{
"chapter": {
"id": "trigonometrie",
"level": "premiere-specialite",
"theme": "Analyse",
"title": "Trigonométrie",
"description": "Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de\nla droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien\navec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$, angles associés (opposés,\nplus un tour).",
"parties": [
{
"id": "cercle",
"title": "Cercle trigonométrique et enroulement"
},
{
"id": "valeurs",
"title": "Valeurs remarquables et angles associés"
},
{
"id": "fonctions",
"title": "Fonctions sinus et cosinus"
},
{
"id": "equations",
"title": "Équations et relations"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"radian"
],
"title": "Degrés et radians",
"partie": "cercle",
"statement": "À combien de radians correspond un angle de $90°$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le tour complet ($360°$) mesure $2\\pi$\nradians, donc le quart de tour vaut $\\dfrac{2\\pi}{4} =\n\\dfrac{\\pi}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{3}$ correspond à $60°$ (le sixième\nde tour). Le quart de tour vaut $\\dfrac{\\pi}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{4}$ correspond à $45°$ (le huitième\nde tour)."
},
{
"text": "$\\dfrac{90}{\\pi}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la conversion multiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$\n: $90 \\times \\dfrac{\\pi}{180} = \\dfrac{\\pi}{2}$. Diviser\npar $\\pi$ n'a pas de sens ici ($\\frac{90}{\\pi} \\approx\n28{,}6$)."
}
],
"explanation": "Le radian mesure un angle par la **longueur d'arc** sur le\ncercle de rayon $1$ : tour complet $= 2\\pi$, demi-tour $=\n\\pi$, quart de tour $= \\pi/2$. Conversion : $x° =\nx \\times \\frac{\\pi}{180}$ rad."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"enroulement"
],
"title": "Enroulement de la droite",
"partie": "cercle",
"statement": "Sur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel\n$\\dfrac{\\pi}{2}$ par l'enroulement de la droite des réels ?",
"options": [
{
"text": "Le point de coordonnées $(0\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : partant de $I(1\\,;\\,0)$ et parcourant un\nquart de tour dans le sens direct (longueur d'arc\n$\\pi/2$), on atteint le sommet du cercle."
},
{
"text": "Le point de coordonnées $(1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0)$ est le point de **départ**, associé\nau réel $0$."
},
{
"text": "Le point de coordonnées $(0\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,-1)$ est atteint pour $-\\dfrac{\\pi}{2}$\n(quart de tour dans le sens indirect) ou pour\n$\\dfrac{3\\pi}{2}$."
},
{
"text": "Le point de coordonnées $(1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa\ndistance à l'origine vaut $\\sqrt{2} \\neq 1$)."
}
],
"explanation": "L'enroulement part de $I(1\\,;\\,0)$ et parcourt le cercle dans\nle sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :\n$\\pi/2 \\to (0\\,;\\,1)$, $\\pi \\to (-1\\,;\\,0)$,\n$2\\pi \\to$ retour en $I$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"valeurs"
],
"title": "Lire cosinus et sinus sur le cercle",
"partie": "fonctions",
"statement": "Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $M$ est\nassocié au réel $\\dfrac{\\pi}{3}$. Quelles sont ses\ncoordonnées ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[->] (-1.4,0) -- (1.5,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.5) node[above left] {$y$};\n \\draw[thick] (0,0) circle (1);\n \\fill (1,0) circle (0.025);\n \\node[below right,font=\\small] at (1,0) {$I$};\n \\draw (0,0) -- (0.5,0.866);\n \\fill[blue] (0.5,0.866) circle (0.03);\n \\node[blue,above right,font=\\small] at (0.5,0.866) {$M$};\n \\draw[dashed] (0.5,0.866) -- (0.5,0);\n \\node[below,font=\\small] at (0.5,-0.03) {$\\frac{1}{2}$};\n \\draw[dashed] (0.5,0.866) -- (0,0.866);\n \\node[left,font=\\small] at (-0.03,0.866) {$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$};\n \\draw[->] (0.3,0) arc (0:60:0.3);\n \\node[font=\\small] at (0.42,0.2) {$\\frac{\\pi}{3}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le\ncercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3\ndepuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à\nl'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée\nracine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$M\\left(\\dfrac{1}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : par définition, $M(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ :\nles pointillés donnent $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$\n(abscisse) et $\\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n(ordonnée)."
},
{
"text": "$M\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point correspondrait à\n$\\dfrac{\\pi}{6}$ (angle plus proche de l'axe horizontal,\ndonc grande abscisse et petite ordonnée)."
},
{
"text": "$M\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,0\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{3}$ est l'**angle** (la longueur\nd'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont\nle cosinus et le sinus."
},
{
"text": "$M\\left(\\dfrac{1}{2}\\,;\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce point n'est pas sur le cercle\n($\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2\n= \\frac{1}{2} \\neq 1$). L'ordonnée de $M$ vaut\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$."
}
],
"explanation": "Définition centrale : le point associé à $x$ a pour\ncoordonnées $(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Pour $\\pi/3$ :\n$\\left(\\frac{1}{2}\\,;\\,\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"definition"
],
"title": "Définition de cosinus et sinus",
"partie": "cercle",
"statement": "Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel\n$x$. Comment sont définis $\\cos x$ et $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\\sin x$ son ordonnée",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui\nétend le cosinus et le sinus à **tous** les réels."
},
{
"text": "$\\cos x$ est l'ordonnée de $M$ et $\\sin x$ son abscisse",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le **c**osinus est l'abscisse\n(horizontale). Vérifie en $x = 0$ : le point $(1\\,;\\,0)$\ndonne bien $\\cos 0 = 1$ et $\\sin 0 = 0$."
},
{
"text": "$\\cos x$ est la longueur de l'arc parcouru",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la longueur d'arc est le **réel $x$** lui-même\n(c'est le principe du radian). Le cosinus en est\nl'abscisse du point d'arrivée."
},
{
"text": "$\\cos x$ et $\\sin x$ ne sont définis que pour\n$x \\in [0\\,;\\,2\\pi]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut\nfaire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :\ncosinus et sinus sont définis sur $\\mathbb{R}$."
}
],
"explanation": "Pour tout réel $x$ : $M(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ sur le cercle\ntrigonométrique. Conséquence immédiate : $-1 \\leq \\cos x \\leq\n1$ et $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"valeurs"
],
"title": "Une valeur remarquable",
"partie": "valeurs",
"statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{4}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à $45°$, le point du cercle est sur la\nbissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant\n$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$ (ou\n$\\cos\\dfrac{\\pi}{3}$). Pour $\\pi/4$ :\n$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$\n(angle plus ouvert, ordonnée plus haute)."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{\\sqrt{2}}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41$\ndépasse $1$, impossible pour un sinus. La valeur\ncherchée est son inverse, $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx\n0{,}707$."
}
],
"explanation": "Valeurs remarquables (dans l'ordre $\\frac{\\pi}{6}$,\n$\\frac{\\pi}{4}$, $\\frac{\\pi}{3}$) : sinus $\\frac{1}{2}$,\n$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : et cosinus dans\nl'ordre inverse. En $\\pi/4$, symétrie : $\\cos = \\sin =\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"relation-fondamentale"
],
"title": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$",
"partie": "equations",
"statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}6$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}8$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$."
},
{
"text": "$\\pm 0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**."
},
{
"text": "$0{,}64$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $0{,}64$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}8$."
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}6$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}8$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$."
},
{
"text": "$\\pm 0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**."
},
{
"text": "$0{,}64$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $0{,}64$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}8$."
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}8$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}6$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$."
},
{
"text": "$\\pm 0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**."
},
{
"text": "$0{,}36$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $0{,}36$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}6$."
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}28$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}96$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}96$."
},
{
"text": "$0{,}72$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - 0{,}28 = 0{,}72$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$."
},
{
"text": "$\\pm 0{,}96$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**."
},
{
"text": "$0{,}9216$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $0{,}9216$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}96$."
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}96$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}28$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}9216 = 0{,}0784$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}28$."
},
{
"text": "$0{,}04$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - 0{,}96 = 0{,}04$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$."
},
{
"text": "$\\pm 0{,}28$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**."
},
{
"text": "$0{,}0784$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $0{,}0784$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}28$."
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant."
}
]
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"periodicite"
],
"title": "Ajouter un tour",
"partie": "fonctions",
"statement": "Le réel $\\dfrac{9\\pi}{4}$ est associé au même point du cercle\nque lequel de ces réels ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{4} +\n2\\pi$ : un tour complet de plus, même point d'arrivée."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9\\pi}{4} - \\dfrac{\\pi}{2} =\n\\dfrac{7\\pi}{4}$, qui n'est pas un multiple de $2\\pi$ :\npoints différents."
},
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'écart vaut $\\dfrac{6\\pi}{4} = \\dfrac{3\\pi}{2}$,\npas un tour complet."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9\\pi}{4} - \\left(-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)\n= \\dfrac{10\\pi}{4} = \\dfrac{5\\pi}{2}$ : pas un multiple\nde $2\\pi$. ($-\\pi/4$ est le **symétrique** de $\\pi/4$,\npas le même point.)"
}
],
"explanation": "Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur\ndifférence est un multiple de $2\\pi$ (nombre entier de\ntours). $\\frac{9\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{4} + 2\\pi$ : d'où\n$\\cos\\frac{9\\pi}{4} = \\cos\\frac{\\pi}{4}$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles-associes"
],
"title": "Angles opposés",
"partie": "valeurs",
"statement": "Que vaut $\\sin\\left(-\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points associés à $x$ et $-x$ sont\nsymétriques par rapport à l'axe des abscisses : même\ncosinus, sinus **opposés**. $\\sin\\frac{\\pi}{6} =\n\\frac{1}{2}$, donc $\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) =\n-\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le **cosinus** qui résiste au changement de\nsigne de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous\nl'axe : $-\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de valeur : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est le sinus de\n$\\dfrac{\\pi}{3}$, pas de $\\dfrac{\\pi}{6}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Double erreur : mauvaise valeur remarquable **et** signe\noublié. $\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) = -\\frac{1}{2}$."
}
],
"explanation": "Angles opposés : $\\cos(-x) = \\cos x$ et $\\sin(-x) = -\\sin x$\n(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle)."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"triangle-rectangle",
"lien"
],
"title": "Lien avec le triangle rectangle",
"partie": "valeurs",
"statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $3$ et une hypoténuse de longueur $5$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{3}{5}$ (et le\ntroisième côté vaut $4$ : $\\sin\\theta = \\frac{4}{5}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{5}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $4$ par Pythagore, sur hypoténuse)."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{3}{5}$."
}
],
"explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $3$-$4$-$5$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $3$ et une hypoténuse de longueur $5$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{3}{5}$ (et le\ntroisième côté vaut $4$ : $\\sin\\theta = \\frac{4}{5}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{5}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $4$ par Pythagore, sur hypoténuse)."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{3}{5}$."
}
],
"explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $3$-$4$-$5$."
},
{
"statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $5$ et une hypoténuse de longueur $13$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{13}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{5}{13}$ (et le\ntroisième côté vaut $12$ : $\\sin\\theta = \\frac{12}{13}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{12}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{12}{13}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $12$ par Pythagore, sur hypoténuse)."
