{
  "chapter": {
    "id": "complexes-geometrie-trigonometrie",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Nombres complexes",
    "title": "Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle",
    "description": "Image et affixe, module et interprétation géométrique, relation\n$|z|^2 = z\\bar{z}$, ensemble $\\mathbb{U}$, arguments, forme\ntrigonométrique, exponentielle imaginaire $e^{i\\theta}$,\nformules d'Euler et de Moivre.",
    "parties": [
      {
        "id": "module",
        "title": "Module, argument et affixes"
      },
      {
        "id": "formes",
        "title": "Formes trigonométrique et exponentielle"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Produits, quotients et puissances"
      },
      {
        "id": "geometrie",
        "title": "Ensembles de points et transformations"
      },
      {
        "id": "trigonometrie",
        "title": "Formules trigonométriques"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "affixe",
        "image"
      ],
      "title": "Affixe d'un point",
      "partie": "module",
      "statement": "Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre\n$z = -2 + 3i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le point de coordonnées $(-2\\ ;\\ 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse est la partie réelle, l'ordonnée la partie imaginaire. Le plan $\\mathbb{R}^2$ **est**\nl'ensemble des complexes."
        },
        {
          "text": "Le point de coordonnées $(3\\ ;\\ -2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées échangées : $\\text{Re}$ en abscisse,\n$\\text{Im}$ en ordonnée."
        },
        {
          "text": "Le point de coordonnées $(-2\\ ;\\ 3i)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coordonnées d'un point sont **réelles** :\nl'ordonnée est le coefficient $3$, sans $i$."
        },
        {
          "text": "Le point de coordonnées $(2\\ ;\\ 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu : la partie réelle vaut $-2$ : le point est\nà gauche de l'axe imaginaire."
        }
      ],
      "explanation": "À $z = a + ib$ on associe le point $M(a\\ ;\\ b)$ : $z$ est\nl'**affixe** de $M$ (et du vecteur $\\overrightarrow{OM}$).\nL'image de $\\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à\nl'axe des abscisses."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "module",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calcul d'un module",
      "partie": "module",
      "statement": "Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$|z| = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} =\n\\sqrt{25} = 5$ : la distance de l'origine au point\n$(3\\ ;\\ -4)$."
        },
        {
          "text": "$|z| = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.\nLe module est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif."
        },
        {
          "text": "$|z| = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 25$ est le **carré** du\nmodule."
        },
        {
          "text": "$|z| = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)."
        }
      ],
      "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$|z| = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} =\n\\sqrt{25} = 5$ : la distance de l'origine au point\n$(3\\ ;\\ -4)$."
            },
            {
              "text": "$|z| = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.\nLe module est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif."
            },
            {
              "text": "$|z| = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 25$ est le **carré** du\nmodule."
            },
            {
              "text": "$|z| = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)."
            }
          ],
          "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le module de $z = -6 + 8i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$|z| = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{(-6)^2 + 8^2} =\n\\sqrt{100} = 10$ : la distance de l'origine au point\n$(-6\\ ;\\ 8)$."
            },
            {
              "text": "$|z| = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.\nLe module est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif."
            },
            {
              "text": "$|z| = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 100$ est le **carré** du\nmodule."
            },
            {
              "text": "$|z| = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 + 8 = 14$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)."
            }
          ],
          "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le module de $z = 5 - 12i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$|z| = 13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{5^2 + (-12)^2} =\n\\sqrt{169} = 13$ : la distance de l'origine au point\n$(5\\ ;\\ -12)$."
            },
            {
              "text": "$|z| = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.\nLe module est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif."
            },
            {
              "text": "$|z| = 169$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 169$ est le **carré** du\nmodule."
            },
            {
              "text": "$|z| = 17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5 + 12 = 17$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)."
            }
          ],
          "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le module de $z = -8 + 15i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$|z| = 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{(-8)^2 + 15^2} =\n\\sqrt{289} = 17$ : la distance de l'origine au point\n$(-8\\ ;\\ 15)$."
            },
            {
              "text": "$|z| = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.\nLe module est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif."
            },
            {
              "text": "$|z| = 289$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 289$ est le **carré** du\nmodule."
            },
            {
              "text": "$|z| = 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8 + 15 = 23$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)."
            }
          ],
          "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module",
        "z-zbar"
      ],
      "title": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$",
      "partie": "module",
      "statement": "Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre\ncomplexe $z$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$|z|^2 = z\\,\\bar{z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$\n(démonstration au programme). Cette relation fait tout :\ninverses, modules de produits…"
        },
        {
          "text": "$|z| = z\\,\\bar{z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance fausse : $z\\bar{z} = a^2 + b^2$ est le\n**carré** du module ($\\sqrt{\\ }$ manquante)."
        },
        {
          "text": "$|z|^2 = z^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z^2$ est en général complexe ($ (1+i)^2 = 2i$),\nalors que $|z|^2$ est réel : il faut le **conjugué**."
        },
        {
          "text": "$|z|^2 = z + \\bar{z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $z + \\bar{z} = 2\\,\\text{Re}(z)$, qui peut\nêtre négatif : le carré du module vient du **produit**."
        }
      ],
      "explanation": "$|z|^2 = z\\bar{z}$ : pont entre algèbre et géométrie. On en\ntire $|zz'| = |z|\\,|z'|$ et $|1/z| = 1/|z|$ (démonstrations\nau programme)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module",
        "produit"
      ],
      "title": "Module d'un produit",
      "partie": "module",
      "statement": "Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et\n$|z'| = 3$. Que vaut $|z\\,z'|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module est multiplicatif :\n$|zz'| = |z|\\,|z'| = 6$, quelle que soit la direction\ndes deux nombres."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 3$ additionne les modules : c'est au mieux\nune **majoration** de $|z + z'|$, pas le module du\nproduit."
        },
        {
          "text": "Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : justement, la force de la formule $|zz'| =\n|z|\\,|z'|$ est de ne dépendre que des modules."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36 = (|z||z'|)^2$ : carré parasite. Le module\ndu produit est $2 \\times 3 = 6$."
        }
      ],
      "explanation": "$|zz'| = |z||z'|$ : se démontre avec $|zz'|^2 =\nzz'\\overline{zz'} = z\\bar{z}\\,z'\\bar{z'}$. Les arguments,\neux, s'**ajoutent** : multiplier revient à tourner et dilater."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensemble-U"
      ],
      "title": "L'ensemble $\\mathbb{U}$",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "$\\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de\nmodule $1$. Pourquoi dit-on que $\\mathbb{U}$ est stable par\nproduit ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\\,z'| = 1 \\times 1 = 1$ :\nle produit reste dans $\\mathbb{U}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le\nproduit sur le cercle unité. Avec $|1/z| = 1$,\n$\\mathbb{U}$ est stable par produit **et** inverse."
        },
        {
          "text": "Parce que la somme de deux éléments de $\\mathbb{U}$\nreste dans $\\mathbb{U}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $1 \\in \\mathbb{U}$ et $1 + 1 = 2 \\notin\n\\mathbb{U}$. La stabilité concerne le **produit**, pas\nla somme."
        },
        {
          "text": "Parce que $\\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : seuls $1$ et $-1$ sont des réels de module $1$.\n$\\mathbb{U}$ est le **cercle** unité, pas une droite."
        },
        {
          "text": "Parce que tout produit de complexes est de module $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $|2 \\times 3i| = 6$. La stabilité vaut pour les\néléments **de $\\mathbb{U}$** uniquement."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}$ = cercle unité, stable par produit et passage à\nl'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).\nSur $\\mathbb{U}$, multiplier revient à additionner les\nangles."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "argument",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Argument d'un nombre complexe",
      "partie": "module",
      "statement": "Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent\n$|z|$ et un argument de $z$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n  \\draw[->] (-0.6,0) -- (2,0) node[below] {$\\mathrm{Re}$};\n  \\draw[->] (0,-0.6) -- (0,2) node[left] {$\\mathrm{Im}$};\n  \\draw[dashed] (1,0) -- (1,1);\n  \\draw[dashed] (0,1) -- (1,1);\n  \\draw[->, thick] (0,0) -- (1,1);\n  \\fill (1,1) circle (1.2pt) node[above right] {$M$};\n  \\draw (0.45,0) arc (0:45:0.45);\n  \\node[font=\\small] at (0.72,0.26) {$\\frac{\\pi}{4}$};\n  \\node[below,font=\\small] at (1,0) {$1$};\n  \\node[left,font=\\small] at (0,1) {$1$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.307pt\" height=\"128.831pt\" viewBox=\"0 0 131.307 128.831\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 2.21875 -3.5 L 2.21875 -6.0625 C 2.21875 -6.296875 2.21875 -6.40625 2.4375 -6.4375 C 2.53125 -6.453125 2.828125 -6.453125 3.015625 -6.453125 C 3.90625 -6.453125 5.015625 -6.421875 5.015625 -4.984375 C 5.015625 -4.296875 4.78125 -3.5 3.3125 -3.5 Z M 4.3125 -3.375 C 5.265625 -3.609375 6.046875 -4.203125 6.046875 -4.984375 C 6.046875 -5.9375 4.90625 -6.765625 3.453125 -6.765625 L 0.34375 -6.765625 L 0.34375 -6.453125 L 0.578125 -6.453125 C 1.34375 -6.453125 1.359375 -6.34375 1.359375 -6 L 1.359375 -0.765625 C 1.359375 -0.421875 1.34375 -0.3125 0.578125 -0.3125 L 0.34375 -0.3125 L 0.34375 0 C 0.703125 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.796875 -0.03125 C 2.171875 -0.03125 2.875 -0.03125 3.234375 0 L 3.234375 -0.3125 L 3 -0.3125 C 2.234375 -0.3125 2.21875 -0.421875 2.21875 -0.765625 L 2.21875 -3.28125 L 3.359375 -3.28125 C 3.515625 -3.28125 3.9375 -3.28125 4.28125 -2.9375 C 4.65625 -2.578125 4.65625 -2.28125 4.65625 -1.609375 C 4.65625 -0.96875 4.65625 -0.578125 5.0625 -0.203125 C 5.46875 0.15625 6.015625 0.21875 6.3125 0.21875 C 7.078125 0.21875 7.25 -0.59375 7.25 -0.875 C 7.25 -0.9375 7.25 -1.046875 7.125 -1.046875 C 7.015625 -1.046875 7.015625 -0.953125 7 -0.875 C 6.9375 -0.171875 6.59375 0 6.34375 0 C 5.859375 0 5.78125 -0.5 5.640625 -1.421875 L 5.515625 -2.21875 C 5.34375 -2.859375 4.859375 -3.1875 4.3125 -3.375 Z M 4.3125 -3.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.109375 -2.5 C 1.171875 -3.96875 2 -4.21875 2.34375 -4.21875 C 3.359375 -4.21875 3.453125 -2.875 3.453125 -2.5 Z M 1.09375 -2.28125 L 3.859375 -2.28125 C 4.078125 -2.28125 4.109375 -2.28125 4.109375 -2.5 C 4.109375 -3.484375 3.578125 -4.4375 2.34375 -4.4375 C 1.1875 -4.4375 0.28125 -3.421875 0.28125 -2.171875 C 0.28125 -0.859375 1.3125 0.109375 2.453125 0.109375 C 3.671875 0.109375 4.109375 -0.984375 4.109375 -1.171875 C 4.109375 -1.28125 4.03125 -1.296875 3.984375 -1.296875 C 3.890625 -1.296875 3.875 -1.234375 3.859375 -1.15625 C 3.5 -0.140625 2.609375 -0.140625 2.515625 -0.140625 C 2.015625 -0.140625 1.625 -0.4375 1.390625 -0.796875 C 1.09375 -1.28125 1.09375 -1.9375 1.09375 -2.28125 Z M 1.09375 -2.28125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 2.234375 -6 C 2.234375 -6.34375 2.265625 -6.453125 3.046875 -6.453125 L 3.296875 -6.453125 L 3.296875 -6.765625 C 2.953125 -6.734375 2.171875 -6.734375 1.796875 -6.734375 C 1.40625 -6.734375 0.625 -6.734375 0.28125 -6.765625 L 0.28125 -6.453125 L 0.53125 -6.453125 C 1.3125 -6.453125 1.34375 -6.34375 1.34375 -6 L 1.34375 -0.765625 C 1.34375 -0.421875 1.3125 -0.3125 0.53125 -0.3125 L 0.28125 -0.3125 L 0.28125 0 C 0.625 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.78125 -0.03125 C 2.171875 -0.03125 2.953125 -0.03125 3.296875 0 L 3.296875 -0.3125 L 3.046875 -0.3125 C 2.265625 -0.3125 2.234375 -0.421875 2.234375 -0.765625 Z M 2.234375 -6 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.09375 -3.40625 L 1.09375 -0.75 C 1.09375 -0.3125 0.984375 -0.3125 0.3125 -0.3125 L 0.3125 0 C 0.65625 -0.015625 1.171875 -0.03125 1.4375 -0.03125 C 1.6875 -0.03125 2.203125 -0.015625 2.546875 0 L 2.546875 -0.3125 C 1.875 -0.3125 1.765625 -0.3125 1.765625 -0.75 L 1.765625 -2.578125 C 1.765625 -3.609375 2.484375 -4.15625 3.109375 -4.15625 C 3.734375 -4.15625 3.84375 -3.625 3.84375 -3.0625 L 3.84375 -0.75 C 3.84375 -0.3125 3.734375 -0.3125 3.078125 -0.3125 L 3.078125 0 C 3.421875 -0.015625 3.921875 -0.03125 4.1875 -0.03125 C 4.453125 -0.03125 4.96875 -0.015625 5.296875 0 L 5.296875 -0.3125 C 4.640625 -0.3125 4.53125 -0.3125 4.53125 -0.75 L 4.53125 -2.578125 C 4.53125 -3.609375 5.234375 -4.15625 5.859375 -4.15625 C 6.484375 -4.15625 6.59375 -3.625 6.59375 -3.0625 L 6.59375 -0.75 C 6.59375 -0.3125 6.484375 -0.3125 5.828125 -0.3125 L 5.828125 0 C 6.171875 -0.015625 6.671875 -0.03125 6.9375 -0.03125 C 7.203125 -0.03125 7.71875 -0.015625 8.046875 0 L 8.046875 -0.3125 C 7.53125 -0.3125 7.296875 -0.3125 7.28125 -0.609375 L 7.28125 -2.5 C 7.28125 -3.34375 7.28125 -3.65625 6.96875 -4.015625 C 6.828125 -4.1875 6.515625 -4.375 5.9375 -4.375 C 5.109375 -4.375 4.671875 -3.78125 4.5 -3.40625 C 4.359375 -4.265625 3.625 -4.375 3.1875 -4.375 C 2.453125 -4.375 1.984375 -3.953125 1.71875 -3.34375 L 1.71875 -4.375 L 0.3125 -4.265625 L 0.3125 -3.96875 C 1.015625 -3.96875 1.09375 -3.890625 1.09375 -3.40625 Z M 1.09375 -3.