{
  "chapter": {
    "id": "variables-aleatoires",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Probabilités et statistiques",
    "title": "Variables aléatoires réelles",
    "description": "Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de\nprobabilité, notations $\\{X = a\\}$ et $P(X \\leq a)$, espérance\n(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,\nmodélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.",
    "parties": [
      {
        "id": "loi",
        "title": "Variable aléatoire et loi"
      },
      {
        "id": "esperance",
        "title": "Espérance"
      },
      {
        "id": "dispersion",
        "title": "Variance et écart-type"
      },
      {
        "id": "applications",
        "title": "Jeux, gains et décisions"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?",
      "partie": "loi",
      "statement": "Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une\nvariable aléatoire réelle $X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une fonction de l'univers vers $\\mathbb{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ associe un nombre réel à chaque\nissue de l'univers (un gain, un score, un temps…) :\nc'est la formalisation au programme."
        },
        {
          "text": "Un nombre qui change à chaque répétition de l'expérience",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop vague : la variable est une **fonction** bien\ndéfinie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience\nqui est aléatoire, pas la règle d'affectation."
        },
        {
          "text": "Un événement particulier de l'univers",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un événement est un **sous-ensemble** de\nl'univers. La variable aléatoire est une fonction à\nvaleurs réelles ; $\\{X = a\\}$, lui, est un événement."
        },
        {
          "text": "Une probabilité comprise entre 0 et 1",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les valeurs de $X$ sont des nombres quelconques\n(gains négatifs compris) ; ce sont les $P(X = a)$ qui\nsont des probabilités."
        }
      ],
      "explanation": "Variable aléatoire réelle : fonction $X : \\Omega \\to\n\\mathbb{R}$. La notation $\\{X = a\\}$ désigne l'événement\n« l'issue obtenue a pour image $a$ », de probabilité\n$P(X = a)$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi"
      ],
      "title": "Compléter une loi de probabilité",
      "partie": "loi",
      "statement": "La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec\n$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(X = 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut\n$1$ : $P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3$ est la somme des deux\nprobabilités connues ; la manquante en est le\n**complément à $1$**."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.\nLa contrainte est la somme totale : $1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
        }
      ],
      "explanation": "Loi de probabilité de $X$ : la donnée des valeurs $x_i$ et\ndes probabilités $p_i = P(X = x_i)$, positives et de somme\n$1$. Ici : $0{,}2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer une espérance",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec\n$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +\n5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 = \\dfrac{-1 + 2 + 5}{3}$ est la moyenne\n**non pondérée** des valeurs. L'espérance pondère chaque\nvaleur par sa probabilité."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la somme brute des valeurs, sans les\nprobabilités."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité la plus grande, pas\nl'espérance. Formule : $\\sum x_i\\,p_i = 1{,}1$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : moyenne des valeurs **pondérée par\nles probabilités**. Ici $1{,}1$ : analogie directe avec la\nmoyenne pondérée des statistiques."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter l'espérance",
      "partie": "esperance",
      "statement": "$X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =\n1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le gain moyen par partie tend vers $1{,}10$ euro",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain\nmoyen par partie est proche de $1{,}10$ euro.\nL'espérance est un gain moyen **en tendance**, que les\nfréquences réalisent sur le long terme (loi des grands\nnombres, vue en simulation)."
        },
        {
          "text": "À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune partie ne rapporte $1{,}10$ euro (les\ngains possibles sont $-1$, $2$ et $5$) : l'espérance est\nune moyenne, pas une valeur garantie."
        },
        {
          "text": "On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$ en moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès\n(et « $1{,}1$ sur $2$ » n'a pas de sens). Elle moyenne\nles **montants**."
        },
        {
          "text": "Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur la plus probable est $-1$ (probabilité\n$0{,}5$). L'espérance ne coïncide pas avec le mode."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X)$ : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre\nd'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au\njoueur en tendance, sans rien garantir sur une partie."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "jeu-equitable"
      ],
      "title": "Jeu équitable",
      "partie": "applications",
      "statement": "Quand dit-on qu'un jeu d'argent est **équitable** ?",
      "options": [
        {
          "text": "Lorsque l'espérance du gain est nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance du gain algébrique (mise\ndéduite) est nulle : en moyenne, ni le joueur ni\nl'organisateur ne gagnent, $E(X) = 0$."
        },
        {
          "text": "Lorsque toutes les issues sont équiprobables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équité concerne l'**espérance du gain**, pas\nl'uniformité des probabilités : un jeu peut être\néquiprobable et très défavorable."
        },
        {
          "text": "Lorsqu'on gagne une fois sur deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre\nrarement de gros peut être défavorable : seul le bilan\nmoyen (l'espérance) juge l'équité."
        },
        {
          "text": "Lorsque la mise est faible devant les gains",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport\nentre mise et gains espérés."
        }
      ],
      "explanation": "Jeu équitable : $E(\\text{gain algébrique}) = 0$. Capacité\nattendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler\nl'espérance."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "definition"
      ],
      "title": "Ce que mesure la variance",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?",
      "options": [
        {
          "text": "La dispersion de $X$ autour de son espérance",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la moyenne des carrés des écarts à\nl'espérance, $V(X) = E\\left((X - \\mu)^2\\right)$ : plus\nles valeurs s'éloignent de $\\mu$ en probabilité, plus la\nvariance est grande."
        },
        {
          "text": "La valeur moyenne de $X$ sur un grand nombre d'essais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur moyenne est l'**espérance**. La\nvariance mesure l'étalement autour d'elle."
        },
        {
          "text": "La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la\nvariance moyenne les **carrés des écarts**, dépassements\net déficits confondus."
        },
        {
          "text": "L'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de\n$X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'étendue, qui ne dépend pas des\nprobabilités ; la variance, si : elle pèse chaque écart\nà la moyenne par sa probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X) = E\\left((X - \\mu)^2\\right)$ avec $\\mu = E(X)$ :\nindicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine\n$\\sigma(X)$ (écart-type) s'exprime dans l'unité de $X$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "konig-huygens",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule de König-Huygens",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 7 - 4 = 3$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 7 - 4$."
        },
        {
          "text": "$45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $49 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 7$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 49$. $V = 7 - 4 = 3$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
        }
      ],
      "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 7 - 4 = 3$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 7 - 4$."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $49 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 7$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 49$. $V = 7 - 4 = 3$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 3$ et $E(X^2) = 11$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 11 - 9 = 2$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $11 - 3$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 11 - 9$."
            },
            {
              "text": "$112$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $121 - 9$ ? C'est $E(X^2) = 11$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 121$. $V = 11 - 9 = 2$."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 4$ et $E(X^2) = 21$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 21 - 16 = 5$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $21 - 4$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 21 - 16$."
            },
            {
              "text": "$425$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $441 - 16$ ? C'est $E(X^2) = 21$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 441$. $V = 21 - 16 = 5$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 10$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 10 - 4$."
            },
            {
              "text": "$96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 10$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 100$. $V = 10 - 4 = 6$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecart-type"
      ],
      "title": "De la variance à l'écart-type",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{9} = 3$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $81 = 9^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $3$."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{9} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{9} = 3$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $81 = 9^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $3$."
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{9} = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 16$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{16} = 4$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
            },
            {
              "text": "$256$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $256 = 16^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $16$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{16} = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 25$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{25} = 5$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $625 = 25^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $5$."
            },
            {
              "text": "$12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{25} = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 49$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{49} = 7$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
            },
            {
              "text": "$2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $2401 = 49^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $49$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $7$."
            },
            {
              "text": "$24{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{49} = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite",
        "esperance"
      ],
      "title": "Linéarité de l'espérance",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(aX + b) = a\\,E(X) + b = 2 \\times 5 +\n3 = 13$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $10 = 2E(X)$ oublie le décalage $+3$, qui se\ntransmet tel quel à l'espérance."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2(5 + 3) = 16$ distribue mal : le $+3$ n'est\npas multiplié par $2$. Formule : $aE(X) + b$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à voir : la transformation\nest affine, pas quadratique."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité (au programme) : $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$.\nExemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe\nà un gain."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance",
        "loi"
      ],
      "title": "Retrouver une probabilité par l'espérance",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $5$, avec $P(X = 1) = 0{,}5$\net $P(X = 2) = p$. On sait que $E(X) = 2{,}1$. Que vaut $p$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$p = 0{,}3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = 5) = 0{,}5 - p$, donc $E(X) = 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p$,\net $3 - 3p = 2{,}1$ donne $p = 0{,}3$.\n"
        },
        {
          "text": "$p = 0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est la valeur de $P(X = 5)$ quand $p = 0{,}3$. Avec $p = 0{,}2$,\n$E(X) = 3 - 0{,}6 = 2{,}4$.\n"
        },
        {
          "text": "$p = 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme $5 \\times P(X = 5)$ a été oublié. D'ailleurs $0{,}5 + 0{,}8$ dépasse $1$,\nce qui est impossible pour une loi de probabilité.\n"
        },
        {
          "text": "$p = 0{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de résolution : $3 - 3p = 2{,}1$ donne $3p = 0{,}9$, puis il faut diviser par $3$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "La somme des probabilités vaut $1$, donc $P(X = 5) = 0{,}5 - p$. Alors\n$E(X) = 1 \\times 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p = 2{,}1$, d'où $p = 0{,}3$ et $P(X = 5) = 0{,}2$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notations",
        "cumul"
      ],
      "title": "Utiliser la notation $P(X \\leq a)$",
      "partie": "loi",
      "statement": "Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,\n$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \\leq 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\{X \\leq 2\\}$ regroupe les valeurs $-1$\net $2$ : $P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $0{,}3 = P(X = 2)$ seulement. L'inégalité\n**large** inclut aussi la valeur $-1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2)$ est la probabilité\nde l'événement **contraire**."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $0{,}5 = P(X = -1)$ oublie la valeur $2$,\nincluse dans $X \\leq 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :\n$\\{X \\leq a\\}$ cumule toutes les valeurs inférieures ou\négales à $a$. Ici $0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$ (ou $1 - P(X = 5)$)."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une loterie",
      "partie": "applications",
      "statement": "Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet\ngagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un\nacheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ vaut $49$ (lot moins mise) avec\nprobabilité $0{,}01$, et $-1$ avec probabilité $0{,}99$ :\n$E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$+0{,}50$ euro : le jeu est favorable au joueur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le joueur **perd** en moyenne, le jeu ne\nlui est pas favorable. La recette ($100$ euros) dépasse le\nlot ($50$ euros) : la différence se répartit sur les\njoueurs."
