{ "chapter": { "id": "suites-numeriques", "level": "premiere-specialite", "theme": "Algèbre", "title": "Suites numériques, modèles discrets", "description": "Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de\nrécurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme\ngénéral, sommes $1 + 2 + \\cdots + n$ et $1 + q + \\cdots + q^n$,\nsens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et\nintuition de la notion de limite.", "parties": [ { "id": "generalites", "title": "Généralités et modes de génération" }, { "id": "arithmetiques", "title": "Suites arithmétiques" }, { "id": "geometriques", "title": "Suites géométriques" }, { "id": "sommes", "title": "Sommes, seuils et algorithmes" }, { "id": "modeles", "title": "Modéliser avec des suites" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "arithmetique" ], "title": "Reconnaître une suite arithmétique", "partie": "generalites", "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 5$.\nQuelle est la nature de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en\n**ajoutant** toujours $5$ : c'est la définition d'une\nsuite arithmétique de raison $5$." }, { "text": "Géométrique de raison $5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : géométrique signifierait **multiplier** par $5$ à\nchaque étape ($u_{n+1} = 5u_n$). Ici on ajoute." }, { "text": "Arithmétique de raison $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le **premier terme** $u_0$, pas la\nraison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :\n$5$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est\nexactement le modèle arithmétique." } ], "explanation": "Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ (accroissement\nconstant $r$) ; suite géométrique : $u_{n+1} = q \\times u_n$\n(taux constant). Ici : arithmétique, $r = 5$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetique", "terme-general" ], "title": "Terme général d'une suite arithmétique", "partie": "arithmetiques", "statement": "Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $r = 2$. Que vaut $u_{10}$ ?", "options": [ { "text": "$23$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_0 + n\\,r$, donc\n$u_{10} = 3 + 10 \\times 2 = 23$." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'indice : $21 = 3 + 9 \\times 2$ utilise la formule\n$u_0 + (n-1)r$, valable pour un premier terme $u_1$. Avec\n$u_0$, on ajoute $n$ fois la raison." }, { "text": "$3 \\times 2^{10} = 3072$", "correct": false, "feedback": "Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites\n**géométriques**. Une arithmétique avance par additions :\n$u_{10} = 3 + 20$." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $30 = 3 \\times 10$ multiplie le premier terme par\nl'indice. La formule est $u_0 + n\\,r = 3 + 20 = 23$." } ], "explanation": "Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au\nprogramme) : $u_n = u_0 + n\\,r$. Ici $u_{10} = 3 + 10 \\times\n2 = 23$. Lien avec les fonctions affines : $u_n = f(n)$ avec\n$f(x) = 2x + 3$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "geometrique", "terme-general" ], "title": "Terme général d'une suite géométrique", "partie": "geometriques", "statement": "Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de\nraison $q = 2$. Que vaut $v_4$ ?", "options": [ { "text": "$80$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $v_n = v_0 \\times q^n$, donc\n$v_4 = 5 \\times 2^4 = 5 \\times 16 = 80$." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'exposant : $40 = 5 \\times 2^3$. De $v_0$ à\n$v_4$, on multiplie **quatre** fois par la raison :\n$q^4 = 16$." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "Erreur de modèle : $13 = 5 + 4 \\times 2$ est le calcul\n**arithmétique**. Une géométrique multiplie :\n$5 \\times 2^4$." }, { "text": "$625$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $625 = 5^4$ élève le premier terme à la\npuissance. La formule est $v_0 \\times q^n$ : seule la\n**raison** porte l'exposant." } ], "explanation": "Terme général d'une suite géométrique (démonstration au\nprogramme) : $v_n = v_0 \\times q^n$. Ici $5 \\times 2^4 = 80$.\nLien avec l'exponentielle : croissance à taux constant." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "geometrique", "reconnaissance" ], "title": "Reconnaître une suite géométrique", "partie": "geometriques", "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $3$, $6$, $12$, $24$.\nQuel modèle reconnaît-on ?", "options": [ { "text": "Une suite géométrique de raison $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le **rapport** de deux termes consécutifs\nest constant : $\\dfrac{6}{3} = \\dfrac{12}{6} =\n\\dfrac{24}{12} = 2$." }, { "text": "Une suite arithmétique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts valent $3$, $6$, $12$ : ils ne sont\npas constants. C'est le **quotient** qui l'est : modèle\ngéométrique." }, { "text": "Une suite géométrique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le premier terme. La raison est le\nrapport entre termes consécutifs : $2$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : le rapport constant $2$ signe une suite\ngéométrique (chaque terme double)." } ], "explanation": "Réflexe de diagnostic : différences constantes $\\to$\narithmétique ; **rapports** constants $\\to$ géométrique. Ici\nchaque terme est le double du précédent : géométrique de\nraison $2$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "variations" ], "title": "Sens de variation", "partie": "generalites", "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 3 \\times 0{,}8^n$. Quel est le\nsens de variation de cette suite ?", "options": [ { "text": "Décroissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme est multiplié par\n$0{,}8 < 1$ (et les termes sont positifs) : la suite\ndiminue à chaque rang." }, { "text": "Croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier par un nombre entre $0$ et $1$\n**réduit** une quantité positive : $3$ ; $2{,}4$ ;\n$1{,}92$…" }, { "text": "Constante", "correct": false, "feedback": "Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici\n$q = 0{,}8 \\neq 1$." }, { "text": "Ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $u_{n+1} - u_n = 3 \\times 0{,}8^n\n\\times (0{,}8 - 1) < 0$ est constant : décroissance à\nchaque rang." } ], "explanation": "Suite géométrique de premier terme positif : croissante si\n$q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.\nIci $q = 0{,}8$ : décroissante (modèle des décroissances à\ntaux constant)." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "somme", "arithmetique" ], "title": "La somme $1 + 2 + \\cdots + n$", "partie": "sommes", "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 100$ ?", "options": [ { "text": "$5050$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n+1)}{2}$,\ndonc $\\dfrac{100 \\times 101}{2} = 5050$ (la légende de\nGauss écolier)." }, { "text": "$10\\,100$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $100 \\times 101$ compte\nchaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme\nà l'envers)." }, { "text": "$5000$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5000 = \\dfrac{100 \\times 100}{2}$. Le second\nfacteur est $n + 1 = 101$, d'où $5050$." }, { "text": "$4950$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4950 = \\dfrac{99 \\times 100}{2}$ est la somme\n$1 + \\cdots + 99$. Il manque le terme $100$." } ], "explanation": "Formule (démonstration au programme) : $1 + 2 + \\cdots + n =\n\\dfrac{n(n+1)}{2}$. Idée de la preuve : écrire la somme dans\nles deux sens et additionner, chaque colonne vaut $n + 1$." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "somme", "geometrique" ], "title": "Somme de termes d'une suite géométrique", "partie": "sommes", "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \\cdots + 2^9$ ?", "options": [ { "text": "$1023$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n =\n\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ici $\\dfrac{1 - 2^{10}}{1 -\n2} = 2^{10} - 1 = 1023$." }, { "text": "$1024$", "correct": false, "feedback": "Presque : $1024 = 2^{10}$ est le terme **suivant** de la\nsuite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :\n$1023$." }, { "text": "$512$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $512 = 2^9$ n'est que le **dernier terme** de la\nsomme, pas la somme elle-même." }, { "text": "$2046$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2046 = 2^{11} - 2$ correspondrait à la somme\n$2 + 4 + \\cdots + 2^{10}$. Notre somme commence à $1 =\n2^0$ et s'arrête à $2^9$." } ], "explanation": "Formule (démonstration au programme) : $1 + q + \\cdots + q^n\n= \\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \\neq 1$. Avec $q = 2$,\n$n = 9$ : $2^{10} - 1 = 1023$." }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "modes-generation" ], "title": "Modes de génération d'une suite", "partie": "generalites", "statement": "La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ est\ndonnée par :", "options": [ { "text": "Une relation de récurrence", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme se calcule **à partir du\nprécédent** : pour connaître $u_{10}$, on remonte de\nproche en proche (ou on cherche une formule explicite)." }, { "text": "Une formule explicite", "correct": false, "feedback": "Erreur : une formule explicite donnerait $u_n$\n**directement en fonction de $n$** (comme $u_n = 2^{n+1}\n- 1$, qui est d'ailleurs la version explicite de cette\nsuite)." }, { "text": "La définition d'une suite arithmétique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la présence du facteur $2$ devant $u_n$ sort du\nmodèle arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$)." }, { "text": "La définition d'une suite géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $+1$ sort du modèle géométrique ($u_{n+1} =\nq\\,u_n$) : la relation mélange une multiplication et une addition.\n" } ], "explanation": "Deux grands modes de génération : **explicite** ($u_n = f(n)$,\naccès direct au rang $n$) et **par récurrence** ($u_{n+1} =\nf(u_n)$, calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre\nest un enjeu du chapitre." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "modelisation", "geometrique" ], "title": "Modéliser un placement", "partie": "modeles", "statement": "Un capital de $1000$ euros est placé à $3\\ \\%$ d'intérêts par\nan (intérêts composés). On note $C_n$ le capital après $n$\nannées. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $1{,}03$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par\n$1{,}03$ (coefficient multiplicateur de $+3\\ \\%$) :\n$C_{n+1} = 1{,}03\\,C_n$." }, { "text": "Arithmétique de raison $30$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $+30$ euros par an vaudrait pour des intérêts\n**simples** (toujours calculés sur $1000$). Composés, les\nintérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif." }, { "text": "Géométrique de raison $0{,}03$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}03$ réduirait le capital à\n$3\\ \\%$ de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de\n$3\\ \\%$ est $1 + 0{,}03 = 1{,}03$." }, { "text": "Géométrique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : raison $3$ signifierait tripler chaque année. Le\ntaux se convertit en coefficient : $1{,}03$." } ], "explanation": "Automatisme central (au programme) : une évolution à **taux\nfixe** se modélise par une suite géométrique de raison le\ncoefficient multiplicateur. $+3\\ \\%$ par an :\n$C_n = 1000 \\times 1{,}03^n$." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "evolutions", "geometrique" ], "title": "Taux d'évolution équivalent", "partie": "modeles", "statement": "Une population augmente de $10\\ \\%$ par an pendant deux ans.\nQuel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?", "options": [ { "text": "$+21\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient :\n$1{,}1 \\times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\\ \\%$ (les\n$10\\ \\%$ de la deuxième année portent sur une base déjà\naugmentée)." }, { "text": "$+20\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La\ndeuxième hausse s'applique à la population **déjà\naugmentée** : $1{,}1^2 = 1{,}21$." }, { "text": "$+121\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $1{,}21$ est le **coefficient** ; le taux\nd'évolution en est la partie au-delà de $1$ : $21\\ \\%$." }, { "text": "$+12\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun calcul ne mène à $12\\ \\%$. Deux hausses de\n$10\\ \\%$ composées : $1{,}1 \\times 1{,}1 = 1{,}21$." } ], "explanation": "Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les\ncoefficients. $n$ années à $+10\\ \\%$ : coefficient\n$1{,}1^n$ : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite\ngéométrique." