{
"chapter": {
"id": "modelisation-quadratique",
"level": "premiere-tronc-commun",
"theme": "Phénomènes d'évolution",
"title": "Modélisation quadratique",
"description": "Fonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de\nsymétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant\n$f(x) = c$), sommet, tableau de variations, racines et signe\nd'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au\nprogramme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).",
"parties": [
{
"id": "parabole",
"title": "Parabole : allure, sommet, symétrie"
},
{
"id": "formes",
"title": "Formes, racines et signe"
},
{
"id": "modelisation",
"title": "Modéliser et optimiser"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"allure",
"parabole"
],
"title": "Orientation d'une parabole",
"partie": "parabole",
"statement": "La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une\nparabole. Dans quel sens est-elle tournée ?",
"options": [
{
"text": "Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe du coefficient de $x^2$ commande\nl'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au\nplus haut."
},
{
"text": "Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls le coefficient de $x^2$ décide de\nl'orientation ; les autres termes déplacent la parabole\nsans la retourner."
},
{
"text": "Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La conclusion est bonne mais l'argument non :\nl'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit\nrien de son orientation."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe de $-2$ suffit : parabole tournée vers\nle bas, sans aucun tracé."
}
],
"explanation": "Allure de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ : $a > 0$ tournée\nvers le haut (sommet minimum), $a < 0$ tournée vers le bas\n(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle\nquadratique."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"racines"
],
"title": "Racines lues sur la parabole",
"partie": "parabole",
"statement": "La parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction\npolynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et\nx = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-1$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points\noù la parabole **coupe l'axe des abscisses**."
},
{
"text": "$1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,4)$ sont les coordonnées du **sommet**.\nLes racines se lisent sur l'axe horizontal."
},
{
"text": "$3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : la parabole traverse l'axe **deux** fois,\naussi en $x = -1$, à gauche de l'origine."
},
{
"text": "$0$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en $x = 0$ la parabole vaut $3$ (elle coupe\nl'axe des **ordonnées**) : $0$ n'est pas une racine."
}
],
"explanation": "Racines $=$ abscisses des intersections avec l'axe des\nabscisses (là où $f(x) = 0$). Ici $-1$ et $3$ : la fonction\ns'écrit d'ailleurs $f(x) = -(x + 1)(x - 3)$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"axe-symetrie"
],
"title": "Axe de symétrie",
"partie": "parabole",
"statement": "Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en\nhauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et\nx = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La droite $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'axe est vertical et passe au\n**milieu** des racines, $\\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$, ainsi\nque par le sommet."
},
{
"text": "La droite $y = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $y = 4$ est une droite horizontale, or l'axe de\nsymétrie d'une parabole est **vertical** ($4$ est la\nhauteur du sommet, pas un axe)."
},
{
"text": "La droite $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ n'est pas le milieu de $-1$ et $3$\n($\\frac{-1+3}{2} = 1$). Attention au signe de la racine\nnégative."
},
{
"text": "L'axe des ordonnées",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'axe des ordonnées ($x = 0$) ne partage pas la\nparabole en deux moitiés symétriques ici (racines $-1$\net $3$ non symétriques par rapport à $0$)."
}
],
"explanation": "L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout\ncouple de points de même hauteur : méthode $f(x) = c$ du\nprogramme) : $x = \\frac{-1+3}{2} = 1$. Le sommet est dessus."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sommet",
"symetrie"
],
"title": "Sommet sans formule",
"partie": "parabole",
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,\net sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse\nson minimum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$, milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Aucune\nformule à mémoriser : la symétrie suffit.\n"
},
{
"text": "En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'**écart** entre les racines. Le\nsommet est à leur **milieu** : $\\frac{2+8}{2} = 5$.\n"
},
{
"text": "En $x = 2$, la première racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,\nelle descend jusqu'au creux, atteint au **milieu** $5$.\n"
},
{
"text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la **symétrie**\nde la parabole place le sommet au milieu des racines.\n"
}
],
"explanation": "Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu\ndes racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici\n$x = 5$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par\nformules.",
"variants": [
{
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,\net sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse\nson minimum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$, milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Aucune\nformule à mémoriser : la symétrie suffit.\n"
},
{
"text": "En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'**écart** entre les racines. Le\nsommet est à leur **milieu** : $\\frac{2+8}{2} = 5$.\n"
},
{
"text": "En $x = 2$, la première racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,\nelle descend jusqu'au creux, atteint au **milieu** $5$.\n"
},
{
"text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la **symétrie**\nde la parabole place le sommet au milieu des racines.\n"
}
],
"explanation": "Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu\ndes racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici\n$x = 5$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par\nformules."
},
{
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $4$ et $10$,\net sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse\nson minimum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 7$, milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{4 + 10}{2} = 7$. Aucune\nformule à mémoriser : la symétrie suffit.\n"
},
{
"text": "En $x = 6$, car $10 - 4 = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'**écart** entre les racines. Le\nsommet est à leur **milieu** : $\\frac{4+10}{2} = 7$.\n"
},
{
"text": "En $x = 4$, la première racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,\nelle descend jusqu'au creux, atteint au **milieu** $7$.\n"
},
{
"text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la **symétrie**\nde la parabole place le sommet au milieu des racines.\n"
}
],
"explanation": "Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu\ndes racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici\n$x = 7$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par\nformules."
},
{
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $1$ et $5$,\net sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse\nson minimum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 3$, milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{1 + 5}{2} = 3$. Aucune\nformule à mémoriser : la symétrie suffit.\n"
},
{
"text": "En $x = 4$, car $5 - 1 = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est l'**écart** entre les racines. Le\nsommet est à leur **milieu** : $\\frac{1+5}{2} = 3$.\n"
},
{
"text": "En $x = 1$, la première racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,\nelle descend jusqu'au creux, atteint au **milieu** $3$.\n"
},
{
"text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la **symétrie**\nde la parabole place le sommet au milieu des racines.\n"
}
],
"explanation": "Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu\ndes racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici\n$x = 3$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par\nformules."
}
]
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-factorisee",
"racines"
],
"title": "Racines d'une forme factorisée",
"partie": "formes",
"statement": "Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de\n$f$ ?",
"options": [
{
"text": "$1$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est\nnul : $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$."
},
{
"text": "$-1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$. Les\nracines sont les valeurs qui **annulent** les facteurs."
},
{
"text": "$2$, $1$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur constant $2$ ne s'annule jamais, il\nne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la\nparabole)."
},
{
"text": "$1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur la seconde : $x - 5 = 0 \\Rightarrow x = +5$."
}
],
"explanation": "Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$\net $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $1$ et\n$5$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de\n$f$ ?",
"options": [
{
"text": "$1$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est\nnul : $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$."
},
{
"text": "$-1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$. Les\nracines sont les valeurs qui **annulent** les facteurs."
},
{
"text": "$2$, $1$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur constant $2$ ne s'annule jamais, il\nne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la\nparabole)."
},
{
"text": "$1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur la seconde : $x - 5 = 0 \\Rightarrow x = +5$."
}
],
"explanation": "Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$\net $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $1$ et\n$5$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = 3(x - 2)(x - 7)$. Quelles sont les racines de\n$f$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$ et $7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est\nnul : $x - 2 = 0$ ou $x - 7 = 0$."
},
{
"text": "$-2$ et $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 2 = 0$ donne $x = +2$. Les\nracines sont les valeurs qui **annulent** les facteurs."
},
{
"text": "$3$, $2$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur constant $3$ ne s'annule jamais, il\nne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la\nparabole)."
},
{
"text": "$2$ et $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur la seconde : $x - 7 = 0 \\Rightarrow x = +7$."
}
],
"explanation": "Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$\net $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $2$ et\n$7$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = 4(x - 3)(x - 6)$. Quelles sont les racines de\n$f$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$ et $6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est\nnul : $x - 3 = 0$ ou $x - 6 = 0$."
},
{
"text": "$-3$ et $-6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 3 = 0$ donne $x = +3$. Les\nracines sont les valeurs qui **annulent** les facteurs."
},
{
"text": "$4$, $3$ et $6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur constant $4$ ne s'annule jamais, il\nne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la\nparabole)."
},
{
"text": "$3$ et $-6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur la seconde : $x - 6 = 0 \\Rightarrow x = +6$."
}
],
"explanation": "Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$\net $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $3$ et\n$6$."
}
]
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-factorisee",
"signe"
],
"title": "Signe d'une forme factorisée",
"partie": "formes",
"statement": "Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle\n$f(x)$ est-il strictement négatif ?",
"options": [
{
"text": "Sur $]1\\,;\\,5[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs\nsont de signes contraires : produit négatif (le\ncoefficient $2 > 0$ ne change rien au signe)."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,1[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avant $1$, les deux facteurs sont négatifs :\nproduit **positif**."
},
{
"text": "Sur $]5\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $5$, les deux facteurs sont positifs :\nproduit positif."
},
{
"text": "Nulle part, car $2 > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $2$ positif n'empêche pas le produit\n$(x-1)(x-5)$ d'être négatif entre les racines."
}
],
"explanation": "Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, du signe contraire **entre**\nelles. Ici : négatif sur $]1\\,;\\,5[$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"association",
"courbe"
],
"title": "Associer expression et courbe",
"partie": "parabole",
"statement": "Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Une parabole de sommet $(0\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une parabole tournée vers le haut, dont\nle sommet est sur l'axe des ordonnées. C'est la parabole\nde $x^2$ translatée de $3$ vers le haut : sommet\n$(0\\,;\\,3)$, axe de symétrie $x = 0$."
},
{
"text": "Une parabole de sommet $(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le $+3$ agit sur les **ordonnées** (décalage\nvertical), pas sur les abscisses. Sommet $(0\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 + 3 \\geq 3 > 0$ pour tout $x$ : cette\nparabole ne coupe **jamais** l'axe des abscisses (aucune\nracine)."
},
{
"text": "Une droite de pente $3$ passant par l'origine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $x^2$ impose une courbe parabolique,\npas une droite."
}
],
"explanation": "Formes de référence (capacité attendue) : $x \\mapsto ax^2$\n(sommet à l'origine), $x \\mapsto ax^2 + c$ (sommet\n$(0\\,;\\,c)$), $x \\mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ (racines\nlisibles). Ici : sommet $(0\\,;\\,3)$, pas de racine."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modelisation",
"physique"
],
"title": "Trajectoire parabolique",
"partie": "modelisation",
"statement": "La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la\nhauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $5$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ s'annule en $0$ et\n$2$ : sommet au milieu, $t = 1$, et $h(1) =\n5$ m."
},
{
"text": "À $t = 2$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $t = 2$ le ballon **retombe au sol**\n($h(2) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet."
},
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de hauteur : $h(1) = 5$ m ($10$ est le\ncoefficient, pas la hauteur maximale)."
},
{
"text": "La hauteur augmente sans fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers\nle bas : montée puis descente, avec un maximum au\nsommet."
}
],
"explanation": "Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 2)$, racines $0$ et\n$2$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu\n($t = 1$, $h = 5$ m). La parabole capture la montée puis la\nchute.",
"variants": [
{
"statement": "La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la\nhauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $5$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ s'annule en $0$ et\n$2$ : sommet au milieu, $t = 1$, et $h(1) =\n5$ m."
},
{
"text": "À $t = 2$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $t = 2$ le ballon **retombe au sol**\n($h(2) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet."
},
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de hauteur : $h(1) = 5$ m ($10$ est le\ncoefficient, pas la hauteur maximale)."
},
{
"text": "La hauteur augmente sans fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers\nle bas : montée puis descente, avec un maximum au\nsommet."
}
],
"explanation": "Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 2)$, racines $0$ et\n$2$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu\n($t = 1$, $h = 5$ m). La parabole capture la montée puis la\nchute."
},
{
"statement": "La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n30t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la\nhauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 3$ s, hauteur $45$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 6)$ s'annule en $0$ et\n$6$ : sommet au milieu, $t = 3$, et $h(3) =\n45$ m."
