{
"chapter": {
"id": "droites-du-plan",
"level": "seconde",
"theme": "Géométrie",
"title": "Droites du plan",
"description": "Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente\n(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,\nappartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point\nd'intersection, alignement.",
"parties": [
{
"id": "equation-reduite",
"title": "Coefficient directeur et équation réduite"
},
{
"id": "equation-cartesienne",
"title": "Équation cartésienne et vecteur directeur"
},
{
"id": "determiner",
"title": "Déterminer une droite"
},
{
"id": "positions",
"title": "Parallélisme et intersections"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"equation-reduite",
"pente"
],
"title": "Lire la pente",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = 2x - 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nvarier $y$ de $2$."
},
{
"text": "$-1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-1$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = 2$."
},
{
"text": "$2x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = 2$, $p = -1$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = 2x - 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nvarier $y$ de $2$."
},
{
"text": "$-1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-1$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = 2$."
},
{
"text": "$2x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = 2$, $p = -1$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = 3x + 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nvarier $y$ de $3$."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = 3$."
},
{
"text": "$3x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = 3$, $p = 4$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = -4x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$-4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nvarier $y$ de $-4$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = -4$."
},
{
"text": "$-4x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = -4$, $p = 5$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = 5x - 2$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nvarier $y$ de $5$."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-2$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = 5$."
},
{
"text": "$5x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = 5$, $p = -2$."
}
]
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"equation-reduite"
],
"title": "Équation d'une droite tracée",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée\nci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-3.7) grid (3.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:2.82,very thick,blue] plot (\\x,{2*\\x-1});\n \\fill[blue] (0,-1) circle (0.08);\n \\fill[blue] (1,1) circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.9,4.1) {$d$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les\npoints (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe\nl'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1\nvers la droite.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en\n$-1$ (donc $p = -1$) et monte de $2$ entre les deux points\nmarqués (donc $m = 2$)."
},
{
"text": "$y = x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de pente : entre $(0\\,;\\,-1)$ et $(1\\,;\\,1)$, la\ndroite monte de $2$, pas de $1$ : $m = 2$."
},
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des\nordonnées **en dessous** de l'origine, en $-1$."
},
{
"text": "$y = -2x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : la droite **monte** de gauche à droite,\nsa pente est positive."
}
],
"explanation": "Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement\navec l'axe vertical ($p = -1$), puis la pente entre deux\npoints du quadrillage ($m = \\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$).\nD'où $y = 2x - 1$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteur-directeur"
],
"title": "Vecteur directeur d'une droite en équation réduite",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quel vecteur est directeur de la droite d'équation\n$y = 3x + 2$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un pas de $1$ en abscisse fait varier\nl'ordonnée de la pente $m = 3$ : le vecteur\n$(1\\,;\\,m)$ dirige toujours la droite $y = mx + p$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées inversées : la pente $3$ est la variation\n**verticale** pour $1$ d'avance horizontale : $(1\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(0\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,2)$ est vertical, il dirigerait une\ndroite parallèle à l'axe des ordonnées. Le $2$ de\nl'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction."
},
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as recopié les deux coefficients de\nl'équation. La direction ne dépend que de la **pente** :\n$(1\\,;\\,3)$."
}
],
"explanation": "Pour $y = mx + p$, le vecteur $(1\\,;\\,m)$ est directeur :\n« j'avance de $1$, je monte de $m$ ». Ici $(1\\,;\\,3)$ (ou\ntout multiple non nul)."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"vecteur-directeur"
],
"title": "Vecteur directeur en équation cartésienne",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quel vecteur est directeur de la droite d'équation\ncartésienne $2x - y + 3 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur\n$(-b\\,;\\,a)$ est directeur : ici $(-(-1)\\,;\\,2) =\n(1\\,;\\,2)$. (Cohérent : l'équation se réécrit\n$y = 2x + 3$, pente $2$.)"
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Piège : $(a\\,;\\,b) = (2\\,;\\,-1)$ recopie les coefficients\ndans l'ordre. Le vecteur directeur les **croise** :\n$(-b\\,;\\,a)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant $c$, qui positionne la\ndroite mais n'influence pas sa direction."
},
{
"text": "$\\vec{u}(0\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a\npas de direction)."
}
],
"explanation": "Droite $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $(-b\\,;\\,a)$.\nIci $a = 2$, $b = -1$ : $\\vec{u}(1\\,;\\,2)$. Vérification par\nl'équation réduite $y = 2x + 3$ : pente $2$, directeur\n$(1\\,;\\,2)$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"appartenance"
],
"title": "Un point est-il sur la droite ?",
"partie": "determiner",
"statement": "Le point $A(1\\,;\\,5)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 3x + 2$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $3 \\times 1 + 2 = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 3x_A + 2$) : le point est sur la\ndroite."
},
{
"text": "Non, car $1 \\neq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite."
},
{
"text": "Non, car $5 \\times 3 + 2 = 17 \\neq 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 1$ qu'on injecte dans\n$3x + 2$, et on compare le résultat à $y = 5$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point."
}
],
"explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$5 = 3 + 2$ : oui.",
"variants": [
{
"statement": "Le point $A(1\\,;\\,5)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 3x + 2$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $3 \\times 1 + 2 = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 3x_A + 2$) : le point est sur la\ndroite."
},
{
"text": "Non, car $1 \\neq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite."
},
{
"text": "Non, car $5 \\times 3 + 2 = 17 \\neq 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 1$ qu'on injecte dans\n$3x + 2$, et on compare le résultat à $y = 5$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point."
}
],
"explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$5 = 3 + 2$ : oui."
},
{
"statement": "Le point $A(2\\,;\\,9)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 4x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $4 \\times 2 + 1 = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 4x_A + 1$) : le point est sur la\ndroite."
},
{
"text": "Non, car $2 \\neq 9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite."
},
{
"text": "Non, car $9 \\times 4 + 1 = 37 \\neq 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 2$ qu'on injecte dans\n$4x + 1$, et on compare le résultat à $y = 9$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point."
}
],
"explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$9 = 8 + 1$ : oui."
},
{
"statement": "Le point $A(3\\,;\\,8)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 2x + 2$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $2 \\times 3 + 2 = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 2x_A + 2$) : le point est sur la\ndroite."
},
{
"text": "Non, car $3 \\neq 8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite."
},
{
"text": "Non, car $8 \\times 2 + 2 = 18 \\neq 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 3$ qu'on injecte dans\n$2x + 2$, et on compare le résultat à $y = 8$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point."
}
],
"explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$8 = 6 + 2$ : oui."
},
{
"statement": "Le point $A(4\\,;\\,11)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 2x + 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $2 \\times 4 + 3 = 11$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 2x_A + 3$) : le point est sur la\ndroite."
},
{
"text": "Non, car $4 \\neq 11$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite."
},
{
"text": "Non, car $11 \\times 2 + 3 = 25 \\neq 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 4$ qu'on injecte dans\n$2x + 3$, et on compare le résultat à $y = 11$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point."
}
],
"explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$11 = 8 + 3$ : oui."
}
]
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallelisme"
],
"title": "Reconnaître des droites parallèles",
"partie": "positions",
"statement": "Les droites $d_1 : y = 3x + 1$ et $d_2 : y = 3x - 4$\nsont-elles parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car elles ont la même pente $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont\nparallèles si et seulement si elles ont la **même\npente**. Ici $m = 3$ pour les deux, et les ordonnées à\nl'origine $1 \\neq -4$ les rendent strictement parallèles\n(non confondues)."
},
{
"text": "Non, car leurs ordonnées à l'origine $1$ et $-4$\ndiffèrent",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent\nseulement les droites d'être **confondues**. Le\nparallélisme se lit sur la pente."
},
{
"text": "Non, elles sont confondues, car les coefficients de $x$\nsont égaux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : confondues exigerait la même équation complète\n(même pente **et** même ordonnée à l'origine). Ici $1\n\\neq -4$ : deux droites distinctes, parallèles."
},
{
"text": "Non, elles sont sécantes au point $(3\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3x + 1 = 3x - 4$ donnerait $1 = -4$, impossible.\nDeux droites de même pente ne se coupent jamais."
}
],
"explanation": "Droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : parallèles\n$\\Leftrightarrow$ $m = m'$ (confondues si de plus $p = p'$).\nIci : parallèles strictes."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"intersection",
"calcul"
],
"title": "Point d'intersection",
"partie": "positions",
"statement": "Quel est le point d'intersection des droites\n$d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on égale les deux expressions :\n$2x - 1 = -x + 5$, d'où $3x = 6$, $x = 2$, puis\n$y = 2 \\times 2 - 1 = 3$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées inversées : l'équation $3x = 6$ donne\nl'**abscisse** $x = 2$, puis l'ordonnée $y = 3$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,11)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x = 6$ vient d'un oubli de division par $3$\ndans $3x = 6$. Et vérifie toujours dans les **deux**\néquations : $-6 + 5 = -1 \\neq 11$."
},
{
"text": "Ces droites ne se coupent pas",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : leurs pentes ($2$ et $-1$) sont différentes :\nelles sont sécantes en exactement un point."
}
],
"explanation": "Intersection de deux droites en équations réduites : égaler\nles expressions de $y$, résoudre en $x$, puis calculer $y$.\n$2x - 1 = -x + 5 \\Rightarrow x = 2$, $y = 3$ : point\n$(2\\,;\\,3)$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"pente",
"calcul"
],
"title": "Pente à partir de deux points",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(3\\,;\\,8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \\dfrac{6}{2} = 3$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{6}{2}$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $6 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 2$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{10}{2}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur."
}
],
"explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = 3$.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(3\\,;\\,8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \\dfrac{6}{2} = 3$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{6}{2}$."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $6 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 2$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{10}{2}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur."
}
],
"explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = 3$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(2\\,;\\,1)$ et\n$B(6\\,;\\,9)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{9 - 1}{6 - 2} = \\dfrac{8}{4} = 2$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{8}{4}$."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $8 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 4$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{10}{4}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur."
}
],
"explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = 2$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\\,;\\,7)$ et\n$B(4\\,;\\,1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{1 - 7}{4 - 1} = \\dfrac{-6}{3} = -2$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{-6}{3}$."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $-6 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 3$."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{8}{3}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur."
}
],
"explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = -2$."
},
{
"statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(2\\,;\\,1)$ et\n$B(5\\,;\\,13)$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{13 - 1}{5 - 2} = \\dfrac{12}{3} = 4$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{12}{3}$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $12 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 3$."
},
{
"text": "$\\dfrac{14}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{14}{3}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur."
}
],
"explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = 4$."
}
]
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"droite-verticale",
"piege"
],
"title": "La droite verticale",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quelle équation correspond à une droite **verticale**\n(parallèle à l'axe des ordonnées) ?",
"options": [
{
"text": "$x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : tous les points d'abscisse $2$, quelle que\nsoit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a **pas**\nd'équation réduite ($y = mx + p$), car sa pente serait\ninfinie."
},
{
"text": "$y = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $y = 2$ regroupe les points d'**ordonnée** $2$ :\nune droite **horizontale** (pente nulle)."
},
{
"text": "$y = 2x$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est une droite oblique de pente $2$ passant par\nl'origine ; elle n'est pas verticale."
