{
  "chapter": {
    "id": "variations-courbes",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Variations et courbes représentatives",
    "description": "Lien entre signe de la dérivée et sens de variation, fonctions\nconstantes, extremums et tangente horizontale, fonctions paires\net impaires (traduction géométrique), position relative de deux\ncourbes, optimisation, étude du second degré par la dérivation.",
    "parties": [
      {
        "id": "derivee-variations",
        "title": "Dérivée et sens de variation"
      },
      {
        "id": "extremums",
        "title": "Extremums et optimisation"
      },
      {
        "id": "courbes",
        "title": "Courbes, parité et positions relatives"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe-derivee",
        "variations"
      ],
      "title": "Du signe de la dérivée aux variations",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$\npour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est strictement croissante sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une pente partout positive fait monter la\ncourbe : c'est le théorème central du chapitre."
        },
        {
          "text": "$f$ est positive sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion signe/variations : $f' > 0$ parle de la\n**pente**, pas de la hauteur. Une fonction peut monter en\nrestant négative."
        },
        {
          "text": "$f$ est décroissante sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : la décroissance correspond à $f' < 0$\n(pente négative, la courbe descend)."
        },
        {
          "text": "$f$ est constante sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : constante correspond à $f' = 0$ sur tout\nl'intervalle. Ici la dérivée est strictement positive."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème : $f' > 0$ sur $I$ $\\Rightarrow$ $f$ strictement\ncroissante ; $f' < 0$ $\\Rightarrow$ décroissante ; $f' = 0$\npartout $\\Rightarrow$ constante. Toute l'étude de fonctions\nrepose dessus."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "etude",
        "tableau-variations"
      ],
      "title": "Étudier les variations par la dérivée",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =\n3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-1)(x+1)$ est négatif entre\nses racines $-1$ et $1$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend."
        },
        {
          "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**."
        },
        {
          "text": "Sur $[1\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance."
        },
        {
          "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-3x$\ncreuse une descente entre $-1$ et $1$ (calcule\n$f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-1\\,;\\,1[$ : $f$ décroît sur $[-1\\,;\\,1]$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =\n3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-1)(x+1)$ est négatif entre\nses racines $-1$ et $1$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend."
            },
            {
              "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**."
            },
            {
              "text": "Sur $[1\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-3x$\ncreuse une descente entre $-1$ et $1$ (calcule\n$f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$)."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-1\\,;\\,1[$ : $f$ décroît sur $[-1\\,;\\,1]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 12x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 12 =\n3(x-2)(x+2)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "Sur $[-2\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-2)(x+2)$ est négatif entre\nses racines $-2$ et $2$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend."
            },
            {
              "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x < -2$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**."
            },
            {
              "text": "Sur $[2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : au-delà de $2$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-12x$\ncreuse une descente entre $-2$ et $2$ (calcule\n$f(-2) = 16$ et $f(2) = -16$)."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-2\\,;\\,2[$ : $f$ décroît sur $[-2\\,;\\,2]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 27x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 27 =\n3(x-3)(x+3)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "Sur $[-3\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-3)(x+3)$ est négatif entre\nses racines $-3$ et $3$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend."
            },
            {
              "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x < -3$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**."
            },
            {
              "text": "Sur $[3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : au-delà de $3$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-27x$\ncreuse une descente entre $-3$ et $3$ (calcule\n$f(-3) = 54$ et $f(3) = -54$)."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-3\\,;\\,3[$ : $f$ décroît sur $[-3\\,;\\,3]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 48x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 48 =\n3(x-4)(x+4)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "Sur $[-4\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-4)(x+4)$ est négatif entre\nses racines $-4$ et $4$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend."
            },
            {
              "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x < -4$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**."
            },
            {
              "text": "Sur $[4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : au-delà de $4$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-48x$\ncreuse une descente entre $-4$ et $4$ (calcule\n$f(-4) = 128$ et $f(4) = -128$)."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-4\\,;\\,4[$ : $f$ décroît sur $[-4\\,;\\,4]$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "tangente-horizontale"
      ],
      "title": "Tangentes horizontales",
      "partie": "courbes",
      "statement": "La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles\nabscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n  \\draw[dashed,red] (-1.8,2) -- (-0.2,2);\n  \\draw[dashed,red] (0.2,-2) -- (1.8,-2);\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum\nlocal (-1 ; 2) et minimum local (1 ; -2), où deux segments\nhorizontaux rouges en pointillés matérialisent les tangentes\nhorizontales.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.804pt\" height=\"211.707pt\" viewBox=\"0 0 131.804 211.707\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.546875 C 4.03125 -3.28125 3.96875 -3.015625 3.90625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.828125 -0.109375 1.71875 -0.546875 1.71875 -0.921875 C 1.71875 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.28125 2.421875 -3.390625 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.40625 1.609375 -4.40625 C 0.65625 -4.40625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.953125 C 0.84375 -3.875 1.234375 -4.1875 1.578125 -4.1875 C 1.65625 -4.1875 1.828125 -4.1875 1.828125 -3.859375 C 1.828125 -3.609375 1.71875 -3.359375 1.65625 -3.171875 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.296875 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.171875 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2.015625 1.828125 1.546875 1.828125 C 1.40625 1.828125 0.96875 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1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 3 9 L 116 9 L 116 211.402344 L 3 211.402344 Z M 3 9 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -53.573507 -79.369499 L 53.573872 -79.369499 M -53.573507 -59.527537 L 53.573872 -59.527537 M -53.573507 -39.685575 L 53.573872 -39.685575 M -53.573507 -19.843613 L 53.573872 -19.843613 M -53.573507 -0.00165019 L 53.573872 -0.00165019 M -53.573507 19.844224 L 53.573872 19.844224 M -53.573507 39.686186 L 53.573872 39.686186 M -53.573507 59.528149 L 53.573872 59.528149 M -53.573507 79.370111 L 53.573872 79.370111 M -39.685699 -93.26122 L -39.685699 93.261832 M -19.843736 -93.26122 L -19.843736 93.261832 M -0.00177396 -93.26122 L -0.00177396 93.261832 M 19.8441 -93.26122 L 19.8441 93.261832 M 39.686063 -93.26122 L 39.686063 93.261832 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -57.544247 -0.00165019 L 57.145581 -0.00165019 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072675 2.39253 C -1.693205 0.956804 -0.848201 0.280018 0.000716203 -0.00165019 C -0.848201 -0.279406 -1.693205 -0.956193 -2.072675 -2.391918 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 116.905535, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"120.617635\" y=\"119.929568\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177396 -97.228048 L -0.00177396 96.82963 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073987 2.392042 C -1.694517 0.956316 -0.849512 0.27953 -0.000595414 0.00177396 C -0.849512 -0.279894 -1.694517 -0.95668 -2.073987 -2.392406 \" transform=\"matrix(0, -0.998515, -0.998515, 0, 59.646303, 15.245499)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"50.897313\" y=\"9.599635\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.140972\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"21.298328\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.954508\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"41.110866\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"77.158261\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"96.971797\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"75.3908\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"35.764726\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -44.646189 -92.083691 C -44.646189 -92.083691 -43.550813 -79.103479 -43.132222 -74.409009 C -42.713632 -69.714538 -42.040758 -62.528086 -41.618256 -58.24047 C -41.199665 -53.956765 -40.526791 -47.415803 -40.104289 -43.527217 C -39.685699 -39.63863 -39.012824 -33.719685 -38.594234 -30.210568 C -38.171732 -26.701452 -37.498858 -21.384964 -37.080267 -18.24358 C -36.661677 -15.102197 -35.984891 -10.35687 -35.566301 -7.567572 C -35.14771 -4.778274 -34.474836 -0.584547 -34.052334 1.868314 C -33.633744 4.321175 -32.960869 7.982862 -32.538367 10.111022 C -32.119777 12.243094 -31.446903 15.400125 -31.028312 17.223145 C -30.60581 19.046164 -29.932936 21.7181 -29.514346 23.247715 C -29.091843 24.77733 -28.418969 26.995468 -28.000379 28.247327 C -27.581789 29.499185 -26.905002 31.279172 -26.486412 32.265011 C -26.067822 33.254762 -25.394948 34.623982 -24.972445 35.363361 C -24.553855 36.098829 -23.880981 37.084667 -23.458479 37.585411 C -23.039888 38.090066 -22.367014 38.708172 -21.948424 38.993752 C -21.525922 39.27542 -20.853047 39.553176 -20.434457 39.631418 C -20.011955 39.709659 -19.339081 39.670538 -18.92049 39.561001 C -18.5019 39.447551 -17.825114 39.115026 -17.406524 38.825534 C -16.987933 38.536041 -16.315059 37.933584 -15.892557 37.483697 C -15.473967 37.033811 -14.801092 36.184894 -14.382502 35.590261 C -13.96 34.991716 -13.287126 33.919812 -12.868535 33.192169 C -12.446033 32.464526 -11.773159 31.189195 -11.354569 30.34419 C -10.935978 29.499185 -10.259192 28.047812 -9.840602 27.101093 C -9.422012 26.154375 -8.749137 24.550431 -8.326635 23.517647 C -7.908045 22.480952 -7.235171 20.74791 -6.812668 19.640797 C -6.394078 18.529772 -5.721204 16.691105 -5.302614 15.525311 C -4.880111 14.355606 -4.207237 12.438697 -3.788647 11.225959 C -3.366145 10.01322 -2.69327 8.033719 -2.27468 6.793596 C -1.85609 5.553473 -1.179304 3.538763 -0.760713 2.282992 C -0.342123 1.027221 0.330751 -0.999225 0.753253 -2.254996 C 1.171844 -3.510767 1.844718 -5.525477 2.26722 -6.7656 C 2.68581 -8.005723 3.358685 -9.989136 3.777275 -11.197963 C 4.199777 -12.410701 4.872651 -14.331522 5.291242 -15.501227 C 5.713744 -16.667021 6.386618 -18.505688 6.805208 -19.616713 C 7.223799 -20.723826 7.896673 -22.456868 8.319175 -23.493563 C 8.737765 -24.530259 9.41064 -26.134203 9.833142 -27.080921 C 10.251732 -28.031552 10.924606 -29.482925 11.343197 -30.32793 C 11.765699 -31.172935 12.438573 -32.448266 12.857163 -33.175909 C 13.279666 -33.903552 13.95254 -34.979368 14.37113 -35.574001 C 14.78972 -36.172546 15.466507 -37.025375 15.885097 -37.475262 C 16.303687 -37.925148 16.976561 -38.531517 17.399064 -38.82101 C 17.817654 -39.10659 18.490528 -39.443027 18.91303 -39.556477 C 19.331621 -39.669927 20.004495 -39.712959 20.423085 -39.634718 C 20.845587 -39.556477 21.518462 -39.282633 21.937052 -38.997052 C 22.359554 -38.715384 23.032428 -38.101191 23.451019 -37.596535 C 23.869609 -37.095792 24.546395 -36.113865 24.964985 -35.378398 C 25.383576 -34.642931 26.05645 -33.27371 26.478952 -32.287872 C 26.897542 -31.302033 27.570417 -29.522046 27.989007 -28.274099 C 28.411509 -27.02224 29.084383 -24.811927 29.502974 -23.282312 C 29.925476 -21.752697 30.59835 -19.080761 31.01694 -17.261654 C 31.435531 -15.438634 32.112317 -12.285515 32.530907 -10.157355 C 32.949497 -8.029195 33.622372 -4.37142 34.044874 -1.918559 C 34.463464 0.53039 35.136338 4.720205 35.558841 7.505591 C 35.977431 10.294889 36.650305 15.036304 37.068895 18.173775 C 37.491398 21.315158 38.164272 26.627734 38.582862 30.132939 C 39.005364 33.642056 39.678239 39.557089 40.096829 43.441763 C 40.515419 47.330349 41.192205 53.8674 41.610796 58.147192 C 42.029386 62.430896 42.70226 69.613436 43.124762 74.307907 C 43.543353 78.998466 44.638729 91.970853 44.638729 91.970853 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -35.714959 39.686186 L -3.968602 39.686186 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 3.968966 -39.685575 L 35.715323 -39.685575 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"103.375275\" y=\"42.753334\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"108.233051\" y=\"43.813757\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "En $x = -1$ et $x = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au sommet local et au creux local, la\ntangente est horizontale (pointillés rouges) : la pente\n$f'$ s'y annule."
