{
"chapter": {
"id": "geometrie-reperee",
"level": "premiere-specialite",
"theme": "Géométrie",
"title": "Géométrie repérée",
"description": "Dans un repère orthonormé : vecteur normal à une droite (le\nvecteur $(a\\,;\\,b)$ est normal à la droite $ax + by + c = 0$),\néquation d'une droite par point et vecteur normal, projeté\northogonal d'un point sur une droite, équations de cercles\n(centre, rayon, reconnaissance).",
"parties": [
{
"id": "droites",
"title": "Droites : équations et vecteurs"
},
{
"id": "cercles",
"title": "Cercles et équations"
},
{
"id": "distances",
"title": "Distances, intersections et configurations"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"vecteur-normal"
],
"title": "Lire un vecteur normal",
"partie": "droites",
"statement": "Quel vecteur est **normal** à la droite d'équation\n$3x - 2y + 5 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{n}(3\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le vecteur $(a\\,;\\,b)$ des coefficients\nest normal à la droite $ax + by + c = 0$ (résultat au\nprogramme)."
},
{
"text": "$\\vec{n}(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3) = (-b\\,;\\,a)$ est un vecteur\n**directeur** de la droite (il lui est parallèle), pas\nnormal."
},
{
"text": "$\\vec{n}(3\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est le terme constant $c$, qui positionne la\ndroite mais n'entre pas dans le vecteur normal\n$(a\\,;\\,b)$."
},
{
"text": "$\\vec{n}(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(-2\\,;\\,3)$ est colinéaire au vecteur directeur\n$(2\\,;\\,-3)$… vérifie : $\\vec{n} \\cdot \\vec{u}$ doit être\nnon nul ici. Le normal se lit directement :\n$(3\\,;\\,-2)$."
}
],
"explanation": "Théorème : la droite $ax + by + c = 0$ admet\n$\\vec{n}(a\\,;\\,b)$ pour vecteur normal (et $(-b\\,;\\,a)$ pour\ndirecteur). Contrôle : $\\vec{n} \\cdot \\vec{u} = -ab + ab =\n0$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteur-normal",
"directeur"
],
"title": "Normal ou directeur ?",
"partie": "droites",
"statement": "Toujours pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$, quel vecteur en\nest un vecteur **directeur** ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(-b\\,;\\,a) = (2\\,;\\,3)$, et l'on\nvérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 2 \\times 3 + 3 \\times\n(-2) = 0$ : directeur bien orthogonal au normal."
},
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(3\\,;\\,-2)$ est le vecteur **normal**\n(perpendiculaire à la droite), pas directeur."
},
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ni normal ni directeur : teste\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 9 - 4 = 5 \\neq 0$ : pas\northogonal au normal."
},
{
"text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme constant $5$ ne fabrique aucun vecteur\nde la droite. Directeur : $(-b\\,;\\,a) = (2\\,;\\,3)$."
}
],
"explanation": "Pour $ax + by + c = 0$ : normal $(a\\,;\\,b)$, directeur\n$(-b\\,;\\,a)$ : les deux se contrôlent mutuellement par un\nproduit scalaire nul."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-droite",
"vecteur-normal"
],
"title": "Droite par point et vecteur normal",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est une équation de la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2)$ et de vecteur normal $\\vec{n}(3\\,;\\,1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + y - 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'équation a la forme $3x + y + c = 0$ ;\nle passage par $A$ donne $3 + 2 + c = 0$, soit $c = -5$."
},
{
"text": "$3x + y + 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur $c$ : en substituant $A$ :\n$3(1) + 2 + c = 0 \\Rightarrow c = -5$. Toujours vérifier\navec le point."
},
{
"text": "$x + 3y - 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : le vecteur normal impose\n$(a\\,;\\,b) = (3\\,;\\,1)$, donc $3x + 1y + c = 0$."
},
{
"text": "$3x + y = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette droite passe par l'origine, pas par $A$\n($3 + 2 = 5 \\neq 0$). Il manque la constante $c = -5$."
}
],
"explanation": "Méthode (capacité attendue) : le normal donne les\ncoefficients ($ax + by + c = 0$ avec $(a\\,;\\,b) = \\vec{n}$),\nle point donne $c$. Autre voie :\n$\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$ développé."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"equation"
],
"title": "Équation d'un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle est l'équation du cercle de centre $\\Omega(2\\,;\\,1)$\net de rayon $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $M(x\\,;\\,y)$ est sur le cercle si\n$\\Omega M = 3$, soit $\\Omega M^2 = 9$ : les coordonnées\ndu centre en soustraction, le **carré** du rayon à\ndroite."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Le piège du rayon : le membre de droite est $r^2 = 9$,\npas $r = 3$ (l'équation traduit $\\Omega M^2 = r^2$)."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signes : le centre $(2\\,;\\,1)$ apparaît en\n**soustraction** : $(x - 2)$ et $(y - 1)$. (Tel quel, ce\ncercle serait centré en $(-2\\,;\\,-1)$.)"
},
{
"text": "$x^2 + y^2 = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce cercle est centré à l'**origine**. Le centre\n$(2\\,;\\,1)$ doit décaler les deux carrés."
}
],
"explanation": "Cercle de centre $\\Omega(a\\,;\\,b)$ et de rayon $r$ :\n$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Deux pièges : signes du centre\net **carré** du rayon."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire un cercle sur la figure",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle est l'équation du cercle $\\mathcal{C}$ représenté\nci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.78]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1.7,-1.7) grid (4.7,3.7);\n \\draw[->] (-1.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (2,1) circle (2);\n \\fill (2,1) circle (0.07);\n \\node[below,font=\\small] at (2,0.85) {$\\Omega$};\n \\draw[dashed] (2,1) -- (4,1);\n \\node[above,font=\\small] at (3,1.02) {$r$};\n \\node[blue,font=\\small] at (4.15,2.75) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec un cercle bleu de centre Omega(2 ; 1),\nmarqué d'un point, et de rayon 2 matérialisé par un segment\npointillé horizontal du centre au point (4 ; 1). Le cercle\npasse par (0 ; 1), (4 ; 1), (2 ; 3) et (2 ; -1).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : centre $\\Omega(2\\,;\\,1)$ (lu sur la\nfigure) et rayon $2$ (le cercle passe par $(4\\,;\\,1)$) :\nmembre de droite $r^2 = 4$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Piège du rayon : la figure montre $r = 2$, donc le membre\nde droite vaut $r^2 = 4$."
},
{
"text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées du centre échangées : $\\Omega$ est en\n$(2\\,;\\,1)$ (abscisse $2$, ordonnée $1$)."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signes : centre $(2\\,;\\,1)$ donne $(x - 2)$ et\n$(y - 1)$. Les signes $+$ correspondraient au centre\n$(-2\\,;\\,-1)$, hors de la figure."
}
],
"explanation": "Lecture : centre aux coordonnées du point marqué, rayon par\nun point du cercle bien placé. Équation :\n$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 = 4$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle",
"forme-canonique"
],
"title": "Reconnaître un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ est celle d'un\ncercle. Quels sont son centre et son rayon ?",
"options": [
{
"text": "Centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ et $y^2 + 2y =\n(y+1)^2 - 1$ : l'équation devient $(x-2)^2 + (y+1)^2 =\n9$ : centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $\\sqrt{9} = 3$."
},
{
"text": "Centre $(-2\\,;\\,1)$, rayon $3$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre\nd'abscisse $+2$, et $(y + 1)^2 = (y - (-1))^2$ à\nl'ordonnée $-1$."
},
{
"text": "Centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $9$",
"correct": false,
"feedback": "Piège final : $9$ est $r^2$. Le rayon vaut $\\sqrt{9} =\n3$."
},
{
"text": "Centre $(4\\,;\\,-2)$, rayon $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coefficients $-4$ et $+2$ se **divisent par\ndeux** dans la complétion du carré : centre\n$(2\\,;\\,-1)$."
}
],
"explanation": "Méthode de complétion du carré : $x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4\n\\Rightarrow (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$. Centre\n$(2\\,;\\,-1)$, rayon $3$. Vérifier que le membre de droite est\nstrictement positif (sinon, pas un cercle)."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 1,
"skills": [
"cercle",
"appartenance"
],
"title": "Un point sur le cercle ?",
"partie": "cercles",
"statement": "Le point $A(5\\,;\\,1)$ appartient-il au cercle d'équation\n$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées vérifient l'équation\n($9 + 0 = 9$) : $A$ est sur le cercle, à distance $3$ du\ncentre $(2\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "Non, car $5 > 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on ne compare pas une coordonnée au rayon ; on\nteste l'équation avec les **deux** coordonnées."
},
{
"text": "Non, car $(5-2)^2 = 9 \\neq 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture de l'équation : la **somme** des deux\ncarrés doit valoir $9$, ce qui est le cas\n($9 + 0$)."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer le cercle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la substitution des coordonnées dans l'équation\nrépond exactement et sans figure."
}
],
"explanation": "Appartenance à une courbe d'équation donnée : substituer les\ncoordonnées. $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$ : oui. (Géométriquement :\n$\\Omega A = 3 = r$.)"
