{ "chapter": { "id": "variation-lineaire", "level": "premiere-tronc-commun", "theme": "Phénomènes d'évolution", "title": "Variation linéaire", "description": "Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang\n$n$, sens de variation, représentation graphique) et fonctions\naffines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :\nmodéliser les croissances à accroissement constant, résoudre\ndes problèmes de seuil.", "parties": [ { "id": "affine", "title": "Fonctions affines" }, { "id": "suites", "title": "Suites arithmétiques" }, { "id": "modeles", "title": "Modéliser et décider" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "reconnaissance", "arithmetique" ], "title": "Reconnaître une croissance linéaire", "partie": "affine", "statement": "Un livret rapporte des intérêts **simples** : chaque année,\nle capital augmente de $20$ euros exactement. La suite des\ncapitaux annuels est :", "options": [ { "text": "Arithmétique, de raison $20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un accroissement **constant** en valeur\nabsolue ($+20$ euros par an) est la signature du modèle\narithmétique (croissance linéaire)." }, { "text": "Géométrique, de raison $20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : géométrique signifierait multiplier par $20$\nchaque année. Ici on **ajoute** un montant fixe." }, { "text": "Géométrique, de raison $1{,}20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\times\\,1{,}20$ modéliserait des intérêts\n**composés** de $20\\ \\%$. Les intérêts simples ajoutent\ntoujours le même montant : modèle arithmétique." }, { "text": "Ni l'une ni l'autre", "correct": false, "feedback": "Erreur : « $+20$ chaque année » est exactement la\ndéfinition d'une suite arithmétique de raison $20$." } ], "explanation": "Croissance linéaire $=$ accroissement constant $=$ suite\narithmétique ($u(n+1) = u(n) + r$). À opposer à la\ncroissance exponentielle (taux constant, suite géométrique)." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "terme-general", "calcul" ], "title": "Terme de rang donné", "partie": "suites", "statement": "Un abonnement coûte $500$ euros à l'ouverture (rang $0$)\npuis $200$ euros par mois : $u(n) = 500 + 200n$. Combien\na-t-on dépensé au total au rang $n = 12$ ?", "options": [ { "text": "$2900$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u(12) = 500 + 200 \\times 12 = 500 +\n2400 = 2900$ euros." }, { "text": "$8400$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $700 \\times 12$ multiplie la somme $500 + 200$\npar $12$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :\n$500 + 200 \\times 12$." }, { "text": "$2700$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur d'indice : $500 + 200 \\times 11 = 2700$\ncorrespond au rang $11$. Au rang $12$ : $2900$." }, { "text": "$700$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $700 = u(1)$ est la dépense au premier mois.\nPour $n = 12$, la formule donne $2900$." } ], "explanation": "Formule explicite d'une suite arithmétique :\n$u(n) = u(0) + n \\times r$. Elle donne directement le terme\nde rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires.", "variants": [ { "statement": "Un abonnement coûte $500$ euros à l'ouverture (rang $0$)\npuis $200$ euros par mois : $u(n) = 500 + 200n$. Combien\na-t-on dépensé au total au rang $n = 12$ ?", "options": [ { "text": "$2900$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u(12) = 500 + 200 \\times 12 = 500 +\n2400 = 2900$ euros." }, { "text": "$8400$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $700 \\times 12$ multiplie la somme $500 + 200$\npar $12$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :\n$500 + 200 \\times 12$." }, { "text": "$2700$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur d'indice : $500 + 200 \\times 11 = 2700$\ncorrespond au rang $11$. Au rang $12$ : $2900$." }, { "text": "$700$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $700 = u(1)$ est la dépense au premier mois.\nPour $n = 12$, la formule donne $2900$." } ], "explanation": "Formule explicite d'une suite arithmétique :\n$u(n) = u(0) + n \\times r$. Elle donne directement le terme\nde rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires." }, { "statement": "Un abonnement coûte $300$ euros à l'ouverture (rang $0$)\npuis $150$ euros par mois : $u(n) = 300 + 150n$. Combien\na-t-on dépensé au total au rang $n = 10$ ?", "options": [ { "text": "$1800$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u(10) = 300 + 150 \\times 10 = 300 +\n1500 = 1800$ euros." }, { "text": "$4500$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $450 \\times 10$ multiplie la somme $300 + 150$\npar $10$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :\n$300 + 150 \\times 10$." }, { "text": "$1650$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur d'indice : $300 + 150 \\times 9 = 1650$\ncorrespond au rang $9$. Au rang $10$ : $1800$." }, { "text": "$450$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $450 = u(1)$ est la dépense au premier mois.\nPour $n = 10$, la formule donne $1800$." } ], "explanation": "Formule explicite d'une suite arithmétique :\n$u(n) = u(0) + n \\times r$. Elle donne directement le terme\nde rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires." }, { "statement": "Un abonnement coûte $800$ euros à l'ouverture (rang $0$)\npuis $120$ euros par mois : $u(n) = 800 + 120n$. Combien\na-t-on dépensé au total au rang $n = 15$ ?", "options": [ { "text": "$2600$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u(15) = 800 + 120 \\times 15 = 800 +\n1800 = 2600$ euros." }, { "text": "$13800$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $920 \\times 15$ multiplie la somme $800 + 120$\npar $15$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :\n$800 + 120 \\times 15$." }, { "text": "$2480$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur d'indice : $800 + 120 \\times 14 = 2480$\ncorrespond au rang $14$. Au rang $15$ : $2600$." }, { "text": "$920$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $920 = u(1)$ est la dépense au premier mois.\nPour $n = 15$, la formule donne $2600$." } ], "explanation": "Formule explicite d'une suite arithmétique :\n$u(n) = u(0) + n \\times r$. Elle donne directement le terme\nde rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires." } ] }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "sens-variation" ], "title": "Sens de variation", "partie": "affine", "statement": "Soit la suite arithmétique définie par $u(n+1) = u(n) - 3$\net $u(0) = 100$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Décroissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la raison $-3$ est négative, chaque\nterme perd $3$ : $100$, $97$, $94$… Le signe de la\nraison commande tout." }, { "text": "Croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u(0) = 100$ est grand, mais le premier terme\nfixe le point de départ, pas la direction. C'est la\n**raison** $-3 < 0$ qui fait descendre la suite." }, { "text": "Constante", "correct": false, "feedback": "Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on\nretire $3$ à chaque rang." }, { "text": "Croissante puis décroissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de\nvariation du début à la fin (ses points sont alignés)." } ], "explanation": "Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,\ndécroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Parallèle\nexact avec le coefficient directeur des fonctions affines." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "representation-graphique" ], "title": "Représentation graphique d'une suite arithmétique", "partie": "affine", "statement": "On représente les termes d'une suite arithmétique par les\npoints de coordonnées $(n\\,;\\,u(n))$. Qu'observe-t-on ?", "options": [ { "text": "Des points alignés sur une droite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'accroissement constant $r$ joue le rôle\nd'un coefficient directeur : les points $(n\\,;\\,u(0) +\nrn)$ suivent la droite $y = rx + u(0)$." }, { "text": "Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'accélération est la signature des suites\n**géométriques** (croissance exponentielle). Le modèle\narithmétique avance à pas constant : alignement." }, { "text": "Une droite continue", "correct": false, "feedback": "Nuance importante : une suite est **discrète**, sa\nreprésentation est un ensemble de points isolés (alignés),\npas un trait continu." }, { "text": "Des points disposés au hasard", "correct": false, "feedback": "Erreur : la régularité du pas $r$ produit au contraire un\nalignement parfait." } ], "explanation": "Suite arithmétique $\\leftrightarrow$ points alignés (version\ndiscrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de\n**reconnaître** une croissance linéaire sur un graphique." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "taux" ], "title": "Taux d'accroissement d'une fonction affine", "partie": "affine", "statement": "Soit la fonction affine $f(x) = 2x + 3$. Quand $x$ augmente\nde $1$, de combien varie $f(x)$ ?", "options": [ { "text": "De $+2$, quelle que soit la valeur de $x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 =\n2$ : variation constante, égale au coefficient de $x$.\nLe taux d'accroissement d'une fonction affine est son\ncoefficient directeur." }, { "text": "De $+3$, quelle que soit la valeur de $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variation est bien constante, mais elle vaut\n$2$ : $3$ est l'**ordonnée à l'origine** (la valeur en\n$x = 0$), pas la variation par unité." }, { "text": "De $+5$, quelle que soit la valeur de $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variation est bien constante, mais $5 = f(1)$\nest une **valeur** de la fonction, pas son accroissement\n(qui vaut $f(1) - f(0) = 5 - 3 = 2$)." }, { "text": "D'une quantité qui dépend de la valeur de $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le propre des fonctions affines :\nl'accroissement par unité est **constant** (c'est même ce\nqui les caractérise). Ici $f(x+1) - f(x) = 2$ pour tout\n$x$." } ], "explanation": "Fonction affine $f(x) = mx + p$ : accroissement constant\n$m$ par unité de $x$ (le taux d'accroissement est le\ncoefficient directeur de la droite). Version continue de la\nsuite arithmétique." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "modelisation", "physique" ], "title": "Degrés Celsius et Fahrenheit", "partie": "modeles", "statement": "La conversion s'écrit $F = 1{,}8\\,C + 32$. Quelle\ntempérature Fahrenheit correspond à $20$ degrés Celsius ?", "options": [ { "text": "$68$ degrés Fahrenheit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1{,}8 \\times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$." }, { "text": "$52$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20 + 32 = 52$ oublie le facteur $1{,}8$\nappliqué aux Celsius." }, { "text": "$36$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $1{,}8 \\times 20 = 36$, mais il reste à\najouter le décalage $+32$." }, { "text": "$93{,}6$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}8 \\times (20 + 32)$ ajoute avant de\nmultiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$." } ], "explanation": "Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$\ncombine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage\nd'origine ($32$). $20$ °C $= 68$ °F.", "variants": [ { "statement": "La conversion s'écrit $F = 1{,}8\\,C + 32$. Quelle\ntempérature Fahrenheit correspond à $20$ degrés Celsius ?", "options": [ { "text": "$68$ degrés Fahrenheit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1{,}8 \\times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$." }, { "text": "$52$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20 + 32 = 52$ oublie le facteur $1{,}8$\nappliqué aux Celsius." }, { "text": "$36$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $1{,}8 \\times 20 = 36$, mais il reste à\najouter le décalage $+32$." }, { "text": "$93{,}6$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}8 \\times (20 + 32)$ ajoute avant de\nmultiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$." } ], "explanation": "Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$\ncombine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage\nd'origine ($32$). $20$ °C $= 68$ °F." }, { "statement": "La conversion s'écrit $F = 1{,}8\\,C + 32$. Quelle\ntempérature Fahrenheit correspond à $35$ degrés Celsius ?", "options": [ { "text": "$95$ degrés Fahrenheit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1{,}8 \\times 35 + 32 = 63 + 32 = 95$." }, { "text": "$67$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $35 + 32 = 67$ oublie le facteur $1{,}8$\nappliqué aux Celsius." }, { "text": "$63$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $1{,}8 \\times 35 = 63$, mais il reste à\najouter le décalage $+32$." }, { "text": "$120{,}6$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}8 \\times (35 + 32)$ ajoute avant de\nmultiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$." } ], "explanation": "Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$\ncombine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage\nd'origine ($32$). $35$ °C $= 95$ °F." }, { "statement": "La conversion s'écrit $F = 1{,}8\\,C + 32$. Quelle\ntempérature Fahrenheit correspond à $10$ degrés Celsius ?", "options": [ { "text": "$50$ degrés Fahrenheit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1{,}8 \\times 10 + 32 = 18 + 32 = 50$." }, { "text": "$42$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 + 32 = 42$ oublie le facteur $1{,}8$\nappliqué aux Celsius." }, { "text": "$18$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $1{,}8 \\times 10 = 18$, mais il reste à\najouter le décalage $+32$." }, { "text": "$75{,}6$ degrés Fahrenheit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}8 \\times (10 + 32)$ ajoute avant de\nmultiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$." } ], "explanation": "Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$\ncombine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage\nd'origine ($32$). $10$ °C $= 50$ °F." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "seuil", "calcul" ], "title": "Problème de seuil linéaire", "partie": "modeles", "statement": "Avec $u(n) = 500 + 200n$ (dépense cumulée au rang $n$), à\npartir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$\neuros ?", "options": [ { "text": "À partir de $n = 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $500 + 200n > 2000 \\Leftrightarrow n >\n7{,}5$ : le premier rang **entier** au-delà est $n = 8$\n($u(8) = 2100$)." }, { "text": "À partir de $n = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u(7) = 1900 < 2000$ : le seuil n'est pas encore\nfranchi au rang $7$." }, { "text": "À partir de $n = 7{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : un rang est un **entier** ; la\nsolution $n > 7{,}5$ de l'inéquation s'arrondit au\npremier entier supérieur : $8$." }, { "text": "Jamais : la suite est bornée", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique de raison positive\ndépasse **tout** seuil (croissance sans plafond, quoique\nlente)." } ], "explanation": "Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre\nl'inéquation $500 + 200n > 2000$, puis prendre le premier\nrang entier convenable : $n = 8$.", "variants": [ { "statement": "Avec $u(n) = 500 + 200n$ (dépense cumulée au rang $n$), à\npartir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$\neuros ?", "options": [ { "text": "À partir de $n = 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $500 + 200n > 2000 \\Leftrightarrow n >\n7{,}5$ : le premier rang **entier** au-delà est $n = 8$\n($u(8) = 2100$)." }, { "text": "À partir de $n = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u(7) = 1900 < 2000$ : le seuil n'est pas encore\nfranchi au rang $7$." }, { "text": "À partir de $n = 7{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : un rang est un **entier** ; la\nsolution $n > 7{,}5$ de l'inéquation s'arrondit au\npremier entier supérieur : $8$." }, { "text": "Jamais : la suite est bornée", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique de raison positive\ndépasse **tout** seuil (croissance sans plafond, quoique\nlente)." } ], "explanation": "Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre\nl'inéquation $500 + 200n > 2000$, puis prendre le premier\nrang entier convenable : $n = 8$." }, { "statement": "Avec $u(n) = 300 + 150n$ (dépense cumulée au rang $n$), à\npartir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $1900$\neuros ?", "options": [ { "text": "À partir de $n = 11$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $300 + 150n > 1900 \\Leftrightarrow n >\n10{,}67$ : le premier rang **entier** au-delà est $n = 11$\n($u(11) = 1950$)." }, { "text": "À partir de $n = 10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u(10) = 1800 < 1900$ : le seuil n'est pas encore\nfranchi au rang $10$." }, { "text": "À partir de $n = 10{,}67$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : un rang est un **entier** ; la\nsolution $n > 10{,}67$ de l'inéquation s'arrondit au\npremier entier supérieur : $11$." }, { "text": "Jamais : la suite est bornée", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique de raison positive\ndépasse **tout** seuil (croissance sans plafond, quoique\nlente)." } ], "explanation": "Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre\nl'inéquation $300 + 150n > 1900$, puis prendre le premier\nrang entier convenable : $n = 11$." }, { "statement": "Avec $u(n) = 400 + 120n$ (dépense cumulée au rang $n$), à\npartir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$\neuros ?", "options": [ { "text": "À partir de $n = 14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $400 + 120n > 2000 \\Leftrightarrow n >\n13{,}33$ : le premier rang **entier** au-delà est $n = 14$\n($u(14) = 2080$)." }, { "text": "À partir de $n = 13$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u(13) = 1960 < 2000$ : le seuil n'est pas encore\nfranchi au rang $13$." }, { "text": "À partir de $n = 13{,}33$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : un rang est un **entier** ; la\nsolution $n > 13{,}33$ de l'inéquation s'arrondit au\npremier entier supérieur : $14$." }, { "text": "Jamais : la suite est bornée", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite arithmétique de raison positive\ndépasse **tout** seuil (croissance sans plafond, quoique\nlente)." } ], "explanation": "Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre\nl'inéquation $400 + 120n > 2000$, puis prendre le premier\nrang entier convenable : $n = 14$." } ] }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "interets", "distinction" ], "title": "Intérêts simples ou composés ?", "partie": "modeles", "statement": "Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts\ncomposés ?", "options": [ { "text": "Simples : linéaire ; composés : exponentiel", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : intérêts simples, le même montant est\najouté chaque année (croissance linéaire, suite\narithmétique, calcul sur le capital initial) ; intérêts\ncomposés, le même pourcentage est appliqué chaque année\nau capital **courant** (croissance exponentielle, suite\ngéométrique)." }, { "text": "Simples : petits montants ; composés : gros montants", "correct": false, "feedback": "Erreur : la distinction porte sur le **mécanisme** de\ncalcul, pas sur la taille des sommes." }, { "text": "Les deux reviennent exactement au même à long terme", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les\ncomposés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus\ngrand sur les simples (linéaires)." }, { "text": "Composés : les intérêts sont versés deux fois par an", "correct": false, "feedback": "Erreur : « composés » signifie que les intérêts\n**produisent eux-mêmes** des intérêts, quelle que soit la\nfréquence de versement." } ], "explanation": "Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts\nsimples $\\to$ arithmétique (linéaire) ; intérêts composés\n$\\to$ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore\nle second." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "economie" ], "title": "Offre, demande et point d'équilibre", "partie": "modeles", "statement": "L'offre est modélisée par $y = 2x + 1$ et la demande par\n$y = -x + 10$ ($x$ : prix unitaire). En quel prix $x$\nl'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?", "options": [ { "text": "$x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2x + 1 = -x + 10 \\Leftrightarrow 3x = 9\n\\Leftrightarrow x = 3$ (et la quantité d'équilibre vaut\n$y = 7$)." }, { "text": "$x = 9$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division : $3x = 9$ donne $x = 3$, pas\n$x = 9$." }, { "text": "$x = 7$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $7$ est l'**ordonnée** du point d'équilibre\n(la quantité), pas le prix $x$." }, { "text": "Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles", "correct": false, "feedback": "Erreur : les pentes $2$ et $-1$ diffèrent : les droites\nse coupent en exactement un point." } ], "explanation": "Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :\nle point d'équilibre est l'intersection des deux droites.\nÉgaler les expressions : $x = 3$, $y = 7$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "coefficient-directeur", "automatisme" ], "title": "Coefficient directeur par deux points", "partie": "affine", "statement": "Une droite passe par les points $(2\\,;\\,5)$ et\n$(6\\,;\\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{13 - 5}{6 - 2} =\n\\dfrac{8}{4} = 2$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : la variation des **ordonnées**\n($8$) se divise par celle des abscisses ($4$)." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $8$ est la variation verticale totale ; le\ncoefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :\n$2$ par unité." }, { "text": "$\\dfrac{9}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{13 + 5}{6 - 2}$ additionne au lieu de\nsoustraire au numérateur. Formule :\n$\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$." } ], "explanation": "Automatisme du programme : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A} = 2$ : la droite monte de $2$ par pas de $1$ vers la\ndroite.", "variants": [ { "statement": "Une droite passe par les points $(2\\,;\\,5)$ et\n$(6\\,;\\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{13 - 5}{6 - 2} =\n\\dfrac{8}{4} = 2$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : la variation des **ordonnées**\n($8$) se divise par celle des abscisses ($4$)." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $8$ est la variation verticale totale ; le\ncoefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :\n$2$ par unité." }, { "text": "$\\dfrac{9}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{13 + 5}{6 - 2}$ additionne au lieu de\nsoustraire au numérateur. Formule :\n$\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$." } ], "explanation": "Automatisme du programme : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A} = 2$ : la droite monte de $2$ par pas de $1$ vers la\ndroite." }, { "statement": "Une droite passe par les points $(1\\,;\\,4)$ et\n$(4\\,;\\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{13 - 4}{4 - 1} =\n\\dfrac{9}{3} = 3$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : la variation des **ordonnées**\n($9$) se divise par celle des abscisses ($3$)." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $9$ est la variation verticale totale ; le\ncoefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($3$) :\n$3$ par unité." }, { "text": "$\\dfrac{17}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{13 + 4}{4 - 1}$ additionne au lieu de\nsoustraire au numérateur. Formule :\n$\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$." } ], "explanation": "Automatisme du programme : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A} = 3$ : la droite monte de $3$ par pas de $1$ vers la\ndroite." }, { "statement": "Une droite passe par les points $(3\\,;\\,2)$ et\n$(7\\,;\\,22)$. Quel est son coefficient directeur ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{22 - 2}{7 - 3} =\n\\dfrac{20}{4} = 5$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : la variation des **ordonnées**\n($20$) se divise par celle des abscisses ($4$)." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $20$ est la variation verticale totale ; le\ncoefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :\n$5$ par unité." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{22 + 2}{7 - 3}$ additionne au lieu de\nsoustraire au numérateur. Formule :\n$\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$." } ], "explanation": "Automatisme du programme : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A} = 5$ : la droite monte de $5$ par pas de $1$ vers la\ndroite." } ] }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "impot", "affine-par-morceaux" ], "title": "Impôt et taux marginal", "partie": "modeles", "statement": "Un barème d'impôt prévoit : $0\\ \\%$ jusqu'à $10\\,000$ euros\nde revenu, puis $30\\ \\%$ sur la partie **au-delà** de\n$10\\,000$ euros. Quel est l'impôt pour un revenu de\n$15\\,000$ euros ?", "options": [ { "text": "$1500$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le taux **marginal** de $30\\ \\%$ ne\ns'applique qu'aux $5000$ euros au-delà de $10\\,000$\neuros : $0{,}3 \\times 5000 = 1500$." }, { "text": "$4500$ euros", "correct": false, "feedback": "L'erreur répandue sur les impôts : $30\\ \\%$ de tout le\nrevenu. Le taux d'une tranche ne s'applique **jamais** à\ntout le revenu, seulement à la partie située dans la\ntranche." }, { "text": "$3000$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $30\\ \\%$ de $10\\,000$ calcule sur la mauvaise\npartie : la première tranche est à $0\\ \\%$, la taxation\nporte sur les $5000$ euros excédentaires." }, { "text": "$0$ euro", "correct": false, "feedback": "Erreur : le revenu ne dépasse le seuil que de $5000$\neuros, mais dès qu'il le dépasse, la partie excédentaire\nest imposée : $1500$ euros ici." } ], "explanation": "Modèle affine **par morceaux** (au programme) : chaque taux\ns'applique à sa tranche. Impôt $= 0{,}3 \\times (15\\,000 -\n10\\,000) = 1500$ euros ; le taux moyen effectif vaut\n$10\\ \\%$, bien moins que le taux marginal de $30\\ \\%$." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "reconnaissance", "modeles" ], "title": "Linéaire ou pas ?", "partie": "affine", "statement": "Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un\nmodèle **linéaire** (suite arithmétique) ?", "options": [ { "text": "Une forêt gagne $50$ hectares chaque année", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : accroissement **constant en valeur\nabsolue** ($+50$ ha/an) : croissance linéaire, suite\narithmétique de raison $50$." }, { "text": "Une population augmente de $2\\ \\%$ chaque année", "correct": false, "feedback": "Erreur : un **taux** constant ($\\times 1{,}02$) définit\nune croissance exponentielle (suite géométrique)." }, { "text": "Un capital est multiplié par $1{,}5$ chaque année", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique\n(exponentiel), pas linéaire." }, { "text": "Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\times \\frac{1}{2}$ répété est une\n**décroissance exponentielle** (demi-vie), pas linéaire." } ], "explanation": "Test de reconnaissance : « $+$ le même **montant** » $\\to$\nlinéaire ; « $\\times$ le même **facteur** » (ou $\\pm$ le même\npourcentage) $\\to$ exponentiel. Diagnostic indispensable\navant tout choix de modèle." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "suite-recurrente-arithmetique" ], "title": "Avancer de terme en terme", "partie": "suites", "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Que\nvaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$35$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois pas de $+5$ depuis $20$ : $25$,\n$30$, $35$ (ou directement $20 + 3 \\times 5$)." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : $u_3$ est atteint en **trois** étapes\ndepuis $u_0$ ($40$ serait $u_4$)." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20 \\times 3$ multiplie le terme initial : la\nsuite AJOUTE $5$ par étape, elle ne multiplie pas." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Arrêt prématuré : $25 = u_1$ : il reste deux pas\njusqu'à $u_3$." } ], "explanation": "Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \\times r$ (ici $20 +\n5n$). Le rang $n$ compte le nombre de **pas** effectués\ndepuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité.", "variants": [ { "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Que\nvaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$35$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois pas de $+5$ depuis $20$ : $25$,\n$30$, $35$ (ou directement $20 + 3 \\times 5$)." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : $u_3$ est atteint en **trois** étapes\ndepuis $u_0$ ($40$ serait $u_4$)." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $20 \\times 3$ multiplie le terme initial : la\nsuite AJOUTE $5$ par étape, elle ne multiplie pas." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Arrêt prématuré : $25 = u_1$ : il reste deux pas\njusqu'à $u_3$." } ], "explanation": "Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \\times r$ (ici $20 +\n5n$). Le rang $n$ compte le nombre de **pas** effectués\ndepuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité." }, { "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 12$ et $u_{n+1} = u_n + 4$. Que\nvaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois pas de $+4$ depuis $12$ : $16$,\n$20$, $24$ (ou directement $12 + 3 \\times 4$)." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : $u_3$ est atteint en **trois** étapes\ndepuis $u_0$ ($28$ serait $u_4$)." }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12 \\times 3$ multiplie le terme initial : la\nsuite AJOUTE $4$ par étape, elle ne multiplie pas." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Arrêt prématuré : $16 = u_1$ : il reste deux pas\njusqu'à $u_3$." } ], "explanation": "Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \\times r$ (ici $12 +\n4n$). Le rang $n$ compte le nombre de **pas** effectués\ndepuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité." }, { "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 7$ et $u_{n+1} = u_n + 9$. Que\nvaut $u_3$ ?", "options": [ { "text": "$34$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois pas de $+9$ depuis $7$ : $16$,\n$25$, $34$ (ou directement $7 + 3 \\times 9$)." }, { "text": "$43$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : $u_3$ est atteint en **trois** étapes\ndepuis $u_0$ ($43$ serait $u_4$)." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 \\times 3$ multiplie le terme initial : la\nsuite AJOUTE $9$ par étape, elle ne multiplie pas." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Arrêt prématuré : $16 = u_1$ : il reste deux pas\njusqu'à $u_3$." } ], "explanation": "Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \\times r$ (ici $7 +\n9n$). Le rang $n$ compte le nombre de **pas** effectués\ndepuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité." } ] }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "pente-negative" ], "title": "Pente négative", "partie": "affine", "statement": "Que dire de la fonction affine $f(x) = -3x + 12$ ?", "options": [ { "text": "Elle est décroissante sur $\\mathbb{R}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur $-3$ est le\ntaux de variation : chaque unité de plus sur $x$ fait\nperdre $3$ à $f(x)$. Négatif, la droite descend, à\nvitesse constante." }, { "text": "Elle est croissante sur $\\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais paramètre : le $12$ positif est la valeur de\ndépart (en $x = 0$) ; le sens de variation se lit sur le\ncoefficient de $x$, ici $-3 < 0$." }, { "text": "Elle est décroissante seulement pour $x > 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une droite garde la même pente partout : elle\ndescend AVANT et APRÈS $4$ ($4$ est juste là où elle\ntraverse zéro)." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une fonction **constante** ($m = 0$)\néchappe au classement : ici $m = -3$ : décroissante." } ], "explanation": "Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux\nd'accroissement constant : $m > 0$ croissance, $m < 0$\ndécroissance, et $|m|$ donne la vitesse. Tout est dans la\npente." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison-tarifs" ], "title": "Deux tarifs à comparer", "partie": "modeles", "statement": "Tarif A : $30$ euros d'abonnement plus $2$ euros par séance.\nTarif B : $5$ euros par séance sans abonnement. À partir de\ncombien de séances le tarif A devient-il avantageux ?", "options": [ { "text": "À partir de $11$ séances (les deux tarifs s'égalent à\n$x = 10$)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $30 + 2x = 5x \\iff x = 10$ : égalité à\n$10$ séances ($50$ euros), et au-delà l'abonnement\nl'emporte ($3$ euros économisés par séance\nsupplémentaire)." }, { "text": "Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de\nl'argent", "correct": false, "feedback": "Erreur : à $1$ séance : $32$ euros contre $5$ : les\n$30$ euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement\nse rentabilise avec le volume." }, { "text": "Jamais : B est toujours moins cher", "correct": false, "feedback": "Erreur : B grimpe de $5$ par séance contre $2$ pour A :\nles droites se croisent (à $x = 10$) et A passe dessous." }, { "text": "À partir de $6$ séances", "correct": false, "feedback": "Contrôle : à $6$ séances : $42$ euros (A) contre $30$\n(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à $10$." } ], "explanation": "Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions\n(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la\ndroite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le\nschéma des choix d'abonnement, forfaits, locations." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "modele-cout" ], "title": "Coût d'un abonnement", "partie": "modeles", "statement": "Une salle de sport coûte $25$ euros d'inscription puis $3$\neuros par séance. Quel est le coût total pour $10$\nséances ?", "options": [ { "text": "$55$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $C(x) = 25 + 3x$, et $C(10) = 25 + 30 =\n55$ : partie fixe + partie proportionnelle." }, { "text": "$30$ euros", "correct": false, "feedback": "Partie fixe oubliée : $3 \\times 10 = 30$ ne compte que\nles séances : l'inscription s'ajoute." }, { "text": "$280$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(25 + 3) \\times 10$ fait payer l'inscription\nà chaque séance : elle ne se paie qu'**une** fois." }, { "text": "$250$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $25 \\times 10$ multiplie la partie fixe : la\nformule est $25 + 3 \\times 10$." } ], "explanation": "Modèle affine du coût : $C(x) = (\\text{fixe}) +\n(\\text{taux}) \\times x$ : la structure de tous les tarifs à\nabonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à\nchaque unité.", "variants": [ { "statement": "Une salle de sport coûte $25$ euros d'inscription puis $3$\neuros par séance. Quel est le coût total pour $10$\nséances ?", "options": [ { "text": "$55$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $C(x) = 25 + 3x$, et $C(10) = 25 + 30 =\n55$ : partie fixe + partie proportionnelle." }, { "text": "$30$ euros", "correct": false, "feedback": "Partie fixe oubliée : $3 \\times 10 = 30$ ne compte que\nles séances : l'inscription s'ajoute." }, { "text": "$280$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(25 + 3) \\times 10$ fait payer l'inscription\nà chaque séance : elle ne se paie qu'**une** fois." }, { "text": "$250$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $25 \\times 10$ multiplie la partie fixe : la\nformule est $25 + 3 \\times 10$." } ], "explanation": "Modèle affine du coût : $C(x) = (\\text{fixe}) +\n(\\text{taux}) \\times x$ : la structure de tous les tarifs à\nabonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à\nchaque unité." }, { "statement": "Une salle de sport coûte $40$ euros d'inscription puis $5$\neuros par séance. Quel est le coût total pour $12$\nséances ?", "options": [ { "text": "$100$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $C(x) = 40 + 5x$, et $C(12) = 40 + 60 =\n100$ : partie fixe + partie proportionnelle." }, { "text": "$60$ euros", "correct": false, "feedback": "Partie fixe oubliée : $5 \\times 12 = 60$ ne compte que\nles séances : l'inscription s'ajoute." }, { "text": "$540$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(40 + 5) \\times 12$ fait payer l'inscription\nà chaque séance : elle ne se paie qu'**une** fois." }, { "text": "$480$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $40 \\times 12$ multiplie la partie fixe : la\nformule est $40 + 5 \\times 12$." } ], "explanation": "Modèle affine du coût : $C(x) = (\\text{fixe}) +\n(\\text{taux}) \\times x$ : la structure de tous les tarifs à\nabonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à\nchaque unité." }, { "statement": "Une salle de sport coûte $15$ euros d'inscription puis $8$\neuros par séance. Quel est le coût total pour $6$\nséances ?", "options": [ { "text": "$63$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $C(x) = 15 + 8x$, et $C(6) = 15 + 48 =\n63$ : partie fixe + partie proportionnelle." }, { "text": "$48$ euros", "correct": false, "feedback": "Partie fixe oubliée : $8 \\times 6 = 48$ ne compte que\nles séances : l'inscription s'ajoute." }, { "text": "$138$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(15 + 8) \\times 6$ fait payer l'inscription\nà chaque séance : elle ne se paie qu'**une** fois." }, { "text": "$90$ euros", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15 \\times 6$ multiplie la partie fixe : la\nformule est $15 + 8 \\times 6$." } ], "explanation": "Modèle affine du coût : $C(x) = (\\text{fixe}) +\n(\\text{taux}) \\times x$ : la structure de tous les tarifs à\nabonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à\nchaque unité." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "retrouver-formule" ], "title": "Retrouver la fonction affine", "partie": "modeles", "statement": "Une fonction affine vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.\nQuelle est son expression ?", "options": [ { "text": "$f(x) = 3x + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : taux $= \\dfrac{16 - 7}{5 - 2} = 3$,\npuis $f(2) = 7$ donne $6 + p = 7$, $p = 1$. Contrôle :\n$f(5) = 16$ ✓." }, { "text": "$f(x) = 3x + 7$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée bâclée : $7$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la\nconstante se calcule : $7 - 3 \\times 2 = 1$." }, { "text": "$f(x) = 9x + 3$", "correct": false, "feedback": "Taux faux : $9$ est l'écart des images seul : le taux le\ndivise par l'écart des antécédents ($3$) : $m = 3$." }, { "text": "$f(x) = \\dfrac{7}{2}x$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $\\dfrac{7}{2}\n\\times 5 = 17{,}5 \\neq 16$ : une fonction affine\ngénérale a aussi une constante." } ], "explanation": "Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \\frac{f(b) -\nf(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux\npoints : c'en est une.", "variants": [ { "statement": "Une fonction affine vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.\nQuelle est son expression ?", "options": [ { "text": "$f(x) = 3x + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : taux $= \\dfrac{16 - 7}{5 - 2} = 3$,\npuis $f(2) = 7$ donne $6 + p = 7$, $p = 1$. Contrôle :\n$f(5) = 16$ ✓." }, { "text": "$f(x) = 3x + 7$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée bâclée : $7$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la\nconstante se calcule : $7 - 3 \\times 2 = 1$." }, { "text": "$f(x) = 9x + 3$", "correct": false, "feedback": "Taux faux : $9$ est l'écart des images seul : le taux le\ndivise par l'écart des antécédents ($3$) : $m = 3$." }, { "text": "$f(x) = \\dfrac{7}{2}x$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $\\dfrac{7}{2}\n\\times 5 = 17{,}5 \\neq 16$ : une fonction affine\ngénérale a aussi une constante." } ], "explanation": "Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \\frac{f(b) -\nf(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux\npoints : c'en est une." }, { "statement": "Une fonction affine vérifie $f(1) = 6$ et $f(3) = 2$.\nQuelle est son expression ?", "options": [ { "text": "$f(x) = -2x + 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : taux $= \\dfrac{2 - 6}{3 - 1} = -2$,\npuis $f(1) = 6$ donne $-2 + p = 6$, $p = 8$. Contrôle :\n$f(3) = 2$ ✓." }, { "text": "$f(x) = -2x + 6$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée bâclée : $6$ est $f(1)$, pas $f(0)$ : la\nconstante se calcule : $6 - -2 \\times 1 = 8$." }, { "text": "$f(x) = -4x + 2$", "correct": false, "feedback": "Taux faux : $-4$ est l'écart des images seul : le taux le\ndivise par l'écart des antécédents ($2$) : $m = -2$." }, { "text": "$f(x) = 6x$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $6\n\\times 3 = 18 \\neq 2$ : une fonction affine\ngénérale a aussi une constante." } ], "explanation": "Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \\frac{f(b) -\nf(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux\npoints : c'en est une." }, { "statement": "Une fonction affine vérifie $f(2) = 1$ et $f(6) = 9$.\nQuelle est son expression ?", "options": [ { "text": "$f(x) = 2x - 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : taux $= \\dfrac{9 - 1}{6 - 2} = 2$,\npuis $f(2) = 1$ donne $4 + p = 1$, $p = -3$. Contrôle :\n$f(6) = 9$ ✓." }, { "text": "$f(x) = 2x + 1$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée bâclée : $1$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la\nconstante se calcule : $1 - 2 \\times 2 = -3$." }, { "text": "$f(x) = 8x + 4$", "correct": false, "feedback": "Taux faux : $8$ est l'écart des images seul : le taux le\ndivise par l'écart des antécédents ($4$) : $m = 2$." }, { "text": "$f(x) = \\dfrac{1}{2}x$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $\\dfrac{1}{2}\n\\times 6 = 3 \\neq 9$ : une fonction affine\ngénérale a aussi une constante." } ], "explanation": "Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \\frac{f(b) -\nf(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux\npoints : c'en est une." } ] }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "valider-modele" ], "title": "Le tableau est-il linéaire ?", "partie": "modeles", "statement": "Un tableau donne : $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$,\n$f(3) = 10$. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?", "options": [ { "text": "Non, le dernier accroissement casse la régularité", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les accroissements valent $+2$, $+2$,\npuis $+3$. Un modèle affine exige des accroissements\n**constants** à pas égal : le passage de $7$ à $10$\ndévie, le modèle est au mieux approximatif." }, { "text": "Oui : les valeurs augmentent régulièrement", "correct": false, "feedback": "Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut\naugmenter du MÊME montant à chaque pas, et $+3 \\neq\n+2$." }, { "text": "Oui : quatre points sont toujours alignés", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou\nplus rarement : ici le quatrième sort de la droite des\ntrois premiers." }, { "text": "Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs\nconstants", "correct": false, "feedback": "Confusion de modèle : le quotient constant caractérise\nle modèle **exponentiel** : le linéaire se teste par les\ndifférences." } ], "explanation": "Test du modèle linéaire : différences constantes à pas\nconstant ($f(x+1) - f(x)$ identiques). Test du modèle\nexponentiel : quotients constants. Deux tests, deux\nmondes : LA distinction structurante de l'année." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "definition" ], "title": "Reconnaître une suite arithmétique", "partie": "suites", "statement": "Parmi ces suites, laquelle est arithmétique ?", "options": [ { "text": "$u_{n+1} = u_n - 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le\nmême nombre, ici $-4$." }, { "text": "$u_{n+1} = 4u_n$", "correct": false, "feedback": "Cette relation multiplie par un facteur constant : la suite est\ngéométrique, pas arithmétique." }, { "text": "$u_{n+1} = u_n + n$", "correct": false, "feedback": "Ce qu'on ajoute change à chaque rang, donc l'accroissement n'est pas\nconstant." }, { "text": "$u_{n+1} = u_n^2$", "correct": false, "feedback": "Cette relation élève au carré : les écarts entre termes consécutifs\nvarient très vite." } ], "explanation": "Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes\nconsécutifs est constante. Cette différence est la raison de la suite." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "raison" ], "title": "Retrouver la raison", "partie": "suites", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 7$ et $u_{8} = 22$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5$ pas séparent les rangs $3$ et $8$, donc\n$r = \\dfrac{22 - 7}{5}$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $15$ est l'écart total entre les deux termes, à\nrépartir sur $5$ pas." }, { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas mal compté : de $u_{3}$ à $u_{8}$, il y en a\n$8 - 3 = 5$, et non $8 - 3 + 1$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son\nrésultat." } ], "explanation": "Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p + (q - p)r$. La\nraison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des\nrangs.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 7$ et $u_{8} = 22$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5$ pas séparent les rangs $3$ et $8$, donc\n$r = \\dfrac{22 - 7}{5}$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $15$ est l'écart total entre les deux termes, à\nrépartir sur $5$ pas." }, { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas mal compté : de $u_{3}$ à $u_{8}$, il y en a\n$8 - 3 = 5$, et non $8 - 3 + 1$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son\nrésultat." } ], "explanation": "Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p + (q - p)r$. La\nraison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des\nrangs." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{2} = 11$ et $u_{8} = 41$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6$ pas séparent les rangs $2$ et $8$, donc\n$r = \\dfrac{41 - 11}{6}$." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $30$ est l'écart total entre les deux termes, à\nrépartir sur $6$ pas." }, { "text": "$\\dfrac{30}{7}$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas mal compté : de $u_{2}$ à $u_{8}$, il y en a\n$8 - 2 = 6$, et non $8 - 2 + 1$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son\nrésultat." } ], "explanation": "Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p + (q - p)r$. La\nraison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des\nrangs." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{4} = 30$ et $u_{7} = 18$.\nQuelle est sa raison ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3$ pas séparent les rangs $4$ et $7$, donc\n$r = \\dfrac{18 - 30}{3}$." }, { "text": "$-12$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $-12$ est l'écart total entre les deux termes, à\nrépartir sur $3$ pas." }, { "text": "$-3$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas mal compté : de $u_{4}$ à $u_{7}$, il y en a\n$7 - 4 = 3$, et non $7 - 4 + 1$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son\nrésultat." } ], "explanation": "Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p + (q - p)r$. La\nraison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des\nrangs." } ] }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "suite-arithmetique", "seuil" ], "title": "Franchir un seuil", "partie": "suites", "statement": "Une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $-3$\ndevient négative à partir de quel rang ?", "options": [ { "text": "Du rang $17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = 50 - 3n$ s'annule pour $n \\approx 16{,}7$, et\n$u_{17} = -1$." }, { "text": "Du rang $16$", "correct": false, "feedback": "Le terme $u_{16}$ vaut encore $2$, donc il reste positif." }, { "text": "Du rang $18$", "correct": false, "feedback": "La suite est déjà négative au rang $17$, où elle vaut $-1$." }, { "text": "Du rang $50$", "correct": false, "feedback": "Premier terme confondu avec un rang : $50$ est la valeur de départ,\npas un numéro de terme." } ], "explanation": "On écrit le terme général $u_n = u_0 + nr$, on résout l'inéquation\ncorrespondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $-3$\ndevient négative à partir de quel rang ?", "options": [ { "text": "Du rang $17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = 50 - 3n$ s'annule pour $n \\approx 16{,}7$, et\n$u_{17} = -1$." }, { "text": "Du rang $16$", "correct": false, "feedback": "Le terme $u_{16}$ vaut encore $2$, donc il reste positif." }, { "text": "Du rang $18$", "correct": false, "feedback": "La suite est déjà négative au rang $17$, où elle vaut $-1$." }, { "text": "Du rang $50$", "correct": false, "feedback": "Premier terme confondu avec un rang : $50$ est la valeur de départ,\npas un numéro de terme." } ], "explanation": "On écrit le terme général $u_n = u_0 + nr$, on résout l'inéquation\ncorrespondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie." }, { "statement": "Une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 40$ et de raison $-6$\ndevient négative à partir de quel rang ?", "options": [ { "text": "Du rang $7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = 40 - 6n$ s'annule pour $n \\approx 6{,}7$, et\n$u_{7} = -2$." }, { "text": "Du rang $6$", "correct": false, "feedback": "Le terme $u_{6}$ vaut encore $4$, donc il reste positif." }, { "text": "Du rang $8$", "correct": false, "feedback": "La suite est déjà négative au rang $7$, où elle vaut $-2$." }, { "text": "Du rang $40$", "correct": false, "feedback": "Premier terme confondu avec un rang : $40$ est la valeur de départ,\npas un numéro de terme." } ], "explanation": "On écrit le terme général $u_n = u_0 + nr$, on résout l'inéquation\ncorrespondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie." }, { "statement": "Une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $-7$\ndevient négative à partir de quel rang ?", "options": [ { "text": "Du rang $15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = 100 - 7n$ s'annule pour $n \\approx 14{,}3$, et\n$u_{15} = -5$." }, { "text": "Du rang $14$", "correct": false, "feedback": "Le terme $u_{14}$ vaut encore $2$, donc il reste positif." }, { "text": "Du rang $16$", "correct": false, "feedback": "La suite est déjà négative au rang $15$, où elle vaut $-5$." }, { "text": "Du rang $100$", "correct": false, "feedback": "Premier terme confondu avec un rang : $100$ est la valeur de départ,\npas un numéro de terme." } ], "explanation": "On écrit le terme général $u_n = u_0 + nr$, on résout l'inéquation\ncorrespondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie." } ] }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "modelisation" ], "title": "Un forfait et un prix à l'unité", "partie": "affine", "statement": "Un service coûte $15$ euros d'abonnement mensuel plus $0{,}40$ euro\npar communication. Quelle fonction modélise la dépense mensuelle ?", "options": [ { "text": "$f(x) = 0{,}4x + 15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le prix unitaire est le coefficient directeur et\nl'abonnement l'ordonnée à l'origine." }, { "text": "$f(x) = 15x + 0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : l'abonnement est payé une fois, il ne se multiplie\npas par le nombre de communications." }, { "text": "$f(x) = 15{,}4x$", "correct": false, "feedback": "Termes fusionnés : pour dix communications, cette formule donnerait\n$154$ euros au lieu de $19$." }, { "text": "$f(x) = 0{,}4(x + 15)$", "correct": false, "feedback": "Le prix unitaire s'appliquerait à l'abonnement : pour $x = 0$, la\ndépense serait de $6$ euros et non de $15$." } ], "explanation": "Une situation à coût fixe plus coût proportionnel se modélise par une\nfonction affine. La partie fixe se lit en ordonnée à l'origine, la partie\nproportionnelle dans le coefficient directeur." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "representation" ], "title": "Points alignés", "partie": "suites", "statement": "Pourquoi les points représentant une suite arithmétique sont-ils\nalignés ?", "options": [ { "text": "Parce que l'accroissement est constant", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : passer d'un rang au suivant décale toujours de la même\nhauteur, ce qui dessine une droite." }, { "text": "Parce que les termes sont tous positifs", "correct": false, "feedback": "Le signe n'intervient pas : une suite de raison négative donne des\npoints alignés qui descendent." }, { "text": "Parce que la suite est croissante", "correct": false, "feedback": "L'alignement vaut aussi pour une suite décroissante, et même pour une\nsuite constante." }, { "text": "Parce que les rangs sont des entiers", "correct": false, "feedback": "Les rangs sont entiers pour toute suite, y compris géométrique, dont\nles points ne sont pas alignés." } ], "explanation": "Le terme général $u_n = u_0 + nr$ est une expression affine en $n$. Les\npoints de la représentation appartiennent donc à une droite de coefficient\ndirecteur $r$." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "suite-arithmetique", "modelisation" ], "title": "Des allumettes pour un motif en T", "partie": "suites", "statement": "On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le\nmotif n° $1$ en compte $5$, et on ajoute $3$ allumettes pour passer\nd'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° $20$ ?", "options": [ { "text": "$62$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : du motif n° $1$ au motif n° $20$, on ajoute\n$19$ fois $3$ allumettes, soit $5 + 3 \\times 19 = 62$.\n" }, { "text": "$65$", "correct": false, "feedback": "Décalage de rang : $5 + 3 \\times 20$ ajoute une fois de trop\nles $3$ allumettes, car le motif n° $1$ en compte déjà $5$.\n" }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Premier terme oublié : $3 \\times 20$ ne compte que les ajouts,\nsans les $5$ allumettes du départ.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $5 \\times 20$ reviendrait\nà ajouter $5$ allumettes à chaque motif, et non $3$.\n" } ], "explanation": "Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier\nterme $u(1) = 5$ et de raison $3$ : $u(n) = 5 + 3(n - 1)$, donc\n$u(20) = 62$.", "variants": [ { "statement": "On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le\nmotif n° $1$ en compte $5$, et on ajoute $3$ allumettes pour passer\nd'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° $20$ ?", "options": [ { "text": "$62$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : du motif n° $1$ au motif n° $20$, on ajoute\n$19$ fois $3$ allumettes, soit $5 + 3 \\times 19 = 62$.\n" }, { "text": "$65$", "correct": false, "feedback": "Décalage de rang : $5 + 3 \\times 20$ ajoute une fois de trop\nles $3$ allumettes, car le motif n° $1$ en compte déjà $5$.\n" }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Premier terme oublié : $3 \\times 20$ ne compte que les ajouts,\nsans les $5$ allumettes du départ.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $5 \\times 20$ reviendrait\nà ajouter $5$ allumettes à chaque motif, et non $3$.\n" } ], "explanation": "Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier\nterme $u(1) = 5$ et de raison $3$ : $u(n) = 5 + 3(n - 1)$, donc\n$u(20) = 62$." }, { "statement": "On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le\nmotif n° $1$ en compte $6$, et on ajoute $4$ allumettes pour passer\nd'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° $25$ ?", "options": [ { "text": "$102$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : du motif n° $1$ au motif n° $25$, on ajoute\n$24$ fois $4$ allumettes, soit $6 + 4 \\times 24 = 102$.\n" }, { "text": "$106$", "correct": false, "feedback": "Décalage de rang : $6 + 4 \\times 25$ ajoute une fois de trop\nles $4$ allumettes, car le motif n° $1$ en compte déjà $6$.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Premier terme oublié : $4 \\times 25$ ne compte que les ajouts,\nsans les $6$ allumettes du départ.\n" }, { "text": "$150$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $6 \\times 25$ reviendrait\nà ajouter $6$ allumettes à chaque motif, et non $4$.\n" } ], "explanation": "Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier\nterme $u(1) = 6$ et de raison $4$ : $u(n) = 6 + 4(n - 1)$, donc\n$u(25) = 102$." }, { "statement": "On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le\nmotif n° $1$ en compte $7$, et on ajoute $5$ allumettes pour passer\nd'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° $10$ ?", "options": [ { "text": "$52$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : du motif n° $1$ au motif n° $10$, on ajoute\n$9$ fois $5$ allumettes, soit $7 + 5 \\times 9 = 52$.\n" }, { "text": "$57$", "correct": false, "feedback": "Décalage de rang : $7 + 5 \\times 10$ ajoute une fois de trop\nles $5$ allumettes, car le motif n° $1$ en compte déjà $7$.\n" }, { "text": "$50$", "correct": false, "feedback": "Premier terme oublié : $5 \\times 10$ ne compte que les ajouts,\nsans les $7$ allumettes du départ.\n" }, { "text": "$70$", "correct": false, "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $7 \\times 10$ reviendrait\nà ajouter $7$ allumettes à chaque motif, et non $5$.\n" } ], "explanation": "Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier\nterme $u(1) = 7$ et de raison $5$ : $u(n) = 7 + 5(n - 1)$, donc\n$u(10) = 52$." } ] }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "resolution" ], "title": "Quand le second tarif devient avantageux", "partie": "affine", "statement": "Le tarif A coûte $0{,}5x + 20$ euros, le tarif B $0{,}9x + 8$ euros.\nÀ partir de quelle valeur de $x$ le tarif A est-il le moins cher ?", "options": [ { "text": "À partir de $x = 30$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $0{,}5x + 20 = 0{,}9x + 8$ donne $x = 30$,\net A croît moins vite ensuite." }, { "text": "À partir de $x = 12$", "correct": false, "feedback": "Écart des parties fixes : $20 - 8 = 12$ ne tient pas compte des prix\nunitaires." }, { "text": "À partir de $x = 20$", "correct": false, "feedback": "Partie fixe recopiée : pour $x = 20$, A coûte $30$ euros et B $26$\neuros, donc B reste avantageux." }, { "text": "Jamais, B est toujours moins cher", "correct": false, "feedback": "Pour $x = 100$, A coûte $70$ euros et B $98$ euros : l'ordre finit par\ns'inverser." } ], "explanation": "Comparer deux tarifs affines revient à résoudre une équation, puis à\ndécider de part et d'autre du point d'égalité en comparant les\ncoefficients directeurs." }, { "id": "q26", "difficulty": 1, "skills": [ "suite-arithmetique", "variations" ], "title": "Signe de la raison", "partie": "suites", "statement": "Que peut-on dire d'une suite arithmétique de raison nulle ?", "options": [ { "text": "Elle est constante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ajouter $0$ à chaque étape laisse tous les termes\négaux au premier." }, { "text": "Elle est croissante", "correct": false, "feedback": "La croissance stricte exigerait une raison strictement positive." }, { "text": "Elle est décroissante", "correct": false, "feedback": "La décroissance stricte exigerait une raison strictement négative." }, { "text": "Elle n'est pas définie", "correct": false, "feedback": "Une raison nulle est parfaitement admissible : la suite vaut alors\ntoujours son premier terme." } ], "explanation": "Le signe de la raison donne le sens de variation : positive la suite\ncroît, négative elle décroît, nulle elle est constante." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "taux-accroissement" ], "title": "Taux d'accroissement entre deux valeurs", "partie": "affine", "statement": "Pour une fonction affine, on lit $f(2) = 5$ et $f(6) = 17$.\nQuel est son coefficient directeur ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{17 - 5}{6 - 2} = \\dfrac{12}{4} = 3$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $12$ est la variation de $f$, qu'il reste à\nrapporter à celle de $x$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Variation de $x$ recopiée : elle sert de dénominateur au calcul." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le numérateur est la variation des images, le\ndénominateur celle des nombres de départ." } ], "explanation": "Pour une fonction affine, le taux d'accroissement entre deux valeurs est\nconstant et vaut le coefficient directeur. C'est ce qui caractérise une\ncroissance linéaire." }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "suite-arithmetique" ], "title": "Linéaire ou exponentiel", "partie": "modeles", "statement": "Une population perd chaque année $200$ habitants.\nQuel modèle décrit cette évolution ?", "options": [ { "text": "Une suite arithmétique de raison $-200$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la perte est un nombre fixe d'habitants, donc une\nsoustraction constante." }, { "text": "Une suite géométrique de raison $0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Ce modèle correspondrait à une perte de $20$ % par an, donc à un\nnombre d'habitants perdus qui diminue avec le temps." }, { "text": "Une suite géométrique de raison $-200$", "correct": false, "feedback": "Une raison géométrique multiplie les termes ; négative, elle ferait\nalterner le signe de la population." }, { "text": "Une suite arithmétique de raison $0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Cette suite perdrait seulement $0{,}8$ habitant par an, ce qui ne\ncorrespond pas à l'énoncé." } ], "explanation": "Une variation d'un nombre fixe d'unités par période relève du modèle\nlinéaire. Une variation d'un pourcentage fixe relève du modèle\nexponentiel." }, { "id": "q29", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-arithmetique", "terme-general" ], "title": "Du premier terme au terme général", "partie": "suites", "statement": "Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 4$ et pour raison\n$6$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?", "options": [ { "text": "$u_n = 4 + 6n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : après $n$ pas de $6$ à partir de $4$, on a ajouté\n$6n$." }, { "text": "$u_n = 6 + 4n$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le premier terme est la constante, la raison le\ncoefficient de $n$." }, { "text": "$u_n = 4 \\times 6^n$", "correct": false, "feedback": "Modèle géométrique : la raison se multiplierait au lieu de s'ajouter." }, { "text": "$u_n = 4 + 6(n - 1)$", "correct": false, "feedback": "Formule du premier terme de rang $1$ : ici la suite commence au rang\n$0$, donc $u_0$ doit valoir $4$." } ], "explanation": "Pour une suite arithmétique commençant au rang $0$, on a\n$u_n = u_0 + nr$. Si elle commence au rang $1$, la formule devient\n$u_n = u_1 + (n-1)r$." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "lecture-graphique" ], "title": "Deux droites parallèles, deux tarifs", "partie": "affine", "statement": "Deux tarifs sont représentés par des droites parallèles.\nQue peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "Leur écart de prix reste constant", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : des pentes égales signifient une même augmentation par\nunité, donc un écart qui ne bouge pas." }, { "text": "Les deux tarifs finissent par se croiser", "correct": false, "feedback": "Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point commun, quel que\nsoit le nombre d'unités." }, { "text": "Le moins cher au départ devient le plus cher", "correct": false, "feedback": "L'ordre ne peut pas s'inverser : l'écart garde le même signe partout." }, { "text": "Les deux tarifs ont le même abonnement", "correct": false, "feedback": "Ce sont les ordonnées à l'origine qui diffèrent, c'est même ce qui\nrend les droites distinctes." } ], "explanation": "Deux fonctions affines de même coefficient directeur diffèrent d'une\nconstante. Leur comparaison est décidée une fois pour toutes, sans point\nd'égalité." }, { "id": "q31", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-recurrente-arithmetique", "arithmetique" ], "title": "Remonter jusqu'au premier terme", "partie": "suites", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n - 4$ pour tout entier\n$n$, et l'on sait que $u_{5} = 3$. Que vaut son premier terme\n$u_0$ ?", "options": [ { "text": "$23$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque pas en avant retire $4$, donc chaque pas\nen arrière ajoute $4$. De $u_0$ à $u_{5}$ il y a $5$ pas,\nd'où $u_0 = 3 + 5 \\times 4 = 23$." }, { "text": "$-17$", "correct": false, "feedback": "Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers\n$u_0$ ajoute $4$ à chaque pas au lieu de le retrancher." }, { "text": "$19$", "correct": false, "feedback": "Un pas oublié : de $u_0$ à $u_{5}$, la suite effectue $5$\nétapes et non $4$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a\nd'étapes, elle ne multiplie jamais le terme." } ], "explanation": "La relation $u_{n+1} = u_n + r$ se parcourt dans les deux sens : vers\nl'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre\nd'étapes est l'écart des rangs.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n - 4$ pour tout entier\n$n$, et l'on sait que $u_{5} = 3$. Que vaut son premier terme\n$u_0$ ?", "options": [ { "text": "$23$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque pas en avant retire $4$, donc chaque pas\nen arrière ajoute $4$. De $u_0$ à $u_{5}$ il y a $5$ pas,\nd'où $u_0 = 3 + 5 \\times 4 = 23$." }, { "text": "$-17$", "correct": false, "feedback": "Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers\n$u_0$ ajoute $4$ à chaque pas au lieu de le retrancher." }, { "text": "$19$", "correct": false, "feedback": "Un pas oublié : de $u_0$ à $u_{5}$, la suite effectue $5$\nétapes et non $4$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a\nd'étapes, elle ne multiplie jamais le terme." } ], "explanation": "La relation $u_{n+1} = u_n + r$ se parcourt dans les deux sens : vers\nl'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre\nd'étapes est l'écart des rangs." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n - 6$ pour tout entier\n$n$, et l'on sait que $u_{4} = 10$. Que vaut son premier terme\n$u_0$ ?", "options": [ { "text": "$34$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque pas en avant retire $6$, donc chaque pas\nen arrière ajoute $6$. De $u_0$ à $u_{4}$ il y a $4$ pas,\nd'où $u_0 = 10 + 4 \\times 6 = 34$." }, { "text": "$-14$", "correct": false, "feedback": "Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers\n$u_0$ ajoute $6$ à chaque pas au lieu de le retrancher." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Un pas oublié : de $u_0$ à $u_{4}$, la suite effectue $4$\nétapes et non $3$." }, { "text": "$60$", "correct": false, "feedback": "Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a\nd'étapes, elle ne multiplie jamais le terme." } ], "explanation": "La relation $u_{n+1} = u_n + r$ se parcourt dans les deux sens : vers\nl'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre\nd'étapes est l'écart des rangs." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n - 3$ pour tout entier\n$n$, et l'on sait que $u_{7} = -2$. Que vaut son premier terme\n$u_0$ ?", "options": [ { "text": "$19$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque pas en avant retire $3$, donc chaque pas\nen arrière ajoute $3$. De $u_0$ à $u_{7}$ il y a $7$ pas,\nd'où $u_0 = -2 + 7 \\times 3 = 19$." }, { "text": "$-23$", "correct": false, "feedback": "Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers\n$u_0$ ajoute $3$ à chaque pas au lieu de le retrancher." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Un pas oublié : de $u_0$ à $u_{7}$, la suite effectue $7$\nétapes et non $6$." }, { "text": "$-6$", "correct": false, "feedback": "Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a\nd'étapes, elle ne multiplie jamais le terme." } ], "explanation": "La relation $u_{n+1} = u_n + r$ se parcourt dans les deux sens : vers\nl'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre\nd'étapes est l'écart des rangs." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "raison" ], "title": "L'égalité qui définit la raison", "partie": "affine", "statement": "Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. Quelle égalité\ntraduit exactement cette définition ?", "options": [ { "text": "$u_{n+1} - u_n = r$ pour tout entier $n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la raison est la différence entre un terme et le\nprécédent, et cette différence ne change jamais de rang en rang." }, { "text": "$\\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = r$ pour tout entier $n$", "correct": false, "feedback": "Quotient constant : cette égalité définit une suite géométrique,\noù l'on multiplie par la raison au lieu de l'ajouter." }, { "text": "$u_{n+1} - u_n = n$ pour tout entier $n$", "correct": false, "feedback": "Accroissement variable : ici l'écart grandit avec le rang, alors\nqu'une suite arithmétique avance toujours du même pas." }, { "text": "$u_n - u_0 = r$ pour tout entier $n$", "correct": false, "feedback": "Une seule étape comptée : cet écart vaut $r$ au rang $1$, mais\n$n \\times r$ au rang $n$." } ], "explanation": "Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes\nconsécutifs est la même pour tous les rangs. Cette différence commune\nporte le nom de raison." }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "sens-variation", "variations" ], "title": "Conclure sans calculer la raison", "partie": "affine", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 40$ et $u_{10} = 12$. Sans\ncalculer sa raison, que peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "Elle décroît, un rang plus grand donnant un terme plus petit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les termes d'une suite arithmétique évoluent\ntoujours dans le même sens, donc une seule comparaison suffit à\nconclure." }, { "text": "Elle croît, puisque le rang passe de $3$ à $10$ dans le relevé", "correct": false, "feedback": "Le rang augmente toujours : c'est l'évolution des termes, et non\ncelle des rangs, qui donne le sens de variation." }, { "text": "Elle est constante, puisque ses deux termes restent positifs", "correct": false, "feedback": "Le signe des termes n'intervient pas : une suite constante aurait\ndeux termes égaux, ce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "On ne peut rien affirmer sans connaître le premier terme $u_0$", "correct": false, "feedback": "Le premier terme fixe le point de départ, pas la direction : deux\ntermes suffisent pour trancher." } ], "explanation": "Une suite arithmétique garde le même sens de variation du début à la\nfin. Comparer deux de ses termes donne donc immédiatement ce sens,\nsans passer par le calcul de la raison." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "representation", "pente-negative" ], "title": "Une droite qui descend", "partie": "suites", "statement": "Les points ci-dessous représentent une suite arithmétique : ils sont\nalignés sur une droite qui descend. Que peut-on dire de sa raison ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (6,10);\n \\draw[->] (0,0) -- (6.6,0) node[below] {$n$};\n \\draw[->] (0,0) -- (0,10.6) node[left] {$u(n)$};\n \\foreach \\x in {1,...,6} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {2,4,...,10} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\n in {0,...,5} \\fill[blue] (\\n,{9-1.5*\\n}) circle (0.12);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Six points d'abscisses 0 à 5 et d'ordonnées 9 ; 7,5 ; 6 ; 4,5 ;\n3 et 1,5 : ils descendent régulièrement, alignés.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "Elle est strictement négative", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la raison joue le rôle du coefficient directeur.\nNégative, elle fait perdre la même hauteur à chaque rang." }, { "text": "Elle est strictement positive", "correct": false, "feedback": "Une raison positive fait monter les points d'un rang au suivant,\ndonc donne une droite qui monte." }, { "text": "Elle est nulle, la droite étant tracée", "correct": false, "feedback": "Une raison nulle donnerait des points à la même hauteur, alignés\nsur une droite horizontale." }, { "text": "Son premier terme est négatif", "correct": false, "feedback": "Le premier terme situe la droite en hauteur, alors que la raison\nen donne l'inclinaison." } ], "explanation": "La raison d'une suite arithmétique se lit comme le coefficient\ndirecteur de la droite des points : positive elle monte, négative elle\ndescend, nulle elle reste horizontale." }, { "id": "q35", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "comparaison-tarifs" ], "title": "Deux tarifs lus sur un graphique", "partie": "affine", "statement": "Sur le graphique ci-dessous, les droites de deux tarifs A et B se\ncoupent au point de coordonnées $(20\\,;\\,44)$. Avant ce point, la\ndroite de A est au-dessus de celle de B. Quel tarif choisir pour $30$\nunités ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid (7,8);\n \\draw[->] (0,0) -- (7.5,0) node[right] {unités};\n \\draw[->] (0,0) -- (0,8.5) node[above] {prix (€)};\n \\foreach \\x/\\l in {2/10,4/20,6/30} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\l$};\n \\foreach \\y/\\l in {2/20,4/40,6/60,8/80} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\l$};\n \\draw[thick,blue] (0,2.8) -- (7,5.6) node[right] {A};\n \\draw[thick,orange!80!black] (0,0) -- (7,7.7) node[right] {B};\n \\draw[dashed] (4,0) -- (4,4.4) -- (0,4.4);\n \\fill (4,4.4) circle (0.08);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Deux droites. La droite A part de (0 ; 28) et monte lentement ; la\ndroite B part de l'origine et monte plus vite. Elles se coupent au\npoint (20 ; 44) ; avant 20 unités A est au-dessus de B, après elle\nest en dessous.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "Le tarif A, passé en dessous au-delà de $20$ unités", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux droites qui se croisent échangent leurs\npositions. A étant au-dessus avant $20$ unités, elle passe en\ndessous après, et devient le tarif le moins cher." }, { "text": "Le tarif B, moins cher quel que soit le nombre d'unités", "correct": false, "feedback": "B n'est le moins cher qu'avant le croisement : au-delà de $20$\nunités, la position des deux droites s'inverse." }, { "text": "Les deux, qui coûtent tous deux $44$ euros", "correct": false, "feedback": "Le point d'intersection ne vaut que pour $20$ unités : les deux\ntarifs coïncident là, et nulle part ailleurs." }, { "text": "Impossible de conclure sans les deux expressions", "correct": false, "feedback": "Le graphique suffit : le point d'intersection et la position\nrelative avant celui-ci déterminent entièrement la réponse." } ], "explanation": "Comparer deux tarifs affines revient à repérer leur point\nd'intersection, puis à observer laquelle des deux droites passe en\ndessous de part et d'autre de ce point." }, { "id": "q36", "difficulty": 1, "skills": [ "coefficient-directeur", "automatisme" ], "title": "Coefficient directeur dans une écriture inhabituelle", "partie": "affine", "statement": "Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation\n$y = 9 - 4x$ ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui\nmultiplie $x$, avec son signe. En écrivant $y = -4x + 9$, il\napparaît clairement." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme s'écrit $- 4x$, donc le coefficient\ndirecteur vaut $-4$ et la droite descend." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Termes confondus : $9$ est le terme constant, c'est-à-dire\nl'ordonnée à l'origine de la droite." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de $x$ qui porte le\nsigne moins, pas le terme constant." } ], "explanation": "Une équation réduite s'écrit $y = mx + p$. Quand les deux termes sont\nprésentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie $x$\net lui conserver son signe.", "variants": [ { "statement": "Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation\n$y = 9 - 4x$ ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui\nmultiplie $x$, avec son signe. En écrivant $y = -4x + 9$, il\napparaît clairement." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme s'écrit $- 4x$, donc le coefficient\ndirecteur vaut $-4$ et la droite descend." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Termes confondus : $9$ est le terme constant, c'est-à-dire\nl'ordonnée à l'origine de la droite." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de $x$ qui porte le\nsigne moins, pas le terme constant." } ], "explanation": "Une équation réduite s'écrit $y = mx + p$. Quand les deux termes sont\nprésentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie $x$\net lui conserver son signe." }, { "statement": "Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation\n$y = 12 - 3x$ ?", "options": [ { "text": "$-3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui\nmultiplie $x$, avec son signe. En écrivant $y = -3x + 12$, il\napparaît clairement." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme s'écrit $- 3x$, donc le coefficient\ndirecteur vaut $-3$ et la droite descend." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Termes confondus : $12$ est le terme constant, c'est-à-dire\nl'ordonnée à l'origine de la droite." }, { "text": "$-12$", "correct": false, "feedback": "Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de $x$ qui porte le\nsigne moins, pas le terme constant." } ], "explanation": "Une équation réduite s'écrit $y = mx + p$. Quand les deux termes sont\nprésentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie $x$\net lui conserver son signe." }, { "statement": "Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation\n$y = 2 - 7x$ ?", "options": [ { "text": "$-7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui\nmultiplie $x$, avec son signe. En écrivant $y = -7x + 2$, il\napparaît clairement." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme s'écrit $- 7x$, donc le coefficient\ndirecteur vaut $-7$ et la droite descend." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Termes confondus : $2$ est le terme constant, c'est-à-dire\nl'ordonnée à l'origine de la droite." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de $x$ qui porte le\nsigne moins, pas le terme constant." } ], "explanation": "Une équation réduite s'écrit $y = mx + p$. Quand les deux termes sont\nprésentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie $x$\net lui conserver son signe." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "taux", "taux-accroissement" ], "title": "Variation sur plusieurs unités", "partie": "suites", "statement": "Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 4x - 7$. De\ncombien $f(x)$ augmente-t-elle lorsque $x$ augmente de $3$ ?", "options": [ { "text": "De $12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque unité gagnée sur $x$ ajoute $4$ à $f(x)$,\ndonc $3$ unités en ajoutent $4 \\times 3 = 12$." }, { "text": "De $4$", "correct": false, "feedback": "Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les\n$3$ unités annoncées." }, { "text": "De $3$", "correct": false, "feedback": "Variation de $x$ recopiée : celle de $f(x)$ s'obtient en la\nmultipliant par le coefficient directeur $4$." }, { "text": "De $5$", "correct": false, "feedback": "Image calculée au lieu d'un écart : $f(3)$ est une valeur de la\nfonction, pas la variation entre deux valeurs." } ], "explanation": "Pour une fonction affine de coefficient directeur $m$, une variation\nde $h$ sur $x$ produit une variation de $m \\times h$ sur les images,\nquelle que soit la valeur de départ.", "variants": [ { "statement": "Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 4x - 7$. De\ncombien $f(x)$ augmente-t-elle lorsque $x$ augmente de $3$ ?", "options": [ { "text": "De $12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque unité gagnée sur $x$ ajoute $4$ à $f(x)$,\ndonc $3$ unités en ajoutent $4 \\times 3 = 12$." }, { "text": "De $4$", "correct": false, "feedback": "Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les\n$3$ unités annoncées." }, { "text": "De $3$", "correct": false, "feedback": "Variation de $x$ recopiée : celle de $f(x)$ s'obtient en la\nmultipliant par le coefficient directeur $4$." }, { "text": "De $5$", "correct": false, "feedback": "Image calculée au lieu d'un écart : $f(3)$ est une valeur de la\nfonction, pas la variation entre deux valeurs." } ], "explanation": "Pour une fonction affine de coefficient directeur $m$, une variation\nde $h$ sur $x$ produit une variation de $m \\times h$ sur les images,\nquelle que soit la valeur de départ." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 6x + 5$. De\ncombien $f(x)$ augmente-t-elle lorsque $x$ augmente de $2$ ?", "options": [ { "text": "De $12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque unité gagnée sur $x$ ajoute $6$ à $f(x)$,\ndonc $2$ unités en ajoutent $6 \\times 2 = 12$." }, { "text": "De $6$", "correct": false, "feedback": "Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les\n$2$ unités annoncées." }, { "text": "De $2$", "correct": false, "feedback": "Variation de $x$ recopiée : celle de $f(x)$ s'obtient en la\nmultipliant par le coefficient directeur $6$." }, { "text": "De $17$", "correct": false, "feedback": "Image calculée au lieu d'un écart : $f(2)$ est une valeur de la\nfonction, pas la variation entre deux valeurs." } ], "explanation": "Pour une fonction affine de coefficient directeur $m$, une variation\nde $h$ sur $x$ produit une variation de $m \\times h$ sur les images,\nquelle que soit la valeur de départ." }, { "statement": "Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 3x - 2$. De\ncombien $f(x)$ augmente-t-elle lorsque $x$ augmente de $5$ ?", "options": [ { "text": "De $15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque unité gagnée sur $x$ ajoute $3$ à $f(x)$,\ndonc $5$ unités en ajoutent $3 \\times 5 = 15$." }, { "text": "De $3$", "correct": false, "feedback": "Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les\n$5$ unités annoncées." }, { "text": "De $5$", "correct": false, "feedback": "Variation de $x$ recopiée : celle de $f(x)$ s'obtient en la\nmultipliant par le coefficient directeur $3$." }, { "text": "De $13$", "correct": false, "feedback": "Image calculée au lieu d'un écart : $f(5)$ est une valeur de la\nfonction, pas la variation entre deux valeurs." } ], "explanation": "Pour une fonction affine de coefficient directeur $m$, une variation\nde $h$ sur $x$ produit une variation de $m \\times h$ sur les images,\nquelle que soit la valeur de départ." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "modele-cout", "affine-par-morceaux" ], "title": "Un tarif à deux paliers", "partie": "modeles", "statement": "Un parking facture $3$ euros la première heure, puis $2$ euros\npar heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de $5$\nheures ?", "options": [ { "text": "$11$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les\n$4$ heures restantes à $2$ euros, d'où\n$3 + 2 \\times 4 = 11$." }, { "text": "$13$ euros", "correct": false, "feedback": "Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par\nle tarif de départ, il reste $4$ heures supplémentaires." }, { "text": "$10$ euros", "correct": false, "feedback": "Premier palier oublié : la première heure est facturée $3$\neuros, et non $2$ euros comme les suivantes." }, { "text": "$25$ euros", "correct": false, "feedback": "Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure\nne se paie qu'une seule fois." } ], "explanation": "Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche\na son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier\npalier et la part proportionnelle des suivants.", "variants": [ { "statement": "Un parking facture $3$ euros la première heure, puis $2$ euros\npar heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de $5$\nheures ?", "options": [ { "text": "$11$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les\n$4$ heures restantes à $2$ euros, d'où\n$3 + 2 \\times 4 = 11$." }, { "text": "$13$ euros", "correct": false, "feedback": "Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par\nle tarif de départ, il reste $4$ heures supplémentaires." }, { "text": "$10$ euros", "correct": false, "feedback": "Premier palier oublié : la première heure est facturée $3$\neuros, et non $2$ euros comme les suivantes." }, { "text": "$25$ euros", "correct": false, "feedback": "Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure\nne se paie qu'une seule fois." } ], "explanation": "Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche\na son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier\npalier et la part proportionnelle des suivants." }, { "statement": "Un parking facture $4$ euros la première heure, puis $3$ euros\npar heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de $6$\nheures ?", "options": [ { "text": "$19$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les\n$5$ heures restantes à $3$ euros, d'où\n$4 + 3 \\times 5 = 19$." }, { "text": "$22$ euros", "correct": false, "feedback": "Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par\nle tarif de départ, il reste $5$ heures supplémentaires." }, { "text": "$18$ euros", "correct": false, "feedback": "Premier palier oublié : la première heure est facturée $4$\neuros, et non $3$ euros comme les suivantes." }, { "text": "$42$ euros", "correct": false, "feedback": "Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure\nne se paie qu'une seule fois." } ], "explanation": "Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche\na son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier\npalier et la part proportionnelle des suivants." }, { "statement": "Un parking facture $5$ euros la première heure, puis $2$ euros\npar heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de $4$\nheures ?", "options": [ { "text": "$11$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les\n$3$ heures restantes à $2$ euros, d'où\n$5 + 2 \\times 3 = 11$." }, { "text": "$13$ euros", "correct": false, "feedback": "Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par\nle tarif de départ, il reste $3$ heures supplémentaires." }, { "text": "$8$ euros", "correct": false, "feedback": "Premier palier oublié : la première heure est facturée $5$\neuros, et non $2$ euros comme les suivantes." }, { "text": "$28$ euros", "correct": false, "feedback": "Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure\nne se paie qu'une seule fois." } ], "explanation": "Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche\na son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier\npalier et la part proportionnelle des suivants." } ] }, { "id": "q39", "difficulty": 3, "skills": [ "impot", "resolution" ], "title": "Retrouver le revenu à partir de l'impôt", "partie": "modeles", "statement": "Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à $2000$ euros de revenu\nmensuel, puis $30\\ \\%$ de la partie située au-delà. Une personne\npaie $900$ euros. Quel est son revenu mensuel ?", "options": [ { "text": "$5000$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $900$ euros représentent $30\\ \\%$ de la\npartie imposable, qui vaut donc $3000$ euros. Le revenu ajoute\nle seuil : $2000 + 3000 = 5000$." }, { "text": "$3000$ euros", "correct": false, "feedback": "Seuil oublié : $3000$ euros est la seule partie imposée, à\nlaquelle s'ajoute la tranche non imposée de $2000$ euros." }, { "text": "$2900$ euros", "correct": false, "feedback": "Impôt ajouté tel quel : il ne représente que $30\\ \\%$ de la\npartie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord." }, { "text": "$2270$ euros", "correct": false, "feedback": "Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut\nremonter au montant dont il représente $30\\ \\%$." } ], "explanation": "Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin\ninverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de\nreconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil.", "variants": [ { "statement": "Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à $2000$ euros de revenu\nmensuel, puis $30\\ \\%$ de la partie située au-delà. Une personne\npaie $900$ euros. Quel est son revenu mensuel ?", "options": [ { "text": "$5000$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $900$ euros représentent $30\\ \\%$ de la\npartie imposable, qui vaut donc $3000$ euros. Le revenu ajoute\nle seuil : $2000 + 3000 = 5000$." }, { "text": "$3000$ euros", "correct": false, "feedback": "Seuil oublié : $3000$ euros est la seule partie imposée, à\nlaquelle s'ajoute la tranche non imposée de $2000$ euros." }, { "text": "$2900$ euros", "correct": false, "feedback": "Impôt ajouté tel quel : il ne représente que $30\\ \\%$ de la\npartie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord." }, { "text": "$2270$ euros", "correct": false, "feedback": "Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut\nremonter au montant dont il représente $30\\ \\%$." } ], "explanation": "Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin\ninverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de\nreconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil." }, { "statement": "Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à $1500$ euros de revenu\nmensuel, puis $20\\ \\%$ de la partie située au-delà. Une personne\npaie $800$ euros. Quel est son revenu mensuel ?", "options": [ { "text": "$5500$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $800$ euros représentent $20\\ \\%$ de la\npartie imposable, qui vaut donc $4000$ euros. Le revenu ajoute\nle seuil : $1500 + 4000 = 5500$." }, { "text": "$4000$ euros", "correct": false, "feedback": "Seuil oublié : $4000$ euros est la seule partie imposée, à\nlaquelle s'ajoute la tranche non imposée de $1500$ euros." }, { "text": "$2300$ euros", "correct": false, "feedback": "Impôt ajouté tel quel : il ne représente que $20\\ \\%$ de la\npartie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord." }, { "text": "$1660$ euros", "correct": false, "feedback": "Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut\nremonter au montant dont il représente $20\\ \\%$." } ], "explanation": "Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin\ninverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de\nreconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil." }, { "statement": "Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à $2500$ euros de revenu\nmensuel, puis $25\\ \\%$ de la partie située au-delà. Une personne\npaie $1200$ euros. Quel est son revenu mensuel ?", "options": [ { "text": "$7300$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1200$ euros représentent $25\\ \\%$ de la\npartie imposable, qui vaut donc $4800$ euros. Le revenu ajoute\nle seuil : $2500 + 4800 = 7300$." }, { "text": "$4800$ euros", "correct": false, "feedback": "Seuil oublié : $4800$ euros est la seule partie imposée, à\nlaquelle s'ajoute la tranche non imposée de $2500$ euros." }, { "text": "$3700$ euros", "correct": false, "feedback": "Impôt ajouté tel quel : il ne représente que $25\\ \\%$ de la\npartie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord." }, { "text": "$2800$ euros", "correct": false, "feedback": "Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut\nremonter au montant dont il représente $25\\ \\%$." } ], "explanation": "Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin\ninverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de\nreconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil." } ] }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "interets", "distinction" ], "title": "Un placement à intérêts simples", "partie": "modeles", "statement": "Un capital de $2000$ euros est placé à intérêts simples : il rapporte\nchaque année $3\\ \\%$ du capital initial. Quelle est la valeur du\nplacement au bout de $4$ ans ?", "options": [ { "text": "$2240$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les intérêts annuels valent $60$ euros, et\nils sont identiques chaque année, d'où\n$2000 + 4 \\times 60 = 2240$." }, { "text": "$2060$ euros", "correct": false, "feedback": "Une seule année comptée : les intérêts sont versés $4$ fois, pas\nune seule." }, { "text": "$240$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut\najouter le capital de départ." }, { "text": "$2251{,}02$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital\naugmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours\nsur le capital initial." } ], "explanation": "Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur\ndu placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés\nmultiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle\nexponentiel.", "variants": [ { "statement": "Un capital de $2000$ euros est placé à intérêts simples : il rapporte\nchaque année $3\\ \\%$ du capital initial. Quelle est la valeur du\nplacement au bout de $4$ ans ?", "options": [ { "text": "$2240$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les intérêts annuels valent $60$ euros, et\nils sont identiques chaque année, d'où\n$2000 + 4 \\times 60 = 2240$." }, { "text": "$2060$ euros", "correct": false, "feedback": "Une seule année comptée : les intérêts sont versés $4$ fois, pas\nune seule." }, { "text": "$240$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut\najouter le capital de départ." }, { "text": "$2251{,}02$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital\naugmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours\nsur