        },
        {
          "text": "En $x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $0$ la courbe **traverse** l'axe en\ndescendant : la tangente y est inclinée\n($f'(0) = -3$), pas horizontale."
        },
        {
          "text": "En $x = -\\sqrt{3}$ et $x = \\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\pm\\sqrt{3}$ sont les points où **$f$**\ns'annule (la courbe coupe l'axe des abscisses), pas où\n$f'$ s'annule."
        },
        {
          "text": "Nulle part",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux extremums locaux, bien visibles,\nimposent des tangentes horizontales : $f'(-1) = f'(1) =\n0$."
        }
      ],
      "explanation": "En un extremum local d'une fonction dérivable, la tangente est\nhorizontale : $f'(a) = 0$. Ne pas confondre les zéros de $f$\n(courbe coupe l'axe) et les zéros de $f'$ (tangentes\nhorizontales)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parite",
        "definition"
      ],
      "title": "Fonction paire",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Que signifie « $f$ est paire » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(-x) = f(x)$ pour tout $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux antécédents opposés ont la même\nimage, et la courbe est symétrique par rapport à l'axe\ndes ordonnées, elle se reflète dans l'axe vertical\n(exemple : $x^2$)."
        },
        {
          "text": "$f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ceci définit une fonction **impaire**, dont la\ncourbe est symétrique par rapport à l'origine (exemple :\n$x^3$)."
        },
        {
          "text": "$f(x) \\geq 0$ pour tout $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité n'a rien à voir avec le signe. La\nfonction $x^2 - 5$ est paire et prend des valeurs\nnégatives."
        },
        {
          "text": "$f$ ne prend que des valeurs entières paires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « paire » qualifie ici la **symétrie** de la\nfonction, pas la parité arithmétique de ses valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "$f$ paire : $f(-x) = f(x)$, courbe symétrique par rapport à\nl'axe des ordonnées. $f$ impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie\npar rapport à l'origine. Vérifier au passage que le domaine\nest symétrique."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parite",
        "calcul"
      ],
      "title": "Montrer qu'une fonction est impaire",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en\nconclut-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$ et $-3(-x) = +3x$ : on\nobtient l'opposé de $f(x)$. Courbe symétrique par rapport\nà l'origine."
        },
        {
          "text": "$f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $(-x)^3 = -x^3$ (le cube conserve le\nsigne). Les deux termes changent de signe : $f(-x) =\n-f(x)$."
        },
        {
          "text": "$f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni\nimpaire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur le second terme : $-3 \\times (-x) =\n+3x$. Au total $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : impaire."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul algébrique de $f(-x)$ tranche sans\nfigure : c'est même la méthode la plus sûre."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ et $-f(x)$.\nIci $f(-x) = -f(x)$ : impaire (symétrie par rapport à\nl'origine, visible sur la courbe de $x^3 - 3x$)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extremum",
        "tangente-horizontale"
      ],
      "title": "Extremum et nombre dérivé",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ admettant un maximum\nlocal en $x = a$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au sommet, la courbe cesse de monter avant\nde descendre : la pente s'annule (résultat au programme)."
        },
        {
          "text": "$f'(a) > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une pente strictement positive signifierait que\nla courbe continue de monter : $a$ ne serait pas un\nsommet."
        },
        {
          "text": "$f(a) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la **dérivée** qui s'annule au sommet,\npas la fonction. La valeur $f(a)$ est le maximum, quelconque."
        },
        {
          "text": "Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la réciproque est fausse : $f(x) = x^3$ vérifie\n$f'(0) = 0$ sans extremum en $0$ (la courbe traverse sa\ntangente)."
        }
      ],
      "explanation": "En un extremum local d'une fonction dérivable : $f'(a) = 0$\n(condition **nécessaire**). Mais $f'(a) = 0$ ne suffit pas :\nil faut que $f'$ change de signe en $a$ (contre-exemple\n$x^3$)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "signe-derivee"
      ],
      "title": "Construire les variations",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,2]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $2$, le trinôme\n$x(2-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte."
        },
        {
          "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$."
        },
        {
          "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 1 > 0$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(2-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,2[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,2]$, décroissante\navant et après.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,2]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $2$, le trinôme\n$x(2-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 1 > 0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(2-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,2[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,2]$, décroissante\navant et après."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(3 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $3$, le trinôme\n$x(3-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 2 > 0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(3-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,3[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,3]$, décroissante\navant et après."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(4 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $4$, le trinôme\n$x(4-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 3 > 0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(4-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,4[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,4]$, décroissante\navant et après."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(6 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,6]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,6]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $6$, le trinôme\n$x(6-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$."
            },
            {
              "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 5 > 0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(6-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,6[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,6]$, décroissante\navant et après."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "position-relative"
      ],
      "title": "Position relative de deux courbes",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position\nrelative de leurs courbes sur $[0\\,;\\,1]$, on calcule\n$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\\mathcal{C}_g$ sur\n$[0\\,;\\,1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $]0\\,;\\,1[$, $x > 0$ et $x - 1 < 0$ :\nla différence $f - g$ est négative, donc $f(x) < g(x)$ :\nla parabole passe sous la droite."
        },
        {
          "text": "$\\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\\mathcal{C}_g$ sur\n$[0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : teste $x = 0{,}5$ : $f = 0{,}25 <\ng = 0{,}5$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est\nplus petit que ce nombre."
        },
        {
          "text": "Les courbes ne se coupent jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f - g$ s'annule en $0$ et en $1$ : les courbes\nse coupent en ces deux points (extrémités de\nl'intervalle)."
        },
        {
          "text": "On doit comparer $f'$ et $g'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : les dérivées comparent les\n**pentes**, pas les hauteurs. La position relative se lit\nsur le signe de la **différence** $f - g$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode systématique : étudier le signe de $f - g$.\nNégatif : $\\mathcal{C}_f$ en dessous ; positif : au-dessus ;\nannulation : point d'intersection. Ici : parabole sous la\ndroite sur $[0\\,;\\,1]$ (démonstration au programme, position\nde $y = x$ et $y = x^2$)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation",
        "second-degre"
      ],
      "title": "Optimiser avec la dérivée",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$."
        },
        {
          "text": "Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$3$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)."
        },
        {
          "text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 3$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(3) =\n-8$."
        },
        {
          "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum."
        }
      ],
      "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 6$\ns'annule en $x = 3 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(3) = -8$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$."
            },
            {
              "text": "Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$3$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)."
            },
            {
              "text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 3$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(3) =\n-8$."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum."
            }
          ],
          "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 6$\ns'annule en $x = 3 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(3) = -8$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 4x + 7$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 4$ s'annule en $x = 2$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$."
            },
            {
              "text": "Un maximum égal à $3$, atteint en $x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$2$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)."
            },
            {
              "text": "Un minimum égal à $2$, atteint en $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 2$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(2) =\n3$."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum."
            }
          ],
          "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 4$\ns'annule en $x = 2 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(2) = 3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 8x + 3$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un minimum égal à $-13$, atteint en $x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 8$ s'annule en $x = 4$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(4) = 16 - 32 + 3 = -13$."
