{
  "chapter": {
    "id": "suites-modeles-discrets",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Suites numériques, modèles discrets",
    "description": "Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et\nthéorème des gendarmes, limite de $q^n$ pour une raison\npositive, limite de la somme $1 + q + \\cdots + q^n$ pour\n$0 < q < 1$, suites arithmético-géométriques (suite constante\nsolution, solution générale), problèmes de seuil.",
    "parties": [
      {
        "id": "generalites",
        "title": "Généralités et modes de génération"
      },
      {
        "id": "limites",
        "title": "Limites et comportement"
      },
      {
        "id": "sommes",
        "title": "Sommes et seuils"
      },
      {
        "id": "modeles",
        "title": "Modéliser une situation"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1",
      "partie": "limites",
      "statement": "Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier sans fin par $0{,}7 < 1$\nécrase la valeur : $0{,}7$ ; $0{,}49$ ; $0{,}343$… vers\n$0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'explosion vers $+\\infty$ demande une raison\n$q > 1$. Ici chaque multiplication **réduit**."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}7$ n'est que le premier terme ($n = 1$).\nLes puissances suivantes continuent de fondre vers $0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $q^n \\to 1$ exigerait $q = 1$ (suite constante).\nAvec $0{,}7$, la décroissance vers $0$ est inexorable."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence (raison positive) : $q^n \\to 0$ si\n$0 < q < 1$ ; $q^n \\to +\\infty$ si $q > 1$ ; constante $1$ si\n$q = 1$. Socle de tous les modèles exponentiels discrets."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-geometrique",
        "limite"
      ],
      "title": "Limite d'une somme géométrique",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme\n$1 + q + q^2 + \\cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{1 - q}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\net $q^{n+1} \\to 0$ : la limite est $\\dfrac{1}{1-q}$\n(démonstration possible au programme)."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,\nceux-ci fondent si vite que le total **plafonne** :\nc'est la somme géométrique convergente."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{q}{1 - q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{q}{1 - q}$ est la limite de $q + q^2 +\n\\cdots$, la somme privée de son premier terme $1$. Avec\nlui, la limite vaut $\\dfrac{1}{1 - q}$ (par exemple $2$\npour $q = \\frac{1}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{q - 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : pour $0 < q < 1$, $q - 1 < 0$\ndonnerait une limite négative, impossible pour une somme\nde termes positifs. La formule est $\\dfrac{1}{1 - q}$."
        }
      ],
      "explanation": "Résultat clé : $1 + q + \\cdots + q^n \\to \\dfrac{1}{1-q}$\npour $0 < q < 1$. Exemple parlant :\n$1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} + \\cdots \\to 2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arithmetico-geometrique",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Suite constante solution",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 4$. Quelle\nsuite constante vérifie cette relation ?",
      "options": [
        {
          "text": "La suite constante égale à $20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}8c + 4$,\nsoit $0{,}2\\,c = 4$ et $c = 20$."
        },
        {
          "text": "La suite constante égale à $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante de la relation recopiée :\n$0{,}8 \\times 4 + 4 = 7{,}2$, différent de $4$."
        },
        {
          "text": "La suite constante égale à $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par le coefficient : $0{,}8 \\times 5 + 4 = 8$,\ndifférent de $5$ ; on divise par $1 - 0{,}8$."
        },
        {
          "text": "Aucune suite constante ne convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$\na une unique solution, ici $c = 20$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite\nconstante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre\norganise tout le comportement de la suite ; ici $c = 20$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 4$. Quelle\nsuite constante vérifie cette relation ?",
          "options": [
            {
              "text": "La suite constante égale à $20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}8c + 4$,\nsoit $0{,}2\\,c = 4$ et $c = 20$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante de la relation recopiée :\n$0{,}8 \\times 4 + 4 = 7{,}2$, différent de $4$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient : $0{,}8 \\times 5 + 4 = 8$,\ndifférent de $5$ ; on divise par $1 - 0{,}8$."
            },
            {
              "text": "Aucune suite constante ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$\na une unique solution, ici $c = 20$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite\nconstante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre\norganise tout le comportement de la suite ; ici $c = 20$."
        },
        {
          "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 6$. Quelle\nsuite constante vérifie cette relation ?",
          "options": [
            {
              "text": "La suite constante égale à $15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}6c + 6$,\nsoit $0{,}4\\,c = 6$ et $c = 15$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante de la relation recopiée :\n$0{,}6 \\times 6 + 6 = 9{,}6$, différent de $6$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient : $0{,}6 \\times 10 + 6 = 12$,\ndifférent de $10$ ; on divise par $1 - 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "Aucune suite constante ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$\na une unique solution, ici $c = 15$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite\nconstante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre\norganise tout le comportement de la suite ; ici $c = 15$."
        },
        {
          "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}75\\,u_n + 6$. Quelle\nsuite constante vérifie cette relation ?",
          "options": [
            {
              "text": "La suite constante égale à $24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}75c + 6$,\nsoit $0{,}25\\,c = 6$ et $c = 24$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante de la relation recopiée :\n$0{,}75 \\times 6 + 6 = 10{,}5$, différent de $6$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient : $0{,}75 \\times 8 + 6 = 12$,\ndifférent de $8$ ; on divise par $1 - 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "Aucune suite constante ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$\na une unique solution, ici $c = 24$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite\nconstante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre\norganise tout le comportement de la suite ; ici $c = 24$."
        },
        {
          "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n + 9$. Quelle\nsuite constante vérifie cette relation ?",
          "options": [
            {
              "text": "La suite constante égale à $90$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}9c + 9$,\nsoit $0{,}1\\,c = 9$ et $c = 90$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante de la relation recopiée :\n$0{,}9 \\times 9 + 9 = 17{,}1$, différent de $9$."
            },
            {
              "text": "La suite constante égale à $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient : $0{,}9 \\times 10 + 9 = 18$,\ndifférent de $10$ ; on divise par $1 - 0{,}9$."
            },
            {
              "text": "Aucune suite constante ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$\na une unique solution, ici $c = 90$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite\nconstante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre\norganise tout le comportement de la suite ; ici $c = 90$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arithmetico-geometrique",
        "solution-generale"
      ],
      "title": "Exploiter la suite constante",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 4$ (point d'équilibre\n$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart au point d'équilibre est multiplié\npar $0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$ : la suite\n$v_n = u_n - 20$ vérifie $v_{n+1} = 0{,}8\\,v_n$\n(géométrique), donc $v_n = 10 \\times 0{,}8^n \\to 0$ et\n$u_n \\to 20$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la suite ne reste pas à sa valeur initiale :\n$u_1 = 0{,}8 \\times 30 + 4 = 28 \\neq 30$, elle bouge dès le\npremier pas, attirée vers $20$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $0{,}8 < 1$ **contracte**\nl'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite\nconverge."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'**écart** $u_n - 20$ qui tend vers $0$,\npas la suite elle-même, qui se stabilise en $20$."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma complet : poser $v_n = u_n - c$ ($c$ point\nd'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique\n$v_{n+1} = a\\,v_n$. Pour $|a| < 1$ : $v_n \\to 0$ et\n$u_n \\to c$. Modèle des stabilisations (température,\nmédicament, capital)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gendarmes"
      ],
      "title": "Théorème des gendarmes",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une suite vérifie, pour tout $n \\geq 1$,\n$3 - \\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq 3 + \\dfrac{1}{n}$.\nQue peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(u_n)$ converge vers $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers\n$3$ : la suite coincée entre elles aussi (théorème des\ngendarmes)."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ est constante égale à $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la suite peut osciller **dans** le couloir\n(par exemple $3 + \\frac{(-1)^n}{2n}$) ; seul son\ncomportement limite est imposé."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par\ndeux suites de **même limite** suffit à conclure."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : une limite est un **nombre fixe** ;\n$\\frac{1}{n}$ dépend de $n$. Le couloir se resserre\nautour de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Gendarmes : $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ avec $v_n \\to \\ell$ et\n$w_n \\to \\ell$ $\\Rightarrow$ $u_n \\to \\ell$. Ici le couloir\nde largeur $\\frac{2}{n}$ se referme sur $3$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "capital"
      ],
      "title": "Modéliser un compte avec versements",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un compte rapporte $2\\ \\%$ par an et reçoit un versement de\n$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après\n$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n + 100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par\n$1{,}02$ (intérêts), puis augmenté du versement : modèle\narithmético-géométrique typique."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = u_n + 102$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts\nportent sur le **solde courant** (qui grandit), pas\nseulement sur un montant fixe."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,(u_n + 100)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège de chronologie : avec un versement en **fin**\nd'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :\n$u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n + 100$."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = 0{,}02\\,u_n + 100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}02$ ne garderait que les\nintérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une\nhausse de $2\\ \\%$ est $1{,}02$."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle mixte (taux $+$ versement constant) : récurrence\narithmético-géométrique $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ avec\n$a = 1{,}02$ et $b = 100$. La chronologie des opérations\ndécide de la formule exacte."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite",
        "operations"
      ],
      "title": "Opérations sur les limites",
      "partie": "limites",
      "statement": "Soient $u_n \\to 5$ et $v_n \\to 0{,}5$. Que vaut la limite de\n$\\dfrac{u_n}{v_n}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non\nnul) : $\\dfrac{5}{0{,}5} = 10$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 \\times 0{,}5 = 2{,}5$ serait la limite du\n**produit**. Le quotient divise : $5 / 0{,}5 = 10$."
        },
        {
          "text": "$5{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 + 0{,}5$ est la limite de la **somme**."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les formes indéterminées demandent $0/0$ ou\n$\\infty/\\infty$ ; ici tout est fini et le dénominateur ne\ns'annule pas : les opérations s'appliquent directement."
        }
      ],
      "explanation": "Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,\nquotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux\nlimites. $\\frac{5}{0{,}5} = 10$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "recurrence",
        "calcul"
      ],
      "title": "Dérouler une récurrence",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut $u_2$\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \\times 4 + 6 = 8$, puis\n$u_2 = 0{,}5 \\times 8 + 6 = 10$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une étape seulement : $8$ est $u_1$, le rang $2$ demande\nune itération de plus."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des opérations : $0{,}5 \\times (4 + 6)$ ajoute avant\nde multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : ajouter deux fois $6$ à $4$ néglige\nla multiplication par $0{,}5$ à chaque rang."
        }
      ],
      "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 4$,\n$u_1 = 8$, $u_2 = 10$. La suite se rapproche de son point\nd'équilibre $12$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut $u_2$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \\times 4 + 6 = 8$, puis\n$u_2 = 0{,}5 \\times 8 + 6 = 10$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape seulement : $8$ est $u_1$, le rang $2$ demande\nune itération de plus."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : $0{,}5 \\times (4 + 6)$ ajoute avant\nde multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter deux fois $6$ à $4$ néglige\nla multiplication par $0{,}5$ à chaque rang."
            }
          ],
          "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 4$,\n$u_1 = 8$, $u_2 = 10$. La suite se rapproche de son point\nd'équilibre $12$."
        },
        {
          "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 4$ avec $u_0 = 2$. Que vaut $u_2$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \\times 2 + 4 = 5$, puis\n$u_2 = 0{,}5 \\times 5 + 4 = 6{,}5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape seulement : $5$ est $u_1$, le rang $2$ demande\nune itération de plus."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : $0{,}5 \\times (2 + 4)$ ajoute avant\nde multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter deux fois $4$ à $2$ néglige\nla multiplication par $0{,}5$ à chaque rang."
            }
          ],
          "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 2$,\n$u_1 = 5$, $u_2 = 6{,}5$. La suite se rapproche de son point\nd'équilibre $8$."
        },
        {
          "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}2\\,u_n + 10$ avec $u_0 = 5$. Que vaut $u_2$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$12{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}2 \\times 5 + 10 = 11$, puis\n$u_2 = 0{,}2 \\times 11 + 10 = 12{,}2$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape seulement : $11$ est $u_1$, le rang $2$ demande\nune itération de plus."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : $0{,}2 \\times (5 + 10)$ ajoute avant\nde multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter deux fois $10$ à $5$ néglige\nla multiplication par $0{,}2$ à chaque rang."
            }
          ],
          "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 5$,\n$u_1 = 11$, $u_2 = 12{,}2$. La suite se rapproche de son point\nd'équilibre $12{,}5$."
        },
        {
          "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 2$ avec $u_0 = 5$. Que vaut $u_2$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$6{,}8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}8 \\times 5 + 2 = 6$, puis\n$u_2 = 0{,}8 \\times 6 + 2 = 6{,}8$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape seulement : $6$ est $u_1$, le rang $2$ demande\nune itération de plus."
            },
            {
              "text": "$5{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : $0{,}8 \\times (5 + 2)$ ajoute avant\nde multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter deux fois $2$ à $5$ néglige\nla multiplication par $0{,}8$ à chaque rang."
            }
          ],
          "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 5$,\n$u_1 = 6$, $u_2 = 6{,}8$. La suite se rapproche de son point\nd'équilibre $10$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "seuil",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Problème de seuil",
      "partie": "sommes",
      "statement": "La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 1000 \\times 0{,}5^n$\nau bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur\npasse-t-elle sous $10$ euros ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_{6} \\approx 15{,}6$ euros est encore\nau-dessus du seuil, et $u_{7} \\approx 7{,}8$ euros est en\ndessous."
        },
        {
          "text": "$n = 100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1000}{10} = 100$ ne\ncorrespond à aucun calcul sur une suite géométrique."
        },
        {
          "text": "$n = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un rang trop tôt : $u_{6} \\approx 15{,}6$ euros, encore\nau-dessus de $10$."
        },
        {
          "text": "$n = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $10$ euros dès\nle rang $7$."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,\nà la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne\naussi la réponse directement.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 1000 \\times 0{,}5^n$\nau bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur\npasse-t-elle sous $10$ euros ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{6} \\approx 15{,}6$ euros est encore\nau-dessus du seuil, et $u_{7} \\approx 7{,}8$ euros est en\ndessous."
            },
            {
              "text": "$n = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1000}{10} = 100$ ne\ncorrespond à aucun calcul sur une suite géométrique."
            },
            {
              "text": "$n = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $u_{6} \\approx 15{,}6$ euros, encore\nau-dessus de $10$."
            },
            {
              "text": "$n = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $10$ euros dès\nle rang $7$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,\nà la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne\naussi la réponse directement."
        },
        {
          "statement": "La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 2000 \\times 0{,}5^n$\nau bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur\npasse-t-elle sous $100$ euros ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{4} \\approx 125$ euros est encore\nau-dessus du seuil, et $u_{5} \\approx 62{,}5$ euros est en\ndessous."
            },
            {
              "text": "$n = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{2000}{100} = 20$ ne\ncorrespond à aucun calcul sur une suite géométrique."
            },
            {
              "text": "$n = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $u_{4} \\approx 125$ euros, encore\nau-dessus de $100$."
            },
            {
              "text": "$n = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $100$ euros dès\nle rang $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,\nà la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne\naussi la réponse directement."
        },
        {
          "statement": "La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 500 \\times 0{,}8^n$\nau bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur\npasse-t-elle sous $100$ euros ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{7} \\approx 104{,}9$ euros est encore\nau-dessus du seuil, et $u_{8} \\approx 83{,}9$ euros est en\ndessous."
            },
            {
              "text": "$n = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{500}{100} = 5$ ne\ncorrespond à aucun calcul sur une suite géométrique."
