{
  "chapter": {
    "id": "equations-polynomiales-racines-unite",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Nombres complexes",
    "title": "Équations polynomiales et racines de l'unité",
    "description": "Équations du second degré à coefficients réels de discriminant\nnégatif, factorisation de $z^n - a^n$ et de $P(z)$ par\n$z - a$, majoration du nombre de racines par le degré, racines\n$n$-ièmes de l'unité et ensemble $\\mathbb{U}_n$, utilisation\ndes complexes en géométrie.",
    "parties": [
      {
        "id": "second-degre",
        "title": "Second degré dans les complexes"
      },
      {
        "id": "polynomes",
        "title": "Polynômes de degré supérieur"
      },
      {
        "id": "racines-unite",
        "title": "Racines n-ièmes de l'unité"
      },
      {
        "id": "geometrie",
        "title": "Nombres complexes et géométrie"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "second-degre",
        "discriminant-negatif"
      ],
      "title": "Second degré à discriminant négatif",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de l'équation\n$z^2 + 4 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 2i$ et $z = -2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^2 = -4 = 4i^2$, donc $z = \\pm 2i$ :\ndeux solutions conjuguées, comme toujours pour une\néquation à coefficients réels."
        },
        {
          "text": "$z = 2$ et $z = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(\\pm 2)^2 = +4 \\neq -4$. Les solutions de\n$z^2 = -4$ sont imaginaires pures."
        },
        {
          "text": "Aucune : l'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai dans $\\mathbb{R}$, faux dans $\\mathbb{C}$ : les\ncomplexes ont été créés exactement pour ça."
        },
        {
          "text": "$z = 2i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $(-2i)^2 = 4i^2 = -4$ aussi : une équation\nde degré $2$ dans $\\mathbb{C}$ a deux racines (comptées\navec multiplicité)."
        }
      ],
      "explanation": "Si $\\Delta < 0$, l'équation $az^2 + bz + c = 0$ (coefficients\nréels) admet deux racines complexes conjuguées :\n$z = \\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "second-degre",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résolution complète",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 4 - 20 = -16$, donc\n$z = \\dfrac{2 \\pm i\\sqrt{16}}{2} = 1 \\pm 2i$."
        },
        {
          "text": "$z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $\\sqrt{-\\Delta} = 4$, puis on divise\n**tout** par $2a = 2$ : $\\pm 2i$, pas $\\pm 4i$."
        },
        {
          "text": "$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $b$ : la formule commence par $-b = +2$, d'où\npartie réelle $+1$. (Contrôle : somme des racines\n$= -b/a = 2$.)"
        },
        {
          "text": "Pas de solution car $\\Delta = -16 < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe de première à abandonner : dans $\\mathbb{C}$,\n$\\Delta < 0$ donne deux racines conjuguées."
        }
      ],
      "explanation": "$\\Delta = -16 < 0$ : racines $1 \\pm 2i$. Vérification par\nsomme et produit : $s = 2 = -b/a$, $p = 1 + 4 = 5 = c/a$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-produit-racines"
      ],
      "title": "Somme et produit des racines",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines\nde $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Somme $= 6$, produit $= 13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $z^2 + bz + c$ unitaire, somme\n$= -b$ et produit $= c$ : ils se lisent sur le polynôme."
        },
        {
          "text": "Somme $= -6$, produit $= 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : somme $= -b = -(-6) = +6$ (développer\n$(z - z_1)(z - z_2)$ pour s'en convaincre)."
        },
        {
          "text": "Somme $= 6$, produit $= -13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du produit : $(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - sz + p$ :\nle produit est le terme constant, $+13$."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calculer les racines",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se\nlisent **directement** sur les coefficients."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 - sz + p = (z - z_1)(z - z_2)$ : $s = z_1 + z_2$, $p =\nz_1 z_2$. Ici : racines $3 \\pm 2i$ (somme $6$, produit\n$9 + 4 = 13$). Outil de contrôle et de fabrication\nd'équations."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factorisation",
        "racine-connue"
      ],
      "title": "Factoriser quand une racine est connue",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle\nfactorisation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : identité $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} +\naz^{n-2} + \\dots + a^{n-1})$ avec $n = 3$, $a = 1$.\nDévelopper pour contrôler."
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement faux : $(z-1)(z^2+1) = z^3 - z^2 + z - 1$.\nLe facteur exact est $z^2 + z + 1$."
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$. Une racine\nn'est pas forcément triple !"
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $z^2 \\textbf{+} z + 1$. (Le facteur $z^2 - z +\n1$ correspond à $z^3 \\textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1)$.)"
        }
      ],
      "explanation": "Théorème central (démonstration au programme) : si $P(a) =\n0$, alors $P(z)$ se factorise par $(z - a)$. Cas modèle :\n$z^n - a^n = (z - a)\\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k}$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "degre",
        "nombre-racines"
      ],
      "title": "Nombre de racines et degré",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au\nmaximum, un polynôme de degré $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque racine détache un facteur\n$(z - a)$ ; le degré $5$ ne peut en fournir que $5$\n(démonstration au programme)."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul le polynôme **nul** a une infinité de\nracines. Degré $5$ = au plus $5$ racines : c'est le\nthéorème."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double."
        },
        {
          "text": "Exactement $5$, toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance : **au plus** $5$ racines distinctes ; il peut y\nen avoir moins ($z^5 = 0$ n'a que la racine $0$,\nquintuple)."
        }
      ],
      "explanation": "Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.\nApplication clé : deux polynômes de degré $\\leq n$ égaux en\n$n + 1$ points sont égaux partout."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-degre-3"
      ],
      "title": "Équation de degré 3 avec racine connue",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =\n-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z + 1)(z^2 - 2z\n+ 5)$, et le second facteur donne $\\Delta = -16$, soit\n$1 \\pm 2i$."
        },
        {
          "text": "$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur dans le second facteur : la division donne\n$z^2 \\textbf{−} 2z + 5$ (racines de partie réelle\n$+1$)."
        },
        {
          "text": "$z = 5$ et $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contrôle immédiat : $5^3 - 5^2 + 15 + 5 =\n120 \\neq 0$. Il faut diviser par $(z + 1)$ puis résoudre\nle trinôme."
        },
        {
          "text": "Aucune autre : $-1$ est la seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : le quotient $z^2 - 2z + 5$ a deux racines\ncomplexes conjuguées ($\\Delta = -16$)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : identifier $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z +\n1)(az^2 + bz + c)$ (ou poser la division), puis résoudre le\ntrinôme. Ici : $(z+1)(z^2 - 2z + 5)$, racines $-1$,\n$1 \\pm 2i$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "definition"
      ],
      "title": "Racines $n$-ièmes de l'unité",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elles sont exactement $n$ : $e^{2ik\\pi/n}$\npour $k = 0, 1, \\dots, n - 1$, régulièrement espacées\nsur le cercle unité."
        },
        {
          "text": "Les solutions de $z^n = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z^n = 0$ n'a que la solution $z = 0$. L'unité,\nc'est $1$ : on résout $z^n = 1$."
        },
        {
          "text": "Les nombres $\\frac{1}{n}, \\frac{2}{n}, \\dots, 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont des rationnels de $[0\\ ;\\ 1]$. Les\nracines de l'unité vivent sur le **cercle** unité."
        },
        {
          "text": "Les solutions de $z^n = n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « unité » désigne le nombre $1$ : l'équation\nest $z^n = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n = \\{e^{2ik\\pi/n},\\ k = 0, \\dots, n-1\\}$ :\n$n$ points en polygone régulier sur le cercle unité, dont\ntoujours $1$. Détermination au programme (démonstration)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-cubiques",
        "j"
      ],
      "title": "Racines cubiques de l'unité",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\\pi/3}$\net $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique\nde $j$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\n  \\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) node[below] {$\\mathrm{Re}$};\n  \\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[left] {$\\mathrm{Im}$};\n  \\draw (0,0) circle (1);\n  \\draw[dashed] (1,0) -- (-0.5,0.866) -- (-0.5,-0.866) -- cycle;\n  \\fill (1,0) circle (1.5pt);\n  \\node[below right,font=\\small] at (1,0) {$1$};\n  \\fill (-0.5,0.866) circle (1.5pt);\n  \\node[above left,font=\\small] at (-0.5,0.866) {$j$};\n  \\fill (-0.5,-0.866) circle (1.5pt);\n  \\node[below left,font=\\small] at (-0.5,-0.866) {$j^2$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"149.448pt\" height=\"146.972pt\" viewBox=\"0 0 149.448 146.972\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 2.21875 -3.5 L 2.21875 -6.078125 C 2.21875 -6.296875 2.21875 -6.421875 2.4375 -6.453125 C 2.546875 -6.46875 2.828125 -6.46875 3.03125 -6.46875 C 3.921875 -6.46875 5.03125 -6.421875 5.03125 -4.984375 C 5.03125 -4.3125 4.796875 -3.5 3.328125 -3.5 Z M 4.3125 -3.375 C 5.28125 -3.609375 6.046875 -4.21875 6.046875 -4.984375 C 6.046875 -5.9375 4.921875 -6.78125 3.46875 -6.78125 L 0.34375 -6.78125 L 0.34375 -6.46875 L 0.578125 -6.46875 C 1.34375 -6.46875 1.375 -6.359375 1.375 -6 L 1.375 -0.78125 C 1.375 -0.421875 1.34375 -0.3125 0.578125 -0.3125 L 0.34375 -0.3125 L 0.34375 0 C 0.703125 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.796875 -0.03125 C 2.1875 -0.03125 2.890625 -0.03125 3.25 0 L 3.25 -0.3125 L 3 -0.3125 C 2.25 -0.3125 2.21875 -0.421875 2.21875 -0.78125 L 2.21875 -3.28125 L 3.359375 -3.28125 C 3.515625 -3.28125 3.9375 -3.28125 4.28125 -2.953125 C 4.65625 -2.59375 4.65625 -2.28125 4.65625 -1.625 C 4.65625 -0.96875 4.65625 -0.578125 5.0625 -0.203125 C 5.484375 0.15625 6.015625 0.21875 6.3125 0.21875 C 7.09375 0.21875 7.265625 -0.59375 7.265625 -0.875 C 7.265625 -0.9375 7.265625 -1.046875 7.140625 -1.046875 C 7.03125 -1.046875 7.03125 -0.953125 7.015625 -0.890625 C 6.953125 -0.171875 6.609375 0 6.359375 0 C 5.875 0 5.796875 -0.5 5.65625 -1.421875 L 5.53125 -2.21875 C 5.34375 -2.859375 4.859375 -3.1875 4.3125 -3.375 Z M 4.3125 -3.