{
  "chapter": {
    "id": "ensembles-logique",
    "level": "seconde",
    "theme": "Vocabulaire ensembliste et logique",
    "title": "Ensembles et logique",
    "description": "Élément, sous-ensemble, ensemble vide, réunion, intersection,\ncomplémentaire, cardinal, couple et produit cartésien. Propositions,\nconnecteurs « et », « ou », négation, contre-exemple. Implication,\nréciproque, contraposée, équivalence. Quantification, disjonction\ndes cas, raisonnement par l'absurde.",
    "parties": [
      {
        "id": "ensembles",
        "title": "Ensembles, réunion et intersection"
      },
      {
        "id": "propositions",
        "title": "Propositions, connecteurs et négation"
      },
      {
        "id": "implications",
        "title": "Implication, réciproque et contraposée"
      },
      {
        "id": "raisonnements",
        "title": "Quantification et raisonnements"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "appartenance",
        "inclusion"
      ],
      "title": "Appartenance ou inclusion",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On note $A = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\}$. Laquelle de ces écritures est\ncorrecte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{2\\} \\subset A$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\{2\\}$ est un ensemble dont le seul élément,\n$2$, appartient à $A$ : c'est un sous-ensemble de $A$."
        },
        {
          "text": "$2 \\subset A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est un nombre, pas un ensemble. On écrit\n$2 \\in A$ (« appartient ») ; le symbole $\\subset$ relie deux\nensembles."
        },
        {
          "text": "$\\{2\\} \\in A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les éléments de $A$ sont les nombres $1$, $2$ et\n$3$ ; l'ensemble $\\{2\\}$ n'en fait pas partie, il est inclus\ndans $A$."
        },
        {
          "text": "$A \\in \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ est égal à $\\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\}$, il n'en est pas\nun élément. On écrirait $A = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\}$ ou\n$A \\subset A$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\in$ relie un élément à un ensemble ($2 \\in A$) ; $\\subset$\nrelie deux ensembles ($\\{2\\} \\subset A$)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intersection"
      ],
      "title": "Intersection de deux ensembles",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On note $A = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\,;\\,4\\,;\\,6\\}$ et\n$B = \\{2\\,;\\,4\\,;\\,5\\,;\\,8\\}$. Quel est l'ensemble $A \\cap B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{2\\,;\\,4\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A \\cap B$ contient les éléments qui sont à\nla fois dans $A$ et dans $B$ : seuls $2$ et $4$ conviennent."
        },
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\,;\\,4\\,;\\,5\\,;\\,6\\,;\\,8\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la réunion $A \\cup B$, qui rassemble les\néléments de l'un **ou** de l'autre."
        },
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,3\\,;\\,6\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont les éléments de $A$ qui ne sont pas dans\n$B$. L'intersection garde au contraire les éléments communs."
        },
        {
          "text": "$\\{5\\,;\\,8\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ et $8$ sont dans $B$ mais pas dans $A$ ; ils ne\npeuvent pas appartenir à $A \\cap B$."
        }
      ],
      "explanation": "$x \\in A \\cap B$ signifie $x \\in A$ **et** $x \\in B$ ;\n$x \\in A \\cup B$ signifie $x \\in A$ **ou** $x \\in B$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reunion",
        "traduction"
      ],
      "title": "Traduire « ou » par une réunion",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Dans un lycée, $L$ désigne l'ensemble des élèves qui étudient le\nlatin et $E$ l'ensemble de ceux qui étudient l'espagnol. Quel\nensemble décrit les élèves qui étudient le latin ou l'espagnol ?",
      "options": [
        {
          "text": "$L \\cup E$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réunion contient les élèves d'au moins un\ndes deux ensembles, y compris ceux qui suivent les deux\nlangues."
        },
        {
          "text": "$L \\cap E$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intersection ne contient que les élèves qui\nétudient les deux langues à la fois ; c'est le « et »."
        },
        {
          "text": "$\\overline{L} \\cap \\overline{E}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet ensemble regroupe les élèves qui n'étudient ni\nle latin ni l'espagnol, le contraire de ce qui est demandé."
        },
        {
          "text": "$L \\cap \\overline{E}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : ce sont les latinistes qui n'étudient pas\nl'espagnol. Les hispanisants et les élèves des deux langues\nmanquent."
        }
      ],
      "explanation": "En mathématiques, « ou » est inclusif : un élève qui étudie les\ndeux langues appartient à $L \\cup E$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Complémentaire d'un ensemble",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On note $E = \\{1\\,;\\,2\\,;\\,3\\,;\\,4\\,;\\,5\\,;\\,6\\,;\\,7\\,;\\,8\\}$ et $A$\nl'ensemble des nombres pairs de $E$. Quel est le complémentaire\n$\\overline{A}$ de $A$ dans $E$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{1\\,;\\,3\\,;\\,5\\,;\\,7\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overline{A}$ rassemble les éléments de $E$\nqui ne sont pas dans $A$, c'est-à-dire les nombres impairs\nde $E$."
        },
        {
          "text": "$\\{2\\,;\\,4\\,;\\,6\\,;\\,8\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'ensemble $A$ lui-même. Le complémentaire\ncontient ce qui reste de $E$ une fois $A$ retiré."
        },
        {
          "text": "$\\{0\\,;\\,1\\,;\\,3\\,;\\,5\\,;\\,7\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le complémentaire se prend **dans $E$**, et $0$\nn'appartient pas à $E$."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ensemble vide serait le complémentaire de $E$\ntout entier ; ici les impairs de $E$ restent."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overline{A} = E \\setminus A$ : les éléments de l'ensemble de\nréférence $E$ qui n'appartiennent pas à $A$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cardinal",
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Cardinal d'un ensemble de diviseurs",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $12$. Que vaut\n$\\mathrm{Card}(D)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$, qui compte $6$ éléments."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\mathrm{Card}(D)$ est le **nombre d'éléments**\nde $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici\n$D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : $1$ et $12$ divisent tous deux $12$. La liste\ncomplète est $\\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de $1$ et de $12$ eux-mêmes, qui sont aussi des\ndiviseurs : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
        }
      ],
      "explanation": "Le cardinal $\\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son\nnombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires\n($1$ et $12$, …) pour n'en oublier aucun.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $12$. Que vaut\n$\\mathrm{Card}(D)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$, qui compte $6$ éléments."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\mathrm{Card}(D)$ est le **nombre d'éléments**\nde $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici\n$D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $1$ et $12$ divisent tous deux $12$. La liste\ncomplète est $\\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de $1$ et de $12$ eux-mêmes, qui sont aussi des\ndiviseurs : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\\}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cardinal $\\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son\nnombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires\n($1$ et $12$, …) pour n'en oublier aucun."
        },
        {
          "statement": "On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $16$. Que vaut\n$\\mathrm{Card}(D)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $D = \\{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\\}$, qui compte $5$ éléments."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\mathrm{Card}(D)$ est le **nombre d'éléments**\nde $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici\n$D = \\{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\\}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $1$ et $16$ divisent tous deux $16$. La liste\ncomplète est $\\{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\\}$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de $1$ et de $16$ eux-mêmes, qui sont aussi des\ndiviseurs : $D = \\{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\\}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cardinal $\\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son\nnombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires\n($1$ et $16$, …) pour n'en oublier aucun."