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"projete-orthogonal"
],
"title": "Projeté orthogonal sur une droite horizontale",
"partie": "distances",
"statement": "Quel est le projeté orthogonal du point $M(2\\,;\\,3)$ sur la\ndroite $d$ d'équation $y = 1$, et qu'en déduit-on pour la\ndistance de $M$ à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$H(2\\,;\\,1)$, et la distance vaut $MH = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite est horizontale, la\nperpendiculaire issue de $M$ est verticale : même\nabscisse, ordonnée $1$. Distance $= |3 - 1| = 2$."
},
{
"text": "$H(0\\,;\\,1)$, et la distance vaut $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,1)$ est un point de $d$, mais pas le\npied de la perpendiculaire issue de $M$ : la projection\nconserve l'**abscisse** quand la droite est horizontale."
},
{
"text": "$H(2\\,;\\,1)$, et la distance vaut $3$",
"correct": false,
"feedback": "Bon projeté, mauvaise distance : $MH = |3 - 1| = 2$\n($3$ serait la distance à l'axe des abscisses $y = 0$)."
},
{
"text": "$H(2\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as projeté sur l'axe des abscisses ($y = 0$)\nau lieu de la droite $y = 1$."
}
],
"explanation": "Le projeté orthogonal $H$ est le pied de la perpendiculaire\nissue de $M$ ; $MH$ est la **distance** de $M$ à la droite\n(le plus court chemin). Sur $y = 1$ : $H(2\\,;\\,1)$,\n$MH = 2$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"projete-orthogonal",
"calcul"
],
"title": "Projeté orthogonal sur une droite oblique",
"partie": "distances",
"statement": "Quel est le projeté orthogonal du point $M(3\\,;\\,1)$ sur la\ndroite $d$ d'équation $y = x$ ?",
"options": [
{
"text": "$H(2\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $H(t\\,;\\,t)$ sur $d$ avec\n$\\overrightarrow{MH}(t-3\\,;\\,t-1)$ orthogonal au\ndirecteur $(1\\,;\\,1)$ : $(t-3) + (t-1) = 0$, $t = 2$."
},
{
"text": "$H(3\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(3\\,;\\,3)$ est sur $d$ mais la projection n'est\npas verticale : $\\overrightarrow{MH}(0\\,;\\,2)$ n'est pas\northogonal à $(1\\,;\\,1)$ (produit scalaire $2 \\neq 0$)."
},
{
"text": "$H(1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{MH}(-2\\,;\\,0)$ n'est pas\northogonal au directeur $(1\\,;\\,1)$ (produit scalaire\n$-2 \\neq 0$). Résous $(t-3) + (t-1) = 0$."
},
{
"text": "$H(2{,}5\\,;\\,2{,}5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de résolution : $2t - 4 = 0$ donne $t = 2$, pas\n$2{,}5$."
}
],
"explanation": "Méthode : paramétrer le point courant de $d$\n($H(t\\,;\\,t)$), écrire $\\overrightarrow{MH} \\cdot \\vec{u} =\n0$ ($\\vec{u}$ directeur), résoudre. Ici $t = 2$ :\n$H(2\\,;\\,2)$, et $MH = \\sqrt{2}$ est la distance de $M$ à\n$d$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"droite",
"intersection"
],
"title": "Droite et cercle sans intersection",
"partie": "cercles",
"statement": "Un cercle a pour rayon $3$ ; une droite passe à distance $5$\nde son centre. Combien ont-ils de points communs ?",
"options": [
{
"text": "Aucun",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite reste à distance $5 > 3$ du\ncentre : elle ne peut pas atteindre le cercle, dont tous\nles points sont à distance exactement $3$."
},
{
"text": "Un seul",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un unique point commun (tangence) exigerait une\ndistance **égale** au rayon : $d = r = 3$."
},
{
"text": "Deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux intersections demandent une droite qui\ntraverse le disque : $d < r$. Ici $5 > 3$."
},
{
"text": "Cela dépend de la pente de la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seule compte la **distance du centre à la\ndroite**, comparée au rayon : la pente n'apporte rien de\nplus."
}
],
"explanation": "Position relative droite-cercle, par comparaison de la\ndistance $d$ du centre à la droite avec le rayon $r$ :\n$d > r$ : disjoints ; $d = r$ : tangents ; $d < r$ : sécants\nen deux points."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle",
"tangente"
],
"title": "Droite tangente à un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "Que signifie « la droite $d$ est tangente au cercle\n$\\mathcal{C}$ de centre $\\Omega$ et de rayon $r$ » ?",
"options": [
{
"text": "$d$ touche le cercle en un seul point",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la tangence est le cas limite, avec un\nunique point de contact $H$, et la distance de $\\Omega$\nà $d$ vaut alors $r$ : $H$ est le projeté orthogonal de\n$\\Omega$ sur $d$ (le rayon $[\\Omega H]$ est\nperpendiculaire à $d$)."
},
{
"text": "$d$ passe par le centre $\\Omega$ du cercle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite passant par le centre coupe le cercle\nen **deux** points diamétralement opposés."
},
{
"text": "$d$ n'a aucun point commun avec le cercle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'évitement correspond à $d(\\Omega\\,;\\,d) > r$\n(aucun point commun). La tangente **touche** le cercle."
},
{
"text": "$d$ coupe le cercle en deux points très proches",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux points, même proches, font une sécante. La\ntangente réalise un contact en **un seul** point."
}
],
"explanation": "Tangence : distance du centre à la droite $=$ rayon ; le\npoint de contact est le projeté orthogonal du centre, et le\nrayon y est perpendiculaire à la tangente."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"configuration",
"repere"
],
"title": "Étudier une configuration dans un repère",
"partie": "distances",
"statement": "Dans un repère orthonormé, soit le triangle de sommets\n$A(0\\,;\\,0)$, $B(4\\,;\\,0)$ et $C(0\\,;\\,3)$. Quelle est la\nnature de ce triangle ?",
"options": [
{
"text": "Rectangle en $A$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,0)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(0\\,;\\,3)$ ont un produit scalaire\nnul : angle droit en $A$ (et $BC = 5$ : le triangle\n$3$-$4$-$5$)."
},
{
"text": "Isocèle en $A$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $AB = 4 \\neq 3 = AC$ : deux côtés issus de $A$\nde longueurs différentes."
},
{
"text": "Équilatéral",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les trois côtés valent $4$, $3$ et $5$ : tous\ndifférents."
},
{
"text": "Rectangle en $B$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : teste $\\overrightarrow{BA}(-4\\,;\\,0) \\cdot\n\\overrightarrow{BC}(-4\\,;\\,3) = 16 \\neq 0$ : pas d'angle\ndroit en $B$. L'angle droit est en $A$, entre les deux\naxes."
}
],
"explanation": "Utiliser un repère pour étudier une configuration (capacité\nattendue) : calculer les vecteurs des côtés et tester\nl'orthogonalité par le produit scalaire.\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = 0$ :\nrectangle en $A$."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 3,
"skills": [
"mediatrice",
"equation-cartesienne"
],
"title": "Équation d'une médiatrice",
"partie": "distances",
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,3)$ et $B(5\\,;\\,1)$. Quelle est une équation\ncartésienne de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x - y - 4 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,-2)$ est normal et le\nmilieu $(3\\,;\\,2)$ appartient à la droite."
},
{
"text": "$2x + y - 8 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du vecteur normal : la seconde coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ vaut $-2$."
},
{
"text": "$x + 2y - 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur pris pour normal : cette droite est\nperpendiculaire à la médiatrice."
},
{
"text": "$2x - y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante fausse : le milieu $(3\\,;\\,2)$ donne\n$6 - 2 + c = 0$, donc $c = -4$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. Ces deux données suffisent à\nécrire son équation cartésienne."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 2,
"skills": [
"perpendiculaire"
],
"title": "Droite perpendiculaire par un point",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est l'équation de la droite perpendiculaire à $d :\n2x + y - 1 = 0$ passant par $A(1\\ ;\\ 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x - 2y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la normale de $d$, $(2\\ ;\\ 1)$, dirige\nla perpendiculaire : donc la perpendiculaire a pour\nnormale $(1\\ ;\\ -2)$ : $x - 2y + c = 0$, et $A$ donne\n$1 - 6 + c = 0$, $c = 5$."
},
{
"text": "$2x + y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Parallèle, pas perpendiculaire : mêmes coefficients $(2\\ ;\\ 1)$, donc même vecteur normal et même direction : il faut\n**échanger** les rôles."
},
{
"text": "$x - 2y = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Direction correcte, point raté : $A(1\\ ;\\ 3)$ donne $1 -\n6 = -5 \\neq 0$ : la constante se calcule avec le point."
},
{
"text": "$2x - y + 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Normale $(2\\ ;\\ -1)$ : produit scalaire avec $(2\\ ;\\\n1)$ : $4 - 1 = 3 \\neq 0$ : pas perpendiculaire (il faut\n$(1\\ ;\\ -2)$ ou tout colinéaire)."
}
],
"explanation": "Perpendiculaire à $d$ : le vecteur normal de $d$ devient\n**directeur** de la nouvelle droite (donc sa normale est\nl'ancienne directrice). Puis la constante s'ajuste avec le\npoint de passage. Contrôle : produit scalaire des deux\nnormales $= 0$."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-canonique-cercle"
],
"title": "Centre et rayon en complétant les carrés",
"partie": "cercles",
"statement": "Quel est le centre et le rayon du cercle d'équation $x^2 +\ny^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Centre $(2\\ ;\\ -1)$, rayon $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0$,\nsoit $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ : centre $(2\\ ;\\ -1)$,\nrayon $\\sqrt{9} = 3$."
