{
  "chapter": {
    "id": "primitives-equations-differentielles-mc",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Primitives et équations différentielles",
    "description": "Notion de solution d'une équation différentielle, primitives\n(équation $y' = f$, unicité à constante près), reconnaissance\ndes formes $2uu'$, $e^u u'$ et $\\dfrac{u'}{u}$, équations\ndifférentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ : solution\nparticulière constante et solution générale, vérification\nqu'une fonction est solution.",
    "parties": [
      {
        "id": "primitives",
        "title": "Primitives usuelles et composées"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations différentielles et modèles"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "verification"
      ],
      "title": "Vérifier une solution",
      "partie": "primitives",
      "statement": "La fonction $f(x) = 5\\,e^{2x}$ est-elle solution de\nl'équation différentielle $y' = 2y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $f' = 2f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on dérive et on compare : $f'(x) =\n10\\,e^{2x} = 2 \\times 5\\,e^{2x} = 2\\,f(x)$ pour tout\n$x$. C'est la méthode de vérification attendue."
        },
        {
          "text": "Non, car $f(0) = 5 \\neq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation $y' = 2y$ ne fixe aucune valeur en\n$0$ ; elle relie la **dérivée** à la fonction, ce que\n$f$ respecte."
        },
        {
          "text": "Non, car il y a un $5$ en facteur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout multiple $C\\,e^{2x}$ convient : le facteur\nse conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on\n**dérive** la candidate et on teste l'égalité."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est\nsolution en la dérivant et en substituant. $f' = 10e^{2x} =\n2f$ : solution."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive",
        "definition"
      ],
      "title": "Primitive et équation $y' = f$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle\néquation différentielle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $f$ est une fonction\ndont la **dérivée** est $f$ : c'est l'équation\ndifférentielle la plus simple."
        },
        {
          "text": "$y' = y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y' = y$ définit l'exponentielle (la dérivée\négale la fonction **inconnue**, pas une fonction\ndonnée)."
        },
        {
          "text": "$y = f'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : ceci demanderait de **dériver** $f$. La\nprimitivation remonte : $y' = f$."
        },
        {
          "text": "$y' = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y' = 0$ caractérise les fonctions constantes.\nLa primitive répond à $y' = f$ pour un $f$ quelconque."
        }
      ],
      "explanation": "Lien fondateur du chapitre : primitive de $f$ $=$ solution\nde $y' = f$. Deux primitives d'une même fonction continue\nsur un intervalle diffèrent d'une constante."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "constante"
      ],
      "title": "L'ensemble des primitives",
      "partie": "primitives",
      "statement": "$F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur\n$\\mathbb{R}$. Quelles sont **toutes** les primitives de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto x^2 + C$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse, $C$ constante réelle : deux primitives\nd'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une\nconstante, la famille complète est $x^2 + C$."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $x \\mapsto x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $x^2 + 7$ se dérive aussi en $2x$. Il y a\nune infinité de primitives, décalées verticalement."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Cx^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(Cx^2)' = 2Cx \\neq 2x$ dès que $C \\neq 1$. La\nliberté est **additive** ($+C$), pas multiplicative."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto x^2 + Cx$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(x^2 + Cx)' = 2x + C \\neq 2x$ pour $C \\neq 0$.\nSeule une **constante** ajoutée disparaît en dérivant."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les\nprimitives de $f$ s'écrivent $F + C$. Une condition (valeur\nen un point) fixe $C$ et isole une primitive unique."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-2uu"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $2u'u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \\times 3 \\times\n(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = (3x + 1)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(u^2)' = 2u'u$ : la forme $2u'u$ se\nprimitive en $u^2$. Contrôle : $\\left((3x+1)^2\\right)' =\n2 \\times 3 \\times (3x+1)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = (3x + 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(u^3)' = 3u'u^2$, une autre forme. Ici\nl'exposant de départ est $1$ : la primitive est $u^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 6x^2 + 2x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(6x^2 + 2x)' = 12x + 2$, alors que $f(x) = 18x + 6$. En\ndéveloppant, une primitive correcte serait $9x^2 + 6x$ ; vérifie toujours en\ndérivant.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2(3x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(2(3x+1)\\right)' = 6$, constant : ce\nn'est pas $f$. La structure $2u'u$ appelle $u^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Formes à reconnaître (capacité attendue) : $2u'u \\to u^2$ ;\n$u'e^u \\to e^u$ ; $\\dfrac{u'}{u} \\to \\ln u$ (pour $u > 0$).\nToujours contrôler en redérivant."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-eu"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $u'e^u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^2$, $u' = 2x$ : $f = u'e^u$,\nde primitive $e^u = e^{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit donne $2x\\,e^{x^2} +\nx^2 \\times 2x\\,e^{x^2}$, un terme de trop. La primitive\nde $u'e^u$ est $e^u$ tout court."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2}}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne\nmarche que pour un intérieur **affine**. Ici la\nvérification échoue (dérivée d'un quotient)."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(2e^{x^2}\\right)' = 4x\\,e^{x^2}$, le\ndouble de $f$. Le facteur $2x$ est **exactement** $u'$ :\naucun coefficient à ajouter."
        }
      ],
      "explanation": "$f = u'e^u$ avec $u = x^2$ : primitive $e^u$. La présence du\nfacteur $u' = 2x$ devant l'exponentielle est le signal à\nrepérer."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-uprime-sur-u"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $\\dfrac{u'}{u}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u = x^2 + 1 > 0$ : primitive $\\ln u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver $\\dfrac{1}{u}$ donne\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, pas $\\dfrac{u'}{u}$. La forme\nquotient-de-la-dérivée appelle le **logarithme**."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x\\,\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du\nproduit) et ne redonne pas $f$. La primitive est\n$\\ln(x^2+1)$ seule."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(\\ln 2x)' = \\dfrac{1}{x}$, sans lien avec\n$f$. C'est tout le bloc $u = x^2 + 1$ qui entre dans le\nlogarithme."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{u'}{u} \\to \\ln u$ (pour $u > 0$). Repérer au\nnumérateur la dérivée **exacte** du dénominateur : ici\n$(x^2+1)' = 2x$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-y-prime-ay"
      ],
      "title": "Résoudre $y' = ay$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = -0{,}5\\,y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $y = C\\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : les\n$C\\,e^{ax}$. Ici $a = -0{,}5$ : des décroissances\nexponentielles (vers $0$ en $+\\infty$)."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $y = C\\,e^{0{,}5x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\\,y$, l'équation\nopposée. Le coefficient $a$ passe **tel quel** dans\nl'exposant."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la\nfonction nulle ($C = 0$). La constante s'ajuste ensuite à\nune condition initiale."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $y = -0{,}5x + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces affines résolvent $y' = -0{,}5$\n(second membre **constant**), pas $y' = -0{,}5\\,y$ où la\ndérivée dépend de la fonction elle-même."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration possible) : les solutions de\n$y' = ay$ sont exactement les $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Signe\nde $a$ : croissance ($a > 0$) ou extinction ($a < 0$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-ay-plus-b"
      ],
      "title": "Méthode de résolution de $y' = ay + b$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour résoudre l'équation différentielle $y' = -2y + 8$, par quelle\nétape la méthode du programme commence-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Chercher la solution constante, ici $y = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $0 = -2c + 8$, d'où\n$c = 4$ ; on lui ajoute ensuite les solutions $Ce^{-2x}$ de\n$y' = -2y$."
        },
        {
          "text": "Chercher une primitive de $-2y + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inconnue $y$ figure dans le second membre : on ne peut pas\nprimitiver une expression qui contient la fonction cherchée."
        },
        {
          "text": "Poser $y = Ce^{8x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient de l'exponentielle est celui de $y$, soit $-2$\n; le nombre $8$ fixe la solution constante."
        },
        {
          "text": "Dériver les deux membres de l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Dériver ferait apparaître $y''$ et compliquerait l'équation au\nlieu de la résoudre."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : on cherche la solution constante\n$c = -\\dfrac{b}{a}$, puis on ajoute les solutions $Ce^{ax}$ de\n$y' = ay$. Les solutions sont les fonctions $Ce^{-2x} + 4$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Condition initiale",
      "partie": "equations",
      "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 6\\,e^{-2x} + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$ ; une\ncondition initiale isole une seule solution."
        },
        {
          "text": "$y = 10\\,e^{-2x} + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $4$ décale la valeur\ninitiale, d'où $C = 10 - 4 = 6$."
        },
        {
          "text": "$y = 10\\,e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Solution constante oubliée : cette fonction résout\n$y' = -2y$, et non $y' = -2y + 8$."
        },
        {
          "text": "$y = 6\\,e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque la solution constante $4$ : cette fonction vaut\n$6$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète."
        }
      ],
      "explanation": "$y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$. La solution part de\n$10$ et se rapproche de l'équilibre $4$, comme dans la loi de\nrefroidissement ou la charge d'un condensateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 6\\,e^{-2x} + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$ ; une\ncondition initiale isole une seule solution."
            },
            {
              "text": "$y = 10\\,e^{-2x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $4$ décale la valeur\ninitiale, d'où $C = 10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$y = 10\\,e^{-2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : cette fonction résout\n$y' = -2y$, et non $y' = -2y + 8$."
            },
            {
              "text": "$y = 6\\,e^{-2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque la solution constante $4$ : cette fonction vaut\n$6$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète."
            }
          ],
          "explanation": "$y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$. La solution part de\n$10$ et se rapproche de l'équilibre $4$, comme dans la loi de\nrefroidissement ou la charge d'un condensateur."
        },
        {
          "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-3x} + 2$ de $y' = -3y + 6$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 5\\,e^{-3x} + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 2 = 7$ donne $C = 5$ ; une\ncondition initiale isole une seule solution."
            },
            {
              "text": "$y = 7\\,e^{-3x} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $2$ décale la valeur\ninitiale, d'où $C = 7 - 2 = 5$."
            },
            {
              "text": "$y = 7\\,e^{-3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : cette fonction résout\n$y' = -3y$, et non $y' = -3y + 6$."
            },
            {
              "text": "$y = 5\\,e^{-3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque la solution constante $2$ : cette fonction vaut\n$5$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète."
            }
          ],
          "explanation": "$y(0) = C + 2 = 7$ donne $C = 5$. La solution part de\n$7$ et se rapproche de l'équilibre $2$, comme dans la loi de\nrefroidissement ou la charge d'un condensateur."
