{
"chapter": {
"id": "automatismes",
"level": "premiere-tronc-commun",
"theme": "Automatismes",
"title": "Automatismes",
"description": "Automatismes du programme de première : évolutions successives et\nréciproques, équation produit nul, signe d'une expression du premier\ndegré ou factorisée du second degré, développement et factorisation,\nlectures graphiques (équations, inéquations, signe, variations,\ndroites), indicateurs statistiques, diagrammes et probabilités\nconditionnelles.",
"parties": [
{
"id": "evolutions",
"title": "Évolutions et variations"
},
{
"id": "calcul",
"title": "Calcul numérique et algébrique"
},
{
"id": "fonctions",
"title": "Fonctions et représentations"
},
{
"id": "donnees",
"title": "Statistiques et probabilités"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"taux-evolution",
"valeur-finale"
],
"title": "Appliquer une hausse",
"partie": "evolutions",
"statement": "Un loyer de $240$ euros augmente de $15\\ \\%$. Quel est le nouveau\nloyer ?",
"options": [
{
"text": "$276$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : augmenter de $15\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{15}{100}$, d'où $240 \\times \\left(1 + \\dfrac{15}{100}\\right) = 276$."
},
{
"text": "$255$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $15$ euros. Une hausse de $15\\ \\%$\najoute $15\\ \\%$ du loyer, soit $36$ euros."
},
{
"text": "$36$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $36$ euros est le montant de la hausse, pas le\nnouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $240$."
},
{
"text": "$204$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : multiplier par $1 - \\dfrac{15}{100}$\ncorrespond à une baisse de $15\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ revient à multiplier par le coefficient\nmultiplicateur $1 + \\dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \\dfrac{t}{100}$\n(baisse).",
"variants": [
{
"statement": "Un loyer de $240$ euros augmente de $15\\ \\%$. Quel est le nouveau\nloyer ?",
"options": [
{
"text": "$276$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : augmenter de $15\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{15}{100}$, d'où $240 \\times \\left(1 + \\dfrac{15}{100}\\right) = 276$."
},
{
"text": "$255$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $15$ euros. Une hausse de $15\\ \\%$\najoute $15\\ \\%$ du loyer, soit $36$ euros."
},
{
"text": "$36$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $36$ euros est le montant de la hausse, pas le\nnouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $240$."
},
{
"text": "$204$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : multiplier par $1 - \\dfrac{15}{100}$\ncorrespond à une baisse de $15\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ revient à multiplier par le coefficient\nmultiplicateur $1 + \\dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \\dfrac{t}{100}$\n(baisse)."
},
{
"statement": "Un loyer de $80$ euros augmente de $35\\ \\%$. Quel est le nouveau\nloyer ?",
"options": [
{
"text": "$108$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : augmenter de $35\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{35}{100}$, d'où $80 \\times \\left(1 + \\dfrac{35}{100}\\right) = 108$."
},
{
"text": "$115$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $35$ euros. Une hausse de $35\\ \\%$\najoute $35\\ \\%$ du loyer, soit $28$ euros."
},
{
"text": "$28$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $28$ euros est le montant de la hausse, pas le\nnouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $80$."
},
{
"text": "$52$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : multiplier par $1 - \\dfrac{35}{100}$\ncorrespond à une baisse de $35\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ revient à multiplier par le coefficient\nmultiplicateur $1 + \\dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \\dfrac{t}{100}$\n(baisse)."
},
{
"statement": "Un loyer de $900$ euros augmente de $4\\ \\%$. Quel est le nouveau\nloyer ?",
"options": [
{
"text": "$936$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : augmenter de $4\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{4}{100}$, d'où $900 \\times \\left(1 + \\dfrac{4}{100}\\right) = 936$."
},
{
"text": "$904$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $4$ euros. Une hausse de $4\\ \\%$\najoute $4\\ \\%$ du loyer, soit $36$ euros."
},
{
"text": "$36$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $36$ euros est le montant de la hausse, pas le\nnouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $900$."
},
{
"text": "$864$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : multiplier par $1 - \\dfrac{4}{100}$\ncorrespond à une baisse de $4\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ revient à multiplier par le coefficient\nmultiplicateur $1 + \\dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \\dfrac{t}{100}$\n(baisse)."
},
{
"statement": "Un loyer de $350$ euros augmente de $12\\ \\%$. Quel est le nouveau\nloyer ?",
"options": [
{
"text": "$392$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : augmenter de $12\\ \\%$ revient à multiplier par\n$1 + \\dfrac{12}{100}$, d'où $350 \\times \\left(1 + \\dfrac{12}{100}\\right) = 392$."
},
{
"text": "$362$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $12$ euros. Une hausse de $12\\ \\%$\najoute $12\\ \\%$ du loyer, soit $42$ euros."
},
{
"text": "$42$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $42$ euros est le montant de la hausse, pas le\nnouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $350$."
},
{
"text": "$308$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : multiplier par $1 - \\dfrac{12}{100}$\ncorrespond à une baisse de $12\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t\\ \\%$ revient à multiplier par le coefficient\nmultiplicateur $1 + \\dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \\dfrac{t}{100}$\n(baisse)."
}
]
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"taux-evolution",
"valeur-initiale"
],
"title": "Retrouver un prix avant remise",
"partie": "evolutions",
"statement": "Après une remise de $15\\ \\%$, un article coûte $68$ euros. Quel\nétait son prix avant la remise ?",
"options": [
{
"text": "$80$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie\n$P \\times 0{,}85 = 68$, donc $P = \\dfrac{68}{0{,}85} = 80$."
},
{
"text": "$78{,}2$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : ajouter $15\\ \\%$ au prix remisé ne\ncompense pas la remise, car les $15\\ \\%$ ne portent pas sur\nla même valeur. Il faut diviser par $0{,}85$."
},
{
"text": "$57{,}8$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour\nremonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}85$."
},
{
"text": "$83$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $15$ euros, comme si la remise était un\nmontant et non un pourcentage."
}
],
"explanation": "Valeur finale $=$ valeur initiale $\\times$ coefficient\nmultiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la\nvaleur finale par ce coefficient.",
"variants": [
{
"statement": "Après une remise de $15\\ \\%$, un article coûte $68$ euros. Quel\nétait son prix avant la remise ?",
"options": [
{
"text": "$80$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie\n$P \\times 0{,}85 = 68$, donc $P = \\dfrac{68}{0{,}85} = 80$."
},
{
"text": "$78{,}2$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : ajouter $15\\ \\%$ au prix remisé ne\ncompense pas la remise, car les $15\\ \\%$ ne portent pas sur\nla même valeur. Il faut diviser par $0{,}85$."
},
{
"text": "$57{,}8$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour\nremonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}85$."
},
{
"text": "$83$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $15$ euros, comme si la remise était un\nmontant et non un pourcentage."
}
],
"explanation": "Valeur finale $=$ valeur initiale $\\times$ coefficient\nmultiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la\nvaleur finale par ce coefficient."
},
{
"statement": "Après une remise de $25\\ \\%$, un article coûte $45$ euros. Quel\nétait son prix avant la remise ?",
"options": [
{
"text": "$60$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie\n$P \\times 0{,}75 = 45$, donc $P = \\dfrac{45}{0{,}75} = 60$."
},
{
"text": "$56{,}25$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : ajouter $25\\ \\%$ au prix remisé ne\ncompense pas la remise, car les $25\\ \\%$ ne portent pas sur\nla même valeur. Il faut diviser par $0{,}75$."
},
{
"text": "$33{,}75$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour\nremonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}75$."
},
{
"text": "$70$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $25$ euros, comme si la remise était un\nmontant et non un pourcentage."
}
],
"explanation": "Valeur finale $=$ valeur initiale $\\times$ coefficient\nmultiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la\nvaleur finale par ce coefficient."
},
{
"statement": "Après une remise de $30\\ \\%$, un article coûte $168$ euros. Quel\nétait son prix avant la remise ?",
"options": [
{
"text": "$240$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie\n$P \\times 0{,}7 = 168$, donc $P = \\dfrac{168}{0{,}7} = 240$."
},
{
"text": "$218{,}4$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : ajouter $30\\ \\%$ au prix remisé ne\ncompense pas la remise, car les $30\\ \\%$ ne portent pas sur\nla même valeur. Il faut diviser par $0{,}7$."
},
{
"text": "$117{,}6$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour\nremonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}7$."
},
{
"text": "$198$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $30$ euros, comme si la remise était un\nmontant et non un pourcentage."
}
],
"explanation": "Valeur finale $=$ valeur initiale $\\times$ coefficient\nmultiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la\nvaleur finale par ce coefficient."
},
{
"statement": "Après une remise de $40\\ \\%$, un article coûte $54$ euros. Quel\nétait son prix avant la remise ?",
"options": [
{
"text": "$90$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie\n$P \\times 0{,}6 = 54$, donc $P = \\dfrac{54}{0{,}6} = 90$."
},
{
"text": "$75{,}6$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : ajouter $40\\ \\%$ au prix remisé ne\ncompense pas la remise, car les $40\\ \\%$ ne portent pas sur\nla même valeur. Il faut diviser par $0{,}6$."
},
{
"text": "$32{,}4$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour\nremonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}6$."
},
{
"text": "$94$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $40$ euros, comme si la remise était un\nmontant et non un pourcentage."
}
],
"explanation": "Valeur finale $=$ valeur initiale $\\times$ coefficient\nmultiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la\nvaleur finale par ce coefficient."
}
]
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 1,
"skills": [
"taux-evolution",
"pourcentage"
],
"title": "Exprimer une évolution en pourcentage",
"partie": "evolutions",
"statement": "Le nombre d'adhérents d'un club passe de $80$ à $92$. Quel est le\ntaux d'évolution, exprimé en pourcentage ?",
"options": [
{
"text": "$+ 15\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{92 - 80}{80} = \\dfrac{12}{80}$,\nsoit $+ 15\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 12\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la variation absolue, un nombre\nd'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ."
},
{
"text": "$+ 13\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée\n$92$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur\nde départ $80$."
},
{
"text": "$+ 115\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{92}{80}$ est le coefficient multiplicateur.\nLe taux vaut ce coefficient diminué de $1$."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,\nque l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage.",
"variants": [
{
"statement": "Le nombre d'adhérents d'un club passe de $80$ à $92$. Quel est le\ntaux d'évolution, exprimé en pourcentage ?",
"options": [
{
"text": "$+ 15\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{92 - 80}{80} = \\dfrac{12}{80}$,\nsoit $+ 15\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 12\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la variation absolue, un nombre\nd'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ."
},
{
"text": "$+ 13\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée\n$92$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur\nde départ $80$."
},
{
"text": "$+ 115\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{92}{80}$ est le coefficient multiplicateur.\nLe taux vaut ce coefficient diminué de $1$."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,\nque l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage."
},
{
"statement": "Le nombre d'adhérents d'un club passe de $250$ à $215$. Quel est le\ntaux d'évolution, exprimé en pourcentage ?",
"options": [
{
"text": "$- 14\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{215 - 250}{250} = \\dfrac{-35}{250}$,\nsoit $- 14\\ \\%$."