},
{
"text": "Centre $(-2\\ ;\\ 1)$, rayon $3$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre\n$x = +2$ (le signe du centre est l'**opposé** de celui\nde l'équation développée)."
},
{
"text": "Centre $(2\\ ;\\ -1)$, rayon $9$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $9$ est $r^2$ : le rayon vaut $3$."
},
{
"text": "Centre $(4\\ ;\\ -2)$, rayon $2$",
"correct": false,
"feedback": "Division par $2$ oubliée : les coordonnées du centre\nsont la **moitié** des coefficients de $x$ et $y$\n(changés de signe) : $(2\\ ;\\ -1)$."
}
],
"explanation": "Forme développée → forme canonique : compléter les deux\ncarrés, basculer les constantes à droite. $(x - a)^2 +\n(y - b)^2 = r^2$ : centre $(a\\ ;\\ b)$, rayon $\\sqrt{r^2}$\n(vérifier que le membre de droite est positif !)."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-par-point"
],
"title": "Cercle défini par centre et point",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle est l'équation du cercle de centre $\\Omega(1\\ ;\\ 2)$\npassant par $A(4\\ ;\\ 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon est la distance $\\Omega A =\n\\sqrt{9 + 16} = 5$ : équation avec $r^2 = 25$."
},
{
"text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Carré oublié : l'équation utilise $r^2$ : la distance\nvaut $5$, le membre de droite $25$."
},
{
"text": "$(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais centre : $A$ est un point **du** cercle, pas son\ncentre : les coordonnées dans les parenthèses sont\ncelles de $\\Omega$."
},
{
"text": "$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$",
"correct": false,
"feedback": "Signes : centre $(1\\ ;\\ 2)$ : l'équation soustrait les\ncoordonnées : $(x - 1)$ et $(y - 2)$."
}
],
"explanation": "Deux données, deux étapes : le rayon est la distance du centre au point\n(racine de la somme des carrés), puis équation $(x - a)^2 +\n(y - b)^2 = r^2$. Le contrôle : injecter $A$ et vérifier\nl'égalité."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tangente-cercle"
],
"title": "Tangente en un point du cercle",
"partie": "distances",
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(0\\ ;\\ 0)$ passe par $A(3\\ ;\\\n4)$. Comment obtenir la tangente au cercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "La droite passant par $A$ de vecteur normal\n$\\overrightarrow{\\Omega A}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la tangente est perpendiculaire au rayon\nau point de contact : normale $\\overrightarrow{\\Omega\nA}(3\\ ;\\ 4)$, et $A$ donne $9 + 16 = 25$ : $3x + 4y - 25\n= 0$."
},
{
"text": "La droite $(\\Omega A)$ elle-même, qui passe par $A$",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : $(\\Omega A)$ est le **rayon** : il traverse\nle cercle ; la tangente lui est perpendiculaire en $A$."
},
{
"text": "Elle n'existe pas, une tangente exige une fonction\ndérivable",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la tangente à un cercle est une notion\ngéométrique (perpendiculaire au rayon) : aucune dérivée\nnécessaire."
},
{
"text": "La droite horizontale passant par $A$, d'équation $y =\n4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'horizontale n'est tangente qu'aux points\n« pôle nord/sud » du cercle : en $A(3\\ ;\\ 4)$, la\nperpendiculaire au rayon est oblique."
}
],
"explanation": "Tangente en $A$ : droite par $A$ de vecteur normal\n$\\overrightarrow{\\Omega A}$ : la construction traduit la\nperpendicularité rayon-tangente. La géométrie repérée\ncombine ici droite (normale imposée) et cercle."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation-sans-solution"
],
"title": "Une équation de cercle… vide",
"partie": "distances",
"statement": "Que représente l'ensemble des points vérifiant $x^2 + y^2 +\n2x + 5 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique donne $(x + 1)^2 + y^2\n= -4$ ; une somme de carrés ne peut pas être négative :\naucun point ne satisfait l'équation : l'écriture « type\ncercle » ne garantit pas un cercle."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le membre de droite est $-4$, pas $16$ : un\nrayon au carré négatif n'existe pas."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $r^2 = -4$ n'a pas de racine réelle :\nl'ensemble est vide (avec $-4$ au lieu de $+5$ dans\nl'équation, on aurait eu un vrai cercle)."
},
{
"text": "Le seul point $(-1\\ ;\\ 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : le point unique correspond à $(x+1)^2 + y^2 =\n\\textbf{0}$ : ici la constante est $-4 < 0$ : même le\ncentre ne convient pas."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, trois cas selon le membre de\ndroite : $> 0$ : cercle ; $= 0$ : un point ; $< 0$ :\nensemble vide. Toujours conclure APRÈS la forme canonique,\njamais sur la seule allure de l'équation."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"equation"
],
"title": "Équation d'un cercle de centre donné",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle est l'équation du cercle de centre $A(2\\,;\\,-3)$ et de rayon\n$5$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées du centre se retranchent, et le rayon\napparaît élevé au carré."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des coordonnées : le centre de ce cercle serait\n$(-2\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon non élevé au carré : ce cercle aurait pour rayon $\\sqrt{5}$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 - (y + 3)^2 = 25$",
"correct": false,
"feedback": "Signe entre les deux carrés : l'équation d'un cercle les additionne,\npuisqu'elle traduit une distance."
}
],
"explanation": "L'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ traduit que la distance de\n$M(x\\,;\\,y)$ au centre $(a\\,;\\,b)$ vaut $r$. Attention aux signes lorsque\nles coordonnées du centre sont négatives."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"droite",
"vecteur-normal"
],
"title": "Du vecteur normal à l'équation",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est l'équation cartésienne de la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2)$ et de vecteur normal $\\vec{n}(3\\,;\\,-4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x - 4y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées du vecteur normal donnent $a$ et $b$,\net le point $A$ fixe $c = 5$."
},
{
"text": "$3x - 4y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la constante : le point $A$ donne $3 - 8 + c = 0$, donc\n$c = 5$."
},
{
"text": "$-4x + 3y - 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : $(-4\\,;\\,3)$ est un vecteur directeur, pas le\nvecteur normal."
},
{
"text": "$3x + 4y - 11 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la seconde coordonnée : le vecteur normal de cette droite\nserait $(3\\,;\\,4)$."
}
],
"explanation": "Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $(a\\,;\\,b)$ est\nnormal et le vecteur $(-b\\,;\\,a)$ directeur. On détermine $c$ en\nremplaçant par les coordonnées d'un point."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle",
"forme-developpee"
],
"title": "Reconnaître un cercle sous forme développée",
"partie": "cercles",
"statement": "Que représente l'ensemble des points vérifiant\n$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Un cercle de centre $(3\\,;\\,-1)$ et de rayon $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés donnent\n$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(-3\\,;\\,1)$ et de rayon $2$",
"correct": false,
"feedback": "Signes du centre : le coefficient de $x$ valant $-6$, le centre a pour\nabscisse $+3$."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(3\\,;\\,-1)$ et de rayon $4$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : le second membre vaut $4$, donc le rayon est $2$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Le second membre obtenu est strictement positif, donc le cercle existe\nbel et bien."
}
],
"explanation": "On regroupe les termes en $x$ et ceux en $y$, on complète chaque carré,\npuis on lit centre et rayon. Un second membre négatif signalerait un\nensemble vide."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"droite",
"perpendiculaire"
],
"title": "Deux droites perpendiculaires",
"partie": "droites",
"statement": "Comment reconnaître que deux droites d'équations cartésiennes sont\nperpendiculaires ?",
"options": [
{
"text": "Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si les normales sont orthogonales, les droites le sont\naussi, et le test se fait par un produit scalaire."
},
{
"text": "Leurs vecteurs normaux sont colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Des normales colinéaires caractérisent au contraire des droites\nparallèles."
},
{
"text": "Leurs constantes sont opposées",
"correct": false,
"feedback": "La constante ne fixe que la position de la droite, pas sa direction."
},
{
"text": "Le produit de leurs coefficients directeurs vaut $1$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur fausse : la condition de perpendicularité entre droites non\nverticales est $mm' = -1$. Un produit égal à $1$ décrit par exemple\n$y = x$ et $y = x + 3$, deux parallèles."
}
],
"explanation": "Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux, ou\nleurs vecteurs directeurs, sont orthogonaux. Le produit scalaire fournit\nle test."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle",
"droite",
"intersection"
],
"title": "Nombre de points communs",
"partie": "cercles",
"statement": "Une droite est à une distance de $7$ du centre d'un cercle de rayon\n$5$. Combien ont-ils de points communs ?",
"options": [
{
"text": "Aucun",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la distance dépassant le rayon, la droite reste\nentièrement à l'extérieur du cercle."
},
{
"text": "Un seul",
"correct": false,
"feedback": "Un point unique correspondrait à une distance exactement égale au\nrayon, cas de la tangente."