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.109375 -2.5 C 1.171875 -3.984375 2 -4.234375 2.34375 -4.234375 C 3.359375 -4.234375 3.46875 -2.890625 3.46875 -2.5 Z M 1.09375 -2.296875 L 3.875 -2.296875 C 4.09375 -2.296875 4.125 -2.296875 4.125 -2.5 C 4.125 -3.484375 3.578125 -4.4375 2.34375 -4.4375 C 1.1875 -4.4375 0.28125 -3.421875 0.28125 -2.1875 C 0.28125 -0.859375 1.3125 0.109375 2.453125 0.109375 C 3.671875 0.109375 4.125 -0.984375 4.125 -1.1875 C 4.125 -1.28125 4.03125 -1.296875 3.984375 -1.296875 C 3.90625 -1.296875 3.875 -1.234375 3.859375 -1.15625 C 3.515625 -0.140625 2.625 -0.140625 2.515625 -0.140625 C 2.03125 -0.140625 1.625 -0.4375 1.40625 -0.796875 C 1.09375 -1.28125 1.09375 -1.9375 1.09375 -2.296875 Z M 1.09375 -2.296875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 2.234375 -6 C 2.234375 -6.359375 2.265625 -6.46875 3.046875 -6.46875 L 3.296875 -6.46875 L 3.296875 -6.78125 C 2.953125 -6.75 2.171875 -6.75 1.796875 -6.75 C 1.40625 -6.75 0.625 -6.75 0.28125 -6.78125 L 0.28125 -6.46875 L 0.53125 -6.46875 C 1.3125 -6.46875 1.34375 -6.359375 1.34375 -6 L 1.34375 -0.78125 C 1.34375 -0.421875 1.3125 -0.3125 0.53125 -0.3125 L 0.28125 -0.3125 L 0.28125 0 C 0.625 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.78125 -0.03125 C 2.171875 -0.03125 2.953125 -0.03125 3.296875 0 L 3.296875 -0.3125 L 3.046875 -0.3125 C 2.265625 -0.3125 2.234375 -0.421875 2.234375 -0.78125 Z M 2.234375 -6 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.09375 -3.40625 L 1.09375 -0.75 C 1.09375 -0.3125 0.984375 -0.3125 0.3125 -0.3125 L 0.3125 0 C 0.671875 -0.015625 1.171875 -0.03125 1.4375 -0.03125 C 1.703125 -0.03125 2.21875 -0.015625 2.546875 0 L 2.546875 -0.3125 C 1.890625 -0.3125 1.78125 -0.3125 1.78125 -0.75 L 1.78125 -2.578125 C 1.78125 -3.609375 2.484375 -4.171875 3.109375 -4.171875 C 3.734375 -4.171875 3.84375 -3.625 3.84375 -3.0625 L 3.84375 -0.75 C 3.84375 -0.3125 3.734375 -0.3125 3.078125 -0.3125 L 3.078125 0 C 3.421875 -0.015625 3.921875 -0.03125 4.203125 -0.03125 C 4.453125 -0.03125 4.96875 -0.015625 5.3125 0 L 5.3125 -0.3125 C 4.640625 -0.3125 4.53125 -0.3125 4.53125 -0.75 L 4.53125 -2.578125 C 4.53125 -3.609375 5.234375 -4.171875 5.875 -4.171875 C 6.5 -4.171875 6.609375 -3.625 6.609375 -3.0625 L 6.609375 -0.75 C 6.609375 -0.3125 6.5 -0.3125 5.828125 -0.3125 L 5.828125 0 C 6.1875 -0.015625 6.6875 -0.03125 6.953125 -0.03125 C 7.21875 -0.03125 7.734375 -0.015625 8.0625 0 L 8.0625 -0.3125 C 7.546875 -0.3125 7.296875 -0.3125 7.296875 -0.609375 L 7.296875 -2.5 C 7.296875 -3.359375 7.296875 -3.65625 6.984375 -4.015625 C 6.84375 -4.1875 6.515625 -4.390625 5.9375 -4.390625 C 5.109375 -4.390625 4.671875 -3.796875 4.5 -3.40625 C 4.359375 -4.28125 3.625 -4.390625 3.1875 -4.390625 C 2.453125 -4.390625 2 -3.953125 1.71875 -3.34375 L 1.71875 -4.390625 L 0.3125 -4.28125 L 0.3125 -3.96875 C 1.015625 -3.96875 1.09375 -3.90625 1.09375 -3.40625 Z M 1.09375 -3.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 3.609375 -5.578125 C 3.609375 -5.75 3.484375 -5.90625 3.265625 -5.90625 C 3.03125 -5.90625 2.78125 -5.703125 2.78125 -5.4375 C 2.78125 -5.203125 2.953125 -5.109375 3.125 -5.109375 C 3.390625 -5.109375 3.609375 -5.359375 3.609375 -5.578125 Z M 1.78125 0.40625 C 1.59375 1.171875 1.125 1.609375 0.671875 1.609375 C 0.484375 1.609375 0.46875 1.59375 0.359375 1.5625 C 0.53125 1.5 0.71875 1.3125 0.71875 1.078125 C 0.71875 0.890625 0.5625 0.765625 0.375 0.765625 C 0.125 0.765625 -0.109375 0.96875 -0.109375 1.265625 C -0.109375 1.65625 0.28125 1.828125 0.6875 1.828125 C 1.328125 1.828125 2.1875 1.359375 2.40625 0.46875 L 3.25 -2.828125 C 3.28125 -2.96875 3.28125 -3.109375 3.28125 -3.125 C 3.28125 -3.609375 2.90625 -3.953125 2.40625 -3.953125 C 1.484375 -3.953125 0.953125 -2.671875 0.953125 -2.578125 C 0.953125 -2.5 1.015625 -2.46875 1.078125 -2.46875 C 1.171875 -2.46875 1.1875 -2.5 1.25 -2.65625 C 1.5 -3.234375 1.9375 -3.734375 2.390625 -3.734375 C 2.65625 -3.734375 2.671875 -3.484375 2.671875 -3.3125 C 2.671875 -3.3125 2.671875 -3.140625 2.640625 -3.03125 Z M 1.78125 0.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 3.203125 -1.109375 L 2.984375 -1.109375 C 2.96875 -1.03125 2.90625 -0.640625 2.828125 -0.578125 C 2.78125 -0.53125 2.296875 -0.53125 2.21875 -0.53125 L 1.09375 -0.53125 L 1.859375 -1.15625 C 2.0625 -1.3125 2.59375 -1.703125 2.78125 -1.875 C 2.953125 -2.046875 3.203125 -2.359375 3.203125 -2.78125 C 3.203125 -3.53125 2.53125 -3.953125 1.734375 -3.953125 C 0.96875 -3.953125 0.421875 -3.453125 0.421875 -2.890625 C 0.421875 -2.59375 0.6875 -2.546875 0.75 -2.546875 C 0.90625 -2.546875 1.078125 -2.65625 1.078125 -2.875 C 1.078125 -3 1 -3.203125 0.734375 -3.203125 C 0.875 -3.5 1.234375 -3.734375 1.640625 -3.734375 C 2.265625 -3.734375 2.59375 -3.265625 2.59375 -2.78125 C 2.59375 -2.359375 2.328125 -1.921875 1.90625 -1.546875 L 0.5 -0.25 C 0.4375 -0.1875 0.421875 -0.1875 0.421875 0 L 3.015625 0 Z M 3.203125 -1.109375 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -63.779341 -0.00154687 L 71.883963 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071161 2.390067 C -1.694776 0.955099 -0.85183 0.280742 -0.00104291 -0.00154687 C -0.85183 -0.279915 -1.694776 -0.958192 -2.071161 -2.38924 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 137.547914, 80.959396)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"131.886864\" y=\"91.248393\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"139.193376\" y=\"91.248393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00167037 -63.779217 L -0.00167037 71.884086 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071037 2.389363 C -1.694652 0.958316 -0.851707 0.280039 -0.000919411 0.00167037 C -0.851707 -0.280618 -1.694652 -0.954975 -2.071037 -2.389943 \" transform=\"matrix(0, -0.99632, -0.99632, 0, 65.728227, 9.139709)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"50.365969\" y=\"12.332875\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"53.950239\" y=\"12.332875\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 42.522004 -0.00154687 C 42.522004 23.483315 23.483191 42.522128 -0.00167037 42.522128 C -23.482611 42.522128 -42.521424 23.483315 -42.521424 -0.00154687 C -42.521424 -23.482488 -23.482611 -42.521301 -0.00167037 -42.521301 C 23.483191 -42.521301 42.522004 -23.482488 42.522004 -0.00154687 Z M 42.522004 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 42.522004 -0.00154687 L -21.259587 36.821462 L -21.259587 -36.820635 Z M 42.522004 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 110.324219 80.960938 C 110.324219 79.726562 109.324219 78.726562 108.09375 78.726562 C 106.859375 78.726562 105.859375 79.726562 105.859375 80.960938 C 105.859375 82.191406 106.859375 83.191406 108.09375 83.191406 C 109.324219 83.191406 110.324219 82.191406 110.324219 80.960938 Z M 110.324219 80.960938 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"111.5988\" y=\"90.22318\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 46.78125 44.273438 C 46.78125 43.039062 45.78125 42.039062 44.546875 42.039062 C 43.3125 42.039062 42.3125 43.039062 42.3125 44.273438 C 42.3125 45.507812 43.3125 46.507812 44.546875 46.507812 C 45.78125 46.507812 46.78125 45.507812 46.78125 44.273438 Z M 46.78125 44.273438 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"36.775168\" y=\"39.029269\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 46.78125 117.644531 C 46.78125 116.414062 45.78125 115.414062 44.546875 115.414062 C 43.3125 115.414062 42.3125 116.414062 42.3125 117.644531 C 42.3125 118.878906 43.3125 119.878906 44.546875 119.878906 C 45.78125 119.878906 46.78125 118.878906 46.78125 117.644531 Z M 46.78125 117.644531 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"32.639443\" y=\"128.785745\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"36.904689\" y=\"124.990762\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$j = -\\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}$,\n$\\sin\\frac{2\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : le sommet en\nhaut à gauche du triangle équilatéral."
        },
        {
          "text": "$j = \\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du cosinus : l'angle $\\frac{2\\pi}{3}$ est dans le\n**deuxième** quadrant : partie réelle négative. ($\\frac{1}{2}\n+ i\\frac{\\sqrt{3}}{2} = e^{i\\pi/3}$, racine sixième.)"
        },
        {
          "text": "$j = -\\dfrac{1}{2} - i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $j^2 = e^{4i\\pi/3} = \\bar{j}$ : l'autre racine non\nréelle, sous l'axe."
        },
        {
          "text": "$j = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^3 = -1 \\neq 1$ : $-1$ est racine\n**carrée**, pas cubique, de l'unité."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_3 = \\{1,\\ j,\\ j^2\\}$ avec $j = e^{2i\\pi/3} =\n-\\frac{1}{2} + i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Relations d'or :\n$j^3 = 1$, $j^2 = \\bar{j}$ et $1 + j + j^2 = 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-quatriemes"
      ],
      "title": "Racines quatrièmes de l'unité",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$, $i$, $-1$ et $-i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle\nunité ($e^{ik\\pi/2}$, $k = 0, 1, 2, 3$) : le carré\ninscrit."
        },
        {
          "text": "$1$ et $-1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : ce sont les racines **carrées** ; $i^4 =\n(i^2)^2 = 1$ et $(-i)^4 = 1$ aussi : quatre racines pour\nle degré $4$."
        },
        {
          "text": "$1$, $\\dfrac{1}{4}$, $\\dfrac{1}{2}$, $\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4 = \\frac{1}{16} \\neq\n1$. Les racines sont sur le **cercle unité**, pas dans\nl'intervalle $[0\\ ;\\ 1]$."
        },
        {
          "text": "$1$ et $i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance\npaire) : $\\mathbb{U}_4$ a quatre éléments."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_4 = \\{1, i, -1, -i\\}$ : carré inscrit dans le\ncercle unité. Cas particuliers au programme : $n = 2$\n($\\pm 1$), $n = 3$ ($1, j, j^2$), $n = 4$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "somme-racines-unite"
      ],
      "title": "Somme des racines $n$-ièmes",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques\nde l'unité ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + j + j^2 = \\dfrac{j^3 - 1}{j - 1} =\n\\dfrac{0}{j - 1} = 0$ (somme géométrique). Géométrie :\nle centre de gravité du triangle équilatéral est\nl'origine."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux racines non réelles $j$ et $j^2 =\n\\bar{j}$ somment à $2\\,\\text{Re}(j) = -1$, qui annule le\n$1$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ serait la somme si les trois racines\nvalaient $1$. Elles pointent dans trois directions qui\nse compensent exactement."
        },
        {
          "text": "$j^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $j^3 = 1$ (c'est la définition d'une racine\ncubique), et la somme ne vaut pas $1$ mais $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout $n \\geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de\nl'unité est nulle : somme géométrique de raison $\\omega \\neq\n1$ avec $\\omega^n = 1$. Un classique des problèmes\n(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrie",
        "quotient"
      ],
      "title": "Le quotient $\\dfrac{c-a}{b-a}$",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$\ndistinctes. Que traduit l'appartenance du quotient\n$\\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle\n$(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$ ;\nun quotient réel correspond à un angle nul ou plat, donc à un alignement."