        },
        {
          "text": "$0$ euro : le jeu est équitable, ni gain ni perte en moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équité exigerait un lot de $100$ euros\n(recette entière redistribuée). Avec $50$ euros :\n$E(X) = -0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$-1$ euro : le joueur perd sa mise dans tous les cas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ serait la perte **certaine** sans aucun\nlot ; or un billet sur cent gagne : cette petite chance\n($49$ euros avec probabilité $0{,}01$) relève l'espérance\nà $-0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Modélisation type : gain algébrique $=$ lot $-$ mise. Loi :\n$49$ avec $\\frac{1}{100}$, $-1$ avec $\\frac{99}{100}$ :\n$E(X) = -0{,}50$ euro : la moitié de la mise part en moyenne\nà l'organisateur."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-somme-un"
      ],
      "title": "Compléter une loi",
      "partie": "loi",
      "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}3 + 0{,}45$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme $0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}25$, qui revient à la valeur $2$."
        },
        {
          "text": "Impossible à déterminer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
        }
      ],
      "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}3 + 0{,}45$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme $0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}25$, qui revient à la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "Impossible à déterminer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
            }
          ],
          "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante."
        },
        {
          "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}2$ et $P(X = 1) = 0{,}35$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}2 - 0{,}35 = 0{,}45$."
            },
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}2 + 0{,}35$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme $0{,}2 + 0{,}35 = 0{,}55 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}45$, qui revient à la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "Impossible à déterminer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
            }
          ],
          "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante."
        },
        {
          "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}5$ et $P(X = 1) = 0{,}1$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}5 + 0{,}1$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme $0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}4$, qui revient à la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "Impossible à déterminer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
            }
          ],
          "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante."
        },
        {
          "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}25$ et $P(X = 1) = 0{,}4$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}25 - 0{,}4 = 0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}25 + 0{,}4$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme $0{,}25 + 0{,}4 = 0{,}65 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}35$, qui revient à la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "Impossible à déterminer",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
            }
          ],
          "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "esperance-de"
      ],
      "title": "Espérance d'un dé",
      "partie": "esperance",
      "statement": "$X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut\n$E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =\n\\dfrac{21}{6} = 3{,}5$ : la moyenne des faces,\néquiprobables."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ serait la « valeur du milieu » arrondie\nvers le bas : la moyenne exacte des six faces est\n$3{,}5$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la valeur **maximale**, pas la moyenne\nde long terme."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $21$ est la somme des faces : chaque\nface pèse $\\frac{1}{6}$ : moyenne $3{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des\nvaleurs. $E(X) = 3{,}5$ montre aussi qu'une espérance n'est\npas forcément une valeur **atteignable** : aucun dé\nn'affiche $3{,}5$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite-calcul"
      ],
      "title": "Espérance de $2X + 3$",
      "partie": "esperance",
      "statement": "$X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(aX + b) = aE(X) + b = 2 \\times 5 + 3\n= 13$ : la moyenne suit la transformation affine."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : $2E(X) = 10$, puis le décalage $+3$\ns'ajoute : $13$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 \\times (5 + 3) = 16$ applique le facteur à\nla constante aussi : le $+3$ est ajouté **après** la\nmultiplication."
        },
        {
          "text": "$2E(X) + 3X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : une espérance est un **nombre** : $X$\nne peut pas subsister dans le résultat."
        }
      ],
      "explanation": "$E(aX + b) = aE(X) + b$ : la linéarité, appliquée\nmécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après\nfrais fixes, mise initiale."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gain-net"
      ],
      "title": "Gain net d'un jeu payant",
      "partie": "applications",
      "statement": "Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité\n$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain **net**\n(gain moins mise) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : gain brut espéré $= 10 \\times 0{,}1 =\n1$ euro ; net : $1 - 2 = -1$ euro : en moyenne, le\njoueur perd un euro par partie."
        },
        {
          "text": "$+1$ euro : le jeu est favorable au joueur",
          "correct": false,
          "feedback": "Mise oubliée : $1$ euro est le gain **brut** moyen\n($10 \\times 0{,}1$) : il faut retrancher les $2$ euros de\nmise : $-1$, le jeu n'est pas favorable au joueur."
        },
        {
          "text": "$0$ euro : le jeu est équitable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à\nla mise ($2$ euros) : ici il ne vaut que $1$ euro."
        },
        {
          "text": "$8$ euros : le jeu est très favorable au joueur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 - 2 = 8$ est le net **en cas de victoire**\nseulement, une fois sur dix : l'espérance pondère par\n$0{,}1$ (et $-2$ pèse $0{,}9$) : $0{,}8 - 1{,}8 = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le gain net est le gain brut diminué de la mise : $E(\\text{net}) =\nE(\\text{brut}) - \\text{mise}$ (linéarité !). Jeu équitable\n$\\iff E(\\text{net}) = 0$. Les jeux d'argent réels sont tous\nà espérance négative pour le joueur."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variance-koenig-calcul"
      ],
      "title": "Variance par König-Huygens",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "$X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)\n= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0 \\times 0{,}5 + 4\n\\times 0{,}5 = 2$, donc $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1\n= 1$ (écart-type $1$ : les valeurs sont à distance $1$\nde la moyenne)."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la symétrie de la loi centre la moyenne,\nelle n'annule pas la **dispersion** : seules les\nvariables constantes ont une variance nulle."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction oubliée : $2 = E(X^2)$ : König-Huygens\nretranche le carré de la moyenne : $2 - 1 = 1$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une variance est toujours positive (moyenne\nde carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une\nerreur de calcul."
        }
      ],
      "explanation": "König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calculer les\ndeux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : $V\n\\geq 0$ toujours."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison-risque"
      ],
      "title": "Même espérance, risques différents",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux placements ont la même espérance de gain, mais le\nplacement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B\nde $50$ euros. Comment interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "B est beaucoup plus risqué",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : mêmes gains moyens, mais des résultats\nbien plus dispersés. L'espérance dit la tendance,\nl'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou\nperdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »\nest dans $\\sigma$."
        },
        {
          "text": "B rapporte plus en moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les espérances sont **égales** par hypothèse :\nl'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure\nd'incertitude."
        },
        {
          "text": "A et B sont équivalents, ils ont la même espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et\ndifférer du tout au tout en dispersion : c'est\nexactement ce que la variance capture."
        },
        {
          "text": "A est plus risqué : un petit écart-type cache des\nsurprises",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : un petit $\\sigma$ signifie des résultats **concentrés** autour de la moyenne, donc peu de surprises : le risque\ncroît avec l'écart-type."
        }
      ],
      "explanation": "Le couple $(E\\ ;\\ \\sigma)$ résume une variable aléatoire :\ntendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type\ndépartage : c'est la définition quantitative du risque\n(finance, assurance, files d'attente)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-de-probabilite",
        "controle"
      ],
      "title": "Contrôler une loi de probabilité",
      "partie": "loi",
      "statement": "Une variable aléatoire prend les valeurs $0$, $1$ et $2$ avec les\nprobabilités $0{,}3$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que faut-il en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "La loi est erronée, la somme vaut $1{,}1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi doivent totaliser\nexactement $1$."
        },
        {
          "text": "La loi est correcte",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme des trois probabilités dépasse $1$, ce qui est impossible."
        },
        {
          "text": "La loi est erronée, une valeur est répétée",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux issues peuvent parfaitement avoir la même probabilité : le défaut\nest ailleurs."
        },
        {
          "text": "La loi est correcte mais l'espérance est fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune espérance n'est donnée, et elle ne peut pas être calculée sur\nune loi invalide."
        }
      ],
      "explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque valeur un nombre compris entre\n$0$ et $1$, et ces nombres totalisent $1$. Ce contrôle précède tout calcul\nd'espérance."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Espérance d'une variable à trois valeurs",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Une variable aléatoire prend les valeurs $-1$, $0$ et $4$ avec les\nprobabilités $0{,}5$, $0{,}2$ et $0{,}3$. Que vaut son espérance ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-1)(0{,}5) + 0(0{,}2) + 4(0{,}3) = -0{,}5 + 1{,}2$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne simple des valeurs : elle ignore les probabilités, pourtant\ntrès différentes."