            },
            {
              "text": "Un maximum égal à $-13$, atteint en $x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$4$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)."
            },
            {
              "text": "Un minimum égal à $4$, atteint en $x = -13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 4$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(4) =\n-13$."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum."
            }
          ],
          "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 8$\ns'annule en $x = 4 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(4) = -13$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 10x + 2$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un minimum égal à $-23$, atteint en $x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 10$ s'annule en $x = 5$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(5) = 25 - 50 + 2 = -23$."
            },
            {
              "text": "Un maximum égal à $-23$, atteint en $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$5$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)."
            },
            {
              "text": "Un minimum égal à $5$, atteint en $x = -23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 5$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(5) =\n-23$."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum."
            }
          ],
          "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 10$\ns'annule en $x = 5 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(5) = -23$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fonction-constante"
      ],
      "title": "Caractérisation des fonctions constantes",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$\npour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est constante sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pente nulle partout : la courbe est un\nsegment horizontal, la fonction ne varie pas."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la **dérivée** qui est nulle, pas la\nfonction. $f(x) = 7$ convient parfaitement : constante non\nnulle."
        },
        {
          "text": "$f$ n'a pas de tangente",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe a partout une tangente… horizontale\n(confondue avec elle-même)."
        },
        {
          "text": "$f$ est affine de pente quelconque",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ ; la\nnullité de la dérivée force $m = 0$ : constante."
        }
      ],
      "explanation": "Caractérisation (au programme) : $f' = 0$ sur un intervalle\n$\\Leftrightarrow$ $f$ constante sur cet intervalle. C'est la\nréciproque « dérivée nulle » du théorème des variations."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalite",
        "methode"
      ],
      "title": "Établir une inégalité par une étude de fonction",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Pour démontrer que $x^2 \\geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,\nquelle démarche est la plus directe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Étudier le signe de $x^2 - (2x - 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$, un carré,\ndonc positif pour tout $x$ : l'inégalité est établie\n(avec égalité en $x = 1$, point de tangence)."
        },
        {
          "text": "Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : trois vérifications ne prouvent rien pour\n**tous** les réels. Il faut un argument général (signe de\nla différence)."
        },
        {
          "text": "Comparer les dérivées : $2x$ et $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : comparer les pentes ne compare pas les\nvaleurs. C'est le signe de la **différence** des fonctions\nqui conclut."
        },
        {
          "text": "Diviser les deux membres par $x$ pour simplifier",
          "correct": false,
          "feedback": "Dangereux : le signe de $x$ est inconnu (division par $0$\nou renversement d'inégalité). La différence, elle,\nfonctionne sans condition."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode reine pour les inégalités : tout passer d'un côté et\nétudier le **signe de la différence** (ici un carré ; en\ngénéral, par tableau de variations). Capacité attendue du\nprogramme."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "second-degre",
        "coherence"
      ],
      "title": "Le sommet retrouvé par la dérivée",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \\neq 0$. En quelle\nabscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "En $x = -\\dfrac{b}{2a}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2ax + b = 0 \\Leftrightarrow x =\n-\\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du sommet de la\nparabole, la dérivation redémontre la position de\nl'extremum vue en début d'année."
        },
        {
          "text": "En $x = -\\dfrac{b}{a}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2ax + b = 0$ donne $x = -\\dfrac{b}{2a}$ : le\nfacteur $2$ de la dérivée ne disparaît pas."
        },
        {
          "text": "En $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : ces valeurs sont les **racines de $f$**\n(là où la parabole coupe l'axe), pas le zéro de $f'$\n(le sommet)."
        },
        {
          "text": "Elle ne s'annule jamais si $\\Delta < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\Delta$ gouverne les racines de $f$, pas celles\nde $f'$. La dérivée $2ax + b$, affine, s'annule toujours\nexactement une fois."
        }
      ],
      "explanation": "Boucle de cohérence du programme : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule\nen $-\\frac{b}{2a}$, avec changement de signe : extremum au\nsommet de la parabole (minimum si $a > 0$, maximum si\n$a < 0$). La dérivation retrouve et démontre la forme\ncanonique."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "croissance-comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux images sans calcul",
      "partie": "extremums",
      "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(2)$ et $f(5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(2) < f(5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $2 < 5 \\Rightarrow f(2) <\nf(5)$, quelle que soit la formule de $f$."
        },
        {
          "text": "$f(2) > f(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
        },
        {
          "text": "$f(2) = f(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($2 \\neq 5$)."
        },
        {
          "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul."
        }
      ],
      "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(2)$ et $f(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(2) < f(5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $2 < 5 \\Rightarrow f(2) <\nf(5)$, quelle que soit la formule de $f$."
            },
            {
              "text": "$f(2) > f(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
            },
            {
              "text": "$f(2) = f(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($2 \\neq 5$)."
            },
            {
              "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul."
            }
          ],
          "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale."
        },
        {
          "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(-3)$ et $f(1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(-3) < f(1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $-3 < 1 \\Rightarrow f(-3) <\nf(1)$, quelle que soit la formule de $f$."
            },
            {
              "text": "$f(-3) > f(1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
            },
            {
              "text": "$f(-3) = f(1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($-3 \\neq 1$)."
            },
            {
              "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul."
            }
          ],
          "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale."
        },
        {
          "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(4)$ et $f(9)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(4) < f(9)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $4 < 9 \\Rightarrow f(4) <\nf(9)$, quelle que soit la formule de $f$."
            },
            {
              "text": "$f(4) > f(9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
            },
            {
              "text": "$f(4) = f(9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($4 \\neq 9$)."
            },
            {
              "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul."
            }
          ],
          "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale."
        },
        {
          "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(-6)$ et $f(-2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(-6) < f(-2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $-6 < -2 \\Rightarrow f(-6) <\nf(-2)$, quelle que soit la formule de $f$."
            },
            {
              "text": "$f(-6) > f(-2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
            },
            {
              "text": "$f(-6) = f(-2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($-6 \\neq -2$)."
            },
            {
              "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul."
            }
          ],
          "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-solutions"
      ],
      "title": "Compter les solutions sur un tableau",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de\n$-2$ à $4$ sur $]-\\infty\\ ;\\ 1]$, puis décroissante de $4$\nvers $0$ sur $[1\\ ;\\ +\\infty[$. Combien de solutions a\nl'équation $f(x) = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux : une avant le sommet, une après",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le niveau $3$ est franchi une fois en\nmontant (de $-2$ à $4$) et recroisé une fois en\ndescendant (de $4$ vers $0$, en restant au-dessus de\n$3$ un temps) : deux solutions."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Redescente oubliée : après le maximum $4$, la fonction\nrepasse par $3$ en descendant vers $0$ : deuxième\nsolution."
        },
        {
          "text": "Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : le tableau liste les valeurs\n**extrêmes** ; toutes les valeurs intermédiaires sont\natteintes ($3$ est entre $-2$ et $4$, et entre $0$ et\n$4$)."
        },
        {
          "text": "Trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop : chaque flèche (monotone) croise le niveau $3$ au\nplus une fois : deux flèches, deux solutions maximum."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un tableau de variations, compter les solutions de\n$f(x) = k$ : une par flèche dont l'intervalle des valeurs\ncontient $k$ (strictement entre les bornes). L'esquisse\nmentale de la courbe (montée, sommet, descente) sécurise le\ndécompte."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-croisee"
      ],
      "title": "De la courbe de $f'$ aux variations de $f$",
      "partie": "courbes",
      "statement": "La courbe de la **dérivée** $f'$ est au-dessus de l'axe des\nabscisses sur $]-\\infty\\ ;\\ 1[$ et en dessous après. Que\nfait $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f' > 0$ : $f$ monte ; $f' < 0$ : $f$\ndescend ; le basculement en $1$ dessine un sommet."
        },
        {
          "text": "$f$ est positive avant $1$, négative après",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion signe de $f'$ / signe de $f$ : la courbe\ndonnée est celle de $f'$ : son **signe** pilote les\n**variations** de $f$, pas ses valeurs."
        },
        {
          "text": "$f$ décroît puis croît : minimum en $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $f'$ positive d'abord signifie que $f$ monte d'abord : le\nscénario est un sommet, pas un creux.\n"
        },
        {
          "text": "$f'$ admet un maximum en $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre les deux courbes : $f'$ ne culmine pas en $1$, elle y passe de\npositive à négative. C'est $f$ qui admet un maximum en $1$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Traduction systématique : position de la courbe de $f'$ par\nrapport à l'axe → signe de $f'$ → variations de $f$.\nL'erreur type est de lire la courbe de $f'$ comme si\nc'était $f$ : toujours vérifier QUELLE courbe est donnée."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extremum-intervalle"
      ],
      "title": "Minimum sur un intervalle fermé",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =\n3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$, atteint en $x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $-1$, position\n$x = 3$."
        },
        {
          "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $-1$."
        },
        {
          "text": "$2$, la dernière valeur du tableau",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la valeur **finale** ($f(4)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $-1$ avant de\nremonter."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversion classique : $3$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(3) = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $-1$) et sa **position** (atteint en $x = 3$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =\n3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$, atteint en $x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $-1$, position\n$x = 3$."
            },
            {
              "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $-1$."
            },
            {
              "text": "$2$, la dernière valeur du tableau",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la valeur **finale** ($f(4)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $-1$ avant de\nremonter."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inversion classique : $3$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(3) = -1$."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $-1$) et sa **position** (atteint en $x = 3$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 5]$, $f$ décroît de $7$ à $-2$ (atteint en $x =\n2$) puis croît de $-2$ à $4$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$, atteint en $x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $-2$, position\n$x = 2$."