        },
        {
          "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-5x} + 2$ de $y' = -5y + 10$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 7\\,e^{-5x} + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 2 = 9$ donne $C = 7$ ; une\ncondition initiale isole une seule solution."
            },
            {
              "text": "$y = 9\\,e^{-5x} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $2$ décale la valeur\ninitiale, d'où $C = 9 - 2 = 7$."
            },
            {
              "text": "$y = 9\\,e^{-5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : cette fonction résout\n$y' = -5y$, et non $y' = -5y + 10$."
            },
            {
              "text": "$y = 7\\,e^{-5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque la solution constante $2$ : cette fonction vaut\n$7$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète."
            }
          ],
          "explanation": "$y(0) = C + 2 = 9$ donne $C = 7$. La solution part de\n$9$ et se rapproche de l'équilibre $2$, comme dans la loi de\nrefroidissement ou la charge d'un condensateur."
        },
        {
          "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-4x} + 3$ de $y' = -4y + 12$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 5\\,e^{-4x} + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 3 = 8$ donne $C = 5$ ; une\ncondition initiale isole une seule solution."
            },
            {
              "text": "$y = 8\\,e^{-4x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $3$ décale la valeur\ninitiale, d'où $C = 8 - 3 = 5$."
            },
            {
              "text": "$y = 8\\,e^{-4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : cette fonction résout\n$y' = -4y$, et non $y' = -4y + 12$."
            },
            {
              "text": "$y = 5\\,e^{-4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque la solution constante $3$ : cette fonction vaut\n$5$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète."
            }
          ],
          "explanation": "$y(0) = C + 3 = 8$ donne $C = 5$. La solution part de\n$8$ et se rapproche de l'équilibre $3$, comme dans la loi de\nrefroidissement ou la charge d'un condensateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equilibre",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter la solution constante",
      "partie": "equations",
      "statement": "Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\\,(T - 20)$\n(température $T$ en degrés, temps en minutes), que\nreprésente la constante $20$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La température ambiante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est l'état d'équilibre vers lequel $T$\ntend. $T = 20$ annule $T'$, c'est la solution constante\n; toute solution s'en approche exponentiellement,\nl'objet finit à température ambiante."
        },
        {
          "text": "La température initiale de l'objet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la température initiale est $T(0)$, donnée à\npart. Le $20$ de l'équation est l'**attracteur**, pas le\ndépart."
        },
        {
          "text": "La vitesse de refroidissement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la vitesse est portée par le coefficient\n$-0{,}1$ (par minute). Le $20$ est une température."
        },
        {
          "text": "Une constante d'intégration",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante d'intégration $C$ apparaît dans la\nsolution générale $Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; le $20$, lui,\nappartient au **modèle**."
        }
      ],
      "explanation": "Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :\nl'équation $y' = a(y - y_{\\text{éq}})$ a pour équilibre\n$y_{\\text{éq}}$, limite de toutes les solutions quand\n$a < 0$. Lire les constantes d'un modèle est une capacité\ncentrale."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "primitive",
        "condition"
      ],
      "title": "Primitive vérifiant une condition",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant\n$F(1) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$ ;\n$F(1) = 1 + C = 5$ donne $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "$C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 5$, on obtient\n$F(1) = 6 \\neq 5$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 1 \\neq 5$, il faut\najuster la constante."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 5x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de\n$5x^3$ vaut $15x^2 \\neq 3x^2$."
        }
      ],
      "explanation": "On écrit d'abord la famille des primitives $x^3 + C$, puis la\ncondition $F(1) = 5$ fixe $C = 4$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant\n$F(1) = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$ ;\n$F(1) = 1 + C = 5$ donne $C = 4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 5$, on obtient\n$F(1) = 6 \\neq 5$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 1 \\neq 5$, il faut\najuster la constante."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de\n$5x^3$ vaut $15x^2 \\neq 3x^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord la famille des primitives $x^3 + C$, puis la\ncondition $F(1) = 5$ fixe $C = 4$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 6x^2$ vérifiant\n$F(1) = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 2x^3 + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $2x^3 + C$ ;\n$F(1) = 2 + C = 7$ donne $C = 5$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2x^3 + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 7$, on obtient\n$F(1) = 9 \\neq 7$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 2 \\neq 7$, il faut\najuster la constante."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 7x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de\n$7x^3$ vaut $21x^2 \\neq 6x^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord la famille des primitives $2x^3 + C$, puis la\ncondition $F(1) = 7$ fixe $C = 5$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 9x^2$ vérifiant\n$F(1) = 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 - 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $3x^3 + C$ ;\n$F(1) = 3 + C = 2$ donne $C = -1$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 2$, on obtient\n$F(1) = 5 \\neq 2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 3 \\neq 2$, il faut\najuster la constante."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de\n$2x^3$ vaut $6x^2 \\neq 9x^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord la famille des primitives $3x^3 + C$, puis la\ncondition $F(1) = 2$ fixe $C = -1$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 12x^2$ vérifiant\n$F(1) = 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 4x^3 + 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $4x^3 + C$ ;\n$F(1) = 4 + C = 10$ donne $C = 6$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4x^3 + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "$C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 10$, on obtient\n$F(1) = 14 \\neq 10$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 4 \\neq 10$, il faut\najuster la constante."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 10x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de\n$10x^3$ vaut $30x^2 \\neq 12x^2$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord la famille des primitives $4x^3 + C$, puis la\ncondition $F(1) = 10$ fixe $C = 6$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "choix"
      ],
      "title": "Choisir la bonne équation différentielle",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif\n$y(t)$, avec un taux de $4\\ \\%$ par unité de temps. Quelle\néquation différentielle modélise cette situation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = 0{,}04\\,y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se\ntraduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}04$ ; les solutions sont\n$Ce^{0{,}04t}$."
        },
        {
          "text": "$y' = 0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,\nindépendante de l'effectif."
        },
        {
          "text": "$y = 0{,}04\\,t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit\nde plus une croissance linéaire."
        },
        {
          "text": "$y' = y + 0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y\najouter."
        }
      ],
      "explanation": "« Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$\n: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des\nmodèles d'évolution.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif\n$y(t)$, avec un taux de $4\\ \\%$ par unité de temps. Quelle\néquation différentielle modélise cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 0{,}04\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se\ntraduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}04$ ; les solutions sont\n$Ce^{0{,}04t}$."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,\nindépendante de l'effectif."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}04\\,t$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit\nde plus une croissance linéaire."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "« Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$\n: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des\nmodèles d'évolution."
        },
        {
          "statement": "Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif\n$y(t)$, avec un taux de $3\\ \\%$ par unité de temps. Quelle\néquation différentielle modélise cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 0{,}03\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se\ntraduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}03$ ; les solutions sont\n$Ce^{0{,}03t}$."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,\nindépendante de l'effectif."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}03\\,t$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit\nde plus une croissance linéaire."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "« Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$\n: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des\nmodèles d'évolution."
        },
        {
          "statement": "Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif\n$y(t)$, avec un taux de $7\\ \\%$ par unité de temps. Quelle\néquation différentielle modélise cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 0{,}07\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se\ntraduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}07$ ; les solutions sont\n$Ce^{0{,}07t}$."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}07$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,\nindépendante de l'effectif."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}07\\,t$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit\nde plus une croissance linéaire."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 0{,}07$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "« Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$\n: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des\nmodèles d'évolution."
        },
        {
          "statement": "Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif\n$y(t)$, avec un taux de $12\\ \\%$ par unité de temps. Quelle\néquation différentielle modélise cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 0{,}12\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se\ntraduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}12$ ; les solutions sont\n$Ce^{0{,}12t}$."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,\nindépendante de l'effectif."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}12\\,t$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit\nde plus une croissance linéaire."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 0{,}12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "« Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$\n: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des\nmodèles d'évolution."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-puissance"
      ],
      "title": "Primitive de $x^2$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^3}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise\npar le nouvel exposant : contrôle en dérivant :\n$\\frac{3x^2}{3} = x^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $2x$ est la **dérivée** de $x^2$ : la\nprimitive remonte le courant."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $(x^3)' = 3x^2$ : trois fois trop :\ndiviser par le nouvel exposant."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant figé : $\\frac{x^2}{2}$ primitive $x$ : pour\n$x^2$, l'exposant monte à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $x^n$ : $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : monter\nl'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en\nredérivant : deux secondes qui évitent toutes les\nétourderies."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-inverse"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ : le\nlogarithme est né pour combler ce trou de la formule des\npuissances."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $-\\frac{1}{x^2}$ est la **dérivée** de\n$\\frac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^0}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par zéro : la règle des puissances casse\nexactement pour $n = -1$ : c'est $\\ln$ qui prend le\nrelais."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est sa propre primitive : $\\frac{1}{x}$\nappelle le logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "L'exception de la règle des puissances : primitive de\n$\\frac{1}{x}$ = $\\ln x + C$ (sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$). Un\nrésultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune\nformule mécanique."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive-exp"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{2x}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{2x}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{2x}$ fait sortir un $2$ :\nla primitive le compense par $\\frac{1}{2}$. Contrôle :\n$\\left(\\frac{e^{2x}}{2}\\right)' = e^{2x}$ ✓."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $2e^{2x}$ est la **dérivée** de $e^{2x}$ :\npour primitiver, on divise par le coefficient."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation oubliée : $(e^{2x})' = 2e^{2x} \\neq\ne^{2x}$ : seule $e^x$ (coefficient $1$) est sa propre\nprimitive."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas\ncomme une puissance de $x$ : il reste $2x$, et on divise\npar $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $e^{ax}$ : $\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est\nconservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de\ntoutes les solutions d'équations différentielles."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "solutions-homogene"
      ],
      "title": "Les solutions de $y' = ay$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 3y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(x) = C\\,e^{3x}$, $C$ réel quelconque",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$, et il\nn'y a pas d'autre solution."