},
{
"text": "À $t = 6$ s, hauteur $30$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $t = 6$ le ballon **retombe au sol**\n($h(6) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet."
},
{
"text": "À $t = 3$ s, hauteur $30$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de hauteur : $h(3) = 45$ m ($30$ est le\ncoefficient, pas la hauteur maximale)."
},
{
"text": "La hauteur augmente sans fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers\nle bas : montée puis descente, avec un maximum au\nsommet."
}
],
"explanation": "Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 6)$, racines $0$ et\n$6$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu\n($t = 3$, $h = 45$ m). La parabole capture la montée puis la\nchute."
},
{
"statement": "La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -2t^2 +\n12t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la\nhauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 3$ s, hauteur $18$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -2t(t - 6)$ s'annule en $0$ et\n$6$ : sommet au milieu, $t = 3$, et $h(3) =\n18$ m."
},
{
"text": "À $t = 6$ s, hauteur $12$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $t = 6$ le ballon **retombe au sol**\n($h(6) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet."
},
{
"text": "À $t = 3$ s, hauteur $12$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de hauteur : $h(3) = 18$ m ($12$ est le\ncoefficient, pas la hauteur maximale)."
},
{
"text": "La hauteur augmente sans fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient $-2 < 0$ tourne la parabole vers\nle bas : montée puis descente, avec un maximum au\nsommet."
}
],
"explanation": "Modèle physique type : $h(t) = -2t(t - 6)$, racines $0$ et\n$6$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu\n($t = 3$, $h = 18$ m). La parabole capture la montée puis la\nchute."
}
]
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"axe-symetrie",
"methode"
],
"title": "Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$",
"partie": "parabole",
"statement": "Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on\ntrouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de\nsymétrie de la parabole ?",
"options": [
{
"text": "C'est la droite $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $0$ et $6$ ont la même image, ils sont\nsymétriques par rapport à l'axe, qui passe donc au\nmilieu, en $x = \\dfrac{0 + 6}{2} = 3$ (méthode du\nprogramme, sans formule)."
},
{
"text": "C'est la droite $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est **l'un** des deux antécédents ; l'axe\npasse à mi-chemin entre les deux : $x = 3$."
},
{
"text": "C'est la droite $y = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $y = 2$ est la droite **horizontale** utilisée\npour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est\nvertical."
},
{
"text": "On ne peut rien en déduire",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux\nantécédents d'une même valeur encadrent symétriquement\nl'axe."
}
],
"explanation": "Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :\nrésoudre $f(x) = c$ pour un $c$ commode (ici $c = 2$, le\nterme constant : $x^2 - 6x = 0$ se factorise en $x(x-6)$),\npuis prendre le **milieu** des solutions : axe $x = 3$,\nsommet $(3\\,;\\,f(3)) = (3\\,;\\,-7)$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations"
],
"title": "Tableau de variations",
"partie": "parabole",
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$\n**négatif** et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau\nde variations ?",
"options": [
{
"text": "Croissante sur $]-\\infty\\,;\\,2]$, décroissante sur\n$[2\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la\nfonction monte jusqu'au sommet ($x = 2$), qui est son\n**maximum**, puis redescend."
},
{
"text": "Décroissante puis croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond\nà un coefficient **positif** (sommet minimum)."
},
{
"text": "Croissante sur tout $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur\n$\\mathbb{R}$ : la parabole change toujours de sens à son\nsommet."
},
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,2]$, car le coefficient\nest négatif",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet\n**en haut** : avant lui, la fonction **monte**."
}
],
"explanation": "Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et\nd'autre du sommet. $a < 0$ : croissante puis décroissante\n(maximum au sommet) ; $a > 0$ : l'inverse (minimum)."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"modelisation",
"economie"
],
"title": "Chiffre d'affaires et prix",
"partie": "modelisation",
"statement": "Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire\n$p$ est modélisé par $R(p) = p\\,(100 - 2p)$ (en euros).\nQuel prix maximise le chiffre d'affaires ?",
"options": [
{
"text": "$p = 25$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $R$ s'annule en $p = 0$ et $p = 50$\n(racines de la forme factorisée) : le maximum est au\nmilieu, $p = 25$, avec $R(25) = 25 \\times 50 = 1250$\neuros."
},
{
"text": "$p = 50$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $50$ euros, plus personne n'achète\n($100 - 2 \\times 50 = 0$) : chiffre d'affaires **nul**.\nC'est une racine, pas le sommet."
},
{
"text": "Le plus cher possible",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le\nfacteur $100 - 2p$ chute) : le modèle quadratique capture\nce compromis, avec un optimum **intermédiaire**."
},
{
"text": "$p = 100$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :\nhors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des\nracines $0$ et $50$."
}
],
"explanation": "Modèle économique du programme : $R(p) = p(100 - 2p)$, nul\nen $0$ et $50$, maximal au milieu $p = 25$. La parabole\nexprime le compromis prix-volume."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"choix-modele"
],
"title": "Quand choisir un modèle quadratique ?",
"partie": "modelisation",
"statement": "Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par\nune fonction polynôme de degré 2 ?",
"options": [
{
"text": "Une grandeur qui croît puis décroît",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la\n**non-monotonie**, avec un maximum ou un minimum : un\nsommet unique entre une montée et une descente (ou\nl'inverse) : trajectoire, chiffre d'affaires, population\nsur un temps court."
},
{
"text": "Une grandeur qui augmente du même montant chaque année",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : accroissement constant $=$ modèle **linéaire**\n(affine, suite arithmétique)."
},
{
"text": "Une grandeur qui double à intervalles réguliers",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : doublement répété $=$ croissance\n**exponentielle** (suite géométrique, fonction\n$a^x$)."
},
{
"text": "Une grandeur constante au fil du temps",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une constante se modélise… par une constante.\nLe degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent."
}
],
"explanation": "Choisir le modèle d'après le comportement : constant $\\to$\nconstante ; accroissement fixe $\\to$ affine ; taux fixe\n$\\to$ exponentiel ; **montée puis descente** $\\to$\nquadratique. C'est la carte mentale du programme."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"ordonnee-origine"
],
"title": "Ordonnée à l'origine d'une forme factorisée",
"partie": "parabole",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle\nl'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "En $y = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$\n: on évalue $f(0) = (-1)(-5) = 5$, produit des deux\nparenthèses, positif."
},
{
"text": "En $y = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $(-1) \\times (-5) = +5$ : le produit de deux\nnégatifs est positif."
},
{
"text": "En $y = 1$ et $y = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion d'axes : $1$ et $5$ sont les **racines**, sur\nl'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un\nseul point, $f(0)$."
},
{
"text": "En $y = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 5 \\neq 0$ : la parabole ne passe pas\npar l'origine."
}
],
"explanation": "Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer $f(0)$\n(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les\nracines (ici $1$ et $5$). Deux axes, deux questions\ndistinctes."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"sommet-milieu-racines"
],
"title": "Sommet au milieu des racines",
"partie": "formes",
"statement": "La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et\n$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$3$ : le milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{1 + 5}{2} = 3$."
},
{
"text": "$4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le\nsommet est au milieu **exact** : $3$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est une racine ($f(5) = 0$) : le sommet est\nentre les deux racines, pas dessus."
},
{
"text": "$6$ : la somme des racines",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : le milieu est la **demi**-somme :\n$\\frac{6}{2} = 3$."
}
],
"explanation": "L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x_S =\n\\frac{x_1 + x_2}{2}$ : la voie la plus rapide vers le sommet\nquand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet\ns'obtient ensuite : $f(3) = -4$)."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe-a-negatif"
],
"title": "Signe avec parabole renversée",
"partie": "parabole",
"statement": "Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$\nest-elle positive ?",
"options": [
{
"text": "Sur $[2\\ ;\\ 6]$ : entre les racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole\n(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe\nentre ses racines : positive sur $[2\\ ;\\ 6]$.\n"
},
{
"text": "À l'extérieur des racines",
"correct": false,
"feedback": "Valable pour $a > 0$ : ici le coefficient est négatif :\nles positions s'inversent : positive ENTRE les racines.\n"
},
{
"text": "Nulle part : le signe moins rend tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : testez $x = 4$ : $-(2)(-2) = +4 > 0$ : le\nmoins retourne la parabole sans l'enterrer.\n"
},
{
"text": "Partout",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : au-delà des racines ($x = 0$ : $-(-2)(-6) =\n-12$), la fonction plonge : positive seulement entre $2$\net $6$.\n"
}
],
"explanation": "Entre $2$ et $6$, les facteurs $x - 2$ et $x - 6$ sont de\nsignes contraires : leur produit est négatif, et son opposé\npositif. Hors de cet intervalle, c'est l'inverse. Toujours\ntester une valeur pour confirmer."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"solutions-symetriques"
],
"title": "Les solutions de $f(x) = c$ par symétrie",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation\n$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font\nface autour de l'axe : $1$ est à distance $2$ de l'axe\n$x = 3$, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le\nsymétrique de $1$ par rapport à $3$.\n"
},
{
"text": "$x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète\nautour de $x = 3$, pas autour de l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est l'axe lui-même : les solutions\nl'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas\nd'une solution unique).\n"
},
{
"text": "Il n'y en a pas d'autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 \\neq 3$ n'est pas sur l'axe : son reflet\n$5$ donne la même image : deuxième solution garantie.\n"
}
],
"explanation": "Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires\nsymétriques autour de l'axe, et leur **milieu** est sur l'axe\n(ici $\\dfrac{1 + (5)}{2} = 3$).",
"variants": [
{
"statement": "Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation\n$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font\nface autour de l'axe : $1$ est à distance $2$ de l'axe\n$x = 3$, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le\nsymétrique de $1$ par rapport à $3$.\n"
},
{
"text": "$x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète\nautour de $x = 3$, pas autour de l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est l'axe lui-même : les solutions\nl'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas\nd'une solution unique).\n"
},
{
"text": "Il n'y en a pas d'autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 \\neq 3$ n'est pas sur l'axe : son reflet\n$5$ donne la même image : deuxième solution garantie.\n"
}
],
"explanation": "Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires\nsymétriques autour de l'axe, et leur **milieu** est sur l'axe\n(ici $\\dfrac{1 + (5)}{2} = 3$)."
},
{
"statement": "Une parabole a son axe de symétrie en $x = 4$. L'équation\n$f(x) = c$ admet une solution $x = 7$. Quelle est l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font\nface autour de l'axe : $7$ est à distance $3$ de l'axe\n$x = 4$, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le\nsymétrique de $7$ par rapport à $4$.\n"
},
{
"text": "$x = -7$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète\nautour de $x = 4$, pas autour de l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est l'axe lui-même : les solutions\nl'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas\nd'une solution unique).\n"
},
{
"text": "Il n'y en a pas d'autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7 \\neq 4$ n'est pas sur l'axe : son reflet\n$1$ donne la même image : deuxième solution garantie.\n"
}
],
"explanation": "Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires\nsymétriques autour de l'axe, et leur **milieu** est sur l'axe\n(ici $\\dfrac{7 + (1)}{2} = 4$)."
},
{
"statement": "Une parabole a son axe de symétrie en $x = -1$. L'équation\n$f(x) = c$ admet une solution $x = 2$. Quelle est l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$x = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font\nface autour de l'axe : $2$ est à distance $3$ de l'axe\n$x = -1$, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le\nsymétrique de $2$ par rapport à $-1$.\n"
},
{
"text": "$x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète\nautour de $x = -1$, pas autour de l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-1$ est l'axe lui-même : les solutions\nl'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas\nd'une solution unique).\n"
},
{
"text": "Il n'y en a pas d'autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2 \\neq -1$ n'est pas sur l'axe : son reflet\n$-4$ donne la même image : deuxième solution garantie.\n"
}
],
"explanation": "Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires\nsymétriques autour de l'axe, et leur **milieu** est sur l'axe\n(ici $\\dfrac{2 + (-4)}{2} = -1$)."
