{
  "chapter": {
    "id": "complexes-algebrique",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Nombres complexes",
    "title": "Nombres complexes : point de vue algébrique",
    "description": "L'ensemble $\\mathbb{C}$, partie réelle et partie imaginaire,\nopérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un\nnombre complexe non nul, équations $az = b$ et équations\nsimples faisant intervenir $z$ et $\\bar{z}$, formule du binôme.",
    "parties": [
      {
        "id": "forme",
        "title": "Forme algébrique et opérations"
      },
      {
        "id": "conjugue",
        "title": "Conjugué, module et parties"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations et systèmes"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "i"
      ],
      "title": "Le nombre $i$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle égalité définit le nombre $i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$i^2 = -1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $i$ est introduit comme un nombre dont le\ncarré vaut $-1$ : la clé qui ouvre la résolution de\ntoutes les équations du second degré."
        },
        {
          "text": "$i = \\sqrt{-1}$, avec les règles usuelles des racines",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège d'écriture : la notation $\\sqrt{\\ }$ est réservée\naux réels positifs ; l'utiliser avec $-1$ mène à des\nabsurdités ($1 = \\sqrt{1} = \\sqrt{(-1)(-1)} =\ni \\times i = -1$ ?!). On dit : $i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$i = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^2 = 1 \\neq -1$. Le nombre $i$ n'est pas\nréel : c'est son **carré** qui vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$i^2 = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les nombres de carré $1$ sont $1$ et $-1$, déjà\nréels. La nouveauté de $i$ : $i^2 = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{C}$ est construit en adjoignant à $\\mathbb{R}$ un\nnombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ; tout complexe s'écrit alors\n$z = a + ib$ ($a, b$ réels). Puissances utiles : $i^3 = -i$,\n$i^4 = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "forme-algebrique"
      ],
      "title": "Parties réelle et imaginaire",
      "partie": "forme",
      "statement": "Soit $z = 3 - 5i$. Que valent la partie réelle et la partie\nimaginaire de $z$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = -5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $z = a + ib$, la partie imaginaire\nest le **réel** $b$ (ici $-5$), sans le facteur $i$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = -5i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de convention : la partie imaginaire est un\nnombre **réel** (le coefficient de $i$), pas $-5i$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $z = 3 + (-5)i$ : le coefficient de\n$i$ est $-5$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = -5$ et $\\text{Im}(z) = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle est le terme **sans**\n$i$ ($3$)."
        }
      ],
      "explanation": "Forme algébrique $z = a + ib$ : $\\text{Re}(z) = a$,\n$\\text{Im}(z) = b$, tous deux **réels**. Deux complexes sont\négaux si et seulement si leurs parties réelles et\nimaginaires coïncident."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "operations",
        "produit"
      ],
      "title": "Produit de deux complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut le produit $(2 + i)(3 - 2i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8 - i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut\n$6 - (-2) = 8$ (car $i^2 = -1$) et la partie\nimaginaire $-4 + 3 = -1$."
        },
        {
          "text": "$6 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : produit des seules parties réelles et des seules\nparties imaginaires. On développe entièrement (double\ndistribution), avec $i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$4 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties\nimaginaires donne $(-2)\\,i^2$, qu'il faut **retrancher**\nà la partie réelle."
        },
        {
          "text": "$8 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut\n$-4 + 3 = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut le produit $(2 + i)(3 - 2i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 - i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut\n$6 - (-2) = 8$ (car $i^2 = -1$) et la partie\nimaginaire $-4 + 3 = -1$."
            },
            {
              "text": "$6 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : produit des seules parties réelles et des seules\nparties imaginaires. On développe entièrement (double\ndistribution), avec $i^2 = -1$."
            },
            {
              "text": "$4 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties\nimaginaires donne $(-2)\\,i^2$, qu'il faut **retrancher**\nà la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$8 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut\n$-4 + 3 = -1$."
            }
          ],
          "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le produit $(1 + 2i)(3 - i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 + 5i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut\n$3 - (-2) = 5$ (car $i^2 = -1$) et la partie\nimaginaire $-1 + 6 = 5$."
            },
            {
              "text": "$3 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : produit des seules parties réelles et des seules\nparties imaginaires. On développe entièrement (double\ndistribution), avec $i^2 = -1$."
            },
            {
              "text": "$1 + 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties\nimaginaires donne $(-2)\\,i^2$, qu'il faut **retrancher**\nà la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$5 - 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut\n$-1 + 6 = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le produit $(3 - i)(2 + 4i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10 + 10i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut\n$6 - (-4) = 10$ (car $i^2 = -1$) et la partie\nimaginaire $12 + (-2) = 10$."
            },
            {
              "text": "$6 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : produit des seules parties réelles et des seules\nparties imaginaires. On développe entièrement (double\ndistribution), avec $i^2 = -1$."
            },
            {
              "text": "$2 + 10i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties\nimaginaires donne $(-4)\\,i^2$, qu'il faut **retrancher**\nà la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$10 - 10i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut\n$12 + (-2) = 10$."
            }
          ],
          "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le produit $(4 + i)(1 - 3i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7 - 11i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut\n$4 - (-3) = 7$ (car $i^2 = -1$) et la partie\nimaginaire $-12 + 1 = -11$."
            },
            {
              "text": "$4 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : produit des seules parties réelles et des seules\nparties imaginaires. On développe entièrement (double\ndistribution), avec $i^2 = -1$."
            },
            {
              "text": "$1 - 11i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties\nimaginaires donne $(-3)\\,i^2$, qu'il faut **retrancher**\nà la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$7 + 11i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut\n$-12 + 1 = -11$."
            }
          ],
          "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conjugaison"
      ],
      "title": "Conjugué d'un nombre complexe",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Quel est le conjugué de $z = 4 + 3i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\bar{z} = 4 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : conjuguer change le signe de la **partie\nimaginaire** seulement (symétrie par rapport à l'axe\nréel)."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = -4 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'**opposé** $-z$. Le conjugué ne touche\npas la partie réelle."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = -4 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer\nagit sur le terme en $i$."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = 3 + 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe\nde la partie imaginaire bascule."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overline{a + ib} = a - ib$. Propriétés (démonstrations au\nprogramme) : $\\overline{z + z'} = \\bar{z} + \\bar{z'}$,\n$\\overline{zz'} = \\bar{z}\\,\\bar{z'}$, et\n$z\\bar{z} = a^2 + b^2$, réel positif : l'outil des\ndivisions."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse",
        "calcul"
      ],
      "title": "Inverse d'un complexe",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{1}{1 + 2i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5} - \\dfrac{2}{5}i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le\nconjugué : $\\dfrac{1 - 2i}{(1+2i)(1-2i)} =\n\\dfrac{1 - 2i}{1 + 4} = \\dfrac{1 - 2i}{5}$."
        },
        {
          "text": "$1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il\nfaut diviser par $z\\bar{z} = 5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{1} + \\dfrac{1}{2i}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des\ninverses (déjà faux chez les réels !)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5} + \\dfrac{2}{5}i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le numérateur est le **conjugué**\n$1 - 2i$ : la partie imaginaire de l'inverse est\nnégative."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode systématique : $\\dfrac{1}{z} =\n\\dfrac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}$, le dénominateur $z\\bar{z} =\na^2 + b^2$ étant réel. Ici : $\\frac{1-2i}{5}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "lineaire"
      ],
      "title": "Équation linéaire $az = b$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $(1 + i)z = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 2 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{4}{1+i} = \\dfrac{4(1-i)}\n{(1+i)(1-i)} = \\dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i)$."
        },
        {
          "text": "$z = 4 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on\n**divise** par $1 + i$ (via le conjugué)."
        },
        {
          "text": "$z = 2 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est\n$1 - i$, qui transmet son signe : $z = 2 - 2i$.\n(Contrôle : $(1+i)(2+2i) = 4i \\neq 4$.)"
        },
        {
          "text": "$z = 4(1 + i)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $1 + i$ au lieu de diviser.\nContrôle : $(1+i) \\times 4(1+i) = 4(1+i)^2 = 8i \\neq 4$."
        }
      ],
      "explanation": "$az = b \\Rightarrow z = \\dfrac{b}{a}$, calculé par le\nconjugué. Toujours vérifier : $(1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i +\n2 = 4$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "conjugue"
      ],
      "title": "Équation avec $z$ et $\\bar{z}$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $z + \\bar{z} = 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les complexes de partie réelle $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $z = x + iy$ : $z + \\bar{z} = 2x =\n6$, donc $x = 3$, et $y$ reste **libre** : une droite de\nsolutions, la droite verticale d'équation $x = 3$ du plan\ncomplexe."
        },
        {
          "text": "Uniquement le nombre réel $z = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $3 + 4i$ convient aussi ($z + \\bar{z} = 6$).\nLa partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est\nlibre."
        },
        {
          "text": "Uniquement le nombre réel $z = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 + \\bar{6} = 12 \\neq 6$. La somme\n$z + \\bar{z}$ vaut $2\\,\\text{Re}(z)$ : on résout\n$2x = 6$."
        },
        {
          "text": "Aucun nombre complexe ne vérifie cette équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout $z = 3 + iy$ convient : une infinité de\nsolutions."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : poser $z = x + iy$ et identifier.\n$z + \\bar{z} = 2x$ et $z - \\bar{z} = 2iy$ : les équations en\n$z$, $\\bar{z}$ se traduisent en conditions sur $x$ et $y$.\nIci, l'ensemble des solutions est la droite verticale\nd'équation $x = 3$ du plan complexe."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conjugaison",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Conjugué d'un produit",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Pour tous complexes $z$ et $z'$, que vaut $\\overline{z\\,z'}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\bar{z} \\times \\bar{z'}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits\n(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après\nmultiplication revient au même."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} + \\bar{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la\n**somme**, pas du produit."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} \\times z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la conjugaison porte sur **tout** le produit,\ndonc sur chacun des deux facteurs ; ne conjuguer que $z$\nne donne le bon résultat que si $z'$ est réel."
