{
"chapter": {
"id": "variation-exponentielle",
"level": "premiere-tronc-commun",
"theme": "Phénomènes d'évolution",
"title": "Variation exponentielle",
"description": "Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,\nterme de rang $n$, sens de variation, représentation),\nfonctions exponentielles $x \\mapsto a^x$ ($a > 0$,\n$x \\geq 0$) : propriétés admises des puissances, exposant\n$\\frac{1}{n}$, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,\nordres de grandeur.",
"parties": [
{
"id": "puissances",
"title": "Puissances et taux"
},
{
"id": "suites",
"title": "Suites géométriques"
},
{
"id": "modeles",
"title": "Croissance et décroissance"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"reconnaissance",
"geometrique"
],
"title": "Reconnaître une croissance exponentielle",
"partie": "suites",
"statement": "Un capital placé à intérêts **composés** de $5\\ \\%$ par an\nest multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des\ncapitaux annuels est :",
"options": [
{
"text": "Géométrique, de raison $1{,}05$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un **taux** d'évolution constant se\ntraduit par un facteur multiplicatif constant : modèle\ngéométrique (croissance exponentielle)."
},
{
"text": "Arithmétique, de raison $1{,}05$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : arithmétique signifierait **ajouter** $1{,}05$\neuro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent\ndes intérêts."
},
{
"text": "Géométrique, de raison $0{,}05$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}05$ effondrerait le capital\nà $5\\ \\%$ de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de\n$5\\ \\%$ est $1 + 0{,}05 = 1{,}05$."
},
{
"text": "Arithmétique, de raison $5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $+5$ euros par an correspondrait à des intérêts\n**simples** (calculés sur le capital initial seulement)."
}
],
"explanation": "Taux d'évolution constant $\\Leftrightarrow$ suite géométrique\nde raison le coefficient multiplicateur ($1{,}05$ pour\n$+5\\ \\%$). C'est le modèle de toutes les croissances\nexponentielles."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"terme-general"
],
"title": "Formule explicite",
"partie": "suites",
"statement": "Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par\n$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital\n$u(n)$ après $n$ années ?",
"options": [
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $n$ multiplications successives par\n$1{,}05$ se condensent en une puissance : $1{,}05^n$."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 + 0{,}05\\,n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette formule ajoute $5$ **centimes** par an\n(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés\nmultiplient."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 0{,}05^n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : élever $0{,}05$ à la puissance écrase le\ncapital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}05$."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05 \\times n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance\n**linéaire**. La répétition du facteur exige une\npuissance : $1{,}05^n$."
}
],
"explanation": "Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :\n$u(n) = u(0) \\times q^n$. Ici $2000 \\times 1{,}05^n$ :\naprès $10$ ans, environ $3258$ euros.",
"variants": [
{
"statement": "Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par\n$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital\n$u(n)$ après $n$ années ?",
"options": [
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $n$ multiplications successives par\n$1{,}05$ se condensent en une puissance : $1{,}05^n$."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 + 0{,}05\\,n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette formule ajoute $5$ **centimes** par an\n(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés\nmultiplient."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 0{,}05^n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : élever $0{,}05$ à la puissance écrase le\ncapital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}05$."
},
{
"text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05 \\times n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance\n**linéaire**. La répétition du facteur exige une\npuissance : $1{,}05^n$."
}
],
"explanation": "Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :\n$u(n) = u(0) \\times q^n$. Ici $2000 \\times 1{,}05^n$ :\naprès $10$ ans, environ $3258$ euros."
},
{
"statement": "Un capital initial de $1500$ euros est multiplié par\n$1{,}03$ chaque année. Quelle formule donne le capital\n$u(n)$ après $n$ années ?",
"options": [
{
"text": "$u(n) = 1500 \\times 1{,}03^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $n$ multiplications successives par\n$1{,}03$ se condensent en une puissance : $1{,}03^n$."
},
{
"text": "$u(n) = 1500 + 0{,}03\\,n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette formule ajoute $3$ **centimes** par an\n(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés\nmultiplient."
},
{
"text": "$u(n) = 1500 \\times 0{,}03^n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : élever $0{,}03$ à la puissance écrase le\ncapital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}03$."
},
{
"text": "$u(n) = 1500 \\times 1{,}03 \\times n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance\n**linéaire**. La répétition du facteur exige une\npuissance : $1{,}03^n$."
}
],
"explanation": "Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :\n$u(n) = u(0) \\times q^n$. Ici $1500 \\times 1{,}03^n$ :\naprès $10$ ans, environ $2016$ euros."
},
{
"statement": "Un capital initial de $800$ euros est multiplié par\n$1{,}02$ chaque année. Quelle formule donne le capital\n$u(n)$ après $n$ années ?",
"options": [
{
"text": "$u(n) = 800 \\times 1{,}02^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $n$ multiplications successives par\n$1{,}02$ se condensent en une puissance : $1{,}02^n$."
},
{
"text": "$u(n) = 800 + 0{,}02\\,n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette formule ajoute $2$ **centimes** par an\n(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés\nmultiplient."
},
{
"text": "$u(n) = 800 \\times 0{,}02^n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : élever $0{,}02$ à la puissance écrase le\ncapital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}02$."
},
{
"text": "$u(n) = 800 \\times 1{,}02 \\times n$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance\n**linéaire**. La répétition du facteur exige une\npuissance : $1{,}02^n$."
}
],
"explanation": "Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :\n$u(n) = u(0) \\times q^n$. Ici $800 \\times 1{,}02^n$ :\naprès $10$ ans, environ $975$ euros."
}
]
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sens-variation"
],
"title": "Sens de variation",
"partie": "suites",
"statement": "Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \\times 0{,}9^n$\n(termes strictement positifs). Quel est son sens de\nvariation ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$.\nMultiplier une quantité positive par $0{,}9$ la diminue\nde $10\\ \\%$ à chaque rang : $50$ ; $45$ ; $40{,}5$…"
},
{
"text": "Croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le premier terme $50$ est positif, mais il\ndonne l'échelle, pas la direction. C'est la position de\nla raison par rapport à $1$ qui décide."
},
{
"text": "Décroissante puis croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une suite géométrique à termes positifs garde\nle même sens de variation d'un bout à l'autre ;\nmultiplier par $0{,}9$ réduit à chaque rang, sans jamais\nremonter."
},
{
"text": "Constante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici\nchaque terme perd $10\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Suite géométrique à termes positifs : croissante si $q > 1$,\ndécroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exposant-fractionnaire"
],
"title": "L'exposant $\\frac{1}{n}$",
"partie": "puissances",
"statement": "Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième de $a$ :\nle nombre positif dont la puissance $n$ redonne $a$.\nContrôle : $\\left(2^{1/2}\\right)^2 = 2^1 = 2$. Valeur\napprochée : $\\sqrt{2} \\approx 1{,}41$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1$ s'obtient avec $2^0$, avec $\\dfrac{2}{2}$ ou\navec $2 \\times \\dfrac{1}{2}$, mais aucune de ces\nopérations ne traduit l'exposant $\\dfrac{1}{2}$ :\n$1^2 = 1 \\neq 2$, alors que $\\left(2^{1/2}\\right)^2$ doit\nvaloir $2$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion avec l'exposant négatif : $2^{-1} = \\dfrac{1}{2}$,\nmais l'exposant vaut ici $+\\dfrac{1}{2}$. Contrôle :\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 = \\dfrac{1}{4} \\neq 2$, alors\nque $\\left(2^{1/2}\\right)^2 = 2$."
},
{
"text": "$1{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \\neq 2$. La valeur exacte est\n$\\sqrt{2} \\approx 1{,}414$."
}
],
"explanation": "Extension des puissances (admise au programme) : $a^{1/n} =$\nracine $n$-ième de $a$, seule valeur compatible avec\n$\\left(a^{1/n}\\right)^n = a^1$. Clé du taux d'évolution\nmoyen."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"proprietes",
"puissances"
],
"title": "Propriétés de $a^x$",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$ et $x, y \\geq 0$, que vaut\n$a^x \\times a^y$ ?",
"options": [
{
"text": "$a^{x+y}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la règle des puissances entières\ns'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit\ndes puissances $=$ somme des exposants."
},
{
"text": "$a^{xy}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit des exposants correspond à\n$\\left(a^x\\right)^y$, la puissance de puissance."
},
{
"text": "$2a^{x+y}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît :\n$a^x a^y = a^{x+y}$ tout court."
},
{
"text": "$a^x + a^y$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le **produit** des puissances ne devient pas\nune somme de puissances ; ce sont les **exposants** qui\ns'additionnent."
}
],
"explanation": "Les fonctions exponentielles $x \\mapsto a^x$ héritent des\nrègles des puissances : $a^x a^y = a^{x+y}$,\n$\\left(a^x\\right)^y = a^{xy}$, $a^0 = 1$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 3,
"skills": [
"taux-moyen"
],
"title": "Taux d'évolution moyen",
"partie": "puissances",
"statement": "Une grandeur a augmenté de $21\\ \\%$ en deux ans. Quel est le\ntaux d'évolution annuel **moyen** ?",
"options": [
{
"text": "$10\\ \\%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux\nfois, reproduit l'évolution globale : coefficient\n$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$, soit $+10\\ \\%$ par an."
},
{
"text": "$10{,}5\\ \\%$ par an, la moitié de $21\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas\narithmétiquement, car ils se **composent** par produit.\nVérifie : $1{,}105^2 = 1{,}221 \\neq 1{,}21$."
},
{
"text": "$21\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $21\\ \\%$ est le taux **global** sur deux ans,\npas le taux annuel."
},
{
"text": "$4{,}58\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1{,}0458^2 \\approx 1{,}094$, soit seulement $+9{,}4\\ \\%$ en deux ans. Le taux annuel moyen vérifie $(1 + t)^2 = 1{,}21$ :\n$\\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, soit $10\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Taux moyen sur $n$ périodes : le coefficient global élevé à\nla puissance $\\frac{1}{n}$ (racine $n$-ième). Ici\n$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ : $+10\\ \\%$ par an. Jamais de\ndivision du taux global."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 3,
"skills": [
"taux-moyen",
"calcul"
],
"title": "Un autre taux moyen",
"partie": "puissances",
"statement": "Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par\n$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela\nreprésente-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$+20\\ \\%$ par an",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1{,}44^{1/2} = \\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ :\ndeux hausses successives de $20\\ \\%$ reconstituent bien\n$1{,}2 \\times 1{,}2 = 1{,}44$."
},
{
"text": "$+22\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Le piège de la division, $44 \\div 2 = 22$ : or $1{,}22^2\n= 1{,}4884 \\neq 1{,}44$. Le taux moyen passe par la\n**racine carrée** du coefficient global."
},
{
"text": "$+44\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $+44\\ \\%$ est l'évolution **totale** sur deux\nans, pas annuelle."
},
{
"text": "$+1{,}2\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $1{,}2$ est le **coefficient** annuel moyen ;\nle taux correspondant est sa partie au-delà de $1$ :\n$20\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Même méthode : coefficient moyen $= 1{,}44^{1/2} = 1{,}2$,\ntaux moyen $= 20\\ \\%$. L'exposant $\\frac{1}{n}$ du programme\nsert exactement à cela."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"demi-vie",
"modelisation"
],
"title": "Décroissance par demi-vie",
"partie": "modeles",
"statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à\nchaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux\nreste-t-il après **trois** demi-vies ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 =\n\\dfrac{1}{8}$ : moitié, puis quart, puis huitième."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2} \\times 3$ au dénominateur ? Les\nmoitiés se **composent** par produit :\n$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un\ntiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le\nreste)."
},
{
"text": "$0$ : tout a disparu",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule\njamais exactement : il reste toujours une fraction\n(ici $12{,}5\\ \\%$)."
}
],
"explanation": "Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :\naprès $n$ demi-vies, il reste $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$\nde la quantité initiale. Trois demi-vies : $\\frac{1}{8}$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"seuil"
],
"title": "Problème de seuil exponentiel",
"partie": "suites",
"statement": "Une population de bactéries **double** chaque heure. Elle\ncompte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de\ncombien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?",
"options": [
{
"text": "$4$ heures",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $100 \\to 200 \\to 400 \\to 800 \\to 1600$ :\naprès $4$ doublements, $100 \\times 2^{4} = 1600 > 1500$\n(et $800 < 1500$ après $3$)."
},
{
"text": "$15$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de modèle : $15 = 1500/100$ raisonne\nlinéairement. Le doublement répété va beaucoup plus\nvite : $4$ heures suffisent."
},
{
"text": "$3$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $100 \\times 2^{3} = 800 < 1500$ : le seuil n'est\npas encore franchi."
},
{
"text": "$8$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $8$ heures, le seuil de $1500$ est dépassé\ndepuis longtemps (dès l'heure $4$)."
}
],
"explanation": "Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les\npuissances ($100 \\times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à\nla main, au tableur ou par calculatrice : $n = 4$.",
"variants": [
{
"statement": "Une population de bactéries **double** chaque heure. Elle\ncompte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de\ncombien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?",
"options": [
{
"text": "$4$ heures",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $100 \\to 200 \\to 400 \\to 800 \\to 1600$ :\naprès $4$ doublements, $100 \\times 2^{4} = 1600 > 1500$\n(et $800 < 1500$ après $3$)."
},
{
"text": "$15$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de modèle : $15 = 1500/100$ raisonne\nlinéairement. Le doublement répété va beaucoup plus\nvite : $4$ heures suffisent."
},
{
"text": "$3$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $100 \\times 2^{3} = 800 < 1500$ : le seuil n'est\npas encore franchi."
},
{
"text": "$8$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $8$ heures, le seuil de $1500$ est dépassé\ndepuis longtemps (dès l'heure $4$)."
}
],
"explanation": "Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les\npuissances ($100 \\times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à\nla main, au tableur ou par calculatrice : $n = 4$."
},
{
"statement": "Une population de bactéries **double** chaque heure. Elle\ncompte $50$ individus à l'instant initial. Au bout de\ncombien d'heures dépasse-t-elle $1000$ individus ?",
"options": [
{
"text": "$5$ heures",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $50 \\to 100 \\to 200 \\to 400 \\to 800 \\to 1600$ :\naprès $5$ doublements, $50 \\times 2^{5} = 1600 > 1000$\n(et $800 < 1000$ après $4$)."
