{
  "chapter": {
    "id": "lois-discretes",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Probabilités et statistique",
    "title": "Lois discrètes",
    "description": "Loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$ et son espérance, loi de\nBernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et\ncoefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale\n$\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ (expression, espérance et écart-type\nadmis), intervalle $I$ tel que $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ et\nrègle de décision, loi géométrique (expression, espérance\nadmise, absence de mémoire), probabilités conditionnelles et\nformule de Bayes (tests de dépistage, inversion du\nconditionnement).",
    "parties": [
      {
        "id": "lois",
        "title": "Lois de référence"
      },
      {
        "id": "binomiale",
        "title": "Loi binomiale"
      },
      {
        "id": "geometrique",
        "title": "Loi géométrique"
      },
      {
        "id": "parametres",
        "title": "Espérance, dispersion et choix du modèle"
      },
      {
        "id": "conditionnelles",
        "title": "Probabilités conditionnelles et formule de Bayes"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "uniforme",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'un dé équilibré",
      "partie": "lois",
      "statement": "On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ :\nle résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 6\\}$. Que\nvaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 6}{6} = \\dfrac{21}{6} = 3{,}5$,\nsoit $\\dfrac{n + 1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Milieu entier : la moyenne des faces vaut $3{,}5$, et\nl'espérance n'est pas forcément une valeur possible."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des\nvaleurs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est\npas l'espérance du résultat."
        }
      ],
      "explanation": "Pour la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$, chaque valeur a la\nprobabilité $\\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \\dfrac{n + 1}{2}$, grâce à\n$1 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ :\nle résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 6\\}$. Que\nvaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 6}{6} = \\dfrac{21}{6} = 3{,}5$,\nsoit $\\dfrac{n + 1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Milieu entier : la moyenne des faces vaut $3{,}5$, et\nl'espérance n'est pas forcément une valeur possible."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des\nvaleurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est\npas l'espérance du résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$, chaque valeur a la\nprobabilité $\\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \\dfrac{n + 1}{2}$, grâce à\n$1 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "On lance un dé équilibré à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$ :\nle résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 4\\}$. Que\nvaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 4}{4} = \\dfrac{10}{4} = 2{,}5$,\nsoit $\\dfrac{n + 1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Milieu entier : la moyenne des faces vaut $2{,}5$, et\nl'espérance n'est pas forcément une valeur possible."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des\nvaleurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est\npas l'espérance du résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$, chaque valeur a la\nprobabilité $\\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \\dfrac{n + 1}{2}$, grâce à\n$1 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "On lance un dé équilibré à $8$ faces numérotées de $1$ à $8$ :\nle résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 8\\}$. Que\nvaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 8}{8} = \\dfrac{36}{8} = 4{,}5$,\nsoit $\\dfrac{n + 1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Milieu entier : la moyenne des faces vaut $4{,}5$, et\nl'espérance n'est pas forcément une valeur possible."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des\nvaleurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est\npas l'espérance du résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$, chaque valeur a la\nprobabilité $\\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \\dfrac{n + 1}{2}$, grâce à\n$1 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "On lance un dé équilibré à $12$ faces numérotées de $1$ à $12$ :\nle résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 12\\}$. Que\nvaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 12}{12} = \\dfrac{78}{12} = 6{,}5$,\nsoit $\\dfrac{n + 1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Milieu entier : la moyenne des faces vaut $6{,}5$, et\nl'espérance n'est pas forcément une valeur possible."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des\nvaleurs."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est\npas l'espérance du résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$, chaque valeur a la\nprobabilité $\\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \\dfrac{n + 1}{2}$, grâce à\n$1 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bernoulli"
      ],
      "title": "Loi de Bernoulli",
      "partie": "lois",
      "statement": "$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$\n($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et\n$V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p) = 0{,}2\n\\times 0{,}8 = 0{,}16$ (démonstrations possibles au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces valeurs correspondent à $p = 0{,}5$\n(pièce équilibrée). Ici $p = 0{,}2$ : $E = 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 1$ et $V(X) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $E = 1$ et $V = 0$ décriraient un succès\n**certain** ($p = 1$). Avec $p = 0{,}2$, la variable\nfluctue."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur la variance : $V = p(1-p) = 0{,}16$, pas $p$\nlui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1-p)$, $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1-p)}$ : la brique\nélémentaire de la binomiale."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pascal",
        "coefficients"
      ],
      "title": "Triangle de Pascal",
      "partie": "lois",
      "statement": "La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\\ ;\\,4\\ ;\\,6\\ ;\n\\,4\\ ;\\,1$. Que vaut le coefficient binomial\n$\\dbinom{5}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10$ s'obtient en additionnant $4 + 6$\n(relation de Pascal) : chaque coefficient est la somme des\ndeux situés au-dessus : $\\binom{5}{2} = \\binom{4}{1} +\n\\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 4 \\times 6$ multiplie les deux coefficients\nsitués au-dessus ; la relation de Pascal est **additive**,\npas multiplicative : $4 + 6 = 10$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = \\binom{4}{2}$ appartient à la ligne\n$n = 4$. La ligne suivante s'en déduit par sommes."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = \\binom{5}{1}$ (deuxième coefficient de la\nligne). $\\binom{5}{2}$ est le troisième : $10$."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux\npar le triangle de Pascal. Ligne $5$ : $1\\ ;\\,5\\ ;\\,10\\ ;\\,\n10\\ ;\\,5\\ ;\\,1$, obtenue par sommes de la ligne $4$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "identification"
      ],
      "title": "Identifier une loi binomiale",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "On tire $10$ fois **avec remise** une boule dans une urne\ncontenant $30\\ \\%$ de boules rouges, et on compte le nombre\n$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10$ épreuves de Bernoulli identiques\n(remise !) et indépendantes, $X$ compte les succès :\nbinomiale."
        },
        {
          "text": "La loi uniforme sur $\\{0, \\ldots, 10\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les valeurs de $X$ ne sont pas équiprobables\n($5$ rouges est bien plus probable que $10$)."
        },
        {
          "text": "La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la Bernoulli décrit **une** épreuve. Le\n**compte** sur $10$ épreuves suit la binomiale."
        },
        {
          "text": "La loi géométrique de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la géométrique donne le **rang du premier\nsuccès**, pas le nombre de succès en $10$ tirages."
        }
      ],
      "explanation": "Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès\nsur $n$ répétitions indépendantes $\\to$ binomiale ; rang du\npremier succès $\\to$ géométrique ; une seule épreuve $\\to$\nBernoulli."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une probabilité binomiale",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X$ suivant la loi binomiale $\\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}5)$,\nnombre de « pile » sur $4$ lancers d'une pièce équilibrée. Que\nvaut $P(X = 2)$, arrondie au dix-millième ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}375$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dbinom{4}{2} \\times 0{,}5^{4} = \\dfrac{6}{16} \\approx 0{,}375$\n; il y a $6$ chemins à $2$ succès."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit\nsur les $5$ valeurs possibles de $X$."
        },
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{2}$ ne compte que les\nsuccès d'un chemin."
        },
        {
          "text": "$0{,}0625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}5^{4}$ est la probabilité d'un\nchemin ; il y en a $\\dbinom{4}{2} = 6$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce\néquilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le\ntriangle de Pascal donne le nombre de chemins.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X$ suivant la loi binomiale $\\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}5)$,\nnombre de « pile » sur $4$ lancers d'une pièce équilibrée. Que\nvaut $P(X = 2)$, arrondie au dix-millième ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}375$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dbinom{4}{2} \\times 0{,}5^{4} = \\dfrac{6}{16} \\approx 0{,}375$\n; il y a $6$ chemins à $2$ succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit\nsur les $5$ valeurs possibles de $X$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{2}$ ne compte que les\nsuccès d'un chemin."
            },
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}5^{4}$ est la probabilité d'un\nchemin ; il y en a $\\dbinom{4}{2} = 6$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce\néquilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le\ntriangle de Pascal donne le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ suivant la loi binomiale $\\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}5)$,\nnombre de « pile » sur $5$ lancers d'une pièce équilibrée. Que\nvaut $P(X = 2)$, arrondie au dix-millième ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dbinom{5}{2} \\times 0{,}5^{5} = \\dfrac{10}{32} \\approx 0{,}3125$\n; il y a $10$ chemins à $2$ succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit\nsur les $6$ valeurs possibles de $X$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{2}$ ne compte que les\nsuccès d'un chemin."
            },
            {
              "text": "$0{,}0312$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}5^{5}$ est la probabilité d'un\nchemin ; il y en a $\\dbinom{5}{2} = 10$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce\néquilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le\ntriangle de Pascal donne le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ suivant la loi binomiale $\\mathcal{B}(6\\,;\\,0{,}5)$,\nnombre de « pile » sur $6$ lancers d'une pièce équilibrée. Que\nvaut $P(X = 2)$, arrondie au dix-millième ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2344$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dbinom{6}{2} \\times 0{,}5^{6} = \\dfrac{15}{64} \\approx 0{,}2344$\n; il y a $15$ chemins à $2$ succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit\nsur les $7$ valeurs possibles de $X$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{2}$ ne compte que les\nsuccès d'un chemin."
            },
            {
              "text": "$0{,}0156$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}5^{6}$ est la probabilité d'un\nchemin ; il y en a $\\dbinom{6}{2} = 15$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce\néquilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le\ntriangle de Pascal donne le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ suivant la loi binomiale $\\mathcal{B}(7\\,;\\,0{,}5)$,\nnombre de « pile » sur $7$ lancers d'une pièce équilibrée. Que\nvaut $P(X = 3)$, arrondie au dix-millième ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2734$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$\\dbinom{7}{3} \\times 0{,}5^{7} = \\dfrac{35}{128} \\approx 0{,}2734$\n; il y a $35$ chemins à $3$ succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit\nsur les $8$ valeurs possibles de $X$."
            },
            {
              "text": "$0{,}125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{3}$ ne compte que les\nsuccès d'un chemin."
            },
            {
              "text": "$0{,}0078$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}5^{7}$ est la probabilité d'un\nchemin ; il y en a $\\dbinom{7}{3} = 35$."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce\néquilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le\ntriangle de Pascal donne le nombre de chemins."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance et écart-type de B(100 ; 0,25)",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100\\,;\\,0{,}25)$. Que valent\n$E(X)$ et $\\sigma(X)$ (admis au programme) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X) = 25$ et $\\sigma(X) \\approx 4{,}33$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E = np = 25$ et $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{100 \\times 0{,}25 \\times 0{,}75}\n= \\sqrt{18{,}75} \\approx 4{,}33$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 25$ et $\\sigma(X) = 18{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18{,}75$ est la **variance** ; l'écart-type en\nest la racine carrée."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 50$ et $\\sigma(X) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $E = np = 100 \\times 0{,}25 = 25$, pas la\nmoitié de $n$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}25$ et $\\sigma(X) \\approx 0{,}43$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}25$ et $\\sqrt{0{,}25 \\times 0{,}75}\n\\approx 0{,}43$ sont l'espérance et l'écart-type\nd'**une** épreuve ; sur $100$ répétitions : $25$ et\n$4{,}33$."
        }
      ],
      "explanation": "Formules admises : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$,\n$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1-p)}$. Ici : $25 \\pm 4{,}3$ environ :\nl'ordre de grandeur des fluctuations attendues."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "definition"
      ],
      "title": "La loi géométrique",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au\npremier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que\nvaut $P(X = k)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1 - p)^{k-1}\\,p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $k - 1$ échecs consécutifs puis un\nsuccès, les épreuves étant indépendantes."
        },
        {
          "text": "$p^k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p^k$ serait $k$ **succès** d'affilée. Le\npremier succès au rang $k$ exige d'abord $k-1$ échecs."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la formule **binomiale** (nombre de\nsuccès sur $n$ fixé). La géométrique n'a pas de\ncoefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{k}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les\npetits rangs sont les plus probables."
        }
      ],
      "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X = k) =\n(1-p)^{k-1}p$ pour $k \\geq 1$, et $E(X) = \\dfrac{1}{p}$\n(admis). Modèle des temps d'attente discrets."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'un temps d'attente",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de\nlancers faut-il **en moyenne** ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ lancers",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier $6$ suit la loi\ngéométrique de paramètre $\\frac{1}{6}$ : espérance\n$E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{1/6} = 6$ (admise au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "$3{,}5$ lancers",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $3{,}5$ est l'espérance du **résultat d'un\nlancer** (loi uniforme). Ici on attend un événement de\nprobabilité $\\frac{1}{6}$ : $6$ essais en moyenne."
        },
        {
          "text": "$1$ lancer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $6$ tombe du premier coup une fois sur six\nseulement ; en moyenne, l'attente dure $6$ lancers."
        },
        {
          "text": "$36$ lancers",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36 = 6^2$ surestime : la formule est\n$E = \\frac{1}{p} = 6$."
        }
      ],
      "explanation": "Règle mémorable : un événement de probabilité $p$ se produit\nen moyenne au bout de $\\frac{1}{p}$ essais. Pour le $6$ :\nsix lancers."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrique",
        "memoire"
      ],
      "title": "Absence de mémoire",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle\nest la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain\nlancer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dé n'a pas de mémoire. Les lancers\nsont indépendants, la malchance passée n'augmente en\nrien les chances futures : c'est la propriété\ncaractéristique de la loi géométrique (absence de\nmémoire)."
        },
        {
          "text": "Plus de $\\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir",
          "correct": false,
          "feedback": "L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix\néchecs, l'attente **restante** suit exactement la même\nloi qu'au départ."
        },
        {
          "text": "Moins de $\\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs\nn'ont rien d'extraordinaire\n($\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{10} \\approx 16\\ \\%$) et ne\nremettent pas en cause l'équilibre."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{10}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$. La\nréponse est $\\frac{1}{6}$, inchangée."
        }
      ],
      "explanation": "Absence de mémoire (au programme) : sachant $X > n$, la loi\nde l'attente restante est celle de $X$ au départ. Le passé\ndes échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote\nmathématique à l'illusion du joueur."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calcul explicite d'une probabilité géométrique",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$\n(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}125$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux faces puis un pile :\n$(1-p)^{2}\\,p = 0{,}5^2 \\times 0{,}5 = 0{,}125 =\n\\dfrac{1}{8}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un pile à un\nlancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose\naussi deux échecs préalables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang\n$3$ a la probabilité $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 =\n\\frac{1}{8}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}375$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}375 = \\binom{4}{2}/16$ vient d'un calcul\n**binomial**. Ici pas de coefficient : l'ordre\néchec-échec-succès est imposé."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 3) = (1-p)^2 p = \\frac{1}{8}$ : la moitié des cas au\nrang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse\ndécroît géométriquement."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Intervalle et calculatrice",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}5)$ (une pièce testée\nsur $50$ lancers). La calculatrice donne\n$P(18 \\leq X \\leq 32) \\approx 0{,}967$. Comment interpréter\nce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un résultat hors de $[18\\,;\\,32]$ conduit à douter de\nl'équilibre de la pièce",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si la pièce est équilibrée, le nombre de\npiles tombe dans $[18\\,;\\,32]$ dans environ $97\\ \\%$ des\ncas ; un résultat hors de cet intervalle, rare sous le\nmodèle, rend le modèle suspect. C'est la démarche du\nprogramme (test d'une pièce) : un intervalle de forte\nprobabilité sous le modèle, puis une observation très\nimprobable conduit à douter du modèle."
        },
        {
          "text": "La probabilité que la pièce soit équilibrée vaut environ\n$0{,}967$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les\n**résultats sous le modèle**, pas sur le modèle\nlui-même."
        },
        {
          "text": "Le nombre de piles obtenu sera à coup sûr compris entre\n$18$ et $32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il reste environ $3\\ \\%$ de cas hors\nintervalle, parfaitement possibles avec une pièce\néquilibrée."
        },
        {
          "text": "Dès que le nombre de piles s'écarte de $25$, la pièce doit\nêtre déclarée truquée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec une pièce équilibrée, $X$ fluctue autour de\n$25$ : obtenir $22$ piles (probabilité $0{,}079$) ou $29$\n(probabilité $0{,}060$) est banal ; seul un résultat hors\nde $[18\\,;\\,32]$, qui n'arrive que dans environ $3\\ \\%$\ndes cas, remet le modèle en cause."
        }
      ],
      "explanation": "Problème type du programme : construire un intervalle $I$\ntel que $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ sous le modèle, puis\nconfronter l'observation. Improbable sous le modèle\n$\\Rightarrow$ modèle remis en question : l'esprit du test\nd'hypothèse."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "identification",
        "synthese"
      ],
      "title": "Choisir la bonne loi",
      "partie": "lois",
      "statement": "Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte\nparmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de\nclients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants\n(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du\npremier appel décroché par un standard qui décroche avec\nprobabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ uniforme ; $B$ binomiale ; $C$ géométrique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A$ uniforme sur $\\{1, \\ldots, 10\\}$\n(équiprobabilité sur un ensemble fini), $B$ binomiale\n$\\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}1)$ (compte de succès sur $n$\nrépétitions), $C$ géométrique de paramètre $0{,}6$ (rang\ndu premier succès)."
        },
        {
          "text": "$A$ binomiale ; $B$ géométrique ; $C$ uniforme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa\nstructure : équiprobable / compte de succès / première\nréussite."
        },
        {
          "text": "Les trois suivent des lois binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ n'a ni succès ni répétition, et $C$ n'a\npas de nombre d'épreuves fixé à l'avance."
        },
        {
          "text": "$A$ uniforme ; $B$ géométrique ; $C$ binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur $B$ et $C$ : compter des acheteurs sur $20$\nvisiteurs est binomial ; attendre le premier décroché\nest géométrique."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue centrale : **identifier** la loi d'après\nla structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;\nBernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur $n$\népreuves ; géométrique : premier succès."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "binomiale-zero"
      ],
      "title": "Aucun succès sur $n$ essais",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $P(X = 0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7^{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucun succès, c'est $4$ échecs indépendants,\nd'où $(1 - p)^n = 0{,}7^{4} \\approx 0{,}2401$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Succès et échecs inversés : $0{,}3^{4}$ est $P(X = 4)$."
        },
        {
          "text": "$1 - 0{,}3^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complémentaire de $P(X = 4)$ : c'est $P(X \\leq 3)$, et\nnon l'absence de succès."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance oubliée : $0{,}7$ est la probabilité d'échec sur une\nseule épreuve."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de\n$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $P(X = 0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}7^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun succès, c'est $4$ échecs indépendants,\nd'où $(1 - p)^n = 0{,}7^{4} \\approx 0{,}2401$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $0{,}3^{4}$ est $P(X = 4)$."
            },
            {
              "text": "$1 - 0{,}3^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complémentaire de $P(X = 4)$ : c'est $P(X \\leq 3)$, et\nnon l'absence de succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance oubliée : $0{,}7$ est la probabilité d'échec sur une\nseule épreuve."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de\n$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}2$.\nQue vaut $P(X = 0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}8^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun succès, c'est $5$ échecs indépendants,\nd'où $(1 - p)^n = 0{,}8^{5} \\approx 0{,}3277$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $0{,}2^{5}$ est $P(X = 5)$."
            },
            {
              "text": "$1 - 0{,}2^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complémentaire de $P(X = 5)$ : c'est $P(X \\leq 4)$, et\nnon l'absence de succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance oubliée : $0{,}8$ est la probabilité d'échec sur une\nseule épreuve."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de\n$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}4$.\nQue vaut $P(X = 0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}6^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun succès, c'est $3$ échecs indépendants,\nd'où $(1 - p)^n = 0{,}6^{3} \\approx 0{,}216$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $0{,}4^{3}$ est $P(X = 3)$."
            },
            {
              "text": "$1 - 0{,}4^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complémentaire de $P(X = 3)$ : c'est $P(X \\leq 2)$, et\nnon l'absence de succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance oubliée : $0{,}6$ est la probabilité d'échec sur une\nseule épreuve."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de\n$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0{,}1$.\nQue vaut $P(X = 0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}9^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun succès, c'est $6$ échecs indépendants,\nd'où $(1 - p)^n = 0{,}9^{6} \\approx 0{,}5314$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $0{,}1^{6}$ est $P(X = 6)$."
            },
            {
              "text": "$1 - 0{,}1^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complémentaire de $P(X = 6)$ : c'est $P(X \\leq 5)$, et\nnon l'absence de succès."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance oubliée : $0{,}9$ est la probabilité d'échec sur une\nseule épreuve."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de\n$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficients",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Symétrie des coefficients binomiaux",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Sans calculer sa valeur, à quel coefficient binomial\n$\\dbinom{9}{7}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{9}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : choisir $7$ objets parmi $9$ revient à\nchoisir les $2$ que l'on laisse : $\\binom{n}{k} =\n\\binom{n}{n-k}$, et les deux valent $36$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{7}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : échanger $n$ et $k$ n'a pas de sens, on ne peut\npas choisir $9$ objets parmi $7$. La symétrie remplace\n$k$ par $n - k$, elle ne permute pas $n$ et $k$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{7}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n = 9$ reste en haut ; seul $k$ devient\n$n - k = 2$. Contrôle : $\\binom{7}{2} = 21$ alors que\n$\\binom{9}{7} = 36$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{8}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\binom{8}{6} = 28$ n'est qu'un des deux termes\nde la relation de Pascal $\\binom{9}{7} = \\binom{8}{6} +\n\\binom{8}{7} = 28 + 8 = 36$."
        }
      ],
      "explanation": "Symétrie du triangle de Pascal : $\\binom{n}{k} =\n\\binom{n}{n-k}$, car choisir $k$ objets, c'est écarter les\n$n - k$ autres. Elle permet de lire $\\binom{9}{7}$ dans la\ncolonne $k = 2$ : $36$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "au-moins-un-succes"
      ],
      "title": "Au moins un succès",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =\n0{,}3$. Comment calculer $P(X \\geq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - 0{,}7^4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est «\naucun » : $P(X \\geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}7^4\n\\approx 0{,}76$, un seul terme au lieu de quatre."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $4 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7^3 = P(X = 1)$\ncompte **exactement un** succès ; « au moins un »\nenglobe $1, 2, 3$ et $4$ : le complémentaire est la voie\ncourte."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Alerte : $4 \\times 0{,}3 = 1{,}2$, une probabilité\nau-dessus de $1$. L'addition des $p$ ne calcule pas « au\nmoins un » (elle ignore les recouvrements)."
        },
        {
          "text": "$0{,}3^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3^4$ est « QUE des succès » ($X = 4$) : à\nl'opposé du calcul demandé."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ : LE réflexe binomial. Toute\nquestion « au moins un » se traite par le complémentaire\n« aucun » : un produit, une soustraction, fini."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique-survie"
      ],
      "title": "Attendre plus de $n$ essais",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du\npremier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1 - p)^n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : attendre au-delà de $n$, c'est n'avoir\nencore rien obtenu, donc avoir enchaîné $n$ échecs\nconsécutifs : $(1 - p)^n$."
        },
        {
          "text": "$p^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $p^n$ enchaînerait $n$ **succès** : attendre,\nc'est enchaîner des échecs."
        },
        {
          "text": "$1 - (1 - p)^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - (1 - p)^n$ est le complémentaire, c'est\n$P(X \\leq n)$ (le succès arrive au plus tard au rang $n$) ;\nl'événement « $X > n$ » se décrit directement : $n$ échecs\nd'affilée."
