{
  "chapter": {
    "id": "graphes-matrices",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Graphes et matrices",
    "title": "Graphes, matrices et chaînes de Markov",
    "description": "Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,\nconnexité), matrices et opérations, inverse et puissances,\nmatrice d'adjacence et comptage de chemins, suites\n$U_{n+1} = AU_n + C$, chaînes de Markov à deux ou trois états,\nmatrice de transition et distributions invariantes.",
    "parties": [
      {
        "id": "graphes",
        "title": "Graphes et matrices d'adjacence"
      },
      {
        "id": "matrices",
        "title": "Calcul matriciel"
      },
      {
        "id": "markov",
        "title": "Chaînes de Markov"
      },
      {
        "id": "applications",
        "title": "Systèmes, suites et transformations"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "graphe",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Degré d'un sommet",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un\nsommet ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au\nsommet : son « nombre de connexions »."
        },
        {
          "text": "Le nombre total de sommets du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est l'**ordre** du graphe. Le degré est\nune caractéristique locale de chaque sommet."
        },
        {
          "text": "Le nombre total d'arêtes du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le degré ne compte que les arêtes **touchant ce\nsommet**, pas toutes."
        },
        {
          "text": "La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré\nmesure les connexions immédiates."
        }
      ],
      "explanation": "Vocabulaire de base : l'ordre est le nombre de sommets ; le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui en partent. Lemme des poignées de\nmain : la somme des degrés vaut $2 \\times$ (nombre d'arêtes),\ndonc elle est toujours paire."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphe-complet"
      ],
      "title": "Graphe complet",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet à $5$ sommets\n(chaque paire de sommets est reliée) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une arête par paire de sommets :\n$\\binom{5}{2} = \\dfrac{5 \\times 4}{2} = 10$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double comptage : $5 \\times 4$ compte chaque arête dans\nles deux sens ; on divise par $2$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ arêtes font un simple cycle (pentagone). Le\ngraphe **complet** relie toutes les paires : $10$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^2$ compterait aussi des boucles et les deux\nsens. Paires distinctes : $\\binom{5}{2} = 10$."
        }
      ],
      "explanation": "Graphe complet à $n$ sommets : chaque sommet est de degré\n$n - 1$, et il y a $\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}$ arêtes.\nContrôle par les poignées de main : $\\frac{5 \\times 4}{2} =\n10$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chaine",
        "connexite"
      ],
      "title": "Graphe connexe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Que signifie « le graphe est connexe » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de\nn'importe quel sommet vers n'importe quel autre en\nsuivant les arêtes."
        },
        {
          "text": "Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : c'est le graphe **complet**. La connexité\nautorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes)."
        },
        {
          "text": "Le graphe ne contient aucun cycle ni sommet isolé",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre notion : sans cycle, c'est une forêt ; deux arbres\ndisjoints n'ont ni cycle ni sommet isolé et ne sont\npourtant pas connexes."
        },
        {
          "text": "Tous les sommets ont le même degré non nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints\nont tous leurs degrés égaux à $2$ sans être connexes."
        }
      ],
      "explanation": "Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives ; sa longueur est son nombre d'arêtes. Un graphe est connexe lorsque toute paire de sommets est reliée par une chaîne : le réseau est d'un seul bloc."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "matrice",
        "definition"
      ],
      "title": "Dimensions d'une matrice",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -1 & 4\n\\end{pmatrix}$. Quelles sont les dimensions de $A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\times 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux lignes et trois colonnes, convention\nlignes $\\times$ colonnes, toujours dans cet ordre."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : on annonce d'abord les **lignes** ($2$),\npuis les colonnes ($3$)."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $6$ est le nombre de coefficients, mais la\nforme ($2 \\times 3$ ou $3 \\times 2$ ou $6 \\times 1$…)\nest une information essentielle."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a $3$\ncolonnes."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice $n \\times p$ : tableau de $n$ lignes et $p$\ncolonnes. Cas particuliers : matrice carrée ($n = p$),\nmatrice ligne ($1 \\times p$), matrice colonne ($n \\times\n1$). Le produit $AB$ exige : colonnes de $A$ = lignes de\n$B$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-matrices"
      ],
      "title": "Produit de matrices",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\nle produit $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 5 & 2 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ligne par colonne : $(1 \\times 3 + 2\n\\times 1) = 5$, $(1 \\times 0 + 2 \\times 1) = 2$, $(0\n\\times 3 + 1 \\times 1) = 1$, $(0 \\times 0 + 1 \\times 1)\n= 1$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la\nrègle : chaque case croise une **ligne** de $A$ avec une\n**colonne** de $B$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 4 & 2 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition parasite : c'est $A + B$. Le produit multiplie\nligne par colonne puis somme."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première case fausse : $(1\\ \\ 2) \\cdot\n\\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5$, pas $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Produit ligne $\\times$ colonne. Attention : en général\n$AB \\neq BA$ (ici $BA = \\begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ 1 & 3\n\\end{pmatrix}$) : la multiplication des matrices n'est pas\ncommutative."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse-matrice"
      ],
      "title": "Inverse d'une matrice $2 \\times 2$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 2 \\times 3 - 1 \\times 5 = 1$, puis échange\nde la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :\n$AA^{-1} = I_2$."
        },
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & 1 \\\\ \\frac{1}{5} & \\frac{1}{3} \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
        },
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-1$ et $-5$."
        },
        {
          "text": "$A$ n'est pas inversible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le déterminant $2 \\times 3 - 1 \\times 5 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 2 \\times 3 - 1 \\times 5 = 1$, puis échange\nde la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :\n$AA^{-1} = I_2$."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & 1 \\\\ \\frac{1}{5} & \\frac{1}{3} \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-1$ et $-5$."
            },
            {
              "text": "$A$ n'est pas inversible",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le déterminant $2 \\times 3 - 1 \\times 5 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 4 & 3 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ -4 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 3 \\times 3 - 2 \\times 4 = 1$, puis échange\nde la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :\n$AA^{-1} = I_2$."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{3} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{4} & \\frac{1}{3} \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 4 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-2$ et $-4$."
            },
            {
              "text": "$A$ n'est pas inversible",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le déterminant $3 \\times 3 - 2 \\times 4 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 5 & 2 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & -2 \\\\ -2 & 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 5 \\times 1 - 2 \\times 2 = 1$, puis échange\nde la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :\n$AA^{-1} = I_2$."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{5} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-2$ et $-2$."
            },
            {
              "text": "$A$ n'est pas inversible",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le déterminant $5 \\times 1 - 2 \\times 2 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 4 & 3 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & -3 \\\\ -1 & 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 4 \\times 1 - 3 \\times 1 = 1$, puis échange\nde la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :\n$AA^{-1} = I_2$."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{4} & \\frac{1}{3} \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
            },
            {
              "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-3$ et $-1$."
            },
            {
              "text": "$A$ n'est pas inversible",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le déterminant $4 \\times 1 - 3 \\times 1 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrice-adjacence"
      ],
      "title": "Matrice d'adjacence",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à $n$\nsommets ?",
      "options": [
        {
          "text": "La matrice $n \\times n$ où le coefficient $(i\\ ;\\ j)$\ncompte les arêtes reliant $i$ à $j$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la carte d'identité numérique du\ngraphe : le coefficient $(i\\ ;\\ j)$ vaut $1$ (ou le\nnombre d'arêtes) si les sommets $i$ et $j$ sont reliés,\n$0$ sinon. Elle est carrée, indexée par les sommets en\nligne comme en colonne, et symétrique pour un graphe non\norienté."
        },
        {
          "text": "La matrice colonne $n \\times 1$ qui donne le degré de\nchacun des $n$ sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les degrés se **déduisent** de la matrice\nd'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient\nbien plus : qui est relié à qui."
        },
        {
          "text": "La matrice à deux lignes dont chaque colonne donne les\ndeux extrémités d'une arête",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce tableau n'est qu'une liste des arêtes ; la\nmatrice d'adjacence, elle, est **carrée** $n \\times n$,\nindexée par les sommets en ligne et en colonne."
        },
        {
          "text": "La matrice identité $I_n$, dont la diagonale porte un\n$1$ pour chaque sommet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $I_n$ ne dépend pas des arêtes ; elle décrirait\nun graphe où chaque sommet n'a qu'une boucle sur\nlui-même. La matrice d'adjacence change avec les\nliaisons du graphe."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice d'adjacence $A$ : $a_{ij}$ = nombre d'arêtes de $i$\nvers $j$. Théorème clé (démonstration au programme) : le\ncoefficient $(i\\ ;\\ j)$ de $A^k$ compte les chemins de\nlongueur $k$ de $i$ à $j$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-adjacence",
        "chemins"
      ],
      "title": "Compter les chemins avec $A^k$",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Soit $A$ la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente\nle coefficient $(1\\ ;\\ 3)$ de la matrice $A^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre de chemins de longueur $4$ de $1$ à $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de chemins de longueur $4$\nallant du sommet $1$ au sommet $3$ ; chaque produit\nintermédiaire cumule une étape, $A^4$ compte les\nparcours en exactement $4$ arêtes (revisites\nautorisées)."
        },
        {
          "text": "La distance entre les sommets $1$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la distance est la longueur du **plus court**\nchemin ; $A^4$ compte les chemins de longueur\nexactement $4$."
        },
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes entre les sommets $1$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $A^1 = A$ qui donne les liaisons directes ; la\npuissance $4$ compte les parcours en $4$ étapes."
        },
        {
          "text": "$4$ fois le coefficient $(1\\ ;\\ 3)$ de $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre $A^4$ (produit matriciel itéré) et $4A$\n(multiplication par un scalaire)."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème : $\\left(A^k\\right)_{ij}$ = nombre de chemins de\nlongueur $k$ de $i$ à $j$. Preuve par récurrence : un chemin\nde longueur $k$ = un chemin de longueur $k-1$ suivi d'une\narête, ce que le produit matriciel somme exactement."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-matricielle"
      ],
      "title": "Suite $U_{n+1} = AU_n$",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = A\\,U_n$\npour tout $n$. Comment s'exprime $U_n$ en fonction de\n$U_0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$U_n = A^n\\,U_0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque étape multiplie par $A$ à\ngauche ; après $n$ étapes : $A^n U_0$ : exactement comme\nune suite géométrique, en version matricielle."
        },
        {
          "text": "$U_n = n\\,A\\,U_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion arithmétique/géométrique : on **multiplie**\npar $A$ à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une\npuissance, pas un multiple."
        },
        {
          "text": "$U_n = A\\,U_0^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la puissance porte sur $A$ (appliquée $n$\nfois) ; $U_0^n$ n'a même pas de sens pour une colonne."
        },
        {
          "text": "$U_n = A^{n-1}\\,U_1$ donc rien de plus simple",
          "correct": false,
          "feedback": "Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à\n$U_0$ : $U_n = A^n U_0$ : la forme close attendue."
        }
      ],
      "explanation": "$U_{n+1} = AU_n \\Rightarrow U_n = A^n U_0$ : tout le\ncomportement asymptotique se lit sur les puissances de $A$.\nAvec un terme constant ($U_{n+1} = AU_n + C$), on cherche\nune colonne fixe $X = AX + C$ pour s'y ramener."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "matrice-transition"
      ],
      "title": "Matrice de transition",
      "partie": "markov",
      "statement": "Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états\n$A$ et $B$. Quelle est sa matrice de transition $P$ (états\ndans l'ordre $A$, $B$, chaque ligne correspondant à un état de départ) ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (3.6,0) {$B$};\n  \\draw[->] (A) to[bend left=25] node[above, font=\\small] {$0{,}2$} (B);\n  \\draw[->] (B) to[bend left=25] node[below, font=\\small] {$0{,}3$} (A);\n  \\draw[->] (A) .. controls (-1.5,1.1) and (-1.5,-1.1) .. (A);\n  \\node[font=\\small] at (-1.55,0) {$0{,}8$};\n  \\draw[->] (B) .. controls (5.1,1.1) and (5.1,-1.1) .. (B);\n  \\node[font=\\small] at (5.15,0) {$0{,}7$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"212.322pt\" height=\"66.746pt\" viewBox=\"0 0 212.322 66.746\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.75 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.328125 0 C 2.375 0 2.515625 0 2.515625 -0.1875 C 2.515625 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.890625 -0.40625 1.890625 -0.65625 C 1.890625 -0.78125 1.9375 -0.890625 2.03125 -1.015625 L 2.78125 -2.296875 L 5.265625 -2.296875 C 5.28125 -2.078125 5.421875 -0.734375 5.421875 -0.640625 C 5.421875 -0.34375 4.90625 -0.3125 4.71875 -0.3125 C 4.578125 -0.3125 4.46875 -0.3125 4.46875 -0.109375 C 4.46875 0 4.59375 0 4.609375 0 C 5.015625 0 5.453125 -0.03125 5.859375 -0.03125 C 6.109375 -0.03125 6.734375 0 6.96875 0 C 7.03125 0 7.15625 0 7.15625 -0.203125 C 7.15625 -0.3125 7.046875 -0.3125 6.921875 -0.3125 C 6.3125 -0.3125 6.3125 -0.375 6.28125 -0.671875 L 5.671875 -6.859375 C 5.65625 -7.0625 5.65625 -7.109375 5.484375 -7.109375 C 5.328125 -7.109375 5.28125 -7.03125 5.234375 -6.9375 Z M 2.96875 -2.59375 L 4.921875 -5.875 L 5.234375 -2.59375 Z M 2.96875 -2.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.59375 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.234375 0 C 5.796875 0 6.96875 -1.171875 6.96875 -2.140625 C 6.96875 -2.859375 6.390625 -3.4375 5.421875 -3.546875 C 6.453125 -3.734375 7.5 -4.46875 7.5 -5.40625 C 7.5 -6.140625 6.84375 -6.78125 5.65625 -6.78125 L 2.328125 -6.78125 C 2.140625 -6.78125 2.03125 -6.78125 2.03125 -6.578125 C 2.03125 -6.46875 2.125 -6.46875 2.3125 -6.46875 C 2.328125 -6.46875 2.515625 -6.46875 2.6875 -6.453125 C 2.875 -6.421875 2.953125 -6.421875 2.953125 -6.296875 C 2.953125 -6.25 2.953125 -6.21875 2.921875 -6.109375 Z M 3.078125 -3.625 L 3.703125 -6.09375 C 3.796875 -6.4375 3.8125 -6.46875 4.234375 -6.46875 L 5.515625 -6.46875 C 6.390625 -6.46875 6.59375 -5.890625 6.59375 -5.453125 C 6.59375 -4.578125 5.75 -3.625 4.53125 -3.625 Z M 2.640625 -0.3125 C 2.5 -0.3125 2.484375 -0.3125 2.421875 -0.3125 C 2.328125 -0.328125 2.296875 -0.34375 2.296875 -0.421875 C 2.296875 -0.453125 2.296875 -0.46875 2.34375 -0.640625 L 3.03125 -3.40625 L 4.90625 -3.40625 C 5.859375 -3.40625 6.046875 -2.671875 6.046875 -2.25 C 6.046875 -1.265625 5.15625 -0.3125 3.984375 -0.3125 Z M 2.640625 -0.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 4.234375 -2.859375 C 4.234375 -3.453125 4.203125 -4.234375 3.890625 -4.890625 C 3.5 -5.734375 2.8125 -5.953125 2.296875 -5.953125 C 1.765625 -5.953125 1.078125 -5.734375 0.6875 -4.875 C 0.40625 -4.265625 0.359375 -3.546875 0.359375 -2.859375 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.40625 0.765625 -0.703125 C 1.1875 0.046875 1.875 0.203125 2.28125 0.203125 C 2.875 0.203125 3.53125 -0.046875 3.90625 -0.875 C 4.171875 -1.46875 4.234375 -2.140625 4.234375 -2.859375 Z M 2.296875 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.453125 1.125 -2.96875 C 1.125 -3.578125 1.125 -4.28125 1.234375 -4.765625 C 1.40625 -5.5625 1.984375 -5.734375 2.28125 -5.734375 C 2.625 -5.734375 3.1875 -5.546875 3.359375 -4.71875 C 3.453125 -4.234375 3.453125 -3.53125 3.453125 -2.96875 C 3.453125 -2.40625 3.453125 -1.65625 3.375 -1.140625 C 3.1875 -0.109375 2.515625 -0.03125 2.296875 -0.03125 Z M 2.296875 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 1.53125 -4.0625 C 1.265625 -4.234375 1.0625 -4.46875 1.0625 -4.796875 C 1.0625 -5.375 1.6875 -5.734375 2.28125 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.515625 -5.25 3.515625 -4.625 C 3.515625 -4 2.984375 -3.578125 2.625 -3.375 Z M 2.84375 -3.234375 C 3.296875 -3.453125 3.953125 -3.890625 3.953125 -4.625 C 3.953125 -5.453125 3.109375 -5.953125 2.3125 -5.953125 C 1.375 -5.953125 0.640625 -5.28125 0.640625 -4.453125 C 0.640625 -4.125 0.765625 -3.796875 0.96875 -3.546875 C 1.125 -3.375 1.1875 -3.328125 1.703125 -3 C 0.90625 -2.625 0.390625 -2.078125 0.390625 -1.34375 C 0.390625 -0.40625 1.328125 0.203125 2.28125 0.203125 C 3.328125 0.203125 4.203125 -0.53125 4.203125 -1.5 C 4.203125 -2.375 3.546875 -2.796875 3.3125 -2.9375 C 3.21875 -3.015625 2.953125 -3.171875 2.84375 -3.234375 Z M 1.9375 -2.84375 L 3.0625 -2.15625 C 3.265625 -2.015625 3.71875 -1.734375 3.71875 -1.1875 C 3.71875 -0.484375 3 -0.046875 2.296875 -0.046875 C 1.515625 -0.046875 0.859375 -0.609375 0.859375 -1.34375 C 0.859375 -2 1.3125 -2.53125 1.9375 -2.84375 Z M 1.9375 -2.84375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 4.375 -5.453125 C 4.453125 -5.546875 4.453125 -5.5625 4.453125 -5.75 L 2.234375 -5.75 C 1.109375 -5.75 1.078125 -5.875 1.046875 -6.046875 L 0.796875 -6.046875 L 0.515625 -4.171875 L 0.765625 -4.171875 C 0.796875 -4.375 0.859375 -4.875 0.984375 -4.984375 C 1.046875 -5.046875 1.75 -5.046875 1.875 -5.046875 L 3.75 -5.046875 L 2.890625 -3.875 C 1.734375 -2.265625 1.625 -0.8125 1.625 -0.296875 C 1.625 -0.203125 1.625 0.203125 2.03125 0.203125 C 2.453125 0.203125 2.453125 -0.203125 2.453125 -0.3125 L 2.453125 -0.75 C 2.453125 -2.0625 2.65625 -3.09375 3.125 -3.75 Z M 4.375 -5.453125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.890625 0.96875 1.515625 C 0.90625 1.578125 0.90625 1.578125 0.90625 1.625 C 0.90625 1.6875 0.96875 1.71875 1.03125 1.71875 C 1.125 1.71875 1.84375 1.03125 1.84375 -0.015625 C 1.84375 -0.578125 1.65625 -0.96875 1.265625 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.78125 -0.734375 0.78125 -0.484375 C 0.78125 -0.234375 0.96875 0 1.265625 0 C 1.40625 0 1.53125 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.757775 0.000389188 C 12.757775 7.046633 7.04471 12.755777 -0.00153396 12.755777 C -7.043857 12.755777 -12.756921 7.046633 -12.756921 0.000389188 C -12.756921 -7.045855 -7.043857 -12.754998 -0.00153396 -12.754998 C 7.04471 -12.754998 12.757775 -7.045855 12.757775 0.000389188 Z M 12.757775 0.000389188 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"51.271879\" y=\"36.637577\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 114.804796 0.000389188 C 114.804796 7.046633 109.095652 12.755777 102.049408 12.755777 C 95.003164 12.755777 89.294021 7.046633 89.294021 0.000389188 C 89.294021 -7.045855 95.003164 -12.754998 102.049408 -12.754998 C 109.095652 -12.754998 114.804796 -7.045855 114.804796 0.000389188 Z M 114.804796 0.000389188 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"152.641121\" y=\"36.637577\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 11.742206 5.474266 C 39.507622 18.421788 62.540252 18.421788 89.944926 5.642874 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073181 2.392132 C -1.693184 0.955534 -0.850312 0.27991 -0.00186996 0.000596038 C -0.849773 -0.277958 -1.692826 -0.956616 -2.070628 -2.391796 \" transform=\"matrix(0.902864, 0.420998, 0.420998, -0.902864, 144.778781, 27.708357)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"99.958603\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"104.548138\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"107.098433\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 90.305668 -5.473488 C 62.540252 -18.424931 39.507622 -18.424931 12.102948 -5.642095 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07214 2.391759 C -1.692143 0.95516 -0.849271 0.279537 -0.000828882 0.000222631 C -0.848732 -0.278332 -1.691784 -0.956989 -2.071244 -2.388616 \" transform=\"matrix(-0.902864, -0.420998, -0.420998, 0.902864, 66.870439, 38.784606)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"99.958603\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"104.548138\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"107.098433\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -10.447385 7.662248 C -42.522106 31.181097 -42.522106 -31.180318 -10.768916 -7.896737 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.074318 2.391214 C -1.693387 0.954548 -0.851627 0.278902 -0.00080057 0.000211061 C -0.850363 -0.276369 -1.694023 -0.956017 -2.070741 -2.391418 \" transform=\"matrix(0.803313, -0.589098, -0.589098, -0.803313, 44.426549, 40.995792)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.357604\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"9.948135\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"12.49843\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 112.495259 7.662248 C 144.569981 31.181097 144.569981 -31.180318 112.81679 -7.896737 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073262 2.389569 C -1.693381 0.956488 -0.849721 0.27684 -0.000158869 0.000259521 C -0.850985 -0.278432 -1.695908 -0.956396 -2.073676 -2.390744 \" transform=\"matrix(-0.803313, -0.589098, -0.589098, 0.803313, 167.222682, 40.995792)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"194.558605\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"199.149136\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"201.699431\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ligne $A$ : rester en $A$ ($0{,}8$),\naller en $B$ ($0{,}2$) ; ligne $B$ : $0{,}3$ puis\n$0{,}7$. Chaque **ligne** somme à $1$."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\\\ 0{,}2 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Transposée : ici les lignes ne somment plus à $1$\n($0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1$) : le signe sûr d'un échange\nlignes/colonnes."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\\\ 0{,}7 & 0{,}3\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagonale échangée : le coefficient $(1\\ ;\\ 1)$ est la\nprobabilité de **rester** en $A$, soit $0{,}8$ (la\nboucle)."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}7 & 0{,}3\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne $B$ inversée : depuis $B$, la probabilité d'aller\nen $A$ (première colonne) est $0{,}3$, celle de rester\nest $0{,}7$."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice de transition : $p_{ij}$ = probabilité de passer de\nl'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne somme à\n$1$. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du\nmême objet."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "markov",
        "distribution"
      ],
      "title": "Distribution après $n$ transitions",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et\npour distribution initiale la matrice ligne $\\pi_0$. Que\nreprésente la matrice ligne $\\pi_0 P^n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La distribution de l'état après $n$ transitions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque multiplication par $P$ fait\navancer d'une étape ; $\\pi_n = \\pi_0 P^n$ donne les\nprobabilités d'occupation de chaque état à l'instant\n$n$."