},
{
"text": "$20$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de modèle : $20 = 1000/50$ raisonne\nlinéairement. Le doublement répété va beaucoup plus\nvite : $5$ heures suffisent."
},
{
"text": "$4$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $50 \\times 2^{4} = 800 < 1000$ : le seuil n'est\npas encore franchi."
},
{
"text": "$10$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $10$ heures, le seuil de $1000$ est dépassé\ndepuis longtemps (dès l'heure $5$)."
}
],
"explanation": "Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les\npuissances ($50 \\times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à\nla main, au tableur ou par calculatrice : $n = 5$."
},
{
"statement": "Une population de bactéries **double** chaque heure. Elle\ncompte $40$ individus à l'instant initial. Au bout de\ncombien d'heures dépasse-t-elle $2000$ individus ?",
"options": [
{
"text": "$6$ heures",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $40 \\to 80 \\to 160 \\to 320 \\to 640 \\to 1280 \\to 2560$ :\naprès $6$ doublements, $40 \\times 2^{6} = 2560 > 2000$\n(et $1280 < 2000$ après $5$)."
},
{
"text": "$50$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de modèle : $50 = 2000/40$ raisonne\nlinéairement. Le doublement répété va beaucoup plus\nvite : $6$ heures suffisent."
},
{
"text": "$5$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $40 \\times 2^{5} = 1280 < 2000$ : le seuil n'est\npas encore franchi."
},
{
"text": "$12$ heures",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $12$ heures, le seuil de $2000$ est dépassé\ndepuis longtemps (dès l'heure $6$)."
}
],
"explanation": "Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les\npuissances ($40 \\times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à\nla main, au tableur ou par calculatrice : $n = 6$."
}
]
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"ordre-de-grandeur"
],
"title": "Ordre de grandeur d'un doublement répété",
"partie": "puissances",
"statement": "Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur\nglobal est-elle environ multipliée ?",
"options": [
{
"text": "Environ $1000$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dix doublements font $2^{10} = 1024\n\\approx 10^3$. Ordre de grandeur précieux : « dix\ndoublements $\\approx$ un facteur mille »."
},
{
"text": "Environ $20$",
"correct": false,
"feedback": "L'erreur linéaire type ($2 \\times 10 = 20$) : les\ndoublements se multiplient entre eux, ils ne\ns'additionnent pas : $2^{10} = 1024 \\approx 1000$,\nenviron cinquante fois plus que $20$."
},
{
"text": "Environ $100$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $100 = 10^2$ sous-estime : $2^{10} = 1024$,\nsoit environ $10^3$."
},
{
"text": "Environ $500$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $500$ est proche de $2^9 = 512$, le facteur\natteint après **neuf** doublements. Le dixième doublement\nporte à $2^{10} = 1024$."
}
],
"explanation": "Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité\nattendue) : $2^{10} = 1024 \\approx 10^3$. L'intuition\nlinéaire (« $\\times 20$ ») sous-estime massivement les\ncroissances exponentielles."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"comparaison",
"malthus"
],
"title": "Exponentiel contre linéaire",
"partie": "puissances",
"statement": "Une population croît de $2\\ \\%$ par an (exponentiel) ; ses\nressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an\n(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se\npasse-t-il à long terme ?",
"options": [
{
"text": "La population finit toujours par croître plus vite que\nles ressources",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à\npetit taux) finit par dépasser n'importe quelle\ncroissance linéaire : les courbes se croisent\ninévitablement."
},
{
"text": "Les ressources gardent l'avantage si leur croissance\nannuelle est assez grande",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est\ntôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :\nl'exponentielle gagne **toujours** à long terme."
},
{
"text": "Les deux croissances restent proportionnelles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite\ncontre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu\nde rester proportionnel."
},
{
"text": "Le modèle ne permet aucune conclusion",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et\nsa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,\nmais lui est sans ambiguïté)."
}
],
"explanation": "Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre\narithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte\ntoujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où\nl'importance de reconnaître la nature d'une croissance."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"epidemie",
"modelisation"
],
"title": "Le facteur de reproduction d'une épidémie",
"partie": "modeles",
"statement": "Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en\nmoyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant\nd'**un** cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à\nla quatrième génération de contaminations ?",
"options": [
{
"text": "$3^4 = 81$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $3$ :\n$1 \\to 3 \\to 9 \\to 27 \\to 81$ : suite géométrique de\nraison $R_0$."
},
{
"text": "$3 \\times 4 = 12$",
"correct": false,
"feedback": "L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de\ngénération en génération, elles ne s'additionnent pas :\n$3^4 = 81$."
},
{
"text": "$4^3 = 64$",
"correct": false,
"feedback": "Base et exposant échangés : le facteur $3$ se répète\n$4$ fois : $3^4$, pas $4^3$."
},
{
"text": "$27$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $27 = 3^{3}$ est la **troisième** génération. La\nquatrième multiplie encore par $3$ : $81$."
}
],
"explanation": "Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :\ncas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 3$, la\ncroissance est explosive ($81$ cas à la génération $4$) :\nd'où l'enjeu de faire passer $R_0$ sous $1$.",
"variants": [
{
"statement": "Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en\nmoyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant\nd'**un** cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à\nla quatrième génération de contaminations ?",
"options": [
{
"text": "$3^4 = 81$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $3$ :\n$1 \\to 3 \\to 9 \\to 27 \\to 81$ : suite géométrique de\nraison $R_0$."
},
{
"text": "$3 \\times 4 = 12$",
"correct": false,
"feedback": "L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de\ngénération en génération, elles ne s'additionnent pas :\n$3^4 = 81$."
},
{
"text": "$4^3 = 64$",
"correct": false,
"feedback": "Base et exposant échangés : le facteur $3$ se répète\n$4$ fois : $3^4$, pas $4^3$."
},
{
"text": "$27$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $27 = 3^{3}$ est la **troisième** génération. La\nquatrième multiplie encore par $3$ : $81$."
}
],
"explanation": "Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :\ncas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 3$, la\ncroissance est explosive ($81$ cas à la génération $4$) :\nd'où l'enjeu de faire passer $R_0$ sous $1$."
},
{
"statement": "Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en\nmoyenne $2$ (facteur de reproduction $R_0 = 2$). En partant\nd'**un** cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à\nla sixième génération de contaminations ?",
"options": [
{
"text": "$2^6 = 64$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $2$ :\n$1 \\to 2 \\to 4 \\to 8 \\to 16 \\to 32 \\to 64$ : suite géométrique de\nraison $R_0$."
},
{
"text": "$2 \\times 6 = 12$",
"correct": false,
"feedback": "L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de\ngénération en génération, elles ne s'additionnent pas :\n$2^6 = 64$."
},
{
"text": "$6^2 = 36$",
"correct": false,
"feedback": "Base et exposant échangés : le facteur $2$ se répète\n$6$ fois : $2^6$, pas $6^2$."
},
{
"text": "$32$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $32 = 2^{5}$ est la **cinquième** génération. La\nsixième multiplie encore par $2$ : $64$."
}
],
"explanation": "Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :\ncas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 2$, la\ncroissance est explosive ($64$ cas à la génération $6$) :\nd'où l'enjeu de faire passer $R_0$ sous $1$."
},
{
"statement": "Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en\nmoyenne $5$ (facteur de reproduction $R_0 = 5$). En partant\nd'**un** cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à\nla troisième génération de contaminations ?",
"options": [
{
"text": "$5^3 = 125$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $5$ :\n$1 \\to 5 \\to 25 \\to 125$ : suite géométrique de\nraison $R_0$."
},
{
"text": "$5 \\times 3 = 15$",
"correct": false,
"feedback": "L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de\ngénération en génération, elles ne s'additionnent pas :\n$5^3 = 125$."
},
{
"text": "$3^5 = 243$",
"correct": false,
"feedback": "Base et exposant échangés : le facteur $5$ se répète\n$3$ fois : $5^3$, pas $3^5$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $25 = 5^{2}$ est la **deuxième** génération. La\ntroisième multiplie encore par $5$ : $125$."
}
],
"explanation": "Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :\ncas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 5$, la\ncroissance est explosive ($125$ cas à la génération $3$) :\nd'où l'enjeu de faire passer $R_0$ sous $1$."
}
]
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"puissance-zero"
],
"title": "La puissance $a^0$",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?",
"options": [
{
"text": "$1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a^0 = 1$ pour tout $a > 0$ : cohérent\navec la règle des quotients : $\\frac{a^n}{a^n} = a^0 =\n1$."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'exposant $0$ ne signifie pas « rien » mais\n« produit vide » : la valeur neutre est $1$."
},
{
"text": "$a$",
"correct": false,
"feedback": "Décalage : $a = a^1$ : l'exposant $0$ descend d'un cran\nen dessous : $1$."
},
{
"text": "Cela dépend de $a$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $0{,}5^0 = 1$ : la\nvaleur est universelle (pour $a > 0$)."
}
],
"explanation": "$a^0 = 1$ : le point de départ de toute croissance\nexponentielle ($V_0 \\times a^0 = V_0$ : au temps zéro, la\nvaleur initiale). Les courbes $y = a^x$ passent toutes par\n$(0\\ ;\\ 1)$."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"croissance-repetee"
],
"title": "Trois années de croissance",
"partie": "modeles",
"statement": "Une population augmente de $2\\ \\%$ chaque année. Par quel\nnombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}02^3 \\approx 1{,}0612$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}02$ : les\n$3$ années s'enchaînent, et le produit des coefficients\nvaut un peu PLUS que $+6\\ \\%$."
},
{
"text": "$1{,}06$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Addition des taux : $3 \\times 2\\ \\% = 6\\ \\%$ néglige\nles intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}02^3\n\\approx 1{,}0612$."
},
{
"text": "$3 \\times 1{,}02 = 3{,}06$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $3$ multiplierait la population\npar $3$ : les évolutions s'enchaînent en **puissance**, pas\nen produit par le nombre d'années."
},
{
"text": "$1{,}02 + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la\ndurée devient l'**exposant** : $1{,}02^3$."
}
],
"explanation": "Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ :\nla durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux\n($6{,}12\\ \\%$ contre $6\\ \\%$) : les fameux intérêts\ncomposés.",
"variants": [
{
"statement": "Une population augmente de $2\\ \\%$ chaque année. Par quel\nnombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}02^3 \\approx 1{,}0612$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}02$ : les\n$3$ années s'enchaînent, et le produit des coefficients\nvaut un peu PLUS que $+6\\ \\%$."
},
{
"text": "$1{,}06$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Addition des taux : $3 \\times 2\\ \\% = 6\\ \\%$ néglige\nles intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}02^3\n\\approx 1{,}0612$."
},
{
"text": "$3 \\times 1{,}02 = 3{,}06$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $3$ multiplierait la population\npar $3$ : les évolutions s'enchaînent en **puissance**, pas\nen produit par le nombre d'années."
},
{
"text": "$1{,}02 + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la\ndurée devient l'**exposant** : $1{,}02^3$."
}
],
"explanation": "Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ :\nla durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux\n($6{,}12\\ \\%$ contre $6\\ \\%$) : les fameux intérêts\ncomposés."
},
{
"statement": "Une population augmente de $4\\ \\%$ chaque année. Par quel\nnombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}04^3 \\approx 1{,}1249$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}04$ : les\n$3$ années s'enchaînent, et le produit des coefficients\nvaut un peu PLUS que $+12\\ \\%$."
},
{
"text": "$1{,}12$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Addition des taux : $3 \\times 4\\ \\% = 12\\ \\%$ néglige\nles intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}04^3\n\\approx 1{,}1249$."
},
{
"text": "$3 \\times 1{,}04 = 3{,}12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $3$ multiplierait la population\npar $3$ : les évolutions s'enchaînent en **puissance**, pas\nen produit par le nombre d'années."
},
{
"text": "$1{,}04 + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la\ndurée devient l'**exposant** : $1{,}04^3$."
}
],
"explanation": "Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ :\nla durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux\n($12{,}49\\ \\%$ contre $12\\ \\%$) : les fameux intérêts\ncomposés."
},
{
"statement": "Une population augmente de $3\\ \\%$ chaque année. Par quel\nnombre est-elle multipliée au bout de $4$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}03^4 \\approx 1{,}1255$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}03$ : les\n$4$ années s'enchaînent, et le produit des coefficients\nvaut un peu PLUS que $+12\\ \\%$."
},
{
"text": "$1{,}12$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Addition des taux : $4 \\times 3\\ \\% = 12\\ \\%$ néglige\nles intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}03^4\n\\approx 1{,}1255$."
},
{
"text": "$4 \\times 1{,}03 = 4{,}12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : multiplier par $4$ multiplierait la population\npar $4$ : les évolutions s'enchaînent en **puissance**, pas\nen produit par le nombre d'années."
},
{
"text": "$1{,}03 + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la\ndurée devient l'**exposant** : $1{,}03^4$."
}
],
"explanation": "Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ :\nla durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux\n($12{,}55\\ \\%$ contre $12\\ \\%$) : les fameux intérêts\ncomposés."
}
]
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"baisse-repetee"
],
"title": "Deux baisses de $10\\ \\%$",
"partie": "modeles",
"statement": "Une valeur baisse de $10\\ \\%$ par an pendant deux ans.\nQuelle est la baisse totale ?",
"options": [
{
"text": "$19\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux années à $\\times 0{,}9$ :\n$0{,}9^2 = 0{,}81$, soit $-19\\ \\%$ : la deuxième baisse\nporte sur une valeur déjà réduite, elle retire donc un peu\nmoins."
},
{
"text": "$20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Addition des taux : presque, mais faux : $0{,}9 \\times\n0{,}9 = 0{,}81 \\neq 0{,}80$ : le point d'écart est la\nbaisse « évitée » sur la partie déjà perdue."
},
{
"text": "$81\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $81\\ \\%$ est ce qui **reste**, pas ce qui\ndisparaît : la baisse est le complément : $19\\ \\%$."