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 9.171875 -6 C 9.265625 -6.359375 9.28125 -6.453125 10.03125 -6.453125 C 10.25 -6.453125 10.34375 -6.453125 10.34375 -6.65625 C 10.34375 -6.765625 10.25 -6.765625 10.078125 -6.765625 L 8.765625 -6.765625 C 8.515625 -6.765625 8.5 -6.765625 8.375 -6.578125 L 4.765625 -0.9375 L 4 -6.53125 C 3.96875 -6.765625 3.9375 -6.765625 3.6875 -6.765625 L 2.328125 -6.765625 C 2.140625 -6.765625 2.03125 -6.765625 2.03125 -6.578125 C 2.03125 -6.453125 2.125 -6.453125 2.3125 -6.453125 C 2.453125 -6.453125 2.625 -6.453125 2.75 -6.4375 C 2.90625 -6.421875 2.96875 -6.390625 2.96875 -6.28125 C 2.96875 -6.234375 2.953125 -6.21875 2.921875 -6.09375 L 1.671875 -1.046875 C 1.5625 -0.65625 1.390625 -0.34375 0.59375 -0.3125 C 0.546875 -0.3125 0.421875 -0.296875 0.421875 -0.125 C 0.421875 -0.03125 0.46875 0 0.5625 0 C 0.875 0 1.21875 -0.03125 1.546875 -0.03125 C 1.875 -0.03125 2.234375 0 2.5625 0 C 2.609375 0 2.75 0 2.75 -0.203125 C 2.75 -0.3125 2.640625 -0.3125 2.5625 -0.3125 C 2 -0.3125 1.890625 -0.515625 1.890625 -0.75 C 1.890625 -0.8125 1.90625 -0.859375 1.9375 -0.96875 L 3.28125 -6.375 L 4.140625 -0.234375 C 4.15625 -0.109375 4.171875 0 4.296875 0 C 4.390625 0 4.453125 -0.109375 4.5 -0.171875 L 8.515625 -6.453125 L 7.109375 -0.765625 C 7 -0.390625 6.984375 -0.3125 6.203125 -0.3125 C 6.03125 -0.3125 5.921875 -0.3125 5.921875 -0.125 C 5.921875 0 6.046875 0 6.078125 0 C 6.34375 0 7.03125 -0.03125 7.296875 -0.03125 C 7.703125 -0.03125 8.140625 0 8.546875 0 C 8.59375 0 8.734375 0 8.734375 -0.203125 C 8.734375 -0.3125 8.640625 -0.3125 8.453125 -0.3125 C 8.078125 -0.3125 7.8125 -0.3125 7.8125 -0.484375 C 7.8125 -0.53125 7.8125 -0.546875 7.859375 -0.71875 Z M 9.171875 -6 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.03125 -2.140625 L 2.75 -2.140625 C 2.625 -1.625 2.546875 -1.234375 2.546875 -0.84375 C 2.546875 -0.546875 2.640625 0.0625 2.921875 0.0625 C 3.078125 0.0625 3.203125 -0.078125 3.203125 -0.21875 C 3.203125 -0.265625 3.171875 -0.3125 3.171875 -0.34375 C 2.953125 -0.734375 2.90625 -1.125 2.90625 -1.421875 C 2.90625 -1.515625 2.90625 -1.78125 2.984375 -2.140625 L 3.78125 -2.140625 C 3.84375 -2.140625 4.109375 -2.140625 4.109375 -2.390625 C 4.109375 -2.5625 3.9375 -2.5625 3.828125 -2.5625 L 1.46875 -2.5625 C 1.34375 -2.5625 1.078125 -2.5625 0.75 -2.265625 C 0.578125 -2.09375 0.359375 -1.8125 0.359375 -1.75 C 0.359375 -1.671875 0.4375 -1.671875 0.46875 -1.671875 C 0.53125 -1.671875 0.546875 -1.671875 0.578125 -1.734375 C 0.6875 -1.875 0.921875 -2.140625 1.40625 -2.140625 L 1.796875 -2.140625 C 1.59375 -1.40625 1.1875 -0.59375 1.109375 -0.453125 C 1.046875 -0.34375 0.96875 -0.203125 0.96875 -0.140625 C 0.96875 -0.015625 1.078125 0.0625 1.1875 0.0625 C 1.40625 0.0625 1.46875 -0.15625 1.53125 -0.34375 C 1.65625 -0.71875 1.65625 -0.71875 1.734375 -1.046875 Z M 2.03125 -2.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 3.359375 -0.96875 L 3.359375 -1.203125 L 2.65625 -1.203125 L 2.65625 -3.84375 C 2.65625 -3.984375 2.65625 -4.015625 2.515625 -4.015625 C 2.40625 -4.015625 2.390625 -4 2.34375 -3.921875 L 0.28125 -1.203125 L 0.28125 -0.96875 L 2.125 -0.96875 L 2.125 -0.5 C 2.125 -0.296875 2.125 -0.234375 1.625 -0.234375 L 1.453125 -0.234375 L 1.453125 0 C 1.578125 0 2.125 -0.03125 2.390625 -0.03125 C 2.65625 -0.03125 3.21875 0 3.328125 0 L 3.328125 -0.234375 L 3.15625 -0.234375 C 2.65625 -0.234375 2.65625 -0.296875 2.65625 -0.5 L 2.65625 -0.96875 Z M 2.171875 -3.375 L 2.171875 -1.203125 L 0.53125 -1.203125 Z M 2.171875 -3.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -27.213809 0.00189847 L 90.313365 0.00189847 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07061 2.389433 C -1.693631 0.956127 -0.849355 0.280706 -0.00115153 0.00189847 C -0.849355 -0.280836 -1.693631 -0.956257 -2.07061 -2.389563 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 119.286302, 99.158139)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"113.633277\" y=\"109.431917\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"120.928275\" y=\"109.431917\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000627042 -27.21521 L -0.000627042 90.311964 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072011 2.392088 C -1.695032 0.954855 -0.850756 0.279435 0.00137398 0.000627042 C -0.850756 -0.27818 -1.695032 -0.957528 -2.072011 -2.390834 \" transform=\"matrix(0, -0.99475, -0.99475, 0, 29.250624, 9.122461)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"13.911579\" y=\"12.31149\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"17.490201\" y=\"12.31149\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 45.354676 0.00189847 L 45.354676 45.353274 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000627042 45.353274 L 45.354676 45.353274 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000627042 0.00189847 L 44.793134 44.791733 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.549126 3.111735 C -2.085411 1.242989 -1.044133 0.362762 -0.0000789181 0.00178582 C -1.04691 -0.361967 -2.085411 -1.244971 -2.551903 -3.11094 \" transform=\"matrix(0.703388, -0.703388, -0.703388, -0.703388, 74.087249, 54.321513)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 76.269531 54.042969 C 76.269531 52.992188 75.417969 52.136719 74.367188 52.136719 C 73.316406 52.136719 72.464844 52.992188 72.464844 54.042969 C 72.464844 55.09375 73.316406 55.945312 74.367188 55.945312 C 75.417969 55.945312 76.269531 55.09375 76.269531 54.042969 Z M 76.269531 54.042969 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"77.868035\" y=\"50.540727\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 20.411223 0.00189847 C 20.411223 5.41312 18.2593 10.604437 14.430606 14.433131 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 29.250624, 99.158139)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"59.46715\" y=\"85.367919\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.379\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.0016087 -0.000570495 L 4.5607 -0.000570495 \" transform=\"matrix(0.99475, 0, 0, -0.99475, 59.46715, 86.792401)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"59.917772\" y=\"92.04866\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"72.074611\" y=\"108.407324\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"21.165296\" y=\"56.91608\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$|z| = \\sqrt{2}$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}$\n(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel\nvaut $45°$, soit $\\pi/4$."
        },
        {
          "text": "$|z| = 2$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module faux : $1^2 + 1^2 = 2$, puis racine :\n$|z| = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41$."
        },
        {
          "text": "$|z| = \\sqrt{2}$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument faux : $\\pi/2$ est l'axe imaginaire (affixe\n$i$). Ici $M$ est sur la bissectrice : $\\pi/4$."
        },
        {
          "text": "$|z| = 1$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module faux : $M$ n'est pas sur le cercle unité :\n$OM = \\sqrt{2} > 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Un argument de $z \\neq 0$ = mesure de l'angle\n$(\\vec{u}\\ ;\\ \\overrightarrow{OM})$, défini modulo $2\\pi$.\nIci $z = \\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4} +\ni\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right) = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-trigonometrique"
      ],
      "title": "Forme trigonométrique",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique du nombre\n$z = 2\\left(\\cos\\dfrac{\\pi}{3} + i\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + i\\sqrt{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$ et\n$\\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, puis on\nmultiplie par $2$."
        },
        {
          "text": "$z = \\sqrt{3} + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle $\\pi/6$ qui\ndonne $\\sqrt{3} + i$ (après multiplication par 2)."
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module oublié : c'est $e^{i\\pi/3}$, de module $1$ : il\nreste à multiplier par $r = 2$."
        },
        {
          "text": "$z = 2 + i\\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :\non **évalue** cosinus et sinus."
        }
      ],
      "explanation": "Forme trigonométrique : $z = r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$\navec $r = |z|$ et $\\theta = \\arg(z)$. Conversion : $a =\nr\\cos\\theta$, $b = r\\sin\\theta$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Forme exponentielle",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : module $\\sqrt{2}$, argument $\\pi/4$,\nd'où $z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$ : l'écriture la plus\nefficace pour multiplier et élever aux puissances."
        },
        {
          "text": "$z = e^{i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module oublié : $e^{i\\pi/4}$ est de module $1$, or\n$|1 + i| = \\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument faux : $\\pi/2$ correspond à l'axe imaginaire\npur ; $1 + i$ est sur la bissectrice ($\\pi/4$)."
        },
        {
          "text": "$z = 2\\,e^{i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module faux : $\\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$, pas $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Notation $e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$ ; tout\n$z \\neq 0$ s'écrit $r\\,e^{i\\theta}$. Relation fonctionnelle :\n$e^{i\\theta}e^{i\\theta'} = e^{i(\\theta + \\theta')}$ : mêmes\nrègles que l'exponentielle réelle."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "exponentielle",
        "produit"
      ],
      "title": "Produit sous forme exponentielle",
      "partie": "formes",
      "statement": "Que vaut le produit $3e^{i\\pi/6} \\times 2e^{i\\pi/3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6\\,e^{i\\pi/2} = 6i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : modules multipliés ($3 \\times 2$),\narguments ajoutés ($\\frac{\\pi}{6} + \\frac{\\pi}{3} =\n\\frac{\\pi}{2}$), et $e^{i\\pi/2} = i$."
        },
        {
          "text": "$6\\,e^{i\\pi^2/18}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les arguments s'**ajoutent** (relation\nfonctionnelle), ils ne se multiplient pas."
        },
        {
          "text": "$5\\,e^{i\\pi/2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les modules se **multiplient** ($3 \\times 2 =\n6$), ils ne s'ajoutent pas."
        },
        {
          "text": "$6\\,e^{i\\pi/6 \\times i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'écriture : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ : on\nadditionne les exposants."
        }
      ],
      "explanation": "$re^{i\\theta} \\times r'e^{i\\theta'} =\nrr'\\,e^{i(\\theta+\\theta')}$ : multiplier des complexes revient à multiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la\ngéométrie des rotations est là."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "euler"
      ],
      "title": "Formules d'Euler",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est l'expression de $\\cos\\theta$ donnée par les\nformules d'Euler ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en ajoutant $e^{i\\theta} = \\cos\\theta +\ni\\sin\\theta$ et $e^{-i\\theta} = \\cos\\theta -\ni\\sin\\theta$, le sinus s'élimine."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} - e^{-i\\theta}}{2i}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la formule du **sinus** : la différence élimine le\ncosinus, et le $2i$ normalise."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2i}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme est déjà réelle ($2\\cos\\theta$) :\ndiviser par $2i$ rendrait le résultat imaginaire."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : la somme vaut $2\\cos\\theta$ : il faut\ndiviser par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Euler : $\\cos\\theta = \\frac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$,\n$\\sin\\theta = \\frac{e^{i\\theta} - e^{-i\\theta}}{2i}$. Usage\ntypique : linéariser $\\cos^n\\theta$ pour intégrer."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moivre"
      ],
      "title": "Formule de Moivre",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que dit la formule de Moivre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(n\\theta) +\ni\\sin(n\\theta)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est $\\left(e^{i\\theta}\\right)^n =\ne^{in\\theta}$ en notation trigonométrique : élever à la\npuissance $n$ = multiplier l'angle par $n$."
        },
        {
          "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(\\theta^n) +\ni\\sin(\\theta^n)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'angle est **multiplié par $n$**\n($n\\theta$), pas élevé à la puissance $n$."
        },
        {
          "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = n\\cos\\theta +\nin\\sin\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par\n$n$ : le module reste $1$, seul l'angle est multiplié."
        },
        {
          "text": "$\\cos(n\\theta) = n\\cos\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : déjà pour $n = 2$ : $\\cos(2\\theta) =\n2\\cos^2\\theta - 1 \\neq 2\\cos\\theta$."
        }
      ],
      "explanation": "Moivre : $(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(n\\theta) +\ni\\sin(n\\theta)$. En développant le membre de gauche par le\nbinôme, on obtient $\\cos(n\\theta)$ et $\\sin(n\\theta)$ en\nfonction de $\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Puissance par la forme exponentielle",
      "partie": "calculs",
      "statement": "En écrivant $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, que vaut\n$(1 + i)^8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{2})^8 e^{i\\,8\\pi/4} =\n2^4\\,e^{2i\\pi} = 16 \\times 1 = 16$ : huit lignes de\ncalcul algébrique évitées."
        },
        {
          "text": "$-16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'angle : $8 \\times \\frac{\\pi}{4} = 2\\pi$, et\n$e^{2i\\pi} = 1$ (tour complet), pas $-1$."
        },
        {
          "text": "$16\\,i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^{2i\\pi} = 1$, pas $i$ ($i$ correspond à un\nquart de tour, $\\pi/2$)."
        },
        {
          "text": "$8\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module faux : $(\\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16$, pas\n$8\\sqrt{2} = 2^{3{,}5}$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis\n$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$. Contrôle :\n$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^8 = (2i)^4 = 16i^4 = 16$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite-euler"
      ],
      "title": "La valeur $e^{i\\pi}$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Que vaut $e^{i\\pi}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^{i\\pi} = \\cos\\pi + i\\sin\\pi = -1 +\n0$ : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité\nd'Euler."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 = e^{i \\cdot 0} = e^{2i\\pi}$ (tour\ncomplet) : $\\pi$ n'est que le DEMI-tour : $-1$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i = e^{i\\pi/2}$ (quart de tour) : à $\\pi$, on\natteint le point $(-1\\ ;\\ 0)$."
        },
        {
          "text": "$e^{\\pi} \\approx 23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $i$ oublié : $e^{i\\pi}$ vit sur le cercle unité\n(module $1$), rien à voir avec l'exponentielle réelle\n$e^{\\pi}$."
        }
      ],
      "explanation": "Les quatre points cardinaux : $e^{i0} = 1$, $e^{i\\pi/2} =\ni$, $e^{i\\pi} = -1$, $e^{3i\\pi/2} = -i$ : le cercle unité\npar quarts de tour. « $e^{i\\pi} + 1 = 0$ » relie les cinq\nconstantes fondamentales."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module-quotient"
      ],
      "title": "Module d'un quotient",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut\n$\\left|\\dfrac{z}{z'}\\right|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules : $\\frac{6}{2} = 3$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction : les modules se **divisent** dans un\nquotient (comme ils se multiplient dans un produit) :\n$6 - 2$ ne correspond à rien."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit au lieu du quotient : $12 = |z z'|$ : pour la\ndivision : $\\frac{6}{2} = 3$."
