{
  "chapter": {
    "id": "fonctions-limites-logarithme",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonctions : continuité, limites, logarithme",
    "description": "Continuité (approche intuitive), théorème des valeurs\nintermédiaires (admis) et fonctions strictement monotones,\nlimites des fonctions de référence et asymptotes, fonction\nlogarithme népérien (réciproque de l'exponentielle, équation\nfonctionnelle, dérivée, limites), relation\n$\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour les seuils, dérivées de $f(ax+b)$,\n$e^{u}$, $\\ln u$, $u^2$.",
    "parties": [
      {
        "id": "continuite",
        "title": "Continuité et théorème des valeurs intermédiaires"
      },
      {
        "id": "limites",
        "title": "Limites et asymptotes"
      },
      {
        "id": "logarithme",
        "title": "Fonction logarithme"
      },
      {
        "id": "etude",
        "title": "Dérivées et études de fonctions"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "intuition"
      ],
      "title": "Continuité et tracé",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un\nintervalle » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sa courbe se trace sans lever le crayon",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est l'approche intuitive du programme,\nsuffisante pour utiliser le théorème des valeurs\nintermédiaires (toute fonction dérivable est continue)."
        },
        {
          "text": "Sa courbe est une droite sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la continuité n'impose aucune forme : une\nparabole ou une exponentielle sont continues sans être\ndroites."
        },
        {
          "text": "La fonction est croissante sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : continuité et monotonie sont indépendantes :\nune fonction peut onduler continûment."
        },
        {
          "text": "La fonction est positive sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe n'a rien à voir : $x \\mapsto -x^2$ est\ncontinue et négative."
        }
      ],
      "explanation": "Approche du programme : continue $=$ tracé sans saut. Les\nfonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme,\nracine) sont continues sur leurs intervalles de définition."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "monotone"
      ],
      "title": "TVI et stricte monotonie",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\\,;\\,4]$,\navec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de\nl'équation $f(x) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet une unique solution dans $[0\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5$ est compris entre $-3$ et $9$\n(existence par le TVI, admis), et la stricte monotonie\nexclut une seconde solution."
        },
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une fonction strictement croissante ne repasse\njamais par la même valeur."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution, car $5 \\neq f(0)$ et\n$5 \\neq f(4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le TVI garantit que **toutes** les valeurs\nintermédiaires sont atteintes, pas seulement celles des\nbornes."
        },
        {
          "text": "La solution est $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $5$ est la **valeur** visée ($y$), pas la\nsolution ($x$), dont le théorème garantit l'existence\nsans donner la position."
        }
      ],
      "explanation": "TVI $+$ stricte monotonie : pour tout $k$ entre $f(a)$ et\n$f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement une solution. On\nl'approche ensuite par balayage ou dichotomie."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptotes"
      ],
      "title": "Limite et asymptote",
      "partie": "limites",
      "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$. Que\npeut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite $y = 2$ est asymptote horizontale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale en $+\\infty$, la\ncourbe se rapproche indéfiniment de cette horizontale\nquand $x$ grandit."
        },
        {
          "text": "La droite $x = 2$ est asymptote verticale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une asymptote **verticale** correspond à une\nlimite infinie en un point fini, pas à une limite finie à\nl'infini."
        },
        {
          "text": "La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$, sans lien\navec le comportement en $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "La fonction est constante égale à $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction peut varier longtemps avant de se\nstabiliser **vers** $2$ ; seule la tendance à l'infini\nest fixée."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture des limites : limite finie $\\ell$ en $\\pm\\infty$\n$\\to$ asymptote horizontale $y = \\ell$ ; limite infinie en un\npoint $a$ $\\to$ asymptote verticale $x = a$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "logarithme",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Le logarithme, réciproque de l'exponentielle",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment la fonction $\\ln$ est-elle définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Comme la fonction réciproque de l'exponentielle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(x) = y \\Leftrightarrow e^y = x$\n(pour $x > 0$) : $\\ln$ « défait » l'exponentielle,\n$\\ln(e^x) = x$ et $e^{\\ln x} = x$. Les deux courbes sont\nsymétriques par rapport à la droite $y = x$."
        },
        {
          "text": "Comme la dérivée de l'exponentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même. Le\nlogarithme est la **réciproque**, pas la dérivée."
        },
        {
          "text": "Comme l'inverse de l'exponentielle, $\\ln x =\n\\dfrac{1}{e^x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{e^x} = e^{-x}$, une autre\nexponentielle. « Réciproque » (défaire) n'est pas\n« inverse » (un sur)."
        },
        {
          "text": "Comme une primitive de l'exponentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une primitive de $e^x$ est $e^x$. Le logarithme\nrépond à la question « quel exposant ? », c'est la\nréciproque."
        }
      ],
      "explanation": "Définition du programme : $\\ln$ est la réciproque de\n$\\exp$ : pour $x > 0$, $\\ln x$ est l'unique exposant $y$ tel\nque $e^y = x$. D'où $\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 1$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Équation fonctionnelle du logarithme",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Pour $a, b > 0$, que vaut $\\ln(a \\times b)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln a + \\ln b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en\nsommes : c'est sa raison d'être historique (simplifier\nles calculs astronomiques)."
        },
        {
          "text": "$\\ln a \\times \\ln b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contrôle avec $a = b = e$ : $\\ln(e^2) = 2$,\nalors que $\\ln e \\times \\ln e = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a + b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(a+b)$ ne se développe pas. La formule\ntransforme le **produit** en somme, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\ln a - \\ln b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la différence correspond au **quotient** :\n$\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln b$."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$\n(démonstration possible au programme). Conséquences :\n$\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln b$, $\\ln(q^n) = n\\ln q$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée du logarithme",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $\\ln$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ (calcul\npossible au programme, la dérivabilité étant admise) :\npositive, donc $\\ln$ strictement croissante."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule l'exponentielle est sa propre dérivée. Le\nlogarithme se dérive en $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction\n**inverse** $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'exponentielle ; sa\nréciproque a une dérivée bien différente :\n$\\dfrac{1}{x}$."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Croissante,\nconcave, avec $\\lim_{0^+} \\ln = -\\infty$ et\n$\\lim_{+\\infty} \\ln = +\\infty$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Un seuil résolu par $\\ln(q^n) = n \\ln q$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n < 0{,}1$. En\nutilisant $\\ln(0{,}8^n) = n\\ln 0{,}8$, avec $\\ln 0{,}8 \\approx -0{,}223$ et\n$\\ln 0{,}1 \\approx -2{,}303$, que trouve-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}8 < \\ln 0{,}1$ ; en divisant par\n$\\ln 0{,}8 < 0$, l'inégalité se renverse :\n$n > \\dfrac{\\ln 0{,}1}{\\ln 0{,}8} \\approx 10{,}3$, donc $n = 11$."
        },
        {
          "text": "$n = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 10{,}3$, et l'on\nvérifie que $0{,}8^{10} \\approx 0{,}107$ reste au-dessus de\n$0{,}1$."
        },
        {
          "text": "$n = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas le plus petit : $0{,}8^{11} \\approx 0{,}086$ est déjà\ninférieur à $0{,}1$."
        },
        {
          "text": "Aucun entier $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une puissance de $0{,}8$ reste positive mais devient aussi\npetite que l'on veut : $0{,}8^n \\to 0$ franchit tout seuil\npositif."
        }
      ],
      "explanation": "On utilise $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.\nComme $\\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens\nde l'inégalité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n < 0{,}1$. En\nutilisant $\\ln(0{,}8^n) = n\\ln 0{,}8$, avec $\\ln 0{,}8 \\approx -0{,}223$ et\n$\\ln 0{,}1 \\approx -2{,}303$, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}8 < \\ln 0{,}1$ ; en divisant par\n$\\ln 0{,}8 < 0$, l'inégalité se renverse :\n$n > \\dfrac{\\ln 0{,}1}{\\ln 0{,}8} \\approx 10{,}3$, donc $n = 11$."
            },
            {
              "text": "$n = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 10{,}3$, et l'on\nvérifie que $0{,}8^{10} \\approx 0{,}107$ reste au-dessus de\n$0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$n = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $0{,}8^{11} \\approx 0{,}086$ est déjà\ninférieur à $0{,}1$."
            },
            {
              "text": "Aucun entier $n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une puissance de $0{,}8$ reste positive mais devient aussi\npetite que l'on veut : $0{,}8^n \\to 0$ franchit tout seuil\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.\nComme $\\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens\nde l'inégalité."
        },
        {
          "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}9^n < 0{,}5$. En\nutilisant $\\ln(0{,}9^n) = n\\ln 0{,}9$, avec $\\ln 0{,}9 \\approx -0{,}105$ et\n$\\ln 0{,}5 \\approx -0{,}693$, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}9 < \\ln 0{,}5$ ; en divisant par\n$\\ln 0{,}9 < 0$, l'inégalité se renverse :\n$n > \\dfrac{\\ln 0{,}5}{\\ln 0{,}9} \\approx 6{,}6$, donc $n = 7$."
            },
            {
              "text": "$n = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 6{,}6$, et l'on\nvérifie que $0{,}9^{6} \\approx 0{,}531$ reste au-dessus de\n$0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$n = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $0{,}9^{7} \\approx 0{,}478$ est déjà\ninférieur à $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "Aucun entier $n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une puissance de $0{,}9$ reste positive mais devient aussi\npetite que l'on veut : $0{,}9^n \\to 0$ franchit tout seuil\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.\nComme $\\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens\nde l'inégalité."
        },
        {
          "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}7^n < 0{,}05$. En\nutilisant $\\ln(0{,}7^n) = n\\ln 0{,}7$, avec $\\ln 0{,}7 \\approx -0{,}357$ et\n$\\ln 0{,}05 \\approx -2{,}996$, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}7 < \\ln 0{,}05$ ; en divisant par\n$\\ln 0{,}7 < 0$, l'inégalité se renverse :\n$n > \\dfrac{\\ln 0{,}05}{\\ln 0{,}7} \\approx 8{,}4$, donc $n = 9$."
            },
            {
              "text": "$n = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 8{,}4$, et l'on\nvérifie que $0{,}7^{8} \\approx 0{,}058$ reste au-dessus de\n$0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$n = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $0{,}7^{9} \\approx 0{,}04$ est déjà\ninférieur à $0{,}05$."
            },
            {
              "text": "Aucun entier $n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une puissance de $0{,}7$ reste positive mais devient aussi\npetite que l'on veut : $0{,}7^n \\to 0$ franchit tout seuil\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.\nComme $\\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens\nde l'inégalité."
        },
        {
          "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}95^n < 0{,}5$. En\nutilisant $\\ln(0{,}95^n) = n\\ln 0{,}95$, avec $\\ln 0{,}95 \\approx -0{,}051$ et\n$\\ln 0{,}5 \\approx -0{,}693$, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}95 < \\ln 0{,}5$ ; en divisant par\n$\\ln 0{,}95 < 0$, l'inégalité se renverse :\n$n > \\dfrac{\\ln 0{,}5}{\\ln 0{,}95} \\approx 13{,}5$, donc $n = 14$."
            },
            {
              "text": "$n = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 13{,}5$, et l'on\nvérifie que $0{,}95^{13} \\approx 0{,}513$ reste au-dessus de\n$0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$n = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $0{,}95^{14} \\approx 0{,}488$ est déjà\ninférieur à $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "Aucun entier $n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une puissance de $0{,}95$ reste positive mais devient aussi\npetite que l'on veut : $0{,}95^n \\to 0$ franchit tout seuil\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.\nComme $\\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens\nde l'inégalité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $f(ax + b)$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$g'(x) = 3\\,e^{3x + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée de $x \\mapsto f(ax + b)$ :\n$a\\,f'(ax + b)$. Ici $f = \\exp$, $a = 3$ :\n$3\\,e^{3x+1}$."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = e^{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $3$ : la composition par $3x + 1$ fait\nsortir le coefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = (3x + 1)\\,e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ni l'exposant ne change, ni l'intérieur ne\ndescend tel quel : seul $a = 3$ sort en facteur."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = 3\\,e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $3x + 1$ se conserve intégralement\nen dérivant : $3\\,e^{3x+1}$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule au programme : $\\left(f(ax+b)\\right)' =\na\\,f'(ax+b)$. Pour l'exponentielle : $(e^{ax+b})' =\na\\,e^{ax+b}$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee",
        "ln"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln(u)$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $h(x) = \\ln(x^2 + 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u = x^2 + 1$ (strictement positif) et $u' = 2x$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du numérateur $u' = 2x$ : la règle de la composée\nest $\\dfrac{u'}{u}$, pas $\\dfrac{1}{u}$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\ln(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne dérive pas « à l'intérieur du\nlogarithme » : le $\\ln$ disparaît au profit du quotient\n$\\frac{u'}{u}$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{2x}{\\ln(x^2 + 1)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est $u = x^2 + 1$ lui-même, pas\nson logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "Dérivées composées au programme : $(e^u)' = u'\\,e^u$,\n$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$, $(u^2)' = 2u\\,u'$. Ici :\n$\\dfrac{2x}{x^2+1}$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "ln"
      ],
      "title": "Résoudre avec le logarithme",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{2x}) = 2x$, donc $2x = \\ln 10$\net $x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln\\left(5\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division faite avant le logarithme : $\\ln\\left(5\\right)$\nrésoudrait $e^x = 5$, pas $e^{2x} = 10$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{10}{2e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le\nlogarithme, ce qui donne $2x = \\ln 10$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 10 - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $2$ multiplie $x$ : il divise $\\ln 10$, il\nne se soustrait pas."
        }
      ],
      "explanation": "On utilise la réciprocité :\n$e^{2x} = 10 \\Leftrightarrow 2x = \\ln 10 \\Leftrightarrow x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{2x}) = 2x$, donc $2x = \\ln 10$\net $x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln\\left(5\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division faite avant le logarithme : $\\ln\\left(5\\right)$\nrésoudrait $e^x = 5$, pas $e^{2x} = 10$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{10}{2e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le\nlogarithme, ce qui donne $2x = \\ln 10$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 10 - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ multiplie $x$ : il divise $\\ln 10$, il\nne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise la réciprocité :\n$e^{2x} = 10 \\Leftrightarrow 2x = \\ln 10 \\Leftrightarrow x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{3x} = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 20}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{3x}) = 3x$, donc $3x = \\ln 20$\net $x = \\dfrac{\\ln 20}{3}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln\\left(\\dfrac{20}{3}\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division faite avant le logarithme : $\\ln\\left(\\dfrac{20}{3}\\right)$\nrésoudrait $e^x = \\dfrac{20}{3}$, pas $e^{3x} = 20$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{20}{3e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le\nlogarithme, ce qui donne $3x = \\ln 20$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 20 - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ multiplie $x$ : il divise $\\ln 20$, il\nne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise la réciprocité :\n$e^{3x} = 20 \\Leftrightarrow 3x = \\ln 20 \\Leftrightarrow x = \\dfrac{\\ln 20}{3}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{4x} = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 9}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{4x}) = 4x$, donc $4x = \\ln 9$\net $x = \\dfrac{\\ln 9}{4}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln\\left(\\dfrac{9}{4}\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division faite avant le logarithme : $\\ln\\left(\\dfrac{9}{4}\\right)$\nrésoudrait $e^x = \\dfrac{9}{4}$, pas $e^{4x} = 9$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{9}{4e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le\nlogarithme, ce qui donne $4x = \\ln 9$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 9 - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $4$ multiplie $x$ : il divise $\\ln 9$, il\nne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise la réciprocité :\n$e^{4x} = 9 \\Leftrightarrow 4x = \\ln 9 \\Leftrightarrow x = \\dfrac{\\ln 9}{4}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{5x} = 30$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 30}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{5x}) = 5x$, donc $5x = \\ln 30$\net $x = \\dfrac{\\ln 30}{5}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln\\left(6\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division faite avant le logarithme : $\\ln\\left(6\\right)$\nrésoudrait $e^x = 6$, pas $e^{5x} = 30$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{30}{5e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le\nlogarithme, ce qui donne $5x = \\ln 30$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 30 - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $5$ multiplie $x$ : il divise $\\ln 30$, il\nne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise la réciprocité :\n$e^{5x} = 30 \\Leftrightarrow 5x = \\ln 30 \\Leftrightarrow x = \\dfrac{\\ln 30}{5}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "ln"
      ],
      "title": "Limites du logarithme",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelles sont les limites de $\\ln x$ en $0^+$ et en\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$ en $0^+$ et $+\\infty$ en $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe plonge le long de l'axe des\nordonnées près de $0$ et grimpe sans plafond (mais très\nlentement) vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$ en $0^+$ et $+\\infty$ en $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$. Près de\n$0^+$, le logarithme dévisse vers $-\\infty$\n($\\ln 0{,}001 \\approx -6{,}9$)."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune saturation en $e$ : le logarithme dépasse\ntoute valeur, aussi lentement que ce soit."
        },
        {
          "text": "Elles n'existent pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux limites existent (au sens infini) :\n$-\\infty$ et $+\\infty$ : la courbe du logarithme les rend\nvisibles."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence : $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$\n(asymptote verticale $x = 0$) et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "equation"
      ],
      "title": "Nombre de solutions par le tableau de variations",
      "partie": "etude",
      "statement": "Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur\n$[0\\,;\\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\\,;\\,6]$.\nCombien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur\n$[0\\,;\\,6]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux solutions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une solution sur chaque branche de\nmonotonie : sur $[0\\,;\\,3]$, $f$ traverse $1$ en\ndescendant de $8$ à $-1$ (une solution) ; sur\n$[3\\,;\\,6]$, elle le retraverse en remontant de $-1$ à\n$2$ (une seconde)."
        },
        {
          "text": "Une seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les **deux** branches contiennent $1$ dans leur\nplage de valeurs ($[-1\\,;\\,8]$ et $[-1\\,;\\,2]$) : une\nsolution chacune."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est compris entre $-1$ et $8$ : le TVI\ngarantit au moins une traversée."