            },
            {
              "text": "$n = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $u_{7} \\approx 104{,}9$ euros, encore\nau-dessus de $100$."
            },
            {
              "text": "$n = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $100$ euros dès\nle rang $8$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,\nà la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne\naussi la réponse directement."
        },
        {
          "statement": "La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 800 \\times 0{,}9^n$\nau bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur\npasse-t-elle sous $300$ euros ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{9} \\approx 309{,}9$ euros est encore\nau-dessus du seuil, et $u_{10} \\approx 278{,}9$ euros est en\ndessous."
            },
            {
              "text": "$n = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{800}{300} = 2$ ne\ncorrespond à aucun calcul sur une suite géométrique."
            },
            {
              "text": "$n = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang trop tôt : $u_{9} \\approx 309{,}9$ euros, encore\nau-dessus de $300$."
            },
            {
              "text": "$n = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $300$ euros dès\nle rang $10$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,\nà la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne\naussi la réponse directement."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "representation",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Représentation en toile d'araignée",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$\net conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$\net une autre droite. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite d'équation $y = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la construction en escalier rebondit\nentre la courbe (calcul de $f(u_n)$) et la droite\n$y = x$ (report du résultat en abscisse) ; les points\nfixes se lisent aux intersections courbe-droite."
        },
        {
          "text": "L'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter\nl'ordonnée $f(u_n)$ en nouvelle abscisse ; c'est le rôle\nde la bissectrice $y = x$."
        },
        {
          "text": "La droite $y = f(0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la\nconstruction ; le va-et-vient exige $y = x$."
        },
        {
          "text": "La tangente à la courbe en $u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;\nl'escalier de la récurrence utilise la droite $y = x$."
        }
      ],
      "explanation": "Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :\ncourbe de $f$ $+$ droite $y = x$, construction en escalier\nou en spirale. Les intersections $f(x) = x$ sont les\ncandidats limites."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "radioactivite"
      ],
      "title": "Décroissance radioactive discrète",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Chaque année, $3\\ \\%$ des noyaux d'un échantillon se\ndésintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle\ndiscret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 0{,}97^n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : perdre $3\\ \\%$ par an revient à\nmultiplier par $0{,}97$ chaque année : suite géométrique\nde raison $0{,}97$, décroissance exponentielle discrète."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 - 0{,}03\\,n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce modèle linéaire retire un **montant fixe**\npar an. Or $3\\ \\%$ portent sur le stock **restant**, qui\ndiminue : modèle multiplicatif."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 0{,}03^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}03$ ferait disparaître\n$97\\ \\%$ des noyaux chaque année. Le facteur de\n**conservation** est $0{,}97$."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 1{,}03^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $1{,}03$ ferait **croître**\nl'échantillon. Une perte de $3\\ \\%$ correspond à\n$\\times\\,0{,}97$."
        }
      ],
      "explanation": "Taux de perte constant $\\to$ suite géométrique de raison\n$1 - t$. Modèle discret de la radioactivité (thème du\nprogramme), version continue à venir avec $y' = ay$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite",
        "comportement"
      ],
      "title": "Comportement selon la raison",
      "partie": "limites",
      "statement": "Trois suites géométriques ont pour raisons respectives\n$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement\npositifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$, constante, vers $+\\infty$ respectivement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : vers $0$ pour $0{,}9$, constante pour\n$1$, vers $+\\infty$ pour $1{,}1$. La position de la\nraison par rapport à $1$ sépare trois destins\nradicalement différents, même pour des raisons très\nproches."
        },
        {
          "text": "Les trois convergent, plus ou moins vite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}1^n$ **explose** ($1{,}1^{100} \\approx\n13\\,800$) : aucune convergence pour $q > 1$."
        },
        {
          "text": "Les trois tendent vers leur raison respective",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la raison est un **facteur**, pas un point\nd'arrivée. Les limites sont $0$, la constante initiale,\net $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "Impossible à dire sans les premiers termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,\nseul le **rapport à $1$** de la raison décide du\ncomportement limite."
        }
      ],
      "explanation": "Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :\n$q < 1$ : extinction ; $q = 1$ : équilibre ; $q > 1$ :\nexplosion. Un écart minime de raison ($0{,}9$ contre\n$1{,}1$) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation\n(épidémies, intérêts)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-arithmetique"
      ],
      "title": "Limite d'une suite arithmétique",
      "partie": "limites",
      "statement": "Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison\n$r = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La suite tend vers $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque pas ajoute $3$, sans plafond :\n$u_n = u_0 + 3n$ dépasse tout seuil, une suite arithmétique\nde raison positive file vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "La suite tend vers sa raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la raison est le **pas**, pas la\ndestination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à\n$3$."
        },
        {
          "text": "La suite tend vers son premier terme $u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u_0$ est le point de départ : avec $r > 0$, la\nsuite s'en éloigne définitivement ($u_{10} = u_0 + 30$)."
        },
        {
          "text": "La suite tend vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce destin appartient aux suites\n**géométriques** de raison $|q| < 1$ : l'arithmétique de\nraison positive grimpe sans retour."
        }
      ],
      "explanation": "Suites arithmétiques : $r > 0$ : limite $+\\infty$ ; $r <\n0$ : $-\\infty$ ; $r = 0$ : constante. Le modèle linéaire\ndiscret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les\ngéométriques amorties."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-geometrique-formule"
      ],
      "title": "Somme des puissances de $q$",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Pour $q \\neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \\dots +\nq^n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n + 1$ termes, du rang $0$ au rang\n$n$ : l'exposant du numérateur est le **nombre de\ntermes**."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant décalé : cette formule somme $n$ termes\n($1 + \\dots + q^{n-1}$) : jusqu'à $q^n$ inclus, il y en\na $n + 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur amputé : le $1 -$ initial est indispensable\n(testez $q = 0$ : la somme vaut $1$, la formule doit le\nredonner)."
        },
        {
          "text": "$(n + 1)\\,q$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de\n$n+1$ termes ÉGAUX à $q$ : ici les termes grimpent en\npuissances."
        }
      ],
      "explanation": "$1 + q + \\dots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ :\nl'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les\nlimites : si $|q| < 1$, la somme tend vers $\\frac{1}{1 -\nq}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equilibre"
      ],
      "title": "Point d'équilibre d'un modèle mixte",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$. Quelle est la valeur\nd'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$250$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre résout $\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 50$,\nsoit $0{,}2\\,\\ell = 50$ et $\\ell = 250$."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant recopié :\n$0{,}8 \\times 50 + 50 = 90 \\neq 50$."
        },
        {
          "text": "$62{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}8$ : l'équation\nest $0{,}2\\,\\ell = 50$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme\nconstant : $0{,}8 \\times 0 + 50 = 50$."
        }
      ],
      "explanation": "L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut\n$\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du\nmodèle convergent vers lui.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$. Quelle est la valeur\nd'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$250$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre résout $\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 50$,\nsoit $0{,}2\\,\\ell = 50$ et $\\ell = 250$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié :\n$0{,}8 \\times 50 + 50 = 90 \\neq 50$."
            },
            {
              "text": "$62{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}8$ : l'équation\nest $0{,}2\\,\\ell = 50$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme\nconstant : $0{,}8 \\times 0 + 50 = 50$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut\n$\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du\nmodèle convergent vers lui."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 30$. Quelle est la valeur\nd'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre résout $\\ell = 0{,}6\\,\\ell + 30$,\nsoit $0{,}4\\,\\ell = 30$ et $\\ell = 75$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié :\n$0{,}6 \\times 30 + 30 = 48 \\neq 30$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}6$ : l'équation\nest $0{,}4\\,\\ell = 30$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme\nconstant : $0{,}6 \\times 0 + 30 = 30$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut\n$\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du\nmodèle convergent vers lui."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}4\\,u_n + 60$. Quelle est la valeur\nd'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre résout $\\ell = 0{,}4\\,\\ell + 60$,\nsoit $0{,}6\\,\\ell = 60$ et $\\ell = 100$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié :\n$0{,}4 \\times 60 + 60 = 84 \\neq 60$."
            },
            {
              "text": "$150$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}4$ : l'équation\nest $0{,}6\\,\\ell = 60$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme\nconstant : $0{,}4 \\times 0 + 60 = 60$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut\n$\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du\nmodèle convergent vers lui."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}75\\,u_n + 30$. Quelle est la valeur\nd'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre résout $\\ell = 0{,}75\\,\\ell + 30$,\nsoit $0{,}25\\,\\ell = 30$ et $\\ell = 120$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié :\n$0{,}75 \\times 30 + 30 = 52{,}5 \\neq 30$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}75$ : l'équation\nest $0{,}25\\,\\ell = 30$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme\nconstant : $0{,}75 \\times 0 + 30 = 30$."
            }
          ],
          "explanation": "L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut\n$\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du\nmodèle convergent vers lui."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-forme-explicite"
      ],
      "title": "Limite d'une forme explicite",
      "partie": "limites",
      "statement": "Que vaut\n$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(5 - 3 \\times 0{,}7^n\\right)$\n?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}7^n \\to 0$ car la raison est comprise entre\n$0$ et $1$ ; il reste $5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en\n$+\\infty$, $0{,}7^n$ tend vers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comme $0{,}7 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de\ncroître."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $0{,}7^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le\nterme $5$ demeure."
        }
      ],
      "explanation": "Une forme $\\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\\ell$ : la\npartie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles\nconvergents.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut\n$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(5 - 3 \\times 0{,}7^n\\right)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}7^n \\to 0$ car la raison est comprise entre\n$0$ et $1$ ; il reste $5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en\n$+\\infty$, $0{,}7^n$ tend vers $0$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comme $0{,}7 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de\ncroître."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $0{,}7^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le\nterme $5$ demeure."
            }
          ],
          "explanation": "Une forme $\\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\\ell$ : la\npartie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles\nconvergents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut\n$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(8 - 2 \\times 0{,}5^n\\right)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5^n \\to 0$ car la raison est comprise entre\n$0$ et $1$ ; il reste $8$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en\n$+\\infty$, $0{,}5^n$ tend vers $0$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comme $0{,}5 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de\ncroître."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $0{,}5^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le\nterme $8$ demeure."
            }
          ],
          "explanation": "Une forme $\\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\\ell$ : la\npartie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles\nconvergents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut\n$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(10 - 4 \\times 0{,}9^n\\right)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}9^n \\to 0$ car la raison est comprise entre\n$0$ et $1$ ; il reste $10$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en\n$+\\infty$, $0{,}9^n$ tend vers $0$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comme $0{,}9 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de\ncroître."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $0{,}9^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le\nterme $10$ demeure."
            }
          ],
          "explanation": "Une forme $\\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\\ell$ : la\npartie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles\nconvergents."
        },
        {
          "statement": "Que vaut\n$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(3 - 7 \\times 0{,}6^n\\right)$\n?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0{,}6^n \\to 0$ car la raison est comprise entre\n$0$ et $1$ ; il reste $3$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en\n$+\\infty$, $0{,}6^n$ tend vers $0$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Comme $0{,}6 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de\ncroître."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $0{,}6^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le\nterme $3$ demeure."
            }
          ],
          "explanation": "Une forme $\\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\\ell$ : la\npartie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles\nconvergents."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-auxiliaire"
      ],
      "title": "La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Pour $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose\n$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Géométrique de raison $0{,}8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n + 50\n- 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n$ : mesurer l'écart à\nl'équilibre purifie le modèle."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le décalage a précisément **absorbé** le $+50$ :\nil ne reste que la multiplication par $0{,}8$."
        },
        {
          "text": "Constante, égale à $250$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $v_n$ mesure l'**écart** à $250$ : il rétrécit\nde $20\\ \\%$ par étape, il n'est pas figé."
        },
        {
          "text": "De même nature que $(u_n)$ : rien ne change",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout change ! $(u_n)$ est arithmético-\ngéométrique (mixte), $(v_n)$ est géométrique **pure** :\nc'est le but de la manœuvre."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre\ntransforme le modèle mixte en géométrique pure : $v_n = v_0\n\\times 0{,}8^n$, d'où $u_n = 250 + (u_0 - 250) \\times\n0{,}8^n$ : forme explicite et limite d'un seul coup."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "interpretation-modele"
      ],
      "title": "Interpréter la convergence",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$\n(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).\nComment interpréter la convergence vers $250$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La population se stabilise vers $25\\,000$ poissons",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pertes et repeuplement finissent par\ns'équilibrer. À $250$ centaines, les $20\\ \\%$ de pertes\n($50$) sont exactement compensées par les $50$\nintroduites : flux entrant égal au flux sortant,\nplateau."
        },
        {
          "text": "La population disparaît à terme, malgré les alevins",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la\nlimite est $250$ centaines, pas $0$ (ce serait le cas\nsans le $+50$)."
        },
        {
          "text": "La population explose : on ajoute des poissons chaque\nannée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pertes de $20\\ \\%$ grossissent avec la\npopulation : elles finissent par absorber tout l'apport :\nle modèle plafonne."
        },
        {
          "text": "La population oscille sans se stabiliser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec une raison $0 < 0{,}8 < 1$, la\nconvergence est monotone : la suite s'approche du\nplateau sans le franchir."
        }
      ],
      "explanation": "Lire un modèle $u_{n+1} = au_n + b$ : $a$ = ce qui reste\nd'une période à l'autre, $b$ = l'apport fixe, l'équilibre\n$\\frac{b}{1-a}$ = le point où l'apport compense exactement\nles pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suites",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Calculer le terme de rang 3",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 30$. Que\nvaut $u_3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$124{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 110$, $u_2 = 118$, puis\n$u_3 = 0{,}8 \\times 118 + 30 = 124{,}4$."
        },
        {
          "text": "$118$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une étape de moins : $118$ est la valeur de $u_2$."
        },
        {
          "text": "$190$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : ajouter trois fois $30$ à $100$ néglige\nla multiplication par $0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$81{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante ajoutée une seule fois : $0{,}8^3 \\times 100 + 30$\noublie les apports des deux premières étapes."
        }
      ],
      "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque\nrang, on multiplie le terme précédent par $0{,}8$, puis on ajoute\n$30$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 30$. Que\nvaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$124{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 110$, $u_2 = 118$, puis\n$u_3 = 0{,}8 \\times 118 + 30 = 124{,}4$."
            },
            {
              "text": "$118$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : $118$ est la valeur de $u_2$."
            },
            {
              "text": "$190$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter trois fois $30$ à $100$ néglige\nla multiplication par $0{,}8$."
            },
            {
              "text": "$81{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée une seule fois : $0{,}8^3 \\times 100 + 30$\noublie les apports des deux premières étapes."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque\nrang, on multiplie le terme précédent par $0{,}8$, puis on ajoute\n$30$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 40$. Que\nvaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$95$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 140$, $u_2 = 110$, puis\n$u_3 = 0{,}5 \\times 110 + 40 = 95$."
            },
            {
              "text": "$110$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : $110$ est la valeur de $u_2$."
            },
            {
              "text": "$320$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter trois fois $40$ à $200$ néglige\nla multiplication par $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée une seule fois : $0{,}5^3 \\times 200 + 40$\noublie les apports des deux premières étapes."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque\nrang, on multiplie le terme précédent par $0{,}5$, puis on ajoute\n$40$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 60$ et $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n + 10$. Que\nvaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$70{,}84$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 64$, $u_2 = 67{,}6$, puis\n$u_3 = 0{,}9 \\times 67{,}6 + 10 = 70{,}84$."