        },
        {
          "statement": "On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $30$. Que vaut\n$\\mathrm{Card}(D)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30\\}$, qui compte $8$ éléments."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\mathrm{Card}(D)$ est le **nombre d'éléments**\nde $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici\n$D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30\\}$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $1$ et $30$ divisent tous deux $30$. La liste\ncomplète est $\\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30\\}$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de $1$ et de $30$ eux-mêmes, qui sont aussi des\ndiviseurs : $D = \\{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30\\}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cardinal $\\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son\nnombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires\n($1$ et $30$, …) pour n'en oublier aucun."
        },
        {
          "statement": "On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $9$. Que vaut\n$\\mathrm{Card}(D)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $D = \\{1 ; 3 ; 9\\}$, qui compte $3$ éléments."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\mathrm{Card}(D)$ est le **nombre d'éléments**\nde $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici\n$D = \\{1 ; 3 ; 9\\}$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli : $1$ et $9$ divisent tous deux $9$. La liste\ncomplète est $\\{1 ; 3 ; 9\\}$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de $1$ et de $9$ eux-mêmes, qui sont aussi des\ndiviseurs : $D = \\{1 ; 3 ; 9\\}$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cardinal $\\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son\nnombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires\n($1$ et $9$, …) pour n'en oublier aucun."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ensemble-vide",
        "intersection"
      ],
      "title": "Une intersection vide",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Que signifie l'égalité $A \\cap B = \\varnothing$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ et $B$ n'ont aucun élément commun",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucun élément n'appartient à la fois à $A$ et\nà $B$. Exemple : $\\{1\\,;\\,2\\} \\cap \\{3\\} = \\varnothing$."
        },
        {
          "text": "$A$ et $B$ sont tous deux vides",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $\\{1\\,;\\,2\\}$ et $\\{3\\}$ ne sont pas vides, et\npourtant leur intersection l'est."
        },
        {
          "text": "Tous les éléments de $A$ sont aussi dans $B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $A$ non vide était inclus dans $B$, tous ses\néléments seraient communs aux deux ensembles, et\n$A \\cap B = A$."
        },
        {
          "text": "$A$ et $B$ ont les mêmes éléments",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux ensembles égaux et non vides ont tous leurs\néléments en commun ; leur intersection est $A$ tout entier."
        }
      ],
      "explanation": "Deux ensembles d'intersection vide sont dits disjoints : en\nprobabilités, deux événements disjoints sont incompatibles."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-cartesien",
        "cardinal"
      ],
      "title": "Nombre de couples d'un produit cartésien",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Un ensemble $A$ compte $2$ éléments et un ensemble $B$ en compte\n$3$. Combien d'éléments compte le produit cartésien\n$A \\times B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un couple $(a\\,;\\,b)$ associe l'un des $2$\néléments de $A$ à l'un des $3$ éléments de $B$, d'où\n$2 \\times 3 = 6$ couples."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 3$ compterait les éléments de $A$ puis ceux\nde $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à **chacun** des\n$3$ éléments de $B$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^{2}$ multiplie $3$ par lui-même ; un couple\nne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit\n$2 \\times 3$ possibilités."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{3}$ n'a pas de rapport avec le nombre de\ncouples. On fait un tableau à $2$ lignes et $3$ colonnes :\n$6$ cases."
        }
      ],
      "explanation": "$A \\times B$ est l'ensemble des couples $(a\\,;\\,b)$ avec\n$a \\in A$ et $b \\in B$. Un tableau à double entrée en dresse la\nliste : $\\mathrm{Card}(A \\times B) = \\mathrm{Card}(A) \\times\n\\mathrm{Card}(B)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un ensemble $A$ compte $2$ éléments et un ensemble $B$ en compte\n$3$. Combien d'éléments compte le produit cartésien\n$A \\times B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un couple $(a\\,;\\,b)$ associe l'un des $2$\néléments de $A$ à l'un des $3$ éléments de $B$, d'où\n$2 \\times 3 = 6$ couples."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 + 3$ compterait les éléments de $A$ puis ceux\nde $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à **chacun** des\n$3$ éléments de $B$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^{2}$ multiplie $3$ par lui-même ; un couple\nne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit\n$2 \\times 3$ possibilités."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{3}$ n'a pas de rapport avec le nombre de\ncouples. On fait un tableau à $2$ lignes et $3$ colonnes :\n$6$ cases."
            }
          ],
          "explanation": "$A \\times B$ est l'ensemble des couples $(a\\,;\\,b)$ avec\n$a \\in A$ et $b \\in B$. Un tableau à double entrée en dresse la\nliste : $\\mathrm{Card}(A \\times B) = \\mathrm{Card}(A) \\times\n\\mathrm{Card}(B)$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble $A$ compte $3$ éléments et un ensemble $B$ en compte\n$4$. Combien d'éléments compte le produit cartésien\n$A \\times B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un couple $(a\\,;\\,b)$ associe l'un des $3$\néléments de $A$ à l'un des $4$ éléments de $B$, d'où\n$3 \\times 4 = 12$ couples."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 + 4$ compterait les éléments de $A$ puis ceux\nde $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à **chacun** des\n$4$ éléments de $B$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4^{3}$ multiplie $4$ par lui-même ; un couple\nne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit\n$3 \\times 4$ possibilités."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^{4}$ n'a pas de rapport avec le nombre de\ncouples. On fait un tableau à $3$ lignes et $4$ colonnes :\n$12$ cases."
            }
          ],
          "explanation": "$A \\times B$ est l'ensemble des couples $(a\\,;\\,b)$ avec\n$a \\in A$ et $b \\in B$. Un tableau à double entrée en dresse la\nliste : $\\mathrm{Card}(A \\times B) = \\mathrm{Card}(A) \\times\n\\mathrm{Card}(B)$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble $A$ compte $2$ éléments et un ensemble $B$ en compte\n$5$. Combien d'éléments compte le produit cartésien\n$A \\times B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un couple $(a\\,;\\,b)$ associe l'un des $2$\néléments de $A$ à l'un des $5$ éléments de $B$, d'où\n$2 \\times 5 = 10$ couples."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 + 5$ compterait les éléments de $A$ puis ceux\nde $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à **chacun** des\n$5$ éléments de $B$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^{2}$ multiplie $5$ par lui-même ; un couple\nne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit\n$2 \\times 5$ possibilités."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{5}$ n'a pas de rapport avec le nombre de\ncouples. On fait un tableau à $2$ lignes et $5$ colonnes :\n$10$ cases."
            }
          ],
          "explanation": "$A \\times B$ est l'ensemble des couples $(a\\,;\\,b)$ avec\n$a \\in A$ et $b \\in B$. Un tableau à double entrée en dresse la\nliste : $\\mathrm{Card}(A \\times B) = \\mathrm{Card}(A) \\times\n\\mathrm{Card}(B)$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble $A$ compte $4$ éléments et un ensemble $B$ en compte\n$5$. Combien d'éléments compte le produit cartésien\n$A \\times B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un couple $(a\\,;\\,b)$ associe l'un des $4$\néléments de $A$ à l'un des $5$ éléments de $B$, d'où\n$4 \\times 5 = 20$ couples."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4 + 5$ compterait les éléments de $A$ puis ceux\nde $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à **chacun** des\n$5$ éléments de $B$."
