{
  "chapter": {
    "id": "arithmetique",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Arithmétique",
    "title": "Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers",
    "description": "Divisibilité dans $\\mathbb{Z}$, division euclidienne,\ncongruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et\nalgorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres\npremiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème\nde Fermat.",
    "parties": [
      {
        "id": "divisibilite",
        "title": "Divisibilité et division euclidienne"
      },
      {
        "id": "congruences",
        "title": "Congruences"
      },
      {
        "id": "pgcd",
        "title": "PGCD, Bézout et Gauss"
      },
      {
        "id": "premiers",
        "title": "Nombres premiers"
      },
      {
        "id": "chiffrement",
        "title": "Chiffrement et codes de contrôle"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "divisibilite"
      ],
      "title": "Divisibilité dans $\\mathbb{Z}$",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \\mid b$) pour deux\nentiers relatifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $b$ est un multiple de $a$. Exemples :\n$7 \\mid 42$ ($42 = 6 \\times 7$), $-3 \\mid 12$, et $5\n\\mid 0$ ($0 = 0 \\times 5$)."
        },
        {
          "text": "Le quotient $\\dfrac{a}{b}$ est un entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction à l'envers : « $a$ divise $b$ » signifie que\n$\\frac{b}{a}$ est entier (quand $a \\neq 0$), pas\n$\\frac{a}{b}$."
        },
        {
          "text": "$|a| \\leq |b|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $4 \\leq 6$ mais $4 \\nmid 6$ ; et $5 \\mid\n0$ alors que $|5| > |0|$. La divisibilité ne se lit pas\nsur une inégalité."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ ont le même signe",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $-3 \\mid 12$ ($12 = (-4)(-3)$). La\ndivisibilité ignore les signes."
        }
      ],
      "explanation": "$a \\mid b \\iff \\exists k \\in \\mathbb{Z},\\ b = ka$.\nPropriétés : transitivité, et surtout : si $a \\mid b$ et\n$a \\mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $ub + vc$ :\nl'outil de base des raisonnements."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "division-euclidienne"
      ],
      "title": "Division euclidienne d'un négatif",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le reste doit vérifier $0 \\leq r < 5$ ;\non descend au multiple de $5$ **inférieur** à $-17$,\nsoit $-20$, et $-17 - (-20) = 3$."
        },
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 5$. On corrige : $-17 = 5(-4) + 3$."
        },
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul faux : $5 \\times (-3) + 2 = -13 \\neq -17$.\nL'égalité doit être exacte **et** le reste dans\n$[0\\ ;\\ 5[$."
        },
        {
          "text": "Impossible : la division euclidienne exige des entiers\npositifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le programme la définit pour tout dividende de\n$\\mathbb{Z}$ (le diviseur restant dans\n$\\mathbb{N}^*$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a = bq + r$ avec $0 \\leq r < b$ : le couple $(q, r)$ est\nunique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :\n$-17 = 5 \\times (-4) + 3$. Le reste est aussi le\nreprésentant de $-17$ modulo $5$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "congruences",
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'une congruence",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Que signifie $a \\equiv b \\pmod n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ divise $a - b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : même reste dans la division par $n$,\nc'est-à-dire différence multiple de $n$. Exemple :\n$23 \\equiv 3 \\pmod 5$ car $5 \\mid 20$."
        },
        {
          "text": "$a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la congruence est une égalité **à un\nmultiple de $n$ près** : $23 \\neq 3$ mais $23 \\equiv 3\n\\pmod 5$."
        },
        {
          "text": "$a$ divise $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est $n$ qui divise la **différence**\n$a - b$, pas $a$ qui divise $b$."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont premiers avec $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $10 \\equiv 4 \\pmod 6$ alors que ni $10$\nni $4$ n'est premier avec $6$."
        }
      ],
      "explanation": "$a \\equiv b \\pmod n \\iff n \\mid (a - b) \\iff$ même reste\nmodulo $n$. C'est une relation d'équivalence, et surtout\nelle **respecte** addition et multiplication : on calcule\n« dans les restes »."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruences",
        "operations"
      ],
      "title": "Compatibilité avec les opérations",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Sachant $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, que vaut $10^{2026}\n\\pmod 9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 1 \\pmod 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :\n$10^{2026} \\equiv 1^{2026} = 1$. C'est le cœur de la\npreuve par neuf et du critère de divisibilité par $9$."
        },
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 2026 \\pmod 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la\ncongruence à la puissance : $1^{2026} = 1$."
        },
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 0 \\pmod 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10^{2026}$ n'est pas multiple de $9$ (ses\nseuls facteurs premiers sont $2$ et $5$)."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calculer $10^{2026}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce\ncalcul : $10 \\equiv 1$ suffit."
        }
      ],
      "explanation": "Si $a \\equiv b \\pmod n$ alors $a + c \\equiv b + c$, $ac\n\\equiv bc$ et $a^k \\equiv b^k \\pmod n$. Conséquence : un\nentier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pgcd",
        "euclide"
      ],
      "title": "Algorithme d'Euclide",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "On calcule $\\text{PGCD}(252\\ ;\\ 105)$ par l'algorithme\nd'Euclide : $252 = 105 \\times 2 + 42$, puis $105 = 42 \\times\n2 + 21$, puis $42 = 21 \\times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?",
      "options": [
        {
          "text": "$21$ : le dernier reste non nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'algorithme repose sur\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = \\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$ ; le\ndernier reste non nul est le PGCD."
        },
        {
          "text": "$42$ : le premier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $42$ ne divise pas $105$ : on continue tant que\nle reste n'est pas nul ; c'est le **dernier** reste non\nnul qui gagne."
        },
        {
          "text": "$0$ : le dernier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $0$ final signale l'arrêt ; le PGCD est le\nreste **précédent** ($21$)."
        },
        {
          "text": "$2$ : le quotient répété",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls\nles restes comptent."
        }
      ],
      "explanation": "Euclide : on remplace $(a\\ ;\\ b)$ par $(b\\ ;\\ r)$ jusqu'au\nreste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :\n$252 = 21 \\times 12$, $105 = 21 \\times 5$, et $12$, $5$\npremiers entre eux."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bezout"
      ],
      "title": "Théorème de Bézout",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\text{PGCD}(a\\,;\\,b) = 1 \\iff \\exists\\, u, v \\in\n\\mathbb{Z},\\ au + bv = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et\nseulement s'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que\n$au + bv = 1$. Le sens « il existe $u, v$ » se lit :\ntout diviseur commun divise $au + bv = 1$, donc vaut\n$\\pm 1$."
        },
        {
          "text": "Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels\nque $au + bv = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux sans hypothèse : $6u + 4v$ est toujours pair, donc\njamais égal à $1$. Il faut $a$ et $b$ **premiers entre\neux**."
        },
        {
          "text": "Si $a \\mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \\mid c$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le théorème de **Gauss** : conséquence de Bézout,\nmais énoncé distinct."
        },
        {
          "text": "Tout entier $\\geq 2$ se décompose en produit de facteurs\npremiers",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le théorème de décomposition (existence et\nunicité), pas Bézout."
        }
      ],
      "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff \\exists\\, u, v \\in\n\\mathbb{Z},\\ au + bv = 1$. Les coefficients $u$, $v$ se\ncalculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide\nétendu). Plus généralement, le PGCD $d$ s'écrit toujours\n$d = au + bv$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gauss"
      ],
      "title": "Théorème de Gauss",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "On sait que $7 \\mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7 \\mid n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème de Gauss, $7$ divise le produit\n$3n$ et est premier avec le facteur $3$, donc divise\nl'autre facteur."
        },
        {
          "text": "$7 \\mid 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $3 < 7$ et $3 \\neq 0$. Gauss oriente la\ndivisibilité vers le facteur **non** premier avec rien…\nc'est $n$ qui hérite."
        },
        {
          "text": "$n = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : $n$ est **multiple** de $7$ ($0$, $7$,\n$14$, $-7$…), pas forcément $7$."
        },
        {
          "text": "Rien, il faudrait connaître $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est exactement la situation du théorème de\nGauss : conclusion garantie sans connaître $n$."
        }
      ],
      "explanation": "Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si $a \\mid\nbc$ et $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1$, alors $a \\mid c$.\nL'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : $6 \\mid 4\n\\times 3$ sans diviser ni $4$ ni $3$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "diophantienne"
      ],
      "title": "Équation diophantienne",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière\n$(x_0\\ ;\\ y_0) = (2\\ ;\\ -1)$. Quelles sont toutes les\nsolutions entières ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par différence, $3(x - 2) = -5(y + 1)$ ;\nGauss ($3$ premier avec $5$) force $5 \\mid x - 2$, d'où\nla forme annoncée. Contrôle : $3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) =\n1$."
        },
        {
          "text": "$(2\\ ;\\ -1)$ est la seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $(7\\ ;\\ -4)$ marche aussi ($21 - 20 = 1$) :\nune droite entière de solutions, indexée par $k$."
        },
        {
          "text": "$x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients croisés : c'est $5$ (coefficient de $y$)\nqui module $x$, et $3$ qui module $y$. Contrôle avec\n$k = 1$ : $3 \\times 5 + 5 \\times (-6) = -15 \\neq 1$."
        },
        {
          "text": "Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\text{PGCD}(3\\ ;\\ 5) = 1$ divise $1$ :\nBézout garantit des solutions."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode complète : solution particulière, puis soustraction\net théorème de Gauss pour la forme générale $x = x_0 + 5k$,\n$y = y_0 - 3k$. Résoudre $ax + by = c$ exige\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) \\mid c$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "L'ensemble des nombres premiers",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est infini (démonstration d'Euclide)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $p_1, \\dots, p_n$ étaient les seuls\npremiers, $N = p_1 p_2 \\cdots p_n + 1$ n'en serait\ndivisible par aucun : contradiction avec l'existence\nd'un diviseur premier."
        },
        {
          "text": "Il est fini : le plus grand premier est connu",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les\nplus grands premiers **connus**, pas les plus grands\nexistants : l'ensemble est infini."
        },
        {
          "text": "Tous les nombres premiers sont impairs",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de $2$ : le seul premier pair, mais premier quand\nmême."
        },
        {
          "text": "Un produit de deux premiers est premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Contraire de la définition : $3 \\times 5 = 15$ a quatre\ndiviseurs : composé."
        }
      ],
      "explanation": "L'infinité des premiers est une démonstration au programme.\nArgument clé : tout entier $\\geq 2$ admet un diviseur\npremier, et $N = p_1\\cdots p_n + 1$ échappe à la liste\n(reste $1$ dans chaque division)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition"
      ],
      "title": "Décomposition en facteurs premiers",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$360 = 2^3 \\times 3^2 \\times 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $360 = 8 \\times 45 = 8 \\times 9 \\times\n5$. La décomposition existe et est **unique** (à l'ordre\nprès) : c'est le théorème fondamental."
        },
        {
          "text": "$360 = 2^2 \\times 3^2 \\times 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : le produit vaut bien $360$, mais $10 = 2\n\\times 5$ n'est pas premier : la décomposition doit\naller jusqu'au bout."
        },
        {
          "text": "$360 = 2^3 \\times 45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inachevé : $45 = 3^2 \\times 5$ est composé. On\nfactorise jusqu'à n'avoir que des premiers."
        },
        {
          "text": "$360 = 6 \\times 60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simple produit : ni $6$ ni $60$ n'est premier. La\ndécomposition canonique : $2^3 \\times 3^2 \\times 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Existence et unicité de la décomposition : au programme\n(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture\ndes diviseurs ($360$ en a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$), PGCD par\nexposants minimaux."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "fermat"
      ],
      "title": "Petit théorème de Fermat",
      "partie": "premiers",
      "statement": "$p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.\nQue donne le petit théorème de Fermat ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3^6 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$ : l'exposant\nest $p - 1 = 6$. Vérification : $3^6 = 729 = 104 \\times\n7 + 1$."
        },
        {
          "text": "$3^7 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant faux : la forme en $a^p$ est $3^7 \\equiv 3\n\\pmod 7$ (congru à $a$, pas à $1$)."
        },
        {
          "text": "$3^6 \\equiv 0 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^6$ n'a que des facteurs $3$ : jamais\ndivisible par $7$. Fermat donne le reste $1$."
        },
        {
          "text": "$6^3 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base et exposant échangés : c'est $a^{p-1} = 3^6$.\n(D'ailleurs $6^3 = 216 \\equiv 6 \\pmod 7$.)"
        }
      ],
      "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ premier et $p \\nmid a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$ (variante : $a^p \\equiv a$\npour tout $a$). Usage : réduire les exposants géants modulo\n$p - 1$, tests de primalité, RSA."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inverse-modulaire"
      ],
      "title": "Inverse modulo $n$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier\n$x \\in \\{1, \\dots, 6\\}$ tel que $3x \\equiv 1 \\pmod 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 = 15 = 2 \\times 7 + 1\n\\equiv 1$. L'inverse existe car $3$ et $7$ sont premiers\nentre eux (Bézout)."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3 \\times 4 = 12 \\equiv 5 \\pmod 7$ : pas $1$. On teste\nou on remonte Bézout : $x = 5$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : l'inverse modulaire est un **entier** : pas\nde fractions dans $\\mathbb{Z}/n$. Ici $5$ joue le rôle\nde $\\frac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "Il n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\text{PGCD}(3\\ ;\\ 7) = 1$ garantit l'inverse\n(Bézout : $3 \\times 5 + 7 \\times (-2) = 1$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a$ inversible modulo $n \\iff \\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ ;\nl'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :\nrésoudre $3x \\equiv 4 \\pmod 7$ : multiplier par $5$ :\n$x \\equiv 20 \\equiv 6$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "critere-divisibilite"
      ],
      "title": "Divisibilité par $3$",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $7 + 4 + 1 = 12$ est divisible par $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : critère fondé sur $10 \\equiv 1 \\pmod 3$\n: tout nombre est congru à la somme de ses chiffres\nmodulo $3$. ($741 = 3 \\times 247$.)"
        },
        {
          "text": "Non, car un multiple de $3$ est toujours pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité teste la divisibilité par $2$, pas\npar $3$ : $9$, $15$, $741$… sont impairs ET divisibles\npar $3$."
        },
        {
          "text": "Non, car il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux critère : le dernier chiffre teste $2$, $5$ ou\n$10$ : pour $3$, c'est la **somme** des chiffres qui\ndécide."
        },
        {
          "text": "Impossible à savoir sans poser la division",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en\ndeux secondes : c'est toute la force des congruences."
        }
      ],
      "explanation": "$10 \\equiv 1 \\pmod 3$ (et $\\pmod 9$) : un entier est congru\nà la somme de ses chiffres modulo $3$ et $9$. Les critères\nde divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "division-euclidienne-calcul"
      ],
      "title": "Effectuer une division euclidienne",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $47$ par $6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quotient $7$, reste $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $47 = 6 \\times 7 + 5$, car $6 \\times 7 =\n42 \\leq 47 < 48 = 6 \\times 8$, et $47 - 42 = 5$, bien\ndans $[0\\ ;\\ 6[$."
        },
        {
          "text": "Quotient $8$, reste $-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 6$ : on prend le multiple de $6$ juste en dessous."