        },
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le cas **imaginaire pur** : angle $\\pm\\pi/2$ en\n$A$, donc orthogonalité de $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$."
        },
        {
          "text": "$ABC$ est équilatéral",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module\n$1$ et d'argument $\\pm\\pi/3$ ($e^{\\pm i\\pi/3}$), pas à\nun réel."
        },
        {
          "text": "$B$ et $C$ sont confondus",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $b = c$ donnerait un quotient égal à $1$,\ncertes réel, mais le cas général « quotient réel »\ncouvre tout l'alignement."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire géométrique : $\\left|\\dfrac{c-a}{b-a}\\right| =\n\\dfrac{AC}{AB}$ et $\\arg\\dfrac{c-a}{b-a} =\n(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$. Quotient réel : points alignés ; quotient imaginaire pur : angle droit en $A$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "polygone"
      ],
      "title": "Racines de l'unité et polygones",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle\nfigure du plan complexe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse, avec un sommet en $1$ : les\n$e^{2ik\\pi/5}$ partagent le cercle en $5$ arcs égaux à\npartir de $1$ : polygone régulier garanti par la\nrégularité des angles."
        },
        {
          "text": "Cinq points régulièrement espacés sur l'axe réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une seule racine $5$-ième est réelle ($1$, car\n$5$ est impair). Les autres se répartissent sur le\ncercle unité."
        },
        {
          "text": "Un pentagone régulier centré au point d'affixe $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le\ncercle de centre $O$ (module $1$) ; $1$ en est un\n**sommet**."
        },
        {
          "text": "Cinq points au hasard sur le cercle unité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les arguments $\\frac{2k\\pi}{5}$ sont en\nprogression arithmétique : espacement parfaitement\nrégulier, rien d'aléatoire."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n$ = sommets du polygone régulier à $n$ côtés\ninscrit dans le cercle unité, un sommet en $1$. C'est le\npont entre équations polynomiales et géométrie (construction\ndu pentagone, $\\cos\\frac{2\\pi}{5}$…)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racines-conjuguees"
      ],
      "title": "Racines par paires conjuguées",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Un polynôme à coefficients **réels** admet $2 + 3i$ comme\nracine. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 - 3i$ est aussi racine",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les racines non réelles vont par paires\nconjuguées. Conjuguer l'égalité $P(z) = 0$ donne\n$P(\\bar{z}) = 0$ (les coefficients réels sont leurs\npropres conjugués)."
        },
        {
          "text": "$-2 - 3i$ est aussi racine",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $-2 - 3i$ est l'**opposé** : la symétrie des\ncoefficients réels est la **conjugaison** (signe de la\npartie imaginaire seule)."
        },
        {
          "text": "Rien, chaque racine est indépendante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par\nconjugaison : c'est un théorème, pas un hasard."
        },
        {
          "text": "Le polynôme n'a que des racines complexes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles\nsont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne\nque les racines NON réelles."
        }
      ],
      "explanation": "Coefficients réels : $P(z) = 0 \\Rightarrow P(\\bar{z}) = 0$ :\nl'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un\npolynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine\nréelle."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "trinome-j"
      ],
      "title": "Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\dfrac{-1 \\pm i\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 1 - 4 = -3$, racines $\\frac{-1\n\\pm i\\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire les nombres $j$ et\n$j^2$, racines cubiques non réelles de l'unité (cohérent\n: $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$)."
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $i$ oublié : $\\Delta = -3 < 0$ : les racines sont\ncomplexes : $\\sqrt{-\\Delta} = \\sqrt{3}$ s'accompagne du\nfacteur $i$."
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\Delta = 1 - 4 = -3$, pas $1 + 4 = 5$ ; le\nsigne du terme constant a été inversé, et les racines\nsont complexes."
        },
        {
          "text": "Aucune, car $\\Delta < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe de première : dans $\\mathbb{C}$, $\\Delta < 0$\nfournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du\nchapitre."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 + z + 1 = 0$ : les racines sont $j = e^{2i\\pi/3}$ et\n$j^2 = \\bar{j}$ : le facteur non trivial de $z^3 - 1$. Somme\n$-1$, produit $1$ : contrôle immédiat par les relations\ncoefficients-racines."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factorisation-complexe"
      ],
      "title": "Factoriser $z^2 + a^2$",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(z - 3i)(z + 3i)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 3i$\nfournissent les facteurs."
        },
        {
          "text": "$(z + 3)(z - 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $(z+3)(z-3) = z^2 - 9$ : pour $z^2 + 9$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 3i$."
        },
        {
          "text": "$(z + 3)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement : $(z+3)^2 = z^2 + 6z + 9$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
        },
        {
          "text": "Il ne se factorise pas : somme de carrés",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\\mathbb{C}$ : $3i$ est racine car\n$(3i)^2 + 9 = 0$, donc $z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une\nsomme de carrés devient une différence de carrés et se factorise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 3i)(z + 3i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 3i$\nfournissent les facteurs."
            },
            {
              "text": "$(z + 3)(z - 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $(z+3)(z-3) = z^2 - 9$ : pour $z^2 + 9$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 3i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 3)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement : $(z+3)^2 = z^2 + 6z + 9$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
            },
            {
              "text": "Il ne se factorise pas : somme de carrés",
              "correct": false,
              "feedback": "Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\\mathbb{C}$ : $3i$ est racine car\n$(3i)^2 + 9 = 0$, donc $z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une\nsomme de carrés devient une différence de carrés et se factorise."
        },
        {
          "statement": "Comment $z^2 + 16$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 4i)(z + 4i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 16 = z^2 - (4i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 4i$\nfournissent les facteurs."
            },
            {
              "text": "$(z + 4)(z - 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $(z+4)(z-4) = z^2 - 16$ : pour $z^2 + 16$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 4i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 4)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement : $(z+4)^2 = z^2 + 8z + 16$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
            },
            {
              "text": "Il ne se factorise pas : somme de carrés",
              "correct": false,
              "feedback": "Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\\mathbb{C}$ : $4i$ est racine car\n$(4i)^2 + 16 = 0$, donc $z^2 + 16 = (z - 4i)(z + 4i)$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une\nsomme de carrés devient une différence de carrés et se factorise."
        },
        {
          "statement": "Comment $z^2 + 25$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 5i)(z + 5i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 25 = z^2 - (5i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 5i$\nfournissent les facteurs."
            },
            {
              "text": "$(z + 5)(z - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $(z+5)(z-5) = z^2 - 25$ : pour $z^2 + 25$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 5i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 5)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement : $(z+5)^2 = z^2 + 10z + 25$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
            },
            {
              "text": "Il ne se factorise pas : somme de carrés",
              "correct": false,
              "feedback": "Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\\mathbb{C}$ : $5i$ est racine car\n$(5i)^2 + 25 = 0$, donc $z^2 + 25 = (z - 5i)(z + 5i)$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une\nsomme de carrés devient une différence de carrés et se factorise."
        },
        {
          "statement": "Comment $z^2 + 36$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 6i)(z + 6i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 36 = z^2 - (6i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 6i$\nfournissent les facteurs."
            },
            {
              "text": "$(z + 6)(z - 6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : $(z+6)(z-6) = z^2 - 36$ : pour $z^2 + 36$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 6i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 6)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Développement : $(z+6)^2 = z^2 + 12z + 36$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
            },
            {
              "text": "Il ne se factorise pas : somme de carrés",
              "correct": false,
              "feedback": "Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\\mathbb{C}$ : $6i$ est racine car\n$(6i)^2 + 36 = 0$, donc $z^2 + 36 = (z - 6i)(z + 6i)$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une\nsomme de carrés devient une différence de carrés et se factorise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cardinal-Un"
      ],
      "title": "Combien de racines $n$-ièmes ?",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions\ncomplexes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement $n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $e^{2ik\\pi/n}$ pour $k = 0, \\dots,\nn - 1$, toutes distinctes : le maximum autorisé par le\ndegré, atteint."
        },
        {
          "text": "Une seule : $z = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vision réelle : dans $\\mathbb{C}$, le cercle fournit $n$\nsolutions régulièrement espacées ($1$ n'est que celle de\n$k = 0$)."
        },
        {
          "text": "Deux : $z = 1$ et $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas particulier : $\\pm 1$ sont les solutions pour $n =\n2$ (et $-1$ seulement si $n$ est pair) : en général, il\ny en a $n$."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$\nracines : les angles $\\frac{2k\\pi}{n}$ se répètent\nmodulo $2\\pi$ : exactement $n$ points distincts."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n$ compte exactement $n$ éléments : le degré\nmajore, l'exhibition des $e^{2ik\\pi/n}$ atteint la borne.\nC'est LE cas d'école où « au plus $n$ » devient\n« exactement $n$ »."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "quotient-imaginaire-pur"
      ],
      "title": "Quotient imaginaire pur",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "$A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$\ndistinctes. Que signifie « $\\dfrac{c - a}{b - a}$ est\nimaginaire pur (non nul) » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle\n$(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$ : un\nimaginaire pur a pour argument $\\pm\\frac{\\pi}{2}$, donc\nl'angle en $A$ entre $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ est droit : le triangle est\nrectangle en $A$."
        },
        {
          "text": "Les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : l'alignement correspond au quotient **réel**\n(argument $0$ ou $\\pi$) : l'imaginaire pur traduit la\nperpendicularité."
        },
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est équilatéral",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équilatéral demande un quotient $e^{\\pm\ni\\pi/3}$ (module $1$, angle $60°$) : ni réel ni\nimaginaire pur."
        },
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion module/argument : l'égalité $AB = AC$ se lit\nsur le MODULE du quotient (égal à $1$) : l'imaginaire pur\nparle de l'angle, pas des longueurs. Avec $a = 0$,\n$b = 1$ et $c = 2i$, le quotient vaut $2i$, imaginaire\npur, alors que $AB = 1$ et $AC = 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Le quotient $\\frac{c-a}{b-a}$ : son argument est l'angle en\n$A$, son module est le rapport $\\frac{AC}{AB}$. Réel :\nalignement ; imaginaire pur : angle droit en $A$, donc\ntriangle rectangle en $A$ ; $e^{i\\pi/3}$ : triangle\néquilatéral. Un dictionnaire géométrique complet."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-cubiques-8"
      ],
      "title": "Résoudre $z^3 = 8$",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$, $2j$ et $2j^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse, avec $j = e^{2i\\pi/3}$ : $z^3 = 8 \\iff\n\\left(\\frac{z}{2}\\right)^3 = 1$, les solutions sont $2$\nfois les racines cubiques de l'unité : un triangle\néquilatéral de rayon $2$."
        },
        {
          "text": "$2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Vision réelle : $2$ est la seule solution RÉELLE : dans\n$\\mathbb{C}$, le degré $3$ livre trois racines ($2j$ et\n$2j^2$ complètent)."
        },
        {
          "text": "$2$, $-2$ et $2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $(-2)^3 = -8 \\neq 8$ et $(2i)^3 = -8i$ : les\nbonnes racines s'obtiennent en tournant de $120°$ :\n$2e^{2i\\pi/3}$, $2e^{4i\\pi/3}$."
        },
        {
          "text": "$8$, $8j$ et $8j^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module : la racine cubique de $8$ est $2$ ($2^3 = 8$) :\nle module des solutions est $2$, pas $8$."
        }
      ],
      "explanation": "$z^n = a$ ($a > 0$) : solutions $\\sqrt[n]{a}\\;e^{2ik\\pi/n}$ :\nla racine réelle multipliée par les racines $n$-ièmes de\nl'unité : polygone régulier de rayon $\\sqrt[n]{a}$. Ramener\nà $\\mathbb{U}_n$ par division : le réflexe."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "second-degre",
        "complexes"
      ],
      "title": "Résoudre une équation du second degré à racines conjuguées",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 + 2i$ et $1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $-16$, donc les racines sont\n$\\dfrac{2 \\pm 4i}{2}$."
        },
        {
          "text": "$1 + 4i$ et $1 - 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la\npartie imaginaire $\\sqrt{|\\Delta|} = 4$."
