$,\nc'est-à-dire $x \\geq 2$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
"correct": false,
"feedback": "Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est\nnégative, donc $f$ y est concave."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $2$, la\nconvexité ne peut donc pas valoir partout."
},
{
"text": "$[-2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : de $6x - 12 \\geq 0$ on tire\n$x \\geq 2$."
}
],
"explanation": "On résout l'inéquation $f''(x) \\geq 0$ : l'ensemble des solutions est\nexactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse\ndu point d'inflexion.",
"variants": [
{
"statement": "La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ est\n$f''(x) = 6x - 12$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) \\geq 0$ équivaut à $6x - 12 \\geq 0$,\nc'est-à-dire $x \\geq 2$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
"correct": false,
"feedback": "Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est\nnégative, donc $f$ y est concave."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $2$, la\nconvexité ne peut donc pas valoir partout."
},
{
"text": "$[-2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : de $6x - 12 \\geq 0$ on tire\n$x \\geq 2$."
}
],
"explanation": "On résout l'inéquation $f''(x) \\geq 0$ : l'ensemble des solutions est\nexactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse\ndu point d'inflexion."
},
{
"statement": "La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ est\n$f''(x) = 4x + 8$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "$[-2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) \\geq 0$ équivaut à $4x + 8 \\geq 0$,\nc'est-à-dire $x \\geq -2$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ -2]$",
"correct": false,
"feedback": "Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est\nnégative, donc $f$ y est concave."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $-2$, la\nconvexité ne peut donc pas valoir partout."
},
{
"text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : de $4x + 8 \\geq 0$ on tire\n$x \\geq -2$."
}
],
"explanation": "On résout l'inéquation $f''(x) \\geq 0$ : l'ensemble des solutions est\nexactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse\ndu point d'inflexion."
},
{
"statement": "La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ est\n$f''(x) = 5x - 15$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) \\geq 0$ équivaut à $5x - 15 \\geq 0$,\nc'est-à-dire $x \\geq 3$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3]$",
"correct": false,
"feedback": "Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est\nnégative, donc $f$ y est concave."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $3$, la\nconvexité ne peut donc pas valoir partout."
},
{
"text": "$[-3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : de $5x - 15 \\geq 0$ on tire\n$x \\geq 3$."
}
],
"explanation": "On résout l'inéquation $f''(x) \\geq 0$ : l'ensemble des solutions est\nexactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse\ndu point d'inflexion."
},
{
"statement": "La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ est\n$f''(x) = 3x + 9$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"options": [
{
"text": "$[-3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) \\geq 0$ équivaut à $3x + 9 \\geq 0$,\nc'est-à-dire $x \\geq -3$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ -3]$",
"correct": false,
"feedback": "Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est\nnégative, donc $f$ y est concave."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $-3$, la\nconvexité ne peut donc pas valoir partout."
},
{
"text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : de $3x + 9 \\geq 0$ on tire\n$x \\geq -3$."
}
],
"explanation": "On résout l'inéquation $f''(x) \\geq 0$ : l'ensemble des solutions est\nexactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse\ndu point d'inflexion."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inegalite",
"tangentes"
],
"title": "Une inégalité par concavité",
"partie": "inflexion",
"statement": "La fonction logarithme est concave sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ et sa tangente\nau point d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$. Quelle inégalité en\ndéduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$\\ln x \\leq x - 1$ pour tout $x > 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction concave reste sous chacune de ses\ntangentes, avec égalité au seul point de contact, ici $x = 1$."
},
{
"text": "$\\ln x \\geq x - 1$ pour tout $x > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : rester au-dessus de ses tangentes est le fait des\nfonctions convexes."
},
{
"text": "$\\ln x \\leq x - 1$ pour $x \\geq 1$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : la position sous la tangente vaut sur tout\nl'intervalle de concavité."
},
{
"text": "$\\ln x = x - 1$ au voisinage de $1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente approche la courbe près du point de contact,\nsans jamais coïncider avec elle ailleurs."
}
],
"explanation": "Écrire la tangente en un point bien choisi transforme la concavité en\ninégalité. En $x = 1$, la tangente au logarithme est $y = x - 1$, d'où\n$\\ln x \\leq x - 1$."
