{
  "chapter": {
    "id": "produit-scalaire",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Géométrie",
    "title": "Calcul vectoriel et produit scalaire",
    "description": "Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le\ncosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de\nl'orthogonalité, bilinéarité, développement de\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$, formule d'Al-Kashi, ensemble des\npoints $M$ tels que $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = 0$.",
    "parties": [
      {
        "id": "definitions",
        "title": "Définitions et calculs"
      },
      {
        "id": "proprietes",
        "title": "Propriétés et développements"
      },
      {
        "id": "angles",
        "title": "Angles, al-Kashi et projections"
      },
      {
        "id": "lieux",
        "title": "Orthogonalité et ensembles de points"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coordonnees",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire en coordonnées",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n2 \\times 1 + 3 \\times (-2) = 2 - 6 = -4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $3 \\times (-2) = -6$, pas $+6$. Total :\n$2 - 6 = -4$."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,-6)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat est bien $4$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $2 - 6 = -4$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-4 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n2 \\times 1 + 3 \\times (-2) = 2 - 6 = -4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $3 \\times (-2) = -6$, pas $+6$. Total :\n$2 - 6 = -4$."
            },
            {
              "text": "$(2\\,;\\,-6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le résultat est bien $4$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $2 - 6 = -4$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
            }
          ],
          "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-4 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(1\\,;\\,4)$ et $\\vec{v}(3\\,;\\,-2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n1 \\times 3 + 4 \\times (-2) = 3 - 8 = -5$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $4 \\times (-2) = -8$, pas $+8$. Total :\n$3 - 8 = -5$."
            },
            {
              "text": "$(3\\,;\\,-8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le résultat est bien $5$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $3 - 8 = -5$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
            }
          ],
          "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-5 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(4\\,;\\,2)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-3)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n4 \\times 1 + 2 \\times (-3) = 4 - 6 = -2$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $2 \\times (-3) = -6$, pas $+6$. Total :\n$4 - 6 = -2$."
            },
            {
              "text": "$(4\\,;\\,-6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le résultat est bien $2$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $4 - 6 = -2$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
            }
          ],
          "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-2 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(3\\,;\\,5)$ et $\\vec{v}(2\\,;\\,-4)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n3 \\times 2 + 5 \\times (-4) = 6 - 20 = -14$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $5 \\times (-4) = -20$, pas $+20$. Total :\n$6 - 20 = -14$."
            },
            {
              "text": "$(6\\,;\\,-20)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le résultat est bien $14$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $6 - 20 = -14$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
            }
          ],
          "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-14 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Caractériser l'orthogonalité",
      "partie": "lieux",
      "statement": "À quelle condition deux vecteurs non nuls $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est **la**\ncaractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité\npremière."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur $1$ n'a rien de spécial. L'angle droit\ncorrespond à $\\cos\\frac{\\pi}{2} = 0$, donc à un produit\nscalaire **nul**."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} = -\\vec{v}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des vecteurs opposés sont **colinéaires**\n(angle plat), le contraire de perpendiculaires."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.\nL'orthogonalité se teste par $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v}\n= 0$ (via $\\cos\\frac{\\pi}{2} = 0$). En coordonnées :\n$xx' + yy' = 0$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formule-cosinus",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule avec le cosinus",
      "partie": "angles",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que $\\|\\vec{u}\\| = 3$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 4$ et l'angle entre eux vaut\n$\\dfrac{\\pi}{3}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta = 3 \\times 4 \\times\n\\dfrac{1}{2} = 6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du cosinus : $12 = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|$\ncorrespondrait à des vecteurs colinéaires de même sens\n($\\cos 0 = 1$). Ici $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$6\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as utilisé $\\sin\\dfrac{\\pi}{3} =\n\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$. Le produit scalaire fait intervenir\nle **cosinus**."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle\n**droit** ; or $\\dfrac{\\pi}{3} \\neq \\dfrac{\\pi}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\n\\cos(\\vec{u}\\,,\\,\\vec{v})$. Avec $\\cos\\frac{\\pi}{3} =\n\\frac{1}{2}$ : $6$. Choisir la formule adaptée aux données\n(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité\nclé."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe",
        "angle"
      ],
      "title": "Signe du produit scalaire",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que peut-on dire du signe de $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ selon\nl'angle $\\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Positif si $\\theta$ est aigu, nul si $\\theta$ est droit,\nnégatif si $\\theta$ est obtus",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de\n$\\cos\\theta$ : positif avant $\\frac{\\pi}{2}$, nul à\n$\\frac{\\pi}{2}$, négatif au-delà."
        },
        {
          "text": "Toujours positif, comme toute « multiplication » de\nlongueurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $\\cos\\theta$ peut être négatif :\ndeux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit\nscalaire négatif."
        },
        {
          "text": "Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte\nl'**angle entre** les vecteurs (aigu ou obtus)."
        },
        {
          "text": "Le signe dépend uniquement des normes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe\nvient exclusivement du cosinus de l'angle."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture géométrique du signe : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ du\nsigne de $\\cos\\theta$. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :\nnégatif. La projection orthogonale raconte la même chose\n(projeté du même côté ou non)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Utiliser la bilinéarité",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$, que vaut\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v}) = 2 \\times 3 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 6 \\times 3 = 18$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = 2 \\times 3$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$2 \\times 3 \\times 3 = 18$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($3 \\times 3$). Chaque coefficient sort : $2 \\times 3\n\\times 3$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients $2$ et $3$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
        }
      ],
      "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$6 \\times 3 = 18$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$, que vaut\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v}) = 2 \\times 3 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 6 \\times 3 = 18$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 = 2 \\times 3$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$2 \\times 3 \\times 3 = 18$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($3 \\times 3$). Chaque coefficient sort : $2 \\times 3\n\\times 3$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients $2$ et $3$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
            }
          ],
          "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$6 \\times 3 = 18$."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2$, que vaut\n$(4\\vec{u}) \\cdot (5\\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(4\\vec{u}) \\cdot (5\\vec{v}) = 4 \\times 5 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 20 \\times 2 = 40$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20 = 4 \\times 5$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$4 \\times 5 \\times 2 = 40$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($5 \\times 2$). Chaque coefficient sort : $4 \\times 5\n\\times 2$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients $4$ et $5$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
            }
          ],
          "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$20 \\times 2 = 40$."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 5$, que vaut\n$(3\\vec{u}) \\cdot (2\\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(3\\vec{u}) \\cdot (2\\vec{v}) = 3 \\times 2 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 6 \\times 5 = 30$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 = 3 \\times 2$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$3 \\times 2 \\times 5 = 30$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($2 \\times 5$). Chaque coefficient sort : $3 \\times 2\n\\times 5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients $3$ et $2$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
            }
          ],
          "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$6 \\times 5 = 30$."
        },
        {
          "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 4$, que vaut\n$(3\\vec{u}) \\cdot (5\\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(3\\vec{u}) \\cdot (5\\vec{v}) = 3 \\times 5 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 15 \\times 4 = 60$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$3 \\times 5 \\times 4 = 60$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($5 \\times 4$). Chaque coefficient sort : $3 \\times 5\n\\times 4$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients $3$ et $5$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
            }
          ],
          "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$15 \\times 4 = 60$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Développer $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soient $\\|\\vec{u}\\| = 2$, $\\|\\vec{v}\\| = 3$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2 = 4 + 2 + 9 = 15$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du double produit : $4 + 9 = 13$ ne vaudrait que\npour des vecteurs **orthogonaux** (Pythagore). Ici\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = 2$ s'ajoute."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = (2+3)^2$ additionne les normes avant le\ncarré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de\nmême sens. La formule exacte passe par le produit\nscalaire."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le double produit vaut $2 \\times 1 = 2$, pas\n$1$ : total $4 + 2 + 9 = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "Identité fondamentale : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 =\n\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$.\nLue à l'envers, elle **définit** le produit scalaire à partir\ndes normes (polarisation)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "al-kashi",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule d'Al-Kashi",
      "partie": "angles",
      "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{\\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$BC = \\sqrt{13}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 -\n2 \\times AB \\times AC \\times \\cos\\widehat{A} = 9 + 16 -\n24 \\times \\dfrac{1}{2} = 13$."
        },
        {
          "text": "$BC = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = 9 + 16$ est le calcul de **Pythagore**,\nvalable seulement pour un angle droit en $A$. Ici\n$\\widehat{A} = \\frac{\\pi}{3}$ : le terme correctif\n$-2bc\\cos A$ retranche $12$."