            },
            {
              "text": "$67{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : $67{,}6$ est la valeur de $u_2$."
            },
            {
              "text": "$90$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter trois fois $10$ à $60$ néglige\nla multiplication par $0{,}9$."
            },
            {
              "text": "$53{,}74$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée une seule fois : $0{,}9^3 \\times 60 + 10$\noublie les apports des deux premières étapes."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque\nrang, on multiplie le terme précédent par $0{,}9$, puis on ajoute\n$10$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 40$ et $u_{n+1} = 0{,}75\\,u_n + 12$. Que\nvaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$44{,}625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 42$, $u_2 = 43{,}5$, puis\n$u_3 = 0{,}75 \\times 43{,}5 + 12 = 44{,}625$."
            },
            {
              "text": "$43{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une étape de moins : $43{,}5$ est la valeur de $u_2$."
            },
            {
              "text": "$76$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : ajouter trois fois $12$ à $40$ néglige\nla multiplication par $0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$28{,}875$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée une seule fois : $0{,}75^3 \\times 40 + 12$\noublie les apports des deux premières étapes."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque\nrang, on multiplie le terme précédent par $0{,}75$, puis on ajoute\n$12$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-auxiliaire",
        "methode"
      ],
      "title": "Pourquoi introduire une suite auxiliaire",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Pour étudier $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 30$, on pose\n$v_n = u_n - 150$. Quel est l'intérêt ?",
      "options": [
        {
          "text": "La suite $(v_n)$ est géométrique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $150$ est le point fixe, et le décalage élimine le\nterme constant."
        },
        {
          "text": "La suite $(v_n)$ est arithmétique",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $0{,}8$ subsiste après le changement : la progression\nreste multiplicative."
        },
        {
          "text": "La suite $(v_n)$ est constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle ne le serait que si $u_0$ valait exactement $150$."
        },
        {
          "text": "La suite $(v_n)$ converge plus vite",
          "correct": false,
          "feedback": "La vitesse de convergence est la même : seule l'écriture est\nsimplifiée."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite $u_{n+1} = au_n + b$, on retranche le point fixe\n$\\dfrac{b}{1-a}$. La suite obtenue est géométrique de raison $a$, ce qui\ndonne une formule explicite."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "suites"
      ],
      "title": "Limite d'un modèle amorti",
      "partie": "limites",
      "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 30$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $150$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la limite $\\ell$ vérifie\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 30$, donc $0{,}2\\,\\ell = 30$ et\n$\\ell = 150$."
        },
        {
          "text": "Vers $30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient\n$0{,}8$."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance\ns'essouffle et la suite se stabilise."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'apport régulier de $30$ empêche la suite de s'annuler."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la\nlimite est le point fixe, solution de $\\ell = a\\ell + b$. La\nconvergence est assurée lorsque $0 < a < 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 30$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Vers $150$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite $\\ell$ vérifie\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 30$, donc $0{,}2\\,\\ell = 30$ et\n$\\ell = 150$."
            },
            {
              "text": "Vers $30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient\n$0{,}8$."
            },
            {
              "text": "Vers $+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance\ns'essouffle et la suite se stabilise."
            },
            {
              "text": "Vers $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'apport régulier de $30$ empêche la suite de s'annuler."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la\nlimite est le point fixe, solution de $\\ell = a\\ell + b$. La\nconvergence est assurée lorsque $0 < a < 1$."
        },
        {
          "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Vers $40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite $\\ell$ vérifie\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 20$, donc $0{,}5\\,\\ell = 20$ et\n$\\ell = 40$."
            },
            {
              "text": "Vers $20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient\n$0{,}5$."
            },
            {
              "text": "Vers $+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance\ns'essouffle et la suite se stabilise."
            },
            {
              "text": "Vers $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'apport régulier de $20$ empêche la suite de s'annuler."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la\nlimite est le point fixe, solution de $\\ell = a\\ell + b$. La\nconvergence est assurée lorsque $0 < a < 1$."
        },
        {
          "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n + 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Vers $50$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite $\\ell$ vérifie\n$\\ell = 0{,}9\\,\\ell + 5$, donc $0{,}1\\,\\ell = 5$ et\n$\\ell = 50$."
            },
            {
              "text": "Vers $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient\n$0{,}9$."
            },
            {
              "text": "Vers $+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance\ns'essouffle et la suite se stabilise."
            },
            {
              "text": "Vers $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'apport régulier de $5$ empêche la suite de s'annuler."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la\nlimite est le point fixe, solution de $\\ell = a\\ell + b$. La\nconvergence est assurée lorsque $0 < a < 1$."
        },
        {
          "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Vers $30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite $\\ell$ vérifie\n$\\ell = 0{,}6\\,\\ell + 12$, donc $0{,}4\\,\\ell = 12$ et\n$\\ell = 30$."
            },
            {
              "text": "Vers $12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient\n$0{,}6$."
            },
            {
              "text": "Vers $+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance\ns'essouffle et la suite se stabilise."
            },
            {
              "text": "Vers $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'apport régulier de $12$ empêche la suite de s'annuler."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la\nlimite est le point fixe, solution de $\\ell = a\\ell + b$. La\nconvergence est assurée lorsque $0 < a < 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-geometrique",
        "somme"
      ],
      "title": "Somme de termes géométriques",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Combien vaut $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + \\ldots + 0{,}5^{9}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $1{,}998$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 0{,}5^{10}}{1 - 0{,}5}$, soit presque $2$."
        },
        {
          "text": "Exactement $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $2$ est la limite de la somme infinie, jamais atteinte par\nune somme finie."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}999$",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme oublié : la somme commence à $1$, pas à $0{,}5$."
        },
        {
          "text": "Environ $5{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes additionnés comme s'ils étaient constants : ils décroissent\nrapidement."
        }
      ],
      "explanation": "La somme $1 + q + \\ldots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Pour\n$q$ compris entre $0$ et $1$, elle se rapproche de $\\dfrac{1}{1-q}$ quand\n$n$ grandit."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "seuil",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Un seuil à franchir",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Une population de $5000$ individus décroît de $6\\ \\%$ par an. Au\nbout de combien d'années passe-t-elle sous $3000$ individus ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au bout de $9$ ans",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5000 \\times 0{,}94^{8} \\approx 3048$ et\n$5000 \\times 0{,}94^{9} \\approx 2865$."
        },
        {
          "text": "Au bout de $8$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Un an trop tôt : la population vaut encore environ $3048$\nindividus."
        },
        {
          "text": "Au bout de $10$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas le premier rang : la population est déjà sous $3000$ au\nbout de $9$ ans."
        },
        {
          "text": "Au bout de $7$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $6\\ \\%$ du\nnombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage."
        }
      ],
      "explanation": "La population vaut $5000 \\times 0{,}94^n$ au bout de $n$ années. Le\npremier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs\nsuccessifs ou à l'aide du logarithme.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une population de $5000$ individus décroît de $6\\ \\%$ par an. Au\nbout de combien d'années passe-t-elle sous $3000$ individus ?",
          "options": [
            {
              "text": "Au bout de $9$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5000 \\times 0{,}94^{8} \\approx 3048$ et\n$5000 \\times 0{,}94^{9} \\approx 2865$."
            },
            {
              "text": "Au bout de $8$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Un an trop tôt : la population vaut encore environ $3048$\nindividus."
            },
            {
              "text": "Au bout de $10$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la population est déjà sous $3000$ au\nbout de $9$ ans."
            },
            {
              "text": "Au bout de $7$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $6\\ \\%$ du\nnombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage."
            }
          ],
          "explanation": "La population vaut $5000 \\times 0{,}94^n$ au bout de $n$ années. Le\npremier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs\nsuccessifs ou à l'aide du logarithme."
        },
        {
          "statement": "Une population de $2000$ individus décroît de $10\\ \\%$ par an. Au\nbout de combien d'années passe-t-elle sous $1000$ individus ?",
          "options": [
            {
              "text": "Au bout de $7$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2000 \\times 0{,}9^{6} \\approx 1063$ et\n$2000 \\times 0{,}9^{7} \\approx 957$."
            },
            {
              "text": "Au bout de $6$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Un an trop tôt : la population vaut encore environ $1063$\nindividus."
            },
            {
              "text": "Au bout de $8$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la population est déjà sous $1000$ au\nbout de $7$ ans."
            },
            {
              "text": "Au bout de $5$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $10\\ \\%$ du\nnombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage."
            }
          ],
          "explanation": "La population vaut $2000 \\times 0{,}9^n$ au bout de $n$ années. Le\npremier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs\nsuccessifs ou à l'aide du logarithme."
        },
        {
          "statement": "Une population de $8000$ individus décroît de $5\\ \\%$ par an. Au\nbout de combien d'années passe-t-elle sous $5000$ individus ?",
          "options": [
            {
              "text": "Au bout de $10$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8000 \\times 0{,}95^{9} \\approx 5042$ et\n$8000 \\times 0{,}95^{10} \\approx 4790$."
            },
            {
              "text": "Au bout de $9$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Un an trop tôt : la population vaut encore environ $5042$\nindividus."
            },
            {
              "text": "Au bout de $11$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la population est déjà sous $5000$ au\nbout de $10$ ans."
            },
            {
              "text": "Au bout de $8$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $5\\ \\%$ du\nnombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage."
            }
          ],
          "explanation": "La population vaut $8000 \\times 0{,}95^n$ au bout de $n$ années. Le\npremier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs\nsuccessifs ou à l'aide du logarithme."
        },
        {
          "statement": "Une population de $1200$ individus décroît de $15\\ \\%$ par an. Au\nbout de combien d'années passe-t-elle sous $200$ individus ?",
          "options": [
            {
              "text": "Au bout de $12$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1200 \\times 0{,}85^{11} \\approx 201$ et\n$1200 \\times 0{,}85^{12} \\approx 171$."
            },
            {
              "text": "Au bout de $11$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Un an trop tôt : la population vaut encore environ $201$\nindividus."
            },
            {
              "text": "Au bout de $13$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas le premier rang : la population est déjà sous $200$ au\nbout de $12$ ans."
            },
            {
              "text": "Au bout de $6$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $15\\ \\%$ du\nnombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage."
            }
          ],
          "explanation": "La population vaut $1200 \\times 0{,}85^n$ au bout de $n$ années. Le\npremier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs\nsuccessifs ou à l'aide du logarithme."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suites",
        "variations"
      ],
      "title": "Sens de variation d'un modèle",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n + 10$.\nComment varie-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît vers $100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le point fixe vaut $100$, et le premier terme\n$200$ lui est supérieur."
        },
        {
          "text": "Elle croît vers $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : partant de $200$, la suite doit se rapprocher\nde $100$, ce qui fixe son sens de variation."
        },
        {
          "text": "Elle tend vers $10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant recopié : la limite est le point fixe $100$, et\nnon l'apport $10$."
        },
        {
          "text": "Elle est constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement\n$100$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation\ndépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :\nau-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n + 10$.\nComment varie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle décroît vers $100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le point fixe vaut $100$, et le premier terme\n$200$ lui est supérieur."
            },
            {
              "text": "Elle croît vers $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : partant de $200$, la suite doit se rapprocher\nde $100$, ce qui fixe son sens de variation."
            },
            {
              "text": "Elle tend vers $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié : la limite est le point fixe $100$, et\nnon l'apport $10$."
            },
            {
              "text": "Elle est constante",
              "correct": false,
              "feedback": "Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation\ndépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :\nau-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 30$.\nComment varie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle croît vers $60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le point fixe vaut $60$, et le premier terme\n$20$ lui est inférieur."
            },
            {
              "text": "Elle décroît vers $60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : partant de $20$, la suite doit se rapprocher\nde $60$, ce qui fixe son sens de variation."
            },
            {
              "text": "Elle tend vers $30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié : la limite est le point fixe $60$, et\nnon l'apport $30$."
            },
            {
              "text": "Elle est constante",
              "correct": false,
              "feedback": "Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement\n$60$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation\ndépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :\nau-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 500$ et $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 40$.\nComment varie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle décroît vers $200$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le point fixe vaut $200$, et le premier terme\n$500$ lui est supérieur."
            },
            {
              "text": "Elle croît vers $200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : partant de $500$, la suite doit se rapprocher\nde $200$, ce qui fixe son sens de variation."
            },
            {
              "text": "Elle tend vers $40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié : la limite est le point fixe $200$, et\nnon l'apport $40$."
            },
            {
              "text": "Elle est constante",
              "correct": false,
              "feedback": "Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement\n$200$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation\ndépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :\nau-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 8$.\nComment varie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle croît vers $20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le point fixe vaut $20$, et le premier terme\n$10$ lui est inférieur."
            },
            {
              "text": "Elle décroît vers $20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : partant de $10$, la suite doit se rapprocher\nde $20$, ce qui fixe son sens de variation."
            },
            {
              "text": "Elle tend vers $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant recopié : la limite est le point fixe $20$, et\nnon l'apport $8$."
            },
            {
              "text": "Elle est constante",
              "correct": false,
              "feedback": "Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement\n$20$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation\ndépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :\nau-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "operations"
      ],
      "title": "Limite d'une expression explicite",
      "partie": "limites",
      "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = 3 + \\dfrac{5}{n}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le quotient tend vers $0$, il ne reste que la\nconstante."
        },
        {
          "text": "Vers $8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient ajouté tel quel : le terme $\\dfrac{5}{n}$ diminue avec le\nrang."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : elle subsiste quelle que soit la valeur de $n$."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "La suite décroît vers $3$ : pour $n = 100$, elle vaut déjà\n$3{,}05$."
        }
      ],
      "explanation": "Les limites usuelles donnent $\\dfrac{1}{n} \\to 0$. Les opérations sur les\nlimites permettent ensuite de conclure sur toute expression explicite\nconstruite à partir de ces briques."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "suites"
      ],
      "title": "Traduire un énoncé en récurrence",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un bassin perd chaque jour $5\\ \\%$ de son volume, puis reçoit\n$200$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$v_{n+1} = 0{,}95\\,v_n + 200$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,\nl'apport s'ajoute ensuite."
        },
        {
          "text": "$v_{n+1} = 0{,}05\\,v_n + 200$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient de la perte : il reste $95\\ \\%$ du volume,\npas $5\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$v_{n+1} = 0{,}95\\,(v_n + 200)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la\nperte qui le précède."
        },
        {
          "text": "$v_{n+1} = v_n - 5 + 200$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage traité comme un volume : $5\\ \\%$ de $10\\,000$\nlitres font $500$ litres, pas $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par\n$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du\ngain relatif, la constante $b$ de l'apport.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un bassin perd chaque jour $5\\ \\%$ de son volume, puis reçoit\n$200$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}95\\,v_n + 200$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,\nl'apport s'ajoute ensuite."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}05\\,v_n + 200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de la perte : il reste $95\\ \\%$ du volume,\npas $5\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}95\\,(v_n + 200)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la\nperte qui le précède."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = v_n - 5 + 200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme un volume : $5\\ \\%$ de $10\\,000$\nlitres font $500$ litres, pas $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par\n$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du\ngain relatif, la constante $b$ de l'apport."
        },
        {
          "statement": "Un bassin perd chaque jour $10\\ \\%$ de son volume, puis reçoit\n$50$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}9\\,v_n + 50$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,\nl'apport s'ajoute ensuite."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}1\\,v_n + 50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de la perte : il reste $90\\ \\%$ du volume,\npas $10\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}9\\,(v_n + 50)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la\nperte qui le précède."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = v_n - 10 + 50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme un volume : $10\\ \\%$ de $10\\,000$\nlitres font $1000$ litres, pas $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par\n$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du\ngain relatif, la constante $b$ de l'apport."
