{
"chapter": {
"id": "lois-a-densite",
"level": "maths-complementaires",
"theme": "Probabilités et statistique",
"title": "Lois à densité",
"description": "Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,\nfonction de répartition $x \\mapsto P(X \\leq x)$, espérance sous\nforme d'intégrale, loi uniforme sur $[0\\,;\\,1]$ puis sur\n$[a\\,;\\,b]$ (densité, espérance), loi exponentielle (densité,\nespérance, absence de mémoire).",
"parties": [
{
"id": "densite",
"title": "Densité et probabilités"
},
{
"id": "uniforme",
"title": "Loi uniforme"
},
{
"id": "exponentielle",
"title": "Loi exponentielle"
},
{
"id": "applications",
"title": "Espérance, simulation et modèles"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"densite",
"definition"
],
"title": "Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ?",
"partie": "densite",
"statement": "Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour\nêtre une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?",
"options": [
{
"text": "Être positive et d'aire totale $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : positivité sur $I$ (les probabilités\nsont positives) et aire totale $1$ sous la courbe sur\n$I$ (l'événement certain)."
},
{
"text": "Être croissante et valoir $1$ à droite",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de\n**répartition** $P(X \\leq x)$, pas la densité."
},
{
"text": "Être comprise entre $0$ et $1$ sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité peut dépasser $1$ (par exemple la\ndensité uniforme sur $[0\\,;\\,0{,}5]$ vaut $2$) : c'est\nl'**aire** qui est bornée par $1$, pas la hauteur."
},
{
"text": "Être continue et impaire sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;\naucune symétrie n'est requise."
}
],
"explanation": "Densité : $f \\geq 0$ et aire totale $= 1$. Les probabilités\nse lisent alors comme des aires : $P(c \\leq X \\leq d) =$\naire sous $f$ entre $c$ et $d$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"uniforme",
"lecture"
],
"title": "Lire une probabilité comme une aire",
"partie": "uniforme",
"statement": "La figure montre la densité de la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de\n$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut\n$P(0{,}5 \\leq X \\leq 1{,}5)$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.6,yscale=2.4]\n \\fill[blue!20] (0.5,0) rectangle (1.5,0.5);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (2.7,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.12) -- (0,0.85) node[above left] {$y$};\n \\draw[thick,blue] (0,0.5) -- (2,0.5);\n \\draw[thick,blue] (-0.4,0) -- (0,0);\n \\draw[thick,blue] (2,0) -- (2.6,0);\n \\draw[dashed,blue] (0,0) -- (0,0.5);\n \\draw[dashed,blue] (2,0) -- (2,0.5);\n \\node[left,font=\\small] at (-0.03,0.5) {$0{,}5$};\n \\foreach \\x in {0.5,1,1.5,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.02) {$\\x$};\n \\draw (0.5,0.01) -- (0.5,-0.01);\n \\draw (1.5,0.01) -- (1.5,-0.01);\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment\nhorizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul\nailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5,\nsous le segment, est coloriée en bleu clair.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la probabilité est l'aire du rectangle de\nlargeur $1$ et de hauteur $0{,}5$ : $1 \\times 0{,}5 =\n0{,}5$. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la\nprobabilité : cohérent pour une loi uniforme."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1$ est la largeur de la zone, et la largeur\nseule ne suffit pas : l'aire multiplie largeur **et**\nhauteur ($0{,}5$)."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times 0{,}5$ prend la mauvaise\nlargeur : la zone va de $0{,}5$ à $1{,}5$, largeur $1$."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}75$ correspondrait à une largeur de\n$1{,}5$ (par exemple de $0{,}5$ à $2$). Ici :\n$1 \\times 0{,}5 = 0{,}5$."
}
],
"explanation": "Pour une densité, une probabilité se lit comme une **aire**.\nUniforme sur\n$[a\\,;\\,b]$ : densité constante $\\frac{1}{b-a}$, et\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\frac{d - c}{b - a}$ : la proportion\nde longueur."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"uniforme",
"densite"
],
"title": "Densité de la loi uniforme",
"partie": "uniforme",
"statement": "Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle\n$[2\\,;\\,7]$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = \\dfrac{1}{5}$ sur $[2\\,;\\,7]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse (et $f$ nulle ailleurs) : constante sur\nl'intervalle, de hauteur $\\dfrac{1}{b-a} = \\dfrac{1}{5}$\npour que l'aire totale ($5 \\times \\frac{1}{5}$) vaille\n$1$."
},
{
"text": "$f(x) = \\dfrac{1}{7}$ sur $[2\\,;\\,7]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est la **longueur** $b - a =\n5$, pas la borne $7$. (Aire : $5 \\times \\frac{1}{7}\n\\neq 1$.)"
},
{
"text": "$f(x) = 5$ sur $[2\\,;\\,7]$, nulle ailleurs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : hauteur $5$ sur une largeur $5$ donnerait une\naire de $25$. La densité est l'**inverse** de la\nlongueur."
},
{
"text": "$f(x) = x - 2$ sur $[2\\,;\\,7]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité **croissante** privilégierait les\ngrandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur\nconstante."
}
],
"explanation": "Uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ : densité $\\frac{1}{b-a}$ sur\nl'intervalle, nulle ailleurs ; espérance $\\frac{a+b}{2}$\n(le milieu)."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"uniforme",
"esperance"
],
"title": "Attente moyenne entre deux passages",
"partie": "uniforme",
"statement": "Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente $X$\nd'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{0 + 10}{2} = 5$, la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la\nmoyenne en vaut la moitié."
},
{
"text": "$0$ minute",
"correct": false,
"feedback": "L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$ de minute",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{10}$ est la hauteur du\nrectangle, pas l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$,\nmilieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié\nde l'intervalle entre deux passages.",
"variants": [
{
"statement": "Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente $X$\nd'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{0 + 10}{2} = 5$, la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la\nmoyenne en vaut la moitié."
},
{
"text": "$0$ minute",
"correct": false,
"feedback": "L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$ de minute",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{10}$ est la hauteur du\nrectangle, pas l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$,\nmilieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"statement": "Un bus passe toutes les $12$ minutes ; le temps d'attente $X$\nd'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,12]$. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{0 + 12}{2} = 6$, la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"text": "$12$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la\nmoyenne en vaut la moitié."
},
{
"text": "$0$ minute",
"correct": false,
"feedback": "L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{12}$ de minute",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{12}$ est la hauteur du\nrectangle, pas l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$,\nmilieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"statement": "Un bus passe toutes les $20$ minutes ; le temps d'attente $X$\nd'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,20]$. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{0 + 20}{2} = 10$, la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"text": "$20$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la\nmoyenne en vaut la moitié."
},
{
"text": "$0$ minute",
"correct": false,
"feedback": "L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$ de minute",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{20}$ est la hauteur du\nrectangle, pas l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$,\nmilieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"statement": "Un bus passe toutes les $15$ minutes ; le temps d'attente $X$\nd'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,15]$. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$7{,}5$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{0 + 15}{2} = 7{,}5$, la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
},
{
"text": "$15$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la\nmoyenne en vaut la moitié."
},
{
"text": "$0$ minute",
"correct": false,
"feedback": "L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{15}$ de minute",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{15}$ est la hauteur du\nrectangle, pas l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$,\nmilieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié\nde l'intervalle entre deux passages."
}
]
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"repartition"
],
"title": "Fonction de répartition",
"partie": "densite",
"statement": "Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction\nde répartition $F(x) = P(X \\leq x)$ ?",
"options": [
{
"text": "L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $F$ accumule la probabilité de gauche à\ndroite : fonction croissante, de limite $0$ à gauche et\n$1$ à droite."
},
{
"text": "La hauteur de la densité au point $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la hauteur est $f(x)$ ; la répartition est\nl'**aire** accumulée jusqu'à $x$ (l'intégrale de la\ndensité)."
},
{
"text": "La probabilité que $X = x$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pour une loi à densité, $P(X = x) = 0$ (une\naire de largeur nulle). $F(x)$ cumule tout ce qui est\n**inférieur ou égal** à $x$."
},
{
"text": "La moyenne des valeurs inférieures à $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $F(x)$ est une probabilité (une aire), pas une\nmoyenne ; l'espérance, elle, est un **nombre** ($\\int x\nf(x) dx$), alors que la répartition est une **fonction**\nde $x$."
}
],
"explanation": "Fonction de répartition : $F(x) = P(X \\leq x)$, aire\ncumulée. Utilité pratique : $P(c \\leq X \\leq d) = F(d) -\nF(c)$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"densite",
"valeur-ponctuelle"
],
"title": "$P(X = a)$ pour une loi à densité",
"partie": "densite",
"statement": "Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut\n$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?",
"options": [
{
"text": "$0$ : une aire de largeur nulle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus\ndu seul point $3$, la largeur est nulle. Conséquence :\n$P(X \\leq 3) = P(X < 3)$ pour les lois à densité."
},
{
"text": "$f(3)$, la valeur de la densité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(3)$ est une **hauteur**, pas une\nprobabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée\npar une largeur (aire)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans\nune loi à densité : $P(X = 3) = 0$."
},
{
"text": "Cela dépend de la loi",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pour **toute** loi à densité, les valeurs\nexactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois\ndiscrètes)."
}
],
"explanation": "Différence essentielle discret/continu : en continu,\n$P(X = a) = 0$ pour tout $a$ ; seules les **plages** de\nvaleurs portent de la probabilité."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle",
"definition"
],
"title": "La loi exponentielle",
"partie": "exponentielle",
"statement": "Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre\n$\\lambda > 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(t) = \\lambda\\,e^{-\\lambda t}$ pour $t \\geq 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la\nhauteur $\\lambda$ : le modèle continu des durées de vie\nsans vieillissement."
},
{
"text": "$f(t) = e^{\\lambda t}$ pour $t \\geq 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une exponentielle **croissante** aurait une\naire infinie : impossible pour une densité."
},
{
"text": "$f(t) = \\lambda$ pour $t \\geq 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une constante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ aurait\naussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est\nconstante, sur un intervalle **borné**."
},
{
"text": "$f(t) = e^{-\\lambda t}$ pour $t \\geq 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sans le facteur $\\lambda$, l'aire totale vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$ et non $1$ : la densité est\n$\\lambda e^{-\\lambda t}$."
}
],
"explanation": "Loi exponentielle : densité $\\lambda e^{-\\lambda t}$ sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, espérance $\\frac{1}{\\lambda}$, absence de\nmémoire. Version continue de la loi géométrique."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle",
"esperance"
],
"title": "Espérance d'une loi exponentielle",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle\nest sa durée de vie moyenne ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{\\lambda} = 10$ milliers d'heures",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$ : plus le\ntaux de panne $\\lambda$ est faible, plus la vie moyenne\nest longue."
},
{
"text": "$0{,}1$ millier d'heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}1$ est le **paramètre** (taux) ;\nl'espérance en est l'inverse : $10$."
},
{
"text": "$\\lambda^2 = 0{,}01$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun carré ici : $E = \\frac{1}{\\lambda}$\n(et l'écart-type vaut aussi $\\frac{1}{\\lambda}$)."
},
{
"text": "Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les grandes durées sont possibles mais si\nimprobables que la moyenne reste **finie** :\n$\\frac{1}{\\lambda}$."
}
],
"explanation": "$E(X) = \\frac{1}{\\lambda}$ pour la loi exponentielle\n(parallèle exact avec le $\\frac{1}{p}$ de la loi\ngéométrique). Ici : $10$ milliers d'heures."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"exponentielle",
"memoire"
],
"title": "Absence de mémoire continue",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.\nIl fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de\nvie **restante** ?",
"options": [
{
"text": "Elle suit la même loi qu'un composant neuf",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le composant ne vieillit pas, c'est\nl'absence de mémoire, propriété caractéristique de la\nloi exponentielle : conditionner par la survie ne change\npas la loi du temps restant."
},
{
"text": "Elle est plus courte, il a déjà consommé une partie de\nsa vie",
"correct": false,
"feedback": "Intuition d'usure, **hors modèle** : l'exponentielle\nmodélise précisément les pannes sans vieillissement\n(défaillances accidentelles, désintégration atomique)."
},
{
"text": "Elle est plus longue, il a prouvé sa robustesse",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est\nexactement celle d'origine."
},
{
"text": "Elle devient certaine et égale à $\\dfrac{1}{\\lambda}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'**espérance** restante vaut\n$\\frac{1}{\\lambda}$, mais la durée reste aléatoire, de\nmême loi qu'au départ."
}
],
"explanation": "Absence de mémoire : $P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$.\nL'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent\nleur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi\nles lois à densité."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"esperance",
"integrale"
],
"title": "L'espérance comme intégrale",
"partie": "applications",
"statement": "Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\\,;\\,b]$,\ncomment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$E(X) = \\displaystyle\\int_a^b x\\,f(x)\\,dx$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la version continue de\n$\\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur $x$ pondérée par sa\ndensité, sommée par intégrale."
