{ "chapter": { "id": "automatismes", "level": "seconde", "theme": "Automatismes", "title": "Automatismes", "description": "Calcul numérique (fractions, puissances, notation scientifique,\nordres de grandeur, vraisemblance d'un résultat), conversions\nd'unités et applications numériques de formules, géométrie du\ncollège (Pythagore, Thalès, trigonométrie, périmètres, aires,\nvolumes, repérage), lecture de graphiques usuels et de boîtes à\nmoustaches.", "parties": [ { "id": "calcul", "title": "Calcul numérique" }, { "id": "conversions", "title": "Conversions et formules" }, { "id": "geometrie", "title": "Géométrie" }, { "id": "graphiques", "title": "Graphiques et indicateurs" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "fractions", "somme" ], "title": "Additionner deux fractions", "partie": "calcul", "statement": "Que vaut $\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{11}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur commun $12$,\n$\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{11}{12}\n= \\dfrac{11}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il\nfaut d'abord écrire les deux fractions avec le même\ndénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{3}{12}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur commun $12$ est juste, mais les\nnumérateurs doivent être multipliés eux aussi :\n$\\dfrac{11}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{12}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le produit : $\\dfrac{2}{3} \\times\n\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{2}{12}$." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} + \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au\nmême dénominateur avant d'additionner les numérateurs.", "variants": [ { "statement": "Que vaut $\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{11}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur commun $12$,\n$\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{11}{12}\n= \\dfrac{11}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il\nfaut d'abord écrire les deux fractions avec le même\ndénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{3}{12}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur commun $12$ est juste, mais les\nnumérateurs doivent être multipliés eux aussi :\n$\\dfrac{11}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{12}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le produit : $\\dfrac{2}{3} \\times\n\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{2}{12}$." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} + \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au\nmême dénominateur avant d'additionner les numérateurs." }, { "statement": "Que vaut $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{3}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur commun $6$,\n$\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{5}{6}\n= \\dfrac{5}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il\nfaut d'abord écrire les deux fractions avec le même\ndénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{2}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur commun $6$ est juste, mais les\nnumérateurs doivent être multipliés eux aussi :\n$\\dfrac{5}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{6}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le produit : $\\dfrac{1}{2} \\times\n\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{6}$." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} + \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au\nmême dénominateur avant d'additionner les numérateurs." }, { "statement": "Que vaut $\\dfrac{3}{5} + \\dfrac{1}{2}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{11}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur commun $10$,\n$\\dfrac{3}{5} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{11}{10}\n= \\dfrac{11}{10}$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il\nfaut d'abord écrire les deux fractions avec le même\ndénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{4}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur commun $10$ est juste, mais les\nnumérateurs doivent être multipliés eux aussi :\n$\\dfrac{11}{10}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le produit : $\\dfrac{3}{5} \\times\n\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{10}$." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} + \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au\nmême dénominateur avant d'additionner les numérateurs." }, { "statement": "Que vaut $\\dfrac{5}{6} + \\dfrac{1}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{13}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur commun $24$,\n$\\dfrac{5}{6} + \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{26}{24}\n= \\dfrac{13}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{6}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il\nfaut d'abord écrire les deux fractions avec le même\ndénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{6}{24}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur commun $24$ est juste, mais les\nnumérateurs doivent être multipliés eux aussi :\n$\\dfrac{26}{24}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{24}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le produit : $\\dfrac{5}{6} \\times\n\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{5}{24}$." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} + \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au\nmême dénominateur avant d'additionner les numérateurs." } ] }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "fractions", "quotient" ], "title": "Diviser par une fraction", "partie": "calcul", "statement": "Que vaut $\\dfrac{3}{4} \\div \\dfrac{2}{5}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{15}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : diviser par $\\dfrac{2}{5}$, c'est\nmultiplier par son inverse $\\dfrac{5}{2}$ :\n$\\dfrac{3}{4} \\times \\dfrac{5}{2} = \\dfrac{15}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $\\dfrac{2}{5}$ au lieu de\nmultiplier par son inverse." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu\nde celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon\nrésultat." }, { "text": "$\\dfrac{10}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux fractions ont été inversées. Seul le\ndiviseur $\\dfrac{2}{5}$ s'inverse." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} \\div \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\times\n\\dfrac{d}{c} = \\dfrac{ad}{bc}$.", "variants": [ { "statement": "Que vaut $\\dfrac{3}{4} \\div \\dfrac{2}{5}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{15}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : diviser par $\\dfrac{2}{5}$, c'est\nmultiplier par son inverse $\\dfrac{5}{2}$ :\n$\\dfrac{3}{4} \\times \\dfrac{5}{2} = \\dfrac{15}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $\\dfrac{2}{5}$ au lieu de\nmultiplier par son inverse." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu\nde celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon\nrésultat." }, { "text": "$\\dfrac{10}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux fractions ont été inversées. Seul le\ndiviseur $\\dfrac{2}{5}$ s'inverse." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} \\div \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\times\n\\dfrac{d}{c} = \\dfrac{ad}{bc}$." }, { "statement": "Que vaut $\\dfrac{2}{3} \\div \\dfrac{4}{5}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : diviser par $\\dfrac{4}{5}$, c'est\nmultiplier par son inverse $\\dfrac{5}{4}$ :\n$\\dfrac{2}{3} \\times \\dfrac{5}{4} = \\dfrac{5}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $\\dfrac{4}{5}$ au lieu de\nmultiplier par son inverse." }, { "text": "$\\dfrac{6}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu\nde celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon\nrésultat." }, { "text": "$\\dfrac{15}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux fractions ont été inversées. 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Seul le\ndiviseur $\\dfrac{1}{3}$ s'inverse." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} \\div \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\times\n\\dfrac{d}{c} = \\dfrac{ad}{bc}$." }, { "statement": "Que vaut $\\dfrac{4}{7} \\div \\dfrac{2}{3}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{6}{7}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : diviser par $\\dfrac{2}{3}$, c'est\nmultiplier par son inverse $\\dfrac{3}{2}$ :\n$\\dfrac{4}{7} \\times \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{6}{7}$." }, { "text": "$\\dfrac{8}{21}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $\\dfrac{2}{3}$ au lieu de\nmultiplier par son inverse." }, { "text": "$\\dfrac{7}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu\nde celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon\nrésultat." }, { "text": "$\\dfrac{21}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux fractions ont été inversées. Seul le\ndiviseur $\\dfrac{2}{3}$ s'inverse." } ], "explanation": "$\\dfrac{a}{b} \\div \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\times\n\\dfrac{d}{c} = \\dfrac{ad}{bc}$." } ] }, { "id": "q03", "difficulty": 1, "skills": [ "ecritures", "pourcentage" ], "title": "D'une fraction à un décimal et un pourcentage", "partie": "calcul", "statement": "Quelle écriture est égale à $\\dfrac{3}{8}$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}375$, soit $37{,}5\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3 \\div 8 = 0{,}375$, et\n$0{,}375 = \\dfrac{37{,}5}{100}$." }, { "text": "$0{,}38$, soit $38\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}38$ est un arrondi, pas une écriture égale :\n$0{,}38 \\times 8 = 3{,}04 \\neq 3$." }, { "text": "$2{,}67$, soit $267\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est une valeur approchée de $8 \\div 3$, la\nfraction inversée." }, { "text": "$0{,}0375$, soit $3{,}75\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur de rang : $3 \\div 8 = 0{,}375$, et non $0{,}0375$.\nContrôle : $0{,}0375 \\times 8 = 0{,}3$." } ], "explanation": "Pour passer d'une fraction à un décimal, on divise le numérateur\npar le dénominateur ; pour passer au pourcentage, on multiplie par\n$100$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "fractions", "comparaison" ], "title": "Comparer deux fractions", "partie": "calcul", "statement": "Comment se comparent $\\dfrac{5}{7}$ et $\\dfrac{7}{10}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{7} > \\dfrac{7}{10}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au dénominateur $70$, on compare\n$\\dfrac{50}{70}$ et $\\dfrac{49}{70}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{7} < \\dfrac{7}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a comparé les numérateurs ou les dénominateurs\nséparément. Au même dénominateur : $\\dfrac{50}{70} >\n\\dfrac{49}{70}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{7} = \\dfrac{7}{10}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les produits en croix $5 \\times 10 = 50$ et\n$7 \\times 7 = 49$ diffèrent ; les fractions ne sont pas\négales." }, { "text": "On ne peut pas les comparer sans calculatrice", "correct": false, "feedback": "Erreur : il suffit de réduire au même dénominateur, $70$, ou\nde comparer les produits en croix." } ], "explanation": "Pour comparer deux fractions positives, on les écrit avec le même\ndénominateur et on compare les numérateurs." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison", "quotient", "puissances" ], "title": "Comparer par le quotient", "partie": "calcul", "statement": "On compare $A = 2^{10}$ et $B = 10^3$, deux nombres strictement\npositifs, à l'aide de leur quotient. Que conclure ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{A}{B} = 1{,}024 > 1$, donc $A > B$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2^{10} = 1\\,024$. Pour deux nombres\nstrictement positifs, un quotient supérieur à $1$ signifie\nque le numérateur est le plus grand." }, { "text": "$\\dfrac{A}{B} = 1{,}024$, donc $A < B$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'interprétation : un quotient supérieur à $1$ indique\nque $A$ dépasse $B$." }, { "text": "$\\dfrac{A}{B} = 0{,}2$, donc $A < B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{10}$ n'est pas $2 \\times 10 = 20$. On calcule\n$2^{10} = 1\\,024$." }, { "text": "$\\dfrac{A}{B} = 1$, donc $A = B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^{10} = 1\\,024$ est proche de $1\\,000$ mais pas\négal ; le quotient vaut $1{,}024$." } ], "explanation": "Comparaison multiplicative : pour $A > 0$ et $B > 0$,\n$\\dfrac{A}{B} > 1 \\Leftrightarrow A > B$." }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "puissances" ], "title": "Produit de puissances de dix", "partie": "calcul", "statement": "Que vaut $10^{3} \\times 10^{-5}$ ?", "options": [ { "text": "$10^{-2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne les exposants,\n$3 + (-5) = -2$." }, { "text": "$10^{-15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour\nune puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$." }, { "text": "$10^{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,\n$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit." }, { "text": "$100^{-2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les\nbases entre elles." } ], "explanation": "$10^m \\times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers\nrelatifs $m$ et $n$.", "variants": [ { "statement": "Que vaut $10^{3} \\times 10^{-5}$ ?", "options": [ { "text": "$10^{-2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne les exposants,\n$3 + (-5) = -2$." }, { "text": "$10^{-15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour\nune puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$." }, { "text": "$10^{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,\n$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit." }, { "text": "$100^{-2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les\nbases entre elles." } ], "explanation": "$10^m \\times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers\nrelatifs $m$ et $n$." }, { "statement": "Que vaut $10^{-2} \\times 10^{6}$ ?", "options": [ { "text": "$10^{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne les exposants,\n$-2 + (6) = 4$." }, { "text": "$10^{-12}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour\nune puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$." }, { "text": "$10^{-8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,\n$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit." }, { "text": "$100^{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les\nbases entre elles." } ], "explanation": "$10^m \\times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers\nrelatifs $m$ et $n$." }, { "statement": "Que vaut $10^{4} \\times 10^{-1}$ ?", "options": [ { "text": "$10^{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne les exposants,\n$4 + (-1) = 3$." }, { "text": "$10^{-4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour\nune puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$." }, { "text": "$10^{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,\n$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit." }, { "text": "$100^{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les\nbases entre elles." } ], "explanation": "$10^m \\times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers\nrelatifs $m$ et $n$." }, { "statement": "Que vaut $10^{-3} \\times 10^{-2}$ ?", "options": [ { "text": "$10^{-5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne les exposants,\n$-3 + (-2) = -5$." }, { "text": "$10^{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour\nune puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$." }, { "text": "$10^{-1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,\n$\\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit." }, { "text": "$100^{-5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les\nbases entre elles." } ], "explanation": "$10^m \\times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers\nrelatifs $m$ et $n$." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "notation-scientifique" ], "title": "Écrire un nombre en notation scientifique", "partie": "calcul", "statement": "Quelle est la notation scientifique de $0{,}000\\,52$ ?", "options": [ { "text": "$5{,}2 \\times 10^{-4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la virgule se déplace de quatre rangs vers la\ndroite pour obtenir $5{,}2$, d'où l'exposant $-4$." }, { "text": "$5{,}2 \\times 10^{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $5{,}2 \\times 10^4 = 52\\,000$. Un nombre\ninférieur à $1$ a un exposant négatif." }, { "text": "$52 \\times 10^{-5}$", "correct": false, "feedback": "Égal, mais pas en notation scientifique : la partie\ndécimale doit être comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu." }, { "text": "$5{,}2 \\times 10^{-3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de rang : $5{,}2 \\times 10^{-3} = 0{,}005\\,2$. Il faut\ndéplacer la virgule de quatre rangs." } ], "explanation": "Notation scientifique : $a \\times 10^n$ avec $1 \\leq a < 10$ et\n$n$ entier relatif." }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "ordre-de-grandeur" ], "title": "Estimer un ordre de grandeur", "partie": "calcul", "statement": "Sans calculatrice, quel est l'ordre de grandeur de\n$4\\,980 \\times 0{,}002\\,1$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5\\,000 \\times 0{,}002 = 10$. Le calcul exact\ndonne $10{,}458$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'un rang : $5\\,000 \\times 0{,}002 = 5 \\times 2 = 10$,\npas $1$." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'un rang : $0{,}002$ correspond à $2 \\times 10^{-3}$,\net $5 \\times 10^3 \\times 2 \\times 10^{-3} = 10$." }, { "text": "$1\\,000$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}002$ divise par $500$ ; le\nrésultat est bien plus petit que $4\\,980$." } ], "explanation": "Pour estimer, on arrondit chaque facteur à un seul chiffre\nsignificatif : $5 \\times 10^3$ et $2 \\times 10^{-3}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 1, "skills": [ "vraisemblance", "vitesse" ], "title": "Un résultat invraisemblable", "partie": "calcul", "statement": "Un élève calcule qu'une voiture roulant à $90$ km/h pendant\n$2$ h parcourt $3\\,600$ km. Ce résultat est-il vraisemblable ?", "options": [ { "text": "Non : en $2$ h à $90$ km/h, on parcourt $180$ km", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $d = v \\times t = 90 \\times 2 = 180$ km.\nL'élève a sans doute multiplié par $40$ ou mélangé des\nminutes." }, { "text": "Oui : $90 \\times 40 = 3\\,600$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul $90 \\times 40$ ne correspond à rien dans\nl'énoncé. Le contrôle d'ordre de grandeur donne $180$ km." }, { "text": "Oui : une voiture roule vite sur autoroute", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3\\,600$ km en $2$ h ferait $1\\,800$ km/h, la\nvitesse d'un avion de chasse." }, { "text": "Non : il faudrait $90 \\div 2 = 45$ km", "correct": false, "feedback": "Erreur : la distance est le produit de la vitesse par la\ndurée, pas leur quotient." } ], "explanation": "Avant d'accepter un résultat, on vérifie son ordre de grandeur et\nson sens concret." }, { "id": "q10", "difficulty": 1, "skills": [ "calcul-litteral", "oppose" ], "title": "L'opposé d'une différence", "partie": "calcul", "statement": "Quelle expression est égale à $-(x - 7)$ ?", "options": [ { "text": "$7 - x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-(x - 7) = -x + 7 = 7 - x$. Le signe\nmoins change le signe de chaque terme." }, { "text": "$-x - 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $-7$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : $-(0 - 7) = 7$, pas $-7$." }, { "text": "$x + 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : on doit trouver $7$, et pour $x = 1$, $7 - 1$." }, { "text": "$x - 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte\ndu signe moins qui les précède." } ], "explanation": "$-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$.", "variants": [ { "statement": "Quelle expression est égale à $-(x - 7)$ ?", "options": [ { "text": "$7 - x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-(x - 7) = -x + 7 = 7 - x$. Le signe\nmoins change le signe de chaque terme." }, { "text": "$-x - 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $-7$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : $-(0 - 7) = 7$, pas $-7$." }, { "text": "$x + 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : on doit trouver $7$, et pour $x = 1$, $7 - 1$." }, { "text": "$x - 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte\ndu signe moins qui les précède." } ], "explanation": "$-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$." }, { "statement": "Quelle expression est égale à $-(x - 3)$ ?", "options": [ { "text": "$3 - x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-(x - 3) = -x + 3 = 3 - x$. Le signe\nmoins change le signe de chaque terme." }, { "text": "$-x - 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $-3$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : $-(0 - 3) = 3$, pas $-3$." }, { "text": "$x + 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : on doit trouver $3$, et pour $x = 1$, $3 - 1$." }, { "text": "$x - 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte\ndu signe moins qui les précède." } ], "explanation": "$-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$." }, { "statement": "Quelle expression est égale à $-(x - 12)$ ?", "options": [ { "text": "$12 - x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-(x - 12) = -x + 12 = 12 - x$. Le signe\nmoins change le signe de chaque terme." }, { "text": "$-x - 12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $-12$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : $-(0 - 12) = 12$, pas $-12$." }, { "text": "$x + 12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : on doit trouver $12$, et pour $x = 1$, $12 - 1$." }, { "text": "$x - 12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte\ndu signe moins qui les précède." } ], "explanation": "$-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$." }, { "statement": "Quelle expression est égale à $-(x - 5)$ ?", "options": [ { "text": "$5 - x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-(x - 5) = -x + 5 = 5 - x$. Le signe\nmoins change le signe de chaque terme." }, { "text": "$-x - 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $-5$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : $-(0 - 5) = 5$, pas $-5$." }, { "text": "$x + 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec\n$x = 0$ : on doit trouver $5$, et pour $x = 1$, $5 - 1$." }, { "text": "$x - 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte\ndu signe moins qui les précède." } ], "explanation": "$-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$." } ] }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "calcul-litteral", "fractions" ], "title": "L'inverse d'un inverse", "partie": "calcul", "statement": "Pour $x \\neq 0$, que vaut $\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{x}}$ ?", "options": [ { "text": "$x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : diviser $1$ par $\\dfrac{1}{x}$ revient à\nmultiplier $1$ par $x$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{x}$ est l'inverse de $x$ ; l'inverse de\nl'inverse ramène à $x$. Contrôle avec $x = 2$ : $1 \\div 0{,}5\n= 2$." }, { "text": "$x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : contrôle avec $x = 2$ : $1 \\div \\dfrac{1}{2} = 2$,\npas $4$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le quotient ne se simplifie pas en $1$. Pour $x = 2$,\non obtient $2$." } ], "explanation": "$\\dfrac{1}{\\frac{a}{b}} = \\dfrac{b}{a}$ : en particulier,\nl'inverse de $\\dfrac{1}{x}$ est $x$." }, { "id": "q12", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "vitesse" ], "title": "Des kilomètres par heure aux mètres par seconde", "partie": "conversions", "statement": "Une voiture roule à $72$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres\npar seconde ?", "options": [ { "text": "$20$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $72$ km/h, c'est $72\\,000$ m en $3\\,600$ s,\nsoit $72\\,000 \\div 3\\,600 = 20$ m/s." }, { "text": "$1{,}2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : une heure compte $3\\,600$ secondes, et non $60$ ; et\nles kilomètres n'ont pas été convertis en mètres." }, { "text": "$259{,}2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par\n$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse." }, { "text": "$72\\,000$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les\nheures en secondes." } ], "explanation": "$1$ km/h $= \\dfrac{1\\,000 \\text{ m}}{3\\,600 \\text{ s}}$ : pour\npasser des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$.", "variants": [ { "statement": "Une voiture roule à $72$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres\npar seconde ?", "options": [ { "text": "$20$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $72$ km/h, c'est $72\\,000$ m en $3\\,600$ s,\nsoit $72\\,000 \\div 3\\,600 = 20$ m/s." }, { "text": "$1{,}2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : une heure compte $3\\,600$ secondes, et non $60$ ; et\nles kilomètres n'ont pas été