        },
        {
          "text": "$1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme négatif oublié : la valeur $-1$ contribue pour $-0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs additionnées : $-1 + 0 + 4$ ne tient aucun compte des\nprobabilités."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.\nElle n'est pas nécessairement une valeur prise par la variable."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Variance par la formule directe",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une variable vaut $0$ avec probabilité $0{,}5$ et $2$ avec probabilité\n$0{,}5$. Que vaut sa variance ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $1$, et la variance\n$0{,}5(0-1)^2 + 0{,}5(2-1)^2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écarts non élevés au carré : la variance mesure la moyenne des carrés\ndes écarts."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une variance nulle signalerait une variable constante, ce qui n'est\npas le cas ici."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité recopiée : elle sert de coefficient, elle n'est pas le\nrésultat."
        }
      ],
      "explanation": "La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Son écart-\ntype, racine carrée de la variance, vaut ici $1$ également."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Ce que l'espérance ne dit pas",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Un jeu a une espérance de gain de $0$ euro.\nQue peut-on en conclure pour un joueur ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur un grand nombre de parties, il ne gagne ni ne perd",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance décrit le gain moyen à long terme, pas le\nrésultat d'une partie."
        },
        {
          "text": "Il gagne exactement $0$ euro à chaque partie",
          "correct": false,
          "feedback": "Un jeu d'espérance nulle peut faire gagner $10$ euros une fois sur\ndeux et en perdre $10$ l'autre fois."
        },
        {
          "text": "Il a une chance sur deux de gagner",
          "correct": false,
          "feedback": "L'espérance ne dit rien de la probabilité de gagner : elle pondère les\ngains par ces probabilités."
        },
        {
          "text": "Le jeu ne comporte aucun risque",
          "correct": false,
          "feedback": "Le risque se mesure par la variance, qui peut être très grande même\navec une espérance nulle."
        }
      ],
      "explanation": "Un jeu d'espérance nulle est dit équitable. Deux jeux équitables peuvent\nprésenter des risques très différents, que seule la variance distingue."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "transformation"
      ],
      "title": "Espérance d'une transformation affine",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Une variable $X$ a pour espérance $6$.\nQue vaut l'espérance de $Y = 3X - 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(3X - 5) = 3 \\times 6 - 5$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : le terme $-5$ se retranche aussi à l'espérance."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $3$ multiplie l'espérance."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,\nvérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ a pour espérance $6$.\nQue vaut l'espérance de $Y = 3X - 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(3X - 5) = 3 \\times 6 - 5$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : le terme $-5$ se retranche aussi à l'espérance."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $3$ multiplie l'espérance."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie."
            }
          ],
          "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,\nvérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ a pour espérance $4$.\nQue vaut l'espérance de $Y = 5X - 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(5X - 2) = 5 \\times 4 - 2$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : le terme $-2$ se retranche aussi à l'espérance."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $5$ multiplie l'espérance."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie."
            }
          ],
          "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,\nvérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ a pour espérance $7$.\nQue vaut l'espérance de $Y = 2X - 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(2X - 9) = 2 \\times 7 - 9$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : le terme $-9$ se retranche aussi à l'espérance."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $2$ multiplie l'espérance."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie."
            }
          ],
          "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,\nvérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ a pour espérance $5$.\nQue vaut l'espérance de $Y = 4X - 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(4X - 3) = 4 \\times 5 - 3$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : le terme $-3$ se retranche aussi à l'espérance."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $4$ multiplie l'espérance."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie."
            }
          ],
          "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,\nvérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Nombre de piles en trois lancers",
      "partie": "loi",
      "statement": "On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de « pile »\nobtenus. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $8$ résultats possibles sont équiprobables, et trois d'entre eux\ncomportent exactement deux « pile » : PPF, PFP et FPP.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un seul ordre a été compté. Le « face » peut arriver au premier, au deuxième\nou au troisième lancer, ce qui donne trois résultats favorables.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les quatre valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ de $X$ ne sont pas équiprobables. Il faut\nraisonner sur les $8$ résultats de l'expérience.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir au moins deux « pile »,\nc'est-à-dire $P(X \\geq 2)$, qui ajoute le résultat PPP.\n"
        }
      ],
      "explanation": "L'univers compte $2 \\times 2 \\times 2 = 8$ résultats équiprobables. L'événement $\\{X = 2\\}$\nregroupe PPF, PFP et FPP, donc $P(X = 2) = \\dfrac{3}{8}$."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecart-type",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Quel intérêt présente l'écart-type par rapport à la variance ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il s'exprime dans la même unité que la variable",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $X$ est en euros, la variance est en euros carrés,\nalors que l'écart-type est en euros."
        },
        {
          "text": "Il est toujours plus petit que la variance",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est faux pour une variance inférieure à $1$ : l'écart-type de\n$0{,}25$ vaut $0{,}5$."
        },
        {
          "text": "Il se calcule sans connaître l'espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul passe par la variance, qui exige l'espérance."
        },
        {
          "text": "Il peut être négatif, ce qui donne le sens de l'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Une racine carrée est positive ou nulle : l'écart-type n'a pas de\nsigne."
        }
      ],
      "explanation": "La variance s'exprime dans le carré de l'unité de la variable, ce qui la\nrend difficile à interpréter. L'écart-type, sa racine carrée, retrouve\nl'unité de départ."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notation",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Lire $P(X \\geq 2)$",
      "partie": "loi",
      "statement": "Une variable prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ avec les\nprobabilités $0{,}1$, $0{,}4$, $0{,}3$ et $0{,}2$.\nQue vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on additionne les probabilités des valeurs $2$ et $3$,\nsoit $0{,}3 + 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la valeur $2$ prise en compte : l'inégalité inclut aussi $3$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la valeur $3$ prise en compte : l'inégalité étant large, $2$\ncompte également."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire mal formé : $P(X < 2)$ vaut $0{,}5$, pas\n$0{,}8$."
        }
      ],
      "explanation": "L'écriture $P(X \\geq a)$ désigne la somme des probabilités de toutes les\nvaleurs supérieures ou égales à $a$. L'inégalité large inclut la borne."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Un jeu à mise",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Un jeu coûte $2$ euros et rapporte $10$ euros avec une probabilité de\n$0{,}15$, rien sinon. Quelle est l'espérance du gain net ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-0{,}5$ euro",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}15 \\times 8 + 0{,}85 \\times (-2) = 1{,}2 - 1{,}7$."
        },
        {
          "text": "$1{,}5$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Mise oubliée : $0{,}15 \\times 10$ décrit le gain brut, avant\ndéduction des deux euros."
        },
        {
          "text": "$-2$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Gain oublié : le joueur récupère parfois $10$ euros, ce qui relève\nl'espérance."
        },
        {
          "text": "$8$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Gain net d'une partie gagnante : il reste à le pondérer par sa\nprobabilité et à tenir compte des parties perdues."
        }
      ],
      "explanation": "Le gain net retranche la mise dans tous les cas. On établit d'abord la loi\nde ce gain, puis on calcule l'espérance. Négative, elle indique un jeu\ndéfavorable au joueur."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "koenig-huygens",
        "calcul"
      ],
      "title": "La formule de König-Huygens",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Que permet de calculer la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La variance sans passer par les écarts",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle évite de calculer chaque écart à l'espérance, ce\nqui allège nettement les calculs."
        },
        {
          "text": "L'espérance à partir de la variance",
          "correct": false,
          "feedback": "La formule donne la variance, l'espérance devant être connue au\npréalable."
        },
        {
          "text": "L'écart-type directement",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle donne la variance : il reste une racine carrée à prendre."
        },
        {
          "text": "La loi de probabilité de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "La loi est la donnée de départ ; la formule ne fait que la résumer par\ndeux nombres."
        }
      ],
      "explanation": "La formule de König-Huygens exprime la variance comme la différence entre\nla moyenne des carrés et le carré de la moyenne. Les deux quantités se\ncalculent directement sur la loi."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Deux variables, même espérance",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux variables ont la même espérance, mais l'une a une variance bien\nplus grande. Qu'est-ce que cela traduit ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ses valeurs s'écartent davantage de la moyenne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la variance mesure la dispersion autour de\nl'espérance, pas sa position."
        },
        {
          "text": "Elle prend des valeurs plus grandes",
          "correct": false,
          "feedback": "L'espérance étant la même, les valeurs ne sont pas globalement plus\ngrandes, seulement plus étalées."
        },
        {
          "text": "Elle prend davantage de valeurs différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de valeurs n'est pas en cause : deux valeurs très éloignées\nsuffisent à obtenir une grande variance."
        },
        {
          "text": "Son espérance est mal calculée",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien ne le laisse penser : espérance et variance décrivent deux\naspects différents de la même loi."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance situe le centre d'une loi, la variance son étalement. Deux\nlois de même espérance peuvent décrire des risques très différents."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variable-aleatoire",
        "definition"
      ],
      "title": "Ce qu'est une variable aléatoire",
      "partie": "loi",
      "statement": "Qu'est-ce qu'une variable aléatoire sur un univers fini ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une fonction de l'univers vers les nombres",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle traduit chaque résultat de l'expérience en un\nnombre, par exemple un gain."
        },
        {
          "text": "Un nombre tiré au hasard dans l'univers",
          "correct": false,
          "feedback": "La variable n'est pas le résultat du tirage, mais la règle qui associe\nun nombre à chaque résultat possible."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'un événement de l'univers",
          "correct": false,
          "feedback": "Les probabilités interviennent ensuite, quand on établit la loi de la\nvariable."
