{
  "chapter": {
    "id": "integration-mc",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Intégration",
    "description": "Intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la\ncourbe, relation de Chasles, valeur moyenne (comprise entre les\nbornes de la fonction), méthode des rectangles, extension aux\nfonctions de signe quelconque, théorème fondamental et calcul\npar primitives ($F(b) - F(a)$), aire entre deux courbes.",
    "parties": [
      {
        "id": "definition",
        "title": "Intégrale, aire et fonction aire"
      },
      {
        "id": "proprietes",
        "title": "Propriétés et encadrements"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Calculs par primitives"
      },
      {
        "id": "approximations",
        "title": "Méthodes approchées"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "aire"
      ],
      "title": "L'intégrale comme aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "Pour $f$ continue et positive sur $[a\\,;\\,b]$, que\nreprésente $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'aire sous la courbe entre les droites $x = a$ et $x = b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du programme, appuyée\nsur la notion intuitive d'aire : l'aire, en unités d'aire,\ndu domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et\nles droites $x = a$ et $x = b$."
        },
        {
          "text": "La variation $f(b) - f(a)$ de la fonction entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $f(b) - f(a)$ est un accroissement. Le\ncalcul par primitive donne $F(b) - F(a)$, avec $F$\n**primitive** de $f$."
        },
        {
          "text": "La pente moyenne de la courbe entre $x = a$ et $x = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pente relève de la dérivation. L'intégrale\n**cumule** les valeurs : c'est une aire."
        },
        {
          "text": "La plus grande valeur prise par $f$ sur l'intervalle $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la plus grande valeur de $f$ est une valeur\nponctuelle ; l'aire agrège toute la plage $[a\\,;\\,b]$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b f(x)\\,dx$ est l'aire sous la courbe (pour\n$f \\geq 0$), c'est-à-dire l'aire du domaine compris entre la\ncourbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$,\navec les propriétés héritées de l'aire : additivité\n(Chasles), invariance par translation et symétrie."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "primitive"
      ],
      "title": "Calcul par une primitive",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{2} 4x^3\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^4$ est une primitive de $4x^3$, et\n$F(2) - F(1) = 16 - 1 = 15$."
        },
        {
          "text": "$28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une\nprimitive, et non par $f(2) - f(1)$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul incomplet : $16 = F(2)$, il faut encore retrancher\n$F(1) = 1$."
        },
        {
          "text": "$32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de la fonction : $f(2) = 32$ n'est pas l'aire\ncumulée entre $1$ et $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour toute primitive $F$ de $f$,\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Ici\n$\\left[x^4\\right]_{1}^{2} = 15$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{2} 4x^3\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^4$ est une primitive de $4x^3$, et\n$F(2) - F(1) = 16 - 1 = 15$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une\nprimitive, et non par $f(2) - f(1)$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul incomplet : $16 = F(2)$, il faut encore retrancher\n$F(1) = 1$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de la fonction : $f(2) = 32$ n'est pas l'aire\ncumulée entre $1$ et $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour toute primitive $F$ de $f$,\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Ici\n$\\left[x^4\\right]_{1}^{2} = 15$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{3} 4x^3\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^4$ est une primitive de $4x^3$, et\n$F(3) - F(1) = 81 - 1 = 80$."
            },
            {
              "text": "$104$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une\nprimitive, et non par $f(3) - f(1)$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul incomplet : $81 = F(3)$, il faut encore retrancher\n$F(1) = 1$."
            },
            {
              "text": "$108$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de la fonction : $f(3) = 108$ n'est pas l'aire\ncumulée entre $1$ et $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour toute primitive $F$ de $f$,\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Ici\n$\\left[x^4\\right]_{1}^{3} = 80$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{2}^{3} 4x^3\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^4$ est une primitive de $4x^3$, et\n$F(3) - F(2) = 81 - 16 = 65$."
            },
            {
              "text": "$76$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une\nprimitive, et non par $f(3) - f(2)$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul incomplet : $81 = F(3)$, il faut encore retrancher\n$F(2) = 16$."
            },
            {
              "text": "$108$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de la fonction : $f(3) = 108$ n'est pas l'aire\ncumulée entre $2$ et $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour toute primitive $F$ de $f$,\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Ici\n$\\left[x^4\\right]_{2}^{3} = 65$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{5} 4x^3\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$624$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^4$ est une primitive de $4x^3$, et\n$F(5) - F(1) = 625 - 1 = 624$."
            },
            {
              "text": "$496$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une\nprimitive, et non par $f(5) - f(1)$."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul incomplet : $625 = F(5)$, il faut encore retrancher\n$F(1) = 1$."
            },
            {
              "text": "$500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de la fonction : $f(5) = 500$ n'est pas l'aire\ncumulée entre $1$ et $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour toute primitive $F$ de $f$,\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Ici\n$\\left[x^4\\right]_{1}^{5} = 624$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chasles"
      ],
      "title": "Relation de Chasles",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^{3} f = 7$ et\n$\\displaystyle\\int_{3}^{8} f = 5$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles,\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f = \\int_0^{3} f + \\int_{3}^{8} f = 7 + 5$."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule\nles intégrales."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "La relation de Chasles conclut sans formule pour $f$ : c'est\nune propriété de l'intégrale."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\displaystyle\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$, traduction de\nl'additivité des aires.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^{3} f = 7$ et\n$\\displaystyle\\int_{3}^{8} f = 5$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles,\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f = \\int_0^{3} f + \\int_{3}^{8} f = 7 + 5$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule\nles intégrales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "La relation de Chasles conclut sans formule pour $f$ : c'est\nune propriété de l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\displaystyle\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$, traduction de\nl'additivité des aires."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^{2} f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_{2}^{5} f = 9$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{5} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles,\n$\\displaystyle\\int_0^{5} f = \\int_0^{2} f + \\int_{2}^{5} f = 4 + 9$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule\nles intégrales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "La relation de Chasles conclut sans formule pour $f$ : c'est\nune propriété de l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\displaystyle\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$, traduction de\nl'additivité des aires."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^{1} f = 10$ et\n$\\displaystyle\\int_{1}^{6} f = 6$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{6} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles,\n$\\displaystyle\\int_0^{6} f = \\int_0^{1} f + \\int_{1}^{6} f = 10 + 6$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule\nles intégrales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "La relation de Chasles conclut sans formule pour $f$ : c'est\nune propriété de l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\displaystyle\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$, traduction de\nl'additivité des aires."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^{4} f = 6$ et\n$\\displaystyle\\int_{4}^{9} f = 8$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{9} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles,\n$\\displaystyle\\int_0^{9} f = \\int_0^{4} f + \\int_{4}^{9} f = 6 + 8$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule\nles intégrales."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "La relation de Chasles conclut sans formule pour $f$ : c'est\nune propriété de l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\displaystyle\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$, traduction de\nl'additivité des aires."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Valeur moyenne",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "La vitesse $v$ d'un véhicule, en km/h, vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^{2} v(t)\\,dt = 150$, le temps étant en\nheures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?",
      "options": [
        {
          "text": "$75$ km/h",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne vaut\n$\\dfrac{1}{2 - 0}\\displaystyle\\int_0^{2} v = \\dfrac{150}{2}$,\ndistance divisée par durée."
        },
        {
          "text": "$150$ km/h",
          "correct": false,
          "feedback": "$150$ est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la\nrapporte à la durée."
        },
        {
          "text": "$300$ km/h",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise\nl'intégrale par la longueur de l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$75$ km",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, $75$\nkm serait une distance."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\displaystyle\\int_a^b f$. Pour une vitesse, c'est\nla distance divisée par la durée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La vitesse $v$ d'un véhicule, en km/h, vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^{2} v(t)\\,dt = 150$, le temps étant en\nheures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$75$ km/h",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne vaut\n$\\dfrac{1}{2 - 0}\\displaystyle\\int_0^{2} v = \\dfrac{150}{2}$,\ndistance divisée par durée."
            },
            {
              "text": "$150$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "$150$ est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la\nrapporte à la durée."
            },
            {
              "text": "$300$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise\nl'intégrale par la longueur de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$75$ km",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, $75$\nkm serait une distance."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\displaystyle\\int_a^b f$. Pour une vitesse, c'est\nla distance divisée par la durée."
        },
        {
          "statement": "La vitesse $v$ d'un véhicule, en km/h, vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^{3} v(t)\\,dt = 240$, le temps étant en\nheures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$ km/h",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne vaut\n$\\dfrac{1}{3 - 0}\\displaystyle\\int_0^{3} v = \\dfrac{240}{3}$,\ndistance divisée par durée."
            },
            {
              "text": "$240$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "$240$ est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la\nrapporte à la durée."
            },
            {
              "text": "$720$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise\nl'intégrale par la longueur de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$80$ km",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, $80$\nkm serait une distance."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\displaystyle\\int_a^b f$. Pour une vitesse, c'est\nla distance divisée par la durée."
        },
        {
          "statement": "La vitesse $v$ d'un véhicule, en km/h, vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^{4} v(t)\\,dt = 260$, le temps étant en\nheures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65$ km/h",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne vaut\n$\\dfrac{1}{4 - 0}\\displaystyle\\int_0^{4} v = \\dfrac{260}{4}$,\ndistance divisée par durée."
            },
            {
              "text": "$260$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "$260$ est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la\nrapporte à la durée."
            },
            {
              "text": "$1040$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise\nl'intégrale par la longueur de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$65$ km",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, $65$\nkm serait une distance."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\displaystyle\\int_a^b f$. Pour une vitesse, c'est\nla distance divisée par la durée."
        },
        {
          "statement": "La vitesse $v$ d'un véhicule, en km/h, vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^{1{,}5} v(t)\\,dt = 135$, le temps étant en\nheures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$90$ km/h",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne vaut\n$\\dfrac{1}{1{,}5 - 0}\\displaystyle\\int_0^{1{,}5} v = \\dfrac{135}{1{,}5}$,\ndistance divisée par durée."
            },
            {
              "text": "$135$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "$135$ est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la\nrapporte à la durée."
            },
            {
              "text": "$202{,}5$ km/h",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise\nl'intégrale par la longueur de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$90$ km",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, $90$\nkm serait une distance."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\displaystyle\\int_a^b f$. Pour une vitesse, c'est\nla distance divisée par la durée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "rectangles"
      ],
      "title": "Méthode des rectangles",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_0^1 f$ avec $f$\n**croissante**, on somme les aires de rectangles dont la\nhauteur est prise au bord **gauche** de chaque subdivision.\nCette approximation est :",
      "options": [
        {
          "text": "Inférieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ croissante : la valeur au bord\ngauche est la plus **petite** du morceau, chaque\nrectangle reste sous la courbe : minoration."
        },
        {
          "text": "Supérieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : la majoration viendrait des bords **droits**\n(les plus hauts pour une croissante)."
        },
        {
          "text": "Exactement égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des marches d'escalier laissent toujours un\nécart avec une courbe (sauf constante) ; l'écart fond\nquand la subdivision s'affine."
        },
        {
          "text": "Tantôt au-dessus, tantôt en dessous",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la monotonie fixe le sens pour **tous** les\nmorceaux : bords gauches $\\Rightarrow$ minoration\nsystématique."
        }
      ],
      "explanation": "Rectangles et monotonie : pour $f$ croissante, bords gauches\nminorent et bords droits majorent : un **encadrement** de\nl'intégrale, qui se resserre avec le pas (mise en œuvre\nalgorithmique au programme)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-quelconque"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction négative",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $f$ continue et négative sur $[0\\,;\\,4]$, le domaine entre\nsa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de $6$ unités.\nQue vaut $\\displaystyle\\int_0^{4} f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\nnégativement."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "$6$ est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une\nfonction négative est négative."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe."
        },
        {
          "text": "Impossible, une intégrale est toujours positive",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive\nau-dessus de l'axe et négative en dessous."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte\npositivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles\nen dessous.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et négative sur $[0\\,;\\,4]$, le domaine entre\nsa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de $6$ unités.\nQue vaut $\\displaystyle\\int_0^{4} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\nnégativement."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une\nfonction négative est négative."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe."
            },
            {
              "text": "Impossible, une intégrale est toujours positive",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive\nau-dessus de l'axe et négative en dessous."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte\npositivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles\nen dessous."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et négative sur $[0\\,;\\,3]$, le domaine entre\nsa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de $4$ unités.\nQue vaut $\\displaystyle\\int_0^{3} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\nnégativement."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$4$ est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une\nfonction négative est négative."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe."
            },
            {
              "text": "Impossible, une intégrale est toujours positive",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive\nau-dessus de l'axe et négative en dessous."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte\npositivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles\nen dessous."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et négative sur $[0\\,;\\,5]$, le domaine entre\nsa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de $9$ unités.\nQue vaut $\\displaystyle\\int_0^{5} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\nnégativement."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une\nfonction négative est négative."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe."
            },
            {
              "text": "Impossible, une intégrale est toujours positive",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive\nau-dessus de l'axe et négative en dessous."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte\npositivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles\nen dessous."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et négative sur $[0\\,;\\,6]$, le domaine entre\nsa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de $12$ unités.\nQue vaut $\\displaystyle\\int_0^{6} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\nnégativement."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$12$ est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une\nfonction négative est négative."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe."
            },
            {
              "text": "Impossible, une intégrale est toujours positive",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive\nau-dessus de l'axe et négative en dessous."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte\npositivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles\nen dessous."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Intégrale de l'exponentielle sur [0 ; 1]",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^x\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^x$ est sa propre primitive :\n$[e^x]_0^1 = e - e^0 = e - 1 \\approx 1{,}72$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il manque la borne inférieure :\n$e^0 = 1$ se retranche."
        },
        {
          "text": "$1 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $F(0) - F(1) = 1 - e$ est l'opposé du résultat ;\nle crochet se lit $F(1) - F(0) = e - 1$, et l'aire sous\nune courbe positive est positive."
        },
        {
          "text": "$e + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $F(b) - F(a) = e - 1$ : on\n**soustrait** la valeur en la borne basse."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e - 1$ : l'exemple du\nprogramme (approché aussi par la méthode des rectangles pour\nvoir converger l'encadrement)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "La fonction aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[a\\,;\\,b]$ et $F(x) =\n\\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$. Que dit le théorème du\nprogramme sur $F$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F$ est dérivable et $F' = f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la « fonction aire cumulée » a pour\ndérivée la fonction intégrée : le pont entre aire et\nprimitive, qui justifie le calcul par $F(b) - F(a)$."
        },
        {
          "text": "$F$ est constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'aire cumulée **grandit** avec $x$ (pour\n$f > 0$) : $F$ est loin d'être constante."
        },
        {
          "text": "$F$ est dérivable et $F = f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'étage : l'aire cumulée n'égale pas la hauteur\ncourante ; c'est sa **dérivée** (vitesse d'accumulation)\nqui vaut $f$."
        },
        {
          "text": "$F$ est dérivable et $F' = f'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : intégrer puis dériver redonne $f$ elle-même,\npas sa dérivée."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème fondamental (au programme) : $x \\mapsto \\int_a^x\nf(t)\\,dt$ est dérivable de dérivée $f$. L'aire s'accumule à\nla vitesse de la hauteur : d'où le calcul des intégrales par\nprimitives."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire-entre-courbes"
      ],
      "title": "Aire entre deux courbes",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,2]$, on a $f(x) \\geq g(x)$. Comment se calcule\nl'aire du domaine compris entre les deux courbes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 \\left(f(x) - g(x)\\right) dx$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la bande entre les courbes a pour\n« hauteur » locale $f(x) - g(x) \\geq 0$ : son aire est\nl'intégrale de la différence."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 f + \\int_0^2 g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme empilerait les deux aires sous les\ncourbes. Le domaine **entre** elles se mesure par la\ndifférence."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 f \\times \\int_0^2 g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun produit d'intégrales ne mesure une aire\nentre courbes."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 g - \\int_0^2 f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : avec $f \\geq g$, cette différence serait\n**négative** : l'aire est $\\int (f - g)$."
        }
      ],
      "explanation": "Aire entre deux courbes (capacité attendue) : $\\int_a^b (f -\ng)$ lorsque $f \\geq g$ sur $[a\\,;\\,b]$ (découper aux points\nde croisement sinon)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-moyenne",
        "encadrement"
      ],
      "title": "La moyenne entre les bornes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction continue vérifie $2 \\leq f(x) \\leq 8$ sur\n$[0\\,;\\,5]$. Que peut-on dire de sa valeur moyenne $\\mu$ sur\ncet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\leq \\mu \\leq 8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne est toujours comprise\nentre les bornes de la fonction (propriété du\nprogramme) : une moyenne ne sort pas de la plage des\nvaleurs."
        },
        {
          "text": "$\\mu = 5$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ serait la moyenne des **bornes** ; la vraie\nmoyenne dépend du temps passé près de chaque valeur."
        },
        {
          "text": "$10 \\leq \\mu \\leq 40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur $5$ : c'est\nl'**intégrale** qui est comprise entre $10$ et $40$, la\nmoyenne reste entre $2$ et $8$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'encadrement de $f$ se transmet à sa moyenne :\nc'est une garantie systématique."
        }
      ],
      "explanation": "Propriété au programme : $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$\n$\\Rightarrow$ $m \\leq \\mu \\leq M$. (En intégrant :\n$m(b-a) \\leq \\int f \\leq M(b-a)$, puis division par\n$b - a$.)"