convertis en mètres." }, { "text": "$259{,}2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par\n$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse." }, { "text": "$72\\,000$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les\nheures en secondes." } ], "explanation": "$1$ km/h $= \\dfrac{1\\,000 \\text{ m}}{3\\,600 \\text{ s}}$ : pour\npasser des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$." }, { "statement": "Une voiture roule à $90$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres\npar seconde ?", "options": [ { "text": "$25$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $90$ km/h, c'est $90\\,000$ m en $3\\,600$ s,\nsoit $90\\,000 \\div 3\\,600 = 25$ m/s." }, { "text": "$1{,}5$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : une heure compte $3\\,600$ secondes, et non $60$ ; et\nles kilomètres n'ont pas été convertis en mètres." }, { "text": "$324$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par\n$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse." }, { "text": "$90\\,000$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les\nheures en secondes." } ], "explanation": "$1$ km/h $= \\dfrac{1\\,000 \\text{ m}}{3\\,600 \\text{ s}}$ : pour\npasser des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$." }, { "statement": "Une voiture roule à $36$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres\npar seconde ?", "options": [ { "text": "$10$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $36$ km/h, c'est $36\\,000$ m en $3\\,600$ s,\nsoit $36\\,000 \\div 3\\,600 = 10$ m/s." }, { "text": "$0{,}6$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : une heure compte $3\\,600$ secondes, et non $60$ ; et\nles kilomètres n'ont pas été convertis en mètres." }, { "text": "$129{,}6$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par\n$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse." }, { "text": "$36\\,000$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les\nheures en secondes." } ], "explanation": "$1$ km/h $= \\dfrac{1\\,000 \\text{ m}}{3\\,600 \\text{ s}}$ : pour\npasser des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$." }, { "statement": "Une voiture roule à $108$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres\npar seconde ?", "options": [ { "text": "$30$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $108$ km/h, c'est $108\\,000$ m en $3\\,600$ s,\nsoit $108\\,000 \\div 3\\,600 = 30$ m/s." }, { "text": "$1{,}8$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : une heure compte $3\\,600$ secondes, et non $60$ ; et\nles kilomètres n'ont pas été convertis en mètres." }, { "text": "$388{,}8$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par\n$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse." }, { "text": "$108\\,000$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les\nheures en secondes." } ], "explanation": "$1$ km/h $= \\dfrac{1\\,000 \\text{ m}}{3\\,600 \\text{ s}}$ : pour\npasser des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$." } ] }, { "id": "q13", "difficulty": 2, "skills": [ "conversion", "vitesse" ], "title": "Des mètres par seconde aux kilomètres par heure", "partie": "conversions", "statement": "Un cycliste roule à $15$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?", "options": [ { "text": "$54$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il parcourt\n$15 \\times 3\\,600$ m, soit $54$ km. On multiplie par\n$3{,}6$." }, { "text": "$900$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15 \\times 60$ donne des mètres par minute, et une\nheure compte $60$ minutes de plus." }, { "text": "$15000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$ au lieu de diviser :\n$1$ m vaut $0{,}001$ km." }, { "text": "$54000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : $15 \\times 3\\,600$ est la distance en mètres\nparcourue en une heure ; il faut la convertir en km." } ], "explanation": "Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par\n$\\dfrac{3\\,600}{1\\,000} = 3{,}6$.", "variants": [ { "statement": "Un cycliste roule à $15$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?", "options": [ { "text": "$54$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il parcourt\n$15 \\times 3\\,600$ m, soit $54$ km. On multiplie par\n$3{,}6$." }, { "text": "$900$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15 \\times 60$ donne des mètres par minute, et une\nheure compte $60$ minutes de plus." }, { "text": "$15000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$ au lieu de diviser :\n$1$ m vaut $0{,}001$ km." }, { "text": "$54000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : $15 \\times 3\\,600$ est la distance en mètres\nparcourue en une heure ; il faut la convertir en km." } ], "explanation": "Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par\n$\\dfrac{3\\,600}{1\\,000} = 3{,}6$." }, { "statement": "Un cycliste roule à $5$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?", "options": [ { "text": "$18$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il parcourt\n$5 \\times 3\\,600$ m, soit $18$ km. On multiplie par\n$3{,}6$." }, { "text": "$300$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5 \\times 60$ donne des mètres par minute, et une\nheure compte $60$ minutes de plus." }, { "text": "$5000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$ au lieu de diviser :\n$1$ m vaut $0{,}001$ km." }, { "text": "$18000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : $5 \\times 3\\,600$ est la distance en mètres\nparcourue en une heure ; il faut la convertir en km." } ], "explanation": "Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par\n$\\dfrac{3\\,600}{1\\,000} = 3{,}6$." }, { "statement": "Un cycliste roule à $25$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?", "options": [ { "text": "$90$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il parcourt\n$25 \\times 3\\,600$ m, soit $90$ km. On multiplie par\n$3{,}6$." }, { "text": "$1500$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $25 \\times 60$ donne des mètres par minute, et une\nheure compte $60$ minutes de plus." }, { "text": "$25000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$ au lieu de diviser :\n$1$ m vaut $0{,}001$ km." }, { "text": "$90000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : $25 \\times 3\\,600$ est la distance en mètres\nparcourue en une heure ; il faut la convertir en km." } ], "explanation": "Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par\n$\\dfrac{3\\,600}{1\\,000} = 3{,}6$." }, { "statement": "Un cycliste roule à $30$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?", "options": [ { "text": "$108$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il parcourt\n$30 \\times 3\\,600$ m, soit $108$ km. On multiplie par\n$3{,}6$." }, { "text": "$1800$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $30 \\times 60$ donne des mètres par minute, et une\nheure compte $60$ minutes de plus." }, { "text": "$30000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $1\\,000$ au lieu de diviser :\n$1$ m vaut $0{,}001$ km." }, { "text": "$108000$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : $30 \\times 3\\,600$ est la distance en mètres\nparcourue en une heure ; il faut la convertir en km." } ], "explanation": "Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par\n$\\dfrac{3\\,600}{1\\,000} = 3{,}6$." } ] }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "conversion", "aire" ], "title": "Convertir une aire", "partie": "conversions", "statement": "Combien de centimètres carrés mesure une surface de $3{,}5$ m² ?", "options": [ { "text": "$35\\,000$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$350$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le\ncarré de ce facteur : $1$ m² $= 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$3\\,500$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1\\,000$ sert pour les volumes entre\ndm³ et cm³, pas pour les aires." }, { "text": "$3\\,500\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000\\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et\ncm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\\,000$." } ], "explanation": "Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur\n$100^2 = 10\\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\\,000\\,000$.", "variants": [ { "statement": "Combien de centimètres carrés mesure une surface de $3{,}5$ m² ?", "options": [ { "text": "$35\\,000$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$350$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le\ncarré de ce facteur : $1$ m² $= 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$3\\,500$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1\\,000$ sert pour les volumes entre\ndm³ et cm³, pas pour les aires." }, { "text": "$3\\,500\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000\\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et\ncm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\\,000$." } ], "explanation": "Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur\n$100^2 = 10\\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\\,000\\,000$." }, { "statement": "Combien de centimètres carrés mesure une surface de $0{,}8$ m² ?", "options": [ { "text": "$8\\,000$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$80$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le\ncarré de ce facteur : $1$ m² $= 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$800$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1\\,000$ sert pour les volumes entre\ndm³ et cm³, pas pour les aires." }, { "text": "$800\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000\\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et\ncm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\\,000$." } ], "explanation": "Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur\n$100^2 = 10\\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\\,000\\,000$." }, { "statement": "Combien de centimètres carrés mesure une surface de $12$ m² ?", "options": [ { "text": "$120\\,000$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$1\\,200$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le\ncarré de ce facteur : $1$ m² $= 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$12\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1\\,000$ sert pour les volumes entre\ndm³ et cm³, pas pour les aires." }, { "text": "$12\\,000\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000\\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et\ncm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\\,000$." } ], "explanation": "Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur\n$100^2 = 10\\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\\,000\\,000$." }, { "statement": "Combien de centimètres carrés mesure une surface de $2{,}4$ m² ?", "options": [ { "text": "$24\\,000$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$240$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le\ncarré de ce facteur : $1$ m² $= 10\\,000$ cm²." }, { "text": "$2\\,400$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1\\,000$ sert pour les volumes entre\ndm³ et cm³, pas pour les aires." }, { "text": "$2\\,400\\,000$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000\\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et\ncm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\\,000$." } ], "explanation": "Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur\n$100^2 = 10\\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\\,000\\,000$." } ] }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "contenance", "volume" ], "title": "Des litres aux centimètres cubes", "partie": "conversions", "statement": "Une bouteille contient $2{,}5$ L. Quel est ce volume en cm³ ?", "options": [ { "text": "$2\\,500$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³." }, { "text": "$250$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\\,000$ cm³ (un cube de\n$10$ cm d'arête)." }, { "text": "$25$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur\n$1\\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³." }, { "text": "$25\\,000$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : un facteur $10\\,000$ est celui des aires entre m² et\ncm². $1$ L $= 1\\,000$ cm³." } ], "explanation": "$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³ $= 1\\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³.", "variants": [ { "statement": "Une bouteille contient $2{,}5$ L. Quel est ce volume en cm³ ?", "options": [ { "text": "$2\\,500$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³." }, { "text": "$250$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\\,000$ cm³ (un cube de\n$10$ cm