        },
        {
          "text": "L'ensemble de toutes les issues possibles",
          "correct": false,
          "feedback": "Cet ensemble est l'univers, qui sert de point de départ à la variable."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'univers, à valeurs\nnumériques. Sa loi donne, pour chaque valeur possible, la probabilité\nqu'elle soit prise."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-somme-un",
        "controle"
      ],
      "title": "Une probabilité négative",
      "partie": "loi",
      "statement": "Un élève propose la loi suivante : $P(X = 0) = 0{,}6$,\n$P(X = 1) = -0{,}1$ et $P(X = 2) = 0{,}5$. Que faut-il en\npenser ?",
      "options": [
        {
          "text": "La loi est à rejeter : une probabilité reste positive",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque probabilité d'une loi appartient à\nl'intervalle $[0\\,;\\,1]$. La somme vaut bien $1$, mais la\nvaleur $-0{,}1$ disqualifie le tableau."
        },
        {
          "text": "La loi convient, puisque les trois nombres totalisent $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vérification incomplète : la somme égale à $1$ est\nnécessaire, elle ne suffit pas. Chaque probabilité doit\naussi rester positive."
        },
        {
          "text": "La loi est fausse car la somme des nombres dépasse $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $0{,}6 - 0{,}1 + 0{,}5 = 1$. Le défaut\nse trouve ailleurs, dans le signe de la deuxième\nprobabilité."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans l'espérance de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'ordre : l'espérance se calcule une fois la loi\nvalidée. Ici le tableau est déjà à rejeter."
        }
      ],
      "explanation": "Une loi de probabilité remplit deux conditions : chaque\nprobabilité appartient à $[0\\,;\\,1]$, et leur somme vaut $1$.\nContrôler les deux avant tout calcul évite de travailler sur\nun tableau impossible."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "esperance-de",
        "calcul"
      ],
      "title": "Espérance d'un tirage équiprobable",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,\nnumérotés $1$, $3$, $6$ et $10$. On en tire un au\nhasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité\n$\\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :\n$\\dfrac{1 + 3 + 6 + 10}{4} = 5$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $20$ est la somme des quatre\nnuméros. Chaque jeton pesant $\\dfrac{1}{4}$, l'espérance\nvaut $5$."
        },
        {
          "text": "$5{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $3$ et\n$6$ comptent autant que les autres dans le calcul."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas\ndeux. La somme se partage en quatre parts égales."
        }
      ],
      "explanation": "Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance\nse réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque\nvaleur est pondérée par sa probabilité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,\nnumérotés $1$, $3$, $6$ et $10$. On en tire un au\nhasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité\n$\\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :\n$\\dfrac{1 + 3 + 6 + 10}{4} = 5$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $20$ est la somme des quatre\nnuméros. Chaque jeton pesant $\\dfrac{1}{4}$, l'espérance\nvaut $5$."
            },
            {
              "text": "$5{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $3$ et\n$6$ comptent autant que les autres dans le calcul."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas\ndeux. La somme se partage en quatre parts égales."
            }
          ],
          "explanation": "Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance\nse réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque\nvaleur est pondérée par sa probabilité."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,\nnumérotés $2$, $4$, $7$ et $11$. On en tire un au\nhasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité\n$\\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :\n$\\dfrac{2 + 4 + 7 + 11}{4} = 6$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $24$ est la somme des quatre\nnuméros. Chaque jeton pesant $\\dfrac{1}{4}$, l'espérance\nvaut $6$."
            },
            {
              "text": "$6{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $4$ et\n$7$ comptent autant que les autres dans le calcul."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas\ndeux. La somme se partage en quatre parts égales."
            }
          ],
          "explanation": "Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance\nse réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque\nvaleur est pondérée par sa probabilité."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,\nnumérotés $1$, $2$, $4$ et $7$. On en tire un au\nhasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité\n$\\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :\n$\\dfrac{1 + 2 + 4 + 7}{4} = 3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $14$ est la somme des quatre\nnuméros. Chaque jeton pesant $\\dfrac{1}{4}$, l'espérance\nvaut $3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $2$ et\n$4$ comptent autant que les autres dans le calcul."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas\ndeux. La somme se partage en quatre parts égales."
            }
          ],
          "explanation": "Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance\nse réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque\nvaleur est pondérée par sa probabilité."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,\nnumérotés $2$, $3$, $5$ et $8$. On en tire un au\nhasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité\n$\\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :\n$\\dfrac{2 + 3 + 5 + 8}{4} = 4{,}5$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $18$ est la somme des quatre\nnuméros. Chaque jeton pesant $\\dfrac{1}{4}$, l'espérance\nvaut $4{,}5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $3$ et\n$5$ comptent autant que les autres dans le calcul."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas\ndeux. La somme se partage en quatre parts égales."
            }
          ],
          "explanation": "Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance\nse réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque\nvaleur est pondérée par sa probabilité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "notation",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Ce que désigne l'écriture $\\{X = 3\\}$",
      "partie": "loi",
      "statement": "Dans l'étude d'une variable aléatoire $X$, que désigne\nl'écriture $\\{X = 3\\}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ensemble des issues dont l'image par $X$ vaut $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ces issues forment un événement, dont la\nprobabilité se note $P(X = 3)$. L'accolade désigne donc\nun ensemble, et non un nombre."
        },
        {
          "text": "La probabilité que $X$ soit égale à $3$, entre $0$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre l'événement et sa probabilité : le nombre\ncompris entre $0$ et $1$ s'écrit $P(X = 3)$, avec la\nlettre $P$ devant."
        },
        {
          "text": "Une équation d'inconnue $X$, dont la solution vaut $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : $X$ n'est pas une inconnue à trouver,\nmais une fonction définie sur l'univers."
        },
        {
          "text": "La valeur moyenne de la variable $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : la valeur moyenne est l'espérance\n$E(X)$, un nombre, alors que $\\{X = 3\\}$ est un ensemble\nd'issues."
        }
      ],
      "explanation": "L'accolade désigne un événement : $\\{X = 3\\}$ regroupe les\nissues auxquelles $X$ associe $3$. Sa probabilité s'écrit\n$P(X = 3)$, et la même logique vaut pour $\\{X \\leq 3\\}$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "variable-aleatoire",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Repérer la variable aléatoire",
      "partie": "loi",
      "statement": "On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes : le\njoueur gagne $5$ euros si la carte est un cœur, et perd\n$2$ euros sinon. Qu'est-ce qui joue le rôle de la variable\naléatoire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le gain algébrique obtenu par le joueur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la variable associe à chaque carte tirée\nun nombre, ici $5$ ou $-2$. C'est bien une fonction\ndéfinie sur l'univers, à valeurs réelles."
        },
        {
          "text": "L'ensemble des $52$ cartes du jeu",
          "correct": false,
          "feedback": "Cet ensemble est l'univers, c'est-à-dire l'ensemble des\nissues. La variable aléatoire est définie sur lui, elle\nne se confond pas avec lui."
        },
        {
          "text": "Le tirage d'une carte au hasard dans le jeu",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'expérience aléatoire. La variable vient ensuite :\nelle traduit chaque résultat de cette expérience en un\nnombre."
        },
        {
          "text": "La probabilité de tirer un cœur, égale à $0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre sert à établir la loi de la variable, mais une\nprobabilité n'est pas une variable aléatoire."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable aléatoire est la règle qui transforme chaque\nissue en un nombre : ici la carte tirée devient un gain. Sa\nloi se lit ensuite sur les probabilités des issues."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notations",
        "cumul"
      ],
      "title": "Des probabilités cumulées à une probabilité",
      "partie": "loi",
      "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et\nvérifie $P(X \\leq 1) = 0{,}45$ et $P(X \\leq 2) = 0{,}7$. Que\nvaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement $\\{X \\leq 2\\}$ réunit\n$\\{X \\leq 1\\}$ et $\\{X = 2\\}$, donc\n$P(X = 2) = 0{,}7 - 0{,}45 = 0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction oubliée : $0{,}7$ cumule toutes les valeurs\ninférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais cumul recopié : $0{,}45$ correspond aux valeurs\ninférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}7$ donne\n$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà\nde $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Les probabilités cumulées se soustraient :\n$P(X = a) = P(X \\leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs\nentières, l'événement précédent est $\\{X \\leq a - 1\\}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et\nvérifie $P(X \\leq 1) = 0{,}45$ et $P(X \\leq 2) = 0{,}7$. Que\nvaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement $\\{X \\leq 2\\}$ réunit\n$\\{X \\leq 1\\}$ et $\\{X = 2\\}$, donc\n$P(X = 2) = 0{,}7 - 0{,}45 = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $0{,}7$ cumule toutes les valeurs\ninférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais cumul recopié : $0{,}45$ correspond aux valeurs\ninférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}7$ donne\n$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà\nde $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Les probabilités cumulées se soustraient :\n$P(X = a) = P(X \\leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs\nentières, l'événement précédent est $\\{X \\leq a - 1\\}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et\nvérifie $P(X \\leq 1) = 0{,}3$ et $P(X \\leq 2) = 0{,}8$. Que\nvaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement $\\{X \\leq 2\\}$ réunit\n$\\{X \\leq 1\\}$ et $\\{X = 2\\}$, donc\n$P(X = 2) = 0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $0{,}8$ cumule toutes les valeurs\ninférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais cumul recopié : $0{,}3$ correspond aux valeurs\ninférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}8$ donne\n$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà\nde $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Les probabilités cumulées se soustraient :\n$P(X = a) = P(X \\leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs\nentières, l'événement précédent est $\\{X \\leq a - 1\\}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et\nvérifie $P(X \\leq 1) = 0{,}25$ et $P(X \\leq 2) = 0{,}6$. Que\nvaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement $\\{X \\leq 2\\}$ réunit\n$\\{X \\leq 1\\}$ et $\\{X = 2\\}$, donc\n$P(X = 2) = 0{,}6 - 0{,}25 = 0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $0{,}6$ cumule toutes les valeurs\ninférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais cumul recopié : $0{,}25$ correspond aux valeurs\ninférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}6$ donne\n$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà\nde $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Les probabilités cumulées se soustraient :\n$P(X = a) = P(X \\leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs\nentières, l'événement précédent est $\\{X \\leq a - 1\\}$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et\nvérifie $P(X \\leq 1) = 0{,}15$ et $P(X \\leq 2) = 0{,}55$. Que\nvaut $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement $\\{X \\leq 2\\}$ réunit\n$\\{X \\leq 1\\}$ et $\\{X = 2\\}$, donc\n$P(X = 2) = 0{,}55 - 0{,}15 = 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $0{,}55$ cumule toutes les valeurs\ninférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais cumul recopié : $0{,}15$ correspond aux valeurs\ninférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}55$ donne\n$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà\nde $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Les probabilités cumulées se soustraient :\n$P(X = a) = P(X \\leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs\nentières, l'événement précédent est $\\{X \\leq a - 1\\}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite-calcul",
        "linearite"
      ],
      "title": "Remonter à l'espérance de $X$",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 5X - 2$. On\nsait que $E(Y) = 33$. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(Y) = 5\\,E(X) - 2$, donc\n$5\\,E(X) = 33 + 2$, puis on divise par $5$ :\n$E(X) = 7$."