        },
        {
          "text": "Trois solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque branche strictement monotone livre **au\nplus une** solution : deux branches, deux solutions\nmaximum."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : exploiter le tableau de variations pour\n**compter** les solutions de $f(x) = k$ : une par branche de\nmonotonie dont la plage de valeurs contient $k$. Ici :\ndeux."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-reference"
      ],
      "title": "Les deux valeurs à connaître",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Que valent $\\ln 1$ et $\\ln e$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ : le logarithme,\nréciproque de l'exponentielle, renvoie les exposants."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1 = 1$ et $\\ln e = e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne rend pas le nombre lui-même :\nil rend l'**exposant** à donner à $e$ ($0$ pour obtenir\n$1$)."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln e = 1$ (il faut l'exposant $1$ pour\nobtenir $e$) : seul $\\ln 1$ est nul."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1$ n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ est défini sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ et $1 >\n0$ : c'est $\\ln 0$ qui n'existe pas."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux ancres du logarithme : $\\ln 1 = 0$ (la courbe coupe\nl'axe en $1$) et $\\ln e = 1$. Tout calcul de logarithme se\nraccroche à elles."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ln-produit-calcul"
      ],
      "title": "Décomposer $\\ln 6$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 6$ en fonction de $\\ln 2$ et\n$\\ln 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln 2 + \\ln 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6 = 2 \\times 3$, et le logarithme\ntransforme le produit en somme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln 2 \\times \\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit des logarithmes n'est pas le\nlogarithme du produit : la propriété échange produit\ncontre **somme**."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln(2 + 3) + \\ln 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 3 = 5 \\neq 6$, et $\\ln(a + b)$ ne se\ndécompose pas : c'est le produit $2 \\times 3$ qu'on\néclate."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = 2\\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\ln 3 = \\ln 3^2 = \\ln 9 \\neq \\ln 6$ :\nl'exposant en facteur code une puissance, pas un\nproduit de facteurs distincts."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ : décomposer les entiers en\nfacteurs pour tout exprimer avec $\\ln 2$, $\\ln 3$, $\\ln 5$…\nGymnastique de base du chapitre."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe-ln"
      ],
      "title": "Où $\\ln$ est-il négatif ?",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Pour quels réels $x$ a-t-on $\\ln x < 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $0 < x < 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ s'annule en $1$ et croît :\nnégatif avant, positif après ($\\ln 0{,}5 \\approx\n-0{,}69$)."
        },
        {
          "text": "Pour $x < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Domaine : $\\ln x$ n'existe pas pour $x \\leq 0$ : la\nquestion du signe ne se pose que sur $]0\\ ;\\\n+\\infty[$."
        },
        {
          "text": "Jamais : un logarithme est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 0{,}1 \\approx -2{,}3$ : sur $]0\\ ;\\ 1[$,\nle logarithme plonge (vers $-\\infty$ en $0^+$)."
        },
        {
          "text": "Pour $x < e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais repère : l'annulation se fait en $1$ ($\\ln 1 =\n0$) : entre $1$ et $e$, $\\ln$ est déjà positif."
        }
      ],
      "explanation": "Signe de $\\ln$ : négatif sur $]0\\ ;\\ 1[$, nul en $1$,\npositif au-delà. Utile en permanence dans les études de\nsigne et les résolutions d'inéquations."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ln-puissance"
      ],
      "title": "Écrire le logarithme d'une puissance",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 16$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 16 = 4\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $16 = 2^{4}$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant devient un facteur."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = (\\ln 2)^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = 8\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant faux : $2^{8} = 256$, alors que\n$16 = 2^{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = \\ln 2 + \\ln 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit et puissance confondus :\n$\\ln 2 + \\ln 4 = \\ln(2 \\times 4)$, différent de\n$\\ln 16$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du\ntype $q^n < \\varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :\n$16 = 2^{4}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 16$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 16 = 4\\ln 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $16 = 2^{4}$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant devient un facteur."
            },
            {
              "text": "$\\ln 16 = (\\ln 2)^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 16 = 8\\ln 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant faux : $2^{8} = 256$, alors que\n$16 = 2^{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 16 = \\ln 2 + \\ln 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit et puissance confondus :\n$\\ln 2 + \\ln 4 = \\ln(2 \\times 4)$, différent de\n$\\ln 16$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du\ntype $q^n < \\varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :\n$16 = 2^{4}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 27$ en fonction de $\\ln 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 27 = 3\\ln 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $27 = 3^{3}$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant devient un facteur."
            },
            {
              "text": "$\\ln 27 = (\\ln 3)^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 27 = 6\\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant faux : $3^{6} = 729$, alors que\n$27 = 3^{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 27 = \\ln 3 + \\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit et puissance confondus :\n$\\ln 3 + \\ln 3 = \\ln(3 \\times 3)$, différent de\n$\\ln 27$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du\ntype $q^n < \\varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :\n$27 = 3^{3}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 32$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 32 = 5\\ln 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $32 = 2^{5}$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant devient un facteur."
            },
            {
              "text": "$\\ln 32 = (\\ln 2)^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 32 = 10\\ln 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant faux : $2^{10} = 1024$, alors que\n$32 = 2^{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 32 = \\ln 2 + \\ln 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit et puissance confondus :\n$\\ln 2 + \\ln 5 = \\ln(2 \\times 5)$, différent de\n$\\ln 32$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du\ntype $q^n < \\varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :\n$32 = 2^{5}$."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 125$ en fonction de $\\ln 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 125 = 3\\ln 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $125 = 5^{3}$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant devient un facteur."
            },
            {
              "text": "$\\ln 125 = (\\ln 5)^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 125 = 6\\ln 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant faux : $5^{6} = 15625$, alors que\n$125 = 5^{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 125 = \\ln 5 + \\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit et puissance confondus :\n$\\ln 5 + \\ln 3 = \\ln(5 \\times 3)$, différent de\n$\\ln 125$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du\ntype $q^n < \\varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :\n$125 = 5^{3}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "domaine-ln-u"
      ],
      "title": "Domaine de $\\ln(3 - x)$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(3 - x)$ est-elle\ndéfinie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$ :\nl'argument du logarithme doit être strictement positif."
        },
        {
          "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $3 - x > 0$ se résout en $x < 3$\n(attention au signe du coefficient de $x$)."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la condition porte sur $3 - x$ (l'intérieur),\npas sur $x$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln 0$\nn'existe pas : intervalle **ouvert**."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ strictement : résoudre cette\ninéquation est le réflexe d'ouverture de tout exercice avec\nlogarithme composé."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation-ln"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln x \\geq 1$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de $\\ln x \\geq 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[e\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 = \\ln e$, et la croissance stricte\nconserve l'ordre : $\\ln x \\geq \\ln e \\iff x \\geq e$."
        },
        {
          "text": "$[1\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 1 = 0 < 1$ : le seuil n'est pas $1$ mais\n$e$ (le nombre dont le logarithme vaut $1$)."
        },
        {
          "text": "$[0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : outre le domaine ($x > 0$ strict), $\\ln 2\n\\approx 0{,}69 < 1$ : il faut monter jusqu'à $e$."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ e]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ croît : les GRANDES valeurs de $x$\ndonnent les grands logarithmes : $x \\geq e$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : écrire le second membre en logarithme ($1 = \\ln\ne$), puis utiliser la croissance stricte pour comparer les\narguments dans le même sens. Solution : $x \\geq e \\approx\n2{,}72$."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciprocite"
      ],
      "title": "Simplifier $e^{\\ln a}$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Que vaut $e^{\\ln 5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,\n$e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre\n$5$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$e \\times 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "$e^{\\ln 5}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la\npuissance $\\ln 5$."
        },
        {
          "text": "$e^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant est $\\ln 5$, et non $5$ : la simplification\ndonne $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux simplifications à connaître : $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$ et\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln 5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,\n$e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre\n$5$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$e \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$e^{\\ln 5}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la\npuissance $\\ln 5$."
            },
            {
              "text": "$e^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est $\\ln 5$, et non $5$ : la simplification\ndonne $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux simplifications à connaître : $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$ et\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln 3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,\n$e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre\n$3$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$e \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "$e^{\\ln 3}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la\npuissance $\\ln 3$."
            },
            {
              "text": "$e^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est $\\ln 3$, et non $3$ : la simplification\ndonne $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux simplifications à connaître : $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$ et\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln 8}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,\n$e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre\n$8$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$e \\times 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$e^{\\ln 8}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la\npuissance $\\ln 8$."
            },
            {
              "text": "$e^{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est $\\ln 8$, et non $8$ : la simplification\ndonne $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux simplifications à connaître : $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$ et\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln 11}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,\n$e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre\n$11$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$e \\times 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "$e^{\\ln 11}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la\npuissance $\\ln 11$."
            },
            {
              "text": "$e^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant est $\\ln 11$, et non $11$ : la simplification\ndonne $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux simplifications à connaître : $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$ et\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-exp"
      ],
      "title": "Résoudre $e^x = k$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\ln 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres ;\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 7$ à droite."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération\nréciproque de l'exponentielle est le logarithme."
        },
        {
          "text": "$x = 7 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction\nréciproque isole $x$."
        },
        {
          "text": "Aucune, $7$ n'étant pas une puissance de $e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle\n: la solution existe et vaut $\\ln 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $k > 0$, $e^x = k \\Leftrightarrow x = \\ln k$. Pour\n$k \\leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant\nstrictement positive.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres ;\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 7$ à droite."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération\nréciproque de l'exponentielle est le logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = 7 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction\nréciproque isole $x$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $7$ n'étant pas une puissance de $e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle\n: la solution existe et vaut $\\ln 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $k > 0$, $e^x = k \\Leftrightarrow x = \\ln k$. Pour\n$k \\leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant\nstrictement positive."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres ;\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 3$ à droite."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération\nréciproque de l'exponentielle est le logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = 3 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction\nréciproque isole $x$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $3$ n'étant pas une puissance de $e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle\n: la solution existe et vaut $\\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $k > 0$, $e^x = k \\Leftrightarrow x = \\ln k$. Pour\n$k \\leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant\nstrictement positive."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres ;\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 12$ à droite."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{12}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération\nréciproque de l'exponentielle est le logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = 12 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction\nréciproque isole $x$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $12$ n'étant pas une puissance de $e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle\n: la solution existe et vaut $\\ln 12$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $k > 0$, $e^x = k \\Leftrightarrow x = \\ln k$. Pour\n$k \\leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant\nstrictement positive."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres ;\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 20$ à droite."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{20}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération\nréciproque de l'exponentielle est le logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = 20 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction\nréciproque isole $x$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $20$ n'étant pas une puissance de $e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle\n: la solution existe et vaut $\\ln 20$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $k > 0$, $e^x = k \\Leftrightarrow x = \\ln k$. Pour\n$k \\leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant\nstrictement positive."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-x-ln-x"
      ],
      "title": "Dérivée de $x\\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\ln x$ sur $]0\\ ;\\\n+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : règle du produit : $1 \\times \\ln x + x\n\\times \\frac{1}{x} = \\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : $\\frac{1}{x}$ dérive $\\ln x$ seul : le\nfacteur $x$ impose la règle du produit."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme manquant : le produit $x \\times \\frac{1}{x} = 1$\ns'ajoute : $\\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : simplifier $x \\times \\frac{1}{x}$ avant de\ndériver ne respecte pas la structure produit : la\ndérivée complète est $\\ln x + 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$ : le calcul type mêlant produit et\nlogarithme. Son signe (négatif avant $e^{-1}$, positif\naprès) donne le minimum de $x\\ln x$ : un classique d'étude."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-composee",
        "u-carre"
      ],
      "title": "Dérivée de $(\\ln x)^2$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (\\ln x)^2$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2\\ln x}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(u^2)' = 2u\\,u'$ avec $u = \\ln x$ et\n$u' = \\dfrac{1}{x}$ : $2\\ln x \\times \\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $u' = \\dfrac{1}{x}$ est oublié : on\na dérivé $u^2$ comme si $u$ était $x$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\dfrac{2}{x}$ est la dérivée de $\\ln(x^2)\n= 2\\ln x$. Or $(\\ln x)^2 \\neq \\ln(x^2)$ : en $x = e$,\n$(\\ln e)^2 = 1$ mais $\\ln(e^2) = 2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a dérivé $\\ln x$ puis élevé le résultat au\ncarré ; la dérivée de $u^2$ n'est pas $(u')^2$ mais\n$2u\\,u'$."
        }
      ],
      "explanation": "Forme $u^2$ avec $u = \\ln x$ : $f'(x) = 2u\\,u' =\n\\dfrac{2\\ln x}{x}$. Contrôle en $x = 2$ : $f'(2) = \\ln 2\n\\approx 0{,}69$, cohérent avec la pente de la courbe. Ne\npas confondre $(\\ln x)^2$ et $\\ln(x^2)$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-ln"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(ax) = \\ln(x + b)$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(2x) = \\ln(x + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,\n$\\ln A = \\ln B$ équivaut à $A = B$ ; $2x = x + 3$ donne\n$x = 3$, et les deux arguments valent alors $6$."
        },
        {
          "text": "$x = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :\naucun des deux logarithmes n'y serait défini."
        },
        {
          "text": "$x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Résolution fausse : $2x = x + 3$ donne $(2 - 1)x = 3$,\net non $(2 + 1)x = 3$."
        },
        {
          "text": "Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :\nl'équation se ramène à $2x = x + 3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln A = \\ln B \\Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on\négale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque\nargument strictement positif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(2x) = \\ln(x + 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,\n$\\ln A = \\ln B$ équivaut à $A = B$ ; $2x = x + 3$ donne\n$x = 3$, et les deux arguments valent alors $6$."
            },
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :\naucun des deux logarithmes n'y serait défini."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fausse : $2x = x + 3$ donne $(2 - 1)x = 3$,\net non $(2 + 1)x = 3$."
            },
            {
              "text": "Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux",
              "correct": false,
              "feedback": "Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :\nl'équation se ramène à $2x = x + 3$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln A = \\ln B \\Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on\négale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque\nargument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(3x) = \\ln(x + 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,\n$\\ln A = \\ln B$ équivaut à $A = B$ ; $3x = x + 4$ donne\n$x = 2$, et les deux arguments valent alors $6$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :\naucun des deux logarithmes n'y serait défini."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fausse : $3x = x + 4$ donne $(3 - 1)x = 4$,\net non $(3 + 1)x = 4$."
            },
            {
              "text": "Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux",
              "correct": false,
              "feedback": "Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :\nl'équation se ramène à $3x = x + 4$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln A = \\ln B \\Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on\négale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque\nargument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(3x) = \\ln(x + 8)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,\n$\\ln A = \\ln B$ équivaut à $A = B$ ; $3x = x + 8$ donne\n$x = 4$, et les deux arguments valent alors $12$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :\naucun des deux logarithmes n'y serait défini."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fausse : $3x = x + 8$ donne $(3 - 1)x = 8$,\net non $(3 + 1)x = 8$."
            },
            {
              "text": "Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux",
              "correct": false,
              "feedback": "Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :\nl'équation se ramène à $3x = x + 8$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln A = \\ln B \\Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on\négale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque\nargument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(2x) = \\ln(x + 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,\n$\\ln A = \\ln B$ équivaut à $A = B$ ; $2x = x + 5$ donne\n$x = 5$, et les deux arguments valent alors $10$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :\naucun des deux logarithmes n'y serait défini."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fausse : $2x = x + 5$ donne $(2 - 1)x = 5$,\net non $(2 + 1)x = 5$."
            },
            {
              "text": "Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux",
              "correct": false,
              "feedback": "Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :\nl'équation se ramène à $2x = x + 5$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln A = \\ln B \\Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on\négale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque\nargument strictement positif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite-zero"
      ],
      "title": "Le logarithme en $0^+$",
      "partie": "limites",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0^+} \\ln x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quand $x$ fond vers $0$, l'exposant\nnécessaire plonge ($\\ln(0{,}001) \\approx -6{,}9$…) : la\ncourbe longe l'axe des ordonnées vers le bas, cet axe\nest asymptote verticale."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$ : au\nbord du domaine, il plonge sans limite."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1 = \\ln(e^{-1}) = \\ln(0{,}37)$ : une étape\ndu plongeon, pas sa fin : la chute continue vers\n$-\\infty$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance : la **valeur** $\\ln 0$ n'existe pas, mais la\n**limite** en $0^+$ existe au sens infini : $-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Bilan des limites de $\\ln$ : $-\\infty$ en $0^+$ (asymptote\nverticale $x = 0$), $+\\infty$ en $+\\infty$ (sans asymptote,\ncroissance lente). Le miroir exact de l'exponentielle."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Écrire $\\ln 8$ avec $\\ln 2$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "À quoi $\\ln 8$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 = 2^3$, et l'exposant descend en facteur."
        },
        {
          "text": "$4\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant faux : $2^4$ vaut $16$, pas $8$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 2 + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mélange d'écritures : le logarithme d'une puissance donne un produit,\npas une somme avec le nombre lui-même."
        },
        {
          "text": "$(\\ln 2)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance appliquée au logarithme : $\\ln(a^n)$ vaut $n\\ln a$, et non\n$(\\ln a)^n$."
        }
      ],
      "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ transforme les puissances en produits.\nC'est elle qui rend le logarithme utile dans les problèmes de seuil."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "etude-de-fonction"
      ],
      "title": "Étudier $\\dfrac{\\ln x}{x}$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, où la fonction $x \\mapsto \\dfrac{\\ln x}{x}$\natteint-elle son maximum ?",
      "options": [
        {
          "text": "En $e$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée vaut $\\dfrac{1 - \\ln x}{x^2}$, qui s'annule\npour $\\ln x = 1$."
