{
  "chapter": {
    "id": "vocabulaire-ensembliste-logique",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Vocabulaire ensembliste et logique",
    "title": "Vocabulaire ensembliste et logique",
    "description": "Notations ensemblistes (appartenance, inclusion, intersection,\nréunion, complémentaire, cardinal, produit cartésien), connecteurs\n« et » et « ou », quantificateurs et négation, implication,\nréciproque, contraposée, conditions nécessaires et suffisantes,\nraisonnements par contre-exemple, par l'absurde et par disjonction\ndes cas.",
    "parties": [
      {
        "id": "ensembles",
        "title": "Ensembles et notations"
      },
      {
        "id": "propositions",
        "title": "Connecteurs, quantificateurs et négation"
      },
      {
        "id": "implications",
        "title": "Implication, réciproque et contraposée"
      },
      {
        "id": "raisonnements",
        "title": "Types de raisonnement"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "appartenance",
        "inclusion"
      ],
      "title": "Appartenance ou inclusion",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On note $A = \\{1\\,;\\,3\\,;\\,5\\}$. Laquelle de ces écritures est\ncorrecte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{3\\} \\subset A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\{3\\}$ est un ensemble dont l'unique élément\nappartient à $A$ : il est inclus dans $A$."
        },
        {
          "text": "$3 \\subset A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est un élément ; on écrit $3 \\in A$. Le symbole\n$\\subset$ relie deux ensembles."
        },
        {
          "text": "$\\{3\\} \\in A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les éléments de $A$ sont des nombres, pas des\nensembles."
        },
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,2\\} \\subset A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ n'appartient pas à $A$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\in$ relie un élément à un ensemble ; $\\subset$ relie deux\nensembles."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intersection",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Intersection de deux intervalles",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quel est l'ensemble $[-2\\,;\\,5] \\cap [1\\,;\\,8]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[1\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la\nfois dans les deux intervalles."
        },
        {
          "text": "$[-2\\,;\\,8]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $[-2\\,;\\,8]$ est la réunion des deux intervalles."
        },
        {
          "text": "$[-2\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas\ntous dans le second."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $1$ et\n$5$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux\ndeux intervalles ; la réunion est leur partie couverte.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $[-2\\,;\\,5] \\cap [1\\,;\\,8]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[1\\,;\\,5]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la\nfois dans les deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[-2\\,;\\,8]$ est la réunion des deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas\ntous dans le second."
            },
            {
              "text": "$\\varnothing$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $1$ et\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux\ndeux intervalles ; la réunion est leur partie couverte."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $[-4\\,;\\,3] \\cap [0\\,;\\,6]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[0\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la\nfois dans les deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[-4\\,;\\,6]$ est la réunion des deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,0]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas\ntous dans le second."
            },
            {
              "text": "$\\varnothing$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $0$ et\n$3$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux\ndeux intervalles ; la réunion est leur partie couverte."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $[1\\,;\\,9] \\cap [4\\,;\\,12]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[4\\,;\\,9]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la\nfois dans les deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[1\\,;\\,12]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[1\\,;\\,12]$ est la réunion des deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[1\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas\ntous dans le second."
            },
            {
              "text": "$\\varnothing$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $4$ et\n$9$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux\ndeux intervalles ; la réunion est leur partie couverte."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $[-6\\,;\\,2] \\cap [-3\\,;\\,7]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la\nfois dans les deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-6\\,;\\,7]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[-6\\,;\\,7]$ est la réunion des deux intervalles."
            },
            {
              "text": "$[-6\\,;\\,-3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas\ntous dans le second."
            },
            {
              "text": "$\\varnothing$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $-3$ et\n$2$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux\ndeux intervalles ; la réunion est leur partie couverte."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reunion",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Réunion de deux intervalles",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quel est l'ensemble $]-3\\,;\\,2] \\cup [0\\,;\\,6[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-3\\,;\\,6[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un\ndes deux intervalles, qui se chevauchent."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $[0\\,;\\,2]$ est l'intersection."
        },
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,6]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bornes $-3$ et $6$ sont exclues des intervalles\nde départ, donc de la réunion."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,0[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet ensemble est vide, car $0 < 2$."
        }
      ],
      "explanation": "$x \\in A \\cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le\n« ou » étant inclusif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $]-3\\,;\\,2] \\cup [0\\,;\\,6[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-3\\,;\\,6[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un\ndes deux intervalles, qui se chevauchent."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[0\\,;\\,2]$ est l'intersection."