},
{
"text": "$1\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1\\ \\%$ vient du produit des taux\n$0{,}1 \\times 0{,}1 = 0{,}01$ ; mais ce sont les\ncoefficients multiplicateurs qui se multiplient, pas les\ntaux : $0{,}9 \\times 0{,}9 = 0{,}81$, soit une baisse de\n$19\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Baisses répétées : multiplier les coefficients ($0{,}9^n$),\npuis convertir en taux ($1 - 0{,}81 = 19\\ \\%$). Les baisses\nsuccessives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de\n$100\\ \\%$ !"
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"interets-composes"
],
"title": "Capital à intérêts composés",
"partie": "modeles",
"statement": "Un capital de $1\\,000$ euros est placé à $4\\ \\%$ par an\n(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1\\,081{,}60$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1\\,000 \\times 1{,}04^2 = 1\\,000 \\times\n1{,}0816$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur\nles intérêts ($1{,}60$ euro de plus que $2 \\times 40$)."
},
{
"text": "$1\\,080$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : $2 \\times 40$ euros ignore les\nintérêts produits par les premiers intérêts : composés,\non obtient $1\\,081{,}60$."
},
{
"text": "$1\\,008$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'échelle : $4\\ \\%$ de $1\\,000$ vaut $40$ euros\npar an, pas $4$ : après deux ans composés :\n$1\\,081{,}60$."
},
{
"text": "$2\\,080$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le capital ne double pas en deux ans à\n$4\\ \\%$ : chaque année multiplie par $1{,}04$, pas par\n$2$."
}
],
"explanation": "Intérêts composés : $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$ : le modèle\nexponentiel du placement. La différence avec les intérêts\nsimples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les\nannées.",
"variants": [
{
"statement": "Un capital de $1\\,000$ euros est placé à $4\\ \\%$ par an\n(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$1\\,081{,}60$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1\\,000 \\times 1{,}04^2 = 1\\,000 \\times\n1{,}0816$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur\nles intérêts ($1{,}60$ euro de plus que $2 \\times 40$)."
},
{
"text": "$1\\,080$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : $2 \\times 40$ euros ignore les\nintérêts produits par les premiers intérêts : composés,\non obtient $1\\,081{,}60$."
},
{
"text": "$1\\,008$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'échelle : $4\\ \\%$ de $1\\,000$ vaut $40$ euros\npar an, pas $4$ : après deux ans composés :\n$1\\,081{,}60$."
},
{
"text": "$2\\,080$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le capital ne double pas en deux ans à\n$4\\ \\%$ : chaque année multiplie par $1{,}04$, pas par\n$2$."
}
],
"explanation": "Intérêts composés : $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$ : le modèle\nexponentiel du placement. La différence avec les intérêts\nsimples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les\nannées."
},
{
"statement": "Un capital de $500$ euros est placé à $6\\ \\%$ par an\n(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$561{,}80$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $500 \\times 1{,}06^2 = 500 \\times\n1{,}1236$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur\nles intérêts ($1{,}80$ euro de plus que $2 \\times 30$)."
},
{
"text": "$560$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : $2 \\times 30$ euros ignore les\nintérêts produits par les premiers intérêts : composés,\non obtient $561{,}80$."
},
{
"text": "$512$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'échelle : $6\\ \\%$ de $500$ vaut $30$ euros\npar an, pas $6$ : après deux ans composés :\n$561{,}80$."
},
{
"text": "$1\\,060$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le capital ne double pas en deux ans à\n$6\\ \\%$ : chaque année multiplie par $1{,}06$, pas par\n$2$."
}
],
"explanation": "Intérêts composés : $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$ : le modèle\nexponentiel du placement. La différence avec les intérêts\nsimples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les\nannées."
},
{
"statement": "Un capital de $2\\,000$ euros est placé à $3\\ \\%$ par an\n(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$2\\,121{,}80$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2\\,000 \\times 1{,}03^2 = 2\\,000 \\times\n1{,}0609$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur\nles intérêts ($1{,}80$ euro de plus que $2 \\times 60$)."
},
{
"text": "$2\\,120$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : $2 \\times 60$ euros ignore les\nintérêts produits par les premiers intérêts : composés,\non obtient $2\\,121{,}80$."
},
{
"text": "$2\\,006$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'échelle : $3\\ \\%$ de $2\\,000$ vaut $60$ euros\npar an, pas $3$ : après deux ans composés :\n$2\\,121{,}80$."
},
{
"text": "$4\\,120$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le capital ne double pas en deux ans à\n$3\\ \\%$ : chaque année multiplie par $1{,}03$, pas par\n$2$."
}
],
"explanation": "Intérêts composés : $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$ : le modèle\nexponentiel du placement. La différence avec les intérêts\nsimples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les\nannées."
}
]
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"linéaire-vs-exponentiel"
],
"title": "Le duel à long terme",
"partie": "modeles",
"statement": "Modèle A : $+1\\,000$ par an (linéaire). Modèle B :\n$+1\\ \\%$ par an (exponentiel), départ $10\\,000$. Que\ndire du long terme ?",
"options": [
{
"text": "B finit toujours par dépasser A",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une croissance exponentielle dépasse tôt\nou tard toute croissance linéaire. Les gains de B\ngrossissent avec la valeur ($1\\ \\%$ d'une somme qui\nenfle), ceux de A restent figés à $1\\,000$ :\nl'exponentielle gagne le marathon, même partie très\nlentement."
},
{
"text": "A garde toujours l'avantage",
"correct": false,
"feedback": "Vrai au départ ($1\\,000 > 1\\ \\%$ de $10\\,000 = 100$),\nfaux à terme : quand la valeur de B atteint $100\\,000$,\nson gain annuel rejoint les $1\\,000$ de A… puis les\ndépasse sans retour."
},
{
"text": "Ils restent à égalité de rythme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un\npourcentage croissant : les rythmes divergent\ninexorablement."
},
{
"text": "Impossible à dire sans la durée exacte",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS\nconnaître la date de croisement, on sait qu'elle existe."
}
],
"explanation": "Loi générale : toute exponentielle (raison $> 1$) finit par\ndépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de\ndépart. Le croisement peut être lointain : c'est la morale\ndes placements, des épidémies et des dettes."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"demi-vie"
],
"title": "Deux demi-vies du carbone 14",
"partie": "modeles",
"statement": "Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les\n$5\\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après\n$11\\,460$ ans (deux demi-vies) ?",
"options": [
{
"text": "$25\\ \\%$ : la moitié de la moitié",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par\n$\\frac{1}{2}$ : deux demi-vies : $\\left(\\frac{1}{2}\n\\right)^2 = \\frac{1}{4}$."
},
{
"text": "$0\\ \\%$ : deux moitiés font un tout",
"correct": false,
"feedback": "Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte\nsur ce qui **reste** : on ne descend jamais à zéro, on\ndivise par $2$ à chaque période."
},
{
"text": "$50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule demi-vie : $11\\,460 = 2 \\times 5\\,730$ : DEUX\npériodes se sont écoulées : $\\frac{1}{4}$."
},
{
"text": "$75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $75\\ \\%$ est la proportion **disparue** :\nil en reste $25\\ \\%$."
}
],
"explanation": "Décroissance par demi-vie : quantité restante $=\n\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n}$ après $n$ demi-vies : le\nmodèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais\nzéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"definition"
],
"title": "Reconnaître une suite géométrique",
"partie": "suites",
"statement": "Parmi ces suites, laquelle est géométrique ?",
"options": [
{
"text": "$u_{n+1} = 0{,}9u_n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours\npar le même nombre, ici $0{,}9$."
},
{
"text": "$u_{n+1} = u_n - 9$",
"correct": false,
"feedback": "Cette relation retranche un nombre fixe : la suite est arithmétique,\npas géométrique."
},
{
"text": "$u_{n+1} = nu_n$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur change à chaque rang, donc la raison n'est pas constante."
},
{
"text": "$u_{n+1} = u_n + 0{,}9n$",
"correct": false,
"feedback": "On ajoute une quantité variable : ni la différence ni le quotient ne\nsont constants."
}
],
"explanation": "Une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs\nest constant. Ce quotient est la raison de la suite."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"raison"
],
"title": "Raison et taux d'évolution",
"partie": "suites",
"statement": "Une population augmente de $6$ % par an.\nQuelle est la raison de la suite géométrique associée ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}06$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison est le coefficient multiplicateur, soit\n$1 + 0{,}06$."
},
{
"text": "$0{,}06$",
"correct": false,
"feedback": "Taux recopié : multiplier par $0{,}06$ ferait perdre $94$ % de la\npopulation chaque année."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage recopié : la population serait multipliée par six chaque\nannée."
},
{
"text": "$0{,}94$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient d'une baisse de $6$ % : ici la population augmente."
}
],
"explanation": "Une évolution de $t$ % par période correspond à une suite géométrique de\nraison $1 + \\dfrac{t}{100}$. Une raison supérieure à $1$ signale une\ncroissance."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"suite-geometrique",
"seuil"
],
"title": "Un capital qui double",
"partie": "suites",
"statement": "Un capital placé à $5$ % par an double au bout de combien d'années ?",
"options": [
{
"text": "$15$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1{,}05^{14} \\approx 1{,}98$ et\n$1{,}05^{15} \\approx 2{,}08$, le doublement est atteint la\nquinzième année."
},
{
"text": "$20$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement additif : ajouter vingt fois $5$ % ignore les intérêts\ndes intérêts, qui accélèrent la croissance."
},
{
"text": "$10$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Au bout de dix ans, le coefficient vaut $1{,}05^{10} \\approx 1{,}63$,\ndonc le capital n'a pas encore doublé."
},
{
"text": "$5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Taux confondu avec une durée : $1{,}05^5 \\approx 1{,}28$, soit une\nhausse de $28$ % seulement."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil sur une suite géométrique se résout en calculant les\npuissances successives de la raison, jusqu'à dépasser la valeur visée."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"terme-general"
],
"title": "Terme général d'une suite géométrique",
"partie": "suites",
"statement": "Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 200$ et pour raison\n$1{,}1$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?",
"options": [
{
"text": "$u_n = 200 \\times 1{,}1^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : après $n$ multiplications par $1{,}1$, le premier\nterme est multiplié par $1{,}1^n$."
},
{
"text": "$u_n = 200 + 1{,}1n$",
"correct": false,
"feedback": "Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se\nmultiplier."
},
{
"text": "$u_n = 200^n \\times 1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance $n$,\npas le premier terme."
},
{
"text": "$u_n = 200 \\times 1{,}1^{n-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Formule du premier terme de rang $1$ : ici $u_0$ doit valoir $200$,\nce qui impose l'exposant $n$."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique commençant au rang $0$, on a\n$u_n = u_0 \\times q^n$. Si elle commence au rang $1$, l'exposant devient\n$n - 1$.",
"variants": [
{
"statement": "Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 200$ et pour raison\n$1{,}1$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?",
"options": [
{
"text": "$u_n = 200 \\times 1{,}1^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : après $n$ multiplications par $1{,}1$, le premier\nterme est multiplié par $1{,}1^n$."
},
{
"text": "$u_n = 200 + 1{,}1n$",
"correct": false,
"feedback": "Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se\nmultiplier."
},
{
"text": "$u_n = 200^n \\times 1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance $n$,\npas le premier terme."
},
{
"text": "$u_n = 200 \\times 1{,}1^{n-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Formule du premier terme de rang $1$ : ici $u_0$ doit valoir $200$,\nce qui impose l'exposant $n$."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique commençant au rang $0$, on a\n$u_n = u_0 \\times q^n$. Si elle commence au rang $1$, l'exposant devient\n$n - 1$."
},
{
"statement": "Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 500$ et pour raison\n$0{,}8$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?",
"options": [
{
"text": "$u_n = 500 \\times 0{,}8^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : après $n$ multiplications par $0{,}8$, le premier\nterme est multiplié par $0{,}8^n$."
},
{
"text": "$u_n = 500 + 0{,}8n$",
"correct": false,
"feedback": "Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se\nmultiplier."
},
{
"text": "$u_n = 500^n \\times 0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance $n$,\npas le premier terme."
},
{
"text": "$u_n = 500 \\times 0{,}8^{n-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Formule du premier terme de rang $1$ : ici $u_0$ doit valoir $500$,\nce qui impose l'exposant $n$."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique commençant au rang $0$, on a\n$u_n = u_0 \\times q^n$. Si elle commence au rang $1$, l'exposant devient\n$n - 1$."
},
{
"statement": "Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 50$ et pour raison\n$1{,}5$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?",
"options": [
{
"text": "$u_n = 50 \\times 1{,}5^n$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : après $n$ multiplications par $1{,}5$, le premier\nterme est multiplié par $1{,}5^n$."
},
{
"text": "$u_n = 50 + 1{,}5n$",
"correct": false,
"feedback": "Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se\nmultiplier."
},
{
"text": "$u_n = 50^n \\times 1{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance $n$,\npas le premier terme."
},
{
"text": "$u_n = 50 \\times 1{,}5^{n-1}$",
"correct": false,
"feedback": "Formule du premier terme de rang $1$ : ici $u_0$ doit valoir $50$,\nce qui impose l'exposant $n$."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique commençant au rang $0$, on a\n$u_n = u_0 \\times q^n$. Si elle commence au rang $1$, l'exposant devient\n$n - 1$."
}
]
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle",
"proprietes"
],
"title": "Produit de deux puissances",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $a^3 \\times a^5$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux\npuissances d'un même nombre."
},
{
"text": "$a^{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $(a^3)^5$."
},
{
"text": "$a^{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,\n$\\dfrac{a^5}{a^3}$."
},
{
"text": "$2a^{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître\naucun facteur supplémentaire."
}
],
"explanation": "La propriété $a^x \\times a^y = a^{x+y}$, admise en première, se vérifie\nsur des exposants entiers en comptant les facteurs.",
"variants": [
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $a^3 \\times a^5$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux\npuissances d'un même nombre."
},
{
"text": "$a^{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $(a^3)^5$."
},
{
"text": "$a^{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,\n$\\dfrac{a^5}{a^3}$."