            },
            {
              "text": "$625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^{4}$ multiplie $5$ par lui-même ; un couple\nne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit\n$4 \\times 5$ possibilités."
            },
            {
              "text": "$1024$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4^{5}$ n'a pas de rapport avec le nombre de\ncouples. On fait un tableau à $4$ lignes et $5$ colonnes :\n$20$ cases."
            }
          ],
          "explanation": "$A \\times B$ est l'ensemble des couples $(a\\,;\\,b)$ avec\n$a \\in A$ et $b \\in B$. Un tableau à double entrée en dresse la\nliste : $\\mathrm{Card}(A \\times B) = \\mathrm{Card}(A) \\times\n\\mathrm{Card}(B)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "couple",
        "produit-cartesien"
      ],
      "title": "L'ordre dans un couple",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Combien d'éléments compte l'ensemble\n$\\{1\\,;\\,2\\} \\times \\{1\\,;\\,2\\}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(1\\,;\\,1)$, $(1\\,;\\,2)$, $(2\\,;\\,1)$ et\n$(2\\,;\\,2)$. Les couples $(1\\,;\\,2)$ et $(2\\,;\\,1)$ sont\ndistincts, car l'ordre compte."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2)$ et $(2\\,;\\,1)$ ont été confondus. Dans un\ncouple, l'ordre compte : le point $(1\\,;\\,2)$ n'est pas le\npoint $(2\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les couples $(1\\,;\\,1)$ et $(2\\,;\\,2)$ ne sont pas\nles seuls ; un couple peut aussi associer deux éléments\ndifférents."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit cartésien n'est pas l'ensemble\n$\\{1\\,;\\,2\\}$ ; ses éléments sont des couples, au nombre de\n$2 \\times 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Un couple $(a\\,;\\,b)$ est ordonné : $(a\\,;\\,b) = (c\\,;\\,d)$ si et\nseulement si $a = c$ et $b = d$. Les coordonnées d'un point du\nplan forment un couple."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire",
        "intersection",
        "reunion"
      ],
      "title": "Un ensemble et son complémentaire",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "$A$ est une partie d'un ensemble $E$, et $\\overline{A}$ son\ncomplémentaire dans $E$. Que vaut $A \\cap \\overline{A}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un élément ne peut pas à la fois appartenir\nà $A$ et ne pas lui appartenir."
        },
        {
          "text": "$E$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la réunion $A \\cup \\overline{A}$ qui vaut\n$E$, chaque élément de $E$ étant dans $A$ ou hors de $A$."
        },
        {
          "text": "$A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A \\cap \\overline{A}$ est inclus dans\n$\\overline{A}$, qui ne contient aucun élément de $A$."
        },
        {
          "text": "$\\overline{A}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A \\cap \\overline{A}$ est inclus dans $A$, qui ne\ncontient aucun élément de $\\overline{A}$."
        }
      ],
      "explanation": "$A \\cap \\overline{A} = \\varnothing$ et $A \\cup \\overline{A} = E$ :\n$A$ et son complémentaire partagent $E$ en deux parties\ndisjointes."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "couple",
        "equation"
      ],
      "title": "Un couple solution d'une équation",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Lequel de ces couples $(x\\,;\\,y)$ est solution de l'équation\n$x + 2y = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(2\\,;\\,1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 2 + 2 \\times 1 = 4$."
        },
        {
          "text": "$(1\\,;\\,2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : avec $x = 1$ et $y = 2$, on obtient\n$1 \\times 1 + 2 \\times 2 = 5 \\neq 4$. Dans un\ncouple, la première coordonnée est $x$."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 \\times 3 + 2 \\times 1 = 5 \\neq 4$."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 \\times 2 + 2 \\times 2 = 6 \\neq 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Un couple $(x_0\\,;\\,y_0)$ est solution d'une équation à deux\ninconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;\nl'ordre des coordonnées compte.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lequel de ces couples $(x\\,;\\,y)$ est solution de l'équation\n$x + 2y = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(2\\,;\\,1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 2 + 2 \\times 1 = 4$."
            },
            {
              "text": "$(1\\,;\\,2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : avec $x = 1$ et $y = 2$, on obtient\n$1 \\times 1 + 2 \\times 2 = 5 \\neq 4$. Dans un\ncouple, la première coordonnée est $x$."
            },
            {
              "text": "$(3\\,;\\,1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 \\times 3 + 2 \\times 1 = 5 \\neq 4$."
            },
            {
              "text": "$(2\\,;\\,2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 \\times 2 + 2 \\times 2 = 6 \\neq 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple $(x_0\\,;\\,y_0)$ est solution d'une équation à deux\ninconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;\nl'ordre des coordonnées compte."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces couples $(x\\,;\\,y)$ est solution de l'équation\n$3x + y = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(1\\,;\\,4)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 1 + 1 \\times 4 = 7$."
            },
            {
              "text": "$(4\\,;\\,1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : avec $x = 4$ et $y = 1$, on obtient\n$3 \\times 4 + 1 \\times 1 = 13 \\neq 7$. Dans un\ncouple, la première coordonnée est $x$."
            },
            {
              "text": "$(2\\,;\\,4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 \\times 2 + 1 \\times 4 = 10 \\neq 7$."
            },
            {
              "text": "$(1\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 \\times 1 + 1 \\times 5 = 8 \\neq 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple $(x_0\\,;\\,y_0)$ est solution d'une équation à deux\ninconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;\nl'ordre des coordonnées compte."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces couples $(x\\,;\\,y)$ est solution de l'équation\n$2x + 3y = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(3\\,;\\,2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 3 + 3 \\times 2 = 12$."
            },
            {
              "text": "$(2\\,;\\,3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : avec $x = 2$ et $y = 3$, on obtient\n$2 \\times 2 + 3 \\times 3 = 13 \\neq 12$. Dans un\ncouple, la première coordonnée est $x$."
            },
            {
              "text": "$(4\\,;\\,2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 \\times 4 + 3 \\times 2 = 14 \\neq 12$."
            },
            {
              "text": "$(3\\,;\\,3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 \\times 3 + 3 \\times 3 = 15 \\neq 12$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple $(x_0\\,;\\,y_0)$ est solution d'une équation à deux\ninconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;\nl'ordre des coordonnées compte."
        },
        {
          "statement": "Lequel de ces couples $(x\\,;\\,y)$ est solution de l'équation\n$x + 4y = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(5\\,;\\,1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 5 + 4 \\times 1 = 9$."
            },
            {
              "text": "$(1\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre inversé : avec $x = 1$ et $y = 5$, on obtient\n$1 \\times 1 + 4 \\times 5 = 21 \\neq 9$. Dans un\ncouple, la première coordonnée est $x$."
            },
            {
              "text": "$(6\\,;\\,1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 \\times 6 + 4 \\times 1 = 10 \\neq 9$."
            },
            {
              "text": "$(5\\,;\\,2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 \\times 5 + 4 \\times 2 = 13 \\neq 9$."