},
{
"text": "$E(X) = \\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette intégrale vaut toujours $1$ (aire\ntotale). L'espérance pondère par la **valeur** $x$ :\n$\\int x f(x) dx$."
},
{
"text": "$E(X) = f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne\n(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les\nvaleurs pondérées."
},
{
"text": "$E(X) = \\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de\nsens probabiliste : l'espérance est $\\int x f(x)\\,dx$."
}
],
"explanation": "Analogie discret-continu : $\\sum x_i p_i \\to \\int x f(x)\ndx$. Exemple : uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ : $\\int_a^b\n\\frac{x}{b-a} dx = \\frac{a+b}{2}$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"uniforme",
"simulation"
],
"title": "Simuler avec la loi uniforme",
"partie": "uniforme",
"statement": "En Python, `random()` renvoie un réel de loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur\n$[3\\,;\\,8]$ ?",
"options": [
{
"text": "`3 + 5 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on dilate $[0\\,;\\,1[$ par la longueur\n($\\times 5$) puis on translate au bon départ ($+3$) :\nuniforme sur $[3\\,;\\,8[$."
},
{
"text": "`random(3, 8)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `random()` ne prend pas d'arguments. La\ntransformation affine $a + (b-a) \\times$ `random()` fait\nle travail."
},
{
"text": "`3 * random() + 8`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression vit dans $[8\\,;\\,11[$ :\ncoefficients mal placés. Longueur $5$ en facteur, départ\n$3$ en décalage."
},
{
"text": "`randint(3, 8)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` produit des **entiers** (loi uniforme\ndiscrète). Pour un réel de loi à densité : `random()`\ntransformé."
}
],
"explanation": "Rôle central de l'uniforme sur $[0\\,;\\,1]$ (au programme) :\nelle simule les autres lois. Uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ :\n$a + (b-a)U$. C'est la brique des simulations continues."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"modelisation",
"choix"
],
"title": "Choisir entre uniforme et exponentielle",
"partie": "applications",
"statement": "Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi\n**exponentielle** ?",
"options": [
{
"text": "Le temps d'attente entre deux appels à un standard",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : temps d'attente d'événements\nindépendants « sans mémoire » (appels, désintégrations,\npannes accidentelles) : le domaine de la loi\nexponentielle."
},
{
"text": "La position d'un point choisi au hasard sur un segment",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :\nloi **uniforme**."
},
{
"text": "Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un **compte** discret : loi binomiale, pas une\nloi à densité."
},
{
"text": "Le résultat d'un lancer de dé équilibré",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme\n**discrète**."
}
],
"explanation": "Guide de modélisation : position au hasard $\\to$ uniforme ;\ndurée d'attente sans mémoire $\\to$ exponentielle ; comptes\n$\\to$ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème\n« temps d'attente » articule ces choix."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"uniforme-calcul"
],
"title": "Probabilité uniforme simple",
"partie": "uniforme",
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\ ;\\ 10]$. Que vaut\n$P(X \\leq 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur\nfavorable ($3$) sur longueur totale ($10$)."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est la longueur favorable : une probabilité\nla rapporte au total : $\\frac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est la longueur **totale**\n($10$), pas la borne demandée."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}5$ correspondrait à $P(X \\leq 5)$ (la\nmoitié) : ici la zone couvre $30\\ \\%$ de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[c\\ ;\\ d]$ : $P(X \\in I) =\n\\frac{\\text{longueur de } I}{d - c}$ : la probabilité EST la\nproportion géométrique. Le modèle du « point au hasard »."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"aire-totale"
],
"title": "L'aire totale sous une densité",
"partie": "densite",
"statement": "Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de\nprobabilité ?",
"options": [
{
"text": "$1$ : la certitude entière",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :\nla probabilité totale, lue comme aire complète, vaut\n$1$."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les probabilités **ponctuelles** ($P(X\n= a)$) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut $1$."
},
{
"text": "Cela dépend de la loi",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :\npositive ET d'aire totale $1$, quelle que soit sa forme."
},
{
"text": "L'espérance de la variable",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : l'espérance est l'intégrale de\n$t\\,f(t)$ (la valeur moyenne) : l'aire de $f$ seule vaut\ntoujours $1$."
}
],
"explanation": "Une densité : $f \\geq 0$ et $\\int f = 1$ : les deux\nconditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face\nà toute densité proposée (et la clé pour trouver une\nconstante inconnue)."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"uniforme-intervalle"
],
"title": "Probabilité d'un sous-intervalle",
"partie": "uniforme",
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[2\\,;\\,8]$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $5 - 3 = 2$, longueur\ntotale $8 - 2 = 6$, d'où $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de\nlongueurs, $2$ sur $6$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : la longueur totale vaut $8 - 2 = 6$,\nl'intervalle ne commençant pas en $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise\nune longueur par une longueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$,\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :\noublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$.",
"variants": [
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[2\\,;\\,8]$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $5 - 3 = 2$, longueur\ntotale $8 - 2 = 6$, d'où $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de\nlongueurs, $2$ sur $6$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : la longueur totale vaut $8 - 2 = 6$,\nl'intervalle ne commençant pas en $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise\nune longueur par une longueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$,\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :\noublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[1\\,;\\,9]$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $6 - 2 = 4$, longueur\ntotale $9 - 1 = 8$, d'où $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de\nlongueurs, $4$ sur $8$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : la longueur totale vaut $9 - 1 = 8$,\nl'intervalle ne commençant pas en $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise\nune longueur par une longueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$,\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :\noublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[3\\,;\\,13]$. Que vaut\n$P(5 \\leq X \\leq 9)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $9 - 5 = 4$, longueur\ntotale $13 - 3 = 10$, d'où $\\dfrac{2}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de\nlongueurs, $4$ sur $10$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : la longueur totale vaut $13 - 3 = 10$,\nl'intervalle ne commençant pas en $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise\nune longueur par une longueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$,\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :\noublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[2\\,;\\,10]$. Que vaut\n$P(4 \\leq X \\leq 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $7 - 4 = 3$, longueur\ntotale $10 - 2 = 8$, d'où $\\dfrac{3}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de\nlongueurs, $3$ sur $8$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : la longueur totale vaut $10 - 2 = 8$,\nl'intervalle ne commençant pas en $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise\nune longueur par une longueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$,\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :\noublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$."
}
]
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle-repartition"
],
"title": "Fonction de répartition exponentielle",
"partie": "exponentielle",
"statement": "$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\\lambda$. Que\nvaut $P(X \\leq t)$ pour $t \\geq 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$1 - e^{-\\lambda t}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'aire sous la densité entre $0$ et $t$ :\npart de $0$, grimpe vers $1$ : la fonction de\nrépartition de la loi exponentielle."
},
{
"text": "$e^{-\\lambda t}$",
"correct": false,
"feedback": "Complémentaire : $e^{-\\lambda t}$ est $P(X > t)$ (la\nsurvie) : la répartition en est le complément à $1$."
},
{
"text": "$\\lambda e^{-\\lambda t}$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\lambda e^{-\\lambda t}$ est la **densité**\n(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est\nson intégrale."
},
{
"text": "$\\lambda t$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ dépasse $1$ pour $t$ grand :\nimpossible pour une probabilité : la bonne formule\nsature vers $1$."
}
],
"explanation": "Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité\n$\\lambda e^{-\\lambda t}$, répartition $P(X \\leq t) = 1 -\ne^{-\\lambda t}$, survie $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$. Tout\ncalcul en découle."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"exponentielle-esperance"
],
"title": "Durée de vie moyenne",
"partie": "applications",
"statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}5$ par année. Quelle est sa durée de vie\nmoyenne ?",
"options": [
{
"text": "$2$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ ; le\nparamètre est un taux de panne par an."
},
{
"text": "$0{,}5$ an",
"correct": false,
"feedback": "Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}25$ an",
"correct": false,
"feedback": "Aucun carré n'intervient : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$."
},
{
"text": "$1{,}65$ an",
"correct": false,
"feedback": "$e^{0{,}5} \\approx 1{,}65$ : l'exponentielle apparaît dans la\ndensité, pas dans l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :\nun composant de taux $0{,}5$ par an dure en moyenne $2$ ans.",
"variants": [
{
"statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}5$ par année. Quelle est sa durée de vie\nmoyenne ?",
"options": [
{
"text": "$2$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ ; le\nparamètre est un taux de panne par an."
},
{
"text": "$0{,}5$ an",
"correct": false,
"feedback": "Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}25$ an",
"correct": false,
"feedback": "Aucun carré n'intervient : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$."
},
{
"text": "$1{,}65$ an",
"correct": false,
"feedback": "$e^{0{,}5} \\approx 1{,}65$ : l'exponentielle apparaît dans la\ndensité, pas dans l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :\nun composant de taux $0{,}5$ par an dure en moyenne $2$ ans."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}2$ par année. Quelle est sa durée de vie\nmoyenne ?",
"options": [
{
"text": "$5$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ ; le\nparamètre est un taux de panne par an."
},
{
"text": "$0{,}2$ an",
"correct": false,
"feedback": "Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}04$ an",
"correct": false,
"feedback": "Aucun carré n'intervient : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$."
},
{
"text": "$1{,}22$ an",
"correct": false,
"feedback": "$e^{0{,}2} \\approx 1{,}22$ : l'exponentielle apparaît dans la\ndensité, pas dans l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :\nun composant de taux $0{,}2$ par an dure en moyenne $5$ ans."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}1$ par année. Quelle est sa durée de vie\nmoyenne ?",
"options": [
{
"text": "$10$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{0{,}1} = 10$ ; le\nparamètre est un taux de panne par an."
},
{
"text": "$0{,}1$ an",
"correct": false,
"feedback": "Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}01$ an",
"correct": false,
"feedback": "Aucun carré n'intervient : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$."
},
{
"text": "$1{,}11$ an",
"correct": false,
"feedback": "$e^{0{,}1} \\approx 1{,}11$ : l'exponentielle apparaît dans la\ndensité, pas dans l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :\nun composant de taux $0{,}1$ par an dure en moyenne $10$ ans."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}25$ par année. Quelle est sa durée de vie\nmoyenne ?",
"options": [
{
"text": "$4$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{0{,}25} = 4$ ; le\nparamètre est un taux de panne par an."
},
{
"text": "$0{,}25$ an",
"correct": false,
"feedback": "Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}0625$ an",
"correct": false,
"feedback": "Aucun carré n'intervient : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$."
},
{
"text": "$1{,}28$ an",
"correct": false,
"feedback": "$e^{0{,}25} \\approx 1{,}28$ : l'exponentielle apparaît dans la\ndensité, pas dans l'espérance."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :\nun composant de taux $0{,}25$ par an dure en moyenne $4$ ans."
}
]
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"exponentielle-calcul"
],
"title": "Probabilité de survie",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $4$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2} \\approx 0{,}135$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$P(X > 4) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}5 \\times 4} = e^{-2}$."
},
{
"text": "$1 - e^{-2} \\approx 0{,}865$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $1 - e^{-2}$ est $P(X \\leq 4)$, la\nprobabilité d'être déjà en panne."
},
{
"text": "$e^{-0{,}5} \\approx 0{,}61$",
"correct": false,
"feedback": "Durée oubliée : l'exposant vaut $-\\lambda t = -2$, pas\n$-\\lambda$ seul."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Produit $\\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que\nl'exposant, au signe près."
}
],
"explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : on multiplie $\\lambda$ par $t$, puis\non prend l'exponentielle de l'opposé. Pour\n$t = \\dfrac{1}{\\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \\approx 0{,}37$.",
"variants": [
{
"statement": "La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $4$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2} \\approx 0{,}135$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$P(X > 4) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}5 \\times 4} = e^{-2}$."
},
{
"text": "$1 - e^{-2} \\approx 0{,}865$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $1 - e^{-2}$ est $P(X \\leq 4)$, la\nprobabilité d'être déjà en panne."
},
{
"text": "$e^{-0{,}5} \\approx 0{,}61$",
"correct": false,
"feedback": "Durée oubliée : l'exposant vaut $-\\lambda t = -2$, pas\n$-\\lambda$ seul."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Produit $\\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que\nl'exposant, au signe près."
}
],
"explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : on multiplie $\\lambda$ par $t$, puis\non prend l'exponentielle de l'opposé. Pour\n$t = \\dfrac{1}{\\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \\approx 0{,}37$."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $5$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1} \\approx 0{,}368$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$P(X > 5) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}2 \\times 5} = e^{-1}$."
},
{
"text": "$1 - e^{-1} \\approx 0{,}632$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $1 - e^{-1}$ est $P(X \\leq 5)$, la\nprobabilité d'être déjà en panne."
},
{
"text": "$e^{-0{,}2} \\approx 0{,}819$",
"correct": false,
"feedback": "Durée oubliée : l'exposant vaut $-\\lambda t = -1$, pas\n$-\\lambda$ seul."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Produit $\\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que\nl'exposant, au signe près."
