{
  "chapter": {
    "id": "calcul-litteral-equations",
    "level": "seconde",
    "theme": "Nombres et calculs, algèbre",
    "title": "Calcul littéral, équations et inéquations",
    "description": "Identités remarquables, développement et factorisation,\npuissances et racines carrées ($\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$,\n$\\sqrt{a^2} = |a|$), équations du premier degré, produit nul,\nquotient, $x^2 = a$, inéquations et opérations sur les\ninégalités, isoler une variable dans une formule.",
    "parties": [
      {
        "id": "developper-factoriser",
        "title": "Développer, factoriser, réduire"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations et inéquations"
      },
      {
        "id": "puissances-racines",
        "title": "Puissances et racines"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identites",
        "developpement"
      ],
      "title": "Développer le carré d'une somme",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 + 6x + 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 3 = 6x$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $6x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+3)^2 = 16 \\neq\n10$)."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3x + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 3 \\times x = 6x$, pas $3x$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 6x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $3$, soit\n$9$, pas $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $16$ des deux côtés.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 + 6x + 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 3 = 6x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $6x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+3)^2 = 16 \\neq\n10$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 3x + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 3 \\times x = 6x$, pas $3x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 6x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $3$, soit\n$9$, pas $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $16$ des deux côtés."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x + 5)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 + 10x + 25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 5 = 10x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $10x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+5)^2 = 36 \\neq\n26$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 5x + 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 5 \\times x = 10x$, pas $5x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 10x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $5$, soit\n$25$, pas $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $36$ des deux côtés."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x + 4)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 + 8x + 16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 4 = 8x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $8x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+4)^2 = 25 \\neq\n17$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 4x + 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 4 \\times x = 8x$, pas $4x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 8x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $4$, soit\n$16$, pas $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $25$ des deux côtés."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x + 7)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 + 14x + 49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 7 = 14x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 49$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $14x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+7)^2 = 64 \\neq\n50$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 7x + 49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 7 \\times x = 14x$, pas $7x$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 14x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $7$, soit\n$49$, pas $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+7)^2 = x^2 + 14x + 49$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $64$ des deux côtés."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identites",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Factoriser une différence de deux carrés",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 25$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x - 5)(x + 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$."
        },
        {
          "text": "$(x - 5)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, avec un double\nproduit et un $+25$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
        },
        {
          "text": "$(x - 25)(x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 24x - 25$. C'est $b^2 =\n25$ donc $b = 5$ qui entre dans la factorisation."
        },
        {
          "text": "Cette expression ne se factorise pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$."
        }
      ],
      "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$,\npoint de départ des équations produit nul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 5)(x + 5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$(x - 5)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, avec un double\nproduit et un $+25$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
            },
            {
              "text": "$(x - 25)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 24x - 25$. C'est $b^2 =\n25$ donc $b = 5$ qui entre dans la factorisation."
            },
            {
              "text": "Cette expression ne se factorise pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$."
            }
          ],
          "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$,\npoint de départ des équations produit nul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 3)(x + 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 3$."
            },
            {
              "text": "$(x - 3)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, avec un double\nproduit et un $+9$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
            },
            {
              "text": "$(x - 9)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 8x - 9$. C'est $b^2 =\n9$ donc $b = 3$ qui entre dans la factorisation."
            },
            {
              "text": "Cette expression ne se factorise pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$."
            }
          ],
          "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$,\npoint de départ des équations produit nul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 36$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 6)(x + 6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 6$."
            },
            {
              "text": "$(x - 6)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$, avec un double\nproduit et un $+36$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
            },
            {
              "text": "$(x - 36)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 35x - 36$. C'est $b^2 =\n36$ donc $b = 6$ qui entre dans la factorisation."
            },
            {
              "text": "Cette expression ne se factorise pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$."
            }
          ],
          "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$,\npoint de départ des équations produit nul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 16$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 4)(x + 4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 4$."
            },
            {
              "text": "$(x - 4)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$, avec un double\nproduit et un $+16$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
            },
            {
              "text": "$(x - 16)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 15x - 16$. C'est $b^2 =\n16$ donc $b = 4$ qui entre dans la factorisation."
            },
            {
              "text": "Cette expression ne se factorise pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$."
            }
          ],
          "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$,\npoint de départ des équations produit nul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "produit-nul"
      ],
      "title": "Équation produit nul",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 2)(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2$ ou $x = -5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$ ou $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
        },
        {
          "text": "$x = -2$ ou $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 2 = 0\n\\Rightarrow x = 2$ et $x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5$."
        },
        {
          "text": "$x = -10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $2 \\times (-5)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
        }
      ],
      "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 2$ ou $x = -5$. C'est la raison d'être\nde la factorisation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 2)(x + 5) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$ ou $x = -5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$ ou $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$x = -2$ ou $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 2 = 0\n\\Rightarrow x = 2$ et $x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5$."
            },
            {
              "text": "$x = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $2 \\times (-5)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
            }
          ],
          "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 2$ ou $x = -5$. C'est la raison d'être\nde la factorisation."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 3)(x + 1) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$ ou $x = -1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 3 = 0$ ou $x + 1 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$ ou $x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x + 1 = 0$ donne $x = -1$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$x = -3$ ou $x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 3 = 0\n\\Rightarrow x = 3$ et $x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -1$."
            },
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $3 \\times (-1)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
            }
          ],
          "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 3$ ou $x = -1$. C'est la raison d'être\nde la factorisation."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 4)(x + 7) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$ ou $x = -7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 4 = 0$ ou $x + 7 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$ ou $x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x + 7 = 0$ donne $x = -7$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$x = -4$ ou $x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 4 = 0\n\\Rightarrow x = 4$ et $x + 7 = 0 \\Rightarrow x = -7$."
            },
            {
              "text": "$x = -28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $4 \\times (-7)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
            }
          ],
          "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 4$ ou $x = -7$. C'est la raison d'être\nde la factorisation."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 6)(x + 2) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$ ou $x = -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 6 = 0$ ou $x + 2 = 0$."
            },
            {
              "text": "$x = 6$ ou $x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x + 2 = 0$ donne $x = -2$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$x = -6$ ou $x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 6 = 0\n\\Rightarrow x = 6$ et $x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2$."
            },
            {
              "text": "$x = -12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $6 \\times (-2)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
            }
          ],
          "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 6$ ou $x = -2$. C'est la raison d'être\nde la factorisation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "carre"
      ],
      "title": "Résoudre $x^2 = a$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\sqrt{5}$ ou $x = -\\sqrt{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\sqrt{5}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{5})^2 = 5$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
        },
        {
          "text": "$x = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2{,}5 = 5 \\div 2$ confond carré et double.\n$2{,}5^2 = 6{,}25 \\neq 5$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -5$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $5 > 0$, il y en a\ndeux."
        }
      ],
      "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\sqrt{5}$ ou $x = -\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\sqrt{5}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{5})^2 = 5$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
            },
            {
              "text": "$x = 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2{,}5 = 5 \\div 2$ confond carré et double.\n$2{,}5^2 = 6{,}25 \\neq 5$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -5$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $5 > 0$, il y en a\ndeux."
            }
          ],
          "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\sqrt{7}$ ou $x = -\\sqrt{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\sqrt{7}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{7})^2 = 7$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
            },
            {
              "text": "$x = 3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3{,}5 = 7 \\div 2$ confond carré et double.\n$3{,}5^2 = 12{,}25 \\neq 7$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -7$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $7 > 0$, il y en a\ndeux."
            }
          ],
          "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\sqrt{13}$ ou $x = -\\sqrt{13}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\sqrt{13}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{13})^2 = 13$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
            },
            {
              "text": "$x = 6{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6{,}5 = 13 \\div 2$ confond carré et double.\n$6{,}5^2 = 42{,}25 \\neq 13$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -13$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $13 > 0$, il y en a\ndeux."
            }
          ],
          "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\sqrt{11}$ ou $x = -\\sqrt{11}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\sqrt{11}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{11})^2 = 11$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
            },
            {
              "text": "$x = 5{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5{,}5 = 11 \\div 2$ confond carré et double.\n$5{,}5^2 = 30{,}25 \\neq 11$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -11$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $11 > 0$, il y en a\ndeux."
            }
          ],
          "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "quotient"
      ],
      "title": "Équation quotient",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$\\dfrac{x + 1}{x - 3} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = -1$ seulement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un quotient est nul quand son\n**numérateur** est nul et son dénominateur non nul :\n$x = -1$ (et la valeur interdite $x = 3$ est écartée)."
        },
        {
          "text": "$x = -1$ ou $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 3$ annule le **dénominateur** : le quotient\nn'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une\nsolution."
        },
        {
          "text": "$x = 3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est la valeur **interdite**. La nullité d'un\nquotient se joue au numérateur : $x + 1 = 0$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = -1$ convient : $\\dfrac{0}{-4} = 0$, et le\ndénominateur n'est pas nul en $-1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \\Leftrightarrow A(x) = 0$ **et**\n$B(x) \\neq 0$. Réflexe : commencer par noter la valeur\ninterdite (ici $x = 3$), puis résoudre le numérateur."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation"
      ],
      "title": "Inéquation et division par un négatif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-2x + 6 > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-2x > -6$ puis, en divisant par $-2$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 3$."
        },
        {
          "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-2 \\times 0 + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution, et\n$0 < 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-2x > -6$ donne\n$x < 3$, pas $x < -3$."
        },
        {
          "text": "$]-3\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
        }
      ],
      "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-2x + 6 > 0\n\\Leftrightarrow -2x > -6 \\Leftrightarrow x < 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-2x + 6 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-2x > -6$ puis, en divisant par $-2$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 3$."
            },
            {
              "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-2 \\times 0 + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution, et\n$0 < 3$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-2x > -6$ donne\n$x < 3$, pas $x < -3$."
            },
            {
              "text": "$]-3\\,;\\,3[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
            }
          ],
          "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-2x + 6 > 0\n\\Leftrightarrow -2x > -6 \\Leftrightarrow x < 3$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-3x + 12 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-3x > -12$ puis, en divisant par $-3$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 4$."
            },
            {
              "text": "$]4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-3 \\times 0 + 12 = 12 > 0$, donc $0$ est solution, et\n$0 < 4$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-3x > -12$ donne\n$x < 4$, pas $x < -4$."
            },
            {
              "text": "$]-4\\,;\\,4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
            }
          ],
          "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-3x + 12 > 0\n\\Leftrightarrow -3x > -12 \\Leftrightarrow x < 4$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-4x + 8 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-4x > -8$ puis, en divisant par $-4$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 2$."
            },
            {
              "text": "$]2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-4 \\times 0 + 8 = 8 > 0$, donc $0$ est solution, et\n$0 < 2$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-4x > -8$ donne\n$x < 2$, pas $x < -2$."
            },
            {
              "text": "$]-2\\,;\\,2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
            }
          ],
          "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-4x + 8 > 0\n\\Leftrightarrow -4x > -8 \\Leftrightarrow x < 2$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-5x + 5 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,1[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-5x > -5$ puis, en divisant par $-5$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 1$."
            },
            {
              "text": "$]1\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-5 \\times 0 + 5 = 5 > 0$, donc $0$ est solution, et\n$0 < 1$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-5x > -5$ donne\n$x < 1$, pas $x < -1$."
            },
            {
              "text": "$]-1\\,;\\,1[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
            }
          ],
          "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-5x + 5 > 0\n\\Leftrightarrow -5x > -5 \\Leftrightarrow x < 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissances"
      ],
      "title": "Produit de puissances",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Que vaut $a^3 \\times a^5$ (pour $a$ réel non nul) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on **ajoute** les exposants :\n$a^3 \\times a^5 = a^{3+5}$ (trois facteurs $a$ suivis de\ncinq facteurs $a$)."
        },
        {
          "text": "$a^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier les exposants correspond à la\npuissance de puissance $(a^3)^5$. Pour un produit, on les\najoute."
        },
        {
          "text": "$a^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : soustraire les exposants correspond au\n**quotient** $\\dfrac{a^5}{a^3}$."
        },
        {
          "text": "$2a^8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît. Compter les\nfacteurs $a$ suffit : $3 + 5 = 8$ facteurs."
