{ "chapter": { "id": "derivation", "level": "premiere-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Dérivation", "description": "Taux de variation et sécantes, nombre dérivé comme limite du taux\nde variation, tangente et son équation, approximation linéaire\n$f(a+h) \\approx f(a) + f'(a)h$, fonctions dérivées des fonctions\nde référence (carré, cube, inverse, racine), opérations (somme,\nproduit, inverse, quotient), dérivabilité de la valeur absolue\nen 0.", "parties": [ { "id": "nombre-derive", "title": "Nombre dérivé, tangente et lecture graphique" }, { "id": "formules", "title": "Formules de dérivation" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "taux-de-variation", "definition" ], "title": "Taux de variation", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f$ une fonction et $a$, $h$ des réels ($h \\neq 0$).\nComment s'écrit le taux de variation de $f$ entre $a$ et\n$a + h$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : variation des images divisée par la\nvariation de la variable : c'est la pente de la sécante\nentre les points d'abscisses $a$ et $a + h$." }, { "text": "$\\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de dénominateur : on divise par l'**écart** entre\nles deux abscisses, qui vaut $(a+h) - a = h$." }, { "text": "$f(a+h) - f(a)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : ceci est la **variation** de $f$. Le taux la\nrapporte à la longueur du pas $h$, comme une vitesse\nmoyenne." }, { "text": "$\\dfrac{f(h) - f(a)}{h - a}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux points sont $a$ et $a + h$, pas $a$ et\n$h$. (La forme $\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est correcte avec\n$b = a + h$.)" } ], "explanation": "Taux de variation $= \\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : pente de la\nsécante, vitesse moyenne en cinématique. Le nombre dérivé en\nsera la limite quand $h$ tend vers $0$." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "nombre-derive", "definition" ], "title": "Le nombre dérivé", "partie": "nombre-derive", "statement": "Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ ?", "options": [ { "text": "La pente de la tangente au point d'abscisse $a$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand $h$ tend vers $0$, les sécantes\npivotent vers une position limite, la tangente ; leurs\npentes tendent vers $f'(a)$." }, { "text": "La pente de la sécante entre les points d'abscisses $a$\net $a + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette pente est le **taux de variation** pour\n$h = 1$. Le nombre dérivé est la **limite** des pentes des\nsécantes quand $h \\to 0$." }, { "text": "L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ordonnée est $f(a)$. Le nombre dérivé $f'(a)$\nmesure l'**inclinaison** de la courbe en ce point, pas sa\nhauteur." }, { "text": "L'aire sous la courbe entre $0$ et $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'aire relève du calcul intégral (programme de\nterminale). La dérivation parle de pente." } ], "explanation": "$f'(a) = $ limite du taux de variation\n$\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h \\to 0$ : géométriquement, la\npente de la tangente ; en cinématique, la vitesse instantanée." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "tangente" ], "title": "Lire un nombre dérivé sur un graphique", "partie": "nombre-derive", "statement": "Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la\ncourbe $\\mathcal{C}_f$ au point $A(1\\,;\\,1)$. Que vaut\n$f'(1)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.72]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (3.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x});\n \\draw[domain=-0.55:2.75,thick,red] plot (\\x,{2*\\x-1});\n \\fill (1,1) circle (0.08);\n \\node[above left,font=\\small] at (1,1) {$A$};\n \\node[blue,font=\\small] at (-1.95,4.25) {$\\mathcal{C}_f$};\n \\node[red,font=\\small] at (3.15,4.15) {$T$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = x² en bleu et sa\ntangente T en rouge au point A(1 ; 1). La tangente passe par\nles points (0 ; -1) et (2 ; 3) : elle monte de 2 unités par\npas de 1.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$f'(1) = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente passe par $(0\\,;\\,-1)$ et\n$(2\\,;\\,3)$ : pente $\\dfrac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2$. Le\nnombre dérivé **est** cette pente." }, { "text": "$f'(1) = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est l'**ordonnée** du point $A$ (la valeur\n$f(1)$), pas la pente de la tangente. Compte les carreaux :\n$T$ monte de $2$ par pas de $1$." }, { "text": "$f'(1) = -1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-1$ est l'**ordonnée à l'origine** de $T$ (son\nintersection avec l'axe vertical), pas sa pente." }, { "text": "$f'(1) = \\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Pente renversée : entre $(0\\,;\\,-1)$ et $(2\\,;\\,3)$, on\nmonte de $4$ pour $2$ d'avance : pente $2$, pas\n$\\frac{1}{2}$." } ], "explanation": "Lecture graphique du nombre dérivé (capacité attendue) :\n$f'(a)$ = pente de la tangente, mesurée entre deux points\nlisibles de la tangente. Ici : $2$ (cohérent avec\n$f(x) = x^2$ : $f'(1) = 2$)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente", "equation" ], "title": "Équation de la tangente", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à la\ncourbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?", "options": [ { "text": "$y = 2x - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ avec $f(1) = 1$\net $f'(1) = 2$ : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$." }, { "text": "$y = 2x + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de développement : $2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 =\n2x - 1$. Contrôle : la tangente doit passer par\n$(1\\,;\\,1)$, or $2(1) + 1 = 3 \\neq 1$." }, { "text": "$y = x + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de pente : $f'(1) = 2 \\times 1 = 2$, pas $1$. (La\ndroite $y = x + 1$ n'est pas assez inclinée et **coupe**\nla parabole.)" }, { "text": "$y = 2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette droite a la bonne pente mais passe par\nl'origine, pas par le point de tangence $(1\\,;\\,1)$ :\n$2 \\times 1 = 2 \\neq 1$." } ], "explanation": "Équation de la tangente en $a$ (démonstration au programme) :\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Toujours vérifier que le point de\ntangence vérifie l'équation obtenue." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "derivees-usuelles", "inverse" ], "title": "Dérivée de la fonction inverse", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction inverse\n$f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est une dérivée de référence\n(démonstration au programme via le taux de variation). Le\nsigne négatif traduit la décroissance de l'inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : l'inverse est **décroissante**, sa\ndérivée doit être négative : $-\\dfrac{1}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur augmente en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)' = -\\dfrac{1}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2x}$ mélange avec la dérivée de la\nracine carrée $\\left(\\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\right)$. Pour\nl'inverse : $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "Dérivées de référence à connaître : $(x^2)' = 2x$,\n$(x^3)' = 3x^2$, $\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)' =\n-\\dfrac{1}{x^2}$, $(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "derivees-usuelles", "racine" ], "title": "Dérivée de la racine carrée", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{x}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : dérivée de référence. Elle explose près de\n$0$ : la courbe y démarre avec une tangente verticale\n(la fonction n'est pas dérivable en $0$, démonstration au\nprogramme)." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{\\sqrt{x}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine passe au **dénominateur** en dérivant :\n$\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." }, { "text": "$f'(x) = 2\\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $2$ et la racine doivent passer au **dénominateur**. Contrôle en $x = 1$ :\nla tangente a pour pente $\\dfrac{1}{2\\sqrt{1}} = \\dfrac{1}{2}$, alors que $2\\sqrt{1} = 2$.\n" }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$", "correct": false, "feedback": "Presque : il manque le facteur $\\dfrac{1}{2}$ :\n$(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." } ], "explanation": "$(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$.\nEn $0$ : le taux de variation $\\frac{\\sqrt{h}}{h} =\n\\frac{1}{\\sqrt{h}}$ explose : non dérivable en $0$ (tangente\nverticale)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "operations", "produit" ], "title": "Dériver un produit", "partie": "formules", "statement": "Soit $f(x) = x^2\\,(x + 3)$. Que vaut $f'(x)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 + 6x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(uv)' = u'v + uv'$ donne\n$2x(x+3) + x^2 \\times 1 = 2x^2 + 6x + x^2 = 3x^2 + 6x$.\n(Contrôle : $f(x) = x^3 + 3x^2$ se dérive directement en\n$3x^2 + 6x$.)" }, { "text": "$f'(x) = 2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2x \\times 1$ est le **produit des dérivées**, ce\nqui n'est pas la règle. Le produit se dérive en\n$u'v + uv'$." }, { "text": "$f'(x) = 2x(x + 3)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : c'est le terme $u'v$ seul. Il faut lui ajouter\n$uv' = x^2$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 + 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en développant d'abord, $f(x) = x^3 + 3x^2$ et le\nterme $3x^2$ se dérive en $6x$, pas en $3$." } ], "explanation": "Deux chemins concordants : la règle du produit\n$(uv)' = u'v + uv'$, ou développer d'abord\n($x^3 + 3x^2 \\to 3x^2 + 6x$). Faire les deux est un excellent\nauto-contrôle." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "operations", "inverse-fonction" ], "title": "Dériver l'inverse d'une fonction", "partie": "formules", "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$. Que vaut $f'(x)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' =\n-\\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : la formule de l'inverse porte un\n**moins** : $-\\dfrac{u'}{u^2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Oubli de $u' = 2x$ au numérateur : la dérivée de\nl'intérieur doit apparaître." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne dérive pas un quotient en inversant la\ndérivée du dénominateur. Règle :\n$\\left(\\frac{1}{u}\\right)' = -\\frac{u'}{u^2}$." } ], "explanation": "$\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$ : ici\n$-\\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$. Cas particulier $u(x) = x$ : on\nretrouve $-\\frac{1}{x^2}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "approximation-lineaire" ], "title": "Approximation linéaire", "partie": "nombre-derive", "statement": "En utilisant l'approximation $f(a+h) \\approx f(a) + f'(a)h$\navec $f(x) = \\sqrt{x}$ et $a = 4$, quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\sqrt{4{,}1}$ ?", "options": [ { "text": "$2{,}025$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 2$, $f'(4) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{4}}\n= 0{,}25$ et $h = 0{,}1$ : $\\sqrt{4{,}1} \\approx 2 +\n0{,}25 \\times 0{,}1 = 2{,}025$ (valeur exacte :\n$2{,}0248\\ldots$)." }, { "text": "$2{,}05$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'(4) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{4}} = \\dfrac{1}{4}$,\npas $\\dfrac{1}{2}$. Le facteur $2\\sqrt{x}$ du dénominateur\nvaut $4$ ici." }, { "text": "$2{,}1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ajouter $h$ tel quel revient à prendre\n$f'(4) = 1$. La pente locale de la racine en $4$ est bien\nplus douce : $0{,}25$." }, { "text": "$2{,}0025$", "correct": false, "feedback": "Erreur de décimale : $0{,}25 \\times 0{,}1 = 0{,}025$, pas\n$0{,}0025$." } ], "explanation": "Approximation linéaire (au programme) : près de $a$, la\ncourbe se confond avec sa tangente : $f(a+h) \\approx f(a) +\nf'(a)h$. Ici $\\sqrt{4{,}1} \\approx 2 + \\frac{0{,}1}{4} =\n2{,}025$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "valeur-absolue", "derivabilite" ], "title": "La valeur absolue en 0", "partie": "formules", "statement": "La fonction $x \\mapsto |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?", "options": [ { "text": "Non, les pentes à gauche et à droite diffèrent", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le taux de variation vaut $1$ à droite\nde $0$ et $-1$ à gauche. Les sécantes n'ont pas de\nposition limite unique : le « V » a un point anguleux en\n$0$." }, { "text": "Oui, avec $f'(0) = 0$, tangente horizontale", "correct": false, "feedback": "Erreur : une dérivée nulle signifierait une tangente\nhorizontale au fond du « V » ; or les pentes valent\n$\\pm 1$ de part et d'autre, sans se raccorder." }, { "text": "Oui, avec $f'(0) = 1$, comme à droite de $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente vaut $1$ seulement **à droite**. À\ngauche, elle vaut $-1$ : pas de valeur commune, pas de\nnombre dérivé." }, { "text": "Non, car la fonction n'est pas définie en $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'argument : $|0| = 0$, la fonction est bien définie en $0$ (et sur $\\mathbb{R}$ tout\nentier). Ce sont les pentes à gauche et à droite qui ne se raccordent pas.\n" } ], "explanation": "Étude au programme : $\\dfrac{|0+h| - |0|}{h} = \\dfrac{|h|}{h}$\nvaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : pas de limite unique,\ndonc pas de nombre dérivé en $0$. La courbe présente un point anguleux en $0$." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "interpretation", "cinematique" ], "title": "Vitesse instantanée", "partie": "nombre-derive", "statement": "Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en\nsecondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant\n$t = 3$ ?", "options": [ { "text": "$6$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la vitesse instantanée est le nombre\ndérivé de la position : $d'(t) = 2t$, donc $d'(3) = 6$\nm/s." }, { "text": "$9$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $9 = d(3)$ est la **position** à l'instant $3$\n(en mètres), pas la vitesse." }, { "text": "$3$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 = \\dfrac{d(3) - d(0)}{3}$ est la vitesse\n**moyenne** entre $0$ et $3$. L'instantanée se lit sur la\ndérivée : $2 \\times 3 = 6$." }, { "text": "$2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le coefficient de $d'(t) = 2t$, pas sa\nvaleur en $t = 3$." } ], "explanation": "Interprétation cinématique (au programme) : le taux de variation est une vitesse moyenne ; le nombre dérivé est la vitesse **instantanée**.\n$d'(t) = 2t$ : le mobile accélère, et $d'(3) = 6$ m/s." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "derivees-usuelles", "puissances" ], "title": "Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ (définie pour\n$x \\neq 0$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -2x^{-3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ vaut pour\ntout $n \\in \\mathbb{Z}$ : ici $n = -2$ donne\n$-2x^{-3} = -\\dfrac{2}{x^3}$." }, { "text": "$f'(x) = -2x^{-1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'exposant : on **retranche** $1$ à l'exposant :\n$-2 - 1 = -3$, pas $-1$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^{-3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : l'exposant $n = -2$ descend en facteur\n**avec son signe**." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{x^{-1}}{-1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : ici l'exposant a augmenté de $1$ et on a divisé par ce nouvel exposant, ce qui\ndéfait une dérivation au lieu de l'effectuer. En dérivant, l'exposant descend et diminue :\n$-2x^{-3}$.\n" } ], "explanation": "$(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ pour tout entier relatif $n$. Avec\n$n = -2$ : $f'(x) = -2x^{-3}$. Cohérent avec\n$\\left(\\frac{1}{x}\\right)' = -\\frac{1}{x^2}$ (cas $n = -1$)." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-monome" ], "title": "Dérivée de $3x^2$", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 6x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la constante multiplicative reste en\nfacteur : $3 \\times (x^2)' = 3 \\times 2x = 6x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x$", "correct": false, "feedback": "Exposant non descendu : $(x^2)' = 2x$ : le $2$ vient\nmultiplier le $3$." }, { "text": "$f'(x) = 6x^2$", "correct": false, "feedback": "Exposant conservé à tort : dériver fait **baisser** le\ndegré : $x^2$ devient $x$." }, { "text": "$f'(x) = 2x$", "correct": false, "feedback": "Coefficient $3$ perdu : il traverse la dérivation\nintact : $(3u)' = 3u'$." } ], "explanation": "$(ku)' = ku'$ : les constantes multiplicatives survivent à\nla dérivation. Combiné à $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $(3x^2)' =\n6x$, et tout polynôme se dérive terme à terme." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-polynome" ], "title": "Dériver un polynôme", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-5x^2)' = -10x$, et la constante $1$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $1$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 5x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-10x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 5x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-5x^2$ se dérive en $-10x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-5x^2)' = -10x$, et la constante $1$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $1$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 5x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-10x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 5x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-5x^2$ se dérive en $-10x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 4x^2 + 7$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 8x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-4x^2)' = -8x$, et la constante $7$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 8x + 7$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $7$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 4x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-8x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 4x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-4x^2$ se dérive en $-8x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 12x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-6x^2)' = -12x$, et la constante $2$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 12x + 2$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $2$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 6x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-12x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 6x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-6x^2$ se dérive en $-12x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 8$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 6x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-3x^2)' = -6x$, et la constante $8$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 6x + 8$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $8$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 3x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-6x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 3x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-3x^2$ se dérive en $-6x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique." } ] }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-constante" ], "title": "Dérivée d'une constante", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la courbe de $f$ est une droite\nhorizontale : pente nulle partout, taux de variation\ntoujours nul." }, { "text": "$f'(x) = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est la **valeur**, pas la pente : une\nfonction constante ne varie pas, sa dérivée est $0$." }, { "text": "$f'(x) = 1$", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est $f(x) = x$ qui a pour dérivée $1$\n(pente de la diagonale)." }, { "text": "$f'(x) = 7x$", "correct": false, "feedback": "Sens inverse : c'est $7x$ qui a pour dérivée $7$. Dériver la constante $7$\ndonne $0$.\n" } ], "explanation": "Constante $\\Rightarrow$ dérivée nulle (et réciproquement sur\nun intervalle : le seul type de fonction de dérivée\npartout nulle). Géométrie : l'horizontale n'a pas de pente." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-quotient" ], "title": "Dériver un quotient", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{3x + 1}{x - 2}$\n(pour $x \\neq 2$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{(x - 2)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{3(x-2) - (3x+1)}{(x-2)^2} = \\dfrac{-7}{(x-2)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{3}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{(x - 2)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{x - 2}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-2)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{3x + 1}{x - 2}$\n(pour $x \\neq 2$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{(x - 2)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{3(x-2) - (3x+1)}{(x-2)^2} = \\dfrac{-7}{(x-2)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{3}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{(x - 2)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{x - 2}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-2)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{2x + 3}{x - 4}$\n(pour $x \\neq 4$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-11}{(x - 4)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{2(x-4) - (2x+3)}{(x-4)^2} = \\dfrac{-11}{(x-4)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{2}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{11}{(x - 4)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2(x-4) - (2x+3) = -8 - 3 = -11$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-11}{x - 4}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-4)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{4x + 1}{x - 3}$\n(pour $x \\neq 3$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-13}{(x - 3)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{4(x-3) - (4x+1)}{(x-3)^2} = \\dfrac{-13}{(x-3)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{4}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{13}{(x - 3)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $4(x-3) - (4x+1) = -12 - 1 = -13$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-13}{x - 3}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-3)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{5x + 2}{x - 2}$\n(pour $x \\neq 2$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-12}{(x - 2)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{5(x-2) - (5x+2)}{(x-2)^2} = \\dfrac{-12}{(x-2)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{5}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{12}{(x - 2)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $5(x-2) - (5x+2) = -10 - 2 = -12$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-12}{x - 2}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-2)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente-parallele" ], "title": "Tangente parallèle à une droite", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe\nest-elle parallèle à la droite $y = 4x - 7$ ?", "options": [ { "text": "Au point d'abscisse $2$, car $f'(x) = 2x = 4 \\iff x = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : on résout $f'(x) = 4$ : la pente de la\ntangente est $f'$, celle de la droite est $4$." }, { "text": "Au point d'abscisse $4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 4$, la pente vaut $f'(4) = 8 \\neq 4$ :\non égale la **dérivée** à $4$, pas l'abscisse." }, { "text": "Au point d'abscisse $-7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-7$ est l'ordonnée à l'origine de la droite :\nelle règle sa hauteur, pas sa pente : seule la pente\n($4$) compte pour le parallélisme." }, { "text": "Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parabole a des tangentes de **toutes** les\npentes (une par valeur de $f'(x) = 2x$) : chaque pente\nest atteinte exactement une fois." } ], "explanation": "Tangente parallèle à une droite de pente $m$ : résoudre\n$f'(x) = m$. (Tangente horizontale : cas particulier\n$m = 0$.) La dérivée est un vivier de pentes : on y puise\ncelle qu'on veut." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique-signe" ], "title": "Tangente qui descend", "partie": "nombre-derive", "statement": "Sur un graphique, la tangente à la courbe de $f$ au point\nd'abscisse $a$ descend (de gauche à droite). Que peut-on en\ndéduire ?", "options": [ { "text": "$f'(a) < 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(a)$ est le coefficient directeur de\nla tangente : une droite qui descend a une pente\nnégative." }, { "text": "$f(a) < 0$", "correct": false, "feedback": "Confusion valeur/pente : la courbe peut être très haute\n($f(a) > 0$) avec une tangente qui descend : $f(a)$\ndonne l'altitude, $f'(a)$ l'inclinaison." }, { "text": "$f'(a) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'(a) = 0$ correspond à une tangente\n**horizontale** : ici elle penche vers le bas." }, { "text": "$a < 0$", "correct": false, "feedback": "Sans rapport : la position de $a$ sur l'axe n'a rien à\nvoir avec l'inclinaison de la tangente en ce point." } ], "explanation": "Dictionnaire graphique : tangente montante $\\iff f'(a) >\n0$ ; horizontale $\\iff f'(a) = 0$ ; descendante $\\iff\nf'(a) < 0$. Et la valeur $f(a)$ vit sur un axe totalement\nindépendant." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-inverse-multiple" ], "title": "Dérivée de $\\dfrac{5}{x}$", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{5}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{5}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f = 5 \\times \\frac{1}{x}$ et\n$\\left(\\frac{1}{x}\\right)' = -\\frac{1}{x^2}$ : le $5$\nsuit, le moins reste." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : la fonction inverse **décroît** : sa dérivée est\nnégative : le moins est structurel." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Coefficient perdu : le $5$ multiplie la dérivée comme il\nmultipliait la fonction." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{5}{x}$", "correct": false, "feedback": "Carré oublié : la dérivée de $\\frac{1}{x}$ est $-\\frac{1}{x^2}$, donc celle de\n$\\frac{5}{x}$ est $-\\frac{5}{x^2}$ et non $-\\frac{5}{x}$.\n" } ], "explanation": "$\\left(\\frac{k}{x}\\right)' = -\\frac{k}{x^2}$ : combinaison\nde la constante multiplicative et de la dérivée de\nl'inverse. Alternative : $f(x) = 5x^{-1}$ et la règle\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ avec $n = -1$." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-produit-calcul" ], "title": "Produit : deux chemins, un résultat", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 4x - 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $2(x-3) + (2x+1) = 4x -\n5$ ; ou en développant d'abord ($2x^2 - 5x - 3$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 2$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $2 \\times 1 = 2$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 4x + 5$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x -\n5$ : le $-6$ pèse plus que le $+1$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $2x^2 - 5x - 3$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($4x - 5$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 4x - 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $2(x-3) + (2x+1) = 4x -\n5$ ; ou en développant d'abord ($2x^2 - 5x - 3$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 2$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $2 \\times 1 = 2$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 4x + 5$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x -\n5$ : le $-6$ pèse plus que le $+1$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $2x^2 - 5x - 3$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($4x - 5$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x + 2)(x - 4)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 6x - 10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $3(x-4) + (3x+2) = 6x -\n10$ ; ou en développant d'abord ($3x^2 - 10x - 8$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 3$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $3 \\times 1 = 3$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 6x + 10$", "correct": false, "feedback": "Signe : $3(x - 4) + (3x + 2) = 3x - 12 + 3x + 2 = 6x -\n10$ : le $-12$ pèse plus que le $+2$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x - 8$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $3x^2 - 10x - 8$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($6x - 10$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 5)(x - 4)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 4x - 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $2(x-4) + (2x+5) = 4x -\n3$ ; ou en développant d'abord ($2x^2 - 3x - 20$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 2$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $2 \\times 1 = 2$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 4x + 3$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2(x - 4) + (2x + 5) = 2x - 8 + 2x + 5 = 4x -\n3$ : le $-8$ pèse plus que le $+5$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^2 - 3x - 20$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $2x^2 - 3x - 20$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($4x - 3$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (4x + 1)(x - 2)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 8x - 7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $4(x-2) + (4x+1) = 8x -\n7$ ; ou en développant d'abord ($4x^2 - 7x - 2$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 4$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $4 \\times 1 = 4$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 8x + 7$", "correct": false, "feedback": "Signe : $4(x - 2) + (4x + 1) = 4x - 8 + 4x + 1 = 8x -\n7$ : le $-8$ pèse plus que le $+1$." }, { "text": "$f'(x) = 4x^2 - 7x - 2$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $4x^2 - 7x - 2$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($8x - 7$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir." } ] }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "non-derivabilite", "racine" ], "title": "La racine carrée en $0$", "partie": "nombre-derive", "statement": "La fonction $f(x) = \\sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?", "options": [ { "text": "Non : la tangente en $0$ est verticale", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le taux d'accroissement\n$\\dfrac{\\sqrt{h} - \\sqrt{0}}{h} = \\dfrac{1}{\\sqrt{h}}$\ntend vers $+\\infty$ quand $h$ tend vers $0$ : pas de\nnombre dérivé (fini). La courbe démarre verticalement en\n$0$ : pente infinie." }, { "text": "Oui, et le nombre dérivé vaut $f'(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ n'est pas\ndéfinie en $0$, et le taux tend vers $+\\infty$, pas vers\n$0$ : la tangente serait horizontale, or elle est\nverticale." }, { "text": "Oui, car $f$ est définie en $0$ avec $f(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Confusion : être définie en $0$ ne suffit pas. La dérivabilité exige une pente\n**finie**, refusée ici puisque $\\frac{1}{\\sqrt{h}}$ tend vers $+\\infty$.\n" }, { "text": "Non, car $\\sqrt{0}$ n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Faux : $\\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement : c'est la\n**pente** en $0$ qui fait défaut." } ], "explanation": "$\\sqrt{x}$ est définie sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$, mais dérivable seulement sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ :\nen $0$, la tangente est verticale. Avec $|x|$ et son point anguleux, c'est le deuxième\ncontre-exemple officiel de non-dérivabilité." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "approximation-affine" ], "title": "Estimer sans calculatrice", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. En utilisant l'approximation $f(a + h)\n\\approx f(a) + h\\,f'(a)$, quelle estimation de $2{,}01^2$\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4{,}04$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $a = 2$, $h = 0{,}01$, $f(2) = 4$ et\n$f'(2) = 4$ : $2{,}01^2 \\approx 4 + 0{,}01 \\times 4 =\n4{,}04$ (exact : $4{,}0401$, l'erreur est en $h^2$)." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4$", "correct": false, "feedback": "Ordre zéro : arrondir à $f(2)$ ignore la variation ; le\nterme correctif $h f'(a) = 0{,}04$ est justement ce que\nl'approximation affine apporte." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4{,}01$", "correct": false, "feedback": "Pente oubliée : $4 + 0{,}01 = 4{,}01$ ajoute $h$ au lieu\nde $h \\times f'(a)$ : la courbe monte à la vitesse $4$,\npas $1$." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4{,}4$", "correct": false, "feedback": "Facteur $10$ : $h f'(a) = 0{,}01 \\times 4 = 0{,}04$,\npas $0{,}4$." } ], "explanation": "Approximation affine : $f(a + h) \\approx f(a) + h f'(a)$\npour $h$ petit : remplacer la courbe par sa tangente.\nL'erreur commise est de l'ordre de $h^2$ : négligeable au\npremier ordre." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "cinematique" ], "title": "De la position à la vitesse", "partie": "nombre-derive", "statement": "Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en\nsecondes). Quelle est sa vitesse instantanée à $t = 3$ ?", "options": [ { "text": "$6$ m/s : la dérivée $d'(t) = 2t$ évaluée en $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la vitesse instantanée est la dérivée de\nla position : $d'(3) = 6$ m/s : le compteur affiche la\npente de la courbe position-temps." }, { "text": "$9$ m/s", "correct": false, "feedback": "Confusion : $9 = d(3)$ est la **position** (distance\nparcourue), pas la vitesse : dériver d'abord, évaluer\nensuite." }, { "text": "$3$ m/s : la vitesse moyenne depuis le départ", "correct": false, "feedback": "Moyenne au lieu d'instantanée : $\\frac{d(3) - d(0)}{3} =\n3$ m/s est la moyenne sur $[0\\ ;\\ 3]$ ; le mobile\naccélère : à l'instant $3$, il file à $6$ m/s." }, { "text": "$2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Évaluation manquante : $2$ est le coefficient de\n$d'(t) = 2t$ : en $t = 3$, la vitesse vaut $2 \\times 3 =\n6$ m/s." } ], "explanation": "La vitesse instantanée est la dérivée de la position : la\nsignification physique du nombre dérivé. La vitesse moyenne\ncorrespond, elle, au taux de variation sur un intervalle :\nles deux se rejoignent quand l'intervalle rétrécit." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "derivee-produit-racine" ], "title": "Dérivée de $x\\sqrt{x}$", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\sqrt{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{2}\\sqrt{x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \\sqrt{x}$ :\n$\\sqrt{x} + x \\times \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}} = \\sqrt{x} +\n\\dfrac{\\sqrt{x}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{x}}{2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Second terme perdu : la règle du produit ajoute $x\n\\times (\\sqrt{x})' = \\frac{\\sqrt{x}}{2}$ : total\n$\\frac{3}{2}\\sqrt{x}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$", "correct": false, "feedback": "Facteur $x$ ignoré : $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ est la\ndérivée de $\\sqrt{x}$ **seule** : le produit exige\n$u'v + uv'$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{3}\\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : le calcul donne $\\frac{3}{2}$, pas\n$\\frac{2}{3}$ (ajouter $\\sqrt{x}$ et sa moitié)." } ], "explanation": "$x\\sqrt{x} = x^{3/2}$ : la réponse $\\frac{3}{2}x^{1/2}$\nillustre que la règle $(x^n)' = nx^{n-1}$ s'étend aux\nexposants fractionnaires : joli contrôle de cohérence du\ncalcul par la règle du produit." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente", "lecture-graphique" ], "title": "Tangente horizontale et nombre dérivé", "partie": "nombre-derive", "statement": "La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ est\nhorizontale. Que vaut $f'(2)$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le nombre dérivé est le coefficient directeur de la\ntangente, nul pour une droite horizontale." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Abscisse recopiée : elle indique où l'on se place, pas la valeur de la\ndérivée." }, { "text": "$f(2)$", "correct": false, "feedback": "Image confondue avec nombre dérivé : $f(2)$ est l'ordonnée du point de\ncontact." }, { "text": "La dérivée n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Une tangente horizontale existe bel et bien : c'est une tangente\nverticale qui poserait problème." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au\npoint d'abscisse $a$. Une tangente horizontale correspond donc à une\ndérivée nulle." }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee", "operations" ], "title": "Dérivée d'une somme de puissances", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 2$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 - 8x + 7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme se dérive séparément, et la constante\ndisparaît." }, { "text": "$3x^2 - 8x + 7 - 2$", "correct": false, "feedback": "Constante conservée : la dérivée d'un nombre est nulle, le terme $-2$\ndisparaît." }, { "text": "$3x^2 - 4x + 7$", "correct": false, "feedback": "Coefficient non multiplié : la dérivée de $-4x^2$ vaut $-8x$, car\nl'exposant descend en facteur." }, { "text": "$x^2 - 8x + 7$", "correct": false, "feedback": "Exposant oublié en facteur : la dérivée de $x^3$ vaut $3x^2$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $x^n$\nvaut $nx^{n-1}$. Toute constante additive disparaît." }, { "id": "q27", "difficulty": 3, "skills": [ "tangente", "equation" ], "title": "Une tangente en un point donné", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $3$ ?", "options": [ { "text": "$y = 6x - 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$, donc\n$y = 6(x - 3) + 9$." }, { "text": "$y = 6x + 9$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : le développement de $6(x-3) + 9$ donne\n$6x - 9$." }, { "text": "$y = 9x - 6$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : $9$ est l'ordonnée du point de contact et $6$ le\ncoefficient directeur." }, { "text": "$y = 3x^2$", "correct": false, "feedback": "Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de\nterme en $x^2$." } ], "explanation": "L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule d'abord le nombre dérivé, puis\nl'image.", "variants": [ { "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $3$ ?", "options": [ { "text": "$y = 6x - 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$, donc\n$y = 6(x - 3) + 9$." }, { "text": "$y = 6x + 9$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : le développement de $6(x-3) + 9$ donne\n$6x - 9$." }, { "text": "$y = 9x - 6$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : $9$ est l'ordonnée du point de contact et $6$ le\ncoefficient directeur." }, { "text": "$y = 3x^2$", "correct": false, "feedback": "Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de\nterme en $x^2$." } ], "explanation": "L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule d'abord le nombre dérivé, puis\nl'image." }, { "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $4$ ?", "options": [ { "text": "$y = 8x - 16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(4) = 8$ et $f(4) = 16$, donc\n$y = 8(x - 4) + 16$." }, { "text": "$y = 8x + 16$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : le développement de $8(x-4) + 16$ donne\n$8x - 16$." }, { "text": "$y = 16x - 8$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : $16$ est l'ordonnée du point de contact et $8$ le\ncoefficient directeur." }, { "text": "$y = 4x^2$", "correct": false, "feedback": "Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de\nterme en $x^2$." } ], "explanation": "L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule d'abord le nombre dérivé, puis\nl'image." }, { "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $5$ ?", "options": [ { "text": "$y = 10x - 25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(5) = 10$ et $f(5) = 25$, donc\n$y = 10(x - 5) + 25$." }, { "text": "$y = 10x + 25$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : le développement de $10(x-5) + 25$ donne\n$10x - 25$." }, { "text": "$y = 25x - 10$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : $25$ est l'ordonnée du point de contact et $10$ le\ncoefficient directeur." }, { "text": "$y = 5x^2$", "correct": false, "feedback": "Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de\nterme en $x^2$." } ], "explanation": "L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule d'abord le nombre dérivé, puis\nl'image." }, { "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe\nau point d'abscisse $6$ ?", "options": [ { "text": "$y = 12x - 36$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(6) = 12$ et $f(6) = 36$, donc\n$y = 12(x - 6) + 36$." }, { "text": "$y = 12x + 36$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : le développement de $12(x-6) + 36$ donne\n$12x - 36$." }, { "text": "$y = 36x - 12$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : $36$ est l'ordonnée du point de contact et $12$ le\ncoefficient directeur." }, { "text": "$y = 6x^2$", "correct": false, "feedback": "Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de\nterme en $x^2$." } ], "explanation": "L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. On calcule d'abord le nombre dérivé, puis\nl'image." } ] }, { "id": "q28", "difficulty": 2, "skills": [ "taux-de-variation", "definition" ], "title": "Ce que mesure un taux de variation", "partie": "nombre-derive", "statement": "Que représente géométriquement le taux de variation\n$\\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ ?", "options": [ { "text": "Le coefficient directeur d'une sécante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est la pente de la droite joignant les points\nd'abscisses $a$ et $a+h$." }, { "text": "Le coefficient directeur de la tangente", "correct": false, "feedback": "La tangente s'obtient à la limite, quand $h$ tend vers $0$, pas pour\n$h$ fixé." }, { "text": "La distance entre deux points de la courbe", "correct": false, "feedback": "Une distance ne peut pas être négative, alors que ce quotient le peut." }, { "text": "L'aire sous la courbe entre $a$ et $a+h$", "correct": false, "feedback": "L'aire relève de l'intégration, une notion étudiée en terminale." } ], "explanation": "Le taux de variation est la pente d'une sécante. Le nombre dérivé en est\nla limite lorsque le second point se rapproche du premier." }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "derivee", "quotient" ], "title": "Dériver un quotient de polynômes", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{x}{x + 1}$ sur son ensemble\nde définition ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{(x+1)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le numérateur de la formule donne\n$1 \\times (x+1) - x \\times 1 = 1$." }, { "text": "$\\dfrac{-1}{(x+1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Ordre des termes inversé : la formule retranche $u v'$ à $u' v$, dans\ncet ordre." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Dérivation terme à terme : un quotient ne se dérive pas en dérivant\nséparément numérateur et dénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{1}{x+1}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient l'exige." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{u}{v}$ vaut $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Ici\n$u(x) = x$ et $v(x) = x+1$, ce qui simplifie beaucoup le numérateur." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee", "signe", "interpretation" ], "title": "Ce que dit le signe du nombre dérivé", "partie": "formules", "statement": "En un point où $f'(a) < 0$, que peut-on dire de la courbe de $f$ ?", "options": [ { "text": "Sa tangente y descend", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un coefficient directeur négatif donne une droite\ndécroissante." }, { "text": "Elle passe sous l'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "La position par rapport à l'axe dépend du signe de $f(a)$, pas de\ncelui de $f'(a)$." }, { "text": "Elle atteint un maximum en $a$", "correct": false, "feedback": "Un extremum demanderait une dérivée nulle, avec changement de signe de\npart et d'autre." }, { "text": "Elle n'admet pas de tangente en $a$", "correct": false, "feedback": "L'existence du nombre dérivé garantit au contraire celle de la\ntangente." } ], "explanation": "Le signe de $f'(a)$ donne l'inclinaison de la tangente, donc la tendance\nlocale de la courbe. Le signe de $f(a)$, lui, donne sa position par\nrapport à l'axe des abscisses." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-monome", "derivee-constante" ], "title": "Dérivée d'une fonction affine", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x) = 5x - 8$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme $5x$ a pour dérivée $5$, et la\nconstante a pour dérivée $0$." }, { "text": "$f'(x) = 5x$", "correct": false, "feedback": "La variable ne subsiste pas : en dérivant $5x$, il reste le seul\ncoefficient $5$." }, { "text": "$f'(x) = 5x - 8$", "correct": false, "feedback": "Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de $f$, et non celle de\n$f'$." }, { "text": "$f'(x) = -8$", "correct": false, "feedback": "C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le\nnombre dérivé vaut $5$ en tout point." } ], "explanation": "Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient\ndirecteur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change\njamais.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x) = 5x - 8$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme $5x$ a pour dérivée $5$, et la\nconstante a pour dérivée $0$." }, { "text": "$f'(x) = 5x$", "correct": false, "feedback": "La variable ne subsiste pas : en dérivant $5x$, il reste le seul\ncoefficient $5$." }, { "text": "$f'(x) = 5x - 8$", "correct": false, "feedback": "Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de $f$, et non celle de\n$f'$." }, { "text": "$f'(x) = -8$", "correct": false, "feedback": "C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le\nnombre dérivé vaut $5$ en tout point." } ], "explanation": "Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient\ndirecteur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change\njamais." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x) = -3x + 7$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme $-3x$ a pour dérivée $-3$, et la\nconstante a pour dérivée $0$." }, { "text": "$f'(x) = -3x$", "correct": false, "feedback": "La variable ne subsiste pas : en dérivant $-3x$, il reste le seul\ncoefficient $-3$." }, { "text": "$f'(x) = -3x + 7$", "correct": false, "feedback": "Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de $f$, et non celle de\n$f'$." }, { "text": "$f'(x) = 7$", "correct": false, "feedback": "C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le\nnombre dérivé vaut $-3$ en tout point." } ], "explanation": "Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient\ndirecteur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change\njamais." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x) = 4x + 9$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme $4x$ a pour dérivée $4$, et la\nconstante a pour dérivée $0$." }, { "text": "$f'(x) = 4x$", "correct": false, "feedback": "La variable ne subsiste pas : en dérivant $4x$, il reste le seul\ncoefficient $4$." }, { "text": "$f'(x) = 4x + 9$", "correct": false, "feedback": "Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de $f$, et non celle de\n$f'$." }, { "text": "$f'(x) = 9$", "correct": false, "feedback": "C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le\nnombre dérivé vaut $4$ en tout point." } ], "explanation": "Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient\ndirecteur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change\njamais." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x) = 6x - 8$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme $6x$ a pour dérivée $6$, et la\nconstante a pour dérivée $0$." }, { "text": "$f'(x) = 6x$", "correct": false, "feedback": "La variable ne subsiste pas : en dérivant $6x$, il reste le seul\ncoefficient $6$." }, { "text": "$f'(x) = 6x - 8$", "correct": false, "feedback": "Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de $f$, et non celle de\n$f'$." }, { "text": "$f'(x) = -8$", "correct": false, "feedback": "C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le\nnombre dérivé vaut $6$ en tout point." } ], "explanation": "Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient\ndirecteur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change\njamais." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-polynome" ], "title": "Un polynôme avec un terme en $x$", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = 4x^3 - x + 6$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 12x^2 - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4x^3$ donne $12x^2$, $-x$ donne $-1$, et la\nconstante $6$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 12x^2 - 1 + 6$", "correct": false, "feedback": "La constante $6$ a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe\nest nulle." }, { "text": "$f'(x) = 12x^2$", "correct": false, "feedback": "Le terme $-x$ a été oublié : sa dérivée vaut $-1$, et non $0$." }, { "text": "$f'(x) = 4x^2 - 1$", "correct": false, "feedback": "L'exposant $3$ doit aussi multiplier le coefficient : $4x^3$ a\npour dérivée $12x^2$." } ], "explanation": "On dérive terme à terme : $x^n$ donne $nx^{n-1}$, le terme en $x$ donne\nson coefficient, et la constante disparaît.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = 4x^3 - x + 6$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 12x^2 - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4x^3$ donne $12x^2$, $-x$ donne $-1$, et la\nconstante $6$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 12x^2 - 1 + 6$", "correct": false, "feedback": "La constante $6$ a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe\nest nulle." }, { "text": "$f'(x) = 12x^2$", "correct": false, "feedback": "Le terme $-x$ a été oublié : sa dérivée vaut $-1$, et non $0$." }, { "text": "$f'(x) = 4x^2 - 1$", "correct": false, "feedback": "L'exposant $3$ doit aussi multiplier le coefficient : $4x^3$ a\npour dérivée $12x^2$." } ], "explanation": "On dérive terme à terme : $x^n$ donne $nx^{n-1}$, le terme en $x$ donne\nson coefficient, et la constante disparaît." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = 2x^3 - x + 5$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 6x^2 - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2x^3$ donne $6x^2$, $-x$ donne $-1$, et la\nconstante $5$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 6x^2 - 1 + 5$", "correct": false, "feedback": "La constante $5$ a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe\nest nulle." }, { "text": "$f'(x) = 6x^2$", "correct": false, "feedback": "Le terme $-x$ a été oublié : sa dérivée vaut $-1$, et non $0$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^2 - 1$", "correct": false, "feedback": "L'exposant $3$ doit aussi multiplier le coefficient : $2x^3$ a\npour dérivée $6x^2$." } ], "explanation": "On dérive terme à terme : $x^n$ donne $nx^{n-1}$, le terme en $x$ donne\nson coefficient, et la constante disparaît." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = 5x^3 - x + 3$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 15x^2 - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5x^3$ donne $15x^2$, $-x$ donne $-1$, et la\nconstante $3$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 15x^2 - 1 + 3$", "correct": false, "feedback": "La constante $3$ a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe\nest nulle." }, { "text": "$f'(x) = 15x^2$", "correct": false, "feedback": "Le terme $-x$ a été oublié : sa dérivée vaut $-1$, et non $0$." }, { "text": "$f'(x) = 5x^2 - 1$", "correct": false, "feedback": "L'exposant $3$ doit aussi multiplier le coefficient : $5x^3$ a\npour dérivée $15x^2$." } ], "explanation": "On dérive terme à terme : $x^n$ donne $nx^{n-1}$, le terme en $x$ donne\nson coefficient, et la constante disparaît." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = 3x^3 - x + 6$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 9x^2 - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^3$ donne $9x^2$, $-x$ donne $-1$, et la\nconstante $6$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 9x^2 - 1 + 6$", "correct": false, "feedback": "La constante $6$ a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe\nest nulle." }, { "text": "$f'(x) = 9x^2$", "correct": false, "feedback": "Le terme $-x$ a été oublié : sa dérivée vaut $-1$, et non $0$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 1$", "correct": false, "feedback": "L'exposant $3$ doit aussi multiplier le coefficient : $3x^3$ a\npour dérivée $9x^2$." } ], "explanation": "On dérive terme à terme : $x^n$ donne $nx^{n-1}$, le terme en $x$ donne\nson coefficient, et la constante disparaît." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "nombre-derive" ], "title": "Calculer un nombre dérivé", "partie": "nombre-derive", "statement": "La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = 3x^2 - 4x$. Que vaut le\nnombre dérivé $f'(5)$ ?", "options": [ { "text": "$55$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$ dans $f'$, ce qui donne\n$3 \\times 5^2 - 4 \\times 5 = 55$." }, { "text": "$205$", "correct": false, "feedback": "Le carré porte sur $x$ seul : il faut élever $5$ au carré, puis\nmultiplier le résultat par $3$." }, { "text": "$95$", "correct": false, "feedback": "Le second terme se retranche : le calcul donne $55$ et non\n$95$." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Le carré a disparu, et le coefficient $4$ n'a pas été multiplié\npar $5$." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans\nl'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul.", "variants": [ { "statement": "La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = 3x^2 - 4x$. Que vaut le\nnombre dérivé $f'(5)$ ?", "options": [ { "text": "$55$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$ dans $f'$, ce qui donne\n$3 \\times 5^2 - 4 \\times 5 = 55$." }, { "text": "$205$", "correct": false, "feedback": "Le carré porte sur $x$ seul : il faut élever $5$ au carré, puis\nmultiplier le résultat par $3$." }, { "text": "$95$", "correct": false, "feedback": "Le second terme se retranche : le calcul donne $55$ et non\n$95$." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Le carré a disparu, et le coefficient $4$ n'a pas été multiplié\npar $5$." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans\nl'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul." }, { "statement": "La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = 2x^2 - 5x$. Que vaut le\nnombre dérivé $f'(4)$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $4$ dans $f'$, ce qui donne\n$2 \\times 4^2 - 5 \\times 4 = 12$." }, { "text": "$44$", "correct": false, "feedback": "Le carré porte sur $x$ seul : il faut élever $4$ au carré, puis\nmultiplier le résultat par $2$." }, { "text": "$52$", "correct": false, "feedback": "Le second terme se retranche : le calcul donne $12$ et non\n$52$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Le carré a disparu, et le coefficient $5$ n'a pas été multiplié\npar $4$." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans\nl'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul." }, { "statement": "La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = 4x^2 - 3x$. Que vaut le\nnombre dérivé $f'(5)$ ?", "options": [ { "text": "$85$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$ dans $f'$, ce qui donne\n$4 \\times 5^2 - 3 \\times 5 = 85$." }, { "text": "$385$", "correct": false, "feedback": "Le carré porte sur $x$ seul : il faut élever $5$ au carré, puis\nmultiplier le résultat par $4$." }, { "text": "$115$", "correct": false, "feedback": "Le second terme se retranche : le calcul donne $85$ et non\n$115$." }, { "text": "$17$", "correct": false, "feedback": "Le carré a disparu, et le coefficient $3$ n'a pas été multiplié\npar $5$." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans\nl'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul." }, { "statement": "La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = 3x^2 - 4x$. Que vaut le\nnombre dérivé $f'(4)$ ?", "options": [ { "text": "$32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $4$ dans $f'$, ce qui donne\n$3 \\times 4^2 - 4 \\times 4 = 32$." }, { "text": "$128$", "correct": false, "feedback": "Le carré porte sur $x$ seul : il faut élever $4$ au carré, puis\nmultiplier le résultat par $3$." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Le second terme se retranche : le calcul donne $32$ et non\n$64$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Le carré a disparu, et le coefficient $4$ n'a pas été multiplié\npar $4$." } ], "explanation": "Le nombre dérivé $f'(a)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans\nl'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul." } ] }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "derivabilite", "valeur-absolue" ], "title": "La courbe de la valeur absolue", "partie": "nombre-derive", "statement": "La courbe de la fonction $x \\mapsto |x|$ est formée de deux\ndemi-droites. Que voit-on au point d'abscisse $0$ ?", "options": [ { "text": "Un point anguleux, sans tangente unique", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les pentes valent $-1$ à gauche et $1$ à droite,\ndonc aucune droite unique ne prolonge la courbe." }, { "text": "Une tangente horizontale d'équation $y = 0$", "correct": false, "feedback": "Une tangente horizontale supposerait des pentes nulles de part et\nd'autre, ce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "Une tangente verticale d'équation $x = 0$", "correct": false, "feedback": "La tangente verticale est le cas de la fonction racine carrée en\n$0$, où les pentes deviennent très grandes." }, { "text": "Un point où la courbe s'interrompt", "correct": false, "feedback": "La courbe se trace d'un seul trait : c'est sa direction qui change\nbrutalement, pas son tracé." } ], "explanation": "Une fonction n'est dérivable en un point que si la courbe y admet une\ntangente unique. Un point anguleux réunit deux directions différentes,\ndonc la dérivabilité échoue." }, { "id": "q35", "difficulty": 2, "skills": [ "puissances" ], "title": "Dérivée de $\\dfrac{1}{x^n}$", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\dfrac{1}{x^3}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{3}{x^4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x^3}$ s'écrit $x^{-3}$, dont la\ndérivée est $-3x^{-4}$, soit $-\\dfrac{3}{x^4}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{x^4}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est\nnégative sur $]0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{2}{x^3}$", "correct": false, "feedback": "L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est $3$ qui\npasse au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{3x^4}$", "correct": false, "feedback": "Le facteur $3$ multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et\nnon au dénominateur." } ], "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$, la règle sur les\npuissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une\nunité.