        },
        {
          "text": "La probabilité de rester dans l'état initial",
          "correct": false,
          "feedback": "Réducteur : $\\pi_0 P^n$ est une **ligne complète** : une\nprobabilité par état, pas un seul nombre."
        },
        {
          "text": "La matrice des chemins de longueur $n$ du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la matrice d'**adjacence** : ici les\ncoefficients sont des probabilités, et $\\pi_0 P^n$ est\nune ligne, pas une matrice carrée."
        },
        {
          "text": "Toujours la distribution uniforme sur les états",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite éventuelle dépend de $P$ (c'est la\ndistribution invariante, rarement uniforme)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\pi_{n+1} = \\pi_n P$, d'où $\\pi_n = \\pi_0 P^n$\n(démonstration au programme). Interprétation coefficient par\ncoefficient : $(P^n)_{ij}$ = probabilité de passer de $i$ à\n$j$ en $n$ transitions."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "markov",
        "invariante"
      ],
      "title": "Distribution invariante",
      "partie": "markov",
      "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}8x + 0{,}3y =\nx$, soit $0{,}3y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}6$, $y = 0{,}4$. Contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}6 + 0{,}3 \\times 0{,}4 = 0{,}6$."
        },
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}5 +\n0{,}3 \\times 0{,}5 = 0{,}55 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
        },
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
        },
        {
          "text": "Il n'en existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$."
        }
      ],
      "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}8x + 0{,}3y =\nx$, soit $0{,}3y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}6$, $y = 0{,}4$. Contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}6 + 0{,}3 \\times 0{,}4 = 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}5 +\n0{,}3 \\times 0{,}5 = 0{,}55 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
            },
            {
              "text": "Il n'en existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$."
            }
          ],
          "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart."
        },
        {
          "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\\\ 0{,}4 & 0{,}6 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}9x + 0{,}4y =\nx$, soit $0{,}4y = 0{,}1x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}8$, $y = 0{,}2$. Contrôle : $0{,}9 \\times 0{,}8 + 0{,}4 \\times 0{,}2 = 0{,}8$."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}9 \\times 0{,}5 +\n0{,}4 \\times 0{,}5 = 0{,}65 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}9\\ ;\\ 0{,}1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
            },
            {
              "text": "Il n'en existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$."
            }
          ],
          "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart."
        },
        {
          "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\\\ 0{,}2 & 0{,}8 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}4\\ ;\\ 0{,}6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}7x + 0{,}2y =\nx$, soit $0{,}2y = 0{,}3x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}4$, $y = 0{,}6$. Contrôle : $0{,}7 \\times 0{,}4 + 0{,}2 \\times 0{,}6 = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}7 \\times 0{,}5 +\n0{,}2 \\times 0{,}5 = 0{,}45 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}7\\ ;\\ 0{,}3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
            },
            {
              "text": "Il n'en existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}4\\ ;\\ 0{,}6)$."
            }
          ],
          "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart."
        },
        {
          "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}6 & 0{,}4 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}75\\ ;\\ 0{,}25)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}8x + 0{,}6y =\nx$, soit $0{,}6y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}75$, $y = 0{,}25$. Contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}75 + 0{,}6 \\times 0{,}25 = 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}5 +\n0{,}6 \\times 0{,}5 = 0{,}7 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
            },
            {
              "text": "$\\pi = (0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
            },
            {
              "text": "Il n'en existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}75\\ ;\\ 0{,}25)$."
            }
          ],
          "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "poignees-de-main"
      ],
      "title": "Degrés et arêtes d'un graphe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de\ntous les sommets ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le double du nombre d'arêtes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :\nelle contribue $2$ à la somme des degrés : somme $= 2\n\\times$ arêtes."
        },
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :\nla somme des degrés double le compte des arêtes."
        },
        {
          "text": "Le nombre de sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul\neffectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés\nde $6$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend du graphe, sans formule générale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la formule $\\sum \\deg = 2 \\times$ arêtes vaut\npour TOUT graphe : c'est un des rares invariants\nuniversels."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque arête a deux extrémités et compte pour $1$ dans le degré de chacune :\nla somme des degrés vaut donc le double du nombre d'arêtes. Elle est toujours\npaire, si bien que le nombre de sommets de degré impair est pair lui aussi."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "matrice-identite"
      ],
      "title": "La matrice identité",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Que vaut le produit $A\\,I_2$, où $I_2 = \\begin{pmatrix} 1 &\n0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et $A$ est une matrice $2 \\times\n2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AI = IA = A$ : l'identité est neutre\npour le produit, elle joue pour les matrices le rôle du\nnombre $1$ : c'est la référence des inverses\n($AA^{-1} = I$)."
        },
        {
          "text": "$I_2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas\npar elle : chaque ligne de $A$ ressort intacte."
        },
        {
          "text": "La matrice nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :\nl'identité, elle, laisse tout passer."
        },
        {
          "text": "$2A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $1$ de la diagonale recopient chaque\ncoefficient UNE fois : aucun doublement."
        }
      ],
      "explanation": "$I_n$ : des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs : le\nneutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse\n($AA^{-1} = I$) et sert de point de départ aux puissances\n($A^0 = I$)."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "non-commutativite"
      ],
      "title": "$AB$ contre $BA$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Pour deux matrices carrées $A$ et $B$, a-t-on toujours\n$AB = BA$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : en général, le produit dépend de l'ordre des\nfacteurs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par exemple $\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 &\n0 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0\n\\end{pmatrix}$ alors que $\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}\n= \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ : l'ordre\ndes facteurs CHANGE le résultat."
        },
        {
          "text": "Oui : la multiplication des matrices est commutative,\ncomme celle des nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe des nombres à abandonner : composer des\ntransformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer\nn'est pas étirer puis tourner)."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que les deux matrices soient carrées de\nmême taille",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même carrées de même taille, l'ordre compte :\n$\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ et\n$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ sont deux\nmatrices $2 \\times 2$ dont les produits valent\n$\\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ dans un\nordre et $\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$\ndans l'autre."
        },
        {
          "text": "Non, sauf lorsque les deux matrices sont inversibles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inversibilité ne garantit rien :\n$A = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$ sont\ninversibles (déterminant $1$) et pourtant\n$AB = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$ alors\nque $BA = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}$.\nCertains couples commutent (une matrice et ses\npuissances, l'identité avec tout), mais la règle\ngénérale reste la non-commutativité."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe\npermanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs\n(développements, factorisations, équations : tout doit\nrespecter le côté de multiplication). Contre-exemple à\nretenir : $\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$\net $\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$\nne sont pas égaux."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dimensions-produit"
      ],
      "title": "Dimensions compatibles",
      "partie": "matrices",
      "statement": "$A$ est de taille $2 \\times 3$ et $B$ de taille $3 \\times\n1$. Que dire du produit $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe et mesure $2 \\times 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une colonne de hauteur $2$. Les\ndimensions intérieures coïncident ($3 = 3$) : le produit\nexiste, aux dimensions extérieures $2 \\times 1$."
        },
        {
          "text": "Il n'existe pas, les tailles sont différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais\ndes dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de $A$ =\nlignes de $B$) : c'est le cas."
        },
        {
          "text": "Il existe et mesure $3 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 3$ sortirait de $BA$… qui n'existe\nd'ailleurs pas ($1 \\neq 2$) : $AB$ prend les dimensions\nextérieures : $2 \\times 1$."
        },
        {
          "text": "Il existe et mesure $2 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dimension commune $3$ est CONSOMMÉE par le\nproduit : restent $2$ (lignes de $A$) et $1$ (colonnes\nde $B$)."
        }
      ],
      "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$ :\nles dimensions intérieures doivent coïncider et\ndisparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des\nerreurs de produit sont des produits impossibles."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-matrice"
      ],
      "title": "Calculer $A^2$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $A^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le\ncoefficient supérieur droit bouge : $1 \\times 1 + 1\n\\times 1 = 2$. (Et $A^n$ y affichera $n$ : récurrence\nélégante.)"
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ n'est pas idempotente : le coefficient\ndroit cumule : $1 + 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}^2 =\n\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ coefficient\npar coefficient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré\nn'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et\ncolonnes)."
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 2 & 2 \\\\ 0 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $2A$ double les coefficients : $A^2 = A\n\\times A$ suit la règle ligne-colonne : seul le $2$\nsupérieur droit apparaît."
        }
      ],
      "explanation": "Une puissance se calcule par produits successifs (jamais coefficient par coefficient). La matrice $\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ vérifie $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & n \\\\ 0 &\n1 \\end{pmatrix}$ : premier exemple de conjecture + récurrence\nmatricielle."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "matrice-stochastique"
      ],
      "title": "Une matrice de transition valide ?",
      "partie": "markov",
      "statement": "La matrice $\\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$ peut-elle être la matrice de transition\nd'une chaîne de Markov ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : la première ligne somme à $1{,}1 \\neq 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition\nliste les probabilités de départ d'un état : elle doit\nsommer à $1$ ($0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$ : impossible)."
        },
        {
          "text": "Oui : tous les coefficients sont entre $0$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque\nligne somme à $1$ : la première déborde."
        },
        {
          "text": "Non : les colonnes ne somment pas à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais axe : la convention du programme somme les\n**lignes** (chaque ligne correspond à un état de départ) : et c'est bien une\nligne qui cloche ici."
        },
        {
          "text": "Oui : il suffit de la diviser par $1{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre\n($0{,}3 + 0{,}7 = 1$ déjà) : la matrice donnée est\nsimplement invalide."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans\n$[0\\ ;\\ 1]$ ET chaque ligne somme à $1$ (toutes les\ndestinations depuis un état). Vérification systématique\navant tout calcul de $\\pi_0 P^n$."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrices",
        "calcul"
      ],
      "title": "Somme de deux matrices",
      "partie": "matrices",
      "statement": "À quelle condition peut-on additionner deux matrices ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles doivent avoir les mêmes dimensions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'addition se fait terme à terme, chaque case ayant une\ncorrespondante."
        },
        {
          "text": "Le nombre de colonnes de l'une doit égaler le nombre de lignes de\nl'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition concerne le produit, pas la somme."
        },
        {
          "text": "Elles doivent être carrées",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux matrices rectangulaires de mêmes dimensions s'additionnent sans\ndifficulté."
        },
        {
          "text": "Elles doivent être inversibles",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inversibilité ne concerne que la multiplication et les matrices\ncarrées."
        }
      ],
      "explanation": "L'addition de matrices se fait coefficient par coefficient, elle exige donc\ndes dimensions identiques. Le produit, lui, demande une compatibilité\nentre colonnes et lignes."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "matrices",
        "produit"
      ],
      "title": "Dimensions d'un produit",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Une matrice $3 \\times 4$ multiplie une matrice $4 \\times 2$.\nQuelles sont les dimensions du résultat ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 \\times 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on garde le nombre de lignes de la première et le\nnombre de colonnes de la seconde."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dimensions intérieures retenues : ce sont elles qui doivent coïncider,\nelles disparaissent du résultat."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dimensions inversées : le nombre de lignes vient de la première\nmatrice."
        },
        {
          "text": "$12 \\times 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dimensions multipliées : le produit matriciel ne procède pas ainsi."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit d'une matrice $n \\times p$ par une matrice $p \\times q$ est une\nmatrice $n \\times q$. Les dimensions intérieures doivent coïncider et\ndisparaissent du résultat."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphes",
        "adjacence"
      ],
      "title": "Lire une matrice d'adjacence",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté, que signifie un\ncoefficient égal à $1$ en ligne $2$, colonne $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés par une arête",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un coefficient nul signalerait l'absence d'arête."
        },
        {
          "text": "Le sommet $2$ est de degré $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le degré se lit en additionnant tous les coefficients d'une ligne."
        },
        {
          "text": "Il existe un chemin de longueur $5$ entre les deux sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Les chemins de longueur $k$ se comptent dans la matrice élevée à la\npuissance $k$."
        },
        {
          "text": "Le graphe comporte $5$ sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de sommets est donné par la taille de la matrice."
        }
      ],
      "explanation": "La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique : son\ncoefficient d'indices $i$ et $j$ vaut $1$ si les deux sommets sont reliés,\n$0$ sinon."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "graphes",
        "puissances"
      ],
      "title": "Compter des chemins",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Que compte le coefficient d'indices $i$ et $j$ de la matrice $A^3$,\noù $A$ est une matrice d'adjacence ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les chemins de longueur $3$ entre les sommets $i$ et $j$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque produit de trois coefficients correspond à un\nchemin de trois arêtes."
        },
        {
          "text": "Les chemins les plus courts entre $i$ et $j$",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur est fixée à $3$ : un chemin plus court n'est pas compté."
        },
        {
          "text": "Le degré du sommet $i$ élevé au cube",
          "correct": false,
          "feedback": "Le degré se lit sur $A$ seule, en sommant une ligne."
        },
        {
          "text": "Le nombre de sommets à distance $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient compte les chemins, or plusieurs chemins peuvent mener\nau même sommet."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de chemins de\nlongueur exactement $k$ reliant ces deux sommets, en comptant les\nrépétitions de sommets."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrices",
        "identite"
      ],
      "title": "Le rôle de la matrice identité",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Que donne le produit d'une matrice carrée $A$ par la matrice identité\nde même taille ?",
      "options": [
        {
          "text": "La matrice $A$ elle-même",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'identité joue pour les matrices le rôle de $1$ pour\nles nombres."
        },
        {
          "text": "La matrice nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le produit par la matrice nulle qui donnerait ce résultat."
        },
        {
          "text": "L'inverse de $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inverse s'obtient par un calcul spécifique, quand il existe."
        },
        {
          "text": "La matrice identité",
          "correct": false,
          "feedback": "L'identité laisse l'autre facteur inchangé, elle ne l'absorbe pas."
        }
      ],
      "explanation": "La matrice identité est l'élément neutre du produit matriciel :\n$AI = IA = A$. C'est aussi elle qui définit l'inverse, par\n$AA^{-1} = I$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "matrices",
        "inverse"
      ],
      "title": "Inverse d'une matrice $2 \\times 2$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Pour une matrice $M = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$, on appelle\ndéterminant le nombre $ad - bc$, et l'on admet l'égalité\n$M \\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix} = (ad - bc)\\,I_2$, où $I_2$\ndésigne la matrice identité d'ordre $2$. À quelle condition une matrice carrée\nd'ordre $2$ est-elle inversible ?",
      "options": [
        {
          "text": "Son déterminant est non nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $ad - bc \\neq 0$, l'égalité admise montre que\n$\\dfrac{1}{ad - bc}\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$ est l'inverse\nde la matrice.\n"
        },
        {
          "text": "Tous ses coefficients sont non nuls",
          "correct": false,
          "feedback": "La matrice identité comporte des zéros et reste inversible."
        },
        {
          "text": "Elle est symétrique",
          "correct": false,
          "feedback": "La symétrie n'a aucun rapport : une matrice symétrique peut être non\ninversible."
        },
        {
          "text": "Ses deux lignes sont proportionnelles",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition annule au contraire le déterminant, ce qui empêche\nl'inversion."
        }
      ],
      "explanation": "Si $ad - bc \\neq 0$, diviser l'égalité admise par $ad - bc$ fournit l'inverse.\nSi $ad - bc = 0$, les lignes sont proportionnelles et la matrice n'est pas\ninversible."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphes",
        "degre"
      ],
      "title": "Somme des degrés",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Un graphe comporte $10$ arêtes. Que vaut la somme des degrés de ses\nsommets ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque arête contribue au degré de ses deux\nextrémités."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque arête est comptée deux fois dans la somme des degrés."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : la somme dépasse toujours le\nnombre d'arêtes."
        },
        {
          "text": "Cela dépend du nombre de sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme des degrés ne dépend que du nombre d'arêtes, quel que soit le\nnombre de sommets."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque arête compte pour $1$ dans le degré de chacune de ses deux\nextrémités : la somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes, ici\n$2 \\times 10 = 20$. Il en découle que le nombre de sommets de degré impair est\npair."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "chaines-de-markov",
        "transition"
      ],
      "title": "Une matrice de transition valide",
      "partie": "markov",
      "statement": "Quelle propriété caractérise une matrice de transition, les états\nétant en ligne ?",
      "options": [
        {
          "text": "La somme de chaque ligne vaut $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : depuis un état donné, les probabilités de tous les\nétats d'arrivée totalisent $1$."
        },
        {
          "text": "La somme de tous les coefficients vaut $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette somme vaut le nombre d'états, chaque ligne totalisant déjà $1$."
        },
        {
          "text": "Tous les coefficients valent $\\dfrac{1}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce cas très particulier correspondrait à des transitions\néquiprobables."
        },
        {
          "text": "La diagonale est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Rester dans le même état est souvent possible, et alors le coefficient\ndiagonal est non nul."
        }
      ],
      "explanation": "Une matrice de transition est à coefficients positifs et ses lignes\ntotalisent $1$. Chaque ligne décrit la loi de l'état suivant, sachant\nl'état courant."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "chaines-de-markov",
        "distribution"
      ],
      "title": "Distribution après plusieurs étapes",
      "partie": "markov",
      "statement": "La distribution initiale est la matrice ligne $U_0$ et la matrice de\ntransition est $T$. Que vaut la distribution après $n$ étapes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$U_0 T^n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque étape multiplie la distribution par la matrice\nde transition."
        },
        {
          "text": "$T^n U_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre incompatible : avec une distribution en ligne, elle se place à\ngauche."
        },
        {
          "text": "$n U_0 T$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication par $n$ au lieu d'une puissance : les étapes se\ncomposent, elles ne s'additionnent pas."
        },
        {
          "text": "$U_0 + nT$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une addition n'a pas de sens ici, les deux matrices n'ayant pas les\nmêmes dimensions."
        }
      ],
      "explanation": "Avec une distribution écrite en ligne, chaque étape s'obtient par\nmultiplication à droite par la matrice de transition. Après $n$ étapes, on\nmultiplie par $T^n$."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphes",
        "connexite"
      ],
      "title": "Un graphe connexe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Que signifie qu'un graphe est connexe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le graphe est d'un seul tenant, sans morceau isolé."
        },
        {
          "text": "Tous les sommets ont le même degré",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette propriété définit un graphe régulier, une notion distincte."
        },
        {
          "text": "Toutes les paires de sommets sont reliées par une arête",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette propriété définit un graphe complet, bien plus exigeante."
        },
        {
          "text": "Le graphe comporte autant d'arêtes que de sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce comptage ne garantit rien : un graphe peut avoir beaucoup d'arêtes\net rester en deux morceaux."
        }
      ],
      "explanation": "Un graphe est connexe lorsqu'il existe une chaîne entre toute paire de\nsommets. Un graphe complet est connexe, mais la réciproque est fausse."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suites-matricielles",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Une suite de matrices colonnes",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une suite vérifie $U_{n+1} = AU_n$, avec $U_n$ en colonne.\nQuelle est l'expression de $U_n$ en fonction de $U_0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$U_n = A^n U_0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque étape ajoute un facteur $A$ à gauche."