},
{
"text": "Deux",
"correct": false,
"feedback": "Deux points communs demanderaient une distance inférieure au rayon."
},
{
"text": "Une infinité",
"correct": false,
"feedback": "Une droite et un cercle ne peuvent pas avoir plus de deux points\ncommuns."
}
],
"explanation": "On compare la distance du centre à la droite avec le rayon : supérieure,\naucun point ; égale, un point de tangence ; inférieure, deux points."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"diametre"
],
"title": "Cercle défini par un diamètre",
"partie": "cercles",
"statement": "Quel est le centre du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(-1\\,;\\,4)$ et $B(5\\,;\\,2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le centre est le milieu du diamètre, de coordonnées\n$\\left(\\dfrac{-1+5}{2}\\,;\\,\\dfrac{4+2}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : ce vecteur donne la direction,\npas la position du centre."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : les sommes des coordonnées doivent encore être\npartagées en deux."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Calcul mélangé : l'abscisse du milieu vaut $2$ et son ordonnée $3$."
}
],
"explanation": "Le centre d'un cercle de diamètre $[AB]$ est le milieu de $[AB]$, et son\nrayon vaut la moitié de la longueur $AB$."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"droite",
"vecteur-directeur"
],
"title": "Directeur ou normal",
"partie": "droites",
"statement": "Pour la droite d'équation $2x + 5y - 1 = 0$, quel vecteur est\ndirecteur ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le vecteur $(-b\\,;\\,a)$ est directeur, ici\n$(-5\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le vecteur normal : il est orthogonal à la droite, pas parallèle\nà elle."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe manquant : le produit scalaire avec $(2\\,;\\,5)$ vaudrait $20$ et\nnon $0$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur quelconque : son produit scalaire avec $(2\\,;\\,5)$ vaut $-3$,\ndonc il n'est pas parallèle à la droite."
}
],
"explanation": "Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur $(a\\,;\\,b)$ est normal et le vecteur\n$(-b\\,;\\,a)$ est directeur. On vérifie en calculant leur produit scalaire,\nqui doit être nul."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"projete-orthogonal",
"methode"
],
"title": "Construire un projeté orthogonal",
"partie": "distances",
"statement": "Quelle démarche donne le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une\ndroite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "Couper $d$ par la perpendiculaire issue de $M$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le projeté est l'unique point commun à $d$ et à la\nperpendiculaire à $d$ passant par $M$."
},
{
"text": "Prendre le point de $d$ le plus éloigné de $M$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point le plus proche qui est le projeté ; la distance n'admet\nd'ailleurs pas de maximum sur une droite."
},
{
"text": "Prendre le milieu du segment reliant $M$ à $d$",
"correct": false,
"feedback": "Ce milieu n'appartient pas à $d$ en général, il ne peut donc pas en\nêtre le projeté."
},
{
"text": "Prendre le symétrique de $M$ par rapport à $d$",
"correct": false,
"feedback": "Le symétrique se trouve de l'autre côté de $d$, à la même distance :\nle projeté est le milieu de $M$ et de ce symétrique."
}
],
"explanation": "Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point de $d$ le plus proche de\n$M$. On l'obtient en écrivant l'équation de la perpendiculaire à $d$\npassant par $M$, puis en résolvant le système."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle",
"appartenance"
],
"title": "Vérifier qu'un point est sur un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "Le point $B(6\\,;\\,1)$ appartient-il au cercle d'équation\n$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, le calcul donne $25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(6-3)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25$."
},
{
"text": "Non, le calcul donne $13$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée : remplacer $y$ par $1$ donne $(1 + 3)^2 = 16$, et\nnon $(1 - 3)^2 = 4$."
},
{
"text": "Non, le calcul donne $45$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées non translatées : le calcul semble porter sur\n$6^2 + 3^2$, sans retrancher celles du centre."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans le rayon",
"correct": false,
"feedback": "Le rayon se lit dans l'équation : il vaut $\\sqrt{25} = 5$."
}
],
"explanation": "Un point appartient au cercle si ses coordonnées vérifient l'équation. Le\ncalcul revient à comparer sa distance au centre avec le rayon."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"droite",
"parallele"
],
"title": "Parallèle passant par un point",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est l'équation de la droite parallèle à $3x - y + 2 = 0$ et\npassant par $A(1\\,;\\,1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x - y - 2 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on conserve les coefficients de $x$ et de $y$, et le\npoint $A$ donne $3 - 1 + c = 0$."
},
{
"text": "$3x - y + 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : pour $A$, le calcul donnerait $4$ et non\n$0$."
},
{
"text": "$x - 3y + 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : cette droite a une tout autre direction."
},
{
"text": "$-3x + y - 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes tous inversés : cette équation décrit la même droite que\n$3x - y + 2 = 0$, donc pas celle qui passe par $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires : on garde\ndonc les mêmes coefficients de $x$ et de $y$, et seule la constante change."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle",
"tangente"
],
"title": "Caractériser la tangente à un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle propriété caractérise la tangente à un cercle en l'un de ses\npoints $M$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est perpendiculaire au rayon en $M$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon joignant le centre à $M$ est normal à la\ntangente, ce qui donne immédiatement son équation."
},
{
"text": "Elle passe par le centre du cercle",
"correct": false,
"feedback": "Une droite passant par le centre coupe le cercle en deux points, ce\nn'est donc pas une tangente."
},
{
"text": "Elle est parallèle au rayon en $M$",
"correct": false,
"feedback": "Une droite parallèle au rayon et passant par $M$ traverserait le\ncercle."
},
{
"text": "Elle coupe le cercle en deux points confondus",
"correct": false,
"feedback": "Formulation trompeuse : la tangente a exactement un point commun avec\nle cercle, mais c'est la perpendicularité au rayon qui la caractérise."
}
],
"explanation": "Le rayon $[OM]$ est un vecteur normal de la tangente en $M$. L'équation de\nla tangente s'écrit donc directement à partir des coordonnées du centre et\nde celles de $M$."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"distance",
"coordonnees"
],
"title": "Distance d'un point à un autre",
"partie": "distances",
"statement": "Quelle est la distance entre $A(-2\\,;\\,1)$ et $B(4\\,;\\,9)$ ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{6^2 + 8^2} = \\sqrt{100} = 10$."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : $6 + 8$ ignore la racine carrée de la somme des\ncarrés."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $100$ est le carré de la distance."
},
{
"text": "$2\\sqrt{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Différence des carrés : $\\sqrt{64 - 36}$ ne correspond à aucune étape\ndu calcul de distance."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points vaut\n$\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. C'est le théorème de Pythagore\nappliqué aux écarts de coordonnées."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"vecteur-directeur",
"directeur"
],
"title": "Vecteur directeur à partir de deux points",
"partie": "droites",
"statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(5\\,;\\,4)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$\ns'obtiennent par différence, $5 - 1 = 4$ et\n$4 - 2 = 2$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec\nles abscisses des points, ce qui donne $4$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(6\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit\n$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(4\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-4\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :\n$5 - 1$ vaut $4$, et non $-4$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$. Tout vecteur\ncolinéaire à celui-ci dirige également la droite.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(5\\,;\\,4)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$\ns'obtiennent par différence, $5 - 1 = 4$ et\n$4 - 2 = 2$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec\nles abscisses des points, ce qui donne $4$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(6\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit\n$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(4\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-4\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :\n$5 - 1$ vaut $4$, et non $-4$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$. Tout vecteur\ncolinéaire à celui-ci dirige également la droite."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\\,;\\,3)$ et\n$B(1\\,;\\,9)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$\ns'obtiennent par différence, $1 - -2 = 3$ et\n$9 - 3 = 6$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(6\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec\nles abscisses des points, ce qui donne $3$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-1\\,;\\,12)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit\n$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(3\\,;\\,6)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-3\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :\n$1 - -2$ vaut $3$, et non $-3$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$. Tout vecteur\ncolinéaire à celui-ci dirige également la droite."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(4\\,;\\,-1)$ et\n$B(-2\\,;\\,3)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(-6\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$\ns'obtiennent par différence, $-2 - 4 = -6$ et\n$3 - -1 = 4$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec\nles abscisses des points, ce qui donne $-6$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit\n$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(-6\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(6\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :\n$-2 - 4$ vaut $-6$, et non $6$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$. Tout vecteur\ncolinéaire à celui-ci dirige également la droite."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(5\\,;\\,9)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$\ns'obtiennent par différence, $5 - 1 = 4$ et\n$9 - 2 = 7$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(7\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec\nles abscisses des points, ce qui donne $4$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(6\\,;\\,11)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit\n$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(4\\,;\\,7)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :\n$5 - 1$ vaut $4$, et non $-4$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$. Tout vecteur\ncolinéaire à celui-ci dirige également la droite."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-par-point"
],
"title": "Rayon d'un cercle passant par un point",
"partie": "cercles",
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(1\\,;\\,2)$ passe par le point\n$A(4\\,;\\,6)$. Quel est son rayon ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $\\Omega A =\n\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $25$ est le carré du rayon, celui qui\nfigure au second membre de l'équation du cercle."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,\nelle prend la racine de la somme de leurs carrés."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule direction prise en compte : les deux écarts\ninterviennent ensemble par le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit\n$\\sqrt{(x_A - x_\\Omega)^2 + (y_A - y_\\Omega)^2}$. On le calcule\navant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré.",
"variants": [
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(1\\,;\\,2)$ passe par le point\n$A(4\\,;\\,6)$. Quel est son rayon ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $\\Omega A =\n\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $25$ est le carré du rayon, celui qui\nfigure au second membre de l'équation du cercle."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,\nelle prend la racine de la somme de leurs carrés."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule direction prise en compte : les deux écarts\ninterviennent ensemble par le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit\n$\\sqrt{(x_A - x_\\Omega)^2 + (y_A - y_\\Omega)^2}$. On le calcule\navant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(-1\\,;\\,3)$ passe par le point\n$A(4\\,;\\,15)$. Quel est son rayon ?",
"options": [
{
"text": "$13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $\\Omega A =\n\\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{169} = 13$."
