{
  "chapter": {
    "id": "statistique-deux-variables",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Probabilités et statistique",
    "title": "Statistique à deux variables quantitatives",
    "description": "Nuage de points et point moyen, droite de régression des\nmoindres carrés, coefficient de corrélation, ajustements se\nramenant à l'affine par changement de variable, interpolation\net extrapolation, corrélation et causalité.",
    "parties": [
      {
        "id": "nuage",
        "title": "Nuage, point moyen et ajustement"
      },
      {
        "id": "regression",
        "title": "Droite des moindres carrés"
      },
      {
        "id": "correlation",
        "title": "Corrélation"
      },
      {
        "id": "usages",
        "title": "Prévisions, résidus et prudence"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "point-moyen"
      ],
      "title": "Point moyen d'un nuage",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Un nuage a pour points $(0\\,;\\,3)$, $(2\\,;\\,5)$,\n$(4\\,;\\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$G(2\\,;\\,6)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{6}{3} = 2$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{18}{3} = 6$."
        },
        {
          "text": "$G(6\\,;\\,18)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $6$ et $18$ sont les sommes des\ncoordonnées ; on divise par l'effectif $3$."
        },
        {
          "text": "$G(2\\,;\\,5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Point du milieu de la liste : $(2\\,;\\,5)$ appartient au\nnuage, mais $\\bar{y} = 6$."
        },
        {
          "text": "$G(4\\,;\\,10)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes\nles coordonnées."
        }
      ],
      "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des\nabscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe\npar $G$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un nuage a pour points $(0\\,;\\,3)$, $(2\\,;\\,5)$,\n$(4\\,;\\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$G(2\\,;\\,6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{6}{3} = 2$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{18}{3} = 6$."
            },
            {
              "text": "$G(6\\,;\\,18)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $6$ et $18$ sont les sommes des\ncoordonnées ; on divise par l'effectif $3$."
            },
            {
              "text": "$G(2\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point du milieu de la liste : $(2\\,;\\,5)$ appartient au\nnuage, mais $\\bar{y} = 6$."
            },
            {
              "text": "$G(4\\,;\\,10)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes\nles coordonnées."
            }
          ],
          "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des\nabscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe\npar $G$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour points $(1\\,;\\,2)$, $(3\\,;\\,6)$,\n$(5\\,;\\,7)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$G(3\\,;\\,5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{9}{3} = 3$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{15}{3} = 5$."
            },
            {
              "text": "$G(9\\,;\\,15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $9$ et $15$ sont les sommes des\ncoordonnées ; on divise par l'effectif $3$."
            },
            {
              "text": "$G(3\\,;\\,6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point du milieu de la liste : $(3\\,;\\,6)$ appartient au\nnuage, mais $\\bar{y} = 5$."
            },
            {
              "text": "$G(5\\,;\\,7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes\nles coordonnées."
            }
          ],
          "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des\nabscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe\npar $G$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour points $(0\\,;\\,1)$, $(4\\,;\\,5)$,\n$(8\\,;\\,12)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$G(4\\,;\\,6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{12}{3} = 4$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{18}{3} = 6$."
            },
            {
              "text": "$G(12\\,;\\,18)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $12$ et $18$ sont les sommes des\ncoordonnées ; on divise par l'effectif $3$."
            },
            {
              "text": "$G(4\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point du milieu de la liste : $(4\\,;\\,5)$ appartient au\nnuage, mais $\\bar{y} = 6$."
            },
            {
              "text": "$G(8\\,;\\,12)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes\nles coordonnées."
            }
          ],
          "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des\nabscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe\npar $G$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour points $(2\\,;\\,4)$, $(3\\,;\\,9)$,\n$(7\\,;\\,8)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$G(4\\,;\\,7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{12}{3} = 4$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{21}{3} = 7$."
            },
            {
              "text": "$G(12\\,;\\,21)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $12$ et $21$ sont les sommes des\ncoordonnées ; on divise par l'effectif $3$."
            },
            {
              "text": "$G(3\\,;\\,9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point du milieu de la liste : $(3\\,;\\,9)$ appartient au\nnuage, mais $\\bar{y} = 7$."
            },
            {
              "text": "$G(7\\,;\\,8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes\nles coordonnées."
            }
          ],
          "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des\nabscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe\npar $G$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moindres-carres",
        "sens"
      ],
      "title": "Le sens des « moindres carrés »",
      "partie": "regression",
      "statement": "Que minimise la droite de régression des moindres carrés\nparmi toutes les droites du plan ?",
      "options": [
        {
          "text": "La somme des carrés des écarts verticaux à la droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour chaque point du nuage, on mesure\nl'écart vertical (résidu) ; la droite de régression rend\nminimale la somme de leurs carrés."
        },
        {
          "text": "Le nombre de points situés au-dessus de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun comptage : c'est une somme de **carrés\nd'écarts** qui est minimisée."
        },
        {
          "text": "La longueur du segment de droite couvrant le nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite est illimitée, et la portion\ncouvrant le nuage ne dépend que des abscisses extrêmes ;\nrien à minimiser ici."
        },
        {
          "text": "La distance entre le premier et le dernier point",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux points n'ont aucun rôle privilégié :\ntous les points comptent, par leurs écarts à la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Moindres carrés : minimiser $\\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.\nLes carrés évitent les compensations de signes et pénalisent\nles grands écarts. La droite obtenue passe par le point\nmoyen."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "utilisation"
      ],
      "title": "Utiliser une droite de régression",
      "partie": "regression",
      "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression $y = 2{,}4x + 10$\npour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et\n$20$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 15$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$46$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2{,}4 \\times 15 + 10 = 46$, une\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : $2{,}4 \\times 15 = 36$, il reste à\najouter $10$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient directeur ignoré : $15 + 10$ ne tient pas\ncompte de la pente $2{,}4$."
        },
        {
          "text": "Aucune, $x = 15$ n'ayant pas été observé",
          "correct": false,
          "feedback": "Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la\nrégression, surtout à l'intérieur de la plage des données."
        }
      ],
      "explanation": "On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la\nplage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici\n$x = 15$ est dans $[0\\,;\\,20]$ : c'est une interpolation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression $y = 2{,}4x + 10$\npour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et\n$20$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$46$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2{,}4 \\times 15 + 10 = 46$, une\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $2{,}4 \\times 15 = 36$, il reste à\najouter $10$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient directeur ignoré : $15 + 10$ ne tient pas\ncompte de la pente $2{,}4$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $x = 15$ n'ayant pas été observé",
              "correct": false,
              "feedback": "Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la\nrégression, surtout à l'intérieur de la plage des données."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la\nplage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici\n$x = 15$ est dans $[0\\,;\\,20]$ : c'est une interpolation."
        },
        {
          "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression $y = 1{,}5x + 8$\npour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et\n$20$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$26$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}5 \\times 12 + 8 = 26$, une\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $1{,}5 \\times 12 = 18$, il reste à\najouter $8$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient directeur ignoré : $12 + 8$ ne tient pas\ncompte de la pente $1{,}5$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $x = 12$ n'ayant pas été observé",
              "correct": false,
              "feedback": "Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la\nrégression, surtout à l'intérieur de la plage des données."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la\nplage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici\n$x = 12$ est dans $[0\\,;\\,20]$ : c'est une interpolation."
        },
        {
          "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression $y = 3{,}2x + 5$\npour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et\n$15$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$37$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3{,}2 \\times 10 + 5 = 37$, une\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $3{,}2 \\times 10 = 32$, il reste à\najouter $5$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient directeur ignoré : $10 + 5$ ne tient pas\ncompte de la pente $3{,}2$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $x = 10$ n'ayant pas été observé",
              "correct": false,
              "feedback": "Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la\nrégression, surtout à l'intérieur de la plage des données."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la\nplage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici\n$x = 10$ est dans $[0\\,;\\,15]$ : c'est une interpolation."
        },
        {
          "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression $y = 0{,}6x + 20$\npour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et\n$30$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}6 \\times 25 + 20 = 35$, une\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $0{,}6 \\times 25 = 15$, il reste à\najouter $20$."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient directeur ignoré : $25 + 20$ ne tient pas\ncompte de la pente $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "Aucune, $x = 25$ n'ayant pas été observé",
              "correct": false,
              "feedback": "Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la\nrégression, surtout à l'intérieur de la plage des données."
            }
          ],
          "explanation": "On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la\nplage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici\n$x = 25$ est dans $[0\\,;\\,30]$ : c'est une interpolation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation",
        "lecture"
      ],
      "title": "Lire un coefficient de corrélation",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un\ncoefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment\nl'interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un lien affine très fort et décroissant",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : le nuage est\npresque aligné sur une droite ; signe négatif : cette\ndroite descend (quand $x$ monte, $y$ descend)."
        },
        {
          "text": "Une erreur de calcul, un coefficient est toujours\npositif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ vit dans $[-1\\,;\\,1]$ ; son **signe** porte\nle sens de la relation."
        },
        {
          "text": "Un lien très faible, car $r$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la force du lien se lit sur $|r|$ ($0{,}98$ :\ntrès fort) ; le signe n'indique que le sens."
        },
        {
          "text": "$98\\ \\%$ des points sont sous la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ ne compte aucun pourcentage de points ; il\nmesure la qualité de l'alignement affine du nuage."
        }
      ],
      "explanation": "Coefficient de corrélation : $-1 \\leq r \\leq 1$. $|r|$\nproche de $1$ : nuage presque aligné (ajustement affine\npertinent) ; proche de $0$ : pas de lien **affine**. Signe\n$=$ sens de la pente."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation",
        "pertinence"
      ],
      "title": "Quand l'ajustement affine est-il pertinent ?",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que\npeut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement\naffine ?",
      "options": [
        {
          "text": "Très pertinent pour la première, douteux pour la\nseconde",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r_1|$ proche de $1$ : les données\nsuivent de près une droite ; $|r_2| = 0{,}30$ : le nuage\nest diffus, une droite résumerait mal."
        },
        {
          "text": "Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe ne juge pas la qualité ; c'est la\n**proximité de $|r|$ à $1$** qui compte."
        },
        {
          "text": "Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise\nl'ajustement",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop exigeant : les données réelles ne donnent jamais\n$r = 1$ ; $0{,}99$ est excellent."
        },
        {
          "text": "Le second est meilleur, car plus proche de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : $r$ proche de $0$ signale l'**absence** de\nlien affine, pas sa qualité."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe avant tout ajustement : regarder le nuage **et**\n$|r|$. Proche de $1$ : la droite résume bien ; loin de $1$ :\nchercher un autre modèle (ou admettre l'absence de lien)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable"
      ],
      "title": "Se ramener à l'affine par changement de variable",
      "partie": "regression",
      "statement": "Un nuage $(x_i\\,;\\,y_i)$ suit une tendance exponentielle\n$y = k\\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un\najustement **affine** ?",
      "options": [
        {
          "text": "Poser $z = \\ln y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : alors $z = \\ln k + x\\ln a$, affine en\n$x$. Le logarithme transforme le modèle multiplicatif en\nmodèle additif : le nuage $(x\\,;\\,\\ln y)$ s'aligne, et\nla régression s'applique."
        },
        {
          "text": "Poser $z = y^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : élever au carré accentue la courbure au lieu de\nla redresser. C'est le **logarithme** qui linéarise une\nexponentielle."
        },
        {
          "text": "Poser $z = \\dfrac{1}{y}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inverse convient à d'autres formes (du type\n$y = \\frac{1}{ax + b}$), pas à l'exponentielle."
        },
        {
          "text": "Aucun, un nuage courbé ne s'ajuste jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt du programme : bien des\nmodèles se **ramènent** à l'affine par un changement de\nvariable adapté."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarisation (au programme) : $y = k\\,a^x \\Rightarrow\n\\ln y = \\ln k + (\\ln a)\\,x$. Si le nuage $(x\\,;\\,\\ln y)$ est\npresque aligné, le modèle exponentiel est validé et ses\nparamètres se lisent sur la droite."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extrapolation",
        "prudence"
      ],
      "title": "Les limites de l'extrapolation",
      "partie": "usages",
      "statement": "Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la\ntempérature moyenne d'un lieu selon l'année, observée de\n$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la\ntempérature en $2100$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Avec de grandes réserves, c'est une extrapolation\nlointaine",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la tendance peut changer. Le bon\najustement vaut **sur la plage observée** ; à $80$ ans\nde distance, rien ne garantit la persistance de la\ntendance (regard critique exigé par le programme,\nexemple climatique compris)."
        },
        {
          "text": "Oui, sans réserve, $r = 0{,}99$ garantit la prédiction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ mesure l'alignement **passé**, pas la\nvalidité future du modèle. Extrapoler loin est toujours\nfragile."
        },
        {
          "text": "Non, une droite de régression ne sert jamais à prédire",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : prédire est l'un de ses usages ; c'est la\n**distance aux données** qui commande la confiance."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition d'utiliser plus de décimales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la précision numérique ne répare pas\nl'incertitude du **modèle** hors de son domaine."
        }
      ],
      "explanation": "Interpolation : fiable ; extrapolation : à manier avec un\nregard critique, d'autant plus que l'horizon s'éloigne\n(thème du programme, notamment sur le climat). Le modèle\ndécrit les données, pas l'avenir garanti."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "point-moyen"
      ],
      "title": "La droite passe par le point moyen",
      "partie": "regression",
      "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(4\\,;\\,11)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de cette\ndroite ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 2x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc\n$11 = 2 \\times 4 + b$ et $b = 3$."