        },
        {
          "text": "$6{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : diviser $33$ par $5$ suppose que\n$Y = 5X$. Il faut d'abord retirer le terme constant."
        },
        {
          "text": "$6{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté\nde l'égalité, donc il change de signe avant la division."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : retirer la constante donne\n$5\\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $5$."
        }
      ],
      "explanation": "La relation $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ se lit dans les deux\nsens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis\ndiviser par le coefficient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 5X - 2$. On\nsait que $E(Y) = 33$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(Y) = 5\\,E(X) - 2$, donc\n$5\\,E(X) = 33 + 2$, puis on divise par $5$ :\n$E(X) = 7$."
            },
            {
              "text": "$6{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : diviser $33$ par $5$ suppose que\n$Y = 5X$. Il faut d'abord retirer le terme constant."
            },
            {
              "text": "$6{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté\nde l'égalité, donc il change de signe avant la division."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer la constante donne\n$5\\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ se lit dans les deux\nsens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis\ndiviser par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 3X + 6$. On\nsait que $E(Y) = 30$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(Y) = 3\\,E(X) + 6$, donc\n$3\\,E(X) = 30 - 6$, puis on divise par $3$ :\n$E(X) = 8$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : diviser $30$ par $3$ suppose que\n$Y = 3X$. Il faut d'abord retirer le terme constant."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté\nde l'égalité, donc il change de signe avant la division."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer la constante donne\n$3\\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ se lit dans les deux\nsens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis\ndiviser par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 4X - 2$. On\nsait que $E(Y) = 34$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(Y) = 4\\,E(X) - 2$, donc\n$4\\,E(X) = 34 + 2$, puis on divise par $4$ :\n$E(X) = 9$."
            },
            {
              "text": "$8{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : diviser $34$ par $4$ suppose que\n$Y = 4X$. Il faut d'abord retirer le terme constant."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté\nde l'égalité, donc il change de signe avant la division."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer la constante donne\n$4\\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ se lit dans les deux\nsens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis\ndiviser par le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 2X + 7$. On\nsait que $E(Y) = 27$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(Y) = 2\\,E(X) + 7$, donc\n$2\\,E(X) = 27 - 7$, puis on divise par $2$ :\n$E(X) = 10$."
            },
            {
              "text": "$13{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante oubliée : diviser $27$ par $2$ suppose que\n$Y = 2X$. Il faut d'abord retirer le terme constant."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté\nde l'égalité, donc il change de signe avant la division."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : retirer la constante donne\n$2\\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "La relation $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ se lit dans les deux\nsens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis\ndiviser par le coefficient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "transformation",
        "variance"
      ],
      "title": "Variance d'une transformation affine",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 3$. Que\nvaut $V(2X + 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X)$, soit\n$2^2 \\times 3 = 12$. La constante décale les\nvaleurs sans modifier leur dispersion."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la\nvariance, car elle moyenne des écarts élevés au carré."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Règle de l'espérance appliquée à la variance : la\nformule $a\\,V(X) + 5$ vaut pour $E$, pas pour $V$."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs\nde $5$ ne change rien à leur dispersion."
        }
      ],
      "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la\nconstante disparaît. Pour l'écart-type,\n$\\sigma(aX + b) = |a|\\,\\sigma(X)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 3$. Que\nvaut $V(2X + 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X)$, soit\n$2^2 \\times 3 = 12$. La constante décale les\nvaleurs sans modifier leur dispersion."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la\nvariance, car elle moyenne des écarts élevés au carré."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Règle de l'espérance appliquée à la variance : la\nformule $a\\,V(X) + 5$ vaut pour $E$, pas pour $V$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs\nde $5$ ne change rien à leur dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la\nconstante disparaît. Pour l'écart-type,\n$\\sigma(aX + b) = |a|\\,\\sigma(X)$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 5$. Que\nvaut $V(3X - 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X)$, soit\n$3^2 \\times 5 = 45$. La constante décale les\nvaleurs sans modifier leur dispersion."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la\nvariance, car elle moyenne des écarts élevés au carré."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Règle de l'espérance appliquée à la variance : la\nformule $a\\,V(X) - 1$ vaut pour $E$, pas pour $V$."
            },
            {
              "text": "$44$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs\nde $-1$ ne change rien à leur dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la\nconstante disparaît. Pour l'écart-type,\n$\\sigma(aX + b) = |a|\\,\\sigma(X)$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 2$. Que\nvaut $V(4X + 7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X)$, soit\n$4^2 \\times 2 = 32$. La constante décale les\nvaleurs sans modifier leur dispersion."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la\nvariance, car elle moyenne des écarts élevés au carré."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Règle de l'espérance appliquée à la variance : la\nformule $a\\,V(X) + 7$ vaut pour $E$, pas pour $V$."
            },
            {
              "text": "$39$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs\nde $7$ ne change rien à leur dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la\nconstante disparaît. Pour l'écart-type,\n$\\sigma(aX + b) = |a|\\,\\sigma(X)$."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 6$. Que\nvaut $V(2X - 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X)$, soit\n$2^2 \\times 6 = 24$. La constante décale les\nvaleurs sans modifier leur dispersion."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la\nvariance, car elle moyenne des écarts élevés au carré."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Règle de l'espérance appliquée à la variance : la\nformule $a\\,V(X) - 3$ vaut pour $E$, pas pour $V$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs\nde $-3$ ne change rien à leur dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la\nconstante disparaît. Pour l'écart-type,\n$\\sigma(aX + b) = |a|\\,\\sigma(X)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gain-net",
        "jeu-equitable"
      ],
      "title": "Fixer une mise équitable",
      "partie": "applications",
      "statement": "Un jeu rapporte $50$ euros avec la probabilité $0{,}08$, et\nrien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le gain brut moyen vaut\n$50 \\times 0{,}08 = 4$ euros. Une mise de ce montant\nannule l'espérance du gain net."
        },
        {
          "text": "$50$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le\ngagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la\nprobabilité $0{,}08$."
        },
        {
          "text": "$25$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun\ncompte de la probabilité de gagner, seule donnée qui\nfixe la mise."
        },
        {
          "text": "$46$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par\nsa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer."
        }
      ],
      "explanation": "Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,\nc'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un jeu rapporte $50$ euros avec la probabilité $0{,}08$, et\nrien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le gain brut moyen vaut\n$50 \\times 0{,}08 = 4$ euros. Une mise de ce montant\nannule l'espérance du gain net."
            },
            {
              "text": "$50$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le\ngagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la\nprobabilité $0{,}08$."
            },
            {
              "text": "$25$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun\ncompte de la probabilité de gagner, seule donnée qui\nfixe la mise."
            },
            {
              "text": "$46$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par\nsa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer."
            }
          ],
          "explanation": "Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,\nc'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen."
        },
        {
          "statement": "Un jeu rapporte $30$ euros avec la probabilité $0{,}2$, et\nrien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le gain brut moyen vaut\n$30 \\times 0{,}2 = 6$ euros. Une mise de ce montant\nannule l'espérance du gain net."
            },
            {
              "text": "$30$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le\ngagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la\nprobabilité $0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$15$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun\ncompte de la probabilité de gagner, seule donnée qui\nfixe la mise."
            },
            {
              "text": "$24$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par\nsa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer."
            }
          ],
          "explanation": "Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,\nc'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen."
        },
        {
          "statement": "Un jeu rapporte $40$ euros avec la probabilité $0{,}25$, et\nrien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le gain brut moyen vaut\n$40 \\times 0{,}25 = 10$ euros. Une mise de ce montant\nannule l'espérance du gain net."
            },
            {
              "text": "$40$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le\ngagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la\nprobabilité $0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$20$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun\ncompte de la probabilité de gagner, seule donnée qui\nfixe la mise."