            },
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bornes $-3$ et $6$ sont exclues des intervalles\nde départ, donc de la réunion."
            },
            {
              "text": "$]2\\,;\\,0[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est vide, car $0 < 2$."
            }
          ],
          "explanation": "$x \\in A \\cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le\n« ou » étant inclusif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $]1\\,;\\,7] \\cup [4\\,;\\,10[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]1\\,;\\,10[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un\ndes deux intervalles, qui se chevauchent."
            },
            {
              "text": "$[4\\,;\\,7]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[4\\,;\\,7]$ est l'intersection."
            },
            {
              "text": "$[1\\,;\\,10]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bornes $1$ et $10$ sont exclues des intervalles\nde départ, donc de la réunion."
            },
            {
              "text": "$]7\\,;\\,4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est vide, car $4 < 7$."
            }
          ],
          "explanation": "$x \\in A \\cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le\n« ou » étant inclusif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $]-5\\,;\\,-1] \\cup [-2\\,;\\,3[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-5\\,;\\,3[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un\ndes deux intervalles, qui se chevauchent."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,-1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[-2\\,;\\,-1]$ est l'intersection."
            },
            {
              "text": "$[-5\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bornes $-5$ et $3$ sont exclues des intervalles\nde départ, donc de la réunion."
            },
            {
              "text": "$]-1\\,;\\,-2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est vide, car $-2 < -1$."
            }
          ],
          "explanation": "$x \\in A \\cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le\n« ou » étant inclusif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble $]2\\,;\\,8] \\cup [5\\,;\\,11[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]2\\,;\\,11[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un\ndes deux intervalles, qui se chevauchent."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $[5\\,;\\,8]$ est l'intersection."
            },
            {
              "text": "$[2\\,;\\,11]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les bornes $2$ et $11$ sont exclues des intervalles\nde départ, donc de la réunion."
            },
            {
              "text": "$]8\\,;\\,5[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est vide, car $5 < 8$."
            }
          ],
          "explanation": "$x \\in A \\cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le\n« ou » étant inclusif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Complémentaire d'un ensemble",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Dans l'ensemble $E = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\,;\\,4\\,;\\,5\\,;\\,6\\}$, on\nconsidère $A = \\{2\\,;\\,4\\,;\\,5\\}$. Quel est le complémentaire\n$\\overline{A}$ de $A$ dans $E$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,3\\,;\\,6\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce sont les éléments de $E$ qui n'appartiennent\npas à $A$."
        },
        {
          "text": "$\\{2\\,;\\,4\\,;\\,5\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $A$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ appartient à $E$ et pas à $A$, il est donc dans le\ncomplémentaire."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ ne contient pas tous les éléments de $E$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overline{A} = E \\setminus A$ : les éléments de $E$ qui ne sont\npas dans $A$. On a $A \\cup \\overline{A} = E$ et\n$A \\cap \\overline{A} = \\varnothing$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "cardinal"
      ],
      "title": "Cardinal d'une réunion",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Deux ensembles finis vérifient $\\text{Card}(A) = 12$,\n$\\text{Card}(B) = 9$ et $\\text{Card}(A \\cap B) = 4$. Que vaut\n$\\text{Card}(A \\cup B)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$17$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $12 + 9 - 4$, car les éléments communs ont\nété comptés deux fois."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $4$ éléments communs sont comptés deux fois."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est le cardinal de l'intersection."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les\najouter."
        }
      ],
      "explanation": "$\\text{Card}(A \\cup B) = \\text{Card}(A) + \\text{Card}(B) -\n\\text{Card}(A \\cap B)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux ensembles finis vérifient $\\text{Card}(A) = 12$,\n$\\text{Card}(B) = 9$ et $\\text{Card}(A \\cap B) = 4$. Que vaut\n$\\text{Card}(A \\cup B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $12 + 9 - 4$, car les éléments communs ont\nété comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $4$ éléments communs sont comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le cardinal de l'intersection."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "$\\text{Card}(A \\cup B) = \\text{Card}(A) + \\text{Card}(B) -\n\\text{Card}(A \\cap B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux ensembles finis vérifient $\\text{Card}(A) = 15$,\n$\\text{Card}(B) = 10$ et $\\text{Card}(A \\cap B) = 6$. Que vaut\n$\\text{Card}(A \\cup B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $15 + 10 - 6$, car les éléments communs ont\nété comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $6$ éléments communs sont comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le cardinal de l'intersection."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "$\\text{Card}(A \\cup B) = \\text{Card}(A) + \\text{Card}(B) -\n\\text{Card}(A \\cap B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux ensembles finis vérifient $\\text{Card}(A) = 8$,\n$\\text{Card}(B) = 14$ et $\\text{Card}(A \\cap B) = 2$. Que vaut\n$\\text{Card}(A \\cup B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8 + 14 - 2$, car les éléments communs ont\nété comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $2$ éléments communs sont comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le cardinal de l'intersection."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "$\\text{Card}(A \\cup B) = \\text{Card}(A) + \\text{Card}(B) -\n\\text{Card}(A \\cap B)$."