        },
        {
          "text": "$BC = \\sqrt{37}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $9 + 16 + 12 = 37$ ajoute le terme au\nlieu de le retrancher. La formule porte un **moins** :\n$b^2 + c^2 - 2bc\\cos A$."
        },
        {
          "text": "$BC = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $13$ est $BC^2$. La longueur vaut\n$\\sqrt{13} \\approx 3{,}6$."
        }
      ],
      "explanation": "Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit\nscalaire) : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$ : le\n« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici\n$BC = \\sqrt{13}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lieu",
        "cercle"
      ],
      "title": "L'ensemble des points $M$ tels que $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est\nl'ensemble des points $M$ vérifiant\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le cercle de diamètre $[AB]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie\nque le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (ou que $M$ est\nen $A$ ou $B$) : c'est le cercle de diamètre $[AB]$\n(démonstration au programme)."
        },
        {
          "text": "La médiatrice de $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points\n**équidistants** de $A$ et $B$ ($MA = MB$), une autre\ncondition."
        },
        {
          "text": "La droite $(AB)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur la droite $(AB)$ (hors segment), les\nvecteurs $\\overrightarrow{MA}$ et $\\overrightarrow{MB}$\nsont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en $A$\net $B$)."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $A$ passant par $B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce cercle correspond à la condition $MA = AB$.\nNotre condition parle d'un **angle droit en $M$** :\ncercle de diamètre $[AB]$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0\n\\Leftrightarrow$ $M$ voit $[AB]$ sous un angle droit\n$\\Leftrightarrow$ $M$ appartient au cercle de diamètre\n$[AB]$. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire par les normes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soient $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 4$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\dfrac{1}{2}\\left(\n\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2\n\\right) = \\dfrac{25 - 9 - 16}{2} = 0$ : les vecteurs sont\northogonaux. Le triangle $3$-$4$-$5$ est rectangle !"
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 = 3 \\times 4$ supposerait un angle nul.\nLa formule de polarisation donne $\\frac{25 - 25}{2} = 0$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25$ est $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, une étape du\ncalcul, pas le produit scalaire."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carrés oubliés : $\\frac{5 - 3 - 4}{2} = -1$ applique la\npolarisation aux normes elles-mêmes ; elle porte sur\nleurs carrés : $\\frac{25 - 9 - 16}{2} = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Polarisation : $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\frac{1}{2}\\left(\n\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2\\right)$.\nLe triplet $3$-$4$-$5$ redonne Pythagore : produit scalaire\nnul, vecteurs orthogonaux."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver un angle",
      "partie": "angles",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = -6$, $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut l'angle $\\theta$ entre les deux\nvecteurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{-6}{12} =\n-\\dfrac{1}{2}$, donc $\\theta = \\dfrac{2\\pi}{3}$\n($120°$)."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\cos\\theta = -\\dfrac{1}{2}$, négatif :\nl'angle est **obtus**. $\\frac{\\pi}{3}$ correspond à\n$+\\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire\n**nul** ; ici il vaut $-6$."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut\ndiviser par le produit des normes : $\\frac{-6}{12} =\n-\\frac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\,\n\\|\\vec{v}\\|}$ : ici $-\\frac{1}{2}$, donc $\\theta =\n\\frac{2\\pi}{3}$. Le produit scalaire mesure les angles sans\nrapporteur."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "parametre"
      ],
      "title": "Déterminer un paramètre",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$k = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 6$. Vérification :\n$(3\\,;\\,6) \\cdot (2\\,;\\,-1) = 6 - 6 = 0$."
        },
        {
          "text": "$k = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $3 \\times 2 + k \\times\n(-1) = 6 - k = 0$, donc $k = +6$."
        },
        {
          "text": "$k = \\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{2}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 3 \\times (-1) - k \\times 2 = 0$\ndonne $k = -\\frac{3}{2}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
        },
        {
          "text": "$k = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $6 - k = 0 \\Rightarrow k = 6$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 6$. Vérification :\n$(3\\,;\\,6) \\cdot (2\\,;\\,-1) = 6 - 6 = 0$."
            },
            {
              "text": "$k = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $3 \\times 2 + k \\times\n(-1) = 6 - k = 0$, donc $k = +6$."
            },
            {
              "text": "$k = \\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{2}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 3 \\times (-1) - k \\times 2 = 0$\ndonne $k = -\\frac{3}{2}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
            },
            {
              "text": "$k = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $6 - k = 0 \\Rightarrow k = 6$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)"
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(4\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(3\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 12 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 12$. Vérification :\n$(4\\,;\\,12) \\cdot (3\\,;\\,-1) = 12 - 12 = 0$."
            },
            {
              "text": "$k = -12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $4 \\times 3 + k \\times\n(-1) = 12 - k = 0$, donc $k = +12$."
            },
            {
              "text": "$k = \\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{3}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 4 \\times (-1) - k \\times 3 = 0$\ndonne $k = -\\frac{4}{3}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
            },
            {
              "text": "$k = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 12 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $12 - k = 0 \\Rightarrow k = 12$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)"
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(5\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 10 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 10$. Vérification :\n$(5\\,;\\,10) \\cdot (2\\,;\\,-1) = 10 - 10 = 0$."
            },
            {
              "text": "$k = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $5 \\times 2 + k \\times\n(-1) = 10 - k = 0$, donc $k = +10$."
            },
            {
              "text": "$k = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{2}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 5 \\times (-1) - k \\times 2 = 0$\ndonne $k = -\\frac{5}{2}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
            },
            {
              "text": "$k = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 10 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $10 - k = 0 \\Rightarrow k = 10$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)"
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(2\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(7\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$k = 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 14 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 14$. Vérification :\n$(2\\,;\\,14) \\cdot (7\\,;\\,-1) = 14 - 14 = 0$."
            },
            {
              "text": "$k = -14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $2 \\times 7 + k \\times\n(-1) = 14 - k = 0$, donc $k = +14$."
            },
            {
              "text": "$k = \\dfrac{2}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{7}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 2 \\times (-1) - k \\times 7 = 0$\ndonne $k = -\\frac{2}{7}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
            },
            {
              "text": "$k = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 14 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $14 - k = 0 \\Rightarrow k = 14$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)"
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "transformation",
        "milieu"
      ],
      "title": "Transformer $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de\nl'expression $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$\nest correcte (pour tout point $M$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\n\\dfrac{AB^2}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en insérant $I$ par Chasles,\n$(\\overrightarrow{MI} + \\overrightarrow{IA}) \\cdot\n(\\overrightarrow{MI} + \\overrightarrow{IB})$ se développe\nen $MI^2 - IA^2$, et $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 +\n\\dfrac{AB^2}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{IB}$ sont **opposés** : leur produit\nscalaire vaut $-IA^2$, d'où le moins."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MA^2 +\nMB^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une\nautre identité (théorème de la médiane). Le produit\nscalaire se transforme en $MI^2 - IA^2$."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\nAB^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de facteur : c'est $IA^2 = \\left(\\dfrac{AB}{2}\n\\right)^2 = \\dfrac{AB^2}{4}$ qui se retranche, pas\n$AB^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Transformation au programme :\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\n\\frac{AB^2}{4}$ ($I$ milieu). On y lit le cercle de diamètre\n$[AB]$ : produit nul $\\Leftrightarrow MI = \\frac{AB}{2}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul-coordonnees"
      ],
      "title": "Un produit scalaire en coordonnées",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Soient $\\vec{u}(3\\ ;\\ -1)$ et $\\vec{v}(2\\ ;\\ 4)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $xx' + yy' = 3 \\times 2 + (-1) \\times 4\n= 6 - 4 = 2$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $(-1) \\times 4 = -4$, à **soustraire** : $6 - 4\n= 2$."
        },
        {
          "text": "$(6\\ ;\\ -4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un\n**nombre**, pas un vecteur : on additionne les produits\nde coordonnées."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Croisement : $3 \\times 4 + (-1) \\times 2 = 10$… non\nplus : la formule apparie $x$ avec $x'$ et $y$ avec\n$y'$, sans croiser."