        },
        {
          "text": "$2 + 4i$ et $2 - 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;\nla partie réelle vaut $\\dfrac{-b}{2a} = 1$."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines\nconjuguées."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{|\\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de\nl'autre lorsque les coefficients sont réels.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1 + 2i$ et $1 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $-16$, donc les racines sont\n$\\dfrac{2 \\pm 4i}{2}$."
            },
            {
              "text": "$1 + 4i$ et $1 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la\npartie imaginaire $\\sqrt{|\\Delta|} = 4$."
            },
            {
              "text": "$2 + 4i$ et $2 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;\nla partie réelle vaut $\\dfrac{-b}{2a} = 1$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines\nconjuguées."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{|\\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de\nl'autre lorsque les coefficients sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 4z + 5 = 0$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 + i$ et $2 - i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $-4$, donc les racines sont\n$\\dfrac{4 \\pm 2i}{2}$."
            },
            {
              "text": "$2 + 2i$ et $2 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la\npartie imaginaire $\\sqrt{|\\Delta|} = 2$."
            },
            {
              "text": "$4 + 2i$ et $4 - 2i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;\nla partie réelle vaut $\\dfrac{-b}{2a} = 2$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines\nconjuguées."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{|\\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de\nl'autre lorsque les coefficients sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 6z + 13 = 0$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 + 2i$ et $3 - 2i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $-16$, donc les racines sont\n$\\dfrac{6 \\pm 4i}{2}$."
            },
            {
              "text": "$3 + 4i$ et $3 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la\npartie imaginaire $\\sqrt{|\\Delta|} = 4$."
            },
            {
              "text": "$6 + 4i$ et $6 - 4i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;\nla partie réelle vaut $\\dfrac{-b}{2a} = 3$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines\nconjuguées."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{|\\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de\nl'autre lorsque les coefficients sont réels."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 + 2z + 10 = 0$ dans $\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1 + 3i$ et $-1 - 3i$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $-36$, donc les racines sont\n$\\dfrac{-2 \\pm 6i}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-1 + 6i$ et $-1 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la\npartie imaginaire $\\sqrt{|\\Delta|} = 6$."
            },
            {
              "text": "$-2 + 6i$ et $-2 - 6i$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;\nla partie réelle vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -1$."
            },
            {
              "text": "Aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans $\\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines\nconjuguées."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{|\\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de\nl'autre lorsque les coefficients sont réels."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "calcul"
      ],
      "title": "Les racines sixièmes de l'unité",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Combien de racines sixièmes de l'unité existe-t-il, et quel est leur\nmodule ?",
      "options": [
        {
          "text": "Six racines, toutes de module $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elles se répartissent régulièrement sur le cercle\nunité."
        },
        {
          "text": "Six racines, de modules différents",
          "correct": false,
          "feedback": "Le module de chacune élevé à la puissance $6$ doit valoir $1$, donc il\nvaut $1$."
        },
        {
          "text": "Une seule racine, égale à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la seule racine réelle positive, mais cinq autres existent dans\n$\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "text": "Deux racines, $1$ et $-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les deux racines réelles ; les quatre autres sont non réelles."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $z^n = 1$ admet exactement $n$ solutions dans $\\mathbb{C}$,\ntoutes de module $1$, formant un polygone régulier à $n$ sommets sur le\ncercle unité."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polynome",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Factoriser $z^3 - a^3$",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Sachant que $z^3 - 27$ se factorise par $z - 3$, quelle est cette\nfactorisation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(z - 3)(z^2 + 3z + 9)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 3$ ; le\ndéveloppement redonne $z^3 - 27$."
        },
        {
          "text": "$(z - 3)(z^2 - 3z + 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 6z^2 + 18z - 27$."
        },
        {
          "text": "$(z - 3)(z^2 + 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 3z^2 + 9z - 27$."
        },
        {
          "text": "$(z - 3)(z^2 + 6z + 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $(z + 3)^2$ : le développement donne $z^3 + 3z^2 - 9z - 27$."
        }
      ],
      "explanation": "La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici\n$z^3 - 3^3 = (z - 3)(z^2 + 3z + 9)$. Le second facteur a pour discriminant\n$-27$, négatif : l'équation $z^3 = 27$ a donc deux autres solutions,\nnon réelles.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sachant que $z^3 - 27$ se factorise par $z - 3$, quelle est cette\nfactorisation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 3)(z^2 + 3z + 9)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 3$ ; le\ndéveloppement redonne $z^3 - 27$."
            },
            {
              "text": "$(z - 3)(z^2 - 3z + 9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 6z^2 + 18z - 27$."
            },
            {
              "text": "$(z - 3)(z^2 + 9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 3z^2 + 9z - 27$."
            },
            {
              "text": "$(z - 3)(z^2 + 6z + 9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $(z + 3)^2$ : le développement donne $z^3 + 3z^2 - 9z - 27$."
            }
          ],
          "explanation": "La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici\n$z^3 - 3^3 = (z - 3)(z^2 + 3z + 9)$. Le second facteur a pour discriminant\n$-27$, négatif : l'équation $z^3 = 27$ a donc deux autres solutions,\nnon réelles."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $z^3 - 8$ se factorise par $z - 2$, quelle est cette\nfactorisation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 2)(z^2 + 2z + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 2$ ; le\ndéveloppement redonne $z^3 - 8$."
            },
            {
              "text": "$(z - 2)(z^2 - 2z + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 4z^2 + 8z - 8$."
            },
            {
              "text": "$(z - 2)(z^2 + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 2z^2 + 4z - 8$."
            },
            {
              "text": "$(z - 2)(z^2 + 4z + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $(z + 2)^2$ : le développement donne $z^3 + 2z^2 - 4z - 8$."
            }
          ],
          "explanation": "La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici\n$z^3 - 2^3 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$. Le second facteur a pour discriminant\n$-12$, négatif : l'équation $z^3 = 8$ a donc deux autres solutions,\nnon réelles."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $z^3 - 64$ se factorise par $z - 4$, quelle est cette\nfactorisation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 4)(z^2 + 4z + 16)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 4$ ; le\ndéveloppement redonne $z^3 - 64$."
            },
            {
              "text": "$(z - 4)(z^2 - 4z + 16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 8z^2 + 32z - 64$."
            },
            {
              "text": "$(z - 4)(z^2 + 16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 4z^2 + 16z - 64$."
            },
            {
              "text": "$(z - 4)(z^2 + 8z + 16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $(z + 4)^2$ : le développement donne $z^3 + 4z^2 - 16z - 64$."
            }
          ],
          "explanation": "La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici\n$z^3 - 4^3 = (z - 4)(z^2 + 4z + 16)$. Le second facteur a pour discriminant\n$-48$, négatif : l'équation $z^3 = 64$ a donc deux autres solutions,\nnon réelles."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $z^3 - 125$ se factorise par $z - 5$, quelle est cette\nfactorisation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 5)(z^2 + 5z + 25)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 5$ ; le\ndéveloppement redonne $z^3 - 125$."
            },
            {
              "text": "$(z - 5)(z^2 - 5z + 25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 10z^2 + 50z - 125$."
            },
            {
              "text": "$(z - 5)(z^2 + 25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 5z^2 + 25z - 125$."
            },
            {
              "text": "$(z - 5)(z^2 + 10z + 25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $(z + 5)^2$ : le développement donne $z^3 + 5z^2 - 25z - 125$."
            }
          ],
          "explanation": "La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici\n$z^3 - 5^3 = (z - 5)(z^2 + 5z + 25)$. Le second facteur a pour discriminant\n$-75$, négatif : l'équation $z^3 = 125$ a donc deux autres solutions,\nnon réelles."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "polynome",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Factoriser à partir d'une racine",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 1$ admet $1$ pour racine.\nQuelle est sa factorisation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(z - 1)(z^2 + z + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la division par $z - 1$ donne le trinôme\n$z^2 + z + 1$."
        },
        {
          "text": "$(z - 1)(z^2 - z + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux : le développement donnerait $z^3 - 2z^2 + 2z - 1$."
        },
        {
          "text": "$(z + 1)(z^2 - z + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce produit vaut $z^3 + 1$, pas $z^3 - 1$."
        },
        {
          "text": "$(z - 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce produit vaut $z^3 - 3z^2 + 3z - 1$, et supposerait une racine\ntriple."
        }
      ],
      "explanation": "Si $a$ est racine de $P$, alors $P$ se factorise par $z - a$. Le quotient\ns'obtient par division euclidienne ou par identification des\ncoefficients."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-conjuguees",
        "coefficients-reels"
      ],
      "title": "Racines conjuguées",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Un polynôme à coefficients réels admet $3 - 2i$ pour racine.\nQuelle autre racine possède-t-il nécessairement ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 + 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour des coefficients réels, les racines non réelles\nvont par paires conjuguées."
        },
        {
          "text": "$-3 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'opposé n'a aucune raison d'être racine : c'est le conjugué qui l'est."
        },
        {
          "text": "$-3 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même remarque : seuls les signes de la partie imaginaire changent."
        },
        {
          "text": "$2 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parties échangées : le conjugué garde la même partie réelle."
        }
      ],
      "explanation": "Si $P$ est à coefficients réels et $a$ en est racine, alors $\\bar{a}$ l'est\naussi. Les racines non réelles apparaissent donc toujours par paires."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "discriminant",
        "parametre"
      ],
      "title": "Une racine double selon $m$",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Pour quelles valeurs réelles de $m$ l'équation $z^2 + mz + 9 = 0$\nadmet-elle une racine double ?",
      "options": [
        {
          "text": "$m = 6$ ou $m = -6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le discriminant $m^2 - 36$ s'annule pour ces deux\nvaleurs."
        },
        {
          "text": "$m = 9$ ou $m = -9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant recopié : le discriminant fait intervenir $4ac$, soit\n$36$."
        },
        {
          "text": "$m = 3$ ou $m = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine prise trop tôt : $\\sqrt{9}$ vaut $3$, mais le discriminant vaut\n$m^2 - 36$."
        },
        {
          "text": "$m = 36$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine carrée oubliée, et la valeur opposée convient aussi."
        }
      ],
      "explanation": "Une racine double correspond à un discriminant nul. On résout donc\n$m^2 - 4 \\times 1 \\times 9 = 0$, ce qui donne deux valeurs opposées."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-produit",
        "racines"
      ],
      "title": "Somme et produit des racines",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Pour $z^2 - 6z + 13 = 0$, que valent la somme et le produit des\nracines ?",
      "options": [
        {
          "text": "Somme $6$, produit $13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les relations donnent $-\\dfrac{b}{a}$ et\n$\\dfrac{c}{a}$."
        },
        {
          "text": "Somme $-6$, produit $13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la somme : elle vaut l'opposé du coefficient de $z$."
        },
        {
          "text": "Somme $6$, produit $-13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du produit : il vaut le terme constant, sans changement de\nsigne."
        },
        {
          "text": "Somme $13$, produit $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : le terme constant donne le produit, le coefficient de\n$z$ la somme."
        }
      ],
      "explanation": "Les relations entre coefficients et racines valent dans $\\mathbb{C}$ comme\ndans $\\mathbb{R}$. Elles permettent de vérifier un calcul sans résoudre\nl'équation."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation",
        "solutions-reelles"
      ],
      "title": "Une équation sans solution réelle",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Combien l'équation $z^4 + 1 = 0$ a-t-elle de solutions réelles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une puissance quatrième d'un réel est positive, donc la\nsomme ne peut pas s'annuler."
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Les quatre solutions complexes sont toutes non réelles, réparties en\ndeux paires conjuguées."
        },
        {
          "text": "Quatre",
          "correct": false,
          "feedback": "Le compte de quatre vaut dans $\\mathbb{C}$, pas dans $\\mathbb{R}$."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun réel ne convient : pour tout réel $x$, $x^4 + 1$ vaut au moins\n$1$."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation de degré $4$ a toujours quatre solutions dans $\\mathbb{C}$,\nmais elles peuvent toutes être non réelles. Ici les quatre racines ont pour\narguments $\\dfrac{\\pi}{4}$, $\\dfrac{3\\pi}{4}$, $\\dfrac{5\\pi}{4}$ et\n$\\dfrac{7\\pi}{4}$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résoudre $z^4 = 16$",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Combien l'équation $z^4 = 16$ a-t-elle de solutions dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quatre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce sont $2$, $-2$, $2i$ et $-2i$."