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"synthese",
"etages"
],
"title": "Décroissante et convexe",
"partie": "criteres",
"statement": "Une fonction $f$ est décroissante et convexe sur un intervalle $I$. Que\npeut-on dire de sa dérivée $f'$ sur $I$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est négative et croissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la décroissance donne $f' \\leq 0$ et la convexité\ndonne $f'$ croissante. La pente reste négative en se rapprochant de\n$0$."
},
{
"text": "Elle est négative et décroissante",
"correct": false,
"feedback": "Convexité mal traduite : une dérivée décroissante correspond à une\nfonction concave."
},
{
"text": "Elle est positive et croissante",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : une fonction décroissante a une dérivée négative sur\nl'intervalle."
},
{
"text": "Elle est négative et constante",
"correct": false,
"feedback": "Cas d'une fonction affine décroissante : la convexité stricte demande\nune pente qui augmente."
}
],
"explanation": "Deux informations se superposent : le signe de $f'$ donne le sens de\nvariation de $f$, et le sens de variation de $f'$ donne la convexité.\nDécroissante et convexe, c'est l'allure de $e^{-x}$."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 1,
"skills": [
"derivee-seconde",
"convexite"
],
"title": "Convexité d'un trinôme",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$. Que peut-on dire de sa convexité ?",
"options": [
{
"text": "Elle est convexe sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 6x - 5$ puis $f''(x) = 6$, une constante\nstrictement positive sur tout $\\mathbb{R}$."
},
{
"text": "Elle est concave sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal lu : la dérivée seconde vaut $6$, qui est un nombre\npositif."
},
{
"text": "Elle est concave puis convexe",
"correct": false,
"feedback": "Aucune bascule possible : $f''$ est constante, elle ne change donc\njamais de signe."
},
{
"text": "Elle est convexe sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Restriction inutile : $f''(x) = 6$ pour tout réel $x$, la convexité\nvaut donc partout."
}
],
"explanation": "Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$, la dérivée seconde vaut $2a$ : le signe\nde $a$ décide seul de la convexité, sur $\\mathbb{R}$ tout entier."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tableau",
"concavite"
],
"title": "Lire un intervalle de concavité",
"partie": "criteres",
"statement": "Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \\leq 0$ sur\n$]-\\infty\\ ;\\ 2]$, puis $f''(x) \\geq 0$ sur $[2\\ ;\\ +\\infty[$. Sur\nquel intervalle $f$ est-elle concave ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde\nnégative, ce que le tableau indique avant $2$."
},
{
"text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est\npositive."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive\naprès $2$, où la courbe est convexe."
},
{
"text": "Aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche\ndu tableau, la concavité y est acquise."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \\leq 0$\ndonne la concavité, $f'' \\geq 0$ la convexité, et le changement de signe\ndonne le point d'inflexion.",
"variants": [
{
"statement": "Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \\leq 0$ sur\n$]-\\infty\\ ;\\ 2]$, puis $f''(x) \\geq 0$ sur $[2\\ ;\\ +\\infty[$. Sur\nquel intervalle $f$ est-elle concave ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde\nnégative, ce que le tableau indique avant $2$."
},
{
"text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est\npositive."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive\naprès $2$, où la courbe est convexe."
},
{
"text": "Aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche\ndu tableau, la concavité y est acquise."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \\leq 0$\ndonne la concavité, $f'' \\geq 0$ la convexité, et le changement de signe\ndonne le point d'inflexion."
},
{
"statement": "Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \\leq 0$ sur\n$]-\\infty\\ ;\\ -3]$, puis $f''(x) \\geq 0$ sur $[-3\\ ;\\ +\\infty[$. Sur\nquel intervalle $f$ est-elle concave ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ -3]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde\nnégative, ce que le tableau indique avant $-3$."
},
{
"text": "$[-3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est\npositive."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive\naprès $-3$, où la courbe est convexe."
},
{
"text": "Aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche\ndu tableau, la concavité y est acquise."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \\leq 0$\ndonne la concavité, $f'' \\geq 0$ la convexité, et le changement de signe\ndonne le point d'inflexion."
},
{
"statement": "Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \\leq 0$ sur\n$]-\\infty\\ ;\\ 5]$, puis $f''(x) \\geq 0$ sur $[5\\ ;\\ +\\infty[$. Sur\nquel intervalle $f$ est-elle concave ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 5]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde\nnégative, ce que le tableau indique avant $5$."