        },
        {
          "text": "$-\\bar{z} \\times \\bar{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : conjuguer n'introduit aucun signe moins global\n(seule la partie imaginaire bascule) ; le conjugué d'un\nproduit est le produit des conjugués, sans opposé."
        }
      ],
      "explanation": "Propriétés de la conjugaison : $\\overline{z + z'} = \\bar{z} +\n\\bar{z'}$, $\\overline{zz'} = \\bar{z}\\bar{z'}$,\n$\\overline{z^n} = \\bar{z}^n$, $\\overline{1/z} = 1/\\bar{z}$ :\nelle commute avec toutes les opérations."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binome"
      ],
      "title": "Formule du binôme dans $\\mathbb{C}$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $(1 + i)^2$, et qu'en déduit-on pour\n$(1 + i)^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + 2i + i^2 = 2i$, puis $(2i)^2 =\n4i^2 = -4$ : les puissances se calculent par étages."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2$, donc $(1+i)^4 = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le double produit $2i$ ne disparaît pas :\n$(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ (imaginaire pur)."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 1 + i^2 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : le carré d'une somme exige le double\nproduit : $1 + 2i + i^2 = 2i \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur à la deuxième étape : $(2i)^2 = 4i^2 = -4$, réel\nnégatif ($i^2 = -1$ frappe encore)."
        }
      ],
      "explanation": "La formule du binôme vaut dans $\\mathbb{C}$ (démonstration au\nprogramme). $(1+i)^2 = 2i$ et $(1+i)^4 = -4$ : exemple\nfétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "z-zbar",
        "module-carre"
      ],
      "title": "Le produit $z\\bar{z}$",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Soit $z = a + ib$ (avec $a$, $b$ réels). Que vaut\n$z\\,\\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^2 + b^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 +\nb^2$, un réel positif : l'identité remarquable qui rend\nles dénominateurs réels."
        },
        {
          "text": "$a^2 - b^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $-(ib)^2 = -i^2b^2 = +b^2$ : le\n$i^2 = -1$ retourne le signe."
        },
        {
          "text": "$a^2 + b^2\\,i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les termes croisés $-iab + iab$ s'annulent :\nle produit est **réel**."
        },
        {
          "text": "$2a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $2a = z + \\bar{z}$ (la somme). Le\n**produit** donne $a^2 + b^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$z\\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif, nul\nseulement pour $z = 0$. C'est le carré du module\n($|z|^2 = z\\bar{z}$, exploité au chapitre géométrique)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reel-imaginaire-pur"
      ],
      "title": "Caractériser les réels par la conjugaison",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Soit $z$ un nombre complexe. Que signifie l'égalité\n$\\bar{z} = z$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z$ est un nombre réel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = z \\Leftrightarrow -b = b\n\\Leftrightarrow b = 0$ : la partie imaginaire est nulle.\n(De même : $\\bar{z} = -z \\Leftrightarrow z$ imaginaire\npur.)"
        },
        {
          "text": "$z$ est un imaginaire pur",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : l'imaginaire pur vérifie $\\bar{z} = -z$\n(partie réelle nulle)."
        },
        {
          "text": "$z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : tout réel ($7$, $-3$, $\\pi$…) est égal\nà son conjugué."
        },
        {
          "text": "$z = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : la propriété caractérise **tous** les\nréels, pas seulement $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Caractérisations utiles : $z \\in \\mathbb{R} \\Leftrightarrow\n\\bar{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\\Leftrightarrow \\bar{z} =\n-z$. Elles transforment des questions de nature en équations."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissances-i"
      ],
      "title": "Puissances de $i$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $i^{2026}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les puissances de $i$ tournent avec une\npériode $4$ ($i, -1, -i, 1$) ; $2026 = 4 \\times 506 + 2$,\ndonc $i^{2026} = i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i^n = 1$ exige $n$ multiple de $4$ ; or\n$2026 \\equiv 2 \\pmod 4$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i^n = i$ correspond à $n \\equiv 1 \\pmod 4$ ;\nle reste de $2026$ est $2$."
        },
        {
          "text": "$-i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-i$ correspond au reste $3$. Ici $2026 = 4\n\\times 506 + 2$ : $i^{2026} = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Cycle des puissances : $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$,\n$i^4 = 1$, puis répétition. Calculer $i^n$ : réduire $n$\nmodulo $4$ (un avant-goût des congruences du chapitre\nd'arithmétique)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "somme"
      ],
      "title": "Somme de deux complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut la somme $(3 + 2i) + (1 - 5i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : parties réelles ensemble ($3 + 1$),\nparties imaginaires ensemble ($2 - 5$)."
        },
        {
          "text": "$4 + 7i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2i + (-5i) = -3i$ : le moins de $5i$ compte."
        },
        {
          "text": "$-1 + 7i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles\n($3 + 1 = 4$), sans croiser les imaginaires."
        },
        {
          "text": "$9i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la\nsomme garde deux composantes : $4$ et $-3i$."
        }
      ],
      "explanation": "Addition composante par composante, comme des vecteurs :\n$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$. La structure la\nplus simple du chapitre : la géométrie dira « translation »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identification"
      ],
      "title": "Identifier parties réelles et imaginaires",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "$x$ et $y$ sont des réels tels que $x + 2i = 3 + yi$. Que\nvalent $x$ et $y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$ et $y = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et\nseulement si leurs parties réelles ET imaginaires\ncoïncident : $x = 3$, $2 = y$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$ et $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Croisement : $x$ (réel) s'identifie à $3$ (réel), et le\ncoefficient $2$ de $i$ à $y$."
        },
        {
          "text": "Impossible : une équation ne détermine pas deux\ninconnues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations\nréelles (une par partie) : exactement de quoi trouver\n$x$ et $y$."
        },
        {
          "text": "$x = 3 + yi - 2i$, on ne peut pas mieux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x$ est RÉEL par hypothèse : sa partie\nimaginaire est nulle, ce qui force $y = 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Identification : $a + ib = c + id \\iff a = c$ et $b = d$\n($a, b, c, d$ réels). Une égalité complexe se dédouble en\ndeux égalités réelles : l'outil des équations à\ncoefficients inconnus."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient"
      ],
      "title": "Quotient de deux complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{2 + i}{1 - i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué\n$1 + i$ : numérateur $(2 + i)(1 + i) = 1 + 3i$,\ndénominateur $1 + 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$2 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3 + 3i}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$\nfois le produit des parties imaginaires, il change de signe."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur : $(1 - i)(1 + i) = 1 + 1 = 2$ ;\n$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|1 - i|^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le\nrésultat par le dénominateur redonne le numérateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{2 + i}{1 - i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué\n$1 + i$ : numérateur $(2 + i)(1 + i) = 1 + 3i$,\ndénominateur $1 + 1 = 2$."
            },
            {
              "text": "$2 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3 + 3i}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$\nfois le produit des parties imaginaires, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{0}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur : $(1 - i)(1 + i) = 1 + 1 = 2$ ;\n$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|1 - i|^2$."
            }
          ],
          "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le\nrésultat par le dénominateur redonne le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{2 + 3i}{1 + 2i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{8 - i}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué\n$1 - 2i$ : numérateur $(2 + 3i)(1 - 2i) = 8 - i$,\ndénominateur $1 + 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$2 + \\dfrac{3}{2}i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{-4 - i}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$\nfois le produit des parties imaginaires, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8 - i}{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur : $(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5$ ;\n$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|1 + 2i|^2$."
            }
          ],
          "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le\nrésultat par le dénominateur redonne le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{1 + 3i}{2 - i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{-1 + 7i}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué\n$2 + i$ : numérateur $(1 + 3i)(2 + i) = -1 + 7i$,\ndénominateur $4 + 1 = 5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2} - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5 + 7i}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$\nfois le produit des parties imaginaires, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{-1 + 7i}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur : $(2 - i)(2 + i) = 4 + 1 = 5$ ;\n$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|2 - i|^2$."
            }
          ],
          "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le\nrésultat par le dénominateur redonne le numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{4 + i}{2 + i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9 - 2i}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué\n$2 - i$ : numérateur $(4 + i)(2 - i) = 9 - 2i$,\ndénominateur $4 + 1 = 5$."
            },
            {
              "text": "$2 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7 - 2i}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$\nfois le produit des parties imaginaires, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9 - 2i}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur : $(2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5$ ;\n$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|2 + i|^2$."
            }
          ],
          "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le\nrésultat par le dénominateur redonne le numérateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "z-moins-zbar"
      ],
      "title": "La différence $z - \\bar{z}$",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Pour $z = a + ib$, que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2ib$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a + ib) - (a - ib) = 2ib$ : la partie\nréelle s'annule, la partie imaginaire double : le résultat\nest un imaginaire pur."
        },
        {
          "text": "$2a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la **somme** : $z + \\bar{z} = 2a$, un réel :\nla différence, elle, isole l'imaginaire."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z - \\bar{z} = 0$ seulement si $z$ est réel\n($b = 0$) : en général, il reste $2ib$."