},
{
"text": "$2a^{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître\naucun facteur supplémentaire."
}
],
"explanation": "La propriété $a^x \\times a^y = a^{x+y}$, admise en première, se vérifie\nsur des exposants entiers en comptant les facteurs."
},
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $a^2 \\times a^7$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{9}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux\npuissances d'un même nombre."
},
{
"text": "$a^{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $(a^2)^7$."
},
{
"text": "$a^{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,\n$\\dfrac{a^7}{a^2}$."
},
{
"text": "$2a^{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître\naucun facteur supplémentaire."
}
],
"explanation": "La propriété $a^x \\times a^y = a^{x+y}$, admise en première, se vérifie\nsur des exposants entiers en comptant les facteurs."
},
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $a^4 \\times a^6$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux\npuissances d'un même nombre."
},
{
"text": "$a^{24}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $(a^4)^6$."
},
{
"text": "$a^{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,\n$\\dfrac{a^6}{a^4}$."
},
{
"text": "$2a^{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître\naucun facteur supplémentaire."
}
],
"explanation": "La propriété $a^x \\times a^y = a^{x+y}$, admise en première, se vérifie\nsur des exposants entiers en comptant les facteurs."
}
]
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"taux-moyen",
"exponentielle"
],
"title": "Un taux moyen sur deux ans",
"partie": "puissances",
"statement": "Un prix augmente de $21$ % sur deux ans.\nQuel est le taux d'évolution annuel moyen ?",
"options": [
{
"text": "$10$ %",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1{,}1^2 = 1{,}21$, donc le coefficient annuel moyen\nvaut $1{,}1$."
},
{
"text": "$10{,}5$ %",
"correct": false,
"feedback": "Taux divisé par deux : les taux ne se partagent pas, ce sont les\ncoefficients qui se multiplient."
},
{
"text": "$21$ %",
"correct": false,
"feedback": "Taux global recopié : appliqué deux fois, il donnerait une hausse de\n$46{,}4$ %."
},
{
"text": "$11$ %",
"correct": false,
"feedback": "Estimation approximative : $1{,}11^2 = 1{,}2321$, ce qui dépasse la\nhausse constatée."
}
],
"explanation": "Le taux moyen est celui qui, appliqué à chaque période, donne la même\névolution globale. On le trouve en cherchant le coefficient dont la\npuissance égale le coefficient global."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"variations"
],
"title": "Sens de variation selon la raison",
"partie": "suites",
"statement": "Une suite géométrique à termes strictement positifs a pour raison\n$0{,}7$. Comment varie-t-elle ?",
"options": [
{
"text": "Elle est décroissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : multiplier par un nombre compris entre $0$ et $1$\ndiminue chaque terme."
},
{
"text": "Elle est croissante",
"correct": false,
"feedback": "La croissance demanderait une raison supérieure à $1$ pour des termes\npositifs."
},
{
"text": "Elle est constante",
"correct": false,
"feedback": "Seule une raison égale à $1$ laisserait les termes inchangés."
},
{
"text": "Elle alterne entre hausse et baisse",
"correct": false,
"feedback": "L'alternance viendrait d'une raison négative, exclue ici puisque les\ntermes sont positifs."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique à termes positifs, une raison supérieure à $1$\ndonne une suite croissante, une raison comprise entre $0$ et $1$ une suite\ndécroissante."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"exponentielle",
"comparaison"
],
"title": "Le linéaire finit par perdre",
"partie": "puissances",
"statement": "Une grandeur $A$ gagne $100$ unités par an, une grandeur $B$ augmente\nde $10$ % par an. Que se passe-t-il à long terme ?",
"options": [
{
"text": "$B$ finit toujours par dépasser $A$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une croissance exponentielle finit par dépasser\nn'importe quelle croissance linéaire, quel que soit le point de\ndépart."
},
{
"text": "$A$ reste devant indéfiniment",
"correct": false,
"feedback": "Les gains annuels de $B$ augmentent sans limite, alors que ceux de $A$\nrestent fixés à $100$ unités."
},
{
"text": "Les deux finissent par se rejoindre",
"correct": false,
"feedback": "Elles se croisent une fois, puis l'écart se creuse au profit de $B$."
},
{
"text": "Cela dépend uniquement des valeurs de départ",
"correct": false,
"feedback": "Le point de départ change seulement la date du croisement, jamais son\nexistence."
}
],
"explanation": "Dans un modèle linéaire, l'accroissement est constant ; dans un modèle\nexponentiel, il est proportionnel à la valeur atteinte, donc lui-même\ncroissant."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"exponentielle",
"exposant-fractionnaire"
],
"title": "Une racine écrite en exposant",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi le nombre $a^{\\frac{1}{2}}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{a}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce nombre élevé au carré redonne $a$, puisque\n$\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^2 = a^1$."
},
{
"text": "$\\dfrac{a}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposant lu comme un facteur : pour $a = 16$, la moitié vaut $8$ alors\nque la racine vaut $4$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^2}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est $a^{-2}$ : l'exposant fractionnaire et l'exposant négatif ne\njouent pas le même rôle."
},
{
"text": "$2a$",
"correct": false,
"feedback": "Pour $a = 16$, ce calcul donnerait $32$, très loin de la racine carrée\nqui vaut $4$."
}
],
"explanation": "L'exposant $\\dfrac{1}{n}$ correspond à la racine $n$-ième. C'est la\nconvention qui rend la propriété $a^x \\times a^y = a^{x+y}$ valable pour\ntous les exposants."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"modelisation"
],
"title": "Une baisse répétée",
"partie": "suites",
"statement": "Une machine perd $15$ % de sa valeur chaque année.\nQuelle part de sa valeur initiale lui reste-t-il après trois ans ?",
"options": [
{
"text": "Environ $61{,}4$ %",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $0{,}85^3 \\approx 0{,}614$."
},
{
"text": "Exactement $55$ %",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : retrancher trois fois $15$ % surestime la perte,\ncar chaque baisse porte sur une valeur déjà réduite."
},
{
"text": "Exactement $45$ %",
"correct": false,
"feedback": "Complément de la réponse précédente : la perte réelle vaut environ\n$38{,}6$ %."
},
{
"text": "Exactement $85$ %",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année prise en compte : il reste deux baisses à appliquer."
}
],
"explanation": "Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.\nTrois baisses de $15$ % donnent $0{,}85^3$, et non une baisse de $45$ %."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 1,
"skills": [
"exponentielle",
"proprietes"
],
"title": "Un exposant négatif",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $a^{-2}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un exposant négatif donne l'inverse de la puissance\ncorrespondante."
},
{
"text": "$-a^2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe déplacé : la puissance d'un nombre strictement positif est\ntoujours positive."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{a^2}$",
"correct": false,
"feedback": "Même remarque : le signe moins porte sur l'exposant, pas sur le\nrésultat."
},
{
"text": "$a^2$",
"correct": false,
"feedback": "Exposant négatif ignoré : pour $a = 3$, on obtiendrait $9$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{9}$."
}
],
"explanation": "La convention $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$ prolonge la règle du quotient :\n$\\dfrac{a^2}{a^4}$ vaut à la fois $a^{-2}$ et $\\dfrac{1}{a^2}$."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"suite-geometrique",
"representation"
],
"title": "L'allure d'une croissance exponentielle",
"partie": "suites",
"statement": "Comment se présentent les points d'une suite géométrique croissante à\ntermes positifs ?",
"options": [
{
"text": "Ils montent de plus en plus vite",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'écart entre deux termes consécutifs est\nproportionnel au terme atteint, donc il augmente."
},
{
"text": "Ils sont alignés sur une droite",
"correct": false,
"feedback": "L'alignement caractérise les suites arithmétiques, dont\nl'accroissement est constant."
},
{
"text": "Ils montent de plus en plus lentement",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait le cas d'une croissance qui ralentit, comme celle de la\nfonction racine carrée."
},
{
"text": "Ils oscillent autour d'une valeur",
"correct": false,
"feedback": "L'oscillation viendrait d'une raison négative, exclue pour une suite à\ntermes positifs."
}
],
"explanation": "Une suite géométrique croissante progresse par multiplications\nsuccessives : chaque pas est plus grand que le précédent, d'où la courbe\nqui s'envole."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"puissance-zero",
"calcul"
],
"title": "Deux exposants nuls",
"partie": "puissances",
"statement": "Combien vaut $7^0 + 5^0$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $7^0 = 1$ et $5^0 = 1$, quelle que soit la base\nstrictement positive, donc la somme vaut $1 + 1 = 2$."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Exposant confondu avec le résultat : l'exposant $0$ ne rend pas la\npuissance nulle, il la ramène à $1$. La somme vaut donc $2$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants ignorés : $7 + 5$ serait la réponse si les deux\nexposants valaient $1$. Avec l'exposant $0$, chaque terme vaut $1$."
},
{
"text": "$35$",
"correct": false,
"feedback": "Opération changée : l'énoncé demande une somme, et chaque puissance\nd'exposant $0$ vaut $1$, ce qui donne $2$."
}
],
"explanation": "Pour tout nombre $a$ strictement positif, $a^0 = 1$. Cette convention\nprolonge la règle du quotient et fait passer toutes les courbes\n$y = a^x$ par le point de coordonnées $(0\\ ;\\ 1)$."
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"raison",
"suite-geometrique"
],
"title": "Retrouver la raison",
"partie": "suites",
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u_3 = 40$ et $u_4 = 100$.\nQuelle est sa raison ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le\nprécédent, soit $\\dfrac{100}{40} = 2{,}5$."
},
{
"text": "$60$",
"correct": false,
"feedback": "Différence prise pour la raison : $100 - 40$ serait la raison\nd'une suite arithmétique. Ici il faut diviser."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de\ndépart, donc $\\dfrac{100}{40}$ et non l'inverse."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Terme recopié : $100$ est une valeur de la suite, pas le facteur\nqui fait passer d'un terme au suivant."
}
],
"explanation": "La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le\nprécédent : $q = \\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ce quotient est le même à tous\nles rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix.",
"variants": [
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u_3 = 40$ et $u_4 = 100$.\nQuelle est sa raison ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le\nprécédent, soit $\\dfrac{100}{40} = 2{,}5$."
},
{
"text": "$60$",
"correct": false,
"feedback": "Différence prise pour la raison : $100 - 40$ serait la raison\nd'une suite arithmétique. Ici il faut diviser."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de\ndépart, donc $\\dfrac{100}{40}$ et non l'inverse."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Terme recopié : $100$ est une valeur de la suite, pas le facteur\nqui fait passer d'un terme au suivant."
}
],
"explanation": "La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le\nprécédent : $q = \\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ce quotient est le même à tous\nles rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix."
},
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u_3 = 25$ et $u_4 = 40$.\nQuelle est sa raison ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le\nprécédent, soit $\\dfrac{40}{25} = 1{,}6$."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Différence prise pour la raison : $40 - 25$ serait la raison\nd'une suite arithmétique. Ici il faut diviser."
},
{
"text": "$0{,}625$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de\ndépart, donc $\\dfrac{40}{25}$ et non l'inverse."
},
{
"text": "$40$",
"correct": false,
"feedback": "Terme recopié : $40$ est une valeur de la suite, pas le facteur\nqui fait passer d'un terme au suivant."
}
],
"explanation": "La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le\nprécédent : $q = \\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ce quotient est le même à tous\nles rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix."
},
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u_3 = 16$ et $u_4 = 20$.\nQuelle est sa raison ?",
"options": [
{
"text": "$1{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le\nprécédent, soit $\\dfrac{20}{16} = 1{,}25$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Différence prise pour la raison : $20 - 16$ serait la raison\nd'une suite arithmétique. Ici il faut diviser."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de\ndépart, donc $\\dfrac{20}{16}$ et non l'inverse."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Terme recopié : $20$ est une valeur de la suite, pas le facteur\nqui fait passer d'un terme au suivant."
}
],
"explanation": "La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le\nprécédent : $q = \\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ce quotient est le même à tous\nles rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"modelisation"
],
"title": "Repérer un modèle exponentiel",
"partie": "puissances",
"statement": "Parmi ces quatre évolutions d'un loyer, laquelle relève d'un modèle\nexponentiel ?",
"options": [
{
"text": "Un loyer augmenté de $2\\ \\%$ chaque année",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un pourcentage fixe signifie un coefficient\nmultiplicateur fixe, ici $1{,}02$, donc un modèle exponentiel."
},
{
"text": "Un loyer augmenté de $20$ euros chaque année",
"correct": false,
"feedback": "Ajout fixe : la hausse ne dépend pas du loyer atteint, c'est un\nmodèle linéaire, pas exponentiel."
},
{
"text": "Un loyer augmenté de $60$ euros tous les trois ans",
"correct": false,
"feedback": "Ajout fixe encore, simplement plus espacé dans le temps. La nature\ndu modèle reste linéaire."
},
{
"text": "Un loyer inchangé pendant toute la durée du bail",
"correct": false,
"feedback": "Loyer constant : c'est le cas particulier d'un coefficient égal à\n$1$, sans croissance d'aucune sorte."
}
],
"explanation": "Un modèle est exponentiel lorsque la grandeur est multipliée par un même\nnombre à chaque période. Ajouter toujours la même quantité donne au\ncontraire un modèle linéaire."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"representation"
],
"title": "Allure d'une décroissance exponentielle",
"partie": "suites",
"statement": "Une quantité strictement positive est multipliée par $0{,}8$ chaque\nannée. Comment se comporte la courbe qui la représente ?",
"options": [
{
"text": "Elle baisse de moins en moins vite, sans jamais atteindre zéro",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la baisse annuelle vaut $20\\ \\%$ d'une quantité de\nplus en plus petite, donc elle se réduit, et un produit de nombres\nstrictement positifs ne s'annule jamais."
},
{
"text": "Elle baisse de plus en plus vite, puis atteint zéro au bout de\nquelques années",
"correct": false,
"feedback": "Deux erreurs : la baisse ralentit au lieu de s'accélérer, et une\nmultiplication répétée par $0{,}8$ ne donne jamais zéro."