        },
        {
          "text": "En $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $1$ la fonction s'annule, mais elle continue de croître ensuite\njusqu'en $e$."
        },
        {
          "text": "En $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction n'y est pas définie, et elle y tend vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "Elle n'a pas de maximum",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée change bien de signe une fois, ce qui produit un maximum\nvalant $\\dfrac{1}{e}$."
        }
      ],
      "explanation": "On dérive avec la formule du quotient, on résout $1 - \\ln x = 0$, puis on\ndresse le tableau de signes. Le maximum vaut $\\dfrac{1}{e}$, atteint en\n$x = e$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Un seuil sur une décroissance",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}9^n < 0{,}2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "À partir de $16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}2}{\\ln 0{,}9} \\approx 15{,}3$."
        },
        {
          "text": "À partir de $15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un rang trop tôt : $0{,}9^{15} \\approx 0{,}206$ est encore\nau-dessus du seuil."
        },
        {
          "text": "À partir de $8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement linéaire : diviser $0{,}8$ par $0{,}1$ suppose une\nbaisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage."
        },
        {
          "text": "Jamais, la suite reste au-dessus",
          "correct": false,
          "feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers\n$0$ : tout seuil positif finit par être franchi."
        }
      ],
      "explanation": "L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme\n$\\ln 0{,}9$ est négatif, la division renverse le sens de\nl'inégalité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}9^n < 0{,}2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "À partir de $16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}2}{\\ln 0{,}9} \\approx 15{,}3$."
            },
            {
              "text": "À partir de $15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $0{,}9^{15} \\approx 0{,}206$ est encore\nau-dessus du seuil."
            },
            {
              "text": "À partir de $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : diviser $0{,}8$ par $0{,}1$ suppose une\nbaisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage."
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite reste au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers\n$0$ : tout seuil positif finit par être franchi."
            }
          ],
          "explanation": "L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme\n$\\ln 0{,}9$ est négatif, la division renverse le sens de\nl'inégalité."
        },
        {
          "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "À partir de $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}3}{\\ln 0{,}8} \\approx 5{,}4$."
            },
            {
              "text": "À partir de $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $0{,}8^{5} \\approx 0{,}328$ est encore\nau-dessus du seuil."
            },
            {
              "text": "À partir de $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : diviser $0{,}7$ par $0{,}2$ suppose une\nbaisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage."
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite reste au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers\n$0$ : tout seuil positif finit par être franchi."
            }
          ],
          "explanation": "L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme\n$\\ln 0{,}8$ est négatif, la division renverse le sens de\nl'inégalité."
        },
        {
          "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}5^n < 0{,}01$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "À partir de $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}01}{\\ln 0{,}5} \\approx 6{,}6$."
            },
            {
              "text": "À partir de $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $0{,}5^{6} \\approx 0{,}016$ est encore\nau-dessus du seuil."
            },
            {
              "text": "À partir de $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : diviser $0{,}99$ par $0{,}5$ suppose une\nbaisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage."
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite reste au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers\n$0$ : tout seuil positif finit par être franchi."
            }
          ],
          "explanation": "L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme\n$\\ln 0{,}5$ est négatif, la division renverse le sens de\nl'inégalité."
        },
        {
          "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}7^n < 0{,}2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "À partir de $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}2}{\\ln 0{,}7} \\approx 4{,}5$."
            },
            {
              "text": "À partir de $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $0{,}7^{4} \\approx 0{,}24$ est encore\nau-dessus du seuil."
            },
            {
              "text": "À partir de $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : diviser $0{,}8$ par $0{,}3$ suppose une\nbaisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage."
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite reste au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers\n$0$ : tout seuil positif finit par être franchi."
            }
          ],
          "explanation": "L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme\n$\\ln 0{,}7$ est négatif, la division renverse le sens de\nl'inégalité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "application"
      ],
      "title": "Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction continue et strictement croissante sur $[0\\,;\\,4]$\nvérifie $f(0) = -3$ et $f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur\nl'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet une solution unique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité donne l'existence, la stricte monotonie\nl'unicité."
        },
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction strictement croissante ne prend jamais deux fois la même\nvaleur."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Le changement de signe entre les deux bornes impose un passage par\nzéro."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien affirmer sans l'expression de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les hypothèses suffisent : c'est précisément l'intérêt du théorème."
        }
      ],
      "explanation": "Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires combine continuité et\nstricte monotonie pour conclure à l'existence et à l'unicité de la\nsolution."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "equation"
      ],
      "title": "Équation avec une somme de logarithmes",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ de l'équation\n$\\ln x = \\ln 3 + \\ln 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$\\ln 3 + \\ln 4 = \\ln(3 \\times 4) = \\ln 12$, et $\\ln$\nest strictement croissante."
        },
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme et produit confondus : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, et non\n$\\ln(a + b)$."
        },
        {
          "text": "$x = e^{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Logarithmes et nombres confondus : $\\ln 3 + \\ln 4$ n'est\npas égal à $7$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Logarithme en trop : $\\ln x = \\ln 12$ donne $x = 12$, et non\n$x = \\ln 12$."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation fonctionnelle $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ regroupe la\nsomme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité\ndes arguments.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ de l'équation\n$\\ln x = \\ln 3 + \\ln 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\ln 3 + \\ln 4 = \\ln(3 \\times 4) = \\ln 12$, et $\\ln$\nest strictement croissante."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et produit confondus : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, et non\n$\\ln(a + b)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithmes et nombres confondus : $\\ln 3 + \\ln 4$ n'est\npas égal à $7$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme en trop : $\\ln x = \\ln 12$ donne $x = 12$, et non\n$x = \\ln 12$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation fonctionnelle $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ regroupe la\nsomme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité\ndes arguments."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ de l'équation\n$\\ln x = \\ln 2 + \\ln 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\ln 2 + \\ln 5 = \\ln(2 \\times 5) = \\ln 10$, et $\\ln$\nest strictement croissante."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et produit confondus : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, et non\n$\\ln(a + b)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithmes et nombres confondus : $\\ln 2 + \\ln 5$ n'est\npas égal à $7$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme en trop : $\\ln x = \\ln 10$ donne $x = 10$, et non\n$x = \\ln 10$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation fonctionnelle $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ regroupe la\nsomme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité\ndes arguments."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ de l'équation\n$\\ln x = \\ln 3 + \\ln 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\ln 3 + \\ln 6 = \\ln(3 \\times 6) = \\ln 18$, et $\\ln$\nest strictement croissante."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et produit confondus : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, et non\n$\\ln(a + b)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithmes et nombres confondus : $\\ln 3 + \\ln 6$ n'est\npas égal à $9$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme en trop : $\\ln x = \\ln 18$ donne $x = 18$, et non\n$x = \\ln 18$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation fonctionnelle $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ regroupe la\nsomme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité\ndes arguments."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ de l'équation\n$\\ln x = \\ln 4 + \\ln 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\ln 4 + \\ln 7 = \\ln(4 \\times 7) = \\ln 28$, et $\\ln$\nest strictement croissante."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et produit confondus : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, et non\n$\\ln(a + b)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithmes et nombres confondus : $\\ln 4 + \\ln 7$ n'est\npas égal à $11$."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme en trop : $\\ln x = \\ln 28$ donne $x = 28$, et non\n$x = \\ln 28$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation fonctionnelle $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ regroupe la\nsomme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité\ndes arguments."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptote"
      ],
      "title": "Asymptote verticale du logarithme",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle asymptote la courbe du logarithme népérien admet-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'axe des ordonnées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction tend vers $-\\infty$ quand $x$ se rapproche\nde $0$ par valeurs positives."
        },
        {
          "text": "L'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction croît vers $+\\infty$, elle ne se rapproche d'aucune\nhorizontale."
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart $x - \\ln x$ grandit sans limite : la courbe s'éloigne de cette droite\nau lieu de s'en rapprocher.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune asymptote",
          "correct": false,
          "feedback": "La limite infinie en $0$ par valeurs positives fournit bien une\nasymptote verticale."
        }
      ],
      "explanation": "La limite $\\ln x \\to -\\infty$ quand $x \\to 0^+$ donne une asymptote\nverticale d'équation $x = 0$. En $+\\infty$, la fonction croît sans limite\nmais de plus en plus lentement."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-reference",
        "reciprocite",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(e^k)$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Que vaut $\\ln\\left(e^{5}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie\ndirectement en $5$."
        },
        {
          "text": "$e^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification non faite : le logarithme a été oublié en\nchemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que\nl'exposant."
        },
        {
          "text": "$\\ln 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{5}$ tout\nentier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre\n$5$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant négligé : $\\ln e = 1$, mais l'exposant descend en\nfacteur, donc $\\ln\\left(e^{5}\\right) = 5 \\times 1 =\n5$."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux simplifications de référence : $\\ln(e^x) = x$ pour\ntout réel $x$, et $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait\nl'autre fonction.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\left(e^{5}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie\ndirectement en $5$."
            },
            {
              "text": "$e^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification non faite : le logarithme a été oublié en\nchemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que\nl'exposant."
            },
            {
              "text": "$\\ln 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{5}$ tout\nentier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre\n$5$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant négligé : $\\ln e = 1$, mais l'exposant descend en\nfacteur, donc $\\ln\\left(e^{5}\\right) = 5 \\times 1 =\n5$."
            }
          ],
          "explanation": "Les deux simplifications de référence : $\\ln(e^x) = x$ pour\ntout réel $x$, et $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait\nl'autre fonction."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\left(e^{12}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie\ndirectement en $12$."
            },
            {
              "text": "$e^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification non faite : le logarithme a été oublié en\nchemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que\nl'exposant."
            },
            {
              "text": "$\\ln 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{12}$ tout\nentier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre\n$12$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant négligé : $\\ln e = 1$, mais l'exposant descend en\nfacteur, donc $\\ln\\left(e^{12}\\right) = 12 \\times 1 =\n12$."
            }
          ],
          "explanation": "Les deux simplifications de référence : $\\ln(e^x) = x$ pour\ntout réel $x$, et $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait\nl'autre fonction."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\left(e^{7}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie\ndirectement en $7$."
            },
            {
              "text": "$e^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification non faite : le logarithme a été oublié en\nchemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que\nl'exposant."
            },
            {
              "text": "$\\ln 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{7}$ tout\nentier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre\n$7$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant négligé : $\\ln e = 1$, mais l'exposant descend en\nfacteur, donc $\\ln\\left(e^{7}\\right) = 7 \\times 1 =\n7$."
            }
          ],
          "explanation": "Les deux simplifications de référence : $\\ln(e^x) = x$ pour\ntout réel $x$, et $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait\nl'autre fonction."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\left(e^{9}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme\n$\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie\ndirectement en $9$."
            },
            {
              "text": "$e^{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification non faite : le logarithme a été oublié en\nchemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que\nl'exposant."
            },
            {
              "text": "$\\ln 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{9}$ tout\nentier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre\n$9$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant négligé : $\\ln e = 1$, mais l'exposant descend en\nfacteur, donc $\\ln\\left(e^{9}\\right) = 9 \\times 1 =\n9$."
            }
          ],
          "explanation": "Les deux simplifications de référence : $\\ln(e^x) = x$ pour\ntout réel $x$, et $e^{\\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait\nl'autre fonction."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe-ln",
        "monotone"
      ],
      "title": "Comparer des logarithmes",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction $\\ln$ est strictement\ncroissante, donc le plus grand logarithme est celui du\nplus grand nombre, ici $5$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparaison incomplète : $2$ est bien supérieur à\n$1$, mais il reste plus petit que $5$, donc son\nlogarithme aussi."
        },
        {
          "text": "$\\ln 0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : $0{,}3$ est inférieur à $1$, donc son\nlogarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de référence : $\\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un\nnombre supérieur à $1$ le dépasse."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction $\\ln$ est strictement croissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à\ncomparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est\nnégative avant et positive après.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $\\ln$ est strictement\ncroissante, donc le plus grand logarithme est celui du\nplus grand nombre, ici $5$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison incomplète : $2$ est bien supérieur à\n$1$, mais il reste plus petit que $5$, donc son\nlogarithme aussi."
            },
            {
              "text": "$\\ln 0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : $0{,}3$ est inférieur à $1$, donc son\nlogarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$\\ln 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de référence : $\\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un\nnombre supérieur à $1$ le dépasse."
            }
          ],
          "explanation": "La fonction $\\ln$ est strictement croissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à\ncomparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est\nnégative avant et positive après."
        },
        {
          "statement": "Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $\\ln$ est strictement\ncroissante, donc le plus grand logarithme est celui du\nplus grand nombre, ici $7$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison incomplète : $3$ est bien supérieur à\n$1$, mais il reste plus petit que $7$, donc son\nlogarithme aussi."
            },
            {
              "text": "$\\ln 0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : $0{,}5$ est inférieur à $1$, donc son\nlogarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$\\ln 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de référence : $\\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un\nnombre supérieur à $1$ le dépasse."
            }
          ],
          "explanation": "La fonction $\\ln$ est strictement croissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à\ncomparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est\nnégative avant et positive après."
        },
        {
          "statement": "Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $\\ln$ est strictement\ncroissante, donc le plus grand logarithme est celui du\nplus grand nombre, ici $4$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison incomplète : $2$ est bien supérieur à\n$1$, mais il reste plus petit que $4$, donc son\nlogarithme aussi."
            },
            {
              "text": "$\\ln 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : $0{,}8$ est inférieur à $1$, donc son\nlogarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$\\ln 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de référence : $\\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un\nnombre supérieur à $1$ le dépasse."
            }
          ],
          "explanation": "La fonction $\\ln$ est strictement croissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à\ncomparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est\nnégative avant et positive après."
        },
        {
          "statement": "Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $\\ln$ est strictement\ncroissante, donc le plus grand logarithme est celui du\nplus grand nombre, ici $6$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison incomplète : $3$ est bien supérieur à\n$1$, mais il reste plus petit que $6$, donc son\nlogarithme aussi."
            },
            {
              "text": "$\\ln 0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : $0{,}6$ est inférieur à $1$, donc son\nlogarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre."
            },
            {
              "text": "$\\ln 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de référence : $\\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un\nnombre supérieur à $1$ le dépasse."
            }
          ],
          "explanation": "La fonction $\\ln$ est strictement croissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à\ncomparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est\nnégative avant et positive après."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ln-produit-calcul",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Réunir deux logarithmes",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 4 + \\ln 7$ à l'aide d'un seul\nlogarithme ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 28$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le\nlogarithme du produit, et $4 \\times 7 = 28$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération recopiée à l'intérieur : la somme des\nlogarithmes correspond au **produit** des nombres, pas à\nleur somme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 4 \\times \\ln 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme\nunique, et la propriété échange justement un produit\ncontre une somme."
        },
        {
          "text": "$4\\ln 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture\nvaut $\\ln\\left(7^{4}\\right)$, sans rapport avec la\nsomme demandée."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme : $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme\nles produits en sommes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 4 + \\ln 7$ à l'aide d'un seul\nlogarithme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le\nlogarithme du produit, et $4 \\times 7 = 28$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée à l'intérieur : la somme des\nlogarithmes correspond au **produit** des nombres, pas à\nleur somme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 4 \\times \\ln 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme\nunique, et la propriété échange justement un produit\ncontre une somme."
            },
            {
              "text": "$4\\ln 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture\nvaut $\\ln\\left(7^{4}\\right)$, sans rapport avec la\nsomme demandée."
            }
          ],
          "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme : $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme\nles produits en sommes."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 5 + \\ln 6$ à l'aide d'un seul\nlogarithme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le\nlogarithme du produit, et $5 \\times 6 = 30$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée à l'intérieur : la somme des\nlogarithmes correspond au **produit** des nombres, pas à\nleur somme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 5 \\times \\ln 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme\nunique, et la propriété échange justement un produit\ncontre une somme."
            },
            {
              "text": "$5\\ln 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture\nvaut $\\ln\\left(6^{5}\\right)$, sans rapport avec la\nsomme demandée."
            }
          ],
          "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme : $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme\nles produits en sommes."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 3 + \\ln 8$ à l'aide d'un seul\nlogarithme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le\nlogarithme du produit, et $3 \\times 8 = 24$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée à l'intérieur : la somme des\nlogarithmes correspond au **produit** des nombres, pas à\nleur somme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 3 \\times \\ln 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme\nunique, et la propriété échange justement un produit\ncontre une somme."
            },
            {
              "text": "$3\\ln 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture\nvaut $\\ln\\left(8^{3}\\right)$, sans rapport avec la\nsomme demandée."
            }
          ],
          "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme : $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme\nles produits en sommes."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln 2 + \\ln 9$ à l'aide d'un seul\nlogarithme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le\nlogarithme du produit, et $2 \\times 9 = 18$."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée à l'intérieur : la somme des\nlogarithmes correspond au **produit** des nombres, pas à\nleur somme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 2 \\times \\ln 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme\nunique, et la propriété échange justement un produit\ncontre une somme."
            },
            {
              "text": "$2\\ln 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture\nvaut $\\ln\\left(9^{2}\\right)$, sans rapport avec la\nsomme demandée."
            }
          ],
          "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme : $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme\nles produits en sommes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "domaine-ln-u"
      ],
      "title": "Domaine de $\\ln(x - a)$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(x - 4)$ est-elle\ndéfinie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]4\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $x - 4 > 0$, soit $x > 4$.\nL'argument du logarithme doit être strictement positif."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 4[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $x - 4$ est négatif pour $x < 4$, et le\nlogarithme n'y est pas défini."
        },
        {
          "text": "$[4\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne incluse à tort : en $x = 4$, l'argument vaut $0$\net $\\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert."