            },
            {
              "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $-2$."
            },
            {
              "text": "$4$, la dernière valeur du tableau",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est la valeur **finale** ($f(5)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $-2$ avant de\nremonter."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inversion classique : $2$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(2) = -2$."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $-2$) et sa **position** (atteint en $x = 2$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 3]$, $f$ décroît de $3$ à $-4$ (atteint en $x =\n1$) puis croît de $-4$ à $6$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$, atteint en $x = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $-4$, position\n$x = 1$."
            },
            {
              "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $-4$."
            },
            {
              "text": "$6$, la dernière valeur du tableau",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est la valeur **finale** ($f(3)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $-4$ avant de\nremonter."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inversion classique : $1$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(1) = -4$."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $-4$) et sa **position** (atteint en $x = 1$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 6]$, $f$ décroît de $4$ à $1$ (atteint en $x =\n5$) puis croît de $1$ à $3$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 6]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$, atteint en $x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $1$, position\n$x = 5$."
            },
            {
              "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $1$."
            },
            {
              "text": "$3$, la dernière valeur du tableau",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la valeur **finale** ($f(6)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $1$ avant de\nremonter."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Inversion classique : $5$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(5) = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $1$) et sa **position** (atteint en $x = 5$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parite-economie"
      ],
      "title": "La parité comme économie d'étude",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier\nsur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à\nl'axe des ordonnées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 =\nf(x)$ : chaque information sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ se\nreflète sur l'autre moitié."
        },
        {
          "text": "$f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "Test raté : $f(-x) = +f(x)$ (les exposants sont\n**pairs**) : c'est la parité, pas l'imparité ($f(-x) =\n-f(x)$)."
        },
        {
          "text": "$f$ n'est pas définie pour $x < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un polynôme est défini sur tout $\\mathbb{R}$ :\nla restriction est un choix d'**économie**, pas une\ncontrainte de domaine."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas : il faut toujours étudier sur\n$\\mathbb{R}$ entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : exploiter une symétrie est une méthode\nofficielle (et attendue) : moitié d'étude, symétrie,\nconclusion complète."
        }
      ],
      "explanation": "Parité : $f(-x) = f(x)$ (exposants pairs) : symétrie d'axe\n$(Oy)$ ; imparité : $f(-x) = -f(x)$ : symétrie de centre\n$O$. Détecter la symétrie AVANT l'étude divise le travail\npar deux."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "position-droite"
      ],
      "title": "Courbe et droite $y = x$",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =\nx$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un\nintervalle, que peut-on dire ?",
      "options": [
        {
          "text": "La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet\nintervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $g > 0 \\iff f(x) > x$ : les points de la\ncourbe dominent ceux de la droite aux mêmes abscisses."
        },
        {
          "text": "La courbe est en dessous de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : dessous correspondrait à $f(x) < x$,\nc'est-à-dire $g < 0$."
        },
        {
          "text": "$f$ est croissante sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : le signe de $g = f - x$ compare des\n**positions**, pas des variations (qui relèveraient de\n$f'$)."
        },
        {
          "text": "La courbe coupe la droite sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Contraire : couper exigerait $g(x) = 0$ quelque part ;\n$g > 0$ strictement signifie qu'il n'y a aucun contact."
        }
      ],
      "explanation": "La position relative de deux courbes se lit sur le signe de la **différence** : $f - g > 0$ : au-dessus ; $< 0$ : en\ndessous ; $= 0$ : intersection. La méthode vaut pour toute\npaire de courbes, la droite $y = x$ n'étant qu'un cas\nfréquent (suites, points fixes)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "variations"
      ],
      "title": "Variations d'un polynôme de degré 3",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ndécroissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2 - 3$ est négative entre ses racines\n$-1$ et $1$."
        },
        {
          "text": "Sur $[-\\sqrt{3}\\,;\\,\\sqrt{3}]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racines de $f$ confondues avec celles de $f'$ : ce sont les valeurs où\nla courbe coupe l'axe, pas où elle change de sens."
        },
        {
          "text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Au-delà de $1$, la dérivée redevient positive : $f'(2) = 9$."
        },
        {
          "text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée est positive à l'extérieur de $[-1\\,;\\,1]$, donc la\nfonction y croît."
        }
      ],
      "explanation": "Pour étudier les variations, on dérive, on cherche les racines de la\ndérivée, puis on dresse son tableau de signes. Les racines de $f$ elles-\nmêmes n'y jouent aucun rôle."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "extremum",
        "condition"
      ],
      "title": "Dérivée nulle sans extremum",
      "partie": "extremums",
      "statement": "La dérivée de $f(x) = x^3$ s'annule en $0$.\nLa fonction y admet-elle un extremum ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle reste croissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$ est positive de part et d'autre de $0$,\nla dérivée ne change pas de signe."
        },
        {
          "text": "Oui, un minimum",
          "correct": false,
          "feedback": "Un minimum exigerait des valeurs plus grandes de part et d'autre : or\n$f(-1) = -1$ est inférieur à $f(0) = 0$."
        },
        {
          "text": "Oui, un maximum",
          "correct": false,
          "feedback": "Même objection dans l'autre sens : $f(1) = 1$ dépasse $f(0) = 0$."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement à gauche de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un extremum se constate sur un voisinage complet du point, des deux\ncôtés à la fois."
        }
      ],
      "explanation": "Une dérivée nulle est nécessaire pour un extremum, mais elle ne suffit\npas : il faut que la dérivée change de signe. En $0$, la courbe du cube a une tangente\nhorizontale, mais la fonction croît de part et d'autre de $0$."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parite",
        "courbe"
      ],
      "title": "Reconnaître une fonction impaire",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Quelle relation caractérise une fonction impaire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(-x) = -f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les images de deux nombres opposés sont opposées, d'où\nla symétrie par rapport à l'origine."
        },
        {
          "text": "$f(-x) = f(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la définition d'une fonction paire, dont la courbe est\nsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées."
        },
        {
          "text": "$f(x) = -x$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est une fonction particulière, impaire certes, mais la définition\ndoit valoir pour toute fonction."
        },
        {
          "text": "$f(0) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité est une conséquence, pas la définition : la fonction\ncarré la vérifie sans être impaire."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ et sa courbe est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées. Une fonction impaire vérifie\n$f(-x) = -f(x)$ et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "position-relative",
        "signe"
      ],
      "title": "Comparer deux courbes",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Comment déterminer la position de la courbe de $f$ par rapport à\ncelle de $g$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En étudiant le signe de $f - g$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe de $f$ est au-dessus là où la différence est\npositive."
        },
        {
          "text": "En comparant $f'$ et $g'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les dérivées comparent les pentes, pas les hauteurs : deux courbes\nparallèles ont la même dérivée sans se confondre."
        },
        {
          "text": "En cherchant les racines de $f$ et de $g$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les racines donnent les intersections avec l'axe des abscisses, pas\nles intersections entre les deux courbes."
        },
        {
          "text": "En comparant leurs ordonnées à l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette comparaison ne vaut qu'en un point : au-delà, l'ordre peut\ns'inverser."
        }
      ],
      "explanation": "Étudier la position relative de deux courbes revient à étudier le signe de\nla différence des deux fonctions. Ses racines donnent les abscisses des\npoints d'intersection."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "lecture"
      ],
      "title": "Du tableau au nombre de solutions",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[0\\,;\\,9]$ indique qu'elle croît\nde $-4$ à $6$ sur $[0\\,;\\,5]$, puis décroît de $6$ à $1$ sur $[5\\,;\\,9]$. D'après ce tableau,\ncombien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la valeur $3$ est atteinte une fois dans la phase\ncroissante et une fois dans la phase décroissante."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux phases encadrent chacune la valeur $3$, il y a donc une\nsolution dans chacune."
        },
        {
          "text": "Trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tableau ne comporte que deux phases de variation, donc au plus deux\nsolutions."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $3$ est comprise entre $-4$ et $6$, donc elle est bien\natteinte."
        }
      ],
      "explanation": "Sur chaque intervalle où la fonction est monotone, l'équation $f(x) = k$ a\nau plus une solution, et exactement une si $k$ est encadré par les valeurs\nextrêmes de l'intervalle."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "constante"
      ],
      "title": "Une dérivée nulle partout",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle.\nQue peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est constante sur cet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sans variation, la fonction garde la même valeur sur\ntout l'intervalle."
        },
        {
          "text": "Elle est nulle sur cet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction constante égale à $7$ a une dérivée nulle sans être nulle\nelle-même."
        },
        {
          "text": "Elle admet un extremum en chaque point",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans variation, aucun point ne se distingue : parler d'extremum n'a\npas d'intérêt."
        },
        {
          "text": "Elle change de sens de variation",
          "correct": false,
          "feedback": "Un changement de sens supposerait une dérivée qui change de signe, or\nelle reste nulle."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un intervalle, une dérivée nulle caractérise les fonctions constantes.\nL'hypothèse d'intervalle est indispensable : sur une réunion d'intervalles,\nles constantes peuvent différer."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation",
        "derivee"
      ],
      "title": "Une boîte de volume maximal",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Le volume d'une boîte est donné par $V(x) = x(10 - 2x)^2$ pour\n$x \\in \\,]0\\,;\\,5[$. Quelle étape mène au maximum ?",
      "options": [
        {
          "text": "Résoudre $V'(x) = 0$ puis étudier son signe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le maximum d'une fonction dérivable à l'intérieur d'un\nintervalle annule sa dérivée."
        },
        {
          "text": "Résoudre $V(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette équation donne les valeurs où le volume est nul, donc les cas les\nplus défavorables."
