{ "chapter": { "id": "fonctions-de-reference", "level": "seconde", "theme": "Fonctions", "title": "Fonctions de référence et tableaux de signes", "description": "Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :\nensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction\naffine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,\néquations et inéquations du type $x^2 = a$, $x^2 \\leq a$.", "parties": [ { "id": "courbes", "title": "Fonctions de référence et leurs courbes" }, { "id": "comparaisons", "title": "Comparer des images" }, { "id": "equations", "title": "Équations et inéquations" }, { "id": "signes", "title": "Tableaux de signes" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "courbes", "carre" ], "title": "La courbe de la fonction carré", "partie": "courbes", "statement": "Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction\ncarré $x \\mapsto x^2$, et quelle est son allure ?", "options": [ { "text": "Une parabole tournée vers le haut", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la parabole a pour sommet l'origine (son\nminimum) et remonte symétriquement des deux côtés." }, { "text": "Une hyperbole en deux branches", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction\n**inverse**, avec ses deux branches séparées par les axes." }, { "text": "Une droite passant par l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : les droites représentent les fonctions\n**linéaires** ($x \\mapsto ax$). Le carré n'est pas\nproportionnel : sa courbe s'incurve." }, { "text": "Une demi-parabole partant de l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la\ncourbe de la **racine carrée**, définie seulement sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$." } ], "explanation": "Images mentales à connaître : carré : parabole (sommet $O$, tournée vers le haut) ; inverse : hyperbole ; racine carrée : demi-parabole couchée ; cube : courbe en S ; valeur absolue : courbe en V." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "lecture-graphique", "inverse" ], "title": "Reconnaître une courbe de référence", "partie": "courbes", "statement": "La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.\nLaquelle ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.62]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-3.7) grid (3.7,3.7);\n \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.2) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.2,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=0.28:3.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{1/\\x});\n \\draw[domain=-3.7:-0.28,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{1/\\x});\n \\node[blue,font=\\small] at (2.5,1.1) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une\nbranche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe\ndes abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur\ngauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche\njamais les axes.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "La fonction inverse $x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par\n$(1\\,;\\,1)$ et $(-1\\,;\\,-1)$, jamais définie en $0$, et qui\nne touche jamais les axes.\n" }, { "text": "La fonction carré $x \\mapsto x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,\nentièrement **au-dessus** de l'axe des abscisses.\n" }, { "text": "La fonction racine carrée $x \\mapsto \\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine carrée n'existe que pour $x \\geq 0$ :\nsa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans\npartie négative.\n" }, { "text": "La fonction cube $x \\mapsto x^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et\ntraverse l'origine ; ici la courbe évite $0$ et se casse\nen deux branches.\n" } ], "explanation": "Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de $x$),\npoints de repère $(1\\,;\\,1)$ et $(-1\\,;\\,-1)$, valeur\ninterdite $0$, symétrie par rapport à l'origine." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "ensemble-definition", "inverse" ], "title": "Ensemble de définition de l'inverse", "partie": "courbes", "statement": "Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,0[ \\,\\cup\\, ]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf $0$ (la\ndivision par zéro n'existe pas)." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\mathbb{R}$ tout entier, or\n$\\dfrac{1}{0}$ n'existe pas : il faut retirer $0$." }, { "text": "$]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Trop restrictif : les négatifs ont un inverse\n($\\frac{1}{-2} = -0{,}5$). C'est la **racine carrée** qui\nexige du positif." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,1[ \\,\\cup\\, ]1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\mathbb{R}$ privé de $1$, or $1$ a très\nbien un inverse (lui-même). La seule valeur interdite\nest $0$." } ], "explanation": "Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur\nabsolue : $\\mathbb{R}$ ; inverse : $\\mathbb{R}$ privé de $0$ ;\nracine carrée : $[0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "ensemble-definition", "racine" ], "title": "Ensemble de définition de la racine carrée", "partie": "courbes", "statement": "Quel est l'ensemble de définition de la fonction\n$x \\mapsto \\sqrt{x}$ ?", "options": [ { "text": "$[0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans\n$\\mathbb{R}$, mais $\\sqrt{0} = 0$ existe : $0$ est inclus\n(crochet fermé)." }, { "text": "$]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Presque : $\\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement. C'est\nl'**inverse** qui exclut $0$, pas la racine." }, { "text": "$\\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\\mathbb{R}$ :\naucun réel au carré ne donne $-4$." }, { "text": "$[1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ existe très bien. La\nseule contrainte est $x \\geq 0$." } ], "explanation": "$\\sqrt{x}$ est défini pour $x \\geq 0$ : domaine\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, borne $0$ comprise. La courbe part de\nl'origine et monte de plus en plus lentement." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "parite", "symetrie" ], "title": "Symétrie de la parabole", "partie": "courbes", "statement": "La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à\nquel objet ?", "options": [ { "text": "L'axe des ordonnées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-x)^2 = x^2$ : deux abscisses opposées\nont la même image, la parabole se reflète dans l'axe\nvertical." }, { "text": "L'origine du repère", "correct": false, "feedback": "Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise\nles courbes de l'**inverse** et du **cube**\n($(-x)^3 = -x^3$)." }, { "text": "L'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être\nsymétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque $x$\nn'a qu'une image)." }, { "text": "La droite d'équation $y = x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées\n(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas\nla symétrie de la parabole." } ], "explanation": "$(-x)^2 = x^2$ : la fonction carré prend les mêmes valeurs en\n$x$ et $-x$, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à\nl'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques\npar rapport à l'origine." }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "cube", "calcul" ], "title": "Cube d'un négatif", "partie": "courbes", "statement": "Que vaut $(-2)^3$ ?", "options": [ { "text": "$-8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-2) \\times (-2) \\times (-2) =\n4 \\times (-2) = -8$. Le cube **conserve** le signe." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat\nnégatif. C'est le **carré** (deux facteurs) qui efface le\nsigne." }, { "text": "$-6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-6 = -2 \\times 3$ confond puissance et\nmultiplication. $(-2)^3$ multiplie $-2$ par lui-même trois\nfois." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Double erreur : ni la valeur ($2^3 = 8$, pas $6$) ni le\nsigne (le cube d'un négatif est négatif)." } ], "explanation": "Le cube conserve le signe : $x^3 > 0$ si $x > 0$, $x^3 < 0$ si\n$x < 0$. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en\npassant du négatif au positif." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-de-signes", "produit" ], "title": "Signe d'un produit de facteurs affines", "partie": "signes", "statement": "Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 2)$ est-il\nstrictement négatif ?", "options": [ { "text": "Sur $]-2\\,;\\,1[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $-2$ et $1$, les deux\nfacteurs sont de signes contraires ($x + 2 > 0$ et\n$x - 1 < 0$) : produit négatif." }, { "text": "Sur $]1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : au-delà de $1$, les **deux** facteurs sont\npositifs : produit positif. Le tableau de signes le montre\ncolonne par colonne." }, { "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-2[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : avant $-2$, les deux facteurs sont négatifs :\nproduit **positif** (moins par moins)." }, { "text": "Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours\npositif", "correct": false, "feedback": "Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont\nde **signes contraires**, ce qui arrive entre les racines." } ], "explanation": "Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur\nchange de signe à sa racine ($-2$ et $1$), et le produit est\nnégatif là où les signes diffèrent : sur $]-2\\,;\\,1[$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-de-signes", "quotient" ], "title": "Signe d'un quotient", "partie": "signes", "statement": "Quel est le signe de $\\dfrac{x - 3}{x + 1}$ sur l'intervalle\n$]-1\\,;\\,3[$ ?", "options": [ { "text": "Strictement négatif", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur cet intervalle, $x + 1 > 0$ et\n$x - 3 < 0$ : signes contraires, quotient négatif." }, { "text": "Strictement positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste $x = 0$ : $\\dfrac{-3}{1} = -3 < 0$. Les\nrègles de signes d'un quotient sont celles d'un produit." }, { "text": "Nul sur tout l'intervalle", "correct": false, "feedback": "Erreur : le quotient ne s'annule qu'en $x = 3$ (numérateur\nnul), qui est exclu de l'intervalle