        },
        {
          "text": "$n(1 - p)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les échecs successifs se **multiplient**\n(indépendance), ils ne s'additionnent pas."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X > n) = (1 - p)^n$ : la « fonction de survie » de la loi\ngéométrique. On en déduit tout : $P(X \\leq n) = 1 - (1 -\np)^n$, et l'absence de mémoire."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrique-esperance"
      ],
      "title": "Temps d'attente moyen",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$, les tirs\nétant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour\nobtenir le premier succès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ tirs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi\ngéométrique et $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$ tir",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$ tir",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps\nd'attente."
        },
        {
          "text": "Impossible, l'attente est aléatoire",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée\n: $\\dfrac{1}{p}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour la loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$ : un événement de\nprobabilité $0{,}2$ s'attend en moyenne $5$ répétitions.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$, les tirs\nétant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour\nobtenir le premier succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi\ngéométrique et $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps\nd'attente."
            },
            {
              "text": "Impossible, l'attente est aléatoire",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée\n: $\\dfrac{1}{p}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$ : un événement de\nprobabilité $0{,}2$ s'attend en moyenne $5$ répétitions."
        },
        {
          "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}25$, les tirs\nétant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour\nobtenir le premier succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi\ngéométrique et $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{0{,}25} = 4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps\nd'attente."
            },
            {
              "text": "Impossible, l'attente est aléatoire",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée\n: $\\dfrac{1}{p}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$ : un événement de\nprobabilité $0{,}25$ s'attend en moyenne $4$ répétitions."
        },
        {
          "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}1$, les tirs\nétant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour\nobtenir le premier succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi\ngéométrique et $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{0{,}1} = 10$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps\nd'attente."
            },
            {
              "text": "Impossible, l'attente est aléatoire",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée\n: $\\dfrac{1}{p}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$ : un événement de\nprobabilité $0{,}1$ s'attend en moyenne $10$ répétitions."
        },
        {
          "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}05$, les tirs\nétant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour\nobtenir le premier succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi\ngéométrique et $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{0{,}05} = 20$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$ tir",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps\nd'attente."
            },
            {
              "text": "Impossible, l'attente est aléatoire",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée\n: $\\dfrac{1}{p}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour la loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$ : un événement de\nprobabilité $0{,}05$ s'attend en moyenne $20$ répétitions."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "choisir-binomiale-geometrique"
      ],
      "title": "Binomiale ou géométrique ?",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les\nréussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes\njusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».\nQuelles lois ?",
      "options": [
        {
          "text": "A binomiale, B géométrique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en A le nombre d'essais est fixé et l'on\ncompte les succès (binomiale) ; en B on compte les\nessais jusqu'au premier succès (géométrique). La\nquestion discriminante : QUI est aléatoire ?"
        },
        {
          "text": "A géométrique, B binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais **fixé\nd'avance** ($10$ en A) ; la géométrique compte l'attente\n(B)."
        },
        {
          "text": "Les deux sont binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est\njustement la variable : hors du cadre binomial."
        },
        {
          "text": "Les deux sont géométriques",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on\népuise les $10$ essais et on **compte** : binomiale."
        }
      ],
      "explanation": "Le test de reconnaissance : « combien de succès sur $n$\nessais fixés ? » : binomiale $(n\\ ;\\ p)$ ; « combien\nd'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique $(p)$.\nIdentifier la loi AVANT tout calcul."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-uniforme",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une loi uniforme",
      "partie": "lois",
      "statement": "Une variable suit la loi uniforme sur $\\{1, 2, \\ldots, 10\\}$.\nQuelle est son espérance ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la moyenne des valeurs extrêmes,\n$\\dfrac{1 + 10}{2}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur centrale mal choisie : les dix valeurs étant équiprobables, la\nmoyenne tombe entre $5$ et $6$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne, elle ne peut\npas valoir l'extrême."
        },
        {
          "text": "$0{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité de chaque valeur : elle sert au calcul, elle n'en est pas\nle résultat."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi uniforme sur des entiers consécutifs, l'espérance est la\nmoyenne des deux valeurs extrêmes. Toutes les valeurs ayant la même\nprobabilité, la moyenne est celle des valeurs elles-mêmes."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une probabilité géométrique",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}128$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux échecs puis un succès,\n$0{,}8^2 \\times 0{,}2 = 0{,}128$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le\npremier essai."
        },
        {
          "text": "$0{,}008$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trois succès comptés : $0{,}2^3$ décrit une tout autre\nsituation."
        },
        {
          "text": "$0{,}512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Succès final oublié : $0{,}8^3$ est la probabilité de trois\néchecs consécutifs."
        }
      ],
      "explanation": "La loi géométrique donne le rang du premier succès :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais\néchouent, le dernier réussit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}128$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux échecs puis un succès,\n$0{,}8^2 \\times 0{,}2 = 0{,}128$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le\npremier essai."
            },
            {
              "text": "$0{,}008$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trois succès comptés : $0{,}2^3$ décrit une tout autre\nsituation."
            },
            {
              "text": "$0{,}512$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès final oublié : $0{,}8^3$ est la probabilité de trois\néchecs consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "La loi géométrique donne le rang du premier succès :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais\néchouent, le dernier réussit."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}3$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}147$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux échecs puis un succès,\n$0{,}7^2 \\times 0{,}3 = 0{,}147$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le\npremier essai."
            },
            {
              "text": "$0{,}027$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trois succès comptés : $0{,}3^3$ décrit une tout autre\nsituation."
            },
            {
              "text": "$0{,}343$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès final oublié : $0{,}7^3$ est la probabilité de trois\néchecs consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "La loi géométrique donne le rang du premier succès :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais\néchouent, le dernier réussit."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}4$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}144$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux échecs puis un succès,\n$0{,}6^2 \\times 0{,}4 = 0{,}144$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le\npremier essai."
            },
            {
              "text": "$0{,}064$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trois succès comptés : $0{,}4^3$ décrit une tout autre\nsituation."
            },
            {
              "text": "$0{,}216$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès final oublié : $0{,}6^3$ est la probabilité de trois\néchecs consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "La loi géométrique donne le rang du premier succès :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais\néchouent, le dernier réussit."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}1$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}081$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux échecs puis un succès,\n$0{,}9^2 \\times 0{,}1 = 0{,}081$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le\npremier essai."
            },
            {
              "text": "$0{,}001$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trois succès comptés : $0{,}1^3$ décrit une tout autre\nsituation."
            },
            {
              "text": "$0{,}729$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès final oublié : $0{,}9^3$ est la probabilité de trois\néchecs consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "La loi géométrique donne le rang du premier succès :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais\néchouent, le dernier réussit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "esperance"
      ],
      "title": "Attendre longtemps le premier six",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six. Quelle est la\nprobabilité qu'il faille plus de $6$ lancers, arrondie au centième\n?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $0{,}33$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les six premiers lancers échouent,\n$P(X > 6) = \\left(\\dfrac{5}{6}\\right)^6 \\approx 0{,}33$."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}67$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : $1 - \\left(\\dfrac{5}{6}\\right)^6$ est la\nprobabilité d'obtenir un six en au plus six lancers."
        },
        {
          "text": "Exactement $\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'un six à un lancer donné, sans lien avec\nl'attente."
        },
        {
          "text": "Exactement $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Six lancers est l'attente moyenne, ce n'est pas un maximum :\nl'attente peut la dépasser."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique de paramètre $p$, $P(X > n) = (1 - p)^n$.\nUne attente supérieure à la moyenne $\\dfrac{1}{p} = 6$ survient\nenviron une fois sur trois."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "memoire"
      ],
      "title": "L'absence de mémoire",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Après cinq lancers sans obtenir de six, quelle est la probabilité\nd'en obtenir un au lancer suivant ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les lancers étant indépendants, le passé ne change\nrien."
        },
        {
          "text": "Plus de $\\dfrac{1}{6}$, par compensation",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'erreur du joueur : le dé ne garde aucune mémoire des lancers\nprécédents."
        },
        {
          "text": "Moins de $\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune raison non plus : les échecs passés n'influencent pas le lancer\nsuivant."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité de l'échec recopiée : c'est celle de ne pas obtenir de\nsix."
        }
      ],
      "explanation": "La loi géométrique est sans mémoire : la probabilité d'un succès au\nprochain essai ne dépend pas du nombre d'échecs déjà subis."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "identification"
      ],
      "title": "Valeurs possibles d'une loi géométrique",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "On compte le nombre $X$ de lancers d'une pièce nécessaires pour\nobtenir le premier pile. Quelle valeur $X$ ne peut-il pas prendre\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut au moins un lancer pour obtenir pile ;\n$X$ prend les valeurs $1, 2, 3, \\ldots$"
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pile peut sortir dès le premier lancer, avec la probabilité\n$0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une attente de $25$ lancers est très improbable, mais possible\n: la loi géométrique n'a pas de valeur maximale."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Face puis pile donne $X = 2$, avec la probabilité $0{,}25$."
        }
      ],
      "explanation": "Une loi géométrique prend toutes les valeurs entières à partir de\n$1$, sans borne supérieure, ce qui la distingue d'une loi\nbinomiale, comprise entre $0$ et $n$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "cumul"
      ],
      "title": "Attendre au-delà d'un rang",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}3$, que vaut\n$P(X > 4)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2401$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $4$ premiers essais doivent échouer,\nsoit $0{,}7^{4} = 0{,}2401$."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul échec compté : il en faut $4$ consécutifs."
        },
        {
          "text": "$0{,}0081$",
          "correct": false,
          "feedback": "Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}3^{4}$ décrit une\ntout autre situation."
        },
        {
          "text": "$0{,}7599$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : $0{,}7599$ est $P(X \\leq 4)$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement\nsignifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}3$, que vaut\n$P(X > 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2401$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $4$ premiers essais doivent échouer,\nsoit $0{,}7^{4} = 0{,}2401$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul échec compté : il en faut $4$ consécutifs."
            },
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}3^{4}$ décrit une\ntout autre situation."
            },
            {
              "text": "$0{,}7599$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}7599$ est $P(X \\leq 4)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement\nsignifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$, que vaut\n$P(X > 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}512$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $3$ premiers essais doivent échouer,\nsoit $0{,}8^{3} = 0{,}512$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul échec compté : il en faut $3$ consécutifs."
            },
            {
              "text": "$0{,}008$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}2^{3}$ décrit une\ntout autre situation."
            },
            {
              "text": "$0{,}488$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}488$ est $P(X \\leq 3)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement\nsignifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}1$, que vaut\n$P(X > 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}729$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $3$ premiers essais doivent échouer,\nsoit $0{,}9^{3} = 0{,}729$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul échec compté : il en faut $3$ consécutifs."
            },
            {
              "text": "$0{,}001$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}1^{3}$ décrit une\ntout autre situation."
            },
            {
              "text": "$0{,}271$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}271$ est $P(X \\leq 3)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement\nsignifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué."
        },
        {
          "statement": "Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}4$, que vaut\n$P(X > 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $2$ premiers essais doivent échouer,\nsoit $0{,}6^{2} = 0{,}36$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul échec compté : il en faut $2$ consécutifs."
            },
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}4^{2}$ décrit une\ntout autre situation."
            },
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}64$ est $P(X \\leq 2)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement\nsignifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Retrouver le nombre d'épreuves",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n$ et\n$p = 0{,}25$, et son espérance vaut $16$. Que vaut $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$64$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np$, donc\n$n = \\dfrac{16}{0{,}25} = 64$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit au lieu du quotient : $16 \\times 0{,}25 = 4$, alors\nque $n = \\dfrac{E(X)}{p}$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance recopiée : elle compte les succès moyens, pas les\népreuves."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul de la variance : $16 \\times 0{,}75 = 12$ ne donne pas\nle nombre d'épreuves."
        }
      ],
      "explanation": "Les relations $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ permettent de\nretrouver un paramètre à partir des autres."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-bernoulli",
        "definition"
      ],
      "title": "Une variable de Bernoulli",
      "partie": "lois",
      "statement": "Quelles valeurs une variable de Bernoulli prend-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ et $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ code le succès et $0$ l'échec."
        },
        {
          "text": "$0$ et $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le paramètre $p$ est la probabilité du succès, pas la valeur prise."
        },
        {
          "text": "Tous les entiers de $0$ à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les valeurs d'une loi binomiale, somme de plusieurs Bernoulli."
        },
        {
          "text": "$1$ et $-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La convention retient $0$ pour l'échec, ce qui rend la somme égale au\nnombre de succès."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable de Bernoulli vaut $1$ en cas de succès, de probabilité $p$, et\n$0$ sinon. Son espérance vaut $p$ et sa variance $p(1-p)$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Que des succès",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$, que vaut\n$P(X = 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}01024$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $5$ épreuves doivent toutes réussir,\nsoit $0{,}4^{5} = 0{,}01024$."
        },
        {
          "text": "$0{,}07776$",
          "correct": false,
          "feedback": "Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{5} = 0{,}07776$ est\n$P(X = 0)$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance calculée : $np = 2$ est le nombre moyen de\nsuccès, pas une probabilité."
        },
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule épreuve comptée : il faut $5$ succès consécutifs."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial\nvaut $1$ et toutes les épreuves réussissent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$, que vaut\n$P(X = 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}01024$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $5$ épreuves doivent toutes réussir,\nsoit $0{,}4^{5} = 0{,}01024$."
            },
            {
              "text": "$0{,}07776$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{5} = 0{,}07776$ est\n$P(X = 0)$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance calculée : $np = 2$ est le nombre moyen de\nsuccès, pas une probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule épreuve comptée : il faut $5$ succès consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial\nvaut $1$ et toutes les épreuves réussissent."
        },
        {
          "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}7$, que vaut\n$P(X = 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2401$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $4$ épreuves doivent toutes réussir,\nsoit $0{,}7^{4} = 0{,}2401$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{4} = 0{,}0081$ est\n$P(X = 0)$."
            },
            {
              "text": "$2{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance calculée : $np = 2{,}8$ est le nombre moyen de\nsuccès, pas une probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule épreuve comptée : il faut $4$ succès consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial\nvaut $1$ et toutes les épreuves réussissent."
        },
        {
          "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}6$, que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}216$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $3$ épreuves doivent toutes réussir,\nsoit $0{,}6^{3} = 0{,}216$."
            },
            {
              "text": "$0{,}064$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{3} = 0{,}064$ est\n$P(X = 0)$."
            },
            {
              "text": "$1{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance calculée : $np = 1{,}8$ est le nombre moyen de\nsuccès, pas une probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule épreuve comptée : il faut $3$ succès consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial\nvaut $1$ et toutes les épreuves réussissent."
        },
        {
          "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}3$, que vaut\n$P(X = 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $4$ épreuves doivent toutes réussir,\nsoit $0{,}3^{4} = 0{,}0081$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{4} = 0{,}2401$ est\n$P(X = 0)$."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance calculée : $np = 1{,}2$ est le nombre moyen de\nsuccès, pas une probabilité."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule épreuve comptée : il faut $4$ succès consécutifs."
            }
          ],
          "explanation": "$P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial\nvaut $1$ et toutes les épreuves réussissent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lois-discretes",
        "choix"
      ],
      "title": "Choisir la loi adaptée",
      "partie": "lois",
      "statement": "On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes, toutes les\ncartes ayant la même probabilité. Quelle loi décrit le rang de la\ncarte tirée ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une loi uniforme",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes les valeurs sont équiprobables, ce qui définit\nla loi uniforme."
        },
        {
          "text": "Une loi binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune répétition d'épreuves n'intervient ici."
        },
        {
          "text": "Une loi géométrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune attente d'un premier succès n'est en jeu."
        },
        {
          "text": "Une loi de Bernoulli",
          "correct": false,
          "feedback": "La variable prend bien plus de deux valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "La loi uniforme modélise une équiprobabilité sur un ensemble fini de\nvaleurs. Son espérance est la moyenne de ces valeurs."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "contraire"
      ],
      "title": "Au moins un succès sur cinq",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour une binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$, que vaut\n$P(X \\geq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $0{,}922$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 - 0{,}6^5 = 1 - 0{,}07776$."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}078$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : c'est la probabilité de n'obtenir aucun succès."
        },
        {
          "text": "Exactement $0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'un succès unique sur une seule épreuve : la répétition\naugmente nettement les chances."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}259$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'exactement un succès : l'énoncé en demande au moins un."
        }
      ],
      "explanation": "Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Le calcul se\nréduit ainsi à un seul terme."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Un contrôle jusqu'au premier défaut",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Une chaîne produit $2$ % de pièces défectueuses. On contrôle les\npièces une à une jusqu'à en trouver une défectueuse. Combien en\ncontrôle-t-on en moyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$50$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{0{,}02}$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage recopié : l'espérance est l'inverse de la probabilité."
        },
        {
          "text": "$98$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément calculé : il décrit la proportion de pièces conformes."
        },
        {
          "text": "$0{,}02$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité recopiée : un nombre de contrôles est toujours au moins\négal à $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le rang de la première pièce défectueuse suit une loi géométrique de\nparamètre $0{,}02$. Son espérance vaut l'inverse de ce paramètre."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "uniforme",
        "loi-uniforme"
      ],
      "title": "Probabilité cumulée d'une loi uniforme",
      "partie": "lois",
      "statement": "Une variable $X$ suit la loi uniforme sur\n$\\{1, 2, \\ldots, 12\\}$. Que vaut $P(X \\leq 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3$ valeurs conviennent sur les $12$\npossibles, toutes de même probabilité, d'où $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule valeur comptée : $\\dfrac{1}{12}$ est la probabilité\nd'une valeur isolée. L'événement en réunit $3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de\nvaleurs, soit $12$, et non le seuil $3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{3}{4}$ correspond à $X > 3$, les\nvaleurs situées au-dessus du seuil."
        }
      ],
      "explanation": "Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le\nnombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.\nIci $P(X \\leq k) = \\dfrac{k}{n}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi uniforme sur\n$\\{1, 2, \\ldots, 12\\}$. Que vaut $P(X \\leq 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ valeurs conviennent sur les $12$\npossibles, toutes de même probabilité, d'où $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur comptée : $\\dfrac{1}{12}$ est la probabilité\nd'une valeur isolée. L'événement en réunit $3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de\nvaleurs, soit $12$, et non le seuil $3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{3}{4}$ correspond à $X > 3$, les\nvaleurs situées au-dessus du seuil."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le\nnombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.\nIci $P(X \\leq k) = \\dfrac{k}{n}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi uniforme sur\n$\\{1, 2, \\ldots, 10\\}$. Que vaut $P(X \\leq 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ valeurs conviennent sur les $10$\npossibles, toutes de même probabilité, d'où $\\dfrac{2}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur comptée : $\\dfrac{1}{10}$ est la probabilité\nd'une valeur isolée. L'événement en réunit $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de\nvaleurs, soit $10$, et non le seuil $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{3}{5}$ correspond à $X > 4$, les\nvaleurs situées au-dessus du seuil."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le\nnombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.\nIci $P(X \\leq k) = \\dfrac{k}{n}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi uniforme sur\n$\\{1, 2, \\ldots, 20\\}$. Que vaut $P(X \\leq 15)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $15$ valeurs conviennent sur les $20$\npossibles, toutes de même probabilité, d'où $\\dfrac{3}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur comptée : $\\dfrac{1}{20}$ est la probabilité\nd'une valeur isolée. L'événement en réunit $15$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de\nvaleurs, soit $20$, et non le seuil $15$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{1}{4}$ correspond à $X > 15$, les\nvaleurs situées au-dessus du seuil."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le\nnombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.\nIci $P(X \\leq k) = \\dfrac{k}{n}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi uniforme sur\n$\\{1, 2, \\ldots, 8\\}$. Que vaut $P(X \\leq 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ valeurs conviennent sur les $8$\npossibles, toutes de même probabilité, d'où $\\dfrac{5}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur comptée : $\\dfrac{1}{8}$ est la probabilité\nd'une valeur isolée. L'événement en réunit $5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de\nvaleurs, soit $8$, et non le seuil $5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $\\dfrac{3}{8}$ correspond à $X > 5$, les\nvaleurs situées au-dessus du seuil."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le\nnombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.\nIci $P(X \\leq k) = \\dfrac{k}{n}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bernoulli",
        "loi-bernoulli"
      ],
      "title": "Écart-type d'une loi de Bernoulli",
      "partie": "lois",
      "statement": "Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut\n$0{,}2$. Que vaut son écart-type ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc\n$p = 0{,}2$, et $\\sigma = \\sqrt{0{,}2 \\times 0{,}8} = 0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $0{,}16$ est la variance $p(1 - p)$, dont\nl'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}2$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type\nmesure la dispersion et vaut ici $0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : $0{,}8 = 1 - p$ intervient dans\nle calcul, elle n'en est pas le résultat."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1 - p)$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance\nlivre donc directement le paramètre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut\n$0{,}2$. Que vaut son écart-type ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc\n$p = 0{,}2$, et $\\sigma = \\sqrt{0{,}2 \\times 0{,}8} = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}16$ est la variance $p(1 - p)$, dont\nl'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}2$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type\nmesure la dispersion et vaut ici $0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : $0{,}8 = 1 - p$ intervient dans\nle calcul, elle n'en est pas le résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1 - p)$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance\nlivre donc directement le paramètre."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut\n$0{,}1$. Que vaut son écart-type ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc\n$p = 0{,}1$, et $\\sigma = \\sqrt{0{,}1 \\times 0{,}9} = 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}09$ est la variance $p(1 - p)$, dont\nl'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}1$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type\nmesure la dispersion et vaut ici $0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : $0{,}9 = 1 - p$ intervient dans\nle calcul, elle n'en est pas le résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1 - p)$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance\nlivre donc directement le paramètre."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut\n$0{,}36$. Que vaut son écart-type ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}48$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc\n$p = 0{,}36$, et $\\sigma = \\sqrt{0{,}36 \\times 0{,}64} = 0{,}48$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2304$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}2304$ est la variance $p(1 - p)$, dont\nl'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}48$."
            },
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}36$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type\nmesure la dispersion et vaut ici $0{,}48$."
            },
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : $0{,}64 = 1 - p$ intervient dans\nle calcul, elle n'en est pas le résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1 - p)$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance\nlivre donc directement le paramètre."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut\n$0{,}02$. Que vaut son écart-type ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc\n$p = 0{,}02$, et $\\sigma = \\sqrt{0{,}02 \\times 0{,}98} = 0{,}14$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0196$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}0196$ est la variance $p(1 - p)$, dont\nl'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}14$."
            },
            {
              "text": "$0{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}02$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type\nmesure la dispersion et vaut ici $0{,}14$."
            },
            {
              "text": "$0{,}98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec recopiée : $0{,}98 = 1 - p$ intervient dans\nle calcul, elle n'en est pas le résultat."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1 - p)$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance\nlivre donc directement le paramètre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pascal",
        "coefficients"
      ],
      "title": "Compter les chemins d'un arbre",
      "partie": "lois",
      "statement": "Dans un schéma de Bernoulli comportant $6$ épreuves, combien de\nchemins de l'arbre réalisent exactement $2$ succès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial\n$\\dbinom{6}{2} = 15$, lu sur la ligne $6$ du\ntriangle de Pascal."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit improvisé : $6 \\times 2$ ne compte rien ici. Le\nnombre de chemins est $\\dbinom{6}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une\naddition. Le compte exact vaut $15$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les chemins comptés : $2^{6} = 64$ est le nombre\ntotal de chemins, tous nombres de succès confondus."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient binomial $\\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de\nl'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui\nqui apparaît dans $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un schéma de Bernoulli comportant $6$ épreuves, combien de\nchemins de l'arbre réalisent exactement $2$ succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial\n$\\dbinom{6}{2} = 15$, lu sur la ligne $6$ du\ntriangle de Pascal."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit improvisé : $6 \\times 2$ ne compte rien ici. Le\nnombre de chemins est $\\dbinom{6}{2} = 15$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une\naddition. Le compte exact vaut $15$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les chemins comptés : $2^{6} = 64$ est le nombre\ntotal de chemins, tous nombres de succès confondus."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient binomial $\\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de\nl'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui\nqui apparaît dans $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un schéma de Bernoulli comportant $7$ épreuves, combien de\nchemins de l'arbre réalisent exactement $2$ succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial\n$\\dbinom{7}{2} = 21$, lu sur la ligne $7$ du\ntriangle de Pascal."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit improvisé : $7 \\times 2$ ne compte rien ici. Le\nnombre de chemins est $\\dbinom{7}{2} = 21$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une\naddition. Le compte exact vaut $21$."