},
{
"text": "$- 35\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-35$ est la variation absolue, un nombre\nd'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ."
},
{
"text": "$- 16{,}3\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée\n$215$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur\nde départ $250$."
},
{
"text": "$+ 86\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{215}{250}$ est le coefficient multiplicateur.\nLe taux vaut ce coefficient diminué de $1$."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,\nque l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage."
},
{
"statement": "Le nombre d'adhérents d'un club passe de $120$ à $150$. Quel est le\ntaux d'évolution, exprimé en pourcentage ?",
"options": [
{
"text": "$+ 25\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{150 - 120}{120} = \\dfrac{30}{120}$,\nsoit $+ 25\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 30\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $30$ est la variation absolue, un nombre\nd'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ."
},
{
"text": "$+ 20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée\n$150$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur\nde départ $120$."
},
{
"text": "$+ 125\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{150}{120}$ est le coefficient multiplicateur.\nLe taux vaut ce coefficient diminué de $1$."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,\nque l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage."
},
{
"statement": "Le nombre d'adhérents d'un club passe de $64$ à $48$. Quel est le\ntaux d'évolution, exprimé en pourcentage ?",
"options": [
{
"text": "$- 25\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{48 - 64}{64} = \\dfrac{-16}{64}$,\nsoit $- 25\\ \\%$."
},
{
"text": "$- 16\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-16$ est la variation absolue, un nombre\nd'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ."
},
{
"text": "$- 33{,}3\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée\n$48$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur\nde départ $64$."
},
{
"text": "$+ 75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{48}{64}$ est le coefficient multiplicateur.\nLe taux vaut ce coefficient diminué de $1$."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,\nque l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage."
}
]
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"evolutions-successives",
"coefficient-multiplicateur"
],
"title": "Trois évolutions successives",
"partie": "evolutions",
"statement": "Le prix d'une action augmente de $10\\ \\%$, puis baisse de\n$20\\ \\%$, puis augmente de $25\\ \\%$. Quelle est son évolution\nglobale ?",
"options": [
{
"text": "$+ 10\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient,\n$1{,}1 \\times 0{,}8 \\times 1{,}25 = 1{,}1$,\nsoit une évolution de $+ 10\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 15\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,\ncar chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les\ncoefficients multiplicateurs qui se multiplient."
},
{
"text": "$+ 110\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}1$ est le coefficient multiplicateur global. Le\ntaux global vaut $1{,}1 - 1$, et non $1{,}1 \\times 100$."
},
{
"text": "$+ 65\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la baisse de $20\\ \\%$ a été traitée comme une\nhausse. Son coefficient est $0{,}8$, inférieur à $1$."
}
],
"explanation": "Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients\nmultiplicateurs : le coefficient global $C$ donne le taux global\n$C - 1$.",
"variants": [
{
"statement": "Le prix d'une action augmente de $10\\ \\%$, puis baisse de\n$20\\ \\%$, puis augmente de $25\\ \\%$. Quelle est son évolution\nglobale ?",
"options": [
{
"text": "$+ 10\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient,\n$1{,}1 \\times 0{,}8 \\times 1{,}25 = 1{,}1$,\nsoit une évolution de $+ 10\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 15\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,\ncar chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les\ncoefficients multiplicateurs qui se multiplient."
},
{
"text": "$+ 110\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}1$ est le coefficient multiplicateur global. Le\ntaux global vaut $1{,}1 - 1$, et non $1{,}1 \\times 100$."
},
{
"text": "$+ 65\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la baisse de $20\\ \\%$ a été traitée comme une\nhausse. Son coefficient est $0{,}8$, inférieur à $1$."
}
],
"explanation": "Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients\nmultiplicateurs : le coefficient global $C$ donne le taux global\n$C - 1$."
},
{
"statement": "Le prix d'une action augmente de $20\\ \\%$, puis baisse de\n$10\\ \\%$, puis augmente de $5\\ \\%$. Quelle est son évolution\nglobale ?",
"options": [
{
"text": "$+ 13{,}4\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient,\n$1{,}2 \\times 0{,}9 \\times 1{,}05 = 1{,}134$,\nsoit une évolution de $+ 13{,}4\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 15\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,\ncar chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les\ncoefficients multiplicateurs qui se multiplient."
},
{
"text": "$+ 113{,}4\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}134$ est le coefficient multiplicateur global. Le\ntaux global vaut $1{,}134 - 1$, et non $1{,}134 \\times 100$."
},
{
"text": "$+ 38{,}6\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la baisse de $10\\ \\%$ a été traitée comme une\nhausse. Son coefficient est $0{,}9$, inférieur à $1$."
}
],
"explanation": "Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients\nmultiplicateurs : le coefficient global $C$ donne le taux global\n$C - 1$."
},
{
"statement": "Le prix d'une action augmente de $30\\ \\%$, puis baisse de\n$20\\ \\%$, puis augmente de $10\\ \\%$. Quelle est son évolution\nglobale ?",
"options": [
{
"text": "$+ 14{,}4\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient,\n$1{,}3 \\times 0{,}8 \\times 1{,}1 = 1{,}144$,\nsoit une évolution de $+ 14{,}4\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,\ncar chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les\ncoefficients multiplicateurs qui se multiplient."
},
{
"text": "$+ 114{,}4\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}144$ est le coefficient multiplicateur global. Le\ntaux global vaut $1{,}144 - 1$, et non $1{,}144 \\times 100$."
},
{
"text": "$+ 71{,}6\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la baisse de $20\\ \\%$ a été traitée comme une\nhausse. Son coefficient est $0{,}8$, inférieur à $1$."
}
],
"explanation": "Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients\nmultiplicateurs : le coefficient global $C$ donne le taux global\n$C - 1$."
}
]
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"taux-reciproque",
"coefficient-multiplicateur"
],
"title": "Effacer une hausse",
"partie": "evolutions",
"statement": "Le tarif d'un abonnement augmente de $25\\ \\%$. Quelle évolution\nramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $20\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque est\n$\\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de\n$20\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus\ngrand que le tarif initial. Une baisse de $25\\ \\%$ ferait\ndescendre sous la valeur de départ."
},
{
"text": "Une baisse de $80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}8$ est le coefficient multiplicateur\nréciproque. Il correspond à une baisse de $20\\ \\%$, et non\nde $80\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $12{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On\ncherche le coefficient $c$ tel que $1{,}25 \\times c = 1$."
}
],
"explanation": "Le taux réciproque d'une évolution de coefficient $C$ est celui de\ncoefficient $\\dfrac{1}{C}$ : il ramène à la valeur initiale.",
"variants": [
{
"statement": "Le tarif d'un abonnement augmente de $25\\ \\%$. Quelle évolution\nramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $20\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque est\n$\\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de\n$20\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus\ngrand que le tarif initial. Une baisse de $25\\ \\%$ ferait\ndescendre sous la valeur de départ."
},
{
"text": "Une baisse de $80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}8$ est le coefficient multiplicateur\nréciproque. Il correspond à une baisse de $20\\ \\%$, et non\nde $80\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $12{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On\ncherche le coefficient $c$ tel que $1{,}25 \\times c = 1$."
}
],
"explanation": "Le taux réciproque d'une évolution de coefficient $C$ est celui de\ncoefficient $\\dfrac{1}{C}$ : il ramène à la valeur initiale."
},
{
"statement": "Le tarif d'un abonnement augmente de $60\\ \\%$. Quelle évolution\nramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $37{,}5\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque est\n$\\dfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625$, soit une baisse de\n$37{,}5\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $60\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus\ngrand que le tarif initial. Une baisse de $60\\ \\%$ ferait\ndescendre sous la valeur de départ."
},
{
"text": "Une baisse de $62{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}625$ est le coefficient multiplicateur\nréciproque. Il correspond à une baisse de $37{,}5\\ \\%$, et non\nde $62{,}5\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $30\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On\ncherche le coefficient $c$ tel que $1{,}6 \\times c = 1$."
}
],
"explanation": "Le taux réciproque d'une évolution de coefficient $C$ est celui de\ncoefficient $\\dfrac{1}{C}$ : il ramène à la valeur initiale."
},
{
"statement": "Le tarif d'un abonnement augmente de $150\\ \\%$. Quelle évolution\nramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $60\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque est\n$\\dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}4$, soit une baisse de\n$60\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $150\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus\ngrand que le tarif initial. Une baisse de $150\\ \\%$ ferait\ndescendre sous la valeur de départ."
},
{
"text": "Une baisse de $40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}4$ est le coefficient multiplicateur\nréciproque. Il correspond à une baisse de $60\\ \\%$, et non\nde $40\\ \\%$."
},
{
"text": "Une baisse de $75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On\ncherche le coefficient $c$ tel que $2{,}5 \\times c = 1$."
}
],
"explanation": "Le taux réciproque d'une évolution de coefficient $C$ est celui de\ncoefficient $\\dfrac{1}{C}$ : il ramène à la valeur initiale."
}
]
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"taux-reciproque",
"baisse"
],
"title": "Compenser une baisse",
"partie": "evolutions",
"statement": "La fréquentation d'un musée a baissé de $20\\ \\%$. De quel\npourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau\nd'origine ?",
"options": [
{
"text": "$25\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit une hausse de\n$25\\ \\%$."
},
{
"text": "$20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation\nplus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que\n$20\\ \\%$ pour revenir au départ."
},
{
"text": "$80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $80\\ \\%$ est la part qui reste après la baisse,\npas la hausse nécessaire."
},
{
"text": "$125\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}25$ est le coefficient multiplicateur ; le\ntaux de hausse vaut ce coefficient diminué de $1$, soit\n$25\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Après une baisse de coefficient $C$, on revient à la valeur\ninitiale en multipliant par $\\dfrac{1}{C}$, qui est supérieur à\n$1$ : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie.",
"variants": [
{
"statement": "La fréquentation d'un musée a baissé de $20\\ \\%$. De quel\npourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau\nd'origine ?",
"options": [
{
"text": "$25\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit une hausse de\n$25\\ \\%$."
},
{
"text": "$20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation\nplus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que\n$20\\ \\%$ pour revenir au départ."
},
{
"text": "$80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $80\\ \\%$ est la part qui reste après la baisse,\npas la hausse nécessaire."
},
{
"text": "$125\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}25$ est le coefficient multiplicateur ; le\ntaux de hausse vaut ce coefficient diminué de $1$, soit\n$25\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Après une baisse de coefficient $C$, on revient à la valeur\ninitiale en multipliant par $\\dfrac{1}{C}$, qui est supérieur à\n$1$ : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie."
},
{
"statement": "La fréquentation d'un musée a baissé de $75\\ \\%$. De quel\npourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau\nd'origine ?",
"options": [
{
"text": "$300\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}25} = 4$, soit une hausse de\n$300\\ \\%$."
},
{
"text": "$75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation\nplus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que\n$75\\ \\%$ pour revenir au départ."