        },
        {
          "text": "$U_n = U_0 A^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre incompatible : avec une colonne, la matrice se place à gauche."
        },
        {
          "text": "$U_n = nA U_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication par $n$ au lieu d'une puissance : les étapes se\ncomposent."
        },
        {
          "text": "$U_n = A U_0^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la matrice $A$ qui est élevée à la puissance, pas la colonne\ninitiale."
        }
      ],
      "explanation": "Une récurrence matricielle se déroule comme une suite géométrique, la\nraison étant la matrice $A$. L'ordre des facteurs dépend de l'orientation\nchoisie pour les vecteurs."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chaines-de-markov",
        "equilibre"
      ],
      "title": "Une distribution invariante",
      "partie": "markov",
      "statement": "Que vérifie une distribution invariante $U$ pour une matrice de\ntransition $T$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$UT = U$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : appliquer une étape supplémentaire ne change plus rien."
        },
        {
          "text": "$UT = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une distribution a des coefficients positifs de somme $1$, elle ne peut\npas s'annuler."
        },
        {
          "text": "$TU = U$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre incompatible avec une distribution écrite en ligne."
        },
        {
          "text": "$U + T = U$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'addition n'a pas de sens entre une distribution et une matrice de\ntransition."
        }
      ],
      "explanation": "Une distribution invariante est un état d'équilibre du système : elle\nvérifie $UT = U$, ses coefficients étant positifs et de somme $1$."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "degre",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Degré d'un sommet donné",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Un graphe non orienté possède $7$ sommets. Le sommet $A$ est\nrelié aux sommets $B$, $C$ et $D$, et à aucun autre. Quel est le degré\nde $A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une\nextrémité, soit une arête par voisin cité : $3$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'ordre du graphe : $7$ est son nombre total\nde sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,\nsoit $3$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les\narêtes comptent, et il y en a $3$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des\ndegrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut\n$3$."
        }
      ],
      "explanation": "Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une\nextrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.\nL'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux\nnombres n'ont aucune raison de coïncider.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un graphe non orienté possède $7$ sommets. Le sommet $A$ est\nrelié aux sommets $B$, $C$ et $D$, et à aucun autre. Quel est le degré\nde $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une\nextrémité, soit une arête par voisin cité : $3$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'ordre du graphe : $7$ est son nombre total\nde sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,\nsoit $3$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les\narêtes comptent, et il y en a $3$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des\ndegrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut\n$3$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une\nextrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.\nL'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux\nnombres n'ont aucune raison de coïncider."
        },
        {
          "statement": "Un graphe non orienté possède $5$ sommets. Le sommet $A$ est\nrelié aux sommets $B$ et $C$, et à aucun autre. Quel est le degré\nde $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une\nextrémité, soit une arête par voisin cité : $2$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'ordre du graphe : $5$ est son nombre total\nde sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,\nsoit $2$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les\narêtes comptent, et il y en a $2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des\ndegrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut\n$2$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une\nextrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.\nL'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux\nnombres n'ont aucune raison de coïncider."
        },
        {
          "statement": "Un graphe non orienté possède $6$ sommets. Le sommet $A$ est\nrelié aux sommets $B$, $C$, $D$ et $E$, et à aucun autre. Quel est le degré\nde $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une\nextrémité, soit une arête par voisin cité : $4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'ordre du graphe : $6$ est son nombre total\nde sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,\nsoit $4$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les\narêtes comptent, et il y en a $4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des\ndegrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut\n$4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une\nextrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.\nL'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux\nnombres n'ont aucune raison de coïncider."
        },
        {
          "statement": "Un graphe non orienté possède $8$ sommets. Le sommet $A$ est\nrelié aux sommets $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$, et à aucun autre. Quel est le degré\nde $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une\nextrémité, soit une arête par voisin cité : $5$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'ordre du graphe : $8$ est son nombre total\nde sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,\nsoit $5$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les\narêtes comptent, et il y en a $5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des\ndegrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une\nextrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.\nL'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux\nnombres n'ont aucune raison de coïncider."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "chaine",
        "graphe"
      ],
      "title": "Longueur d'une chaîne",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on longueur d'une\nchaîne ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes qu'elle emprunte",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on compte les arêtes parcourues ; une chaîne\nqui relie trois sommets consécutifs est de longueur $2$."
        },
        {
          "text": "Le nombre de sommets qu'elle traverse",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage de un : une chaîne de longueur $2$ traverse $3$\nsommets. Ce sont les arêtes que l'on compte."
        },
        {
          "text": "Le nombre total d'arêtes du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre le parcours et le graphe entier : seules les\narêtes effectivement empruntées sont comptées."
        },
        {
          "text": "Le degré du sommet dont elle part",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre notion : le degré compte les arêtes issues d'un sommet,\npas celles d'un parcours."
        }
      ],
      "explanation": "Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives et sa longueur est\nle nombre de ces arêtes. C'est cette longueur que comptent les\npuissances de la matrice d'adjacence : le coefficient d'indices\n$i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de chemins de longueur $k$\nentre ces deux sommets."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "poignees-de-main"
      ],
      "title": "Des degrés au nombre d'arêtes",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, les $6$ sommets ont tous le même\ndegré $4$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des degrés vaut $6 \\times 4 =\n24$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où\n$24 \\div 2 = 12$ arêtes."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses\ndeux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où\n$12$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $6$ sommets,\noù chaque sommet serait de degré $6 - 1$. Ici le degré\nimposé est $4$, d'où $12$ arêtes."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut\n$6 \\times 4$, puis on divise par $2$, ce qui donne\n$12$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le\ndegré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du\nnombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$\nsommets, le nombre d'arêtes est $\\dfrac{n \\times d}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un graphe non orienté, les $6$ sommets ont tous le même\ndegré $4$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des degrés vaut $6 \\times 4 =\n24$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où\n$24 \\div 2 = 12$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses\ndeux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où\n$12$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $6$ sommets,\noù chaque sommet serait de degré $6 - 1$. Ici le degré\nimposé est $4$, d'où $12$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut\n$6 \\times 4$, puis on divise par $2$, ce qui donne\n$12$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le\ndegré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du\nnombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$\nsommets, le nombre d'arêtes est $\\dfrac{n \\times d}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un graphe non orienté, les $8$ sommets ont tous le même\ndegré $5$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des degrés vaut $8 \\times 5 =\n40$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où\n$40 \\div 2 = 20$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses\ndeux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où\n$20$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $8$ sommets,\noù chaque sommet serait de degré $8 - 1$. Ici le degré\nimposé est $5$, d'où $20$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut\n$8 \\times 5$, puis on divise par $2$, ce qui donne\n$20$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le\ndegré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du\nnombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$\nsommets, le nombre d'arêtes est $\\dfrac{n \\times d}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un graphe non orienté, les $10$ sommets ont tous le même\ndegré $3$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des degrés vaut $10 \\times 3 =\n30$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où\n$30 \\div 2 = 15$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses\ndeux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où\n$15$."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $10$ sommets,\noù chaque sommet serait de degré $10 - 1$. Ici le degré\nimposé est $3$, d'où $15$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut\n$10 \\times 3$, puis on divise par $2$, ce qui donne\n$15$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le\ndegré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du\nnombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$\nsommets, le nombre d'arêtes est $\\dfrac{n \\times d}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un graphe non orienté, les $12$ sommets ont tous le même\ndegré $3$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des degrés vaut $12 \\times 3 =\n36$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où\n$36 \\div 2 = 18$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses\ndeux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où\n$18$."
            },
            {
              "text": "$66$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $12$ sommets,\noù chaque sommet serait de degré $12 - 1$. Ici le degré\nimposé est $3$, d'où $18$ arêtes."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut\n$12 \\times 3$, puis on divise par $2$, ce qui donne\n$18$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le\ndegré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du\nnombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$\nsommets, le nombre d'arêtes est $\\dfrac{n \\times d}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "graphe-complet",
        "adjacence"
      ],
      "title": "Une ligne du graphe complet",
      "partie": "graphes",
      "statement": "On considère le graphe complet à $5$ sommets : deux sommets\ndistincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a\naucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des\ncoefficients de la première ligne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $4$\nautres, donc sa ligne porte $4$ coefficients égaux à $1$\net un $0$ sur la diagonale."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas\nrelié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est\n$4$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule\nligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit\n$4$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $5\n\\times 5$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut\n$4$."
        }
      ],
      "explanation": "La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence\nest le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à\n$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes\nles lignes somment à $n - 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On considère le graphe complet à $5$ sommets : deux sommets\ndistincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a\naucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des\ncoefficients de la première ligne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $4$\nautres, donc sa ligne porte $4$ coefficients égaux à $1$\net un $0$ sur la diagonale."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas\nrelié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est\n$4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule\nligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit\n$4$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $5\n\\times 5$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut\n$4$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence\nest le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à\n$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes\nles lignes somment à $n - 1$."
        },
        {
          "statement": "On considère le graphe complet à $7$ sommets : deux sommets\ndistincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a\naucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des\ncoefficients de la première ligne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $6$\nautres, donc sa ligne porte $6$ coefficients égaux à $1$\net un $0$ sur la diagonale."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas\nrelié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est\n$6$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule\nligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit\n$6$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $7\n\\times 7$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut\n$6$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence\nest le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à\n$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes\nles lignes somment à $n - 1$."
        },
        {
          "statement": "On considère le graphe complet à $4$ sommets : deux sommets\ndistincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a\naucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des\ncoefficients de la première ligne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $3$\nautres, donc sa ligne porte $3$ coefficients égaux à $1$\net un $0$ sur la diagonale."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas\nrelié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est\n$3$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule\nligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit\n$3$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $4\n\\times 4$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut\n$3$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence\nest le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à\n$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes\nles lignes somment à $n - 1$."
        },
        {
          "statement": "On considère le graphe complet à $6$ sommets : deux sommets\ndistincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a\naucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des\ncoefficients de la première ligne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $5$\nautres, donc sa ligne porte $5$ coefficients égaux à $1$\net un $0$ sur la diagonale."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas\nrelié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est\n$5$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule\nligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit\n$5$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $6\n\\times 6$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence\nest le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à\n$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes\nles lignes somment à $n - 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chemins",
        "puissance-adjacence",
        "matrice-adjacence"
      ],
      "title": "Lire un coefficient de $A^k$",
      "partie": "graphes",
      "statement": "$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le\ncoefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice\n$A^{3}$ vaut $2$. Qu'en déduit-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe $2$ chemins de longueur $3$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le\ncoefficient leur nombre, soit $2$ parcours en $3$\narêtes."
        },
        {
          "text": "Il existe $3$ chemins de longueur $2$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : c'est l'exposant $3$ qui fixe la longueur,\net le coefficient $2$ qui compte les chemins."
        },
        {
          "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $2$\narêtes du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la\npuissance $3$ compte les parcours en $3$ étapes."
        },
        {
          "text": "La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut\nexactement $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours\nplus court que $3$ peut très bien exister."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de\nchemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les\nsommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le\ncoefficient le nombre de chemins.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le\ncoefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice\n$A^{3}$ vaut $2$. Qu'en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Il existe $2$ chemins de longueur $3$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le\ncoefficient leur nombre, soit $2$ parcours en $3$\narêtes."
            },
            {
              "text": "Il existe $3$ chemins de longueur $2$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : c'est l'exposant $3$ qui fixe la longueur,\net le coefficient $2$ qui compte les chemins."
            },
            {
              "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $2$\narêtes du graphe",
              "correct": false,
              "feedback": "Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la\npuissance $3$ compte les parcours en $3$ étapes."
            },
            {
              "text": "La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut\nexactement $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours\nplus court que $3$ peut très bien exister."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de\nchemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les\nsommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le\ncoefficient le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le\ncoefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice\n$A^{4}$ vaut $5$. Qu'en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Il existe $5$ chemins de longueur $4$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le\ncoefficient leur nombre, soit $5$ parcours en $4$\narêtes."
            },
            {
              "text": "Il existe $4$ chemins de longueur $5$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : c'est l'exposant $4$ qui fixe la longueur,\net le coefficient $5$ qui compte les chemins."
            },
            {
              "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $5$\narêtes du graphe",
              "correct": false,
              "feedback": "Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la\npuissance $4$ compte les parcours en $4$ étapes."
            },
            {
              "text": "La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut\nexactement $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours\nplus court que $4$ peut très bien exister."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de\nchemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les\nsommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le\ncoefficient le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le\ncoefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice\n$A^{2}$ vaut $3$. Qu'en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Il existe $3$ chemins de longueur $2$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le\ncoefficient leur nombre, soit $3$ parcours en $2$\narêtes."
            },
            {
              "text": "Il existe $2$ chemins de longueur $3$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : c'est l'exposant $2$ qui fixe la longueur,\net le coefficient $3$ qui compte les chemins."
            },
            {
              "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $3$\narêtes du graphe",
              "correct": false,
              "feedback": "Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la\npuissance $2$ compte les parcours en $2$ étapes."
            },
            {
              "text": "La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut\nexactement $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours\nplus court que $2$ peut très bien exister."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de\nchemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les\nsommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le\ncoefficient le nombre de chemins."
        },
        {
          "statement": "$A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le\ncoefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice\n$A^{5}$ vaut $4$. Qu'en déduit-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Il existe $4$ chemins de longueur $5$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le\ncoefficient leur nombre, soit $4$ parcours en $5$\narêtes."
            },
            {
              "text": "Il existe $5$ chemins de longueur $4$ du sommet $2$ au\nsommet $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : c'est l'exposant $5$ qui fixe la longueur,\net le coefficient $4$ qui compte les chemins."
            },
            {
              "text": "Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $4$\narêtes du graphe",
              "correct": false,
              "feedback": "Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la\npuissance $5$ compte les parcours en $5$ étapes."
            },
            {
              "text": "La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut\nexactement $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours\nplus court que $5$ peut très bien exister."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de\nchemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les\nsommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le\ncoefficient le nombre de chemins."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "matrice",
        "definition"
      ],
      "title": "Repérer un coefficient",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $M = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -1\n& 4 \\end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en\nligne $2$, colonne $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis\non avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne mal repérée : $2$ se trouve en ligne $1$, colonne\n$3$. La ligne demandée est la seconde."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Colonne mal repérée : $-1$ occupe la colonne $2$, alors\nque\nla colonne $3$ est la dernière."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Indices lus dans l'ordre inverse : $0$ est en ligne $1$,\ncolonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier."
        }
      ],
      "explanation": "Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la\ncolonne ensuite : cette convention est la même que celle des\ndimensions, annoncées lignes $\\times$ colonnes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $M = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -1\n& 4 \\end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en\nligne $2$, colonne $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis\non avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne mal repérée : $2$ se trouve en ligne $1$, colonne\n$3$. La ligne demandée est la seconde."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Colonne mal repérée : $-1$ occupe la colonne $2$, alors\nque\nla colonne $3$ est la dernière."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Indices lus dans l'ordre inverse : $0$ est en ligne $1$,\ncolonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la\ncolonne ensuite : cette convention est la même que celle des\ndimensions, annoncées lignes $\\times$ colonnes."
        },
        {
          "statement": "Soit $M = \\begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\\\ 0 & 6\n& 1 \\end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en\nligne $2$, colonne $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis\non avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne mal repérée : $-3$ se trouve en ligne $1$, colonne\n$3$. La ligne demandée est la seconde."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Colonne mal repérée : $6$ occupe la colonne $2$, alors\nque\nla colonne $3$ est la dernière."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Indices lus dans l'ordre inverse : $2$ est en ligne $1$,\ncolonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la\ncolonne ensuite : cette convention est la même que celle des\ndimensions, annoncées lignes $\\times$ colonnes."
        },
        {
          "statement": "Soit $M = \\begin{pmatrix} -2 & 7 & 4 \\\\ 1 & 3\n& 5 \\end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en\nligne $2$, colonne $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis\non avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne mal repérée : $4$ se trouve en ligne $1$, colonne\n$3$. La ligne demandée est la seconde."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Colonne mal repérée : $3$ occupe la colonne $2$, alors\nque\nla colonne $3$ est la dernière."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Indices lus dans l'ordre inverse : $7$ est en ligne $1$,\ncolonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la\ncolonne ensuite : cette convention est la même que celle des\ndimensions, annoncées lignes $\\times$ colonnes."
        },
        {
          "statement": "Soit $M = \\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\\\ 2 & 7\n& -3 \\end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en\nligne $2$, colonne $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis\non avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne mal repérée : $0$ se trouve en ligne $1$, colonne\n$3$. La ligne demandée est la seconde."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Colonne mal repérée : $7$ occupe la colonne $2$, alors\nque\nla colonne $3$ est la dernière."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Indices lus dans l'ordre inverse : $-1$ est en ligne $1$,\ncolonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la\ncolonne ensuite : cette convention est la même que celle des\ndimensions, annoncées lignes $\\times$ colonnes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dimensions-produit",
        "produit"
      ],
      "title": "Taille du second facteur",
      "partie": "matrices",
      "statement": "La matrice $A$ est de taille $3 \\times 4$. Quelle doit\nêtre la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe\net soit de taille $3 \\times 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4 \\times 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $B$ doit avoir $4$ lignes pour se\nraccorder aux $4$ colonnes de $A$, et $2$ colonnes\npuisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont\nelles qui doivent être au nombre de $4$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit\nd'abord se raccorder aux $4$ colonnes de $A$."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit\n$2$, et non le nombre de lignes de $A$."
        }
      ],
      "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$. Les\ndimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du\nrésultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du\nproduit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La matrice $A$ est de taille $3 \\times 4$. Quelle doit\nêtre la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe\net soit de taille $3 \\times 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\times 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B$ doit avoir $4$ lignes pour se\nraccorder aux $4$ colonnes de $A$, et $2$ colonnes\npuisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont\nelles qui doivent être au nombre de $4$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit\nd'abord se raccorder aux $4$ colonnes de $A$."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit\n$2$, et non le nombre de lignes de $A$."
            }
          ],
          "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$. Les\ndimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du\nrésultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du\nproduit."
        },
        {
          "statement": "La matrice $A$ est de taille $2 \\times 5$. Quelle doit\nêtre la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe\net soit de taille $2 \\times 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 \\times 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B$ doit avoir $5$ lignes pour se\nraccorder aux $5$ colonnes de $A$, et $3$ colonnes\npuisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont\nelles qui doivent être au nombre de $5$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit\nd'abord se raccorder aux $5$ colonnes de $A$."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit\n$3$, et non le nombre de lignes de $A$."
            }
          ],
          "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$. Les\ndimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du\nrésultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du\nproduit."
        },
        {
          "statement": "La matrice $A$ est de taille $4 \\times 2$. Quelle doit\nêtre la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe\net soit de taille $4 \\times 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2 \\times 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B$ doit avoir $2$ lignes pour se\nraccorder aux $2$ colonnes de $A$, et $5$ colonnes\npuisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont\nelles qui doivent être au nombre de $2$."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit\nd'abord se raccorder aux $2$ colonnes de $A$."
            },
            {
              "text": "$2 \\times 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit\n$5$, et non le nombre de lignes de $A$."
            }
          ],
          "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$. Les\ndimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du\nrésultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du\nproduit."
        },
        {
          "statement": "La matrice $A$ est de taille $5 \\times 3$. Quelle doit\nêtre la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe\net soit de taille $5 \\times 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\times 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B$ doit avoir $3$ lignes pour se\nraccorder aux $3$ colonnes de $A$, et $4$ colonnes\npuisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit."
            },
            {
              "text": "$4 \\times 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont\nelles qui doivent être au nombre de $3$."
            },
            {
              "text": "$5 \\times 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit\nd'abord se raccorder aux $3$ colonnes de $A$."
            },
            {
              "text": "$3 \\times 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit\n$4$, et non le nombre de lignes de $A$."