}
]
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation-enclos"
],
"title": "L'enclos d'aire maximale",
"partie": "modelisation",
"statement": "Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un\ncôté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle\nvaleur de $x$ maximise l'aire ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu\ndes racines $0$ et $10$. $A$ s'annule en $0$ et $10$, le\nmaximum est en $x = 5$ (un carré de $25$ m²) : la\nsymétrie fait tout le travail.\n"
},
{
"text": "$x = 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : prendre le côté le plus long possible donne\n$A(10) = 10 \\times 0 = 0$, un rectangle écrasé :\nmaximiser un côté tue l'autre.\n"
},
{
"text": "$x = 20$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $20$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre\nvaut $10$, et $x$ ne peut pas le dépasser.\n"
},
{
"text": "Aucune, l'aire grandit avec $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $x(10 - x)$ monte puis redescend\n(parabole renversée) : le pic est en $x = 5$.\n"
}
],
"explanation": "Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du\nproduit ($0$ et $10$), sommet au milieu ($5$). À périmètre\nfixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir\ncomme point de contrôle.",
"variants": [
{
"statement": "Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un\ncôté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle\nvaleur de $x$ maximise l'aire ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu\ndes racines $0$ et $10$. $A$ s'annule en $0$ et $10$, le\nmaximum est en $x = 5$ (un carré de $25$ m²) : la\nsymétrie fait tout le travail.\n"
},
{
"text": "$x = 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : prendre le côté le plus long possible donne\n$A(10) = 10 \\times 0 = 0$, un rectangle écrasé :\nmaximiser un côté tue l'autre.\n"
},
{
"text": "$x = 20$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $20$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre\nvaut $10$, et $x$ ne peut pas le dépasser.\n"
},
{
"text": "Aucune, l'aire grandit avec $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $x(10 - x)$ monte puis redescend\n(parabole renversée) : le pic est en $x = 5$.\n"
}
],
"explanation": "Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du\nproduit ($0$ et $10$), sommet au milieu ($5$). À périmètre\nfixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir\ncomme point de contrôle."
},
{
"statement": "Avec $36$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un\ncôté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(18 - x)$. Quelle\nvaleur de $x$ maximise l'aire ?",
"options": [
{
"text": "$x = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu\ndes racines $0$ et $18$. $A$ s'annule en $0$ et $18$, le\nmaximum est en $x = 9$ (un carré de $81$ m²) : la\nsymétrie fait tout le travail.\n"
},
{
"text": "$x = 18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : prendre le côté le plus long possible donne\n$A(18) = 18 \\times 0 = 0$, un rectangle écrasé :\nmaximiser un côté tue l'autre.\n"
},
{
"text": "$x = 36$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $36$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre\nvaut $18$, et $x$ ne peut pas le dépasser.\n"
},
{
"text": "Aucune, l'aire grandit avec $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $x(18 - x)$ monte puis redescend\n(parabole renversée) : le pic est en $x = 9$.\n"
}
],
"explanation": "Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du\nproduit ($0$ et $18$), sommet au milieu ($9$). À périmètre\nfixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir\ncomme point de contrôle."
},
{
"statement": "Avec $28$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un\ncôté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(14 - x)$. Quelle\nvaleur de $x$ maximise l'aire ?",
"options": [
{
"text": "$x = 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu\ndes racines $0$ et $14$. $A$ s'annule en $0$ et $14$, le\nmaximum est en $x = 7$ (un carré de $49$ m²) : la\nsymétrie fait tout le travail.\n"
},
{
"text": "$x = 14$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : prendre le côté le plus long possible donne\n$A(14) = 14 \\times 0 = 0$, un rectangle écrasé :\nmaximiser un côté tue l'autre.\n"
},
{
"text": "$x = 28$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $28$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre\nvaut $14$, et $x$ ne peut pas le dépasser.\n"
},
{
"text": "Aucune, l'aire grandit avec $x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $x(14 - x)$ monte puis redescend\n(parabole renversée) : le pic est en $x = 7$.\n"
}
],
"explanation": "Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du\nproduit ($0$ et $14$), sommet au milieu ($7$). À périmètre\nfixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir\ncomme point de contrôle."
}
]
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"trajectoire"
],
"title": "La balle retombe",
"partie": "modelisation",
"statement": "La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au\nsol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?",
"options": [
{
"text": "Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ : racines $0$\n(départ) et $2$ (retombée) ; sommet au milieu $t = 1$ :\n$h(1) = 5$ m."
},
{
"text": "Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : factoriser donne $-5t(t - 2)$ : la deuxième\nracine est $2$, pas $10$ (et $h(1) = 5$, pas $10$)."
},
{
"text": "Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $h(2) = -20 + 20 = 0$ : le modèle prévoit la\nretombée à $2$ secondes."
},
{
"text": "Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s",
"correct": false,
"feedback": "Valeur du sommet fausse : $h(1) = -5 + 10 = 5$ m (le\ncoefficient $-5$ écrase la moitié du $10t$)."
}
],
"explanation": "Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines\n(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois\ninformations physiques lues sur une seule factorisation :\nle modèle quadratique en action."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"sommet"
],
"title": "Sommet d'une parabole d'expression $ax^2 + c$",
"partie": "parabole",
"statement": "Une fonction est définie par $f(x) = -2x^2 + 8$. Quelles sont\nles coordonnées du sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,8)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2x^2 \\leq 0$, donc $f(x) \\leq 8$, avec\négalité pour $x = 0$ : le sommet est le point le plus haut,\nsur l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$(8\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est $0$, et\nl'ordonnée est la constante $8$.\n"
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour l'ordonnée : $-2$ indique seulement\nque la parabole est tournée vers le bas.\n"
},
{
"text": "$(2\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Racine confondue avec le sommet : $f(2) = 0$, mais la\nparabole monte jusqu'à $f(0) = 8$.\n"
}
],
"explanation": "La parabole de $x \\mapsto ax^2 + c$ est celle de $x \\mapsto ax^2$\ndécalée verticalement de $c$ : son axe de symétrie est l'axe des\nordonnées et son sommet a pour coordonnées $(0\\,;\\,c)$.",
"variants": [
{
"statement": "Une fonction est définie par $f(x) = -2x^2 + 8$. Quelles sont\nles coordonnées du sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,8)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2x^2 \\leq 0$, donc $f(x) \\leq 8$, avec\négalité pour $x = 0$ : le sommet est le point le plus haut,\nsur l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$(8\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est $0$, et\nl'ordonnée est la constante $8$.\n"
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour l'ordonnée : $-2$ indique seulement\nque la parabole est tournée vers le bas.\n"
},
{
"text": "$(2\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Racine confondue avec le sommet : $f(2) = 0$, mais la\nparabole monte jusqu'à $f(0) = 8$.\n"
}
],
"explanation": "La parabole de $x \\mapsto ax^2 + c$ est celle de $x \\mapsto ax^2$\ndécalée verticalement de $c$ : son axe de symétrie est l'axe des\nordonnées et son sommet a pour coordonnées $(0\\,;\\,c)$."
},
{
"statement": "Une fonction est définie par $f(x) = -3x^2 + 27$. Quelles sont\nles coordonnées du sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,27)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-3x^2 \\leq 0$, donc $f(x) \\leq 27$, avec\négalité pour $x = 0$ : le sommet est le point le plus haut,\nsur l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$(27\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est $0$, et\nl'ordonnée est la constante $27$.\n"
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour l'ordonnée : $-3$ indique seulement\nque la parabole est tournée vers le bas.\n"
},
{
"text": "$(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Racine confondue avec le sommet : $f(3) = 0$, mais la\nparabole monte jusqu'à $f(0) = 27$.\n"
}
],
"explanation": "La parabole de $x \\mapsto ax^2 + c$ est celle de $x \\mapsto ax^2$\ndécalée verticalement de $c$ : son axe de symétrie est l'axe des\nordonnées et son sommet a pour coordonnées $(0\\,;\\,c)$."
},
{
"statement": "Une fonction est définie par $f(x) = -0{,}5x^2 + 18$. Quelles sont\nles coordonnées du sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,18)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-0{,}5x^2 \\leq 0$, donc $f(x) \\leq 18$, avec\négalité pour $x = 0$ : le sommet est le point le plus haut,\nsur l'axe des ordonnées.\n"
},
{
"text": "$(18\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est $0$, et\nl'ordonnée est la constante $18$.\n"
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-0{,}5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour l'ordonnée : $-0{,}5$ indique seulement\nque la parabole est tournée vers le bas.\n"
},
{
"text": "$(6\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Racine confondue avec le sommet : $f(6) = 0$, mais la\nparabole monte jusqu'à $f(0) = 18$.\n"
}
],
"explanation": "La parabole de $x \\mapsto ax^2 + c$ est celle de $x \\mapsto ax^2$\ndécalée verticalement de $c$ : son axe de symétrie est l'axe des\nordonnées et son sommet a pour coordonnées $(0\\,;\\,c)$."
}
]
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"symetrie"
],
"title": "Deux nombres de même image",
"partie": "parabole",
"statement": "Une parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 4$, et\nl'on sait que $f(1) = 9$. Que vaut $f(7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1$ et $7$ sont symétriques par rapport à $4$, ils ont\ndonc la même image."
},
{
"text": "$-9$",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,\npas opposées."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en\nordonnée."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image."
}
],
"explanation": "Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même\nimage. Ici, $1$ et $7$ sont tous deux à distance $3$ de $4$.",
"variants": [
{
"statement": "Une parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 4$, et\nl'on sait que $f(1) = 9$. Que vaut $f(7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1$ et $7$ sont symétriques par rapport à $4$, ils ont\ndonc la même image."
},
{
"text": "$-9$",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,\npas opposées."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en\nordonnée."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image."
}
],
"explanation": "Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même\nimage. Ici, $1$ et $7$ sont tous deux à distance $3$ de $4$."
},
{
"statement": "Une parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 2$, et\nl'on sait que $f(-1) = 6$. Que vaut $f(5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-1$ et $5$ sont symétriques par rapport à $2$, ils ont\ndonc la même image."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,\npas opposées."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en\nordonnée."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image."
}
],
"explanation": "Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même\nimage. Ici, $-1$ et $5$ sont tous deux à distance $3$ de $2$."
},
{
"statement": "Une parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 5$, et\nl'on sait que $f(3) = 12$. Que vaut $f(7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3$ et $7$ sont symétriques par rapport à $5$, ils ont\ndonc la même image."
},
{
"text": "$-12$",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,\npas opposées."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en\nordonnée."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image."
}
],
"explanation": "Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même\nimage. Ici, $3$ et $7$ sont tous deux à distance $2$ de $5$."
}
]
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parabole",
"resolution"
],
"title": "Combien de solutions",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole tournée vers le haut a pour sommet le point\n$(2\\,;\\,3)$. Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions ?",
"options": [
{
"text": "Aucune",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la plus petite valeur de $f$ vaut $3$, donc $f(x)$ ne\ndescend jamais jusqu'à $1$."
},
{
"text": "Une seule",
"correct": false,
"feedback": "Une unique solution correspondrait à la hauteur du sommet, soit\n$f(x) = 3$."
},
{
"text": "Deux",
"correct": false,
"feedback": "Deux solutions apparaissent pour les valeurs supérieures à $3$, par\nsymétrie de part et d'autre de l'axe."
},
{
"text": "Une infinité",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole rencontre une droite horizontale en deux points au plus."