},
{
"text": "$169$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $169$ est le carré du rayon, celui qui\nfigure au second membre de l'équation du cercle."
},
{
"text": "$17$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,\nelle prend la racine de la somme de leurs carrés."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule direction prise en compte : les deux écarts\ninterviennent ensemble par le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit\n$\\sqrt{(x_A - x_\\Omega)^2 + (y_A - y_\\Omega)^2}$. On le calcule\navant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(-4\\,;\\,1)$ passe par le point\n$A(4\\,;\\,7)$. Quel est son rayon ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $\\Omega A =\n\\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{100} = 10$."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $100$ est le carré du rayon, celui qui\nfigure au second membre de l'équation du cercle."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,\nelle prend la racine de la somme de leurs carrés."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule direction prise en compte : les deux écarts\ninterviennent ensemble par le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit\n$\\sqrt{(x_A - x_\\Omega)^2 + (y_A - y_\\Omega)^2}$. On le calcule\navant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(2\\,;\\,-1)$ passe par le point\n$A(10\\,;\\,14)$. Quel est son rayon ?",
"options": [
{
"text": "$17$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le rayon vaut $\\Omega A =\n\\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{289} = 17$."
},
{
"text": "$289$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $289$ est le carré du rayon, celui qui\nfigure au second membre de l'équation du cercle."
},
{
"text": "$23$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,\nelle prend la racine de la somme de leurs carrés."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule direction prise en compte : les deux écarts\ninterviennent ensemble par le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit\n$\\sqrt{(x_A - x_\\Omega)^2 + (y_A - y_\\Omega)^2}$. On le calcule\navant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation-droite",
"equation-cartesienne"
],
"title": "Équation d'une droite passant par deux points",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2)$ et $B(3\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x - 2y + 1 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ dirige la\ndroite, donc $(3\\,;\\,-2)$ lui est normal, et le point $A$\nfixe la constante."
},
{
"text": "$2x + 3y - 8 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les\ncoordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$."
},
{
"text": "$3x - 2y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : en remplaçant par les\ncoordonnées de $A$, on obtient bien $1$."
},
{
"text": "$-2x + 3y + 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à\ncelle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$."
}
],
"explanation": "On calcule d'abord $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.\nLe vecteur $(y_B - y_A\\,;\\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc\nnormal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de\n$y$. La constante s'obtient en substituant un point.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2)$ et $B(3\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x - 2y + 1 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ dirige la\ndroite, donc $(3\\,;\\,-2)$ lui est normal, et le point $A$\nfixe la constante."
},
{
"text": "$2x + 3y - 8 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les\ncoordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$."
},
{
"text": "$3x - 2y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : en remplaçant par les\ncoordonnées de $A$, on obtient bien $1$."
},
{
"text": "$-2x + 3y + 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à\ncelle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$."
}
],
"explanation": "On calcule d'abord $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.\nLe vecteur $(y_B - y_A\\,;\\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc\nnormal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de\n$y$. La constante s'obtient en substituant un point."
},
{
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par\n$A(-1\\,;\\,1)$ et $B(2\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x - 3y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,2)$ dirige la\ndroite, donc $(2\\,;\\,-3)$ lui est normal, et le point $A$\nfixe la constante."
},
{
"text": "$3x + 2y + 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les\ncoordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$."
},
{
"text": "$2x - 3y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : en remplaçant par les\ncoordonnées de $A$, on obtient bien $5$."
},
{
"text": "$-3x + 2y + 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à\ncelle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$."
}
],
"explanation": "On calcule d'abord $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.\nLe vecteur $(y_B - y_A\\,;\\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc\nnormal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de\n$y$. La constante s'obtient en substituant un point."
},
{
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par\n$A(2\\,;\\,-1)$ et $B(4\\,;\\,2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x - 2y - 8 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ dirige la\ndroite, donc $(3\\,;\\,-2)$ lui est normal, et le point $A$\nfixe la constante."
},
{
"text": "$2x + 3y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les\ncoordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$."
},
{
"text": "$3x - 2y + 8 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : en remplaçant par les\ncoordonnées de $A$, on obtient bien $-8$."
},
{
"text": "$-2x + 3y - 8 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à\ncelle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$."
}
],
"explanation": "On calcule d'abord $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.\nLe vecteur $(y_B - y_A\\,;\\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc\nnormal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de\n$y$. La constante s'obtient en substituant un point."
},
{
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par\n$A(-2\\,;\\,1)$ et $B(1\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x - 3y + 7 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,2)$ dirige la\ndroite, donc $(2\\,;\\,-3)$ lui est normal, et le point $A$\nfixe la constante."
},
{
"text": "$3x + 2y + 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les\ncoordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$."
},
{
"text": "$2x - 3y - 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : en remplaçant par les\ncoordonnées de $A$, on obtient bien $7$."
},
{
"text": "$-3x + 2y + 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à\ncelle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$."
}
],
"explanation": "On calcule d'abord $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.\nLe vecteur $(y_B - y_A\\,;\\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc\nnormal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de\n$y$. La constante s'obtient en substituant un point."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"mediatrice"
],
"title": "Médiatrice d'un segment vertical",
"partie": "distances",
"statement": "On donne $A(3\\,;\\,1)$ et $B(3\\,;\\,7)$. Quelle est une\néquation de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc\nhorizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $4$."
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est\nperpendiculaire, donc horizontale ici."
},
{
"text": "$y = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des\nordonnées, soit $4$."
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit\npar une équation portant sur $y$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est\nperpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est\nhorizontale et son équation s'écrit directement.",
"variants": [
{
"statement": "On donne $A(3\\,;\\,1)$ et $B(3\\,;\\,7)$. Quelle est une\néquation de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc\nhorizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $4$."
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est\nperpendiculaire, donc horizontale ici."
},
{
"text": "$y = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des\nordonnées, soit $4$."
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit\npar une équation portant sur $y$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est\nperpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est\nhorizontale et son équation s'écrit directement."
},
{
"statement": "On donne $A(-2\\,;\\,5)$ et $B(-2\\,;\\,11)$. Quelle est une\néquation de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc\nhorizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $8$."
},
{
"text": "$x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est\nperpendiculaire, donc horizontale ici."
},
{
"text": "$y = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des\nordonnées, soit $8$."
},
{
"text": "$x = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit\npar une équation portant sur $y$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est\nperpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est\nhorizontale et son équation s'écrit directement."
},
{
"statement": "On donne $A(5\\,;\\,-2)$ et $B(5\\,;\\,8)$. Quelle est une\néquation de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc\nhorizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $3$."
},
{
"text": "$x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est\nperpendiculaire, donc horizontale ici."
},
{
"text": "$y = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des\nordonnées, soit $3$."
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit\npar une équation portant sur $y$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est\nperpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est\nhorizontale et son équation s'écrit directement."
},
{
"statement": "On donne $A(3\\,;\\,1)$ et $B(3\\,;\\,11)$. Quelle est une\néquation de la médiatrice de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc\nhorizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $6$."
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est\nperpendiculaire, donc horizontale ici."
},
{
"text": "$y = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des\nordonnées, soit $6$."
},
{
"text": "$x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit\npar une équation portant sur $y$."
}
],
"explanation": "La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est\nperpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est\nhorizontale et son équation s'écrit directement."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"configuration",
"repere"
],
"title": "Quatrième sommet d'un parallélogramme",
"partie": "distances",
"statement": "Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec\n$A(1\\,;\\,1)$, $B(4\\,;\\,2)$ et $C(5\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$D(2\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à\n$D(2\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$D(8\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du\nparallélogramme $BCDA$."
},
{
"text": "$D(6\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de\nla somme de celles de $A$ et de $C$."
},
{
"text": "$D(0\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$."
}
],
"explanation": "L'égalité $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ se traduit\ncoordonnée par coordonnée et donne\n$D(x_A + x_C - x_B\\,;\\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide\nconsiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec\n$A(1\\,;\\,1)$, $B(4\\,;\\,2)$ et $C(5\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$D(2\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à\n$D(2\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$D(8\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du\nparallélogramme $BCDA$."
},
{
"text": "$D(6\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de\nla somme de celles de $A$ et de $C$."
},
{
"text": "$D(0\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$."
}
],
"explanation": "L'égalité $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ se traduit\ncoordonnée par coordonnée et donne\n$D(x_A + x_C - x_B\\,;\\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide\nconsiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu."