        },
        {
          "statement": "Un bassin perd chaque jour $2\\ \\%$ de son volume, puis reçoit\n$500$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}98\\,v_n + 500$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,\nl'apport s'ajoute ensuite."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}02\\,v_n + 500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de la perte : il reste $98\\ \\%$ du volume,\npas $2\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}98\\,(v_n + 500)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la\nperte qui le précède."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = v_n - 2 + 500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme un volume : $2\\ \\%$ de $10\\,000$\nlitres font $200$ litres, pas $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par\n$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du\ngain relatif, la constante $b$ de l'apport."
        },
        {
          "statement": "Un bassin perd chaque jour $20\\ \\%$ de son volume, puis reçoit\n$100$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}8\\,v_n + 100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,\nl'apport s'ajoute ensuite."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}2\\,v_n + 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient de la perte : il reste $80\\ \\%$ du volume,\npas $20\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = 0{,}8\\,(v_n + 100)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la\nperte qui le précède."
            },
            {
              "text": "$v_{n+1} = v_n - 20 + 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme un volume : $20\\ \\%$ de $10\\,000$\nlitres font $2000$ litres, pas $20$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par\n$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du\ngain relatif, la constante $b$ de l'apport."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Quand la suite diverge",
      "partie": "limites",
      "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 1{,}1u_n$ avec\n$u_0 = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la raison dépassant $1$, les termes croissent sans\nlimite."
        },
        {
          "text": "Vers $1{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raison confondue avec la limite : elle décrit le passage d'un terme au\nsuivant."
        },
        {
          "text": "Vers $2$, son premier terme",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang."
        },
        {
          "text": "Vers $0$, par amortissement",
          "correct": false,
          "feedback": "Une raison supérieure à $1$ fait croître les termes positifs."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme positif :\n$q > 1$ donne une limite infinie, $0 < q < 1$ une limite nulle, et\n$q = 1$ une suite constante."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suites",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter un point fixe",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Un modèle de population converge vers $4\\,000$ individus.\nQue signifie ce nombre ?",
      "options": [
        {
          "text": "La population se stabilise autour de cette valeur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à long terme, les gains et les pertes se compensent\nexactement."
        },
        {
          "text": "La population atteint $4\\,000$ puis s'arrête",
          "correct": false,
          "feedback": "La convergence est asymptotique : la valeur est approchée sans être\nnécessairement atteinte."
        },
        {
          "text": "La population ne dépasse jamais $4\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une suite décroissante partant de $6\\,000$ converge vers $4\\,000$ en\nrestant toujours au-dessus."
        },
        {
          "text": "La population double tous les $4\\,000$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune durée n'intervient : le nombre est un effectif limite."
        }
      ],
      "explanation": "La limite d'un modèle discret décrit son état d'équilibre. Elle s'obtient\nen résolvant $\\ell = a\\ell + b$, et s'interprète comme la valeur autour de\nlaquelle le système se stabilise."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suites",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer pour conclure",
      "partie": "generalites",
      "statement": "On sait que $2 - \\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq 2 + \\dfrac{1}{n}$.\nVers quoi tend la suite ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes tendent vers $2$, la suite y est donc\ncontrainte."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les termes $\\dfrac{1}{n}$ tendent vers $0$, mais la constante $2$\nsubsiste."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur sort de l'encadrement dès que $n$ dépasse $1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème des gendarmes s'applique précisément dans ce cas."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des gendarmes conclut lorsque les deux bornes d'un encadrement\nconvergent vers la même limite. Il évite d'avoir à connaître la formule de\nla suite."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suites",
        "tableur"
      ],
      "title": "Lire une suite dans un tableur",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Dans un tableur, la cellule B3 contient `=0,95*B2+200`, recopiée vers\nle bas. Que calcule-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le terme suivant à partir du précédent",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la référence relative fait descendre le calcul ligne\naprès ligne."
        },
        {
          "text": "La somme de tous les termes précédents",
          "correct": false,
          "feedback": "Une somme cumulée demanderait une formule additionnant la cellule\nau-dessus et la nouvelle valeur."
        },
        {
          "text": "La limite de la suite",
          "correct": false,
          "feedback": "La limite se lit en descendant assez loin dans la colonne, elle n'est\npas calculée directement."
        },
        {
          "text": "Le rang du terme",
          "correct": false,
          "feedback": "Le rang figure en général dans une colonne voisine, avec une formule\nd'incrémentation."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableur traduit directement une relation de récurrence : chaque cellule\ncalcule le terme suivant à partir de celle du dessus. La recopie vers le\nbas déroule la suite."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "suite-geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Terme d'une suite géométrique",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme\n$u_0 = 5$ et de raison $2$. Que vaut $u_3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la\nraison, donc $u_3 = 5 \\times 2^3 = 40$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un rang de retard : $5 \\times 2^2 = 20$\ndonne $u_2$. Il reste une multiplication par $2$ à faire."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme oublié : $2^3 = 8$\nne tient pas compte de $u_0 = 5$, qui reste en facteur."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle additif : ajouter trois fois $2$ décrit une suite\narithmétique. Ici chaque rang **multiplie** par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \\times q^n$ : l'exposant\nest le rang visé et le premier terme reste en facteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme\n$u_0 = 5$ et de raison $2$. Que vaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la\nraison, donc $u_3 = 5 \\times 2^3 = 40$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang de retard : $5 \\times 2^2 = 20$\ndonne $u_2$. Il reste une multiplication par $2$ à faire."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : $2^3 = 8$\nne tient pas compte de $u_0 = 5$, qui reste en facteur."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : ajouter trois fois $2$ décrit une suite\narithmétique. Ici chaque rang **multiplie** par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \\times q^n$ : l'exposant\nest le rang visé et le premier terme reste en facteur."
        },
        {
          "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme\n$u_0 = 2$ et de raison $5$. Que vaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$250$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la\nraison, donc $u_3 = 2 \\times 5^3 = 250$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang de retard : $2 \\times 5^2 = 50$\ndonne $u_2$. Il reste une multiplication par $5$ à faire."
            },
            {
              "text": "$125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : $5^3 = 125$\nne tient pas compte de $u_0 = 2$, qui reste en facteur."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : ajouter trois fois $5$ décrit une suite\narithmétique. Ici chaque rang **multiplie** par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \\times q^n$ : l'exposant\nest le rang visé et le premier terme reste en facteur."
        },
        {
          "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme\n$u_0 = 3$ et de raison $4$. Que vaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$192$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la\nraison, donc $u_3 = 3 \\times 4^3 = 192$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang de retard : $3 \\times 4^2 = 48$\ndonne $u_2$. Il reste une multiplication par $4$ à faire."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : $4^3 = 64$\nne tient pas compte de $u_0 = 3$, qui reste en facteur."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : ajouter trois fois $4$ décrit une suite\narithmétique. Ici chaque rang **multiplie** par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \\times q^n$ : l'exposant\nest le rang visé et le premier terme reste en facteur."
        },
        {
          "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme\n$u_0 = 4$ et de raison $3$. Que vaut $u_3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$108$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la\nraison, donc $u_3 = 4 \\times 3^3 = 108$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un rang de retard : $4 \\times 3^2 = 36$\ndonne $u_2$. Il reste une multiplication par $3$ à faire."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : $3^3 = 27$\nne tient pas compte de $u_0 = 4$, qui reste en facteur."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : ajouter trois fois $3$ décrit une suite\narithmétique. Ici chaque rang **multiplie** par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \\times q^n$ : l'exposant\nest le rang visé et le premier terme reste en facteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-arithmetique",
        "variations"
      ],
      "title": "Lire une suite arithmétique décroissante",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une suite est définie pour tout entier $n$ par\n$u_n = 40 - 3n$. Comment se comporte-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît et tend vers $-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque rang retire $3$, sans plancher.\nLa suite arithmétique de raison $-3$ descend sous tout\nseuil, donc sa limite est $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "Elle décroît et se rapproche de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la suite traverse $0$ vers le rang $14$ et\ncontinue de descendre. Tendre vers $0$ est le destin des\nsuites géométriques de raison comprise entre $0$ et $1$."
        },
        {
          "text": "Elle décroît et se stabilise en $40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $40$ est le premier terme, pas une limite. La\nsuite s'en éloigne dès le rang $1$, où elle vaut $37$."
        },
        {
          "text": "Elle croît et tend vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : le coefficient de $n$ vaut $-3$, donc\nchaque terme est plus petit que le précédent."
        }
      ],
      "explanation": "Une écriture $u_n = u_0 + rn$ signale une suite arithmétique\nde raison $r$. Le signe de $r$ donne le sens de variation et\nla limite : $+\\infty$ si $r > 0$, $-\\infty$ si $r < 0$."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "point-fixe",
        "equilibre",
        "methode"
      ],
      "title": "Vérifier une valeur d'équilibre",
      "partie": "limites",
      "statement": "Pour la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 20$, un\nélève affirme que la valeur d'équilibre est $50$. Comment le\nvérifier le plus simplement ?",
      "options": [
        {
          "text": "En calculant $0{,}6 \\times 50 + 20$ et en constatant que\nl'on retombe sur $50$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une valeur d'équilibre est une valeur que\nla relation de récurrence laisse inchangée. Ici\n$0{,}6 \\times 50 + 20 = 50$ : l'affirmation est exacte."
        },
        {
          "text": "En calculant les dix premiers termes et en regardant\ns'ils se rapprochent de $50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Méthode coûteuse et incertaine : elle suggère la valeur\nsans la prouver. Une seule ligne de calcul suffit à\ntester si $50$ est laissé inchangé."
        },
        {
          "text": "En vérifiant que $50$ est le quotient de $20$ par le\ncoefficient $0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formule fausse : ce quotient vaut environ $33{,}3$. La\nvaleur d'équilibre se calcule en divisant $20$ par\n$1 - 0{,}6$, et se teste par simple remplacement."
        },
        {
          "text": "En vérifiant que le produit $0{,}6 \\times 50$ redonne le\nterme constant $20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition inventée : ce produit vaut $30$. La relation à\ntester porte sur le calcul complet, terme constant\ncompris."
        }
      ],
      "explanation": "Une valeur d'équilibre d'une suite $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ est\nun nombre $\\ell$ que la relation laisse inchangé. Pour le\nvérifier, on remplace et on compare le résultat à $\\ell$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "radioactivite",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Coefficient multiplicateur d'une baisse",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un échantillon perd $4\\ \\%$ de sa masse chaque année. Par\nquel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la\nsuivante ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}96$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : perdre $4\\ \\%$ revient à conserver\n$96\\ \\%$ de la masse, soit un coefficient\nmultiplicateur de $0{,}96$."
        },
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux confondu avec le coefficient : multiplier par\n$0{,}04$ ne garderait que la part perdue. Il\nfaut conserver ce qui reste."
        },
        {
          "text": "$1{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : ce coefficient décrit une **hausse** de\n$4\\ \\%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$."
        },
        {
          "text": "$96$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage laissé tel quel : $96$ est un\npourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par\n$100$."
        }
      ],
      "explanation": "Une baisse de $t\\ \\%$ correspond au coefficient\nmultiplicateur $1 - \\dfrac{t}{100}$, et une hausse au\ncoefficient $1 + \\dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il\nengendre une suite géométrique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un échantillon perd $4\\ \\%$ de sa masse chaque année. Par\nquel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la\nsuivante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}96$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : perdre $4\\ \\%$ revient à conserver\n$96\\ \\%$ de la masse, soit un coefficient\nmultiplicateur de $0{,}96$."
            },
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux confondu avec le coefficient : multiplier par\n$0{,}04$ ne garderait que la part perdue. Il\nfaut conserver ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$1{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : ce coefficient décrit une **hausse** de\n$4\\ \\%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage laissé tel quel : $96$ est un\npourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $t\\ \\%$ correspond au coefficient\nmultiplicateur $1 - \\dfrac{t}{100}$, et une hausse au\ncoefficient $1 + \\dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il\nengendre une suite géométrique."
        },
        {
          "statement": "Un échantillon perd $15\\ \\%$ de sa masse chaque année. Par\nquel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la\nsuivante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}85$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : perdre $15\\ \\%$ revient à conserver\n$85\\ \\%$ de la masse, soit un coefficient\nmultiplicateur de $0{,}85$."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux confondu avec le coefficient : multiplier par\n$0{,}15$ ne garderait que la part perdue. Il\nfaut conserver ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$1{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : ce coefficient décrit une **hausse** de\n$15\\ \\%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$85$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage laissé tel quel : $85$ est un\npourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $t\\ \\%$ correspond au coefficient\nmultiplicateur $1 - \\dfrac{t}{100}$, et une hausse au\ncoefficient $1 + \\dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il\nengendre une suite géométrique."
        },
        {
          "statement": "Un échantillon perd $30\\ \\%$ de sa masse chaque année. Par\nquel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la\nsuivante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : perdre $30\\ \\%$ revient à conserver\n$70\\ \\%$ de la masse, soit un coefficient\nmultiplicateur de $0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux confondu avec le coefficient : multiplier par\n$0{,}3$ ne garderait que la part perdue. Il\nfaut conserver ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : ce coefficient décrit une **hausse** de\n$30\\ \\%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$70$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage laissé tel quel : $70$ est un\npourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $t\\ \\%$ correspond au coefficient\nmultiplicateur $1 - \\dfrac{t}{100}$, et une hausse au\ncoefficient $1 + \\dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il\nengendre une suite géométrique."
        },
        {
          "statement": "Un échantillon perd $8\\ \\%$ de sa masse chaque année. Par\nquel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la\nsuivante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}92$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : perdre $8\\ \\%$ revient à conserver\n$92\\ \\%$ de la masse, soit un coefficient\nmultiplicateur de $0{,}92$."
            },
            {
              "text": "$0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux confondu avec le coefficient : multiplier par\n$0{,}08$ ne garderait que la part perdue. Il\nfaut conserver ce qui reste."
            },
            {
              "text": "$1{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : ce coefficient décrit une **hausse** de\n$8\\ \\%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$."
            },
            {
              "text": "$92$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage laissé tel quel : $92$ est un\npourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $t\\ \\%$ correspond au coefficient\nmultiplicateur $1 - \\dfrac{t}{100}$, et une hausse au\ncoefficient $1 + \\dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il\nengendre une suite géométrique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "somme",
        "somme-geometrique"
      ],
      "title": "Compter les termes d'une somme",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Combien de termes compte la somme\n$1 + q + q^2 + \\dots + q^{12}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$ termes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $12$, ce qui\nfait $12 + 1 = 13$ termes, le terme $1 = q^0$ compris."
        },
        {
          "text": "$12$ termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à\n$12$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme."
        },
        {
          "text": "$11$ termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{12}$ ne doivent être\nécartés, les deux bornes étant incluses."
        },
        {
          "text": "$24$ termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une\nfois, de $0$ à $12$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y\na $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la\nformule $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien de termes compte la somme\n$1 + q + q^2 + \\dots + q^{12}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$ termes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $12$, ce qui\nfait $12 + 1 = 13$ termes, le terme $1 = q^0$ compris."
            },
            {
              "text": "$12$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à\n$12$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme."
            },
            {
              "text": "$11$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{12}$ ne doivent être\nécartés, les deux bornes étant incluses."