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "limite", "intuition" ], "title": "Conjecturer une limite", "partie": "modeles", "statement": "Soit $u_n = \\dfrac{1}{n}$ pour $n \\geq 1$ : les termes valent\n$1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}33\\ldots$ ; $0{,}25$… Que peut-on\nconjecturer sur le comportement de $(u_n)$ quand $n$ devient\ntrès grand ?", "options": [ { "text": "La suite semble tendre vers $0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les termes se rapprochent de $0$ :\n$u_{1000} = 0{,}001$, $u_{10^6} = 0{,}000001$, ils\ns'écrasent vers $0$ sans jamais l'atteindre. (La\nformalisation de la limite attendra la terminale.)" }, { "text": "La suite semble tendre vers $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ n'est que le **premier terme**. La suite\ns'en éloigne dès le rang $2$ et continue de descendre." }, { "text": "Les termes finissent par devenir négatifs", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{n}$ reste strictement positif pour\ntout $n \\geq 1$ : la suite s'approche de $0$ par valeurs\npositives." }, { "text": "La suite n'a aucun comportement prévisible", "correct": false, "feedback": "Erreur : la décroissance vers $0$ est parfaitement\nrégulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend\nvers » une valeur." } ], "explanation": "Sensibilisation à la limite (au programme, sans\nformalisation) : observer numériquement le comportement des\ntermes pour $n$ grand. $\\frac{1}{n}$ tend vers $0$,\n$q^n$ ($0 0$ pour tout $n \\geq 0$, la\ndifférence $u_{n+1} - u_n$ est positive à chaque rang :\nchaque terme dépasse le précédent, croissance stricte\n(sans connaître $u_0$ !)." }, { "text": "La suite est arithmétique de raison $2n + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une raison doit être **constante** : ici la\ndifférence grandit avec $n$ : croissante oui,\narithmétique non." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sens de variation ne dépend que du **signe\ndes différences** : $u_0$ fixe le point de départ, pas\nla pente." }, { "text": "La suite est strictement décroissante", "correct": false, "feedback": "Signe mal lu : $2n + 1 \\geq 1 > 0$ : les différences\nsont toutes positives : la suite monte." } ], "explanation": "Méthode reine pour les variations : étudier le signe de\n$u_{n+1} - u_n$. Positif pour tout $n$ : croissante ;\nnégatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,\ncomparer $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ marche aussi.)" }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "seuil", "algorithme" ], "title": "Dépassement de seuil", "partie": "sommes", "statement": "Un capital de $1\\,000$ euros est placé à $5\\ \\%$ par an\n(suite $c_n = 1000 \\times 1{,}05^n$). À partir de quelle\nannée dépasse-t-il $2\\,000$ euros, sachant que\n$1{,}05^{14} \\approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15} \\approx\n2{,}08$ ?", "options": [ { "text": "Au bout de $15$ ans", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut $1{,}05^n > 2$ : encore\n$1{,}98 < 2$ au rang $14$, et $2{,}08 > 2$ au rang\n$15$ : premier dépassement à $n = 15$." }, { "text": "Au bout de $14$ ans", "correct": false, "feedback": "Lecture trop rapide : $1000 \\times 1{,}98 = 1980 <\n2000$ : le seuil n'est pas encore franchi au rang $14$." }, { "text": "Au bout de $20$ ans : $5\\ \\% \\times 20 = 100\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Raisonnement linéaire sur un phénomène **multiplicatif** :\nles intérêts composés s'accumulent plus vite : le\ndoublement arrive dès $15$ ans." }, { "text": "Jamais : le capital croît de moins en moins", "correct": false, "feedback": "Contresens : la croissance géométrique de raison $> 1$\ns'**accélère** en valeur absolue : tout seuil finit par\ntomber." } ], "explanation": "Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier $n$\ntel que $q^n$ dépasse le rapport visé : par balayage\n(calculatrice ou boucle `while c < 2000`). La réponse est le\nPREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "arithmetico-geometrique" ], "title": "Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$", "partie": "geometriques", "statement": "La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$\nest-elle arithmétique ou géométrique ?", "options": [ { "text": "Ni l'une ni l'autre", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les premiers termes sont $1, 5, 13, 29$ :\ndifférences $4, 8, 16$ (variables), quotients $5$,\n$2{,}6$ et $\\approx 2{,}23$ (variables aussi) : le\nmélange « fois $2$ plus $3$ » sort des deux modèles\npurs." }, { "text": "Géométrique de raison $2$", "correct": false, "feedback": "Le $+3$ gâche tout : $\\frac{u_1}{u_0} = 5 \\neq 2$ :\nsans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,\nelle ne l'est plus." }, { "text": "Arithmétique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Le $\\times 2$ gâche tout : $u_1 - u_0 = 4 \\neq 3$ : le\ndoublement rompt la régularité additive." }, { "text": "Arithmétique ET géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;\ncelle-ci explose ($1, 5, 13, 29, \\dots$)." } ], "explanation": "Une relation $u_{n+1} = au_n + b$ (avec $a \\neq 1$ et $b \\neq 0$) ne relève d'aucun des deux\nmodèles purs. Le test numérique sur trois termes suffit à le montrer." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "notation", "suites" ], "title": "$u_n$ ou $u(n)$", "partie": "generalites", "statement": "Dans l'écriture $u_n$, que désigne l'indice $n$ ?", "options": [ { "text": "Le rang du terme", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indice repère la position du terme dans la suite,\npas sa valeur." }, { "text": "La valeur du terme", "correct": false, "feedback": "La valeur est $u_n$ elle-même : pour la suite des carrés, $u_3$ vaut\n$9$ et non $3$." }, { "text": "Le nombre de termes de la suite", "correct": false, "feedback": "Une suite possède une infinité de termes ; l'indice en désigne un\nseul." }, { "text": "La raison de la suite", "correct": false, "feedback": "La raison est une caractéristique globale de la suite, elle ne dépend\npas du rang considéré." } ], "explanation": "Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est celui des\nentiers. L'indice joue le rôle de la variable, et $u_n$ celui de l'image." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "recurrence", "calcul" ], "title": "Calculer de proche en proche", "partie": "generalites", "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n^2 - 5$.\nQue vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$11$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 9 - 5 = 4$, puis $u_2 = 16 - 5 = 11$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Une seule étape effectuée : $4$ est la valeur de $u_1$, il reste un\npas à faire." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Formule appliquée au rang initial : $u_0^2 - 5$ vaut $4$, et le calcul\nproposé part de $u_0 = 2$." }, { "text": "$121$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : $121$ correspond à $u_3$, obtenu en appliquant\nencore la relation." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule terme après terme : aucun\nterme ne s'obtient sans avoir calculé tous les précédents." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "suite-geometrique", "somme" ], "title": "Somme des puissances de $2$", "partie": "geometriques", "statement": "Combien vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \\ldots + 2^{10}$ ?", "options": [ { "text": "$2\\,047$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne $\\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} =\n2^{11} - 1 = 2\\,047$." }, { "text": "$1\\,024$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme recopié : $2^{10} = 1\\,024$ n'est qu'une partie de la\nsomme." }, { "text": "$2\\,048$", "correct": false, "feedback": "Une unité de trop : $2^{11} = 2\\,048$, et la somme vaut ce nombre\ndiminué de $1$." }, { "text": "$1\\,023$", "correct": false, "feedback": "Terme oublié : ce résultat correspond à la somme jusqu'à $2^9$." } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$, la somme $1 + q + \\ldots + q^n$ vaut\n$\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Avec $q = 2$ et $n = 10$, elle vaut\n$2^{11} - 1$." }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "somme" ], "title": "Somme de termes consécutifs", "partie": "arithmetiques", "statement": "Combien vaut la somme des entiers de $1$ à $50$ ?", "options": [ { "text": "$1\\,275$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{50 \\times 51}{2} = 1\\,275$." }, { "text": "$2\\,550$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $50 \\times 51$ compte chaque paire deux fois." }, { "text": "$1\\,250$", "correct": false, "feedback": "Formule approchée : $\\dfrac{50^2}{2}$ néglige la demi-unité par terme." }, { "text": "$2\\,500$", "correct": false, "feedback": "Carré du nombre de termes : il dépasse largement une somme dont la\nmoyenne vaut $25{,}5$." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$. Elle sert de\nbrique de base pour toutes les sommes de suites arithmétiques." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "variations", "quotient" ], "title": "Variations par le quotient", "partie": "generalites", "statement": "Pour une suite à termes strictement positifs, que conclure si\n$\\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1{,}2$ pour tout $n$ ?", "options": [ { "text": "La suite est strictement croissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un quotient supérieur à $1$ sur des termes positifs\nsignifie que chaque terme dépasse le précédent." }, { "text": "La suite est strictement décroissante", "correct": false, "feedback": "Il faudrait un quotient compris strictement entre $0$ et $1$ pour que\nles termes diminuent." }, { "text": "La suite est constante", "correct": false, "feedback": "Un quotient constant ne signifie pas une suite constante : seul le\nquotient $1$ donnerait ce résultat." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Le signe des termes étant connu, le quotient décide entièrement du\nsens de variation." } ], "explanation": "Pour une suite à termes strictement positifs, comparer\n$\\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ donne le sens de variation. La méthode par\ndifférence, elle, vaut quel que soit le signe." }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "modelisation", "suites" ], "title": "Deux versements par an", "partie": "modeles", "statement": "Un compte contient $1\\,000$ euros, rapporte $2$ % par an et reçoit\n$500$ euros de versement en fin d'année. Quelle relation le décrit ?", "options": [ { "text": "$u_{n+1} = 1{,}02u_n + 500$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital, le versement\ns'ajoute ensuite." }, { "text": "$u_{n+1} = 1{,}02(u_n + 500)$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le versement de fin d'année ne produit pas d'intérêts\nla même année." }, { "text": "$u_{n+1} = u_n + 500 + 0{,}02$", "correct": false, "feedback": "Taux traité comme un montant : $2$ % de $1\\,000$ euros font $20$\neuros, pas deux centimes." }, { "text": "$u_{n+1} = 1{,}02u_n$", "correct": false, "feedback": "Versement oublié : le compte ne progresserait alors que par les\nintérêts." } ], "explanation": "Une évolution mêlant pourcentage et montant fixe donne une relation de la\nforme $u_{n+1} = au_n + b$. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-geometrique", "raison" ], "title": "Retrouver une raison géométrique", "partie": "geometriques", "statement": "Une suite géométrique vérifie $u_2 = 12$ et $u_5 = 324$.\nQuelle est sa raison, sachant qu'elle est positive ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{324}{12} = 27 = q^3$, donc $q = 3$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Quotient non ramené à un seul pas : $27$ correspond à trois\nmultiplications par la raison." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Racine carrée au lieu de la racine cubique : trois pas séparent les\nrangs $2$ et $5$." }, { "text": "$104$", "correct": false, "feedback": "Différence des termes divisée par celle des rangs : cette méthode vaut\npour une suite arithmétique." } ], "explanation": "Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p \\times r^{q-p}$.\nLa raison s'obtient donc par une racine, pas par une division." }, { "id": "q26", "difficulty": 3, "skills": [ "seuil", "algorithme" ], "title": "Un algorithme de seuil", "partie": "sommes", "statement": "Une suite croissante est calculée dans une boucle `while` qui\ns'arrête quand le terme dépasse $1\\,000$. Que contient le compteur à\nla sortie ?", "options": [ { "text": "Le rang du premier terme supérieur à $1\\,000$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle s'interrompt dès que la condition cesse\nd'être vérifiée, donc au premier dépassement." }, { "text": "La valeur du premier terme supérieur à $1\\,000$", "correct": false, "feedback": "C'est la variable de la suite qui contient cette valeur, pas le\ncompteur." }, { "text": "Le nombre $1\\,000$", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est le seuil testé, il n'est pas stocké dans le compteur." }, { "text": "Le rang du dernier terme inférieur à $1\\,000$", "correct": false, "feedback": "Ce rang vaut une unité de moins : le compteur est incrémenté une\ndernière fois avant la sortie." } ], "explanation": "Un algorithme de seuil compte les itérations jusqu'au dépassement. Le\ncompteur donne le rang cherché, la variable de la suite la valeur\natteinte." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "suites", "comparaison" ], "title": "Arithmétique ou géométrique", "partie": "generalites", "statement": "Une suite prend les valeurs $5$, $15$, $45$, $135$.\nDe quelle nature est-elle ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme est le triple du précédent, alors que les\nécarts, eux, changent." }, { "text": "Arithmétique de raison $10$", "correct": false, "feedback": "L'écart n'est constant qu'au début : il vaut $10$, puis $30$, puis\n$90$." }, { "text": "Arithmétique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Une raison arithmétique s'ajoute : la suite donnerait $5$, $8$, $11$,\n$14$." }, { "text": "Ni l'une ni l'autre", "correct": false, "feedback": "Le quotient de deux termes consécutifs vaut toujours $3$, ce qui\ncaractérise une suite géométrique." } ], "explanation": "Pour trancher, on calcule les différences puis les quotients de termes\nconsécutifs. C'est celui des deux qui reste constant qui donne la nature\nde la suite." }, { "id": "q28", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "terme-general" ], "title": "Un terme lointain", "partie": "arithmetiques", "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_1 = 7$ et pour raison\n$4$. Que vaut $u_{100}$ ?", "options": [ { "text": "$403$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{100} = 7 + 99 \\times 4$, puisque quatre-vingt-dix-\nneuf pas séparent les rangs $1$ et $100$." }, { "text": "$407$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : la formule pour une suite commençant au rang $1$\nutilise $n - 1$ et non $n$." }, { "text": "$400$", "correct": false, "feedback": "Premier terme oublié : $99 \\times 4$ ne mesure que la progression\ndepuis $u_1$." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Produit du premier terme par la raison : cette opération ne correspond\nà aucune étape du calcul." } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique commençant au rang $1$, on a\n$u_n = u_1 + (n-1)r$. Compter les pas plutôt que les rangs évite le décalage\nd'une unité." }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "limite", "intuition" ], "title": "Vers quoi tend une suite géométrique", "partie": "modeles", "statement": "Vers quoi tendent les termes d'une suite géométrique de premier terme\n$100$ et de raison $0{,}5$ ?", "options": [ { "text": "Vers $0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme vaut la moitié du précédent, donc ils se\nrapprochent de $0$ sans jamais l'atteindre." }, { "text": "Vers $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Raison confondue avec la limite : la raison décrit le passage d'un\nterme au suivant." }, { "text": "Vers $100$", "correct": false, "feedback": "Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang." }, { "text": "Vers $50$", "correct": false, "feedback": "Deuxième terme recopié : la décroissance se poursuit bien au-delà." } ], "explanation": "Une suite géométrique de raison strictement comprise entre $0$ et $1$\ntend vers $0$. Les termes deviennent aussi proches de zéro que l'on veut,\npourvu que le rang soit assez grand." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "suites", "representation" ], "title": "Lire une suite sur un graphique", "partie": "generalites", "statement": "Sur la représentation graphique d'une suite, que lit-on en abscisse ?", "options": [ { "text": "Le rang du terme", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque point a pour coordonnées le rang et le terme\ncorrespondant." }, { "text": "La valeur du terme", "correct": false, "feedback": "Elle se lit en ordonnée, comme l'image d'une fonction." }, { "text": "La raison de la suite", "correct": false, "feedback": "La raison n'est pas une coordonnée : elle se lit dans l'écart entre\npoints consécutifs." }, { "text": "Le premier terme", "correct": false, "feedback": "Il correspond à un point précis, celui du rang le plus petit, pas à un\naxe entier." } ], "explanation": "Une suite se représente par des points isolés, jamais par une courbe\ncontinue : seuls les rangs entiers ont un terme associé." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "reconnaissance", "definition" ], "title": "Nature d'une suite donnée par une formule", "partie": "generalites", "statement": "Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 4 \\times 3^n$.\nQuelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $3$, de premier terme $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par\n$3$, et le rang $0$ donne $u_0 = 4$." }, { "text": "Géométrique de raison $4$, de premier terme $3$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le facteur répété $3$ est la raison, alors que\n$4$ est le terme de rang $0$." }, { "text": "Arithmétique de raison $3$, de premier terme $4$", "correct": false, "feedback": "Le modèle arithmétique ajouterait $3$ à chaque étape. Ici on\nmultiplie, puisque $u_1 = 12$ et non $4 + 3$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant", "correct": false, "feedback": "L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :\nmultiplier $n$ fois par $3$ revient à écrire $3^n$." } ], "explanation": "Une écriture de la forme $u_n = c \\times q^n$ est la formule explicite\nd'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang\n$0$.", "variants": [ { "statement": "Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 4 \\times 3^n$.\nQuelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $3$, de premier terme $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par\n$3$, et le rang $0$ donne $u_0 = 4$." }, { "text": "Géométrique de raison $4$, de premier terme $3$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le facteur répété $3$ est la raison, alors que\n$4$ est le terme de rang $0$." }, { "text": "Arithmétique de raison $3$, de premier terme $4$", "correct": false, "feedback": "Le modèle arithmétique ajouterait $3$ à chaque étape. Ici on\nmultiplie, puisque $u_1 = 12$ et non $4 + 3$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant", "correct": false, "feedback": "L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :\nmultiplier $n$ fois par $3$ revient à écrire $3^n$." } ], "explanation": "Une écriture de la forme $u_n = c \\times q^n$ est la formule explicite\nd'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang\n$0$." }, { "statement": "Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 6 \\times 2^n$.\nQuelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $2$, de premier terme $6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par\n$2$, et le rang $0$ donne $u_0 = 6$." }, { "text": "Géométrique de raison $6$, de premier terme $2$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le facteur répété $2$ est la raison, alors que\n$6$ est le terme de rang $0$." }, { "text": "Arithmétique de raison $2$, de premier terme $6$", "correct": false, "feedback": "Le modèle arithmétique ajouterait $2$ à chaque étape. Ici on\nmultiplie, puisque $u_1 = 12$ et non $6 + 2$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant", "correct": false, "feedback": "L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :\nmultiplier $n$ fois par $2$ revient à écrire $2^n$." } ], "explanation": "Une écriture de la forme $u_n = c \\times q^n$ est la formule explicite\nd'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang\n$0$." }, { "statement": "Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 5 \\times 10^n$.\nQuelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $10$, de premier terme $5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par\n$10$, et le rang $0$ donne $u_0 = 5$." }, { "text": "Géométrique de raison $5$, de premier terme $10$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le facteur répété $10$ est la raison, alors que\n$5$ est le terme de rang $0$." }, { "text": "Arithmétique de raison $10$, de premier terme $5$", "correct": false, "feedback": "Le modèle arithmétique ajouterait $10$ à chaque étape. Ici on\nmultiplie, puisque $u_1 = 50$ et non $5 + 10$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant", "correct": false, "feedback": "L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :\nmultiplier $n$ fois par $10$ revient à écrire $10^n$." } ], "explanation": "Une écriture de la forme $u_n = c \\times q^n$ est la formule explicite\nd'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang\n$0$." }, { "statement": "Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 4 \\times 2^n$.\nQuelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $2$, de premier terme $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par\n$2$, et le rang $0$ donne $u_0 = 4$." }, { "text": "Géométrique de raison $4$, de premier terme $2$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le facteur répété $2$ est la raison, alors que\n$4$ est le terme de rang $0$." }, { "text": "Arithmétique de raison $2$, de premier terme $4$", "correct": false, "feedback": "Le modèle arithmétique ajouterait $2$ à chaque étape. Ici on\nmultiplie, puisque $u_1 = 8$ et non $4 + 2$." }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant", "correct": false, "feedback": "L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :\nmultiplier $n$ fois par $2$ revient à écrire $2^n$." } ], "explanation": "Une écriture de la forme $u_n = c \\times q^n$ est la formule explicite\nd'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang\n$0$." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "recurrence", "calcul" ], "title": "Trois pas de récurrence", "partie": "generalites", "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 3u_n - 1$. Que vaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$41$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 5$, puis $u_2 = 14$, puis\n$u_3 = 3 \\times 14 - 1 = 41$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop tôt : $14$ est le terme $u_2$, il reste une étape\npour atteindre $u_3 = 41$." }, { "text": "$54$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas\nseulement à la fin. On obtient $41$." }, { "text": "$53$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,\nalors qu'il intervient à chacune des trois étapes." } ], "explanation": "Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se\ncalcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de\nrangs à franchir.", "variants": [ { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 3u_n - 1$. Que vaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$41$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 5$, puis $u_2 = 14$, puis\n$u_3 = 3 \\times 14 - 1 = 41$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop tôt : $14$ est le terme $u_2$, il reste une étape\npour atteindre $u_3 = 41$." }, { "text": "$54$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas\nseulement à la fin. On obtient $41$." }, { "text": "$53$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,\nalors qu'il intervient à chacune des trois étapes." } ], "explanation": "Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se\ncalcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de\nrangs à franchir." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n + 5$. Que vaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$43$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 7$, puis $u_2 = 19$, puis\n$u_3 = 2 \\times 19 + 5 = 43$." }, { "text": "$19$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop tôt : $19$ est le terme $u_2$, il reste une étape\npour atteindre $u_3 = 43$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas\nseulement à la fin. On obtient $43$." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,\nalors qu'il intervient à chacune des trois étapes." } ], "explanation": "Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se\ncalcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de\nrangs à franchir." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n - 3$. Que vaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$11$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 5$, puis $u_2 = 7$, puis\n$u_3 = 2 \\times 7 - 3 = 11$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop tôt : $7$ est le terme $u_2$, il reste une étape\npour atteindre $u_3 = 11$." }, { "text": "$32$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas\nseulement à la fin. On obtient $11$." }, { "text": "$29$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,\nalors qu'il intervient à chacune des trois étapes." } ], "explanation": "Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se\ncalcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de\nrangs à franchir." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n - 1$. Que vaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 3$, puis $u_2 = 5$, puis\n$u_3 = 2 \\times 5 - 1 = 9$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop tôt : $5$ est le terme $u_2$, il reste une étape\npour atteindre $u_3 = 9$." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas\nseulement à la fin. On obtient $9$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,\nalors qu'il intervient à chacune des trois étapes." } ], "explanation": "Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se\ncalcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de\nrangs à franchir." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "notation" ], "title": "$u_{n+1}$ ou $u_n + 1$", "partie": "generalites", "statement": "Pour une suite $(u_n)$, quelle différence y a-t-il entre $u_{n+1}$ et\n$u_n + 1$ ?", "options": [ { "text": "Le premier est le terme suivant, le second est le terme augmenté de $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : dans $u_{n+1}$, c'est le rang qui augmente ; dans\n$u_n + 1$, c'est la valeur du terme." }, { "text": "Aucune différence : les deux écritures désignent toujours le même nombre", "correct": false, "feedback": "Elles ne coïncident que pour une suite arithmétique de raison $1$,\nce qui est un cas très particulier." }, { "text": "Le premier est le terme de rang $1$, le second celui de rang $n$", "correct": false, "feedback": "L'indice $n+1$ désigne le rang qui suit $n$, et non le rang $1$." }, { "text": "Le premier n'a de sens que si la suite est définie par récurrence", "correct": false, "feedback": "L'écriture $u_{n+1}$ désigne un terme, quel que soit le mode de\ngénération de la suite." } ], "explanation": "Dans une écriture $u_n$, l'indice indique le rang. Modifier l'indice\nchange de terme, tandis qu'ajouter un nombre après $u_n$ modifie la\nvaleur du terme." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "modes-generation" ], "title": "Atteindre un rang lointain", "partie": "generalites", "statement": "Deux suites sont définies ainsi : $(u_n)$ par $u_n = 5n - 2$, et\n$(v_n)$ par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = v_n + 4$. Laquelle donne le terme\nde rang $100$ en un seul calcul ?", "options": [ { "text": "La suite $(u_n)$, donnée par une formule explicite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il suffit de remplacer $n$ par $100$, sans calculer\nles termes précédents." }, { "text": "La suite $(v_n)$, donnée par une relation de récurrence", "correct": false, "feedback": "Cette relation oblige à calculer les cent termes qui précèdent,\nl'un après l'autre." }, { "text": "Les deux, puisqu'elles sont toutes les deux arithmétiques", "correct": false, "feedback": "Les deux sont bien arithmétiques, mais seule une formule explicite\ndonne un terme sans passer par les autres." }, { "text": "Aucune des deux : il faut toujours calculer les termes un par un", "correct": false, "feedback": "Une formule explicite exprime $u_n$ en fonction du seul rang $n$,\nce qui évite justement ce déroulement." } ], "explanation": "Une formule explicite donne un terme directement à partir de son rang ;\nune relation de récurrence exige de dérouler la suite depuis son\npremier terme." }, { "id": "q35", "difficulty": 1, "skills": [ "representation" ], "title": "Des points alignés", "partie": "generalites", "statement": "Sur un graphique, les points représentant les termes d'une suite sont\nalignés. Que peut-on en déduire ?", "options": [ { "text": "La suite est arithmétique", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : passer d'un point au suivant fait toujours avancer\nd'un rang et monter de la même quantité, qui est la raison." }, { "text": "La suite est géométrique", "correct": false, "feedback": "Les points d'une suite géométrique de raison différente de $1$ ne\nsont pas alignés : les écarts sont multipliés, pas constants." }, { "text": "La suite est croissante", "correct": false, "feedback": "Des points alignés peuvent descendre : c'est le cas lorsque la\nraison est négative." }, { "text": "La suite est constante à partir d'un certain rang", "correct": false, "feedback": "Une suite constante donne des points alignés horizontalement, mais\nc'est seulement un cas particulier." } ], "explanation": "Des points alignés traduisent un écart constant d'un rang au suivant :\nc'est exactement la définition d'une suite arithmétique, dont la raison\nse lit dans la pente." }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "somme-arithmetique", "modelisation" ], "title": "Les rangées d'un gradin", "partie": "arithmetiques", "statement": "Un gradin compte $15$ rangées. La première a $12$ places, et chaque\nrangée suivante en compte $3$ de plus que la précédente. Combien de\nplaces compte le gradin ?", "options": [ { "text": "$495$ places", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la dernière rangée a $54$ places, et la\nsomme vaut $15 \\times \\dfrac{12 + 54}{2} = 495$." }, { "text": "$54$ places", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la\nquestion porte sur le gradin entier." }, { "text": "$180$ places", "correct": false, "feedback": "Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et\nignore les $3$ places ajoutées à chaque rangée." }, { "text": "$990$ places", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes\nextrêmes multipliée par le nombre de rangées." } ], "explanation": "Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se\ncalcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier\net du dernier.", "variants": [ { "statement": "Un gradin compte $15$ rangées. La première a $12$ places, et chaque\nrangée suivante en compte $3$ de plus que la précédente. Combien de\nplaces compte le gradin ?", "options": [ { "text": "$495$ places", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la dernière rangée a $54$ places, et la\nsomme vaut $15 \\times \\dfrac{12 + 54}{2} = 495$." }, { "text": "$54$ places", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la\nquestion porte sur le gradin entier." }, { "text": "$180$ places", "correct": false, "feedback": "Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et\nignore les $3$ places ajoutées à chaque rangée." }, { "text": "$990$ places", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes\nextrêmes multipliée par le nombre de rangées." } ], "explanation": "Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se\ncalcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier\net du dernier." }, { "statement": "Un gradin compte $15$ rangées. La première a $10$ places, et chaque\nrangée suivante en compte $2$ de plus que la précédente. Combien de\nplaces compte le gradin ?", "options": [ { "text": "$360$ places", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la dernière rangée a $38$ places, et la\nsomme vaut $15 \\times \\dfrac{10 + 38}{2} = 360$." }, { "text": "$38$ places", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la\nquestion porte sur le gradin entier." }, { "text": "$150$ places", "correct": false, "feedback": "Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et\nignore les $2$ places ajoutées à chaque rangée." }, { "text": "$720$ places", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes\nextrêmes multipliée par le nombre de rangées." } ], "explanation": "Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se\ncalcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier\net du dernier." }, { "statement": "Un gradin compte $12$ rangées. La première a $14$ places, et chaque\nrangée suivante en compte $4$ de plus que la précédente. Combien de\nplaces compte le gradin ?", "options": [ { "text": "$432$ places", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la dernière rangée a $58$ places, et la\nsomme vaut $12 \\times \\dfrac{14 + 58}{2} = 432$." }, { "text": "$58$ places", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la\nquestion porte sur le gradin entier." }, { "text": "$168$ places", "correct": false, "feedback": "Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et\nignore les $4$ places ajoutées à chaque rangée." }, { "text": "$864$ places", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes\nextrêmes multipliée par le nombre de rangées." } ], "explanation": "Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se\ncalcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier\net du dernier." }, { "statement": "Un gradin compte $12$ rangées. La première a $12$ places, et chaque\nrangée suivante en compte $3$ de plus que la précédente. Combien de\nplaces compte le gradin ?", "options": [ { "text": "$342$ places", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la dernière rangée a $45$ places, et la\nsomme vaut $12 \\times \\dfrac{12 + 45}{2} = 342$." }, { "text": "$45$ places", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la\nquestion porte sur le gradin entier." }, { "text": "$144$ places", "correct": false, "feedback": "Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et\nignore les $3$ places ajoutées à chaque rangée." }, { "text": "$684$ places", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes\nextrêmes multipliée par le nombre de rangées." } ], "explanation": "Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se\ncalcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier\net du dernier." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "retrouver-raison", "raison" ], "title": "Une raison négative", "partie": "geometriques", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 50$ et $u_{8} = 18$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $8$, la suite a varié de\n$-32$. En partageant cette variation entre les $8$ étapes, on\nobtient la raison $-4$." }, { "text": "$-32$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $8$. Il reste à\nla partager entre les $8$ étapes." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est\nnégative." }, { "text": "$46$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre\ndeux termes consécutifs." } ], "explanation": "Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On\nobtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 50$ et $u_{8} = 18$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $8$, la suite a varié de\n$-32$. En partageant cette variation entre les $8$ étapes, on\nobtient la raison $-4$." }, { "text": "$-32$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $8$. Il reste à\nla partager entre les $8$ étapes." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est\nnégative." }, { "text": "$46$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre\ndeux termes consécutifs." } ], "explanation": "Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On\nobtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 30$ et $u_{6} = 12$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $6$, la suite a varié de\n$-18$. En partageant cette variation entre les $6$ étapes, on\nobtient la raison $-3$." }, { "text": "$-18$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $6$. Il reste à\nla partager entre les $6$ étapes." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est\nnégative." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre\ndeux termes consécutifs." } ], "explanation": "Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On\nobtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 100$ et $u_{12} = 16$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $12$, la suite a varié de\n$-84$. En partageant cette variation entre les $12$ étapes, on\nobtient la raison $-7$." }, { "text": "$-84$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $12$. Il reste à\nla partager entre les $12$ étapes." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est\nnégative." }, { "text": "$93$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre\ndeux termes consécutifs." } ], "explanation": "Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On\nobtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 50$ et $u_{8} = 10$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $8$, la suite a varié de\n$-40$. En partageant cette variation entre les $8$ étapes, on\nobtient la raison $-5$." }, { "text": "$-40$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $8$. Il reste à\nla partager entre les $8$ étapes." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est\nnégative." }, { "text": "$45$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre\ndeux termes consécutifs." } ], "explanation": "Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On\nobtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "quotient", "ni-arithmetique-ni-geometrique" ], "title": "Des quotients presque constants", "partie": "geometriques", "statement": "Pour une suite à termes strictement positifs, on calcule\n$\\dfrac{u_1}{u_0} = 3$, $\\dfrac{u_2}{u_1} = 3$ et\n$\\dfrac{u_3}{u_2} \\approx 2{,}8$. Que peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "Elle n'est pas géométrique", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un seul quotient différent des autres suffit à\nécarter le modèle géométrique, qui exige un quotient constant." }, { "text": "Elle est géométrique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Les deux premiers quotients valent $3$, mais le troisième non : la\nraison ne serait alors pas la même partout." }, { "text": "Elle est géométrique, à un arrondi près", "correct": false, "feedback": "Rien n'indique un arrondi dans l'énoncé, et $2{,}8$ est trop\néloigné de $3$ pour être une simple approximation." }, { "text": "Elle est arithmétique, puisqu'elle n'est pas géométrique", "correct": false, "feedback": "Les deux modèles ne recouvrent pas tous les cas : une suite peut\nn'être ni l'un ni l'autre." } ], "explanation": "Le quotient de deux termes consécutifs sert à tester le modèle\ngéométrique : il doit être le même à chaque rang. Une seule valeur\ndifférente suffit à conclure par la négative." }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "motifs" ], "title": "Un motif d'allumettes", "partie": "modeles", "statement": "La figure $1$ d'un motif utilise $4$ allumettes, et chaque figure\nsuivante en utilise $3$ de plus que la précédente. Combien\nd'allumettes utilise la figure $10$ ?", "options": [ { "text": "$31$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $10$, on ajoute\n$3$ allumettes $9$ fois, d'où $4 + 3 \\times 9 = 31$." }, { "text": "$34$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a\nque $9$ ajouts à effectuer." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute\ntoujours la même quantité." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Les $4$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles\nfont pourtant partie du motif." } ], "explanation": "Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une\nsuite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la\nfigure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts.", "variants": [ { "statement": "La figure $1$ d'un motif utilise $4$ allumettes, et chaque figure\nsuivante en utilise $3$ de plus que la précédente. Combien\nd'allumettes utilise la figure $10$ ?", "options": [ { "text": "$31$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $10$, on ajoute\n$3$ allumettes $9$ fois, d'où $4 + 3 \\times 9 = 31$." }, { "text": "$34$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a\nque $9$ ajouts à effectuer." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute\ntoujours la même quantité." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Les $4$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles\nfont pourtant partie du motif." } ], "explanation": "Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une\nsuite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la\nfigure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts." }, { "statement": "La figure $1$ d'un motif utilise $5$ allumettes, et chaque figure\nsuivante en utilise $4$ de plus que la précédente. Combien\nd'allumettes utilise la figure $12$ ?", "options": [ { "text": "$49$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $12$, on ajoute\n$4$ allumettes $11$ fois, d'où $5 + 4 \\times 11 = 49$." }, { "text": "$53$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a\nque $11$ ajouts à effectuer." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute\ntoujours la même quantité." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Les $5$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles\nfont pourtant partie du motif." } ], "explanation": "Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une\nsuite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la\nfigure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts." }, { "statement": "La figure $1$ d'un motif utilise $6$ allumettes, et chaque figure\nsuivante en utilise $5$ de plus que la précédente. Combien\nd'allumettes utilise la figure $8$ ?", "options": [ { "text": "$41$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $8$, on ajoute\n$5$ allumettes $7$ fois, d'où $6 + 5 \\times 7 = 41$." }, { "text": "$46$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a\nque $7$ ajouts à effectuer." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute\ntoujours la même quantité." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Les $6$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles\nfont pourtant partie du motif." } ], "explanation": "Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une\nsuite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la\nfigure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts." }, { "statement": "La figure $1$ d'un motif utilise $4$ allumettes, et chaque figure\nsuivante en utilise $3$ de plus que la précédente. Combien\nd'allumettes utilise la figure $12$ ?", "options": [ { "text": "$37$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $12$, on ajoute\n$3$ allumettes $11$ fois, d'où $4 + 3 \\times 11 = 37$." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a\nque $11$ ajouts à effectuer." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute\ntoujours la même quantité." }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Les $4$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles\nfont pourtant partie du motif." } ], "explanation": "Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une\nsuite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la\nfigure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts." } ] }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison", "modelisation" ], "title": "Intérêts simples ou composés", "partie": "modeles", "statement": "Un capital de $2\\,000$ euros peut être placé de deux façons : le\nplacement $A$ rapporte $80$ euros chaque année, le placement $B$\naugmente de $3\\ \\%$ chaque année. Que peut-on dire au bout de deux ans ?", "options": [ { "text": "$A$ dépasse $B$ de près de $38$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $A$ donne $2\\,160$ euros et $B$ donne\n$2\\,000 \\times 1{,}03^2 = 2\\,121{,}80$ euros." }, { "text": "$B$ dépasse $A$ de près de $38$ euros", "correct": false, "feedback": "Le sens est inversé : sur deux ans seulement, $3\\ \\%$ de $2\\,000$\neuros rapportent moins que $80$ euros par an." }, { "text": "Les deux placements donnent le même capital", "correct": false, "feedback": "Les capitaux diffèrent : $2\\,160$ euros d'un côté,\n$2\\,121{,}80$ euros de l'autre." }, { "text": "$B$ dépasse $A$, car un pourcentage croît plus vite", "correct": false, "feedback": "Un modèle géométrique finit par l'emporter, mais pas\nnécessairement au bout de deux ans : ici $B$ reste derrière." } ], "explanation": "Un versement fixe chaque année relève du modèle arithmétique, un\npourcentage fixe du modèle géométrique. Le second l'emporte à long\nterme, mais il faut comparer les valeurs pour un petit nombre d'années." }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "evolutions" ], "title": "Deux baisses successives", "partie": "modeles", "statement": "Un prix baisse de $20\\ \\%$, puis baisse encore de $15\\ \\%$.\nQuel est le taux d'évolution global ?", "options": [ { "text": "$-32\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et\n$0{,}80 \\times 0{,}85 = 0{,}68$,\nsoit une baisse de $32\\ \\%$." }, { "text": "$-35\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà diminué, donc sur une base plus petite." }, { "text": "$-17\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses\nsuccessives retranchent davantage que leur moyenne." }, { "text": "$-3\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non\nles taux eux-mêmes." } ], "explanation": "Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs\ncoefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le\ncoefficient obtenu.", "variants": [ { "statement": "Un prix baisse de $20\\ \\%$, puis baisse encore de $15\\ \\%$.\nQuel est le taux d'évolution global ?", "options": [ { "text": "$-32\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et\n$0{,}80 \\times 0{,}85 = 0{,}68$,\nsoit une baisse de $32\\ \\%$." }, { "text": "$-35\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà diminué, donc sur une base plus petite." }, { "text": "$-17\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses\nsuccessives retranchent davantage que leur moyenne." }, { "text": "$-3\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non\nles taux eux-mêmes." } ], "explanation": "Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs\ncoefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le\ncoefficient obtenu." }, { "statement": "Un prix baisse de $30\\ \\%$, puis baisse encore de $10\\ \\%$.\nQuel est le taux d'évolution global ?", "options": [ { "text": "$-37\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et\n$0{,}70 \\times 0{,}90 = 0{,}63$,\nsoit une baisse de $37\\ \\%$." }, { "text": "$-40\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà diminué, donc sur une base plus petite." }, { "text": "$-20\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses\nsuccessives retranchent davantage que leur moyenne." }, { "text": "$-3\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non\nles taux eux-mêmes." } ], "explanation": "Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs\ncoefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le\ncoefficient obtenu." }, { "statement": "Un prix baisse de $40\\ \\%$, puis baisse encore de $25\\ \\%$.\nQuel est le taux d'évolution global ?", "options": [ { "text": "$-55\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et\n$0{,}60 \\times 0{,}75 = 0{,}45$,\nsoit une baisse de $55\\ \\%$." }, { "text": "$-65\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà diminué, donc sur une base plus petite." }, { "text": "$-32\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses\nsuccessives retranchent davantage que leur moyenne." }, { "text": "$-10\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non\nles taux eux-mêmes." } ], "explanation": "Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs\ncoefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le\ncoefficient obtenu." }, { "statement": "Un prix baisse de $20\\ \\%$, puis baisse encore de $10\\ \\%$.\nQuel est le taux d'évolution global ?", "options": [ { "text": "$-28\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et\n$0{,}80 \\times 0{,}90 = 0{,}72$,\nsoit une baisse de $28\\ \\%$." }, { "text": "$-30\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà diminué, donc sur une base plus petite." }, { "text": "$-15\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses\nsuccessives retranchent davantage que leur moyenne." }, { "text": "$-2\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non\nles taux eux-mêmes." } ], "explanation": "Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs\ncoefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le\ncoefficient obtenu." } ] }, { "id": "q42", "difficulty": 3, "skills": [ "arithmetico-geometrique", "raisonnement" ], "title": "Pourquoi ni l'un ni l'autre", "partie": "geometriques", "statement": "Pour la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$, on obtient\n$u_1 = 10$, $u_2 = 28$ et $u_3 = 82$. Pourquoi cette suite n'est-elle\nni arithmétique ni géométrique ?", "options": [ { "text": "Ni les différences ni les quotients ne sont constants", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les différences valent $6$, $18$, $54$ et les\nquotients $2{,}5$ puis $2{,}8$ : aucune des deux listes n'est\nconstante." }, { "text": "Les différences varient, mais les quotients sont constants", "correct": false, "feedback": "Les quotients $\\dfrac{10}{4} = 2{,}5$ et $\\dfrac{28}{10} = 2{,}8$\ndiffèrent : ils ne sont pas constants non plus." }, { "text": "Les quotients varient, mais les différences sont constantes", "correct": false, "feedback": "Les différences $6$, $18$ et $54$ ne sont pas constantes : elles\nsont même triplées à chaque étape." }, { "text": "Parce qu'elle est définie par une relation de récurrence", "correct": false, "feedback": "Les suites arithmétiques et géométriques se définissent elles aussi\npar récurrence : ce n'est pas le critère." } ], "explanation": "Pour écarter les deux modèles, on teste les deux outils : la différence\nde deux termes consécutifs pour le modèle arithmétique, leur quotient\npour le modèle géométrique." }, { "id": "q43", "difficulty": 3, "skills": [ "variation-difference", "variations" ], "title": "Une différence qui change de signe", "partie": "generalites", "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 2n - 9$ pour tout entier $n \\geq 0$.