{
"chapter": {
"id": "second-degre",
"level": "premiere-specialite",
"theme": "Algèbre",
"title": "Le second degré",
"description": "Trinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,\nfactorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,\nparabole (sommet, orientation, lectures graphiques).",
"parties": [
{
"id": "formes",
"title": "Formes et forme canonique"
},
{
"id": "equations",
"title": "Équations et discriminant"
},
{
"id": "signe",
"title": "Signe du trinôme et inéquations"
},
{
"id": "applications",
"title": "Paraboles et applications"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"calcul",
"discriminant"
],
"title": "Calculer un discriminant",
"partie": "formes",
"statement": "Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\Delta = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \\times 2\n\\times 1 = 9 - 8 = 1$."
},
{
"text": "$\\Delta = 17$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $9 + 8 = 17$ correspond à $b^2 + 4ac$. La\nformule est $b^2 - 4ac$, avec un **moins**."
},
{
"text": "$\\Delta = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4ac - b^2 = -1$ inverse les deux termes. C'est\n$b^2$ qui vient en premier : $b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1$."
},
{
"text": "$\\Delta = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as sans doute utilisé $b$ au lieu de $b^2$.\nIci $b = -3$ donc $b^2 = 9$, et $\\Delta = 9 - 8 = 1$."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ : $\\Delta = b^2 - 4ac$. Avec $a = 2$,\n$b = -3$, $c = 1$ : $\\Delta = 9 - 8 = 1$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"calcul",
"racines"
],
"title": "Calculer les racines",
"partie": "formes",
"statement": "Quelles sont les racines du trinôme $2x^2 - 3x + 1$\n(on rappelle que $\\Delta = 1$) ?",
"options": [
{
"text": "$x_1 = \\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\n= \\dfrac{3 \\pm 1}{4}$, soit $\\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}$\net $\\dfrac{4}{4} = 1$."
},
{
"text": "$x_1 = -\\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $-b = -(-3) = +3$. Le numérateur est\n$3 \\pm 1$, pas $-3 \\pm 1$."
},
{
"text": "$x_1 = 1$ et $x_2 = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de dénominateur : tu as divisé par $2$ au lieu de\n$2a = 4$. La formule est $\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$."
},
{
"text": "Le trinôme n'a pas de racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = 1 > 0$, donc il y a exactement deux\nracines réelles distinctes."
}
],
"explanation": "$\\Delta = 1 > 0$ : deux racines\n$x = \\dfrac{3 \\pm 1}{2 \\times 2}$, soit $x_1 = \\dfrac{1}{2}$ et\n$x_2 = 1$. Vérification : $2 \\times 1 - 3 + 1 = 0$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 1,
"skills": [
"forme-canonique",
"sommet"
],
"title": "Sommet et forme canonique",
"partie": "formes",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Quelles sont les coordonnées du\nsommet de la parabole représentant $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sous la forme canonique\n$a(x - \\alpha)^2 + \\beta$, le sommet est $(\\alpha\\,;\\,\\beta)$,\nici $(2\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe classique : dans $(x - \\alpha)^2$, on lit\n$\\alpha = 2$ car $x - 2 = x - \\alpha$. Le signe **moins**\nfait que l'abscisse du sommet est $+2$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\beta = +3$ se lit directement, sans changement de\nsigne. Seul $\\alpha$ est affecté par le moins de la formule."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : $\\alpha = 2$ est l'**abscisse** et\n$\\beta = 3$ l'**ordonnée** du sommet, pas l'inverse."
}
],
"explanation": "Forme canonique $f(x) = a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : le sommet de\nla parabole est $S(\\alpha\\,;\\,\\beta)$. Ici $\\alpha = 2$ et\n$\\beta = 3$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe",
"tableau-de-signes"
],
"title": "Signe d'un trinôme",
"partie": "signe",
"statement": "Le trinôme $x^2 - 4x + 3$ a pour racines $1$ et $3$.\nSur quel ensemble est-il strictement négatif ?",
"options": [
{
"text": "Sur $]1\\,;\\,3[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a = 1 > 0$, donc le trinôme est du signe de\n$a$ (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire\n(négatif) **entre** les racines."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,1[ \\cup ]3\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est là que le trinôme est **positif** (signe de\n$a$ à l'extérieur des racines, avec $a = 1 > 0$)."
},
{
"text": "Sur $[1\\,;\\,3]$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,\nmais **en** $1$ et $3$ il s'annule. « Strictement négatif »\nexclut les racines : intervalle ouvert."
},
{
"text": "Nulle part, car $a > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $a > 0$ garantit un signe positif seulement si\n$\\Delta < 0$. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change\nde signe."
}
],
"explanation": "Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici $a = 1 > 0$\ndonc $x^2 - 4x + 3 < 0$ exactement sur $]1\\,;\\,3[$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme-produit"
],
"title": "Somme et produit des racines",
"partie": "formes",
"statement": "Le trinôme $x^2 - 5x + 6$ admet deux racines. Que valent leur\nsomme $S$ et leur produit $P$ ?",
"options": [
{
"text": "$S = 5$ et $P = 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $S = -\\dfrac{b}{a} = 5$ et\n$P = \\dfrac{c}{a} = 6$. Les racines sont d'ailleurs $2$ et\n$3$."
},
{
"text": "$S = -5$ et $P = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $S = -\\dfrac{b}{a}$ avec $b = -5$ donne\n$S = +5$. Le moins de la formule et celui de $b$ se\ncompensent."
},
{
"text": "$S = 6$ et $P = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : la somme se lit sur $b$\n($S = -b/a$) et le produit sur $c$ ($P = c/a$)."
},
{
"text": "$S = 5$ et $P = -6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le produit : $P = \\dfrac{c}{a} =\n\\dfrac{6}{1} = 6$, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$S = x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$ et $P = x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$.\nIci $S = 5$, $P = 6$ (racines $2$ et $3$)."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parabole",
"orientation"
],
"title": "Orientation de la parabole",
"partie": "applications",
"statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a < 0$. Que peut-on dire de la\nparabole représentant $f$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $a < 0$, les branches descendent et le\nsommet est le point le plus haut de la courbe."
},
{
"text": "Elle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la situation $a > 0$. Le signe de $a$ commande\nl'orientation des branches."
},
{
"text": "Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum",
"correct": false,
"feedback": "Incohérent : si les branches descendent, le sommet est\nau-dessus de tout le reste, c'est un **maximum**."
},
{
"text": "Son orientation dépend du signe de $c$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $c = f(0)$ ne fixe que le point d'intersection avec\nl'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe\nde $a$."
}
],
"explanation": "Le signe de $a$ donne l'orientation : $a > 0$ branches vers le\nhaut (sommet minimum), $a < 0$ branches vers le bas (sommet\nmaximum)."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"racines"
],
"title": "Lire les racines sur la parabole",
"partie": "applications",
"statement": "La parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous représente un trinôme du\nsecond degré $f$. Quelles sont les racines de $f$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,\net l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de\nf(x) = -x² + 2x + 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-1$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où\nla parabole coupe l'axe des abscisses, ici $-1$ et $3$."
},
{
"text": "$1$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : $1$ est l'abscisse du **sommet**, pas un\npoint de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe\nl'axe en $x = -1$, à gauche de l'origine."
},
{
"text": "$1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,4)$ sont les coordonnées du sommet. Les\nracines se lisent sur l'axe des **abscisses**, là où $f$\ns'annule."
},
{
"text": "$3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux\npoints. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,\nen $x = -1$."
}
],
"explanation": "Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de\nsa parabole avec l'axe des abscisses : ici $x = -1$ et $x = 3$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"lecture-graphique",
"discriminant",
"raisonnement"
],
"title": "Signe de $a$ et de $\\Delta$ d'après la courbe",
"partie": "applications",
"statement": "D'après la parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous, quels sont les\nsignes de $a$ (coefficient dominant) et de $\\Delta$\n(discriminant) ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,\net l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de\nf(x) = -x² + 2x + 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta > 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : branches vers le bas donc $a < 0$ ; deux\nintersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,\ndonc $\\Delta > 0$."
},
{
"text": "$a > 0$ et $\\Delta > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur $a$ : les branches de la parabole descendent,\ndonc $a < 0$."
},
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur $\\Delta$ : la courbe **coupe** l'axe des\nabscisses (deux racines réelles), donc $\\Delta > 0$.\n$\\Delta < 0$ correspondrait à une parabole entièrement d'un\ncôté de l'axe."
},
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = 0$ signifierait que la parabole **touche**\nl'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici\nelle le traverse en deux points distincts."
}
],
"explanation": "Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le\nsigne de $a$ (ici vers le bas, $a < 0$) ; le nombre\nd'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de\n$\\Delta$ (ici deux points, $\\Delta > 0$)."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"discriminant",
"signe"
],
"title": "Cas $\\Delta < 0$",
"partie": "equations",
"statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $\\Delta < 0$. Que peut-on en\ndéduire ?",
"options": [
{
"text": "Le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas\nchanger de signe : il reste du signe de $a$ sur tout\n$\\mathbb{R}$."
},
{
"text": "Le trinôme est strictement positif pour tout réel $x$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : c'est vrai seulement si de plus $a > 0$. Avec\n$a < 0$ et $\\Delta < 0$, le trinôme est toujours\n**négatif**."
},
{
"text": "Le trinôme admet une racine double",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la racine double correspond à $\\Delta = 0$. Avec\n$\\Delta < 0$, il n'y a **aucune** racine réelle."
},
{
"text": "Le trinôme change de signe en $x = -\\dfrac{b}{2a}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-\\dfrac{b}{2a}$ est l'abscisse du sommet, pas un\npoint de changement de signe. Sans racine, aucun changement\nde signe n'est possible."