        },
        {
          "text": "Impossible sans connaître les arguments",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des\nmodules : les arguments règlent la direction, pas la\nlongueur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left|\\frac{z}{z'}\\right| = \\frac{|z|}{|z'|}$ et\n$\\arg\\frac{z}{z'} = \\arg z - \\arg z'$ : le quotient divise\nles longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du\nproduit."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "argument-reel-negatif"
      ],
      "title": "Argument d'un réel négatif",
      "partie": "module",
      "statement": "Quel est un argument de $z = -5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-5$ est sur la demi-droite des réels\nnégatifs : angle $\\pi$ avec l'axe positif : $-5 =\n5e^{i\\pi}$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'argument $0$ appartient aux réels\n**positifs** : $-5$ pointe à l'opposé : $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $-5$ est le nombre lui-même : son argument\nest un ANGLE : $\\pi$ (et son module $5$)."
        },
        {
          "text": "Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non\nnul a un argument ($0$ pour les positifs, $\\pi$ pour les\nnégatifs)."
        }
      ],
      "explanation": "Arguments des réels : positifs : $0 \\pmod{2\\pi}$ ;\nnégatifs : $\\pi$. Des imaginaires purs : $\\pm\\frac{\\pi}{2}$.\nQuatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conjugue-module-argument"
      ],
      "title": "Module et argument du conjugué",
      "partie": "module",
      "statement": "Comment module et argument de $\\bar{z}$ se comparent-ils à\nceux de $z$ (non nul) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$|\\bar{z}| = |z|$ et $\\arg\\bar{z} = -\\arg z$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : conjuguer revient à prendre le symétrique par rapport à l'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,\nl'angle bascule en son opposé."
        },
        {
          "text": "$|\\bar{z}| = -|z|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : un module est une distance, toujours\npositive : la symétrie ne change pas les longueurs."
        },
        {
          "text": "Module et argument sont tous deux conservés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : garder les deux caractériserait $z$ lui-même :\nle conjugué retourne l'ANGLE ($z$ réel excepté)."
        },
        {
          "text": "$\\arg\\bar{z} = \\pi - \\arg z$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise symétrie : $\\pi - \\theta$ est la réflexion\nd'axe VERTICAL (celle de $-\\bar{z}$) : conjuguer\nréfléchit horizontalement : $-\\theta$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\bar{z} = re^{-i\\theta}$ quand $z = re^{i\\theta}$ :\nsymétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.\nCohérent avec $z\\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2$."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance-affixes"
      ],
      "title": "Distance entre deux points par les affixes",
      "partie": "module",
      "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 + 6i$.\nQue vaut la distance $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$AB = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| =\n\\sqrt{9 + 16} = 5$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\sqrt{52} - \\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité\ntriangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est\n$|z_B - z_A|$."
        },
        {
          "text": "$AB = 3 + 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : $3 + 4i = z_B - z_A$ est l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son\nmodule, $5$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\sqrt{89}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |5 + 8i|$ ne\nmesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 + 6i$.\nQue vaut la distance $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$AB = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| =\n\\sqrt{9 + 16} = 5$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{52} - \\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité\ntriangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est\n$|z_B - z_A|$."
            },
            {
              "text": "$AB = 3 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $3 + 4i = z_B - z_A$ est l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son\nmodule, $5$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{89}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |5 + 8i|$ ne\nmesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction."
            }
          ],
          "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 2 - i$ et $z_B = 8 + 7i$.\nQue vaut la distance $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$AB = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |6 + 8i| =\n\\sqrt{36 + 64} = 10$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{113} - \\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité\ntriangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est\n$|z_B - z_A|$."
            },
            {
              "text": "$AB = 6 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $6 + 8i = z_B - z_A$ est l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son\nmodule, $10$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{136}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |10 + 6i|$ ne\nmesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction."
            }
          ],
          "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = -1 + 3i$ et $z_B = 4 - 9i$.\nQue vaut la distance $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$AB = 13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |5 - 12i| =\n\\sqrt{25 + 144} = 13$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{97} - \\sqrt{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité\ntriangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est\n$|z_B - z_A|$."
            },
            {
              "text": "$AB = 5 - 12i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $5 - 12i = z_B - z_A$ est l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son\nmodule, $13$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{45}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |3 - 6i|$ ne\nmesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction."
            }
          ],
          "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 3 + i$ et $z_B = -5 + 16i$.\nQue vaut la distance $AB$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$AB = 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |-8 + 15i| =\n\\sqrt{64 + 225} = 17$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{281} - \\sqrt{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité\ntriangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est\n$|z_B - z_A|$."
            },
            {
              "text": "$AB = -8 + 15i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $-8 + 15i = z_B - z_A$ est l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son\nmodule, $17$."
            },
            {
              "text": "$AB = \\sqrt{293}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |-2 + 17i|$ ne\nmesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction."
            }
          ],
          "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-expo-quadrant"
      ],
      "title": "Forme exponentielle de $-1 + i$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{3i\\pi/4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : module $\\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}$ ; le\npoint $(-1\\ ;\\ 1)$ vit dans le deuxième quadrant, sur la\nbissectrice : argument $\\pi - \\frac{\\pi}{4} =\n\\frac{3\\pi}{4}$."
        },
        {
          "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quadrant raté : $e^{i\\pi/4}$ pointe vers $(+1\\ ;\\ +1)$\n(premier quadrant) : notre point a une partie réelle\nNÉGATIVE : $\\frac{3\\pi}{4}$."
        },
        {
          "text": "$z = 2\\,e^{3i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module : $\\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$, pas $2$."
        },
        {
          "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{-i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\frac{\\pi}{4}$ descend dans le quatrième\nquadrant ($1 - i$ normalisé) : notre point est en haut à\ngauche."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)\navant de choisir l'argument : $\\cos\\theta =\n\\frac{-1}{\\sqrt{2}}$, $\\sin\\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ :\n$\\theta = \\frac{3\\pi}{4}$. Le dessin évite l'erreur de\nquadrant, la plus fréquente du chapitre."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module",
        "calcul"
      ],
      "title": "Module d'une somme",
      "partie": "module",
      "statement": "On rappelle que, pour tous points $O$, $A$ et $C$ du plan, $OC \\leq OA + AC$.\nL'égalité $|z + z'| = |z| + |z'|$ est-elle vraie pour tous nombres complexes\n$z$ et $z'$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, pas pour tous $z$ et $z'$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $z = 1$ et $z' = -1$, le membre de gauche vaut\n$0$ et celui de droite $2$."
        },
        {
          "text": "Oui, toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Le contre-exemple de deux complexes opposés suffit à l'écarter."
        },
        {
          "text": "Oui, si les deux modules sont égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Les complexes $1$ et $-1$ ont le même module et fournissent pourtant un\ncontre-exemple."
        },
        {
          "text": "Non, l'inégalité va dans l'autre sens",
          "correct": false,
          "feedback": "Avec $O$, $A$ et $C$ d'affixes $0$, $z$ et $z + z'$, on a $|z + z'| = OC$,\n$|z| = OA$ et $|z'| = AC$ : l'inégalité rappelée majore $|z + z'|$, elle ne le\nminore pas.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Avec $O$, $A$ et $C$ d'affixes $0$, $z$ et $z + z'$, on obtient\n$|z + z'| = OC \\leq OA + AC = |z| + |z'|$. L'égalité peut être en défaut, comme\nle montrent $z = 1$ et $z' = -1$."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-exponentielle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Forme exponentielle de $1 + i$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $1 + i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $\\sqrt{2}$ et l'argument\n$\\dfrac{\\pi}{4}$, le point étant sur la bissectrice."
        },
        {
          "text": "$2\\,e^{i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module non réduit : $|1 + i|$ vaut $\\sqrt{1 + 1}$, pas $2$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument faux : $\\dfrac{\\pi}{2}$ correspondrait à un imaginaire pur."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2}\\,e^{-i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'argument : cette forme décrit $1 - i$, situé sous l'axe des\nabscisses."
        }
      ],
      "explanation": "Pour passer à la forme exponentielle, on calcule le module, puis on\nidentifie l'argument à partir du cosinus et du sinus, ou par lecture du\npoint dans le plan."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "argument",
        "produit"
      ],
      "title": "Argument d'un produit",
      "partie": "module",
      "statement": "Comment obtient-on un argument du produit de deux complexes non\nnuls ?",
      "options": [
        {
          "text": "En additionnant leurs arguments",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la traduction de la règle\n$e^{i\\alpha} \\times e^{i\\beta} = e^{i(\\alpha + \\beta)}$."
        },
        {
          "text": "En multipliant leurs arguments",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les modules qui se multiplient, les arguments s'additionnent."
        },
        {
          "text": "En prenant le plus grand des deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune sélection n'intervient : les deux contribuent également."
        },
        {
          "text": "En soustrayant leurs arguments",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction correspond à un quotient, pas à un produit."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et à additionner\nles arguments. Géométriquement, c'est une rotation composée avec un\nagrandissement."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moivre",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une puissance par Moivre",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\left(e^{i\\pi/6}\\right)^{6}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument devient $6 \\times \\dfrac{\\pi}{6} = \\pi$, donc le\nrésultat est $e^{i \\pi} = -1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument mal calculé : $6 \\times \\dfrac{\\pi}{6}$ vaut $\\pi$ ; la valeur\n$1$ correspondrait à un argument de $0$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $i$ correspondrait à un argument de $\\dfrac{\\pi}{2}$, pas $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$e^{i\\pi/6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant ignoré : élever à la puissance $6$ multiplie l'argument par\n$6$."
        }
      ],
      "explanation": "La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie\nl'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(e^{i\\pi/6}\\right)^{6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument devient $6 \\times \\dfrac{\\pi}{6} = \\pi$, donc le\nrésultat est $e^{i \\pi} = -1$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal calculé : $6 \\times \\dfrac{\\pi}{6}$ vaut $\\pi$ ; la valeur\n$1$ correspondrait à un argument de $0$."
            },
            {
              "text": "$i$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $i$ correspondrait à un argument de $\\dfrac{\\pi}{2}$, pas $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$e^{i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ignoré : élever à la puissance $6$ multiplie l'argument par\n$6$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie\nl'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(e^{i\\pi/4}\\right)^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument devient $2 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{2}$, donc le\nrésultat est $e^{i \\dfrac{\\pi}{2}} = i$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal calculé : $2 \\times \\dfrac{\\pi}{4}$ vaut $\\dfrac{\\pi}{2}$ ; la valeur\n$-1$ correspondrait à un argument de $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$-i$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $-i$ correspondrait à un argument de $\\dfrac{3\\pi}{2}$, pas $\\dfrac{\\pi}{2}$."
            },
            {
              "text": "$e^{i\\pi/4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ignoré : élever à la puissance $2$ multiplie l'argument par\n$2$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie\nl'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(e^{i\\pi/3}\\right)^{6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument devient $6 \\times \\dfrac{\\pi}{3} = 2\\pi$, donc le\nrésultat est $e^{i 2\\pi} = 1$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal calculé : $6 \\times \\dfrac{\\pi}{3}$ vaut $2\\pi$ ; la valeur\n$-1$ correspondrait à un argument de $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$i$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $i$ correspondrait à un argument de $\\dfrac{\\pi}{2}$, pas $2\\pi$."
            },
            {
              "text": "$e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ignoré : élever à la puissance $6$ multiplie l'argument par\n$6$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie\nl'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(e^{i\\pi/6}\\right)^{9}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument devient $9 \\times \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{3\\pi}{2}$, donc le\nrésultat est $e^{i \\dfrac{3\\pi}{2}} = -i$."
            },
            {
              "text": "$i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal calculé : $9 \\times \\dfrac{\\pi}{6}$ vaut $\\dfrac{3\\pi}{2}$ ; la valeur\n$i$ correspondrait à un argument de $\\dfrac{\\pi}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $-1$ correspondrait à un argument de $\\pi$, pas $\\dfrac{3\\pi}{2}$."
            },
            {
              "text": "$e^{i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant ignoré : élever à la puissance $9$ multiplie l'argument par\n$9$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie\nl'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "affixe",
        "geometrie"
      ],
      "title": "Affixe d'un vecteur",
      "partie": "module",
      "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$.\nQuelle est l'affixe du vecteur $\\overrightarrow{AB}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z_B - z_A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la soustraction se fait dans le même ordre que pour des\ncoordonnées."
        },
        {
          "text": "$z_A - z_B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cette affixe est celle de $\\overrightarrow{BA}$."
        },
        {
          "text": "$z_A + z_B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme au lieu d'une différence : elle donnerait le double de l'affixe\ndu milieu."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{z_A + z_B}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'affixe du milieu de $[AB]$, pas celle du vecteur."
        }
      ],
      "explanation": "L'affixe d'un vecteur $\\overrightarrow{AB}$ vaut $z_B - z_A$, et sa norme\n$|z_B - z_A|$, ce qui donne la distance $AB$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "complexes",
        "transformation"
      ],
      "title": "Multiplier par $i$",
      "partie": "module",
      "statement": "Quelle transformation géométrique correspond à la multiplication par\n$i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une rotation d'un quart de tour autour de l'origine",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module reste inchangé et l'argument augmente de\n$\\dfrac{\\pi}{2}$."
        },
        {
          "text": "Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette symétrie correspond à la conjugaison."
        },
        {
          "text": "Un agrandissement de rapport $i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un rapport d'agrandissement est un réel positif, et $|i|$ vaut $1$ :\nles longueurs sont conservées."
        },
        {
          "text": "Une translation de vecteur d'affixe $i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une translation correspond à une addition, pas à une multiplication."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par un complexe de module $1$ et d'argument $\\theta$ est une\nrotation d'angle $\\theta$ autour de l'origine. Pour $i$, cet angle vaut un\nquart de tour."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module",
        "distance"
      ],
      "title": "Une distance par les affixes",
      "partie": "module",
      "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $2 + i$ et $5 + 5i$.\nQuelle est la distance $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la différence vaut $3 + 4i$, de module\n$\\sqrt{9 + 16}$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parties additionnées : $3 + 4$ ignore le calcul du module."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $25$ est le carré de la distance."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme placée sous la racine : le module élève chaque partie au carré\navant de les ajouter."
        }
      ],
      "explanation": "La distance entre deux points vaut le module de la différence de leurs\naffixes. Le calcul reprend celui de la norme d'un vecteur en coordonnées."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "euler",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Les formules d'Euler",
      "partie": "formes",
      "statement": "À quoi $\\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos\\theta$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les parties imaginaires se compensent et les parties\nréelles s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "$\\sin\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sinus s'obtient avec une différence et un dénominateur $2i$."