        }
      ],
      "explanation": "En repère orthonormé : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ :\nproduits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat\nest un réel (positif, négatif ou nul)."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "norme"
      ],
      "title": "Norme d'un vecteur",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que vaut la norme du vecteur $\\vec{u}(3\\ ;\\ 4)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5$ : le\ntriangle $3$-$4$-$5$ (Pythagore)."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne les coordonnées : la\nnorme additionne leurs **carrés** puis prend la racine."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $25 = \\|\\vec{u}\\|^2$ est le carré\nscalaire : la longueur vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 4 = 12$ multiplie les coordonnées :\nrien à voir avec la longueur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2}$ : Pythagore en habits\nvectoriels. Lien avec le produit scalaire : $\\|\\vec{u}\\|^2 =\n\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "colineaires-meme-sens"
      ],
      "title": "Produit scalaire de vecteurs colinéaires",
      "partie": "definitions",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et $\\|\\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n10$."
        },
        {
          "text": "$-10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens : $-10$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 5 = 7$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et $\\|\\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n10$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens : $-10$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 + 5 = 7$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire."
        },
        {
          "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 3$ et $\\|\\vec{v}\\| = 4$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n12$."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens : $-12$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire."
        },
        {
          "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 3$ et $\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n18$."
            },
            {
              "text": "$-18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens : $-18$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 + 6 = 9$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire."
        },
        {
          "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 4$ et $\\|\\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n20$."
            },
            {
              "text": "$-20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens : $-20$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4 + 5 = 9$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "al-kashi-calcul"
      ],
      "title": "Al-Kashi en action",
      "partie": "angles",
      "statement": "Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut\n$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a = \\sqrt{19}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 -\n2bc\\cos 60° = 9 + 25 - 2 \\times 3 \\times 5 \\times\n\\dfrac{1}{2} = 34 - 15 = 19$."
        },
        {
          "text": "$a = \\sqrt{34}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pythagore appliqué à tort : $34 = 9 + 25$ vaudrait pour\nun angle **droit** ; à $60°$, le terme correctif\n$-2bc\\cos 60° = -15$ s'impose."
        },
        {
          "text": "$a = \\sqrt{49} = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du correctif : $34 + 15 = 49$ correspondrait à\n$\\cos = -\\frac{1}{2}$ ($120°$) : à $60°$, on\n**retranche**."
        },
        {
          "text": "$a = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cosinus oublié : $9 + 25 - 2 \\times 3 \\times 5 = 4$ donne\n$a = 2$ ; le terme correctif vaut $2bc\\cos 60° = 15$, pas\n$30$, d'où $a = \\sqrt{19} \\approx 4{,}36$ (bien compris\nentre $c - b = 2$ et $c + b = 8$)."
        }
      ],
      "explanation": "Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$ :\nPythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;\nobtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore\nredevient exact."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle-entre-vecteurs"
      ],
      "title": "Retrouver l'angle par le cosinus",
      "partie": "angles",
      "statement": "Soient $\\vec{u}(1\\ ;\\ 2)$ et $\\vec{v}(3\\ ;\\ 1)$. Que vaut\nl'angle entre $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$45°$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3 + 2 = 5$,\nnormes $\\sqrt{5}$ et $\\sqrt{10}$ : $\\cos\\theta =\n\\frac{5}{\\sqrt{50}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ : $45°$."
        },
        {
          "text": "$60°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 60° = \\frac{1}{2} = 0{,}5$, or le\ncalcul donne $\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}71$ :\nc'est $45°$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire vaut $5 \\neq 0$ : les\nvecteurs ne sont pas orthogonaux."
        },
        {
          "text": "$135°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux : $135°$ correspondrait à $\\cos\\theta =\n-\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, donc à un produit scalaire négatif ;\nor $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1 \\times 3 + 2 \\times 1 = 5 >\n0$ (ne pas le confondre avec $1 \\times 1 - 2 \\times 3 =\n-5$, qui n'est pas le produit scalaire) : l'angle est aigu."
        }
      ],
      "explanation": "Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis\n$\\cos\\theta = \\frac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|}$, et reconnaissance de la valeur\nremarquable ($\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\to 45°$)."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "projection"
      ],
      "title": "Produit scalaire par projection",
      "partie": "angles",
      "statement": "$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,\net $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$AB \\times AH$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la projection remplace\n$\\overrightarrow{AC}$ par son ombre\n$\\overrightarrow{AH}$ sur la droite $(AB)$ : produit des\nlongueurs, positif car $H$ est du côté de $B$."
        },
        {
          "text": "$AB \\times AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Projection oubliée : $AB \\times AC$ vaudrait pour des\nvecteurs alignés : en général, seule la composante\nprojetée $AH$ compte."
        },
        {
          "text": "$AB \\times HC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais segment : $HC$ est la partie **perpendiculaire**,\ncelle qui ne contribue en rien au produit scalaire."
        },
        {
          "text": "$0$, car $H$ est un projeté orthogonal",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : l'orthogonalité est entre $(CH)$ et $(AB)$ :\nle produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC}$, lui, capte la partie alignée $AH\n\\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule du projeté : $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AH} = \\pm AB \\times AH$ (signe selon la\nposition de $H$ par rapport à $A$). La vision géométrique du\nproduit scalaire : longueur × ombre portée."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "orthogonalite-parametre"
      ],
      "title": "Paramètre d'orthogonalité",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\\vec{u}(2\\ ;\\ m)$ et\n$\\vec{v}(3\\ ;\\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$m = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 - m = 0 \\iff\nm = 6$ : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une\ninconnue ici."
        },
        {
          "text": "$m = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\times 3 + m \\times\n(-1) = 6 - m$ : s'annule pour $m = +6$."
        },
        {
          "text": "$m = \\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la colinéarité : $\\frac{2}{3}$ sortirait\nd'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le\nproduit scalaire."
        },
        {
          "text": "Aucune valeur ne convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation $6 - m = 0$ a une solution : en\ndimension $2$, on peut toujours ajuster une coordonnée\npour créer l'angle droit."
        }
      ],
      "explanation": "Orthogonalité $\\iff xx' + yy' = 0$ : avec un paramètre,\ncette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle\nfinal : $\\vec{u}(2\\ ;\\ 6) \\cdot \\vec{v}(3\\ ;\\ -1) = 6 - 6 =\n0$ ✓."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation"
      ],
      "title": "Produit scalaire par la norme d'une différence",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On connaît $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\| = 4$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{3}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 -\n2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, soit\n$16 = 13 - 2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : avec une différence, le double produit est\nprécédé d'un signe moins."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le double produit doit être divisé par $2$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont les carrés des normes qui interviennent, pas\nles normes elles-mêmes."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{1}{2}\\left(\\|\\vec{u}\\|^2 +\n\\|\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2\\right)$."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "al-kashi-angle"
      ],
      "title": "Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle",
      "partie": "angles",
      "statement": "Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que\nvaut l'angle $\\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60°$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi inversé : $\\cos\\widehat{A} =\n\\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \\frac{25 + 64 - 49}{2\n\\times 5 \\times 8} = \\frac{40}{80} = \\frac{1}{2}$ : angle\nde $60°$."
        },
        {
          "text": "$30°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx\n0{,}87 \\neq 0{,}5$ : le calcul donne $\\frac{1}{2}$,\ndonc $60°$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Test de Pythagore : $5^2 + 8^2 = 89 \\neq 49$ : pas\nd'angle droit en $A$ (le cosinus calculé, $0{,}5$, n'est\npas nul)."
        },
        {
          "text": "$120°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : $120°$ correspondrait à $\\cos\\widehat{A}\n= -\\frac{1}{2}$, ce que donne $\\frac{a^2 - b^2 - c^2}{2bc}\n= \\frac{49 - 89}{80}$ ; dans la formule, c'est le carré du\ncôté opposé qui porte le signe moins : $\\frac{25 + 64 -\n49}{80} = \\frac{1}{2}$, angle aigu."
        }
      ],
      "explanation": "Forme inversée d'Al-Kashi : $\\cos\\widehat{A} = \\frac{b^2 +\nc^2 - a^2}{2bc}$ : l'angle opposé au côté isolé au\nnumérateur. Avec les trois côtés, on obtient tous les angles."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ligne-niveau"
      ],
      "title": "L'ensemble $\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{u} = 0$",
      "partie": "lieux",
      "statement": "$A$ est un point et $\\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est\nl'ensemble des points $M$ tels que $\\overrightarrow{AM}\n\\cdot \\vec{u} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite passant par $A$ de vecteur normal $\\vec{u}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AM}$ doit rester\northogonal à $\\vec{u}$ : $M$ décrit la droite passant\npar $A$ perpendiculaire à la direction de $\\vec{u}$."