}
],
"explanation": "Si $\\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa\nparabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un\nsigne constant, celui de $a$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"factorisation"
],
"title": "Factoriser un trinôme",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - x - 6$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 3)(x + 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $3$ et $-2$ (avec\n$\\Delta = 25$), donc\n$x^2 - x - 6 = (x - 3)\\left(x - (-2)\\right) = (x-3)(x+2)$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x - 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signes : ce produit se développe en\n$x^2 + x - 6$. Vérifie toujours le terme en $x$ après\nfactorisation."
},
{
"text": "$(x - 6)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x - 6$. Le produit des\nracines doit valoir $-6$ **et** leur somme $1$ : c'est\n$3$ et $-2$, pas $6$ et $-1$."
},
{
"text": "$(x - 2)(x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x + 6$, dont le terme\nconstant est $+6$. Ici il faut un produit de racines égal à\n$-6$, donc deux racines de signes opposés."
}
],
"explanation": "Racines de $x^2 - x - 6$ : $\\Delta = 1 + 24 = 25$,\n$x = \\dfrac{1 \\pm 5}{2}$, soit $3$ et $-2$. D'où la\nfactorisation $a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 2)$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inequation"
],
"title": "Résoudre une inéquation du second degré",
"partie": "signe",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 - 2x - 8 < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,4[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $-2$ et $4$\n($\\Delta = 36$), et comme $a = 1 > 0$, le trinôme est\nnégatif strictement **entre** ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est\ndu signe de $a = 1 > 0$, donc **positif**. La partie négative\nest entre les racines."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Attention au strict : l'inégalité est $< 0$, or le trinôme\ns'annule en $-2$ et $4$. Ces bornes sont donc exclues :\nintervalle ouvert."
},
{
"text": "$]2\\,;\\,4[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul des racines : $x = \\dfrac{2 \\pm 6}{2}$\ndonne $4$ et $-2$, pas $2$. Reprends la formule\n$x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$."
}
],
"explanation": "$\\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $\\dfrac{2 \\pm 6}{2} = 4$ et\n$-2$. Avec $a > 0$, le trinôme est strictement négatif entre ses\nracines : $S = \\,]-2\\,;\\,4[$."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"extremum",
"variations"
],
"title": "Extremum d'un trinôme",
"partie": "applications",
"statement": "Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$. Quel est l'extremum de $f$ sur\n$\\mathbb{R}$, et en quelle valeur de $x$ est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = -\\dfrac{b}{2a} = \\dfrac{8}{4} = 2$ et\n$f(2) = 8 - 16 + 1 = -7$. Comme $a = 2 > 0$, c'est un\nminimum."
},
{
"text": "Un maximum égal à $-7$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'orientation : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée\nvers le haut, son sommet est donc un **minimum**."
},
{
"text": "Un minimum égal à $1$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, pas\nl'extremum. Le sommet est en $x = -\\dfrac{b}{2a} = 2$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $-\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-8}{4} = +2$.\nLe moins de la formule et celui de $b = -8$ se compensent."
}
],
"explanation": "L'extremum d'un trinôme est atteint en $x = -\\dfrac{b}{2a} = 2$ ;\n$f(2) = -7$. Le signe de $a$ ($2 > 0$) indique que la parabole\nest tournée vers le haut : c'est un minimum."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-produit"
],
"title": "Équation produit nul",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de $(x - 3)(x + 2) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 3$ ou $x = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si\nl'un de ses facteurs est nul : $x - 3 = 0$ ou $x + 2 =\n0$."
},
{
"text": "$x = -3$ ou $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : $x - 3 = 0$ donne $x = +3$ (le signe\nbascule en passant de l'autre côté)."
},
{
"text": "$x = 3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : $x = -2$ annule aussi le produit :\nune équation de degré $2$ peut avoir deux solutions."
},
{
"text": "$x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6 = 3 \\times 2$ mélange les racines : on\nannule chaque **facteur**, on ne les combine pas."
}
],
"explanation": "Règle du produit nul : $AB = 0 \\iff A = 0$ ou $B = 0$. La\nforme factorisée donne les racines **sans aucun calcul** :\nc'est pour cela qu'on factorise."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-x2-k"
],
"title": "Résoudre $x^2 = 16$",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 16$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 4$ ou $x = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux nombres ont pour carré $16$ :\n$4$ et $-4$ (le carré efface le signe)."
},
{
"text": "$x = 4$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Moitié perdue : $(-4)^2 = 16$ aussi : oublier la racine\nnégative est l'erreur la plus fréquente du chapitre."
},
{
"text": "$x = 8$ ou $x = -8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8^2 = 64$. Le nombre $8$ est $16 \\div 2$, pas\nla racine carrée de $16$ ($\\sqrt{16} = 4$)."
},
{
"text": "$x = 256$ ou $x = -256$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inverse : $256 = 16^2$ élève au carré au lieu d'en\nrevenir : on cherche les nombres **dont le carré** vaut\n$16$."
}
],
"explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 = k \\iff x = \\sqrt{k}$ ou $x =\n-\\sqrt{k}$ : toujours deux solutions. ($x^2 = 0$ : une\nseule ; $x^2 = k < 0$ : aucune.)"
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 1,
"skills": [
"racine-double"
],
"title": "Discriminant nul",
"partie": "equations",
"statement": "Que dire des solutions de $x^2 - 6x + 9 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Une seule solution, $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 36 - 36 = 0$ : racine double\n$x = \\frac{-b}{2a} = 3$. D'ailleurs $x^2 - 6x + 9 =\n(x - 3)^2$."
},
{
"text": "Deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(-3)^2 - 6(-3) + 9 = 36 \\neq 0$. Le carré\nparfait $(x-3)^2$ ne s'annule qu'en $3$."
},
{
"text": "Aucune solution réelle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : « aucune solution réelle » correspond à $\\Delta < 0$ ;\nici $\\Delta = 0$ : la parabole **touche** l'axe en un\npoint."
},
{
"text": "Une seule solution, $x = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $81 - 54 + 9 = 36 \\neq 0$. La racine double se\ncalcule par $\\frac{-b}{2a} = \\frac{6}{2} = 3$."
}
],
"explanation": "$\\Delta = 0$ : racine double $x_0 = \\frac{-b}{2a}$, et le\ntrinôme s'écrit $a(x - x_0)^2$ : la parabole est tangente à\nl'axe des abscisses. Réflexe : reconnaître les identités\nremarquables avant de calculer $\\Delta$."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-canonique",
"calcul"
],
"title": "Mettre sous forme canonique",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle est la forme canonique de $f(x) = x^2 + 4x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = (x + 2)^2 - 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$, puis $+1$ :\n$(x+2)^2 - 3$. Contrôle : sommet en $(-2\\ ;\\ -3)$."
},
{
"text": "$f(x) = (x + 2)^2 + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Correction oubliée : $(x+2)^2$ vaut $x^2 + 4x + 4$ : il\nfaut **retirer** ce $4$ excédentaire : $-4 + 1 = -3$."
},
{
"text": "$f(x) = (x + 4)^2 - 15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on divise le coefficient de $x$ par $2$ :\n$(x + 2)^2$, pas $(x + 4)^2$."
},
{
"text": "$f(x) = (x - 2)^2 - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : le sommet est en $x = -2$ (le trinôme\n« penche » vers les $x$ négatifs avec $+4x$) : la forme\nest $(x + 2)^2 - 3$."
}
],
"explanation": "Complétion du carré : $x^2 + bx = \\left(x +\n\\frac{b}{2}\\right)^2 - \\frac{b^2}{4}$. La forme canonique\n$a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ livre le sommet $(\\alpha\\ ;\\\n\\beta)$ et l'extremum sans dériver."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 2,
"skills": [
"racine-evidente"
],
"title": "La racine évidente $x = 1$",
"partie": "equations",
"statement": "Pour le trinôme $2x^2 - 5x + 3$, on remarque que $2 - 5 +\n3 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$x = 1$ est racine, l'autre vaut $\\dfrac{3}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a + b + c = 0$ signifie exactement\n$f(1) = 0$ ; le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a}\n= \\dfrac{3}{2}$, l'autre racine est $\\dfrac{3}{2}$ :\nzéro discriminant calculé."
},
{
"text": "Le trinôme n'a aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la somme nulle des coefficients **fournit**\nune racine ($x = 1$), elle n'en interdit pas."
},
{
"text": "$x = 0$ est racine, l'autre vaut $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = c = 3 \\neq 0$, donc $0$ n'est pas\nracine. C'est $f(1) = a + b + c$ qui est nul."
},
{
"text": "Rien, il faut d'abord calculer $\\Delta$",
"correct": false,
"feedback": "Occasion manquée : l'observation $a + b + c = 0$\ncourt-circuite tout le calcul ($\\Delta = 1$ le\nconfirmerait, mais pourquoi ?)."
}
],
"explanation": "$f(1) = a + b + c$ : si la somme des coefficients est\nnulle, $1$ est racine et l'autre vaut $\\frac{c}{a}$ (par le\nproduit des racines). Variante : $a - b + c = 0 \\Rightarrow\nx = -1$ racine. Deux réflexes qui font gagner des minutes."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"inequation"
],
"title": "Résoudre $x^2 \\leq 9$",
"partie": "signe",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 \\leq 9$ ?",
"options": [
{
"text": "$[-3\\ ;\\ 3]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ est négatif\n**entre** ses racines : le segment $[-3\\ ;\\ 3]$."
},
{
"text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3]$",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la « racine directe » : $x = -5 \\leq 3$\npourtant $25 > 9$ : les grands négatifs ont de grands\ncarrés : l'ensemble est borné des deux côtés."
},
{
"text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inverse : c'est (avec la partie négative) la\nsolution de $x^2 \\geq 9$ : le trinôme est positif à\nl'**extérieur** des racines."