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calcul",
        "aire-parabole"
      ],
      "title": "Aire sous une parabole",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de\n$f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses. Quelle est son\naire ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n  \\fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\\x,{4-\\x*\\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);\n  \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{4-\\x*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3,2.4) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée\nvers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses\nen -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des\nabscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"182.545pt\" height=\"174.826pt\" viewBox=\"0 0 182.545 174.826\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 -5.71875 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 19 23 L 151 23 L 151 174.523438 L 19 174.523438 Z M 19 23 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 42.480469 119.066406 L 43.917969 113.414062 L 45.355469 107.953125 L 46.792969 102.691406 L 48.230469 97.621094 L 49.667969 92.746094 L 51.105469 88.070312 L 52.542969 83.585938 L 53.980469 79.296875 L 55.417969 75.203125 L 56.855469 71.304688 L 58.292969 67.597656 L 59.730469 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stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -82.915964 -0.000303507 L 82.514885 -0.000303507 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 84.8934, 119.066103)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071987 2.392364 C -1.692136 0.955197 -0.850199 0.277732 -0.000429867 -0.000303507 C -0.850199 -0.278339 -1.692136 -0.955804 -2.071987 -2.392971 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 167.402773, 119.066103)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"171.111498\" y=\"126.855688\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00113393 -19.133813 L 0.00113393 103.777254 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 84.8934, 119.066103)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073634 2.391534 C -1.693783 0.958283 -0.851846 0.280817 0.00183922 -0.00113393 C -0.851846 -0.279169 -1.693783 -0.956635 -2.073634 -2.389886 \" transform=\"matrix(0, -0.997514, -0.997514, 0, 84.8934, 15.349491)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"76.153185\" y=\"9.708681\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"15.399616\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"22.548796\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"36.606756\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"43.755937\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"57.813897\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"64.963077\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"103.802269\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"125.00941\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"146.21655\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"73.605536\" y=\"100.741778\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"73.605536\" y=\"79.534637\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"73.605536\" y=\"58.327497\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"73.605536\" y=\"37.120356\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -54.211783 -53.202896 C -54.211783 -53.202896 -52.884263 -46.502643 -52.375185 -43.992496 C -51.866107 -41.478432 -51.047666 -37.51937 -50.538587 -35.095374 C -50.029509 -32.671379 -49.211068 -28.857208 -48.70199 -26.519364 C -48.192912 -24.185436 -47.37447 -20.508325 -46.865392 -18.260548 C -46.352398 -16.012772 -45.537873 -12.480552 -45.024878 -10.318928 C -44.5158 -8.161219 -43.697359 -4.766059 -43.188281 -2.694502 C -42.679203 -0.622945 -41.860761 2.627323 -41.351683 4.612729 C -40.842605 6.594218 -40.024164 9.703511 -39.515086 11.598848 C -39.006007 13.494186 -38.187566 16.462504 -37.678488 18.271689 C -37.165494 20.076959 -36.347052 22.904301 -35.837974 24.623419 C -35.328896 26.342537 -34.510455 29.028904 -34.001377 30.661871 C -33.492298 32.290921 -32.673857 34.836312 -32.164779 36.379211 C -31.655701 37.922109 -30.83726 40.326525 -30.328181 41.779356 C -29.815187 43.236103 -29.000662 45.495627 -28.487668 46.862307 C -27.978589 48.228986 -27.160148 50.351451 -26.65107 51.628062 C -26.141992 52.90859 -25.323551 54.886163 -24.814472 56.076623 C -24.305394 57.267083 -23.486953 59.10368 -22.977875 60.207988 C -22.468796 61.308381 -21.650355 63.007919 -21.141277 64.022159 C -20.628283 65.032484 -19.813758 66.591046 -19.300763 67.515219 C -18.791685 68.443308 -17.973244 69.856979 -17.464166 70.695 C -16.955087 71.529105 -16.136646 72.801801 -15.627568 73.55367 C -15.11849 74.301624 -14.300049 75.433344 -13.79097 76.095146 C -13.281892 76.756947 -12.463451 77.747692 -11.954373 78.319426 C -11.441379 78.895076 -10.626853 79.740929 -10.113859 80.226511 C -9.604781 80.712094 -8.78634 81.420887 -8.277261 81.816402 C -7.768183 82.215832 -6.949742 82.779734 -6.440664 83.089097 C -5.931586 83.39846 -5.113144 83.821387 -4.604066 84.044598 C -4.094988 84.263893 -3.276547 84.54976 -2.767469 84.682904 C -2.254474 84.812131 -1.436033 84.957023 -0.926955 85.000099 C -0.417877 85.043175 0.400565 85.047091 0.909643 85.000099 C 1.418721 84.957023 2.237162 84.816047 2.74624 84.68682 C 3.255319 84.553676 4.07376 84.271725 4.582838 84.05243 C 5.095832 83.833135 5.910358 83.410208 6.423352 83.100845 C 6.93243 82.791482 7.750871 82.22758 8.259949 81.832066 C 8.769028 81.436551 9.587469 80.731674 10.096547 80.246091 C 10.605625 79.760509 11.424066 78.914656 11.933145 78.342922 C 12.442223 77.771188 13.260664 76.780443 13.769742 76.118641 C 14.282737 75.460756 15.097262 74.329036 15.610256 73.581082 C 16.119334 72.833129 16.937775 71.560433 17.446854 70.722412 C 17.955932 69.888307 18.774373 68.474636 19.283451 67.550463 C 19.79253 66.62629 20.610971 65.071644 21.120049 64.057403 C 21.629127 63.043163 22.447568 61.347541 22.956647 60.247148 C 23.469641 59.146756 24.284166 57.310158 24.79716 56.119699 C 25.306238 54.933155 26.12468 52.955582 26.633758 51.675054 C 27.142836 50.398442 27.961277 48.279894 28.470356 46.913214 C 28.979434 45.546535 29.797875 43.287011 30.306953 41.83418 C 30.816031 40.381349 31.634473 37.976933 32.143551 36.437951 C 32.656545 34.895052 33.47107 32.349661 33.984065 30.72061 C 34.493143 29.09156 35.311584 26.405193 35.820662 24.689991 C 36.32974 22.970873 37.148182 20.143531 37.65726 18.338261 C 38.166338 16.532991 38.984779 13.564674 39.493857 11.669336 C 40.006852 9.773999 40.821377 6.668621 41.334371 4.683216 C 41.843449 2.701727 42.661891 -0.548542 43.170969 -2.620098 C 43.680047 -4.687739 44.498488 -8.078984 45.007566 -10.240608 C 45.516645 -12.398317 46.335086 -15.930536 46.844164 -18.178313 C 47.353242 -20.426089 48.171683 -24.099284 48.680762 -26.433212 C 49.193756 -28.76714 50.008281 -32.585227 50.521275 -35.009223 C 51.030354 -37.429302 51.848795 -41.388364 52.357873 -43.898512 C 52.866951 -46.408659 54.194471 -53.108912 54.194471 -53.108912 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 84.8934, 119.066103)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"143.706806\" y=\"70.116113\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"148.55971\" y=\"71.175473\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\\,dx =\n\\left[4x - \\dfrac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} =\n\\dfrac{32}{3} \\approx 10{,}7$ (la quadrature de la\nparabole, déjà chez Archimède)."
        },
        {
          "text": "$16$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16$ est l'aire du rectangle englobant\n($4 \\times 4$). La parabole en occupe les deux tiers :\n$\\dfrac{32}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{16}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de bornes : $\\dfrac{16}{3} = \\int_0^2 (4 -\nx^2)dx$ : la moitié droite seulement. Le domaine va de\n$-2$ à $2$."
        },
        {
          "text": "$0$ : les deux moitiés se compensent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction est **positive** sur tout\n$[-2\\,;\\,2]$ : rien ne se compense, les moitiés\ns'additionnent."
        }
      ],
      "explanation": "Calcul type (thème « calculs d'aires ») : primitive\n$4x - \\frac{x^3}{3}$, intégrale $\\frac{32}{3}$ : exactement\nles deux tiers du rectangle circonscrit, résultat\nd'Archimède."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "monte-carlo",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Estimer une aire par Monte-Carlo",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on\ntire $10\\,000$ points au hasard dans le carré et on compte\nla proportion de points situés **sous** la courbe. Pourquoi\ncette méthode fonctionne-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "La proportion de points sous la courbe approche l'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque point a une probabilité égale à\nl'aire cherchée (carré d'aire $1$) d'y tomber ; la\nfréquence observée estime ce rapport des aires (loi des\ngrands nombres)."
        },
        {
          "text": "Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les tirages sont uniformes dans **tout** le\ncarré ; c'est le comptage qui filtre."
        },
        {
          "text": "La méthode donne l'aire exacte dès $100$ points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'estimation fluctue (en $1/\\sqrt{n}$) : elle\nse raffine avec le nombre de points sans jamais devenir\nexacte."
        },
        {
          "text": "Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sa force est justement de traiter des formes\n**quelconques**, y compris sans primitive connue."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode de Monte-Carlo (algorithme du programme) :\nprobabilité de tomber dans le domaine $=$ aire relative ;\nla fréquence sur un grand nombre de tirages l'estime.\nPrécieuse quand les primitives manquent."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "integrale-constante"
      ],
      "title": "Intégrale d'une constante",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{4} 5\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : rectangle de hauteur $5$ et de largeur\n$4 - 1 = 3$, d'aire $15$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de\nl'intervalle, $3$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut\n$4 - 1 = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{15}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $2$ vaut pour un triangle ; une fonction\nconstante délimite un rectangle."
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : c'est l'aire d'un\nrectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les\nencadrements.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{4} 5\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : rectangle de hauteur $5$ et de largeur\n$4 - 1 = 3$, d'aire $15$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de\nl'intervalle, $3$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut\n$4 - 1 = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{15}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ vaut pour un triangle ; une fonction\nconstante délimite un rectangle."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : c'est l'aire d'un\nrectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les\nencadrements."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{2}^{6} 3\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : rectangle de hauteur $3$ et de largeur\n$6 - 2 = 4$, d'aire $12$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de\nl'intervalle, $4$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut\n$6 - 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ vaut pour un triangle ; une fonction\nconstante délimite un rectangle."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : c'est l'aire d'un\nrectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les\nencadrements."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{5} 4\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : rectangle de hauteur $4$ et de largeur\n$5 - 1 = 4$, d'aire $16$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de\nl'intervalle, $4$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut\n$5 - 1 = 4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ vaut pour un triangle ; une fonction\nconstante délimite un rectangle."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : c'est l'aire d'un\nrectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les\nencadrements."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{3}^{8} 2\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : rectangle de hauteur $2$ et de largeur\n$8 - 3 = 5$, d'aire $10$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de\nl'intervalle, $5$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut\n$8 - 3 = 5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ vaut pour un triangle ; une fonction\nconstante délimite un rectangle."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : c'est l'aire d'un\nrectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les\nencadrements."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bornes-echangees"
      ],
      "title": "Échanger les bornes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On rappelle la convention : pour une fonction $f$ continue sur\n$[a\\,;\\,b]$, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Sachant\n$\\displaystyle\\int_0^{2} f = 7$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^0 f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,\n$F(0) - F(2) = -(F(2) - F(0))$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers\nchange le signe."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici\nelles sont seulement échangées."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun inverse en jeu : la différence $F(b) - F(a)$ change\nsimplement de signe."
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ découle de l'écriture\n$F(b) - F(a)$. On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre\ncroissant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On rappelle la convention : pour une fonction $f$ continue sur\n$[a\\,;\\,b]$, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Sachant\n$\\displaystyle\\int_0^{2} f = 7$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^0 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,\n$F(0) - F(2) = -(F(2) - F(0))$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers\nchange le signe."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici\nelles sont seulement échangées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucun inverse en jeu : la différence $F(b) - F(a)$ change\nsimplement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ découle de l'écriture\n$F(b) - F(a)$. On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre\ncroissant."
        },
        {
          "statement": "On rappelle la convention : pour une fonction $f$ continue sur\n$[a\\,;\\,b]$, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Sachant\n$\\displaystyle\\int_0^{3} f = 5$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_{3}^0 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,\n$F(0) - F(3) = -(F(3) - F(0))$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers\nchange le signe."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici\nelles sont seulement échangées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucun inverse en jeu : la différence $F(b) - F(a)$ change\nsimplement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ découle de l'écriture\n$F(b) - F(a)$. On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre\ncroissant."
        },
        {
          "statement": "On rappelle la convention : pour une fonction $f$ continue sur\n$[a\\,;\\,b]$, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Sachant\n$\\displaystyle\\int_0^{1} f = 4$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^0 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,\n$F(0) - F(1) = -(F(1) - F(0))$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers\nchange le signe."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici\nelles sont seulement échangées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucun inverse en jeu : la différence $F(b) - F(a)$ change\nsimplement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ découle de l'écriture\n$F(b) - F(a)$. On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre\ncroissant."
        },
        {
          "statement": "On rappelle la convention : pour une fonction $f$ continue sur\n$[a\\,;\\,b]$, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Sachant\n$\\displaystyle\\int_0^{5} f = 9$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_{5}^0 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,\n$F(0) - F(5) = -(F(5) - F(0))$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers\nchange le signe."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici\nelles sont seulement échangées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucun inverse en jeu : la différence $F(b) - F(a)$ change\nsimplement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ découle de l'écriture\n$F(b) - F(a)$. On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre\ncroissant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite"
      ],
      "title": "Linéarité de l'intégrale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -2$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (3f + g)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $3 \\times 4 + (-2) = 10$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\displaystyle\\int_0^1 g = -2$ est négative, elle se\nretranche."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient perdu et signe inversé : le facteur $3$\nmultiplie $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur $3$\ndevant $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$\n: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose\nles calculs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -2$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (3f + g)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $3 \\times 4 + (-2) = 10$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $\\displaystyle\\int_0^1 g = -2$ est négative, elle se\nretranche."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu et signe inversé : le facteur $3$\nmultiplie $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur $3$\ndevant $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$\n: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose\nles calculs."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 5$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -3$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (2f + g)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $2 \\times 5 + (-3) = 7$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $\\displaystyle\\int_0^1 g = -3$ est négative, elle se\nretranche."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu et signe inversé : le facteur $2$\nmultiplie $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur $2$\ndevant $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$\n: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose\nles calculs."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 2$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (4f + g)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $4 \\times 2 + (-5) = 3$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $\\displaystyle\\int_0^1 g = -5$ est négative, elle se\nretranche."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu et signe inversé : le facteur $4$\nmultiplie $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur $4$\ndevant $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$\n: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose\nles calculs."
        },
        {
          "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 3$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -1$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (5f + g)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $5 \\times 3 + (-1) = 14$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $\\displaystyle\\int_0^1 g = -1$ est négative, elle se\nretranche."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu et signe inversé : le facteur $5$\nmultiplie $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur $5$\ndevant $\\displaystyle\\int_0^1 f$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$\n: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose\nles calculs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "positivite"
      ],
      "title": "Signe d'une intégrale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "$f$ est continue et **positive** sur $[0\\ ;\\ 3]$. Que\npeut-on dire de $\\displaystyle\\int_0^3 f(t)\\,dt$ sans la\ncalculer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est positive ou nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de\nl'axe ne peut pas être négative : la positivité se\ntransmet de la fonction à l'intégrale."
        },
        {
          "text": "Elle est strictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la fonction nulle est positive et son\nintégrale vaut $0$ : conclusion en inégalité **large**."
        },
        {
          "text": "Rien : il faut calculer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe s'obtient GRATUITEMENT par la\npositivité : l'argument le plus économique du chapitre."
        },
        {
          "text": "Elle vaut exactement l'aire du rectangle $3 \\times\n\\max f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce rectangle **majore** l'intégrale, il ne\nl'égale pas (sauf fonction constante)."
        }
      ],
      "explanation": "Positivité : $f \\geq 0$ sur $[a\\ ;\\ b]$ ($a \\leq b$)\n$\\Rightarrow \\int_a^b f \\geq 0$. Avec la linéarité, elle\nfournit la comparaison des intégrales : les deux outils\nthéoriques du chapitre."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer sans calculer",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,4]$, on sait que $2 \\leq f(t) \\leq 5$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt$ en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes $2$ et\n$5$ se multiplient par la largeur $4$."
        },
        {
          "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre\n$2$ et $5$."
        },
        {
          "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction vaut au moins $2$ sur une largeur $4$ :\nl'intégrale ne descend pas sous $8$."
        },
        {
          "text": "Aucun, il faut l'expression de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale."
        }
      ],
      "explanation": "Si $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$m(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : deux\nrectangles encadrent l'aire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,4]$, on sait que $2 \\leq f(t) \\leq 5$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes $2$ et\n$5$ se multiplient par la largeur $4$."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre\n$2$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^{4} f(t)\\,dt \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction vaut au moins $2$ sur une largeur $4$ :\nl'intégrale ne descend pas sous $8$."
            },
            {
              "text": "Aucun, il faut l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Si $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$m(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : deux\nrectangles encadrent l'aire."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,3]$, on sait que $1 \\leq f(t) \\leq 6$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^{3} f(t)\\,dt$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\leq \\displaystyle\\int_0^{3} f(t)\\,dt \\leq 18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes $1$ et\n$6$ se multiplient par la largeur $3$."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq \\displaystyle\\int_0^{3} f(t)\\,dt \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre\n$1$ et $6$."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^{3} f(t)\\,dt \\leq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction vaut au moins $1$ sur une largeur $3$ :\nl'intégrale ne descend pas sous $3$."
