{ "chapter": { "id": "probabilites-conditionnelles", "level": "premiere-specialite", "theme": "Probabilités et statistiques", "title": "Probabilités conditionnelles et indépendance", "description": "Indépendance de deux événements, partition de l'univers et\nformule des probabilités totales, succession de deux épreuves\nindépendantes, arbres pondérés, répétition de $n \\leq 4$\népreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.", "parties": [ { "id": "conditionnelles", "title": "Probabilités conditionnelles" }, { "id": "arbres", "title": "Arbres et probabilités totales" }, { "id": "independance", "title": "Indépendance et répétition" }, { "id": "applications", "title": "Tableaux, tests et pièges" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "independance", "definition" ], "title": "Définir l'indépendance", "partie": "independance", "statement": "Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ (de probabilités\nnon nulles) sont **indépendants** ?", "options": [ { "text": "Lorsque $P_B(A) = P(A)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : savoir que $B$ est réalisé ne change pas\nla probabilité de $A$, l'information « $B$ a eu lieu »\nne modifie pas ses chances. De façon équivalente : $P(A\n\\cap B) = P(A) \\times P(B)$." }, { "text": "Lorsque $A \\cap B = \\varnothing$", "correct": false, "feedback": "Confusion majeure : $A \\cap B = \\varnothing$ définit des\névénements **incompatibles**, ce qui est presque le\ncontraire (si $B$ arrive, $A$ devient impossible :\nl'information change tout)." }, { "text": "Lorsque $P(A) = P(B)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du lien\nentre les événements. L'indépendance parle de\nl'**absence d'influence** de l'un sur l'autre." }, { "text": "Lorsque $A$ et $B$ concernent deux expériences différentes", "correct": false, "feedback": "Intuition utile mais pas une définition : la définition\nmathématique est $P_B(A) = P(A)$, vérifiable par calcul\nmême au sein d'une seule expérience." } ], "explanation": "Indépendance : $P_B(A) = P(A)$, ou de manière équivalente\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. À ne jamais confondre avec\nl'incompatibilité ($A \\cap B = \\varnothing$)." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "calcul" ], "title": "Tester l'indépendance par le produit", "partie": "independance", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}15$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils\nindépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $P(A) \\times P(B) = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le critère du produit est vérifié :\n$0{,}3 \\times 0{,}5 = 0{,}15 = P(A \\cap B)$." }, { "text": "Non, car $P(A)$ et $P(B)$ sont différentes", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance n'exige pas des probabilités\négales : elle compare $P(A \\cap B)$ au produit\n$P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A \\cap B$ n'est pas vide", "correct": false, "feedback": "Confusion incompatibilité/indépendance : des événements\nindépendants (non triviaux) ont justement une\nintersection de probabilité **non nulle**, égale au\nproduit." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans tracer l'arbre", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres donnés suffisent : le critère\n$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$ se teste directement." } ], "explanation": "Critère : $A$ et $B$ indépendants $\\Leftrightarrow$\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Ici $0{,}15 = 0{,}3 \\times\n0{,}5$ : indépendants." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "piege" ], "title": "Incompatibles et indépendants ?", "partie": "independance", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ de probabilités **non nulles**\nsont incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$). Peuvent-ils\nêtre indépendants ?", "options": [ { "text": "Non : $P(A \\cap B) = 0$ alors que $P(A)P(B) > 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le critère du produit échoue forcément :\nincompatibles et indépendants sont **exclusifs** l'un de\nl'autre (hors probabilités nulles)." }, { "text": "Oui : ne pas pouvoir se produire ensemble, c'est être\nindépendants", "correct": false, "feedback": "Contresens : l'incompatibilité est une **dépendance\nextrême** : si $B$ arrive, $A$ devient impossible :\n$P_B(A) = 0 \\neq P(A)$." }, { "text": "Oui, si $P(A) = P(B)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : même équiprobables, $P(A \\cap B) = 0$ resterait\ndifférent de $P(A)P(B) > 0$." }, { "text": "Cela dépend de l'univers", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : $0 \\neq$\nproduit strictement positif." } ], "explanation": "Point de vigilance central : incompatibles $\\neq$\nindépendants. Incompatibles : ne peuvent pas coexister\n(dépendance forte). Indépendants : coexistent avec probabilité\nexactement $P(A)P(B)$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales", "arbre" ], "title": "Formule des probabilités totales", "partie": "arbres", "statement": "L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes. Que\nvaut $P(B)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$P(B) = 0{,}32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $B$ s'atteint par deux chemins ($A$ puis\n$B$, ou $\\overline{A}$ puis $B$), on additionne leurs\nprobabilités : $0{,}3 \\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2\n= 0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}32$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$ additionne les\nconditionnelles brutes, sans les **pondérer** par les\nprobabilités des branches de premier niveau : $0{,}3\n\\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $0{,}18 = 0{,}3 \\times 0{,}6 = P(A \\cap B)$\nne compte que le chemin passant par $A$. $B$ peut aussi\narriver via $\\overline{A}$ : $+ 0{,}14$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 = P_A(B)$ est une conditionnelle. $P(B)$\nmélange les deux scénarios selon leurs poids : $0{,}32$." } ], "explanation": "Formule des probabilités totales ($A$, $\\overline{A}$\npartition de l'univers) : $P(B) = P(A)\\,P_A(B) +\nP(\\overline{A})\\,P_{\\overline{A}}(B)$ : la somme des chemins\nde l'arbre menant à $B$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "partition" ], "title": "Partition de l'univers", "partie": "arbres", "statement": "Que forment les événements $A$ et $\\overline{A}$ (avec\n$0 < P(A) < 1$) vis-à-vis de l'univers $\\Omega$ ?", "options": [ { "text": "Une partition de $\\Omega$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ils sont incompatibles et leur réunion\nest $\\Omega$ : tout résultat de l'expérience réalise\nexactement l'un des deux. C'est ce qui autorise la\nformule des probabilités totales." }, { "text": "Deux événements indépendants", "correct": false, "feedback": "Erreur : $A$ et $\\overline{A}$ sont au contraire\ntotalement **dépendants** : si l'un se réalise, l'autre\nnon ($P_{A}(\\overline{A}) = 0 \\neq P(\\overline{A})$)." }, { "text": "Deux événements équiprobables", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'impose $P(A) = 0{,}5$. La partition tient\nà « incompatibles et tout couvrir », pas aux valeurs." }, { "text": "Le même événement écrit de deux façons", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont des événements **contraires** : ils ne\npartagent aucune issue." } ], "explanation": "Partition (système complet) : événements deux à deux\nincompatibles dont la réunion est $\\Omega$. Le couple\n$\\{A\\,;\\,\\overline{A}\\}$ en est le cas le plus simple : base\ndes arbres et des probabilités totales." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "succession", "independance" ], "title": "Succession de deux épreuves indépendantes", "partie": "arbres", "statement": "On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. Quelle\nest la probabilité d'obtenir un $6$ **et** pile ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux épreuves sont indépendantes, la\nprobabilité du couple est le **produit** des\nprobabilités : $\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{2} =\n\\dfrac{1}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2}{3}$\nadditionne, ce qui correspond à « l'un **ou** l'autre »\npour des événements incompatibles. Pour « l'un **et**\nl'autre » en indépendance : produit." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{1}{2^3}$ ne correspond à\nrien ici. Produit : $\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{2} =\n\\dfrac{1}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ ignore la contrainte du dé. Les\ndeux conditions se cumulent : $\\dfrac{1}{12}$." } ], "explanation": "Succession d'épreuves indépendantes : la probabilité d'une\nissue composée est le produit des probabilités de ses\ncomposantes : $\\frac{1}{6} \\times \\frac{1}{2} =\n\\frac{1}{12}$ (l'univers produit compte $12$ couples\néquiprobables)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Trois épreuves de Bernoulli", "partie": "independance", "statement": "On lance trois fois de suite une pièce équilibrée (lancers\nindépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois\npile ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, le chemin\npile-pile-pile a pour probabilité $\\dfrac{1}{2} \\times\n\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{2} =\n\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'**un**\npile. Trois exigences simultanées multiplient les\nfacteurs : $\\dfrac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité d'obtenir\nexactement **deux** piles (trois chemins sur huit). Le\nchemin PPP est unique parmi les $8$ chemins\néquiprobables : $\\dfrac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ n'apparaît nulle part dans ce\nmodèle : les $2^3 = 8$ listes de résultats sont\néquiprobables." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes et\nidentiques : chaque liste de résultats a pour probabilité le\nproduit des probabilités : $(1/2)^3 = 1/8$." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "denombrement-chemins" ], "title": "Exactement un succès sur trois", "partie": "independance", "statement": "On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre\n$p = \\dfrac{1}{2}$ (lancers de pièce). Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **exactement un** pile ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins réalisent un pile exactement\n(PFF, FPF, FFP), chacun de probabilité\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}$ : $3 \\times\n\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{3}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $\\dfrac{1}{8}$ est la probabilité d'**un\nseul** chemin (par exemple PFF). Le pile peut occuper\ntrois positions : $\\times 3$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ ne correspond à aucun décompte de\nchemins ici ($\\frac{3}{8}$ pour un pile, $\\frac{3}{8}$\npour deux, $\\frac{1}{8}$ pour zéro ou trois)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur naturel est $8 = 2^3$ (les\nchemins équiprobables de l'arbre), pas $3$." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux : compter les chemins favorables\n($3$ positions possibles pour le pile) et multiplier par la\nprobabilité d'un chemin ($\\frac{1}{8}$) : $\\frac{3}{8}$.\n(Prélude à la loi binomiale de terminale.)" }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "regles" ], "title": "Cohérence d'un arbre pondéré", "partie": "arbres", "statement": "Dans un arbre de probabilité, que vaut la somme des\npondérations des branches issues d'un même nœud ?", "options": [ { "text": "Toujours $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un nœud couvrent\ntous les cas possibles à cette étape (partition) : leurs\nprobabilités somment à $1$. Contrôle rapide de tout\narbre." }, { "text": "Toujours $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5$ n'a rien de spécial : avec trois issues\n$0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5$, la somme fait $1$." }, { "text": "La probabilité du nœud de départ", "correct": false, "feedback": "Erreur : la probabilité du nœud pondère le **chemin qui y\nmène** ; les branches qui en partent se partagent le\ntotal conditionnel, qui vaut $1$." }, { "text": "Cela dépend du niveau dans l'arbre", "correct": false, "feedback": "Erreur : la règle vaut à **tous** les niveaux : chaque\nnœud distribue $100\\ \\%$ de ses cas." } ], "explanation": "Règle de cohérence des arbres : à chaque nœud, les\npondérations somment à $1$ (les branches forment une\npartition des suites possibles). Premier réflexe de\nvérification." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "independance", "contraire" ], "title": "Indépendance et événement contraire", "partie": "independance", "statement": "Soient $A$ et $B$ indépendants. Les événements $A$ et\n$\\overline{B}$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, toujours", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance se transmet aux\ncontraires : $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) - P(A \\cap\nB) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\\overline{B})$, le critère\ndu produit reste vérifié." }, { "text": "Non, jamais", "correct": false, "feedback": "Erreur : le petit calcul $P(A \\cap \\overline{B}) =\nP(A) - P(A)P(B)$ montre le contraire : l'indépendance\npasse aux complémentaires." }, { "text": "Seulement si $P(B) = 0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune condition numérique n'est nécessaire : la\nfactorisation $P(A)(1 - P(B))$ fonctionne pour tout\n$P(B)$." }, { "text": "Ils deviennent incompatibles", "correct": false, "feedback": "Erreur : $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A)P(\\overline{B})$\nest en général strictement positif : compatibles et\nindépendants." } ], "explanation": "Propriété utile : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$\net $\\overline{B}$ aussi (et de même $\\overline{A}$ et $B$,\n$\\overline{A}$ et $\\overline{B}$). Sur l'arbre : toutes les\nbranches de deuxième niveau portent les mêmes pondérations." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "conditionnelle", "calcul" ], "title": "Retrouver une conditionnelle", "partie": "conditionnelles", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) = 0{,}12$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}048$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 \\times 0{,}12$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}12 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}52$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 + 0{,}12$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}12}{0{,}4}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) = 0{,}12$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}048$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 \\times 0{,}12$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}12 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}52$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 + 0{,}12$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}12}{0{,}4}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}25$ et $P(A \\cap B) = 0{,}1$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}1}{0{,}25} = 0{,}4$." }, { "text": "$0{,}025$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}25 \\times 0{,}1$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}1 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}25 + 0{,}1$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}1}{0{,}25}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}8$ et $P(A \\cap B) = 0{,}12$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}12}{0{,}8} = 0{,}15$." }, { "text": "$0{,}096$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}8 \\times 0{,}12$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}12 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}92$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}8 + 0{,}12$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}12}{0{,}8}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}2$ et $P(A \\cap B) = 0{,}15$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75$." }, { "text": "$0{,}03$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}2 \\times 0{,}15$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}15 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}2 + 0{,}15$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}15}{0{,}2}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre." } ] }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "independance" ], "title": "Justifier l'indépendance dans un modèle", "partie": "independance", "statement": "Dans quelle situation l'hypothèse d'indépendance entre deux\ntirages successifs est-elle justifiée ?", "options": [ { "text": "Tirage d'une boule, **remise** dans l'urne, second\ntirage", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise restaure exactement l'urne\ninitiale : le second tirage se fait dans les mêmes\nconditions, indépendamment du premier." }, { "text": "Tirage d'une boule, puis d'une seconde **sans remise**", "correct": false, "feedback": "Erreur : sans remise, la composition de l'urne dépend du\npremier tirage : les probabilités du second en sont\nmodifiées (dépendance)." }, { "text": "Toute succession de deux tirages, par principe", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance est une **hypothèse de modèle** à\njustifier (remise, dispositifs séparés…), pas un\nautomatisme." }, { "text": "Aucune : deux tirages successifs ne sont jamais\nindépendants", "correct": false, "feedback": "Erreur : avec remise (ou pour des expériences physiquement\nséparées), l'indépendance est le modèle naturel." } ], "explanation": "Comme en seconde pour l'équiprobabilité : l'indépendance\nfait partie du **modèle** et se justifie par l'analyse de la\nsituation (remise, mécanismes sans influence mutuelle). Sans\nremise : probabilités conditionnelles et arbre non uniforme." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "conditionnelle-calcul" ], "title": "Calculer une probabilité conditionnelle", "partie": "conditionnelles", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$ : parmi les cas où $A$ se\nproduit, $40\\ \\%$ voient aussi $B$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu de division : $0{,}5 \\times\n0{,}2 = 0{,}1$ : la conditionnelle **divise**\nl'intersection par la condition." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}2$ est $P(A \\cap B)$ : la\nconditionnelle rapporte cette intersection au « nouveau\nmonde » $A$ ($P(A) = 0{,}5$)." }, { "text": "$2{,}5$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : $\\frac{0{,}5}{0{,}2} = 2{,}5$\ndépasse $1$ : impossible pour une probabilité :\nl'intersection va au numérateur." } ], "explanation": "$P_A(B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$ : restreindre l'univers\nà $A$ et y mesurer la part de $B$. Contrôle : le résultat\nest toujours entre $0$ et $1$." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-effectifs" ], "title": "Conditionnelle dans un tableau", "partie": "applications", "statement": "Dans une classe : $12$ filles dont $9$ demi-pensionnaires,\n$18$ garçons dont $9$ demi-pensionnaires. On choisit un\nélève au hasard. Que vaut\n$P_{\\text{fille}}(\\text{demi-pensionnaire})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : conditionner par « fille » réduit\nl'univers aux $12$ filles, dont $9$ sont\ndemi-pensionnaires : $\\dfrac{9}{12} = 0{,}75$." }, { "text": "$\\dfrac{9}{30}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais dénominateur : $\\frac{9}{30}$ est\n$P(\\text{fille et DP})$ dans l'univers entier : la\nconditionnelle divise par l'effectif de la **condition**\n($12$)." }, { "text": "$\\dfrac{9}{18}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise condition : $18$ est l'effectif des garçons :\nconditionner par « fille » impose le dénominateur $12$." }, { "text": "$\\dfrac{12}{30}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{12}{30}$ est $P(\\text{fille})$ : la\nquestion porte sur la part de demi-pensionnaires PARMI\nles filles." } ], "explanation": "Dans un tableau d'effectifs, la conditionnelle se lit en\nrestreignant à la **ligne (ou colonne) de la condition** :\neffectif croisé / effectif de la condition. Le « parmi » de\nl'énoncé désigne toujours le dénominateur." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "produit" ], "title": "La formule du produit", "partie": "conditionnelles", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}6 \\times 0{,}3$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}6 + 0{,}3$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}3}{0{,}6}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}3$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}18$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}6 \\times 0{,}3$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}6 + 0{,}3$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}3}{0{,}6}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}3$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}18$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$ et $P_A(B) = 0{,}4$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}5 \\times 0{,}4$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}5 + 0{,}4$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}4}{0{,}5}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}4$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}2$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}25$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}4 \\times 0{,}25$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}65$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}4 + 0{,}25$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}625$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}25}{0{,}4}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}25$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}1$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}08$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}4 \\times 0{,}2$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}4 + 0{,}2$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}2}{0{,}4}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}2$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}08$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers." } ] }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales-calcul" ], "title": "Probabilités totales en pratique", "partie": "arbres", "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}7$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}3\n\\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 =\n0{,}32$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}18$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}14$)." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 + 0{,}2$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins.", "variants": [ { "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}7$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}3\n\\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 =\n0{,}32$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}18$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}14$)." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 + 0{,}2$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins." }, { "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}5$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}6$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}38$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}4\n\\times 0{,}5 + 0{,}6 \\times 0{,}3 = 0{,}2 + 0{,}18 =\n0{,}38$." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}2$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}18$)." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 + 0{,}3$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins." }, { "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}2$, $P_A(B) = 0{,}7$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}8$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}2\n\\times 0{,}7 + 0{,}8 \\times 0{,}2 = 0{,}14 + 0{,}16 =\n0{,}3$." }, { "text": "$0{,}14$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}14$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}16$)." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}7 + 0{,}2$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins." }, { "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}6$, $P_A(B) = 0{,}3$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}4$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}1$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}22$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}6\n\\times 0{,}3 + 0{,}4 \\times 0{,}1 = 0{,}18 + 0{,}04 =\n0{,}22$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}18$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}04$)." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}3 + 0{,}1$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "inversion-conditionnelle" ], "title": "Renverser le conditionnement", "partie": "applications", "statement": "Avec les données précédentes ($P(A \\cap B) = 0{,}18$ et\n$P(B) = 0{,}32$), que vaut $P_B(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}5625$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)} =\n\\dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$ : même intersection,\nnouveau dénominateur, le conditionnement se **renverse**\nen changeant de monde de référence." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Le piège central du chapitre : $0{,}6$ est $P_A(B)$, or\n$P_B(A) \\neq P_A(B)$ en général : les deux partagent le\nnumérateur mais pas le dénominateur." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $0{,}18$ est l'intersection ; la\nconditionnelle la rapporte à $P(B) = 0{,}32$." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ est le complémentaire de\n$P_A(B)$, c'est-à-dire $P_A(\\overline{B})$, pas $P_B(A)$\n: renverser exige de repasser par l'intersection." } ], "explanation": "Renversement : $P_B(A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$, où\n$P(B)$ sort des probabilités totales : l'enchaînement\narbre → totales → renversement est LE schéma des sujets\n(tests médicaux, contrôles qualité…)." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "test-medical" ], "title": "Le paradoxe du test de dépistage", "partie": "applications", "statement": "Une maladie touche $1\\ \\%$ de la population. Un test détecte\n$99\\ \\%$ des malades, mais sonne à tort chez $5\\ \\%$ des\npersonnes saines. Une personne a un test positif : quelle\nest environ la probabilité qu'elle soit malade ?", "options": [ { "text": "Environ $\\dfrac{1}{6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faux positifs des $99\\ \\%$ de sains\nnoient les vrais positifs. Vrais positifs : $0{,}01\n\\times 0{,}99 \\approx 0{,}0099$ ; faux positifs :\n$0{,}99 \\times 0{,}05 = 0{,}0495$ ; ratio\n$\\frac{0{,}0099}{0{,}0594} = \\frac{1}{6}$ : la rareté de\nla maladie renverse l'intuition." }, { "text": "Environ $99\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Le renversement fautif : $99\\ \\%$ est la fiabilité du\ntest, $P(\\text{positif} \\mid \\text{malade})$ ; la\nquestion demande l'inverse, $P(\\text{malade} \\mid\n\\text{positif})$, écrasé par la rareté de la maladie." }, { "text": "Environ $95\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $95\\ \\%$ est le taux de silence chez les\nsains : sans rapport direct : le calcul complet passe\npar les probabilités totales." }, { "text": "Environ $50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'équiprobabilité (« malade ou pas, deux cas ») :\nles deux cas n'ont pas du tout le même poids ($1\\ \\%$\ncontre $99\\ \\%$ au départ) ; l'arbre pondéré tranche :\nenviron $17\\ \\%$." } ], "explanation": "Le paradoxe des tests : quand la maladie est rare, la masse\ndes faux positifs domine. Toujours calculer\n$P(\\text{malade} \\mid \\text{positif})$ par l'arbre :\nintersection sur total des positifs : ici $\\frac{1}{6}$,\nloin des $99\\ \\%$ intuitifs." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "calcul" ], "title": "Probabilité d'un chemin complet", "partie": "arbres", "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}25$ et $P_A(B) = 0{,}8$.\nQue vaut la probabilité du chemin menant à $A$ puis à $B$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on multiplie le long du chemin, soit\n$0{,}25 \\times 0{,}8$." }, { "text": "$1{,}05$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle ne concerne que la seconde branche du\nchemin." }, { "text": "$3{,}2$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}8}{0{,}25}$ ne\ncorrespond à aucune probabilité." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. C'est l'écriture arborescente de\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$.", "variants": [ { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}25$ et $P_A(B) = 0{,}8$.\nQue vaut la probabilité du chemin menant à $A$ puis à $B$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on multiplie le long du chemin, soit\n$0{,}25 \\times 0{,}8$." }, { "text": "$1{,}05$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle ne concerne que la seconde branche du\nchemin." }, { "text": "$3{,}2$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}8}{0{,}25}$ ne\ncorrespond à aucune probabilité." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. C'est l'écriture arborescente de\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$." }, { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}75$.\nQue vaut la probabilité du chemin menant à $A$ puis à $B$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on multiplie le long du chemin, soit\n$0{,}4 \\times 0{,}75$." }, { "text": "$1{,}15$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle ne concerne que la seconde branche du\nchemin." }, { "text": "$1{,}875$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}75}{0{,}4}$ ne\ncorrespond à aucune probabilité." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. C'est l'écriture arborescente de\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$." }, { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}5$ et $P_A(B) = 0{,}8$.\nQue vaut la probabilité du chemin menant à $A$ puis à $B$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on multiplie le long du chemin, soit\n$0{,}5 \\times 0{,}8$." }, { "text": "$1{,}3$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle ne concerne que la seconde branche du\nchemin." }, { "text": "$1{,}6$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}8}{0{,}5}$ ne\ncorrespond à aucune probabilité." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. C'est l'écriture arborescente de\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$." }, { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}5$ et $P_A(B) = 0{,}9$.\nQue vaut la probabilité du chemin menant à $A$ puis à $B$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}45$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on multiplie le long du chemin, soit\n$0{,}5 \\times 0{,}9$." }, { "text": "$1{,}4$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle ne concerne que la seconde branche du\nchemin." }, { "text": "$1{,}8$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}9}{0{,}5}$ ne\ncorrespond à aucune probabilité." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. C'est l'écriture arborescente de\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$." } ] }, { "id": "q20", "difficulty": 3, "skills": [ "probabilites-totales", "calcul" ], "title": "Deux ateliers, un taux de défauts", "partie": "arbres", "statement": "Un atelier produit $60$ % des pièces avec $2$ % de défauts, l'autre le\nreste avec $5$ % de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}032$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}6 \\times 0{,}02 + 0{,}4 \\times 0{,}05 = 0{,}012 +\n0{,}02$." }, { "text": "$0{,}07$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés : $2$ % et $5$ % ne se cumulent pas, ils doivent\nd'abord être pondérés par les parts de production." }, { "text": "$0{,}035$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle donnerait le bon ordre de grandeur\nmais ignore que le premier atelier produit davantage." }, { "text": "$0{,}001$", "correct": false, "feedback": "Taux multipliés entre eux : $0{,}02 \\times 0{,}05$ ne correspond à\naucun chemin de l'arbre." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales pondère chaque taux conditionnel par\nla probabilité du cas correspondant, puis additionne les résultats.", "variants": [ { "statement": "Un atelier produit $60$ % des pièces avec $2$ % de défauts, l'autre le\nreste avec $5$ % de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}032$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}6 \\times 0{,}02 + 0{,}4 \\times 0{,}05 = 0{,}012 +\n0{,}02$." }, { "text": "$0{,}07$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés : $2$ % et $5$ % ne se cumulent pas, ils doivent\nd'abord être pondérés par les parts de production." }, { "text": "$0{,}035$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle donnerait le bon ordre de grandeur\nmais ignore que le premier atelier produit davantage." }, { "text": "$0{,}001$", "correct": false, "feedback": "Taux multipliés entre eux : $0{,}02 \\times 0{,}05$ ne correspond à\naucun chemin de l'arbre." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales pondère chaque taux conditionnel par\nla probabilité du cas correspondant, puis additionne les résultats." }, { "statement": "Un atelier produit $70$ % des pièces avec $3$ % de défauts, l'autre le\nreste avec $6$ % de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}039$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}7 \\times 0{,}03 + 0{,}3 \\times 0{,}06 = 0{,}021 +\n0{,}018$." }, { "text": "$0{,}09$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés : $3$ % et $6$ % ne se cumulent pas, ils doivent\nd'abord être pondérés par les parts de production." }, { "text": "$0{,}045$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle donnerait le bon ordre de grandeur\nmais ignore que le premier atelier produit davantage." }, { "text": "$0{,}0018$", "correct": false, "feedback": "Taux multipliés entre eux : $0{,}03 \\times 0{,}06$ ne correspond à\naucun chemin de l'arbre." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales pondère chaque taux conditionnel par\nla probabilité du cas correspondant, puis additionne les résultats." }, { "statement": "Un atelier produit $30$ % des pièces avec $2$ % de défauts, l'autre le\nreste avec $6$ % de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}048$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3 \\times 0{,}02 + 0{,}7 \\times 0{,}06 = 0{,}006 +\n0{,}042$." }, { "text": "$0{,}08$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés : $2$ % et $6$ % ne se cumulent pas, ils doivent\nd'abord être pondérés par les parts de production." }, { "text": "$0{,}04$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle donnerait le bon ordre de grandeur\nmais ignore que le premier atelier produit davantage." }, { "text": "$0{,}0012$", "correct": false, "feedback": "Taux multipliés entre eux : $0{,}02 \\times 0{,}06$ ne correspond à\naucun chemin de l'arbre." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales pondère chaque taux conditionnel par\nla probabilité du cas correspondant, puis additionne les résultats." }, { "statement": "Un atelier produit $80$ % des pièces avec $5$ % de défauts, l'autre le\nreste avec $2$ % de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}044$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}8 \\times 0{,}05 + 0{,}2 \\times 0{,}02 = 0{,}04 +\n0{,}004$." }, { "text": "$0{,}07$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés : $5$ % et $2$ % ne se cumulent pas, ils doivent\nd'abord être pondérés par les parts de production." }, { "text": "$0{,}035$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle donnerait le bon ordre de grandeur\nmais ignore que le premier atelier produit davantage." }, { "text": "$0{,}001$", "correct": false, "feedback": "Taux multipliés entre eux : $0{,}05 \\times 0{,}02$ ne correspond à\naucun chemin de l'arbre." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales pondère chaque taux conditionnel par\nla probabilité du cas correspondant, puis additionne les résultats." } ] }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "inversion", "calcul" ], "title": "Remonter à la cause", "partie": "applications", "statement": "Avec les données de l'atelier précédent, quelle est la probabilité\nqu'une pièce défectueuse vienne du second atelier ?", "options": [ { "text": "$0{,}625$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{0{,}4 \\times 0{,}05}{0{,}032} =\n\\dfrac{0{,}02}{0{,}032}$." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Part de production recopiée : elle ne tient pas compte du taux de\ndéfauts plus élevé de cet atelier." }, { "text": "$0{,}05$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle inversée : $0{,}05$ est la probabilité d'un défaut\nsachant l'atelier, pas l'inverse." }, { "text": "$0{,}02$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : il reste à diviser par la probabilité totale\nd'obtenir une pièce défectueuse." } ], "explanation": "Renverser un conditionnement revient à diviser la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé." }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "contraire" ], "title": "Indépendance et contraires", "partie": "independance", "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.\nQue peut-on dire de $A$ et $\\overline{B}$ ?", "options": [ { "text": "Ils sont également indépendants", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) - P(A \\cap B)$, ce qui\nse factorise en $P(A)(1 - P(B))$." }, { "text": "Ils sont incompatibles", "correct": false, "feedback": "L'incompatibilité imposerait une intersection vide, sans rapport avec\nl'indépendance." }, { "text": "Ils sont dépendants", "correct": false, "feedback": "Le calcul montre au contraire que la propriété se transmet au\ncontraire d'un événement." }, { "text": "On ne peut rien conclure", "correct": false, "feedback": "La factorisation conclut sans hypothèse supplémentaire." } ], "explanation": "L'indépendance se transmet aux événements contraires : si $A$ et $B$ sont\nindépendants, alors $A$ et $\\overline{B}$ le sont, de même que\n$\\overline{A}$ et $\\overline{B}$." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "partition", "methode" ], "title": "Choisir une partition", "partie": "arbres", "statement": "Pour appliquer la formule des probabilités totales, que doivent\nvérifier les événements retenus ?", "options": [ { "text": "S'exclure deux à deux et couvrir l'univers", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque issue doit appartenir à un cas et à un seul,\nsans quoi la somme compte deux fois ou oublie des issues." }, { "text": "Être indépendants les uns des autres", "correct": false, "feedback": "L'indépendance n'est pas requise : une partition est au contraire faite\nd'événements qui s'excluent." }, { "text": "Avoir tous exactement la même probabilité", "correct": false, "feedback": "Les probabilités peuvent être très différentes, comme deux ateliers de\ntailles inégales." }, { "text": "Être au nombre de deux, jamais davantage", "correct": false, "feedback": "Une partition peut comporter autant de cas que nécessaire, trois\nateliers par exemple." } ], "explanation": "Une partition de l'univers est une famille d'événements deux à deux\nincompatibles dont la réunion est l'univers entier. La formule des\nprobabilités totales s'appuie sur cette décomposition." }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilite-conditionnelle", "contraire" ], "title": "Contraire d'une conditionnelle", "partie": "conditionnelles", "statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut $P_A(\\overline{B})$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur du monde conditionné par $A$, les\nprobabilités se comportent normalement et totalisent $1$." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Valeur recopiée : le contraire d'un événement n'a pas la même\nprobabilité, sauf si elle vaut $0{,}5$." }, { "text": "$-0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité est toujours positive : on retranche à $1$, on ne\nchange pas le signe." }, { "text": "On ne peut pas le savoir", "correct": false, "feedback": "La relation $P_A(B) + P_A(\\overline{B}) = 1$ suffit à conclure." } ], "explanation": "Une fois la condition fixée, les probabilités conditionnelles obéissent\naux mêmes règles que les probabilités ordinaires. En revanche,\n$P_A(B)$ et $P_{\\overline{A}}(B)$ n'ont, elles, aucune raison d'être liées.", "variants": [ { "statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut $P_A(\\overline{B})$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur du monde conditionné par $A$, les\nprobabilités se comportent normalement et totalisent $1$." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Valeur recopiée : le contraire d'un événement n'a pas la même\nprobabilité, sauf si elle vaut $0{,}5$." }, { "text": "$-0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité est toujours positive : on retranche à $1$, on ne\nchange pas le signe." }, { "text": "On ne peut pas le savoir", "correct": false, "feedback": "La relation $P_A(B) + P_A(\\overline{B}) = 1$ suffit à conclure." } ], "explanation": "Une fois la condition fixée, les probabilités conditionnelles obéissent\naux mêmes règles que les probabilités ordinaires. En revanche,\n$P_A(B)$ et $P_{\\overline{A}}(B)$ n'ont, elles, aucune raison d'être liées." }, { "statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}45$. Que vaut $P_A(\\overline{B})$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}55$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur du monde conditionné par $A$, les\nprobabilités se comportent normalement et totalisent $1$." }, { "text": "$0{,}45$", "correct": false, "feedback": "Valeur recopiée : le contraire d'un événement n'a pas la même\nprobabilité, sauf si elle vaut $0{,}5$." }, { "text": "$-0{,}45$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité est toujours positive : on retranche à $1$, on ne\nchange pas le signe." }, { "text": "On ne peut pas le savoir", "correct": false, "feedback": "La relation $P_A(B) + P_A(\\overline{B}) = 1$ suffit à conclure." } ], "explanation": "Une fois la condition fixée, les probabilités conditionnelles obéissent\naux mêmes règles que les probabilités ordinaires. En revanche,\n$P_A(B)$ et $P_{\\overline{A}}(B)$ n'ont, elles, aucune raison d'être liées." }, { "statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}12$. Que vaut $P_A(\\overline{B})$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}88$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur du monde conditionné par $A$, les\nprobabilités se comportent normalement et totalisent $1$." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Valeur recopiée : le contraire d'un événement n'a pas la même\nprobabilité, sauf si elle vaut $0{,}5$." }, { "text": "$-0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité est toujours positive : on retranche à $1$, on ne\nchange pas le signe." }, { "text": "On ne peut pas le savoir", "correct": false, "feedback": "La relation $P_A(B) + P_A(\\overline{B}) = 1$ suffit à conclure." } ], "explanation": "Une fois la condition fixée, les probabilités conditionnelles obéissent\naux mêmes règles que les probabilités ordinaires. En revanche,\n$P_A(B)$ et $P_{\\overline{A}}(B)$ n'ont, elles, aucune raison d'être liées." }, { "statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}8$. Que vaut $P_A(\\overline{B})$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur du monde conditionné par $A$, les\nprobabilités se comportent normalement et totalisent $1$." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Valeur recopiée : le contraire d'un événement n'a pas la même\nprobabilité, sauf si elle vaut $0{,}5$." }, { "text": "$-0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité est toujours positive : on retranche à $1$, on ne\nchange pas le signe." }, { "text": "On ne peut pas le savoir", "correct": false, "feedback": "La relation $P_A(B) + P_A(\\overline{B}) = 1$ suffit à conclure." } ], "explanation": "Une fois la condition fixée, les probabilités conditionnelles obéissent\naux mêmes règles que les probabilités ordinaires. En revanche,\n$P_A(B)$ et $P_{\\overline{A}}(B)$ n'ont, elles, aucune raison d'être liées." } ] }, { "id": "q25", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Au moins un succès sur quatre", "partie": "independance", "statement": "Une épreuve a une probabilité de succès de $0{,}2$, répétée quatre\nfois de façon indépendante. Quelle est la probabilité d'au moins un\nsuccès ?", "options": [ { "text": "Environ $0{,}59$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe par le contraire,\n$1 - 0{,}8^4 = 1 - 0{,}4096$." }, { "text": "Exactement $0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Probabilité d'un échec recopiée : elle concerne une seule épreuve." }, { "text": "Exactement $0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Probabilité d'un succès unique : la répétition augmente nettement les\nchances d'en obtenir au moins un." }, { "text": "Environ $0{,}41$", "correct": false, "feedback": "Probabilité de l'événement contraire : $0{,}8^4$ est la probabilité de\nn'obtenir aucun succès." } ], "explanation": "L'événement « au moins un succès » a pour contraire « aucun succès », dont\nla probabilité est un simple produit. C'est presque toujours le chemin le\nplus court." }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "modele" ], "title": "Justifier l'indépendance", "partie": "independance", "statement": "Dans quel cas peut-on affirmer que deux tirages sont indépendants ?", "options": [ { "text": "Quand le tirage se fait avec remise", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la composition de l'urne est identique au second\ntirage, donc le premier ne renseigne pas sur le second." }, { "text": "Quand le tirage se fait sans remise", "correct": false, "feedback": "Sans remise, le premier tirage modifie la composition, donc les\nprobabilités du second." }, { "text": "Quand les deux objets tirés sont différents", "correct": false, "feedback": "Le résultat obtenu ne décide pas de l'indépendance, qui est une\npropriété du protocole." }, { "text": "Quand l'urne contient autant d'objets de chaque sorte", "correct": false, "feedback": "L'équiprobabilité ne garantit pas l'indépendance : sans remise, les\ntirages restent liés." } ], "explanation": "L'indépendance se justifie par le protocole de l'expérience, pas par les\nrésultats observés. Le tirage avec remise est le cas type." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau", "conditionnelle" ], "title": "Deux conditionnelles dans un même tableau", "partie": "applications", "statement": "Un tableau donne $P(A \\cap B) = 0{,}12$, $P(A) = 0{,}3$ et\n$P(B) = 0{,}4$. Que vaut $P_B(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3$, ce qui montre au\npassage que $A$ et $B$ sont indépendants." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur recopié : il sert au calcul, il n'en est pas le\nrésultat." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : il reste à diviser par $P(B)$ pour se\nrestreindre à $B$." }, { "text": "$0{,}048$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $0{,}12 \\times 0{,}4$ ne\ncorrespond à aucune probabilité de la situation." } ], "explanation": "La formule $P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)}$ divise par la probabilité\nde la condition. Ici le résultat coïncide avec $P(A)$, signe de\nl'indépendance." }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "arbre", "construction" ], "title": "Quel arbre construire", "partie": "arbres", "statement": "On connaît la répartition entre deux fournisseurs et, pour chacun, le\ntaux de pièces conformes. Quel arbre faut-il dresser ?", "options": [ { "text": "Le fournisseur au premier niveau", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier niveau porte l'information connue sans\ncondition, les niveaux suivants les conditionnelles données." }, { "text": "La conformité au premier niveau", "correct": false, "feedback": "Ce choix demanderait les probabilités de conformité globales, qui ne\nsont justement pas données." }, { "text": "Un arbre à un seul niveau", "correct": false, "feedback": "Deux informations successives sont en jeu, donc deux niveaux sont\nnécessaires." }, { "text": "Deux arbres séparés, un par fournisseur", "correct": false, "feedback": "Un seul arbre suffit, et il permet en outre de cumuler les chemins\npour obtenir la probabilité totale." } ], "explanation": "On place au premier niveau l'événement dont on connaît la probabilité\nsans condition. Les données conditionnelles se lisent alors directement\nsur les branches suivantes." }, { "id": "q29", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "piege" ], "title": "Indépendance et intuition", "partie": "independance", "statement": "Deux événements ont une intersection non vide.\nPeut-on en déduire qu'ils sont dépendants ?", "options": [ { "text": "Non, l'intersection ne décide de rien", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance compare $P(A \\cap B)$ au produit\n$P(A) \\times P(B)$, elle ne demande pas une intersection vide." }, { "text": "Oui, ils sont toujours dépendants", "correct": false, "feedback": "Deux lancers de dé donnant chacun un six ont une intersection non vide\net sont pourtant indépendants." }, { "text": "Oui, sauf si l'intersection est l'univers", "correct": false, "feedback": "Ce cas très particulier n'a rien à voir : l'indépendance se teste par\nun calcul, quel que soit le contenu de l'intersection." }, { "text": "Non, ils sont alors toujours indépendants", "correct": false, "feedback": "Conclusion inverse mais tout aussi fausse : l'intersection ne permet\naucune conclusion à elle seule." } ], "explanation": "Incompatibilité et indépendance sont deux notions distinctes. La première\nporte sur le contenu de l'intersection, la seconde sur sa probabilité\ncomparée au produit." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "controle" ], "title": "Contrôler une probabilité totale", "partie": "arbres", "statement": "Après avoir calculé $P(B)$ par la formule des probabilités totales,\nquel contrôle rapide peut-on faire ?", "options": [ { "text": "Vérifier qu'elle est comprise entre les conditionnelles", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une moyenne pondérée se situe toujours entre la plus\npetite et la plus grande des valeurs pondérées." }, { "text": "Vérifier qu'elle est égale à leur somme", "correct": false, "feedback": "Cette somme dépasse souvent $1$ : les conditionnelles ne s'additionnent\npas." }, { "text": "Vérifier qu'elle est égale à leur produit", "correct": false, "feedback": "Le produit donnerait une valeur bien trop petite, sans signification\ndans la situation." }, { "text": "Vérifier qu'elle vaut $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Aucune raison : la probabilité totale dépend entièrement des données\nde l'énoncé." } ], "explanation": "La probabilité totale est une moyenne des probabilités conditionnelles,\npondérée par les probabilités des cas. Elle est donc toujours encadrée par\nla plus petite et la plus grande d'entre elles." }, { "id": "q31", "difficulty": 2, "skills": [ "conditionnelle-calcul", "probabilite-conditionnelle" ], "title": "Retrouver la probabilité de la condition", "partie": "conditionnelles", "statement": "On donne $P(A \\cap B) = 0{,}18$ et $P_A(B) = 0{,}6$.