        },
        {
          "text": "Tous les réels sauf $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter\nl'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction $\\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$\nstrictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe\ndevant un logarithme composé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(x - 4)$ est-elle\ndéfinie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]4\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $x - 4 > 0$, soit $x > 4$.\nL'argument du logarithme doit être strictement positif."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $x - 4$ est négatif pour $x < 4$, et le\nlogarithme n'y est pas défini."
            },
            {
              "text": "$[4\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : en $x = 4$, l'argument vaut $0$\net $\\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert."
            },
            {
              "text": "Tous les réels sauf $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter\nl'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction $\\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$\nstrictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe\ndevant un logarithme composé."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(x - 7)$ est-elle\ndéfinie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]7\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $x - 7 > 0$, soit $x > 7$.\nL'argument du logarithme doit être strictement positif."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 7[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $x - 7$ est négatif pour $x < 7$, et le\nlogarithme n'y est pas défini."
            },
            {
              "text": "$[7\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : en $x = 7$, l'argument vaut $0$\net $\\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert."
            },
            {
              "text": "Tous les réels sauf $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter\nl'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction $\\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$\nstrictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe\ndevant un logarithme composé."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(x - 2)$ est-elle\ndéfinie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]2\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $x - 2 > 0$, soit $x > 2$.\nL'argument du logarithme doit être strictement positif."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $x - 2$ est négatif pour $x < 2$, et le\nlogarithme n'y est pas défini."
            },
            {
              "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : en $x = 2$, l'argument vaut $0$\net $\\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert."
            },
            {
              "text": "Tous les réels sauf $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter\nl'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction $\\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$\nstrictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe\ndevant un logarithme composé."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(x - 5)$ est-elle\ndéfinie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]5\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $x - 5 > 0$, soit $x > 5$.\nL'argument du logarithme doit être strictement positif."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 5[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $x - 5$ est négatif pour $x < 5$, et le\nlogarithme n'y est pas défini."
            },
            {
              "text": "$[5\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : en $x = 5$, l'argument vaut $0$\net $\\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert."
            },
            {
              "text": "Tous les réels sauf $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter\nl'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction $\\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$\nstrictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe\ndevant un logarithme composé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "intuition"
      ],
      "title": "Une fonction qui fait des sauts",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Un parking facture $2$ euros par heure entamée. La fonction\nqui donne le prix à payer en fonction de la durée de\nstationnement est-elle continue ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : le prix fait un saut à chaque heure entamée",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : juste avant la deuxième heure le prix vaut\n$2$ euros, juste après il vaut $4$ euros. La courbe se\ntrace par paliers, en levant le crayon."
        },
        {
          "text": "Oui : le prix augmente régulièrement avec la durée",
          "correct": false,
          "feedback": "Augmentation confondue avec continuité : le prix ne\ngrandit pas progressivement, il reste figé puis bondit de\n$2$ euros d'un coup."
        },
        {
          "text": "Oui : toute fonction croissante est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Propriété inventée : croissance et continuité sont\nindépendantes. Cette fonction croît par paliers, avec des\nsauts."
        },
        {
          "text": "La question n'a pas de sens pour un prix en euros",
          "correct": false,
          "feedback": "La question a bien un sens : la durée est une grandeur\ncontinue, et l'on peut étudier le prix comme une fonction\nde cette durée."
        }
      ],
      "explanation": "Approche intuitive de la continuité : une fonction est\ncontinue sur un intervalle si sa courbe s'y trace sans lever\nle crayon. Les tarifs par palier en sont un contre-exemple\nquotidien."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-exp",
        "equation"
      ],
      "title": "Un coefficient devant l'exponentielle",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3\\,e^{x} = 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\ln 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui\ndonne $e^x = 4$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln 4$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\ln 12}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division effectuée trop tard : le coefficient $3$\nmultiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser\navant de passer au logarithme."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 12 - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction injustifiée : $3$ est un facteur, il se\ndéfait par une division, jamais par une soustraction."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{12}{3e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant\n$x$ ne se libère que par le logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "Devant $a\\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant\npar $a$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3\\,e^{x} = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui\ndonne $e^x = 4$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln 4$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 12}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division effectuée trop tard : le coefficient $3$\nmultiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser\navant de passer au logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 12 - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction injustifiée : $3$ est un facteur, il se\ndéfait par une division, jamais par une soustraction."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{12}{3e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant\n$x$ ne se libère que par le logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $a\\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant\npar $a$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $2\\,e^{x} = 14$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui\ndonne $e^x = 7$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln 7$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 14}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division effectuée trop tard : le coefficient $2$\nmultiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser\navant de passer au logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 14 - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction injustifiée : $2$ est un facteur, il se\ndéfait par une division, jamais par une soustraction."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{14}{2e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant\n$x$ ne se libère que par le logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $a\\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant\npar $a$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5\\,e^{x} = 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui\ndonne $e^x = 3$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln 3$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 15}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division effectuée trop tard : le coefficient $5$\nmultiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser\navant de passer au logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 15 - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction injustifiée : $5$ est un facteur, il se\ndéfait par une division, jamais par une soustraction."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{15}{5e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant\n$x$ ne se libère que par le logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $a\\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant\npar $a$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4\\,e^{x} = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui\ndonne $e^x = 5$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln 5$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\ln 20}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division effectuée trop tard : le coefficient $4$\nmultiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser\navant de passer au logarithme."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln 20 - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction injustifiée : $4$ est un facteur, il se\ndéfait par une division, jamais par une soustraction."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{20}{4e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant\n$x$ ne se libère que par le logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $a\\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant\npar $a$, puis on applique le logarithme :\n$x = \\ln\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-ln"
      ],
      "title": "Un logarithme égal à un nombre",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln\\left(\\dfrac{x}{2}\\right) = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2e^{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux\nmembres, ce qui donne $\\dfrac{x}{2} = e^{3}$, puis on\nmultiplie par $2$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{e^{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division\npar $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$\npour l'annuler."
        },
        {
          "text": "$x = e^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur oublié : l'exponentielle rend\n$\\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement."
        },
        {
          "text": "$x = e^{3} + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division confondue avec une soustraction : c'est une\nmultiplication par $2$ qui défait le quotient."
        }
      ],
      "explanation": "Pour résoudre $\\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :\n$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici\nautomatiquement remplie, car $e^{k} > 0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln\\left(\\dfrac{x}{2}\\right) = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2e^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux\nmembres, ce qui donne $\\dfrac{x}{2} = e^{3}$, puis on\nmultiplie par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{e^{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division\npar $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$\npour l'annuler."
            },
            {
              "text": "$x = e^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur oublié : l'exponentielle rend\n$\\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement."
            },
            {
              "text": "$x = e^{3} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division confondue avec une soustraction : c'est une\nmultiplication par $2$ qui défait le quotient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $\\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :\n$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici\nautomatiquement remplie, car $e^{k} > 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln\\left(\\dfrac{x}{2}\\right) = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2e^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux\nmembres, ce qui donne $\\dfrac{x}{2} = e^{5}$, puis on\nmultiplie par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{e^{5}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division\npar $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$\npour l'annuler."
            },
            {
              "text": "$x = e^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur oublié : l'exponentielle rend\n$\\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement."
            },
            {
              "text": "$x = e^{5} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division confondue avec une soustraction : c'est une\nmultiplication par $2$ qui défait le quotient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $\\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :\n$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici\nautomatiquement remplie, car $e^{k} > 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln\\left(\\dfrac{x}{2}\\right) = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2e^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux\nmembres, ce qui donne $\\dfrac{x}{2} = e^{4}$, puis on\nmultiplie par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{e^{4}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division\npar $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$\npour l'annuler."
            },
            {
              "text": "$x = e^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur oublié : l'exponentielle rend\n$\\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement."
            },
            {
              "text": "$x = e^{4} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division confondue avec une soustraction : c'est une\nmultiplication par $2$ qui défait le quotient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $\\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :\n$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici\nautomatiquement remplie, car $e^{k} > 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln\\left(\\dfrac{x}{2}\\right) = 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2e^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux\nmembres, ce qui donne $\\dfrac{x}{2} = e^{2}$, puis on\nmultiplie par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{e^{2}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division\npar $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$\npour l'annuler."
            },
            {
              "text": "$x = e^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur oublié : l'exponentielle rend\n$\\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement."
            },
            {
              "text": "$x = e^{2} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division confondue avec une soustraction : c'est une\nmultiplication par $2$ qui défait le quotient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $\\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :\n$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici\nautomatiquement remplie, car $e^{k} > 0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation-ln",
        "signe-ln"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(x - a) > 0$",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x - 3) > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]4\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est strictement positif au-delà de\n$1$, donc $x - 3 > 1$, soit $x > 4$."
        },
        {
          "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition d'existence prise pour la solution : $x > 3$\nrend seulement le logarithme défini. Il faut de plus\ndépasser $1$ à l'intérieur."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 4[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est croissant, donc les grandes\nvaleurs de $x$ donnent les logarithmes positifs."
        },
        {
          "text": "L'ensemble vide, car $\\ln$ ne prend jamais de valeur\nstrictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Affirmation fausse : $\\ln$ est positif dès que son\nargument dépasse $1$, par exemple $\\ln 2 \\approx 0{,}69$."
        }
      ],
      "explanation": "Comme $\\ln 1 = 0$ et que $\\ln$ est strictement croissante,\nl'inéquation $\\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout\nensuite cette inéquation en $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x - 3) > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]4\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est strictement positif au-delà de\n$1$, donc $x - 3 > 1$, soit $x > 4$."
            },
            {
              "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition d'existence prise pour la solution : $x > 3$\nrend seulement le logarithme défini. Il faut de plus\ndépasser $1$ à l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est croissant, donc les grandes\nvaleurs de $x$ donnent les logarithmes positifs."
            },
            {
              "text": "L'ensemble vide, car $\\ln$ ne prend jamais de valeur\nstrictement positive",
              "correct": false,
              "feedback": "Affirmation fausse : $\\ln$ est positif dès que son\nargument dépasse $1$, par exemple $\\ln 2 \\approx 0{,}69$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $\\ln 1 = 0$ et que $\\ln$ est strictement croissante,\nl'inéquation $\\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout\nensuite cette inéquation en $x$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x - 6) > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]7\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est strictement positif au-delà de\n$1$, donc $x - 6 > 1$, soit $x > 7$."
            },
            {
              "text": "$]6\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition d'existence prise pour la solution : $x > 6$\nrend seulement le logarithme défini. Il faut de plus\ndépasser $1$ à l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 7[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est croissant, donc les grandes\nvaleurs de $x$ donnent les logarithmes positifs."
            },
            {
              "text": "L'ensemble vide, car $\\ln$ ne prend jamais de valeur\nstrictement positive",
              "correct": false,
              "feedback": "Affirmation fausse : $\\ln$ est positif dès que son\nargument dépasse $1$, par exemple $\\ln 2 \\approx 0{,}69$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $\\ln 1 = 0$ et que $\\ln$ est strictement croissante,\nl'inéquation $\\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout\nensuite cette inéquation en $x$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x - 10) > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]11\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est strictement positif au-delà de\n$1$, donc $x - 10 > 1$, soit $x > 11$."
            },
            {
              "text": "$]10\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition d'existence prise pour la solution : $x > 10$\nrend seulement le logarithme défini. Il faut de plus\ndépasser $1$ à l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 11[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est croissant, donc les grandes\nvaleurs de $x$ donnent les logarithmes positifs."
            },
            {
              "text": "L'ensemble vide, car $\\ln$ ne prend jamais de valeur\nstrictement positive",
              "correct": false,
              "feedback": "Affirmation fausse : $\\ln$ est positif dès que son\nargument dépasse $1$, par exemple $\\ln 2 \\approx 0{,}69$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $\\ln 1 = 0$ et que $\\ln$ est strictement croissante,\nl'inéquation $\\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout\nensuite cette inéquation en $x$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x - 8) > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]9\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est strictement positif au-delà de\n$1$, donc $x - 8 > 1$, soit $x > 9$."
            },
            {
              "text": "$]8\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition d'existence prise pour la solution : $x > 8$\nrend seulement le logarithme défini. Il faut de plus\ndépasser $1$ à l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 9[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est croissant, donc les grandes\nvaleurs de $x$ donnent les logarithmes positifs."
            },
            {
              "text": "L'ensemble vide, car $\\ln$ ne prend jamais de valeur\nstrictement positive",
              "correct": false,
              "feedback": "Affirmation fausse : $\\ln$ est positif dès que son\nargument dépasse $1$, par exemple $\\ln 2 \\approx 0{,}69$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $\\ln 1 = 0$ et que $\\ln$ est strictement croissante,\nl'inéquation $\\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout\nensuite cette inéquation en $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "asymptote",
        "limites"
      ],
      "title": "Asymptote d'une fonction en $+\\infty$",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle asymptote la courbe de $f(x) = 4 + \\dfrac{5}{x}$\nadmet-elle en $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'horizontale $y = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{5}{x}$ tend vers $0$\nquand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $4$ : la droite\n$y = 4$ est asymptote horizontale."
        },
        {
          "text": "L'horizontale $y = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur confondu avec la limite : $5$ s'efface avec\nle quotient. C'est le terme constant $4$ qui subsiste."
        },
        {
          "text": "La verticale $x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Asymptotes confondues : une verticale correspond à une\nlimite infinie en un point. Ici la limite est finie en\n$+\\infty$."
        },
        {
          "text": "Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien\nde celui en $+\\infty$, où la limite finie donne bien une\nasymptote."
        }
      ],
      "explanation": "Une limite finie $\\ell$ en $+\\infty$ se traduit par une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Une limite\ninfinie en un point $a$ donne une asymptote verticale\n$x = a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle asymptote la courbe de $f(x) = 4 + \\dfrac{5}{x}$\nadmet-elle en $+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'horizontale $y = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{5}{x}$ tend vers $0$\nquand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $4$ : la droite\n$y = 4$ est asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "L'horizontale $y = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu avec la limite : $5$ s'efface avec\nle quotient. C'est le terme constant $4$ qui subsiste."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptotes confondues : une verticale correspond à une\nlimite infinie en un point. Ici la limite est finie en\n$+\\infty$."
            },
            {
              "text": "Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien\nde celui en $+\\infty$, où la limite finie donne bien une\nasymptote."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite finie $\\ell$ en $+\\infty$ se traduit par une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Une limite\ninfinie en un point $a$ donne une asymptote verticale\n$x = a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle asymptote la courbe de $f(x) = -2 + \\dfrac{3}{x}$\nadmet-elle en $+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'horizontale $y = -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{3}{x}$ tend vers $0$\nquand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $-2$ : la droite\n$y = -2$ est asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "L'horizontale $y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu avec la limite : $3$ s'efface avec\nle quotient. C'est le terme constant $-2$ qui subsiste."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptotes confondues : une verticale correspond à une\nlimite infinie en un point. Ici la limite est finie en\n$+\\infty$."
            },
            {
              "text": "Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien\nde celui en $+\\infty$, où la limite finie donne bien une\nasymptote."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite finie $\\ell$ en $+\\infty$ se traduit par une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Une limite\ninfinie en un point $a$ donne une asymptote verticale\n$x = a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle asymptote la courbe de $f(x) = 7 + \\dfrac{12}{x}$\nadmet-elle en $+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'horizontale $y = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{12}{x}$ tend vers $0$\nquand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $7$ : la droite\n$y = 7$ est asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "L'horizontale $y = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu avec la limite : $12$ s'efface avec\nle quotient. C'est le terme constant $7$ qui subsiste."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptotes confondues : une verticale correspond à une\nlimite infinie en un point. Ici la limite est finie en\n$+\\infty$."
            },
            {
              "text": "Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien\nde celui en $+\\infty$, où la limite finie donne bien une\nasymptote."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite finie $\\ell$ en $+\\infty$ se traduit par une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Une limite\ninfinie en un point $a$ donne une asymptote verticale\n$x = a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle asymptote la courbe de $f(x) = -5 + \\dfrac{2}{x}$\nadmet-elle en $+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "L'horizontale $y = -5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$\nquand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $-5$ : la droite\n$y = -5$ est asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "L'horizontale $y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu avec la limite : $2$ s'efface avec\nle quotient. C'est le terme constant $-5$ qui subsiste."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptotes confondues : une verticale correspond à une\nlimite infinie en un point. Ici la limite est finie en\n$+\\infty$."
            },
            {
              "text": "Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien\nde celui en $+\\infty$, où la limite finie donne bien une\nasymptote."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite finie $\\ell$ en $+\\infty$ se traduit par une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Une limite\ninfinie en un point $a$ donne une asymptote verticale\n$x = a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "asymptotes",
        "limites"
      ],
      "title": "Lire deux asymptotes",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une fonction $f$ vérifie\n$\\lim\\limits_{x \\to 2^+} f(x) = +\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = -3$. Quelles asymptotes\nsa courbe admet-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "La verticale $x = 2$ et l'horizontale $y = -3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la limite infinie en $2$ donne la\nverticale $x = 2$, et la limite finie en $+\\infty$ donne\nl'horizontale $y = -3$."
        },
        {
          "text": "La verticale $x = -3$ et l'horizontale $y = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit\noù la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers\nlaquelle elle se stabilise."
        },
        {
          "text": "Uniquement la verticale $x = 2$, sans asymptote\nhorizontale",
          "correct": false,
          "feedback": "Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\\infty$\nfournit toujours une asymptote horizontale."
        },
        {
          "text": "Uniquement l'horizontale $y = -3$, sans asymptote\nverticale",
          "correct": false,
          "feedback": "Première limite oubliée : une limite infinie en un point\nfini fournit toujours une asymptote verticale."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un\npoint $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\\ell$ à\nl'infini donne l'horizontale $y = \\ell$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction $f$ vérifie\n$\\lim\\limits_{x \\to 2^+} f(x) = +\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = -3$. Quelles asymptotes\nsa courbe admet-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "La verticale $x = 2$ et l'horizontale $y = -3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite infinie en $2$ donne la\nverticale $x = 2$, et la limite finie en $+\\infty$ donne\nl'horizontale $y = -3$."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = -3$ et l'horizontale $y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit\noù la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers\nlaquelle elle se stabilise."