        },
        {
          "text": "$y = 2x + 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le\npassage par $G$, soit $11 = 8 + b$."
        },
        {
          "text": "$y = 2x - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $b = 11 - 8 = 3$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
          "correct": false,
          "feedback": "La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,\ndéterminent entièrement la droite."
        }
      ],
      "explanation": "La droite des moindres carrés passe par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :\n$y = 2x + 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(4\\,;\\,11)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de cette\ndroite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 2x + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc\n$11 = 2 \\times 4 + b$ et $b = 3$."
            },
            {
              "text": "$y = 2x + 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le\npassage par $G$, soit $11 = 8 + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 2x - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $b = 11 - 8 = 3$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
              "correct": false,
              "feedback": "La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,\ndéterminent entièrement la droite."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :\n$y = 2x + 3$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(3\\,;\\,10)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de cette\ndroite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 2x + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc\n$10 = 2 \\times 3 + b$ et $b = 4$."
            },
            {
              "text": "$y = 2x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le\npassage par $G$, soit $10 = 6 + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 2x - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $b = 10 - 6 = 4$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
              "correct": false,
              "feedback": "La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,\ndéterminent entièrement la droite."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :\n$y = 2x + 4$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(5\\,;\\,17)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $3$. Quelle est l'équation de cette\ndroite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 3x + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc\n$17 = 3 \\times 5 + b$ et $b = 2$."
            },
            {
              "text": "$y = 3x + 17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le\npassage par $G$, soit $17 = 15 + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 3x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $b = 17 - 15 = 2$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
              "correct": false,
              "feedback": "La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,\ndéterminent entièrement la droite."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :\n$y = 3x + 2$."
        },
        {
          "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(6\\,;\\,20)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $2{,}5$. Quelle est l'équation de cette\ndroite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 2{,}5x + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc\n$20 = 2{,}5 \\times 6 + b$ et $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$y = 2{,}5x + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le\npassage par $G$, soit $20 = 15 + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 2{,}5x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $b = 20 - 15 = 5$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
              "correct": false,
              "feedback": "La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,\ndéterminent entièrement la droite."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :\n$y = 2{,}5x + 5$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation-causalite"
      ],
      "title": "Corrélation n'est pas causalité",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre\nde cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés\n($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent\nla maladie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, la population des communes explique les deux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : facteur commun classique, la taille de\nla population explique vraisemblablement les deux\nvariables : les grandes communes ont plus de médecins\n**et** plus de cas. La corrélation est réelle, la\ncausalité illusoire."
        },
        {
          "text": "Oui, $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur fondamentale : $r$ mesure une **association**,\njamais un mécanisme. Aucun seuil de $r$ ne crée de la\ncausalité."
        },
        {
          "text": "Oui, si la droite de régression est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le sens de la pente n'ajoute rien : facteur\ncommun, hasard ou causalité inverse restent des\nexplications candidates."
        },
        {
          "text": "Non, les corrélations n'ont jamais aucun sens",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la corrélation **décrit** un lien réel\n(utile pour prédire) ; c'est son interprétation causale\nqui exige d'autres arguments."
        }
      ],
      "explanation": "Thème explicite du programme : distinguer corrélation et\ncausalité. Devant un $r$ élevé, examiner : facteur commun\n(ici la population), causalité inverse, coïncidence :\nprédire n'est pas expliquer."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "residus",
        "lecture"
      ],
      "title": "Bien lire un résidu",
      "partie": "usages",
      "statement": "Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne\n$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut le résidu, défini comme valeur\nobservée moins valeur prédite ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut\n$2{,}4 \\times 5 + 10 = 22$, d'où le résidu\n$25 - 22 = 3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;\nelle passe au plus près des points, pas par chacun."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparaison de $y$ à $x$ : $25 - 5$ n'a pas de sens ; on\ncompare $y$ observé à $y$ prédit, $22$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins\nvaleur prédite, $25 - 22$."
        }
      ],
      "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus\nde la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés\nminimisent la somme des carrés des résidus.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne\n$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut le résidu, défini comme valeur\nobservée moins valeur prédite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut\n$2{,}4 \\times 5 + 10 = 22$, d'où le résidu\n$25 - 22 = 3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;\nelle passe au plus près des points, pas par chacun."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison de $y$ à $x$ : $25 - 5$ n'a pas de sens ; on\ncompare $y$ observé à $y$ prédit, $22$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins\nvaleur prédite, $25 - 22$."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus\nde la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés\nminimisent la somme des carrés des résidus."
        },
        {
          "statement": "Avec l'ajustement $y = 1{,}5x + 4$, une observation donne\n$x = 6$ et $y = 15$. Que vaut le résidu, défini comme valeur\nobservée moins valeur prédite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut\n$1{,}5 \\times 6 + 4 = 13$, d'où le résidu\n$15 - 13 = 2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;\nelle passe au plus près des points, pas par chacun."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison de $y$ à $x$ : $15 - 6$ n'a pas de sens ; on\ncompare $y$ observé à $y$ prédit, $13$."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins\nvaleur prédite, $15 - 13$."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus\nde la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés\nminimisent la somme des carrés des résidus."
        },
        {
          "statement": "Avec l'ajustement $y = 3x + 2$, une observation donne\n$x = 4$ et $y = 12$. Que vaut le résidu, défini comme valeur\nobservée moins valeur prédite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut\n$3 \\times 4 + 2 = 14$, d'où le résidu\n$12 - 14 = -2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;\nelle passe au plus près des points, pas par chacun."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison de $y$ à $x$ : $12 - 4$ n'a pas de sens ; on\ncompare $y$ observé à $y$ prédit, $14$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins\nvaleur prédite, $12 - 14$."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus\nde la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés\nminimisent la somme des carrés des résidus."
        },
        {
          "statement": "Avec l'ajustement $y = 0{,}5x + 7$, une observation donne\n$x = 10$ et $y = 16$. Que vaut le résidu, défini comme valeur\nobservée moins valeur prédite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut\n$0{,}5 \\times 10 + 7 = 12$, d'où le résidu\n$16 - 12 = 4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;\nelle passe au plus près des points, pas par chacun."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comparaison de $y$ à $x$ : $16 - 10$ n'a pas de sens ; on\ncompare $y$ observé à $y$ prédit, $12$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins\nvaleur prédite, $16 - 12$."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus\nde la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés\nminimisent la somme des carrés des résidus."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "outil",
        "calculatrice"
      ],
      "title": "Obtenir la régression en pratique",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une\nsérie de données (au programme) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par la calculatrice, un tableur ou Python",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la détermination est **instrumentée**\n(capacité attendue) : on saisit les listes, l'outil\nrenvoie la pente $a$, l'ordonnée à l'origine $b$ (et\n$r$) ; à nous l'interprétation."
        },
        {
          "text": "En reliant le premier et le dernier point du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette corde dépend de deux points seulement et\nignore tout le reste du nuage."
        },
        {
          "text": "En traçant à main levée, seule méthode admise",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ajustement au jugé est une première approche,\nmais la droite des moindres carrés se calcule\nexactement, et les outils la fournissent."
        },
        {
          "text": "Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune formule n'est exigée : l'accent porte\nsur l'usage des outils et l'interprétation des résultats."
        }
      ],
      "explanation": "Position du programme : déterminer la droite **à l'aide de\nla calculatrice ou d'un logiciel**, puis interpréter (pente,\n$r$, prédictions). La démonstration des formules reste une\npossibilité, pas une exigence."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "synthese",
        "demarche"
      ],
      "title": "La démarche complète d'un ajustement",
      "partie": "usages",
      "statement": "Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série\nde données à deux variables ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tracer le nuage, choisir la forme du modèle, ajuster et\ncalculer $r$, puis interpréter",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le **regard sur le nuage** précède tout\ncalcul et guide le choix du modèle (affine direct ou à\nlinéariser par changement de variable) ; le coefficient $r$\nvalide l'ajustement ; l'interprétation conclut, avec des\nprédictions prudentes et en distinguant corrélation et\ncausalité."
        },
        {
          "text": "Calculer $r$ d'abord, et ne représenter le nuage que si\n$r$ est trop faible pour conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un même $r$ peut cacher des nuages très\ndifférents (courbure, point aberrant) : la\nreprésentation graphique vient **en premier**."
        },
        {
          "text": "Prédire d'abord la valeur cherchée, puis ajuster un modèle\nqui confirme la prédiction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune prédiction sans modèle ajusté et validé ;\najuster après coup pour confirmer une prédiction inverse la\ndémarche."
        },
        {
          "text": "Supprimer les points qui s'écartent de la tendance, puis\najuster sur les points restants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur méthodologique : écarter des données pour\nembellir l'ajustement fausse l'étude (un point aberrant\nse **discute**, ne se supprime pas en silence)."
        }
      ],
      "explanation": "Démarche type : nuage $\\to$ choix du modèle (affine direct\nou changement de variable) $\\to$ ajustement outillé et $r$\n$\\to$ interprétation critique (interpolation, extrapolation\nprudente, corrélation $\\neq$ causalité)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-negative"
      ],
      "title": "Un coefficient de $-0{,}95$",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient\nde corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude\nmonte, la température descend",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : lien fort ; signe\nnégatif : les deux variables varient en sens\n**contraires**."
        },
        {
          "text": "Lien très faible, car le coefficient est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion signe/force : la force se lit sur $|r| =\n0{,}95$ (très forte) : le signe donne seulement le SENS\ndu lien."
        },
        {
          "text": "Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être\nnégatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ vit dans $[-1\\ ;\\ 1]$ : les valeurs\nnégatives décrivent les liens décroissants, parfaitement\nlégitimes."
        },
        {
          "text": "L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop dit : la corrélation mesure l'ASSOCIATION : la\ncausalité (ici plausible physiquement) demande d'autres\narguments que le seul $r$."
        }
      ],
      "explanation": "Lire $r$ en deux temps : $|r|$ = force du lien linéaire\n($0$ = aucun, $1$ = parfait) ; le signe donne le sens (croissant ou décroissant). Et jamais de causalité sur la seule foi du\ncoefficient."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-nulle"
      ],
      "title": "Un coefficient proche de $0$",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pas de lien linéaire entre les variables",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un lien courbe reste possible. $r$ ne\nmesure QUE l'alignement : une parabole parfaite peut\ndonner $r \\approx 0$ : toujours regarder le nuage."
        },
        {
          "text": "Aucun lien d'aucune sorte entre les variables",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $r$ est aveugle aux liens **non\nlinéaires** : un nuage en U a un $r$ presque nul et un\nlien très net."
        },
        {
          "text": "Un lien faible mais croissant entre les variables",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur-lecture : à $0{,}05$, le signe n'a plus de\nsignification : le nuage est un brouillard (ou une\ncourbe)."
        },
        {
          "text": "Les données sont fausses ou mal saisies",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'absence de lien linéaire est un résultat\nparfaitement valide : deux variables peuvent n'avoir\nrien à voir."
        }
      ],
      "explanation": "$r \\approx 0$ : pas d'alignement : soit indépendance, soit\nlien NON linéaire : seul le graphique tranche. Règle d'or :\njamais de conclusion sur $r$ sans avoir vu le nuage."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "prevision"
      ],
      "title": "Prévoir avec la droite de régression",
      "partie": "usages",
      "statement": "La droite de régression a pour équation $y = 2x + 1$. Quelle\nvaleur le modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 7 + 1 = 15$."
        },
        {
          "text": "$y = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition à la place du produit : $2x$ signifie\n$2 \\times x$."
        },
        {
          "text": "$y = 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : $14 = 2 \\times 7$, il reste à\najouter $1$."
        },
        {
          "text": "Aucune sans valeur observée en $x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas\nobservé."
        }
      ],
      "explanation": "Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur\nvoulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des\ndonnées, fragile au-delà.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La droite de régression a pour équation $y = 2x + 1$. Quelle\nvaleur le modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 7 + 1 = 15$."
            },
            {
              "text": "$y = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition à la place du produit : $2x$ signifie\n$2 \\times x$."
            },
            {
              "text": "$y = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $14 = 2 \\times 7$, il reste à\najouter $1$."
            },
            {
              "text": "Aucune sans valeur observée en $x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas\nobservé."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur\nvoulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des\ndonnées, fragile au-delà."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression a pour équation $y = 3x + 4$. Quelle\nvaleur le modèle prévoit-il pour $x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 + 4 = 19$."
            },
            {
              "text": "$y = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition à la place du produit : $3x$ signifie\n$3 \\times x$."
            },
            {
              "text": "$y = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $15 = 3 \\times 5$, il reste à\najouter $4$."
            },
            {
              "text": "Aucune sans valeur observée en $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas\nobservé."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur\nvoulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des\ndonnées, fragile au-delà."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression a pour équation $y = 4x + 3$. Quelle\nvaleur le modèle prévoit-il pour $x = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 6 + 3 = 27$."
            },
            {
              "text": "$y = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition à la place du produit : $4x$ signifie\n$4 \\times x$."
            },
            {
              "text": "$y = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $24 = 4 \\times 6$, il reste à\najouter $3$."
            },
            {
              "text": "Aucune sans valeur observée en $x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas\nobservé."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur\nvoulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des\ndonnées, fragile au-delà."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression a pour équation $y = 5x + 2$. Quelle\nvaleur le modèle prévoit-il pour $x = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 47$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 9 + 2 = 47$."
            },
            {
              "text": "$y = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition à la place du produit : $5x$ signifie\n$5 \\times x$."