},
{
"text": "$\\dfrac{13}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{12}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{5}{13}$."
}
],
"explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $5$-$12$-$13$."
},
{
"statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $8$ et une hypoténuse de longueur $17$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{8}{17}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{8}{17}$ (et le\ntroisième côté vaut $15$ : $\\sin\\theta = \\frac{15}{17}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{15}{17}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $15$ par Pythagore, sur hypoténuse)."
},
{
"text": "$\\dfrac{17}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{8}{15}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{8}{17}$."
}
],
"explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $8$-$15$-$17$."
},
{
"statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $7$ et une hypoténuse de longueur $25$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{7}{25}$ (et le\ntroisième côté vaut $24$ : $\\sin\\theta = \\frac{24}{25}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{24}{25}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $24$ par Pythagore, sur hypoténuse)."
},
{
"text": "$\\dfrac{25}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{24}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7}{24}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{7}{25}$."
}
],
"explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $7$-$24$-$25$."
}
]
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 3,
"skills": [
"placement",
"quadrants"
],
"title": "Placer un réel sur le cercle",
"partie": "valeurs",
"statement": "Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le\npoint associé au réel $\\dfrac{5\\pi}{6}$, et quels sont les\nsignes de son cosinus et de son sinus ?",
"options": [
{
"text": "Deuxième quadrant (en haut à gauche) : $\\cos < 0$ et\n$\\sin > 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{\\pi}{2} < \\dfrac{5\\pi}{6} < \\pi$ :\nentre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,\nordonnée positive."
},
{
"text": "Premier quadrant : $\\cos > 0$ et $\\sin > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le premier quadrant s'arrête à $\\dfrac{\\pi}{2} =\n\\dfrac{3\\pi}{6}$ ; or $\\dfrac{5\\pi}{6}$ le dépasse."
},
{
"text": "Troisième quadrant : $\\cos < 0$ et $\\sin < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le troisième quadrant commence à $\\pi =\n\\dfrac{6\\pi}{6}$, pas encore atteint par\n$\\dfrac{5\\pi}{6}$."
},
{
"text": "Deuxième quadrant : $\\cos > 0$ et $\\sin < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse\n(cosinus) est **négative** et l'ordonnée (sinus)\n**positive**."
}
],
"explanation": "Placer un réel : le comparer aux multiples de\n$\\frac{\\pi}{2}$. $\\frac{5\\pi}{6} \\in \\left]\\frac{\\pi}{2}\\,;\\,\n\\pi\\right[$ : deuxième quadrant, $\\cos\\frac{5\\pi}{6} =\n-\\frac{\\sqrt{3}}{2} < 0$ et $\\sin\\frac{5\\pi}{6} =\n\\frac{1}{2} > 0$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"valeurs",
"demonstration"
],
"title": "Pourquoi $\\cos\\frac{\\pi}{4} = \\sin\\frac{\\pi}{4}$ ?",
"partie": "valeurs",
"statement": "Comment justifier que $\\cos\\dfrac{\\pi}{4} =\n\\sin\\dfrac{\\pi}{4}$ ?",
"options": [
{
"text": "Le point associé à $\\dfrac{\\pi}{4}$ est sur la\nbissectrice $y = x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point\nest sur la droite $y = x$, son abscisse égale son\nordonnée. Avec $\\cos^2 + \\sin^2 = 1$, chaque coordonnée\nvaut $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme)."
},
{
"text": "Parce que $\\cos x = \\sin x$ pour tout réel $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout\n($\\cos 0 = 1 \\neq 0 = \\sin 0$). L'égalité en $\\pi/4$\nvient de la **symétrie** particulière de cet angle."
},
{
"text": "Parce que les deux valent $\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de valeur : elles valent $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\n\\approx 0{,}707$. (Et $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 +\n\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{2} \\neq 1$ :\nle point ne serait pas sur le cercle.)"
},
{
"text": "C'est une convention adoptée sans justification possible",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de\ntour (triangle rectangle isocèle) plus la relation\n$\\cos^2 + \\sin^2 = 1$."
}
],
"explanation": "L'angle $\\pi/4$ est sur la bissectrice du premier quadrant :\nabscisse $=$ ordonnée. En injectant dans $\\cos^2 x + \\sin^2 x\n= 1$ : $2\\cos^2\\frac{\\pi}{4} = 1$, d'où $\\cos\\frac{\\pi}{4} =\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"sens-de-parcours"
],
"title": "Le sens de parcours",
"partie": "valeurs",
"statement": "Quel point du cercle trigonométrique est associé au réel\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le\nsens **indirect** (celui des aiguilles d'une montre) :\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$ correspond à un quart de tour vers le\nbas, d'où le point $(0\\,;\\,-1)$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : $(0\\,;\\,1)$ correspond à\n$+\\dfrac{\\pi}{2}$ (sens direct). Le signe moins renverse\nle sens de parcours."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(-1\\,;\\,0)$ correspond à $\\pi$ (ou $-\\pi$) : un\ndemi-tour, pas un quart."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0)$ est le point de départ (réel $0$, ou\ntout multiple de $2\\pi$)."
}
],
"explanation": "Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels\npositifs, sens indirect pour les négatifs.\n$-\\frac{\\pi}{2} \\to (0\\,;\\,-1)$ : cohérent avec\n$\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0$ et\n$\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = -1$."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"valeur-remarquable"
],
"title": "La valeur $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à $60°$, le point du cercle est haut :\ngrand sinus $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, petit cosinus\n$\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Échange : $\\frac{1}{2}$ est $\\cos\\frac{\\pi}{3}$ (ou\n$\\sin\\frac{\\pi}{6}$) : à $60°$ le point est plus haut\nque large."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ appartient à\n$\\frac{\\pi}{4}$ ($45°$), l'angle de l'égalité\nsinus-cosinus."
},
{
"text": "$\\sqrt{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Trop grand : un sinus reste entre $-1$ et $1$ ; or\n$\\sqrt{3} \\approx 1{,}73$. Le bon rapport est\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$."
}
],
"explanation": "Le trio à mémoriser : $\\frac{\\pi}{6}, \\frac{\\pi}{4},\n\\frac{\\pi}{3}$ donnent pour sinus $\\frac{1}{2},\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ (et les mêmes\nvaleurs en cosinus, dans l'ordre inverse)."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"angles-associes",
"parite"
],
"title": "Cosinus de l'angle opposé",
"partie": "valeurs",
"statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\cos(-x)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\cos x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes $x$\net $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe\nhorizontal : même abscisse, donc même cosinus."
},
{
"text": "$-\\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le **sinus** qui change de signe\n($\\sin(-x) = -\\sin x$) : la symétrie horizontale\npréserve l'abscisse."
},
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de\n$\\frac{\\pi}{2} - x$ (angles complémentaires), pas de\nl'opposé."
},
{
"text": "$1 - \\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait\napparaître de « $1 -$ » : les transformations donnent\n$\\pm\\cos$ ou $\\pm\\sin$."
}
],
"explanation": "$\\cos(-x) = \\cos x$ (cosinus pair), $\\sin(-x) = -\\sin x$\n(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des\nabscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une\nsymétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"angles-associes",
"supplementaire"
],
"title": "Cosinus de $\\pi - x$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\cos(\\pi - x)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\cos x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\pi - x$ est le symétrique de $x$ par\nrapport à l'axe **vertical** : l'abscisse change de\nsigne, l'ordonnée est conservée ($\\sin(\\pi - x) = \\sin\nx$)."
},
{
"text": "$\\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :\n$\\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\cos\\frac{\\pi}{3} =\n-\\frac{1}{2}$, pas $+\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$-\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à\n$\\frac{\\pi}{2} - x$) : le supplémentaire donne\n$-\\cos x$."
},
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sin x$ est la valeur de $\\sin(\\pi - x)$ : le\n**sinus** est conservé par cette symétrie, le cosinus\nbascule."
}
],
"explanation": "$\\pi - x$ (symétrie verticale) : $\\cos$ bascule, $\\sin$\ntient ; $\\pi + x$ (symétrie centrale) : les deux basculent ;\n$-x$ (symétrie horizontale) : $\\sin$ bascule, $\\cos$ tient.\nTrois symétries, tout le jeu des angles associés."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"radian",
"definition"
],
"title": "Le radian par la longueur d'arc",
"partie": "cercle",
"statement": "Sur un cercle de rayon $r$, quelle longueur d'arc un angle au\ncentre de $1$ radian intercepte-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$r$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du radian : l'angle\nqui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur le\ncercle trigonométrique ($r = 1$), cet arc mesure $1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : vrai seulement pour $r = 1$. Sur un cercle de\nrayon $r$, toutes les longueurs sont multipliées par\n$r$ : l'arc de $1$ radian mesure $r$."
},
{
"text": "$\\pi r$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\pi r$ est le demi-périmètre, intercepté par un\nangle de $\\pi$ radians (le demi-tour), pas de $1$ radian."
},
{
"text": "$\\dfrac{2\\pi r}{360}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{2\\pi r}{360}$ est l'arc intercepté par\n$1$ **degré** (le tour $2\\pi r$ partagé en $360$). Un\nradian vaut environ $57{,}3°$, bien plus qu'un degré."
}
],
"explanation": "Le radian est défini par la longueur d'arc : $1$ radian\nintercepte un arc égal au rayon, donc un angle de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $\\alpha r$. Le tour\ncomplet ($2\\pi r$) correspond ainsi à $2\\pi$ radians, et $1$\nradian $= \\dfrac{180}{\\pi}° \\approx 57{,}3°$."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"angles-associes-calcul"
],
"title": "Calculer $\\sin\\dfrac{7\\pi}{6}$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{7\\pi}{6}$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7\\pi}{6} = \\pi +\n\\dfrac{\\pi}{6}$ : symétrie centrale : $\\sin(\\pi + x) =\n-\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$ (point dans le troisième\nquadrant, sous l'axe)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : au-delà de $\\pi$, le point passe **sous** l'axe\ndes abscisses : le sinus devient négatif."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur : l'angle de référence est $\\frac{\\pi}{6}$, de\nsinus $\\frac{1}{2}$ ($\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ appartient à\n$\\frac{\\pi}{3}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un sinus reste dans $[-1\\ ;\\ 1]$ : on\ndécompose l'angle ($\\pi + \\frac{\\pi}{6}$) et on applique\nla symétrie."
}
],
"explanation": "Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à $\\pi$ ou\n$\\frac{\\pi}{2}$ ($\\frac{7\\pi}{6} = \\pi + \\frac{\\pi}{6}$),\nappliquer la formule d'angle associé, conclure avec la\nvaleur remarquable. Placer mentalement le point sur le\ncercle valide le signe."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"coordonnees-point"
],
"title": "Coordonnées d'un point du cercle",
"partie": "valeurs",
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point du cercle\ntrigonométrique associé au réel $\\dfrac{2\\pi}{3}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\left(-\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnées $= (\\cos\\ ;\\ \\sin)$ :\ndeuxième quadrant : cosinus négatif ($-\\frac{1}{2}$),\nsinus positif ($\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)."
},
{
"text": "$\\left(\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du cosinus : $\\frac{2\\pi}{3} > \\frac{\\pi}{2}$ : le\npoint a dépassé la verticale : abscisse négative (ce\npoint-là est celui de $\\frac{\\pi}{3}$)."