},
{
"text": "$25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $25\\ \\%$ est la part qui reste après la baisse,\npas la hausse nécessaire."
},
{
"text": "$400\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est le coefficient multiplicateur ; le\ntaux de hausse vaut ce coefficient diminué de $1$, soit\n$300\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Après une baisse de coefficient $C$, on revient à la valeur\ninitiale en multipliant par $\\dfrac{1}{C}$, qui est supérieur à\n$1$ : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie."
},
{
"statement": "La fréquentation d'un musée a baissé de $60\\ \\%$. De quel\npourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau\nd'origine ?",
"options": [
{
"text": "$150\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5$, soit une hausse de\n$150\\ \\%$."
},
{
"text": "$60\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation\nplus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que\n$60\\ \\%$ pour revenir au départ."
},
{
"text": "$40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $40\\ \\%$ est la part qui reste après la baisse,\npas la hausse nécessaire."
},
{
"text": "$250\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2{,}5$ est le coefficient multiplicateur ; le\ntaux de hausse vaut ce coefficient diminué de $1$, soit\n$150\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Après une baisse de coefficient $C$, on revient à la valeur\ninitiale en multipliant par $\\dfrac{1}{C}$, qui est supérieur à\n$1$ : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie."
}
]
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 1,
"skills": [
"coefficient-multiplicateur",
"taux-evolution"
],
"title": "Une grandeur multipliée",
"partie": "evolutions",
"statement": "Une grandeur est multipliée par $2$. Quel est le taux\nd'évolution correspondant ?",
"options": [
{
"text": "$+ 100\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,\n$2 - 1 = 1$, soit $+ 100\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 200\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a confondu le coefficient $2$ avec le taux. Un\ncoefficient de $1$ correspond à une évolution nulle."
},
{
"text": "$+ 2\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est un coefficient multiplicateur, pas un\npourcentage."
},
{
"text": "$+ 50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur\nfinale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale."
}
],
"explanation": "Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,\nc'est augmenter de $100\\ \\%$ ; diviser par deux, c'est baisser de\n$50\\ \\%$.",
"variants": [
{
"statement": "Une grandeur est multipliée par $2$. Quel est le taux\nd'évolution correspondant ?",
"options": [
{
"text": "$+ 100\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,\n$2 - 1 = 1$, soit $+ 100\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 200\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a confondu le coefficient $2$ avec le taux. Un\ncoefficient de $1$ correspond à une évolution nulle."
},
{
"text": "$+ 2\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est un coefficient multiplicateur, pas un\npourcentage."
},
{
"text": "$+ 50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur\nfinale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale."
}
],
"explanation": "Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,\nc'est augmenter de $100\\ \\%$ ; diviser par deux, c'est baisser de\n$50\\ \\%$."
},
{
"statement": "Une grandeur est multipliée par $3$. Quel est le taux\nd'évolution correspondant ?",
"options": [
{
"text": "$+ 200\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,\n$3 - 1 = 2$, soit $+ 200\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 300\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a confondu le coefficient $3$ avec le taux. Un\ncoefficient de $1$ correspond à une évolution nulle."
},
{
"text": "$+ 3\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est un coefficient multiplicateur, pas un\npourcentage."
},
{
"text": "$+ 66{,}7\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur\nfinale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale."
}
],
"explanation": "Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,\nc'est augmenter de $100\\ \\%$ ; diviser par deux, c'est baisser de\n$50\\ \\%$."
},
{
"statement": "Une grandeur est multipliée par $0{,}5$. Quel est le taux\nd'évolution correspondant ?",
"options": [
{
"text": "$- 50\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,\n$0{,}5 - 1 = -0{,}5$, soit $- 50\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a confondu le coefficient $0{,}5$ avec le taux. Un\ncoefficient de $1$ correspond à une évolution nulle."
},
{
"text": "$+ 0{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}5$ est un coefficient multiplicateur, pas un\npourcentage."
},
{
"text": "$- 100\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur\nfinale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale."
}
],
"explanation": "Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,\nc'est augmenter de $100\\ \\%$ ; diviser par deux, c'est baisser de\n$50\\ \\%$."
},
{
"statement": "Une grandeur est multipliée par $0{,}25$. Quel est le taux\nd'évolution correspondant ?",
"options": [
{
"text": "$- 75\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,\n$0{,}25 - 1 = -0{,}75$, soit $- 75\\ \\%$."
},
{
"text": "$+ 25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a confondu le coefficient $0{,}25$ avec le taux. Un\ncoefficient de $1$ correspond à une évolution nulle."
},
{
"text": "$+ 0{,}25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}25$ est un coefficient multiplicateur, pas un\npourcentage."
},
{
"text": "$- 300\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur\nfinale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale."
}
],
"explanation": "Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,\nc'est augmenter de $100\\ \\%$ ; diviser par deux, c'est baisser de\n$50\\ \\%$."
}
]
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-produit-nul"
],
"title": "Résoudre une équation produit nul",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 3)(2x + 8) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$ et $-4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des\nfacteurs est nul : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$, et\n$2x + 8 = 0$ donne $x = -4$."
},
{
"text": "$-3$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ et non\n$-3$. Il suffit de vérifier en remplaçant."
},
{
"text": "$3$ et $-8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : dans $2x + 8 = 0$, on obtient $2x = -8$, puis\nil faut encore diviser par $2$."
},
{
"text": "$-3$ et $8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreurs cumulées : signes changés et division par $2$\noubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier\ndegré."
}
],
"explanation": "Équation produit nul : $A \\times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou\n$B = 0$. On résout alors deux équations du premier degré.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 3)(2x + 8) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$ et $-4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des\nfacteurs est nul : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$, et\n$2x + 8 = 0$ donne $x = -4$."
},
{
"text": "$-3$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ et non\n$-3$. Il suffit de vérifier en remplaçant."
},
{
"text": "$3$ et $-8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : dans $2x + 8 = 0$, on obtient $2x = -8$, puis\nil faut encore diviser par $2$."
},
{
"text": "$-3$ et $8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreurs cumulées : signes changés et division par $2$\noubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier\ndegré."
}
],
"explanation": "Équation produit nul : $A \\times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou\n$B = 0$. On résout alors deux équations du premier degré."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x + 5)(3x - 6) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$-5$ et $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des\nfacteurs est nul : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$, et\n$3x - 6 = 0$ donne $x = 2$."
},
{
"text": "$5$ et $-2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$ et non\n$5$. Il suffit de vérifier en remplaçant."
},
{
"text": "$-5$ et $6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : dans $3x - 6 = 0$, on obtient $3x = 6$, puis\nil faut encore diviser par $3$."
},
{
"text": "$5$ et $-6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreurs cumulées : signes changés et division par $3$\noubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier\ndegré."
}
],
"explanation": "Équation produit nul : $A \\times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou\n$B = 0$. On résout alors deux équations du premier degré."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 6)(5x + 10) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ et $-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des\nfacteurs est nul : $x - 6 = 0$ donne $x = 6$, et\n$5x + 10 = 0$ donne $x = -2$."
},
{
"text": "$-6$ et $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 6 = 0$ donne $x = 6$ et non\n$-6$. Il suffit de vérifier en remplaçant."
},
{
"text": "$6$ et $-10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : dans $5x + 10 = 0$, on obtient $5x = -10$, puis\nil faut encore diviser par $5$."
},
{
"text": "$-6$ et $10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreurs cumulées : signes changés et division par $5$\noubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier\ndegré."
}
],
"explanation": "Équation produit nul : $A \\times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou\n$B = 0$. On résout alors deux équations du premier degré."
}
]
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-produit-nul",
"factorisation"
],
"title": "Ne pas diviser par x",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x - 5) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 0$ ou $x - 5 = 0$, d'où les deux\nsolutions $0$ et $5$."
},
{
"text": "$5$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$, car\non ne peut diviser par $x$ que si $x \\neq 0$."
},
{
"text": "$0$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 5 = 0$ donne $x = 5$."
},
{
"text": "$0$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le second facteur s'annule aussi, en $x = 5$."
}
],
"explanation": "On n'élimine jamais un facteur $x$ en divisant : on applique la\nrègle du produit nul à chaque facteur.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x - 5) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 0$ ou $x - 5 = 0$, d'où les deux\nsolutions $0$ et $5$."
},
{
"text": "$5$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$, car\non ne peut diviser par $x$ que si $x \\neq 0$."
},
{
"text": "$0$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 5 = 0$ donne $x = 5$."
},
{
"text": "$0$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le second facteur s'annule aussi, en $x = 5$."
}
],
"explanation": "On n'élimine jamais un facteur $x$ en divisant : on applique la\nrègle du produit nul à chaque facteur."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x - 7) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$ et $7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 0$ ou $x - 7 = 0$, d'où les deux\nsolutions $0$ et $7$."
},
{
"text": "$7$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$, car\non ne peut diviser par $x$ que si $x \\neq 0$."
},
{
"text": "$0$ et $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 7 = 0$ donne $x = 7$."
},
{
"text": "$0$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le second facteur s'annule aussi, en $x = 7$."
}
],
"explanation": "On n'élimine jamais un facteur $x$ en divisant : on applique la\nrègle du produit nul à chaque facteur."
},
{
"statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x + 3) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$0$ et $-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 0$ ou $x + 3 = 0$, d'où les deux\nsolutions $0$ et $-3$."
},
{
"text": "$-3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$, car\non ne peut diviser par $x$ que si $x \\neq 0$."
},
{
"text": "$0$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 3 = 0$ donne $x = -3$."
},
{
"text": "$0$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le second facteur s'annule aussi, en $x = -3$."
}
],
"explanation": "On n'élimine jamais un facteur $x$ en divisant : on applique la\nrègle du produit nul à chaque facteur."
}
]
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 1,
"skills": [
"signe",
"premier-degre"
],
"title": "Signe d'une expression du premier degré",
"partie": "calcul",
"statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-2x + 6$ est-elle\nstrictement positive ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = 3$ et, son\ncoefficient $-2$ étant négatif, elle est positive avant cette\nvaleur."
},
{
"text": "Pour $x > 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression\ndécroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule."
},
{
"text": "Pour $x < -3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la racine : $-2x + 6 = 0$ donne\n$x = 3$."
},
{
"text": "Pour $x > -3$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la racine est $3$, et l'expression est\npositive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est\nnégatif."
}
],
"explanation": "$ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$\naprès cette valeur et du signe contraire avant.",
"variants": [
{
"statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-2x + 6$ est-elle\nstrictement positive ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = 3$ et, son\ncoefficient $-2$ étant négatif, elle est positive avant cette\nvaleur."
},
{
"text": "Pour $x > 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression\ndécroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule."
},
{
"text": "Pour $x < -3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la racine : $-2x + 6 = 0$ donne\n$x = 3$."
},
{
"text": "Pour $x > -3$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la racine est $3$, et l'expression est\npositive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est\nnégatif."
}
],
"explanation": "$ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$\naprès cette valeur et du signe contraire avant."