        },
        {
          "statement": "Deux ensembles finis vérifient $\\text{Card}(A) = 20$,\n$\\text{Card}(B) = 11$ et $\\text{Card}(A \\cap B) = 7$. Que vaut\n$\\text{Card}(A \\cup B)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $20 + 11 - 7$, car les éléments communs ont\nété comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $7$ éléments communs sont comptés deux fois."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est le cardinal de l'intersection."
            },
            {
              "text": "$38$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les\najouter."
            }
          ],
          "explanation": "$\\text{Card}(A \\cup B) = \\text{Card}(A) + \\text{Card}(B) -\n\\text{Card}(A \\cap B)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-cartesien",
        "cardinal"
      ],
      "title": "Produit cartésien",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On pose $A = \\{a\\,;\\,b\\}$ et $B = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\}$. Combien\nd'éléments compte le produit cartésien $A \\times B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A \\times B$ contient les couples $(x\\,;\\,y)$\navec $x \\in A$ et $y \\in B$, soit $2 \\times 3$ couples."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a additionné les cardinaux au lieu de les\nmultiplier."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9 = 3 \\times 3$ correspondrait à $B \\times B$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = 2^3$ ne correspond pas au nombre de couples."
        }
      ],
      "explanation": "$\\text{Card}(A \\times B) = \\text{Card}(A) \\times \\text{Card}(B)$.\nUn couple est ordonné : $(a\\,;\\,1)$ et $(1\\,;\\,a)$ sont différents."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ensembles-de-nombres"
      ],
      "title": "Ensembles de nombres",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Laquelle de ces affirmations est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{Q}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tout entier relatif $n$ s'écrit $\\dfrac{n}{1}$,\nc'est un rationnel."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est rationnel mais pas entier."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2} \\in \\mathbb{Q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2}$ est irrationnel."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs ou\nnuls."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q}\n\\subset \\mathbb{R}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Complémentaire d'un intervalle",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quel est le complémentaire de l'intervalle $[-1\\,;\\,4[$ dans\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cup [4\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-1$ appartient à l'intervalle, donc pas au\ncomplémentaire ; $4$ n'y appartient pas, donc il est dans le\ncomplémentaire."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1] \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes."
        },
        {
          "text": "$]-1\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas\nson complémentaire."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cap [4\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est\nune réunion."
        }
      ],
      "explanation": "Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son\ncomplémentaire, et inversement.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le complémentaire de l'intervalle $[-1\\,;\\,4[$ dans\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cup [4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-1$ appartient à l'intervalle, donc pas au\ncomplémentaire ; $4$ n'y appartient pas, donc il est dans le\ncomplémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1] \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes."
            },
            {
              "text": "$]-1\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas\nson complémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[ \\cap [4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est\nune réunion."
            }
          ],
          "explanation": "Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son\ncomplémentaire, et inversement."
        },
        {
          "statement": "Quel est le complémentaire de l'intervalle $[2\\,;\\,7[$ dans\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2[ \\cup [7\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ appartient à l'intervalle, donc pas au\ncomplémentaire ; $7$ n'y appartient pas, donc il est dans le\ncomplémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2] \\cup ]7\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes."
            },
            {
              "text": "$]2\\,;\\,7]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas\nson complémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2[ \\cap [7\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est\nune réunion."
            }
          ],
          "explanation": "Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son\ncomplémentaire, et inversement."
        },
        {
          "statement": "Quel est le complémentaire de l'intervalle $[-5\\,;\\,0[$ dans\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-5[ \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-5$ appartient à l'intervalle, donc pas au\ncomplémentaire ; $0$ n'y appartient pas, donc il est dans le\ncomplémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-5] \\cup ]0\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes."