            },
            {
              "text": "$30$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par\nsa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer."
            }
          ],
          "explanation": "Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,\nc'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen."
        },
        {
          "statement": "Un jeu rapporte $20$ euros avec la probabilité $0{,}35$, et\nrien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le gain brut moyen vaut\n$20 \\times 0{,}35 = 7$ euros. Une mise de ce montant\nannule l'espérance du gain net."
            },
            {
              "text": "$20$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le\ngagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la\nprobabilité $0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$10$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun\ncompte de la probabilité de gagner, seule donnée qui\nfixe la mise."
            },
            {
              "text": "$13$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par\nsa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer."
            }
          ],
          "explanation": "Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,\nc'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "koenig-huygens",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver $E(X^2)$",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 3$ et\n$V(X) = 4$. Que vaut $E(X^2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire\n$E(X^2) = 4 + 3^2 = 13$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc\n$3^2$, et non $3$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction inversée : la variance se retranche à\n$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération erronée : la formule additionne la variance et\nle carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas."
        }
      ],
      "explanation": "La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se\nréarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la\nmoyenne des carrés sans revenir à la loi.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 3$ et\n$V(X) = 4$. Que vaut $E(X^2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire\n$E(X^2) = 4 + 3^2 = 13$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc\n$3^2$, et non $3$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : la variance se retranche à\n$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération erronée : la formule additionne la variance et\nle carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se\nréarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la\nmoyenne des carrés sans revenir à la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 5$ et\n$V(X) = 2$. Que vaut $E(X^2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire\n$E(X^2) = 2 + 5^2 = 27$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc\n$5^2$, et non $5$."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : la variance se retranche à\n$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération erronée : la formule additionne la variance et\nle carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se\nréarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la\nmoyenne des carrés sans revenir à la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 4$ et\n$V(X) = 9$. Que vaut $E(X^2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire\n$E(X^2) = 9 + 4^2 = 25$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc\n$4^2$, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : la variance se retranche à\n$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération erronée : la formule additionne la variance et\nle carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se\nréarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la\nmoyenne des carrés sans revenir à la loi."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 6$ et\n$V(X) = 8$. Que vaut $E(X^2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$44$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire\n$E(X^2) = 8 + 6^2 = 44$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc\n$6^2$, et non $6$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction inversée : la variance se retranche à\n$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération erronée : la formule additionne la variance et\nle carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas."
            }
          ],
          "explanation": "La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se\nréarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la\nmoyenne des carrés sans revenir à la loi."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Laquelle est la plus dispersée",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux variables aléatoires prennent chacune deux valeurs avec\nla probabilité $0{,}5$ : $X$ prend $9$ ou $11$, et $Y$ prend\n$0$ ou $20$. Laquelle a le plus grand écart-type ?",
      "options": [
        {
          "text": "$Y$, dont les valeurs sont plus éloignées de $10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux espérances valent $10$, mais les\nécarts à cette moyenne valent $1$ pour $X$ et $10$ pour\n$Y$ : l'écart-type de $Y$ est dix fois plus grand."
        },
        {
          "text": "$X$, dont les deux valeurs sont les plus resserrées",
          "correct": false,
          "feedback": "Interprétation inversée : des valeurs resserrées donnent\nun petit écart-type, donc une faible dispersion."
        },
        {
          "text": "Les deux, car elles ont la même espérance $10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une espérance commune ne dit rien de la dispersion : deux\nlois de même centre peuvent être très différentes."
        },
        {
          "text": "Impossible à savoir sans le détail des probabilités",
          "correct": false,
          "feedback": "Les probabilités sont pourtant connues : elles valent\n$0{,}5$ pour chacune des quatre valeurs annoncées."
        }
      ],
      "explanation": "L'écart-type mesure l'éloignement moyen des valeurs à\nl'espérance. À espérance égale, la loi dont les valeurs sont\nles plus écartées est la plus dispersée."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison-risque",
        "esperance"
      ],
      "title": "Choisir entre deux placements",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux placements ont le même écart-type, $40$ euros. Le\npremier a une espérance de gain de $15$ euros, le second de\n$5$ euros. Lequel choisir ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le premier, à risque égal et gain moyen supérieur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les écarts-types étant égaux, les deux\nplacements fluctuent autant. L'espérance départage, et\nelle est trois fois plus élevée pour le premier."
        },
        {
          "text": "Le second, car une espérance faible protège des pertes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le risque se lit sur l'écart-type, identique\nici. Une espérance plus faible ne protège de rien."
        },
        {
          "text": "Les deux se valent, leurs écarts-types étant égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Critère unique : l'écart-type ne décrit que la\ndispersion. Deux placements aussi dispersés se départagent\nsur leur gain moyen."
        },
        {
          "text": "Aucun des deux, leur écart-type étant trop élevé",
          "correct": false,
          "feedback": "Jugement hors sujet : la question est comparative, et un\nécart-type ne s'interprète que rapporté aux gains\nattendus."
        }
      ],
      "explanation": "Le couple espérance et écart-type résume une variable\naléatoire : le gain moyen et son incertitude. À dispersion\négale, la plus forte espérance l'emporte."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "controle"
      ],
      "title": "Contrôler un résultat d'espérance",
      "partie": "esperance",
      "statement": "Une variable aléatoire prend les valeurs $2$, $5$ et $9$. Un\nélève annonce $E(X) = 12$. Sans refaire le calcul, que peut-on\naffirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le résultat annoncé est nécessairement erroné",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est une moyenne pondérée des\nvaleurs, elle reste donc comprise entre la plus petite,\n$2$, et la plus grande, $9$. Il y a une erreur de calcul."
        },
        {
          "text": "Il faut refaire le calcul pour se prononcer",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle possible sans calcul : une moyenne pondérée ne\npeut pas sortir de l'intervalle des valeurs."
        },
        {
          "text": "Le résultat convient si une probabilité est grande",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune pondération n'y suffit : même en donnant la\nprobabilité $1$ à la valeur $9$, l'espérance vaut $9$."
        },
        {
          "text": "Le résultat convient, l'espérance étant rarement atteinte",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument détourné : l'espérance n'est en effet pas\ntoujours une valeur prise par $X$, mais elle reste\ntoujours entre les valeurs extrêmes."
        }
      ],
      "explanation": "Premier réflexe de contrôle : l'espérance appartient à\nl'intervalle formé par la plus petite et la plus grande\nvaleur de la variable. Un résultat hors de cet intervalle\nsignale une erreur."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variance-koenig-calcul",
        "konig-huygens"
      ],
      "title": "Variance d'une loi à trois valeurs",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$\navec les probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}49$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1{,}1$ et $E(X^2) = 1{,}7$,\ndonc $V(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49$."
        },
        {
          "text": "$1{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction oubliée : $1{,}7$ est la moyenne des\ncarrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : la formule retranche le carré de\nl'espérance, soit $1{,}1^2$, et non l'espérance $1{,}1$."
        },
        {
          "text": "$1{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Espérance recopiée : $1{,}1$ situe le centre de la loi,\nalors que la variance en mesure la dispersion."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : calculer $E(X) = \\sum x_i p_i$, puis\n$E(X^2) = \\sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens\n$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$\navec les probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1{,}1$ et $E(X^2) = 1{,}7$,\ndonc $V(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49$."
            },
            {
              "text": "$1{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $1{,}7$ est la moyenne des\ncarrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule retranche le carré de\nl'espérance, soit $1{,}1^2$, et non l'espérance $1{,}1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $1{,}1$ situe le centre de la loi,\nalors que la variance en mesure la dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer $E(X) = \\sum x_i p_i$, puis\n$E(X^2) = \\sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens\n$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$\navec les probabilités $0{,}6$, $0{,}2$ et $0{,}2$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 0{,}6$ et $E(X^2) = 1$,\ndonc $V(X) = 1 - 0{,}6^2 = 0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $1$ est la moyenne des\ncarrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule retranche le carré de\nl'espérance, soit $0{,}6^2$, et non l'espérance $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $0{,}6$ situe le centre de la loi,\nalors que la variance en mesure la dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer $E(X) = \\sum x_i p_i$, puis\n$E(X^2) = \\sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens\n$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$\navec les probabilités $0{,}3$, $0{,}1$ et $0{,}6$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}81$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1{,}3$ et $E(X^2) = 2{,}5$,\ndonc $V(X) = 2{,}5 - 1{,}3^2 = 0{,}81$."
            },
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $2{,}5$ est la moyenne des\ncarrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule retranche le carré de\nl'espérance, soit $1{,}3^2$, et non l'espérance $1{,}3$."
            },
            {
              "text": "$1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $1{,}3$ situe le centre de la loi,\nalors que la variance en mesure la dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer $E(X) = \\sum x_i p_i$, puis\n$E(X^2) = \\sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens\n$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$\navec les probabilités $0{,}4$, $0{,}1$ et $0{,}5$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}89$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1{,}1$ et $E(X^2) = 2{,}1$,\ndonc $V(X) = 2{,}1 - 1{,}1^2 = 0{,}89$."