        },
        {
          "text": "$e^{i\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux exponentielles ne se simplifient pas ainsi : leur somme est\nréelle."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat dépend de $\\theta$ : il vaut $1$ seulement pour\n$\\theta = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Les formules d'Euler expriment cosinus et sinus à partir des\nexponentielles complexes. Elles servent à linéariser des expressions\ntrigonométriques."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "module",
        "quotient"
      ],
      "title": "Module d'un quotient",
      "partie": "module",
      "statement": "Pour $z' $ non nul, à quoi $\\left|\\dfrac{z}{z'}\\right|$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{|z|}{|z'|}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module est multiplicatif, donc compatible avec les\nquotients."
        },
        {
          "text": "$|z| - |z'|$",
          "correct": false,
          "feedback": "La soustraction correspondrait aux arguments, pas aux modules."
        },
        {
          "text": "$|z| \\times |z'|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette expression donne le module du produit, pas celui du quotient."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{|z'|}{|z|}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : le numérateur reste au numérateur."
        }
      ],
      "explanation": "Le module transforme produits et quotients en produits et quotients, alors\nque l'argument les transforme en sommes et différences."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cercle-unite",
        "ensemble"
      ],
      "title": "L'ensemble des complexes de module $1$",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Quel ensemble de points du plan décrit la condition $|z| = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le cercle de centre l'origine et de rayon $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module est la distance à l'origine."
        },
        {
          "text": "Le disque de centre l'origine et de rayon $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le disque correspondrait à l'inégalité $|z| \\leq 1$."
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette droite décrirait la condition portant sur la partie réelle."
        },
        {
          "text": "Le point d'affixe $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce point vérifie la condition, mais une infinité d'autres aussi."
        }
      ],
      "explanation": "Le module $|z|$ est la distance de l'origine au point d'affixe $z$. Les\nconditions de module décrivent donc des cercles ou des disques."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "argument",
        "geometrie"
      ],
      "title": "Un argument nul",
      "partie": "module",
      "statement": "Que décrit l'ensemble des complexes non nuls d'argument nul ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les réels strictement positifs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un argument nul place le point sur l'axe des abscisses,\ndu côté positif."
        },
        {
          "text": "L'axe des abscisses tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Les réels négatifs ont pour argument $\\pi$, pas $0$."
        },
        {
          "text": "L'axe des ordonnées tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Les imaginaires purs ont pour argument $\\dfrac{\\pi}{2}$ ou\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$."
        },
        {
          "text": "Le seul point d'affixe égale à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les réels strictement positifs conviennent, quel que soit leur\nmodule."
        }
      ],
      "explanation": "L'argument donne la direction du point vu depuis l'origine, le module sa\ndistance. Fixer l'argument décrit donc une demi-droite issue de l'origine."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conjugue",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Conjugué sous forme exponentielle",
      "partie": "module",
      "statement": "Quel est le conjugué de $r e^{i\\theta}$, avec $r$ strictement\npositif ?",
      "options": [
        {
          "text": "$r e^{-i\\theta}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la conjugaison conserve le module et change le signe de\nl'argument."
        },
        {
          "text": "$-r e^{i\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette expression est l'opposé, qui correspond à un argument augmenté de\n$\\pi$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{r} e^{i\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inverse du module apparaît pour l'inverse du nombre, pas pour son\nconjugué."
        },
        {
          "text": "$r e^{i\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conjugaison ne laisse invariants que les réels, donc les arguments\nnuls ou égaux à $\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Conjuguer revient à symétriser par rapport à l'axe des abscisses : le\nmodule est conservé et l'argument changé de signe."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "image",
        "affixe"
      ],
      "title": "Affixe d'un point donné",
      "partie": "module",
      "statement": "Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de\ncoordonnées $(-3\\ ;\\ 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3 + 5i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et\nl'ordonnée le coefficient de $i$."
        },
        {
          "text": "$5 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse $-3$ est la partie\nréelle, l'ordonnée $5$ le coefficient de $i$."
        },
        {
          "text": "$-3i + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc\nle nombre $5$."
        },
        {
          "text": "$3 + 5i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle\nquelle, sans changer de signe."
        }
      ],
      "explanation": "Au point $M(a\\ ;\\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et\nréciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec\ndes nombres au lieu de couples.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de\ncoordonnées $(-3\\ ;\\ 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3 + 5i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et\nl'ordonnée le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$5 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse $-3$ est la partie\nréelle, l'ordonnée $5$ le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$-3i + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc\nle nombre $5$."
            },
            {
              "text": "$3 + 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle\nquelle, sans changer de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Au point $M(a\\ ;\\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et\nréciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec\ndes nombres au lieu de couples."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de\ncoordonnées $(4\\ ;\\ -2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et\nl'ordonnée le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$-2 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse $4$ est la partie\nréelle, l'ordonnée $-2$ le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$4i - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc\nle nombre $-2$."
            },
            {
              "text": "$-4 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle\nquelle, sans changer de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Au point $M(a\\ ;\\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et\nréciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec\ndes nombres au lieu de couples."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de\ncoordonnées $(6\\ ;\\ 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6 + 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et\nl'ordonnée le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$3 + 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse $6$ est la partie\nréelle, l'ordonnée $3$ le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$6i + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc\nle nombre $3$."
            },
            {
              "text": "$-6 + 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle\nquelle, sans changer de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Au point $M(a\\ ;\\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et\nréciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec\ndes nombres au lieu de couples."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de\ncoordonnées $(-2\\ ;\\ -7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2 - 7i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et\nl'ordonnée le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$-7 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse $-2$ est la partie\nréelle, l'ordonnée $-7$ le coefficient de $i$."
            },
            {
              "text": "$-2i - 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc\nle nombre $-7$."
            },
            {
              "text": "$2 - 7i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle\nquelle, sans changer de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Au point $M(a\\ ;\\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et\nréciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec\ndes nombres au lieu de couples."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conjugue",
        "transformation"
      ],
      "title": "La conjugaison vue comme transformation",
      "partie": "module",
      "statement": "Dans le plan complexe, quelle transformation fait passer du\npoint d'affixe $z$ au point d'affixe $\\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des réels",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la partie réelle est conservée et la\npartie imaginaire changée de signe, donc l'ordonnée\ndevient son opposée."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des imaginaires purs",
          "correct": false,
          "feedback": "Axe confondu : cette symétrie change la partie réelle de\nsigne, elle correspond au nombre $-\\bar{z}$."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie centrale : elle change les deux parties de\nsigne, elle correspond au nombre $-z$."
        },
        {
          "text": "La rotation d'un quart de tour de centre l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "Rotation : le quart de tour traduit la multiplication par\n$i$, et non la conjugaison."
        }
      ],
      "explanation": "Le point d'affixe $\\bar{z}$ est le symétrique du point\nd'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses. Module\nconservé, argument changé de signe."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "module-quotient",
        "module"
      ],
      "title": "Module de l'inverse",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 4$. Que vaut\n$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules, donc l'inverse a pour module\n$\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la\nlongueur, qui devient $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré parasite : $16$ est la valeur de $z\\bar{z}$,\nc'est-à-dire de $|z|^2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir\n$|z|$ qu'une seule fois."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|}$ : la\nmultiplicativité du module se transmet aux quotients. Les\narguments, eux, changent de signe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 4$. Que vaut\n$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules, donc l'inverse a pour module\n$\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la\nlongueur, qui devient $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré parasite : $16$ est la valeur de $z\\bar{z}$,\nc'est-à-dire de $|z|^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir\n$|z|$ qu'une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|}$ : la\nmultiplicativité du module se transmet aux quotients. Les\narguments, eux, changent de signe."
        },
        {
          "statement": "Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 5$. Que vaut\n$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules, donc l'inverse a pour module\n$\\dfrac{1}{5}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la\nlongueur, qui devient $\\dfrac{1}{5}$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré parasite : $25$ est la valeur de $z\\bar{z}$,\nc'est-à-dire de $|z|^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir\n$|z|$ qu'une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|}$ : la\nmultiplicativité du module se transmet aux quotients. Les\narguments, eux, changent de signe."
        },
        {
          "statement": "Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 10$. Que vaut\n$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules, donc l'inverse a pour module\n$\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la\nlongueur, qui devient $\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré parasite : $100$ est la valeur de $z\\bar{z}$,\nc'est-à-dire de $|z|^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{100}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir\n$|z|$ qu'une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|}$ : la\nmultiplicativité du module se transmet aux quotients. Les\narguments, eux, changent de signe."
        },
        {
          "statement": "Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 8$. Que vaut\n$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules, donc l'inverse a pour module\n$\\dfrac{1}{8}$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la\nlongueur, qui devient $\\dfrac{1}{8}$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré parasite : $64$ est la valeur de $z\\bar{z}$,\nc'est-à-dire de $|z|^2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{64}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir\n$|z|$ qu'une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|}$ : la\nmultiplicativité du module se transmet aux quotients. Les\narguments, eux, changent de signe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "z-zbar",
        "module"
      ],
      "title": "Remonter au module",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Un nombre complexe $z$ vérifie $z\\bar{z} = 9$. Que vaut\n$|z|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la\nracine carrée de $9$, soit $3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $9$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du\ncarré qu'il faut appliquer."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré de trop : $z\\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à\nnouveau éloigne du module."
        }
      ],
      "explanation": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du\nmodule vers le produit, et du produit vers le module par une\nracine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un nombre complexe $z$ vérifie $z\\bar{z} = 9$. Que vaut\n$|z|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la\nracine carrée de $9$, soit $3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $9$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même."
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du\ncarré qu'il faut appliquer."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : $z\\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à\nnouveau éloigne du module."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du\nmodule vers le produit, et du produit vers le module par une\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un nombre complexe $z$ vérifie $z\\bar{z} = 49$. Que vaut\n$|z|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la\nracine carrée de $49$, soit $7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $49$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même."
            },
            {
              "text": "$24{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du\ncarré qu'il faut appliquer."
            },
            {
              "text": "$2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : $z\\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à\nnouveau éloigne du module."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du\nmodule vers le produit, et du produit vers le module par une\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un nombre complexe $z$ vérifie $z\\bar{z} = 36$. Que vaut\n$|z|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la\nracine carrée de $36$, soit $6$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $36$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du\ncarré qu'il faut appliquer."
            },
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : $z\\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à\nnouveau éloigne du module."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du\nmodule vers le produit, et du produit vers le module par une\nracine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un nombre complexe $z$ vérifie $z\\bar{z} = 25$. Que vaut\n$|z|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z\\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la\nracine carrée de $25$, soit $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $25$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même."
            },
            {
              "text": "$12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du\ncarré qu'il faut appliquer."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré de trop : $z\\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à\nnouveau éloigne du module."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du\nmodule vers le produit, et du produit vers le module par une\nracine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "trigonometrie",
        "cercle-unite",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Module de $e^{i\\theta}$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Pour tout réel $\\theta$, que vaut $\\left|e^{i\\theta}\\right|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta = 1$, donc\nle point est sur le cercle unité quel que soit $\\theta$."
        },
        {
          "text": "$\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\theta$ est l'argument, c'est-à-dire un\nangle, pas une longueur."
        },
        {
          "text": "$e^{\\theta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exponentielle réelle appelée à tort : l'exposant est\nimaginaire pur, le module reste $1$."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta + \\sin\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le module est\n$\\sqrt{\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta}$, et non la somme du\ncosinus et du sinus."
        }
      ],
      "explanation": "$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$ est toujours de\nmodule $1$ : les nombres $e^{i\\theta}$ décrivent exactement le\ncercle unité $\\mathbb{U}$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "cercle-unite",
        "ensemble-U"
      ],
      "title": "Reconnaître un élément de $\\mathbb{U}$",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Lequel de ces nombres appartient à $\\mathbb{U}$, l'ensemble\ndes complexes de module $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{5} + \\dfrac{4}{5}i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{25} + \\dfrac{16}{25} = 1$,\ndonc le module vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{2}i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module trop petit : $\\dfrac{1}{4} + \\dfrac{1}{4} =\n\\dfrac{1}{2}$, dont la racine vaut environ $0{,}71$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module trop grand : $\\dfrac{3}{4} + \\dfrac{3}{4} =\n\\dfrac{3}{2}$, dont la racine dépasse $1$."
        },
        {
          "text": "$1 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module $\\sqrt{2}$ : les deux parties valent $1$, ce qui\ndonne $\\sqrt{1 + 1}$."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre appartient à $\\mathbb{U}$ lorsque $a^2 + b^2 = 1$.\nLes couples $\\left(\\frac{3}{5}\\ ;\\ \\frac{4}{5}\\right)$ et\n$\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\ ;\\ \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)$ sont\nles plus courants."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "argument-reel-negatif",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Un réel négatif sous forme exponentielle",
      "partie": "module",
      "statement": "Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7e^{i\\pi}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $7$ et le point est sur\nle demi-axe des réels négatifs, d'argument $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$-7e^{i\\pi}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe compté deux fois : $e^{i\\pi} = -1$ apporte déjà le\nsigne moins, et le module reste positif."
        },
        {
          "text": "$7e^{2i\\pi}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tour complet : $e^{2i\\pi} = 1$, ce qui redonne le réel\npositif $7$."
        },
        {
          "text": "$7e^{i\\pi/2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quart de tour : $e^{i\\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire\npur $7i$, et non à un réel."
        }
      ],
      "explanation": "Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\\pi}$ : son\nmodule est $k$ et son argument $\\pi$. Les réels positifs, eux,\nont pour argument $0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7e^{i\\pi}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $7$ et le point est sur\nle demi-axe des réels négatifs, d'argument $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$-7e^{i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe compté deux fois : $e^{i\\pi} = -1$ apporte déjà le\nsigne moins, et le module reste positif."
            },
            {
              "text": "$7e^{2i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tour complet : $e^{2i\\pi} = 1$, ce qui redonne le réel\npositif $7$."
            },
            {
              "text": "$7e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quart de tour : $e^{i\\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire\npur $7i$, et non à un réel."
            }
          ],
          "explanation": "Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\\pi}$ : son\nmodule est $k$ et son argument $\\pi$. Les réels positifs, eux,\nont pour argument $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3e^{i\\pi}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $3$ et le point est sur\nle demi-axe des réels négatifs, d'argument $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$-3e^{i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe compté deux fois : $e^{i\\pi} = -1$ apporte déjà le\nsigne moins, et le module reste positif."
            },
            {
              "text": "$3e^{2i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tour complet : $e^{2i\\pi} = 1$, ce qui redonne le réel\npositif $3$."
            },
            {
              "text": "$3e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quart de tour : $e^{i\\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire\npur $3i$, et non à un réel."
            }
          ],
          "explanation": "Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\\pi}$ : son\nmodule est $k$ et son argument $\\pi$. Les réels positifs, eux,\nont pour argument $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12e^{i\\pi}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $12$ et le point est sur\nle demi-axe des réels négatifs, d'argument $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$-12e^{i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe compté deux fois : $e^{i\\pi} = -1$ apporte déjà le\nsigne moins, et le module reste positif."
            },
            {
              "text": "$12e^{2i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tour complet : $e^{2i\\pi} = 1$, ce qui redonne le réel\npositif $12$."
            },
            {
              "text": "$12e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quart de tour : $e^{i\\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire\npur $12i$, et non à un réel."