},
{
"text": "$\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\ ;\\ -\\dfrac{1}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est\nle **cosinus** ($-\\frac{1}{2}$), l'ordonnée le sinus\n($+\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)."
},
{
"text": "$\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\ ;\\ \\dfrac{1}{2}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Valeurs échangées : l'angle de référence $\\frac{\\pi}{3}$\ndonne $\\cos = \\frac{1}{2}$ (au signe près) et $\\sin =\n\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : pas l'inverse."
}
],
"explanation": "Point associé à $x$ : $(\\cos x\\ ;\\ \\sin x)$ : ici\n$\\frac{2\\pi}{3} = \\pi - \\frac{\\pi}{3}$ : cosinus basculé,\nsinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +)."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"radians",
"conversion"
],
"title": "Convertir un angle en radians",
"partie": "cercle",
"statement": "Quelle est la mesure en radians d'un angle de $30$ degrés ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $180$ degrés valent $\\pi$ radians, donc $30$ degrés en\nvalent le sixième."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de $60$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici\n$\\dfrac{1}{6}$ et non $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{30}$",
"correct": false,
"feedback": "Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par\n$\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"text": "$30\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $30$ degrés est\nbien plus petit qu'un tour complet."
}
],
"explanation": "La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :\n$180$ degrés correspondent à $\\pi$ radians, donc une mesure en degrés se\nmultiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la mesure en radians d'un angle de $30$ degrés ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $180$ degrés valent $\\pi$ radians, donc $30$ degrés en\nvalent le sixième."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de $60$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici\n$\\dfrac{1}{6}$ et non $\\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{30}$",
"correct": false,
"feedback": "Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par\n$\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"text": "$30\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $30$ degrés est\nbien plus petit qu'un tour complet."
}
],
"explanation": "La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :\n$180$ degrés correspondent à $\\pi$ radians, donc une mesure en degrés se\nmultiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en radians d'un angle de $45$ degrés ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $180$ degrés valent $\\pi$ radians, donc $45$ degrés en\nvalent le quart."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de $90$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici\n$\\dfrac{1}{4}$ et non $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{45}$",
"correct": false,
"feedback": "Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par\n$\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"text": "$45\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $45$ degrés est\nbien plus petit qu'un tour complet."
}
],
"explanation": "La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :\n$180$ degrés correspondent à $\\pi$ radians, donc une mesure en degrés se\nmultiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en radians d'un angle de $18$ degrés ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $180$ degrés valent $\\pi$ radians, donc $18$ degrés en\nvalent le dixième."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de $36$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici\n$\\dfrac{1}{10}$ et non $\\dfrac{1}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{18}$",
"correct": false,
"feedback": "Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par\n$\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"text": "$18\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $18$ degrés est\nbien plus petit qu'un tour complet."
}
],
"explanation": "La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :\n$180$ degrés correspondent à $\\pi$ radians, donc une mesure en degrés se\nmultiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en radians d'un angle de $10$ degrés ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{18}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $180$ degrés valent $\\pi$ radians, donc $10$ degrés en\nvalent le dix-huitième."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la mesure de $20$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici\n$\\dfrac{1}{18}$ et non $\\dfrac{1}{9}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par\n$\\dfrac{\\pi}{180}$."
},
{
"text": "$10\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $10$ degrés est\nbien plus petit qu'un tour complet."
}
],
"explanation": "La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :\n$180$ degrés correspondent à $\\pi$ radians, donc une mesure en degrés se\nmultiplie par $\\dfrac{\\pi}{180}$."
}
]
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"signe"
],
"title": "Signe du cosinus selon le quadrant",
"partie": "cercle",
"statement": "Pour un réel $x$ compris entre $\\dfrac{\\pi}{2}$ et $\\pi$, quel est le\nsigne de $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "Négatif",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé se trouve dans le quadrant en haut à\ngauche, donc d'abscisse négative."
},
{
"text": "Positif",
"correct": false,
"feedback": "Le cosinus n'est positif que pour les points situés à droite de l'axe\ndes ordonnées."
},
{
"text": "Nul",
"correct": false,
"feedback": "Il ne s'annule qu'aux bornes de cet intervalle, en\n$\\dfrac{\\pi}{2}$ précisément."
},
{
"text": "Cela dépend de la valeur exacte",
"correct": false,
"feedback": "Sur tout l'intervalle ouvert, le signe est le même : l'abscisse reste\nstrictement négative."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point du cercle trigonométrique, le sinus son\nordonnée. Le signe se lit donc directement sur le quadrant où se trouve le\npoint."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"relation-fondamentale",
"calcul"
],
"title": "Calculer un sinus à partir d'un cosinus",
"partie": "equations",
"statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{3}{5}$ et que $x$ appartient à\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$. Que vaut $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$, et le\nsinus est positif sur cet intervalle."
},
{
"text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal choisi : sur $\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$, le point\nest dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les\nvaleurs elles-mêmes."
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $\\dfrac{16}{25}$ est la valeur de $\\sin^2 x$."
}
],
"explanation": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle\nprécisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe.",
"variants": [
{
"statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{3}{5}$ et que $x$ appartient à\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$. Que vaut $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$, et le\nsinus est positif sur cet intervalle."
},
{
"text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal choisi : sur $\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$, le point\nest dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les\nvaleurs elles-mêmes."
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $\\dfrac{16}{25}$ est la valeur de $\\sin^2 x$."
}
],
"explanation": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle\nprécisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe."
},
{
"statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{5}{13}$ et que $x$ appartient à\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$. Que vaut $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{12}{13}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{25}{169} = \\dfrac{144}{169}$, et le\nsinus est positif sur cet intervalle."
},
{
"text": "$-\\dfrac{12}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal choisi : sur $\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$, le point\nest dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les\nvaleurs elles-mêmes."
},
{
"text": "$\\dfrac{144}{169}$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $\\dfrac{144}{169}$ est la valeur de $\\sin^2 x$."
}
],
"explanation": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle\nprécisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe."
},
{
"statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{8}{17}$ et que $x$ appartient à\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$. Que vaut $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{15}{17}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{64}{289} = \\dfrac{225}{289}$, et le\nsinus est positif sur cet intervalle."
},
{
"text": "$-\\dfrac{15}{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal choisi : sur $\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$, le point\nest dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les\nvaleurs elles-mêmes."
},
{
"text": "$\\dfrac{225}{289}$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $\\dfrac{225}{289}$ est la valeur de $\\sin^2 x$."
}
],
"explanation": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle\nprécisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe."
},
{
"statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{12}{13}$ et que $x$ appartient à\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$. Que vaut $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{13}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}$, et le\nsinus est positif sur cet intervalle."
},
{
"text": "$-\\dfrac{5}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe mal choisi : sur $\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$, le point\nest dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les\nvaleurs elles-mêmes."
},
{
"text": "$\\dfrac{25}{169}$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $\\dfrac{25}{169}$ est la valeur de $\\sin^2 x$."
}
],
"explanation": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle\nprécisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe."
}
]
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"periodicite"
],
"title": "Deux réels, un même point",
"partie": "cercle",
"statement": "Quels réels sont associés au même point du cercle trigonométrique que\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ ?",
"options": [
{
"text": "Ceux de la forme $\\dfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ajouter un nombre entier de tours complets ramène au\nmême point."
},
{
"text": "Ceux de la forme $\\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Un demi-tour amène au point diamétralement opposé, pas au même point."
},
{
"text": "Ceux de la forme $\\dfrac{\\pi}{3} \\times k$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplier le réel change l'angle : pour $k = 2$, on obtient\n$\\dfrac{2\\pi}{3}$, un autre point."
},
{
"text": "Seulement $\\dfrac{\\pi}{3}$ lui-même",
"correct": false,
"feedback": "L'enroulement de la droite sur le cercle envoie une infinité de réels\nsur chaque point."
}
],
"explanation": "L'enroulement de la droite numérique sur le cercle est périodique de\npériode $2\\pi$. Deux réels ont donc la même image si et seulement si leur\ndifférence est un multiple de $2\\pi$."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 2,
"skills": [
"valeurs-remarquables"
],
"title": "La valeur de $\\cos\\dfrac{\\pi}{6}$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Combien vaut $\\cos\\dfrac{\\pi}{6}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la valeur associée à l'angle de $30$ degrés,\nproche de $0{,}87$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$, ou encore $\\cos\\dfrac{\\pi}{3}$ : les deux\nvaleurs s'échangent d'un angle à l'autre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur correspond à $\\dfrac{\\pi}{4}$, l'angle de $45$ degrés."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : les valeurs remarquables du cosinus s'écrivent\ntoutes avec un dénominateur égal à $2$."
}
],
"explanation": "Les trois valeurs remarquables du cosinus sont\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ et $\\dfrac{1}{2}$ pour\n$\\dfrac{\\pi}{6}$, $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\dfrac{\\pi}{3}$. Elles décroissent\nquand l'angle augmente."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation-trigonometrique"
],
"title": "Résoudre $\\cos x = \\dfrac{1}{2}$",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = \\dfrac{1}{2}$ dans\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $-\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux points du cercle ont pour abscisse\n$\\dfrac{1}{2}$, symétriques par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Solution symétrique oubliée : l'angle opposé a le même cosinus."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$ et $-\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur remarquable confondue : $\\cos\\dfrac{\\pi}{6}$ vaut\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, pas $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie du sinus appliquée au cosinus : $\\cos\\dfrac{2\\pi}{3}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{2}$."
}
],
"explanation": "L'équation $\\cos x = a$ a deux solutions opposées sur un intervalle de\nlongueur $2\\pi$, car deux points symétriques par rapport à l'axe des\nabscisses ont la même abscisse."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"sinus"
],
"title": "Sinus d'un angle et de son opposé",
"partie": "cercle",
"statement": "Quelle relation lie $\\sin(-x)$ et $\\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sin(-x) = -\\sin x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques\npar rapport à l'axe des abscisses, donc d'ordonnées opposées."
},
{
"text": "$\\sin(-x) = \\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le cosinus qui est conservé par cette symétrie, pas le sinus."
},
{
"text": "$\\sin(-x) = \\dfrac{1}{\\sin x}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucune inversion n'intervient : pour $x = \\dfrac{\\pi}{6}$, le sinus\nvaut $\\dfrac{1}{2}$ et son opposé $-\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\sin(-x) = \\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux fonctions ne s'échangent pas par changement de signe : pour\n$x = 0$, $\\sin(0) = 0$ et $\\cos(0) = 1$."
}
],
"explanation": "La symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve l'abscisse et change\nle signe de l'ordonnée. D'où $\\cos(-x) = \\cos x$ et\n$\\sin(-x) = -\\sin x$."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"longueur-arc"
],
"title": "Longueur d'un arc",
"partie": "cercle",
"statement": "Sur un cercle de rayon $4$ cm, quelle est la longueur de l'arc\nintercepté par un angle au centre de $\\dfrac{\\pi}{2}$ radian ?",
"options": [
{
"text": "$2\\pi$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur vaut $r\\theta = 4 \\times \\dfrac{\\pi}{2}$,\nsoit un quart du périmètre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un\ncercle de rayon $1$."
},
{
"text": "$8\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché."