            },
            {
              "text": "$y = 45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : $45 = 5 \\times 9$, il reste à\najouter $2$."
            },
            {
              "text": "Aucune sans valeur observée en $x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas\nobservé."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur\nvoulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des\ndonnées, fragile au-delà."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-r-pente"
      ],
      "title": "Le signe de $r$ et la pente",
      "partie": "regression",
      "statement": "Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de\ncorrélation $r$ et la droite de régression ?",
      "options": [
        {
          "text": "$r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : lien croissant : $r > 0$ ET droite\nmontante ; lien décroissant : les deux négatifs : les\ndeux indicateurs racontent le même sens."
        },
        {
          "text": "Ils sont toujours de signes opposés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un nuage montant donne une droite montante ET\nun $r$ positif : les deux signes coïncident."
        },
        {
          "text": "Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux sortent des mêmes données : le sens du\nlien (signe) leur est commun ($r$ ajoute la mesure de la\nforce)."
        },
        {
          "text": "$r$ est le carré de la pente",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune formule de ce type (un carré serait\ntoujours positif, or $r$ peut être négatif) : seul le\nSIGNE est partagé."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe de $r$ est celui de la pente de la droite de régression, et il donne le sens du lien. La force, elle, appartient à $|r|$ : une droite peut\nêtre pentue avec un nuage très dispersé (petit $|r|$)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "residu-calcul"
      ],
      "title": "Signe d'un résidu",
      "partie": "usages",
      "statement": "Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, et\nl'on observe $y = 14$. Que vaut le résidu, observé moins\nprédit, et que signifie son signe ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ : le point est en dessous de la droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $14 - 15 = -1$."
        },
        {
          "text": "$1$ : le point est au-dessus de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,\n$14 - 15 = -1$."
        },
        {
          "text": "$29$ : la somme des deux valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme."
        },
        {
          "text": "$0$ : un bon modèle n'a aucun écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne\npasse pas par tous les points."
        }
      ],
      "explanation": "Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif\nquand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme\ndes carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont\nnormaux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, et\nl'on observe $y = 14$. Que vaut le résidu, observé moins\nprédit, et que signifie son signe ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$ : le point est en dessous de la droite",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $14 - 15 = -1$."
            },
            {
              "text": "$1$ : le point est au-dessus de la droite",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,\n$14 - 15 = -1$."
            },
            {
              "text": "$29$ : la somme des deux valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme."
            },
            {
              "text": "$0$ : un bon modèle n'a aucun écart",
              "correct": false,
              "feedback": "Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne\npasse pas par tous les points."
            }
          ],
          "explanation": "Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif\nquand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme\ndes carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont\nnormaux."
        },
        {
          "statement": "Le modèle $y = 3x + 2$ prévoit $14$ pour $x = 4$, et\nl'on observe $y = 16$. Que vaut le résidu, observé moins\nprédit, et que signifie son signe ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$ : le point est au-dessus de la droite",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $16 - 14 = 2$."
            },
            {
              "text": "$-2$ : le point est en dessous de la droite",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,\n$16 - 14 = 2$."
            },
            {
              "text": "$30$ : la somme des deux valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme."
            },
            {
              "text": "$0$ : un bon modèle n'a aucun écart",
              "correct": false,
              "feedback": "Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne\npasse pas par tous les points."
            }
          ],
          "explanation": "Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif\nquand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme\ndes carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont\nnormaux."
        },
        {
          "statement": "Le modèle $y = 1{,}5x + 3$ prévoit $12$ pour $x = 6$, et\nl'on observe $y = 10$. Que vaut le résidu, observé moins\nprédit, et que signifie son signe ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$ : le point est en dessous de la droite",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 - 12 = -2$."
            },
            {
              "text": "$2$ : le point est au-dessus de la droite",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,\n$10 - 12 = -2$."
            },
            {
              "text": "$22$ : la somme des deux valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme."
            },
            {
              "text": "$0$ : un bon modèle n'a aucun écart",
              "correct": false,
              "feedback": "Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne\npasse pas par tous les points."
            }
          ],
          "explanation": "Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif\nquand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme\ndes carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont\nnormaux."
        },
        {
          "statement": "Le modèle $y = 4x + 1$ prévoit $13$ pour $x = 3$, et\nl'on observe $y = 16$. Que vaut le résidu, observé moins\nprédit, et que signifie son signe ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$ : le point est au-dessus de la droite",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $16 - 13 = 3$."
            },
            {
              "text": "$-3$ : le point est en dessous de la droite",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,\n$16 - 13 = 3$."
            },
            {
              "text": "$29$ : la somme des deux valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme."
            },
            {
              "text": "$0$ : un bon modèle n'a aucun écart",
              "correct": false,
              "feedback": "Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne\npasse pas par tous les points."
            }
          ],
          "explanation": "Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif\nquand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme\ndes carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont\nnormaux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation-parfaite"
      ],
      "title": "Quand $|r| = 1$",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$\nexactement ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite\ndécroissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r| = 1$ : alignement exact (tous les\nrésidus nuls) ; signe négatif : droite qui descend. Cas\nlimite rarissime sur données réelles."
        },
        {
          "text": "Les variables n'ont aucun lien",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens complet : l'absence de lien linéaire\ncorrespond à $r \\approx 0$ : $\\pm 1$ est le lien le plus\nfort possible."
        },
        {
          "text": "Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre\n$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est la borne **atteignable** de\nl'intervalle $[-1\\ ;\\ 1]$ : il suffit de points\nexactement alignés en descente."
        },
        {
          "text": "La moitié des points est au-dessus de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à $|r| = 1$, AUCUN point ne quitte la droite :\ntous les résidus sont nuls."
        }
      ],
      "explanation": "Échelle de $|r|$ : $1$ = alignement parfait, $0$ = aucun\nalignement, entre les deux : un continuum. En pratique, les\ndonnées réelles vivent entre $0$ et $1$ strictement : $\\pm\n1$ signale souvent une variable dupliquée."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "coefficient-directeur"
      ],
      "title": "Interpréter la pente d'une régression",
      "partie": "regression",
      "statement": "Une régression donne $y = 1{,}8x + 12$, où $x$ est une durée en\nheures et $y$ un chiffre d'affaires en milliers d'euros. Que signifie\n$1{,}8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une heure de plus rapporte $1\\,800$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation de $y$ pour\nune unité de $x$, ici en milliers d'euros."
        },
        {
          "text": "Le chiffre d'affaires moyen vaut $1\\,800$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "La moyenne se lit au point moyen du nuage, pas sur la pente."
        },
        {
          "text": "Le chiffre d'affaires initial vaut $1\\,800$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est donnée par l'ordonnée à l'origine, soit $12\\,000$\neuros."
        },
        {
          "text": "Le chiffre d'affaires augmente de $180$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Le modèle est additif : le coefficient s'exprime en milliers d'euros\npar heure, pas en pourcentage."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient directeur d'une droite de régression s'interprète toujours\navec les unités des deux variables : tant de $y$ par unité de $x$."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Un coefficient de corrélation de $0{,}3$",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Une étude donne un coefficient de corrélation linéaire de $0{,}3$.\nQue conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le lien linéaire est faible",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : loin de $1$ en valeur absolue, le coefficient signale un\nnuage peu aligné."
        },
        {
          "text": "Le lien linéaire est fort",
          "correct": false,
          "feedback": "Un lien fort demanderait une valeur absolue proche de $1$."
        },
        {
          "text": "Les variables sont indépendantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Un lien non linéaire peut exister malgré un coefficient faible : une\nparabole en donne l'exemple."
        },
        {
          "text": "La première variable cause la seconde",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun coefficient de corrélation n'établit une causalité."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient de corrélation mesure l'intensité d'un lien linéaire, entre\n$-1$ et $1$. Une valeur proche de zéro n'exclut ni lien d'une autre forme,\nni dépendance."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "point-moyen"
      ],
      "title": "Un point toujours sur la droite",
      "partie": "regression",
      "statement": "Quel point appartient nécessairement à la droite de régression ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le point moyen du nuage",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe toujours par le\npoint de coordonnées les deux moyennes."
        },
        {
          "text": "Le premier point du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun point observé n'appartient nécessairement à la droite."
        },
        {
          "text": "L'origine du repère",
          "correct": false,
          "feedback": "La droite y passe seulement si l'ordonnée à l'origine est nulle, cas\nparticulier."
        },
        {
          "text": "Le point le plus éloigné du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce point a au contraire un résidu important, donc un écart marqué à la\ndroite."
        }
      ],
      "explanation": "La droite de régression passe par le point moyen du nuage. Cette propriété\nsert à vérifier un calcul et à retrouver l'ordonnée à l'origine."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "residu",
        "calcul"
      ],
      "title": "Résidu à partir d'une prédiction donnée",
      "partie": "usages",
      "statement": "On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 5$, la\nvaleur observée vaut $22$ et le modèle prédit $19$. Que\nvaut le résidu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le résidu vaut $22 - 19 = 3$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la\nvaleur observée."
        },
        {
          "text": "$41$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une\nsomme."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa\nvaleur."
        }
      ],
      "explanation": "Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur\nprédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,\nil est en dessous.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 5$, la\nvaleur observée vaut $22$ et le modèle prédit $19$. Que\nvaut le résidu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le résidu vaut $22 - 19 = 3$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la\nvaleur observée."
            },
            {
              "text": "$41$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une\nsomme."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa\nvaleur."
            }
          ],
          "explanation": "Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur\nprédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,\nil est en dessous."
        },
        {
          "statement": "On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 6$, la\nvaleur observée vaut $14$ et le modèle prédit $17$. Que\nvaut le résidu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le résidu vaut $14 - 17 = -3$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la\nvaleur observée."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une\nsomme."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa\nvaleur."
            }
          ],
          "explanation": "Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur\nprédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,\nil est en dessous."
        },
        {
          "statement": "On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 8$, la\nvaleur observée vaut $30$ et le modèle prédit $26$. Que\nvaut le résidu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le résidu vaut $30 - 26 = 4$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la\nvaleur observée."
            },
            {
              "text": "$56$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une\nsomme."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa\nvaleur."
            }
          ],
          "explanation": "Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur\nprédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,\nil est en dessous."
        },
        {
          "statement": "On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 4$, la\nvaleur observée vaut $9$ et le modèle prédit $11$. Que\nvaut le résidu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le résidu vaut $9 - 11 = -2$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la\nvaleur observée."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une\nsomme."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa\nvaleur."
            }
          ],
          "explanation": "Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur\nprédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,\nil est en dessous."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "extrapolation"
      ],
      "title": "Les limites d'une prévision",
      "partie": "regression",
      "statement": "Une régression établie sur des durées comprises entre $1$ et $8$\nheures est utilisée pour prédire à $40$ heures. Quel est le risque ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le modèle n'est pas validé aussi loin",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : rien ne garantit que la relation reste affine si loin\ndes données."
        },
        {
          "text": "Le calcul devient impossible",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul se fait sans difficulté : c'est son interprétation qui pose\nproblème."
        },
        {
          "text": "Le coefficient de corrélation s'en trouve changé",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce coefficient est calculé sur les données observées, il ne dépend pas\ndes prévisions."
        },
        {
          "text": "La droite cesse d'être une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "La droite se prolonge indéfiniment : c'est le phénomène étudié qui\nn'est plus décrit."
        }
      ],
      "explanation": "L'interpolation reste dans la plage des données observées, l'extrapolation\nen sort. La seconde exige une justification, faute de quoi elle n'a aucune\ngarantie."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-de-variable",
        "ajustement"
      ],
      "title": "Se ramener à un ajustement affine",
      "partie": "regression",
      "statement": "Un nuage suit une tendance exponentielle. Quel changement de variable\npermet un ajustement affine ?",
      "options": [
        {
          "text": "Remplacer $y$ par $\\ln y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $y = ka^x$, alors $\\ln y = \\ln k + x\\ln a$, une\nrelation affine en $x$."
        },
        {
          "text": "Remplacer $x$ par $\\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce changement convient à une tendance logarithmique, pas\nexponentielle."
        },
        {
          "text": "Remplacer $y$ par $y^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Élever au carré accentue la courbure au lieu de la redresser."
        },
        {
          "text": "Remplacer $x$ par $\\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce changement sert pour une tendance hyperbolique."
        }
      ],
      "explanation": "Le logarithme transforme les produits en sommes : appliqué à une relation\nexponentielle, il la rend affine, ce qui autorise une régression\nclassique."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation",
        "signe"
      ],
      "title": "Signe du coefficient de corrélation",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Un coefficient de corrélation vaut $-0{,}88$.\nQue peut-on en dire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le lien est fort et décroissant",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la valeur absolue proche de $1$ indique un lien fort, le\nsigne négatif un sens décroissant."
        },
        {
          "text": "Le lien est faible et décroissant",
          "correct": false,
          "feedback": "Une valeur absolue de $0{,}88$ signale au contraire un nuage très\naligné."
        },
        {
          "text": "Le lien est fort et croissant",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe négatif impose une pente négative, donc une décroissance."
        },
        {
          "text": "Les variables ne sont pas liées",
          "correct": false,
          "feedback": "Un coefficient aussi proche de $-1$ traduit une relation nette."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur absolue du coefficient mesure la force du lien linéaire, son\nsigne donne le sens. Ce signe est aussi celui de la pente de la droite de\nrégression."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "outil"
      ],
      "title": "Obtenir une régression en pratique",
      "partie": "regression",
      "statement": "Comment obtient-on l'équation d'une droite de régression sur un jeu de\ndonnées réel ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par la fonction dédiée d'une calculatrice ou d'un tableur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se calculent par des formules que\nl'outil applique directement."