        },
        {
          "text": "$2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $i$ perdu : la différence vaut $2ib$, imaginaire\npur : $2b$ serait un réel."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux extracteurs : $z + \\bar{z} = 2\\,\\text{Re}(z)$ et\n$z - \\bar{z} = 2i\\,\\text{Im}(z)$ : somme pour le réel,\ndifférence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations\nen $z, \\bar{z}$ en systèmes réels."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-carre-negatif"
      ],
      "title": "Racines carrées d'un réel négatif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 3i$ et $z = -3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ et $(-3i)^2 = -9$ :\nles « racines carrées » de $-9$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
        },
        {
          "text": "$z = -3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-3)^2 = +9 \\neq -9$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
        },
        {
          "text": "$z = 3i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié : $(-3i)^2 = -9$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$).",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 3i$ et $z = -3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ et $(-3i)^2 = -9$ :\nles « racines carrées » de $-9$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$z = -3$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-3)^2 = +9 \\neq -9$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
            },
            {
              "text": "$z = 3i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié : $(-3i)^2 = -9$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
            },
            {
              "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 5i$ et $z = -5i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(5i)^2 = 25i^2 = -25$ et $(-5i)^2 = -25$ :\nles « racines carrées » de $-25$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$z = -5$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-5)^2 = +25 \\neq -25$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
            },
            {
              "text": "$z = 5i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié : $(-5i)^2 = -25$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
            },
            {
              "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -49$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 7i$ et $z = -7i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(7i)^2 = 49i^2 = -49$ et $(-7i)^2 = -49$ :\nles « racines carrées » de $-49$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$z = -7$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-7)^2 = +49 \\neq -49$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
            },
            {
              "text": "$z = 7i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié : $(-7i)^2 = -49$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
            },
            {
              "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$)."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 2i$ et $z = -2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2i)^2 = 4i^2 = -4$ et $(-2i)^2 = -4$ :\nles « racines carrées » de $-4$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$z = -2$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(-2)^2 = +4 \\neq -4$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
            },
            {
              "text": "$z = 2i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié : $(-2i)^2 = -4$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
            },
            {
              "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$)."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-cube"
      ],
      "title": "Calculer $(1 + i)^3$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $(1 + i)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2 + 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(1+i)^2 = 2i$, puis $(1+i)^3 = 2i(1 +\ni) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$ : par étages, jamais en force."
        },
        {
          "text": "$1 + i^3 = 1 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cube distribué à tort : $(a + b)^3 \\neq a^3 + b^3$ : le\nbinôme complet (ou le calcul par étages) est\nobligatoire."
        },
        {
          "text": "$2 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2i \\times i = 2i^2 = -2$ : la partie réelle\nest négative."
        },
        {
          "text": "$3 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $3$ n'est pas élever au cube :\n$(1+i)^3$ se calcule via $(1+i)^2 = 2i$."
        }
      ],
      "explanation": "Stratégie des puissances : passer par le carré ($(1+i)^2 =\n2i$, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :\n$|1+i|^3 = (\\sqrt{2})^3 = 2\\sqrt{2} = |-2 + 2i|$ ✓."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "conjugue"
      ],
      "title": "Conjugué d'une somme",
      "partie": "forme",
      "statement": "À quoi $\\overline{z + z'}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\bar{z} + \\bar{z'}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la conjugaison change le signe de la partie imaginaire,\nterme par terme."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} - \\bar{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inventé : la conjugaison ne transforme pas une somme en\ndifférence."
        },
        {
          "text": "$\\overline{z} \\times \\overline{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération changée : c'est pour un produit que l'on obtient un produit\nde conjugués."
        },
        {
          "text": "$z + z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conjugaison ne laisse invariants que les nombres réels."
        }
      ],
      "explanation": "La conjugaison est compatible avec toutes les opérations : somme, produit,\nquotient et puissance. Elle laisse fixes exactement les nombres réels."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "calcul"
      ],
      "title": "Forme algébrique d'un quotient",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{1}{2 - i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5} + \\dfrac{1}{5}i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par $2 + i$, et le\ndénominateur devient $5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5} - \\dfrac{1}{5}i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la partie imaginaire : multiplier par le conjugué donne\n$2 + i$ au numérateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{i}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes traités séparément : l'inverse d'une différence n'est pas la\ndifférence des inverses, et $\\dfrac{1}{i}$ vaut $-i$."
        },
        {
          "text": "$2 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conjugué recopié : il sert au calcul, mais le dénominateur $5$ reste à\nappliquer."
        }
      ],
      "explanation": "Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient, on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient alors réel."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "parties"
      ],
      "title": "Un imaginaire pur",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle condition caractérise un nombre complexe imaginaire pur ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sa partie réelle est nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il s'écrit alors $ib$ avec $b$ réel."
        },
        {
          "text": "Sa partie imaginaire est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition caractérise au contraire les nombres réels."
        },
        {
          "text": "Son module est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Un module nul caractérise le seul nombre $0$."
        },
        {
          "text": "Il est égal à son conjugué",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité caractérise les réels ; un imaginaire pur est l'opposé de\nson conjugué."
        }
      ],
      "explanation": "Un complexe est réel lorsque $z = \\bar{z}$, et imaginaire pur lorsque\n$z = -\\bar{z}$. Dans le plan, ces deux cas correspondent aux deux axes."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "equation"
      ],
      "title": "Une équation avec le conjugué",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la solution de $2z + \\bar{z} = 6 + i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 2 + i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on obtient $3x = 6$ et\n$y = 1$."
        },
        {
          "text": "$z = 2 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la partie imaginaire : le calcul donne $y = 1$, car\n$2iy - iy$ vaut $iy$."
        },
        {
          "text": "$z = 3 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie réelle fausse : les deux termes en $x$ s'ajoutent, d'où\n$3x = 6$."
        },
        {
          "text": "$z = 6 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second membre recopié : il reste à résoudre le système obtenu."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation mêlant $z$ et $\\bar{z}$ se résout en posant $z = x + iy$,\npuis en identifiant parties réelle et imaginaire des deux membres."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "puissances"
      ],
      "title": "Calculer $i^{2026}$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Combien vaut $i^{2026}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2026 = 4 \\times 506 + 2$, donc la puissance vaut\n$i^2$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : la valeur $1$ correspond à un exposant multiple de $4$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : la valeur $i$ correspond à un reste de $1$ dans la\ndivision par $4$."
        },
        {
          "text": "$-i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste faux : la valeur $-i$ correspond à un reste de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Les puissances de $i$ se répètent de quatre en quatre : $i$, $-1$, $-i$,\n$1$. Il suffit donc de calculer le reste de l'exposant dans la division par\n$4$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "identites"
      ],
      "title": "Développer le carré d'un complexe",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $(2 + 3i)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-5 + 12i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4 + 12i + 9i^2$, et $9i^2$ vaut $-9$."
        },
        {
          "text": "$13 + 12i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré de $i$ oublié : $9i^2$ vaut $-9$, pas $+9$."
        },
        {
          "text": "$4 + 9i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes."
        },
        {
          "text": "$-5 + 6i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $12i$."
        }
      ],
      "explanation": "Les identités remarquables valent dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la\nfin du calcul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $(2 + 3i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5 + 12i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 + 12i + 9i^2$, et $9i^2$ vaut $-9$."
            },
            {
              "text": "$13 + 12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de $i$ oublié : $9i^2$ vaut $-9$, pas $+9$."
            },
            {
              "text": "$4 + 9i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes."
            },
            {
              "text": "$-5 + 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $12i$."
            }
          ],
          "explanation": "Les identités remarquables valent dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la\nfin du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $(1 + 2i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3 + 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 + 4i + 4i^2$, et $4i^2$ vaut $-4$."
            },
            {
              "text": "$5 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de $i$ oublié : $4i^2$ vaut $-4$, pas $+4$."
            },
            {
              "text": "$1 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes."
            },
            {
              "text": "$-3 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $4i$."
            }
          ],
          "explanation": "Les identités remarquables valent dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la\nfin du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $(3 - i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8 - 6i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9 + (-6)i + 1i^2$, et $1i^2$ vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$10 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de $i$ oublié : $1i^2$ vaut $-1$, pas $+1$."
            },
            {
              "text": "$9 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes."
            },
            {
              "text": "$8 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $-6i$."
            }
          ],
          "explanation": "Les identités remarquables valent dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la\nfin du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $(1 - 3i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-8 - 6i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 + (-6)i + 9i^2$, et $9i^2$ vaut $-9$."
            },
            {
              "text": "$10 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de $i$ oublié : $9i^2$ vaut $-9$, pas $+9$."
            },
            {
              "text": "$1 + 9i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes."
            },
            {
              "text": "$-8 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $-6i$."
            }
          ],
          "explanation": "Les identités remarquables valent dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la\nfin du calcul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "produit"
      ],
      "title": "Calculer le produit $z\\bar{z}$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Pour $z = 3 - 4i$, que vaut $z\\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $9 + 16$, soit le carré du module."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré développé sans conjugaison : $(3 - 4i)^2$ vaut $-7 - 24i$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module recopié : le produit $z\\bar{z}$ vaut le carré du module."
        },
        {
          "text": "$25i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,\nc'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour $z = 3 - 4i$, que vaut $z\\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $9 + 16$, soit le carré du module."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré développé sans conjugaison : $(3 - 4i)^2$ vaut $-7 - 24i$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le produit $z\\bar{z}$ vaut le carré du module."
            },
            {
              "text": "$25i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,\nc'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient."
        },
        {
          "statement": "Pour $z = 5 + 12i$, que vaut $z\\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$169$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $25 + 144$, soit le carré du module."
            },
            {
              "text": "$-119$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré développé sans conjugaison : $(5 + 12i)^2$ vaut $-119 + 120i$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le produit $z\\bar{z}$ vaut le carré du module."
            },
            {
              "text": "$169i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,\nc'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient."
        },
        {
          "statement": "Pour $z = 6 - 8i$, que vaut $z\\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $36 + 64$, soit le carré du module."
            },
            {
              "text": "$-28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré développé sans conjugaison : $(6 - 8i)^2$ vaut $-28 - 96i$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le produit $z\\bar{z}$ vaut le carré du module."
            },
            {
              "text": "$100i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,\nc'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient."
        },
        {
          "statement": "Pour $z = 8 + 15i$, que vaut $z\\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$289$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $64 + 225$, soit le carré du module."
            },
            {
              "text": "$-161$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré développé sans conjugaison : $(8 + 15i)^2$ vaut $-161 + 240i$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le produit $z\\bar{z}$ vaut le carré du module."