},
{
"text": "Elle baisse d'une même hauteur chaque année, comme une droite",
"correct": false,
"feedback": "Baisse constante : ce serait un modèle linéaire. Ici la perte est\nproportionnelle à la quantité atteinte, donc elle diminue."
},
{
"text": "Elle baisse pendant quelques années, puis se stabilise à une valeur",
"correct": false,
"feedback": "Aucune stabilisation : le coefficient $0{,}8$ s'applique à tous les\nrangs, la quantité continue de baisser indéfiniment."
}
],
"explanation": "Une décroissance exponentielle se reconnaît à sa courbe : elle plonge\nd'abord nettement, puis s'aplatit en se rapprochant de l'axe des\nabscisses sans jamais le toucher."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"puissances",
"proprietes"
],
"title": "Quotient de deux puissances",
"partie": "puissances",
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $\\dfrac{a^{7}}{a^{4}}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à\nsoustraire les exposants, soit $7 - 4 = 3$."
},
{
"text": "$a^{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,\n$a^{7} \\times a^{4}$, et non pour un quotient."
},
{
"text": "$a^{28}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $\\left(a^{7}\\right)^{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^{3}}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction à l'envers : c'est $4 - 7$ qui donnerait cet\ninverse. Le numérateur porte le plus grand exposant."
}
],
"explanation": "La règle $\\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, admise en première pour tous les\nexposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs\ncommuns du numérateur et du dénominateur.",
"variants": [
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $\\dfrac{a^{7}}{a^{4}}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à\nsoustraire les exposants, soit $7 - 4 = 3$."
},
{
"text": "$a^{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,\n$a^{7} \\times a^{4}$, et non pour un quotient."
},
{
"text": "$a^{28}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $\\left(a^{7}\\right)^{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^{3}}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction à l'envers : c'est $4 - 7$ qui donnerait cet\ninverse. Le numérateur porte le plus grand exposant."
}
],
"explanation": "La règle $\\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, admise en première pour tous les\nexposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs\ncommuns du numérateur et du dénominateur."
},
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $\\dfrac{a^{9}}{a^{5}}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à\nsoustraire les exposants, soit $9 - 5 = 4$."
},
{
"text": "$a^{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,\n$a^{9} \\times a^{5}$, et non pour un quotient."
},
{
"text": "$a^{45}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $\\left(a^{9}\\right)^{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^{4}}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction à l'envers : c'est $5 - 9$ qui donnerait cet\ninverse. Le numérateur porte le plus grand exposant."
}
],
"explanation": "La règle $\\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, admise en première pour tous les\nexposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs\ncommuns du numérateur et du dénominateur."
},
{
"statement": "Pour $a > 0$, à quoi $\\dfrac{a^{11}}{a^{3}}$ est-il égal ?",
"options": [
{
"text": "$a^{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à\nsoustraire les exposants, soit $11 - 3 = 8$."
},
{
"text": "$a^{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,\n$a^{11} \\times a^{3}$, et non pour un quotient."
},
{
"text": "$a^{33}$",
"correct": false,
"feedback": "Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de\npuissance, $\\left(a^{11}\\right)^{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{a^{8}}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction à l'envers : c'est $3 - 11$ qui donnerait cet\ninverse. Le numérateur porte le plus grand exposant."
}
],
"explanation": "La règle $\\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, admise en première pour tous les\nexposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs\ncommuns du numérateur et du dénominateur."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"interets-composes",
"calcul"
],
"title": "Montant des intérêts après deux ans",
"partie": "modeles",
"statement": "Un capital de $2000$ euros est placé à $3\\ \\%$ par an, à intérêts\ncomposés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$121{,}8$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le capital atteint $2000 \\times 1{,}03^2 = 2121{,}8$\neuros, dont il faut retirer la mise de départ."
},
{
"text": "$120$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : deux fois $60$ euros néglige les intérêts\nproduits par les premiers intérêts, soit $121{,}8$ euros en tout."
},
{
"text": "$60$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la\npremière année. La seconde en rapporte davantage."
},
{
"text": "$2121{,}8$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la\nmise de départ, ce qui laisse $121{,}8$ euros."
}
],
"explanation": "Avec des intérêts composés, le capital suit $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$.\nLes intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le\ncapital initial, jamais le capital final lui-même.",
"variants": [
{
"statement": "Un capital de $2000$ euros est placé à $3\\ \\%$ par an, à intérêts\ncomposés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$121{,}8$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le capital atteint $2000 \\times 1{,}03^2 = 2121{,}8$\neuros, dont il faut retirer la mise de départ."
},
{
"text": "$120$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : deux fois $60$ euros néglige les intérêts\nproduits par les premiers intérêts, soit $121{,}8$ euros en tout."
},
{
"text": "$60$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la\npremière année. La seconde en rapporte davantage."
},
{
"text": "$2121{,}8$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la\nmise de départ, ce qui laisse $121{,}8$ euros."
}
],
"explanation": "Avec des intérêts composés, le capital suit $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$.\nLes intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le\ncapital initial, jamais le capital final lui-même."
},
{
"statement": "Un capital de $5000$ euros est placé à $4\\ \\%$ par an, à intérêts\ncomposés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$408$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le capital atteint $5000 \\times 1{,}04^2 = 5408$\neuros, dont il faut retirer la mise de départ."
},
{
"text": "$400$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : deux fois $200$ euros néglige les intérêts\nproduits par les premiers intérêts, soit $408$ euros en tout."
},
{
"text": "$200$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la\npremière année. La seconde en rapporte davantage."
},
{
"text": "$5408$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la\nmise de départ, ce qui laisse $408$ euros."
}
],
"explanation": "Avec des intérêts composés, le capital suit $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$.\nLes intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le\ncapital initial, jamais le capital final lui-même."
},
{
"statement": "Un capital de $1500$ euros est placé à $6\\ \\%$ par an, à intérêts\ncomposés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de $2$ ans ?",
"options": [
{
"text": "$185{,}4$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le capital atteint $1500 \\times 1{,}06^2 = 1685{,}4$\neuros, dont il faut retirer la mise de départ."
},
{
"text": "$180$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Intérêts simples : deux fois $90$ euros néglige les intérêts\nproduits par les premiers intérêts, soit $185{,}4$ euros en tout."
},
{
"text": "$90$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la\npremière année. La seconde en rapporte davantage."
},
{
"text": "$1685{,}4$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la\nmise de départ, ce qui laisse $185{,}4$ euros."
}
],
"explanation": "Avec des intérêts composés, le capital suit $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$.\nLes intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le\ncapital initial, jamais le capital final lui-même."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"baisse-repetee",
"calcul"
],
"title": "Une hausse annulée par une baisse",
"partie": "modeles",
"statement": "Le prix d'un article augmente de $20\\ \\%$, puis baisse de $20\\ \\%$.\nQuelle est son évolution globale ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $4\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et\n$1{,}2 \\times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\\ \\%$."
},
{
"text": "Une hausse de $4\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le produit des coefficients vaut $0{,}96$, donc il est\ninférieur à $1$ et le prix final est plus bas qu'au départ."
},
{
"text": "Une baisse de $40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les\ncoefficients qui se multiplient, d'où $4\\ \\%$."
},
{
"text": "Aucune évolution : le prix ne change pas",
"correct": false,
"feedback": "Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,\ndonc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté."
}
],
"explanation": "Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.\nUne hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le\nrésultat est toujours une baisse.",
"variants": [
{
"statement": "Le prix d'un article augmente de $20\\ \\%$, puis baisse de $20\\ \\%$.\nQuelle est son évolution globale ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $4\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et\n$1{,}2 \\times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\\ \\%$."
},
{
"text": "Une hausse de $4\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le produit des coefficients vaut $0{,}96$, donc il est\ninférieur à $1$ et le prix final est plus bas qu'au départ."
},
{
"text": "Une baisse de $40\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les\ncoefficients qui se multiplient, d'où $4\\ \\%$."
},
{
"text": "Aucune évolution : le prix ne change pas",
"correct": false,
"feedback": "Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,\ndonc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté."
}
],
"explanation": "Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.\nUne hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le\nrésultat est toujours une baisse."
},
{
"statement": "Le prix d'un article augmente de $10\\ \\%$, puis baisse de $10\\ \\%$.\nQuelle est son évolution globale ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $1\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et\n$1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99$, soit une baisse de $1\\ \\%$."
},
{
"text": "Une hausse de $1\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le produit des coefficients vaut $0{,}99$, donc il est\ninférieur à $1$ et le prix final est plus bas qu'au départ."
},
{
"text": "Une baisse de $20\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les\ncoefficients qui se multiplient, d'où $1\\ \\%$."
},
{
"text": "Aucune évolution : le prix ne change pas",
"correct": false,
"feedback": "Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,\ndonc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté."
}
],
"explanation": "Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.\nUne hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le\nrésultat est toujours une baisse."
},
{
"statement": "Le prix d'un article augmente de $30\\ \\%$, puis baisse de $30\\ \\%$.\nQuelle est son évolution globale ?",
"options": [
{
"text": "Une baisse de $9\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et\n$1{,}3 \\times 0{,}7 = 0{,}91$, soit une baisse de $9\\ \\%$."
},
{
"text": "Une hausse de $9\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le produit des coefficients vaut $0{,}91$, donc il est\ninférieur à $1$ et le prix final est plus bas qu'au départ."
},
{
"text": "Une baisse de $60\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les\ncoefficients qui se multiplient, d'où $9\\ \\%$."
},
{
"text": "Aucune évolution : le prix ne change pas",
"correct": false,
"feedback": "Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,\ndonc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté."
}
],
"explanation": "Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.\nUne hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le\nrésultat est toujours une baisse."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sens-variation",
"variations"
],
"title": "De la variation à la raison",
"partie": "suites",
"statement": "Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie\n$u_6 > u_5$. Que peut-on dire de sa raison $q$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle vérifie $q > 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : passer de $u_5$ à $u_6$ en augmentant suppose un\nfacteur supérieur à $1$, puisque les termes sont positifs."
},
{
"text": "Elle vérifie $0 < q < 1$",
"correct": false,
"feedback": "Une raison comprise entre $0$ et $1$ ferait décroître la suite, donc\non aurait $u_6 < u_5$."
},
{
"text": "Elle vérifie $q = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Une raison égale à $1$ laisserait tous les termes identiques, donc\n$u_6 = u_5$ et non $u_6 > u_5$."
},
{
"text": "Elle vérifie $q > u_5$",
"correct": false,
"feedback": "Raison et terme confondus : la raison est un facteur, elle ne se\ncompare pas aux valeurs prises par la suite."
}
],
"explanation": "Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, le sens de\nvariation se lit sur la raison : croissante si $q > 1$, décroissante si\n$0 < q < 1$. La lecture fonctionne aussi dans l'autre sens."
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"ordre-de-grandeur"
],
"title": "Dix divisions par deux",
"partie": "puissances",
"statement": "Une quantité est divisée par $2$ dix fois de suite. Quelle part de la\nquantité initiale en reste-t-il, en ordre de grandeur ?",
"options": [
{
"text": "Environ un millième",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dix divisions par $2$ reviennent à diviser par\n$2^{10} = 1024$, soit environ un millième."
},
{
"text": "Environ un centième",
"correct": false,
"feedback": "Estimation trop haute d'un facteur dix : $2^{10}$ vaut $1024$, et\nnon une centaine."
},
{
"text": "Environ un vingtième",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement additif : $2 \\times 10 = 20$ suppose que les divisions\ns'ajoutent, alors qu'elles se multiplient."
},
{
"text": "Plus rien du tout",
"correct": false,
"feedback": "Une division répétée n'atteint jamais zéro : il reste toujours une\npart, ici environ un millième."
}
],
"explanation": "L'ordre de grandeur à retenir est $2^{10} = 1024 \\approx 10^3$ : dix\ndoublements multiplient par mille environ, dix divisions par deux\ndivisent par mille environ."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reconnaissance",
"geometrique"
],
"title": "Lire un modèle dans un tableau",
"partie": "suites",
"statement": "Une grandeur prend les valeurs successives $32$ ; $48$ ; $72$ ;\n$108$. Quel modèle décrit son évolution ?",
"options": [
{
"text": "Exponentiel : on multiplie par $1{,}5$ à chaque étape",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $1{,}5$, donc la\ngrandeur suit une suite géométrique."
},
{
"text": "Linéaire : on ajoute $16$ à chaque étape",
"correct": false,
"feedback": "Premier écart généralisé : on passe bien de $32$ à $48$ en\najoutant $16$, mais l'écart suivant vaut $24$."
},
{
"text": "Linéaire : l'accroissement vaut $16$, puis $24$, et ainsi de suite",
"correct": false,
"feedback": "Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément\nla signature d'une croissance exponentielle."
},
{
"text": "Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici",
"correct": false,
"feedback": "La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur\nles différences : chaque valeur est $1{,}5$ fois la précédente."
}
],
"explanation": "Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les\ndifférences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un\nmodèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel.",
"variants": [
{
"statement": "Une grandeur prend les valeurs successives $32$ ; $48$ ; $72$ ;\n$108$. Quel modèle décrit son évolution ?",
"options": [
{
"text": "Exponentiel : on multiplie par $1{,}5$ à chaque étape",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $1{,}5$, donc la\ngrandeur suit une suite géométrique."
},
{
"text": "Linéaire : on ajoute $16$ à chaque étape",
"correct": false,
"feedback": "Premier écart généralisé : on passe bien de $32$ à $48$ en\najoutant $16$, mais l'écart suivant vaut $24$."
},
{
"text": "Linéaire : l'accroissement vaut $16$, puis $24$, et ainsi de suite",
"correct": false,
"feedback": "Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément\nla signature d'une croissance exponentielle."
},
{
"text": "Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici",
"correct": false,
"feedback": "La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur\nles différences : chaque valeur est $1{,}5$ fois la précédente."
}
],
"explanation": "Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les\ndifférences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un\nmodèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel."
},
{
"statement": "Une grandeur prend les valeurs successives $625$ ; $750$ ; $900$ ;\n$1080$. Quel modèle décrit son évolution ?",
"options": [
{
"text": "Exponentiel : on multiplie par $1{,}2$ à chaque étape",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $1{,}2$, donc la\ngrandeur suit une suite géométrique."