        },
        {
          "text": "La droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur\n$\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : sur cette droite, $\\overrightarrow{AM}$ est\n**colinéaire** à $\\vec{u}$ : produit scalaire maximal\n(en valeur absolue), pas nul."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $A$ et de rayon $\\|\\vec{u}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un cercle sortirait d'une condition de\n**distance** ($AM = r$) ; ici la condition est\nd'orthogonalité : une droite."
        },
        {
          "text": "Le seul point $A$, où $\\overrightarrow{AM}$ est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop pauvre : $A$ convient ($\\overrightarrow{AA} =\n\\vec{0}$), mais tout point de la perpendiculaire aussi :\nl'ensemble est une droite entière."
        }
      ],
      "explanation": "Lignes de niveau du chapitre : $\\overrightarrow{AM} \\cdot\n\\vec{u} = 0$ : droite (normale $\\vec{u}$) ;\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$ : cercle\nde diamètre $[AB]$ ; $AM = r$ : cercle. Reconnaître la\nstructure avant de calculer."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "identite-parallelogramme"
      ],
      "title": "L'identité du parallélogramme",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2 + \\|\\vec{u} -\n\\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en développant les deux carrés, les\ndoubles produits $+2\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ et\n$-2\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ s'annulent : restent les carrés,\ndeux fois chacun."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque carré de norme apparaît dans les\n**deux** développements, il faut donc le compter deux\nfois : $2\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\|\\vec{v}\\|^2$."
        },
        {
          "text": "$4\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la **différence** des deux carrés qui isole le\nproduit scalaire : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 -\n\\|\\vec{u}-\\vec{v}\\|^2 = 4\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$."
        },
        {
          "text": "$2\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : les deux développements donnent\n$+\\|\\vec{v}\\|^2$ : la somme totale les additionne, sans\nsoustraction."
        }
      ],
      "explanation": "Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux\ndiagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.\nDémonstration en deux lignes par développement : l'archétype\ndu calcul vectoriel efficace."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege-simplification"
      ],
      "title": "Peut-on simplifier par $\\vec{u}$ ?",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{u} \\cdot \\vec{w}$\navec $\\vec{u} \\neq \\vec{0}$. Peut-on conclure $\\vec{v} =\n\\vec{w}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, seulement $\\vec{u} \\perp (\\vec{v} - \\vec{w})$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité équivaut à $\\vec{u} \\cdot\n(\\vec{v} - \\vec{w}) = 0$ : la différence peut être\nn'importe quel vecteur **orthogonal** à $\\vec{u}$, pas\nseulement le vecteur nul."
        },
        {
          "text": "Oui, on simplifie par $\\vec{u}$ comme avec des nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une\nmultiplication de nombres : il « écrase » la composante\northogonale, qui reste donc libre : pas de\nsimplification."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que $\\vec{u}$ soit unitaire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la norme de $\\vec{u}$ ne change rien : même\nunitaire, $\\vec{u}$ ignore tout ce qui lui est\northogonal."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si $\\vec{v}$ et $\\vec{w}$ sont opposés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des\nopposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v} - \\vec{w}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pas de « division » par un vecteur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\n= \\vec{u} \\cdot \\vec{w} \\iff \\vec{u} \\perp (\\vec{v} -\n\\vec{w})$. Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée\nsur $\\vec{u}$ : deux vecteurs différents peuvent projeter la\nmême ombre."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Un vecteur multiplié par lui-même",
      "partie": "definitions",
      "statement": "À quoi le produit scalaire $\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au carré de la norme de $\\vec{u}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'angle entre le vecteur et lui-même est nul, donc le\ncosinus vaut $1$ et il reste le produit des deux normes."
        },
        {
          "text": "À la norme de $\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un carré est oublié : pour $\\vec{u}(3\\,;\\,4)$, le produit scalaire vaut\n$25$ alors que la norme vaut $5$."
        },
        {
          "text": "Au double de la norme de $\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas : le même\nexemple donnerait $10$ au lieu de $25$."
        },
        {
          "text": "À zéro, par orthogonalité",
          "correct": false,
          "feedback": "Un vecteur non nul n'est jamais orthogonal à lui-même : l'angle vaut\n$0$, pas un angle droit."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, appelé carré scalaire, vaut\nle carré de sa norme. C'est le pont entre produits scalaires et longueurs."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "developpement"
      ],
      "title": "Développer une différence",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Quel développement de $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ est correct ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le carré scalaire se développe comme une identité\nremarquable, le double produit devenant un produit scalaire."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Identité confondue : cette expression développerait\n$(\\vec{u} - \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} + \\vec{v})$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du double produit : c'est le développement de\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit scalaire remplacé par un produit de normes : les deux ne\ncoïncident que si les vecteurs sont colinéaires de même sens."
        }
      ],
      "explanation": "Le carré scalaire se développe comme un carré algébrique, à condition de\nremplacer le double produit par $2\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$. C'est de là que\nvient la formule d'Al-Kashi."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "angle"
      ],
      "title": "Un produit scalaire négatif",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que peut-on dire de l'angle entre deux vecteurs non nuls dont le\nproduit scalaire est négatif ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est obtus",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui du cosinus, qui\nest négatif pour un angle supérieur à un angle droit."
        },
        {
          "text": "Il est aigu",
          "correct": false,
          "feedback": "Un angle aigu a un cosinus positif, donc un produit scalaire positif."
        },
        {
          "text": "Il est droit",
          "correct": false,
          "feedback": "Un angle droit annule le produit scalaire : il serait nul, pas\nnégatif."
        },
        {
          "text": "Il est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Un angle nul donne le produit des normes, une valeur strictement\npositive."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times\n\\cos\\theta$, les normes étant positives, le signe du produit scalaire est\nexactement celui du cosinus de l'angle."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "ensemble-de-points"
      ],
      "title": "Un ensemble de points défini par une distance",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Quel est l'ensemble des points $M$ tels que\n$\\overrightarrow{AM} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0$, avec $A$ et $B$\ndistincts ?",
      "options": [
        {
          "text": "La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la condition impose à $\\overrightarrow{AM}$ d'être\northogonal à $\\overrightarrow{AB}$, ou nul."
        },
        {
          "text": "Le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce cercle correspond à la condition\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$, où l'angle droit\nest en $M$."
        },
        {
          "text": "La médiatrice du segment $[AB]$ tout entière",
          "correct": false,
          "feedback": "La médiatrice s'obtient par une condition d'égalité de distances, pas\npar un produit scalaire nul."
        },
        {
          "text": "Le seul point $A$, les autres ne conviennent pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout point $M$ tel que $(AM)$ soit perpendiculaire à $(AB)$ convient,\net il y en a une infinité."
        }
      ],
      "explanation": "Un produit scalaire nul traduit une orthogonalité. Ici le vecteur\n$\\overrightarrow{AB}$ est fixé, donc l'ensemble cherché est une droite,\nalors qu'un vecteur variable des deux côtés donnerait un cercle."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "coordonnees"
      ],
      "title": "Orthogonalité en coordonnées",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,-2)$ et $\\vec{v}(4\\,;\\,6)$ sont-ils\northogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, leur produit scalaire est nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 4 + (-2) \\times 6 = 12 - 12 = 0$."
        },
        {
          "text": "Non, leur produit scalaire vaut $24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce résultat vient d'une somme de produits sans tenir compte du signe\nnégatif de la seconde coordonnée."
        },
        {
          "text": "Non, ils ne sont pas de même norme",
          "correct": false,
          "feedback": "L'orthogonalité ne dépend pas des normes : deux vecteurs de longueurs\ntrès différentes peuvent être perpendiculaires."
        },
        {
          "text": "Non, leur déterminant est non nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Un déterminant non nul signale l'absence de colinéarité, ce qui est\ncompatible avec l'orthogonalité."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un repère orthonormé, le produit scalaire vaut $xx' + yy'$. Il est nul\nsi et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "application"
      ],
      "title": "Calculer une longueur par le produit scalaire",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Dans un triangle, $AB = 5$, $AC = 8$ et l'angle en $A$ mesure\n$60$ degrés. Que vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 8 \\times \\cos 60^\\circ = 40 \\times\n\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cosinus oublié : $40$ est le produit des deux longueurs, qui ne vaut le\nproduit scalaire que pour un angle nul."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Longueurs additionnées : le produit scalaire les multiplie."