            },
            {
              "text": "$289i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,\nc'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "systeme"
      ],
      "title": "Identifier deux complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle condition traduit l'égalité de deux nombres complexes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Mêmes parties réelles et imaginaires",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écriture algébrique est unique, ce qui fournit deux\néquations réelles."
        },
        {
          "text": "Mêmes modules, quels que soient les arguments",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux complexes de même module peuvent différer, par exemple $1$ et\n$-1$."
        },
        {
          "text": "Mêmes arguments, quels que soient les modules",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux complexes de même argument peuvent différer par leur module,\ncomme $1$ et $2$."
        },
        {
          "text": "Mêmes conjugués et mêmes modules",
          "correct": false,
          "feedback": "L'égalité des conjugués suffit à elle seule, la condition sur les\nmodules est redondante."
        }
      ],
      "explanation": "L'unicité de la forme algébrique transforme une équation complexe en un\nsystème de deux équations réelles. C'est la méthode d'identification."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résoudre $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 = -16$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4\\,i$ et $-4\\,i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(4\\,i\\right)^2 = 16\\,i^2 = -16$, et l'opposé convient aussi."
        },
        {
          "text": "$4$ et $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré positif : $\\left(4\\right)^2$ vaut $16$, pas $-16$."
        },
        {
          "text": "$16i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :\n$(16i)^2$ vaut $-256$."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions\nopposées."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux\nsolutions imaginaires pures opposées, $\\pm i\\sqrt{-a}$. C'est l'extension\nqui motive l'introduction de $i$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 = -16$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\,i$ et $-4\\,i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(4\\,i\\right)^2 = 16\\,i^2 = -16$, et l'opposé convient aussi."
            },
            {
              "text": "$4$ et $-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré positif : $\\left(4\\right)^2$ vaut $16$, pas $-16$."
            },
            {
              "text": "$16i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :\n$(16i)^2$ vaut $-256$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions\nopposées."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux\nsolutions imaginaires pures opposées, $\\pm i\\sqrt{-a}$. C'est l'extension\nqui motive l'introduction de $i$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 = -12$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\sqrt{3}\\,i$ et $-2\\sqrt{3}\\,i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(2\\sqrt{3}\\,i\\right)^2 = 12\\,i^2 = -12$, et l'opposé convient aussi."
            },
            {
              "text": "$2\\sqrt{3}$ et $-2\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré positif : $\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2$ vaut $12$, pas $-12$."
            },
            {
              "text": "$12i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :\n$(12i)^2$ vaut $-144$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions\nopposées."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux\nsolutions imaginaires pures opposées, $\\pm i\\sqrt{-a}$. C'est l'extension\nqui motive l'introduction de $i$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 = -18$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\sqrt{2}\\,i$ et $-3\\sqrt{2}\\,i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(3\\sqrt{2}\\,i\\right)^2 = 18\\,i^2 = -18$, et l'opposé convient aussi."
            },
            {
              "text": "$3\\sqrt{2}$ et $-3\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré positif : $\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2$ vaut $18$, pas $-18$."
            },
            {
              "text": "$18i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :\n$(18i)^2$ vaut $-324$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions\nopposées."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux\nsolutions imaginaires pures opposées, $\\pm i\\sqrt{-a}$. C'est l'extension\nqui motive l'introduction de $i$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 = -20$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\sqrt{5}\\,i$ et $-2\\sqrt{5}\\,i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(2\\sqrt{5}\\,i\\right)^2 = 20\\,i^2 = -20$, et l'opposé convient aussi."
            },
            {
              "text": "$2\\sqrt{5}$ et $-2\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré positif : $\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2$ vaut $20$, pas $-20$."
            },
            {
              "text": "$20i$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :\n$(20i)^2$ vaut $-400$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions\nopposées."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux\nsolutions imaginaires pures opposées, $\\pm i\\sqrt{-a}$. C'est l'extension\nqui motive l'introduction de $i$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "structure"
      ],
      "title": "Un complexe réel",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle condition sur $z$ traduit que $z$ est un nombre réel ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\bar{z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la partie imaginaire est alors son propre opposé, donc\nnulle."
        },
        {
          "text": "$z = -\\bar{z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition caractérise les imaginaires purs."
        },
        {
          "text": "$|z| = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition décrit le cercle unité, qui contient des complexes non\nréels."
        },
        {
          "text": "$z\\bar{z} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité équivaut à $|z| = 1$, ce qui ne caractérise pas les\nréels."
        }
      ],
      "explanation": "Un complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué, et\nimaginaire pur si et seulement s'il est l'opposé de son conjugué. Ces deux\ncritères évitent de passer par les parties réelle et imaginaire."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une somme de puissances",
      "partie": "forme",
      "statement": "Combien vaut $1 + i + i^2 + i^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + i - 1 - i$ se simplifie entièrement."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes mal simplifiés : $i^2$ vaut $-1$ et $i^3$ vaut $-i$."
        },
        {
          "text": "$2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes ignorés : les deux termes imaginaires sont opposés."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même remarque pour les termes réels : $1$ et $-1$ se compensent."
        }
      ],
      "explanation": "La somme de quatre puissances consécutives de $i$ est toujours nulle,\npuisque le cycle $i$, $-1$, $-i$, $1$ se compense exactement."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complexes",
        "conjugue",
        "quotient"
      ],
      "title": "Conjugué d'un quotient",
      "partie": "forme",
      "statement": "À quoi $\\overline{\\left(\\dfrac{z}{z'}\\right)}$ est-il égal, pour\n$z'$ non nul ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\bar{z}}{\\bar{z'}}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la conjugaison passe au numérateur comme au\ndénominateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\bar{z'}}{\\bar{z}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : la conjugaison ne permute pas les deux termes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{z}{\\bar{z'}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conjugaison incomplète : elle s'applique aux deux nombres."
        },
        {
          "text": "$\\overline{z} \\times \\overline{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération changée : un quotient reste un quotient après conjugaison."
        }
      ],
      "explanation": "La conjugaison est compatible avec les quatre opérations. Elle se comporte\ndonc comme un changement de signe global de la partie imaginaire, appliqué\nterme à terme."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "operations",
        "somme"
      ],
      "title": "Différence de deux complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut la différence $(5 + 3i) - (2 + 7i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 - 4i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre\nelles ($5 - 2 = 3$) et les parties imaginaires de\nmême ($3 - 7 = -4$)."
        },
        {
          "text": "$7 + 10i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte\nsur les deux parties du second nombre, d'où\n$3 - 4i$."
        },
        {
          "text": "$3 + 10i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre\nentier qui est retranché, donc $3 - 7 = -4$."
        },
        {
          "text": "$-4 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($3$),\net $-4$ est le coefficient de $i$."
        }
      ],
      "explanation": "La soustraction se fait composante par composante :\n$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se\ndistribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut la différence $(5 + 3i) - (2 + 7i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 - 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre\nelles ($5 - 2 = 3$) et les parties imaginaires de\nmême ($3 - 7 = -4$)."
            },
            {
              "text": "$7 + 10i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte\nsur les deux parties du second nombre, d'où\n$3 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$3 + 10i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre\nentier qui est retranché, donc $3 - 7 = -4$."
            },
            {
              "text": "$-4 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($3$),\net $-4$ est le coefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "La soustraction se fait composante par composante :\n$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se\ndistribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la différence $(2 - 3i) - (6 + 5i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4 - 8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre\nelles ($2 - 6 = -4$) et les parties imaginaires de\nmême ($-3 - 5 = -8$)."
            },
            {
              "text": "$8 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte\nsur les deux parties du second nombre, d'où\n$-4 - 8i$."
            },
            {
              "text": "$-4 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre\nentier qui est retranché, donc $-3 - 5 = -8$."
            },
            {
              "text": "$-8 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($-4$),\net $-8$ est le coefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "La soustraction se fait composante par composante :\n$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se\ndistribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la différence $(7 + 2i) - (3 + 9i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 - 7i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre\nelles ($7 - 3 = 4$) et les parties imaginaires de\nmême ($2 - 9 = -7$)."
            },
            {
              "text": "$10 + 11i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte\nsur les deux parties du second nombre, d'où\n$4 - 7i$."
            },
            {
              "text": "$4 + 11i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre\nentier qui est retranché, donc $2 - 9 = -7$."
            },
            {
              "text": "$-7 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($4$),\net $-7$ est le coefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "La soustraction se fait composante par composante :\n$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se\ndistribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la différence $(4 - 5i) - (1 + 3i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 - 8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre\nelles ($4 - 1 = 3$) et les parties imaginaires de\nmême ($-5 - 3 = -8$)."
            },
            {
              "text": "$5 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte\nsur les deux parties du second nombre, d'où\n$3 - 8i$."
            },
            {
              "text": "$3 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre\nentier qui est retranché, donc $-5 - 3 = -8$."
            },
            {
              "text": "$-8 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($3$),\net $-8$ est le coefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "La soustraction se fait composante par composante :\n$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se\ndistribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "operations",
        "lineaire"
      ],
      "title": "Produit par un nombre réel",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $3(2 - 5i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6 - 15i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ multiplie les deux\nparties : $3 \\times 2 = 6$ et\n$3 \\times -5 = -15$."
        },
        {
          "text": "$6 - 5i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie imaginaire laissée de côté : $3$ multiplie\naussi le coefficient de $i$, qui devient $-15$."
        },
        {
          "text": "$2 - 15i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie réelle laissée de côté : $3$ multiplie aussi le\nterme constant, qui devient $6$."
        },
        {
          "text": "$5 - 15i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :\n$3 \\times 2 = 6$, et non $3 + 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux\nparties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est\nl'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $3(2 - 5i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 - 15i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ multiplie les deux\nparties : $3 \\times 2 = 6$ et\n$3 \\times -5 = -15$."