            },
            {
              "text": "$24$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une\nfois, de $0$ à $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y\na $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la\nformule $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de termes compte la somme\n$1 + q + q^2 + \\dots + q^{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ termes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $7$, ce qui\nfait $7 + 1 = 8$ termes, le terme $1 = q^0$ compris."
            },
            {
              "text": "$7$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à\n$7$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme."
            },
            {
              "text": "$6$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{7}$ ne doivent être\nécartés, les deux bornes étant incluses."
            },
            {
              "text": "$14$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une\nfois, de $0$ à $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y\na $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la\nformule $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de termes compte la somme\n$1 + q + q^2 + \\dots + q^{20}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$ termes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $20$, ce qui\nfait $20 + 1 = 21$ termes, le terme $1 = q^0$ compris."
            },
            {
              "text": "$20$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à\n$20$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme."
            },
            {
              "text": "$19$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{20}$ ne doivent être\nécartés, les deux bornes étant incluses."
            },
            {
              "text": "$40$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une\nfois, de $0$ à $20$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y\na $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la\nformule $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de termes compte la somme\n$1 + q + q^2 + \\dots + q^{15}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$ termes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $15$, ce qui\nfait $15 + 1 = 16$ termes, le terme $1 = q^0$ compris."
            },
            {
              "text": "$15$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à\n$15$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme."
            },
            {
              "text": "$14$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{15}$ ne doivent être\nécartés, les deux bornes étant incluses."
            },
            {
              "text": "$30$ termes",
              "correct": false,
              "feedback": "Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une\nfois, de $0$ à $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y\na $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la\nformule $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "recurrence",
        "calcul"
      ],
      "title": "Remonter d'un rang",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 2\\,u_n + 4$ et\n$u_1 = 18$. Que vaut $u_0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remonte la relation. De\n$18 = 2\\,u_0 + 4$ on tire\n$2\\,u_0 = 14$, puis\n$u_0 = 7$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne\n$u_2$, le terme **suivant**. Pour revenir en arrière, on\ndéfait les opérations."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : retirer $4$ ne suffit pas, il reste à\nannuler la multiplication par $2$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord\n$4$, on divise ensuite par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans\nl'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on\ndivise par le coefficient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 2\\,u_n + 4$ et\n$u_1 = 18$. Que vaut $u_0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte la relation. De\n$18 = 2\\,u_0 + 4$ on tire\n$2\\,u_0 = 14$, puis\n$u_0 = 7$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne\n$u_2$, le terme **suivant**. Pour revenir en arrière, on\ndéfait les opérations."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer $4$ ne suffit pas, il reste à\nannuler la multiplication par $2$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord\n$4$, on divise ensuite par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans\nl'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on\ndivise par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 3\\,u_n + 6$ et\n$u_1 = 33$. Que vaut $u_0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte la relation. De\n$33 = 3\\,u_0 + 6$ on tire\n$3\\,u_0 = 27$, puis\n$u_0 = 9$."
            },
            {
              "text": "$105$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne\n$u_2$, le terme **suivant**. Pour revenir en arrière, on\ndéfait les opérations."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer $6$ ne suffit pas, il reste à\nannuler la multiplication par $3$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord\n$6$, on divise ensuite par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans\nl'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on\ndivise par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 4\\,u_n + 8$ et\n$u_1 = 56$. Que vaut $u_0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte la relation. De\n$56 = 4\\,u_0 + 8$ on tire\n$4\\,u_0 = 48$, puis\n$u_0 = 12$."
            },
            {
              "text": "$232$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne\n$u_2$, le terme **suivant**. Pour revenir en arrière, on\ndéfait les opérations."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer $8$ ne suffit pas, il reste à\nannuler la multiplication par $4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord\n$8$, on divise ensuite par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans\nl'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on\ndivise par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 5\\,u_n + 10$ et\n$u_1 = 40$. Que vaut $u_0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte la relation. De\n$40 = 5\\,u_0 + 10$ on tire\n$5\\,u_0 = 30$, puis\n$u_0 = 6$."
            },
            {
              "text": "$210$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne\n$u_2$, le terme **suivant**. Pour revenir en arrière, on\ndéfait les opérations."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer $10$ ne suffit pas, il reste à\nannuler la multiplication par $5$."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord\n$10$, on divise ensuite par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans\nl'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on\ndivise par le coefficient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tableur",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Écrire la formule d'un tableur",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Dans un tableur, $u_0$ est saisi en B1 et la colonne B doit\ndérouler la suite $u_{n+1} = 1{,}05\\,u_n + 20$. Quelle formule\nsaisir en B2 avant de la recopier vers le bas ?",
      "options": [
        {
          "text": "`=1,05*B1+20`",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la formule lit le terme précédent, juste\nau-dessus. Recopiée vers le bas, la référence relative\ndescend d'une ligne à chaque rang."
        },
        {
          "text": "`=1,05*B2+20`",
          "correct": false,
          "feedback": "La cellule se référence elle-même : le tableur signale une\nréférence circulaire. Le terme à utiliser est celui de la\nligne au-dessus."
        },
        {
          "text": "`=1,05*(B1+20)`",
          "correct": false,
          "feedback": "Parenthèses de trop : elles appliquent le coefficient à\nl'apport de $20$, alors qu'il ne porte que sur le terme\nprécédent."
        },
        {
          "text": "`=1,05*A1+20`",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise colonne : la colonne A contient les rangs. Les\ntermes de la suite se lisent en colonne B."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableur traduit la relation $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ par une\nformule qui appelle la cellule du dessus. La recopie vers le\nbas déroule alors la suite."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "algorithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Ce que compte une boucle",
      "partie": "sommes",
      "statement": "On exécute l'algorithme suivant : partir de $u = 500$ et\n$n = 0$, puis, tant que $u > 100$, remplacer $u$ par\n$0{,}9\\,u$ et augmenter $n$ de $1$. Que contient $n$ à la\nfin ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le premier rang à partir duquel la suite passe sous $100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la boucle s'arrête dès que la condition\n$u > 100$ devient fausse, et $n$ a compté exactement le\nnombre d'étapes effectuées pour y parvenir."
        },
        {
          "text": "La valeur de la suite au moment où la boucle s'arrête",
          "correct": false,
          "feedback": "Variables confondues : cette valeur est celle de $u$.\nLa variable $n$ ne fait que compter les passages dans la\nboucle."
        },
        {
          "text": "Le nombre d'étapes nécessaires pour que la suite\natteigne $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuil confondu avec la limite : la suite tend vers $0$\nsans jamais l'atteindre. L'algorithme s'arrête à $100$."
        },
        {
          "text": "La limite de la suite, obtenue après la dernière étape",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : une limite n'est pas le résultat d'un\nnombre fini d'étapes. L'algorithme rend un rang, pas une\nlimite."
        }
      ],
      "explanation": "Un algorithme de seuil répète le pas de la récurrence tant que\nla condition est vérifiée, en comptant les étapes. Il rend le\npremier rang qui franchit le seuil."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-forme-explicite",
        "limites"
      ],
      "title": "Une forme explicite qui diverge",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une suite est définie par $u_n = 6 + 4 \\times 1{,}25^n$.\nQuelle est sa limite ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle croît sans limite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la raison $1{,}25$ dépasse $1$, donc\n$1{,}25^n$ tend vers $+\\infty$. Multiplié par $4$ puis\naugmenté de $6$, l'ensemble diverge."
        },
        {
          "text": "Elle se stabilise vers $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe appliqué trop vite : la puissance ne s'efface que\nsi la raison est comprise entre $0$ et $1$. Ici elle\ngrandit."
        },
        {
          "text": "Elle se stabilise vers $10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur du rang $0$ : $6 + 4 \\times 1 = 10$ est le premier\nterme, pas une limite. Au rang $30$, la suite dépasse déjà\n$3\\,000$."
        },
        {
          "text": "Elle se stabilise vers $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient recopié : $4$ multiplie la puissance, il ne\ndécrit pas le comportement à long terme."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une forme $\\ell + C q^n$, tout se joue sur la position de\n$q$ par rapport à $1$ : la suite converge vers $\\ell$ si\n$0 < q < 1$, et diverge si $q > 1$."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "somme-geometrique-formule",
        "somme"
      ],
      "title": "Somme de quatre puissances",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 2^2 + 2^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 2^4}{1 - 2} = 15$, ce que confirme\nl'addition directe des quatre termes."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant de trop : $2^4 = 16$\nn'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $2^3$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier terme seul : $2^3 = 8$ est\nle plus grand des quatre termes, pas leur somme."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,\nelles ne valent pas toutes $2$."
        }
      ],
      "explanation": "La somme $1 + q + \\dots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\npour $q \\neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur\nest $4$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 2^2 + 2^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 2^4}{1 - 2} = 15$, ce que confirme\nl'addition directe des quatre termes."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant de trop : $2^4 = 16$\nn'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $2^3$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme seul : $2^3 = 8$ est\nle plus grand des quatre termes, pas leur somme."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,\nelles ne valent pas toutes $2$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme $1 + q + \\dots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\npour $q \\neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur\nest $4$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme $1 + 3 + 3^2 + 3^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = 40$, ce que confirme\nl'addition directe des quatre termes."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant de trop : $3^4 = 81$\nn'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $3^3$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme seul : $3^3 = 27$ est\nle plus grand des quatre termes, pas leur somme."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,\nelles ne valent pas toutes $3$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme $1 + q + \\dots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\npour $q \\neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur\nest $4$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme $1 + 4 + 4^2 + 4^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$85$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 4^4}{1 - 4} = 85$, ce que confirme\nl'addition directe des quatre termes."
            },
            {
              "text": "$256$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant de trop : $4^4 = 256$\nn'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $4^3$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme seul : $4^3 = 64$ est\nle plus grand des quatre termes, pas leur somme."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,\nelles ne valent pas toutes $4$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme $1 + q + \\dots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\npour $q \\neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur\nest $4$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme $1 + 5 + 5^2 + 5^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$156$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{1 - 5^4}{1 - 5} = 156$, ce que confirme\nl'addition directe des quatre termes."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant de trop : $5^4 = 625$\nn'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $5^3$."
            },
            {
              "text": "$125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme seul : $5^3 = 125$ est\nle plus grand des quatre termes, pas leur somme."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,\nelles ne valent pas toutes $5$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme $1 + q + \\dots + q^n$ vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\npour $q \\neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur\nest $4$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "capital",
        "calcul"
      ],
      "title": "Capital à intérêts composés",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un capital de $800$ euros est placé au taux annuel de\n$4\\ \\%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle\nest sa valeur au bout de $5$ ans ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $973$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par\n$1 + \\dfrac{4}{100}$, donc la valeur cherchée est\n$800 \\times \\left(1 + \\frac{4}{100}\\right)^{5}$, soit\nenviron $973$ euros."
        },
        {
          "text": "Environ $960$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital\nde départ chaque année. Or les intérêts produisent\neux-mêmes des intérêts."
        },
        {
          "text": "Environ $936$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang\n$5 - 1$. Il reste une multiplication par\n$1 + \\dfrac{4}{100}$ à effectuer."
        },
        {
          "text": "Environ $820$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage traité comme une somme d'argent : $4\\ \\%$\nde $800$ euros ne font pas $4$ euros."
        }
      ],
      "explanation": "Un placement à intérêts composés engendre une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$, donc une valeur\n$c \\times \\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)^n$ au bout de $n$\nannées.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un capital de $800$ euros est placé au taux annuel de\n$4\\ \\%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle\nest sa valeur au bout de $5$ ans ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $973$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par\n$1 + \\dfrac{4}{100}$, donc la valeur cherchée est\n$800 \\times \\left(1 + \\frac{4}{100}\\right)^{5}$, soit\nenviron $973$ euros."
            },
            {
              "text": "Environ $960$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital\nde départ chaque année. Or les intérêts produisent\neux-mêmes des intérêts."
            },
            {
              "text": "Environ $936$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang\n$5 - 1$. Il reste une multiplication par\n$1 + \\dfrac{4}{100}$ à effectuer."
            },
            {
              "text": "Environ $820$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme une somme d'argent : $4\\ \\%$\nde $800$ euros ne font pas $4$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Un placement à intérêts composés engendre une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$, donc une valeur\n$c \\times \\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)^n$ au bout de $n$\nannées."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $600$ euros est placé au taux annuel de\n$3\\ \\%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle\nest sa valeur au bout de $6$ ans ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $716$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par\n$1 + \\dfrac{3}{100}$, donc la valeur cherchée est\n$600 \\times \\left(1 + \\frac{3}{100}\\right)^{6}$, soit\nenviron $716$ euros."
            },
            {
              "text": "Environ $708$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital\nde départ chaque année. Or les intérêts produisent\neux-mêmes des intérêts."
            },
            {
              "text": "Environ $696$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang\n$6 - 1$. Il reste une multiplication par\n$1 + \\dfrac{3}{100}$ à effectuer."
            },
            {
              "text": "Environ $618$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme une somme d'argent : $3\\ \\%$\nde $600$ euros ne font pas $3$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Un placement à intérêts composés engendre une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$, donc une valeur\n$c \\times \\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)^n$ au bout de $n$\nannées."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $750$ euros est placé au taux annuel de\n$2\\ \\%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle\nest sa valeur au bout de $8$ ans ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $879$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par\n$1 + \\dfrac{2}{100}$, donc la valeur cherchée est\n$750 \\times \\left(1 + \\frac{2}{100}\\right)^{8}$, soit\nenviron $879$ euros."
            },
            {
              "text": "Environ $870$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital\nde départ chaque année. Or les intérêts produisent\neux-mêmes des intérêts."
            },
            {
              "text": "Environ $862$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang\n$8 - 1$. Il reste une multiplication par\n$1 + \\dfrac{2}{100}$ à effectuer."
            },
            {
              "text": "Environ $766$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme une somme d'argent : $2\\ \\%$\nde $750$ euros ne font pas $2$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Un placement à intérêts composés engendre une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$, donc une valeur\n$c \\times \\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)^n$ au bout de $n$\nannées."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $900$ euros est placé au taux annuel de\n$5\\ \\%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle\nest sa valeur au bout de $4$ ans ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $1094$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par\n$1 + \\dfrac{5}{100}$, donc la valeur cherchée est\n$900 \\times \\left(1 + \\frac{5}{100}\\right)^{4}$, soit\nenviron $1094$ euros."
            },
            {
              "text": "Environ $1080$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital\nde départ chaque année. Or les intérêts produisent\neux-mêmes des intérêts."
            },
            {
              "text": "Environ $1042$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang\n$4 - 1$. Il reste une multiplication par\n$1 + \\dfrac{5}{100}$ à effectuer."
            },
            {
              "text": "Environ $920$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentage traité comme une somme d'argent : $5\\ \\%$\nde $900$ euros ne font pas $5$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Un placement à intérêts composés engendre une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$, donc une valeur\n$c \\times \\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)^n$ au bout de $n$\nannées."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gendarmes",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Un encadrement qui ne conclut pas",
      "partie": "limites",
      "statement": "Une suite vérifie, pour tout $n \\geq 1$,\n$3 - \\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq 5 + \\dfrac{1}{n}$. Que peut-on\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien sur la limite : les deux bornes n'ont pas la même\nlimite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les bornes tendent vers $3$ et vers $5$.\nLe couloir ne se referme pas, et la suite peut osciller\nentre ces deux valeurs sans converger."