},
{
"text": "$[0\\ ;\\ 3]$",
"correct": false,
"feedback": "Moitié perdue : $(-2)^2 = 4 \\leq 9$ : les négatifs de\n$[-3\\ ;\\ 0]$ conviennent aussi."
}
],
"explanation": "$x^2 \\leq k$ ($k > 0$) $\\iff -\\sqrt{k} \\leq x \\leq\n\\sqrt{k}$ : jamais « $x \\leq \\sqrt{k}$ » seul. Vision\nparabole : $y = x^2$ passe sous $y = 9$ entre les deux\npoints d'intersection."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe-sans-racine"
],
"title": "Trinôme sans racine",
"partie": "signe",
"statement": "Quel est le signe de $f(x) = -x^2 + x - 1$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Strictement négatif pour tout $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, pas de racine\n: le trinôme garde partout le signe de $a = -1$,\nnégatif. La parabole renversée reste entièrement sous\nl'axe."
},
{
"text": "Strictement positif pour tout $x$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $a$ ignoré : sans racine, le trinôme suit\n**$a = -1$** : négatif partout (testez $f(0) = -1$)."
},
{
"text": "Négatif, puis positif au-delà de sa racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : changer de signe exigerait de traverser l'axe,\ndonc des racines : or $\\Delta < 0$ : aucun passage."
},
{
"text": "Le signe dépend de $x$, il faut un tableau complet",
"correct": false,
"feedback": "Tableau inutile ici : $\\Delta < 0$ règle tout en une\nligne : signe constant, celui de $a$."
}
],
"explanation": "$\\Delta < 0$ : le signe constant est celui de $a$. Le contrôle\nd'une valeur ($f(0) = c$) confirme en deux secondes. Cas\ntrès fréquent dans les études de signe de dérivées."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme-produit",
"systeme"
],
"title": "Deux nombres par somme et produit",
"partie": "formes",
"statement": "Deux réels ont pour somme $7$ et pour produit $12$. Quels\nsont-ils ?",
"options": [
{
"text": "$3$ et $4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nombres cherchés sont les racines de\n$x^2 - sx + p = 0$, soit $x^2 - 7x + 12$ : $\\Delta = 1$,\nracines $3$ et $4$."
},
{
"text": "$6$ et $2$",
"correct": false,
"feedback": "Contrôle : somme $8 \\neq 7$. Les deux conditions doivent\ntenir **ensemble** : l'équation $x^2 - 7x + 12$ les\nencode toutes les deux."
},
{
"text": "$7$ et $12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : recopier somme et produit ne les réalise pas\n($7 + 12 = 19$, $7 \\times 12 = 84$)."
},
{
"text": "$-3$ et $-4$",
"correct": false,
"feedback": "Signes : leur somme vaut $-7$ : ce sont les racines de\n$x^2 \\textbf{+} 7x + 12$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et produit $p$ = racines de $x^2 -\nsx + p = 0$ (attention au **moins** devant $s$). Le sens\ninverse de « somme et produit des racines » : très utilisé\nen géométrie et en arithmétique."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parametre"
],
"title": "Paramètre pour une racine double",
"partie": "equations",
"statement": "Pour quelles valeurs de $m$ le trinôme $x^2 + mx + 9$\nadmet-il une racine double ?",
"options": [
{
"text": "$m = 6$ ou $m = -6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : racine double $\\iff \\Delta = m^2 - 36 =\n0 \\iff m = \\pm 6$ : deux valeurs, correspondant à\n$(x + 3)^2$ et $(x - 3)^2$."
},
{
"text": "$m = 6$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Racine négative de $m^2 = 36$ perdue : $m = -6$ donne\n$(x - 3)^2$, racine double aussi : l'équation en $m$ est\nelle-même du second degré !"
},
{
"text": "$m = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0$ pour $m = 3$ :\naucune racine du tout. La condition est $m^2 = 36$."
},
{
"text": "Aucune : le discriminant dépend de $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = m^2 - 36$ dépend de $m$ seulement :\nle discriminant est un nombre attaché au trinôme, pas\nune fonction de $x$."
}
],
"explanation": "Question avec paramètre : exprimer $\\Delta$ en fonction de\n$m$, puis imposer la condition ($= 0$ pour racine double,\n$> 0$ pour deux racines…). L'équation en $m$ qui en résulte\nse résout à son tour : ne pas perdre ses solutions."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-courbes"
],
"title": "Parabole et droite",
"partie": "applications",
"statement": "En quels points la parabole $y = x^2$ coupe-t-elle la\ndroite $y = 2x + 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Aux points d'abscisses $-1$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : égaler : $x^2 = 2x + 3 \\iff x^2 - 2x -\n3 = 0$, racines $-1$ et $3$ (somme $2$, produit $-3$) :\npoints $(-1\\ ;\\ 1)$ et $(3\\ ;\\ 9)$."
},
{
"text": "Aux points d'abscisses $1$ et $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Signes : contrôle : $1^2 = 1$ mais $2(1) + 3 = 5$ : pas\nd'intersection en $1$. Les racines de $x^2 - 2x - 3$\nsont $-1$ et $3$."
},
{
"text": "Nulle part : une droite ne coupe jamais une parabole",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tout dépend du discriminant de l'équation aux\nabscisses : ici $\\Delta = 16 > 0$ : deux points\nd'intersection."
},
{
"text": "Au seul point d'abscisse $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un point unique correspondrait à $\\Delta = 0$\n(droite **tangente**) ; ici $\\Delta = 16 \\neq 0$."
}
],
"explanation": "Intersection de courbes : égaler les expressions, ramener à\n$= 0$, résoudre. Le discriminant raconte la géométrie :\n$\\Delta > 0$ deux points, $\\Delta = 0$ tangence, $\\Delta <\n0$ aucun contact."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parametre",
"discussion"
],
"title": "Nombre de racines selon $m$",
"partie": "equations",
"statement": "Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 + 2x + m = 0$\nadmet-elle deux solutions distinctes ?",
"options": [
{
"text": "$m < 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 4 - 4m > 0 \\iff m < 1$ : en\ndessous du seuil, deux racines ; en $m = 1$ : racine\ndouble $-1$ ; au-delà : plus rien."
},
{
"text": "$m > 1$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $\\Delta = 4 - 4m$ **décroît** avec $m$ :\nplus $m$ grandit, plus le discriminant plonge sous zéro."
},
{
"text": "$m < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Seuil faux : $m = 0{,}5$ donne $\\Delta = 2 > 0$ : deux\nracines. La frontière exacte est $m = 1$."
},
{
"text": "Tout $m$ : une équation de degré $2$ a toujours deux\nsolutions",
"correct": false,
"feedback": "Erreur (en première !) : dans $\\mathbb{R}$, $\\Delta < 0$\nne laisse aucune solution : le nombre de racines dépend\nde $m$."
}
],
"explanation": "Discussion selon le paramètre : $\\Delta(m) = 4 - 4m$, puis\ntrois cas : $m < 1$ (deux racines), $m = 1$ (double),\n$m > 1$ (aucune). Vision graphique : la parabole $y = x^2 +\n2x$ coupée par l'horizontale $y = -m$."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"piege-division"
],
"title": "Ne pas diviser par $x$",
"partie": "equations",
"statement": "Pour résoudre $x^2 = 5x$, un élève divise les deux membres\npar $x$ et conclut $x = 5$. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 0$ : diviser par $x$\nsuppose $x \\neq 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la méthode sûre factorise : $x(x - 5) =\n0$, d'où $x = 0$ **ou** $x = 5$ : la division par une\nquantité pouvant s'annuler ampute l'ensemble des\nsolutions."
},
{
"text": "Rien : $x = 5$ est bien l'unique solution",
"correct": false,
"feedback": "Contrôle : $0^2 = 5 \\times 0$ : zéro est solution ! La\ndivision silencieuse par $x$ l'a fait disparaître."
},
{
"text": "Il fallait plutôt diviser par $5$",
"correct": false,
"feedback": "Hors sujet : diviser par la constante $5$ est licite\nmais ne résout rien : le problème est la division par la\n**variable**."
},
{
"text": "L'équation n'a pas de solution : les degrés sont\ndifférents",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'interdit d'égaler un carré et un\nmultiple : l'équation équivaut à $x^2 - 5x = 0$, deux\nsolutions."
}
],
"explanation": "Règle d'or : ne jamais diviser par une expression qui peut\ns'annuler : tout ramener à $= 0$ et **factoriser** ($x(x -\n5) = 0$). La solution perdue est toujours celle qui annule\nle diviseur."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe",
"coefficient-negatif"
],
"title": "Signe d'un trinôme à coefficient négatif",
"partie": "signe",
"statement": "Un trinôme de coefficient dominant $a = -2$ admet deux racines, $-1$\net $4$. Sur quel ensemble est-il positif ?",
"options": [
{
"text": "Sur $]-1\\,;\\,4[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un trinôme est du signe contraire à celui de $a$ entre\nses racines, donc positif ici."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "C'est là qu'il est négatif : à l'extérieur des racines, le trinôme\nprend le signe de $a$."
},
{
"text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Il s'annule en $-1$ et en $4$, et devient négatif au-delà : pour\n$x = 5$, il vaut $-12$."
},
{
"text": "Sur aucun intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Pour $x = 0$, le trinôme vaut $-2 \\times 1 \\times (-4) = 8$, donc il\nest bien positif quelque part."
}
],
"explanation": "La règle du signe d'un trinôme est la même quel que soit $a$ : signe de\n$a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Un coefficient\nnégatif inverse donc la lecture habituelle."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation",
"piege"
],
"title": "Un produit égal à $10$",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $(x - 1)(x + 2) = 10$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$ et $-4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le développement donne $x^2 + x - 12 = 0$, dont le\ndiscriminant vaut $49$."