            },
            {
              "text": "$6 - 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire laissée de côté : $3$ multiplie\naussi le coefficient de $i$, qui devient $-15$."
            },
            {
              "text": "$2 - 15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle laissée de côté : $3$ multiplie aussi le\nterme constant, qui devient $6$."
            },
            {
              "text": "$5 - 15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :\n$3 \\times 2 = 6$, et non $3 + 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux\nparties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est\nl'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $4(-3 + 2i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12 + 8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $4$ multiplie les deux\nparties : $4 \\times -3 = -12$ et\n$4 \\times 2 = 8$."
            },
            {
              "text": "$-12 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire laissée de côté : $4$ multiplie\naussi le coefficient de $i$, qui devient $8$."
            },
            {
              "text": "$-3 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle laissée de côté : $4$ multiplie aussi le\nterme constant, qui devient $-12$."
            },
            {
              "text": "$1 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :\n$4 \\times -3 = -12$, et non $4 + -3$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux\nparties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est\nl'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $5(2 + 3i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10 + 15i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ multiplie les deux\nparties : $5 \\times 2 = 10$ et\n$5 \\times 3 = 15$."
            },
            {
              "text": "$10 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire laissée de côté : $5$ multiplie\naussi le coefficient de $i$, qui devient $15$."
            },
            {
              "text": "$2 + 15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle laissée de côté : $5$ multiplie aussi le\nterme constant, qui devient $10$."
            },
            {
              "text": "$7 + 15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :\n$5 \\times 2 = 10$, et non $5 + 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux\nparties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est\nl'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de $6(1 + 2i)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 + 12i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $6$ multiplie les deux\nparties : $6 \\times 1 = 6$ et\n$6 \\times 2 = 12$."
            },
            {
              "text": "$6 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire laissée de côté : $6$ multiplie\naussi le coefficient de $i$, qui devient $12$."
            },
            {
              "text": "$1 + 12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle laissée de côté : $6$ multiplie aussi le\nterme constant, qui devient $6$."
            },
            {
              "text": "$7 + 12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :\n$6 \\times 1 = 6$, et non $6 + 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux\nparties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est\nl'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "i",
        "puissances-i",
        "inverse"
      ],
      "title": "L'inverse de $i$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $\\dfrac{1}{i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par $i$, ce qui\ndonne $\\dfrac{i}{i^2} = \\dfrac{i}{-1} = -i$. Contrôle :\n$i \\times (-i) = -i^2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : le dénominateur devient $i^2 = -1$, qui\nretourne le signe. Contrôle : $i \\times i = -1 \\neq 1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i \\times 1 = i$, et non $1$ : l'inverse de $i$\nn'est pas un nombre réel."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i \\times (-1) = -i$, et non $1$ : il manque un\nfacteur $i$ pour revenir à l'unité."
        }
      ],
      "explanation": "Diviser par $i$ revient à multiplier par $\\dfrac{1}{i} = -i$.\nÀ retenir avec le cycle des puissances : $i^{-1} = i^3 = -i$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conjugaison",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Conjuguer deux fois",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Pour tout nombre complexe $z$, que vaut\n$\\overline{\\left(\\bar{z}\\right)}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie\nimaginaire ; le faire une seconde fois le rétablit, donc\non retrouve $z$."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deuxième conjugaison ignorée : elle agit elle aussi, et\nramène au nombre de départ."
        },
        {
          "text": "$-z$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la conjugaison ne touche jamais à la partie\nréelle, le résultat n'est donc pas l'opposé."
        },
        {
          "text": "$|z|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : le module est un réel positif, alors que la\nconjugaison rend un nombre complexe."
        }
      ],
      "explanation": "La conjugaison appliquée deux fois redonne le nombre de\ndépart : $\\overline{\\bar{z}} = z$. Géométriquement, deux\nsymétries d'axe l'axe des réels se compensent."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "z-moins-zbar",
        "parties"
      ],
      "title": "Calculer $z - \\bar{z}$",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Soit $z = 5 - 3i$. Que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-6i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = 5 + 3i$, les parties\nréelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = -3$,\nsoit $-6i$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la somme : $z + \\bar{z} = 10$, un\nréel. La différence, elle, efface la partie réelle."
        },
        {
          "text": "$-6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $i$ perdu : la différence vaut $-6i$, un\nimaginaire pur, et non un nombre réel."
        },
        {
          "text": "$6i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : $6i$ est la valeur de\n$\\bar{z} - z$ ; ici c'est $\\bar{z}$ qui est retranché."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $z = a + ib$ : $z - \\bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et\n$z + \\bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les\nparties imaginaire et réelle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $z = 5 - 3i$. Que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = 5 + 3i$, les parties\nréelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = -3$,\nsoit $-6i$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec la somme : $z + \\bar{z} = 10$, un\nréel. La différence, elle, efface la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : la différence vaut $-6i$, un\nimaginaire pur, et non un nombre réel."
            },
            {
              "text": "$6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : $6i$ est la valeur de\n$\\bar{z} - z$ ; ici c'est $\\bar{z}$ qui est retranché."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z = a + ib$ : $z - \\bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et\n$z + \\bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les\nparties imaginaire et réelle."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = 2 + 4i$. Que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = 2 - 4i$, les parties\nréelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = 4$,\nsoit $8i$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec la somme : $z + \\bar{z} = 4$, un\nréel. La différence, elle, efface la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : la différence vaut $8i$, un\nimaginaire pur, et non un nombre réel."
            },
            {
              "text": "$-8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : $-8i$ est la valeur de\n$\\bar{z} - z$ ; ici c'est $\\bar{z}$ qui est retranché."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z = a + ib$ : $z - \\bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et\n$z + \\bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les\nparties imaginaire et réelle."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = -1 + 7i$. Que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = -1 - 7i$, les parties\nréelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = 7$,\nsoit $14i$."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec la somme : $z + \\bar{z} = -2$, un\nréel. La différence, elle, efface la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : la différence vaut $14i$, un\nimaginaire pur, et non un nombre réel."
            },
            {
              "text": "$-14i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : $-14i$ est la valeur de\n$\\bar{z} - z$ ; ici c'est $\\bar{z}$ qui est retranché."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z = a + ib$ : $z - \\bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et\n$z + \\bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les\nparties imaginaire et réelle."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = 3 - 6i$. Que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = 3 + 6i$, les parties\nréelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = -6$,\nsoit $-12i$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec la somme : $z + \\bar{z} = 6$, un\nréel. La différence, elle, efface la partie réelle."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : la différence vaut $-12i$, un\nimaginaire pur, et non un nombre réel."
            },
            {
              "text": "$12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : $12i$ est la valeur de\n$\\bar{z} - z$ ; ici c'est $\\bar{z}$ qui est retranché."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z = a + ib$ : $z - \\bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et\n$z + \\bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les\nparties imaginaire et réelle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "z-zbar",
        "module-carre"
      ],
      "title": "Nature du produit $z\\bar{z}$",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Soit $z$ un nombre complexe quelconque. Quelle est la nature\ndu nombre $z\\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un réel positif ou nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = a^2 + b^2$, somme de deux\ncarrés, nulle uniquement lorsque $z = 0$."
        },
        {
          "text": "Un réel de signe quelconque",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une somme de deux carrés de réels ne peut pas\nêtre négative."
        },
        {
          "text": "Un imaginaire pur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les termes en $i$ se compensent dans le produit,\nqui est toujours réel."
        },
        {
          "text": "Un complexe non réel en général",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul donne $a^2 + b^2$, sans aucun terme\nen $i$, quel que soit $z$."
        }
      ],
      "explanation": "$z\\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif ou nul. C'est\nle carré du module, ce qui explique son rôle pour rendre réel\nle dénominateur d'un quotient."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "structure"
      ],
      "title": "Les réels parmi les complexes",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle affirmation décrit correctement le lien entre\n$\\mathbb{R}$ et $\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tout réel est un complexe de partie imaginaire nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a = a + 0i$, donc $\\mathbb{R}$ est\ncontenu dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "text": "Tout complexe est en fait un réel de partie imaginaire\nnulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Inclusion inversée : $2 + 3i$ est un complexe qui n'est\npas un réel."
        },
        {
          "text": "Les deux ensembles n'ont que le nombre $0$ en commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tous les réels sont des complexes, pas seulement\nle nombre $0$."
        },
        {
          "text": "Un réel est un complexe seulement s'il est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe ne joue aucun rôle, $-7$ est un\ncomplexe comme les autres."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{C}$ prolonge $\\mathbb{R}$ : tout réel $a$ s'écrit\n$a + 0i$. Les opérations de $\\mathbb{R}$ y gardent leurs\nrègles, seule la relation d'ordre disparaît."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identification",
        "systeme"
      ],
      "title": "Une égalité à zéro",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Les réels $x$ et $y$ vérifient\n$(x - 3) + (y + 2)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$ et $y = -2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux\nparties le sont, d'où $x - 3 = 0$ et\n$y + 2 = 0$."
        },
        {
          "text": "$x = -3$ et $y = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes recopiés : on résout $x - 3 = 0$, ce qui\ndonne $x = 3$, et de même $y = -2$."
        },
        {
          "text": "$x = 3$ et $y = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur $y$ : l'équation $y + 2 = 0$ conduit à\n$y = -2$, la partie réelle étant traitée correctement."
        },
        {
          "text": "$x = -2$ et $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du\ncoefficient de $i$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle\net sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe\néquivaut donc à deux équations réelles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les réels $x$ et $y$ vérifient\n$(x - 3) + (y + 2)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$ et $y = -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux\nparties le sont, d'où $x - 3 = 0$ et\n$y + 2 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = -3$ et $y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes recopiés : on résout $x - 3 = 0$, ce qui\ndonne $x = 3$, et de même $y = -2$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$ et $y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur $y$ : l'équation $y + 2 = 0$ conduit à\n$y = -2$, la partie réelle étant traitée correctement."