            },
            {
              "text": "Aucun, il faut l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Si $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$m(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : deux\nrectangles encadrent l'aire."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,5]$, on sait que $2 \\leq f(t) \\leq 3$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^{5} f(t)\\,dt$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10 \\leq \\displaystyle\\int_0^{5} f(t)\\,dt \\leq 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes $2$ et\n$3$ se multiplient par la largeur $5$."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^{5} f(t)\\,dt \\leq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre\n$2$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^{5} f(t)\\,dt \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction vaut au moins $2$ sur une largeur $5$ :\nl'intégrale ne descend pas sous $10$."
            },
            {
              "text": "Aucun, il faut l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Si $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$m(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : deux\nrectangles encadrent l'aire."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,2]$, on sait que $4 \\leq f(t) \\leq 7$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^{2} f(t)\\,dt$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 \\leq \\displaystyle\\int_0^{2} f(t)\\,dt \\leq 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes $4$ et\n$7$ se multiplient par la largeur $2$."
            },
            {
              "text": "$4 \\leq \\displaystyle\\int_0^{2} f(t)\\,dt \\leq 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre\n$4$ et $7$."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^{2} f(t)\\,dt \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction vaut au moins $4$ sur une largeur $2$ :\nl'intégrale ne descend pas sous $8$."
            },
            {
              "text": "Aucun, il faut l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "Si $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$m(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : deux\nrectangles encadrent l'aire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calcul-exponentielle"
      ],
      "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 e^{-t}\\,dt$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{-t}\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - \\dfrac{1}{e}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : primitive $-e^{-t}$ : le crochet donne\n$-e^{-1} - (-e^0) = 1 - \\frac{1}{e} \\approx 0{,}63$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{e} - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre du crochet : $F(1) - F(0)$, avec le signe de la\nprimitive : le résultat est **positif** (aire sous une\ncourbe positive)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{e} + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le crochet $\\left[-e^{-t}\\right]_0^1$\ndonne $-e^{-1} - (-1) = 1 - \\dfrac{1}{e}$ ; un\n$+\\dfrac{1}{e}$ trahit une erreur de signe sur la\nprimitive."
        },
        {
          "text": "$-e^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse oubliée : le crochet soustrait $F(0) = -1$ :\n$-e^{-1} + 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $e^{-t}$ : $-e^{-t}$ (le signe compense).\nContrôle de cohérence : la fonction est positive sur\n$[0\\ ;\\ 1]$ : l'intégrale doit être positive : $1 -\n\\frac{1}{e}$ ✓."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Intégrale d'un polynôme",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^{2} 3x^2\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $F(x) = \\dfrac{3x^3}{3}$, et\n$F(2) - F(0) = 8$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :\n$3 \\times 2^2 = 12$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Primitive fausse : la primitive de $3x^2$ est\n$\\dfrac{3x^3}{3}$, pas $3x^3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient perdu : $\\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de\n$x^2$, qu'il faut multiplier par $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes\n; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^{2} 3x^2\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $F(x) = \\dfrac{3x^3}{3}$, et\n$F(2) - F(0) = 8$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :\n$3 \\times 2^2 = 12$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitive fausse : la primitive de $3x^2$ est\n$\\dfrac{3x^3}{3}$, pas $3x^3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu : $\\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de\n$x^2$, qu'il faut multiplier par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes\n; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction."
        },
        {
          "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^{2} 6x^2\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $F(x) = \\dfrac{6x^3}{3}$, et\n$F(2) - F(0) = 16$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :\n$6 \\times 2^2 = 24$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitive fausse : la primitive de $6x^2$ est\n$\\dfrac{6x^3}{3}$, pas $6x^3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu : $\\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de\n$x^2$, qu'il faut multiplier par $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes\n; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction."
        },
        {
          "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^{4} 3x^2\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $F(x) = \\dfrac{3x^3}{3}$, et\n$F(4) - F(0) = 64$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :\n$3 \\times 4^2 = 48$."
            },
            {
              "text": "$192$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitive fausse : la primitive de $3x^2$ est\n$\\dfrac{3x^3}{3}$, pas $3x^3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{64}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu : $\\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de\n$x^2$, qu'il faut multiplier par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes\n; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction."
        },
        {
          "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^{2} 9x^2\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $F(x) = \\dfrac{9x^3}{3}$, et\n$F(2) - F(0) = 24$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :\n$9 \\times 2^2 = 36$."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitive fausse : la primitive de $9x^2$ est\n$\\dfrac{9x^3}{3}$, pas $9x^3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient perdu : $\\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de\n$x^2$, qu'il faut multiplier par $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes\n; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire entre deux courbes qui se croisent",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,3]$, deux fonctions vérifient $f \\geq g$ sur\n$[0\\,;\\,1]$ et $g \\geq f$ sur $[1\\,;\\,3]$. Comment s'écrit l'aire\ndu domaine compris entre leurs courbes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 (f - g) + \\int_1^3 (g - f)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur chaque intervalle, on intègre la fonction\ndu dessus moins celle du dessous."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^3 (f - g)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation : sur $[1\\,;\\,3]$, $f - g$ est négative et\nretranche une aire au lieu de l'ajouter."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^3 (g - f)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même défaut : sur $[0\\,;\\,1]$, $g - f$ est négative."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^3 f - \\int_0^3 g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écriture équivalente à $\\displaystyle\\int_0^3 (f - g)$ par\nlinéarité : les deux parties se compensent."
        }
      ],
      "explanation": "L'aire entre deux courbes est l'intégrale de la différence «\ndessus moins dessous ». Quand les courbes se croisent, on découpe\nl'intervalle aux points d'intersection."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Interpréter une valeur moyenne",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que représente géométriquement la valeur moyenne d'une fonction\npositive sur $[a\\,;\\,b]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La hauteur d'un rectangle de même aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce rectangle a pour base $[a\\,;\\,b]$ et pour aire celle\nsituée sous la courbe."
        },
        {
          "text": "La hauteur maximale de la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Le maximum dépasse la moyenne dès que la fonction n'est pas constante."
        },
        {
          "text": "L'aire sous la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "L'aire est l'intégrale elle-même ; la moyenne s'obtient en la divisant\npar l'amplitude."
        },
        {
          "text": "La moyenne des valeurs aux deux bornes",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette moyenne ne tient pas compte du comportement de la fonction entre\nles bornes."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur moyenne est la hauteur qu'aurait un rectangle de même base et de\nmême aire que la région sous la courbe. Elle vaut\n$\\dfrac{1}{b-a}\\displaystyle\\int_a^b f$."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer grâce à la monotonie",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,2]$, avec $f(0) = 1$\net $f(2) = 5$. Quel encadrement de\n$\\displaystyle\\int_0^2 f(x)\\,dx$ en déduit-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Entre $2$ et $10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 \\leq f(x) \\leq 5$ sur $[0\\,;\\,2]$, d'où\n$1 \\times 2 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f \\leq 5 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "Entre $1$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : ce sont les bornes de la fonction, donc de\nsa valeur moyenne."
        },
        {
          "text": "Exactement $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne des bornes multipliée par la largeur : c'est\nl'approximation par un trapèze, pas une valeur exacte."
        },
        {
          "text": "Entre $0$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "La croissance donne $f(x) \\geq f(0) = 1$, ce qui fournit un\nminorant meilleur que $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction croissante sur $[a\\,;\\,b]$ vérifie\n$f(a) \\leq f(x) \\leq f(b)$ ; en intégrant,\n$f(a)(b - a) \\leq \\displaystyle\\int_a^b f \\leq f(b)(b - a)$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "chasles"
      ],
      "title": "Additionner deux intégrales",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_{1}^{4} f = 9$ et\n$\\displaystyle\\int_{4}^{6} f = -2$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{6} f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne\n$9 + (-2) = 7$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on\nl'ajoute."
        },
        {
          "text": "$-18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intégrales multipliées : la relation de Chasles les\nadditionne."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes soustraites : $6 - 1$ donne la longueur de\nl'intervalle, pas l'intégrale."
        }
      ],
      "explanation": "La relation de Chasles additionne les intégrales sur des\nintervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale\nnégative correspond à une portion de courbe sous l'axe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_{1}^{4} f = 9$ et\n$\\displaystyle\\int_{4}^{6} f = -2$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{6} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne\n$9 + (-2) = 7$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on\nl'ajoute."
            },
            {
              "text": "$-18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intégrales multipliées : la relation de Chasles les\nadditionne."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes soustraites : $6 - 1$ donne la longueur de\nl'intervalle, pas l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles additionne les intégrales sur des\nintervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale\nnégative correspond à une portion de courbe sous l'axe."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_{0}^{2} f = 6$ et\n$\\displaystyle\\int_{2}^{5} f = -4$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_{0}^{5} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne\n$6 + (-4) = 2$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on\nl'ajoute."
            },
            {
              "text": "$-24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intégrales multipliées : la relation de Chasles les\nadditionne."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes soustraites : $5 - 0$ donne la longueur de\nl'intervalle, pas l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles additionne les intégrales sur des\nintervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale\nnégative correspond à une portion de courbe sous l'axe."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_{2}^{3} f = -3$ et\n$\\displaystyle\\int_{3}^{8} f = 8$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^{8} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne\n$-3 + (8) = 5$."
            },
            {
              "text": "$-11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on\nl'ajoute."
            },
            {
              "text": "$-24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intégrales multipliées : la relation de Chasles les\nadditionne."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes soustraites : $8 - 2$ donne la longueur de\nl'intervalle, pas l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles additionne les intégrales sur des\nintervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale\nnégative correspond à une portion de courbe sous l'axe."
        },
        {
          "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_{1}^{5} f = 10$ et\n$\\displaystyle\\int_{5}^{10} f = -6$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{10} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne\n$10 + (-6) = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on\nl'ajoute."
            },
            {
              "text": "$-60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intégrales multipliées : la relation de Chasles les\nadditionne."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes soustraites : $10 - 1$ donne la longueur de\nl'intervalle, pas l'intégrale."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles additionne les intégrales sur des\nintervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale\nnégative correspond à une portion de courbe sous l'axe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "methode-rectangles"
      ],
      "title": "Précision de la méthode des rectangles",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Comment améliorer l'estimation d'une aire par la méthode des\nrectangles ?",
      "options": [
        {
          "text": "En augmentant le nombre de rectangles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : des rectangles plus étroits épousent mieux la courbe."
        },
        {
          "text": "En augmentant la hauteur des rectangles",
          "correct": false,
          "feedback": "La hauteur est imposée par la fonction, elle ne se choisit pas."
        },
        {
          "text": "En déplaçant les bornes de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Changer les bornes change l'aire calculée, ce n'est pas une\namélioration de la méthode."
        },
        {
          "text": "En utilisant des rectangles de largeurs différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Des largeurs variables compliquent le calcul sans améliorer\nnécessairement la précision."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode des rectangles encadre l'aire entre une somme minorante et une\nsomme majorante. L'écart entre les deux tend vers zéro quand le nombre de\nrectangles augmente."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Une intégrale d'exponentielle",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{2t}\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2 - 1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{e^{2t}}{2}$, évaluée entre\n$0$ et $1$."
        },
        {
          "text": "$e^2 - 1$, sans diviser",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : la primitive de $e^{2t}$ comporte un dénominateur\n$2$."
        },
        {
          "text": "$2(e^2 - 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivation ferait apparaître\nle facteur $2$, on le compense."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne inférieure oubliée : il faut retrancher la valeur de la primitive\nen $0$, qui vaut $\\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "La primitive de $e^{at}$ vaut $\\dfrac{e^{at}}{a}$. On évalue ensuite aux\ndeux bornes, sans oublier de retrancher la valeur en la borne inférieure."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "signe"
      ],
      "title": "Une intégrale nulle",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "L'intégrale d'une fonction sur $[a\\,;\\,b]$ est nulle.\nLa fonction est-elle nécessairement nulle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle peut changer de signe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les aires au-dessus et en dessous de l'axe peuvent se\ncompenser exactement."
        },
        {
          "text": "Oui, toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction $x \\mapsto x$ a une intégrale nulle sur $[-1\\,;\\,1]$ sans\nêtre nulle."
        },
        {
          "text": "Oui, si elle est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Le contre-exemple précédent porte sur une fonction continue."
        },
        {
          "text": "Non, mais seulement si elle est discontinue",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité ne change rien : c'est le changement de signe qui rend la\ncompensation possible."
        }
      ],
      "explanation": "Une intégrale nulle signifie que les aires algébriques se compensent. En\nrevanche, une fonction continue positive d'intégrale nulle est bien la\nfonction nulle."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "fonction-aire"
      ],
      "title": "La dérivée de la fonction aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "Pour $f$ continue, que vaut la dérivée de\n$x \\mapsto \\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction aire est la primitive de $f$ qui s'annule\nen $a$."
        },
        {
          "text": "$f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée dépend de $x$ : elle vaut la fonction en ce point, non en la\nborne fixe."
        },
        {
          "text": "$f'(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivation de trop : l'intégration et la dérivation se compensent, elles\nne s'ajoutent pas."
        },
        {
          "text": "$x f(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur inventé : aucune multiplication n'intervient dans ce théorème."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction aire est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.\nCe résultat relie intégration et dérivation, deux opérations inverses\nl'une de l'autre."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "bornes"
      ],
      "title": "Signe d'une intégrale aux bornes inversées",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue et strictement positive sur\n$[1\\,;\\,3]$. Quel est le signe de $\\displaystyle\\int_3^1 f(x)\\,dx$\n?",
      "options": [
        {
          "text": "Strictement négatif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_3^1 f = -\\int_1^3 f$, et\n$\\displaystyle\\int_1^3 f$ est une aire strictement positive."
        },
        {
          "text": "Strictement positif",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intégrale est orientée : bornes inversées, le signe change."
        },
        {
          "text": "Nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales, pas\nquand elles sont échangées."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas le savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "La positivité de $f$ et l'ordre des bornes suffisent à\nconclure."
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Pour $f$ positive et\n$a < b$, $\\displaystyle\\int_a^b f \\geq 0$, donc l'intégrale aux\nbornes inversées est négative."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "linearite"
      ],
      "title": "Utiliser la linéarité",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^1 f = 3$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = 5$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (2f - g)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la linéarité donne $2 \\times 3 - 5$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la soustraction : le calcul fait est $2 \\times 3 + 5$."
        },
        {
          "text": "$-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : $3 - 5$ ne tient pas compte du facteur $2$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intégrales multipliées : l'intégrale d'un produit n'est d'ailleurs pas\nle produit des intégrales."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégrale est linéaire : celle de $af + bg$ vaut $a$ fois celle de $f$\nplus $b$ fois celle de $g$. Cette propriété ne s'étend ni au produit ni au\nquotient."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "aire",
        "signe"
      ],
      "title": "Aire quand la fonction change de signe",
      "partie": "definition",
      "statement": "Une fonction est positive sur $[0\\,;\\,2]$ et négative sur\n$[2\\,;\\,3]$. Comment calculer l'aire totale entre la courbe et\nl'axe ?",
      "options": [
        {
          "text": "En découpant et en changeant le signe sur la seconde partie",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire géométrique est la somme des valeurs absolues\ndes deux intégrales."
        },
        {
          "text": "En intégrant directement de $0$ à $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux portions se compenseraient partiellement, ce qui sous-estime\nl'aire."
        },
        {
          "text": "En doublant l'intégrale sur $[0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien n'impose aux deux portions d'avoir la même aire."
        },
        {
          "text": "En prenant la valeur absolue du résultat final",
          "correct": false,
          "feedback": "La compensation a déjà eu lieu avant la valeur absolue : le résultat\nreste faux."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique. Pour une aire géométrique, on découpe\nl'intervalle selon le signe de la fonction et l'on additionne les valeurs\nabsolues."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Lire une écriture intégrale",
      "partie": "definition",
      "statement": "Dans l'écriture $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$, que désignent les\ndeux nombres $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les bornes de l'intervalle sur lequel on intègre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a$ et $b$ délimitent la portion de l'axe des\nabscisses sous laquelle on mesure l'aire."
        },
        {
          "text": "Les valeurs prises par la fonction en ces deux points",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : ces valeurs s'écrivent $f(a)$ et $f(b)$. Dans\nl'écriture de l'intégrale, $a$ et $b$ sont des abscisses."
        },
        {
          "text": "Les coordonnées du point le plus haut de la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale ne retient aucun point particulier de la\ncourbe, elle cumule l'aire sur tout l'intervalle."