},
{
"text": "$[5\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est\npositive."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive\naprès $5$, où la courbe est convexe."
},
{
"text": "Aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche\ndu tableau, la concavité y est acquise."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \\leq 0$\ndonne la concavité, $f'' \\geq 0$ la convexité, et le changement de signe\ndonne le point d'inflexion."
},
{
"statement": "Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \\leq 0$ sur\n$]-\\infty\\ ;\\ -1]$, puis $f''(x) \\geq 0$ sur $[-1\\ ;\\ +\\infty[$. Sur\nquel intervalle $f$ est-elle concave ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ -1]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde\nnégative, ce que le tableau indique avant $-1$."
},
{
"text": "$[-1\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est\npositive."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive\naprès $-1$, où la courbe est convexe."
},
{
"text": "Aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche\ndu tableau, la concavité y est acquise."
}
],
"explanation": "Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \\leq 0$\ndonne la concavité, $f'' \\geq 0$ la convexité, et le changement de signe\ndonne le point d'inflexion."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 1,
"skills": [
"inflexion",
"derivee-seconde"
],
"title": "Point d'inflexion d'une parabole",
"partie": "inflexion",
"statement": "La courbe de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^2 - 4x$ admet-elle un point d'inflexion ?",
"options": [
{
"text": "Non, car $f''$ ne change pas de signe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f''(x) = 2$, une constante strictement positive : la\nparabole est convexe partout, sans bascule de courbure."
},
{
"text": "Oui, au sommet de la parabole",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : le sommet est un extremum, repéré par $f'(x) = 0$, ce qui\nne concerne pas la courbure."
},
{
"text": "Oui, là où $f$ s'annule",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'annulation de $f$ donne les points d'intersection avec\nl'axe des abscisses."
},
{
"text": "Non, car $f$ n'est pas dérivable deux fois",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un polynôme se dérive autant de fois que l'on veut. C'est le\nsigne constant de $f''$ qui justifie la réponse."
}
],
"explanation": "Un point d'inflexion exige que $f''$ s'annule en changeant de signe. Pour\nune parabole, $f''$ est une constante non nulle : la courbure ne bascule\njamais."
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 1,
"skills": [
"derivee-seconde",
"calcul"
],
"title": "Dérivée seconde d'un logarithme",
"partie": "criteres",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ par\n$f(x) = 2\\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -\\dfrac{2}{x^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\dfrac{2}{x}$, puis la dérivation de cet\ninverse donne $-\\dfrac{2}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{2}{x^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{2}{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{4}{x^3}$",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde de $\\ln$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative\nsur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la\nconcavité du logarithme.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ par\n$f(x) = 2\\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -\\dfrac{2}{x^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\dfrac{2}{x}$, puis la dérivation de cet\ninverse donne $-\\dfrac{2}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{2}{x^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{2}{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{4}{x^3}$",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde de $\\ln$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative\nsur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la\nconcavité du logarithme."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ par\n$f(x) = 5\\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -\\dfrac{5}{x^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\dfrac{5}{x}$, puis la dérivation de cet\ninverse donne $-\\dfrac{5}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{5}{x^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{5}{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{10}{x^3}$",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde de $\\ln$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative\nsur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la\nconcavité du logarithme."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ par\n$f(x) = 3\\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -\\dfrac{3}{x^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\dfrac{3}{x}$, puis la dérivation de cet\ninverse donne $-\\dfrac{3}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{3}{x^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{3}{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{6}{x^3}$",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde de $\\ln$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative\nsur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la\nconcavité du logarithme."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ par\n$f(x) = 4\\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?",
"options": [
{
"text": "$f''(x) = -\\dfrac{4}{x^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\dfrac{4}{x}$, puis la dérivation de cet\ninverse donne $-\\dfrac{4}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{4}{x^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{4}{x}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il\nreste à dériver une fois."
},
{
"text": "$f''(x) = \\dfrac{8}{x^3}$",
"correct": false,
"feedback": "Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$."
}
],
"explanation": "La dérivée seconde de $\\ln$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative\nsur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la\nconcavité du logarithme."