        },
        {
          "text": "Quotient $7$, reste $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste trop grand : $r = 6$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur\nau diviseur."
        },
        {
          "text": "Quotient $5$, reste $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : $47 = 6q + r$ avec\n$q = 7$ (combien de fois $6$) et $r = 5$ (ce qui\ndéborde)."
        }
      ],
      "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple unique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $47$ par $6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Quotient $7$, reste $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $47 = 6 \\times 7 + 5$, car $6 \\times 7 =\n42 \\leq 47 < 48 = 6 \\times 8$, et $47 - 42 = 5$, bien\ndans $[0\\ ;\\ 6[$."
            },
            {
              "text": "Quotient $8$, reste $-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 6$ : on prend le multiple de $6$ juste en dessous."
            },
            {
              "text": "Quotient $7$, reste $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste trop grand : $r = 6$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur\nau diviseur."
            },
            {
              "text": "Quotient $5$, reste $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $47 = 6q + r$ avec\n$q = 7$ (combien de fois $6$) et $r = 5$ (ce qui\ndéborde)."
            }
          ],
          "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple unique."
        },
        {
          "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $59$ par $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Quotient $7$, reste $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $59 = 8 \\times 7 + 3$, car $8 \\times 7 =\n56 \\leq 59 < 64 = 8 \\times 8$, et $59 - 56 = 3$, bien\ndans $[0\\ ;\\ 8[$."
            },
            {
              "text": "Quotient $8$, reste $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 8$ : on prend le multiple de $8$ juste en dessous."
            },
            {
              "text": "Quotient $7$, reste $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste trop grand : $r = 8$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur\nau diviseur."
            },
            {
              "text": "Quotient $3$, reste $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $59 = 8q + r$ avec\n$q = 7$ (combien de fois $8$) et $r = 3$ (ce qui\ndéborde)."
            }
          ],
          "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple unique."
        },
        {
          "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $83$ par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Quotient $9$, reste $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $83 = 9 \\times 9 + 2$, car $9 \\times 9 =\n81 \\leq 83 < 90 = 9 \\times 10$, et $83 - 81 = 2$, bien\ndans $[0\\ ;\\ 9[$."
            },
            {
              "text": "Quotient $10$, reste $-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 9$ : on prend le multiple de $9$ juste en dessous."
            },
            {
              "text": "Quotient $9$, reste $9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste trop grand : $r = 9$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur\nau diviseur."
            },
            {
              "text": "Quotient $2$, reste $9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $83 = 9q + r$ avec\n$q = 9$ (combien de fois $9$) et $r = 2$ (ce qui\ndéborde)."
            }
          ],
          "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple unique."
        },
        {
          "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $100$ par $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Quotient $14$, reste $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 = 7 \\times 14 + 2$, car $7 \\times 14 =\n98 \\leq 100 < 105 = 7 \\times 15$, et $100 - 98 = 2$, bien\ndans $[0\\ ;\\ 7[$."
            },
            {
              "text": "Quotient $15$, reste $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 7$ : on prend le multiple de $7$ juste en dessous."
            },
            {
              "text": "Quotient $14$, reste $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste trop grand : $r = 7$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur\nau diviseur."
            },
            {
              "text": "Quotient $2$, reste $14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $100 = 7q + r$ avec\n$q = 14$ (combien de fois $7$) et $r = 2$ (ce qui\ndéborde)."
            }
          ],
          "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple unique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "entiers-consecutifs"
      ],
      "title": "Deux entiers consécutifs",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ils sont toujours premiers entre eux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur\ndifférence $(n+1) - n = 1$ : le PGCD vaut $1$, sans\nexception."
        },
        {
          "text": "Ils ont toujours un facteur commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : leur seul diviseur commun est $1$ : deux\nvoisins n'ont rien à partager (l'argument de la\ndifférence le prouve)."
        },
        {
          "text": "L'un des deux est toujours premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $8$ et $9$ sont tous deux composés : « premiers\nentre eux » ne dit rien de la primalité individuelle."
        },
        {
          "text": "Leur PGCD est $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n \\mid n$ mais $n \\nmid n + 1$ (dès $n \\geq\n2$) : le PGCD tombe à $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Argument roi : tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise\n$a - b$. Pour des consécutifs, la différence vaut $1$ : PGCD\n$= 1$. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations\n(dont l'infinité des premiers)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dernier-chiffre"
      ],
      "title": "Dernier chiffre et modulo $10$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo\n$10$ : $7^2 = 49 \\equiv 9$, puis $7^4 \\equiv 9^2 = 81\n\\equiv 1 \\pmod{10}$. On réduit à chaque étape ($49 \\to\n9$, $81 \\to 1$) au lieu de calculer $2401$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt à mi-course : $9$ est le dernier chiffre de\n$7^2$ : encore une élévation au carré : $9^2 \\equiv 1$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les derniers chiffres de $7^n$ tournent :\n$7, 9, 3, 1, 7, \\dots$ : au rang $4$, le cycle retombe\nsur $1$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est l'exposant, pas le reste : le calcul\nmodulaire donne $1$ ($7^4 = 2401$)."
        }
      ],
      "explanation": "Le dernier chiffre est le reste modulo $10$ : réduire À\nCHAQUE étape garde les nombres minuscules ($7^2 \\equiv 9$,\npuis $7^4 \\equiv 81 \\equiv 1$). Les puissances modulo $10$\ntournent en cycles courts ($7$ : période $4$) : les repérer\néconomise tout."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombre-diviseurs"
      ],
      "title": "Compter les diviseurs",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Sachant $360 = 2^3 \\times 3^2 \\times 5$, combien $360$\na-t-il de diviseurs positifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour\nchaque facteur premier : $4$ choix pour le $2$ ($2^0$ à\n$2^3$), $3$ pour le $3$, $2$ pour le $5$ : produit $24$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2 \\times 1 = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le « $+1$ » oublié : l'exposant $0$ est un choix\nlégitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant\noffre $e + 1$ possibilités."
        },
        {
          "text": "$3 + 2 + 1 = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de multiplication : les choix\nd'exposants sont **indépendants** : principe\nmultiplicatif."
        },
        {
          "text": "$360 \\div 2 = 180$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la\ndécomposition : $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de diviseurs de $p_1^{e_1} \\cdots p_k^{e_k}$ :\n$(e_1 + 1)\\cdots(e_k + 1)$ : chaque diviseur est un choix\nd'exposants entre $0$ et $e_i$. La décomposition en facteurs\npremiers révèle TOUTE la structure multiplicative."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pgcd-fraction"
      ],
      "title": "Rendre une fraction irréductible",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Sachant $\\text{PGCD}(252\\ ;\\ 105) = 21$, quelle est la\nforme irréductible de $\\dfrac{252}{105}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{12}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :\n$\\frac{252 \\div 21}{105 \\div 21} = \\frac{12}{5}$, et\n$12$, $5$ sont premiers entre eux : irréductible\ngaranti."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{84}{35}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification partielle : diviser par $3$ seulement\nlaisse le facteur $7$ commun : le PGCD simplifie EN UNE\nFOIS et à fond."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : le numérateur $252$ donne $12$, le\ndénominateur $105$ donne $5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{21}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $21$ est le PGCD (le diviseur commun), pas le\nnumérateur simplifié ($252 \\div 21 = 12$)."
        }
      ],
      "explanation": "Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA\nforme irréductible en une étape : c'est l'application\nquotidienne de l'algorithme d'Euclide."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "test-primalite"
      ],
      "title": "Tester la primalité de $97$",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs\nsuffit-il de tester ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les quatre nombres premiers $2$, $3$, $5$ et $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un composé $n = ab$ a toujours un\nfacteur $\\leq \\sqrt{n}$ ; or $\\sqrt{97} \\approx 9{,}8$,\ndonc il suffit de tester les nombres premiers qui ne\ndépassent pas $9$ : quatre divisions, aucune ne tombe\njuste, $97$ est premier."
        },
        {
          "text": "Tous les entiers compris entre $2$ et $96$",
          "correct": false,
          "feedback": "Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous $\\sqrt{97}$,\naucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :\n$9{,}8$ est la frontière utile."
        },
        {
          "text": "Seulement les deux nombres premiers $2$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : $35 = 5 \\times 7$ échappe à $2$ et $3$ :\nil faut monter jusqu'à $\\sqrt{n}$ ($5$ et $7$ compris)."
        },
        {
          "text": "Uniquement les nombres pairs inférieurs à $97$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de\n$2$ : ce sont les premiers IMPAIRS ($3, 5, 7$) qui\nrestent à examiner. Ainsi $91 = 7 \\times 13$ n'a aucun\ndiviseur pair et n'est pourtant pas premier."
        }
      ],
      "explanation": "Test de primalité : diviser par les premiers $\\leq\n\\sqrt{n}$ : si $n = ab$ avec $a \\leq b$, alors $a \\leq\n\\sqrt{n}$. Pour $97$ : quatre tests, verdict premier : la\nracine carrée divise le travail par dix."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruence-application"
      ],
      "title": "Le calendrier modulo $7$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?",
      "options": [
        {
          "text": "Mercredi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 = 14 \\times 7 + 2$, soit $100\n\\equiv 2 \\pmod 7$ : les $14$ semaines pleines ne\ncomptent pas, seuls les $2$ jours de reste décalent,\ndeux jours après lundi."
        },
        {
          "text": "Lundi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100$ est un compte « rond » en base $10$, ce\nqui ne dit rien modulo $7$ : seul le reste de $100$ par\n$7$ (qui vaut $2$) compte."
        },
        {
          "text": "Vendredi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de reste : $100 = 98 + 2$ et $98 = 14 \\times 7$ :\nreste $2$, pas $4$ : lundi $+ 2 =$ mercredi."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calendrier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique\nmodulo $7$ : le reste répond sans calendrier."
        }
      ],
      "explanation": "Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des\ncongruences : seul le reste importe. $100 \\equiv 2\n\\pmod 7$ : le décalage net de $100$ jours est de $2$ jours."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-modulo"
      ],
      "title": "Reste d'une grande puissance",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2^{3} \\equiv 1 \\pmod{7}$, donc les restes des puissances\nsuccessives forment le cycle $2, 4, 1$, de longueur $3$ ; comme\n$100 = 3 \\times 33 + 1$, on a $2^{100} \\equiv 2^{1} \\equiv 2$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{100}$ n'a que des facteurs $2$ : il n'est\njamais divisible par $7$, le reste ne peut pas être nul."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $4$ correspond aux exposants\ncongrus à $2$ modulo $3$ ; or $100 \\equiv 1 \\pmod{3}$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $1$ correspond aux exposants\ncongrus à $0$ modulo $3$ ; or $100 \\equiv 1 \\pmod{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),\npuis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de\nFermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise\n$n - 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{3} \\equiv 1 \\pmod{7}$, donc les restes des puissances\nsuccessives forment le cycle $2, 4, 1$, de longueur $3$ ; comme\n$100 = 3 \\times 33 + 1$, on a $2^{100} \\equiv 2^{1} \\equiv 2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{100}$ n'a que des facteurs $2$ : il n'est\njamais divisible par $7$, le reste ne peut pas être nul."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $4$ correspond aux exposants\ncongrus à $2$ modulo $3$ ; or $100 \\equiv 1 \\pmod{3}$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $1$ correspond aux exposants\ncongrus à $0$ modulo $3$ ; or $100 \\equiv 1 \\pmod{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),\npuis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de\nFermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise\n$n - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $2^{51}$ dans la division par $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{3} \\equiv 1 \\pmod{7}$, donc les restes des puissances\nsuccessives forment le cycle $2, 4, 1$, de longueur $3$ ; comme\n$51 = 3 \\times 17 + 0$, on a $2^{51} \\equiv 2^{0} \\equiv 1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{51}$ n'a que des facteurs $2$ : il n'est\njamais divisible par $7$, le reste ne peut pas être nul."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $2$ correspond aux exposants\ncongrus à $1$ modulo $3$ ; or $51 \\equiv 0 \\pmod{3}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $4$ correspond aux exposants\ncongrus à $2$ modulo $3$ ; or $51 \\equiv 0 \\pmod{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),\npuis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de\nFermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise\n$n - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $2^{2026}$ dans la division par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{4} \\equiv 1 \\pmod{5}$, donc les restes des puissances\nsuccessives forment le cycle $2, 4, 3, 1$, de longueur $4$ ; comme\n$2026 = 4 \\times 506 + 2$, on a $2^{2026} \\equiv 2^{2} \\equiv 4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{2026}$ n'a que des facteurs $2$ : il n'est\njamais divisible par $5$, le reste ne peut pas être nul."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $2$ correspond aux exposants\ncongrus à $1$ modulo $4$ ; or $2026 \\equiv 2 \\pmod{4}$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $3$ correspond aux exposants\ncongrus à $3$ modulo $4$ ; or $2026 \\equiv 2 \\pmod{4}$."
            }
          ],
          "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),\npuis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de\nFermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise\n$n - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $3^{45}$ dans la division par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3^{4} \\equiv 1 \\pmod{5}$, donc les restes des puissances\nsuccessives forment le cycle $3, 4, 2, 1$, de longueur $4$ ; comme\n$45 = 4 \\times 11 + 1$, on a $3^{45} \\equiv 3^{1} \\equiv 3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^{45}$ n'a que des facteurs $3$ : il n'est\njamais divisible par $5$, le reste ne peut pas être nul."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $4$ correspond aux exposants\ncongrus à $2$ modulo $4$ ; or $45 \\equiv 1 \\pmod{4}$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $2$ correspond aux exposants\ncongrus à $3$ modulo $4$ ; or $45 \\equiv 1 \\pmod{4}$."
            }
          ],
          "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),\npuis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de\nFermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise\n$n - 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-congruence"
      ],
      "title": "Résoudre une congruence $ax \\equiv b \\pmod n$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $5x \\equiv 3\n\\pmod{7}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\equiv 2 \\pmod{7}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $3$, inverse de $5$\nmodulo $7$ ($5 \\times 3 = 15 \\equiv 1$) ; alors\n$x \\equiv 3 \\times 3 = 9 \\equiv 2$. Contrôle : $5 \\times 2 = 10 \\equiv 3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait\nen multipliant par l'inverse modulaire de $5$ (qui est $3$)."
        },
        {
          "text": "Aucune solution, car $5$ ne divise pas $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(5\\ ;\\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $7$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $5 \\times 3 \\equiv 1 \\not\\equiv 3$ : c'est l'inverse de\n$5$, pas la solution : il reste à multiplier par $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nl'algorithme d'Euclide étendu (grands modules).",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $5x \\equiv 3\n\\pmod{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 2 \\pmod{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $3$, inverse de $5$\nmodulo $7$ ($5 \\times 3 = 15 \\equiv 1$) ; alors\n$x \\equiv 3 \\times 3 = 9 \\equiv 2$. Contrôle : $5 \\times 2 = 10 \\equiv 3$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait\nen multipliant par l'inverse modulaire de $5$ (qui est $3$)."