        }
      ],
      "explanation": "Règles des puissances : $a^m \\times a^n = a^{m+n}$ ;\n$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$. Le produit\n**ajoute** les exposants."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines"
      ],
      "title": "Simplifier une racine carrée",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{50}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5\\sqrt{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} =\n\\sqrt{25}\\,\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
        },
        {
          "text": "$25\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{25} = 5$, pas $25$. La racine « défait »\nle carré : $25 = 5^2$ sort en $5$."
        },
        {
          "text": "$2\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de décomposition : $2\\sqrt{5} = \\sqrt{4 \\times 5} =\n\\sqrt{20}$, pas $\\sqrt{50}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $50 = 25 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "$10\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10\\sqrt{5} = \\sqrt{500}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{50} \\approx 7{,}07$ et\n$5\\sqrt{2} \\approx 7{,}07$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} = 5\\sqrt{2}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$).",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{50}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} =\n\\sqrt{25}\\,\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
            },
            {
              "text": "$25\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{25} = 5$, pas $25$. La racine « défait »\nle carré : $25 = 5^2$ sort en $5$."
            },
            {
              "text": "$2\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de décomposition : $2\\sqrt{5} = \\sqrt{4 \\times 5} =\n\\sqrt{20}$, pas $\\sqrt{50}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $50 = 25 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$10\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10\\sqrt{5} = \\sqrt{500}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{50} \\approx 7{,}07$ et\n$5\\sqrt{2} \\approx 7{,}07$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} = 5\\sqrt{2}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$)."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{18}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\sqrt{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{18} = \\sqrt{9 \\times 2} =\n\\sqrt{9}\\,\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
            },
            {
              "text": "$9\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{9} = 3$, pas $9$. La racine « défait »\nle carré : $9 = 3^2$ sort en $3$."
            },
            {
              "text": "$2\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de décomposition : $2\\sqrt{3} = \\sqrt{4 \\times 3} =\n\\sqrt{12}$, pas $\\sqrt{18}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $18 = 9 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$6\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6\\sqrt{3} = \\sqrt{108}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{18} \\approx 4{,}24$ et\n$3\\sqrt{2} \\approx 4{,}24$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{18} = \\sqrt{9 \\times 2} = 3\\sqrt{2}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$)."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{45}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\sqrt{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\times 5} =\n\\sqrt{9}\\,\\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
            },
            {
              "text": "$9\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{9} = 3$, pas $9$. La racine « défait »\nle carré : $9 = 3^2$ sort en $3$."
            },
            {
              "text": "$5\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de décomposition : $5\\sqrt{3} = \\sqrt{25 \\times 3} =\n\\sqrt{75}$, pas $\\sqrt{45}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $45 = 9 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$15\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15\\sqrt{3} = \\sqrt{675}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{45} \\approx 6{,}71$ et\n$3\\sqrt{5} \\approx 6{,}71$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\times 5} = 3\\sqrt{5}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$)."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{28}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\sqrt{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{28} = \\sqrt{4 \\times 7} =\n\\sqrt{4}\\,\\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
            },
            {
              "text": "$4\\sqrt{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\sqrt{4} = 2$, pas $4$. La racine « défait »\nle carré : $4 = 2^2$ sort en $2$."
            },
            {
              "text": "$7\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de décomposition : $7\\sqrt{2} = \\sqrt{49 \\times 2} =\n\\sqrt{98}$, pas $\\sqrt{28}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $28 = 4 \\times 7$."
            },
            {
              "text": "$14\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $14\\sqrt{2} = \\sqrt{392}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{28} \\approx 5{,}29$ et\n$2\\sqrt{7} \\approx 5{,}29$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{28} = \\sqrt{4 \\times 7} = 2\\sqrt{7}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$)."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines",
        "valeur-absolue",
        "piege"
      ],
      "title": "La relation $\\sqrt{a^2} = |a|$",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-3)^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $\\sqrt{9} = 3$. En\ngénéral, $\\sqrt{a^2} = |a|$ : la racine carrée renvoie\ntoujours un résultat **positif**."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas\npurement : $\\sqrt{a^2} = |a|$, jamais négatif. Le signe de\ndépart est perdu par le carré."
        },
        {
          "text": "$\\pm 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : le symbole $\\sqrt{9}$ désigne **le** nombre\npositif de carré $9$. Le « $\\pm$ » apparaît en résolvant\nl'équation $x^2 = 9$, pas dans la valeur de la racine."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est le carré ; la racine le ramène à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ : la racine carrée est\npositive par définition. $\\sqrt{(-3)^2} = \\sqrt{9} = 3 =\n|-3|$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules",
        "isoler"
      ],
      "title": "Isoler une variable dans une formule",
      "partie": "equations",
      "statement": "La loi d'Ohm s'écrit $U = R \\times I$. Comment exprime-t-on\n$I$ en fonction de $U$ et $R$ (avec $R \\neq 0$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$I = \\dfrac{U}{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $I$ est multiplié par $R$ ; pour\nl'isoler, on divise les deux membres par $R$."
        },
        {
          "text": "$I = \\dfrac{R}{U}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :\nsi $U = 12$ et $R = 4$, alors $I = 3$, ce qui correspond à\n$U/R$ et non $R/U = 1/3$."
        },
        {
          "text": "$I = U - R$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'opération : $U = RI$ est un **produit** ; on le\ndéfait par une division, pas par une soustraction."
        },
        {
          "text": "$I = U \\times R$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier encore par $R$ éloigne de la\nsolution. On divise pour défaire la multiplication."
        }
      ],
      "explanation": "Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération\ninverse. $U = RI \\Rightarrow I = \\dfrac{U}{R}$. Même méthode\npour $d = vt$, $S = \\pi r^2$, etc."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalites",
        "piege"
      ],
      "title": "Opérations sur les inégalités",
      "partie": "equations",
      "statement": "Soient des réels tels que $a < b$ et $c < d$. Laquelle de ces\ninégalités est **toujours** vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a + c < b + d$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les inégalités **de même sens\ns'additionnent** toujours."
        },
        {
          "text": "$a - c < b - d$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.\nContre-exemple : $0 < 1$ et $0 < 10$, mais\n$0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9$."
        },
        {
          "text": "$ac < bd$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux sans hypothèse de signe : $-3 < 1$ et $-3 < 1$, mais\n$(-3)(-3) = 9 > 1$. La multiplication exige des nombres\npositifs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{a}{c} < \\dfrac{b}{d}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux en général (et $c$ ou $d$ pourrait être nul). Même\navec des positifs, diviser des inégalités membre à membre\nn'est pas une règle valide."
        }
      ],
      "explanation": "Seule l'**addition** membre à membre est toujours licite :\n$a < b$ et $c < d \\Rightarrow a + c < b + d$. Soustraction,\nproduit et quotient demandent des précautions de signe, ou\nsont carrément faux."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalites"
      ],
      "title": "Multiplier une inégalité par un négatif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Que peut-on\ndire de $-2a$ et $-2b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2a > -2b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-2 < 0$ **renverse**\nl'inégalité. Exemple : $1 < 3$ donne $-2 > -6$."
        },
        {
          "text": "$-2a < -2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste $a = 1$, $b = 3$ : $-2a = -2$ et\n$-2b = -6$, or $-2 > -6$. Le facteur négatif inverse\nl'ordre."
        },
        {
          "text": "$-2a = -2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par une même constante non nulle\nconserve la **différence** entre les nombres, elle ne les\négalise pas."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer sans connaître les signes de $a$\net $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la règle vaut pour **tous** les réels : le signe\ndu multiplicateur ($-2$) suffit à déterminer le sens."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplication d'une inégalité : par un réel **positif**, le\nsens est conservé ; par un réel **négatif**, il est renversé.\n$a < b \\Rightarrow -2a > -2b$ (lien avec la décroissance de\n$x \\mapsto -2x$)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Réduire une expression",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Comment se réduit l'expression $3x + 5 + 2x - 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5x + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ ($3x + 2x\n= 5x$) et les constantes ($5 - 1 = 4$)."
        },
        {
          "text": "$9x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mélange interdit : $5$ et $-1$ ne portent pas de $x$ :\non ne peut pas les fusionner avec $3x$ et $2x$."
        },
        {
          "text": "$5x - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $5 - 1 = +4$ (le moins ne porte que sur le\n$1$)."
        },
        {
          "text": "$6x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de somme : $3x + 2x = 5x$ (additionner les\ncoefficients : $3 + 2$)."
        }
      ],
      "explanation": "Réduire, c'est regrouper les termes **de même nature** : les $x$\nensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se\ncombine, jamais les familles entre elles."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-premier-degre"
      ],
      "title": "Résoudre une équation du premier degré",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $2x + 1 = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2x = 6$ (retirer $1$ des deux côtés),\npuis $x = 3$ (diviser par $2$). Contrôle :\n$2 \\times (3) + 1 = 7$."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des opérations : diviser $7 + 1 = 8$ par $2$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\dfrac{7 - 1}{2} = 3$."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $2x = 6$ n'est pas fini : il reste\nà diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $+1$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $2x$ en retirant $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-1$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 2$). Et toujours vérifier en remplaçant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $2x + 1 = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2x = 6$ (retirer $1$ des deux côtés),\npuis $x = 3$ (diviser par $2$). Contrôle :\n$2 \\times (3) + 1 = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : diviser $7 + 1 = 8$ par $2$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\dfrac{7 - 1}{2} = 3$."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $2x = 6$ n'est pas fini : il reste\nà diviser par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $+1$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $2x$ en retirant $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-1$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 2$). Et toujours vérifier en remplaçant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x + 2 = 17$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3x = 15$ (retirer $2$ des deux côtés),\npuis $x = 5$ (diviser par $3$). Contrôle :\n$3 \\times (5) + 2 = 17$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{19}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : diviser $17 + 2 = 19$ par $3$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\dfrac{17 - 2}{3} = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $3x = 15$ n'est pas fini : il reste\nà diviser par $3$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{17}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $+2$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $3x$ en retirant $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-2$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 3$). Et toujours vérifier en remplaçant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x + 3 = 23$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4x = 20$ (retirer $3$ des deux côtés),\npuis $x = 5$ (diviser par $4$). Contrôle :\n$4 \\times (5) + 3 = 23$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{13}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : diviser $23 + 3 = 26$ par $4$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\dfrac{23 - 3}{4} = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $4x = 20$ n'est pas fini : il reste\nà diviser par $4$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{23}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $+3$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $4x$ en retirant $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-3$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 4$). Et toujours vérifier en remplaçant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 4 = -6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5x = -10$ (retirer $4$ des deux côtés),\npuis $x = -2$ (diviser par $5$). Contrôle :\n$5 \\times (-2) + 4 = -6$."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre des opérations : diviser $-6 + 4 = -2$ par $5$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\dfrac{-6 - 4}{5} = -2$."
            },
            {
              "text": "$x = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $5x = -10$ n'est pas fini : il reste\nà diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $+4$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $5x$ en retirant $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-4$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 5$). Et toujours vérifier en remplaçant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances-negatives"
      ],
      "title": "Puissance d'exposant négatif",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Que vaut $10^{-3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}001$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10^{-3} = \\dfrac{1}{10^3} =\n\\dfrac{1}{1000}$ : l'exposant négatif signifie\n« inverse »."
        },
        {
          "text": "$-1000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre\nnégatif : il le rend **petit** ($\\frac{1}{1000}$),\ntoujours positif."
        },
        {
          "text": "$-30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times (-3)$ multiplie au lieu d'élever en\npuissance : $10^{-3}$ est un inverse de puissance."
        },
        {
          "text": "$0{,}0001$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un zéro de trop : $\\frac{1}{1000} = 0{,}001$ (trois\nrangs après la virgule pour l'exposant $3$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$ : notation des inverses. Pour les\npuissances de $10$ : l'exposant compte les rangs de la\nvirgule ($10^{-3}$ : trois rangs vers la gauche) : la base\nde l'écriture scientifique."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "double-distributivite"
      ],
      "title": "Développer $(2x + 1)(x - 3)$",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quel est le développement de $(2x + 1)(x - 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x^2 - 5x - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quatre produits : $2x^2 - 6x + x - 3$,\npuis réduction : $-6x + x = -5x$."