            },
            {
              "text": "$2{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction oubliée : $2{,}1$ est la moyenne des\ncarrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : la formule retranche le carré de\nl'espérance, soit $1{,}1^2$, et non l'espérance $1{,}1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Espérance recopiée : $1{,}1$ situe le centre de la loi,\nalors que la variance en mesure la dispersion."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode : calculer $E(X) = \\sum x_i p_i$, puis\n$E(X^2) = \\sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens\n$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "gain-net"
      ],
      "title": "Espérance d'une tombola",
      "partie": "applications",
      "statement": "Une tombola met en vente $200$ billets à $3$ euros\npièce. Elle offre un lot de $200$ euros et $5$ lots de\n$20$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net\nd'un acheteur d'un billet ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les lots totalisent\n$200 + 5 \\times 20$ euros, répartis sur\n$200$ billets. Le lot moyen moins la mise $3$\ndonne $-1{,}5$ euros."
        },
        {
          "text": "$1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc\nl'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait\nqu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance."
        },
        {
          "text": "$-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Petits lots oubliés : les $5$ lots de $20$ euros\ncomptent autant que le gros lot dans le total distribué."
        }
      ],
      "explanation": "Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,\nl'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots\ndivisé par le nombre de billets, moins la mise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une tombola met en vente $200$ billets à $3$ euros\npièce. Elle offre un lot de $200$ euros et $5$ lots de\n$20$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net\nd'un acheteur d'un billet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les lots totalisent\n$200 + 5 \\times 20$ euros, répartis sur\n$200$ billets. Le lot moyen moins la mise $3$\ndonne $-1{,}5$ euros."
            },
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc\nl'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait\nqu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Petits lots oubliés : les $5$ lots de $20$ euros\ncomptent autant que le gros lot dans le total distribué."
            }
          ],
          "explanation": "Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,\nl'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots\ndivisé par le nombre de billets, moins la mise."
        },
        {
          "statement": "Une tombola met en vente $500$ billets à $2$ euros\npièce. Elle offre un lot de $300$ euros et $10$ lots de\n$20$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net\nd'un acheteur d'un billet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les lots totalisent\n$300 + 10 \\times 20$ euros, répartis sur\n$500$ billets. Le lot moyen moins la mise $2$\ndonne $-1$ euros."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc\nl'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait\nqu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance."
            },
            {
              "text": "$-1{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Petits lots oubliés : les $10$ lots de $20$ euros\ncomptent autant que le gros lot dans le total distribué."
            }
          ],
          "explanation": "Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,\nl'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots\ndivisé par le nombre de billets, moins la mise."
        },
        {
          "statement": "Une tombola met en vente $400$ billets à $5$ euros\npièce. Elle offre un lot de $500$ euros et $8$ lots de\n$25$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net\nd'un acheteur d'un billet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les lots totalisent\n$500 + 8 \\times 25$ euros, répartis sur\n$400$ billets. Le lot moyen moins la mise $5$\ndonne $-3{,}25$ euros."
            },
            {
              "text": "$3{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc\nl'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait\nqu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance."
            },
            {
              "text": "$-3{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Petits lots oubliés : les $8$ lots de $25$ euros\ncomptent autant que le gros lot dans le total distribué."
            }
          ],
          "explanation": "Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,\nl'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots\ndivisé par le nombre de billets, moins la mise."
        },
        {
          "statement": "Une tombola met en vente $250$ billets à $4$ euros\npièce. Elle offre un lot de $300$ euros et $5$ lots de\n$40$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net\nd'un acheteur d'un billet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les lots totalisent\n$300 + 5 \\times 40$ euros, répartis sur\n$250$ billets. Le lot moyen moins la mise $4$\ndonne $-2$ euros."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc\nl'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait\nqu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance."
            },
            {
              "text": "$-2{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Petits lots oubliés : les $5$ lots de $40$ euros\ncomptent autant que le gros lot dans le total distribué."
            }
          ],
          "explanation": "Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,\nl'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots\ndivisé par le nombre de billets, moins la mise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "loi-de-probabilite",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Loi de la somme de deux dés",
      "partie": "loi",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $X$ la\nsomme des deux résultats. Que vaut $P(X = 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $36$ couples de résultats sont\néquiprobables et $4$ d'entre eux donnent la somme\n$5$, d'où $P(X = 5) = \\dfrac{1}{9}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de $2$ à\n$12$ ne sont pas également probables, contrairement aux\nfaces d'un seul dé."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc\n$(2\\,;\\,3)$ et $(3\\,;\\,2)$ sont deux issues distinctes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul couple compté : plusieurs couples différents\nconduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer."
        }
      ],
      "explanation": "L'univers compte $6 \\times 6 = 36$ couples équiprobables. La\nloi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,\nles couples qui la réalisent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $X$ la\nsomme des deux résultats. Que vaut $P(X = 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $36$ couples de résultats sont\néquiprobables et $4$ d'entre eux donnent la somme\n$5$, d'où $P(X = 5) = \\dfrac{1}{9}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de $2$ à\n$12$ ne sont pas également probables, contrairement aux\nfaces d'un seul dé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc\n$(2\\,;\\,3)$ et $(3\\,;\\,2)$ sont deux issues distinctes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul couple compté : plusieurs couples différents\nconduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer."
            }
          ],
          "explanation": "L'univers compte $6 \\times 6 = 36$ couples équiprobables. La\nloi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,\nles couples qui la réalisent."
        },
        {
          "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $X$ la\nsomme des deux résultats. Que vaut $P(X = 6)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{36}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $36$ couples de résultats sont\néquiprobables et $5$ d'entre eux donnent la somme\n$6$, d'où $P(X = 6) = \\dfrac{5}{36}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de $2$ à\n$12$ ne sont pas également probables, contrairement aux\nfaces d'un seul dé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc\n$(2\\,;\\,3)$ et $(3\\,;\\,2)$ sont deux issues distinctes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul couple compté : plusieurs couples différents\nconduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer."
            }
          ],
          "explanation": "L'univers compte $6 \\times 6 = 36$ couples équiprobables. La\nloi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,\nles couples qui la réalisent."
        },
        {
          "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $X$ la\nsomme des deux résultats. Que vaut $P(X = 4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $36$ couples de résultats sont\néquiprobables et $3$ d'entre eux donnent la somme\n$4$, d'où $P(X = 4) = \\dfrac{1}{12}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de $2$ à\n$12$ ne sont pas également probables, contrairement aux\nfaces d'un seul dé."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{18}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc\n$(2\\,;\\,3)$ et $(3\\,;\\,2)$ sont deux issues distinctes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul couple compté : plusieurs couples différents\nconduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer."
            }
          ],
          "explanation": "L'univers compte $6 \\times 6 = 36$ couples équiprobables. La\nloi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,\nles couples qui la réalisent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "applications",
        "esperance",
        "decision"
      ],
      "title": "Choisir entre deux jeux par l'espérance",
      "partie": "applications",
      "statement": "Le gain du jeu A a pour espérance $2$ € et celui du jeu B\n$1{,}5$ €, pour une même mise. Lequel choisir pour gagner le plus en\nmoyenne sur un grand nombre de parties ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le jeu A, dont l'espérance de gain est la plus grande",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain moyen\npar partie se rapproche de l'espérance ; $2 > 1{,}5$.\n"
        },
        {
          "text": "Le jeu B, l'espérance la plus petite étant la moins risquée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'espérance mesure le gain moyen, pas le risque ; une\nespérance plus petite rapporte moins.\n"
        },
        {
          "text": "Les deux, les gains étant imprévisibles à chaque partie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque partie est imprévisible, mais la moyenne sur\nde nombreuses parties ne l'est pas.\n"
        },
        {
          "text": "Aucun, les deux espérances étant positives",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux espérances positives signifient deux jeux\nfavorables ; le plus favorable reste A.\n"
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance d'un gain est le gain moyen par partie à long terme :\nelle sert à comparer des jeux."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "applications",
        "esperance",
        "loi"
      ],
      "title": "Espérance d'un dé truqué",
      "partie": "applications",
      "statement": "Un dé truqué donne $6$ avec la probabilité $0{,}5$, et chacune des\nfaces $1$ à $5$ avec la même probabilité. Quelle est l'espérance\ndu nombre obtenu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les faces $1$ à $5$ ont chacune la probabilité\n$\\dfrac{1 - 0{,}5}{5}$, de somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ;\nl'espérance vaut $15 \\times \\dfrac{1 - 0{,}5}{5} + 6 \\times\n0{,}5 = 4{,}5$.\n"
        },
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un dé **équilibré** ; le\ntrucage augmente la valeur moyenne.\n"
        },
        {
          "text": "$5{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités des faces $1$ à $5$ ont été mal\nréparties ; leur somme doit valoir $1 - 0{,}5$.\n"
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est la moyenne des faces $1$ à $5$, sans tenir\ncompte de la face $6$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur est pondérée par sa\nprobabilité, le trucage déplace la moyenne.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un dé truqué donne $6$ avec la probabilité $0{,}5$, et chacune des\nfaces $1$ à $5$ avec la même probabilité. Quelle est l'espérance\ndu nombre obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les faces $1$ à $5$ ont chacune la probabilité\n$\\dfrac{1 - 0{,}5}{5}$, de somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ;\nl'espérance vaut $15 \\times \\dfrac{1 - 0{,}5}{5} + 6 \\times\n0{,}5 = 4{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un dé **équilibré** ; le\ntrucage augmente la valeur moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$5{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des faces $1$ à $5$ ont été mal\nréparties ; leur somme doit valoir $1 - 0{,}5$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la moyenne des faces $1$ à $5$, sans tenir\ncompte de la face $6$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur est pondérée par sa\nprobabilité, le trucage déplace la moyenne."