},
{
"text": "Une droite verticale n'a pas d'équation",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : elle n'a pas d'équation **réduite**, mais elle a\nbien une équation cartésienne, de la forme $x = c$."
}
],
"explanation": "Deux familles : les droites non verticales ($y = mx + p$) et\nles verticales ($x = c$), qui échappent à la forme réduite.\nC'est pourquoi l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ est\nplus générale."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"pente",
"variations"
],
"title": "Signe de la pente et sens de la droite",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Que peut-on dire de la droite d'équation\n$y = -0{,}5x + 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle descend de gauche à droite",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = -0{,}5 < 0$, la fonction\naffine associée est décroissante : chaque pas vers la\ndroite fait descendre d'un demi-carreau."
},
{
"text": "Elle monte de gauche à droite",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite monte quand sa pente est\n**positive**. Ici $m = -0{,}5 < 0$."
},
{
"text": "Elle est horizontale, à la hauteur $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : horizontale correspond à une pente **nulle**\n($y = 3$ par exemple). Ici $m = -0{,}5 \\neq 0$."
},
{
"text": "Elle passe par l'origine du repère",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en $x = 0$, $y = 3 \\neq 0$ : la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $(0\\,;\\,3)$."
}
],
"explanation": "Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction\naffine associée : $m > 0$ croissante, $m < 0$ décroissante,\n$m = 0$ constante. Ici : décroissante."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement"
],
"title": "Trois points alignés ?",
"partie": "determiner",
"statement": "Les points $A(0\\,;\\,1)$, $B(2\\,;\\,4)$ et $C(4\\,;\\,7)$\nsont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont la même pente",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $m_{AB} = \\dfrac{4-1}{2-0} =\n\\dfrac{3}{2}$ et $m_{BC} = \\dfrac{7-4}{4-2} =\n\\dfrac{3}{2}$ : mêmes pentes avec un point commun $B$,\ndonc même droite."
},
{
"text": "Non, car les longueurs $AB$ et $BC$ sont différentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales\n(ce serait « $B$ milieu »). On compare les **pentes** ou\non utilise la colinéarité des vecteurs."
},
{
"text": "Non, car aucun des trois n'a la même abscisse",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite\n**verticale** seulement. Une droite oblique traverse\ntoutes les abscisses."
},
{
"text": "Non, car $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{BC}$\nne sont pas égaux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ et\n$\\overrightarrow{BC}(2\\,;\\,3)$ sont même égaux, et il\nsuffirait qu'ils soient colinéaires pour conclure à\nl'alignement."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés si les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont\nla même pente (elles partagent déjà $B$). Ici $\\frac{3}{2}$\ndes deux côtés : alignés. Variante : déterminant de\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ nul."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"conversion"
],
"title": "De la cartésienne à la réduite",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation\ncartésienne $4x + 2y - 6 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2y = -4x + 6$ puis, en divisant par $2$ :\n$y = -2x + 3$."
},
{
"text": "$y = 2x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signes : en passant $4x$ et $-6$ de l'autre\ncôté, ils changent de signe : $2y = -4x + 6$."
},
{
"text": "$y = -4x + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division : il reste $2y$ à gauche. On divise\n**tout** par $2$ : $y = -2x + 3$."
},
{
"text": "$y = -2x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la constante : $-(-6)/2 = +3$.\nVérifie avec un point : $x = 0$ donne $2y = 6$, donc\n$y = 3$."
}
],
"explanation": "Pour passer en équation réduite : isoler $y$.\n$4x + 2y - 6 = 0 \\Rightarrow 2y = -4x + 6 \\Rightarrow\ny = -2x + 3$ : pente $-2$, ordonnée à l'origine $3$."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"ordonnee-origine"
],
"title": "Ordonnée à l'origine",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation\n$y = 3x - 5$ ?",
"options": [
{
"text": "$-5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en $x = 0$ : $y = -5$ : la droite coupe\nl'axe des ordonnées au point $(0\\ ;\\ -5)$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $3$ est le **coefficient directeur** (la\npente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : le terme constant est $-5$ : la droite\ncoupe l'axe SOUS l'origine."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\frac{5}{3}$ est l'abscisse où $y = 0$ (le\npoint sur l'axe des **abscisses**) : l'ordonnée à\nl'origine se lit en $x = 0$."
}
],
"explanation": "$y = mx + p$ : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine\n(l'altitude au départ, en $x = 0$). Les deux nombres se\nlisent directement et racontent toute la droite."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"droite-horizontale"
],
"title": "La droite $y = 2$",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Que représente l'équation $y = 2$ dans le plan ?",
"options": [
{
"text": "Une droite horizontale",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'ensemble de tous les points d'ordonnée\n$2$. La condition ne porte que sur $y$, $x$ est libre :\nligne horizontale à hauteur $2$, de pente nulle."
},
{
"text": "Une droite verticale",
"correct": false,
"feedback": "Inversé : les verticales s'écrivent $x = c$ (abscisse\nfixée) : ici c'est l'**ordonnée** qui est fixée :\nhorizontale."
},
{
"text": "Le seul point $(0\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Trop pauvre : $(1\\ ;\\ 2)$, $(-7\\ ;\\ 2)$… conviennent\naussi : une équation à une condition dans le plan\ndessine une **ligne**."
},
{
"text": "La droite passant par l'origine de pente $2$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : cette droite-là s'écrit $y = 2x$ : ici, pas\nde $x$ : pente nulle, hauteur constante."
}
],
"explanation": "$y = c$ : horizontale (pente $0$) ; $x = c$ : verticale (pas\nde pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de\ndroite, à reconnaître au premier coup d'œil."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallele-par-point"
],
"title": "Parallèle passant par un point",
"partie": "positions",
"statement": "Quelle est l'équation de la droite parallèle à $y = 2x + 1$\npassant par le point $(0\\ ;\\ 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x + 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : parallèles, car de même pente ($2$) ; le point\n$(0\\ ;\\ 4)$ est sur l'axe des ordonnées : $p = 4$\ndirectement."
},
{
"text": "$y = 4x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles inversés : le parallélisme conserve la **pente**\n($2$), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui\ns'ajuste au point."
},
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Point ignoré : cette droite passe par $(0\\ ;\\ 1)$, pas\npar $(0\\ ;\\ 4)$ : il faut ajuster la constante."
},
{
"text": "$y = -\\dfrac{1}{2}x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-\\frac{1}{2}$ construirait une\nperpendiculaire (notion de première) : deux droites parallèles ont le **même** coefficient directeur."
}
],
"explanation": "Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à\nl'origine avec le point donné (immédiat quand le point est\nsur l'axe ; sinon résoudre $y_A = m\\,x_A + p$)."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-depuis-donnees"
],
"title": "Droite par un point et une pente",
"partie": "determiner",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $-2$ passant par $A(0\\ ;\\ 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $-2$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = 3$ : l'équation s'assemble\ndirectement."
},
{
"text": "$y = 3x - 2$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : la pente ($-2$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($3$) est le terme constant."
},
{
"text": "$y = -2x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ 3)$ impose $p = 3$ (la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $3$)."
},
{
"text": "$y = 2x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$-2$, et non $2$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $-2$ passant par $A(0\\ ;\\ 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $-2$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = 3$ : l'équation s'assemble\ndirectement."
},
{
"text": "$y = 3x - 2$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : la pente ($-2$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($3$) est le terme constant."
},
{
"text": "$y = -2x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ 3)$ impose $p = 3$ (la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $3$)."
},
{
"text": "$y = 2x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$-2$, et non $2$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $3$ passant par $A(0\\ ;\\ -4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 3x - 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $3$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = -4$ : l'équation s'assemble\ndirectement."
},
{
"text": "$y = -4x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : la pente ($3$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($-4$) est le terme constant."
},
{
"text": "$y = 3x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ -4)$ impose $p = -4$ (la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $-4$)."
},
{
"text": "$y = -3x - 4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$3$, et non $-3$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $-5$ passant par $A(0\\ ;\\ 6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -5x + 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $-5$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = 6$ : l'équation s'assemble\ndirectement."
},
{
"text": "$y = 6x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : la pente ($-5$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($6$) est le terme constant."
},
{
"text": "$y = -5x - 6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ 6)$ impose $p = 6$ (la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $6$)."
},
{
"text": "$y = 5x + 6$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$-5$, et non $5$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $4$ passant par $A(0\\ ;\\ 2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $4$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = 2$ : l'équation s'assemble\ndirectement."
},
{
"text": "$y = 2x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : la pente ($4$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($2$) est le terme constant."
},
{
"text": "$y = 4x - 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ 2)$ impose $p = 2$ (la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $2$)."
},
{
"text": "$y = -4x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$4$, et non $-4$."
}
],
"explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné."
}
]
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-systeme"
],
"title": "Intersection par le calcul",
"partie": "positions",
"statement": "Où se coupent les droites $y = x + 1$ et $y = -x + 5$ ?",
"options": [
{
"text": "Au point $(2\\ ;\\ 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : égaler : $x + 1 = -x + 5$ donne $2x =\n4$, $x = 2$, puis $y = 3$. Contrôle dans la seconde :\n$-2 + 5 = 3$ ✓."
},
{
"text": "Au point $(3\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : $x = 2$ d'abord (la solution de\nl'équation), $y = 3$ ensuite (son image)."
},
{
"text": "Elles ne se coupent pas",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pentes $1$ et $-1$ **différentes** : les\ndroites ne sont pas parallèles : intersection garantie\n(et unique)."
},
{
"text": "Au point $(2\\ ;\\ 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée non calculée : en $x = 2$, les deux droites\npassent à $y = 3$, pas à $0$."
}
],
"explanation": "Intersection : égaler les deux expressions de $y$, résoudre\nen $x$, remonter à $y$. Vérifier dans **l'autre** équation :\nle point doit satisfaire les deux à la fois."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"droite-deux-points"
],
"title": "Équation d'une droite par deux points",
"partie": "determiner",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(1\\ ;\\ 2)$ et $B(3\\ ;\\ 8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 3x - 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$,\npuis $A$ donne $2 = 3 \\times 1 + p$, soit $p = -1$.\nContrôle avec $B$ : $3 \\times 3 - 1 = 8$."
},
{
"text": "$y = 3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $2 = 3 + p$, donc $p = -1$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{3}x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Pente renversée : $m = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\dfrac{6}{2} = 3$ (les ordonnées au numérateur)."
},
{
"text": "$y = 6x - 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 3$."
}
],
"explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(1\\ ;\\ 2)$ et $B(3\\ ;\\ 8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 3x - 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$,\npuis $A$ donne $2 = 3 \\times 1 + p$, soit $p = -1$.\nContrôle avec $B$ : $3 \\times 3 - 1 = 8$."
},
{
"text": "$y = 3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $2 = 3 + p$, donc $p = -1$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{3}x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Pente renversée : $m = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\dfrac{6}{2} = 3$ (les ordonnées au numérateur)."
},
{
"text": "$y = 6x - 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 3$."
}
],
"explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(2\\ ;\\ 3)$ et $B(4\\ ;\\ 11)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4x - 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{11 - 3}{4 - 2} = 4$,\npuis $A$ donne $3 = 4 \\times 2 + p$, soit $p = -5$.\nContrôle avec $B$ : $4 \\times 4 - 5 = 11$."