}
],
"explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : on multiplie $\\lambda$ par $t$, puis\non prend l'exponentielle de l'opposé. Pour\n$t = \\dfrac{1}{\\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \\approx 0{,}37$."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}25$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $6$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1{,}5} \\approx 0{,}223$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$P(X > 6) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}25 \\times 6} = e^{-1{,}5}$."
},
{
"text": "$1 - e^{-1{,}5} \\approx 0{,}777$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $1 - e^{-1{,}5}$ est $P(X \\leq 6)$, la\nprobabilité d'être déjà en panne."
},
{
"text": "$e^{-0{,}25} \\approx 0{,}779$",
"correct": false,
"feedback": "Durée oubliée : l'exposant vaut $-\\lambda t = -1{,}5$, pas\n$-\\lambda$ seul."
},
{
"text": "$1{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Produit $\\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que\nl'exposant, au signe près."
}
],
"explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : on multiplie $\\lambda$ par $t$, puis\non prend l'exponentielle de l'opposé. Pour\n$t = \\dfrac{1}{\\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \\approx 0{,}37$."
},
{
"statement": "La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-3} \\approx 0{,}05$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$P(X > 10) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}3 \\times 10} = e^{-3}$."
},
{
"text": "$1 - e^{-3} \\approx 0{,}95$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $1 - e^{-3}$ est $P(X \\leq 10)$, la\nprobabilité d'être déjà en panne."
},
{
"text": "$e^{-0{,}3} \\approx 0{,}741$",
"correct": false,
"feedback": "Durée oubliée : l'exposant vaut $-\\lambda t = -3$, pas\n$-\\lambda$ seul."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Produit $\\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que\nl'exposant, au signe près."
}
],
"explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : on multiplie $\\lambda$ par $t$, puis\non prend l'exponentielle de l'opposé. Pour\n$t = \\dfrac{1}{\\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \\approx 0{,}37$."
}
]
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-uniforme",
"calcul"
],
"title": "Probabilité sur une loi uniforme",
"partie": "uniforme",
"statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,10]$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle\ndu support donne $\\dfrac{4}{10} = 0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure seule : $\\dfrac{7}{10}$ est\n$P(X \\leq 7)$, il faut retirer la partie située avant $3$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du\nsupport, et une probabilité ne dépasse jamais $1$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{10}$, à multiplier par la\nlongueur de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, la probabilité d'un\nsous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un\nrectangle de hauteur $\\dfrac{1}{b - a}$.",
"variants": [
{
"statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,10]$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle\ndu support donne $\\dfrac{4}{10} = 0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure seule : $\\dfrac{7}{10}$ est\n$P(X \\leq 7)$, il faut retirer la partie située avant $3$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du\nsupport, et une probabilité ne dépasse jamais $1$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{10}$, à multiplier par la\nlongueur de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, la probabilité d'un\nsous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un\nrectangle de hauteur $\\dfrac{1}{b - a}$."
},
{
"statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,20]$. Que vaut\n$P(5 \\leq X \\leq 11)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle\ndu support donne $\\dfrac{6}{20} = 0{,}3$."
},
{
"text": "$0{,}55$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure seule : $\\dfrac{11}{20}$ est\n$P(X \\leq 11)$, il faut retirer la partie située avant $5$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du\nsupport, et une probabilité ne dépasse jamais $1$."
},
{
"text": "$0{,}05$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{20}$, à multiplier par la\nlongueur de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, la probabilité d'un\nsous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un\nrectangle de hauteur $\\dfrac{1}{b - a}$."
},
{
"statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,8]$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle\ndu support donne $\\dfrac{2}{8} = 0{,}25$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure seule : $\\dfrac{4}{8}$ est\n$P(X \\leq 4)$, il faut retirer la partie située avant $2$."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du\nsupport, et une probabilité ne dépasse jamais $1$."
},
{
"text": "$0{,}125$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{8}$, à multiplier par la\nlongueur de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, la probabilité d'un\nsous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un\nrectangle de hauteur $\\dfrac{1}{b - a}$."
},
{
"statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,5]$. Que vaut\n$P(1 \\leq X \\leq 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle\ndu support donne $\\dfrac{3}{5} = 0{,}6$."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure seule : $\\dfrac{4}{5}$ est\n$P(X \\leq 4)$, il faut retirer la partie située avant $1$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du\nsupport, et une probabilité ne dépasse jamais $1$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : $\\dfrac{1}{5}$, à multiplier par la\nlongueur de l'intervalle."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$, la probabilité d'un\nsous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un\nrectangle de hauteur $\\dfrac{1}{b - a}$."
}
]
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-exponentielle",
"calcul"
],
"title": "Une probabilité exponentielle",
"partie": "exponentielle",
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$, que vaut\n$P(X > 2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$, avec\n$\\lambda t = 0{,}5 \\times 2 = 1$."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\\lambda t$, soit $-1$."
},
{
"text": "$1 - e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne $P(X \\leq 2)$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est\npas la probabilité cherchée."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et\n$P(X \\leq t) = 1 - e^{-\\lambda t}$ : la première décrit une\nsurvie, la seconde la fonction de répartition.",
"variants": [
{
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$, que vaut\n$P(X > 2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$, avec\n$\\lambda t = 0{,}5 \\times 2 = 1$."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\\lambda t$, soit $-1$."
},
{
"text": "$1 - e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne $P(X \\leq 2)$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est\npas la probabilité cherchée."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et\n$P(X \\leq t) = 1 - e^{-\\lambda t}$ : la première décrit une\nsurvie, la seconde la fonction de répartition."
},
{
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$, que vaut\n$P(X > 10)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$, avec\n$\\lambda t = 0{,}2 \\times 10 = 2$."
},
{
"text": "$e^{-10}$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\\lambda t$, soit $-2$."
},
{
"text": "$1 - e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne $P(X \\leq 10)$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est\npas la probabilité cherchée."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et\n$P(X \\leq t) = 1 - e^{-\\lambda t}$ : la première décrit une\nsurvie, la seconde la fonction de répartition."
},
{
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}1$, que vaut\n$P(X > 30)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$, avec\n$\\lambda t = 0{,}1 \\times 30 = 3$."
},
{
"text": "$e^{-30}$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\\lambda t$, soit $-3$."
},
{
"text": "$1 - e^{-3}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne $P(X \\leq 30)$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est\npas la probabilité cherchée."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et\n$P(X \\leq t) = 1 - e^{-\\lambda t}$ : la première décrit une\nsurvie, la seconde la fonction de répartition."
},
{
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}3$, que vaut\n$P(X > 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1{,}5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$, avec\n$\\lambda t = 0{,}3 \\times 5 = 1{,}5$."
},
{
"text": "$e^{-5}$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\\lambda t$, soit $-1{,}5$."
},
{
"text": "$1 - e^{-1{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne $P(X \\leq 5)$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est\npas la probabilité cherchée."
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et\n$P(X \\leq t) = 1 - e^{-\\lambda t}$ : la première décrit une\nsurvie, la seconde la fonction de répartition."
}
]
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"densite",
"lecture"
],
"title": "Ce que représente une aire partielle",
"partie": "densite",
"statement": "Sous la courbe d'une densité, que représente l'aire comprise entre les\nabscisses $a$ et $b$ ?",
"options": [
{
"text": "La probabilité que $X$ appartienne à $[a\\,;\\,b]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toute probabilité se lit comme une aire sous la courbe\nde la densité."
},
{
"text": "La valeur moyenne de $X$ sur $[a\\,;\\,b]$",
"correct": false,
"feedback": "Une moyenne s'obtient par une autre intégrale, celle de $tf(t)$."
},
{
"text": "La longueur de l'intervalle $[a\\,;\\,b]$",
"correct": false,
"feedback": "Cette longueur est la base du domaine, pas son aire."
},
{
"text": "La valeur de la densité entre $a$ et $b$",
"correct": false,
"feedback": "La densité est la hauteur de la courbe, l'aire s'obtient en\nl'intégrant."
}
],
"explanation": "Pour une variable à densité, chaque probabilité est l'aire d'un domaine\nsous la courbe. L'aire totale valant $1$, toutes les probabilités sont\ncomprises entre $0$ et $1$."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-a-densite",
"point"
],
"title": "Probabilité d'une valeur précise",
"partie": "densite",
"statement": "Pour une variable à densité, que vaut $P(X = 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'aire sous la courbe au-dessus d'un point unique est\nnulle."
},
{
"text": "La valeur de la densité en $3$",
"correct": false,
"feedback": "La densité n'est pas une probabilité : elle peut d'ailleurs dépasser\n$1$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun rapport : la valeur prise n'intervient pas ainsi."
},
{
"text": "Cela dépend de la loi",
"correct": false,
"feedback": "Le résultat vaut $0$ pour toute variable à densité, quelle que soit sa\nloi."
}
],
"explanation": "Pour une variable à densité, la probabilité d'une valeur isolée est nulle.\nC'est pourquoi les inégalités strictes et larges donnent les mêmes\nprobabilités."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-exponentielle",
"memoire"
],
"title": "L'absence de mémoire continue",
"partie": "exponentielle",
"statement": "Un composant de durée de vie exponentielle a déjà fonctionné $3$ ans.\nQuelle est la probabilité qu'il dure encore $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "La même que pour un composant neuf",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, l'usure passée\nne compte pas."
},
{
"text": "Plus faible qu'à l'état neuf",
"correct": false,
"feedback": "Le modèle exponentiel ne décrit justement aucune usure : c'est sa\nlimite principale."
},
{
"text": "Plus forte qu'à l'état neuf",
"correct": false,
"feedback": "Aucune amélioration non plus : la probabilité reste strictement\nidentique."
},
{
"text": "Nulle, le composant est trop ancien",
"correct": false,
"feedback": "La loi exponentielle accorde une probabilité non nulle à toute durée,\nsi longue soit-elle."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit $P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$. Elle\nrend la loi exponentielle adaptée aux pannes accidentelles, non à l'usure\nprogressive."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-exponentielle",
"esperance"
],
"title": "Retrouver le paramètre à partir de la durée moyenne",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie d'un appareil suit une loi exponentielle, et sa\ndurée de vie moyenne est de $8$ ans. Que vaut le paramètre\n$\\lambda$, par an ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}125$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$, donc\n$\\lambda = \\dfrac{1}{8} = 0{,}125$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Durée moyenne recopiée : le paramètre en est l'inverse."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Inverse mal calculé : $\\dfrac{1}{8}$ vaut $0{,}125$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\ln 2}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Formule de la demi-vie détournée : la durée médiane vaut\n$\\dfrac{\\ln 2}{\\lambda}$, l'espérance $\\dfrac{1}{\\lambda}$."
}
],
"explanation": "Taux et durée moyenne sont inverses : $\\lambda = \\dfrac{1}{E(X)}$.\nUn appareil qui dure en moyenne $8$ ans a un taux de panne de\n$0{,}125$ par an."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 3,
"skills": [
"fonction-repartition",
"lecture"
],
"title": "Lire une fonction de répartition",
"partie": "densite",
"statement": "Que vaut $F(t) = P(X \\leq t)$ lorsque $t$ devient très grand, pour\nune variable à densité ?",
"options": [
{
"text": "Elle tend vers $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'aire cumulée finit par couvrir toute la densité."
},
{
"text": "Elle tend vers $0$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le comportement de $F$ quand $t$ devient très petit."
},
{
"text": "Elle tend vers l'espérance",
"correct": false,
"feedback": "Une probabilité ne peut pas valoir une espérance, qui s'exprime dans\nl'unité de la variable."
},
{
"text": "Elle oscille sans limite",
"correct": false,
"feedback": "Une fonction de répartition est croissante, elle ne peut pas osciller."
}
],
"explanation": "Une fonction de répartition est croissante, de limite $0$ en $-\\infty$ et\n$1$ en $+\\infty$. Sa dérivée, là où elle existe, est la densité."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-uniforme",
"densite"
],
"title": "Densité d'une loi uniforme",
"partie": "uniforme",
"statement": "Quelle est la densité de la loi uniforme sur $[2\\,;\\,8]$ ?",
"options": [
{
"text": "La constante $\\dfrac{1}{6}$ sur cet intervalle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'aire du rectangle doit valoir $1$, donc la hauteur\nest l'inverse de la longueur."
},
{
"text": "La constante $\\dfrac{1}{8}$ sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure prise pour la longueur : celle-ci vaut $8 - 2 = 6$."
},
{
"text": "La constante $6$ sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Longueur recopiée : l'aire du rectangle vaudrait alors $36$."
},
{
"text": "La fonction identité sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Une densité uniforme est constante, c'est ce qui traduit\nl'équiprobabilité."
}
],
"explanation": "La densité de la loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ vaut $\\dfrac{1}{b-a}$ sur cet\nintervalle et $0$ ailleurs. Le rectangle correspondant a une aire de $1$."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-exponentielle",
"demi-vie"
],
"title": "Une demi-vie",
"partie": "exponentielle",
"statement": "Pour une loi exponentielle de paramètre $\\lambda$, quelle est la\ndurée $t$ telle que $P(X > t) = 0{,}5$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\ln 2}{\\lambda}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $e^{-\\lambda t} = 0{,}5$ en appliquant le\nlogarithme."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2\\lambda}$",
"correct": false,
"feedback": "Moitié de l'espérance : la demi-vie n'est pas proportionnelle de cette\nfaçon, $\\ln 2$ valant environ $0{,}69$."