            },
            {
              "text": "$]-5\\,;\\,0]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas\nson complémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-5[ \\cap [0\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est\nune réunion."
            }
          ],
          "explanation": "Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son\ncomplémentaire, et inversement."
        },
        {
          "statement": "Quel est le complémentaire de l'intervalle $[-3\\,;\\,3[$ dans\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[ \\cup [3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-3$ appartient à l'intervalle, donc pas au\ncomplémentaire ; $3$ n'y appartient pas, donc il est dans le\ncomplémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3] \\cup ]3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes."
            },
            {
              "text": "$]-3\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas\nson complémentaire."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[ \\cap [3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est\nune réunion."
            }
          ],
          "explanation": "Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son\ncomplémentaire, et inversement."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "connecteur-et"
      ],
      "title": "Le connecteur « et »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "On pose $x = 6$. La proposition « $x$ est pair **et** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vraie, car $6$ est pair et supérieur à $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont\ntoutes les deux."
        },
        {
          "text": "Fausse, car $6$ est pair et supérieur à $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »\nexige les deux conditions à la fois."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans autre information",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se\nvérifie directement."
        },
        {
          "text": "Elle est à la fois vraie et fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit\nfausse."
        }
      ],
      "explanation": "« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On pose $x = 6$. La proposition « $x$ est pair **et** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
          "options": [
            {
              "text": "Vraie, car $6$ est pair et supérieur à $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont\ntoutes les deux."
            },
            {
              "text": "Fausse, car $6$ est pair et supérieur à $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »\nexige les deux conditions à la fois."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans autre information",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se\nvérifie directement."
            },
            {
              "text": "Elle est à la fois vraie et fausse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit\nfausse."
            }
          ],
          "explanation": "« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie."
        },
        {
          "statement": "On pose $x = 9$. La proposition « $x$ est pair **et** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
          "options": [
            {
              "text": "Fausse, car $9$ est impair et supérieur à $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont\ntoutes les deux."
            },
            {
              "text": "Vraie, car $9$ est impair et supérieur à $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »\nexige les deux conditions à la fois."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans autre information",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se\nvérifie directement."
            },
            {
              "text": "Elle est à la fois vraie et fausse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit\nfausse."
            }
          ],
          "explanation": "« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie."
        },
        {
          "statement": "On pose $x = 4$. La proposition « $x$ est pair **et** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
          "options": [
            {
              "text": "Fausse, car $4$ est pair et inférieur ou égal à $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont\ntoutes les deux."
            },
            {
              "text": "Vraie, car $4$ est pair et inférieur ou égal à $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »\nexige les deux conditions à la fois."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans autre information",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se\nvérifie directement."
            },
            {
              "text": "Elle est à la fois vraie et fausse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit\nfausse."
            }
          ],
          "explanation": "« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie."
        },
        {
          "statement": "On pose $x = 7$. La proposition « $x$ est pair **et** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
          "options": [
            {
              "text": "Fausse, car $7$ est impair et supérieur à $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont\ntoutes les deux."
            },
            {
              "text": "Vraie, car $7$ est impair et supérieur à $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »\nexige les deux conditions à la fois."
            },
            {
              "text": "On ne peut pas conclure sans autre information",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se\nvérifie directement."
            },
            {
              "text": "Elle est à la fois vraie et fausse",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit\nfausse."
            }
          ],
          "explanation": "« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "connecteur-ou"
      ],
      "title": "Le connecteur « ou »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "On pose $x = 8$. La proposition « $x$ est pair **ou** $x > 5$ »\nest-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vraie, car au moins une des deux conditions est remplie",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ici les deux sont remplies, et le « ou »\nmathématique est inclusif."
        },
        {
          "text": "Fausse, car les deux conditions sont remplies en même temps",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en mathématiques, « ou » n'est pas exclusif ; il\nautorise les deux à la fois."
        },
        {
          "text": "Vraie seulement si l'une des conditions est fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le sens du « ou » exclusif, qui n'est pas celui\ndes mathématiques."
        },
        {
          "text": "Fausse, car $8$ n'est pas impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune condition ne porte sur l'imparité."
        }
      ],
      "explanation": "« P ou Q » est vraie dès que l'une au moins des deux propositions\nest vraie ; elle n'est fausse que si les deux sont fausses."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "connecteurs"
      ],
      "title": "Nier une conjonction",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x \\geq 2$ **et**\n$x < 7$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« $x < 2$ ou $x \\geq 7$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la négation de « P et Q » est « non P ou non\nQ »."