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Seules les solutions réelles sont comptées : deux autres sont\nimaginaires pures."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Même dans $\\mathbb{R}$, l'équation admet déjà deux solutions."
        },
        {
          "text": "Huit",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de solutions égale le degré, soit quatre."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $z^n = a$ admet exactement $n$ solutions dans $\\mathbb{C}$,\nobtenues en divisant l'argument de $a$ par $n$ puis en ajoutant\nrégulièrement $\\dfrac{2\\pi}{n}$."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "polynome",
        "coefficients"
      ],
      "title": "Reconstituer un polynôme",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Quel polynôme unitaire de degré $2$ admet $2 + i$ et $2 - i$ pour\nracines ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z^2 - 4z + 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $4$ et leur produit $5$."
        },
        {
          "text": "$z^2 + 4z + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du coefficient de $z$ : il vaut l'opposé de la somme des\nracines."
        },
        {
          "text": "$z^2 - 4z - 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit mal calculé : $(2+i)(2-i)$ vaut $4 + 1 = 5$."
        },
        {
          "text": "$z^2 - 5z + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme et produit échangés : la somme vaut $4$, le produit $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ s'écrit $z^2 - sz + p$, où $s$ est la\nsomme des racines et $p$ leur produit. Pour deux conjugués, les deux sont\nréels."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "methode"
      ],
      "title": "Discriminant négatif",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Que devient la formule des racines lorsque le discriminant est\nnégatif ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le radical devient $i\\sqrt{|\\Delta|}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le reste de la formule est inchangé."
        },
        {
          "text": "La formule ne s'applique tout simplement plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle s'applique parfaitement, à condition d'accepter les racines\ncomplexes."
        },
        {
          "text": "Le dénominateur devient $2ai$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur reste $2a$ : seul le radical change."
        },
        {
          "text": "Les deux racines deviennent égales",
          "correct": false,
          "feedback": "Elles sont distinctes et conjuguées ; l'égalité correspond à un\ndiscriminant nul."
        }
      ],
      "explanation": "La formule du second degré vaut dans $\\mathbb{C}$ sans modification, en\nécrivant $\\sqrt{\\Delta} = i\\sqrt{|\\Delta|}$ lorsque le discriminant est\nnégatif."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "notation"
      ],
      "title": "Écrire les racines $n$-ièmes",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Comment s'écrivent les racines $n$-ièmes de l'unité ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{2ik\\pi/n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au-delà de $n-1$, les valeurs se répètent\npériodiquement."
        },
        {
          "text": "$e^{ik\\pi/n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ oublié : ces nombres ne couvrent qu'un demi-tour."
        },
        {
          "text": "$e^{2ik\\pi/n}$ pour $k$ de $1$ à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les valeurs $k = 0$ et $k = n$ donnent la même racine : la liste est\ncorrecte mais décalée, et l'énoncé attend l'écriture usuelle."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2ik\\pi}{n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exponentielle oubliée : ces nombres sont des imaginaires purs, pas des\nracines de l'unité."
        }
      ],
      "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les $e^{2ik\\pi/n}$ pour $k$ variant\nde $0$ à $n-1$. Elles forment un groupe pour la multiplication, engendré\npar $e^{2i\\pi/n}$."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "discriminant",
        "discriminant-negatif"
      ],
      "title": "Calculer un discriminant",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Quel est le discriminant de l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \\times 5 =\n-16$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines\ncomplexes conjuguées."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute\npas. On obtient $(2)^2 - 4 \\times 5 = -16$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc\n$(2)^2 - 4 \\times 5 = -16$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,\ndans cet ordre, ce qui donne $-16$."
        }
      ],
      "explanation": "Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nLorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le discriminant de l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \\times 5 =\n-16$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines\ncomplexes conjuguées."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute\npas. On obtient $(2)^2 - 4 \\times 5 = -16$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc\n$(2)^2 - 4 \\times 5 = -16$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,\ndans cet ordre, ce qui donne $-16$."
            }
          ],
          "explanation": "Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nLorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le discriminant de l'équation $z^2 - 4z + 13 = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \\times 13 =\n-36$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines\ncomplexes conjuguées."
            },
            {
              "text": "$68$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute\npas. On obtient $(-4)^2 - 4 \\times 13 = -36$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc\n$(-4)^2 - 4 \\times 13 = -36$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,\ndans cet ordre, ce qui donne $-36$."
            }
          ],
          "explanation": "Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nLorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le discriminant de l'équation $z^2 + 6z + 10 = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4 \\times 10 =\n-4$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines\ncomplexes conjuguées."
            },
            {
              "text": "$76$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute\npas. On obtient $(6)^2 - 4 \\times 10 = -4$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc\n$(6)^2 - 4 \\times 10 = -4$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,\ndans cet ordre, ce qui donne $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nLorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
        },
        {
          "statement": "Quel est le discriminant de l'équation $z^2 - 2z + 17 = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\times 17 =\n-64$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines\ncomplexes conjuguées."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute\npas. On obtient $(-2)^2 - 4 \\times 17 = -64$."
            },
            {
              "text": "$-13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc\n$(-2)^2 - 4 \\times 17 = -64$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,\ndans cet ordre, ce qui donne $-64$."
            }
          ],
          "explanation": "Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\\Delta = b^2 - 4ac$.\nLorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées\n$\\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racines-quatriemes",
        "racines"
      ],
      "title": "Imaginaires purs parmi les racines quatrièmes",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Parmi les quatre solutions complexes de l'équation $z^4 = 1$,\ncombien sont des imaginaires purs ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux : $i$ et $-i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les solutions sont $1$, $i$, $-1$ et $-i$, et\nseules les deux dernières ont une partie réelle nulle."
        },
        {
          "text": "Une seule, le nombre $i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conjugué oublié : $(-i)^4 = 1$ également, donc $-i$ convient\naussi. Cela fait deux imaginaires purs."
        },
        {
          "text": "Aucune : elles sont toutes réelles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seules $1$ et $-1$ sont réelles ; les deux autres\nsolutions sont $i$ et $-i$."
        },
        {
          "text": "Les quatre, car elles sont complexes",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : un imaginaire pur a une partie réelle nulle, ce\nqui exclut $1$ et $-1$, pourtant bien complexes."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $z^4 = 1$ sont $1$, $i$, $-1$ et $-i$, les quatre\npoints cardinaux du cercle unité. Un imaginaire pur ayant une\npartie réelle nulle, seules $i$ et $-i$ en sont."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racines-cubiques",
        "j"
      ],
      "title": "La relation $j^3 = 1$",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "On note $j = e^{2i\\pi/3}$. Que vaut $j^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $j^3 = e^{3 \\times 2i\\pi/3} = e^{2i\\pi} = 1$.\nC'est la définition même d'une racine cubique de l'unité."
        },
        {
          "text": "$j$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $3$ triple l'argument, qui devient\n$2\\pi$ : on revient au point $1$, pas à $j$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $(-1)^3 = -1$ : ici l'argument $\\frac{2\\pi}{3}$\nmultiplié par $3$ donne un tour complet, donc $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $j$ a pour module $1$, donc $j^3$ aussi ; un produit\nde nombres non nuls n'est jamais nul."
        }
      ],
      "explanation": "Un complexe $z$ est racine cubique de l'unité lorsque $z^3 = 1$.\nLes trois racines cubiques sont $1$, $j$ et $j^2$. Les relations\n$j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$ réduisent tout calcul portant sur\n$j$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "factorisation-complexe",
        "coefficients-reels"
      ],
      "title": "Factoriser à partir de deux racines conjuguées",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Le trinôme $P(z) = z^2 - 4z + 13$ admet pour racines\n$2 + 3i$ et $2 - 3i$. Quelle est sa forme factorisée dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le\nproduit redonne bien $z^2 - 4z + 13$."
        },
        {
          "text": "$(z - (2 + 3i))(z + (2 - 3i))$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du second facteur : soustraire la racine $2 - 3i$\ns'écrit $z - 2 + 3i$, et non $z + 2 - 3i$."
        },
        {
          "text": "$(z + 2 + 3i)(z + 2 - 3i)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines\n$-2 - 3i$ et $-2 + 3i$, donc au trinôme\n$z^2 + 4z + 13$."
        },
        {
          "text": "$(z - 2 - 3i)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il\nfaut donc deux facteurs différents."
        }
      ],
      "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit\n$(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$ vaut $(z - 2)^2 + 9$ :\nles coefficients obtenus sont bien réels.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le trinôme $P(z) = z^2 - 4z + 13$ admet pour racines\n$2 + 3i$ et $2 - 3i$. Quelle est sa forme factorisée dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le\nproduit redonne bien $z^2 - 4z + 13$."
            },
            {
              "text": "$(z - (2 + 3i))(z + (2 - 3i))$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur : soustraire la racine $2 - 3i$\ns'écrit $z - 2 + 3i$, et non $z + 2 - 3i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 2 + 3i)(z + 2 - 3i)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines\n$-2 - 3i$ et $-2 + 3i$, donc au trinôme\n$z^2 + 4z + 13$."
            },
            {
              "text": "$(z - 2 - 3i)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il\nfaut donc deux facteurs différents."
            }
          ],
          "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit\n$(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$ vaut $(z - 2)^2 + 9$ :\nles coefficients obtenus sont bien réels."
        },
        {
          "statement": "Le trinôme $P(z) = z^2 - 2z + 17$ admet pour racines\n$1 + 4i$ et $1 - 4i$. Quelle est sa forme factorisée dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 1 - 4i)(z - 1 + 4i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le\nproduit redonne bien $z^2 - 2z + 17$."
            },
            {
              "text": "$(z - (1 + 4i))(z + (1 - 4i))$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur : soustraire la racine $1 - 4i$\ns'écrit $z - 1 + 4i$, et non $z + 1 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 1 + 4i)(z + 1 - 4i)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines\n$-1 - 4i$ et $-1 + 4i$, donc au trinôme\n$z^2 + 2z + 17$."
            },
            {
              "text": "$(z - 1 - 4i)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il\nfaut donc deux facteurs différents."
            }
          ],
          "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit\n$(z - 1 - 4i)(z - 1 + 4i)$ vaut $(z - 1)^2 + 16$ :\nles coefficients obtenus sont bien réels."
        },
        {
          "statement": "Le trinôme $P(z) = z^2 - 6z + 25$ admet pour racines\n$3 + 4i$ et $3 - 4i$. Quelle est sa forme factorisée dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 3 - 4i)(z - 3 + 4i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le\nproduit redonne bien $z^2 - 6z + 25$."
            },
            {
              "text": "$(z - (3 + 4i))(z + (3 - 4i))$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur : soustraire la racine $3 - 4i$\ns'écrit $z - 3 + 4i$, et non $z + 3 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 3 + 4i)(z + 3 - 4i)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines\n$-3 - 4i$ et $-3 + 4i$, donc au trinôme\n$z^2 + 6z + 25$."
            },
            {
              "text": "$(z - 3 - 4i)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il\nfaut donc deux facteurs différents."
            }
          ],
          "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit\n$(z - 3 - 4i)(z - 3 + 4i)$ vaut $(z - 3)^2 + 16$ :\nles coefficients obtenus sont bien réels."
        },
        {
          "statement": "Le trinôme $P(z) = z^2 - 10z + 29$ admet pour racines\n$5 + 2i$ et $5 - 2i$. Quelle est sa forme factorisée dans\n$\\mathbb{C}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(z - 5 - 2i)(z - 5 + 2i)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le\nproduit redonne bien $z^2 - 10z + 29$."