            },
            {
              "text": "$128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les chemins comptés : $2^{7} = 128$ est le nombre\ntotal de chemins, tous nombres de succès confondus."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient binomial $\\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de\nl'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui\nqui apparaît dans $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un schéma de Bernoulli comportant $6$ épreuves, combien de\nchemins de l'arbre réalisent exactement $3$ succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial\n$\\dbinom{6}{3} = 20$, lu sur la ligne $6$ du\ntriangle de Pascal."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit improvisé : $6 \\times 3$ ne compte rien ici. Le\nnombre de chemins est $\\dbinom{6}{3} = 20$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une\naddition. Le compte exact vaut $20$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les chemins comptés : $2^{6} = 64$ est le nombre\ntotal de chemins, tous nombres de succès confondus."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient binomial $\\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de\nl'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui\nqui apparaît dans $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un schéma de Bernoulli comportant $7$ épreuves, combien de\nchemins de l'arbre réalisent exactement $3$ succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial\n$\\dbinom{7}{3} = 35$, lu sur la ligne $7$ du\ntriangle de Pascal."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit improvisé : $7 \\times 3$ ne compte rien ici. Le\nnombre de chemins est $\\dbinom{7}{3} = 35$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une\naddition. Le compte exact vaut $35$."
            },
            {
              "text": "$128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tous les chemins comptés : $2^{7} = 128$ est le nombre\ntotal de chemins, tous nombres de succès confondus."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient binomial $\\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de\nl'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui\nqui apparaît dans $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraire",
        "au-moins-un-succes"
      ],
      "title": "Au moins deux succès",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X$ une variable suivant une loi binomiale. Comment exprimer\n$P(X \\geq 2)$ en passant par l'événement contraire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - P(X = 0) - P(X = 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « $X \\geq 2$ » est\n« $X \\leq 1$ », qui réunit $X = 0$ et $X = 1$."
        },
        {
          "text": "$1 - P(X = 0) + P(X = 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe fautif : les deux probabilités du contraire se retranchent\ntoutes les deux, elles ne s'ajoutent pas."
        },
        {
          "text": "$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement mal décrit : cette somme vaut $P(X \\leq 2)$, donc à\npeu près l'inverse de ce qui est demandé."
        },
        {
          "text": "$1 - P(X = 1) - P(X = 2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs mal choisies : le contraire contient $X = 0$ et\n$X = 1$ ; la valeur $X = 2$ en est exclue."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité du type « au moins $k$ » se calcule par le\ncontraire : on retranche à $1$ les probabilités des valeurs\nstrictement inférieures à $k$, en nombre fini et petit."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "binomiale-zero"
      ],
      "title": "Ne jamais gagner",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "À chaque partie d'un jeu, on gagne avec la probabilité $0{,}2$. La\nprobabilité de ne gagner aucune fois en $n$ parties vaut\n$0{,}8^n$. Que devient-elle lorsque $n$ augmente ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle diminue et se rapproche de $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $0{,}8$ à chaque partie\nsupplémentaire fait décroître la probabilité vers $0$."
        },
        {
          "text": "Elle augmente et se rapproche de $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est la probabilité de gagner au moins une\nfois, soit $1 - 0{,}8^n$, qui se rapproche de $1$."
        },
        {
          "text": "Elle reste toujours égale à $0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant ignoré : $0{,}8$ vaut pour une seule partie ; les\nparties suivantes multiplient encore par $0{,}8$."
        },
        {
          "text": "Elle diminue et se stabilise à $0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'arrête la décroissance à $0{,}2$, qui est la\nprobabilité de gagner une partie donnée."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi binomiale, $P(X = 0) = (1 - p)^n$. Comme $1 - p < 1$,\ncette quantité décroît vers $0$ : plus on répète l'épreuve, plus il\ndevient improbable de n'obtenir aucun succès."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "geometrique-esperance"
      ],
      "title": "Retrouver la probabilité de succès",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en\nmoyenne $25$ essais pour l'obtenir. Quelle est la\nprobabilité de succès à chaque essai ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{p}$, donc\n$p = \\dfrac{1}{25} = 0{,}04$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Attente recopiée : $25$ est un nombre d'essais, une\nprobabilité ne peut pas dépasser $1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité\nest un inverse, pas un pourcentage."
        },
        {
          "text": "$0{,}96$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'échec calculée : $0{,}96$ vaut\n$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. La relation se lit\ndans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond\nà une probabilité de succès de $0{,}1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en\nmoyenne $25$ essais pour l'obtenir. Quelle est la\nprobabilité de succès à chaque essai ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{p}$, donc\n$p = \\dfrac{1}{25} = 0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attente recopiée : $25$ est un nombre d'essais, une\nprobabilité ne peut pas dépasser $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité\nest un inverse, pas un pourcentage."
            },
            {
              "text": "$0{,}96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec calculée : $0{,}96$ vaut\n$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. La relation se lit\ndans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond\nà une probabilité de succès de $0{,}1$."
        },
        {
          "statement": "On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en\nmoyenne $8$ essais pour l'obtenir. Quelle est la\nprobabilité de succès à chaque essai ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{p}$, donc\n$p = \\dfrac{1}{8} = 0{,}125$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attente recopiée : $8$ est un nombre d'essais, une\nprobabilité ne peut pas dépasser $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité\nest un inverse, pas un pourcentage."
            },
            {
              "text": "$0{,}875$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec calculée : $0{,}875$ vaut\n$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. La relation se lit\ndans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond\nà une probabilité de succès de $0{,}1$."
        },
        {
          "statement": "On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en\nmoyenne $20$ essais pour l'obtenir. Quelle est la\nprobabilité de succès à chaque essai ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{p}$, donc\n$p = \\dfrac{1}{20} = 0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attente recopiée : $20$ est un nombre d'essais, une\nprobabilité ne peut pas dépasser $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité\nest un inverse, pas un pourcentage."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec calculée : $0{,}95$ vaut\n$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. La relation se lit\ndans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond\nà une probabilité de succès de $0{,}1$."
        },
        {
          "statement": "On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en\nmoyenne $5$ essais pour l'obtenir. Quelle est la\nprobabilité de succès à chaque essai ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $\\dfrac{1}{p}$, donc\n$p = \\dfrac{1}{5} = 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attente recopiée : $5$ est un nombre d'essais, une\nprobabilité ne peut pas dépasser $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité\nest un inverse, pas un pourcentage."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'échec calculée : $0{,}8$ vaut\n$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. La relation se lit\ndans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond\nà une probabilité de succès de $0{,}1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique-survie",
        "cumul"
      ],
      "title": "Réussir avant un rang donné",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}25$ jusqu'au\npremier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès\nsurvienne au plus tard au rang $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}5781$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « les $3$ premiers essais\néchouent », de probabilité $0{,}75^{3} = 0{,}4219$,\nd'où $1 - 0{,}4219 = 0{,}5781$."
        },
        {
          "text": "$0{,}4219$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : $0{,}4219$ est la probabilité que\nles $3$ premiers essais échouent tous."
        },
        {
          "text": "$0{,}0156$",
          "correct": false,
          "feedback": "Succès enchaînés : $0{,}25^{3}$ décrit $3$ réussites\nconsécutives, une situation très différente."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc\n$P(X \\leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne\npas avoir enchaîné $n$ échecs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}25$ jusqu'au\npremier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès\nsurvienne au plus tard au rang $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5781$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « les $3$ premiers essais\néchouent », de probabilité $0{,}75^{3} = 0{,}4219$,\nd'où $1 - 0{,}4219 = 0{,}5781$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4219$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}4219$ est la probabilité que\nles $3$ premiers essais échouent tous."
            },
            {
              "text": "$0{,}0156$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès enchaînés : $0{,}25^{3}$ décrit $3$ réussites\nconsécutives, une situation très différente."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc\n$P(X \\leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne\npas avoir enchaîné $n$ échecs."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}2$ jusqu'au\npremier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès\nsurvienne au plus tard au rang $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5904$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « les $4$ premiers essais\néchouent », de probabilité $0{,}8^{4} = 0{,}4096$,\nd'où $1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4096$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}4096$ est la probabilité que\nles $4$ premiers essais échouent tous."
            },
            {
              "text": "$0{,}0016$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès enchaînés : $0{,}2^{4}$ décrit $4$ réussites\nconsécutives, une situation très différente."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc\n$P(X \\leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne\npas avoir enchaîné $n$ échecs."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}4$ jusqu'au\npremier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès\nsurvienne au plus tard au rang $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}784$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « les $3$ premiers essais\néchouent », de probabilité $0{,}6^{3} = 0{,}216$,\nd'où $1 - 0{,}216 = 0{,}784$."
            },
            {
              "text": "$0{,}216$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}216$ est la probabilité que\nles $3$ premiers essais échouent tous."
            },
            {
              "text": "$0{,}064$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès enchaînés : $0{,}4^{3}$ décrit $3$ réussites\nconsécutives, une situation très différente."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc\n$P(X \\leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne\npas avoir enchaîné $n$ échecs."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}3$ jusqu'au\npremier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès\nsurvienne au plus tard au rang $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}51$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « les $2$ premiers essais\néchouent », de probabilité $0{,}7^{2} = 0{,}49$,\nd'où $1 - 0{,}49 = 0{,}51$."
            },
            {
              "text": "$0{,}49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}49$ est la probabilité que\nles $2$ premiers essais échouent tous."
            },
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": false,
              "feedback": "Succès enchaînés : $0{,}3^{2}$ décrit $2$ réussites\nconsécutives, une situation très différente."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc\n$P(X \\leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne\npas avoir enchaîné $n$ échecs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Retrouver le paramètre d'une binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $20$ et de\nvariance $16$. Que vaut son paramètre $p$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np} =\n1 - p$, donc $1 - p = 0{,}8$ et $p = 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut\n$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$."
        },
        {
          "text": "$1{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas faire."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart-type calculé : $\\sqrt{16} = 4$ mesure la\ndispersion, ce n'est pas le paramètre $p$."
        }
      ],
      "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire\n$\\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.\nLes deux formules déterminent ainsi complètement la loi.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $20$ et de\nvariance $16$. Que vaut son paramètre $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np} =\n1 - p$, donc $1 - p = 0{,}8$ et $p = 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut\n$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas faire."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type calculé : $\\sqrt{16} = 4$ mesure la\ndispersion, ce n'est pas le paramètre $p$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire\n$\\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.\nLes deux formules déterminent ainsi complètement la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $12$ et de\nvariance $9$. Que vaut son paramètre $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np} =\n1 - p$, donc $1 - p = 0{,}75$ et $p = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut\n$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}3333$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas faire."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type calculé : $\\sqrt{9} = 3$ mesure la\ndispersion, ce n'est pas le paramètre $p$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire\n$\\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.\nLes deux formules déterminent ainsi complètement la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $60$ et de\nvariance $36$. Que vaut son paramètre $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np} =\n1 - p$, donc $1 - p = 0{,}6$ et $p = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut\n$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}6667$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas faire."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type calculé : $\\sqrt{36} = 6$ mesure la\ndispersion, ce n'est pas le paramètre $p$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire\n$\\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.\nLes deux formules déterminent ainsi complètement la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $36$ et de\nvariance $9$. Que vaut son paramètre $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np} =\n1 - p$, donc $1 - p = 0{,}25$ et $p = 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut\n$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une\nprobabilité ne peut pas faire."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type calculé : $\\sqrt{9} = 3$ mesure la\ndispersion, ce n'est pas le paramètre $p$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire\n$\\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.\nLes deux formules déterminent ainsi complètement la loi."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "intervalle",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Probabilité sur un intervalle",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne\n$P(X \\leq 3) = 0{,}12$ et $P(X \\leq 8) = 0{,}8$.\nQue vaut $P(4 \\leq X \\leq 8)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}68$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on retire de $P(X \\leq 8)$ les valeurs\ninférieures à $4$, c'est-à-dire $P(X \\leq 3)$, d'où\n$0{,}8 - 0{,}12 = 0{,}68$."
        },
        {
          "text": "$0{,}92$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}12$\nsont déjà comprises dans $0{,}8$, il faut les retirer."
        },
        {
          "text": "$-0{,}68$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être\nnégative, l'ordre des deux termes est à revoir."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre événement : ce calcul donne $P(X > 8)$ et laisse de\ncôté toute la partie basse de l'intervalle."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une variable à valeurs entières,\n$P(a \\leq X \\leq b) = P(X \\leq b) - P(X \\leq a - 1)$. Le piège est\nla borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne\n$P(X \\leq 3) = 0{,}12$ et $P(X \\leq 8) = 0{,}8$.\nQue vaut $P(4 \\leq X \\leq 8)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}68$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retire de $P(X \\leq 8)$ les valeurs\ninférieures à $4$, c'est-à-dire $P(X \\leq 3)$, d'où\n$0{,}8 - 0{,}12 = 0{,}68$."
            },
            {
              "text": "$0{,}92$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}12$\nsont déjà comprises dans $0{,}8$, il faut les retirer."
            },
            {
              "text": "$-0{,}68$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être\nnégative, l'ordre des deux termes est à revoir."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Autre événement : ce calcul donne $P(X > 8)$ et laisse de\ncôté toute la partie basse de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une variable à valeurs entières,\n$P(a \\leq X \\leq b) = P(X \\leq b) - P(X \\leq a - 1)$. Le piège est\nla borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$."
        },
        {
          "statement": "Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne\n$P(X \\leq 2) = 0{,}09$ et $P(X \\leq 7) = 0{,}74$.\nQue vaut $P(3 \\leq X \\leq 7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retire de $P(X \\leq 7)$ les valeurs\ninférieures à $3$, c'est-à-dire $P(X \\leq 2)$, d'où\n$0{,}74 - 0{,}09 = 0{,}65$."
            },
            {
              "text": "$0{,}83$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}09$\nsont déjà comprises dans $0{,}74$, il faut les retirer."
            },
            {
              "text": "$-0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être\nnégative, l'ordre des deux termes est à revoir."
            },
            {
              "text": "$0{,}26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Autre événement : ce calcul donne $P(X > 7)$ et laisse de\ncôté toute la partie basse de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une variable à valeurs entières,\n$P(a \\leq X \\leq b) = P(X \\leq b) - P(X \\leq a - 1)$. Le piège est\nla borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$."
        },
        {
          "statement": "Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne\n$P(X \\leq 4) = 0{,}2$ et $P(X \\leq 9) = 0{,}91$.\nQue vaut $P(5 \\leq X \\leq 9)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}71$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retire de $P(X \\leq 9)$ les valeurs\ninférieures à $5$, c'est-à-dire $P(X \\leq 4)$, d'où\n$0{,}91 - 0{,}2 = 0{,}71$."
            },
            {
              "text": "$1{,}11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}2$\nsont déjà comprises dans $0{,}91$, il faut les retirer."
            },
            {
              "text": "$-0{,}71$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être\nnégative, l'ordre des deux termes est à revoir."
            },
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": false,
              "feedback": "Autre événement : ce calcul donne $P(X > 9)$ et laisse de\ncôté toute la partie basse de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une variable à valeurs entières,\n$P(a \\leq X \\leq b) = P(X \\leq b) - P(X \\leq a - 1)$. Le piège est\nla borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$."
        },
        {
          "statement": "Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne\n$P(X \\leq 1) = 0{,}05$ et $P(X \\leq 6) = 0{,}83$.\nQue vaut $P(2 \\leq X \\leq 6)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}78$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retire de $P(X \\leq 6)$ les valeurs\ninférieures à $2$, c'est-à-dire $P(X \\leq 1)$, d'où\n$0{,}83 - 0{,}05 = 0{,}78$."
            },
            {
              "text": "$0{,}88$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}05$\nsont déjà comprises dans $0{,}83$, il faut les retirer."
            },
            {
              "text": "$-0{,}78$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être\nnégative, l'ordre des deux termes est à revoir."
            },
            {
              "text": "$0{,}17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Autre événement : ce calcul donne $P(X > 6)$ et laisse de\ncôté toute la partie basse de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une variable à valeurs entières,\n$P(a \\leq X \\leq b) = P(X \\leq b) - P(X \\leq a - 1)$. Le piège est\nla borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "choisir-binomiale-geometrique",
        "synthese"
      ],
      "title": "Deux espérances dans un même contexte",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Un standard téléphonique décroche un appel sur $4$. On note $X$\nle nombre d'appels décrochés sur $20$ appels passés et $Y$ le rang\ndu premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 5$ ;\n$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \\dfrac{1}{p} = 4$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 4$ et $E(Y) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et\n$\\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de\n$20$, elle vaut $\\dfrac{1}{p} = 4$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 4$ et $E(Y) = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent\ndes lois différentes, donc $E(X) = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un\nnombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;\nattendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance\n$\\dfrac{1}{p}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un standard téléphonique décroche un appel sur $4$. On note $X$\nle nombre d'appels décrochés sur $20$ appels passés et $Y$ le rang\ndu premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 5$ ;\n$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \\dfrac{1}{p} = 4$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 4$ et $E(Y) = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et\n$\\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de\n$20$, elle vaut $\\dfrac{1}{p} = 4$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 4$ et $E(Y) = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent\ndes lois différentes, donc $E(X) = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un\nnombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;\nattendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance\n$\\dfrac{1}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un standard téléphonique décroche un appel sur $5$. On note $X$\nle nombre d'appels décrochés sur $40$ appels passés et $Y$ le rang\ndu premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$E(X) = 8$ et $E(Y) = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 8$ ;\n$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \\dfrac{1}{p} = 5$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et\n$\\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 8$ et $E(Y) = 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de\n$40$, elle vaut $\\dfrac{1}{p} = 5$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent\ndes lois différentes, donc $E(X) = 8$."
            }
          ],
          "explanation": "Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un\nnombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;\nattendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance\n$\\dfrac{1}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un standard téléphonique décroche un appel sur $3$. On note $X$\nle nombre d'appels décrochés sur $21$ appels passés et $Y$ le rang\ndu premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$E(X) = 7$ et $E(Y) = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 7$ ;\n$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \\dfrac{1}{p} = 3$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 3$ et $E(Y) = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et\n$\\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 7$ et $E(Y) = 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de\n$21$, elle vaut $\\dfrac{1}{p} = 3$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 3$ et $E(Y) = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent\ndes lois différentes, donc $E(X) = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un\nnombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;\nattendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance\n$\\dfrac{1}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un standard téléphonique décroche un appel sur $6$. On note $X$\nle nombre d'appels décrochés sur $30$ appels passés et $Y$ le rang\ndu premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 5$ ;\n$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \\dfrac{1}{p} = 6$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 6$ et $E(Y) = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et\n$\\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 5$ et $E(Y) = 30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de\n$30$, elle vaut $\\dfrac{1}{p} = 6$."
            },
            {
              "text": "$E(X) = 6$ et $E(Y) = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent\ndes lois différentes, donc $E(X) = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un\nnombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;\nattendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance\n$\\dfrac{1}{p}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "esperance"
      ],
      "title": "Répondre au hasard à un questionnaire",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Un questionnaire comporte $20$ questions proposant chacune quatre\nréponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement\nau hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi\nbinomiale de paramètres $20$ et $0{,}25$, d'espérance\n$20 \\times 0{,}25 = 5$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit\naucune bonne réponse, et encore moins toutes."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,\nla probabilité de réussite est $0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité recopiée : $\\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question\nisolée ; les $20$ questions se cumulent."
        }
      ],
      "explanation": "Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves\nindépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi\nbinomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un questionnaire comporte $20$ questions proposant chacune quatre\nréponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement\nau hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi\nbinomiale de paramètres $20$ et $0{,}25$, d'espérance\n$20 \\times 0{,}25 = 5$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit\naucune bonne réponse, et encore moins toutes."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,\nla probabilité de réussite est $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : $\\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question\nisolée ; les $20$ questions se cumulent."
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves\nindépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi\nbinomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée."
        },
        {
          "statement": "Un questionnaire comporte $32$ questions proposant chacune quatre\nréponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement\nau hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi\nbinomiale de paramètres $32$ et $0{,}25$, d'espérance\n$32 \\times 0{,}25 = 8$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit\naucune bonne réponse, et encore moins toutes."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,\nla probabilité de réussite est $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : $\\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question\nisolée ; les $32$ questions se cumulent."
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves\nindépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi\nbinomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée."
        },
        {
          "statement": "Un questionnaire comporte $12$ questions proposant chacune quatre\nréponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement\nau hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi\nbinomiale de paramètres $12$ et $0{,}25$, d'espérance\n$12 \\times 0{,}25 = 3$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit\naucune bonne réponse, et encore moins toutes."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,\nla probabilité de réussite est $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : $\\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question\nisolée ; les $12$ questions se cumulent."
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves\nindépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi\nbinomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée."
        },
        {
          "statement": "Un questionnaire comporte $16$ questions proposant chacune quatre\nréponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement\nau hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi\nbinomiale de paramètres $16$ et $0{,}25$, d'espérance\n$16 \\times 0{,}25 = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit\naucune bonne réponse, et encore moins toutes."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,\nla probabilité de réussite est $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité recopiée : $\\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question\nisolée ; les $16$ questions se cumulent."
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves\nindépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi\nbinomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "lois-discretes",
        "choix"
      ],
      "title": "Une loi aux valeurs non bornées",
      "partie": "lois",
      "statement": "Parmi les lois discrètes du programme, laquelle peut prendre une\ninfinité de valeurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "La loi géométrique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès n'est pas borné, il\npeut valoir $1$, $2$, $3$ et ainsi de suite sans limite."
        },
        {
          "text": "La loi binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre de succès va de $0$ à $n$, soit $n + 1$\nvaleurs possibles seulement."
        },
        {
          "text": "La loi uniforme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle est définie sur un ensemble fini de valeurs,\ntoutes de même probabilité."
        },
        {
          "text": "La loi de Bernoulli",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une variable de Bernoulli ne prend que deux valeurs,\n$0$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Uniforme, Bernoulli et binomiale portent sur un nombre fini de\nvaleurs. Seule la loi géométrique décrit une attente qui peut\ndurer indéfiniment, avec des probabilités décroissant très vite."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "symetrie",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Symétrie d'une binomiale équilibrée",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité\n$P(X = 3)$ est-elle égale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X = 7)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne\nchange rien, et $\\dbinom{10}{3} = \\dbinom{10}{7}$."
        },
        {
          "text": "$P(X = 10)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne haute prise : $P(X = 10)$ correspond à $10$ succès, la\nvaleur la moins probable de toutes."
        },
        {
          "text": "$P(X = 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison\nd'avoir la même probabilité."