            },
            {
              "text": "$x = -2$ et $y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du\ncoefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle\net sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe\néquivaut donc à deux équations réelles."
        },
        {
          "statement": "Les réels $x$ et $y$ vérifient\n$(x + 5) + (y - 4)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -5$ et $y = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux\nparties le sont, d'où $x + 5 = 0$ et\n$y - 4 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$ et $y = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes recopiés : on résout $x + 5 = 0$, ce qui\ndonne $x = -5$, et de même $y = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$ et $y = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur $y$ : l'équation $y - 4 = 0$ conduit à\n$y = 4$, la partie réelle étant traitée correctement."
            },
            {
              "text": "$x = 4$ et $y = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du\ncoefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle\net sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe\néquivaut donc à deux équations réelles."
        },
        {
          "statement": "Les réels $x$ et $y$ vérifient\n$(x - 7) + (y - 6)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$ et $y = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux\nparties le sont, d'où $x - 7 = 0$ et\n$y - 6 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = -7$ et $y = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes recopiés : on résout $x - 7 = 0$, ce qui\ndonne $x = 7$, et de même $y = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$ et $y = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur $y$ : l'équation $y - 6 = 0$ conduit à\n$y = 6$, la partie réelle étant traitée correctement."
            },
            {
              "text": "$x = 6$ et $y = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du\ncoefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle\net sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe\néquivaut donc à deux équations réelles."
        },
        {
          "statement": "Les réels $x$ et $y$ vérifient\n$(x + 4) + (y + 9)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -4$ et $y = -9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux\nparties le sont, d'où $x + 4 = 0$ et\n$y + 9 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$ et $y = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes recopiés : on résout $x + 4 = 0$, ce qui\ndonne $x = -4$, et de même $y = -9$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$ et $y = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur $y$ : l'équation $y + 9 = 0$ conduit à\n$y = -9$, la partie réelle étant traitée correctement."
            },
            {
              "text": "$x = -9$ et $y = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du\ncoefficient de $i$."
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle\net sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe\néquivaut donc à deux équations réelles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-carre-negatif",
        "resolution"
      ],
      "title": "Un carré négatif décalé",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(z - 1)^2 = -4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + 2i$ ou $z = 1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z - 1 = 2i$ ou\n$z - 1 = -2i$, puis on ajoute $1$ de chaque\ncôté."
        },
        {
          "text": "$z = 1 + 4i$ ou $z = 1 - 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : les carrés valant $-4$ sont\n$\\pm 2i$, et non $\\pm 4i$."
        },
        {
          "text": "$z = 2i$ ou $z = -2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage oublié : c'est $z - 1$ qui vaut\n$\\pm 2i$, il reste à en déduire $z$."
        },
        {
          "text": "$z = 3$ ou $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les\nsolutions ont une partie imaginaire."
        }
      ],
      "explanation": "On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions\nsont $Z = \\pm ik$, donc $z = p \\pm ik$, deux nombres\nconjugués.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(z - 1)^2 = -4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 1 + 2i$ ou $z = 1 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z - 1 = 2i$ ou\n$z - 1 = -2i$, puis on ajoute $1$ de chaque\ncôté."
            },
            {
              "text": "$z = 1 + 4i$ ou $z = 1 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : les carrés valant $-4$ sont\n$\\pm 2i$, et non $\\pm 4i$."
            },
            {
              "text": "$z = 2i$ ou $z = -2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : c'est $z - 1$ qui vaut\n$\\pm 2i$, il reste à en déduire $z$."
            },
            {
              "text": "$z = 3$ ou $z = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les\nsolutions ont une partie imaginaire."
            }
          ],
          "explanation": "On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions\nsont $Z = \\pm ik$, donc $z = p \\pm ik$, deux nombres\nconjugués."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(z + 3)^2 = -25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = -3 + 5i$ ou $z = -3 - 5i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z + 3 = 5i$ ou\n$z + 3 = -5i$, puis on ajoute $-3$ de chaque\ncôté."
            },
            {
              "text": "$z = -3 + 25i$ ou $z = -3 - 25i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : les carrés valant $-25$ sont\n$\\pm 5i$, et non $\\pm 25i$."
            },
            {
              "text": "$z = 5i$ ou $z = -5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : c'est $z + 3$ qui vaut\n$\\pm 5i$, il reste à en déduire $z$."
            },
            {
              "text": "$z = 2$ ou $z = -8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les\nsolutions ont une partie imaginaire."
            }
          ],
          "explanation": "On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions\nsont $Z = \\pm ik$, donc $z = p \\pm ik$, deux nombres\nconjugués."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(z - 4)^2 = -9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 4 + 3i$ ou $z = 4 - 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z - 4 = 3i$ ou\n$z - 4 = -3i$, puis on ajoute $4$ de chaque\ncôté."
            },
            {
              "text": "$z = 4 + 9i$ ou $z = 4 - 9i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : les carrés valant $-9$ sont\n$\\pm 3i$, et non $\\pm 9i$."
            },
            {
              "text": "$z = 3i$ ou $z = -3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : c'est $z - 4$ qui vaut\n$\\pm 3i$, il reste à en déduire $z$."
            },
            {
              "text": "$z = 7$ ou $z = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les\nsolutions ont une partie imaginaire."
            }
          ],
          "explanation": "On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions\nsont $Z = \\pm ik$, donc $z = p \\pm ik$, deux nombres\nconjugués."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(z + 2)^2 = -16$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z = -2 + 4i$ ou $z = -2 - 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z + 2 = 4i$ ou\n$z + 2 = -4i$, puis on ajoute $-2$ de chaque\ncôté."
            },
            {
              "text": "$z = -2 + 16i$ ou $z = -2 - 16i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : les carrés valant $-16$ sont\n$\\pm 4i$, et non $\\pm 16i$."
            },
            {
              "text": "$z = 4i$ ou $z = -4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : c'est $z + 2$ qui vaut\n$\\pm 4i$, il reste à en déduire $z$."
            },
            {
              "text": "$z = 2$ ou $z = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les\nsolutions ont une partie imaginaire."
            }
          ],
          "explanation": "On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions\nsont $Z = \\pm ik$, donc $z = p \\pm ik$, deux nombres\nconjugués."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binome",
        "identites"
      ],
      "title": "Somme de deux carrés conjugués",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $(2 + i)^2 + (2 - i)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les doubles produits $4i$\net $-4i$ s'annulent, et il reste\n$2 \\times 2^2 - 2 = 6$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc\n$-2$ au total et non $+2$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,\nqui vaut $6$."
        },
        {
          "text": "$6 + 8i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Doubles produits conservés : ils sont opposés et se\ncompensent, la somme est un réel."
        }
      ],
      "explanation": "$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les\ndoubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux\nnombres conjugués est toujours réelle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $(2 + i)^2 + (2 - i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les doubles produits $4i$\net $-4i$ s'annulent, et il reste\n$2 \\times 2^2 - 2 = 6$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc\n$-2$ au total et non $+2$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,\nqui vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$6 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubles produits conservés : ils sont opposés et se\ncompensent, la somme est un réel."
            }
          ],
          "explanation": "$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les\ndoubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux\nnombres conjugués est toujours réelle."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(3 + i)^2 + (3 - i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les doubles produits $6i$\net $-6i$ s'annulent, et il reste\n$2 \\times 3^2 - 2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc\n$-2$ au total et non $+2$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,\nqui vaut $16$."
            },
            {
              "text": "$16 + 12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubles produits conservés : ils sont opposés et se\ncompensent, la somme est un réel."
            }
          ],
          "explanation": "$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les\ndoubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux\nnombres conjugués est toujours réelle."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(5 + i)^2 + (5 - i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$48$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les doubles produits $10i$\net $-10i$ s'annulent, et il reste\n$2 \\times 5^2 - 2 = 48$."
            },
            {
              "text": "$52$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc\n$-2$ au total et non $+2$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,\nqui vaut $48$."
            },
            {
              "text": "$48 + 20i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubles produits conservés : ils sont opposés et se\ncompensent, la somme est un réel."
            }
          ],
          "explanation": "$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les\ndoubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux\nnombres conjugués est toujours réelle."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $(4 + i)^2 + (4 - i)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les doubles produits $8i$\net $-8i$ s'annulent, et il reste\n$2 \\times 4^2 - 2 = 30$."
            },
            {
              "text": "$34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc\n$-2$ au total et non $+2$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,\nqui vaut $30$."
            },
            {
              "text": "$30 + 16i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubles produits conservés : ils sont opposés et se\ncompensent, la somme est un réel."
            }
          ],
          "explanation": "$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les\ndoubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux\nnombres conjugués est toujours réelle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse",
        "forme-algebrique"
      ],
      "title": "Diviser par $i$",
      "partie": "forme",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de\n$\\dfrac{3 + 2i}{i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par\n$-i$, d'où $(3 + 2i)\\times(-i) = 2 - 3i$."
        },
        {
          "text": "$-2 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car\n$\\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$."
        },
        {
          "text": "$3 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,\ncela échange les deux parties."
        },
        {
          "text": "$2 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le\ncoefficient $-3$, avec un changement de signe."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =\nb - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un\nchangement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de\n$\\dfrac{3 + 2i}{i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 - 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par\n$-i$, d'où $(3 + 2i)\\times(-i) = 2 - 3i$."
            },
            {
              "text": "$-2 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car\n$\\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$."
            },
            {
              "text": "$3 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,\ncela échange les deux parties."
            },
            {
              "text": "$2 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le\ncoefficient $-3$, avec un changement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =\nb - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un\nchangement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de\n$\\dfrac{5 - 4i}{i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4 - 5i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par\n$-i$, d'où $(5 - 4i)\\times(-i) = -4 - 5i$."
            },
            {
              "text": "$4 + 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car\n$\\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$."
            },
            {
              "text": "$5 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,\ncela échange les deux parties."