        },
        {
          "text": "$2x^2 - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes croisés oubliés : la double distributivité génère\n**quatre** produits : les termes du milieu ($-6x$ et\n$+x$) ne s'annulent pas ici."
        },
        {
          "text": "$2x^2 + 5x - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2x \\times (-3) = -6x$ domine le $+x$ : le\nterme du milieu est $-5x$."
        },
        {
          "text": "$3x - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les\nmultiplier : le produit crée un terme en $x^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Double distributivité : chaque terme de la première\nparenthèse multiplie chaque terme de la seconde ($2 \\times 2\n= 4$ produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre\ntoutes les erreurs : le calculer en premier."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "facteur-commun"
      ],
      "title": "Factoriser par le facteur commun",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Comment se factorise $6x^2 + 4x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x(3x + 2)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est\n$2x$ : $6x^2 = 2x \\times 3x$ et $4x = 2x \\times 2$.\nContrôle en redéveloppant."
        },
        {
          "text": "$x(6x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Factorisation incomplète : le $2$ commun à $6$ et $4$\npeut encore sortir : on extrait toujours le facteur\n**maximal**."
        },
        {
          "text": "$2x(3x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $2x \\times 4 = 8x \\neq 4x$ : après\nextraction de $2x$, il reste $2$, pas $4$."
        },
        {
          "text": "$10x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $6x^2 + 4x$ en un seul terme est\nimpossible (degrés différents) : factoriser, c'est écrire sous forme de **produit**."
        }
      ],
      "explanation": "Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les\ntermes partagent (ici $2$ et $x$), l'extraire, écrire le\nreste entre parenthèses. Vérification systématique : le\ndéveloppement doit redonner l'expression de départ."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identite-remarquable"
      ],
      "title": "Développer le carré d'une différence",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quel est le développement de $(x - 4)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 - 8x + 16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 4 = -8x$, et le\ncarré de $-4$ est $+16$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-8x$ est\nobligatoire (testez $x = 4$ : $0^2 = 0 \\neq 32$)."
        },
        {
          "text": "$x^2 - 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 4)$."
        },
        {
          "text": "$x^2 - 8x - 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier signe : $(-4)^2 = +16$ : un carré est toujours\npositif."
        }
      ],
      "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 4$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x - 4)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 - 8x + 16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 4 = -8x$, et le\ncarré de $-4$ est $+16$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-8x$ est\nobligatoire (testez $x = 4$ : $0^2 = 0 \\neq 32$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 4)$."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 8x - 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier signe : $(-4)^2 = +16$ : un carré est toujours\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 4$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x - 3)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 - 6x + 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 3 = -6x$, et le\ncarré de $-3$ est $+9$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-6x$ est\nobligatoire (testez $x = 3$ : $0^2 = 0 \\neq 18$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 3)$."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 6x - 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier signe : $(-3)^2 = +9$ : un carré est toujours\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 3$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x - 6)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 - 12x + 36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 6 = -12x$, et le\ncarré de $-6$ est $+36$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-12x$ est\nobligatoire (testez $x = 6$ : $0^2 = 0 \\neq 72$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 6)$."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 12x - 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier signe : $(-6)^2 = +36$ : un carré est toujours\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 6$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $(x - 5)^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^2 - 10x + 25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 5 = -10x$, et le\ncarré de $-5$ est $+25$."
            },
            {
              "text": "$x^2 + 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-10x$ est\nobligatoire (testez $x = 5$ : $0^2 = 0 \\neq 50$)."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 5)$."
            },
            {
              "text": "$x^2 - 10x - 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier signe : $(-5)^2 = +25$ : un carré est toujours\npositif."
            }
          ],
          "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 5$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-deux-membres"
      ],
      "title": "Inconnues des deux côtés",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de $3x - 2 = x + 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($3x - x =\n2x$), les nombres à droite ($6 + 2 = 8$) :\n$2x = 8$, $x = 4$. Contrôle : les deux membres\nvalent $10$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur probable : $6 - 2$ au lieu de $6 + 2$. Un terme qui change de membre change de signe."
        },
        {
          "text": "$x = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$ : le\ncoefficient $2$ se retire en dernier."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{8}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été\nramené à gauche ; le regroupement correct donne\n$2x = 8$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $3x - 2 = x + 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($3x - x =\n2x$), les nombres à droite ($6 + 2 = 8$) :\n$2x = 8$, $x = 4$. Contrôle : les deux membres\nvalent $10$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur probable : $6 - 2$ au lieu de $6 + 2$. Un terme qui change de membre change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$ : le\ncoefficient $2$ se retire en dernier."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été\nramené à gauche ; le regroupement correct donne\n$2x = 8$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $5x - 3 = x + 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($5x - x =\n4x$), les nombres à droite ($9 + 3 = 12$) :\n$4x = 12$, $x = 3$. Contrôle : les deux membres\nvalent $12$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur probable : $9 - 3$ au lieu de $9 + 3$. Un terme qui change de membre change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $4x = 12$ donne $x = 3$ : le\ncoefficient $4$ se retire en dernier."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{12}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été\nramené à gauche ; le regroupement correct donne\n$4x = 12$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $4x - 5 = x + 13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($4x - x =\n3x$), les nombres à droite ($13 + 5 = 18$) :\n$3x = 18$, $x = 6$. Contrôle : les deux membres\nvalent $19$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur probable : $13 - 5$ au lieu de $13 + 5$. Un terme qui change de membre change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $3x = 18$ donne $x = 6$ : le\ncoefficient $3$ se retire en dernier."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été\nramené à gauche ; le regroupement correct donne\n$3x = 18$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de $6x - 1 = x + 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($6x - x =\n5x$), les nombres à droite ($9 + 1 = 10$) :\n$5x = 10$, $x = 2$. Contrôle : les deux membres\nvalent $11$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{8}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur probable : $9 - 1$ au lieu de $9 + 1$. Un terme qui change de membre change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $5x = 10$ donne $x = 2$ : le\ncoefficient $5$ se retire en dernier."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été\nramené à gauche ; le regroupement correct donne\n$5x = 10$."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-piege"
      ],
      "title": "Racine d'une somme",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{9 + 16}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$ : on\nadditionne D'ABORD sous la racine."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège visé : $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4 = 7$,\nmais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :\n$\\sqrt{a + b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$."
        },
        {
          "text": "$12{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{25}{2}$ ne correspond à rien : la\nracine de $25$ est le nombre positif dont le carré vaut\n$25$ : c'est $5$."
        },
        {
          "text": "$625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $625 = 25^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
        }
      ],
      "explanation": "La racine respecte les **produits** ($\\sqrt{ab} =\n\\sqrt{a}\\sqrt{b}$) mais jamais les sommes : $\\sqrt{9 + 16}\n= 5$ alors que $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 7$. Ce contre-exemple\nà $3$-$4$-$5$ est à garder en réserve."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "substitution"
      ],
      "title": "Évaluer une expression en $x = -2$",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Que vaut l'expression $x^2 - 3x$ pour $x = -2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-2)^2 - 3 \\times (-2) = 4 + 6 = 10$ :\nle carré efface le signe, et « moins fois moins » donne\nplus."
        },
        {
          "text": "$-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs de signe : $(-2)^2 = +4$ (pas $-4$) et $-3\n\\times (-2) = +6$ (pas $-6$)."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur le double produit : $-3 \\times (-2) = +6$ :\non obtient $4 + 6$, pas $4 - 2$."
        },
        {
          "text": "$-10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe global : les deux termes sont **positifs** ($4$\net $6$) : total $+10$."
        }
      ],
      "explanation": "Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :\n$(-2)^2 = 4$, $-3 \\times (-2) = +6$. La moitié des erreurs\nde calcul littéral sont des parenthèses omises autour des\nnégatifs."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-fraction"
      ],
      "title": "Équation avec une fraction",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de $\\dfrac{x}{3} - 2 = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{x}{3} = 6$ (ajouter $2$), puis\n$x = 18$ (multiplier par $3$). Contrôle : $\\frac{18}{3}\n- 2 = 4$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication oubliée : $6$ est la valeur de\n$\\frac{x}{3}$ : il reste à multiplier par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{4 + 2}{3} = 2$ divise au lieu de\nmultiplier : pour défaire une division par $3$, on\n**multiplie** par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{4}{3} + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre : le $-2$ se neutralise en premier (sur les deux\nmembres entiers), la division par $3$ en dernier : $x =\n6 \\times 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur\napplication : le $-2$ d'abord (opération la plus externe),\nla division par $3$ ensuite. Chaque geste s'applique aux\nDEUX membres."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "carre-somme-piege"
      ],
      "title": "Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est-elle vraie pour tous\nréels $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, il manque le double produit $2ab$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(1 + 1)^2 = 4$ alors que $1^2 + 1^2 =\n2$. Le carré d'une somme vaut $a^2 + 2ab + b^2$ :\nl'égalité proposée n'est vraie que si $2ab = 0$ (l'un\ndes deux est nul)."
        },
        {
          "text": "Oui : le carré se distribue sur l'addition",
          "correct": false,
          "feedback": "Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur\nles **produits** ($(ab)^2 = a^2b^2$), jamais sur les\nsommes : contre-exemple $a = b = 1$."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que $a$ et $b$ soient positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a = b = 1$ sont positifs et l'égalité échoue\n($4 \\neq 2$) : le signe n'y change rien."
        },
        {
          "text": "Non, elle n'est vraie que lorsque $a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a = b = 1$ donne justement $4 \\neq 2$ : le\nseul salut est $ab = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit n'est pas\nune option. Un contre-exemple numérique (une seconde de\ncalcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe\nà cultiver."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "programme-calcul"
      ],
      "title": "Traduire un programme de calcul",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Programme : « choisir un nombre, lui ajouter $3$, mettre le\nrésultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme\nappliqué à $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 3)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le\ncarré s'applique au résultat entier : les parenthèses\ntraduisent l'ordre des étapes."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : $x^2 + 3$ met au carré **puis** ajoute\n$3$ : le programme fait l'inverse. (Test avec $x = 1$ :\n$16$ contre $4$.)"
        },
        {
          "text": "$x + 3^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ici le carré ne porte que sur le $3$ : $x + 9$ :\nle programme élève au carré tout le résultat."
        },
        {
          "text": "$2(x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par\n**lui-même** ($u^2$), pas par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la\nprécédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.\nTester avec un nombre concret ($x = 1$ : $1 \\to 4 \\to 16$)\ndépartage les candidats en quelques secondes."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identites-remarquables",
        "calcul-mental"
      ],
      "title": "Un produit calculé sans poser l'opération",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $101 \\times 99$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9\\,999$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $101 \\times 99 = (100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2$, soit\n$10\\,000 - 1$."
        },
        {
          "text": "$10\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré parfait supposé : le produit vaudrait $10\\,000$ si les deux\nfacteurs étaient égaux à $100$, ce qui n'est pas le cas."
        },
        {
          "text": "$9\\,900$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : $9\\,900$ vaut $100 \\times 99$. Il reste à ajouter\n$1 \\times 99$."
        },
        {
          "text": "$10\\,001$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : l'identité $(a+b)(a-b)$ donne $a^2 - b^2$, donc on\nretranche $1$ au lieu de l'ajouter."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître $(a+b)(a-b)$ transforme un produit en différence de deux\ncarrés. Avec $a = 100$ et $b = 1$, le calcul devient immédiat."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "piege"
      ],
      "title": "Une équation sans solution",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $2x + 3 = 2x + 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : retrancher $2x$ des deux côtés laisse $3 = 5$, une\négalité fausse. Aucune valeur de $x$ ne convient."
        },
        {
          "text": "La solution $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vérification immédiate : pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $5$ et\ncelui de droite $7$, ils diffèrent."
        },
        {
          "text": "La solution $x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vérification immédiate : pour $x = 0$, on compare $3$ et $5$, qui ne\nsont pas égaux."
        },
        {
          "text": "Tous les réels",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait le cas si les deux membres étaient identiques. Ici les\nconstantes diffèrent, donc l'égalité n'est jamais vraie."