            }
          ],
          "explanation": "Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\\pi}$ : son\nmodule est $k$ et son argument $\\pi$. Les réels positifs, eux,\nont pour argument $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5e^{i\\pi}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $5$ et le point est sur\nle demi-axe des réels négatifs, d'argument $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$-5e^{i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe compté deux fois : $e^{i\\pi} = -1$ apporte déjà le\nsigne moins, et le module reste positif."
            },
            {
              "text": "$5e^{2i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tour complet : $e^{2i\\pi} = 1$, ce qui redonne le réel\npositif $5$."
            },
            {
              "text": "$5e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quart de tour : $e^{i\\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire\npur $5i$, et non à un réel."
            }
          ],
          "explanation": "Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\\pi}$ : son\nmodule est $k$ et son argument $\\pi$. Les réels positifs, eux,\nont pour argument $0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite-euler",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "La valeur $e^{i\\pi/2}$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Que vaut $e^{i\\pi/2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{\\pi}{2} = 0$ et\n$\\sin\\dfrac{\\pi}{2} = 1$ : le quart de tour direct amène\nau point d'affixe $i$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ correspond à l'angle nul, ou au tour complet\n$2\\pi$, pas au quart de tour."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ correspond au demi-tour, c'est-à-dire à\nl'angle $\\pi$ de l'identité d'Euler."
        },
        {
          "text": "$-i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de rotation : $-i$ correspond à l'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$, un quart de tour vers le bas."
        }
      ],
      "explanation": "Quatre valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$, $e^{i\\pi/2} = i$,\n$e^{i\\pi} = -1$ et $e^{3i\\pi/2} = -i$. Elles repèrent les\nquatre points cardinaux du cercle unité."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "distance",
        "distance-affixes",
        "ensemble"
      ],
      "title": "Un ensemble décrit par un module",
      "partie": "module",
      "statement": "Le point $A$ a pour affixe $z_A = 2 - i$. Quel est l'ensemble\ndes points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_A| = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le cercle de centre $A$ et de rayon $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|z - z_A|$ est la distance $AM$ ; elle\nvaut $3$ exactement pour les points situés à $3$ unités\nde $A$."
        },
        {
          "text": "Le disque de centre $A$ et de rayon $3$, bord compris",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité au lieu d'une égalité : le disque correspond à\nla condition $|z - z_A| \\leq 3$."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Centre déplacé : c'est $|z| = 3$ qui décrirait un cercle\ncentré à l'origine."
        },
        {
          "text": "La médiatrice du segment $[OA]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une médiatrice traduit l'égalité de deux distances, donc\ndeux modules, et non un module fixé."
        }
      ],
      "explanation": "$|z - z_A| = AM$ : une condition sur ce module décrit un\ncercle de centre $A$ ; l'inégalité correspondante décrit un\ndisque."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "exponentielle",
        "quotient"
      ],
      "title": "Quotient sous forme exponentielle",
      "partie": "formes",
      "statement": "Que vaut le quotient\n$\\dfrac{6e^{i\\pi/2}}{3e^{i\\pi/6}}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2e^{i\\pi/3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les modules se divisent\n($6 \\div 3 = 2$) et les arguments se\nsoustraient ($\\pi/2 - \\pi/6 = \\pi/3$)."
        },
        {
          "text": "$3e^{i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,\nce qui donne $2$."
        },
        {
          "text": "$2e^{2i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le\nquotient demande une différence."
        },
        {
          "text": "$18e^{i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;\nici il faut diviser."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{re^{i\\theta}}{r'e^{i\\theta'}} =\n\\dfrac{r}{r'}e^{i(\\theta - \\theta')}$ : les longueurs se\ndivisent et les angles se retranchent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut le quotient\n$\\dfrac{6e^{i\\pi/2}}{3e^{i\\pi/6}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2e^{i\\pi/3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les modules se divisent\n($6 \\div 3 = 2$) et les arguments se\nsoustraient ($\\pi/2 - \\pi/6 = \\pi/3$)."
            },
            {
              "text": "$3e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,\nce qui donne $2$."
            },
            {
              "text": "$2e^{2i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le\nquotient demande une différence."
            },
            {
              "text": "$18e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;\nici il faut diviser."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{re^{i\\theta}}{r'e^{i\\theta'}} =\n\\dfrac{r}{r'}e^{i(\\theta - \\theta')}$ : les longueurs se\ndivisent et les angles se retranchent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le quotient\n$\\dfrac{10e^{3i\\pi/4}}{2e^{i\\pi/4}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5e^{i\\pi/2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les modules se divisent\n($10 \\div 2 = 5$) et les arguments se\nsoustraient ($3\\pi/4 - \\pi/4 = \\pi/2$)."
            },
            {
              "text": "$8e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,\nce qui donne $5$."
            },
            {
              "text": "$5e^{i\\pi}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le\nquotient demande une différence."
            },
            {
              "text": "$20e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;\nici il faut diviser."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{re^{i\\theta}}{r'e^{i\\theta'}} =\n\\dfrac{r}{r'}e^{i(\\theta - \\theta')}$ : les longueurs se\ndivisent et les angles se retranchent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le quotient\n$\\dfrac{12e^{5i\\pi/6}}{4e^{i\\pi/3}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3e^{i\\pi/2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les modules se divisent\n($12 \\div 4 = 3$) et les arguments se\nsoustraient ($5\\pi/6 - \\pi/3 = \\pi/2$)."
            },
            {
              "text": "$8e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,\nce qui donne $3$."
            },
            {
              "text": "$3e^{7i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le\nquotient demande une différence."
            },
            {
              "text": "$48e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;\nici il faut diviser."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{re^{i\\theta}}{r'e^{i\\theta'}} =\n\\dfrac{r}{r'}e^{i(\\theta - \\theta')}$ : les longueurs se\ndivisent et les angles se retranchent."
        },
        {
          "statement": "Que vaut le quotient\n$\\dfrac{8e^{2i\\pi/3}}{2e^{i\\pi/6}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4e^{i\\pi/2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les modules se divisent\n($8 \\div 2 = 4$) et les arguments se\nsoustraient ($2\\pi/3 - \\pi/6 = \\pi/2$)."
            },
            {
              "text": "$6e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,\nce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$4e^{5i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le\nquotient demande une différence."
            },
            {
              "text": "$16e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;\nici il faut diviser."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{re^{i\\theta}}{r'e^{i\\theta'}} =\n\\dfrac{r}{r'}e^{i(\\theta - \\theta')}$ : les longueurs se\ndivisent et les angles se retranchent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance",
        "moivre"
      ],
      "title": "Puissance d'une forme exponentielle",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\left(2e^{i\\pi/4}\\right)^{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8e^{3i\\pi/4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module devient $2^{3} = 8$ et\nl'argument est multiplié par $3$, ce qui donne $3\\pi/4$."
        },
        {
          "text": "$6e^{3i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une\npuissance, donc $2^{3} = 8$."
        },
        {
          "text": "$8e^{i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument inchangé : élever à la puissance $3$ multiplie\naussi l'angle par $3$."
        },
        {
          "text": "$2e^{3i\\pi/4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait\nfixe ; ici il devient $8$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$ : c'est la\nformule de Moivre, module élevé à la puissance et angle\nmultiplié.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(2e^{i\\pi/4}\\right)^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8e^{3i\\pi/4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module devient $2^{3} = 8$ et\nl'argument est multiplié par $3$, ce qui donne $3\\pi/4$."
            },
            {
              "text": "$6e^{3i\\pi/4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une\npuissance, donc $2^{3} = 8$."
            },
            {
              "text": "$8e^{i\\pi/4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument inchangé : élever à la puissance $3$ multiplie\naussi l'angle par $3$."
            },
            {
              "text": "$2e^{3i\\pi/4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait\nfixe ; ici il devient $8$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$ : c'est la\nformule de Moivre, module élevé à la puissance et angle\nmultiplié."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(3e^{i\\pi/6}\\right)^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9e^{i\\pi/3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module devient $3^{2} = 9$ et\nl'argument est multiplié par $2$, ce qui donne $\\pi/3$."
            },
            {
              "text": "$6e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une\npuissance, donc $3^{2} = 9$."
            },
            {
              "text": "$9e^{i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument inchangé : élever à la puissance $2$ multiplie\naussi l'angle par $2$."
            },
            {
              "text": "$3e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait\nfixe ; ici il devient $9$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$ : c'est la\nformule de Moivre, module élevé à la puissance et angle\nmultiplié."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(2e^{i\\pi/3}\\right)^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16e^{4i\\pi/3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module devient $2^{4} = 16$ et\nl'argument est multiplié par $4$, ce qui donne $4\\pi/3$."
            },
            {
              "text": "$8e^{4i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une\npuissance, donc $2^{4} = 16$."
            },
            {
              "text": "$16e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument inchangé : élever à la puissance $4$ multiplie\naussi l'angle par $4$."
            },
            {
              "text": "$2e^{4i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait\nfixe ; ici il devient $16$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$ : c'est la\nformule de Moivre, module élevé à la puissance et angle\nmultiplié."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\left(3e^{i\\pi/6}\\right)^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27e^{i\\pi/2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module devient $3^{3} = 27$ et\nl'argument est multiplié par $3$, ce qui donne $\\pi/2$."
            },
            {
              "text": "$9e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une\npuissance, donc $3^{3} = 27$."
            },
            {
              "text": "$27e^{i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument inchangé : élever à la puissance $3$ multiplie\naussi l'angle par $3$."
            },
            {
              "text": "$3e^{i\\pi/2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait\nfixe ; ici il devient $27$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$ : c'est la\nformule de Moivre, module élevé à la puissance et angle\nmultiplié."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-trigonometrique"
      ],
      "title": "Une fausse forme trigonométrique",
      "partie": "formes",
      "statement": "L'écriture\n$z = -2\\left(\\cos\\dfrac{\\pi}{5} + i\\sin\\dfrac{\\pi}{5}\\right)$\nn'est pas une forme trigonométrique. Pourquoi ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le facteur $-2$ est négatif, or le module ne l'est jamais",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$, le\nnombre $r$ est le module. On ajoute $\\pi$ à l'angle :\n$z = 2\\left(\\cos\\dfrac{6\\pi}{5} +\ni\\sin\\dfrac{6\\pi}{5}\\right)$."
        },
        {
          "text": "L'angle $\\dfrac{\\pi}{5}$ n'est pas un angle remarquable",
          "correct": false,
          "feedback": "L'angle est libre : aucune contrainte ne pèse sur\n$\\theta$, seul le facteur placé devant est en cause."
        },
        {
          "text": "Le cosinus et le sinus doivent porter des angles distincts",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux angles doivent au contraire être égaux : c'est\nla définition de la forme trigonométrique."
        },
        {
          "text": "Le signe $+$ entre les deux termes devrait être un $-$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe $+$ est correct : la forme s'écrit\n$r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$."
        }
      ],
      "explanation": "Une forme trigonométrique impose $r > 0$. Un facteur négatif\nse rattrape en ajoutant $\\pi$ à l'argument, puisque\n$-1 = e^{i\\pi}$."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conjugue-module-argument",
        "argument"
      ],
      "title": "Somme des arguments de $z$ et $\\bar{z}$",
      "partie": "module",
      "statement": "Soit $z$ un nombre complexe non nul. Que vaut\n$\\arg(z) + \\arg(\\bar{z})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$, modulo $2\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\arg(\\bar{z}) = -\\arg(z)$, les deux\nangles sont opposés et leur somme est nulle."
        },
        {
          "text": "$2\\arg(z)$, modulo $2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la conjugaison remplace l'argument par son\nopposé, elle ne le conserve pas."
        },
        {
          "text": "$\\pi$, modulo $2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Demi-tour : $\\pi$ apparaîtrait pour $\\arg(z) + \\arg(-z)$,\npas pour le conjugué."
        },
        {
          "text": "$\\arg(z)$, modulo $2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument du conjugué négligé : il vaut $-\\arg(z)$, et\nnon $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Conjuguer conserve le module et change l'argument en son\nopposé : $\\bar{z} = re^{-i\\theta}$. La somme des deux\narguments est donc nulle modulo $2\\pi$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-expo-quadrant",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Forme exponentielle et quadrant",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 - i\\sqrt{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2e^{-i\\pi/3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $2$, puis\n$\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$ et $\\sin\\theta = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce\nqui donne $\\theta = -\\dfrac{\\pi}{3}$."
        },
        {
          "text": "$2e^{i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'angle : le sinus vaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce qui fixe\nle côté de l'axe des réels où se trouve le point."
        },
        {
          "text": "$4e^{-i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du\nmodule, il reste à en prendre la racine."
        },
        {
          "text": "$2e^{2i\\pi/3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quadrant raté : avec $\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$, le point\nn'est pas du côté annoncé par cet angle."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir\n$\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$, puis placer le point pour\nchoisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 - i\\sqrt{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2e^{-i\\pi/3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $2$, puis\n$\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$ et $\\sin\\theta = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce\nqui donne $\\theta = -\\dfrac{\\pi}{3}$."
            },
            {
              "text": "$2e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'angle : le sinus vaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce qui fixe\nle côté de l'axe des réels où se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$4e^{-i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du\nmodule, il reste à en prendre la racine."
            },
            {
              "text": "$2e^{2i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quadrant raté : avec $\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$, le point\nn'est pas du côté annoncé par cet angle."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir\n$\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$, puis placer le point pour\nchoisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i\\sqrt{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2e^{2i\\pi/3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $2$, puis\n$\\cos\\theta = -\\dfrac{1}{2}$ et $\\sin\\theta = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce\nqui donne $\\theta = \\dfrac{2\\pi}{3}$."
            },
            {
              "text": "$2e^{-2i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'angle : le sinus vaut $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce qui fixe\nle côté de l'axe des réels où se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$4e^{2i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du\nmodule, il reste à en prendre la racine."
            },
            {
              "text": "$2e^{i\\pi/3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quadrant raté : avec $\\cos\\theta = -\\dfrac{1}{2}$, le point\nn'est pas du côté annoncé par cet angle."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir\n$\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$, puis placer le point pour\nchoisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = -\\sqrt{3} - i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2e^{-5i\\pi/6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $2$, puis\n$\\cos\\theta = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\sin\\theta = -\\dfrac{1}{2}$, ce\nqui donne $\\theta = -\\dfrac{5\\pi}{6}$."
            },
            {
              "text": "$2e^{5i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'angle : le sinus vaut $-\\dfrac{1}{2}$, ce qui fixe\nle côté de l'axe des réels où se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$4e^{-5i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du\nmodule, il reste à en prendre la racine."
            },
            {
              "text": "$2e^{-i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quadrant raté : avec $\\cos\\theta = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, le point\nn'est pas du côté annoncé par cet angle."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir\n$\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$, puis placer le point pour\nchoisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = \\sqrt{3} + i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2e^{i\\pi/6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module vaut $2$, puis\n$\\cos\\theta = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\sin\\theta = \\dfrac{1}{2}$, ce\nqui donne $\\theta = \\dfrac{\\pi}{6}$."
            },
            {
              "text": "$2e^{-i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de l'angle : le sinus vaut $\\dfrac{1}{2}$, ce qui fixe\nle côté de l'axe des réels où se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$4e^{i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du\nmodule, il reste à en prendre la racine."