            },
            {
              "text": "$-4 + 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le\ncoefficient $-5$, avec un changement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =\nb - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un\nchangement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de\n$\\dfrac{-2 + 6i}{i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 + 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par\n$-i$, d'où $(-2 + 6i)\\times(-i) = 6 + 2i$."
            },
            {
              "text": "$-6 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car\n$\\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$."
            },
            {
              "text": "$-2 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,\ncela échange les deux parties."
            },
            {
              "text": "$6 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le\ncoefficient $2$, avec un changement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =\nb - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un\nchangement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme algébrique de\n$\\dfrac{-4 - 3i}{i}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3 + 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par\n$-i$, d'où $(-4 - 3i)\\times(-i) = -3 + 4i$."
            },
            {
              "text": "$3 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car\n$\\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$."
            },
            {
              "text": "$-4 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,\ncela échange les deux parties."
            },
            {
              "text": "$-3 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le\ncoefficient $4$, avec un changement de signe."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =\nb - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un\nchangement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissances",
        "puissance-cube"
      ],
      "title": "Cube d'un imaginaire pur",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut $\\left(2i\\right)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-8i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(2i)^3 = 2^3 \\times i^3 = 8\n\\times (-i) = -8i$."
        },
        {
          "text": "$8i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \\times i = -i$, le résultat\nest donc négatif."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la\nréponse aussi."
        },
        {
          "text": "$-6i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cube confondu avec un produit par $3$ :\n$2^3 = 8$, et non $6$."
        }
      ],
      "explanation": "$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on\nutilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(2i\\right)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(2i)^3 = 2^3 \\times i^3 = 8\n\\times (-i) = -8i$."
            },
            {
              "text": "$8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \\times i = -i$, le résultat\nest donc négatif."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la\nréponse aussi."
            },
            {
              "text": "$-6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cube confondu avec un produit par $3$ :\n$2^3 = 8$, et non $6$."
            }
          ],
          "explanation": "$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on\nutilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(3i\\right)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-27i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(3i)^3 = 3^3 \\times i^3 = 27\n\\times (-i) = -27i$."
            },
            {
              "text": "$27i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \\times i = -i$, le résultat\nest donc négatif."
            },
            {
              "text": "$-27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la\nréponse aussi."
            },
            {
              "text": "$-9i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cube confondu avec un produit par $3$ :\n$3^3 = 27$, et non $9$."
            }
          ],
          "explanation": "$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on\nutilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(5i\\right)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-125i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(5i)^3 = 5^3 \\times i^3 = 125\n\\times (-i) = -125i$."
            },
            {
              "text": "$125i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \\times i = -i$, le résultat\nest donc négatif."
            },
            {
              "text": "$-125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la\nréponse aussi."
            },
            {
              "text": "$-15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cube confondu avec un produit par $3$ :\n$5^3 = 125$, et non $15$."
            }
          ],
          "explanation": "$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on\nutilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(4i\\right)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-64i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(4i)^3 = 4^3 \\times i^3 = 64\n\\times (-i) = -64i$."
            },
            {
              "text": "$64i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \\times i = -i$, le résultat\nest donc négatif."
            },
            {
              "text": "$-64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la\nréponse aussi."
            },
            {
              "text": "$-12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cube confondu avec un produit par $3$ :\n$4^3 = 64$, et non $12$."
            }
          ],
          "explanation": "$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on\nutilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reel-imaginaire-pur",
        "resolution"
      ],
      "title": "Rendre un nombre imaginaire pur",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre\n$z = (x - 2) + 5i$ est-il un imaginaire pur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc\nrésoudre $x - 2 = 0$, ce qui donne $x = 2$."
        },
        {
          "text": "$x = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe recopié : l'équation $x - 2 = 0$ se résout en\n$x = 2$."
        },
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit\ns'annuler, le coefficient $5$ ne change pas."
        },
        {
          "text": "$x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut\n$-2$, qui n'est pas nulle."
        }
      ],
      "explanation": "Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est\nnulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on\nrésout l'équation qu'elle donne.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre\n$z = (x - 2) + 5i$ est-il un imaginaire pur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc\nrésoudre $x - 2 = 0$, ce qui donne $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe recopié : l'équation $x - 2 = 0$ se résout en\n$x = 2$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit\ns'annuler, le coefficient $5$ ne change pas."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut\n$-2$, qui n'est pas nulle."
            }
          ],
          "explanation": "Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est\nnulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on\nrésout l'équation qu'elle donne."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre\n$z = (x + 3) + 4i$ est-il un imaginaire pur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc\nrésoudre $x + 3 = 0$, ce qui donne $x = -3$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe recopié : l'équation $x + 3 = 0$ se résout en\n$x = -3$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit\ns'annuler, le coefficient $4$ ne change pas."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut\n$3$, qui n'est pas nulle."
            }
          ],
          "explanation": "Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est\nnulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on\nrésout l'équation qu'elle donne."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre\n$z = (x - 6) - 2i$ est-il un imaginaire pur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc\nrésoudre $x - 6 = 0$, ce qui donne $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe recopié : l'équation $x - 6 = 0$ se résout en\n$x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit\ns'annuler, le coefficient $-2$ ne change pas."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut\n$-6$, qui n'est pas nulle."
            }
          ],
          "explanation": "Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est\nnulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on\nrésout l'équation qu'elle donne."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre\n$z = (x + 5) + 3i$ est-il un imaginaire pur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc\nrésoudre $x + 5 = 0$, ce qui donne $x = -5$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe recopié : l'équation $x + 5 = 0$ se résout en\n$x = -5$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit\ns'annuler, le coefficient $3$ ne change pas."
            },
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut\n$5$, qui n'est pas nulle."
            }
          ],
          "explanation": "Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est\nnulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on\nrésout l'équation qu'elle donne."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "identification",
        "systeme",
        "operations"
      ],
      "title": "Retrouver deux réels",
      "partie": "conjugue",
      "statement": "Quels réels $a$ et $b$ vérifient\n$(a + bi)(1 + i) = 3 + 5i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a = 4$ et $b = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = 3$ et\n$a + b = 5$."
        },
        {
          "text": "$a = 1$ et $b = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne\n$a = 4$, et la demi-différence donne $b = 1$."
        },
        {
          "text": "$a = 3$ et $b = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients recopiés du second membre : le facteur\n$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer."
        },
        {
          "text": "$a = 4$ et $b = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui\nvaut $3$, et $a + b$ qui vaut $5$."
        }
      ],
      "explanation": "On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on\nidentifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système\nde deux équations réelles à résoudre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quels réels $a$ et $b$ vérifient\n$(a + bi)(1 + i) = 3 + 5i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 4$ et $b = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = 3$ et\n$a + b = 5$."
            },
            {
              "text": "$a = 1$ et $b = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne\n$a = 4$, et la demi-différence donne $b = 1$."
            },
            {
              "text": "$a = 3$ et $b = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients recopiés du second membre : le facteur\n$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer."
            },
            {
              "text": "$a = 4$ et $b = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui\nvaut $3$, et $a + b$ qui vaut $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on\nidentifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système\nde deux équations réelles à résoudre."
        },
        {
          "statement": "Quels réels $a$ et $b$ vérifient\n$(a + bi)(1 + i) = -3 + 7i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 2$ et $b = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = -3$ et\n$a + b = 7$."
            },
            {
              "text": "$a = 5$ et $b = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne\n$a = 2$, et la demi-différence donne $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$a = -3$ et $b = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients recopiés du second membre : le facteur\n$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer."
            },
            {
              "text": "$a = 2$ et $b = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui\nvaut $-3$, et $a + b$ qui vaut $7$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on\nidentifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système\nde deux équations réelles à résoudre."
        },
        {
          "statement": "Quels réels $a$ et $b$ vérifient\n$(a + bi)(1 + i) = 8 + 4i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 6$ et $b = -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = 8$ et\n$a + b = 4$."
            },
            {
              "text": "$a = -2$ et $b = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne\n$a = 6$, et la demi-différence donne $b = -2$."
            },
            {
              "text": "$a = 8$ et $b = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients recopiés du second membre : le facteur\n$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer."
            },
            {
              "text": "$a = 6$ et $b = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui\nvaut $8$, et $a + b$ qui vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on\nidentifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système\nde deux équations réelles à résoudre."
        },
        {
          "statement": "Quels réels $a$ et $b$ vérifient\n$(a + bi)(1 + i) = -8 + 2i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = -3$ et $b = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = -8$ et\n$a + b = 2$."
            },
            {
              "text": "$a = 5$ et $b = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne\n$a = -3$, et la demi-différence donne $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$a = -8$ et $b = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients recopiés du second membre : le facteur\n$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer."
            },
            {
              "text": "$a = -3$ et $b = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui\nvaut $-8$, et $a + b$ qui vaut $2$."
            }
          ],
          "explanation": "On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on\nidentifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système\nde deux équations réelles à résoudre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissances-i",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une longue somme de puissances",
      "partie": "forme",
      "statement": "Que vaut la somme\n$1 + i + i^2 + i^3 + \\dots + i^{2026}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $2027$ termes. Les $2024$\npremiers se regroupent par quatre, de somme nulle, et il\nreste $i^{2024} + i^{2025} + i^{2026} = 1 + i - 1 = i$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Regroupement trop rapide : $2027$ n'est pas un multiple\nde $4$, trois termes restent après les paquets."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste incomplet : les trois termes restants sont\n$1$, $i$ et $-1$, dont la somme vaut $i$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier terme isolé : $i^{2026} = -1$ n'est que l'un des\ntrois termes restants."