            },
            {
              "text": "$(z - (5 + 2i))(z + (5 - 2i))$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur : soustraire la racine $5 - 2i$\ns'écrit $z - 5 + 2i$, et non $z + 5 - 2i$."
            },
            {
              "text": "$(z + 5 + 2i)(z + 5 - 2i)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines\n$-5 - 2i$ et $-5 + 2i$, donc au trinôme\n$z^2 + 10z + 29$."
            },
            {
              "text": "$(z - 5 - 2i)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il\nfaut donc deux facteurs différents."
            }
          ],
          "explanation": "Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit\n$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit\n$(z - 5 - 2i)(z - 5 + 2i)$ vaut $(z - 5)^2 + 4$ :\nles coefficients obtenus sont bien réels."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "degre",
        "calcul"
      ],
      "title": "Degré d'un produit de polynômes",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Quel est le degré du polynôme\n$P(z) = (z^2 + 4)(z^3 - 8)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés\ndes facteurs, soit $2 + 3 = 5$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne\nles multiplie pas : $2 + 3 = 5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier facteur oublié : $z^2 + 4$ est de degré $2$, qui\ns'ajoute au degré $3$ du second facteur."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de somme : $2 + 3$ vaut $5$, et non\n$4$."
        }
      ],
      "explanation": "Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés\ndes facteurs. Ce polynôme de degré $5$ admet donc au plus $5$\nracines complexes distinctes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le degré du polynôme\n$P(z) = (z^2 + 4)(z^3 - 8)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés\ndes facteurs, soit $2 + 3 = 5$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne\nles multiplie pas : $2 + 3 = 5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier facteur oublié : $z^2 + 4$ est de degré $2$, qui\ns'ajoute au degré $3$ du second facteur."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de somme : $2 + 3$ vaut $5$, et non\n$4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés\ndes facteurs. Ce polynôme de degré $5$ admet donc au plus $5$\nracines complexes distinctes."
        },
        {
          "statement": "Quel est le degré du polynôme\n$P(z) = (z^2 + 9)(z^4 - 16)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés\ndes facteurs, soit $2 + 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne\nles multiplie pas : $2 + 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier facteur oublié : $z^2 + 9$ est de degré $2$, qui\ns'ajoute au degré $4$ du second facteur."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de somme : $2 + 4$ vaut $6$, et non\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés\ndes facteurs. Ce polynôme de degré $6$ admet donc au plus $6$\nracines complexes distinctes."
        },
        {
          "statement": "Quel est le degré du polynôme\n$P(z) = (z^2 + 1)(z^5 - 32)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés\ndes facteurs, soit $2 + 5 = 7$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne\nles multiplie pas : $2 + 5 = 7$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier facteur oublié : $z^2 + 1$ est de degré $2$, qui\ns'ajoute au degré $5$ du second facteur."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de somme : $2 + 5$ vaut $7$, et non\n$6$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés\ndes facteurs. Ce polynôme de degré $7$ admet donc au plus $7$\nracines complexes distinctes."
        },
        {
          "statement": "Quel est le degré du polynôme\n$P(z) = (z^2 + 2)(z^6 - 64)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés\ndes facteurs, soit $2 + 6 = 8$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne\nles multiplie pas : $2 + 6 = 8$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Premier facteur oublié : $z^2 + 2$ est de degré $2$, qui\ns'ajoute au degré $6$ du second facteur."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de somme : $2 + 6$ vaut $8$, et non\n$7$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés\ndes facteurs. Ce polynôme de degré $8$ admet donc au plus $8$\nracines complexes distinctes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "solutions-reelles",
        "racines-cubiques-8"
      ],
      "title": "Solutions réelles de $z^3 = -27$",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Combien l'équation $z^3 = -27$ admet-elle de solutions réelles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une seule, le nombre $-3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^3 = -27$, et la fonction cube est\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$ : aucune autre valeur\nréelle ne convient."
        },
        {
          "text": "Aucune, car $-27$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cube d'un réel négatif est négatif. C'est la\nracine carrée qui refuse les négatifs, pas la racine cubique."
        },
        {
          "text": "Trois, autant que le degré",
          "correct": false,
          "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien trois solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais une seule d'entre elles est réelle."
        },
        {
          "text": "Deux, opposées l'une de l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^3 = 27$ et non $-27$. Pour une puissance impaire,\nl'opposé d'une solution ne convient pas."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, l'équation $z^3 = a$ admet trois solutions,\nobtenues en multipliant l'une d'elles par les racines cubiques de\nl'unité. Ici ce sont $-3$, $-3j$ et $-3j^2$, et seule la première\nest réelle."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "notation",
        "definition"
      ],
      "title": "La notation $\\mathbb{U}_n$",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Que désigne la notation $\\mathbb{U}_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathbb{U}_n$ rassemble les $n$ solutions de\n$z^n = 1$, c'est-à-dire les $e^{2ik\\pi/n}$ pour $k$ allant de\n$0$ à $n - 1$."
        },
        {
          "text": "L'ensemble des entiers strictement inférieurs à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\mathbb{U}_n$ ne contient pas des entiers, mais des\nnombres complexes de module $1$."
        },
        {
          "text": "L'ensemble des complexes de module $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module faux : l'égalité $|z|^n = 1$ impose $|z| = 1$. Tous les\néléments de $\\mathbb{U}_n$ sont sur le cercle unité."
        },
        {
          "text": "L'ensemble des puissances $n$-ièmes d'un complexe",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : ce sont les nombres dont la puissance\n$n$-ième vaut $1$, et non des puissances $n$-ièmes."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n = \\{e^{2ik\\pi/n},\\ k = 0, \\dots, n-1\\}$ est\nl'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Il compte exactement\n$n$ éléments, tous de module $1$, sommets d'un polygone régulier."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parametre",
        "somme-produit"
      ],
      "title": "Régler un paramètre par la somme des racines",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de\nl'équation $z^2 + mz + 7 = 0$ vaut-elle $6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$m = -6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nsoit $-m$ ici. On résout $-m = 6$, d'où $m = -6$."
        },
        {
          "text": "$m = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc\nprendre l'opposé de $6$."
        },
        {
          "text": "$m = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la\nsomme des racines vaut simplement $-m$."
        },
        {
          "text": "$m = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre\nen jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = -6$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\\dfrac{c}{a}$. Ces relations\nvalent dans $\\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans\nrésoudre l'équation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de\nl'équation $z^2 + mz + 7 = 0$ vaut-elle $6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nsoit $-m$ ici. On résout $-m = 6$, d'où $m = -6$."
            },
            {
              "text": "$m = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc\nprendre l'opposé de $6$."
            },
            {
              "text": "$m = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la\nsomme des racines vaut simplement $-m$."
            },
            {
              "text": "$m = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre\nen jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = -6$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\\dfrac{c}{a}$. Ces relations\nvalent dans $\\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans\nrésoudre l'équation."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de\nl'équation $z^2 + mz + 11 = 0$ vaut-elle $-4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nsoit $-m$ ici. On résout $-m = -4$, d'où $m = 4$."
            },
            {
              "text": "$m = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc\nprendre l'opposé de $-4$."
            },
            {
              "text": "$m = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la\nsomme des racines vaut simplement $-m$."
            },
            {
              "text": "$m = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre\nen jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\\dfrac{c}{a}$. Ces relations\nvalent dans $\\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans\nrésoudre l'équation."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de\nl'équation $z^2 + mz + 3 = 0$ vaut-elle $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nsoit $-m$ ici. On résout $-m = 10$, d'où $m = -10$."
            },
            {
              "text": "$m = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc\nprendre l'opposé de $10$."
            },
            {
              "text": "$m = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la\nsomme des racines vaut simplement $-m$."
            },
            {
              "text": "$m = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre\nen jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = -10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\\dfrac{c}{a}$. Ces relations\nvalent dans $\\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans\nrésoudre l'équation."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de\nl'équation $z^2 + mz + 5 = 0$ vaut-elle $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\\dfrac{b}{a}$,\nsoit $-m$ ici. On résout $-m = 8$, d'où $m = -8$."
            },
            {
              "text": "$m = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc\nprendre l'opposé de $8$."
            },
            {
              "text": "$m = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la\nsomme des racines vaut simplement $-m$."
            },
            {
              "text": "$m = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre\nen jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = -8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut\n$-\\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\\dfrac{c}{a}$. Ces relations\nvalent dans $\\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans\nrésoudre l'équation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-connue",
        "methode",
        "complexes"
      ],
      "title": "Vérifier qu'un complexe est racine",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 + 3z^2 + z + 3$ admet-il $i$ pour racine ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $P(i) = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$, donc\n$P(i) = -i - 3 + i + 3 = 0$. Le polynôme se factorise\nd'ailleurs en $(z + 3)(z^2 + 1)$."
        },
        {
          "text": "Non, car $P(i)$ vaut $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissances de $i$ mal réduites : $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$, ce\nqui fait tout disparaître : $P(i) = 0$."
        },
        {
          "text": "Non, un polynôme réel n'a pas de racine complexe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des coefficients réels n'interdisent pas les racines\nnon réelles, ils imposent seulement qu'elles aillent par\npaires conjuguées. Ici $i$ et $-i$ sont racines."
        },
        {
          "text": "Impossible de conclure sans factoriser $P$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il suffit de remplacer $z$ par $i$ et de calculer.\nLa factorisation vient après cette vérification, pas avant."
        }
      ],
      "explanation": "Pour savoir si $a$ est racine de $P$, on calcule $P(a)$ en\nréduisant les puissances de $i$ grâce à $i^2 = -1$. Si $P(a) = 0$,\nalors $P$ se factorise par $z - a$."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cardinal-Un",
        "nombre-racines"
      ],
      "title": "Racines réelles de $z^n = 1$",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Combien l'équation $z^{6} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$\nconvient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{6}$ doit\nvaloir $1$. On en compte donc $2$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien $6$ solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés\nsur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours\nsolution : il y a au moins une solution réelle."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\\pi/n}$, réparties\nrégulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand\n$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien l'équation $z^{6} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$\nconvient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{6}$ doit\nvaloir $1$. On en compte donc $2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien $6$ solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés\nsur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours\nsolution : il y a au moins une solution réelle."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\\pi/n}$, réparties\nrégulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand\n$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel."
        },
        {
          "statement": "Combien l'équation $z^{7} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$\nconvient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{7}$ doit\nvaloir $1$. On en compte donc $1$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien $7$ solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés\nsur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours\nsolution : il y a au moins une solution réelle."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\\pi/n}$, réparties\nrégulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand\n$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel."
        },
        {
          "statement": "Combien l'équation $z^{10} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$\nconvient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{10}$ doit\nvaloir $1$. On en compte donc $2$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien $10$ solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés\nsur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours\nsolution : il y a au moins une solution réelle."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\\pi/n}$, réparties\nrégulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand\n$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel."
        },
        {
          "statement": "Combien l'équation $z^{9} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$\nconvient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{9}$ doit\nvaloir $1$. On en compte donc $1$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ensembles confondus : l'équation a bien $9$ solutions dans\n$\\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés\nsur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours\nsolution : il y a au moins une solution réelle."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\\pi/n}$, réparties\nrégulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand\n$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polygone",
        "racines-unite"
      ],
      "title": "Angle entre deux racines consécutives",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Les solutions de l'équation $z^5 = 1$ sont les sommets d'un\npolygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle\nau centre entre deux sommets consécutifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2\\pi}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les arguments sont les $\\dfrac{2k\\pi}{5}$,\nen progression arithmétique de raison $\\dfrac{2\\pi}{5}$ :\nle tour complet est partagé en $5$ parts égales."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Demi-tour seulement : $5$ angles de $\\dfrac{\\pi}{5}$ ne\ncouvrent que $\\pi$, alors que les sommets font le tour\ncomplet."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un sommet oublié : le polygone a $5$ sommets, donc $5$\narcs, et non $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\\pi$,\net il se partage en $5$ parts."