\nComment varie-t-elle ?", "options": [ { "text": "Elle décroît jusqu'au rang $5$, puis croît", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2n - 9$ est négatif tant que $n \\leq 4$ et positif\ndès que $n \\geq 5$, donc $u_5$ est le plus petit terme." }, { "text": "Elle croît jusqu'au rang $5$, puis elle décroît", "correct": false, "feedback": "Le sens est inversé : la différence commence par être négative, et\nc'est ensuite qu'elle devient positive." }, { "text": "Elle est décroissante pour tout entier $n$", "correct": false, "feedback": "La différence change de signe : à partir de $n = 5$, elle est\npositive et la suite remonte." }, { "text": "Elle est arithmétique de raison $2n - 9$", "correct": false, "feedback": "Une raison est un nombre fixe. Ici l'écart dépend de $n$, donc la\nsuite n'est pas arithmétique." } ], "explanation": "Le signe de $u_{n+1} - u_n$ donne le sens de variation rang par rang.\nLorsque cette différence change de signe, la suite change elle aussi de\nsens." }, { "id": "q44", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "terme-general" ], "title": "Retrouver le rang d'un terme", "partie": "arithmetiques", "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 5$ et pour raison\n$4$. Quel est le rang du terme égal à $61$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout $5 + 4n = 61$, soit\n$4n = 56$ et donc $n = 14$." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la\ndiviser par la raison $4$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence\nau rang $0$, donc le rang cherché vaut $14$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier\nterme lui-même." } ], "explanation": "Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.\nChercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation\ndu premier degré.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 5$ et pour raison\n$4$. Quel est le rang du terme égal à $61$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout $5 + 4n = 61$, soit\n$4n = 56$ et donc $n = 14$." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la\ndiviser par la raison $4$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence\nau rang $0$, donc le rang cherché vaut $14$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier\nterme lui-même." } ], "explanation": "Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.\nChercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation\ndu premier degré." }, { "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 7$ et pour raison\n$3$. Quel est le rang du terme égal à $67$ ?", "options": [ { "text": "$20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout $7 + 3n = 67$, soit\n$3n = 60$ et donc $n = 20$." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la\ndiviser par la raison $3$." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence\nau rang $0$, donc le rang cherché vaut $20$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier\nterme lui-même." } ], "explanation": "Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.\nChercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation\ndu premier degré." }, { "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 2$ et pour raison\n$6$. Quel est le rang du terme égal à $68$ ?", "options": [ { "text": "$11$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout $2 + 6n = 68$, soit\n$6n = 66$ et donc $n = 11$." }, { "text": "$66$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la\ndiviser par la raison $6$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence\nau rang $0$, donc le rang cherché vaut $11$." }, { "text": "$34$", "correct": false, "feedback": "La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier\nterme lui-même." } ], "explanation": "Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.\nChercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation\ndu premier degré." }, { "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 5$ et pour raison\n$4$. Quel est le rang du terme égal à $65$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout $5 + 4n = 65$, soit\n$4n = 60$ et donc $n = 15$." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la\ndiviser par la raison $4$." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence\nau rang $0$, donc le rang cherché vaut $15$." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier\nterme lui-même." } ], "explanation": "Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.\nChercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation\ndu premier degré." } ] }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "somme", "suite-geometrique" ], "title": "Somme de termes géométriques", "partie": "sommes", "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $2$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \\cdots + u_{5}$ ?", "options": [ { "text": "$189$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $6$ termes et vaut\n$3 \\times \\dfrac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 189$." }, { "text": "$93$", "correct": false, "feedback": "Un terme manque : la somme s'arrête au rang $5$, elle compte donc\n$6$ termes et non $5$." }, { "text": "$96$", "correct": false, "feedback": "C'est le dernier terme $u_{5}$ seul, alors que la question porte\nsur la somme de tous les termes." }, { "text": "$63$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme $3$ a été oublié : il multiplie toute la somme\ndes puissances de $2$." } ], "explanation": "La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \\neq 1$ vaut le\npremier terme multiplié par $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.", "variants": [ { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $2$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \\cdots + u_{5}$ ?", "options": [ { "text": "$189$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $6$ termes et vaut\n$3 \\times \\dfrac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 189$." }, { "text": "$93$", "correct": false, "feedback": "Un terme manque : la somme s'arrête au rang $5$, elle compte donc\n$6$ termes et non $5$." }, { "text": "$96$", "correct": false, "feedback": "C'est le dernier terme $u_{5}$ seul, alors que la question porte\nsur la somme de tous les termes." }, { "text": "$63$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme $3$ a été oublié : il multiplie toute la somme\ndes puissances de $2$." } ], "explanation": "La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \\neq 1$ vaut le\npremier terme multiplié par $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de\nraison $3$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \\cdots + u_{4}$ ?", "options": [ { "text": "$242$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $5$ termes et vaut\n$2 \\times \\dfrac{3^{5} - 1}{3 - 1} = 242$." }, { "text": "$80$", "correct": false, "feedback": "Un terme manque : la somme s'arrête au rang $4$, elle compte donc\n$5$ termes et non $4$." }, { "text": "$162$", "correct": false, "feedback": "C'est le dernier terme $u_{4}$ seul, alors que la question porte\nsur la somme de tous les termes." }, { "text": "$121$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme $2$ a été oublié : il multiplie toute la somme\ndes puissances de $3$." } ], "explanation": "La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \\neq 1$ vaut le\npremier terme multiplié par $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de\nraison $2$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \\cdots + u_{6}$ ?", "options": [ { "text": "$635$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $7$ termes et vaut\n$5 \\times \\dfrac{2^{7} - 1}{2 - 1} = 635$." }, { "text": "$315$", "correct": false, "feedback": "Un terme manque : la somme s'arrête au rang $6$, elle compte donc\n$7$ termes et non $6$." }, { "text": "$320$", "correct": false, "feedback": "C'est le dernier terme $u_{6}$ seul, alors que la question porte\nsur la somme de tous les termes." }, { "text": "$127$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme $5$ a été oublié : il multiplie toute la somme\ndes puissances de $2$." } ], "explanation": "La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \\neq 1$ vaut le\npremier terme multiplié par $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $2$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \\cdots + u_{4}$ ?", "options": [ { "text": "$93$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte $5$ termes et vaut\n$3 \\times \\dfrac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 93$." }, { "text": "$45$", "correct": false, "feedback": "Un terme manque : la somme s'arrête au rang $4$, elle compte donc\n$5$ termes et non $4$." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "C'est le dernier terme $u_{4}$ seul, alors que la question porte\nsur la somme de tous les termes." }, { "text": "$31$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme $3$ a été oublié : il multiplie toute la somme\ndes puissances de $2$." } ], "explanation": "La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \\neq 1$ vaut le\npremier terme multiplié par $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$." } ] }, { "id": "q46", "difficulty": 1, "skills": [ "arithmetiques", "raison", "reconnaissance" ], "title": "Reconnaître une suite arithmétique et sa raison", "partie": "arithmetiques", "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $5$, $8$, $11$, $14$.\nQue peut-on dire de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $3$ au\nprécédent : $8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3$.\n" }, { "text": "Arithmétique de raison $5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le premier terme, pas la raison.\n" }, { "text": "Géométrique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;\nils augmentent d'une même quantité.\n" }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est\nconstante, ce qui définit une suite arithmétique.\n" } ], "explanation": "Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est\nconstante ; cette constante est la raison.", "variants": [ { "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $5$, $8$, $11$, $14$.\nQue peut-on dire de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $3$ au\nprécédent : $8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3$.\n" }, { "text": "Arithmétique de raison $5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le premier terme, pas la raison.\n" }, { "text": "Géométrique de raison $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;\nils augmentent d'une même quantité.\n" }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est\nconstante, ce qui définit une suite arithmétique.\n" } ], "explanation": "Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est\nconstante ; cette constante est la raison." }, { "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $2$, $9$, $16$, $23$.\nQue peut-on dire de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $7$ au\nprécédent : $9 - 2 = 16 - 9 = 23 - 16 = 7$.\n" }, { "text": "Arithmétique de raison $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le premier terme, pas la raison.\n" }, { "text": "Géométrique de raison $7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;\nils augmentent d'une même quantité.\n" }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est\nconstante, ce qui définit une suite arithmétique.\n" } ], "explanation": "Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est\nconstante ; cette constante est la raison." }, { "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $10$, $14$, $18$, $22$.\nQue peut-on dire de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $4$ au\nprécédent : $14 - 10 = 18 - 14 = 22 - 18 = 4$.\n" }, { "text": "Arithmétique de raison $10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le premier terme, pas la raison.\n" }, { "text": "Géométrique de raison $4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;\nils augmentent d'une même quantité.\n" }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est\nconstante, ce qui définit une suite arithmétique.\n" } ], "explanation": "Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est\nconstante ; cette constante est la raison." }, { "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $5$, $7$, $9$, $11$.\nQue peut-on dire de cette suite ?", "options": [ { "text": "Arithmétique de raison $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $2$ au\nprécédent : $7 - 5 = 9 - 7 = 11 - 9 = 2$.\n" }, { "text": "Arithmétique de raison $5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le premier terme, pas la raison.\n" }, { "text": "Géométrique de raison $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;\nils augmentent d'une même quantité.