        },
        {
          "text": "Les deux primitives de la fonction utilisées au calcul",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la primitive est une fonction, notée $F$. Les\nnombres $a$ et $b$ sont les abscisses où on l'évalue."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $\\int_a^b f(x)\\,dx$, $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration,\n$f$ la fonction intégrée et $x$ une variable muette : la remplacer\npar $t$ ne change rien au résultat."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "integrale-constante"
      ],
      "title": "Retrouver une constante",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction est constante, égale à $c$, sur l'intervalle\n$[2\\,;\\,7]$, et l'on sait que\n$\\displaystyle\\int_{2}^{7} c\\,dx = 20$.\nQue vaut la constante $c$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut $c \\times 5 =\n20$, donc $c = 20 \\div 5 = 4$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de l'intégrale recopiée : $20$ est l'aire du\nrectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut $4$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur confondue avec la hauteur : $5 = 7 - 2$ est la\nbase du rectangle. La hauteur cherchée vaut $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{20}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par\n$7 - 2 = 5$, ce qui donne $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction constante, $\\int_a^b c\\,dx = c \\times (b - a)$.\nConnaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en\ndivisant l'une par l'autre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction est constante, égale à $c$, sur l'intervalle\n$[2\\,;\\,7]$, et l'on sait que\n$\\displaystyle\\int_{2}^{7} c\\,dx = 20$.\nQue vaut la constante $c$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut $c \\times 5 =\n20$, donc $c = 20 \\div 5 = 4$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de l'intégrale recopiée : $20$ est l'aire du\nrectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur confondue avec la hauteur : $5 = 7 - 2$ est la\nbase du rectangle. La hauteur cherchée vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{20}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par\n$7 - 2 = 5$, ce qui donne $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction constante, $\\int_a^b c\\,dx = c \\times (b - a)$.\nConnaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en\ndivisant l'une par l'autre."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est constante, égale à $c$, sur l'intervalle\n$[1\\,;\\,4]$, et l'on sait que\n$\\displaystyle\\int_{1}^{4} c\\,dx = 18$.\nQue vaut la constante $c$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut $c \\times 3 =\n18$, donc $c = 18 \\div 3 = 6$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de l'intégrale recopiée : $18$ est l'aire du\nrectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur confondue avec la hauteur : $3 = 4 - 1$ est la\nbase du rectangle. La hauteur cherchée vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par\n$4 - 1 = 3$, ce qui donne $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction constante, $\\int_a^b c\\,dx = c \\times (b - a)$.\nConnaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en\ndivisant l'une par l'autre."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est constante, égale à $c$, sur l'intervalle\n$[3\\,;\\,9]$, et l'on sait que\n$\\displaystyle\\int_{3}^{9} c\\,dx = 30$.\nQue vaut la constante $c$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut $c \\times 6 =\n30$, donc $c = 30 \\div 6 = 5$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de l'intégrale recopiée : $30$ est l'aire du\nrectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur confondue avec la hauteur : $6 = 9 - 3$ est la\nbase du rectangle. La hauteur cherchée vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par\n$9 - 3 = 6$, ce qui donne $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction constante, $\\int_a^b c\\,dx = c \\times (b - a)$.\nConnaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en\ndivisant l'une par l'autre."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est constante, égale à $c$, sur l'intervalle\n$[2\\,;\\,5]$, et l'on sait que\n$\\displaystyle\\int_{2}^{5} c\\,dx = 21$.\nQue vaut la constante $c$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut $c \\times 3 =\n21$, donc $c = 21 \\div 3 = 7$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de l'intégrale recopiée : $21$ est l'aire du\nrectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut $7$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur confondue avec la hauteur : $3 = 5 - 2$ est la\nbase du rectangle. La hauteur cherchée vaut $7$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{21}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par\n$5 - 2 = 3$, ce qui donne $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction constante, $\\int_a^b c\\,dx = c \\times (b - a)$.\nConnaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en\ndivisant l'une par l'autre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive",
        "calcul"
      ],
      "title": "Appliquer une primitive donnée",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3$ est une\nprimitive de $f$ sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{2} f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 7$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne\ns'additionnent pas, d'où $7$."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : le crochet se lit $F(2) - F(1)$, borne\nhaute d'abord, ce qui donne $7$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis\non soustrait, soit $2^3 - 1^3 = 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Dès qu'une primitive $F$ de $f$ est connue,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Aucune autre étape n'est\nnécessaire : il reste à évaluer et à soustraire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3$ est une\nprimitive de $f$ sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{2} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 7$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne\ns'additionnent pas, d'où $7$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : le crochet se lit $F(2) - F(1)$, borne\nhaute d'abord, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis\non soustrait, soit $2^3 - 1^3 = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès qu'une primitive $F$ de $f$ est connue,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Aucune autre étape n'est\nnécessaire : il reste à évaluer et à soustraire."
        },
        {
          "statement": "On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3$ est une\nprimitive de $f$ sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{3} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$26$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(3) - F(1) = 3^3 - 1^3 = 26$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne\ns'additionnent pas, d'où $26$."
            },
            {
              "text": "$-26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : le crochet se lit $F(3) - F(1)$, borne\nhaute d'abord, ce qui donne $26$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis\non soustrait, soit $3^3 - 1^3 = 26$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès qu'une primitive $F$ de $f$ est connue,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Aucune autre étape n'est\nnécessaire : il reste à évaluer et à soustraire."
        },
        {
          "statement": "On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3$ est une\nprimitive de $f$ sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^{4} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$56$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(4) - F(2) = 4^3 - 2^3 = 56$."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne\ns'additionnent pas, d'où $56$."
            },
            {
              "text": "$-56$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : le crochet se lit $F(4) - F(2)$, borne\nhaute d'abord, ce qui donne $56$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis\non soustrait, soit $4^3 - 2^3 = 56$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès qu'une primitive $F$ de $f$ est connue,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Aucune autre étape n'est\nnécessaire : il reste à évaluer et à soustraire."
        },
        {
          "statement": "On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3$ est une\nprimitive de $f$ sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{4} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$63$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F(4) - F(1) = 4^3 - 1^3 = 63$."
            },
            {
              "text": "$65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne\ns'additionnent pas, d'où $63$."
            },
            {
              "text": "$-63$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : le crochet se lit $F(4) - F(1)$, borne\nhaute d'abord, ce qui donne $63$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis\non soustrait, soit $4^3 - 1^3 = 63$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès qu'une primitive $F$ de $f$ est connue,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Aucune autre étape n'est\nnécessaire : il reste à évaluer et à soustraire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bornes",
        "bornes-echangees"
      ],
      "title": "Deux bornes confondues",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $\\mathbb{R}$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_5^5 f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$, quelle que soit la fonction $f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le domaine est réduit à un segment vertical,\ndonc d'aire nulle. Par le crochet, $F(5) - F(5) = 0$."
        },
        {
          "text": "$f(5)$, la valeur de la fonction en $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : une intégrale cumule des aires, elle ne renvoie pas\nune valeur de la fonction. Ici le cumul est nul."
        },
        {
          "text": "$5$, la valeur commune des deux bornes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bornes repèrent l'intervalle, elles ne sont pas le\nrésultat. L'intervalle étant vide, l'intégrale vaut $0$."
        },
        {
          "text": "Rien : on ne peut pas conclure sans $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat ne dépend pas de $f$, puisque\n$F(5) - F(5) = 0$ pour toute primitive $F$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^a f = 0$ pour toute fonction continue. Cette règle est la\nseule compatible avec la convention $\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ :\nl'intégrale y est égale à son propre opposé."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "positivite",
        "signe"
      ],
      "title": "Comparer deux intégrales",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Deux fonctions continues vérifient $f(x) \\leq g(x)$ pour tout $x$\nde $[a\\,;\\,b]$, avec $a < b$. Qu'en déduit-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_a^b f \\leq \\int_a^b g$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $g - f$ est positive, donc son intégrale l'est\naussi, ce qui donne $\\int_a^b g - \\int_a^b f \\geq 0$."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_a^b f \\geq \\int_a^b g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité retournée : la courbe du dessous délimite la plus\npetite aire, donc la plus petite intégrale."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_a^b f = \\int_a^b g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité ne vaut que si les deux fonctions coïncident\npartout, ce que l'énoncé n'affirme pas."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_a^b |f| \\leq \\int_a^b |g|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les valeurs absolues perdent l'information de signe.\nAvec $f = -5$ et $g = 1$, cette inégalité est fausse."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégration conserve les inégalités : de $f \\leq g$ sur\n$[a\\,;\\,b]$ découle $\\int_a^b f \\leq \\int_a^b g$. C'est la\npositivité appliquée à la fonction $g - f$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul-exponentielle"
      ],
      "title": "Aire sous l'exponentielle",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la\ncourbe de la fonction exponentielle entre $x = 2$ et $x = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{4} - e^{2}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre\nprimitive, donc $\\left[e^x\\right]_{2}^{4} =\ne^{4} - e^{2}$."
        },
        {
          "text": "$e^{4} - 1$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse traitée comme $0$ : on retranche $e^{2}$, et non\n$e^0 = 1$, car l'aire commence en $x = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^{4}}{e^{2}}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les\ndeux valeurs de la primitive, il ne les divise pas."
        },
        {
          "text": "$e^{4} + e^{2}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,\nd'où $e^{4} - e^{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b e^x\\,dx = \\left[e^x\\right]_a^b = e^b - e^a$. Le réflexe\nutile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,\nl'aire trouvée doit l'être aussi.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la\ncourbe de la fonction exponentielle entre $x = 2$ et $x = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$e^{4} - e^{2}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre\nprimitive, donc $\\left[e^x\\right]_{2}^{4} =\ne^{4} - e^{2}$."
            },
            {
              "text": "$e^{4} - 1$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse traitée comme $0$ : on retranche $e^{2}$, et non\n$e^0 = 1$, car l'aire commence en $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{4}}{e^{2}}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les\ndeux valeurs de la primitive, il ne les divise pas."
            },
            {
              "text": "$e^{4} + e^{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,\nd'où $e^{4} - e^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b e^x\\,dx = \\left[e^x\\right]_a^b = e^b - e^a$. Le réflexe\nutile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,\nl'aire trouvée doit l'être aussi."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la\ncourbe de la fonction exponentielle entre $x = 3$ et $x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$e^{5} - e^{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre\nprimitive, donc $\\left[e^x\\right]_{3}^{5} =\ne^{5} - e^{3}$."
            },
            {
              "text": "$e^{5} - 1$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse traitée comme $0$ : on retranche $e^{3}$, et non\n$e^0 = 1$, car l'aire commence en $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{5}}{e^{3}}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les\ndeux valeurs de la primitive, il ne les divise pas."
            },
            {
              "text": "$e^{5} + e^{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,\nd'où $e^{5} - e^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b e^x\\,dx = \\left[e^x\\right]_a^b = e^b - e^a$. Le réflexe\nutile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,\nl'aire trouvée doit l'être aussi."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la\ncourbe de la fonction exponentielle entre $x = 2$ et $x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$e^{5} - e^{2}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre\nprimitive, donc $\\left[e^x\\right]_{2}^{5} =\ne^{5} - e^{2}$."
            },
            {
              "text": "$e^{5} - 1$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse traitée comme $0$ : on retranche $e^{2}$, et non\n$e^0 = 1$, car l'aire commence en $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{5}}{e^{2}}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les\ndeux valeurs de la primitive, il ne les divise pas."
            },
            {
              "text": "$e^{5} + e^{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,\nd'où $e^{5} - e^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b e^x\\,dx = \\left[e^x\\right]_a^b = e^b - e^a$. Le réflexe\nutile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,\nl'aire trouvée doit l'être aussi."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la\ncourbe de la fonction exponentielle entre $x = 3$ et $x = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$e^{6} - e^{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre\nprimitive, donc $\\left[e^x\\right]_{3}^{6} =\ne^{6} - e^{3}$."
            },
            {
              "text": "$e^{6} - 1$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse traitée comme $0$ : on retranche $e^{3}$, et non\n$e^0 = 1$, car l'aire commence en $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{6}}{e^{3}}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les\ndeux valeurs de la primitive, il ne les divise pas."
            },
            {
              "text": "$e^{6} + e^{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,\nd'où $e^{6} - e^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b e^x\\,dx = \\left[e^x\\right]_a^b = e^b - e^a$. Le réflexe\nutile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,\nl'aire trouvée doit l'être aussi."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "rectangles",
        "methode-rectangles"
      ],
      "title": "Somme de deux rectangles",
      "partie": "approximations",
      "statement": "On découpe $[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même largeur et on\napproche $\\displaystyle\\int_0^4 f$ par deux rectangles dont la\nhauteur est prise au bord gauche. On donne $f(0) = 3$ et\n$f(2) = 5$. Que vaut cette approximation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $2$, d'où\n$2 \\times 3 + 2 \\times 5 = 16$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par $2$ avant\nd'être additionnées, ce qui donne $16$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour\nhauteur $3$, pas $5$, d'où $16$."
        },
        {
          "text": "$32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure\n$2$ de large, pas $4$, d'où $16$."
        }
      ],
      "explanation": "Une somme de rectangles vaut $p \\times \\left(f(x_0) + f(x_1) +\n\\cdots\\right)$, où $p$ est la largeur commune. Ici $p = 2$ et deux\nhauteurs seulement interviennent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On découpe $[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même largeur et on\napproche $\\displaystyle\\int_0^4 f$ par deux rectangles dont la\nhauteur est prise au bord gauche. On donne $f(0) = 3$ et\n$f(2) = 5$. Que vaut cette approximation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $2$, d'où\n$2 \\times 3 + 2 \\times 5 = 16$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par $2$ avant\nd'être additionnées, ce qui donne $16$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour\nhauteur $3$, pas $5$, d'où $16$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure\n$2$ de large, pas $4$, d'où $16$."
            }
          ],
          "explanation": "Une somme de rectangles vaut $p \\times \\left(f(x_0) + f(x_1) +\n\\cdots\\right)$, où $p$ est la largeur commune. Ici $p = 2$ et deux\nhauteurs seulement interviennent."
        },
        {
          "statement": "On découpe $[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même largeur et on\napproche $\\displaystyle\\int_0^4 f$ par deux rectangles dont la\nhauteur est prise au bord gauche. On donne $f(0) = 2$ et\n$f(2) = 7$. Que vaut cette approximation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $2$, d'où\n$2 \\times 2 + 2 \\times 7 = 18$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par $2$ avant\nd'être additionnées, ce qui donne $18$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour\nhauteur $2$, pas $7$, d'où $18$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure\n$2$ de large, pas $4$, d'où $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Une somme de rectangles vaut $p \\times \\left(f(x_0) + f(x_1) +\n\\cdots\\right)$, où $p$ est la largeur commune. Ici $p = 2$ et deux\nhauteurs seulement interviennent."
        },
        {
          "statement": "On découpe $[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même largeur et on\napproche $\\displaystyle\\int_0^4 f$ par deux rectangles dont la\nhauteur est prise au bord gauche. On donne $f(0) = 4$ et\n$f(2) = 9$. Que vaut cette approximation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$26$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $2$, d'où\n$2 \\times 4 + 2 \\times 9 = 26$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par $2$ avant\nd'être additionnées, ce qui donne $26$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour\nhauteur $4$, pas $9$, d'où $26$."
            },
            {
              "text": "$52$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure\n$2$ de large, pas $4$, d'où $26$."
            }
          ],
          "explanation": "Une somme de rectangles vaut $p \\times \\left(f(x_0) + f(x_1) +\n\\cdots\\right)$, où $p$ est la largeur commune. Ici $p = 2$ et deux\nhauteurs seulement interviennent."
        },
        {
          "statement": "On découpe $[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même largeur et on\napproche $\\displaystyle\\int_0^4 f$ par deux rectangles dont la\nhauteur est prise au bord gauche. On donne $f(0) = 5$ et\n$f(2) = 6$. Que vaut cette approximation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $2$, d'où\n$2 \\times 5 + 2 \\times 6 = 22$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par $2$ avant\nd'être additionnées, ce qui donne $22$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour\nhauteur $5$, pas $6$, d'où $22$."
            },
            {
              "text": "$44$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure\n$2$ de large, pas $4$, d'où $22$."
            }
          ],
          "explanation": "Une somme de rectangles vaut $p \\times \\left(f(x_0) + f(x_1) +\n\\cdots\\right)$, où $p$ est la largeur commune. Ici $p = 2$ et deux\nhauteurs seulement interviennent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "algorithme"
      ],
      "title": "Ce qu'accumule une boucle",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Un algorithme part de $S = 0$ puis, à chaque tour de boucle,\nremplace $S$ par $S + p \\times f(x)$ avant d'augmenter $x$ du pas\n$p$. Que contient $S$ à la fin de la boucle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une valeur approchée de l'intégrale par rectangles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque tour ajoute l'aire $p \\times f(x)$ d'un\nrectangle, et $S$ finit par cumuler tous ces rectangles."
        },
        {
          "text": "La somme des valeurs prises par $f$ aux points parcourus",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $p$ oublié : la boucle ajoute des aires, produits d'une\nlargeur par une hauteur, et non des hauteurs seules."
        },
        {
          "text": "La valeur exacte de l'intégrale sur tout l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des rectangles ne coïncident pas avec la courbe.\nL'écart diminue avec le pas sans jamais s'annuler."
        },
        {
          "text": "La hauteur moyenne des rectangles de la subdivision",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune division par le nombre de tours n'apparaît\ndans la boucle, donc $S$ n'est pas une moyenne."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode des rectangles s'écrit en une boucle : à chaque tour, on\najoute l'aire d'un rectangle, largeur $p$ et hauteur $f(x)$. Le\ntotal approche l'intégrale, d'autant mieux que $p$ est petit."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "monte-carlo"
      ],
      "title": "Estimer une aire par comptage",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Un domaine est contenu dans un carré d'aire $4$. On tire $500$\npoints au hasard dans ce carré et $150$ d'entre eux tombent dans\nle domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la proportion $0{,}3$ estime la part du\ncarré occupée, d'où une aire d'environ\n$4 \\times 0{,}3 = 1{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aire du carré oubliée : $0{,}3$ est une proportion, à\nmultiplier par $4$ pour obtenir une aire."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure $2$ de côté,\nmais c'est son aire $4$ qui sert de référence."