        }
      ],
      "explanation": "Quatre puissances consécutives de $i$ ont une somme nulle. On\ndivise donc l'exposant maximal par $4$ : ici $2026 = 4 \\times\n506 + 2$, et la somme se réduit aux trois derniers termes."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equations",
        "premier-degre",
        "forme-algebrique"
      ],
      "title": "Une équation du premier degré dans C",
      "partie": "equations",
      "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z + 3i = 5$.",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 5 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $3i$ aux deux\nmembres : $z = 5 - 3i$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = 5 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.\n"
        },
        {
          "text": "$z = -5 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $5$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = 3 - 5i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une équation du premier degré se résout dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z + 3i = 5$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 5 - 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $3i$ aux deux\nmembres : $z = 5 - 3i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 5 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -5 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $5$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 3 - 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré se résout dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z + 2i = 7$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 7 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $2i$ aux deux\nmembres : $z = 7 - 2i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 7 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -7 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $7$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 2 - 7i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré se résout dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z + 4i = 1$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 1 - 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $4i$ aux deux\nmembres : $z = 1 - 4i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 1 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -1 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $1$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 4 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré se résout dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z + 6i = 2$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 2 - 6i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $6i$ aux deux\nmembres : $z = 2 - 6i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 2 + 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -2 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 6 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré se résout dans $\\mathbb{C}$ comme dans\n$\\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "second-degre",
        "discriminant-negatif"
      ],
      "title": "Équation du second degré à discriminant négatif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$.",
      "options": [
        {
          "text": "$z = -1 \\pm 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = (2)^2 - 4 \\times 5 = -16 < 0$ ; les\nsolutions sont $\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$, soit\n$-1 \\pm 2i$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = 1 \\pm 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de la partie réelle est $-\\dfrac{b}{2}$, avec\n$b = 2$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = -1 \\pm 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-\\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la\npartie réelle.\n"
        },
        {
          "text": "$z = -2 \\pm 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux\nparties.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Si $\\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = -1 \\pm 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = (2)^2 - 4 \\times 5 = -16 < 0$ ; les\nsolutions sont $\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$, soit\n$-1 \\pm 2i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 1 \\pm 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie réelle est $-\\dfrac{b}{2}$, avec\n$b = 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -1 \\pm 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-\\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la\npartie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -2 \\pm 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux\nparties.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $\\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 4z + 13 = 0$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = 2 \\pm 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = (-4)^2 - 4 \\times 13 = -36 < 0$ ; les\nsolutions sont $\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$, soit\n$2 \\pm 3i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -2 \\pm 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie réelle est $-\\dfrac{b}{2}$, avec\n$b = -4$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 2 \\pm 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-\\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la\npartie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 4 \\pm 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux\nparties.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $\\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 6z + 10 = 0$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = -3 \\pm i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = (6)^2 - 4 \\times 10 = -4 < 0$ ; les\nsolutions sont $\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$, soit\n$-3 \\pm i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 3 \\pm i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie réelle est $-\\dfrac{b}{2}$, avec\n$b = 6$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -3 \\pm 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-\\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la\npartie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -6 \\pm 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux\nparties.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $\\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 4z + 13 = 0$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = -2 \\pm 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = (4)^2 - 4 \\times 13 = -36 < 0$ ; les\nsolutions sont $\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$, soit\n$-2 \\pm 3i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 2 \\pm 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie réelle est $-\\dfrac{b}{2}$, avec\n$b = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -2 \\pm 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-\\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la\npartie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$z = -4 \\pm 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux\nparties.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $\\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "quotient",
        "conjugue"
      ],
      "title": "Diviser par un nombre complexe",
      "partie": "equations",
      "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $(2 + i)\\,z = 1$.",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\dfrac{2 - i}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{1}{2 + i}$ ; on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué, le dénominateur devient\n$|2 + i|^2$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{2 + i}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur doit être le **conjugué** de $2 + i$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = 2 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque la division par $|2 + i|^2$.\n"
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{2 - i}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :\n$\\dfrac{1}{a + bi} = \\dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $(2 + i)\\,z = 1$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = \\dfrac{2 - i}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{1}{2 + i}$ ; on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué, le dénominateur devient\n$|2 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{2 + i}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur doit être le **conjugué** de $2 + i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 2 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il manque la division par $|2 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{2 - i}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :\n$\\dfrac{1}{a + bi} = \\dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $(1 + i)\\,z = 1$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = \\dfrac{1 - i}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{1}{1 + i}$ ; on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué, le dénominateur devient\n$|1 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{1 + i}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur doit être le **conjugué** de $1 + i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 1 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il manque la division par $|1 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{1 - i}{1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :\n$\\dfrac{1}{a + bi} = \\dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $(3 - i)\\,z = 1$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = \\dfrac{3 + i}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{1}{3 - i}$ ; on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué, le dénominateur devient\n$|3 - i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{3 - i}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur doit être le **conjugué** de $3 - i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 3 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il manque la division par $|3 - i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{3 + i}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :\n$\\dfrac{1}{a + bi} = \\dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$."
        },
        {
          "statement": "Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $(4 + i)\\,z = 1$.",
          "options": [
            {
              "text": "$z = \\dfrac{4 - i}{17}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{1}{4 + i}$ ; on multiplie numérateur et\ndénominateur par le conjugué, le dénominateur devient\n$|4 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{4 + i}{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur doit être le **conjugué** de $4 + i$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = 4 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il manque la division par $|4 + i|^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$z = \\dfrac{4 - i}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :\n$\\dfrac{1}{a + bi} = \\dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equations",
        "somme-produit",
        "racines"
      ],
      "title": "Retrouver l'équation à partir de ses racines",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour\nsolutions $1 \\pm i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z^2 - 2z + 2 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $2$ et leur produit\n$2$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.\n"
        },
        {
          "text": "$z^2 + 2z + 2 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient de $z$ est l'**opposé** de la somme des\nracines.\n"
        },
        {
          "text": "$z^2 - 2z - 2 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme\nconstant est positif.\n"
        },
        {
          "text": "$z^2 - 2z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -\nb^2$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +\nz_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour\nsolutions $1 \\pm i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z^2 - 2z + 2 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $2$ et leur produit\n$2$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 + 2z + 2 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient de $z$ est l'**opposé** de la somme des\nracines.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 2z - 2 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme\nconstant est positif.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 2z = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -\nb^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +\nz_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour\nsolutions $2 \\pm i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z^2 - 4z + 5 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $4$ et leur produit\n$5$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 + 4z + 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient de $z$ est l'**opposé** de la somme des\nracines.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 4z - 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme\nconstant est positif.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 4z + 3 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -\nb^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +\nz_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour\nsolutions $3 \\pm 2i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z^2 - 6z + 13 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $6$ et leur produit\n$13$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 + 6z + 13 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient de $z$ est l'**opposé** de la somme des\nracines.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 6z - 13 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme\nconstant est positif.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 6z + 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -\nb^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +\nz_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour\nsolutions $-1 \\pm 2i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$z^2 + 2z + 5 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-2$ et leur produit\n$5$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 - 2z + 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient de $z$ est l'**opposé** de la somme des\nracines.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 + 2z - 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme\nconstant est positif.\n"
            },
            {
              "text": "$z^2 + 2z - 3 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -\nb^2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +\nz_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equations",
        "degre-trois",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Une équation de degré trois avec une racine réelle connue",
      "partie": "equations",
      "statement": "On admet que $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$. Quelles sont les\nsolutions dans $\\mathbb{C}$ de $z^3 - 8 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$, $-1 + i\\sqrt{3}$ et $-1 - i\\sqrt{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z = 2$ annule le premier facteur ; pour le\nsecond, $\\Delta = 4 - 16 = -12$ et $z = \\dfrac{-2 \\pm\ni\\sqrt{12}}{2} = -1 \\pm i\\sqrt{3}$.\n"
        },
        {
          "text": "$2$ seulement, $z^2 + 2z + 4$ n'ayant pas de racine",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dans $\\mathbb{C}$, un trinôme à discriminant négatif a\ndeux racines conjuguées.\n"
        },
        {
          "text": "$2$, $-2$ et $2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-2)^3 = -8$ et $(2i)^3 = -8i$ ; aucun des deux ne\nvaut $8$ au cube.\n"
        },
        {
          "text": "$2$, $1 + i\\sqrt{3}$ et $1 - i\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la partie réelle des racines du trinôme est\n$-\\dfrac{2}{2} = -1$, pas $1$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une équation de degré trois se résout en factorisant par une racine\nconnue, puis en résolvant le trinôme restant dans $\\mathbb{C}$."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equations",
        "partie-imaginaire",
        "identification"
      ],
      "title": "Partie imaginaire d'une solution",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation\n$2z = 4 + 6i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$,\ndont la partie imaginaire est $3$.\n"
        },
        {
          "text": "$3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la partie imaginaire est un **réel**, le coefficient de\n$i$, sans le $i$.\n"
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la partie réelle.\n"
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut diviser par $2$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation\n$2z = 4 + 6i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$,\ndont la partie imaginaire est $3$.\n"
            },
            {
              "text": "$3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la partie imaginaire est un **réel**, le coefficient de\n$i$, sans le $i$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la partie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser par $2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation\n$3z = 9 + 12i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{9 + 12i}{3} = 3 + 4i$,\ndont la partie imaginaire est $4$.\n"
            },
            {
              "text": "$4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la partie imaginaire est un **réel**, le coefficient de\n$i$, sans le $i$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la partie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser par $3$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation\n$5z = 10 + 15i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{10 + 15i}{5} = 2 + 3i$,\ndont la partie imaginaire est $3$.\n"
            },
            {
              "text": "$3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la partie imaginaire est un **réel**, le coefficient de\n$i$, sans le $i$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la partie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser par $5$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation\n$4z = 8 + 20i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{8 + 20i}{4} = 2 + 5i$,\ndont la partie imaginaire est $5$.\n"
            },
            {
              "text": "$5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la partie imaginaire est un **réel**, le coefficient de\n$i$, sans le $i$.\n"
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la partie réelle.\n"
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut diviser par $4$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$."
        }
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