        },
        {
          "text": "Prendre la valeur médiane de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien n'assure que le maximum se trouve au milieu : ici il vaut\n$x = \\dfrac{5}{3}$."
        },
        {
          "text": "Comparer $V(0)$ et $V(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces deux bornes sont exclues et donnent toutes deux un volume nul."
        }
      ],
      "explanation": "Un problème d'optimisation se traite en trois temps : exprimer la grandeur\nà optimiser, dériver, puis dresser le tableau de signes de la dérivée pour\nlocaliser l'extremum."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "La courbe de $f'$ passe sous l'axe",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Sur un intervalle, la courbe de $f'$ est entièrement située sous\nl'axe des abscisses. Que fait $f$ sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une dérivée négative signifie des tangentes qui\ndescendent, donc une fonction décroissante."
        },
        {
          "text": "Elle est négative",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le signe de $f'$ qui est négatif ; $f$ peut très bien rester\npositive tout en diminuant."
        },
        {
          "text": "Elle croît de plus en plus lentement",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce comportement correspondrait à une dérivée positive qui diminue,\ndonc située au-dessus de l'axe."
        },
        {
          "text": "Elle change de sens de variation",
          "correct": false,
          "feedback": "Un changement de sens exigerait que $f'$ traverse l'axe, ce que\nl'énoncé exclut."
        }
      ],
      "explanation": "Lire la courbe de $f'$ demande de s'intéresser à son signe, non à sa\nposition ou à ses variations. Le signe de $f'$ donne le sens de variation\nde $f$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extremum",
        "intervalle-ferme"
      ],
      "title": "Un extremum atteint en une borne",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Une fonction est strictement croissante sur $[1\\,;\\,7]$.\nOù atteint-elle son maximum ?",
      "options": [
        {
          "text": "En $x = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande\nvaleur est prise à l'extrémité droite."
        },
        {
          "text": "En $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente\nensuite."
        },
        {
          "text": "En un point où $f'$ s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout\nl'intervalle."
        },
        {
          "text": "Nulle part, le maximum n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien\nses valeurs extrêmes."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans\nque la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que\nl'intérieur de l'intervalle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une fonction est strictement croissante sur $[1\\,;\\,7]$.\nOù atteint-elle son maximum ?",
          "options": [
            {
              "text": "En $x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande\nvaleur est prise à l'extrémité droite."
            },
            {
              "text": "En $x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente\nensuite."
            },
            {
              "text": "En un point où $f'$ s'annule",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout\nl'intervalle."
            },
            {
              "text": "Nulle part, le maximum n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien\nses valeurs extrêmes."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans\nque la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que\nl'intérieur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est strictement croissante sur $[-2\\,;\\,5]$.\nOù atteint-elle son maximum ?",
          "options": [
            {
              "text": "En $x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande\nvaleur est prise à l'extrémité droite."
            },
            {
              "text": "En $x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente\nensuite."
            },
            {
              "text": "En un point où $f'$ s'annule",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout\nl'intervalle."
            },
            {
              "text": "Nulle part, le maximum n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien\nses valeurs extrêmes."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans\nque la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que\nl'intérieur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est strictement croissante sur $[0\\,;\\,9]$.\nOù atteint-elle son maximum ?",
          "options": [
            {
              "text": "En $x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande\nvaleur est prise à l'extrémité droite."
            },
            {
              "text": "En $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente\nensuite."
            },
            {
              "text": "En un point où $f'$ s'annule",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout\nl'intervalle."
            },
            {
              "text": "Nulle part, le maximum n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien\nses valeurs extrêmes."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans\nque la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que\nl'intérieur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Une fonction est strictement croissante sur $[3\\,;\\,8]$.\nOù atteint-elle son maximum ?",
          "options": [
            {
              "text": "En $x = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande\nvaleur est prise à l'extrémité droite."
            },
            {
              "text": "En $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente\nensuite."
            },
            {
              "text": "En un point où $f'$ s'annule",
              "correct": false,
              "feedback": "La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout\nl'intervalle."
            },
            {
              "text": "Nulle part, le maximum n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien\nses valeurs extrêmes."
            }
          ],
          "explanation": "Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans\nque la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que\nl'intérieur de l'intervalle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalite",
        "etude-de-fonction"
      ],
      "title": "Démontrer une inégalité",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Pour prouver que $x^3 \\geq x$ pour tout $x \\geq 1$, quelle démarche\nconvient ?",
      "options": [
        {
          "text": "Étudier la fonction $x \\mapsto x^3 - x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on montre que cette différence est positive sur\nl'intervalle, en étudiant ses variations."
        },
        {
          "text": "Vérifier l'inégalité pour $x = 1$ et $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux exemples ne démontrent rien : une inégalité doit être établie pour\ntoutes les valeurs."
        },
        {
          "text": "Diviser les deux membres par $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'opération est licite ici puisque $x$ est positif, mais elle ramène à\n$x^2 \\geq 1$, qu'il reste à justifier."
        },
        {
          "text": "Comparer les dérivées des deux membres",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparer les dérivées compare les pentes ; il faut encore un point de\ndépart pour conclure sur les valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "Démontrer une inégalité entre deux expressions revient à étudier le signe\nde leur différence. On dérive cette différence, on dresse son tableau de\nvariations et l'on conclut avec sa valeur en une borne."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parite",
        "ensemble-definition"
      ],
      "title": "Une condition préalable à la parité",
      "partie": "courbes",
      "statement": "Avant d'étudier la parité d'une fonction, que faut-il vérifier ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que son ensemble de définition est symétrique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $x$ appartient à l'ensemble, $-x$ doit y appartenir\naussi, sinon $f(-x)$ n'a pas de sens."
        },
        {
          "text": "Que la fonction est dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "La parité ne fait intervenir aucune dérivée : la valeur absolue est\npaire sans être dérivable en $0$."
        },
        {
          "text": "Que la fonction s'annule en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est une conséquence pour les fonctions impaires définies en $0$, pas\nune condition préalable."
        },
        {
          "text": "Que la fonction est positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'intervient pas : la fonction cube est impaire et prend des\nvaleurs des deux signes."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction ne peut être paire ou impaire que si son ensemble de\ndéfinition est symétrique par rapport à $0$. La fonction racine carrée, par\nexemple, n'est ni l'une ni l'autre."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "construction"
      ],
      "title": "Ce que porte un tableau de variations",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Quelles informations figurent dans un tableau de variations complet ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le signe de $f'$ et les images aux bornes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la ligne du signe de la dérivée justifie les flèches,\net les valeurs aux bornes situent la courbe."
        },
        {
          "text": "Le signe de $f$ et ses racines",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces informations relèvent d'un tableau de signes, qui répond à une\nautre question."
        },
        {
          "text": "Les tangentes en chaque point",
          "correct": false,
          "feedback": "Un tableau ne peut pas porter une information point par point : il\nrésume par intervalles."
        },
        {
          "text": "Les coordonnées de tous les points de la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "La courbe comporte une infinité de points ; le tableau n'en retient\nque les valeurs remarquables."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableau de variations comporte les valeurs remarquables de $x$, le\nsigne de $f'$ sur chaque intervalle, et les images aux bornes reliées par\ndes flèches."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "courbe"
      ],
      "title": "La courbe d'une fonction paire",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Dans un repère orthogonal, quelle particularité présente la courbe\nd'une fonction paire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les points d'abscisses $x$ et $-x$ ont la même\nordonnée, donc ils se correspondent par la symétrie d'axe $(Oy)$."
        },
        {
          "text": "Elle est symétrique par rapport à l'axe des abscisses du repère",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible pour une courbe de fonction : un antécédent aurait alors\ndeux images opposées. La symétrie cherchée est celle d'axe $(Oy)$."
        },
        {
          "text": "Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la traduction de l'imparité, qui correspond à\n$f(-x) = -f(x)$. Ici les images sont égales, pas opposées."
        },
        {
          "text": "Elle est symétrique par rapport à la droite $y = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette symétrie échange les abscisses et les ordonnées : elle ne\ntraduit pas la parité, qui compare $f(-x)$ et $f(x)$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ sur un ensemble de définition\nsymétrique. Géométriquement, sa courbe est invariante par la symétrie\nd'axe $(Oy)$, ce qui permet de n'étudier que les abscisses positives."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "construction",
        "parite-economie"
      ],
      "title": "Compléter la courbe d'une fonction impaire",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "La courbe d'une fonction impaire a été tracée sur $[0\\,;\\,5]$. Comment\nobtient-on sa partie correspondant à $[-5\\,;\\,0]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par symétrie par rapport à l'origine du repère",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le point de coordonnées $(x\\,;\\,f(x))$ a pour\nsymétrique $(-x\\,;\\,-f(x))$, qui appartient aussi à la courbe."
        },
        {
          "text": "Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette construction convient aux fonctions paires. Pour une fonction\nimpaire, les images changent aussi de signe."
        },
        {
          "text": "Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Seules les ordonnées seraient changées en leur opposé : les\nabscisses doivent l'être également."
        },
        {
          "text": "Par une translation horizontale de la partie déjà tracée",
          "correct": false,
          "feedback": "Une translation ne fait pas apparaître d'abscisses négatives à\npartir de $[0\\,;\\,5]$, et l'imparité est une symétrie."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction impaire, $f(-x) = -f(x)$ : la courbe est invariante par\nla symétrie de centre l'origine. L'étude sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ suffit\ndonc, le reste s'obtenant par construction."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "extremum-intervalle",
        "intervalle-ferme"
      ],
      "title": "Où chercher le maximum sur un intervalle fermé",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle fermé $[a\\,;\\,b]$. Pour\ndéterminer son maximum, quelles valeurs faut-il comparer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les images des bornes et celles où $f'$ s'annule",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le maximum est atteint soit à une borne, soit en un\npoint où la dérivée change de signe, donc s'annule."