            },
            {
              "text": "Uniquement la verticale $x = 2$, sans asymptote\nhorizontale",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\\infty$\nfournit toujours une asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "Uniquement l'horizontale $y = -3$, sans asymptote\nverticale",
              "correct": false,
              "feedback": "Première limite oubliée : une limite infinie en un point\nfini fournit toujours une asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un\npoint $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\\ell$ à\nl'infini donne l'horizontale $y = \\ell$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ vérifie\n$\\lim\\limits_{x \\to 5^+} f(x) = +\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 4$. Quelles asymptotes\nsa courbe admet-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "La verticale $x = 5$ et l'horizontale $y = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite infinie en $5$ donne la\nverticale $x = 5$, et la limite finie en $+\\infty$ donne\nl'horizontale $y = 4$."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = 4$ et l'horizontale $y = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit\noù la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers\nlaquelle elle se stabilise."
            },
            {
              "text": "Uniquement la verticale $x = 5$, sans asymptote\nhorizontale",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\\infty$\nfournit toujours une asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "Uniquement l'horizontale $y = 4$, sans asymptote\nverticale",
              "correct": false,
              "feedback": "Première limite oubliée : une limite infinie en un point\nfini fournit toujours une asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un\npoint $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\\ell$ à\nl'infini donne l'horizontale $y = \\ell$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ vérifie\n$\\lim\\limits_{x \\to -1^+} f(x) = +\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 6$. Quelles asymptotes\nsa courbe admet-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "La verticale $x = -1$ et l'horizontale $y = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite infinie en $-1$ donne la\nverticale $x = -1$, et la limite finie en $+\\infty$ donne\nl'horizontale $y = 6$."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = 6$ et l'horizontale $y = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit\noù la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers\nlaquelle elle se stabilise."
            },
            {
              "text": "Uniquement la verticale $x = -1$, sans asymptote\nhorizontale",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\\infty$\nfournit toujours une asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "Uniquement l'horizontale $y = 6$, sans asymptote\nverticale",
              "correct": false,
              "feedback": "Première limite oubliée : une limite infinie en un point\nfini fournit toujours une asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un\npoint $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\\ell$ à\nl'infini donne l'horizontale $y = \\ell$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ vérifie\n$\\lim\\limits_{x \\to -3^+} f(x) = +\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 1$. Quelles asymptotes\nsa courbe admet-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "La verticale $x = -3$ et l'horizontale $y = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite infinie en $-3$ donne la\nverticale $x = -3$, et la limite finie en $+\\infty$ donne\nl'horizontale $y = 1$."
            },
            {
              "text": "La verticale $x = 1$ et l'horizontale $y = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit\noù la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers\nlaquelle elle se stabilise."
            },
            {
              "text": "Uniquement la verticale $x = -3$, sans asymptote\nhorizontale",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\\infty$\nfournit toujours une asymptote horizontale."
            },
            {
              "text": "Uniquement l'horizontale $y = 1$, sans asymptote\nverticale",
              "correct": false,
              "feedback": "Première limite oubliée : une limite infinie en un point\nfini fournit toujours une asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un\npoint $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\\ell$ à\nl'infini donne l'horizontale $y = \\ell$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-x-ln-x",
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de $a\\,x\\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 3\\ln x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ se conserve et la règle\ndu produit donne $(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, d'où\n$3\\ln x + 3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3\\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second terme perdu : le produit $x \\times \\dfrac{1}{x}$\nvaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant\n$3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3 + \\dfrac{3}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la règle du produit\nmultiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle\nne dérive pas les deux à la fois."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : $3$ est un facteur constant, il se\nretrouve dans toute la dérivée."
        }
      ],
      "explanation": "Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec\n$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, on obtient\n$(a\\,x\\ln x)' = a\\ln x + a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\ln x + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ se conserve et la règle\ndu produit donne $(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, d'où\n$3\\ln x + 3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second terme perdu : le produit $x \\times \\dfrac{1}{x}$\nvaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant\n$3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3 + \\dfrac{3}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la règle du produit\nmultiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle\nne dérive pas les deux à la fois."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : $3$ est un facteur constant, il se\nretrouve dans toute la dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec\n$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, on obtient\n$(a\\,x\\ln x)' = a\\ln x + a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 5x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\ln x + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ se conserve et la règle\ndu produit donne $(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, d'où\n$5\\ln x + 5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second terme perdu : le produit $x \\times \\dfrac{1}{x}$\nvaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant\n$5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5 + \\dfrac{5}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la règle du produit\nmultiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle\nne dérive pas les deux à la fois."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : $5$ est un facteur constant, il se\nretrouve dans toute la dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec\n$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, on obtient\n$(a\\,x\\ln x)' = a\\ln x + a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 2x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\ln x + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $2$ se conserve et la règle\ndu produit donne $(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, d'où\n$2\\ln x + 2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second terme perdu : le produit $x \\times \\dfrac{1}{x}$\nvaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant\n$2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2 + \\dfrac{2}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la règle du produit\nmultiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle\nne dérive pas les deux à la fois."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : $2$ est un facteur constant, il se\nretrouve dans toute la dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec\n$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, on obtient\n$(a\\,x\\ln x)' = a\\ln x + a$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 4x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\ln x + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $4$ se conserve et la règle\ndu produit donne $(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, d'où\n$4\\ln x + 4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second terme perdu : le produit $x \\times \\dfrac{1}{x}$\nvaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant\n$4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4 + \\dfrac{4}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la règle du produit\nmultiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle\nne dérive pas les deux à la fois."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : $4$ est un facteur constant, il se\nretrouve dans toute la dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec\n$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$, on obtient\n$(a\\,x\\ln x)' = a\\ln x + a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "u-carre",
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $(ax + b)^2$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x + 4)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 6(3x + 4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = 3x + 4$ et $u' = 3$, la\nformule $(u^2)' = 2u\\,u'$ donne\n$2 \\times 3 \\times (3x + 4) = 6(3x + 4)$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2(3x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était\n$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = (3x + 4)^2 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une\nunité. La formule est $2u\\,u'$, et non $u^2u'$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.\nLe résultat dépend encore de $x$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est\n$2u\\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la\nformule sans développer.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x + 4)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 6(3x + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = 3x + 4$ et $u' = 3$, la\nformule $(u^2)' = 2u\\,u'$ donne\n$2 \\times 3 \\times (3x + 4) = 6(3x + 4)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2(3x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était\n$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (3x + 4)^2 \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une\nunité. La formule est $2u\\,u'$, et non $u^2u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.\nLe résultat dépend encore de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est\n$2u\\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la\nformule sans développer."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x - 5)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 4(2x - 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = 2x - 5$ et $u' = 2$, la\nformule $(u^2)' = 2u\\,u'$ donne\n$2 \\times 2 \\times (2x - 5) = 4(2x - 5)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2(2x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était\n$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (2x - 5)^2 \\times 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une\nunité. La formule est $2u\\,u'$, et non $u^2u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.\nLe résultat dépend encore de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est\n$2u\\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la\nformule sans développer."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (5x + 1)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 10(5x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = 5x + 1$ et $u' = 5$, la\nformule $(u^2)' = 2u\\,u'$ donne\n$2 \\times 5 \\times (5x + 1) = 10(5x + 1)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2(5x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était\n$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (5x + 1)^2 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une\nunité. La formule est $2u\\,u'$, et non $u^2u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.\nLe résultat dépend encore de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est\n$2u\\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la\nformule sans développer."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (4x - 3)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 8(4x - 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = 4x - 3$ et $u' = 4$, la\nformule $(u^2)' = 2u\\,u'$ donne\n$2 \\times 4 \\times (4x - 3) = 8(4x - 3)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2(4x - 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était\n$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (4x - 3)^2 \\times 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une\nunité. La formule est $2u\\,u'$, et non $u^2u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.\nLe résultat dépend encore de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est\n$2u\\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la\nformule sans développer."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ln-puissance",
        "application"
      ],
      "title": "Valeur approchée d'un logarithme",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "On donne $\\ln 3 \\approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\ln 81$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $4{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $81 = 3^{4}$, donc\n$\\ln 81 = 4\\ln 3 \\approx 4 \\times 1{,}10 = 4{,}4$."
        },
        {
          "text": "Environ $1{,}46$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant appliqué au logarithme : $\\ln(3^{4})$ vaut\n$4\\ln 3$, et non $(\\ln 3)^{4}$."
        },
        {
          "text": "Environ $5{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant\nen **facteur**, elle ne l'additionne pas."
        },
        {
          "text": "Environ $3{,}64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $4$\nmultiplie $\\ln 3$."
        }
      ],
      "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ permet de calculer le\nlogarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de\nréférence. Il faut d'abord reconnaître la puissance.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On donne $\\ln 3 \\approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\ln 81$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $4{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $81 = 3^{4}$, donc\n$\\ln 81 = 4\\ln 3 \\approx 4 \\times 1{,}10 = 4{,}4$."
            },
            {
              "text": "Environ $1{,}46$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant appliqué au logarithme : $\\ln(3^{4})$ vaut\n$4\\ln 3$, et non $(\\ln 3)^{4}$."
            },
            {
              "text": "Environ $5{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant\nen **facteur**, elle ne l'additionne pas."
            },
            {
              "text": "Environ $3{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $4$\nmultiplie $\\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ permet de calculer le\nlogarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de\nréférence. Il faut d'abord reconnaître la puissance."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\ln 3 \\approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\ln 243$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $5{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $243 = 3^{5}$, donc\n$\\ln 243 = 5\\ln 3 \\approx 5 \\times 1{,}10 = 5{,}5$."
            },
            {
              "text": "Environ $1{,}61$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant appliqué au logarithme : $\\ln(3^{5})$ vaut\n$5\\ln 3$, et non $(\\ln 3)^{5}$."
            },
            {
              "text": "Environ $6{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant\nen **facteur**, elle ne l'additionne pas."
            },
            {
              "text": "Environ $4{,}55$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $5$\nmultiplie $\\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ permet de calculer le\nlogarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de\nréférence. Il faut d'abord reconnaître la puissance."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\ln 3 \\approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\ln 27$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $3{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $27 = 3^{3}$, donc\n$\\ln 27 = 3\\ln 3 \\approx 3 \\times 1{,}10 = 3{,}3$."
            },
            {
              "text": "Environ $1{,}33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant appliqué au logarithme : $\\ln(3^{3})$ vaut\n$3\\ln 3$, et non $(\\ln 3)^{3}$."
            },
            {
              "text": "Environ $4{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant\nen **facteur**, elle ne l'additionne pas."
            },
            {
              "text": "Environ $2{,}73$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $3$\nmultiplie $\\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ permet de calculer le\nlogarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de\nréférence. Il faut d'abord reconnaître la puissance."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\ln 3 \\approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\ln 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $2{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 = 3^{2}$, donc\n$\\ln 9 = 2\\ln 3 \\approx 2 \\times 1{,}10 = 2{,}2$."
            },
            {
              "text": "Environ $1{,}21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant appliqué au logarithme : $\\ln(3^{2})$ vaut\n$2\\ln 3$, et non $(\\ln 3)^{2}$."
            },
            {
              "text": "Environ $3{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant\nen **facteur**, elle ne l'additionne pas."
            },
            {
              "text": "Environ $1{,}82$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $2$\nmultiplie $\\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln(a^n) = n\\ln a$ permet de calculer le\nlogarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de\nréférence. Il faut d'abord reconnaître la puissance."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "etude-de-fonction",
        "tableau-variations"
      ],
      "title": "Minimum de $x - \\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$, la fonction $f(x) = x - \\ln x$ admet un\nminimum. Où est-il atteint et combien vaut-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "En $x = 1$, et il vaut $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 1 - \\dfrac{1}{x}$ s'annule en\n$x = 1$, en passant du négatif au positif. Le minimum vaut\n$f(1) = 1 - \\ln 1 = 1$."
        },
        {
          "text": "En $x = 1$, et il vaut $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction confondue avec son logarithme : c'est $\\ln 1$ qui\nvaut $0$. La fonction, elle, vaut $1 - 0 = 1$."
        },
        {
          "text": "En $x = e$, et il vaut $e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise équation : on a annulé $\\ln x - 1$ au lieu de\n$1 - \\dfrac{1}{x}$. La dérivée s'annule en $1$, pas en\n$e$."
        },
        {
          "text": "En $x = 0$, où la fonction s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "Point hors du domaine : la fonction n'est pas définie en\n$0$, et elle y tend vers $+\\infty$ puisque $\\ln x$ plonge\nvers $-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode d'étude : on dérive, on cherche où la dérivée\ns'annule, on dresse le tableau de signes, puis on calcule la\nvaleur de la fonction au point trouvé."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-zero",
        "asymptote"
      ],
      "title": "Asymptote verticale d'un logarithme composé",
      "partie": "limites",
      "statement": "La courbe de $f(x) = \\ln(2x - 6)$ admet une asymptote\nverticale. Quelle est son équation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 3$, et\n$\\ln(u)$ tend vers $-\\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par\nvaleurs positives."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant lu directement : il faut résoudre\n$2x - 6 = 0$, ce qui donne $x = 3$ et non $6$."
        },
        {
          "text": "$x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Asymptote de la fonction de référence : la composition par\n$2x - 6$ la déplace en $x = 3$."
        },
        {
          "text": "$y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nature confondue : une asymptote verticale a une équation\nde la forme $x = c$, pas $y = c$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $\\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où\nl'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc\n$u(x) = 0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La courbe de $f(x) = \\ln(2x - 6)$ admet une asymptote\nverticale. Quelle est son équation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 3$, et\n$\\ln(u)$ tend vers $-\\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par\nvaleurs positives."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant lu directement : il faut résoudre\n$2x - 6 = 0$, ce qui donne $x = 3$ et non $6$."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptote de la fonction de référence : la composition par\n$2x - 6$ la déplace en $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature confondue : une asymptote verticale a une équation\nde la forme $x = c$, pas $y = c$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où\nl'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc\n$u(x) = 0$."
        },
        {
          "statement": "La courbe de $f(x) = \\ln(3x - 12)$ admet une asymptote\nverticale. Quelle est son équation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 4$, et\n$\\ln(u)$ tend vers $-\\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par\nvaleurs positives."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant lu directement : il faut résoudre\n$3x - 12 = 0$, ce qui donne $x = 4$ et non $12$."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptote de la fonction de référence : la composition par\n$3x - 12$ la déplace en $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$y = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature confondue : une asymptote verticale a une équation\nde la forme $x = c$, pas $y = c$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où\nl'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc\n$u(x) = 0$."
        },
        {
          "statement": "La courbe de $f(x) = \\ln(5x - 10)$ admet une asymptote\nverticale. Quelle est son équation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 2$, et\n$\\ln(u)$ tend vers $-\\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par\nvaleurs positives."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant lu directement : il faut résoudre\n$5x - 10 = 0$, ce qui donne $x = 2$ et non $10$."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptote de la fonction de référence : la composition par\n$5x - 10$ la déplace en $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature confondue : une asymptote verticale a une équation\nde la forme $x = c$, pas $y = c$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où\nl'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc\n$u(x) = 0$."
        },
        {
          "statement": "La courbe de $f(x) = \\ln(4x - 28)$ admet une asymptote\nverticale. Quelle est son équation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 7$, et\n$\\ln(u)$ tend vers $-\\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par\nvaleurs positives."
            },
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant lu directement : il faut résoudre\n$4x - 28 = 0$, ce qui donne $x = 7$ et non $28$."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Asymptote de la fonction de référence : la composition par\n$4x - 28$ la déplace en $x = 7$."
            },
            {
              "text": "$y = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature confondue : une asymptote verticale a une équation\nde la forme $x = c$, pas $y = c$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où\nl'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc\n$u(x) = 0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "logarithme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Logarithme d'un quotient",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{15}{4}\\right)$ à l'aide de\n$\\ln 15$ et de $\\ln 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 15 - \\ln 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en\ndifférence, exactement comme il transforme un produit en\nsomme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 15 + \\ln 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inversée : la somme correspond au **produit**\n$15 \\times 4$. Un quotient donne une différence."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\ln 15}{\\ln 4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des\nlogarithmes n'est pas le logarithme du quotient."
        },
        {
          "text": "$\\ln 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\\ln 15 -\n\\ln 4$ qu'il faut écrire, et $\\ln(a - b)$ ne se\ndécompose pas."
        }
      ],
      "explanation": "Conséquence de l'équation fonctionnelle :\n$\\ln\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$ pour $a$ et $b$\nstrictement positifs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{15}{4}\\right)$ à l'aide de\n$\\ln 15$ et de $\\ln 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 15 - \\ln 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en\ndifférence, exactement comme il transforme un produit en\nsomme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 15 + \\ln 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : la somme correspond au **produit**\n$15 \\times 4$. Un quotient donne une différence."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\ln 15}{\\ln 4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des\nlogarithmes n'est pas le logarithme du quotient."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\\ln 15 -\n\\ln 4$ qu'il faut écrire, et $\\ln(a - b)$ ne se\ndécompose pas."
            }
          ],
          "explanation": "Conséquence de l'équation fonctionnelle :\n$\\ln\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$ pour $a$ et $b$\nstrictement positifs."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{21}{5}\\right)$ à l'aide de\n$\\ln 21$ et de $\\ln 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 21 - \\ln 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en\ndifférence, exactement comme il transforme un produit en\nsomme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 21 + \\ln 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : la somme correspond au **produit**\n$21 \\times 5$. Un quotient donne une différence."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\ln 21}{\\ln 5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des\nlogarithmes n'est pas le logarithme du quotient."