            }
          ],
          "explanation": "Un couple $(x_0\\,;\\,y_0)$ est solution d'une équation à deux\ninconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;\nl'ordre des coordonnées compte."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proposition"
      ],
      "title": "Reconnaître une proposition",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Une proposition mathématique est un énoncé qui est soit vrai,\nsoit faux. Lequel de ces énoncés est une proposition ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$ est un nombre premier",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cet énoncé affirme quelque chose, et on peut\ndécider qu'il est vrai."
        },
        {
          "text": "L'expression $3x + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une expression désigne un nombre ; elle n'affirme\nrien, elle n'est ni vraie ni fausse."
        },
        {
          "text": "Calculer $3 \\times 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une consigne. Une consigne s'exécute, elle ne\npeut pas être vraie ou fausse."
        },
        {
          "text": "Le nombre égal au double de $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la désignation d'un nombre, $10$. La phrase\n« le double de $5$ vaut $10$ » serait une proposition."
        }
      ],
      "explanation": "Une proposition contient une affirmation : souvent un verbe ou un\nsymbole de relation ($=$, $<$, $\\in$…)."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "negation",
        "inegalite"
      ],
      "title": "Négation d'une inégalité stricte",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x > 3$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\leq 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à\n$3$, il lui est inférieur ou égal."
        },
        {
          "text": "$x < 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli d'un cas : pour $x = 3$, « $x > 3$ » est fausse et\n« $x < 3$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas."
        },
        {
          "text": "$x \\geq 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x = 4$, « $x > 3$ » et « $x \\geq 3$ »\nsont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne\nsont jamais vraies ensemble."
        },
        {
          "text": "$x < -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du\nnombre comparé."
        }
      ],
      "explanation": "Négation de $x > a$ : $x \\leq a$. Négation de $x \\geq a$ :\n$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x > 3$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\leq 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à\n$3$, il lui est inférieur ou égal."
            },
            {
              "text": "$x < 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli d'un cas : pour $x = 3$, « $x > 3$ » est fausse et\n« $x < 3$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas."
            },
            {
              "text": "$x \\geq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x = 4$, « $x > 3$ » et « $x \\geq 3$ »\nsont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne\nsont jamais vraies ensemble."
            },
            {
              "text": "$x < -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du\nnombre comparé."
            }
          ],
          "explanation": "Négation de $x > a$ : $x \\leq a$. Négation de $x \\geq a$ :\n$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x > -2$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\leq -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à\n$-2$, il lui est inférieur ou égal."
            },
            {
              "text": "$x < -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli d'un cas : pour $x = -2$, « $x > -2$ » est fausse et\n« $x < -2$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas."
            },
            {
              "text": "$x \\geq -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x = -1$, « $x > -2$ » et « $x \\geq -2$ »\nsont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne\nsont jamais vraies ensemble."
            },
            {
              "text": "$x < 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du\nnombre comparé."
            }
          ],
          "explanation": "Négation de $x > a$ : $x \\leq a$. Négation de $x \\geq a$ :\n$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x > 5$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\leq 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à\n$5$, il lui est inférieur ou égal."
            },
            {
              "text": "$x < 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli d'un cas : pour $x = 5$, « $x > 5$ » est fausse et\n« $x < 5$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas."
            },
            {
              "text": "$x \\geq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x = 6$, « $x > 5$ » et « $x \\geq 5$ »\nsont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne\nsont jamais vraies ensemble."
            },
            {
              "text": "$x < -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du\nnombre comparé."
            }
          ],
          "explanation": "Négation de $x > a$ : $x \\leq a$. Négation de $x \\geq a$ :\n$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x > 7$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\leq 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à\n$7$, il lui est inférieur ou égal."
            },
            {
              "text": "$x < 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli d'un cas : pour $x = 7$, « $x > 7$ » est fausse et\n« $x < 7$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas."
            },
            {
              "text": "$x \\geq 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : pour $x = 8$, « $x > 7$ » et « $x \\geq 7$ »\nsont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne\nsont jamais vraies ensemble."
            },
            {
              "text": "$x < -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du\nnombre comparé."
            }
          ],
          "explanation": "Négation de $x > a$ : $x \\leq a$. Négation de $x \\geq a$ :\n$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "et-ou"
      ],
      "title": "Négation d'un « et »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $n$ est pair et\n$n > 10$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ est impair ou $n \\leq 10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la proposition est fausse dès qu'une des deux\nconditions manque. On nie chaque partie et le « et » devient\n« ou »."
        },
        {
          "text": "$n$ est impair et $n \\leq 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : $n = 4$ rend la proposition fausse (car\n$4 \\leq 10$) alors qu'il est pair. Le « et » doit devenir\n« ou »."
        },
        {
          "text": "$n$ est impair ou $n < 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur l'inégalité : la négation de $n > 10$ est\n$n \\leq 10$. Pour $n = 10$, pair, la proposition de départ est\nfausse, et cette option aussi."
        },
        {
          "text": "$n$ est pair ou $n \\leq 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « $n$ est pair » n'a pas été nié. Pour $n = 12$, la\nproposition de départ et cette option sont vraies ensemble."
        }
      ],
      "explanation": "La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) » ; la\nnégation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$) et (non $Q$) »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "et-ou",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Négation d'un « ou »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « $x < 0$ ou $x > 5$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\in [0\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la négation est « $x \\geq 0$ et $x \\leq 5$ »,\nc'est-à-dire $0 \\leq x \\leq 5$."
        },
        {
          "text": "$x \\geq 0$ ou $x \\leq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le « ou » doit devenir « et ». Telle quelle, cette\nproposition est vraie pour tout réel, y compris $x = 8$."
        },
        {
          "text": "$x \\in\\ ]0\\,;\\,5[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur les bornes : pour $x = 0$, « $x < 0$ ou $x > 5$ »\nest fausse, donc sa négation doit être vraie : $0$ en fait\npartie."
        },
        {
          "text": "$x > 0$ et $x < 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la négation de $x < 0$ est $x \\geq 0$, pas $x > 0$ ;\nles nombres $0$ et $5$ manquent."
        }
      ],
      "explanation": "Négation de « $P$ ou $Q$ » : « (non $P$) et (non $Q$) ». Ici\n$x \\geq 0$ et $x \\leq 5$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "et-ou",
        "valeur-de-verite"
      ],
      "title": "Valeur de vérité d'un « ou »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Pour $x = 4$, la proposition « $x > 3$ ou $x < 1$ » est-elle\nvraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car « $x > 3$ » est vraie",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie dès\nque l'une des deux est vraie."
        },
        {
          "text": "Non, car « $x < 1$ » est fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il suffit qu'une des deux parties soit vraie pour\nqu'un « ou » soit vrai ; c'est le « et » qui exige les deux."
        },
        {
          "text": "Oui, car les deux parties sont vraies",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 < 1$ est faux. Une seule partie vraie suffit, et\nc'est ici « $x > 3$ »."
        },
        {
          "text": "Non, car $4$ vérifie une seule des deux parties",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le « ou » mathématique est inclusif ; il est vrai\nquand au moins une partie l'est."