        },
        {
          "text": "$34{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cosinus confondu avec le sinus : $\\sin 60^\\circ$ vaut environ\n$0{,}87$, et cette valeur sert pour une aire, pas pour un produit\nscalaire."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times\n\\cos\\theta$ relie produit scalaire, longueurs et angle. Elle sert ensuite,\nvia Al-Kashi, à calculer le troisième côté."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul-coordonnees",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire à partir de trois points",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$,\n$B(5\\,;\\,3)$ et $C(2\\,;\\,6)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,1)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(1\\,;\\,4)$, donc le produit\nvaut $4 \\times 1 + 1 \\times 4 = 8$."
        },
        {
          "text": "$28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut\nd'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant\ncelles de $A$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux produits se **somment** : la formule est\n$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,\nqui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par\ndifférence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$,\n$B(5\\,;\\,3)$ et $C(2\\,;\\,6)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,1)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(1\\,;\\,4)$, donc le produit\nvaut $4 \\times 1 + 1 \\times 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut\nd'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant\ncelles de $A$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits se **somment** : la formule est\n$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,\nqui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par\ndifférence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\\,;\\,1)$,\n$B(1\\,;\\,3)$ et $C(-1\\,;\\,7)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(1\\,;\\,6)$, donc le produit\nvaut $3 \\times 1 + 2 \\times 6 = 15$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut\nd'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant\ncelles de $A$."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits se **somment** : la formule est\n$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,\nqui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par\ndifférence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(2\\,;\\,-1)$,\n$B(6\\,;\\,1)$ et $C(3\\,;\\,4)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(1\\,;\\,5)$, donc le produit\nvaut $4 \\times 1 + 2 \\times 5 = 14$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut\nd'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant\ncelles de $A$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits se **somment** : la formule est\n$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,\nqui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par\ndifférence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,2)$,\n$B(5\\,;\\,3)$ et $C(2\\,;\\,7)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,1)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(1\\,;\\,5)$, donc le produit\nvaut $4 \\times 1 + 1 \\times 5 = 9$."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut\nd'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant\ncelles de $A$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux produits se **somment** : la formule est\n$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,\nqui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par\ndifférence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "norme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Norme déduite du carré scalaire",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Un vecteur $\\vec{u}$ vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 49$.\nQue vaut $\\|\\vec{u}\\|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$,\ndonc $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{49} = 7$."
        },
        {
          "text": "$49$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le carré de la norme : la racine carrée a été\noubliée en fin de calcul."
        },
        {
          "text": "$24{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré\nn'est pas un doublement."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la\nrelation $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ ne fait\napparaître de facteur $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$. On remonte donc à la\nnorme par une racine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un vecteur $\\vec{u}$ vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 49$.\nQue vaut $\\|\\vec{u}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$,\ndonc $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{49} = 7$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de la norme : la racine carrée a été\noubliée en fin de calcul."
            },
            {
              "text": "$24{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré\nn'est pas un doublement."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la\nrelation $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ ne fait\napparaître de facteur $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$. On remonte donc à la\nnorme par une racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un vecteur $\\vec{u}$ vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 64$.\nQue vaut $\\|\\vec{u}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$,\ndonc $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{64} = 8$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de la norme : la racine carrée a été\noubliée en fin de calcul."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré\nn'est pas un doublement."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la\nrelation $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ ne fait\napparaître de facteur $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$. On remonte donc à la\nnorme par une racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un vecteur $\\vec{u}$ vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 144$.\nQue vaut $\\|\\vec{u}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$,\ndonc $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{144} = 12$."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de la norme : la racine carrée a été\noubliée en fin de calcul."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré\nn'est pas un doublement."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la\nrelation $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ ne fait\napparaître de facteur $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$. On remonte donc à la\nnorme par une racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Un vecteur $\\vec{u}$ vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 81$.\nQue vaut $\\|\\vec{u}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$,\ndonc $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le carré de la norme : la racine carrée a été\noubliée en fin de calcul."
            },
            {
              "text": "$40{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré\nn'est pas un doublement."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la\nrelation $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ ne fait\napparaître de facteur $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$. On remonte donc à la\nnorme par une racine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "colineaires-meme-sens",
        "signe"
      ],
      "title": "Vecteurs colinéaires de sens contraires",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de\nsens contraires**, avec $\\|\\vec{u}\\| = 3$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 4$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'angle vaut $\\pi$, donc\n$\\cos\\theta = -1$ et le produit vaut\n$-3 \\times 4 = -12$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de **même**\nsens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas\ndans la formule avec le cosinus."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici\nles vecteurs sont au contraire alignés."
        }
      ],
      "explanation": "Pour des vecteurs colinéaires, la formule\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|\n\\times \\cos\\theta$ donne $\\cos\\theta = 1$ de même sens et\n$\\cos\\theta = -1$ de sens contraires.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de\nsens contraires**, avec $\\|\\vec{u}\\| = 3$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 4$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'angle vaut $\\pi$, donc\n$\\cos\\theta = -1$ et le produit vaut\n$-3 \\times 4 = -12$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de **même**\nsens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas\ndans la formule avec le cosinus."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici\nles vecteurs sont au contraire alignés."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des vecteurs colinéaires, la formule\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|\n\\times \\cos\\theta$ donne $\\cos\\theta = 1$ de même sens et\n$\\cos\\theta = -1$ de sens contraires."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de\nsens contraires**, avec $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 7$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'angle vaut $\\pi$, donc\n$\\cos\\theta = -1$ et le produit vaut\n$-2 \\times 7 = -14$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de **même**\nsens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas\ndans la formule avec le cosinus."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici\nles vecteurs sont au contraire alignés."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des vecteurs colinéaires, la formule\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|\n\\times \\cos\\theta$ donne $\\cos\\theta = 1$ de même sens et\n$\\cos\\theta = -1$ de sens contraires."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de\nsens contraires**, avec $\\|\\vec{u}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'angle vaut $\\pi$, donc\n$\\cos\\theta = -1$ et le produit vaut\n$-5 \\times 6 = -30$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de **même**\nsens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$-11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas\ndans la formule avec le cosinus."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici\nles vecteurs sont au contraire alignés."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des vecteurs colinéaires, la formule\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|\n\\times \\cos\\theta$ donne $\\cos\\theta = 1$ de même sens et\n$\\cos\\theta = -1$ de sens contraires."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de\nsens contraires**, avec $\\|\\vec{u}\\| = 3$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 7$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'angle vaut $\\pi$, donc\n$\\cos\\theta = -1$ et le produit vaut\n$-3 \\times 7 = -21$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de **même**\nsens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas\ndans la formule avec le cosinus."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici\nles vecteurs sont au contraire alignés."
            }
          ],
          "explanation": "Pour des vecteurs colinéaires, la formule\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|\n\\times \\cos\\theta$ donne $\\cos\\theta = 1$ de même sens et\n$\\cos\\theta = -1$ de sens contraires."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite",
        "developpement"
      ],
      "title": "Développer $(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\|^2 = 25$, $\\|\\vec{v}\\|^2 = 9$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés\nse compensent et il reste\n$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 25 - 9 = 16$."
        },
        {
          "text": "$34$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du second facteur oublié : c'est une différence de\ncarrés, donc $25 - 9$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même\nsens : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ et\n$-\\vec{v} \\cdot \\vec{u}$ s'annulent."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce\nsont justement eux qui disparaissent."
        }
      ],
      "explanation": "La bilinéarité permet de développer comme une identité\nremarquable :\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v}) =\n\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$, les termes croisés se\ncompensant car le produit scalaire est symétrique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\|^2 = 25$, $\\|\\vec{v}\\|^2 = 9$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés\nse compensent et il reste\n$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 25 - 9 = 16$."
            },
            {
              "text": "$34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur oublié : c'est une différence de\ncarrés, donc $25 - 9$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même\nsens : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ et\n$-\\vec{v} \\cdot \\vec{u}$ s'annulent."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce\nsont justement eux qui disparaissent."
            }
          ],
          "explanation": "La bilinéarité permet de développer comme une identité\nremarquable :\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v}) =\n\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$, les termes croisés se\ncompensant car le produit scalaire est symétrique."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\|^2 = 36$, $\\|\\vec{v}\\|^2 = 16$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = -2$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés\nse compensent et il reste\n$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 36 - 16 = 20$."