},
{
"statement": "Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec\n$A(-1\\,;\\,0)$, $B(2\\,;\\,1)$ et $C(3\\,;\\,4)$.\nQuelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$D(0\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à\n$D(0\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$D(6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du\nparallélogramme $BCDA$."
},
{
"text": "$D(2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de\nla somme de celles de $A$ et de $C$."
},
{
"text": "$D(-2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$."
}
],
"explanation": "L'égalité $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ se traduit\ncoordonnée par coordonnée et donne\n$D(x_A + x_C - x_B\\,;\\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide\nconsiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu."
},
{
"statement": "Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec\n$A(0\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,-1)$ et $C(6\\,;\\,3)$.\nQuelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$D(3\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à\n$D(3\\,;\\,6)$."
},
{
"text": "$D(9\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du\nparallélogramme $BCDA$."
},
{
"text": "$D(6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de\nla somme de celles de $A$ et de $C$."
},
{
"text": "$D(-3\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$."
}
],
"explanation": "L'égalité $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ se traduit\ncoordonnée par coordonnée et donne\n$D(x_A + x_C - x_B\\,;\\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide\nconsiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu."
},
{
"statement": "Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec\n$A(1\\,;\\,1)$, $B(4\\,;\\,2)$ et $C(5\\,;\\,4)$.\nQuelles sont les coordonnées de $D$ ?",
"options": [
{
"text": "$D(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à\n$D(2\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$D(8\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du\nparallélogramme $BCDA$."
},
{
"text": "$D(6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de\nla somme de celles de $A$ et de $C$."
},
{
"text": "$D(0\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$."
}
],
"explanation": "L'égalité $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ se traduit\ncoordonnée par coordonnée et donne\n$D(x_A + x_C - x_B\\,;\\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide\nconsiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire l'équation d'une droite",
"partie": "droites",
"statement": "Quelle est une équation cartésienne de la droite $d$ tracée\nci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.78]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (4.7,3.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-2.4,-0.6) -- (3.9,3.6);\n \\fill (0,1) circle (0.07);\n \\fill (3,3) circle (0.07);\n \\node[blue,font=\\small] at (3.7,3.15) {$d$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une droite bleue croissante qui passe par\nles deux points marqués (0 ; 1) et (3 ; 3). Elle coupe l'axe des\nabscisses en (-1,5 ; 0).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$2x - 3y + 3 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points marqués vérifient cette\néquation, puisque $-3 + 3 = 0$ et $6 - 9 + 3 = 0$."
},
{
"text": "$3x - 2y + 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients permutés : le point $(3\\,;\\,3)$ donnerait\n$9 - 6 + 2 = 5$, différent de $0$."
},
{
"text": "$2x + 3y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite décroissante : avec ces coefficients, $y$ diminue quand\n$x$ augmente, ce que la figure contredit."
},
{
"text": "$-2x + 3y + 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante mal corrigée : le point $(0\\,;\\,1)$ donne ici\n$3 + 3 = 6$, donc la droite ne passe pas par lui."
}
],
"explanation": "On lit deux points à coordonnées entières, ici $(0\\,;\\,1)$ et\n$(3\\,;\\,3)$. Le vecteur $(3\\,;\\,2)$ dirige la droite, donc\n$(2\\,;\\,-3)$ lui est normal, et la constante se règle sur l'un des\ndeux points."
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parallele"
],
"title": "Paramètre et droites parallèles",
"partie": "droites",
"statement": "Les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et\n$d' : 4x + m\\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?",
"options": [
{
"text": "$-6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$\nmultipliés par $2$, donc $m = 2 \\times -3 = -6$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : le facteur $2$ s'applique aux deux\ncoefficients sans en changer le signe."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par\n$2$, celui de $y$ doit l'être aussi."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme\ndonne $2 \\times m - 4 \\times -3 = 0$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les\ncoefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le\nmême facteur pour $x$ et pour $y$.",
"variants": [
{
"statement": "Les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et\n$d' : 4x + m\\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?",
"options": [
{
"text": "$-6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$\nmultipliés par $2$, donc $m = 2 \\times -3 = -6$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : le facteur $2$ s'applique aux deux\ncoefficients sans en changer le signe."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par\n$2$, celui de $y$ doit l'être aussi."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme\ndonne $2 \\times m - 4 \\times -3 = 0$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les\ncoefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le\nmême facteur pour $x$ et pour $y$."
},
{
"statement": "Les droites $d : 3x + 5y + 1 = 0$ et\n$d' : 6x + m\\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$\nmultipliés par $2$, donc $m = 2 \\times 5 = 10$."
},
{
"text": "$-10$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : le facteur $2$ s'applique aux deux\ncoefficients sans en changer le signe."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par\n$2$, celui de $y$ doit l'être aussi."
},
{
"text": "$-5$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme\ndonne $3 \\times m - 6 \\times 5 = 0$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les\ncoefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le\nmême facteur pour $x$ et pour $y$."
},
{
"statement": "Les droites $d : 5x + 2y + 1 = 0$ et\n$d' : 15x + m\\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$\nmultipliés par $3$, donc $m = 3 \\times 2 = 6$."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : le facteur $3$ s'applique aux deux\ncoefficients sans en changer le signe."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par\n$3$, celui de $y$ doit l'être aussi."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme\ndonne $5 \\times m - 15 \\times 2 = 0$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les\ncoefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le\nmême facteur pour $x$ et pour $y$."
},
{
"statement": "Les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et\n$d' : 6x + m\\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?",
"options": [
{
"text": "$-9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$\nmultipliés par $3$, donc $m = 3 \\times -3 = -9$."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : le facteur $3$ s'applique aux deux\ncoefficients sans en changer le signe."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par\n$3$, celui de $y$ doit l'être aussi."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme\ndonne $2 \\times m - 6 \\times -3 = 0$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les\ncoefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le\nmême facteur pour $x$ et pour $y$."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"diametre",
"distance"
],
"title": "Rayon d'un cercle de diamètre donné",
"partie": "cercles",
"statement": "Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(-3\\,;\\,1)$ et $B(3\\,;\\,9)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $AB = 10$, et le rayon en est la\nmoitié, soit $5$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part\nen part, le rayon vaut sa moitié."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la\nsomme des carrés, et vaut $10$."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit\nencore être réduit à sa racine puis partagé en deux."
}
],
"explanation": "Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et\npour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule\npar la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées.",
"variants": [
{
"statement": "Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(-3\\,;\\,1)$ et $B(3\\,;\\,9)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $AB = 10$, et le rayon en est la\nmoitié, soit $5$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part\nen part, le rayon vaut sa moitié."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la\nsomme des carrés, et vaut $10$."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit\nencore être réduit à sa racine puis partagé en deux."
}
],
"explanation": "Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et\npour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule\npar la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées."
},
{
"statement": "Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(2\\,;\\,-4)$ et $B(12\\,;\\,20)$ ?",
"options": [
{
"text": "$13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $AB = 26$, et le rayon en est la\nmoitié, soit $13$."
},
{
"text": "$26$",
"correct": false,
"feedback": "Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part\nen part, le rayon vaut sa moitié."
},
{
"text": "$17$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la\nsomme des carrés, et vaut $26$."
},
{
"text": "$676$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit\nencore être réduit à sa racine puis partagé en deux."
}
],
"explanation": "Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et\npour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule\npar la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées."
},
{
"statement": "Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(-5\\,;\\,2)$ et $B(11\\,;\\,14)$ ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $AB = 20$, et le rayon en est la\nmoitié, soit $10$."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part\nen part, le rayon vaut sa moitié."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la\nsomme des carrés, et vaut $20$."
},
{
"text": "$400$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit\nencore être réduit à sa racine puis partagé en deux."
}
],
"explanation": "Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et\npour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule\npar la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées."
},
{
"statement": "Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec\n$A(-2\\,;\\,1)$ et $B(5\\,;\\,25)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{25}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $AB = 25$, et le rayon en est la\nmoitié, soit $\\dfrac{25}{2}$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part\nen part, le rayon vaut sa moitié."
},
{
"text": "$\\dfrac{31}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la\nsomme des carrés, et vaut $25$."
},
{
"text": "$625$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit\nencore être réduit à sa racine puis partagé en deux."
}
],
"explanation": "Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et\npour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule\npar la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-developpee"
],
"title": "Du centre et du rayon à la forme développée",
"partie": "cercles",
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(3\\,;\\,-2)$ a pour rayon $4$.\nQuelle est son équation sous forme développée ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en développant $(x - 3)^2 + (y + 2)^2\n= 4^2$, les doubles produits donnent $-6x$ et $4y$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des doubles produits : le développement de\n$(x - 3)^2$ fait apparaître $-6x$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 29 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon mal reporté : $4^2$ passe au premier membre, il se\nretranche donc de la constante."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 3x + 2y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le\nproduit des deux termes, d'où $-6x$."
}
],
"explanation": "On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux\ncarrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de\n$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -\nr^2$.",
"variants": [
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(3\\,;\\,-2)$ a pour rayon $4$.\nQuelle est son équation sous forme développée ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en développant $(x - 3)^2 + (y + 2)^2\n= 4^2$, les doubles produits donnent $-6x$ et $4y$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des doubles produits : le développement de\n$(x - 3)^2$ fait apparaître $-6x$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 29 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon mal reporté : $4^2$ passe au premier membre, il se\nretranche donc de la constante."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 3x + 2y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le\nproduit des deux termes, d'où $-6x$."