            },
            {
              "text": "Aucune solution, car $5$ ne divise pas $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(5\\ ;\\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $7$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $5 \\times 3 \\equiv 1 \\not\\equiv 3$ : c'est l'inverse de\n$5$, pas la solution : il reste à multiplier par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nl'algorithme d'Euclide étendu (grands modules)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $3x \\equiv 4\n\\pmod{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 6 \\pmod{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, inverse de $3$\nmodulo $7$ ($3 \\times 5 = 15 \\equiv 1$) ; alors\n$x \\equiv 5 \\times 4 = 20 \\equiv 6$. Contrôle : $3 \\times 6 = 18 \\equiv 4$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait\nen multipliant par l'inverse modulaire de $3$ (qui est $5$)."
            },
            {
              "text": "Aucune solution, car $3$ ne divise pas $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(3\\ ;\\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $7$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 5 \\pmod{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $3 \\times 5 \\equiv 1 \\not\\equiv 4$ : c'est l'inverse de\n$3$, pas la solution : il reste à multiplier par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nl'algorithme d'Euclide étendu (grands modules)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $4x \\equiv 5\n\\pmod{9}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 8 \\pmod{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $7$, inverse de $4$\nmodulo $9$ ($4 \\times 7 = 28 \\equiv 1$) ; alors\n$x \\equiv 7 \\times 5 = 35 \\equiv 8$. Contrôle : $4 \\times 8 = 32 \\equiv 5$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait\nen multipliant par l'inverse modulaire de $4$ (qui est $7$)."
            },
            {
              "text": "Aucune solution, car $4$ ne divise pas $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(4\\ ;\\ 9) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $9$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 7 \\pmod{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $4 \\times 7 \\equiv 1 \\not\\equiv 5$ : c'est l'inverse de\n$4$, pas la solution : il reste à multiplier par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nl'algorithme d'Euclide étendu (grands modules)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $7x \\equiv 2\n\\pmod{11}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 5 \\pmod{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $8$, inverse de $7$\nmodulo $11$ ($7 \\times 8 = 56 \\equiv 1$) ; alors\n$x \\equiv 8 \\times 2 = 16 \\equiv 5$. Contrôle : $7 \\times 5 = 35 \\equiv 2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait\nen multipliant par l'inverse modulaire de $7$ (qui est $8$)."
            },
            {
              "text": "Aucune solution, car $7$ ne divise pas $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(7\\ ;\\ 11) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $11$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 8 \\pmod{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $7 \\times 8 \\equiv 1 \\not\\equiv 2$ : c'est l'inverse de\n$7$, pas la solution : il reste à multiplier par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nl'algorithme d'Euclide étendu (grands modules)."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraposee-parite"
      ],
      "title": "$n^2$ pair implique $n$ pair",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors\n$n$ est pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par contraposée : $n$ impair $\\Rightarrow$ $n^2$ impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne\n$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair. La contraposée se\ncalcule en une ligne, et elle est logiquement\nÉQUIVALENTE à l'énoncé."
        },
        {
          "text": "En vérifiant pour $n = 2$, $4$, $6$ et $8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous\nles entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !)."
        },
        {
          "text": "C'est faux, $n^2$ pair n'impose rien à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,\ndans la preuve de l'irrationalité de $\\sqrt{2}$) : la\ncontraposée le démontre."
        },
        {
          "text": "En divisant $n^2$ par $n$ pour retrouver $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage\npar l'écriture $n = 2k + 1$ (contraposée) est le chemin\nrigoureux."
        }
      ],
      "explanation": "Contraposée : « $A \\Rightarrow B$ » équivaut à « non $B$\n$\\Rightarrow$ non $A$ » : quand l'hypothèse directe est\ndifficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se\ncalcule ($2k+1$), la parité de $n^2$ ne se remonte pas\ndirectement."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "principe-euclide"
      ],
      "title": "Pourquoi Euclide fonctionne",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = \\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$ où $r$ est le\nreste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que $a = bq + r$ conserve les diviseurs communs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs communs de $(a\\ ;\\ b)$ et\nde $(b\\ ;\\ r)$ sont exactement les mêmes : $d$ divise\n$a$ et $b$ $\\Rightarrow$ il divise $r = a - bq$ ; et $d$\ndivise $b$ et $r$ $\\Rightarrow$ il divise $a = bq + r$ :\nmême PGCD."
        },
        {
          "text": "Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la raison de la **terminaison** (les restes\ndécroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD\nvient de $a = bq + r$."
        },
        {
          "text": "Parce que le PGCD est toujours le dernier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,\npas sa justification."
        },
        {
          "text": "C'est une convention posée sans démonstration",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par\nla conservation des diviseurs communs à travers $a = bq\n+ r$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux ingrédients : correction ($\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) =\n\\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$, par conservation des diviseurs\ncommuns) et terminaison (les restes décroissent strictement\nvers $0$). Le modèle de toute preuve d'algorithme."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruences",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer une congruence",
      "partie": "congruences",
      "statement": "À quoi $37$ est-il congru modulo $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $37 = 5 \\times 7 + 2$, le reste vaut $2$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient recopié : le reste d'une division par $5$ est toujours\ninférieur à $5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : $5 \\times 7$ vaut $35$, il reste donc $2$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un reste nul signifierait que $5$ divise $37$, ce qui n'est pas le\ncas."
        }
      ],
      "explanation": "Deux entiers sont congrus modulo $n$ lorsqu'ils ont le même reste dans la\ndivision euclidienne par $n$. Le reste choisi est celui compris entre $0$\net $n-1$."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bezout",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Une identité de Bézout",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Quelle condition garantit l'existence d'entiers $u$ et $v$ tels que\n$au + bv = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le PGCD de $a$ et $b$ vaut $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est exactement le théorème de Bézout, pour des\nentiers premiers entre eux."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont premiers",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition trop forte : $4$ et $9$ ne sont pas premiers mais sont\npremiers entre eux."
        },
        {
          "text": "$a$ divise $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition donne au contraire un PGCD égal à $a$, donc supérieur à\n$1$ en général."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont de signes contraires",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'intervient pas : la condition porte sur le PGCD."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème de Bézout affirme que $au + bv = 1$ a des solutions entières si\net seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide\nétendu fournit un couple."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "congruences",
        "puissances"
      ],
      "title": "Une puissance modulo",
      "partie": "congruences",
      "statement": "À quoi $3^{4}$ est-il congru modulo $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $81 = 5 \\times 16 + 1$, ce que prédit aussi le petit\nthéorème de Fermat."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : $3^4$ vaut $81$, dont le reste modulo $5$ est $1$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base recopiée : c'est $3^1$ qui est congru à $3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un reste nul exigerait que $5$ divise $81$, ce qui est faux."
        }
      ],
      "explanation": "Le petit théorème de Fermat donne $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$ pour $p$\npremier ne divisant pas $a$. Avec $p = 5$, toute puissance quatrième d'un\nentier non multiple de $5$ est congrue à $1$."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "euclide",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Un PGCD par l'algorithme d'Euclide",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Quel est le PGCD de $48$ et $18$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $48 = 18 \\times 2 + 12, 18 = 12 + 6, 12 = 6 \\times 2 + 0$ ; le dernier reste non nul\nest $6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste\nn'est pas nul."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur commun mais pas le plus grand : $6$ divise aussi les deux\nnombres."
        },
        {
          "text": "$144$",
          "correct": false,
          "feedback": "Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce\nqui exclut un PGCD."
        }
      ],
      "explanation": "L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,\njusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le PGCD de $48$ et $18$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $48 = 18 \\times 2 + 12, 18 = 12 + 6, 12 = 6 \\times 2 + 0$ ; le dernier reste non nul\nest $6$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste\nn'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur commun mais pas le plus grand : $6$ divise aussi les deux\nnombres."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce\nqui exclut un PGCD."
            }
          ],
          "explanation": "L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,\njusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD."
        },
        {
          "statement": "Quel est le PGCD de $75$ et $45$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $75 = 45 + 30, 45 = 30 + 15, 30 = 15 \\times 2 + 0$ ; le dernier reste non nul\nest $15$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste\nn'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur commun mais pas le plus grand : $15$ divise aussi les deux\nnombres."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce\nqui exclut un PGCD."
            }
          ],
          "explanation": "L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,\njusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD."
        },
        {
          "statement": "Quel est le PGCD de $91$ et $35$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $91 = 35 \\times 2 + 21, 35 = 21 + 14, 21 = 14 + 7, 14 = 7 \\times 2 + 0$ ; le dernier reste non nul\nest $7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste\nn'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur commun mais pas le plus grand : $7$ divise aussi les deux\nnombres."
            },
            {
              "text": "$455$",
              "correct": false,
              "feedback": "Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce\nqui exclut un PGCD."
            }
          ],
          "explanation": "L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,\njusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD."
        },
        {
          "statement": "Quel est le PGCD de $120$ et $84$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $120 = 84 + 36, 84 = 36 \\times 2 + 12, 36 = 12 \\times 3 + 0$ ; le dernier reste non nul\nest $12$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste\nn'est pas nul."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur commun mais pas le plus grand : $12$ divise aussi les deux\nnombres."
            },
            {
              "text": "$840$",
              "correct": false,
              "feedback": "Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce\nqui exclut un PGCD."
            }
          ],
          "explanation": "L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,\njusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "diophantienne",
        "resolution"
      ],
      "title": "Une équation diophantienne",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "L'équation $6x + 9y = 5$ admet-elle des solutions entières ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, car $3$ divise le membre de gauche",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le membre de gauche est toujours multiple de $3$, alors\nque $5$ ne l'est pas."
        },
        {
          "text": "Oui, une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "L'infinité de solutions apparaît seulement lorsque le PGCD divise le\nsecond membre."
        },
        {
          "text": "Oui, exactement une",
          "correct": false,
          "feedback": "Une équation de ce type n'a jamais exactement une solution entière :\nsoit aucune, soit une infinité."
        },
        {
          "text": "Non, car les coefficients sont positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'intervient pas : $6x + 9y = 3$ a des solutions, avec les\nmêmes coefficients."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $ax + by = c$ admet des solutions entières si et seulement si le\nPGCD de $a$ et $b$ divise $c$. Ici ce PGCD vaut $3$, qui ne divise pas\n$5$."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruences",
        "application"
      ],
      "title": "Un jour de la semaine",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Aujourd'hui est un lundi. Quel jour sera-t-on dans $100$ jours ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un mercredi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 = 7 \\times 14 + 2$, donc deux jours après lundi."
        },
        {
          "text": "Un lundi",
          "correct": false,
          "feedback": "Il faudrait que $100$ soit un multiple de $7$, ce qui n'est pas le\ncas."
        },
        {
          "text": "Un mardi",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : $7 \\times 14$ vaut $98$, il reste donc deux jours et non\nun."
        },
        {
          "text": "Un dimanche",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait le cas pour un reste de $6$, obtenu par exemple après $104$\njours."
        }
      ],
      "explanation": "Les jours de la semaine se comptent modulo $7$. Le reste de la division\neuclidienne du nombre de jours par $7$ donne le décalage à appliquer."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "division-euclidienne",
        "division-euclidienne-calcul"
      ],
      "title": "Retrouver le reste à partir du quotient",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Dans la division euclidienne de $254$ par $7$, le quotient vaut\n$36$. Quel est le reste ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $254 = 7 \\times 36 + r$ donne\n$r = 254 - 7 \\times 36 = 2$, bien compris entre $0$ et\n$7$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à\n$7$, il ne peut donc pas lui être égal."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient recopié : $36$ compte combien de fois $7$ tient\ndans $254$ ; le reste est ce qui dépasse."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour\natteindre $7 \\times 36 + 7$, et non le reste, qui vaut\n$2$."
        }
      ],
      "explanation": "La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit\n$a = bq + r$ et $0 \\leq r < b$, et ce couple est unique.\nLe quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple\nsoustraction.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $254$ par $7$, le quotient vaut\n$36$. Quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $254 = 7 \\times 36 + r$ donne\n$r = 254 - 7 \\times 36 = 2$, bien compris entre $0$ et\n$7$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à\n$7$, il ne peut donc pas lui être égal."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié : $36$ compte combien de fois $7$ tient\ndans $254$ ; le reste est ce qui dépasse."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour\natteindre $7 \\times 36 + 7$, et non le reste, qui vaut\n$2$."
            }
          ],
          "explanation": "La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit\n$a = bq + r$ et $0 \\leq r < b$, et ce couple est unique.\nLe quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple\nsoustraction."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $389$ par $12$, le quotient vaut\n$32$. Quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $389 = 12 \\times 32 + r$ donne\n$r = 389 - 12 \\times 32 = 5$, bien compris entre $0$ et\n$12$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à\n$12$, il ne peut donc pas lui être égal."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié : $32$ compte combien de fois $12$ tient\ndans $389$ ; le reste est ce qui dépasse."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour\natteindre $12 \\times 32 + 12$, et non le reste, qui vaut\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit\n$a = bq + r$ et $0 \\leq r < b$, et ce couple est unique.\nLe quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple\nsoustraction."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $517$ par $9$, le quotient vaut\n$57$. Quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $517 = 9 \\times 57 + r$ donne\n$r = 517 - 9 \\times 57 = 4$, bien compris entre $0$ et\n$9$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à\n$9$, il ne peut donc pas lui être égal."
            },
            {
              "text": "$57$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié : $57$ compte combien de fois $9$ tient\ndans $517$ ; le reste est ce qui dépasse."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour\natteindre $9 \\times 57 + 9$, et non le reste, qui vaut\n$4$."
            }
          ],
          "explanation": "La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit\n$a = bq + r$ et $0 \\leq r < b$, et ce couple est unique.\nLe quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple\nsoustraction."
        },
        {
          "statement": "Dans la division euclidienne de $431$ par $8$, le quotient vaut\n$53$. Quel est le reste ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $431 = 8 \\times 53 + r$ donne\n$r = 431 - 8 \\times 53 = 7$, bien compris entre $0$ et\n$8$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à\n$8$, il ne peut donc pas lui être égal."
            },
            {
              "text": "$53$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient recopié : $53$ compte combien de fois $8$ tient\ndans $431$ ; le reste est ce qui dépasse."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour\natteindre $8 \\times 53 + 8$, et non le reste, qui vaut\n$7$."
            }
          ],
          "explanation": "La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit\n$a = bq + r$ et $0 \\leq r < b$, et ce couple est unique.\nLe quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple\nsoustraction."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "divisibilite",
        "definition"
      ],
      "title": "Diviseur commun et combinaisons",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Un entier $d$ divise à la fois $a$ et $b$. Que divise-t-il\nnécessairement aussi ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute somme $ua + vb$ avec $u$ et $v$ entiers",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $a = da'$ et $b = db'$, alors\n$ua + vb = d(ua' + vb')$. C'est l'outil de base de tous les\nraisonnements de divisibilité."
        },
        {
          "text": "Le quotient de $a$ par $b$, lorsqu'il est entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ divise $8$ et $4$, mais ne divise pas le\nquotient $2$. Ce sont les combinaisons qui héritent de la\ndivisibilité."
        },
        {
          "text": "Tout entier compris entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ divise $6$ et $12$, mais pas $7$. Rien n'oblige\nles entiers intermédiaires à être des multiples de $d$."