            }
          ],
          "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$. Les\ndimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du\nrésultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du\nproduit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-matrices",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit par une colonne",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 0 & 3\n\\end{pmatrix}$ et $X = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 5\n\\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 13 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne\n$X$ : $2 \\times 4 + 1 \\times 5 = 13$, puis\n$0 \\times 4 + 3 \\times 5 = 15$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 19 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :\nla règle utilise les lignes de $A$, d'où $13$ puis $15$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi\nmultiplier par $5$, ce qui donne $13$ puis $15$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :\nchaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où\n$13$ puis $15$."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit d'une matrice $2 \\times 2$ par une colonne $2 \\times\n1$ est une colonne $2 \\times 1$ : chaque coefficient s'obtient en\ncroisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme\npuis en sommant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 0 & 3\n\\end{pmatrix}$ et $X = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 5\n\\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 13 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne\n$X$ : $2 \\times 4 + 1 \\times 5 = 13$, puis\n$0 \\times 4 + 3 \\times 5 = 15$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 19 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :\nla règle utilise les lignes de $A$, d'où $13$ puis $15$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi\nmultiplier par $5$, ce qui donne $13$ puis $15$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 8 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :\nchaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où\n$13$ puis $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit d'une matrice $2 \\times 2$ par une colonne $2 \\times\n1$ est une colonne $2 \\times 1$ : chaque coefficient s'obtient en\ncroisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme\npuis en sommant."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & -1\n\\end{pmatrix}$ et $X = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 4\n\\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 14 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne\n$X$ : $1 \\times 2 + 3 \\times 4 = 14$, puis\n$2 \\times 2 + -1 \\times 4 = 0$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 10 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :\nla règle utilise les lignes de $A$, d'où $14$ puis $0$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi\nmultiplier par $4$, ce qui donne $14$ puis $0$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :\nchaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où\n$14$ puis $0$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit d'une matrice $2 \\times 2$ par une colonne $2 \\times\n1$ est une colonne $2 \\times 1$ : chaque coefficient s'obtient en\ncroisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme\npuis en sommant."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ 1 & 4\n\\end{pmatrix}$ et $X = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1\n\\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 13 \\\\ 9 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne\n$X$ : $3 \\times 5 + -2 \\times 1 = 13$, puis\n$1 \\times 5 + 4 \\times 1 = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 16 \\\\ -6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :\nla règle utilise les lignes de $A$, d'où $13$ puis $9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 15 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi\nmultiplier par $1$, ce qui donne $13$ puis $9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 15 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :\nchaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où\n$13$ puis $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit d'une matrice $2 \\times 2$ par une colonne $2 \\times\n1$ est une colonne $2 \\times 1$ : chaque coefficient s'obtient en\ncroisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme\npuis en sommant."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 4 & 1 \\\\ 2 & 5\n\\end{pmatrix}$ et $X = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2\n\\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 14 \\\\ 16 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne\n$X$ : $4 \\times 3 + 1 \\times 2 = 14$, puis\n$2 \\times 3 + 5 \\times 2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 16 \\\\ 13 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :\nla règle utilise les lignes de $A$, d'où $14$ puis $16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 12 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi\nmultiplier par $2$, ce qui donne $14$ puis $16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 12 \\\\ 10 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :\nchaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où\n$14$ puis $16$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit d'une matrice $2 \\times 2$ par une colonne $2 \\times\n1$ est une colonne $2 \\times 1$ : chaque coefficient s'obtient en\ncroisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme\npuis en sommant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse",
        "inverse-matrice"
      ],
      "title": "Une matrice non inversible",
      "partie": "matrices",
      "statement": "On rappelle qu'une matrice $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\n\\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \\neq\n0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ x & 6 \\end{pmatrix}$ n'est-elle\npas inversible ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le déterminant vaut $3 \\times 6 - 2\n\\times x = 18 - 2x$, et il s'annule pour $x =\n9$."
        },
        {
          "text": "$x = -9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le déterminant est la différence\n$18 - 2x$, qui s'annule pour $x = 9$."
        },
        {
          "text": "$x = 18$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $2$ a été oubliée : l'équation $2x =\n18$ donne $x = 9$."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $2$,\npas sur celle de $3$ et $6$, d'où $x = 9$."
        }
      ],
      "explanation": "Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque\nson déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant\nrevient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue\ncherchée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On rappelle qu'une matrice $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\n\\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \\neq\n0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =\n\\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ x & 6 \\end{pmatrix}$ n'est-elle\npas inversible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le déterminant vaut $3 \\times 6 - 2\n\\times x = 18 - 2x$, et il s'annule pour $x =\n9$."
            },
            {
              "text": "$x = -9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le déterminant est la différence\n$18 - 2x$, qui s'annule pour $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ a été oubliée : l'équation $2x =\n18$ donne $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $2$,\npas sur celle de $3$ et $6$, d'où $x = 9$."
            }
          ],
          "explanation": "Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque\nson déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant\nrevient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue\ncherchée."
        },
        {
          "statement": "On rappelle qu'une matrice $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\n\\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \\neq\n0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =\n\\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ x & 6 \\end{pmatrix}$ n'est-elle\npas inversible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le déterminant vaut $2 \\times 6 - 3\n\\times x = 12 - 3x$, et il s'annule pour $x =\n4$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le déterminant est la différence\n$12 - 3x$, qui s'annule pour $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $3$ a été oubliée : l'équation $3x =\n12$ donne $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $3$,\npas sur celle de $2$ et $6$, d'où $x = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque\nson déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant\nrevient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue\ncherchée."
        },
        {
          "statement": "On rappelle qu'une matrice $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\n\\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \\neq\n0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =\n\\begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ x & 4 \\end{pmatrix}$ n'est-elle\npas inversible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le déterminant vaut $3 \\times 4 - 6\n\\times x = 12 - 6x$, et il s'annule pour $x =\n2$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le déterminant est la différence\n$12 - 6x$, qui s'annule pour $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $6$ a été oubliée : l'équation $6x =\n12$ donne $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $6$,\npas sur celle de $3$ et $4$, d'où $x = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque\nson déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant\nrevient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue\ncherchée."
        },
        {
          "statement": "On rappelle qu'une matrice $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\n\\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \\neq\n0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =\n\\begin{pmatrix} 5 & 10 \\\\ x & 2 \\end{pmatrix}$ n'est-elle\npas inversible ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le déterminant vaut $5 \\times 2 - 10\n\\times x = 10 - 10x$, et il s'annule pour $x =\n1$."
            },
            {
              "text": "$x = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le déterminant est la différence\n$10 - 10x$, qui s'annule pour $x = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $10$ a été oubliée : l'équation $10x =\n10$ donne $x = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $10$,\npas sur celle de $5$ et $2$, d'où $x = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque\nson déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant\nrevient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue\ncherchée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance-matrice",
        "puissances"
      ],
      "title": "Carré d'une matrice diagonale",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $D = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$. Que\nvaut $D^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 25 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il\nreste $(3)^2 = 9$ puis $(5)^2 = 25$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 6 & 0 \\\\ 0 & 10 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la\nmatrice par elle-même, elle ne la double pas."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 15 & 0 \\\\ 0 & 15 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :\nchaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où\n$9$ puis $25$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient\n$25$, comme le premier devient $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des\ncarrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits\ncroisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque\ncoefficient diagonal à la puissance $n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $D = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$. Que\nvaut $D^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 25 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il\nreste $(3)^2 = 9$ puis $(5)^2 = 25$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 6 & 0 \\\\ 0 & 10 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la\nmatrice par elle-même, elle ne la double pas."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 15 & 0 \\\\ 0 & 15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :\nchaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où\n$9$ puis $25$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient\n$25$, comme le premier devient $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des\ncarrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits\ncroisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque\ncoefficient diagonal à la puissance $n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $D = \\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 4 \\end{pmatrix}$. Que\nvaut $D^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 16 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il\nreste $(2)^2 = 4$ puis $(4)^2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 8 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la\nmatrice par elle-même, elle ne la double pas."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 8 & 0 \\\\ 0 & 8 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :\nchaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où\n$4$ puis $16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient\n$16$, comme le premier devient $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des\ncarrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits\ncroisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque\ncoefficient diagonal à la puissance $n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $D = \\begin{pmatrix} -2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{pmatrix}$. Que\nvaut $D^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 9 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il\nreste $(-2)^2 = 4$ puis $(3)^2 = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -4 & 0 \\\\ 0 & 6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la\nmatrice par elle-même, elle ne la double pas."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -6 & 0 \\\\ 0 & -6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :\nchaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où\n$4$ puis $9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient\n$9$, comme le premier devient $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des\ncarrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits\ncroisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque\ncoefficient diagonal à la puissance $n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $D = \\begin{pmatrix} -3 & 0 \\\\ 0 & 4 \\end{pmatrix}$. Que\nvaut $D^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 16 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il\nreste $(-3)^2 = 9$ puis $(4)^2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -6 & 0 \\\\ 0 & 8 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la\nmatrice par elle-même, elle ne la double pas."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -12 & 0 \\\\ 0 & -12 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :\nchaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où\n$9$ puis $16$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 9 & 0 \\\\ 0 & 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient\n$16$, comme le premier devient $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des\ncarrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits\ncroisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque\ncoefficient diagonal à la puissance $n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite",
        "matrice-identite"
      ],
      "title": "Reconnaître $I_3$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Parmi les matrices suivantes, laquelle est la matrice identité\n$I_3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : des $1$ sur la diagonale principale, des $0$\npartout ailleurs. C'est le neutre du produit : $AI_3 = I_3A =\nA$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tous les coefficients valent $1$ : cette matrice mélange les\nlignes au lieu de les laisser intactes."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagonale secondaire : cette matrice renverse l'ordre des\nlignes. L'identité porte ses $1$ sur l'autre diagonale."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\n\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'identité d'ordre $4$ : l'indice de $I_3$ annonce le\nnombre de lignes et de colonnes, ici $3$."
        }
      ],
      "explanation": "La matrice identité $I_n$ porte des $1$ sur sa diagonale\nprincipale et des $0$ ailleurs. Elle vérifie $AI_n = I_nA = A$ et\nsert de référence pour l'inverse, défini par $AA^{-1} = I_n$."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrice-transition",
        "matrice-stochastique",
        "transition"
      ],
      "title": "Première ligne d'une transition",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état\n$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}2$ et en $C$ avec la\nprobabilité $0{,}5$. Quelle est la première ligne de sa matrice de\ntransition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}2\n- 0{,}5 = 0{,}3$, et la ligne somme bien à $1$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des états non respecté : la première colonne correspond\nà l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}3$ de rester sur\nplace."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à\n$0{,}7$ au lieu de $1$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée\nen $B$, de probabilité $0{,}2$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les\nprobabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans\nl'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient\ndiagonal est la probabilité de rester sur place.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état\n$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}2$ et en $C$ avec la\nprobabilité $0{,}5$. Quelle est la première ligne de sa matrice de\ntransition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}2\n- 0{,}5 = 0{,}3$, et la ligne somme bien à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des états non respecté : la première colonne correspond\nà l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}3$ de rester sur\nplace."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à\n$0{,}7$ au lieu de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée\nen $B$, de probabilité $0{,}2$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les\nprobabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans\nl'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient\ndiagonal est la probabilité de rester sur place."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état\n$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}1$ et en $C$ avec la\nprobabilité $0{,}4$. Quelle est la première ligne de sa matrice de\ntransition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}1\n- 0{,}4 = 0{,}5$, et la ligne somme bien à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des états non respecté : la première colonne correspond\nà l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}5$ de rester sur\nplace."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0{,}1 & 0{,}4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à\n$0{,}5$ au lieu de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée\nen $B$, de probabilité $0{,}1$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les\nprobabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans\nl'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient\ndiagonal est la probabilité de rester sur place."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état\n$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}25$ et en $C$ avec la\nprobabilité $0{,}15$. Quelle est la première ligne de sa matrice de\ntransition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}25 & 0{,}15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}25\n- 0{,}15 = 0{,}6$, et la ligne somme bien à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}15 & 0{,}6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des états non respecté : la première colonne correspond\nà l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}6$ de rester sur\nplace."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0{,}25 & 0{,}15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à\n$0{,}4$ au lieu de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}15 & 0{,}25 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée\nen $B$, de probabilité $0{,}25$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les\nprobabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans\nl'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient\ndiagonal est la probabilité de rester sur place."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état\n$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}3$ et en $C$ avec la\nprobabilité $0{,}6$. Quelle est la première ligne de sa matrice de\ntransition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}3\n- 0{,}6 = 0{,}1$, et la ligne somme bien à $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}6 & 0{,}1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des états non respecté : la première colonne correspond\nà l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}1$ de rester sur\nplace."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à\n$0{,}9$ au lieu de $1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}6 & 0{,}3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée\nen $B$, de probabilité $0{,}3$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les\nprobabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans\nl'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient\ndiagonal est la probabilité de rester sur place."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "invariante",
        "equilibre"
      ],
      "title": "Partir de la distribution invariante",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et admet la\ndistribution invariante $\\pi$. La chaîne démarre avec la\ndistribution $\\pi$. Quelle est sa distribution après $10$\nétapes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$, donc chaque étape laisse la\ndistribution inchangée et $\\pi P^{10} = \\pi$."
        },
        {
          "text": "$\\pi^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une distribution ne s'élève pas à une puissance : c'est $P$\nqui est appliquée dix fois, et elle laisse $\\pi$ inchangée."
        },
        {
          "text": "$10\\,\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients d'une distribution somment à $1$ : les\nmultiplier par $10$ donnerait une somme de $10$."
        },
        {
          "text": "$P^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion d'objets : $P^{10}$ est une matrice carrée, alors\nque la distribution cherchée est une matrice ligne."
        }
      ],
      "explanation": "Une distribution invariante vérifie $\\pi P = \\pi$ : c'est un état\nd'équilibre. En répétant l'opération, $\\pi P^n = \\pi$ pour tout\nentier $n$ : partie de $\\pi$, la chaîne y reste indéfiniment."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-matricielle",
        "suites-matricielles",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Se ramener à $V_{n+1} = AV_n$",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = AU_n + C$, où\n$A$ est une matrice carrée et $C$ une colonne, toutes deux\nfixées. On pose $V_n = U_n - X$, avec $X$ une colonne constante.\nQue doit vérifier $X$ pour que $V_{n+1} = AV_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X = AX + C$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V_{n+1} = AU_n + C - X = AV_n + (AX + C -\nX)$, et le terme constant disparaît exactement lorsque $X =\nAX + C$."
        },
        {
          "text": "$X - AX = -C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe au regroupement : la condition $X = AX + C$\ns'écrit $X - AX = C$, et non avec $-C$."
        },
        {
          "text": "$AX + C = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La colonne $X$ retranchée a été oubliée : le terme constant du\ncalcul est $AX + C - X$, nul lorsque $X = AX + C$."
        },
        {
          "text": "$X = CX + A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : c'est $A$ qui multiplie la colonne et $C$\nqui s'ajoute, d'où la condition $X = AX + C$."
        }
      ],
      "explanation": "On cherche une colonne fixe, solution de $X = AX + C$ : la suite\n$V_n = U_n - X$ vérifie alors $V_{n+1} = AV_n$, donc $V_n = A^n\nV_0$ et $U_n = A^n V_0 + X$. Tout revient ainsi aux puissances de\n$A$."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "non-commutativite"
      ],
      "title": "Mesurer l'écart entre $AB$ et $BA$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\n$AB - BA$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ et $BA = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de\n$3 - 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit\nvaut $3$ dans $AB$ et $1$ dans $BA$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -2 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,\nsoit $3 - 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 3 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le\ncoefficient $1$ venu de $BA$."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne\ndiffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence\n$\\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ n'est nulle\nque si $a = 1$ ou $b = 0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\n$AB - BA$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ et $BA = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de\n$3 - 1 = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit\nvaut $3$ dans $AB$ et $1$ dans $BA$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -2 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,\nsoit $3 - 1 = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 3 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le\ncoefficient $1$ venu de $BA$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne\ndiffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence\n$\\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ n'est nulle\nque si $a = 1$ ou $b = 0$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\n$AB - BA$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 8 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\begin{pmatrix} 3 & 12 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ et $BA = \\begin{pmatrix} 3 & 4 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de\n$12 - 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit\nvaut $12$ dans $AB$ et $4$ dans $BA$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -8 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,\nsoit $12 - 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 12 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le\ncoefficient $4$ venu de $BA$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne\ndiffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence\n$\\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ n'est nulle\nque si $a = 1$ ou $b = 0$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\n$AB - BA$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 9 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\begin{pmatrix} 4 & 12 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ et $BA = \\begin{pmatrix} 4 & 3 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de\n$12 - 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit\nvaut $12$ dans $AB$ et $3$ dans $BA$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -9 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,\nsoit $12 - 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 12 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le\ncoefficient $3$ venu de $BA$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne\ndiffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence\n$\\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ n'est nulle\nque si $a = 1$ ou $b = 0$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 5 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\n$AB - BA$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 12 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\begin{pmatrix} 5 & 15 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ et $BA = \\begin{pmatrix} 5 & 3 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de\n$15 - 3 = 12$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit\nvaut $15$ dans $AB$ et $3$ dans $BA$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -12 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,\nsoit $15 - 3 = 12$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 15 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le\ncoefficient $3$ venu de $BA$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne\ndiffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence\n$\\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ n'est nulle\nque si $a = 1$ ou $b = 0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "systeme",
        "matrice-inverse"
      ],
      "title": "Résoudre un système par l'inverse",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Le système $\\begin{cases} 2x + y = 5 \\\\ x + y = 3 \\end{cases}$ s'écrit\n$AX = B$ avec $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$,\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$. On donne\n$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ -1 & 2 \\end{pmatrix}$. Quelle est\nla solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2$ et $y = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B$, soit\n$x = 1 \\times 5 - 1 \\times 3 = 2$ et\n$y = -1 \\times 5 + 2 \\times 3 = 1$."
        },
        {
          "text": "$x = 1$ et $y = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux inconnues sont échangées. Pour contrôler :\n$2 \\times 1 + 2 = 4 \\neq 5$."
        },
        {
          "text": "$x = 13$ et $y = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le produit $AB$. On multiplie $B$ par l'inverse\n$A^{-1}$, pas par $A$."
        },
        {
          "text": "$x = 5$ et $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont les coefficients de $B$, les seconds membres du\nsystème, pas ses solutions."
        }
      ],
      "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B$ équivaut à $X = A^{-1}B$ : on\nmultiplie à gauche par $A^{-1}$ les deux membres."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "graphe",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Ordre d'un graphe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Qu'appelle-t-on l'ordre d'un graphe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre de ses sommets",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un graphe à $5$ sommets est d'ordre $5$, quel que soit\nson nombre d'arêtes."
        },
        {
          "text": "Le nombre de ses arêtes",
          "correct": false,
          "feedback": "Les arêtes se comptent à part : leur nombre vaut la moitié de la\nsomme des degrés."
        },
        {
          "text": "Le plus grand degré d'un sommet",
          "correct": false,
          "feedback": "Le degré concerne un sommet ; l'ordre concerne le graphe entier\net compte ses sommets."
        },
        {
          "text": "La longueur de sa plus longue chaîne",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur d'une chaîne compte des arêtes ; l'ordre compte les\nsommets du graphe."