        },
        {
          "text": "$2{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la\npartie du carré hors du domaine."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le\ndomaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc\nenviron cette fréquence multipliée par l'aire du carré.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un domaine est contenu dans un carré d'aire $4$. On tire $500$\npoints au hasard dans ce carré et $150$ d'entre eux tombent dans\nle domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la proportion $0{,}3$ estime la part du\ncarré occupée, d'où une aire d'environ\n$4 \\times 0{,}3 = 1{,}2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire du carré oubliée : $0{,}3$ est une proportion, à\nmultiplier par $4$ pour obtenir une aire."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure $2$ de côté,\nmais c'est son aire $4$ qui sert de référence."
            },
            {
              "text": "$2{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la\npartie du carré hors du domaine."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le\ndomaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc\nenviron cette fréquence multipliée par l'aire du carré."
        },
        {
          "statement": "Un domaine est contenu dans un carré d'aire $4$. On tire $800$\npoints au hasard dans ce carré et $300$ d'entre eux tombent dans\nle domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la proportion $0{,}375$ estime la part du\ncarré occupée, d'où une aire d'environ\n$4 \\times 0{,}375 = 1{,}5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}375$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire du carré oubliée : $0{,}375$ est une proportion, à\nmultiplier par $4$ pour obtenir une aire."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure $2$ de côté,\nmais c'est son aire $4$ qui sert de référence."
            },
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la\npartie du carré hors du domaine."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le\ndomaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc\nenviron cette fréquence multipliée par l'aire du carré."
        },
        {
          "statement": "Un domaine est contenu dans un carré d'aire $4$. On tire $1000$\npoints au hasard dans ce carré et $450$ d'entre eux tombent dans\nle domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la proportion $0{,}45$ estime la part du\ncarré occupée, d'où une aire d'environ\n$4 \\times 0{,}45 = 1{,}8$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire du carré oubliée : $0{,}45$ est une proportion, à\nmultiplier par $4$ pour obtenir une aire."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure $2$ de côté,\nmais c'est son aire $4$ qui sert de référence."
            },
            {
              "text": "$2{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la\npartie du carré hors du domaine."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le\ndomaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc\nenviron cette fréquence multipliée par l'aire du carré."
        },
        {
          "statement": "Un domaine est contenu dans un carré d'aire $4$. On tire $400$\npoints au hasard dans ce carré et $100$ d'entre eux tombent dans\nle domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la proportion $0{,}25$ estime la part du\ncarré occupée, d'où une aire d'environ\n$4 \\times 0{,}25 = 1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire du carré oubliée : $0{,}25$ est une proportion, à\nmultiplier par $4$ pour obtenir une aire."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure $2$ de côté,\nmais c'est son aire $4$ qui sert de référence."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la\npartie du carré hors du domaine."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le\ndomaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc\nenviron cette fréquence multipliée par l'aire du carré."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire-parabole"
      ],
      "title": "Aire sous la parabole",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de\n$f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations\n$x = 1$ et $x = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{3}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'aire\nvaut $\\dfrac{2^3 - 1^3}{3} = \\dfrac{7}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la\nprimitive en $1$, ce qui donne $\\dfrac{7}{3}$."
        },
        {
          "text": "$7$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $3$ oubliée : la primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{7}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de\nsoustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_a^b =\n\\dfrac{b^3 - a^3}{3}$. Les deux pièges habituels sont la borne\nbasse oubliée et le dénominateur $3$ perdu en route.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de\n$f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations\n$x = 1$ et $x = 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'aire\nvaut $\\dfrac{2^3 - 1^3}{3} = \\dfrac{7}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la\nprimitive en $1$, ce qui donne $\\dfrac{7}{3}$."
            },
            {
              "text": "$7$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $3$ oubliée : la primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{7}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de\nsoustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_a^b =\n\\dfrac{b^3 - a^3}{3}$. Les deux pièges habituels sont la borne\nbasse oubliée et le dénominateur $3$ perdu en route."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de\n$f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations\n$x = 2$ et $x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{19}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'aire\nvaut $\\dfrac{3^3 - 2^3}{3} = \\dfrac{19}{3}$."
            },
            {
              "text": "$9$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la\nprimitive en $2$, ce qui donne $\\dfrac{19}{3}$."
            },
            {
              "text": "$19$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $3$ oubliée : la primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{19}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de\nsoustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_a^b =\n\\dfrac{b^3 - a^3}{3}$. Les deux pièges habituels sont la borne\nbasse oubliée et le dénominateur $3$ perdu en route."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de\n$f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations\n$x = 1$ et $x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{26}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'aire\nvaut $\\dfrac{3^3 - 1^3}{3} = \\dfrac{26}{3}$."
            },
            {
              "text": "$9$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la\nprimitive en $1$, ce qui donne $\\dfrac{26}{3}$."
            },
            {
              "text": "$26$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $3$ oubliée : la primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{26}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de\nsoustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_a^b =\n\\dfrac{b^3 - a^3}{3}$. Les deux pièges habituels sont la borne\nbasse oubliée et le dénominateur $3$ perdu en route."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de\n$f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations\n$x = 2$ et $x = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{56}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'aire\nvaut $\\dfrac{4^3 - 2^3}{3} = \\dfrac{56}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{64}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la\nprimitive en $2$, ce qui donne $\\dfrac{56}{3}$."
            },
            {
              "text": "$56$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $3$ oubliée : la primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{56}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de\nsoustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_a^b =\n\\dfrac{b^3 - a^3}{3}$. Les deux pièges habituels sont la borne\nbasse oubliée et le dénominateur $3$ perdu en route."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-moyenne",
        "calcul"
      ],
      "title": "Valeur moyenne d'une fonction linéaire",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = 4x$ sur l'intervalle $[0\\,;\\,3]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\int_0^{3} 4x\\,dx = 18$, puis on\ndivise par la largeur $3$, ce qui donne $6$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $18$ est l'intégrale ; la moyenne\nla rapporte à la largeur $3$, d'où $6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur au bord prise pour la moyenne : $12 = f(3)$ est\nla plus grande valeur de $f$, pas sa moyenne."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient recopié : $4$ est la pente de la droite, elle ne\ndonne pas directement la moyenne, qui vaut $6$."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\int_a^b f$. Pour une fonction linéaire partant de\n$0$, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = 4x$ sur l'intervalle $[0\\,;\\,3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\int_0^{3} 4x\\,dx = 18$, puis on\ndivise par la largeur $3$, ce qui donne $6$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $18$ est l'intégrale ; la moyenne\nla rapporte à la largeur $3$, d'où $6$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur au bord prise pour la moyenne : $12 = f(3)$ est\nla plus grande valeur de $f$, pas sa moyenne."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : $4$ est la pente de la droite, elle ne\ndonne pas directement la moyenne, qui vaut $6$."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\int_a^b f$. Pour une fonction linéaire partant de\n$0$, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = 6x$ sur l'intervalle $[0\\,;\\,5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\int_0^{5} 6x\\,dx = 75$, puis on\ndivise par la largeur $5$, ce qui donne $15$."
            },
            {
              "text": "$75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $75$ est l'intégrale ; la moyenne\nla rapporte à la largeur $5$, d'où $15$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur au bord prise pour la moyenne : $30 = f(5)$ est\nla plus grande valeur de $f$, pas sa moyenne."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : $6$ est la pente de la droite, elle ne\ndonne pas directement la moyenne, qui vaut $15$."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\int_a^b f$. Pour une fonction linéaire partant de\n$0$, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = 3x$ sur l'intervalle $[0\\,;\\,8]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\int_0^{8} 3x\\,dx = 96$, puis on\ndivise par la largeur $8$, ce qui donne $12$."
            },
            {
              "text": "$96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $96$ est l'intégrale ; la moyenne\nla rapporte à la largeur $8$, d'où $12$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur au bord prise pour la moyenne : $24 = f(8)$ est\nla plus grande valeur de $f$, pas sa moyenne."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : $3$ est la pente de la droite, elle ne\ndonne pas directement la moyenne, qui vaut $12$."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\int_a^b f$. Pour une fonction linéaire partant de\n$0$, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[0\\,;\\,7]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\int_0^{7} 2x\\,dx = 49$, puis on\ndivise par la largeur $7$, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $49$ est l'intégrale ; la moyenne\nla rapporte à la largeur $7$, d'où $7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur au bord prise pour la moyenne : $14 = f(7)$ est\nla plus grande valeur de $f$, pas sa moyenne."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : $2$ est la pente de la droite, elle ne\ndonne pas directement la moyenne, qui vaut $7$."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b - a}\\int_a^b f$. Pour une fonction linéaire partant de\n$0$, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "Variations de la fonction aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement positive sur\n$[a\\,;\\,b]$, et $F$ la fonction définie par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$. Que dire de $F$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est strictement croissante sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F' = f > 0$, donc $F$ croît. L'aire cumulée\naugmente tant que la courbe reste au-dessus de l'axe."
        },
        {
          "text": "Elle est strictement décroissante sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $F' = f$ est positive, donc $F$ croît. Une\naire ne peut pas diminuer en s'étendant vers la droite."
        },
        {
          "text": "Elle est constante sur l'intervalle $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $F$ serait constante si $f$ était nulle. Ici chaque\navancée de $x$ ajoute une aire strictement positive."
        },
        {
          "text": "Son sens de variation suit celui de la fonction $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion d'étage : c'est le signe de $f$, et non son sens de\nvariation, qui commande les variations de $F$."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction aire $F(x) = \\int_a^x f$ a pour dérivée $f$. Son sens\nde variation se lit donc sur le signe de $f$ : positive, $F$ croît\n; négative, $F$ décroît."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "fonction-aire"
      ],
      "title": "Dériver une fonction aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $F$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_0^x \\left(t^2 + 1\\right)\\,dt$.\nQue vaut $F'(3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F'(x) = x^2 + 1$, donc\n$F'(3) = 3^2 + 1 = 10$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivation de trop : on a dérivé $t^2 + 1$ au lieu de\nl'évaluer. La dérivée de $F$ est la fonction intégrée."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de $F$ au lieu de celle de $F'$ : ce calcul est\n$F(3)$, l'aire cumulée jusqu'en $3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut\n$t^2 + 1$, d'où $3^2 + 1 = 10$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $f$ continue, la fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est\ndérivable et sa dérivée est $f$. Dériver une fonction aire revient\ndonc à lire la fonction intégrée au point demandé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $F$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_0^x \\left(t^2 + 1\\right)\\,dt$.\nQue vaut $F'(3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F'(x) = x^2 + 1$, donc\n$F'(3) = 3^2 + 1 = 10$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivation de trop : on a dérivé $t^2 + 1$ au lieu de\nl'évaluer. La dérivée de $F$ est la fonction intégrée."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de $F$ au lieu de celle de $F'$ : ce calcul est\n$F(3)$, l'aire cumulée jusqu'en $3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut\n$t^2 + 1$, d'où $3^2 + 1 = 10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $f$ continue, la fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est\ndérivable et sa dérivée est $f$. Dériver une fonction aire revient\ndonc à lire la fonction intégrée au point demandé."
        },
        {
          "statement": "Soit $F$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_0^x \\left(t^2 + 5\\right)\\,dt$.\nQue vaut $F'(6)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$41$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F'(x) = x^2 + 5$, donc\n$F'(6) = 6^2 + 5 = 41$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivation de trop : on a dérivé $t^2 + 5$ au lieu de\nl'évaluer. La dérivée de $F$ est la fonction intégrée."
            },
            {
              "text": "$102$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de $F$ au lieu de celle de $F'$ : ce calcul est\n$F(6)$, l'aire cumulée jusqu'en $6$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut\n$t^2 + 5$, d'où $6^2 + 5 = 41$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $f$ continue, la fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est\ndérivable et sa dérivée est $f$. Dériver une fonction aire revient\ndonc à lire la fonction intégrée au point demandé."
        },
        {
          "statement": "Soit $F$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_0^x \\left(t^2 + 3\\right)\\,dt$.\nQue vaut $F'(4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F'(x) = x^2 + 3$, donc\n$F'(4) = 4^2 + 3 = 19$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivation de trop : on a dérivé $t^2 + 3$ au lieu de\nl'évaluer. La dérivée de $F$ est la fonction intégrée."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{100}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de $F$ au lieu de celle de $F'$ : ce calcul est\n$F(4)$, l'aire cumulée jusqu'en $4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut\n$t^2 + 3$, d'où $4^2 + 3 = 19$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $f$ continue, la fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est\ndérivable et sa dérivée est $f$. Dériver une fonction aire revient\ndonc à lire la fonction intégrée au point demandé."
        },
        {
          "statement": "Soit $F$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$F(x) = \\displaystyle\\int_0^x \\left(t^2 + 2\\right)\\,dt$.\nQue vaut $F'(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $F'(x) = x^2 + 2$, donc\n$F'(5) = 5^2 + 2 = 27$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivation de trop : on a dérivé $t^2 + 2$ au lieu de\nl'évaluer. La dérivée de $F$ est la fonction intégrée."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{155}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur de $F$ au lieu de celle de $F'$ : ce calcul est\n$F(5)$, l'aire cumulée jusqu'en $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut\n$t^2 + 2$, d'où $5^2 + 2 = 27$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $f$ continue, la fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est\ndérivable et sa dérivée est $f$. Dériver une fonction aire revient\ndonc à lire la fonction intégrée au point demandé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire-entre-courbes"
      ],
      "title": "Aire entre une parabole et une droite",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,2]$, on considère les courbes des\nfonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre ces deux courbes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{3}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,2]$ on a $g \\geq f$, donc l'aire\nvaut $\\int_0^{2}\\left(2x - x^2\\right)dx = \\dfrac{4}{3}$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{4}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est\nau-dessus de la parabole. Une aire reste positive."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{20}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes\nintègre leur écart $g - f$, et non leur somme."
        },
        {
          "text": "$4$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous $g$, à\nlaquelle il reste à retirer celle sous $f$."
        }
      ],
      "explanation": "L'aire entre deux courbes vaut $\\int_a^b (h - k)$, où $h$ désigne\nla fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier\ntravail, avant tout calcul de primitive.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,2]$, on considère les courbes des\nfonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,2]$ on a $g \\geq f$, donc l'aire\nvaut $\\int_0^{2}\\left(2x - x^2\\right)dx = \\dfrac{4}{3}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{4}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est\nau-dessus de la parabole. Une aire reste positive."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{20}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes\nintègre leur écart $g - f$, et non leur somme."
            },
            {
              "text": "$4$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous $g$, à\nlaquelle il reste à retirer celle sous $f$."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire entre deux courbes vaut $\\int_a^b (h - k)$, où $h$ désigne\nla fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier\ntravail, avant tout calcul de primitive."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,3]$, on considère les courbes des\nfonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = 3x$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,3]$ on a $g \\geq f$, donc l'aire\nvaut $\\int_0^{3}\\left(3x - x^2\\right)dx = \\dfrac{9}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{9}{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est\nau-dessus de la parabole. Une aire reste positive."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{45}{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes\nintègre leur écart $g - f$, et non leur somme."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{27}{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous $g$, à\nlaquelle il reste à retirer celle sous $f$."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire entre deux courbes vaut $\\int_a^b (h - k)$, où $h$ désigne\nla fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier\ntravail, avant tout calcul de primitive."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,4]$, on considère les courbes des\nfonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = 4x$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,4]$ on a $g \\geq f$, donc l'aire\nvaut $\\int_0^{4}\\left(4x - x^2\\right)dx = \\dfrac{32}{3}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est\nau-dessus de la parabole. Une aire reste positive."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{160}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes\nintègre leur écart $g - f$, et non leur somme."
            },
            {
              "text": "$32$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous $g$, à\nlaquelle il reste à retirer celle sous $f$."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire entre deux courbes vaut $\\int_a^b (h - k)$, où $h$ désigne\nla fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier\ntravail, avant tout calcul de primitive."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,5]$, on considère les courbes des\nfonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = 5x$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{125}{6}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,5]$ on a $g \\geq f$, donc l'aire\nvaut $\\int_0^{5}\\left(5x - x^2\\right)dx = \\dfrac{125}{6}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{125}{6}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est\nau-dessus de la parabole. Une aire reste positive."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{625}{6}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes\nintègre leur écart $g - f$, et non leur somme."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{125}{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous $g$, à\nlaquelle il reste à retirer celle sous $f$."
            }
          ],
          "explanation": "L'aire entre deux courbes vaut $\\int_a^b (h - k)$, où $h$ désigne\nla fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier\ntravail, avant tout calcul de primitive."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "signe-quelconque"
      ],
      "title": "Intégrale et changement de signe",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction continue $f$ est positive sur $[0\\,;\\,3]$ et\nnégative sur $[3\\,;\\,8]$. L'aire comprise entre sa courbe et\nl'axe des abscisses vaut $9$ unités d'aire sur le premier\nintervalle et $4$ sur le second. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la première portion compte pour $+9$, la\nseconde pour $-4$, d'où $9 - 4 = 5$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aires additionnées : ce total $13$ est l'aire\ngéométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte\nnégativement, ce qui donne $5$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour\n$-4$, d'où le résultat $5$."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les\nvaleurs absolues des deux contributions.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction continue $f$ est positive sur $[0\\,;\\,3]$ et\nnégative sur $[3\\,;\\,8]$. L'aire comprise entre sa courbe et\nl'axe des abscisses vaut $9$ unités d'aire sur le premier\nintervalle et $4$ sur le second. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{8} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première portion compte pour $+9$, la\nseconde pour $-4$, d'où $9 - 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aires additionnées : ce total $13$ est l'aire\ngéométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte\nnégativement, ce qui donne $5$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour\n$-4$, d'où le résultat $5$."