ouvert." }, { "text": "Non défini sur cet intervalle", "correct": false, "feedback": "Erreur : la seule valeur interdite est $x = -1$\n(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout\nailleurs le quotient existe." } ], "explanation": "Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,\navec en plus une **valeur interdite** au dénominateur (double\nbarre dans le tableau). Sur $]-1\\,;\\,3[$ :\n$\\frac{-}{+} = -$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "equation", "carre" ], "title": "Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement", "partie": "equations", "statement": "Combien l'équation $x^2 = 7$ admet-elle de solutions, et\ncomment se lisent-elles sur la parabole ?", "options": [ { "text": "Deux solutions, $\\sqrt{7}$ et $-\\sqrt{7}$, abscisses des\npoints où la droite $y = 7$ coupe la parabole", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 7$ coupe la\nparabole en deux points symétriques par rapport à l'axe\ndes ordonnées, d'abscisses $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$\n(environ $-2{,}65$ et $2{,}65$)." }, { "text": "Une seule solution, $\\sqrt{7}$, abscisse de l'unique point\noù la droite $y = 7$ touche la parabole", "correct": false, "feedback": "Oubli : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des\nordonnées, la droite $y = 7$ la coupe **deux** fois : en\n$\\sqrt{7}$ et en $-\\sqrt{7}$. Contrôle :\n$(-\\sqrt{7})^2 = 7$ aussi." }, { "text": "Aucune solution, car $7$ n'est pas un carré parfait : la\ndroite $y = 7$ ne rencontre pas la parabole", "correct": false, "feedback": "Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel\npositif est le carré de sa racine : $(\\sqrt{7})^2 = 7$, et\nla droite $y = 7$ coupe bien la parabole, en deux points\nd'abscisses $-\\sqrt{7}$ et $\\sqrt{7}$." }, { "text": "Une infinité de solutions, une pour chaque point de la\nparabole situé au-dessus de la droite horizontale $y = 7$", "correct": false, "feedback": "Confusion entre équation et inéquation : les points de la\nparabole situés au-dessus de la droite $y = 7$\ncorrespondent à $x^2 > 7$ (par exemple $x = 3$, car\n$9 > 7$). L'équation $x^2 = 7$ ne retient que les deux\npoints posés sur la droite." } ], "explanation": "Résolution graphique de $x^2 = k$ : intersection de la\nparabole et de la droite $y = k$. Pour $k = 7 > 0$ : deux\nsolutions $\\pm\\sqrt{7} \\approx \\pm 2{,}65$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "inequation", "carre" ], "title": "Résoudre une inéquation $x^2 \\leq k$", "partie": "equations", "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 9$ ?", "options": [ { "text": "$[-3\\,;\\,3]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 9$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 3$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 9$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 9$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-2)^2 = 4 \\leq 9$, donc $-2$\nest solution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-3\\,;\\,3\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 9$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole.", "variants": [ { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 9$ ?", "options": [ { "text": "$[-3\\,;\\,3]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 9$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 3$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 9$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 9$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-2)^2 = 4 \\leq 9$, donc $-2$\nest solution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-3\\,;\\,3\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 9$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 25$ ?", "options": [ { "text": "$[-5\\,;\\,5]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 25$ ont leurs abscisses entre $-5$ et $5$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 5$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 25$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 25$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,5]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-4)^2 = 16 \\leq 25$, donc $-4$\nest solution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-5\\,;\\,5\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 25$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 16$ ?", "options": [ { "text": "$[-4\\,;\\,4]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 16$ ont leurs abscisses entre $-4$ et $4$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 4$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 16$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 16$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,4]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-3)^2 = 9 \\leq 16$, donc $-3$\nest solution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-4\\,;\\,4\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 16$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 36$ ?", "options": [ { "text": "$[-6\\,;\\,6]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 36$ ont leurs abscisses entre $-6$ et $6$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,6]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 6$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 36$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 36$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,6]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-5)^2 = 25 \\leq 36$, donc $-5$\nest solution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-6\\,;\\,6\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 36$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole." } ] }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "comparaison", "carre", "piege" ], "title": "Comparer des carrés de négatifs", "partie": "comparaisons", "statement": "On sait que $-3 < -2$. Comment se comparent $(-3)^2$ et\n$(-2)^2$ ?", "options": [ { "text": "$(-3)^2 > (-2)^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $9 > 4$. Sur les négatifs, la fonction\ncarré renverse l'ordre : elle est **décroissante** sur\n$]-\\infty\\,;\\,0]$, plus un négatif est loin de zéro,\nplus son carré est grand." }, { "text": "$(-3)^2 < (-2)^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'inégalité $-3 < -2$ ne se transmet pas aux\ncarrés. Mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des\nnombres **positifs**. Ici $9 > 4$ : l'ordre s'est\ninversé." }, { "text": "$(-3)^2 = (-2)^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les signes disparaissent au carré, mais les\ngrandeurs restent : $9 \\neq 4$." }, { "text": "Les deux carrés ne sont pas comparables", "correct": false, "feedback": "Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires\n($9$ et $4$), parfaitement comparables." } ], "explanation": "Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :\ndécroissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, croissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et\nl'ordre des carrés s'inversent." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "valeur-absolue", "equation" ], "title": "Résoudre $|x| = 5$", "partie": "equations", "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $|x| = 5$ ?", "options": [ { "text": "$x = 5$ ou $x = -5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux nombres sont à distance $5$ de zéro :\n$5$ et $-5$. Graphiquement, la droite $y = 5$ coupe le\n« V » de la valeur absolue en deux points." }, { "text": "$x = 5$ seulement", "correct": false, "feedback": "Oubli : $|-5| = 5$ aussi. La valeur absolue efface le\nsigne, deux antécédents pour chaque valeur positive." }, { "text": "$x = -5$ seulement", "correct": false, "feedback": "Erreur : $|5| = 5$ convient évidemment aussi. L'équation a\ndeux solutions." }, { "text": "Aucune solution, car une valeur absolue est toujours\npositive", "correct": false, "feedback": "Contresens : c'est justement parce que $|x| \\geq 0$ que\nl'équation $|x| = 5$ (avec $5 > 0$) a des solutions :\n$\\pm 5$. (C'est $|x| = -5$ qui n'en aurait pas.)" } ], "explanation": "$|x| = k$ : deux solutions $\\pm k$ si $k > 0$, une seule\n($0$) si $k = 0$, aucune si $k < 0$. La courbe en V de la\nvaleur absolue rend ce compte de solutions visible." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "signe-affine" ], "title": "Signe d'une expression affine", "partie": "signes", "statement": "Quel est le signe de l'expression $2x - 4$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 2$ ($2x - 4 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 2$, négatif pour $x > 2$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($2$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $2x - 4 = 0 \\iff x = 2$ (diviser $4$\npar le coefficient $2$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes.", "variants": [ { "statement": "Quel est le signe de l'expression $2x - 4$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 2$ ($2x - 4 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 2$, négatif pour $x > 2$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($2$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $2x - 4 = 0 \\iff x = 2$ (diviser $4$\npar le coefficient $2$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes." }, { "statement": "Quel est le signe de l'expression $3x - 9$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 3$, nul en $3$, positif pour $x > 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 3$ ($3x - 9 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 3$, négatif pour $x > 3$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($3$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-9 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 9$, positif pour $x > 9$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $3x - 9 = 0 \\iff x = 3$ (diviser $9$\npar le coefficient $3$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes." }, { "statement": "Quel est le signe de l'expression $5x - 15$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 3$, nul en $3$, positif pour $x > 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 3$ ($5x - 15 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 3$, négatif pour $x > 