        },
        {
          "text": "Les images des seuls points où $f'$ s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes oubliées : une fonction croissante sur $[a\\,;\\,b]$ atteint son\nmaximum en $b$ sans que $f'$ s'annule."
        },
        {
          "text": "Les valeurs prises par $f'$ aux bornes de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée renseigne sur les variations, pas sur la hauteur : le\nmaximum se lit sur les images, c'est-à-dire sur $f$."
        },
        {
          "text": "Les images de toutes les valeurs entières de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Le maximum n'a aucune raison d'être atteint en un entier. Seules les\nbornes et les valeurs qui annulent $f'$ sont à comparer."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un intervalle fermé, une fonction dérivable atteint son maximum en\nune borne ou en un point où $f'$ s'annule. Il suffit donc de calculer ces\nquelques images et de retenir la plus grande."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "constante",
        "fonction-constante"
      ],
      "title": "Deux fonctions de même dérivée",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Deux fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle $I$ et\nvérifient $f'(x) = g'(x)$ pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "La différence $f - g$ est constante sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(f - g)' = f' - g' = 0$ sur $I$, donc $f - g$ est\nconstante."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $f$ et $g$ sont égales sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion trop forte : $x^2$ et $x^2 + 7$ ont la même dérivée sans\nêtre égales. Seul l'écart entre elles est fixe."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $f$ et $g$ sont constantes sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la dérivée de $f - g$ qui est nulle, pas celles de $f$ et de\n$g$ : rien n'empêche ces deux fonctions de varier."
        },
        {
          "text": "La somme $f + g$ est constante sur l'intervalle $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée de $f + g$ vaut $2f'$, qui n'est pas nulle en général.\nC'est la différence qui se simplifie."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante. Appliqué\nà $f - g$, ce résultat signifie que deux fonctions de même dérivée\ndiffèrent d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre\npar une translation verticale."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe",
        "calcul"
      ],
      "title": "Du signe d'une dérivée affine aux variations",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f$ une fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$ dont la dérivée est\n$f'(x) = 2x - 6$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'$ s'annule en $3$ et, comme $2$ est positif,\nla dérivée est positive après cette valeur."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : avec $2$ positif, $f'$ est négative avant $3$,\ndonc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite."
        },
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $2x - 6 = 0$ donne\n$x = 3$, et non $-3$."
        },
        {
          "text": "$[-6\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : après avoir isolé $2x$, il reste à diviser par\n$2$, ce qui donne $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui\nl'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la\ndérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$ dont la dérivée est\n$f'(x) = 2x - 6$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'$ s'annule en $3$ et, comme $2$ est positif,\nla dérivée est positive après cette valeur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : avec $2$ positif, $f'$ est négative avant $3$,\ndonc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite."
            },
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $2x - 6 = 0$ donne\n$x = 3$, et non $-3$."
            },
            {
              "text": "$[-6\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir isolé $2x$, il reste à diviser par\n$2$, ce qui donne $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui\nl'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la\ndérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$ dont la dérivée est\n$f'(x) = 3x + 12$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'$ s'annule en $-4$ et, comme $3$ est positif,\nla dérivée est positive après cette valeur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : avec $3$ positif, $f'$ est négative avant $-4$,\ndonc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite."
            },
            {
              "text": "$[4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $3x + 12 = 0$ donne\n$x = -4$, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$[12\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir isolé $3x$, il reste à diviser par\n$3$, ce qui donne $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui\nl'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la\ndérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$ dont la dérivée est\n$f'(x) = 4x - 8$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'$ s'annule en $2$ et, comme $4$ est positif,\nla dérivée est positive après cette valeur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : avec $4$ positif, $f'$ est négative avant $2$,\ndonc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $4x - 8 = 0$ donne\n$x = 2$, et non $-2$."
            },
            {
              "text": "$[-8\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir isolé $4x$, il reste à diviser par\n$4$, ce qui donne $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui\nl'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la\ndérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$ dont la dérivée est\n$f'(x) = 2x + 12$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-6\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'$ s'annule en $-6$ et, comme $2$ est positif,\nla dérivée est positive après cette valeur."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : avec $2$ positif, $f'$ est négative avant $-6$,\ndonc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite."
            },
            {
              "text": "$[6\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $2x + 12 = 0$ donne\n$x = -6$, et non $6$."
            },
            {
              "text": "$[12\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir isolé $2x$, il reste à diviser par\n$2$, ce qui donne $-6$."
            }
          ],
          "explanation": "Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui\nl'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la\ndérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "croissance-comparaison",
        "inegalite"
      ],
      "title": "Remonter des images aux antécédents",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Soit $f$ une fonction strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. On sait\nque $f(a) < f(b)$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a < b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si l'on avait $a \\geq b$, la croissance donnerait\n$f(a) \\geq f(b)$, ce qui contredit l'énoncé."
        },
        {
          "text": "$a > b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre renversé : une fonction croissante range les images dans le\nmême ordre que les antécédents, et non dans l'ordre contraire."
        },
        {
          "text": "$a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux antécédents égaux donneraient deux images égales, alors que\nl'énoncé fournit une inégalité stricte."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "La stricte croissance suffit : elle se lit aussi bien des\nantécédents vers les images que des images vers les antécédents."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction strictement croissante conserve l'ordre dans les deux sens :\n$a < b$ équivaut à $f(a) < f(b)$. Cette équivalence sert à comparer des\nantécédents à partir de leurs images, sans calculer."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition",
        "lecture-croisee"
      ],
      "title": "Deux changements de signe de la dérivée",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "La dérivée $f'$ est positive avant $-2$, négative entre $-2$ et\n$3$, puis positive après $3$. Que présente la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un maximum local en $-2$ et un minimum local en $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $-2$, ce qui donne\nun maximum, et l'inverse autour de $3$."
        },
        {
          "text": "Un minimum local en $-2$ et un maximum local en $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au\nnégatif, ce qui se produit en $-2$."
        },
        {
          "text": "Deux maximums locaux, en $-2$ et en $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $3$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend\npuis remonte, c'est donc un minimum."
        },
        {
          "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une\ndérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas."
        }
      ],
      "explanation": "Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du\npositif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un\nminimum. Sur $[-2\\,;\\,3]$, intervalle de longueur $5$, la\nfonction descend du premier au second.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La dérivée $f'$ est positive avant $-2$, négative entre $-2$ et\n$3$, puis positive après $3$. Que présente la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un maximum local en $-2$ et un minimum local en $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $-2$, ce qui donne\nun maximum, et l'inverse autour de $3$."
            },
            {
              "text": "Un minimum local en $-2$ et un maximum local en $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au\nnégatif, ce qui se produit en $-2$."
            },
            {
              "text": "Deux maximums locaux, en $-2$ et en $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "En $3$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend\npuis remonte, c'est donc un minimum."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une\ndérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du\npositif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un\nminimum. Sur $[-2\\,;\\,3]$, intervalle de longueur $5$, la\nfonction descend du premier au second."
        },
        {
          "statement": "La dérivée $f'$ est positive avant $1$, négative entre $1$ et\n$4$, puis positive après $4$. Que présente la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un maximum local en $1$ et un minimum local en $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $1$, ce qui donne\nun maximum, et l'inverse autour de $4$."
            },
            {
              "text": "Un minimum local en $1$ et un maximum local en $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au\nnégatif, ce qui se produit en $1$."
            },
            {
              "text": "Deux maximums locaux, en $1$ et en $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "En $4$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend\npuis remonte, c'est donc un minimum."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une\ndérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du\npositif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un\nminimum. Sur $[1\\,;\\,4]$, intervalle de longueur $3$, la\nfonction descend du premier au second."
        },
        {
          "statement": "La dérivée $f'$ est positive avant $-5$, négative entre $-5$ et\n$-1$, puis positive après $-1$. Que présente la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un maximum local en $-5$ et un minimum local en $-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $-5$, ce qui donne\nun maximum, et l'inverse autour de $-1$."
            },
            {
              "text": "Un minimum local en $-5$ et un maximum local en $-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au\nnégatif, ce qui se produit en $-5$."
            },
            {
              "text": "Deux maximums locaux, en $-5$ et en $-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "En $-1$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend\npuis remonte, c'est donc un minimum."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une\ndérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du\npositif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un\nminimum. Sur $[-5\\,;\\,-1]$, intervalle de longueur $4$, la\nfonction descend du premier au second."
        },
        {
          "statement": "La dérivée $f'$ est positive avant $-2$, négative entre $-2$ et\n$4$, puis positive après $4$. Que présente la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Un maximum local en $-2$ et un minimum local en $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $-2$, ce qui donne\nun maximum, et l'inverse autour de $4$."
            },
            {
              "text": "Un minimum local en $-2$ et un maximum local en $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au\nnégatif, ce qui se produit en $-2$."
            },
            {
              "text": "Deux maximums locaux, en $-2$ et en $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "En $4$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend\npuis remonte, c'est donc un minimum."
            },
            {
              "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une\ndérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du\npositif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un\nminimum. Sur $[-2\\,;\\,4]$, intervalle de longueur $6$, la\nfonction descend du premier au second."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "position-droite",
        "position-relative"
      ],
      "title": "Une différence égale à un carré",
      "partie": "courbes",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation\n$y = 2x + 1$. On obtient $f(x) - (2x + 1) = (x - 3)^2$.\nQuelle est la position de $\\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en\n$x = 3$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $7$."