        }
      ],
      "explanation": "Quand les termes en $x$ disparaissent, il reste une égalité entre deux\nnombres. Si elle est fausse, l'équation n'a pas de solution ; si elle est\nvraie, tous les réels conviennent."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation",
        "piege"
      ],
      "title": "Une équation vérifiée partout",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $3(x - 1) = 3x - 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les réels",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : développer le membre de gauche donne $3x - 3$, donc\nles deux membres sont identiques."
        },
        {
          "text": "$x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Solution trouvée par réflexe : $x = 1$ convient, mais $x = 5$ aussi,\ncar les deux membres valent alors $12$."
        },
        {
          "text": "$x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Solution trouvée par réflexe : $x = 0$ convient, comme n'importe\nquelle autre valeur."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le cas contraire : ici l'égalité obtenue après\nsimplification est vraie, et non fausse."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation dont les deux membres sont égaux après développement est une\nidentité : elle est vraie pour toutes les valeurs de l'inconnue."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Puissance d'un produit",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Quelle est la forme réduite de $(2x^3)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4x^6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur est élevé au carré, et les exposants se\nmultiplient, donc $2^2 = 4$ et $(x^3)^2 = x^6$."
        },
        {
          "text": "$2x^6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : le facteur $2$ est lui aussi élevé au carré, ce\nqui donne $4$."
        },
        {
          "text": "$4x^5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposants additionnés : la règle $(x^a)^b = x^{ab}$ les multiplie.\nL'addition vaut pour un produit de puissances."
        },
        {
          "text": "$4x^9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposants confondus : $3 \\times 2$ vaut $6$, alors que $3^2$ vaut $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Élever un produit à une puissance revient à élever chaque facteur, et une\npuissance de puissance multiplie les exposants."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation",
        "signe"
      ],
      "title": "Une inéquation à coefficient négatif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-3x + 2 \\geq 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-3x \\geq 6$, puis la division par $-3$\nrenverse le sens, ce qui donne $x \\leq -2$."
        },
        {
          "text": "$[-2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le\nsens de l'inégalité ; on obtient $x \\leq -2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu : de $-3x \\geq 6$ on tire $x \\leq -2$, et non\n$x \\leq 2$."
        },
        {
          "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de\nl'inégalité. La solution vérifie $x \\leq -2$."
        }
      ],
      "explanation": "Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,\nmais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-3x + 2 \\geq 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-3x \\geq 6$, puis la division par $-3$\nrenverse le sens, ce qui donne $x \\leq -2$."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le\nsens de l'inégalité ; on obtient $x \\leq -2$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : de $-3x \\geq 6$ on tire $x \\leq -2$, et non\n$x \\leq 2$."
            },
            {
              "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de\nl'inégalité. La solution vérifie $x \\leq -2$."
            }
          ],
          "explanation": "Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,\nmais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x + 5 \\geq 13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-2x \\geq 8$, puis la division par $-2$\nrenverse le sens, ce qui donne $x \\leq -4$."
            },
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le\nsens de l'inégalité ; on obtient $x \\leq -4$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : de $-2x \\geq 8$ on tire $x \\leq -4$, et non\n$x \\leq 4$."
            },
            {
              "text": "$[4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de\nl'inégalité. La solution vérifie $x \\leq -4$."
            }
          ],
          "explanation": "Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,\nmais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-4x + 1 \\geq -11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-4x \\geq -12$, puis la division par $-4$\nrenverse le sens, ce qui donne $x \\leq 3$."
            },
            {
              "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le\nsens de l'inégalité ; on obtient $x \\leq 3$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : de $-4x \\geq -12$ on tire $x \\leq 3$, et non\n$x \\leq -3$."
            },
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de\nl'inégalité. La solution vérifie $x \\leq 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,\nmais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-5x - 3 \\geq 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-5x \\geq 10$, puis la division par $-5$\nrenverse le sens, ce qui donne $x \\leq -2$."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le\nsens de l'inégalité ; on obtient $x \\leq -2$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu : de $-5x \\geq 10$ on tire $x \\leq -2$, et non\n$x \\leq 2$."
            },
            {
              "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de\nl'inégalité. La solution vérifie $x \\leq -2$."
            }
          ],
          "explanation": "Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,\nmais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factorisation",
        "identites-remarquables"
      ],
      "title": "Factoriser $x^2 + 6x + 9$",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 + 6x + 9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 3)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $9 = 3^2$ et $6x = 2 \\times x \\times 3$, l'expression\nest donc le carré de $x + 3$."
        },
        {
          "text": "$(x + 9)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante recopiée : le développement donnerait $x^2 + 18x + 81$.\nC'est la racine carrée de $9$ qui intervient."
        },
        {
          "text": "$(x + 3)(x - 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise identité : ce produit vaut $x^2 - 9$, sans terme en $x$."
        },
        {
          "text": "$(x + 6)(x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement faux : ce produit vaut $x^2 + 9x + 18$, dont aucun terme\nne correspond."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître $a^2 + 2ab + b^2$ demande de vérifier les trois termes : les\ndeux carrés, puis le double produit. Ici $a = x$ et $b = 3$."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Réduire avec des termes négatifs",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Comment se réduit l'expression $2x - 7 - 5x + 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3x - 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $2 - 5 = -3$, les\nconstantes donnent $-7 + 3 = -4$."
        },
        {
          "text": "$7x - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer\n$2 - 5 = -3$, et non une somme de deux nombres positifs."
        },
        {
          "text": "$-3x - 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur les constantes : $-7 + 3 = -4$, car le dernier terme\ns'ajoute au lieu de se retrancher."
        },
        {
          "text": "$-7x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en\n$x$. Le résultat garde deux morceaux, $-3x$ et $-4$."
        }
      ],
      "explanation": "Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.\nChaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment se réduit l'expression $2x - 7 - 5x + 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3x - 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $2 - 5 = -3$, les\nconstantes donnent $-7 + 3 = -4$."
            },
            {
              "text": "$7x - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer\n$2 - 5 = -3$, et non une somme de deux nombres positifs."
            },
            {
              "text": "$-3x - 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur les constantes : $-7 + 3 = -4$, car le dernier terme\ns'ajoute au lieu de se retrancher."
            },
            {
              "text": "$-7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en\n$x$. Le résultat garde deux morceaux, $-3x$ et $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.\nChaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui."
        },
        {
          "statement": "Comment se réduit l'expression $4x + 1 - 6x - 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2x - 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $4 - 6 = -2$, les\nconstantes donnent $1 - 5 = -4$."
            },
            {
              "text": "$10x - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer\n$4 - 6 = -2$, et non une somme de deux nombres positifs."
            },
            {
              "text": "$-2x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur les constantes : $1 - 5 = -4$, car le dernier terme\ns'ajoute au lieu de se retrancher."
            },
            {
              "text": "$-6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en\n$x$. Le résultat garde deux morceaux, $-2x$ et $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.\nChaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui."
        },
        {
          "statement": "Comment se réduit l'expression $6x - 2 - 4x + 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $6 - 4 = 2$, les\nconstantes donnent $-2 + 9 = 7$."
            },
            {
              "text": "$10x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer\n$6 - 4 = 2$, et non une somme de deux nombres positifs."
            },
            {
              "text": "$2x - 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur les constantes : $-2 + 9 = 7$, car le dernier terme\ns'ajoute au lieu de se retrancher."
            },
            {
              "text": "$9x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en\n$x$. Le résultat garde deux morceaux, $2x$ et $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.\nChaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui."
        },
        {
          "statement": "Comment se réduit l'expression $10x - 7 - 5x + 13$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5x + 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $10 - 5 = 5$, les\nconstantes donnent $-7 + 13 = 6$."
            },
            {
              "text": "$15x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer\n$10 - 5 = 5$, et non une somme de deux nombres positifs."
            },
            {
              "text": "$5x - 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur sur les constantes : $-7 + 13 = 6$, car le dernier terme\ns'ajoute au lieu de se retrancher."
            },
            {
              "text": "$11x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en\n$x$. Le résultat garde deux morceaux, $5x$ et $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.\nChaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "developpement",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Distributivité simple",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Quel est le développement de $3(2x - 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6x - 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3$ multiplie les deux termes de la parenthèse :\n$3 \\times 2x = 6x$ et $3 \\times -5 = -15$."
        },
        {
          "text": "$6x - 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur distribué à moitié : le terme $-5$ doit lui aussi être\nmultiplié par $3$, ce qui donne $-15$."
        },
        {
          "text": "$2x - 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier terme a été oublié : $3 \\times 2x$ vaut $6x$, et non\n$2x$."
        },
        {
          "text": "$6x + 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur le produit : $3 \\times -5 = -15$, en appliquant\nla règle des signes."
        }
      ],
      "explanation": "La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé\ndevant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est le développement de $3(2x - 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6x - 15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ multiplie les deux termes de la parenthèse :\n$3 \\times 2x = 6x$ et $3 \\times -5 = -15$."
            },
            {
              "text": "$6x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur distribué à moitié : le terme $-5$ doit lui aussi être\nmultiplié par $3$, ce qui donne $-15$."
            },
            {
              "text": "$2x - 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier terme a été oublié : $3 \\times 2x$ vaut $6x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$6x + 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le produit : $3 \\times -5 = -15$, en appliquant\nla règle des signes."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé\ndevant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $4(3x + 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12x + 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ multiplie les deux termes de la parenthèse :\n$4 \\times 3x = 12x$ et $4 \\times 2 = 8$."
            },
            {
              "text": "$12x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur distribué à moitié : le terme $2$ doit lui aussi être\nmultiplié par $4$, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$3x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier terme a été oublié : $4 \\times 3x$ vaut $12x$, et non\n$3x$."
            },
            {
              "text": "$12x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le produit : $4 \\times 2 = 8$, en appliquant\nla règle des signes."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé\ndevant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $-2(5x - 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-10x + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-2$ multiplie les deux termes de la parenthèse :\n$-2 \\times 5x = -10x$ et $-2 \\times -1 = 2$."
            },
            {
              "text": "$-10x - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur distribué à moitié : le terme $-1$ doit lui aussi être\nmultiplié par $-2$, ce qui donne $2$."
            },
            {
              "text": "$5x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier terme a été oublié : $-2 \\times 5x$ vaut $-10x$, et non\n$5x$."
            },
            {
              "text": "$-10x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le produit : $-2 \\times -1 = 2$, en appliquant\nla règle des signes."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé\ndevant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient."
        },
        {
          "statement": "Quel est le développement de $8(2x - 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16x - 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8$ multiplie les deux termes de la parenthèse :\n$8 \\times 2x = 16x$ et $8 \\times -1 = -8$."
            },
            {
              "text": "$16x - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur distribué à moitié : le terme $-1$ doit lui aussi être\nmultiplié par $8$, ce qui donne $-8$."
            },
            {
              "text": "$2x - 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier terme a été oublié : $8 \\times 2x$ vaut $16x$, et non\n$2x$."
            },
            {
              "text": "$16x + 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le produit : $8 \\times -1 = -8$, en appliquant\nla règle des signes."
            }
          ],
          "explanation": "La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé\ndevant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances-negatives",
        "puissances"
      ],
      "title": "Écrire un inverse avec un exposant",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Comment s'écrit $\\dfrac{1}{x^4}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour\n$x$ non nul ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^{-4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$, donc\n$\\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$."
        },
        {
          "text": "$-x^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^4$ est\nl'opposé de $x^4$, pas son inverse."
        },
        {
          "text": "$-x^{-4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul\nl'exposant devient négatif."
        },
        {
          "text": "$(-x)^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir\navec l'inverse $\\dfrac{1}{x^4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$. Le signe\n$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\dfrac{1}{x^4}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour\n$x$ non nul ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{-4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$, donc\n$\\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$."
            },
            {
              "text": "$-x^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^4$ est\nl'opposé de $x^4$, pas son inverse."
            },
            {
              "text": "$-x^{-4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul\nl'exposant devient négatif."
            },
            {
              "text": "$(-x)^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir\navec l'inverse $\\dfrac{1}{x^4}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$. Le signe\n$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\dfrac{1}{x^3}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour\n$x$ non nul ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{-3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$, donc\n$\\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$."
            },
            {
              "text": "$-x^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^3$ est\nl'opposé de $x^3$, pas son inverse."
            },
            {
              "text": "$-x^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul\nl'exposant devient négatif."