},
{
"text": "$\\dfrac{0{,}5}{\\lambda}$",
"correct": false,
"feedback": "Même erreur : la résolution passe par un logarithme, pas par une simple\ndivision."
},
{
"text": "$2\\lambda$",
"correct": false,
"feedback": "Le paramètre est un taux : le multiplier ne donne pas une durée."
}
],
"explanation": "La demi-vie vérifie $e^{-\\lambda t} = \\dfrac{1}{2}$, d'où\n$t = \\dfrac{\\ln 2}{\\lambda}$. Elle vaut environ $69$ % de l'espérance."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"densite",
"comparaison"
],
"title": "Densité et probabilité",
"partie": "densite",
"statement": "Une densité peut-elle prendre des valeurs supérieures à $1$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, seule son intégrale vaut $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité uniforme sur $[0\\,;\\,0{,}5]$ vaut $2$\npartout sur ce support."
},
{
"text": "Non, comme toute probabilité",
"correct": false,
"feedback": "Une densité n'est pas une probabilité : ce sont les aires sous sa\ncourbe qui en sont."
},
{
"text": "Non, sauf pour la loi exponentielle",
"correct": false,
"feedback": "Aucune exception à établir : la contrainte porte uniquement sur l'aire\ntotale."
},
{
"text": "Oui, si la variable est négative",
"correct": false,
"feedback": "Le signe de la variable n'intervient pas : seule la longueur du support\ncompte."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'intégrale $1$. Sur un support court, elle\ndoit donc prendre de grandes valeurs, éventuellement bien supérieures à\n$1$."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-a-densite",
"choix"
],
"title": "Attente à un arrêt de bus régulier",
"partie": "densite",
"statement": "Un bus passe exactement toutes les $15$ minutes, et un voyageur\narrive à l'arrêt à un instant pris au hasard. Quelle loi modélise\nson temps d'attente ?",
"options": [
{
"text": "La loi uniforme sur $[0\\,;\\,15]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tous les instants entre deux passages sont\négalement probables, et l'attente ne dépasse pas $15$ minutes."
},
{
"text": "La loi exponentielle de paramètre $\\dfrac{1}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Une loi exponentielle autoriserait des attentes de plus de\n$15$ minutes, impossibles avec des passages réguliers."
},
{
"text": "La loi géométrique de paramètre $\\dfrac{1}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Une loi géométrique compte des épreuves, alors que l'attente\nest une durée continue."
},
{
"text": "La loi binomiale de paramètres $15$ et $0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Aucune répétition d'épreuves de Bernoulli n'intervient dans\ncette situation."
}
],
"explanation": "Passages réguliers et arrivée au hasard donnent une attente\nuniforme ; des arrivées sans mémoire, comme des appels à un\nstandard, donnent une attente exponentielle."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-uniforme",
"esperance"
],
"title": "Espérance d'une loi uniforme continue",
"partie": "uniforme",
"statement": "Quelle est l'espérance d'une variable de loi uniforme sur\n$[4\\,;\\,10]$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{4 + 10}{2}$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur de l'intervalle : elle sert au calcul de la densité, pas à\ncelui de l'espérance."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Borne supérieure recopiée : l'espérance est une moyenne, elle tombe\nentre les deux bornes."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur de la densité : elle est constante sur le support, sans lien\ndirect avec l'espérance."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une loi uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ vaut $\\dfrac{a+b}{2}$, par\nsymétrie de la densité autour du milieu de l'intervalle."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"uniforme-calcul",
"loi-uniforme"
],
"title": "Attente à un arrêt de tramway",
"partie": "uniforme",
"statement": "Un tramway passe toutes les $12$ minutes. Un voyageur arrive au\nhasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,12]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de\n$9$ minutes ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : attendre plus de $9$ minutes couvre une\nlongueur de $3$ minutes sur les $12$ possibles,\nsoit une probabilité de $0{,}25$."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{12}$ est la probabilité d'attendre\nMOINS de $9$ minutes. Ici on regarde la fin de\nl'intervalle."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur favorable : $3$ est une durée, pas une\nprobabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale\n$12$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé\nau milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $12$ divisé par\n$2$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de\nlongueurs : $P(X \\geq c) = \\dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps\nd'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle.",
"variants": [
{
"statement": "Un tramway passe toutes les $12$ minutes. Un voyageur arrive au\nhasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,12]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de\n$9$ minutes ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : attendre plus de $9$ minutes couvre une\nlongueur de $3$ minutes sur les $12$ possibles,\nsoit une probabilité de $0{,}25$."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{12}$ est la probabilité d'attendre\nMOINS de $9$ minutes. Ici on regarde la fin de\nl'intervalle."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur favorable : $3$ est une durée, pas une\nprobabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale\n$12$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé\nau milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $12$ divisé par\n$2$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de\nlongueurs : $P(X \\geq c) = \\dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps\nd'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle."
},
{
"statement": "Un tramway passe toutes les $20$ minutes. Un voyageur arrive au\nhasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,20]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de\n$5$ minutes ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : attendre plus de $5$ minutes couvre une\nlongueur de $15$ minutes sur les $20$ possibles,\nsoit une probabilité de $0{,}75$."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{20}$ est la probabilité d'attendre\nMOINS de $5$ minutes. Ici on regarde la fin de\nl'intervalle."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur favorable : $15$ est une durée, pas une\nprobabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale\n$20$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé\nau milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $20$ divisé par\n$2$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de\nlongueurs : $P(X \\geq c) = \\dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps\nd'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle."
},
{
"statement": "Un tramway passe toutes les $15$ minutes. Un voyageur arrive au\nhasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,15]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de\n$9$ minutes ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : attendre plus de $9$ minutes couvre une\nlongueur de $6$ minutes sur les $15$ possibles,\nsoit une probabilité de $0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{15}$ est la probabilité d'attendre\nMOINS de $9$ minutes. Ici on regarde la fin de\nl'intervalle."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur favorable : $6$ est une durée, pas une\nprobabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale\n$15$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé\nau milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $15$ divisé par\n$2$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de\nlongueurs : $P(X \\geq c) = \\dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps\nd'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle."
},
{
"statement": "Un tramway passe toutes les $8$ minutes. Un voyageur arrive au\nhasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,8]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de\n$3$ minutes ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}625$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : attendre plus de $3$ minutes couvre une\nlongueur de $5$ minutes sur les $8$ possibles,\nsoit une probabilité de $0{,}625$."
},
{
"text": "$0{,}375$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité d'attendre\nMOINS de $3$ minutes. Ici on regarde la fin de\nl'intervalle."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Longueur favorable : $5$ est une durée, pas une\nprobabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale\n$8$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé\nau milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $8$ divisé par\n$2$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de\nlongueurs : $P(X \\geq c) = \\dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps\nd'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"aire-totale",
"densite"
],
"title": "Retrouver une hauteur manquante",
"partie": "densite",
"statement": "La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}3$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, constante et égale à $h$ sur\n$[2\\,;\\,4]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de\n$2 \\times 0{,}3 = 0{,}6$. Il reste $0{,}4$ à répartir\nsur une largeur de $2$, d'où\n$h = \\dfrac{0{,}4}{2} = 0{,}2$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.\nLa seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Aire prise pour une hauteur : $0{,}4$ est l'aire qui\nmanque, il reste à la diviser par la largeur $2$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ serait la hauteur si le second\nmorceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que\n$0{,}4$."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur\nest inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on\nrésout.",
"variants": [
{
"statement": "La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}3$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, constante et égale à $h$ sur\n$[2\\,;\\,4]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de\n$2 \\times 0{,}3 = 0{,}6$. Il reste $0{,}4$ à répartir\nsur une largeur de $2$, d'où\n$h = \\dfrac{0{,}4}{2} = 0{,}2$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.\nLa seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Aire prise pour une hauteur : $0{,}4$ est l'aire qui\nmanque, il reste à la diviser par la largeur $2$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ serait la hauteur si le second\nmorceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que\n$0{,}4$."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur\nest inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on\nrésout."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}4$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, constante et égale à $h$ sur\n$[2\\,;\\,6]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}05$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de\n$2 \\times 0{,}4 = 0{,}8$. Il reste $0{,}2$ à répartir\nsur une largeur de $4$, d'où\n$h = \\dfrac{0{,}2}{4} = 0{,}05$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.\nLa seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Aire prise pour une hauteur : $0{,}2$ est l'aire qui\nmanque, il reste à la diviser par la largeur $4$."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{4}$ serait la hauteur si le second\nmorceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que\n$0{,}2$."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur\nest inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on\nrésout."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}1$ sur\n$[0\\,;\\,4]$, constante et égale à $h$ sur\n$[4\\,;\\,6]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de\n$4 \\times 0{,}1 = 0{,}4$. Il reste $0{,}6$ à répartir\nsur une largeur de $2$, d'où\n$h = \\dfrac{0{,}6}{2} = 0{,}3$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.\nLa seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Aire prise pour une hauteur : $0{,}6$ est l'aire qui\nmanque, il reste à la diviser par la largeur $2$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ serait la hauteur si le second\nmorceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que\n$0{,}6$."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur\nest inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on\nrésout."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}25$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, constante et égale à $h$ sur\n$[2\\,;\\,7]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de\n$2 \\times 0{,}25 = 0{,}5$. Il reste $0{,}5$ à répartir\nsur une largeur de $5$, d'où\n$h = \\dfrac{0{,}5}{5} = 0{,}1$."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.\nLa seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Aire prise pour une hauteur : $0{,}5$ est l'aire qui\nmanque, il reste à la diviser par la largeur $5$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{5}$ serait la hauteur si le second\nmorceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que\n$0{,}5$."
}
],
"explanation": "Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur\nest inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on\nrésout."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle-esperance",
"comparaison"
],
"title": "Comparer deux taux de panne",
"partie": "applications",
"statement": "Les durées de vie de deux composants suivent des lois\nexponentielles de paramètres $\\lambda_A = 0{,}4$ et\n$\\lambda_B = 0{,}1$, exprimés par année. De combien d'années la\ndurée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$7{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $2{,}5$ ans et $B$\n$10$ ans, puisque l'espérance vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. L'écart est donc $7{,}5$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'écart des TAUX. Les durées\nmoyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre."
},
{
"text": "$12{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12{,}5$ additionne les deux durées moyennes\nau lieu de les soustraire."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ compare les taux par un quotient,\nce qui donne un rapport et non un écart en années."
}
],
"explanation": "Un paramètre $\\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la\ndurée de vie moyenne $\\dfrac{1}{\\lambda}$ est courte. Comparer\ndeux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire.",
"variants": [
{
"statement": "Les durées de vie de deux composants suivent des lois\nexponentielles de paramètres $\\lambda_A = 0{,}4$ et\n$\\lambda_B = 0{,}1$, exprimés par année. De combien d'années la\ndurée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$7{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $2{,}5$ ans et $B$\n$10$ ans, puisque l'espérance vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. L'écart est donc $7{,}5$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'écart des TAUX. Les durées\nmoyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre."
},
{
"text": "$12{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12{,}5$ additionne les deux durées moyennes\nau lieu de les soustraire."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ compare les taux par un quotient,\nce qui donne un rapport et non un écart en années."
}
],
"explanation": "Un paramètre $\\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la\ndurée de vie moyenne $\\dfrac{1}{\\lambda}$ est courte. Comparer\ndeux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire."
},
{
"statement": "Les durées de vie de deux composants suivent des lois\nexponentielles de paramètres $\\lambda_A = 0{,}5$ et\n$\\lambda_B = 0{,}2$, exprimés par année. De combien d'années la\ndurée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $2$ ans et $B$\n$5$ ans, puisque l'espérance vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. L'écart est donc $3$."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'écart des TAUX. Les durées\nmoyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ additionne les deux durées moyennes\nau lieu de les soustraire."
},
{
"text": "$2{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2{,}5$ compare les taux par un quotient,\nce qui donne un rapport et non un écart en années."
}
],
"explanation": "Un paramètre $\\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la\ndurée de vie moyenne $\\dfrac{1}{\\lambda}$ est courte. Comparer\ndeux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire."
},
{
"statement": "Les durées de vie de deux composants suivent des lois\nexponentielles de paramètres $\\lambda_A = 0{,}25$ et\n$\\lambda_B = 0{,}05$, exprimés par année. De combien d'années la\ndurée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $4$ ans et $B$\n$20$ ans, puisque l'espérance vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. L'écart est donc $16$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}2$ est l'écart des TAUX. Les durées\nmoyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre."
},
{
"text": "$24$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $24$ additionne les deux durées moyennes\nau lieu de les soustraire."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ compare les taux par un quotient,\nce qui donne un rapport et non un écart en années."