        },
        {
          "statement": "Un dé truqué donne $6$ avec la probabilité $0{,}3$, et chacune des\nfaces $1$ à $5$ avec la même probabilité. Quelle est l'espérance\ndu nombre obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les faces $1$ à $5$ ont chacune la probabilité\n$\\dfrac{1 - 0{,}3}{5}$, de somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ;\nl'espérance vaut $15 \\times \\dfrac{1 - 0{,}3}{5} + 6 \\times\n0{,}3 = 3{,}9$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un dé **équilibré** ; le\ntrucage augmente la valeur moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des faces $1$ à $5$ ont été mal\nréparties ; leur somme doit valoir $1 - 0{,}3$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la moyenne des faces $1$ à $5$, sans tenir\ncompte de la face $6$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur est pondérée par sa\nprobabilité, le trucage déplace la moyenne."
        },
        {
          "statement": "Un dé truqué donne $6$ avec la probabilité $0{,}2$, et chacune des\nfaces $1$ à $5$ avec la même probabilité. Quelle est l'espérance\ndu nombre obtenu ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les faces $1$ à $5$ ont chacune la probabilité\n$\\dfrac{1 - 0{,}2}{5}$, de somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ;\nl'espérance vaut $15 \\times \\dfrac{1 - 0{,}2}{5} + 6 \\times\n0{,}2 = 3{,}6$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un dé **équilibré** ; le\ntrucage augmente la valeur moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des faces $1$ à $5$ ont été mal\nréparties ; leur somme doit valoir $1 - 0{,}2$.\n"
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la moyenne des faces $1$ à $5$, sans tenir\ncompte de la face $6$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur est pondérée par sa\nprobabilité, le trucage déplace la moyenne."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "applications",
        "esperance",
        "grand-nombre"
      ],
      "title": "Gain moyen sur de nombreuses parties",
      "partie": "applications",
      "statement": "Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $-0{,}5$ €. Quel\ngain total peut-on attendre sur $100$ parties ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $-50$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 \\times (-0{,}5) = -50$ € ; l'espérance se\ncumule partie après partie.\n"
        },
        {
          "text": "Environ $-0{,}5$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-0{,}5$ € est le gain moyen d'**une** partie.\n"
        },
        {
          "text": "Environ $50$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne\nune perte, une positive un gain.\n"
        },
        {
          "text": "$0$ €, les gains et pertes se compensant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si\nl'espérance est nulle.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \\times E(X)$ :\nc'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $-0{,}5$ €. Quel\ngain total peut-on attendre sur $100$ parties ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $-50$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100 \\times (-0{,}5) = -50$ € ; l'espérance se\ncumule partie après partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $-0{,}5$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-0{,}5$ € est le gain moyen d'**une** partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $50$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne\nune perte, une positive un gain.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, les gains et pertes se compensant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si\nl'espérance est nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \\times E(X)$ :\nc'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie."
        },
        {
          "statement": "Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $-0{,}2$ €. Quel\ngain total peut-on attendre sur $200$ parties ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $-40$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $200 \\times (-0{,}2) = -40$ € ; l'espérance se\ncumule partie après partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $-0{,}2$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-0{,}2$ € est le gain moyen d'**une** partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $40$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne\nune perte, une positive un gain.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, les gains et pertes se compensant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si\nl'espérance est nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \\times E(X)$ :\nc'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie."
        },
        {
          "statement": "Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $0{,}4$ €. Quel\ngain total peut-on attendre sur $50$ parties ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $20$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $50 \\times (0{,}4) = 20$ € ; l'espérance se\ncumule partie après partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $0{,}4$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4$ € est le gain moyen d'**une** partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $-20$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne\nune perte, une positive un gain.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, les gains et pertes se compensant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si\nl'espérance est nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \\times E(X)$ :\nc'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie."
        },
        {
          "statement": "Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $-0{,}3$ €. Quel\ngain total peut-on attendre sur $300$ parties ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $-90$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $300 \\times (-0{,}3) = -90$ € ; l'espérance se\ncumule partie après partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $-0{,}3$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-0{,}3$ € est le gain moyen d'**une** partie.\n"
            },
            {
              "text": "Environ $90$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne\nune perte, une positive un gain.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, les gains et pertes se compensant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si\nl'espérance est nulle.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \\times E(X)$ :\nc'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "applications",
        "esperance",
        "assurance"
      ],
      "title": "Fixer le prix d'une assurance",
      "partie": "applications",
      "statement": "Un assureur rembourse $1000$ € en cas de vol, qui survient avec la\nprobabilité $0{,}02$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un\ncontrat pour l'assureur, hors frais ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$ €, l'espérance du remboursement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E = 1000 \\times 0{,}02 + 0 \\times (1 - 0{,}02) =\n20$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur\ngagne en moyenne.\n"
        },
        {
          "text": "$1000$ €, le remboursement maximal",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité\n$0{,}02$ ; en moyenne il coûte bien moins.\n"
        },
        {
          "text": "$2$ €, soit $0{,}02$ fois $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le montant $1000$ qu'il faut multiplier par\n$0{,}02$, pas $100$.\n"
        },
        {
          "text": "$0$ €, le vol étant peu probable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux\ncontrats, les vols coûtent en moyenne $20$ € chacun.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par\nprobabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un assureur rembourse $1000$ € en cas de vol, qui survient avec la\nprobabilité $0{,}02$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un\ncontrat pour l'assureur, hors frais ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$ €, l'espérance du remboursement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E = 1000 \\times 0{,}02 + 0 \\times (1 - 0{,}02) =\n20$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur\ngagne en moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$1000$ €, le remboursement maximal",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité\n$0{,}02$ ; en moyenne il coûte bien moins.\n"
            },
            {
              "text": "$2$ €, soit $0{,}02$ fois $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le montant $1000$ qu'il faut multiplier par\n$0{,}02$, pas $100$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, le vol étant peu probable",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux\ncontrats, les vols coûtent en moyenne $20$ € chacun.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par\nprobabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus."
        },
        {
          "statement": "Un assureur rembourse $5000$ € en cas de vol, qui survient avec la\nprobabilité $0{,}01$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un\ncontrat pour l'assureur, hors frais ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$ €, l'espérance du remboursement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E = 5000 \\times 0{,}01 + 0 \\times (1 - 0{,}01) =\n50$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur\ngagne en moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$5000$ €, le remboursement maximal",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité\n$0{,}01$ ; en moyenne il coûte bien moins.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ €, soit $0{,}01$ fois $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le montant $5000$ qu'il faut multiplier par\n$0{,}01$, pas $100$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, le vol étant peu probable",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux\ncontrats, les vols coûtent en moyenne $50$ € chacun.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par\nprobabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus."
        },
        {
          "statement": "Un assureur rembourse $800$ € en cas de vol, qui survient avec la\nprobabilité $0{,}05$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un\ncontrat pour l'assureur, hors frais ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ €, l'espérance du remboursement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E = 800 \\times 0{,}05 + 0 \\times (1 - 0{,}05) =\n40$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur\ngagne en moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$800$ €, le remboursement maximal",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité\n$0{,}05$ ; en moyenne il coûte bien moins.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ €, soit $0{,}05$ fois $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le montant $800$ qu'il faut multiplier par\n$0{,}05$, pas $100$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, le vol étant peu probable",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux\ncontrats, les vols coûtent en moyenne $40$ € chacun.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par\nprobabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus."
        },
        {
          "statement": "Un assureur rembourse $2000$ € en cas de vol, qui survient avec la\nprobabilité $0{,}03$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un\ncontrat pour l'assureur, hors frais ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ €, l'espérance du remboursement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E = 2000 \\times 0{,}03 + 0 \\times (1 - 0{,}03) =\n60$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur\ngagne en moyenne.\n"
            },
            {
              "text": "$2000$ €, le remboursement maximal",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité\n$0{,}03$ ; en moyenne il coûte bien moins.\n"
            },
            {
              "text": "$3$ €, soit $0{,}03$ fois $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le montant $2000$ qu'il faut multiplier par\n$0{,}03$, pas $100$.\n"
            },
            {
              "text": "$0$ €, le vol étant peu probable",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux\ncontrats, les vols coûtent en moyenne $60$ € chacun.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par\nprobabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "applications",
        "esperance",
        "variance",
        "risque"
      ],
      "title": "Comparer deux jeux équitables par la variance",
      "partie": "applications",
      "statement": "Deux jeux ont une espérance de gain nulle. Le jeu A fait gagner\nou perdre $1$ € avec la même probabilité ; le jeu B fait gagner\nou perdre $100$ € avec la même probabilité. Que distingue ces deux\njeux ?",
      "options": [
        {
          "text": "Leur variance, celle de B étant bien plus grande",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(A) = 1$ et $V(B) = 10\\,000$ ; la variance\nmesure la dispersion des gains, donc le risque, que l'espérance\nne voit pas.\n"
        },
        {
          "text": "Rien, deux jeux de même espérance étant équivalents",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'espérance ne résume pas tout ; l'ampleur des gains\net des pertes diffère énormément.\n"
        },
        {
          "text": "Leur espérance, celle de B étant plus grande",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux espérances sont nulles, par hypothèse.\n"
        },
        {
          "text": "Leur équité, le jeu B n'étant pas équitable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un jeu est équitable quand son espérance est nulle ;\nles deux le sont.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance et des\nvariances très différentes : l'espérance dit le gain moyen, la\nvariance le risque."
    }
  ]
}