        },
        {
          "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal interprété : $f(x) - (2x + 1)$ est positif, donc $f$\ndomine la droite, et non l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré s'annule en $x = 3$ : en ce point la différence est nulle,\ndonc la courbe et la droite se touchent."
        },
        {
          "text": "$\\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées",
          "correct": false,
          "feedback": "L'expression $(x - 3)^2$ n'a qu'une racine, $3$ : il n'y a qu'un\nseul point de contact, et la différence n'y change pas de signe."
        }
      ],
      "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des\nfonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de\nla droite et la touche là où ce carré s'annule.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation\n$y = 2x + 1$. On obtient $f(x) - (2x + 1) = (x - 3)^2$.\nQuelle est la position de $\\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en\n$x = 3$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $7$."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal interprété : $f(x) - (2x + 1)$ est positif, donc $f$\ndomine la droite, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré s'annule en $x = 3$ : en ce point la différence est nulle,\ndonc la courbe et la droite se touchent."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression $(x - 3)^2$ n'a qu'une racine, $3$ : il n'y a qu'un\nseul point de contact, et la différence n'y change pas de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des\nfonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de\nla droite et la touche là où ce carré s'annule."
        },
        {
          "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation\n$y = 4x - 3$. On obtient $f(x) - (4x - 3) = (x - 2)^2$.\nQuelle est la position de $\\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en\n$x = 2$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $5$."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal interprété : $f(x) - (4x - 3)$ est positif, donc $f$\ndomine la droite, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré s'annule en $x = 2$ : en ce point la différence est nulle,\ndonc la courbe et la droite se touchent."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression $(x - 2)^2$ n'a qu'une racine, $2$ : il n'y a qu'un\nseul point de contact, et la différence n'y change pas de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des\nfonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de\nla droite et la touche là où ce carré s'annule."
        },
        {
          "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation\n$y = 3x + 5$. On obtient $f(x) - (3x + 5) = (x - 1)^2$.\nQuelle est la position de $\\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en\n$x = 1$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $8$."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal interprété : $f(x) - (3x + 5)$ est positif, donc $f$\ndomine la droite, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré s'annule en $x = 1$ : en ce point la différence est nulle,\ndonc la courbe et la droite se touchent."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression $(x - 1)^2$ n'a qu'une racine, $1$ : il n'y a qu'un\nseul point de contact, et la différence n'y change pas de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des\nfonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de\nla droite et la touche là où ce carré s'annule."
        },
        {
          "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation\n$y = 2x + 1$. On obtient $f(x) - (2x + 1) = (x - 4)^2$.\nQuelle est la position de $\\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en\n$x = 4$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $9$."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal interprété : $f(x) - (2x + 1)$ est positif, donc $f$\ndomine la droite, et non l'inverse."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré s'annule en $x = 4$ : en ce point la différence est nulle,\ndonc la courbe et la droite se touchent."
            },
            {
              "text": "$\\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression $(x - 4)^2$ n'a qu'une racine, $4$ : il n'y a qu'un\nseul point de contact, et la différence n'y change pas de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des\nfonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de\nla droite et la touche là où ce carré s'annule."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coherence",
        "calcul"
      ],
      "title": "Un résultat qui contredit les variations",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Un élève affirme que $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,5]$, mais il a\nobtenu $f'(2) = -3$. Que faut-il en penser ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'affirmation et le calcul se contredisent",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un intervalle de croissance, $f'$ reste positive\nou nulle, alors que $-3$ est strictement négatif."
        },
        {
          "text": "Tout est cohérent : $f'(2)$ peut être négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Non : $2$ appartient à $[0\\,;\\,5]$, où la croissance impose\n$f'(2) \\geq 0$. Une valeur négative est impossible."
        },
        {
          "text": "Le calcul prouve que $f$ décroît sur $[0\\,;\\,5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre dérivé négatif en un seul point ne renseigne que sur le\nvoisinage de $2$, pas sur l'intervalle entier."
        },
        {
          "text": "Le signe de $f'$ ne dit rien des variations de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Au contraire, c'est le théorème du chapitre : le signe de la dérivée\ndétermine le sens de variation sur un intervalle."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe de la dérivée et le sens de variation se contrôlent l'un\nl'autre. Une pente de $-3$ signifie que la courbe descend en $2$ :\nil faut reprendre soit le calcul de $f'$, soit l'étude de son signe. Une\nvaleur $3$ aurait été compatible avec la croissance annoncée."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "methode",
        "etude"
      ],
      "title": "L'ordre des étapes d'une étude",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Pour dresser le tableau de variations d'une fonction dérivable $f$, dans\nquel ordre procède-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Calculer $f'$, étudier son signe, conclure sur $f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée s'obtient d'abord, son signe ensuite, et\nles flèches du tableau en découlent."
        },
        {
          "text": "Calculer $f'$, puis les images aux bornes, puis tracer la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Les images aux bornes complètent le tableau, mais elles ne\nremplacent pas l'étude du signe de $f'$, qui seule donne les flèches."
        },
        {
          "text": "Étudier le signe de $f$, puis en déduire ses variations",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : le signe de $f$ dit où la courbe est au-dessus\nde l'axe, pas si elle monte ou descend."
        },
        {
          "text": "Calculer quelques images, les placer, puis relier les points",
          "correct": false,
          "feedback": "Quelques points ne prouvent rien : entre deux d'entre eux, la\nfonction peut monter puis redescendre."
        }
      ],
      "explanation": "Une étude de variations suit trois étapes : dériver, déterminer le signe\nde la dérivée, conclure. Les images aux bornes et les extremums viennent\nensuite remplir le tableau."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensemble-definition",
        "variations"
      ],
      "title": "Décroissante sur une réunion d'intervalles",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "La fonction inverse a pour dérivée $-\\dfrac{1}{x^2}$, strictement\nnégative. Est-elle pour autant décroissante sur $\\mathbb{R}^*$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle décroît sur chacun des deux intervalles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le théorème s'applique sur un intervalle, et\n$\\mathbb{R}^*$ réunit $]-\\infty\\,;\\,0[$ et $]0\\,;\\,+\\infty[$ :\non conclut sur chacun séparément."
        },
        {
          "text": "Oui : sa dérivée est négative partout où elle est définie",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourtant $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ : les images grandissent\nen passant d'un intervalle à l'autre."
        },
        {
          "text": "Non : sa dérivée n'existe pas en tout point de $\\mathbb{R}^*$",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée existe bien en tout réel non nul. Ce n'est pas elle qui\npose problème, mais la forme de l'ensemble d'étude."
        },
        {
          "text": "Oui : le signe de la dérivée suffit toujours à conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Il ne suffit que sur un intervalle. Sur une réunion d'intervalles,\nla conclusion se fait morceau par morceau."
        }
      ],
      "explanation": "Le lien entre signe de la dérivée et sens de variation n'est valable que\nsur un intervalle. Avant de conclure, on vérifie donc la nature de\nl'ensemble d'étude et l'on énonce les variations intervalle par\nintervalle."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variations",
        "signe-derivee"
      ],
      "title": "Une dérivée qui ne s'annule jamais",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f(x) = 2x^3 + 5x - 1$, de dérivée\n$f'(x) = 6x^2 + 5$. Quel est le sens de variation de $f$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Strictement croissante sur $\\mathbb{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6x^2$ est positif et l'on ajoute $5$, donc\n$f'(x) > 0$ pour tout réel $x$."
        },
        {
          "text": "Strictement décroissante sur $\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal lu : la dérivée est une somme de termes positifs, donc\nelle est positive et la fonction monte."
        },
        {
          "text": "Croissante puis décroissante, avec un maximum",
          "correct": false,
          "feedback": "Il faudrait que $f'$ change de signe, donc s'annule. Or\n$6x^2 + 5 = 0$ n'a pas de solution réelle."
        },
        {
          "text": "Décroissante puis croissante, avec un minimum",
          "correct": false,
          "feedback": "Même remarque : sans annulation de la dérivée, aucun changement de\nsens n'est possible, et donc aucun extremum."
        }
      ],
      "explanation": "Avant de chercher les racines d'une dérivée, on regarde sa forme : une\nsomme d'un carré multiplié par un nombre positif et d'une constante\npositive ne s'annule jamais. La fonction est alors monotone sur\n$\\mathbb{R}$."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tableau-solutions",
        "lecture"
      ],
      "title": "Les niveaux atteints deux fois",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,8]$, $f$ croît de $-3$ jusqu'à $6$, puis décroît de\n$6$ jusqu'à $1$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$\na-t-elle exactement deux solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 \\leq k < 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à\n$1$, et le sommet $6$ n'est atteint qu'une fois."
        },
        {
          "text": "$-3 \\leq k < 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Entre $-3$ et $1$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela\nne donne qu'une solution."
        },
        {
          "text": "$1 < k \\leq 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux bornes mal placées : $k = 6$ ne donne qu'une solution, alors\nque $k = 1$ en donne bien deux."
        },
        {
          "text": "$-3 \\leq k \\leq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs\ndoubles commencent à $1$ et vont jusqu'à $6$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses\ndeux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs\naux deux branches, soit un intervalle de longueur $5$, sommet\nexclu.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,8]$, $f$ croît de $-3$ jusqu'à $6$, puis décroît de\n$6$ jusqu'à $1$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$\na-t-elle exactement deux solutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1 \\leq k < 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à\n$1$, et le sommet $6$ n'est atteint qu'une fois."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq k < 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Entre $-3$ et $1$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela\nne donne qu'une solution."
            },
            {
              "text": "$1 < k \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux bornes mal placées : $k = 6$ ne donne qu'une solution, alors\nque $k = 1$ en donne bien deux."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq k \\leq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs\ndoubles commencent à $1$ et vont jusqu'à $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses\ndeux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs\naux deux branches, soit un intervalle de longueur $5$, sommet\nexclu."