        },
        {
          "text": "« $x < 2$ et $x \\geq 7$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en niant, « et » devient « ou » ; cette proposition\nn'est d'ailleurs jamais vraie."
        },
        {
          "text": "« $x \\leq 2$ ou $x > 7$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la négation de $x \\geq 2$ est $x < 2$, sans égalité."
        },
        {
          "text": "« $x \\geq 7$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les réels inférieurs à $2$ rendent aussi la\nproposition fausse."
        }
      ],
      "explanation": "$\\text{non}(P \\text{ et } Q) = (\\text{non } P) \\text{ ou }\n(\\text{non } Q)$. Sur une droite graduée : le complémentaire de\n$[2\\,;\\,7[$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "quantificateurs"
      ],
      "title": "Nier « pour tout »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « pour tout réel $x$,\n$x^2 \\geq x$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 < x$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « pour tout » devient « il existe », et\nl'inégalité est niée. Par exemple, $x = 0{,}5$ convient."
        },
        {
          "text": "« Pour tout réel $x$, $x^2 < x$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un seul réel suffit à mettre en défaut une propriété\nuniverselle."
        },
        {
          "text": "« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \\geq x$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité doit être niée elle aussi."
        },
        {
          "text": "« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \\leq x$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la négation de $x^2 \\geq x$ est $x^2 < x$, strict."
        }
      ],
      "explanation": "Nier « pour tout $x$, P » donne « il existe $x$ tel que non P »."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "quantificateurs"
      ],
      "title": "Nier « il existe »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « il existe un entier\nnaturel $n$ tel que $2^n = 100$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« Pour tout entier naturel $n$, $2^n \\neq 100$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « il existe » devient « pour tout », et l'égalité\ndevient une différence."
        },
        {
          "text": "« Il existe un entier naturel $n$ tel que $2^n \\neq 100$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quantificateur doit changer lui aussi."
        },
        {
          "text": "« Pour tout entier naturel $n$, $2^n = 100$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité doit être niée."
        },
        {
          "text": "« Pour tout entier naturel $n$, $2^n > 100$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la négation de « égal » est « différent », pas\n« strictement supérieur »."
        }
      ],
      "explanation": "Nier « il existe $x$ tel que P » donne « pour tout $x$, non P »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "Choisir un contre-exemple",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à la proposition « pour tout\nréel $x$, $x^2 > x$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$, la propriété est en\ndéfaut."
        },
        {
          "text": "$x = 1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 > 1{,}5$, ce nombre vérifie la\npropriété."
        },
        {
          "text": "$x = -0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-0{,}5)^2 = 0{,}25 > -0{,}5$, ce nombre vérifie la\npropriété."
        },
        {
          "text": "$x = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2{,}5^2 = 6{,}25 > 2{,}5$, ce nombre vérifie la\npropriété."
        }
      ],
      "explanation": "Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une propriété\nuniverselle est fausse."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "Ce qu'un exemple ne prouve pas",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Un élève affirme : « pour tout entier $n$, $n^2 + n + 41$ est\npremier ». Il le vérifie pour $n = 0$, $1$, $2$, $3$ et $4$. Que\npeut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien : quelques cas ne prouvent pas la propriété",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la propriété est d'ailleurs fausse pour\n$n = 41$, car $41^2 + 41 + 41 = 41 \\times 43$."
        },
        {
          "text": "La propriété est démontrée pour tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : vérifier cinq cas ne dit rien des autres entiers."
        },
        {
          "text": "La propriété est fausse, faute de démonstration",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'absence de preuve ne prouve pas que la propriété\nest fausse ; il faut un contre-exemple."
        },
        {
          "text": "Il suffit d'ajouter le cas $n = 5$ pour conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun nombre fini de vérifications ne remplace une\ndémonstration générale."
        }
      ],
      "explanation": "Pour démontrer « pour tout », il faut un raisonnement général ;\npour réfuter, un contre-exemple suffit."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quantification-implicite"
      ],
      "title": "Repérer une quantification implicite",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Dans la phrase « si un quadrilatère est un losange, alors ses\ndiagonales sont perpendiculaires », quelle quantification est\nsous-entendue ?",
      "options": [
        {
          "text": "« Pour tout quadrilatère »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la propriété est énoncée pour n'importe quel\nquadrilatère qui est un losange."