        },
        {
          "text": "La suite converge vers $4$, la valeur centrale du\ncouloir",
          "correct": false,
          "feedback": "Centre du couloir sans justification : rien n'oblige la\nsuite à s'y installer. Le théorème exige deux bornes de\nmême limite."
        },
        {
          "text": "La suite converge vers $3$, la plus petite des deux\nbornes",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne inférieure privilégiée à tort : l'encadrement\nautorise aussi la suite à rester près de $5$."
        },
        {
          "text": "La suite diverge, puisque le théorème ne s'applique pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion trop forte : un théorème inapplicable ne prouve\nrien. La suite constante égale à $4$ satisfait\nl'encadrement et converge."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des gendarmes ne conclut que si les deux suites\nencadrantes ont la **même** limite. Sinon il faut une autre\ninformation sur la suite."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "representation",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Lire une limite sur une construction en escalier",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Sur une construction en escalier associée à\n$u_{n+1} = f(u_n)$, les points se resserrent autour d'un point\nd'intersection entre la courbe de $f$ et la droite $y = x$.\nQue représente l'abscisse de ce point ?",
      "options": [
        {
          "text": "La limite de la suite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en ce point, $f(x) = x$. Une suite qui s'y\naccumule y reste, ce qui en fait la limite conjecturée par\nle graphique."
        },
        {
          "text": "Le premier terme de la suite",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion de rôle : le premier terme est le point de\ndépart de l'escalier, sur l'axe des abscisses, et il est\nchoisi librement."
        },
        {
          "text": "La raison de la suite",
          "correct": false,
          "feedback": "Vocabulaire déplacé : une suite définie par $u_{n+1} =\nf(u_n)$ n'a pas de raison, sauf si $f$ est une\nmultiplication."
        },
        {
          "text": "La hauteur des marches de la construction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : les marches rétrécissent au fur et à\nmesure. C'est justement ce rétrécissement qui signale la\nconvergence."
        }
      ],
      "explanation": "Sur une construction en escalier, les intersections entre la\ncourbe et la droite $y = x$ donnent les limites possibles,\npuisqu'elles vérifient $f(x) = x$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "solution-generale",
        "suite-auxiliaire"
      ],
      "title": "Forme explicite d'un modèle mixte",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 30$ avec\n$u_0 = 100$, et sa valeur d'équilibre est $60$. Quelle est\nsa forme explicite ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u_n = 60 + 40 \\times 0{,}5^n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 60$ est géométrique\nde raison $0{,}5$ et de premier terme $40$, d'où\n$u_n = 60 + 40 \\times 0{,}5^n$."
        },
        {
          "text": "$u_n = 60 + 40 \\times n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle additif : l'écart à l'équilibre est **multiplié**\npar $0{,}5$ à chaque rang, il n'est pas ajouté."
        },
        {
          "text": "$u_n = 100 \\times 0{,}5^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite\ngéométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $60$."
        },
        {
          "text": "$u_n = 60 + 100 \\times 0{,}5^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart mal calculé : le coefficient est la différence\n$100 - 60$, soit $40$, et non le premier terme\nlui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\\ell$, la\nsuite $v_n = u_n - \\ell$ est géométrique de raison $a$. On en\ndéduit $u_n = \\ell + (u_0 - \\ell)\\,a^n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 30$ avec\n$u_0 = 100$, et sa valeur d'équilibre est $60$. Quelle est\nsa forme explicite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_n = 60 + 40 \\times 0{,}5^n$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 60$ est géométrique\nde raison $0{,}5$ et de premier terme $40$, d'où\n$u_n = 60 + 40 \\times 0{,}5^n$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 60 + 40 \\times n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : l'écart à l'équilibre est **multiplié**\npar $0{,}5$ à chaque rang, il n'est pas ajouté."
            },
            {
              "text": "$u_n = 100 \\times 0{,}5^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite\ngéométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $60$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 60 + 100 \\times 0{,}5^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart mal calculé : le coefficient est la différence\n$100 - 60$, soit $40$, et non le premier terme\nlui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\\ell$, la\nsuite $v_n = u_n - \\ell$ est géométrique de raison $a$. On en\ndéduit $u_n = \\ell + (u_0 - \\ell)\\,a^n$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}75\\,u_n + 50$ avec\n$u_0 = 100$, et sa valeur d'équilibre est $200$. Quelle est\nsa forme explicite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_n = 200 - 100 \\times 0{,}75^n$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 200$ est géométrique\nde raison $0{,}75$ et de premier terme $-100$, d'où\n$u_n = 200 - 100 \\times 0{,}75^n$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 200 - 100 \\times n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : l'écart à l'équilibre est **multiplié**\npar $0{,}75$ à chaque rang, il n'est pas ajouté."
            },
            {
              "text": "$u_n = 100 \\times 0{,}75^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite\ngéométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $200$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 200 + 100 \\times 0{,}75^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart mal calculé : le coefficient est la différence\n$100 - 200$, soit $-100$, et non le premier terme\nlui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\\ell$, la\nsuite $v_n = u_n - \\ell$ est géométrique de raison $a$. On en\ndéduit $u_n = \\ell + (u_0 - \\ell)\\,a^n$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}25\\,u_n + 60$ avec\n$u_0 = 20$, et sa valeur d'équilibre est $80$. Quelle est\nsa forme explicite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_n = 80 - 60 \\times 0{,}25^n$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 80$ est géométrique\nde raison $0{,}25$ et de premier terme $-60$, d'où\n$u_n = 80 - 60 \\times 0{,}25^n$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 80 - 60 \\times n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : l'écart à l'équilibre est **multiplié**\npar $0{,}25$ à chaque rang, il n'est pas ajouté."
            },
            {
              "text": "$u_n = 20 \\times 0{,}25^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite\ngéométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $80$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 80 + 20 \\times 0{,}25^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart mal calculé : le coefficient est la différence\n$20 - 80$, soit $-60$, et non le premier terme\nlui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\\ell$, la\nsuite $v_n = u_n - \\ell$ est géométrique de raison $a$. On en\ndéduit $u_n = \\ell + (u_0 - \\ell)\\,a^n$."
        },
        {
          "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}6\\,u_n + 40$ avec\n$u_0 = 50$, et sa valeur d'équilibre est $100$. Quelle est\nsa forme explicite ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_n = 100 - 50 \\times 0{,}6^n$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 100$ est géométrique\nde raison $0{,}6$ et de premier terme $-50$, d'où\n$u_n = 100 - 50 \\times 0{,}6^n$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 100 - 50 \\times n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modèle additif : l'écart à l'équilibre est **multiplié**\npar $0{,}6$ à chaque rang, il n'est pas ajouté."
            },
            {
              "text": "$u_n = 50 \\times 0{,}6^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite\ngéométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $100$."
            },
            {
              "text": "$u_n = 100 + 50 \\times 0{,}6^n$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart mal calculé : le coefficient est la différence\n$50 - 100$, soit $-50$, et non le premier terme\nlui-même."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\\ell$, la\nsuite $v_n = u_n - \\ell$ est géométrique de raison $a$. On en\ndéduit $u_n = \\ell + (u_0 - \\ell)\\,a^n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison",
        "comportement",
        "interpretation-modele"
      ],
      "title": "Deux placements comparés",
      "partie": "limites",
      "statement": "Deux placements partent du même capital de $1\\,000$ euros. Le\npremier rapporte $50$ euros chaque année, le second augmente\nde $2\\ \\%$ par an. Que se passe-t-il à très long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le second finit par dépasser le premier, puis s'en écarte\ndéfinitivement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une croissance géométrique finit toujours\npar dépasser une croissance arithmétique. Ici le\ncroisement a lieu vers la trentième année, et l'écart ne\ncesse ensuite de grandir."
        },
        {
          "text": "Le premier reste devant, car $50$ euros dépassent\n$2\\ \\%$ de $1\\,000$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparaison faite au départ seulement : les $2\\ \\%$\nportent sur un capital qui grossit, donc le gain annuel du\nsecond placement augmente sans cesse."
        },
        {
          "text": "Les deux capitaux restent proches, car leurs gains\nannuels sont voisins",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le premier gain est fixe, le second\nproportionnel. L'écart entre les deux modèles devient\narbitrairement grand."
        },
        {
          "text": "Le résultat dépend du capital de départ, aucune réponse\ngénérale n'est possible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : quel que soit le capital de départ strictement\npositif, le modèle géométrique l'emporte à terme. Seule la\ndate du croisement change."
        }
      ],
      "explanation": "Un modèle arithmétique ajoute un gain fixe, un modèle\ngéométrique multiplie par un coefficient constant. Dès que ce\ncoefficient dépasse $1$, le second l'emporte à long terme."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "suite-geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver la raison",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont\n$4$ ; $12$ ; $36$. Quelle est sa raison ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par\nle précédent, soit $\\dfrac{12}{4} = 3$, ce que\nconfirme $\\dfrac{36}{12}$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart calculé au lieu du quotient : $12 - 4$ est la\nraison d'une suite **arithmétique**. Ici on divise."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme recopié : $4$ est le point de départ de\nla suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au\nsuivant."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux rangs franchis d'un coup : $\\dfrac{36}{4}$ vaut\nle carré de la raison, car il saute un terme."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un\nterme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même\nd'un rang à l'autre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont\n$4$ ; $12$ ; $36$. Quelle est sa raison ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par\nle précédent, soit $\\dfrac{12}{4} = 3$, ce que\nconfirme $\\dfrac{36}{12}$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart calculé au lieu du quotient : $12 - 4$ est la\nraison d'une suite **arithmétique**. Ici on divise."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme recopié : $4$ est le point de départ de\nla suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au\nsuivant."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs franchis d'un coup : $\\dfrac{36}{4}$ vaut\nle carré de la raison, car il saute un terme."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un\nterme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même\nd'un rang à l'autre."
        },
        {
          "statement": "Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont\n$3$ ; $12$ ; $48$. Quelle est sa raison ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par\nle précédent, soit $\\dfrac{12}{3} = 4$, ce que\nconfirme $\\dfrac{48}{12}$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart calculé au lieu du quotient : $12 - 3$ est la\nraison d'une suite **arithmétique**. Ici on divise."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme recopié : $3$ est le point de départ de\nla suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au\nsuivant."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs franchis d'un coup : $\\dfrac{48}{3}$ vaut\nle carré de la raison, car il saute un terme."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un\nterme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même\nd'un rang à l'autre."
        },
        {
          "statement": "Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont\n$2$ ; $10$ ; $50$. Quelle est sa raison ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par\nle précédent, soit $\\dfrac{10}{2} = 5$, ce que\nconfirme $\\dfrac{50}{10}$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart calculé au lieu du quotient : $10 - 2$ est la\nraison d'une suite **arithmétique**. Ici on divise."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme recopié : $2$ est le point de départ de\nla suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au\nsuivant."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs franchis d'un coup : $\\dfrac{50}{2}$ vaut\nle carré de la raison, car il saute un terme."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un\nterme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même\nd'un rang à l'autre."
        },
        {
          "statement": "Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont\n$2$ ; $12$ ; $72$. Quelle est sa raison ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par\nle précédent, soit $\\dfrac{12}{2} = 6$, ce que\nconfirme $\\dfrac{72}{12}$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart calculé au lieu du quotient : $12 - 2$ est la\nraison d'une suite **arithmétique**. Ici on divise."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier terme recopié : $2$ est le point de départ de\nla suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au\nsuivant."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux rangs franchis d'un coup : $\\dfrac{72}{2}$ vaut\nle carré de la raison, car il saute un terme."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un\nterme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même\nd'un rang à l'autre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite",
        "operations"
      ],
      "title": "Limite d'une somme",
      "partie": "limites",
      "statement": "Soient deux suites telles que $u_n \\to 7$ et\n$v_n \\to 3$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des\nlimites lorsque les deux sont finies, donc\n$7 + 3 = 10$."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération changée : $7 \\times 3$ serait la limite du\n**produit** $u_nv_n$, pas celle de la somme."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers\n$4$. Ici les deux suites s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans les expressions des deux\nsuites",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée\nn'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres."
        }
      ],
      "explanation": "Opérations sur les limites : si $u_n \\to \\ell$ et\n$v_n \\to \\ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \\to \\ell +\n\\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soient deux suites telles que $u_n \\to 7$ et\n$v_n \\to 3$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des\nlimites lorsque les deux sont finies, donc\n$7 + 3 = 10$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération changée : $7 \\times 3$ serait la limite du\n**produit** $u_nv_n$, pas celle de la somme."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers\n$4$. Ici les deux suites s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans les expressions des deux\nsuites",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée\nn'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Opérations sur les limites : si $u_n \\to \\ell$ et\n$v_n \\to \\ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \\to \\ell +\n\\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas."
        },
        {
          "statement": "Soient deux suites telles que $u_n \\to 5$ et\n$v_n \\to 12$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des\nlimites lorsque les deux sont finies, donc\n$5 + 12 = 17$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération changée : $5 \\times 12$ serait la limite du\n**produit** $u_nv_n$, pas celle de la somme."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers\n$-7$. Ici les deux suites s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans les expressions des deux\nsuites",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée\nn'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Opérations sur les limites : si $u_n \\to \\ell$ et\n$v_n \\to \\ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \\to \\ell +\n\\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas."
        },
        {
          "statement": "Soient deux suites telles que $u_n \\to 9$ et\n$v_n \\to 4$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des\nlimites lorsque les deux sont finies, donc\n$9 + 4 = 13$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération changée : $9 \\times 4$ serait la limite du\n**produit** $u_nv_n$, pas celle de la somme."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers\n$5$. Ici les deux suites s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans les expressions des deux\nsuites",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée\nn'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Opérations sur les limites : si $u_n \\to \\ell$ et\n$v_n \\to \\ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \\to \\ell +\n\\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas."
        },
        {
          "statement": "Soient deux suites telles que $u_n \\to 6$ et\n$v_n \\to 8$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des\nlimites lorsque les deux sont finies, donc\n$6 + 8 = 14$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération changée : $6 \\times 8$ serait la limite du\n**produit** $u_nv_n$, pas celle de la somme."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers\n$-2$. Ici les deux suites s'ajoutent."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans les expressions des deux\nsuites",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée\nn'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Opérations sur les limites : si $u_n \\to \\ell$ et\n$v_n \\to \\ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \\to \\ell +\n\\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "suites",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Lire une égalité de suite",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité\n$u_{5} = 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le terme de rang $5$ vaut $12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur\nécrite après le signe d'égalité est le terme\ncorrespondant."
        },
        {
          "text": "Le terme de rang $12$ vaut $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme\nest à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens."
        },
        {
          "text": "La suite compte $5$ termes tous égaux à $12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une suite a une infinité de termes, et l'indice $5$\ndésigne une position, pas un effectif."
        },
        {
          "text": "La raison de la suite vaut $12$ à partir du rang $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de\nterme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et\n$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le\nvocabulaire des suites.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité\n$u_{5} = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le terme de rang $5$ vaut $12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur\nécrite après le signe d'égalité est le terme\ncorrespondant."
            },
            {
              "text": "Le terme de rang $12$ vaut $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme\nest à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens."
            },
            {
              "text": "La suite compte $5$ termes tous égaux à $12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une suite a une infinité de termes, et l'indice $5$\ndésigne une position, pas un effectif."
            },
            {
              "text": "La raison de la suite vaut $12$ à partir du rang $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de\nterme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison."