            },
            {
              "text": "$\\ln 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\\ln 21 -\n\\ln 5$ qu'il faut écrire, et $\\ln(a - b)$ ne se\ndécompose pas."
            }
          ],
          "explanation": "Conséquence de l'équation fonctionnelle :\n$\\ln\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$ pour $a$ et $b$\nstrictement positifs."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{35}{9}\\right)$ à l'aide de\n$\\ln 35$ et de $\\ln 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 35 - \\ln 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en\ndifférence, exactement comme il transforme un produit en\nsomme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 35 + \\ln 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : la somme correspond au **produit**\n$35 \\times 9$. Un quotient donne une différence."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\ln 35}{\\ln 9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des\nlogarithmes n'est pas le logarithme du quotient."
            },
            {
              "text": "$\\ln 26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\\ln 35 -\n\\ln 9$ qu'il faut écrire, et $\\ln(a - b)$ ne se\ndécompose pas."
            }
          ],
          "explanation": "Conséquence de l'équation fonctionnelle :\n$\\ln\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$ pour $a$ et $b$\nstrictement positifs."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{14}{3}\\right)$ à l'aide de\n$\\ln 14$ et de $\\ln 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln 14 - \\ln 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en\ndifférence, exactement comme il transforme un produit en\nsomme."
            },
            {
              "text": "$\\ln 14 + \\ln 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : la somme correspond au **produit**\n$14 \\times 3$. Un quotient donne une différence."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\ln 14}{\\ln 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des\nlogarithmes n'est pas le logarithme du quotient."
            },
            {
              "text": "$\\ln 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\\ln 14 -\n\\ln 3$ qu'il faut écrire, et $\\ln(a - b)$ ne se\ndécompose pas."
            }
          ],
          "explanation": "Conséquence de l'équation fonctionnelle :\n$\\ln\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$ pour $a$ et $b$\nstrictement positifs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tvi",
        "continuite"
      ],
      "title": "Le théorème des valeurs intermédiaires seul",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[1\\ ;\\ 4]$, avec\n$f(1) = -2$ et $f(4) = 6$. Que garantit le théorème\ndes valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet au moins une solution dans $[1\\ ;\\ 4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-2$ et $6$, et\nla fonction est continue : elle prend donc cette valeur au\nmoins une fois entre $1$ et $4$."
        },
        {
          "text": "Elle admet exactement une solution dans $[1\\ ;\\ 4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte\nmonotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$\nplusieurs fois."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur\nprise aux bornes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs\n**intermédiaires**, celles comprises entre $-2$ et\n$6$."
        },
        {
          "text": "Elle admet une solution, mais en dehors de\n$[1\\ ;\\ 4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle déplacé : le théorème localise la solution\nentre les deux bornes, là où le changement de signe a\nlieu."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur\n$[a\\ ;\\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,\nl'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur\n$[a\\ ;\\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[1\\ ;\\ 4]$, avec\n$f(1) = -2$ et $f(4) = 6$. Que garantit le théorème\ndes valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet au moins une solution dans $[1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-2$ et $6$, et\nla fonction est continue : elle prend donc cette valeur au\nmoins une fois entre $1$ et $4$."
            },
            {
              "text": "Elle admet exactement une solution dans $[1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte\nmonotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$\nplusieurs fois."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur\nprise aux bornes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs\n**intermédiaires**, celles comprises entre $-2$ et\n$6$."
            },
            {
              "text": "Elle admet une solution, mais en dehors de\n$[1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intervalle déplacé : le théorème localise la solution\nentre les deux bornes, là où le changement de signe a\nlieu."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur\n$[a\\ ;\\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,\nl'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur\n$[a\\ ;\\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[0\\ ;\\ 5]$, avec\n$f(0) = -7$ et $f(5) = 3$. Que garantit le théorème\ndes valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet au moins une solution dans $[0\\ ;\\ 5]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-7$ et $3$, et\nla fonction est continue : elle prend donc cette valeur au\nmoins une fois entre $0$ et $5$."
            },
            {
              "text": "Elle admet exactement une solution dans $[0\\ ;\\ 5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte\nmonotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$\nplusieurs fois."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur\nprise aux bornes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs\n**intermédiaires**, celles comprises entre $-7$ et\n$3$."
            },
            {
              "text": "Elle admet une solution, mais en dehors de\n$[0\\ ;\\ 5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intervalle déplacé : le théorème localise la solution\nentre les deux bornes, là où le changement de signe a\nlieu."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur\n$[a\\ ;\\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,\nl'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur\n$[a\\ ;\\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[2\\ ;\\ 8]$, avec\n$f(2) = -1$ et $f(8) = 9$. Que garantit le théorème\ndes valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet au moins une solution dans $[2\\ ;\\ 8]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-1$ et $9$, et\nla fonction est continue : elle prend donc cette valeur au\nmoins une fois entre $2$ et $8$."
            },
            {
              "text": "Elle admet exactement une solution dans $[2\\ ;\\ 8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte\nmonotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$\nplusieurs fois."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur\nprise aux bornes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs\n**intermédiaires**, celles comprises entre $-1$ et\n$9$."
            },
            {
              "text": "Elle admet une solution, mais en dehors de\n$[2\\ ;\\ 8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intervalle déplacé : le théorème localise la solution\nentre les deux bornes, là où le changement de signe a\nlieu."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur\n$[a\\ ;\\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,\nl'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur\n$[a\\ ;\\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[-1\\ ;\\ 3]$, avec\n$f(-1) = -4$ et $f(3) = 5$. Que garantit le théorème\ndes valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet au moins une solution dans $[-1\\ ;\\ 3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-4$ et $5$, et\nla fonction est continue : elle prend donc cette valeur au\nmoins une fois entre $-1$ et $3$."
            },
            {
              "text": "Elle admet exactement une solution dans $[-1\\ ;\\ 3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte\nmonotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$\nplusieurs fois."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur\nprise aux bornes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs\n**intermédiaires**, celles comprises entre $-4$ et\n$5$."
            },
            {
              "text": "Elle admet une solution, mais en dehors de\n$[-1\\ ;\\ 3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intervalle déplacé : le théorème localise la solution\nentre les deux bornes, là où le changement de signe a\nlieu."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur\n$[a\\ ;\\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,\nl'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur\n$[a\\ ;\\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "dichotomie",
        "encadrement",
        "logarithme"
      ],
      "title": "Une étape de dichotomie sur le logarithme",
      "partie": "continuite",
      "statement": "On cherche la solution de $\\ln x = 1{,}5$ dans $[4\\,;\\,5]$, sachant que\n$\\ln 4 \\approx 1{,}386$ et $\\ln 5 \\approx 1{,}609$. On calcule\n$\\ln 4{,}5 \\approx 1{,}504$. Quel nouvel encadrement obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4 < x < 4{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln 4 < 1{,}5 < \\ln 4{,}5$ et $\\ln$ est\nstrictement croissante, donc la solution est entre $4$ et\n$4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$4{,}5 < x < 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 4{,}5 \\approx 1{,}504$ dépasse déjà $1{,}5$ ; la\nsolution se trouve avant $4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$x = 4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 4{,}5$ est proche de $1{,}5$ sans lui être égal ;\n$4{,}5$ n'est qu'une valeur approchée de la solution."
        },
        {
          "text": "$1{,}386 < x < 1{,}504$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces nombres sont des images par $\\ln$. L'encadrement\nporte sur $x$."
        }
      ],
      "explanation": "La solution exacte est $e^{1{,}5} \\approx 4{,}48$. Chaque étape de\ndichotomie divise par deux la longueur de l'encadrement."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "fonctions-usuelles",
        "polynome"
      ],
      "title": "Reconnaître une fonction continue sur R",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Laquelle de ces fonctions est continue sur $\\mathbb{R}$ tout\nentier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto x^3 - 2x$, définie partout",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur\n$\\mathbb{R}$.\n"
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$, définie partout sauf en zéro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : non définie en $0$, elle ne peut pas être continue sur\n$\\mathbb{R}$ entier.\n"
        },
        {
          "text": "La fonction partie entière, constante par morceaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle fait un saut à chaque entier.\n"
        },
        {
          "text": "La fonction valant $0$ si $x < 1$ et $1$ si $x \\geq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle saute de $0$ à $1$ en $x = 1$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Polynômes, exponentielle, logarithme sur $]0 ; +\\infty[$ : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition ;\nles sauts sont le signe d'une discontinuité."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "tvi",
        "monotonie",
        "unicite"
      ],
      "title": "Nombre de solutions avec une fonction strictement croissante",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue et strictement croissante sur\n$[1 ; 3]$, avec $f(1) = -2$ et $f(3) = 4$. Combien de solutions\nl'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $[1 ; 3]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(3)$ et la\nfonction est continue, donc il existe une solution ; la stricte\nmonotonie garantit qu'il n'y en a qu'une.\n"
        },
        {
          "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sans la stricte monotonie, ce serait la seule\nconclusion ; avec elle, la solution est unique.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune, $f$ pouvant éviter $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une fonction continue qui passe de $-2$ à $4$ prend\ntoutes les valeurs intermédiaires, dont $0$.\n"
        },
        {
          "text": "Deux, une près de chaque borne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une fonction strictement croissante ne peut prendre\nune même valeur qu'une fois.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Théorème des valeurs intermédiaires et stricte monotonie :\nexistence par le premier, unicité par la seconde."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "tvi",
        "valeur-intermediaire"
      ],
      "title": "Une valeur intermédiaire atteinte",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 4$ admet-elle une solution sur\n$[0 ; 5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, $4$ étant compris entre $1$ et $9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une\nfonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise\nentre $f(0)$ et $f(5)$, dont $4$.\n"
        },
        {
          "text": "Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la continuité garantit **toutes** les valeurs\nintermédiaires, pas seulement celles des bornes.\n"
        },
        {
          "text": "Oui, et cette solution est unique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;\nseule l'existence est garantie.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître la dérivée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que\nla continuité.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une\nsolution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 4$ admet-elle une solution sur\n$[0 ; 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, $4$ étant compris entre $1$ et $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une\nfonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise\nentre $f(0)$ et $f(5)$, dont $4$.\n"
            },
            {
              "text": "Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la continuité garantit **toutes** les valeurs\nintermédiaires, pas seulement celles des bornes.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, et cette solution est unique",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;\nseule l'existence est garantie.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître la dérivée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que\nla continuité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une\nsolution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 7$ admet-elle une solution sur\n$[0 ; 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, $7$ étant compris entre $1$ et $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une\nfonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise\nentre $f(0)$ et $f(5)$, dont $7$.\n"
            },
            {
              "text": "Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la continuité garantit **toutes** les valeurs\nintermédiaires, pas seulement celles des bornes.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, et cette solution est unique",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;\nseule l'existence est garantie.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître la dérivée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que\nla continuité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une\nsolution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 2$ admet-elle une solution sur\n$[0 ; 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, $2$ étant compris entre $1$ et $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une\nfonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise\nentre $f(0)$ et $f(5)$, dont $2$.\n"
            },
            {
              "text": "Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la continuité garantit **toutes** les valeurs\nintermédiaires, pas seulement celles des bornes.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, et cette solution est unique",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;\nseule l'existence est garantie.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître la dérivée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que\nla continuité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une\nsolution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 6$ admet-elle une solution sur\n$[0 ; 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, $6$ étant compris entre $1$ et $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une\nfonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise\nentre $f(0)$ et $f(5)$, dont $6$.\n"
            },
            {
              "text": "Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la continuité garantit **toutes** les valeurs\nintermédiaires, pas seulement celles des bornes.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, et cette solution est unique",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;\nseule l'existence est garantie.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître la dérivée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que\nla continuité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une\nsolution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "continuite",
        "tvi",
        "unicite",
        "limites-du-theoreme"
      ],
      "title": "Ce que le théorème ne garantit pas",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b]$ avec $f(a) < 0$ et\n$f(b) > 0$, mais on ne sait rien de ses variations. Que peut-on\naffirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle a au moins une solution, peut-être plusieurs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité et le changement de signe donnent\nl'existence ; sans monotonie, une courbe peut traverser l'axe\nplusieurs fois.\n"
        },
        {
          "text": "Elle a exactement une solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'unicité exige la stricte monotonie, qui n'est pas\nsupposée ici.\n"
        },
        {
          "text": "Elle a un nombre pair de solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f$ change de signe entre $a$ et $b$, le nombre de\ntraversées de l'axe est impair si elles sont franches, et rien\nn'empêche un contact sans traversée.\n"
        },
        {
          "text": "Elle n'a aucune solution si $f$ n'est pas dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivabilité n'intervient pas ; la continuité\nsuffit.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence ;\nl'unicité est une conclusion supplémentaire, sous hypothèse de\nstricte monotonie."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limites",
        "quotient",
        "polynomes"
      ],
      "title": "Limite d'un quotient de deux polynômes de même degré",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $f(x) = \\dfrac{3x^2 + 1}\n{x^2 - 2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au\ndénominateur, $f(x) = \\dfrac{3 + \\frac{1}{x^2}}\n{1 - \\frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\\dfrac{3}{1} = 3$.\n"
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne\ns'écrase pas vers $0$.\n"
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.\n"
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ du numérateur ne disparaît pas.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du\nquotient est le quotient des coefficients dominants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $f(x) = \\dfrac{3x^2 + 1}\n{x^2 - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au\ndénominateur, $f(x) = \\dfrac{3 + \\frac{1}{x^2}}\n{1 - \\frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\\dfrac{3}{1} = 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne\ns'écrase pas vers $0$.\n"
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.\n"
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ du numérateur ne disparaît pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du\nquotient est le quotient des coefficients dominants."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $f(x) = \\dfrac{5x^2 + 1}\n{x^2 - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au\ndénominateur, $f(x) = \\dfrac{5 + \\frac{1}{x^2}}\n{1 - \\frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\\dfrac{5}{1} = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne\ns'écrase pas vers $0$.\n"
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.\n"
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $5$ du numérateur ne disparaît pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du\nquotient est le quotient des coefficients dominants."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $f(x) = \\dfrac{2x^2 + 1}\n{x^2 - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au\ndénominateur, $f(x) = \\dfrac{2 + \\frac{1}{x^2}}\n{1 - \\frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\\dfrac{2}{1} = 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne\ns'écrase pas vers $0$.\n"
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.\n"
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $2$ du numérateur ne disparaît pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du\nquotient est le quotient des coefficients dominants."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $f(x) = \\dfrac{4x^2 + 1}\n{x^2 - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au\ndénominateur, $f(x) = \\dfrac{4 + \\frac{1}{x^2}}\n{1 - \\frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\\dfrac{4}{1} = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne\ns'écrase pas vers $0$.\n"
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.\n"
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $4$ du numérateur ne disparaît pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du\nquotient est le quotient des coefficients dominants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "somme",
        "logarithme"
      ],
      "title": "Limite d'une somme avec un logarithme",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $g(x) = \\ln(x) + x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$, somme de deux limites infinies",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(x)$ et $x$ tendent tous deux vers\n$+\\infty$, et la somme de deux limites infinies positives est\n$+\\infty$.\n"
        },
        {
          "text": "$0$, le logarithme ralentissant la croissance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme croît lentement, mais il croît ; il\nn'annule rien.\n"
        },
        {
          "text": "$1$, les deux termes se compensant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il n'y a aucune compensation entre deux termes\npositifs.\n"
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme est croissante et non majorée, sa limite est\n$+\\infty$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Somme de limites : $+\\infty$ plus $+\\infty$ donne $+\\infty$, sans\nforme indéterminée."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "forme-indeterminee",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Lever une forme indéterminée par factorisation",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de $h(x) = x^2 - x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$, en écrivant $x^2 - x = x(x - 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la forme $\\infty - \\infty$ est indéterminée ; en\nfactorisant, $x(x - 1)$ est un produit de deux facteurs qui\ntendent vers $+\\infty$.\n"
        },
        {
          "text": "$0$, les deux termes se compensant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^2$ l'emporte largement sur $x$ ; par exemple\n$h(100) = 9900$.\n"
        },
        {
          "text": "$-\\infty$, car on soustrait une quantité infinie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on soustrait $x$ à $x^2$, bien plus grand ; la\ndifférence est positive et tend vers $+\\infty$.\n"
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la factorisation montre une limite infinie.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Face à $\\infty - \\infty$, on factorise par le terme dominant : le\nsigne et la croissance apparaissent alors."
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "balayage",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une solution par balayage",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement\ncroissante sur $\\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne\n$f(0{,}6) \\approx -0{,}184$ et $f(0{,}7) \\approx 0{,}043$. Quel encadrement\nde la solution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}6 < \\alpha < 0{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ change de signe entre $0{,}6$ et $0{,}7$ ; par\nle théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre\nces deux valeurs."
        },
        {
          "text": "$0{,}5 < \\alpha < 0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $0{,}6$, donc la\nsolution se trouve au-delà de $0{,}6$."
        },
        {
          "text": "$0{,}7 < \\alpha < 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais intervalle : $f(0{,}7)$ est déjà positive, la solution a\nété dépassée avant $0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$-0{,}184 < \\alpha < 0{,}043$",
          "correct": false,
          "feedback": "Images et antécédents confondus : $-0{,}184$ et $0{,}043$ sont des\nvaleurs de $f$, pas des valeurs de $x$."
        }
      ],
      "explanation": "Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de\nsigne. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la\nsolution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement\ncroissante sur $\\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne\n$f(0{,}6) \\approx -0{,}184$ et $f(0{,}7) \\approx 0{,}043$. Quel encadrement\nde la solution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}6 < \\alpha < 0{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ change de signe entre $0{,}6$ et $0{,}7$ ; par\nle théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre\nces deux valeurs."