            },
            {
              "text": "$52$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur oublié : c'est une différence de\ncarrés, donc $36 - 16$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même\nsens : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ et\n$-\\vec{v} \\cdot \\vec{u}$ s'annulent."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce\nsont justement eux qui disparaissent."
            }
          ],
          "explanation": "La bilinéarité permet de développer comme une identité\nremarquable :\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v}) =\n\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$, les termes croisés se\ncompensant car le produit scalaire est symétrique."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\|^2 = 49$, $\\|\\vec{v}\\|^2 = 4$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 5$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés\nse compensent et il reste\n$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 49 - 4 = 45$."
            },
            {
              "text": "$53$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur oublié : c'est une différence de\ncarrés, donc $49 - 4$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même\nsens : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ et\n$-\\vec{v} \\cdot \\vec{u}$ s'annulent."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce\nsont justement eux qui disparaissent."
            }
          ],
          "explanation": "La bilinéarité permet de développer comme une identité\nremarquable :\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v}) =\n\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$, les termes croisés se\ncompensant car le produit scalaire est symétrique."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\|^2 = 25$, $\\|\\vec{v}\\|^2 = 4$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés\nse compensent et il reste\n$\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 25 - 4 = 21$."
            },
            {
              "text": "$29$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du second facteur oublié : c'est une différence de\ncarrés, donc $25 - 4$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même\nsens : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ et\n$-\\vec{v} \\cdot \\vec{u}$ s'annulent."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce\nsont justement eux qui disparaissent."
            }
          ],
          "explanation": "La bilinéarité permet de développer comme une identité\nremarquable :\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v}) =\n\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$, les termes croisés se\ncompensant car le produit scalaire est symétrique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "formule-cosinus",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire avec un angle obtus",
      "partie": "angles",
      "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 4$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$ et forment un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-12\\sqrt{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{3\\pi}{4} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut\n$4 \\times 6 \\times\n\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -12\\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$12\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus\nest négatif, donc le produit scalaire l'est aussi."
        },
        {
          "text": "$-24\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :\n$\\cos\\dfrac{3\\pi}{4}$ vaut $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et non\n$-\\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$-12\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{5\\pi}{6}$, dont le cosinus\nvaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times\n\\|\\vec{v}\\| \\times \\cos\\theta$ s'applique quel que soit\nl'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un\nproduit scalaire négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 4$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$ et forment un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{3\\pi}{4} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut\n$4 \\times 6 \\times\n\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -12\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$12\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus\nest négatif, donc le produit scalaire l'est aussi."
            },
            {
              "text": "$-24\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :\n$\\cos\\dfrac{3\\pi}{4}$ vaut $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et non\n$-\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$-12\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{5\\pi}{6}$, dont le cosinus\nvaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times\n\\|\\vec{v}\\| \\times \\cos\\theta$ s'applique quel que soit\nl'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un\nproduit scalaire négatif."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 8$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 10$ et forment un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-40\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{3\\pi}{4} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut\n$8 \\times 10 \\times\n\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -40\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$40\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus\nest négatif, donc le produit scalaire l'est aussi."
            },
            {
              "text": "$-80\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :\n$\\cos\\dfrac{3\\pi}{4}$ vaut $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et non\n$-\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$-40\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{5\\pi}{6}$, dont le cosinus\nvaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times\n\\|\\vec{v}\\| \\times \\cos\\theta$ s'applique quel que soit\nl'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un\nproduit scalaire négatif."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 6$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 8$ et forment un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-24\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{3\\pi}{4} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut\n$6 \\times 8 \\times\n\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -24\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$24\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus\nest négatif, donc le produit scalaire l'est aussi."
            },
            {
              "text": "$-48\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :\n$\\cos\\dfrac{3\\pi}{4}$ vaut $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et non\n$-\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$-24\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{5\\pi}{6}$, dont le cosinus\nvaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times\n\\|\\vec{v}\\| \\times \\cos\\theta$ s'applique quel que soit\nl'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un\nproduit scalaire négatif."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 4$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 10$ et forment un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-20\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{3\\pi}{4} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut\n$4 \\times 10 \\times\n\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -20\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$20\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus\nest négatif, donc le produit scalaire l'est aussi."
            },
            {
              "text": "$-40\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :\n$\\cos\\dfrac{3\\pi}{4}$ vaut $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et non\n$-\\sqrt{2}$."
            },
            {
              "text": "$-20\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{5\\pi}{6}$, dont le cosinus\nvaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times\n\\|\\vec{v}\\| \\times \\cos\\theta$ s'applique quel que soit\nl'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un\nproduit scalaire négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle-entre-vecteurs",
        "norme"
      ],
      "title": "Angle obtus entre deux vecteurs",
      "partie": "angles",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $\\vec{u}(3\\,;\\,0)$ et\n$\\vec{v}(-1\\,;\\,1)$. Que vaut l'angle entre $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = -3$,\n$\\|\\vec{u}\\| = 3$ et $\\|\\vec{v}\\| = \\sqrt{2}$, donc\n$\\cos\\theta = \\dfrac{-3}{3\\sqrt{2}} =\n-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe négligé : le produit scalaire vaut $-3$, donc le\ncosinus est négatif et l'angle dépasse\n$\\dfrac{\\pi}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'angle serait droit si le produit scalaire était nul :\nici il vaut $-3$."
        },
        {
          "text": "L'angle n'est pas une valeur remarquable",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul aboutit pourtant à $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, qui\nest bien le cosinus d'un angle remarquable."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule le produit scalaire et les deux normes, puis on\nisole $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\|}$ avant de reconnaître une\nvaleur remarquable."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "al-kashi",
        "al-kashi-calcul"
      ],
      "title": "Al-Kashi avec un angle obtus",
      "partie": "angles",
      "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 3$, $AB = 5$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$49$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$,\ndonc $BC^2 = 3^2 + 5^2 + 3 \\times 5 = 49$."
        },
        {
          "text": "$19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme\n$-2bc\\cos\\widehat{A}$ devient positif."
        },
        {
          "text": "$34$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si\nl'angle en $A$ est droit."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $\\cos\\widehat{A} = -\\dfrac{1}{2}$ a été\nremplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas\n$2bc$."
        }
      ],
      "explanation": "La formule d'Al-Kashi s'écrit\n$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$. Avec un angle obtus,\nle cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui\nallonge le côté opposé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 3$, $AB = 5$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$,\ndonc $BC^2 = 3^2 + 5^2 + 3 \\times 5 = 49$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme\n$-2bc\\cos\\widehat{A}$ devient positif."
            },
            {
              "text": "$34$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si\nl'angle en $A$ est droit."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $\\cos\\widehat{A} = -\\dfrac{1}{2}$ a été\nremplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas\n$2bc$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule d'Al-Kashi s'écrit\n$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$. Avec un angle obtus,\nle cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui\nallonge le côté opposé."
        },
        {
          "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 5$, $AB = 8$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$129$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$,\ndonc $BC^2 = 5^2 + 8^2 + 5 \\times 8 = 129$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme\n$-2bc\\cos\\widehat{A}$ devient positif."
            },
            {
              "text": "$89$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si\nl'angle en $A$ est droit."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $\\cos\\widehat{A} = -\\dfrac{1}{2}$ a été\nremplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas\n$2bc$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule d'Al-Kashi s'écrit\n$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$. Avec un angle obtus,\nle cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui\nallonge le côté opposé."
        },
        {
          "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 2$, $AB = 7$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$67$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$,\ndonc $BC^2 = 2^2 + 7^2 + 2 \\times 7 = 67$."
            },
            {
              "text": "$39$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme\n$-2bc\\cos\\widehat{A}$ devient positif."
            },
            {
              "text": "$53$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si\nl'angle en $A$ est droit."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $\\cos\\widehat{A} = -\\dfrac{1}{2}$ a été\nremplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas\n$2bc$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule d'Al-Kashi s'écrit\n$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$. Avec un angle obtus,\nle cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui\nallonge le côté opposé."
        },
        {
          "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 3$, $AB = 8$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$97$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$,\ndonc $BC^2 = 3^2 + 8^2 + 3 \\times 8 = 97$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme\n$-2bc\\cos\\widehat{A}$ devient positif."
            },
            {
              "text": "$73$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si\nl'angle en $A$ est droit."
            },
            {
              "text": "$121$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $\\cos\\widehat{A} = -\\dfrac{1}{2}$ a été\nremplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas\n$2bc$."