        },
        {
          "text": "$y(x) = e^{3x}$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Famille amputée : $5e^{3x}$ ou $-2e^{3x}$ conviennent\naussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 3x + C$, $C$ réel quelconque",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces fonctions résolvent $y' = 3$ ; ici $y'$ est\nproportionnelle à $y$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = C\\,e^{x} + 3$, $C$ réel quelconque",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $3y = 3Ce^x + 9$\n; le coefficient appartient à l'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par\nvaleur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 3y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{3x}$, $C$ réel quelconque",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$, et il\nn'y a pas d'autre solution."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{3x}$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Famille amputée : $5e^{3x}$ ou $-2e^{3x}$ conviennent\naussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 3x + C$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces fonctions résolvent $y' = 3$ ; ici $y'$ est\nproportionnelle à $y$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{x} + 3$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $3y = 3Ce^x + 9$\n; le coefficient appartient à l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par\nvaleur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 2y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{2x}$, $C$ réel quelconque",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(Ce^{2x})' = 2Ce^{2x} = 2y$, et il\nn'y a pas d'autre solution."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{2x}$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Famille amputée : $5e^{2x}$ ou $-2e^{2x}$ conviennent\naussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 2x + C$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces fonctions résolvent $y' = 2$ ; ici $y'$ est\nproportionnelle à $y$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{x} + 2$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $2y = 2Ce^x + 4$\n; le coefficient appartient à l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par\nvaleur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 5y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{5x}$, $C$ réel quelconque",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(Ce^{5x})' = 5Ce^{5x} = 5y$, et il\nn'y a pas d'autre solution."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{5x}$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Famille amputée : $5e^{5x}$ ou $-2e^{5x}$ conviennent\naussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 5x + C$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces fonctions résolvent $y' = 5$ ; ici $y'$ est\nproportionnelle à $y$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{x} + 5$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $5y = 5Ce^x + 25$\n; le coefficient appartient à l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par\nvaleur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle\n$y' = -4y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{-4x}$, $C$ réel quelconque",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(Ce^{-4x})' = -4Ce^{-4x} = -4y$, et il\nn'y a pas d'autre solution."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{-4x}$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Famille amputée : $5e^{-4x}$ ou $-2e^{-4x}$ conviennent\naussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = -4x + C$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces fonctions résolvent $y' = -4$ ; ici $y'$ est\nproportionnelle à $y$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{x} - 4$, $C$ réel quelconque",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $-4y = -4Ce^x + 16$\n; le coefficient appartient à l'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par\nvaleur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "resolution-complete"
      ],
      "title": "Résoudre avec condition initiale",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\\,y + 10$ vérifiant\n$y(0) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(t) = 20\\left(1 - e^{-0{,}5t}\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : équilibre $\\frac{10}{0{,}5} = 20$ ;\nsolutions $20 + Ce^{-0{,}5t}$ ; $y(0) = 0$ force $C =\n-20$ : la courbe monte de $0$ vers le plateau $20$."
        },
        {
          "text": "$y(t) = 20\\,e^{-0{,}5t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition violée : $y(0) = 20 \\neq 0$ : cette solution\npart du plateau et décroît : la nôtre part de $0$ et\nmonte."
        },
        {
          "text": "$y(t) = 20\\left(1 + e^{-0{,}5t}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $y(0) = 40 \\neq 0$, et cette fonction\ndécroît vers $20$ au lieu d'y monter. La condition\ninitiale force $C = -20$, d'où $20 - 20e^{-0{,}5t}$."
        },
        {
          "text": "$y(t) = -20\\,e^{-0{,}5t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équilibre oublié : cette expression tend vers $0$ et\npart de $-20$ : la solution complète est équilibre PLUS\npartie exponentielle : $20 - 20e^{-0{,}5t}$."
        }
      ],
      "explanation": "Plan de résolution de $y' = ay + b$ : 1) équilibre\n$-\\frac{b}{a}$ ; 2) forme générale équilibre $+ Ce^{at}$ ;\n3) condition initiale pour $C$. La forme $\\ell(1 -\ne^{at})$ : la charge d'un réservoir depuis zéro."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comportement-long-terme"
      ],
      "title": "Long terme des solutions",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour l'équation $y' = -0{,}5\\,y + 10$, que deviennent\ntoutes les solutions quand $t \\to +\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quel que soit le point de départ, la partie\n$Ce^{-0{,}5t}$ s'éteint (coefficient négatif dans\nl'exposant) : seul le plateau $20$ survit : équilibre\n**attracteur**."
        },
        {
          "text": "Elles divergent toutes vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient de $y$ est **négatif** ($-0{,}5$) :\nil freine : l'explosion appartient aux équations $y' =\nay + b$ avec $a > 0$."
        },
        {
          "text": "Elles finissent toutes par tendre vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : le second membre $+10$ maintient\nun apport : l'équilibre est $\\frac{10}{0{,}5} = 20$, pas\n$0$."
        },
        {
          "text": "Leur limite dépend de la valeur de départ $y(0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le départ règle la **trajectoire** (montée si\n$y(0) < 20$, descente si $y(0) > 20$), pas la destination :\n$y(0) = 0$ donne $y(t) = 20 - 20e^{-0{,}5t}$ et $y(0) = 50$\ndonne $y(t) = 20 + 30e^{-0{,}5t}$, deux trajectoires pour\nune seule limite, $20$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$ avec $a < 0$ : l'équilibre\n$-\\frac{b}{a}$ attire toutes les solutions (la partie\nexponentielle meurt). Avec $a > 0$ : il les repousse. Le\nsigne de $a$ raconte tout le film."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "calcul"
      ],
      "title": "Primitive d'une somme",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 4x^3 + 2x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^4 + x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque terme se primitive séparément, et la\nvérification par dérivation redonne $f$."
        },
        {
          "text": "$12x^2 + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est\nl'inverse."
        },
        {
          "text": "$4x^4 + 2x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : la primitive de $4x^3$ vaut $x^4$, pas $4x^4$."
        },
        {
          "text": "$x^4 + 2x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second terme mal traité : la primitive de $2x$ vaut $x^2$."
        }
      ],
      "explanation": "La primitive de $x^n$ vaut $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. La vérification se fait\ntoujours en dérivant le résultat obtenu."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résoudre $y' = ay + b$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 2y + 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x} - 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $-4$, à laquelle\ns'ajoutent les solutions de $y' = 2y$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x} + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie\n$2y + 8 = 0$, donc $y = -4$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue\nserait $y' = 2y$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-2x} - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $2$ dans\nl'équation."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$Ce^{ax} - \\dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution\nconstante, obtenue en annulant la dérivée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 2y + 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x} - 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $-4$, à laquelle\ns'ajoutent les solutions de $y' = 2y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie\n$2y + 8 = 0$, donc $y = -4$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue\nserait $y' = 2y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-2x} - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $2$ dans\nl'équation."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$Ce^{ax} - \\dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution\nconstante, obtenue en annulant la dérivée."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 3y + 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{3x} - 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $-2$, à laquelle\ns'ajoutent les solutions de $y' = 3y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{3x} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie\n$3y + 6 = 0$, donc $y = -2$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue\nserait $y' = 3y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-3x} - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $3$ dans\nl'équation."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$Ce^{ax} - \\dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution\nconstante, obtenue en annulant la dérivée."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 4y - 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{4x} + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $3$, à laquelle\ns'ajoutent les solutions de $y' = 4y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{4x} - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie\n$4y - 12 = 0$, donc $y = 3$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue\nserait $y' = 4y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-4x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $4$ dans\nl'équation."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$Ce^{ax} - \\dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution\nconstante, obtenue en annulant la dérivée."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle\n$y' = 5y + 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{5x} - 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $-4$, à laquelle\ns'ajoutent les solutions de $y' = 5y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{5x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie\n$5y + 20 = 0$, donc $y = -4$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue\nserait $y' = 5y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-5x} - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $5$ dans\nl'équation."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$Ce^{ax} - \\dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution\nconstante, obtenue en annulant la dérivée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "forme-composee"
      ],
      "title": "Une forme $\\dfrac{u'}{u}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'expression est de la forme $\\dfrac{u'}{u}$, avec\n$u(x) = x^2 + 1$ strictement positive."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2x}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive."
        },
        {
          "text": "$2\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient de trop : la dérivée de cette expression vaut le double de\n$f$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur pris pour argument : c'est le dénominateur qui joue le rôle\nde $u$."
        }
      ],
      "explanation": "La primitive de $\\dfrac{u'}{u}$ est $\\ln|u|$, et $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Reconnaître la forme dispense de tout calcul."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Modéliser un refroidissement",
      "partie": "equations",
      "statement": "La température d'un objet vérifie $T' = -0{,}2(T - 20)$, où $20$ est\nla température ambiante. Vers quoi tend $T$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $20$ degrés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée s'annule pour $T = 20$, et le signe la\nramène toujours vers cette valeur."
        },
        {
          "text": "Vers $0$ degré",
          "correct": false,
          "feedback": "L'objet se met à la température de son environnement, pas au zéro de\nl'échelle."
        },
        {
          "text": "Vers $-0{,}2$ degré",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient recopié : il décrit la vitesse du refroidissement, pas sa\nlimite."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe négatif ramène la température vers l'ambiante au lieu de l'en\néloigner."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une équation $y' = a(y - k)$ avec $a$ négatif, la solution tend vers\n$k$. C'est la loi de refroidissement de Newton."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "condition"
      ],
      "title": "Une primitive qui s'annule",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Parmi les primitives de $f(x) = e^{x}$, laquelle s'annule en $0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{x} - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^0 - 1 = 0$, la constante vaut donc $-1$."
        },
        {
          "text": "$e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette primitive vaut $1$ en $0$, pas $0$."
        },
        {
          "text": "$e^{x} + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la constante : cette primitive vaut $2$ en $0$."
        },
        {
          "text": "$xe^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction fausse : sa dérivée vaut $(x+1)e^x$, pas $e^x$."
        }
      ],
      "explanation": "Toutes les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante. Imposer une\nvaleur en un point détermine cette constante, donc une primitive unique."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Déterminer la constante",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une solution de $y' = 3y$ vérifie $y(0) = 5$. Quelle est son\nexpression ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(x) = 5e^{3x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{3x}$, et\n$y(0) = C$ donne $C = 5$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = e^{3x} + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée\nne serait pas proportionnelle à la fonction."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 3e^{5x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients échangés : $3$ appartient à l'exposant, $5$\nà la constante."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 5e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et\nnon $3y$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition\ninitiale donne directement $C = y(0)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une solution de $y' = 3y$ vérifie $y(0) = 5$. Quelle est son\nexpression ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 5e^{3x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{3x}$, et\n$y(0) = C$ donne $C = 5$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{3x} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée\nne serait pas proportionnelle à la fonction."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $3$ appartient à l'exposant, $5$\nà la constante."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 5e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et\nnon $3y$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition\ninitiale donne directement $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Une solution de $y' = 2y$ vérifie $y(0) = 4$. Quelle est son\nexpression ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 4e^{2x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{2x}$, et\n$y(0) = C$ donne $C = 4$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{2x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée\nne serait pas proportionnelle à la fonction."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 2e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $2$ appartient à l'exposant, $4$\nà la constante."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 4e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et\nnon $2y$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition\ninitiale donne directement $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Une solution de $y' = -2y$ vérifie $y(0) = 7$. Quelle est son\nexpression ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{-2x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{-2x}$, et\n$y(0) = C$ donne $C = 7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{-2x} + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée\nne serait pas proportionnelle à la fonction."