},
{
"statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-3x + 12$ est-elle\nstrictement positive ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = 4$ et, son\ncoefficient $-3$ étant négatif, elle est positive avant cette\nvaleur."
},
{
"text": "Pour $x > 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression\ndécroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule."
},
{
"text": "Pour $x < -4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la racine : $-3x + 12 = 0$ donne\n$x = 4$."
},
{
"text": "Pour $x > -4$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la racine est $4$, et l'expression est\npositive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est\nnégatif."
}
],
"explanation": "$ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$\naprès cette valeur et du signe contraire avant."
},
{
"statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-5x + 10$ est-elle\nstrictement positive ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = 2$ et, son\ncoefficient $-5$ étant négatif, elle est positive avant cette\nvaleur."
},
{
"text": "Pour $x > 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression\ndécroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule."
},
{
"text": "Pour $x < -2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la racine : $-5x + 10 = 0$ donne\n$x = 2$."
},
{
"text": "Pour $x > -2$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la racine est $2$, et l'expression est\npositive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est\nnégatif."
}
],
"explanation": "$ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$\naprès cette valeur et du signe contraire avant."
},
{
"statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-4x - 8$ est-elle\nstrictement positive ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = -2$ et, son\ncoefficient $-4$ étant négatif, elle est positive avant cette\nvaleur."
},
{
"text": "Pour $x > -2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression\ndécroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule."
},
{
"text": "Pour $x < 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la racine : $-4x - 8 = 0$ donne\n$x = -2$."
},
{
"text": "Pour $x > 2$",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la racine est $-2$, et l'expression est\npositive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est\nnégatif."
}
],
"explanation": "$ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$\naprès cette valeur et du signe contraire avant."
}
]
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe",
"forme-factorisee",
"inequation"
],
"title": "Résoudre une inéquation produit",
"partie": "calcul",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$(x + 3)(x - 1) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-3\\,;\\,1[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit s'annule en $-3$ et $1$ ; il est\nnégatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de\nsignes contraires."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[ \\cup ]1\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le\nmême signe et le produit est positif."
},
{
"text": "$]-1\\,;\\,3[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 3$ s'annule en $-3$, pas en\n$3$."
},
{
"text": "$[-3\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit\nvaut $0$ en $-3$ et en $1$ ; elles sont exclues."
}
],
"explanation": "On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des\nsignes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif\nentre les racines.",
"variants": [
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$(x + 3)(x - 1) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-3\\,;\\,1[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit s'annule en $-3$ et $1$ ; il est\nnégatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de\nsignes contraires."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[ \\cup ]1\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le\nmême signe et le produit est positif."
},
{
"text": "$]-1\\,;\\,3[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 3$ s'annule en $-3$, pas en\n$3$."
},
{
"text": "$[-3\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit\nvaut $0$ en $-3$ et en $1$ ; elles sont exclues."
}
],
"explanation": "On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des\nsignes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif\nentre les racines."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$(x - 2)(x - 5) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]2\\,;\\,5[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit s'annule en $2$ et $5$ ; il est\nnégatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de\nsignes contraires."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,2[ \\cup ]5\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le\nmême signe et le produit est positif."
},
{
"text": "$]-5\\,;\\,-2[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 2$ s'annule en $2$, pas en\n$-2$."
},
{
"text": "$[2\\,;\\,5]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit\nvaut $0$ en $2$ et en $5$ ; elles sont exclues."
}
],
"explanation": "On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des\nsignes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif\nentre les racines."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$(x + 4)(x + 1) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-4\\,;\\,-1[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit s'annule en $-4$ et $-1$ ; il est\nnégatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de\nsignes contraires."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-4[ \\cup ]-1\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le\nmême signe et le produit est positif."
},
{
"text": "$]1\\,;\\,4[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 4$ s'annule en $-4$, pas en\n$4$."
},
{
"text": "$[-4\\,;\\,-1]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit\nvaut $0$ en $-4$ et en $-1$ ; elles sont exclues."
}
],
"explanation": "On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des\nsignes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif\nentre les racines."
},
{
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$(x + 2)(x - 6) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,6[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le produit s'annule en $-2$ et $6$ ; il est\nnégatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de\nsignes contraires."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]6\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le\nmême signe et le produit est positif."
},
{
"text": "$]-6\\,;\\,2[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x + 2$ s'annule en $-2$, pas en\n$2$."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,6]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit\nvaut $0$ en $-2$ et en $6$ ; elles sont exclues."
}
],
"explanation": "On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des\nsignes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif\nentre les racines."
}
]
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 1,
"skills": [
"developpement",
"double-distributivite"
],
"title": "Développer un produit",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelle est la forme développée et réduite de\n$(3x + 2)(x - 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x^2 - 10x - 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3x \\times x + 3x \\times (-4) + 2 \\times x\n+ 2 \\times (-4) = 3x^2 - 10x - 8$."
},
{
"text": "$3x^2 - 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été\nmultipliés. La double distributivité donne quatre produits."
},
{
"text": "$3x^2 - 2x - 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $3x \\times (-4)$ vaut $-12x$ ; il ne\nsuffit pas d'ajouter $2$ et $-4$."
},
{
"text": "$3x^2 - 10x + 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le terme constant :\n$2 \\times (-4) = -8$."
}
],
"explanation": "$(ax + b)(x + c) = ax^2 + acx + bx + bc$ : chaque terme du premier\nfacteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme développée et réduite de\n$(3x + 2)(x - 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x^2 - 10x - 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3x \\times x + 3x \\times (-4) + 2 \\times x\n+ 2 \\times (-4) = 3x^2 - 10x - 8$."
},
{
"text": "$3x^2 - 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été\nmultipliés. La double distributivité donne quatre produits."
},
{
"text": "$3x^2 - 2x - 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $3x \\times (-4)$ vaut $-12x$ ; il ne\nsuffit pas d'ajouter $2$ et $-4$."
},
{
"text": "$3x^2 - 10x + 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le terme constant :\n$2 \\times (-4) = -8$."
}
],
"explanation": "$(ax + b)(x + c) = ax^2 + acx + bx + bc$ : chaque terme du premier\nfacteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit."
},
{
"statement": "Quelle est la forme développée et réduite de\n$(2x - 3)(x + 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x^2 + 7x - 15$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2x \\times x + 2x \\times (5) + -3 \\times x\n+ -3 \\times (5) = 2x^2 + 7x - 15$."
},
{
"text": "$2x^2 - 15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été\nmultipliés. La double distributivité donne quatre produits."
},
{
"text": "$2x^2 + 2x - 15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $2x \\times (5)$ vaut $10x$ ; il ne\nsuffit pas d'ajouter $-3$ et $5$."
},
{
"text": "$2x^2 + 7x + 15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le terme constant :\n$-3 \\times (5) = -15$."
}
],
"explanation": "$(ax + b)(x + c) = ax^2 + acx + bx + bc$ : chaque terme du premier\nfacteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit."
},
{
"statement": "Quelle est la forme développée et réduite de\n$(4x + 1)(x - 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$4x^2 - 11x - 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4x \\times x + 4x \\times (-3) + 1 \\times x\n+ 1 \\times (-3) = 4x^2 - 11x - 3$."
},
{
"text": "$4x^2 - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été\nmultipliés. La double distributivité donne quatre produits."
},
{
"text": "$4x^2 - 2x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $4x \\times (-3)$ vaut $-12x$ ; il ne\nsuffit pas d'ajouter $1$ et $-3$."
},
{
"text": "$4x^2 - 11x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le terme constant :\n$1 \\times (-3) = -3$."
}
],
"explanation": "$(ax + b)(x + c) = ax^2 + acx + bx + bc$ : chaque terme du premier\nfacteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit."
}
]
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"factorisation",
"facteur-commun"
],
"title": "Factoriser par un facteur commun",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelle est une factorisation de $6x^2 - 9x$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x(2x - 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le facteur commun est $3x$, et\n$3x \\times 2x - 3x \\times 3 = 6x^2 - 9x$."
},
{
"text": "$3x(2x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en développant, on obtient\n$6x^2 + 9x$."
},
{
"text": "$3(2x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $x$ a disparu. En développant, on obtient\n$6x - 9$, sans terme en $x^2$."
},
{
"text": "$3x^2(2 - 3x)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, $3x^2 \\times 3x$ donne un terme en\n$x^3$. Le facteur commun est $3x$, pas $3x^2$."
}
],
"explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On\nvérifie toujours une factorisation en redéveloppant.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est une factorisation de $6x^2 - 9x$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x(2x - 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le facteur commun est $3x$, et\n$3x \\times 2x - 3x \\times 3 = 6x^2 - 9x$."
},
{
"text": "$3x(2x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en développant, on obtient\n$6x^2 + 9x$."
},
{
"text": "$3(2x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $x$ a disparu. En développant, on obtient\n$6x - 9$, sans terme en $x^2$."
},
{
"text": "$3x^2(2 - 3x)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, $3x^2 \\times 3x$ donne un terme en\n$x^3$. Le facteur commun est $3x$, pas $3x^2$."
}
],
"explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On\nvérifie toujours une factorisation en redéveloppant."
},
{
"statement": "Quelle est une factorisation de $12x^2 - 20x$ ?",
"options": [
{
"text": "$4x(3x - 5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le facteur commun est $4x$, et\n$4x \\times 3x - 4x \\times 5 = 12x^2 - 20x$."
},
{
"text": "$4x(3x + 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en développant, on obtient\n$12x^2 + 20x$."
},
{
"text": "$4(3x - 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $x$ a disparu. En développant, on obtient\n$12x - 20$, sans terme en $x^2$."
},
{
"text": "$4x^2(3 - 5x)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, $4x^2 \\times 5x$ donne un terme en\n$x^3$. Le facteur commun est $4x$, pas $4x^2$."
}
],
"explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On\nvérifie toujours une factorisation en redéveloppant."
},
{
"statement": "Quelle est une factorisation de $10x^2 - 35x$ ?",
"options": [
{
"text": "$5x(2x - 7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le facteur commun est $5x$, et\n$5x \\times 2x - 5x \\times 7 = 10x^2 - 35x$."
},
{
"text": "$5x(2x + 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en développant, on obtient\n$10x^2 + 35x$."
},
{
"text": "$5(2x - 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $x$ a disparu. En développant, on obtient\n$10x - 35$, sans terme en $x^2$."
},
{
"text": "$5x^2(2 - 7x)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, $5x^2 \\times 7x$ donne un terme en\n$x^3$. Le facteur commun est $5x$, pas $5x^2$."
}
],
"explanation": "Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On\nvérifie toujours une factorisation en redéveloppant."
}
]
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 2,
"skills": [
"factorisation",
"difference-de-carres"
],
"title": "Factoriser une différence de deux carrés",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 25$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 5)(x + 5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $25 = 5^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$."
},
{
"text": "$(x - 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$, qui comporte un\nterme en $x$ et se termine par $+ 25$."
},
{
"text": "$(x + 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$, qui n'est pas une\ndifférence."