},
{
"text": "$y = 4x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $3 = 8 + p$, donc $p = -5$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{4}x - 5$",
"correct": false,
"feedback": "Pente renversée : $m = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\dfrac{8}{2} = 4$ (les ordonnées au numérateur)."
},
{
"text": "$y = 8x - 13$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 4$."
}
],
"explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(1\\ ;\\ 5)$ et $B(3\\ ;\\ 1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{1 - 5}{3 - 1} = -2$,\npuis $A$ donne $5 = -2 \\times 1 + p$, soit $p = 7$.\nContrôle avec $B$ : $-2 \\times 3 + 7 = 1$."
},
{
"text": "$y = -2x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $5 = -2 + p$, donc $p = 7$."
},
{
"text": "$y = -\\dfrac{1}{2}x + 7$",
"correct": false,
"feedback": "Pente renversée : $m = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\dfrac{-4}{2} = -2$ (les ordonnées au numérateur)."
},
{
"text": "$y = -4x + 9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-4$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = -2$."
}
],
"explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(2\\ ;\\ 1)$ et $B(5\\ ;\\ 7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{7 - 1}{5 - 2} = 2$,\npuis $A$ donne $1 = 2 \\times 2 + p$, soit $p = -3$.\nContrôle avec $B$ : $2 \\times 5 - 3 = 7$."
},
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $1 = 4 + p$, donc $p = -3$."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{2}x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Pente renversée : $m = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\dfrac{6}{3} = 2$ (les ordonnées au numérateur)."
},
{
"text": "$y = 6x - 11$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($3$) : $m = 2$."
}
],
"explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites."
}
]
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"appartenance"
],
"title": "Toute droite a-t-elle une équation réduite ?",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Toute droite du plan admet-elle une équation de la forme $y = mx + p$ ?",
"options": [
{
"text": "Non, les droites verticales font exception",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une verticale a pour équation $x = c$, car une même\nabscisse y correspond à une infinité d'ordonnées."
},
{
"text": "Oui, toutes sans exception",
"correct": false,
"feedback": "La droite d'équation $x = 3$ ne s'écrit pas sous cette forme : $y$ y\nprend toutes les valeurs possibles."
},
{
"text": "Non, les horizontales font exception",
"correct": false,
"feedback": "Une horizontale s'écrit $y = p$, c'est-à-dire $y = 0 \\times x + p$,\ndonc elle entre dans le cadre."
},
{
"text": "Oui, sauf celles passant par l'origine",
"correct": false,
"feedback": "Une droite passant par l'origine s'écrit $y = mx$, avec $p = 0$ :\nc'est un cas particulier, pas une exception."
}
],
"explanation": "L'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ couvre toutes les droites. La\nforme réduite $y = mx + p$ n'existe que si $b$ n'est pas nul, donc pour\nles droites non verticales."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"pente",
"lecture-graphique"
],
"title": "Une pente négative",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Une droite passe par $A(-2\\,;\\,5)$ et $B(4\\,;\\,-1)$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$-1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \\dfrac{-6}{6} = -1$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : le numérateur vaut $-6$ et le dénominateur $6$, donc le\nquotient est négatif, ce que confirme la droite qui descend."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction mal formée : le calcul fait est $\\dfrac{-1}{6}$, alors que le\nnumérateur est la différence des ordonnées, soit $-6$."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $-6$ est seulement la différence des ordonnées, il\nreste à diviser par celle des abscisses."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur vaut\n$\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. L'ordre des points est libre, à condition\nde le respecter en haut comme en bas."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"vecteur-directeur"
],
"title": "Cartésienne à partir d'un vecteur directeur",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quelle équation cartésienne a la droite passant par $A(1\\,;\\,2)$ et de\nvecteur directeur $\\vec{u}(3\\,;\\,-1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x + 3y - 7 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le vecteur $(3\\,;\\,-1)$ donne les coefficients\n$a = 1$ et $b = 3$, et $A$ fixe $c = -7$."
},
{
"text": "$3x - y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées recopiées : dans $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur\nest $(-b\\,;\\,a)$, les coordonnées ne se reportent pas directement."
},
{
"text": "$x + 3y + 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la constante : le point $A$ donne $1 + 6 + c = 0$, donc\n$c = -7$."
},
{
"text": "$3x + y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur directeur faux : cette droite a pour vecteur directeur\n$(-1\\,;\\,3)$, qui n'est pas colinéaire à $\\vec{u}$."
}
],
"explanation": "Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $(-b\\,;\\,a)$ est\ndirecteur. On choisit donc $a$ et $b$ pour retrouver $\\vec{u}$, puis on\ndétermine $c$ avec un point."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 1,
"skills": [
"pente",
"parallelisme"
],
"title": "Deux droites de même pente",
"partie": "positions",
"statement": "Deux droites distinctes ont le même coefficient directeur.\nQue peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "Elles sont parallèles",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une même pente signifie une même direction, et comme\nelles sont distinctes elles ne se coupent jamais."
},
{
"text": "Elles sont confondues",
"correct": false,
"feedback": "L'énoncé précise qu'elles sont distinctes : c'est leur ordonnée à\nl'origine qui diffère."
},
{
"text": "Elles se coupent en un point",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites sécantes ont des pentes différentes : c'est justement ce\nqui les fait se croiser."
},
{
"text": "Elles passent par l'origine",
"correct": false,
"feedback": "La pente ne dit rien de l'ordonnée à l'origine : $y = 2x + 1$ et\n$y = 2x - 3$ évitent toutes deux l'origine."
}
],
"explanation": "Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont\nle même coefficient directeur. Elles sont confondues lorsque, en plus,\nleurs ordonnées à l'origine coïncident."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"systeme",
"intersection"
],
"title": "Deux droites sans point commun",
"partie": "positions",
"statement": "Que donne la résolution du système formé par $y = 2x + 1$ et\n$y = 2x - 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Aucune solution",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'égalité $2x + 1 = 2x - 3$ conduit à $1 = -3$, ce qui\nest faux. Les droites sont parallèles et distinctes."
},
{
"text": "Une solution unique",
"correct": false,
"feedback": "Une solution unique correspond à deux droites sécantes, donc de\npentes différentes. Ici les deux pentes valent $2$."
},
{
"text": "Une infinité de solutions",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait le cas si les deux équations décrivaient la même droite, ce\nqui exigerait aussi la même ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "Deux solutions",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites distinctes se coupent au plus une fois : un système\nlinéaire n'a jamais exactement deux solutions."
}
],
"explanation": "Résoudre le système revient à chercher les points communs aux deux\ndroites. Trois cas seulement sont possibles : aucun point, un seul, ou\nune infinité si les droites sont confondues."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-reduite",
"lecture"
],
"title": "Ordonnée pour une abscisse donnée",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Une droite a pour équation $y = -\\dfrac{1}{2}x + 3$.\nQuelle est l'ordonnée du point de cette droite d'abscisse $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-\\dfrac{1}{2} \\times 4 + 3 = -2 + 3 = 1$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : le calcul fait est $2 + 3$, alors que le\ncoefficient directeur est négatif."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $-2$ est le produit $-\\dfrac{1}{2} \\times 4$, il\nreste à ajouter $3$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Abscisse ignorée : $3$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$, pas\ncelle du point d'abscisse $4$."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite lorsque ses coordonnées vérifient\nl'équation. Il suffit donc de remplacer $x$ par la valeur donnée."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"parallelisme"
],
"title": "Parallélisme sur des équations cartésiennes",
"partie": "positions",
"statement": "Les droites d'équations $2x - 3y + 1 = 0$ et $-4x + 6y + 5 = 0$\nsont-elles parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Oui, et elles sont distinctes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les vecteurs directeurs $(3\\,;\\,2)$ et $(-6\\,;\\,-4)$\nsont colinéaires, mais les constantes ne se correspondent pas."
},
{
"text": "Oui, et elles sont confondues",
"correct": false,
"feedback": "Il faudrait que la seconde équation soit un multiple exact de la\npremière : le facteur $-2$ donnerait $-2$ et non $5$ comme constante."
},
{
"text": "Non, elles sont sécantes",
"correct": false,
"feedback": "Le déterminant des vecteurs directeurs vaut\n$3 \\times (-4) - 2 \\times (-6) = 0$, donc il n'y a pas de point\nd'intersection."
},
{
"text": "Non, car les signes sont opposés",
"correct": false,
"feedback": "Multiplier une équation par un nombre négatif ne change pas la droite\nqu'elle décrit."
}
],
"explanation": "Deux équations cartésiennes décrivent des droites parallèles lorsque les\ncouples $(a\\,;\\,b)$ sont proportionnels. Elles sont confondues si la\nproportionnalité s'étend à la constante."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"appartenance"
],
"title": "Vérifier une appartenance sur la cartésienne",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Le point $B(2\\,;\\,-3)$ appartient-il à la droite d'équation\n$5x + 2y - 4 = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car le calcul donne $0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 2 + 2 \\times (-3) - 4 = 10 - 6 - 4 = 0$."
},
{
"text": "Non, car le calcul donne $8$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de l'ordonnée : remplacer $y$ par $-3$ donne $-6$, alors que ce\nrésultat suppose $+6$."
},
{
"text": "Non, car le calcul donne $-4$",
"correct": false,
"feedback": "Termes oubliés : la constante seule ne suffit pas, il faut d'abord\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de $B$."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans l'équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme cartésienne suffit : un point appartient à la droite dès que\nses coordonnées annulent le membre de gauche."
}
],
"explanation": "Tester une appartenance consiste toujours à remplacer les coordonnées du\npoint dans l'équation, puis à vérifier si l'égalité est vraie."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"pente",
"modelisation"
],
"title": "Interpréter une pente",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Une droite a pour coefficient directeur $\\dfrac{3}{4}$.\nComment se lit ce nombre sur le tracé ?",
"options": [
{
"text": "On avance de $4$ et on monte de $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le dénominateur donne le déplacement horizontal et le\nnumérateur la variation verticale correspondante."
},
{
"text": "On avance de $3$ et on monte de $4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce déplacement correspondrait à une pente de\n$\\dfrac{4}{3}$, donc à une droite plus raide."
},
{
"text": "On avance de $4$ et on descend de $3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : une pente positive fait monter la droite quand on\nse déplace vers la droite."
},
{
"text": "On part du point d'ordonnée $\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine confondue avec la pente : le point de départ est\ndonné par $p$, pas par $m$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur mesure la variation d'ordonnée pour une\naugmentation d'une unité d'abscisse. Écrit en fraction, il se lit\ndirectement comme un déplacement horizontal puis vertical."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"pente"
],
"title": "Alignement par les pentes",
"partie": "determiner",
"statement": "Les points $A(1\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,6)$ et $C(6\\,;\\,11)$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "Non, les pentes valent $2$ et $\\dfrac{5}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente de $(AB)$ vaut $\\dfrac{4}{2} = 2$ et celle de\n$(BC)$ vaut $\\dfrac{5}{3}$, elles diffèrent."
},
{
"text": "Oui, les trois pentes valent $2$",
"correct": false,
"feedback": "La pente de $(BC)$ vaut $\\dfrac{11 - 6}{6 - 3} = \\dfrac{5}{3}$, ce qui\nn'est pas $2$. Le point $C$ devrait avoir pour ordonnée $12$."