        }
      ],
      "explanation": "« $P$ ou $Q$ » est faux seulement quand $P$ et $Q$ sont fausses\ntoutes les deux."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "et-ou",
        "valeur-de-verite"
      ],
      "title": "Valeur de vérité d'un « et »",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Pour $n = 8$, que vaut la proposition « $n$ est pair et $n$ est\nun multiple de $3$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Fausse, car $8$ n'est pas un multiple de $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un « et » exige que les deux parties soient\nvraies ; ici la seconde est fausse."
        },
        {
          "text": "Vraie, car $8$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une partie vraie suffit pour un « ou », pas pour un\n« et ». Il faudrait aussi que $8$ soit multiple de $3$."
        },
        {
          "text": "Vraie, car au moins une des deux parties est vraie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec un « et », une seule partie fausse rend toute la\nproposition fausse."
        },
        {
          "text": "Fausse, car $8$ n'est pas pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = 2 \\times 4$ est pair. La proposition est fausse\nà cause de la seconde partie."
        }
      ],
      "explanation": "« $P$ et $Q$ » est vraie seulement quand $P$ et $Q$ le sont\ntoutes les deux. Exemple : $n = 12$ la rend vraie."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contre-exemple",
        "carre"
      ],
      "title": "Choisir un contre-exemple",
      "partie": "propositions",
      "statement": "On veut montrer que la proposition « pour tout réel $x$,\n$x^2 \\geq x$ » est fausse. Quel nombre est un contre-exemple ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5^2 = 0{,}25$, et $0{,}25 < 0{,}5$ :\nl'inégalité est fausse pour ce nombre."
        },
        {
          "text": "$1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \\geq 1{,}5$. Ce nombre vérifie la\npropriété, il ne peut pas la réfuter."
        },
        {
          "text": "$-0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-0{,}5)^2 = 0{,}25 \\geq -0{,}5$. Un carré est\npositif, donc il dépasse toujours un nombre négatif."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1^2 = 1$, et $1 \\geq 1$ est vrai. L'égalité suffit\npour une inégalité large."
        }
      ],
      "explanation": "Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une proposition\n« pour tout » est fausse. Ici, tout $x$ de $]0\\,;\\,1[$ en est un."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contre-exemple",
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "Un contre-exemple qui se fait attendre",
      "partie": "propositions",
      "statement": "On considère la proposition « pour tout entier naturel $n$,\n$n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Quelle valeur de $n$ la\nréfute ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $40^2 + 40 + 41 = 40 \\times 41 + 41 =\n41 \\times 41$, qui n'est pas premier."
        },
        {
          "text": "$n = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 + 1 + 41 = 43$, qui est premier. Ce cas confirme\nla propriété sans la démontrer."
        },
        {
          "text": "$n = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $n = 0$, on obtient $41$, qui est premier."
        },
        {
          "text": "$n = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 + 2 + 41 = 47$, qui est premier."
        }
      ],
      "explanation": "La formule donne des nombres premiers pour $n = 0, 1, \\ldots, 39$ :\nde nombreux exemples ne prouvent pas une propriété « pour tout ».\nUn seul contre-exemple la réfute."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quantification",
        "existence"
      ],
      "title": "Une proposition « il existe »",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "La proposition « il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -1$ »\nest-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : un carré n'est jamais négatif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour tout réel $x$, $x^2 \\geq 0$, donc\n$x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle."
        },
        {
          "text": "Oui : $x = -1$ convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^2 = 1$, pas $-1$. Le carré d'un nombre négatif\nest positif."
        },
        {
          "text": "Oui : tout réel négatif convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le carré d'un réel négatif est strictement positif ;\naucun ne donne $-1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x$ n'est pas une donnée ; la proposition affirme\nl'existence d'un tel nombre, et elle est vraie ou fausse."
        }
      ],
      "explanation": "« Il existe » est vraie dès qu'on exhibe un exemple ; pour la\nréfuter, il faut montrer qu'aucun nombre ne convient."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quantification"
      ],
      "title": "Pour tout ou il existe",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Laquelle de ces propositions est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x = 0$ et $x = 1$ conviennent ; un exemple\nsuffit pour une proposition « il existe »."
        },
        {
          "text": "Pour tout réel $x$, $x^2 > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : pour $x = 0$, $x^2 = 0$ n'est pas strictement\npositif."
        },
        {
          "text": "Pour tout réel $x$, $x^2 \\geq x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : pour $x = \\dfrac{1}{2}$, $x^2 = \\dfrac{1}{4}$ est plus\npetit que $x$."
        },
        {
          "text": "Il existe un réel $x$ dont le carré $x^2$ est strictement négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : un carré est toujours positif ou nul, aucun réel ne\nconvient."
        }
      ],
      "explanation": "« Pour tout » se réfute par un contre-exemple ; « il existe » se\ndémontre par un exemple."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "implication"
      ],
      "title": "Une implication vraie",
      "partie": "implications",
      "statement": "Laquelle de ces implications est vraie pour tout réel $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il suffit de calculer $3^2 = 9$."
        },
        {
          "text": "Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : $x = -3$ vérifie $x^2 = 9$ sans être égal à $3$.\nC'est la réciproque de l'implication vraie."
        },
        {
          "text": "Si $x > 2$, alors $x > 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : $x = 3$ est supérieur à $2$ mais pas à $5$."
        },
        {
          "text": "Si $x^2 > 4$, alors $x > 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : $x = -3$ donne $x^2 = 9 > 4$, mais $-3 < 2$."
        }
      ],
      "explanation": "« Si $P$, alors $Q$ » est vraie quand $Q$ est vraie chaque fois\nque $P$ l'est. Un seul cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse suffit\nà la réfuter."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reciproque"
      ],
      "title": "Formuler la réciproque",
      "partie": "implications",
      "statement": "Quelle est la réciproque de l'implication « si un quadrilatère\nest un carré, alors c'est un rectangle » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la\nconclusion. Elle est fausse ici : un rectangle de côtés $2$\net $3$ n'est pas un carré."
        },
        {
          "text": "Si un quadrilatère n'est pas un rectangle, ce n'est pas un carré",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la contraposée, qui échange **et** nie\nhypothèse et conclusion."
        },
        {
          "text": "Si un quadrilatère n'est pas un carré, ce n'est pas un rectangle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a nié les deux parties sans les échanger. Ce\nn'est ni la réciproque ni la contraposée."
        },
        {
          "text": "Un quadrilatère est à la fois un carré et un rectangle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une réciproque reste une implication « si …,\nalors … », où les rôles de l'hypothèse et de la conclusion\nsont échangés."
        }
      ],
      "explanation": "Réciproque de « si $P$, alors $Q$ » : « si $Q$, alors $P$ ». Elle\npeut être fausse alors que l'implication est vraie."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraposee"
      ],
      "title": "Formuler la contraposée",
      "partie": "implications",
      "statement": "Quelle est la contraposée de l'implication « si $n$ est un\nmultiple de $4$, alors $n$ est pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si $n$ est impair, alors $n$ n'est pas multiple de $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la contraposée de « si $P$, alors $Q$ » est\n« si non $Q$, alors non $P$ ». Elle est vraie, comme\nl'implication de départ."
        },
        {
          "text": "Si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la réciproque, fausse d'ailleurs : $6$ est\npair sans être multiple de $4$."