            },
            {
              "text": "$2e^{5i\\pi/6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quadrant raté : avec $\\cos\\theta = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, le point\nn'est pas du côté annoncé par cet angle."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir\n$\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$, puis placer le point pour\nchoisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ensemble",
        "distance-affixes",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Une égalité de deux distances",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant\n$|z - 1| = |z + 1|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'axe des imaginaires purs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe\n$-1$, la condition s'écrit $AM = BM$ : c'est la\nmédiatrice de $[AB]$, ici l'axe des ordonnées."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre l'origine et de rayon $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce cercle correspondrait à $|z| = 1$, une seule distance\nimposée, et non deux distances égales."
        },
        {
          "text": "L'axe des réels",
          "correct": false,
          "feedback": "Axe confondu : sur l'axe des réels, seul le point $O$ est\nà égale distance de $1$ et de $-1$."
        },
        {
          "text": "Le segment joignant les points d'affixes $-1$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les points du segment sont à égale distance des\nextrémités seulement au milieu."
        }
      ],
      "explanation": "$|z - z_A| = AM$ : une égalité de deux modules de ce type\ntraduit $AM = BM$ et décrit la médiatrice de $[AB]$. Les\nconditions de distance se lisent en géométrie."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "euler",
        "linearisation",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Linéariser un carré de cosinus",
      "partie": "formes",
      "statement": "En écrivant $\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$ et en\ndéveloppant le carré, quelle expression de $\\cos^2\\theta$ obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + \\cos(2\\theta)}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2\\theta = \\dfrac{e^{2i\\theta} + 2 +\ne^{-2i\\theta}}{4}$, et $e^{2i\\theta} + e^{-2i\\theta} =\n2\\cos(2\\theta)$."
        },
        {
          "text": "$\\cos(2\\theta)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$, $\\cos^2\\theta = 0$ alors que\n$\\cos(\\pi) = -1$ : les deux expressions diffèrent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - \\cos(2\\theta)}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : cette expression est celle de $\\sin^2\\theta$.\nEn $\\theta = 0$, elle vaut $0$ et non $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\cos(2\\theta)}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme constant $\\dfrac{2}{4}$ du développement a été\noublié."
        }
      ],
      "explanation": "Les formules d'Euler transforment une puissance de cosinus ou de\nsinus en somme de cosinus : on dit qu'on linéarise. C'est utile pour\ncalculer des primitives, comme celle de $\\cos^2$."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calculs",
        "module",
        "produit"
      ],
      "title": "Module d'un produit",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Deux complexes vérifient $|z_1| = 2$ et $|z_2| = 3$. Que vaut\n$|z_1 z_2|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des\nmodules : $2 \\times 3 = 6$.\n"
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.\n"
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{13}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans\nrapport avec un produit.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ suffit.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ et $\\arg(z_1 z_2) = \\arg z_1 + \\arg z_2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux complexes vérifient $|z_1| = 2$ et $|z_2| = 3$. Que vaut\n$|z_1 z_2|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des\nmodules : $2 \\times 3 = 6$.\n"
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans\nrapport avec un produit.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ suffit.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ et $\\arg(z_1 z_2) = \\arg z_1 + \\arg z_2$."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes vérifient $|z_1| = 4$ et $|z_2| = 5$. Que vaut\n$|z_1 z_2|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des\nmodules : $4 \\times 5 = 20$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{41}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans\nrapport avec un produit.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ suffit.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ et $\\arg(z_1 z_2) = \\arg z_1 + \\arg z_2$."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes vérifient $|z_1| = 3$ et $|z_2| = 7$. Que vaut\n$|z_1 z_2|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des\nmodules : $3 \\times 7 = 21$.\n"
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{58}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans\nrapport avec un produit.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ suffit.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ et $\\arg(z_1 z_2) = \\arg z_1 + \\arg z_2$."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes vérifient $|z_1| = 6$ et $|z_2| = 2$. Que vaut\n$|z_1 z_2|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des\nmodules : $6 \\times 2 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{40}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans\nrapport avec un produit.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ suffit.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z_1 z_2| = |z_1|\\,|z_2|$ et $\\arg(z_1 z_2) = \\arg z_1 + \\arg z_2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calculs",
        "argument",
        "produit"
      ],
      "title": "Argument d'un produit",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Deux complexes non nuls ont pour arguments $\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{\\pi}{6}$. Quel est\nun argument de leur produit ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des\narguments : $\\dfrac{\\pi}{3} + \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la différence des arguments est l'argument du\n**quotient**.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi^2}{18}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.\n"
        },
        {
          "text": "$0$, le produit étant réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument\nest la somme $\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs\nmodules.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux complexes non nuls ont pour arguments $\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{\\pi}{6}$. Quel est\nun argument de leur produit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des\narguments : $\\dfrac{\\pi}{3} + \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la différence des arguments est l'argument du\n**quotient**.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi^2}{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le produit étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument\nest la somme $\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs\nmodules."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes non nuls ont pour arguments $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\dfrac{\\pi}{4}$. Quel est\nun argument de leur produit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des\narguments : $\\dfrac{\\pi}{4} + \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la différence des arguments est l'argument du\n**quotient**.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi^2}{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le produit étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument\nest la somme $\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs\nmodules."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes non nuls ont pour arguments $\\dfrac{2\\pi}{3}$ et $\\dfrac{\\pi}{6}$. Quel est\nun argument de leur produit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des\narguments : $\\dfrac{2\\pi}{3} + \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la différence des arguments est l'argument du\n**quotient**.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi^2}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le produit étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument\nest la somme $\\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs\nmodules."
        },
        {
          "statement": "Deux complexes non nuls ont pour arguments $\\dfrac{\\pi}{2}$ et $\\dfrac{\\pi}{3}$. Quel est\nun argument de leur produit ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des\narguments : $\\dfrac{\\pi}{2} + \\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la différence des arguments est l'argument du\n**quotient**.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi^2}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le produit étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument\nest la somme $\\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs\nmodules."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calculs",
        "conjugue",
        "argument",
        "quotient"
      ],
      "title": "Argument du quotient d'un complexe par son conjugué",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $z = e^{i\\dfrac{\\pi}{4}}$. Quel est un argument de $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = e^{-i\\dfrac{\\pi}{4}}$, donc\n$\\dfrac{z}{\\bar{z}} = e^{i\\dfrac{\\pi}{4}} \\times e^{i\\dfrac{\\pi}{4}} = e^{2i\\dfrac{\\pi}{4}}$,\nd'argument $2 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'argument de $\\dfrac{\\bar{z}}{z}$, le quotient\ninverse.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser par $\\bar{z}$ **ajoute** $\\dfrac{\\pi}{4}$ à l'argument, il\nne le laisse pas inchangé.\n"
        },
        {
          "text": "$0$, le quotient étant réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel\nque si $z$ l'est.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\arg \\bar{z} = -\\arg z$ et $\\arg \\dfrac{z_1}{z_2} = \\arg z_1 -\n\\arg z_2$ : d'où $\\arg \\dfrac{z}{\\bar{z}} = 2\\arg z$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $z = e^{i\\dfrac{\\pi}{4}}$. Quel est un argument de $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = e^{-i\\dfrac{\\pi}{4}}$, donc\n$\\dfrac{z}{\\bar{z}} = e^{i\\dfrac{\\pi}{4}} \\times e^{i\\dfrac{\\pi}{4}} = e^{2i\\dfrac{\\pi}{4}}$,\nd'argument $2 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\pi}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'argument de $\\dfrac{\\bar{z}}{z}$, le quotient\ninverse.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $\\bar{z}$ **ajoute** $\\dfrac{\\pi}{4}$ à l'argument, il\nne le laisse pas inchangé.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le quotient étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel\nque si $z$ l'est.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\arg \\bar{z} = -\\arg z$ et $\\arg \\dfrac{z_1}{z_2} = \\arg z_1 -\n\\arg z_2$ : d'où $\\arg \\dfrac{z}{\\bar{z}} = 2\\arg z$."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = e^{i\\dfrac{\\pi}{3}}$. Quel est un argument de $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = e^{-i\\dfrac{\\pi}{3}}$, donc\n$\\dfrac{z}{\\bar{z}} = e^{i\\dfrac{\\pi}{3}} \\times e^{i\\dfrac{\\pi}{3}} = e^{2i\\dfrac{\\pi}{3}}$,\nd'argument $2 \\times \\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{2\\pi}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'argument de $\\dfrac{\\bar{z}}{z}$, le quotient\ninverse.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $\\bar{z}$ **ajoute** $\\dfrac{\\pi}{3}$ à l'argument, il\nne le laisse pas inchangé.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le quotient étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel\nque si $z$ l'est.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\arg \\bar{z} = -\\arg z$ et $\\arg \\dfrac{z_1}{z_2} = \\arg z_1 -\n\\arg z_2$ : d'où $\\arg \\dfrac{z}{\\bar{z}} = 2\\arg z$."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = e^{i\\dfrac{\\pi}{6}}$. Quel est un argument de $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = e^{-i\\dfrac{\\pi}{6}}$, donc\n$\\dfrac{z}{\\bar{z}} = e^{i\\dfrac{\\pi}{6}} \\times e^{i\\dfrac{\\pi}{6}} = e^{2i\\dfrac{\\pi}{6}}$,\nd'argument $2 \\times \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\pi}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'argument de $\\dfrac{\\bar{z}}{z}$, le quotient\ninverse.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $\\bar{z}$ **ajoute** $\\dfrac{\\pi}{6}$ à l'argument, il\nne le laisse pas inchangé.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le quotient étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel\nque si $z$ l'est.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\arg \\bar{z} = -\\arg z$ et $\\arg \\dfrac{z_1}{z_2} = \\arg z_1 -\n\\arg z_2$ : d'où $\\arg \\dfrac{z}{\\bar{z}} = 2\\arg z$."
        },
        {
          "statement": "Soit $z = e^{i\\dfrac{\\pi}{8}}$. Quel est un argument de $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = e^{-i\\dfrac{\\pi}{8}}$, donc\n$\\dfrac{z}{\\bar{z}} = e^{i\\dfrac{\\pi}{8}} \\times e^{i\\dfrac{\\pi}{8}} = e^{2i\\dfrac{\\pi}{8}}$,\nd'argument $2 \\times \\dfrac{\\pi}{8} = \\dfrac{\\pi}{4}$.\n"
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'argument de $\\dfrac{\\bar{z}}{z}$, le quotient\ninverse.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $\\bar{z}$ **ajoute** $\\dfrac{\\pi}{8}$ à l'argument, il\nne le laisse pas inchangé.\n"
            },
            {
              "text": "$0$, le quotient étant réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z}{\\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel\nque si $z$ l'est.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\arg \\bar{z} = -\\arg z$ et $\\arg \\dfrac{z_1}{z_2} = \\arg z_1 -\n\\arg z_2$ : d'où $\\arg \\dfrac{z}{\\bar{z}} = 2\\arg z$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "geometrie",
        "milieu",
        "affixe"
      ],
      "title": "Affixe du milieu d'un segment",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et\n$z_B = 3 - 4i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 - i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z_I = \\dfrac{z_A + z_B}{2} = \\dfrac{4 - 2i}{2} =\n2 - i$.\n"
        },
        {
          "text": "$4 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.\n"
        },
        {
          "text": "$1 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.\n"
        },
        {
          "text": "$2 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez\nla somme des parties imaginaires.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des\naffixes des extrémités.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et\n$z_B = 3 - 4i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 - i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_I = \\dfrac{z_A + z_B}{2} = \\dfrac{4 - 2i}{2} =\n2 - i$.\n"
            },
            {
              "text": "$4 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.\n"
            },
            {
              "text": "$2 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez\nla somme des parties imaginaires.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des\naffixes des extrémités."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 2 + 6i$ et\n$z_B = 4 + 2i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 + 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_I = \\dfrac{z_A + z_B}{2} = \\dfrac{6 + 8i}{2} =\n3 + 4i$.\n"
            },
            {
              "text": "$6 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.\n"
            },
            {
              "text": "$3 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez\nla somme des parties imaginaires.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des\naffixes des extrémités."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = -1 + i$ et\n$z_B = 5 + 3i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 + 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_I = \\dfrac{z_A + z_B}{2} = \\dfrac{4 + 4i}{2} =\n2 + 2i$.\n"
            },
            {
              "text": "$4 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$3 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.\n"
            },
            {
              "text": "$2 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez\nla somme des parties imaginaires.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des\naffixes des extrémités."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 3 - 2i$ et\n$z_B = -1 + 6i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1 + 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_I = \\dfrac{z_A + z_B}{2} = \\dfrac{2 + 4i}{2} =\n1 + 2i$.\n"
            },
            {
              "text": "$2 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$-2 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez\nla somme des parties imaginaires.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des\naffixes des extrémités."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrie",
        "cercle",
        "module"
      ],
      "title": "Un ensemble défini par un module",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe\n$z$ vérifie $|z - 2| = 3$. Quelle figure forment-ils ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le cercle de centre $A(2)$ et de rayon $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|z - 2|$ est la distance $AM$ avec $A$\nd'affixe $2$ ; $AM = 3$ caractérise le cercle.\n"
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $|z| = 3$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le\ncentre est le point d'affixe $2$.\n"
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une égalité de module à une constante décrit un\ncercle, pas une droite.\n"
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $A(3)$ et de rayon $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : centre et rayon ont été échangés.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de\ncentre $A$ et de rayon $r$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe\n$z$ vérifie $|z - 2| = 3$. Quelle figure forment-ils ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(2)$ et de rayon $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z - 2|$ est la distance $AM$ avec $A$\nd'affixe $2$ ; $AM = 3$ caractérise le cercle.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z| = 3$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le\ncentre est le point d'affixe $2$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une égalité de module à une constante décrit un\ncercle, pas une droite.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(3)$ et de rayon $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : centre et rayon ont été échangés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de\ncentre $A$ et de rayon $r$."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe\n$z$ vérifie $|z - -1| = 2$. Quelle figure forment-ils ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(-1)$ et de rayon $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z - -1|$ est la distance $AM$ avec $A$\nd'affixe $-1$ ; $AM = 2$ caractérise le cercle.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z| = 2$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le\ncentre est le point d'affixe $-1$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une égalité de module à une constante décrit un\ncercle, pas une droite.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(2)$ et de rayon $-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : centre et rayon ont été échangés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de\ncentre $A$ et de rayon $r$."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe\n$z$ vérifie $|z - 4| = 1$. Quelle figure forment-ils ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(4)$ et de rayon $1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z - 4|$ est la distance $AM$ avec $A$\nd'affixe $4$ ; $AM = 1$ caractérise le cercle.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z| = 1$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le\ncentre est le point d'affixe $4$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une égalité de module à une constante décrit un\ncercle, pas une droite.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(1)$ et de rayon $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : centre et rayon ont été échangés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de\ncentre $A$ et de rayon $r$."