},
{
"text": "$(x - 25)(x + 25)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 625$. Il faut écrire\n$25$ comme le carré de $5$."
}
],
"explanation": "On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \\sqrt{25}$, puis on\nfactorise en $(a - b)(a + b)$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 25$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 5)(x + 5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $25 = 5^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$."
},
{
"text": "$(x - 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$, qui comporte un\nterme en $x$ et se termine par $+ 25$."
},
{
"text": "$(x + 5)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$, qui n'est pas une\ndifférence."
},
{
"text": "$(x - 25)(x + 25)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 625$. Il faut écrire\n$25$ comme le carré de $5$."
}
],
"explanation": "On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \\sqrt{25}$, puis on\nfactorise en $(a - b)(a + b)$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 49$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 7)(x + 7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $49 = 7^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$."
},
{
"text": "$(x - 7)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49$, qui comporte un\nterme en $x$ et se termine par $+ 49$."
},
{
"text": "$(x + 7)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$, qui n'est pas une\ndifférence."
},
{
"text": "$(x - 49)(x + 49)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 2401$. Il faut écrire\n$49$ comme le carré de $7$."
}
],
"explanation": "On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \\sqrt{49}$, puis on\nfactorise en $(a - b)(a + b)$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 81$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 9)(x + 9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $81 = 9^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$."
},
{
"text": "$(x - 9)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x - 9)^2 = x^2 - 18x + 81$, qui comporte un\nterme en $x$ et se termine par $+ 81$."
},
{
"text": "$(x + 9)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x + 9)^2 = x^2 + 18x + 81$, qui n'est pas une\ndifférence."
},
{
"text": "$(x - 81)(x + 81)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 6561$. Il faut écrire\n$81$ comme le carré de $9$."
}
],
"explanation": "On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \\sqrt{81}$, puis on\nfactorise en $(a - b)(a + b)$."
},
{
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 36$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 6)(x + 6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $36 = 6^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$."
},
{
"text": "$(x - 6)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36$, qui comporte un\nterme en $x$ et se termine par $+ 36$."
},
{
"text": "$(x + 6)^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36$, qui n'est pas une\ndifférence."
},
{
"text": "$(x - 36)(x + 36)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 1296$. Il faut écrire\n$36$ comme le carré de $6$."
}
],
"explanation": "On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \\sqrt{36}$, puis on\nfactorise en $(a - b)(a + b)$."
}
]
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"developpement",
"reduction"
],
"title": "Réduire une expression avec des parenthèses",
"partie": "calcul",
"statement": "Quelle est la forme réduite de $5(x - 2) - 3(x - 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5x - 10 - 3x + 12 = 2x + 2$."
},
{
"text": "$2x - 22$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : le signe « $-$ » devant $3(x - 4)$ change\nle signe des deux termes, et $-3 \\times (-4) = +12$."
},
{
"text": "$2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ multiplie aussi $-2$, ce qui donne\n$-10$ et non $-2$."
},
{
"text": "$8x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $-3x$ se soustrait à $5x$ ; on obtient\n$2x$."
}
],
"explanation": "On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on\nregroupe les termes en $x$ et les constantes.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme réduite de $5(x - 2) - 3(x - 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5x - 10 - 3x + 12 = 2x + 2$."
},
{
"text": "$2x - 22$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : le signe « $-$ » devant $3(x - 4)$ change\nle signe des deux termes, et $-3 \\times (-4) = +12$."
},
{
"text": "$2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ multiplie aussi $-2$, ce qui donne\n$-10$ et non $-2$."
},
{
"text": "$8x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $-3x$ se soustrait à $5x$ ; on obtient\n$2x$."
}
],
"explanation": "On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on\nregroupe les termes en $x$ et les constantes."
},
{
"statement": "Quelle est la forme réduite de $7(x - 1) - 4(x - 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3x + 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $7x - 7 - 4x + 12 = 3x + 5$."
},
{
"text": "$3x - 19$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : le signe « $-$ » devant $4(x - 3)$ change\nle signe des deux termes, et $-4 \\times (-3) = +12$."
},
{
"text": "$3x + 11$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ multiplie aussi $-1$, ce qui donne\n$-7$ et non $-1$."
},
{
"text": "$11x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $-4x$ se soustrait à $7x$ ; on obtient\n$3x$."
}
],
"explanation": "On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on\nregroupe les termes en $x$ et les constantes."
},
{
"statement": "Quelle est la forme réduite de $6(x - 2) - 4(x - 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x + 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $6x - 12 - 4x + 20 = 2x + 8$."
},
{
"text": "$2x - 32$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : le signe « $-$ » devant $4(x - 5)$ change\nle signe des deux termes, et $-4 \\times (-5) = +20$."
},
{
"text": "$2x + 18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ multiplie aussi $-2$, ce qui donne\n$-12$ et non $-2$."
},
{
"text": "$10x + 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $-4x$ se soustrait à $6x$ ; on obtient\n$2x$."
}
],
"explanation": "On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on\nregroupe les termes en $x$ et les constantes."
}
]
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 1,
"skills": [
"resolution-graphique",
"equation"
],
"title": "Résoudre graphiquement une équation",
"partie": "fonctions",
"statement": "La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur\n$[-4\\,;\\,4]$. Quelles sont les solutions de l'équation\n$f(x) = 2$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.5,-2.5) grid (4.5,4.5);\n \\draw[->] (-4.7,0) -- (4.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-4,2) -- (-2,-2) -- (0,2) -- (2,4) -- (4,0);\n \\foreach \\p in {(-4,2),(4,0)} \\fill[blue] \\p circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.6,4.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie\nles points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-4$, $0$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on trace la droite horizontale $y = 2$ et on lit\nles abscisses des trois points d'intersection avec la courbe."
},
{
"text": "$0$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : la courbe part du point $(-4\\,;\\,2)$, donc\n$f(-4) = 2$ et $-4$ est aussi solution."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est l'image de $2$, c'est-à-dire $f(2)$. On cherche\nau contraire les antécédents de $2$."
},
{
"text": "$-3$, $-1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les solutions de $f(x) = 0$, lues sur l'axe des\nabscisses et non sur la droite $y = 2$."
}
],
"explanation": "Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points de la\ncourbe d'ordonnée $k$, intersections avec la droite $y = k$."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 2,
"skills": [
"resolution-graphique",
"inequation"
],
"title": "Résoudre graphiquement une inéquation",
"partie": "fonctions",
"statement": "Avec la même courbe de la fonction $f$, quel est l'ensemble des\nsolutions de l'inéquation $f(x) < 2$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.5,-2.5) grid (4.5,4.5);\n \\draw[->] (-4.7,0) -- (4.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-4,2) -- (-2,-2) -- (0,2) -- (2,4) -- (4,0);\n \\foreach \\p in {(-4,2),(4,0)} \\fill[blue] \\p circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.6,4.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie\nles points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$]-4\\,;\\,0[ \\cup ]3\\,;\\,4]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe est strictement sous la droite\n$y = 2$ entre $-4$ et $0$, puis de $3$ jusqu'à $4$ inclus,\npuisque $f(4) = 0$."
},
{
"text": "$[-4\\,;\\,0] \\cup [3\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur les bornes : en $-4$, $0$ et $3$, $f(x) = 2$, ce qui\nne vérifie pas l'inégalité stricte."
},
{
"text": "$]0\\,;\\,3[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de la\ndroite $y = 2$ ; c'est l'ensemble des solutions de $f(x) > 2$."
},
{
"text": "$[-4\\,;\\,-2] \\cup [2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les intervalles où $f$ est décroissante. On\ncompare ici les ordonnées des points de la courbe à $2$."
}
],
"explanation": "Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la\ncourbe situés strictement sous la droite $y = k$."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 1,
"skills": [
"signe",
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire le signe d'une fonction",
"partie": "fonctions",
"statement": "Toujours avec la courbe de $f$ ci-dessous, sur quel intervalle\n$f(x)$ est-il strictement négatif ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.5,-2.5) grid (4.5,4.5);\n \\draw[->] (-4.7,0) -- (4.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-4,2) -- (-2,-2) -- (0,2) -- (2,4) -- (4,0);\n \\foreach \\p in {(-4,2),(4,0)} \\fill[blue] \\p circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.6,4.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie\nles points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$]-3\\,;\\,-1[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe passe sous l'axe des abscisses entre\nses deux points d'intersection avec cet axe, d'abscisses $-3$\net $-1$."
},
{
"text": "$]-4\\,;\\,-2[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur cet intervalle, $f$ est décroissante, mais elle\nreste positive jusqu'à $x = -3$. Signe et variations sont deux\nlectures différentes."
},
{
"text": "$]-2\\,;\\,2[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est l'intervalle où $f$ est croissante, pas celui où\nelle est négative."
},
{
"text": "$]-2\\,;\\,-1[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : il manque la partie entre $-3$ et $-2$, où la courbe\nest déjà sous l'axe."
}
],
"explanation": "$f(x) < 0$ là où la courbe est sous l'axe des abscisses. Les bornes\nsont les abscisses des points où la courbe coupe cet axe."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire des variations sur une courbe",
"partie": "fonctions",
"statement": "Quelles sont les variations de la fonction $f$ représentée\nci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.5,-2.5) grid (4.5,4.5);\n \\draw[->] (-4.7,0) -- (4.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-4,2) -- (-2,-2) -- (0,2) -- (2,4) -- (4,0);\n \\foreach \\p in {(-4,2),(4,0)} \\fill[blue] \\p circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.6,4.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie\nles points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Décroissante sur $[-4\\,;\\,-2]$, croissante sur $[-2\\,;\\,2]$,\ndécroissante sur $[2\\,;\\,4]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on lit la courbe de gauche à droite ; elle\ndescend jusqu'à $x = -2$, monte jusqu'à $x = 2$, puis\nredescend."
},
{
"text": "Croissante sur $[-4\\,;\\,-2]$, décroissante sur $[-2\\,;\\,2]$,\ncroissante sur $[2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les sens sont inversés. La courbe commence par\ndescendre de $(-4\\,;\\,2)$ à $(-2\\,;\\,-2)$."
},
{
"text": "Positive sur $[-4\\,;\\,-3]$, négative sur $[-3\\,;\\,-1]$,\npositive sur $[-1\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce découpage décrit le signe de $f(x)$, pas ses\nvariations."
},
{
"text": "Décroissante sur $[-4\\,;\\,-2]$, puis croissante sur\n$[-2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après le maximum atteint en $x = 2$, la courbe\nredescend jusqu'à $(4\\,;\\,0)$."