}
],
"explanation": "Un paramètre $\\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la\ndurée de vie moyenne $\\dfrac{1}{\\lambda}$ est courte. Comparer\ndeux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire."
},
{
"statement": "Les durées de vie de deux composants suivent des lois\nexponentielles de paramètres $\\lambda_A = 0{,}8$ et\n$\\lambda_B = 0{,}25$, exprimés par année. De combien d'années la\ndurée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}75$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $1{,}25$ ans et $B$\n$4$ ans, puisque l'espérance vaut\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. L'écart est donc $2{,}75$."
},
{
"text": "$0{,}55$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}55$ est l'écart des TAUX. Les durées\nmoyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre."
},
{
"text": "$5{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5{,}25$ additionne les deux durées moyennes\nau lieu de les soustraire."
},
{
"text": "$3{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3{,}2$ compare les taux par un quotient,\nce qui donne un rapport et non un écart en années."
}
],
"explanation": "Un paramètre $\\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la\ndurée de vie moyenne $\\dfrac{1}{\\lambda}$ est courte. Comparer\ndeux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 2,
"skills": [
"demi-vie",
"exponentielle-calcul"
],
"title": "Après plusieurs demi-vies",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $20$ ans : au bout de\n$20$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle\nproportion de noyaux subsiste après $60$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $60$ ans contiennent $3$ demi-vies et\nchacune divise par deux la proportion restante, d'où\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici\nl'opération se répète $3$ fois."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion disparue : $\\dfrac{7}{8}$ des noyaux se sont\ndésintégrés, la question porte sur ceux qui restent."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{16}$",
"correct": false,
"feedback": "Une demi-vie de trop : $60$ ans en contiennent $3$, pas\n$4$."
}
],
"explanation": "Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après\n$n$ demi-vies il subsiste $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n}$. C'est\nla traduction concrète de l'absence de mémoire.",
"variants": [
{
"statement": "La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $20$ ans : au bout de\n$20$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle\nproportion de noyaux subsiste après $60$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $60$ ans contiennent $3$ demi-vies et\nchacune divise par deux la proportion restante, d'où\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici\nl'opération se répète $3$ fois."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion disparue : $\\dfrac{7}{8}$ des noyaux se sont\ndésintégrés, la question porte sur ceux qui restent."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{16}$",
"correct": false,
"feedback": "Une demi-vie de trop : $60$ ans en contiennent $3$, pas\n$4$."
}
],
"explanation": "Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après\n$n$ demi-vies il subsiste $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n}$. C'est\nla traduction concrète de l'absence de mémoire."
},
{
"statement": "La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $5$ ans : au bout de\n$5$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle\nproportion de noyaux subsiste après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $10$ ans contiennent $2$ demi-vies et\nchacune divise par deux la proportion restante, d'où\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{2} = \\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici\nl'opération se répète $2$ fois."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion disparue : $\\dfrac{3}{4}$ des noyaux se sont\ndésintégrés, la question porte sur ceux qui restent."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Une demi-vie de trop : $10$ ans en contiennent $2$, pas\n$3$."
}
],
"explanation": "Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après\n$n$ demi-vies il subsiste $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n}$. C'est\nla traduction concrète de l'absence de mémoire."
},
{
"statement": "La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $12$ ans : au bout de\n$12$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle\nproportion de noyaux subsiste après $48$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{16}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $48$ ans contiennent $4$ demi-vies et\nchacune divise par deux la proportion restante, d'où\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{4} = \\dfrac{1}{16}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici\nl'opération se répète $4$ fois."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{16}$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion disparue : $\\dfrac{15}{16}$ des noyaux se sont\ndésintégrés, la question porte sur ceux qui restent."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Une demi-vie de trop : $48$ ans en contiennent $4$, pas\n$5$."
}
],
"explanation": "Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après\n$n$ demi-vies il subsiste $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n}$. C'est\nla traduction concrète de l'absence de mémoire."
},
{
"statement": "La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $4$ ans : au bout de\n$4$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle\nproportion de noyaux subsiste après $20$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{32}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $20$ ans contiennent $5$ demi-vies et\nchacune divise par deux la proportion restante, d'où\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{5} = \\dfrac{1}{32}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici\nl'opération se répète $5$ fois."
},
{
"text": "$\\dfrac{31}{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion disparue : $\\dfrac{31}{32}$ des noyaux se sont\ndésintégrés, la question porte sur ceux qui restent."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{64}$",
"correct": false,
"feedback": "Une demi-vie de trop : $20$ ans en contiennent $5$, pas\n$6$."
}
],
"explanation": "Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après\n$n$ demi-vies il subsiste $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n}$. C'est\nla traduction concrète de l'absence de mémoire."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle-repartition",
"calcul"
],
"title": "Probabilité entre deux dates",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1} - e^{-3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(2 \\leq X \\leq 6) = F(6) - F(2)$,\nsoit\n$\\left(1 - e^{-3}\\right) - \\left(1 - e^{-1}\\right)$,\nqui se simplifie en $e^{-1} - e^{-3}$."
},
{
"text": "$e^{-3} - e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction inversée : cette différence est négative, ce\nqu'une probabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait\nles valeurs de la fonction de répartition, pas les durées."
},
{
"text": "$1 - e^{-4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la\nprobabilité d'un intervalle est une différence."
}
],
"explanation": "Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de\n$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.\nPour un intervalle : $P(a \\leq X \\leq b) = F(b) - F(a)$.",
"variants": [
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1} - e^{-3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(2 \\leq X \\leq 6) = F(6) - F(2)$,\nsoit\n$\\left(1 - e^{-3}\\right) - \\left(1 - e^{-1}\\right)$,\nqui se simplifie en $e^{-1} - e^{-3}$."
},
{
"text": "$e^{-3} - e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction inversée : cette différence est négative, ce\nqu'une probabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait\nles valeurs de la fonction de répartition, pas les durées."
},
{
"text": "$1 - e^{-4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la\nprobabilité d'un intervalle est une différence."
}
],
"explanation": "Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de\n$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.\nPour un intervalle : $P(a \\leq X \\leq b) = F(b) - F(a)$."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$. Que vaut\n$P(10 \\leq X \\leq 15)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2} - e^{-3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(10 \\leq X \\leq 15) = F(15) - F(10)$,\nsoit\n$\\left(1 - e^{-3}\\right) - \\left(1 - e^{-2}\\right)$,\nqui se simplifie en $e^{-2} - e^{-3}$."
},
{
"text": "$e^{-3} - e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction inversée : cette différence est négative, ce\nqu'une probabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait\nles valeurs de la fonction de répartition, pas les durées."
},
{
"text": "$1 - e^{-5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la\nprobabilité d'un intervalle est une différence."
}
],
"explanation": "Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de\n$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.\nPour un intervalle : $P(a \\leq X \\leq b) = F(b) - F(a)$."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}4$. Que vaut\n$P(5 \\leq X \\leq 10)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2} - e^{-4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(5 \\leq X \\leq 10) = F(10) - F(5)$,\nsoit\n$\\left(1 - e^{-4}\\right) - \\left(1 - e^{-2}\\right)$,\nqui se simplifie en $e^{-2} - e^{-4}$."
},
{
"text": "$e^{-4} - e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction inversée : cette différence est négative, ce\nqu'une probabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait\nles valeurs de la fonction de répartition, pas les durées."
},
{
"text": "$1 - e^{-6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la\nprobabilité d'un intervalle est une différence."
}
],
"explanation": "Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de\n$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.\nPour un intervalle : $P(a \\leq X \\leq b) = F(b) - F(a)$."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}1$. Que vaut\n$P(5 \\leq X \\leq 20)$ ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-0{,}5} - e^{-2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(5 \\leq X \\leq 20) = F(20) - F(5)$,\nsoit\n$\\left(1 - e^{-2}\\right) - \\left(1 - e^{-0{,}5}\\right)$,\nqui se simplifie en $e^{-0{,}5} - e^{-2}$."
},
{
"text": "$e^{-2} - e^{-0{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction inversée : cette différence est négative, ce\nqu'une probabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$e^{-1{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait\nles valeurs de la fonction de répartition, pas les durées."
},
{
"text": "$1 - e^{-2{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la\nprobabilité d'un intervalle est une différence."
}
],
"explanation": "Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de\n$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}$.\nPour un intervalle : $P(a \\leq X \\leq b) = F(b) - F(a)$."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-repartition",
"calcul"
],
"title": "Deux valeurs de la fonction de répartition",
"partie": "densite",
"statement": "Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition\nvérifie $F(2) = 0{,}3$ et $F(5) = 0{,}8$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(2 \\leq X \\leq 5) = F(5) - F(2)$,\nsoit $0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5$."
},
{
"text": "$1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne\ns'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}8$ est $P(X \\leq 5)$, qui compte aussi tout\nce qui se trouve avant $2$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}2$ est $P(X > 5)$, la part située à\ndroite de $5$."
}
],
"explanation": "La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à\ndroite. Un intervalle s'obtient donc par différence :\n$P(c \\leq X \\leq d) = F(d) - F(c)$.",
"variants": [
{
"statement": "Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition\nvérifie $F(2) = 0{,}3$ et $F(5) = 0{,}8$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(2 \\leq X \\leq 5) = F(5) - F(2)$,\nsoit $0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5$."
},
{
"text": "$1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne\ns'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}8$ est $P(X \\leq 5)$, qui compte aussi tout\nce qui se trouve avant $2$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}2$ est $P(X > 5)$, la part située à\ndroite de $5$."
}
],
"explanation": "La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à\ndroite. Un intervalle s'obtient donc par différence :\n$P(c \\leq X \\leq d) = F(d) - F(c)$."
},
{
"statement": "Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition\nvérifie $F(1) = 0{,}25$ et $F(4) = 0{,}9$. Que vaut\n$P(1 \\leq X \\leq 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}65$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(1 \\leq X \\leq 4) = F(4) - F(1)$,\nsoit $0{,}9 - 0{,}25 = 0{,}65$."
},
{
"text": "$1{,}15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne\ns'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$."
},
{
"text": "$0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}9$ est $P(X \\leq 4)$, qui compte aussi tout\nce qui se trouve avant $1$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}1$ est $P(X > 4)$, la part située à\ndroite de $4$."
}
],
"explanation": "La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à\ndroite. Un intervalle s'obtient donc par différence :\n$P(c \\leq X \\leq d) = F(d) - F(c)$."
},
{
"statement": "Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition\nvérifie $F(3) = 0{,}4$ et $F(7) = 0{,}75$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}35$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(3 \\leq X \\leq 7) = F(7) - F(3)$,\nsoit $0{,}75 - 0{,}4 = 0{,}35$."
},
{
"text": "$1{,}15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne\ns'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}75$ est $P(X \\leq 7)$, qui compte aussi tout\nce qui se trouve avant $3$."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}25$ est $P(X > 7)$, la part située à\ndroite de $7$."
}
],
"explanation": "La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à\ndroite. Un intervalle s'obtient donc par différence :\n$P(c \\leq X \\leq d) = F(d) - F(c)$."
},
{
"statement": "Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition\nvérifie $F(2) = 0{,}2$ et $F(6) = 0{,}9$. Que vaut\n$P(2 \\leq X \\leq 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(2 \\leq X \\leq 6) = F(6) - F(2)$,\nsoit $0{,}9 - 0{,}2 = 0{,}7$."
},
{
"text": "$1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne\ns'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$."
},
{
"text": "$0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}9$ est $P(X \\leq 6)$, qui compte aussi tout\nce qui se trouve avant $2$."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}1$ est $P(X > 6)$, la part située à\ndroite de $6$."
}
],
"explanation": "La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à\ndroite. Un intervalle s'obtient donc par différence :\n$P(c \\leq X \\leq d) = F(d) - F(c)$."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 1,
"skills": [
"repartition"
],
"title": "De la répartition à la survie",
"partie": "densite",
"statement": "Soit $X$ une variable à densité, de fonction de répartition $F$.\nComment s'exprime $P(X > t)$ ?",
"options": [
{
"text": "$1 - F(t)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les événements $X \\leq t$ et $X > t$ sont\ncontraires, leurs probabilités se complètent donc à $1$."
},
{
"text": "$F(t) - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : cette quantité est négative, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas être."
},
{
"text": "$F(-t)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : changer $t$ en $-t$ déplace le seuil au lieu de\npasser à l'événement contraire."
},
{
"text": "$F(t)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $F(t)$ est la probabilité de rester sous le seuil,\nalors qu'on cherche celle de le dépasser."
}
],
"explanation": "Une fonction de répartition donne $P(X \\leq t)$. Le passage à\nl'événement contraire, $P(X > t) = 1 - F(t)$, est le calcul le\nplus fréquent avec la loi exponentielle."