}
]
},
{
"id": "q50",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tangentes",
"convexite"
],
"title": "Une courbe au-dessus de ses tangentes",
"partie": "inflexion",
"statement": "Sur un intervalle $I$, la courbe d'une fonction dérivable $f$ reste\nau-dessus de chacune de ses tangentes. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$f$ est convexe sur $I$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est l'une des caractérisations admises de la\nconvexité, au même titre que « $f'$ croissante »."
},
{
"text": "$f$ est concave sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : une fonction concave a sa courbe sous ses\ntangentes, comme le logarithme."
},
{
"text": "$f$ est croissante sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Étage confondu : la position par rapport aux tangentes décrit la\ncourbure, jamais le sens de variation."
},
{
"text": "$f$ est positive sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun lien : $x^2 - 9$ reste au-dessus de ses tangentes tout en\nprenant des valeurs négatives."
}
],
"explanation": "Pour une fonction dérivable, trois propriétés sont équivalentes : courbe\nsous les sécantes, courbe au-dessus des tangentes, dérivée croissante.\nChacune caractérise la convexité."
},
{
"id": "q51",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"lecture-graphique",
"inflexion"
],
"title": "Lire la convexité autour d'un point d'inflexion",
"partie": "definition",
"statement": "La courbe représente une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$,\ndont le point d'inflexion est $(1\\,;\\,1)$. Sur quel intervalle $f$\nest-elle convexe ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1,-2) grid (3,4);\n \\draw[->] (-1.2,0) -- (3.3,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.2) -- (0,4.3) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-0.75:2.75,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{(\\x-1)^3-3*(\\x-1)+1});\n \\node[blue,font=\\small] at (2.85,3.5) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Courbe d'une fonction : elle monte jusqu'à un maximum local en\n(0 ; 3), redescend en passant par le point (1 ; 1), atteint un\nminimum local en (2 ; -1), puis remonte. Elle est bombée vers le\nhaut à gauche de x = 1 et creusée vers le haut à droite de x =\n1.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Sur $[1\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à droite du point d'inflexion, la courbe est\ncreusée vers le haut, au-dessus de ses tangentes."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : à gauche du point d'inflexion, la courbe est\nbombée, donc concave."
},
{
"text": "Sur $[0\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle des variations : entre les deux extremums, $f$ est\ndécroissante, ce qui ne renseigne pas sur la convexité."
},
{
"text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "La courbe change de courbure en $x = 1$ : elle ne peut pas\nêtre convexe partout."
}
],
"explanation": "Une fonction est convexe là où sa courbe est au-dessus de ses\ntangentes, creusée vers le haut. Le point d'inflexion sépare une\npartie concave d'une partie convexe ; ici\n$f(x) = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 1$."
},
{
"id": "q52",
"difficulty": 2,
"skills": [
"criteres",
"derivee",
"lecture-graphique"
],
"title": "Convexité lue sur la courbe de la dérivée",
"partie": "criteres",
"statement": "La courbe représente la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie\nsur $\\mathbb{R}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1,-3) grid (5,4);\n \\draw[->] (-1.2,0) -- (5.3,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.2) -- (0,4.3) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-0.4:4.4,smooth,samples=80,thick,red] plot (\\x,{3-(\\x-2)^2});\n \\node[red,font=\\small] at (4.6,-1.6) {$\\mathcal{C}_{f'}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Courbe de la dérivée f' : une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (2 ; 3), qui coupe l'axe des abscisses vers x = 0,27 et x\n= 3,73. Elle est croissante avant x = 2 et décroissante après.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,2]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f'$ y est croissante, ce qui caractérise la\nconvexité de $f$."
},
{
"text": "Sur $[2\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $f'$ y est décroissante, donc $f$ y est\nconcave."
},
{
"text": "Là où $f'$ est positive",
"correct": false,
"feedback": "Étages confondus : le signe de $f'$ donne les variations de\n$f$, pas sa convexité."
},
{
"text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "$f'$ change de sens de variation en $2$ : la convexité de $f$\nchange aussi."
}
],
"explanation": "$f$ est convexe sur un intervalle si et seulement si $f'$ y est\ncroissante. On lit donc les variations de $f'$, et non son signe,\nqui renseigne sur les variations de $f$."
}
]
}