        },
        {
          "text": "Le successeur $a + b + 1$ de leur somme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $d$ divise $a + b$, donc il ne divise $a + b + 1$\nque dans le cas particulier $d = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "La définition « $a = kd$ » donne aussitôt : tout diviseur commun\nde $a$ et $b$ divise $ua + vb$ pour tous entiers $u$ et $v$. Cette\npropriété fait fonctionner l'algorithme d'Euclide et le théorème\nde Bézout."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "critere-divisibilite",
        "operations"
      ],
      "title": "Reste modulo $9$ par la somme des chiffres",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Quel est le reste de la division euclidienne de $573$ par $9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, donc $573$ est congru à\nla somme de ses chiffres, qui vaut $15$, dont le\nreste modulo $9$ est $6$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étape non terminée : la somme des chiffres vaut\n$15$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à\n$9$ : on recommence sur $15$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et\n$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est\ntoujours compris entre $0$ et $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Comme $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à\n$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo\n$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le reste de la division euclidienne de $573$ par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, donc $573$ est congru à\nla somme de ses chiffres, qui vaut $15$, dont le\nreste modulo $9$ est $6$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : la somme des chiffres vaut\n$15$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à\n$9$ : on recommence sur $15$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et\n$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est\ntoujours compris entre $0$ et $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à\n$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo\n$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de la division euclidienne de $846$ par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, donc $846$ est congru à\nla somme de ses chiffres, qui vaut $18$, dont le\nreste modulo $9$ est $0$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : la somme des chiffres vaut\n$18$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à\n$9$ : on recommence sur $18$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et\n$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est\ntoujours compris entre $0$ et $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à\n$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo\n$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de la division euclidienne de $291$ par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, donc $291$ est congru à\nla somme de ses chiffres, qui vaut $12$, dont le\nreste modulo $9$ est $3$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : la somme des chiffres vaut\n$12$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à\n$9$ : on recommence sur $12$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et\n$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est\ntoujours compris entre $0$ et $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à\n$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo\n$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de la division euclidienne de $758$ par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, donc $758$ est congru à\nla somme de ses chiffres, qui vaut $20$, dont le\nreste modulo $9$ est $2$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : la somme des chiffres vaut\n$20$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à\n$9$ : on recommence sur $20$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et\n$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est\ntoujours compris entre $0$ et $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Comme $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à\n$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo\n$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombres-premiers",
        "nombre-diviseurs"
      ],
      "title": "Pourquoi $1$ n'est pas premier",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pourquoi le nombre $1$ n'est-il pas un nombre premier ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il n'a qu'un seul diviseur positif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un nombre premier admet exactement deux\ndiviseurs positifs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'en a\nqu'un, il est donc exclu."
        },
        {
          "text": "C'est une simple convention sans raison",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : l'exclusion n'est pas arbitraire, elle rend unique\nla décomposition en facteurs premiers, qu'on pourrait sinon\nallonger de facteurs $1$ à volonté."
        },
        {
          "text": "Il est le diviseur de tous les entiers",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai mais hors sujet : $1$ divise effectivement tout entier,\nce qui ne dit rien sur son propre nombre de diviseurs."
        },
        {
          "text": "Son seul diviseur premier est $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ n'étant pas premier, il n'a aucun diviseur\npremier. Le critère porte sur le nombre de diviseurs\npositifs."
        }
      ],
      "explanation": "Un entier $p \\geq 2$ est premier lorsqu'il admet exactement deux\ndiviseurs positifs, $1$ et $p$. Le nombre $1$ n'en a qu'un seul et\nreste hors de la classification, ce qui garantit l'unicité de la\ndécomposition en facteurs premiers."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "entiers-consecutifs",
        "divisibilite"
      ],
      "title": "Produit de deux entiers consécutifs",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Que peut-on affirmer du produit $n(n + 1)$ de deux entiers\nnaturels consécutifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est toujours pair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair,\ndonc le produit l'est aussi, quelle que soit la parité de $n$."
        },
        {
          "text": "Il est toujours impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple immédiat : $2 \\times 3 = 6$ est pair. Un\nproduit n'est impair que si ses deux facteurs le sont."
        },
        {
          "text": "Il est pair si $n$ est pair seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas oublié : si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair, et le\nproduit reste pair."
        },
        {
          "text": "Il est toujours un multiple de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $2 \\times 3 = 6$ n'est pas multiple de $4$. Un\nseul des deux facteurs est pair, il n'apporte qu'un facteur\n$2$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur deux entiers consécutifs, exactement un est pair : leur\nproduit est donc toujours divisible par $2$. Le même raisonnement\nappliqué à $n(n+1)(n+2)$ donne une divisibilité par $6$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pgcd-fraction",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Simplifier une fraction en une seule étape",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Par quel entier faut-il simplifier la fraction\n$\\dfrac{36}{60}$ pour la rendre irréductible en une seule\nétape ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(36\\ ;\\ 60) = 12$, et diviser\npar ce nombre donne d'un coup la forme irréductible\n$\\dfrac{3}{5}$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Différence sans rapport : $60 - 36 = 24$ ne divise\nmême pas $36$. C'est le PGCD, soit $12$, qu'il faut."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Résultat pris pour l'outil : $3$ est le numérateur\nobtenu après simplification, pas le diviseur employé."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification partielle : diviser par $2$ laisse\nencore des facteurs communs ; le PGCD $12$ termine le travail\nen une fois."
        }
      ],
      "explanation": "La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et\ndénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui\népuise tous les facteurs partagés. Ici\n$\\dfrac{3}{5}$ a un numérateur et un\ndénominateur premiers entre eux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Par quel entier faut-il simplifier la fraction\n$\\dfrac{36}{60}$ pour la rendre irréductible en une seule\nétape ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(36\\ ;\\ 60) = 12$, et diviser\npar ce nombre donne d'un coup la forme irréductible\n$\\dfrac{3}{5}$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence sans rapport : $60 - 36 = 24$ ne divise\nmême pas $36$. C'est le PGCD, soit $12$, qu'il faut."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résultat pris pour l'outil : $3$ est le numérateur\nobtenu après simplification, pas le diviseur employé."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification partielle : diviser par $2$ laisse\nencore des facteurs communs ; le PGCD $12$ termine le travail\nen une fois."
            }
          ],
          "explanation": "La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et\ndénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui\népuise tous les facteurs partagés. Ici\n$\\dfrac{3}{5}$ a un numérateur et un\ndénominateur premiers entre eux."
        },
        {
          "statement": "Par quel entier faut-il simplifier la fraction\n$\\dfrac{42}{70}$ pour la rendre irréductible en une seule\nétape ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(42\\ ;\\ 70) = 14$, et diviser\npar ce nombre donne d'un coup la forme irréductible\n$\\dfrac{3}{5}$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence sans rapport : $70 - 42 = 28$ ne divise\nmême pas $42$. C'est le PGCD, soit $14$, qu'il faut."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résultat pris pour l'outil : $3$ est le numérateur\nobtenu après simplification, pas le diviseur employé."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification partielle : diviser par $2$ laisse\nencore des facteurs communs ; le PGCD $14$ termine le travail\nen une fois."
            }
          ],
          "explanation": "La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et\ndénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui\népuise tous les facteurs partagés. Ici\n$\\dfrac{3}{5}$ a un numérateur et un\ndénominateur premiers entre eux."
        },
        {
          "statement": "Par quel entier faut-il simplifier la fraction\n$\\dfrac{63}{99}$ pour la rendre irréductible en une seule\nétape ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(63\\ ;\\ 99) = 9$, et diviser\npar ce nombre donne d'un coup la forme irréductible\n$\\dfrac{7}{11}$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence sans rapport : $99 - 63 = 36$ ne divise\nmême pas $63$. C'est le PGCD, soit $9$, qu'il faut."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résultat pris pour l'outil : $7$ est le numérateur\nobtenu après simplification, pas le diviseur employé."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification partielle : diviser par $3$ laisse\nencore des facteurs communs ; le PGCD $9$ termine le travail\nen une fois."
            }
          ],
          "explanation": "La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et\ndénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui\népuise tous les facteurs partagés. Ici\n$\\dfrac{7}{11}$ a un numérateur et un\ndénominateur premiers entre eux."
        },
        {
          "statement": "Par quel entier faut-il simplifier la fraction\n$\\dfrac{48}{80}$ pour la rendre irréductible en une seule\nétape ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(48\\ ;\\ 80) = 16$, et diviser\npar ce nombre donne d'un coup la forme irréductible\n$\\dfrac{3}{5}$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence sans rapport : $80 - 48 = 32$ ne divise\nmême pas $48$. C'est le PGCD, soit $16$, qu'il faut."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résultat pris pour l'outil : $3$ est le numérateur\nobtenu après simplification, pas le diviseur employé."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Simplification partielle : diviser par $2$ laisse\nencore des facteurs communs ; le PGCD $16$ termine le travail\nen une fois."
            }
          ],
          "explanation": "La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et\ndénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui\népuise tous les facteurs partagés. Ici\n$\\dfrac{3}{5}$ a un numérateur et un\ndénominateur premiers entre eux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "dernier-chiffre",
        "congruences"
      ],
      "title": "Chiffre des unités et reste modulo $5$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Un entier $N$ s'écrit avec $7$ pour chiffre des unités. Quel est\nle reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo\n$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or\n$7 = 5 + 2$, d'où le reste $2$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étape non terminée : $7$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un\nreste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément au multiple suivant : il manque $3$ à\n$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,\ncompte ce qui dépasse le multiple précédent."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui\nn'est pas le cas ici."
        }
      ],
      "explanation": "Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme\n$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$\nse lit sur ce seul chiffre, sans poser la division.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un entier $N$ s'écrit avec $7$ pour chiffre des unités. Quel est\nle reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo\n$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or\n$7 = 5 + 2$, d'où le reste $2$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : $7$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un\nreste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : il manque $3$ à\n$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,\ncompte ce qui dépasse le multiple précédent."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui\nn'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme\n$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$\nse lit sur ce seul chiffre, sans poser la division."
        },
        {
          "statement": "Un entier $N$ s'écrit avec $9$ pour chiffre des unités. Quel est\nle reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo\n$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or\n$9 = 5 + 4$, d'où le reste $4$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : $9$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un\nreste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : il manque $1$ à\n$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,\ncompte ce qui dépasse le multiple précédent."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui\nn'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme\n$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$\nse lit sur ce seul chiffre, sans poser la division."
        },
        {
          "statement": "Un entier $N$ s'écrit avec $6$ pour chiffre des unités. Quel est\nle reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo\n$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or\n$6 = 5 + 1$, d'où le reste $1$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : $6$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un\nreste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : il manque $4$ à\n$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,\ncompte ce qui dépasse le multiple précédent."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui\nn'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme\n$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$\nse lit sur ce seul chiffre, sans poser la division."
        },
        {
          "statement": "Un entier $N$ s'écrit avec $8$ pour chiffre des unités. Quel est\nle reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo\n$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or\n$8 = 5 + 3$, d'où le reste $3$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étape non terminée : $8$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un\nreste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Complément au multiple suivant : il manque $2$ à\n$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,\ncompte ce qui dépasse le multiple précédent."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui\nn'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme\n$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$\nse lit sur ce seul chiffre, sans poser la division."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fermat",
        "puissances"
      ],
      "title": "Hypothèses du petit théorème de Fermat",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Le petit théorème de Fermat affirme que $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$.\nPeut-on l'appliquer à $a = 10$ et $p = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, car $5$ divise $10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le théorème exige que $p$ ne divise pas $a$.\nIci $10 \\equiv 0 \\pmod 5$, donc $10^4 \\equiv 0$, et non $1$."
        },
        {
          "text": "Oui, car $5$ est un nombre premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition incomplète : la primalité de $p$ ne suffit pas, il\nfaut aussi que $p$ ne divise pas $a$."
        },
        {
          "text": "Non, car $10$ n'est pas premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse condition : le théorème ne demande rien à $a$, sinon de\nne pas être multiple de $p$. Il s'applique ainsi à $a = 4$ et\n$p = 5$."
        },
        {
          "text": "Oui, car $10$ est plus grand que $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : la taille de $a$ n'intervient jamais, seule\ncompte sa divisibilité par $p$."
        }
      ],
      "explanation": "Le petit théorème de Fermat s'énonce ainsi : si $p$ est premier et\nsi $p$ ne divise pas $a$, alors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. Les\ndeux hypothèses comptent ; lorsque $p$ divise $a$, on a simplement\n$a \\equiv 0 \\pmod p$."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition",
        "test-primalite"
      ],
      "title": "Plus petit facteur premier",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Quel est le plus petit facteur premier de $91$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $91$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,\nni par $5$, et la division par $7$ tombe juste :\n$91 = 7 \\times 13$."
        },
        {
          "text": "$91$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre supposé premier : $91 = 7 \\times 13$,\nil est donc composé et admet un facteur premier plus petit."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $91$ n'est\npas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $91$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur exact mais pas le plus petit : $13$\ndivise bien $91$, seulement $7$ le divise aussi et lui est\ninférieur."
        }
      ],
      "explanation": "Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on\nteste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne\ndépassent pas $\\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le plus petit facteur premier de $91$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $91$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,\nni par $5$, et la division par $7$ tombe juste :\n$91 = 7 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$91$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre supposé premier : $91 = 7 \\times 13$,\nil est donc composé et admet un facteur premier plus petit."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $91$ n'est\npas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $91$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur exact mais pas le plus petit : $13$\ndivise bien $91$, seulement $7$ le divise aussi et lui est\ninférieur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on\nteste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne\ndépassent pas $\\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit facteur premier de $143$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $143$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,\nni par $5$, et la division par $11$ tombe juste :\n$143 = 11 \\times 13$."
            },
            {
              "text": "$143$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre supposé premier : $143 = 11 \\times 13$,\nil est donc composé et admet un facteur premier plus petit."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $143$ n'est\npas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $143$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur exact mais pas le plus petit : $13$\ndivise bien $143$, seulement $11$ le divise aussi et lui est\ninférieur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on\nteste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne\ndépassent pas $\\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit facteur premier de $187$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $187$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,\nni par $5$, et la division par $11$ tombe juste :\n$187 = 11 \\times 17$."
            },
            {
              "text": "$187$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre supposé premier : $187 = 11 \\times 17$,\nil est donc composé et admet un facteur premier plus petit."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $187$ n'est\npas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $187$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur exact mais pas le plus petit : $17$\ndivise bien $187$, seulement $11$ le divise aussi et lui est\ninférieur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on\nteste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne\ndépassent pas $\\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier."
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit facteur premier de $221$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $221$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,\nni par $5$, et la division par $13$ tombe juste :\n$221 = 13 \\times 17$."
            },
            {
              "text": "$221$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre supposé premier : $221 = 13 \\times 17$,\nil est donc composé et admet un facteur premier plus petit."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $221$ n'est\npas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $221$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur exact mais pas le plus petit : $17$\ndivise bien $221$, seulement $13$ le divise aussi et lui est\ninférieur."