\nQue vaut $P(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ on tire\n$P(A) = \\dfrac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}108$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le produit des deux\ndonnées redonnerait une intersection, pas $P(A)$." }, { "text": "$0{,}78$", "correct": false, "feedback": "Addition impossible : une intersection et une conditionnelle ne\ns'additionnent pas, elles se divisent l'une par l'autre." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : $0{,}6$ est la conditionnelle de l'énoncé,\nalors que l'inconnue est la probabilité de la condition." } ], "explanation": "La formule du produit $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ se lit\ndans les deux sens. Connaissant l'intersection et la\nconditionnelle, on isole $P(A)$ par une division.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A \\cap B) = 0{,}18$ et $P_A(B) = 0{,}6$.\nQue vaut $P(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ on tire\n$P(A) = \\dfrac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}108$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le produit des deux\ndonnées redonnerait une intersection, pas $P(A)$." }, { "text": "$0{,}78$", "correct": false, "feedback": "Addition impossible : une intersection et une conditionnelle ne\ns'additionnent pas, elles se divisent l'une par l'autre." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : $0{,}6$ est la conditionnelle de l'énoncé,\nalors que l'inconnue est la probabilité de la condition." } ], "explanation": "La formule du produit $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ se lit\ndans les deux sens. Connaissant l'intersection et la\nconditionnelle, on isole $P(A)$ par une division." }, { "statement": "On donne $P(A \\cap B) = 0{,}28$ et $P_A(B) = 0{,}7$.\nQue vaut $P(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ on tire\n$P(A) = \\dfrac{0{,}28}{0{,}7} = 0{,}4$." }, { "text": "$0{,}196$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le produit des deux\ndonnées redonnerait une intersection, pas $P(A)$." }, { "text": "$0{,}98$", "correct": false, "feedback": "Addition impossible : une intersection et une conditionnelle ne\ns'additionnent pas, elles se divisent l'une par l'autre." }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : $0{,}7$ est la conditionnelle de l'énoncé,\nalors que l'inconnue est la probabilité de la condition." } ], "explanation": "La formule du produit $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ se lit\ndans les deux sens. Connaissant l'intersection et la\nconditionnelle, on isole $P(A)$ par une division." }, { "statement": "On donne $P(A \\cap B) = 0{,}15$ et $P_A(B) = 0{,}25$.\nQue vaut $P(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ on tire\n$P(A) = \\dfrac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6$." }, { "text": "$0{,}0375$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le produit des deux\ndonnées redonnerait une intersection, pas $P(A)$." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Addition impossible : une intersection et une conditionnelle ne\ns'additionnent pas, elles se divisent l'une par l'autre." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : $0{,}25$ est la conditionnelle de l'énoncé,\nalors que l'inconnue est la probabilité de la condition." } ], "explanation": "La formule du produit $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ se lit\ndans les deux sens. Connaissant l'intersection et la\nconditionnelle, on isole $P(A)$ par une division." }, { "statement": "On donne $P(A \\cap B) = 0{,}2$ et $P_A(B) = 0{,}25$.\nQue vaut $P(A)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ on tire\n$P(A) = \\dfrac{0{,}2}{0{,}25} = 0{,}8$." }, { "text": "$0{,}05$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le produit des deux\ndonnées redonnerait une intersection, pas $P(A)$." }, { "text": "$0{,}45$", "correct": false, "feedback": "Addition impossible : une intersection et une conditionnelle ne\ns'additionnent pas, elles se divisent l'une par l'autre." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : $0{,}25$ est la conditionnelle de l'énoncé,\nalors que l'inconnue est la probabilité de la condition." } ], "explanation": "La formule du produit $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ se lit\ndans les deux sens. Connaissant l'intersection et la\nconditionnelle, on isole $P(A)$ par une division." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 2, "skills": [ "construction" ], "title": "Ce que porte une branche", "partie": "arbres", "statement": "Une usine répartit sa production entre deux ateliers, et l'on\nconnaît le taux de rebut de chacun. Sur l'arbre correspondant, que\nporte la branche qui relie « atelier 1 » à « pièce rebutée » ?", "options": [ { "text": "La probabilité d'un rebut sachant l'atelier 1", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une branche de deuxième niveau porte toujours\nune probabilité conditionnée par le nœud dont elle part." }, { "text": "La probabilité de l'atelier 1 sachant un rebut", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette probabilité se calcule à la\nfin, elle ne figure pas sur l'arbre." }, { "text": "La probabilité d'un rebut dans la production entière", "correct": false, "feedback": "Probabilité totale : elle s'obtient en additionnant les\nchemins, elle ne se lit pas sur une branche." }, { "text": "La probabilité qu'une pièce vienne de l'atelier 1", "correct": false, "feedback": "Premier niveau : cette probabilité figure sur la branche qui\npart de la racine, pas sur celle qui suit." } ], "explanation": "Sur un arbre pondéré, la racine distribue les probabilités connues\nsans condition, et chaque branche suivante porte une probabilité\nconditionnée par tout ce qui précède sur le chemin." }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "controle" ], "title": "Un résultat impossible", "partie": "arbres", "statement": "Un calcul de probabilité conditionnelle aboutit à\n$P_A(B) = 1{,}25$. Que faut-il en conclure ?", "options": [ { "text": "Le calcul est faux, une probabilité ne dépasse pas $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : conditionner ne change rien aux règles, et le\nplus souvent le quotient a été écrit à l'envers." }, { "text": "Le résultat convient, une conditionnelle peut dépasser $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de principe : une fois la condition fixée, les\nprobabilités restent comprises entre $0$ et $1$." }, { "text": "L'événement $B$ est certain lorsque $A$ est réalisé", "correct": false, "feedback": "La certitude correspondrait à la valeur $1$ exactement, jamais\nà une valeur supérieure." }, { "text": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants", "correct": false, "feedback": "L'indépendance donnerait $P_A(B) = P(B)$, donc une valeur\ninférieure à $1$ elle aussi." } ], "explanation": "Toute probabilité, conditionnelle ou non, appartient à\nl'intervalle $[0\\,;\\,1]$. Un résultat supérieur à $1$ signale\npresque toujours un quotient renversé, l'intersection devant\nfigurer au numérateur." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "definition" ], "title": "La formule de la conditionnelle", "partie": "conditionnelles", "statement": "Pour $P(A) \\neq 0$, comment définit-on la probabilité de $B$\nsachant $A$ ?", "options": [ { "text": "$P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on restreint l'univers à $A$, puis on mesure la\npart de $B$ dans ce nouvel univers." }, { "text": "$P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais dénominateur : c'est la condition $A$ qui devient le\nnouvel univers, donc $P(A)$ qui divise." }, { "text": "$P_A(B) = P(A \\cap B) \\times P(A)$", "correct": false, "feedback": "Produit au lieu du quotient : cette écriture est celle qui\nreconstruit une intersection, pas une conditionnelle." }, { "text": "$P_A(B) = \\dfrac{P(A) + P(B)}{P(A \\cap B)}$", "correct": false, "feedback": "Formule inventée : la somme $P(A) + P(B)$ intervient dans le\ncalcul d'une réunion, pas dans celui d'une conditionnelle." } ], "explanation": "Conditionner par $A$ revient à ne plus regarder que les issues de\n$A$. La probabilité de $B$ y est la part de $A \\cap B$ rapportée à\ncelle de $A$, ce qui donne un nombre compris entre $0$ et $1$." }, { "id": "q35", "difficulty": 3, "skills": [ "denombrement-chemins" ], "title": "Exactement deux succès sur trois", "partie": "arbres", "statement": "On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès vaut $\\dfrac{1}{3}$. Quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{9}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins portent deux succès et un échec,\nchacun de probabilité $\\dfrac{2}{27}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{27}$", "correct": false, "feedback": "Chemins non comptés : un seul chemin a été pris en compte,\nalors que l'échec peut occuper trois positions." }, { "text": "$\\dfrac{1}{27}$", "correct": false, "feedback": "Trois succès au lieu de deux : il manque le facteur d'échec de\nla troisième épreuve." }, { "text": "$\\dfrac{4}{9}$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : cette valeur est celle d'un seul succès et de\ndeux échecs." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux, tous les chemins portant deux succès\nont la même probabilité, produit de deux facteurs de succès et d'un\nfacteur d'échec. Il reste à compter ces chemins, au nombre de\ntrois, et à multiplier.", "variants": [ { "statement": "On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès vaut $\\dfrac{1}{3}$. Quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{9}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins portent deux succès et un échec,\nchacun de probabilité $\\dfrac{2}{27}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{27}$", "correct": false, "feedback": "Chemins non comptés : un seul chemin a été pris en compte,\nalors que l'échec peut occuper trois positions." }, { "text": "$\\dfrac{1}{27}$", "correct": false, "feedback": "Trois succès au lieu de deux : il manque le facteur d'échec de\nla troisième épreuve." }, { "text": "$\\dfrac{4}{9}$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : cette valeur est celle d'un seul succès et de\ndeux échecs." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux, tous les chemins portant deux succès\nont la même probabilité, produit de deux facteurs de succès et d'un\nfacteur d'échec. Il reste à compter ces chemins, au nombre de\ntrois, et à multiplier." }, { "statement": "On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès vaut $\\dfrac{1}{4}$. Quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{64}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins portent deux succès et un échec,\nchacun de probabilité $\\dfrac{3}{64}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{64}$", "correct": false, "feedback": "Chemins non comptés : un seul chemin a été pris en compte,\nalors que l'échec peut occuper trois positions." }, { "text": "$\\dfrac{1}{64}$", "correct": false, "feedback": "Trois succès au lieu de deux : il manque le facteur d'échec de\nla troisième épreuve." }, { "text": "$\\dfrac{27}{64}$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : cette valeur est celle d'un seul succès et de\ndeux échecs." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux, tous les chemins portant deux succès\nont la même probabilité, produit de deux facteurs de succès et d'un\nfacteur d'échec. Il reste à compter ces chemins, au nombre de\ntrois, et à multiplier." }, { "statement": "On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès vaut $\\dfrac{2}{5}$. Quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{36}{125}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins portent deux succès et un échec,\nchacun de probabilité $\\dfrac{12}{125}$." }, { "text": "$\\dfrac{12}{125}$", "correct": false, "feedback": "Chemins non comptés : un seul chemin a été pris en compte,\nalors que l'échec peut occuper trois positions." }, { "text": "$\\dfrac{8}{125}$", "correct": false, "feedback": "Trois succès au lieu de deux : il manque le facteur d'échec de\nla troisième épreuve." }, { "text": "$\\dfrac{54}{125}$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : cette valeur est celle d'un seul succès et de\ndeux échecs." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux, tous les chemins portant deux succès\nont la même probabilité, produit de deux facteurs de succès et d'un\nfacteur d'échec. Il reste à compter ces chemins, au nombre de\ntrois, et à multiplier." }, { "statement": "On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès vaut $\\dfrac{1}{5}$. Quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{12}{125}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins portent deux succès et un échec,\nchacun de probabilité $\\dfrac{4}{125}$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{125}$", "correct": false, "feedback": "Chemins non comptés : un seul chemin a été pris en compte,\nalors que l'échec peut occuper trois positions." }, { "text": "$\\dfrac{1}{125}$", "correct": false, "feedback": "Trois succès au lieu de deux : il manque le facteur d'échec de\nla troisième épreuve." }, { "text": "$\\dfrac{48}{125}$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : cette valeur est celle d'un seul succès et de\ndeux échecs." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux, tous les chemins portant deux succès\nont la même probabilité, produit de deux facteurs de succès et d'un\nfacteur d'échec. Il reste à compter ces chemins, au nombre de\ntrois, et à multiplier." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 3, "skills": [ "inversion", "inversion-conditionnelle" ], "title": "Remonter d'un retard à l'internat", "partie": "applications", "statement": "Dans un lycée, $20\\ \\%$ des élèves sont internes. Un jour\ndonné, $30\\ \\%$ des internes arrivent en retard, contre\n$15\\ \\%$ des externes. Un élève arrivé en retard est choisi au\nhasard : quelle est la probabilité qu'il soit interne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on divise le chemin « interne puis retard » par\nla probabilité totale d'un retard." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette valeur est la probabilité d'un\nretard sachant l'internat, soit l'inverse de la question." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Proportion d'internes recopiée : l'information « en retard »\nmodifie cette proportion, elle ne la laisse pas intacte." }, { "text": "$\\dfrac{3}{50}$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : cette valeur est la probabilité d'être\ninterne et en retard, mesurée sur tout le lycée." } ], "explanation": "On renverse le conditionnement en divisant la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé. Les\ndeux retards possibles, celui des internes et celui des externes,\ncomposent le dénominateur.", "variants": [ { "statement": "Dans un lycée, $20\\ \\%$ des élèves sont internes. Un jour\ndonné, $30\\ \\%$ des internes arrivent en retard, contre\n$15\\ \\%$ des externes. Un élève arrivé en retard est choisi au\nhasard : quelle est la probabilité qu'il soit interne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on divise le chemin « interne puis retard » par\nla probabilité totale d'un retard." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette valeur est la probabilité d'un\nretard sachant l'internat, soit l'inverse de la question." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Proportion d'internes recopiée : l'information « en retard »\nmodifie cette proportion, elle ne la laisse pas intacte." }, { "text": "$\\dfrac{3}{50}$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : cette valeur est la probabilité d'être\ninterne et en retard, mesurée sur tout le lycée." } ], "explanation": "On renverse le conditionnement en divisant la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé. Les\ndeux retards possibles, celui des internes et celui des externes,\ncomposent le dénominateur." }, { "statement": "Dans un lycée, $50\\ \\%$ des élèves sont internes. Un jour\ndonné, $30\\ \\%$ des internes arrivent en retard, contre\n$10\\ \\%$ des externes. Un élève arrivé en retard est choisi au\nhasard : quelle est la probabilité qu'il soit interne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on divise le chemin « interne puis retard » par\nla probabilité totale d'un retard." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette valeur est la probabilité d'un\nretard sachant l'internat, soit l'inverse de la question." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Proportion d'internes recopiée : l'information « en retard »\nmodifie cette proportion, elle ne la laisse pas intacte." }, { "text": "$\\dfrac{3}{20}$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : cette valeur est la probabilité d'être\ninterne et en retard, mesurée sur tout le lycée." } ], "explanation": "On renverse le conditionnement en divisant la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé. Les\ndeux retards possibles, celui des internes et celui des externes,\ncomposent le dénominateur." }, { "statement": "Dans un lycée, $40\\ \\%$ des élèves sont internes. Un jour\ndonné, $25\\ \\%$ des internes arrivent en retard, contre\n$10\\ \\%$ des externes. Un élève arrivé en retard est choisi au\nhasard : quelle est la probabilité qu'il soit interne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on divise le chemin « interne puis retard » par\nla probabilité totale d'un retard." }, { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette valeur est la probabilité d'un\nretard sachant l'internat, soit l'inverse de la question." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Proportion d'internes recopiée : l'information « en retard »\nmodifie cette proportion, elle ne la laisse pas intacte." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : cette valeur est la probabilité d'être\ninterne et en retard, mesurée sur tout le lycée." } ], "explanation": "On renverse le conditionnement en divisant la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé. Les\ndeux retards possibles, celui des internes et celui des externes,\ncomposent le dénominateur." }, { "statement": "Dans un lycée, $30\\ \\%$ des élèves sont internes. Un jour\ndonné, $20\\ \\%$ des internes arrivent en retard, contre\n$10\\ \\%$ des externes. Un élève arrivé en retard est choisi au\nhasard : quelle est la probabilité qu'il soit interne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{6}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on divise le chemin « interne puis retard » par\nla probabilité totale d'un retard." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement renversé : cette valeur est la probabilité d'un\nretard sachant l'internat, soit l'inverse de la question." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Proportion d'internes recopiée : l'information « en retard »\nmodifie cette proportion, elle ne la laisse pas intacte." }, { "text": "$\\dfrac{3}{50}$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : cette valeur est la probabilité d'être\ninterne et en retard, mesurée sur tout le lycée." } ], "explanation": "On renverse le conditionnement en divisant la probabilité du chemin\nconcerné par la probabilité totale de l'événement observé. Les\ndeux retards possibles, celui des internes et celui des externes,\ncomposent le dénominateur." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 1, "skills": [ "methode" ], "title": "Le mot « parmi » dans un énoncé", "partie": "conditionnelles", "statement": "Un énoncé indique : « parmi les élèves internes, $30\\ \\%$ arrivent\nen retard ». Que traduit cette phrase ?", "options": [ { "text": "Une probabilité conditionnelle, sachant « interne »", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le groupe nommé après « parmi » devient le\nnouvel univers, donc la condition." }, { "text": "Une probabilité d'intersection des deux événements", "correct": false, "feedback": "Intersection et conditionnelle diffèrent : la première se\nmesure sur tout le lycée, la seconde sur les seuls internes." }, { "text": "La proportion d'internes dans le lycée tout entier", "correct": false, "feedback": "Cette proportion est une autre donnée : ici le pourcentage\nporte sur les retards, pas sur l'internat." }, { "text": "La probabilité d'être en retard dans le lycée entier", "correct": false, "feedback": "Probabilité totale : elle réunit internes et externes, alors\nque la phrase ne parle que des internes." } ], "explanation": "Dans un énoncé, « parmi », « sachant que » ou « chez les » désigne\nle sous-groupe de référence, c'est-à-dire le dénominateur du\nquotient. Repérer ce groupe évite la confusion la plus fréquente du\nchapitre." }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "modele", "modelisation" ], "title": "Deux personnes dans une grande population", "partie": "independance", "statement": "On interroge successivement deux personnes tirées au hasard dans\nune population de plusieurs millions d'habitants. Peut-on traiter\nles deux réponses comme indépendantes ?", "options": [ { "text": "Oui, car retirer une personne ne change presque rien", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : retirer une personne sur des millions ne change\npas sensiblement les proportions, et le modèle avec remise\nconvient." }, { "text": "Non, car les deux personnes sont tirées sans remise", "correct": false, "feedback": "Argument trop rigide : le tirage est bien sans remise, mais son\neffet sur les proportions est ici imperceptible." }, { "text": "Oui, car deux personnes distinctes répondent toujours librement", "correct": false, "feedback": "Bonne conclusion, mauvaise raison : l'indépendance porte sur le\nprotocole de tirage, pas sur la liberté des personnes." }, { "text": "Non, car les deux personnes vivent dans le même pays", "correct": false, "feedback": "Appartenir à la même population ne crée aucun lien entre les\ndeux tirages." } ], "explanation": "L'indépendance est une hypothèse de modèle, que l'on justifie par\nl'analyse de la situation. Dans une population très grande, le\ntirage sans remise se modélise sans dommage par des tirages\nindépendants." }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales-calcul" ], "title": "Trois fournisseurs, un taux global", "partie": "arbres", "statement": "Trois fournisseurs livrent respectivement $50\\ \\%$, $30\\ \\%$ et\n$20\\ \\%$ des pièces d'un atelier, avec des taux de pièces\ndéfectueuses de $2\\ \\%$, $5\\ \\%$ et $10\\ \\%$. Quelle est la\nprobabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}045$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque taux est pondéré par la part du\nfournisseur, puis les trois chemins sont additionnés." }, { "text": "$0{,}17$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés directement : sans pondération, les\nfournisseurs comptent tous autant, ce qui est faux." }, { "text": "$0{,}025$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : le troisième fournisseur livre aussi des\npièces, son chemin doit être ajouté." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Taux le plus élevé retenu seul : la probabilité globale se\nsitue entre le plus petit et le plus grand des taux." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales vaut pour toute partition, ici\nles trois fournisseurs. On multiplie chaque part par le taux\ncorrespondant, puis on additionne les produits obtenus.", "variants": [ { "statement": "Trois fournisseurs livrent respectivement $50\\ \\%$, $30\\ \\%$ et\n$20\\ \\%$ des pièces d'un atelier, avec des taux de pièces\ndéfectueuses de $2\\ \\%$, $5\\ \\%$ et $10\\ \\%$. Quelle est la\nprobabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}045$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque taux est pondéré par la part du\nfournisseur, puis les trois chemins sont additionnés." }, { "text": "$0{,}17$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés directement : sans pondération, les\nfournisseurs comptent tous autant, ce qui est faux." }, { "text": "$0{,}025$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : le troisième fournisseur livre aussi des\npièces, son chemin doit être ajouté." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Taux le plus élevé retenu seul : la probabilité globale se\nsitue entre le plus petit et le plus grand des taux." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales vaut pour toute partition, ici\nles trois fournisseurs. On multiplie chaque part par le taux\ncorrespondant, puis on additionne les produits obtenus." }, { "statement": "Trois fournisseurs livrent respectivement $40\\ \\%$, $40\\ \\%$ et\n$20\\ \\%$ des pièces d'un atelier, avec des taux de pièces\ndéfectueuses de $1\\ \\%$, $4\\ \\%$ et $8\\ \\%$. Quelle est la\nprobabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}036$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque taux est pondéré par la part du\nfournisseur, puis les trois chemins sont additionnés." }, { "text": "$0{,}13$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés directement : sans pondération, les\nfournisseurs comptent tous autant, ce qui est faux." }, { "text": "$0{,}02$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : le troisième fournisseur livre aussi des\npièces, son chemin doit être ajouté." }, { "text": "$0{,}08$", "correct": false, "feedback": "Taux le plus élevé retenu seul : la probabilité globale se\nsitue entre le plus petit et le plus grand des taux." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales vaut pour toute partition, ici\nles trois fournisseurs. On multiplie chaque part par le taux\ncorrespondant, puis on additionne les produits obtenus." }, { "statement": "Trois fournisseurs livrent respectivement $60\\ \\%$, $25\\ \\%$ et\n$15\\ \\%$ des pièces d'un atelier, avec des taux de pièces\ndéfectueuses de $3\\ \\%$, $6\\ \\%$ et $12\\ \\%$. Quelle est la\nprobabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}051$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque taux est pondéré par la part du\nfournisseur, puis les trois chemins sont additionnés." }, { "text": "$0{,}21$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés directement : sans pondération, les\nfournisseurs comptent tous autant, ce qui est faux." }, { "text": "$0{,}033$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : le troisième fournisseur livre aussi des\npièces, son chemin doit être ajouté." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Taux le plus élevé retenu seul : la probabilité globale se\nsitue entre le plus petit et le plus grand des taux." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales vaut pour toute partition, ici\nles trois fournisseurs. On multiplie chaque part par le taux\ncorrespondant, puis on additionne les produits obtenus." }, { "statement": "Trois fournisseurs livrent respectivement $50\\ \\%$, $30\\ \\%$ et\n$20\\ \\%$ des pièces d'un atelier, avec des taux de pièces\ndéfectueuses de $2\\ \\%$, $5\\ \\%$ et $8\\ \\%$. Quelle est la\nprobabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}041$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque taux est pondéré par la part du\nfournisseur, puis les trois chemins sont additionnés." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés directement : sans pondération, les\nfournisseurs comptent tous autant, ce qui est faux." }, { "text": "$0{,}025$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : le troisième fournisseur livre aussi des\npièces, son chemin doit être ajouté." }, { "text": "$0{,}08$", "correct": false, "feedback": "Taux le plus élevé retenu seul : la probabilité globale se\nsitue entre le plus petit et le plus grand des taux." } ], "explanation": "La formule des probabilités totales vaut pour toute partition, ici\nles trois fournisseurs. On multiplie chaque part par le taux\ncorrespondant, puis on additionne les produits obtenus." } ] }, { "id": "q40", "difficulty": 1, "skills": [ "produit", "independance" ], "title": "Intersection de deux événements indépendants", "partie": "conditionnelles", "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec\n$P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}25$. Que vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance donne exactement\n$P(A \\cap B) = 0{,}4 \\times 0{,}25 = 0{,}1$." }, { "text": "$0{,}325$", "correct": false, "feedback": "Moyenne des deux données : aucune règle du chapitre ne fait\nintervenir une moyenne de probabilités." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : l'intersection est toujours plus petite que\nchacun des deux événements." }, { "text": "$0{,}65$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de la multiplication : la somme intervient\npour une réunion d'événements incompatibles." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Cette égalité sert de test quand\nles trois probabilités sont connues, et de formule de calcul quand\nl'indépendance est donnée.", "variants": [ { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec\n$P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}25$. Que vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance donne exactement\n$P(A \\cap B) = 0{,}4 \\times 0{,}25 = 0{,}1$." }, { "text": "$0{,}325$", "correct": false, "feedback": "Moyenne des deux données : aucune règle du chapitre ne fait\nintervenir une moyenne de probabilités." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : l'intersection est toujours plus petite que\nchacun des deux événements." }, { "text": "$0{,}65$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de la multiplication : la somme intervient\npour une réunion d'événements incompatibles." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Cette égalité sert de test quand\nles trois probabilités sont connues, et de formule de calcul quand\nl'indépendance est donnée." }, { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec\n$P(A) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}3$. Que vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance donne exactement\n$P(A \\cap B) = 0{,}6 \\times 0{,}3 = 0{,}18$." }, { "text": "$0{,}45$", "correct": false, "feedback": "Moyenne des deux données : aucune règle du chapitre ne fait\nintervenir une moyenne de probabilités." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : l'intersection est toujours plus petite que\nchacun des deux événements." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de la multiplication : la somme intervient\npour une réunion d'événements incompatibles." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Cette égalité sert de test quand\nles trois probabilités sont connues, et de formule de calcul quand\nl'indépendance est donnée." }, { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec\n$P(A) = 0{,}8$ et $P(B) = 0{,}15$. Que vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance donne exactement\n$P(A \\cap B) = 0{,}8 \\times 0{,}15 = 0{,}12$." }, { "text": "$0{,}475$", "correct": false, "feedback": "Moyenne des deux données : aucune règle du chapitre ne fait\nintervenir une moyenne de probabilités." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : l'intersection est toujours plus petite que\nchacun des deux événements." }, { "text": "$0{,}95$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de la multiplication : la somme intervient\npour une réunion d'événements incompatibles." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Cette égalité sert de test quand\nles trois probabilités sont connues, et de formule de calcul quand\nl'indépendance est donnée." }, { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec\n$P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}15$. Que vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}06$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance donne exactement\n$P(A \\cap B) = 0{,}4 \\times 0{,}15 = 0{,}06$." }, { "text": "$0{,}275$", "correct": false, "feedback": "Moyenne des deux données : aucune règle du chapitre ne fait\nintervenir une moyenne de probabilités." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Donnée recopiée : l'intersection est toujours plus petite que\nchacun des deux événements." }, { "text": "$0{,}55$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de la multiplication : la somme intervient\npour une réunion d'événements incompatibles." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Cette égalité sert de test quand\nles trois probabilités sont connues, et de formule de calcul quand\nl'indépendance est donnée." } ] }, { "id": "q41", "difficulty": 1, "skills": [ "regles" ], "title": "Somme des chemins d'un arbre", "partie": "conditionnelles", "statement": "Dans un arbre pondéré à deux niveaux, que vaut la somme des\nprobabilités de tous les chemins complets ?", "options": [ { "text": "Elle vaut $1$, les chemins couvrant tous les cas", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les chemins complets décrivent toutes les\nissues possibles, sans en oublier ni en compter deux fois." }, { "text": "Elle vaut la somme des pondérations du premier niveau", "correct": false, "feedback": "Cette somme vaut déjà $1$ à elle seule : les chemins complets\nla redistribuent, ils ne s'y ajoutent pas." }, { "text": "Elle vaut le nombre de chemins de l'arbre", "correct": false, "feedback": "Un compte de chemins n'est pas une probabilité, et dépasserait\n$1$ dès le deuxième niveau." }, { "text": "Elle dépend des pondérations choisies dans l'arbre", "correct": false, "feedback": "La règle est générale : quelles que soient les pondérations,\nles chemins complets totalisent $1$." } ], "explanation": "Les chemins complets d'un arbre forment une partition des issues de\nl'expérience. Leurs probabilités, obtenues en multipliant le long\nde chaque chemin, totalisent donc $1$, ce qui fournit un contrôle\nimmédiat." }, { "id": "q42", "difficulty": 2, "skills": [ "succession" ], "title": "Deux tirages avec remise", "partie": "arbres", "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle\nest la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{6}{25}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise rend les tirages indépendants, on\nmultiplie $\\dfrac{3}{5}$ par $\\dfrac{2}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Remise oubliée : sans elle le second tirage se ferait parmi\n$5$ moins une boules." }, { "text": "$\\dfrac{9}{25}$", "correct": false, "feedback": "Deux rouges : la seconde boule demandée est verte, le second\nfacteur change donc." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Second tirage oublié : cette valeur ne concerne que la première\nboule." } ], "explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, qui sont donc\nindépendants. La probabilité d'une issue en deux temps est le\nproduit des probabilités de ses deux composantes, prises dans\nl'ordre imposé par l'énoncé.", "variants": [ { "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle\nest la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{6}{25}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise rend les tirages indépendants, on\nmultiplie $\\dfrac{3}{5}$ par $\\dfrac{2}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Remise oubliée : sans elle le second tirage se ferait parmi\n$5$ moins une boules." }, { "text": "$\\dfrac{9}{25}$", "correct": false, "feedback": "Deux rouges : la seconde boule demandée est verte, le second\nfacteur change donc." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Second tirage oublié : cette valeur ne concerne que la première\nboule." } ], "explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, qui sont donc\nindépendants. La probabilité d'une issue en deux temps est le\nproduit des probabilités de ses deux composantes, prises dans\nl'ordre imposé par l'énoncé." }, { "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules vertes. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle\nest la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{12}{49}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise rend les tirages indépendants, on\nmultiplie $\\dfrac{4}{7}$ par $\\dfrac{3}{7}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{7}$", "correct": false, "feedback": "Remise oubliée : sans elle le second tirage se ferait parmi\n$7$ moins une boules." }, { "text": "$\\dfrac{16}{49}$", "correct": false, "feedback": "Deux rouges : la seconde boule demandée est verte, le second\nfacteur change donc." }, { "text": "$\\dfrac{4}{7}$", "correct": false, "feedback": "Second tirage oublié : cette valeur ne concerne que la première\nboule." } ], "explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, qui sont donc\nindépendants. La probabilité d'une issue en deux temps est le\nproduit des probabilités de ses deux composantes, prises dans\nl'ordre imposé par l'énoncé." }, { "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $5$ boules vertes. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle\nest la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{10}{49}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise rend les tirages indépendants, on\nmultiplie $\\dfrac{2}{7}$ par $\\dfrac{5}{7}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{21}$", "correct": false, "feedback": "Remise oubliée : sans elle le second tirage se ferait parmi\n$7$ moins une boules." }, { "text": "$\\dfrac{4}{49}$", "correct": false, "feedback": "Deux rouges : la seconde boule demandée est verte, le second\nfacteur change donc." }, { "text": "$\\dfrac{2}{7}$", "correct": false, "feedback": "Second tirage oublié : cette valeur ne concerne que la première\nboule." } ], "explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, qui sont donc\nindépendants. La probabilité d'une issue en deux temps est le\nproduit des probabilités de ses deux composantes, prises dans\nl'ordre imposé par l'énoncé." }, { "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules vertes. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle\nest la probabilité d'obtenir une rouge puis une verte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{15}{64}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise rend les tirages indépendants, on\nmultiplie $\\dfrac{3}{8}$ par $\\dfrac{5}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{15}{56}$", "correct": false, "feedback": "Remise oubliée : sans elle le second tirage se ferait parmi\n$8$ moins une boules." }, { "text": "$\\dfrac{9}{64}$", "correct": false, "feedback": "Deux rouges : la seconde boule demandée est verte, le second\nfacteur change donc." }, { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": false, "feedback": "Second tirage oublié : cette valeur ne concerne que la première\nboule." } ], "explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, qui sont donc\nindépendants. La probabilité d'une issue en deux temps est le\nproduit des probabilités de ses deux composantes, prises dans\nl'ordre imposé par l'énoncé." } ] }, { "id": "q43", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau", "tableau-effectifs" ], "title": "Conditionner par l'autre caractère", "partie": "applications", "statement": "Un groupe compte $200$ personnes, dont $100$ femmes.