},
{
"text": "Oui, car les abscisses sont croissantes",
"correct": false,
"feedback": "L'ordre des abscisses ne dit rien de l'alignement : trois points d'une\nparabole ont aussi des abscisses croissantes."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans tracer",
"correct": false,
"feedback": "Le calcul suffit et il est plus fiable qu'un tracé, où un écart d'une\nunité passe facilement inaperçu."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont le\nmême coefficient directeur, ce qui revient à la colinéarité de\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{BC}$."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-reduite",
"ordonnee-origine"
],
"title": "Droite passant par l'origine",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle condition sur $m$ et $p$ caractérise une droite d'équation\n$y = mx + p$ passant par l'origine ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point $(0\\,;\\,0)$ vérifie l'équation si et\nseulement si $p$ est nul."
},
{
"text": "$m = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Cette condition donne une horizontale $y = p$, qui passe par\nl'origine seulement si $p$ vaut aussi $0$."
},
{
"text": "$m = p$",
"correct": false,
"feedback": "La droite $y = 2x + 2$ vérifie cette condition sans passer par\nl'origine, puisqu'elle coupe l'axe des ordonnées en $2$."
},
{
"text": "$m = 1$ et $p = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Condition trop forte : $y = 5x$ passe aussi par l'origine, avec une\npente différente de $1$."
}
],
"explanation": "L'ordonnée à l'origine $p$ est précisément l'ordonnée du point\nd'abscisse $0$. Une droite passe donc par l'origine si et seulement si\n$p$ est nul."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-cartesienne",
"droite-verticale"
],
"title": "L'équation d'une verticale",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Quelle est l'équation de la droite verticale passant par le point\n$A(-3\\,;\\,7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$x = -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur une verticale, tous les points ont la même\nabscisse, ici celle de $A$."
},
{
"text": "$y = 7$",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'horizontale passant par $A$ : elle rassemble les points de\nmême ordonnée."
},
{
"text": "$x = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée choisie au mauvais rang : $7$ est l'ordonnée de $A$, alors\nqu'une verticale se lit sur l'abscisse."
},
{
"text": "$y = -3x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente de $-3$ : elle n'est\nni verticale ni passante par $A$."
}
],
"explanation": "Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur, car l'abscisse ne\nvarie pas. Son équation est de la forme $x = c$, où $c$ est l'abscisse\ncommune à tous ses points."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"droite-horizontale",
"droite-deux-points"
],
"title": "Deux points de même ordonnée",
"partie": "determiner",
"statement": "Soient $A(-3\\,;\\,4)$ et $B(5\\,;\\,4)$ deux points distincts.\nQuelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la\ndroite est horizontale, à la hauteur $4$."
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et\nnon l'abscisse, qui est commune aux deux points."
},
{
"text": "$y = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée prise au mauvais rang : $-3$ est l'abscisse de $A$,\nalors qu'une horizontale se repère à son ordonnée."
},
{
"text": "$y = 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente $4$ : ici la\npente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas."
}
],
"explanation": "Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est\nhorizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit\n$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(-3\\,;\\,4)$ et $B(5\\,;\\,4)$ deux points distincts.\nQuelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la\ndroite est horizontale, à la hauteur $4$."
},
{
"text": "$x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et\nnon l'abscisse, qui est commune aux deux points."
},
{
"text": "$y = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée prise au mauvais rang : $-3$ est l'abscisse de $A$,\nalors qu'une horizontale se repère à son ordonnée."
},
{
"text": "$y = 4x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente $4$ : ici la\npente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas."
}
],
"explanation": "Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est\nhorizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit\n$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune."
},
{
"statement": "Soient $A(2\\,;\\,6)$ et $B(7\\,;\\,6)$ deux points distincts.\nQuelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la\ndroite est horizontale, à la hauteur $6$."
},
{
"text": "$x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et\nnon l'abscisse, qui est commune aux deux points."
},
{
"text": "$y = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée prise au mauvais rang : $2$ est l'abscisse de $A$,\nalors qu'une horizontale se repère à son ordonnée."
},
{
"text": "$y = 6x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente $6$ : ici la\npente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas."
}
],
"explanation": "Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est\nhorizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit\n$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune."
},
{
"statement": "Soient $A(5\\,;\\,-3)$ et $B(-2\\,;\\,-3)$ deux points distincts.\nQuelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la\ndroite est horizontale, à la hauteur $-3$."
},
{
"text": "$x = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et\nnon l'abscisse, qui est commune aux deux points."
},
{
"text": "$y = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée prise au mauvais rang : $5$ est l'abscisse de $A$,\nalors qu'une horizontale se repère à son ordonnée."
},
{
"text": "$y = -3x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente $-3$ : ici la\npente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas."
}
],
"explanation": "Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est\nhorizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit\n$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune."
},
{
"statement": "Soient $A(-7\\,;\\,-8)$ et $B(-2\\,;\\,-8)$ deux points distincts.\nQuelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la\ndroite est horizontale, à la hauteur $-8$."
},
{
"text": "$x = -8$",
"correct": false,
"feedback": "Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et\nnon l'abscisse, qui est commune aux deux points."
},
{
"text": "$y = -7$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnée prise au mauvais rang : $-7$ est l'abscisse de $A$,\nalors qu'une horizontale se repère à son ordonnée."
},
{
"text": "$y = -8x$",
"correct": false,
"feedback": "Cette droite passe par l'origine avec une pente $-8$ : ici la\npente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas."
}
],
"explanation": "Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est\nhorizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit\n$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture",
"equation-reduite"
],
"title": "Abscisse d'un point d'ordonnée donnée",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 3x - 2$. Quelle est l'abscisse\ndu point de $d$ dont l'ordonnée vaut $10$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $3x - 2 = 10$, ce qui donne\n$3x = 12$ puis $x = 4$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $10$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors\nque la question porte sur l'abscisse."
},
{
"text": "$28$",
"correct": false,
"feedback": "Substitution au mauvais endroit : $10$ a été remplacé à la place\nde $x$, alors qu'il faut résoudre une équation."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : après avoir retranché $-2$, il reste à diviser\npar le coefficient directeur $3$."
}
],
"explanation": "Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à\nrésoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une\nordonnée se contente d'une substitution.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 3x - 2$. Quelle est l'abscisse\ndu point de $d$ dont l'ordonnée vaut $10$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $3x - 2 = 10$, ce qui donne\n$3x = 12$ puis $x = 4$."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $10$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors\nque la question porte sur l'abscisse."
},
{
"text": "$28$",
"correct": false,
"feedback": "Substitution au mauvais endroit : $10$ a été remplacé à la place\nde $x$, alors qu'il faut résoudre une équation."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : après avoir retranché $-2$, il reste à diviser\npar le coefficient directeur $3$."
}
],
"explanation": "Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à\nrésoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une\nordonnée se contente d'une substitution."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 2x + 5$. Quelle est l'abscisse\ndu point de $d$ dont l'ordonnée vaut $-1$ ?",
"options": [
{
"text": "$-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $2x + 5 = -1$, ce qui donne\n$2x = -6$ puis $x = -3$."
},
{
"text": "$-1$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $-1$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors\nque la question porte sur l'abscisse."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Substitution au mauvais endroit : $-1$ a été remplacé à la place\nde $x$, alors qu'il faut résoudre une équation."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : après avoir retranché $5$, il reste à diviser\npar le coefficient directeur $2$."
}
],
"explanation": "Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à\nrésoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une\nordonnée se contente d'une substitution."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 4x + 1$. Quelle est l'abscisse\ndu point de $d$ dont l'ordonnée vaut $9$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $4x + 1 = 9$, ce qui donne\n$4x = 8$ puis $x = 2$."
},
{
"text": "$9$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $9$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors\nque la question porte sur l'abscisse."
},
{
"text": "$37$",
"correct": false,
"feedback": "Substitution au mauvais endroit : $9$ a été remplacé à la place\nde $x$, alors qu'il faut résoudre une équation."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : après avoir retranché $1$, il reste à diviser\npar le coefficient directeur $4$."
}
],
"explanation": "Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à\nrésoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une\nordonnée se contente d'une substitution."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 3x + 8$. Quelle est l'abscisse\ndu point de $d$ dont l'ordonnée vaut $26$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $3x + 8 = 26$, ce qui donne\n$3x = 18$ puis $x = 6$."
},
{
"text": "$26$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $26$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors\nque la question porte sur l'abscisse."
},
{
"text": "$86$",
"correct": false,
"feedback": "Substitution au mauvais endroit : $26$ a été remplacé à la place\nde $x$, alors qu'il faut résoudre une équation."
},
{
"text": "$18$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : après avoir retranché $8$, il reste à diviser\npar le coefficient directeur $3$."
}
],
"explanation": "Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à\nrésoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une\nordonnée se contente d'une substitution."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallele-par-point",
"equation-depuis-donnees"
],
"title": "Parallèle par un point hors de l'axe",
"partie": "positions",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite\nd'équation $y = 2x - 1$ et passant par le point\n$A(3\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente $2$ est conservée, et $A$ donne\n$4 = 2 \\times 3 + p$, soit $p = -2$."
},
{
"text": "$y = 2x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $4$ est l'ordonnée de $A$, qui ne\nse trouve pas sur l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$y = 2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $2 \\times 3$ se\nretranche à $4$, il ne s'y ajoute pas."
},
{
"text": "$y = 2x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne\npasse pas par le point $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on\ndétermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient\nl'équation.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite\nd'équation $y = 2x - 1$ et passant par le point\n$A(3\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente $2$ est conservée, et $A$ donne\n$4 = 2 \\times 3 + p$, soit $p = -2$."
},
{
"text": "$y = 2x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $4$ est l'ordonnée de $A$, qui ne\nse trouve pas sur l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$y = 2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $2 \\times 3$ se\nretranche à $4$, il ne s'y ajoute pas."
},
{
"text": "$y = 2x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne\npasse pas par le point $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on\ndétermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient\nl'équation."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite\nd'équation $y = -3x + 4$ et passant par le point\n$A(1\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -3x + 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente $-3$ est conservée, et $A$ donne\n$5 = -3 \\times 1 + p$, soit $p = 8$."
},
{
"text": "$y = -3x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $5$ est l'ordonnée de $A$, qui ne\nse trouve pas sur l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$y = -3x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $-3 \\times 1$ se\nretranche à $5$, il ne s'y ajoute pas."
},
{
"text": "$y = -3x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne\npasse pas par le point $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on\ndétermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient\nl'équation."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite\nd'équation $y = 4x - 2$ et passant par le point\n$A(-1\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4x + 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente $4$ est conservée, et $A$ donne\n$3 = 4 \\times -1 + p$, soit $p = 7$."
},
{
"text": "$y = 4x + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $3$ est l'ordonnée de $A$, qui ne\nse trouve pas sur l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$y = 4x - 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $4 \\times -1$ se\nretranche à $3$, il ne s'y ajoute pas."
},
{
"text": "$y = 4x - 2$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne\npasse pas par le point $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on\ndétermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient\nl'équation."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite\nd'équation $y = -8x - 6$ et passant par le point\n$A(1\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -8x + 13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente $-8$ est conservée, et $A$ donne\n$5 = -8 \\times 1 + p$, soit $p = 13$."