},
{
"text": "$4\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc\nà un angle de $\\pi$."
}
],
"explanation": "La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en\nradians. C'est précisément ce qui définit le radian.",
"variants": [
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $4$ cm, quelle est la longueur de l'arc\nintercepté par un angle au centre de $\\dfrac{\\pi}{2}$ radian ?",
"options": [
{
"text": "$2\\pi$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur vaut $r\\theta = 4 \\times \\dfrac{\\pi}{2}$,\nsoit un quart du périmètre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un\ncercle de rayon $1$."
},
{
"text": "$8\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché."
},
{
"text": "$4\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc\nà un angle de $\\pi$."
}
],
"explanation": "La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en\nradians. C'est précisément ce qui définit le radian."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $6$ cm, quelle est la longueur de l'arc\nintercepté par un angle au centre de $\\dfrac{\\pi}{2}$ radian ?",
"options": [
{
"text": "$3\\pi$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur vaut $r\\theta = 6 \\times \\dfrac{\\pi}{2}$,\nsoit un quart du périmètre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un\ncercle de rayon $1$."
},
{
"text": "$12\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché."
},
{
"text": "$6\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc\nà un angle de $\\pi$."
}
],
"explanation": "La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en\nradians. C'est précisément ce qui définit le radian."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $10$ cm, quelle est la longueur de l'arc\nintercepté par un angle au centre de $\\dfrac{\\pi}{2}$ radian ?",
"options": [
{
"text": "$5\\pi$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur vaut $r\\theta = 10 \\times \\dfrac{\\pi}{2}$,\nsoit un quart du périmètre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un\ncercle de rayon $1$."
},
{
"text": "$20\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché."
},
{
"text": "$10\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc\nà un angle de $\\pi$."
}
],
"explanation": "La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en\nradians. C'est précisément ce qui définit le radian."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $8$ cm, quelle est la longueur de l'arc\nintercepté par un angle au centre de $\\dfrac{\\pi}{2}$ radian ?",
"options": [
{
"text": "$4\\pi$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur vaut $r\\theta = 8 \\times \\dfrac{\\pi}{2}$,\nsoit un quart du périmètre."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un\ncercle de rayon $1$."
},
{
"text": "$16\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché."
},
{
"text": "$8\\pi$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc\nà un angle de $\\pi$."
}
],
"explanation": "La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en\nradians. C'est précisément ce qui définit le radian."
}
]
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 3,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"symetries"
],
"title": "Cosinus de $\\pi + x$",
"partie": "cercle",
"statement": "À quoi $\\cos(\\pi + x)$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$-\\cos x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ajouter $\\pi$ amène au point diamétralement opposé,\ndont les deux coordonnées sont opposées."
},
{
"text": "$\\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Pour $x = 0$, on aurait $\\cos \\pi = 1$, alors que cette valeur vaut\n$-1$."
},
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "L'échange entre cosinus et sinus se produit pour un décalage de\n$\\dfrac{\\pi}{2}$, pas de $\\pi$."
},
{
"text": "$-\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Même objection : le demi-tour conserve la nature de chaque\ncoordonnée, en changeant son signe."
}
],
"explanation": "Ajouter $\\pi$ correspond à la symétrie par rapport à l'origine : les deux\ncoordonnées changent de signe, donc\n$\\cos(\\pi + x) = -\\cos x$ et $\\sin(\\pi + x) = -\\sin x$."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"encadrement"
],
"title": "Les valeurs possibles d'un cosinus",
"partie": "cercle",
"statement": "Entre quelles valeurs $\\cos x$ est-il nécessairement compris ?",
"options": [
{
"text": "Entre $-1$ et $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est l'abscisse d'un point du cercle de rayon $1$\ncentré à l'origine."
},
{
"text": "Entre $0$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Le cosinus est négatif pour les points situés à gauche de l'axe des\nordonnées, par exemple $\\cos \\pi = -1$."
},
{
"text": "Entre $-\\pi$ et $\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Cet intervalle concerne les angles, pas leurs cosinus."
},
{
"text": "Entre $-2$ et $2$",
"correct": false,
"feedback": "Encadrement correct mais trop large : aucune valeur ne dépasse $1$ en\nvaleur absolue."
}
],
"explanation": "Cosinus et sinus sont les coordonnées d'un point du cercle de rayon $1$ :\nils appartiennent donc tous deux à $[-1\\,;\\,1]$. Une équation comme\n$\\cos x = 2$ n'a aucune solution."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"valeurs-remarquables",
"calcul"
],
"title": "Calculer $\\cos\\dfrac{5\\pi}{4}$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Combien vaut $\\cos\\dfrac{5\\pi}{4}$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{5\\pi}{4} = \\pi + \\dfrac{\\pi}{4}$, donc le\ncosinus est l'opposé de celui de $\\dfrac{\\pi}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le point se trouve dans le quadrant en bas à gauche,\nd'abscisse négative."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Valeur remarquable confondue : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ correspond à\n$\\dfrac{\\pi}{6}$, pas à $\\dfrac{\\pi}{4}$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Autre valeur remarquable : $\\dfrac{1}{2}$ correspond à\n$\\dfrac{\\pi}{3}$."
}
],
"explanation": "On décompose l'angle à l'aide d'une valeur remarquable et d'un demi-tour,\npuis on applique la symétrie correspondante. Un schéma du cercle rend le\nsigne immédiat."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cercle-trigonometrique",
"mesure-principale"
],
"title": "Ramener un réel dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$",
"partie": "cercle",
"statement": "Quel réel de $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ correspond au même point du cercle que\n$\\dfrac{9\\pi}{4}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9\\pi}{4} - 2\\pi = \\dfrac{\\pi}{4}$, soit un\ntour complet retranché."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Retrait mal calculé : un tour vaut $2\\pi$, c'est-à-dire\n$\\dfrac{8\\pi}{4}$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du retrait : on retranche des tours complets, ce qui ne change\npas le signe du reste ici."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Un demi-tour retranché au lieu d'un tour : le résultat n'appartient\nd'ailleurs pas à l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "Ramener un réel dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ consiste à lui ajouter ou retrancher\ndes multiples de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans cet intervalle. Le réel obtenu\ns'appelle la mesure principale."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"conversion",
"radians"
],
"title": "Des radians vers les degrés",
"partie": "cercle",
"statement": "Quelle est la mesure en degrés d'un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$ radians ?",
"options": [
{
"text": "$135°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour vaut $\\pi$ radians, soit\n$180°$, donc $\\dfrac{3}{4} \\times 180 = 135°$."
},
{
"text": "$270°$",
"correct": false,
"feedback": "Le tour complet a servi de référence à la place du\ndemi-tour : c'est $\\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$."
},
{
"text": "$45°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion\nmultiplie par $\\dfrac{180}{\\pi}$, elle ne retranche rien\nà $180$."
},
{
"text": "$240°$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction retournée : c'est $\\dfrac{3}{4}$ qui\nmultiplie $180$, et non $\\dfrac{4}{3}$."
}
],
"explanation": "Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par\n$\\dfrac{180}{\\pi}$ : la mesure $\\dfrac{3\\pi}{4}$ devient\n$\\dfrac{3}{4} \\times 180 = 135°$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la mesure en degrés d'un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{4}$ radians ?",
"options": [
{
"text": "$135°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour vaut $\\pi$ radians, soit\n$180°$, donc $\\dfrac{3}{4} \\times 180 = 135°$."
},
{
"text": "$270°$",
"correct": false,
"feedback": "Le tour complet a servi de référence à la place du\ndemi-tour : c'est $\\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$."
},
{
"text": "$45°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion\nmultiplie par $\\dfrac{180}{\\pi}$, elle ne retranche rien\nà $180$."
},
{
"text": "$240°$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction retournée : c'est $\\dfrac{3}{4}$ qui\nmultiplie $180$, et non $\\dfrac{4}{3}$."
}
],
"explanation": "Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par\n$\\dfrac{180}{\\pi}$ : la mesure $\\dfrac{3\\pi}{4}$ devient\n$\\dfrac{3}{4} \\times 180 = 135°$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en degrés d'un angle de\n$\\dfrac{5\\pi}{6}$ radians ?",
"options": [
{
"text": "$150°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour vaut $\\pi$ radians, soit\n$180°$, donc $\\dfrac{5}{6} \\times 180 = 150°$."
},
{
"text": "$300°$",
"correct": false,
"feedback": "Le tour complet a servi de référence à la place du\ndemi-tour : c'est $\\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$."
},
{
"text": "$30°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion\nmultiplie par $\\dfrac{180}{\\pi}$, elle ne retranche rien\nà $180$."
},
{
"text": "$216°$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction retournée : c'est $\\dfrac{5}{6}$ qui\nmultiplie $180$, et non $\\dfrac{6}{5}$."
}
],
"explanation": "Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par\n$\\dfrac{180}{\\pi}$ : la mesure $\\dfrac{5\\pi}{6}$ devient\n$\\dfrac{5}{6} \\times 180 = 150°$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en degrés d'un angle de\n$\\dfrac{2\\pi}{3}$ radians ?",
"options": [
{
"text": "$120°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour vaut $\\pi$ radians, soit\n$180°$, donc $\\dfrac{2}{3} \\times 180 = 120°$."
},
{
"text": "$240°$",
"correct": false,
"feedback": "Le tour complet a servi de référence à la place du\ndemi-tour : c'est $\\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$."
},
{
"text": "$60°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion\nmultiplie par $\\dfrac{180}{\\pi}$, elle ne retranche rien\nà $180$."
},
{
"text": "$270°$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction retournée : c'est $\\dfrac{2}{3}$ qui\nmultiplie $180$, et non $\\dfrac{3}{2}$."
}
],
"explanation": "Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par\n$\\dfrac{180}{\\pi}$ : la mesure $\\dfrac{2\\pi}{3}$ devient\n$\\dfrac{2}{3} \\times 180 = 120°$."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure en degrés d'un angle de\n$\\dfrac{3\\pi}{5}$ radians ?",
"options": [
{
"text": "$108°$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un demi-tour vaut $\\pi$ radians, soit\n$180°$, donc $\\dfrac{3}{5} \\times 180 = 108°$."
},
{
"text": "$216°$",
"correct": false,
"feedback": "Le tour complet a servi de référence à la place du\ndemi-tour : c'est $\\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$."
},
{
"text": "$72°$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion\nmultiplie par $\\dfrac{180}{\\pi}$, elle ne retranche rien\nà $180$."
},
{
"text": "$300°$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction retournée : c'est $\\dfrac{3}{5}$ qui\nmultiplie $180$, et non $\\dfrac{5}{3}$."
}
],
"explanation": "Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par\n$\\dfrac{180}{\\pi}$ : la mesure $\\dfrac{3\\pi}{5}$ devient\n$\\dfrac{3}{5} \\times 180 = 108°$."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"longueur-arc",
"calcul"
],
"title": "Retrouver un angle à partir d'un arc",
"partie": "valeurs",
"statement": "Sur un cercle de rayon $3$ cm, un arc a pour longueur\n$12$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au\ncentre qui intercepte cet arc ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \\times \\alpha$,\ndonc $\\alpha = \\dfrac{12}{3} = 4$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la\nformule fait intervenir $r$, soit $3$ cm."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le\nrapport de la longueur d'arc au rayon."