            }
          ],
          "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les\nvaleurs absolues des deux contributions."
        },
        {
          "statement": "Une fonction continue $f$ est positive sur $[0\\,;\\,2]$ et\nnégative sur $[2\\,;\\,6]$. L'aire comprise entre sa courbe et\nl'axe des abscisses vaut $7$ unités d'aire sur le premier\nintervalle et $10$ sur le second. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{6} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première portion compte pour $+7$, la\nseconde pour $-10$, d'où $7 - 10 = -3$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aires additionnées : ce total $17$ est l'aire\ngéométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte\nnégativement, ce qui donne $-3$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour\n$-10$, d'où le résultat $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les\nvaleurs absolues des deux contributions."
        },
        {
          "statement": "Une fonction continue $f$ est positive sur $[0\\,;\\,4]$ et\nnégative sur $[4\\,;\\,9]$. L'aire comprise entre sa courbe et\nl'axe des abscisses vaut $12$ unités d'aire sur le premier\nintervalle et $5$ sur le second. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{9} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première portion compte pour $+12$, la\nseconde pour $-5$, d'où $12 - 5 = 7$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aires additionnées : ce total $17$ est l'aire\ngéométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte\nnégativement, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour\n$-5$, d'où le résultat $7$."
            }
          ],
          "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les\nvaleurs absolues des deux contributions."
        },
        {
          "statement": "Une fonction continue $f$ est positive sur $[0\\,;\\,5]$ et\nnégative sur $[5\\,;\\,9]$. L'aire comprise entre sa courbe et\nl'axe des abscisses vaut $10$ unités d'aire sur le premier\nintervalle et $6$ sur le second. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{9} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première portion compte pour $+10$, la\nseconde pour $-6$, d'où $10 - 6 = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aires additionnées : ce total $16$ est l'aire\ngéométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte\nnégativement, ce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour\n$-6$, d'où le résultat $4$."
            }
          ],
          "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les\nvaleurs absolues des deux contributions."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "chasles"
      ],
      "title": "Retrouver un morceau manquant",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^{5} f = 12$ et que\n$\\displaystyle\\int_0^{2} f = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^{5} f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc\n$12 = 5 + \\int_{2}^{5} f$, d'où $7$."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le\npremier, il faut donc le retrancher."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du\ntotal, ce qui donne $7$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur calculée : $5 - 2$ mesure l'intervalle, pas l'aire\nqui s'y trouve."
        }
      ],
      "explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de\n$\\int_0^c f = \\int_0^b f + \\int_b^c f$ on tire aussi bien la somme\nque le morceau manquant, par soustraction.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^{5} f = 12$ et que\n$\\displaystyle\\int_0^{2} f = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{2}^{5} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc\n$12 = 5 + \\int_{2}^{5} f$, d'où $7$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le\npremier, il faut donc le retrancher."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du\ntotal, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur calculée : $5 - 2$ mesure l'intervalle, pas l'aire\nqui s'y trouve."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de\n$\\int_0^c f = \\int_0^b f + \\int_b^c f$ on tire aussi bien la somme\nque le morceau manquant, par soustraction."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^{8} f = 20$ et que\n$\\displaystyle\\int_0^{3} f = 6$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{3}^{8} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc\n$20 = 6 + \\int_{3}^{8} f$, d'où $14$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le\npremier, il faut donc le retrancher."
            },
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du\ntotal, ce qui donne $14$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur calculée : $8 - 3$ mesure l'intervalle, pas l'aire\nqui s'y trouve."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de\n$\\int_0^c f = \\int_0^b f + \\int_b^c f$ on tire aussi bien la somme\nque le morceau manquant, par soustraction."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^{9} f = 15$ et que\n$\\displaystyle\\int_0^{4} f = 9$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{4}^{9} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc\n$15 = 9 + \\int_{4}^{9} f$, d'où $6$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le\npremier, il faut donc le retrancher."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du\ntotal, ce qui donne $6$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur calculée : $9 - 4$ mesure l'intervalle, pas l'aire\nqui s'y trouve."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de\n$\\int_0^c f = \\int_0^b f + \\int_b^c f$ on tire aussi bien la somme\nque le morceau manquant, par soustraction."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^{6} f = 20$ et que\n$\\displaystyle\\int_0^{1} f = 4$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{1}^{6} f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc\n$20 = 4 + \\int_{1}^{6} f$, d'où $16$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le\npremier, il faut donc le retrancher."
            },
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du\ntotal, ce qui donne $16$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur calculée : $6 - 1$ mesure l'intervalle, pas l'aire\nqui s'y trouve."
            }
          ],
          "explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de\n$\\int_0^c f = \\int_0^b f + \\int_b^c f$ on tire aussi bien la somme\nque le morceau manquant, par soustraction."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "linearite"
      ],
      "title": "Multiplier une fonction par un nombre",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = 4$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_a^b 5f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ sort de l'intégrale, donc le\nrésultat vaut $5 \\times 4 = 20$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par\n$5$ multiplie l'aire par $5$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur ignoré : $4$ est l'intégrale de $f$ seule ; la courbe\nde $5f$ est $5$ fois plus haute."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient\nagrandit l'aire, il ne la réduit pas."
        }
      ],
      "explanation": "La linéarité permet de sortir un coefficient :\n$\\int_a^b k\\,f = k \\int_a^b f$. Géométriquement, étirer la courbe\nverticalement d'un facteur $k$ étire l'aire du même facteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = 4$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_a^b 5f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ sort de l'intégrale, donc le\nrésultat vaut $5 \\times 4 = 20$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par\n$5$ multiplie l'aire par $5$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur ignoré : $4$ est l'intégrale de $f$ seule ; la courbe\nde $5f$ est $5$ fois plus haute."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient\nagrandit l'aire, il ne la réduit pas."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet de sortir un coefficient :\n$\\int_a^b k\\,f = k \\int_a^b f$. Géométriquement, étirer la courbe\nverticalement d'un facteur $k$ étire l'aire du même facteur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = 7$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_a^b 3f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ sort de l'intégrale, donc le\nrésultat vaut $3 \\times 7 = 21$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par\n$3$ multiplie l'aire par $3$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur ignoré : $7$ est l'intégrale de $f$ seule ; la courbe\nde $3f$ est $3$ fois plus haute."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient\nagrandit l'aire, il ne la réduit pas."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet de sortir un coefficient :\n$\\int_a^b k\\,f = k \\int_a^b f$. Géométriquement, étirer la courbe\nverticalement d'un facteur $k$ étire l'aire du même facteur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = 6$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_a^b 4f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $4$ sort de l'intégrale, donc le\nrésultat vaut $4 \\times 6 = 24$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par\n$4$ multiplie l'aire par $4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur ignoré : $6$ est l'intégrale de $f$ seule ; la courbe\nde $4f$ est $4$ fois plus haute."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient\nagrandit l'aire, il ne la réduit pas."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet de sortir un coefficient :\n$\\int_a^b k\\,f = k \\int_a^b f$. Géométriquement, étirer la courbe\nverticalement d'un facteur $k$ étire l'aire du même facteur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_a^b 6f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $6$ sort de l'intégrale, donc le\nrésultat vaut $6 \\times 5 = 30$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par\n$6$ multiplie l'aire par $6$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur ignoré : $5$ est l'intégrale de $f$ seule ; la courbe\nde $6f$ est $6$ fois plus haute."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient\nagrandit l'aire, il ne la réduit pas."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet de sortir un coefficient :\n$\\int_a^b k\\,f = k \\int_a^b f$. Géométriquement, étirer la courbe\nverticalement d'un facteur $k$ étire l'aire du même facteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire sous une droite",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{4} x\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^2}{2}$, donc le\nrésultat vaut $\\dfrac{4^2}{2} = 8$. C'est bien l'aire du\ntriangle de base $4$ et de hauteur $4$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $2$ oubliée : la primitive de $x$ est\n$\\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne recopiée : $4$ est la valeur de la fonction en $4$,\npas l'aire accumulée depuis $0$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : c'est $4^2$ qui se divise par $2$, et non\n$4$ lui-même."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_0^b x\\,dx = \\left[\\dfrac{x^2}{2}\\right]_0^b =\n\\dfrac{b^2}{2}$. Le contrôle est immédiat : le domaine est un\ntriangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{4} x\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^2}{2}$, donc le\nrésultat vaut $\\dfrac{4^2}{2} = 8$. C'est bien l'aire du\ntriangle de base $4$ et de hauteur $4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la primitive de $x$ est\n$\\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne recopiée : $4$ est la valeur de la fonction en $4$,\npas l'aire accumulée depuis $0$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : c'est $4^2$ qui se divise par $2$, et non\n$4$ lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_0^b x\\,dx = \\left[\\dfrac{x^2}{2}\\right]_0^b =\n\\dfrac{b^2}{2}$. Le contrôle est immédiat : le domaine est un\ntriangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{6} x\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^2}{2}$, donc le\nrésultat vaut $\\dfrac{6^2}{2} = 18$. C'est bien l'aire du\ntriangle de base $6$ et de hauteur $6$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la primitive de $x$ est\n$\\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne recopiée : $6$ est la valeur de la fonction en $6$,\npas l'aire accumulée depuis $0$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : c'est $6^2$ qui se divise par $2$, et non\n$6$ lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_0^b x\\,dx = \\left[\\dfrac{x^2}{2}\\right]_0^b =\n\\dfrac{b^2}{2}$. Le contrôle est immédiat : le domaine est un\ntriangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{3} x\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^2}{2}$, donc le\nrésultat vaut $\\dfrac{3^2}{2} = \\dfrac{9}{2}$. C'est bien l'aire du\ntriangle de base $3$ et de hauteur $3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la primitive de $x$ est\n$\\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne recopiée : $3$ est la valeur de la fonction en $3$,\npas l'aire accumulée depuis $0$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : c'est $3^2$ qui se divise par $2$, et non\n$3$ lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_0^b x\\,dx = \\left[\\dfrac{x^2}{2}\\right]_0^b =\n\\dfrac{b^2}{2}$. Le contrôle est immédiat : le domaine est un\ntriangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{8} x\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^2}{2}$, donc le\nrésultat vaut $\\dfrac{8^2}{2} = 32$. C'est bien l'aire du\ntriangle de base $8$ et de hauteur $8$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la primitive de $x$ est\n$\\dfrac{x^2}{2}$, pas $x^2$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne recopiée : $8$ est la valeur de la fonction en $8$,\npas l'aire accumulée depuis $0$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : c'est $8^2$ qui se divise par $2$, et non\n$8$ lui-même."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_0^b x\\,dx = \\left[\\dfrac{x^2}{2}\\right]_0^b =\n\\dfrac{b^2}{2}$. Le contrôle est immédiat : le domaine est un\ntriangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental",
        "primitive"
      ],
      "title": "Une primitive connue en deux points",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F(1) = 3$ et\n$F(5) = 11$. Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{5} f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $F(5) - F(1) =\n11 - 3 = 8$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la\nborne basse, il ne l'ajoute pas."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : on écrit $F(5) - F(1)$, la borne haute en\npremier, ce qui donne $8$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse oubliée : la valeur $F(1) = 3$ doit être\nretranchée, d'où $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Connaître une primitive en deux points suffit :\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. L'expression de $f$ n'est même pas\nnécessaire, et la constante d'intégration disparaît.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F(1) = 3$ et\n$F(5) = 11$. Que vaut $\\displaystyle\\int_{1}^{5} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $F(5) - F(1) =\n11 - 3 = 8$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la\nborne basse, il ne l'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : on écrit $F(5) - F(1)$, la borne haute en\npremier, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : la valeur $F(1) = 3$ doit être\nretranchée, d'où $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Connaître une primitive en deux points suffit :\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. L'expression de $f$ n'est même pas\nnécessaire, et la constante d'intégration disparaît."
        },
        {
          "statement": "Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F(2) = 5$ et\n$F(9) = 12$. Que vaut $\\displaystyle\\int_{2}^{9} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $F(9) - F(2) =\n12 - 5 = 7$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la\nborne basse, il ne l'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : on écrit $F(9) - F(2)$, la borne haute en\npremier, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : la valeur $F(2) = 5$ doit être\nretranchée, d'où $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Connaître une primitive en deux points suffit :\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. L'expression de $f$ n'est même pas\nnécessaire, et la constante d'intégration disparaît."
        },
        {
          "statement": "Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F(3) = 4$ et\n$F(8) = 15$. Que vaut $\\displaystyle\\int_{3}^{8} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $F(8) - F(3) =\n15 - 4 = 11$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la\nborne basse, il ne l'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : on écrit $F(8) - F(3)$, la borne haute en\npremier, ce qui donne $11$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : la valeur $F(3) = 4$ doit être\nretranchée, d'où $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Connaître une primitive en deux points suffit :\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. L'expression de $f$ n'est même pas\nnécessaire, et la constante d'intégration disparaît."
        },
        {
          "statement": "Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F(2) = 1$ et\n$F(6) = 10$. Que vaut $\\displaystyle\\int_{2}^{6} f(x)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $F(6) - F(2) =\n10 - 1 = 9$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la\nborne basse, il ne l'ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : on écrit $F(6) - F(2)$, la borne haute en\npremier, ce qui donne $9$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse oubliée : la valeur $F(2) = 1$ doit être\nretranchée, d'où $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Connaître une primitive en deux points suffit :\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. L'expression de $f$ n'est même pas\nnécessaire, et la constante d'intégration disparaît."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "trapezes",
        "approximation"
      ],
      "title": "Approcher une intégrale par des trapèzes",
      "partie": "approximations",
      "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ par deux trapèzes de\nlargeur $1$, avec $f(0) = 1{,}5$, $f(1) = 3$ et $f(2) = 4{,}5$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dfrac{1{,}5 + 3}{2} + \\dfrac{3 + 4{,}5}{2} = 2{,}25 + 3{,}75 = 6$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur\nmultipliée par la moyenne des deux côtés."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rectangles à gauche : les hauteurs $f(0)$ et $f(1)$ sont\nprises seules."
        },
        {
          "text": "$7{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rectangles à droite : les hauteurs $f(1)$ et $f(2)$ sont\nprises seules."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des\nrectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus\nprécise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ par deux trapèzes de\nlargeur $1$, avec $f(0) = 1{,}5$, $f(1) = 3$ et $f(2) = 4{,}5$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dfrac{1{,}5 + 3}{2} + \\dfrac{3 + 4{,}5}{2} = 2{,}25 + 3{,}75 = 6$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur\nmultipliée par la moyenne des deux côtés."
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à gauche : les hauteurs $f(0)$ et $f(1)$ sont\nprises seules."
            },
            {
              "text": "$7{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à droite : les hauteurs $f(1)$ et $f(2)$ sont\nprises seules."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des\nrectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus\nprécise."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ par deux trapèzes de\nlargeur $1$, avec $f(0) = 2$, $f(1) = 4$ et $f(2) = 3$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dfrac{2 + 4}{2} + \\dfrac{4 + 3}{2} = 3 + 3{,}5 = 6{,}5$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur\nmultipliée par la moyenne des deux côtés."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à gauche : les hauteurs $f(0)$ et $f(1)$ sont\nprises seules."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à droite : les hauteurs $f(1)$ et $f(2)$ sont\nprises seules."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des\nrectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus\nprécise."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ par deux trapèzes de\nlargeur $1$, avec $f(0) = 1$, $f(1) = 2$ et $f(2) = 6$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dfrac{1 + 2}{2} + \\dfrac{2 + 6}{2} = 1{,}5 + 4 = 5{,}5$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur\nmultipliée par la moyenne des deux côtés."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à gauche : les hauteurs $f(0)$ et $f(1)$ sont\nprises seules."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à droite : les hauteurs $f(1)$ et $f(2)$ sont\nprises seules."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des\nrectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus\nprécise."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ par deux trapèzes de\nlargeur $1$, avec $f(0) = 3$, $f(1) = 1$ et $f(2) = 4$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dfrac{3 + 1}{2} + \\dfrac{1 + 4}{2} = 2 + 2{,}5 = 4{,}5$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur\nmultipliée par la moyenne des deux côtés."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à gauche : les hauteurs $f(0)$ et $f(1)$ sont\nprises seules."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangles à droite : les hauteurs $f(1)$ et $f(2)$ sont\nprises seules."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des\nrectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus\nprécise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "approximations",
        "rectangles",
        "pas"
      ],
      "title": "La largeur des rectangles",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_{0}^{2} f(x)\\,dx$ par la\nméthode des rectangles, on découpe $[0 ; 2]$ en $4$\nintervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : largeur $= \\dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5$.\n"
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.\n"
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur totale de l'intervalle, à diviser\npar $4$.\n"
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise la longueur par $4$, on ne la multiplie\npas.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le pas de la méthode des rectangles est $h = \\dfrac{b - a}{n}$ ;\nplus $n$ est grand, plus $h$ est petit et l'approximation précise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_{0}^{2} f(x)\\,dx$ par la\nméthode des rectangles, on découpe $[0 ; 2]$ en $4$\nintervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : largeur $= \\dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur totale de l'intervalle, à diviser\npar $4$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise la longueur par $4$, on ne la multiplie\npas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le pas de la méthode des rectangles est $h = \\dfrac{b - a}{n}$ ;\nplus $n$ est grand, plus $h$ est petit et l'approximation précise."