d'arête)." }, { "text": "$25$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur\n$1\\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³." }, { "text": "$25\\,000$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : un facteur $10\\,000$ est celui des aires entre m² et\ncm². $1$ L $= 1\\,000$ cm³." } ], "explanation": "$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³ $= 1\\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³." }, { "statement": "Une bouteille contient $0{,}75$ L. Quel est ce volume en cm³ ?", "options": [ { "text": "$750$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³." }, { "text": "$75$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\\,000$ cm³ (un cube de\n$10$ cm d'arête)." }, { "text": "$7{,}5$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur\n$1\\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³." }, { "text": "$7\\,500$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : un facteur $10\\,000$ est celui des aires entre m² et\ncm². $1$ L $= 1\\,000$ cm³." } ], "explanation": "$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³ $= 1\\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³." }, { "statement": "Une bouteille contient $1{,}2$ L. Quel est ce volume en cm³ ?", "options": [ { "text": "$1\\,200$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³." }, { "text": "$120$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\\,000$ cm³ (un cube de\n$10$ cm d'arête)." }, { "text": "$12$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur\n$1\\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³." }, { "text": "$12\\,000$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : un facteur $10\\,000$ est celui des aires entre m² et\ncm². $1$ L $= 1\\,000$ cm³." } ], "explanation": "$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³ $= 1\\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³." }, { "statement": "Une bouteille contient $3$ L. Quel est ce volume en cm³ ?", "options": [ { "text": "$3\\,000$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³." }, { "text": "$300$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\\,000$ cm³ (un cube de\n$10$ cm d'arête)." }, { "text": "$30$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur\n$1\\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³." }, { "text": "$30\\,000$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : un facteur $10\\,000$ est celui des aires entre m² et\ncm². $1$ L $= 1\\,000$ cm³." } ], "explanation": "$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\\,000$ cm³ $= 1\\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³." } ] }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "conversion", "duree" ], "title": "Une durée en écriture décimale", "partie": "conversions", "statement": "Une durée vaut $2{,}3$ h. Comment s'écrit-elle en heures et\nminutes ?", "options": [ { "text": "$2$ h $18$ min", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3$ h $= 0{,}3 \\times 60$ min\n$= 18$ min." }, { "text": "$2$ h $30$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}3 \\times 60 =\n18$." }, { "text": "$2$ h $3$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}3$ h ne vaut pas $3$ minutes, mais\n$0{,}3 \\times 60 = 18$ minutes." }, { "text": "$138$ h", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : $138$ est la durée totale en **minutes**,\npas en heures." } ], "explanation": "Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la\nmultiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min.", "variants": [ { "statement": "Une durée vaut $2{,}3$ h. Comment s'écrit-elle en heures et\nminutes ?", "options": [ { "text": "$2$ h $18$ min", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}3$ h $= 0{,}3 \\times 60$ min\n$= 18$ min." }, { "text": "$2$ h $30$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}3 \\times 60 =\n18$." }, { "text": "$2$ h $3$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}3$ h ne vaut pas $3$ minutes, mais\n$0{,}3 \\times 60 = 18$ minutes." }, { "text": "$138$ h", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : $138$ est la durée totale en **minutes**,\npas en heures." } ], "explanation": "Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la\nmultiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min." }, { "statement": "Une durée vaut $1{,}5$ h. Comment s'écrit-elle en heures et\nminutes ?", "options": [ { "text": "$1$ h $30$ min", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5$ h $= 0{,}5 \\times 60$ min\n$= 30$ min." }, { "text": "$1$ h $50$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}5 \\times 60 =\n30$." }, { "text": "$1$ h $5$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5$ h ne vaut pas $5$ minutes, mais\n$0{,}5 \\times 60 = 30$ minutes." }, { "text": "$90$ h", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : $90$ est la durée totale en **minutes**,\npas en heures." } ], "explanation": "Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la\nmultiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min." }, { "statement": "Une durée vaut $3{,}4$ h. Comment s'écrit-elle en heures et\nminutes ?", "options": [ { "text": "$3$ h $24$ min", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}4$ h $= 0{,}4 \\times 60$ min\n$= 24$ min." }, { "text": "$3$ h $40$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}4 \\times 60 =\n24$." }, { "text": "$3$ h $4$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4$ h ne vaut pas $4$ minutes, mais\n$0{,}4 \\times 60 = 24$ minutes." }, { "text": "$204$ h", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : $204$ est la durée totale en **minutes**,\npas en heures." } ], "explanation": "Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la\nmultiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min." }, { "statement": "Une durée vaut $4{,}2$ h. Comment s'écrit-elle en heures et\nminutes ?", "options": [ { "text": "$4$ h $12$ min", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}2$ h $= 0{,}2 \\times 60$ min\n$= 12$ min." }, { "text": "$4$ h $20$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}2 \\times 60 =\n12$." }, { "text": "$4$ h $2$ min", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}2$ h ne vaut pas $2$ minutes, mais\n$0{,}2 \\times 60 = 12$ minutes." }, { "text": "$252$ h", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : $252$ est la durée totale en **minutes**,\npas en heures." } ], "explanation": "Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la\nmultiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "vitesse", "application-numerique", "duree" ], "title": "Calculer une vitesse moyenne", "partie": "conversions", "statement": "Un automobiliste parcourt $150$ km en $1$ h $30$ min.\nQuelle est sa vitesse moyenne ?", "options": [ { "text": "$100$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ h $30$ min $= 1 + \\dfrac{30}{60}$ h,\net $v = \\dfrac{d}{t} = 100$ km/h." }, { "text": "Environ $115$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ h $30$ min a été écrit $1{,}30$ h. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$." }, { "text": "$225$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse\nest le quotient $\\dfrac{d}{t}$." }, { "text": "$150$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : les $30$ minutes n'ont pas été comptées ; on a\ndivisé par $1$ h seulement." } ], "explanation": "Vitesse moyenne $v = \\dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour\nobtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction\nd'heure.", "variants": [ { "statement": "Un automobiliste parcourt $150$ km en $1$ h $30$ min.\nQuelle est sa vitesse moyenne ?", "options": [ { "text": "$100$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ h $30$ min $= 1 + \\dfrac{30}{60}$ h,\net $v = \\dfrac{d}{t} = 100$ km/h." }, { "text": "Environ $115$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ h $30$ min a été écrit $1{,}30$ h. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$." }, { "text": "$225$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse\nest le quotient $\\dfrac{d}{t}$." }, { "text": "$150$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : les $30$ minutes n'ont pas été comptées ; on a\ndivisé par $1$ h seulement." } ], "explanation": "Vitesse moyenne $v = \\dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour\nobtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction\nd'heure." }, { "statement": "Un automobiliste parcourt $90$ km en $1$ h $15$ min.\nQuelle est sa vitesse moyenne ?", "options": [ { "text": "$72$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ h $15$ min $= 1 + \\dfrac{15}{60}$ h,\net $v = \\dfrac{d}{t} = 72$ km/h." }, { "text": "Environ $78$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ h $15$ min a été écrit $1{,}15$ h. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$." }, { "text": "$112{,}5$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse\nest le quotient $\\dfrac{d}{t}$." }, { "text": "$90$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : les $15$ minutes n'ont pas été comptées ; on a\ndivisé par $1$ h seulement." } ], "explanation": "Vitesse moyenne $v = \\dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour\nobtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction\nd'heure." }, { "statement": "Un automobiliste parcourt $210$ km en $2$ h $30$ min.\nQuelle est sa vitesse moyenne ?", "options": [ { "text": "$84$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2$ h $30$ min $= 2 + \\dfrac{30}{60}$ h,\net $v = \\dfrac{d}{t} = 84$ km/h." }, { "text": "Environ $91$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ h $30$ min a été écrit $2{,}30$ h. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$." }, { "text": "$525$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse\nest le quotient $\\dfrac{d}{t}$." }, { "text": "$105$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : les $30$ minutes n'ont pas été comptées ; on a\ndivisé par $2$ h seulement." } ], "explanation": "Vitesse moyenne $v = \\dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour\nobtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction\nd'heure." }, { "statement": "Un automobiliste parcourt $60$ km en $1$ h $20$ min.\nQuelle est sa vitesse moyenne ?", "options": [ { "text": "$45$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ h $20$ min $= 1 + \\dfrac{20}{60}$ h,\net $v = \\dfrac{d}{t} = 45$ km/h." }, { "text": "Environ $50$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ h $20$ min a été écrit $1{,}20$ h. Une\nheure compte $60$ minutes, pas $100$." }, { "text": "$80$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse\nest le quotient $\\dfrac{d}{t}$." }, { "text": "$60$ km/h", "correct": false, "feedback": "Oubli : les $20$ minutes n'ont pas été comptées ; on a\ndivisé par $1$ h seulement." } ], "explanation": "Vitesse moyenne $v = \\dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour\nobtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction\nd'heure." } ] }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "application-numerique", "formule" ], "title": "Appliquer une formule de physique", "partie": "conversions", "statement": "L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse\n$v$ (en m/s) vaut $E = \\dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut\n$E$ pour $m = 2$ et $v = 3$ ?", "options": [ { "text": "$9$ J", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{2} \\times 2 \\times 3^2 =\n\\dfrac{1}{2} \\times 2 \\times 9 = 9$ J." }, { "text": "$18$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $2 \\times 3^2 = 18$,\nqu'il faut encore diviser par $2$." }, { "text": "$3$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : $v^2 = 3 \\times 3$, et non $3$." }, { "text": "$36$ J", "correct": false, "feedback": "Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit\n$m v$ ; et le facteur $\\dfrac{1}{2}$ manque." } ], "explanation": "Dans $\\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se\ncalcule avant les multiplications.", "variants": [ { "statement": "L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse\n$v$ (en m/s) vaut $E = \\dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut\n$E$ pour $m = 2$ et $v = 3$ ?", "options": [ { "text": "$9$ J", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{2} \\times 2 \\times 3^2 =\n\\dfrac{1}{2} \\times 2 \\times 9 = 9$ J." }, { "text": "$18$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $2 \\times 3^2 = 18$,\nqu'il faut encore diviser par $2$." }, { "text": "$3$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : $v^2 = 3 \\times 3$, et non $3$." }, { "text": "$36$ J", "correct": false, "feedback": "Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit\n$m v$ ; et le facteur $\\dfrac{1}{2}$ manque." } ], "explanation": "Dans $\\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se\ncalcule avant les multiplications." }, { "statement": "L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse\n$v$ (en m/s) vaut $E = \\dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut\n$E$ pour $m = 4$ et $v = 5$ ?", "options": [ { "text": "$50$ J", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{2} \\times 4 \\times 5^2 =\n\\dfrac{1}{2} \\times 4 \\times 25 = 50$ J." }, { "text": "$100$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $4 \\times 5^2 = 100$,\nqu'il faut encore diviser par $2$." }, { "text": "$10$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : $v^2 = 5 \\times 5$, et non $5$." }, { "text": "$400$ J", "correct": false, "feedback": "Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit\n$m v$ ; et le facteur $\\dfrac{1}{2}$ manque." } ], "explanation": "Dans $\\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se\ncalcule avant les multiplications." }, { "statement": "L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse\n$v$ (en m/s) vaut $E = \\dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut\n$E$ pour $m = 6$ et $v = 2$ ?", "options": [ { "text": "$12$ J", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{2} \\times 6 \\times 2^2 =\n\\dfrac{1}{2} \\times 6 \\times 4 = 12$ J." }, { "text": "$24$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $6 \\times 2^2 = 24$,\nqu'il faut encore diviser par $2$." }, { "text": "$6$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : $v^2 = 2 \\times 2$, et non $2$." }, { "text": "$144$ J", "correct": false, "feedback": "Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit\n$m v$ ; et le facteur $\\dfrac{1}{2}$ manque." } ], "explanation": "Dans $\\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se\ncalcule avant les multiplications." }, { "statement": "L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse\n$v$ (en m/s) vaut $E = \\dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut\n$E$ pour $m = 10$ et $v = 4$ ?", "options": [ { "text": "$80$ J", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{2} \\times 10 \\times 4^2 =\n\\dfrac{1}{2} \\times 10 \\times 16 = 80$ J." }, { "text": "$160$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $10 \\times 4^2 = 160$,\nqu'il faut encore diviser par $2$." }, { "text": "$20$ J", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : $v^2 = 4 \\times 4$, et non $4$." }, { "text": "$1600$ J", "correct": false, "feedback": "Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit\n$m v$ ; et le facteur $\\dfrac{1}{2}$ manque." } ], "explanation": "Dans $\\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se\ncalcule avant les multiplications." } ] }, { "id": "q19", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "volume", "contenance" ], "title": "La contenance d'une cuve", "partie": "conversions", "statement": "Une cuve a un volume de $2{,}4$ m³. Combien de litres\ncontient-elle quand elle est pleine ?", "options": [ { "text": "$2\\,400$ L", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m³ $= 1\\,000$ dm³ $= 1\\,000$ L." }, { "text": "$24$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : un mètre cube est un cube de $10$ dm d'arête, soit\n$1\\,000$ dm³, donc $1\\,000$ L, et non $10$ L." }, { "text": "$240$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur entre m³ et L est $1\\,000$, pas $100$." }, { "text": "$24\\,000$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ m³ vaut $1\\,000$ L, pas $10\\,000$ L. Un facteur\n$10\\,000$ relie m² et cm²." } ], "explanation": "$1$ m³ $= 1\\,000$ L : une baignoire contient environ $0{,}2$ m³,\nsoit $200$ L." }, { "id": "q20", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "masse" ], "title": "Des tonnes aux kilogrammes", "partie": "conversions", "statement": "Combien de kilogrammes représentent $0{,}035$ t ?", "options": [ { "text": "$35$ kg", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ t $= 1\\,000$ kg, et\n$0{,}035 \\times 1\\,000 = 35$." }, { "text": "$350$ kg", "correct": false, "feedback": "Erreur de rang : $0{,}035 \\times 1\\,000 = 35$, pas $350$." }, { "text": "$3{,}5$ kg", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a multiplié par $100$ ; une tonne vaut\n$1\\,000$ kg." }, { "text": "$35\\,000$ kg", "correct": false, "feedback": "Erreur : $35\\,000$ kg feraient $35$ t. On a multiplié par\n$1\\,000$ deux fois." } ], "explanation": "$1$ t $= 1\\,000$ kg $= 1\\,000\\,000$ g." }, { "id": "q21", "difficulty": 1, "skills": [ "pythagore", "longueur" ], "title": "Calculer l'hypoténuse", "partie": "geometrie", "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et\n$AC = 8$ cm. Que vaut $BC$ ?", "options": [ { "text": "$10$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$, donc\n$BC = \\sqrt{100} = 10$ cm." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les **carrés** des côtés, pas les\ncôtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme\ndes deux autres côtés." }, { "text": "$100$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $100$ est $BC^2$, pas $BC$." }, { "text": "$\\sqrt{28}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les\nadditionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de\nl'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.", "variants": [ { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et\n$AC = 8$ cm. Que vaut $BC$ ?", "options": [ { "text": "$10$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$, donc\n$BC = \\sqrt{100} = 10$ cm." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les **carrés** des côtés, pas les\ncôtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme\ndes deux autres côtés." }, { "text": "$100$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $100$ est $BC^2$, pas $BC$." }, { "text": "$\\sqrt{28}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les\nadditionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de\nl'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et\n$AC = 12$ cm. Que vaut $BC$ ?", "options": [ { "text": "$13$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$, donc\n$BC = \\sqrt{169} = 13$ cm." }, { "text": "$17$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les **carrés** des côtés, pas les\ncôtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme\ndes deux autres côtés." }, { "text": "$169$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $169$ est $BC^2$, pas $BC$." }, { "text": "$\\sqrt{119}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les\nadditionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de\nl'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 9$ cm et\n$AC = 12$ cm. Que vaut $BC$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 9^2 + 12^2 = 225$, donc\n$BC = \\sqrt{225} = 15$ cm." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les **carrés** des côtés, pas les\ncôtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme\ndes deux autres côtés." }, { "text": "$225$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $225$ est $BC^2$, pas $BC$." }, { "text": "$\\sqrt{63}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les\nadditionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de\nl'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 8$ cm et\n$AC = 15$ cm. Que vaut $BC$ ?", "options": [ { "text": "$17$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 8^2 + 15^2 = 289$, donc\n$BC = \\sqrt{289} = 17$ cm." }, { "text": "$23$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les **carrés** des côtés, pas les\ncôtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme\ndes deux autres côtés." }, { "text": "$289$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $289$ est $BC^2$, pas $BC$." }, { "text": "$\\sqrt{161}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les\nadditionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de\nl'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés." } ] }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "longueur" ], "title": "Calculer un côté de l'angle droit", "partie": "geometrie", "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 13$ cm et\n$AB = 5$ cm. Que vaut $AC$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 144$,\ndonc $AC = 12$ cm." }, { "text": "$\\sqrt{194}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc\n$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur\nles longueurs : $AC^2 = 13^2 - 5^2$." }, { "text": "$144$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $144$ est $AC^2$." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$.", "variants": [ { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 13$ cm et\n$AB = 5$ cm. Que vaut $AC$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 144$,\ndonc $AC = 12$ cm." }, { "text": "$\\sqrt{194}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc\n$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur\nles longueurs : $AC^2 = 13^2 - 5^2$." }, { "text": "$144$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $144$ est $AC^2$." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 10$ cm et\n$AB = 6$ cm. Que vaut $AC$ ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 6^2 = 64$,\ndonc $AC = 8$ cm." }, { "text": "$\\sqrt{136}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc\n$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur\nles longueurs : $AC^2 = 10^2 - 6^2$." }, { "text": "$64$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $64$ est $AC^2$." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 17$ cm et\n$AB = 8$ cm. Que vaut $AC$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 17^2 - 8^2 = 225$,\ndonc $AC = 15$ cm." }, { "text": "$\\sqrt{353}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc\n$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner." }, { "text": "$9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur\nles longueurs : $AC^2 = 17^2 - 8^2$." }, { "text": "$225$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $225$ est $AC^2$." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$." }, { "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 25$ cm et\n$AB = 7$ cm. Que vaut $AC$ ?", "options": [ { "text": "$24$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 25^2 - 7^2 = 576$,\ndonc $AC = 24$ cm." }, { "text": "$\\sqrt{674}$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc\n$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur\nles longueurs : $AC^2 = 25^2 - 7^2$." }, { "text": "$576$ cm", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine carrée : $576$ est $AC^2$." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$." } ] }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "reciproque" ], "title": "Un triangle est-il rectangle ?", "partie": "geometrie", "statement": "Un triangle a des côtés de longueurs $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm.\nEst-il rectangle ?", "options": [ { "text": "Non, car $5^2 + 7^2 \\neq 9^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $25 + 49 = 74$ et $9^2 = 81$. D'après la\ncontraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas\nrectangle." }, { "text": "Oui, car $5 + 7 > 9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette inégalité dit seulement que le triangle\nexiste ; elle ne dit rien d'un angle droit." }, { "text": "Oui, car $9$ est le plus grand côté", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout triangle a un plus grand côté. Il faut comparer\n$9^2$ à $5^2 + 7^2$." }, { "text": "Non, car ses côtés ne sont pas des entiers pairs", "correct": false, "feedback": "Erreur : le triangle de côtés $3$, $4$, $5$ est rectangle et\na des côtés impairs. Seule l'égalité de Pythagore tranche." } ], "explanation": "On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des\ndeux autres : égalité si et seulement si le triangle est\nrectangle." }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "thales", "longueur" ], "title": "Calculer une longueur avec Thalès", "partie": "geometrie", "statement": "Sur la figure, $M \\in [AB]$, $N \\in [AC]$ et les droites $(MN)$ et\n$(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 3$, $AB = 5$ et $BC = 8$.