        }
      ],
      "explanation": "Vocabulaire : ordre = nombre de sommets ; degré d'un sommet = nombre\nd'arêtes qui en partent ; longueur d'une chaîne = nombre d'arêtes\nparcourues."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "degre",
        "somme-des-degres"
      ],
      "title": "Somme des degrés lue sur un graphe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Quelle est la somme des degrés des sommets du graphe ci-contre ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (2.4,0) {$B$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (C) at (3.2,2) {$C$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (D) at (1.2,3.2) {$D$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (E) at (-0.8,2) {$E$};\n  \\draw (A) -- (B);\n  \\draw (B) -- (C);\n  \\draw (C) -- (D);\n  \\draw (D) -- (E);\n  \\draw (E) -- (A);\n  \\draw (A) -- (C);\n  \\draw (B) -- (D);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe non orienté à cinq sommets A, B, C, D, E et sept arêtes : AB, BC, CD, DE, EA, AC et BD.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"143.281pt\" height=\"120.604pt\" viewBox=\"0 0 143.281 120.604\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.765625 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.75 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.3125 0 C 2.375 0 2.5 0 2.5 -0.1875 C 2.5 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.875 -0.40625 1.875 -0.65625 C 1.875 -0.765625 1.9375 -0.875 2.015625 -1.015625 L 2.78125 -2.28125 L 5.265625 -2.28125 C 5.28125 -2.078125 5.421875 -0.734375 5.421875 -0.640625 C 5.421875 -0.34375 4.90625 -0.3125 4.703125 -0.3125 C 4.5625 -0.3125 4.46875 -0.3125 4.46875 -0.109375 C 4.46875 0 4.59375 0 4.609375 0 C 5.015625 0 5.4375 -0.03125 5.84375 -0.03125 C 6.09375 -0.03125 6.71875 0 6.96875 0 C 7.03125 0 7.140625 0 7.140625 -0.203125 C 7.140625 -0.3125 7.046875 -0.3125 6.921875 -0.3125 C 6.296875 -0.3125 6.296875 -0.375 6.265625 -0.65625 L 5.671875 -6.859375 C 5.640625 -7.046875 5.640625 -7.09375 5.484375 -7.09375 C 5.3125 -7.09375 5.28125 -7.03125 5.21875 -6.921875 Z M 2.96875 -2.59375 L 4.90625 -5.859375 L 5.234375 -2.59375 Z M 2.96875 -2.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.765625 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.21875 0 C 5.78125 0 6.953125 -1.171875 6.953125 -2.140625 C 6.953125 -2.859375 6.375 -3.421875 5.421875 -3.53125 C 6.453125 -3.71875 7.484375 -4.453125 7.484375 -5.40625 C 7.484375 -6.125 6.828125 -6.765625 5.640625 -6.765625 L 2.3125 -6.765625 C 2.125 -6.765625 2.03125 -6.765625 2.03125 -6.5625 C 2.03125 -6.453125 2.125 -6.453125 2.3125 -6.453125 C 2.328125 -6.453125 2.515625 -6.453125 2.6875 -6.4375 C 2.859375 -6.421875 2.953125 -6.40625 2.953125 -6.28125 C 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stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 80.786548 -0.00185066 C 80.786548 7.045054 75.078359 12.757168 68.031455 12.757168 C 60.988476 12.757168 55.276362 7.045054 55.276362 -0.00185066 C 55.276362 -7.044829 60.988476 -12.756944 68.031455 -12.756944 C 75.078359 -12.756944 80.786548 -7.044829 80.786548 -0.00185066 Z M 80.786548 -0.00185066 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"101.120566\" y=\"108.619537\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-2)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 103.466195 56.695304 C 103.466195 63.738282 97.75408 69.450397 90.711102 69.450397 C 83.664197 69.450397 77.952083 63.738282 77.952083 56.695304 C 77.952083 49.6484 83.664197 43.936285 90.711102 43.936285 C 97.75408 43.936285 103.466195 49.6484 103.466195 56.695304 Z M 103.466195 56.695304 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"123.795779\" y=\"52.209609\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-3)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 46.772966 90.708886 C 46.772966 97.75579 41.060852 103.463979 34.017873 103.463979 C 26.970969 103.463979 21.258854 97.75579 21.258854 90.708886 C 21.258854 83.665907 26.970969 77.953792 34.017873 77.953792 C 41.060852 77.953792 46.772966 83.665907 46.772966 90.708886 Z M 46.772966 90.708886 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"67.041578\" y=\"18.364447\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -9.920262 56.695304 C -9.920262 63.738282 -15.632377 69.450397 -22.679281 69.450397 C -29.72226 69.450397 -35.434375 63.738282 -35.434375 56.695304 C -35.434375 49.6484 -29.72226 43.936285 -22.679281 43.936285 C -15.632377 43.936285 -9.920262 49.6484 -9.920262 56.695304 Z M -9.920262 56.695304 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-4\" x=\"10.928161\" y=\"52.209609\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.955677 -0.00185066 L 55.076143 -0.00185066 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 72.844549 12.02696 L 85.898007 44.666493 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 79.600941 63.357475 L 45.124108 84.042789 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 22.907712 84.042789 L -11.56912 63.357475 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -17.866187 44.666493 L -4.812729 12.02696 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 10.984899 6.864464 L 79.722642 49.828989 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 63.485318 12.129032 L 38.56401 78.578003 \" transform=\"matrix(0.995007, 0, 0, -0.995007, 37.437136, 105.232534)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$14$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A$, $B$, $C$ et $D$ sont de degré $3$, $E$ de degré $2$,\nd'où $3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14$, soit deux fois les $7$ arêtes."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre d'arêtes : chaque arête compte dans le degré de ses\n**deux** extrémités, la somme des degrés vaut donc le double."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'ordre du graphe, c'est-à-dire son nombre de sommets."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une somme des degrés est toujours paire : elle vaut deux fois le\nnombre d'arêtes. Un degré a été surestimé."
        }
      ],
      "explanation": "Dans tout graphe non orienté, la somme des degrés vaut le double du\nnombre d'arêtes. Le nombre de sommets de degré impair est donc pair."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrice-adjacence"
      ],
      "title": "Matrice d'adjacence d'un graphe dessiné",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Quelle est la matrice d'adjacence du graphe ci-contre, les sommets étant\npris dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (2.4,0) {$B$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (C) at (2.4,2.2) {$C$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (D) at (0,2.2) {$D$};\n  \\draw (A) -- (B);\n  \\draw (A) -- (C);\n  \\draw (B) -- (C);\n  \\draw (C) -- (D);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D et quatre arêtes : AB, AC, BC et CD.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"97.927pt\" height=\"92.257pt\" viewBox=\"0 0 97.927 92.257\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.765625 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.546875 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.734375 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.3125 0 C 2.375 0 2.5 0 2.5 -0.1875 C 2.5 -0.296875 2.40625 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.109375 -0.328125 1.875 -0.40625 1.875 -0.65625 C 1.875 -0.765625 1.9375 -0.875 2.015625 -1.015625 L 2.765625 -2.28125 L 5.25 -2.28125 C 5.265625 -2.078125 5.40625 -0.734375 5.40625 -0.640625 C 5.40625 -0.34375 4.890625 -0.3125 4.703125 -0.3125 C 4.5625 -0.3125 4.453125 -0.3125 4.453125 -0.109375 C 4.453125 0 4.578125 0 4.59375 0 C 5 0 5.4375 -0.03125 5.828125 -0.03125 C 6.078125 -0.03125 6.703125 0 6.953125 0 C 7.015625 0 7.125 0 7.125 -0.203125 C 7.125 -0.3125 7.03125 -0.3125 6.90625 -0.3125 C 6.296875 -0.3125 6.296875 -0.375 6.265625 -0.65625 L 5.65625 -6.84375 C 5.640625 -7.046875 5.640625 -7.078125 5.46875 -7.078125 C 5.3125 -7.078125 5.265625 -7.015625 5.21875 -6.90625 Z M 2.953125 -2.59375 L 4.90625 -5.859375 L 5.21875 -2.59375 Z M 2.953125 -2.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.765625 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.21875 0 C 5.78125 0 6.9375 -1.171875 6.9375 -2.140625 C 6.9375 -2.84375 6.375 -3.421875 5.40625 -3.53125 C 6.4375 -3.71875 7.484375 -4.453125 7.484375 -5.390625 C 7.484375 -6.125 6.828125 -6.75 5.640625 -6.75 L 2.3125 -6.75 C 2.125 -6.75 2.03125 -6.75 2.03125 -6.5625 C 2.03125 -6.453125 2.109375 -6.453125 2.296875 -6.453125 C 2.328125 -6.453125 2.515625 -6.453125 2.6875 -6.421875 C 2.859375 -6.40625 2.953125 -6.40625 2.953125 -6.265625 C 2.953125 -6.234375 2.9375 -6.203125 2.90625 -6.078125 Z M 3.078125 -3.625 L 3.6875 -6.078125 C 3.78125 -6.421875 3.796875 -6.453125 4.21875 -6.453125 L 5.5 -6.453125 C 6.375 -6.453125 6.578125 -5.859375 6.578125 -5.4375 C 6.578125 -4.5625 5.734375 -3.625 4.515625 -3.625 Z M 2.625 -0.3125 C 2.5 -0.3125 2.46875 -0.3125 2.40625 -0.3125 C 2.3125 -0.328125 2.28125 -0.34375 2.28125 -0.421875 C 2.28125 -0.4375 2.28125 -0.46875 2.328125 -0.640625 L 3.015625 -3.40625 L 4.890625 -3.40625 C 5.828125 -3.40625 6.015625 -2.671875 6.015625 -2.25 C 6.015625 -1.265625 5.140625 -0.3125 3.96875 -0.3125 Z M 2.625 -0.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 7.515625 -6.875 C 7.515625 -6.90625 7.5 -6.96875 7.40625 -6.96875 C 7.375 -6.96875 7.375 -6.96875 7.265625 -6.859375 L 6.5625 -6.09375 C 6.484375 -6.234375 6.015625 -6.96875 4.921875 -6.96875 C 2.71875 -6.96875 0.5 -4.78125 0.5 -2.5 C 0.5 -0.859375 1.65625 0.21875 3.171875 0.21875 C 4.03125 0.21875 4.78125 -0.171875 5.3125 -0.640625 C 6.234375 -1.4375 6.40625 -2.34375 6.40625 -2.375 C 6.40625 -2.46875 6.296875 -2.46875 6.28125 -2.46875 C 6.21875 -2.46875 6.171875 -2.453125 6.15625 -2.375 C 6.0625 -2.09375 5.828125 -1.390625 5.15625 -0.8125 C 4.46875 -0.25 3.84375 -0.09375 3.328125 -0.09375 C 2.4375 -0.09375 1.390625 -0.609375 1.390625 -2.140625 C 1.390625 -2.703125 1.609375 -4.3125 2.59375 -5.46875 C 3.1875 -6.171875 4.125 -6.671875 5 -6.671875 C 6.015625 -6.671875 6.59375 -5.90625 6.59375 -4.75 C 6.59375 -4.359375 6.5625 -4.359375 6.5625 -4.25 C 6.5625 -4.15625 6.671875 -4.15625 6.71875 -4.15625 C 6.84375 -4.15625 6.84375 -4.171875 6.890625 -4.359375 Z M 7.515625 -6.875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.765625 C 1.46875 -0.390625 1.453125 -0.3125 0.671875 -0.3125 C 0.5 -0.3125 0.390625 -0.3125 0.390625 -0.125 C 0.390625 0 0.484375 0 0.671875 0 L 3.953125 0 C 6 0 7.953125 -2.09375 7.953125 -4.25 C 7.953125 -5.640625 7.109375 -6.75 5.625 -6.75 L 2.296875 -6.75 C 2.109375 -6.75 2 -6.75 2 -6.5625 C 2 -6.453125 2.09375 -6.453125 2.296875 -6.453125 C 2.421875 -6.453125 2.59375 -6.4375 2.71875 -6.421875 C 2.875 -6.40625 2.9375 -6.375 2.9375 -6.265625 C 2.9375 -6.234375 2.921875 -6.203125 2.890625 -6.078125 Z M 3.703125 -6.078125 C 3.796875 -6.421875 3.8125 -6.453125 4.25 -6.453125 L 5.296875 -6.453125 C 6.265625 -6.453125 7.09375 -5.921875 7.09375 -4.625 C 7.09375 -4.140625 6.890625 -2.515625 6.046875 -1.421875 C 5.765625 -1.0625 4.984375 -0.3125 3.765625 -0.3125 L 2.65625 -0.3125 C 2.515625 -0.3125 2.5 -0.3125 2.4375 -0.3125 C 2.328125 -0.328125 2.296875 -0.34375 2.296875 -0.421875 C 2.296875 -0.4375 2.296875 -0.46875 2.359375 -0.640625 Z M 3.703125 -6.078125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0.355469 58 L 34 58 L 34 91.519531 L 0.355469 91.519531 Z M 0.355469 58 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-1\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 64 58 L 97.5 58 L 97.5 91.519531 L 64 91.519531 Z M 64 58 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-2\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 64 0 L 97.5 0 L 97.5 34 L 64 34 Z M 64 0 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-3\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0.355469 0 L 34 0 L 34 34 L 0.355469 34 Z M 0.355469 0 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.754285 -0.0000473487 C 12.754285 7.044515 7.044606 12.754193 0.0000442541 12.754193 C -7.044518 12.754193 -12.754196 7.044515 -12.754196 -0.0000473487 C -12.754196 -7.044609 -7.044518 -12.754288 0.0000442541 -12.754288 C 7.044606 -12.754288 12.754285 -7.044609 12.754285 -0.0000473487 Z M 12.754285 -0.0000473487 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"11.477398\" y=\"80.068164\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-1)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 80.790027 -0.0000473487 C 80.790027 7.044515 75.07641 12.754193 68.031848 12.754193 C 60.987286 12.754193 55.277608 7.044515 55.277608 -0.0000473487 C 55.277608 -7.044609 60.987286 -12.754288 68.031848 -12.754288 C 75.07641 -12.754288 80.790027 -7.044609 80.790027 -0.0000473487 Z M 80.790027 -0.0000473487 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"78.675214\" y=\"80.068164\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-2)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 80.790027 62.361455 C 80.790027 69.406017 75.07641 75.119634 68.031848 75.119634 C 60.987286 75.119634 55.277608 69.406017 55.277608 62.361455 C 55.277608 55.316893 60.987286 49.607215 68.031848 49.607215 C 75.07641 49.607215 80.790027 55.316893 80.790027 62.361455 Z M 80.790027 62.361455 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"78.785327\" y=\"18.204389\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-3)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.754285 62.361455 C 12.754285 69.406017 7.044606 75.119634 0.0000442541 75.119634 C -7.044518 75.119634 -12.754196 69.406017 -12.754196 62.361455 C -12.754196 55.316893 -7.044518 49.607215 0.0000442541 49.607215 C 7.044606 49.607215 12.754285 55.316893 12.754285 62.361455 Z M 12.754285 62.361455 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"10.954608\" y=\"18.204389\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.955108 -0.0000473487 L 55.076785 -0.0000473487 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 9.548989 8.753481 L 58.482903 53.607928 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 68.031848 12.955016 L 68.031848 49.406392 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 55.076785 62.361455 L 12.955108 62.361455 \" transform=\"matrix(0.992011, 0, 0, -0.992011, 15.18355, 76.691359)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient $(i, j)$ vaut $1$ si les sommets $i$ et $j$\nsont reliés. La matrice est symétrique, de diagonale nulle (pas de\nboucle)."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagonale fausse : un $1$ en position $(i, i)$ signalerait une boucle\nsur le sommet $i$, et le graphe n'en a pas."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les degrés ont été placés sur la diagonale : la matrice d'adjacence\nne contient que des $0$ et des $1$ pour un graphe simple."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la moitié des arêtes est notée : dans un graphe non orienté, une\narête $AB$ donne un $1$ en $(A, B)$ **et** en $(B, A)$."
        }
      ],
      "explanation": "La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique. La\nsomme des coefficients d'une ligne donne le degré du sommet\ncorrespondant."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "connexite"
      ],
      "title": "Reconnaître un graphe non connexe",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Le graphe ci-contre est-il connexe ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (2,0) {$B$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (C) at (1,1.8) {$C$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (D) at (3.6,0.4) {$D$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (E) at (4.4,2) {$E$};\n  \\draw (A) -- (B);\n  \\draw (B) -- (C);\n  \\draw (C) -- (A);\n  \\draw (D) -- (E);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe non orienté à cinq sommets : un triangle formé de A, B, C et une arête isolée qui relie D et E, sans arête entre les deux groupes.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"154.62pt\" height=\"86.588pt\" viewBox=\"0 0 154.62 86.588\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.75 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.328125 0 C 2.375 0 2.515625 0 2.515625 -0.1875 C 2.515625 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.890625 -0.40625 1.890625 -0.65625 C 1.890625 -0.78125 1.9375 -0.890625 2.03125 -1.015625 L 2.78125 -2.296875 L 5.265625 -2.296875 C 5.28125 -2.078125 5.421875 -0.734375 5.421875 -0.640625 C 5.421875 -0.34375 4.90625 -0.3125 4.71875 -0.3125 C 4.578125 -0.3125 4.46875 -0.3125 4.46875 -0.109375 C 4.46875 0 4.59375 0 4.609375 0 C 5.015625 0 5.453125 -0.03125 5.859375 -0.03125 C 6.109375 -0.03125 6.734375 0 6.96875 0 C 7.03125 0 7.15625 0 7.15625 -0.203125 C 7.15625 -0.3125 7.046875 -0.3125 6.921875 -0.3125 C 6.3125 -0.3125 6.3125 -0.375 6.28125 -0.671875 L 5.671875 -6.859375 C 5.65625 -7.0625 5.65625 -7.109375 5.484375 -7.109375 C 5.328125 -7.109375 5.28125 -7.03125 5.234375 -6.9375 Z M 2.96875 -2.59375 L 4.921875 -5.875 L 5.234375 -2.59375 Z M 2.96875 -2.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.59375 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.234375 0 C 5.796875 0 6.96875 -1.171875 6.96875 -2.140625 C 6.96875 -2.859375 6.390625 -3.4375 5.421875 -3.546875 C 6.453125 -3.734375 7.5 -4.46875 7.5 -5.40625 C 7.5 -6.140625 6.84375 -6.78125 5.65625 -6.78125 L 2.328125 -6.78125 C 2.140625 -6.78125 2.03125 -6.78125 2.03125 -6.578125 C 2.03125 -6.46875 2.125 -6.46875 2.3125 -6.46875 C 2.328125 -6.46875 2.515625 -6.46875 2.6875 -6.453125 C 2.875 -6.421875 2.953125 -6.421875 2.953125 -6.296875 C 2.953125 -6.25 2.953125 -6.21875 2.921875 -6.109375 Z M 3.078125 -3.625 L 3.703125 -6.09375 C 3.796875 -6.4375 3.8125 -6.46875 4.234375 -6.46875 L 5.515625 -6.46875 C 6.390625 -6.46875 6.59375 -5.890625 6.59375 -5.453125 C 6.59375 -4.578125 5.75 -3.625 4.53125 -3.625 Z M 2.640625 -0.3125 C 2.5 -0.3125 2.484375 -0.3125 2.421875 -0.3125 C 2.328125 -0.328125 2.296875 -0.34375 2.296875 -0.421875 C 2.296875 -0.453125 2.296875 -0.46875 2.34375 -0.640625 L 3.03125 -3.40625 L 4.90625 -3.40625 C 5.859375 -3.40625 6.046875 -2.671875 6.046875 -2.25 C 6.046875 -1.265625 5.15625 -0.3125 3.984375 -0.3125 Z M 2.640625 -0.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 7.546875 -6.890625 C 7.546875 -6.921875 7.515625 -7 7.4375 -7 C 7.40625 -7 7.390625 -6.984375 7.28125 -6.875 L 6.59375 -6.109375 C 6.5 -6.25 6.046875 -7 4.9375 -7 C 2.734375 -7 0.5 -4.796875 0.5 -2.5 C 0.5 -0.859375 1.671875 0.21875 3.1875 0.21875 C 4.046875 0.21875 4.796875 -0.171875 5.328125 -0.640625 C 6.25 -1.453125 6.421875 -2.34375 6.421875 -2.375 C 6.421875 -2.484375 6.3125 -2.484375 6.296875 -2.484375 C 6.234375 -2.484375 6.1875 -2.453125 6.171875 -2.375 C 6.078125 -2.09375 5.859375 -1.390625 5.171875 -0.8125 C 4.484375 -0.265625 3.859375 -0.09375 3.34375 -0.09375 C 2.453125 -0.09375 1.40625 -0.609375 1.40625 -2.15625 C 1.40625 -2.71875 1.609375 -4.328125 2.59375 -5.484375 C 3.203125 -6.1875 4.140625 -6.6875 5.015625 -6.6875 C 6.03125 -6.6875 6.625 -5.921875 6.625 -4.765625 C 6.625 -4.375 6.59375 -4.359375 6.59375 -4.265625 C 6.59375 -4.171875 6.703125 -4.171875 6.734375 -4.171875 C 6.859375 -4.171875 6.859375 -4.1875 6.921875 -4.359375 Z M 7.546875 -6.890625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.453125 -0.3125 0.671875 -0.3125 C 0.5 -0.3125 0.390625 -0.3125 0.390625 -0.125 C 0.390625 0 0.484375 0 0.671875 0 L 3.953125 0 C 6.015625 0 7.984375 -2.09375 7.984375 -4.265625 C 7.984375 -5.671875 7.140625 -6.78125 5.640625 -6.78125 L 2.3125 -6.78125 C 2.125 -6.78125 2.015625 -6.78125 2.015625 -6.59375 C 2.015625 -6.46875 2.109375 -6.46875 2.296875 -6.46875 C 2.4375 -6.46875 2.609375 -6.453125 2.734375 -6.453125 C 2.890625 -6.421875 2.953125 -6.40625 2.953125 -6.296875 C 2.953125 -6.25 2.9375 -6.21875 2.90625 -6.109375 Z M 3.71875 -6.09375 C 3.8125 -6.4375 3.828125 -6.46875 4.25 -6.46875 L 5.3125 -6.46875 C 6.296875 -6.46875 7.109375 -5.9375 7.109375 -4.640625 C 7.109375 -4.140625 6.921875 -2.515625 6.078125 -1.421875 C 5.78125 -1.0625 5 -0.3125 3.78125 -0.3125 L 2.65625 -0.3125 C 2.515625 -0.3125 2.5 -0.3125 2.4375 -0.3125 C 2.34375 -0.328125 2.3125 -0.34375 2.3125 -0.421875 C 2.3125 -0.453125 2.3125 -0.46875 2.359375 -0.640625 Z M 3.71875 -6.09375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-4\">\n<path d=\"M 7.03125 -2.3125 C 7.046875 -2.359375 7.078125 -2.4375 7.078125 -2.453125 C 7.078125 -2.453125 7.078125 -2.5625 6.953125 -2.5625 C 6.859375 -2.5625 6.84375 -2.5 6.828125 -2.4375 C 6.1875 -0.96875 5.8125 -0.3125 4.125 -0.3125 L 2.671875 -0.3125 C 2.53125 -0.3125 2.515625 -0.3125 2.453125 -0.3125 C 2.34375 -0.328125 2.328125 -0.34375 2.328125 -0.421875 C 2.328125 -0.453125 2.328125 -0.46875 2.375 -0.640625 L 3.046875 -3.359375 L 4.03125 -3.359375 C 4.875 -3.359375 4.875 -3.140625 4.875 -2.890625 C 4.875 -2.828125 4.875 -2.703125 4.796875 -2.40625 C 4.78125 -2.359375 4.765625 -2.328125 4.765625 -2.296875 C 4.765625 -2.25 4.8125 -2.1875 4.90625 -2.1875 C 4.984375 -2.1875 5.015625 -2.25 5.046875 -2.390625 L 5.609375 -4.71875 C 5.609375 -4.765625 5.5625 -4.828125 5.5 -4.828125 C 5.40625 -4.828125 5.390625 -4.765625 5.359375 -4.640625 C 5.15625 -3.890625 4.96875 -3.65625 4.0625 -3.65625 L 3.125 -3.65625 L 3.71875 -6.046875 C 3.8125 -6.40625 3.8125 -6.4375 4.25 -6.4375 L 5.65625 -6.4375 C 6.859375 -6.4375 7.15625 -6.15625 7.15625 -5.34375 C 7.15625 -5.09375 7.15625 -5.078125 7.125 -4.8125 C 7.125 -4.75 7.109375 -4.6875 7.109375 -4.640625 C 7.109375 -4.578125 7.140625 -4.515625 7.234375 -4.515625 C 7.34375 -4.515625 7.359375 -4.578125 7.375 -4.765625 L 7.578125 -6.484375 C 7.59375 -6.75 7.546875 -6.75 7.296875 -6.75 L 2.296875 -6.75 C 2.09375 -6.75 2 -6.75 2 -6.546875 C 2 -6.4375 2.078125 -6.4375 2.265625 -6.4375 C 2.640625 -6.4375 2.921875 -6.4375 2.921875 -6.265625 C 2.921875 -6.21875 2.921875 -6.203125 2.875 -6.015625 L 1.5625 -0.78125 C 1.453125 -0.390625 1.4375 -0.3125 0.65625 -0.3125 C 0.484375 -0.3125 0.375 -0.3125 0.375 -0.125 C 0.375 0 0.46875 0 0.65625 0 L 5.796875 0 C 6.03125 0 6.046875 -0.015625 6.109375 -0.171875 Z M 7.03125 -2.3125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0.175781 52 L 34 52 L 34 86.179688 L 0.175781 86.179688 Z M 0.175781 52 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-1\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 53 52 L 90 52 L 90 86.179688 L 53 86.179688 Z M 53 52 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-2\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 120 0 L 154.066406 0 L 154.066406 34 L 120 34 Z M 120 0 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.756185 -0.0000421392 C 12.756185 7.04504 7.045548 12.755677 0.000466445 12.755677 C -7.044615 12.755677 -12.755252 7.04504 -12.755252 -0.0000421392 C -12.755252 -7.045124 -7.044615 -12.755761 0.000466445 -12.755761 C 7.045548 -12.755761 12.756185 -7.045124 12.756185 -0.0000421392 Z M 12.756185 -0.0000421392 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"11.335916\" y=\"74.688619\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-1)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 69.45045 -0.0000421392 C 69.45045 7.04504 63.739813 12.755677 56.694731 12.755677 C 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fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"39.368532\" y=\"23.907245\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 114.805861 11.338811 C 114.805861 18.383892 109.095224 24.09453 102.050142 24.09453 C 95.005061 24.09453 89.294424 18.383892 89.294424 11.338811 C 89.294424 4.293729 95.005061 -1.416908 102.050142 -1.416908 C 109.095224 -1.416908 114.805861 4.293729 114.805861 11.338811 Z M 114.805861 11.338811 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"112.376149\" y=\"63.404312\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-2)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 137.483567 56.694222 C 137.483567 63.739304 131.769005 69.449941 124.723923 69.449941 C 117.678842 69.449941 111.968204 63.739304 111.968204 56.694222 C 111.968204 49.649141 117.678842 43.938503 124.723923 43.938503 C 131.769005 43.938503 137.483567 49.649141 137.483567 56.694222 Z M 137.483567 56.694222 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-4\" x=\"135.242348\" y=\"18.264096\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.956352 -0.0000421392 L 43.738845 -0.0000421392 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 50.403218 11.323111 L 34.637149 39.69968 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 22.054123 39.69968 L 6.291979 11.323111 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 107.843201 22.924928 L 118.930865 45.108105 \" transform=\"matrix(0.995264, 0, 0, -0.995264, 15.054223, 71.300739)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Non : aucune chaîne ne relie $A$ à $D$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : depuis $A$, on n'atteint que $B$ et $C$. Il suffit d'un\ncouple de sommets non reliés pour que le graphe ne soit pas connexe."