},
{
"text": "$11$ et $8$",
"correct": false,
"feedback": "Chaque facteur égalé à $10$ : cette méthode ne vaut que pour un\nproduit nul. Ici $(11-1)(11+2) = 130$."
},
{
"text": "$1$ et $-2$",
"correct": false,
"feedback": "Racines du produit nul : elles annulent le membre de gauche, elles ne\nle rendent pas égal à $10$."
},
{
"text": "$-3$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : pour $x = 4$, le produit vaut $18$, et pour\n$x = -3$, il vaut $4$."
}
],
"explanation": "La règle du produit nul exige un second membre égal à zéro. Quand ce n'est\npas le cas, on développe, on ramène tout du même côté, puis on résout le\ntrinôme obtenu."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 1,
"skills": [
"forme-canonique",
"sommet"
],
"title": "Abscisse du sommet",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle est l'abscisse du sommet de la parabole d'équation\n$y = 2x^2 - 12x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-12}{4} = 3$."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : le coefficient $b$ vaut $-12$, et son opposé est\npositif."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $-\\dfrac{b}{2a}$ divise par $2a$, ici par $4$ et\nnon par $2$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : il donne l'ordonnée à l'origine, pas la\nposition du sommet."
}
],
"explanation": "L'abscisse du sommet vaut $-\\dfrac{b}{2a}$. Son ordonnée s'obtient en\ncalculant l'image de cette valeur, ici $f(3) = -13$."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme-produit",
"trinome"
],
"title": "Construire un trinôme à partir de ses racines",
"partie": "formes",
"statement": "Quel trinôme de coefficient dominant $1$ admet pour racines $2$ et\n$-5$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + 3x - 10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des racines vaut $-3$ et leur produit $-10$,\nd'où $x^2 - (-3)x + (-10)$."
},
{
"text": "$x^2 - 3x - 10$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $x$ : il vaut l'opposé de la somme des\nracines, soit $+3$."
},
{
"text": "$x^2 + 3x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : le produit de $2$ et de $-5$ vaut $-10$."
},
{
"text": "$x^2 - 7x - 10$",
"correct": false,
"feedback": "Différence au lieu de la somme : $2 - 5$ n'intervient pas, c'est bien\n$2 + (-5)$ qu'il faut prendre au signe près."
}
],
"explanation": "Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines d'un trinôme de coefficient dominant\n$1$, alors il s'écrit $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"inequation",
"discriminant"
],
"title": "Une inéquation toujours vraie",
"partie": "signe",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 + 2x + 5 > 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le discriminant vaut $4 - 20 = -16$, donc le trinôme\nne s'annule jamais et garde le signe de $a$, positif."
},
{
"text": "$]-5\\,;\\,1[$",
"correct": false,
"feedback": "Intervalle inventé : sans racine, le trinôme ne change pas de signe,\nil n'y a aucun intervalle à délimiter."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[$",
"correct": false,
"feedback": "Pour $x = 0$, le trinôme vaut $5$, donc l'inéquation est vérifiée\nau-delà de $-1$ également."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait le cas d'un trinôme sans racine à coefficient dominant\nnégatif, ce qui n'est pas la situation."
}
],
"explanation": "Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme garde partout le signe de\nson coefficient dominant. La forme canonique $(x+1)^2 + 4$ le confirme."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"formes",
"methode"
],
"title": "Quelle forme pour quelle lecture",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle écriture d'un trinôme permet de lire directement les\ncoordonnées du sommet ?",
"options": [
{
"text": "La forme canonique",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$, le sommet est le point\nde coordonnées $(\\alpha\\,;\\,\\beta)$."
},
{
"text": "La forme factorisée",
"correct": false,
"feedback": "Elle donne les racines ; le sommet s'en déduit ensuite, en prenant leur\nmilieu."
},
{
"text": "La forme développée",
"correct": false,
"feedback": "Elle donne l'ordonnée à l'origine et permet le calcul du\ndiscriminant, mais pas la lecture directe du sommet."
},
{
"text": "Les trois indifféremment",
"correct": false,
"feedback": "Chacune met en évidence une information différente, c'est justement\npourquoi on passe de l'une à l'autre."
}
],
"explanation": "Forme développée pour le discriminant et l'ordonnée à l'origine, forme\nfactorisée pour les racines et le signe, forme canonique pour le sommet et\nles variations."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-x2-k",
"piege"
],
"title": "Un carré égal à un nombre négatif",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = -9$ ?",
"options": [
{
"text": "Aucune solution réelle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le carré d'un réel est toujours positif ou nul, il\nne peut donc pas valoir $-9$."
},
{
"text": "Deux solutions : $3$ et $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second membre oublié : $3^2$ et $-3^2$ valent tous deux\n$9$, c'est-à-dire l'opposé de $-9$."
},
{
"text": "Une seule solution : $3$",
"correct": false,
"feedback": "Même erreur de signe : $3^2 = 9$ et non $-9$. Aucun\ncarré ne prend une valeur négative."
},
{
"text": "Une seule solution : $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Un nombre négatif élevé au carré redevient positif : $-3^2$ vaut\n$9$, jamais $-9$."
}
],
"explanation": "L'équation $x^2 = k$ admet deux solutions si $k > 0$, une seule si\n$k = 0$, et aucune si $k < 0$. Le signe du second membre se regarde\navant tout calcul de racine carrée."
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"orientation",
"parabole"
],
"title": "Reconnaître une parabole tournée vers le bas",
"partie": "applications",
"statement": "Parmi ces quatre trinômes, lequel est représenté par une parabole\ntournée vers le bas ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = -2x^2 + 5x - 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $x^2$ vaut $-2$, il est négatif,\ndonc les branches de la parabole descendent."
},
{
"text": "$f(x) = 10x^2 - 12x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant $10 > 0$ : les branches montent. Les signes de\n$b$ et de $c$ n'y changent rien."
},
{
"text": "$f(x) = 2x^2 - 5x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe lu sur le mauvais terme : c'est $-5x$ qui est négatif, alors\nque le coefficient de $x^2$ vaut $2$."
},
{
"text": "$f(x) = 3x^2 + 7x - 6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe lu sur le terme constant : $-6$ donne l'ordonnée à l'origine,\npas l'orientation de la parabole."
}
],
"explanation": "Seul le coefficient de $x^2$ décide de l'orientation : positif, les\nbranches montent et le sommet est un minimum ; négatif, elles descendent\net le sommet est un maximum."
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"trinome",
"methode"
],
"title": "Ordonner un trinôme",
"partie": "formes",
"statement": "Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 5 - 3x + 2x^2$.\nQuelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?",
"options": [
{
"text": "$2x^2 - 3x + 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis\nla constante, en conservant chaque signe : $a = 2$, $b = -3$ et\n$c = 5$."
},
{
"text": "$2x^2 + 3x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 3x$, donc le\ncoefficient $b$ vaut $-3$."
},
{
"text": "$5x^2 - 3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ accompagne $x^2$ et $5$ est la\nconstante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits."
},
{
"text": "$-3x + 2x^2 + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée\ncommence par le terme de plus haut degré."
}
],
"explanation": "La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer\nquoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances\ndécroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe.",
"variants": [
{
"statement": "Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 5 - 3x + 2x^2$.\nQuelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?",
"options": [
{
"text": "$2x^2 - 3x + 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis\nla constante, en conservant chaque signe : $a = 2$, $b = -3$ et\n$c = 5$."
},
{
"text": "$2x^2 + 3x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 3x$, donc le\ncoefficient $b$ vaut $-3$."
},
{
"text": "$5x^2 - 3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ accompagne $x^2$ et $5$ est la\nconstante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits."
},
{
"text": "$-3x + 2x^2 + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée\ncommence par le terme de plus haut degré."
}
],
"explanation": "La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer\nquoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances\ndécroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe."
},
{
"statement": "Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 6 - 7x + 4x^2$.\nQuelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?",
"options": [
{
"text": "$4x^2 - 7x + 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis\nla constante, en conservant chaque signe : $a = 4$, $b = -7$ et\n$c = 6$."
},
{
"text": "$4x^2 + 7x + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 7x$, donc le\ncoefficient $b$ vaut $-7$."
},
{
"text": "$6x^2 - 7x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $4$ accompagne $x^2$ et $6$ est la\nconstante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits."
},
{
"text": "$-7x + 4x^2 + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée\ncommence par le terme de plus haut degré."
}
],
"explanation": "La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer\nquoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances\ndécroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe."
},
{
"statement": "Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 9 - 2x + 3x^2$.\nQuelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?",
"options": [
{
"text": "$3x^2 - 2x + 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis\nla constante, en conservant chaque signe : $a = 3$, $b = -2$ et\n$c = 9$."
},
{
"text": "$3x^2 + 2x + 9$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 2x$, donc le\ncoefficient $b$ vaut $-2$."
},
{
"text": "$9x^2 - 2x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $3$ accompagne $x^2$ et $9$ est la\nconstante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits."
},
{
"text": "$-2x + 3x^2 + 9$",
"correct": false,
"feedback": "Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée\ncommence par le terme de plus haut degré."
}
],
"explanation": "La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer\nquoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances\ndécroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe."
},
{
"statement": "Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 6 - 3x + 2x^2$.\nQuelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?",
"options": [
{
"text": "$2x^2 - 3x + 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis\nla constante, en conservant chaque signe : $a = 2$, $b = -3$ et\n$c = 6$."
},
{
"text": "$2x^2 + 3x + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 3x$, donc le\ncoefficient $b$ vaut $-3$."
},
{
"text": "$6x^2 - 3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ accompagne $x^2$ et $6$ est la\nconstante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits."
},
{
"text": "$-3x + 2x^2 + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée\ncommence par le terme de plus haut degré."