}
],
"explanation": "Une fonction est croissante sur un intervalle quand sa courbe\nmonte de gauche à droite. Les intervalles se lisent sur l'axe des\nabscisses."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-reduite",
"lecture-graphique"
],
"title": "Lire l'équation réduite d'une droite",
"partie": "fonctions",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée ci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1.5,-1.5) grid (7.5,4.5);\n \\draw[->] (-1.7,0) -- (7.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2,3,4,5,6,7} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.1,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (-1.5,3.75) -- (7.5,-0.75);\n \\node[blue,font=\\small] at (5,1.4) {$d$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère quadrillé. La droite d passe par les points (0 ; 3) et\n(6 ; 0) ; elle descend de gauche à droite.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$y = -0{,}5x + 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est $3$ ; en avançant de\n$2$ unités vers la droite, on descend de $1$ : le coefficient\ndirecteur vaut $-\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$y = 0{,}5x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : la droite descend, son coefficient directeur\nest négatif."
},
{
"text": "$y = -2x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient directeur est le rapport « déplacement\nvertical sur déplacement horizontal », ici $\\dfrac{-1}{2}$, et\nnon l'inverse."
},
{
"text": "$y = -0{,}5x + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe\ndes abscisses. L'ordonnée à l'origine se lit sur l'axe des\nordonnées : $3$."
}
],
"explanation": "Dans $y = mx + p$, $p$ se lit à l'intersection avec l'axe des\nordonnées et $m$ est la variation de $y$ quand $x$ augmente de $1$."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-reduite",
"coefficient-directeur"
],
"title": "L'équation d'une droite passant par deux points",
"partie": "fonctions",
"statement": "Une droite passe par les points $A(1\\,;\\,3)$ et\n$B(3\\,;\\,7)$. Quelle est son équation réduite ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{7 - (3)}{3 - (1)} = 2$,\npuis $3 = 2 \\times (1) + p$ donne $p = 1$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{2}x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient directeur est\n$\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; on a calculé son inverse."
},
{
"text": "$y = 2x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans le calcul de $p$ : $p = y_A - m x_A\n= 1$."
},
{
"text": "$y = -2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le coefficient directeur : de $A$ à $B$,\n$y$ varie de $4$ quand $x$ varie de $2$."
}
],
"explanation": "On calcule $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$.",
"variants": [
{
"statement": "Une droite passe par les points $A(1\\,;\\,3)$ et\n$B(3\\,;\\,7)$. Quelle est son équation réduite ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{7 - (3)}{3 - (1)} = 2$,\npuis $3 = 2 \\times (1) + p$ donne $p = 1$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{2}x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient directeur est\n$\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; on a calculé son inverse."
},
{
"text": "$y = 2x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans le calcul de $p$ : $p = y_A - m x_A\n= 1$."
},
{
"text": "$y = -2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le coefficient directeur : de $A$ à $B$,\n$y$ varie de $4$ quand $x$ varie de $2$."
}
],
"explanation": "On calcule $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$."
},
{
"statement": "Une droite passe par les points $A(-1\\,;\\,5)$ et\n$B(2\\,;\\,-1)$. Quelle est son équation réduite ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{-1 - (5)}{2 - (-1)} = -2$,\npuis $5 = -2 \\times (-1) + p$ donne $p = 3$."
},
{
"text": "$y = -\\dfrac{1}{2}x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient directeur est\n$\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; on a calculé son inverse."
},
{
"text": "$y = -2x + 7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans le calcul de $p$ : $p = y_A - m x_A\n= 3$."
},
{
"text": "$y = 2x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le coefficient directeur : de $A$ à $B$,\n$y$ varie de $-6$ quand $x$ varie de $3$."
}
],
"explanation": "On calcule $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$."
},
{
"statement": "Une droite passe par les points $A(2\\,;\\,-1)$ et\n$B(5\\,;\\,8)$. Quelle est son équation réduite ?",
"options": [
{
"text": "$y = 3x - 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{8 - (-1)}{5 - (2)} = 3$,\npuis $-1 = 3 \\times (2) + p$ donne $p = -7$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{3}x - 7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient directeur est\n$\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; on a calculé son inverse."
},
{
"text": "$y = 3x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans le calcul de $p$ : $p = y_A - m x_A\n= -7$."
},
{
"text": "$y = -3x - 7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le coefficient directeur : de $A$ à $B$,\n$y$ varie de $9$ quand $x$ varie de $3$."
}
],
"explanation": "On calcule $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$."
}
]
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 1,
"skills": [
"coefficient-directeur",
"tracer-droite"
],
"title": "Tracer une droite à partir d'un point et d'une pente",
"partie": "fonctions",
"statement": "Une droite passe par le point $A(1\\,;\\,2)$ et a pour\ncoefficient directeur $-3$. Quel autre point lui appartient ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie du\ncoefficient directeur, $-3$ ; on passe de $2$ à $-1$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : quand $x$ augmente de $1$, on ajoute\n$-3$ à $y$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles de $x$ et de $y$ sont inversés. C'est $y$\nqui varie de $-3$ quand $x$ augmente de $1$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-3$ est la variation de $y$, pas sa nouvelle valeur.\nIl faut l'ajouter à $2$."
}
],
"explanation": "Pour tracer une droite de coefficient directeur $m$ passant par\n$A$, on part de $A$, on avance de $1$ et on monte (ou descend) de\n$m$.",
"variants": [
{
"statement": "Une droite passe par le point $A(1\\,;\\,2)$ et a pour\ncoefficient directeur $-3$. Quel autre point lui appartient ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie du\ncoefficient directeur, $-3$ ; on passe de $2$ à $-1$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : quand $x$ augmente de $1$, on ajoute\n$-3$ à $y$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles de $x$ et de $y$ sont inversés. C'est $y$\nqui varie de $-3$ quand $x$ augmente de $1$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-3$ est la variation de $y$, pas sa nouvelle valeur.\nIl faut l'ajouter à $2$."
}
],
"explanation": "Pour tracer une droite de coefficient directeur $m$ passant par\n$A$, on part de $A$, on avance de $1$ et on monte (ou descend) de\n$m$."
},
{
"statement": "Une droite passe par le point $A(-2\\,;\\,1)$ et a pour\ncoefficient directeur $2$. Quel autre point lui appartient ?",
"options": [
{
"text": "$(-1\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie du\ncoefficient directeur, $2$ ; on passe de $1$ à $3$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : quand $x$ augmente de $1$, on ajoute\n$2$ à $y$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles de $x$ et de $y$ sont inversés. C'est $y$\nqui varie de $2$ quand $x$ augmente de $1$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est la variation de $y$, pas sa nouvelle valeur.\nIl faut l'ajouter à $1$."
}
],
"explanation": "Pour tracer une droite de coefficient directeur $m$ passant par\n$A$, on part de $A$, on avance de $1$ et on monte (ou descend) de\n$m$."
},
{
"statement": "Une droite passe par le point $A(3\\,;\\,-4)$ et a pour\ncoefficient directeur $4$. Quel autre point lui appartient ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,0)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie du\ncoefficient directeur, $4$ ; on passe de $-4$ à $0$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : quand $x$ augmente de $1$, on ajoute\n$4$ à $y$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles de $x$ et de $y$ sont inversés. C'est $y$\nqui varie de $4$ quand $x$ augmente de $1$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est la variation de $y$, pas sa nouvelle valeur.\nIl faut l'ajouter à $-4$."
}
],
"explanation": "Pour tracer une droite de coefficient directeur $m$ passant par\n$A$, on part de $A$, on avance de $1$ et on monte (ou descend) de\n$m$."
}
]
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-reduite",
"appartenance"
],
"title": "Un point sur une droite donnée par son équation",
"partie": "fonctions",
"statement": "Quel point appartient à la droite d'équation $y = -2x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2 \\times (3) + 5 = -1$, donc les\ncoordonnées vérifient l'équation."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-11)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute\n$5$, on ne le retranche pas."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace $x$\npar l'abscisse du point."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-16)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de priorité : on a calculé $-2 \\times (3 + 5)$.\nLa multiplication porte seulement sur $x$."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et\nseulement si ses coordonnées vérifient cette égalité.",
"variants": [
{
"statement": "Quel point appartient à la droite d'équation $y = -2x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2 \\times (3) + 5 = -1$, donc les\ncoordonnées vérifient l'équation."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-11)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute\n$5$, on ne le retranche pas."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace $x$\npar l'abscisse du point."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-16)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de priorité : on a calculé $-2 \\times (3 + 5)$.\nLa multiplication porte seulement sur $x$."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et\nseulement si ses coordonnées vérifient cette égalité."
},
{
"statement": "Quel point appartient à la droite d'équation $y = 3x - 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3 \\times (1) - 4 = -1$, donc les\ncoordonnées vérifient l'équation."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute\n$-4$, on ne le retranche pas."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace $x$\npar l'abscisse du point."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-9)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de priorité : on a calculé $3 \\times (1 - 4)$.\nLa multiplication porte seulement sur $x$."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et\nseulement si ses coordonnées vérifient cette égalité."
},
{
"statement": "Quel point appartient à la droite d'équation $y = 4x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-2\\,;\\,-7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4 \\times (-2) + 1 = -7$, donc les\ncoordonnées vérifient l'équation."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-9)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute\n$1$, on ne le retranche pas."
},
{
"text": "$(-7\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace $x$\npar l'abscisse du point."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de priorité : on a calculé $4 \\times (-2 + 1)$.\nLa multiplication porte seulement sur $x$."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et\nseulement si ses coordonnées vérifient cette égalité."
}
]
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 1,
"skills": [
"moyenne-ponderee",
"indicateurs"
],
"title": "Calculer une moyenne pondérée",
"partie": "donnees",
"statement": "Dans une série statistique, la valeur $8$ apparaît $3$ fois,\nla valeur $10$ apparaît $5$ fois, la valeur $12$ apparaît\n$8$ fois et la valeur $15$ apparaît $4$ fois. Quelle est la\nmoyenne de cette série ?",
"options": [
{
"text": "$11{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des valeurs est $230$ pour un effectif\ntotal de $20$, et $\\dfrac{230}{20} = 11{,}5$."
},
{
"text": "$11{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte\nde leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle\napparaît."
},
{
"text": "$57{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme pondérée $230$ se divise par l'effectif total\n$20$, pas par le nombre de valeurs différentes."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas\nla moyenne."
}
],
"explanation": "Moyenne pondérée : $\\bar{x} = \\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \\dots}{n_1 +\nn_2 + \\dots}$, somme des produits valeur $\\times$ effectif divisée\npar l'effectif total.",
"variants": [
{
"statement": "Dans une série statistique, la valeur $8$ apparaît $3$ fois,\nla valeur $10$ apparaît $5$ fois, la valeur $12$ apparaît\n$8$ fois et la valeur $15$ apparaît $4$ fois. Quelle est la\nmoyenne de cette série ?",
"options": [
{
"text": "$11{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des valeurs est $230$ pour un effectif\ntotal de $20$, et $\\dfrac{230}{20} = 11{,}5$."
},
{
"text": "$11{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte\nde leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle\napparaît."
},
{
"text": "$57{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme pondérée $230$ se divise par l'effectif total\n$20$, pas par le nombre de valeurs différentes."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas\nla moyenne."
}
],
"explanation": "Moyenne pondérée : $\\bar{x} = \\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \\dots}{n_1 +\nn_2 + \\dots}$, somme des produits valeur $\\times$ effectif divisée\npar l'effectif total."