        },
        {
          "text": "Oui : chaque sommet a au moins une arête",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun sommet isolé ne suffit pas : il faut une chaîne entre **tout**\ncouple de sommets, et rien ne relie $\\{A, B, C\\}$ à $\\{D, E\\}$."
        },
        {
          "text": "Oui : il contient un cycle",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cycle $A$, $B$, $C$ n'empêche pas l'existence d'une seconde partie\nséparée, formée de $D$ et $E$."
        },
        {
          "text": "Non : le sommet $C$ est de degré $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le degré d'un sommet ne décide pas de la connexité : le défaut vient\nde l'absence de chaîne entre les deux groupes."
        }
      ],
      "explanation": "Un graphe est connexe si deux sommets quelconques sont toujours reliés\npar une chaîne. Sur un dessin, cela revient à dire qu'il est « d'un seul\ntenant »."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphe-complet",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Nombre d'arêtes d'un graphe complet",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chacun des $5$ sommets est de degré $4$, et chaque\narête est comptée deux fois : $\\dfrac{5 \\times 4}{2} = 10$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses\nextrémités : il faut diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même\nque l'arête $BA$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes."
        }
      ],
      "explanation": "Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les\nautres : il y a $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de\nsommets.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacun des $5$ sommets est de degré $4$, et chaque\narête est comptée deux fois : $\\dfrac{5 \\times 4}{2} = 10$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses\nextrémités : il faut diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même\nque l'arête $BA$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes."
            }
          ],
          "explanation": "Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les\nautres : il y a $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de\nsommets."
        },
        {
          "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacun des $6$ sommets est de degré $5$, et chaque\narête est comptée deux fois : $\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses\nextrémités : il faut diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même\nque l'arête $BA$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes."
            }
          ],
          "explanation": "Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les\nautres : il y a $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de\nsommets."
        },
        {
          "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacun des $7$ sommets est de degré $6$, et chaque\narête est comptée deux fois : $\\dfrac{7 \\times 6}{2} = 21$."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses\nextrémités : il faut diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même\nque l'arête $BA$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes."
            }
          ],
          "explanation": "Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les\nautres : il y a $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de\nsommets."
        },
        {
          "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacun des $8$ sommets est de degré $7$, et chaque\narête est comptée deux fois : $\\dfrac{8 \\times 7}{2} = 28$."
            },
            {
              "text": "$56$",
              "correct": false,
              "feedback": "Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses\nextrémités : il faut diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même\nque l'arête $BA$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes."
            }
          ],
          "explanation": "Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les\nautres : il y a $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de\nsommets."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "chemins",
        "matrice-adjacence"
      ],
      "title": "Compter des chemins sur un dessin",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Soit $M$ la matrice d'adjacence du graphe ci-contre (ordre $A$, $B$, $C$,\n$D$). Que vaut le coefficient de $M^2$ situé ligne $A$, colonne $C$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (2.4,0) {$B$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (C) at (2.4,2.4) {$C$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (D) at (0,2.4) {$D$};\n  \\draw (A) -- (B);\n  \\draw (B) -- (C);\n  \\draw (C) -- (D);\n  \\draw (D) -- (A);\n  \\draw (B) -- (D);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D, placés en carré : arêtes AB, BC, CD, DA et la diagonale BD.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"97.927pt\" height=\"97.927pt\" viewBox=\"0 0 97.927 97.927\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -1.140625 C 1.390625 -0.484375 1 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.484375 0 C 0.75 0 1.0625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2.015625 0 2.328125 0 C 2.390625 0 2.515625 0 2.515625 -0.1875 C 2.515625 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.359375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.890625 -0.40625 1.890625 -0.65625 C 1.890625 -0.78125 1.953125 -0.890625 2.03125 -1.03125 L 2.78125 -2.296875 L 5.28125 -2.296875 C 5.3125 -2.09375 5.4375 -0.734375 5.4375 -0.640625 C 5.4375 -0.34375 4.921875 -0.3125 4.734375 -0.3125 C 4.59375 -0.3125 4.484375 -0.3125 4.484375 -0.109375 C 4.484375 0 4.609375 0 4.625 0 C 5.03125 0 5.46875 -0.03125 5.875 -0.03125 C 6.125 -0.03125 6.75 0 7 0 C 7.0625 0 7.171875 0 7.171875 -0.203125 C 7.171875 -0.3125 7.078125 -0.3125 6.953125 -0.3125 C 6.328125 -0.3125 6.328125 -0.375 6.296875 -0.671875 L 5.6875 -6.890625 C 5.671875 -7.09375 5.671875 -7.125 5.5 -7.125 C 5.34375 -7.125 5.3125 -7.0625 5.25 -6.953125 Z M 2.96875 -2.609375 L 4.9375 -5.890625 L 5.25 -2.609375 Z M 2.96875 -2.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.59375 -0.78125 C 1.5 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.234375 0 C 5.8125 0 6.984375 -1.171875 6.984375 -2.15625 C 6.984375 -2.859375 6.40625 -3.4375 5.4375 -3.546875 C 6.484375 -3.75 7.53125 -4.484375 7.53125 -5.421875 C 7.53125 -6.15625 6.875 -6.796875 5.671875 -6.796875 L 2.328125 -6.796875 C 2.140625 -6.796875 2.046875 -6.796875 2.046875 -6.59375 C 2.046875 -6.484375 2.125 -6.484375 2.3125 -6.484375 C 2.34375 -6.484375 2.53125 -6.484375 2.703125 -6.46875 C 2.875 -6.453125 2.96875 -6.4375 2.96875 -6.3125 C 2.96875 -6.265625 2.953125 -6.234375 2.921875 -6.125 Z M 3.09375 -3.640625 L 3.71875 -6.109375 C 3.796875 -6.453125 3.828125 -6.484375 4.25 -6.484375 L 5.53125 -6.484375 C 6.40625 -6.484375 6.625 -5.90625 6.625 -5.46875 C 6.625 -4.59375 5.765625 -3.640625 4.546875 -3.640625 Z M 2.640625 -0.3125 C 2.515625 -0.3125 2.484375 -0.3125 2.421875 -0.3125 C 2.328125 -0.328125 2.296875 -0.34375 2.296875 -0.421875 C 2.296875 -0.453125 2.296875 -0.46875 2.34375 -0.640625 L 3.03125 -3.421875 L 4.921875 -3.421875 C 5.875 -3.421875 6.0625 -2.6875 6.0625 -2.265625 C 6.0625 -1.28125 5.171875 -0.3125 4 -0.3125 Z M 2.640625 -0.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 7.5625 -6.921875 C 7.5625 -6.953125 7.546875 -7.015625 7.453125 -7.015625 C 7.421875 -7.015625 7.421875 -7 7.3125 -6.890625 L 6.609375 -6.125 C 6.515625 -6.265625 6.0625 -7.015625 4.953125 -7.015625 C 2.734375 -7.015625 0.5 -4.8125 0.5 -2.515625 C 0.5 -0.859375 1.671875 0.21875 3.1875 0.21875 C 4.0625 0.21875 4.8125 -0.171875 5.34375 -0.640625 C 6.265625 -1.453125 6.4375 -2.359375 6.4375 -2.390625 C 6.4375 -2.484375 6.34375 -2.484375 6.3125 -2.484375 C 6.265625 -2.484375 6.203125 -2.46875 6.1875 -2.390625 C 6.09375 -2.09375 5.875 -1.390625 5.1875 -0.8125 C 4.5 -0.265625 3.875 -0.09375 3.359375 -0.09375 C 2.453125 -0.09375 1.40625 -0.609375 1.40625 -2.15625 C 1.40625 -2.734375 1.609375 -4.34375 2.609375 -5.5 C 3.21875 -6.203125 4.15625 -6.703125 5.03125 -6.703125 C 6.046875 -6.703125 6.640625 -5.9375 6.640625 -4.78125 C 6.640625 -4.390625 6.609375 -4.375 6.609375 -4.28125 C 6.609375 -4.1875 6.71875 -4.1875 6.765625 -4.1875 C 6.890625 -4.1875 6.890625 -4.203125 6.9375 -4.375 Z M 7.5625 -6.921875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.78125 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.671875 -0.3125 C 0.5 -0.3125 0.390625 -0.3125 0.390625 -0.125 C 0.390625 0 0.484375 0 0.671875 0 L 3.96875 0 C 6.046875 0 8 -2.09375 8 -4.28125 C 8 -5.6875 7.15625 -6.796875 5.65625 -6.796875 L 2.3125 -6.796875 C 2.125 -6.796875 2.015625 -6.796875 2.015625 -6.609375 C 2.015625 -6.484375 2.109375 -6.484375 2.3125 -6.484375 C 2.4375 -6.484375 2.625 -6.484375 2.734375 -6.46875 C 2.890625 -6.453125 2.953125 -6.421875 2.953125 -6.3125 C 2.953125 -6.265625 2.953125 -6.234375 2.921875 -6.125 Z M 3.734375 -6.109375 C 3.828125 -6.453125 3.84375 -6.484375 4.265625 -6.484375 L 5.328125 -6.484375 C 6.3125 -6.484375 7.140625 -5.96875 7.140625 -4.640625 C 7.140625 -4.15625 6.9375 -2.53125 6.09375 -1.4375 C 5.796875 -1.0625 5.015625 -0.3125 3.796875 -0.3125 L 2.671875 -0.3125 C 2.53125 -0.3125 2.515625 -0.3125 2.453125 -0.3125 C 2.34375 -0.328125 2.3125 -0.34375 2.3125 -0.421875 C 2.3125 -0.453125 2.3125 -0.46875 2.375 -0.640625 Z M 3.734375 -6.109375 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 64 L 34 64 L 34 97.855469 L 0 97.855469 Z M 0 64 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-1\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 64 64 L 97.855469 64 L 97.855469 97.855469 L 64 97.855469 Z M 64 64 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-2\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 64 0 L 97.855469 0 L 97.855469 34 L 64 34 Z M 64 0 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.756231 -0.000780219 C 12.756231 7.04353 7.044945 12.754815 0.000635208 12.754815 C -7.043675 12.754815 -12.75496 7.04353 -12.75496 -0.000780219 C -12.75496 -7.04509 -7.043675 -12.756376 0.000635208 -12.756376 C 7.044945 -12.756376 12.756231 -7.04509 12.756231 -0.000780219 Z M 12.756231 -0.000780219 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"11.203648\" y=\"86.318653\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-1)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 80.787376 -0.000780219 C 80.787376 7.04353 75.07609 12.754815 68.03178 12.754815 C 60.98747 12.754815 55.276185 7.04353 55.276185 -0.000780219 C 55.276185 -7.04509 60.98747 -12.756376 68.03178 -12.756376 C 75.07609 -12.756376 80.787376 -7.04509 80.787376 -0.000780219 Z M 80.787376 -0.000780219 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"78.89219\" y=\"86.318653\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-2)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 80.787376 68.030365 C 80.787376 75.078584 75.07609 80.789869 68.03178 80.789869 C 60.98747 80.789869 55.276185 75.078584 55.276185 68.030365 C 55.276185 60.986055 60.98747 55.274769 68.03178 55.274769 C 75.07609 55.274769 80.787376 60.986055 80.787376 68.030365 Z M 80.787376 68.030365 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"79.003107\" y=\"18.33833\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.756231 68.030365 C 12.756231 75.078584 7.044945 80.789869 0.000635208 80.789869 C -7.043675 80.789869 -12.75496 75.078584 -12.75496 68.030365 C -12.75496 60.986055 -7.043675 55.274769 0.000635208 55.274769 C 7.044945 55.274769 12.756231 60.986055 12.756231 68.030365 Z M 12.756231 68.030365 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"10.677041\" y=\"18.33833\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.955598 -0.000780219 L 55.076818 -0.000780219 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 68.03178 12.954182 L 68.03178 55.075402 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 55.076818 68.030365 L 12.955598 68.030365 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000635208 55.075402 L 0.000635208 12.954182 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 58.872614 9.162295 L 9.159802 58.871198 \" transform=\"matrix(0.999255, 0, 0, -0.999255, 14.936865, 82.917189)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il compte les chemins de longueur $2$ de $A$ à $C$ :\n$A$–$B$–$C$ et $A$–$D$–$C$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "$A$ et $C$ ne sont pas voisins, mais le coefficient de $M^2$ compte les\nchemins de longueur $2$, qui passent par un sommet intermédiaire."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un chemin a été oublié : on peut passer par $B$ ou par $D$, tous deux\nvoisins de $A$ et de $C$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le chemin $A$–$B$–$D$ ne mène pas à $C$ : seuls les intermédiaires\nvoisins à la fois de $A$ et de $C$ comptent."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient $(i, j)$ de $M^k$ est le nombre de chemins de longueur $k$\nallant de $i$ à $j$. Pour $k = 2$, c'est le nombre de voisins communs de\n$i$ et de $j$."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphe-eulerien",
        "degre"
      ],
      "title": "Parcourir chaque arête une seule fois",
      "partie": "graphes",
      "statement": "Dans un graphe connexe, quand existe-t-il une chaîne qui emprunte chaque\narête une fois et une seule ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quand le nombre de sommets de degré impair vaut $0$ ou $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse (théorème d'Euler) : un sommet intermédiaire est quitté\nautant de fois qu'il est atteint, son degré est donc pair ; seules les\nextrémités peuvent être de degré impair."
        },
        {
          "text": "Quand tous les sommets sont de degré impair",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'inverse : à Königsberg, les quatre sommets sont de degré impair\net la promenade est impossible."
        },
        {
          "text": "Quand le graphe est complet",
          "correct": false,
          "feedback": "Le graphe complet d'ordre $4$ a quatre sommets de degré $3$ : il n'admet\npas une telle chaîne."
        },
        {
          "text": "Toujours, puisque le graphe est connexe",
          "correct": false,
          "feedback": "La connexité est nécessaire mais pas suffisante : la parité des degrés\ndécide."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème d'Euler : un graphe connexe admet une chaîne passant une fois\npar chaque arête si et seulement si $0$ ou $2$ de ses sommets sont de\ndegré impair ($0$ pour un cycle)."
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "transformation",
        "rotation"
      ],
      "title": "Matrice d'une rotation",
      "partie": "applications",
      "statement": "Quelle matrice représente la rotation de centre $O$ et d'angle $\\theta$, qui\nenvoie le point de coordonnées $X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ sur $RX$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$R = \\begin{pmatrix} \\cos\\theta & -\\sin\\theta \\\\ \\sin\\theta & \\cos\\theta \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'image de $(1\\ ;\\ 0)$ est $(\\cos\\theta\\ ;\\ \\sin\\theta)$ (première\ncolonne) et celle de $(0\\ ;\\ 1)$ est $(-\\sin\\theta\\ ;\\ \\cos\\theta)$."
        },
        {
          "text": "$R = \\begin{pmatrix} \\cos\\theta & \\sin\\theta \\\\ -\\sin\\theta & \\cos\\theta \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal placé : cette matrice représente la rotation d'angle\n$-\\theta$."
        },
        {
          "text": "$R = \\begin{pmatrix} \\cos\\theta & 0 \\\\ 0 & \\sin\\theta \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Avec $\\theta = 0$, on trouverait la matrice nulle en bas à droite : la\nrotation d'angle nul doit donner $I_2$."
        },
        {
          "text": "$R = \\begin{pmatrix} \\sin\\theta & \\cos\\theta \\\\ \\cos\\theta & \\sin\\theta \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pour $\\theta = 0$, cette matrice échange $x$ et $y$ : c'est une symétrie,\npas la rotation d'angle nul."
        }
      ],
      "explanation": "Les colonnes de la matrice d'une transformation sont les images des\nvecteurs $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$ et $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$. Ce lien\nmatrice et nombres complexes : multiplier par $e^{i\\theta}$ fait la même rotation."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "transformation",
        "produit-matrice-colonne"
      ],
      "title": "Image d'un point par une matrice",
      "partie": "applications",
      "statement": "La matrice $R = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ représente la rotation de\ncentre $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(3\\ ;\\ 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(-1\\ ;\\ 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $R\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\times 3 - 1 \\times (1) \\\\ 1 \\times 3 + 0 \\times (1) \\end{pmatrix}$."
        },
        {
          "text": "$(1\\ ;\\ -3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'image par la rotation d'angle $-\\dfrac{\\pi}{2}$ : le produit a été\nfait avec les signes inversés."
        },
        {
          "text": "$(-3\\ ;\\ -1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la\nrotation d'angle $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$(1\\ ;\\ 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été\néchangées sans le signe moins."
        }
      ],
      "explanation": "Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des\ncoordonnées. La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-y\\ ;\\ x)$, comme la\nmultiplication par $i$ dans $\\mathbb{C}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La matrice $R = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ représente la rotation de\ncentre $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(3\\ ;\\ 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-1\\ ;\\ 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $R\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\times 3 - 1 \\times (1) \\\\ 1 \\times 3 + 0 \\times (1) \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$(1\\ ;\\ -3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la rotation d'angle $-\\dfrac{\\pi}{2}$ : le produit a été\nfait avec les signes inversés."
            },
            {
              "text": "$(-3\\ ;\\ -1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la\nrotation d'angle $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$(1\\ ;\\ 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été\néchangées sans le signe moins."