            },
            {
              "text": "$(-x)^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir\navec l'inverse $\\dfrac{1}{x^3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$. Le signe\n$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\dfrac{1}{x^6}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour\n$x$ non nul ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{-6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$, donc\n$\\dfrac{1}{x^6} = x^{-6}$."
            },
            {
              "text": "$-x^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^6$ est\nl'opposé de $x^6$, pas son inverse."
            },
            {
              "text": "$-x^{-6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul\nl'exposant devient négatif."
            },
            {
              "text": "$(-x)^{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir\navec l'inverse $\\dfrac{1}{x^6}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$. Le signe\n$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre."
        },
        {
          "statement": "Comment s'écrit $\\dfrac{1}{x^7}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour\n$x$ non nul ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x^{-7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$, donc\n$\\dfrac{1}{x^7} = x^{-7}$."
            },
            {
              "text": "$-x^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^7$ est\nl'opposé de $x^7$, pas son inverse."
            },
            {
              "text": "$-x^{-7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul\nl'exposant devient négatif."
            },
            {
              "text": "$(-x)^{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir\navec l'inverse $\\dfrac{1}{x^7}$."
            }
          ],
          "explanation": "Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \\dfrac{1}{x^n}$. Le signe\n$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe",
        "inequation"
      ],
      "title": "Ce qui renverse une inégalité",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une inéquation est transformée en appliquant la même opération à ses deux\nmembres. Laquelle de ces opérations en renverse le sens ?",
      "options": [
        {
          "text": "La multiplication par $-3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : de $2 < 5$ on tire $-6 > -15$. Multiplier par un\nnombre négatif renverse le sens."
        },
        {
          "text": "L'addition du nombre $-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajouter un nombre, même négatif, translate les deux membres sans\nchanger leur ordre : de $2 < 5$ on tire $-1 < 2$."
        },
        {
          "text": "La soustraction du nombre $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Retrancher un nombre revient à en ajouter l'opposé : l'ordre des deux\nmembres est conservé."
        },
        {
          "text": "La division par le nombre $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diviser par un nombre positif conserve le sens : seul un diviseur\nnégatif le renverserait."
        }
      ],
      "explanation": "Additionner ou retrancher ne change jamais le sens d'une inégalité.\nMultiplier ou diviser le conserve si le nombre est positif et le renverse\ns'il est négatif."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-nul",
        "carre"
      ],
      "title": "Une équation où $x$ est en facteur",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 4x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 0$ ou $x = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 4x = x(x - 4)$, produit nul lorsque $x = 0$\nou lorsque $x = 4$."
        },
        {
          "text": "$x = 4$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \\neq 0$,\nor $0$ vérifie l'équation."
        },
        {
          "text": "$x = 0$ ou $x = -4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le facteur est $x - 4$, qui s'annule pour\n$x = 4$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation\na donc au moins une solution."
        }
      ],
      "explanation": "Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on\nramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre\nla solution $0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 4x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 4x = x(x - 4)$, produit nul lorsque $x = 0$\nou lorsque $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \\neq 0$,\nor $0$ vérifie l'équation."
            },
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le facteur est $x - 4$, qui s'annule pour\n$x = 4$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation\na donc au moins une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on\nramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre\nla solution $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 7x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 7x = x(x - 7)$, produit nul lorsque $x = 0$\nou lorsque $x = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \\neq 0$,\nor $0$ vérifie l'équation."
            },
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le facteur est $x - 7$, qui s'annule pour\n$x = 7$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation\na donc au moins une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on\nramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre\nla solution $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 3x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 3x = x(x - 3)$, produit nul lorsque $x = 0$\nou lorsque $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \\neq 0$,\nor $0$ vérifie l'équation."
            },
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le facteur est $x - 3$, qui s'annule pour\n$x = 3$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation\na donc au moins une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on\nramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre\nla solution $0$."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 5x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 5x = x(x - 5)$, produit nul lorsque $x = 0$\nou lorsque $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \\neq 0$,\nor $0$ vérifie l'équation."
            },
            {
              "text": "$x = 0$ ou $x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le facteur est $x - 5$, qui s'annule pour\n$x = 5$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation\na donc au moins une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on\nramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre\nla solution $0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "double-distributivite",
        "developpement"
      ],
      "title": "Le coefficient du terme en $x$",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Dans le développement de $(3x - 2)(x + 4)$, quel est le\ncoefficient du terme en $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $3x \\times 4$ et\n$-2 \\times x$, soit $12 - 2 = 10$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $-2 \\times x$\npour obtenir $10$."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du\ndéveloppement, pas le coefficient cherché."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne\n$12 - 2 = 10$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :\n$ax \\times c$ et $b \\times x$. Leur somme est le coefficient cherché.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le développement de $(3x - 2)(x + 4)$, quel est le\ncoefficient du terme en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $3x \\times 4$ et\n$-2 \\times x$, soit $12 - 2 = 10$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $-2 \\times x$\npour obtenir $10$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du\ndéveloppement, pas le coefficient cherché."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne\n$12 - 2 = 10$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :\n$ax \\times c$ et $b \\times x$. Leur somme est le coefficient cherché."
        },
        {
          "statement": "Dans le développement de $(2x + 5)(x - 3)$, quel est le\ncoefficient du terme en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $2x \\times -3$ et\n$5 \\times x$, soit $-6 + 5 = -1$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $5 \\times x$\npour obtenir $-1$."
            },
            {
              "text": "$-15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du\ndéveloppement, pas le coefficient cherché."
            },
            {
              "text": "$-11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne\n$-6 + 5 = -1$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :\n$ax \\times c$ et $b \\times x$. Leur somme est le coefficient cherché."
        },
        {
          "statement": "Dans le développement de $(4x - 1)(x - 2)$, quel est le\ncoefficient du terme en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $4x \\times -2$ et\n$-1 \\times x$, soit $-8 - 1 = -9$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $-1 \\times x$\npour obtenir $-9$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du\ndéveloppement, pas le coefficient cherché."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne\n$-8 - 1 = -9$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :\n$ax \\times c$ et $b \\times x$. Leur somme est le coefficient cherché."
        },
        {
          "statement": "Dans le développement de $(3x + 10)(x - 4)$, quel est le\ncoefficient du terme en $x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $3x \\times -4$ et\n$10 \\times x$, soit $-12 + 10 = -2$."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $10 \\times x$\npour obtenir $-2$."
            },
            {
              "text": "$-40$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du\ndéveloppement, pas le coefficient cherché."
            },
            {
              "text": "$-22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne\n$-12 + 10 = -2$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :\n$ax \\times c$ et $b \\times x$. Leur somme est le coefficient cherché."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identite-remarquable",
        "calcul-mental"
      ],
      "title": "Un carré calculé de tête",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $51^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2601$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1\n= 2601$."
        },
        {
          "text": "$2501$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont\n$100$ ici."
        },
        {
          "text": "$2600$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier terme oublié : il reste à ajouter $1^2$, soit $1$, pour\nobtenir $2601$."
        },
        {
          "text": "$2499$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de\n$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré."
        }
      ],
      "explanation": "Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer\n$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête.",
      "variants": [
        {
          "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $51^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2601$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1\n= 2601$."
            },
            {
              "text": "$2501$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont\n$100$ ici."
            },
            {
              "text": "$2600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme oublié : il reste à ajouter $1^2$, soit $1$, pour\nobtenir $2601$."
            },
            {
              "text": "$2499$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de\n$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré."
            }
          ],
          "explanation": "Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer\n$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête."
        },
        {
          "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $48^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2304$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $48^2 = (50 - 2)^2 = 2500 - 200 + 4\n= 2304$."
            },
            {
              "text": "$2504$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont\n$-200$ ici."
            },
            {
              "text": "$2300$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme oublié : il reste à ajouter $-2^2$, soit $4$, pour\nobtenir $2304$."
            },
            {
              "text": "$2496$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de\n$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré."
            }
          ],
          "explanation": "Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer\n$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête."
        },
        {
          "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $31^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$961$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $31^2 = (30 + 1)^2 = 900 + 60 + 1\n= 961$."
            },
            {
              "text": "$901$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont\n$60$ ici."
            },
            {
              "text": "$960$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme oublié : il reste à ajouter $1^2$, soit $1$, pour\nobtenir $961$."
            },
            {
              "text": "$899$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de\n$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré."
            }
          ],
          "explanation": "Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer\n$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête."
        },
        {
          "statement": "En utilisant une identité remarquable, combien vaut $99^2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9801$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1\n= 9801$."
            },
            {
              "text": "$10001$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont\n$-200$ ici."
            },
            {
              "text": "$9800$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dernier terme oublié : il reste à ajouter $-1^2$, soit $1$, pour\nobtenir $9801$."
            },
            {
              "text": "$9999$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de\n$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré."
            }
          ],
          "explanation": "Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer\n$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules",
        "isoler"
      ],
      "title": "Isoler une longueur dans un périmètre",
      "partie": "equations",
      "statement": "Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\\ell$ vaut\n$P = 2(L + \\ell)$. Comment exprime-t-on $L$ en fonction de $P$ et\nde $\\ell$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$L = \\dfrac{P}{2} - \\ell$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on divise d'abord par $2$, puis on retranche $\\ell$,\nen défaisant les opérations dans l'ordre inverse."
        },
        {
          "text": "$L = \\dfrac{P - \\ell}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opérations dans le désordre : $\\ell$ n'est retranché qu'après la\ndivision, car il est à l'intérieur de la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$L = P - 2\\ell$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $2$ a été oubliée : le facteur $2$ porte sur toute la\nparenthèse, donc sur $L$ aussi."
        },
        {
          "text": "$L = \\dfrac{P}{2\\ell}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La formule contient une somme, pas un produit : on ne peut pas passer\n$\\ell$ au dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Isoler une variable, c'est défaire les opérations qui l'entourent, de la\nplus extérieure à la plus intérieure, en appliquant chaque geste aux deux\nmembres."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-fraction",
        "equation-premier-degre"
      ],
      "title": "Une équation à barre de fraction",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{2x - 1}{5} = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, ce qui donne\n$2x - 1 = 15$, puis on isole $x$."
        },
        {
          "text": "$x = 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division finale oubliée : de $2x - 1 = 15$ on tire\n$2x = 16$, puis $x = 8$."
        },
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le terme $-1$ change de signe en traversant le\nsigne égal."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine\nen multipliant les deux membres."
        }
      ],
      "explanation": "Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le\ndénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré\nordinaire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{2x - 1}{5} = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, ce qui donne\n$2x - 1 = 15$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division finale oubliée : de $2x - 1 = 15$ on tire\n$2x = 16$, puis $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme $-1$ change de signe en traversant le\nsigne égal."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine\nen multipliant les deux membres."
            }
          ],
          "explanation": "Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le\ndénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré\nordinaire."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{2x + 4}{3} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $3$, ce qui donne\n$2x + 4 = 18$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division finale oubliée : de $2x + 4 = 18$ on tire\n$2x = 14$, puis $x = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme $4$ change de signe en traversant le\nsigne égal."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $3$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine\nen multipliant les deux membres."
            }
          ],
          "explanation": "Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le\ndénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré\nordinaire."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{3x - 6}{2} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $2$, ce qui donne\n$3x - 6 = 12$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division finale oubliée : de $3x - 6 = 12$ on tire\n$3x = 18$, puis $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme $-6$ change de signe en traversant le\nsigne égal."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $2$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine\nen multipliant les deux membres."
            }
          ],
          "explanation": "Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le\ndénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré\nordinaire."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{3x - 9}{7} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $7$, ce qui donne\n$3x - 9 = 42$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 51$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division finale oubliée : de $3x - 9 = 42$ on tire\n$3x = 51$, puis $x = 17$."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le terme $-9$ change de signe en traversant le\nsigne égal."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $7$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine\nen multipliant les deux membres."
            }
          ],
          "explanation": "Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le\ndénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré\nordinaire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-deux-membres",
        "equation"
      ],
      "title": "Des inconnues à gauche et à droite",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5 - 2x = 3x - 10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres\nà gauche : $15 = 5x$, donc $x = 3$."