            }
          ],
          "explanation": "Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on\nteste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne\ndépassent pas $\\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gauss",
        "application"
      ],
      "title": "L'hypothèse du théorème de Gauss",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "On sait que $6$ divise $4n$. Peut-on en conclure que $6$ divise\n$n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, car $6$ et $4$ ne sont pas premiers entre eux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Gauss exige un diviseur premier avec le\nfacteur écarté. Ici $\\text{PGCD}(6\\ ;\\ 4) = 2$, et $n = 3$\nfournit un contre-exemple : $6 \\mid 12$ sans diviser $3$."
        },
        {
          "text": "Oui, d'après le théorème de Gauss appliqué au facteur $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hypothèse oubliée : le théorème ne s'applique que si le\ndiviseur est premier avec le facteur écarté, ce qui n'est pas\nle cas de $6$ et $4$."
        },
        {
          "text": "Oui, car $6$ ne divise pas $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais critère : ce qui compte est le PGCD de $6$ et $4$, qui\nvaut $2$, et non la divisibilité de l'un par l'autre."
        },
        {
          "text": "Non, car $4$ ne divise pas $6$ non plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : l'obstacle est que $6$ et\n$4$ ne sont pas premiers entre eux."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème de Gauss s'énonce : si $a$ divise $bc$ et si $a$ est\npremier avec $b$, alors $a$ divise $c$. L'hypothèse de primalité\nentre eux est indispensable, comme le montre\n$6 \\mid 4 \\times 3$ alors que $6$ ne divise ni $4$ ni $3$."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse-modulaire",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Existence d'un inverse modulo $12$",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Parmi les entiers $2$, $3$, $5$ et $6$, lequel admet un inverse\nmodulo $12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$, premier avec $12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(5\\ ;\\ 12) = 1$, donc Bézout\nfournit un inverse. Ici $5 \\times 5 = 25 \\equiv 1 \\pmod{12}$ :\n$5$ est son propre inverse."
        },
        {
          "text": "$2$, car $12$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur commun : $\\text{PGCD}(2\\ ;\\ 12) = 2$, donc $2x$ reste\npair et n'est jamais congru à $1$ modulo $12$."
        },
        {
          "text": "$3$, car $3 \\times 4 = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur commun : $3x$ est toujours multiple de $3$, or $1$ ne\nl'est pas, pas davantage modulo $12$."
        },
        {
          "text": "$6$, moitié de $12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur commun : $\\text{PGCD}(6\\ ;\\ 12) = 6$ ; aucun multiple\nde $6$ n'est congru à $1$ modulo $12$."
        }
      ],
      "explanation": "Un entier $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ : Bézout donne alors $au + nv = 1$,\nc'est-à-dire $au \\equiv 1 \\pmod n$. Les diviseurs de $n$ autres\nque $1$ n'en ont jamais."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-congruence",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résoudre une congruence par l'inverse",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quelles sont les solutions entières de la congruence\n$2x \\equiv 3 \\pmod{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\equiv 4 \\pmod{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ est premier avec $5$, et son inverse\nmodulo $5$ est $3$. En multipliant par $3$ :\n$x \\equiv 3 \\times 3 \\equiv 4$. Contrôle :\n$2 \\times 4 = 8 \\equiv 3$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second membre recopié : $3$ est la valeur visée, pas la\nsolution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 1 \\pmod{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :\n$2 \\times 3 \\equiv 1$, alors que c'est\nl'inverse $3$ qu'il faut employer."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 0 \\pmod{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le\ncoefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par\nson inverse."
        }
      ],
      "explanation": "Pour résoudre $ax \\equiv b \\pmod n$ lorsque $a$ est premier avec\n$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo\n$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la\nreportant dans la congruence de départ.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions entières de la congruence\n$2x \\equiv 3 \\pmod{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 4 \\pmod{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ est premier avec $5$, et son inverse\nmodulo $5$ est $3$. En multipliant par $3$ :\n$x \\equiv 3 \\times 3 \\equiv 4$. Contrôle :\n$2 \\times 4 = 8 \\equiv 3$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : $3$ est la valeur visée, pas la\nsolution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 1 \\pmod{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :\n$2 \\times 3 \\equiv 1$, alors que c'est\nl'inverse $3$ qu'il faut employer."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 0 \\pmod{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le\ncoefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par\nson inverse."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $ax \\equiv b \\pmod n$ lorsque $a$ est premier avec\n$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo\n$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la\nreportant dans la congruence de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions entières de la congruence\n$2x \\equiv 1 \\pmod{9}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 5 \\pmod{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ est premier avec $9$, et son inverse\nmodulo $9$ est $5$. En multipliant par $5$ :\n$x \\equiv 5 \\times 1 \\equiv 5$. Contrôle :\n$2 \\times 5 = 10 \\equiv 1$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 1 \\pmod{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : $1$ est la valeur visée, pas la\nsolution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 2 \\pmod{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :\n$2 \\times 1 \\equiv 2$, alors que c'est\nl'inverse $5$ qu'il faut employer."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le\ncoefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par\nson inverse."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $ax \\equiv b \\pmod n$ lorsque $a$ est premier avec\n$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo\n$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la\nreportant dans la congruence de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions entières de la congruence\n$2x \\equiv 6 \\pmod{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 3 \\pmod{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ est premier avec $7$, et son inverse\nmodulo $7$ est $4$. En multipliant par $4$ :\n$x \\equiv 4 \\times 6 \\equiv 3$. Contrôle :\n$2 \\times 3 = 6 \\equiv 6$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 6 \\pmod{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : $6$ est la valeur visée, pas la\nsolution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 5 \\pmod{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :\n$2 \\times 6 \\equiv 5$, alors que c'est\nl'inverse $4$ qu'il faut employer."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 1 \\pmod{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le\ncoefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par\nson inverse."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $ax \\equiv b \\pmod n$ lorsque $a$ est premier avec\n$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo\n$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la\nreportant dans la congruence de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions entières de la congruence\n$2x \\equiv 5 \\pmod{11}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 8 \\pmod{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ est premier avec $11$, et son inverse\nmodulo $11$ est $6$. En multipliant par $6$ :\n$x \\equiv 6 \\times 5 \\equiv 8$. Contrôle :\n$2 \\times 8 = 16 \\equiv 5$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 5 \\pmod{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second membre recopié : $5$ est la valeur visée, pas la\nsolution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 10 \\pmod{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :\n$2 \\times 5 \\equiv 10$, alors que c'est\nl'inverse $6$ qu'il faut employer."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 7 \\pmod{11}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le\ncoefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par\nson inverse."
            }
          ],
          "explanation": "Pour résoudre $ax \\equiv b \\pmod n$ lorsque $a$ est premier avec\n$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo\n$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la\nreportant dans la congruence de départ."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance-modulo",
        "calcul"
      ],
      "title": "Réduire une puissance par son cycle",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quel est le reste de $2^{11}$ dans la division euclidienne par\n$5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2^{4} \\equiv 1 \\pmod{5}$, et\n$11 = 4 \\times 2 + 3$, donc\n$2^{11} \\equiv 2^{3} \\equiv 3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste nul impossible : $2^{11}$ n'a que des facteurs\n$2$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $5$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un\nmultiple de $4$ ; or $11$ laisse $3$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base recopiée : $2$ est le reste de $2^1$ ; l'exposant\n$11$ déplace le résultat plus loin dans le cycle."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant\n$d$ tel que $a^d \\equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.\nLe petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est\npremier, mais le cycle réel peut être plus court.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le reste de $2^{11}$ dans la division euclidienne par\n$5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{4} \\equiv 1 \\pmod{5}$, et\n$11 = 4 \\times 2 + 3$, donc\n$2^{11} \\equiv 2^{3} \\equiv 3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste nul impossible : $2^{11}$ n'a que des facteurs\n$2$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un\nmultiple de $4$ ; or $11$ laisse $3$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base recopiée : $2$ est le reste de $2^1$ ; l'exposant\n$11$ déplace le résultat plus loin dans le cycle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant\n$d$ tel que $a^d \\equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.\nLe petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est\npremier, mais le cycle réel peut être plus court."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de $3^{10}$ dans la division euclidienne par\n$7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3^{6} \\equiv 1 \\pmod{7}$, et\n$10 = 6 \\times 1 + 4$, donc\n$3^{10} \\equiv 3^{4} \\equiv 4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste nul impossible : $3^{10}$ n'a que des facteurs\n$3$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $7$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un\nmultiple de $6$ ; or $10$ laisse $4$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base recopiée : $3$ est le reste de $3^1$ ; l'exposant\n$10$ déplace le résultat plus loin dans le cycle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant\n$d$ tel que $a^d \\equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.\nLe petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est\npremier, mais le cycle réel peut être plus court."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de $2^{10}$ dans la division euclidienne par\n$9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{6} \\equiv 1 \\pmod{9}$, et\n$10 = 6 \\times 1 + 4$, donc\n$2^{10} \\equiv 2^{4} \\equiv 7$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste nul impossible : $2^{10}$ n'a que des facteurs\n$2$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $9$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un\nmultiple de $6$ ; or $10$ laisse $4$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base recopiée : $2$ est le reste de $2^1$ ; l'exposant\n$10$ déplace le résultat plus loin dans le cycle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant\n$d$ tel que $a^d \\equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.\nLe petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est\npremier, mais le cycle réel peut être plus court."
        },
        {
          "statement": "Quel est le reste de $2^{13}$ dans la division euclidienne par\n$11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2^{10} \\equiv 1 \\pmod{11}$, et\n$13 = 10 \\times 1 + 3$, donc\n$2^{13} \\equiv 2^{3} \\equiv 8$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Reste nul impossible : $2^{13}$ n'a que des facteurs\n$2$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $11$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un\nmultiple de $10$ ; or $13$ laisse $3$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base recopiée : $2$ est le reste de $2^1$ ; l'exposant\n$13$ déplace le résultat plus loin dans le cycle."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant\n$d$ tel que $a^d \\equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.\nLe petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est\npremier, mais le cycle réel peut être plus court."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "principe-euclide",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Le PGCD de $2n + 1$ et de $n$",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Pour tout entier naturel $n$ non nul, que vaut\n$\\text{PGCD}(2n + 1\\ ;\\ n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tout diviseur commun divise la combinaison\n$(2n + 1) - 2 \\times n = 1$, donc vaut $1$. Les deux entiers\nsont premiers entre eux."
        },
        {
          "text": "$n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n$ divise $n$, mais il ne divise $2n + 1$ que s'il\ndivise $1$. Le PGCD ne peut donc pas valoir $n$ en général."
        },
        {
          "text": "$2n + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2n + 1$ est plus grand que $n$, il ne peut pas\ndiviser $n$, donc pas non plus être un diviseur commun."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parité : $2n + 1$ est impair, donc $2$ ne le divise jamais ;\naucun diviseur commun pair n'est possible."
        }
      ],
      "explanation": "L'égalité $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = \\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$ conclut en\nune ligne : la division de $2n+1$ par $n$ laisse le reste $1$,\ndonc le PGCD vaut $\\text{PGCD}(n\\ ;\\ 1) = 1$. Conserver les\ndiviseurs communs est bien le principe de l'algorithme d'Euclide."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraposee-parite",
        "congruence-application"
      ],
      "title": "Un carré congru à $1$ modulo $4$",
      "partie": "divisibilite",
      "statement": "Un entier $n$ vérifie $n^2 \\equiv 1 \\pmod 4$. Que peut-on en\ndéduire sur $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un entier pair s'écrit $2k$ et donne\n$n^2 = 4k^2 \\equiv 0$. Le carré valant $1$, $n$ ne peut être\npair, et $(2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1 \\equiv 1$ confirme le cas\nimpair."
        },
        {
          "text": "Il est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : si $n$ était pair, son carré serait multiple de\n$4$, donc congru à $0$ et non à $1$."
        },
        {
          "text": "Il est multiple de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort et faux : $n$ est impair, il n'est donc divisible ni\npar $4$, ni même par $2$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien en déduire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : examiner les deux cas de parité suffit, l'un donne\n$0$ modulo $4$ et l'autre $1$ : la conclusion est certaine."
        }
      ],
      "explanation": "Étudier un carré modulo $4$ revient à examiner les deux restes\npossibles de $n$ modulo $2$ : pair donne $n^2 \\equiv 0$, impair\ndonne $n^2 \\equiv 1$. C'est le raisonnement par contraposée déjà\nutilisé pour « $n^2$ pair entraîne $n$ pair »."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "chiffrement",
        "congruence"
      ],
      "title": "Un chiffrement affine",
      "partie": "congruences",
      "statement": "On numérote les lettres de A $= 0$ à Z $= 25$. Une lettre de rang $x$\nest chiffrée par la lettre de rang $y$, reste de la division de\n$3x + 5$ par $26$. Par quelle lettre la lettre K, de rang $10$,\nest-elle chiffrée ?",
      "options": [
        {
          "text": "La lettre J, de rang $9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 10 + 5 = 35$ et\n$35 \\equiv 9 \\pmod{26}$, car $35 = 26 + 9$."
        },
        {
          "text": "La lettre de rang $35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il n'y a que $26$ lettres. On remplace $35$ par son\nreste modulo $26$."
        },
        {
          "text": "La lettre P, de rang $15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a ajouté $5$ au rang sans le multiplier par $3$."
        },
        {
          "text": "La lettre K elle-même",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le chiffrement transforme le rang $10$ en $9$, donc la\nlettre change."
        }
      ],
      "explanation": "Pour déchiffrer, on résout $3x + 5 \\equiv y \\pmod{26}$ : c'est\npossible car $3$ est inversible modulo $26$ ($3 \\times 9 = 27\n\\equiv 1$), d'où $x \\equiv 9(y - 5) \\pmod{26}$."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "crible-eratosthene"
      ],
      "title": "Arrêter le crible d'Ératosthène",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à $100$ avec le crible\nd'Ératosthène, on barre les multiples de $2$, $3$, $5$ et $7$. Pourquoi\npeut-on s'arrêter là ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un nombre composé inférieur à $100$ a un facteur premier inférieur ou égal à $10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n = ab$ avec $1 < a \\leq b$, alors $a^2 \\leq n < 100$,\ndonc $a < 10$ ; le multiple de $11$ suivant non barré serait\n$11^2 = 121$."
        },
        {
          "text": "Parce qu'il n'existe pas de nombre premier entre $10$ et $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $11$, $13$, $97$… sont premiers. Ils restent justement\nnon barrés à la fin du crible."
        },
        {
          "text": "Parce que $7$ est le plus grand nombre premier",
          "correct": false,
          "feedback": "L'ensemble des nombres premiers est infini : il n'y a pas de plus\ngrand nombre premier."
        },
        {
          "text": "Parce que les multiples de $11$ sont tous supérieurs à $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $22$, $33$, … $99$ sont des multiples de $11$, mais ils ont\ndéjà été barrés comme multiples de $2$, $3$, $5$ ou $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Un entier $n \\geq 2$ qui n'a aucun diviseur premier $p$ avec $p^2 \\leq n$\nest premier. C'est ce qui arrête le crible et limite les tests de\nprimalité."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primalite",
        "racine-carree"
      ],
      "title": "Jusqu'où tester la primalité",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pour savoir si $97$ est premier, on cherche un diviseur premier.\nQuel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 49 \\leq 97 < 121 = 11^2$ ; un diviseur\n$a \\leq b$ de $97 = ab$ vérifierait $a^2 \\leq 97$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inutile : $11^2 = 121 > 97$. Si $11$ divisait $97$, l'autre\nfacteur serait plus petit que $11$ et aurait déjà été trouvé."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "$9$ est bien la partie entière de $\\sqrt{97}$, mais il n'est pas\npremier : on teste seulement les diviseurs **premiers**."