},
{
"text": "$y = -8x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $5$ est l'ordonnée de $A$, qui ne\nse trouve pas sur l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$y = -8x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $-8 \\times 1$ se\nretranche à $5$, il ne s'y ajoute pas."
},
{
"text": "$y = -8x - 6$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne\npasse pas par le point $A$."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on\ndétermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient\nl'équation."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conversion",
"equation-cartesienne"
],
"title": "De la réduite à la cartésienne",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "La droite $d$ a pour équation réduite $y = 3x + 5$. Quelle\néquation cartésienne décrit la même droite ?",
"options": [
{
"text": "$3x - y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient\n$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe."
},
{
"text": "$3x + y + 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à\n$y = -5 - 3x$, qui décrit une autre droite."
},
{
"text": "$3x - y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en\ntraversant le signe égal."
},
{
"text": "$5x - y + 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : $3$ est la pente et multiplie $x$,\ntandis que $5$ est le terme constant."
}
],
"explanation": "Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du\nmême côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation\nproportionnelle à celle-ci décrit la même droite.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation réduite $y = 3x + 5$. Quelle\néquation cartésienne décrit la même droite ?",
"options": [
{
"text": "$3x - y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient\n$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe."
},
{
"text": "$3x + y + 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à\n$y = -5 - 3x$, qui décrit une autre droite."
},
{
"text": "$3x - y - 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en\ntraversant le signe égal."
},
{
"text": "$5x - y + 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : $3$ est la pente et multiplie $x$,\ntandis que $5$ est le terme constant."
}
],
"explanation": "Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du\nmême côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation\nproportionnelle à celle-ci décrit la même droite."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation réduite $y = -2x + 4$. Quelle\néquation cartésienne décrit la même droite ?",
"options": [
{
"text": "$-2x - y + 4 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient\n$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe."
},
{
"text": "$-2x + y + 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à\n$y = -4 + 2x$, qui décrit une autre droite."
},
{
"text": "$-2x - y - 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en\ntraversant le signe égal."
},
{
"text": "$4x - y - 2 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : $-2$ est la pente et multiplie $x$,\ntandis que $4$ est le terme constant."
}
],
"explanation": "Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du\nmême côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation\nproportionnelle à celle-ci décrit la même droite."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation réduite $y = 5x - 3$. Quelle\néquation cartésienne décrit la même droite ?",
"options": [
{
"text": "$5x - y - 3 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient\n$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe."
},
{
"text": "$5x + y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à\n$y = 3 - 5x$, qui décrit une autre droite."
},
{
"text": "$5x - y + 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en\ntraversant le signe égal."
},
{
"text": "$-3x - y + 5 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : $5$ est la pente et multiplie $x$,\ntandis que $-3$ est le terme constant."
}
],
"explanation": "Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du\nmême côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation\nproportionnelle à celle-ci décrit la même droite."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation réduite $y = 4x + 3$. Quelle\néquation cartésienne décrit la même droite ?",
"options": [
{
"text": "$4x - y + 3 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient\n$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe."
},
{
"text": "$4x + y + 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à\n$y = -3 - 4x$, qui décrit une autre droite."
},
{
"text": "$4x - y - 3 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en\ntraversant le signe égal."
},
{
"text": "$3x - y + 4 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : $4$ est la pente et multiplie $x$,\ntandis que $3$ est le terme constant."
}
],
"explanation": "Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du\nmême côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation\nproportionnelle à celle-ci décrit la même droite."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 3,
"skills": [
"systeme",
"conversion"
],
"title": "Deux écritures d'une même droite",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Les équations $y = 2x + 3$ et $4x - 2y + 6 = 0$\ndécrivent-elles la même droite ?",
"options": [
{
"text": "Oui, c'est la première multipliée par $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on\nretrouve exactement $y = 2x + 3$."
},
{
"text": "Non, leurs coefficients directeurs sont différents",
"correct": false,
"feedback": "La seconde équation donne $2y = 4x + 6$, donc une pente\nde $2$ après division : c'est la même."
},
{
"text": "Non, la seconde n'est pas une équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même\ndroite admet une infinité d'équations cartésiennes."
},
{
"text": "Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient\nsécantes : ici tous les points sont communs."
}
],
"explanation": "Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas\nl'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet\nalors une infinité de solutions.",
"variants": [
{
"statement": "Les équations $y = 2x + 3$ et $4x - 2y + 6 = 0$\ndécrivent-elles la même droite ?",
"options": [
{
"text": "Oui, c'est la première multipliée par $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on\nretrouve exactement $y = 2x + 3$."
},
{
"text": "Non, leurs coefficients directeurs sont différents",
"correct": false,
"feedback": "La seconde équation donne $2y = 4x + 6$, donc une pente\nde $2$ après division : c'est la même."
},
{
"text": "Non, la seconde n'est pas une équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même\ndroite admet une infinité d'équations cartésiennes."
},
{
"text": "Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient\nsécantes : ici tous les points sont communs."
}
],
"explanation": "Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas\nl'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet\nalors une infinité de solutions."
},
{
"statement": "Les équations $y = -3x + 1$ et $-9x - 3y + 3 = 0$\ndécrivent-elles la même droite ?",
"options": [
{
"text": "Oui, c'est la première multipliée par $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on\nretrouve exactement $y = -3x + 1$."
},
{
"text": "Non, leurs coefficients directeurs sont différents",
"correct": false,
"feedback": "La seconde équation donne $3y = -9x + 3$, donc une pente\nde $-3$ après division : c'est la même."
},
{
"text": "Non, la seconde n'est pas une équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même\ndroite admet une infinité d'équations cartésiennes."
},
{
"text": "Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient\nsécantes : ici tous les points sont communs."
}
],
"explanation": "Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas\nl'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet\nalors une infinité de solutions."
},
{
"statement": "Les équations $y = 5x - 2$ et $20x - 4y - 8 = 0$\ndécrivent-elles la même droite ?",
"options": [
{
"text": "Oui, c'est la première multipliée par $4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on\nretrouve exactement $y = 5x - 2$."
},
{
"text": "Non, leurs coefficients directeurs sont différents",
"correct": false,
"feedback": "La seconde équation donne $4y = 20x - 8$, donc une pente\nde $5$ après division : c'est la même."
},
{
"text": "Non, la seconde n'est pas une équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même\ndroite admet une infinité d'équations cartésiennes."
},
{
"text": "Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient\nsécantes : ici tous les points sont communs."
}
],
"explanation": "Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas\nl'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet\nalors une infinité de solutions."
},
{
"statement": "Les équations $y = -10x - 3$ et $-50x - 5y - 15 = 0$\ndécrivent-elles la même droite ?",
"options": [
{
"text": "Oui, c'est la première multipliée par $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on\nretrouve exactement $y = -10x - 3$."
},
{
"text": "Non, leurs coefficients directeurs sont différents",
"correct": false,
"feedback": "La seconde équation donne $5y = -50x - 15$, donc une pente\nde $-10$ après division : c'est la même."
},
{
"text": "Non, la seconde n'est pas une équation réduite",
"correct": false,
"feedback": "La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même\ndroite admet une infinité d'équations cartésiennes."
},
{
"text": "Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient\nsécantes : ici tous les points sont communs."
}
],
"explanation": "Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas\nl'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet\nalors une infinité de solutions."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 1,
"skills": [
"intersection-systeme",
"droite-verticale"
],
"title": "Couper une droite verticale",
"partie": "positions",
"statement": "En quel point la droite d'équation $y = 2x + 3$ coupe-t-elle la\ndroite d'équation $x = 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,11)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse vaut $4$, et l'ordonnée s'obtient en\nremplaçant $x$ par $4$ : $2 \\times 4 + 3 = 11$."
},
{
"text": "$(11\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation\n$x = 4$, elle s'écrit donc en premier."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : il faut ajouter $3$ au produit\n$2 \\times 4$, en respectant son signe."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,14)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés dans le calcul : c'est $2$ qui multiplie\nl'abscisse, et $3$ qui s'ajoute ensuite."
}
],
"explanation": "Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il\nsuffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de\nl'autre droite pour obtenir l'ordonnée.",
"variants": [
{
"statement": "En quel point la droite d'équation $y = 2x + 3$ coupe-t-elle la\ndroite d'équation $x = 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,11)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse vaut $4$, et l'ordonnée s'obtient en\nremplaçant $x$ par $4$ : $2 \\times 4 + 3 = 11$."
},
{
"text": "$(11\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation\n$x = 4$, elle s'écrit donc en premier."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : il faut ajouter $3$ au produit\n$2 \\times 4$, en respectant son signe."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,14)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés dans le calcul : c'est $2$ qui multiplie\nl'abscisse, et $3$ qui s'ajoute ensuite."
}
],
"explanation": "Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il\nsuffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de\nl'autre droite pour obtenir l'ordonnée."
},
{
"statement": "En quel point la droite d'équation $y = -2x + 5$ coupe-t-elle la\ndroite d'équation $x = 2$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse vaut $2$, et l'ordonnée s'obtient en\nremplaçant $x$ par $2$ : $-2 \\times 2 + 5 = 1$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation\n$x = 2$, elle s'écrit donc en premier."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-9)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : il faut ajouter $5$ au produit\n$-2 \\times 2$, en respectant son signe."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés dans le calcul : c'est $-2$ qui multiplie\nl'abscisse, et $5$ qui s'ajoute ensuite."
}
],
"explanation": "Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il\nsuffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de\nl'autre droite pour obtenir l'ordonnée."
},
{
"statement": "En quel point la droite d'équation $y = 3x - 4$ coupe-t-elle la\ndroite d'équation $x = -1$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-1\\,;\\,-7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse vaut $-1$, et l'ordonnée s'obtient en\nremplaçant $x$ par $-1$ : $3 \\times -1 - 4 = -7$."
},
{
"text": "$(-7\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation\n$x = -1$, elle s'écrit donc en premier."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : il faut ajouter $-4$ au produit\n$3 \\times -1$, en respectant son signe."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés dans le calcul : c'est $3$ qui multiplie\nl'abscisse, et $-4$ qui s'ajoute ensuite."
}
],
"explanation": "Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il\nsuffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de\nl'autre droite pour obtenir l'ordonnée."
},
{
"statement": "En quel point la droite d'équation $y = -3x + 4$ coupe-t-elle la\ndroite d'équation $x = 2$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'abscisse vaut $2$, et l'ordonnée s'obtient en\nremplaçant $x$ par $2$ : $-3 \\times 2 + 4 = -2$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation\n$x = 2$, elle s'écrit donc en premier."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-10)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : il faut ajouter $4$ au produit\n$-3 \\times 2$, en respectant son signe."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés dans le calcul : c'est $-3$ qui multiplie\nl'abscisse, et $4$ qui s'ajoute ensuite."
}
],
"explanation": "Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il\nsuffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de\nl'autre droite pour obtenir l'ordonnée."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modelisation",
"equation-depuis-donnees"
],
"title": "Modéliser un solde qui diminue",
"partie": "determiner",
"statement": "On dépose $60$ euros sur une carte de cantine, puis $8$ euros en\nsont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$\naprès $x$ semaines ?",
"options": [
{
"text": "$y = -8x + 60$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le solde part de $60$ euros et perd $8$ euros\npar semaine, d'où un coefficient directeur de $-8$."