            },
            {
              "text": "$y(x) = -2e^{7x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $-2$ appartient à l'exposant, $7$\nà la constante."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et\nnon $-2y$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition\ninitiale donne directement $C = y(0)$."
        },
        {
          "statement": "Une solution de $y' = 4y$ vérifie $y(0) = 3$. Quelle est son\nexpression ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{4x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{4x}$, et\n$y(0) = C$ donne $C = 3$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = e^{4x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée\nne serait pas proportionnelle à la fonction."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 4e^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $4$ appartient à l'exposant, $3$\nà la constante."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et\nnon $4y$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition\ninitiale donne directement $C = y(0)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "verification"
      ],
      "title": "Vérifier une primitive",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Comment s'assurer qu'une fonction $F$ est bien une primitive de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En dérivant $F$ et en comparant à $f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la vérification est immédiate et lève tout doute sur le\ncalcul."
        },
        {
          "text": "En comparant $F$ et $f$ en un point",
          "correct": false,
          "feedback": "Une égalité en un point ne prouve rien : elle peut être fortuite."
        },
        {
          "text": "En vérifiant que $F$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "La croissance de $F$ traduit seulement la positivité de $f$, ce qui\nn'est ni nécessaire ni suffisant."
        },
        {
          "text": "En intégrant $f$ une seconde fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seconde primitivation donne une autre fonction, sans rapport avec\nla vérification demandée."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive se définit par sa dérivée. La vérification par dérivation\nest donc la méthode directe, et elle doit accompagner tout calcul."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "composee-affine"
      ],
      "title": "Primitive de $(ax + b)^2$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = (2x + 1)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$\nvaut\n$\\dfrac{3 \\times 2 \\times (2x + 1)^2}{6} = (2x + 1)^2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{(2x + 1)^3}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait\n$2(2x + 1)^2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2(2x + 1)^3}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée\nvaudrait $4(2x + 1)^2$."
        },
        {
          "text": "$4(2x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre\ndérivée vaut $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $x \\mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici\n$X \\mapsto \\dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient\n$a = 2$. Dériver le résultat le vérifie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = (2x + 1)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$\nvaut\n$\\dfrac{3 \\times 2 \\times (2x + 1)^2}{6} = (2x + 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{(2x + 1)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait\n$2(2x + 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2(2x + 1)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée\nvaudrait $4(2x + 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$4(2x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre\ndérivée vaut $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $x \\mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici\n$X \\mapsto \\dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient\n$a = 2$. Dériver le résultat le vérifie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = (3x + 2)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{(3x + 2)^3}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\dfrac{(3x + 2)^3}{9}$\nvaut\n$\\dfrac{3 \\times 3 \\times (3x + 2)^2}{9} = (3x + 2)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{(3x + 2)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait\n$3(3x + 2)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3(3x + 2)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée\nvaudrait $9(3x + 2)^2$."
            },
            {
              "text": "$6(3x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre\ndérivée vaut $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $x \\mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici\n$X \\mapsto \\dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient\n$a = 3$. Dériver le résultat le vérifie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = (4x - 1)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{(4x - 1)^3}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\dfrac{(4x - 1)^3}{12}$\nvaut\n$\\dfrac{3 \\times 4 \\times (4x - 1)^2}{12} = (4x - 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{(4x - 1)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait\n$4(4x - 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4(4x - 1)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée\nvaudrait $16(4x - 1)^2$."
            },
            {
              "text": "$8(4x - 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre\ndérivée vaut $32$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $x \\mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici\n$X \\mapsto \\dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient\n$a = 4$. Dériver le résultat le vérifie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = (5x + 3)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{(5x + 3)^3}{15}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\dfrac{(5x + 3)^3}{15}$\nvaut\n$\\dfrac{3 \\times 5 \\times (5x + 3)^2}{15} = (5x + 3)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{(5x + 3)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait\n$5(5x + 3)^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5(5x + 3)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée\nvaudrait $25(5x + 3)^2$."
            },
            {
              "text": "$10(5x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre\ndérivée vaut $50$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $x \\mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici\n$X \\mapsto \\dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient\n$a = 5$. Dériver le résultat le vérifie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Lire un coefficient de décroissance",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une quantité vérifie $y' = -0{,}05y$, avec $t$ en années.\nQue représente le coefficient $0{,}05$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le taux de décroissance instantané",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la quantité perd chaque instant une part\nproportionnelle à sa valeur."
        },
        {
          "text": "La valeur initiale de la quantité",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur initiale est la constante $C$, déterminée par une condition\nen $t = 0$."
        },
        {
          "text": "La durée au bout de laquelle la quantité s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "La quantité tend vers $0$ sans jamais l'atteindre en un temps fini."
        },
        {
          "text": "La moitié de la durée de demi-vie",
          "correct": false,
          "feedback": "La demi-vie vaut $\\dfrac{\\ln 2}{0{,}05}$, soit environ $13{,}9$ ans,\nsans rapport simple avec le coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $y' = ay$, le coefficient $a$ est le taux de variation instantané\nrapporté à la valeur de la quantité. Négatif, il décrit une décroissance\nexponentielle."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "ensemble"
      ],
      "title": "Combien de primitives",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Combien de primitives une fonction continue admet-elle sur un\nintervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une infinité, différant d'une constante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $F$ convient, alors $F + C$ convient aussi pour tout\nréel $C$."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "L'unicité n'apparaît qu'après avoir imposé une valeur en un point."
        },
        {
          "text": "Deux, opposées l'une de l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "L'opposée d'une primitive est une primitive de l'opposée de la\nfonction, pas de la fonction elle-même."
        },
        {
          "text": "Aucune si la fonction change de signe",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'intervient pas : toute fonction continue sur un intervalle\nadmet des primitives."
        }
      ],
      "explanation": "Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, en\nnombre infini. Elles diffèrent deux à deux d'une constante, puisque leur\ndifférence a une dérivée nulle."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "verification"
      ],
      "title": "Tester une solution proposée",
      "partie": "equations",
      "statement": "La fonction $y(x) = 3e^{-x}$ est-elle solution de $y' = -y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, sa dérivée vaut $-3e^{-x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cette dérivée est bien l'opposée de la fonction."
        },
        {
          "text": "Non, sa dérivée vaut $3e^{-x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $e^{-x}$ vaut $-e^{-x}$."
        },
        {
          "text": "Non, le coefficient $3$ l'en empêche",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout multiple d'une solution est encore solution : l'équation est\nlinéaire."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement pour $x$ positif",
          "correct": false,
          "feedback": "L'égalité des deux membres vaut pour tout réel $x$."
        }
      ],
      "explanation": "Vérifier une solution consiste à dériver la fonction proposée et à\ncomparer les deux membres de l'équation. La méthode vaut pour toute\néquation différentielle."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "equilibre"
      ],
      "title": "Une population qui se stabilise",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une population vérifie $P' = 0{,}1\\,(500 - P)$. Que se passe-t-il si\n$P$ vaut $600$ au départ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît vers $500$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée est négative tant que $P$ est du\nmême côté de $500$ que la valeur initiale."
        },
        {
          "text": "Elle croît et s'éloigne de $500$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la dérivée inversé : $500 - P$ a le signe qui ramène\n$P$ vers $500$."
        },
        {
          "text": "Elle reste constante à $600$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la valeur $500$ annule la dérivée."
        },
        {
          "text": "Elle décroît vers 0",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée change de signe en $500$ : la population ne\nfranchit pas l'équilibre."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à\nl'équilibre $500$ : au-dessus la population diminue, en dessous\nelle augmente, et elle converge vers $500$ dans les deux cas.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une population vérifie $P' = 0{,}1\\,(500 - P)$. Que se passe-t-il si\n$P$ vaut $600$ au départ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle décroît vers $500$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée est négative tant que $P$ est du\nmême côté de $500$ que la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "Elle croît et s'éloigne de $500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la dérivée inversé : $500 - P$ a le signe qui ramène\n$P$ vers $500$."
            },
            {
              "text": "Elle reste constante à $600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la valeur $500$ annule la dérivée."
            },
            {
              "text": "Elle décroît vers 0",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée change de signe en $500$ : la population ne\nfranchit pas l'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à\nl'équilibre $500$ : au-dessus la population diminue, en dessous\nelle augmente, et elle converge vers $500$ dans les deux cas."
        },
        {
          "statement": "Une population vérifie $P' = 0{,}2\\,(300 - P)$. Que se passe-t-il si\n$P$ vaut $100$ au départ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle croît vers $300$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée est positive tant que $P$ est du\nmême côté de $300$ que la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "Elle décroît et s'éloigne de $300$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la dérivée inversé : $300 - P$ a le signe qui ramène\n$P$ vers $300$."
            },
            {
              "text": "Elle reste constante à $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la valeur $300$ annule la dérivée."
            },
            {
              "text": "Elle croît sans limite",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée change de signe en $300$ : la population ne\nfranchit pas l'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à\nl'équilibre $300$ : au-dessus la population diminue, en dessous\nelle augmente, et elle converge vers $300$ dans les deux cas."
        },
        {
          "statement": "Une population vérifie $P' = 0{,}05\\,(1000 - P)$. Que se passe-t-il si\n$P$ vaut $1500$ au départ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle décroît vers $1000$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée est négative tant que $P$ est du\nmême côté de $1000$ que la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "Elle croît et s'éloigne de $1000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la dérivée inversé : $1000 - P$ a le signe qui ramène\n$P$ vers $1000$."
            },
            {
              "text": "Elle reste constante à $1500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la valeur $1000$ annule la dérivée."
            },
            {
              "text": "Elle décroît vers 0",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée change de signe en $1000$ : la population ne\nfranchit pas l'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à\nl'équilibre $1000$ : au-dessus la population diminue, en dessous\nelle augmente, et elle converge vers $1000$ dans les deux cas."