        },
        {
          "text": "Si $n$ n'est pas multiple de $4$, alors $n$ est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les négations sont dans le mauvais ordre. Cette\nphrase est fausse : $6$ n'est pas multiple de $4$ et il est\npair."
        },
        {
          "text": "Si $n$ est pair, alors $n$ n'est pas multiple de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule la conclusion de la réciproque a été niée. La\nphrase est fausse : $8$ est pair et multiple de $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses\nensemble : démontrer l'une revient à démontrer l'autre."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciproque",
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "Une réciproque fausse",
      "partie": "implications",
      "statement": "L'implication « si $x = 2$, alors $x^2 = 4$ » est vraie. Sa\nréciproque l'est-elle aussi ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $x = -2$ vérifie $x^2 = 4$ sans être égal à $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réciproque « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ »\na un contre-exemple, $-2$."
        },
        {
          "text": "Oui : la réciproque d'une implication vraie est toujours vraie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la **contraposée** qui a toujours la même\nvaleur de vérité. Une réciproque peut être fausse."
        },
        {
          "text": "Oui : on vérifie que $2^2 = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce calcul prouve l'implication de départ. La\nréciproque part de $x^2 = 4$ et doit conclure $x = 2$."
        },
        {
          "text": "Non : l'équation $x^2 = 4$ n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^2 = 4$ a deux solutions, $2$ et $-2$ ; c'est la\nseconde qui met en défaut la réciproque."
        }
      ],
      "explanation": "Quand l'implication et sa réciproque sont vraies, on a une\néquivalence. Ici, $x = 2 \\Rightarrow x^2 = 4$, mais pas\nl'inverse."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contraposee"
      ],
      "title": "Ce que l'on sait de la contraposée",
      "partie": "implications",
      "statement": "Une implication est vraie. Que peut-on dire de sa contraposée ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est vraie, elle aussi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « si $P$, alors $Q$ » et « si non $Q$, alors\nnon $P$ » disent la même chose ; elles sont vraies ou fausses\nensemble."
        },
        {
          "text": "Elle est fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : exemple, « si $n$ est multiple de $4$, $n$ est pair »\net « si $n$ est impair, $n$ n'est pas multiple de $4$ » sont\nvraies toutes les deux."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien en dire",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la réciproque, dont la vérité ne se déduit pas\nde celle de l'implication. La contraposée, elle, suit\ntoujours."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie seulement si la réciproque l'est",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la réciproque n'intervient pas. La contraposée a la\nmême valeur de vérité que l'implication, quelle que soit la\nréciproque."
        }
      ],
      "explanation": "Pour démontrer « si $P$, alors $Q$ », on peut démontrer sa\ncontraposée « si non $Q$, alors non $P$ » si c'est plus simple."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equivalence"
      ],
      "title": "Reconnaître une équivalence",
      "partie": "implications",
      "statement": "Laquelle de ces équivalences est vraie pour tous réels $x$ et\n$y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x + 3 = 5 \\Leftrightarrow x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on passe d'une égalité à l'autre en\nsoustrayant ou en ajoutant $3$, dans les deux sens."
        },
        {
          "text": "$x^2 = 4 \\Leftrightarrow x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : le sens $\\Rightarrow$ échoue pour $x = -2$. Le bon\nénoncé est $x^2 = 4 \\Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -2$."
        },
        {
          "text": "$x > 1 \\Leftrightarrow x > 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : $x = 1{,}5$ vérifie $x > 1$ mais pas $x > 2$. Seul le\nsens $\\Leftarrow$ est vrai."
        },
        {
          "text": "$xy = 0 \\Leftrightarrow x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fausse : pour $x = 3$ et $y = 0$, $xy = 0$ sans que $x$ soit\nnul. Le produit est nul si $x = 0$ **ou** $y = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "$P \\Leftrightarrow Q$ signifie que l'implication et sa réciproque\nsont vraies toutes les deux."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "implication",
        "traduction"
      ],
      "title": "Traduire une phrase par une implication",
      "partie": "implications",
      "statement": "Comment écrire la phrase « tout multiple de $6$ est un multiple\nde $3$ » à l'aide d'une implication ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ multiple de $6 \\Rightarrow n$ multiple de $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : être multiple de $6$ suffit pour être\nmultiple de $3$, car $6k = 3 \\times 2k$."
        },
        {
          "text": "$n$ multiple de $3 \\Rightarrow n$ multiple de $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé, et faux : $9$ est multiple de $3$ sans être\nmultiple de $6$."
        },
        {
          "text": "$n$ multiple de $6 \\Leftrightarrow n$ multiple de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : l'équivalence exigerait aussi la réciproque, que\n$9$ met en défaut."
        },
        {
          "text": "$n$ multiple de $3$ et $n$ multiple de $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la phrase n'affirme pas que $n$ est multiple des\ndeux nombres ; elle dit que le premier fait entraîne le\nsecond."
        }
      ],
      "explanation": "« Tout $A$ est un $B$ » se traduit par « si c'est un $A$, alors\nc'est un $B$ »."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciproque",
        "equivalence",
        "parallelogramme"
      ],
      "title": "Une réciproque vraie",
      "partie": "implications",
      "statement": "L'implication « si $ABCD$ est un parallélogramme, alors ses\ndiagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu » est vraie. Que\ndire de sa réciproque ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est vraie : on a une équivalence",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un quadrilatère dont les diagonales ont le\nmême milieu est un parallélogramme. C'est une\ncaractérisation."
        },
        {
          "text": "Elle est fausse, comme toute réciproque",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une réciproque peut être vraie ou fausse ; il faut\nl'étudier. Ici elle est vraie."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie seulement pour les rectangles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat vaut pour tous les parallélogrammes ; le\nrectangle ajoute l'égalité des longueurs des diagonales."
        },
        {
          "text": "Elle n'a pas de sens pour une figure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « si les diagonales ont le même milieu, alors $ABCD$\nest un parallélogramme » est une implication comme une autre."
        }
      ],
      "explanation": "Une propriété dont la réciproque est vraie donne une\ncaractérisation : « $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement\nsi $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu »."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraposee",
        "parite"
      ],
      "title": "Conclure grâce à la contraposée",
      "partie": "implications",
      "statement": "On sait que « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ». Pour un\nentier $n$, on a $n^2 = 49$. Que peut-on en conclure sur $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ est impair, d'après la contraposée",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la contraposée « si $n^2$ est impair, alors\n$n$ est impair » s'applique, car $49$ est impair."
        },
        {
          "text": "$n$ est pair, d'après l'implication",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'implication part de « $n$ pair », que l'on ne\nconnaît pas. Et $49$ est impair."
        },
        {
          "text": "Rien, sans connaître la valeur de $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contraposée de la propriété donnée suffit, sans\ncalculer $n$ ($n = 7$ ou $n = -7$)."
        },
        {
          "text": "$n$ est pair, car $49 = 7^2$ et $7$ est premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7$ et $-7$ sont impairs. Le fait que $7$ soit\npremier n'intervient pas."
        }
      ],
      "explanation": "Raisonner par contraposée : pour montrer « si non $Q$, alors non\n$P$ », on peut s'appuyer sur « si $P$, alors $Q$ »."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "implication",
        "contre-exemple",
        "carre"
      ],
      "title": "Réfuter une implication sur les carrés",
      "partie": "implications",
      "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si\n$x^2 > 4$, alors $x > 2$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9 > 4$, mais $-3 < 2$ :\nl'hypothèse est vraie et la conclusion fausse."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^2 = 9 > 4$ et $3 > 2$ ; hypothèse et\nconclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $4$. Un contre-exemple\ndoit rendre l'hypothèse vraie."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^2 = 4$ n'est pas strictement supérieur à\n$4$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée."
        }
      ],
      "explanation": "Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans\nvérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré\nconviennent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si\n$x^2 > 4$, alors $x > 2$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9 > 4$, mais $-3 < 2$ :\nl'hypothèse est vraie et la conclusion fausse."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^2 = 9 > 4$ et $3 > 2$ ; hypothèse et\nconclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $4$. Un contre-exemple\ndoit rendre l'hypothèse vraie."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^2 = 4$ n'est pas strictement supérieur à\n$4$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée."
            }
          ],
          "explanation": "Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans\nvérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré\nconviennent."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si\n$x^2 > 9$, alors $x > 3$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-4)^2 = 16 > 9$, mais $-4 < 3$ :\nl'hypothèse est vraie et la conclusion fausse."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4^2 = 16 > 9$ et $4 > 3$ ; hypothèse et\nconclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $9$. Un contre-exemple\ndoit rendre l'hypothèse vraie."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3^2 = 9$ n'est pas strictement supérieur à\n$9$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée."
            }
          ],
          "explanation": "Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans\nvérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré\nconviennent."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si\n$x^2 > 16$, alors $x > 4$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-5)^2 = 25 > 16$, mais $-5 < 4$ :\nl'hypothèse est vraie et la conclusion fausse."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^2 = 25 > 16$ et $5 > 4$ ; hypothèse et\nconclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $16$. Un contre-exemple\ndoit rendre l'hypothèse vraie."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4^2 = 16$ n'est pas strictement supérieur à\n$16$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée."
            }
          ],
          "explanation": "Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans\nvérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré\nconviennent."
        },
        {
          "statement": "Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si\n$x^2 > 25$, alors $x > 5$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(-6)^2 = 36 > 25$, mais $-6 < 5$ :\nl'hypothèse est vraie et la conclusion fausse."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6^2 = 36 > 25$ et $6 > 5$ ; hypothèse et\nconclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $25$. Un contre-exemple\ndoit rendre l'hypothèse vraie."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5^2 = 25$ n'est pas strictement supérieur à\n$25$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée."
            }
          ],
          "explanation": "Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans\nvérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré\nconviennent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "disjonction-des-cas",
        "parite"
      ],
      "title": "Choisir les cas d'une disjonction",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Pour démontrer que $n(n + 1)$ est pair pour tout entier $n$, on\nraisonne par disjonction des cas. Quels cas distinguer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ pair, puis $n$ impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n$ est pair, le facteur $n$ l'est ; si $n$\nest impair, c'est $n + 1$ qui est pair. Les deux cas couvrent\ntous les entiers."
        },
        {
          "text": "$n$ positif, puis $n$ négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces cas couvrent bien tous les entiers, mais le\nsigne de $n$ ne renseigne pas sur la parité du produit."
        },
        {
          "text": "$n$ premier, puis $n$ non premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : savoir que $n$ est premier ne dit pas si $n$ ou\n$n + 1$ est pair ($2$ et $3$ sont tous deux premiers)."
        },
        {
          "text": "$n = 0$, puis $n = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux valeurs ne couvrent pas tous les entiers. Les\ncas d'une disjonction doivent épuiser toutes les\npossibilités."
        }
      ],
      "explanation": "Une disjonction des cas sépare toutes les situations possibles en\ncas qui les épuisent, puis démontre la propriété dans chacun."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "absurde",
        "irrationnel"
      ],
      "title": "Le départ d'un raisonnement par l'absurde",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Pour démontrer par l'absurde que $\\sqrt{2}$ est irrationnel, quelle\nest la première étape ?",
      "options": [
        {
          "text": "Supposer que $\\sqrt{2}$ est rationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut\ndémontrer, puis on aboutit à une contradiction."
        },
        {
          "text": "Supposer que $\\sqrt{2}$ est irrationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait supposer ce qu'il faut démontrer. Le\nraisonnement par l'absurde part de l'hypothèse contraire."
        },
        {
          "text": "Calculer $\\sqrt{2} \\approx 1{,}414$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une valeur approchée, même très précise, ne dit rien\nsur la nature du nombre."
        },
        {
          "text": "Vérifier que $\\sqrt{2}$ n'est pas entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : un nombre peut ne pas être entier et être\nrationnel, comme $\\dfrac{3}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Raisonnement par l'absurde : on suppose la négation de la\nconclusion ; si l'on en déduit une contradiction, cette négation\nest fausse, donc la conclusion est vraie."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "absurde",
        "decimal"
      ],
      "title": "La contradiction qui conclut",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "On suppose par l'absurde que $\\dfrac{1}{3}$ est décimal : il\nexiste alors des entiers $a$ et $n$ tels que\n$\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{a}{10^n}$, d'où $10^n = 3a$. Où est la\ncontradiction ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^n$ n'est pas un multiple de $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des chiffres de $10^n$ vaut $1$, donc\n$10^n$ n'est pas divisible par $3$, alors que $3a$ l'est."
        },
        {
          "text": "$a$ ne peut pas être un entier positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'interdit a priori à $a$ d'être un entier\npositif ; la contradiction vient de la divisibilité par $3$."
        },
        {
          "text": "$10^n$ est un nombre pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10^n$ est bien pair (pour $n \\geq 1$), mais $3a$\npeut l'être aussi ; aucune contradiction n'en découle."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3} \\approx 0{,}333$ a trop de chiffres",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une valeur approchée ne démontre rien. L'argument\nporte sur l'égalité exacte $10^n = 3a$."
        }
      ],
      "explanation": "L'égalité $10^n = 3a$ ferait de $10^n$ un multiple de $3$, ce qui\nest faux : l'hypothèse « $\\dfrac{1}{3}$ est décimal » est donc\nfausse."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "disjonction-des-cas",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Le cas impair d'une démonstration",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "On veut démontrer que $n^2 - n$ est pair pour tout entier $n$.\nDans le cas où $n$ est impair, on écrit $n = 2k + 1$ avec $k$\nentier. Comment s'écrit alors $n^2 - n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2k(2k + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n^2 - n = n(n - 1) = (2k + 1) \\times 2k$,\nqui est le double d'un entier, donc pair."
        },
        {
          "text": "$4k^2 + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4k^2 + 4k + 1$ est $n^2$ seul, et on a perdu le\nterme $4k$. Il faut encore retrancher $n = 2k + 1$."
        },
        {
          "text": "$(2k + 1)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $n^2$, pas $n^2 - n$ ; il reste à retrancher\n$2k + 1$."
        },
        {
          "text": "$4k^2 + 2k + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(4k^2 + 4k + 1) - (2k + 1) = 4k^2 + 2k$, le\nterme constant disparaît."