        },
        {
          "text": "$48$",
          "correct": false,
          "feedback": "Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\\sqrt{97}$, car un\ndiviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres\npremiers $p$ tels que $p^2 \\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est\npremier.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour savoir si $97$ est premier, on cherche un diviseur premier.\nQuel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 49 \\leq 97 < 121 = 11^2$ ; un diviseur\n$a \\leq b$ de $97 = ab$ vérifierait $a^2 \\leq 97$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inutile : $11^2 = 121 > 97$. Si $11$ divisait $97$, l'autre\nfacteur serait plus petit que $11$ et aurait déjà été trouvé."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ est bien la partie entière de $\\sqrt{97}$, mais il n'est pas\npremier : on teste seulement les diviseurs **premiers**."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\\sqrt{97}$, car un\ndiviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres\npremiers $p$ tels que $p^2 \\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est\npremier."
        },
        {
          "statement": "Pour savoir si $221$ est premier, on cherche un diviseur premier.\nQuel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $13^2 = 169 \\leq 221 < 289 = 17^2$ ; un diviseur\n$a \\leq b$ de $221 = ab$ vérifierait $a^2 \\leq 221$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inutile : $17^2 = 289 > 221$. Si $17$ divisait $221$, l'autre\nfacteur serait plus petit que $17$ et aurait déjà été trouvé."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$14$ est bien la partie entière de $\\sqrt{221}$, mais il n'est pas\npremier : on teste seulement les diviseurs **premiers**."
            },
            {
              "text": "$110$",
              "correct": false,
              "feedback": "Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\\sqrt{221}$, car un\ndiviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres\npremiers $p$ tels que $p^2 \\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est\npremier."
        },
        {
          "statement": "Pour savoir si $527$ est premier, on cherche un diviseur premier.\nQuel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $19^2 = 361 \\leq 527 < 529 = 23^2$ ; un diviseur\n$a \\leq b$ de $527 = ab$ vérifierait $a^2 \\leq 527$."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inutile : $23^2 = 529 > 527$. Si $23$ divisait $527$, l'autre\nfacteur serait plus petit que $23$ et aurait déjà été trouvé."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "$22$ est bien la partie entière de $\\sqrt{527}$, mais il n'est pas\npremier : on teste seulement les diviseurs **premiers**."
            },
            {
              "text": "$263$",
              "correct": false,
              "feedback": "Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\\sqrt{527}$, car un\ndiviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres\npremiers $p$ tels que $p^2 \\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est\npremier."
        },
        {
          "statement": "Pour savoir si $677$ est premier, on cherche un diviseur premier.\nQuel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $23^2 = 529 \\leq 677 < 841 = 29^2$ ; un diviseur\n$a \\leq b$ de $677 = ab$ vérifierait $a^2 \\leq 677$."
            },
            {
              "text": "$29$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inutile : $29^2 = 841 > 677$. Si $29$ divisait $677$, l'autre\nfacteur serait plus petit que $29$ et aurait déjà été trouvé."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "$26$ est bien la partie entière de $\\sqrt{677}$, mais il n'est pas\npremier : on teste seulement les diviseurs **premiers**."
            },
            {
              "text": "$338$",
              "correct": false,
              "feedback": "Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\\sqrt{677}$, car un\ndiviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres\npremiers $p$ tels que $p^2 \\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est\npremier."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition",
        "pgcd"
      ],
      "title": "Un PGCD par les décompositions",
      "partie": "premiers",
      "statement": "On a $a = 2^{3} \\times 3^{2} \\times 5$ et $b = 2^{2} \\times 3^{3} \\times 7$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{2} \\times 3^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec\nle plus petit exposant ; ici $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 36$."
        },
        {
          "text": "$2^{3} \\times 3^{3} \\times 5 \\times 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le\nPGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant."
        },
        {
          "text": "$2^{5} \\times 3^{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposants additionnés : c'est la règle du **produit** $ab$, pas\ncelle du PGCD."
        },
        {
          "text": "$2^{3} \\times 3^{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas\ncontenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres."
        }
      ],
      "explanation": "Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs\ncommuns au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus\ngrand exposant. On a de plus $\\text{PGCD} \\times \\text{PPCM} = ab$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On a $a = 2^{3} \\times 3^{2} \\times 5$ et $b = 2^{2} \\times 3^{3} \\times 7$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{2} \\times 3^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec\nle plus petit exposant ; ici $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 36$."
            },
            {
              "text": "$2^{3} \\times 3^{3} \\times 5 \\times 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le\nPGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant."
            },
            {
              "text": "$2^{5} \\times 3^{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposants additionnés : c'est la règle du **produit** $ab$, pas\ncelle du PGCD."
            },
            {
              "text": "$2^{3} \\times 3^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas\ncontenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs\ncommuns au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus\ngrand exposant. On a de plus $\\text{PGCD} \\times \\text{PPCM} = ab$."
        },
        {
          "statement": "On a $a = 2^{4} \\times 3 \\times 7$ et $b = 2 \\times 3^{2} \\times 5$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec\nle plus petit exposant ; ici $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 6$."
            },
            {
              "text": "$2^{4} \\times 3^{2} \\times 5 \\times 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le\nPGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant."
            },
            {
              "text": "$2^{5} \\times 3^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposants additionnés : c'est la règle du **produit** $ab$, pas\ncelle du PGCD."
            },
            {
              "text": "$2^{4} \\times 3^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas\ncontenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs\ncommuns au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus\ngrand exposant. On a de plus $\\text{PGCD} \\times \\text{PPCM} = ab$."
        },
        {
          "statement": "On a $a = 2 \\times 3^{3} \\times 5^{2}$ et $b = 3^{2} \\times 5 \\times 11$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3^{2} \\times 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec\nle plus petit exposant ; ici $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 45$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 3^{3} \\times 5^{2} \\times 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le\nPGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant."
            },
            {
              "text": "$3^{5} \\times 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposants additionnés : c'est la règle du **produit** $ab$, pas\ncelle du PGCD."
            },
            {
              "text": "$3^{3} \\times 5^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas\ncontenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs\ncommuns au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus\ngrand exposant. On a de plus $\\text{PGCD} \\times \\text{PPCM} = ab$."
        },
        {
          "statement": "On a $a = 2^{2} \\times 5^{3}$ et $b = 2^{3} \\times 3 \\times 5$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2^{2} \\times 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec\nle plus petit exposant ; ici $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 20$."
            },
            {
              "text": "$2^{3} \\times 3 \\times 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le\nPGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant."
            },
            {
              "text": "$2^{5} \\times 5^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposants additionnés : c'est la règle du **produit** $ab$, pas\ncelle du PGCD."
            },
            {
              "text": "$2^{3} \\times 5^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas\ncontenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres."
            }
          ],
          "explanation": "Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs\ncommuns au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus\ngrand exposant. On a de plus $\\text{PGCD} \\times \\text{PPCM} = ab$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "infinite-premiers",
        "demonstration"
      ],
      "title": "L'infinité des nombres premiers",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, on suppose\nqu'il n'y en a qu'un nombre fini, $p_1, p_2, \\dots, p_n$, et l'on pose\n$N = p_1p_2\\cdots p_n + 1$. Quel est l'argument clé ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucun $p_k$ ne divise $N$, qui a pourtant un facteur premier",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque $p_k$ divise $N - 1$, donc le reste de $N$\ndans la division par $p_k$ vaut $1$.\nLe facteur premier de $N$ n'est donc aucun des $p_k$ : contradiction."
        },
        {
          "text": "$N$ est forcément un nombre premier lui-même",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas forcément : $2 \\times 3 \\times 5 \\times 7 \\times 11 \\times 13 + 1 = 30\\,031 = 59 \\times 509$.\nL'argument porte sur ses facteurs premiers, pas sur $N$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$N$ est pair, donc divisible par le premier $p_1 = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$N - 1$ est pair (il contient le facteur $2$), donc $N$ est **impair** :\n$2$ ne divise justement pas $N$."
        },
        {
          "text": "$N$ dépasse tous les $p_k$, donc il est premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Être grand ne rend pas premier : $30\\,031$ dépasse $13$ sans être\npremier. Seule l'absence de diviseur parmi les $p_k$ compte."
        }
      ],
      "explanation": "Démonstration attribuée à Euclide : tout entier $N \\geq 2$ admet un\ndiviseur premier, et $N = p_1 \\cdots p_n + 1$ n'est divisible par aucun $p_k$.\nLa liste supposée complète en oublie donc au moins un."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fermat",
        "puissance-modulo"
      ],
      "title": "Utiliser le petit théorème de Fermat",
      "partie": "premiers",
      "statement": "Que vaut le reste de $3^{33}$ dans la division par $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7$ est premier et ne divise pas $3$, donc\n$3^{6} \\equiv 1 \\pmod{7}$ ; avec $33 = 6 \\times 5 + 3$, on obtient\n$3^{33} \\equiv 3^{3} \\equiv 6$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant réduit modulo $7$ au lieu de $7 - 1 = 6$ : c'est\n$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fermat donne $3^{6} \\equiv 1$, mais $33$ n'est pas un multiple de\n$6$ : il reste $3^{3}$ à calculer."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $33 \\equiv 3 \\pmod{6}$,\nil faut encore calculer $3^{3}$ modulo $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $3^{33}$ dans la division par $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ est premier et ne divise pas $3$, donc\n$3^{6} \\equiv 1 \\pmod{7}$ ; avec $33 = 6 \\times 5 + 3$, on obtient\n$3^{33} \\equiv 3^{3} \\equiv 6$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant réduit modulo $7$ au lieu de $7 - 1 = 6$ : c'est\n$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fermat donne $3^{6} \\equiv 1$, mais $33$ n'est pas un multiple de\n$6$ : il reste $3^{3}$ à calculer."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $33 \\equiv 3 \\pmod{6}$,\nil faut encore calculer $3^{3}$ modulo $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $2^{35}$ dans la division par $11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11$ est premier et ne divise pas $2$, donc\n$2^{10} \\equiv 1 \\pmod{11}$ ; avec $35 = 10 \\times 3 + 5$, on obtient\n$2^{35} \\equiv 2^{5} \\equiv 10$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant réduit modulo $11$ au lieu de $11 - 1 = 10$ : c'est\n$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fermat donne $2^{10} \\equiv 1$, mais $35$ n'est pas un multiple de\n$10$ : il reste $2^{5}$ à calculer."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $35 \\equiv 5 \\pmod{10}$,\nil faut encore calculer $2^{5}$ modulo $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $5^{22}$ dans la division par $13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $13$ est premier et ne divise pas $5$, donc\n$5^{12} \\equiv 1 \\pmod{13}$ ; avec $22 = 12 \\times 1 + 10$, on obtient\n$5^{22} \\equiv 5^{10} \\equiv 12$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant réduit modulo $13$ au lieu de $13 - 1 = 12$ : c'est\n$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fermat donne $5^{12} \\equiv 1$, mais $22$ n'est pas un multiple de\n$12$ : il reste $5^{10}$ à calculer."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $22 \\equiv 10 \\pmod{12}$,\nil faut encore calculer $5^{10}$ modulo $13$."
            }
          ],
          "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le reste de $4^{29}$ dans la division par $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ est premier et ne divise pas $4$, donc\n$4^{6} \\equiv 1 \\pmod{7}$ ; avec $29 = 6 \\times 4 + 5$, on obtient\n$4^{29} \\equiv 4^{5} \\equiv 2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant réduit modulo $7$ au lieu de $7 - 1 = 6$ : c'est\n$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fermat donne $4^{6} \\equiv 1$, mais $29$ n'est pas un multiple de\n$6$ : il reste $4^{5}$ à calculer."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $29 \\equiv 5 \\pmod{6}$,\nil faut encore calculer $4^{5}$ modulo $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "premiers-entre-eux"
      ],
      "title": "Entiers premiers entre eux",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Que signifie « $a$ et $b$ sont premiers entre eux » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Leur PGCD vaut $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : leur seul diviseur commun positif est $1$. Exemple :\n$8$ et $15$, qui ne sont premiers ni l'un ni l'autre."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont deux nombres premiers",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion de vocabulaire : $8$ et $15$ sont premiers entre eux\nsans être premiers ; et $3$ et $3$ sont premiers sans être premiers\nentre eux."
        },
        {
          "text": "Aucun des deux ne divise l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $6$ et $10$ ne se divisent pas, mais ont $2$ pour\ndiviseur commun."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont tous deux impairs",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $9$ et $15$ sont impairs et ont $3$ pour diviseur\ncommun ; inversement $2$ et $3$ sont premiers entre eux."
        }
      ],
      "explanation": "$a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1$. C'est\nl'hypothèse des théorèmes de Bézout et de Gauss, et de l'existence d'un\ninverse modulo $n$."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bezout",
        "premiers-entre-eux"
      ],
      "title": "Appliquer le théorème de Bézout",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $9u + 14v = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, par exemple $u = -3$ et $v = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(9\\ ;\\ 14) = 1$, donc un couple de Bézout existe ;\non vérifie $9 \\times (-3) + 14 \\times (2) = 1$."
        },
        {
          "text": "Non, car ni $9$ ni $14$ n'est un nombre premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement faux : Être premiers entre eux ne demande pas d'être premiers : $\\text{PGCD}(9\\ ;\\ 14) = 1$\nsuffit, d'après le théorème de Bézout."
        },
        {
          "text": "Non, car $9 + 14 \\neq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement faux : Les coefficients $u$ et $v$ sont libres : on ne demande pas $a + b = 1$,\nmais une combinaison $au + bv = 1$."
        },
        {
          "text": "Non, car $u$ et $v$ devraient être des fractions",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement faux : Des entiers conviennent : $9 \\times (-3) + 14 \\times (2) = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que\n$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un\nmultiple de $d$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $9u + 14v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, par exemple $u = -3$ et $v = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(9\\ ;\\ 14) = 1$, donc un couple de Bézout existe ;\non vérifie $9 \\times (-3) + 14 \\times (2) = 1$."
            },
            {
              "text": "Non, car ni $9$ ni $14$ n'est un nombre premier",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Être premiers entre eux ne demande pas d'être premiers : $\\text{PGCD}(9\\ ;\\ 14) = 1$\nsuffit, d'après le théorème de Bézout."
            },
            {
              "text": "Non, car $9 + 14 \\neq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Les coefficients $u$ et $v$ sont libres : on ne demande pas $a + b = 1$,\nmais une combinaison $au + bv = 1$."
            },
            {
              "text": "Non, car $u$ et $v$ devraient être des fractions",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Des entiers conviennent : $9 \\times (-3) + 14 \\times (2) = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que\n$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un\nmultiple de $d$."
        },
        {
          "statement": "Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $6u + 10v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $2$ divise $6u + 10v$ pour tous entiers $u$, $v$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(6\\ ;\\ 10) = 2$ ; toute combinaison $6u + 10v$ est\nun multiple de $2$ et ne peut pas valoir $1$."