        },
        {
          "text": "$P(X = 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur centrale prise : $5$ est la valeur la plus\nprobable, elle ne s'apparie avec aucune autre."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :\n$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$\net les deux puissances de $0{,}5$ coïncident.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité\n$P(X = 3)$ est-elle égale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(X = 7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne\nchange rien, et $\\dbinom{10}{3} = \\dbinom{10}{7}$."
            },
            {
              "text": "$P(X = 10)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne haute prise : $P(X = 10)$ correspond à $10$ succès, la\nvaleur la moins probable de toutes."
            },
            {
              "text": "$P(X = 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison\nd'avoir la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$P(X = 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur centrale prise : $5$ est la valeur la plus\nprobable, elle ne s'apparie avec aucune autre."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :\n$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$\net les deux puissances de $0{,}5$ coïncident."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(8\\,;\\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité\n$P(X = 2)$ est-elle égale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(X = 6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne\nchange rien, et $\\dbinom{8}{2} = \\dbinom{8}{6}$."
            },
            {
              "text": "$P(X = 8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne haute prise : $P(X = 8)$ correspond à $8$ succès, la\nvaleur la moins probable de toutes."
            },
            {
              "text": "$P(X = 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison\nd'avoir la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$P(X = 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur centrale prise : $4$ est la valeur la plus\nprobable, elle ne s'apparie avec aucune autre."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :\n$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$\net les deux puissances de $0{,}5$ coïncident."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(12\\,;\\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité\n$P(X = 4)$ est-elle égale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(X = 8)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne\nchange rien, et $\\dbinom{12}{4} = \\dbinom{12}{8}$."
            },
            {
              "text": "$P(X = 12)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne haute prise : $P(X = 12)$ correspond à $12$ succès, la\nvaleur la moins probable de toutes."
            },
            {
              "text": "$P(X = 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison\nd'avoir la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$P(X = 6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur centrale prise : $6$ est la valeur la plus\nprobable, elle ne s'apparie avec aucune autre."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :\n$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$\net les deux puissances de $0{,}5$ coïncident."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(13\\,;\\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité\n$P(X = 4)$ est-elle égale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(X = 9)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne\nchange rien, et $\\dbinom{13}{4} = \\dbinom{13}{9}$."
            },
            {
              "text": "$P(X = 13)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne haute prise : $P(X = 13)$ correspond à $13$ succès, la\nvaleur la moins probable de toutes."
            },
            {
              "text": "$P(X = 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison\nd'avoir la même probabilité."
            },
            {
              "text": "$P(X = 6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur centrale prise : $6$ est la valeur la plus\nprobable, elle ne s'apparie avec aucune autre."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :\n$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$\net les deux puissances de $0{,}5$ coïncident."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "definition"
      ],
      "title": "Valeurs prises par une binomiale",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(12\\,;\\,0{,}3)$. Combien de valeurs différentes $X$\npeut-elle prendre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $12$, ce qui\nfait $12 + 1 = 13$ valeurs."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce\nqui ajoute une valeur au compte."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$\nn'en retient que le nombre de succès."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $12$ incluses,\nsoit $13$ en tout."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières\nde $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas\ncet ensemble, seulement les probabilités.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(12\\,;\\,0{,}3)$. Combien de valeurs différentes $X$\npeut-elle prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $12$, ce qui\nfait $12 + 1 = 13$ valeurs."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce\nqui ajoute une valeur au compte."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$\nn'en retient que le nombre de succès."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $12$ incluses,\nsoit $13$ en tout."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières\nde $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas\ncet ensemble, seulement les probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}1)$. Combien de valeurs différentes $X$\npeut-elle prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $20$, ce qui\nfait $20 + 1 = 21$ valeurs."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce\nqui ajoute une valeur au compte."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$\nn'en retient que le nombre de succès."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $20$ incluses,\nsoit $21$ en tout."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières\nde $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas\ncet ensemble, seulement les probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(7\\,;\\,0{,}5)$. Combien de valeurs différentes $X$\npeut-elle prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $7$, ce qui\nfait $7 + 1 = 8$ valeurs."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce\nqui ajoute une valeur au compte."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$\nn'en retient que le nombre de succès."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $7$ incluses,\nsoit $8$ en tout."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières\nde $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas\ncet ensemble, seulement les probabilités."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(15\\,;\\,0{,}2)$. Combien de valeurs différentes $X$\npeut-elle prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $15$, ce qui\nfait $15 + 1 = 16$ valeurs."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce\nqui ajoute une valeur au compte."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$\nn'en retient que le nombre de succès."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $15$ incluses,\nsoit $16$ en tout."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières\nde $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas\ncet ensemble, seulement les probabilités."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "uniforme",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance sur des valeurs décalées",
      "partie": "lois",
      "statement": "Une roue porte les numéros entiers de $4$ à $12$, tous\néquiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc\nla moyenne est celle des extrêmes :\n$\\dfrac{4 + 12}{2} = 8$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Différence au lieu d'une somme : $4$ mesure la\nmoitié de l'étendue, pas la position du centre."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à\n$4$, ce qui décale la moyenne vers le haut."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de secteurs calculé : $9$ compte les numéros\nprésents, il ne dit rien de leur moyenne."
        }
      ],
      "explanation": "Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,\nl'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas\n$\\{1, \\ldots, n\\}$, d'espérance $\\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas\nparticulier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une roue porte les numéros entiers de $4$ à $12$, tous\néquiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc\nla moyenne est celle des extrêmes :\n$\\dfrac{4 + 12}{2} = 8$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence au lieu d'une somme : $4$ mesure la\nmoitié de l'étendue, pas la position du centre."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à\n$4$, ce qui décale la moyenne vers le haut."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de secteurs calculé : $9$ compte les numéros\nprésents, il ne dit rien de leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,\nl'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas\n$\\{1, \\ldots, n\\}$, d'espérance $\\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas\nparticulier."
        },
        {
          "statement": "Une roue porte les numéros entiers de $3$ à $9$, tous\néquiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc\nla moyenne est celle des extrêmes :\n$\\dfrac{3 + 9}{2} = 6$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence au lieu d'une somme : $3$ mesure la\nmoitié de l'étendue, pas la position du centre."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à\n$3$, ce qui décale la moyenne vers le haut."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de secteurs calculé : $7$ compte les numéros\nprésents, il ne dit rien de leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,\nl'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas\n$\\{1, \\ldots, n\\}$, d'espérance $\\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas\nparticulier."
        },
        {
          "statement": "Une roue porte les numéros entiers de $5$ à $15$, tous\néquiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc\nla moyenne est celle des extrêmes :\n$\\dfrac{5 + 15}{2} = 10$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence au lieu d'une somme : $5$ mesure la\nmoitié de l'étendue, pas la position du centre."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{15}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à\n$5$, ce qui décale la moyenne vers le haut."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de secteurs calculé : $11$ compte les numéros\nprésents, il ne dit rien de leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,\nl'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas\n$\\{1, \\ldots, n\\}$, d'espérance $\\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas\nparticulier."
        },
        {
          "statement": "Une roue porte les numéros entiers de $1$ à $13$, tous\néquiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc\nla moyenne est celle des extrêmes :\n$\\dfrac{1 + 13}{2} = 7$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence au lieu d'une somme : $6$ mesure la\nmoitié de l'étendue, pas la position du centre."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{13}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à\n$1$, ce qui décale la moyenne vers le haut."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de secteurs calculé : $13$ compte les numéros\nprésents, il ne dit rien de leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,\nl'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas\n$\\{1, \\ldots, n\\}$, d'espérance $\\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas\nparticulier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-binomiale",
        "esperance"
      ],
      "title": "Nombre moyen de succès",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}4)$. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \\times 0{,}4 = 20$."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une\nproportion $0{,}4$ seulement l'est en moyenne."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variance calculée : $np(1 - p) = 12$ mesure la\ndispersion, pas la valeur moyenne."
        },
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Paramètre recopié : $0{,}4$ est l'espérance d'une seule épreuve ;\nsur $50$ répétitions, elle est multipliée par $50$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves\nmultiplié par la probabilité de succès. Formule admise au\nprogramme, et cohérente avec l'intuition de la proportion.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}4)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \\times 0{,}4 = 20$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une\nproportion $0{,}4$ seulement l'est en moyenne."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance calculée : $np(1 - p) = 12$ mesure la\ndispersion, pas la valeur moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : $0{,}4$ est l'espérance d'une seule épreuve ;\nsur $50$ répétitions, elle est multipliée par $50$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves\nmultiplié par la probabilité de succès. Formule admise au\nprogramme, et cohérente avec l'intuition de la proportion."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(30\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 30 \\times 0{,}2 = 6$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une\nproportion $0{,}2$ seulement l'est en moyenne."
            },
            {
              "text": "$4{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance calculée : $np(1 - p) = 4{,}8$ mesure la\ndispersion, pas la valeur moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : $0{,}2$ est l'espérance d'une seule épreuve ;\nsur $30$ répétitions, elle est multipliée par $30$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves\nmultiplié par la probabilité de succès. Formule admise au\nprogramme, et cohérente avec l'intuition de la proportion."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(80\\,;\\,0{,}15)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 80 \\times 0{,}15 = 12$."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une\nproportion $0{,}15$ seulement l'est en moyenne."
            },
            {
              "text": "$10{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance calculée : $np(1 - p) = 10{,}2$ mesure la\ndispersion, pas la valeur moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : $0{,}15$ est l'espérance d'une seule épreuve ;\nsur $80$ répétitions, elle est multipliée par $80$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves\nmultiplié par la probabilité de succès. Formule admise au\nprogramme, et cohérente avec l'intuition de la proportion."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit la loi binomiale\n$\\mathcal{B}(60\\,;\\,0{,}35)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 60 \\times 0{,}35 = 21$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une\nproportion $0{,}35$ seulement l'est en moyenne."
            },
            {
              "text": "$13{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance calculée : $np(1 - p) = 13{,}65$ mesure la\ndispersion, pas la valeur moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Paramètre recopié : $0{,}35$ est l'espérance d'une seule épreuve ;\nsur $60$ répétitions, elle est multipliée par $60$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves\nmultiplié par la probabilité de succès. Formule admise au\nprogramme, et cohérente avec l'intuition de la proportion."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficients"
      ],
      "title": "Le premier coefficient d'une ligne",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Chaque ligne du triangle de Pascal commence par le coefficient\n$\\dbinom{n}{0}$. Quelle égalité est exacte pour tout entier $n$\nsupérieur ou égal à $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{0} = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il existe une seule façon de n'obtenir aucun\nsuccès, le chemin où toutes les épreuves échouent."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{0} = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : « aucun succès » n'est pas « aucune possibilité ».\nCe cas existe, et d'une seule manière."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{0} = n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient voisin : $n$ est la valeur de $\\dbinom{n}{1}$, le\nnombre de chemins à exactement un succès."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{0} = n + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n + 1$ est le nombre de coefficients de la ligne,\nde $\\dbinom{n}{0}$ à $\\dbinom{n}{n}$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque ligne du triangle de Pascal commence et finit par $1$ :\n$\\dbinom{n}{0} = \\dbinom{n}{n} = 1$. Dans la formule binomiale, ce\ncoefficient donne $P(X = 0) = (1 - p)^n$."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Réussir au deuxième essai",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}3$ à chaque tir,\nindépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il\natteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}21$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité\n$0{,}7$, puis le second réussit :\n$0{,}7 \\times 0{,}3 = 0{,}21$."
        },
        {
          "text": "$0{,}09$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux réussites comptées : $0{,}3 \\times 0{,}3$ décrit deux tirs\nréussis, alors que le premier doit manquer."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second tir oublié : $0{,}7$ ne décrit que l'échec du premier\ntir, il reste à réussir le second."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,\ncela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}3$ à chaque tir,\nindépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il\natteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité\n$0{,}7$, puis le second réussit :\n$0{,}7 \\times 0{,}3 = 0{,}21$."
            },
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux réussites comptées : $0{,}3 \\times 0{,}3$ décrit deux tirs\nréussis, alors que le premier doit manquer."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second tir oublié : $0{,}7$ ne décrit que l'échec du premier\ntir, il reste à réussir le second."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,\ncela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$."
        },
        {
          "statement": "Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}25$ à chaque tir,\nindépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il\natteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}1875$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité\n$0{,}75$, puis le second réussit :\n$0{,}75 \\times 0{,}25 = 0{,}1875$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux réussites comptées : $0{,}25 \\times 0{,}25$ décrit deux tirs\nréussis, alors que le premier doit manquer."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second tir oublié : $0{,}75$ ne décrit que l'échec du premier\ntir, il reste à réussir le second."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,\ncela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$."
        },
        {
          "statement": "Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}4$ à chaque tir,\nindépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il\natteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité\n$0{,}6$, puis le second réussit :\n$0{,}6 \\times 0{,}4 = 0{,}24$."
            },
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux réussites comptées : $0{,}4 \\times 0{,}4$ décrit deux tirs\nréussis, alors que le premier doit manquer."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second tir oublié : $0{,}6$ ne décrit que l'échec du premier\ntir, il reste à réussir le second."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,\ncela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$."
        },
        {
          "statement": "Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}35$ à chaque tir,\nindépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il\natteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2275$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité\n$0{,}65$, puis le second réussit :\n$0{,}65 \\times 0{,}35 = 0{,}2275$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux réussites comptées : $0{,}35 \\times 0{,}35$ décrit deux tirs\nréussis, alors que le premier doit manquer."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,\nleurs probabilités se multiplient."
            },
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second tir oublié : $0{,}65$ ne décrit que l'échec du premier\ntir, il reste à réussir le second."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,\ncela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "echantillon",
        "moyenne",
        "dispersion"
      ],
      "title": "Dispersion des moyennes d'échantillons",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Une variable aléatoire a pour écart type $\\sigma = 2$. On simule un\ngrand nombre d'échantillons de taille $n = 100$ et l'on calcule\nl'écart type $s$ de la série des moyennes. Autour de quelle valeur se\nsitue $s$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart type des moyennes est proche de\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\dfrac{2}{10}$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les moyennes d'échantillons fluctuent bien moins que les\nvaleurs individuelles."
        },
        {
          "text": "$0{,}02$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise $\\sigma$ par $\\sqrt{n} = 10$, pas par\n$n = 100$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart type diminue quand la taille de l'échantillon\naugmente, il ne se multiplie pas."
        }
      ],
      "explanation": "La simulation permet de constater que la moyenne d'un échantillon\nde taille $n$ fluctue avec un écart type voisin de\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parametres",
        "esperance",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Espérance d'une loi binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \\times 0{,}3 = 6$.\n"
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une\nproportion $p$ d'entre elles sont des succès.\n"
        },
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4{,}2$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre\nmoyen de succès.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur\n$n$ épreuves.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \\times 0{,}3 = 6$.\n"
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une\nproportion $p$ d'entre elles sont des succès.\n"
            },
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4{,}2$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}3$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre\nmoyen de succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur\n$n$ épreuves."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}1$.\nQue vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \\times 0{,}1 = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $50$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une\nproportion $p$ d'entre elles sont des succès.\n"
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4{,}5$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}1$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre\nmoyen de succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur\n$n$ épreuves."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0{,}25$.\nQue vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 40 \\times 0{,}25 = 10$.\n"
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $40$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une\nproportion $p$ d'entre elles sont des succès.\n"
            },
            {
              "text": "$7{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7{,}5$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}25$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre\nmoyen de succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur\n$n$ épreuves."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 60$ et $p = 0{,}15$.\nQue vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 60 \\times 0{,}15 = 9$.\n"
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $60$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une\nproportion $p$ d'entre elles sont des succès.\n"
            },
            {
              "text": "$7{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7{,}65$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}15$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre\nmoyen de succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur\n$n$ épreuves."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametres",
        "esperance",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Espérance d'une loi géométrique",
      "partie": "parametres",
      "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès\n$p = 0{,}2$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en\nmoyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$, soit $\\dfrac{1}{0{,}2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi\ngéométrique de paramètre $p$, d'espérance $\\dfrac{1}{p} = 5$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}2$, la probabilité du succès",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}8$, la probabilité d'un échec",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport\navec le nombre moyen d'épreuves.\n"
        },
        {
          "text": "$10$, deux fois $\\dfrac{1}{0{,}2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la\nformule.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. Plus le\nsuccès est rare, plus il faut attendre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès\n$p = 0{,}2$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en\nmoyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$, soit $\\dfrac{1}{0{,}2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi\ngéométrique de paramètre $p$, d'espérance $\\dfrac{1}{p} = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}2$, la probabilité du succès",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}8$, la probabilité d'un échec",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport\navec le nombre moyen d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$10$, deux fois $\\dfrac{1}{0{,}2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la\nformule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. Plus le\nsuccès est rare, plus il faut attendre."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès\n$p = 0{,}25$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en\nmoyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$, soit $\\dfrac{1}{0{,}25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi\ngéométrique de paramètre $p$, d'espérance $\\dfrac{1}{p} = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}25$, la probabilité du succès",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}25$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}75$, la probabilité d'un échec",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport\navec le nombre moyen d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$8$, deux fois $\\dfrac{1}{0{,}25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la\nformule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. Plus le\nsuccès est rare, plus il faut attendre."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès\n$p = 0{,}1$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en\nmoyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$, soit $\\dfrac{1}{0{,}1}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi\ngéométrique de paramètre $p$, d'espérance $\\dfrac{1}{p} = 10$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}1$, la probabilité du succès",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}1$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}9$, la probabilité d'un échec",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport\navec le nombre moyen d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$20$, deux fois $\\dfrac{1}{0{,}1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la\nformule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. Plus le\nsuccès est rare, plus il faut attendre."
        },
        {
          "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès\n$p = 0{,}4$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en\nmoyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}5$, soit $\\dfrac{1}{0{,}4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi\ngéométrique de paramètre $p$, d'espérance $\\dfrac{1}{p} = 2{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}4$, la probabilité du succès",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}6$, la probabilité d'un échec",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport\navec le nombre moyen d'épreuves.\n"
            },
            {
              "text": "$5$, deux fois $\\dfrac{1}{0{,}4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la\nformule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$. Plus le\nsuccès est rare, plus il faut attendre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametres",
        "variance",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Variance d'une loi binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 20 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7\n= 4{,}2$.\n"
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur\n$1 - p$.\n"
        },
        {
          "text": "$1{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est\n$1 - p$, pas $p$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la\nracine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.\nQue vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 20 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7\n= 4{,}2$.\n"
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur\n$1 - p$.\n"
            },
            {
              "text": "$1{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est\n$1 - p$, pas $p$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}1$.\nQue vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 50 \\times 0{,}1 \\times 0{,}9\n= 4{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur\n$1 - p$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est\n$1 - p$, pas $p$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0{,}25$.\nQue vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 40 \\times 0{,}25 \\times 0{,}75\n= 7{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur\n$1 - p$.\n"
            },
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est\n$1 - p$, pas $p$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 30$ et $p = 0{,}4$.\nQue vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 30 \\times 0{,}4 \\times 0{,}6\n= 7{,}2$.\n"
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur\n$1 - p$.\n"
            },
            {
              "text": "$4{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est\n$1 - p$, pas $p$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la\nracine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parametres",
        "esperance",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Choisir le nombre d'épreuves pour une espérance donnée",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}25$, les tirs\nétant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le\nnombre moyen de réussites soit $15$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ tirs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 15$ donne\n$n = \\dfrac{15}{0{,}25} = 60$.\n"
        },
        {
          "text": "$15$ tirs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $15$ tirs, le nombre moyen de réussites serait\n$15 \\times 0{,}25 = 3{,}75$.\n"
        },
        {
          "text": "$25$ tirs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25$ tirs donneraient en moyenne $25 \\times 0{,}25$\nréussites, pas $15$.\n"
        },
        {
          "text": "$3{,}75$ tirs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}75$ est le produit $15 \\times 0{,}25$, sans\nsignification ici, et un nombre de tirs est entier.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On inverse la formule de l'espérance : $n = \\dfrac{E(X)}{p}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}25$, les tirs\nétant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le\nnombre moyen de réussites soit $15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 15$ donne\n$n = \\dfrac{15}{0{,}25} = 60$.\n"
            },
            {
              "text": "$15$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $15$ tirs, le nombre moyen de réussites serait\n$15 \\times 0{,}25 = 3{,}75$.\n"
            },
            {
              "text": "$25$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25$ tirs donneraient en moyenne $25 \\times 0{,}25$\nréussites, pas $15$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}75$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}75$ est le produit $15 \\times 0{,}25$, sans\nsignification ici, et un nombre de tirs est entier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On inverse la formule de l'espérance : $n = \\dfrac{E(X)}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}3$, les tirs\nétant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le\nnombre moyen de réussites soit $12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 12$ donne\n$n = \\dfrac{12}{0{,}3} = 40$.\n"
            },
            {
              "text": "$12$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $12$ tirs, le nombre moyen de réussites serait\n$12 \\times 0{,}3 = 3{,}6$.\n"
            },
            {
              "text": "$30$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $30$ tirs donneraient en moyenne $30 \\times 0{,}3$\nréussites, pas $12$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}6$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}6$ est le produit $12 \\times 0{,}3$, sans\nsignification ici, et un nombre de tirs est entier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On inverse la formule de l'espérance : $n = \\dfrac{E(X)}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}2$, les tirs\nétant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le\nnombre moyen de réussites soit $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 9$ donne\n$n = \\dfrac{9}{0{,}2} = 45$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $9$ tirs, le nombre moyen de réussites serait\n$9 \\times 0{,}2 = 1{,}8$.\n"
            },
            {
              "text": "$20$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ tirs donneraient en moyenne $20 \\times 0{,}2$\nréussites, pas $9$.\n"
            },
            {
              "text": "$1{,}8$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}8$ est le produit $9 \\times 0{,}2$, sans\nsignification ici, et un nombre de tirs est entier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On inverse la formule de l'espérance : $n = \\dfrac{E(X)}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}4$, les tirs\nétant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le\nnombre moyen de réussites soit $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$ tirs",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 8$ donne\n$n = \\dfrac{8}{0{,}4} = 20$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $8$ tirs, le nombre moyen de réussites serait\n$8 \\times 0{,}4 = 3{,}2$.\n"
            },
            {
              "text": "$40$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $40$ tirs donneraient en moyenne $40 \\times 0{,}4$\nréussites, pas $8$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}2$ tirs",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}2$ est le produit $8 \\times 0{,}4$, sans\nsignification ici, et un nombre de tirs est entier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On inverse la formule de l'espérance : $n = \\dfrac{E(X)}{p}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parametres",
        "ecart-type",
        "taille-echantillon"
      ],
      "title": "Écart-type et nombre d'épreuves",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}5$,\net $Y$ la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p = 0{,}5$.\nComment leurs écarts-types se comparent-ils ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sigma(Y) = 10$ est le double de $\\sigma(X) = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma = \\sqrt{np(1-p)}$ ; $\\sqrt{25} = 5$ et\n$\\sqrt{100} = 10$. Multiplier $n$ par $4$ multiplie l'écart-type\npar $\\sqrt{4} = 2$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\sigma(Y)$ est le quadruple de $\\sigma(X)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la **variance** qui est multipliée par $4$ ;\nl'écart-type, sa racine carrée, l'est par $2$.\n"
        },
        {
          "text": "Ils sont égaux, $p$ étant le même",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart-type dépend aussi de $n$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\sigma(Y)$ est la moitié de $\\sigma(X)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : plus d'épreuves donne un écart-type plus grand en\nvaleur absolue, même si la proportion de succès fluctue moins.\n"
        }
      ],
      "explanation": "L'écart-type d'une binomiale croît comme $\\sqrt{n}$ : il est\nmultiplié par $2$ quand $n$ est multiplié par $4$."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conditionnelles",
        "inversion"
      ],
      "title": "Lire une probabilité conditionnelle",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Pour un test médical, on note $M$ l'événement « la personne est\nmalade » et $T$ l'événement « le test est positif ». Que\nreprésente $P_T(M)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La probabilité d'être malade sachant que le test est positif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement placé en indice, ici $T$, est\ncelui que l'on sait réalisé."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est\nmalade",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : cette phrase décrit $P_M(T)$, la\nsensibilité du test, en général différente de $P_T(M)$."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'être malade et d'avoir un test positif à la\nfois",
          "correct": false,
          "feedback": "Intersection : « à la fois » décrit $P(M \\cap T)$, qui vaut\n$P(T) \\times P_T(M)$."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'avoir un test positif, malade ou non",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité non conditionnelle : c'est $P(T)$, qui ne tient\npas compte de l'état de la personne."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $P_T(M)$, on se restreint aux personnes dont le test est\npositif et l'on mesure la part de malades parmi elles. La\ndistinction entre $P_T(M)$ et $P_M(T)$ est l'objectif central de\nl'inférence bayésienne."