        },
        {
          "text": "$x = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe\nune seule fois. La vérification dans l'équation le montre."
        },
        {
          "text": "$x = 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : après regroupement on obtient $15 = 5x$, il\nreste à diviser par $5$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes\nen $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un\ncôté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en\ntraversant le signe égal.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5 - 2x = 3x - 10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres\nà gauche : $15 = 5x$, donc $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe\nune seule fois. La vérification dans l'équation le montre."
            },
            {
              "text": "$x = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après regroupement on obtient $15 = 5x$, il\nreste à diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes\nen $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un\ncôté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en\ntraversant le signe égal."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $9 - 2x = 4x - 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres\nà gauche : $12 = 6x$, donc $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe\nune seule fois. La vérification dans l'équation le montre."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après regroupement on obtient $12 = 6x$, il\nreste à diviser par $6$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes\nen $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un\ncôté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en\ntraversant le signe égal."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $10 - 3x = 2x - 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres\nà gauche : $25 = 5x$, donc $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe\nune seule fois. La vérification dans l'équation le montre."
            },
            {
              "text": "$x = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après regroupement on obtient $25 = 5x$, il\nreste à diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes\nen $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un\ncôté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en\ntraversant le signe égal."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $7 - 3x = 4x - 21$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres\nà gauche : $28 = 7x$, donc $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe\nune seule fois. La vérification dans l'équation le montre."
            },
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après regroupement on obtient $28 = 7x$, il\nreste à diviser par $7$."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes\nen $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un\ncôté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en\ntraversant le signe égal."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "quotient",
        "equation"
      ],
      "title": "La valeur interdite d'un quotient",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\\dfrac{2x - 6}{x - 4}$\nn'est-elle pas définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $x = 4$ le dénominateur vaut $0$, et une\ndivision par $0$ est impossible."
        },
        {
          "text": "$x = -4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le dénominateur $x - 4$ s'annule pour\n$x = 4$, pas pour son opposé."
        },
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce\nqui est parfaitement défini."
        },
        {
          "text": "L'expression est définie partout",
          "correct": false,
          "feedback": "Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui\narrive ici pour $x = 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,\nc'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\\dfrac{2x - 6}{x - 4}$\nn'est-elle pas définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour $x = 4$ le dénominateur vaut $0$, et une\ndivision par $0$ est impossible."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le dénominateur $x - 4$ s'annule pour\n$x = 4$, pas pour son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce\nqui est parfaitement défini."
            },
            {
              "text": "L'expression est définie partout",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui\narrive ici pour $x = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,\nc'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\\dfrac{3x - 6}{x - 5}$\nn'est-elle pas définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour $x = 5$ le dénominateur vaut $0$, et une\ndivision par $0$ est impossible."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le dénominateur $x - 5$ s'annule pour\n$x = 5$, pas pour son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce\nqui est parfaitement défini."
            },
            {
              "text": "L'expression est définie partout",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui\narrive ici pour $x = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,\nc'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\\dfrac{4x + 8}{x + 3}$\nn'est-elle pas définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour $x = -3$ le dénominateur vaut $0$, et une\ndivision par $0$ est impossible."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le dénominateur $x + 3$ s'annule pour\n$x = -3$, pas pour son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce\nqui est parfaitement défini."
            },
            {
              "text": "L'expression est définie partout",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui\narrive ici pour $x = -3$."
            }
          ],
          "explanation": "Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,\nc'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\\dfrac{2x - 14}{x - 9}$\nn'est-elle pas définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour $x = 9$ le dénominateur vaut $0$, et une\ndivision par $0$ est impossible."
            },
            {
              "text": "$x = -9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le dénominateur $x - 9$ s'annule pour\n$x = 9$, pas pour son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce\nqui est parfaitement défini."
            },
            {
              "text": "L'expression est définie partout",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui\narrive ici pour $x = 9$."
            }
          ],
          "explanation": "Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,\nc'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "facteur-commun",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Un facteur commun entre parenthèses",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Comment se factorise $(x + 2)(x - 5) + 3(x + 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 2)(x - 2)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun $x + 2$ se met devant, et il\nreste $(x - 5) + 3$, soit $x - 2$."
        },
        {
          "text": "$(x + 2)(x - 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $3$ au contenu\nde la parenthèse, ce qui donne $x - 2$."
        },
        {
          "text": "$(x + 3)(x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur commun mal repéré : c'est $x + 2$ qui figure dans les deux\ntermes, pas $3$."
        },
        {
          "text": "$3(x + 2)(x - 5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $3$ ne devient\npas un facteur de l'ensemble."
        }
      ],
      "explanation": "Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit\nla somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.\nLe développement sert de vérification.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Comment se factorise $(x + 2)(x - 5) + 3(x + 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 2)(x - 2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun $x + 2$ se met devant, et il\nreste $(x - 5) + 3$, soit $x - 2$."
            },
            {
              "text": "$(x + 2)(x - 8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $3$ au contenu\nde la parenthèse, ce qui donne $x - 2$."
            },
            {
              "text": "$(x + 3)(x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur commun mal repéré : c'est $x + 2$ qui figure dans les deux\ntermes, pas $3$."
            },
            {
              "text": "$3(x + 2)(x - 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $3$ ne devient\npas un facteur de l'ensemble."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit\nla somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.\nLe développement sert de vérification."
        },
        {
          "statement": "Comment se factorise $(x - 1)(x + 4) + 2(x - 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x - 1)(x + 6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun $x - 1$ se met devant, et il\nreste $(x + 4) + 2$, soit $x + 6$."
            },
            {
              "text": "$(x - 1)(x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $2$ au contenu\nde la parenthèse, ce qui donne $x + 6$."
            },
            {
              "text": "$(x + 2)(x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur commun mal repéré : c'est $x - 1$ qui figure dans les deux\ntermes, pas $2$."
            },
            {
              "text": "$2(x - 1)(x + 4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $2$ ne devient\npas un facteur de l'ensemble."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit\nla somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.\nLe développement sert de vérification."
        },
        {
          "statement": "Comment se factorise $(x + 3)(x + 1) - 4(x + 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 3)(x - 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun $x + 3$ se met devant, et il\nreste $(x + 1) - 4$, soit $x - 3$."
            },
            {
              "text": "$(x + 3)(x + 5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $-4$ au contenu\nde la parenthèse, ce qui donne $x - 3$."
            },
            {
              "text": "$(x - 4)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur commun mal repéré : c'est $x + 3$ qui figure dans les deux\ntermes, pas $-4$."
            },
            {
              "text": "$-4(x + 3)(x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $-4$ ne devient\npas un facteur de l'ensemble."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit\nla somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.\nLe développement sert de vérification."
        },
        {
          "statement": "Comment se factorise $(x + 2)(x + 11) + 3(x + 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(x + 2)(x + 14)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun $x + 2$ se met devant, et il\nreste $(x + 11) + 3$, soit $x + 14$."
            },
            {
              "text": "$(x + 2)(x + 8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $3$ au contenu\nde la parenthèse, ce qui donne $x + 14$."
            },
            {
              "text": "$(x + 3)(x + 11)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur commun mal repéré : c'est $x + 2$ qui figure dans les deux\ntermes, pas $3$."
            },
            {
              "text": "$3(x + 2)(x + 11)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $3$ ne devient\npas un facteur de l'ensemble."
            }
          ],
          "explanation": "Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit\nla somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.\nLe développement sert de vérification."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "carre-somme-piege",
        "developpement"
      ],
      "title": "Réfuter une égalité par un exemple",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Un élève affirme que $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ pour tout réel $x$. Quel\ncalcul suffit à le réfuter ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 1$ : on obtient $36$ d'un côté, $26$ de l'autre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(1 + 5)^2 = 36$ et $1^2 + 25 = 26$. Une seule valeur\nqui échoue suffit à réfuter une égalité annoncée pour tout réel."
        },
        {
          "text": "$x = 0$ : on obtient $25$ des deux côtés",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur vérifie l'égalité : elle ne réfute rien. Il faut au\ncontraire exhiber une valeur qui la met en défaut."
        },
        {
          "text": "$x = 1$ : on obtient $26$ des deux côtés",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier membre est mal calculé : $(1 + 5)^2 = 6^2 = 36$, et non\n$1 + 25$."
        },
        {
          "text": "Aucun : cette égalité est une identité remarquable",
          "correct": false,
          "feedback": "L'identité remarquable est $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ : le double\nproduit manque dans l'égalité proposée."
        }
      ],
      "explanation": "Pour réfuter une égalité annoncée pour tout réel, un seul contre-exemple\nsuffit, et l'on choisit une valeur simple à calculer. Attention à $0$ et à\n$1$, qui vérifient parfois l'égalité par hasard."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "racines-piege"
      ],
      "title": "Simplifier $\\sqrt{x^2}$",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Pour tout réel $x$, l'expression $\\sqrt{x^2}$ est-elle égale à $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle vaut $|x|$, soit $-x$ quand $x < 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $x = -3$, $\\sqrt{(-3)^2} = \\sqrt{9} = 3$, et non\n$-3$. L'égalité n'est vraie que pour $x \\geq 0$."
        },
        {
          "text": "Oui : la racine annule toujours le carré",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux opérations ne se compensent que sur les nombres positifs :\nune racine carrée n'est jamais négative."
        },
        {
          "text": "Non : elle vaut $\\pm x$, deux valeurs possibles",
          "correct": false,
          "feedback": "Le symbole $\\sqrt{\\ }$ désigne un seul nombre, positif ou nul. Deux\nvaleurs apparaissent en résolvant $t^2 = a$, pas ici."
        },
        {
          "text": "Oui, sauf lorsque $x$ est un nombre entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce n'est pas une question d'entier : $\\sqrt{(-0{,}5)^2} = 0{,}5$, le\nsigne seul est en cause."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout réel $x$, $\\sqrt{x^2} = |x|$. On ne peut donc supprimer la\nracine et le carré qu'après avoir vérifié le signe de $x$."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "programme-calcul",
        "substitution"
      ],
      "title": "Remonter un programme de calcul",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis\nretrancher $6$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $6$\npuis en divisant par $4$. Vérification : $4 \\times 4 - 6\n= 10$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inverse mal choisie : le programme retranche $6$, il faut\ndonc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : après avoir ajouté $6$, il reste à diviser par\n$4$ pour revenir au nombre de départ."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par\n$4$, on remonte donc en divisant par $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en\nremplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi\nse tester en la substituant dans le programme.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis\nretrancher $6$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $10$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $6$\npuis en divisant par $4$. Vérification : $4 \\times 4 - 6\n= 10$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse mal choisie : le programme retranche $6$, il faut\ndonc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir ajouté $6$, il reste à diviser par\n$4$ pour revenir au nombre de départ."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par\n$4$, on remonte donc en divisant par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en\nremplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi\nse tester en la substituant dans le programme."
        },
        {
          "statement": "Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $3$, puis\nretrancher $6$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $6$\npuis en divisant par $3$. Vérification : $3 \\times 5 - 6\n= 9$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse mal choisie : le programme retranche $6$, il faut\ndonc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir ajouté $6$, il reste à diviser par\n$3$ pour revenir au nombre de départ."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par\n$3$, on remonte donc en divisant par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en\nremplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi\nse tester en la substituant dans le programme."
        },
        {
          "statement": "Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $5$, puis\nretrancher $10$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $10$\npuis en divisant par $5$. Vérification : $5 \\times 6 - 10\n= 20$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse mal choisie : le programme retranche $10$, il faut\ndonc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir ajouté $10$, il reste à diviser par\n$5$ pour revenir au nombre de départ."
            },
            {
              "text": "$150$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par\n$5$, on remonte donc en divisant par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en\nremplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi\nse tester en la substituant dans le programme."
        },
        {
          "statement": "Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $7$, puis\nretrancher $14$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $35$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $14$\npuis en divisant par $7$. Vérification : $7 \\times 7 - 14\n= 35$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse mal choisie : le programme retranche $14$, il faut\ndonc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : après avoir ajouté $14$, il reste à diviser par\n$7$ pour revenir au nombre de départ."