            }
          ],
          "explanation": "Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et\n$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le\nvocabulaire des suites."
        },
        {
          "statement": "Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité\n$u_{3} = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le terme de rang $3$ vaut $20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur\nécrite après le signe d'égalité est le terme\ncorrespondant."
            },
            {
              "text": "Le terme de rang $20$ vaut $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme\nest à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens."
            },
            {
              "text": "La suite compte $3$ termes tous égaux à $20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une suite a une infinité de termes, et l'indice $3$\ndésigne une position, pas un effectif."
            },
            {
              "text": "La raison de la suite vaut $20$ à partir du rang $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de\nterme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison."
            }
          ],
          "explanation": "Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et\n$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le\nvocabulaire des suites."
        },
        {
          "statement": "Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité\n$u_{8} = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le terme de rang $8$ vaut $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur\nécrite après le signe d'égalité est le terme\ncorrespondant."
            },
            {
              "text": "Le terme de rang $7$ vaut $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme\nest à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens."
            },
            {
              "text": "La suite compte $8$ termes tous égaux à $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une suite a une infinité de termes, et l'indice $8$\ndésigne une position, pas un effectif."
            },
            {
              "text": "La raison de la suite vaut $7$ à partir du rang $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de\nterme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison."
            }
          ],
          "explanation": "Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et\n$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le\nvocabulaire des suites."
        },
        {
          "statement": "Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité\n$u_{10} = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le terme de rang $10$ vaut $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur\nécrite après le signe d'égalité est le terme\ncorrespondant."
            },
            {
              "text": "Le terme de rang $3$ vaut $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme\nest à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens."
            },
            {
              "text": "La suite compte $10$ termes tous égaux à $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une suite a une infinité de termes, et l'indice $10$\ndésigne une position, pas un effectif."
            },
            {
              "text": "La raison de la suite vaut $3$ à partir du rang $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de\nterme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison."
            }
          ],
          "explanation": "Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et\n$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le\nvocabulaire des suites."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "suites",
        "variations"
      ],
      "title": "Un écart constant entre deux termes",
      "partie": "generalites",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 4$ pour tout entier $n$.\nQue peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est arithmétique de raison $4$, donc croissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un écart constant entre deux termes\nconsécutifs caractérise une suite arithmétique, et cet\nécart positif la fait croître."
        },
        {
          "text": "Elle est géométrique de raison $4$, donc croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Nature confondue : une suite géométrique a un **quotient**\nconstant. Ici c'est la différence qui l'est."
        },
        {
          "text": "Elle est constante, puisque cet écart ne change jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart confondu avec la suite : l'écart est figé, mais les\ntermes gagnent $4$ à chaque rang."
        },
        {
          "text": "Elle décroît, puisque l'écart est retranché à chaque rang",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : $u_{n+1} - u_n = 4$ signifie que\n$u_{n+1}$ dépasse $u_n$ de $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une suite est arithmétique lorsque la différence\n$u_{n+1} - u_n$ est constante. Cette raison donne aussitôt le\nsens de variation : croissante si elle est positive."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Limite de $q^n$, raison supérieure à 1",
      "partie": "limites",
      "statement": "Comment se comporte la suite de terme général $1{,}4^n$\nquand $n$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle tend vers $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier sans fin par $1{,}4 > 1$ fait\ngrossir les termes au-delà de tout seuil. Au rang $20$,\nla suite dépasse déjà $836$."
        },
        {
          "text": "Elle tend vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette extinction concerne les raisons comprises\nentre $0$ et $1$. Ici chaque multiplication augmente le\nterme."
        },
        {
          "text": "Elle tend vers $1{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raison confondue avec la limite : $1{,}4$ est le facteur\nde passage d'un terme au suivant, pas une valeur\nd'arrivée."
        },
        {
          "text": "Elle n'a pas de limite, car ses termes oscillent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la raison étant positive, tous les termes le\nsont, et la suite croît sans jamais changer de sens."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence pour une raison positive : $q^n \\to 0$\nsi $0 < q < 1$, $q^n \\to +\\infty$ si $q > 1$. La position de\n$q$ par rapport à $1$ décide de tout."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-recurrente",
        "approximation",
        "constante"
      ],
      "title": "Approcher racine de deux par une suite",
      "partie": "generalites",
      "statement": "La suite définie par $u_0 = 1$ et\n$u_{n+1} = \\dfrac{1}{2}\\left(u_n + \\dfrac{2}{u_n}\\right)$ converge vers\nun réel $\\ell > 0$ qui vérifie $\\ell = \\dfrac{1}{2}\\left(\\ell +\n\\dfrac{2}{\\ell}\\right)$. Que vaut $\\ell$, et que vaut $u_1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ell = \\sqrt{2}$ et $u_1 = 1{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité donne $2\\ell = \\ell + \\dfrac{2}{\\ell}$,\nsoit $\\ell^2 = 2$ ; et $u_1 = \\dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = 2$ et $u_1 = 1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $\\ell = 2$, le membre de droite vaut\n$\\dfrac{1}{2}(2 + 1) = 1{,}5 \\neq 2$. L'égalité conduit à\n$\\ell^2 = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = \\sqrt{2}$ et $u_1 = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 + \\dfrac{2}{1} = 3$ doit encore être multiplié par\n$\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = 1$ et $u_1 = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la suite n'est pas constante, puisque\n$u_1 = 1{,}5 \\neq u_0$."
        }
      ],
      "explanation": "Cette méthode, attribuée à Héron d'Alexandrie, donne\n$u_2 \\approx 1{,}4167$ et $u_3 \\approx 1{,}41421$ : la précision\naugmente très vite. Calculer les termes successifs est un exemple\nd'algorithme de recherche d'une constante."
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "modeles",
        "suite-geometrique",
        "taux"
      ],
      "title": "Une population qui augmente d'un même pourcentage chaque année",
      "partie": "modeles",
      "statement": "La population d'une ville augmente de $2\\ \\%$ chaque année. On\nnote $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la\nnature de la suite $(u_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Géométrique de raison $1{,}02$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : augmenter de $2\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{2}{100} = 1{,}02$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n$.\n"
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,\nelle multiplie par un coefficient.\n"
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $0{,}02$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}02$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;\nmultiplier par $0{,}02$ ferait chuter la population.\n"
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}2$ multiplie la population par bien plus que\n$1 + \\dfrac{2}{100}$ ; le taux a été mal converti.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ par an se modélise par une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La population d'une ville augmente de $2\\ \\%$ chaque année. On\nnote $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la\nnature de la suite $(u_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}02$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : augmenter de $2\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{2}{100} = 1{,}02$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n$.\n"
            },
            {
              "text": "Arithmétique de raison $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,\nelle multiplie par un coefficient.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $0{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}02$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;\nmultiplier par $0{,}02$ ferait chuter la population.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}2$ multiplie la population par bien plus que\n$1 + \\dfrac{2}{100}$ ; le taux a été mal converti.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ par an se modélise par une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$."
        },
        {
          "statement": "La population d'une ville augmente de $5\\ \\%$ chaque année. On\nnote $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la\nnature de la suite $(u_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : augmenter de $5\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{5}{100} = 1{,}05$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}05\\,u_n$.\n"
            },
            {
              "text": "Arithmétique de raison $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,\nelle multiplie par un coefficient.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}05$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;\nmultiplier par $0{,}05$ ferait chuter la population.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}5$ multiplie la population par bien plus que\n$1 + \\dfrac{5}{100}$ ; le taux a été mal converti.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ par an se modélise par une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$."
        },
        {
          "statement": "La population d'une ville augmente de $3\\ \\%$ chaque année. On\nnote $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la\nnature de la suite $(u_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}03$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : augmenter de $3\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{3}{100} = 1{,}03$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}03\\,u_n$.\n"
            },
            {
              "text": "Arithmétique de raison $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,\nelle multiplie par un coefficient.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}03$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;\nmultiplier par $0{,}03$ ferait chuter la population.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}3$ multiplie la population par bien plus que\n$1 + \\dfrac{3}{100}$ ; le taux a été mal converti.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ par an se modélise par une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$."
        },
        {
          "statement": "La population d'une ville augmente de $4\\ \\%$ chaque année. On\nnote $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la\nnature de la suite $(u_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}04$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : augmenter de $4\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{4}{100} = 1{,}04$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}04\\,u_n$.\n"
            },
            {
              "text": "Arithmétique de raison $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,\nelle multiplie par un coefficient.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}04$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;\nmultiplier par $0{,}04$ ferait chuter la population.\n"
            },
            {
              "text": "Géométrique de raison $1{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}4$ multiplie la population par bien plus que\n$1 + \\dfrac{4}{100}$ ; le taux a été mal converti.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ par an se modélise par une suite\ngéométrique de raison $1 + \\dfrac{t}{100}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modeles",
        "arithmetico-geometrique",
        "capital"
      ],
      "title": "Intérêts puis versement",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Chaque année, un capital $u_n$ produit $5\\ \\%$ d'intérêts, puis\nson propriétaire verse $100$ € supplémentaires. Quelle relation\nlie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}05\\,u_n + 100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}05$,\npuis le versement ajoute $100$ ; l'ordre « intérêts puis\nversement » donne $1{,}05\\,u_n + 100$.\n"
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}05\\,(u_n + 100)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette relation correspond à un versement effectué\n**avant** le calcul des intérêts.\n"
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = u_n + 100 \\times 1{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas\nsur le capital.\n"
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}05 + 100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,\nils multiplient le capital.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une suite de la forme $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ modélise une évolution\nmultiplicative suivie d'un ajout constant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Chaque année, un capital $u_n$ produit $5\\ \\%$ d'intérêts, puis\nson propriétaire verse $100$ € supplémentaires. Quelle relation\nlie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}05\\,u_n + 100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}05$,\npuis le versement ajoute $100$ ; l'ordre « intérêts puis\nversement » donne $1{,}05\\,u_n + 100$.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}05\\,(u_n + 100)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette relation correspond à un versement effectué\n**avant** le calcul des intérêts.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 100 \\times 1{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas\nsur le capital.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}05 + 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,\nils multiplient le capital.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une suite de la forme $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ modélise une évolution\nmultiplicative suivie d'un ajout constant."
        },
        {
          "statement": "Chaque année, un capital $u_n$ produit $2\\ \\%$ d'intérêts, puis\nson propriétaire verse $500$ € supplémentaires. Quelle relation\nlie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n + 500$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}02$,\npuis le versement ajoute $500$ ; l'ordre « intérêts puis\nversement » donne $1{,}02\\,u_n + 500$.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,(u_n + 500)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette relation correspond à un versement effectué\n**avant** le calcul des intérêts.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 500 \\times 1{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas\nsur le capital.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}02 + 500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,\nils multiplient le capital.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une suite de la forme $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ modélise une évolution\nmultiplicative suivie d'un ajout constant."
        },
        {
          "statement": "Chaque année, un capital $u_n$ produit $4\\ \\%$ d'intérêts, puis\nson propriétaire verse $250$ € supplémentaires. Quelle relation\nlie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}04\\,u_n + 250$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}04$,\npuis le versement ajoute $250$ ; l'ordre « intérêts puis\nversement » donne $1{,}04\\,u_n + 250$.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}04\\,(u_n + 250)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette relation correspond à un versement effectué\n**avant** le calcul des intérêts.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 250 \\times 1{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas\nsur le capital.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}04 + 250$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,\nils multiplient le capital.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une suite de la forme $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ modélise une évolution\nmultiplicative suivie d'un ajout constant."
        },
        {
          "statement": "Chaque année, un capital $u_n$ produit $3\\ \\%$ d'intérêts, puis\nson propriétaire verse $300$ € supplémentaires. Quelle relation\nlie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}03\\,u_n + 300$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}03$,\npuis le versement ajoute $300$ ; l'ordre « intérêts puis\nversement » donne $1{,}03\\,u_n + 300$.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = 1{,}03\\,(u_n + 300)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette relation correspond à un versement effectué\n**avant** le calcul des intérêts.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 300 \\times 1{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas\nsur le capital.\n"
            },
            {
              "text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}03 + 300$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,\nils multiplient le capital.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une suite de la forme $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ modélise une évolution\nmultiplicative suivie d'un ajout constant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modeles",
        "seuil",
        "suite-geometrique"
      ],
      "title": "Le nombre d'années pour dépasser un seuil",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un capital de $1000$ € augmente de $5\\ \\%$ par an : $u_n = 1000\n\\times 1{,}05^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $1500$ € ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$ ans, $u_{9} \\approx 1551{,}3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_{8} \\approx 1477{,}5 < 1500$ et\n$u_{9} \\approx 1551{,}3 > 1500$ ; le seuil est franchi à la\n$9^{\\text{e}}$ année.\n"
        },
        {
          "text": "$8$ ans, $u_{8} \\approx 1477{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1477{,}5$ est encore **inférieur** à $1500$ ; il faut une\nannée de plus.\n"
        },
        {
          "text": "$10$ ans, par sécurité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $9$.\n"
        },
        {
          "text": "Jamais, la suite étant bornée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend\nvers $+\\infty$ et dépasse tout seuil.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un\nalgorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un capital de $1000$ € augmente de $5\\ \\%$ par an : $u_n = 1000\n\\times 1{,}05^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $1500$ € ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ ans, $u_{9} \\approx 1551{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{8} \\approx 1477{,}5 < 1500$ et\n$u_{9} \\approx 1551{,}3 > 1500$ ; le seuil est franchi à la\n$9^{\\text{e}}$ année.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ ans, $u_{8} \\approx 1477{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1477{,}5$ est encore **inférieur** à $1500$ ; il faut une\nannée de plus.\n"
            },
            {
              "text": "$10$ ans, par sécurité",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $9$.\n"
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite étant bornée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend\nvers $+\\infty$ et dépasse tout seuil.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un\nalgorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $2000$ € augmente de $3\\ \\%$ par an : $u_n = 2000\n\\times 1{,}03^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $2500$ € ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ ans, $u_{8} \\approx 2533{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{7} \\approx 2459{,}7 < 2500$ et\n$u_{8} \\approx 2533{,}5 > 2500$ ; le seuil est franchi à la\n$8^{\\text{e}}$ année.\n"
            },
            {
              "text": "$7$ ans, $u_{7} \\approx 2459{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2459{,}7$ est encore **inférieur** à $2500$ ; il faut une\nannée de plus.\n"
            },
            {
              "text": "$9$ ans, par sécurité",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $8$.\n"
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite étant bornée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend\nvers $+\\infty$ et dépasse tout seuil.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un\nalgorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $500$ € augmente de $10\\ \\%$ par an : $u_n = 500\n\\times 1{,}1^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $800$ € ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ ans, $u_{5} \\approx 805{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{4} \\approx 732{,}1 < 800$ et\n$u_{5} \\approx 805{,}3 > 800$ ; le seuil est franchi à la\n$5^{\\text{e}}$ année.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ ans, $u_{4} \\approx 732{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $732{,}1$ est encore **inférieur** à $800$ ; il faut une\nannée de plus.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ ans, par sécurité",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $5$.\n"
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite étant bornée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend\nvers $+\\infty$ et dépasse tout seuil.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un\nalgorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée."