}
],
"explanation": "Le nombre de solutions de $f(x) = c$ se lit en comparant $c$ à l'ordonnée\ndu sommet : aucune en dessous, une seule à la hauteur du sommet, deux\nau-dessus pour une parabole tournée vers le haut."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"developpement"
],
"title": "De la forme factorisée à la forme développée",
"partie": "formes",
"statement": "Quelle est la forme développée de $f(x) = (x - 1)(x + 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + 4x - 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 + 5x - x - 5$ se réduit en $x^2 + 4x - 5$.\n"
},
{
"text": "$x^2 - 4x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : les produits croisés donnent $5x$ et $-x$,\ndont la somme vaut $4x$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 4x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : $(-1) \\times (5) = -5$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 5x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Produit croisé oublié : le terme $-x$ doit être ajouté à $5x$.\n"
}
],
"explanation": "Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne\nune expression de la forme $ax^2 + bx + c$. La forme factorisée reste la\nplus commode pour lire les racines et le signe.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la forme développée de $f(x) = (x - 1)(x + 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + 4x - 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 + 5x - x - 5$ se réduit en $x^2 + 4x - 5$.\n"
},
{
"text": "$x^2 - 4x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : les produits croisés donnent $5x$ et $-x$,\ndont la somme vaut $4x$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 4x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : $(-1) \\times (5) = -5$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 5x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Produit croisé oublié : le terme $-x$ doit être ajouté à $5x$.\n"
}
],
"explanation": "Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne\nune expression de la forme $ax^2 + bx + c$. La forme factorisée reste la\nplus commode pour lire les racines et le signe."
},
{
"statement": "Quelle est la forme développée de $f(x) = (x - 3)(x + 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + 4x - 21$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 + 7x - 3x - 21$ se réduit en $x^2 + 4x - 21$.\n"
},
{
"text": "$x^2 - 4x - 21$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : les produits croisés donnent $7x$ et $-3x$,\ndont la somme vaut $4x$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 4x + 21$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : $(-3) \\times (7) = -21$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 7x - 21$",
"correct": false,
"feedback": "Produit croisé oublié : le terme $-3x$ doit être ajouté à $7x$.\n"
}
],
"explanation": "Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne\nune expression de la forme $ax^2 + bx + c$. La forme factorisée reste la\nplus commode pour lire les racines et le signe."
},
{
"statement": "Quelle est la forme développée de $f(x) = (x + 2)(x - 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 - 4x - 12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 6x + 2x - 12$ se réduit en $x^2 - 4x - 12$.\n"
},
{
"text": "$x^2 + 4x - 12$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : les produits croisés donnent $-6x$ et $2x$,\ndont la somme vaut $-4x$.\n"
},
{
"text": "$x^2 - 4x + 12$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : $(2) \\times (-6) = -12$.\n"
},
{
"text": "$x^2 - 6x - 12$",
"correct": false,
"feedback": "Produit croisé oublié : le terme $2x$ doit être ajouté à $-6x$.\n"
}
],
"explanation": "Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne\nune expression de la forme $ax^2 + bx + c$. La forme factorisée reste la\nplus commode pour lire les racines et le signe."
}
]
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parabole",
"modelisation"
],
"title": "Le maximum d'un chiffre d'affaires",
"partie": "modelisation",
"statement": "Le chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par\n$C(p) = -2p^2 + 40p$, où $p$ est le prix unitaire.\nPour quel prix est-il maximal ?",
"options": [
{
"text": "$10$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines de $C$ sont $0$ et $20$, et le sommet se\nsitue à leur milieu."
},
{
"text": "$20$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires\nretombe à zéro."
},
{
"text": "$40$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $p = 40$, le modèle donne un chiffre\nd'affaires négatif."
},
{
"text": "$200$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur du maximum, soit $C(10) = 200$ euros, pas le prix qui\nle réalise."
}
],
"explanation": "Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La\nforme factorisée $-2p(p - 20)$ les donne immédiatement.",
"variants": [
{
"statement": "Le chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par\n$C(p) = -2p^2 + 40p$, où $p$ est le prix unitaire.\nPour quel prix est-il maximal ?",
"options": [
{
"text": "$10$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines de $C$ sont $0$ et $20$, et le sommet se\nsitue à leur milieu."
},
{
"text": "$20$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires\nretombe à zéro."
},
{
"text": "$40$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $p = 40$, le modèle donne un chiffre\nd'affaires négatif."
},
{
"text": "$200$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur du maximum, soit $C(10) = 200$ euros, pas le prix qui\nle réalise."
}
],
"explanation": "Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La\nforme factorisée $-2p(p - 20)$ les donne immédiatement."
},
{
"statement": "Le chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par\n$C(p) = -4p^2 + 48p$, où $p$ est le prix unitaire.\nPour quel prix est-il maximal ?",
"options": [
{
"text": "$6$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines de $C$ sont $0$ et $12$, et le sommet se\nsitue à leur milieu."
},
{
"text": "$12$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires\nretombe à zéro."
},
{
"text": "$48$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $p = 48$, le modèle donne un chiffre\nd'affaires négatif."
},
{
"text": "$144$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur du maximum, soit $C(6) = 144$ euros, pas le prix qui\nle réalise."
}
],
"explanation": "Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La\nforme factorisée $-4p(p - 12)$ les donne immédiatement."
},
{
"statement": "Le chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par\n$C(p) = -3p^2 + 42p$, où $p$ est le prix unitaire.\nPour quel prix est-il maximal ?",
"options": [
{
"text": "$7$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines de $C$ sont $0$ et $14$, et le sommet se\nsitue à leur milieu."
},
{
"text": "$14$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires\nretombe à zéro."
},
{
"text": "$42$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $p = 42$, le modèle donne un chiffre\nd'affaires négatif."
},
{
"text": "$147$ euros",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur du maximum, soit $C(7) = 147$ euros, pas le prix qui\nle réalise."
}
],
"explanation": "Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La\nforme factorisée $-3p(p - 14)$ les donne immédiatement."
}
]
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"signe"
],
"title": "Signe d'une fonction de degré 2 sans racine",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole tournée vers le haut ne coupe pas l'axe des abscisses.\nQuel est le signe de la fonction correspondante ?",
"options": [
{
"text": "Elle est strictement positive partout",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ne jamais couper l'axe et rester au-dessus de son\nsommet, qui est lui-même au-dessus de l'axe.\n"
},
{
"text": "Elle est strictement négative partout",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole tournée vers le haut prend de grandes valeurs positives\nloin de son sommet.\n"
},
{
"text": "Elle change de signe une fois",
"correct": false,
"feedback": "Un changement de signe imposerait de traverser l'axe, donc d'avoir une\nracine.\n"
},
{
"text": "Son signe dépend du coefficient constant",
"correct": false,
"feedback": "Ce coefficient donne l'ordonnée à l'origine, il ne décide pas du signe\nsur tout l'ensemble de définition.\n"
}
],
"explanation": "Une parabole sans racine reste entièrement d'un même côté de l'axe des\nabscisses, du côté indiqué par son orientation."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"coefficient"
],
"title": "Le rôle du coefficient dominant",
"partie": "parabole",
"statement": "Que change le coefficient $a$ dans l'écriture $f(x) = ax^2 + bx + c$,\nlorsqu'il passe de $1$ à $3$ ?",
"options": [
{
"text": "La parabole devient plus resserrée",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à distance égale du sommet, les ordonnées sont trois\nfois plus grandes, donc la courbe monte plus vite."
},
{
"text": "La parabole se retourne",
"correct": false,
"feedback": "Le retournement demanderait un changement de signe, or $1$ et $3$ sont\ntous deux positifs."
},
{
"text": "La parabole se déplace vers la droite",
"correct": false,
"feedback": "Un déplacement horizontal viendrait d'un changement de $b$, pas du\ncoefficient dominant seul."
},
{
"text": "La parabole garde exactement la même forme",
"correct": false,
"feedback": "L'ouverture change : pour $x$ à une unité du sommet, l'écart\nd'ordonnée passe de $1$ à $3$."
}
],
"explanation": "Le signe de $a$ donne l'orientation de la parabole et sa valeur absolue\nl'ouverture : plus elle est grande, plus la courbe est resserrée autour de\nson axe."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parabole",
"symetrie",
"methode"
],
"title": "Trouver l'axe sans formule",
"partie": "parabole",
"statement": "Une fonction du second degré vérifie $f(2) = f(8)$.\nQuelle est l'équation de son axe de symétrie ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux nombres de même image sont symétriques par\nrapport à l'axe, qui passe par leur milieu."
},
{
"text": "$x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Différence au lieu du milieu : $8 - 2 = 6$ mesure l'écart entre les\ndeux nombres."
},
{
"text": "$x = 10$",
"correct": false,
"feedback": "Somme non divisée : le milieu de $2$ et $8$ vaut\n$\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$."
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient au lieu du milieu : $\\dfrac{8}{2}$ ne tient pas compte du\nnombre $2$."
}
],
"explanation": "Repérer deux nombres de même image suffit à localiser l'axe de symétrie,\nsans aucune formule : il passe par leur milieu."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"racines"
],
"title": "Somme des racines et sommet",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-3$ et en $7$.\nQuelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit\n$\\dfrac{-3 + 7}{2}$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Somme non divisée : $-3 + 7 = 4$ doit encore être partagé en deux."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Racines soustraites : $\\dfrac{7 - (-3)}{2}$ donne la demi-distance\nentre elles, pas leur milieu."
},
{
"text": "$-21$",
"correct": false,
"feedback": "Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la\nposition du sommet."
}
],
"explanation": "Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son\nsommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par\nrapport à cet axe.",
"variants": [
{
"statement": "Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-3$ et en $7$.\nQuelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit\n$\\dfrac{-3 + 7}{2}$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Somme non divisée : $-3 + 7 = 4$ doit encore être partagé en deux."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Racines soustraites : $\\dfrac{7 - (-3)}{2}$ donne la demi-distance\nentre elles, pas leur milieu."
},
{
"text": "$-21$",
"correct": false,
"feedback": "Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la\nposition du sommet."
}
],
"explanation": "Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son\nsommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par\nrapport à cet axe."
},
{
"statement": "Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $9$.\nQuelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit\n$\\dfrac{-1 + 9}{2}$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Somme non divisée : $-1 + 9 = 8$ doit encore être partagé en deux."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Racines soustraites : $\\dfrac{9 - (-1)}{2}$ donne la demi-distance\nentre elles, pas leur milieu."
},
{
"text": "$-9$",
"correct": false,
"feedback": "Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la\nposition du sommet."
}
],
"explanation": "Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son\nsommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par\nrapport à cet axe."
},
{
"statement": "Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-6$ et en $2$.\nQuelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit\n$\\dfrac{-6 + 2}{2}$."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Somme non divisée : $-6 + 2 = -4$ doit encore être partagé en deux."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Racines soustraites : $\\dfrac{2 - (-6)}{2}$ donne la demi-distance\nentre elles, pas leur milieu."
},
{
"text": "$-12$",
"correct": false,
"feedback": "Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la\nposition du sommet."
}
],
"explanation": "Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son\nsommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par\nrapport à cet axe."
}
]
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parabole",
"modelisation"
],
"title": "Quand une trajectoire retombe",
"partie": "modelisation",
"statement": "La hauteur d'un projectile est donnée par $h(t) = -5t^2 + 20t$, en\nmètres, avec $t$ en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 4$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-5t(t - 4) = 0$ donne $t = 0$ au lancer et $t = 4$ au\nretour au sol."
},
{
"text": "À $t = 2$ s",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut $20$\nmètres."
},
{
"text": "À $t = 20$ s",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $t = 20$, le modèle donne une hauteur très\nnégative, donc sans signification."
},
{
"text": "À $t = 5$ s",
"correct": false,
"feedback": "Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants $0$\net $4$."
}
],
"explanation": "Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression\net l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer.",
"variants": [
{
"statement": "La hauteur d'un projectile est donnée par $h(t) = -5t^2 + 20t$, en\nmètres, avec $t$ en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 4$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-5t(t - 4) = 0$ donne $t = 0$ au lancer et $t = 4$ au\nretour au sol."
},
{
"text": "À $t = 2$ s",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut $20$\nmètres."
},
{
"text": "À $t = 20$ s",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $t = 20$, le modèle donne une hauteur très\nnégative, donc sans signification."