        },
        {
          "text": "« Il existe un quadrilatère »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la phrase ne se contente pas d'un exemple, elle énonce\nune règle générale."
        },
        {
          "text": "« Pour un seul quadrilatère »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien dans la phrase ne limite la propriété à un seul\ncas."
        },
        {
          "text": "Aucune, la phrase n'est pas quantifiée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une implication générale cache presque toujours un\n« pour tout »."
        }
      ],
      "explanation": "Les propositions conditionnelles « si…, alors… » sont\nimplicitement universelles."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "statut-egalite"
      ],
      "title": "Identité ou équation",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quel est le statut de l'égalité $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une identité, vraie pour tout réel $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est un développement, valable quelle que soit\nla valeur de $x$."
        },
        {
          "text": "Une équation, d'inconnue $x$, à résoudre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il n'y a rien à résoudre, l'égalité est toujours\nvraie."
        },
        {
          "text": "Une équation sans solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout réel la vérifie."
        },
        {
          "text": "Une égalité vraie seulement pour $x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $x = 2$, par exemple, les deux membres valent $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Une identité est vraie pour toutes les valeurs de la variable ; une\néquation pose la question des valeurs qui la rendent vraie."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "statut-lettres"
      ],
      "title": "Variable, inconnue ou paramètre",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Pour tout réel $m$, on cherche les réels $x$ tels que $mx + 3 = 0$.\nQuel est le statut de la lettre $m$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un paramètre, fixé avant de résoudre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $m$ est choisi d'abord ; les solutions en $x$\ndépendent ensuite de sa valeur."
        },
        {
          "text": "L'inconnue de l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inconnue est $x$, la lettre que l'on cherche."
        },
        {
          "text": "Une variable sans rôle particulier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $m$ joue un rôle précis, celui de paramètre."
        },
        {
          "text": "Une constante égale à $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant ; $m$ peut prendre toute\nvaleur réelle."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une équation à paramètre, on résout en $x$ pour chaque valeur\nfixée du paramètre, en distinguant parfois des cas ($m = 0$ ici)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "implication",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Écrire une réciproque",
      "partie": "implications",
      "statement": "Quelle est la réciproque de l'implication « si $x = 3$, alors\n$x^2 = 9$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la\nconclusion. Elle est fausse ici : $x = -3$ convient aussi."
        },
        {
          "text": "« Si $x \\neq 3$, alors $x^2 \\neq 9$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger."
        },
        {
          "text": "« Si $x^2 \\neq 9$, alors $x \\neq 3$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la contraposée, pas la réciproque."
        },
        {
          "text": "« $x = 3$ et $x^2 = 9$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une réciproque reste une implication."
        }
      ],
      "explanation": "Réciproque de « si P, alors Q » : « si Q, alors P ». Elle peut être\nfausse alors que l'implication est vraie."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "implication",
        "contraposee"
      ],
      "title": "Écrire une contraposée",
      "partie": "implications",
      "statement": "Quelle est la contraposée de l'implication « si un entier est\nmultiple de $6$, alors il est pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« Si un entier n'est pas pair, alors il n'est pas multiple de\n$6$ »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on échange les deux membres et on les nie. La\ncontraposée a la même valeur de vérité que l'implication."
        },
        {
          "text": "« Si un entier est pair, alors il est multiple de $6$ »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la réciproque, d'ailleurs fausse ($4$ est pair)."
        },
        {
          "text": "« Si un entier n'est pas multiple de $6$, alors il n'est pas\npair »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a nié sans échanger ; cette phrase est fausse\n($4$)."
        },
        {
          "text": "« Un entier est multiple de $6$ ou il est pair »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contraposée reste une implication."
        }
      ],
      "explanation": "Contraposée de « si P, alors Q » : « si non Q, alors non P ». Elle\nest équivalente à l'implication de départ."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition-necessaire"
      ],
      "title": "Condition nécessaire",
      "partie": "implications",
      "statement": "Pour un entier $n$, l'implication « si $n$ est multiple de $4$,\nalors $n$ est pair » est vraie. Que représente « $n$ est pair » pour\n« $n$ est multiple de $4$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une condition nécessaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour être multiple de $4$, il faut être pair.\nLa conclusion d'une implication vraie est nécessaire à son\nhypothèse."