            },
            {
              "text": "$343$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par\n$7$, on remonte donc en divisant par $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en\nremplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi\nse tester en la substituant dans le programme."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison",
        "ratio",
        "difference"
      ],
      "title": "Comparer par différence ou par rapport",
      "partie": "equations",
      "statement": "Le prix d'un article passe de $40$ euros à $50$ euros, celui d'un\nautre de $200$ euros à $210$ euros. Quelle affirmation est exacte ?",
      "options": [
        {
          "text": "Même hausse en euros, pas en pourcentage",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la différence vaut $10$ euros dans les deux cas,\nmais les rapports valent $\\dfrac{50}{40} = 1{,}25$ et\n$\\dfrac{210}{200} = 1{,}05$, soit $+25\\ \\%$ et $+5\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "Les deux hausses sont équivalentes en tous points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule la variation additive est la même. Rapportée au\nprix de départ, la première hausse est cinq fois plus forte."
        },
        {
          "text": "La seconde hausse est la plus forte, car $210 > 50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : comparer les prix finaux ne mesure pas une hausse. Il\nfaut comparer chaque prix final à son prix de départ."
        },
        {
          "text": "Les hausses sont de $10\\ \\%$ chacune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10$ est une hausse en euros, pas en pourcentage. Le\npourcentage dépend du prix de départ."
        }
      ],
      "explanation": "La différence $b - a$ mesure une variation additive ; le rapport\n$\\dfrac{b}{a}$, pour des quantités positives, mesure une variation\nmultiplicative."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "relation",
        "premier-degre",
        "isoler"
      ],
      "title": "Exprimer y en fonction de x",
      "partie": "equations",
      "statement": "Les nombres $x$ et $y$ vérifient $3x + 2y = 12$. Quelle est\nl'expression de $y$ en fonction de $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 6 - \\dfrac{3}{2}x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2y = 12 - 3x$, puis on divise les deux membres\npar $2$."
        },
        {
          "text": "$y = 12 - 3x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 - 3x$ vaut $2y$. Il reste à diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$y = 6 - 3x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en divisant par $2$, il faut diviser **les deux**\ntermes, $12$ et $3x$."
        },
        {
          "text": "$y = \\dfrac{3}{2}x - 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : en passant $3x$ dans l'autre membre, on le\nretranche."
        }
      ],
      "explanation": "Pour exprimer une variable en fonction des autres, on l'isole comme\ndans une équation du premier degré : on regroupe, puis on divise par\nson coefficient."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modeliser",
        "inequation"
      ],
      "title": "Modéliser par une inéquation",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une salle de sport propose deux formules : $30$ euros par mois\nsans frais par séance, ou $10$ euros par mois plus $4$ euros par\nséance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois. Quelle\ninéquation traduit « la seconde formule est plus avantageuse » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10 + 4x < 30$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la seconde formule coûte $10 + 4x$ euros ; elle\nest plus avantageuse lorsque ce coût est inférieur à $30$ euros,\nsoit $x < 5$."
        },
        {
          "text": "$10 + 4x > 30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette inéquation traduit les cas où la seconde formule\nest la plus **chère**."
        },
        {
          "text": "$14x < 30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'abonnement de $10$ euros est payé une fois par mois,\npas à chaque séance."
        },
        {
          "text": "$10x + 4 < 30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les rôles sont échangés. C'est le tarif de $4$ euros qui\ndépend du nombre de séances."
        }
      ],
      "explanation": "Pour modéliser, on exprime chaque quantité en fonction de\nl'inconnue, puis on traduit la comparaison demandée par une\ninégalité."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une racine carrée",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Entre quels entiers consécutifs se trouve $\\sqrt{40}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Entre $20$ et $21$.",
          "correct": false,
          "feedback": "La racine carrée n'est pas la moitié du nombre : $20^2 = 400$, bien plus\nque $40$.\n"
        },
        {
          "text": "Entre $6$ et $7$.",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6^2 = 36$ et $7^2 = 49$, et $36 < 40 < 49$, donc\n$6 < \\sqrt{40} < 7$.\n"
        },
        {
          "text": "Entre $4$ et $5$.",
          "correct": false,
          "feedback": "$5^2 = 25$, qui est inférieur à $40$ : $\\sqrt{40}$ est plus grand que\n$5$.\n"
        },
        {
          "text": "Entre $39$ et $41$.",
          "correct": false,
          "feedback": "Ces nombres encadrent $40$, pas sa racine carrée. On cherche deux carrés\nparfaits consécutifs autour de $40$ : $36$ et $49$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour encadrer $\\sqrt{a}$, on cherche deux carrés d'entiers consécutifs\nqui encadrent $a$ : si $n^2 < a < (n+1)^2$, alors\n$n < \\sqrt{a} < n + 1$."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "produit"
      ],
      "title": "Racine d'un produit",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Laquelle de ces égalités est vraie pour tous les réels positifs\n$a$ et $b$ (avec $a \\geq b$ quand une différence apparaît) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a} \\times \\sqrt{b}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{a} \\times \\sqrt{b}$ est positif et son\ncarré vaut $(\\sqrt{a})^2 \\times (\\sqrt{b})^2 = ab$ : c'est\ndonc la racine carrée de $ab$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{a + b} = \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : pour $a = 9$ et $b = 16$, $\\sqrt{25} = 5$ alors que\n$\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 7$. La racine ne se distribue pas\nsur une somme."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{a - b} = \\sqrt{a} - \\sqrt{b}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : pour $a = 25$ et $b = 16$, $\\sqrt{9} = 3$ alors que\n$\\sqrt{25} - \\sqrt{16} = 1$. Pas plus que sur une somme, la\nracine ne se distribue sur une différence."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2a} = 2\\sqrt{a}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : pour $a = 2$, $\\sqrt{4} = 2$ alors que\n$2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83$. Le facteur $2$ sort de la racine\nsous la forme $\\sqrt{2}$ : $\\sqrt{2a} = \\sqrt{2}\\sqrt{a}$."
        }
      ],
      "explanation": "Démonstration du cours : pour $a \\geq 0$ et $b \\geq 0$, le nombre\n$\\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est positif et son carré vaut $ab$, donc\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$. Aucune règle de ce genre\nn'existe pour les sommes ou les différences."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "geometrie"
      ],
      "title": "Le côté d'un carré",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Un carré a une aire de $20$ cm². Quelle est la longueur de son côté ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "L'aire d'un carré n'est pas quatre fois son côté : $5 \\times 5 = 25$\ncm². Le côté vaut $\\sqrt{20} \\approx 4{,}47$ cm.\n"
        },
        {
          "text": "$10$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "L'aire n'est pas le double du côté : un carré de côté $10$ cm a une aire\nde $100$ cm².\n"
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{20}$ cm, soit environ $4{,}47$ cm",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le côté $c$ vérifie $c^2 = 20$ et $c > 0$, donc\n$c = \\sqrt{20}$.\n"
        },
        {
          "text": "$400$ cm",
          "correct": false,
          "feedback": "$400 = 20^2$ : on a élevé l'aire au carré au lieu d'en prendre la racine\ncarrée.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Si un carré a pour aire $A$, son côté $c$ vérifie $c^2 = A$ avec $c$\npositif : $c = \\sqrt{A}$."
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissances",
        "algorithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Première puissance au-dessus d'un seuil",
      "partie": "puissances-racines",
      "statement": "Qu'affiche ce programme ?\n```python\nn = 0\np = 1\nwhile p <= 100:\n    p = p * 2\n    n = n + 1\nprint(n)\n```",
      "options": [
        {
          "text": "`7`, premier exposant où $2^n$ dépasse $100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : `p` prend les valeurs $2^0$, $2^1$,\n$2^2$… et la boucle s'arrête dès que `p` dépasse $100$,\nc'est-à-dire pour $n = 7$ ($2^{7} = 128$)."
        },
        {
          "text": "`6`, dernier exposant où $2^n$ reste sous $100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $n = 6$, `p` vaut $2^{6}$, encore\ninférieur ou égal à $100$ : la boucle fait un tour de plus."
        },
        {
          "text": "`128`, la valeur finale de la puissance `p`",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $128$ est la valeur de `p` à la sortie de la boucle,\nmais le programme affiche `n`, l'exposant."
        },
        {
          "text": "`8`, un tour de plus que l'exposant cherché",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : `n` augmente en même temps que `p` est multiplié ;\naprès le tour où `p` dépasse $100$, la boucle s'arrête sans\nnouvel ajout."
        }
      ],
      "explanation": "Algorithme de seuil : on multiplie `p` par $2$ tant qu'il ne\ndépasse pas $100$. La valeur affichée est le premier exposant\n$n$ tel que $2^n > 100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Qu'affiche ce programme ?\n```python\nn = 0\np = 1\nwhile p <= 100:\n    p = p * 2\n    n = n + 1\nprint(n)\n```",
          "options": [
            {
              "text": "`7`, premier exposant où $2^n$ dépasse $100$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : `p` prend les valeurs $2^0$, $2^1$,\n$2^2$… et la boucle s'arrête dès que `p` dépasse $100$,\nc'est-à-dire pour $n = 7$ ($2^{7} = 128$)."
            },
            {
              "text": "`6`, dernier exposant où $2^n$ reste sous $100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $n = 6$, `p` vaut $2^{6}$, encore\ninférieur ou égal à $100$ : la boucle fait un tour de plus."
            },
            {
              "text": "`128`, la valeur finale de la puissance `p`",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $128$ est la valeur de `p` à la sortie de la boucle,\nmais le programme affiche `n`, l'exposant."
            },
            {
              "text": "`8`, un tour de plus que l'exposant cherché",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : `n` augmente en même temps que `p` est multiplié ;\naprès le tour où `p` dépasse $100$, la boucle s'arrête sans\nnouvel ajout."
            }
          ],
          "explanation": "Algorithme de seuil : on multiplie `p` par $2$ tant qu'il ne\ndépasse pas $100$. La valeur affichée est le premier exposant\n$n$ tel que $2^n > 100$."
        },
        {
          "statement": "Qu'affiche ce programme ?\n```python\nn = 0\np = 1\nwhile p <= 200:\n    p = p * 3\n    n = n + 1\nprint(n)\n```",
          "options": [
            {
              "text": "`5`, premier exposant où $3^n$ dépasse $200$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : `p` prend les valeurs $3^0$, $3^1$,\n$3^2$… et la boucle s'arrête dès que `p` dépasse $200$,\nc'est-à-dire pour $n = 5$ ($3^{5} = 243$)."
            },
            {
              "text": "`4`, dernier exposant où $3^n$ reste sous $200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $n = 4$, `p` vaut $3^{4}$, encore\ninférieur ou égal à $200$ : la boucle fait un tour de plus."
            },
            {
              "text": "`243`, la valeur finale de la puissance `p`",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $243$ est la valeur de `p` à la sortie de la boucle,\nmais le programme affiche `n`, l'exposant."
            },
            {
              "text": "`6`, un tour de plus que l'exposant cherché",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : `n` augmente en même temps que `p` est multiplié ;\naprès le tour où `p` dépasse $200$, la boucle s'arrête sans\nnouvel ajout."
            }
          ],
          "explanation": "Algorithme de seuil : on multiplie `p` par $3$ tant qu'il ne\ndépasse pas $200$. La valeur affichée est le premier exposant\n$n$ tel que $3^n > 200$."
        },
        {
          "statement": "Qu'affiche ce programme ?\n```python\nn = 0\np = 1\nwhile p <= 1000:\n    p = p * 2\n    n = n + 1\nprint(n)\n```",
          "options": [
            {
              "text": "`10`, premier exposant où $2^n$ dépasse $1000$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : `p` prend les valeurs $2^0$, $2^1$,\n$2^2$… et la boucle s'arrête dès que `p` dépasse $1000$,\nc'est-à-dire pour $n = 10$ ($2^{10} = 1024$)."
            },
            {
              "text": "`9`, dernier exposant où $2^n$ reste sous $1000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $n = 9$, `p` vaut $2^{9}$, encore\ninférieur ou égal à $1000$ : la boucle fait un tour de plus."
            },
            {
              "text": "`1024`, la valeur finale de la puissance `p`",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1024$ est la valeur de `p` à la sortie de la boucle,\nmais le programme affiche `n`, l'exposant."