}
],
"explanation": "On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux\ncarrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de\n$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -\nr^2$."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(2\\,;\\,3)$ a pour rayon $3$.\nQuelle est son équation sous forme développée ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en développant $(x - 2)^2 + (y - 3)^2\n= 3^2$, les doubles produits donnent $-4x$ et $-6y$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 4x + 6y + 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des doubles produits : le développement de\n$(x - 2)^2$ fait apparaître $-4x$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 22 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon mal reporté : $3^2$ passe au premier membre, il se\nretranche donc de la constante."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 2x - 3y + 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le\nproduit des deux termes, d'où $-4x$."
}
],
"explanation": "On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux\ncarrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de\n$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -\nr^2$."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(-2\\,;\\,4)$ a pour rayon $5$.\nQuelle est son équation sous forme développée ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + y^2 + 4x - 8y - 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en développant $(x + 2)^2 + (y - 4)^2\n= 5^2$, les doubles produits donnent $4x$ et $-8y$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 4x + 8y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des doubles produits : le développement de\n$(x + 2)^2$ fait apparaître $4x$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 4x - 8y + 45 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon mal reporté : $5^2$ passe au premier membre, il se\nretranche donc de la constante."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le\nproduit des deux termes, d'où $4x$."
}
],
"explanation": "On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux\ncarrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de\n$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -\nr^2$."
},
{
"statement": "Le cercle de centre $\\Omega(3\\,;\\,-2)$ a pour rayon $5$.\nQuelle est son équation sous forme développée ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en développant $(x - 3)^2 + (y + 2)^2\n= 5^2$, les doubles produits donnent $-6x$ et $4y$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des doubles produits : le développement de\n$(x - 3)^2$ fait apparaître $-6x$."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 38 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon mal reporté : $5^2$ passe au premier membre, il se\nretranche donc de la constante."
},
{
"text": "$x^2 + y^2 - 3x + 2y - 12 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le\nproduit des deux termes, d'où $-6x$."
}
],
"explanation": "On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux\ncarrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de\n$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -\nr^2$."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 3,
"skills": [
"forme-canonique",
"forme-canonique-cercle"
],
"title": "Écrire la forme canonique d'un cercle",
"partie": "cercles",
"statement": "Quelle est la forme canonique de l'équation\n$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $-4x$ et\n$6y$, et les constantes réunies au second membre donnent\n$16$."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Signes non inversés : $-4x$ provient de $(x - 2)^2$,\ndont le centre a pour abscisse $2$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés\ncomplétés doivent aussi passer au second membre."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon et carré confondus : $4$ est le rayon, alors que le\nsecond membre porte son carré."
}
],
"explanation": "Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \\left(x +\n\\frac{p}{2}\\right)^2 - \\frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les\nconstantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors\n$r^2$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme canonique de l'équation\n$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $-4x$ et\n$6y$, et les constantes réunies au second membre donnent\n$16$."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Signes non inversés : $-4x$ provient de $(x - 2)^2$,\ndont le centre a pour abscisse $2$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés\ncomplétés doivent aussi passer au second membre."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon et carré confondus : $4$ est le rayon, alors que le\nsecond membre porte son carré."
}
],
"explanation": "Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \\left(x +\n\\frac{p}{2}\\right)^2 - \\frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les\nconstantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors\n$r^2$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme canonique de l'équation\n$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $2x$ et\n$-8y$, et les constantes réunies au second membre donnent\n$9$."
},
{
"text": "$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Signes non inversés : $2x$ provient de $(x + 1)^2$,\ndont le centre a pour abscisse $-1$."
},
{
"text": "$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = -8$",
"correct": false,
"feedback": "Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés\ncomplétés doivent aussi passer au second membre."
},
{
"text": "$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon et carré confondus : $3$ est le rayon, alors que le\nsecond membre porte son carré."
}
],
"explanation": "Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \\left(x +\n\\frac{p}{2}\\right)^2 - \\frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les\nconstantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors\n$r^2$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme canonique de l'équation\n$x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $-6x$ et\n$-2y$, et les constantes réunies au second membre donnent\n$16$."
},
{
"text": "$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Signes non inversés : $-6x$ provient de $(x - 3)^2$,\ndont le centre a pour abscisse $3$."
},
{
"text": "$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés\ncomplétés doivent aussi passer au second membre."
},
{
"text": "$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon et carré confondus : $4$ est le rayon, alors que le\nsecond membre porte son carré."
}
],
"explanation": "Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \\left(x +\n\\frac{p}{2}\\right)^2 - \\frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les\nconstantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors\n$r^2$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme canonique de l'équation\n$x^2 + y^2 - 4x - 8y + 4 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $-4x$ et\n$-8y$, et les constantes réunies au second membre donnent\n$16$."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Signes non inversés : $-4x$ provient de $(x - 2)^2$,\ndont le centre a pour abscisse $2$."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = -4$",
"correct": false,
"feedback": "Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés\ncomplétés doivent aussi passer au second membre."
},
{
"text": "$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rayon et carré confondus : $4$ est le rayon, alors que le\nsecond membre porte son carré."
}
],
"explanation": "Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \\left(x +\n\\frac{p}{2}\\right)^2 - \\frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les\nconstantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors\n$r^2$."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-sans-solution"
],
"title": "Un cercle réduit à un point",
"partie": "distances",
"statement": "Que représente l'ensemble des points $M(x\\,;\\,y)$ vérifiant\n$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Le seul point $(2\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique s'écrit\n$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$, et une somme de carrés\nest nulle seulement si chaque carré l'est."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(2\\,;\\,-3)$ et de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut\n$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Constante recopiée : $13$ disparaît lorsqu'on complète les\ncarrés, et le second membre devient nul."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un\nsecond membre strictement négatif, pas nul."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement\npositif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;\nstrictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais\nsur la forme développée seule.",
"variants": [
{
"statement": "Que représente l'ensemble des points $M(x\\,;\\,y)$ vérifiant\n$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Le seul point $(2\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique s'écrit\n$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$, et une somme de carrés\nest nulle seulement si chaque carré l'est."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(2\\,;\\,-3)$ et de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut\n$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Constante recopiée : $13$ disparaît lorsqu'on complète les\ncarrés, et le second membre devient nul."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un\nsecond membre strictement négatif, pas nul."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement\npositif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;\nstrictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais\nsur la forme développée seule."
},
{
"statement": "Que représente l'ensemble des points $M(x\\,;\\,y)$ vérifiant\n$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Le seul point $(1\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique s'écrit\n$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 0$, et une somme de carrés\nest nulle seulement si chaque carré l'est."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(1\\,;\\,4)$ et de rayon $17$",
"correct": false,
"feedback": "Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut\n$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $17$",
"correct": false,
"feedback": "Constante recopiée : $17$ disparaît lorsqu'on complète les\ncarrés, et le second membre devient nul."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un\nsecond membre strictement négatif, pas nul."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement\npositif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;\nstrictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais\nsur la forme développée seule."
},
{
"statement": "Que représente l'ensemble des points $M(x\\,;\\,y)$ vérifiant\n$x^2 + y^2 + 6x - 4y + 13 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Le seul point $(-3\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique s'écrit\n$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 0$, et une somme de carrés\nest nulle seulement si chaque carré l'est."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(-3\\,;\\,2)$ et de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut\n$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $13$",
"correct": false,
"feedback": "Constante recopiée : $13$ disparaît lorsqu'on complète les\ncarrés, et le second membre devient nul."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un\nsecond membre strictement négatif, pas nul."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement\npositif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;\nstrictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais\nsur la forme développée seule."
},
{
"statement": "Que représente l'ensemble des points $M(x\\,;\\,y)$ vérifiant\n$x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Le seul point $(2\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la forme canonique s'écrit\n$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0$, et une somme de carrés\nest nulle seulement si chaque carré l'est."
},
{
"text": "Un cercle de centre $(2\\,;\\,4)$ et de rayon $20$",
"correct": false,
"feedback": "Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut\n$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif."
},
{
"text": "Un cercle de rayon $20$",
"correct": false,
"feedback": "Constante recopiée : $20$ disparaît lorsqu'on complète les\ncarrés, et le second membre devient nul."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un\nsecond membre strictement négatif, pas nul."
}
],
"explanation": "Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement\npositif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;\nstrictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais\nsur la forme développée seule."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tangente-cercle"
],
"title": "Équation d'une tangente en un point",
"partie": "distances",
"statement": "Le point $A(4\\,;\\,6)$ appartient au cercle de centre\n$\\Omega(1\\,;\\,2)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce\ncercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + 4y - 36 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{\\Omega A}(3\\,;\\,4)$ est\nnormal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante."
},
{
"text": "$-4x + 3y - 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite $(\\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le\ncercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire."
},
{
"text": "$3x + 4y + 36 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler\nl'expression, ce qui impose $-36$."
},
{
"text": "$3x + 4y - 11 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,\nelle ne passe pas par le centre $\\Omega$."