        },
        {
          "text": "Une condition suffisante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : être pair ne suffit pas ; $6$ est pair sans être\nmultiple de $4$."
        },
        {
          "text": "Une condition nécessaire et suffisante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la réciproque est fausse, il n'y a pas équivalence."
        },
        {
          "text": "Aucune des trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'implication établit un lien entre les deux\npropositions."
        }
      ],
      "explanation": "Si « P ⇒ Q » est vraie : P est une condition suffisante pour Q, et\nQ une condition nécessaire pour P."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition-suffisante"
      ],
      "title": "Condition suffisante",
      "partie": "implications",
      "statement": "Pour un réel $x$, la condition « $x > 3$ » est-elle suffisante pour\nque $x^2 > 9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car si $x > 3$, alors $x^2 > 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $x > 3 > 0$, la fonction carré étant\ncroissante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$, $x^2 > 9$."
        },
        {
          "text": "Non, car $x = -4$ vérifie $x^2 > 9$ sans vérifier $x > 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet exemple montre que la condition n'est pas\n**nécessaire** ; il ne dit rien de son caractère suffisant."
        },
        {
          "text": "Oui, et elle est aussi nécessaire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = -4$ vérifie $x^2 > 9$ sans que $x > 3$."
        },
        {
          "text": "Non, car $x^2 > 9$ n'entraîne pas $x > 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce constat porte sur la réciproque ; la condition\nreste suffisante."
        }
      ],
      "explanation": "« P est suffisante pour Q » signifie « P ⇒ Q ». « P est nécessaire\npour Q » signifie « Q ⇒ P »."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equivalence"
      ],
      "title": "Reconnaître une équivalence",
      "partie": "implications",
      "statement": "Laquelle de ces propositions est une équivalence vraie pour tout\nréel $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 = 0 \\iff x = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un carré est nul si et seulement si le nombre est\nnul ; les deux implications sont vraies."
        },
        {
          "text": "$x^2 = 4 \\iff x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = -2$ vérifie $x^2 = 4$ ; seule l'implication de\ndroite à gauche est vraie."
        },
        {
          "text": "$x > 1 \\iff x^2 > 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = -3$ vérifie $x^2 > 1$ sans vérifier $x > 1$."
        },
        {
          "text": "$x \\geq 0 \\iff x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 0$ vérifie la première sans vérifier la seconde."
        }
      ],
      "explanation": "« P ⇔ Q » est vraie quand « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » le sont toutes\nles deux."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "implication",
        "valeur-de-verite"
      ],
      "title": "Implication à hypothèse fausse",
      "partie": "implications",
      "statement": "On considère l'implication « si $n$ est un entier pair et impair à la\nfois, alors $n = 7$ ». Est-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car aucun entier ne vérifie l'hypothèse",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une implication n'est fausse que si l'hypothèse\nest vraie et la conclusion fausse, ce qui n'arrive jamais ici."
        },
        {
          "text": "Non, car $7$ n'est pas pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faudrait un entier vérifiant l'hypothèse sans\nvérifier la conclusion, et il n'en existe pas."
        },
        {
          "text": "Non, car la conclusion n'a aucun rapport avec l'hypothèse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la vérité d'une implication ne dépend pas d'un lien de\nsens entre ses membres."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la règle de vérité de l'implication permet de conclure."
        }
      ],
      "explanation": "« P ⇒ Q » est fausse dans un seul cas : P vraie et Q fausse."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraposee",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Utiliser la contraposée",
      "partie": "implications",
      "statement": "On sait que « si un triangle est rectangle, alors le carré du plus\ngrand côté est la somme des carrés des deux autres ». Un triangle a\npour côtés $4$, $5$ et $6$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il n'est pas rectangle, car $6^2 \\neq 4^2 + 5^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $36 \\neq 41$ ; par contraposée, la conclusion\nétant fausse, l'hypothèse l'est aussi."
        },
        {
          "text": "Il est rectangle, car ses côtés sont des entiers consécutifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune propriété ne relie des côtés consécutifs à un\nangle droit."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans mesurer les angles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contraposée du théorème de Pythagore permet de\nconclure par le calcul."
        },
        {
          "text": "Il est rectangle, car $4^2 + 5^2 > 6^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une inégalité stricte exclut justement l'égalité de\nPythagore."