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conditionnelles",
        "intersection"
      ],
      "title": "Probabilité d'une intersection",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "On sait que $P(A) = 0{,}3$ et $P_A(B) = 0{,}6$. Que vaut $P(A \\cap B)$\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}6$ est la probabilité de $B$ parmi\nles issues de $A$ seulement."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par\n$P_A(B) = 0{,}6$."
        },
        {
          "text": "$0{,}12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise branche : $0{,}3 \\times (1 - 0{,}6) = 0{,}12$ est\n$P(A \\cap \\overline{B})$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes probabilités lues sur ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $P(A) = 0{,}3$ et $P_A(B) = 0{,}6$. Que vaut $P(A \\cap B)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}6$ est la probabilité de $B$ parmi\nles issues de $A$ seulement."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par\n$P_A(B) = 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise branche : $0{,}3 \\times (1 - 0{,}6) = 0{,}12$ est\n$P(A \\cap \\overline{B})$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes probabilités lues sur ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}75$. Que vaut $P(A \\cap B)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}4 \\times 0{,}75 = 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}75$ est la probabilité de $B$ parmi\nles issues de $A$ seulement."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par\n$P_A(B) = 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise branche : $0{,}4 \\times (1 - 0{,}75) = 0{,}1$ est\n$P(A \\cap \\overline{B})$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes probabilités lues sur ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $P(A) = 0{,}2$ et $P_A(B) = 0{,}7$. Que vaut $P(A \\cap B)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}2 \\times 0{,}7 = 0{,}14$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}7$ est la probabilité de $B$ parmi\nles issues de $A$ seulement."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par\n$P_A(B) = 0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$0{,}06$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise branche : $0{,}2 \\times (1 - 0{,}7) = 0{,}06$ est\n$P(A \\cap \\overline{B})$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes probabilités lues sur ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}25$. Que vaut $P(A \\cap B)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}6 \\times 0{,}25 = 0{,}15$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}25$ est la probabilité de $B$ parmi\nles issues de $A$ seulement."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par\n$P_A(B) = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise branche : $0{,}6 \\times (1 - 0{,}25) = 0{,}45$ est\n$P(A \\cap \\overline{B})$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes probabilités lues sur ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conditionnelles",
        "probabilites-totales",
        "arbre"
      ],
      "title": "Formule des probabilités totales",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$P(B) = 0{,}4 \\times 0{,}7 + 0{,}6 \\times 0{,}2 = 0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque\nprobabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de\nsa branche."
        },
        {
          "text": "$0{,}28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}28$ est $P(A \\cap B)$ ; il\nmanque le chemin passant par $\\overline{A}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose\n$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici."
        }
      ],
      "explanation": "$B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\\overline{A}$ :\n$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\\overline{A})P_{\\overline{A}}(B)$, somme\ndes chemins qui mènent à $B$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(B) = 0{,}4 \\times 0{,}7 + 0{,}6 \\times 0{,}2 = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque\nprobabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de\nsa branche."
            },
            {
              "text": "$0{,}28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}28$ est $P(A \\cap B)$ ; il\nmanque le chemin passant par $\\overline{A}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose\n$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "$B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\\overline{A}$ :\n$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\\overline{A})P_{\\overline{A}}(B)$, somme\ndes chemins qui mènent à $B$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}9$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}1$. Que vaut $P(B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}34$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(B) = 0{,}3 \\times 0{,}9 + 0{,}7 \\times 0{,}1 = 0{,}34$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque\nprobabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de\nsa branche."
            },
            {
              "text": "$0{,}27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}27$ est $P(A \\cap B)$ ; il\nmanque le chemin passant par $\\overline{A}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose\n$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "$B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\\overline{A}$ :\n$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\\overline{A})P_{\\overline{A}}(B)$, somme\ndes chemins qui mènent à $B$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}6$, $P_A(B) = 0{,}5$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}4$. Que vaut $P(B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}46$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(B) = 0{,}6 \\times 0{,}5 + 0{,}4 \\times 0{,}4 = 0{,}46$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque\nprobabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de\nsa branche."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}3$ est $P(A \\cap B)$ ; il\nmanque le chemin passant par $\\overline{A}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose\n$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "$B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\\overline{A}$ :\n$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\\overline{A})P_{\\overline{A}}(B)$, somme\ndes chemins qui mènent à $B$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}25$, $P_A(B) = 0{,}8$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}4$. Que vaut $P(B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P(B) = 0{,}25 \\times 0{,}8 + 0{,}75 \\times 0{,}4 = 0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque\nprobabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de\nsa branche."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul chemin compté : $0{,}2$ est $P(A \\cap B)$ ; il\nmanque le chemin passant par $\\overline{A}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose\n$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "$B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\\overline{A}$ :\n$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\\overline{A})P_{\\overline{A}}(B)$, somme\ndes chemins qui mènent à $B$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "conditionnelles",
        "bayes",
        "inversion"
      ],
      "title": "Inverser un conditionnement",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}6$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. On observe que $B$ est réalisé. Que\nvaut $P_B(A)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(B) = 0{,}4$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\dfrac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75$."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement non inversé : $0{,}6$ est $P_A(B)$, alors que la\nquestion porte sur $A$ sachant $B$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $0{,}3$ est $P(A \\cap B)$, qu'il faut\nencore diviser par $P(B) = 0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur seul : $0{,}4$ est $P(B)$, calculée par les\nprobabilités totales, et non $P_B(A)$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule de Bayes : $P_B(A) = \\dfrac{P_A(B)\\,P(A)}{P(B)}$. On\ncalcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\npuis on divise la probabilité du chemin $A \\cap B$ par $P(B)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}6$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. On observe que $B$ est réalisé. Que\nvaut $P_B(A)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(B) = 0{,}4$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\dfrac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement non inversé : $0{,}6$ est $P_A(B)$, alors que la\nquestion porte sur $A$ sachant $B$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $0{,}3$ est $P(A \\cap B)$, qu'il faut\nencore diviser par $P(B) = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur seul : $0{,}4$ est $P(B)$, calculée par les\nprobabilités totales, et non $P_B(A)$."
            }
          ],
          "explanation": "Formule de Bayes : $P_B(A) = \\dfrac{P_A(B)\\,P(A)}{P(B)}$. On\ncalcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\npuis on divise la probabilité du chemin $A \\cap B$ par $P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}5$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. On observe que $B$ est réalisé. Que\nvaut $P_B(A)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(B) = 0{,}32$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\dfrac{0{,}2}{0{,}32} = 0{,}625$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement non inversé : $0{,}5$ est $P_A(B)$, alors que la\nquestion porte sur $A$ sachant $B$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $0{,}2$ est $P(A \\cap B)$, qu'il faut\nencore diviser par $P(B) = 0{,}32$."
            },
            {
              "text": "$0{,}32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur seul : $0{,}32$ est $P(B)$, calculée par les\nprobabilités totales, et non $P_B(A)$."
            }
          ],
          "explanation": "Formule de Bayes : $P_B(A) = \\dfrac{P_A(B)\\,P(A)}{P(B)}$. On\ncalcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\npuis on divise la probabilité du chemin $A \\cap B$ par $P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}3$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. On observe que $B$ est réalisé. Que\nvaut $P_B(A)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(B) = 0{,}25$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\dfrac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement non inversé : $0{,}3$ est $P_A(B)$, alors que la\nquestion porte sur $A$ sachant $B$."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $0{,}15$ est $P(A \\cap B)$, qu'il faut\nencore diviser par $P(B) = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur seul : $0{,}25$ est $P(B)$, calculée par les\nprobabilités totales, et non $P_B(A)$."
            }
          ],
          "explanation": "Formule de Bayes : $P_B(A) = \\dfrac{P_A(B)\\,P(A)}{P(B)}$. On\ncalcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\npuis on divise la probabilité du chemin $A \\cap B$ par $P(B)$."
        },
        {
          "statement": "Sur un arbre, $P(A) = 0{,}6$, $P_A(B) = 0{,}4$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}6$. On observe que $B$ est réalisé. Que\nvaut $P_B(A)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(B) = 0{,}48$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\dfrac{0{,}24}{0{,}48} = 0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement non inversé : $0{,}4$ est $P_A(B)$, alors que la\nquestion porte sur $A$ sachant $B$."
            },
            {
              "text": "$0{,}24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $0{,}24$ est $P(A \\cap B)$, qu'il faut\nencore diviser par $P(B) = 0{,}48$."
            },
            {
              "text": "$0{,}48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur seul : $0{,}48$ est $P(B)$, calculée par les\nprobabilités totales, et non $P_B(A)$."
            }
          ],
          "explanation": "Formule de Bayes : $P_B(A) = \\dfrac{P_A(B)\\,P(A)}{P(B)}$. On\ncalcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\npuis on divise la probabilité du chemin $A \\cap B$ par $P(B)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bayes",
        "depistage",
        "valeur-predictive"
      ],
      "title": "Valeur prédictive positive d'un test",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}01$ de la population. Un test\na une sensibilité $P_M(T) = 0{,}99$ et une spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 0{,}95$. Que vaut, arrondie au\ncentième, la probabilité d'être malade sachant que le test est\npositif ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}17$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(M \\cap T) = 0{,}0099$,\n$P(\\overline{M} \\cap T) = 0{,}0495$, donc\n$P_T(M) = \\dfrac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} \\approx 0{,}17$."
        },
        {
          "text": "$0{,}99$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sensibilité recopiée : $0{,}99$ est $P_M(T)$, la probabilité\nd'un test positif chez un malade, et non l'inverse."
        },
        {
          "text": "$0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades\net ne répond pas à la question posée."
        },
        {
          "text": "$0{,}0099$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intersection seule : $0{,}0099$ est $P(M \\cap T)$ ; il faut la\ndiviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs."
        }
      ],
      "explanation": "Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une\npopulation saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais\npositifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même\npour un test fiable.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}01$ de la population. Un test\na une sensibilité $P_M(T) = 0{,}99$ et une spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 0{,}95$. Que vaut, arrondie au\ncentième, la probabilité d'être malade sachant que le test est\npositif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(M \\cap T) = 0{,}0099$,\n$P(\\overline{M} \\cap T) = 0{,}0495$, donc\n$P_T(M) = \\dfrac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} \\approx 0{,}17$."
            },
            {
              "text": "$0{,}99$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : $0{,}99$ est $P_M(T)$, la probabilité\nd'un test positif chez un malade, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades\net ne répond pas à la question posée."
            },
            {
              "text": "$0{,}0099$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intersection seule : $0{,}0099$ est $P(M \\cap T)$ ; il faut la\ndiviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs."
            }
          ],
          "explanation": "Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une\npopulation saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais\npositifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même\npour un test fiable."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}02$ de la population. Un test\na une sensibilité $P_M(T) = 0{,}9$ et une spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 0{,}98$. Que vaut, arrondie au\ncentième, la probabilité d'être malade sachant que le test est\npositif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}48$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(M \\cap T) = 0{,}018$,\n$P(\\overline{M} \\cap T) = 0{,}0196$, donc\n$P_T(M) = \\dfrac{0{,}018}{0{,}018 + 0{,}0196} \\approx 0{,}48$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : $0{,}9$ est $P_M(T)$, la probabilité\nd'un test positif chez un malade, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades\net ne répond pas à la question posée."
            },
            {
              "text": "$0{,}018$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intersection seule : $0{,}018$ est $P(M \\cap T)$ ; il faut la\ndiviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs."
            }
          ],
          "explanation": "Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une\npopulation saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais\npositifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même\npour un test fiable."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}1$ de la population. Un test\na une sensibilité $P_M(T) = 0{,}95$ et une spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 0{,}9$. Que vaut, arrondie au\ncentième, la probabilité d'être malade sachant que le test est\npositif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}51$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(M \\cap T) = 0{,}095$,\n$P(\\overline{M} \\cap T) = 0{,}09$, donc\n$P_T(M) = \\dfrac{0{,}095}{0{,}095 + 0{,}09} \\approx 0{,}51$."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : $0{,}95$ est $P_M(T)$, la probabilité\nd'un test positif chez un malade, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades\net ne répond pas à la question posée."
            },
            {
              "text": "$0{,}095$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intersection seule : $0{,}095$ est $P(M \\cap T)$ ; il faut la\ndiviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs."
            }
          ],
          "explanation": "Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une\npopulation saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais\npositifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même\npour un test fiable."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}05$ de la population. Un test\na une sensibilité $P_M(T) = 0{,}8$ et une spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 0{,}9$. Que vaut, arrondie au\ncentième, la probabilité d'être malade sachant que le test est\npositif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(M \\cap T) = 0{,}04$,\n$P(\\overline{M} \\cap T) = 0{,}095$, donc\n$P_T(M) = \\dfrac{0{,}04}{0{,}04 + 0{,}095} \\approx 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : $0{,}8$ est $P_M(T)$, la probabilité\nd'un test positif chez un malade, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades\net ne répond pas à la question posée."
            },
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Intersection seule : $0{,}04$ est $P(M \\cap T)$ ; il faut la\ndiviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs."
            }
          ],
          "explanation": "Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une\npopulation saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais\npositifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même\npour un test fiable."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "depistage",
        "sensibilite",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Définition de la sensibilité",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Avec $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif\n», quelle probabilité désigne la sensibilité du test ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P_M(T)$, un test positif chez un malade",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la sensibilité mesure la capacité du test à\ndétecter les malades."
        },
        {
          "text": "$P_T(M)$, être malade quand le test est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : $P_T(M)$ est la valeur prédictive\npositive, qui dépend aussi de la proportion de malades."
        },
        {
          "text": "$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, un test négatif chez un\nnon-malade",
          "correct": false,
          "feedback": "Spécificité : cette probabilité mesure la capacité du test à\nreconnaître les personnes saines."
        },
        {
          "text": "$P(M \\cap T)$, être malade avec un test positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Intersection : elle dépend de la proportion de malades,\ncontrairement à la sensibilité, propriété du test."
        }
      ],
      "explanation": "Sensibilité $P_M(T)$ et spécificité\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ sont des propriétés du test. Les\nvaleurs prédictives $P_T(M)$ et $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$\ndépendent en plus de la proportion de malades."
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "depistage",
        "faux-positif",
        "specificite"
      ],
      "title": "Probabilité d'un faux positif",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Un test a une spécificité de $0{,}95$ et une sensibilité de $0{,}9$.\nQuelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un\ntest positif ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}95$ est la probabilité d'un test\nnégatif chez une personne non malade, l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$0{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux négatif : $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ concerne les malades dont le\ntest est négatif."
        },
        {
          "text": "$0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que\nla question porte sur les personnes saines."
        }
      ],
      "explanation": "Sachant $\\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$. C'est\nla probabilité d'un faux positif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un test a une spécificité de $0{,}95$ et une sensibilité de $0{,}9$.\nQuelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un\ntest positif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}95$ est la probabilité d'un test\nnégatif chez une personne non malade, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux négatif : $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ concerne les malades dont le\ntest est négatif."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que\nla question porte sur les personnes saines."
            }
          ],
          "explanation": "Sachant $\\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$. C'est\nla probabilité d'un faux positif."
        },
        {
          "statement": "Un test a une spécificité de $0{,}98$ et une sensibilité de $0{,}85$.\nQuelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un\ntest positif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}02$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02$."
            },
            {
              "text": "$0{,}98$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}98$ est la probabilité d'un test\nnégatif chez une personne non malade, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux négatif : $1 - 0{,}85 = 0{,}15$ concerne les malades dont le\ntest est négatif."
            },
            {
              "text": "$0{,}85$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que\nla question porte sur les personnes saines."
            }
          ],
          "explanation": "Sachant $\\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$. C'est\nla probabilité d'un faux positif."
        },
        {
          "statement": "Un test a une spécificité de $0{,}9$ et une sensibilité de $0{,}99$.\nQuelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un\ntest positif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}9$ est la probabilité d'un test\nnégatif chez une personne non malade, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$0{,}01$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux négatif : $1 - 0{,}99 = 0{,}01$ concerne les malades dont le\ntest est négatif."
            },
            {
              "text": "$0{,}99$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que\nla question porte sur les personnes saines."
            }
          ],
          "explanation": "Sachant $\\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$. C'est\nla probabilité d'un faux positif."
        },
        {
          "statement": "Un test a une spécificité de $0{,}97$ et une sensibilité de $0{,}8$.\nQuelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un\ntest positif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}03$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T}) = 1 - 0{,}97 = 0{,}03$."
            },
            {
              "text": "$0{,}97$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}97$ est la probabilité d'un test\nnégatif chez une personne non malade, l'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux négatif : $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ concerne les malades dont le\ntest est négatif."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que\nla question porte sur les personnes saines."
            }
          ],
          "explanation": "Sachant $\\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :\n$P_{\\overline{M}}(T) = 1 - P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$. C'est\nla probabilité d'un faux positif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q62",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bayes",
        "depistage",
        "valeur-predictive"
      ],
      "title": "Valeur prédictive négative d'un test",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}1$ de la population ; un test\na une sensibilité de $0{,}9$ et une spécificité de $0{,}95$. Que\nvaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade\nsachant que le test est négatif ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}99$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{M} \\cap \\overline{T}) = 0{,}855$,\n$P(M \\cap \\overline{T}) = 0{,}01$, d'où\n$\\dfrac{0{,}855}{0{,}855 + 0{,}01} \\approx 0{,}99$."
        },
        {
          "text": "$0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}95$ est\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ ; la question demande le\nconditionnement inverse."
        },
        {
          "text": "$0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Proportion de non-malades : $0{,}9$ est la probabilité a\npriori, avant de connaître le résultat du test."
        },
        {
          "text": "$0{,}67$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur prédictive positive : $0{,}67$ est la probabilité d'être\nmalade sachant le test positif, une autre question."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur prédictive négative $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$ se\ncalcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin\n$\\overline{M} \\cap \\overline{T}$ par $P(\\overline{T})$, somme des\ndeux chemins qui aboutissent à un test négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}1$ de la population ; un test\na une sensibilité de $0{,}9$ et une spécificité de $0{,}95$. Que\nvaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade\nsachant que le test est négatif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}99$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{M} \\cap \\overline{T}) = 0{,}855$,\n$P(M \\cap \\overline{T}) = 0{,}01$, d'où\n$\\dfrac{0{,}855}{0{,}855 + 0{,}01} \\approx 0{,}99$."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}95$ est\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ ; la question demande le\nconditionnement inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Proportion de non-malades : $0{,}9$ est la probabilité a\npriori, avant de connaître le résultat du test."
            },
            {
              "text": "$0{,}67$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur prédictive positive : $0{,}67$ est la probabilité d'être\nmalade sachant le test positif, une autre question."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur prédictive négative $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$ se\ncalcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin\n$\\overline{M} \\cap \\overline{T}$ par $P(\\overline{T})$, somme des\ndeux chemins qui aboutissent à un test négatif."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}2$ de la population ; un test\na une sensibilité de $0{,}8$ et une spécificité de $0{,}9$. Que\nvaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade\nsachant que le test est négatif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{M} \\cap \\overline{T}) = 0{,}72$,\n$P(M \\cap \\overline{T}) = 0{,}04$, d'où\n$\\dfrac{0{,}72}{0{,}72 + 0{,}04} \\approx 0{,}95$."
            },
            {
              "text": "$0{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}9$ est\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ ; la question demande le\nconditionnement inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Proportion de non-malades : $0{,}8$ est la probabilité a\npriori, avant de connaître le résultat du test."
            },
            {
              "text": "$0{,}67$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur prédictive positive : $0{,}67$ est la probabilité d'être\nmalade sachant le test positif, une autre question."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur prédictive négative $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$ se\ncalcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin\n$\\overline{M} \\cap \\overline{T}$ par $P(\\overline{T})$, somme des\ndeux chemins qui aboutissent à un test négatif."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}3$ de la population ; un test\na une sensibilité de $0{,}7$ et une spécificité de $0{,}8$. Que\nvaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade\nsachant que le test est négatif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}86$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{M} \\cap \\overline{T}) = 0{,}56$,\n$P(M \\cap \\overline{T}) = 0{,}09$, d'où\n$\\dfrac{0{,}56}{0{,}56 + 0{,}09} \\approx 0{,}86$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}8$ est\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ ; la question demande le\nconditionnement inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Proportion de non-malades : $0{,}7$ est la probabilité a\npriori, avant de connaître le résultat du test."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur prédictive positive : $0{,}6$ est la probabilité d'être\nmalade sachant le test positif, une autre question."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur prédictive négative $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$ se\ncalcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin\n$\\overline{M} \\cap \\overline{T}$ par $P(\\overline{T})$, somme des\ndeux chemins qui aboutissent à un test négatif."
        },
        {
          "statement": "Une maladie touche une proportion $0{,}4$ de la population ; un test\na une sensibilité de $0{,}9$ et une spécificité de $0{,}8$. Que\nvaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade\nsachant que le test est négatif ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}92$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{M} \\cap \\overline{T}) = 0{,}48$,\n$P(M \\cap \\overline{T}) = 0{,}04$, d'où\n$\\dfrac{0{,}48}{0{,}48 + 0{,}04} \\approx 0{,}92$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Spécificité recopiée : $0{,}8$ est\n$P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$ ; la question demande le\nconditionnement inverse."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Proportion de non-malades : $0{,}6$ est la probabilité a\npriori, avant de connaître le résultat du test."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur prédictive positive : $0{,}75$ est la probabilité d'être\nmalade sachant le test positif, une autre question."
            }
          ],
          "explanation": "La valeur prédictive négative $P_{\\overline{T}}(\\overline{M})$ se\ncalcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin\n$\\overline{M} \\cap \\overline{T}$ par $P(\\overline{T})$, somme des\ndeux chemins qui aboutissent à un test négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q63",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bayes",
        "urne",
        "inversion"
      ],
      "title": "De quelle urne vient la boule",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "L'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges sur $5$, l'urne\n$U_2$ en contient $1$ sur $5$. On choisit une urne à pile ou\nface, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la\nprobabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse :\n$P_R(U_1) = \\dfrac{0{,}5 \\times \\dfrac{3}{5}}{0{,}5 \\times \\dfrac{3}{5} + 0{,}5 \\times \\dfrac{1}{5}} = \\dfrac{3}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité a priori : $\\dfrac{1}{2}$ ignore l'information\napportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{3}{5}$ est $P_{U_1}(R)$, la\nprobabilité de tirer une rouge dans $U_1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Urnes fusionnées : $\\dfrac{2}{5}$ compterait les rouges des deux\nurnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite."