        },
        {
          "text": "En traçant la droite à la règle sur le nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Un tracé à main levée donne une approximation, pas la droite qui\nminimise les écarts."
        },
        {
          "text": "En reliant le premier et le dernier point",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette droite ignore tous les points intermédiaires, y compris les plus\nnombreux."
        },
        {
          "text": "En calculant la moyenne des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette moyenne donne une horizontale, qui ne rend compte d'aucune\ntendance."
        }
      ],
      "explanation": "Les coefficients de la droite de régression se calculent à partir des\nmoyennes, des écarts-types et de la covariance. En pratique, calculatrice\net tableur les fournissent directement."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation",
        "causalite"
      ],
      "title": "Corrélation et causalité",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Les ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées.\nQue conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une cause commune explique les deux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la chaleur estivale augmente à la fois la consommation\nde glaces et la fréquentation des plages."
        },
        {
          "text": "Les glaces provoquent les noyades",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune corrélation n'établit une causalité, si forte soit-elle."
        },
        {
          "text": "Les noyades augmentent les ventes de glaces",
          "correct": false,
          "feedback": "Inverser le sens de la causalité ne la justifie pas davantage."
        },
        {
          "text": "La corrélation est une coïncidence sans cause",
          "correct": false,
          "feedback": "Il y a bien une explication : la variable cachée qu'est la saison."
        }
      ],
      "explanation": "Une corrélation forte peut venir d'une causalité, d'une causalité inverse,\nd'une variable cachée ou du hasard. Seule une démarche expérimentale\npermet de trancher."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "prevision"
      ],
      "title": "Prévision et nature de l'estimation",
      "partie": "regression",
      "statement": "Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$\net $10$ donne $y = 2{,}5x + 4$. Quelle prévision obtient-on pour\n$x = 6$, et de quelle nature est-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$19$, une interpolation",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2{,}5 \\times 6 + 4 = 19$, et $x = 6$\nse situe par rapport à la plage $[0\\,;\\,10]$ des données."
        },
        {
          "text": "$19$, une extrapolation",
          "correct": false,
          "feedback": "Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données\nobservées et l'on extrapole au-delà."
        },
        {
          "text": "$15$, une interpolation",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $4$ à\n$15$."
        },
        {
          "text": "$15$, une extrapolation",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs : la constante $4$ est oubliée et la nature de\nl'estimation est inversée."
        }
      ],
      "explanation": "Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de\nla plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se\nprolonge : elle demande un regard critique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$\net $10$ donne $y = 2{,}5x + 4$. Quelle prévision obtient-on pour\n$x = 6$, et de quelle nature est-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$, une interpolation",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2{,}5 \\times 6 + 4 = 19$, et $x = 6$\nse situe par rapport à la plage $[0\\,;\\,10]$ des données."
            },
            {
              "text": "$19$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données\nobservées et l'on extrapole au-delà."
            },
            {
              "text": "$15$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $4$ à\n$15$."
            },
            {
              "text": "$15$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs : la constante $4$ est oubliée et la nature de\nl'estimation est inversée."
            }
          ],
          "explanation": "Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de\nla plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se\nprolonge : elle demande un regard critique."
        },
        {
          "statement": "Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$\net $10$ donne $y = 1{,}2x + 7$. Quelle prévision obtient-on pour\n$x = 15$, et de quelle nature est-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$, une extrapolation",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}2 \\times 15 + 7 = 25$, et $x = 15$\nse situe par rapport à la plage $[0\\,;\\,10]$ des données."
            },
            {
              "text": "$25$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données\nobservées et l'on extrapole au-delà."
            },
            {
              "text": "$18$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $7$ à\n$18$."
            },
            {
              "text": "$18$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs : la constante $7$ est oubliée et la nature de\nl'estimation est inversée."
            }
          ],
          "explanation": "Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de\nla plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se\nprolonge : elle demande un regard critique."
        },
        {
          "statement": "Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$\net $20$ donne $y = 0{,}8x + 12$. Quelle prévision obtient-on pour\n$x = 5$, et de quelle nature est-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$, une interpolation",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}8 \\times 5 + 12 = 16$, et $x = 5$\nse situe par rapport à la plage $[0\\,;\\,20]$ des données."
            },
            {
              "text": "$16$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données\nobservées et l'on extrapole au-delà."
            },
            {
              "text": "$4$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $12$ à\n$4$."
            },
            {
              "text": "$4$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs : la constante $12$ est oubliée et la nature de\nl'estimation est inversée."
            }
          ],
          "explanation": "Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de\nla plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se\nprolonge : elle demande un regard critique."
        },
        {
          "statement": "Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$\net $20$ donne $y = 3{,}5x + 2$. Quelle prévision obtient-on pour\n$x = 30$, et de quelle nature est-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$107$, une extrapolation",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3{,}5 \\times 30 + 2 = 107$, et $x = 30$\nse situe par rapport à la plage $[0\\,;\\,20]$ des données."
            },
            {
              "text": "$107$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données\nobservées et l'on extrapole au-delà."
            },
            {
              "text": "$105$, une extrapolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $2$ à\n$105$."
            },
            {
              "text": "$105$, une interpolation",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs : la constante $2$ est oubliée et la nature de\nl'estimation est inversée."
            }
          ],
          "explanation": "Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de\nla plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se\nprolonge : elle demande un regard critique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation",
        "valeur-extreme"
      ],
      "title": "Quand le coefficient vaut exactement $1$",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Que signifie un coefficient de corrélation égal à $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les points sont alignés, en croissant",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'alignement est parfait, et la pente est positive."
        },
        {
          "text": "Les deux variables sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "L'égalité n'est pas requise : $y = 3x + 7$ donne aussi un coefficient\nde $1$."
        },
        {
          "text": "La pente de la droite de régression vaut $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient de corrélation ne donne pas la valeur de la pente, mais\nson signe et la qualité de l'alignement."
        },
        {
          "text": "Le nuage ne comporte qu'un seul point",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient ne se calcule pas sur un point unique, faute de\ndispersion."
        }
      ],
      "explanation": "Un coefficient valant $1$ ou $-1$ signale un alignement parfait. Le signe\ndonne le sens de la relation, jamais la valeur de la pente."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ajustement",
        "demarche"
      ],
      "title": "L'ordre des étapes",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Quelle est la première étape d'une étude d'ajustement ?",
      "options": [
        {
          "text": "Représenter le nuage de points",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la forme du nuage décide du type d'ajustement à\ntenter."
        },
        {
          "text": "Calculer le coefficient de corrélation",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce coefficient ne mesure qu'un lien linéaire : il ne se lit\ncorrectement qu'après avoir vu le nuage."
        },
        {
          "text": "Écrire l'équation de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Écrire une droite avant d'avoir constaté une tendance affine met la\nconclusion avant l'analyse."
        },
        {
          "text": "Faire une prévision",
          "correct": false,
          "feedback": "La prévision est la dernière étape, et seulement si le modèle a été\nvalidé."
        }
      ],
      "explanation": "La démarche va du nuage à la prévision : représenter, juger de la forme,\najuster, mesurer la qualité, puis seulement prévoir en restant dans la\nplage des données."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calculatrice",
        "regression"
      ],
      "title": "Lire la sortie de la calculatrice",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = 1{,}25$,\n$b = -3{,}4$ et $r = 0{,}97$. Quelle est l'équation de la droite de\nrégression de $y$ en $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 1{,}25x - 3{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée\nà l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$."
        },
        {
          "text": "$y = -3{,}4x + 1{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients échangés : $1{,}25$ est la pente et $-3{,}4$\nl'ordonnée à l'origine, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$y = 0{,}97x - 3{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}97$ est le coefficient de corrélation, qui juge\nl'alignement et n'entre pas dans l'équation."
        },
        {
          "text": "$y = 1{,}25x + 3{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche\n$b = -3{,}4$, qu'il faut recopier tel quel."
        }
      ],
      "explanation": "La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,\nl'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation\n$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si\nelle mérite d'être utilisée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = 1{,}25$,\n$b = -3{,}4$ et $r = 0{,}97$. Quelle est l'équation de la droite de\nrégression de $y$ en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 1{,}25x - 3{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée\nà l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$."
            },
            {
              "text": "$y = -3{,}4x + 1{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $1{,}25$ est la pente et $-3{,}4$\nl'ordonnée à l'origine, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}97x - 3{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}97$ est le coefficient de corrélation, qui juge\nl'alignement et n'entre pas dans l'équation."
            },
            {
              "text": "$y = 1{,}25x + 3{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche\n$b = -3{,}4$, qu'il faut recopier tel quel."
            }
          ],
          "explanation": "La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,\nl'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation\n$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si\nelle mérite d'être utilisée."
        },
        {
          "statement": "Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = 0{,}8$,\n$b = 12{,}5$ et $r = 0{,}91$. Quelle est l'équation de la droite de\nrégression de $y$ en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 0{,}8x + 12{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée\nà l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 12{,}5x + 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $0{,}8$ est la pente et $12{,}5$\nl'ordonnée à l'origine, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}91x + 12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}91$ est le coefficient de corrélation, qui juge\nl'alignement et n'entre pas dans l'équation."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}8x - 12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche\n$b = 12{,}5$, qu'il faut recopier tel quel."
            }
          ],
          "explanation": "La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,\nl'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation\n$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si\nelle mérite d'être utilisée."
        },
        {
          "statement": "Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = -2{,}5$,\n$b = 40$ et $r = -0{,}88$. Quelle est l'équation de la droite de\nrégression de $y$ en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = -2{,}5x + 40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée\nà l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$."
            },
            {
              "text": "$y = 40x - 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $-2{,}5$ est la pente et $40$\nl'ordonnée à l'origine, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$y = -0{,}88x + 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-0{,}88$ est le coefficient de corrélation, qui juge\nl'alignement et n'entre pas dans l'équation."
            },
            {
              "text": "$y = -2{,}5x - 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche\n$b = 40$, qu'il faut recopier tel quel."
            }
          ],
          "explanation": "La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,\nl'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation\n$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si\nelle mérite d'être utilisée."
        },
        {
          "statement": "Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = 1{,}6$,\n$b = -2{,}5$ et $r = 0{,}93$. Quelle est l'équation de la droite de\nrégression de $y$ en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 1{,}6x - 2{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée\nà l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$."
            },
            {
              "text": "$y = -2{,}5x + 1{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients échangés : $1{,}6$ est la pente et $-2{,}5$\nl'ordonnée à l'origine, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}93x - 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}93$ est le coefficient de corrélation, qui juge\nl'alignement et n'entre pas dans l'équation."
            },
            {
              "text": "$y = 1{,}6x + 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche\n$b = -2{,}5$, qu'il faut recopier tel quel."
            }
          ],
          "explanation": "La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,\nl'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation\n$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si\nelle mérite d'être utilisée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeur-extreme",
        "correlation"
      ],
      "title": "Un coefficient supérieur à $1$",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Un élève annonce avoir trouvé un coefficient de corrélation\négal à $1{,}2$. Que faut-il en penser ?",
      "options": [
        {
          "text": "C'est impossible, $r$ reste entre $-1$ et $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation appartient\ntoujours à $[-1\\,;\\,1]$. Une telle valeur vient d'une\nerreur de saisie ou de lecture."
        },
        {
          "text": "Le lien est meilleur qu'un alignement parfait",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ correspond déjà à des points exactement\nalignés, on ne peut pas faire mieux."
        },
        {
          "text": "Le lien est fort et croissant, comme pour $0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur annoncée sort de l'intervalle possible,\nelle ne s'interprète donc pas."
        },
        {
          "text": "La pente de la droite de régression vaut $1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : pente et coefficient de corrélation partagent\nleur signe, mais jamais leur valeur."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient de corrélation est encadré par $-1$ et $1$.\nToute valeur hors de cet intervalle signale une erreur, et non\nun lien exceptionnellement fort."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-negative",
        "correlation"
      ],
      "title": "Comparer deux coefficients",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Deux séries donnent respectivement $r_1 = -0{,}92$ et\n$r_2 = 0{,}68$. Dans laquelle le nuage est-il le plus proche\nd'une droite ?",
      "options": [
        {
          "text": "La première, sa valeur absolue est plus grande",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la force du lien se lit sur $|r|$, et\n$0{,}92$ dépasse $0{,}68$. Le signe indique seulement que\nla droite descend."
        },
        {
          "text": "La seconde, son coefficient est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion signe et force : un coefficient positif décrit un\nlien croissant, pas un lien plus net."
        },
        {
          "text": "La seconde, $0{,}68$ dépasse $-0{,}92$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparaison algébrique : ce sont les valeurs absolues qu'il\nfaut comparer, pas les nombres signés."
        },
        {
          "text": "Aucune, des signes contraires ne se comparent pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux coefficients se comparent toujours, à\ncondition de regarder leurs valeurs absolues."
        }
      ],
      "explanation": "Lire un coefficient de corrélation se fait en deux temps : sa\nvaleur absolue donne la force du lien linéaire, son signe en\ndonne le sens."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "residu",
        "residu-calcul"
      ],
      "title": "Retrouver la valeur prédite",
      "partie": "usages",
      "statement": "Le résidu est la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 5$, l'observation\nvaut $17$ et le résidu $2$. Que prédit le modèle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut $17 - 2$,\nc'est-à-dire $15$."