},
{
"text": "À $t = 5$ s",
"correct": false,
"feedback": "Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants $0$\net $4$."
}
],
"explanation": "Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression\net l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer."
},
{
"statement": "La hauteur d'un projectile est donnée par $h(t) = -5t^2 + 30t$, en\nmètres, avec $t$ en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 6$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-5t(t - 6) = 0$ donne $t = 0$ au lancer et $t = 6$ au\nretour au sol."
},
{
"text": "À $t = 3$ s",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut $45$\nmètres."
},
{
"text": "À $t = 30$ s",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $t = 30$, le modèle donne une hauteur très\nnégative, donc sans signification."
},
{
"text": "À $t = 5$ s",
"correct": false,
"feedback": "Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants $0$\net $6$."
}
],
"explanation": "Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression\net l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer."
},
{
"statement": "La hauteur d'un projectile est donnée par $h(t) = -2t^2 + 14t$, en\nmètres, avec $t$ en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 7$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2t(t - 7) = 0$ donne $t = 0$ au lancer et $t = 7$ au\nretour au sol."
},
{
"text": "À $t = 3{,}5$ s",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut $24{,}5$\nmètres."
},
{
"text": "À $t = 14$ s",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié : pour $t = 14$, le modèle donne une hauteur très\nnégative, donc sans signification."
},
{
"text": "À $t = 2$ s",
"correct": false,
"feedback": "Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants $0$\net $7$."
}
],
"explanation": "Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression\net l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer."
}
]
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parabole",
"ordonnee-origine"
],
"title": "Où la parabole coupe l'axe des ordonnées",
"partie": "parabole",
"statement": "Quelle est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole\nd'équation $y = 3x^2 - 4x + 7$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $x = 0$, les deux premiers termes s'annulent et\nil reste le terme constant."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient dominant recopié : il décide de l'orientation, pas de\nl'ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient du terme en $x$ : il intervient dans la position du\nsommet, pas ici."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait l'ordonnée si le terme constant était nul, donc si la\nparabole passait par l'origine."
}
],
"explanation": "L'ordonnée à l'origine d'une parabole est la valeur de la fonction en\n$0$, c'est-à-dire le terme constant de son écriture développée."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parabole",
"inequation"
],
"title": "Résoudre une inéquation avec une parabole",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole tournée vers le haut a pour racines $1$ et $6$.\nPour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x$ dans $]1\\,;\\,6[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre les racines, la courbe passe sous l'axe des\nabscisses.\n"
},
{
"text": "Pour $x$ hors de $[1\\,;\\,6]$",
"correct": false,
"feedback": "C'est là que la fonction est positive : la parabole remonte de part et\nd'autre de ses racines.\n"
},
{
"text": "Pour $x$ dans $[1\\,;\\,6]$",
"correct": false,
"feedback": "Bornes incluses à tort : en $1$ et en $6$, la fonction s'annule, elle\nn'est pas strictement négative.\n"
},
{
"text": "Pour aucune valeur de $x$",
"correct": false,
"feedback": "La présence de deux racines distinctes impose un passage sous l'axe\nentre elles.\n"
}
],
"explanation": "Une parabole tournée vers le haut passe au-dessus de l'axe des abscisses\nà l'extérieur de ses racines et au-dessous entre elles. La fonction est\ndonc strictement négative pour $x$ strictement compris entre $1$ et $6$."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tableau-variations",
"allure"
],
"title": "Du tableau de variations au coefficient",
"partie": "parabole",
"statement": "Le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré 2 indique\nqu'elle croît jusqu'à $x = 3$, puis qu'elle décroît. Que peut-on en\ndéduire sur le coefficient de $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "Il est négatif, car le sommet est un maximum",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : monter puis descendre place le sommet en haut, ce\nqui correspond à une parabole tournée vers le bas."
},
{
"text": "Il est positif, car la fonction commence par croître",
"correct": false,
"feedback": "Un coefficient positif donne une parabole tournée vers le haut,\ndonc une fonction qui descend d'abord, puis remonte."
},
{
"text": "Il est nul, car la fonction change de sens",
"correct": false,
"feedback": "Un coefficient nul ferait disparaître le terme en $x^2$ : la\nfonction serait affine et ne changerait jamais de sens."
},
{
"text": "Il vaut $3$, abscisse du sommet de la parabole",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre $3$ situe le sommet sur l'axe horizontal : il ne dit rien\ndu coefficient de $x^2$."
}
],
"explanation": "L'orientation de la parabole se lit indifféremment sur le signe du\ncoefficient de $x^2$ ou sur la forme du tableau de variations : montée\npuis descente signifie coefficient négatif."
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"association",
"courbe"
],
"title": "L'expression qui va avec la courbe",
"partie": "parabole",
"statement": "Quelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui\ncoupe l'axe des abscisses en $-2$ et en $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = -(x + 2)(x - 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et\nchaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées."
},
{
"text": "$f(x) = (x + 2)(x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe\nmoins le coefficient de $x^2$ est positif et la parabole monte."
},
{
"text": "$f(x) = -(x - 2)(x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines inversés : le facteur $x - 2$ s'annule pour\n$x = 2$, et non pour $x = -2$."
},
{
"text": "$f(x) = -(x + 2)(x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Une racine sur deux : le facteur $x + 3$ s'annule en\n$-3$, alors que la courbe doit couper l'axe en $3$."
}
],
"explanation": "Dans l'écriture $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent dans les\nparenthèses avec le signe opposé, et le signe de $a$ donne\nl'orientation de la parabole.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui\ncoupe l'axe des abscisses en $-2$ et en $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = -(x + 2)(x - 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et\nchaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées."
},
{
"text": "$f(x) = (x + 2)(x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe\nmoins le coefficient de $x^2$ est positif et la parabole monte."
},
{
"text": "$f(x) = -(x - 2)(x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines inversés : le facteur $x - 2$ s'annule pour\n$x = 2$, et non pour $x = -2$."
},
{
"text": "$f(x) = -(x + 2)(x + 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Une racine sur deux : le facteur $x + 3$ s'annule en\n$-3$, alors que la courbe doit couper l'axe en $3$."
}
],
"explanation": "Dans l'écriture $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent dans les\nparenthèses avec le signe opposé, et le signe de $a$ donne\nl'orientation de la parabole."
},
{
"statement": "Quelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui\ncoupe l'axe des abscisses en $1$ et en $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = -(x - 1)(x - 5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et\nchaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées."
},
{
"text": "$f(x) = (x - 1)(x - 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe\nmoins le coefficient de $x^2$ est positif et la parabole monte."
},
{
"text": "$f(x) = -(x + 1)(x + 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines inversés : le facteur $x + 1$ s'annule pour\n$x = -1$, et non pour $x = 1$."
},
{
"text": "$f(x) = -(x - 1)(x + 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Une racine sur deux : le facteur $x + 5$ s'annule en\n$-5$, alors que la courbe doit couper l'axe en $5$."
}
],
"explanation": "Dans l'écriture $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent dans les\nparenthèses avec le signe opposé, et le signe de $a$ donne\nl'orientation de la parabole."
},
{
"statement": "Quelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui\ncoupe l'axe des abscisses en $-4$ et en $-1$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = -(x + 4)(x + 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et\nchaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées."
},
{
"text": "$f(x) = (x + 4)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe\nmoins le coefficient de $x^2$ est positif et la parabole monte."
},
{
"text": "$f(x) = -(x - 4)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes des racines inversés : le facteur $x - 4$ s'annule pour\n$x = 4$, et non pour $x = -4$."
},
{
"text": "$f(x) = -(x + 4)(x - 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Une racine sur deux : le facteur $x - 1$ s'annule en\n$1$, alors que la courbe doit couper l'axe en $-1$."
}
],
"explanation": "Dans l'écriture $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent dans les\nparenthèses avec le signe opposé, et le signe de $a$ donne\nl'orientation de la parabole."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"choix-modele",
"modelisation"
],
"title": "Un relevé qui monte puis descend",
"partie": "modelisation",
"statement": "Une grandeur prend les valeurs $0$, $9$, $16$, $21$, $24$, $25$, $24$\net $21$ aux instants $0$, $1$, $2$, ..., $7$. Quel modèle convient ?",
"options": [
{
"text": "Un modèle quadratique, avec une montée puis une descente",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une seule montée suivie d'une seule descente, avec\nun sommet, est la signature d'une fonction polynôme de degré 2."
},
{
"text": "Un modèle linéaire, car les écarts successifs restent réguliers",
"correct": false,
"feedback": "Les écarts valent $9$, $7$, $5$, $3$, $1$, puis $-1$ : ils\ndiminuent au lieu de rester constants."
},
{
"text": "Un modèle exponentiel, car la croissance ralentit nettement",
"correct": false,
"feedback": "Une croissance exponentielle ne s'inverse jamais : elle multiplie\nles valeurs par un même facteur à chaque instant."
},
{
"text": "Aucun modèle simple, car les valeurs ne sont pas régulières",
"correct": false,
"feedback": "Ce relevé est au contraire très régulier : il est symétrique\nautour de l'instant $5$, où la valeur est maximale."
}
],
"explanation": "Le modèle quadratique est le premier à envisager devant une grandeur\nqui atteint un maximum ou un minimum, puis repart en sens inverse de\nfaçon symétrique."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"coefficient",
"parabole"
],
"title": "La parabole la plus ouverte",
"partie": "parabole",
"statement": "Trois paraboles ont pour équations $y = 0{,}5x^2$, $y = 2x^2$ et\n$y = 5x^2$. Laquelle est la plus ouverte, c'est-à-dire la plus large ?",
"options": [
{
"text": "Celle de $y = 0{,}5x^2$, au coefficient le plus petit",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $x = 2$, les ordonnées valent $2$, $8$ et\n$20$. La plus petite fait monter la courbe le plus lentement, donc\nl'ouvre le plus."
},
{
"text": "Celle de $y = 5x^2$, au coefficient le plus grand",
"correct": false,
"feedback": "Un grand coefficient fait monter la courbe très vite : la parabole\nest au contraire resserrée autour de son axe."
},
{
"text": "Celle de $y = 2x^2$, au coefficient intermédiaire",
"correct": false,
"feedback": "Cette parabole est plus ouverte que celle de $y = 5x^2$, mais plus\nresserrée que celle de $y = 0{,}5x^2$."
},
{
"text": "Les trois ont la même ouverture, seul le sommet change",
"correct": false,
"feedback": "Les trois ont le même sommet, l'origine du repère : c'est\njustement leur ouverture qui les distingue."
}
],
"explanation": "Pour une équation $y = ax^2$, le sommet reste à l'origine et seule la\nvaleur absolue de $a$ agit : plus elle est grande, plus la parabole est\nresserrée autour de son axe."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"developpement",
"racines"
],
"title": "Reconnaître une écriture équivalente",
"partie": "formes",
"statement": "Parmi ces écritures, laquelle est égale à $x^2 - 7x + 12$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 3)(x - 4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$x^2 - 4x - 3x + 12$, soit $x^2 - 7x + 12$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : deux facteurs positifs donnent $+7x$,\nalors que le terme cherché est négatif."
},
{
"text": "$(x - 3)(x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant faux : le produit $(-3) \\times 4$ vaut\n$-12$, alors que la constante cherchée vaut $12$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x - 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes croisés : ce produit donne la constante $-12$ au lieu de\n$12$, et le coefficient $-1$ au lieu de $-7$ pour le\nterme en $x$."
}
],
"explanation": "Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une\nexpression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec\nle signe opposé, et leur produit donne le terme constant.",
"variants": [
{
"statement": "Parmi ces écritures, laquelle est égale à $x^2 - 7x + 12$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 3)(x - 4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$x^2 - 4x - 3x + 12$, soit $x^2 - 7x + 12$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : deux facteurs positifs donnent $+7x$,\nalors que le terme cherché est négatif."