        }
      ],
      "explanation": "On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,\npuis la couleur. La formule de Bayes donne\n$P_R(U_1) = \\dfrac{P(U_1 \\cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une\nrouge rend $U_1$ plus probable.",
      "variants": [
        {
          "statement": "L'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges sur $5$, l'urne\n$U_2$ en contient $1$ sur $5$. On choisit une urne à pile ou\nface, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la\nprobabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_R(U_1) = \\dfrac{0{,}5 \\times \\dfrac{3}{5}}{0{,}5 \\times \\dfrac{3}{5} + 0{,}5 \\times \\dfrac{1}{5}} = \\dfrac{3}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité a priori : $\\dfrac{1}{2}$ ignore l'information\napportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{3}{5}$ est $P_{U_1}(R)$, la\nprobabilité de tirer une rouge dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Urnes fusionnées : $\\dfrac{2}{5}$ compterait les rouges des deux\nurnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite."
            }
          ],
          "explanation": "On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,\npuis la couleur. La formule de Bayes donne\n$P_R(U_1) = \\dfrac{P(U_1 \\cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une\nrouge rend $U_1$ plus probable."
        },
        {
          "statement": "L'urne $U_1$ contient $4$ boules rouges sur $5$, l'urne\n$U_2$ en contient $2$ sur $5$. On choisit une urne à pile ou\nface, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la\nprobabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_R(U_1) = \\dfrac{0{,}5 \\times \\dfrac{4}{5}}{0{,}5 \\times \\dfrac{4}{5} + 0{,}5 \\times \\dfrac{2}{5}} = \\dfrac{2}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité a priori : $\\dfrac{1}{2}$ ignore l'information\napportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{4}{5}$ est $P_{U_1}(R)$, la\nprobabilité de tirer une rouge dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Urnes fusionnées : $\\dfrac{3}{5}$ compterait les rouges des deux\nurnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite."
            }
          ],
          "explanation": "On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,\npuis la couleur. La formule de Bayes donne\n$P_R(U_1) = \\dfrac{P(U_1 \\cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une\nrouge rend $U_1$ plus probable."
        },
        {
          "statement": "L'urne $U_1$ contient $5$ boules rouges sur $6$, l'urne\n$U_2$ en contient $1$ sur $3$. On choisit une urne à pile ou\nface, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la\nprobabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_R(U_1) = \\dfrac{0{,}5 \\times \\dfrac{5}{6}}{0{,}5 \\times \\dfrac{5}{6} + 0{,}5 \\times \\dfrac{1}{3}} = \\dfrac{5}{7}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité a priori : $\\dfrac{1}{2}$ ignore l'information\napportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{5}{6}$ est $P_{U_1}(R)$, la\nprobabilité de tirer une rouge dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Urnes fusionnées : $\\dfrac{2}{3}$ compterait les rouges des deux\nurnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite."
            }
          ],
          "explanation": "On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,\npuis la couleur. La formule de Bayes donne\n$P_R(U_1) = \\dfrac{P(U_1 \\cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une\nrouge rend $U_1$ plus probable."
        },
        {
          "statement": "L'urne $U_1$ contient $2$ boules rouges sur $3$, l'urne\n$U_2$ en contient $1$ sur $6$. On choisit une urne à pile ou\nface, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la\nprobabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse :\n$P_R(U_1) = \\dfrac{0{,}5 \\times \\dfrac{2}{3}}{0{,}5 \\times \\dfrac{2}{3} + 0{,}5 \\times \\dfrac{1}{6}} = \\dfrac{4}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité a priori : $\\dfrac{1}{2}$ ignore l'information\napportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{2}{3}$ est $P_{U_1}(R)$, la\nprobabilité de tirer une rouge dans $U_1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Urnes fusionnées : $\\dfrac{1}{3}$ compterait les rouges des deux\nurnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite."
            }
          ],
          "explanation": "On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,\npuis la couleur. La formule de Bayes donne\n$P_R(U_1) = \\dfrac{P(U_1 \\cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une\nrouge rend $U_1$ plus probable."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q64",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conditionnelles",
        "independance"
      ],
      "title": "Conditionnement et indépendance",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Deux événements $A$ et $B$, avec $P(A) > 0$, vérifient\n$P_A(B) = P(B)$. Que peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ et $B$ sont indépendants",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la\nprobabilité de $B$, d'où $P(A \\cap B) = P(A)P(B)$."
        },
        {
          "text": "$A$ et $B$ sont incompatibles",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : incompatibles signifie $P(A \\cap B) = 0$, ce qui\ndonnerait $P_A(B) = 0$ et non $P(B)$."
        },
        {
          "text": "$A$ et $B$ ont la même probabilité",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion sans fondement : l'égalité porte sur $B$ seul et ne\ndit rien de $P(A)$."
        },
        {
          "text": "$B$ est inclus dans l'événement $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inclusion : si $B \\subset A$, alors\n$P_A(B) = \\dfrac{P(B)}{P(A)}$, différent de $P(B)$ dès que\n$P(A) < 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$P_A(B) = P(B)$ équivaut à $P(A \\cap B) = P(A)P(B)$ : c'est la\ndéfinition de l'indépendance. L'information « $A$ est réalisé »\nn'apporte alors rien sur $B$."
    },
    {
      "id": "q65",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bayes",
        "depistage",
        "etude-fonction"
      ],
      "title": "Valeur prédictive et proportion de malades",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Un test a une sensibilité de $0{,}99$ et une spécificité de\n$0{,}95$. Comment évolue la probabilité d'être malade sachant le\ntest positif quand la proportion $p$ de malades augmente ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle augmente avec $p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle vaut environ $0{,}17$ pour $p = 0{,}01$\net environ $0{,}69$ pour $p = 0{,}1$ ; les vrais positifs\npèsent de plus en plus."
        },
        {
          "text": "Elle reste égale à $0{,}99$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sensibilité confondue avec la valeur prédictive : $0{,}99$ est\n$P_M(T)$, qui ne dépend pas de $p$, contrairement à $P_T(M)$."
        },
        {
          "text": "Elle diminue quand $p$ augmente",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : pour $p = 0{,}01$ on trouve environ $0{,}17$,\npour $p = 0{,}1$ environ $0{,}69$."
        },
        {
          "text": "Elle reste égale à $0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Spécificité confondue avec la valeur prédictive : la\nspécificité est une propriété fixe du test."
        }
      ],
      "explanation": "$P_T(M) = \\dfrac{0{,}99p}{0{,}99p + 0{,}05(1 - p)}$ est une\nfonction croissante de $p$. Un dépistage de masse dans une\npopulation peu touchée produit donc beaucoup de faux positifs."
    },
    {
      "id": "q66",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bayes",
        "inversion",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Une erreur de raisonnement au tribunal",
      "partie": "conditionnelles",
      "statement": "Un expert déclare : « Si l'accusé était innocent, cet indice\nn'aurait que $1\\ \\%$ de chances d'apparaître. Il y a donc $99\\ \\%$\nde chances qu'il soit coupable. » Quelle est l'erreur ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il confond $P_I(E)$ et $P_E(I)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1\\ \\%$ est la probabilité de l'indice $E$\nsachant l'innocence $I$ ; la conclusion porte sur l'innocence\nsachant l'indice, qui exige la formule de Bayes."
        },
        {
          "text": "Aucune, car $P(\\overline{I}) = 1 - P(I)$",
          "correct": false,
          "feedback": "La formule du contraire est juste, mais elle s'applique à\n$P_E(I)$, que l'expert n'a pas calculée."
        },
        {
          "text": "Il aurait dû multiplier $0{,}01$ par $0{,}99$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit sans signification : $0{,}01 \\times 0{,}99$ ne\ncorrespond à aucun chemin de l'arbre décrit."
        },
        {
          "text": "Il aurait dû additionner $1\\ \\%$ et $99\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme sans objet : elle vaut $1$ et ne renseigne pas sur la\nculpabilité."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer $P_E(I)$ demande la probabilité a priori d'innocence et\n$P_{\\overline{I}}(E)$. Si beaucoup d'innocents peuvent présenter\nl'indice, $P_E(I)$ peut rester élevée malgré les $1\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q67",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "intervalle",
        "seuil"
      ],
      "title": "Plus petit entier k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$. La\ncalculatrice donne $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$,\n$P(X \\leq 15) \\approx 0{,}969$ et $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}986$.\nQuel est le plus petit entier $k$ tel que\n$P(X \\leq k) \\geq 0{,}95$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$k = 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$ reste sous\n$0{,}95$, et $P(X \\leq 15) \\approx 0{,}969$ le dépasse."
        },
        {
          "text": "$k = 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuil non atteint : $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$ est\ninférieur à $0{,}95$."
        },
        {
          "text": "$k = 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas le plus petit : $16$ convient, mais $15$ convient\ndéjà."
        },
        {
          "text": "$k = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance : $np = 10$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a\nseulement $P(X \\leq 10)$ proche de $0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au\npremier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\\,;\\,k]$\nvérifie alors $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ avec $\\alpha = 0{,}05$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$. La\ncalculatrice donne $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$,\n$P(X \\leq 15) \\approx 0{,}969$ et $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}986$.\nQuel est le plus petit entier $k$ tel que\n$P(X \\leq k) \\geq 0{,}95$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$ reste sous\n$0{,}95$, et $P(X \\leq 15) \\approx 0{,}969$ le dépasse."
            },
            {
              "text": "$k = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non atteint : $P(X \\leq 14) \\approx 0{,}939$ est\ninférieur à $0{,}95$."
            },
            {
              "text": "$k = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $16$ convient, mais $15$ convient\ndéjà."
            },
            {
              "text": "$k = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance : $np = 10$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a\nseulement $P(X \\leq 10)$ proche de $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au\npremier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\\,;\\,k]$\nvérifie alors $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ avec $\\alpha = 0{,}05$."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(40\\,;\\,0{,}3)$. La\ncalculatrice donne $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}937$,\n$P(X \\leq 17) \\approx 0{,}968$ et $P(X \\leq 18) \\approx 0{,}985$.\nQuel est le plus petit entier $k$ tel que\n$P(X \\leq k) \\geq 0{,}95$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}937$ reste sous\n$0{,}95$, et $P(X \\leq 17) \\approx 0{,}968$ le dépasse."
            },
            {
              "text": "$k = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non atteint : $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}937$ est\ninférieur à $0{,}95$."
            },
            {
              "text": "$k = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $18$ convient, mais $17$ convient\ndéjà."
            },
            {
              "text": "$k = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance : $np = 12$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a\nseulement $P(X \\leq 12)$ proche de $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au\npremier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\\,;\\,k]$\nvérifie alors $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ avec $\\alpha = 0{,}05$."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(30\\,;\\,0{,}4)$. La\ncalculatrice donne $P(X \\leq 15) \\approx 0{,}903$,\n$P(X \\leq 16) \\approx 0{,}952$ et $P(X \\leq 17) \\approx 0{,}979$.\nQuel est le plus petit entier $k$ tel que\n$P(X \\leq k) \\geq 0{,}95$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq 15) \\approx 0{,}903$ reste sous\n$0{,}95$, et $P(X \\leq 16) \\approx 0{,}952$ le dépasse."
            },
            {
              "text": "$k = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non atteint : $P(X \\leq 15) \\approx 0{,}903$ est\ninférieur à $0{,}95$."
            },
            {
              "text": "$k = 17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $17$ convient, mais $16$ convient\ndéjà."
            },
            {
              "text": "$k = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance : $np = 12$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a\nseulement $P(X \\leq 12)$ proche de $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au\npremier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\\,;\\,k]$\nvérifie alors $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ avec $\\alpha = 0{,}05$."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(60\\,;\\,0{,}25)$. La\ncalculatrice donne $P(X \\leq 20) \\approx 0{,}946$,\n$P(X \\leq 21) \\approx 0{,}97$ et $P(X \\leq 22) \\approx 0{,}985$.\nQuel est le plus petit entier $k$ tel que\n$P(X \\leq k) \\geq 0{,}95$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $P(X \\leq 20) \\approx 0{,}946$ reste sous\n$0{,}95$, et $P(X \\leq 21) \\approx 0{,}97$ le dépasse."
            },
            {
              "text": "$k = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non atteint : $P(X \\leq 20) \\approx 0{,}946$ est\ninférieur à $0{,}95$."
            },
            {
              "text": "$k = 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le plus petit : $22$ convient, mais $21$ convient\ndéjà."
            },
            {
              "text": "$k = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance : $np = 15$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a\nseulement $P(X \\leq 15)$ proche de $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au\npremier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\\,;\\,k]$\nvérifie alors $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ avec $\\alpha = 0{,}05$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q68",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "surreservation",
        "evenement-contraire"
      ],
      "title": "Surréservation d'un avion",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une compagnie vend $160$ billets pour un avion de $150$ places.\nChaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,\nindépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.\nLa calculatrice donne $P(X \\leq 150) \\approx 0{,}964$. Quelle est la\nprobabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $0{,}036$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de\nprobabilité $1 - P(X \\leq 150) \\approx 0{,}036$."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}964$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire : $0{,}964$ est la probabilité que tous les\npassagers présents trouvent une place."
        },
        {
          "text": "Exactement $0{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le\nrisque de dépasser $150$ présents."
        },
        {
          "text": "Environ $144$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance de $X$ : $160 \\times 0{,}9 = 144$ passagers en\nmoyenne, ce n'est pas une probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "$X$ suit $\\mathcal{B}(160\\,;\\,0{,}9)$. Le risque se lit sur\nl'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets\npour que ce risque reste inférieur à un seuil $\\alpha$ fixé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une compagnie vend $160$ billets pour un avion de $150$ places.\nChaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,\nindépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.\nLa calculatrice donne $P(X \\leq 150) \\approx 0{,}964$. Quelle est la\nprobabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}036$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de\nprobabilité $1 - P(X \\leq 150) \\approx 0{,}036$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}964$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}964$ est la probabilité que tous les\npassagers présents trouvent une place."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le\nrisque de dépasser $150$ présents."
            },
            {
              "text": "Environ $144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de $X$ : $160 \\times 0{,}9 = 144$ passagers en\nmoyenne, ce n'est pas une probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "$X$ suit $\\mathcal{B}(160\\,;\\,0{,}9)$. Le risque se lit sur\nl'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets\npour que ce risque reste inférieur à un seuil $\\alpha$ fixé."
        },
        {
          "statement": "Une compagnie vend $162$ billets pour un avion de $150$ places.\nChaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,\nindépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.\nLa calculatrice donne $P(X \\leq 150) \\approx 0{,}895$. Quelle est la\nprobabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}105$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de\nprobabilité $1 - P(X \\leq 150) \\approx 0{,}105$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}895$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}895$ est la probabilité que tous les\npassagers présents trouvent une place."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le\nrisque de dépasser $150$ présents."
            },
            {
              "text": "Environ $145{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de $X$ : $162 \\times 0{,}9 = 145{,}8$ passagers en\nmoyenne, ce n'est pas une probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "$X$ suit $\\mathcal{B}(162\\,;\\,0{,}9)$. Le risque se lit sur\nl'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets\npour que ce risque reste inférieur à un seuil $\\alpha$ fixé."
        },
        {
          "statement": "Une compagnie vend $164$ billets pour un avion de $150$ places.\nChaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,\nindépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.\nLa calculatrice donne $P(X \\leq 150) \\approx 0{,}77$. Quelle est la\nprobabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de\nprobabilité $1 - P(X \\leq 150) \\approx 0{,}23$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}77$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}77$ est la probabilité que tous les\npassagers présents trouvent une place."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le\nrisque de dépasser $150$ présents."
            },
            {
              "text": "Environ $147{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de $X$ : $164 \\times 0{,}9 = 147{,}6$ passagers en\nmoyenne, ce n'est pas une probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "$X$ suit $\\mathcal{B}(164\\,;\\,0{,}9)$. Le risque se lit sur\nl'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets\npour que ce risque reste inférieur à un seuil $\\alpha$ fixé."
        },
        {
          "statement": "Une compagnie vend $166$ billets pour un avion de $150$ places.\nChaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,\nindépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.\nLa calculatrice donne $P(X \\leq 150) \\approx 0{,}6$. Quelle est la\nprobabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de\nprobabilité $1 - P(X \\leq 150) \\approx 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire : $0{,}6$ est la probabilité que tous les\npassagers présents trouvent une place."
            },
            {
              "text": "Exactement $0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le\nrisque de dépasser $150$ présents."
            },
            {
              "text": "Environ $149{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de $X$ : $166 \\times 0{,}9 = 149{,}4$ passagers en\nmoyenne, ce n'est pas une probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "$X$ suit $\\mathcal{B}(166\\,;\\,0{,}9)$. Le risque se lit sur\nl'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets\npour que ce risque reste inférieur à un seuil $\\alpha$ fixé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q69",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "test",
        "decision"
      ],
      "title": "Tester une pièce de monnaie",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Sous l'hypothèse d'une pièce équilibrée, le nombre $X$ de « pile »\nsur $100$ lancers suit $\\mathcal{B}(100\\,;\\,0{,}5)$, et\n$P(40 \\leq X \\leq 60) \\approx 0{,}965$. On obtient $63$ « pile ».\nQue décide-t-on au seuil $0{,}95$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "On rejette l'hypothèse d'une pièce équilibrée",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $63$ est hors de l'intervalle $[40\\,;\\,60]$,\nqui contient $X$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ sous\nl'hypothèse."
        },
        {
          "text": "On garde l'hypothèse, $63$ restant proche de $50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Appréciation à l'œil : la règle de décision compare\nl'observation à l'intervalle, et $63$ en sort."
        },
        {
          "text": "On prouve que la pièce est truquée",
          "correct": false,
          "feedback": "Certitude abusive : une pièce équilibrée donne un résultat\nhors de l'intervalle avec une probabilité d'environ $0{,}035$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien décider sans relancer la pièce",
          "correct": false,
          "feedback": "Démarche incomplète : la règle de décision permet de conclure\navec l'échantillon obtenu."
        }
      ],
      "explanation": "On construit un intervalle $I$ tel que $P(X \\in I) \\geq 0{,}95$\nsous le modèle. Une observation hors de $I$ conduit à rejeter le\nmodèle, avec un risque d'erreur au plus $0{,}05$."
    },
    {
      "id": "q70",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "intervalle",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Sens de la condition P(X ∈ I) ≥ 0,95",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour une variable $X$ de loi binomiale, on a construit un\nintervalle $I$ tel que $P(X \\in I) \\geq 0{,}95$. Que signifie\ncette condition ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sous le modèle, $X$ tombe dans $I$ au moins $95$ fois sur\n$100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est une probabilité calculée en supposant le\nmodèle vrai ; elle mesure la fluctuation de $X$."
        },
        {
          "text": "Le modèle est exact avec une probabilité d'au moins $0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversion : la probabilité porte sur $X$ sachant le modèle, et\nnon sur le modèle sachant l'observation."
        },
        {
          "text": "$X$ prend au moins $95\\ \\%$ des valeurs de l'intervalle $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Lecture erronée : on mesure la probabilité que $X$ appartienne\nà $I$, pas une part des valeurs de $I$."
        },
        {
          "text": "Toutes les valeurs de $I$ ont une probabilité au moins\n$0{,}95$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre l'intervalle entier et chacune de ses valeurs,\nde probabilité bien plus faible."
        }
      ],
      "explanation": "L'intervalle traduit la fluctuation d'échantillonnage attendue si\nle modèle est vrai. C'est la base de la règle de décision : une\nobservation très improbable sous le modèle conduit à le remettre\nen cause."
    },
    {
      "id": "q71",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "test",
        "decision"
      ],
      "title": "Une observation dans l'intervalle",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Un fabricant annonce $10\\ \\%$ de pièces défectueuses. Sur un\néchantillon, le nombre de pièces défectueuses observé appartient à\nl'intervalle $I$ tel que $P(X \\in I) \\geq 0{,}95$ sous ce modèle.\nQue conclut-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "On ne rejette pas l'annonce du fabricant",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'observation est compatible avec le modèle ;\non n'a pas de raison de le remettre en cause."
        },
        {
          "text": "L'annonce du fabricant est prouvée exacte",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion trop forte : d'autres proportions proches de\n$10\\ \\%$ donneraient aussi une observation dans $I$."
        },
        {
          "text": "On rejette l'annonce au risque de $5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décision inversée : on rejette lorsque l'observation sort de\n$I$, pas lorsqu'elle y tombe."
        },
        {
          "text": "La proportion vaut exactement $10\\ \\%$ dans l'échantillon",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre fréquence observée et proportion du modèle :\nla fréquence fluctue autour de $0{,}1$."
        }
      ],
      "explanation": "Une observation dans $I$ ne démontre pas le modèle : elle signifie\nseulement que l'échantillon ne le contredit pas. Seule une\nobservation hors de $I$ conduit à une décision, le rejet."
    },
    {
      "id": "q72",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "python",
        "simulation"
      ],
      "title": "Simuler une loi binomiale en Python",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "La fonction `random()` renvoie un réel uniformément réparti dans\n$[0\\,;\\,1[$. Quelle loi suit la valeur renvoyée par\n`simule(20, 0.3)` ?\n```python\ndef simule(n, p):\n    s = 0\n    for i in range(n):\n        if random() < p:\n            s = s + 1\n    return s\n```",
      "options": [
        {
          "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $20$ épreuves indépendantes, chacune réussie\navec la probabilité $0{,}3$, et `s` compte les succès."
        },
        {
          "text": "La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule épreuve : la loi de Bernoulli décrit le test\n`random() < p` isolé, alors que la boucle en répète vingt."
        },
        {
          "text": "La loi géométrique de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Temps d'attente : la boucle ne s'arrête pas au premier succès,\nelle effectue toujours vingt tirages."
        },
        {
          "text": "La loi uniforme sur $\\{0, 1, \\ldots, 20\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équiprobabilité supposée : les valeurs proches de\n$20 \\times 0{,}3 = 6$ sont bien plus fréquentes que $0$ ou\n$20$."
        }
      ],
      "explanation": "`random() < p` est vrai avec la probabilité $p$ : c'est une\népreuve de Bernoulli. Répéter $n$ épreuves indépendantes et\ncompter les succès réalise un schéma de Bernoulli, donc une loi\nbinomiale."