        },
        {
          "text": "$19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inversée : le résidu se retranche à\nl'observation, il ne s'y ajoute pas."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Résidu recopié : $2$ mesure l'écart au modèle, ce n'est\npas la valeur prédite."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement\nque le modèle ne prédit pas la valeur observée."
        }
      ],
      "explanation": "Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule\nrelation : le résidu est l'observation moins la prédiction.\nConnaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le\ntroisième.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le résidu est la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 5$, l'observation\nvaut $17$ et le résidu $2$. Que prédit le modèle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut $17 - 2$,\nc'est-à-dire $15$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le résidu se retranche à\nl'observation, il ne s'y ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résidu recopié : $2$ mesure l'écart au modèle, ce n'est\npas la valeur prédite."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement\nque le modèle ne prédit pas la valeur observée."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule\nrelation : le résidu est l'observation moins la prédiction.\nConnaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le\ntroisième."
        },
        {
          "statement": "Le résidu est la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 8$, l'observation\nvaut $24$ et le résidu $-3$. Que prédit le modèle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut $24 + 3$,\nc'est-à-dire $27$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le résidu se retranche à\nl'observation, il ne s'y ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résidu recopié : $-3$ mesure l'écart au modèle, ce n'est\npas la valeur prédite."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement\nque le modèle ne prédit pas la valeur observée."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule\nrelation : le résidu est l'observation moins la prédiction.\nConnaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le\ntroisième."
        },
        {
          "statement": "Le résidu est la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 2$, l'observation\nvaut $9$ et le résidu $4$. Que prédit le modèle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut $9 - 4$,\nc'est-à-dire $5$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le résidu se retranche à\nl'observation, il ne s'y ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résidu recopié : $4$ mesure l'écart au modèle, ce n'est\npas la valeur prédite."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement\nque le modèle ne prédit pas la valeur observée."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule\nrelation : le résidu est l'observation moins la prédiction.\nConnaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le\ntroisième."
        },
        {
          "statement": "Le résidu est la différence entre la valeur observée et la\nvaleur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 3$, l'observation\nvaut $12$ et le résidu $-1$. Que prédit le modèle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la prédiction vaut $12 + 1$,\nc'est-à-dire $13$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le résidu se retranche à\nl'observation, il ne s'y ajoute pas."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résidu recopié : $-1$ mesure l'écart au modèle, ce n'est\npas la valeur prédite."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement\nque le modèle ne prédit pas la valeur observée."
            }
          ],
          "explanation": "Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule\nrelation : le résidu est l'observation moins la prédiction.\nConnaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le\ntroisième."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe-r-pente",
        "sens"
      ],
      "title": "Un coefficient compatible avec la droite",
      "partie": "regression",
      "statement": "La droite de régression d'une série a pour équation\n$y = -1{,}4x + 30$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son\ncoefficient de corrélation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-0{,}87$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même\nsigne que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}87$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la pente vaut $-1{,}4$, le coefficient porte\ndonc le même signe qu'elle."
        },
        {
          "text": "$-1{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,\nmais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans\ntendance, incompatible avec une pente de $-1{,}4$."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation de la droite donne le signe du coefficient de\ncorrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes\nidentiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très\ndispersé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La droite de régression d'une série a pour équation\n$y = -1{,}4x + 30$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son\ncoefficient de corrélation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-0{,}87$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même\nsigne que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}87$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la pente vaut $-1{,}4$, le coefficient porte\ndonc le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$-1{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,\nmais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans\ntendance, incompatible avec une pente de $-1{,}4$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation de la droite donne le signe du coefficient de\ncorrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes\nidentiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très\ndispersé."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression d'une série a pour équation\n$y = 2{,}3x + 5$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son\ncoefficient de corrélation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même\nsigne que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la pente vaut $2{,}3$, le coefficient porte\ndonc le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$2{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,\nmais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans\ntendance, incompatible avec une pente de $2{,}3$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation de la droite donne le signe du coefficient de\ncorrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes\nidentiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très\ndispersé."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression d'une série a pour équation\n$y = -0{,}6x + 18$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son\ncoefficient de corrélation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-0{,}78$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même\nsigne que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}78$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la pente vaut $-0{,}6$, le coefficient porte\ndonc le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$-0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,\nmais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans\ntendance, incompatible avec une pente de $-0{,}6$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation de la droite donne le signe du coefficient de\ncorrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes\nidentiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très\ndispersé."
        },
        {
          "statement": "La droite de régression d'une série a pour équation\n$y = 0{,}5x + 3$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son\ncoefficient de corrélation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}84$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même\nsigne que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$."
            },
            {
              "text": "$-0{,}84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la pente vaut $0{,}5$, le coefficient porte\ndonc le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,\nmais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans\ntendance, incompatible avec une pente de $0{,}5$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équation de la droite donne le signe du coefficient de\ncorrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes\nidentiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très\ndispersé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "point-moyen",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver la moyenne des ordonnées",
      "partie": "nuage",
      "statement": "La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\\bar{x} = 6$ et sa\ndroite de régression a pour équation $y = 1{,}5x + 4$. Que\nvaut la moyenne des ordonnées $\\bar{y}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc\n$\\bar{y} = 1{,}5 \\times 6 + 4 = 13$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordonnée à l'origine recopiée : $4$ est la valeur prédite\nen $x = 0$, pas en $x = 6$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : après $1{,}5 \\times 6 =\n9$, il reste à ajouter $4$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la moyenne des abscisses, et les deux\nmoyennes n'ont aucune raison de coïncider."
        }
      ],
      "explanation": "La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Cette propriété relie les deux\nmoyennes et l'équation de la droite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\\bar{x} = 6$ et sa\ndroite de régression a pour équation $y = 1{,}5x + 4$. Que\nvaut la moyenne des ordonnées $\\bar{y}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc\n$\\bar{y} = 1{,}5 \\times 6 + 4 = 13$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine recopiée : $4$ est la valeur prédite\nen $x = 0$, pas en $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après $1{,}5 \\times 6 =\n9$, il reste à ajouter $4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est la moyenne des abscisses, et les deux\nmoyennes n'ont aucune raison de coïncider."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Cette propriété relie les deux\nmoyennes et l'équation de la droite."
        },
        {
          "statement": "La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\\bar{x} = 10$ et sa\ndroite de régression a pour équation $y = 0{,}8x + 3$. Que\nvaut la moyenne des ordonnées $\\bar{y}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc\n$\\bar{y} = 0{,}8 \\times 10 + 3 = 11$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine recopiée : $3$ est la valeur prédite\nen $x = 0$, pas en $x = 10$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après $0{,}8 \\times 10 =\n8$, il reste à ajouter $3$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est la moyenne des abscisses, et les deux\nmoyennes n'ont aucune raison de coïncider."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Cette propriété relie les deux\nmoyennes et l'équation de la droite."
        },
        {
          "statement": "La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\\bar{x} = 4$ et sa\ndroite de régression a pour équation $y = 2{,}5x + 7$. Que\nvaut la moyenne des ordonnées $\\bar{y}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc\n$\\bar{y} = 2{,}5 \\times 4 + 7 = 17$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine recopiée : $7$ est la valeur prédite\nen $x = 0$, pas en $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après $2{,}5 \\times 4 =\n10$, il reste à ajouter $7$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est la moyenne des abscisses, et les deux\nmoyennes n'ont aucune raison de coïncider."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Cette propriété relie les deux\nmoyennes et l'équation de la droite."
        },
        {
          "statement": "La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\\bar{x} = 8$ et sa\ndroite de régression a pour équation $y = 1{,}2x + 5$. Que\nvaut la moyenne des ordonnées $\\bar{y}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc\n$\\bar{y} = 1{,}2 \\times 8 + 5 = 14{,}6$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordonnée à l'origine recopiée : $5$ est la valeur prédite\nen $x = 0$, pas en $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$9{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après $1{,}2 \\times 8 =\n9{,}6$, il reste à ajouter $5$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est la moyenne des abscisses, et les deux\nmoyennes n'ont aucune raison de coïncider."
            }
          ],
          "explanation": "La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen\n$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Cette propriété relie les deux\nmoyennes et l'équation de la droite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "prevision",
        "utilisation"
      ],
      "title": "Remonter à l'antécédent",
      "partie": "usages",
      "statement": "Le modèle ajusté est $y = 2{,}5x + 10$. Pour quelle valeur de\n$x$ prévoit-il $y = 45$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$14$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on résout $2{,}5x + 10 = 45$, soit\n$2{,}5x = 35$, puis $x = 14$."
        },
        {
          "text": "$22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal géré : le terme constant change de signe en\npassant de l'autre côté, d'où $2{,}5x = 35$."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $35$ est la valeur de $2{,}5x$,\nil reste à diviser par $2{,}5$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant ignoré : diviser $45$ par $2{,}5$ revient à\nsupposer que la droite passe par l'origine."
        }
      ],
      "explanation": "Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à\npartir de $y$ demande de résoudre une équation du premier\ndegré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage\ndes données.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le modèle ajusté est $y = 2{,}5x + 10$. Pour quelle valeur de\n$x$ prévoit-il $y = 45$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $2{,}5x + 10 = 45$, soit\n$2{,}5x = 35$, puis $x = 14$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal géré : le terme constant change de signe en\npassant de l'autre côté, d'où $2{,}5x = 35$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $35$ est la valeur de $2{,}5x$,\nil reste à diviser par $2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant ignoré : diviser $45$ par $2{,}5$ revient à\nsupposer que la droite passe par l'origine."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à\npartir de $y$ demande de résoudre une équation du premier\ndegré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage\ndes données."
        },
        {
          "statement": "Le modèle ajusté est $y = 1{,}5x + 6$. Pour quelle valeur de\n$x$ prévoit-il $y = 33$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $1{,}5x + 6 = 33$, soit\n$1{,}5x = 27$, puis $x = 18$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal géré : le terme constant change de signe en\npassant de l'autre côté, d'où $1{,}5x = 27$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $27$ est la valeur de $1{,}5x$,\nil reste à diviser par $1{,}5$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant ignoré : diviser $33$ par $1{,}5$ revient à\nsupposer que la droite passe par l'origine."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à\npartir de $y$ demande de résoudre une équation du premier\ndegré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage\ndes données."
        },
        {
          "statement": "Le modèle ajusté est $y = 4x + 6$. Pour quelle valeur de\n$x$ prévoit-il $y = 42$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $4x + 6 = 42$, soit\n$4x = 36$, puis $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal géré : le terme constant change de signe en\npassant de l'autre côté, d'où $4x = 36$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $36$ est la valeur de $4x$,\nil reste à diviser par $4$."
            },
            {
              "text": "$10{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant ignoré : diviser $42$ par $4$ revient à\nsupposer que la droite passe par l'origine."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à\npartir de $y$ demande de résoudre une équation du premier\ndegré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage\ndes données."
        },
        {
          "statement": "Le modèle ajusté est $y = 5x + 5$. Pour quelle valeur de\n$x$ prévoit-il $y = 60$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $5x + 5 = 60$, soit\n$5x = 55$, puis $x = 11$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal géré : le terme constant change de signe en\npassant de l'autre côté, d'où $5x = 55$."
            },
            {
              "text": "$55$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $55$ est la valeur de $5x$,\nil reste à diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant ignoré : diviser $60$ par $5$ revient à\nsupposer que la droite passe par l'origine."
            }
          ],
          "explanation": "Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à\npartir de $y$ demande de résoudre une équation du premier\ndegré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage\ndes données."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficient-directeur",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Une pente négative en contexte",
      "partie": "regression",
      "statement": "Pour un article, la régression donne $y = -0{,}8x + 45$, où $x$\nest le prix en euros et $y$ le nombre d'articles vendus par\njour. Que signifie le coefficient $-0{,}8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un euro de plus fait perdre $0{,}8$ vente par jour",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation\nde $y$ quand $x$ augmente d'une unité, ici une perte de\n$0{,}8$ vente par euro supplémentaire."
        },
        {
          "text": "Un euro de plus fait gagner $0{,}8$ vente par jour",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe négligé : le coefficient est négatif, les ventes\nreculent quand le prix monte."
        },
        {
          "text": "Les ventes diminuent de $0{,}8\\ \\%$ par euro de plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Le modèle est additif : la pente s'exprime en articles par\neuro, pas en pourcentage."
        },
        {
          "text": "Baisser le prix de $0{,}8$ euro fait vendre un article",
          "correct": false,
          "feedback": "Rapport inversé : il faudrait baisser le prix de $1{,}25$\neuro pour espérer une vente de plus."
        }
      ],
      "explanation": "Une pente s'interprète avec les unités des deux variables :\ntant d'articles par euro. Son signe donne le sens de la\nvariation, sa valeur absolue son ampleur."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moindres-carres",
        "residus"
      ],
      "title": "Pourquoi élever les écarts au carré",
      "partie": "regression",
      "statement": "Dans la méthode des moindres carrés, pourquoi élève-t-on les\nrésidus au carré au lieu de les additionner tels quels ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que des écarts contraires se compenseraient",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une somme d'écarts signés peut être nulle\npour une droite très mal placée. Le carré rend chaque écart\npositif et empêche ces compensations."
        },
        {
          "text": "Parce que le carré atténue les points très éloignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Effet contraire : le carré accentue le poids des points\nsitués loin de la droite."
        },
        {
          "text": "Parce que la somme dépendrait du nombre de points",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : le nombre de points intervient de la même\nfaçon pour toutes les droites comparées."