        },
        {
          "statement": "Sur $[-2\\,;\\,5]$, $f$ croît de $0$ jusqu'à $9$, puis décroît de\n$9$ jusqu'à $4$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$\na-t-elle exactement deux solutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\leq k < 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à\n$4$, et le sommet $9$ n'est atteint qu'une fois."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq k < 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Entre $0$ et $4$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela\nne donne qu'une solution."
            },
            {
              "text": "$4 < k \\leq 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux bornes mal placées : $k = 9$ ne donne qu'une solution, alors\nque $k = 4$ en donne bien deux."
            },
            {
              "text": "$0 \\leq k \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs\ndoubles commencent à $4$ et vont jusqu'à $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses\ndeux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs\naux deux branches, soit un intervalle de longueur $5$, sommet\nexclu."
        },
        {
          "statement": "Sur $[1\\,;\\,7]$, $f$ croît de $2$ jusqu'à $10$, puis décroît de\n$10$ jusqu'à $5$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$\na-t-elle exactement deux solutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 \\leq k < 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à\n$5$, et le sommet $10$ n'est atteint qu'une fois."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq k < 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Entre $2$ et $5$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela\nne donne qu'une solution."
            },
            {
              "text": "$5 < k \\leq 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux bornes mal placées : $k = 10$ ne donne qu'une solution, alors\nque $k = 5$ en donne bien deux."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq k \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs\ndoubles commencent à $5$ et vont jusqu'à $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses\ndeux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs\naux deux branches, soit un intervalle de longueur $5$, sommet\nexclu."
        },
        {
          "statement": "Sur $[0\\,;\\,8]$, $f$ croît de $-3$ jusqu'à $6$, puis décroît de\n$6$ jusqu'à $4$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$\na-t-elle exactement deux solutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\leq k < 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à\n$4$, et le sommet $6$ n'est atteint qu'une fois."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq k < 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Entre $-3$ et $4$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela\nne donne qu'une solution."
            },
            {
              "text": "$4 < k \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux bornes mal placées : $k = 6$ ne donne qu'une solution, alors\nque $k = 4$ en donne bien deux."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq k \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs\ndoubles commencent à $4$ et vont jusqu'à $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses\ndeux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs\naux deux branches, soit un intervalle de longueur $2$, sommet\nexclu."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "etude-de-fonction",
        "calcul"
      ],
      "title": "Minimum d'une somme avec un inverse",
      "partie": "derivee-variations",
      "statement": "Soit $f$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $f(x) = x + \\dfrac{9}{x}$,\nde dérivée $f'(x) = 1 - \\dfrac{9}{x^2}$. En quelle valeur $f$\natteint-elle son minimum ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 9$, donc $x = 3$\nsur $]0\\,;\\,+\\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après."
        },
        {
          "text": "$x = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : l'équation $x^2 = 9$ ne donne pas $x = 9$, mais\nle nombre dont le carré vaut $9$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{9}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 9$ : c'est la racine carrée\nqu'il faut prendre, ce qui donne $3$."
        },
        {
          "text": "$x = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est bien solution de $x^2 = 9$, mais elle\nn'appartient pas à $]0\\,;\\,+\\infty[$, où $f$ est étudiée."
        }
      ],
      "explanation": "On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le\nchangement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 9$ a deux\nsolutions opposées, mais une seule est retenue ici.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $f(x) = x + \\dfrac{9}{x}$,\nde dérivée $f'(x) = 1 - \\dfrac{9}{x^2}$. En quelle valeur $f$\natteint-elle son minimum ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 9$, donc $x = 3$\nsur $]0\\,;\\,+\\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : l'équation $x^2 = 9$ ne donne pas $x = 9$, mais\nle nombre dont le carré vaut $9$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 9$ : c'est la racine carrée\nqu'il faut prendre, ce qui donne $3$."
            },
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est bien solution de $x^2 = 9$, mais elle\nn'appartient pas à $]0\\,;\\,+\\infty[$, où $f$ est étudiée."
            }
          ],
          "explanation": "On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le\nchangement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 9$ a deux\nsolutions opposées, mais une seule est retenue ici."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $f(x) = x + \\dfrac{16}{x}$,\nde dérivée $f'(x) = 1 - \\dfrac{16}{x^2}$. En quelle valeur $f$\natteint-elle son minimum ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 16$, donc $x = 4$\nsur $]0\\,;\\,+\\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après."
            },
            {
              "text": "$x = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : l'équation $x^2 = 16$ ne donne pas $x = 16$, mais\nle nombre dont le carré vaut $16$."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 16$ : c'est la racine carrée\nqu'il faut prendre, ce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est bien solution de $x^2 = 16$, mais elle\nn'appartient pas à $]0\\,;\\,+\\infty[$, où $f$ est étudiée."
            }
          ],
          "explanation": "On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le\nchangement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 16$ a deux\nsolutions opposées, mais une seule est retenue ici."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $f(x) = x + \\dfrac{25}{x}$,\nde dérivée $f'(x) = 1 - \\dfrac{25}{x^2}$. En quelle valeur $f$\natteint-elle son minimum ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 25$, donc $x = 5$\nsur $]0\\,;\\,+\\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après."
            },
            {
              "text": "$x = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : l'équation $x^2 = 25$ ne donne pas $x = 25$, mais\nle nombre dont le carré vaut $25$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{25}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 25$ : c'est la racine carrée\nqu'il faut prendre, ce qui donne $5$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est bien solution de $x^2 = 25$, mais elle\nn'appartient pas à $]0\\,;\\,+\\infty[$, où $f$ est étudiée."
            }
          ],
          "explanation": "On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le\nchangement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 25$ a deux\nsolutions opposées, mais une seule est retenue ici."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $f(x) = x + \\dfrac{36}{x}$,\nde dérivée $f'(x) = 1 - \\dfrac{36}{x^2}$. En quelle valeur $f$\natteint-elle son minimum ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 36$, donc $x = 6$\nsur $]0\\,;\\,+\\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après."
            },
            {
              "text": "$x = 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : l'équation $x^2 = 36$ ne donne pas $x = 36$, mais\nle nombre dont le carré vaut $36$."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 36$ : c'est la racine carrée\nqu'il faut prendre, ce qui donne $6$."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est bien solution de $x^2 = 36$, mais elle\nn'appartient pas à $]0\\,;\\,+\\infty[$, où $f$ est étudiée."
            }
          ],
          "explanation": "On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le\nchangement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 36$ a deux\nsolutions opposées, mais une seule est retenue ici."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation",
        "second-degre"
      ],
      "title": "La quantité qui maximise un bénéfice",
      "partie": "extremums",
      "statement": "Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -q^2 + 60q - 500$, où $q$ désigne le nombre d'objets\nvendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$30$ objets",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 60$ s'annule en $30$ en passant\ndu positif au négatif, ce qui donne bien un maximum."
        },
        {
          "text": "$60$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 60$ demande encore\nune division par $2$, ce qui conduit à $30$."
        },
        {
          "text": "$120$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne\nmultiplie pas. Le maximum est atteint en $30$."
        },
        {
          "text": "$15$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Division de trop : $-2q + 60 = 0$ donne $q = 30$, et non le\nquart du coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui\nest affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de\n$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -q^2 + 60q - 500$, où $q$ désigne le nombre d'objets\nvendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 60$ s'annule en $30$ en passant\ndu positif au négatif, ce qui donne bien un maximum."
            },
            {
              "text": "$60$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 60$ demande encore\nune division par $2$, ce qui conduit à $30$."
            },
            {
              "text": "$120$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne\nmultiplie pas. Le maximum est atteint en $30$."
            },
            {
              "text": "$15$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : $-2q + 60 = 0$ donne $q = 30$, et non le\nquart du coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui\nest affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de\n$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum."
        },
        {
          "statement": "Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -q^2 + 48q - 200$, où $q$ désigne le nombre d'objets\nvendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 48$ s'annule en $24$ en passant\ndu positif au négatif, ce qui donne bien un maximum."
            },
            {
              "text": "$48$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 48$ demande encore\nune division par $2$, ce qui conduit à $24$."
            },
            {
              "text": "$96$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne\nmultiplie pas. Le maximum est atteint en $24$."
            },
            {
              "text": "$12$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : $-2q + 48 = 0$ donne $q = 24$, et non le\nquart du coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui\nest affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de\n$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum."
        },
        {
          "statement": "Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -q^2 + 80q - 700$, où $q$ désigne le nombre d'objets\nvendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 80$ s'annule en $40$ en passant\ndu positif au négatif, ce qui donne bien un maximum."
            },
            {
              "text": "$80$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 80$ demande encore\nune division par $2$, ce qui conduit à $40$."
            },
            {
              "text": "$160$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne\nmultiplie pas. Le maximum est atteint en $40$."
            },
            {
              "text": "$20$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : $-2q + 80 = 0$ donne $q = 40$, et non le\nquart du coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui\nest affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de\n$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum."
        },
        {
          "statement": "Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -q^2 + 64q - 500$, où $q$ désigne le nombre d'objets\nvendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 64$ s'annule en $32$ en passant\ndu positif au négatif, ce qui donne bien un maximum."
            },
            {
              "text": "$64$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 64$ demande encore\nune division par $2$, ce qui conduit à $32$."
            },
            {
              "text": "$128$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne\nmultiplie pas. Le maximum est atteint en $32$."
            },
            {
              "text": "$16$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : $-2q + 64 = 0$ donne $q = 32$, et non le\nquart du coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui\nest affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de\n$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum."
        }
      ]
    }
  ]
}