}
],
"explanation": "La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer\nquoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances\ndécroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"racine-double",
"factorisation"
],
"title": "Un carré parfait",
"partie": "equations",
"statement": "Le trinôme $x^2 + 10x + 25$ admet une racine double. Quelle est sa\nforme factorisée ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 5)^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la racine double vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -5$, donc\nle trinôme s'écrit $(x + 5)^2$. On retrouve bien $5^2 = 25$."
},
{
"text": "$(x - 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 10x + 25$, dont le\nterme en $x$ est négatif."
},
{
"text": "$(x + 25)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $5$ qui figure\ndans le carré, puisque $5^2 = 25$."
},
{
"text": "$(x + 5)(x + 10)$",
"correct": false,
"feedback": "Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut\n$x^2 + 15x + 50$, pas le trinôme donné."
}
],
"explanation": "Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et\ns'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \\dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître\nl'identité remarquable évite tout calcul.",
"variants": [
{
"statement": "Le trinôme $x^2 + 10x + 25$ admet une racine double. Quelle est sa\nforme factorisée ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 5)^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la racine double vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -5$, donc\nle trinôme s'écrit $(x + 5)^2$. On retrouve bien $5^2 = 25$."
},
{
"text": "$(x - 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 10x + 25$, dont le\nterme en $x$ est négatif."
},
{
"text": "$(x + 25)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $5$ qui figure\ndans le carré, puisque $5^2 = 25$."
},
{
"text": "$(x + 5)(x + 10)$",
"correct": false,
"feedback": "Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut\n$x^2 + 15x + 50$, pas le trinôme donné."
}
],
"explanation": "Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et\ns'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \\dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître\nl'identité remarquable évite tout calcul."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 + 6x + 9$ admet une racine double. Quelle est sa\nforme factorisée ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 3)^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la racine double vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -3$, donc\nle trinôme s'écrit $(x + 3)^2$. On retrouve bien $3^2 = 9$."
},
{
"text": "$(x - 3)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 6x + 9$, dont le\nterme en $x$ est négatif."
},
{
"text": "$(x + 9)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $3$ qui figure\ndans le carré, puisque $3^2 = 9$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x + 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut\n$x^2 + 9x + 18$, pas le trinôme donné."
}
],
"explanation": "Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et\ns'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \\dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître\nl'identité remarquable évite tout calcul."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 + 14x + 49$ admet une racine double. Quelle est sa\nforme factorisée ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 7)^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la racine double vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -7$, donc\nle trinôme s'écrit $(x + 7)^2$. On retrouve bien $7^2 = 49$."
},
{
"text": "$(x - 7)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 14x + 49$, dont le\nterme en $x$ est négatif."
},
{
"text": "$(x + 49)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $7$ qui figure\ndans le carré, puisque $7^2 = 49$."
},
{
"text": "$(x + 7)(x + 14)$",
"correct": false,
"feedback": "Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut\n$x^2 + 21x + 98$, pas le trinôme donné."
}
],
"explanation": "Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et\ns'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \\dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître\nl'identité remarquable évite tout calcul."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 + 8x + 16$ admet une racine double. Quelle est sa\nforme factorisée ?",
"options": [
{
"text": "$(x + 4)^2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la racine double vaut $\\dfrac{-b}{2a} = -4$, donc\nle trinôme s'écrit $(x + 4)^2$. On retrouve bien $4^2 = 16$."
},
{
"text": "$(x - 4)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 8x + 16$, dont le\nterme en $x$ est négatif."
},
{
"text": "$(x + 16)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $4$ qui figure\ndans le carré, puisque $4^2 = 16$."
},
{
"text": "$(x + 4)(x + 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut\n$x^2 + 12x + 32$, pas le trinôme donné."
}
],
"explanation": "Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et\ns'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \\dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître\nl'identité remarquable évite tout calcul."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations",
"extremum"
],
"title": "Croissance lue sur la forme canonique",
"partie": "applications",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -2(x - 3)^2 + 5$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ncroissante ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : avec $a = -2 < 0$, la parabole monte jusqu'à son\nsommet d'abscisse $3$, puis redescend."
},
{
"text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le\ncoefficient dominant est négatif."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées confondues : $5$ est l'ordonnée du sommet, alors que\nle changement de sens a lieu en $x = 3$."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme n'est jamais croissant sur $\\mathbb{R}$ : il change de\nsens de variation en son sommet."
}
],
"explanation": "La forme canonique $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ donne le sommet\n$(\\alpha\\,;\\,\\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction\ncroît jusqu'à $\\alpha$ puis décroît.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -2(x - 3)^2 + 5$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ncroissante ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : avec $a = -2 < 0$, la parabole monte jusqu'à son\nsommet d'abscisse $3$, puis redescend."
},
{
"text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le\ncoefficient dominant est négatif."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées confondues : $5$ est l'ordonnée du sommet, alors que\nle changement de sens a lieu en $x = 3$."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme n'est jamais croissant sur $\\mathbb{R}$ : il change de\nsens de variation en son sommet."
}
],
"explanation": "La forme canonique $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ donne le sommet\n$(\\alpha\\,;\\,\\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction\ncroît jusqu'à $\\alpha$ puis décroît."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -5(x + 4)^2 + 2$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ncroissante ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-4]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : avec $a = -5 < 0$, la parabole monte jusqu'à son\nsommet d'abscisse $-4$, puis redescend."
},
{
"text": "$[-4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le\ncoefficient dominant est négatif."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées confondues : $2$ est l'ordonnée du sommet, alors que\nle changement de sens a lieu en $x = -4$."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme n'est jamais croissant sur $\\mathbb{R}$ : il change de\nsens de variation en son sommet."
}
],
"explanation": "La forme canonique $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ donne le sommet\n$(\\alpha\\,;\\,\\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction\ncroît jusqu'à $\\alpha$ puis décroît."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -3(x - 1)^2 - 6$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ncroissante ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,1]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : avec $a = -3 < 0$, la parabole monte jusqu'à son\nsommet d'abscisse $1$, puis redescend."
},
{
"text": "$[1\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le\ncoefficient dominant est négatif."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-6]$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées confondues : $-6$ est l'ordonnée du sommet, alors que\nle changement de sens a lieu en $x = 1$."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme n'est jamais croissant sur $\\mathbb{R}$ : il change de\nsens de variation en son sommet."
}
],
"explanation": "La forme canonique $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ donne le sommet\n$(\\alpha\\,;\\,\\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction\ncroît jusqu'à $\\alpha$ puis décroît."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -2(x - 4)^2 + 5$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ncroissante ?",
"options": [
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : avec $a = -2 < 0$, la parabole monte jusqu'à son\nsommet d'abscisse $4$, puis redescend."
},
{
"text": "$[4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le\ncoefficient dominant est négatif."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées confondues : $5$ est l'ordonnée du sommet, alors que\nle changement de sens a lieu en $x = 4$."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme n'est jamais croissant sur $\\mathbb{R}$ : il change de\nsens de variation en son sommet."
}
],
"explanation": "La forme canonique $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ donne le sommet\n$(\\alpha\\,;\\,\\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction\ncroît jusqu'à $\\alpha$ puis décroît."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-produit",
"calcul"
],
"title": "Produit nul avec un coefficient",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(2x - 3)(x + 5) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2x - 3 = 0$ donne $x = \\dfrac{3}{2}$, et $x + 5 = 0$\ndonne $x = -5$."
},
{
"text": "$x = 3$ ou $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change\nles signes et fait apparaître le coefficient $2$."
},
{
"text": "$x = -\\dfrac{3}{2}$ ou $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés dans les deux facteurs : $2x - 3 = 0$ donne un\nquotient positif, et $x + 5 = 0$ un nombre négatif."
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2}{3}$ ou $x = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise $3$ par $2$, le coefficient de\n$x$ passant au dénominateur."
}
],
"explanation": "Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur\nse résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une\nsolution fractionnaire.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(2x - 3)(x + 5) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2x - 3 = 0$ donne $x = \\dfrac{3}{2}$, et $x + 5 = 0$\ndonne $x = -5$."
},
{
"text": "$x = 3$ ou $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change\nles signes et fait apparaître le coefficient $2$."
},
{
"text": "$x = -\\dfrac{3}{2}$ ou $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés dans les deux facteurs : $2x - 3 = 0$ donne un\nquotient positif, et $x + 5 = 0$ un nombre négatif."
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2}{3}$ ou $x = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise $3$ par $2$, le coefficient de\n$x$ passant au dénominateur."
}
],
"explanation": "Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur\nse résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une\nsolution fractionnaire."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(3x - 4)(x + 2) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{4}{3}$ ou $x = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3x - 4 = 0$ donne $x = \\dfrac{4}{3}$, et $x + 2 = 0$\ndonne $x = -2$."
},
{
"text": "$x = 4$ ou $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change\nles signes et fait apparaître le coefficient $3$."
},
{
"text": "$x = -\\dfrac{4}{3}$ ou $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés dans les deux facteurs : $3x - 4 = 0$ donne un\nquotient positif, et $x + 2 = 0$ un nombre négatif."
},
{
"text": "$x = \\dfrac{3}{4}$ ou $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise $4$ par $3$, le coefficient de\n$x$ passant au dénominateur."
}
],
"explanation": "Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur\nse résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une\nsolution fractionnaire."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(5x - 2)(x + 7) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{2}{5}$ ou $x = -7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5x - 2 = 0$ donne $x = \\dfrac{2}{5}$, et $x + 7 = 0$\ndonne $x = -7$."
},
{
"text": "$x = 2$ ou $x = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change\nles signes et fait apparaître le coefficient $5$."
},
{
"text": "$x = -\\dfrac{2}{5}$ ou $x = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés dans les deux facteurs : $5x - 2 = 0$ donne un\nquotient positif, et $x + 7 = 0$ un nombre négatif."