            }
          ],
          "explanation": "Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des\ncoordonnées. La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-y\\ ;\\ x)$, comme la\nmultiplication par $i$ dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "La matrice $R = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ représente la rotation de\ncentre $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(2\\ ;\\ -4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(4\\ ;\\ 2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $R\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\times 2 - 1 \\times (-4) \\\\ 1 \\times 2 + 0 \\times (-4) \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$(-4\\ ;\\ -2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la rotation d'angle $-\\dfrac{\\pi}{2}$ : le produit a été\nfait avec les signes inversés."
            },
            {
              "text": "$(-2\\ ;\\ 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la\nrotation d'angle $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$(-4\\ ;\\ 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été\néchangées sans le signe moins."
            }
          ],
          "explanation": "Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des\ncoordonnées. La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-y\\ ;\\ x)$, comme la\nmultiplication par $i$ dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "La matrice $R = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ représente la rotation de\ncentre $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(-1\\ ;\\ 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-5\\ ;\\ -1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $R\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 5 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\times -1 - 1 \\times (5) \\\\ 1 \\times -1 + 0 \\times (5) \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$(5\\ ;\\ 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la rotation d'angle $-\\dfrac{\\pi}{2}$ : le produit a été\nfait avec les signes inversés."
            },
            {
              "text": "$(1\\ ;\\ -5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la\nrotation d'angle $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$(5\\ ;\\ -1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été\néchangées sans le signe moins."
            }
          ],
          "explanation": "Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des\ncoordonnées. La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-y\\ ;\\ x)$, comme la\nmultiplication par $i$ dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "La matrice $R = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ représente la rotation de\ncentre $O$ d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(4\\ ;\\ 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-2\\ ;\\ 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $R\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\times 4 - 1 \\times (2) \\\\ 1 \\times 4 + 0 \\times (2) \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$(2\\ ;\\ -4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la rotation d'angle $-\\dfrac{\\pi}{2}$ : le produit a été\nfait avec les signes inversés."
            },
            {
              "text": "$(-4\\ ;\\ -2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la\nrotation d'angle $\\pi$."
            },
            {
              "text": "$(2\\ ;\\ 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été\néchangées sans le signe moins."
            }
          ],
          "explanation": "Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des\ncoordonnées. La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$ envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-y\\ ;\\ x)$, comme la\nmultiplication par $i$ dans $\\mathbb{C}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "transformation",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Reconnaître une transformation",
      "partie": "applications",
      "statement": "Quelle transformation du plan est représentée par la matrice\n$\\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La symétrie d'axe des abscisses",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(x\\ ;\\ -y)$ : l'abscisse est\nconservée, l'ordonnée change de signe."
        },
        {
          "text": "La symétrie d'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette symétrie envoie $(x\\ ;\\ y)$ sur $(-x\\ ;\\ y)$ ; sa matrice est\n$\\begin{pmatrix} -1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$."
        },
        {
          "text": "La symétrie de centre $O$",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle change les **deux** signes ; sa matrice est $-I_2$."
        },
        {
          "text": "La rotation d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une rotation d'angle droit échange les coordonnées (au signe près) :\nsa matrice est $\\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour reconnaître une transformation, on calcule l'image d'un point\nquelconque $(x\\ ;\\ y)$, ou celles de $(1\\ ;\\ 0)$ et $(0\\ ;\\ 1)$, lues dans les colonnes."
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "transformation",
        "homothetie"
      ],
      "title": "Matrice d'une homothétie",
      "partie": "applications",
      "statement": "Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(2x\\ ;\\ 2y)$ : la matrice vaut\n$2\\,I_2$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une\ndirection, pas une homothétie."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ 2 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose\nl'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'image de $(1\\ ;\\ 0)$ serait $(2\\ ;\\ 2)$ au lieu de $(2\\ ;\\ 0)$ :\nles coefficients hors diagonale doivent être nuls."
        }
      ],
      "explanation": "L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle\ncommute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$\ndans $\\mathbb{C}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(2x\\ ;\\ 2y)$ : la matrice vaut\n$2\\,I_2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une\ndirection, pas une homothétie."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ 2 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose\nl'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'image de $(1\\ ;\\ 0)$ serait $(2\\ ;\\ 2)$ au lieu de $(2\\ ;\\ 0)$ :\nles coefficients hors diagonale doivent être nuls."
            }
          ],
          "explanation": "L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle\ncommute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$\ndans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(3x\\ ;\\ 3y)$ : la matrice vaut\n$3\\,I_2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une\ndirection, pas une homothétie."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 3 \\\\ 3 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose\nl'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ 3 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'image de $(1\\ ;\\ 0)$ serait $(3\\ ;\\ 3)$ au lieu de $(3\\ ;\\ 0)$ :\nles coefficients hors diagonale doivent être nuls."
            }
          ],
          "explanation": "L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle\ncommute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$\ndans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -2 & 0 \\\\ 0 & -2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(-2x\\ ;\\ -2y)$ : la matrice vaut\n$-2\\,I_2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -2 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une\ndirection, pas une homothétie."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & -2 \\\\ -2 & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose\nl'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} -2 & -2 \\\\ -2 & -2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'image de $(1\\ ;\\ 0)$ serait $(-2\\ ;\\ -2)$ au lieu de $(-2\\ ;\\ 0)$ :\nles coefficients hors diagonale doivent être nuls."
            }
          ],
          "explanation": "L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle\ncommute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$\ndans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\\dfrac{1}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} \\dfrac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & \\dfrac{1}{2} \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(x\\ ;\\ y)$ a pour image $(\\dfrac{1}{2}x\\ ;\\ \\dfrac{1}{2}y)$ : la matrice vaut\n$\\dfrac{1}{2}\\,I_2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} \\dfrac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une\ndirection, pas une homothétie."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & \\dfrac{1}{2} \\\\ \\dfrac{1}{2} & 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose\nl'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} \\dfrac{1}{2} & \\dfrac{1}{2} \\\\ \\dfrac{1}{2} & \\dfrac{1}{2} \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'image de $(1\\ ;\\ 0)$ serait $(\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{1}{2})$ au lieu de $(\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ 0)$ :\nles coefficients hors diagonale doivent être nuls."
            }
          ],
          "explanation": "L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle\ncommute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$\ndans $\\mathbb{C}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "systeme-lineaire",
        "ecriture-matricielle"
      ],
      "title": "Écrire un système sous forme matricielle",
      "partie": "applications",
      "statement": "Le système $\\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\\\ x - y = 1 \\end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une\néquation, et $B$ la colonne des seconds membres."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 3 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les\ncoefficients de la **première équation**."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles confondus : $\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des\nseconds membres."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille\n$2 \\times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$."
        }
      ],
      "explanation": "Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,\noù $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est\nunique : $X = A^{-1}B$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le système $\\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\\\ x - y = 1 \\end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une\néquation, et $B$ la colonne des seconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 3 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les\ncoefficients de la **première équation**."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles confondus : $\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des\nseconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille\n$2 \\times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$."
            }
          ],
          "explanation": "Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,\noù $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est\nunique : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Le système $\\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\\\ 5x + y = 7 \\end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ 5 & 1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 7 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une\néquation, et $B$ la colonne des seconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 3 & 5 \\\\ -2 & 1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 7 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les\ncoefficients de la **première équation**."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ 5 & 1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles confondus : $\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des\nseconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 7 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ 5 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille\n$2 \\times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$."
            }
          ],
          "explanation": "Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,\noù $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est\nunique : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Le système $\\begin{cases} x + 4y = 6 \\\\ -3x + 2y = 2 \\end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ -3 & 2 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une\néquation, et $B$ la colonne des seconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & -3 \\\\ 4 & 2 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les\ncoefficients de la **première équation**."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ -3 & 2 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles confondus : $\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des\nseconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ -3 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille\n$2 \\times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$."
            }
          ],
          "explanation": "Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,\noù $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est\nunique : $X = A^{-1}B$."
        },
        {
          "statement": "Le système $\\begin{cases} 4x + y = 9 \\\\ 2x + 3y = -1 \\end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec\n$X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 4 & 1 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une\néquation, et $B$ la colonne des seconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 4 & 2 \\\\ 1 & 3 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les\ncoefficients de la **première équation**."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 4 & 1 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles confondus : $\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des\nseconds membres."
            },
            {
              "text": "$A = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$ et $B = \\begin{pmatrix} 4 & 1 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille\n$2 \\times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$."
            }
          ],
          "explanation": "Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,\noù $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est\nunique : $X = A^{-1}B$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "systeme-lineaire",
        "inverse-matrice"
      ],
      "title": "Résoudre un système par l'inverse",
      "partie": "applications",
      "statement": "On a $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \\end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$\nde l'équation $AX = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne\n$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix}$."
        },
        {
          "text": "$X = \\begin{pmatrix} 19 \\\\ 53 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas\npar $A$."
        },
        {
          "text": "$X = \\begin{pmatrix} -43 \\\\ 18 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,\nlignes comme écrites."
        },
        {
          "text": "$X = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = 1$ est la première coordonnée et\n$y = 2$ la seconde."
        }
      ],
      "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B \\iff X = A^{-1}B$ : on multiplie **à gauche**\npar $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On a $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \\end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$\nde l'équation $AX = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne\n$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 11 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 19 \\\\ 53 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas\npar $A$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} -43 \\\\ 18 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,\nlignes comme écrites."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = 1$ est la première coordonnée et\n$y = 2$ la seconde."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B \\iff X = A^{-1}B$ : on multiplie **à gauche**\npar $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif."
        },
        {
          "statement": "On a $A = \\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 4 & 3 \\end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ -4 & 3 \\end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$\nde l'équation $AX = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \\begin{pmatrix} 3 & -2 \\\\ -4 & 3 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne\n$\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 10 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas\npar $A$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,\nlignes comme écrites."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = -1$ est la première coordonnée et\n$y = 2$ la seconde."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B \\iff X = A^{-1}B$ : on multiplie **à gauche**\npar $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif."
        },
        {
          "statement": "On a $A = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ -5 & 3 \\end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$\nde l'équation $AX = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ -5 & 3 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne\n$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 16 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas\npar $A$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} -11 \\\\ 7 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,\nlignes comme écrites."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = 1$ est la première coordonnée et\n$y = -1$ la seconde."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B \\iff X = A^{-1}B$ : on multiplie **à gauche**\npar $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif."
        },
        {
          "statement": "On a $A = \\begin{pmatrix} 4 & 3 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1 & -3 \\\\ -1 & 4 \\end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$\nde l'équation $AX = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \\begin{pmatrix} 1 & -3 \\\\ -1 & 4 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne\n$\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 15 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas\npar $A$."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,\nlignes comme écrites."
            },
            {
              "text": "$X = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = 0$ est la première coordonnée et\n$y = 1$ la seconde."
            }
          ],
          "explanation": "Si $A$ est inversible, $AX = B \\iff X = A^{-1}B$ : on multiplie **à gauche**\npar $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q60",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "systeme-lineaire",
        "inverse-matrice"
      ],
      "title": "Système et matrice inversible",
      "partie": "applications",
      "statement": "$A$ est une matrice carrée inversible et $B$ une matrice colonne de même\ntaille. Que peut-on dire de l'équation $AX = B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle a une unique solution, $X = A^{-1}B$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient\n$A^{-1}AX = X = A^{-1}B$, et ce $X$ convient."
        },
        {
          "text": "Elle a une unique solution, $X = BA^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit $BA^{-1}$ n'est en général pas défini (colonne fois matrice\ncarrée), et l'ordre compte : on multiplie à gauche."
        },
        {
          "text": "Elle a une infinité de solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le cas de certaines matrices **non** inversibles ; une matrice\ninversible donne une solution unique."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître $B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quel que soit $B$, la solution existe et vaut $A^{-1}B$ : l'inversibilité\nde $A$ suffit."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un système carré, $A$ inversible équivaut à une solution unique\npour tout second membre. Pour une matrice $2 \\times 2$, cela revient à un\ndéterminant non nul."
    },
    {
      "id": "q61",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "systeme-lineaire",
        "dimensions"
      ],
      "title": "Taille des matrices d'un système",
      "partie": "applications",
      "statement": "Un système de $3$ équations à $3$ inconnues $x$, $y$, $z$ s'écrit $AX = B$.\nQuelles sont les tailles de $A$, $X$ et $B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ : $3 \\times 3$ ; $X$ et $B$ : $3 \\times 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une ligne de $A$ par équation, une colonne par\ninconnue ; $X$ et $B$ sont des colonnes à $3$ coefficients."
        },
        {
          "text": "$A$ : $3 \\times 3$ ; $X$ et $B$ : $1 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Avec $X$ en ligne, le produit $AX$ ne serait pas défini : le nombre de\ncolonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $X$."
        },
        {
          "text": "$A$ : $3 \\times 4$ ; $X$ : $3 \\times 1$ ; $B$ : $4 \\times 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les seconds membres ne vont pas dans $A$ : ils forment la colonne $B$,\net $A$ est carrée."
        },
        {
          "text": "$A$, $X$ et $B$ : $3 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "$X$ ne contient que les trois inconnues : c'est une matrice colonne,\ntout comme $B$."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit d'une matrice $n \\times p$ par une matrice $p \\times q$ est une\nmatrice $n \\times q$. Ici $3 \\times 3$ par $3 \\times 1$ donne bien $3 \\times 1$."
    },
    {
      "id": "q62",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-matricielle"
      ],
      "title": "Calculer $U_1$ pour $U_{n+1} = AU_n + C$",
      "partie": "applications",
      "statement": "On pose $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$, $C = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $U_1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AU_0 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :\n$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$."
        },
        {
          "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$."
        },
        {
          "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est\n$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$."
        },
        {
          "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se\ncalcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,\non obtient directement $U_n = A^nU_0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On pose $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$, $C = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AU_0 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :\n$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est\n$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se\ncalcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,\non obtient directement $U_n = A^nU_0$."
        },
        {
          "statement": "On pose $A = \\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$, $C = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AU_0 = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :\n$U_1 = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est\n$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se\ncalcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,\non obtient directement $U_n = A^nU_0$."
        },
        {
          "statement": "On pose $A = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 3 & 1 \\end{pmatrix}$, $C = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AU_0 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 14 \\end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :\n$U_1 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 14 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 15 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 14 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 18 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est\n$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se\ncalcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,\non obtient directement $U_n = A^nU_0$."
        },
        {
          "statement": "On pose $A = \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ 2 & 0 \\end{pmatrix}$, $C = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 2 \\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $U_1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 8 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AU_0 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :\n$U_1 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 6 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 8 \\end{pmatrix}$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est\n$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$."
            },
            {
              "text": "$U_1 = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 7 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se\ncalcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,\non obtient directement $U_n = A^nU_0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q63",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-matricielle",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Colonne fixe d'une suite matricielle",
      "partie": "applications",
      "statement": "Pour la suite $U_{n+1} = AU_n + C$, on cherche une colonne $L$ telle que\n$L = AL + C$. Si $I - A$ est inversible, que vaut $L$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$L = (I - A)^{-1}C$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $L - AL = C$, soit $(I - A)L = C$, puis on multiplie à\ngauche par $(I - A)^{-1}$."
        },
        {
          "text": "$L = (A - I)^{-1}C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $L - AL$ se factorise en $(I - A)L$ ; la matrice proposée donne\nl'opposé de $L$."
        },
        {
          "text": "$L = C(I - A)^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre du produit : une colonne $C$ ne se multiplie pas à droite par\nune matrice carrée $2 \\times 2$. On multiplie à gauche."
        },
        {
          "text": "$L = A^{-1}C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $L$ du membre de gauche a été oublié : $AL = C$ n'est pas\nl'équation $L = AL + C$."
        }
      ],
      "explanation": "Si $L = AL + C$, la suite $V_n = U_n - L$ vérifie $V_{n+1} = AV_n$, donc\n$V_n = A^nV_0$ : on retrouve une suite étudiée par les puissances de $A$."
    },
    {
      "id": "q64",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-recurrente",
        "ecriture-matricielle"
      ],
      "title": "Une récurrence d'ordre deux en matrices",
      "partie": "applications",
      "statement": "La suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$. On pose\n$U_n = \\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\ u_n \\end{pmatrix}$. Quelle matrice $A$ vérifie $U_{n+1} = AU_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $U_{n+1} = \\begin{pmatrix} u_{n+2} \\\\ u_{n+1} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} u_{n+1} + 2u_n \\\\ u_{n+1} \\end{pmatrix}$ : première\nligne $(1\\ ;\\ 2)$, seconde ligne $(1\\ ;\\ 0)$."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients échangés : le $2$ multiplie $u_n$, qui est la **seconde**\ncoordonnée de $U_n$."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seconde ligne fausse : elle doit donner $u_{n+1}$, première coordonnée\nde $U_n$, d'où $(1\\ ;\\ 0)$."
        },
        {
          "text": "$A = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 2 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Matrice transposée : la première ligne doit produire\n$u_{n+2} = 1 \\times u_{n+1} + 2 \\times u_n$."
        }
      ],
      "explanation": "Une récurrence $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ devient $U_{n+1} = AU_n$ avec\n$A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$, puis $U_n = A^nU_0$."
    },
    {
      "id": "q65",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissance-matrice",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Puissance d'une matrice triangulaire",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & nk \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;\nici $5 \\times 2 = 10$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 32 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se\ncalcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 5 & 10 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $5A$ : la puissance $5$-ième n'est pas le produit par $5$ ; la\ndiagonale reste à $1^{5} = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 7 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient augmente de $2$ à chaque multiplication par $A$, pas de\n$1$ : il vaut $5 \\times 2$."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la\ndémontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances\nde matrices d'ordre $2$ ou $3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & nk \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;\nici $5 \\times 2 = 10$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 32 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se\ncalcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 5 & 10 \\\\ 0 & 5 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $5A$ : la puissance $5$-ième n'est pas le produit par $5$ ; la\ndiagonale reste à $1^{5} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 7 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient augmente de $2$ à chaque multiplication par $A$, pas de\n$1$ : il vaut $5 \\times 2$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la\ndémontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances\nde matrices d'ordre $2$ ou $3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 12 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & nk \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;\nici $4 \\times 3 = 12$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 81 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se\ncalcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 4 & 12 \\\\ 0 & 4 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $4A$ : la puissance $4$-ième n'est pas le produit par $4$ ; la\ndiagonale reste à $1^{4} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 7 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient augmente de $3$ à chaque multiplication par $A$, pas de\n$1$ : il vaut $4 \\times 3$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la\ndémontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances\nde matrices d'ordre $2$ ou $3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & nk \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;\nici $3 \\times 2 = 6$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 8 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se\ncalcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ 0 & 3 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $3A$ : la puissance $3$-ième n'est pas le produit par $3$ ; la\ndiagonale reste à $1^{3} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 5 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient augmente de $2$ à chaque multiplication par $A$, pas de\n$1$ : il vaut $3 \\times 2$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la\ndémontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances\nde matrices d'ordre $2$ ou $3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut $A^{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 8 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & nk \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;\nici $2 \\times 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 16 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se\ncalcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 2 & 8 \\\\ 0 & 2 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $2A$ : la puissance $2$-ième n'est pas le produit par $2$ ; la\ndiagonale reste à $1^{2} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\begin{pmatrix} 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient augmente de $4$ à chaque multiplication par $A$, pas de\n$1$ : il vaut $2 \\times 4$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la\ndémontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances\nde matrices d'ordre $2$ ou $3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q66",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-matrice",
        "ordre-3"
      ],
      "title": "Puissances d'une matrice d'ordre $3$",
      "partie": "matrices",
      "statement": "Soit $N = \\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$. Que vaut $N^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La matrice nulle d'ordre $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $N^2 = \\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$, et le\nproduit par $N$ décale encore le $1$, qui sort de la matrice."
        },
        {
          "text": "$I_3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une puissance de $N$ ne peut pas valoir $I_3$ : $N$ n'est pas\ninversible (sa dernière ligne est nulle)."
        },
        {
          "text": "$N$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les puissances de $N$ ne reviennent pas à $N$ : chaque multiplication\ndécale les $1$ d'un cran vers le coin supérieur droit."
        },
        {
          "text": "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $N^2$ : il reste une multiplication par $N$, qui annule ce\ndernier coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "Une matrice dont une puissance est nulle est dite nilpotente. Pour\nelle, $A^n$ est nulle à partir d'un certain rang, ce qui simplifie les\ncalculs de puissances de matrices de la forme $I + N$."