},
{
"text": "$36$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur\nd'arc qui vaut $r \\times \\alpha$, pas l'angle."
}
],
"explanation": "Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $r \\times \\alpha$. On\nretrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon.",
"variants": [
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $3$ cm, un arc a pour longueur\n$12$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au\ncentre qui intercepte cet arc ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \\times \\alpha$,\ndonc $\\alpha = \\dfrac{12}{3} = 4$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la\nformule fait intervenir $r$, soit $3$ cm."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le\nrapport de la longueur d'arc au rayon."
},
{
"text": "$36$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur\nd'arc qui vaut $r \\times \\alpha$, pas l'angle."
}
],
"explanation": "Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $r \\times \\alpha$. On\nretrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $4$ cm, un arc a pour longueur\n$14$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au\ncentre qui intercepte cet arc ?",
"options": [
{
"text": "$3{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \\times \\alpha$,\ndonc $\\alpha = \\dfrac{14}{4} = 3{,}5$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la\nformule fait intervenir $r$, soit $4$ cm."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le\nrapport de la longueur d'arc au rayon."
},
{
"text": "$56$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur\nd'arc qui vaut $r \\times \\alpha$, pas l'angle."
}
],
"explanation": "Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $r \\times \\alpha$. On\nretrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $6$ cm, un arc a pour longueur\n$15$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au\ncentre qui intercepte cet arc ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \\times \\alpha$,\ndonc $\\alpha = \\dfrac{15}{6} = 2{,}5$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la\nformule fait intervenir $r$, soit $6$ cm."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le\nrapport de la longueur d'arc au rayon."
},
{
"text": "$90$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur\nd'arc qui vaut $r \\times \\alpha$, pas l'angle."
}
],
"explanation": "Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $r \\times \\alpha$. On\nretrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon."
},
{
"statement": "Sur un cercle de rayon $3$ cm, un arc a pour longueur\n$15$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au\ncentre qui intercepte cet arc ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \\times \\alpha$,\ndonc $\\alpha = \\dfrac{15}{3} = 5$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la\nformule fait intervenir $r$, soit $3$ cm."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le\nrapport de la longueur d'arc au rayon."
},
{
"text": "$45$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur\nd'arc qui vaut $r \\times \\alpha$, pas l'angle."
}
],
"explanation": "Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\\alpha$\nradians intercepte un arc de longueur $r \\times \\alpha$. On\nretrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"valeur-remarquable",
"sinus"
],
"title": "Repérer l'égalité fausse",
"partie": "valeurs",
"statement": "Parmi les égalités suivantes, laquelle est **fausse** ?",
"options": [
{
"text": "$\\sin\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\nC'est $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$ qui vaut $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\cos\\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Cette égalité est exacte : le point associé à\n$\\dfrac{\\pi}{4}$ a deux coordonnées égales, qui valent\ntoutes deux $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$\\cos\\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Cette égalité est exacte : $\\dfrac{\\pi}{6}$ est proche de\nl'axe des abscisses, son cosinus est donc grand."
},
{
"text": "$\\cos\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Cette égalité est exacte : elle est la compagne de\n$\\sin\\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{1}{2}$, par symétrie autour\nde la première bissectrice."
}
],
"explanation": "Les valeurs remarquables se lisent sur le cercle :\n$\\dfrac{\\pi}{6}$ donne $\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$\net $\\dfrac{\\pi}{3}$ donne\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$. Plus le\nréel grandit de $0$ à $\\dfrac{\\pi}{2}$, plus le sinus grandit."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 2,
"skills": [
"enroulement",
"sens-de-parcours"
],
"title": "Parcourir le cercle dans le sens indirect",
"partie": "cercle",
"statement": "On part du point $I(1\\,;\\,0)$ du cercle trigonométrique et on\nparcourt un arc de longueur $\\dfrac{3\\pi}{2}$ dans le sens\n**indirect**, celui des aiguilles d'une montre. Quel point\natteint-on ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce parcours correspond au réel\n$-\\dfrac{3\\pi}{2}$, qui repère le même point que\n$-\\dfrac{3\\pi}{2} + 2\\pi = \\dfrac{\\pi}{2}$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de parcours oublié : trois quarts de tour dans le\nsens direct mènent en $(0\\,;\\,-1)$, associé à\n$\\dfrac{3\\pi}{2}$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Un demi-tour seulement : $\\pi$ mène en $(-1\\,;\\,0)$,\nalors que l'arc demandé mesure trois quarts de tour."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point de départ : on y revient après un tour\ncomplet, de longueur $2\\pi$."
}
],
"explanation": "Parcourir un arc de longueur $\\ell$ dans le sens indirect\nrevient à enrouler le réel $-\\ell$. On ramène ensuite ce réel\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ en ajoutant des tours de $2\\pi$."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"placement",
"quadrants"
],
"title": "Choisir un réel d'après les signes",
"partie": "valeurs",
"statement": "Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un\ncosinus négatif et un sinus négatif. Parmi ces réels, lequel peut\nconvenir pour $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé à $\\dfrac{7\\pi}{6}$ est dans le\nquadrant où le cosinus est négatif et le sinus négatif."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc\nles deux signes sont inversés."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{11\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.\nLes signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus\nest positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est.",
"variants": [
{
"statement": "Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un\ncosinus négatif et un sinus négatif. Parmi ces réels, lequel peut\nconvenir pour $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé à $\\dfrac{7\\pi}{6}$ est dans le\nquadrant où le cosinus est négatif et le sinus négatif."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc\nles deux signes sont inversés."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{11\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.\nLes signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus\nest positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est."
},
{
"statement": "Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un\ncosinus négatif et un sinus positif. Parmi ces réels, lequel peut\nconvenir pour $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé à $\\dfrac{3\\pi}{4}$ est dans le\nquadrant où le cosinus est négatif et le sinus positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc\nles deux signes sont inversés."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.\nLes signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus\nest positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est."
},
{
"statement": "Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un\ncosinus positif et un sinus négatif. Parmi ces réels, lequel peut\nconvenir pour $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé à $\\dfrac{7\\pi}{4}$ est dans le\nquadrant où le cosinus est positif et le sinus négatif."
},
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc\nles deux signes sont inversés."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.\nLes signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus\nest positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est."
},
{
"statement": "Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un\ncosinus positif et un sinus positif. Parmi ces réels, lequel peut\nconvenir pour $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point associé à $\\dfrac{\\pi}{3}$ est dans le\nquadrant où le cosinus est positif et le sinus positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc\nles deux signes sont inversés."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le\nsymétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.\nLes signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus\nest positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 3,
"skills": [
"mesure-principale",
"angles-associes-calcul"
],
"title": "Mesure principale d'un réel négatif",
"partie": "cercle",
"statement": "Quelle est la mesure principale du réel\n$-\\dfrac{8\\pi}{3}$, c'est-à-dire son unique représentant\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on ajoute un tour,\n$-\\dfrac{8\\pi}{3} + \\dfrac{6\\pi}{3} =\n-\\dfrac{2\\pi}{3}$, qui appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif\nne suffit pas ici à le rendre positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Représentant choisi dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ : ce réel dépasse\n$\\pi$, il ne peut pas être la mesure principale."
},
{
"text": "$-\\dfrac{14\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui\néloigne encore le réel de l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant\ndes tours de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$. Pour\nun réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la mesure principale du réel\n$-\\dfrac{8\\pi}{3}$, c'est-à-dire son unique représentant\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on ajoute un tour,\n$-\\dfrac{8\\pi}{3} + \\dfrac{6\\pi}{3} =\n-\\dfrac{2\\pi}{3}$, qui appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif\nne suffit pas ici à le rendre positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Représentant choisi dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ : ce réel dépasse\n$\\pi$, il ne peut pas être la mesure principale."
},
{
"text": "$-\\dfrac{14\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui\néloigne encore le réel de l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant\ndes tours de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$. Pour\nun réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure principale du réel\n$-\\dfrac{11\\pi}{4}$, c'est-à-dire son unique représentant\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on ajoute un tour,\n$-\\dfrac{11\\pi}{4} + \\dfrac{8\\pi}{4} =\n-\\dfrac{3\\pi}{4}$, qui appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif\nne suffit pas ici à le rendre positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Représentant choisi dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ : ce réel dépasse\n$\\pi$, il ne peut pas être la mesure principale."
},
{
"text": "$-\\dfrac{19\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui\néloigne encore le réel de l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant\ndes tours de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$. Pour\nun réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure principale du réel\n$-\\dfrac{17\\pi}{6}$, c'est-à-dire son unique représentant\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on ajoute un tour,\n$-\\dfrac{17\\pi}{6} + \\dfrac{12\\pi}{6} =\n-\\dfrac{5\\pi}{6}$, qui appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif\nne suffit pas ici à le rendre positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Représentant choisi dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ : ce réel dépasse\n$\\pi$, il ne peut pas être la mesure principale."
},
{
"text": "$-\\dfrac{29\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui\néloigne encore le réel de l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant\ndes tours de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$. Pour\nun réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter."
},
{
"statement": "Quelle est la mesure principale du réel\n$-\\dfrac{13\\pi}{5}$, c'est-à-dire son unique représentant\ndans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{3\\pi}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on ajoute un tour,\n$-\\dfrac{13\\pi}{5} + \\dfrac{10\\pi}{5} =\n-\\dfrac{3\\pi}{5}$, qui appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif\nne suffit pas ici à le rendre positif."
},
{
"text": "$\\dfrac{7\\pi}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Représentant choisi dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ : ce réel dépasse\n$\\pi$, il ne peut pas être la mesure principale."
},
{
"text": "$-\\dfrac{23\\pi}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui\néloigne encore le réel de l'intervalle demandé."
}
],
"explanation": "La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant\ndes tours de $2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$. Pour\nun réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"coordonnees-point",
"symetries"
],
"title": "Des coordonnées vers le réel",
"partie": "valeurs",
"statement": "Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées\n$\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,-\\dfrac{1}{2}\\right)$. À quel réel de\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ est-il associé ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne $\\cos x = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ et\nl'ordonnée $\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$, ce qui désigne $-\\dfrac{\\pi}{6}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles de $M$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées\ndemande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de\nchoisir le quadrant d'après les deux signes.",
"variants": [
{
"statement": "Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées\n$\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,-\\dfrac{1}{2}\\right)$. À quel réel de\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ est-il associé ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne $\\cos x = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ et\nl'ordonnée $\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$, ce qui désigne $-\\dfrac{\\pi}{6}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles de $M$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées\ndemande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de\nchoisir le quadrant d'après les deux signes."
},
{
"statement": "Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées\n$\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\,;\\,-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)$. À quel réel de\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ est-il associé ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ et\nl'ordonnée $\\sin x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, ce qui désigne $-\\dfrac{3\\pi}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles de $M$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées\ndemande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de\nchoisir le quadrant d'après les deux signes."
},
{
"statement": "Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées\n$\\left(-\\dfrac{1}{2}\\,;\\,-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$. À quel réel de\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ est-il associé ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne $\\cos x = -\\dfrac{1}{2}$ et\nl'ordonnée $\\sin x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, ce qui désigne $-\\dfrac{2\\pi}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles de $M$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées\ndemande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de\nchoisir le quadrant d'après les deux signes."