le capital initial." } ], "explanation": "Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur\ndu placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés\nmultiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle\nexponentiel." }, { "statement": "Un capital de $1500$ euros est placé à intérêts simples : il rapporte\nchaque année $4\\ \\%$ du capital initial. Quelle est la valeur du\nplacement au bout de $5$ ans ?", "options": [ { "text": "$1800$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les intérêts annuels valent $60$ euros, et\nils sont identiques chaque année, d'où\n$1500 + 5 \\times 60 = 1800$." }, { "text": "$1560$ euros", "correct": false, "feedback": "Une seule année comptée : les intérêts sont versés $5$ fois, pas\nune seule." }, { "text": "$300$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut\najouter le capital de départ." }, { "text": "$1824{,}98$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital\naugmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours\nsur le capital initial." } ], "explanation": "Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur\ndu placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés\nmultiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle\nexponentiel." }, { "statement": "Un capital de $3000$ euros est placé à intérêts simples : il rapporte\nchaque année $2\\ \\%$ du capital initial. Quelle est la valeur du\nplacement au bout de $6$ ans ?", "options": [ { "text": "$3360$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les intérêts annuels valent $60$ euros, et\nils sont identiques chaque année, d'où\n$3000 + 6 \\times 60 = 3360$." }, { "text": "$3060$ euros", "correct": false, "feedback": "Une seule année comptée : les intérêts sont versés $6$ fois, pas\nune seule." }, { "text": "$360$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut\najouter le capital de départ." }, { "text": "$3378{,}49$ euros", "correct": false, "feedback": "Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital\naugmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours\nsur le capital initial." } ], "explanation": "Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur\ndu placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés\nmultiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle\nexponentiel." } ] }, { "id": "q41", "difficulty": 3, "skills": [ "economie", "retrouver-formule" ], "title": "Retrouver le coût fixe", "partie": "modeles", "statement": "Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction\naffine du nombre de pièces. Produire $20$ pièces coûte $700$ euros,\nen produire $50$ coûte $1150$ euros. Quel est le coût fixe,\nc'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?", "options": [ { "text": "$400$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coût par pièce vaut $15$ euros, donc les\n$20$ premières pièces coûtent $15 \\times 20$ euros, et le\ncoût fixe est $700 - 15 \\times 20 = 400$." }, { "text": "$15$ euros", "correct": false, "feedback": "Coût unitaire pris pour le coût fixe : $15$ euros est le prix\nd'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de\npièces." }, { "text": "$450$ euros", "correct": false, "feedback": "Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces\nsupplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre." }, { "text": "$1000$ euros", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : le coût des $20$ premières pièces se retranche\nau coût total pour isoler la part fixe." } ], "explanation": "Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande\ndeux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,\npuis le terme constant en reportant l'un des couples.", "variants": [ { "statement": "Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction\naffine du nombre de pièces. Produire $20$ pièces coûte $700$ euros,\nen produire $50$ coûte $1150$ euros. Quel est le coût fixe,\nc'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?", "options": [ { "text": "$400$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coût par pièce vaut $15$ euros, donc les\n$20$ premières pièces coûtent $15 \\times 20$ euros, et le\ncoût fixe est $700 - 15 \\times 20 = 400$." }, { "text": "$15$ euros", "correct": false, "feedback": "Coût unitaire pris pour le coût fixe : $15$ euros est le prix\nd'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de\npièces." }, { "text": "$450$ euros", "correct": false, "feedback": "Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces\nsupplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre." }, { "text": "$1000$ euros", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : le coût des $20$ premières pièces se retranche\nau coût total pour isoler la part fixe." } ], "explanation": "Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande\ndeux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,\npuis le terme constant en reportant l'un des couples." }, { "statement": "Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction\naffine du nombre de pièces. Produire $10$ pièces coûte $380$ euros,\nen produire $40$ coûte $980$ euros. Quel est le coût fixe,\nc'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?", "options": [ { "text": "$180$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coût par pièce vaut $20$ euros, donc les\n$10$ premières pièces coûtent $20 \\times 10$ euros, et le\ncoût fixe est $380 - 20 \\times 10 = 180$." }, { "text": "$20$ euros", "correct": false, "feedback": "Coût unitaire pris pour le coût fixe : $20$ euros est le prix\nd'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de\npièces." }, { "text": "$600$ euros", "correct": false, "feedback": "Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces\nsupplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre." }, { "text": "$580$ euros", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : le coût des $10$ premières pièces se retranche\nau coût total pour isoler la part fixe." } ], "explanation": "Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande\ndeux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,\npuis le terme constant en reportant l'un des couples." }, { "statement": "Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction\naffine du nombre de pièces. Produire $30$ pièces coûte $900$ euros,\nen produire $60$ coûte $1440$ euros. Quel est le coût fixe,\nc'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?", "options": [ { "text": "$360$ euros", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coût par pièce vaut $18$ euros, donc les\n$30$ premières pièces coûtent $18 \\times 30$ euros, et le\ncoût fixe est $900 - 18 \\times 30 = 360$." }, { "text": "$18$ euros", "correct": false, "feedback": "Coût unitaire pris pour le coût fixe : $18$ euros est le prix\nd'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de\npièces." }, { "text": "$540$ euros", "correct": false, "feedback": "Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces\nsupplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre." }, { "text": "$1440$ euros", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : le coût des $30$ premières pièces se retranche\nau coût total pour isoler la part fixe." } ], "explanation": "Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande\ndeux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,\npuis le terme constant en reportant l'un des couples." } ] }, { "id": "q42", "difficulty": 2, "skills": [ "valider-modele", "modeles" ], "title": "Un relevé qui n'est pas linéaire", "partie": "modeles", "statement": "Un relevé donne $f(0) = 2$, $f(1) = 6$, $f(2) = 18$ et $f(3) = 54$.\nUn modèle linéaire convient-il ?", "options": [ { "text": "Non : les valeurs sont multipliées par $3$ à chaque étape", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $3$, ce qui\ncaractérise le modèle exponentiel, alors que le modèle linéaire\nexige des différences constantes." }, { "text": "Oui : les valeurs augmentent régulièrement à chaque étape", "correct": false, "feedback": "Augmenter ne suffit pas : il faut augmenter du même montant, or les\nécarts valent $4$, puis $12$, puis $36$." }, { "text": "Oui : les écarts $4$, $12$ et $36$ forment une progression", "correct": false, "feedback": "Des écarts qui progressent sont justement la preuve du contraire :\nle modèle linéaire les veut tous égaux." }, { "text": "Non : aucun modèle usuel ne décrit un tel relevé de valeurs", "correct": false, "feedback": "Un modèle convient pourtant : la multiplication par un même facteur\ncaractérise la croissance exponentielle." } ], "explanation": "Deux tests distinguent les modèles : des différences constantes\nsignalent le modèle linéaire, des quotients constants le modèle\nexponentiel. Ici les quotients valent $3$." }, { "id": "q43", "difficulty": 1, "skills": [ "physique", "representation-graphique" ], "title": "Ce que dit l'ordonnée à l'origine", "partie": "modeles", "statement": "La longueur d'un ressort, en centimètres, est donnée par\n$L(m) = 12 + 0{,}5\\,m$, où $m$ est la masse accrochée, en grammes. Sa\nreprésentation graphique est une droite. Que représente son ordonnée à\nl'origine ?", "options": [ { "text": "La longueur du ressort sans masse accrochée", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est la valeur en $m = 0$,\nc'est-à-dire la longueur du ressort au repos." }, { "text": "L'allongement du ressort par gramme accroché", "correct": false, "feedback": "Cet allongement vaut $0{,}5$ centimètre : il se lit dans le\ncoefficient directeur, qui donne l'inclinaison de la droite." }, { "text": "La masse au-delà de laquelle le ressort casse", "correct": false, "feedback": "Le modèle ne décrit aucune rupture : il relie seulement une masse\naccrochée à une longueur." }, { "text": "La longueur atteinte pour une masse de $12$ grammes", "correct": false, "feedback": "Pour $m = 12$, la longueur vaut $18$ centimètres : l'ordonnée à\nl'origine correspond à la masse nulle." } ], "explanation": "Dans un modèle affine, le terme constant se lit sur l'axe des\nordonnées et décrit l'état initial, tandis que le coefficient directeur\ndécrit la vitesse d'évolution." }, { "id": "q44", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "modelisation" ], "title": "Un réservoir qui se vide", "partie": "affine", "statement": "Un réservoir contient $240$ litres et se vide de $15$ litres par\nheure. Au bout de combien d'heures contient-il $90$ litres ?", "options": [ { "text": "$10$ heures", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut perdre $240 - 90 = 150$ litres, à\nraison de $15$ litres par heure, soit $10$ heures." }, { "text": "$150$ heures", "correct": false, "feedback": "Volume pris pour une durée : $150$ litres est le volume à\nperdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire." }, { "text": "$16$ heures", "correct": false, "feedback": "Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider\nentièrement le réservoir, pas pour atteindre $90$ litres." }, { "text": "$6$ heures", "correct": false, "feedback": "Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le\ndébit, et non le volume restant." } ], "explanation": "Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit\n$v(t) = v_0 - dt$. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée\nrevient à résoudre une équation du premier degré.", "variants": [ { "statement": "Un réservoir contient $240$ litres et se vide de $15$ litres par\nheure. Au bout de combien d'heures contient-il $90$ litres ?", "options": [ { "text": "$10$ heures", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut perdre $240 - 90 = 150$ litres, à\nraison de $15$ litres par heure, soit $10$ heures." }, { "text": "$150$ heures", "correct": false, "feedback": "Volume pris pour une durée : $150$ litres est le volume à\nperdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire." }, { "text": "$16$ heures", "correct": false, "feedback": "Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider\nentièrement le réservoir, pas pour atteindre $90$ litres." }, { "text": "$6$ heures", "correct": false, "feedback": "Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le\ndébit, et non le volume restant." } ], "explanation": "Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit\n$v(t) = v_0 - dt$. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée\nrevient à résoudre une équation du premier degré." }, { "statement": "Un réservoir contient $300$ litres et se vide de $12$ litres par\nheure. Au bout de combien d'heures contient-il $108$ litres ?", "options": [ { "text": "$16$ heures", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut perdre $300 - 108 = 192$ litres, à\nraison de $12$ litres par heure, soit $16$ heures." }, { "text": "$192$ heures", "correct": false, "feedback": "Volume pris pour une durée : $192$ litres est le volume à\nperdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire." }, { "text": "$25$ heures", "correct": false, "feedback": "Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider\nentièrement le réservoir, pas pour atteindre $108$ litres." }, { "text": "$9$ heures", "correct": false, "feedback": "Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le\ndébit, et non le volume restant." } ], "explanation": "Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit\n$v(t) = v_0 - dt$. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée\nrevient à résoudre une équation du premier degré." }, { "statement": "Un réservoir contient $180$ litres et se vide de $20$ litres par\nheure. Au bout de combien d'heures contient-il $60$ litres ?", "options": [ { "text": "$6$ heures", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut perdre $180 - 60 = 120$ litres, à\nraison de $20$ litres par heure, soit $6$ heures." }, { "text": "$120$ heures", "correct": false, "feedback": "Volume pris pour une durée : $120$ litres est le volume à\nperdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire." }, { "text": "$9$ heures", "correct": false, "feedback": "Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider\nentièrement le réservoir, pas pour atteindre $60$ litres." }, { "text": "$3$ heures", "correct": false, "feedback": "Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le\ndébit, et non le volume restant." } ], "explanation": "Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit\n$v(t) = v_0 - dt$. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée\nrevient à résoudre une équation du premier degré." } ] }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "suite-arithmetique", "calcul" ], "title": "Deux termes, puis un troisième", "partie": "suites", "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 5$ et $u_{10} = 32$. Que\nvaut $u_{20}$ ?", "options": [ { "text": "$62$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $9$ pas séparent les rangs $1$ et $10$, donc\nla raison vaut $3$. Du rang $1$ au rang $20$ il y a $19$\npas, d'où $u_{20} = 5 + 19 \\times 3 = 62$." }, { "text": "$65$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : la suite commence au rang $1$, donc atteindre le\nrang $20$ demande $19$ pas et non $20$." }, { "text": "$92$", "correct": false, "feedback": "Terme de départ mal choisi : en partant de $u_{10}$, il ne reste\nque les pas séparant les rangs $10$ et $20$." }, { "text": "$35$", "correct": false, "feedback": "Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de $u_1$ tout\nen comptant les pas à partir du rang $10$." } ], "explanation": "Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par\nl'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$, en comptant soigneusement les pas.", "variants": [ { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 5$ et $u_{10} = 32$. Que\nvaut $u_{20}$ ?", "options": [ { "text": "$62$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $9$ pas séparent les rangs $1$ et $10$, donc\nla raison vaut $3$. Du rang $1$ au rang $20$ il y a $19$\npas, d'où $u_{20} = 5 + 19 \\times 3 = 62$." }, { "text": "$65$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : la suite commence au rang $1$, donc atteindre le\nrang $20$ demande $19$ pas et non $20$." }, { "text": "$92$", "correct": false, "feedback": "Terme de départ mal choisi : en partant de $u_{10}$, il ne reste\nque les pas séparant les rangs $10$ et $20$." }, { "text": "$35$", "correct": false, "feedback": "Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de $u_1$ tout\nen comptant les pas à partir du rang $10$." } ], "explanation": "Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par\nl'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$, en comptant soigneusement les pas." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 6$ et $u_{7} = 30$. Que\nvaut $u_{15}$ ?", "options": [ { "text": "$62$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6$ pas séparent les rangs $1$ et $7$, donc\nla raison vaut $4$. Du rang $1$ au rang $15$ il y a $14$\npas, d'où $u_{15} = 6 + 14 \\times 4 = 62$." }, { "text": "$66$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : la suite commence au rang $1$, donc atteindre le\nrang $15$ demande $14$ pas et non $15$." }, { "text": "$90$", "correct": false, "feedback": "Terme de départ mal choisi : en partant de $u_{7}$, il ne reste\nque les pas séparant les rangs $7$ et $15$." }, { "text": "$38$", "correct": false, "feedback": "Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de $u_1$ tout\nen comptant les pas à partir du rang $7$." } ], "explanation": "Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par\nl'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$, en comptant soigneusement les pas." }, { "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 9$ et $u_{6} = 34$. Que\nvaut $u_{12}$ ?", "options": [ { "text": "$64$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5$ pas séparent les rangs $1$ et $6$, donc\nla raison vaut $5$. Du rang $1$ au rang $12$ il y a $11$\npas, d'où $u_{12} = 9 + 11 \\times 5 = 64$." }, { "text": "$69$", "correct": false, "feedback": "Un pas de trop : la suite commence au rang $1$, donc atteindre le\nrang $12$ demande $11$ pas et non $12$." }, { "text": "$94$", "correct": false, "feedback": "Terme de départ mal choisi : en partant de $u_{6}$, il ne reste\nque les pas séparant les rangs $6$ et $12$." }, { "text": "$39$", "correct": false, "feedback": "Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de $u_1$ tout\nen comptant les pas à partir du rang $6$." } ], "explanation": "Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par\nl'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par\n$u_n = u_1 + (n - 1)r$, en comptant soigneusement les pas." } ] }, { "id": "q46", "difficulty": 2, "skills": [ "tableur", "suite-arithmetique", "recurrence" ], "title": "Une suite arithmétique au tableur", "partie": "suites", "statement": "Dans un tableur, la cellule B2 contient le premier terme $u_0 = 500$\nd'une suite arithmétique de raison $-15$, et les termes suivants\ns'écrivent en dessous. Quelle formule saisir en B3 pour la recopier\nensuite vers le bas ?", "options": [ { "text": "`=B2-15`", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme s'obtient en retirant $15$ au\nprécédent. Recopiée vers le bas, la formule devient `=B3-15`,\npuis `=B4-15`, etc." }, { "text": "`=B2*(-15)`", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier par la raison correspond à une suite\ngéométrique. Une suite arithmétique ajoute sa raison." }, { "text": "`=500-15`", "correct": false, "feedback": "Erreur : recopiée, cette formule donne $485$ dans toutes les\ncellules. Elle doit faire référence au terme précédent." }, { "text": "`=B3-15`", "correct": false, "feedback": "Erreur : la cellule B3 ferait référence à elle-même. Le terme\nprécédent se trouve en B2." } ], "explanation": "La relation de récurrence $u_{n+1} = u_n - 15$ se traduit par une\nformule qui renvoie à la cellule du dessus ; la recopie décale la\nréférence d'une ligne à chaque fois." }, { "id": "q47", "difficulty": 2, "skills": [ "motif-geometrique", "suite-arithmetique", "modelisation" ], "title": "Un carré bordé", "partie": "suites", "statement": "Un carré de $5 \\times 5$ carreaux blancs est entouré d'une\nbordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure\nmontre le cas d'un carré de $3 \\times 3$. Combien de carreaux gris\nfaut-il pour le carré de $5 \\times 5$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\n \\fill[gray!45] (0,0) rectangle (5,5);\n \\fill[white] (1,1) rectangle (4,4);\n \\draw (0,0) grid (5,5);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Carré de 3 carreaux sur 3, blancs, entouré d'une bordure de\ncarreaux gris : l'ensemble forme un carré de 5 sur 5 comptant 16\ncarreaux gris.", "svg": "\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quatre côtés de $5$ carreaux, plus les quatre\ncoins, soit $4 \\times 5 + 4 = 24$. Pour $3 \\times 3$, on\nretrouve $16$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour\n$3 \\times 3$, ce calcul donnerait $12$ au lieu de $16$." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en comptant $7$ carreaux sur chaque côté, chaque\ncoin est compté deux fois." }, { "text": "$49$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(5 + 2)^2 = 49$ compte tous les carreaux, blancs\ncompris. Il faut retirer les $25$ carreaux blancs." } ], "explanation": "Le nombre de carreaux gris $u(n) = 4n + 4$ augmente de $4$ quand le\ncôté augmente de $1$ : c'est une suite arithmétique de raison $4$.", "variants": [ { "statement": "Un carré de $5 \\times 5$ carreaux blancs est entouré d'une\nbordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure\nmontre le cas d'un carré de $3 \\times 3$. Combien de carreaux gris\nfaut-il pour le carré de $5 \\times 5$ ?", "options": [ { "text": "$24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quatre côtés de $5$ carreaux, plus les quatre\ncoins, soit $4 \\times 5 + 4 = 24$. Pour $3 \\times 3$, on\nretrouve $16$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour\n$3 \\times 3$, ce calcul donnerait $12$ au lieu de $16$." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en comptant $7$ carreaux sur chaque côté, chaque\ncoin est compté deux fois." }, { "text": "$49$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(5 + 2)^2 = 49$ compte tous les carreaux, blancs\ncompris. Il faut retirer les $25$ carreaux blancs." } ], "explanation": "Le nombre de carreaux gris $u(n) = 4n + 4$ augmente de $4$ quand le\ncôté augmente de $1$ : c'est une suite arithmétique de raison $4$." }, { "statement": "Un carré de $8 \\times 8$ carreaux blancs est entouré d'une\nbordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure\nmontre le cas d'un carré de $3 \\times 3$. Combien de carreaux gris\nfaut-il pour le carré de $8 \\times 8$ ?", "options": [ { "text": "$36$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quatre côtés de $8$ carreaux, plus les quatre\ncoins, soit $4 \\times 8 + 4 = 36$. Pour $3 \\times 3$, on\nretrouve $16$." }, { "text": "$32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour\n$3 \\times 3$, ce calcul donnerait $12$ au lieu de $16$." }, { "text": "$40$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en comptant $10$ carreaux sur chaque côté, chaque\ncoin est compté deux fois." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(8 + 2)^2 = 100$ compte tous les carreaux, blancs\ncompris. Il faut retirer les $64$ carreaux blancs." } ], "explanation": "Le nombre de carreaux gris $u(n) = 4n + 4$ augmente de $4$ quand le\ncôté augmente de $1$ : c'est une suite arithmétique de raison $4$." }, { "statement": "Un carré de $12 \\times 12$ carreaux blancs est entouré d'une\nbordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure\nmontre le cas d'un carré de $3 \\times 3$. Combien de carreaux gris\nfaut-il pour le carré de $12 \\times 12$ ?", "options": [ { "text": "$52$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quatre côtés de $12$ carreaux, plus les quatre\ncoins, soit $4 \\times 12 + 4 = 52$. Pour $3 \\times 3$, on\nretrouve $16$." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour\n$3 \\times 3$, ce calcul donnerait $12$ au lieu de $16$." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en comptant $14$ carreaux sur chaque côté, chaque\ncoin est compté deux fois." }, { "text": "$196$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(12 + 2)^2 = 196$ compte tous les carreaux, blancs\ncompris. Il faut retirer les $144$ carreaux blancs." } ], "explanation": "Le nombre de carreaux gris $u(n) = 4n + 4$ augmente de $4$ quand le\ncôté augmente de $1$ : c'est une suite arithmétique de raison $4$." } ] }, { "id": "q48", "difficulty": 2, "skills": [ "motif-geometrique", "recurrence", "suite-arithmetique" ], "title": "Des croix de plus en plus grandes", "partie": "suites", "statement": "On construit des croix avec des carreaux : la croix numéro $n$ a un\ncarreau central et quatre branches de $n$ carreaux. On note $u(n)$\nle nombre de carreaux de la croix numéro $n$. Quelle relation relie\n$u(n + 1)$ à $u(n)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.32]\n \\foreach \\n/\\c in {1/2,2/9,3/18} {\n \\begin{scope}[xshift=\\c cm]\n \\fill[blue!30] (-\\n,0) rectangle (\\n+1,1);\n \\fill[blue!30] (0,-\\n) rectangle (1,\\n+1);\n \\draw (-\\n,0) grid (\\n+1,1);\n \\draw (0,-\\n) grid (1,\\n+1);\n \\node[below] at (0.5,-\\n-0.3) {\\small croix $\\n$};\n \\end{scope}\n }\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Trois croix de carreaux. La croix 1 a un carreau central et\nquatre branches d'un carreau (5 carreaux) ; la croix 2 a des\nbranches de deux carreaux (9 carreaux) ; la croix 3 a des\nbranches de trois carreaux (13 carreaux).", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$u(n + 1) = u(n) + 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : passer de la croix $n$ à la croix $n + 1$\najoute un carreau au bout de chacune des quatre branches ($5$,\n$9$, $13$, …)." }, { "text": "$u(n + 1) = 4\\,u(n) + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la croix suivante ne contient pas quatre copies de la\nprécédente. Avec $u(1) = 5$, on obtiendrait $u(2) = 21$ au lieu\nde $9$." }, { "text": "$u(n + 1) = u(n) + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'ajoute pas un seul carreau, mais un à chaque\nextrémité, donc quatre." }, { "text": "$u(n + 1) = u(n) + 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre de carreaux de la première croix ; le\ncarreau central n'est pas ajouté à chaque étape." } ], "explanation": "Une quantité qui augmente toujours du même nombre d'une étape à la\nsuivante se modélise par une suite arithmétique : ici,\n$u(n) = 4n + 1$." }, { "id": "q49", "difficulty": 3, "skills": [ "seuil", "modelisation", "sciences-de-la-terre" ], "title": "Le niveau des océans", "partie": "modeles", "statement": "On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000\npar une croissance linéaire de $3{,}3$ millimètres par an. Selon ce\nmodèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle\n$20$ centimètres ?", "options": [ { "text": "En $2061$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $20$ cm $= 200$ mm, et $3{,}3\\,n > 200$ donne\n$n > 60{,}61$ ; le premier entier qui convient est $61$, d'où\nl'année $2000 + 61$." }, { "text": "En $2060$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'arrondi : au bout de $60$ ans, l'élévation reste\ninférieure à $200$ mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus\ntard." }, { "text": "En $2007$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des\nmillimètres par an. Il faut convertir $20$ cm en $200$ mm." }, { "text": "En $2200$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte\nde la vitesse de $3{,}3$ mm par an." } ], "explanation": "Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation\n$a\\,n > S$ : on prend le premier entier $n$ supérieur à\n$\\dfrac{S}{a}$, après avoir mis les grandeurs dans la même\nunité.", "variants": [ { "statement": "On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000\npar une croissance linéaire de $3{,}3$ millimètres par an. Selon ce\nmodèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle\n$20$ centimètres ?", "options": [ { "text": "En $2061$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $20$ cm $= 200$ mm, et $3{,}3\\,n > 200$ donne\n$n > 60{,}61$ ; le premier entier qui convient est $61$, d'où\nl'année $2000 + 61$." }, { "text": "En $2060$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'arrondi : au bout de $60$ ans, l'élévation reste\ninférieure à $200$ mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus\ntard." }, { "text": "En $2007$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des\nmillimètres par an. Il faut convertir $20$ cm en $200$ mm." }, { "text": "En $2200$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte\nde la vitesse de $3{,}3$ mm par an." } ], "explanation": "Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation\n$a\\,n > S$ : on prend le premier entier $n$ supérieur à\n$\\dfrac{S}{a}$, après avoir mis les grandeurs dans la même\nunité." }, { "statement": "On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000\npar une croissance linéaire de $3{,}6$ millimètres par an. Selon ce\nmodèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle\n$15$ centimètres ?", "options": [ { "text": "En $2042$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $15$ cm $= 150$ mm, et $3{,}6\\,n > 150$ donne\n$n > 41{,}67$ ; le premier entier qui convient est $42$, d'où\nl'année $2000 + 42$." }, { "text": "En $2041$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'arrondi : au bout de $41$ ans, l'élévation reste\ninférieure à $150$ mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus\ntard." }, { "text": "En $2005$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des\nmillimètres par an. Il faut convertir $15$ cm en $150$ mm." }, { "text": "En $2150$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte\nde la vitesse de $3{,}6$ mm par an." } ], "explanation": "Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation\n$a\\,n > S$ : on prend le premier entier $n$ supérieur à\n$\\dfrac{S}{a}$, après avoir mis les grandeurs dans la même\nunité." }, { "statement": "On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000\npar une croissance linéaire de $4$ millimètres par an. Selon ce\nmodèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle\n$25$ centimètres ?", "options": [ { "text": "En $2063$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $25$ cm $= 250$ mm, et $4\\,n > 250$ donne\n$n > 62{,}5$ ; le premier entier qui convient est $63$, d'où\nl'année $2000 + 63$." }, { "text": "En $2062$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'arrondi : au bout de $62$ ans, l'élévation reste\ninférieure à $250$ mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus\ntard." }, { "text": "En $2007$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des\nmillimètres par an. Il faut convertir $25$ cm en $250$ mm." }, { "text": "En $2250$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte\nde la vitesse de $4$ mm par an." } ], "explanation": "Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation\n$a\\,n > S$ : on prend le premier entier $n$ supérieur à\n$\\dfrac{S}{a}$, après avoir mis les grandeurs dans la même\nunité." } ] } ] }