        },
        {
          "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_{1}^{3} f(x)\\,dx$ par la\nméthode des rectangles, on découpe $[1 ; 3]$ en $8$\nintervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : largeur $= \\dfrac{3 - 1}{8} = 0{,}25$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur totale de l'intervalle, à diviser\npar $8$.\n"
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise la longueur par $8$, on ne la multiplie\npas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le pas de la méthode des rectangles est $h = \\dfrac{b - a}{n}$ ;\nplus $n$ est grand, plus $h$ est petit et l'approximation précise."
        },
        {
          "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_{0}^{6} f(x)\\,dx$ par la\nméthode des rectangles, on découpe $[0 ; 6]$ en $4$\nintervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : largeur $= \\dfrac{6 - 0}{4} = 1{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.\n"
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est la longueur totale de l'intervalle, à diviser\npar $4$.\n"
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise la longueur par $4$, on ne la multiplie\npas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le pas de la méthode des rectangles est $h = \\dfrac{b - a}{n}$ ;\nplus $n$ est grand, plus $h$ est petit et l'approximation précise."
        },
        {
          "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_{0}^{3} f(x)\\,dx$ par la\nméthode des rectangles, on découpe $[0 ; 3]$ en $4$\nintervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : largeur $= \\dfrac{3 - 0}{4} = 0{,}75$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la longueur totale de l'intervalle, à diviser\npar $4$.\n"
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise la longueur par $4$, on ne la multiplie\npas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le pas de la méthode des rectangles est $h = \\dfrac{b - a}{n}$ ;\nplus $n$ est grand, plus $h$ est petit et l'approximation précise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "approximations",
        "rectangles",
        "encadrement",
        "croissante"
      ],
      "title": "Rectangles à gauche sous une fonction croissante",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue et croissante sur $[a ; b]$. On\napproche $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ par des rectangles dont la\nhauteur est la valeur de $f$ au bord **gauche** de chaque\nintervalle. Que peut-on dire de cette approximation ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est inférieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur chaque intervalle, $f$ croissante est\nminimale au bord gauche ; chaque rectangle est sous la courbe,\nla somme minore l'intégrale.\n"
        },
        {
          "text": "Elle est supérieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait le cas avec les rectangles à **droite**,\ndont la hauteur est la valeur maximale sur l'intervalle.\n"
        },
        {
          "text": "Elle est exactement égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité n'a lieu que si $f$ est constante sur chaque\nintervalle.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer sans connaître $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la croissance de $f$ suffit à positionner chaque\nrectangle sous la courbe.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction croissante, rectangles à gauche et à droite\nencadrent l'intégrale ; l'écart entre les deux diminue avec le pas."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "approximations",
        "python",
        "rectangles"
      ],
      "title": "Lire une méthode des rectangles en Python",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Dans ce programme, que représente l'expression `f(a + i * h) * h` ?\n```python\ndef rectangles(f, a, b, n):\n    h = (b - a) / n\n    s = 0\n    for i in range(n):\n        s = s + f(a + i * h) * h\n    return s\n```",
      "options": [
        {
          "text": "L'aire du $i$-ième rectangle, de largeur `h`",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : `a + i * h` est le bord gauche du $i$-ième\nintervalle, `f(...)` la hauteur du rectangle, `h` sa largeur.\n"
        },
        {
          "text": "La valeur de la primitive de $f$ en `a + i * h`",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune primitive n'intervient ; le programme additionne\ndes aires de rectangles.\n"
        },
        {
          "text": "La longueur du $i$-ième intervalle de la subdivision",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la longueur est `h` seul ; le produit par `f(...)` en\nfait une aire.\n"
        },
        {
          "text": "L'intégrale de $f$ entre `a` et `a + i * h`",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la somme `s` accumulée qui approche une\nintégrale, pas un terme isolé.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le programme traduit la définition : somme des aires de $n$\nrectangles de largeur $h$ et de hauteur $f(a + ih)$."
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "approximations",
        "precision",
        "erreur"
      ],
      "title": "Doubler le nombre de rectangles",
      "partie": "approximations",
      "statement": "Avec la méthode des rectangles, on passe de $n$ à $2n$ rectangles\npour approcher la même intégrale. Comment l'erreur évolue-t-elle,\nen général ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est environ divisée par $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'erreur de la méthode des rectangles est\nproportionnelle au pas $h$ ; diviser $h$ par $2$ divise l'erreur\npar $2$ environ.\n"
        },
        {
          "text": "Elle est environ divisée par $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $4$ caractérise la méthode des\ntrapèzes, plus précise, pas celle des rectangles.\n"
        },
        {
          "text": "Elle ne change pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : affiner le découpage rapproche la somme de l'intégrale.\n"
        },
        {
          "text": "Elle devient nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'erreur ne s'annule qu'à la limite, pour $n$ infini.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Méthode des rectangles : erreur en $O(h)$ ; méthode des trapèzes :\nerreur en $O(h^2)$. Doubler $n$ divise l'erreur par $2$ ou par $4$\nselon la méthode."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calculs",
        "primitive",
        "integrale-simple"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction affine par une primitive",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_{1}^{3} 2x\\,dx$.",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2x$ est $x^2$ ;\n$\\left[x^2\\right]_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$.\n"
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.\n"
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2(3 - 1)$ serait l'intégrale de la constante $2$,\npas de $2x$.\n"
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur de la primitive en $1$ a été oubliée ; il\nfaut soustraire $1^2$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une\nprimitive de $f$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_{1}^{3} 2x\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2x$ est $x^2$ ;\n$\\left[x^2\\right]_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2(3 - 1)$ serait l'intégrale de la constante $2$,\npas de $2x$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de la primitive en $1$ a été oubliée ; il\nfaut soustraire $1^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une\nprimitive de $f$."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_{2}^{5} 2x\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2x$ est $x^2$ ;\n$\\left[x^2\\right]_{2}^{5} = 5^2 - 2^2 = 21$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.\n"
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2(5 - 2)$ serait l'intégrale de la constante $2$,\npas de $2x$.\n"
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de la primitive en $2$ a été oubliée ; il\nfaut soustraire $2^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une\nprimitive de $f$."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_{1}^{4} 2x\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2x$ est $x^2$ ;\n$\\left[x^2\\right]_{1}^{4} = 4^2 - 1^2 = 15$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.\n"
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2(4 - 1)$ serait l'intégrale de la constante $2$,\npas de $2x$.\n"
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de la primitive en $1$ a été oubliée ; il\nfaut soustraire $1^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une\nprimitive de $f$."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_{2}^{4} 2x\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2x$ est $x^2$ ;\n$\\left[x^2\\right]_{2}^{4} = 4^2 - 2^2 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2(4 - 2)$ serait l'intégrale de la constante $2$,\npas de $2x$.\n"
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de la primitive en $2$ a été oubliée ; il\nfaut soustraire $2^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une\nprimitive de $f$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calculs",
        "primitive",
        "polynome"
      ],
      "title": "Intégrale d'un polynôme sur l'intervalle unité",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 (x^2 + 1)\\,dx$.",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3} + x$ ;\nentre $0$ et $1$, on obtient $\\dfrac{1}{3} + 1 = \\dfrac{4}{3}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + 1$ correspond à l'intégrale de\n$x + 1$, pas de $x^2 + 1$.\n"
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la primitive de $x^2$ est $\\dfrac{x^3}{3}$, pas $x^3$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme constant $1$ a été oublié dans la primitive.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On intègre terme à terme : $\\dfrac{x^3}{3}$ pour $x^2$, $x$ pour\nla constante, puis on évalue entre les bornes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 (x^2 + 1)\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3} + x$ ;\nentre $0$ et $1$, on obtient $\\dfrac{1}{3} + 1 = \\dfrac{4}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + 1$ correspond à l'intégrale de\n$x + 1$, pas de $x^2 + 1$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la primitive de $x^2$ est $\\dfrac{x^3}{3}$, pas $x^3$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme constant $1$ a été oublié dans la primitive.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On intègre terme à terme : $\\dfrac{x^3}{3}$ pour $x^2$, $x$ pour\nla constante, puis on évalue entre les bornes."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 (x^2 + 2)\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3} + 2x$ ;\nentre $0$ et $1$, on obtient $\\dfrac{1}{3} + 2 = \\dfrac{7}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + 2$ correspond à l'intégrale de\n$x + 2$, pas de $x^2 + 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la primitive de $x^2$ est $\\dfrac{x^3}{3}$, pas $x^3$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme constant $2$ a été oublié dans la primitive.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On intègre terme à terme : $\\dfrac{x^3}{3}$ pour $x^2$, $2x$ pour\nla constante, puis on évalue entre les bornes."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 (x^2 + 3)\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3} + 3x$ ;\nentre $0$ et $1$, on obtient $\\dfrac{1}{3} + 3 = \\dfrac{10}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + 3$ correspond à l'intégrale de\n$x + 3$, pas de $x^2 + 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la primitive de $x^2$ est $\\dfrac{x^3}{3}$, pas $x^3$.\n"
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme constant $3$ a été oublié dans la primitive.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On intègre terme à terme : $\\dfrac{x^3}{3}$ pour $x^2$, $3x$ pour\nla constante, puis on évalue entre les bornes."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 (x^2 + 4)\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{13}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $\\dfrac{x^3}{3} + 4x$ ;\nentre $0$ et $1$, on obtient $\\dfrac{1}{3} + 4 = \\dfrac{13}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + 4$ correspond à l'intégrale de\n$x + 4$, pas de $x^2 + 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la primitive de $x^2$ est $\\dfrac{x^3}{3}$, pas $x^3$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme constant $4$ a été oublié dans la primitive.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On intègre terme à terme : $\\dfrac{x^3}{3}$ pour $x^2$, $4x$ pour\nla constante, puis on évalue entre les bornes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calculs",
        "logarithme",
        "inverse"
      ],
      "title": "Intégrale de l'inverse",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_1^{e} \\dfrac{1}{x}\\,dx$.",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0 ; +\\infty[$ est $\\ln(x)$ ; $\\ln(e) - \\ln(1) = 1 - 0$.\n"
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e - 1$ serait l'intégrale de la constante $1$, pas\nde $\\dfrac{1}{x}$.\n"
        },
        {
          "text": "$1 - \\dfrac{1}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$,\npas de $\\dfrac{1}{x}$.\n"
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(1) = 0$, mais $\\ln(e) = 1$ ; la différence\nn'est pas nulle.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\int_1^{e^k} \\dfrac{dx}{x} = \\ln(e^k) - \\ln(1) = k$ :\nle logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_1^{e} \\dfrac{1}{x}\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0 ; +\\infty[$ est $\\ln(x)$ ; $\\ln(e) - \\ln(1) = 1 - 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$e - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $e - 1$ serait l'intégrale de la constante $1$, pas\nde $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - \\dfrac{1}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$,\npas de $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln(1) = 0$, mais $\\ln(e) = 1$ ; la différence\nn'est pas nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_1^{e^k} \\dfrac{dx}{x} = \\ln(e^k) - \\ln(1) = k$ :\nle logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_1^{e^2} \\dfrac{1}{x}\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0 ; +\\infty[$ est $\\ln(x)$ ; $\\ln(e^2) - \\ln(1) = 2 - 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$e^2 - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $e^2 - 1$ serait l'intégrale de la constante $1$, pas\nde $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - \\dfrac{1}{e^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$,\npas de $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln(1) = 0$, mais $\\ln(e^2) = 2$ ; la différence\nn'est pas nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_1^{e^k} \\dfrac{dx}{x} = \\ln(e^k) - \\ln(1) = k$ :\nle logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_1^{e^3} \\dfrac{1}{x}\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0 ; +\\infty[$ est $\\ln(x)$ ; $\\ln(e^3) - \\ln(1) = 3 - 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$e^3 - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $e^3 - 1$ serait l'intégrale de la constante $1$, pas\nde $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - \\dfrac{1}{e^3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$,\npas de $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln(1) = 0$, mais $\\ln(e^3) = 3$ ; la différence\nn'est pas nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_1^{e^k} \\dfrac{dx}{x} = \\ln(e^k) - \\ln(1) = k$ :\nle logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole."
        },
        {
          "statement": "Calculer $\\displaystyle\\int_1^{e^4} \\dfrac{1}{x}\\,dx$.",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0 ; +\\infty[$ est $\\ln(x)$ ; $\\ln(e^4) - \\ln(1) = 4 - 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$e^4 - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $e^4 - 1$ serait l'intégrale de la constante $1$, pas\nde $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - \\dfrac{1}{e^4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$,\npas de $\\dfrac{1}{x}$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln(1) = 0$, mais $\\ln(e^4) = 4$ ; la différence\nn'est pas nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\displaystyle\\int_1^{e^k} \\dfrac{dx}{x} = \\ln(e^k) - \\ln(1) = k$ :\nle logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calculs",
        "gini",
        "lorenz"
      ],
      "title": "Indice de Gini d'une courbe de Lorenz",
      "partie": "calculs",
      "statement": "L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz $L$ vaut\n$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 \\left(x - L(x)\\right)dx$. Que vaut $G$\npour $L(x) = x^{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,dx = \\dfrac{1}{2}$\net $\\displaystyle\\int_0^1 x^{4}dx = \\dfrac{1}{5}$, donc\n$G = 2\\left(\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{5}\\right) = \\dfrac{3}{5}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aire sous la courbe de Lorenz seule : $\\dfrac{1}{5}$ est\n$\\displaystyle\\int_0^1 L$, pas l'indice."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément erroné : $1 - \\dfrac{1}{5}$ n'est pas l'aire entre la\nbissectrice et la courbe."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\dfrac{3}{10}$ est l'aire entre la bissectrice\net la courbe ; l'indice en est le double."
        }
      ],
      "explanation": "L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la\npremière bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut $0$ pour une\nrépartition égalitaire et se rapproche de $1$ quand les inégalités\naugmentent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz $L$ vaut\n$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 \\left(x - L(x)\\right)dx$. Que vaut $G$\npour $L(x) = x^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,dx = \\dfrac{1}{2}$\net $\\displaystyle\\int_0^1 x^{4}dx = \\dfrac{1}{5}$, donc\n$G = 2\\left(\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{5}\\right) = \\dfrac{3}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire sous la courbe de Lorenz seule : $\\dfrac{1}{5}$ est\n$\\displaystyle\\int_0^1 L$, pas l'indice."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément erroné : $1 - \\dfrac{1}{5}$ n'est pas l'aire entre la\nbissectrice et la courbe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\dfrac{3}{10}$ est l'aire entre la bissectrice\net la courbe ; l'indice en est le double."
            }
          ],
          "explanation": "L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la\npremière bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut $0$ pour une\nrépartition égalitaire et se rapproche de $1$ quand les inégalités\naugmentent."
        },
        {
          "statement": "L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz $L$ vaut\n$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 \\left(x - L(x)\\right)dx$. Que vaut $G$\npour $L(x) = x^{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,dx = \\dfrac{1}{2}$\net $\\displaystyle\\int_0^1 x^{5}dx = \\dfrac{1}{6}$, donc\n$G = 2\\left(\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{6}\\right) = \\dfrac{2}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire sous la courbe de Lorenz seule : $\\dfrac{1}{6}$ est\n$\\displaystyle\\int_0^1 L$, pas l'indice."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément erroné : $1 - \\dfrac{1}{6}$ n'est pas l'aire entre la\nbissectrice et la courbe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\dfrac{1}{3}$ est l'aire entre la bissectrice\net la courbe ; l'indice en est le double."
            }
          ],
          "explanation": "L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la\npremière bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut $0$ pour une\nrépartition égalitaire et se rapproche de $1$ quand les inégalités\naugmentent."
        },
        {
          "statement": "L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz $L$ vaut\n$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 \\left(x - L(x)\\right)dx$. Que vaut $G$\npour $L(x) = x^{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,dx = \\dfrac{1}{2}$\net $\\displaystyle\\int_0^1 x^{7}dx = \\dfrac{1}{8}$, donc\n$G = 2\\left(\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{8}\\right) = \\dfrac{3}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire sous la courbe de Lorenz seule : $\\dfrac{1}{8}$ est\n$\\displaystyle\\int_0^1 L$, pas l'indice."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément erroné : $1 - \\dfrac{1}{8}$ n'est pas l'aire entre la\nbissectrice et la courbe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\dfrac{3}{8}$ est l'aire entre la bissectrice\net la courbe ; l'indice en est le double."
            }
          ],
          "explanation": "L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la\npremière bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut $0$ pour une\nrépartition égalitaire et se rapproche de $1$ quand les inégalités\naugmentent."