            },
            {
              "text": "$0{,}5 < \\alpha < 0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $0{,}6$, donc la\nsolution se trouve au-delà de $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7 < \\alpha < 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f(0{,}7)$ est déjà positive, la solution a\nété dépassée avant $0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}184 < \\alpha < 0{,}043$",
              "correct": false,
              "feedback": "Images et antécédents confondus : $-0{,}184$ et $0{,}043$ sont des\nvaleurs de $f$, pas des valeurs de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de\nsigne. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la\nsolution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f(x) = x^3 + x - 3$ est continue et strictement\ncroissante sur $\\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne\n$f(1{,}2) \\approx -0{,}072$ et $f(1{,}3) \\approx 0{,}497$. Quel encadrement\nde la solution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}2 < \\alpha < 1{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ change de signe entre $1{,}2$ et $1{,}3$ ; par\nle théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre\nces deux valeurs."
            },
            {
              "text": "$1{,}1 < \\alpha < 1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $1{,}2$, donc la\nsolution se trouve au-delà de $1{,}2$."
            },
            {
              "text": "$1{,}3 < \\alpha < 1{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f(1{,}3)$ est déjà positive, la solution a\nété dépassée avant $1{,}3$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}072 < \\alpha < 0{,}497$",
              "correct": false,
              "feedback": "Images et antécédents confondus : $-0{,}072$ et $0{,}497$ sont des\nvaleurs de $f$, pas des valeurs de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de\nsigne. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la\nsolution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f(x) = x^3 + x - 4$ est continue et strictement\ncroissante sur $\\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne\n$f(1{,}3) \\approx -0{,}503$ et $f(1{,}4) \\approx 0{,}144$. Quel encadrement\nde la solution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}3 < \\alpha < 1{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ change de signe entre $1{,}3$ et $1{,}4$ ; par\nle théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre\nces deux valeurs."
            },
            {
              "text": "$1{,}2 < \\alpha < 1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $1{,}3$, donc la\nsolution se trouve au-delà de $1{,}3$."
            },
            {
              "text": "$1{,}4 < \\alpha < 1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f(1{,}4)$ est déjà positive, la solution a\nété dépassée avant $1{,}4$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}503 < \\alpha < 0{,}144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Images et antécédents confondus : $-0{,}503$ et $0{,}144$ sont des\nvaleurs de $f$, pas des valeurs de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de\nsigne. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la\nsolution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f(x) = x^3 + x - 5$ est continue et strictement\ncroissante sur $\\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne\n$f(1{,}5) \\approx -0{,}125$ et $f(1{,}6) \\approx 0{,}696$. Quel encadrement\nde la solution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5 < \\alpha < 1{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ change de signe entre $1{,}5$ et $1{,}6$ ; par\nle théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre\nces deux valeurs."
            },
            {
              "text": "$1{,}4 < \\alpha < 1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $1{,}5$, donc la\nsolution se trouve au-delà de $1{,}5$."
            },
            {
              "text": "$1{,}6 < \\alpha < 1{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais intervalle : $f(1{,}6)$ est déjà positive, la solution a\nété dépassée avant $1{,}6$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}125 < \\alpha < 0{,}696$",
              "correct": false,
              "feedback": "Images et antécédents confondus : $-0{,}125$ et $0{,}696$ sont des\nvaleurs de $f$, pas des valeurs de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de\nsigne. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la\nsolution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "dichotomie",
        "precision"
      ],
      "title": "Nombre d'étapes d'une dichotomie",
      "partie": "continuite",
      "statement": "On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur\n$1$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes\nfaut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur\nstrictement inférieure à $0{,}01$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$ étapes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut\n$\\dfrac{1}{2^k}$, et $7$ est le premier entier pour lequel\nelle passe sous $0{,}01$."
        },
        {
          "text": "$6$ étapes",
          "correct": false,
          "feedback": "Une étape de moins : la longueur vaut alors\n$\\dfrac{1}{2^{6}}$, qui n'est pas encore inférieure à\n$0{,}01$."
        },
        {
          "text": "$8$ étapes",
          "correct": false,
          "feedback": "Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à\nl'étape $7$."
        },
        {
          "text": "$100$ étapes",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de pas d'un balayage :\n$\\dfrac{1}{0{,}01} = 100$ ; la dichotomie, qui divise\npar deux, est bien plus rapide."
        }
      ],
      "explanation": "La longueur après $k$ étapes est $\\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le\nplus petit $k$ tel que $\\dfrac{L}{2^k} < \\varepsilon$ : la\nprécision gagne un facteur $1\\,000$ environ toutes les dix étapes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur\n$1$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes\nfaut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur\nstrictement inférieure à $0{,}01$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ étapes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut\n$\\dfrac{1}{2^k}$, et $7$ est le premier entier pour lequel\nelle passe sous $0{,}01$."
            },
            {
              "text": "$6$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : la longueur vaut alors\n$\\dfrac{1}{2^{6}}$, qui n'est pas encore inférieure à\n$0{,}01$."
            },
            {
              "text": "$8$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à\nl'étape $7$."
            },
            {
              "text": "$100$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de pas d'un balayage :\n$\\dfrac{1}{0{,}01} = 100$ ; la dichotomie, qui divise\npar deux, est bien plus rapide."
            }
          ],
          "explanation": "La longueur après $k$ étapes est $\\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le\nplus petit $k$ tel que $\\dfrac{L}{2^k} < \\varepsilon$ : la\nprécision gagne un facteur $1\\,000$ environ toutes les dix étapes."
        },
        {
          "statement": "On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur\n$1$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes\nfaut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur\nstrictement inférieure à $0{,}001$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ étapes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut\n$\\dfrac{1}{2^k}$, et $10$ est le premier entier pour lequel\nelle passe sous $0{,}001$."
            },
            {
              "text": "$9$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : la longueur vaut alors\n$\\dfrac{1}{2^{9}}$, qui n'est pas encore inférieure à\n$0{,}001$."
            },
            {
              "text": "$11$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à\nl'étape $10$."
            },
            {
              "text": "$1000$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de pas d'un balayage :\n$\\dfrac{1}{0{,}001} = 1000$ ; la dichotomie, qui divise\npar deux, est bien plus rapide."
            }
          ],
          "explanation": "La longueur après $k$ étapes est $\\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le\nplus petit $k$ tel que $\\dfrac{L}{2^k} < \\varepsilon$ : la\nprécision gagne un facteur $1\\,000$ environ toutes les dix étapes."
        },
        {
          "statement": "On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur\n$2$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes\nfaut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur\nstrictement inférieure à $0{,}01$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ étapes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut\n$\\dfrac{2}{2^k}$, et $8$ est le premier entier pour lequel\nelle passe sous $0{,}01$."
            },
            {
              "text": "$7$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : la longueur vaut alors\n$\\dfrac{2}{2^{7}}$, qui n'est pas encore inférieure à\n$0{,}01$."
            },
            {
              "text": "$9$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à\nl'étape $8$."
            },
            {
              "text": "$200$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de pas d'un balayage :\n$\\dfrac{2}{0{,}01} = 200$ ; la dichotomie, qui divise\npar deux, est bien plus rapide."
            }
          ],
          "explanation": "La longueur après $k$ étapes est $\\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le\nplus petit $k$ tel que $\\dfrac{L}{2^k} < \\varepsilon$ : la\nprécision gagne un facteur $1\\,000$ environ toutes les dix étapes."
        },
        {
          "statement": "On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur\n$4$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes\nfaut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur\nstrictement inférieure à $0{,}1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ étapes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut\n$\\dfrac{4}{2^k}$, et $6$ est le premier entier pour lequel\nelle passe sous $0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$5$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : la longueur vaut alors\n$\\dfrac{4}{2^{5}}$, qui n'est pas encore inférieure à\n$0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$7$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à\nl'étape $6$."
            },
            {
              "text": "$40$ étapes",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de pas d'un balayage :\n$\\dfrac{4}{0{,}1} = 40$ ; la dichotomie, qui divise\npar deux, est bien plus rapide."
            }
          ],
          "explanation": "La longueur après $k$ étapes est $\\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le\nplus petit $k$ tel que $\\dfrac{L}{2^k} < \\varepsilon$ : la\nprécision gagne un facteur $1\\,000$ environ toutes les dix étapes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivation",
        "newton",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Une étape de la méthode de Newton",
      "partie": "etude",
      "statement": "La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par\n$x_1 = x_0 - \\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 2$ et\n$x_0 = 1$, que vaut $x_1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(1) = -1$ et $f'(1) = 2$,\ndonc $x_1 = 1 - \\dfrac{-1}{2} = 1{,}5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : on a ajouté $\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au\nlieu de le retrancher."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur exacte : $\\sqrt{2}$ est la solution cherchée ; une\nétape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée."
        }
      ],
      "explanation": "$x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des\nabscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en\nplus précises de $\\sqrt{c}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par\n$x_1 = x_0 - \\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 2$ et\n$x_0 = 1$, que vaut $x_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(1) = -1$ et $f'(1) = 2$,\ndonc $x_1 = 1 - \\dfrac{-1}{2} = 1{,}5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on a ajouté $\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au\nlieu de le retrancher."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur exacte : $\\sqrt{2}$ est la solution cherchée ; une\nétape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée."
            }
          ],
          "explanation": "$x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des\nabscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en\nplus précises de $\\sqrt{c}$."
        },
        {
          "statement": "La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par\n$x_1 = x_0 - \\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 3$ et\n$x_0 = 2$, que vaut $x_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(2) = 1$ et $f'(2) = 4$,\ndonc $x_1 = 2 - \\dfrac{1}{4} = 1{,}75$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$."
            },
            {
              "text": "$2{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on a ajouté $\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au\nlieu de le retrancher."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur exacte : $\\sqrt{3}$ est la solution cherchée ; une\nétape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée."
            }
          ],
          "explanation": "$x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des\nabscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en\nplus précises de $\\sqrt{c}$."
        },
        {
          "statement": "La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par\n$x_1 = x_0 - \\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 5$ et\n$x_0 = 2$, que vaut $x_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(2) = -1$ et $f'(2) = 4$,\ndonc $x_1 = 2 - \\dfrac{-1}{4} = 2{,}25$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$."
            },
            {
              "text": "$1{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on a ajouté $\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au\nlieu de le retrancher."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur exacte : $\\sqrt{5}$ est la solution cherchée ; une\nétape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée."
            }
          ],
          "explanation": "$x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des\nabscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en\nplus précises de $\\sqrt{c}$."
        },
        {
          "statement": "La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par\n$x_1 = x_0 - \\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 6$ et\n$x_0 = 2$, que vaut $x_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(2) = -2$ et $f'(2) = 4$,\ndonc $x_1 = 2 - \\dfrac{-2}{4} = 2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$."
            },
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : on a ajouté $\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au\nlieu de le retrancher."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur exacte : $\\sqrt{6}$ est la solution cherchée ; une\nétape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée."
            }
          ],
          "explanation": "$x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des\nabscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en\nplus précises de $\\sqrt{c}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivation",
        "exponentielle",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $e^{ax^2}$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{2x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 4x\\,e^{2x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 2x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et\n$u'(x) = 4x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{2x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : la dérivée de $2x^2$ est $4x$, et non\n$2x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = e^{2x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur\n$u'(x) = 4x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 4x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans\nle multiplier par $e^{2x^2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ :\nl'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de\nl'exposant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{2x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 4x\\,e^{2x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 2x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et\n$u'(x) = 4x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{2x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : la dérivée de $2x^2$ est $4x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{2x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur\n$u'(x) = 4x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans\nle multiplier par $e^{2x^2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ :\nl'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de\nl'exposant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{3x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 6x\\,e^{3x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et\n$u'(x) = 6x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{3x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : la dérivée de $3x^2$ est $6x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{3x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur\n$u'(x) = 6x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans\nle multiplier par $e^{3x^2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ :\nl'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de\nl'exposant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{4x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 8x\\,e^{4x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 4x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et\n$u'(x) = 8x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{4x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : la dérivée de $4x^2$ est $8x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{4x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur\n$u'(x) = 8x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans\nle multiplier par $e^{4x^2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ :\nl'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de\nl'exposant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{5x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 10x\\,e^{5x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 5x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et\n$u'(x) = 10x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{5x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : la dérivée de $5x^2$ est $10x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{5x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur\n$u'(x) = 10x$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 10x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans\nle multiplier par $e^{5x^2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ :\nl'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de\nl'exposant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "logarithme",
        "reciproque",
        "courbe"
      ],
      "title": "Courbes de l'exponentielle et du logarithme",
      "partie": "logarithme",
      "statement": "Comment la courbe de la fonction $\\ln$ se déduit-elle de celle de\nla fonction exponentielle dans un repère orthonormé ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par la symétrie d'axe la droite $y = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ est la réciproque de $\\exp$ ; le point\n$(a\\,;\\,b)$ de l'une correspond au point $(b\\,;\\,a)$ de\nl'autre."
        },
        {
          "text": "Par la symétrie d'axe l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise symétrie : elle donnerait la courbe de $-e^x$,\ntoujours négative, alors que $\\ln$ prend des valeurs\npositives."
        },
        {
          "text": "Par la symétrie de centre l'origine du repère",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise symétrie : elle donnerait la courbe de $-e^{-x}$,\ndéfinie sur $\\mathbb{R}$ tout entier."
        },
        {
          "text": "Par la translation de vecteur $(1\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une translation conserve l'allure : elle ne transforme pas\nl'asymptote horizontale $y = 0$ en asymptote verticale."
        }
      ],
      "explanation": "Si $y = e^x$, alors $x = \\ln y$ : échanger les rôles de $x$ et $y$\nrevient à appliquer la symétrie par rapport à la droite $y = x$."
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "reciproque",
        "point"
      ],
      "title": "Un point de la courbe réciproque",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$ vérifie $f(2) = 5$. Quel point appartient à la\ncourbe de sa fonction réciproque ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le point $(5\\,;\\,2)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(5) = 2$, les\ncoordonnées s'échangent."
        },
        {
          "text": "Le point $(2\\,;\\,5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange\nantécédent et image."
        },
        {
          "text": "Le point $(-2\\,;\\,-5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la\nréciproque."
        },
        {
          "text": "Le point $(2\\,;\\,-5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la\ncourbe de $-f$."
        }
      ],
      "explanation": "Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par\nrapport à la droite $y = x$ : le point $(a\\,;\\,b)$ devient\n$(b\\,;\\,a)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$ vérifie $f(2) = 5$. Quel point appartient à la\ncourbe de sa fonction réciproque ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le point $(5\\,;\\,2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(5) = 2$, les\ncoordonnées s'échangent."
            },
            {
              "text": "Le point $(2\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange\nantécédent et image."
            },
            {
              "text": "Le point $(-2\\,;\\,-5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la\nréciproque."
            },
            {
              "text": "Le point $(2\\,;\\,-5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la\ncourbe de $-f$."
            }
          ],
          "explanation": "Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par\nrapport à la droite $y = x$ : le point $(a\\,;\\,b)$ devient\n$(b\\,;\\,a)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$ vérifie $f(1) = 3$. Quel point appartient à la\ncourbe de sa fonction réciproque ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le point $(3\\,;\\,1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(3) = 1$, les\ncoordonnées s'échangent."
            },
            {
              "text": "Le point $(1\\,;\\,3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange\nantécédent et image."
            },
            {
              "text": "Le point $(-1\\,;\\,-3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la\nréciproque."
            },
            {
              "text": "Le point $(1\\,;\\,-3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la\ncourbe de $-f$."
            }
          ],
          "explanation": "Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par\nrapport à la droite $y = x$ : le point $(a\\,;\\,b)$ devient\n$(b\\,;\\,a)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$ vérifie $f(4) = 7$. Quel point appartient à la\ncourbe de sa fonction réciproque ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le point $(7\\,;\\,4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(7) = 4$, les\ncoordonnées s'échangent."
            },
            {
              "text": "Le point $(4\\,;\\,7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange\nantécédent et image."
            },
            {
              "text": "Le point $(-4\\,;\\,-7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la\nréciproque."
            },
            {
              "text": "Le point $(4\\,;\\,-7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la\ncourbe de $-f$."
            }
          ],
          "explanation": "Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par\nrapport à la droite $y = x$ : le point $(a\\,;\\,b)$ devient\n$(b\\,;\\,a)$."
        },
        {
          "statement": "Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$ vérifie $f(3) = 8$. Quel point appartient à la\ncourbe de sa fonction réciproque ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le point $(8\\,;\\,3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(8) = 3$, les\ncoordonnées s'échangent."
            },
            {
              "text": "Le point $(3\\,;\\,8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange\nantécédent et image."
            },
            {
              "text": "Le point $(-3\\,;\\,-8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la\nréciproque."
            },
            {
              "text": "Le point $(3\\,;\\,-8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la\ncourbe de $-f$."