},
{
"statement": "Dans une série statistique, la valeur $2$ apparaît $5$ fois,\nla valeur $4$ apparaît $10$ fois, la valeur $5$ apparaît\n$4$ fois et la valeur $9$ apparaît $1$ fois. Quelle est la\nmoyenne de cette série ?",
"options": [
{
"text": "$3{,}95$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des valeurs est $79$ pour un effectif\ntotal de $20$, et $\\dfrac{79}{20} = 3{,}95$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte\nde leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle\napparaît."
},
{
"text": "$19{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme pondérée $79$ se divise par l'effectif total\n$20$, pas par le nombre de valeurs différentes."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas\nla moyenne."
}
],
"explanation": "Moyenne pondérée : $\\bar{x} = \\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \\dots}{n_1 +\nn_2 + \\dots}$, somme des produits valeur $\\times$ effectif divisée\npar l'effectif total."
},
{
"statement": "Dans une série statistique, la valeur $10$ apparaît $2$ fois,\nla valeur $12$ apparaît $4$ fois, la valeur $14$ apparaît\n$3$ fois et la valeur $20$ apparaît $1$ fois. Quelle est la\nmoyenne de cette série ?",
"options": [
{
"text": "$13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des valeurs est $130$ pour un effectif\ntotal de $10$, et $\\dfrac{130}{10} = 13$."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte\nde leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle\napparaît."
},
{
"text": "$32{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme pondérée $130$ se divise par l'effectif total\n$10$, pas par le nombre de valeurs différentes."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $12$ est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas\nla moyenne."
}
],
"explanation": "Moyenne pondérée : $\\bar{x} = \\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \\dots}{n_1 +\nn_2 + \\dots}$, somme des produits valeur $\\times$ effectif divisée\npar l'effectif total."
}
]
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"mediane",
"indicateurs"
],
"title": "Déterminer une médiane",
"partie": "donnees",
"statement": "Quelle est la médiane de la série\n$12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 20 ; 11 ; 8 ; 14$ ?",
"options": [
{
"text": "$11{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient\n$7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20$. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des\nquatrième et cinquième valeurs, $11$ et $12$."
},
{
"text": "$14{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la\nsérie. La médiane se lit toujours sur la série triée."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la\nsérie triée en deux moitiés de même effectif."
},
{
"text": "$11$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale\nunique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs."
}
],
"explanation": "Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre\ncroissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux\nvaleurs centrales.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la médiane de la série\n$12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 20 ; 11 ; 8 ; 14$ ?",
"options": [
{
"text": "$11{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient\n$7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20$. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des\nquatrième et cinquième valeurs, $11$ et $12$."
},
{
"text": "$14{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la\nsérie. La médiane se lit toujours sur la série triée."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la\nsérie triée en deux moitiés de même effectif."
},
{
"text": "$11$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale\nunique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs."
}
],
"explanation": "Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre\ncroissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux\nvaleurs centrales."
},
{
"statement": "Quelle est la médiane de la série\n$5 ; 19 ; 3 ; 9 ; 12 ; 6 ; 10 ; 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$7{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient\n$3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 12 ; 19$. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des\nquatrième et cinquième valeurs, $6$ et $9$."
},
{
"text": "$10{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la\nsérie. La médiane se lit toujours sur la série triée."
},
{
"text": "$8{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la\nsérie triée en deux moitiés de même effectif."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale\nunique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs."
}
],
"explanation": "Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre\ncroissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux\nvaleurs centrales."
},
{
"statement": "Quelle est la médiane de la série\n$30 ; 22 ; 49 ; 25 ; 35 ; 28 ; 33 ; 26$ ?",
"options": [
{
"text": "$29$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient\n$22 ; 25 ; 26 ; 28 ; 30 ; 33 ; 35 ; 49$. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des\nquatrième et cinquième valeurs, $28$ et $30$."
},
{
"text": "$30$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la\nsérie. La médiane se lit toujours sur la série triée."
},
{
"text": "$31$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la\nsérie triée en deux moitiés de même effectif."
},
{
"text": "$28$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale\nunique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs."
}
],
"explanation": "Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre\ncroissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux\nvaleurs centrales."
}
]
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"ecart-type",
"dispersion",
"interpretation"
],
"title": "Comparer deux écarts-types",
"partie": "donnees",
"statement": "Deux classes ont obtenu la même moyenne, $11$, à un devoir.\nL'écart-type des notes vaut $2{,}1$ dans la classe A et $4{,}5$\ndans la classe B. Que peut-on en conclure ?",
"options": [
{
"text": "Les notes de la classe A sont plus regroupées autour de la\nmoyenne",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion des valeurs\nautour de la moyenne ; plus il est faible, plus les notes sont\nresserrées."
},
{
"text": "La classe B a mieux réussi, car son écart-type est plus grand",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'écart-type n'indique pas le niveau. Les moyennes sont\négales ; seule la dispersion diffère."
},
{
"text": "La meilleure note est forcément dans la classe A",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une dispersion plus grande rend au contraire plus\nprobables des notes éloignées de $11$, dans les deux sens."
},
{
"text": "Les deux classes ont les mêmes notes, car leurs moyennes sont\négales",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une même moyenne peut cacher des répartitions très\ndifférentes, comme le montrent les écarts-types."
}
],
"explanation": "Moyenne et médiane sont des indicateurs de position ; écart-type et\nécart interquartile sont des indicateurs de dispersion."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"boite-a-moustaches",
"comparaison"
],
"title": "Comparer deux boîtes à moustaches",
"partie": "donnees",
"statement": "Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les temps de trajet,\nen minutes, des élèves de deux lycées A et B. Quelle affirmation\nest vraie ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.45]\n \\draw[->] (0,0) -- (22,0);\n \\foreach \\x in {0,2,...,20} {\n \\draw (\\x,-0.08) -- (\\x,0.08);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n }\n \\draw[thick] (5,2.2) -- (9,2.2);\n \\draw[thick] (14,2.2) -- (18,2.2);\n \\draw[thick,fill=blue!20] (9,1.8) rectangle (14,2.6);\n \\draw[very thick,blue] (12,1.8) -- (12,2.6);\n \\node[left] at (-0.3,2.2) {A};\n \\draw[thick] (2,0.9) -- (7,0.9);\n \\draw[thick] (16,0.9) -- (20,0.9);\n \\draw[thick,fill=orange!25] (7,0.5) rectangle (16,1.3);\n \\draw[very thick,orange!80!black] (10,0.5) -- (10,1.3);\n \\node[left] at (-0.3,0.9) {B};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Lycée A :\nminimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile\n14, maximum 18. Lycée B : minimum 2, premier quartile 7, médiane\n10, troisième quartile 16, maximum 20.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Au moins la moitié des élèves de A mettent $12$ minutes ou plus",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la médiane de A vaut $12$, donc au moins\n$50\\ \\%$ des temps de A sont supérieurs ou égaux à $12$."
},
{
"text": "La médiane des temps est plus grande pour le lycée B",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la médiane de B vaut $10$, celle de A vaut $12$."
},
{
"text": "Les deux lycées ont le même écart interquartile",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $14 - 9 = 5$ pour A et $16 - 7 = 9$ pour B ; les temps\nde B sont plus dispersés."
},
{
"text": "Au moins trois quarts des élèves de B mettent plus de $10$\nminutes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ est la médiane de B ; seule la moitié des élèves\nenviron dépasse cette durée."
}
],
"explanation": "Une boîte à moustaches se lit avec ses cinq valeurs : minimum,\n$Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum. Chaque partie contient environ un\nquart des valeurs."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 1,
"skills": [
"diagramme-en-barres",
"frequence"
],
"title": "Passer d'un diagramme en barres à une fréquence",
"partie": "donnees",
"statement": "Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des\n$25$ élèves d'une classe. Quelle est la fréquence des élèves qui\nont au moins deux frères et sœurs ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.9,yscale=0.4]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (6,10);\n \\draw[->] (0,0) -- (6.2,0);\n \\draw[->] (0,0) -- (0,10.6) node[above] {effectif};\n \\foreach \\y in {2,4,...,10} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\x/\\h/\\v in {1/5/0,2/9/1,3/7/2,4/3/3,5/1/4} {\n \\fill[blue!35] (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\draw (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\v$};\n }\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Diagramme en barres. Nombre de frères et sœurs en abscisse,\neffectif en ordonnée : 0 pour 5 élèves, 1 pour 9 élèves, 2 pour\n7 élèves, 3 pour 3 élèves, 4 pour 1 élève.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$44\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $7 + 3 + 1 = 11$ élèves ont au moins deux\nfrères et sœurs, et $\\dfrac{11}{25} = 0{,}44$."
},
{
"text": "$28\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7}{25}$ ne compte que les élèves qui ont\nexactement deux frères et sœurs. « Au moins deux » inclut aussi\n$3$ et $4$."
},
{
"text": "$11\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $11$ est un effectif. La fréquence le rapporte à\nl'effectif total, $25$."
},
{
"text": "$64\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{9 + 7}{25}$ compte les élèves qui ont un ou deux\nfrères et sœurs, pas ceux qui en ont au moins deux."
}
],
"explanation": "Fréquence $=$ effectif de la catégorie $\\div$ effectif total. On lit\nchaque effectif en haut de sa barre, sur l'axe vertical."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 1,
"skills": [
"diagramme-circulaire",
"pourcentage"
],
"title": "D'un angle à un pourcentage",
"partie": "donnees",
"statement": "Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves\nqui viennent à vélo mesure $72^\\circ$. Quel pourcentage des élèves\nviennent à vélo ?",
"options": [
{
"text": "$20\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\\circ$ et\n$\\dfrac{72}{360} = 0{,}2$."
},
{
"text": "$72\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,\n$100\\ \\%$, mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\\circ$, un demi-disque.\nLe disque entier mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne\nviennent pas à vélo."
}
],
"explanation": "Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux\neffectifs : $360^\\circ$ correspondent à $100\\ \\%$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves\nqui viennent à vélo mesure $72^\\circ$. Quel pourcentage des élèves\nviennent à vélo ?",
"options": [
{
"text": "$20\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\\circ$ et\n$\\dfrac{72}{360} = 0{,}2$."
},
{
"text": "$72\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,\n$100\\ \\%$, mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\\circ$, un demi-disque.\nLe disque entier mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$80\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne\nviennent pas à vélo."
}
],
"explanation": "Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux\neffectifs : $360^\\circ$ correspondent à $100\\ \\%$."
},
{
"statement": "Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves\nqui viennent à vélo mesure $90^\\circ$. Quel pourcentage des élèves\nviennent à vélo ?",
"options": [
{
"text": "$25\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\\circ$ et\n$\\dfrac{90}{360} = 0{,}25$."
},
{
"text": "$90\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,\n$100\\ \\%$, mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\\circ$, un demi-disque.\nLe disque entier mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne\nviennent pas à vélo."