        },
        {
          "statement": "L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz $L$ vaut\n$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 \\left(x - L(x)\\right)dx$. Que vaut $G$\npour $L(x) = x^{9}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,dx = \\dfrac{1}{2}$\net $\\displaystyle\\int_0^1 x^{9}dx = \\dfrac{1}{10}$, donc\n$G = 2\\left(\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{10}\\right) = \\dfrac{4}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aire sous la courbe de Lorenz seule : $\\dfrac{1}{10}$ est\n$\\displaystyle\\int_0^1 L$, pas l'indice."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément erroné : $1 - \\dfrac{1}{10}$ n'est pas l'aire entre la\nbissectrice et la courbe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\dfrac{2}{5}$ est l'aire entre la bissectrice\net la courbe ; l'indice en est le double."
            }
          ],
          "explanation": "L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la\npremière bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut $0$ pour une\nrépartition égalitaire et se rapproche de $1$ quand les inégalités\naugmentent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes",
        "gini",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter un indice de Gini nul",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "L'indice de Gini d'une répartition des revenus vaut $0$. Que\npeut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les revenus sont égaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe de Lorenz est alors la première\nbissectrice, chaque part de la population détient la même part\ndu revenu."
        },
        {
          "text": "Une seule personne détient tout le revenu",
          "correct": false,
          "feedback": "Situation inverse : l'inégalité maximale donne un indice\nproche de $1$."
        },
        {
          "text": "Le revenu total de la population est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : l'indice mesure la répartition du revenu, pas son\nmontant."
        },
        {
          "text": "La moitié la plus pauvre ne détient rien",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas très inégalitaire : la courbe s'éloignerait de la\nbissectrice et l'indice serait positif."
        }
      ],
      "explanation": "$G = 2\\displaystyle\\int_0^1 (x - L(x))\\,dx$ est nul exactement\nquand $L(x) = x$ sur $[0\\,;\\,1]$ : les $x\\ \\%$ les plus modestes\ndétiennent $x\\ \\%$ du revenu."
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "approximations",
        "trapezes",
        "aire"
      ],
      "title": "Approcher une intégrale par un trapèze",
      "partie": "approximations",
      "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_{1}^{3} f(x)\\,dx$ par l'aire du\ntrapèze de sommets $(1\\,;\\,0)$, $(3\\,;\\,0)$, $(3\\,;\\,6)$\net $(1\\,;\\,2)$, avec $f(1) = 2$ et $f(3) = 6$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aire d'un trapèze,\n$(3 - 1) \\times \\dfrac{2 + 6}{2} = 8$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $2$ oubliée : la hauteur moyenne est\n$\\dfrac{2 + 6}{2}$, et non la somme des deux hauteurs."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rectangle à droite : $(3 - 1) \\times 6$ prend la\nhauteur au seul bord droit."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rectangle à gauche : $(3 - 1) \\times 2$ prend la\nhauteur au seul bord gauche."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire\nvaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux\nbords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche\net à droite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_{1}^{3} f(x)\\,dx$ par l'aire du\ntrapèze de sommets $(1\\,;\\,0)$, $(3\\,;\\,0)$, $(3\\,;\\,6)$\net $(1\\,;\\,2)$, avec $f(1) = 2$ et $f(3) = 6$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire d'un trapèze,\n$(3 - 1) \\times \\dfrac{2 + 6}{2} = 8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la hauteur moyenne est\n$\\dfrac{2 + 6}{2}$, et non la somme des deux hauteurs."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à droite : $(3 - 1) \\times 6$ prend la\nhauteur au seul bord droit."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à gauche : $(3 - 1) \\times 2$ prend la\nhauteur au seul bord gauche."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire\nvaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux\nbords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche\net à droite."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_{0}^{4} f(x)\\,dx$ par l'aire du\ntrapèze de sommets $(0\\,;\\,0)$, $(4\\,;\\,0)$, $(4\\,;\\,4)$\net $(0\\,;\\,1)$, avec $f(0) = 1$ et $f(4) = 4$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire d'un trapèze,\n$(4 - 0) \\times \\dfrac{1 + 4}{2} = 10$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la hauteur moyenne est\n$\\dfrac{1 + 4}{2}$, et non la somme des deux hauteurs."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à droite : $(4 - 0) \\times 4$ prend la\nhauteur au seul bord droit."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à gauche : $(4 - 0) \\times 1$ prend la\nhauteur au seul bord gauche."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire\nvaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux\nbords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche\net à droite."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_{2}^{5} f(x)\\,dx$ par l'aire du\ntrapèze de sommets $(2\\,;\\,0)$, $(5\\,;\\,0)$, $(5\\,;\\,5)$\net $(2\\,;\\,3)$, avec $f(2) = 3$ et $f(5) = 5$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire d'un trapèze,\n$(5 - 2) \\times \\dfrac{3 + 5}{2} = 12$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la hauteur moyenne est\n$\\dfrac{3 + 5}{2}$, et non la somme des deux hauteurs."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à droite : $(5 - 2) \\times 5$ prend la\nhauteur au seul bord droit."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à gauche : $(5 - 2) \\times 3$ prend la\nhauteur au seul bord gauche."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire\nvaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux\nbords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche\net à droite."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_{0}^{2} f(x)\\,dx$ par l'aire du\ntrapèze de sommets $(0\\,;\\,0)$, $(2\\,;\\,0)$, $(2\\,;\\,7)$\net $(0\\,;\\,4)$, avec $f(0) = 4$ et $f(2) = 7$.\nQuelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aire d'un trapèze,\n$(2 - 0) \\times \\dfrac{4 + 7}{2} = 11$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ oubliée : la hauteur moyenne est\n$\\dfrac{4 + 7}{2}$, et non la somme des deux hauteurs."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à droite : $(2 - 0) \\times 7$ prend la\nhauteur au seul bord droit."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rectangle à gauche : $(2 - 0) \\times 4$ prend la\nhauteur au seul bord gauche."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire\nvaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux\nbords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche\net à droite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "approximations",
        "monte-carlo",
        "python"
      ],
      "title": "Une méthode de Monte-Carlo en Python",
      "partie": "approximations",
      "statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0\\,;\\,1[$. De quel nombre `estime(100000)` donne-t-il une valeur\napprochée ?\n```python\ndef estime(n):\n    c = 0\n    for i in range(n):\n        x = random()\n        y = random()\n        if y <= x * x:\n            c = c + 1\n    return c / n\n```",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx = \\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la proportion de points du carré unité situés\nsous la parabole approche l'aire sous la courbe, soit\n$\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$, aire sous la droite $y = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise courbe : le test `y <= x * x` compare $y$ à $x^2$, et\nnon à $x$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$, aire au-dessus de la parabole",
          "correct": false,
          "feedback": "Région complémentaire : les points comptés vérifient\n$y \\leq x^2$, donc sont sous la courbe."
        },
        {
          "text": "$1$, aire du carré unité",
          "correct": false,
          "feedback": "Proportion confondue avec une aire totale : seuls les points\nsous la parabole sont comptés."
        }
      ],
      "explanation": "Le point $(x\\,;\\,y)$ est tiré uniformément dans le carré\n$[0\\,;\\,1]^2$, d'aire $1$. La fréquence des points sous la courbe\napproche l'aire du domaine, ici\n$\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx = \\dfrac{1}{3}$."
    },
    {
      "id": "q62",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "definition",
        "lecture-graphique",
        "estimation"
      ],
      "title": "Estimer une aire sur un quadrillage",
      "partie": "definition",
      "statement": "Le domaine coloré est situé sous la courbe d'une fonction $f$\npositive, entre $x = 0$ et $x = 4$. Parmi les valeurs suivantes,\nlaquelle est la plus proche de $\\displaystyle\\int_0^4 f(x)\\,dx$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (4,5);\n    \\draw[->] (-0.2,0) -- (4.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,5.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {1,2,3,4,5} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\fill[blue!15] (0,0) -- plot[domain=0:4,smooth,samples=40] (\\x,{0.25*\\x*\\x+1}) -- (4,0) -- cycle;\n  \\draw[domain=0:4,smooth,samples=40,thick,blue] plot (\\x,{0.25*\\x*\\x+1});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3.3,4.4) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère quadrillé. La courbe d'une fonction croissante part du\npoint (0 ; 1) et monte jusqu'au point (4 ; 5) en se courbant\nvers le haut, en passant par (2 ; 2). Le domaine entre la\ncourbe, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4 est\ncolorié.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"129.561pt\" height=\"153.942pt\" viewBox=\"0 0 129.561 153.942\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.828125 1.046875 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.875 3.359375 -3.75 2.390625 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.96875 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.71875 3.765625 -5.84375 C 3.765625 -5.921875 3.71875 -5.953125 3.671875 -5.953125 C 3.65625 -5.953125 3.640625 -5.953125 3.5625 -5.90625 C 3.140625 -5.734375 2.71875 -5.671875 2.34375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.90625 C 1.0625 -5.953125 1.046875 -5.953125 1.03125 -5.953125 C 0.921875 -5.953125 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.71875 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 -5.71875 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.375 -2.328125 3.375 -2.46875 C 3.375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.609375 -2.5625 C 2.78125 -3.546875 2.78125 -3.546875 2.8125 -3.65625 C 2.84375 -3.796875 2.84375 -3.84375 2.9375 -3.921875 C 3.015625 -3.96875 3.0625 -4 3.15625 -4 C 3.25 -4 3.34375 -3.984375 3.421875 -3.9375 C 3.3125 -3.890625 3.203125 -3.765625 3.203125 -3.625 C 3.203125 -3.5 3.296875 -3.390625 3.453125 -3.390625 C 3.609375 -3.390625 3.78125 -3.53125 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.421875 -4.1875 3.15625 -4.1875 C 2.890625 -4.1875 2.484375 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.328125 2.234375 -3.203125 2.203125 -2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 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fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"118.153652\" y=\"142.805927\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00189846 -4.534985 L -0.00189846 119.791104 \" transform=\"matrix(0.996623, 0, 0, -0.996623, 17.46283, 135.023298)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07414 2.392785 C -1.69395 0.958253 -0.85126 0.280182 -0.000732022 0.00189846 C -0.85126 -0.280305 -1.69395 -0.954456 -2.07414 -2.392907 \" transform=\"matrix(0, -0.996623, -0.996623, 0, 17.46283, 15.43677)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"8.731415\" y=\"9.801594\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.768028\" y=\"148.358114\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"60.36845\" y=\"148.358114\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"82.968871\" y=\"148.358114\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"105.569293\" y=\"148.358114\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.295058\" y=\"115.30212\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"5.295058\" y=\"92.701699\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"5.295058\" y=\"70.101277\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"5.295058\" y=\"47.499859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"5.295058\" y=\"24.899437\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(84.999084%, 84.999084%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 17.460938 135.023438 L 17.460938 112.421875 C 17.460938 112.421875 19.136719 112.394531 19.78125 112.363281 C 20.421875 112.332031 21.457031 112.25 22.097656 112.183594 C 22.742188 112.117188 23.773438 111.988281 24.417969 111.886719 C 25.058594 111.789062 26.089844 111.601562 26.734375 111.472656 C 27.378906 111.339844 28.410156 111.101562 29.050781 110.9375 C 29.695312 110.773438 30.726562 110.480469 31.371094 110.28125 C 32.011719 110.085938 33.042969 109.742188 33.6875 109.511719 C 34.332031 109.28125 35.363281 108.882812 36.003906 108.621094 C 36.648438 108.355469 37.679688 107.90625 38.324219 107.609375 C 38.964844 107.3125 39.996094 106.808594 40.640625 106.480469 C 41.285156 106.148438 42.316406 105.59375 42.957031 105.230469 C 43.601562 104.871094 44.632812 104.261719 45.277344 103.867188 C 45.917969 103.46875 46.953125 102.808594 47.59375 102.378906 C 48.238281 101.949219 49.269531 101.238281 49.914062 100.773438 C 50.554688 100.3125 51.585938 99.546875 52.230469 99.050781 C 52.875 98.558594 53.90625 97.738281 54.546875 97.210938 C 55.191406 96.683594 56.222656 95.808594 56.867188 95.25 C 57.507812 94.6875 58.539062 93.761719 59.183594 93.167969 C 59.828125 92.574219 60.859375 91.597656 61.5 90.96875 C 62.144531 90.34375 63.175781 89.3125 63.820312 88.652344 C 64.460938 87.992188 65.492188 86.910156 66.136719 86.214844 C 66.78125 85.523438 67.8125 84.386719 68.453125 83.660156 C 69.097656 82.933594 70.128906 81.746094 70.773438 80.988281 C 71.414062 80.226562 72.449219 78.984375 73.089844 78.191406 C 73.734375 77.402344 74.765625 76.105469 75.410156 75.28125 C 76.050781 74.457031 77.082031 73.109375 77.726562 72.25 C 78.371094 71.394531 79.402344 69.992188 80.042969 69.101562 C 80.6875 68.210938 81.71875 66.757812 82.363281 65.832031 C 83.003906 64.910156 84.035156 63.402344 84.679688 62.445312 C 85.324219 61.488281 86.355469 59.929688 86.996094 58.941406 C 87.640625 57.949219 88.671875 56.335938 89.316406 55.316406 C 89.957031 54.292969 90.988281 52.625 91.632812 51.570312 C 92.277344 50.515625 93.308594 48.796875 93.949219 47.707031 C 94.59375 46.621094 95.625 44.847656 96.269531 43.726562 C 96.910156 42.605469 97.945312 40.78125 98.585938 39.625 C 99.230469 38.472656 100.261719 36.59375 100.90625 35.40625 C 101.546875 34.21875 102.578125 32.289062 103.222656 31.070312 C 103.867188 29.847656 104.898438 27.867188 105.539062 26.613281 C 106.183594 25.359375 107.859375 22.035156 107.859375 22.035156 L 107.867188 135.023438 Z M 17.460938 135.023438 \"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00189846 22.678004 C -0.00189846 22.678004 1.679561 22.705441 2.326276 22.736797 C 2.969072 22.768153 4.007736 22.850462 4.650531 22.917093 C 5.297246 22.983724 6.331991 23.113067 6.978706 23.214974 C 7.621501 23.312961 8.656246 23.501097 9.302961 23.63044 C 9.949676 23.763702 10.98442 24.002791 11.627216 24.167409 C 12.273931 24.332027 13.308675 24.625989 13.95539 24.825883 C 14.598186 25.021857 15.63293 25.366772 16.279646 25.598021 C 16.926361 25.829271 17.961105 26.229059 18.603901 26.491664 C 19.250616 26.758189 20.28536 27.20893 20.932075 27.506811 C 21.574871 27.804692 22.609615 28.310306 23.25633 28.639542 C 23.903045 28.972699 24.93779 29.529266 25.580585 29.893778 C 26.227301 30.254371 27.262045 30.86581 27.90876 31.261678 C 28.551556 31.661466 29.590219 32.323859 30.233015 32.755002 C 30.87973 33.186146 31.914474 33.899492 32.56119 34.365911 C 33.203985 34.82841 34.23873 35.59663 34.885445 36.094404 C 35.53216 36.58826 36.566904 37.411352 37.2097 37.940482 C 37.856415 38.469613 38.891159 39.347578 39.537874 39.908064 C 40.18067 40.47247 41.215414 41.401388 41.862129 41.99715 C 42.508845 42.592912 43.543589 43.572783 44.186384 44.203821 C 44.8331 44.830938 45.867844 45.865682 46.514559 46.528076 C 47.157355 47.190469 48.192099 48.276166 48.838814 48.973835 C 49.485529 49.667584 50.520274 50.808154 51.163069 51.537178 C 51.809784 52.266203 52.844529 53.457726 53.491244 54.218107 C 54.134039 54.982406 55.172703 56.228803 55.815499 57.024459 C 56.462214 57.816195 57.496958 59.117464 58.143673 59.944475 C 58.786469 60.771487 59.821213 62.12371 60.467928 62.985996 C 61.114644 63.844364 62.149388 65.251459 62.792184 66.145102 C 63.438899 67.038745 64.473643 68.496794 65.120358 69.425712 C 65.763154 70.35071 66.797898 71.863632 67.444613 72.823906 C 68.091328 73.78418 69.126073 75.348055 69.768868 76.339685 C 70.415583 77.335234 71.450328 78.953982 72.097043 79.976967 C 72.739839 81.003873 73.774583 82.677493 74.421298 83.735754 C 75.068013 84.794015 76.102757 86.518589 76.745553 87.612126 C 77.392268 88.701743 78.427012 90.481189 79.073728 91.606082 C 79.716523 92.730974 80.755187 94.561374 81.397983 95.721542 C 82.044698 96.87779 83.079442 98.763063 83.726157 99.954587 C 84.368953 101.14611 85.403697 103.082336 86.050412 104.305216 C 86.697127 105.532015 87.731872 107.519194 88.374667 108.777349 C 89.021383 110.035504 90.702842 113.370986 90.702842 113.370986 \" transform=\"matrix(0.996623, 0, 0, -0.996623, 17.46283, 135.023298)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"87.242391\" y=\"37.524659\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"92.090962\" y=\"38.584069\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le domaine couvre environ neuf carreaux d'une\nunité d'aire ; la valeur exacte est\n$\\dfrac{28}{3} \\approx 9{,}3$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rectangle englobant : $4 \\times 5 = 20$ compte tout le carré\nsitué sous la hauteur maximale."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de $f(4)$ : c'est une hauteur, pas une aire."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur de l'intervalle : l'aire dépend aussi de la hauteur de\nla courbe."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégrale d'une fonction positive est l'aire sous sa courbe, qui\ns'estime en comptant les carreaux. Les rectangles à gauche donnent\n$7{,}5$, ceux à droite $11{,}5$ : l'aire est entre les deux."
    }
  ]
}