{ "chapter": { "id": "arithmetique", "level": "seconde", "theme": "Nombres et calculs, algèbre", "title": "Arithmétique", "description": "Notations $\\mathbb{N}$ et $\\mathbb{Z}$, multiples et diviseurs,\nnombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers\nraisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests\nalgorithmiques.", "parties": [ { "id": "divisibilite", "title": "Multiples, diviseurs et divisibilité" }, { "id": "premiers", "title": "Parité et nombres premiers" }, { "id": "demonstration", "title": "Démontrer et programmer" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "multiple" ], "title": "Reconnaître un multiple", "partie": "divisibilite", "statement": "Le nombre $51$ est-il un multiple de $17$ ?", "options": [ { "text": "Oui, car $51 = 3 \\times 17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il existe un entier $k$ (ici $k = 3$) tel\nque $51 = k \\times 17$ : c'est la définition d'un multiple." }, { "text": "Non, car $51$ est impair", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par\n$2$. Un nombre impair peut très bien être multiple de\n$17$ : $51 = 3 \\times 17$." }, { "text": "Non, car $17 + 17 = 34 \\neq 51$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de $17$\nsont $17$, $34$, $51$, $68$… : $51$ en fait partie\n($3 \\times 17$)." }, { "text": "Oui, car $51$ se termine par $1$, comme tout multiple de $17$", "correct": false, "feedback": "La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun\ncritère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre\npour $17$. La seule justification valable est\n$51 = 3 \\times 17$." } ], "explanation": "Définition : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$\ntel que $a = kb$. Ici $51 = 3 \\times 17$ : $51$ est multiple de\n$17$ (et $17$ est un diviseur de $51$)." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "parite" ], "title": "Écriture d'un nombre pair", "partie": "premiers", "statement": "Comment caractérise-t-on un entier pair $n$ ?", "options": [ { "text": "Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un nombre pair est un multiple de $2$. Cette écriture\n$n = 2k$ est l'outil de toutes les démonstrations de\nparité." }, { "text": "Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2k + 1$ est l'écriture d'un nombre **impair**\n(un pair plus un)." }, { "text": "$n$ se termine par $2$", "correct": false, "feedback": "Insuffisant : $14$, $36$, $58$, $70$ sont pairs sans se\nterminer par $2$. Le critère du dernier chiffre est\n« $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ », mais la **définition** est\n$n = 2k$." }, { "text": "$n$ est positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. $-6$ est\npair ($-6 = 2 \\times (-3)$)." } ], "explanation": "$n$ pair $\\Leftrightarrow$ $n = 2k$ avec $k$ entier ;\n$n$ impair $\\Leftrightarrow$ $n = 2k + 1$. Ces écritures\nlittérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un\nimpair est impair)." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "multiple", "piege" ], "title": "Le cas de zéro", "partie": "divisibilite", "statement": "Le nombre $0$ est-il un multiple de $7$ ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0 = 0 \\times 7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la définition demande un entier $k$ tel que\n$0 = k \\times 7$, et $k = 0$ convient. $0$ est multiple de\n**tout** entier." }, { "text": "Non, car $0$ n'est dans la table de personne", "correct": false, "feedback": "Erreur : la « table de 7 » commence bien par\n$0 \\times 7 = 0$. L'intuition des tables récitées à partir\nde $1$ fait oublier ce premier terme." }, { "text": "Non, car on ne peut pas diviser par $0$", "correct": false, "feedback": "Confusion : on ne divise pas **par** $0$, mais ici c'est\n$0$ qu'on divise par $7$ ($0 \\div 7 = 0$, sans problème)." }, { "text": "Oui, mais seulement si on admet $k$ non entier", "correct": false, "feedback": "Erreur : $k = 0$ est un entier parfaitement valable. Aucune\nextension n'est nécessaire." } ], "explanation": "$0 = 0 \\times b$ pour tout entier $b$ : $0$ est multiple de\ntous les entiers. En revanche, $0$ ne **divise** aucun entier\nnon nul." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "demonstration", "multiple" ], "title": "Somme de deux multiples", "partie": "demonstration", "statement": "Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$. Que peut-on dire de\nleur somme $m + n$ ?", "options": [ { "text": "C'est toujours un multiple de $7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = 7k$ et $n = 7j$ donnent\n$m + n = 7(k + j)$, avec $k + j$ entier : c'est la\ndémonstration du programme." }, { "text": "C'est un multiple de $14$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 + 14 = 21$ est multiple de $7$ mais pas de\n$14$. La somme reste dans les multiples de $7$, sans\ndoubler la base." }, { "text": "Ce n'est un multiple de $7$ que si $m = n$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune condition n'est nécessaire :\n$7(k + j)$ fonctionne pour tous entiers $k$ et $j$." }, { "text": "On ne peut rien dire en général", "correct": false, "feedback": "Erreur : la factorisation $m + n = 7k + 7j = 7(k+j)$\nconclut dans tous les cas." } ], "explanation": "Démonstration type (au programme) : $m = 7k$, $n = 7j$, donc\n$m + n = 7(k + j)$ : multiple de $7$. La factorisation par $7$\nest tout l'argument." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "demonstration", "parite" ], "title": "Carré d'un nombre impair", "partie": "demonstration", "statement": "Soit $n = 2k + 1$ un entier impair. Sa mise au carré donne\n$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Que peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $n^2$ s'écrit $2 \\times \\text{entier} + 1$,\nla forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration\ndu programme." }, { "text": "$n^2$ est pair car $4k^2 + 4k$ est pair", "correct": false, "feedback": "Erreur de lecture : $4k^2 + 4k$ est bien pair, mais il\nreste le $+1$ final qui rend le total **impair**." }, { "text": "$n^2$ est multiple de $4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $+1$ empêche la divisibilité par $4$ (et même\npar $2$). Exemple : $3^2 = 9$, pas multiple de $4$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $k$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'écriture $2(2k^2 + 2k) + 1$ conclut pour\n**tout** entier $k$ : c'est la force du calcul littéral." } ], "explanation": "$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ : la forme\n$2 \\times \\text{entier} + 1$ prouve que le carré d'un impair\nest impair, quel que soit $k$." }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "diviseurs" ], "title": "Compter les diviseurs", "partie": "divisibilite", "statement": "Combien l'entier $12$ possède-t-il de diviseurs positifs ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ ; on les\ntrouve par paires de produit $12$ : $1 \\times 12$, $2 \\times 6$, $3 \\times 4$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $12$, qui sont\ntoujours diviseurs." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 12$, $2 \\times 6$, $3 \\times 4$) : cela fait\n$6$ diviseurs." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $12$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini." } ], "explanation": "Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, soit $6$ diviseurs.\nMéthode : chercher les paires dont le produit vaut $12$. Les\ndiviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses\nmultiples en nombre infini.", "variants": [ { "statement": "Combien l'entier $12$ possède-t-il de diviseurs positifs ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ ; on les\ntrouve par paires de produit $12$ : $1 \\times 12$, $2 \\times 6$, $3 \\times 4$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $12$, qui sont\ntoujours diviseurs." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 12$, $2 \\times 6$, $3 \\times 4$) : cela fait\n$6$ diviseurs." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $12$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini." } ], "explanation": "Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, soit $6$ diviseurs.\nMéthode : chercher les paires dont le produit vaut $12$. Les\ndiviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses\nmultiples en nombre infini." }, { "statement": "Combien l'entier $16$ possède-t-il de diviseurs positifs ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ ; on les\ntrouve par paires de produit $16$ : $1 \\times 16$, $2 \\times 8$, $4 \\times 4$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $16$, qui sont\ntoujours diviseurs." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 16$, $2 \\times 8$, $4 \\times 4$) : cela fait\n$5$ diviseurs." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $16$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini." } ], "explanation": "Diviseurs de $16$ : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, soit $5$ diviseurs.\nMéthode : chercher les paires dont le produit vaut $16$. Les\ndiviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses\nmultiples en nombre infini." }, { "statement": "Combien l'entier $30$ possède-t-il de diviseurs positifs ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$, $30$ ; on les\ntrouve par paires de produit $30$ : $1 \\times 30$, $2 \\times 15$, $3 \\times 10$, $5 \\times 6$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $30$, qui sont\ntoujours diviseurs." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 30$, $2 \\times 15$, $3 \\times 10$, $5 \\times 6$) : cela fait\n$8$ diviseurs." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $30$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini." } ], "explanation": "Diviseurs de $30$ : $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$, $30$, soit $8$ diviseurs.\nMéthode : chercher les paires dont le produit vaut $30$. Les\ndiviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses\nmultiples en nombre infini." }, { "statement": "Combien l'entier $36$ possède-t-il de diviseurs positifs ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$ ; on les\ntrouve par paires de produit $36$ : $1 \\times 36$, $2 \\times 18$, $3 \\times 12$, $4 \\times 9$, $6 \\times 6$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $36$, qui sont\ntoujours diviseurs." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 36$, $2 \\times 18$, $3 \\times 12$, $4 \\times 9$, $6 \\times 6$) : cela fait\n$9$ diviseurs." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $36$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini." } ], "explanation": "Diviseurs de $36$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$, soit $9$ diviseurs.\nMéthode : chercher les paires dont le produit vaut $36$. Les\ndiviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses\nmultiples en nombre infini." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "fractions" ], "title": "Fraction irréductible", "partie": "divisibilite", "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{42}{56}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $42 = 14 \\times 3$ et $56 = 14 \\times 4$ :\non simplifie par $14$ et il ne reste aucun diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{21}{28}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $21$\net $28$ restent tous deux divisibles par $7$ :\n$\\dfrac{21}{28} = \\dfrac{3}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{6}{8}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : $6$ et $8$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : les produits en croix\n$2 \\times 56$ et $3 \\times 42$ diffèrent. La\nsimplification correcte par $14$ donne $\\dfrac{3}{4}$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\\dfrac{42}{56} = \\dfrac{42 \\div 14}{56 \\div 14}\n= \\dfrac{3}{4}$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{42}{56}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $42 = 14 \\times 3$ et $56 = 14 \\times 4$ :\non simplifie par $14$ et il ne reste aucun diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{21}{28}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $21$\net $28$ restent tous deux divisibles par $7$ :\n$\\dfrac{21}{28} = \\dfrac{3}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{6}{8}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : $6$ et $8$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : les produits en croix\n$2 \\times 56$ et $3 \\times 42$ diffèrent. La\nsimplification correcte par $14$ donne $\\dfrac{3}{4}$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\\dfrac{42}{56} = \\dfrac{42 \\div 14}{56 \\div 14}\n= \\dfrac{3}{4}$." }, { "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{36}{90}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $36 = 18 \\times 2$ et $90 = 18 \\times 5$ :\non simplifie par $18$ et il ne reste aucun diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{18}{45}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $18$\net $45$ restent tous deux divisibles par $9$ :\n$\\dfrac{18}{45} = \\dfrac{2}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{10}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : $4$ et $10$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{4}{10} = \\dfrac{2}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : les produits en croix\n$1 \\times 90$ et $4 \\times 36$ diffèrent. La\nsimplification correcte par $18$ donne $\\dfrac{2}{5}$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\\dfrac{36}{90} = \\dfrac{36 \\div 18}{90 \\div 18}\n= \\dfrac{2}{5}$." }, { "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{60}{72}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $60 = 12 \\times 5$ et $72 = 12 \\times 6$ :\non simplifie par $12$ et il ne reste aucun diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{30}{36}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $30$\net $36$ restent tous deux divisibles par $6$ :\n$\\dfrac{30}{36} = \\dfrac{5}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{10}{12}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : $10$ et $12$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{10}{12} = \\dfrac{5}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : les produits en croix\n$4 \\times 72$ et $5 \\times 60$ diffèrent. La\nsimplification correcte par $12$ donne $\\dfrac{5}{6}$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\\dfrac{60}{72} = \\dfrac{60 \\div 12}{72 \\div 12}\n= \\dfrac{5}{6}$." }, { "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{40}{70}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{7}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $40 = 10 \\times 4$ et $70 = 10 \\times 7$ :\non simplifie par $10$ et il ne reste aucun diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{20}{35}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $20$\net $35$ restent tous deux divisibles par $5$ :\n$\\dfrac{20}{35} = \\dfrac{4}{7}$." }, { "text": "$\\dfrac{8}{14}$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : $8$ et $14$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{8}{14} = \\dfrac{4}{7}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : les produits en croix\n$3 \\times 70$ et $6 \\times 40$ diffèrent. La\nsimplification correcte par $10$ donne $\\dfrac{4}{7}$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\\dfrac{40}{70} = \\dfrac{40 \\div 10}{70 \\div 10}\n= \\dfrac{4}{7}$." } ] }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "ensembles", "notation" ], "title": "Les ensembles $\\mathbb{N}$ et $\\mathbb{Z}$", "partie": "divisibilite", "statement": "Quelle affirmation est correcte à propos du nombre $-3$ ?", "options": [ { "text": "$-3 \\in \\mathbb{Z}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{N}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathbb{N}$ contient les entiers\n**naturels** ($0, 1, 2, \\ldots$) et $\\mathbb{Z}$ tous les\nentiers **relatifs**, négatifs compris." }, { "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$ et $-3 \\in \\mathbb{Z}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\mathbb{N}$ ne contient aucun nombre négatif.\nLes négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de\n$\\mathbb{Z}$." }, { "text": "$-3 \\notin \\mathbb{Z}$ car il est négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est précisément la raison d'être de\n$\\mathbb{Z}$ : accueillir les entiers négatifs\n($\\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \\ldots$)." }, { "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$ car $3 \\in \\mathbb{N}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.\n$3 \\in \\mathbb{N}$ mais $-3$ n'y est pas." } ], "explanation": "$\\mathbb{N} = \\{0\\,;\\,1\\,;\\,2\\,;\\,\\ldots\\}$ (entiers naturels)\net $\\mathbb{Z} = \\{\\ldots\\,;\\,-2\\,;\\,-1\\,;\\,0\\,;\\,1\\,;\\,2\\,;\\,\n\\ldots\\}$ (entiers relatifs) : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$\net $-3 \\in \\mathbb{Z} \\setminus \\mathbb{N}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "raisonnement", "parite" ], "title": "Raisonner sur la parité de $n^2$", "partie": "demonstration", "statement": "Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair. Que peut-on en\ndéduire pour $n$ ?", "options": [ { "text": "$n$ est pair", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : si $n$ était impair, son carré serait\nimpair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,\n$n^2$ pair force $n$ pair." }, { "text": "$n$ est impair", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste $n = 4$ : $n^2 = 16$ pair et $n$ pair. Un\ncarré pair ne peut pas provenir d'un impair." }, { "text": "On ne peut rien dire", "correct": false, "feedback": "Erreur : la propriété « impair $\\Rightarrow$ carré\nimpair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La\nconclusion $n$ pair est certaine." }, { "text": "$n = 2$", "correct": false, "feedback": "Trop précis : $n$ peut être $0$, $\\pm 2$, $\\pm 4$, etc.\nOn déduit la **parité** de $n$, pas sa valeur." } ], "explanation": "Raisonnement par contraposée : « $n$ impair $\\Rightarrow$\n$n^2$ impair » équivaut à « $n^2$ pair $\\Rightarrow$ $n$\npair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de\n$\\sqrt{2}$.)" }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "parite", "calcul-litteral" ], "title": "Somme d'un pair et d'un impair", "partie": "premiers", "statement": "Que peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier\nimpair ?", "options": [ { "text": "Elle est toujours impaire", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1$, forme d'un\nnombre impair, quels que soient les entiers $k$ et $j$." }, { "text": "Elle est toujours paire", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 + 3 = 5$, impair. L'écriture littérale\n$2(k+j) + 1$ montre que le $+1$ subsiste toujours." }, { "text": "Sa parité dépend des nombres choisis", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :\npair $+$ impair $= 2(k+j) + 1$, impair **dans tous les\ncas**." }, { "text": "Elle est multiple de $3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par\n$3$ ($2 + 3 = 5$ n'est pas multiple de $3$)." } ], "explanation": "Table de parité, prouvée par le littéral : pair $+$ pair $=$\npair ; impair $+$ impair $=$ pair ; pair $+$ impair $=$\nimpair ($2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1$)." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "algorithme", "python" ], "title": "Tester un multiple en Python", "partie": "demonstration", "statement": "En Python, quelle condition teste si l'entier `a` est un\nmultiple de l'entier `b` (avec `b` non nul) ?", "options": [ { "text": "`a % b == 0`", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `a % b` est le **reste** de la division\neuclidienne de `a` par `b` ; un reste nul signifie\nexactement que `b` divise `a`." }, { "text": "`b % a == 0`", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : cette condition teste si **`b` est multiple\nde `a`**. L'ordre des opérandes compte." }, { "text": "`a / b == 0`", "correct": false, "feedback": "Erreur : `a / b` est le quotient décimal ; il ne vaut $0$\nque si `a` vaut $0$. C'est le **reste** `%` qui teste la\ndivisibilité." }, { "text": "`a == b`", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité est un cas très particulier. $51$ est\nmultiple de $17$ sans lui être égal." } ], "explanation": "L'opérateur `%` (modulo) renvoie le reste de la division\neuclidienne : `a % b == 0` équivaut à « $a$ est multiple de\n$b$ ». C'est l'algorithme du programme." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "multiple" ], "title": "Multiples communs", "partie": "divisibilite", "statement": "Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $6$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?", "options": [ { "text": "$12$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $4$ et $6$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12$… ;\nde $6$ : $6, 12$… : premier commun, $12$." }, { "text": "$24$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $24 = 4 \\times 6$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $12$ convient déjà\n($12 = 3 \\times 4 = 2 \\times 6$)." }, { "text": "$10$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 = 4 + 6$ additionne les périodes ; or $10$\nn'est pas un multiple commun de $4$ et de $6$." }, { "text": "$2$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $4$ et $6$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)." } ], "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$\net $6$ : $12$, $24$, $36$… Le premier est $12$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver.", "variants": [ { "statement": "Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $6$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?", "options": [ { "text": "$12$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $4$ et $6$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12$… ;\nde $6$ : $6, 12$… : premier commun, $12$." }, { "text": "$24$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $24 = 4 \\times 6$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $12$ convient déjà\n($12 = 3 \\times 4 = 2 \\times 6$)." }, { "text": "$10$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 = 4 + 6$ additionne les périodes ; or $10$\nn'est pas un multiple commun de $4$ et de $6$." }, { "text": "$2$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $4$ et $6$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)." } ], "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$\net $6$ : $12$, $24$, $36$… Le premier est $12$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver." }, { "statement": "Un bus A passe toutes les $6$ minutes, un bus B toutes les $8$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?", "options": [ { "text": "$24$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $6$ et $8$. Multiples