        },
        {
          "text": "Parce qu'un résidu négatif n'aurait aucun sens",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un résidu négatif a un sens très clair, il situe\nle point en dessous de la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Les moindres carrés minimisent $\\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.\nÉlever au carré supprime les compensations de signe et\npénalise fortement les grands écarts."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation-nulle",
        "prevision"
      ],
      "title": "Prévoir sans lien linéaire",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Sur une série de données, le coefficient de corrélation vaut\n$0{,}03$. Peut-on se servir de la droite de régression pour\nprévoir $y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, sans tendance affine on ne prévoit rien",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le calcul fournit bien une droite, mais un\nnuage sans alignement ne se résume pas par elle et la\nvaleur prévue serait arbitraire."
        },
        {
          "text": "Oui, la droite existe donc sa prévision est valable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'existence du calcul ne garantit pas sa\npertinence, c'est $|r|$ qui en décide."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition de rester dans la plage observée",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : rester dans la plage protège de\nl'extrapolation, pas d'un modèle qui ne décrit rien."
        },
        {
          "text": "Non, la droite ne peut pas être calculée ici",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la droite se calcule dès que les données varient,\nc'est son interprétation qui pose problème."
        }
      ],
      "explanation": "Une droite de régression se calcule presque toujours, même sur\nun nuage informe. Le coefficient de corrélation sert justement\nà décider si elle mérite d'être utilisée."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pertinence",
        "ajustement"
      ],
      "title": "Un nuage nettement incurvé",
      "partie": "usages",
      "statement": "Le nuage d'une série dessine une courbe régulière et nettement\nincurvée, et le coefficient de corrélation vaut $0{,}82$. Que\nfaire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Chercher un changement de variable adapté",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une courbure nette signale un modèle non\naffine. Un changement de variable bien choisi ramène\nsouvent le nuage à un alignement."
        },
        {
          "text": "Garder la droite, car $0{,}82$ est proche de $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un coefficient honorable n'efface pas une\ncourbure visible, et le graphique prime sur le nombre."
        },
        {
          "text": "Conclure qu'aucun modèle ne convient ici",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop pessimiste : la régularité de la courbe est au\ncontraire le signe qu'un modèle existe."
        },
        {
          "text": "Retirer les points les plus éloignés de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : supprimer des données pour embellir un\najustement fausse l'étude."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient de corrélation ne mesure qu'un alignement.\nDevant un nuage courbe, la démarche consiste à changer de\nvariable, par exemple en posant $z = \\ln y$, puis à ajuster le\nnouveau nuage."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-parfaite",
        "signe"
      ],
      "title": "Des points tous sur la droite",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Tous les points d'un nuage sont exactement situés sur la droite\nd'équation $y = -3x + 5$. Que vaut le coefficient de\ncorrélation de cette série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un alignement exact donne $|r| = 1$, et le\nsigne est celui de la pente $-3$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe opposé : la pente vaut $-3$, le coefficient de\ncorrélation porte le même signe qu'elle."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pente recopiée : le coefficient de corrélation mesure\nl'alignement, pas l'inclinaison de la droite."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : $0$ décrit un nuage sans alignement, alors\nqu'ici tous les points sont sur la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Un alignement parfait donne $r = 1$ si la droite monte et\n$r = -1$ si elle descend, quelle que soit la valeur de la\npente.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Tous les points d'un nuage sont exactement situés sur la droite\nd'équation $y = -3x + 5$. Que vaut le coefficient de\ncorrélation de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un alignement exact donne $|r| = 1$, et le\nsigne est celui de la pente $-3$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe opposé : la pente vaut $-3$, le coefficient de\ncorrélation porte le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : le coefficient de corrélation mesure\nl'alignement, pas l'inclinaison de la droite."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens : $0$ décrit un nuage sans alignement, alors\nqu'ici tous les points sont sur la droite."
            }
          ],
          "explanation": "Un alignement parfait donne $r = 1$ si la droite monte et\n$r = -1$ si elle descend, quelle que soit la valeur de la\npente."
        },
        {
          "statement": "Tous les points d'un nuage sont exactement situés sur la droite\nd'équation $y = 2{,}5x - 1$. Que vaut le coefficient de\ncorrélation de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un alignement exact donne $|r| = 1$, et le\nsigne est celui de la pente $2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe opposé : la pente vaut $2{,}5$, le coefficient de\ncorrélation porte le même signe qu'elle."
            },
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pente recopiée : le coefficient de corrélation mesure\nl'alignement, pas l'inclinaison de la droite."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens : $0$ décrit un nuage sans alignement, alors\nqu'ici tous les points sont sur la droite."
            }
          ],
          "explanation": "Un alignement parfait donne $r = 1$ si la droite monte et\n$r = -1$ si elle descend, quelle que soit la valeur de la\npente."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "causalite",
        "correlation-causalite"
      ],
      "title": "Un lien à contre-courant",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Dans un lycée, le nombre d'heures de soutien suivies et la\nmoyenne obtenue sont corrélés négativement : plus un élève\nsuit d'heures de soutien, plus sa moyenne est basse. Que montre\ncet exemple ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le lien joue peut-être en sens inverse",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce sont les résultats faibles qui\nconduisent au soutien. Une corrélation ne dit pas dans quel\nsens le lien fonctionne."
        },
        {
          "text": "Le soutien scolaire fait baisser les résultats",
          "correct": false,
          "feedback": "Lecture causale hâtive : la corrélation montre une\nassociation, pas un effet du soutien sur les notes."
        },
        {
          "text": "Une corrélation négative révèle un calcul erroné",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une corrélation négative est un résultat\nordinaire, qui décrit deux variables évoluant en sens\ncontraires."
        },
        {
          "text": "Supprimer le soutien ferait remonter les moyennes",
          "correct": false,
          "feedback": "Décision infondée : elle repose sur une causalité qui n'a\npas été établie, et probablement inversée."
        }
      ],
      "explanation": "Une corrélation ne porte aucune flèche : elle ne dit pas\nlaquelle des deux variables agit sur l'autre. L'exemple du\nsoutien montre que le sens réel peut être l'inverse du sens\nattendu."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable",
        "changement-de-variable"
      ],
      "title": "Revenir au modèle initial",
      "partie": "regression",
      "statement": "Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \\ln y$, et la régression\ndonne $z = 0{,}4x + 1{,}2$. Quelle expression de $y$ en fonction\nde $x$ en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = e^{0{,}4x + 1{,}2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : de $\\ln y = 0{,}4x + 1{,}2$, on revient à $y$\nen appliquant l'exponentielle aux deux membres."
        },
        {
          "text": "$y = 0{,}4x + 1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Changement de variable oublié : la régression porte sur\n$z = \\ln y$, pas directement sur $y$."
        },
        {
          "text": "$y = e^{0{,}4x} + 1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre\nde droite, ce qui donne un produit et non une somme."
        },
        {
          "text": "$y = \\ln(0{,}4x + 1{,}2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui\ndéfait le logarithme, pas un second logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "Un changement de variable se défait à la fin : après avoir\najusté $z = \\ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,\nsoit $y = e^{b} \\times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \\ln y$, et la régression\ndonne $z = 0{,}4x + 1{,}2$. Quelle expression de $y$ en fonction\nde $x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = e^{0{,}4x + 1{,}2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\ln y = 0{,}4x + 1{,}2$, on revient à $y$\nen appliquant l'exponentielle aux deux membres."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}4x + 1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Changement de variable oublié : la régression porte sur\n$z = \\ln y$, pas directement sur $y$."
            },
            {
              "text": "$y = e^{0{,}4x} + 1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre\nde droite, ce qui donne un produit et non une somme."
            },
            {
              "text": "$y = \\ln(0{,}4x + 1{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui\ndéfait le logarithme, pas un second logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Un changement de variable se défait à la fin : après avoir\najusté $z = \\ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,\nsoit $y = e^{b} \\times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel."
        },
        {
          "statement": "Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \\ln y$, et la régression\ndonne $z = 0{,}25x + 3$. Quelle expression de $y$ en fonction\nde $x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = e^{0{,}25x + 3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\ln y = 0{,}25x + 3$, on revient à $y$\nen appliquant l'exponentielle aux deux membres."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}25x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Changement de variable oublié : la régression porte sur\n$z = \\ln y$, pas directement sur $y$."
            },
            {
              "text": "$y = e^{0{,}25x} + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre\nde droite, ce qui donne un produit et non une somme."
            },
            {
              "text": "$y = \\ln(0{,}25x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui\ndéfait le logarithme, pas un second logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Un changement de variable se défait à la fin : après avoir\najusté $z = \\ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,\nsoit $y = e^{b} \\times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel."
        },
        {
          "statement": "Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \\ln y$, et la régression\ndonne $z = -0{,}5x + 2{,}4$. Quelle expression de $y$ en fonction\nde $x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = e^{-0{,}5x + 2{,}4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\ln y = -0{,}5x + 2{,}4$, on revient à $y$\nen appliquant l'exponentielle aux deux membres."
            },
            {
              "text": "$y = -0{,}5x + 2{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Changement de variable oublié : la régression porte sur\n$z = \\ln y$, pas directement sur $y$."
            },
            {
              "text": "$y = e^{-0{,}5x} + 2{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre\nde droite, ce qui donne un produit et non une somme."
            },
            {
              "text": "$y = \\ln(-0{,}5x + 2{,}4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui\ndéfait le logarithme, pas un second logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Un changement de variable se défait à la fin : après avoir\najusté $z = \\ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,\nsoit $y = e^{b} \\times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel."
        },
        {
          "statement": "Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \\ln y$, et la régression\ndonne $z = 0{,}3x + 2$. Quelle expression de $y$ en fonction\nde $x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = e^{0{,}3x + 2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $\\ln y = 0{,}3x + 2$, on revient à $y$\nen appliquant l'exponentielle aux deux membres."
            },
            {
              "text": "$y = 0{,}3x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Changement de variable oublié : la régression porte sur\n$z = \\ln y$, pas directement sur $y$."
            },
            {
              "text": "$y = e^{0{,}3x} + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre\nde droite, ce qui donne un produit et non une somme."
            },
            {
              "text": "$y = \\ln(0{,}3x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui\ndéfait le logarithme, pas un second logarithme."
            }
          ],
          "explanation": "Un changement de variable se défait à la fin : après avoir\najusté $z = \\ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,\nsoit $y = e^{b} \\times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "synthese",
        "prudence"
      ],
      "title": "Une prévision absurde",
      "partie": "usages",
      "statement": "Les ventes mensuelles d'un magasin, relevées de $2020$ à\n$2024$, s'ajustent par une droite décroissante avec\n$r = -0{,}98$. Prolongée jusqu'en $2035$, cette droite annonce\nun nombre de ventes négatif. Que conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si loin des données, la prévision est à rejeter",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite décrit la période observée. Une\nprévision impossible signale que le modèle est sorti de son\ndomaine de validité."
        },
        {
          "text": "Les ventes deviendront négatives, le calcul le démontre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un calcul exact mené sur un modèle inadapté ne\ndémontre rien, et un nombre de ventes reste positif."
        },
        {
          "text": "La qualité de l'ajustement garantit cette prévision",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $r$ juge l'alignement des données observées, il\nne dit rien du comportement futur."
        },
        {
          "text": "Il suffit de remplacer la prévision négative par zéro",
          "correct": false,
          "feedback": "Rafistolage : corriger le résultat ne corrige pas le\nmodèle, qui a cessé de décrire la situation."
        }
      ],
      "explanation": "Une extrapolation lointaine doit être confrontée au bon sens :\nune prévision impossible, comme un effectif négatif, montre que\nle modèle affine a dépassé son domaine de validité."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nuage",
        "point-moyen",
        "abscisse"
      ],
      "title": "Abscisse du point moyen",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Les abscisses des points d'un nuage sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5$. Quelle est\nl'abscisse du point moyen $G$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$, la moyenne des abscisses",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{15}{5} = 3$.\n"
        },
        {
          "text": "$15$, la somme des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.\n"
        },
        {
          "text": "$5$, le nombre de points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.\n"
        },
        {
          "text": "$1$, la première abscisse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\\bar{x}$ et\n$\\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les abscisses des points d'un nuage sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5$. Quelle est\nl'abscisse du point moyen $G$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$, la moyenne des abscisses",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{15}{5} = 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$15$, la somme des abscisses",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.\n"
            },
            {
              "text": "$5$, le nombre de points",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.\n"
            },
            {
              "text": "$1$, la première abscisse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\\bar{x}$ et\n$\\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage."
        },
        {
          "statement": "Les abscisses des points d'un nuage sont $2 ; 4 ; 6 ; 8$. Quelle est\nl'abscisse du point moyen $G$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$, la moyenne des abscisses",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{20}{4} = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$20$, la somme des abscisses",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.\n"
            },
            {
              "text": "$4$, le nombre de points",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.\n"
            },
            {
              "text": "$2$, la première abscisse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\\bar{x}$ et\n$\\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage."
        },
        {
          "statement": "Les abscisses des points d'un nuage sont $1 ; 3 ; 8$. Quelle est\nl'abscisse du point moyen $G$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$, la moyenne des abscisses",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{12}{3} = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$12$, la somme des abscisses",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.\n"
            },
            {
              "text": "$3$, le nombre de points",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.\n"
            },
            {
              "text": "$1$, la première abscisse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\\bar{x}$ et\n$\\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage."