        },
        {
          "statement": "Un capital de $1200$ € augmente de $6\\ \\%$ par an : $u_n = 1200\n\\times 1{,}06^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $1800$ € ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ ans, $u_{7} \\approx 1804{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u_{6} \\approx 1702{,}2 < 1800$ et\n$u_{7} \\approx 1804{,}4 > 1800$ ; le seuil est franchi à la\n$7^{\\text{e}}$ année.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ ans, $u_{6} \\approx 1702{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1702{,}2$ est encore **inférieur** à $1800$ ; il faut une\nannée de plus.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ ans, par sécurité",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $7$.\n"
            },
            {
              "text": "Jamais, la suite étant bornée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend\nvers $+\\infty$ et dépasse tout seuil.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un\nalgorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modeles",
        "decroissance",
        "limite"
      ],
      "title": "Une quantité qui perd dix pour cent par an",
      "partie": "modeles",
      "statement": "Un stock de $200$ kg d'une substance perd $10\\ \\%$ de sa masse\nchaque année : $u_{n+1} = 0{,}9\\,u_n$ avec $u_0 = 200$. Que\ndevient la masse à long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle tend vers $0$ sans jamais s'annuler",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_n = 200 \\times 0{,}9^n$ ; comme\n$0 < 0{,}9 < 1$, $0{,}9^n$ tend vers $0$ mais reste strictement\npositif.\n"
        },
        {
          "text": "Elle devient négative après un certain nombre d'années",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier un nombre positif par $0{,}9$ donne un\nnombre positif ; la masse ne passe jamais sous $0$.\n"
        },
        {
          "text": "Elle est nulle au bout de dix ans, après dix pertes de $10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pertes successives portent chaque fois sur une\nmasse plus petite ; au bout de dix ans il reste\n$200 \\times 0{,}9^{10} \\approx 70$ kg.\n"
        },
        {
          "text": "Elle se stabilise à $20$ kg",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune valeur positive n'est stable, la suite décroît\nvers $0$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$ converge\nvers $0$ : la quantité diminue indéfiniment sans disparaître."
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "sommes",
        "seuil",
        "python"
      ],
      "title": "Exécuter un algorithme de seuil",
      "partie": "sommes",
      "statement": "Que renvoie l'appel `seuil(100)` ?\n```python\ndef seuil(s):\n    u = 1\n    n = 0\n    while u <= s:\n        u = 2 * u\n        n = n + 1\n    return n\n```",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $1 \\times 2^n$ et\ndépasse $100$ pour la première fois au rang $7$, où il vaut\n$128$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un passage de moins : au rang $6$, $u$ ne dépasse pas\nencore $100$, la boucle continue."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 100$,\nsoit au rang $7$."
        },
        {
          "text": "$128$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme renvoyé à la place du rang : $128$ est la valeur finale\nde `u`, alors que la fonction renvoie `n`."
        }
      ],
      "explanation": "La boucle `while` multiplie $u$ par $2$ tant qu'il reste\ninférieur ou égal au seuil ; le compteur `n` donne le premier rang\noù la suite géométrique dépasse ce seuil.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que renvoie l'appel `seuil(100)` ?\n```python\ndef seuil(s):\n    u = 1\n    n = 0\n    while u <= s:\n        u = 2 * u\n        n = n + 1\n    return n\n```",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $1 \\times 2^n$ et\ndépasse $100$ pour la première fois au rang $7$, où il vaut\n$128$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de moins : au rang $6$, $u$ ne dépasse pas\nencore $100$, la boucle continue."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 100$,\nsoit au rang $7$."
            },
            {
              "text": "$128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme renvoyé à la place du rang : $128$ est la valeur finale\nde `u`, alors que la fonction renvoie `n`."
            }
          ],
          "explanation": "La boucle `while` multiplie $u$ par $2$ tant qu'il reste\ninférieur ou égal au seuil ; le compteur `n` donne le premier rang\noù la suite géométrique dépasse ce seuil."
        },
        {
          "statement": "Que renvoie l'appel `seuil(50)` ?\n```python\ndef seuil(s):\n    u = 3\n    n = 0\n    while u <= s:\n        u = 2 * u\n        n = n + 1\n    return n\n```",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $3 \\times 2^n$ et\ndépasse $50$ pour la première fois au rang $5$, où il vaut\n$96$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de moins : au rang $4$, $u$ ne dépasse pas\nencore $50$, la boucle continue."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 50$,\nsoit au rang $5$."
            },
            {
              "text": "$96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme renvoyé à la place du rang : $96$ est la valeur finale\nde `u`, alors que la fonction renvoie `n`."
            }
          ],
          "explanation": "La boucle `while` multiplie $u$ par $2$ tant qu'il reste\ninférieur ou égal au seuil ; le compteur `n` donne le premier rang\noù la suite géométrique dépasse ce seuil."
        },
        {
          "statement": "Que renvoie l'appel `seuil(100)` ?\n```python\ndef seuil(s):\n    u = 2\n    n = 0\n    while u <= s:\n        u = 3 * u\n        n = n + 1\n    return n\n```",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $2 \\times 3^n$ et\ndépasse $100$ pour la première fois au rang $4$, où il vaut\n$162$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de moins : au rang $3$, $u$ ne dépasse pas\nencore $100$, la boucle continue."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 100$,\nsoit au rang $4$."
            },
            {
              "text": "$162$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme renvoyé à la place du rang : $162$ est la valeur finale\nde `u`, alors que la fonction renvoie `n`."
            }
          ],
          "explanation": "La boucle `while` multiplie $u$ par $3$ tant qu'il reste\ninférieur ou égal au seuil ; le compteur `n` donne le premier rang\noù la suite géométrique dépasse ce seuil."
        },
        {
          "statement": "Que renvoie l'appel `seuil(300)` ?\n```python\ndef seuil(s):\n    u = 5\n    n = 0\n    while u <= s:\n        u = 2 * u\n        n = n + 1\n    return n\n```",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $5 \\times 2^n$ et\ndépasse $300$ pour la première fois au rang $6$, où il vaut\n$320$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de moins : au rang $5$, $u$ ne dépasse pas\nencore $300$, la boucle continue."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 300$,\nsoit au rang $6$."
            },
            {
              "text": "$320$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme renvoyé à la place du rang : $320$ est la valeur finale\nde `u`, alors que la fonction renvoie `n`."
            }
          ],
          "explanation": "La boucle `while` multiplie $u$ par $2$ tant qu'il reste\ninférieur ou égal au seuil ; le compteur `n` donne le premier rang\noù la suite géométrique dépasse ce seuil."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "generalites",
        "toile",
        "conjecture"
      ],
      "title": "Conjecturer à partir d'une construction en escalier",
      "partie": "generalites",
      "statement": "La figure montre la droite d'équation $y = f(x)$, la droite\nd'équation $y = x$ et la construction des premiers termes de la\nsuite définie par $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Quelle\nconjecture peut-on formuler ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (6,6);\n    \\draw[->] (-0.2,0) -- (6.3,0) node[below right] {$x$};\n    \\draw[->] (0,-0.2) -- (0,6.3) node[above left] {$y$};\n    \\foreach \\x in {1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n    \\foreach \\y in {1,2,3,4,5} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[thick,blue] (0,2) -- (6,5) node[above left,font=\\small] {$y = f(x)$};\n  \\draw[thick] (0,0) -- (6,6) node[below right,font=\\small] {$y = x$};\n  \\draw[red,thick] (0.5,0) -- (0.5,2.25) -- (2.25,2.25) -- (2.25,3.125) -- (3.125,3.125) -- (3.125,3.562) -- (3.562,3.562) -- (3.562,3.781) -- (3.781,3.781) -- (3.781,3.891) -- (3.891,3.891);\n  \\node[below,red,font=\\small] at (0.5,-0.45) {$u_0$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère avec la droite y = 0,5x + 2 et la première bissectrice,\nqui se coupent au point (4 ; 4). Une ligne brisée en escalier\npart de u0 = 0,5 sur l'axe des abscisses, monte vers la droite,\nrevient horizontalement vers la bissectrice, et ainsi de suite :\nles marches rapetissent en se rapprochant du point (4 ; 4).",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"184.989pt\" height=\"181.82pt\" viewBox=\"0 0 184.989 181.82\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.546875 C 4.03125 -3.28125 3.96875 -3.015625 3.90625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.828125 -0.109375 1.71875 -0.546875 1.71875 -0.921875 C 1.71875 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.28125 2.421875 -3.390625 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.40625 1.609375 -4.40625 C 0.65625 -4.40625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.953125 C 0.84375 -3.875 1.234375 -4.1875 1.578125 -4.1875 C 1.65625 -4.1875 1.828125 -4.1875 1.828125 -3.859375 C 1.828125 -3.609375 1.71875 -3.359375 1.65625 -3.171875 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.296875 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.171875 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2.015625 1.828125 1.546875 1.828125 C 1.40625 1.828125 0.96875 1.796875 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.0625 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.046875 1.546875 2.046875 C 2.578125 2.046875 3.609375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.84375 -3.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 0.9375 -3.09375 C 0.9375 -2.921875 0.9375 -2.828125 1.0625 -2.828125 C 1.125 -2.828125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.953125 C 1.484375 -3.328125 1.90625 -3.53125 2.375 -3.53125 C 3.328125 -3.53125 3.328125 -2.15625 3.328125 -1.828125 C 3.328125 -1.5625 3.328125 -1 3.078125 -0.59375 C 2.84375 -0.21875 2.46875 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.75 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.21875 0.203125 4.140625 -0.6875 4.140625 -1.796875 C 4.140625 -2.875 3.359375 -3.765625 2.390625 -3.765625 C 1.953125 -3.765625 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.296875 L 1.203125 -5.0625 C 1.484375 -4.984375 1.75 -4.9375 2.03125 -4.9375 C 3.140625 -4.9375 3.78125 -5.734375 3.78125 -5.84375 C 3.78125 -5.921875 3.71875 -5.96875 3.6875 -5.96875 C 3.65625 -5.96875 3.640625 -5.96875 3.5625 -5.921875 C 3.140625 -5.75 2.734375 -5.671875 2.359375 -5.671875 C 1.96875 -5.671875 1.5625 -5.75 1.15625 -5.921875 C 1.0625 -5.96875 1.046875 -5.96875 1.03125 -5.96875 C 0.9375 -5.96875 0.9375 -5.875 0.9375 -5.71875 Z M 0.9375 -3.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 6.34375 -2.96875 C 6.46875 -2.96875 6.640625 -2.96875 6.640625 -3.15625 C 6.640625 -3.34375 6.4375 -3.34375 6.296875 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.15625 C 0.515625 -2.96875 0.6875 -2.96875 0.8125 -2.96875 Z M 6.296875 -1.140625 C 6.4375 -1.140625 6.640625 -1.140625 6.640625 -1.328125 C 6.640625 -1.515625 6.46875 -1.515625 6.34375 -1.515625 L 0.8125 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.296875 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-6\">\n<path d=\"M 3.046875 2.125 C 3.046875 2.09375 3.03125 2.0625 2.96875 2 C 1.8125 0.9375 1.46875 -0.671875 1.46875 -2.234375 C 1.46875 -3.625 1.734375 -5.3125 3 -6.515625 C 3.03125 -6.546875 3.046875 -6.578125 3.046875 -6.609375 C 3.046875 -6.671875 3.015625 -6.71875 2.953125 -6.71875 C 2.84375 -6.71875 2.03125 -6.0625 1.546875 -5.09375 C 1.125 -4.234375 0.90625 -3.3125 0.90625 -2.25 C 0.90625 -1.609375 0.984375 -0.578125 1.484375 0.46875 C 2 1.578125 2.84375 2.234375 2.953125 2.234375 C 3.015625 2.234375 3.046875 2.1875 3.046875 2.125 Z M 3.046875 2.125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-7\">\n<path d=\"M 2.671875 -2.25 C 2.671875 -2.984375 2.5625 -3.96875 2.09375 -4.953125 C 1.5625 -6.0625 0.734375 -6.71875 0.625 -6.71875 C 0.53125 -6.71875 0.515625 -6.640625 0.515625 -6.609375 C 0.515625 -6.578125 0.53125 -6.546875 0.59375 -6.484375 C 1.125 -6.015625 2.109375 -4.796875 2.109375 -2.25 C 2.109375 -0.96875 1.875 0.8125 0.578125 2.015625 C 0.5625 2.046875 0.515625 2.09375 0.515625 2.125 C 0.515625 2.15625 0.53125 2.234375 0.625 2.234375 C 0.734375 2.234375 1.546875 1.578125 2.015625 0.609375 C 2.453125 -0.25 2.671875 -1.171875 2.671875 -2.25 Z M 2.671875 -2.25 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.5 -3.453125 C 4.5 -3.484375 4.515625 -3.546875 4.515625 -3.59375 C 4.515625 -3.71875 4.4375 -3.859375 4.25 -3.859375 C 4.125 -3.859375 3.96875 -3.78125 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160.118823, 157.769809)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"163.832876\" y=\"165.571086\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000811118 -4.535457 L -0.000811118 142.469307 \" transform=\"matrix(0.999011, 0, 0, -0.999011, 17.590654, 157.769809)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072909 2.389893 C -1.693628 0.95488 -0.849043 0.278429 -0.000547115 0.000811118 C -0.849043 -0.280717 -1.693628 -0.957168 -2.072909 -2.392181 \" transform=\"matrix(0, -0.999011, -0.999011, 0, 17.590654, 15.241641)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"8.838319\" y=\"9.592504\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.944504\" y=\"171.136576\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"60.599076\" y=\"171.136576\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"83.253648\" y=\"171.136576\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"105.908221\" y=\"171.136576\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"128.563792\" y=\"171.136576\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.393729\" y=\"138.00138\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"5.393729\" y=\"115.345809\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"5.393729\" y=\"92.691237\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"5.393729\" y=\"70.036664\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"5.393729\" y=\"47.382092\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000811118 45.353727 L 136.063445 113.385856 \" transform=\"matrix(0.999011, 0, 0, -0.999011, 17.590654, 157.769809)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"114.852366\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"122.265027\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"131.982407\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"137.426018\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"141.005475\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-7\" x=\"146.224308\" y=\"38.540845\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000811118 0.000278476 L 136.063445 136.064535 \" transform=\"matrix(0.999011, 0, 0, -0.999011, 17.590654, 157.769809)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"157.235407\" y=\"29.412882\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"164.648069\" y=\"29.412882\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"174.365449\" y=\"29.412882\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 11.338529 0.000278476 L 11.338529 51.023397 L 51.026218 51.023397 L 51.026218 70.867242 L 70.866152 70.867242 L 70.866152 80.775479 L 80.778299 80.775479 L 80.778299 85.745237 L 85.744148 85.745237 L 85.744148 88.239892 L 88.238803 88.239892 \" transform=\"matrix(0.999011, 0, 0, -0.999011, 17.590654, 157.769809)\"/>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"24.196115\" y=\"175.337418\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"29.49387\" y=\"176.332433\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$(u_n)$ est croissante et converge vers $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'escalier monte et ses marches rapetissent\nvers le point d'intersection des deux droites, d'abscisse $4$."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ est décroissante et converge vers $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de variation inversé : les termes successifs, lus sur\nl'axe des abscisses, augmentent."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ est croissante et tend vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'escalier reste bloqué sous le point d'intersection des deux\ndroites : il ne s'échappe pas."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ converge vers $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$2$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $y = f(x)$, pas\nl'abscisse du point d'intersection."
        }
      ],
      "explanation": "On reporte chaque terme sur l'axe des abscisses grâce à la droite\n$y = x$. Les termes se rapprochent de l'abscisse du point où la\ncourbe de $f$ coupe la bissectrice : c'est la limite conjecturée,\nsolution de $f(\\ell) = \\ell$."
    }
  ]
}