        }
      ],
      "explanation": "Dans le cas pair, $n = 2k$ et $n^2 - n = 2k(2k - 1)$. Les deux cas\ncouvrent tous les entiers : $n^2 - n$ est toujours pair."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quantification",
        "contre-exemple",
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "Tout nombre premier est-il impair ?",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "La proposition « tout nombre premier est impair » est-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $2$ est premier et pair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ n'a que deux diviseurs, $1$ et $2$ ; c'est\nun contre-exemple, qui suffit à réfuter la proposition."
        },
        {
          "text": "Oui : les nombres premiers $3$, $5$, $7$ sont impairs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des exemples ne démontrent pas une proposition\n« tout ». Un seul contre-exemple, $2$, la réfute."
        },
        {
          "text": "Non : $9$ est impair et n'est pas premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ réfute la réciproque (« tout impair est\npremier »), pas la proposition donnée."
        },
        {
          "text": "Oui : un nombre pair est divisible par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $2$ est divisible par $2$ et premier quand même ;\nl'argument vaut seulement pour les pairs supérieurs à $2$."
        }
      ],
      "explanation": "La proposition correcte est « tout nombre premier différent de\n$2$ est impair »."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "negation",
        "quantification"
      ],
      "title": "Négation d'une phrase « tous »",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « tous les élèves de la\nclasse ont la moyenne » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au moins un élève de la classe n'a pas la moyenne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour qu'il soit faux que tous aient la\nmoyenne, il suffit qu'un seul élève ne l'ait pas."
        },
        {
          "text": "Aucun élève de la classe n'a la moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : si un seul élève échoue, la proposition de départ\nest fausse sans que tous échouent."
        },
        {
          "text": "Au moins un élève de la classe a la moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette phrase peut être vraie en même temps que la\nproposition de départ, ce qui est impossible pour une\nnégation."
        },
        {
          "text": "Tous les élèves de la classe ont une note sous la moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : c'est l'affirmation qu'aucun élève n'a la\nmoyenne, beaucoup plus qu'une négation."
        }
      ],
      "explanation": "Négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » : « il existe $x$ tel que\nnon $P(x)$ ». On nie la propriété et on change le quantificateur."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "negation",
        "quantification"
      ],
      "title": "Négation d'une phrase « il existe »",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "Quelle est la négation de la proposition « il existe un réel $x$\ntel que $x^2 = 2$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour tout réel $x$, $x^2 \\neq 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : nier qu'il existe un tel réel, c'est affirmer\nqu'aucun réel ne vérifie $x^2 = 2$."
        },
        {
          "text": "Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \\neq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quantificateur doit changer. Cette phrase est\nvraie ($x = 0$) en même temps que la proposition de départ\n($x = \\sqrt{2}$)."
        },
        {
          "text": "Pour tout réel $x$, $x^2 = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a changé le quantificateur sans nier la\npropriété. Cette phrase et la proposition de départ ne sont\npas contraires."
        },
        {
          "text": "Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : nier « $x^2 = 2$ » donne « $x^2 \\neq 2$ », pas un\nchangement de signe dans l'égalité."
        }
      ],
      "explanation": "Négation de « il existe $x$ tel que $P(x)$ » : « pour tout $x$,\nnon $P(x)$ ». Ici la proposition est vraie ($\\sqrt{2}$), sa\nnégation est fausse."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proposition",
        "variable",
        "parite"
      ],
      "title": "Une proposition qui dépend d'une variable",
      "partie": "propositions",
      "statement": "Pour quels entiers $n$ la proposition « $n^2 + 1$ est pair »\nest-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour les entiers impairs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n$ est impair, $n^2$ est impair et\n$n^2 + 1$ est pair. Exemple : $3^2 + 1 = 10$."
        },
        {
          "text": "Pour les entiers pairs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $n$ est pair, $n^2$ est pair et $n^2 + 1$ impair.\nExemple : $2^2 + 1 = 5$."
        },
        {
          "text": "Pour tous les entiers, sans exception",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n = 2$ donne $5$, qui est impair ; la proposition\nn'est pas vraie pour tout $n$."
        },
        {
          "text": "Pour aucun entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n = 1$ donne $2$, qui est pair ; la proposition est\nvraie pour certains entiers."
        }
      ],
      "explanation": "Une proposition contenant une variable peut être vraie pour\ncertaines valeurs et fausse pour d'autres : on précise lesquelles."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "disjonction-des-cas",
        "inequation"
      ],
      "title": "Comparer un nombre et son carré",
      "partie": "raisonnements",
      "statement": "En distinguant les cas $x \\leq 0$, $0 < x < 1$ et $x \\geq 1$, on\nétudie l'inégalité $x^2 < x$. Pour quels réels est-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\in\\ ]0\\,;\\,1[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $0 < x < 1$, on multiplie $x < 1$ par\n$x > 0$ : $x^2 < x$. Dans les deux autres cas, $x^2 \\geq x$."
        },
        {
          "text": "$x \\in\\ ]-\\infty\\,;\\,1[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x = -1$, $x^2 = 1$ est plus grand que $x$. Un\ncarré dépasse toujours un nombre négatif."
        },
        {
          "text": "$x \\in\\ ]1\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : pour $x = 2$, $x^2 = 4 > 2$. Au-delà de $1$, le\ncarré est plus grand que le nombre."
        },
        {
          "text": "$x \\in\\ ]-\\infty\\,;\\,0[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x < 0$, $x^2 > 0 > x$. C'est le cas où\nl'inégalité est fausse à coup sûr."
        }
      ],
      "explanation": "Cas $x \\leq 0$ : $x^2 \\geq 0 \\geq x$. Cas $x \\geq 1$ : en\nmultipliant $x \\geq 1$ par $x$, $x^2 \\geq x$. Reste $]0\\,;\\,1[$."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "implication",
        "inclusion",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Une implication traduite par une inclusion",
      "partie": "implications",
      "statement": "L'implication « si $x > 5$, alors $x > 2$ » est vraie. Quelle\ninclusion d'intervalles traduit-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]5\\,;\\,+\\infty[\\ \\subset\\ ]2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tout réel qui vérifie l'hypothèse vérifie la\nconclusion ; l'ensemble des solutions de $x > 5$ est donc\ninclus dans celui de $x > 2$."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,+\\infty[\\ \\subset\\ ]5\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $3$ appartient à $]2\\,;\\,+\\infty[$ sans\nappartenir à $]5\\,;\\,+\\infty[$. Cette inclusion traduirait la\nréciproque, fausse."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,5[\\ \\subset\\ ]5\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux intervalles n'ont aucun élément commun ;\naucune inclusion ne les relie."
        },
        {
          "text": "$]5\\,;\\,+\\infty[\\ \\cap\\ ]2\\,;\\,+\\infty[\\ = \\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ appartient aux deux intervalles. Leur\nintersection est $]5\\,;\\,+\\infty[$, pas l'ensemble vide."
        }
      ],
      "explanation": "« Si $P$, alors $Q$ » vraie signifie que l'ensemble des valeurs\nqui vérifient $P$ est inclus dans celui des valeurs qui vérifient\n$Q$."
    }
  ]
}