},
{
"text": "$x = \\dfrac{5}{2}$ ou $x = -7$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise $2$ par $5$, le coefficient de\n$x$ passant au dénominateur."
}
],
"explanation": "Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur\nse résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une\nsolution fractionnaire."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(2x - 3)(x + 2) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{3}{2}$ ou $x = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2x - 3 = 0$ donne $x = \\dfrac{3}{2}$, et $x + 2 = 0$\ndonne $x = -2$."
},
{
"text": "$x = 3$ ou $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change\nles signes et fait apparaître le coefficient $2$."
},
{
"text": "$x = -\\dfrac{3}{2}$ ou $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés dans les deux facteurs : $2x - 3 = 0$ donne un\nquotient positif, et $x + 2 = 0$ un nombre négatif."
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2}{3}$ ou $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise $3$ par $2$, le coefficient de\n$x$ passant au dénominateur."
}
],
"explanation": "Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur\nse résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une\nsolution fractionnaire."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"formes",
"factorisation"
],
"title": "Factoriser avec un coefficient dominant",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle est la forme factorisée du trinôme $2x^2 - 4x - 6$,\ndont les racines sont $3$ et $-1$ ?",
"options": [
{
"text": "$2(x - 3)(x + 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc\n$2(x - 3)(x + 1)$ ici."
},
{
"text": "$(x - 3)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,\nmais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $2x^2$."
},
{
"text": "$2(x + 3)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque\nracine change de signe en passant dans la parenthèse."
},
{
"text": "$(2x - 3)(2x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors\n$4x^2$ au lieu de $2x^2$."
}
],
"explanation": "Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en\n$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant\nle produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée du trinôme $2x^2 - 4x - 6$,\ndont les racines sont $3$ et $-1$ ?",
"options": [
{
"text": "$2(x - 3)(x + 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc\n$2(x - 3)(x + 1)$ ici."
},
{
"text": "$(x - 3)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,\nmais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $2x^2$."
},
{
"text": "$2(x + 3)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque\nracine change de signe en passant dans la parenthèse."
},
{
"text": "$(2x - 3)(2x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors\n$4x^2$ au lieu de $2x^2$."
}
],
"explanation": "Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en\n$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant\nle produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée du trinôme $3x^2 + 6x - 24$,\ndont les racines sont $2$ et $-4$ ?",
"options": [
{
"text": "$3(x - 2)(x + 4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc\n$3(x - 2)(x + 4)$ ici."
},
{
"text": "$(x - 2)(x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,\nmais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $3x^2$."
},
{
"text": "$3(x + 2)(x - 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque\nracine change de signe en passant dans la parenthèse."
},
{
"text": "$(3x - 2)(3x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors\n$9x^2$ au lieu de $3x^2$."
}
],
"explanation": "Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en\n$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant\nle produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée du trinôme $2x^2 - 12x + 10$,\ndont les racines sont $5$ et $1$ ?",
"options": [
{
"text": "$2(x - 5)(x - 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc\n$2(x - 5)(x - 1)$ ici."
},
{
"text": "$(x - 5)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,\nmais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $2x^2$."
},
{
"text": "$2(x + 5)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque\nracine change de signe en passant dans la parenthèse."
},
{
"text": "$(2x - 5)(2x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors\n$4x^2$ au lieu de $2x^2$."
}
],
"explanation": "Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en\n$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant\nle produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée du trinôme $3x^2 + 3x - 6$,\ndont les racines sont $-2$ et $1$ ?",
"options": [
{
"text": "$3(x + 2)(x - 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc\n$3(x + 2)(x - 1)$ ici."
},
{
"text": "$(x + 2)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,\nmais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $3x^2$."
},
{
"text": "$3(x - 2)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque\nracine change de signe en passant dans la parenthèse."
},
{
"text": "$(3x + 2)(3x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors\n$9x^2$ au lieu de $3x^2$."
}
],
"explanation": "Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en\n$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant\nle produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-de-signes",
"signe"
],
"title": "Remonter d'un tableau de signes au trinôme",
"partie": "signe",
"statement": "Un trinôme est strictement négatif sur $]-\\infty\\,;\\,-2[$,\nstrictement positif sur $]-2\\,;\\,5[$, puis strictement négatif sur\n$]5\\,;\\,+\\infty[$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$a < 0$, et les racines sont $-2$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des\nracines, donc $a < 0$, et il s'annule en $-2$ et $5$."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $-2$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif\nà l'extérieur des racines, pas entre elles."
},
{
"text": "$a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,\ndonc il y a bien deux racines."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $2$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent\ndirectement dans le tableau, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui\nséparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur\nde ces racines est celui du coefficient dominant.",
"variants": [
{
"statement": "Un trinôme est strictement négatif sur $]-\\infty\\,;\\,-2[$,\nstrictement positif sur $]-2\\,;\\,5[$, puis strictement négatif sur\n$]5\\,;\\,+\\infty[$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$a < 0$, et les racines sont $-2$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des\nracines, donc $a < 0$, et il s'annule en $-2$ et $5$."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $-2$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif\nà l'extérieur des racines, pas entre elles."
},
{
"text": "$a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,\ndonc il y a bien deux racines."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $2$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent\ndirectement dans le tableau, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui\nséparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur\nde ces racines est celui du coefficient dominant."
},
{
"statement": "Un trinôme est strictement négatif sur $]-\\infty\\,;\\,1[$,\nstrictement positif sur $]1\\,;\\,4[$, puis strictement négatif sur\n$]4\\,;\\,+\\infty[$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$a < 0$, et les racines sont $1$ et $4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des\nracines, donc $a < 0$, et il s'annule en $1$ et $4$."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif\nà l'extérieur des racines, pas entre elles."
},
{
"text": "$a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,\ndonc il y a bien deux racines."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $-1$ et $-4$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent\ndirectement dans le tableau, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui\nséparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur\nde ces racines est celui du coefficient dominant."
},
{
"statement": "Un trinôme est strictement négatif sur $]-\\infty\\,;\\,-3[$,\nstrictement positif sur $]-3\\,;\\,2[$, puis strictement négatif sur\n$]2\\,;\\,+\\infty[$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$a < 0$, et les racines sont $-3$ et $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des\nracines, donc $a < 0$, et il s'annule en $-3$ et $2$."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $-3$ et $2$",
"correct": false,
"feedback": "Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif\nà l'extérieur des racines, pas entre elles."
},
{
"text": "$a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,\ndonc il y a bien deux racines."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $3$ et $-2$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent\ndirectement dans le tableau, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui\nséparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur\nde ces racines est celui du coefficient dominant."
},
{
"statement": "Un trinôme est strictement négatif sur $]-\\infty\\,;\\,-2[$,\nstrictement positif sur $]-2\\,;\\,4[$, puis strictement négatif sur\n$]4\\,;\\,+\\infty[$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$a < 0$, et les racines sont $-2$ et $4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des\nracines, donc $a < 0$, et il s'annule en $-2$ et $4$."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $-2$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif\nà l'extérieur des racines, pas entre elles."
},
{
"text": "$a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,\ndonc il y a bien deux racines."
},
{
"text": "$a > 0$, et les racines sont $2$ et $-4$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent\ndirectement dans le tableau, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui\nséparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur\nde ces racines est celui du coefficient dominant."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"racine-evidente",
"somme-produit"
],
"title": "La racine évidente $x = -1$",
"partie": "equations",
"statement": "Pour le trinôme $3x^2 + 5x + 2$, on remarque que\n$3 - 5 + 2 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\\dfrac{2}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est\nracine. Le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a} = \\dfrac{2}{3}$,\nl'autre racine est $-\\dfrac{2}{3}$."
},
{
"text": "$1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est\nla somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit\ndes racines vaut $\\dfrac{2}{3}$, or la première est négative."
},
{
"text": "Le trinôme n'admet aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en\ninterdit pas. Le trinôme en a donc au moins une."
}
],
"explanation": "Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et\n$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors\npar le produit $\\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant.",
"variants": [
{
"statement": "Pour le trinôme $3x^2 + 5x + 2$, on remarque que\n$3 - 5 + 2 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\\dfrac{2}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est\nracine. Le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a} = \\dfrac{2}{3}$,\nl'autre racine est $-\\dfrac{2}{3}$."
},
{
"text": "$1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est\nla somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit\ndes racines vaut $\\dfrac{2}{3}$, or la première est négative."
},
{
"text": "Le trinôme n'admet aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en\ninterdit pas. Le trinôme en a donc au moins une."
}
],
"explanation": "Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et\n$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors\npar le produit $\\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant."
},
{
"statement": "Pour le trinôme $5x^2 + 8x + 3$, on remarque que\n$5 - 8 + 3 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est\nracine. Le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a} = \\dfrac{3}{5}$,\nl'autre racine est $-\\dfrac{3}{5}$."
},
{
"text": "$1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est\nla somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit\ndes racines vaut $\\dfrac{3}{5}$, or la première est négative."
},
{
"text": "Le trinôme n'admet aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en\ninterdit pas. Le trinôme en a donc au moins une."
}
],
"explanation": "Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et\n$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors\npar le produit $\\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant."
},
{
"statement": "Pour le trinôme $4x^2 + 5x + 1$, on remarque que\n$4 - 5 + 1 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est\nracine. Le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a} = \\dfrac{1}{4}$,\nl'autre racine est $-\\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est\nla somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit\ndes racines vaut $\\dfrac{1}{4}$, or la première est négative."
},
{
"text": "Le trinôme n'admet aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en\ninterdit pas. Le trinôme en a donc au moins une."
}
],
"explanation": "Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et\n$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors\npar le produit $\\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant."