        },
        {
          "statement": "Une population vérifie $P' = 0{,}3\\,(80 - P)$. Que se passe-t-il si\n$P$ vaut $20$ au départ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle croît vers $80$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée est positive tant que $P$ est du\nmême côté de $80$ que la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "Elle décroît et s'éloigne de $80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de la dérivée inversé : $80 - P$ a le signe qui ramène\n$P$ vers $80$."
            },
            {
              "text": "Elle reste constante à $20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la valeur $80$ annule la dérivée."
            },
            {
              "text": "Elle croît sans limite",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée change de signe en $80$ : la population ne\nfranchit pas l'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à\nl'équilibre $80$ : au-dessus la population diminue, en dessous\nelle augmente, et elle converge vers $80$ dans les deux cas."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-puissance"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x^2}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x^2}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $-\\dfrac{1}{x}$, on retrouve\n$\\dfrac{1}{x^2}$. La règle des puissances appliquée à $x^{-2}$ donne\nle même résultat."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut $-\\dfrac{1}{x^2}$,\nsoit l'opposé de $f$. La primitive cherchée est $-\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{2}{x^3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $\\dfrac{1}{x^2}$,\nalors que la question demande de remonter à une primitive."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : seul l'inverse appelle un logarithme.\nPour $\\dfrac{1}{x^2}$, la règle des puissances suffit."
        }
      ],
      "explanation": "La règle $x^n \\to \\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ vaut aussi pour les exposants\nnégatifs, sauf pour $n = -1$. Avec $n = -2$, elle donne\n$\\dfrac{x^{-1}}{-1}$, c'est-à-dire $-\\dfrac{1}{x}$."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-inverse",
        "calcul"
      ],
      "title": "Primitive d'un multiple de l'inverse",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{3}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = 3\\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et\n$\\ln$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(3x\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $3$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{\\ln x}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $3$ reste en\nfacteur devant le logarithme."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{3}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de\nses primitives."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive de $k \\times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une\nprimitive de $g$. Ici $g(x) = \\dfrac{1}{x}$, dont une primitive est\n$\\ln x$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{3}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 3\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et\n$\\ln$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(3x\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\ln x}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $3$ reste en\nfacteur devant le logarithme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{3}{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de\nses primitives."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $k \\times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une\nprimitive de $g$. Ici $g(x) = \\dfrac{1}{x}$, dont une primitive est\n$\\ln x$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{5}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 5\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et\n$\\ln$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(5x\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $5$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\ln x}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $5$ reste en\nfacteur devant le logarithme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{5}{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de\nses primitives."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $k \\times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une\nprimitive de $g$. Ici $g(x) = \\dfrac{1}{x}$, dont une primitive est\n$\\ln x$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et\n$\\ln$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(2x\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\ln x}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $2$ reste en\nfacteur devant le logarithme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{2}{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de\nses primitives."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $k \\times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une\nprimitive de $g$. Ici $g(x) = \\dfrac{1}{x}$, dont une primitive est\n$\\ln x$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{4}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 4\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et\n$\\ln$ est une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(4x\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\ln x}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $4$ reste en\nfacteur devant le logarithme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{4}{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de\nses primitives."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $k \\times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une\nprimitive de $g$. Ici $g(x) = \\dfrac{1}{x}$, dont une primitive est\n$\\ln x$ sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "constante",
        "ensemble"
      ],
      "title": "Différence de deux primitives",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Les fonctions $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$\nsur un intervalle $I$. Que peut-on dire de la fonction $F - G$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est constante sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $F - G$ vaut $f - f$, donc $0$ sur tout\nl'intervalle : la fonction est constante."
        },
        {
          "text": "Elle est nulle sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas particulier : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives de $2x$ et\nleur différence vaut $7$, une constante non nulle."
        },
        {
          "text": "Elle est encore une primitive de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée de $F - G$ est nulle, alors qu'une primitive de\n$f$ aurait pour dérivée $f$."
        },
        {
          "text": "Elle a la même dérivée que $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la dérivée de $F - G$ qui est en jeu, et elle vaut $0$.\nRien n'est demandé sur la dérivée de $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une\nconstante. C'est ce résultat qui donne la famille $F + C$ et qui permet\nd'isoler une primitive en imposant une valeur en un point."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-y-prime-ay",
        "solutions-homogene"
      ],
      "title": "Retrouver l'équation à partir des solutions",
      "partie": "equations",
      "statement": "Les fonctions $y(x) = C\\,e^{4x}$, où $C$ décrit $\\mathbb{R}$, sont les\nsolutions de quelle équation différentielle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = 4y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = 4C\\,e^{4x}$, c'est-à-dire\n$4\\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$."
        },
        {
          "text": "$y' = -4y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation\nsans être changé de signe."
        },
        {
          "text": "$y' = 4x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour\nsolutions des paraboles, pas des exponentielles."
        },
        {
          "text": "$y' = y + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait\nalors de la forme $y + b$."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le\ncoefficient de $x$ dans l'exposant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les fonctions $y(x) = C\\,e^{4x}$, où $C$ décrit $\\mathbb{R}$, sont les\nsolutions de quelle équation différentielle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 4y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = 4C\\,e^{4x}$, c'est-à-dire\n$4\\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = -4y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation\nsans être changé de signe."
            },
            {
              "text": "$y' = 4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour\nsolutions des paraboles, pas des exponentielles."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait\nalors de la forme $y + b$."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le\ncoefficient de $x$ dans l'exposant."
        },
        {
          "statement": "Les fonctions $y(x) = C\\,e^{-3x}$, où $C$ décrit $\\mathbb{R}$, sont les\nsolutions de quelle équation différentielle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -3y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = -3C\\,e^{-3x}$, c'est-à-dire\n$-3\\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = 3y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation\nsans être changé de signe."
            },
            {
              "text": "$y' = -3x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour\nsolutions des paraboles, pas des exponentielles."
            },
            {
              "text": "$y' = y - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait\nalors de la forme $y + b$."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le\ncoefficient de $x$ dans l'exposant."
        },
        {
          "statement": "Les fonctions $y(x) = C\\,e^{6x}$, où $C$ décrit $\\mathbb{R}$, sont les\nsolutions de quelle équation différentielle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 6y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = 6C\\,e^{6x}$, c'est-à-dire\n$6\\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = -6y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation\nsans être changé de signe."
            },
            {
              "text": "$y' = 6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour\nsolutions des paraboles, pas des exponentielles."
            },
            {
              "text": "$y' = y + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait\nalors de la forme $y + b$."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le\ncoefficient de $x$ dans l'exposant."
        },
        {
          "statement": "Les fonctions $y(x) = C\\,e^{-2x}$, où $C$ décrit $\\mathbb{R}$, sont les\nsolutions de quelle équation différentielle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -2y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = -2C\\,e^{-2x}$, c'est-à-dire\n$-2\\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = 2y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation\nsans être changé de signe."
            },
            {
              "text": "$y' = -2x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour\nsolutions des paraboles, pas des exponentielles."
            },
            {
              "text": "$y' = y - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait\nalors de la forme $y + b$."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le\ncoefficient de $x$ dans l'exposant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "resolution",
        "primitive"
      ],
      "title": "Une équation à second membre constant",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation différentielle\n$y' = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(x) = 4x + C$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction\nconstante égale à $4$, qui sont les fonctions affines de\ncoefficient directeur $4$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = C\\,e^{4x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = 4y$, où la dérivée\ndépend de la fonction. Ici le second membre est constant."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 4 + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $4$. Le facteur\n$x$ manque."
        },
        {
          "text": "$y(x) = \\dfrac{4x^2}{2} + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut\n$4x$, alors que l'équation demande $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$\nest constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante\nadditive près.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation différentielle\n$y' = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 4x + C$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction\nconstante égale à $4$, qui sont les fonctions affines de\ncoefficient directeur $4$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = 4y$, où la dérivée\ndépend de la fonction. Ici le second membre est constant."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 4 + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $4$. Le facteur\n$x$ manque."
            },
            {
              "text": "$y(x) = \\dfrac{4x^2}{2} + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut\n$4x$, alors que l'équation demande $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$\nest constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante\nadditive près."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation différentielle\n$y' = -3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = -3x + C$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction\nconstante égale à $-3$, qui sont les fonctions affines de\ncoefficient directeur $-3$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{-3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = -3y$, où la dérivée\ndépend de la fonction. Ici le second membre est constant."
            },
            {
              "text": "$y(x) = -3 + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $-3$. Le facteur\n$x$ manque."
            },
            {
              "text": "$y(x) = \\dfrac{-3x^2}{2} + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut\n$-3x$, alors que l'équation demande $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$\nest constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante\nadditive près."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation différentielle\n$y' = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 7x + C$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction\nconstante égale à $7$, qui sont les fonctions affines de\ncoefficient directeur $7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{7x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = 7y$, où la dérivée\ndépend de la fonction. Ici le second membre est constant."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7 + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $7$. Le facteur\n$x$ manque."
            },
            {
              "text": "$y(x) = \\dfrac{7x^2}{2} + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut\n$7x$, alors que l'équation demande $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$\nest constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante\nadditive près."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation différentielle\n$y' = -5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = -5x + C$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction\nconstante égale à $-5$, qui sont les fonctions affines de\ncoefficient directeur $-5$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = C\\,e^{-5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = -5y$, où la dérivée\ndépend de la fonction. Ici le second membre est constant."
            },
            {
              "text": "$y(x) = -5 + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $-5$. Le facteur\n$x$ manque."