        },
        {
          "statement": "Les abscisses des points d'un nuage sont $3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11$. Quelle est\nl'abscisse du point moyen $G$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$, la moyenne des abscisses",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{35}{5} = 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$35$, la somme des abscisses",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.\n"
            },
            {
              "text": "$5$, le nombre de points",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.\n"
            },
            {
              "text": "$3$, la première abscisse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\\bar{x}$ et\n$\\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nuage",
        "ajustement-affine",
        "pertinence"
      ],
      "title": "Quand un ajustement affine a du sens",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Dans quel cas un ajustement affine d'un nuage de points est-il\npertinent ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quand les points sont approximativement alignés le long d'une droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un nuage allongé, dont les points s'écartent peu\nd'une droite, se résume bien par une fonction affine.\n"
        },
        {
          "text": "Quand les points dessinent une courbe en forme de U",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite ne peut pas suivre un nuage en U ; un autre\nmodèle, par exemple polynomial, convient mieux.\n"
        },
        {
          "text": "Quand le nuage comporte au moins dix points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre de points ne dit rien de la forme du nuage.\n"
        },
        {
          "text": "Dans tous les cas, la calculatrice fournissant toujours une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la calculatrice calcule une droite quel que soit le\nnuage ; c'est à l'utilisateur de juger si elle décrit bien les\ndonnées.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Avant d'ajuster, on regarde le nuage : la forme allongée justifie\nle modèle affine."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nuage",
        "point-moyen",
        "droite-ajustement"
      ],
      "title": "Un point par lequel passe la droite d'ajustement",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Par quel point la droite d'ajustement obtenue par la méthode des\nmoindres carrés passe-t-elle toujours ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le point moyen $G(\\bar{x} ; \\bar{y})$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe par le\npoint moyen du nuage ; c'est une propriété de la méthode.\n"
        },
        {
          "text": "L'origine du repère",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'impose à la droite de passer par l'origine ; son\nordonnée à l'origine est calculée.\n"
        },
        {
          "text": "Le premier point du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la droite ne passe en général par aucun point du\nnuage.\n"
        },
        {
          "text": "Le point le plus proche du centre du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le point moyen n'est pas nécessairement un point du\nnuage.\n"
        }
      ],
      "explanation": "La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec\n$b = \\bar{y} - a\\bar{x}$ : elle contient $G$."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "nuage",
        "point-moyen",
        "valeur-aberrante"
      ],
      "title": "L'effet d'une valeur aberrante sur le point moyen",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $2$, $3$,\n$4$, $5$ et $16$, la dernière étant une erreur de saisie.\nQuel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle la porte à $6$ au lieu de $3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $6$, celle\ndes quatre premières $\\dfrac{14}{4} = 3{,}5$ ; une seule\nvaleur aberrante déplace nettement le point moyen."
        },
        {
          "text": "Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la\nmoyenne, elle, les subit."
        },
        {
          "text": "Elle la porte à $16$, la plus grande valeur",
          "correct": false,
          "feedback": "La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec\nles autres."
        },
        {
          "text": "Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut."
        }
      ],
      "explanation": "Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux\nvaleurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de\nl'ajustement.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $2$, $3$,\n$4$, $5$ et $16$, la dernière étant une erreur de saisie.\nQuel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle la porte à $6$ au lieu de $3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $6$, celle\ndes quatre premières $\\dfrac{14}{4} = 3{,}5$ ; une seule\nvaleur aberrante déplace nettement le point moyen."
            },
            {
              "text": "Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la\nmoyenne, elle, les subit."
            },
            {
              "text": "Elle la porte à $16$, la plus grande valeur",
              "correct": false,
              "feedback": "La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec\nles autres."
            },
            {
              "text": "Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage",
              "correct": false,
              "feedback": "Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut."
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux\nvaleurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de\nl'ajustement."
        },
        {
          "statement": "Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $3$, $4$,\n$5$, $8$ et $25$, la dernière étant une erreur de saisie.\nQuel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle la porte à $9$ au lieu de $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $9$, celle\ndes quatre premières $\\dfrac{20}{4} = 5$ ; une seule\nvaleur aberrante déplace nettement le point moyen."
            },
            {
              "text": "Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la\nmoyenne, elle, les subit."
            },
            {
              "text": "Elle la porte à $25$, la plus grande valeur",
              "correct": false,
              "feedback": "La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec\nles autres."
            },
            {
              "text": "Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage",
              "correct": false,
              "feedback": "Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut."
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux\nvaleurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de\nl'ajustement."
        },
        {
          "statement": "Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $1$, $3$,\n$4$, $4$ et $23$, la dernière étant une erreur de saisie.\nQuel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle la porte à $7$ au lieu de $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $7$, celle\ndes quatre premières $\\dfrac{12}{4} = 3$ ; une seule\nvaleur aberrante déplace nettement le point moyen."
            },
            {
              "text": "Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la\nmoyenne, elle, les subit."
            },
            {
              "text": "Elle la porte à $23$, la plus grande valeur",
              "correct": false,
              "feedback": "La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec\nles autres."
            },
            {
              "text": "Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage",
              "correct": false,
              "feedback": "Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut."
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux\nvaleurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de\nl'ajustement."
        },
        {
          "statement": "Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $2$, $4$,\n$6$, $8$ et $30$, la dernière étant une erreur de saisie.\nQuel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle la porte à $10$ au lieu de $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $10$, celle\ndes quatre premières $\\dfrac{20}{4} = 5$ ; une seule\nvaleur aberrante déplace nettement le point moyen."
            },
            {
              "text": "Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la\nmoyenne, elle, les subit."
            },
            {
              "text": "Elle la porte à $30$, la plus grande valeur",
              "correct": false,
              "feedback": "La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec\nles autres."
            },
            {
              "text": "Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage",
              "correct": false,
              "feedback": "Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut."
            }
          ],
          "explanation": "Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux\nvaleurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de\nl'ajustement."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation",
        "nuage",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Choisir un coefficient au vu d'un nuage",
      "partie": "correlation",
      "statement": "Quelle valeur du coefficient de corrélation correspond au nuage de\npoints représenté ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1,x=0.5cm,y=0.15cm]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[xstep=1,ystep=5] (11,20);\n    \\draw[->] (-0.2,0) -- (11.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,20.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {2,4,6,8,10} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {5,10,15} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\fill[blue] (1,18.2) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (2,16.9) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (3,14.1) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (4,13.5) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (5,11.2) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (6,9.8) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (7,8.4) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (8,6.1) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (9,5.3) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (10,2.9) circle (2pt);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Nuage de dix points d'abscisses 1 à 10 : les ordonnées\ndécroissent régulièrement de 18,2 à 2,9, presque alignées sur\nune droite descendante.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"195.283pt\" height=\"116.747pt\" viewBox=\"0 0 195.283 116.747\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.953125 C 1.203125 -3.875 1.296875 -4.375 1.53125 -4.84375 C 1.71875 -5.203125 2.15625 -5.734375 2.8125 -5.734375 C 3 -5.734375 3.40625 -5.6875 3.609375 -5.375 C 3.28125 -5.375 3.140625 -5.203125 3.140625 -4.953125 C 3.140625 -4.734375 3.296875 -4.546875 3.546875 -4.546875 C 3.796875 -4.546875 3.96875 -4.703125 3.96875 -4.984375 C 3.96875 -5.484375 3.609375 -5.953125 2.796875 -5.953125 C 1.640625 -5.953125 0.390625 -4.8125 0.390625 -2.828125 C 0.390625 -0.40625 1.46875 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.3125 0.203125 4.203125 -0.640625 4.203125 -1.8125 C 4.203125 -2.953125 3.375 -3.8125 2.375 -3.8125 C 1.828125 -3.8125 1.453125 -3.5 1.203125 -2.953125 Z M 2.3125 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.21875 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.625 1.5 -3.578125 2.34375 -3.578125 C 2.5 -3.578125 2.9375 -3.578125 3.21875 -3.03125 C 3.390625 -2.6875 3.390625 -2.25 3.390625 -1.828125 C 3.390625 -1.390625 3.390625 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.9375 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.3125 -0.046875 Z M 2.3125 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 1.53125 -4.0625 C 1.265625 -4.234375 1.0625 -4.46875 1.0625 -4.796875 C 1.0625 -5.375 1.6875 -5.734375 2.28125 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.515625 -5.25 3.515625 -4.625 C 3.515625 -4 2.984375 -3.578125 2.625 -3.375 Z M 2.84375 -3.234375 C 3.296875 -3.453125 3.953125 -3.890625 3.953125 -4.625 C 3.953125 -5.453125 3.109375 -5.953125 2.3125 -5.953125 C 1.375 -5.953125 0.640625 -5.28125 0.640625 -4.453125 C 0.640625 -4.125 0.765625 -3.796875 0.96875 -3.546875 C 1.125 -3.375 1.1875 -3.328125 1.703125 -3 C 0.90625 -2.625 0.390625 -2.078125 0.390625 -1.34375 C 0.390625 -0.40625 1.328125 0.203125 2.28125 0.203125 C 3.328125 0.203125 4.203125 -0.53125 4.203125 -1.5 C 4.203125 -2.375 3.546875 -2.796875 3.3125 -2.9375 C 3.21875 -3.015625 2.953125 -3.171875 2.84375 -3.234375 Z M 1.9375 -2.84375 L 3.0625 -2.15625 C 3.265625 -2.015625 3.71875 -1.734375 3.71875 -1.1875 C 3.71875 -0.484375 3 -0.046875 2.296875 -0.046875 C 1.515625 -0.046875 0.859375 -0.609375 0.859375 -1.34375 C 0.859375 -2 1.3125 -2.53125 1.9375 -2.84375 Z M 1.9375 -2.84375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 4.234375 -2.859375 C 4.234375 -3.453125 4.203125 -4.234375 3.890625 -4.890625 C 3.5 -5.734375 2.8125 -5.953125 2.296875 -5.953125 C 1.765625 -5.953125 1.078125 -5.734375 0.6875 -4.875 C 0.40625 -4.265625 0.359375 -3.546875 0.359375 -2.859375 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.40625 0.765625 -0.703125 C 1.1875 0.046875 1.875 0.203125 2.28125 0.203125 C 2.875 0.203125 3.53125 -0.046875 3.90625 -0.875 C 4.171875 -1.46875 4.234375 -2.140625 4.234375 -2.859375 Z M 2.296875 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.453125 1.125 -2.96875 C 1.125 -3.578125 1.125 -4.28125 1.234375 -4.765625 C 1.40625 -5.5625 1.984375 -5.734375 2.28125 -5.734375 C 2.625 -5.734375 3.1875 -5.546875 3.359375 -4.71875 C 3.453125 -4.234375 3.453125 -3.53125 3.453125 -2.96875 C 3.453125 -2.40625 3.453125 -1.65625 3.375 -1.140625 C 3.1875 -0.109375 2.515625 -0.03125 2.296875 -0.03125 Z M 2.296875 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-6\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.828125 1.046875 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.875 3.359375 -3.75 2.390625 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.96875 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.71875 3.765625 -5.84375 C 3.765625 -5.921875 3.71875 -5.953125 3.671875 -5.953125 C 3.65625 -5.953125 3.640625 -5.953125 3.5625 -5.90625 C 3.140625 -5.734375 2.71875 -5.671875 2.34375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.90625 C 1.0625 -5.953125 1.046875 -5.953125 1.03125 -5.953125 C 0.921875 -5.953125 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.71875 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000208759 0.00173975 L 155.906059 0.00173975 M -0.000208759 21.25919 L 155.906059 21.25919 M -0.000208759 42.516641 L 155.906059 42.516641 M -0.000208759 63.778013 L 155.906059 63.778013 M -0.000208759 85.027622 L 155.906059 85.027622 M -0.000208759 0.00173975 L -0.000208759 85.035463 M 14.172732 0.00173975 L 14.172732 85.035463 M 28.345673 0.00173975 L 28.345673 85.035463 M 42.518613 0.00173975 L 42.518613 85.035463 M 56.695475 0.00173975 L 56.695475 85.035463 M 70.868415 0.00173975 L 70.868415 85.035463 M 85.041356 0.00173975 L 85.041356 85.035463 M 99.214297 0.00173975 L 99.214297 85.035463 M 113.387237 0.00173975 L 113.387237 85.035463 M 127.560178 0.00173975 L 127.560178 85.035463 M 141.733119 0.00173975 L 141.733119 85.035463 M 155.898218 0.00173975 L 155.898218 85.035463 \" transform=\"matrix(0.996342, 0, 0, -0.996342, 20.523645, 101.087671)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.834797 0.00173975 L 159.760001 0.00173975 \" transform=\"matrix(0.996342, 0, 0, -0.996342, 20.523645, 101.087671)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070281 2.38938 C -1.693904 0.954444 -0.850977 0.280102 -0.000208376 0.00173975 C -0.850977 -0.280543 -1.693904 -0.954885 -2.070281 -2.389821 \" transform=\"matrix(0.996342, 0, 0, -0.996342, 179.898645, 101.087671)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"183.601888\" y=\"108.868104\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000208759 -0.849029 L -0.000208759 85.913676 \" transform=\"matrix(0.996342, 0, 0, -0.996342, 20.523645, 101.087671)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073477 2.39177 C -1.69318 0.956833 -0.850252 0.278571 0.000516086 0.000208759 C -0.850252 -0.278153 -1.69318 -0.956416 -2.073477 -2.391352 \" transform=\"matrix(0, -0.996342, -0.996342, 0, 20.523645, 15.289577)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"11.794695\" y=\"9.654377\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"46.471376\" y=\"111.113859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"74.713682\" y=\"111.113859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"102.956984\" y=\"111.113859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"131.199289\" y=\"111.113859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"157.14702\" y=\"111.113859\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"161.737986\" y=\"111.113859\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"9.884707\" y=\"82.784871\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"5.293564\" y=\"61.60364\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"9.884531\" y=\"61.60364\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"5.293564\" y=\"40.422409\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"9.884531\" y=\"40.422409\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 36.628906 23.988281 C 36.628906 22.890625 35.742188 22.003906 34.644531 22.003906 C 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100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 78.996094 43.898438 C 78.996094 42.800781 78.105469 41.914062 77.011719 41.914062 C 75.914062 41.914062 75.023438 42.800781 75.023438 43.898438 C 75.023438 44.996094 75.914062 45.882812 77.011719 45.882812 C 78.105469 45.882812 78.996094 44.996094 78.996094 43.898438 Z M 78.996094 43.898438 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 93.117188 53.640625 C 93.117188 52.542969 92.226562 51.65625 91.132812 51.65625 C 90.035156 51.65625 89.144531 52.542969 89.144531 53.640625 C 89.144531 54.738281 90.035156 55.625 91.132812 55.625 C 92.226562 55.625 93.117188 54.738281 93.117188 53.640625 Z M 93.117188 53.640625 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 107.238281 59.570312 C 107.238281 58.476562 106.347656 57.585938 105.253906 57.585938 C 104.15625 57.585938 103.269531 58.476562 103.269531 59.570312 C 103.269531 60.667969 104.15625 61.558594 105.253906 61.558594 C 106.347656 61.558594 107.238281 60.667969 107.238281 59.570312 Z M 107.238281 59.570312 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 121.359375 65.503906 C 121.359375 64.40625 120.472656 63.519531 119.375 63.519531 C 118.277344 63.519531 117.390625 64.40625 117.390625 65.503906 C 117.390625 66.597656 118.277344 67.488281 119.375 67.488281 C 120.472656 67.488281 121.359375 66.597656 121.359375 65.503906 Z M 121.359375 65.503906 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 135.480469 75.246094 C 135.480469 74.148438 134.59375 73.261719 133.496094 73.261719 C 132.398438 73.261719 131.511719 74.148438 131.511719 75.246094 C 131.511719 76.34375 132.398438 77.230469 133.496094 77.230469 C 134.59375 77.230469 135.480469 76.34375 135.480469 75.246094 Z M 135.480469 75.246094 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 149.601562 78.636719 C 149.601562 77.539062 148.714844 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      },
      "options": [
        {
          "text": "$r = -0{,}99$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les points sont presque alignés sur une droite\ndescendante, d'où $r$ négatif et proche de $-1$."