},
{
"text": "$y = 8x + 60$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite\ndescendante, donc à un coefficient directeur négatif."
},
{
"text": "$y = -60x + 8$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le\nretrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$."
},
{
"text": "$y = -8x - 60$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au\nsolde au bout de zéro semaine."
}
],
"explanation": "Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque\nétape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient\ndirecteur est la variation par étape, comptée avec son signe.",
"variants": [
{
"statement": "On dépose $60$ euros sur une carte de cantine, puis $8$ euros en\nsont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$\naprès $x$ semaines ?",
"options": [
{
"text": "$y = -8x + 60$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le solde part de $60$ euros et perd $8$ euros\npar semaine, d'où un coefficient directeur de $-8$."
},
{
"text": "$y = 8x + 60$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite\ndescendante, donc à un coefficient directeur négatif."
},
{
"text": "$y = -60x + 8$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le\nretrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$."
},
{
"text": "$y = -8x - 60$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au\nsolde au bout de zéro semaine."
}
],
"explanation": "Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque\nétape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient\ndirecteur est la variation par étape, comptée avec son signe."
},
{
"statement": "On dépose $45$ euros sur une carte de cantine, puis $5$ euros en\nsont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$\naprès $x$ semaines ?",
"options": [
{
"text": "$y = -5x + 45$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le solde part de $45$ euros et perd $5$ euros\npar semaine, d'où un coefficient directeur de $-5$."
},
{
"text": "$y = 5x + 45$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite\ndescendante, donc à un coefficient directeur négatif."
},
{
"text": "$y = -45x + 5$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le\nretrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$."
},
{
"text": "$y = -5x - 45$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au\nsolde au bout de zéro semaine."
}
],
"explanation": "Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque\nétape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient\ndirecteur est la variation par étape, comptée avec son signe."
},
{
"statement": "On dépose $80$ euros sur une carte de cantine, puis $12$ euros en\nsont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$\naprès $x$ semaines ?",
"options": [
{
"text": "$y = -12x + 80$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le solde part de $80$ euros et perd $12$ euros\npar semaine, d'où un coefficient directeur de $-12$."
},
{
"text": "$y = 12x + 80$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite\ndescendante, donc à un coefficient directeur négatif."
},
{
"text": "$y = -80x + 12$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le\nretrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$."
},
{
"text": "$y = -12x - 80$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au\nsolde au bout de zéro semaine."
}
],
"explanation": "Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque\nétape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient\ndirecteur est la variation par étape, comptée avec son signe."
},
{
"statement": "On dépose $45$ euros sur une carte de cantine, puis $9$ euros en\nsont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$\naprès $x$ semaines ?",
"options": [
{
"text": "$y = -9x + 45$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le solde part de $45$ euros et perd $9$ euros\npar semaine, d'où un coefficient directeur de $-9$."
},
{
"text": "$y = 9x + 45$",
"correct": false,
"feedback": "Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite\ndescendante, donc à un coefficient directeur négatif."
},
{
"text": "$y = -45x + 9$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le\nretrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$."
},
{
"text": "$y = -9x - 45$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au\nsolde au bout de zéro semaine."
}
],
"explanation": "Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque\nétape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient\ndirecteur est la variation par étape, comptée avec son signe."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"piege",
"droite-horizontale",
"pente"
],
"title": "Une horizontale a-t-elle une pente ?",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "La droite d'équation $y = 5$ admet-elle un coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "Oui, il vaut $0$ car elle est horizontale",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'équation s'écrit $y = 0 \\times x + 5$, donc la\npente est nulle et l'ordonnée à l'origine vaut $5$."
},
{
"text": "Non, une droite horizontale n'en possède pas",
"correct": false,
"feedback": "Confusion avec les verticales : ce sont elles qui n'ont pas de\ncoefficient directeur, faute de variation d'abscisse."
},
{
"text": "Oui, il vaut $5$, comme l'indique l'équation",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre $5$ est l'ordonnée à l'origine : la pente est le\ncoefficient de $x$, qui vaut ici $0$."
},
{
"text": "Non, car son équation ne contient pas de $x$",
"correct": false,
"feedback": "L'absence de $x$ signifie que son coefficient est nul, et un\ncoefficient nul reste un coefficient."
}
],
"explanation": "Une droite horizontale $y = c$ a pour coefficient directeur $0$ : elle\nne monte ni ne descend. Seules les droites verticales, d'équation\n$x = c$, sont privées de coefficient directeur."
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equation-depuis-donnees",
"vecteur-directeur"
],
"title": "Équation à partir d'un vecteur directeur",
"partie": "determiner",
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(2\\,;\\,1)$ et de vecteur directeur $\\vec{u}(3\\,;\\,6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{6}{3} = 2$, puis le\npoint $A$ donne $-3$ comme ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{2}x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la\nvariation horizontale, soit $\\dfrac{6}{3}$."
},
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $1$ est l'ordonnée de $A$, dont\nl'abscisse n'est pas nulle."
},
{
"text": "$y = 6x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux\ncoordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente\n$m = \\dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en\nreportant les coordonnées d'un point de la droite.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(2\\,;\\,1)$ et de vecteur directeur $\\vec{u}(3\\,;\\,6)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 2x - 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{6}{3} = 2$, puis le\npoint $A$ donne $-3$ comme ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{2}x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la\nvariation horizontale, soit $\\dfrac{6}{3}$."
},
{
"text": "$y = 2x + 1$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $1$ est l'ordonnée de $A$, dont\nl'abscisse n'est pas nulle."
},
{
"text": "$y = 6x - 3$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux\ncoordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente\n$m = \\dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en\nreportant les coordonnées d'un point de la droite."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(-1\\,;\\,4)$ et de vecteur directeur $\\vec{u}(2\\,;\\,-4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -2x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{-4}{2} = -2$, puis le\npoint $A$ donne $2$ comme ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$y = -\\dfrac{1}{2}x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la\nvariation horizontale, soit $\\dfrac{-4}{2}$."
},
{
"text": "$y = -2x + 4$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $4$ est l'ordonnée de $A$, dont\nl'abscisse n'est pas nulle."
},
{
"text": "$y = -4x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux\ncoordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente\n$m = \\dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en\nreportant les coordonnées d'un point de la droite."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(3\\,;\\,-2)$ et de vecteur directeur $\\vec{u}(2\\,;\\,8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = 4x - 14$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{8}{2} = 4$, puis le\npoint $A$ donne $-14$ comme ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$y = \\dfrac{1}{4}x - 14$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la\nvariation horizontale, soit $\\dfrac{8}{2}$."
},
{
"text": "$y = 4x - 2$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $-2$ est l'ordonnée de $A$, dont\nl'abscisse n'est pas nulle."
},
{
"text": "$y = 8x - 14$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux\ncoordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente\n$m = \\dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en\nreportant les coordonnées d'un point de la droite."
},
{
"statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(-4\\,;\\,7)$ et de vecteur directeur $\\vec{u}(2\\,;\\,-16)$ ?",
"options": [
{
"text": "$y = -8x - 25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{-16}{2} = -8$, puis le\npoint $A$ donne $-25$ comme ordonnée à l'origine."
},
{
"text": "$y = -\\dfrac{1}{8}x - 25$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la\nvariation horizontale, soit $\\dfrac{-16}{2}$."
},
{
"text": "$y = -8x + 7$",
"correct": false,
"feedback": "Ordonnée à l'origine bâclée : $7$ est l'ordonnée de $A$, dont\nl'abscisse n'est pas nulle."
},
{
"text": "$y = -16x - 25$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux\ncoordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente\n$m = \\dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en\nreportant les coordonnées d'un point de la droite."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations",
"pente"
],
"title": "Sens de variation sur une équation réordonnée",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 4 - 3x$. La fonction affine\nassociée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car sa pente vaut $-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme\n$y = -3x + 4$, la pente négative apparaît."
},
{
"text": "Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc\nla pente vaut $-3$."
},
{
"text": "Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $4$",
"correct": false,
"feedback": "L'ordonnée à l'origine est bien $4$, mais c'est la pente qui\ndécide du sens de variation."
},
{
"text": "Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, justification fausse : $-3$ est le coefficient\ndirecteur, l'ordonnée à l'origine vaut $4$."
}
],
"explanation": "Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme\n$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit\nalors le signe de $m$.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 4 - 3x$. La fonction affine\nassociée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car sa pente vaut $-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme\n$y = -3x + 4$, la pente négative apparaît."
},
{
"text": "Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc\nla pente vaut $-3$."
},
{
"text": "Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $4$",
"correct": false,
"feedback": "L'ordonnée à l'origine est bien $4$, mais c'est la pente qui\ndécide du sens de variation."
},
{
"text": "Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, justification fausse : $-3$ est le coefficient\ndirecteur, l'ordonnée à l'origine vaut $4$."
}
],
"explanation": "Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme\n$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit\nalors le signe de $m$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 2 - 5x$. La fonction affine\nassociée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car sa pente vaut $-5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme\n$y = -5x + 2$, la pente négative apparaît."
},
{
"text": "Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc\nla pente vaut $-5$."
},
{
"text": "Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $2$",
"correct": false,
"feedback": "L'ordonnée à l'origine est bien $2$, mais c'est la pente qui\ndécide du sens de variation."
},
{
"text": "Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, justification fausse : $-5$ est le coefficient\ndirecteur, l'ordonnée à l'origine vaut $2$."
}
],
"explanation": "Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme\n$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit\nalors le signe de $m$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 7 - 2x$. La fonction affine\nassociée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car sa pente vaut $-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme\n$y = -2x + 7$, la pente négative apparaît."
},
{
"text": "Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc\nla pente vaut $-2$."
},
{
"text": "Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $7$",
"correct": false,
"feedback": "L'ordonnée à l'origine est bien $7$, mais c'est la pente qui\ndécide du sens de variation."
},
{
"text": "Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-2$",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, justification fausse : $-2$ est le coefficient\ndirecteur, l'ordonnée à l'origine vaut $7$."
}
],
"explanation": "Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme\n$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit\nalors le signe de $m$."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour équation $y = 6 - 7x$. La fonction affine\nassociée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car sa pente vaut $-7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme\n$y = -7x + 6$, la pente négative apparaît."
},
{
"text": "Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $7$",
"correct": false,
"feedback": "Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc\nla pente vaut $-7$."
},
{
"text": "Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $6$",
"correct": false,
"feedback": "L'ordonnée à l'origine est bien $6$, mais c'est la pente qui\ndécide du sens de variation."
},
{
"text": "Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-7$",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, justification fausse : $-7$ est le coefficient\ndirecteur, l'ordonnée à l'origine vaut $6$."
}
],
"explanation": "Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme\n$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit\nalors le signe de $m$."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 1,
"skills": [
"lecture",
"ordonnee-origine"
],
"title": "Point de rencontre avec l'axe des ordonnées",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite\nd'équation $y = 2x + 5$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et\n$2 \\times 0 + 5 = 5$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,\npuisque son ordonnée est nulle."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient confondu avec la constante : $2$ est la pente, alors\nque l'ordonnée à l'origine vaut $5$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,\nl'abscisse vaut toujours $0$."