    },
    {
      "id": "q73",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "lecture-graphique",
        "diagramme"
      ],
      "title": "Reconnaître une loi sur son diagramme",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Le diagramme en bâtons représente la loi d'une variable aléatoire\n$X$ à valeurs dans $\\{0, 1, \\ldots, 10\\}$. Quelle loi peut-il\nreprésenter ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.5,0) grid[xstep=20,ystep=1] (10.5,3);\n  \\draw[->] (-0.6,0) -- (11,0) node[below right] {$k$};\n  \\draw[->] (-0.5,0) -- (-0.5,3.4) node[above] {$P(X = k)$};\n  \\fill[blue!60] (-0.3,0) rectangle (0.3,0.280);\n  \\fill[blue!60] (0.7,0) rectangle (1.3,1.210);\n  \\fill[blue!60] (1.7,0) rectangle (2.3,2.330);\n  \\fill[blue!60] (2.7,0) rectangle (3.3,2.670);\n  \\fill[blue!60] (3.7,0) rectangle (4.3,2.000);\n  \\fill[blue!60] (4.7,0) rectangle (5.3,1.030);\n  \\fill[blue!60] (5.7,0) rectangle (6.3,0.370);\n  \\fill[blue!60] (6.7,0) rectangle (7.3,0.090);\n  \\fill[blue!60] (7.7,0) rectangle (8.3,0.010);\n  \\foreach \\k in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \\node[below,font=\\small] at (\\k,-0.1) {$\\k$};\n  \\foreach \\y/\\t in {1/0{,}1,2/0{,}2} \\node[left,font=\\small] at (-0.55,\\y) {$\\t$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Diagramme en bâtons pour k de 0 à 10. Les hauteurs, environ 0,03\n; 0,12 ; 0,23 ; 0,27 ; 0,20 ; 0,10 ; 0,04 ; 0,01 puis presque\nnulles, montent jusqu'au maximum en k = 3 puis décroissent.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"236.912pt\" height=\"92.935pt\" viewBox=\"0 0 236.912 92.935\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 2.859375 -6.796875 C 2.859375 -6.8125 2.859375 -6.90625 2.734375 -6.90625 C 2.5 -6.90625 1.765625 -6.828125 1.515625 -6.8125 C 1.4375 -6.796875 1.328125 -6.78125 1.328125 -6.609375 C 1.328125 -6.484375 1.40625 -6.484375 1.5625 -6.484375 C 2.046875 -6.484375 2.0625 -6.421875 2.0625 -6.3125 L 2.03125 -6.125 L 0.59375 -0.390625 C 0.546875 -0.25 0.546875 -0.234375 0.546875 -0.171875 C 0.546875 0.0625 0.75 0.109375 0.84375 0.109375 C 0.96875 0.109375 1.109375 0.015625 1.171875 -0.09375 C 1.21875 -0.1875 1.671875 -2.03125 1.734375 -2.28125 C 2.0625 -2.25 2.890625 -2.09375 2.890625 -1.4375 C 2.890625 -1.359375 2.890625 -1.328125 2.859375 -1.21875 C 2.84375 -1.109375 2.8125 -0.984375 2.8125 -0.875 C 2.8125 -0.28125 3.21875 0.109375 3.734375 0.109375 C 4.03125 0.109375 4.296875 -0.046875 4.515625 -0.421875 C 4.765625 -0.859375 4.875 -1.40625 4.875 -1.421875 C 4.875 -1.515625 4.78125 -1.515625 4.75 -1.515625 C 4.65625 -1.515625 4.640625 -1.484375 4.625 -1.34375 C 4.421875 -0.609375 4.1875 -0.109375 3.75 -0.109375 C 3.5625 -0.109375 3.4375 -0.21875 3.4375 -0.578125 C 3.4375 -0.75 3.46875 -0.96875 3.515625 -1.140625 C 3.546875 -1.296875 3.546875 -1.34375 3.546875 -1.4375 C 3.546875 -2.09375 2.921875 -2.375 2.078125 -2.484375 C 2.390625 -2.671875 2.703125 -2.984375 2.9375 -3.21875 C 3.40625 -3.75 3.875 -4.1875 4.359375 -4.1875 C 4.421875 -4.1875 4.421875 -4.1875 4.453125 -4.171875 C 4.5625 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.65625 -4.09375 C 4.671875 -4.078125 4.671875 -4.078125 4.703125 -4.046875 C 4.21875 -4.015625 4.125 -3.640625 4.125 -3.515625 C 4.125 -3.359375 4.234375 -3.171875 4.515625 -3.171875 C 4.765625 -3.171875 5.0625 -3.390625 5.0625 -3.765625 C 5.0625 -4.078125 4.828125 -4.40625 4.375 -4.40625 C 4.09375 -4.40625 3.640625 -4.3125 2.921875 -3.515625 C 2.59375 -3.140625 2.203125 -2.75 1.828125 -2.59375 Z M 2.859375 -6.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 3.015625 -3.140625 L 4.703125 -3.140625 C 6.125 -3.140625 7.5 -4.1875 7.5 -5.296875 C 7.5 -6.0625 6.84375 -6.796875 5.546875 -6.796875 L 2.3125 -6.796875 C 2.125 -6.796875 2.015625 -6.796875 2.015625 -6.609375 C 2.015625 -6.484375 2.109375 -6.484375 2.3125 -6.484375 C 2.4375 -6.484375 2.625 -6.484375 2.734375 -6.46875 C 2.890625 -6.453125 2.953125 -6.421875 2.953125 -6.3125 C 2.953125 -6.265625 2.953125 -6.234375 2.921875 -6.125 L 1.578125 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.671875 -0.3125 C 0.5 -0.3125 0.390625 -0.3125 0.390625 -0.125 C 0.390625 0 0.515625 0 0.546875 0 C 0.828125 0 1.53125 -0.03125 1.8125 -0.03125 C 2.015625 -0.03125 2.234375 -0.015625 2.453125 -0.015625 C 2.671875 -0.015625 2.890625 0 3.09375 0 C 3.171875 0 3.296875 0 3.296875 -0.203125 C 3.296875 -0.3125 3.203125 -0.3125 3.015625 -0.3125 C 2.640625 -0.3125 2.375 -0.3125 2.375 -0.484375 C 2.375 -0.546875 2.390625 -0.59375 2.40625 -0.65625 Z M 3.734375 -6.109375 C 3.828125 -6.453125 3.84375 -6.484375 4.265625 -6.484375 L 5.21875 -6.484375 C 6.046875 -6.484375 6.578125 -6.21875 6.578125 -5.53125 C 6.578125 -5.140625 6.375 -4.296875 5.984375 -3.9375 C 5.5 -3.484375 4.890625 -3.40625 4.453125 -3.40625 L 3.0625 -3.40625 Z M 3.734375 -6.109375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 4.828125 -4.09375 L 3.984375 -6.078125 C 3.96875 -6.15625 3.9375 -6.1875 3.9375 -6.203125 C 3.9375 -6.265625 4.109375 -6.453125 4.53125 -6.484375 C 4.625 -6.5 4.734375 -6.515625 4.734375 -6.671875 C 4.734375 -6.796875 4.609375 -6.796875 4.578125 -6.796875 C 4.171875 -6.796875 3.75 -6.765625 3.328125 -6.765625 C 3.078125 -6.765625 2.453125 -6.796875 2.203125 -6.796875 C 2.15625 -6.796875 2.03125 -6.796875 2.03125 -6.59375 C 2.03125 -6.484375 2.125 -6.484375 2.265625 -6.484375 C 2.859375 -6.484375 2.921875 -6.390625 3 -6.171875 L 4.1875 -3.390625 L 2.078125 -1.140625 L 1.953125 -1.03125 C 1.46875 -0.5 1 -0.34375 0.484375 -0.3125 C 0.359375 -0.296875 0.265625 -0.296875 0.265625 -0.109375 C 0.265625 -0.09375 0.265625 0 0.390625 0 C 0.703125 0 1.03125 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.703125 -0.03125 2.09375 0 2.453125 0 C 2.515625 0 2.625 0 2.625 -0.203125 C 2.625 -0.296875 2.53125 -0.3125 2.515625 -0.3125 C 2.421875 -0.3125 2.109375 -0.34375 2.109375 -0.609375 C 2.109375 -0.78125 2.265625 -0.9375 2.375 -1.0625 L 3.390625 -2.140625 L 4.296875 -3.109375 L 5.296875 -0.734375 C 5.328125 -0.625 5.34375 -0.609375 5.34375 -0.59375 C 5.34375 -0.515625 5.15625 -0.34375 4.765625 -0.3125 C 4.65625 -0.296875 4.5625 -0.28125 4.5625 -0.125 C 4.5625 0 4.671875 0 4.71875 0 C 5 0 5.6875 -0.03125 5.96875 -0.03125 C 6.21875 -0.03125 6.828125 0 7.078125 0 C 7.140625 0 7.265625 0 7.265625 -0.1875 C 7.265625 -0.3125 7.171875 -0.3125 7.09375 -0.3125 C 6.421875 -0.3125 6.40625 -0.34375 6.234375 -0.75 C 5.84375 -1.671875 5.171875 -3.21875 4.953125 -3.828125 C 5.625 -4.515625 6.671875 -5.703125 6.984375 -5.984375 C 7.28125 -6.21875 7.65625 -6.453125 8.25 -6.484375 C 8.375 -6.5 8.46875 -6.5 8.46875 -6.6875 C 8.46875 -6.703125 8.46875 -6.796875 8.34375 -6.796875 C 8.046875 -6.796875 7.71875 -6.765625 7.40625 -6.765625 C 7.03125 -6.765625 6.65625 -6.796875 6.296875 -6.796875 C 6.234375 -6.796875 6.109375 -6.796875 6.109375 -6.59375 C 6.109375 -6.53125 6.15625 -6.5 6.234375 -6.484375 C 6.3125 -6.484375 6.625 -6.453125 6.625 -6.1875 C 6.625 -6.046875 6.515625 -5.90625 6.4375 -5.828125 Z M 4.828125 -4.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 3.296875 2.390625 C 3.296875 2.359375 3.296875 2.34375 3.125 2.171875 C 1.875 0.921875 1.5625 -0.96875 1.5625 -2.484375 C 1.5625 -4.21875 1.9375 -5.953125 3.171875 -7.203125 C 3.296875 -7.3125 3.296875 -7.328125 3.296875 -7.359375 C 3.296875 -7.4375 3.25 -7.46875 3.1875 -7.46875 C 3.09375 -7.46875 2.203125 -6.78125 1.609375 -5.53125 C 1.109375 -4.421875 0.984375 -3.328125 0.984375 -2.484375 C 0.984375 -1.71875 1.09375 -0.5 1.640625 0.609375 C 2.234375 1.84375 3.09375 2.484375 3.1875 2.484375 C 3.25 2.484375 3.296875 2.453125 3.296875 2.390625 Z M 3.296875 2.390625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 6.84375 -3.25 C 6.984375 -3.25 7.171875 -3.25 7.171875 -3.453125 C 7.171875 -3.65625 6.984375 -3.65625 6.84375 -3.65625 L 0.890625 -3.65625 C 0.75 -3.65625 0.5625 -3.65625 0.5625 -3.453125 C 0.5625 -3.25 0.75 -3.25 0.890625 -3.25 Z M 6.84375 -1.328125 C 6.984375 -1.328125 7.171875 -1.328125 7.171875 -1.515625 C 7.171875 -1.71875 6.984375 -1.71875 6.84375 -1.71875 L 0.890625 -1.71875 C 0.75 -1.71875 0.5625 -1.71875 0.5625 -1.515625 C 0.5625 -1.328125 0.75 -1.328125 0.890625 -1.328125 Z M 6.84375 -1.328125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.875 -2.484375 C 2.875 -3.265625 2.765625 -4.46875 2.21875 -5.59375 C 1.625 -6.8125 0.765625 -7.46875 0.671875 -7.46875 C 0.609375 -7.46875 0.5625 -7.421875 0.5625 -7.359375 C 0.5625 -7.328125 0.5625 -7.3125 0.75 -7.140625 C 1.734375 -6.15625 2.296875 -4.5625 2.296875 -2.484375 C 2.296875 -0.78125 1.9375 0.96875 0.703125 2.21875 C 0.5625 2.34375 0.5625 2.359375 0.5625 2.390625 C 0.5625 2.453125 0.609375 2.484375 0.671875 2.484375 C 0.765625 2.484375 1.65625 1.8125 2.25 0.546875 C 2.75 -0.546875 2.875 -1.65625 2.875 -2.484375 Z M 2.875 -2.484375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.234375 -2.859375 C 4.234375 -3.46875 4.203125 -4.234375 3.890625 -4.90625 C 3.5 -5.75 2.8125 -5.96875 2.296875 -5.96875 C 1.765625 -5.96875 1.078125 -5.75 0.6875 -4.890625 C 0.40625 -4.265625 0.359375 -3.546875 0.359375 -2.859375 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.421875 0.765625 -0.703125 C 1.1875 0.046875 1.875 0.203125 2.296875 0.203125 C 2.875 0.203125 3.53125 -0.046875 3.90625 -0.875 C 4.1875 -1.484375 4.234375 -2.15625 4.234375 -2.859375 Z M 2.296875 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.46875 1.125 -2.96875 C 1.125 -3.578125 1.125 -4.28125 1.234375 -4.78125 C 1.421875 -5.578125 1.984375 -5.734375 2.296875 -5.734375 C 2.625 -5.734375 3.203125 -5.5625 3.359375 -4.734375 C 3.46875 -4.234375 3.46875 -3.53125 3.46875 -2.96875 C 3.46875 -2.421875 3.46875 -1.671875 3.375 -1.140625 C 3.1875 -0.109375 2.53125 -0.03125 2.296875 -0.03125 Z M 2.296875 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-5\">\n<path d=\"M 0.9375 -3.09375 C 0.9375 -2.921875 0.9375 -2.828125 1.0625 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.953125 C 1.484375 -3.328125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.84375 -0.21875 2.46875 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.21875 0.203125 4.140625 -0.6875 4.140625 -1.796875 C 4.140625 -2.875 3.359375 -3.765625 2.390625 -3.765625 C 1.953125 -3.765625 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.296875 L 1.203125 -5.0625 C 1.484375 -4.984375 1.75 -4.9375 2.03125 -4.9375 C 3.140625 -4.9375 3.78125 -5.734375 3.78125 -5.84375 C 3.78125 -5.921875 3.71875 -5.96875 3.6875 -5.96875 C 3.65625 -5.96875 3.640625 -5.96875 3.5625 -5.921875 C 3.140625 -5.75 2.734375 -5.671875 2.359375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.75 1.15625 -5.921875 C 1.0625 -5.96875 1.046875 -5.96875 1.03125 -5.96875 C 0.9375 -5.96875 0.9375 -5.875 0.9375 -5.71875 Z M 0.9375 -3.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-6\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.96875 C 1.203125 -3.875 1.296875 -4.390625 1.546875 -4.859375 C 1.71875 -5.21875 2.15625 -5.734375 2.8125 -5.734375 C 3 -5.734375 3.40625 -5.703125 3.609375 -5.375 C 3.28125 -5.375 3.140625 -5.203125 3.140625 -4.96875 C 3.140625 -4.734375 3.296875 -4.5625 3.546875 -4.5625 C 3.8125 -4.5625 3.96875 -4.71875 3.96875 -4.984375 C 3.96875 -5.484375 3.609375 -5.96875 2.796875 -5.96875 C 1.640625 -5.96875 0.390625 -4.828125 0.390625 -2.828125 C 0.390625 -0.40625 1.484375 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.3125 0.203125 4.203125 -0.640625 4.203125 -1.8125 C 4.203125 -2.953125 3.390625 -3.8125 2.375 -3.8125 C 1.828125 -3.8125 1.453125 -3.5 1.203125 -2.96875 Z M 2.3125 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.234375 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.625 1.5 -3.59375 2.359375 -3.59375 C 2.5 -3.59375 2.9375 -3.59375 3.21875 -3.03125 C 3.390625 -2.6875 3.390625 -2.25 3.390625 -1.828125 C 3.390625 -1.390625 3.390625 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.953125 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.3125 -0.046875 Z M 2.3125 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-7\">\n<path d=\"M 4.390625 -5.46875 C 4.46875 -5.5625 4.46875 -5.578125 4.46875 -5.765625 L 2.234375 -5.765625 C 1.109375 -5.765625 1.078125 -5.875 1.0625 -6.046875 L 0.8125 -6.046875 L 0.515625 -4.1875 L 0.765625 -4.1875 C 0.796875 -4.390625 0.875 -4.890625 0.984375 -5 C 1.046875 -5.046875 1.75 -5.046875 1.875 -5.046875 L 3.765625 -5.046875 L 2.90625 -3.875 C 1.734375 -2.28125 1.625 -0.8125 1.625 -0.296875 C 1.625 -0.203125 1.625 0.203125 2.046875 0.203125 C 2.46875 0.203125 2.46875 -0.203125 2.46875 -0.3125 L 2.46875 -0.75 C 2.46875 -2.0625 2.65625 -3.109375 3.140625 -3.75 Z M 4.390625 -5.46875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-8\">\n<path d=\"M 1.546875 -4.0625 C 1.265625 -4.234375 1.0625 -4.46875 1.0625 -4.8125 C 1.0625 -5.390625 1.6875 -5.734375 2.28125 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.53125 -5.25 3.53125 -4.625 C 3.53125 -4 2.984375 -3.59375 2.625 -3.390625 Z M 2.859375 -3.234375 C 3.296875 -3.453125 3.953125 -3.90625 3.953125 -4.625 C 3.953125 -5.46875 3.109375 -5.96875 2.3125 -5.96875 C 1.375 -5.96875 0.640625 -5.296875 0.640625 -4.46875 C 0.640625 -4.125 0.765625 -3.8125 0.96875 -3.546875 C 1.125 -3.375 1.1875 -3.34375 1.703125 -3.015625 C 0.90625 -2.625 0.390625 -2.09375 0.390625 -1.359375 C 0.390625 -0.40625 1.328125 0.203125 2.296875 0.203125 C 3.328125 0.203125 4.203125 -0.53125 4.203125 -1.5 C 4.203125 -2.375 3.546875 -2.796875 3.328125 -2.953125 C 3.21875 -3.015625 2.96875 -3.171875 2.859375 -3.234375 Z M 1.9375 -2.859375 L 3.078125 -2.15625 C 3.28125 -2.015625 3.71875 -1.734375 3.71875 -1.1875 C 3.71875 -0.484375 3.015625 -0.046875 2.296875 -0.046875 C 1.515625 -0.046875 0.875 -0.609375 0.875 -1.359375 C 0.875 -2 1.3125 -2.53125 1.9375 -2.859375 Z M 1.9375 -2.859375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-9\">\n<path d=\"M 3.390625 -2.8125 L 3.390625 -2.625 C 3.390625 -0.4375 2.40625 -0.046875 1.890625 -0.046875 C 1.6875 -0.046875 1.234375 -0.09375 1 -0.390625 L 1.03125 -0.390625 C 1.09375 -0.359375 1.453125 -0.4375 1.453125 -0.796875 C 1.453125 -1.03125 1.296875 -1.203125 1.03125 -1.203125 C 0.78125 -1.203125 0.625 -1.046875 0.625 -0.78125 C 0.625 -0.1875 1.09375 0.203125 1.890625 0.203125 C 3.046875 0.203125 4.203125 -0.984375 4.203125 -2.953125 C 4.203125 -5.375 3.140625 -5.96875 2.328125 -5.96875 C 1.296875 -5.96875 0.390625 -5.125 0.390625 -3.953125 C 0.390625 -2.8125 1.203125 -1.953125 2.21875 -1.953125 C 2.875 -1.953125 3.234375 -2.4375 3.390625 -2.8125 Z M 2.234375 -2.1875 C 2.09375 -2.1875 1.65625 -2.1875 1.375 -2.734375 C 1.203125 -3.078125 1.203125 -3.515625 1.203125 -3.953125 C 1.203125 -4.375 1.203125 -4.828125 1.390625 -5.171875 C 1.65625 -5.625 2 -5.734375 2.328125 -5.734375 C 2.9375 -5.734375 3.171875 -5.125 3.21875 -5.03125 C 3.34375 -4.703125 3.375 -4.15625 3.375 -3.765625 C 3.375 -3.109375 3.078125 -2.1875 2.234375 -2.1875 Z M 2.234375 -2.1875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.890625 0.96875 1.515625 C 0.90625 1.578125 0.90625 1.578125 0.90625 1.625 C 0.90625 1.6875 0.96875 1.734375 1.03125 1.734375 C 1.125 1.734375 1.859375 1.03125 1.859375 -0.015625 C 1.859375 -0.578125 1.65625 -0.96875 1.265625 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.78125 -0.734375 0.78125 -0.484375 C 0.78125 -0.234375 0.96875 0 1.265625 0 C 1.40625 0 1.546875 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -8.503148 -0.000866816 L 178.588553 -0.000866816 M -8.503148 17.007114 L 178.588553 17.007114 M -8.503148 34.015095 L 178.588553 34.015095 M -8.503148 51.019167 L 178.588553 51.019167 M -0.00111157 -0.000866816 L -0.00111157 51.023076 \" transform=\"matrix(0.999301, 0, 0, -0.999301, 35.505017, 76.569446)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -10.203555 -0.000866816 L 186.691873 -0.000866816 \" transform=\"matrix(0.999301, 0, 0, -0.999301, 35.505017, 76.569446)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07212 2.39143 C -1.692948 0.956834 -0.848608 0.28058 -0.00035914 -0.000866816 C -0.848608 -0.278405 -1.692948 -0.954658 -2.07212 -2.389255 \" transform=\"matrix(0.999301, 0, 0, -0.999301, 222.265984, 76.569446)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"225.979796\" y=\"87.000151\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -8.503148 -0.000866816 L -8.503148 57.429898 \" transform=\"matrix(0.999301, 0, 0, -0.999301, 35.505017, 76.569446)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071214 2.391325 C -1.692043 0.956728 -0.851612 0.280474 0.000546053 -0.000972397 C -0.851612 -0.27851 -1.692043 -0.954764 -2.071214 -2.38936 \" transform=\"matrix(0, -0.999301, -0.999301, 0, 27.006841, 18.981014)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"5.348109\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"13.122672\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"16.993964\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"28.788715\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"39.297365\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"44.793521\" y=\"12.776064\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 30.40625 76.570312 L 30.40625 71.808594 L 40.605469 71.808594 L 40.605469 76.570312 Z M 30.40625 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 47.402344 76.570312 L 47.402344 56.003906 L 57.601562 56.003906 L 57.601562 76.570312 Z M 47.402344 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 64.398438 76.570312 L 64.398438 36.96875 L 74.597656 36.96875 L 74.597656 76.570312 Z M 64.398438 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 81.394531 76.570312 L 81.394531 31.1875 L 91.59375 31.1875 L 91.59375 76.570312 Z M 81.394531 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 98.390625 76.570312 L 98.390625 42.578125 L 108.589844 42.578125 L 108.589844 76.570312 Z M 98.390625 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 115.386719 76.570312 L 115.386719 59.0625 L 125.585938 59.0625 L 125.585938 76.570312 Z M 115.386719 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 132.382812 76.570312 L 132.382812 70.28125 L 142.582031 70.28125 L 142.582031 76.570312 Z M 132.382812 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 149.378906 76.570312 L 149.378906 75.039062 L 159.578125 75.039062 L 159.578125 76.570312 Z M 149.378906 76.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 166.378906 76.570312 L 166.378906 76.398438 L 176.574219 76.398438 L 176.574219 76.570312 Z M 166.378906 76.570312 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"33.202627\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"50.19874\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"67.194853\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"84.190965\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"101.187078\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-5\" x=\"118.183191\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-6\" x=\"135.179303\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-7\" x=\"152.175416\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-8\" x=\"169.171529\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-9\" x=\"186.167642\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"200.862364\" y=\"87.560759\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"205.466966\" y=\"87.560759\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.872246\" y=\"61.588924\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.477025\" y=\"61.588924\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"18.035236\" y=\"61.588924\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.872246\" y=\"44.592811\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.477025\" y=\"44.592811\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"18.035236\" y=\"44.592811\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la distribution est centrée vers\n$10 \\times 0{,}3 = 3$, valeur la plus probable."
        },
        {
          "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}7)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagramme symétrique : avec $p = 0{,}7$, le maximum serait\nvers $7$."
        },
        {
          "text": "La loi géométrique de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une loi géométrique est décroissante dès la valeur $1$ et ne\nprend pas la valeur $0$."
        },
        {
          "text": "La loi uniforme sur $\\{0, 1, \\ldots, 10\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une loi uniforme aurait onze bâtons de même hauteur."
        }
      ],
      "explanation": "Le diagramme d'une loi binomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ est en\ncloche, avec un maximum proche de l'espérance $np$. Il est\nsymétrique seulement pour $p = 0{,}5$."
