{ "chapter": { "id": "phenomenes-aleatoires", "level": "premiere-tronc-commun", "theme": "Phénomènes aléatoires", "title": "Phénomènes aléatoires", "description": "Probabilités conditionnelles (tableaux croisés et arbres\npondérés), indépendance de deux événements, répétition\nd'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes\n($n \\leq 4$), tests médicaux et faux positifs, jeux (dont le\nproblème de Monty Hall), distinction modèle/réalité.", "parties": [ { "id": "modele", "title": "Modèle probabiliste, vocabulaire et pièges" }, { "id": "arbres", "title": "Arbres et probabilités conditionnelles" }, { "id": "independance", "title": "Indépendance et répétition" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "conditionnelle", "definition" ], "title": "Probabilité conditionnelle", "partie": "arbres", "statement": "Que désigne $P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "La probabilité de $B$ **sachant que** $A$ est réalisé", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on restreint l'univers aux cas où $A$ a\neu lieu, et on y mesure les chances de $B$." }, { "text": "La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble", "correct": false, "feedback": "Erreur : « $A$ et $B$ » se note $P(A \\cap B)$. La\ndistinction entre $P(A \\cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ est\nun automatisme du programme." }, { "text": "La probabilité de $A$ sachant $B$", "correct": false, "feedback": "Inversé : l'**indice** porte la condition. $P_A(B)$\nconditionne par $A$ ; « $A$ sachant $B$ » s'écrit\n$P_B(A)$." }, { "text": "La probabilité que $A$ se produise avant $B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune chronologie dans la notation ; seulement\nune information supposée acquise ($A$) et un événement\nmesuré ($B$)." } ], "explanation": "$P_A(B)$ : probabilité de $B$ dans le monde où $A$ est\nréalisé. Sur un arbre : pondération de la branche $A \\to B$ ;\ndans un tableau : effectif de $A \\cap B$ divisé par\nl'effectif de $A$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "chemin" ], "title": "Probabilité d'un chemin", "partie": "arbres", "statement": "Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de\nl'événement $A \\cap B$ (chemin du haut) ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\n**multiplient** : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$ additionne ; on\nn'additionne pas le long d'un chemin (l'addition sert\nentre chemins **différents**)." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $0{,}6$ est la conditionnelle $P_A(B)$ ;\nencore faut-il que $A$ se réalise ($\\times\\,0{,}3$)." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}3 \\times 0{,}4 = 0{,}12$ est le chemin $A$\npuis $\\overline{B}$ (la branche complémentaire, de\npondération $0{,}4$), pas $A \\cap B$." } ], "explanation": "Règle de l'arbre : multiplier les pondérations le long d'un\nchemin. $P(A \\cap B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "definition" ], "title": "Événements indépendants", "partie": "independance", "statement": "Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ sont\nindépendants (avec $P(B) \\neq 0$) ?", "options": [ { "text": "Lorsque $P_B(A) = P(A)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : savoir que $B$ s'est réalisé ne change\npas la probabilité de $A$ : c'est la définition du\nprogramme." }, { "text": "Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est l'**incompatibilité**, qui est au\ncontraire une dépendance très forte (si $B$ arrive, $A$\ndevient impossible)." }, { "text": "Lorsqu'ils ont la même probabilité", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du\n**lien** entre les événements." }, { "text": "Lorsqu'ils concernent deux jours différents", "correct": false, "feedback": "Intuition parfois utile, mais pas une définition : le\ncritère mathématique est $P_B(A) = P(A)$ (ou le produit\n$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$)." } ], "explanation": "Indépendance : $P_B(A) = P(A)$ : l'information « $B$ a eu\nlieu » n'apporte rien sur $A$. Critère équivalent :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "calcul" ], "title": "Vérifier une indépendance", "partie": "independance", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0{,}4 \\times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le produit des probabilités égale la\nprobabilité de l'intersection : indépendance vérifiée." }, { "text": "Non, car $0{,}4 \\neq 0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,\nmais $P(A \\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble", "correct": false, "feedback": "Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est\n**nécessaire** à l'indépendance (des incompatibles non\ntriviaux ne sont jamais indépendants)." }, { "text": "On ne peut pas répondre sans arbre pondéré", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres suffisent au critère du\nproduit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible." } ], "explanation": "Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants\n$\\Leftrightarrow$ $P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. Ici\n$0{,}2 = 0{,}4 \\times 0{,}5$ : indépendants.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0{,}4 \\times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le produit des probabilités égale la\nprobabilité de l'intersection : indépendance vérifiée." }, { "text": "Non, car $0{,}4 \\neq 0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,\nmais $P(A \\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble", "correct": false, "feedback": "Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est\n**nécessaire** à l'indépendance (des incompatibles non\ntriviaux ne sont jamais indépendants)." }, { "text": "On ne peut pas répondre sans arbre pondéré", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres suffisent au critère du\nproduit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible." } ], "explanation": "Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants\n$\\Leftrightarrow$ $P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. Ici\n$0{,}2 = 0{,}4 \\times 0{,}5$ : indépendants." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}6$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}18$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le produit des probabilités égale la\nprobabilité de l'intersection : indépendance vérifiée." }, { "text": "Non, car $0{,}3 \\neq 0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,\nmais $P(A \\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble", "correct": false, "feedback": "Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est\n**nécessaire** à l'indépendance (des incompatibles non\ntriviaux ne sont jamais indépendants)." }, { "text": "On ne peut pas répondre sans arbre pondéré", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres suffisent au critère du\nproduit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible." } ], "explanation": "Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants\n$\\Leftrightarrow$ $P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. Ici\n$0{,}18 = 0{,}3 \\times 0{,}6$ : indépendants." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}25$, $P(B) = 0{,}8$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0{,}25 \\times 0{,}8 = 0{,}2 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le produit des probabilités égale la\nprobabilité de l'intersection : indépendance vérifiée." }, { "text": "Non, car $0{,}25 \\neq 0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,\nmais $P(A \\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble", "correct": false, "feedback": "Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est\n**nécessaire** à l'indépendance (des incompatibles non\ntriviaux ne sont jamais indépendants)." }, { "text": "On ne peut pas répondre sans arbre pondéré", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres suffisent au critère du\nproduit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible." } ], "explanation": "Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants\n$\\Leftrightarrow$ $P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. Ici\n$0{,}2 = 0{,}25 \\times 0{,}8$ : indépendants." } ] }, { "id": "q05", "difficulty": 3, "skills": [ "faux-positifs", "tableau" ], "title": "Test de dépistage et faux positifs", "partie": "modele", "statement": "Sur $1000$ personnes, $100$ sont porteuses d'un virus. Un\ntest détecte $90$ des $100$ porteurs, mais il est aussi\npositif, à tort, pour $90$ des $900$ non-porteurs. Parmi les\npersonnes testées positives, quelle est la proportion de\nporteurs réels ?", "options": [ { "text": "$50\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : positifs $= 90 + 90 = 180$, dont $90$\nporteurs : $\\dfrac{90}{180} = 50\\ \\%$. Un test positif ne\nvaut ici qu'une chance sur deux, à cause des faux\npositifs nombreux chez les non-porteurs." }, { "text": "$90\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Inversion du conditionnement : $90\\ \\%$ est la\nproportion de positifs **parmi les porteurs**\n($90/100$), pas de porteurs parmi les positifs\n($90/180$)." }, { "text": "$9\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $9\\ \\% = 90/1000$ est la part des vrais\npositifs dans la population entière ; la question\nrestreint aux $180$ positifs." }, { "text": "$18\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $18\\ \\% = 180/1000$ est la proportion de tests\npositifs dans la population, pas la composition du groupe\ndes positifs." } ], "explanation": "Situation phare du programme (tests médicaux) : construire le\ntableau croisé, puis conditionner **par le résultat du\ntest** : $P_{\\text{positif}}(\\text{porteur}) =\n\\frac{90}{180} = 50\\ \\%$, bien loin des $90\\ \\%$ de\nsensibilité du test." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Répéter une épreuve de Bernoulli", "partie": "independance", "statement": "Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la\nrépète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la\nprobabilité de $3$ réussites ?", "options": [ { "text": "$0{,}9^3 = 0{,}729$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du\nchemin réussite-réussite-réussite se multiplient :\n$0{,}9 \\times 0{,}9 \\times 0{,}9$." }, { "text": "$0{,}9 \\times 3 = 2{,}7$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.\nRépéter multiplie les probabilités entre elles, pas par\nle nombre d'essais." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}9$ vaut pour **une** réussite. En exiger\ntrois consécutives est plus difficile : $0{,}729$." }, { "text": "$0{,}9^2 = 0{,}81$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce chemin ne compte que deux épreuves. Trois\nréussites demandent trois facteurs $0{,}9$." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et\nindépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le\nproduit. Trois succès : $p^3$.", "variants": [ { "statement": "Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la\nrépète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la\nprobabilité de $3$ réussites ?", "options": [ { "text": "$0{,}9^3 = 0{,}729$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du\nchemin réussite-réussite-réussite se multiplient :\n$0{,}9 \\times 0{,}9 \\times 0{,}9$." }, { "text": "$0{,}9 \\times 3 = 2{,}7$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.\nRépéter multiplie les probabilités entre elles, pas par\nle nombre d'essais." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}9$ vaut pour **une** réussite. En exiger\ntrois consécutives est plus difficile : $0{,}729$." }, { "text": "$0{,}9^2 = 0{,}81$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce chemin ne compte que deux épreuves. Trois\nréussites demandent trois facteurs $0{,}9$." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et\nindépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le\nproduit. Trois succès : $p^3$." }, { "statement": "Une opération réussit avec la probabilité $0{,}8$. On la\nrépète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la\nprobabilité de $3$ réussites ?", "options": [ { "text": "$0{,}8^3 = 0{,}512$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du\nchemin réussite-réussite-réussite se multiplient :\n$0{,}8 \\times 0{,}8 \\times 0{,}8$." }, { "text": "$0{,}8 \\times 3 = 2{,}4$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.\nRépéter multiplie les probabilités entre elles, pas par\nle nombre d'essais." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}8$ vaut pour **une** réussite. En exiger\ntrois consécutives est plus difficile : $0{,}512$." }, { "text": "$0{,}8^2 = 0{,}64$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce chemin ne compte que deux épreuves. Trois\nréussites demandent trois facteurs $0{,}8$." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et\nindépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le\nproduit. Trois succès : $p^3$." }, { "statement": "Une opération réussit avec la probabilité $0{,}7$. On la\nrépète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la\nprobabilité de $3$ réussites ?", "options": [ { "text": "$0{,}7^3 = 0{,}343$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du\nchemin réussite-réussite-réussite se multiplient :\n$0{,}7 \\times 0{,}7 \\times 0{,}7$." }, { "text": "$0{,}7 \\times 3 = 2{,}1$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.\nRépéter multiplie les probabilités entre elles, pas par\nle nombre d'essais." }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}7$ vaut pour **une** réussite. En exiger\ntrois consécutives est plus difficile : $0{,}343$." }, { "text": "$0{,}7^2 = 0{,}49$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce chemin ne compte que deux épreuves. Trois\nréussites demandent trois facteurs $0{,}7$." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et\nindépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le\nproduit. Trois succès : $p^3$." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "denombrement" ], "title": "Taille de l'arbre", "partie": "arbres", "statement": "On représente par un arbre la répétition de $4$ épreuves de\nBernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?", "options": [ { "text": "$16$ chemins", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de\nchemins (succès ou échec) : $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2\n= 2^4 = 16$ listes de résultats possibles." }, { "text": "$8$ chemins", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8 = 2^3$ correspond à $3$ épreuves. Pour $4$\nniveaux : $2^4 = 16$." }, { "text": "$4$ chemins", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'**épreuves** (la profondeur\nde l'arbre), pas le nombre de chemins." }, { "text": "$24$ chemins", "correct": false, "feedback": "Erreur : $24 = 4!