            }
          ],
          "explanation": "La formule d'Al-Kashi s'écrit\n$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$. Avec un angle obtus,\nle cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui\nallonge le côté opposé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "al-kashi-angle",
        "application"
      ],
      "title": "Reconnaître un angle obtus",
      "partie": "angles",
      "statement": "Un triangle a pour longueurs de côtés $a = 7$, $b = 3$ et\n$c = 5$. Que vaut l'angle $\\widehat{A}$, opposé au côté\n$a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi donne\n$\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{-15}{30} = -\\dfrac{1}{2}$,\nd'où $\\widehat{A} = \\dfrac{2\\pi}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du cosinus perdu : $\\dfrac{-15}{30}$ est\nnégatif, et seul un angle obtus a un cosinus négatif."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'angle serait droit si $a^2 = b^2 + c^2$, ce qui n'est\npas le cas ici."
        },
        {
          "text": "Un tel triangle ne peut pas exister",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inégalité triangulaire est pourtant respectée, puisque\n$3 + 5$ dépasse $7$."
        }
      ],
      "explanation": "En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi, on obtient\n$\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Son signe\nindique aussitôt si l'angle est aigu ou obtus."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "projection",
        "signe"
      ],
      "title": "Projection hors de la demi-droite",
      "partie": "angles",
      "statement": "Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un\npoint $H$ tel que $AH = 2$, situé **en dehors** de la\ndemi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 6$, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AH}$ et\n$\\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le\nproduit vaut $-6 \\times 2 = -12$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure\nalgébrique est négative, donc le produit aussi."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux longueurs se multiplient, elles ne\ns'additionnent pas."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient au lieu d'un produit : la projection donne\n$\\overline{AH} \\times AB$."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$\nvaut $\\overline{AH} \\times AB$, où $\\overline{AH}$ est une\nmesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,\nnégative sinon.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un\npoint $H$ tel que $AH = 2$, situé **en dehors** de la\ndemi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 6$, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AH}$ et\n$\\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le\nproduit vaut $-6 \\times 2 = -12$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure\nalgébrique est négative, donc le produit aussi."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux longueurs se multiplient, elles ne\ns'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'un produit : la projection donne\n$\\overline{AH} \\times AB$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$\nvaut $\\overline{AH} \\times AB$, où $\\overline{AH}$ est une\nmesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,\nnégative sinon."
        },
        {
          "statement": "Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un\npoint $H$ tel que $AH = 4$, situé **en dehors** de la\ndemi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 10$, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AH}$ et\n$\\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le\nproduit vaut $-10 \\times 4 = -40$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure\nalgébrique est négative, donc le produit aussi."
            },
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux longueurs se multiplient, elles ne\ns'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$-2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'un produit : la projection donne\n$\\overline{AH} \\times AB$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$\nvaut $\\overline{AH} \\times AB$, où $\\overline{AH}$ est une\nmesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,\nnégative sinon."
        },
        {
          "statement": "Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un\npoint $H$ tel que $AH = 3$, situé **en dehors** de la\ndemi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 9$, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AH}$ et\n$\\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le\nproduit vaut $-9 \\times 3 = -27$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure\nalgébrique est négative, donc le produit aussi."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux longueurs se multiplient, elles ne\ns'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'un produit : la projection donne\n$\\overline{AH} \\times AB$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$\nvaut $\\overline{AH} \\times AB$, où $\\overline{AH}$ est une\nmesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,\nnégative sinon."
        },
        {
          "statement": "Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un\npoint $H$ tel que $AH = 4$, situé **en dehors** de la\ndemi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 6$, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AH}$ et\n$\\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le\nproduit vaut $-6 \\times 4 = -24$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure\nalgébrique est négative, donc le produit aussi."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux longueurs se multiplient, elles ne\ns'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$-1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient au lieu d'un produit : la projection donne\n$\\overline{AH} \\times AB$."
            }
          ],
          "explanation": "Le produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$\nvaut $\\overline{AH} \\times AB$, où $\\overline{AH}$ est une\nmesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,\nnégative sinon."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "orthogonalite-parametre",
        "parametre"
      ],
      "title": "Un paramètre dans les deux vecteurs",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs\n$\\vec{u}(t\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(t\\,;\\,-12)$ sont-ils\northogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$t = 6$ ou $t = -6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit\n$t^2 - 36 = 0$, équation qui admet les deux\nsolutions opposées $6$ et $-6$."
        },
        {
          "text": "$t = 6$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 36$\nen admet deux, opposées l'une de l'autre."
        },
        {
          "text": "$t = 36$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine\ncarrée a été oubliée."
        },
        {
          "text": "Aucune valeur de $t$ ne convient",
          "correct": false,
          "feedback": "L'équation $t^2 = 36$ a bien des solutions, car\n$36$ est positif."
        }
      ],
      "explanation": "L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la\ncondition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux\nvaleurs opposées, à ne pas réduire à une seule.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs\n$\\vec{u}(t\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(t\\,;\\,-12)$ sont-ils\northogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$t = 6$ ou $t = -6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit\n$t^2 - 36 = 0$, équation qui admet les deux\nsolutions opposées $6$ et $-6$."
            },
            {
              "text": "$t = 6$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 36$\nen admet deux, opposées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$t = 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine\ncarrée a été oubliée."
            },
            {
              "text": "Aucune valeur de $t$ ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation $t^2 = 36$ a bien des solutions, car\n$36$ est positif."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la\ncondition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux\nvaleurs opposées, à ne pas réduire à une seule."
        },
        {
          "statement": "Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs\n$\\vec{u}(t\\,;\\,2)$ et $\\vec{v}(t\\,;\\,-8)$ sont-ils\northogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$t = 4$ ou $t = -4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit\n$t^2 - 16 = 0$, équation qui admet les deux\nsolutions opposées $4$ et $-4$."
            },
            {
              "text": "$t = 4$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 16$\nen admet deux, opposées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$t = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine\ncarrée a été oubliée."
            },
            {
              "text": "Aucune valeur de $t$ ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation $t^2 = 16$ a bien des solutions, car\n$16$ est positif."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la\ncondition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux\nvaleurs opposées, à ne pas réduire à une seule."
        },
        {
          "statement": "Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs\n$\\vec{u}(t\\,;\\,5)$ et $\\vec{v}(t\\,;\\,-20)$ sont-ils\northogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$t = 10$ ou $t = -10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit\n$t^2 - 100 = 0$, équation qui admet les deux\nsolutions opposées $10$ et $-10$."
            },
            {
              "text": "$t = 10$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 100$\nen admet deux, opposées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$t = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine\ncarrée a été oubliée."
            },
            {
              "text": "Aucune valeur de $t$ ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation $t^2 = 100$ a bien des solutions, car\n$100$ est positif."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la\ncondition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux\nvaleurs opposées, à ne pas réduire à une seule."
        },
        {
          "statement": "Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs\n$\\vec{u}(t\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(t\\,;\\,-27)$ sont-ils\northogonaux ?",
          "options": [
            {
              "text": "$t = 9$ ou $t = -9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit\n$t^2 - 81 = 0$, équation qui admet les deux\nsolutions opposées $9$ et $-9$."
            },
            {
              "text": "$t = 9$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 81$\nen admet deux, opposées l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$t = 81$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine\ncarrée a été oubliée."
            },
            {
              "text": "Aucune valeur de $t$ ne convient",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation $t^2 = 81$ a bien des solutions, car\n$81$ est positif."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la\ncondition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux\nvaleurs opposées, à ne pas réduire à une seule."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "milieu",
        "transformation"
      ],
      "title": "Calcul avec le milieu de $[AB]$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $8$. Un\npoint $M$ vérifie $MI = 5$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = MI^2 - \\dfrac{AB^2}{4} =\n5^2 - 4^2 = 9$."
        },
        {
          "text": "$41$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$\nse retranche."
        },
        {
          "text": "$-39$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule\nfait intervenir la demi-longueur $IA = 4$."
        },
        {
          "text": "$-9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui\nvient en premier."
        }
      ],
      "explanation": "En introduisant le milieu $I$, on écrit\n$\\overrightarrow{MA} = \\overrightarrow{MI} +\n\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{MB} = \\overrightarrow{MI} -\n\\overrightarrow{IA}$, ce qui donne\n$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \\dfrac{AB}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $8$. Un\npoint $M$ vérifie $MI = 5$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = MI^2 - \\dfrac{AB^2}{4} =\n5^2 - 4^2 = 9$."