},
{
"text": "Linéaire : on ajoute $125$ à chaque étape",
"correct": false,
"feedback": "Premier écart généralisé : on passe bien de $625$ à $750$ en\najoutant $125$, mais l'écart suivant vaut $150$."
},
{
"text": "Linéaire : l'accroissement vaut $125$, puis $150$, et ainsi de suite",
"correct": false,
"feedback": "Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément\nla signature d'une croissance exponentielle."
},
{
"text": "Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici",
"correct": false,
"feedback": "La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur\nles différences : chaque valeur est $1{,}2$ fois la précédente."
}
],
"explanation": "Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les\ndifférences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un\nmodèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel."
},
{
"statement": "Une grandeur prend les valeurs successives $200$ ; $300$ ; $450$ ;\n$675$. Quel modèle décrit son évolution ?",
"options": [
{
"text": "Exponentiel : on multiplie par $1{,}5$ à chaque étape",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $1{,}5$, donc la\ngrandeur suit une suite géométrique."
},
{
"text": "Linéaire : on ajoute $100$ à chaque étape",
"correct": false,
"feedback": "Premier écart généralisé : on passe bien de $200$ à $300$ en\najoutant $100$, mais l'écart suivant vaut $150$."
},
{
"text": "Linéaire : l'accroissement vaut $100$, puis $150$, et ainsi de suite",
"correct": false,
"feedback": "Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément\nla signature d'une croissance exponentielle."
},
{
"text": "Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici",
"correct": false,
"feedback": "La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur\nles différences : chaque valeur est $1{,}5$ fois la précédente."
}
],
"explanation": "Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les\ndifférences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un\nmodèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"epidemie",
"modelisation"
],
"title": "Une épidémie qui reflue",
"partie": "modeles",
"statement": "Une épidémie compte $500$ cas. Les mesures sanitaires ramènent le\nfacteur de reproduction à $0{,}8$. Combien de cas le modèle prévoit-il\ndeux générations plus tard ?",
"options": [
{
"text": "$320$ cas",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $0{,}8$, donc deux\ngénérations donnent $500 \\times 0{,}8 \\times 0{,}8 = 320$ cas."
},
{
"text": "$400$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la\npremière. Il reste une génération à compter."
},
{
"text": "$300$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est\nretranchée deux fois, alors que la seconde porte sur $400$ cas."
},
{
"text": "$500$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à $1$ fait au\ncontraire reculer le nombre de cas à chaque génération."
}
],
"explanation": "Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de\nreproduction. Sous $1$, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais\nl'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires.",
"variants": [
{
"statement": "Une épidémie compte $500$ cas. Les mesures sanitaires ramènent le\nfacteur de reproduction à $0{,}8$. Combien de cas le modèle prévoit-il\ndeux générations plus tard ?",
"options": [
{
"text": "$320$ cas",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $0{,}8$, donc deux\ngénérations donnent $500 \\times 0{,}8 \\times 0{,}8 = 320$ cas."
},
{
"text": "$400$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la\npremière. Il reste une génération à compter."
},
{
"text": "$300$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est\nretranchée deux fois, alors que la seconde porte sur $400$ cas."
},
{
"text": "$500$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à $1$ fait au\ncontraire reculer le nombre de cas à chaque génération."
}
],
"explanation": "Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de\nreproduction. Sous $1$, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais\nl'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires."
},
{
"statement": "Une épidémie compte $400$ cas. Les mesures sanitaires ramènent le\nfacteur de reproduction à $0{,}6$. Combien de cas le modèle prévoit-il\ndeux générations plus tard ?",
"options": [
{
"text": "$144$ cas",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $0{,}6$, donc deux\ngénérations donnent $400 \\times 0{,}6 \\times 0{,}6 = 144$ cas."
},
{
"text": "$240$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la\npremière. Il reste une génération à compter."
},
{
"text": "$80$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est\nretranchée deux fois, alors que la seconde porte sur $240$ cas."
},
{
"text": "$400$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à $1$ fait au\ncontraire reculer le nombre de cas à chaque génération."
}
],
"explanation": "Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de\nreproduction. Sous $1$, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais\nl'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires."
},
{
"statement": "Une épidémie compte $1000$ cas. Les mesures sanitaires ramènent le\nfacteur de reproduction à $0{,}9$. Combien de cas le modèle prévoit-il\ndeux générations plus tard ?",
"options": [
{
"text": "$810$ cas",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $0{,}9$, donc deux\ngénérations donnent $1000 \\times 0{,}9 \\times 0{,}9 = 810$ cas."
},
{
"text": "$900$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la\npremière. Il reste une génération à compter."
},
{
"text": "$800$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est\nretranchée deux fois, alors que la seconde porte sur $900$ cas."
},
{
"text": "$1000$ cas",
"correct": false,
"feedback": "Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à $1$ fait au\ncontraire reculer le nombre de cas à chaque génération."
}
],
"explanation": "Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de\nreproduction. Sous $1$, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais\nl'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 3,
"skills": [
"malthus",
"linéaire-vs-exponentiel"
],
"title": "Ressources par habitant",
"partie": "modeles",
"statement": "Dans le modèle de Malthus, la population croît de façon exponentielle\net les ressources de façon linéaire. Que devient, à long terme, la\nquantité de ressources disponible par habitant ?",
"options": [
{
"text": "Elle diminue jusqu'à devenir aussi petite que l'on veut",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la population finit par croître beaucoup plus vite\nque les ressources, donc la part de chacun se réduit sans limite."
},
{
"text": "Elle se stabilise à une valeur strictement positive",
"correct": false,
"feedback": "Aucune stabilisation : l'écart entre les deux croissances se creuse\nindéfiniment, la part par habitant ne peut pas se fixer."
},
{
"text": "Elle augmente, puisque les ressources augmentent elles aussi",
"correct": false,
"feedback": "Les ressources augmentent, mais moins vite que le nombre de\npersonnes à nourrir : c'est le rapport des deux qui compte."
},
{
"text": "Elle reste constante, les deux croissances se compensant",
"correct": false,
"feedback": "Une croissance linéaire ne compense pas une croissance\nexponentielle : leurs rythmes divergent inexorablement."
}
],
"explanation": "Le modèle de Malthus oppose une suite géométrique (la population) à une\nsuite arithmétique (les ressources). Le quotient des deux se dégrade\nsans fin : c'est la conclusion pessimiste du modèle, et sa limite."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 2,
"skills": [
"croissance-repetee",
"calcul"
],
"title": "Population au bout de plusieurs années",
"partie": "modeles",
"statement": "Une ville compte $12000$ habitants et sa population augmente de\n$3\\ \\%$ par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans $4$ ans,\nà l'unité près ?",
"options": [
{
"text": "$13506$ habitants",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc\n$12000 \\times 1{,}03^{4} \\approx 13506$."
},
{
"text": "$13440$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : $4 \\times 3\\ \\%$ néglige les hausses portant\nsur les hausses déjà acquises."
},
{
"text": "$12360$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première\nannée, il reste $4 - 1$ années à appliquer."
},
{
"text": "$49440$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Durée prise en facteur : multiplier par $4$ multiplierait la ville\npar $4$. La durée est un exposant."
}
],
"explanation": "Une croissance à taux constant s'écrit $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ : le\nnombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais\nun facteur ni un multiplicateur du taux.",
"variants": [
{
"statement": "Une ville compte $12000$ habitants et sa population augmente de\n$3\\ \\%$ par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans $4$ ans,\nà l'unité près ?",
"options": [
{
"text": "$13506$ habitants",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc\n$12000 \\times 1{,}03^{4} \\approx 13506$."
},
{
"text": "$13440$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : $4 \\times 3\\ \\%$ néglige les hausses portant\nsur les hausses déjà acquises."
},
{
"text": "$12360$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première\nannée, il reste $4 - 1$ années à appliquer."
},
{
"text": "$49440$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Durée prise en facteur : multiplier par $4$ multiplierait la ville\npar $4$. La durée est un exposant."
}
],
"explanation": "Une croissance à taux constant s'écrit $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ : le\nnombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais\nun facteur ni un multiplicateur du taux."
},
{
"statement": "Une ville compte $8000$ habitants et sa population augmente de\n$5\\ \\%$ par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans $3$ ans,\nà l'unité près ?",
"options": [
{
"text": "$9261$ habitants",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc\n$8000 \\times 1{,}05^{3} \\approx 9261$."
},
{
"text": "$9200$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : $3 \\times 5\\ \\%$ néglige les hausses portant\nsur les hausses déjà acquises."
},
{
"text": "$8400$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première\nannée, il reste $3 - 1$ années à appliquer."
},
{
"text": "$25200$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Durée prise en facteur : multiplier par $3$ multiplierait la ville\npar $3$. La durée est un exposant."
}
],
"explanation": "Une croissance à taux constant s'écrit $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ : le\nnombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais\nun facteur ni un multiplicateur du taux."
},
{
"statement": "Une ville compte $25000$ habitants et sa population augmente de\n$2\\ \\%$ par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans $5$ ans,\nà l'unité près ?",
"options": [
{
"text": "$27602$ habitants",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc\n$25000 \\times 1{,}02^{5} \\approx 27602$."
},
{
"text": "$27500$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Taux additionnés : $5 \\times 2\\ \\%$ néglige les hausses portant\nsur les hausses déjà acquises."
},
{
"text": "$25500$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première\nannée, il reste $5 - 1$ années à appliquer."
},
{
"text": "$127500$ habitants",
"correct": false,
"feedback": "Durée prise en facteur : multiplier par $5$ multiplierait la ville\npar $5$. La durée est un exposant."
}
],
"explanation": "Une croissance à taux constant s'écrit $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ : le\nnombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais\nun facteur ni un multiplicateur du taux."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"taux-moyen",
"exposant-fractionnaire"
],
"title": "Taux moyen sur trois ans",
"partie": "puissances",
"statement": "Une grandeur a été multipliée par $1{,}331$ en trois ans. Quel est son\ntaux d'évolution annuel moyen ?",
"options": [
{
"text": "$10\\ \\%$ par an",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut\n$1{,}331^{\\frac{1}{3}} = 1{,}1$, dont la part au-delà de $1$ est le\ntaux cherché."
},
{
"text": "$11{,}03\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont\nles coefficients qui se multiplient entre eux."
},
{
"text": "$33{,}1\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années\nréunies, pas celle d'une seule année."
},
{
"text": "$1{,}331\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour un taux : $1{,}331$ est un multiplicateur, le\ntaux correspondant est sa part au-delà de $1$."
}
],
"explanation": "Le taux moyen sur $n$ périodes s'obtient en élevant le coefficient\nglobal à la puissance $\\frac{1}{n}$, puis en retranchant $1$. Diviser le\ntaux global par $n$ donne toujours un résultat faux.",
"variants": [
{
"statement": "Une grandeur a été multipliée par $1{,}331$ en trois ans. Quel est son\ntaux d'évolution annuel moyen ?",
"options": [
{
"text": "$10\\ \\%$ par an",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut\n$1{,}331^{\\frac{1}{3}} = 1{,}1$, dont la part au-delà de $1$ est le\ntaux cherché."
},
{
"text": "$11{,}03\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont\nles coefficients qui se multiplient entre eux."
},
{
"text": "$33{,}1\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années\nréunies, pas celle d'une seule année."
},
{
"text": "$1{,}331\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour un taux : $1{,}331$ est un multiplicateur, le\ntaux correspondant est sa part au-delà de $1$."
}
],
"explanation": "Le taux moyen sur $n$ périodes s'obtient en élevant le coefficient\nglobal à la puissance $\\frac{1}{n}$, puis en retranchant $1$. Diviser le\ntaux global par $n$ donne toujours un résultat faux."
},
{
"statement": "Une grandeur a été multipliée par $1{,}728$ en trois ans. Quel est son\ntaux d'évolution annuel moyen ?",
"options": [
{
"text": "$20\\ \\%$ par an",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut\n$1{,}728^{\\frac{1}{3}} = 1{,}2$, dont la part au-delà de $1$ est le\ntaux cherché."
},
{
"text": "$24{,}27\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont\nles coefficients qui se multiplient entre eux."
},
{
"text": "$72{,}8\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années\nréunies, pas celle d'une seule année."
},
{
"text": "$1{,}728\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour un taux : $1{,}728$ est un multiplicateur, le\ntaux correspondant est sa part au-delà de $1$."
}
],
"explanation": "Le taux moyen sur $n$ périodes s'obtient en élevant le coefficient\nglobal à la puissance $\\frac{1}{n}$, puis en retranchant $1$. Diviser le\ntaux global par $n$ donne toujours un résultat faux."
},
{
"statement": "Une grandeur a été multipliée par $2{,}197$ en trois ans. Quel est son\ntaux d'évolution annuel moyen ?",
"options": [
{
"text": "$30\\ \\%$ par an",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut\n$2{,}197^{\\frac{1}{3}} = 1{,}3$, dont la part au-delà de $1$ est le\ntaux cherché."
},
{
"text": "$39{,}9\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont\nles coefficients qui se multiplient entre eux."
},
{
"text": "$119{,}7\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années\nréunies, pas celle d'une seule année."
},
{
"text": "$2{,}197\\ \\%$ par an",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient pris pour un taux : $2{,}197$ est un multiplicateur, le\ntaux correspondant est sa part au-delà de $1$."
}
],
"explanation": "Le taux moyen sur $n$ périodes s'obtient en élevant le coefficient\nglobal à la puissance $\\frac{1}{n}$, puis en retranchant $1$. Diviser le\ntaux global par $n$ donne toujours un résultat faux."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"seuil",
"calcul"
],
"title": "Passer sous la moitié",
"partie": "suites",
"statement": "Un matériel perd $20\\ \\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien\nd'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix\nd'achat ?",
"options": [
{
"text": "$4$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on déroule les puissances de $0{,}8$ jusqu'à passer\nsous $0{,}5$, ce qui se produit au rang $4$."
},
{
"text": "$3$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Seuil atteint trop tôt : au rang $3$, le coefficient est\nencore supérieur à $0{,}5$, la moitié n'est pas franchie."