            },
            {
              "text": "`11`, un tour de plus que l'exposant cherché",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : `n` augmente en même temps que `p` est multiplié ;\naprès le tour où `p` dépasse $1000$, la boucle s'arrête sans\nnouvel ajout."
            }
          ],
          "explanation": "Algorithme de seuil : on multiplie `p` par $2$ tant qu'il ne\ndépasse pas $1000$. La valeur affichée est le premier exposant\n$n$ tel que $2^n > 1000$."
        },
        {
          "statement": "Qu'affiche ce programme ?\n```python\nn = 0\np = 1\nwhile p <= 1000:\n    p = p * 5\n    n = n + 1\nprint(n)\n```",
          "options": [
            {
              "text": "`5`, premier exposant où $5^n$ dépasse $1000$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : `p` prend les valeurs $5^0$, $5^1$,\n$5^2$… et la boucle s'arrête dès que `p` dépasse $1000$,\nc'est-à-dire pour $n = 5$ ($5^{5} = 3125$)."
            },
            {
              "text": "`4`, dernier exposant où $5^n$ reste sous $1000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $n = 4$, `p` vaut $5^{4}$, encore\ninférieur ou égal à $1000$ : la boucle fait un tour de plus."
            },
            {
              "text": "`3125`, la valeur finale de la puissance `p`",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3125$ est la valeur de `p` à la sortie de la boucle,\nmais le programme affiche `n`, l'exposant."
            },
            {
              "text": "`6`, un tour de plus que l'exposant cherché",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : `n` augmente en même temps que `p` est multiplié ;\naprès le tour où `p` dépasse $1000$, la boucle s'arrête sans\nnouvel ajout."
            }
          ],
          "explanation": "Algorithme de seuil : on multiplie `p` par $5$ tant qu'il ne\ndépasse pas $1000$. La valeur affichée est le premier exposant\n$n$ tel que $5^n > 1000$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-adaptee",
        "developper-factoriser",
        "equation"
      ],
      "title": "Choisir la forme adaptée",
      "partie": "developper-factoriser",
      "statement": "Pour tout réel $x$, $f(x) = (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3$.\nQuelle forme permet de résoudre $f(x) = -3$, et quelles sont les\nsolutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "La forme développée : $x = 0$ ou $x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 2x - 3 = -3$ équivaut à\n$x^2 - 2x = 0$, soit $x(x - 2) = 0$, d'où $x = 0$ ou\n$x = 2$. Vérification : $f(2) = (-1) \\times 3 = -3$."
        },
        {
          "text": "La forme factorisée : $x = 3$ ou $x = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ et $-1$ sont les solutions de $f(x) = 0$, pas\nde $f(x) = -3$. La forme factorisée ne sert directement que\npour comparer à $0$."
        },
        {
          "text": "La forme factorisée : $x = 0$ ou $x = -4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un produit égal à $-3$ n'oblige pas un facteur à\nvaloir $-3$. Contre-exemple : $f(-4) = (-7) \\times (-3) = 21$."
        },
        {
          "text": "La forme développée : $x = 2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : diviser $x^2 - 2x = 0$ par $x$ fait perdre la\nsolution $x = 0$, car $f(0) = -3$. Il faut factoriser par\n$x$."
        }
      ],
      "explanation": "La forme factorisée sert à résoudre $f(x) = 0$ ; pour\n$f(x) = k$, on revient à la forme développée, on ramène tout\nd'un côté, puis on factorise : ici $x^2 - 2x = x(x - 2)$."
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient",
        "equation-quotient"
      ],
      "title": "Un quotient nul",
      "partie": "equations",
      "statement": "Résoudre l'équation $\\dfrac{x - 5}{x + 2} = 0$.",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{-2\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$-2$ annule le dénominateur : c'est une valeur interdite, jamais une\nsolution.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{5\\,;\\,-2\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le numérateur doit s'annuler. Pour $x = -2$, le quotient n'est pas\ndéfini.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{5\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le numérateur s'annule pour $x = 5$, et le dénominateur\nvaut alors $7$, qui n'est pas nul.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{-5\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$x - 5 = 0$ donne $x = 5$ : le signe a été changé à tort.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un quotient est nul quand son numérateur est nul et son dénominateur ne\nl'est pas."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient",
        "meme-denominateur"
      ],
      "title": "Réduire au même dénominateur",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour $x \\neq 0$, écrire $\\dfrac{1}{x} + 2$ sous la forme d'un seul\nquotient.",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $2$ a été ajouté au numérateur sans être mis au dénominateur $x$ :\n$2 = \\dfrac{2x}{x}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "On n'additionne pas les numérateurs et les dénominateurs entre eux. On\nécrit $2 = \\dfrac{2x}{x}$, puis on additionne les numérateurs.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 2x}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur commun est $x$, et non $2x$ :\n$\\dfrac{1}{x} + \\dfrac{2x}{x} = \\dfrac{1 + 2x}{x}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 2x}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 = \\dfrac{2x}{x}$, donc\n$\\dfrac{1}{x} + 2 = \\dfrac{1 + 2x}{x}$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour additionner un quotient et un nombre, on écrit le nombre avec le\nmême dénominateur, puis on additionne les numérateurs."
    },
    {
      "id": "q56",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient",
        "equation-quotient"
      ],
      "title": "Une équation avec un quotient",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour $x \\neq 1$, résoudre l'équation $\\dfrac{3}{x - 1} = 2$.",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit $2(x - 1)$ a été mal développé : il vaut $2x - 2$, et non\n$2x - 1$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 = 2(x - 1)$, soit $3 = 2x - 2$, donc $2x = 5$ et\n$x = \\dfrac{5}{2}$, qui est différent de $1$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient a été inversé : $x - 1 = \\dfrac{2}{3}$. De\n$\\dfrac{3}{x - 1} = 2$, on tire $x - 1 = \\dfrac{3}{2}$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur de $x - 1$. Il reste à ajouter $1$ : $x = \\dfrac{5}{2}$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour $x$ différent de la valeur interdite, $\\dfrac{A}{B} = k$ équivaut à\n$A = kB$. On vérifie à la fin que la solution n'est pas une valeur\ninterdite."
    },
    {
      "id": "q57",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inequation",
        "sens-inegalite"
      ],
      "title": "Une inéquation avec l'inconnue des deux côtés",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$2x + 5 \\geq 5x - 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en regroupant, $-3x \\geq -9$, puis on\ndivise par $-3$, qui est négatif : le sens change, et\n$x \\leq 3$."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser par $-3$, nombre négatif, change le sens\nde l'inégalité. On obtient $x \\leq 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de borne : l'inégalité est large ($\\geq$), donc\n$3$ est solution. Vérification : pour $x = 3$, les deux\nmembres sont égaux."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $x \\geq \\dfrac{-9}{-3}$ se renverse en\n$x \\leq 3$, et $-9 \\div (-3) = 3$, pas $-3$."
        }
      ],
      "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de\nl'autre ($ax + b \\geq cx + d \\Leftrightarrow (a - c)x \\geq d - b$),\npuis on divise en changeant le sens si le coefficient est\nnégatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$2x + 5 \\geq 5x - 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en regroupant, $-3x \\geq -9$, puis on\ndivise par $-3$, qui est négatif : le sens change, et\n$x \\leq 3$."
            },
            {
              "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $-3$, nombre négatif, change le sens\nde l'inégalité. On obtient $x \\leq 3$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de borne : l'inégalité est large ($\\geq$), donc\n$3$ est solution. Vérification : pour $x = 3$, les deux\nmembres sont égaux."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x \\geq \\dfrac{-9}{-3}$ se renverse en\n$x \\leq 3$, et $-9 \\div (-3) = 3$, pas $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de\nl'autre ($ax + b \\geq cx + d \\Leftrightarrow (a - c)x \\geq d - b$),\npuis on divise en changeant le sens si le coefficient est\nnégatif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$3x - 2 \\geq 5x + 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en regroupant, $-2x \\geq 8$, puis on\ndivise par $-2$, qui est négatif : le sens change, et\n$x \\leq -4$."
            },
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $-2$, nombre négatif, change le sens\nde l'inégalité. On obtient $x \\leq -4$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de borne : l'inégalité est large ($\\geq$), donc\n$-4$ est solution. Vérification : pour $x = -4$, les deux\nmembres sont égaux."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x \\geq \\dfrac{8}{-2}$ se renverse en\n$x \\leq -4$, et $8 \\div (-2) = -4$, pas $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de\nl'autre ($ax + b \\geq cx + d \\Leftrightarrow (a - c)x \\geq d - b$),\npuis on divise en changeant le sens si le coefficient est\nnégatif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$4x + 1 \\geq 7x - 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en regroupant, $-3x \\geq -12$, puis on\ndivise par $-3$, qui est négatif : le sens change, et\n$x \\leq 4$."
            },
            {
              "text": "$[4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $-3$, nombre négatif, change le sens\nde l'inégalité. On obtient $x \\leq 4$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de borne : l'inégalité est large ($\\geq$), donc\n$4$ est solution. Vérification : pour $x = 4$, les deux\nmembres sont égaux."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x \\geq \\dfrac{-12}{-3}$ se renverse en\n$x \\leq 4$, et $-12 \\div (-3) = 4$, pas $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de\nl'autre ($ax + b \\geq cx + d \\Leftrightarrow (a - c)x \\geq d - b$),\npuis on divise en changeant le sens si le coefficient est\nnégatif."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$2x + 9 \\geq 6x + 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en regroupant, $-4x \\geq -8$, puis on\ndivise par $-4$, qui est négatif : le sens change, et\n$x \\leq 2$."
            },
            {
              "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : diviser par $-4$, nombre négatif, change le sens\nde l'inégalité. On obtient $x \\leq 2$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de borne : l'inégalité est large ($\\geq$), donc\n$2$ est solution. Vérification : pour $x = 2$, les deux\nmembres sont égaux."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $x \\geq \\dfrac{-8}{-4}$ se renverse en\n$x \\leq 2$, et $-8 \\div (-4) = 2$, pas $-2$."
            }
          ],
          "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de\nl'autre ($ax + b \\geq cx + d \\Leftrightarrow (a - c)x \\geq d - b$),\npuis on divise en changeant le sens si le coefficient est\nnégatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q58",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Ensemble des solutions",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $2x - 5 \\leq 4x + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-2x \\leq 6$, puis en divisant par $-2$ on change le\nsens : $x \\geq -3$.\n"
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "En divisant par $-2$, le sens de l'inégalité change : $x \\geq -3$.\n"
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\dfrac{6}{-2} = -3$ : le signe a été perdu.\n"
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs : $\\dfrac{6}{-2} = -3$, et le sens change quand on divise\npar un nombre négatif.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On regroupe les termes en $x$ d'un côté, puis on divise par le\ncoefficient de $x$ en tenant compte de son signe ; on écrit enfin les\nsolutions sous forme d'intervalle."
    },
    {
      "id": "q59",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation",
        "modeliser"
      ],
      "title": "Comparer deux forfaits",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une location coûte $20$ € plus $0{,}50$ € par kilomètre avec le forfait\nA, et $0{,}90$ € par kilomètre avec le forfait B. Pour quelles distances\nle forfait A est-il moins cher ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour moins de $50$ km.",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur de courtes distances, les $20$ € fixes pèsent lourd : le forfait A\ndevient moins cher au-delà de $50$ km.\n"
        },
        {
          "text": "Au-delà de $40$ km.",
          "correct": false,
          "feedback": "$20 \\div 0{,}50 = 40$ ne compare pas les deux forfaits. On résout\n$20 + 0{,}5d < 0{,}9d$, soit $d > 50$.\n"
        },
        {
          "text": "Au-delà de $50$ km.",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $20 + 0{,}5d < 0{,}9d$ équivaut à $20 < 0{,}4d$, soit\n$d > 50$.\n"
        },
        {
          "text": "Au-delà de $22$ km environ.",
          "correct": false,
          "feedback": "$20 \\div 0{,}90 \\approx 22$ ne tient pas compte du prix au kilomètre du\nforfait A. On résout $20 + 0{,}5d < 0{,}9d$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On traduit « A est moins cher que B » par une inéquation,\n$20 + 0{,}5d < 0{,}9d$, que l'on résout comme une équation en\nsurveillant le sens de l'inégalité."
    }
  ]
}