},
{
"statement": "Pour le trinôme $2x^2 + 7x + 5$, on remarque que\n$2 - 7 + 5 = 0$. Qu'en déduit-on ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\\dfrac{5}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est\nracine. Le produit des racines valant $\\dfrac{c}{a} = \\dfrac{5}{2}$,\nl'autre racine est $-\\dfrac{5}{2}$."
},
{
"text": "$1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{5}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est\nla somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\\dfrac{5}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit\ndes racines vaut $\\dfrac{5}{2}$, or la première est négative."
},
{
"text": "Le trinôme n'admet aucune racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en\ninterdit pas. Le trinôme en a donc au moins une."
}
],
"explanation": "Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et\n$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors\npar le produit $\\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"coefficient-negatif",
"inequation"
],
"title": "Inéquation à coefficient dominant négatif",
"partie": "signe",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-x^2 + 2x + 8 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont\n$-2$ et $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,4[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme\nest positif entre ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des\nracines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en\n$-2$ et en $4$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses\nracines : l'ensemble cherché n'est pas vide."
}
],
"explanation": "La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les\nconclusions habituelles qui s'inversent.",
"variants": [
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-x^2 + 2x + 8 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont\n$-2$ et $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,4[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme\nest positif entre ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des\nracines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en\n$-2$ et en $4$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses\nracines : l'ensemble cherché n'est pas vide."
}
],
"explanation": "La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les\nconclusions habituelles qui s'inversent."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-x^2 + 4x + 5 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont\n$-1$ et $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-1\\,;\\,5[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme\nest positif entre ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cup ]5\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des\nracines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif."
},
{
"text": "$[-1\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en\n$-1$ et en $5$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses\nracines : l'ensemble cherché n'est pas vide."
}
],
"explanation": "La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les\nconclusions habituelles qui s'inversent."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-x^2 + 3x + 18 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont\n$-3$ et $6$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-3\\,;\\,6[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme\nest positif entre ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[ \\cup ]6\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des\nracines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif."
},
{
"text": "$[-3\\,;\\,6]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en\n$-3$ et en $6$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses\nracines : l'ensemble cherché n'est pas vide."
}
],
"explanation": "La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les\nconclusions habituelles qui s'inversent."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-x^2 + 3x + 10 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont\n$-2$ et $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,5[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme\nest positif entre ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]5\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des\nracines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en\n$-2$ et en $5$."
},
{
"text": "L'ensemble vide",
"correct": false,
"feedback": "Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses\nracines : l'ensemble cherché n'est pas vide."
}
],
"explanation": "La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les\nconclusions habituelles qui s'inversent."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"systeme",
"somme-produit"
],
"title": "Dimensions d'un rectangle",
"partie": "equations",
"statement": "Un rectangle a pour périmètre $22$ cm et pour aire $24$ cm$^2$.\nQuelles sont ses dimensions ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm et $3$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des côtés vaut $11$ et leur produit\n$24$, donc ils sont racines de $x^2 - 11x + 24$."
},
{
"text": "$9$ cm et $2$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $11$, mais le\nproduit donne $18$ au lieu de $24$."
},
{
"text": "$24$ cm et $1$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $24$, mais\nle périmètre atteindrait $50$ cm."
},
{
"text": "$5{,}5$ cm et $5{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait\n$30{,}25$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de\n$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc\ntoujours à une équation du second degré.",
"variants": [
{
"statement": "Un rectangle a pour périmètre $22$ cm et pour aire $24$ cm$^2$.\nQuelles sont ses dimensions ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm et $3$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des côtés vaut $11$ et leur produit\n$24$, donc ils sont racines de $x^2 - 11x + 24$."
},
{
"text": "$9$ cm et $2$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $11$, mais le\nproduit donne $18$ au lieu de $24$."
},
{
"text": "$24$ cm et $1$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $24$, mais\nle périmètre atteindrait $50$ cm."
},
{
"text": "$5{,}5$ cm et $5{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait\n$30{,}25$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de\n$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc\ntoujours à une équation du second degré."
},
{
"statement": "Un rectangle a pour périmètre $26$ cm et pour aire $36$ cm$^2$.\nQuelles sont ses dimensions ?",
"options": [
{
"text": "$9$ cm et $4$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des côtés vaut $13$ et leur produit\n$36$, donc ils sont racines de $x^2 - 13x + 36$."
},
{
"text": "$10$ cm et $3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $13$, mais le\nproduit donne $30$ au lieu de $36$."
},
{
"text": "$36$ cm et $1$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $36$, mais\nle périmètre atteindrait $74$ cm."
},
{
"text": "$6{,}5$ cm et $6{,}5$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait\n$42{,}25$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de\n$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc\ntoujours à une équation du second degré."
},
{
"statement": "Un rectangle a pour périmètre $24$ cm et pour aire $35$ cm$^2$.\nQuelles sont ses dimensions ?",
"options": [
{
"text": "$7$ cm et $5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des côtés vaut $12$ et leur produit\n$35$, donc ils sont racines de $x^2 - 12x + 35$."
},
{
"text": "$8$ cm et $4$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $12$, mais le\nproduit donne $32$ au lieu de $35$."
},
{
"text": "$35$ cm et $1$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $35$, mais\nle périmètre atteindrait $72$ cm."
},
{
"text": "$6$ cm et $6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait\n$36$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de\n$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc\ntoujours à une équation du second degré."
},
{
"statement": "Un rectangle a pour périmètre $24$ cm et pour aire $32$ cm$^2$.\nQuelles sont ses dimensions ?",
"options": [
{
"text": "$8$ cm et $4$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des côtés vaut $12$ et leur produit\n$32$, donc ils sont racines de $x^2 - 12x + 32$."
},
{
"text": "$9$ cm et $3$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $12$, mais le\nproduit donne $27$ au lieu de $32$."
},
{
"text": "$32$ cm et $1$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $32$, mais\nle périmètre atteindrait $66$ cm."
},
{
"text": "$6$ cm et $6$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait\n$36$ cm$^2$."
}
],
"explanation": "Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de\n$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc\ntoujours à une équation du second degré."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe-sans-racine",
"raisonnement"
],
"title": "Aucune racine et une valeur connue",
"partie": "signe",
"statement": "Un trinôme $f$ n'admet aucune racine réelle et vérifie $f(0) = -7$.\nQue peut-on dire de son signe sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Il est strictement négatif sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sans racine, le signe est constant ; la valeur\n$f(0) = -7$ montre que ce signe est négatif."
},
{
"text": "Il est strictement positif sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur connue ignorée : $f(0) = -7$ est négatif, donc le trinôme\nl'est partout puisque son signe ne change pas."
},
{
"text": "Il change de signe en une valeur de $x$",
"correct": false,
"feedback": "Changer de signe suppose de traverser l'axe des abscisses, donc\nd'avoir une racine, ce que l'énoncé exclut."
},
{
"text": "Son signe dépend de la valeur de $x$ considérée",
"correct": false,
"feedback": "Sans racine, le signe est le même pour tous les réels : une seule\nvaleur calculée suffit à le déterminer."
}
],
"explanation": "Un trinôme sans racine réelle garde le signe de son coefficient\ndominant sur $\\mathbb{R}$. Calculer une image, la plus simple étant\n$f(0) = c$, suffit alors à trancher."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 3,
"skills": [
"piege-division",
"equation"
],
"title": "Simplifier un facteur commun",
"partie": "equations",
"statement": "Pour résoudre $(x - 2)(x + 5) = (x - 2)(3x - 1)$, un élève\nsimplifie les deux membres par $(x - 2)$ et annonce une solution\nunique. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 2$ annule le facteur commun, donc les deux\nmembres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise."
},
{
"text": "Il a raison : $x = 3$ est la seule solution",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 2$\nannule aussi les deux membres."
},
{
"text": "Il a tort : l'équation n'a aucune solution",
"correct": false,
"feedback": "L'équation en a deux : $x = 2$, perdue par la simplification, et\n$x = 3$, trouvée par l'élève."
},
{
"text": "Il a tort : il fallait diviser par $(3x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute\ndivision par une expression pouvant s'annuler perd des solutions."
}
],
"explanation": "Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On\nramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,\npuis on applique la règle du produit nul.",
"variants": [
{
"statement": "Pour résoudre $(x - 2)(x + 5) = (x - 2)(3x - 1)$, un élève\nsimplifie les deux membres par $(x - 2)$ et annonce une solution\nunique. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 2$ annule le facteur commun, donc les deux\nmembres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise."
},
{
"text": "Il a raison : $x = 3$ est la seule solution",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 2$\nannule aussi les deux membres."
},
{
"text": "Il a tort : l'équation n'a aucune solution",
"correct": false,
"feedback": "L'équation en a deux : $x = 2$, perdue par la simplification, et\n$x = 3$, trouvée par l'élève."
},
{
"text": "Il a tort : il fallait diviser par $(3x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute\ndivision par une expression pouvant s'annuler perd des solutions."
}
],
"explanation": "Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On\nramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,\npuis on applique la règle du produit nul."
},
{
"statement": "Pour résoudre $(x - 4)(x + 7) = (x - 4)(2x + 1)$, un élève\nsimplifie les deux membres par $(x - 4)$ et annonce une solution\nunique. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 4$ annule le facteur commun, donc les deux\nmembres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise."
},
{
"text": "Il a raison : $x = 6$ est la seule solution",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 4$\nannule aussi les deux membres."
},
{
"text": "Il a tort : l'équation n'a aucune solution",
"correct": false,
"feedback": "L'équation en a deux : $x = 4$, perdue par la simplification, et\n$x = 6$, trouvée par l'élève."
},
{
"text": "Il a tort : il fallait diviser par $(2x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute\ndivision par une expression pouvant s'annuler perd des solutions."