},
{
"text": "$5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang $4$, et on\ncherche la première année qui convient."
},
{
"text": "$2{,}5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : perdre $20\\ \\%$ du prix d'achat chaque\nannée donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur\nrestante."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives\ndu coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à\nfranchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le\nrang cherché.",
"variants": [
{
"statement": "Un matériel perd $20\\ \\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien\nd'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix\nd'achat ?",
"options": [
{
"text": "$4$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on déroule les puissances de $0{,}8$ jusqu'à passer\nsous $0{,}5$, ce qui se produit au rang $4$."
},
{
"text": "$3$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Seuil atteint trop tôt : au rang $3$, le coefficient est\nencore supérieur à $0{,}5$, la moitié n'est pas franchie."
},
{
"text": "$5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang $4$, et on\ncherche la première année qui convient."
},
{
"text": "$2{,}5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : perdre $20\\ \\%$ du prix d'achat chaque\nannée donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur\nrestante."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives\ndu coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à\nfranchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le\nrang cherché."
},
{
"statement": "Un matériel perd $15\\ \\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien\nd'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix\nd'achat ?",
"options": [
{
"text": "$5$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on déroule les puissances de $0{,}85$ jusqu'à passer\nsous $0{,}5$, ce qui se produit au rang $5$."
},
{
"text": "$4$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Seuil atteint trop tôt : au rang $4$, le coefficient est\nencore supérieur à $0{,}5$, la moitié n'est pas franchie."
},
{
"text": "$6$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang $5$, et on\ncherche la première année qui convient."
},
{
"text": "$3{,}3$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : perdre $15\\ \\%$ du prix d'achat chaque\nannée donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur\nrestante."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives\ndu coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à\nfranchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le\nrang cherché."
},
{
"statement": "Un matériel perd $10\\ \\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien\nd'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix\nd'achat ?",
"options": [
{
"text": "$7$ ans",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on déroule les puissances de $0{,}9$ jusqu'à passer\nsous $0{,}5$, ce qui se produit au rang $7$."
},
{
"text": "$6$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Seuil atteint trop tôt : au rang $6$, le coefficient est\nencore supérieur à $0{,}5$, la moitié n'est pas franchie."
},
{
"text": "$8$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang $7$, et on\ncherche la première année qui convient."
},
{
"text": "$5$ ans",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : perdre $10\\ \\%$ du prix d'achat chaque\nannée donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur\nrestante."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives\ndu coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à\nfranchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le\nrang cherché."
}
]
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableur",
"suite-geometrique",
"seuil"
],
"title": "Un seuil cherché au tableur",
"partie": "suites",
"statement": "Une population de $2\\,000$ bactéries augmente de $8\\ \\%$ par heure. Le\nnombre initial est en B2 et l'on recopie vers le bas la formule\n`=B2*1,08` saisie en B3. Comment trouver l'heure où la population\ndépasse $5\\,000$ ?",
"options": [
{
"text": "Lire la première valeur au-dessus de $5\\,000$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la colonne contient les termes successifs de la\nsuite géométrique ; la première valeur au-dessus de $5\\,000$\ndonne l'heure cherchée, ici la $12$e."
},
{
"text": "Remplacer la formule par `=B2+5000`",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cette formule ajoute $5\\,000$ à chaque ligne. Le seuil se\nlit dans la colonne, il n'entre pas dans la formule."
},
{
"text": "Diviser $5\\,000$ par le coefficient $1{,}08$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul défait une seule hausse. Le seuil n'est atteint\nqu'après plusieurs hausses successives."
},
{
"text": "Calculer $\\dfrac{5\\,000 - 2\\,000}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce calcul suppose une hausse constante de $8$ bactéries\npar heure, une croissance linéaire."
}
],
"explanation": "$2\\,000 \\times 1{,}08^{11} \\approx 4\\,663$ et\n$2\\,000 \\times 1{,}08^{12} \\approx 5\\,036$ : le seuil est franchi à\nla $12$e heure."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 1,
"skills": [
"motif-geometrique",
"suite-geometrique"
],
"title": "Le triangle de Sierpinski",
"partie": "suites",
"statement": "Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque\nétape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.\nLa figure montre les étapes $0$, $1$ et $2$. Combien de triangles\nbleus compte l'étape $4$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.1]\n \\fill[blue!45] (0,0) -- (2,0) -- (1,1.732) -- cycle;\n \\foreach \\x/\\y in {0/0,1/0,0.5/0.866}\n \\fill[blue!45,xshift=2.6cm] (\\x,\\y) -- ++(1,0) -- ++(-0.5,0.866) -- cycle;\n \\foreach \\x/\\y in {0/0,0.5/0,0.25/0.433,1/0,1.5/0,1.25/0.433,0.5/0.866,1/0.866,0.75/1.299}\n \\fill[blue!45,xshift=5.2cm] (\\x,\\y) -- ++(0.5,0) -- ++(-0.25,0.433) -- cycle;\n \\node[below] at (1,-0.1) {étape $0$};\n \\node[below] at (3.6,-0.1) {étape $1$};\n \\node[below] at (6.2,-0.1) {étape $2$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Trois figures : un triangle bleu (étape 0), puis trois triangles\nbleus deux fois plus petits disposés en triangle (étape 1), puis\nneuf triangles bleus encore deux fois plus petits (étape 2).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$81$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par $3$ à\nchaque étape : $1$, $3$, $9$, …, soit $3^{4} = 81$ à l'étape\n$4$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $3$ triangles par étape. Or chaque triangle\nest remplacé par trois : le nombre est multiplié par $3$."
},
{
"text": "$243$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de rang : $3^{5}$ correspond à l'étape $5$.\nL'étape $0$ compte un seul triangle, $3^0 = 1$."
},
{
"text": "$64$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4^3$ n'est pas le bon calcul. La raison $3$ est\nélevée à la puissance $4$, et non l'inverse."
}
],
"explanation": "Une quantité multipliée par un même nombre $q$ à chaque étape forme\nune suite géométrique : $u(n) = u(0) \\times q^n$.",
"variants": [
{
"statement": "Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque\nétape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.\nLa figure montre les étapes $0$, $1$ et $2$. Combien de triangles\nbleus compte l'étape $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$81$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par $3$ à\nchaque étape : $1$, $3$, $9$, …, soit $3^{4} = 81$ à l'étape\n$4$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $3$ triangles par étape. Or chaque triangle\nest remplacé par trois : le nombre est multiplié par $3$."
},
{
"text": "$243$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de rang : $3^{5}$ correspond à l'étape $5$.\nL'étape $0$ compte un seul triangle, $3^0 = 1$."
},
{
"text": "$64$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4^3$ n'est pas le bon calcul. La raison $3$ est\nélevée à la puissance $4$, et non l'inverse."
}
],
"explanation": "Une quantité multipliée par un même nombre $q$ à chaque étape forme\nune suite géométrique : $u(n) = u(0) \\times q^n$."
},
{
"statement": "Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque\nétape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.\nLa figure montre les étapes $0$, $1$ et $2$. Combien de triangles\nbleus compte l'étape $5$ ?",
"options": [
{
"text": "$243$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par $3$ à\nchaque étape : $1$, $3$, $9$, …, soit $3^{5} = 243$ à l'étape\n$5$."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $3$ triangles par étape. Or chaque triangle\nest remplacé par trois : le nombre est multiplié par $3$."
},
{
"text": "$729$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de rang : $3^{6}$ correspond à l'étape $6$.\nL'étape $0$ compte un seul triangle, $3^0 = 1$."
},
{
"text": "$125$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5^3$ n'est pas le bon calcul. La raison $3$ est\nélevée à la puissance $5$, et non l'inverse."
}
],
"explanation": "Une quantité multipliée par un même nombre $q$ à chaque étape forme\nune suite géométrique : $u(n) = u(0) \\times q^n$."
},
{
"statement": "Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque\nétape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.\nLa figure montre les étapes $0$, $1$ et $2$. Combien de triangles\nbleus compte l'étape $6$ ?",
"options": [
{
"text": "$729$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par $3$ à\nchaque étape : $1$, $3$, $9$, …, soit $3^{6} = 729$ à l'étape\n$6$."
},
{
"text": "$18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a ajouté $3$ triangles par étape. Or chaque triangle\nest remplacé par trois : le nombre est multiplié par $3$."
},
{
"text": "$2187$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de rang : $3^{7}$ correspond à l'étape $7$.\nL'étape $0$ compte un seul triangle, $3^0 = 1$."
},
{
"text": "$216$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6^3$ n'est pas le bon calcul. La raison $3$ est\nélevée à la puissance $6$, et non l'inverse."
}
],
"explanation": "Une quantité multipliée par un même nombre $q$ à chaque étape forme\nune suite géométrique : $u(n) = u(0) \\times q^n$."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"seuil",
"suite-geometrique",
"modelisation"
],
"title": "Une rumeur en cascade",
"partie": "suites",
"statement": "Une rumeur se propage en cascade : à l'étape $1$, une personne la\nconfie à $2$ autres ; à chaque étape suivante, chaque personne\nqui vient de l'apprendre la confie à $2$ nouvelles personnes. À\npartir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement\ninformées dépasse-t-il $1\\,000$ ?",
"options": [
{
"text": "L'étape $10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à l'étape $n$, $2^n$ personnes apprennent la\nrumeur ; $2^{9} = 512$ et $2^{10} = 1024$."
},
{
"text": "L'étape $9$",
"correct": false,
"feedback": "Trop tôt : à l'étape $9$, seules $512$ personnes\napprennent la rumeur, moins de $1\\,000$."
},
{
"text": "L'étape $11$",
"correct": false,
"feedback": "Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape $10$,\navec $1024$ personnes."
},
{
"text": "L'étape $500$",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1\\,000}{2}$ suppose $2$\nnouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est\nmultiplié par $2$."
}
],
"explanation": "Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les\npuissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée.",
"variants": [
{
"statement": "Une rumeur se propage en cascade : à l'étape $1$, une personne la\nconfie à $2$ autres ; à chaque étape suivante, chaque personne\nqui vient de l'apprendre la confie à $2$ nouvelles personnes. À\npartir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement\ninformées dépasse-t-il $1\\,000$ ?",
"options": [
{
"text": "L'étape $10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à l'étape $n$, $2^n$ personnes apprennent la\nrumeur ; $2^{9} = 512$ et $2^{10} = 1024$."
},
{
"text": "L'étape $9$",
"correct": false,
"feedback": "Trop tôt : à l'étape $9$, seules $512$ personnes\napprennent la rumeur, moins de $1\\,000$."
},
{
"text": "L'étape $11$",
"correct": false,
"feedback": "Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape $10$,\navec $1024$ personnes."
},
{
"text": "L'étape $500$",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1\\,000}{2}$ suppose $2$\nnouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est\nmultiplié par $2$."
}
],
"explanation": "Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les\npuissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée."
},
{
"statement": "Une rumeur se propage en cascade : à l'étape $1$, une personne la\nconfie à $3$ autres ; à chaque étape suivante, chaque personne\nqui vient de l'apprendre la confie à $3$ nouvelles personnes. À\npartir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement\ninformées dépasse-t-il $1\\,000$ ?",
"options": [
{
"text": "L'étape $7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à l'étape $n$, $3^n$ personnes apprennent la\nrumeur ; $3^{6} = 729$ et $3^{7} = 2187$."
},
{
"text": "L'étape $6$",
"correct": false,
"feedback": "Trop tôt : à l'étape $6$, seules $729$ personnes\napprennent la rumeur, moins de $1\\,000$."
},
{
"text": "L'étape $8$",
"correct": false,
"feedback": "Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape $7$,\navec $2187$ personnes."
},
{
"text": "L'étape $334$",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1\\,000}{3}$ suppose $3$\nnouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est\nmultiplié par $3$."
}
],
"explanation": "Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les\npuissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée."
},
{
"statement": "Une rumeur se propage en cascade : à l'étape $1$, une personne la\nconfie à $5$ autres ; à chaque étape suivante, chaque personne\nqui vient de l'apprendre la confie à $5$ nouvelles personnes. À\npartir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement\ninformées dépasse-t-il $1\\,000$ ?",
"options": [
{
"text": "L'étape $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : à l'étape $n$, $5^n$ personnes apprennent la\nrumeur ; $5^{4} = 625$ et $5^{5} = 3125$."
},
{
"text": "L'étape $4$",
"correct": false,
"feedback": "Trop tôt : à l'étape $4$, seules $625$ personnes\napprennent la rumeur, moins de $1\\,000$."
},
{
"text": "L'étape $6$",
"correct": false,
"feedback": "Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape $5$,\navec $3125$ personnes."
},
{
"text": "L'étape $200$",
"correct": false,
"feedback": "Raisonnement linéaire : $\\dfrac{1\\,000}{5}$ suppose $5$\nnouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est\nmultiplié par $5$."
}
],
"explanation": "Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les\npuissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée."
}
]
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonction-exponentielle",
"interets-composes",
"exposant-non-entier"
],
"title": "Un placement retiré au bout de six mois",
"partie": "puissances",
"statement": "Un capital de $800$ euros est placé à intérêts composés au taux\nannuel de $4\\ \\%$. On modélise sa valeur au bout de $x$ années\npar $800 \\times 1{,}04^x$. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?",
"options": [
{
"text": "$815{,}84$ euros environ",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : six mois font une demi-année, et\n$800 \\times 1{,}04^{0{,}5} \\approx 815{,}84$."
},
{
"text": "$816$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des\nintérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le\nmodèle exponentiel."
},
{
"text": "$832$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour $x = 1$."
},
{
"text": "$802{,}62$ euros environ",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'exposant $\\dfrac{1}{12}$ correspond à un mois. Six\nmois correspondent à $x = 0{,}5$."