            },
            {
              "text": "$y(x) = \\dfrac{-5x^2}{2} + C$",
              "correct": false,
              "feedback": "Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut\n$-5x$, alors que l'équation demande $-5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$\nest constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante\nadditive près."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-2uu"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $u'u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\left(x^2 + 3\\right)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 3\\right)^2}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3$, on a $u'(x) = 2x$, donc\n$f = u'u$, dont une primitive est $\\dfrac{u^2}{2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\left(x^2 + 3\\right)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$2u'u$, soit le double de $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 3\\right)^3}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance\n$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2\\left(x^2 + 3\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le\nmontre la dérivation de ce produit."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour\nprimitive $\\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{u^2}{2}\\right)' = u'u$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\left(x^2 + 3\\right)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 3\\right)^2}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3$, on a $u'(x) = 2x$, donc\n$f = u'u$, dont une primitive est $\\dfrac{u^2}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\left(x^2 + 3\\right)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$2u'u$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 3\\right)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance\n$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^2\\left(x^2 + 3\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le\nmontre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour\nprimitive $\\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{u^2}{2}\\right)' = u'u$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\left(x^2 + 5\\right)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 5\\right)^2}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 5$, on a $u'(x) = 2x$, donc\n$f = u'u$, dont une primitive est $\\dfrac{u^2}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\left(x^2 + 5\\right)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$2u'u$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 5\\right)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance\n$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^2\\left(x^2 + 5\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le\nmontre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour\nprimitive $\\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{u^2}{2}\\right)' = u'u$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\left(x^2 + 2\\right)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 2\\right)^2}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 2$, on a $u'(x) = 2x$, donc\n$f = u'u$, dont une primitive est $\\dfrac{u^2}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\left(x^2 + 2\\right)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$2u'u$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 2\\right)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance\n$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^2\\left(x^2 + 2\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le\nmontre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour\nprimitive $\\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{u^2}{2}\\right)' = u'u$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\left(x^2 + 4\\right)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 4\\right)^2}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 4$, on a $u'(x) = 2x$, donc\n$f = u'u$, dont une primitive est $\\dfrac{u^2}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\left(x^2 + 4\\right)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$2u'u$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\left(x^2 + 4\\right)^3}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance\n$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^2\\left(x^2 + 4\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le\nmontre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour\nprimitive $\\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{u^2}{2}\\right)' = u'u$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-eu"
      ],
      "title": "Ajuster le facteur devant $e^u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 3x\\,e^{x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{2}\\,e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on écrit $f(x) = \\dfrac{3}{2} \\times 2x\\,e^{x^2}$\npour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut\n$6x\\,e^{x^2}$, soit le double de $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 6\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $3$ doit\nêtre partagé en deux, non doublé."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{2}\\,x^2e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à\nterme, la dérivation le confirme."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant\nl'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative\nrétablit l'égalité, ici $\\dfrac{1}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 3x\\,e^{x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{2}\\,e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit $f(x) = \\dfrac{3}{2} \\times 2x\\,e^{x^2}$\npour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut\n$6x\\,e^{x^2}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 6\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $3$ doit\nêtre partagé en deux, non doublé."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{2}\\,x^2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à\nterme, la dérivation le confirme."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant\nl'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative\nrétablit l'égalité, ici $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 5x\\,e^{x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{5}{2}\\,e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit $f(x) = \\dfrac{5}{2} \\times 2x\\,e^{x^2}$\npour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut\n$10x\\,e^{x^2}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 10\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $5$ doit\nêtre partagé en deux, non doublé."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{5}{2}\\,x^2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à\nterme, la dérivation le confirme."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant\nl'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative\nrétablit l'égalité, ici $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 7x\\,e^{x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{7}{2}\\,e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit $f(x) = \\dfrac{7}{2} \\times 2x\\,e^{x^2}$\npour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 7\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut\n$14x\\,e^{x^2}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 14\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $7$ doit\nêtre partagé en deux, non doublé."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{7}{2}\\,x^2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à\nterme, la dérivation le confirme."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant\nl'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative\nrétablit l'égalité, ici $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 4x\\,e^{x^2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit $f(x) = 2 \\times 2x\\,e^{x^2}$\npour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut\n$8x\\,e^{x^2}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 8\\,e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $4$ doit\nêtre partagé en deux, non doublé."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,x^2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à\nterme, la dérivation le confirme."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant\nl'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative\nrétablit l'égalité, ici $\\dfrac{1}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-uprime-sur-u"
      ],
      "title": "Un quotient avec une exponentielle",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{e^x}{e^x + 1}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x + 1\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 1$, le numérateur est exactement\n$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{e^x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Forme confondue : la dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^x\\ln\\left(e^x + 1\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors\nque $f$ n'en comporte qu'un."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x\\right) + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle\ndans la forme $\\dfrac{u'}{u}$."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Ici $u(x) = e^x + 1$ et $u'(x) = e^x$, qui est\nbien le numérateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{e^x}{e^x + 1}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x + 1\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 1$, le numérateur est exactement\n$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{e^x + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue : la dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^x\\ln\\left(e^x + 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors\nque $f$ n'en comporte qu'un."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x\\right) + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle\ndans la forme $\\dfrac{u'}{u}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Ici $u(x) = e^x + 1$ et $u'(x) = e^x$, qui est\nbien le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{e^x}{e^x + 2}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x + 2\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 2$, le numérateur est exactement\n$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{e^x + 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue : la dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^x\\ln\\left(e^x + 2\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors\nque $f$ n'en comporte qu'un."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x\\right) + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle\ndans la forme $\\dfrac{u'}{u}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Ici $u(x) = e^x + 2$ et $u'(x) = e^x$, qui est\nbien le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{e^x}{e^x + 5}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x + 5\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 5$, le numérateur est exactement\n$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{e^x + 5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue : la dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^x\\ln\\left(e^x + 5\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors\nque $f$ n'en comporte qu'un."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x\\right) + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle\ndans la forme $\\dfrac{u'}{u}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Ici $u(x) = e^x + 5$ et $u'(x) = e^x$, qui est\nbien le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{e^x}{e^x + 3}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x + 3\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 3$, le numérateur est exactement\n$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{e^x + 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme confondue : la dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^x\\ln\\left(e^x + 3\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors\nque $f$ n'en comporte qu'un."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(e^x\\right) + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle\ndans la forme $\\dfrac{u'}{u}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ lorsque $u$ est\nstrictement positive. Ici $u(x) = e^x + 3$ et $u'(x) = e^x$, qui est\nbien le numérateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-composee",
        "forme-eu"
      ],
      "title": "Repérer une forme $u'e^u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Parmi ces fonctions, laquelle est de la forme $u'e^u$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x) = 3x^2e^{x^3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^3$, la dérivée $u'(x) = 3x^2$ est\nexactement le facteur placé devant l'exponentielle."
        },
        {
          "text": "$f(x) = x^3e^{3x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : le facteur devant l'exponentielle doit être la\ndérivée de l'exposant, ce qui n'est pas le cas ici."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 3x^2e^{3x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant mal dérivé : la dérivée de $3x^2$ vaut $6x$, et non $3x^2$.\nLa forme n'est donc pas reconnue."
        },
        {
          "text": "$f(x) = e^{x^3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur manquant : sans la dérivée de l'exposant devant\nl'exponentielle, la règle ne s'applique pas."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître une forme composée, c'est nommer $u$ puis vérifier que le\nfacteur présent est bien $u'$. Les trois formes du programme sont\n$2u'u$, $u'e^u$ et $\\dfrac{u'}{u}$."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "composee-affine",
        "primitive-exp"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{ax + b}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{3x + 1}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x + 1}}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{3x + 1}$ fait sortir le facteur\n$3$, que la division compense exactement."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut\n$3f(x)$, et non $f(x)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3e^{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors\n$9f(x)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x + 1}}{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici\n$3$, intervient dans la compensation."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une composée affine $x \\mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive\n$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne\n$\\dfrac{e^{ax + b}}{a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{3x + 1}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x + 1}}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{3x + 1}$ fait sortir le facteur\n$3$, que la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{3x + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut\n$3f(x)$, et non $f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3e^{3x + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors\n$9f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x + 1}}{3x + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici\n$3$, intervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée affine $x \\mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive\n$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne\n$\\dfrac{e^{ax + b}}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{5x - 2}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{5x - 2}}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{5x - 2}$ fait sortir le facteur\n$5$, que la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{5x - 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut\n$5f(x)$, et non $f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5e^{5x - 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors\n$25f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{5x - 2}}{5x - 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici\n$5$, intervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée affine $x \\mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive\n$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne\n$\\dfrac{e^{ax + b}}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{4x + 7}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{4x + 7}}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{4x + 7}$ fait sortir le facteur\n$4$, que la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{4x + 7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut\n$4f(x)$, et non $f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4e^{4x + 7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors\n$16f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{4x + 7}}{4x + 7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici\n$4$, intervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée affine $x \\mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive\n$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne\n$\\dfrac{e^{ax + b}}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x - 3}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{2x - 3}}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{2x - 3}$ fait sortir le facteur\n$2$, que la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{2x - 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut\n$2f(x)$, et non $f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2e^{2x - 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors\n$4f(x)$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{2x - 3}}{2x - 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici\n$2$, intervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée affine $x \\mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive\n$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne\n$\\dfrac{e^{ax + b}}{a}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "choix",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Traduire une élimination proportionnelle",
      "partie": "primitives",
      "statement": "La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant\nproportionnellement à la quantité restante, au rythme de $8\\ \\%$ par\nheure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = -0{,}08\\,y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité\nrestante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et\n$8\\ \\%$ s'écrit $0{,}08$."
        },
        {
          "text": "$y' = -8\\,y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage non converti : $8\\ \\%$ vaut $0{,}08$, ce qui change\ncomplètement la vitesse d'élimination."
        },
        {
          "text": "$y' = -0{,}08$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité\nchaque heure, sans tenir compte de ce qui reste."
        },
        {
          "text": "$y' = 0{,}08\\,y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans\nle sang augmenterait au lieu de diminuer."
        }
      ],
      "explanation": "« Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par\n$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un\ncoefficient décimal, ici $0{,}08$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant\nproportionnellement à la quantité restante, au rythme de $8\\ \\%$ par\nheure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -0{,}08\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité\nrestante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et\n$8\\ \\%$ s'écrit $0{,}08$."
            },
            {
              "text": "$y' = -8\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage non converti : $8\\ \\%$ vaut $0{,}08$, ce qui change\ncomplètement la vitesse d'élimination."
            },
            {
              "text": "$y' = -0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité\nchaque heure, sans tenir compte de ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}08\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans\nle sang augmenterait au lieu de diminuer."
            }
          ],
          "explanation": "« Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par\n$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un\ncoefficient décimal, ici $0{,}08$."
        },
        {
          "statement": "La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant\nproportionnellement à la quantité restante, au rythme de $12\\ \\%$ par\nheure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -0{,}12\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité\nrestante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et\n$12\\ \\%$ s'écrit $0{,}12$."
            },
            {
              "text": "$y' = -12\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage non converti : $12\\ \\%$ vaut $0{,}12$, ce qui change\ncomplètement la vitesse d'élimination."
            },
            {
              "text": "$y' = -0{,}12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité\nchaque heure, sans tenir compte de ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}12\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans\nle sang augmenterait au lieu de diminuer."
            }
          ],
          "explanation": "« Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par\n$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un\ncoefficient décimal, ici $0{,}12$."