    },
    {
      "id": "q74",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "lecture-graphique",
        "parametre"
      ],
      "title": "Lire le paramètre d'une loi géométrique",
      "partie": "geometrique",
      "statement": "Le diagramme représente $P(X = k)$ pour une variable $X$ de loi\ngéométrique. Quel est son paramètre $p$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.5,0) grid[xstep=20,ystep=1] (7.5,4);\n  \\draw[->] (-0.6,0) -- (8,0) node[below right] {$k$};\n  \\draw[->] (-0.5,0) -- (-0.5,4.4) node[above] {$P(X = k)$};\n  \\fill[blue!60] (0.7,0) rectangle (1.3,4.000);\n  \\fill[blue!60] (1.7,0) rectangle (2.3,2.400);\n  \\fill[blue!60] (2.7,0) rectangle (3.3,1.440);\n  \\fill[blue!60] (3.7,0) rectangle (4.3,0.860);\n  \\fill[blue!60] (4.7,0) rectangle (5.3,0.520);\n  \\fill[blue!60] (5.7,0) rectangle (6.3,0.310);\n  \\fill[blue!60] (6.7,0) rectangle (7.3,0.190);\n  \\foreach \\k in {1,2,3,4,5,6,7} \\node[below,font=\\small] at (\\k,-0.1) {$\\k$};\n  \\foreach \\y/\\t in {1/0{,}1,2/0{,}2,3/0{,}3,4/0{,}4} \\node[left,font=\\small] at (-0.55,\\y) {$\\t$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Diagramme en bâtons pour k de 1 à 7, aux hauteurs décroissantes\n: 0,4 ; 0,24 ; 0,144 ; environ 0,09 ; 0,05 ; 0,03 ; 0,02. Chaque\nbâton vaut 0,6 fois le précédent.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"185.888pt\" height=\"109.943pt\" viewBox=\"0 0 185.888 109.943\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 2.859375 -6.796875 C 2.859375 -6.8125 2.859375 -6.90625 2.734375 -6.90625 C 2.5 -6.90625 1.765625 -6.828125 1.515625 -6.8125 C 1.4375 -6.796875 1.328125 -6.78125 1.328125 -6.609375 C 1.328125 -6.484375 1.40625 -6.484375 1.5625 -6.484375 C 2.046875 -6.484375 2.0625 -6.421875 2.0625 -6.3125 L 2.03125 -6.125 L 0.59375 -0.390625 C 0.546875 -0.25 0.546875 -0.234375 0.546875 -0.171875 C 0.546875 0.0625 0.75 0.109375 0.84375 0.109375 C 0.96875 0.109375 1.109375 0.015625 1.171875 -0.09375 C 1.21875 -0.1875 1.671875 -2.03125 1.734375 -2.28125 C 2.0625 -2.25 2.890625 -2.09375 2.890625 -1.4375 C 2.890625 -1.359375 2.890625 -1.328125 2.859375 -1.21875 C 2.84375 -1.109375 2.8125 -0.984375 2.8125 -0.875 C 2.8125 -0.28125 3.21875 0.109375 3.734375 0.109375 C 4.03125 0.109375 4.296875 -0.046875 4.515625 -0.421875 C 4.765625 -0.859375 4.875 -1.40625 4.875 -1.421875 C 4.875 -1.515625 4.78125 -1.515625 4.75 -1.515625 C 4.65625 -1.515625 4.640625 -1.484375 4.625 -1.34375 C 4.421875 -0.609375 4.1875 -0.109375 3.75 -0.109375 C 3.5625 -0.109375 3.4375 -0.21875 3.4375 -0.578125 C 3.4375 -0.75 3.46875 -0.96875 3.515625 -1.140625 C 3.546875 -1.296875 3.546875 -1.34375 3.546875 -1.4375 C 3.546875 -2.09375 2.921875 -2.375 2.078125 -2.484375 C 2.390625 -2.671875 2.703125 -2.984375 2.9375 -3.21875 C 3.40625 -3.75 3.875 -4.1875 4.359375 -4.1875 C 4.421875 -4.1875 4.421875 -4.1875 4.453125 -4.171875 C 4.5625 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.65625 -4.09375 C 4.671875 -4.078125 4.671875 -4.078125 4.703125 -4.046875 C 4.21875 -4.015625 4.125 -3.640625 4.125 -3.515625 C 4.125 -3.359375 4.234375 -3.171875 4.515625 -3.171875 C 4.765625 -3.171875 5.0625 -3.390625 5.0625 -3.765625 C 5.0625 -4.078125 4.828125 -4.40625 4.375 -4.40625 C 4.09375 -4.40625 3.640625 -4.3125 2.921875 -3.515625 C 2.59375 -3.140625 2.203125 -2.75 1.828125 -2.59375 Z M 2.859375 -6.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 3.015625 -3.140625 L 4.703125 -3.140625 C 6.125 -3.140625 7.5 -4.1875 7.5 -5.296875 C 7.5 -6.0625 6.84375 -6.796875 5.546875 -6.796875 L 2.3125 -6.796875 C 2.125 -6.796875 2.015625 -6.796875 2.015625 -6.609375 C 2.015625 -6.484375 2.109375 -6.484375 2.3125 -6.484375 C 2.4375 -6.484375 2.625 -6.484375 2.734375 -6.46875 C 2.890625 -6.453125 2.953125 -6.421875 2.953125 -6.3125 C 2.953125 -6.265625 2.953125 -6.234375 2.921875 -6.125 L 1.578125 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.671875 -0.3125 C 0.5 -0.3125 0.390625 -0.3125 0.390625 -0.125 C 0.390625 0 0.515625 0 0.546875 0 C 0.828125 0 1.53125 -0.03125 1.8125 -0.03125 C 2.015625 -0.03125 2.234375 -0.015625 2.453125 -0.015625 C 2.671875 -0.015625 2.890625 0 3.09375 0 C 3.171875 0 3.296875 0 3.296875 -0.203125 C 3.296875 -0.3125 3.203125 -0.3125 3.015625 -0.3125 C 2.640625 -0.3125 2.375 -0.3125 2.375 -0.484375 C 2.375 -0.546875 2.390625 -0.59375 2.40625 -0.65625 Z M 3.734375 -6.109375 C 3.828125 -6.453125 3.84375 -6.484375 4.265625 -6.484375 L 5.21875 -6.484375 C 6.046875 -6.484375 6.578125 -6.21875 6.578125 -5.53125 C 6.578125 -5.140625 6.375 -4.296875 5.984375 -3.9375 C 5.5 -3.484375 4.890625 -3.40625 4.453125 -3.40625 L 3.0625 -3.40625 Z M 3.734375 -6.109375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 4.828125 -4.09375 L 3.984375 -6.078125 C 3.96875 -6.15625 3.9375 -6.1875 3.9375 -6.203125 C 3.9375 -6.265625 4.109375 -6.453125 4.53125 -6.484375 C 4.625 -6.5 4.734375 -6.515625 4.734375 -6.671875 C 4.734375 -6.796875 4.609375 -6.796875 4.578125 -6.796875 C 4.171875 -6.796875 3.75 -6.765625 3.328125 -6.765625 C 3.078125 -6.765625 2.453125 -6.796875 2.203125 -6.796875 C 2.15625 -6.796875 2.03125 -6.796875 2.03125 -6.59375 C 2.03125 -6.484375 2.125 -6.484375 2.265625 -6.484375 C 2.859375 -6.484375 2.921875 -6.390625 3 -6.171875 L 4.1875 -3.390625 L 2.078125 -1.140625 L 1.953125 -1.03125 C 1.46875 -0.5 1 -0.34375 0.484375 -0.3125 C 0.359375 -0.296875 0.265625 -0.296875 0.265625 -0.109375 C 0.265625 -0.09375 0.265625 0 0.390625 0 C 0.703125 0 1.03125 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.703125 -0.03125 2.09375 0 2.453125 0 C 2.515625 0 2.625 0 2.625 -0.203125 C 2.625 -0.296875 2.53125 -0.3125 2.515625 -0.3125 C 2.421875 -0.3125 2.109375 -0.34375 2.109375 -0.609375 C 2.109375 -0.78125 2.265625 -0.9375 2.375 -1.0625 L 3.390625 -2.140625 L 4.296875 -3.109375 L 5.296875 -0.734375 C 5.328125 -0.625 5.34375 -0.609375 5.34375 -0.59375 C 5.34375 -0.515625 5.15625 -0.34375 4.765625 -0.3125 C 4.65625 -0.296875 4.5625 -0.28125 4.5625 -0.125 C 4.5625 0 4.671875 0 4.71875 0 C 5 0 5.6875 -0.03125 5.96875 -0.03125 C 6.21875 -0.03125 6.828125 0 7.078125 0 C 7.140625 0 7.265625 0 7.265625 -0.1875 C 7.265625 -0.3125 7.171875 -0.3125 7.09375 -0.3125 C 6.421875 -0.3125 6.40625 -0.34375 6.234375 -0.75 C 5.84375 -1.671875 5.171875 -3.21875 4.953125 -3.828125 C 5.625 -4.515625 6.671875 -5.703125 6.984375 -5.984375 C 7.28125 -6.21875 7.65625 -6.453125 8.25 -6.484375 C 8.375 -6.5 8.46875 -6.5 8.46875 -6.6875 C 8.46875 -6.703125 8.46875 -6.796875 8.34375 -6.796875 C 8.046875 -6.796875 7.71875 -6.765625 7.40625 -6.765625 C 7.03125 -6.765625 6.65625 -6.796875 6.296875 -6.796875 C 6.234375 -6.796875 6.109375 -6.796875 6.109375 -6.59375 C 6.109375 -6.53125 6.15625 -6.5 6.234375 -6.484375 C 6.3125 -6.484375 6.625 -6.453125 6.625 -6.1875 C 6.625 -6.046875 6.515625 -5.90625 6.4375 -5.828125 Z M 4.828125 -4.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 3.296875 2.390625 C 3.296875 2.359375 3.296875 2.34375 3.125 2.171875 C 1.875 0.921875 1.5625 -0.96875 1.5625 -2.484375 C 1.5625 -4.21875 1.9375 -5.953125 3.171875 -7.203125 C 3.296875 -7.3125 3.296875 -7.328125 3.296875 -7.359375 C 3.296875 -7.4375 3.25 -7.46875 3.1875 -7.46875 C 3.09375 -7.46875 2.203125 -6.78125 1.609375 -5.53125 C 1.109375 -4.421875 0.984375 -3.328125 0.984375 -2.484375 C 0.984375 -1.71875 1.09375 -0.5 1.640625 0.609375 C 2.234375 1.84375 3.09375 2.484375 3.1875 2.484375 C 3.25 2.484375 3.296875 2.453125 3.296875 2.390625 Z M 3.296875 2.390625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 6.84375 -3.25 C 6.984375 -3.25 7.171875 -3.25 7.171875 -3.453125 C 7.171875 -3.65625 6.984375 -3.65625 6.84375 -3.65625 L 0.890625 -3.65625 C 0.75 -3.65625 0.5625 -3.65625 0.5625 -3.453125 C 0.5625 -3.25 0.75 -3.25 0.890625 -3.25 Z M 6.84375 -1.328125 C 6.984375 -1.328125 7.171875 -1.328125 7.171875 -1.515625 C 7.171875 -1.71875 6.984375 -1.71875 6.84375 -1.71875 L 0.890625 -1.71875 C 0.75 -1.71875 0.5625 -1.71875 0.5625 -1.515625 C 0.5625 -1.328125 0.75 -1.328125 0.890625 -1.328125 Z M 6.84375 -1.328125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.875 -2.484375 C 2.875 -3.265625 2.765625 -4.46875 2.21875 -5.59375 C 1.625 -6.8125 0.765625 -7.46875 0.671875 -7.46875 C 0.609375 -7.46875 0.5625 -7.421875 0.5625 -7.359375 C 0.5625 -7.328125 0.5625 -7.3125 0.75 -7.140625 C 1.734375 -6.15625 2.296875 -4.5625 2.296875 -2.484375 C 2.296875 -0.78125 1.9375 0.96875 0.703125 2.21875 C 0.5625 2.34375 0.5625 2.359375 0.5625 2.390625 C 0.5625 2.453125 0.609375 2.484375 0.671875 2.484375 C 0.765625 2.484375 1.65625 1.8125 2.25 0.546875 C 2.75 -0.546875 2.875 -1.65625 2.875 -2.484375 Z M 2.875 -2.484375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.734375 C 2.71875 -5.953125 2.71875 -5.96875 2.5 -5.96875 C 1.9375 -5.40625 1.109375 -5.40625 0.828125 -5.40625 L 0.828125 -5.125 C 1 -5.125 1.546875 -5.125 2.03125 -5.359375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2.015625 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2.015625 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.75 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.59375 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.734375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.59375 L 3.890625 -1.59375 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.3125 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.296875 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.15625 0.453125 -4.34375 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.78125 0.921875 -4.78125 C 0.875 -4.78125 0.859375 -4.78125 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.84375 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.3125 2.625 -2.5625 2.203125 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.96875 -4.125 3.96875 -4.75 C 3.96875 -5.4375 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.34375 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.765625 C 0.640625 -4.46875 0.828125 -4.296875 1.09375 -4.296875 C 1.359375 -4.296875 1.546875 -4.484375 1.546875 -4.75 C 1.546875 -5.0625 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.75 2.25 -5.75 C 2.984375 -5.75 3.125 -5.15625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.46875 3.078125 -4.03125 2.859375 -3.6875 C 2.578125 -3.296875 2.265625 -3.28125 2 -3.25 C 1.78125 -3.234375 1.765625 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.234375 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.125 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.765625 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.53125 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.796875 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.265625 0.203125 C 3.375 0.203125 4.21875 -0.609375 4.21875 -1.53125 C 4.21875 -2.3125 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.765625 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.6875 -0.28125 2.015625 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.765625 -0.03125 4.328125 0 L 4.328125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.34375 -1.484375 L 4.34375 -1.765625 L 3.421875 -1.765625 L 3.421875 -5.828125 C 3.421875 -6.015625 3.421875 -6.078125 3.25 -6.078125 C 3.140625 -6.078125 3.140625 -6.0625 3.0625 -5.9375 Z M 0.546875 -1.765625 L 2.765625 -5.078125 L 2.765625 -1.765625 Z M 0.546875 -1.765625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 0.9375 -3.09375 C 0.9375 -2.9375 0.9375 -2.828125 1.0625 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.875 1.203125 -2.953125 C 1.484375 -3.328125 1.90625 -3.546875 2.375 -3.546875 C 3.34375 -3.546875 3.34375 -2.15625 3.34375 -1.84375 C 3.34375 -1.5625 3.34375 -1 3.078125 -0.59375 C 2.84375 -0.21875 2.46875 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.59375 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.34375 -1.140625 1.34375 -1.46875 C 1.34375 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.140625 0.203125 C 3.21875 0.203125 4.140625 -0.6875 4.140625 -1.796875 C 4.140625 -2.875 3.375 -3.765625 2.390625 -3.765625 C 1.96875 -3.765625 1.53125 -3.625 1.203125 -3.296875 L 1.203125 -5.0625 C 1.484375 -4.984375 1.765625 -4.9375 2.03125 -4.9375 C 3.140625 -4.9375 3.78125 -5.734375 3.78125 -5.859375 C 3.78125 -5.9375 3.734375 -5.96875 3.6875 -5.96875 C 3.671875 -5.96875 3.65625 -5.96875 3.5625 -5.921875 C 3.140625 -5.765625 2.734375 -5.6875 2.359375 -5.6875 C 1.96875 -5.6875 1.5625 -5.765625 1.15625 -5.921875 C 1.0625 -5.96875 1.046875 -5.96875 1.046875 -5.96875 C 0.9375 -5.96875 0.9375 -5.890625 0.9375 -5.734375 Z M 0.9375 -3.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-5\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.96875 C 1.203125 -3.890625 1.296875 -4.390625 1.546875 -4.859375 C 1.71875 -5.234375 2.15625 -5.75 2.828125 -5.75 C 3 -5.75 3.421875 -5.71875 3.625 -5.390625 C 3.296875 -5.390625 3.140625 -5.21875 3.140625 -4.984375 C 3.140625 -4.75 3.3125 -4.5625 3.5625 -4.5625 C 3.8125 -4.5625 3.984375 -4.734375 3.984375 -5 C 3.984375 -5.5 3.625 -5.96875 2.8125 -5.96875 C 1.65625 -5.96875 0.390625 -4.828125 0.390625 -2.828125 C 0.390625 -0.40625 1.484375 0.203125 2.328125 0.203125 C 3.3125 0.203125 4.21875 -0.640625 4.21875 -1.828125 C 4.21875 -2.953125 3.390625 -3.828125 2.375 -3.828125 C 1.84375 -3.828125 1.453125 -3.5 1.203125 -2.96875 Z M 2.3125 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.40625 -0.734375 C 1.234375 -1.140625 1.21875 -1.890625 1.21875 -2.03125 C 1.21875 -2.625 1.5 -3.59375 2.359375 -3.59375 C 2.5 -3.59375 2.9375 -3.59375 3.234375 -3.046875 C 3.40625 -2.703125 3.40625 -2.265625 3.40625 -1.828125 C 3.40625 -1.40625 3.40625 -0.953125 3.234375 -0.625 C 2.953125 -0.109375 2.5625 -0.046875 2.3125 -0.046875 Z M 2.3125 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-6\">\n<path d=\"M 4.390625 -5.46875 C 4.46875 -5.5625 4.46875 -5.59375 4.46875 -5.78125 L 2.25 -5.78125 C 1.109375 -5.78125 1.078125 -5.890625 1.0625 -6.0625 L 0.8125 -6.0625 L 0.515625 -4.1875 L 0.765625 -4.1875 C 0.796875 -4.390625 0.875 -4.890625 0.984375 -5 C 1.046875 -5.0625 1.765625 -5.0625 1.890625 -5.0625 L 3.765625 -5.0625 L 2.90625 -3.890625 C 1.734375 -2.28125 1.625 -0.8125 1.625 -0.3125 C 1.625 -0.203125 1.625 0.203125 2.046875 0.203125 C 2.46875 0.203125 2.46875 -0.203125 2.46875 -0.3125 L 2.46875 -0.75 C 2.46875 -2.078125 2.65625 -3.109375 3.140625 -3.765625 Z M 4.390625 -5.46875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-7\">\n<path d=\"M 4.25 -2.875 C 4.25 -3.46875 4.21875 -4.25 3.90625 -4.921875 C 3.5 -5.765625 2.828125 -5.96875 2.3125 -5.96875 C 1.765625 -5.96875 1.078125 -5.765625 0.6875 -4.890625 C 0.40625 -4.28125 0.359375 -3.546875 0.359375 -2.875 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.421875 0.765625 -0.703125 C 1.1875 0.046875 1.890625 0.203125 2.296875 0.203125 C 2.875 0.203125 3.546875 -0.046875 3.921875 -0.875 C 4.1875 -1.484375 4.25 -2.15625 4.25 -2.875 Z M 2.3125 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.171875 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.46875 1.125 -2.984375 C 1.125 -3.59375 1.125 -4.296875 1.234375 -4.796875 C 1.421875 -5.59375 1.984375 -5.75 2.296875 -5.75 C 2.640625 -5.75 3.203125 -5.5625 3.375 -4.734375 C 3.46875 -4.25 3.46875 -3.546875 3.46875 -2.984375 C 3.46875 -2.421875 3.46875 -1.671875 3.375 -1.140625 C 3.1875 -0.109375 2.53125 -0.03125 2.3125 -0.03125 Z M 2.3125 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.890625 0.96875 1.53125 C 0.921875 1.578125 0.921875 1.59375 0.921875 1.625 C 0.921875 1.6875 0.984375 1.734375 1.03125 1.734375 C 1.125 1.734375 1.859375 1.03125 1.859375 -0.015625 C 1.859375 -0.578125 1.65625 -0.96875 1.28125 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.796875 -0.734375 0.796875 -0.484375 C 0.796875 -0.234375 0.96875 0 1.28125 0 C 1.40625 0 1.546875 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -8.506001 0.00111399 L 127.560306 0.00111399 M -8.506001 17.007448 L 127.560306 17.007448 M -8.506001 34.017691 L 127.560306 34.017691 M -8.506001 51.024025 L 127.560306 51.024025 M -8.506001 68.02645 L 127.560306 68.02645 M -0.000879605 0.00111399 L -0.000879605 68.034268 \" transform=\"matrix(0.999398, 0, 0, -0.999398, 35.469629, 93.579238)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -10.206244 0.00111399 L 135.66675 0.00111399 \" transform=\"matrix(0.999398, 0, 0, -0.999398, 35.469629, 93.579238)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072271 2.389271 C -1.693136 0.954813 -0.848878 0.278625 -0.000710987 0.00111399 C -0.848878 -0.280305 -1.693136 -0.956494 -2.072271 -2.390951 \" transform=\"matrix(0.999398, 0, 0, -0.999398, 171.254617, 93.579238)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"174.969578\" y=\"104.010953\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -8.506001 0.00111399 L -8.506001 74.43656 \" transform=\"matrix(0.999398, 0, 0, -0.999398, 35.469629, 93.579238)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072621 2.390038 C -1.693486 0.95558 -0.849228 0.279392 -0.00106088 0.00188097 C -0.849228 -0.279538 -1.693486 -0.955727 -2.072621 -2.390184 \" transform=\"matrix(0, -0.999398, -0.999398, 0, 26.97063, 18.987221)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"5.309801\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"13.085116\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"16.956783\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"28.752676\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"39.262344\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"44.759032\" y=\"12.78192\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 47.367188 93.578125 L 47.367188 25.585938 L 57.566406 25.585938 L 57.566406 93.578125 Z M 47.367188 93.578125 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 64.367188 93.578125 L 64.367188 52.785156 L 74.566406 52.785156 L 74.566406 93.578125 Z M 64.367188 93.578125 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 81.363281 93.578125 L 81.363281 69.101562 L 91.5625 69.101562 L 91.5625 93.578125 Z M 81.363281 93.578125 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 98.363281 93.578125 L 98.363281 78.960938 L 108.5625 78.960938 L 108.5625 93.578125 Z M 98.363281 93.578125 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 115.359375 93.578125 L 115.359375 84.738281 L 125.558594 84.738281 L 125.558594 93.578125 Z M 115.359375 93.578125 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" 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fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-5\" x=\"135.153568\" y=\"104.571615\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-6\" x=\"152.151327\" y=\"104.571615\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-7\" x=\"10.834472\" y=\"78.597265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.439697\" y=\"78.597265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"17.998156\" y=\"78.597265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-7\" x=\"10.834472\" y=\"61.599507\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.439697\" y=\"61.599507\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"17.998156\" y=\"61.599507\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-7\" x=\"10.834472\" y=\"44.601748\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.439697\" y=\"44.601748\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"17.998156\" y=\"44.601748\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-7\" x=\"10.834472\" y=\"27.603989\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.439697\" y=\"27.603989\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"17.998156\" y=\"27.603989\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$p = 0{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = 1) = p$, la hauteur du premier bâton."
        },
        {
          "text": "$p = 0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rapport entre deux bâtons consécutifs : il vaut $1 - p$, la\nprobabilité d'un échec."
        },
        {
          "text": "$p = 0{,}24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hauteur du deuxième bâton :\n$P(X = 2) = (1 - p)p = 0{,}6 \\times 0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$p = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance $\\dfrac{1}{p}$ : une probabilité ne dépasse jamais\n$1$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une loi géométrique, $P(X = 1) = p$ et chaque bâton s'obtient\nen multipliant le précédent par $1 - p$ :\n$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$."
    }
  ]
}