            },
            {
              "text": "Oui, d'après Bézout, un tel couple existe toujours",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Bézout exige $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1$ ; ici le PGCD vaut $2$."
            },
            {
              "text": "Oui, car aucun des deux nombres ne divise l'autre",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Ne pas se diviser ne rend pas premiers entre eux : $2$ est un diviseur\ncommun de $6$ et $10$."
            },
            {
              "text": "Oui, avec $u = 1$ et $v = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Calcul : $6 - 10 = -4 \\neq 1$. Et aucun couple ne convient,\ncar $2$ divise toute combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que\n$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un\nmultiple de $d$."
        },
        {
          "statement": "Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $8u + 15v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, par exemple $u = 2$ et $v = -1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(8\\ ;\\ 15) = 1$, donc un couple de Bézout existe ;\non vérifie $8 \\times (2) + 15 \\times (-1) = 1$."
            },
            {
              "text": "Non, car ni $8$ ni $15$ n'est un nombre premier",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Être premiers entre eux ne demande pas d'être premiers : $\\text{PGCD}(8\\ ;\\ 15) = 1$\nsuffit, d'après le théorème de Bézout."
            },
            {
              "text": "Non, car $8 + 15 \\neq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Les coefficients $u$ et $v$ sont libres : on ne demande pas $a + b = 1$,\nmais une combinaison $au + bv = 1$."
            },
            {
              "text": "Non, car $u$ et $v$ devraient être des fractions",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Des entiers conviennent : $8 \\times (2) + 15 \\times (-1) = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que\n$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un\nmultiple de $d$."
        },
        {
          "statement": "Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $15u + 21v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $3$ divise $15u + 21v$ pour tous entiers $u$, $v$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(15\\ ;\\ 21) = 3$ ; toute combinaison $15u + 21v$ est\nun multiple de $3$ et ne peut pas valoir $1$."
            },
            {
              "text": "Oui, d'après Bézout, un tel couple existe toujours",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Bézout exige $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1$ ; ici le PGCD vaut $3$."
            },
            {
              "text": "Oui, car aucun des deux nombres ne divise l'autre",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Ne pas se diviser ne rend pas premiers entre eux : $3$ est un diviseur\ncommun de $15$ et $21$."
            },
            {
              "text": "Oui, avec $u = 1$ et $v = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement faux : Calcul : $15 - 21 = -6 \\neq 1$. Et aucun couple ne convient,\ncar $3$ divise toute combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que\n$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un\nmultiple de $d$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gauss"
      ],
      "title": "Appliquer le théorème de Gauss",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "$x$ est un entier tel que $7$ divise $12x$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$ divise $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(7\\ ;\\ 12) = 1$, donc par le théorème\nde Gauss, $7$ divise $x$."
        },
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $7$ (par\nexemple $2 \\times 7$)."
        },
        {
          "text": "$7$ divise $12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $7$ ne divise pas $12$. C'est justement parce qu'ils sont\npremiers entre eux que $7$ doit diviser l'autre facteur."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien conclure sur $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \\mid ab$ et\n$\\text{PGCD}(n\\ ;\\ a) = 1$, alors $n \\mid b$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,\nalors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la\nconclusion tombe : $6 \\mid 4 \\times 3$ sans que $6 \\mid 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$x$ est un entier tel que $7$ divise $12x$. Que peut-on en déduire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ divise $x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(7\\ ;\\ 12) = 1$, donc par le théorème\nde Gauss, $7$ divise $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $7$ (par\nexemple $2 \\times 7$)."
            },
            {
              "text": "$7$ divise $12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $7$ ne divise pas $12$. C'est justement parce qu'ils sont\npremiers entre eux que $7$ doit diviser l'autre facteur."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien conclure sur $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \\mid ab$ et\n$\\text{PGCD}(n\\ ;\\ a) = 1$, alors $n \\mid b$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,\nalors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la\nconclusion tombe : $6 \\mid 4 \\times 3$ sans que $6 \\mid 3$."
        },
        {
          "statement": "$x$ est un entier tel que $5$ divise $9x$. Que peut-on en déduire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ divise $x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(5\\ ;\\ 9) = 1$, donc par le théorème\nde Gauss, $5$ divise $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $5$ (par\nexemple $2 \\times 5$)."
            },
            {
              "text": "$5$ divise $9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $5$ ne divise pas $9$. C'est justement parce qu'ils sont\npremiers entre eux que $5$ doit diviser l'autre facteur."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien conclure sur $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \\mid ab$ et\n$\\text{PGCD}(n\\ ;\\ a) = 1$, alors $n \\mid b$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,\nalors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la\nconclusion tombe : $6 \\mid 4 \\times 3$ sans que $6 \\mid 3$."
        },
        {
          "statement": "$x$ est un entier tel que $11$ divise $6x$. Que peut-on en déduire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$ divise $x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(11\\ ;\\ 6) = 1$, donc par le théorème\nde Gauss, $11$ divise $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $11$ (par\nexemple $2 \\times 11$)."
            },
            {
              "text": "$11$ divise $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $11$ ne divise pas $6$. C'est justement parce qu'ils sont\npremiers entre eux que $11$ doit diviser l'autre facteur."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien conclure sur $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \\mid ab$ et\n$\\text{PGCD}(n\\ ;\\ a) = 1$, alors $n \\mid b$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,\nalors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la\nconclusion tombe : $6 \\mid 4 \\times 3$ sans que $6 \\mid 3$."
        },
        {
          "statement": "$x$ est un entier tel que $9$ divise $10x$. Que peut-on en déduire ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ divise $x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\text{PGCD}(9\\ ;\\ 10) = 1$, donc par le théorème\nde Gauss, $9$ divise $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $9$ (par\nexemple $2 \\times 9$)."
            },
            {
              "text": "$9$ divise $10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $9$ ne divise pas $10$. C'est justement parce qu'ils sont\npremiers entre eux que $9$ doit diviser l'autre facteur."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien conclure sur $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \\mid ab$ et\n$\\text{PGCD}(n\\ ;\\ a) = 1$, alors $n \\mid b$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,\nalors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la\nconclusion tombe : $6 \\mid 4 \\times 3$ sans que $6 \\mid 3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bezout",
        "diophantienne"
      ],
      "title": "Trouver un couple de Bézout",
      "partie": "pgcd",
      "statement": "Quel couple $(u\\ ;\\ v)$ d'entiers vérifie $7u + 4v = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(3\\ ;\\ -5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 3 + 4 \\times (-5) = 21 + (-20) = 1$."
        },
        {
          "text": "$(-5\\ ;\\ 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs échangées : $7u + 4v$ vaut alors $-23$, pas $1$."
        },
        {
          "text": "$(3\\ ;\\ 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $v$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $41$."
        },
        {
          "text": "$(-3\\ ;\\ -5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $u$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $-41$."
        }
      ],
      "explanation": "Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,\npour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \\equiv 1 \\pmod b$. On\nvérifie toujours en recalculant $au + bv$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel couple $(u\\ ;\\ v)$ d'entiers vérifie $7u + 4v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(3\\ ;\\ -5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 3 + 4 \\times (-5) = 21 + (-20) = 1$."
            },
            {
              "text": "$(-5\\ ;\\ 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : $7u + 4v$ vaut alors $-23$, pas $1$."
            },
            {
              "text": "$(3\\ ;\\ 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $v$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $41$."
            },
            {
              "text": "$(-3\\ ;\\ -5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $u$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $-41$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,\npour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \\equiv 1 \\pmod b$. On\nvérifie toujours en recalculant $au + bv$."
        },
        {
          "statement": "Quel couple $(u\\ ;\\ v)$ d'entiers vérifie $5u + 3v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(2\\ ;\\ -3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 2 + 3 \\times (-3) = 10 + (-9) = 1$."
            },
            {
              "text": "$(-3\\ ;\\ 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : $5u + 3v$ vaut alors $-9$, pas $1$."
            },
            {
              "text": "$(2\\ ;\\ 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $v$ inversé : $5u + 3v$ vaut alors $19$."
            },
            {
              "text": "$(-2\\ ;\\ -3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $u$ inversé : $5u + 3v$ vaut alors $-19$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,\npour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \\equiv 1 \\pmod b$. On\nvérifie toujours en recalculant $au + bv$."
        },
        {
          "statement": "Quel couple $(u\\ ;\\ v)$ d'entiers vérifie $9u + 7v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(4\\ ;\\ -5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 \\times 4 + 7 \\times (-5) = 36 + (-35) = 1$."
            },
            {
              "text": "$(-5\\ ;\\ 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : $9u + 7v$ vaut alors $-17$, pas $1$."
            },
            {
              "text": "$(4\\ ;\\ 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $v$ inversé : $9u + 7v$ vaut alors $71$."
            },
            {
              "text": "$(-4\\ ;\\ -5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $u$ inversé : $9u + 7v$ vaut alors $-71$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,\npour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \\equiv 1 \\pmod b$. On\nvérifie toujours en recalculant $au + bv$."
        },
        {
          "statement": "Quel couple $(u\\ ;\\ v)$ d'entiers vérifie $11u + 8v = 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(3\\ ;\\ -4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11 \\times 3 + 8 \\times (-4) = 33 + (-32) = 1$."
            },
            {
              "text": "$(-4\\ ;\\ 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : $11u + 8v$ vaut alors $-20$, pas $1$."
            },
            {
              "text": "$(3\\ ;\\ 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $v$ inversé : $11u + 8v$ vaut alors $65$."
            },
            {
              "text": "$(-3\\ ;\\ -4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $u$ inversé : $11u + 8v$ vaut alors $-65$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,\npour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \\equiv 1 \\pmod b$. On\nvérifie toujours en recalculant $au + bv$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lemme-chinois",
        "congruences"
      ],
      "title": "Deux congruences simultanées",
      "partie": "congruences",
      "statement": "Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \\equiv 2 \\pmod{3}$ et\n$x \\equiv 3 \\pmod{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8$ a pour reste $2$ modulo $3$ et $3$ modulo $5$. Les\nsolutions sont les $8 + 15k$, car $3$ et $5$ sont premiers entre eux."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la première condition est remplie : modulo $5$, le reste de\n$2$ vaut $2$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la seconde condition est remplie : modulo $3$, le reste de\n$3$ vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$23$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut\nretirer $15$ et obtenir $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système\n$x \\equiv r \\pmod m$, $x \\equiv s \\pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.\nOn la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \\dots$",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \\equiv 2 \\pmod{3}$ et\n$x \\equiv 3 \\pmod{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8$ a pour reste $2$ modulo $3$ et $3$ modulo $5$. Les\nsolutions sont les $8 + 15k$, car $3$ et $5$ sont premiers entre eux."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la première condition est remplie : modulo $5$, le reste de\n$2$ vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde condition est remplie : modulo $3$, le reste de\n$3$ vaut $0$."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut\nretirer $15$ et obtenir $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système\n$x \\equiv r \\pmod m$, $x \\equiv s \\pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.\nOn la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \\dots$"
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \\equiv 1 \\pmod{4}$ et\n$x \\equiv 2 \\pmod{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ a pour reste $1$ modulo $4$ et $2$ modulo $3$. Les\nsolutions sont les $5 + 12k$, car $4$ et $3$ sont premiers entre eux."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la première condition est remplie : modulo $3$, le reste de\n$1$ vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde condition est remplie : modulo $4$, le reste de\n$2$ vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut\nretirer $12$ et obtenir $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système\n$x \\equiv r \\pmod m$, $x \\equiv s \\pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.\nOn la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \\dots$"
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \\equiv 3 \\pmod{4}$ et\n$x \\equiv 4 \\pmod{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $19$ a pour reste $3$ modulo $4$ et $4$ modulo $5$. Les\nsolutions sont les $19 + 20k$, car $4$ et $5$ sont premiers entre eux."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la première condition est remplie : modulo $5$, le reste de\n$3$ vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde condition est remplie : modulo $4$, le reste de\n$4$ vaut $0$."
            },
            {
              "text": "$39$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut\nretirer $20$ et obtenir $19$."
            }
          ],
          "explanation": "Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système\n$x \\equiv r \\pmod m$, $x \\equiv s \\pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.\nOn la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \\dots$"
        },
        {
          "statement": "Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \\equiv 1 \\pmod{3}$ et\n$x \\equiv 4 \\pmod{7}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ a pour reste $1$ modulo $3$ et $4$ modulo $7$. Les\nsolutions sont les $4 + 21k$, car $3$ et $7$ sont premiers entre eux."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la première condition est remplie : modulo $7$, le reste de\n$1$ vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde condition est remplie : modulo $3$, le reste de\n$11$ vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut\nretirer $21$ et obtenir $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système\n$x \\equiv r \\pmod m$, $x \\equiv s \\pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.\nOn la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \\dots$"
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chiffrement-affine",
        "inverse-modulo"
      ],
      "title": "Déchiffrer un chiffrement affine",
      "partie": "chiffrement",
      "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par\n$y \\equiv 3x + 5 \\pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\equiv 9(y - 5) \\pmod{26}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3x \\equiv y - 5$, et $9$ est l'inverse de $3$ modulo $26$\n($3 \\times 9 = 27 \\equiv 1$)."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 9y - 5 \\pmod{26}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des opérations : on retire d'abord $5$, puis on multiplie\npar l'inverse ; ici le $5$ n'est pas multiplié par $9$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 3(y - 5) \\pmod{26}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplier par $3$ chiffre une seconde fois : pour défaire la\nmultiplication par $3$, il faut son **inverse** modulo $26$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 23(y - 5) \\pmod{26}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$23 \\equiv -3$ est l'**opposé** de $3$ modulo $26$, pas son inverse :\n$3 \\times 23 \\not\\equiv 1 \\pmod{26}$."