},
{
"text": "$(x - 3)(x + 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant faux : le produit $(-3) \\times 4$ vaut\n$-12$, alors que la constante cherchée vaut $12$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x - 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes croisés : ce produit donne la constante $-12$ au lieu de\n$12$, et le coefficient $-1$ au lieu de $-7$ pour le\nterme en $x$."
}
],
"explanation": "Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une\nexpression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec\nle signe opposé, et leur produit donne le terme constant."
},
{
"statement": "Parmi ces écritures, laquelle est égale à $x^2 - 9x + 14$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)(x - 7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$x^2 - 7x - 2x + 14$, soit $x^2 - 9x + 14$."
},
{
"text": "$(x + 2)(x + 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : deux facteurs positifs donnent $+9x$,\nalors que le terme cherché est négatif."
},
{
"text": "$(x - 2)(x + 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant faux : le produit $(-2) \\times 7$ vaut\n$-14$, alors que la constante cherchée vaut $14$."
},
{
"text": "$(x + 2)(x - 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes croisés : ce produit donne la constante $-14$ au lieu de\n$14$, et le coefficient $-5$ au lieu de $-9$ pour le\nterme en $x$."
}
],
"explanation": "Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une\nexpression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec\nle signe opposé, et leur produit donne le terme constant."
},
{
"statement": "Parmi ces écritures, laquelle est égale à $x^2 - 11x + 30$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 5)(x - 6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le développement donne\n$x^2 - 6x - 5x + 30$, soit $x^2 - 11x + 30$."
},
{
"text": "$(x + 5)(x + 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme en $x$ : deux facteurs positifs donnent $+11x$,\nalors que le terme cherché est négatif."
},
{
"text": "$(x - 5)(x + 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Terme constant faux : le produit $(-5) \\times 6$ vaut\n$-30$, alors que la constante cherchée vaut $30$."
},
{
"text": "$(x + 5)(x - 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes croisés : ce produit donne la constante $-30$ au lieu de\n$30$, et le coefficient $-1$ au lieu de $-11$ pour le\nterme en $x$."
}
],
"explanation": "Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une\nexpression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec\nle signe opposé, et leur produit donne le terme constant."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"economie",
"inequation"
],
"title": "Les quantités qui rendent l'atelier bénéficiaire",
"partie": "modelisation",
"statement": "Le bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -(q - 10)(q - 50)$, où $q$ est le nombre d'articles\nvendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?",
"options": [
{
"text": "Pour $q$ strictement compris entre $10$ et $50$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $q^2$ est négatif, donc la\nparabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple\n$B(30)$ est positif."
},
{
"text": "Pour $q$ situé en dehors de $[10\\,;\\,50]$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la\nparabole étant tournée vers le bas."
},
{
"text": "Pour $q$ supérieur ou égal à $50$ articles",
"correct": false,
"feedback": "Au-delà de $50$ articles, les deux facteurs sont positifs et le\nsigne moins rend le bénéfice négatif."
},
{
"text": "Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son\nopposé est donc bien positif."
}
],
"explanation": "Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur\ndes racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre\nelles, il a le signe contraire.",
"variants": [
{
"statement": "Le bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -(q - 10)(q - 50)$, où $q$ est le nombre d'articles\nvendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?",
"options": [
{
"text": "Pour $q$ strictement compris entre $10$ et $50$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $q^2$ est négatif, donc la\nparabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple\n$B(30)$ est positif."
},
{
"text": "Pour $q$ situé en dehors de $[10\\,;\\,50]$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la\nparabole étant tournée vers le bas."
},
{
"text": "Pour $q$ supérieur ou égal à $50$ articles",
"correct": false,
"feedback": "Au-delà de $50$ articles, les deux facteurs sont positifs et le\nsigne moins rend le bénéfice négatif."
},
{
"text": "Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son\nopposé est donc bien positif."
}
],
"explanation": "Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur\ndes racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre\nelles, il a le signe contraire."
},
{
"statement": "Le bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -(q - 20)(q - 80)$, où $q$ est le nombre d'articles\nvendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?",
"options": [
{
"text": "Pour $q$ strictement compris entre $20$ et $80$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $q^2$ est négatif, donc la\nparabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple\n$B(50)$ est positif."
},
{
"text": "Pour $q$ situé en dehors de $[20\\,;\\,80]$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la\nparabole étant tournée vers le bas."
},
{
"text": "Pour $q$ supérieur ou égal à $80$ articles",
"correct": false,
"feedback": "Au-delà de $80$ articles, les deux facteurs sont positifs et le\nsigne moins rend le bénéfice négatif."
},
{
"text": "Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son\nopposé est donc bien positif."
}
],
"explanation": "Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur\ndes racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre\nelles, il a le signe contraire."
},
{
"statement": "Le bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par\n$B(q) = -(q - 5)(q - 45)$, où $q$ est le nombre d'articles\nvendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?",
"options": [
{
"text": "Pour $q$ strictement compris entre $5$ et $45$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $q^2$ est négatif, donc la\nparabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple\n$B(25)$ est positif."
},
{
"text": "Pour $q$ situé en dehors de $[5\\,;\\,45]$",
"correct": false,
"feedback": "Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la\nparabole étant tournée vers le bas."
},
{
"text": "Pour $q$ supérieur ou égal à $45$ articles",
"correct": false,
"feedback": "Au-delà de $45$ articles, les deux facteurs sont positifs et le\nsigne moins rend le bénéfice négatif."
},
{
"text": "Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son\nopposé est donc bien positif."
}
],
"explanation": "Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur\ndes racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre\nelles, il a le signe contraire."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 1,
"skills": [
"trajectoire",
"sommet-milieu-racines"
],
"title": "L'instant de la hauteur maximale",
"partie": "modelisation",
"statement": "Un projectile est lancé du sol et retombe au sol $8$ secondes plus\ntard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa\nhauteur maximale ?",
"options": [
{
"text": "À $4$ secondes, au milieu des deux instants au sol",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les\nracines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit\n$\\dfrac{0 + 8}{2} = 4$."
},
{
"text": "À $8$ secondes, au moment où il touche le sol",
"correct": false,
"feedback": "À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non\nson point le plus haut."
},
{
"text": "À $2$ secondes, au quart de la durée du vol",
"correct": false,
"feedback": "La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le\nsommet est à la moitié du vol, pas au quart."
},
{
"text": "Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend\nque des deux instants où le projectile est au sol."
}
],
"explanation": "Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant\nde temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des\ndeux instants où la hauteur est nulle.",
"variants": [
{
"statement": "Un projectile est lancé du sol et retombe au sol $8$ secondes plus\ntard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa\nhauteur maximale ?",
"options": [
{
"text": "À $4$ secondes, au milieu des deux instants au sol",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les\nracines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit\n$\\dfrac{0 + 8}{2} = 4$."
},
{
"text": "À $8$ secondes, au moment où il touche le sol",
"correct": false,
"feedback": "À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non\nson point le plus haut."
},
{
"text": "À $2$ secondes, au quart de la durée du vol",
"correct": false,
"feedback": "La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le\nsommet est à la moitié du vol, pas au quart."
},
{
"text": "Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend\nque des deux instants où le projectile est au sol."
}
],
"explanation": "Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant\nde temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des\ndeux instants où la hauteur est nulle."
},
{
"statement": "Un projectile est lancé du sol et retombe au sol $10$ secondes plus\ntard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa\nhauteur maximale ?",
"options": [
{
"text": "À $5$ secondes, au milieu des deux instants au sol",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les\nracines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit\n$\\dfrac{0 + 10}{2} = 5$."
},
{
"text": "À $10$ secondes, au moment où il touche le sol",
"correct": false,
"feedback": "À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non\nson point le plus haut."
},
{
"text": "À $2{,}5$ secondes, au quart de la durée du vol",
"correct": false,
"feedback": "La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le\nsommet est à la moitié du vol, pas au quart."
},
{
"text": "Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend\nque des deux instants où le projectile est au sol."
}
],
"explanation": "Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant\nde temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des\ndeux instants où la hauteur est nulle."
},
{
"statement": "Un projectile est lancé du sol et retombe au sol $12$ secondes plus\ntard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa\nhauteur maximale ?",
"options": [
{
"text": "À $6$ secondes, au milieu des deux instants au sol",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les\nracines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit\n$\\dfrac{0 + 12}{2} = 6$."
},
{
"text": "À $12$ secondes, au moment où il touche le sol",
"correct": false,
"feedback": "À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non\nson point le plus haut."
},
{
"text": "À $3$ secondes, au quart de la durée du vol",
"correct": false,
"feedback": "La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le\nsommet est à la moitié du vol, pas au quart."
},
{
"text": "Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte",
"correct": false,
"feedback": "La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend\nque des deux instants où le projectile est au sol."
}
],
"explanation": "Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant\nde temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des\ndeux instants où la hauteur est nulle."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"physique",
"resolution"
],
"title": "Le temps de chute",
"partie": "modelisation",
"statement": "Un objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est\nmodélisée par $h(t) = 45 - 5t^2$, où $t$ est le temps écoulé, en\nsecondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?",
"options": [
{
"text": "$3$ secondes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'objet touche le sol quand $h(t) = 0$, donc quand\n$5t^2 = 45$, soit $t^2 = 9$ et $t = 3$, le temps étant\npositif."
},
{
"text": "$9$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Étape oubliée : $9$ est la valeur de $t^2$, il reste à\nchercher le nombre positif dont le carré vaut $9$."
},
{
"text": "$4{,}5$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Le coefficient $5$ multiplie $t^2$ et non $t$ : partager la hauteur\nen dix ne donne pas le temps de chute."
},
{
"text": "$45$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Grandeur recopiée : $45$ est une hauteur exprimée en mètres, alors\nque la question porte sur une durée."
}
],
"explanation": "Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc\n$h(t) = 0$, ce qui ramène à une équation de la forme $t^2 = k$ dont on\nretient la solution positive.",
"variants": [
{
"statement": "Un objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est\nmodélisée par $h(t) = 45 - 5t^2$, où $t$ est le temps écoulé, en\nsecondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?",
"options": [
{
"text": "$3$ secondes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'objet touche le sol quand $h(t) = 0$, donc quand\n$5t^2 = 45$, soit $t^2 = 9$ et $t = 3$, le temps étant\npositif."
},
{
"text": "$9$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Étape oubliée : $9$ est la valeur de $t^2$, il reste à\nchercher le nombre positif dont le carré vaut $9$."
},
{
"text": "$4{,}5$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Le coefficient $5$ multiplie $t^2$ et non $t$ : partager la hauteur\nen dix ne donne pas le temps de chute."
},
{
"text": "$45$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Grandeur recopiée : $45$ est une hauteur exprimée en mètres, alors\nque la question porte sur une durée."
}
],
"explanation": "Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc\n$h(t) = 0$, ce qui ramène à une équation de la forme $t^2 = k$ dont on\nretient la solution positive."
},
{
"statement": "Un objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est\nmodélisée par $h(t) = 80 - 5t^2$, où $t$ est le temps écoulé, en\nsecondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?",
"options": [
{
"text": "$4$ secondes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'objet touche le sol quand $h(t) = 0$, donc quand\n$5t^2 = 80$, soit $t^2 = 16$ et $t = 4$, le temps étant\npositif."
},
{
"text": "$16$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Étape oubliée : $16$ est la valeur de $t^2$, il reste à\nchercher le nombre positif dont le carré vaut $16$."
},
{
"text": "$8$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Le coefficient $5$ multiplie $t^2$ et non $t$ : partager la hauteur\nen dix ne donne pas le temps de chute."
},
{
"text": "$80$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Grandeur recopiée : $80$ est une hauteur exprimée en mètres, alors\nque la question porte sur une durée."
}
],
"explanation": "Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc\n$h(t) = 0$, ce qui ramène à une équation de la forme $t^2 = k$ dont on\nretient la solution positive."