$ compterait des ordres d'objets\ndistincts. Ici chaque niveau offre $2$ branches :\n$2^4$." } ], "explanation": "Arbre d'une répétition de $n$ épreuves à deux issues :\n$2^n$ chemins. Le programme limite à $n \\leq 4$ pour garder\nles arbres lisibles : $16$ chemins au plus." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "contraire" ], "title": "« Au moins une » réussite", "partie": "independance", "statement": "On lance $3$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **au moins un** pile ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{7}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un pile » est\n« aucun pile » (trois faces), de probabilité\n$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$ ; il reste\n$P = 1 - \\frac{1}{8} = \\frac{7}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8}$ est la probabilité du\n**contraire** (aucun pile). Il reste à la retrancher de\n$1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : sur trois lancers, obtenir au moins un pile est\ntrès probable ($7$ chemins favorables sur $8$), bien plus\nque $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité d'**exactement\nun** pile. « Au moins un » cumule un, deux ou trois\npiles : $\\frac{7}{8}$." } ], "explanation": "Réflexe « au moins un » : passer par l'événement contraire\n« aucun ». $P = 1 - (1-p)^n$ ; ici $1 - \\frac{1}{8} =\n\\frac{7}{8}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "jeux", "modelisation" ], "title": "Deux dés indépendants", "partie": "modele", "statement": "On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité\nd'obtenir un double six ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{36}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les lancers sont indépendants :\n$\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{36}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{12}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{2}{6}$ ou\n$\\frac{1}{12}$ ? Ni l'un ni l'autre : les deux exigences\nsimultanées se **multiplient** : $\\frac{1}{36}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : additionner les probabilités correspond à\n« l'un **ou** l'autre » (et encore, pour des événements\nincompatibles). Ici il faut six **et** six." }, { "text": "$\\dfrac{1}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'un six sur\n**un** dé. Le second six divise encore par $6$." } ], "explanation": "Épreuves indépendantes : les probabilités se multiplient.\nDouble six : $\\frac{1}{36}$ (le fameux problème du grand-duc\nde Toscane repose sur ce type de compte)." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "jeux", "equiprobabilite" ], "title": "Pierre-feuille-ciseaux", "partie": "modele", "statement": "Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque\ncoup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est\nla probabilité que vous **gagniez** la manche ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quel que soit votre geste, un seul des\ntrois gestes adverses vous fait gagner (un autre perd, le\ntroisième annule) : $\\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : « gagner ou pas » ne fait pas une chance sur\ndeux : il y a **trois** issues (gain, perte, égalité),\néquiprobables face à un adversaire aléatoire." }, { "text": "$\\dfrac{1}{9}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{9}$ est la probabilité d'un couple\n**précis** de gestes. Gagner regroupe trois couples\nfavorables sur neuf : $\\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de **ne pas\ngagner** (perdre ou faire égalité)." } ], "explanation": "Modéliser le jeu : $9$ couples équiprobables, $3$ gagnants,\n$3$ perdants, $3$ nuls : $P(\\text{gain}) = \\frac{1}{3}$.\nCompter les issues favorables avant de conclure." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "monty-hall" ], "title": "Le problème de Monty Hall", "partie": "modele", "statement": "Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en\nchoisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\nune **autre** porte, perdante, puis vous propose de changer.\nQuelle est la probabilité de gagner **si vous changez** de\nporte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre premier choix gagne avec\nprobabilité $\\frac{1}{3}$ ; dans les $\\frac{2}{3}$ de cas\nrestants, le lot est derrière l'autre porte fermée, et\nchanger gagne. La stratégie « changer » double les\nchances." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il reste deux portes", "correct": false, "feedback": "Le piège historique : les deux portes restantes ne sont\n**pas** équiprobables, car l'animateur a utilisé son\ninformation pour ouvrir une porte perdante. Votre porte\ninitiale reste à $\\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est la probabilité de gagner en\n**gardant** sa porte initiale. Changer récupère les\n$\\frac{2}{3}$ complémentaires." }, { "text": "Impossible à déterminer", "correct": false, "feedback": "Erreur : le modèle est parfaitement déterminé (choix\nuniforme du lot, animateur informé) et la simulation le\nconfirme : $\\frac{2}{3}$ en changeant." } ], "explanation": "Monty Hall (au programme) : garder gagne avec $\\frac{1}{3}$,\nchanger avec $\\frac{2}{3}$. L'ouverture d'une porte perdante\npar un animateur **informé** ne rééquilibre pas les chances :\nune simulation en Python le vérifie de façon éclatante." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modele", "esprit-critique" ], "title": "Le modèle et la réalité", "partie": "modele", "statement": "Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le\nmodèle équiprobable ($P(\\text{six}) = \\frac{1}{6}$). Ce choix\nse démontre-t-il ?", "options": [ { "text": "Non, c'est une hypothèse que l'expérience peut éprouver", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une loi de probabilité est une hypothèse\nde modélisation, on peut la mettre à l'épreuve par\nl'expérience, pas la démontrer. L'équiprobabilité se\n**choisit** (symétrie supposée du dé) et se\n**confronte** aux fréquences observées (loi des grands\nnombres) : si elles s'en écartent durablement, on révise\nle modèle." }, { "text": "Oui : six faces, donc un sixième chacune,\nmathématiquement prouvé", "correct": false, "feedback": "Erreur : le nombre de faces ne prouve rien (un dé pipé a\naussi six faces). L'équiprobabilité est une hypothèse sur\nl'objet réel, pas un théorème." }, { "text": "Oui, en lançant le dé un très grand nombre de fois", "correct": false, "feedback": "Erreur : même un très grand nombre de lancers **teste**\nle modèle (les fréquences se stabilisent près de\n$\\frac{1}{6}$, ou non) sans jamais le démontrer ; il\nreste toujours possible qu'une série plus longue le\ncontredise." }, { "text": "Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets\nréels", "correct": false, "feedback": "Trop fort : elles s'y appliquent très bien, précisément\n**via** un modèle dont on évalue la pertinence." } ], "explanation": "Point d'insistance du programme : distinguer le modèle\nprobabiliste abstrait de la situation réelle. Le modèle est\nune hypothèse (symétrie, ou fréquences observées via la loi\ndes grands nombres) : on le valide ou on le rejette, on ne le\ndémontre pas." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "contraire" ], "title": "Probabilité du contraire", "partie": "modele", "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}35$.\nQuelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?", "options": [ { "text": "$0{,}65$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(\\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35$ :\nles deux éventualités se partagent la certitude." }, { "text": "$0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un événement et son contraire n'ont la même\nprobabilité qu'à $0{,}5$ : ici le complément vaut\n$0{,}65$." }, { "text": "$-0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Impossible : aucune probabilité n'est négative : le\ncontraire se calcule par $1 - 0{,}35$." }, { "text": "On ne peut pas savoir", "correct": false, "feedback": "Erreur : « pleuvoir » et « ne pas pleuvoir » couvrent\ntout sans recouvrement : leurs probabilités somment\nexactement à $1$." } ], "explanation": "$P(\\bar{A}) = 1 - P(A)$ : la règle du complément, valable\npartout (y compris dans les mondes conditionnés). Souvent le\nchemin le plus court vers une probabilité difficile à\ncalculer en direct." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "coherence-arbre" ], "title": "Somme des branches d'un nœud", "partie": "arbres", "statement": "D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités\n$0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\ncouvrent toutes les suites possibles : leur somme vaut\n$1$ : $p = 1 - 0{,}6$." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'impose l'égalité des branches : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}4$." }, { "text": "$1{,}6$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$ :\nl'addition était à faire en sens inverse ($1 - 0{,}6$)." }, { "text": "N'importe quelle valeur entre $0$ et $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la règle de cohérence de l'arbre fixe $p$ sans\nliberté : $0{,}4$." } ], "explanation": "Règle de l'arbre : à chaque nœud, les branches sortantes\nsomment à $1$. Premier contrôle sur tout arbre donné,\npremier outil pour compléter un arbre à trous." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "reunion" ], "title": "Probabilité d'une réunion", "partie": "modele", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}1$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1$ : la zone\ncommune, comptée deux fois par l'addition, se retranche\nune fois." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Double comptage : les issues de $A \\cap B$ figurent dans\n$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux\nfois." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times 0{,}3$ calcule autre chose (une\nintersection sous indépendance) : la réunion se calcule\npar la formule additive corrigée." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1$ AJOUTE l'intersection\nau lieu de la retirer." } ], "explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme en\npatates rend la correction évidente. Cas particulier :\nincompatibles ($P(A \\cap B) = 0$) : addition simple.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}1$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1$ : la zone\ncommune, comptée deux fois par l'addition, se retranche\nune fois." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Double comptage : les issues de $A \\cap B$ figurent dans\n$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux\nfois." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times 0{,}3$ calcule autre chose (une\nintersection sous indépendance) : la réunion se calcule\npar la formule additive corrigée." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1$ AJOUTE l'intersection\nau lieu de la retirer." } ], "explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme en\npatates rend la correction évidente. Cas particulier :\nincompatibles ($P(A \\cap B) = 0$) : addition simple." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}35$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}15$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}4 + 0{,}35 - 0{,}15$ : la zone\ncommune, comptée deux fois par l'addition, se retranche\nune fois." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Double comptage : les issues de $A \\cap B$ figurent dans\n$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux\nfois." }, { "text": "$0{,}14$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 \\times 0{,}35$ calcule autre chose (une\nintersection sous indépendance) : la réunion se calcule\npar la formule additive corrigée." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}15$ AJOUTE l'intersection\nau lieu de la retirer." } ], "explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme en\npatates rend la correction évidente. Cas particulier :\nincompatibles ($P(A \\cap B) = 0$) : addition simple." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}25$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}1$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}65$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}25 + 0{,}5 - 0{,}1$ : la zone\ncommune, comptée deux fois par l'addition, se retranche\nune fois." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Double comptage : les issues de $A \\cap B$ figurent dans\n$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux\nfois." }, { "text": "$0{,}125$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}25 \\times 0{,}5$ calcule autre chose (une\nintersection sous indépendance) : la réunion se calcule\npar la formule additive corrigée." }, { "text": "$0{,}85$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}1$ AJOUTE l'intersection\nau lieu de la retirer." } ], "explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme en\npatates rend la correction évidente. Cas particulier :\nincompatibles ($P(A \\cap B) = 0$) : addition simple." } ] }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "sans-remise" ], "title": "L'arbre du tirage sans remise", "partie": "arbres", "statement": "Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire\ndeux jetons **sans remise**. Quelle est la probabilité de la\ndeuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{9}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons. Le\npremier jeton rouge est sorti, l'urne contient $9$\njetons dont $3$ rouges : les branches du deuxième niveau\nse **recalculent**." }, { "text": "$\\dfrac{4}{10}$", "correct": false, "feedback": "Remise fantôme : $\\frac{4}{10}$ est la probabilité du\npremier tirage. Sans remise, l'urne change après chaque\ntirage : la conserver décrirait un tirage AVEC remise." }, { "text": "$\\dfrac{4}{9}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans\nl'urne : il reste $3$ rouges (le dénominateur $9$,\nlui, est correct)." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $9$\njetons après le premier tirage." } ], "explanation": "Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec\nl'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent\npour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités\nconditionnelles en acte.", "variants": [ { "statement": "Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire\ndeux jetons **sans remise**. Quelle est la probabilité de la\ndeuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{9}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons. Le\npremier jeton rouge est sorti, l'urne contient $9$\njetons dont $3$ rouges : les branches du deuxième niveau\nse **recalculent**." }, { "text": "$\\dfrac{4}{10}$", "correct": false, "feedback": "Remise fantôme : $\\frac{4}{10}$ est la probabilité du\npremier tirage. Sans remise, l'urne change après chaque\ntirage : la conserver décrirait un tirage AVEC remise." }, { "text": "$\\dfrac{4}{9}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans\nl'urne : il reste $3$ rouges (le dénominateur $9$,\nlui, est correct)." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $9$\njetons après le premier tirage." } ], "explanation": "Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec\nl'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent\npour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités\nconditionnelles en acte." }, { "statement": "Une urne contient $5$ jetons rouges et $3$ noirs. On tire\ndeux jetons **sans remise**. Quelle est la probabilité de la\ndeuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{7}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il reste $4$ rouges parmi $7$ jetons. Le\npremier jeton rouge est sorti, l'urne contient $7$\njetons dont $4$ rouges : les branches du deuxième niveau\nse **recalculent**." }, { "text": "$\\dfrac{5}{8}$", "correct": false, "feedback": "Remise fantôme : $\\frac{5}{8}$ est la probabilité du\npremier tirage. Sans remise, l'urne change après chaque\ntirage : la conserver décrirait un tirage AVEC remise." }, { "text": "$\\dfrac{5}{7}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans\nl'urne : il reste $4$ rouges (le dénominateur $7$,\nlui, est correct)." }, { "text": "$\\dfrac{4}{8}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $7$\njetons après le premier tirage." } ], "explanation": "Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec\nl'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent\npour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités\nconditionnelles en acte." }, { "statement": "Une urne contient $3$ jetons rouges et $9$ noirs. On tire\ndeux jetons **sans remise**. Quelle est la probabilité de la\ndeuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{11}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il reste $2$ rouges parmi $11$ jetons. Le\npremier jeton rouge est sorti, l'urne contient $11$\njetons dont $2$ rouges : les branches du deuxième niveau\nse **recalculent**." }, { "text": "$\\dfrac{3}{12}$", "correct": false, "feedback": "Remise fantôme : $\\frac{3}{12}$ est la probabilité du\npremier tirage. Sans remise, l'urne change après chaque\ntirage : la conserver décrirait un tirage AVEC remise." }, { "text": "$\\dfrac{3}{11}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans\nl'urne : il reste $2$ rouges (le dénominateur $11$,\nlui, est correct)." }, { "text": "$\\dfrac{2}{12}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $11$\njetons après le premier tirage." } ], "explanation": "Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec\nl'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent\npour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités\nconditionnelles en acte." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "frequence-probabilite" ], "title": "Fréquence simulée et probabilité", "partie": "modele", "statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'une punaise : elle retombe\npointe en l'air $3\\,470$ fois. Que peut-on en tirer ?", "options": [ { "text": "Une estimation : $P(\\text{pointe en l'air}) \\approx\n0{,}35$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\frac{3\\,470}{10\\,000} = 0{,}347$. Pour\nun objet sans symétrie, pas d'équiprobabilité théorique\n: la fréquence observée sur un GRAND échantillon est la\nmeilleure estimation disponible, d'autant plus fiable\nque le nombre d'essais est grand." }, { "text": "Rien : seule une formule théorique donne une probabilité", "correct": false, "feedback": "Erreur : quand la symétrie manque (punaise, punaise !),\nl'approche **fréquentiste** est la voie légitime : la\nfréquence se stabilise vers la probabilité." }, { "text": "$P = 0{,}5$ : pointe en l'air ou pas, deux issues", "correct": false, "feedback": "Équiprobabilité décrétée : les $3\\,470$ sur $10\\,000$\nla contredisent : deux issues n'ont pas forcément le\nmême poids." }, { "text": "$P = 0{,}347$ exactement, sans aucune incertitude", "correct": false, "feedback": "Trop précis : la fréquence **estime** la probabilité\navec une marge : une nouvelle série de $10\\,000$ lancers\ndonnerait un nombre voisin, pas identique." } ], "explanation": "Deux sources de probabilités : le modèle (symétries,\néquiprobabilité justifiée) et la fréquence (grands\néchantillons, loi des grands nombres). La simulation relie\nles deux : la fréquence se stabilise autour de la\nprobabilité." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "independance-incompatibilite" ], "title": "Indépendants ou incompatibles ?", "partie": "independance", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles.\nS'ils sont incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$),\npeuvent-ils être indépendants ?", "options": [ { "text": "Non, car $P(A \\cap B) = 0 \\neq P(A) \\times P(B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : incompatibles signifie ne JAMAIS se\nproduire ensemble : savoir $A$ réalisé interdit $B$.\nC'est une dépendance extrême, tout le contraire de\nl'indépendance, et le test $P(A \\cap B) = P(A) \\times\nP(B)$ échoue ($0$ contre un produit non nul)." }, { "text": "Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes", "correct": false, "feedback": "Confusion de vocabulaire : incompatibles signifie qu'ils ne se réalisent pas en même temps ; indépendants signifie qu'ils ne s'influencent pas : deux\nnotions non seulement différentes, mais opposées ici." }, { "text": "Oui, si leurs probabilités sont égales", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne répare rien :\n$P(A)P(B) > 0$ alors que $P(A \\cap B) = 0$ : le test\néchoue toujours." }, { "text": "Cela dépend de l'expérience aléatoire considérée", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : $0 \\neq\nP(A)P(B)$ dès que les probabilités sont non nulles." } ], "explanation": "Incompatibles (probabilités non nulles) $\\Rightarrow$\ndépendants : l'un exclut l'autre, information maximale.\nL'indépendance se **teste** ($P(A \\cap B) = P(A)P(B)$),\nelle ne se lit pas sur un diagramme." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilite-conditionnelle", "formule" ], "title": "De la conditionnelle à l'intersection", "partie": "arbres", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}5$.\nQue vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}6 \\times\n0{,}5$." }, { "text": "$1{,}1$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle se lit sur une branche de l'arbre, pas\nsur un chemin complet." }, { "text": "$0{,}83$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}5}{0{,}6}$\nrépondrait à une autre question." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. La formule $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ en est l'écriture.", "variants": [ { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}5$.\nQue vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}6 \\times\n0{,}5$." }, { "text": "$1{,}1$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle se lit sur une branche de l'arbre, pas\nsur un chemin complet." }, { "text": "$0{,}83$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}5}{0{,}6}$\nrépondrait à une autre question." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. La formule $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ en est l'écriture." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}8$ et $P_A(B) = 0{,}25$.\nQue vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}8 \\times\n0{,}25$." }, { "text": "$1{,}05$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle se lit sur une branche de l'arbre, pas\nsur un chemin complet." }, { "text": "$0{,}31$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}25}{0{,}8}$\nrépondrait à une autre question." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. La formule $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ en est l'écriture." }, { "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}6$.\nQue vaut $P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}4 \\times\n0{,}6$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse\njamais $1$." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelle recopiée : elle se lit sur une branche de l'arbre, pas\nsur un chemin complet." }, { "text": "$1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Division au lieu d'une multiplication : $\\dfrac{0{,}6}{0{,}4}$\nrépondrait à une autre question." } ], "explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses\nbranches. La formule $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ en est l'écriture." } ] }, { "id": "q20", "difficulty": 3, "skills": [ "probabilites-totales", "arbre" ], "title": "Rassembler deux chemins", "partie": "arbres", "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}4 \\times 0{,}7 + 0{,}6 \\times 0{,}2 = 0{,}28 +\n0{,}12$.\n" }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelles additionnées : $0{,}7 + 0{,}2$ ignore les\nprobabilités des branches de premier niveau.\n" }, { "text": "$0{,}28$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : $B$ peut aussi se réaliser après\n$\\overline{A}$.\n" }, { "text": "$0{,}14$", "correct": false, "feedback": "Produit des deux conditionnelles : $0{,}7 \\times 0{,}2$ ne correspond\nà aucun chemin de l'arbre.\n" } ], "explanation": "On additionne les probabilités de tous les chemins de l'arbre qui\nmènent à $B$, chacune obtenue en multipliant les probabilités le long\ndu chemin.", "variants": [ { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}4 \\times 0{,}7 + 0{,}6 \\times 0{,}2 = 0{,}28 +\n0{,}12$.\n" }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelles additionnées : $0{,}7 + 0{,}2$ ignore les\nprobabilités des branches de premier niveau.\n" }, { "text": "$0{,}28$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : $B$ peut aussi se réaliser après\n$\\overline{A}$.\n" }, { "text": "$0{,}14$", "correct": false, "feedback": "Produit des deux conditionnelles : $0{,}7 \\times 0{,}2$ ne correspond\nà aucun chemin de l'arbre.\n" } ], "explanation": "On additionne les probabilités de tous les chemins de l'arbre qui\nmènent à $B$, chacune obtenue en multipliant les probabilités le long\ndu chemin." }, { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}1$. Que vaut $P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3 \\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}1 = 0{,}18 +\n0{,}07$.\n" }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelles additionnées : $0{,}6 + 0{,}1$ ignore les\nprobabilités des branches de premier niveau.\n" }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : $B$ peut aussi se réaliser après\n$\\overline{A}$.\n" }, { "text": "$0{,}06$", "correct": false, "feedback": "Produit des deux conditionnelles : $0{,}6 \\times 0{,}1$ ne correspond\nà aucun chemin de l'arbre.\n" } ], "explanation": "On additionne les probabilités de tous les chemins de l'arbre qui\nmènent à $B$, chacune obtenue en multipliant les probabilités le long\ndu chemin." }, { "statement": "Un arbre donne $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}8$ et\n$P_{\\overline{A}}(B) = 0{,}4$. Que vaut $P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 \\times 0{,}8 + 0{,}5 \\times 0{,}4 = 0{,}4 +\n0{,}2$.\n" }, { "text": "$1{,}2$", "correct": false, "feedback": "Conditionnelles additionnées : $0{,}8 + 0{,}4$ ignore les\nprobabilités des branches de premier niveau.\n" }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : $B$ peut aussi se réaliser après\n$\\overline{A}$.\n" }, { "text": "$0{,}32$", "correct": false, "feedback": "Produit des deux conditionnelles : $0{,}8 \\times 0{,}4$ ne correspond\nà aucun chemin de l'arbre.\n" } ], "explanation": "On additionne les probabilités de tous les chemins de l'arbre qui\nmènent à $B$, chacune obtenue en multipliant les probabilités le long\ndu chemin." } ] }, { "id": "q21", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "definition" ], "title": "Ce que change l'indépendance", "partie": "independance", "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.\nQue vaut alors $P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$P(B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la\nprobabilité de $B$, c'est la définition même de l'indépendance." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Une probabilité conditionnelle nulle signifierait que $A$ et $B$ sont\nincompatibles, ce qui est une tout autre situation." }, { "text": "$P(A)$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : la conditionnelle $P_A(B)$ porte sur $B$, une fois\n$A$ connu." }, { "text": "$P(A) \\times P(B)$", "correct": false, "feedback": "C'est la valeur de $P(A \\cap B)$ dans le cas indépendant, pas celle de\nla conditionnelle." } ], "explanation": "Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne\nrenseigne pas sur l'autre. Cela s'écrit $P_A(B) = P(B)$, ou de façon\néquivalente $P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Exactement une réussite sur trois", "partie": "independance", "statement": "On répète trois fois une épreuve de probabilité de succès $0{,}2$, de\nfaçon indépendante. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un\nsuccès ?", "options": [ { "text": "$0{,}384$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins conviennent, chacun de probabilité\n$0{,}2 \\times 0{,}8 \\times 0{,}8 = 0{,}128$." }, { "text": "$0{,}128$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin compté : le succès peut survenir à la première, à la\ndeuxième ou à la troisième épreuve." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Probabilité d'une seule épreuve : la répétition en change le\nrésultat." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Probabilités additionnées : $3 \\times 0{,}2$ ignore que les deux\nautres épreuves doivent échouer." } ], "explanation": "Dans la répétition d'épreuves identiques et indépendantes, on compte les\nchemins de l'arbre qui réalisent l'événement, puis on additionne leurs\nprobabilités, toutes égales entre elles ici." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "lecture" ], "title": "Ce que porte une branche de second niveau", "partie": "arbres", "statement": "Dans un arbre pondéré, que représente la probabilité inscrite sur une\nbranche de second niveau ?", "options": [ { "text": "Une probabilité conditionnelle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : elle suppose acquis l'événement rencontré au premier\nniveau." }, { "text": "La probabilité du chemin entier", "correct": false, "feedback": "Celle-ci s'obtient en multipliant les probabilités de toutes les\nbranches du chemin." }, { "text": "Une probabilité d'intersection", "correct": false, "feedback": "L'intersection correspond au chemin complet, pas à une seule de ses\nbranches." }, { "text": "Une fréquence observée", "correct": false, "feedback": "Un arbre porte des probabilités du modèle ; les fréquences viennent de\nl'expérience." } ], "explanation": "Les branches du premier niveau portent des probabilités simples, celles\ndes niveaux suivants des probabilités conditionnelles. Le produit le long\nd'un chemin donne la probabilité de l'intersection." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "independance", "verification" ], "title": "Tester l'indépendance sur des nombres", "partie": "independance", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) = 0{,}25$.\nLes événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Non, car $0{,}25$ diffère de $0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance exigerait\n$P(A \\cap B) = 0{,}5 \\times 0{,}4 = 0{,}2$." }, { "text": "Oui, car l'intersection n'est pas vide", "correct": false, "feedback": "Une intersection non vide signale seulement que les événements ne sont\npas incompatibles." }, { "text": "Oui, car $P(A)$ dépasse $P(B)$", "correct": false, "feedback": "La comparaison des deux probabilités n'a aucun rapport avec\nl'indépendance." }, { "text": "On ne peut pas conclure sans l'effectif", "correct": false, "feedback": "Le test porte sur les probabilités seules : il suffit de comparer\n$P(A \\cap B)$ au produit $P(A) \\times P(B)$." } ], "explanation": "Pour vérifier l'indépendance, on compare la probabilité de l'intersection\nau produit des probabilités. L'égalité caractérise l'indépendance." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilite-conditionnelle", "tableau" ], "title": "Conditionnelle lue dans un tableau", "partie": "arbres", "statement": "Sur $200$ personnes, $80$ sont vaccinées et, parmi elles, $12$ ont eu\nla grippe. Quelle est la probabilité d'avoir eu la grippe sachant que\nl'on est vacciné ?", "options": [ { "text": "$0{,}15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{12}{80} = 0{,}15$, la population de référence\nétant celle des personnes vaccinées." }, { "text": "$0{,}06$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : $\\dfrac{12}{200}$ rapporte les cas aux $200$\npersonnes, sans condition." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Autre quotient : $\\dfrac{80}{200}$ est la probabilité d'être vacciné." }, { "text": "$0{,}85$", "correct": false, "feedback": "Événement contraire : $0{,}85$ est la probabilité de ne pas avoir eu\nla grippe sachant que l'on est vacciné." } ], "explanation": "Une probabilité conditionnelle se lit en restreignant la population à la\ncondition, ici les personnes vaccinées, qui deviennent le dénominateur.", "variants": [ { "statement": "Sur $200$ personnes, $80$ sont vaccinées et, parmi elles, $12$ ont eu\nla grippe. Quelle est la probabilité d'avoir eu la grippe sachant que\nl'on est vacciné ?", "options": [ { "text": "$0{,}15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{12}{80} = 0{,}15$, la population de référence\nétant celle des personnes vaccinées." }, { "text": "$0{,}06$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : $\\dfrac{12}{200}$ rapporte les cas aux $200$\npersonnes, sans condition." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Autre quotient : $\\dfrac{80}{200}$ est la probabilité d'être vacciné." }, { "text": "$0{,}85$", "correct": false, "feedback": "Événement contraire : $0{,}85$ est la probabilité de ne pas avoir eu\nla grippe sachant que l'on est vacciné." } ], "explanation": "Une probabilité conditionnelle se lit en restreignant la population à la\ncondition, ici les personnes vaccinées, qui deviennent le dénominateur." }, { "statement": "Sur $500$ personnes, $150$ sont vaccinées et, parmi elles, $21$ ont eu\nla grippe. Quelle est la probabilité d'avoir eu la grippe sachant que\nl'on est vacciné ?", "options": [ { "text": "$0{,}14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{21}{150} = 0{,}14$, la population de référence\nétant celle des personnes vaccinées." }, { "text": "$0{,}042$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : $\\dfrac{21}{500}$ rapporte les cas aux $500$\npersonnes, sans condition." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Autre quotient : $\\dfrac{150}{500}$ est la probabilité d'être vacciné." }, { "text": "$0{,}86$", "correct": false, "feedback": "Événement contraire : $0{,}86$ est la probabilité de ne pas avoir eu\nla grippe sachant que l'on est vacciné." } ], "explanation": "Une probabilité conditionnelle se lit en restreignant la population à la\ncondition, ici les personnes vaccinées, qui deviennent le dénominateur." }, { "statement": "Sur $400$ personnes, $160$ sont vaccinées et, parmi elles, $40$ ont eu\nla grippe. Quelle est la probabilité d'avoir eu la grippe sachant que\nl'on est vacciné ?", "options": [ { "text": "$0{,}25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{40}{160} = 0{,}25$, la population de référence\nétant celle des personnes vaccinées." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Probabilité conjointe : $\\dfrac{40}{400}$ rapporte les cas aux $400$\npersonnes, sans condition." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Autre quotient : $\\dfrac{160}{400}$ est la probabilité d'être vacciné." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Événement contraire : $0{,}75$ est la probabilité de ne pas avoir eu\nla grippe sachant que l'on est vacciné." } ], "explanation": "Une probabilité conditionnelle se lit en restreignant la population à la\ncondition, ici les personnes vaccinées, qui deviennent le dénominateur." } ] }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "controle" ], "title": "Contrôler un arbre pondéré", "partie": "arbres", "statement": "Un nœud d'arbre porte deux branches, de probabilités $0{,}3$ et\n$0{,}6$. Que faut-il en conclure ?", "options": [ { "text": "L'arbre est incomplet ou erroné", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les probabilités issues d'un même nœud doivent\ntotaliser $1$, or leur somme vaut $0{,}9$." }, { "text": "Les deux événements sont indépendants", "correct": false, "feedback": "L'indépendance se teste sur une intersection, pas sur la somme des\nbranches d'un nœud." }, { "text": "La probabilité du chemin vaut $0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Ce produit concernerait deux branches successives, pas deux branches\nissues du même nœud." }, { "text": "Il manque un troisième événement de probabilité $0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Possible, mais ce n'est qu'une hypothèse parmi d'autres : une des deux\nvaleurs peut simplement être fausse." } ], "explanation": "À chaque nœud d'un arbre pondéré, les branches décrivent tous les cas\npossibles et s'excluent deux à deux : la somme de leurs probabilités vaut\ndonc $1$." }, { "id": "q27", "difficulty": 3, "skills": [ "independance", "incompatibilite" ], "title": "Deux notions à ne pas confondre", "partie": "independance", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles sont\nincompatibles, c'est-à-dire que $A \\cap B = \\varnothing$.\nPeuvent-ils être indépendants ?", "options": [ { "text": "Non, jamais", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'intersection étant vide, $P(A \\cap B) = 0$, alors\nque le produit $P(A) \\times P(B)$ est strictement positif.\n" }, { "text": "Oui, toujours", "correct": false, "feedback": "Les deux notions n'ont rien à voir : l'incompatibilité rend au\ncontraire les événements très dépendants.\n" }, { "text": "Oui, si leurs probabilités sont égales", "correct": false, "feedback": "L'égalité des probabilités ne change rien : l'intersection reste vide.\n" }, { "text": "Oui, si leur réunion est l'univers", "correct": false, "feedback": "Ce cas, celui d'événements contraires, est précisément le plus\ndépendant qui soit.\n" } ], "explanation": "Incompatibles signifie qu'ils ne peuvent pas se produire ensemble ;\nindépendants signifie que l'un ne renseigne pas sur l'autre. Savoir qu'un\névénement incompatible s'est produit renseigne beaucoup sur l'autre." }, { "id": "q28", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "arbre" ], "title": "Nombre de chemins d'un arbre", "partie": "independance", "statement": "On répète quatre fois une épreuve à deux issues.\nCombien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de chemins, donc\n$2^4 = 16$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Une épreuve oubliée : $2^3 = 8$ correspond à trois répétitions." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : chaque épreuve ouvre deux possibilités,\nqui se combinent." }, { "text": "$8$ chemins et $4$ nœuds", "correct": false, "feedback": "Le compte des chemins est faux, et le nombre de nœuds ne répond pas à\nla question posée." } ], "explanation": "Avec deux issues par épreuve, le nombre de chemins double à chaque\nrépétition. Pour $n$ épreuves, l'arbre en compte $2^n$." }, { "id": "q29", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilite-conditionnelle", "inversion" ], "title": "Les deux conditionnelles ne se valent pas", "partie": "arbres", "statement": "Presque tous les joueurs de basket professionnels sont grands.\nPeut-on en déduire que presque toutes les personnes grandes jouent au\nbasket ?", "options": [ { "text": "Non, les populations de référence diffèrent", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première probabilité se restreint aux joueurs, la\nseconde aux personnes grandes, bien plus nombreuses." }, { "text": "Oui, les deux énoncés sont équivalents", "correct": false, "feedback": "Ils ne le sont pas : il y a des millions de personnes grandes pour\nquelques milliers de joueurs professionnels." }, { "text": "Oui, si l'échantillon est assez grand", "correct": false, "feedback": "La taille de l'échantillon ne change rien : c'est le dénominateur qui\ndiffère." }, { "text": "Non, car la taille n'est pas un événement", "correct": false, "feedback": "Être grand est bien un événement, défini par un seuil de taille." } ], "explanation": "Les probabilités $P_A(B)$ et $P_B(A)$ portent sur des populations de\nréférence différentes et n'ont aucune raison d'être égales. C'est\nl'erreur qui rend les tests de dépistage si contre-intuitifs." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "modele", "esprit-critique" ], "title": "Une pièce lancée dix fois", "partie": "modele", "statement": "Une pièce équilibrée est tombée neuf fois de suite sur pile.\nQuelle est la probabilité que le dixième lancer donne face ?", "options": [ { "text": "$0{,}5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les lancers sont indépendants, la pièce ne garde\naucune mémoire des résultats précédents." }, { "text": "Plus de $0{,}5$, par compensation", "correct": false, "feedback": "C'est l'erreur du joueur : aucune force ne rééquilibre les résultats\npassés." }, { "text": "Moins de $0{,}5$, la pièce favorise pile", "correct": false, "feedback": "L'énoncé précise que la pièce est équilibrée : la série observée est\nrare, mais possible." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans plus de lancers", "correct": false, "feedback": "Le modèle donne directement la réponse : chaque lancer a deux issues\néquiprobables." } ], "explanation": "La loi des grands nombres décrit le comportement des fréquences sur un\ntrès grand nombre d'expériences. Elle ne corrige jamais les résultats\ndéjà obtenus." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "conditionnelle", "formule" ], "title": "De l'intersection à la conditionnelle", "partie": "arbres", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0{,}4$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}1$. Quelle est la probabilité de $B$ sachant que\n$A$ est réalisé ?", "options": [ { "text": "$0{,}25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le résultat dépasse $1$, ce qu'aucune\nprobabilité ne fait. C'est $P(A)$ qui est au dénominateur." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : $0{,}3$ est la\nprobabilité que $A$ se réalise sans $B$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Intersection recopiée : elle mesure les deux événements dans\nl'univers entier, alors que la condition le restreint à $A$." } ], "explanation": "Conditionner par $A$, c'est mesurer $B$ dans l'univers réduit aux cas\noù $A$ est réalisé : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$, la part de\n$A$ qui réalise aussi $B$.", "variants": [ { "statement": "Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0{,}4$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}1$. Quelle est la probabilité de $B$ sachant que\n$A$ est réalisé ?", "options": [ { "text": "$0{,}25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le résultat dépasse $1$, ce qu'aucune\nprobabilité ne fait. C'est $P(A)$ qui est au dénominateur." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : $0{,}3$ est la\nprobabilité que $A$ se réalise sans $B$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Intersection recopiée : elle mesure les deux événements dans\nl'univers entier, alors que la condition le restreint à $A$." } ], "explanation": "Conditionner par $A$, c'est mesurer $B$ dans l'univers réduit aux cas\noù $A$ est réalisé : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$, la part de\n$A$ qui réalise aussi $B$." }, { "statement": "Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0{,}5$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}2$. Quelle est la probabilité de $B$ sachant que\n$A$ est réalisé ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$." }, { "text": "$2{,}5$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le résultat dépasse $1$, ce qu'aucune\nprobabilité ne fait. C'est $P(A)$ qui est au dénominateur." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : $0{,}3$ est la\nprobabilité que $A$ se réalise sans $B$." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Intersection recopiée : elle mesure les deux événements dans\nl'univers entier, alors que la condition le restreint à $A$." } ], "explanation": "Conditionner par $A$, c'est mesurer $B$ dans l'univers réduit aux cas\noù $A$ est réalisé : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$, la part de\n$A$ qui réalise aussi $B$." }, { "statement": "Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0{,}75$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}15$. Quelle est la probabilité de $B$ sachant que\n$A$ est réalisé ?", "options": [ { "text": "$0{,}2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}15}{0{,}75} = 0{,}2$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le résultat dépasse $1$, ce qu'aucune\nprobabilité ne fait. C'est $P(A)$ qui est au dénominateur." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Soustraction au lieu d'une division : $0{,}6$ est la\nprobabilité que $A$ se réalise sans $B$." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Intersection recopiée : elle mesure les deux événements dans\nl'univers entier, alors que la condition le restreint à $A$." } ], "explanation": "Conditionner par $A$, c'est mesurer $B$ dans l'univers réduit aux cas\noù $A$ est réalisé : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$, la part de\n$A$ qui réalise aussi $B$." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 2, "skills": [ "chemin", "calcul" ], "title": "Le chemin qui passe par la branche complémentaire", "partie": "arbres", "statement": "Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}6$ et, depuis\n$A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}3$. Quelle est la probabilité\nque $A$ se réalise sans que $B$ se réalise ?", "options": [ { "text": "$0{,}42$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la branche complémentaire porte $1 - 0{,}3$, et le\nchemin vaut $0{,}6 \\times (1 - 0{,}3) = 0{,}42$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise branche suivie : ce produit est celui du chemin qui mène\nà $B$, et non à son contraire." }, { "text": "$0{,}28$", "correct": false, "feedback": "Deux complémentaires prises : le chemin cherché commence bien par\n$A$, dont la probabilité est $0{,}6$." }, { "text": "$1{,}3$", "correct": false, "feedback": "Pondérations additionnées : la somme dépasse parfois $1$, alors que\nle long d'un chemin les probabilités se multiplient." } ], "explanation": "Sur un arbre, les deux branches issues d'un même nœud somment à $1$ :\ncelle qui mène au contraire de $B$ porte $1 - P_A(B)$. Le chemin\ncomplet s'obtient ensuite en multipliant.", "variants": [ { "statement": "Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}6$ et, depuis\n$A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}3$. Quelle est la probabilité\nque $A$ se réalise sans que $B$ se réalise ?", "options": [ { "text": "$0{,}42$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la branche complémentaire porte $1 - 0{,}3$, et le\nchemin vaut $0{,}6 \\times (1 - 0{,}3) = 0{,}42$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise branche suivie : ce produit est celui du chemin qui mène\nà $B$, et non à son contraire." }, { "text": "$0{,}28$", "correct": false, "feedback": "Deux complémentaires prises : le chemin cherché commence bien par\n$A$, dont la probabilité est $0{,}6$." }, { "text": "$1{,}3$", "correct": false, "feedback": "Pondérations additionnées : la somme dépasse parfois $1$, alors que\nle long d'un chemin les probabilités se multiplient." } ], "explanation": "Sur un arbre, les deux branches issues d'un même nœud somment à $1$ :\ncelle qui mène au contraire de $B$ porte $1 - P_A(B)$. Le chemin\ncomplet s'obtient ensuite en multipliant." }, { "statement": "Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}8$ et, depuis\n$A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}25$. Quelle est la probabilité\nque $A$ se réalise sans que $B$ se réalise ?", "options": [ { "text": "$0{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la branche complémentaire porte $1 - 0{,}25$, et le\nchemin vaut $0{,}8 \\times (1 - 0{,}25) = 0{,}6$." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise branche suivie : ce produit est celui du chemin qui mène\nà $B$, et non à son contraire." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Deux complémentaires prises : le chemin cherché commence bien par\n$A$, dont la probabilité est $0{,}8$." }, { "text": "$1{,}55$", "correct": false, "feedback": "Pondérations additionnées : la somme dépasse parfois $1$, alors que\nle long d'un chemin les probabilités se multiplient." } ], "explanation": "Sur un arbre, les deux branches issues d'un même nœud somment à $1$ :\ncelle qui mène au contraire de $B$ porte $1 - P_A(B)$. Le chemin\ncomplet s'obtient ensuite en multipliant." }, { "statement": "Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}4$ et, depuis\n$A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}7$. Quelle est la probabilité\nque $A$ se réalise sans que $B$ se réalise ?", "options": [ { "text": "$0{,}12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la branche complémentaire porte $1 - 0{,}7$, et le\nchemin vaut $0{,}4 \\times (1 - 0{,}7) = 0{,}12$." }, { "text": "$0{,}28$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise branche suivie : ce produit est celui du chemin qui mène\nà $B$, et non à son contraire." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Deux complémentaires prises : le chemin cherché commence bien par\n$A$, dont la probabilité est $0{,}4$." }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Pondérations additionnées : la somme dépasse parfois $1$, alors que\nle long d'un chemin les probabilités se multiplient." } ], "explanation": "Sur un arbre, les deux branches issues d'un même nœud somment à $1$ :\ncelle qui mène au contraire de $B$ porte $1 - P_A(B)$. Le chemin\ncomplet s'obtient ensuite en multipliant." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "coherence-arbre", "controle" ], "title": "Un nœud à trois branches", "partie": "arbres", "statement": "D'un même nœud d'un arbre partent trois branches, correspondant à trois\nissues possibles, de probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les trois branches couvrent toutes les issues, donc\n$p = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Somme des deux branches connues : c'est justement la part déjà\noccupée, et $p$ en est le complément à $1$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : les produits servent le long d'un\nchemin, pas entre branches issues du même nœud." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Une seule branche retranchée : la deuxième branche occupe elle\naussi une part de la certitude." } ], "explanation": "À chaque nœud, les branches décrivent des issues qui s'excluent et\ncouvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités vaut $1$, quel\nque soit leur nombre.", "variants": [ { "statement": "D'un même nœud d'un arbre partent trois branches, correspondant à trois\nissues possibles, de probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les trois branches couvrent toutes les issues, donc\n$p = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}7$", "correct": false, "feedback": "Somme des deux branches connues : c'est justement la part déjà\noccupée, et $p$ en est le complément à $1$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : les produits servent le long d'un\nchemin, pas entre branches issues du même nœud." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Une seule branche retranchée : la deuxième branche occupe elle\naussi une part de la certitude." } ], "explanation": "À chaque nœud, les branches décrivent des issues qui s'excluent et\ncouvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités vaut $1$, quel\nque soit leur nombre." }, { "statement": "D'un même nœud d'un arbre partent trois branches, correspondant à trois\nissues possibles, de probabilités $0{,}2$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}35$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les trois branches couvrent toutes les issues, donc\n$p = 1 - 0{,}2 - 0{,}45 = 0{,}35$." }, { "text": "$0{,}65$", "correct": false, "feedback": "Somme des deux branches connues : c'est justement la part déjà\noccupée, et $p$ en est le complément à $1$." }, { "text": "$0{,}09$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : les produits servent le long d'un\nchemin, pas entre branches issues du même nœud." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Une seule branche retranchée : la deuxième branche occupe elle\naussi une part de la certitude." } ], "explanation": "À chaque nœud, les branches décrivent des issues qui s'excluent et\ncouvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités vaut $1$, quel\nque soit leur nombre." }, { "statement": "D'un même nœud d'un arbre partent trois branches, correspondant à trois\nissues possibles, de probabilités $0{,}15$, $0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les trois branches couvrent toutes les issues, donc\n$p = 1 - 0{,}15 - 0{,}6 = 0{,}25$." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Somme des deux branches connues : c'est justement la part déjà\noccupée, et $p$ en est le complément à $1$." }, { "text": "$0{,}09$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : les produits servent le long d'un\nchemin, pas entre branches issues du même nœud." }, { "text": "$0{,}85$", "correct": false, "feedback": "Une seule branche retranchée : la deuxième branche occupe elle\naussi une part de la certitude." } ], "explanation": "À chaque nœud, les branches décrivent des issues qui s'excluent et\ncouvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités vaut $1$, quel\nque soit leur nombre." } ] }, { "id": "q34", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales", "calcul" ], "title": "Deux ateliers, une pièce défectueuse", "partie": "arbres", "statement": "Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces : l'atelier A en produit\n$60\\ \\%$ et l'atelier B les $40\\ \\%$ restants. Dans l'atelier A,\n$5\\ \\%$ des pièces sont défectueuses, contre $10\\ \\%$ dans\nl'atelier B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}07$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chemins menant à une pièce défectueuse\ns'additionnent, chacun pondéré par la taille de son atelier." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Taux de défaut additionnés : ils portent sur des productions\ndifférentes et ne s'ajoutent donc pas directement." }, { "text": "$0{,}075$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle traiterait les deux ateliers\ncomme s'ils produisaient autant l'un que l'autre." }, { "text": "$0{,}03$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : les pièces défectueuses de l'atelier B\ncomptent elles aussi." } ], "explanation": "Quand un événement se réalise par plusieurs chemins de l'arbre, sa\nprobabilité est la somme des probabilités de ces chemins, chacune\nobtenue en multipliant les pondérations rencontrées.", "variants": [ { "statement": "Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces : l'atelier A en produit\n$60\\ \\%$ et l'atelier B les $40\\ \\%$ restants. Dans l'atelier A,\n$5\\ \\%$ des pièces sont défectueuses, contre $10\\ \\%$ dans\nl'atelier B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}07$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chemins menant à une pièce défectueuse\ns'additionnent, chacun pondéré par la taille de son atelier." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Taux de défaut additionnés : ils portent sur des productions\ndifférentes et ne s'ajoutent donc pas directement." }, { "text": "$0{,}075$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle traiterait les deux ateliers\ncomme s'ils produisaient autant l'un que l'autre." }, { "text": "$0{,}03$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : les pièces défectueuses de l'atelier B\ncomptent elles aussi." } ], "explanation": "Quand un événement se réalise par plusieurs chemins de l'arbre, sa\nprobabilité est la somme des probabilités de ces chemins, chacune\nobtenue en multipliant les pondérations rencontrées." }, { "statement": "Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces : l'atelier A en produit\n$70\\ \\%$ et l'atelier B les $30\\ \\%$ restants. Dans l'atelier A,\n$4\\ \\%$ des pièces sont défectueuses, contre $8\\ \\%$ dans\nl'atelier B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}052$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chemins menant à une pièce défectueuse\ns'additionnent, chacun pondéré par la taille de son atelier." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Taux de défaut additionnés : ils portent sur des productions\ndifférentes et ne s'ajoutent donc pas directement." }, { "text": "$0{,}06$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle traiterait les deux ateliers\ncomme s'ils produisaient autant l'un que l'autre." }, { "text": "$0{,}028$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : les pièces défectueuses de l'atelier B\ncomptent elles aussi." } ], "explanation": "Quand un événement se réalise par plusieurs chemins de l'arbre, sa\nprobabilité est la somme des probabilités de ces chemins, chacune\nobtenue en multipliant les pondérations rencontrées." }, { "statement": "Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces : l'atelier A en produit\n$25\\ \\%$ et l'atelier B les $75\\ \\%$ restants. Dans l'atelier A,\n$12\\ \\%$ des pièces sont défectueuses, contre $4\\ \\%$ dans\nl'atelier B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard\nsoit défectueuse ?", "options": [ { "text": "$0{,}06$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chemins menant à une pièce défectueuse\ns'additionnent, chacun pondéré par la taille de son atelier." }, { "text": "$0{,}16$", "correct": false, "feedback": "Taux de défaut additionnés : ils portent sur des productions\ndifférentes et ne s'ajoutent donc pas directement." }, { "text": "$0{,}08$", "correct": false, "feedback": "Moyenne simple des deux taux : elle traiterait les deux ateliers\ncomme s'ils produisaient autant l'un que l'autre." }, { "text": "$0{,}03$", "correct": false, "feedback": "Un seul chemin retenu : les pièces défectueuses de l'atelier B\ncomptent elles aussi." } ], "explanation": "Quand un événement se réalise par plusieurs chemins de l'arbre, sa\nprobabilité est la somme des probabilités de ces chemins, chacune\nobtenue en multipliant les pondérations rencontrées." } ] }, { "id": "q35", "difficulty": 3, "skills": [ "faux-positifs", "inversion" ], "title": "Un test très fiable, une maladie rare", "partie": "modele", "statement": "Dans une population de $100\\,000$ personnes, $100$ sont atteintes\nd'une maladie. Un test la détecte chez tous les malades, mais il est\naussi positif chez $5\\ \\%$ des personnes saines. Quelle est la\nproportion de malades parmi les personnes testées positives ?", "options": [ { "text": "Environ $2\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les $100$ malades sont positifs, mais\n$4\\,995$ personnes saines le sont aussi à tort, ce qui fait\n$5\\,095$ positifs dont très peu de malades." }, { "text": "Environ $95\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement inversé : $95\\ \\%$ est la part des\npersonnes saines correctement déclarées négatives, pas la\ncomposition du groupe des positifs." }, { "text": "Environ $50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Deux réponses possibles ne font pas deux cas également probables :\nles $99\\,900$ personnes saines sont bien trop nombreuses." }, { "text": "Environ $0{,}1\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Population de référence trop large : cette part rapporte les\nmalades à la population entière, pas aux seuls positifs." } ], "explanation": "Quand une maladie est rare, les faux positifs, même peu fréquents,\nsont prélevés sur un groupe immense et finissent par écraser les vrais\npositifs. Un test positif reste alors une alerte, pas un diagnostic.", "variants": [ { "statement": "Dans une population de $100\\,000$ personnes, $100$ sont atteintes\nd'une maladie. Un test la détecte chez tous les malades, mais il est\naussi positif chez $5\\ \\%$ des personnes saines. Quelle est la\nproportion de malades parmi les personnes testées positives ?", "options": [ { "text": "Environ $2\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les $100$ malades sont positifs, mais\n$4\\,995$ personnes saines le sont aussi à tort, ce qui fait\n$5\\,095$ positifs dont très peu de malades." }, { "text": "Environ $95\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement inversé : $95\\ \\%$ est la part des\npersonnes saines correctement déclarées négatives, pas la\ncomposition du groupe des positifs." }, { "text": "Environ $50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Deux réponses possibles ne font pas deux cas également probables :\nles $99\\,900$ personnes saines sont bien trop nombreuses." }, { "text": "Environ $0{,}1\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Population de référence trop large : cette part rapporte les\nmalades à la population entière, pas aux seuls positifs." } ], "explanation": "Quand une maladie est rare, les faux positifs, même peu fréquents,\nsont prélevés sur un groupe immense et finissent par écraser les vrais\npositifs. Un test positif reste alors une alerte, pas un diagnostic." }, { "statement": "Dans une population de $100\\,000$ personnes, $200$ sont atteintes\nd'une maladie. Un test la détecte chez tous les malades, mais il est\naussi positif chez $4\\ \\%$ des personnes saines. Quelle est la\nproportion de malades parmi les personnes testées positives ?", "options": [ { "text": "Environ $5\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les $200$ malades sont positifs, mais\n$3\\,992$ personnes saines le sont aussi à tort, ce qui fait\n$4\\,192$ positifs dont très peu de malades." }, { "text": "Environ $96\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement inversé : $96\\ \\%$ est la part des\npersonnes saines correctement déclarées négatives, pas la\ncomposition du groupe des positifs." }, { "text": "Environ $50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Deux réponses possibles ne font pas deux cas également probables :\nles $99\\,800$ personnes saines sont bien trop nombreuses." }, { "text": "Environ $0{,}2\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Population de référence trop large : cette part rapporte les\nmalades à la population entière, pas aux seuls positifs." } ], "explanation": "Quand une maladie est rare, les faux positifs, même peu fréquents,\nsont prélevés sur un groupe immense et finissent par écraser les vrais\npositifs. Un test positif reste alors une alerte, pas un diagnostic." }, { "statement": "Dans une population de $100\\,000$ personnes, $100$ sont atteintes\nd'une maladie. Un test la détecte chez tous les malades, mais il est\naussi positif chez $2\\ \\%$ des personnes saines. Quelle est la\nproportion de malades parmi les personnes testées positives ?", "options": [ { "text": "Environ $5\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les $100$ malades sont positifs, mais\n$1\\,998$ personnes saines le sont aussi à tort, ce qui fait\n$2\\,098$ positifs dont très peu de malades." }, { "text": "Environ $98\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Conditionnement inversé : $98\\ \\%$ est la part des\npersonnes saines correctement déclarées négatives, pas la\ncomposition du groupe des positifs." }, { "text": "Environ $50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Deux réponses possibles ne font pas deux cas également probables :\nles $99\\,900$ personnes saines sont bien trop nombreuses." }, { "text": "Environ $0{,}1\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Population de référence trop large : cette part rapporte les\nmalades à la population entière, pas aux seuls positifs." } ], "explanation": "Quand une maladie est rare, les faux positifs, même peu fréquents,\nsont prélevés sur un groupe immense et finissent par écraser les vrais\npositifs. Un test positif reste alors une alerte, pas un diagnostic." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 1, "skills": [ "incompatibilite", "reunion" ], "title": "Réunion d'événements incompatibles", "partie": "modele", "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et\n$P(B) = 0{,}45$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'intersection étant vide, il n'y a rien à\nretrancher et les deux probabilités s'additionnent." }, { "text": "$0{,}135$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : un produit calculerait une\nintersection, et celle-ci est ici de probabilité nulle." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Soustraction injustifiée : la formule ne retranche que\n$P(A \\cap B)$, qui vaut $0$ pour des événements incompatibles." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Complément calculé : cette valeur est la probabilité qu'aucun des\ndeux événements ne se réalise." } ], "explanation": "La formule générale $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se\nsimplifie en une addition dès que les deux événements ne peuvent pas\nse produire ensemble.", "variants": [ { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et\n$P(B) = 0{,}45$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'intersection étant vide, il n'y a rien à\nretrancher et les deux probabilités s'additionnent." }, { "text": "$0{,}135$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : un produit calculerait une\nintersection, et celle-ci est ici de probabilité nulle." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Soustraction injustifiée : la formule ne retranche que\n$P(A \\cap B)$, qui vaut $0$ pour des événements incompatibles." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Complément calculé : cette valeur est la probabilité qu'aucun des\ndeux événements ne se réalise." } ], "explanation": "La formule générale $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se\nsimplifie en une addition dès que les deux événements ne peuvent pas\nse produire ensemble." }, { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}25$ et\n$P(B) = 0{,}4$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}65$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'intersection étant vide, il n'y a rien à\nretrancher et les deux probabilités s'additionnent." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : un produit calculerait une\nintersection, et celle-ci est ici de probabilité nulle." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Soustraction injustifiée : la formule ne retranche que\n$P(A \\cap B)$, qui vaut $0$ pour des événements incompatibles." }, { "text": "$0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Complément calculé : cette valeur est la probabilité qu'aucun des\ndeux événements ne se réalise." } ], "explanation": "La formule générale $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se\nsimplifie en une addition dès que les deux événements ne peuvent pas\nse produire ensemble." }, { "statement": "Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}1$ et\n$P(B) = 0{,}35$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}45$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'intersection étant vide, il n'y a rien à\nretrancher et les deux probabilités s'additionnent." }, { "text": "$0{,}035$", "correct": false, "feedback": "Multiplication injustifiée : un produit calculerait une\nintersection, et celle-ci est ici de probabilité nulle." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Soustraction injustifiée : la formule ne retranche que\n$P(A \\cap B)$, qui vaut $0$ pour des événements incompatibles." }, { "text": "$0{,}55$", "correct": false, "feedback": "Complément calculé : cette valeur est la probabilité qu'aucun des\ndeux événements ne se réalise." } ], "explanation": "La formule générale $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se\nsimplifie en une addition dès que les deux événements ne peuvent pas\nse produire ensemble." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 1, "skills": [ "equiprobabilite", "modelisation" ], "title": "Compter les issues favorables", "partie": "modele", "statement": "On lance un dé équilibré à $10$ faces, numérotées de $1$ à $10$.\nQuelle est la probabilité d'obtenir un résultat strictement supérieur\nà $7$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faces favorables vont de $7 + 1$ à $10$, et\nchacune des $10$ faces a la même probabilité." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Une face de trop : le mot « strictement » exclut le résultat\n$7$ lui-même des cas favorables." }, { "text": "$\\dfrac{7}{10}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais côté compté : cette probabilité est celle d'obtenir un\nrésultat inférieur ou égal à $7$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "Une seule issue comptée : plusieurs faces dépassent $7$, et\nchacune convient." } ], "explanation": "Dans un modèle équiprobable, une probabilité est le quotient du nombre\nd'issues favorables par le nombre total d'issues. Tout le travail\nconsiste à compter correctement les issues favorables.", "variants": [ { "statement": "On lance un dé équilibré à $10$ faces, numérotées de $1$ à $10$.\nQuelle est la probabilité d'obtenir un résultat strictement supérieur\nà $7$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faces favorables vont de $7 + 1$ à $10$, et\nchacune des $10$ faces a la même probabilité." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Une face de trop : le mot « strictement » exclut le résultat\n$7$ lui-même des cas favorables." }, { "text": "$\\dfrac{7}{10}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais côté compté : cette probabilité est celle d'obtenir un\nrésultat inférieur ou égal à $7$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "Une seule issue comptée : plusieurs faces dépassent $7$, et\nchacune convient." } ], "explanation": "Dans un modèle équiprobable, une probabilité est le quotient du nombre\nd'issues favorables par le nombre total d'issues. Tout le travail\nconsiste à compter correctement les issues favorables." }, { "statement": "On lance un dé équilibré à $12$ faces, numérotées de $1$ à $12$.\nQuelle est la probabilité d'obtenir un résultat strictement supérieur\nà $8$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faces favorables vont de $8 + 1$ à $12$, et\nchacune des $12$ faces a la même probabilité." }, { "text": "$\\dfrac{5}{12}$", "correct": false, "feedback": "Une face de trop : le mot « strictement » exclut le résultat\n$8$ lui-même des cas favorables." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais côté compté : cette probabilité est celle d'obtenir un\nrésultat inférieur ou égal à $8$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{12}$", "correct": false, "feedback": "Une seule issue comptée : plusieurs faces dépassent $8$, et\nchacune convient." } ], "explanation": "Dans un modèle équiprobable, une probabilité est le quotient du nombre\nd'issues favorables par le nombre total d'issues. Tout le travail\nconsiste à compter correctement les issues favorables." }, { "statement": "On lance un dé équilibré à $20$ faces, numérotées de $1$ à $20$.\nQuelle est la probabilité d'obtenir un résultat strictement supérieur\nà $15$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faces favorables vont de $15 + 1$ à $20$, et\nchacune des $20$ faces a la même probabilité." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Une face de trop : le mot « strictement » exclut le résultat\n$15$ lui-même des cas favorables." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais côté compté : cette probabilité est celle d'obtenir un\nrésultat inférieur ou égal à $15$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{20}$", "correct": false, "feedback": "Une seule issue comptée : plusieurs faces dépassent $15$, et\nchacune convient." } ], "explanation": "Dans un modèle équiprobable, une probabilité est le quotient du nombre\nd'issues favorables par le nombre total d'issues. Tout le travail\nconsiste à compter correctement les issues favorables." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "sans-remise", "calcul" ], "title": "Deux tirages sans remise", "partie": "arbres", "statement": "Une boîte contient $5$ stylos bleus et $3$ stylos noirs. On en\nprend deux au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier.\nQuelle est la probabilité d'obtenir deux stylos bleus ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{14}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier stylo est bleu avec la probabilité\n$\\dfrac{5}{8}$, puis il reste $5 - 1$ bleus parmi\n$8 - 1$ stylos." }, { "text": "$\\dfrac{25}{64}$", "correct": false, "feedback": "Boîte inchangée : ce calcul décrit un tirage avec remise, où le\npremier stylo serait remis avant le second." }, { "text": "$\\dfrac{25}{56}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le stylo bleu déjà sorti ne fait plus\npartie des bleus disponibles." }, { "text": "$\\dfrac{5}{16}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : après le premier tirage, la boîte ne\ncontient plus que $8 - 1$ stylos." } ], "explanation": "Sans remise, chaque tirage modifie le contenu de la boîte : numérateur\net dénominateur diminuent tous deux pour la couleur sortie. Les deux\nbranches du chemin se multiplient ensuite.", "variants": [ { "statement": "Une boîte contient $5$ stylos bleus et $3$ stylos noirs. On en\nprend deux au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier.\nQuelle est la probabilité d'obtenir deux stylos bleus ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{14}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier stylo est bleu avec la probabilité\n$\\dfrac{5}{8}$, puis il reste $5 - 1$ bleus parmi\n$8 - 1$ stylos." }, { "text": "$\\dfrac{25}{64}$", "correct": false, "feedback": "Boîte inchangée : ce calcul décrit un tirage avec remise, où le\npremier stylo serait remis avant le second." }, { "text": "$\\dfrac{25}{56}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le stylo bleu déjà sorti ne fait plus\npartie des bleus disponibles." }, { "text": "$\\dfrac{5}{16}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : après le premier tirage, la boîte ne\ncontient plus que $8 - 1$ stylos." } ], "explanation": "Sans remise, chaque tirage modifie le contenu de la boîte : numérateur\net dénominateur diminuent tous deux pour la couleur sortie. Les deux\nbranches du chemin se multiplient ensuite." }, { "statement": "Une boîte contient $4$ stylos bleus et $6$ stylos noirs. On en\nprend deux au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier.\nQuelle est la probabilité d'obtenir deux stylos bleus ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{15}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier stylo est bleu avec la probabilité\n$\\dfrac{4}{10}$, puis il reste $4 - 1$ bleus parmi\n$10 - 1$ stylos." }, { "text": "$\\dfrac{4}{25}$", "correct": false, "feedback": "Boîte inchangée : ce calcul décrit un tirage avec remise, où le\npremier stylo serait remis avant le second." }, { "text": "$\\dfrac{8}{45}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le stylo bleu déjà sorti ne fait plus\npartie des bleus disponibles." }, { "text": "$\\dfrac{3}{25}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : après le premier tirage, la boîte ne\ncontient plus que $10 - 1$ stylos." } ], "explanation": "Sans remise, chaque tirage modifie le contenu de la boîte : numérateur\net dénominateur diminuent tous deux pour la couleur sortie. Les deux\nbranches du chemin se multiplient ensuite." }, { "statement": "Une boîte contient $6$ stylos bleus et $4$ stylos noirs. On en\nprend deux au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier.\nQuelle est la probabilité d'obtenir deux stylos bleus ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier stylo est bleu avec la probabilité\n$\\dfrac{6}{10}$, puis il reste $6 - 1$ bleus parmi\n$10 - 1$ stylos." }, { "text": "$\\dfrac{9}{25}$", "correct": false, "feedback": "Boîte inchangée : ce calcul décrit un tirage avec remise, où le\npremier stylo serait remis avant le second." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le stylo bleu déjà sorti ne fait plus\npartie des bleus disponibles." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : après le premier tirage, la boîte ne\ncontient plus que $10 - 1$ stylos." } ], "explanation": "Sans remise, chaque tirage modifie le contenu de la boîte : numérateur\net dénominateur diminuent tous deux pour la couleur sortie. Les deux\nbranches du chemin se multiplient ensuite." } ] }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "denombrement", "repetition" ], "title": "Compter les chemins d'un événement", "partie": "modele", "statement": "On répète quatre fois une même épreuve à deux issues, succès ou échec.\nCombien de chemins de l'arbre réalisent exactement deux succès ?", "options": [ { "text": "$6$ chemins", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il s'agit de choisir les deux rangs des succès\nparmi les quatre épreuves, ce qui laisse six possibilités." }, { "text": "$16$ chemins", "correct": false, "feedback": "Nombre total de chemins : $2^4 = 16$ compte toutes les listes de\nrésultats, dont celles qui ont zéro, un, trois ou quatre succès." }, { "text": "$8$ chemins", "correct": false, "feedback": "Compte trop généreux : la moitié des chemins ne comporte pas\nexactement deux succès, comme le montre leur énumération." }, { "text": "$4$ chemins", "correct": false, "feedback": "Nombre d'épreuves recopié : il indique la profondeur de l'arbre,\npas le nombre de chemins favorables." } ], "explanation": "Pour une probabilité dans une répétition d'épreuves identiques, on\nénumère les chemins qui réalisent l'événement, puis on additionne leurs\nprobabilités, toutes égales entre elles." }, { "id": "q40", "difficulty": 1, "skills": [ "lecture", "arbre" ], "title": "La somme de tous les chemins", "partie": "modele", "statement": "Dans un arbre pondéré, on calcule la probabilité de chaque chemin\ncomplet, puis on additionne ces probabilités. Que vaut cette somme ?", "options": [ { "text": "$1$, quelle que soit la forme de l'arbre", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les chemins complets décrivent toutes les issues\npossibles et s'excluent deux à deux : leur somme est la certitude." }, { "text": "$0{,}5$ dès que l'arbre a deux niveaux", "correct": false, "feedback": "Le nombre de niveaux ne change rien : l'arbre décrit toujours\nl'ensemble des issues, quelle que soit sa profondeur." }, { "text": "La somme des probabilités du premier niveau", "correct": false, "feedback": "Cette somme vaut déjà $1$ : les chemins complets ne font que\ndétailler ces branches sans rien ajouter." }, { "text": "Une valeur qui dépend des pondérations choisies", "correct": false, "feedback": "Les pondérations changent la répartition entre les chemins, jamais\nle total, qui reste égal à $1$." } ], "explanation": "Les chemins complets d'un arbre forment une liste d'issues qui couvre\ntous les cas sans recouvrement. C'est le contrôle le plus sûr d'un\narbre entièrement rempli." }, { "id": "q41", "difficulty": 3, "skills": [ "monty-hall", "esprit-critique" ], "title": "Le même jeu avec plus de portes", "partie": "modele", "statement": "Un jeu propose $10$ portes, dont une seule cache le lot. Vous en\nchoisissez une, puis l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\n$8$ autres portes, toutes perdantes, et vous propose de prendre la\ndernière porte encore fermée. Quelle est votre probabilité de gagner si\nvous acceptez ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre porte initiale garde sa probabilité\n$\\dfrac{1}{10}$, et toute la probabilité restante se concentre sur\nla dernière porte fermée." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Deux portes restantes ne sont pas deux chances égales :\nl'animateur a choisi ses ouvertures en connaissant le lot." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "C'est la probabilité de gagner en gardant votre porte de départ,\ncelle que vous aviez avant toute ouverture." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Chances doublées au lieu d'être transférées : ce n'est pas un\nfacteur $2$, c'est tout le reste de la probabilité qui bascule." } ], "explanation": "Plus il y a de portes, plus l'avantage du changement saute aux yeux :\nla porte choisie au départ reste à une chance sur le nombre de portes,\net l'animateur informé concentre tout le reste sur une seule porte.", "variants": [ { "statement": "Un jeu propose $10$ portes, dont une seule cache le lot. Vous en\nchoisissez une, puis l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\n$8$ autres portes, toutes perdantes, et vous propose de prendre la\ndernière porte encore fermée. Quelle est votre probabilité de gagner si\nvous acceptez ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre porte initiale garde sa probabilité\n$\\dfrac{1}{10}$, et toute la probabilité restante se concentre sur\nla dernière porte fermée." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Deux portes restantes ne sont pas deux chances égales :\nl'animateur a choisi ses ouvertures en connaissant le lot." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "C'est la probabilité de gagner en gardant votre porte de départ,\ncelle que vous aviez avant toute ouverture." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Chances doublées au lieu d'être transférées : ce n'est pas un\nfacteur $2$, c'est tout le reste de la probabilité qui bascule." } ], "explanation": "Plus il y a de portes, plus l'avantage du changement saute aux yeux :\nla porte choisie au départ reste à une chance sur le nombre de portes,\net l'animateur informé concentre tout le reste sur une seule porte." }, { "statement": "Un jeu propose $20$ portes, dont une seule cache le lot. Vous en\nchoisissez une, puis l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\n$18$ autres portes, toutes perdantes, et vous propose de prendre la\ndernière porte encore fermée. Quelle est votre probabilité de gagner si\nvous acceptez ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{19}{20}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre porte initiale garde sa probabilité\n$\\dfrac{1}{20}$, et toute la probabilité restante se concentre sur\nla dernière porte fermée." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Deux portes restantes ne sont pas deux chances égales :\nl'animateur a choisi ses ouvertures en connaissant le lot." }, { "text": "$\\dfrac{1}{20}$", "correct": false, "feedback": "C'est la probabilité de gagner en gardant votre porte de départ,\ncelle que vous aviez avant toute ouverture." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$", "correct": false, "feedback": "Chances doublées au lieu d'être transférées : ce n'est pas un\nfacteur $2$, c'est tout le reste de la probabilité qui bascule." } ], "explanation": "Plus il y a de portes, plus l'avantage du changement saute aux yeux :\nla porte choisie au départ reste à une chance sur le nombre de portes,\net l'animateur informé concentre tout le reste sur une seule porte." }, { "statement": "Un jeu propose $5$ portes, dont une seule cache le lot. Vous en\nchoisissez une, puis l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\n$3$ autres portes, toutes perdantes, et vous propose de prendre la\ndernière porte encore fermée. Quelle est votre probabilité de gagner si\nvous acceptez ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre porte initiale garde sa probabilité\n$\\dfrac{1}{5}$, et toute la probabilité restante se concentre sur\nla dernière porte fermée." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Deux portes restantes ne sont pas deux chances égales :\nl'animateur a choisi ses ouvertures en connaissant le lot." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est la probabilité de gagner en gardant votre porte de départ,\ncelle que vous aviez avant toute ouverture." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Chances doublées au lieu d'être transférées : ce n'est pas un\nfacteur $2$, c'est tout le reste de la probabilité qui bascule." } ], "explanation": "Plus il y a de portes, plus l'avantage du changement saute aux yeux :\nla porte choisie au départ reste à une chance sur le nombre de portes,\net l'animateur informé concentre tout le reste sur une seule porte." } ] }, { "id": "q42", "difficulty": 2, "skills": [ "frequence-probabilite", "esprit-critique" ], "title": "Un écart suffit-il à accuser la pièce ?", "partie": "modele", "statement": "Sur $50$ lancers d'une pièce, on obtient $31$ fois pile. Peut-on en\nconclure que la pièce est truquée ?", "options": [ { "text": "Non : un tel écart est courant sur $50$ lancers", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur un échantillon aussi petit, la fréquence\nfluctue beaucoup autour de $0{,}5$ sans rien signaler d'anormal." }, { "text": "Oui : $31$ dépasse nettement la moitié de $50$", "correct": false, "feedback": "L'écart est réel mais modeste : il faudrait bien plus de lancers\npour qu'une telle différence devienne significative." }, { "text": "Oui : la fréquence observée n'est pas exactement $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Une fréquence observée ne tombe presque jamais sur la valeur\nthéorique, même avec une pièce parfaitement équilibrée." }, { "text": "Non : la fréquence finirait par valoir exactement $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Bonne conclusion, mauvais motif : la fréquence se rapproche de\n$0{,}5$ sans jamais devoir l'atteindre exactement." } ], "explanation": "La fréquence observée se rapproche de la probabilité quand le nombre\nd'expériences grandit. Sur un petit échantillon, elle fluctue trop pour\nqu'un écart modeste accuse le modèle." }, { "id": "q43", "difficulty": 3, "skills": [ "verification", "independance" ], "title": "Indépendance lue sur des effectifs", "partie": "independance", "statement": "Un club compte $200$ membres : $120$ filles, dont $60$ viennent\nà vélo, et $80$ garçons, dont $40$ viennent à vélo. Les événements\n« être une fille » et « venir à vélo » sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui : les deux groupes ont la même part de cyclistes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : elle vaut $\\dfrac{1}{2}$ chez les filles comme chez les\ngarçons, donc connaître le genre n'apprend rien sur le vélo." }, { "text": "Non : le nombre de cyclistes diffère d'un groupe à l'autre", "correct": false, "feedback": "Comparaison d'effectifs bruts : les deux groupes n'ont pas la même\ntaille, seules leurs proportions sont comparables." }, { "text": "Non : les deux groupes n'ont pas le même effectif", "correct": false, "feedback": "La taille des groupes n'intervient pas : l'indépendance porte sur\nles proportions, pas sur les effectifs." }, { "text": "Oui : chaque groupe compte au moins un cycliste", "correct": false, "feedback": "Argument sans rapport : il montre seulement que les deux\névénements ne sont pas incompatibles." } ], "explanation": "Dans un tableau d'effectifs, l'indépendance se lit en comparant la\nproportion conditionnelle à la proportion d'ensemble. Si elles\ncoïncident, la condition n'apporte aucune information." }, { "id": "q44", "difficulty": 2, "skills": [ "independance-incompatibilite", "jeux" ], "title": "Un exemple pour trancher", "partie": "independance", "statement": "On lance un dé équilibré. On note $A$ l'événement « le résultat est\npair » et $B$ l'événement « le résultat est $3$ ». Que dire de $A$ et\nde $B$ ?", "options": [ { "text": "Ils sont incompatibles, donc pas indépendants", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3$ n'est pas pair, donc $A \\cap B$ est vide.\nSavoir que $B$ est réalisé rend alors $A$ impossible." }, { "text": "Ils sont indépendants, car les faces sont équiprobables", "correct": false, "feedback": "L'équiprobabilité des faces ne dit rien du lien entre les deux\névénements : il faut comparer $P(A \\cap B)$ au produit." }, { "text": "Ils sont à la fois incompatibles et indépendants", "correct": false, "feedback": "Impossible ici : $P(A \\cap B) = 0$ alors que le produit\n$P(A) \\times P(B)$ est strictement positif." }, { "text": "Ils ne sont ni incompatibles ni indépendants", "correct": false, "feedback": "Ils sont pourtant incompatibles : aucun résultat du dé ne réalise\nles deux événements en même temps." } ], "explanation": "Deux événements de probabilités non nulles qui ne peuvent pas se\nproduire ensemble sont toujours dépendants : la réalisation de l'un\ninterdit l'autre, ce qui est l'information maximale." }, { "id": "q45", "difficulty": 2, "skills": [ "repetition", "contraire" ], "title": "Au moins une panne en trois jours", "partie": "independance", "statement": "Une machine tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}1$,\nindépendamment des autres jours. Quelle est la probabilité qu'elle\ntombe en panne au moins une fois au cours de trois jours ?", "options": [ { "text": "$0{,}271$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune panne », de probabilité\n$0{,}729$, et il reste $1 - 0{,}729 = 0{,}271$." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Probabilités additionnées : ce total compterait plusieurs fois les\njournées où la machine tombe en panne deux ou trois fois." }, { "text": "$0{,}001$", "correct": false, "feedback": "Événement bien plus exigeant : ce produit est la probabilité de\ntomber en panne les trois jours." }, { "text": "$0{,}729$", "correct": false, "feedback": "Contraire calculé sans être retranché : cette valeur est la\nprobabilité de n'avoir aucune panne." } ], "explanation": "Devant « au moins une fois », on passe par l'événement contraire\n« aucune fois », dont la probabilité est un simple produit le long\nd'un chemin de l'arbre.", "variants": [ { "statement": "Une machine tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}1$,\nindépendamment des autres jours. Quelle est la probabilité qu'elle\ntombe en panne au moins une fois au cours de trois jours ?", "options": [ { "text": "$0{,}271$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune panne », de probabilité\n$0{,}729$, et il reste $1 - 0{,}729 = 0{,}271$." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Probabilités additionnées : ce total compterait plusieurs fois les\njournées où la machine tombe en panne deux ou trois fois." }, { "text": "$0{,}001$", "correct": false, "feedback": "Événement bien plus exigeant : ce produit est la probabilité de\ntomber en panne les trois jours." }, { "text": "$0{,}729$", "correct": false, "feedback": "Contraire calculé sans être retranché : cette valeur est la\nprobabilité de n'avoir aucune panne." } ], "explanation": "Devant « au moins une fois », on passe par l'événement contraire\n« aucune fois », dont la probabilité est un simple produit le long\nd'un chemin de l'arbre." }, { "statement": "Une machine tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}2$,\nindépendamment des autres jours. Quelle est la probabilité qu'elle\ntombe en panne au moins une fois au cours de trois jours ?", "options": [ { "text": "$0{,}488$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune panne », de probabilité\n$0{,}512$, et il reste $1 - 0{,}512 = 0{,}488$." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Probabilités additionnées : ce total compterait plusieurs fois les\njournées où la machine tombe en panne deux ou trois fois." }, { "text": "$0{,}008$", "correct": false, "feedback": "Événement bien plus exigeant : ce produit est la probabilité de\ntomber en panne les trois jours." }, { "text": "$0{,}512$", "correct": false, "feedback": "Contraire calculé sans être retranché : cette valeur est la\nprobabilité de n'avoir aucune panne." } ], "explanation": "Devant « au moins une fois », on passe par l'événement contraire\n« aucune fois », dont la probabilité est un simple produit le long\nd'un chemin de l'arbre." }, { "statement": "Une machine tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}4$,\nindépendamment des autres jours. Quelle est la probabilité qu'elle\ntombe en panne au moins une fois au cours de trois jours ?", "options": [ { "text": "$0{,}784$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune panne », de probabilité\n$0{,}216$, et il reste $1 - 0{,}216 = 0{,}784$." }, { "text": "$1{,}2$", "correct": false, "feedback": "Probabilités additionnées : ce total compterait plusieurs fois les\njournées où la machine tombe en panne deux ou trois fois." }, { "text": "$0{,}064$", "correct": false, "feedback": "Événement bien plus exigeant : ce produit est la probabilité de\ntomber en panne les trois jours." }, { "text": "$0{,}216$", "correct": false, "feedback": "Contraire calculé sans être retranché : cette valeur est la\nprobabilité de n'avoir aucune panne." } ], "explanation": "Devant « au moins une fois », on passe par l'événement contraire\n« aucune fois », dont la probabilité est un simple produit le long\nd'un chemin de l'arbre." } ] }, { "id": "q46", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "arbre", "repetition" ], "title": "Exactement deux réussites sur quatre", "partie": "independance", "statement": "On répète $4$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont la\nprobabilité de succès est $0{,}5$. Combien de chemins de l'arbre\ncomportent exactement $2$ succès, et quelle est la probabilité\nd'obtenir exactement $2$ succès ?", "options": [ { "text": "$6$ chemins, probabilité $\\dfrac{6}{16}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les chemins SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES et EESS\nont chacun pour probabilité $0{,}5^4 = \\dfrac{1}{16}$." }, { "text": "$4$ chemins, probabilité $\\dfrac{4}{16}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux succès peuvent occuper n'importe quelles\nplaces parmi les quatre ; il y a plus de quatre chemins." }, { "text": "$1$ chemin, probabilité $\\dfrac{1}{16}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ordre des succès et des échecs varie d'un chemin à\nl'autre ; plusieurs chemins réalisent l'événement." }, { "text": "$2$ chemins, probabilité $\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ni le nombre de chemins ni la probabilité ne se\ndéduisent directement du nombre de succès." } ], "explanation": "Dans l'arbre à $16$ chemins, on compte ceux qui réalisent\nl'événement, puis on additionne leurs probabilités." }, { "id": "q47", "difficulty": 1, "skills": [ "faux-negatifs", "vocabulaire" ], "title": "Qu'est-ce qu'un faux négatif ?", "partie": "modele", "statement": "Un test de dépistage d'une maladie donne un résultat positif ou\nnégatif. Qu'appelle-t-on un **faux négatif** ?", "options": [ { "text": "Une personne malade dont le test est négatif", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le test est « négatif » et ce résultat est\n« faux », puisque la personne est malade. La maladie passe\ninaperçue." }, { "text": "Une personne saine dont le test est négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est un vrai négatif, car le résultat négatif\ncorrespond à la réalité." }, { "text": "Une personne saine dont le test est positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est un faux positif. Le test signale une maladie\nabsente." }, { "text": "Une personne malade dont le test est positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est un vrai positif, car le test détecte une maladie\nbien présente." } ], "explanation": "« Positif » ou « négatif » décrit le résultat du test ; « vrai » ou\n« faux » dit si ce résultat correspond à l'état réel de la\npersonne." }, { "id": "q48", "difficulty": 2, "skills": [ "faux-negatifs", "effectifs" ], "title": "Compter les faux négatifs", "partie": "modele", "statement": "Dans une population de $10\\,000$ personnes, $200$ sont malades. Un\ntest est positif pour $95\\ \\%$ des malades et négatif pour\n$97\\ \\%$ des personnes saines. Combien de faux négatifs ce test\nproduit-il ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faux négatifs sont les malades testés\nnégatifs, soit $5\\ \\%$ des $200$ malades." }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $190$ est le nombre de malades testés positifs, les\nvrais positifs." }, { "text": "$294$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $294$ compte les personnes saines testées positives,\nc'est-à-dire les faux positifs." }, { "text": "$304$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $304$ compte toutes les erreurs du test, faux\npositifs compris. Seuls les malades testés négatifs sont des\nfaux négatifs." } ], "explanation": "On sépare d'abord malades et personnes saines, puis on applique à\nchaque groupe le pourcentage qui le concerne.", "variants": [ { "statement": "Dans une population de $10\\,000$ personnes, $200$ sont malades. Un\ntest est positif pour $95\\ \\%$ des malades et négatif pour\n$97\\ \\%$ des personnes saines. Combien de faux négatifs ce test\nproduit-il ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faux négatifs sont les malades testés\nnégatifs, soit $5\\ \\%$ des $200$ malades." }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $190$ est le nombre de malades testés positifs, les\nvrais positifs." }, { "text": "$294$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $294$ compte les personnes saines testées positives,\nc'est-à-dire les faux positifs." }, { "text": "$304$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $304$ compte toutes les erreurs du test, faux\npositifs compris. Seuls les malades testés négatifs sont des\nfaux négatifs." } ], "explanation": "On sépare d'abord malades et personnes saines, puis on applique à\nchaque groupe le pourcentage qui le concerne." }, { "statement": "Dans une population de $10\\,000$ personnes, $500$ sont malades. Un\ntest est positif pour $90\\ \\%$ des malades et négatif pour\n$98\\ \\%$ des personnes saines. Combien de faux négatifs ce test\nproduit-il ?", "options": [ { "text": "$50$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faux négatifs sont les malades testés\nnégatifs, soit $10\\ \\%$ des $500$ malades." }, { "text": "$450$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $450$ est le nombre de malades testés positifs, les\nvrais positifs." }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $190$ compte les personnes saines testées positives,\nc'est-à-dire les faux positifs." }, { "text": "$240$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $240$ compte toutes les erreurs du test, faux\npositifs compris. Seuls les malades testés négatifs sont des\nfaux négatifs." } ], "explanation": "On sépare d'abord malades et personnes saines, puis on applique à\nchaque groupe le pourcentage qui le concerne." }, { "statement": "Dans une population de $10\\,000$ personnes, $100$ sont malades. Un\ntest est positif pour $98\\ \\%$ des malades et négatif pour\n$95\\ \\%$ des personnes saines. Combien de faux négatifs ce test\nproduit-il ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les faux négatifs sont les malades testés\nnégatifs, soit $2\\ \\%$ des $100$ malades." }, { "text": "$98$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $98$ est le nombre de malades testés positifs, les\nvrais positifs." }, { "text": "$495$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $495$ compte les personnes saines testées positives,\nc'est-à-dire les faux positifs." }, { "text": "$497$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $497$ compte toutes les erreurs du test, faux\npositifs compris. Seuls les malades testés négatifs sont des\nfaux négatifs." } ], "explanation": "On sépare d'abord malades et personnes saines, puis on applique à\nchaque groupe le pourcentage qui le concerne." } ] }, { "id": "q49", "difficulty": 3, "skills": [ "equiprobabilite", "histoire", "jeux" ], "title": "Le « croix ou pile » de d'Alembert", "partie": "modele", "statement": "On lance deux fois une pièce équilibrée et l'on gagne si Pile sort\nau moins une fois. D'Alembert raisonnait ainsi : si Pile sort au\npremier lancer, on s'arrête ; il n'y a donc que trois cas, P, FP et\nFF, dont deux gagnants. Quelle est la probabilité de gagner ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les quatre issues PP, PF, FP et FF sont\néquiprobables, et trois contiennent Pile. Le cas « P » de\nd'Alembert regroupe PP et PF." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'erreur de d'Alembert : ses trois cas ne sont pas\néquiprobables. P a une probabilité $\\dfrac{1}{2}$, FP et FF\nchacun $\\dfrac{1}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir Pile en un\nseul lancer ; le second lancer donne une seconde chance." }, { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de perdre, celle de\nl'issue FF." } ], "explanation": "Avant de compter des cas favorables, on vérifie que les issues sont\néquiprobables. Ici, on raisonne sur les deux lancers, même quand le\njeu s'arrête plus tôt." }, { "id": "q50", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "repetition", "jeux" ], "title": "Le lièvre et la tortue", "partie": "independance", "statement": "On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, le lièvre gagne aussitôt ;\nsinon, la tortue avance d'une case. La tortue gagne si elle avance\nquatre fois, c'est-à-dire si aucun 6 ne sort en quatre lancers\nindépendants. Quelle est la probabilité que la tortue gagne ?", "options": [ { "text": "$\\left(\\dfrac{5}{6}\\right)^4 \\approx 0{,}482$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque lancer évite le 6 avec la probabilité\n$\\dfrac{5}{6}$ ; les lancers étant indépendants, on multiplie\nsur le seul chemin gagnant de l'arbre." }, { "text": "$1 - \\left(\\dfrac{5}{6}\\right)^4 \\approx 0{,}518$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'au moins un 6 sorte en quatre\nlancers, donc que le lièvre gagne." }, { "text": "$1 - 4 \\times \\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}333$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner les probabilités de sortie\ndu 6 sur chaque lancer, car ces événements ne sont pas\nincompatibles." }, { "text": "$\\dfrac{5}{6} \\approx 0{,}833$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de survivre à un seul lancer. La\ntortue doit éviter le 6 quatre fois de suite." } ], "explanation": "Pour $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, la probabilité d'un\nchemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses\nbranches." }, { "id": "q51", "difficulty": 3, "skills": [ "histoire", "partage", "arbre" ], "title": "Le problème des partis", "partie": "modele", "statement": "Deux joueurs de même force misent chacun $32$ pistoles ; le premier\nqui gagne trois manches remporte les $64$ pistoles. La partie est\ninterrompue quand A a gagné deux manches et B une. Comment partager\néquitablement la mise, selon Pascal et Fermat ?", "options": [ { "text": "$48$ pistoles pour A et $16$ pour B", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : B ne gagnerait qu'en remportant les deux manches\nsuivantes, avec la probabilité $\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{2}\n= \\dfrac{1}{4}$. A reçoit les $\\dfrac{3}{4}$ de la mise." }, { "text": "$32$ pistoles pour chacun des deux", "correct": false, "feedback": "Erreur : rendre les mises ignore l'avance de A, qui a plus de\nchances de l'emporter." }, { "text": "Environ $42{,}67$ pour A et $21{,}33$ pour B", "correct": false, "feedback": "Erreur : un partage proportionnel aux manches déjà gagnées\nregarde le passé. Pascal et Fermat partagent selon les chances\nde gagner la suite." }, { "text": "$64$ pistoles pour A et rien pour B", "correct": false, "feedback": "Erreur : A n'a pas encore gagné ; B peut encore l'emporter avec\nune probabilité de $\\dfrac{1}{4}$." } ], "explanation": "Le partage équitable attribue à chaque joueur la mise multipliée\npar sa probabilité de gagner si la partie continuait." } ] }