    },
    {
      "id": "q67",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "matrice-transition",
        "trois-etats"
      ],
      "title": "Matrice de transition à trois états",
      "partie": "markov",
      "statement": "Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à trois états. Quelle est\nsa matrice de transition $P$ (ordre $A$, $B$, $C$, une ligne par état de\ndépart) ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (4,0) {$B$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (C) at (2,3.2) {$C$};\n  \\draw[->] (A) to[bend left=15] node[above, font=\\small] {$0{,}3$} (B);\n  \\draw[->] (B) to[bend left=15] node[below, font=\\small] {$0{,}4$} (A);\n  \\draw[->] (A) to[bend left=15] node[left, font=\\small] {$0{,}2$} (C);\n  \\draw[->] (C) to[bend left=15] node[right, font=\\small] {$0{,}1$} (A);\n  \\draw[->] (B) to[bend left=15] node[left, font=\\small] {$0{,}6$} (C);\n  \\draw[->] (C) to[bend left=15] node[right, font=\\small] {$0{,}2$} (B);\n  \\draw[->] (A) .. controls (-1.5,1.1) and (-1.5,-1.1) .. (A);\n  \\node[font=\\small] at (-1.55,0) {$0{,}5$};\n  \\draw[->] (C) .. controls (0.9,4.7) and (3.1,4.7) .. (C);\n  \\node[font=\\small] at (2,4.75) {$0{,}7$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe orienté pondéré à trois états A, B, C. De A : boucle 0,5, vers B 0,3, vers C 0,2. De B : vers A 0,4, vers C 0,6, pas de boucle. De C : vers A 0,1, vers B 0,2, boucle 0,7.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"183.471pt\" height=\"177.093pt\" viewBox=\"0 0 183.471 177.093\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.765625 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.75 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.3125 0 C 2.375 0 2.5 0 2.5 -0.1875 C 2.5 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.875 -0.40625 1.875 -0.65625 C 1.875 -0.765625 1.9375 -0.875 2.015625 -1.015625 L 2.78125 -2.28125 L 5.265625 -2.28125 C 5.28125 -2.078125 5.421875 -0.734375 5.421875 -0.640625 C 5.421875 -0.34375 4.90625 -0.3125 4.703125 -0.3125 C 4.5625 -0.3125 4.46875 -0.3125 4.46875 -0.109375 C 4.46875 0 4.59375 0 4.609375 0 C 5.015625 0 5.4375 -0.03125 5.84375 -0.03125 C 6.09375 -0.03125 6.71875 0 6.96875 0 C 7.03125 0 7.140625 0 7.140625 -0.203125 C 7.140625 -0.3125 7.046875 -0.3125 6.921875 -0.3125 C 6.296875 -0.3125 6.296875 -0.375 6.265625 -0.65625 L 5.671875 -6.859375 C 5.640625 -7.046875 5.640625 -7.09375 5.484375 -7.09375 C 5.3125 -7.09375 5.28125 -7.03125 5.21875 -6.921875 Z M 2.96875 -2.59375 L 4.90625 -5.859375 L 5.234375 -2.59375 Z M 2.96875 -2.59375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.578125 -0.765625 C 1.484375 -0.390625 1.46875 -0.3125 0.6875 -0.3125 C 0.515625 -0.3125 0.421875 -0.3125 0.421875 -0.109375 C 0.421875 0 0.5 0 0.6875 0 L 4.21875 0 C 5.78125 0 6.953125 -1.171875 6.953125 -2.140625 C 6.953125 -2.859375 6.375 -3.421875 5.421875 -3.53125 C 6.453125 -3.71875 7.484375 -4.453125 7.484375 -5.40625 C 7.484375 -6.125 6.828125 -6.765625 5.640625 -6.765625 L 2.3125 -6.765625 C 2.125 -6.765625 2.03125 -6.765625 2.03125 -6.5625 C 2.03125 -6.453125 2.125 -6.453125 2.3125 -6.453125 C 2.328125 -6.453125 2.515625 -6.453125 2.6875 -6.4375 C 2.859375 -6.421875 2.953125 -6.40625 2.953125 -6.28125 C 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1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.953125 C 1.203125 -3.859375 1.296875 -4.375 1.53125 -4.828125 C 1.71875 -5.203125 2.15625 -5.71875 2.8125 -5.71875 C 2.984375 -5.71875 3.40625 -5.6875 3.609375 -5.359375 C 3.28125 -5.359375 3.125 -5.1875 3.125 -4.953125 C 3.125 -4.71875 3.296875 -4.546875 3.546875 -4.546875 C 3.796875 -4.546875 3.96875 -4.703125 3.96875 -4.96875 C 3.96875 -5.46875 3.609375 -5.9375 2.796875 -5.9375 C 1.640625 -5.9375 0.390625 -4.8125 0.390625 -2.8125 C 0.390625 -0.40625 1.46875 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.296875 0.203125 4.1875 -0.640625 4.1875 -1.8125 C 4.1875 -2.9375 3.375 -3.796875 2.359375 -3.796875 C 1.828125 -3.796875 1.453125 -3.484375 1.203125 -2.953125 Z M 2.296875 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.21875 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.609375 1.484375 -3.578125 2.34375 -3.578125 C 2.484375 -3.578125 2.921875 -3.578125 3.21875 -3.03125 C 3.375 -2.6875 3.375 -2.25 3.375 -1.8125 C 3.375 -1.390625 3.375 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.9375 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.296875 -0.046875 Z M 2.296875 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-6\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.8125 1.046875 -2.8125 C 1.125 -2.8125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.359375 -3.53125 C 3.3125 -3.53125 3.3125 -2.15625 3.3125 -1.828125 C 3.3125 -1.546875 3.3125 -1 3.0625 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.734375 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.859375 3.359375 -3.75 2.375 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.953125 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.703125 3.765625 -5.828125 C 3.765625 -5.90625 3.71875 -5.9375 3.671875 -5.9375 C 3.65625 -5.9375 3.625 -5.9375 3.546875 -5.890625 C 3.125 -5.734375 2.71875 -5.65625 2.34375 -5.65625 C 1.96875 -5.65625 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.890625 C 1.0625 -5.9375 1.046875 -5.9375 1.03125 -5.9375 C 0.921875 -5.9375 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.703125 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-7\">\n<path d=\"M 4.375 -5.4375 C 4.453125 -5.546875 4.453125 -5.5625 4.453125 -5.75 L 2.234375 -5.75 C 1.109375 -5.75 1.078125 -5.859375 1.046875 -6.03125 L 0.796875 -6.03125 L 0.515625 -4.171875 L 0.765625 -4.171875 C 0.796875 -4.375 0.859375 -4.875 0.984375 -4.984375 C 1.046875 -5.03125 1.75 -5.03125 1.875 -5.03125 L 3.75 -5.03125 L 2.890625 -3.859375 C 1.734375 -2.265625 1.625 -0.8125 1.625 -0.296875 C 1.625 -0.203125 1.625 0.203125 2.03125 0.203125 C 2.453125 0.203125 2.453125 -0.203125 2.453125 -0.3125 L 2.453125 -0.75 C 2.453125 -2.0625 2.65625 -3.09375 3.125 -3.734375 Z M 4.375 -5.4375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.890625 0.96875 1.515625 C 0.90625 1.5625 0.90625 1.578125 0.90625 1.609375 C 0.90625 1.671875 0.96875 1.71875 1.03125 1.71875 C 1.125 1.71875 1.84375 1.03125 1.84375 -0.015625 C 1.84375 -0.578125 1.65625 -0.96875 1.265625 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.78125 -0.734375 0.78125 -0.484375 C 0.78125 -0.234375 0.96875 0 1.265625 0 C 1.40625 0 1.53125 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 149 124 L 182.742188 124 L 182.742188 162 L 149 162 Z M 149 124 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.757582 -0.000610428 C 12.757582 7.043093 7.044879 12.755796 0.00117546 12.755796 C -7.046455 12.755796 -12.755231 7.043093 -12.755231 -0.000610428 C -12.755231 -7.044314 -7.046455 -12.757017 0.00117546 -12.757017 C 7.044879 -12.757017 12.757582 -7.044314 12.757582 -0.000610428 Z M 12.757582 -0.000610428 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"51.344367\" y=\"146.374329\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 126.143937 -0.000610428 C 126.143937 7.043093 120.431234 12.755796 113.38753 12.755796 C 106.343826 12.755796 100.631123 7.043093 100.631123 -0.000610428 C 100.631123 -7.044314 106.343826 -12.757017 113.38753 -12.757017 C 120.431234 -12.757017 126.143937 -7.044314 126.143937 -0.000610428 Z M 126.143937 -0.000610428 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"163.861101\" y=\"146.374329\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 69.448796 90.711614 C 69.448796 97.755318 63.74002 103.464095 56.69239 103.464095 C 49.648686 103.464095 43.935983 97.755318 43.935983 90.711614 C 43.935983 83.663984 49.648686 77.955208 56.69239 77.955208 C 63.74002 77.955208 69.448796 83.663984 69.448796 90.711614 Z M 69.448796 90.711614 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"107.56841\" y=\"56.127537\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.514154 3.352412 C 45.797028 12.272867 67.591677 12.272867 100.489778 3.454495 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07399 2.390454 C -1.693703 0.955868 -0.849953 0.279551 0.00142774 -0.000441818 C -0.851073 -0.277619 -1.694001 -0.954641 -2.073719 -2.38961 \" transform=\"matrix(0.961008, 0.257471, 0.257471, -0.961008, 155.22921, 139.60077)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"105.607453\" y=\"127.760661\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.191973\" y=\"127.760661\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"112.738929\" y=\"127.760661\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 100.874551 -3.353633 C 67.591677 -12.270161 45.797028 -12.270161 12.898927 -3.455716 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071929 2.39227 C -1.695435 0.956668 -0.851685 0.280351 -0.000303769 0.000358197 C -0.847996 -0.279595 -1.694717 -0.957633 -2.070642 -2.391586 \" transform=\"matrix(-0.961008, -0.257471, -0.257471, 0.961008, 67.702925, 146.374578)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"105.607453\" y=\"162.228132\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.191973\" y=\"162.228132\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"112.738929\" y=\"162.228132\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 3.790013 12.386728 C 13.173765 43.078273 23.747173 59.988659 46.92779 81.6027 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071563 2.388982 C -1.693656 0.95764 -0.850379 0.278762 0.00111101 0.000206502 C -0.85028 -0.279616 -1.696107 -0.9565 -2.073674 -2.392061 \" transform=\"matrix(0.727673, -0.678455, -0.678455, -0.727673, 101.893863, 61.664967)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"59.961235\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"64.545755\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"67.092711\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 52.903552 78.320349 C 43.5198 47.632731 32.946392 30.718419 9.765775 9.108304 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.069742 2.390869 C -1.694513 0.956656 -0.851235 0.277778 0.000254751 -0.000777755 C -0.848459 -0.277728 -1.694286 -0.954613 -2.071853 -2.390174 \" transform=\"matrix(-0.727673, 0.678455, 0.678455, 0.727673, 64.633526, 134.062893)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"94.849551\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"99.434071\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"101.980032\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 103.913474 8.833466 C 80.438387 30.718419 69.868906 47.632731 60.599015 77.939503 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071634 2.391349 C -1.693022 0.957605 -0.850087 0.276936 0.0013876 0.000129123 C -0.851151 -0.277022 -1.694915 -0.95512 -2.072611 -2.391613 \" transform=\"matrix(-0.29094, -0.951397, -0.951397, 0.29094, 115.293495, 65.255189)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"116.365356\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"120.949876\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"123.496831\" y=\"104.924618\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 66.170372 81.873611 C 89.641532 59.988659 100.21494 43.078273 109.480905 12.771501 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07316 2.390853 C -1.694548 0.957109 -0.850465 0.280194 -0.000137934 -0.000366823 C -0.848922 -0.278666 -1.692686 -0.956764 -2.074137 -2.392109 \" transform=\"matrix(0.29094, 0.951397, 0.951397, -0.29094, 164.043358, 130.472681)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"151.253672\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"155.837197\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"158.384152\" y=\"94.819373\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -10.446592 7.659516 C -42.52018 31.181717 -42.52018 -31.182938 -10.768545 -7.896312 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073059 2.39215 C -1.694795 0.955922 -0.851931 0.279391 0.0000107952 0.000334258 C -0.850665 -0.276609 -1.695432 -0.957148 -2.070322 -2.391264 \" transform=\"matrix(0.802261, -0.588327, -0.588327, -0.802261, 44.508, 150.726837)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.490214\" y=\"144.994396\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.074734\" y=\"144.994396\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"12.62169\" y=\"144.994396\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 49.032264 101.155456 C 25.510062 133.229043 87.874717 133.229043 64.592017 101.477409 \" transform=\"matrix(0.994904, 0, 0, -0.994904, 55.061331, 142.987674)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.074053 2.391127 C -1.693674 0.956166 -0.85123 0.278793 -0.000553783 0.00185032 C -0.850173 -0.280373 -1.693038 -0.956904 -2.073623 -2.389966 \" transform=\"matrix(-0.588327, 0.802261, 0.802261, 0.588327, 119.205221, 42.186856)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"105.607453\" y=\"11.035481\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.191973\" y=\"11.035481\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-7\" x=\"112.738929\" y=\"11.035481\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la ligne $A$ lit les flèches qui partent de $A$ (boucle\n$0{,}5$, puis $0{,}3$ et $0{,}2$) ; chaque ligne a pour somme $1$."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}1 \\\\ 0{,}3 & 0 & 0{,}2 \\\\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Matrice transposée : ici ce sont les colonnes qui somment à $1$. Par\nconvention, la ligne $i$ décrit les départs de l'état $i$."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Boucles oubliées : rester en $A$ ($0{,}5$) ou en $C$ ($0{,}7$) est une\ntransition, notée sur la diagonale."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne $B$ décalée : de $B$, on va en $A$ avec probabilité $0{,}4$ et l'on\nne reste jamais en $B$."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice de transition : coefficient $(i, j)$ = probabilité de passer de\nl'état $i$ à l'état $j$ en une étape. Chaque ligne est une loi de\nprobabilité, de somme $1$."
    },
    {
      "id": "q68",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "distribution",
        "trois-etats"
      ],
      "title": "Distribution après une transition",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition\n$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$. La distribution initiale est\n$\\pi_0 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0)$. Que vaut $\\pi_1 = \\pi_0P$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi_1 = (0{,}45\\ ;\\ 0{,}15\\ ;\\ 0{,}4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\\pi_0$ par une\n**colonne** de $P$ ; pour $A$ : $0{,}5 \\times 0{,}5 + 0{,}5 \\times 0{,}4 + 0 \\times 0{,}1 = 0{,}45$."
        },
        {
          "text": "$\\pi_1 = (0{,}4\\ ;\\ 0{,}2\\ ;\\ 0{,}15)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\\pi_0$ en colonne) : la\ndistribution est une ligne, multipliée à **gauche** de $P$."
        },
        {
          "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape\nlorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti."
        },
        {
          "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "La distribution n'a pas été mise à jour : $\\pi_0$ n'est pas invariante\npour cette chaîne."
        }
      ],
      "explanation": "La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\\pi_n = \\pi_0P^n$.\nSes coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition\n$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$. La distribution initiale est\n$\\pi_0 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0)$. Que vaut $\\pi_1 = \\pi_0P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}45\\ ;\\ 0{,}15\\ ;\\ 0{,}4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\\pi_0$ par une\n**colonne** de $P$ ; pour $A$ : $0{,}5 \\times 0{,}5 + 0{,}5 \\times 0{,}4 + 0 \\times 0{,}1 = 0{,}45$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}4\\ ;\\ 0{,}2\\ ;\\ 0{,}15)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\\pi_0$ en colonne) : la\ndistribution est une ligne, multipliée à **gauche** de $P$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape\nlorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distribution n'a pas été mise à jour : $\\pi_0$ n'est pas invariante\npour cette chaîne."
            }
          ],
          "explanation": "La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\\pi_n = \\pi_0P^n$.\nSes coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition\n$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$. La distribution initiale est\n$\\pi_0 = (0\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$. Que vaut $\\pi_1 = \\pi_0P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}25\\ ;\\ 0{,}1\\ ;\\ 0{,}65)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\\pi_0$ par une\n**colonne** de $P$ ; pour $A$ : $0 \\times 0{,}5 + 0{,}5 \\times 0{,}4 + 0{,}5 \\times 0{,}1 = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}25\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}45)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\\pi_0$ en colonne) : la\ndistribution est une ligne, multipliée à **gauche** de $P$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape\nlorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distribution n'a pas été mise à jour : $\\pi_0$ n'est pas invariante\npour cette chaîne."
            }
          ],
          "explanation": "La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\\pi_n = \\pi_0P^n$.\nSes coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition\n$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$. La distribution initiale est\n$\\pi_0 = (0{,}5\\ ;\\ 0\\ ;\\ 0{,}5)$. Que vaut $\\pi_1 = \\pi_0P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}3\\ ;\\ 0{,}25\\ ;\\ 0{,}45)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\\pi_0$ par une\n**colonne** de $P$ ; pour $A$ : $0{,}5 \\times 0{,}5 + 0 \\times 0{,}4 + 0{,}5 \\times 0{,}1 = 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}35\\ ;\\ 0{,}5\\ ;\\ 0{,}4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\\pi_0$ en colonne) : la\ndistribution est une ligne, multipliée à **gauche** de $P$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape\nlorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0\\ ;\\ 0{,}5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distribution n'a pas été mise à jour : $\\pi_0$ n'est pas invariante\npour cette chaîne."
            }
          ],
          "explanation": "La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\\pi_n = \\pi_0P^n$.\nSes coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition\n$P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\\\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$. La distribution initiale est\n$\\pi_0 = (0{,}2\\ ;\\ 0{,}4\\ ;\\ 0{,}4)$. Que vaut $\\pi_1 = \\pi_0P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}3\\ ;\\ 0{,}14\\ ;\\ 0{,}56)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\\pi_0$ par une\n**colonne** de $P$ ; pour $A$ : $0{,}2 \\times 0{,}5 + 0{,}4 \\times 0{,}4 + 0{,}4 \\times 0{,}1 = 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}3\\ ;\\ 0{,}32\\ ;\\ 0{,}38)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\\pi_0$ en colonne) : la\ndistribution est une ligne, multipliée à **gauche** de $P$."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}3\\ ;\\ 0{,}2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape\nlorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti."
            },
            {
              "text": "$\\pi_1 = (0{,}2\\ ;\\ 0{,}4\\ ;\\ 0{,}4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La distribution n'a pas été mise à jour : $\\pi_0$ n'est pas invariante\npour cette chaîne."
            }
          ],
          "explanation": "La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\\pi_n = \\pi_0P^n$.\nSes coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q69",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "puissance-matrice"
      ],
      "title": "Interpréter un coefficient de $P^n$",
      "partie": "markov",
      "statement": "$P$ est la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Que représente\nle coefficient $(i, j)$ de $P^n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La probabilité d'être dans l'état $j$ après $n$ transitions, en partant de l'état $i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le cas $\\pi_0 = $ « état $i$ à coup sûr » dans\n$\\pi_n = \\pi_0P^n$ ; on lit la ligne $i$ de $P^n$."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'être dans l'état $i$ après $n$ transitions, en partant de l'état $j$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : la ligne indique l'état de départ, la colonne l'état\nd'arrivée."
        },
        {
          "text": "$n$ fois la probabilité de passer de $i$ à $j$ en une transition",
          "correct": false,
          "feedback": "Les probabilités ne s'ajoutent pas d'une étape à l'autre : $P^n$ est un\nproduit de matrices, pas $nP$."
        },
        {
          "text": "Le nombre de chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette lecture vaut pour la matrice d'adjacence d'un graphe ; pour une\nmatrice de transition, on obtient une probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "Les puissances de $P$ décrivent l'évolution à long terme. Le coefficient\n$(i, j)$ de $P^n$ somme, sur tous les chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$,\nles produits des probabilités rencontrées."
    },
    {
      "id": "q70",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "invariante",
        "trois-etats"
      ],
      "title": "Repérer une distribution invariante",
      "partie": "markov",
      "statement": "Une chaîne de Markov a pour matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\\\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\\\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \\end{pmatrix}$.\nQuelle distribution $\\pi$ vérifie $\\pi P = \\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi = \\left(\\dfrac{1}{3}\\ ;\\ \\dfrac{1}{3}\\ ;\\ \\dfrac{1}{3}\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque colonne de $P$ a pour somme $1$, donc\n$\\pi P$ a pour coefficients $\\dfrac{1}{3} \\times 1 = \\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\pi = \\left(\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{1}{4}\\ ;\\ \\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première ligne recopiée : le calcul donne\n$\\pi P = \\left(\\dfrac{3}{8}\\ ;\\ \\dfrac{5}{16}\\ ;\\ \\dfrac{5}{16}\\right) \\neq \\pi$."
        },
        {
          "text": "$\\pi = \\left(\\dfrac{1}{4}\\ ;\\ \\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deuxième ligne recopiée : $\\pi P = \\left(\\dfrac{5}{16}\\ ;\\ \\dfrac{3}{8}\\ ;\\ \\dfrac{5}{16}\\right)$, qui diffère\nde $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$\\pi = \\left(\\dfrac{1}{4}\\ ;\\ \\dfrac{1}{4}\\ ;\\ \\dfrac{1}{2}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Troisième ligne recopiée : $\\pi P = \\left(\\dfrac{5}{16}\\ ;\\ \\dfrac{5}{16}\\ ;\\ \\dfrac{3}{8}\\right)$, qui\ndiffère de $\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Une distribution invariante vérifie $\\pi P = \\pi$ et a une somme de $1$. On\nla trouve en résolvant un système linéaire, ou on vérifie une candidate\npar un simple produit."
    }
  ]
}