},
{
"statement": "Un objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est\nmodélisée par $h(t) = 125 - 5t^2$, où $t$ est le temps écoulé, en\nsecondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?",
"options": [
{
"text": "$5$ secondes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'objet touche le sol quand $h(t) = 0$, donc quand\n$5t^2 = 125$, soit $t^2 = 25$ et $t = 5$, le temps étant\npositif."
},
{
"text": "$25$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Étape oubliée : $25$ est la valeur de $t^2$, il reste à\nchercher le nombre positif dont le carré vaut $25$."
},
{
"text": "$12{,}5$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Le coefficient $5$ multiplie $t^2$ et non $t$ : partager la hauteur\nen dix ne donne pas le temps de chute."
},
{
"text": "$125$ secondes",
"correct": false,
"feedback": "Grandeur recopiée : $125$ est une hauteur exprimée en mètres, alors\nque la question porte sur une durée."
}
],
"explanation": "Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc\n$h(t) = 0$, ce qui ramène à une équation de la forme $t^2 = k$ dont on\nretient la solution positive."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe-a-negatif",
"signe"
],
"title": "Signe d'un produit à coefficient négatif",
"partie": "parabole",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -3x(x - 4)$. Sur quel ensemble $f$ est-elle strictement\nnégative ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 0$ et pour $x > 4$, hors des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $0$ et $4$, et le coefficient de\n$x^2$ vaut $-3$. La parabole est tournée vers le bas, donc elle\npasse sous l'axe à l'extérieur des racines."
},
{
"text": "Pour $x$ strictement compris entre $0$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'intervalle où $f$ est positive : par exemple\n$f(2) = 12$."
},
{
"text": "Pour tout réel $x$, le coefficient $-3$ étant négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout\nentière sous l'axe : $f$ s'annule en $0$ et en $4$."
},
{
"text": "Pour aucun réel $x$, la courbe restant au-dessus de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses\nracines, elle passe sous l'axe."
}
],
"explanation": "Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur\ndes racines, il est celui du coefficient de $x^2$ ; entre elles, il est\ncontraire.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -3x(x - 4)$. Sur quel ensemble $f$ est-elle strictement\nnégative ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 0$ et pour $x > 4$, hors des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $0$ et $4$, et le coefficient de\n$x^2$ vaut $-3$. La parabole est tournée vers le bas, donc elle\npasse sous l'axe à l'extérieur des racines."
},
{
"text": "Pour $x$ strictement compris entre $0$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'intervalle où $f$ est positive : par exemple\n$f(2) = 12$."
},
{
"text": "Pour tout réel $x$, le coefficient $-3$ étant négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout\nentière sous l'axe : $f$ s'annule en $0$ et en $4$."
},
{
"text": "Pour aucun réel $x$, la courbe restant au-dessus de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses\nracines, elle passe sous l'axe."
}
],
"explanation": "Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur\ndes racines, il est celui du coefficient de $x^2$ ; entre elles, il est\ncontraire."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -2x(x - 5)$. Sur quel ensemble $f$ est-elle strictement\nnégative ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 0$ et pour $x > 5$, hors des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $0$ et $5$, et le coefficient de\n$x^2$ vaut $-2$. La parabole est tournée vers le bas, donc elle\npasse sous l'axe à l'extérieur des racines."
},
{
"text": "Pour $x$ strictement compris entre $0$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'intervalle où $f$ est positive : par exemple\n$f(2{,}5) = 12{,}5$."
},
{
"text": "Pour tout réel $x$, le coefficient $-2$ étant négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout\nentière sous l'axe : $f$ s'annule en $0$ et en $5$."
},
{
"text": "Pour aucun réel $x$, la courbe restant au-dessus de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses\nracines, elle passe sous l'axe."
}
],
"explanation": "Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur\ndes racines, il est celui du coefficient de $x^2$ ; entre elles, il est\ncontraire."
},
{
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -4x(x - 3)$. Sur quel ensemble $f$ est-elle strictement\nnégative ?",
"options": [
{
"text": "Pour $x < 0$ et pour $x > 3$, hors des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $0$ et $3$, et le coefficient de\n$x^2$ vaut $-4$. La parabole est tournée vers le bas, donc elle\npasse sous l'axe à l'extérieur des racines."
},
{
"text": "Pour $x$ strictement compris entre $0$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'intervalle où $f$ est positive : par exemple\n$f(1{,}5) = 9$."
},
{
"text": "Pour tout réel $x$, le coefficient $-4$ étant négatif",
"correct": false,
"feedback": "Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout\nentière sous l'axe : $f$ s'annule en $0$ et en $3$."
},
{
"text": "Pour aucun réel $x$, la courbe restant au-dessus de l'axe",
"correct": false,
"feedback": "Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses\nracines, elle passe sous l'axe."
}
],
"explanation": "Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur\ndes racines, il est celui du coefficient de $x^2$ ; entre elles, il est\ncontraire."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 3,
"skills": [
"solutions-symetriques",
"symetrie"
],
"title": "Toutes les solutions d'une équation",
"partie": "formes",
"statement": "Le sommet de la parabole d'une fonction $f$ polynôme de degré 2 a pour\nabscisse $5$, et l'on sait que $f(2) = 11$. Quelles sont toutes\nles solutions de l'équation $f(x) = 11$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 2$ et $x = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2$ est à une distance de $3$ de l'axe de\nsymétrie, et son symétrique $8$ a donc la même image."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu\ndes deux solutions, qui l'encadrent."
},
{
"text": "$x = 2$ uniquement",
"correct": false,
"feedback": "Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle\ndu sommet, ce qui n'est pas le cas ici."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie prise par rapport à $0$ : le reflet se calcule par rapport\nà l'axe de la parabole, d'abscisse $5$."
}
],
"explanation": "Les solutions d'une équation $f(x) = c$ se répartissent\nsymétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est\nl'abscisse du sommet.",
"variants": [
{
"statement": "Le sommet de la parabole d'une fonction $f$ polynôme de degré 2 a pour\nabscisse $5$, et l'on sait que $f(2) = 11$. Quelles sont toutes\nles solutions de l'équation $f(x) = 11$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 2$ et $x = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2$ est à une distance de $3$ de l'axe de\nsymétrie, et son symétrique $8$ a donc la même image."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu\ndes deux solutions, qui l'encadrent."
},
{
"text": "$x = 2$ uniquement",
"correct": false,
"feedback": "Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle\ndu sommet, ce qui n'est pas le cas ici."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie prise par rapport à $0$ : le reflet se calcule par rapport\nà l'axe de la parabole, d'abscisse $5$."
}
],
"explanation": "Les solutions d'une équation $f(x) = c$ se répartissent\nsymétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est\nl'abscisse du sommet."
},
{
"statement": "Le sommet de la parabole d'une fonction $f$ polynôme de degré 2 a pour\nabscisse $4$, et l'on sait que $f(1) = 7$. Quelles sont toutes\nles solutions de l'équation $f(x) = 7$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 1$ et $x = 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1$ est à une distance de $3$ de l'axe de\nsymétrie, et son symétrique $7$ a donc la même image."
},
{
"text": "$x = 1$ et $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu\ndes deux solutions, qui l'encadrent."
},
{
"text": "$x = 1$ uniquement",
"correct": false,
"feedback": "Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle\ndu sommet, ce qui n'est pas le cas ici."
},
{
"text": "$x = 1$ et $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie prise par rapport à $0$ : le reflet se calcule par rapport\nà l'axe de la parabole, d'abscisse $4$."
}
],
"explanation": "Les solutions d'une équation $f(x) = c$ se répartissent\nsymétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est\nl'abscisse du sommet."
},
{
"statement": "Le sommet de la parabole d'une fonction $f$ polynôme de degré 2 a pour\nabscisse $6$, et l'on sait que $f(2) = 20$. Quelles sont toutes\nles solutions de l'équation $f(x) = 20$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = 2$ et $x = 10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2$ est à une distance de $4$ de l'axe de\nsymétrie, et son symétrique $10$ a donc la même image."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu\ndes deux solutions, qui l'encadrent."
},
{
"text": "$x = 2$ uniquement",
"correct": false,
"feedback": "Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle\ndu sommet, ce qui n'est pas le cas ici."
},
{
"text": "$x = 2$ et $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie prise par rapport à $0$ : le reflet se calcule par rapport\nà l'axe de la parabole, d'abscisse $6$."
}
],
"explanation": "Les solutions d'une équation $f(x) = c$ se répartissent\nsymétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est\nl'abscisse du sommet."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation-enclos",
"modelisation"
],
"title": "Un enclos adossé à un mur",
"partie": "modelisation",
"statement": "Un enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage\nn'en couvre que trois côtés. Avec $24$ mètres de grillage, son aire\nvaut $A(x) = x(24 - 2x)$, où $x$ est la longueur d'un côté\nperpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?",
"options": [
{
"text": "$72$ mètres carrés",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et en $12$, donc son\nmaximum est atteint au milieu, en $x = 6$, et vaut\n$6 \\times 12 = 72$."
},
{
"text": "$36$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Enclos supposé carré de côté $6$ : le côté parallèle au mur\nmesure ici $12$ mètres, soit le double."
},
{
"text": "$6$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Longueur prise pour une aire : $6$ mètres est le côté qui rend\nl'aire maximale, pas cette aire."
},
{
"text": "$144$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Mur oublié : ce serait l'aire maximale de $x(24 - x)$, mais deux\ncôtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur $2$."
}
],
"explanation": "L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de $x$ : son\nmaximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le\nmur change les proportions de l'enclos optimal.",
"variants": [
{
"statement": "Un enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage\nn'en couvre que trois côtés. Avec $24$ mètres de grillage, son aire\nvaut $A(x) = x(24 - 2x)$, où $x$ est la longueur d'un côté\nperpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?",
"options": [
{
"text": "$72$ mètres carrés",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et en $12$, donc son\nmaximum est atteint au milieu, en $x = 6$, et vaut\n$6 \\times 12 = 72$."
},
{
"text": "$36$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Enclos supposé carré de côté $6$ : le côté parallèle au mur\nmesure ici $12$ mètres, soit le double."
},
{
"text": "$6$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Longueur prise pour une aire : $6$ mètres est le côté qui rend\nl'aire maximale, pas cette aire."
},
{
"text": "$144$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Mur oublié : ce serait l'aire maximale de $x(24 - x)$, mais deux\ncôtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur $2$."
}
],
"explanation": "L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de $x$ : son\nmaximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le\nmur change les proportions de l'enclos optimal."
},
{
"statement": "Un enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage\nn'en couvre que trois côtés. Avec $40$ mètres de grillage, son aire\nvaut $A(x) = x(40 - 2x)$, où $x$ est la longueur d'un côté\nperpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?",
"options": [
{
"text": "$200$ mètres carrés",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et en $20$, donc son\nmaximum est atteint au milieu, en $x = 10$, et vaut\n$10 \\times 20 = 200$."
},
{
"text": "$100$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Enclos supposé carré de côté $10$ : le côté parallèle au mur\nmesure ici $20$ mètres, soit le double."
},
{
"text": "$10$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Longueur prise pour une aire : $10$ mètres est le côté qui rend\nl'aire maximale, pas cette aire."
},
{
"text": "$400$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Mur oublié : ce serait l'aire maximale de $x(40 - x)$, mais deux\ncôtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur $2$."
}
],
"explanation": "L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de $x$ : son\nmaximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le\nmur change les proportions de l'enclos optimal."
},
{
"statement": "Un enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage\nn'en couvre que trois côtés. Avec $32$ mètres de grillage, son aire\nvaut $A(x) = x(32 - 2x)$, où $x$ est la longueur d'un côté\nperpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?",
"options": [
{
"text": "$128$ mètres carrés",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et en $16$, donc son\nmaximum est atteint au milieu, en $x = 8$, et vaut\n$8 \\times 16 = 128$."