        },
        {
          "text": "$r = 0{,}99$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux : la tendance est décroissante, le coefficient est\nnégatif."
        },
        {
          "text": "$r = -0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Lien trop faible : un tel coefficient correspond à un nuage\ntrès dispersé."
        },
        {
          "text": "$r = -18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient de corrélation est toujours compris entre $-1$\net $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe de $r$ donne le sens de la tendance, sa valeur absolue la\nqualité de l'alignement : proche de $1$, les points sont presque\nalignés."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nuage",
        "changement-variable",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Un nuage qui appelle un changement de variable",
      "partie": "nuage",
      "statement": "Le nuage de points représenté semble suivre une croissance de plus\nen plus rapide. Quel ajustement est le plus pertinent ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1,x=0.6cm,y=0.15cm]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[xstep=1,ystep=5] (7,24);\n    \\draw[->] (-0.2,0) -- (7.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,24.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {1,2,3,4,5,6} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {5,10,15,20} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\fill[blue] (0,2) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (1,3) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (2,4.5) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (3,6.8) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (4,10.1) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (5,15.2) circle (2pt);\n  \\fill[blue] (6,22.8) circle (2pt);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Nuage de sept points d'abscisses 0 à 6, d'ordonnées 2 ; 3 ; 4,5\n; 6,8 ; 10,1 ; 15,2 ; 22,8 : chaque ordonnée vaut environ une\nfois et demie la précédente, le nuage se courbe vers le haut.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"159.795pt\" height=\"133.754pt\" viewBox=\"0 0 159.795 133.754\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 0.9375 -3.09375 C 0.9375 -2.921875 0.9375 -2.828125 1.0625 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.953125 C 1.484375 -3.328125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.84375 -0.21875 2.46875 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.21875 0.203125 4.140625 -0.6875 4.140625 -1.796875 C 4.140625 -2.875 3.359375 -3.765625 2.390625 -3.765625 C 1.953125 -3.765625 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.296875 L 1.203125 -5.0625 C 1.484375 -4.984375 1.75 -4.9375 2.03125 -4.9375 C 3.140625 -4.9375 3.78125 -5.734375 3.78125 -5.84375 C 3.78125 -5.921875 3.71875 -5.96875 3.6875 -5.96875 C 3.65625 -5.96875 3.640625 -5.96875 3.5625 -5.921875 C 3.140625 -5.75 2.734375 -5.671875 2.359375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.75 1.15625 -5.921875 C 1.0625 -5.96875 1.046875 -5.96875 1.03125 -5.96875 C 0.9375 -5.96875 0.9375 -5.875 0.9375 -5.71875 Z M 0.9375 -3.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.96875 C 1.203125 -3.875 1.296875 -4.390625 1.546875 -4.859375 C 1.71875 -5.21875 2.15625 -5.734375 2.8125 -5.734375 C 3 -5.734375 3.40625 -5.703125 3.609375 -5.375 C 3.28125 -5.375 3.140625 -5.203125 3.140625 -4.96875 C 3.140625 -4.734375 3.296875 -4.5625 3.546875 -4.5625 C 3.8125 -4.5625 3.96875 -4.71875 3.96875 -4.984375 C 3.96875 -5.484375 3.609375 -5.96875 2.796875 -5.96875 C 1.640625 -5.96875 0.390625 -4.828125 0.390625 -2.828125 C 0.390625 -0.40625 1.484375 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.3125 0.203125 4.203125 -0.640625 4.203125 -1.8125 C 4.203125 -2.953125 3.390625 -3.8125 2.375 -3.8125 C 1.828125 -3.8125 1.453125 -3.5 1.203125 -2.96875 Z M 2.3125 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.234375 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.625 1.5 -3.59375 2.359375 -3.59375 C 2.5 -3.59375 2.9375 -3.59375 3.21875 -3.03125 C 3.390625 -2.6875 3.390625 -2.25 3.390625 -1.828125 C 3.390625 -1.390625 3.390625 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.953125 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.3125 -0.046875 Z M 2.3125 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-6\">\n<path d=\"M 4.234375 -2.859375 C 4.234375 -3.46875 4.203125 -4.234375 3.890625 -4.90625 C 3.5 -5.75 2.8125 -5.96875 2.296875 -5.96875 C 1.765625 -5.96875 1.078125 -5.75 0.6875 -4.890625 C 0.40625 -4.265625 0.359375 -3.546875 0.359375 -2.859375 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.421875 0.765625 -0.703125 C 1.1875 0.046875 1.875 0.203125 2.296875 0.203125 C 2.875 0.203125 3.53125 -0.046875 3.90625 -0.875 C 4.1875 -1.484375 4.234375 -2.15625 4.234375 -2.859375 Z M 2.296875 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.46875 1.125 -2.96875 C 1.125 -3.578125 1.125 -4.28125 1.234375 -4.78125 C 1.421875 -5.578125 1.984375 -5.734375 2.296875 -5.734375 C 2.625 -5.734375 3.203125 -5.5625 3.359375 -4.734375 C 3.46875 -4.234375 3.46875 -3.53125 3.46875 -2.96875 C 3.46875 -2.421875 3.46875 -1.671875 3.375 -1.140625 C 3.1875 -0.109375 2.53125 -0.03125 2.296875 -0.03125 Z M 2.296875 -0.03125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00157891 0.000523906 L 119.056079 0.000523906 M 0.00157891 21.258299 L 119.056079 21.258299 M 0.00157891 42.519988 L 119.056079 42.519988 M 0.00157891 63.777764 L 119.056079 63.777764 M 0.00157891 85.035539 L 119.056079 85.035539 M 0.00157891 0.000523906 L 0.00157891 102.043325 M 17.009365 0.000523906 L 17.009365 102.043325 M 34.01715 0.000523906 L 34.01715 102.043325 M 51.024936 0.000523906 L 51.024936 102.043325 M 68.032722 0.000523906 L 68.032722 102.043325 M 85.040508 0.000523906 L 85.040508 102.043325 M 102.048293 0.000523906 L 102.048293 102.043325 M 119.048252 0.000523906 L 119.048252 102.043325 \" transform=\"matrix(0.998164, 0, 0, -0.998164, 21.115611, 118.160679)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -3.403109 0.000523906 L 123.760027 0.000523906 \" transform=\"matrix(0.998164, 0, 0, -0.998164, 21.115611, 118.160679)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071694 2.391632 C -1.692091 0.955402 -0.850703 0.278378 -0.0014876 0.000523906 C -0.850703 -0.27733 -1.692091 -0.958268 -2.071694 -2.390584 \" transform=\"matrix(0.998164, 0, 0, -0.998164, 144.849141, 118.160679)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"148.559218\" y=\"125.955343\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00157891 -0.848691 L 0.00157891 102.919934 \" transform=\"matrix(0.998164, 0, 0, -0.998164, 21.115611, 118.160679)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071167 2.389529 C -1.695478 0.957213 -0.850176 0.280188 -0.000960587 -0.00157891 C -0.850176 -0.279433 -1.695478 -0.956457 -2.071167 -2.392687 \" transform=\"matrix(0, -0.998164, -0.998164, 0, 21.115611, 15.22951)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"12.369697\" y=\"9.584372\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"35.792618\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"52.769394\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"69.74617\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"86.722947\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"103.699723\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"120.676499\" y=\"128.205205\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"9.947152\" y=\"99.824403\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.347612\" y=\"78.604431\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"9.946976\" y=\"78.604431\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.347612\" y=\"57.384459\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"9.946976\" y=\"57.384459\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"5.347612\" y=\"36.164486\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"9.946976\" y=\"36.164486\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 23.105469 109.671875 C 23.105469 108.574219 22.214844 107.683594 21.117188 107.683594 C 20.015625 107.683594 19.125 108.574219 19.125 109.671875 C 19.125 110.769531 20.015625 111.660156 21.117188 111.660156 C 22.214844 111.660156 23.105469 110.769531 23.105469 109.671875 Z M 23.105469 109.671875 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 40.082031 105.429688 C 40.082031 104.332031 39.191406 103.441406 38.09375 103.441406 C 36.996094 103.441406 36.105469 104.332031 36.105469 105.429688 C 36.105469 106.527344 36.996094 107.417969 38.09375 107.417969 C 39.191406 107.417969 40.082031 106.527344 40.082031 105.429688 Z M 40.082031 105.429688 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 57.058594 99.0625 C 57.058594 97.964844 56.167969 97.074219 55.070312 97.074219 C 53.972656 97.074219 53.082031 97.964844 53.082031 99.0625 C 53.082031 100.160156 53.972656 101.050781 55.070312 101.050781 C 56.167969 101.050781 57.058594 100.160156 57.058594 99.0625 Z M 57.058594 99.0625 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 74.035156 89.300781 C 74.035156 88.203125 73.144531 87.3125 72.046875 87.3125 C 70.949219 87.3125 70.058594 88.203125 70.058594 89.300781 C 70.058594 90.398438 70.949219 91.289062 72.046875 91.289062 C 73.144531 91.289062 74.035156 90.398438 74.035156 89.300781 Z M 74.035156 89.300781 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 91.011719 75.296875 C 91.011719 74.199219 90.121094 73.308594 89.023438 73.308594 C 87.925781 73.308594 87.035156 74.199219 87.035156 75.296875 C 87.035156 76.394531 87.925781 77.285156 89.023438 77.285156 C 90.121094 77.285156 91.011719 76.394531 91.011719 75.296875 Z M 91.011719 75.296875 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 107.988281 53.652344 C 107.988281 52.554688 107.097656 51.664062 106 51.664062 C 104.902344 51.664062 104.011719 52.554688 104.011719 53.652344 C 104.011719 54.75 104.902344 55.640625 106 55.640625 C 107.097656 55.640625 107.988281 54.75 107.988281 53.652344 Z M 107.988281 53.652344 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 124.964844 21.398438 C 124.964844 20.296875 124.078125 19.40625 122.976562 19.40625 C 121.878906 19.40625 120.988281 20.296875 120.988281 21.398438 C 120.988281 22.496094 121.878906 23.386719 122.976562 23.386719 C 124.078125 23.386719 124.964844 22.496094 124.964844 21.398438 Z M 124.964844 21.398438 \"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Poser $z = \\ln y$, puis ajuster $z$ en $x$ par une droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les ordonnées sont multipliées par un même\nfacteur, environ $1{,}5$ ; $\\ln y$ croît alors de façon\naffine."
        },
        {
          "text": "Ajuster directement $y$ en $x$ par une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nuage est nettement courbé : une droite le représenterait\nmal, surtout aux extrémités."
        },
        {
          "text": "Poser $z = e^y$, puis ajuster $z$ en $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Changement de variable dans le mauvais sens : $e^y$\naccentuerait encore la courbure."
        },
        {
          "text": "Aucun ajustement n'est possible",
          "correct": false,
          "feedback": "Un changement de variable ramène ce nuage à un ajustement\naffine."
        }
      ],
      "explanation": "Quand $y$ est multiplié par un facteur constant à chaque pas de\n$x$, $\\ln y$ augmente d'une constante : l'ajustement affine de\n$\\ln y$ en $x$ donne un modèle $y = e^{ax + b}$."
    }
  ]
}