            }
          ],
          "explanation": "Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par\nrapport à la droite $y = x$ : le point $(a\\,;\\,b)$ devient\n$(b\\,;\\,a)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q62",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "valeurs-intermediaires",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Compter des solutions sur une courbe",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La courbe représente une fonction $f$ continue sur $[-2\\,;\\,4]$.\nCombien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle sur cet\nintervalle ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2,-3) grid (4,5);\n    \\draw[->] (-2.2,0) -- (4.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-3.2) -- (0,5.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[dashed] (-2,1) -- (4,1) node[right,font=\\small] {$y = 1$};\n  \\draw[domain=-2:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{0.25*(\\x+1)*(\\x-1)*(\\x-3)+1});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3.6,4.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Courbe d'une fonction continue sur [-2 ; 4] : elle part de -2,75\nenviron en x = -2, monte jusqu'à un maximum d'environ 1,8 près\nde x = 0, redescend jusqu'à un minimum d'environ 0,2 près de x =\n2, puis remonte jusqu'à environ 4,75 en x = 4. Une droite\nhorizontale en pointillés d'équation y = 1 coupe la courbe en x\n= -1, x = 1 et x = 3.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"160.843pt\" height=\"185.912pt\" viewBox=\"0 0 160.843 185.912\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 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-0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 6.34375 -2.96875 C 6.46875 -2.96875 6.640625 -2.96875 6.640625 -3.15625 C 6.640625 -3.34375 6.4375 -3.34375 6.296875 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.15625 C 0.515625 -2.96875 0.6875 -2.96875 0.8125 -2.96875 Z M 6.296875 -1.140625 C 6.4375 -1.140625 6.640625 -1.140625 6.640625 -1.328125 C 6.640625 -1.515625 6.46875 -1.515625 6.34375 -1.515625 L 0.8125 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.296875 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 4.5 -3.453125 C 4.5 -3.484375 4.515625 -3.546875 4.515625 -3.59375 C 4.515625 -3.71875 4.4375 -3.859375 4.25 -3.859375 C 4.125 -3.859375 3.96875 -3.78125 3.890625 -3.609375 C 3.890625 -3.578125 3.796875 -3.21875 3.75 -3.015625 L 3.296875 -1.234375 C 3.21875 -0.96875 3.21875 -0.953125 3.203125 -0.875 C 3.203125 -0.828125 2.8125 -0.125 2.171875 -0.125 C 1.625 -0.125 1.625 -0.6875 1.625 -0.859375 C 1.625 -1.265625 1.734375 -1.703125 2.125 -2.703125 C 2.1875 -2.90625 2.25 -3.03125 2.25 -3.203125 C 2.25 -3.640625 1.921875 -3.953125 1.484375 -3.953125 C 0.625 -3.953125 0.265625 -2.6875 0.265625 -2.578125 C 0.265625 -2.5 0.328125 -2.46875 0.390625 -2.46875 C 0.484375 -2.46875 0.5 -2.53125 0.53125 -2.640625 C 0.71875 -3.296875 1.078125 -3.734375 1.453125 -3.734375 C 1.671875 -3.734375 1.671875 -3.5625 1.671875 -3.4375 C 1.671875 -3.28125 1.625 -3.125 1.546875 -2.90625 C 1.125 -1.796875 1.015625 -1.421875 1.015625 -1 C 1.015625 0 1.8125 0.09375 2.15625 0.09375 C 2.59375 0.09375 2.90625 -0.140625 3.0625 -0.296875 C 2.953125 0.15625 2.84375 0.5625 2.5 1.015625 C 2.234375 1.375 1.875 1.609375 1.484375 1.609375 C 1.234375 1.609375 0.9375 1.515625 0.8125 1.265625 C 1.28125 1.265625 1.34375 0.875 1.34375 0.78125 C 1.34375 0.59375 1.203125 0.46875 1 0.46875 C 0.78125 0.46875 0.5 0.640625 0.5 1.046875 C 0.5 1.515625 0.90625 1.828125 1.484375 1.828125 C 2.390625 1.828125 3.359375 1.0625 3.625 0.015625 Z M 4.5 -3.453125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 14 L 142 14 L 142 185.777344 L 0 185.777344 Z M 0 14 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -39.68658 -59.528598 L 79.370926 -59.528598 M -39.68658 -39.685029 L 79.370926 -39.685029 M -39.68658 -19.84146 L 79.370926 -19.84146 M -39.68658 -0.00180036 L 79.370926 -0.00180036 M -39.68658 19.841769 L 79.370926 19.841769 M -39.68658 39.685338 L 79.370926 39.685338 M -39.68658 59.528908 L 79.370926 59.528908 M -39.68658 79.372477 L 79.370926 79.372477 M -39.68658 99.208226 L 79.370926 99.208226 M -39.68658 -59.528598 L -39.68658 99.212136 M -19.84301 -59.528598 L -19.84301 99.212136 M 0.000558821 -59.528598 L 0.000558821 99.212136 M 19.844128 -59.528598 L 19.844128 99.212136 M 39.683787 -59.528598 L 39.683787 99.212136 M 59.527357 -59.528598 L 59.527357 99.212136 M 79.363106 -59.528598 L 79.363106 99.212136 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 50.835379, 120.154451)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -43.655294 -0.00180036 L 84.923215 -0.00180036 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 50.835379, 120.154451)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.074035 2.391158 C -1.694759 0.956165 -0.850185 0.279724 -0.00170144 -0.00180036 C -0.850185 -0.279415 -1.694759 -0.955856 -2.074035 -2.390849 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 135.8767, 120.154451)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"139.591744\" y=\"127.955836\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000558821 -63.497312 L 0.000558821 104.768336 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 50.835379, 120.154451)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071585 2.3924 C -1.692308 0.957407 -0.851645 0.277056 0.000748752 -0.000558821 C 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fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"108.003577\" y=\"133.010902\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"31.987777\" y=\"162.271341\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"39.148787\" y=\"162.271341\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"31.987777\" y=\"142.44869\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"39.148787\" y=\"142.44869\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"39.148787\" y=\"103.216984\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"39.148787\" y=\"83.394333\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"39.148787\" y=\"63.570683\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"39.148787\" y=\"43.748032\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -39.68658 19.841769 L 79.370926 19.841769 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 50.835379, 120.154451)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"133.644549\" y=\"102.346834\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"141.057313\" y=\"102.346834\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"150.770974\" y=\"102.346834\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -39.68658 -54.566728 C -39.68658 -54.566728 -38.595672 -48.420109 -38.177296 -46.152273 C -37.758919 -43.888347 -37.090298 -40.3732 -36.671921 -38.246126 C -36.253545 -36.122962 -35.581014 -32.822868 -35.166547 -30.828736 C -34.74817 -28.838514 -34.07564 -25.749565 -33.657263 -23.888375 C -33.238886 -22.023275 -32.570265 -19.141558 -32.151889 -17.40549 C -31.733512 -15.669422 -31.060981 -12.991029 -30.642604 -11.376173 C -30.224228 -9.765227 -29.555607 -7.278427 -29.13723 -5.784783 C -28.718853 -4.291139 -28.046322 -1.992022 -27.631856 -0.61568 C -27.213479 0.760662 -26.540948 2.879916 -26.122572 4.146776 C -25.704195 5.409727 -25.035574 7.349118 -24.617197 8.506497 C -24.198821 9.663875 -23.52629 11.431224 -23.107913 12.483031 C -22.689536 13.534837 -22.020916 15.137963 -21.602539 16.088109 C -21.184162 17.038254 -20.515541 18.481067 -20.097165 19.333461 C -19.678788 20.185854 -19.006257 21.472265 -18.58788 22.230817 C -18.169504 22.98937 -17.500883 24.131108 -17.082506 24.799729 C -16.664129 25.468349 -15.991599 26.469326 -15.573222 27.051925 C -15.154845 27.634524 -14.486224 28.494738 -14.067848 28.991316 C -13.649471 29.491804 -12.98085 30.222986 -12.562473 30.641363 C -12.144097 31.059739 -11.471566 31.665799 -11.053189 32.009885 C -10.634812 32.35397 -9.966192 32.842728 -9.547815 33.112522 C -9.129438 33.382317 -8.456907 33.757683 -8.038531 33.961006 C -7.620154 34.160419 -6.951533 34.430214 -6.533156 34.567066 C -6.11478 34.703918 -5.446159 34.868141 -5.027782 34.942432 C -4.609405 35.020633 -3.936875 35.091014 -3.518498 35.106655 C -3.100121 35.126205 -2.4315 35.106655 -2.013124 35.067554 C -1.594747 35.032363 -0.922216 34.926792 -0.503839 34.84077 C -0.0893726 34.750839 0.583158 34.570976 1.001535 34.434124 C 1.419912 34.301182 2.088532 34.047028 2.506909 33.871075 C 2.925286 33.691212 3.597817 33.370587 4.016193 33.151623 C 4.43457 32.93266 5.103191 32.553384 5.521568 32.299229 C 5.939944 32.045075 6.612475 31.607148 7.030852 31.317804 C 7.445319 31.032369 8.117849 30.547521 8.536226 30.230806 C 8.954603 29.914091 9.623224 29.386233 10.0416 29.046057 C 10.459977 28.701972 11.132508 28.135012 11.550885 27.771377 C 11.969261 27.411651 12.637882 26.809501 13.056259 26.430225 C 13.474636 26.047039 14.147166 25.421429 14.561633 25.026512 C 14.98001 24.631596 15.652541 23.986436 16.070917 23.579789 C 16.489294 23.173143 17.157915 22.512342 17.576292 22.101785 C 17.994668 21.687319 18.667199 21.018698 19.085576 20.600321 C 19.503953 20.181944 20.172573 19.513324 20.59095 19.094947 C 21.009327 18.67657 21.677948 18.007949 22.096324 17.593483 C 22.514701 17.182926 23.187232 16.522126 23.605609 16.115479 C 24.023985 15.708832 24.692606 15.063672 25.110983 14.668756 C 25.52936 14.269929 26.20189 13.644319 26.620267 13.265043 C 27.038644 12.881857 27.707265 12.283617 28.125641 11.919981 C 28.544018 11.556346 29.212639 10.989387 29.631016 10.649211 C 30.049392 10.309036 30.721923 9.777267 31.1403 9.460552 C 31.558677 9.143837 32.227297 8.658989 32.645674 8.373554 C 33.064051 8.08421 33.736582 7.646283 34.154958 7.392129 C 34.573335 7.137975 35.241956 6.754788 35.660333 6.539735 C 36.078709 6.320771 36.74733 6.000146 37.165707 5.820283 C 37.584084 5.64042 38.256614 5.386266 38.674991 5.253324 C 39.093368 5.116472 39.761989 4.932699 40.180365 4.846678 C 40.598742 4.756746 41.271273 4.655085 41.68965 4.615984 C 42.104116 4.580793 42.776647 4.561243 43.195024 4.576883 C 43.613401 4.592524 44.282021 4.662905 44.700398 4.737196 C 45.118775 4.811487 45.791306 4.97962 46.209682 5.116472 C 46.628059 5.249414 47.29668 5.519208 47.715057 5.718622 C 48.133433 5.921945 48.805964 6.297311 49.224341 6.567105 C 49.638808 6.8369 50.311338 7.321747 50.729715 7.665833 C 51.148092 8.006008 51.816713 8.615978 52.235089 9.034355 C 52.653466 9.452732 53.325997 10.183914 53.744374 10.680492 C 54.16275 11.17707 54.831371 12.041193 55.249748 12.619883 C 55.668125 13.202482 56.340655 14.199548 56.755122 14.868169 C 57.173499 15.53679 57.84603 16.674618 58.264406 17.43317 C 58.682783 18.191722 59.351404 19.482043 59.769781 20.334437 C 60.188157 21.182921 60.860688 22.625734 61.279065 23.575879 C 61.697442 24.526024 62.366062 26.12915 62.784439 27.180957 C 63.202816 28.228854 63.875347 29.996202 64.289813 31.153581 C 64.70819 32.31096 65.380721 34.246441 65.799098 35.513301 C 66.217474 36.776251 66.886095 38.891595 67.304472 40.267938 C 67.722849 41.64428 68.395379 43.943397 68.813756 45.437041 C 69.232133 46.926775 69.900754 49.413575 70.31913 51.024521 C 70.737507 52.639377 71.406128 55.31777 71.824505 57.053838 C 72.242881 58.785996 72.915412 61.667712 73.333789 63.528902 C 73.752166 65.390092 74.420786 68.479042 74.839163 70.469264 C 75.25754 72.459486 75.930071 75.759579 76.348447 77.882743 C 76.766824 80.009817 77.435445 83.524964 77.853822 85.78889 C 78.272198 88.052817 79.359196 94.195525 79.359196 94.195525 \" transform=\"matrix(0.999025, 0, 0, -0.999025, 50.835379, 120.154451)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"117.38442\" y=\"36.863752\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"122.244676\" y=\"37.925715\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Trois solutions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe\nen trois points, d'abscisses $-1$, $1$ et $3$."
        },
        {
          "text": "Une seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une\nsolution, mais la lecture graphique en montre davantage."
        },
        {
          "text": "Deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Un point d'intersection oublié : la courbe traverse la droite\n$y = 1$ en montant, en descendant puis en remontant."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "La courbe passe de valeurs inférieures à $1$ à des valeurs\nsupérieures : elle coupe forcément la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de solutions de $f(x) = k$ est le nombre de points\nd'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation\n$y = k$. Sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, il\ny en a au plus une."
    },
    {
      "id": "q63",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptote",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Lire deux asymptotes sur une courbe",
      "partie": "limites",
      "statement": "La courbe représente une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\nprivé de $1$. Quelles asymptotes lit-on sur la figure ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3,-2) grid (5,6);\n    \\draw[->] (-3.2,0) -- (5.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-2.2) -- (0,6.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {-1,1,2,3,4,5} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-3:0.75,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{2+1/(\\x-1)});\n  \\draw[domain=1.25:5,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{2+1/(\\x-1)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (4.5,2.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Courbe en deux branches. À gauche de x = 1, elle descend vers\nmoins l'infini quand x s'approche de 1. À droite de x = 1, elle\npart de plus l'infini et redescend. Aux deux extrémités du\ngraphique, la courbe se rapproche de la droite horizontale y =\n2.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"185.379pt\" height=\"185.912pt\" viewBox=\"0 0 185.379 185.912\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 -5.71875 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.828125 1.046875 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.875 3.359375 -3.75 2.390625 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.96875 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.71875 3.765625 -5.84375 C 3.765625 -5.921875 3.71875 -5.953125 3.671875 -5.953125 C 3.65625 -5.953125 3.640625 -5.953125 3.5625 -5.90625 C 3.140625 -5.734375 2.71875 -5.671875 2.34375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.90625 C 1.0625 -5.953125 1.046875 -5.953125 1.03125 -5.953125 C 0.921875 -5.953125 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.71875 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.375 -2.328125 3.375 -2.46875 C 3.375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.609375 -2.5625 C 2.78125 -3.546875 2.78125 -3.546875 2.8125 -3.65625 C 2.84375 -3.796875 2.84375 -3.84375 2.9375 -3.921875 C 3.015625 -3.96875 3.0625 -4 3.15625 -4 C 3.25 -4 3.34375 -3.984375 3.421875 -3.9375 C 3.3125 -3.890625 3.203125 -3.765625 3.203125 -3.625 C 3.203125 -3.5 3.296875 -3.390625 3.453125 -3.390625 C 3.609375 -3.390625 3.78125 -3.53125 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.421875 -4.1875 3.15625 -4.1875 C 2.890625 -4.1875 2.484375 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.328125 2.234375 -3.203125 2.203125 -2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.90625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 93 L 92 93 L 92 185.558594 L 0 185.558594 Z M 0 93 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -59.529724 -39.684607 L 99.215123 -39.684607 M -59.529724 -19.841011 L 99.215123 -19.841011 M -59.529724 -0.00133501 L 99.215123 -0.00133501 M -59.529724 19.842261 L 99.215123 19.842261 M -59.529724 39.685857 L 99.215123 39.685857 M -59.529724 59.529452 L 99.215123 59.529452 M -59.529724 79.369129 L 99.215123 79.369129 M -59.529724 99.212724 L 99.215123 99.212724 M -59.529724 119.048482 L 99.215123 119.048482 M -59.529724 -39.684607 L -59.529724 119.05632 M -39.686128 -39.684607 L -39.686128 119.05632 M -19.842532 -39.684607 L -19.842532 119.05632 M 0.00106337 -39.684607 L 0.00106337 119.05632 M 19.84074 -39.684607 L 19.84074 119.05632 M 39.684336 -39.684607 L 39.684336 119.05632 M 59.527931 -39.684607 L 59.527931 119.05632 M 79.371527 -39.684607 L 79.371527 119.05632 M 99.207284 -39.684607 L 99.207284 119.05632 \" transform=\"matrix(0.996661, 0, 0, -0.996661, 65.46769, 139.865857)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -63.496091 -0.00133501 L 104.768821 -0.00133501 \" transform=\"matrix(0.996661, 0, 0, -0.996661, 65.46769, 139.865857)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071621 2.38946 C -1.695365 0.954983 -0.848788 0.280857 0.00170736 -0.00133501 C -0.848788 -0.279608 -1.695365 -0.957653 -2.071621 -2.39213 \" transform=\"matrix(0.996661, 0, 0, -0.996661, 170.084236, 139.865857)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"173.789823\" y=\"147.648785\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" 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92.901073 45.074943 C 93.249894 45.047508 93.810359 45.008314 94.163099 44.984798 C 94.51192 44.957363 95.072385 44.918169 95.421206 44.894653 C 95.773946 44.871137 96.334411 44.831944 96.683232 44.808428 C 97.032053 44.784912 97.596437 44.749638 97.945258 44.726122 C 98.294079 44.702606 99.207284 44.647735 99.207284 44.647735 \" transform=\"matrix(0.996661, 0, 0, -0.996661, 65.46769, 139.865857)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"149.657663\" y=\"90.392587\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"154.50642\" y=\"91.451041\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "La verticale $x = 1$ et l'horizontale $y = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe s'envole près de $x = 1$ et se\nrapproche de la hauteur $2$ aux deux extrémités."
        },
        {
          "text": "La verticale $x = 2$ et l'horizontale $y = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : la valeur interdite $1$ donne la verticale,\nla limite à l'infini $2$ donne l'horizontale."
        },
        {
          "text": "Uniquement la verticale $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Asymptote horizontale oubliée : quand $x$ devient grand,\n$f(x)$ se rapproche de $2$."
        },
        {
          "text": "Uniquement l'horizontale $y = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Asymptote verticale oubliée : près de $x = 1$, $f(x)$ devient\naussi grand ou aussi petit que l'on veut."
        }
      ],
      "explanation": "Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale\nd'équation $x = a$ ; une limite finie $\\ell$ en l'infini donne une\nasymptote horizontale d'équation $y = \\ell$. Ici\n$f(x) = 2 + \\dfrac{1}{x - 1}$."
    }
  ]
}