        },
        {
          "statement": "Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe\n$z$ vérifie $|z - 5| = 2$. Quelle figure forment-ils ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(5)$ et de rayon $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|z - 5|$ est la distance $AM$ avec $A$\nd'affixe $5$ ; $AM = 2$ caractérise le cercle.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $O$ et de rayon $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $|z| = 2$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le\ncentre est le point d'affixe $5$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une égalité de module à une constante décrit un\ncercle, pas une droite.\n"
            },
            {
              "text": "Le cercle de centre $A(2)$ et de rayon $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : centre et rayon ont été échangés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de\ncentre $A$ et de rayon $r$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrie",
        "argument",
        "demi-droite"
      ],
      "title": "Un ensemble défini par un argument",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle tels que\n$\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La demi-droite issue de $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{4}$, sans $O$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument fixe la direction et le sens depuis\n$O$, le module reste libre et strictement positif.\n"
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = x$ tout entière",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les points de la demi-droite opposée ont pour argument\n$\\dfrac{\\pi}{4} + \\pi$.\n"
        },
        {
          "text": "Le cercle trigonométrique, de rayon $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cercle trigonométrique est défini par $|z| = 1$, pas\npar un argument.\n"
        },
        {
          "text": "Le seul point d'affixe $e^{i\\pi/4}$, de module $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tous les multiples positifs de $e^{i\\pi/4}$ ont le même\nargument.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un argument fixé décrit une demi-droite issue de l'origine ; un\nmodule fixé décrit un cercle."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrie",
        "translation",
        "affixe"
      ],
      "title": "Image d'un point par une translation",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $1 + i$ par la\ntranslation de vecteur d'affixe $2 - i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la translation $z \\mapsto z + 2 - i$ donne\n$(1 + i) + (2 - i) = 3$.\n"
        },
        {
          "text": "$-1 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $z - b$ ; une translation **ajoute** l'affixe du\nvecteur.\n"
        },
        {
          "text": "$3 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z \\times b$ n'est pas une translation.\n"
        },
        {
          "text": "$1 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une\ntranslation.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $1 + i$ par la\ntranslation de vecteur d'affixe $2 - i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la translation $z \\mapsto z + 2 - i$ donne\n$(1 + i) + (2 - i) = 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$-1 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $z - b$ ; une translation **ajoute** l'affixe du\nvecteur.\n"
            },
            {
              "text": "$3 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $z \\times b$ n'est pas une translation.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une\ntranslation.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $2 + 3i$ par la\ntranslation de vecteur d'affixe $1 + i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 + 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la translation $z \\mapsto z + 1 + i$ donne\n$(2 + 3i) + (1 + i) = 3 + 4i$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $z - b$ ; une translation **ajoute** l'affixe du\nvecteur.\n"
            },
            {
              "text": "$-1 + 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $z \\times b$ n'est pas une translation.\n"
            },
            {
              "text": "$2 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une\ntranslation.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $-1 + 2i$ par la\ntranslation de vecteur d'affixe $3 - 2i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la translation $z \\mapsto z + 3 - 2i$ donne\n$(-1 + 2i) + (3 - 2i) = 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$-4 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $z - b$ ; une translation **ajoute** l'affixe du\nvecteur.\n"
            },
            {
              "text": "$1 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $z \\times b$ n'est pas une translation.\n"
            },
            {
              "text": "$-1 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une\ntranslation.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $3 - 2i$ par la\ntranslation de vecteur d'affixe $1 + 4i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 + 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la translation $z \\mapsto z + 1 + 4i$ donne\n$(3 - 2i) + (1 + 4i) = 4 + 2i$.\n"
            },
            {
              "text": "$2 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $z - b$ ; une translation **ajoute** l'affixe du\nvecteur.\n"
            },
            {
              "text": "$11 + 10i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $z \\times b$ n'est pas une translation.\n"
            },
            {
              "text": "$3 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une\ntranslation.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrie",
        "rotation",
        "multiplication-par-i"
      ],
      "title": "Image d'un point par la rotation d'angle droit",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $3 + i$ par la\nrotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1 + 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \\mapsto iz$ ;\n$i(3 + i) = -1 + 3i$, en utilisant $i^2 = -1$.\n"
        },
        {
          "text": "$1 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
        },
        {
          "text": "$3 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe\n$(O ; \\vec{u})$, pas par la rotation.\n"
        },
        {
          "text": "$-3 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,\nrotation d'angle $\\pi$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "La rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$ s'écrit\n$z \\mapsto e^{i\\theta} z$ ; pour $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$e^{i\\theta} = i$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $3 + i$ par la\nrotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1 + 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \\mapsto iz$ ;\n$i(3 + i) = -1 + 3i$, en utilisant $i^2 = -1$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - 3i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$3 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe\n$(O ; \\vec{u})$, pas par la rotation.\n"
            },
            {
              "text": "$-3 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,\nrotation d'angle $\\pi$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$ s'écrit\n$z \\mapsto e^{i\\theta} z$ ; pour $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$e^{i\\theta} = i$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $1 + 2i$ par la\nrotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2 + i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \\mapsto iz$ ;\n$i(1 + 2i) = -2 + i$, en utilisant $i^2 = -1$.\n"
            },
            {
              "text": "$2 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$1 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe\n$(O ; \\vec{u})$, pas par la rotation.\n"
            },
            {
              "text": "$-1 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,\nrotation d'angle $\\pi$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$ s'écrit\n$z \\mapsto e^{i\\theta} z$ ; pour $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$e^{i\\theta} = i$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $4 - i$ par la\nrotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1 + 4i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \\mapsto iz$ ;\n$i(4 - i) = 1 + 4i$, en utilisant $i^2 = -1$.\n"
            },
            {
              "text": "$-1 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$4 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe\n$(O ; \\vec{u})$, pas par la rotation.\n"
            },
            {
              "text": "$-4 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,\nrotation d'angle $\\pi$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$ s'écrit\n$z \\mapsto e^{i\\theta} z$ ; pour $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$e^{i\\theta} = i$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $-2 + 5i$ par la\nrotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \\mapsto iz$ ;\n$i(-2 + 5i) = -5 - 2i$, en utilisant $i^2 = -1$.\n"
            },
            {
              "text": "$5 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
            },
            {
              "text": "$-2 - 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe\n$(O ; \\vec{u})$, pas par la rotation.\n"
            },
            {
              "text": "$2 - 5i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,\nrotation d'angle $\\pi$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "La rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$ s'écrit\n$z \\mapsto e^{i\\theta} z$ ; pour $\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$e^{i\\theta} = i$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrie",
        "homothetie",
        "distances"
      ],
      "title": "Distances et homothétie de centre O",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \\sqrt{5}$.\nSoit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \\mapsto 2z$. Que vaut\n$A'B'$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\sqrt{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 2(z_B - z_A)$, donc\n$A'B' = |2|\\,AB = 2\\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les\ndistances par $2$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,\nconserve les distances.\n"
        },
        {
          "text": "$4\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les **distances** sont multipliées par $2$ ; ce sont\nles aires qui le sont par $2^2$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rapport $2 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$z \\mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :\nelle multiplie toutes les distances par $|k|$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \\sqrt{5}$.\nSoit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \\mapsto 2z$. Que vaut\n$A'B'$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 2(z_B - z_A)$, donc\n$A'B' = |2|\\,AB = 2\\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les\ndistances par $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,\nconserve les distances.\n"
            },
            {
              "text": "$4\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les **distances** sont multipliées par $2$ ; ce sont\nles aires qui le sont par $2^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport $2 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$z \\mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :\nelle multiplie toutes les distances par $|k|$."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \\sqrt{5}$.\nSoit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \\mapsto 3z$. Que vaut\n$A'B'$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 3(z_B - z_A)$, donc\n$A'B' = |3|\\,AB = 3\\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les\ndistances par $3$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,\nconserve les distances.\n"
            },
            {
              "text": "$9\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les **distances** sont multipliées par $3$ ; ce sont\nles aires qui le sont par $3^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{5}}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport $3 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$z \\mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :\nelle multiplie toutes les distances par $|k|$."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \\sqrt{5}$.\nSoit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \\mapsto 5z$. Que vaut\n$A'B'$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 5(z_B - z_A)$, donc\n$A'B' = |5|\\,AB = 5\\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les\ndistances par $5$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,\nconserve les distances.\n"
            },
            {
              "text": "$25\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les **distances** sont multipliées par $5$ ; ce sont\nles aires qui le sont par $5^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport $5 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$z \\mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :\nelle multiplie toutes les distances par $|k|$."
        },
        {
          "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \\sqrt{5}$.\nSoit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \\mapsto 4z$. Que vaut\n$A'B'$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 4(z_B - z_A)$, donc\n$A'B' = |4|\\,AB = 4\\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les\ndistances par $4$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,\nconserve les distances.\n"
            },
            {
              "text": "$16\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les **distances** sont multipliées par $4$ ; ce sont\nles aires qui le sont par $4^2$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{5}}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le rapport $4 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$z \\mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :\nelle multiplie toutes les distances par $|k|$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "formules-addition"
      ],
      "title": "Formule d'addition du cosinus",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "Pour tous réels $a$ et $b$, à quoi $\\cos(a + b)$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle se démontre avec le produit scalaire de\ndeux vecteurs unitaires, ou en développant $e^{ia}e^{ib}$."
        },
        {
          "text": "$\\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : cette expression vaut $\\cos(a - b)$."
        },
        {
          "text": "$\\cos a + \\cos b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : pour $a = b = \\dfrac{\\pi}{2}$,\n$\\cos \\pi = -1$ alors que $\\cos a + \\cos b = 0$."
        },
        {
          "text": "$\\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formule voisine : cette expression vaut $\\sin(a + b)$,\npas $\\cos(a + b)$."
        }
      ],
      "explanation": "Partie réelle de $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\\cos a + i\\sin a)(\\cos b + i\\sin b)$ :\n$\\cos(a+b) = \\cos a\\cos b - \\sin a \\sin b$, et la partie imaginaire\ndonne $\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$."
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "formules-duplication"
      ],
      "title": "Formule de duplication du cosinus",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "Pour tout réel $a$, quelle égalité est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = \\cos^2 a - \\sin^2 a$, et\n$\\sin^2 a = 1 - \\cos^2 a$."
        },
        {
          "text": "$\\cos(2a) = 2\\cos a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : pour $a = \\pi$,\n$\\cos(2\\pi) = 1$ alors que $2\\cos \\pi = -2$."
        },
        {
          "text": "$\\cos(2a) = 1 - 2\\cos^2 a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : pour $a = 0$, on trouverait\n$\\cos 0 = -1$. La bonne forme est $2\\cos^2 a - 1$ (ou $1 - 2\\sin^2 a$)."
        },
        {
          "text": "$\\cos(2a) = \\cos^2 a + \\sin^2 a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette somme vaut toujours $1$ ; la duplication fait\nintervenir une **différence**, $\\cos^2 a - \\sin^2 a$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $b = a$ dans les formules d'addition : $\\cos(2a) = \\cos^2 a - \\sin^2 a\n= 2\\cos^2 a - 1 = 1 - 2\\sin^2 a$ et $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules-addition",
        "valeurs-remarquables"
      ],
      "title": "Une valeur exacte par la formule d'addition",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "En écrivant $\\dfrac{\\pi}{12} = \\dfrac{\\pi}{3} - \\dfrac{\\pi}{4}$, que vaut\n$\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{12}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{\\pi}{3}\\cos\\dfrac{\\pi}{4} + \\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\sin\\dfrac{\\pi}{4}\n= \\dfrac{\\sqrt{2}}{4} + \\dfrac{\\sqrt{6}}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la formule : $\\cos(a - b)$ s'écrit avec un **plus**,\n$\\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$. La valeur trouvée est\n$\\sin\\dfrac{\\pi}{12}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - \\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\dfrac{\\pi}{4}$ ; le cosinus d'une\ndifférence n'est pas la différence des cosinus (ce nombre est\nd'ailleurs négatif)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : le produit $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\sin\\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{6}}{4}$\ns'ajoute au produit des cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "Les formules d'addition fournissent des valeurs exactes à partir des\nangles remarquables : $\\dfrac{\\pi}{12} = \\dfrac{\\pi}{3} - \\dfrac{\\pi}{4}$ et\n$\\dfrac{5\\pi}{12} = \\dfrac{\\pi}{4} + \\dfrac{\\pi}{6}$."