}
],
"explanation": "Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux\neffectifs : $360^\\circ$ correspondent à $100\\ \\%$."
},
{
"statement": "Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves\nqui viennent à vélo mesure $54^\\circ$. Quel pourcentage des élèves\nviennent à vélo ?",
"options": [
{
"text": "$15\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\\circ$ et\n$\\dfrac{54}{360} = 0{,}15$."
},
{
"text": "$54\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,\n$100\\ \\%$, mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$30\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\\circ$, un demi-disque.\nLe disque entier mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$85\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne\nviennent pas à vélo."
}
],
"explanation": "Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux\neffectifs : $360^\\circ$ correspondent à $100\\ \\%$."
},
{
"statement": "Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves\nqui viennent à vélo mesure $126^\\circ$. Quel pourcentage des élèves\nviennent à vélo ?",
"options": [
{
"text": "$35\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\\circ$ et\n$\\dfrac{126}{360} = 0{,}35$."
},
{
"text": "$126\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,\n$100\\ \\%$, mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$70\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\\circ$, un demi-disque.\nLe disque entier mesure $360^\\circ$."
},
{
"text": "$65\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne\nviennent pas à vélo."
}
],
"explanation": "Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux\neffectifs : $360^\\circ$ correspondent à $100\\ \\%$."
}
]
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"graphique",
"taux-evolution"
],
"title": "Un taux d'évolution lu sur un graphique",
"partie": "donnees",
"statement": "Le graphique ci-dessous donne le prix moyen, en euros, d'un\nproduit de 2020 à 2024. Quel est le taux d'évolution de ce prix\nentre 2021 et 2023 ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.2,yscale=0.07]\n \\draw[very thin,color=gray!40,ystep=10,xstep=1] (0,30) grid (5,70);\n \\draw[->] (0,30) -- (5.3,30);\n \\draw[->] (0,30) -- (0,72) node[above] {prix (€)};\n \\foreach \\y in {30,40,...,70} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\x/\\a in {1/2020,2/2021,3/2022,4/2023,5/2024}\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,30) {\\a};\n \\draw[thick,blue] (1,40) -- (2,50) -- (3,45) -- (4,60) -- (5,55);\n \\foreach \\p in {(1,40),(2,50),(3,45),(4,60),(5,55)}\n \\fill[blue] \\p ellipse (0.08 and 1.2);\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Courbe d'évolution du prix d'un produit : 40 € en 2020, 50 € en\n2021, 45 € en 2022, 60 € en 2023 et 55 € en 2024.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$+20\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le prix passe de $50$ à $60$ euros, et\n$\\dfrac{60 - 50}{50} = 0{,}2$."
},
{
"text": "$+10\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ euros est la variation absolue. Le taux la\nrapporte au prix de 2021."
},
{
"text": "$+16{,}7\\ \\%$ environ",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de référence : on a divisé par le prix de 2023. Le taux\nse calcule par rapport à la valeur de départ, celle de 2021."
},
{
"text": "$+50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : c'est l'évolution entre 2020 et 2023, de\n$40$ à $60$ euros."
}
],
"explanation": "On lit d'abord les deux valeurs sur le graphique (année en\nabscisse, prix en ordonnée), puis on calcule\n$\\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"notation",
"probabilite-conditionnelle"
],
"title": "Choisir la bonne notation de probabilité",
"partie": "donnees",
"statement": "On choisit un élève au hasard dans un lycée. On note $S$\nl'événement « l'élève est sportif » et $F$ l'événement « l'élève\nest fumeur ». Comment se note la probabilité qu'un élève choisi\nparmi les sportifs soit fumeur ?",
"options": [
{
"text": "$P_{S}(F)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se restreint aux sportifs, donc on conditionne\npar $S$ et l'on cherche la probabilité de $F$."
},
{
"text": "$P_{F}(S)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles sont inversés. L'événement écrit en indice\nest celui qui définit la population où l'on choisit."
},
{
"text": "$P(S \\cap F)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(S \\cap F)$ est la probabilité qu'un élève choisi\ndans tout le lycée soit à la fois sportif et fumeur."
},
{
"text": "$P(F)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(F)$ se calcule sur tout le lycée. Ici, le choix\nse fait seulement parmi les sportifs."
}
],
"explanation": "$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : on choisit\ndans $A$ et on regarde la part de $B$. $P(A \\cap B)$ se calcule sur\nla population entière.",
"variants": [
{
"statement": "On choisit un élève au hasard dans un lycée. On note $S$\nl'événement « l'élève est sportif » et $F$ l'événement « l'élève\nest fumeur ». Comment se note la probabilité qu'un élève choisi\nparmi les sportifs soit fumeur ?",
"options": [
{
"text": "$P_{S}(F)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se restreint aux sportifs, donc on conditionne\npar $S$ et l'on cherche la probabilité de $F$."
},
{
"text": "$P_{F}(S)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles sont inversés. L'événement écrit en indice\nest celui qui définit la population où l'on choisit."
},
{
"text": "$P(S \\cap F)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(S \\cap F)$ est la probabilité qu'un élève choisi\ndans tout le lycée soit à la fois sportif et fumeur."
},
{
"text": "$P(F)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(F)$ se calcule sur tout le lycée. Ici, le choix\nse fait seulement parmi les sportifs."
}
],
"explanation": "$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : on choisit\ndans $A$ et on regarde la part de $B$. $P(A \\cap B)$ se calcule sur\nla population entière."
},
{
"statement": "On choisit un élève au hasard dans un lycée. On note $S$\nl'événement « l'élève est sportif » et $F$ l'événement « l'élève\nest fumeur ». Comment se note la probabilité qu'un élève choisi\nparmi les fumeurs soit sportif ?",
"options": [
{
"text": "$P_{F}(S)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se restreint aux fumeurs, donc on conditionne\npar $F$ et l'on cherche la probabilité de $S$."
},
{
"text": "$P_{S}(F)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les rôles sont inversés. L'événement écrit en indice\nest celui qui définit la population où l'on choisit."
},
{
"text": "$P(F \\cap S)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(F \\cap S)$ est la probabilité qu'un élève choisi\ndans tout le lycée soit à la fois sportif et fumeur."
},
{
"text": "$P(S)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(S)$ se calcule sur tout le lycée. Ici, le choix\nse fait seulement parmi les fumeurs."
}
],
"explanation": "$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : on choisit\ndans $A$ et on regarde la part de $B$. $P(A \\cap B)$ se calcule sur\nla population entière."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"probabilite-conditionnelle",
"tableau-croise"
],
"title": "Une probabilité conditionnelle d'effectifs",
"partie": "donnees",
"statement": "Lors d'une épidémie, on observe $500$ personnes. Parmi les\npersonnes vaccinées, $30$ sont tombées malades et $270$ non ;\nparmi les non vaccinées, $60$ sont tombées malades et $140$ non.\nOn choisit une personne au hasard ; $M$ est l'événement « elle est\ntombée malade » et $V$ l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut\n$P_{\\overline{V}}(M)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : il y a $200$ personnes non vaccinées, dont\n$60$ malades, et $\\dfrac{60}{200} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{60}{500}$ vaut $P(\\overline{V} \\cap M)$ ; on a\ndivisé par l'effectif total au lieu du nombre de non\nvaccinés."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{60}{90}$ vaut $P_M(\\overline{V})$, la part\nde non vaccinés parmi les malades."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{200}{500}$ est la probabilité qu'une personne\nne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade."
}
],
"explanation": "$P_{\\overline{V}}(M) = \\dfrac{\\text{effectif de } \\overline{V} \\cap\nM}{\\text{effectif de } \\overline{V}}$ : on se restreint à la ligne\ndes non vaccinés.",
"variants": [
{
"statement": "Lors d'une épidémie, on observe $500$ personnes. Parmi les\npersonnes vaccinées, $30$ sont tombées malades et $270$ non ;\nparmi les non vaccinées, $60$ sont tombées malades et $140$ non.\nOn choisit une personne au hasard ; $M$ est l'événement « elle est\ntombée malade » et $V$ l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut\n$P_{\\overline{V}}(M)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : il y a $200$ personnes non vaccinées, dont\n$60$ malades, et $\\dfrac{60}{200} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{60}{500}$ vaut $P(\\overline{V} \\cap M)$ ; on a\ndivisé par l'effectif total au lieu du nombre de non\nvaccinés."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{60}{90}$ vaut $P_M(\\overline{V})$, la part\nde non vaccinés parmi les malades."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{200}{500}$ est la probabilité qu'une personne\nne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade."
}
],
"explanation": "$P_{\\overline{V}}(M) = \\dfrac{\\text{effectif de } \\overline{V} \\cap\nM}{\\text{effectif de } \\overline{V}}$ : on se restreint à la ligne\ndes non vaccinés."
},
{
"statement": "Lors d'une épidémie, on observe $500$ personnes. Parmi les\npersonnes vaccinées, $12$ sont tombées malades et $188$ non ;\nparmi les non vaccinées, $45$ sont tombées malades et $255$ non.\nOn choisit une personne au hasard ; $M$ est l'événement « elle est\ntombée malade » et $V$ l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut\n$P_{\\overline{V}}(M)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : il y a $300$ personnes non vaccinées, dont\n$45$ malades, et $\\dfrac{45}{300} = \\dfrac{3}{20}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{45}{500}$ vaut $P(\\overline{V} \\cap M)$ ; on a\ndivisé par l'effectif total au lieu du nombre de non\nvaccinés."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{19}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{45}{57}$ vaut $P_M(\\overline{V})$, la part\nde non vaccinés parmi les malades."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{300}{500}$ est la probabilité qu'une personne\nne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade."
}
],
"explanation": "$P_{\\overline{V}}(M) = \\dfrac{\\text{effectif de } \\overline{V} \\cap\nM}{\\text{effectif de } \\overline{V}}$ : on se restreint à la ligne\ndes non vaccinés."
},
{
"statement": "Lors d'une épidémie, on observe $600$ personnes. Parmi les\npersonnes vaccinées, $8$ sont tombées malades et $392$ non ;\nparmi les non vaccinées, $20$ sont tombées malades et $180$ non.\nOn choisit une personne au hasard ; $M$ est l'événement « elle est\ntombée malade » et $V$ l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut\n$P_{\\overline{V}}(M)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : il y a $200$ personnes non vaccinées, dont\n$20$ malades, et $\\dfrac{20}{200} = \\dfrac{1}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{30}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{20}{600}$ vaut $P(\\overline{V} \\cap M)$ ; on a\ndivisé par l'effectif total au lieu du nombre de non\nvaccinés."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{20}{28}$ vaut $P_M(\\overline{V})$, la part\nde non vaccinés parmi les malades."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{200}{600}$ est la probabilité qu'une personne\nne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade."
}
],
"explanation": "$P_{\\overline{V}}(M) = \\dfrac{\\text{effectif de } \\overline{V} \\cap\nM}{\\text{effectif de } \\overline{V}}$ : on se restreint à la ligne\ndes non vaccinés."
}
]
}
]
}