\n" }, { "text": "Ni arithmétique ni géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est\nconstante, ce qui définit une suite arithmétique.\n" } ], "explanation": "Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est\nconstante ; cette constante est la raison." } ] }, { "id": "q47", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetiques", "terme-general", "premier-terme-u1" ], "title": "Terme général quand la suite commence au rang un", "partie": "arithmetiques", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 7$ et a pour raison $4$.\nQue vaut $u_{20}$ ?", "options": [ { "text": "$83$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc\n$u_{20} = 7 + 19 \\times 4 = 83$.\n" }, { "text": "$87$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang\n$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.\n" }, { "text": "$532$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier\nterme.\n" }, { "text": "$7 + 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 + 4$ n'est que $u_2$.\n" } ], "explanation": "Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 7$ et a pour raison $4$.\nQue vaut $u_{20}$ ?", "options": [ { "text": "$83$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc\n$u_{20} = 7 + 19 \\times 4 = 83$.\n" }, { "text": "$87$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang\n$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.\n" }, { "text": "$532$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier\nterme.\n" }, { "text": "$7 + 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 + 4$ n'est que $u_2$.\n" } ], "explanation": "Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 3$ et a pour raison $5$.\nQue vaut $u_{15}$ ?", "options": [ { "text": "$73$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc\n$u_{15} = 3 + 14 \\times 5 = 73$.\n" }, { "text": "$78$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang\n$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.\n" }, { "text": "$210$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier\nterme.\n" }, { "text": "$3 + 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 5$ n'est que $u_2$.\n" } ], "explanation": "Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 12$ et a pour raison $2$.\nQue vaut $u_{30}$ ?", "options": [ { "text": "$70$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc\n$u_{30} = 12 + 29 \\times 2 = 70$.\n" }, { "text": "$72$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang\n$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.\n" }, { "text": "$696$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier\nterme.\n" }, { "text": "$12 + 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12 + 2$ n'est que $u_2$.\n" } ], "explanation": "Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 7$ et a pour raison $4$.\nQue vaut $u_{15}$ ?", "options": [ { "text": "$63$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc\n$u_{15} = 7 + 14 \\times 4 = 63$.\n" }, { "text": "$67$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang\n$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.\n" }, { "text": "$392$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier\nterme.\n" }, { "text": "$7 + 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 + 4$ n'est que $u_2$.\n" } ], "explanation": "Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$." } ] }, { "id": "q48", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetiques", "variations", "signe-raison" ], "title": "Sens de variation d'une suite arithmétique", "partie": "arithmetiques", "statement": "Une suite arithmétique a pour raison $-2$. Quel est son sens de\nvariation ?", "options": [ { "text": "Décroissante, la raison étant négative", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{n+1} - u_n = -2$ ; le signe de la raison\ndonne le sens de variation.\n" }, { "text": "Croissante, car $|{-2}| = 2 > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le signe de $u_{n+1} - u_n = -2$ qui décide.\n" }, { "text": "Constante, une suite arithmétique ne variant pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique n'est constante que si sa\nraison est nulle.\n" }, { "text": "Cela dépend du premier terme", "correct": false, "feedback": "Erreur : le premier terme ne change pas le signe des\ndifférences successives.\n" } ], "explanation": "Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,\ndécroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique a pour raison $-2$. Quel est son sens de\nvariation ?", "options": [ { "text": "Décroissante, la raison étant négative", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{n+1} - u_n = -2$ ; le signe de la raison\ndonne le sens de variation.\n" }, { "text": "Croissante, car $|{-2}| = 2 > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le signe de $u_{n+1} - u_n = -2$ qui décide.\n" }, { "text": "Constante, une suite arithmétique ne variant pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique n'est constante que si sa\nraison est nulle.\n" }, { "text": "Cela dépend du premier terme", "correct": false, "feedback": "Erreur : le premier terme ne change pas le signe des\ndifférences successives.\n" } ], "explanation": "Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,\ndécroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$." }, { "statement": "Une suite arithmétique a pour raison $3$. Quel est son sens de\nvariation ?", "options": [ { "text": "Croissante, la raison étant positive", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{n+1} - u_n = 3$ ; le signe de la raison\ndonne le sens de variation.\n" }, { "text": "Décroissante, les termes finissant par diminuer", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le signe de $u_{n+1} - u_n = 3$ qui décide.\n" }, { "text": "Constante, une suite arithmétique ne variant pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique n'est constante que si sa\nraison est nulle.\n" }, { "text": "Cela dépend du premier terme", "correct": false, "feedback": "Erreur : le premier terme ne change pas le signe des\ndifférences successives.\n" } ], "explanation": "Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,\ndécroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$." } ] }, { "id": "q49", "difficulty": 3, "skills": [ "arithmetiques", "deux-termes", "raison" ], "title": "Retrouver la raison à partir de deux termes", "partie": "arithmetiques", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 10$ et $u_{8} =\n25$. Quelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{8} - u_{3} = (8 - 3)r$, donc\n$r = \\dfrac{15}{5} = 3$ ; on en déduit $u_0 = 1$.\n" }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre\n$5$ raisons.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est un terme de la suite, pas sa raison.\n" } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\\,r$ : deux termes\nsuffisent à retrouver la raison.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 10$ et $u_{8} =\n25$. Quelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{8} - u_{3} = (8 - 3)r$, donc\n$r = \\dfrac{15}{5} = 3$ ; on en déduit $u_0 = 1$.\n" }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre\n$5$ raisons.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est un terme de la suite, pas sa raison.\n" } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\\,r$ : deux termes\nsuffisent à retrouver la raison." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{2} = 7$ et $u_{5} =\n19$. Quelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{5} - u_{2} = (5 - 2)r$, donc\n$r = \\dfrac{12}{3} = 4$ ; on en déduit $u_0 = -1$.\n" }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre\n$3$ raisons.\n" }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.\n" }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est un terme de la suite, pas sa raison.\n" } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\\,r$ : deux termes\nsuffisent à retrouver la raison." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{4} = 20$ et $u_{9} =\n10$. Quelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{9} - u_{4} = (9 - 4)r$, donc\n$r = \\dfrac{-10}{5} = -2$ ; on en déduit $u_0 = 28$.\n" }, { "text": "$-10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-10$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre\n$5$ raisons.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.\n" }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20$ est un terme de la suite, pas sa raison.\n" } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\\,r$ : deux termes\nsuffisent à retrouver la raison." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 8$ et $u_{7} =\n28$. Quelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{7} - u_{3} = (7 - 3)r$, donc\n$r = \\dfrac{20}{4} = 5$ ; on en déduit $u_0 = -7$.\n" }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre\n$4$ raisons.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.\n" }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8$ est un terme de la suite, pas sa raison.\n" } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\\,r$ : deux termes\nsuffisent à retrouver la raison." } ] }, { "id": "q50", "difficulty": 1, "skills": [ "sommes", "entiers-consecutifs", "formule" ], "title": "Somme des premiers entiers", "partie": "sommes", "statement": "Calculer $1 + 2 + 3 + \\cdots + 100$.", "options": [ { "text": "$5050$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{100 \\times 101}{2} = 5050$.\n" }, { "text": "$10000$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100^2$ serait la somme des $100$ premiers nombres\nimpairs, pas celle des entiers de $1$ à $100$.\n" }, { "text": "$4950$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $99$.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le dernier terme, pas la somme.\n" } ], "explanation": "$1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois\nmoyenne du premier et du dernier.", "variants": [ { "statement": "Calculer $1 + 2 + 3 + \\cdots + 100$.", "options": [ { "text": "$5050$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{100 \\times 101}{2} = 5050$.\n" }, { "text": "$10000$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100^2$ serait la somme des $100$ premiers nombres\nimpairs, pas celle des entiers de $1$ à $100$.\n" }, { "text": "$4950$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $99$.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le dernier terme, pas la somme.\n" } ], "explanation": "$1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois\nmoyenne du premier et du dernier." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 3 + \\cdots + 50$.", "options": [ { "text": "$1275$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{50 \\times 51}{2} = 1275$.\n" }, { "text": "$2500$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50^2$ serait la somme des $50$ premiers nombres\nimpairs, pas celle des entiers de $1$ à $50$.\n" }, { "text": "$1225$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $49$.\n" }, { "text": "$50$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50$ est le dernier terme, pas la somme.\n" } ], "explanation": "$1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois\nmoyenne du premier et du dernier." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 3 + \\cdots + 20$.", "options": [ { "text": "$210$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{20 \\times 21}{2} = 210$.\n" }, { "text": "$400$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20^2$ serait la somme des $20$ premiers nombres\nimpairs, pas celle des entiers de $1$ à $20$.\n" }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $19$.\n" }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20$ est le dernier terme, pas la somme.\n" } ], "explanation": "$1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois\nmoyenne du premier et du dernier." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 3 + \\cdots + 101$.", "options": [ { "text": "$5151$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{101 \\times 102}{2} = 5151$.\n" }, { "text": "$10201$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $101^2$ serait la somme des $101$ premiers nombres\nimpairs, pas celle des entiers de $1$ à $101$.\n" }, { "text": "$5050$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $100$.\n" }, { "text": "$101$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $101$ est le dernier terme, pas la somme.\n" } ], "explanation": "$1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois\nmoyenne du premier et du dernier." } ] }, { "id": "q51", "difficulty": 2, "skills": [ "sommes", "geometrique", "puissances-de-deux" ], "title": "Somme des premières puissances de deux", "partie": "sommes", "statement": "Calculer $1 + 2 + 4 + \\cdots + 2^{5}$.", "options": [ { "text": "$63$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{q^{n+1} - 1}\n{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{6} - 1 = 63$.