\n$80$ personnes pratiquent un sport, dont $30$ femmes. On\nchoisit au hasard une personne qui pratique un sport. Quelle est la\nprobabilité que ce soit une femme ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition « pratique un sport » réduit\nl'univers aux $80$ sportifs, dont $30$ femmes." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Condition renversée : ce quotient donne la part de sportives\nparmi les femmes, ce que l'énoncé ne demande pas." }, { "text": "$\\dfrac{3}{20}$", "correct": false, "feedback": "Univers non réduit : ce quotient mesure les sportives dans le\ngroupe entier, sans tenir compte de la condition." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Caractère perdu de vue : ce quotient donne la part de sportifs,\nfemmes et hommes confondus." } ], "explanation": "Une conditionnelle lue dans un tableau d'effectifs est le quotient\nde l'effectif croisé par l'effectif de la condition. Changer de\ncondition change le dénominateur, donc le résultat.", "variants": [ { "statement": "Un groupe compte $200$ personnes, dont $100$ femmes.\n$80$ personnes pratiquent un sport, dont $30$ femmes. On\nchoisit au hasard une personne qui pratique un sport. Quelle est la\nprobabilité que ce soit une femme ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition « pratique un sport » réduit\nl'univers aux $80$ sportifs, dont $30$ femmes." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Condition renversée : ce quotient donne la part de sportives\nparmi les femmes, ce que l'énoncé ne demande pas." }, { "text": "$\\dfrac{3}{20}$", "correct": false, "feedback": "Univers non réduit : ce quotient mesure les sportives dans le\ngroupe entier, sans tenir compte de la condition." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Caractère perdu de vue : ce quotient donne la part de sportifs,\nfemmes et hommes confondus." } ], "explanation": "Une conditionnelle lue dans un tableau d'effectifs est le quotient\nde l'effectif croisé par l'effectif de la condition. Changer de\ncondition change le dénominateur, donc le résultat." }, { "statement": "Un groupe compte $150$ personnes, dont $90$ femmes.\n$50$ personnes pratiquent un sport, dont $20$ femmes. On\nchoisit au hasard une personne qui pratique un sport. Quelle est la\nprobabilité que ce soit une femme ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition « pratique un sport » réduit\nl'univers aux $50$ sportifs, dont $20$ femmes." }, { "text": "$\\dfrac{2}{9}$", "correct": false, "feedback": "Condition renversée : ce quotient donne la part de sportives\nparmi les femmes, ce que l'énoncé ne demande pas." }, { "text": "$\\dfrac{2}{15}$", "correct": false, "feedback": "Univers non réduit : ce quotient mesure les sportives dans le\ngroupe entier, sans tenir compte de la condition." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Caractère perdu de vue : ce quotient donne la part de sportifs,\nfemmes et hommes confondus." } ], "explanation": "Une conditionnelle lue dans un tableau d'effectifs est le quotient\nde l'effectif croisé par l'effectif de la condition. Changer de\ncondition change le dénominateur, donc le résultat." }, { "statement": "Un groupe compte $250$ personnes, dont $120$ femmes.\n$100$ personnes pratiquent un sport, dont $45$ femmes. On\nchoisit au hasard une personne qui pratique un sport. Quelle est la\nprobabilité que ce soit une femme ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{20}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition « pratique un sport » réduit\nl'univers aux $100$ sportifs, dont $45$ femmes." }, { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": false, "feedback": "Condition renversée : ce quotient donne la part de sportives\nparmi les femmes, ce que l'énoncé ne demande pas." }, { "text": "$\\dfrac{9}{50}$", "correct": false, "feedback": "Univers non réduit : ce quotient mesure les sportives dans le\ngroupe entier, sans tenir compte de la condition." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Caractère perdu de vue : ce quotient donne la part de sportifs,\nfemmes et hommes confondus." } ], "explanation": "Une conditionnelle lue dans un tableau d'effectifs est le quotient\nde l'effectif croisé par l'effectif de la condition. Changer de\ncondition change le dénominateur, donc le résultat." }, { "statement": "Un groupe compte $200$ personnes, dont $100$ femmes.\n$80$ personnes pratiquent un sport, dont $20$ femmes. On\nchoisit au hasard une personne qui pratique un sport. Quelle est la\nprobabilité que ce soit une femme ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition « pratique un sport » réduit\nl'univers aux $80$ sportifs, dont $20$ femmes." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Condition renversée : ce quotient donne la part de sportives\nparmi les femmes, ce que l'énoncé ne demande pas." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "Univers non réduit : ce quotient mesure les sportives dans le\ngroupe entier, sans tenir compte de la condition." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Caractère perdu de vue : ce quotient donne la part de sportifs,\nfemmes et hommes confondus." } ], "explanation": "Une conditionnelle lue dans un tableau d'effectifs est le quotient\nde l'effectif croisé par l'effectif de la condition. Changer de\ncondition change le dénominateur, donc le résultat." } ] }, { "id": "q44", "difficulty": 3, "skills": [ "test-medical" ], "title": "Proportion de tests positifs", "partie": "applications", "statement": "Un dépistage est proposé à toute une population où la proportion de\nmalades vaut $2\\ \\%$. Le test se révèle positif chez\n$95\\ \\%$ des malades et chez $4\\ \\%$ des personnes saines.\nQuelle proportion de tests positifs observe-t-on ?", "options": [ { "text": "$0{,}0582$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux groupes fournissent des positifs, on\nadditionne $0{,}019$ et $0{,}0392$." }, { "text": "$0{,}019$", "correct": false, "feedback": "Malades seuls : les personnes saines produisent elles aussi des\ntests positifs, en plus grand nombre ici." }, { "text": "$0{,}0392$", "correct": false, "feedback": "Personnes saines seules : les tests positifs des malades\nmanquent à l'appel." }, { "text": "$0{,}99$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés sans pondération : chacun doit d'abord être\nmultiplié par la part du groupe concerné." } ], "explanation": "Les malades et les personnes saines forment une partition de la\npopulation. La proportion de tests positifs est donc la somme des\ndeux chemins qui y mènent, chacun pondéré par la taille de son\ngroupe.", "variants": [ { "statement": "Un dépistage est proposé à toute une population où la proportion de\nmalades vaut $2\\ \\%$. Le test se révèle positif chez\n$95\\ \\%$ des malades et chez $4\\ \\%$ des personnes saines.\nQuelle proportion de tests positifs observe-t-on ?", "options": [ { "text": "$0{,}0582$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux groupes fournissent des positifs, on\nadditionne $0{,}019$ et $0{,}0392$." }, { "text": "$0{,}019$", "correct": false, "feedback": "Malades seuls : les personnes saines produisent elles aussi des\ntests positifs, en plus grand nombre ici." }, { "text": "$0{,}0392$", "correct": false, "feedback": "Personnes saines seules : les tests positifs des malades\nmanquent à l'appel." }, { "text": "$0{,}99$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés sans pondération : chacun doit d'abord être\nmultiplié par la part du groupe concerné." } ], "explanation": "Les malades et les personnes saines forment une partition de la\npopulation. La proportion de tests positifs est donc la somme des\ndeux chemins qui y mènent, chacun pondéré par la taille de son\ngroupe." }, { "statement": "Un dépistage est proposé à toute une population où la proportion de\nmalades vaut $5\\ \\%$. Le test se révèle positif chez\n$90\\ \\%$ des malades et chez $6\\ \\%$ des personnes saines.\nQuelle proportion de tests positifs observe-t-on ?", "options": [ { "text": "$0{,}102$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux groupes fournissent des positifs, on\nadditionne $0{,}045$ et $0{,}057$." }, { "text": "$0{,}045$", "correct": false, "feedback": "Malades seuls : les personnes saines produisent elles aussi des\ntests positifs, en plus grand nombre ici." }, { "text": "$0{,}057$", "correct": false, "feedback": "Personnes saines seules : les tests positifs des malades\nmanquent à l'appel." }, { "text": "$0{,}96$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés sans pondération : chacun doit d'abord être\nmultiplié par la part du groupe concerné." } ], "explanation": "Les malades et les personnes saines forment une partition de la\npopulation. La proportion de tests positifs est donc la somme des\ndeux chemins qui y mènent, chacun pondéré par la taille de son\ngroupe." }, { "statement": "Un dépistage est proposé à toute une population où la proportion de\nmalades vaut $1\\ \\%$. Le test se révèle positif chez\n$98\\ \\%$ des malades et chez $3\\ \\%$ des personnes saines.\nQuelle proportion de tests positifs observe-t-on ?", "options": [ { "text": "$0{,}0395$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux groupes fournissent des positifs, on\nadditionne $0{,}0098$ et $0{,}0297$." }, { "text": "$0{,}0098$", "correct": false, "feedback": "Malades seuls : les personnes saines produisent elles aussi des\ntests positifs, en plus grand nombre ici." }, { "text": "$0{,}0297$", "correct": false, "feedback": "Personnes saines seules : les tests positifs des malades\nmanquent à l'appel." }, { "text": "$1{,}01$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés sans pondération : chacun doit d'abord être\nmultiplié par la part du groupe concerné." } ], "explanation": "Les malades et les personnes saines forment une partition de la\npopulation. La proportion de tests positifs est donc la somme des\ndeux chemins qui y mènent, chacun pondéré par la taille de son\ngroupe." }, { "statement": "Un dépistage est proposé à toute une population où la proportion de\nmalades vaut $2\\ \\%$. Le test se révèle positif chez\n$95\\ \\%$ des malades et chez $6\\ \\%$ des personnes saines.\nQuelle proportion de tests positifs observe-t-on ?", "options": [ { "text": "$0{,}0778$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux groupes fournissent des positifs, on\nadditionne $0{,}019$ et $0{,}0588$." }, { "text": "$0{,}019$", "correct": false, "feedback": "Malades seuls : les personnes saines produisent elles aussi des\ntests positifs, en plus grand nombre ici." }, { "text": "$0{,}0588$", "correct": false, "feedback": "Personnes saines seules : les tests positifs des malades\nmanquent à l'appel." }, { "text": "$1{,}01$", "correct": false, "feedback": "Taux additionnés sans pondération : chacun doit d'abord être\nmultiplié par la part du groupe concerné." } ], "explanation": "Les malades et les personnes saines forment une partition de la\npopulation. La proportion de tests positifs est donc la somme des\ndeux chemins qui y mènent, chacun pondéré par la taille de son\ngroupe." } ] }, { "id": "q45", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "piege" ], "title": "Cinq piles de suite", "partie": "independance", "statement": "Une pièce équilibrée est tombée cinq fois de suite sur pile. Quelle\nest la probabilité d'obtenir face au lancer suivant ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{2}$, les lancers étant indépendants", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la pièce ne garde aucune mémoire des lancers\nprécédents, ses chances restent inchangées." }, { "text": "Plus de $\\dfrac{1}{2}$, car face est en retard", "correct": false, "feedback": "Illusion de compensation : rien ne force la pièce à rattraper\nun écart, chaque lancer repart à égalité." }, { "text": "Moins de $\\dfrac{1}{2}$, car la série de piles continue", "correct": false, "feedback": "Illusion de série : les piles obtenus ne rendent pas le suivant\nplus probable, les lancers sont indépendants." }, { "text": "Impossible à conclure sans connaître la pièce", "correct": false, "feedback": "L'énoncé précise que la pièce est équilibrée, ce qui fixe la\nprobabilité à chaque lancer." } ], "explanation": "Des lancers successifs d'une même pièce sont indépendants : le\npassé n'informe pas sur le prochain résultat. Une longue série\nsurprend l'intuition, mais ne modifie aucune probabilité." } ] }