            },
            {
              "text": "$41$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$\nse retranche."
            },
            {
              "text": "$-39$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule\nfait intervenir la demi-longueur $IA = 4$."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui\nvient en premier."
            }
          ],
          "explanation": "En introduisant le milieu $I$, on écrit\n$\\overrightarrow{MA} = \\overrightarrow{MI} +\n\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{MB} = \\overrightarrow{MI} -\n\\overrightarrow{IA}$, ce qui donne\n$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $6$. Un\npoint $M$ vérifie $MI = 4$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = MI^2 - \\dfrac{AB^2}{4} =\n4^2 - 3^2 = 7$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$\nse retranche."
            },
            {
              "text": "$-20$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule\nfait intervenir la demi-longueur $IA = 3$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui\nvient en premier."
            }
          ],
          "explanation": "En introduisant le milieu $I$, on écrit\n$\\overrightarrow{MA} = \\overrightarrow{MI} +\n\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{MB} = \\overrightarrow{MI} -\n\\overrightarrow{IA}$, ce qui donne\n$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $10$. Un\npoint $M$ vérifie $MI = 7$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = MI^2 - \\dfrac{AB^2}{4} =\n7^2 - 5^2 = 24$."
            },
            {
              "text": "$74$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$\nse retranche."
            },
            {
              "text": "$-51$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule\nfait intervenir la demi-longueur $IA = 5$."
            },
            {
              "text": "$-24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui\nvient en premier."
            }
          ],
          "explanation": "En introduisant le milieu $I$, on écrit\n$\\overrightarrow{MA} = \\overrightarrow{MI} +\n\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{MB} = \\overrightarrow{MI} -\n\\overrightarrow{IA}$, ce qui donne\n$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $12$. Un\npoint $M$ vérifie $MI = 9$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = MI^2 - \\dfrac{AB^2}{4} =\n9^2 - 6^2 = 45$."
            },
            {
              "text": "$117$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$\nse retranche."
            },
            {
              "text": "$-63$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule\nfait intervenir la demi-longueur $IA = 6$."
            },
            {
              "text": "$-45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui\nvient en premier."
            }
          ],
          "explanation": "En introduisant le milieu $I$, on écrit\n$\\overrightarrow{MA} = \\overrightarrow{MI} +\n\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{MB} = \\overrightarrow{MI} -\n\\overrightarrow{IA}$, ce qui donne\n$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "lieu",
        "cercle"
      ],
      "title": "Un point sur le cercle de diamètre $[AB]$",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ et il\nest distinct de $A$ et de $B$. Que vaut\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$, car l'angle $\\widehat{AMB}$ est droit",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un point du cercle de diamètre $[AB]$\nvoit ce diamètre sous un angle droit, donc les deux\nvecteurs sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "$AB^2$, soit le carré du diamètre",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur serait celle de\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AB}$ : ici les\nvecteurs partent tous deux de $M$."
        },
        {
          "text": "$MA \\times MB$, les vecteurs étant alignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $M$ n'est pas sur\nla droite $(AB)$, puisqu'il diffère de $A$ et de $B$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{AB^2}{4}$, valeur prise au centre",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur obtenue lorsque $M$ est le centre du\ncercle, qui n'appartient pas au cercle lui-même."
        }
      ],
      "explanation": "L'ensemble des points $M$ tels que\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$ est\nexactement le cercle de diamètre $[AB]$. Appartenir à ce\ncercle et annuler ce produit sont donc équivalents."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ligne-niveau",
        "ensemble-de-points"
      ],
      "title": "Une ligne de niveau non nulle",
      "partie": "lieux",
      "statement": "Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble\ndes points $M$ tels que $\\overrightarrow{AM} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = \\dfrac{AB^2}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La médiatrice du segment $[AB]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit vaut $\\overline{AH} \\times AB$\navec $H$ projeté de $M$, donc $AH = \\dfrac{AB}{2}$ et\n$H$ est le milieu de $[AB]$."
        },
        {
          "text": "Le cercle de diamètre $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce cercle est l'ensemble obtenu pour\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$,\navec deux vecteurs issus de $M$."
        },
        {
          "text": "La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette droite correspond au second membre $0$ : ici le\nprojeté doit être à mi-chemin, pas en $A$."
        },
        {
          "text": "La parallèle à $(AB)$ passant par le milieu de $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette droite est $(AB)$ elle-même : un produit scalaire\nconstant impose au contraire une perpendiculaire."
        }
      ],
      "explanation": "Une ligne de niveau $\\overrightarrow{AM} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = k$ est toujours une droite\nperpendiculaire à $(AB)$. La valeur de $k$ ne fait que\nchoisir le point de $(AB)$ par lequel elle passe."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identite-parallelogramme",
        "calcul"
      ],
      "title": "Un côté déduit des diagonales",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent\n$AC = 14$ et $BD = 8$, et le côté $AB$ mesure $7$.\nQue vaut $AD$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne\n$AD^2 = 81$, donc $AD = 9$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur\nles carrés des longueurs, pas sur les longueurs."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au\npoint d'intersection des diagonales, et non un côté."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la\ndernière étape."
        }
      ],
      "explanation": "L'identité du parallélogramme s'écrit\n$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un\ncôté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre\ncôté.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent\n$AC = 14$ et $BD = 8$, et le côté $AB$ mesure $7$.\nQue vaut $AD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne\n$AD^2 = 81$, donc $AD = 9$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur\nles carrés des longueurs, pas sur les longueurs."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au\npoint d'intersection des diagonales, et non un côté."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la\ndernière étape."
            }
          ],
          "explanation": "L'identité du parallélogramme s'écrit\n$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un\ncôté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre\ncôté."
        },
        {
          "statement": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent\n$AC = 20$ et $BD = 10$, et le côté $AB$ mesure $9$.\nQue vaut $AD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne\n$AD^2 = 169$, donc $AD = 13$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur\nles carrés des longueurs, pas sur les longueurs."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au\npoint d'intersection des diagonales, et non un côté."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la\ndernière étape."
            }
          ],
          "explanation": "L'identité du parallélogramme s'écrit\n$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un\ncôté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre\ncôté."
        },
        {
          "statement": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent\n$AC = 10$ et $BD = 10$, et le côté $AB$ mesure $6$.\nQue vaut $AD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne\n$AD^2 = 64$, donc $AD = 8$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur\nles carrés des longueurs, pas sur les longueurs."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au\npoint d'intersection des diagonales, et non un côté."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la\ndernière étape."
            }
          ],
          "explanation": "L'identité du parallélogramme s'écrit\n$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un\ncôté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre\ncôté."
        },
        {
          "statement": "Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent\n$AC = 14$ et $BD = 12$, et le côté $AB$ mesure $7$.\nQue vaut $AD$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne\n$AD^2 = 121$, donc $AD = 11$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur\nles carrés des longueurs, pas sur les longueurs."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au\npoint d'intersection des diagonales, et non un côté."
            },
            {
              "text": "$121$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la\ndernière étape."
            }
          ],
          "explanation": "L'identité du parallélogramme s'écrit\n$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un\ncôté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre\ncôté."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "piege-simplification",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Un produit scalaire nul",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$. Peut-on en conclure\nque $\\vec{u} = \\vec{0}$ ou $\\vec{v} = \\vec{0}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, ils peuvent simplement être orthogonaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux vecteurs non nuls perpendiculaires\nont un produit scalaire nul, par exemple\n$\\vec{u}(1\\,;\\,0)$ et $\\vec{v}(0\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "Oui, un produit nul entraîne un facteur nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette règle vaut pour le produit de deux nombres : le\nproduit scalaire de deux vecteurs ne la suit pas."
        },
        {
          "text": "Oui, car le produit scalaire est un nombre réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat est bien un nombre, mais les facteurs sont\ndes vecteurs, ce qui change la règle applicable."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si les deux vecteurs sont unitaires",
          "correct": false,
          "feedback": "La norme ne joue aucun rôle ici : deux vecteurs\nunitaires perpendiculaires ont aussi un produit nul."
        }
      ],
      "explanation": "Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité, y\ncompris pour des vecteurs non nuls. La règle du produit nul,\nvalable dans les réels, ne se transpose donc pas au produit\nscalaire."
    }
  ]
}