},
{
"statement": "Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées\n$\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,-\\dfrac{1}{2}\\right)$. À quel réel de\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ est-il associé ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse donne $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ et\nl'ordonnée $\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$, ce qui désigne $-\\dfrac{5\\pi}{6}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux\ncoordonnées sont les opposées de celles de $M$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le\nsymétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées\ndemande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de\nchoisir le quadrant d'après les deux signes."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 1,
"skills": [
"supplementaire",
"angles-associes"
],
"title": "Sinus de $\\pi - x$",
"partie": "valeurs",
"statement": "Pour tout réel $x$, à quoi $\\sin(\\pi - x)$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points associés à $x$ et à $\\pi - x$\nsont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc\nils ont la même ordonnée."
},
{
"text": "$-\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion avec $\\sin(\\pi + x)$, qui vaut bien $-\\sin x$.\nLa symétrie d'axe vertical conserve l'ordonnée."
},
{
"text": "$\\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux fonctions ont été échangées : une symétrie\nd'axe vertical laisse l'ordonnée être une ordonnée."
},
{
"text": "$-\\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur de $\\cos(\\pi - x)$, l'abscisse changeant\nde signe, et non celle de $\\sin(\\pi - x)$."
}
],
"explanation": "Les points associés à $x$ et à $\\pi - x$ sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe,\nl'ordonnée est conservée, donc $\\cos(\\pi - x) = -\\cos x$ et\n$\\sin(\\pi - x) = \\sin x$."
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parite",
"symetries"
],
"title": "La transformation qui envoie $x$ sur $-x$",
"partie": "fonctions",
"statement": "Sur le cercle trigonométrique, le point associé au réel $-x$\nse déduit du point associé à $x$ par quelle transformation ?",
"options": [
{
"text": "La symétrie d'axe $(OI)$, l'axe des abscisses",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse est conservée et l'ordonnée\nchange de signe, d'où $\\cos(-x) = \\cos x$ et\n$\\sin(-x) = -\\sin x$."
},
{
"text": "La symétrie d'axe $(OJ)$, l'axe des ordonnées",
"correct": false,
"feedback": "Cette symétrie est celle qui envoie $x$ sur $\\pi - x$ :\nelle change le cosinus de signe, pas le sinus."
},
{
"text": "La symétrie de centre $O$, origine du repère",
"correct": false,
"feedback": "Cette symétrie est celle qui envoie $x$ sur $\\pi + x$ :\nelle change les deux coordonnées de signe."
},
{
"text": "La rotation d'un quart de tour dans le sens direct",
"correct": false,
"feedback": "Une rotation d'un quart de tour ajoute $\\dfrac{\\pi}{2}$\nau réel, elle ne le remplace pas par son opposé."
}
],
"explanation": "Enrouler $-x$ revient à parcourir le même arc dans l'autre\nsens : le point obtenu est le symétrique du premier par\nrapport à l'axe des abscisses. Le cosinus est donc conservé,\nle sinus changé de signe."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 3,
"skills": [
"signe",
"quadrants"
],
"title": "Signe d'un produit dans un quadrant",
"partie": "valeurs",
"statement": "Le point associé au réel $x$ se trouve dans le troisième\nquadrant, en bas à gauche du cercle. Quel est le signe du\nproduit $\\cos x \\times \\sin x$ ?",
"options": [
{
"text": "Positif, car les deux facteurs sont négatifs",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans ce quadrant l'abscisse et l'ordonnée\nsont toutes deux négatives, et le produit de deux nombres\nnégatifs est positif."
},
{
"text": "Négatif, car le cosinus y est négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le cosinus y est bien négatif, mais le sinus l'est aussi,\net deux facteurs négatifs donnent un produit positif."
},
{
"text": "Négatif, car le sinus y est également négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le signe des deux facteurs est correct, la règle des\nsignes ne l'est pas : $(-) \\times (-) = (+)$."
},
{
"text": "Variable, selon la position exacte du point",
"correct": false,
"feedback": "Les signes ne changent pas à l'intérieur d'un quadrant :\nseule la valeur du produit varie, pas son signe."
}
],
"explanation": "Dans le troisième quadrant, $\\cos x < 0$ et $\\sin x < 0$. Le\nproduit de deux nombres strictement négatifs est strictement\npositif, quelle que soit la position dans le quadrant."
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-trigonometrique",
"sinus"
],
"title": "Résoudre $\\sin x = 0$",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $\\sin x = 0$ dans\nl'intervalle $[0\\,;\\,2\\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$, $\\pi$ et $2\\pi$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point, elle\ns'annule aux deux points de l'axe des abscisses, soit\n$0$ et $\\pi$, auxquels s'ajoute $2\\pi$ inclus dans\nl'intervalle."
},
{
"text": "$0$ et $\\pi$ uniquement",
"correct": false,
"feedback": "L'intervalle est fermé en $2\\pi$ : ce réel repère le même\npoint que $0$, il est donc aussi solution."
},
{
"text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ et $\\dfrac{3\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les réels où le cosinus s'annule : le sinus y\nvaut $1$ et $-1$."
},
{
"text": "$\\pi$, seul réel où le sinus s'annule",
"correct": false,
"feedback": "Le sinus s'annule en plusieurs réels de l'intervalle :\nles points concernés sont les deux de l'axe horizontal."
}
],
"explanation": "Résoudre $\\sin x = 0$, c'est chercher les points du cercle\nd'ordonnée nulle : ce sont $I(1\\,;\\,0)$ et $(-1\\,;\\,0)$. Sur\n$[0\\,;\\,2\\pi]$, les réels correspondants sont $0$, $\\pi$ et\n$2\\pi$."
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"placement"
],
"title": "Repérer un point sur le cercle",
"partie": "fonctions",
"statement": "Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, quel point est\nassocié au réel $-\\dfrac{2\\pi}{3}$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[->] (-1.4,0) -- (1.5,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above left] {$y$};\n \\draw[thick] (0,0) circle (1);\n \\fill (1,0) circle (0.025);\n \\node[below right,font=\\small] at (1,0) {$I$};\n \\fill[blue] (-0.5,0.866) circle (0.03);\n \\node[blue,above left,font=\\small] at (-0.5,0.866) {$A$};\n \\fill[blue] (-0.5,-0.866) circle (0.03);\n \\node[blue,below left,font=\\small] at (-0.5,-0.866) {$B$};\n \\fill[blue] (0.5,-0.866) circle (0.03);\n \\node[blue,below right,font=\\small] at (0.5,-0.866) {$C$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cercle trigonométrique de centre O, avec le point I de\ncoordonnées (1 ; 0). Trois points sont marqués sur le\ncercle : A en haut à gauche, d'abscisse -0,5 et d'ordonnée\nenviron 0,87 ; B en bas à gauche, d'abscisse -0,5 et\nd'ordonnée environ -0,87 ; C en bas à droite, d'abscisse\n0,5 et d'ordonnée environ -0,87.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Le point $B$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le réel est négatif, donc on parcourt le\ncercle vers le bas, sur deux tiers de demi-tour. On\nobtient le point d'abscisse $-\\dfrac{1}{2}$ situé\nau-dessous de l'axe des abscisses."
},
{
"text": "Le point $A$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du réel négligé : $A$ est associé à\n$\\dfrac{2\\pi}{3}$, obtenu en parcourant le cercle vers\nle haut."
},
{
"text": "Le point $C$",
"correct": false,
"feedback": "Ce point est associé à $-\\dfrac{\\pi}{3}$ : son abscisse\nest positive, alors que $\\cos\\left(-\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$\nest négatif."
},
{
"text": "Aucun des trois points",
"correct": false,
"feedback": "Le réel $-\\dfrac{2\\pi}{3}$ appartient bien à\n$]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ : son point figure sur la figure, dans\nle troisième quadrant."
}
],
"explanation": "Un réel négatif s'enroule dans le sens indirect. Comme\n$-\\dfrac{2\\pi}{3}$ est compris entre $-\\pi$ et\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$, son point est dans le quadrant où\nl'abscisse et l'ordonnée sont toutes deux négatives."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 2,
"skills": [
"triangle-rectangle",
"lien"
],
"title": "Longueur dans un triangle rectangle",
"partie": "valeurs",
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $10$ cm.\nQuelle est la longueur $AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{AB}{AC}$, donc\n$AB = 10 \\times \\dfrac{1}{2} = 5$ cm."
},
{
"text": "$5\\sqrt{3}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,\n$10 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
},
{
"text": "$5\\sqrt{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{\\pi}{4}$, dont le cosinus\nvaut $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$20$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent\nest plus court que l'hypoténuse."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le\nquotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition\ncoïncide avec celle du cercle trigonométrique.",
"variants": [
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $10$ cm.\nQuelle est la longueur $AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{AB}{AC}$, donc\n$AB = 10 \\times \\dfrac{1}{2} = 5$ cm."
},
{
"text": "$5\\sqrt{3}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,\n$10 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
},
{
"text": "$5\\sqrt{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{\\pi}{4}$, dont le cosinus\nvaut $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$20$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent\nest plus court que l'hypoténuse."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le\nquotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition\ncoïncide avec celle du cercle trigonométrique."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $8$ cm.\nQuelle est la longueur $AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{AB}{AC}$, donc\n$AB = 8 \\times \\dfrac{1}{2} = 4$ cm."
},
{
"text": "$4\\sqrt{3}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,\n$8 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
},
{
"text": "$4\\sqrt{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{\\pi}{4}$, dont le cosinus\nvaut $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$16$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent\nest plus court que l'hypoténuse."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le\nquotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition\ncoïncide avec celle du cercle trigonométrique."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $14$ cm.\nQuelle est la longueur $AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{AB}{AC}$, donc\n$AB = 14 \\times \\dfrac{1}{2} = 7$ cm."
},
{
"text": "$7\\sqrt{3}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,\n$14 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
},
{
"text": "$7\\sqrt{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{\\pi}{4}$, dont le cosinus\nvaut $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$28$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent\nest plus court que l'hypoténuse."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le\nquotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition\ncoïncide avec celle du cercle trigonométrique."
},
{
"statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure\n$\\dfrac{\\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $12$ cm.\nQuelle est la longueur $AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ cm",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{AB}{AC}$, donc\n$AB = 12 \\times \\dfrac{1}{2} = 6$ cm."
},
{
"text": "$6\\sqrt{3}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,\n$12 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
},
{
"text": "$6\\sqrt{2}$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Angle confondu avec $\\dfrac{\\pi}{4}$, dont le cosinus\nvaut $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
},
{
"text": "$24$ cm",
"correct": false,
"feedback": "Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent\nest plus court que l'hypoténuse."
}
],
"explanation": "Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le\nquotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition\ncoïncide avec celle du cercle trigonométrique."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"demonstration",
"relation-fondamentale"
],
"title": "D'où vient $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ ?",
"partie": "equations",
"statement": "Quel argument démontre que $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ pour\ntout réel $x$ ?",
"options": [
{
"text": "Le point de coordonnées $(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ est à la\ndistance $1$ de $O$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point est sur le cercle de centre $O$\net de rayon $1$ ; le théorème de Pythagore appliqué au\ntriangle rectangle formé donne l'égalité."