de $6$ : $6, 12, 18, 24$… ;\nde $8$ : $8, 16, 24$… : premier commun, $24$." }, { "text": "$48$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $48 = 6 \\times 8$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $24$ convient déjà\n($24 = 4 \\times 6 = 3 \\times 8$)." }, { "text": "$14$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $14 = 6 + 8$ additionne les périodes ; or $14$\nn'est pas un multiple commun de $6$ et de $8$." }, { "text": "$2$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $6$ et $8$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)." } ], "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $6$\net $8$ : $24$, $48$, $72$… Le premier est $24$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver." }, { "statement": "Un bus A passe toutes les $6$ minutes, un bus B toutes les $10$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?", "options": [ { "text": "$30$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $6$ et $10$. Multiples de $6$ : $6, 12, 18, 24, 30$… ;\nde $10$ : $10, 20, 30$… : premier commun, $30$." }, { "text": "$60$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $60 = 6 \\times 10$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $30$ convient déjà\n($30 = 5 \\times 6 = 3 \\times 10$)." }, { "text": "$16$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16 = 6 + 10$ additionne les périodes ; or $16$\nn'est pas un multiple commun de $6$ et de $10$." }, { "text": "$2$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $6$ et $10$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)." } ], "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $6$\net $10$ : $30$, $60$, $90$… Le premier est $30$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver." }, { "statement": "Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $10$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?", "options": [ { "text": "$20$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $4$ et $10$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12, 16, 20$… ;\nde $10$ : $10, 20$… : premier commun, $20$." }, { "text": "$40$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $40 = 4 \\times 10$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $20$ convient déjà\n($20 = 5 \\times 4 = 2 \\times 10$)." }, { "text": "$14$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $14 = 4 + 10$ additionne les périodes ; or $14$\nn'est pas un multiple commun de $4$ et de $10$." }, { "text": "$2$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $4$ et $10$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)." } ], "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$\net $10$ : $20$, $40$, $60$… Le premier est $20$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver." } ] }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "nombres-premiers" ], "title": "Définition d'un nombre premier", "partie": "premiers", "statement": "Qu'est-ce qu'un nombre premier ?", "options": [ { "text": "Un entier ayant exactement deux diviseurs positifs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ces deux diviseurs sont $1$ et le nombre lui-même.\nC'est pourquoi $1$, qui n'en a qu'un, n'est pas premier." }, { "text": "Un entier qui n'est divisible que par lui-même", "correct": false, "feedback": "Définition incomplète : tout entier est divisible par lui-même.\nIl faut préciser que $1$ et lui-même sont les seuls diviseurs." }, { "text": "Un entier impair que rien ne simplifie", "correct": false, "feedback": "La parité n'intervient pas : $2$ est premier bien qu'il soit pair,\net $9$ est impair sans être premier." }, { "text": "Un entier qui n'est le produit d'aucun entier", "correct": false, "feedback": "Formulation fausse : $7$ est premier et s'écrit pourtant\n$7 = 1 \\times 7$. La condition porte sur le nombre de diviseurs." } ], "explanation": "Un entier est premier lorsqu'il est supérieur ou égal à $2$ et qu'il\nadmet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$\nest donc exclu, et $2$ est le seul nombre premier pair." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "nombres-premiers", "piege" ], "title": "Repérer un nombre non premier", "partie": "premiers", "statement": "Parmi les entiers $83$, $89$, $91$ et $97$, lequel n'est **pas** premier ?", "options": [ { "text": "$91$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $91 = 7 \\times 13$. Un nombre impair qui ne finit\nni par $5$ ni par $0$ peut très bien avoir des diviseurs." }, { "text": "$83$", "correct": false, "feedback": "Il est premier : aucun des nombres $2$, $3$, $5$ et $7$ ne le divise,\net $9^2 = 81 < 83 < 100$, donc il suffisait de tester jusqu'à $9$." }, { "text": "$89$", "correct": false, "feedback": "Il est premier : $89$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par\n$5$, ni par $7$, et il suffit de tester jusqu'à $9$." }, { "text": "$97$", "correct": false, "feedback": "Il est premier : aucun diviseur parmi $2$, $3$, $5$ et $7$, et tester\nau-delà de $9$ est inutile puisque $10^2 = 100 > 97$." } ], "explanation": "Pour tester la primalité d'un entier $n$, il suffit de chercher un\ndiviseur premier inférieur ou égal à $\\sqrt{n}$. Ici $\\sqrt{91}$ vaut\nenviron $9{,}5$, et le test par $7$ suffit à conclure." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "decomposition", "nombres-premiers" ], "title": "Décomposer $360$", "partie": "premiers", "statement": "Quelle est la décomposition de $360$ en produit de facteurs premiers ?", "options": [ { "text": "$2^3 \\times 3^2 \\times 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 9 \\times 5 = 360$, et $2$, $3$ et $5$ sont\nbien premiers." }, { "text": "$2^2 \\times 3^2 \\times 10$", "correct": false, "feedback": "Facteur non premier : $10$ se décompose encore en $2 \\times 5$. Le\nproduit vaut bien $360$, mais la décomposition n'est pas terminée." }, { "text": "$2^3 \\times 3 \\times 15$", "correct": false, "feedback": "Facteur non premier : $15$ vaut $3 \\times 5$. Le produit donne $360$,\nmais il reste à décomposer un facteur." }, { "text": "$2^4 \\times 3^2 \\times 5$", "correct": false, "feedback": "Exposant de trop : ce produit vaut $720$, soit le double de $360$.\nLe facteur $2$ n'apparaît que trois fois." } ], "explanation": "On divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus\ngrand : $360 = 2 \\times 180 = 2^2 \\times 90 = 2^3 \\times 45$, puis\n$45 = 3^2 \\times 5$. La décomposition est unique." }, { "id": "q16", "difficulty": 1, "skills": [ "criteres-divisibilite" ], "title": "Divisibilité par $3$", "partie": "divisibilite", "statement": "Parmi ces entiers, lequel est divisible par $3$ ?", "options": [ { "text": "$4\\,521$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4 + 5 + 2 + 1 = 12$, un multiple de $3$.\nOn vérifie que $4\\,521 = 3 \\times 1\\,507$." }, { "text": "$3\\,721$", "correct": false, "feedback": "Somme des chiffres égale à $13$, qui n'est pas un multiple de $3$.\nCommencer par $3$ ne garantit rien." }, { "text": "$4\\,411$", "correct": false, "feedback": "Somme des chiffres égale à $10$, qui n'est pas un multiple de $3$.\nLe critère porte sur la somme, pas sur le dernier chiffre." }, { "text": "$5\\,302$", "correct": false, "feedback": "Somme des chiffres égale à $10$, qui n'est pas un multiple de $3$.\nUn nombre pair n'a aucune raison d'être multiple de $3$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. Le critère se réapplique à la somme obtenue si besoin." }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "criteres-divisibilite", "piege" ], "title": "Divisible par $3$, et par $9$ ?", "partie": "divisibilite", "statement": "La somme des chiffres d'un entier vaut $12$. Que peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "Il est divisible par $3$ mais pas par $9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $12$ est multiple de $3$ et non de $9$. Exemple :\n$57 = 3 \\times 19$ n'est pas divisible par $9$." }, { "text": "Il est divisible par $3$ et par $9$", "correct": false, "feedback": "Le critère pour $9$ exige que la somme des chiffres soit multiple de\n$9$. Or $12$ ne l'est pas, et $57$ fournit un contre-exemple." }, { "text": "Il est divisible par $9$ mais pas par $3$", "correct": false, "feedback": "Impossible : tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$, puisque\n$9 = 3 \\times 3$." }, { "text": "Il est divisible par $12$", "correct": false, "feedback": "Le critère ne dit rien sur $12$ : la somme des chiffres de $57$ vaut\n$12$, alors que $57$ n'est pas un multiple de $12$." } ], "explanation": "Le critère de divisibilité par $9$ est analogue à celui par $3$, mais il\nexige une somme des chiffres multiple de $9$. Une somme égale à $12$\nassure donc la divisibilité par $3$ seulement." }, { "id": "q18", "difficulty": 1, "skills": [ "criteres-divisibilite" ], "title": "Divisibilité par $4$", "partie": "divisibilite", "statement": "Parmi ces entiers, lequel est divisible par $4$ ?", "options": [ { "text": "$1\\,316$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $16$ est un multiple de $4$, donc $1\\,316$ aussi.\nOn vérifie que $1\\,316 = 4 \\times 329$." }, { "text": "$1\\,322$", "correct": false, "feedback": "Les deux derniers chiffres forment $22$, qui n'est pas un multiple de\n$4$. Un nombre pair n'est pas forcément divisible par $4$." }, { "text": "$1\\,334$", "correct": false, "feedback": "Les deux derniers chiffres forment $34$, qui n'est pas un multiple de\n$4$. La division donne un reste de $2$." }, { "text": "$1\\,350$", "correct": false, "feedback": "Les deux derniers chiffres forment $50$, qui n'est pas un multiple de\n$4$. Finir par un $0$ ne suffit pas." } ], "explanation": "Comme $100$ est un multiple de $4$, seuls les deux derniers chiffres\ndécident : un entier est divisible par $4$ si le nombre qu'ils forment\nl'est." }, { "id": "q19", "difficulty": 3, "skills": [ "nombres-premiers", "algorithme" ], "title": "Jusqu'où tester les diviseurs", "partie": "premiers", "statement": "Un entier $n \\geq 2$ est premier lorsque ses seuls diviseurs positifs\nsont $1$ et $n$. On admet que si $n$ n'a aucun diviseur $d$ vérifiant\n$d \\geq 2$ et $d^2 \\leq n$, alors $n$ est premier. Jusqu'à quel entier\nsuffit-il de chercher un diviseur de $149$ pour prouver qu'il est\npremier ?", "options": [ { "text": "Jusqu'à $12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $12^2 = 144 \\leq 149$ et $13^2 = 169 > 149$, donc il\nsuffit de tester les diviseurs jusqu'à $12$.\n" }, { "text": "Jusqu'à $74$", "correct": false, "feedback": "La moitié est un majorant correct mais très large : au-delà de\n$\\sqrt{149}$, tout diviseur trouvé aurait déjà un complice plus petit.\n" }, { "text": "Jusqu'à $148$", "correct": false, "feedback": "Tester tous les entiers précédents fonctionne, mais c'est douze fois\nplus long que nécessaire.\n" }, { "text": "Jusqu'à $149$", "correct": false, "feedback": "Inutile d'aller jusqu'au nombre lui-même : il se divise toujours par\nlui-même, ce qui n'apprend rien.\n" } ], "explanation": "Si $n$ s'écrit $a \\times b$ avec $a \\leq b$, alors $a \\leq \\sqrt{n}$. Un\nentier non premier admet donc toujours un diviseur inférieur ou égal à sa\nracine carrée, et le test s'arrête là." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "demonstration", "parite" ], "title": "Produit de deux nombres impairs", "partie": "demonstration", "statement": "Le produit de deux entiers impairs est-il pair ou impair ?", "options": [ { "text": "Toujours impair", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(2k+1)(2p+1) = 2(2kp + k + p) + 1$, une écriture de\nla forme « double plus un »." }, { "text": "Toujours pair", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple immédiat : $3 \\times 5 = 15$, qui est impair.\nUn produit n'est pair que si l'un des facteurs l'est." }, { "text": "Pair une fois sur deux", "correct": false, "feedback": "Aucun cas ne donne un produit pair : pour obtenir un facteur $2$, il\nfaudrait qu'un des deux entiers soit pair." }, { "text": "Cela dépend du signe des entiers", "correct": false, "feedback": "Le signe ne change rien à la parité : $(-3) \\times 5 = -15$ est\nimpair, tout comme $3 \\times 5$." } ], "explanation": "On écrit les deux entiers sous la forme $2k+1$ et $2p+1$, on développe,\npuis on factorise par $2$ tout ce qui peut l'être. Le reste vaut $1$, donc\nle produit est impair." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "demonstration", "multiple" ], "title": "Somme de trois entiers consécutifs", "partie": "demonstration", "statement": "Que peut-on dire de la somme de trois entiers consécutifs ?", "options": [ { "text": "C'est toujours un multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$, un multiple de\n$3$ quel que soit l'entier $n$." }, { "text": "C'est toujours un multiple de $2$", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $1 + 2 + 3 = 6$ est pair, mais $2 + 3 + 4 = 9$ ne\nl'est pas." }, { "text": "C'est toujours un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $2 + 3 + 4 = 9$ est multiple de $3$ sans être\nmultiple de $6$." }, { "text": "Cela dépend de l'entier choisi", "correct": false, "feedback": "La factorisation $3(n+1)$ ne dépend pas de $n$ : la propriété vaut\npour tous les entiers." } ], "explanation": "Nommer le premier entier $n$ permet d'écrire les trois termes, de\nréduire la somme à $3n+3$, puis de factoriser par $3$. C'est le\nraisonnement type de la démonstration en arithmétique." }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "demonstration", "parite" ], "title": "Carré d'un nombre pair", "partie": "demonstration", "statement": "Si $n$ est un entier pair, que peut-on affirmer sur $n^2$ ?", "options": [ { "text": "C'est un multiple de $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : si $n = 2k$, alors $n^2 = 4k^2$, un multiple de $4$." }, { "text": "C'est un multiple de $2$ seulement", "correct": false, "feedback": "Affirmation trop faible : le carré contient deux facteurs $2$, donc\nil est toujours multiple de $4$. Ainsi $6^2 = 36 = 4 \\times 9$." }, { "text": "C'est un multiple de $n$ seulement", "correct": false, "feedback": "Vrai mais insuffisant : tout carré est multiple de son nombre de\ndépart. La question porte sur ce qu'ajoute la parité." }, { "text": "C'est un multiple de $8$", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $2^2 = 4$ n'est pas un multiple de $8$. Seul le\nfacteur $4$ est garanti." } ], "explanation": "Écrire $n = 2k$ puis élever au carré fait apparaître $n^2 = 4k^2$. La\nmême méthode montre que le carré d'un impair est impair." }, { "id": "q23", "difficulty": 1, "skills": [ "nombres-premiers", "parite" ], "title": "Nombres premiers pairs", "partie": "premiers", "statement": "Combien existe-t-il de nombres premiers pairs ?", "options": [ { "text": "Un seul", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : seul $2$ convient. Tout autre nombre pair admet $2$\ncomme diviseur en plus de $1$ et de lui-même." }, { "text": "Aucun", "correct": false, "feedback": "Oubli du cas $2$ : ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $2$, il\nest donc bien premier." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Un nombre pair supérieur à $2$ s'écrit $2k$ avec $k \\geq 2$, donc il\npossède au moins trois diviseurs." }, { "text": "Autant que de nombres premiers impairs", "correct": false, "feedback": "Les nombres premiers impairs sont en nombre infini, alors que $2$ est\nle seul nombre premier pair." } ], "explanation": "Un nombre pair autre que $2$ possède toujours au moins trois diviseurs :\n$1$, $2$ et lui-même. Le nombre $2$ est donc le seul nombre premier pair." }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "multiple", "ensembles" ], "title": "Multiples négatifs", "partie": "divisibilite", "statement": "Le nombre $-15$ est-il un multiple de $5$ ?", "options": [ { "text": "Oui, car $-15 = 5 \\times (-3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : dans $\\mathbb{Z}$, un multiple de $5$ est un produit\nde $5$ par un entier relatif, positif ou négatif." }, { "text": "Non, un multiple est toujours positif", "correct": false, "feedback": "La définition n'impose aucun signe : $-15$, $-10$, $-5$ et $0$ sont\ntous des multiples de $5$." }, { "text": "Non, car $5$ ne divise pas $-15$", "correct": false, "feedback": "La division tombe juste : $-15$ divisé par $5$ donne $-3$, un entier." }, { "text": "Oui, mais seulement dans $\\mathbb{N}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'inverse : $-15$ n'appartient pas à $\\mathbb{N}$, et c'est\njustement dans $\\mathbb{Z}$ que la propriété se lit." } ], "explanation": "Dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie qu'il existe un entier\nrelatif $k$ tel que $a = b \\times k$. Le signe de $k$ est libre." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "algorithme", "python", "diviseurs" ], "title": "Afficher les diviseurs en Python", "partie": "demonstration", "statement": "Quels nombres le programme Python suivant affiche-t-il ?\n\n```python\nfor k in range(1, 13):\n if 12 % k == 0:\n print(k)\n```", "options": [ { "text": "$1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le programme affiche les entiers de $1$ à $12$ qui\ndivisent $12$, c'est-à-dire ses six diviseurs positifs.\n" }, { "text": "$2$, $3$, $4$ et $6$", "correct": false, "feedback": "Diviseurs extrêmes oubliés : $1$ et $12$ vérifient aussi la condition,\ncar `12 % 1` et `12 % 12` valent $0$.\n" }, { "text": "$1$, $2$, $3$, $4$ et $6$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 13)` s'arrête à $12$ inclus, donc $12$\nest bien affiché.\n" }, { "text": "$1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$ et $12$", "correct": false, "feedback": "Entier de trop : $8$ ne divise pas $12$, car `12 % 8` vaut $4$ et non\n$0$. La condition empêche donc son affichage.\n" } ], "explanation": "`range(1, 13)` parcourt les entiers de $1$ à $12$, et le test\n`12 % k == 0` ne fait afficher que ceux dont la division tombe juste." }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "raisonnement", "divisibilite" ], "title": "Enchaîner deux divisibilités", "partie": "demonstration", "statement": "On sait que $a$ divise $b$ et que $b$ divise $c$.\nQue peut-on en déduire ?", "options": [ { "text": "$a$ divise $c$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $b = a k$ et $c = b m$ donnent $c = a(km)$, donc $a$\ndivise $c$." }, { "text": "$c$ divise $a$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : avec $a = 3$, $b = 6$ et $c = 12$, le nombre $12$ ne\ndivise pas $3$." }, { "text": "$a$ divise $b + c$ seulement", "correct": false, "feedback": "Conclusion trop faible : $a$ divise bien $b+c$, mais il divise aussi\n$c$ tout seul." }, { "text": "On ne peut rien conclure", "correct": false, "feedback": "Le calcul conclut : en remplaçant $b$ par $ak$ dans $c = bm$, on\nobtient $c = a(km)$." } ], "explanation": "La divisibilité se transmet : il suffit de remplacer une écriture dans\nl'autre et de regrouper les facteurs. Cette propriété sert dans presque\ntoutes les démonstrations d'arithmétique." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "divisibilite", "raisonnement" ], "title": "Divisible par $2$ et par $3$", "partie": "divisibilite", "statement": "Un entier est divisible par $2$ et par $3$.\nPar quel nombre est-il nécessairement divisible ?", "options": [ { "text": "Par $6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sa décomposition contient un facteur $2$ et un facteur\n$3$, donc le produit $6$ le divise." }, { "text": "Par $5$", "correct": false, "feedback": "Aucun rapport : $12$ est divisible par $2$ et par $3$, mais pas par\n$5$." }, { "text": "Par $12$", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $6$ est divisible par $2$ et par $3$, mais pas par\n$12$. Il faudrait deux facteurs $2$." }, { "text": "Par $2 + 3$, soit $5$", "correct": false, "feedback": "Les diviseurs se multiplient, ils ne s'additionnent pas : c'est le\nproduit $2 \\times 3$ qui apparaît dans la décomposition." } ], "explanation": "Quand deux diviseurs n'ont aucun facteur premier commun, comme $2$ et\n$3$, leur produit divise aussi le nombre. La décomposition en facteurs\npremiers rend ce raisonnement visible." }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "divisibilite", "contre-exemple" ], "title": "Un produit de diviseurs trompeur", "partie": "divisibilite", "statement": "Un entier est divisible par $4$ et par $6$.\nEst-il nécessairement divisible par $24$ ?", "options": [ { "text": "Non, $12$ fournit un contre-exemple", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $12 = 4 \\times 3 = 6 \\times 2$, mais $12$ n'est pas un\nmultiple de $24$." }, { "text": "Oui, car $4 \\times 6 = 24$", "correct": false, "feedback": "Le produit ne convient que si les deux diviseurs n'ont aucun facteur\ncommun. Or $4$ et $6$ partagent le facteur $2$." }, { "text": "Oui, mais seulement s'il est pair", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $4$ est déjà pair, et $12$ reste un contre-exemple." }, { "text": "Non, il n'est même pas divisible par $12$", "correct": false, "feedback": "Il l'est toujours : sa décomposition contient deux facteurs $2$ et un\nfacteur $3$, donc $12$ le divise." } ], "explanation": "Le facteur $2$ est compté deux fois si l'on multiplie $4$ par $6$. Le plus\npetit multiple commun de $4$ et $6$ vaut $12$, et c'est lui qui divise\ntous ces entiers." }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "decomposition", "divisibilite" ], "title": "Lire la divisibilité sur la décomposition", "partie": "premiers", "statement": "Soit $N = 2^5 \\times 3^2$. Parmi ces entiers, lequel divise $N$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $12 = 2^2 \\times 3$, et les exposants $2$ et $1$ ne\ndépassent pas ceux de $N$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Facteur absent : $15 = 3 \\times 5$, or $5$ n'apparaît pas dans la\ndécomposition de $N$." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Exposant trop grand : $64 = 2^6$, alors que $N$ ne contient que cinq\nfacteurs $2$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Exposant trop grand : $27 = 3^3$, alors que $N$ ne contient que deux\nfacteurs $3$." } ], "explanation": "Un entier divise $N$ si sa décomposition n'utilise que des facteurs\npremiers de $N$, avec des exposants inférieurs ou égaux. Ici $N$ vaut\n$288$, et $288 = 12 \\times 24$." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "parite", "demonstration" ], "title": "Le produit $n(n+1)$", "partie": "premiers", "statement": "Pour un entier $n$ quelconque, que peut-on dire du produit $n(n+1)$ ?", "options": [ { "text": "Il est toujours pair", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est\nnécessairement pair, donc le produit contient un facteur $2$." }, { "text": "Il est pair si $n$ est pair", "correct": false, "feedback": "Condition inutile : pour $n = 3$, le produit vaut $12$, qui est pair\nalors que $n$ est impair." }, { "text": "Il est impair si $n$ est impair", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : pour $n = 5$, le produit vaut $30$. Si $n$ est\nimpair, alors $n+1$ est pair." }, { "text": "Sa parité dépend de la valeur de $n$", "correct": false, "feedback": "Les deux cas mènent à la même conclusion : l'un des deux facteurs est\npair, que $n$ le soit ou non." } ], "explanation": "Le raisonnement par disjonction des cas suffit : si $n$ est pair, le\nproduit l'est ; s'il est impair, alors $n+1$ est pair et le produit\nl'est aussi." }, { "id": "q31", "difficulty": 2, "skills": [ "fractions", "decomposition" ], "title": "Le bon diviseur pour simplifier", "partie": "divisibilite", "statement": "Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la\nfraction $\\dfrac{84}{126}$ pour obtenir directement sa forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$42$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84}{126} = \\dfrac{2}{3}$, et ces deux\nnombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{14}{21}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{4}{6}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{6}{9}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." } ], "explanation": "Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur\ncommun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs\npremiers le donnent : on garde tous les facteurs communs.", "variants": [ { "statement": "Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la\nfraction $\\dfrac{84}{126}$ pour obtenir directement sa forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$42$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84}{126} = \\dfrac{2}{3}$, et ces deux\nnombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{14}{21}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{4}{6}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{6}{9}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $42$." } ], "explanation": "Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur\ncommun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs\npremiers le donnent : on garde tous les facteurs communs." }, { "statement": "Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la\nfraction $\\dfrac{90}{120}$ pour obtenir directement sa forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$30$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{90}{120} = \\dfrac{3}{4}$, et ces deux\nnombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{18}{24}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $30$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{9}{12}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $30$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{6}{8}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $30$." } ], "explanation": "Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur\ncommun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs\npremiers le donnent : on garde tous les facteurs communs." }, { "statement": "Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la\nfraction $\\dfrac{48}{72}$ pour obtenir directement sa forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{48}{72} = \\dfrac{2}{3}$, et ces deux\nnombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{12}{18}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $24$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{8}{12}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $24$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{4}{6}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $24$." } ], "explanation": "Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur\ncommun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs\npremiers le donnent : on garde tous les facteurs communs." }, { "statement": "Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la\nfraction $\\dfrac{60}{84}$ pour obtenir directement sa forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{60}{84} = \\dfrac{5}{7}$, et ces deux\nnombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{20}{28}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $12$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{15}{21}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $12$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Simplification inachevée : on obtient $\\dfrac{10}{14}$, qui se\nsimplifie encore. Le bon diviseur est $12$." } ], "explanation": "Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur\ncommun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs\npremiers le donnent : on garde tous les facteurs communs." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 3, "skills": [ "calcul-litteral", "demonstration" ], "title": "La différence $(n+1)^2 - n^2$", "partie": "demonstration", "statement": "Soit $n$ un entier. L'expression $(n+1)^2 - n^2$ est-elle paire ou\nimpaire ?", "options": [ { "text": "Toujours impaire, car elle vaut $2n + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, qui\nest l'écriture même d'un nombre impair." }, { "text": "Toujours paire, car c'est une différence de carrés", "correct": false, "feedback": "La forme de l'expression ne décide de rien : après développement, il\nreste $2n + 1$, un double augmenté de $1$." }, { "text": "Impaire seulement lorsque $n$ est pair", "correct": false, "feedback": "Le résultat $2n + 1$ ne suppose rien sur $n$ : pour $n = 3$, la\ndifférence vaut $7$, impaire elle aussi." }, { "text": "Sa parité dépend de l'entier $n$ choisi", "correct": false, "feedback": "Le calcul littéral tranche une fois pour toutes : $2n + 1$ est impair\nquel que soit l'entier $n$." } ], "explanation": "Développer, réduire, puis reconnaître la forme $2k$ ou $2k + 1$ : c'est la\nméthode de toutes les démonstrations de parité. Ici, deux carrés\nconsécutifs diffèrent toujours d'un nombre impair." }, { "id": "q33", "difficulty": 2, "skills": [ "contre-exemple", "nombres-premiers" ], "title": "Somme de deux nombres premiers", "partie": "demonstration", "statement": "La somme de deux nombres premiers est-elle toujours paire ?", "options": [ { "text": "Non : $2 + 3 = 5$ est impair", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un seul contre-exemple suffit. Comme $2$ est premier\net pair, toute somme qui l'utilise devient impaire." }, { "text": "Oui, car deux impairs ont une somme paire", "correct": false, "feedback": "L'argument oublie $2$, le seul nombre premier pair. Avec lui, la\nsomme est impaire." }, { "text": "Oui, sauf si les deux nombres sont égaux", "correct": false, "feedback": "L'égalité n'a rien à voir : $2 + 7 = 9$ est impair avec deux nombres\ndifférents, et $3 + 3 = 6$ est pair avec deux nombres égaux." }, { "text": "Non, cette somme n'est jamais paire", "correct": false, "feedback": "Affirmation trop forte : $3 + 5 = 8$ est pair. La somme est paire dès\nque les deux nombres premiers sont impairs." } ], "explanation": "Pour réfuter une affirmation, un contre-exemple suffit. Le nombre $2$ est\nle cas particulier à examiner systématiquement quand une propriété\nmélange parité et primalité." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "modelisation", "divisibilite" ], "title": "Des œufs dans des boîtes", "partie": "divisibilite", "statement": "On range $100$ œufs dans des boîtes contenant chacune $6$ œufs.\nCombien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?", "options": [ { "text": "$16$ boîtes et $4$ œufs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la division euclidienne donne\n$100 = 6 \\times 16 + 4$, et le reste $4$ est bien inférieur\nà $6$." }, { "text": "$17$ boîtes et $4$ œufs", "correct": false, "feedback": "La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $4$ œufs,\nc'est-à-dire le reste." }, { "text": "$16$ boîtes et $2$ œufs", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte\nde plus, pas celui des œufs restants." }, { "text": "$6$ boîtes et $16$ œufs", "correct": false, "feedback": "Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours\ninférieur au nombre d'œufs par boîte." } ], "explanation": "Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division\neuclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus\npetit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé.", "variants": [ { "statement": "On range $100$ œufs dans des boîtes contenant chacune $6$ œufs.\nCombien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?", "options": [ { "text": "$16$ boîtes et $4$ œufs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la division euclidienne donne\n$100 = 6 \\times 16 + 4$, et le reste $4$ est bien inférieur\nà $6$." }, { "text": "$17$ boîtes et $4$ œufs", "correct": false, "feedback": "La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $4$ œufs,\nc'est-à-dire le reste." }, { "text": "$16$ boîtes et $2$ œufs", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte\nde plus, pas celui des œufs restants." }, { "text": "$6$ boîtes et $16$ œufs", "correct": false, "feedback": "Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours\ninférieur au nombre d'œufs par boîte." } ], "explanation": "Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division\neuclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus\npetit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé." }, { "statement": "On range $75$ œufs dans des boîtes contenant chacune $8$ œufs.\nCombien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?", "options": [ { "text": "$9$ boîtes et $3$ œufs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la division euclidienne donne\n$75 = 8 \\times 9 + 3$, et le reste $3$ est bien inférieur\nà $8$." }, { "text": "$10$ boîtes et $3$ œufs", "correct": false, "feedback": "La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $3$ œufs,\nc'est-à-dire le reste." }, { "text": "$9$ boîtes et $5$ œufs", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte\nde plus, pas celui des œufs restants." }, { "text": "$8$ boîtes et $9$ œufs", "correct": false, "feedback": "Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours\ninférieur au nombre d'œufs par boîte." } ], "explanation": "Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division\neuclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus\npetit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé." }, { "statement": "On range $142$ œufs dans des boîtes contenant chacune $9$ œufs.\nCombien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?", "options": [ { "text": "$15$ boîtes et $7$ œufs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la division euclidienne donne\n$142 = 9 \\times 15 + 7$, et le reste $7$ est bien inférieur\nà $9$." }, { "text": "$16$ boîtes et $7$ œufs", "correct": false, "feedback": "La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $7$ œufs,\nc'est-à-dire le reste." }, { "text": "$15$ boîtes et $2$ œufs", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte\nde plus, pas celui des œufs restants." }, { "text": "$9$ boîtes et $15$ œufs", "correct": false, "feedback": "Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours\ninférieur au nombre d'œufs par boîte." } ], "explanation": "Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division\neuclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus\npetit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé." }, { "statement": "On range $106$ œufs dans des boîtes contenant chacune $9$ œufs.