}
],
"explanation": "Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On\nramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,\npuis on applique la règle du produit nul."
},
{
"statement": "Pour résoudre $(x - 1)(x + 9) = (x - 1)(4x + 3)$, un élève\nsimplifie les deux membres par $(x - 1)$ et annonce une solution\nunique. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 1$ annule le facteur commun, donc les deux\nmembres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise."
},
{
"text": "Il a raison : $x = 2$ est la seule solution",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 1$\nannule aussi les deux membres."
},
{
"text": "Il a tort : l'équation n'a aucune solution",
"correct": false,
"feedback": "L'équation en a deux : $x = 1$, perdue par la simplification, et\n$x = 2$, trouvée par l'élève."
},
{
"text": "Il a tort : il fallait diviser par $(4x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute\ndivision par une expression pouvant s'annuler perd des solutions."
}
],
"explanation": "Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On\nramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,\npuis on applique la règle du produit nul."
},
{
"statement": "Pour résoudre $(x - 5)(x + 7) = (x - 5)(2x + 1)$, un élève\nsimplifie les deux membres par $(x - 5)$ et annonce une solution\nunique. Qu'en penser ?",
"options": [
{
"text": "Il a perdu la solution $x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 5$ annule le facteur commun, donc les deux\nmembres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise."
},
{
"text": "Il a raison : $x = 6$ est la seule solution",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 5$\nannule aussi les deux membres."
},
{
"text": "Il a tort : l'équation n'a aucune solution",
"correct": false,
"feedback": "L'équation en a deux : $x = 5$, perdue par la simplification, et\n$x = 6$, trouvée par l'élève."
},
{
"text": "Il a tort : il fallait diviser par $(2x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute\ndivision par une expression pouvant s'annuler perd des solutions."
}
],
"explanation": "Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On\nramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,\npuis on applique la règle du produit nul."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-courbes",
"discussion"
],
"title": "Droite tangente à une parabole",
"partie": "applications",
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 2x + m$\nest-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = -1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 2x + m$ donne\n$x^2 - 2x - m = 0$, de discriminant $4 + 4m$, nul pour\n$m = -1$."
},
{
"text": "$m = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : $4 + 4m = 0$ impose $4m = -4$, donc $m$ est\nnégatif."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux\npoints, d'abscisses $0$ et $2$."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Discriminant confondu avec sa première partie : $4$ est la valeur\nde $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier."
}
],
"explanation": "Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses\ncommunes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.\nLe contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$.",
"variants": [
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 2x + m$\nest-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = -1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 2x + m$ donne\n$x^2 - 2x - m = 0$, de discriminant $4 + 4m$, nul pour\n$m = -1$."
},
{
"text": "$m = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : $4 + 4m = 0$ impose $4m = -4$, donc $m$ est\nnégatif."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux\npoints, d'abscisses $0$ et $2$."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Discriminant confondu avec sa première partie : $4$ est la valeur\nde $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier."
}
],
"explanation": "Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses\ncommunes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.\nLe contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 4x + m$\nest-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 4x + m$ donne\n$x^2 - 4x - m = 0$, de discriminant $16 + 4m$, nul pour\n$m = -4$."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : $16 + 4m = 0$ impose $4m = -16$, donc $m$ est\nnégatif."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux\npoints, d'abscisses $0$ et $4$."
},
{
"text": "$m = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Discriminant confondu avec sa première partie : $16$ est la valeur\nde $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier."
}
],
"explanation": "Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses\ncommunes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.\nLe contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 6x + m$\nest-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = -9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 6x + m$ donne\n$x^2 - 6x - m = 0$, de discriminant $36 + 4m$, nul pour\n$m = -9$."
},
{
"text": "$m = 9$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : $36 + 4m = 0$ impose $4m = -36$, donc $m$ est\nnégatif."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux\npoints, d'abscisses $0$ et $6$."
},
{
"text": "$m = 36$",
"correct": false,
"feedback": "Discriminant confondu avec sa première partie : $36$ est la valeur\nde $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier."
}
],
"explanation": "Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses\ncommunes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.\nLe contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 8x + m$\nest-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = -16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 8x + m$ donne\n$x^2 - 8x - m = 0$, de discriminant $64 + 4m$, nul pour\n$m = -16$."
},
{
"text": "$m = 16$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : $64 + 4m = 0$ impose $4m = -64$, donc $m$ est\nnégatif."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux\npoints, d'abscisses $0$ et $8$."
},
{
"text": "$m = 64$",
"correct": false,
"feedback": "Discriminant confondu avec sa première partie : $64$ est la valeur\nde $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier."
}
],
"explanation": "Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses\ncommunes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.\nLe contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"somme-produit",
"raisonnement"
],
"title": "Somme des inverses des racines",
"partie": "formes",
"statement": "Le trinôme $x^2 - 7x + 12$ admet deux racines non nulles $x_1$ et\n$x_2$. Que vaut $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{12}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} =\n\\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\dfrac{7}{12} = \\dfrac{7}{12}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{12}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur\nproduit au dénominateur, pas l'inverse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{7}{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a} = 7$, qui est\npositif ici."
},
{
"text": "$19$",
"correct": false,
"feedback": "Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne\nrépond pas à la question posée."
}
],
"explanation": "Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des\nracines : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{-b/a}{c/a}$. Les\nrelations entre coefficients et racines évitent de les calculer.",
"variants": [
{
"statement": "Le trinôme $x^2 - 7x + 12$ admet deux racines non nulles $x_1$ et\n$x_2$. Que vaut $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{12}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} =\n\\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\dfrac{7}{12} = \\dfrac{7}{12}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{12}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur\nproduit au dénominateur, pas l'inverse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{7}{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a} = 7$, qui est\npositif ici."
},
{
"text": "$19$",
"correct": false,
"feedback": "Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne\nrépond pas à la question posée."
}
],
"explanation": "Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des\nracines : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{-b/a}{c/a}$. Les\nrelations entre coefficients et racines évitent de les calculer."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 - 8x + 15$ admet deux racines non nulles $x_1$ et\n$x_2$. Que vaut $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{8}{15}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} =\n\\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\dfrac{8}{15} = \\dfrac{8}{15}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur\nproduit au dénominateur, pas l'inverse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{8}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a} = 8$, qui est\npositif ici."
},
{
"text": "$23$",
"correct": false,
"feedback": "Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne\nrépond pas à la question posée."
}
],
"explanation": "Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des\nracines : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{-b/a}{c/a}$. Les\nrelations entre coefficients et racines évitent de les calculer."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 - 9x + 20$ admet deux racines non nulles $x_1$ et\n$x_2$. Que vaut $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{9}{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} =\n\\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\dfrac{9}{20} = \\dfrac{9}{20}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{20}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur\nproduit au dénominateur, pas l'inverse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{9}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a} = 9$, qui est\npositif ici."
},
{
"text": "$29$",
"correct": false,
"feedback": "Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne\nrépond pas à la question posée."
}
],
"explanation": "Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des\nracines : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{-b/a}{c/a}$. Les\nrelations entre coefficients et racines évitent de les calculer."
},
{
"statement": "Le trinôme $x^2 - 10x + 21$ admet deux racines non nulles $x_1$ et\n$x_2$. Que vaut $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{10}{21}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} =\n\\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\dfrac{10}{21} = \\dfrac{10}{21}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{21}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur\nproduit au dénominateur, pas l'inverse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{10}{21}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a} = 10$, qui est\npositif ici."
},
{
"text": "$31$",
"correct": false,
"feedback": "Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne\nrépond pas à la question posée."
}
],
"explanation": "Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des\nracines : $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{-b/a}{c/a}$. Les\nrelations entre coefficients et racines évitent de les calculer."
}
]
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"racine-evidente",
"produit-des-racines"
],
"title": "Exploiter une racine évidente",
"partie": "equations",
"statement": "On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 7x + 10$.\nQuelle est son autre racine ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $10$, donc l'autre\nracine est $\\dfrac{10}{2} = 5$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est le produit des deux racines, pas la seconde\nracine."
},
{
"text": "$-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut\n$+10$ et leur somme $+7$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ est la somme des deux racines."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$. Une racine\névidente donne l'autre sans discriminant.",
"variants": [
{
"statement": "On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 7x + 10$.\nQuelle est son autre racine ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $10$, donc l'autre\nracine est $\\dfrac{10}{2} = 5$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est le produit des deux racines, pas la seconde\nracine."
},
{
"text": "$-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut\n$+10$ et leur somme $+7$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ est la somme des deux racines."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$. Une racine\névidente donne l'autre sans discriminant."
},
{
"statement": "On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 8x + 12$.\nQuelle est son autre racine ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $12$, donc l'autre\nracine est $\\dfrac{12}{2} = 6$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est le produit des deux racines, pas la seconde\nracine."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut\n$+12$ et leur somme $+8$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est la somme des deux racines."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$. Une racine\névidente donne l'autre sans discriminant."
},
{
"statement": "On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 6x + 8$.\nQuelle est son autre racine ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $8$, donc l'autre\nracine est $\\dfrac{8}{2} = 4$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est le produit des deux racines, pas la seconde\nracine."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut\n$+8$ et leur somme $+6$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est la somme des deux racines."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$. Une racine\névidente donne l'autre sans discriminant."
},
{
"statement": "On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 9x + 14$.\nQuelle est son autre racine ?",
"options": [
{
"text": "$7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit des racines vaut $14$, donc l'autre\nracine est $\\dfrac{14}{2} = 7$."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $14$ est le produit des deux racines, pas la seconde\nracine."
},
{
"text": "$-7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut\n$+14$ et leur somme $+9$."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $9$ est la somme des deux racines."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$. Une racine\névidente donne l'autre sans discriminant."
}
]
}
]
}