        }
      ],
      "explanation": "Un chiffrement affine $y \\equiv ax + b \\pmod{26}$ se déchiffre par\n$x \\equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe\nque si $a$ est premier avec $26$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par\n$y \\equiv 3x + 5 \\pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 9(y - 5) \\pmod{26}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3x \\equiv y - 5$, et $9$ est l'inverse de $3$ modulo $26$\n($3 \\times 9 = 27 \\equiv 1$)."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 9y - 5 \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : on retire d'abord $5$, puis on multiplie\npar l'inverse ; ici le $5$ n'est pas multiplié par $9$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 3(y - 5) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $3$ chiffre une seconde fois : pour défaire la\nmultiplication par $3$, il faut son **inverse** modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 23(y - 5) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$23 \\equiv -3$ est l'**opposé** de $3$ modulo $26$, pas son inverse :\n$3 \\times 23 \\not\\equiv 1 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un chiffrement affine $y \\equiv ax + b \\pmod{26}$ se déchiffre par\n$x \\equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe\nque si $a$ est premier avec $26$."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par\n$y \\equiv 9x + 8 \\pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 3(y - 8) \\pmod{26}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9x \\equiv y - 8$, et $3$ est l'inverse de $9$ modulo $26$\n($9 \\times 3 = 27 \\equiv 1$)."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 3y - 8 \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : on retire d'abord $8$, puis on multiplie\npar l'inverse ; ici le $8$ n'est pas multiplié par $3$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 9(y - 8) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $9$ chiffre une seconde fois : pour défaire la\nmultiplication par $9$, il faut son **inverse** modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 17(y - 8) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$17 \\equiv -9$ est l'**opposé** de $9$ modulo $26$, pas son inverse :\n$9 \\times 17 \\not\\equiv 1 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un chiffrement affine $y \\equiv ax + b \\pmod{26}$ se déchiffre par\n$x \\equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe\nque si $a$ est premier avec $26$."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par\n$y \\equiv 7x + 3 \\pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 15(y - 3) \\pmod{26}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7x \\equiv y - 3$, et $15$ est l'inverse de $7$ modulo $26$\n($7 \\times 15 = 105 \\equiv 1$)."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 15y - 3 \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : on retire d'abord $3$, puis on multiplie\npar l'inverse ; ici le $3$ n'est pas multiplié par $15$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 7(y - 3) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $7$ chiffre une seconde fois : pour défaire la\nmultiplication par $7$, il faut son **inverse** modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 19(y - 3) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$19 \\equiv -7$ est l'**opposé** de $7$ modulo $26$, pas son inverse :\n$7 \\times 19 \\not\\equiv 1 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un chiffrement affine $y \\equiv ax + b \\pmod{26}$ se déchiffre par\n$x \\equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe\nque si $a$ est premier avec $26$."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par\n$y \\equiv 11x + 2 \\pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\equiv 19(y - 2) \\pmod{26}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11x \\equiv y - 2$, et $19$ est l'inverse de $11$ modulo $26$\n($11 \\times 19 = 209 \\equiv 1$)."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 19y - 2 \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : on retire d'abord $2$, puis on multiplie\npar l'inverse ; ici le $2$ n'est pas multiplié par $19$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 11(y - 2) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $11$ chiffre une seconde fois : pour défaire la\nmultiplication par $11$, il faut son **inverse** modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$x \\equiv 15(y - 2) \\pmod{26}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$15 \\equiv -11$ est l'**opposé** de $11$ modulo $26$, pas son inverse :\n$11 \\times 15 \\not\\equiv 1 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un chiffrement affine $y \\equiv ax + b \\pmod{26}$ se déchiffre par\n$x \\equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe\nque si $a$ est premier avec $26$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chiffrement-affine",
        "premiers-entre-eux"
      ],
      "title": "Choisir une clé de chiffrement affine",
      "partie": "chiffrement",
      "statement": "On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par\n$y \\equiv ax + 3 \\pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres\ndifférentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$\net le chiffrement se déchiffre."
        },
        {
          "text": "$a = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\text{PGCD}(13\\ ;\\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $13 \\times 2 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
        },
        {
          "text": "$a = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\text{PGCD}(4\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $4 \\times 13 = 52 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
        },
        {
          "text": "$a = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\text{PGCD}(2\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $2 \\times 13 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
        }
      ],
      "explanation": "La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire\nimpaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par\n$y \\equiv ax + 3 \\pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres\ndifférentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$\net le chiffrement se déchiffre."
            },
            {
              "text": "$a = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(13\\ ;\\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $13 \\times 2 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(4\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $4 \\times 13 = 52 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(2\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $2 \\times 13 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire\nimpaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$."
        },
        {
          "statement": "On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par\n$y \\equiv ax + 3 \\pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres\ndifférentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$\net le chiffrement se déchiffre."
            },
            {
              "text": "$a = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(6\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $6 \\times 13 = 78 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(13\\ ;\\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $13 \\times 2 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(8\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $8 \\times 13 = 104 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire\nimpaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$."
        },
        {
          "statement": "On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par\n$y \\equiv ax + 3 \\pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres\ndifférentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$\net le chiffrement se déchiffre."
            },
            {
              "text": "$a = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(12\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $12 \\times 13 = 156 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(13\\ ;\\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $13 \\times 2 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(10\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $10 \\times 13 = 130 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire\nimpaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$."
        },
        {
          "statement": "On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par\n$y \\equiv ax + 3 \\pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres\ndifférentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $11$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$\net le chiffrement se déchiffre."
            },
            {
              "text": "$a = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(2\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $2 \\times 13 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(14\\ ;\\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $14 \\times 13 = 182 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            },
            {
              "text": "$a = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\text{PGCD}(13\\ ;\\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même\nlettre chiffrée, car $13 \\times 2 = 26 \\equiv 0 \\pmod{26}$."
            }
          ],
          "explanation": "La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire\nimpaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "rsa",
        "inverse-modulo"
      ],
      "title": "Calculer une clé privée RSA",
      "partie": "chiffrement",
      "statement": "Dans un système RSA, $n = 3 \\times 11 = 33$ et la clé publique est $e = 7$.\nLa clé privée $d$ vérifie $ed \\equiv 1 \\pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$\n(entre $1$ et $20$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$d = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 2 \\times 10 = 20$ et\n$7 \\times 3 = 21 \\equiv 1 \\pmod{20}$."
        },
        {
          "text": "$d = 19$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'inverse de $7$ modulo $n = 33$ ; la clé privée est l'inverse\nmodulo $(p - 1)(q - 1) = 20$."
        },
        {
          "text": "$d = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "$20 - 7$ est l'**opposé** de $e$ modulo $20$ : $ed$ serait alors\ncongru à $-7^2$, pas à $1$."
        },
        {
          "text": "$d = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Clé publique recopiée : $7 \\times 7 \\not\\equiv 1 \\pmod{20}$ ici."
        }
      ],
      "explanation": "RSA : on chiffre par $c \\equiv m^e \\pmod n$ et l'on déchiffre par\n$m \\equiv c^d \\pmod n$, avec $ed \\equiv 1 \\pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité\nrepose sur la difficulté de factoriser $n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un système RSA, $n = 3 \\times 11 = 33$ et la clé publique est $e = 7$.\nLa clé privée $d$ vérifie $ed \\equiv 1 \\pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$\n(entre $1$ et $20$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$d = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 2 \\times 10 = 20$ et\n$7 \\times 3 = 21 \\equiv 1 \\pmod{20}$."
            },
            {
              "text": "$d = 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'inverse de $7$ modulo $n = 33$ ; la clé privée est l'inverse\nmodulo $(p - 1)(q - 1) = 20$."
            },
            {
              "text": "$d = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "$20 - 7$ est l'**opposé** de $e$ modulo $20$ : $ed$ serait alors\ncongru à $-7^2$, pas à $1$."
            },
            {
              "text": "$d = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Clé publique recopiée : $7 \\times 7 \\not\\equiv 1 \\pmod{20}$ ici."
            }
          ],
          "explanation": "RSA : on chiffre par $c \\equiv m^e \\pmod n$ et l'on déchiffre par\n$m \\equiv c^d \\pmod n$, avec $ed \\equiv 1 \\pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité\nrepose sur la difficulté de factoriser $n$."
        },
        {
          "statement": "Dans un système RSA, $n = 5 \\times 11 = 55$ et la clé publique est $e = 7$.\nLa clé privée $d$ vérifie $ed \\equiv 1 \\pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$\n(entre $1$ et $40$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$d = 23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 4 \\times 10 = 40$ et\n$7 \\times 23 = 161 \\equiv 1 \\pmod{40}$."
            },
            {
              "text": "$d = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'inverse de $7$ modulo $n = 55$ ; la clé privée est l'inverse\nmodulo $(p - 1)(q - 1) = 40$."
            },
            {
              "text": "$d = 33$",
              "correct": false,
              "feedback": "$40 - 7$ est l'**opposé** de $e$ modulo $40$ : $ed$ serait alors\ncongru à $-7^2$, pas à $1$."
            },
            {
              "text": "$d = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Clé publique recopiée : $7 \\times 7 \\not\\equiv 1 \\pmod{40}$ ici."
            }
          ],
          "explanation": "RSA : on chiffre par $c \\equiv m^e \\pmod n$ et l'on déchiffre par\n$m \\equiv c^d \\pmod n$, avec $ed \\equiv 1 \\pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité\nrepose sur la difficulté de factoriser $n$."
        },
        {
          "statement": "Dans un système RSA, $n = 7 \\times 11 = 77$ et la clé publique est $e = 13$.\nLa clé privée $d$ vérifie $ed \\equiv 1 \\pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$\n(entre $1$ et $60$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$d = 37$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 6 \\times 10 = 60$ et\n$13 \\times 37 = 481 \\equiv 1 \\pmod{60}$."
            },
            {
              "text": "$d = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'inverse de $13$ modulo $n = 77$ ; la clé privée est l'inverse\nmodulo $(p - 1)(q - 1) = 60$."
            },
            {
              "text": "$d = 47$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60 - 13$ est l'**opposé** de $e$ modulo $60$ : $ed$ serait alors\ncongru à $-13^2$, pas à $1$."
            },
            {
              "text": "$d = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Clé publique recopiée : $13 \\times 13 \\not\\equiv 1 \\pmod{60}$ ici."
            }
          ],
          "explanation": "RSA : on chiffre par $c \\equiv m^e \\pmod n$ et l'on déchiffre par\n$m \\equiv c^d \\pmod n$, avec $ed \\equiv 1 \\pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité\nrepose sur la difficulté de factoriser $n$."
        },
        {
          "statement": "Dans un système RSA, $n = 5 \\times 13 = 65$ et la clé publique est $e = 11$.\nLa clé privée $d$ vérifie $ed \\equiv 1 \\pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$\n(entre $1$ et $48$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$d = 35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 4 \\times 12 = 48$ et\n$11 \\times 35 = 385 \\equiv 1 \\pmod{48}$."
            },
            {
              "text": "$d = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'inverse de $11$ modulo $n = 65$ ; la clé privée est l'inverse\nmodulo $(p - 1)(q - 1) = 48$."
            },
            {
              "text": "$d = 37$",
              "correct": false,
              "feedback": "$48 - 11$ est l'**opposé** de $e$ modulo $48$ : $ed$ serait alors\ncongru à $-11^2$, pas à $1$."
            },
            {
              "text": "$d = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Clé publique recopiée : $11 \\times 11 \\not\\equiv 1 \\pmod{48}$ ici."
            }
          ],
          "explanation": "RSA : on chiffre par $c \\equiv m^e \\pmod n$ et l'on déchiffre par\n$m \\equiv c^d \\pmod n$, avec $ed \\equiv 1 \\pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité\nrepose sur la difficulté de factoriser $n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "chiffrement-affine"
      ],
      "title": "Chiffrer une lettre",
      "partie": "chiffrement",
      "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par\n$y \\equiv 3x + 5 \\pmod{26}$, avec $0 \\leq y \\leq 25$. Quel est le nombre $y$\nassocié à $x = 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 23$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 6 + 5 = 23$, dont le reste dans la\ndivision par $26$ vaut $23$."
        },
        {
          "text": "$y = 18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le décalage $+5$ a été oublié : on calcule $3x + 5$ avant de\nréduire modulo $26$."
        },
        {
          "text": "$y = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parenthèses mal placées : la formule est $3x + 5$, et non\n$3(x + 5)$."
        },
        {
          "text": "$y = 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $3$\nmanque."
        }
      ],
      "explanation": "Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le\nrésultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par\n$y \\equiv 3x + 5 \\pmod{26}$, avec $0 \\leq y \\leq 25$. Quel est le nombre $y$\nassocié à $x = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 6 + 5 = 23$, dont le reste dans la\ndivision par $26$ vaut $23$."
            },
            {
              "text": "$y = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le décalage $+5$ a été oublié : on calcule $3x + 5$ avant de\nréduire modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$y = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses mal placées : la formule est $3x + 5$, et non\n$3(x + 5)$."
            },
            {
              "text": "$y = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $3$\nmanque."
            }
          ],
          "explanation": "Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le\nrésultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par\n$y \\equiv 5x + 2 \\pmod{26}$, avec $0 \\leq y \\leq 25$. Quel est le nombre $y$\nassocié à $x = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 9 + 2 = 47$, dont le reste dans la\ndivision par $26$ vaut $21$."
            },
            {
              "text": "$y = 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le décalage $+2$ a été oublié : on calcule $5x + 2$ avant de\nréduire modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses mal placées : la formule est $5x + 2$, et non\n$5(x + 2)$."
            },
            {
              "text": "$y = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $5$\nmanque."
            }
          ],
          "explanation": "Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le\nrésultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par\n$y \\equiv 7x + 4 \\pmod{26}$, avec $0 \\leq y \\leq 25$. Quel est le nombre $y$\nassocié à $x = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7 \\times 8 + 4 = 60$, dont le reste dans la\ndivision par $26$ vaut $8$."
            },
            {
              "text": "$y = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le décalage $+4$ a été oublié : on calcule $7x + 4$ avant de\nréduire modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$y = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses mal placées : la formule est $7x + 4$, et non\n$7(x + 4)$."
            },
            {
              "text": "$y = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $7$\nmanque."
            }
          ],
          "explanation": "Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le\nrésultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre."
        },
        {
          "statement": "Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par\n$y \\equiv 9x + 1 \\pmod{26}$, avec $0 \\leq y \\leq 25$. Quel est le nombre $y$\nassocié à $x = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 \\times 11 + 1 = 100$, dont le reste dans la\ndivision par $26$ vaut $22$."
            },
            {
              "text": "$y = 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le décalage $+1$ a été oublié : on calcule $9x + 1$ avant de\nréduire modulo $26$."
            },
            {
              "text": "$y = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses mal placées : la formule est $9x + 1$, et non\n$9(x + 1)$."
            },
            {
              "text": "$y = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $9$\nmanque."
            }
          ],
          "explanation": "Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le\nrésultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "codes-controle",
        "congruences"
      ],
      "title": "Clé de contrôle modulo $11$",
      "partie": "chiffrement",
      "statement": "Un code ISBN-10 $a_1a_2\\dots a_{10}$ vérifie\n$10a_1 + 9a_2 + \\dots + 2a_9 + a_{10} \\equiv 0 \\pmod{11}$. Pourquoi une erreur\nsur un seul chiffre est-elle toujours détectée ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une erreur $\\delta$ sur $a_k$ change la somme de $c\\,\\delta$, non multiple de $11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $a_k$ change de $\\delta \\neq 0$, la somme change de $c\\,\\delta$ ;\n$11$ est premier et ne divise ni le poids $c$\n(entre $1$ et $10$) ni $\\delta$ (entre $-10$ et $10$), donc il ne divise\npas $c\\,\\delta$ : la somme n'est plus multiple de $11$."
        },
        {
          "text": "Parce que la somme pondérée obtenue est toujours paire",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien n'impose la parité de la somme ; la détection repose sur la\ndivisibilité par $11$."
        },
        {
          "text": "Parce que chaque chiffre du code est inférieur à $11$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est nécessaire, mais insuffisant : avec des poids multiples de\n$11$, une erreur passerait inaperçue. Il faut que $11$ soit premier\navec chaque poids et chaque écart."
        },
        {
          "text": "Parce qu'une erreur change toujours le dernier chiffre $a_{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur peut porter sur n'importe quel chiffre ; c'est la somme\npondérée qui la révèle, pas le dernier chiffre seul."
        }
      ],
      "explanation": "Les clés de contrôle (ISBN, RIB, numéro INSEE) reposent sur une\ncongruence. Un module premier rend tous les poids inversibles, ce qui\ngarantit la détection d'une erreur sur un chiffre."
    }
  ]
}