\nCombien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?", "options": [ { "text": "$11$ boîtes et $7$ œufs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la division euclidienne donne\n$106 = 9 \\times 11 + 7$, et le reste $7$ est bien inférieur\nà $9$." }, { "text": "$12$ boîtes et $7$ œufs", "correct": false, "feedback": "La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $7$ œufs,\nc'est-à-dire le reste." }, { "text": "$11$ boîtes et $2$ œufs", "correct": false, "feedback": "Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte\nde plus, pas celui des œufs restants." }, { "text": "$9$ boîtes et $11$ œufs", "correct": false, "feedback": "Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours\ninférieur au nombre d'œufs par boîte." } ], "explanation": "Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division\neuclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus\npetit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé." } ] }, { "id": "q35", "difficulty": 1, "skills": [ "notation", "ensembles" ], "title": "Traduire « n'est pas un entier »", "partie": "divisibilite", "statement": "Quelle écriture traduit la phrase « $2{,}5$ n'est pas un entier\nrelatif » ?", "options": [ { "text": "$2{,}5 \\notin \\mathbb{Z}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le symbole $\\notin$ se lit « n'appartient pas à », et\nrelie un nombre à un ensemble, dans cet ordre." }, { "text": "$2{,}5 \\in \\mathbb{Z}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'affirmation contraire : cette écriture dit au contraire que\n$2{,}5$ est un entier relatif." }, { "text": "$2{,}5 \\subset \\mathbb{Z}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais symbole : $\\subset$ compare deux ensembles entre eux, alors\nque $2{,}5$ est un nombre." }, { "text": "$\\mathbb{Z} \\notin \\{2{,}5\\}$", "correct": false, "feedback": "Les deux membres sont échangés : l'ensemble se place toujours à\ndroite du symbole d'appartenance." } ], "explanation": "Le symbole $\\in$ (et sa négation $\\notin$) relie un élément à un\nensemble ; le symbole $\\subset$ relie deux ensembles. L'ensemble\n$\\mathbb{Z}$ ne contient que des entiers, donc pas $2{,}5$." }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "criteres-divisibilite", "raisonnement" ], "title": "Compléter pour être divisible par $9$", "partie": "divisibilite", "statement": "Un entier s'écrit avec trois chiffres : $3$, $4$, puis un\ntroisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le\nnombre soit divisible par $9$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $7$, et\n$7 + 2 = 9$, un multiple de $9$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$\nest multiple de $3$, mais pas de $9$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le\ncritère de $9$ réclame une somme multiple de $9$." }, { "text": "Aucun chiffre ne convient", "correct": false, "feedback": "Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est\ninférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $7$ jusqu'à $9$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on\ncherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$.", "variants": [ { "statement": "Un entier s'écrit avec trois chiffres : $3$, $4$, puis un\ntroisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le\nnombre soit divisible par $9$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $7$, et\n$7 + 2 = 9$, un multiple de $9$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$\nest multiple de $3$, mais pas de $9$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le\ncritère de $9$ réclame une somme multiple de $9$." }, { "text": "Aucun chiffre ne convient", "correct": false, "feedback": "Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est\ninférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $7$ jusqu'à $9$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on\ncherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$." }, { "statement": "Un entier s'écrit avec trois chiffres : $6$, $2$, puis un\ntroisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le\nnombre soit divisible par $9$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $8$, et\n$8 + 1 = 9$, un multiple de $9$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$\nest multiple de $3$, mais pas de $9$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le\ncritère de $9$ réclame une somme multiple de $9$." }, { "text": "Aucun chiffre ne convient", "correct": false, "feedback": "Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est\ninférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $8$ jusqu'à $9$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on\ncherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$." }, { "statement": "Un entier s'écrit avec trois chiffres : $5$, $1$, puis un\ntroisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le\nnombre soit divisible par $9$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $6$, et\n$6 + 3 = 9$, un multiple de $9$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$\nest multiple de $3$, mais pas de $9$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le\ncritère de $9$ réclame une somme multiple de $9$." }, { "text": "Aucun chiffre ne convient", "correct": false, "feedback": "Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est\ninférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $6$ jusqu'à $9$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on\ncherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$." }, { "statement": "Un entier s'écrit avec trois chiffres : $7$, $1$, puis un\ntroisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le\nnombre soit divisible par $9$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $8$, et\n$8 + 1 = 9$, un multiple de $9$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$\nest multiple de $3$, mais pas de $9$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le\ncritère de $9$ réclame une somme multiple de $9$." }, { "text": "Aucun chiffre ne convient", "correct": false, "feedback": "Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est\ninférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $8$ jusqu'à $9$." } ], "explanation": "Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses\nchiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on\ncherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "divisibilite", "calcul-litteral" ], "title": "Traduire un reste par une écriture", "partie": "divisibilite", "statement": "Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $5$ vaut\n$3$. Quelle écriture traduit cette information ?", "options": [ { "text": "$n = 5k + 3$ avec $k$ entier", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le diviseur $5$ multiplie le quotient $k$, et le\nreste $3$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $5$." }, { "text": "$n = 3k + 5$, avec $k$ entier", "correct": false, "feedback": "Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $5$ qui multiplie le\nquotient, et $3$ qui s'ajoute ensuite." }, { "text": "$n$ est un multiple de $5$", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $5$ a un reste nul. Ici le reste vaut $3$, donc\n$n$ n'est pas un multiple de $5$." }, { "text": "$n = 5 \\times 3$", "correct": false, "feedback": "Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $15$, alors que\nl'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $3$." } ], "explanation": "La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est\nle quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \\leq r < b$. Cette écriture est\nl'outil des raisonnements sur les restes.", "variants": [ { "statement": "Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $5$ vaut\n$3$. Quelle écriture traduit cette information ?", "options": [ { "text": "$n = 5k + 3$ avec $k$ entier", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le diviseur $5$ multiplie le quotient $k$, et le\nreste $3$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $5$." }, { "text": "$n = 3k + 5$, avec $k$ entier", "correct": false, "feedback": "Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $5$ qui multiplie le\nquotient, et $3$ qui s'ajoute ensuite." }, { "text": "$n$ est un multiple de $5$", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $5$ a un reste nul. Ici le reste vaut $3$, donc\n$n$ n'est pas un multiple de $5$." }, { "text": "$n = 5 \\times 3$", "correct": false, "feedback": "Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $15$, alors que\nl'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $3$." } ], "explanation": "La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est\nle quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \\leq r < b$. Cette écriture est\nl'outil des raisonnements sur les restes." }, { "statement": "Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $7$ vaut\n$2$. Quelle écriture traduit cette information ?", "options": [ { "text": "$n = 7k + 2$ avec $k$ entier", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le diviseur $7$ multiplie le quotient $k$, et le\nreste $2$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $7$." }, { "text": "$n = 2k + 7$, avec $k$ entier", "correct": false, "feedback": "Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $7$ qui multiplie le\nquotient, et $2$ qui s'ajoute ensuite." }, { "text": "$n$ est un multiple de $7$", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $7$ a un reste nul. Ici le reste vaut $2$, donc\n$n$ n'est pas un multiple de $7$." }, { "text": "$n = 7 \\times 2$", "correct": false, "feedback": "Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $14$, alors que\nl'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $2$." } ], "explanation": "La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est\nle quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \\leq r < b$. Cette écriture est\nl'outil des raisonnements sur les restes." }, { "statement": "Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $6$ vaut\n$5$. Quelle écriture traduit cette information ?", "options": [ { "text": "$n = 6k + 5$ avec $k$ entier", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le diviseur $6$ multiplie le quotient $k$, et le\nreste $5$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $6$." }, { "text": "$n = 5k + 6$, avec $k$ entier", "correct": false, "feedback": "Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $6$ qui multiplie le\nquotient, et $5$ qui s'ajoute ensuite." }, { "text": "$n$ est un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $6$ a un reste nul. Ici le reste vaut $5$, donc\n$n$ n'est pas un multiple de $6$." }, { "text": "$n = 6 \\times 5$", "correct": false, "feedback": "Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $30$, alors que\nl'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $5$." } ], "explanation": "La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est\nle quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \\leq r < b$. Cette écriture est\nl'outil des raisonnements sur les restes." }, { "statement": "Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $9$ vaut\n$7$. Quelle écriture traduit cette information ?", "options": [ { "text": "$n = 9k + 7$ avec $k$ entier", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le diviseur $9$ multiplie le quotient $k$, et le\nreste $7$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $9$." }, { "text": "$n = 7k + 9$, avec $k$ entier", "correct": false, "feedback": "Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $9$ qui multiplie le\nquotient, et $7$ qui s'ajoute ensuite." }, { "text": "$n$ est un multiple de $9$", "correct": false, "feedback": "Un multiple de $9$ a un reste nul. Ici le reste vaut $7$, donc\n$n$ n'est pas un multiple de $9$." }, { "text": "$n = 9 \\times 7$", "correct": false, "feedback": "Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $63$, alors que\nl'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $7$." } ], "explanation": "La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est\nle quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \\leq r < b$. Cette écriture est\nl'outil des raisonnements sur les restes." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 1, "skills": [ "nombres-premiers", "definition" ], "title": "Le cas du nombre $1$", "partie": "premiers", "statement": "Le nombre $1$ est-il un nombre premier ?", "options": [ { "text": "Non : il n'a qu'un seul diviseur positif", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un nombre premier en possède exactement deux, alors\nque $1$ n'est divisible que par $1$." }, { "text": "Oui : il n'est divisible que par lui-même et par $1$", "correct": false, "feedback": "Ces deux diviseurs n'en font qu'un seul, puisque $1$ est son propre\ndiviseur. La définition en exige deux distincts." }, { "text": "Oui : c'est le plus petit nombre premier", "correct": false, "feedback": "Le plus petit nombre premier est $2$ : c'est le premier entier à\nposséder exactement deux diviseurs." }, { "text": "Non : $1$ divise tous les entiers", "correct": false, "feedback": "La conclusion est bonne, mais la raison ne l'est pas : c'est le\nnombre de ses diviseurs qui exclut $1$, pas son rôle de diviseur." } ], "explanation": "Un nombre premier admet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et\nlui-même. Le nombre $1$ n'en a qu'un : il n'est ni premier, ni utile dans\nune décomposition en facteurs premiers." }, { "id": "q39", "difficulty": 1, "skills": [ "multiple", "diviseurs" ], "title": "Diviseur ou multiple", "partie": "divisibilite", "statement": "On sait que $7$ est un diviseur de $56$. Quelle phrase dit exactement la\nmême chose ?", "options": [ { "text": "$56$ est un multiple de $7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux phrases traduisent l'égalité\n$56 = 7 \\times 8$, lue dans un sens ou dans l'autre." }, { "text": "$7$ est un multiple de $56$", "correct": false, "feedback": "Les rôles sont inversés : les multiples de $56$ sont $56$, $112$,\n$168$, et $7$ n'en fait pas partie." }, { "text": "$56$ est un diviseur de $7$", "correct": false, "feedback": "Les rôles sont inversés : un diviseur d'un entier positif ne dépasse\njamais cet entier." }, { "text": "$56$ et $7$ ont les mêmes diviseurs", "correct": false, "feedback": "Rien de tel : $56$ possède huit diviseurs positifs, tandis que $7$\nn'en a que deux, $1$ et $7$." } ], "explanation": "« $a$ divise $b$ », « $a$ est un diviseur de $b$ » et « $b$ est un\nmultiple de $a$ » sont trois façons de dire qu'il existe un entier $k$\ntel que $b = a k$." }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "python", "multiple" ], "title": "Compter des multiples en Python", "partie": "demonstration", "statement": "Qu'affiche le programme Python suivant ?\n\n```python\nc = 0\nfor k in range(1, 21):\n if k % 3 == 0:\n c = c + 1\nprint(c)\n```", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $20$ et\ncompte ceux qui sont multiples de $3$ : il y en a $6$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 21)` s'arrête à $20$, donc le nombre\n$21$ n'est jamais examiné." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Le diviseur du test a été recopié : la variable `c` compte les\nréussites du test, elle ne vaut pas $3$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de tours de boucle : la variable `c` n'augmente que\nlorsque la condition est vérifiée." } ], "explanation": "La variable `c` sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de\n$1$ à chaque fois que le test `k % 3 == 0` réussit, c'est-à-dire à\nchaque multiple de $3$ rencontré.", "variants": [ { "statement": "Qu'affiche le programme Python suivant ?\n\n```python\nc = 0\nfor k in range(1, 21):\n if k % 3 == 0:\n c = c + 1\nprint(c)\n```", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $20$ et\ncompte ceux qui sont multiples de $3$ : il y en a $6$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 21)` s'arrête à $20$, donc le nombre\n$21$ n'est jamais examiné." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Le diviseur du test a été recopié : la variable `c` compte les\nréussites du test, elle ne vaut pas $3$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de tours de boucle : la variable `c` n'augmente que\nlorsque la condition est vérifiée." } ], "explanation": "La variable `c` sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de\n$1$ à chaque fois que le test `k % 3 == 0` réussit, c'est-à-dire à\nchaque multiple de $3$ rencontré." }, { "statement": "Qu'affiche le programme Python suivant ?\n\n```python\nc = 0\nfor k in range(1, 32):\n if k % 4 == 0:\n c = c + 1\nprint(c)\n```", "options": [ { "text": "$7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $31$ et\ncompte ceux qui sont multiples de $4$ : il y en a $7$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 32)` s'arrête à $31$, donc le nombre\n$32$ n'est jamais examiné." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Le diviseur du test a été recopié : la variable `c` compte les\nréussites du test, elle ne vaut pas $4$." }, { "text": "$31$", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de tours de boucle : la variable `c` n'augmente que\nlorsque la condition est vérifiée." } ], "explanation": "La variable `c` sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de\n$1$ à chaque fois que le test `k % 4 == 0` réussit, c'est-à-dire à\nchaque multiple de $4$ rencontré." }, { "statement": "Qu'affiche le programme Python suivant ?\n\n```python\nc = 0\nfor k in range(1, 40):\n if k % 8 == 0:\n c = c + 1\nprint(c)\n```", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $39$ et\ncompte ceux qui sont multiples de $8$ : il y en a $4$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 40)` s'arrête à $39$, donc le nombre\n$40$ n'est jamais examiné." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Le diviseur du test a été recopié : la variable `c` compte les\nréussites du test, elle ne vaut pas $8$." }, { "text": "$39$", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de tours de boucle : la variable `c` n'augmente que\nlorsque la condition est vérifiée." } ], "explanation": "La variable `c` sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de\n$1$ à chaque fois que le test `k % 8 == 0` réussit, c'est-à-dire à\nchaque multiple de $8$ rencontré." }, { "statement": "Qu'affiche le programme Python suivant ?\n\n```python\nc = 0\nfor k in range(1, 27):\n if k % 13 == 0:\n c = c + 1\nprint(c)\n```", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $26$ et\ncompte ceux qui sont multiples de $13$ : il y en a $2$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Borne mal lue : `range(1, 27)` s'arrête à $26$, donc le nombre\n$27$ n'est jamais examiné." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "Le diviseur du test a été recopié : la variable `c` compte les\nréussites du test, elle ne vaut pas $13$." }, { "text": "$26$", "correct": false, "feedback": "C'est le nombre de tours de boucle : la variable `c` n'augmente que\nlorsque la condition est vérifiée." } ], "explanation": "La variable `c` sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de\n$1$ à chaque fois que le test `k % 13 == 0` réussit, c'est-à-dire à\nchaque multiple de $13$ rencontré." } ] }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "criteres-divisibilite", "piege" ], "title": "Divisible par $6$ ?", "partie": "divisibilite", "statement": "La somme des chiffres du nombre $852$ vaut $15$. Ce nombre est-il\ndivisible par $6$ ?", "options": [ { "text": "Oui : il est pair et $15$ est multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On\nvérifie que $852 = 6 \\times 142$." }, { "text": "Non : $15$ n'est pas un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais\npour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$." }, { "text": "Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit", "correct": false, "feedback": "La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,\ncar $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$." }, { "text": "Non : le chiffre des unités n'est pas $6$", "correct": false, "feedback": "Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont\nles critères de $2$ et de $3$ qui décident." } ], "explanation": "Comme $6 = 2 \\times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un\nentier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$\net par $3$.", "variants": [ { "statement": "La somme des chiffres du nombre $852$ vaut $15$. Ce nombre est-il\ndivisible par $6$ ?", "options": [ { "text": "Oui : il est pair et $15$ est multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On\nvérifie que $852 = 6 \\times 142$." }, { "text": "Non : $15$ n'est pas un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais\npour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$." }, { "text": "Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit", "correct": false, "feedback": "La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,\ncar $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$." }, { "text": "Non : le chiffre des unités n'est pas $6$", "correct": false, "feedback": "Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont\nles critères de $2$ et de $3$ qui décident." } ], "explanation": "Comme $6 = 2 \\times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un\nentier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$\net par $3$." }, { "statement": "La somme des chiffres du nombre $714$ vaut $12$. Ce nombre est-il\ndivisible par $6$ ?", "options": [ { "text": "Oui : il est pair et $12$ est multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On\nvérifie que $714 = 6 \\times 119$." }, { "text": "Non : $12$ n'est pas un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais\npour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$." }, { "text": "Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit", "correct": false, "feedback": "La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,\ncar $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$." }, { "text": "Non : le chiffre des unités n'est pas $6$", "correct": false, "feedback": "Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont\nles critères de $2$ et de $3$ qui décident." } ], "explanation": "Comme $6 = 2 \\times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un\nentier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$\net par $3$." }, { "statement": "La somme des chiffres du nombre $372$ vaut $12$. Ce nombre est-il\ndivisible par $6$ ?", "options": [ { "text": "Oui : il est pair et $12$ est multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On\nvérifie que $372 = 6 \\times 62$." }, { "text": "Non : $12$ n'est pas un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais\npour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$." }, { "text": "Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit", "correct": false, "feedback": "La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,\ncar $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$." }, { "text": "Non : le chiffre des unités n'est pas $6$", "correct": false, "feedback": "Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont\nles critères de $2$ et de $3$ qui décident." } ], "explanation": "Comme $6 = 2 \\times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un\nentier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$\net par $3$." }, { "statement": "La somme des chiffres du nombre $534$ vaut $12$. Ce nombre est-il\ndivisible par $6$ ?", "options": [ { "text": "Oui : il est pair et $12$ est multiple de $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On\nvérifie que $534 = 6 \\times 89$." }, { "text": "Non : $12$ n'est pas un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais\npour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$." }, { "text": "Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit", "correct": false, "feedback": "La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,\ncar $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$." }, { "text": "Non : le chiffre des unités n'est pas $6$", "correct": false, "feedback": "Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont\nles critères de $2$ et de $3$ qui décident." } ], "explanation": "Comme $6 = 2 \\times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un\nentier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$\net par $3$." } ] }, { "id": "q42", "difficulty": 3, "skills": [ "demonstration", "multiple" ], "title": "Produit de deux multiples de $3$", "partie": "demonstration", "statement": "Soient $a$ et $b$ deux multiples de $3$. Que peut-on dire du produit\n$ab$ ?", "options": [ { "text": "C'est un multiple de $9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $a = 3k$ et $b = 3j$ donnent $ab = 9kj$, avec $kj$\nentier. Les deux facteurs $3$ se rencontrent." }, { "text": "C'est un multiple de $3$, mais pas toujours de $9$", "correct": false, "feedback": "Le calcul dit le contraire : chaque facteur apporte son $3$, donc le\nproduit contient toujours $9$." }, { "text": "C'est un multiple de $6$", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $3 \\times 3 = 9$ n'est pas multiple de $6$, car rien\nn'impose un facteur $2$." }, { "text": "Cela dépend des entiers choisis", "correct": false, "feedback": "La factorisation $ab = 9kj$ vaut pour tous les entiers $k$ et $j$ :\naucun cas particulier n'échappe à la règle." } ], "explanation": "On nomme les deux multiples $3k$ et $3j$, on effectue le produit, puis on\nregroupe les facteurs. C'est la démonstration type de l'arithmétique :\nécrire, calculer, factoriser." }, { "id": "q43", "difficulty": 2, "skills": [ "fractions", "decomposition" ], "title": "Pourquoi une fraction est irréductible", "partie": "divisibilite", "statement": "On sait que $35 = 5 \\times 7$ et que $12 = 2^2 \\times 3$. Pourquoi la\nfraction $\\dfrac{35}{12}$ est-elle irréductible ?", "options": [ { "text": "Leurs décompositions n'ont aucun facteur commun", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : simplifier, c'est supprimer un facteur premier\nprésent des deux côtés. Ici, aucun n'est partagé." }, { "text": "Le numérateur est plus grand que le dénominateur", "correct": false, "feedback": "La taille des nombres n'entre pas en jeu : $\\dfrac{35}{14}$ se\nsimplifie par $7$ malgré un numérateur plus grand." }, { "text": "Aucun des deux nombres n'est premier", "correct": false, "feedback": "Ce n'est pas la primalité qui compte : $\\dfrac{12}{18}$ se simplifie\npar $6$ bien qu'aucun des deux ne soit premier." }, { "text": "Les deux décompositions ont le même nombre de facteurs", "correct": false, "feedback": "Le nombre de facteurs ne joue aucun rôle : $\\dfrac{10}{15}$ en compte\ndeux de chaque côté et se simplifie pourtant par $5$." } ], "explanation": "Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur\nn'ont aucun diviseur commun autre que $1$. Les décompositions en facteurs\npremiers le montrent d'un coup d'œil." }, { "id": "q44", "difficulty": 1, "skills": [ "ensembles", "notation" ], "title": "Inclusion de $\\mathbb{N}$ dans $\\mathbb{Z}$", "partie": "divisibilite", "statement": "Quelle écriture traduit le fait que tout entier naturel est aussi un\nentier relatif ?", "options": [ { "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tout élément de $\\mathbb{N}$ appartient à\n$\\mathbb{Z}$, ce qu'exprime le symbole d'inclusion." }, { "text": "$\\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{N}$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : $-4$ appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$, donc cette inclusion est fausse." }, { "text": "$\\mathbb{N} \\in \\mathbb{Z}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais symbole : $\\in$ relie un élément à un ensemble, alors que\n$\\mathbb{N}$ est lui-même un ensemble." }, { "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$ et $\\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{N}$", "correct": false, "feedback": "La seconde inclusion est fausse : les entiers négatifs appartiennent\nà $\\mathbb{Z}$ et pas à $\\mathbb{N}$." } ], "explanation": "L'ensemble $\\mathbb{N}$ des entiers naturels est contenu dans l'ensemble\n$\\mathbb{Z}$ des entiers relatifs, qui lui ajoute les nombres négatifs.\nL'inclusion ne vaut que dans ce sens." }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "raisonnement", "nombres-premiers" ], "title": "Deux entiers consécutifs tous deux premiers", "partie": "demonstration", "statement": "Existe-t-il d'autres entiers consécutifs tous deux premiers que $2$ et\n$3$ ?", "options": [ { "text": "Non : l'un des deux serait pair et plus grand que $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. Au\ndelà de $2$, un nombre pair possède au moins trois diviseurs." }, { "text": "Oui, par exemple $5$ et $7$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres sont premiers, mais ils ne se suivent pas : le\nnombre $6$ les sépare." }, { "text": "Oui, il en existe une infinité", "correct": false, "feedback": "L'argument de parité l'interdit : dès que les deux entiers dépassent\n$2$, celui qui est pair n'est pas premier." }, { "text": "Non, car deux entiers consécutifs ont un diviseur commun", "correct": false, "feedback": "La conclusion est bonne, la raison ne l'est pas : deux entiers\nconsécutifs n'ont jamais d'autre diviseur commun que $1$." } ], "explanation": "Le couple $2$ et $3$ est le seul possible, car il est le seul à contenir\nun nombre pair qui soit premier. Raisonner sur la parité permet souvent\nde conclure sans examiner un seul cas." }, { "id": "q46", "difficulty": 3, "skills": [ "python", "multiple", "algorithme" ], "title": "Le plus grand multiple inférieur à un nombre", "partie": "demonstration", "statement": "Que renvoie `f(7, 50)` ?\n\n```python\ndef f(a, b):\n return a * (b // a)\n```", "options": [ { "text": "$49$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `50 // 7` vaut $7$, le quotient entier, et\n$7 \\times 7 = 49$ est le plus grand multiple de $7$\ninférieur ou égal à $50$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est le quotient `b // a`. La fonction le multiplie\nensuite par `a`." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $56$ est un multiple de $7$ supérieur à $50$. Le\nquotient entier est arrondi vers le bas." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est le reste `50 % 7`. La fonction utilise le\nquotient entier, avec `//`." } ], "explanation": "Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est\n$a \\times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de\n$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \\leq r < a$.", "variants": [ { "statement": "Que renvoie `f(7, 50)` ?\n\n```python\ndef f(a, b):\n return a * (b // a)\n```", "options": [ { "text": "$49$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `50 // 7` vaut $7$, le quotient entier, et\n$7 \\times 7 = 49$ est le plus grand multiple de $7$\ninférieur ou égal à $50$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est le quotient `b // a`. La fonction le multiplie\nensuite par `a`." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $56$ est un multiple de $7$ supérieur à $50$. Le\nquotient entier est arrondi vers le bas." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est le reste `50 % 7`. La fonction utilise le\nquotient entier, avec `//`." } ], "explanation": "Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est\n$a \\times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de\n$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \\leq r < a$." }, { "statement": "Que renvoie `f(6, 45)` ?\n\n```python\ndef f(a, b):\n return a * (b // a)\n```", "options": [ { "text": "$42$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `45 // 6` vaut $7$, le quotient entier, et\n$6 \\times 7 = 42$ est le plus grand multiple de $6$\ninférieur ou égal à $45$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est le quotient `b // a`. La fonction le multiplie\nensuite par `a`." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $48$ est un multiple de $6$ supérieur à $45$. Le\nquotient entier est arrondi vers le bas." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le reste `45 % 6`. La fonction utilise le\nquotient entier, avec `//`." } ], "explanation": "Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est\n$a \\times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de\n$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \\leq r < a$." }, { "statement": "Que renvoie `f(8, 70)` ?\n\n```python\ndef f(a, b):\n return a * (b // a)\n```", "options": [ { "text": "$64$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `70 // 8` vaut $8$, le quotient entier, et\n$8 \\times 8 = 64$ est le plus grand multiple de $8$\ninférieur ou égal à $70$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8$ est le quotient `b // a`. La fonction le multiplie\nensuite par `a`." }, { "text": "$72$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $72$ est un multiple de $8$ supérieur à $70$. Le\nquotient entier est arrondi vers le bas." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est le reste `70 % 8`. La fonction utilise le\nquotient entier, avec `//`." } ], "explanation": "Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est\n$a \\times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de\n$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \\leq r < a$." }, { "statement": "Que renvoie `f(9, 58)` ?\n\n```python\ndef f(a, b):\n return a * (b // a)\n```", "options": [ { "text": "$54$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : `58 // 9` vaut $6$, le quotient entier, et\n$9 \\times 6 = 54$ est le plus grand multiple de $9$\ninférieur ou égal à $58$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est le quotient `b // a`. La fonction le multiplie\nensuite par `a`." }, { "text": "$63$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $63$ est un multiple de $9$ supérieur à $58$. Le\nquotient entier est arrondi vers le bas." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le reste `58 % 9`. La fonction utilise le\nquotient entier, avec `//`." } ], "explanation": "Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est\n$a \\times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de\n$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \\leq r < a$." } ] } ] }