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 3,
"skills": [
"integrale",
"esperance"
],
"title": "Espérance par une intégrale",
"partie": "densite",
"statement": "La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 0{,}5x$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\displaystyle\\int_0^{2} x \\times 0{,}5x\\,dx\n= 0{,}5 \\times \\dfrac{2^3}{3} = \\dfrac{4}{3}$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1$ est le milieu de l'intervalle, donc\nl'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les\ngrandes valeurs pèsent davantage."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est la valeur maximale possible, pas la\nmoyenne des valeurs prises."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : la densité vaut $0{,}5x$, et le calcul\ncomplet donne $\\dfrac{4}{3}$."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une variable à densité s'écrit\n$E(X) = \\displaystyle\\int x\\,f(x)\\,dx$ : chaque valeur est\npondérée par la densité. Avec une densité croissante,\nl'espérance dépasse le milieu de l'intervalle.",
"variants": [
{
"statement": "La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 0{,}5x$ sur\n$[0\\,;\\,2]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\displaystyle\\int_0^{2} x \\times 0{,}5x\\,dx\n= 0{,}5 \\times \\dfrac{2^3}{3} = \\dfrac{4}{3}$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1$ est le milieu de l'intervalle, donc\nl'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les\ngrandes valeurs pèsent davantage."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est la valeur maximale possible, pas la\nmoyenne des valeurs prises."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : la densité vaut $0{,}5x$, et le calcul\ncomplet donne $\\dfrac{4}{3}$."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une variable à densité s'écrit\n$E(X) = \\displaystyle\\int x\\,f(x)\\,dx$ : chaque valeur est\npondérée par la densité. Avec une densité croissante,\nl'espérance dépasse le milieu de l'intervalle."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 0{,}125x$ sur\n$[0\\,;\\,4]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{8}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\displaystyle\\int_0^{4} x \\times 0{,}125x\\,dx\n= 0{,}125 \\times \\dfrac{4^3}{3} = \\dfrac{8}{3}$."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est le milieu de l'intervalle, donc\nl'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les\ngrandes valeurs pèsent davantage."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est la valeur maximale possible, pas la\nmoyenne des valeurs prises."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : la densité vaut $0{,}125x$, et le calcul\ncomplet donne $\\dfrac{8}{3}$."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une variable à densité s'écrit\n$E(X) = \\displaystyle\\int x\\,f(x)\\,dx$ : chaque valeur est\npondérée par la densité. Avec une densité croissante,\nl'espérance dépasse le milieu de l'intervalle."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 0{,}02x$ sur\n$[0\\,;\\,10]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{20}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\displaystyle\\int_0^{10} x \\times 0{,}02x\\,dx\n= 0{,}02 \\times \\dfrac{10^3}{3} = \\dfrac{20}{3}$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est le milieu de l'intervalle, donc\nl'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les\ngrandes valeurs pèsent davantage."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est la valeur maximale possible, pas la\nmoyenne des valeurs prises."
},
{
"text": "$\\dfrac{10}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : la densité vaut $0{,}02x$, et le calcul\ncomplet donne $\\dfrac{20}{3}$."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une variable à densité s'écrit\n$E(X) = \\displaystyle\\int x\\,f(x)\\,dx$ : chaque valeur est\npondérée par la densité. Avec une densité croissante,\nl'espérance dépasse le milieu de l'intervalle."
},
{
"statement": "La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 2x$ sur\n$[0\\,;\\,1]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\displaystyle\\int_0^{1} x \\times 2x\\,dx\n= 2 \\times \\dfrac{1^3}{3} = \\dfrac{2}{3}$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}5$ est le milieu de l'intervalle, donc\nl'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les\ngrandes valeurs pèsent davantage."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1$ est la valeur maximale possible, pas la\nmoyenne des valeurs prises."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : la densité vaut $2x$, et le calcul\ncomplet donne $\\dfrac{2}{3}$."
}
],
"explanation": "L'espérance d'une variable à densité s'écrit\n$E(X) = \\displaystyle\\int x\\,f(x)\\,dx$ : chaque valeur est\npondérée par la densité. Avec une densité croissante,\nl'espérance dépasse le milieu de l'intervalle."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 1,
"skills": [
"modelisation",
"esperance"
],
"title": "D'un taux horaire à une attente moyenne",
"partie": "applications",
"statement": "Un standard reçoit en moyenne $3$ appels par heure. Le temps\nqui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 3$, exprimé par heure. Quel est le temps\nd'attente moyen entre deux appels ?",
"options": [
{
"text": "$20$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{3}$\nheure, soit $\\dfrac{60}{3} = 20$ minutes."
},
{
"text": "$3$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : $3$ compte des appels par heure, ce\nn'est pas une durée."
},
{
"text": "$33$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non\n$100$."
},
{
"text": "$60$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent\n$3$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux."
}
],
"explanation": "Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,\net elle est souvent plus parlante.",
"variants": [
{
"statement": "Un standard reçoit en moyenne $3$ appels par heure. Le temps\nqui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 3$, exprimé par heure. Quel est le temps\nd'attente moyen entre deux appels ?",
"options": [
{
"text": "$20$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{3}$\nheure, soit $\\dfrac{60}{3} = 20$ minutes."
},
{
"text": "$3$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : $3$ compte des appels par heure, ce\nn'est pas une durée."
},
{
"text": "$33$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non\n$100$."
},
{
"text": "$60$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent\n$3$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux."
}
],
"explanation": "Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,\net elle est souvent plus parlante."
},
{
"statement": "Un standard reçoit en moyenne $4$ appels par heure. Le temps\nqui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 4$, exprimé par heure. Quel est le temps\nd'attente moyen entre deux appels ?",
"options": [
{
"text": "$15$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{4}$\nheure, soit $\\dfrac{60}{4} = 15$ minutes."
},
{
"text": "$4$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : $4$ compte des appels par heure, ce\nn'est pas une durée."
},
{
"text": "$25$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non\n$100$."
},
{
"text": "$60$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent\n$4$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux."
}
],
"explanation": "Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,\net elle est souvent plus parlante."
},
{
"statement": "Un standard reçoit en moyenne $5$ appels par heure. Le temps\nqui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 5$, exprimé par heure. Quel est le temps\nd'attente moyen entre deux appels ?",
"options": [
{
"text": "$12$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{5}$\nheure, soit $\\dfrac{60}{5} = 12$ minutes."
},
{
"text": "$5$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : $5$ compte des appels par heure, ce\nn'est pas une durée."
},
{
"text": "$20$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non\n$100$."
},
{
"text": "$60$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent\n$5$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux."
}
],
"explanation": "Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,\net elle est souvent plus parlante."
},
{
"statement": "Un standard reçoit en moyenne $6$ appels par heure. Le temps\nqui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 6$, exprimé par heure. Quel est le temps\nd'attente moyen entre deux appels ?",
"options": [
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda} = \\dfrac{1}{6}$\nheure, soit $\\dfrac{60}{6} = 10$ minutes."
},
{
"text": "$6$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre recopié : $6$ compte des appels par heure, ce\nn'est pas une durée."
},
{
"text": "$17$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non\n$100$."
},
{
"text": "$60$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent\n$6$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux."
}
],
"explanation": "Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :\n$\\dfrac{1}{\\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,\net elle est souvent plus parlante."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 1,
"skills": [
"point",
"valeur-ponctuelle"
],
"title": "Inégalité stricte ou large",
"partie": "densite",
"statement": "Soit $X$ une variable à densité. Comment $P(X < 4)$ se\ncompare-t-elle à $P(X \\leq 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "Elles sont égales, car $P(X = 4) = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux événements ne diffèrent que par la\nvaleur $4$, dont la probabilité est nulle."
},
{
"text": "La première est strictement plus petite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce raisonnement vaut pour une loi discrète, où\n$P(X = 4)$ peut être non nulle."
},
{
"text": "Elles diffèrent de $f(4)$, la densité en $4$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $f(4)$ est une hauteur, pas une probabilité.\nL'écart vaut $P(X = 4)$, c'est-à-dire $0$."
},
{
"text": "La comparaison dépend de la loi de $X$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la conclusion vaut pour toute loi à densité, quelle\nque soit la forme de la courbe."
}
],
"explanation": "Pour une variable à densité, inégalités strictes et larges\ndonnent la même probabilité, puisqu'une valeur isolée a une\nprobabilité nulle. Cette souplesse n'existe pas dans le cas\ndiscret."
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 1,
"skills": [
"simulation"
],
"title": "Estimer une probabilité par simulation",
"partie": "applications",
"statement": "Pour estimer $P(X \\leq 3)$, on simule un grand nombre de valeurs\nde $X$ et on calcule la proportion de celles qui sont\ninférieures ou égales à $3$. Que devient cette proportion quand\nle nombre de simulations augmente ?",
"options": [
{
"text": "Elle se rapproche de la probabilité cherchée",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée se stabilise autour de\nla probabilité théorique, ce qui rend la simulation utile."
},
{
"text": "Elle se rapproche de $0{,}5$, quelle que soit la loi",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune raison d'obtenir $0{,}5$, la valeur limite\ndépend de la loi et du seuil choisi."
},
{
"text": "Elle finit par valoir exactement la probabilité",
"correct": false,
"feedback": "Trop fort : une simulation fournit une estimation, qui\nfluctue encore autour de la valeur cherchée."
},
{
"text": "Elle s'éloigne peu à peu de la probabilité",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : multiplier les tirages stabilise l'estimation\nau lieu de la dégrader."
}
],
"explanation": "Simuler, c'est remplacer un calcul par une fréquence observée\nsur un grand nombre de tirages. L'estimation obtenue se\nstabilise quand le nombre de simulations grandit."
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"uniforme-intervalle",
"loi-uniforme"
],
"title": "Retrouver un seuil",
"partie": "uniforme",
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[10\\,;\\,30]$. Pour quelle valeur\nde $t$ a-t-on $P(X \\leq t) = 0{,}25$ ?",
"options": [
{
"text": "$15$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq t) = \\dfrac{t - 10}{20}$. En\nrésolvant $\\dfrac{t - 10}{20} = 0{,}25$, on obtient\n$t = 10 + 0{,}25 \\times 20 = 15$."
},
{
"text": "$7{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $10$\net non en $0$."
},
{
"text": "$17{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de\nl'intervalle vaut $20$ et non $30$."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $20$ est le milieu de l'intervalle, le seuil\nassocié à la probabilité $0{,}5$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle\nà la longueur parcourue :\n$P(X \\leq t) = \\dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à\nl'envers revient à résoudre une équation du premier degré.",
"variants": [
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[10\\,;\\,30]$. Pour quelle valeur\nde $t$ a-t-on $P(X \\leq t) = 0{,}25$ ?",
"options": [
{
"text": "$15$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq t) = \\dfrac{t - 10}{20}$. En\nrésolvant $\\dfrac{t - 10}{20} = 0{,}25$, on obtient\n$t = 10 + 0{,}25 \\times 20 = 15$."
},
{
"text": "$7{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $10$\net non en $0$."
},
{
"text": "$17{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de\nl'intervalle vaut $20$ et non $30$."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $20$ est le milieu de l'intervalle, le seuil\nassocié à la probabilité $0{,}5$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle\nà la longueur parcourue :\n$P(X \\leq t) = \\dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à\nl'envers revient à résoudre une équation du premier degré."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[4\\,;\\,12]$. Pour quelle valeur\nde $t$ a-t-on $P(X \\leq t) = 0{,}25$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq t) = \\dfrac{t - 4}{8}$. En\nrésolvant $\\dfrac{t - 4}{8} = 0{,}25$, on obtient\n$t = 4 + 0{,}25 \\times 8 = 6$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $4$\net non en $0$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de\nl'intervalle vaut $8$ et non $12$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est le milieu de l'intervalle, le seuil\nassocié à la probabilité $0{,}5$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle\nà la longueur parcourue :\n$P(X \\leq t) = \\dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à\nl'envers revient à résoudre une équation du premier degré."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[20\\,;\\,60]$. Pour quelle valeur\nde $t$ a-t-on $P(X \\leq t) = 0{,}75$ ?",
"options": [
{
"text": "$50$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq t) = \\dfrac{t - 20}{40}$. En\nrésolvant $\\dfrac{t - 20}{40} = 0{,}75$, on obtient\n$t = 20 + 0{,}75 \\times 40 = 50$."
},
{
"text": "$45$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $20$\net non en $0$."
},
{
"text": "$65$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de\nl'intervalle vaut $40$ et non $60$."
},
{
"text": "$40$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $40$ est le milieu de l'intervalle, le seuil\nassocié à la probabilité $0{,}5$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle\nà la longueur parcourue :\n$P(X \\leq t) = \\dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à\nl'envers revient à résoudre une équation du premier degré."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[8\\,;\\,24]$. Pour quelle valeur\nde $t$ a-t-on $P(X \\leq t) = 0{,}75$ ?",
"options": [
{
"text": "$20$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq t) = \\dfrac{t - 8}{16}$. En\nrésolvant $\\dfrac{t - 8}{16} = 0{,}75$, on obtient\n$t = 8 + 0{,}75 \\times 16 = 20$."
},
{
"text": "$18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $8$\net non en $0$."