\n" }, { "text": "$32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{5} = 32$ est le dernier terme, pas la somme.\n" }, { "text": "$31$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{5} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{4}$\nseulement.\n" }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$ : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}\n{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$.", "variants": [ { "statement": "Calculer $1 + 2 + 4 + \\cdots + 2^{5}$.", "options": [ { "text": "$63$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{q^{n+1} - 1}\n{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{6} - 1 = 63$.\n" }, { "text": "$32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{5} = 32$ est le dernier terme, pas la somme.\n" }, { "text": "$31$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{5} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{4}$\nseulement.\n" }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$ : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}\n{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 4 + \\cdots + 2^{6}$.", "options": [ { "text": "$127$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{q^{n+1} - 1}\n{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{7} - 1 = 127$.\n" }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$ est le dernier terme, pas la somme.\n" }, { "text": "$63$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{6} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{5}$\nseulement.\n" }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$ : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}\n{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 4 + \\cdots + 2^{4}$.", "options": [ { "text": "$31$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{q^{n+1} - 1}\n{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{5} - 1 = 31$.\n" }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{4} = 16$ est le dernier terme, pas la somme.\n" }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{4} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{3}$\nseulement.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$ : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}\n{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$." }, { "statement": "Calculer $1 + 2 + 4 + \\cdots + 2^{3}$.", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{q^{n+1} - 1}\n{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{4} - 1 = 15$.\n" }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{3} = 8$ est le dernier terme, pas la somme.\n" }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{3} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{2}$\nseulement.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Pour $q \\neq 1$ : $1 + q + \\cdots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}\n{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$." } ] }, { "id": "q52", "difficulty": 2, "skills": [ "sommes", "arithmetique", "formule" ], "title": "Somme de termes en progression arithmétique par la formule", "partie": "sommes", "statement": "Une suite arithmétique a $10$ termes consécutifs allant de $3$\nà $39$. Quelle est leur somme ?", "options": [ { "text": "$210$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\\times$\n$\\dfrac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2} = 10 \\times\n\\dfrac{3 + 39}{2} = 210$.\n" }, { "text": "$420$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par\nla **moyenne** du premier et du dernier terme.\n" }, { "text": "$42$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 39$ n'est que la somme des deux termes\nextrêmes.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :\n$n \\times \\dfrac{u_{\\text{premier}} + u_{\\text{dernier}}}{2}$.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique a $10$ termes consécutifs allant de $3$\nà $39$. Quelle est leur somme ?", "options": [ { "text": "$210$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\\times$\n$\\dfrac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2} = 10 \\times\n\\dfrac{3 + 39}{2} = 210$.\n" }, { "text": "$420$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par\nla **moyenne** du premier et du dernier terme.\n" }, { "text": "$42$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 39$ n'est que la somme des deux termes\nextrêmes.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :\n$n \\times \\dfrac{u_{\\text{premier}} + u_{\\text{dernier}}}{2}$." }, { "statement": "Une suite arithmétique a $10$ termes consécutifs allant de $5$\nà $50$. Quelle est leur somme ?", "options": [ { "text": "$275$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\\times$\n$\\dfrac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2} = 10 \\times\n\\dfrac{5 + 50}{2} = 275$.\n" }, { "text": "$550$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par\nla **moyenne** du premier et du dernier terme.\n" }, { "text": "$55$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5 + 50$ n'est que la somme des deux termes\nextrêmes.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :\n$n \\times \\dfrac{u_{\\text{premier}} + u_{\\text{dernier}}}{2}$." }, { "statement": "Une suite arithmétique a $16$ termes consécutifs allant de $2$\nà $62$. Quelle est leur somme ?", "options": [ { "text": "$512$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\\times$\n$\\dfrac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2} = 16 \\times\n\\dfrac{2 + 62}{2} = 512$.\n" }, { "text": "$1024$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par\nla **moyenne** du premier et du dernier terme.\n" }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 + 62$ n'est que la somme des deux termes\nextrêmes.\n" }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :\n$n \\times \\dfrac{u_{\\text{premier}} + u_{\\text{dernier}}}{2}$." }, { "statement": "Une suite arithmétique a $16$ termes consécutifs allant de $3$\nà $39$. Quelle est leur somme ?", "options": [ { "text": "$336$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\\times$\n$\\dfrac{\\text{premier} + \\text{dernier}}{2} = 16 \\times\n\\dfrac{3 + 39}{2} = 336$.\n" }, { "text": "$672$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par\nla **moyenne** du premier et du dernier terme.\n" }, { "text": "$42$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 39$ n'est que la somme des deux termes\nextrêmes.\n" }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16$ est le nombre de termes.\n" } ], "explanation": "Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :\n$n \\times \\dfrac{u_{\\text{premier}} + u_{\\text{dernier}}}{2}$." } ] }, { "id": "q53", "difficulty": 3, "skills": [ "sommes", "seuil", "geometrique-decroissante" ], "title": "Passer sous un seuil avec une suite géométrique décroissante", "partie": "sommes", "statement": "Soit $u_n = 100 \\times 0{,}8^n$. À partir de quel rang a-t-on\n$u_n < 10$ ?", "options": [ { "text": "$n = 11$, car $u_{11} \\approx 8{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{10} \\approx 10{,}7 \\geq 10$ et\n$u_{11} \\approx 8{,}6 < 10$ ; le seuil est franchi au rang\n$11$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.\n" }, { "text": "$n = 10$, car $u_{10} \\approx 10{,}7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10{,}7$ est encore supérieur ou égal à $10$.\n" }, { "text": "$n = 12$, par sécurité", "correct": false, "feedback": "Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $11$.\n" }, { "text": "Jamais, la suite restant positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers\n$0$ et passe sous tout seuil positif.\n" } ], "explanation": "Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang\npour lequel $u_n < 10$ ; la décroissance garantit que tous les\nrangs suivants conviennent.", "variants": [ { "statement": "Soit $u_n = 100 \\times 0{,}8^n$. À partir de quel rang a-t-on\n$u_n < 10$ ?", "options": [ { "text": "$n = 11$, car $u_{11} \\approx 8{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{10} \\approx 10{,}7 \\geq 10$ et\n$u_{11} \\approx 8{,}6 < 10$ ; le seuil est franchi au rang\n$11$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.\n" }, { "text": "$n = 10$, car $u_{10} \\approx 10{,}7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10{,}7$ est encore supérieur ou égal à $10$.\n" }, { "text": "$n = 12$, par sécurité", "correct": false, "feedback": "Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $11$.\n" }, { "text": "Jamais, la suite restant positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers\n$0$ et passe sous tout seuil positif.\n" } ], "explanation": "Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang\npour lequel $u_n < 10$ ; la décroissance garantit que tous les\nrangs suivants conviennent." }, { "statement": "Soit $u_n = 500 \\times 0{,}5^n$. À partir de quel rang a-t-on\n$u_n < 20$ ?", "options": [ { "text": "$n = 5$, car $u_{5} \\approx 15{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{4} \\approx 31{,}25 \\geq 20$ et\n$u_{5} \\approx 15{,}6 < 20$ ; le seuil est franchi au rang\n$5$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.\n" }, { "text": "$n = 4$, car $u_{4} \\approx 31{,}25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $31{,}25$ est encore supérieur ou égal à $20$.\n" }, { "text": "$n = 6$, par sécurité", "correct": false, "feedback": "Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $5$.\n" }, { "text": "Jamais, la suite restant positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers\n$0$ et passe sous tout seuil positif.\n" } ], "explanation": "Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang\npour lequel $u_n < 20$ ; la décroissance garantit que tous les\nrangs suivants conviennent." }, { "statement": "Soit $u_n = 200 \\times 0{,}9^n$. À partir de quel rang a-t-on\n$u_n < 100$ ?", "options": [ { "text": "$n = 7$, car $u_{7} \\approx 95{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{6} \\approx 106{,}3 \\geq 100$ et\n$u_{7} \\approx 95{,}7 < 100$ ; le seuil est franchi au rang\n$7$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.\n" }, { "text": "$n = 6$, car $u_{6} \\approx 106{,}3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $106{,}3$ est encore supérieur ou égal à $100$.\n" }, { "text": "$n = 8$, par sécurité", "correct": false, "feedback": "Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $7$.\n" }, { "text": "Jamais, la suite restant positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers\n$0$ et passe sous tout seuil positif.\n" } ], "explanation": "Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang\npour lequel $u_n < 100$ ; la décroissance garantit que tous les\nrangs suivants conviennent." }, { "statement": "Soit $u_n = 1000 \\times 0{,}5^n$. À partir de quel rang a-t-on\n$u_n < 100$ ?", "options": [ { "text": "$n = 4$, car $u_{4} \\approx 62{,}5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{3} \\approx 125 \\geq 100$ et\n$u_{4} \\approx 62{,}5 < 100$ ; le seuil est franchi au rang\n$4$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.\n" }, { "text": "$n = 3$, car $u_{3} \\approx 125$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $125$ est encore supérieur ou égal à $100$.\n" }, { "text": "$n = 5$, par sécurité", "correct": false, "feedback": "Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $4$.\n" }, { "text": "Jamais, la suite restant positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers\n$0$ et passe sous tout seuil positif.\n" } ], "explanation": "Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang\npour lequel $u_n < 100$ ; la décroissance garantit que tous les\nrangs suivants conviennent." } ] }, { "id": "q54", "difficulty": 2, "skills": [ "sommes", "python", "accumulateur" ], "title": "Une somme calculée par un programme", "partie": "sommes", "statement": "Que renvoie `somme(n)` ?\n```python\ndef somme(n):\n s = 0\n for k in range(1, n + 1):\n s = s + k\n return s\n```", "options": [ { "text": "$1 + 2 + \\cdots + n$, la somme de $1$ à $n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `range(1, n + 1)` parcourt les entiers de $1$ à\n$n$, et `s` accumule leur somme.\n" }, { "text": "$1 + 2 + \\cdots + (n - 1)$, la borne étant exclue", "correct": false, "feedback": "Erreur : la borne `n + 1` étant exclue, le dernier entier\nparcouru est bien $n$.\n" }, { "text": "$n$, la dernière valeur de `k`", "correct": false, "feedback": "Erreur : la fonction renvoie `s`, pas `k`.\n" }, { "text": "$n!$, le produit des entiers de $1$ à $n$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'instruction `s = s + k` additionne ; un produit\ns'écrirait `s = s * k` avec `s` initialisé à $1$.\n" } ], "explanation": "Accumulateur initialisé à $0$, boucle sur les entiers de $1$ à $n$ :\nle programme calcule $\\dfrac{n(n + 1)}{2}$ pas à pas." } ] }