}
],
"explanation": "La fonction $x \\mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique aux\ndurées non entières : on remplace $x$ par la fraction d'année\nécoulée.",
"variants": [
{
"statement": "Un capital de $800$ euros est placé à intérêts composés au taux\nannuel de $4\\ \\%$. On modélise sa valeur au bout de $x$ années\npar $800 \\times 1{,}04^x$. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?",
"options": [
{
"text": "$815{,}84$ euros environ",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : six mois font une demi-année, et\n$800 \\times 1{,}04^{0{,}5} \\approx 815{,}84$."
},
{
"text": "$816$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des\nintérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le\nmodèle exponentiel."
},
{
"text": "$832$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour $x = 1$."
},
{
"text": "$802{,}62$ euros environ",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'exposant $\\dfrac{1}{12}$ correspond à un mois. Six\nmois correspondent à $x = 0{,}5$."
}
],
"explanation": "La fonction $x \\mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique aux\ndurées non entières : on remplace $x$ par la fraction d'année\nécoulée."
},
{
"statement": "Un capital de $600$ euros est placé à intérêts composés au taux\nannuel de $6\\ \\%$. On modélise sa valeur au bout de $x$ années\npar $600 \\times 1{,}06^x$. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?",
"options": [
{
"text": "$617{,}74$ euros environ",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : six mois font une demi-année, et\n$600 \\times 1{,}06^{0{,}5} \\approx 617{,}74$."
},
{
"text": "$618$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des\nintérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le\nmodèle exponentiel."
},
{
"text": "$636$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour $x = 1$."
},
{
"text": "$602{,}92$ euros environ",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'exposant $\\dfrac{1}{12}$ correspond à un mois. Six\nmois correspondent à $x = 0{,}5$."
}
],
"explanation": "La fonction $x \\mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique aux\ndurées non entières : on remplace $x$ par la fraction d'année\nécoulée."
},
{
"statement": "Un capital de $900$ euros est placé à intérêts composés au taux\nannuel de $9\\ \\%$. On modélise sa valeur au bout de $x$ années\npar $900 \\times 1{,}09^x$. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?",
"options": [
{
"text": "$939{,}63$ euros environ",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : six mois font une demi-année, et\n$900 \\times 1{,}09^{0{,}5} \\approx 939{,}63$."
},
{
"text": "$940{,}5$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des\nintérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le\nmodèle exponentiel."
},
{
"text": "$981$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour $x = 1$."
},
{
"text": "$906{,}49$ euros environ",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'exposant $\\dfrac{1}{12}$ correspond à un mois. Six\nmois correspondent à $x = 0{,}5$."
}
],
"explanation": "La fonction $x \\mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique aux\ndurées non entières : on remplace $x$ par la fraction d'année\nécoulée."
}
]
},
{
"id": "q50",
"difficulty": 2,
"skills": [
"demi-vie",
"exposant-non-entier"
],
"title": "Une fraction de demi-vie",
"partie": "modeles",
"statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque\ndemi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux\ninitiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à la moitié d'une\ndemi-vie ?",
"options": [
{
"text": "Environ $70{,}7\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : au bout de $x$ demi-vies, il reste\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$ des noyaux ; avec\n$x = \\dfrac{1}{2}$, on obtient environ $70{,}7\\ \\%$."
},
{
"text": "Environ $75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne\nretire pas la même quantité à chaque instant."
},
{
"text": "Environ $50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière."
},
{
"text": "Environ $25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{2}$ correspond à $2$\ndemi-vies. L'exposant est ici $\\dfrac{1}{2}$."
}
],
"explanation": "Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :\nla proportion restante vaut $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$, pour\ntout réel $x \\geqslant 0$.",
"variants": [
{
"statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque\ndemi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux\ninitiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à la moitié d'une\ndemi-vie ?",
"options": [
{
"text": "Environ $70{,}7\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : au bout de $x$ demi-vies, il reste\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$ des noyaux ; avec\n$x = \\dfrac{1}{2}$, on obtient environ $70{,}7\\ \\%$."
},
{
"text": "Environ $75\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne\nretire pas la même quantité à chaque instant."
},
{
"text": "Environ $50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière."
},
{
"text": "Environ $25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{2}$ correspond à $2$\ndemi-vies. L'exposant est ici $\\dfrac{1}{2}$."
}
],
"explanation": "Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :\nla proportion restante vaut $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$, pour\ntout réel $x \\geqslant 0$."
},
{
"statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque\ndemi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux\ninitiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à le tiers d'une\ndemi-vie ?",
"options": [
{
"text": "Environ $79{,}4\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : au bout de $x$ demi-vies, il reste\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$ des noyaux ; avec\n$x = \\dfrac{1}{3}$, on obtient environ $79{,}4\\ \\%$."
},
{
"text": "Environ $83{,}33\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne\nretire pas la même quantité à chaque instant."
},
{
"text": "Environ $50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière."
},
{
"text": "Environ $12{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3}$ correspond à $3$\ndemi-vies. L'exposant est ici $\\dfrac{1}{3}$."
}
],
"explanation": "Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :\nla proportion restante vaut $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$, pour\ntout réel $x \\geqslant 0$."
},
{
"statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque\ndemi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux\ninitiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à le quart d'une\ndemi-vie ?",
"options": [
{
"text": "Environ $84{,}1\\ \\%$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : au bout de $x$ demi-vies, il reste\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$ des noyaux ; avec\n$x = \\dfrac{1}{4}$, on obtient environ $84{,}1\\ \\%$."
},
{
"text": "Environ $87{,}5\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne\nretire pas la même quantité à chaque instant."
},
{
"text": "Environ $50\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière."
},
{
"text": "Environ $6{,}25\\ \\%$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{4}$ correspond à $4$\ndemi-vies. L'exposant est ici $\\dfrac{1}{4}$."
}
],
"explanation": "Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :\nla proportion restante vaut $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x$, pour\ntout réel $x \\geqslant 0$."
}
]
},
{
"id": "q51",
"difficulty": 3,
"skills": [
"moyenne-geometrique",
"representation",
"exposant-non-entier"
],
"title": "Un point intermédiaire",
"partie": "puissances",
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u(0) = 4$ et $u(1) = 9$. Pour\ncompléter son nuage de points par la courbe d'une fonction\nexponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est\nson ordonnée ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 4 \\times \\dfrac{9}{4}^x$, et\n$f(0{,}5) = 4 \\times \\sqrt{\\dfrac{9}{4}} = \\sqrt{4 \\times 9} = 6$,\nla moyenne géométrique de $4$ et $9$."
},
{
"text": "$6{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment\nqui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire."
},
{
"text": "$36$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $4 \\times 9$ n'est qu'une étape ; il faut\nen prendre la racine carrée."
},
{
"text": "$18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique\nest la racine carrée du produit."
}
],
"explanation": "Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée\ndu point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique\n$\\sqrt{u(n) \\times u(n + 1)}$.",
"variants": [
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u(0) = 4$ et $u(1) = 9$. Pour\ncompléter son nuage de points par la courbe d'une fonction\nexponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est\nson ordonnée ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 4 \\times \\dfrac{9}{4}^x$, et\n$f(0{,}5) = 4 \\times \\sqrt{\\dfrac{9}{4}} = \\sqrt{4 \\times 9} = 6$,\nla moyenne géométrique de $4$ et $9$."
},
{
"text": "$6{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment\nqui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire."
},
{
"text": "$36$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $4 \\times 9$ n'est qu'une étape ; il faut\nen prendre la racine carrée."
},
{
"text": "$18$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique\nest la racine carrée du produit."
}
],
"explanation": "Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée\ndu point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique\n$\\sqrt{u(n) \\times u(n + 1)}$."
},
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u(0) = 2$ et $u(1) = 8$. Pour\ncompléter son nuage de points par la courbe d'une fonction\nexponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est\nson ordonnée ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 2 \\times 4^x$, et\n$f(0{,}5) = 2 \\times \\sqrt{4} = \\sqrt{2 \\times 8} = 4$,\nla moyenne géométrique de $2$ et $8$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment\nqui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire."
},
{
"text": "$16$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $2 \\times 8$ n'est qu'une étape ; il faut\nen prendre la racine carrée."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique\nest la racine carrée du produit."
}
],
"explanation": "Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée\ndu point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique\n$\\sqrt{u(n) \\times u(n + 1)}$."
},
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u(0) = 5$ et $u(1) = 20$. Pour\ncompléter son nuage de points par la courbe d'une fonction\nexponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est\nson ordonnée ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 5 \\times 4^x$, et\n$f(0{,}5) = 5 \\times \\sqrt{4} = \\sqrt{5 \\times 20} = 10$,\nla moyenne géométrique de $5$ et $20$."
},
{
"text": "$12{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment\nqui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $5 \\times 20$ n'est qu'une étape ; il faut\nen prendre la racine carrée."
},
{
"text": "$50$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique\nest la racine carrée du produit."
}
],
"explanation": "Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée\ndu point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique\n$\\sqrt{u(n) \\times u(n + 1)}$."
},
{
"statement": "Une suite géométrique vérifie $u(0) = 3$ et $u(1) = 27$. Pour\ncompléter son nuage de points par la courbe d'une fonction\nexponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est\nson ordonnée ?",
"options": [
{
"text": "$9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 3 \\times 9^x$, et\n$f(0{,}5) = 3 \\times \\sqrt{9} = \\sqrt{3 \\times 27} = 9$,\nla moyenne géométrique de $3$ et $27$."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment\nqui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire."
},
{
"text": "$81$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $3 \\times 27$ n'est qu'une étape ; il faut\nen prendre la racine carrée."
},
{
"text": "$40{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique\nest la racine carrée du produit."
}
],
"explanation": "Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée\ndu point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique\n$\\sqrt{u(n) \\times u(n + 1)}$."
}
]
},
{
"id": "q52",
"difficulty": 2,
"skills": [
"seuil",
"lecture-graphique",
"suite-geometrique"
],
"title": "Un seuil lu sur un graphique",
"partie": "suites",
"statement": "Le graphique ci-dessous représente les termes de la suite\n$u(n) = 1\\,000 \\times 0{,}8^n$ et la droite d'équation $y = 300$. À\npartir de quel rang les termes deviennent-ils inférieurs à $300$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (8,10);\n \\draw[->] (0,0) -- (8.6,0) node[below] {$n$};\n \\draw[->] (0,0) -- (0,10.6) node[left] {$u(n)$};\n \\foreach \\x in {1,...,8} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n \\foreach \\y/\\l in {2/200,4/400,6/600,8/800,10/1\\,000} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\l$};\n \\draw[thick,orange!80!black,dashed] (0,3) -- (8.4,3) node[right] {$y = 300$};\n \\foreach \\n in {0,...,8} \\node[circle,fill=blue,inner sep=1.6pt] at (\\n,{10*0.8^\\n}) {};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Neuf points d'abscisses 0 à 8, qui décroissent de plus en plus\nlentement : 1 000 ; 800 ; 640 ; 512 ; 410 ; 328 ; 262 ; 210 ; 168.\nUne droite horizontale pointillée marque l'ordonnée 300 ; le point\nde rang 5 est juste au-dessus, celui de rang 6 juste en dessous.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "À partir du rang $6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point de rang $6$ est le premier sous la droite\n$y = 300$ ; le calcul le confirme, $u(6) \\approx 262$."
},
{
"text": "À partir du rang $5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : $u(5) \\approx 328$, le point de rang $5$ est\nencore au-dessus de la droite."
},
{
"text": "À partir du rang $7$",
"correct": false,
"feedback": "Un rang de trop : dès le rang $6$, le point est sous la droite."
},
{
"text": "Jamais, puisque les termes restent positifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rester positif n'empêche pas de passer sous $300$. Une\ndécroissance exponentielle se rapproche de $0$ autant qu'on veut."
}
],
"explanation": "Un problème de seuil se résout aussi graphiquement : on trace la\ndroite horizontale du seuil et l'on repère le premier point situé de\nl'autre côté. Un calcul à la calculatrice confirme la lecture."
},
{
"id": "q53",
"difficulty": 2,
"skills": [
"representation",
"reconnaissance",
"geometrique"
],
"title": "Reconnaître un nuage géométrique",
"partie": "suites",
"statement": "Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de deux suites\nA et B, toutes deux croissantes. Laquelle peut être une suite\ngéométrique ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.9,yscale=0.55]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (5,12);\n \\draw[->] (0,0) -- (5.6,0) node[below] {$n$};\n \\draw[->] (0,0) -- (0,12.6) node[left] {$u(n)$};\n \\foreach \\x in {1,...,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {2,4,...,12} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\n in {0,...,5} \\node[circle,fill=blue,inner sep=1.8pt] at (\\n,{2+2*\\n}) {};\n \\foreach \\n in {0,...,5} \\node[rectangle,fill=orange!80!black,inner sep=2pt] at (\\n,{1.5^\\n}) {};\n \\node[blue,right] at (5.1,12) {A};\n \\node[orange!80!black,right] at (5.1,7.6) {B};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Deux séries de six points, d'abscisses 0 à 5. Série A (ronds\nbleus) : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12, qui montent toujours de 2. Série B\n(carrés orange) : 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,4 ; 5,1 ; 7,6, dont les écarts\ngrandissent.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La suite B, dont les écarts entre termes consécutifs grandissent",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque terme de B vaut $1{,}5$ fois le précédent ;\nl'écart, proportionnel au terme, grandit. C'est l'allure d'une\ncroissance exponentielle."
},
{
"text": "La suite A, dont les termes montent toujours de la même quantité",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des écarts constants caractérisent une suite\narithmétique. Ici $u(n + 1) = u(n) + 2$ : les points de A sont\nalignés."
},
{
"text": "Les deux, puisqu'elles sont toutes deux croissantes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la croissance ne suffit pas. Une suite géométrique se\nreconnaît à un rapport constant entre termes consécutifs, et A\nne l'a pas : $\\dfrac{4}{2} \\neq \\dfrac{6}{4}$."
},
{
"text": "Aucune, car une suite géométrique est toujours décroissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une suite géométrique à termes positifs de raison\nsupérieure à $1$ est croissante."
}
],
"explanation": "Points alignés : croissance linéaire, suite arithmétique. Écarts qui\ngrandissent dans un rapport constant : croissance exponentielle, suite\ngéométrique."
}
]
}