},
{
"text": "Le cosinus et le sinus d'un réel sont tous deux compris\nentre $-1$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Cet encadrement est exact, mais il est une conséquence de\nl'égalité, pas sa démonstration : il n'impose aucune\nvaleur à la somme des carrés."
},
{
"text": "Le cosinus et le sinus ont la même période, égale à\n$2\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "La périodicité dit que les valeurs se répètent d'un tour\nà l'autre, elle ne relie pas le cosinus au sinus d'un\nmême réel."
},
{
"text": "L'arc parcouru depuis $I$ a pour longueur le réel $x$\nlui-même",
"correct": false,
"feedback": "C'est la définition du radian, qui sert à placer le\npoint. L'égalité vient ensuite de la distance au centre."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ a pour coordonnées\n$(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ et appartient au cercle de rayon $1$.\nSa distance au centre vaut donc $1$, ce qui s'écrit\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ par le théorème de Pythagore."
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 1,
"skills": [
"encadrement",
"sinus"
],
"title": "Une valeur impossible pour un sinus",
"partie": "fonctions",
"statement": "Parmi ces nombres, lequel ne peut pas être la valeur de\n$\\sin x$ pour un réel $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{4}{3} > 1$, or le sinus est\nl'ordonnée d'un point du cercle de rayon $1$, donc il\nreste entre $-1$ et $1$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "$\\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ appartient à $[-1\\,;\\,1]$ : cette\nvaleur est atteinte, même si le réel correspondant n'est\npas remarquable."
},
{
"text": "$-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est une valeur remarquable, environ $-0{,}71$ : elle\nvaut $\\sin\\left(-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)$."
},
{
"text": "$-0{,}95$",
"correct": false,
"feedback": "Ce nombre appartient à $[-1\\,;\\,1]$ : le sinus le prend\ndeux fois au cours d'un tour de cercle."
}
],
"explanation": "Le point associé à $x$ est sur le cercle de rayon $1$ : son\nabscisse et son ordonnée appartiennent toutes deux à\n$[-1\\,;\\,1]$. Tout nombre hors de cet intervalle est donc\nimpossible pour un cosinus comme pour un sinus."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equations",
"cosinus-nul",
"cercle"
],
"title": "Résoudre cos x égale zéro",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = 0$ sur $]-\\pi ; \\pi]$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{2}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le cosinus est l'abscisse du point du cercle\ntrigonométrique ; elle est nulle aux deux points de l'axe des\nordonnées, d'angles $\\dfrac{\\pi}{2}$ et $-\\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$x = 0$ et $x = \\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en $0$ et $\\pi$, le cosinus vaut $1$ et $-1$ ; c'est le\nsinus qui s'y annule.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{2}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-\\dfrac{\\pi}{2}$ appartient aussi à l'intervalle et\nconvient.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos\\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\neq 0$.\n"
}
],
"explanation": "Sur le cercle trigonométrique, $\\cos x = 0$ correspond aux points\nd'abscisse nulle, en haut et en bas du cercle."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equations",
"sinus",
"valeurs-remarquables"
],
"title": "Résoudre une équation en sinus avec une valeur remarquable",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et les deux points du cercle de\nmême ordonnée ont pour angles $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\pi - \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{3\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7\\pi}{4} = -\\dfrac{\\pi}{4} + 2\\pi$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ ; les angles\n$x$ et $-x$ ont le même **cosinus**, pas le même sinus.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $\\pi - \\dfrac{\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5\\pi}{4} = \\pi + \\dfrac{\\pi}{4}$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.\n"
}
],
"explanation": "$\\sin x = \\sin a$ a pour solutions $x = a$ et $x = \\pi - a$, à\n$2\\pi$ près.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{3\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et les deux points du cercle de\nmême ordonnée ont pour angles $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\pi - \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{3\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7\\pi}{4} = -\\dfrac{\\pi}{4} + 2\\pi$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ ; les angles\n$x$ et $-x$ ont le même **cosinus**, pas le même sinus.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $\\pi - \\dfrac{\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5\\pi}{4} = \\pi + \\dfrac{\\pi}{4}$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.\n"
}
],
"explanation": "$\\sin x = \\sin a$ a pour solutions $x = a$ et $x = \\pi - a$, à\n$2\\pi$ près."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = \\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{1}{2}$, et les deux points du cercle de\nmême ordonnée ont pour angles $\\dfrac{\\pi}{6}$ et $\\pi - \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{11\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{11\\pi}{6} = -\\dfrac{\\pi}{6} + 2\\pi$ a pour sinus $-\\dfrac{1}{2}$ ; les angles\n$x$ et $-x$ ont le même **cosinus**, pas le même sinus.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $\\pi - \\dfrac{\\pi}{6}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7\\pi}{6} = \\pi + \\dfrac{\\pi}{6}$ a pour sinus $-\\dfrac{1}{2}$.\n"
}
],
"explanation": "$\\sin x = \\sin a$ a pour solutions $x = a$ et $x = \\pi - a$, à\n$2\\pi$ près."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\sin \\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, et les deux points du cercle de\nmême ordonnée ont pour angles $\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\pi - \\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{2\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5\\pi}{3} = -\\dfrac{\\pi}{3} + 2\\pi$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ ; les angles\n$x$ et $-x$ ont le même **cosinus**, pas le même sinus.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $\\pi - \\dfrac{\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{4\\pi}{3} = \\pi + \\dfrac{\\pi}{3}$ a pour sinus $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n"
}
],
"explanation": "$\\sin x = \\sin a$ a pour solutions $x = a$ et $x = \\pi - a$, à\n$2\\pi$ près."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equations",
"cosinus",
"valeur-negative"
],
"title": "Résoudre une équation en cosinus avec une valeur négative",
"partie": "equations",
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = -\\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche\nde l'axe des ordonnées ; $\\cos \\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$, et le second point\nest $2\\pi - \\dfrac{2\\pi}{3} = \\dfrac{4\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{3}$ est **positif** ; ces angles sont à droite\nde l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $2\\pi - \\dfrac{2\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{3} = -\\cos \\dfrac{2\\pi}{3}$ ; ces deux angles n'ont pas le\nmême cosinus.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos x = \\cos a$ a pour solutions $x = a$ et $x = -a$, à $2\\pi$\nprès ; sur $[0 ; 2\\pi[$, $-a$ se lit $2\\pi - a$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = -\\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche\nde l'axe des ordonnées ; $\\cos \\dfrac{2\\pi}{3} = -\\dfrac{1}{2}$, et le second point\nest $2\\pi - \\dfrac{2\\pi}{3} = \\dfrac{4\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{3}$ est **positif** ; ces angles sont à droite\nde l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $2\\pi - \\dfrac{2\\pi}{3}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{\\pi}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{3} = -\\cos \\dfrac{2\\pi}{3}$ ; ces deux angles n'ont pas le\nmême cosinus.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos x = \\cos a$ a pour solutions $x = a$ et $x = -a$, à $2\\pi$\nprès ; sur $[0 ; 2\\pi[$, $-a$ se lit $2\\pi - a$."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche\nde l'axe des ordonnées ; $\\cos \\dfrac{3\\pi}{4} = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, et le second point\nest $2\\pi - \\dfrac{3\\pi}{4} = \\dfrac{5\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{4}$ est **positif** ; ces angles sont à droite\nde l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $2\\pi - \\dfrac{3\\pi}{4}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{\\pi}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{4} = -\\cos \\dfrac{3\\pi}{4}$ ; ces deux angles n'ont pas le\nmême cosinus.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos x = \\cos a$ a pour solutions $x = a$ et $x = -a$, à $2\\pi$\nprès ; sur $[0 ; 2\\pi[$, $-a$ se lit $2\\pi - a$."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche\nde l'axe des ordonnées ; $\\cos \\dfrac{5\\pi}{6} = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, et le second point\nest $2\\pi - \\dfrac{5\\pi}{6} = \\dfrac{7\\pi}{6}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{11\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{6}$ est **positif** ; ces angles sont à droite\nde l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{6}$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;\nil manque $2\\pi - \\dfrac{5\\pi}{6}$.\n"
},
{
"text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{\\pi}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\cos \\dfrac{\\pi}{6} = -\\cos \\dfrac{5\\pi}{6}$ ; ces deux angles n'ont pas le\nmême cosinus.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos x = \\cos a$ a pour solutions $x = a$ et $x = -a$, à $2\\pi$\nprès ; sur $[0 ; 2\\pi[$, $-a$ se lit $2\\pi - a$."
}
]
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equations",
"nombre-de-solutions",
"sinus"
],
"title": "Nombre de solutions d'une équation en sinus",
"partie": "equations",
"statement": "Combien de solutions l'équation $\\sin x = 1$ possède-t-elle sur\n$[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Une seule, $x = \\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 1$ coupe le cercle\ntrigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $1$\nest hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\\pm 1$, ou strictement entre.\n"
},
{
"text": "Deux, symétriques",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $1$.\n"
},
{
"text": "Aucune",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : relisez la position de $1$ par rapport à $-1$ et\n$1$.\n"
},
{
"text": "Une infinité, à cause de la périodicité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $[0 ; 2\\pi[$, un seul tour est parcouru ; la\npériodicité joue sur $\\mathbb{R}$ entier.\n"
}
],
"explanation": "Sur un tour, $\\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si\n$k = \\pm 1$, aucune sinon.",
"variants": [
{
"statement": "Combien de solutions l'équation $\\sin x = 1$ possède-t-elle sur\n$[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Une seule, $x = \\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 1$ coupe le cercle\ntrigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $1$\nest hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\\pm 1$, ou strictement entre.\n"
},
{
"text": "Deux, symétriques",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $1$.\n"
},
{
"text": "Aucune",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : relisez la position de $1$ par rapport à $-1$ et\n$1$.\n"
},
{
"text": "Une infinité, à cause de la périodicité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $[0 ; 2\\pi[$, un seul tour est parcouru ; la\npériodicité joue sur $\\mathbb{R}$ entier.\n"
}
],
"explanation": "Sur un tour, $\\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si\n$k = \\pm 1$, aucune sinon."
},
{
"statement": "Combien de solutions l'équation $\\sin x = 0{,}3$ possède-t-elle sur\n$[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Deux, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 0{,}3$ coupe le cercle\ntrigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $0{,}3$\nest hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\\pm 1$, ou strictement entre.\n"
},
{
"text": "Une seule",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $0{,}3$.\n"
},
{
"text": "Aucune",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : relisez la position de $0{,}3$ par rapport à $-1$ et\n$1$.\n"
},
{
"text": "Une infinité, à cause de la périodicité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $[0 ; 2\\pi[$, un seul tour est parcouru ; la\npériodicité joue sur $\\mathbb{R}$ entier.\n"
}
],
"explanation": "Sur un tour, $\\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si\n$k = \\pm 1$, aucune sinon."
},
{
"statement": "Combien de solutions l'équation $\\sin x = 2$ possède-t-elle sur\n$[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Aucune, un sinus ne dépassant pas $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 2$ coupe le cercle\ntrigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $2$\nest hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\\pm 1$, ou strictement entre.\n"
},
{
"text": "Deux, symétriques",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $2$.\n"
},
{
"text": "Une seule",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : relisez la position de $2$ par rapport à $-1$ et\n$1$.\n"
},
{
"text": "Une infinité, à cause de la périodicité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $[0 ; 2\\pi[$, un seul tour est parcouru ; la\npériodicité joue sur $\\mathbb{R}$ entier.\n"
}
],
"explanation": "Sur un tour, $\\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si\n$k = \\pm 1$, aucune sinon."