}
],
"explanation": "L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En\nremplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est\nl'ordonnée à l'origine.",
"variants": [
{
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite\nd'équation $y = 2x + 5$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et\n$2 \\times 0 + 5 = 5$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,\npuisque son ordonnée est nulle."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient confondu avec la constante : $2$ est la pente, alors\nque l'ordonnée à l'origine vaut $5$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,\nl'abscisse vaut toujours $0$."
}
],
"explanation": "L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En\nremplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est\nl'ordonnée à l'origine."
},
{
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite\nd'équation $y = -3x + 4$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et\n$-3 \\times 0 + 4 = 4$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,\npuisque son ordonnée est nulle."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient confondu avec la constante : $-3$ est la pente, alors\nque l'ordonnée à l'origine vaut $4$."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,\nl'abscisse vaut toujours $0$."
}
],
"explanation": "L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En\nremplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est\nl'ordonnée à l'origine."
},
{
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite\nd'équation $y = 4x - 1$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et\n$4 \\times 0 - 1 = -1$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,\npuisque son ordonnée est nulle."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient confondu avec la constante : $4$ est la pente, alors\nque l'ordonnée à l'origine vaut $-1$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,\nl'abscisse vaut toujours $0$."
}
],
"explanation": "L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En\nremplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est\nl'ordonnée à l'origine."
},
{
"statement": "Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite\nd'équation $y = 3x + 7$ avec l'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et\n$3 \\times 0 + 7 = 7$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,\npuisque son ordonnée est nulle."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient confondu avec la constante : $3$ est la pente, alors\nque l'ordonnée à l'origine vaut $7$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,\nl'abscisse vaut toujours $0$."
}
],
"explanation": "L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En\nremplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est\nl'ordonnée à l'origine."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 1,
"skills": [
"vecteur-directeur",
"pente"
],
"title": "Du vecteur directeur au coefficient directeur",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Une droite admet $\\vec{u}(2\\,;\\,6)$ comme vecteur directeur. Quel\nest son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{6}{2} = 3$, soit la\nvariation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse\nau dénominateur."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,\nsans changement de signe."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la\npremière coordonnée vaut $1$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ d'abscisse non nulle donne le\ncoefficient directeur $m = \\dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire\nconduit au même quotient.",
"variants": [
{
"statement": "Une droite admet $\\vec{u}(2\\,;\\,6)$ comme vecteur directeur. Quel\nest son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{6}{2} = 3$, soit la\nvariation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse\nau dénominateur."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,\nsans changement de signe."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la\npremière coordonnée vaut $1$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ d'abscisse non nulle donne le\ncoefficient directeur $m = \\dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire\nconduit au même quotient."
},
{
"statement": "Une droite admet $\\vec{u}(-3\\,;\\,6)$ comme vecteur directeur. Quel\nest son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{6}{-3} = -2$, soit la\nvariation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse\nau dénominateur."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,\nsans changement de signe."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la\npremière coordonnée vaut $1$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ d'abscisse non nulle donne le\ncoefficient directeur $m = \\dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire\nconduit au même quotient."
},
{
"statement": "Une droite admet $\\vec{u}(4\\,;\\,10)$ comme vecteur directeur. Quel\nest son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{10}{4} = \\dfrac{5}{2}$, soit la\nvariation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse\nau dénominateur."
},
{
"text": "$-\\dfrac{5}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,\nsans changement de signe."
},
{
"text": "$10$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la\npremière coordonnée vaut $1$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ d'abscisse non nulle donne le\ncoefficient directeur $m = \\dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire\nconduit au même quotient."
},
{
"statement": "Une droite admet $\\vec{u}(3\\,;\\,14)$ comme vecteur directeur. Quel\nest son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{14}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la pente vaut $\\dfrac{14}{3} = \\dfrac{14}{3}$, soit la\nvariation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse\nau dénominateur."
},
{
"text": "$-\\dfrac{14}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,\nsans changement de signe."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la\npremière coordonnée vaut $1$."
}
],
"explanation": "Un vecteur directeur $\\vec{u}(p\\,;\\,q)$ d'abscisse non nulle donne le\ncoefficient directeur $m = \\dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire\nconduit au même quotient."
}
]
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 1,
"skills": [
"modelisation",
"ordonnee-origine"
],
"title": "Lire une situation dans une équation",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Le prix d'une course de taxi, en euros, est donné par\n$y = 1{,}2x + 4$, où $x$ est le nombre de kilomètres parcourus.\nQue représente le nombre $4$ ?",
"options": [
{
"text": "La somme payée avant tout kilomètre",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $x = 0$, le prix vaut $4$ euros. C'est\nl'ordonnée à l'origine, ici la prise en charge."
},
{
"text": "Le prix de chacun des kilomètres parcourus",
"correct": false,
"feedback": "Ce prix est donné par le coefficient directeur $1{,}2$, qui mesure\nl'augmentation par kilomètre supplémentaire."
},
{
"text": "Le nombre de kilomètres de la course payée",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre de kilomètres est la variable $x$ : elle n'est pas fixée\npar l'équation, qui vaut pour toutes les courses."
},
{
"text": "La somme totale payée au bout de la course",
"correct": false,
"feedback": "Le montant total est $y$ : il dépend de la distance parcourue et\ndépasse $4$ euros dès le premier kilomètre."
}
],
"explanation": "Dans une situation modélisée par $y = mx + p$, le nombre $p$ est la\nvaleur prise pour $x = 0$, et le nombre $m$ mesure ce que change chaque\nunité supplémentaire."
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parallele-par-point",
"equation-cartesienne"
],
"title": "Parallèle en équation cartésienne",
"partie": "positions",
"statement": "Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle\nd'équation $2x - 3y + 1 = 0$ et passant par le point\n$A(3\\,;\\,-1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x - 3y - 9 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients\nde $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-9$."
},
{
"text": "$2x - 3y + 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient\n$9 + c = 0$, donc $c = -9$."
},
{
"text": "$-3x + 2y - 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les\ndeux droites ne sont plus parallèles."
},
{
"text": "$2x + 3y - 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est\nplus colinéaire à celui de la droite de départ."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on\nconserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme\nconstant change, déterminé par un point de la nouvelle droite.",
"variants": [
{
"statement": "Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle\nd'équation $2x - 3y + 1 = 0$ et passant par le point\n$A(3\\,;\\,-1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x - 3y - 9 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients\nde $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-9$."
},
{
"text": "$2x - 3y + 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient\n$9 + c = 0$, donc $c = -9$."
},
{
"text": "$-3x + 2y - 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les\ndeux droites ne sont plus parallèles."
},
{
"text": "$2x + 3y - 9 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est\nplus colinéaire à celui de la droite de départ."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on\nconserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme\nconstant change, déterminé par un point de la nouvelle droite."
},
{
"statement": "Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle\nd'équation $5x + 2y - 4 = 0$ et passant par le point\n$A(-1\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5x + 2y - 1 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients\nde $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-1$."
},
{
"text": "$5x + 2y + 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient\n$1 + c = 0$, donc $c = -1$."
},
{
"text": "$2x + 5y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les\ndeux droites ne sont plus parallèles."
},
{
"text": "$5x - 2y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est\nplus colinéaire à celui de la droite de départ."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on\nconserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme\nconstant change, déterminé par un point de la nouvelle droite."
},
{
"statement": "Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle\nd'équation $-3x + 4y + 2 = 0$ et passant par le point\n$A(2\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-3x + 4y - 6 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients\nde $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-6$."
},
{
"text": "$-3x + 4y + 6 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient\n$6 + c = 0$, donc $c = -6$."
},
{
"text": "$4x - 3y - 6 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les\ndeux droites ne sont plus parallèles."
},
{
"text": "$-3x - 4y - 6 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est\nplus colinéaire à celui de la droite de départ."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on\nconserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme\nconstant change, déterminé par un point de la nouvelle droite."
},
{
"statement": "Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle\nd'équation $-6x - 9y + 7 = 0$ et passant par le point\n$A(3\\,;\\,-5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-6x - 9y - 27 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients\nde $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-27$."
},
{
"text": "$-6x - 9y + 27 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient\n$27 + c = 0$, donc $c = -27$."
},
{
"text": "$-9x - 6y - 27 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les\ndeux droites ne sont plus parallèles."
},
{
"text": "$-6x + 9y - 27 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est\nplus colinéaire à celui de la droite de départ."
}
],
"explanation": "Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on\nconserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme\nconstant change, déterminé par un point de la nouvelle droite."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"systeme",
"parallelisme",
"equation-cartesienne"
],
"title": "Paramètre et droites parallèles",
"partie": "positions",
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations\n$mx - y + 2 = 0$ et $4x - 2y + 1 = 0$ sont-elles\nparallèles ?",
"options": [
{
"text": "$m = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = 2x + k$, et deux\ndroites parallèles ont le même coefficient directeur."
},
{
"text": "$m = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : en isolant $y$, le terme $4x$ change de signe avant\nla division par $-2$."
},
{
"text": "$m = \\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par\ncelui de $y$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après\ndivision par $-2$ et changement de signe."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont\négaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout\nl'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$.",
"variants": [
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations\n$mx - y + 2 = 0$ et $4x - 2y + 1 = 0$ sont-elles\nparallèles ?",
"options": [
{
"text": "$m = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = 2x + k$, et deux\ndroites parallèles ont le même coefficient directeur."
},
{
"text": "$m = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : en isolant $y$, le terme $4x$ change de signe avant\nla division par $-2$."
},
{
"text": "$m = \\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par\ncelui de $y$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après\ndivision par $-2$ et changement de signe."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont\négaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout\nl'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations\n$mx - y - 1 = 0$ et $-6x + 2y + 5 = 0$ sont-elles\nparallèles ?",
"options": [
{
"text": "$m = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = 3x + k$, et deux\ndroites parallèles ont le même coefficient directeur."
},
{
"text": "$m = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : en isolant $y$, le terme $-6x$ change de signe avant\nla division par $2$."
},
{
"text": "$m = \\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par\ncelui de $y$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$m = -6$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après\ndivision par $2$ et changement de signe."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont\négaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout\nl'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations\n$mx - y + 3 = 0$ et $8x + 2y - 2 = 0$ sont-elles\nparallèles ?",
"options": [
{
"text": "$m = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = -4x + k$, et deux\ndroites parallèles ont le même coefficient directeur."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : en isolant $y$, le terme $8x$ change de signe avant\nla division par $2$."
},
{
"text": "$m = -\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par\ncelui de $y$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$m = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après\ndivision par $2$ et changement de signe."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont\négaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout\nl'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$."
},
{
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations\n$mx - y + 3 = 0$ et $-20x + 4y + 2 = 0$ sont-elles\nparallèles ?",
"options": [
{
"text": "$m = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = 5x + k$, et deux\ndroites parallèles ont le même coefficient directeur."
},
{
"text": "$m = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : en isolant $y$, le terme $-20x$ change de signe avant\nla division par $4$."
},
{
"text": "$m = \\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par\ncelui de $y$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$m = -20$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après\ndivision par $4$ et changement de signe."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont\négaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout\nl'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$."