        },
        {
          "statement": "La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant\nproportionnellement à la quantité restante, au rythme de $5\\ \\%$ par\nheure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -0{,}05\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité\nrestante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et\n$5\\ \\%$ s'écrit $0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$y' = -5\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage non converti : $5\\ \\%$ vaut $0{,}05$, ce qui change\ncomplètement la vitesse d'élimination."
            },
            {
              "text": "$y' = -0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité\nchaque heure, sans tenir compte de ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}05\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans\nle sang augmenterait au lieu de diminuer."
            }
          ],
          "explanation": "« Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par\n$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un\ncoefficient décimal, ici $0{,}05$."
        },
        {
          "statement": "La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant\nproportionnellement à la quantité restante, au rythme de $10\\ \\%$ par\nheure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -0{,}1\\,y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité\nrestante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et\n$10\\ \\%$ s'écrit $0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$y' = -10\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage non converti : $10\\ \\%$ vaut $0{,}1$, ce qui change\ncomplètement la vitesse d'élimination."
            },
            {
              "text": "$y' = -0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité\nchaque heure, sans tenir compte de ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$y' = 0{,}1\\,y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans\nle sang augmenterait au lieu de diminuer."
            }
          ],
          "explanation": "« Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par\n$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un\ncoefficient décimal, ici $0{,}1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-ay-plus-b",
        "equilibre"
      ],
      "title": "La solution constante",
      "partie": "equations",
      "statement": "L'équation différentielle $y' = -4y + 12$ admet une unique solution\nconstante. Quelle est cette constante ?",
      "options": [
        {
          "text": "La constante $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc\n$-4y + 12 = 0$, ce qui donne $y = 3$."
        },
        {
          "text": "La constante $12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nc'est-à-dire $3$ ici."
        },
        {
          "text": "La constante $-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la résolution de $-4y + 12 = 0$ conduit à\n$3$, et non à son opposé."
        },
        {
          "text": "La constante $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas\nla valeur d'équilibre."
        }
      ],
      "explanation": "Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce\nqui donne $y = -\\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -4y + 12$ admet une unique solution\nconstante. Quelle est cette constante ?",
          "options": [
            {
              "text": "La constante $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc\n$-4y + 12 = 0$, ce qui donne $y = 3$."
            },
            {
              "text": "La constante $12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nc'est-à-dire $3$ ici."
            },
            {
              "text": "La constante $-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la résolution de $-4y + 12 = 0$ conduit à\n$3$, et non à son opposé."
            },
            {
              "text": "La constante $-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas\nla valeur d'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce\nqui donne $y = -\\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -5y + 20$ admet une unique solution\nconstante. Quelle est cette constante ?",
          "options": [
            {
              "text": "La constante $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc\n$-5y + 20 = 0$, ce qui donne $y = 4$."
            },
            {
              "text": "La constante $20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nc'est-à-dire $4$ ici."
            },
            {
              "text": "La constante $-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la résolution de $-5y + 20 = 0$ conduit à\n$4$, et non à son opposé."
            },
            {
              "text": "La constante $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas\nla valeur d'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce\nqui donne $y = -\\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = 3y - 18$ admet une unique solution\nconstante. Quelle est cette constante ?",
          "options": [
            {
              "text": "La constante $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc\n$3y - 18 = 0$, ce qui donne $y = 6$."
            },
            {
              "text": "La constante $-18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nc'est-à-dire $6$ ici."
            },
            {
              "text": "La constante $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la résolution de $3y - 18 = 0$ conduit à\n$6$, et non à son opposé."
            },
            {
              "text": "La constante $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas\nla valeur d'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce\nqui donne $y = -\\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -3y + 15$ admet une unique solution\nconstante. Quelle est cette constante ?",
          "options": [
            {
              "text": "La constante $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc\n$-3y + 15 = 0$, ce qui donne $y = 5$."
            },
            {
              "text": "La constante $15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nc'est-à-dire $5$ ici."
            },
            {
              "text": "La constante $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la résolution de $-3y + 15 = 0$ conduit à\n$5$, et non à son opposé."
            },
            {
              "text": "La constante $-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas\nla valeur d'équilibre."
            }
          ],
          "explanation": "Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce\nqui donne $y = -\\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "primitive",
        "forme-uprime-sur-u"
      ],
      "title": "Un numérateur à compléter",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée\n$\\left(x^2 + 1\\right)' = 2x$, d'où le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{2x}{x^2 + 1}$, le double de $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer\ndevant le logarithme est $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se\ntraite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit."
        }
      ],
      "explanation": "Avant d'appliquer la forme $\\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur\nest exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante\nmultiplicative rétablit l'égalité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée\n$\\left(x^2 + 1\\right)' = 2x$, d'où le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{2x}{x^2 + 1}$, le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer\ndevant le logarithme est $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln\\left(x^2 + 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se\ntraite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "Avant d'appliquer la forme $\\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur\nest exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante\nmultiplicative rétablit l'égalité."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 4}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(x^2 + 4\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée\n$\\left(x^2 + 4\\right)' = 2x$, d'où le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2 + 4\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{2x}{x^2 + 4}$, le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln\\left(x^2 + 4\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer\ndevant le logarithme est $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln\\left(x^2 + 4\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se\ntraite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "Avant d'appliquer la forme $\\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur\nest exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante\nmultiplicative rétablit l'égalité."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 9}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(x^2 + 9\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée\n$\\left(x^2 + 9\\right)' = 2x$, d'où le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2 + 9\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{2x}{x^2 + 9}$, le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln\\left(x^2 + 9\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer\ndevant le logarithme est $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln\\left(x^2 + 9\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se\ntraite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "Avant d'appliquer la forme $\\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur\nest exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante\nmultiplicative rétablit l'égalité."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 2}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln\\left(x^2 + 2\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée\n$\\left(x^2 + 2\\right)' = 2x$, d'où le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x^2 + 2\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $\\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut\n$\\dfrac{2x}{x^2 + 2}$, le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln\\left(x^2 + 2\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer\ndevant le logarithme est $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln\\left(x^2 + 2\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se\ntraite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit."
            }
          ],
          "explanation": "Avant d'appliquer la forme $\\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur\nest exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante\nmultiplicative rétablit l'égalité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "resolution-complete",
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Résolution avec valeur initiale",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 10$\nqui vérifie $y(0) = 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(x) = 3e^{-2x} + 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $5$, les solutions\ns'écrivent $Ce^{-2x} + 5$, et $y(0) = C + 5 = 8$ donne\n$C = 3$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 8e^{-2x} + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $5$ décale\nle départ, donc $C = 8 - 5$, soit $3$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 3e^{2x} + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -2y$,\ndont les solutions sont les $Ce^{-2x}$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 3e^{-2x} + 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Trois étapes : la solution constante $-\\dfrac{b}{a}$, la forme générale\nobtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe\n$C$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 10$\nqui vérifie $y(0) = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{-2x} + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $5$, les solutions\ns'écrivent $Ce^{-2x} + 5$, et $y(0) = C + 5 = 8$ donne\n$C = 3$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 8e^{-2x} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $5$ décale\nle départ, donc $C = 8 - 5$, soit $3$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{2x} + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -2y$,\ndont les solutions sont les $Ce^{-2x}$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 3e^{-2x} + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Trois étapes : la solution constante $-\\dfrac{b}{a}$, la forme générale\nobtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe\n$C$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -5y + 20$\nqui vérifie $y(0) = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{-5x} + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $4$, les solutions\ns'écrivent $Ce^{-5x} + 4$, et $y(0) = C + 4 = 11$ donne\n$C = 7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 11e^{-5x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $4$ décale\nle départ, donc $C = 11 - 4$, soit $7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{5x} + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -5y$,\ndont les solutions sont les $Ce^{-5x}$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{-5x} + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Trois étapes : la solution constante $-\\dfrac{b}{a}$, la forme générale\nobtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe\n$C$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -4y + 12$\nqui vérifie $y(0) = 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{-4x} + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $3$, les solutions\ns'écrivent $Ce^{-4x} + 3$, et $y(0) = C + 3 = 10$ donne\n$C = 7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 10e^{-4x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $3$ décale\nle départ, donc $C = 10 - 3$, soit $7$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{4x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -4y$,\ndont les solutions sont les $Ce^{-4x}$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 7e^{-4x} + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Trois étapes : la solution constante $-\\dfrac{b}{a}$, la forme générale\nobtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe\n$C$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -3y + 9$\nqui vérifie $y(0) = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y(x) = 2e^{-3x} + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la solution constante vaut $3$, les solutions\ns'écrivent $Ce^{-3x} + 3$, et $y(0) = C + 3 = 5$ donne\n$C = 2$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 5e^{-3x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $3$ décale\nle départ, donc $C = 5 - 3$, soit $2$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 2e^{3x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -3y$,\ndont les solutions sont les $Ce^{-3x}$."
            },
            {
              "text": "$y(x) = 2e^{-3x} + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Trois étapes : la solution constante $-\\dfrac{b}{a}$, la forme générale\nobtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe\n$C$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comportement-long-terme",
        "equilibre"
      ],
      "title": "Un équilibre qui repousse",
      "partie": "equations",
      "statement": "Les solutions de l'équation $y' = 0{,}3\\,y - 6$ ont pour valeur\nd'équilibre $20$. Que devient celle qui vérifie $y(0) = 25$ lorsque $t$\ntend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle tend vers $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cette solution s'écrit $20 + 5e^{0{,}3t}$. Le\ncoefficient de $y$ étant positif, la partie exponentielle grandit et\néloigne la solution de l'équilibre."
        },
        {
          "text": "Elle tend vers $20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équilibre pris pour une limite : il n'attire les solutions que\nlorsque le coefficient de $y$ est négatif, ce qui n'est pas le cas."
        },
        {
          "text": "Elle reste constante, égale à $25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la valeur $20$ annule la dérivée : en $25$, celle-ci vaut\n$1{,}5$, donc la solution croît."
        },
        {
          "text": "Elle tend vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le second membre comporte un terme constant, et un\ncoefficient positif éloigne de l'équilibre au lieu d'y ramener."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$, l'équilibre $-\\dfrac{b}{a}$ attire les solutions\nquand $a$ est négatif et les repousse quand $a$ est positif. Le signe du\ncoefficient de $y$ décide du comportement en $+\\infty$."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive",
        "definition"
      ],
      "title": "Signe de $f$ et variations de $F$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "La fonction $f$ est positive sur un intervalle $I$. Que peut-on dire de\nses primitives sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles sont croissantes sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive $F$ vérifie $F' = f$, donc $F' \\geq 0$\nsur $I$, ce qui fait croître $F$."