},
{
"text": "$26$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de\nl'intervalle vaut $16$ et non $24$."
},
{
"text": "$16$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $16$ est le milieu de l'intervalle, le seuil\nassocié à la probabilité $0{,}5$."
}
],
"explanation": "Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle\nà la longueur parcourue :\n$P(X \\leq t) = \\dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à\nl'envers revient à résoudre une équation du premier degré."
}
]
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 1,
"skills": [
"loi-uniforme",
"densite"
],
"title": "De la densité à la longueur",
"partie": "uniforme",
"statement": "La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}2$ sur\nson intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité vaut $\\dfrac{1}{b - a}$, donc la\nlongueur en est l'inverse : $\\dfrac{1}{0{,}2} = 5$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Densité recopiée : $0{,}2$ est la hauteur du rectangle, pas sa\nlargeur."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire\ndu rectangle qui vaut $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une\nlongueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de\nl'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de\n$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court.",
"variants": [
{
"statement": "La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}2$ sur\nson intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité vaut $\\dfrac{1}{b - a}$, donc la\nlongueur en est l'inverse : $\\dfrac{1}{0{,}2} = 5$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Densité recopiée : $0{,}2$ est la hauteur du rectangle, pas sa\nlargeur."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire\ndu rectangle qui vaut $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une\nlongueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de\nl'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de\n$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court."
},
{
"statement": "La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}25$ sur\nson intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité vaut $\\dfrac{1}{b - a}$, donc la\nlongueur en est l'inverse : $\\dfrac{1}{0{,}25} = 4$."
},
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Densité recopiée : $0{,}25$ est la hauteur du rectangle, pas sa\nlargeur."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire\ndu rectangle qui vaut $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une\nlongueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de\nl'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de\n$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court."
},
{
"statement": "La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}4$ sur\nson intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité vaut $\\dfrac{1}{b - a}$, donc la\nlongueur en est l'inverse : $\\dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Densité recopiée : $0{,}4$ est la hauteur du rectangle, pas sa\nlargeur."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire\ndu rectangle qui vaut $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une\nlongueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de\nl'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de\n$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court."
},
{
"statement": "La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}125$ sur\nson intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "$8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la densité vaut $\\dfrac{1}{b - a}$, donc la\nlongueur en est l'inverse : $\\dfrac{1}{0{,}125} = 8$."
},
{
"text": "$0{,}125$",
"correct": false,
"feedback": "Densité recopiée : $0{,}125$ est la hauteur du rectangle, pas sa\nlargeur."
},
{
"text": "$0{,}875$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire\ndu rectangle qui vaut $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une\nlongueur."
}
],
"explanation": "Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de\nl'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de\n$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"exponentielle-calcul",
"memoire"
],
"title": "Une ampoule déjà en service",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$. Sachant qu'elle\néclaire encore après $3$ ans, quelle est la probabilité que sa\ndurée de vie dépasse $5$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-0{,}4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc\n$P(X > 5 \\mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}4}$.\nSeules comptent les $2$ années qui restent à courir."
},
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{-1}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE\ndépasse $5$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $3$\nans."
},
{
"text": "$e^{-0{,}6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet exposant utilise les $3$ années déjà\nécoulées, alors que la durée utile est celle qui reste."
},
{
"text": "$1 - e^{-0{,}4}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne la probabilité\nque l'ampoule s'éteigne dans les $2$ années à venir."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit\n$P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une\nsurvie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit\npas dans ce modèle.",
"variants": [
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$. Sachant qu'elle\néclaire encore après $3$ ans, quelle est la probabilité que sa\ndurée de vie dépasse $5$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-0{,}4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc\n$P(X > 5 \\mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}4}$.\nSeules comptent les $2$ années qui restent à courir."
},
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{-1}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE\ndépasse $5$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $3$\nans."
},
{
"text": "$e^{-0{,}6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet exposant utilise les $3$ années déjà\nécoulées, alors que la durée utile est celle qui reste."
},
{
"text": "$1 - e^{-0{,}4}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne la probabilité\nque l'ampoule s'éteigne dans les $2$ années à venir."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit\n$P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une\nsurvie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit\npas dans ce modèle."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}5$. Sachant qu'elle\néclaire encore après $4$ ans, quelle est la probabilité que sa\ndurée de vie dépasse $5$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-0{,}5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc\n$P(X > 5 \\mid X > 4) = P(X > 1) = e^{-0{,}5}$.\nSeules comptent les $1$ années qui restent à courir."
},
{
"text": "$e^{-2{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{-2{,}5}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE\ndépasse $5$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $4$\nans."
},
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet exposant utilise les $4$ années déjà\nécoulées, alors que la durée utile est celle qui reste."
},
{
"text": "$1 - e^{-0{,}5}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne la probabilité\nque l'ampoule s'éteigne dans les $1$ années à venir."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit\n$P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une\nsurvie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit\npas dans ce modèle."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}1$. Sachant qu'elle\néclaire encore après $10$ ans, quelle est la probabilité que sa\ndurée de vie dépasse $30$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc\n$P(X > 30 \\mid X > 10) = P(X > 20) = e^{-2}$.\nSeules comptent les $20$ années qui restent à courir."
},
{
"text": "$e^{-3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{-3}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE\ndépasse $30$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $10$\nans."
},
{
"text": "$e^{-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet exposant utilise les $10$ années déjà\nécoulées, alors que la durée utile est celle qui reste."
},
{
"text": "$1 - e^{-2}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne la probabilité\nque l'ampoule s'éteigne dans les $20$ années à venir."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit\n$P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une\nsurvie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit\npas dans ce modèle."
},
{
"statement": "La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}3$. Sachant qu'elle\néclaire encore après $2$ ans, quelle est la probabilité que sa\ndurée de vie dépasse $6$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1{,}2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc\n$P(X > 6 \\mid X > 2) = P(X > 4) = e^{-1{,}2}$.\nSeules comptent les $4$ années qui restent à courir."
},
{
"text": "$e^{-1{,}8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{-1{,}8}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE\ndépasse $6$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $2$\nans."
},
{
"text": "$e^{-0{,}6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet exposant utilise les $2$ années déjà\nécoulées, alors que la durée utile est celle qui reste."
},
{
"text": "$1 - e^{-1{,}2}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : cette expression donne la probabilité\nque l'ampoule s'éteigne dans les $4$ années à venir."
}
],
"explanation": "L'absence de mémoire s'écrit\n$P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une\nsurvie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit\npas dans ce modèle."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 1,
"skills": [
"loi-uniforme",
"calcul"
],
"title": "Deux zones extrêmes",
"partie": "uniforme",
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,6]$. Quelle est la\nprobabilité que $X$ soit inférieur à $1$ ou supérieur à $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux zones mesurent $1$ et $1$,\nsoit $2$ en tout, à rapporter à la longueur totale\n$6$ : $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule zone : $\\dfrac{1}{6}$ ne compte que les valeurs\ninférieures à $1$, il reste celles qui dépassent $5$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de\ntomber entre $1$ et $5$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{6}$ est $P(X \\leq 5)$, qui couvre\npresque tout l'intervalle."
}
],
"explanation": "Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de\ndiviser par la longueur totale. Le passage par l'événement\ncontraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat.",
"variants": [
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,6]$. Quelle est la\nprobabilité que $X$ soit inférieur à $1$ ou supérieur à $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux zones mesurent $1$ et $1$,\nsoit $2$ en tout, à rapporter à la longueur totale\n$6$ : $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule zone : $\\dfrac{1}{6}$ ne compte que les valeurs\ninférieures à $1$, il reste celles qui dépassent $5$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de\ntomber entre $1$ et $5$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{6}$ est $P(X \\leq 5)$, qui couvre\npresque tout l'intervalle."
}
],
"explanation": "Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de\ndiviser par la longueur totale. Le passage par l'événement\ncontraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,10]$. Quelle est la\nprobabilité que $X$ soit inférieur à $2$ ou supérieur à $9$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux zones mesurent $2$ et $1$,\nsoit $3$ en tout, à rapporter à la longueur totale\n$10$ : $\\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule zone : $\\dfrac{1}{5}$ ne compte que les valeurs\ninférieures à $2$, il reste celles qui dépassent $9$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{7}{10}$ est la probabilité de\ntomber entre $2$ et $9$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{10}$ est $P(X \\leq 9)$, qui couvre\npresque tout l'intervalle."
}
],
"explanation": "Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de\ndiviser par la longueur totale. Le passage par l'événement\ncontraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,8]$. Quelle est la\nprobabilité que $X$ soit inférieur à $1$ ou supérieur à $7$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux zones mesurent $1$ et $1$,\nsoit $2$ en tout, à rapporter à la longueur totale\n$8$ : $\\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule zone : $\\dfrac{1}{8}$ ne compte que les valeurs\ninférieures à $1$, il reste celles qui dépassent $7$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{3}{4}$ est la probabilité de\ntomber entre $1$ et $7$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7}{8}$ est $P(X \\leq 7)$, qui couvre\npresque tout l'intervalle."
}
],
"explanation": "Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de\ndiviser par la longueur totale. Le passage par l'événement\ncontraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat."
},
{
"statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,12]$. Quelle est la\nprobabilité que $X$ soit inférieur à $3$ ou supérieur à $10$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{12}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux zones mesurent $3$ et $2$,\nsoit $5$ en tout, à rapporter à la longueur totale\n$12$ : $\\dfrac{5}{12}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule zone : $\\dfrac{1}{4}$ ne compte que les valeurs\ninférieures à $3$, il reste celles qui dépassent $10$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{7}{12}$ est la probabilité de\ntomber entre $3$ et $10$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{10}{12}$ est $P(X \\leq 10)$, qui couvre\npresque tout l'intervalle."
}
],
"explanation": "Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de\ndiviser par la longueur totale. Le passage par l'événement\ncontraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat."
}
]
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"simulation",
"somme",
"concentration"
],
"title": "Simuler une somme de variables uniformes",
"partie": "applications",
"statement": "On simule un grand nombre de fois la somme $S$ de $12$ variables\nindépendantes de loi uniforme sur $[0\\,;\\,1]$, puis on trace\nl'histogramme des valeurs obtenues. Quelle allure observe-t-on ?",
"options": [
{
"text": "Une forme en cloche, centrée vers $6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque variable a pour espérance $0{,}5$, donc\n$S$ a pour espérance $6$ ; les sommes se concentrent autour de\ncette valeur."
},
{
"text": "Des barres de même hauteur entre $0$ et $12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une somme de variables uniformes n'est pas uniforme ;\nles valeurs extrêmes, proches de $0$ ou de $12$, sont très rares."
},
{
"text": "Une forme en cloche, centrée vers $0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}5$ est l'espérance d'une seule variable. Les\nespérances s'additionnent : $12 \\times 0{,}5 = 6$."
},
{
"text": "Des valeurs toutes égales à $6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $S$ reste aléatoire. Ses valeurs se concentrent autour de\n$6$ sans lui être égales."
}
],
"explanation": "Une somme de variables indépendantes de même loi a une espérance\négale à la somme des espérances, et ses valeurs se regroupent autour\nd'elle en prenant une forme en cloche."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 1,
"skills": [
"applications",
"esperance",
"uniforme"
],
"title": "Espérance d'une loi uniforme",
"partie": "applications",
"statement": "Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $2$ et\n$10$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,\nen minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?",
"options": [
{
"text": "$6$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[2 ; 10]$,\nl'espérance est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{2 + 10}{2} = 6$.\n"
},
{
"text": "$8$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur\nmoyenne.\n"
},
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$ minute",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8}$ est la valeur de la densité, pas\nl'espérance.\n"
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$, le centre de\nl'intervalle.",
"variants": [
{
"statement": "Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $2$ et\n$10$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,\nen minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?",
"options": [
{
"text": "$6$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[2 ; 10]$,\nl'espérance est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{2 + 10}{2} = 6$.\n"
},
{
"text": "$8$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur\nmoyenne.\n"
},
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$ minute",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8}$ est la valeur de la densité, pas\nl'espérance.\n"
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$, le centre de\nl'intervalle."
},
{
"statement": "Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $1$ et\n$6$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,\nen minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?",
"options": [
{
"text": "$3{,}5$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[1 ; 6]$,\nl'espérance est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{1 + 6}{2} = 3{,}5$.\n"
},
{
"text": "$5$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur\nmoyenne.\n"
},
{
"text": "$6$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$ minute",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{5}$ est la valeur de la densité, pas\nl'espérance.\n"
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$, le centre de\nl'intervalle."
},
{
"statement": "Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $3$ et\n$13$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,\nen minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?",
"options": [
{
"text": "$8$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[3 ; 13]$,\nl'espérance est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{3 + 13}{2} = 8$.\n"
},
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur\nmoyenne.\n"
},
{
"text": "$13$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $13$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$ minute",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{10}$ est la valeur de la densité, pas\nl'espérance.\n"
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$, le centre de\nl'intervalle."