        }
      ],
      "explanation": "Si « P ⇒ Q » est vraie et que Q est fausse, alors P est fausse :\nc'est le raisonnement par contraposée."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "raisonnement-absurde"
      ],
      "title": "Principe du raisonnement par l'absurde",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Pour démontrer par l'absurde que $\\sqrt{2}$ n'est pas rationnel,\npar quoi commence-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Supposer que $\\sqrt{2}$ est rationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut\ndémontrer, puis on aboutit à une contradiction."
        },
        {
          "text": "Supposer que $\\sqrt{2}$ n'est pas rationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne peut pas supposer ce que l'on veut démontrer."
        },
        {
          "text": "Calculer $\\sqrt{2}$ à la calculatrice",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une valeur approchée ne dit rien de la nature exacte du\nnombre."
        },
        {
          "text": "Trouver un contre-exemple",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un contre-exemple réfute une propriété universelle ; il\nne démontre pas qu'un nombre est irrationnel."
        }
      ],
      "explanation": "Raisonnement par l'absurde : supposer la négation de la\nconclusion, en déduire une contradiction, conclure que la négation\nétait fausse."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "disjonction-des-cas"
      ],
      "title": "Disjonction des cas",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Pour démontrer que $n(n + 1)$ est pair pour tout entier $n$, quelle\ndémarche convient ?",
      "options": [
        {
          "text": "Distinguer le cas $n$ pair et le cas $n$ impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n$ est pair, $n$ l'est ; sinon $n + 1$ est\npair. Dans les deux cas, le produit est pair."
        },
        {
          "text": "Vérifier pour $n = 1$, $2$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : quelques exemples ne démontrent pas une propriété\nuniverselle."
        },
        {
          "text": "Chercher un contre-exemple",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un contre-exemple servirait à montrer que la propriété\nest fausse."
        },
        {
          "text": "Supposer que $n(n + 1)$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : supposer la conclusion ne la démontre pas."
        }
      ],
      "explanation": "La disjonction des cas sépare l'étude en cas qui recouvrent toutes\nles possibilités, puis conclut dans chacun."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "raisonnement-absurde"
      ],
      "title": "Repérer la contradiction",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "On suppose qu'il existe un plus grand entier naturel $N$. Quelle\nobservation conduit à une contradiction ?",
      "options": [
        {
          "text": "$N + 1$ est un entier et dépasse $N$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cela contredit le fait que $N$ soit le plus\ngrand ; l'hypothèse est donc fausse."
        },
        {
          "text": "$N$ est un entier positif ou nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce constat est compatible avec l'hypothèse."
        },
        {
          "text": "$N - 1$ est un entier plus petit que $N$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cela ne contredit pas l'hypothèse, qui porte sur les\nentiers plus grands que $N$."
        },
        {
          "text": "$N$ est soit pair, soit impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est toujours vrai et ne contredit rien."
        }
      ],
      "explanation": "Une contradiction est une proposition à la fois vraie et fausse\nsous l'hypothèse faite ; elle oblige à rejeter cette hypothèse."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraposee",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Démontrer par contraposée",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Pour démontrer « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », que\nsuffit-il de démontrer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la contraposée, équivalente à\nl'implication. Avec $n = 2k + 1$, $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$."
        },
        {
          "text": "Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la réciproque ; la démontrer ne prouve pas\nl'implication de départ."
        },
        {
          "text": "Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger."
        },
        {
          "text": "$n^2$ est pair pour $n = 2$, $4$ et $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des exemples ne démontrent pas une propriété générale."
        }
      ],
      "explanation": "Démontrer « non Q ⇒ non P » revient à démontrer « P ⇒ Q »."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contre-exemple",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Choisir le bon raisonnement",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Quel raisonnement permet de démontrer que la proposition « tout\nnombre premier est impair » est fausse ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un contre-exemple : $2$ est premier et pair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un seul cas suffit à réfuter une propriété\nuniverselle."
        },
        {
          "text": "Une disjonction des cas sur la parité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la disjonction des cas sert à démontrer une propriété,\npas à la réfuter."
        },
        {
          "text": "Une vérification sur $3$, $5$ et $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces exemples vont dans le sens de la proposition et ne\nprouvent rien."
        },
        {
          "text": "Un raisonnement par l'absurde sur la parité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un contre-exemple suffit, aucune démonstration\ngénérale n'est nécessaire."
        }
      ],
      "explanation": "Pour réfuter « pour tout », on exhibe un contre-exemple ; pour\ndémontrer « pour tout », il faut un raisonnement général."
    }
  ]
}