}
],
"explanation": "La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur\nnormal $\\overrightarrow{\\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les\ncoordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en\nsubstituant les coordonnées de $A$.",
"variants": [
{
"statement": "Le point $A(4\\,;\\,6)$ appartient au cercle de centre\n$\\Omega(1\\,;\\,2)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce\ncercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + 4y - 36 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{\\Omega A}(3\\,;\\,4)$ est\nnormal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante."
},
{
"text": "$-4x + 3y - 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite $(\\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le\ncercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire."
},
{
"text": "$3x + 4y + 36 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler\nl'expression, ce qui impose $-36$."
},
{
"text": "$3x + 4y - 11 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,\nelle ne passe pas par le centre $\\Omega$."
}
],
"explanation": "La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur\nnormal $\\overrightarrow{\\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les\ncoordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en\nsubstituant les coordonnées de $A$."
},
{
"statement": "Le point $A(6\\,;\\,6)$ appartient au cercle de centre\n$\\Omega(2\\,;\\,3)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce\ncercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$4x + 3y - 42 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{\\Omega A}(4\\,;\\,3)$ est\nnormal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante."
},
{
"text": "$-3x + 4y - 6 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite $(\\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le\ncercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire."
},
{
"text": "$4x + 3y + 42 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler\nl'expression, ce qui impose $-42$."
},
{
"text": "$4x + 3y - 17 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,\nelle ne passe pas par le centre $\\Omega$."
}
],
"explanation": "La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur\nnormal $\\overrightarrow{\\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les\ncoordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en\nsubstituant les coordonnées de $A$."
},
{
"statement": "Le point $A(2\\,;\\,5)$ appartient au cercle de centre\n$\\Omega(-1\\,;\\,1)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce\ncercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + 4y - 26 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{\\Omega A}(3\\,;\\,4)$ est\nnormal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante."
},
{
"text": "$-4x + 3y - 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite $(\\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le\ncercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire."
},
{
"text": "$3x + 4y + 26 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler\nl'expression, ce qui impose $-26$."
},
{
"text": "$3x + 4y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,\nelle ne passe pas par le centre $\\Omega$."
}
],
"explanation": "La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur\nnormal $\\overrightarrow{\\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les\ncoordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en\nsubstituant les coordonnées de $A$."
},
{
"statement": "Le point $A(5\\,;\\,1)$ appartient au cercle de centre\n$\\Omega(2\\,;\\,-3)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce\ncercle en $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + 4y - 19 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{\\Omega A}(3\\,;\\,4)$ est\nnormal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante."
},
{
"text": "$-4x + 3y + 17 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Droite $(\\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le\ncercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire."
},
{
"text": "$3x + 4y + 19 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler\nl'expression, ce qui impose $-19$."
},
{
"text": "$3x + 4y + 6 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,\nelle ne passe pas par le centre $\\Omega$."
}
],
"explanation": "La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur\nnormal $\\overrightarrow{\\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les\ncoordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en\nsubstituant les coordonnées de $A$."
}
]
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 1,
"skills": [
"methode"
],
"title": "Intersection de deux droites",
"partie": "droites",
"statement": "Comment obtient-on les coordonnées du point d'intersection de deux\ndroites sécantes données par leurs équations cartésiennes ?",
"options": [
{
"text": "En résolvant le système formé par les deux équations",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point commun est celui dont les coordonnées\nvérifient les deux équations à la fois."
},
{
"text": "En additionnant membre à membre les deux équations",
"correct": false,
"feedback": "Cette somme fournit une troisième équation, qui ne suffit pas à\ndéterminer deux inconnues."
},
{
"text": "En comparant les constantes des deux équations",
"correct": false,
"feedback": "Les constantes situent les droites, elles ne livrent pas les\ncoordonnées de leur point commun."
},
{
"text": "En calculant le produit scalaire des vecteurs normaux",
"correct": false,
"feedback": "Ce calcul renseigne sur l'angle des deux droites, pas sur la\nposition de leur intersection."
}
],
"explanation": "Un point appartient à une droite lorsque ses coordonnées vérifient\nson équation. Le point d'intersection vérifie les deux équations,\ndonc le système qu'elles forment, qui admet ici une solution\nunique."
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 1,
"skills": [
"calcul"
],
"title": "Ordonnée d'un point d'une droite",
"partie": "distances",
"statement": "La droite $d$ a pour équation $3x + 2y - 4 = 0$. Quelle\nest l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $2$ ?",
"options": [
{
"text": "$-1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $2$, l'équation\ndevient $6 + 2y - 4 = 0$, d'où $y = -1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant\nde l'autre côté de l'égalité."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $2$\nde $y$ pour isoler l'ordonnée."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $2$, donc le\nremplacement se fait dans le terme en $x$."
}
],
"explanation": "Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette\nabscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier\ndegré qui reste en $y$.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $3x + 2y - 4 = 0$. Quelle\nest l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $2$ ?",
"options": [
{
"text": "$-1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $2$, l'équation\ndevient $6 + 2y - 4 = 0$, d'où $y = -1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant\nde l'autre côté de l'égalité."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $2$\nde $y$ pour isoler l'ordonnée."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $2$, donc le\nremplacement se fait dans le terme en $x$."
}
],
"explanation": "Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette\nabscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier\ndegré qui reste en $y$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $3x + 4y + 5 = 0$. Quelle\nest l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $1$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $1$, l'équation\ndevient $3 + 4y + 5 = 0$, d'où $y = -2$."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant\nde l'autre côté de l'égalité."
},
{
"text": "$-8$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $4$\nde $y$ pour isoler l'ordonnée."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $1$, donc le\nremplacement se fait dans le terme en $x$."
}
],
"explanation": "Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette\nabscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier\ndegré qui reste en $y$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $5x + 2y - 8 = 0$. Quelle\nest l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$-6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $4$, l'équation\ndevient $20 + 2y - 8 = 0$, d'où $y = -6$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant\nde l'autre côté de l'égalité."
},
{
"text": "$-12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $2$\nde $y$ pour isoler l'ordonnée."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $4$, donc le\nremplacement se fait dans le terme en $x$."
}
],
"explanation": "Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette\nabscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier\ndegré qui reste en $y$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $5x + 2y - 4 = 0$. Quelle\nest l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $2$ ?",
"options": [
{
"text": "$-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $2$, l'équation\ndevient $10 + 2y - 4 = 0$, d'où $y = -3$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant\nde l'autre côté de l'égalité."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $2$\nde $y$ pour isoler l'ordonnée."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $2$, donc le\nremplacement se fait dans le terme en $x$."
}
],
"explanation": "Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette\nabscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier\ndegré qui reste en $y$."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 1,
"skills": [
"coordonnees"
],
"title": "Retrouver une extrémité à partir du milieu",
"partie": "droites",
"statement": "Le point $I(5\\,;\\,3)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec\n$A(1\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(9\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_I = \\dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire\n$x_B = 2 \\times 5 - 1 = 9$, et de même pour\nl'ordonnée."
},
{
"text": "$B(6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc\nl'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$."
},
{
"text": "$B(-3\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par\nrapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit."
},
{
"text": "$B(4\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un\ndéplacement, non la position du point cherché."
}
],
"explanation": "Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de\n$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient\n$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$.",
"variants": [
{
"statement": "Le point $I(5\\,;\\,3)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec\n$A(1\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(9\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_I = \\dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire\n$x_B = 2 \\times 5 - 1 = 9$, et de même pour\nl'ordonnée."
},
{
"text": "$B(6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc\nl'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$."
},
{
"text": "$B(-3\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par\nrapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit."
},
{
"text": "$B(4\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un\ndéplacement, non la position du point cherché."
}
],
"explanation": "Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de\n$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient\n$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$."
},
{
"statement": "Le point $I(1\\,;\\,1)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec\n$A(-2\\,;\\,5)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(4\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_I = \\dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire\n$x_B = 2 \\times 1 - -2 = 4$, et de même pour\nl'ordonnée."
},
{
"text": "$B(-1\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc\nl'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$."
},
{
"text": "$B(-5\\,;\\,9)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par\nrapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit."
},
{
"text": "$B(3\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un\ndéplacement, non la position du point cherché."
}
],
"explanation": "Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de\n$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient\n$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$."
},
{
"statement": "Le point $I(0\\,;\\,2)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec\n$A(3\\,;\\,-1)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(-3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_I = \\dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire\n$x_B = 2 \\times 0 - 3 = -3$, et de même pour\nl'ordonnée."
},
{
"text": "$B(3\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc\nl'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$."
},
{
"text": "$B(6\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par\nrapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit."
},
{
"text": "$B(-3\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un\ndéplacement, non la position du point cherché."
}
],
"explanation": "Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de\n$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient\n$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$."
},
{
"statement": "Le point $I(1\\,;\\,3)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec\n$A(1\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(1\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_I = \\dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire\n$x_B = 2 \\times 1 - 1 = 1$, et de même pour\nl'ordonnée."
},
{
"text": "$B(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc\nl'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$."
},
{
"text": "$B(1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par\nrapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit."
},
{
"text": "$B(0\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un\ndéplacement, non la position du point cherché."
}
],
"explanation": "Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de\n$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient\n$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$."
}
]
}
]
}