        }
      ],
      "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments\n$\\dfrac{2k\\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de\n$\\dfrac{2\\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$\ncôtés, dont $1$ est un sommet.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les solutions de l'équation $z^5 = 1$ sont les sommets d'un\npolygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle\nau centre entre deux sommets consécutifs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les arguments sont les $\\dfrac{2k\\pi}{5}$,\nen progression arithmétique de raison $\\dfrac{2\\pi}{5}$ :\nle tour complet est partagé en $5$ parts égales."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Demi-tour seulement : $5$ angles de $\\dfrac{\\pi}{5}$ ne\ncouvrent que $\\pi$, alors que les sommets font le tour\ncomplet."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un sommet oublié : le polygone a $5$ sommets, donc $5$\narcs, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\\pi$,\net il se partage en $5$ parts."
            }
          ],
          "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments\n$\\dfrac{2k\\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de\n$\\dfrac{2\\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$\ncôtés, dont $1$ est un sommet."
        },
        {
          "statement": "Les solutions de l'équation $z^7 = 1$ sont les sommets d'un\npolygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle\nau centre entre deux sommets consécutifs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les arguments sont les $\\dfrac{2k\\pi}{7}$,\nen progression arithmétique de raison $\\dfrac{2\\pi}{7}$ :\nle tour complet est partagé en $7$ parts égales."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Demi-tour seulement : $7$ angles de $\\dfrac{\\pi}{7}$ ne\ncouvrent que $\\pi$, alors que les sommets font le tour\ncomplet."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un sommet oublié : le polygone a $7$ sommets, donc $7$\narcs, et non $6$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\\pi$,\net il se partage en $7$ parts."
            }
          ],
          "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments\n$\\dfrac{2k\\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de\n$\\dfrac{2\\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$\ncôtés, dont $1$ est un sommet."
        },
        {
          "statement": "Les solutions de l'équation $z^9 = 1$ sont les sommets d'un\npolygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle\nau centre entre deux sommets consécutifs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les arguments sont les $\\dfrac{2k\\pi}{9}$,\nen progression arithmétique de raison $\\dfrac{2\\pi}{9}$ :\nle tour complet est partagé en $9$ parts égales."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Demi-tour seulement : $9$ angles de $\\dfrac{\\pi}{9}$ ne\ncouvrent que $\\pi$, alors que les sommets font le tour\ncomplet."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un sommet oublié : le polygone a $9$ sommets, donc $9$\narcs, et non $8$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\\pi$,\net il se partage en $9$ parts."
            }
          ],
          "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments\n$\\dfrac{2k\\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de\n$\\dfrac{2\\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$\ncôtés, dont $1$ est un sommet."
        },
        {
          "statement": "Les solutions de l'équation $z^8 = 1$ sont les sommets d'un\npolygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle\nau centre entre deux sommets consécutifs ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les arguments sont les $\\dfrac{2k\\pi}{8}$,\nen progression arithmétique de raison $\\dfrac{2\\pi}{8}$ :\nle tour complet est partagé en $8$ parts égales."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Demi-tour seulement : $8$ angles de $\\dfrac{\\pi}{8}$ ne\ncouvrent que $\\pi$, alors que les sommets font le tour\ncomplet."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2\\pi}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un sommet oublié : le polygone a $8$ sommets, donc $8$\narcs, et non $7$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\pi}{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\\pi$,\net il se partage en $8$ parts."
            }
          ],
          "explanation": "Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments\n$\\dfrac{2k\\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de\n$\\dfrac{2\\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$\ncôtés, dont $1$ est un sommet."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-produit-racines",
        "racines-conjuguees"
      ],
      "title": "Module de deux racines conjuguées",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Les deux racines de l'équation $z^2 - 6z + 25 = 0$ sont\nconjuguées. Quel est leur module commun ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $25$, et pour\ndeux conjuguées $z\\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 25$ et\n$|z| = 5$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine carrée oubliée : $25$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même, qui vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie réelle prise pour le module : elle vaut $3$, mais le\nmodule tient compte aussi de la partie imaginaire."
        },
        {
          "text": "$22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des\nracines, soit $\\sqrt{25} = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur\nproduit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut\n$z\\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\\sqrt{p}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les deux racines de l'équation $z^2 - 6z + 25 = 0$ sont\nconjuguées. Quel est leur module commun ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $25$, et pour\ndeux conjuguées $z\\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 25$ et\n$|z| = 5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine carrée oubliée : $25$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même, qui vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle prise pour le module : elle vaut $3$, mais le\nmodule tient compte aussi de la partie imaginaire."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des\nracines, soit $\\sqrt{25} = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur\nproduit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut\n$z\\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\\sqrt{p}$."
        },
        {
          "statement": "Les deux racines de l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$ sont\nconjuguées. Quel est leur module commun ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $4$, et pour\ndeux conjuguées $z\\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 4$ et\n$|z| = 2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine carrée oubliée : $4$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même, qui vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle prise pour le module : elle vaut $1$, mais le\nmodule tient compte aussi de la partie imaginaire."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des\nracines, soit $\\sqrt{4} = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur\nproduit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut\n$z\\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\\sqrt{p}$."
        },
        {
          "statement": "Les deux racines de l'équation $z^2 - 4z + 9 = 0$ sont\nconjuguées. Quel est leur module commun ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $9$, et pour\ndeux conjuguées $z\\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 9$ et\n$|z| = 3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine carrée oubliée : $9$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même, qui vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle prise pour le module : elle vaut $2$, mais le\nmodule tient compte aussi de la partie imaginaire."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des\nracines, soit $\\sqrt{9} = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur\nproduit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut\n$z\\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\\sqrt{p}$."
        },
        {
          "statement": "Les deux racines de l'équation $z^2 - 10z + 169 = 0$ sont\nconjuguées. Quel est leur module commun ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $169$, et pour\ndeux conjuguées $z\\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 169$ et\n$|z| = 13$."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine carrée oubliée : $169$ est le carré du module, pas le\nmodule lui-même, qui vaut $13$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partie réelle prise pour le module : elle vaut $5$, mais le\nmodule tient compte aussi de la partie imaginaire."
            },
            {
              "text": "$164$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des\nracines, soit $\\sqrt{169} = 13$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur\nproduit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut\n$z\\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\\sqrt{p}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient",
        "geometrie"
      ],
      "title": "Module du quotient et distances",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points deux à deux distincts,\nd'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. Que représente le module\n$\\left|\\dfrac{c - a}{b - a}\\right|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|c - a| = AC$ et $|b - a| = AB$, et le module\nd'un quotient est le quotient des modules."
        },
        {
          "text": "La longueur $BC$ du côté opposé",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la longueur $BC$ vaut $|c - b|$. Ici les deux\ndifférences partent toutes les deux de $a$."
        },
        {
          "text": "L'angle du triangle au sommet $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module et argument confondus : l'angle en $A$ se lit sur\nl'argument du quotient, pas sur son module."
        },
        {
          "text": "L'aire du triangle $ABC$ obtenu",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un quotient de deux longueurs est un nombre sans\ndimension ; il ne peut pas mesurer une aire."
        }
      ],
      "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c-a}{b-a}$ résume la position des trois\npoints : son module vaut $\\dfrac{AC}{AB}$ et son argument mesure\nl'angle $(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$. Réel, il\ntraduit l'alignement ; imaginaire pur, un angle droit en $A$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-degre-3",
        "coefficients"
      ],
      "title": "Produit des deux autres racines",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 5z^2 + 8z - 6$ admet $3$ pour\nracine. Que vaut le produit des deux autres racines ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $6$. En le\ndivisant par la racine connue $3$, il reste $2$ pour les\ndeux autres."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine connue non retirée : $6$ est le produit des **trois**\nracines ; il faut encore le diviser par $3$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $3$ est déjà un\nfacteur du produit $6$, on l'en retire en divisant."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : les racines se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et\nleur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la\nsomme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles\nsont les racines.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 5z^2 + 8z - 6$ admet $3$ pour\nracine. Que vaut le produit des deux autres racines ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $6$. En le\ndivisant par la racine connue $3$, il reste $2$ pour les\ndeux autres."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine connue non retirée : $6$ est le produit des **trois**\nracines ; il faut encore le diviser par $3$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $3$ est déjà un\nfacteur du produit $6$, on l'en retire en divisant."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : les racines se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et\nleur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la\nsomme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles\nsont les racines."
        },
        {
          "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 4z^2 + 9z - 10$ admet $2$ pour\nracine. Que vaut le produit des deux autres racines ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $10$. En le\ndivisant par la racine connue $2$, il reste $5$ pour les\ndeux autres."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine connue non retirée : $10$ est le produit des **trois**\nracines ; il faut encore le diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $2$ est déjà un\nfacteur du produit $10$, on l'en retire en divisant."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : les racines se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et\nleur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la\nsomme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles\nsont les racines."
        },
        {
          "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 7z^2 + 12z - 10$ admet $5$ pour\nracine. Que vaut le produit des deux autres racines ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $10$. En le\ndivisant par la racine connue $5$, il reste $2$ pour les\ndeux autres."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine connue non retirée : $10$ est le produit des **trois**\nracines ; il faut encore le diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $5$ est déjà un\nfacteur du produit $10$, on l'en retire en divisant."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : les racines se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et\nleur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la\nsomme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles\nsont les racines."
        },
        {
          "statement": "Le polynôme $P(z) = z^3 - 6z^2 + 13z - 20$ admet $4$ pour\nracine. Que vaut le produit des deux autres racines ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $20$. En le\ndivisant par la racine connue $4$, il reste $5$ pour les\ndeux autres."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine connue non retirée : $20$ est le produit des **trois**\nracines ; il faut encore le diviser par $4$."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $4$ est déjà un\nfacteur du produit $20$, on l'en retire en divisant."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : les racines se\nmultiplient, elles ne s'additionnent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et\nleur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la\nsomme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles\nsont les racines."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "trinome-j",
        "somme-racines-unite"
      ],
      "title": "Calculer $(1 + j)^3$",
      "partie": "polynomes",
      "statement": "On note $j = e^{2i\\pi/3}$, qui vérifie $1 + j + j^2 = 0$. Que vaut\n$(1 + j)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la relation donne $1 + j = -j^2$, donc\n$(1 + j)^3 = -j^6 = -(j^3)^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu : $1 + j = -j^2$, et le cube d'un opposé reste un\nopposé, car l'exposant $3$ est impair."
        },
        {
          "text": "$-j^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cube oublié : $-j^2$ est la valeur de $1 + j$, pas celle de\nson cube."
        },
        {
          "text": "$3j$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement abusif : $(1 + j)^3$ ne vaut ni $1 + j^3$ ni\n$3j$. Il faut passer par la relation $1 + j + j^2 = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Les racines cubiques de l'unité vérifient $j^3 = 1$ et\n$1 + j + j^2 = 0$. Ces deux relations réduisent toute expression\nen $j$ : ici $1 + j = -j^2$, puis $(-j^2)^3 = -j^6 = -1$."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "quotient-geometrique"
      ],
      "title": "Lire le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "$A$, $B$, $C$ sont trois points distincts d'affixes $a$, $b$, $c$. Que\nreprésente le module de $\\dfrac{c - a}{b - a}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le rapport des longueurs $\\dfrac{AC}{AB}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left|\\dfrac{c - a}{b - a}\\right| = \\dfrac{|c - a|}{|b - a|} = \\dfrac{AC}{AB}$."
        },
        {
          "text": "La mesure de l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'**argument** du quotient qui donne cet angle ; le module\ndonne un rapport de longueurs."
        },
        {
          "text": "La longueur $BC$",
          "correct": false,
          "feedback": "$BC = |c - b|$ : ce n'est pas le module du quotient, qui compare\ndeux longueurs issues de $A$."
        },
        {
          "text": "Le produit $AB \\times AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le module d'un quotient est le **quotient** des modules, pas leur\nproduit."