},
{
"statement": "Combien de solutions l'équation $\\sin x = -1$ possède-t-elle sur\n$[0 ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Une seule, $x = \\dfrac{3\\pi}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = -1$ coupe le cercle\ntrigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $-1$\nest hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\\pm 1$, ou strictement entre.\n"
},
{
"text": "Deux, symétriques",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $-1$.\n"
},
{
"text": "Aucune",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : relisez la position de $-1$ par rapport à $-1$ et\n$1$.\n"
},
{
"text": "Une infinité, à cause de la périodicité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $[0 ; 2\\pi[$, un seul tour est parcouru ; la\npériodicité joue sur $\\mathbb{R}$ entier.\n"
}
],
"explanation": "Sur un tour, $\\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si\n$k = \\pm 1$, aucune sinon."
}
]
},
{
"id": "q50",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equations",
"relation-fondamentale",
"signe"
],
"title": "Retrouver un cosinus avec le signe",
"partie": "equations",
"statement": "Soit $x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$ tel que\n$\\sin x = \\dfrac{3}{5}$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x = \\dfrac{16}{25}$, donc\n$\\cos x = \\pm \\dfrac{4}{5}$ ; sur $\\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$,\nle cosinus est négatif.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus\nest **négatif**.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{16}{25}$ est $\\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine\ncarrée.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - \\sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur\nles **carrés**.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne $\\cos x$ au signe près ;\nl'intervalle fixe le signe.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$ tel que\n$\\sin x = \\dfrac{3}{5}$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x = \\dfrac{16}{25}$, donc\n$\\cos x = \\pm \\dfrac{4}{5}$ ; sur $\\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$,\nle cosinus est négatif.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus\nest **négatif**.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{16}{25}$ est $\\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine\ncarrée.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - \\sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur\nles **carrés**.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne $\\cos x$ au signe près ;\nl'intervalle fixe le signe."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$ tel que\n$\\sin x = \\dfrac{5}{13}$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{12}{13}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x = \\dfrac{144}{169}$, donc\n$\\cos x = \\pm \\dfrac{12}{13}$ ; sur $\\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$,\nle cosinus est négatif.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{12}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus\nest **négatif**.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{144}{169}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{144}{169}$ est $\\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine\ncarrée.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{13}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - \\sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur\nles **carrés**.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne $\\cos x$ au signe près ;\nl'intervalle fixe le signe."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$ tel que\n$\\sin x = \\dfrac{8}{17}$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{15}{17}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x = \\dfrac{225}{289}$, donc\n$\\cos x = \\pm \\dfrac{15}{17}$ ; sur $\\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$,\nle cosinus est négatif.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus\nest **négatif**.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{225}{289}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{225}{289}$ est $\\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine\ncarrée.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - \\sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur\nles **carrés**.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne $\\cos x$ au signe près ;\nl'intervalle fixe le signe."
},
{
"statement": "Soit $x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$ tel que\n$\\sin x = \\dfrac{7}{25}$. Que vaut $\\cos x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{24}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x = \\dfrac{576}{625}$, donc\n$\\cos x = \\pm \\dfrac{24}{25}$ ; sur $\\left[\\dfrac{\\pi}{2} ; \\pi\\right]$,\nle cosinus est négatif.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus\nest **négatif**.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{576}{625}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{576}{625}$ est $\\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine\ncarrée.\n"
},
{
"text": "$\\dfrac{18}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 - \\sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur\nles **carrés**.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ donne $\\cos x$ au signe près ;\nl'intervalle fixe le signe."
}
]
},
{
"id": "q51",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonctions",
"parite",
"cosinus"
],
"title": "Parité de la fonction cosinus",
"partie": "fonctions",
"statement": "Que vaut $\\cos(-x)$ pour tout réel $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\cos x$, la fonction cosinus étant paire",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points d'angles $x$ et $-x$ sont symétriques\npar rapport à l'axe des abscisses et ont la même abscisse.\n"
},
{
"text": "$-\\cos x$, la fonction cosinus étant impaire",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le sinus qui est impair, $\\sin(-x) = -\\sin x$.\n"
},
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : changer $x$ en $-x$ ne transforme pas un cosinus en\nsinus.\n"
},
{
"text": "$1 - \\cos x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune relation de ce type n'existe.\n"
}
],
"explanation": "$\\cos(-x) = \\cos x$ : la courbe du cosinus est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées."
},
{
"id": "q52",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonctions",
"periodicite",
"cosinus"
],
"title": "Périodicité du cosinus",
"partie": "fonctions",
"statement": "Que vaut $\\cos(x + 2\\pi)$ pour tout réel $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\cos x$, après un tour complet",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ajouter $2\\pi$ ramène au même point du cercle ;\ncosinus et sinus sont périodiques de période $2\\pi$.\n"
},
{
"text": "$-\\cos x$, le point étant diamétralement opposé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est $x + \\pi$ qui donne le point opposé ; $2\\pi$ est\nun tour complet.\n"
},
{
"text": "$\\cos x + 2\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2\\pi$ s'ajoute à l'angle, pas au cosinus.\n"
},
{
"text": "$\\sin x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un décalage de $\\dfrac{\\pi}{2}$ relie cosinus et sinus,\npas un décalage de $2\\pi$.\n"
}
],
"explanation": "Les fonctions sinus et cosinus sont $2\\pi$-périodiques : leurs\ncourbes se répètent à chaque tour."
},
{
"id": "q53",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonctions",
"signe",
"sinus"
],
"title": "Signe du sinus sur un demi-tour",
"partie": "fonctions",
"statement": "Quel est le signe de $\\sin x$ pour $x \\in\\ ]\\pi ; 2\\pi[$ ?",
"options": [
{
"text": "Négatif, les points étant sous l'axe des abscisses",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre $\\pi$ et $2\\pi$, le point du cercle est\ndans la moitié inférieure, d'ordonnée négative.\n"
},
{
"text": "Positif, comme sur $]0 ; \\pi[$, par symétrie",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le sinus change de signe en $\\pi$.\n"
},
{
"text": "Nul, le sinus s'annulant en $\\pi$ et $2\\pi$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le sinus est nul aux bornes, pas entre elles.\n"
},
{
"text": "Le signe dépend de la valeur de $x$ dans l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur tout cet intervalle ouvert, le sinus garde le même\nsigne.\n"
}
],
"explanation": "Le sinus est l'ordonnée du point du cercle : positif sur\n$]0 ; \\pi[$, négatif sur $]\\pi ; 2\\pi[$."
},
{
"id": "q54",
"difficulty": 3,
"skills": [
"fonctions",
"maximum",
"amplitude"
],
"title": "Valeur maximale d'un sinus multiplié",
"partie": "fonctions",
"statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 3\\sin x$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$, quand $\\sin x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$, donc\n$-3 \\leq 3\\sin x \\leq 3$ ; le maximum $3$ est atteint\nen $x = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$1$, maximum du sinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $3$ multiplie toutes les valeurs, le\nmaximum compris.\n"
},
{
"text": "$6$, deux fois le coefficient",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'amplitude totale, de $-3$ à $3$, vaut $6$, mais\nle maximum est $3$.\n"
},
{
"text": "$-3$, en $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-3$ est le **minimum** de $f$.\n"
}
],
"explanation": "Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les\nvaleurs vont de $-k$ à $k$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 3\\sin x$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$, quand $\\sin x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$, donc\n$-3 \\leq 3\\sin x \\leq 3$ ; le maximum $3$ est atteint\nen $x = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$1$, maximum du sinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $3$ multiplie toutes les valeurs, le\nmaximum compris.\n"
},
{
"text": "$6$, deux fois le coefficient",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'amplitude totale, de $-3$ à $3$, vaut $6$, mais\nle maximum est $3$.\n"
},
{
"text": "$-3$, en $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-3$ est le **minimum** de $f$.\n"
}
],
"explanation": "Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les\nvaleurs vont de $-k$ à $k$."
},
{
"statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 5\\sin x$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$, quand $\\sin x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$, donc\n$-5 \\leq 5\\sin x \\leq 5$ ; le maximum $5$ est atteint\nen $x = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$1$, maximum du sinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $5$ multiplie toutes les valeurs, le\nmaximum compris.\n"
},
{
"text": "$10$, deux fois le coefficient",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'amplitude totale, de $-5$ à $5$, vaut $10$, mais\nle maximum est $5$.\n"
},
{
"text": "$-5$, en $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-5$ est le **minimum** de $f$.\n"
}
],
"explanation": "Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les\nvaleurs vont de $-k$ à $k$."
},
{
"statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 2\\sin x$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$, quand $\\sin x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$, donc\n$-2 \\leq 2\\sin x \\leq 2$ ; le maximum $2$ est atteint\nen $x = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$1$, maximum du sinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $2$ multiplie toutes les valeurs, le\nmaximum compris.\n"
},
{
"text": "$4$, deux fois le coefficient",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'amplitude totale, de $-2$ à $2$, vaut $4$, mais\nle maximum est $2$.\n"
},
{
"text": "$-2$, en $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-2$ est le **minimum** de $f$.\n"
}
],
"explanation": "Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les\nvaleurs vont de $-k$ à $k$."
},
{
"statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 4\\sin x$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$, quand $\\sin x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$, donc\n$-4 \\leq 4\\sin x \\leq 4$ ; le maximum $4$ est atteint\nen $x = \\dfrac{\\pi}{2}$.\n"
},
{
"text": "$1$, maximum du sinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $4$ multiplie toutes les valeurs, le\nmaximum compris.\n"
},
{
"text": "$8$, deux fois le coefficient",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'amplitude totale, de $-4$ à $4$, vaut $8$, mais\nle maximum est $4$.\n"
},
{
"text": "$-4$, en $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-4$ est le **minimum** de $f$.\n"
}
],
"explanation": "Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les\nvaleurs vont de $-k$ à $k$."
}
]
},
{
"id": "q55",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonctions",
"angles-associes",
"cosinus"
],
"title": "Cosinus après un demi-tour",
"partie": "fonctions",
"statement": "Que vaut $\\cos(x + \\pi)$ pour tout réel $x$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\cos x$, le point étant opposé",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ajouter $\\pi$ envoie le point sur son symétrique\npar rapport à $O$ ; abscisse et ordonnée changent de signe.\n"
},
{
"text": "$\\cos x$, un demi-tour ne changeant rien",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seul un tour complet, $2\\pi$, ramène au même point.\n"
},
{
"text": "$\\sin x$, par échange des coordonnées",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est un quart de tour, $\\dfrac{\\pi}{2}$, qui échange\ncosinus et sinus, au signe près.\n"
},
{
"text": "$\\cos x + \\pi$, en ajoutant au cosinus",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\pi$ s'ajoute à l'angle, pas à sa valeur de cosinus.\n"
}
],
"explanation": "Angles associés : $\\cos(x + \\pi) = -\\cos x$ et\n$\\sin(x + \\pi) = -\\sin x$."
}
]
}