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules-duplication",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\cos(2a)$ à partir de $\\cos a$",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "On sait que $\\cos a = \\dfrac{1}{3}$. Que vaut $\\cos(2a)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{7}{9}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1 = 2 \\times \\dfrac{1}{9} - 1 = -\\dfrac{7}{9}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : $\\cos(2a) \\neq 2\\cos a$.\nOn utilise $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : la formule est $2\\cos^2 a - 1$, et non\n$1 - 2\\cos^2 a$ (qui donne l'opposé)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $-1$ de la formule a été oublié : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$ ne demande que $\\cos a$ : inutile\nde connaître $a$ ni $\\sin a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\cos a = \\dfrac{1}{3}$. Que vaut $\\cos(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{7}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1 = 2 \\times \\dfrac{1}{9} - 1 = -\\dfrac{7}{9}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : $\\cos(2a) \\neq 2\\cos a$.\nOn utilise $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule est $2\\cos^2 a - 1$, et non\n$1 - 2\\cos^2 a$ (qui donne l'opposé)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-1$ de la formule a été oublié : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$ ne demande que $\\cos a$ : inutile\nde connaître $a$ ni $\\sin a$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\cos a = \\dfrac{3}{5}$. Que vaut $\\cos(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{7}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1 = 2 \\times \\dfrac{9}{25} - 1 = -\\dfrac{7}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : $\\cos(2a) \\neq 2\\cos a$.\nOn utilise $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule est $2\\cos^2 a - 1$, et non\n$1 - 2\\cos^2 a$ (qui donne l'opposé)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{18}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-1$ de la formule a été oublié : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$ ne demande que $\\cos a$ : inutile\nde connaître $a$ ni $\\sin a$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\cos a = \\dfrac{1}{4}$. Que vaut $\\cos(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{7}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1 = 2 \\times \\dfrac{1}{16} - 1 = -\\dfrac{7}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : $\\cos(2a) \\neq 2\\cos a$.\nOn utilise $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule est $2\\cos^2 a - 1$, et non\n$1 - 2\\cos^2 a$ (qui donne l'opposé)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-1$ de la formule a été oublié : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$ ne demande que $\\cos a$ : inutile\nde connaître $a$ ni $\\sin a$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\cos a = \\dfrac{2}{3}$. Que vaut $\\cos(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1 = 2 \\times \\dfrac{4}{9} - 1 = -\\dfrac{1}{9}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus n'est pas linéaire : $\\cos(2a) \\neq 2\\cos a$.\nOn utilise $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule est $2\\cos^2 a - 1$, et non\n$1 - 2\\cos^2 a$ (qui donne l'opposé)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-1$ de la formule a été oublié : $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\cos(2a) = 2\\cos^2 a - 1$ ne demande que $\\cos a$ : inutile\nde connaître $a$ ni $\\sin a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules-duplication",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\sin(2a)$",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "Soit $a \\in \\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que $\\sin a = \\dfrac{3}{5}$, et donc\n$\\cos a = \\dfrac{4}{5}$. Que vaut $\\sin(2a)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{24}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a = 2 \\times \\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{24}{25}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sinus n'est pas linéaire : $\\sin(2a) \\neq 2\\sin a$ (cette\nvaleur dépasse d'ailleurs parfois $1$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{12}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formule échangée : $\\cos^2 a - \\sin^2 a$ vaut $\\cos(2a)$, pas\n$\\sin(2a)$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $b = a$ dans $\\sin(a + b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$, on obtient\n$\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $a \\in \\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que $\\sin a = \\dfrac{3}{5}$, et donc\n$\\cos a = \\dfrac{4}{5}$. Que vaut $\\sin(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{24}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a = 2 \\times \\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{24}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sinus n'est pas linéaire : $\\sin(2a) \\neq 2\\sin a$ (cette\nvaleur dépasse d'ailleurs parfois $1$)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{12}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule échangée : $\\cos^2 a - \\sin^2 a$ vaut $\\cos(2a)$, pas\n$\\sin(2a)$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec $b = a$ dans $\\sin(a + b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$, on obtient\n$\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $a \\in \\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que $\\sin a = \\dfrac{5}{13}$, et donc\n$\\cos a = \\dfrac{12}{13}$. Que vaut $\\sin(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{120}{169}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a = 2 \\times \\dfrac{5}{13} \\times \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{120}{169}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sinus n'est pas linéaire : $\\sin(2a) \\neq 2\\sin a$ (cette\nvaleur dépasse d'ailleurs parfois $1$)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{60}{169}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{119}{169}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule échangée : $\\cos^2 a - \\sin^2 a$ vaut $\\cos(2a)$, pas\n$\\sin(2a)$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec $b = a$ dans $\\sin(a + b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$, on obtient\n$\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $a \\in \\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que $\\sin a = \\dfrac{8}{17}$, et donc\n$\\cos a = \\dfrac{15}{17}$. Que vaut $\\sin(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{240}{289}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a = 2 \\times \\dfrac{8}{17} \\times \\dfrac{15}{17} = \\dfrac{240}{289}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sinus n'est pas linéaire : $\\sin(2a) \\neq 2\\sin a$ (cette\nvaleur dépasse d'ailleurs parfois $1$)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{120}{289}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{161}{289}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule échangée : $\\cos^2 a - \\sin^2 a$ vaut $\\cos(2a)$, pas\n$\\sin(2a)$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec $b = a$ dans $\\sin(a + b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$, on obtient\n$\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $a \\in \\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que $\\sin a = \\dfrac{7}{25}$, et donc\n$\\cos a = \\dfrac{24}{25}$. Que vaut $\\sin(2a)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{336}{625}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a = 2 \\times \\dfrac{7}{25} \\times \\dfrac{24}{25} = \\dfrac{336}{625}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{14}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sinus n'est pas linéaire : $\\sin(2a) \\neq 2\\sin a$ (cette\nvaleur dépasse d'ailleurs parfois $1$)."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{168}{625}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié : $\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{527}{625}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Formule échangée : $\\cos^2 a - \\sin^2 a$ vaut $\\cos(2a)$, pas\n$\\sin(2a)$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec $b = a$ dans $\\sin(a + b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$, on obtient\n$\\sin(2a) = 2\\sin a \\cos a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moivre",
        "linearisation"
      ],
      "title": "Développer $\\cos(3\\theta)$ par Moivre",
      "partie": "trigonometrie",
      "statement": "En développant $(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^3$ par la formule de Moivre et en\nutilisant $\\sin^2\\theta = 1 - \\cos^2\\theta$, on exprime $\\cos(3\\theta)$\nen fonction de $\\cos\\theta$. Quel résultat obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4\\cos^3\\theta - 3\\cos\\theta$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la partie réelle vaut $\\cos^3\\theta - 3\\cos\\theta\\sin^2\\theta$,\nsoit $\\cos^3\\theta - 3\\cos\\theta(1 - \\cos^2\\theta)$."
        },
        {
          "text": "$4\\cos^3\\theta + 3\\cos\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $-3\\cos\\theta(1 - \\cos^2\\theta) = -3\\cos\\theta + 3\\cos^3\\theta$ ;\npour $\\theta = 0$, on trouverait $\\cos 0 = 7$."
        },
        {
          "text": "$\\cos^3\\theta - 3\\cos\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\sin^2\\theta$ a été remplacé par $1$ au lieu de $1 - \\cos^2\\theta$ ;\npour $\\theta = 0$, on trouverait $\\cos 0 = -2$."
        },
        {
          "text": "$3\\cos\\theta - 4\\cos^3\\theta$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : pour $\\theta = 0$, on trouverait $\\cos 0 = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Moivre : $\\cos(3\\theta) + i\\sin(3\\theta) = (\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^3$. On\ndéveloppe par le binôme et on identifie les parties réelles et imaginaires\n(la partie imaginaire donne $\\sin(3\\theta) = 3\\sin\\theta - 4\\sin^3\\theta$)."
    },
    {
      "id": "q62",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-complexe",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Une suite géométrique complexe",
      "partie": "calculs",
      "statement": "La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\\,z_n$.\nQue vaut $z_{8}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, donc\n$z_{8} = \\left(\\sqrt{2}\\right)^{8} e^{i 8\\pi/4} = 16\\,e^{i2\\pi} = 16$."
        },
        {
          "text": "$8 + 8i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on **multiplie**\npar $1 + i$, la suite est géométrique."
        },
        {
          "text": "$256$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module mal pris : $|1 + i| = \\sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument\na été oublié."
        },
        {
          "text": "$-16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument mal compté : $8 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = 2\\pi$, ce qui donne\n$16$ et non son opposé."
        }
      ],
      "explanation": "Une suite $z_{n+1} = q\\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme\nexponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé\nà la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\\,z_n$.\nQue vaut $z_{8}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, donc\n$z_{8} = \\left(\\sqrt{2}\\right)^{8} e^{i 8\\pi/4} = 16\\,e^{i2\\pi} = 16$."
            },
            {
              "text": "$8 + 8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on **multiplie**\npar $1 + i$, la suite est géométrique."
            },
            {
              "text": "$256$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module mal pris : $|1 + i| = \\sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument\na été oublié."
            },
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal compté : $8 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = 2\\pi$, ce qui donne\n$16$ et non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite $z_{n+1} = q\\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme\nexponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé\nà la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$."
        },
        {
          "statement": "La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\\,z_n$.\nQue vaut $z_{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, donc\n$z_{4} = \\left(\\sqrt{2}\\right)^{4} e^{i 4\\pi/4} = 4\\,e^{i\\pi} = -4$."
            },
            {
              "text": "$4 + 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on **multiplie**\npar $1 + i$, la suite est géométrique."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module mal pris : $|1 + i| = \\sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument\na été oublié."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal compté : $4 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\pi$, ce qui donne\n$-4$ et non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite $z_{n+1} = q\\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme\nexponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé\nà la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$."
        },
        {
          "statement": "La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\\,z_n$.\nQue vaut $z_{6}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-8i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, donc\n$z_{6} = \\left(\\sqrt{2}\\right)^{6} e^{i 6\\pi/4} = 8\\,e^{i\\dfrac{3\\pi}{2}} = -8i$."
            },
            {
              "text": "$6 + 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on **multiplie**\npar $1 + i$, la suite est géométrique."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module mal pris : $|1 + i| = \\sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument\na été oublié."
            },
            {
              "text": "$8i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal compté : $6 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{3\\pi}{2}$, ce qui donne\n$-8i$ et non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite $z_{n+1} = q\\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme\nexponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé\nà la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$."
        },
        {
          "statement": "La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\\,z_n$.\nQue vaut $z_{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, donc\n$z_{2} = \\left(\\sqrt{2}\\right)^{2} e^{i 2\\pi/4} = 2\\,e^{i\\dfrac{\\pi}{2}} = 2i$."
            },
            {
              "text": "$2 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on **multiplie**\npar $1 + i$, la suite est géométrique."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Module mal pris : $|1 + i| = \\sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument\na été oublié."
            },
            {
              "text": "$-2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument mal compté : $2 \\times \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui donne\n$2i$ et non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Une suite $z_{n+1} = q\\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme\nexponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé\nà la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q63",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-complexe",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Point fixe d'une suite $z_{n+1} = az_n + b$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On considère la suite définie par $z_{n+1} = i\\,z_n + 1 + i$. Quel est\nle complexe $\\ell$ tel que $\\ell = i\\,\\ell + 1 + i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ell = i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ell(1 - a) = b$, donc $\\ell = \\dfrac{1 + i}{1 - i} = i$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : en passant $a\\ell$ à gauche, on obtient $\\ell - a\\ell$, soit\n$\\ell(1 - a)$ et non $\\ell(1 + a)$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\\ell(1 - a) = b$\ndonne $\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = 1 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $\\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation\n$\\ell = a\\ell + b$ donne $\\ell(1 - a) = b$, pas $a\\ell = b$."
        }
      ],
      "explanation": "Si $a \\neq 1$, la suite $u_n = z_n - \\ell$ vérifie $u_{n+1} = a\\,u_n$ :\nelle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On considère la suite définie par $z_{n+1} = i\\,z_n + 1 + i$. Quel est\nle complexe $\\ell$ tel que $\\ell = i\\,\\ell + 1 + i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ell = i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ell(1 - a) = b$, donc $\\ell = \\dfrac{1 + i}{1 - i} = i$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : en passant $a\\ell$ à gauche, on obtient $\\ell - a\\ell$, soit\n$\\ell(1 - a)$ et non $\\ell(1 + a)$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\\ell(1 - a) = b$\ndonne $\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 1 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $\\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation\n$\\ell = a\\ell + b$ donne $\\ell(1 - a) = b$, pas $a\\ell = b$."
            }
          ],
          "explanation": "Si $a \\neq 1$, la suite $u_n = z_n - \\ell$ vérifie $u_{n+1} = a\\,u_n$ :\nelle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$."
        },
        {
          "statement": "On considère la suite définie par $z_{n+1} = i\\,z_n + 2$. Quel est\nle complexe $\\ell$ tel que $\\ell = i\\,\\ell + 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ell = 1 + i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ell(1 - a) = b$, donc $\\ell = \\dfrac{2}{1 - i} = 1 + i$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 1 - i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : en passant $a\\ell$ à gauche, on obtient $\\ell - a\\ell$, soit\n$\\ell(1 - a)$ et non $\\ell(1 + a)$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 2 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\\ell(1 - a) = b$\ndonne $\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = -2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $\\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation\n$\\ell = a\\ell + b$ donne $\\ell(1 - a) = b$, pas $a\\ell = b$."
            }
          ],
          "explanation": "Si $a \\neq 1$, la suite $u_n = z_n - \\ell$ vérifie $u_{n+1} = a\\,u_n$ :\nelle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$."
        },
        {
          "statement": "On considère la suite définie par $z_{n+1} = -i\\,z_n + 2$. Quel est\nle complexe $\\ell$ tel que $\\ell = -i\\,\\ell + 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ell = 1 - i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ell(1 - a) = b$, donc $\\ell = \\dfrac{2}{1 + i} = 1 - i$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 1 + i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : en passant $a\\ell$ à gauche, on obtient $\\ell - a\\ell$, soit\n$\\ell(1 - a)$ et non $\\ell(1 + a)$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 2 + 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\\ell(1 - a) = b$\ndonne $\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $\\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation\n$\\ell = a\\ell + b$ donne $\\ell(1 - a) = b$, pas $a\\ell = b$."
            }
          ],
          "explanation": "Si $a \\neq 1$, la suite $u_n = z_n - \\ell$ vérifie $u_{n+1} = a\\,u_n$ :\nelle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$."
        },
        {
          "statement": "On considère la suite définie par $z_{n+1} = 2i\\,z_n + 1 - 2i$. Quel est\nle complexe $\\ell$ tel que $\\ell = 2i\\,\\ell + 1 - 2i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ell = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ell(1 - a) = b$, donc $\\ell = \\dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = -\\dfrac{3}{5} - \\dfrac{4}{5}i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : en passant $a\\ell$ à gauche, on obtient $\\ell - a\\ell$, soit\n$\\ell(1 - a)$ et non $\\ell(1 + a)$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = -3 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\\ell(1 - a) = b$\ndonne $\\ell = \\dfrac{b}{1 - a}$."
            },
            {
              "text": "$\\ell = -1 - \\dfrac{1}{2}i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $\\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation\n$\\ell = a\\ell + b$ donne $\\ell(1 - a) = b$, pas $a\\ell = b$."
            }
          ],
          "explanation": "Si $a \\neq 1$, la suite $u_n = z_n - \\ell$ vérifie $u_{n+1} = a\\,u_n$ :\nelle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q64",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inegalite-triangulaire"
      ],
      "title": "Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire",
      "partie": "module",
      "statement": "Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls, d'images $M$ et $M'$. Dans quel\ncas a-t-on $|z + z'| = |z| + |z'|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quand $z' = kz$ avec $k$ réel strictement positif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z$ et $z'$ ont alors un même argument : $M$ et $M'$\nsont sur une même demi-droite d'origine $O$."
        },
        {
          "text": "Quand $z$ et $z'$ sont conjugués l'un de l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $z = i$, $z' = -i$ donne $|z + z'| = 0$ alors que\n$|z| + |z'| = 2$."
        },
        {
          "text": "Quand $z$ et $z'$ ont le même module",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $z = 1$ et $z' = -1$ ont même module, mais\n$|z + z'| = 0$. L'égalité dépend des arguments."
        },
        {
          "text": "Pour tous $z$ et $z'$, c'est une propriété du module",
          "correct": false,
          "feedback": "Le module d'une somme n'est pas la somme des modules : on a\nseulement $|z + z'| \\leq |z| + |z'|$."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité triangulaire : $|z + z'| \\leq |z| + |z'|$, avec égalité si et\nseulement si les vecteurs $\\overrightarrow{OM}$ et $\\overrightarrow{OM'}$ sont\ncolinéaires et de même sens."
    },
    {
      "id": "q65",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ensemble-U"
      ],
      "title": "Stabilité de $\\mathbb{U}$",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Soit $z$ et $z'$ deux éléments de $\\mathbb{U}$, l'ensemble des complexes de\nmodule $1$. Quelle affirmation est toujours vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$zz' \\in \\mathbb{U}$ et $\\dfrac{1}{z} \\in \\mathbb{U}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|zz'| = |z|\\,|z'| = 1$ et $\\left|\\dfrac{1}{z}\\right| = \\dfrac{1}{|z|} = 1$."
        },
        {
          "text": "$z + z' \\in \\mathbb{U}$ et $z - z' \\in \\mathbb{U}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $1 + 1 = 2$ est de module $2$. $\\mathbb{U}$ est stable\npar produit, pas par somme."
        },
        {
          "text": "$zz' = 1$ et $\\dfrac{1}{z} = z$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $i \\times i = -1$. Le produit est de module $1$ sans\nvaloir forcément $1$, et $\\dfrac{1}{z} = \\bar{z}$, pas $z$."
        },
        {
          "text": "$z = z'$ ou bien $z = -z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\mathbb{U}$ contient une infinité de points : tout le cercle de\ncentre $O$ et de rayon $1$, par exemple $1$ et $i$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}$ est le cercle trigonométrique. Il est stable par produit et\npar passage à l'inverse : $e^{i\\theta}e^{i\\theta'} = e^{i(\\theta + \\theta')}$ et\n$\\dfrac{1}{e^{i\\theta}} = e^{-i\\theta} = \\overline{e^{i\\theta}}$."
    }
  ]
}