        }
      ],
      "explanation": "Un argument de $\\dfrac{c - a}{b - a}$ est une mesure de l'angle orienté\n$\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ et son module vaut $\\dfrac{AC}{AB}$.\nUn seul quotient décrit donc la forme du triangle $ABC$."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient-geometrique",
        "configuration"
      ],
      "title": "Nature d'un triangle par les complexes",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 1 + i$, $b = 3 + 2i$ et $c = 3i$.\nOn calcule $\\dfrac{c - a}{b - a} = i$. Que peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$ABC$ est isocèle rectangle en $A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un quotient égal à $\\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$."
        },
        {
          "text": "$A$, $B$, $C$ sont alignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, or le quotient vaut $i$."
        },
        {
          "text": "$ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle droit en $A$ avec $AB \\neq AC$, or le quotient vaut $i$."
        },
        {
          "text": "$ABC$ est équilatéral",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $e^{\\pm i\\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$, or le quotient vaut $i$."
        }
      ],
      "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ par son\nargument et le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un\nalignement, imaginaire pur pour un angle droit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 1 + i$, $b = 3 + 2i$ et $c = 3i$.\nOn calcule $\\dfrac{c - a}{b - a} = i$. Que peut-on en conclure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$ABC$ est isocèle rectangle en $A$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un quotient égal à $\\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$."
            },
            {
              "text": "$A$, $B$, $C$ sont alignés",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, or le quotient vaut $i$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle droit en $A$ avec $AB \\neq AC$, or le quotient vaut $i$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est équilatéral",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $e^{\\pm i\\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$, or le quotient vaut $i$."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ par son\nargument et le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un\nalignement, imaginaire pur pour un angle droit."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 0$, $b = 1 + i$ et $c = 3 + 3i$.\nOn calcule $\\dfrac{c - a}{b - a} = 3$. Que peut-on en conclure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A$, $B$, $C$ sont alignés",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle droit en $A$ avec $AB \\neq AC$, or le quotient vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est isocèle rectangle en $A$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $\\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$, or le quotient vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est équilatéral",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $e^{\\pm i\\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$, or le quotient vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ par son\nargument et le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un\nalignement, imaginaire pur pour un angle droit."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 0$, $b = 1 + i$ et $c = -2 + 2i$.\nOn calcule $\\dfrac{c - a}{b - a} = 2i$. Que peut-on en conclure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle\ndroit en $A$ avec $AB \\neq AC$."
            },
            {
              "text": "$A$, $B$, $C$ sont alignés",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, or le quotient vaut $2i$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est isocèle rectangle en $A$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $\\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$, or le quotient vaut $2i$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est équilatéral",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $e^{\\pm i\\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$, or le quotient vaut $2i$."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ par son\nargument et le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un\nalignement, imaginaire pur pour un angle droit."
        },
        {
          "statement": "Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 0$, $b = 2$ et $c = 1 + i\\sqrt{3}$.\nOn calcule $\\dfrac{c - a}{b - a} = \\dfrac{1 + i\\sqrt{3}}{2} = e^{i\\pi/3}$. Que peut-on en conclure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$ABC$ est équilatéral",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un quotient égal à $e^{\\pm i\\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$."
            },
            {
              "text": "$A$, $B$, $C$ sont alignés",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, or le quotient vaut $e^{i\\pi/3}$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle droit en $A$ avec $AB \\neq AC$, or le quotient vaut $e^{i\\pi/3}$."
            },
            {
              "text": "$ABC$ est isocèle rectangle en $A$",
              "correct": false,
              "feedback": "Conclusion inexacte : un quotient égal à $\\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$, or le quotient vaut $e^{i\\pi/3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le quotient $\\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}\\right)$ par son\nargument et le rapport $\\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un\nalignement, imaginaire pur pour un angle droit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ensemble-de-points",
        "quotient-geometrique"
      ],
      "title": "Un ensemble de points par un quotient réel",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $1$ et $i$. Quel est l'ensemble des points $M$\nd'affixe $z \\neq i$ tels que $\\dfrac{z - 1}{z - i}$ soit un nombre réel ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite $(AB)$ privée du point $B$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $M \\neq A$, le quotient est réel si et seulement si\n$\\left(\\overrightarrow{MB}, \\overrightarrow{MA}\\right)$ vaut $0$ ou $\\pi$ : $M$, $A$, $B$ alignés ; et\n$M = A$ donne le réel $0$."
        },
        {
          "text": "Le cercle de diamètre $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce cercle correspond à un quotient **imaginaire pur** (angle droit\nen $M$), pas réel."
        },
        {
          "text": "La médiatrice de $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La médiatrice correspond à $|z - 1| = |z - i|$, c'est-à-dire à un\nquotient de **module** $1$."
        },
        {
          "text": "Le segment $[AB]$ privé de $B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les points de la droite situés hors du segment conviennent aussi :\nl'angle vaut alors $0$ au lieu de $\\pi$, et le quotient reste réel."
        }
      ],
      "explanation": "Quotient réel : alignement. Quotient imaginaire pur : orthogonalité.\nModule $1$ : égalité de distances. Ces trois traductions décrivent la\nplupart des ensembles de points usuels."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racine-carree-complexe"
      ],
      "title": "Racines carrées d'un nombre complexe",
      "partie": "second-degre",
      "statement": "Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $3 + 4i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 + i$ et son opposé",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout\n$x^2 - y^2 = \\mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \\mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que\n$(2 + i)^2 = 3 + 4i$."
        },
        {
          "text": "$2 - i$ et son opposé",
          "correct": false,
          "feedback": "Conjugué de la bonne réponse : $(2 - i)^2 = 3 - 4i$, le conjugué de\n$3 + 4i$."
        },
        {
          "text": "$1 + 2i$ et son opposé",
          "correct": false,
          "feedback": "Parties échangées : $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{5}$ et $-\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine du module : $|3 + 4i| = 5$, mais les racines carrées de $w$\nont pour module $\\sqrt{5}$ **et** un argument moitié de celui de $w$ ;\nelles ne sont pas réelles."
        }
      ],
      "explanation": "Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On\nles trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin\n$x^2 + y^2 = |w|$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $3 + 4i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 + i$ et son opposé",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout\n$x^2 - y^2 = \\mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \\mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que\n$(2 + i)^2 = 3 + 4i$."
            },
            {
              "text": "$2 - i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué de la bonne réponse : $(2 - i)^2 = 3 - 4i$, le conjugué de\n$3 + 4i$."
            },
            {
              "text": "$1 + 2i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Parties échangées : $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$ et $-\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine du module : $|3 + 4i| = 5$, mais les racines carrées de $w$\nont pour module $\\sqrt{5}$ **et** un argument moitié de celui de $w$ ;\nelles ne sont pas réelles."
            }
          ],
          "explanation": "Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On\nles trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin\n$x^2 + y^2 = |w|$."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $-5 + 12i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 + 3i$ et son opposé",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout\n$x^2 - y^2 = \\mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \\mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que\n$(2 + 3i)^2 = -5 + 12i$."
            },
            {
              "text": "$2 - 3i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué de la bonne réponse : $(2 - 3i)^2 = -5 - 12i$, le conjugué de\n$-5 + 12i$."
            },
            {
              "text": "$3 + 2i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Parties échangées : $(3 + 2i)^2 = 5 + 12i$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{13}$ et $-\\sqrt{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine du module : $|-5 + 12i| = 13$, mais les racines carrées de $w$\nont pour module $\\sqrt{13}$ **et** un argument moitié de celui de $w$ ;\nelles ne sont pas réelles."
            }
          ],
          "explanation": "Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On\nles trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin\n$x^2 + y^2 = |w|$."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $8 - 6i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 - i$ et son opposé",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout\n$x^2 - y^2 = \\mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \\mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que\n$(3 - i)^2 = 8 - 6i$."
            },
            {
              "text": "$3 + i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué de la bonne réponse : $(3 + i)^2 = 8 + 6i$, le conjugué de\n$8 - 6i$."
            },
            {
              "text": "$-1 + 3i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Parties échangées : $(-1 + 3i)^2 = -8 - 6i$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{10}$ et $-\\sqrt{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine du module : $|8 - 6i| = 10$, mais les racines carrées de $w$\nont pour module $\\sqrt{10}$ **et** un argument moitié de celui de $w$ ;\nelles ne sont pas réelles."
            }
          ],
          "explanation": "Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On\nles trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin\n$x^2 + y^2 = |w|$."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $-3 - 4i$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1 - 2i$ et son opposé",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout\n$x^2 - y^2 = \\mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \\mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que\n$(1 - 2i)^2 = -3 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$1 + 2i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Conjugué de la bonne réponse : $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$, le conjugué de\n$-3 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$-2 + i$ et son opposé",
              "correct": false,
              "feedback": "Parties échangées : $(-2 + i)^2 = 3 - 4i$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$ et $-\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine du module : $|-3 - 4i| = 5$, mais les racines carrées de $w$\nont pour module $\\sqrt{5}$ **et** un argument moitié de celui de $w$ ;\nelles ne sont pas réelles."
            }
          ],
          "explanation": "Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On\nles trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin\n$x^2 + y^2 = |w|$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-n-iemes",
        "forme-exponentielle"
      ],
      "title": "Racines quatrièmes d'un nombre négatif",
      "partie": "racines-unite",
      "statement": "Quelles sont les solutions dans $\\mathbb{C}$ de l'équation $z^4 = -16$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2e^{i(\\pi/4 + k\\pi/2)}$ pour $k \\in \\{0, 1, 2, 3\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-16 = 16e^{i\\pi}$ ; on cherche $z = re^{i\\theta}$ avec $r^4 = 16$\net $4\\theta = \\pi + 2k\\pi$, d'où $r = 2$ et $\\theta = \\dfrac{\\pi}{4} + \\dfrac{k\\pi}{2}$."
        },
        {
          "text": "$2e^{ik\\pi/2}$ pour $k \\in \\{0, 1, 2, 3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces nombres ($2$, $2i$, $-2$, $-2i$) vérifient $z^4 = 16$ : l'argument\n$\\pi$ de $-16$ a été oublié."
        },
        {
          "text": "$4e^{i(\\pi/4 + k\\pi/2)}$ pour $k \\in \\{0, 1, 2, 3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module : $r^4 = 16$ donne $r = 2$ ; $4$ est la racine **carrée** de $16$."
        },
        {
          "text": "$2i$ et $-2i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces nombres vérifient $z^2 = -4$, mais $(2i)^4 = 16$. Une équation de\ndegré $4$ a ici quatre solutions."
        }
      ],
      "explanation": "Pour résoudre $z^n = w$, on écrit $w = Re^{i\\alpha}$ : les solutions sont\nles $n$ complexes $R^{1/n}e^{i(\\alpha + 2k\\pi)/n}$, sommets d'un polygone\nrégulier centré en $O$."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient-geometrique",
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Démontrer une orthogonalité",
      "partie": "geometrie",
      "statement": "$A$, $B$, $C$, $D$ ont pour affixes $a$, $b$, $c$, $d$, avec $A \\neq B$ et\n$C \\neq D$. Quelle condition garantit que les droites $(AB)$ et $(CD)$\nsont perpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{d - c}{b - a}$ est imaginaire pur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un argument de ce quotient mesure l'angle\n$\\left(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{CD}\\right)$, qui vaut $\\pm\\dfrac{\\pi}{2}$ exactement quand\nle quotient est imaginaire pur (non nul)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{d - c}{b - a}$ est un nombre réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Un quotient réel traduit des vecteurs **colinéaires** : les droites\nsont alors parallèles."
        },
        {
          "text": "$|d - c|$ est égal à $|b - a|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité dit que $CD = AB$ : elle porte sur les longueurs, pas\nsur l'angle."
        },
        {
          "text": "$(d - c)(b - a)$ est un nombre réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Un produit réel ne traduit pas un angle droit : par exemple\n$b - a = 1$ et $d - c = 2$ donnent des droites parallèles."
        }
      ],
      "explanation": "Parallélisme et alignement : quotient réel. Orthogonalité : quotient\nimaginaire pur. On calcule le quotient sous forme algébrique, puis on\nregarde sa partie réelle ou sa partie imaginaire."
    }
  ]
}