}
]
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"equation-cartesienne",
"tracer"
],
"title": "Reconnaître la droite d'une équation cartésienne",
"partie": "equation-cartesienne",
"statement": "Laquelle des quatre droites tracées ci-dessous a pour équation\ncartésienne $2x - y + 1 = 0$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.5,-3.5) grid (3.5,4.5);\n \\draw[->] (-3.7,0) -- (3.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\begin{scope}\n \\clip (-3.5,-3.5) rectangle (3.5,4.5);\n \\draw[very thick,blue] plot[domain=-3.5:3.5] (\\x,{2*\\x+1});\n \\draw[very thick,red,dashed] plot[domain=-3.5:3.5] (\\x,{-2*\\x+1});\n \\draw[very thick,teal,dotted] plot[domain=-3.5:3.5] (\\x,{0.5*\\x+1});\n \\draw[very thick,orange,dash dot] plot[domain=-3.5:3.5] (\\x,{2*\\x-1});\n \\end{scope}\n \\node[blue,font=\\small,fill=white,inner sep=1pt] at (1.25,4.1) {$d_1$};\n \\node[red,font=\\small,fill=white,inner sep=1pt] at (-1.25,4.1) {$d_2$};\n \\node[teal,font=\\small,fill=white,inner sep=1pt] at (3.1,2.9) {$d_3$};\n \\node[orange,font=\\small,fill=white,inner sep=1pt] at (2.75,3.7) {$d_4$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec quatre droites. d1 (bleue, trait plein)\npasse par (0 ; 1) et (1 ; 3). d2 (rouge, tirets) passe par\n(0 ; 1) et (1 ; -1). d3 (verte, pointillés) passe par (0 ; 1)\net (2 ; 2). d4 (orange, tirets et points) passe par (0 ; -1)\net (1 ; 1).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La droite $d_1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2x - y + 1 = 0$ équivaut à $y = 2x + 1$ :\nordonnée à l'origine $1$, pente $2$. La droite $d_1$ passe\npar $(0\\,;\\,1)$ et $(1\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "La droite $d_2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $d_2$ a pour équation $y = -2x + 1$. En\nisolant $y$ dans $2x - y + 1 = 0$, on obtient $y = 2x + 1$,\nde pente positive."
},
{
"text": "La droite $d_3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de pente : $d_3$ monte de $1$ quand $x$ augmente de\n$2$, sa pente vaut $\\dfrac{1}{2}$, pas $2$."
},
{
"text": "La droite $d_4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'ordonnée à l'origine : $d_4$ coupe l'axe des\nordonnées en $-1$. Pour $x = 0$, l'équation donne\n$-y + 1 = 0$, soit $y = 1$."
}
],
"explanation": "Pour tracer une droite d'équation cartésienne, on isole $y$\n(ici $y = 2x + 1$) ou on cherche deux points : $x = 0$ donne\n$(0\\,;\\,1)$, $x = 1$ donne $(1\\,;\\,3)$."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"vecteur-directeur"
],
"title": "Lire un vecteur directeur sur une figure",
"partie": "determiner",
"statement": "La droite $d$ tracée ci-dessous passe par les points $A$ et $B$.\nLequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de $d$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.5,-1.5) grid (3.5,4.5);\n \\draw[->] (-3.7,0) -- (3.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.7) -- (0,4.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-3.5:3.5,very thick,blue] plot (\\x,{-0.5*\\x+2});\n \\fill[blue] (-2,3) circle (0.09) node[above right] {$A$};\n \\fill[blue] (2,1) circle (0.09) node[above right] {$B$};\n \\node[blue,font=\\small] at (3.2,0.7) {$d$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par\nle point A de coordonnées (-2 ; 3) et le point B de\ncoordonnées (2 ; 1).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(2 - (-2)\\,;\\,1 - 3) = (4\\,;\\,-2)$, et\n$\\vec{u} = \\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$ lui est colinéaire."
},
{
"text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : abscisse et ordonnée sont échangées. En allant de\n$A$ à $B$, on avance de $4$ en abscisse et on descend de $2$\nen ordonnée, d'où $(4\\,;\\,-2)$ ou $(2\\,;\\,-1)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, donc\nl'ordonnée d'un vecteur directeur d'abscisse positive est\nnégative."
},
{
"text": "$\\vec{u}(-1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le déterminant de $(-1\\,;\\,-2)$ et de $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,-2)$ vaut $(-1)(-2) - (-2)(4) = 10 \\neq 0$ : ces\nvecteurs ne sont pas colinéaires."
}
],
"explanation": "Tout vecteur $\\overrightarrow{AB}$ formé de deux points de la\ndroite la dirige, ainsi que tout vecteur colinéaire à\n$\\overrightarrow{AB}$ : ici $(4\\,;\\,-2)$, $(2\\,;\\,-1)$,\n$(-2\\,;\\,1)$…"
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"pente"
],
"title": "Lire une pente négative sur une figure",
"partie": "equation-reduite",
"statement": "Quelle est la pente de la droite $d$ tracée ci-dessous ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1.5,-1.5) grid (5.5,3.5);\n \\draw[->] (-1.7,0) -- (5.8,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.7) -- (0,3.8) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.5:5.5,very thick,blue] plot (\\x,{-0.5*\\x+2});\n \\fill[blue] (0,2) circle (0.09);\n \\fill[blue] (4,0) circle (0.09);\n \\node[blue,font=\\small] at (5.2,-0.95) {$d$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par\nles points (0 ; 2) et (4 ; 0), marqués en bleu.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre $(0\\,;\\,2)$ et $(4\\,;\\,0)$, l'ordonnée\nbaisse de $2$ quand l'abscisse augmente de $4$ :\n$m = \\dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le quotient inversé, $\\dfrac{4}{-2}$. La pente\nest la variation de $y$ divisée par la variation de $x$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, sa\npente est négative."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ est l'ordonnée à l'origine, là où la droite\ncoupe l'axe des ordonnées, pas sa pente."
}
],
"explanation": "Pente $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ entre deux points de la\ndroite. Ici $d$ a pour équation réduite\n$y = -\\dfrac{1}{2}x + 2$."
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 3,
"skills": [
"determinant",
"equation-cartesienne",
"demonstration"
],
"title": "Une équation de droite par le déterminant",
"partie": "determiner",
"statement": "Soit $A(1\\,;\\,2)$ et $\\vec{u}(3\\,;\\,1)$. Un point $M(x\\,;\\,y)$ appartient à la droite\npassant par $A$ et dirigée par $\\vec{u}$ si et seulement si\n$\\det(\\overrightarrow{AM}, \\vec{u}) = 0$. Quelle équation\nobtient-on ?",
"options": [
{
"text": "$x - 3y + 5 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AM}(x - 1\\,;\\,y - 2)$, donc\n$\\det(\\overrightarrow{AM}, \\vec{u}) = (x - 1) \\times 1 -\n(y - 2) \\times 3 = x - 3y + 5$."
},
{
"text": "$3x - y - 1 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de produit en croix : on a calculé\n$(x - 1) \\times 3 - (y - 2) \\times 1$. Cette droite passe\nbien par $A$, mais elle est dirigée par\n$(1\\,;\\,3)$, pas par $\\vec{u}$."
},
{
"text": "$x - 3y - 7 = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe en développant $-3(y - 2)$, qui vaut\n$-3y + 6$. Contrôle : $A$ ne vérifie pas cette équation,\ncar $1 - 6 - 7 \\neq 0$."
},
{
"text": "$x - 3y = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a calculé $\\det(\\overrightarrow{OM}, \\vec{u})$ au\nlieu de $\\det(\\overrightarrow{AM}, \\vec{u})$. Cette droite\npasse par l'origine, pas par $A$."
}
],
"explanation": "$M$ est sur la droite si et seulement si $\\overrightarrow{AM}$\net $\\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire de déterminant nul.\nEn développant, on obtient toujours une équation de la forme\n$ax + by + c = 0$ : c'est la démonstration de la forme générale\nd'une équation cartésienne."
},
{
"id": "q50",
"difficulty": 2,
"skills": [
"systeme",
"resolution"
],
"title": "Résoudre un système",
"partie": "positions",
"statement": "Résoudre le système formé des deux équations $x + y = 7$ et $x - y = 1$.",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce couple vérifie la première équation, mais $3 - 4 = -1$ et non $1$ :\nles valeurs de $x$ et de $y$ ont été échangées.\n"
},
{
"text": "$(6\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :\n$6 - 1 = 5$.\n"
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :\n$8 - (-1) = 9$.\n"
},
{
"text": "$(4\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en additionnant les deux équations, $2x = 8$, donc\n$x = 4$, puis $y = 7 - 4 = 3$.\n"
}
],
"explanation": "La solution d'un système doit vérifier les deux équations à la fois. On\npeut additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue,\npuis vérifier."
},
{
"id": "q51",
"difficulty": 2,
"skills": [
"systeme",
"droites-paralleles"
],
"title": "Un système sans solution",
"partie": "positions",
"statement": "Combien le système formé des deux équations $2x + 3y = 5$ et\n$4x + 6y = 1$ a-t-il de solutions ?",
"options": [
{
"text": "Une seule.",
"correct": false,
"feedback": "Les deux équations ont des coefficients proportionnels\n($4 = 2 \\times 2$, $6 = 2 \\times 3$), mais pas les seconds membres : les\ndroites sont parallèles et distinctes.\n"
},
{
"text": "Aucune.",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en multipliant la première équation par $2$, on obtient\n$4x + 6y = 10$, incompatible avec $4x + 6y = 1$. Les deux droites sont\nparallèles et distinctes.\n"
},
{
"text": "Une infinité.",
"correct": false,
"feedback": "Il y aurait une infinité de solutions si la seconde équation était\n$4x + 6y = 10$ : les deux droites seraient confondues.\n"
},
{
"text": "Deux.",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites distinctes ont au plus un point commun : un tel système a\nzéro, une ou une infinité de solutions.\n"
}
],
"explanation": "Chaque équation du système est celle d'une droite. Si les coefficients\nde $x$ et de $y$ sont proportionnels, les droites sont parallèles :\naucune solution si elles sont distinctes, une infinité si elles sont\nconfondues."
},
{
"id": "q52",
"difficulty": 2,
"skills": [
"systeme",
"modeliser"
],
"title": "Mettre en système",
"partie": "positions",
"statement": "Trois cahiers et deux stylos coûtent $9{,}50$ € ; un cahier et deux\nstylos coûtent $4{,}50$ €. Quel est le prix d'un cahier ?",
"options": [
{
"text": "$2{,}50$ €",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en soustrayant les deux égalités, deux cahiers coûtent\n$9{,}50 - 4{,}50 = 5$ €, donc un cahier coûte $2{,}50$ €. Un stylo coûte\nalors $1$ €.\n"
},
{
"text": "$1$ €",
"correct": false,
"feedback": "C'est le prix d'un stylo. Un cahier coûte $2{,}50$ €.\n"
},
{
"text": "$3{,}17$ € environ",
"correct": false,
"feedback": "Le calcul $9{,}50 \\div 3$ oublie les deux stylos. On soustrait les deux\négalités pour les éliminer.\n"
},
{
"text": "$2$ €",
"correct": false,
"feedback": "Avec un cahier à $2$ €, deux stylos coûteraient $2{,}50$ € dans la\nseconde égalité, puis la première donnerait $8{,}50$ € et non $9{,}50$\n€.\n"
}
],
"explanation": "On note $c$ et $s$ les deux prix : $3c + 2s = 9{,}5$ et\n$c + 2s = 4{,}5$. La soustraction élimine $s$ : $2c = 5$."
}
]
}