},
{
"text": "$64$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Enclos supposé carré de côté $8$ : le côté parallèle au mur\nmesure ici $16$ mètres, soit le double."
},
{
"text": "$8$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Longueur prise pour une aire : $8$ mètres est le côté qui rend\nl'aire maximale, pas cette aire."
},
{
"text": "$256$ mètres carrés",
"correct": false,
"feedback": "Mur oublié : ce serait l'aire maximale de $x(32 - x)$, mais deux\ncôtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur $2$."
}
],
"explanation": "L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de $x$ : son\nmaximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le\nmur change les proportions de l'enclos optimal."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 1,
"skills": [
"racines",
"forme-factorisee"
],
"title": "Racines avec un facteur négatif",
"partie": "formes",
"statement": "Quelles sont les racines de la fonction définie par\n$f(x) = -3(x + 2)(x - 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$ et $7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et\n$x + 2$ s'annule pour $x = -2$, tandis que $x - 7$ s'annule\npour $x = 7$."
},
{
"text": "$2$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le facteur $x + 2$ s'annule pour $x = -2$, et\nnon pour $x = 2$."
},
{
"text": "$-2$ et $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Second signe inversé : le facteur $x - 7$ s'annule pour\n$x = 7$, une valeur positive."
},
{
"text": "$-3$, $-2$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur constant $-3$ ne s'annule jamais : il règle\nl'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine."
}
],
"explanation": "Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que\nl'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le\ncoefficient placé devant n'en donne aucune.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les racines de la fonction définie par\n$f(x) = -3(x + 2)(x - 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$ et $7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et\n$x + 2$ s'annule pour $x = -2$, tandis que $x - 7$ s'annule\npour $x = 7$."
},
{
"text": "$2$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le facteur $x + 2$ s'annule pour $x = -2$, et\nnon pour $x = 2$."
},
{
"text": "$-2$ et $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Second signe inversé : le facteur $x - 7$ s'annule pour\n$x = 7$, une valeur positive."
},
{
"text": "$-3$, $-2$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur constant $-3$ ne s'annule jamais : il règle\nl'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine."
}
],
"explanation": "Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que\nl'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le\ncoefficient placé devant n'en donne aucune."
},
{
"statement": "Quelles sont les racines de la fonction définie par\n$f(x) = 2(x + 5)(x - 1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-5$ et $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et\n$x + 5$ s'annule pour $x = -5$, tandis que $x - 1$ s'annule\npour $x = 1$."
},
{
"text": "$5$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le facteur $x + 5$ s'annule pour $x = -5$, et\nnon pour $x = 5$."
},
{
"text": "$-5$ et $-1$",
"correct": false,
"feedback": "Second signe inversé : le facteur $x - 1$ s'annule pour\n$x = 1$, une valeur positive."
},
{
"text": "$2$, $-5$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur constant $2$ ne s'annule jamais : il règle\nl'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine."
}
],
"explanation": "Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que\nl'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le\ncoefficient placé devant n'en donne aucune."
},
{
"statement": "Quelles sont les racines de la fonction définie par\n$f(x) = -4(x + 3)(x - 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-3$ et $6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et\n$x + 3$ s'annule pour $x = -3$, tandis que $x - 6$ s'annule\npour $x = 6$."
},
{
"text": "$3$ et $6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le facteur $x + 3$ s'annule pour $x = -3$, et\nnon pour $x = 3$."
},
{
"text": "$-3$ et $-6$",
"correct": false,
"feedback": "Second signe inversé : le facteur $x - 6$ s'annule pour\n$x = 6$, une valeur positive."
},
{
"text": "$-4$, $-3$ et $6$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur constant $-4$ ne s'annule jamais : il règle\nl'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine."
}
],
"explanation": "Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que\nl'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le\ncoefficient placé devant n'en donne aucune."
}
]
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parabole",
"signe"
],
"title": "Signe d'une image entre les racines",
"partie": "formes",
"statement": "Une parabole tournée vers le haut coupe l'axe des abscisses en $-4$ et\nen $2$. Quel est le signe de $f(0)$ ?",
"options": [
{
"text": "Négatif, car $0$ est situé entre les deux racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre ses racines, une parabole tournée vers le\nhaut passe sous l'axe des abscisses."
},
{
"text": "Positif, car $0$ est plus grand que la racine $-4$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule comparaison ne suffit pas : $0$ est aussi plus petit que\n$2$, donc il se trouve entre les deux racines."
},
{
"text": "Nul, car la parabole passe par l'origine du repère",
"correct": false,
"feedback": "La courbe ne passe par l'origine que si $0$ est une racine, ce qui\nn'est pas le cas ici."
},
{
"text": "Positif, car la parabole est tournée vers le haut",
"correct": false,
"feedback": "L'orientation donne le signe à l'extérieur des racines seulement :\nentre elles, le signe est contraire."
}
],
"explanation": "Le signe d'une fonction polynôme de degré 2 ne dépend que de\nl'orientation de sa parabole et de la position du nombre par rapport\naux racines."
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sommet",
"symetrie"
],
"title": "Les deux coordonnées du sommet",
"partie": "parabole",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)(x - 8)$. Quelles sont les coordonnées\ndu sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines\n$2$ et $8$, soit $5$, et son ordonnée est\n$f(5) = -9$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en\n$2$ et en $8$, pas au sommet."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux\nsur l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$(-9\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des\nracines, l'ordonnée est l'image de ce milieu."
}
],
"explanation": "Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des\nracines, et son ordonnée se calcule en remplaçant $x$ par cette\nabscisse dans l'expression de la fonction.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)(x - 8)$. Quelles sont les coordonnées\ndu sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines\n$2$ et $8$, soit $5$, et son ordonnée est\n$f(5) = -9$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en\n$2$ et en $8$, pas au sommet."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux\nsur l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$(-9\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des\nracines, l'ordonnée est l'image de ce milieu."
}
],
"explanation": "Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des\nracines, et son ordonnée se calcule en remplaçant $x$ par cette\nabscisse dans l'expression de la fonction."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 1)(x - 7)$. Quelles sont les coordonnées\ndu sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,-9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines\n$1$ et $7$, soit $4$, et son ordonnée est\n$f(4) = -9$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en\n$1$ et en $7$, pas au sommet."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux\nsur l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$(-9\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des\nracines, l'ordonnée est l'image de ce milieu."
}
],
"explanation": "Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des\nracines, et son ordonnée se calcule en remplaçant $x$ par cette\nabscisse dans l'expression de la fonction."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = (x + 3)(x - 5)$. Quelles sont les coordonnées\ndu sommet de sa parabole ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,-16)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines\n$-3$ et $5$, soit $1$, et son ordonnée est\n$f(1) = -16$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en\n$-3$ et en $5$, pas au sommet."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux\nsur l'axe des abscisses."
},
{
"text": "$(-16\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des\nracines, l'ordonnée est l'image de ce milieu."
}
],
"explanation": "Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des\nracines, et son ordonnée se calcule en remplaçant $x$ par cette\nabscisse dans l'expression de la fonction."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-variations",
"sommet"
],
"title": "Sens de variation sur un intervalle",
"partie": "parabole",
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2, dont la parabole est tournée vers le\nhaut, a pour racines $1$ et $9$. Est-elle croissante ou\ndécroissante sur l'intervalle $[6\\,;\\,9]$ ?",
"options": [
{
"text": "Croissante, l'intervalle étant situé après le sommet",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est au milieu des racines, en $5$, et\nune parabole tournée vers le haut remonte après son sommet."
},
{
"text": "Décroissante, la fonction étant négative sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Signe et variation sont deux questions distinctes : la fonction est\nbien négative ici, mais elle y remonte vers l'axe."
},
{
"text": "Décroissante, la fonction diminuant jusqu'à sa racine $9$",
"correct": false,
"feedback": "Entre $5$ et $9$, la fonction remonte depuis son minimum\njusqu'à s'annuler en $9$."
},
{
"text": "Ni l'une ni l'autre, puisque le sens de variation change en $5$",
"correct": false,
"feedback": "Le changement de sens a lieu en $5$, qui se situe avant\nl'intervalle étudié : celui-ci ne contient pas le sommet."
}
],
"explanation": "Une fonction polynôme de degré 2 est monotone de part et d'autre de son\nsommet. Localiser ce sommet, ici au milieu des racines, suffit donc à\nconclure sur n'importe quel intervalle."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"architecture",
"racines",
"modelisation"
],
"title": "La largeur d'une arche",
"partie": "modelisation",
"statement": "L'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction\n$f(x) = -0{,}02x^2 + 18$, où $x$ et $f(x)$ sont en mètres et où\n$x = 0$ correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de\nl'arche au niveau du sol ?",
"options": [
{
"text": "$60$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 0$ donne $x^2 = 900$, donc $x = -30$ ou\n$x = 30$. L'arche s'étend de $-30$ à $30$, soit $60$ m."
},
{
"text": "$30$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $30$ m est la distance du milieu à un pied de l'arche.\nPar symétrie, la largeur est le double."
},
{
"text": "$18$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 18$ est la hauteur de l'arche en son milieu,\npas sa largeur."
},
{
"text": "$900$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 = 900$ ; il reste à en déduire les deux valeurs\nde $x$, $-30$ et $30$."
}
],
"explanation": "La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de $f$. La\ncourbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces\nracines sont opposées.",
"variants": [
{
"statement": "L'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction\n$f(x) = -0{,}02x^2 + 18$, où $x$ et $f(x)$ sont en mètres et où\n$x = 0$ correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de\nl'arche au niveau du sol ?",
"options": [
{
"text": "$60$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 0$ donne $x^2 = 900$, donc $x = -30$ ou\n$x = 30$. L'arche s'étend de $-30$ à $30$, soit $60$ m."
},
{
"text": "$30$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $30$ m est la distance du milieu à un pied de l'arche.\nPar symétrie, la largeur est le double."
},
{
"text": "$18$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 18$ est la hauteur de l'arche en son milieu,\npas sa largeur."
},
{
"text": "$900$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 = 900$ ; il reste à en déduire les deux valeurs\nde $x$, $-30$ et $30$."
}
],
"explanation": "La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de $f$. La\ncourbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces\nracines sont opposées."
},
{
"statement": "L'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction\n$f(x) = -0{,}05x^2 + 5$, où $x$ et $f(x)$ sont en mètres et où\n$x = 0$ correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de\nl'arche au niveau du sol ?",
"options": [
{
"text": "$20$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 0$ donne $x^2 = 100$, donc $x = -10$ ou\n$x = 10$. L'arche s'étend de $-10$ à $10$, soit $20$ m."
},
{
"text": "$10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $10$ m est la distance du milieu à un pied de l'arche.\nPar symétrie, la largeur est le double."
},
{
"text": "$5$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 5$ est la hauteur de l'arche en son milieu,\npas sa largeur."
},
{
"text": "$100$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 = 100$ ; il reste à en déduire les deux valeurs\nde $x$, $-10$ et $10$."
}
],
"explanation": "La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de $f$. La\ncourbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces\nracines sont opposées."
},
{
"statement": "L'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction\n$f(x) = -0{,}08x^2 + 18$, où $x$ et $f(x)$ sont en mètres et où\n$x = 0$ correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de\nl'arche au niveau du sol ?",
"options": [
{
"text": "$30$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 0$ donne $x^2 = 225$, donc $x = -15$ ou\n$x = 15$. L'arche s'étend de $-15$ à $15$, soit $30$ m."
},
{
"text": "$15$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $15$ m est la distance du milieu à un pied de l'arche.\nPar symétrie, la largeur est le double."
},
{
"text": "$18$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 18$ est la hauteur de l'arche en son milieu,\npas sa largeur."
},
{
"text": "$225$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 = 225$ ; il reste à en déduire les deux valeurs\nde $x$, $-15$ et $15$."
}
],
"explanation": "La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de $f$. La\ncourbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces\nracines sont opposées."
}
]
}
]
}