        },
        {
          "text": "Elles sont positives sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étages confondus : c'est la dérivée de $F$ qui est positive. La\nfonction $F(x) = x^2 - 9$ croît sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ en y prenant\ndes valeurs négatives."
        },
        {
          "text": "Elles sont décroissantes sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : une dérivée positive fait croître la fonction, elle\nne la fait pas diminuer."
        },
        {
          "text": "Elles sont constantes sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas d'une fonction $f$ nulle : dès que $f$ prend des valeurs\nstrictement positives, $F$ augmente."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive a pour dérivée la fonction de départ. Le signe de $f$ donne\ndonc directement le sens de variation de ses primitives : positive pour\ncroissantes, négative pour décroissantes."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-exp",
        "composee-affine"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{-ax}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-2x}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-2x}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{-2x}$ fait sortir le facteur $-2$,\nque la division compense exactement."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{-2x}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit\nl'opposé de la fonction de départ."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -2e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la\ndérivée de $f$, pas une de ses primitives."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-2x}}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$\nintervient dans la compensation."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive de $e^{ax}$ est $\\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$\nest négatif. Avec $a = -2$, cela donne $-\\dfrac{e^{-2x}}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-2x}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-2x}}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{-2x}$ fait sortir le facteur $-2$,\nque la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{-2x}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit\nl'opposé de la fonction de départ."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -2e^{-2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la\ndérivée de $f$, pas une de ses primitives."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-2x}}{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$\nintervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $e^{ax}$ est $\\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$\nest négatif. Avec $a = -2$, cela donne $-\\dfrac{e^{-2x}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-3x}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-3x}}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{-3x}$ fait sortir le facteur $-3$,\nque la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{-3x}}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit\nl'opposé de la fonction de départ."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -3e^{-3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la\ndérivée de $f$, pas une de ses primitives."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-3x}}{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$\nintervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $e^{ax}$ est $\\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$\nest négatif. Avec $a = -3$, cela donne $-\\dfrac{e^{-3x}}{3}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-5x}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-5x}}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{-5x}$ fait sortir le facteur $-5$,\nque la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{-5x}}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit\nl'opposé de la fonction de départ."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -5e^{-5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la\ndérivée de $f$, pas une de ses primitives."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-5x}}{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$\nintervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $e^{ax}$ est $\\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$\nest négatif. Avec $a = -5$, cela donne $-\\dfrac{e^{-5x}}{5}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-4x}$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-4x}}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{-4x}$ fait sortir le facteur $-4$,\nque la division compense exactement."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{-4x}}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit\nl'opposé de la fonction de départ."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -4e^{-4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la\ndérivée de $f$, pas une de ses primitives."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{e^{-4x}}{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$\nintervient dans la compensation."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $e^{ax}$ est $\\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$\nest négatif. Avec $a = -4$, cela donne $-\\dfrac{e^{-4x}}{4}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "forme-uprime-sur-u",
        "composee-affine"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x + c}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x + 3}$ sur\n$]-3\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(x + 3\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 3$, on a $u'(x) = 1$, donc\n$f = \\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 3$ tout entier qui\njoue le rôle de $u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{\\left(x + 3\\right)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il\nfaut remonter à une primitive."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3\\ln\\left(x + 3\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée\nde $x + 3$."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ quand $u$ est\nstrictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de\ndérivée $1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x + 3}$ sur\n$]-3\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x + 3\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 3$, on a $u'(x) = 1$, donc\n$f = \\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 3$ tout entier qui\njoue le rôle de $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{\\left(x + 3\\right)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il\nfaut remonter à une primitive."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\ln\\left(x + 3\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée\nde $x + 3$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ quand $u$ est\nstrictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de\ndérivée $1$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x + 5}$ sur\n$]-5\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x + 5\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 5$, on a $u'(x) = 1$, donc\n$f = \\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 5$ tout entier qui\njoue le rôle de $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{\\left(x + 5\\right)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il\nfaut remonter à une primitive."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5\\ln\\left(x + 5\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée\nde $x + 5$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ quand $u$ est\nstrictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de\ndérivée $1$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x + 7}$ sur\n$]-7\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x + 7\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 7$, on a $u'(x) = 1$, donc\n$f = \\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 7$ tout entier qui\njoue le rôle de $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{\\left(x + 7\\right)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il\nfaut remonter à une primitive."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 7\\ln\\left(x + 7\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée\nde $x + 7$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ quand $u$ est\nstrictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de\ndérivée $1$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x + 4}$ sur\n$]-4\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\ln\\left(x + 4\\right)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 4$, on a $u'(x) = 1$, donc\n$f = \\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 4$ tout entier qui\njoue le rôle de $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{\\left(x + 4\\right)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il\nfaut remonter à une primitive."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4\\ln\\left(x + 4\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée\nde $x + 4$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\\ln u$ quand $u$ est\nstrictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de\ndérivée $1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "euler",
        "approximation",
        "equation-differentielle"
      ],
      "title": "Deux pas de la méthode d'Euler",
      "partie": "equations",
      "statement": "La fonction $y$ vérifie $y' = 0{,}5\\,y$ et $y(0) = 2$. La méthode\nd'Euler de pas $h = 1$ utilise $y(t + h) \\approx y(t) + h\\,y'(t)$.\nQuelle valeur approchée de $y(2)$ obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque pas multiplie par $1 + 0{,}5 = 1{,}5$ :\n$y(1) \\approx 3$ puis $y(2) \\approx 4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a ajouté deux fois l'accroissement du premier pas,\n$1$. Au second pas, la pente vaut $0{,}5 \\times 3 = 1{,}5$."
        },
        {
          "text": "$2e \\approx 5{,}44$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la valeur exacte $2e^{0{,}5 \\times 2}$. La\nméthode d'Euler n'en donne qu'une approximation."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ approche $y(1)$. Il faut un second pas pour atteindre\n$t = 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec un pas plus petit, les valeurs obtenues se rapprochent de la\nsolution exacte $y(t) = 2e^{0{,}5t}$."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "euler",
        "approximation"
      ],
      "title": "Un pas de la méthode d'Euler",
      "partie": "equations",
      "statement": "On approche la solution de $y' = 2y + 1$ telle que\n$y(0) = 3$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}1$ :\n$y(h) \\approx y(0) + h \\times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y'(0) = 2 \\times 3 + 1 = 7$,\npuis $3 + 0{,}1 \\times 7 = 3{,}7$."
        },
        {
          "text": "$3{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $2y(0) + 1$, et non\n$2y(0)$ seul."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de\n$h \\times y'(0)$."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Point de départ oublié : $0{,}7$ est seulement\nl'accroissement $h \\times y'(0)$."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :\n$y(x + h) \\approx y(x) + h\\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par\nl'équation différentielle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On approche la solution de $y' = 2y + 1$ telle que\n$y(0) = 3$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}1$ :\n$y(h) \\approx y(0) + h \\times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y'(0) = 2 \\times 3 + 1 = 7$,\npuis $3 + 0{,}1 \\times 7 = 3{,}7$."
            },
            {
              "text": "$3{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $2y(0) + 1$, et non\n$2y(0)$ seul."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de\n$h \\times y'(0)$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de départ oublié : $0{,}7$ est seulement\nl'accroissement $h \\times y'(0)$."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :\n$y(x + h) \\approx y(x) + h\\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par\nl'équation différentielle."
        },
        {
          "statement": "On approche la solution de $y' = -1y + 4$ telle que\n$y(0) = 2$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}2$ :\n$y(h) \\approx y(0) + h \\times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y'(0) = -1 \\times 2 + 4 = 2$,\npuis $2 + 0{,}2 \\times 2 = 2{,}4$."
            },
            {
              "text": "$1{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $-1y(0) + 4$, et non\n$-1y(0)$ seul."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de\n$h \\times y'(0)$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de départ oublié : $0{,}4$ est seulement\nl'accroissement $h \\times y'(0)$."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :\n$y(x + h) \\approx y(x) + h\\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par\nl'équation différentielle."
        },
        {
          "statement": "On approche la solution de $y' = 0{,}5y + 2$ telle que\n$y(0) = 4$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}1$ :\n$y(h) \\approx y(0) + h \\times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y'(0) = 0{,}5 \\times 4 + 2 = 4$,\npuis $4 + 0{,}1 \\times 4 = 4{,}4$."
            },
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $0{,}5y(0) + 2$, et non\n$0{,}5y(0)$ seul."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de\n$h \\times y'(0)$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de départ oublié : $0{,}4$ est seulement\nl'accroissement $h \\times y'(0)$."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :\n$y(x + h) \\approx y(x) + h\\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par\nl'équation différentielle."
        },
        {
          "statement": "On approche la solution de $y' = -2y + 6$ telle que\n$y(0) = 1$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}5$ :\n$y(h) \\approx y(0) + h \\times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $y'(0) = -2 \\times 1 + 6 = 4$,\npuis $1 + 0{,}5 \\times 4 = 3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $-2y(0) + 6$, et non\n$-2y(0)$ seul."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de\n$h \\times y'(0)$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de départ oublié : $2$ est seulement\nl'accroissement $h \\times y'(0)$."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :\n$y(x + h) \\approx y(x) + h\\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par\nl'équation différentielle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equations",
        "euler",
        "tangente"
      ],
      "title": "Principe de la méthode d'Euler",
      "partie": "equations",
      "statement": "Sur quelle approximation, valable pour $h$ petit, repose la\nméthode d'Euler ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x + h) \\approx f(x) + h\\,f'(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace la courbe par sa tangente sur un\npas de longueur $h$."
        },
        {
          "text": "$f(x + h) \\approx f(x) + f'(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas oublié : sans le facteur $h$, l'accroissement ne dépend\nplus de la longueur du pas."
        },
        {
          "text": "$f(x + h) \\approx h\\,f(x) + f'(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : c'est la dérivée, et non la valeur $f(x)$,\nqui doit être multipliée par $h$."
        },
        {
          "text": "$f(x + h) \\approx f(x) + h\\,f(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée remplacée par la fonction : cette formule n'est juste\nque si $f' = f$."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement :\n$\\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\approx f'(x)$ pour $h$ petit, d'où\n$f(x + h) \\approx f(x) + h\\,f'(x)$."
    }
  ]
}