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\dfrac{1}{x^3}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{3}{x^4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x^3}$ s'écrit $x^{-3}$, dont la\ndérivée est $-3x^{-4}$, soit $-\\dfrac{3}{x^4}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{x^4}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est\nnégative sur $]0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{2}{x^3}$", "correct": false, "feedback": "L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est $3$ qui\npasse au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{3x^4}$", "correct": false, "feedback": "Le facteur $3$ multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et\nnon au dénominateur." } ], "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$, la règle sur les\npuissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une\nunité." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\dfrac{1}{x^4}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{4}{x^5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x^4}$ s'écrit $x^{-4}$, dont la\ndérivée est $-4x^{-5}$, soit $-\\dfrac{4}{x^5}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{4}{x^5}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est\nnégative sur $]0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{3}{x^4}$", "correct": false, "feedback": "L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est $4$ qui\npasse au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{4x^5}$", "correct": false, "feedback": "Le facteur $4$ multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et\nnon au dénominateur." } ], "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$, la règle sur les\npuissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une\nunité." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\dfrac{1}{x^5}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{5}{x^6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x^5}$ s'écrit $x^{-5}$, dont la\ndérivée est $-5x^{-6}$, soit $-\\dfrac{5}{x^6}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{x^6}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est\nnégative sur $]0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{4}{x^5}$", "correct": false, "feedback": "L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est $5$ qui\npasse au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{5x^6}$", "correct": false, "feedback": "Le facteur $5$ multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et\nnon au dénominateur." } ], "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$, la règle sur les\npuissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une\nunité." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\dfrac{1}{x^2}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{2}{x^3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$, dont la\ndérivée est $-2x^{-3}$, soit $-\\dfrac{2}{x^3}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{x^3}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est\nnégative sur $]0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est $2$ qui\npasse au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{2x^3}$", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et\nnon au dénominateur." } ], "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$, la règle sur les\npuissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une\nunité." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "signe", "tangente" ], "title": "Le signe d'un nombre dérivé", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Que peut-on\ndire du nombre dérivé $f'(2)$ ?", "options": [ { "text": "Il est négatif : la tangente descend", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$, donc $f'(2) = -2$, et une\npente négative donne une tangente qui descend." }, { "text": "Il est positif : la tangente monte", "correct": false, "feedback": "Le calcul donne $f'(2) = -2$, qui est négatif : la tangente\ndescend en ce point." }, { "text": "Il est nul : la tangente est horizontale", "correct": false, "feedback": "La tangente n'est horizontale qu'au point d'abscisse $3$,\nseul endroit où $2x - 6$ s'annule." }, { "text": "Il est négatif, donc la courbe est sous l'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Le signe est bon, mais la conclusion non : $f(2) = 2$ est\npositif, donc la courbe est au-dessus de l'axe." } ], "explanation": "Le signe du nombre dérivé renseigne sur l'inclinaison de la tangente,\ntandis que le signe de $f(a)$ renseigne sur la position de la courbe par\nrapport à l'axe des abscisses." }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-inverse-multiple", "inverse" ], "title": "Une somme avec un inverse", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = 3x + \\dfrac{2}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x$ donne $3$, et $\\dfrac{2}{x}$ donne\n$-\\dfrac{2}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = 3 + \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée\nest donc négative." }, { "text": "$f'(x) = 3x - \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme n'a pas été dérivé : $3x$ a pour dérivée le seul\ncoefficient $3$." }, { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{2}{x}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré : $\\dfrac{1}{x}$ a pour\ndérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la\nforme $\\dfrac{k}{x}$ se dérive comme $k$ fois la fonction inverse, ce\nqui donne $-\\dfrac{k}{x^2}$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = 3x + \\dfrac{2}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x$ donne $3$, et $\\dfrac{2}{x}$ donne\n$-\\dfrac{2}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = 3 + \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée\nest donc négative." }, { "text": "$f'(x) = 3x - \\dfrac{2}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme n'a pas été dérivé : $3x$ a pour dérivée le seul\ncoefficient $3$." }, { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{2}{x}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré : $\\dfrac{1}{x}$ a pour\ndérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la\nforme $\\dfrac{k}{x}$ se dérive comme $k$ fois la fonction inverse, ce\nqui donne $-\\dfrac{k}{x^2}$." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = 5x + \\dfrac{4}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 5 - \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5x$ donne $5$, et $\\dfrac{4}{x}$ donne\n$-\\dfrac{4}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = 5 + \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée\nest donc négative." }, { "text": "$f'(x) = 5x - \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme n'a pas été dérivé : $5x$ a pour dérivée le seul\ncoefficient $5$." }, { "text": "$f'(x) = 5 - \\dfrac{4}{x}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré : $\\dfrac{1}{x}$ a pour\ndérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la\nforme $\\dfrac{k}{x}$ se dérive comme $k$ fois la fonction inverse, ce\nqui donne $-\\dfrac{k}{x^2}$." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = 2x + \\dfrac{7}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 2 - \\dfrac{7}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2x$ donne $2$, et $\\dfrac{7}{x}$ donne\n$-\\dfrac{7}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = 2 + \\dfrac{7}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée\nest donc négative." }, { "text": "$f'(x) = 2x - \\dfrac{7}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme n'a pas été dérivé : $2x$ a pour dérivée le seul\ncoefficient $2$." }, { "text": "$f'(x) = 2 - \\dfrac{7}{x}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré : $\\dfrac{1}{x}$ a pour\ndérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la\nforme $\\dfrac{k}{x}$ se dérive comme $k$ fois la fonction inverse, ce\nqui donne $-\\dfrac{k}{x^2}$." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = 3x + \\dfrac{4}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x$ donne $3$, et $\\dfrac{4}{x}$ donne\n$-\\dfrac{4}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = 3 + \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée\nest donc négative." }, { "text": "$f'(x) = 3x - \\dfrac{4}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme n'a pas été dérivé : $3x$ a pour dérivée le seul\ncoefficient $3$." }, { "text": "$f'(x) = 3 - \\dfrac{4}{x}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré : $\\dfrac{1}{x}$ a pour\ndérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la\nforme $\\dfrac{k}{x}$ se dérive comme $k$ fois la fonction inverse, ce\nqui donne $-\\dfrac{k}{x^2}$." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-quotient", "quotient" ], "title": "La formule du quotient", "partie": "formules", "statement": "Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle où $v$ ne\ns'annule pas. Quelle est la dérivée de $\\dfrac{u}{v}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le numérateur commence par $u'v$, puis retranche\n$uv'$, et le dénominateur est le carré de $v$." }, { "text": "$\\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$", "correct": false, "feedback": "Les deux produits sont échangés : l'ordre compte, car le résultat\nest alors l'opposé du bon." }, { "text": "$\\dfrac{u'v + uv'}{v^2}$", "correct": false, "feedback": "C'est le numérateur de la formule du produit : pour un quotient, le\nsecond terme se retranche." }, { "text": "$\\dfrac{u'}{v} - \\dfrac{u}{v'}$", "correct": false, "feedback": "On ne dérive pas un quotient morceau par morceau : la formule fait\nintervenir les quatre fonctions ensemble." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{u}{v}$ vaut $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. L'ordre du\nnumérateur se retient en remarquant qu'avec $u = 1$ on retrouve\n$-\\dfrac{v'}{v^2}$." }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "produit", "derivee-produit-calcul" ], "title": "Un produit à deux facteurs", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = (x^2 + 4)(x + 2)$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 + 4x + 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u'v + uv'$ donne $2x(x + 2) + (x^2 + 4)$, soit\n$3x^2 + 4x + 4$ après réduction." }, { "text": "$2x \\times (x + 2)$", "correct": false, "feedback": "Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$3x^2 + 4x$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $4$ a disparu : il provient du produit\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$x^3 + 2x^2 + 4x + 8$", "correct": false, "feedback": "C'est le développement de $f$, pas sa dérivée : il reste à dériver\ncette expression." } ], "explanation": "La dérivée d'un produit vaut $u'v + uv'$. On peut aussi développer\nd'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même\nrésultat.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = (x^2 + 4)(x + 2)$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 + 4x + 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u'v + uv'$ donne $2x(x + 2) + (x^2 + 4)$, soit\n$3x^2 + 4x + 4$ après réduction." }, { "text": "$2x \\times (x + 2)$", "correct": false, "feedback": "Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$3x^2 + 4x$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $4$ a disparu : il provient du produit\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$x^3 + 2x^2 + 4x + 8$", "correct": false, "feedback": "C'est le développement de $f$, pas sa dérivée : il reste à dériver\ncette expression." } ], "explanation": "La dérivée d'un produit vaut $u'v + uv'$. On peut aussi développer\nd'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même\nrésultat." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = (x^2 + 3)(x + 5)$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 + 10x + 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u'v + uv'$ donne $2x(x + 5) + (x^2 + 3)$, soit\n$3x^2 + 10x + 3$ après réduction." }, { "text": "$2x \\times (x + 5)$", "correct": false, "feedback": "Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque\n$(x^2 + 3) \\times 1$." }, { "text": "$3x^2 + 10x$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $3$ a disparu : il provient du produit\n$(x^2 + 3) \\times 1$." }, { "text": "$x^3 + 5x^2 + 3x + 15$", "correct": false, "feedback": "C'est le développement de $f$, pas sa dérivée : il reste à dériver\ncette expression." } ], "explanation": "La dérivée d'un produit vaut $u'v + uv'$. On peut aussi développer\nd'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même\nrésultat." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = (x^2 + 5)(x + 4)$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 + 8x + 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u'v + uv'$ donne $2x(x + 4) + (x^2 + 5)$, soit\n$3x^2 + 8x + 5$ après réduction." }, { "text": "$2x \\times (x + 4)$", "correct": false, "feedback": "Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque\n$(x^2 + 5) \\times 1$." }, { "text": "$3x^2 + 8x$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $5$ a disparu : il provient du produit\n$(x^2 + 5) \\times 1$." }, { "text": "$x^3 + 4x^2 + 5x + 20$", "correct": false, "feedback": "C'est le développement de $f$, pas sa dérivée : il reste à dériver\ncette expression." } ], "explanation": "La dérivée d'un produit vaut $u'v + uv'$. On peut aussi développer\nd'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même\nrésultat." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = (x^2 + 4)(x + 5)$ ?", "options": [ { "text": "$3x^2 + 10x + 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u'v + uv'$ donne $2x(x + 5) + (x^2 + 4)$, soit\n$3x^2 + 10x + 4$ après réduction." }, { "text": "$2x \\times (x + 5)$", "correct": false, "feedback": "Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$3x^2 + 10x$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $4$ a disparu : il provient du produit\n$(x^2 + 4) \\times 1$." }, { "text": "$x^3 + 5x^2 + 4x + 20$", "correct": false, "feedback": "C'est le développement de $f$, pas sa dérivée : il reste à dériver\ncette expression." } ], "explanation": "La dérivée d'un produit vaut $u'v + uv'$. On peut aussi développer\nd'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même\nrésultat." } ] }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "inverse-fonction" ], "title": "Inverse d'une expression affine", "partie": "formules", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = \\dfrac{1}{3x + 5}$, sur un intervalle où le dénominateur ne\ns'annule pas ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(3x + 5)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 5$, la dérivée de\n$\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$, et $u'(x) = 3$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(3x + 5)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître\n$-u'$ au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{3x + 5}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans\n$-\\dfrac{1}{x^2}$ pour la fonction inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{3(3x + 5)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $3$ est la dérivée de $u$ : il multiplie le numérateur\net ne divise pas le dénominateur." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$. Il suffit donc de\ndériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = \\dfrac{1}{3x + 5}$, sur un intervalle où le dénominateur ne\ns'annule pas ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(3x + 5)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 5$, la dérivée de\n$\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$, et $u'(x) = 3$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(3x + 5)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître\n$-u'$ au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{3x + 5}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans\n$-\\dfrac{1}{x^2}$ pour la fonction inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{3(3x + 5)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $3$ est la dérivée de $u$ : il multiplie le numérateur\net ne divise pas le dénominateur." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$. Il suffit donc de\ndériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = \\dfrac{1}{2x + 7}$, sur un intervalle où le dénominateur ne\ns'annule pas ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{(2x + 7)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 2x + 7$, la dérivée de\n$\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$, et $u'(x) = 2$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{(2x + 7)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître\n$-u'$ au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{2x + 7}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans\n$-\\dfrac{1}{x^2}$ pour la fonction inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{2(2x + 7)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $2$ est la dérivée de $u$ : il multiplie le numérateur\net ne divise pas le dénominateur." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$. Il suffit donc de\ndériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = \\dfrac{1}{4x + 1}$, sur un intervalle où le dénominateur ne\ns'annule pas ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-4}{(4x + 1)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 4x + 1$, la dérivée de\n$\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$, et $u'(x) = 4$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{4}{(4x + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître\n$-u'$ au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-4}{4x + 1}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans\n$-\\dfrac{1}{x^2}$ pour la fonction inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{4(4x + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $4$ est la dérivée de $u$ : il multiplie le numérateur\net ne divise pas le dénominateur." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$. Il suffit donc de\ndériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré." }, { "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction définie par\n$f(x) = \\dfrac{1}{3x + 7}$, sur un intervalle où le dénominateur ne\ns'annule pas ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(3x + 7)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 7$, la dérivée de\n$\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$, et $u'(x) = 3$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(3x + 7)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître\n$-u'$ au numérateur." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{3x + 7}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans\n$-\\dfrac{1}{x^2}$ pour la fonction inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{3(3x + 7)^2}$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $3$ est la dérivée de $u$ : il multiplie le numérateur\net ne divise pas le dénominateur." } ], "explanation": "La dérivée de $\\dfrac{1}{u}$ vaut $-\\dfrac{u'}{u^2}$. Il suffit donc de\ndériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré." } ] }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique-signe" ], "title": "Deux tangentes, deux signes", "partie": "nombre-derive", "statement": "Sur la courbe de $f$, la tangente au point d'abscisse $2$ est\nhorizontale, et celle au point d'abscisse $5$ monte. Que peut-on dire\ndes nombres dérivés ?", "options": [ { "text": "$f'(2) = 0$ et $f'(5) > 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une tangente horizontale a un coefficient directeur\nnul, et une tangente qui monte un coefficient positif." }, { "text": "$f'(2) = 0$ et $f'(5) < 0$", "correct": false, "feedback": "Une tangente qui monte a une pente positive : le second signe est\ninversé." }, { "text": "$f'(2) > 0$ et $f'(5) > 0$", "correct": false, "feedback": "Une tangente horizontale n'a aucune inclinaison : son coefficient\ndirecteur vaut $0$." }, { "text": "$f'(2)$ n'existe pas et $f'(5) > 0$", "correct": false, "feedback": "Une tangente horizontale existe bel et bien : le nombre dérivé est\nnul, ce qui est différent d'une absence de dérivée." } ], "explanation": "Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la\ntangente : nul si elle est horizontale, positif si elle monte, négatif\nsi elle descend." }, { "id": "q42", "difficulty": 3, "skills": [ "derivee-produit-racine" ], "title": "Un produit avec une racine", "partie": "formules", "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = (x + 5)\\sqrt{x}$. Que vaut $f'(1)$ ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\sqrt{x} + \\dfrac{x + 5}{2\\sqrt{x}}$,\ndonc $f'(1) = 1 + \\dfrac{6}{2} = 4$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Seul le terme $u'v$ a été gardé : il reste à ajouter\n$\\dfrac{x + 5}{2\\sqrt{x}}$ pris en $1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est\n$u'v + uv'$, et non $u'v'$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur $2$ de la dérivée de $\\sqrt{x}$ a été oublié dans\nle second terme." } ], "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x + 5$ et\n$v(x) = \\sqrt{x}$, puis on remplace $x$ par $1$, ce qui simplifie les\nracines.", "variants": [ { "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = (x + 5)\\sqrt{x}$. Que vaut $f'(1)$ ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\sqrt{x} + \\dfrac{x + 5}{2\\sqrt{x}}$,\ndonc $f'(1) = 1 + \\dfrac{6}{2} = 4$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Seul le terme $u'v$ a été gardé : il reste à ajouter\n$\\dfrac{x + 5}{2\\sqrt{x}}$ pris en $1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est\n$u'v + uv'$, et non $u'v'$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur $2$ de la dérivée de $\\sqrt{x}$ a été oublié dans\nle second terme." } ], "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x + 5$ et\n$v(x) = \\sqrt{x}$, puis on remplace $x$ par $1$, ce qui simplifie les\nracines." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = (x + 7)\\sqrt{x}$. Que vaut $f'(1)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\sqrt{x} + \\dfrac{x + 7}{2\\sqrt{x}}$,\ndonc $f'(1) = 1 + \\dfrac{8}{2} = 5$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Seul le terme $u'v$ a été gardé : il reste à ajouter\n$\\dfrac{x + 7}{2\\sqrt{x}}$ pris en $1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est\n$u'v + uv'$, et non $u'v'$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur $2$ de la dérivée de $\\sqrt{x}$ a été oublié dans\nle second terme." } ], "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x + 7$ et\n$v(x) = \\sqrt{x}$, puis on remplace $x$ par $1$, ce qui simplifie les\nracines." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = (x + 9)\\sqrt{x}$. Que vaut $f'(1)$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\sqrt{x} + \\dfrac{x + 9}{2\\sqrt{x}}$,\ndonc $f'(1) = 1 + \\dfrac{10}{2} = 6$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Seul le terme $u'v$ a été gardé : il reste à ajouter\n$\\dfrac{x + 9}{2\\sqrt{x}}$ pris en $1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est\n$u'v + uv'$, et non $u'v'$." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur $2$ de la dérivée de $\\sqrt{x}$ a été oublié dans\nle second terme." } ], "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x + 9$ et\n$v(x) = \\sqrt{x}$, puis on remplace $x$ par $1$, ce qui simplifie les\nracines." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = (x + 11)\\sqrt{x}$. Que vaut $f'(1)$ ?", "options": [ { "text": "$7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = \\sqrt{x} + \\dfrac{x + 11}{2\\sqrt{x}}$,\ndonc $f'(1) = 1 + \\dfrac{12}{2} = 7$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Seul le terme $u'v$ a été gardé : il reste à ajouter\n$\\dfrac{x + 11}{2\\sqrt{x}}$ pris en $1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est\n$u'v + uv'$, et non $u'v'$." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur $2$ de la dérivée de $\\sqrt{x}$ a été oublié dans\nle second terme." } ], "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x + 11$ et\n$v(x) = \\sqrt{x}$, puis on remplace $x$ par $1$, ce qui simplifie les\nracines." } ] }, { "id": "q43", "difficulty": 3, "skills": [ "approximation-lineaire", "approximation-affine" ], "title": "Approcher un cube", "partie": "nombre-derive", "statement": "En utilisant l'approximation $f(a + h) \\approx f(a) + h\\,f'(a)$ avec\n$f(x) = x^3$ et $a = 2$, quelle valeur approchée de\n$2{,}01^3$ obtient-on ?", "options": [ { "text": "$8{,}12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(2) = 12$, et\nl'approximation donne $8 + 12 \\times 0{,}01 = 8{,}12$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "C'est $2^3$, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore\nle terme $h\\,f'(2)$." }, { "text": "$8{,}01$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé a été oublié : $h$ doit être multiplié par\n$f'(2) = 12$." }, { "text": "$8{,}06$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé vaut $3 \\times 2^2$ et non $3 \\times 2$ : le\ncarré a été perdu." } ], "explanation": "L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point\nd'abscisse $a$ : pour un petit déplacement $h$, l'image augmente à peu\nprès de $h\\,f'(a)$.", "variants": [ { "statement": "En utilisant l'approximation $f(a + h) \\approx f(a) + h\\,f'(a)$ avec\n$f(x) = x^3$ et $a = 2$, quelle valeur approchée de\n$2{,}01^3$ obtient-on ?", "options": [ { "text": "$8{,}12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(2) = 12$, et\nl'approximation donne $8 + 12 \\times 0{,}01 = 8{,}12$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "C'est $2^3$, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore\nle terme $h\\,f'(2)$." }, { "text": "$8{,}01$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé a été oublié : $h$ doit être multiplié par\n$f'(2) = 12$." }, { "text": "$8{,}06$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé vaut $3 \\times 2^2$ et non $3 \\times 2$ : le\ncarré a été perdu." } ], "explanation": "L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point\nd'abscisse $a$ : pour un petit déplacement $h$, l'image augmente à peu\nprès de $h\\,f'(a)$." }, { "statement": "En utilisant l'approximation $f(a + h) \\approx f(a) + h\\,f'(a)$ avec\n$f(x) = x^3$ et $a = 3$, quelle valeur approchée de\n$3{,}02^3$ obtient-on ?", "options": [ { "text": "$27{,}54$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(3) = 27$, et\nl'approximation donne $27 + 27 \\times 0{,}02 = 27{,}54$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "C'est $3^3$, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore\nle terme $h\\,f'(3)$." }, { "text": "$27{,}02$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé a été oublié : $h$ doit être multiplié par\n$f'(3) = 27$." }, { "text": "$27{,}18$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé vaut $3 \\times 3^2$ et non $3 \\times 3$ : le\ncarré a été perdu." } ], "explanation": "L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point\nd'abscisse $a$ : pour un petit déplacement $h$, l'image augmente à peu\nprès de $h\\,f'(a)$." }, { "statement": "En utilisant l'approximation $f(a + h) \\approx f(a) + h\\,f'(a)$ avec\n$f(x) = x^3$ et $a = 5$, quelle valeur approchée de\n$5{,}01^3$ obtient-on ?", "options": [ { "text": "$125{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(5) = 75$, et\nl'approximation donne $125 + 75 \\times 0{,}01 = 125{,}75$." }, { "text": "$125$", "correct": false, "feedback": "C'est $5^3$, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore\nle terme $h\\,f'(5)$." }, { "text": "$125{,}01$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé a été oublié : $h$ doit être multiplié par\n$f'(5) = 75$." }, { "text": "$125{,}15$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé vaut $3 \\times 5^2$ et non $3 \\times 5$ : le\ncarré a été perdu." } ], "explanation": "L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point\nd'abscisse $a$ : pour un petit déplacement $h$, l'image augmente à peu\nprès de $h\\,f'(a)$." }, { "statement": "En utilisant l'approximation $f(a + h) \\approx f(a) + h\\,f'(a)$ avec\n$f(x) = x^3$ et $a = 3$, quelle valeur approchée de\n$3{,}01^3$ obtient-on ?", "options": [ { "text": "$27{,}27$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(3) = 27$, et\nl'approximation donne $27 + 27 \\times 0{,}01 = 27{,}27$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "C'est $3^3$, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore\nle terme $h\\,f'(3)$." }, { "text": "$27{,}01$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé a été oublié : $h$ doit être multiplié par\n$f'(3) = 27$." }, { "text": "$27{,}09$", "correct": false, "feedback": "Le nombre dérivé vaut $3 \\times 3^2$ et non $3 \\times 3$ : le\ncarré a été perdu." } ], "explanation": "L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point\nd'abscisse $a$ : pour un petit déplacement $h$, l'image augmente à peu\nprès de $h\\,f'(a)$." } ] }, { "id": "q44", "difficulty": 2, "skills": [ "non-derivabilite", "taux-de-variation" ], "title": "Le taux de variation à gauche", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = |x|$. Que vaut le taux de\nvariation $\\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}$ lorsque $h$ est strictement\nnégatif ?", "options": [ { "text": "$-1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $h < 0$, on a $|h| = -h$, donc le taux vaut\n$\\dfrac{-h}{h} = -1$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "C'est la valeur du taux pour $h > 0$ : à gauche de $0$, la courbe\ndescend." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Le taux ne s'annule jamais ici : la courbe est formée de deux\ndemi-droites de pentes $-1$ et $1$." }, { "text": "Il dépend de la valeur de $h$", "correct": false, "feedback": "Le calcul $\\dfrac{-h}{h}$ se simplifie : le résultat est le même\npour tout $h$ strictement négatif." } ], "explanation": "Le taux de variation vaut $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite. Ces deux\nvaleurs ne se rejoignent pas, ce qui interdit à la fonction d'être\ndérivable en $0$." }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "tangente-parallele" ], "title": "Combien de tangentes parallèles", "partie": "nombre-derive", "statement": "Soit $f$ la fonction cube, définie par $f(x) = x^3$. En combien de\npoints sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite\nd'équation $y = 12x + 5$ ?", "options": [ { "text": "En deux points, d'abscisses $2$ et $-2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^2 = 12$ donne $x^2 = 4$, équation qui admet\nles deux solutions $2$ et $-2$." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $2$", "correct": false, "feedback": "La solution négative a été oubliée : un carré égal à $4$ est\nobtenu pour deux valeurs opposées." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $12$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient directeur $12$ est la valeur de $f'(x)$, pas celle\nde $x$ : il reste à résoudre $3x^2 = 12$." }, { "text": "En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule\ncelle du point d'abscisse $0$ est horizontale." } ], "explanation": "Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient\ndirecteur. On résout donc $f'(x) = m$, équation du second degré qui peut\navoir deux solutions.", "variants": [ { "statement": "Soit $f$ la fonction cube, définie par $f(x) = x^3$. En combien de\npoints sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite\nd'équation $y = 12x + 5$ ?", "options": [ { "text": "En deux points, d'abscisses $2$ et $-2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^2 = 12$ donne $x^2 = 4$, équation qui admet\nles deux solutions $2$ et $-2$." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $2$", "correct": false, "feedback": "La solution négative a été oubliée : un carré égal à $4$ est\nobtenu pour deux valeurs opposées." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $12$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient directeur $12$ est la valeur de $f'(x)$, pas celle\nde $x$ : il reste à résoudre $3x^2 = 12$." }, { "text": "En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule\ncelle du point d'abscisse $0$ est horizontale." } ], "explanation": "Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient\ndirecteur. On résout donc $f'(x) = m$, équation du second degré qui peut\navoir deux solutions." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction cube, définie par $f(x) = x^3$. En combien de\npoints sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite\nd'équation $y = 27x - 4$ ?", "options": [ { "text": "En deux points, d'abscisses $3$ et $-3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^2 = 27$ donne $x^2 = 9$, équation qui admet\nles deux solutions $3$ et $-3$." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $3$", "correct": false, "feedback": "La solution négative a été oubliée : un carré égal à $9$ est\nobtenu pour deux valeurs opposées." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $27$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient directeur $27$ est la valeur de $f'(x)$, pas celle\nde $x$ : il reste à résoudre $3x^2 = 27$." }, { "text": "En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule\ncelle du point d'abscisse $0$ est horizontale." } ], "explanation": "Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient\ndirecteur. On résout donc $f'(x) = m$, équation du second degré qui peut\navoir deux solutions." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction cube, définie par $f(x) = x^3$. En combien de\npoints sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite\nd'équation $y = 48x + 7$ ?", "options": [ { "text": "En deux points, d'abscisses $4$ et $-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^2 = 48$ donne $x^2 = 16$, équation qui admet\nles deux solutions $4$ et $-4$." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $4$", "correct": false, "feedback": "La solution négative a été oubliée : un carré égal à $16$ est\nobtenu pour deux valeurs opposées." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $48$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient directeur $48$ est la valeur de $f'(x)$, pas celle\nde $x$ : il reste à résoudre $3x^2 = 48$." }, { "text": "En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule\ncelle du point d'abscisse $0$ est horizontale." } ], "explanation": "Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient\ndirecteur. On résout donc $f'(x) = m$, équation du second degré qui peut\navoir deux solutions." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction cube, définie par $f(x) = x^3$. En combien de\npoints sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite\nd'équation $y = 75x + 7$ ?", "options": [ { "text": "En deux points, d'abscisses $5$ et $-5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3x^2 = 75$ donne $x^2 = 25$, équation qui admet\nles deux solutions $5$ et $-5$." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $5$", "correct": false, "feedback": "La solution négative a été oubliée : un carré égal à $25$ est\nobtenu pour deux valeurs opposées." }, { "text": "En un seul point, d'abscisse $75$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient directeur $75$ est la valeur de $f'(x)$, pas celle\nde $x$ : il reste à résoudre $3x^2 = 75$." }, { "text": "En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule\ncelle du point d'abscisse $0$ est horizontale." } ], "explanation": "Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient\ndirecteur. On résout donc $f'(x) = m$, équation du second degré qui peut\navoir deux solutions." } ] } ] }