\nQue vaut $MN$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (6,0);\n \\coordinate (C) at (4,3.5);\n \\coordinate (M) at (3.6,0);\n \\coordinate (N) at (2.4,2.1);\n \\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;\n \\draw[thick,blue] (M) -- (N);\n \\foreach \\p in {A,B,C,M,N} \\fill (\\p) circle (0.06);\n \\node[below left] at (A) {$A$};\n \\node[below right] at (B) {$B$};\n \\node[above] at (C) {$C$};\n \\node[below] at (M) {$M$};\n \\node[above left] at (N) {$N$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Triangle ABC. Le point M est sur le côté [AB], le point N sur\nle côté [AC], et le segment [MN], tracé en bleu, est parallèle\nà [BC].", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$4{,}8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{MN}{BC} = \\dfrac{AM}{AB}$, donc\n$MN = 8 \\times \\dfrac{3}{5} = 4{,}8$." }, { "text": "$13{,}3$", "correct": false, "feedback": "Rapport inversé : $8 \\times \\dfrac{5}{3} \\approx 13{,}3$\ndépasse $BC$, alors que $[MN]$ est une réduction de $[BC]$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a retiré $AB - AM = 2$ à $BC$. Le théorème de\nThalès porte sur des rapports, pas sur des différences." }, { "text": "$1{,}875$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 \\times \\dfrac{5}{8}$ mélange les rapports. Les\nlongueurs homologues sont $AM$ et $AB$, $MN$ et $BC$." } ], "explanation": "Théorème de Thalès : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC} =\n\\dfrac{MN}{BC}$ quand $(MN) \\parallel (BC)$." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "thales", "longueur" ], "title": "Retrouver une longueur sur un côté", "partie": "geometrie", "statement": "Dans un triangle $ABC$, $M \\in [AB]$ et $N \\in [AC]$, avec\n$(MN) \\parallel (BC)$. On donne $AN = 4$, $AC = 10$ et\n$AB = 7{,}5$. Que vaut $AM$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AM = 7{,}5 \\times \\dfrac{4}{10} = 3$." }, { "text": "$18{,}75$", "correct": false, "feedback": "Rapport inversé : $7{,}5 \\times \\dfrac{10}{4}$ dépasse $AB$,\nalors que $M$ est sur le segment $[AB]$." }, { "text": "$5{,}3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4 \\times 10}{7{,}5} \\approx 5{,}3$ ne respecte\npas l'égalité des rapports $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$." }, { "text": "$1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a retiré $AC - AN = 6$ à $AB$. Le théorème de\nThalès donne des rapports égaux, pas des différences égales." } ], "explanation": "$\\dfrac{AN}{AC} = 0{,}4$ : les longueurs du petit triangle valent\n$40\\ \\%$ de celles du grand." }, { "id": "q26", "difficulty": 1, "skills": [ "trigonometrie", "cosinus" ], "title": "Lire un cosinus", "partie": "geometrie", "statement": "Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ ci-dessous, que vaut\n$\\cos \\widehat{BAC}$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.9]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (4,0);\n \\coordinate (C) at (4,3);\n \\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;\n \\draw (3.7,0) -- (3.7,0.3) -- (4,0.3);\n \\node[below left] at (A) {$A$};\n \\node[below right] at (B) {$B$};\n \\node[above right] at (C) {$C$};\n \\node[below] at (2,0) {$4$};\n \\node[right] at (4,1.5) {$3$};\n \\node[above left] at (2,1.5) {$5$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 4, BC = 3 et AC = 5.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent\npar l'hypoténuse, $\\cos \\widehat{BAC} = \\dfrac{AB}{AC} =\n\\dfrac{4}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le sinus : $\\dfrac{BC}{AC}$ rapporte le côté\n**opposé** à l'angle à l'hypoténuse." }, { "text": "$\\dfrac{5}{4}$", "correct": false, "feedback": "Rapport inversé : un cosinus est toujours inférieur à $1$,\ncar l'hypoténuse est le plus grand côté." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec la tangente, quotient du côté opposé par le\ncôté adjacent : $\\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{4}$." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle : cosinus $=$ adjacent sur hypoténuse,\nsinus $=$ opposé sur hypoténuse, tangente $=$ opposé sur adjacent." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "trigonometrie", "tangente", "longueur" ], "title": "Calculer une longueur par la tangente", "partie": "geometrie", "statement": "Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 10$ cm et\n$\\widehat{BAC} = 30°$. Que vaut $BC$, arrondi au millimètre ?", "options": [ { "text": "$5{,}8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\tan 30° = \\dfrac{BC}{AB}$, donc\n$BC = 10 \\times \\tan 30° \\approx 5{,}8$ cm." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 \\times \\sin 30° = 5$ utilise le sinus, qui\nrapporte l'opposé à l'hypoténuse ; or $[AB]$ est le côté\nadjacent." }, { "text": "$8{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 \\times \\cos 30° \\approx 8{,}7$ utilise le\ncosinus ; on cherche le côté opposé connaissant l'adjacent." }, { "text": "$17{,}3$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{10}{\\tan 30°} \\approx 17{,}3$ ; de\n$\\tan 30° = \\dfrac{BC}{10}$, on tire $BC = 10 \\times \\tan 30°$." } ], "explanation": "Repérer d'abord l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent\nà l'angle, puis choisir le rapport qui relie la donnée et\nl'inconnue." }, { "id": "q28", "difficulty": 1, "skills": [ "trigonometrie", "angle" ], "title": "Retrouver un angle par son cosinus", "partie": "geometrie", "statement": "Dans un triangle rectangle, un angle aigu $\\alpha$ vérifie\n$\\cos \\alpha = 0{,}5$. Que vaut $\\alpha$ ?", "options": [ { "text": "$60°$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\cos 60° = 0{,}5$ ; la calculatrice le\nconfirme avec la touche $\\arccos$ (ou $\\cos^{-1}$)." }, { "text": "$30°$", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est $\\sin 30°$ qui vaut $0{,}5$ ;\n$\\cos 30° \\approx 0{,}87$." }, { "text": "$45°$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\cos 45° \\approx 0{,}71$. L'angle dont le cosinus\nvaut $0{,}5$ est plus grand." }, { "text": "$0{,}5°$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la valeur du cosinus, pas celle de\nl'angle." } ], "explanation": "Valeurs à connaître : $\\cos 60° = \\sin 30° = 0{,}5$." }, { "id": "q29", "difficulty": 1, "skills": [ "aire", "disque" ], "title": "L'aire d'un disque", "partie": "geometrie", "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $3$ cm ?", "options": [ { "text": "$9\\pi$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\pi r^2 = \\pi \\times 3^2 =\n9\\pi$ cm²." }, { "text": "$6\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre : $2\\pi r = 6\\pi$ cm est une\nlongueur, pas une aire." }, { "text": "$3\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : l'aire est $\\pi r^2$, pas $\\pi r$." }, { "text": "$36\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a élevé le **diamètre** $6$ au carré. La formule\nutilise le rayon : $\\pi r^2$." } ], "explanation": "Disque de rayon $r$ : aire $\\pi r^2$, périmètre $2\\pi r$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $3$ cm ?", "options": [ { "text": "$9\\pi$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\pi r^2 = \\pi \\times 3^2 =\n9\\pi$ cm²." }, { "text": "$6\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre : $2\\pi r = 6\\pi$ cm est une\nlongueur, pas une aire." }, { "text": "$3\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : l'aire est $\\pi r^2$, pas $\\pi r$." }, { "text": "$36\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a élevé le **diamètre** $6$ au carré. La formule\nutilise le rayon : $\\pi r^2$." } ], "explanation": "Disque de rayon $r$ : aire $\\pi r^2$, périmètre $2\\pi r$." }, { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm ?", "options": [ { "text": "$25\\pi$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\pi r^2 = \\pi \\times 5^2 =\n25\\pi$ cm²." }, { "text": "$10\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre : $2\\pi r = 10\\pi$ cm est une\nlongueur, pas une aire." }, { "text": "$5\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : l'aire est $\\pi r^2$, pas $\\pi r$." }, { "text": "$100\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a élevé le **diamètre** $10$ au carré. La formule\nutilise le rayon : $\\pi r^2$." } ], "explanation": "Disque de rayon $r$ : aire $\\pi r^2$, périmètre $2\\pi r$." }, { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $4$ cm ?", "options": [ { "text": "$16\\pi$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\pi r^2 = \\pi \\times 4^2 =\n16\\pi$ cm²." }, { "text": "$8\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre : $2\\pi r = 8\\pi$ cm est une\nlongueur, pas une aire." }, { "text": "$4\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : l'aire est $\\pi r^2$, pas $\\pi r$." }, { "text": "$64\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a élevé le **diamètre** $8$ au carré. La formule\nutilise le rayon : $\\pi r^2$." } ], "explanation": "Disque de rayon $r$ : aire $\\pi r^2$, périmètre $2\\pi r$." }, { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $7$ cm ?", "options": [ { "text": "$49\\pi$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\pi r^2 = \\pi \\times 7^2 =\n49\\pi$ cm²." }, { "text": "$14\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre : $2\\pi r = 14\\pi$ cm est une\nlongueur, pas une aire." }, { "text": "$7\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli du carré : l'aire est $\\pi r^2$, pas $\\pi r$." }, { "text": "$196\\pi$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a élevé le **diamètre** $14$ au carré. La formule\nutilise le rayon : $\\pi r^2$." } ], "explanation": "Disque de rayon $r$ : aire $\\pi r^2$, périmètre $2\\pi r$." } ] }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "volume", "cylindre" ], "title": "Le volume d'un cylindre", "partie": "geometrie", "statement": "Quel est le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur\n$4$ cm ?", "options": [ { "text": "$36\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\pi r^2 h = \\pi \\times 3^2 \\times 4 =\n36\\pi$ cm³." }, { "text": "$24\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une\nsurface, pas un volume." }, { "text": "$12\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le cône : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ concerne\nles cônes et les pyramides, pas les cylindres." }, { "text": "$144\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans\n$\\pi r^2 h$." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base $\\times$ hauteur, soit\n$\\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise\npar $3$.", "variants": [ { "statement": "Quel est le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur\n$4$ cm ?", "options": [ { "text": "$36\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\pi r^2 h = \\pi \\times 3^2 \\times 4 =\n36\\pi$ cm³." }, { "text": "$24\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une\nsurface, pas un volume." }, { "text": "$12\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le cône : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ concerne\nles cônes et les pyramides, pas les cylindres." }, { "text": "$144\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans\n$\\pi r^2 h$." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base $\\times$ hauteur, soit\n$\\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise\npar $3$." }, { "statement": "Quel est le volume d'un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur\n$3$ cm ?", "options": [ { "text": "$48\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\pi r^2 h = \\pi \\times 4^2 \\times 3 =\n48\\pi$ cm³." }, { "text": "$24\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une\nsurface, pas un volume." }, { "text": "$16\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le cône : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ concerne\nles cônes et les pyramides, pas les cylindres." }, { "text": "$192\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans\n$\\pi r^2 h$." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base $\\times$ hauteur, soit\n$\\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise\npar $3$." }, { "statement": "Quel est le volume d'un cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur\n$3$ cm ?", "options": [ { "text": "$75\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\pi r^2 h = \\pi \\times 5^2 \\times 3 =\n75\\pi$ cm³." }, { "text": "$30\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une\nsurface, pas un volume." }, { "text": "$25\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le cône : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ concerne\nles cônes et les pyramides, pas les cylindres." }, { "text": "$300\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans\n$\\pi r^2 h$." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base $\\times$ hauteur, soit\n$\\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise\npar $3$." }, { "statement": "Quel est le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur\n$7$ cm ?", "options": [ { "text": "$63\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\pi r^2 h = \\pi \\times 3^2 \\times 7 =\n63\\pi$ cm³." }, { "text": "$42\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une\nsurface, pas un volume." }, { "text": "$21\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le cône : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ concerne\nles cônes et les pyramides, pas les cylindres." }, { "text": "$252\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans\n$\\pi r^2 h$." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base $\\times$ hauteur, soit\n$\\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise\npar $3$." } ] }, { "id": "q31", "difficulty": 2, "skills": [ "volume", "boule" ], "title": "Le volume d'une boule", "partie": "geometrie", "statement": "Quel est le volume d'une boule de rayon $6$ cm ?", "options": [ { "text": "$288\\pi$ cm³", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V = \\dfrac{4}{3}\\pi r^3 = \\dfrac{4}{3} \\times\n216\\pi = 288\\pi$ cm³." }, { "text": "$144\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'aire de la sphère : $4\\pi r^2 = 144\\pi$ cm²." }, { "text": "$216\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{4}{3}$ : $\\pi r^3 = 216\\pi$." }, { "text": "$48\\pi$ cm³", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{3}\\pi r^2 = 48\\pi$ ; un volume fait\nintervenir le cube du rayon." } ], "explanation": "Boule de rayon $r$ : volume $\\dfrac{4}{3}\\pi r^3$, aire de la\nsphère $4\\pi r^2$." }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "aire", "triangle" ], "title": "L'aire d'un triangle", "partie": "geometrie", "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur relative à cette\nbase de $5$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$20$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\dfrac{\\text{base} \\times\n\\text{hauteur}}{2} = \\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm²." }, { "text": "$40$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $40$ cm² est l'aire du\nrectangle de mêmes dimensions." }, { "text": "$13$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une\nsomme." }, { "text": "$26$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $8$ et\n$5$, qui est une longueur." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : $\\dfrac{b \\times h}{2}$, avec $h$ la hauteur\nrelative à la base $b$.", "variants": [ { "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur relative à cette\nbase de $5$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$20$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\dfrac{\\text{base} \\times\n\\text{hauteur}}{2} = \\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm²." }, { "text": "$40$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $40$ cm² est l'aire du\nrectangle de mêmes dimensions." }, { "text": "$13$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une\nsomme." }, { "text": "$26$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $8$ et\n$5$, qui est une longueur." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : $\\dfrac{b \\times h}{2}$, avec $h$ la hauteur\nrelative à la base $b$." }, { "statement": "Un triangle a une base de $6$ cm et une hauteur relative à cette\nbase de $7$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$21$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\dfrac{\\text{base} \\times\n\\text{hauteur}}{2} = \\dfrac{6 \\times 7}{2} = 21$ cm²." }, { "text": "$42$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $42$ cm² est l'aire du\nrectangle de mêmes dimensions." }, { "text": "$13$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une\nsomme." }, { "text": "$26$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $6$ et\n$7$, qui est une longueur." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : $\\dfrac{b \\times h}{2}$, avec $h$ la hauteur\nrelative à la base $b$." }, { "statement": "Un triangle a une base de $10$ cm et une hauteur relative à cette\nbase de $3$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$15$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\dfrac{\\text{base} \\times\n\\text{hauteur}}{2} = \\dfrac{10 \\times 3}{2} = 15$ cm²." }, { "text": "$30$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $30$ cm² est l'aire du\nrectangle de mêmes dimensions." }, { "text": "$13$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une\nsomme." }, { "text": "$26$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $10$ et\n$3$, qui est une longueur." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : $\\dfrac{b \\times h}{2}$, avec $h$ la hauteur\nrelative à la base $b$." }, { "statement": "Un triangle a une base de $9$ cm et une hauteur relative à cette\nbase de $4$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$18$ cm²", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{A} = \\dfrac{\\text{base} \\times\n\\text{hauteur}}{2} = \\dfrac{9 \\times 4}{2} = 18$ cm²." }, { "text": "$36$ cm²", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $36$ cm² est l'aire du\nrectangle de mêmes dimensions." }, { "text": "$13$ cm²", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une\nsomme." }, { "text": "$26$ cm²", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $9$ et\n$4$, qui est une longueur." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : $\\dfrac{b \\times h}{2}$, avec $h$ la hauteur\nrelative à la base $b$." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "repere", "coordonnees", "lecture-graphique" ], "title": "Lire les coordonnées d'un point", "partie": "geometrie", "statement": "Quelles sont les coordonnées du point $P$ placé dans le repère\nci-dessous ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.5,-2.5) grid (3.5,3.5);\n \\draw[->] (-3.7,0) -- (3.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.7) -- (0,3.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\fill[blue] (-2,3) circle (0.1) node[above right] {$P$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé gradué de -3 à 3 en abscisse et de -2 à 3 en\nordonnée. Le point P est placé deux unités à gauche de l'axe des\nordonnées et trois unités au-dessus de l'axe des abscisses.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$(-2\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on lit d'abord l'abscisse sur l'axe\nhorizontal ($-2$), puis l'ordonnée sur l'axe vertical ($3$)." }, { "text": "$(3\\,;\\,-2)$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : dans un couple de coordonnées, l'abscisse\nvient en premier." }, { "text": "$(2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $P$ est à gauche de l'axe des ordonnées,\nson abscisse est négative." }, { "text": "$(-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux valeurs sont échangées. $P$ est sur la\nverticale d'abscisse $-2$ et l'horizontale d'ordonnée $3$." } ], "explanation": "Un point $P(x\\,;\\,y)$ : $x$ se lit sur l'axe des abscisses\n(horizontal), $y$ sur l'axe des ordonnées (vertical)." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "droite-graduee", "abscisse" ], "title": "Lire une abscisse sur une droite graduée", "partie": "geometrie", "statement": "Quelle est l'abscisse du point $M$ sur la droite graduée\nci-dessous ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[->] (-0.3,0) -- (3.3,0);\n \\foreach \\i in {0,...,15} \\draw (\\i*0.2,-0.05) -- (\\i*0.2,0.05);\n \\foreach \\x in {0,1,2,3} \\draw (\\x,-0.1) -- (\\x,0.1) node[below=6pt,font=\\small] {$\\x$};\n \\fill[blue] (1.6,0) circle (0.045);\n \\node[blue,above] at (1.6,0.08) {$M$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Droite graduée de 0 à 3, chaque unité étant partagée en cinq\nintervalles égaux. Le point M est placé au troisième trait\naprès la graduation 1.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$1{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque unité est partagée en $5$, donc un\nintervalle vaut $0{,}2$ ; $M$ est à $3 \\times 0{,}2 = 0{,}6$\naprès $1$." }, { "text": "$1{,}3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté $0{,}1$ par intervalle. L'unité est\npartagée en $5$ intervalles, pas en $10$." }, { "text": "$1{,}03$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $M$ est au troisième trait, mais chaque intervalle\nvaut $\\dfrac{1}{5} = 0{,}2$, pas $0{,}01$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8$ est le nombre de petits intervalles depuis $0$ ;\nil faut le multiplier par la valeur d'un intervalle,\n$0{,}2$." } ], "explanation": "Sur une droite graduée, on détermine d'abord la valeur d'une\ngraduation (unité divisée par le nombre d'intervalles)." }, { "id": "q35", "difficulty": 1, "skills": [ "diagramme-circulaire", "proportion" ], "title": "Un secteur de diagramme circulaire", "partie": "graphiques", "statement": "Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par\nun secteur de $90°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$25\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente\n$100\\ \\%$ ; $\\dfrac{90}{360} = \\dfrac{25}{100}$." }, { "text": "$90\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le\nrapporte à $360°$." }, { "text": "$9\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut\n$\\dfrac{90}{360}$." }, { "text": "$50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif\ntotal correspond à $180°$." } ], "explanation": "Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\\times 360°$.\nSemi-circulaire : angle $=$ proportion $\\times 180°$.", "variants": [ { "statement": "Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par\nun secteur de $90°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$25\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente\n$100\\ \\%$ ; $\\dfrac{90}{360} = \\dfrac{25}{100}$." }, { "text": "$90\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le\nrapporte à $360°$." }, { "text": "$9\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut\n$\\dfrac{90}{360}$." }, { "text": "$50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif\ntotal correspond à $180°$." } ], "explanation": "Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\\times 360°$.\nSemi-circulaire : angle $=$ proportion $\\times 180°$." }, { "statement": "Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par\nun secteur de $72°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$20\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente\n$100\\ \\%$ ; $\\dfrac{72}{360} = \\dfrac{20}{100}$." }, { "text": "$72\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le\nrapporte à $360°$." }, { "text": "$7{,}2\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut\n$\\dfrac{72}{360}$." }, { "text": "$40\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif\ntotal correspond à $180°$." } ], "explanation": "Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\\times 360°$.\nSemi-circulaire : angle $=$ proportion $\\times 180°$." }, { "statement": "Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par\nun secteur de $54°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$15\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente\n$100\\ \\%$ ; $\\dfrac{54}{360} = \\dfrac{15}{100}$." }, { "text": "$54\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le\nrapporte à $360°$." }, { "text": "$5{,}4\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut\n$\\dfrac{54}{360}$." }, { "text": "$30\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif\ntotal correspond à $180°$." } ], "explanation": "Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\\times 360°$.\nSemi-circulaire : angle $=$ proportion $\\times 180°$." }, { "statement": "Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par\nun secteur de $144°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$40\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente\n$100\\ \\%$ ; $\\dfrac{144}{360} = \\dfrac{40}{100}$." }, { "text": "$144\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le\nrapporte à $360°$." }, { "text": "$14{,}4\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut\n$\\dfrac{144}{360}$." }, { "text": "$80\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif\ntotal correspond à $180°$." } ], "explanation": "Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\\times 360°$.\nSemi-circulaire : angle $=$ proportion $\\times 180°$." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "diagramme-semi-circulaire", "proportion" ], "title": "Un secteur de diagramme semi-circulaire", "partie": "graphiques", "statement": "Dans un diagramme semi-circulaire, une catégorie occupe un\nsecteur de $45°$. Quelle part de l'effectif total représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$25\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le demi-disque ($180°$) représente\n$100\\ \\%$, et $\\dfrac{45}{180} = 0{,}25$." }, { "text": "$12{,}5\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{45}{360} = 12{,}5\\ \\%$ vaut pour un disque\ncomplet ; ici l'effectif total occupe $180°$." }, { "text": "$45\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un angle n'est pas un pourcentage ; on le rapporte à\n$180°$." }, { "text": "$50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ correspondrait à un quart de disque, soit\n$90°$ sur le demi-disque." } ], "explanation": "Dans un diagramme semi-circulaire, $180°$ représentent\nl'effectif total." }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "diagramme-en-barres", "frequence" ], "title": "Lire un diagramme en barres", "partie": "graphiques", "statement": "Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des\n$30$ élèves d'une classe. Quelle proportion des élèves a au moins\ndeux frères et sœurs ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[yscale=0.3,xscale=0.9]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.5,0) grid[xstep=10,ystep=2] (5,10);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (5,0);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (-0.5,11) node[above,font=\\small] {effectif};\n \\foreach \\y in {2,4,6,8,10} \\node[left,font=\\small] at (-0.5,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\x/\\h in {0/6,1/10,2/8,3/4,4/2} {\n \\fill[blue!35] (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\draw (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n }\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs,\nde 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4\npour 3 et 2 pour 4.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$\\dfrac{7}{15}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8 + 4 + 2 = 14$ élèves sur $30$, et\n$\\dfrac{14}{30} = \\dfrac{7}{15}$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{15}$", "correct": false, "feedback": "Oubli : « au moins deux » compte aussi les élèves qui en ont\n$3$ ou $4$, pas seulement ceux qui en ont $2$." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{24}{30}$ compte les élèves qui ont au moins\n**un** frère ou une sœur." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{16}{30}$ est la proportion des élèves qui en\nont moins de deux, le complément de la réponse." } ], "explanation": "« Au moins deux » signifie « deux ou plus » : on additionne les\neffectifs des valeurs $2$, $3$ et $4$." }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "diagramme-en-barres", "mediane" ], "title": "Une médiane lue sur un diagramme en barres", "partie": "graphiques", "statement": "Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des\n$30$ élèves d'une classe. Quelle est la médiane de cette série ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[yscale=0.3,xscale=0.9]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.5,0) grid[xstep=10,ystep=2] (5,10);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (5,0);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (-0.5,11) node[above,font=\\small] {effectif};\n \\foreach \\y in {2,4,6,8,10} \\node[left,font=\\small] at (-0.5,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\x/\\h in {0/6,1/10,2/8,3/4,4/2} {\n \\fill[blue!35] (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\draw (\\x-0.3,0) rectangle (\\x+0.3,\\h);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n }\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs,\nde 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4\npour 3 et 2 pour 4.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : rangées dans l'ordre, les $15^\\text{e}$ et\n$16^\\text{e}$ valeurs valent $1$ (les effectifs cumulés\npassent de $6$ à $16$ pour la valeur $1$)." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est la valeur du milieu de l'axe ($0$ à $4$),\npas celle du milieu de la série rangée." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8$ est un effectif, la hauteur d'une barre. La\nmédiane est une valeur de la série." }, { "text": "$1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la moyenne des $15^\\text{e}$ et $16^\\text{e}$ valeurs\nest $\\dfrac{1 + 1}{2} = 1$ ; ces deux valeurs sont égales." } ], "explanation": "Pour une série de $30$ valeurs, la médiane est la moyenne des\n$15^\\text{e}$ et $16^\\text{e}$ valeurs rangées : les effectifs\ncumulés les situent." }, { "id": "q39", "difficulty": 1, "skills": [ "boite-a-moustaches", "ecart-interquartile" ], "title": "Lire un écart interquartile", "partie": "graphiques", "statement": "La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes. Que\nvaut son écart interquartile ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]\n \\draw[->] (0,0) -- (21,0);\n \\foreach \\x in {0,2,...,20} {\n \\draw (\\x,-0.08) -- (\\x,0.08);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n }\n \\draw[thick] (4,0.9) -- (8,0.9);\n \\draw[thick] (14,0.9) -- (19,0.9);\n \\draw[thick] (4,0.7) -- (4,1.1);\n \\draw[thick] (19,0.7) -- (19,1.1);\n \\draw[thick,fill=blue!20] (8,0.5) rectangle (14,1.3);\n \\draw[very thick,blue] (11,0.5) -- (11,1.3);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4,\npremier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14,\nmaximum 19.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la boîte va de $Q_1 = 8$ à $Q_3 = 14$, et\n$14 - 8 = 6$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'étendue : $19 - 4 = 15$ va d'une extrémité\ndes moustaches à l'autre." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $11 - 8 = 3$ va du premier quartile à la médiane,\nsoit la moitié gauche de la boîte seulement." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $11$ est la médiane, indicateur de position, et non\nun écart." } ], "explanation": "Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$, la longueur de la boîte. Il\nmesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs." }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "boite-a-moustaches", "quartiles" ], "title": "Ce que dit un premier quartile", "partie": "graphiques", "statement": "La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes.\nQuelle proportion des notes est supérieure ou égale à $8$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]\n \\draw[->] (0,0) -- (21,0);\n \\foreach \\x in {0,2,...,20} {\n \\draw (\\x,-0.08) -- (\\x,0.08);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n }\n \\draw[thick] (4,0.9) -- (8,0.9);\n \\draw[thick] (14,0.9) -- (19,0.9);\n \\draw[thick] (4,0.7) -- (4,1.1);\n \\draw[thick] (19,0.7) -- (19,1.1);\n \\draw[thick,fill=blue!20] (8,0.5) rectangle (14,1.3);\n \\draw[very thick,blue] (11,0.5) -- (11,1.3);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4,\npremier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14,\nmaximum 19.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "Au moins $75\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8$ est le premier quartile ; au plus\n$25\\ \\%$ des notes lui sont strictement inférieures." }, { "text": "Au plus $25\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : ce sont les notes **inférieures** à $Q_1$ qui\nreprésentent au plus un quart de la série." }, { "text": "Exactement la moitié", "correct": false, "feedback": "Confusion avec la médiane, $11$ : c'est elle qui partage la\nsérie en deux moitiés." }, { "text": "Moins de la moitié", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8$ est situé avant la médiane $11$ ; plus de la\nmoitié des notes lui sont supérieures ou égales." } ], "explanation": "Au moins $25\\ \\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$,\nau moins $75\\ \\%$ lui sont supérieures ou égales." }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "boite-a-moustaches", "comparaison", "dispersion" ], "title": "Comparer deux boîtes à moustaches", "partie": "graphiques", "statement": "Les boîtes ci-dessous résument les notes de deux classes $A$ et\n$B$. Quelle affirmation est vraie ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]\n \\draw[->] (0,0) -- (21,0);\n \\foreach \\x in {0,2,...,20} {\n \\draw (\\x,-0.08) -- (\\x,0.08);\n \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.1) {$\\x$};\n }\n \\node[left] at (0,1) {$A$};\n \\draw[thick] (5,1) -- (9,1);\n \\draw[thick] (14,1) -- (18,1);\n \\draw[thick] (5,0.8) -- (5,1.2);\n \\draw[thick] (18,0.8) -- (18,1.2);\n \\draw[thick,fill=blue!20] (9,0.7) rectangle (14,1.3);\n \\draw[very thick,blue] (12,0.7) -- (12,1.3);\n \\node[left] at (0,2.2) {$B$};\n \\draw[thick] (2,2.2) -- (7,2.2);\n \\draw[thick] (16,2.2) -- (20,2.2);\n \\draw[thick] (2,2) -- (2,2.4);\n \\draw[thick] (20,2) -- (20,2.4);\n \\draw[thick,fill=orange!25] (7,1.9) rectangle (16,2.5);\n \\draw[very thick,orange] (12,1.9) -- (12,2.5);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Classe A :\nminimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile\n14, maximum 18. Classe B : minimum 2, premier quartile 7,\nmédiane 12, troisième quartile 16, maximum 20.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "Les médianes sont égales, mais les notes de $B$ sont plus dispersées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux médianes valent $12$ ; l'écart\ninterquartile vaut $5$ pour $A$ et $9$ pour $B$, et\nl'étendue $13$ pour $A$, $18$ pour $B$." }, { "text": "La classe $A$ a la plus grande médiane", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux traits de médiane sont à la même abscisse,\n$12$." }, { "text": "Au moins la moitié des notes de $B$ dépasse $16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16$ est le troisième quartile de $B$ ; au plus un\nquart des notes de $B$ lui est supérieur." }, { "text": "La classe $B$ a le plus petit écart interquartile", "correct": false, "feedback": "Erreur : la boîte de $B$ ($16 - 7 = 9$) est plus longue que\ncelle de $A$ ($14 - 9 = 5$)." } ], "explanation": "Pour comparer deux séries, on associe un indicateur de position\n(médiane) et un indicateur de dispersion (écart interquartile,\nétendue)." }, { "id": "q42", "difficulty": 2, "skills": [ "courbe", "lecture-graphique", "evolution" ], "title": "Une évolution lue sur une courbe", "partie": "graphiques", "statement": "La courbe ci-dessous donne la population d'une ville, en\nmilliers d'habitants. Quel est le taux d'évolution de cette\npopulation entre 2010 et 2020 ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.025]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (0,150) grid[xstep=5,ystep=25] (20,275);\n \\draw[->] (0,150) -- (21.5,150) node[right,font=\\small] {année};\n \\draw[->] (0,150) -- (0,285) node[above,font=\\small] {milliers};\n \\foreach \\x/\\a in {0/2000,10/2010,20/2020} \\node[below,font=\\small] at (\\x,150) {$\\a$};\n \\foreach \\y in {175,200,...,275} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n \\draw[very thick,blue] plot[smooth] coordinates {(0,180) (5,188) (10,200) (15,222) (20,250)};\n \\fill[blue] (0,180) ellipse (0.25 and 2.5);\n \\fill[blue] (10,200) ellipse (0.25 and 2.5);\n \\fill[blue] (20,250) ellipse (0.25 and 2.5);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Courbe croissante de la population, en milliers d'habitants :\n180 en 2000, 200 en 2010 et 250 en 2020, points marqués en\nbleu.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$+25\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la population passe de $200$ à $250$ milliers,\net $\\dfrac{250 - 200}{200} = 0{,}25$." }, { "text": "$+50\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $50$ milliers est la variation absolue ; le taux\nla rapporte à la valeur de départ, $200$." }, { "text": "$+20\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{50}{250} = 0{,}2$ rapporte la\nvariation à la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de\ndépart." }, { "text": "$+38{,}9\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur de lecture : ce taux part de $180$ milliers, la valeur\nde 2000, et non de 2010." } ], "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, avec $V_1$ la valeur\nde départ lue sur la courbe." }, { "id": "q43", "difficulty": 2, "skills": [ "quartiles", "donnees-brutes" ], "title": "Le premier quartile d'une petite série", "partie": "graphiques", "statement": "On considère la série rangée $3$ ; $5$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$ ;\n$15$. Que vaut son premier quartile $Q_1$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7}{4} = 1{,}75$, donc $Q_1$ est la\n$2^\\text{e}$ valeur de la série rangée, $5$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec la médiane, la $4^\\text{e}$ valeur sur $7$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un quartile est une valeur de la série ; on ne fait\npas la moyenne de $3$ et $5$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le troisième quartile, la $6^\\text{e}$ valeur\n($\\dfrac{3 \\times 7}{4} = 5{,}25$)." } ], "explanation": "$Q_1$ est la plus petite valeur de la série rangée telle qu'au\nmoins $25\\ \\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales." } ] }