},
{
"statement": "Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $4$ et\n$16$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,\nen minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?",
"options": [
{
"text": "$10$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[4 ; 16]$,\nl'espérance est le milieu de l'intervalle,\n$\\dfrac{4 + 16}{2} = 10$.\n"
},
{
"text": "$12$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur\nmoyenne.\n"
},
{
"text": "$16$ minutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $16$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{12}$ minute",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{12}$ est la valeur de la densité, pas\nl'espérance.\n"
}
],
"explanation": "Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \\dfrac{a + b}{2}$, le centre de\nl'intervalle."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"applications",
"exponentielle",
"attente"
],
"title": "Attendre plus longtemps qu'une durée donnée",
"partie": "applications",
"statement": "La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}1$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1} \\approx 0{,}37$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}1 \\times\n10} = e^{-1} \\approx 0{,}37$.\n"
},
{
"text": "$1 - e^{-1} \\approx 0{,}63$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - e^{-\\lambda t}$ est $P(T \\leq t)$, la probabilité\nd'une panne **avant** $10$ ans.\n"
},
{
"text": "$e^{1} \\approx 2{,}72$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{1} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le\nsigne de l'exposant est négatif.\n"
},
{
"text": "$0{,}1 \\times 10 = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité\nelle-même.\n"
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\\lambda t}$ : la\nprobabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps.",
"variants": [
{
"statement": "La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}1$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1} \\approx 0{,}37$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}1 \\times\n10} = e^{-1} \\approx 0{,}37$.\n"
},
{
"text": "$1 - e^{-1} \\approx 0{,}63$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - e^{-\\lambda t}$ est $P(T \\leq t)$, la probabilité\nd'une panne **avant** $10$ ans.\n"
},
{
"text": "$e^{1} \\approx 2{,}72$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{1} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le\nsigne de l'exposant est négatif.\n"
},
{
"text": "$0{,}1 \\times 10 = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité\nelle-même.\n"
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\\lambda t}$ : la\nprobabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps."
},
{
"statement": "La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}2$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-2} \\approx 0{,}14$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}2 \\times\n10} = e^{-2} \\approx 0{,}14$.\n"
},
{
"text": "$1 - e^{-2} \\approx 0{,}86$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - e^{-\\lambda t}$ est $P(T \\leq t)$, la probabilité\nd'une panne **avant** $10$ ans.\n"
},
{
"text": "$e^{2} \\approx 7{,}39$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{2} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le\nsigne de l'exposant est négatif.\n"
},
{
"text": "$0{,}2 \\times 10 = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité\nelle-même.\n"
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\\lambda t}$ : la\nprobabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps."
},
{
"statement": "La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}05$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-0{,}5} \\approx 0{,}61$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}05 \\times\n10} = e^{-0{,}5} \\approx 0{,}61$.\n"
},
{
"text": "$1 - e^{-0{,}5} \\approx 0{,}39$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - e^{-\\lambda t}$ est $P(T \\leq t)$, la probabilité\nd'une panne **avant** $10$ ans.\n"
},
{
"text": "$e^{0{,}5} \\approx 1{,}65$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{0{,}5} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le\nsigne de l'exposant est négatif.\n"
},
{
"text": "$0{,}05 \\times 10 = 0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité\nelle-même.\n"
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\\lambda t}$ : la\nprobabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps."
},
{
"statement": "La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi\nexponentielle de paramètre $\\lambda = 0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il fonctionne encore après $5$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$e^{-1{,}5} \\approx 0{,}22$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}3 \\times\n5} = e^{-1{,}5} \\approx 0{,}22$.\n"
},
{
"text": "$1 - e^{-1{,}5} \\approx 0{,}78$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - e^{-\\lambda t}$ est $P(T \\leq t)$, la probabilité\nd'une panne **avant** $5$ ans.\n"
},
{
"text": "$e^{1{,}5} \\approx 4{,}48$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $e^{1{,}5} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le\nsigne de l'exposant est négatif.\n"
},
{
"text": "$0{,}3 \\times 5 = 1{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité\nelle-même.\n"
}
],
"explanation": "Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\\lambda t}$ : la\nprobabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps."
}
]
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 3,
"skills": [
"applications",
"simulation",
"uniforme",
"python"
],
"title": "Simuler une loi uniforme sur un intervalle",
"partie": "applications",
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti\ndans $[2 ; 7[$ ?",
"options": [
{
"text": "`2 + 5 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $5$ en\nmultipliant, puis on décale de $2$ en ajoutant.\n"
},
{
"text": "`random() * 7`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression couvre $[0 ; 7[$, pas $[2 ; 7[$.\n"
},
{
"text": "`2 + 7 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur doit être la **longueur** de l'intervalle,\n$5$, et non sa borne supérieure.\n"
},
{
"text": "`randint(2, 7)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` renvoie des entiers, pas des réels répartis\nuniformément.\n"
}
],
"explanation": "Transformation affine : $a + (b - a)\\,U$ avec $U$ uniforme sur\n$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$.",
"variants": [
{
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti\ndans $[2 ; 7[$ ?",
"options": [
{
"text": "`2 + 5 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $5$ en\nmultipliant, puis on décale de $2$ en ajoutant.\n"
},
{
"text": "`random() * 7`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression couvre $[0 ; 7[$, pas $[2 ; 7[$.\n"
},
{
"text": "`2 + 7 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur doit être la **longueur** de l'intervalle,\n$5$, et non sa borne supérieure.\n"
},
{
"text": "`randint(2, 7)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` renvoie des entiers, pas des réels répartis\nuniformément.\n"
}
],
"explanation": "Transformation affine : $a + (b - a)\\,U$ avec $U$ uniforme sur\n$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$."
},
{
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti\ndans $[-1 ; 3[$ ?",
"options": [
{
"text": "`-1 + 4 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $4$ en\nmultipliant, puis on décale de $-1$ en ajoutant.\n"
},
{
"text": "`random() * 3`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression couvre $[0 ; 3[$, pas $[-1 ; 3[$.\n"
},
{
"text": "`-1 + 3 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur doit être la **longueur** de l'intervalle,\n$4$, et non sa borne supérieure.\n"
},
{
"text": "`randint(-1, 3)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` renvoie des entiers, pas des réels répartis\nuniformément.\n"
}
],
"explanation": "Transformation affine : $a + (b - a)\\,U$ avec $U$ uniforme sur\n$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$."
},
{
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti\ndans $[10 ; 20[$ ?",
"options": [
{
"text": "`10 + 10 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $10$ en\nmultipliant, puis on décale de $10$ en ajoutant.\n"
},
{
"text": "`random() * 20`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression couvre $[0 ; 20[$, pas $[10 ; 20[$.\n"
},
{
"text": "`10 + 20 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur doit être la **longueur** de l'intervalle,\n$10$, et non sa borne supérieure.\n"
},
{
"text": "`randint(10, 20)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` renvoie des entiers, pas des réels répartis\nuniformément.\n"
}
],
"explanation": "Transformation affine : $a + (b - a)\\,U$ avec $U$ uniforme sur\n$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$."
},
{
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti\ndans $[-3 ; 2[$ ?",
"options": [
{
"text": "`-3 + 5 * random()`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $5$ en\nmultipliant, puis on décale de $-3$ en ajoutant.\n"
},
{
"text": "`random() * 2`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette expression couvre $[0 ; 2[$, pas $[-3 ; 2[$.\n"
},
{
"text": "`-3 + 2 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur doit être la **longueur** de l'intervalle,\n$5$, et non sa borne supérieure.\n"
},
{
"text": "`randint(-3, 2)`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : `randint` renvoie des entiers, pas des réels répartis\nuniformément.\n"
}
],
"explanation": "Transformation affine : $a + (b - a)\\,U$ avec $U$ uniforme sur\n$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$."
}
]
},
{
"id": "q50",
"difficulty": 2,
"skills": [
"applications",
"simulation",
"python"
],
"title": "Simuler un lancer de dé",
"partie": "applications",
"statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0\\,;\\,1[$, et `int` donne la partie entière d'un réel positif.\nQuelle expression simule le lancer d'un dé équilibré à six faces ?",
"options": [
{
"text": "`1 + int(6 * random())`",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : `6 * random()` est uniforme sur $[0\\,;\\,6[$,\nsa partie entière prend les valeurs $0$ à $5$ avec la même\nprobabilité, et l'on ajoute $1$."
},
{
"text": "`int(6 * random())`",
"correct": false,
"feedback": "Décalage oublié : les valeurs obtenues vont de $0$ à $5$, et\nnon de $1$ à $6$."
},
{
"text": "`6 * random()`",
"correct": false,
"feedback": "Partie entière oubliée : on obtient un réel de $[0\\,;\\,6[$,\npas un numéro de face."
},
{
"text": "`int(7 * random())`",
"correct": false,
"feedback": "Sept valeurs : on obtient les entiers de $0$ à $6$, chacun\navec la probabilité $\\dfrac{1}{7}$."
}
],
"explanation": "Si $U$ suit la loi uniforme sur $[0\\,;\\,1[$, $6U$ tombe dans\nchacun des intervalles $[k\\,;\\,k + 1[$, pour $k$ de $0$ à $5$,\navec la probabilité $\\dfrac{1}{6}$ : la partie entière plus un\nsimule le dé."
},
{
"id": "q51",
"difficulty": 2,
"skills": [
"densite",
"aire",
"lecture-graphique"
],
"title": "Une probabilité lue comme une aire de triangle",
"partie": "densite",
"statement": "La figure représente la densité $f$ d'une variable $X$ :\n$f(x) = \\dfrac{x}{2}$ sur $[0\\,;\\,2]$ et $f(x) = 0$ ailleurs. Que\nvaut $P(X \\leq 1)$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[step=0.25] (2.5,1.25);\n \\draw[->] (-0.2,0) -- (2.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.55) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x/\\t in {0.5/0{,}5,1/1,1.5/1{,}5,2/2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\t$};\n \\foreach \\y/\\t in {0.25/0{,}25,0.5/0{,}5,0.75/0{,}75,1/1} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\t$};\n \\draw[thick,blue] (0,0) -- (2,1) -- (2,0);\n \\draw[thick,blue] (-0.2,0) -- (0,0) (2,0) -- (2.4,0);\n \\node[blue,font=\\small] at (1.2,0.85) {$f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La densité est un segment qui monte de\nl'origine au point (2 ; 1), puis redescend verticalement jusqu'à\n(2 ; 0) ; elle est nulle ailleurs. Le domaine sous la densité\nest un triangle d'aire 1.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'aire du triangle de base $1$ et de hauteur\n$f(1) = 0{,}5$ vaut $\\dfrac{1 \\times 0{,}5}{2} = 0{,}25$."
},
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Proportion de l'intervalle : la densité n'est pas constante,\nla moitié gauche porte moins de probabilité."
},
{
"text": "$0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Événement contraire : $0{,}75$ est $P(X > 1)$, l'aire du\ntrapèze situé à droite."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Aire totale sous la densité : elle vaut $1$ sur $[0\\,;\\,2]$,\net non sur $[0\\,;\\,1]$."
}
],
"explanation": "Pour une loi à densité, $P(X \\leq a)$ est l'aire sous la courbe de\nla densité à gauche de $a$. Ici\n$\\displaystyle\\int_0^1 \\dfrac{x}{2}\\,dx = 0{,}25$."
},
{
"id": "q52",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle",
"densite",
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire le paramètre d'une loi exponentielle",
"partie": "exponentielle",
"statement": "La courbe représente la densité $f(x) = \\lambda e^{-\\lambda x}$,\npour $x \\geq 0$, d'une loi exponentielle. Que vaut $\\lambda$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1,x=0.9cm,y=3cm]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[xstep=1,ystep=0.25] (6,1);\n \\draw[->] (-0.2,0) -- (6.3,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.3) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y/\\t in {0.25/0{,}25,0.5/0{,}5,0.75/0{,}75} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\t$};\n \\draw[domain=0:6,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{0.5*exp(-0.5*\\x)});\n \\node[blue,font=\\small] at (1.6,0.42) {$f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Courbe décroissante sur [0 ; 6] qui part du point (0 ; 0,5) et\nse rapproche de l'axe des abscisses ; elle vaut environ 0,18 en\nx = 2.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$\\lambda = 0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(0) = \\lambda e^{0} = \\lambda$, la hauteur\nde la courbe en $0$."
},
{
"text": "$\\lambda = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Espérance $\\dfrac{1}{\\lambda} = 2$ : c'est la durée moyenne,\npas le paramètre."
},
{
"text": "$\\lambda = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Aire totale sous la densité : elle vaut toujours $1$, quel que\nsoit $\\lambda$."
},
{
"text": "$\\lambda = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Borne du graphique : la densité est définie sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, la figure n'en montre qu'une partie."
}
],
"explanation": "La densité d'une loi exponentielle vaut $\\lambda$ en $0$, puis\ndécroît. Un paramètre élevé donne une courbe qui part plus haut et\ndécroît plus vite : les durées sont plus courtes."
}
]
}