3$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($5$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-15 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 15$, positif pour $x > 15$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $5x - 15 = 0 \\iff x = 3$ (diviser $15$\npar le coefficient $5$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes." }, { "statement": "Quel est le signe de l'expression $4x - 4$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 1$, nul en $1$, positif pour $x > 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 1$ ($4x - 4 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 1$, négatif pour $x > 1$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($4$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $4x - 4 = 0 \\iff x = 1$ (diviser $4$\npar le coefficient $4$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes." } ] }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison-inverses" ], "title": "Comparer des inverses", "partie": "comparaisons", "statement": "Sachant $0 < a < b$, comment se comparent $\\dfrac{1}{a}$ et\n$\\dfrac{1}{b}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{a} > \\dfrac{1}{b}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inverse renverse l'ordre des positifs,\ncar la fonction inverse est décroissante sur $]0\\ ;\\\n+\\infty[$ : plus le nombre est grand, plus son inverse\nest petit ($\\frac{1}{2} > \\frac{1}{3}$)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{a} < \\dfrac{1}{b}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ordre ne se conserve pas. Testez $a = 2$, $b\n= 3$ : $\\frac{1}{2} = 0{,}5 > \\frac{1}{3} \\approx\n0{,}33$ : passer à l'inverse RENVERSE les inégalités\n(entre positifs)." }, { "text": "Impossible à comparer sans connaître $a$ et $b$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut\npour TOUS les couples $0 < a < b$ : aucune valeur\nnécessaire." }, { "text": "$\\dfrac{1}{a} = \\dfrac{1}{b}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux nombres distincts ont des inverses\ndistincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la\nmême valeur)." } ], "explanation": "Sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$, la fonction inverse est strictement\ndécroissante : $0 < a < b \\Rightarrow \\frac{1}{a} >\n\\frac{1}{b}$. Attention : la comparaison échoue si $a$ et\n$b$ encadrent $0$ (deux branches séparées)." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "carre-entre-0-et-1" ], "title": "Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$", "partie": "comparaisons", "statement": "Soit $0 < a < 1$. Comment se comparent $a^2$ et $a$ ?", "options": [ { "text": "$a^2 < a$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le carré rapetisse les nombres entre $0$\net $1$ : $a^2 = a \\times a < a \\times 1 = a$ (multiplier\npar $a < 1$ diminue). Exemple : $0{,}5^2 = 0{,}25$." }, { "text": "$a^2 > a$", "correct": false, "feedback": "Intuition à corriger : « un carré est toujours plus\ngrand » ne vaut que pour $a > 1$. Entre $0$ et $1$,\nélever au carré **écrase** vers zéro ($0{,}1^2 =\n0{,}01$)." }, { "text": "$a^2 = a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité $a^2 = a$ n'a lieu qu'en $a = 0$ et\n$a = 1$ : strictement entre les deux, le carré est\nstrictement plus petit." }, { "text": "Cela dépend de la valeur de $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : sur TOUT l'intervalle $]0\\ ;\\ 1[$, la\nconclusion est la même : $a^2 < a$ (la parabole passe\nsous la droite $y = x$)." } ], "explanation": "Entre $0$ et $1$ : $a^2 < a$ (la parabole sous la\ndiagonale) ; au-delà de $1$ : $a^2 > a$. Les points de\ncroisement : $0$ et $1$. Une image graphique qui évite bien\ndes erreurs de majoration." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "racine-croissante" ], "title": "Comparer $\\sqrt{3}$ et $\\sqrt{5}$", "partie": "comparaisons", "statement": "Sans calculatrice, comment justifier que $\\sqrt{3} <\n\\sqrt{5}$ ?", "options": [ { "text": "Par la croissance de la fonction racine carrée", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la fonction racine carrée est\nstrictement croissante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$, donc $3 <\n5 \\Rightarrow \\sqrt{3} < \\sqrt{5}$. La croissance\ntransporte l'inégalité des nombres vers leurs racines,\nsans aucune valeur approchée." }, { "text": "Par la décroissance de la fonction racine carrée", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine carrée est **croissante** sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$. Une fonction décroissante\nrenverserait l'ordre et donnerait $\\sqrt{3} > \\sqrt{5}$,\nce qui est faux ($1{,}73 < 2{,}24$)." }, { "text": "On ne peut pas : les racines ne se comparent pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : la croissance de $\\sqrt{\\ }$ permet justement\nde comparer les racines par leurs radicandes." }, { "text": "C'est faux : $\\sqrt{3} > \\sqrt{5}$, car $3 < 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine **conserve** l'ordre (croissante) :\nl'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse." } ], "explanation": "Comparer via les variations d'une fonction de référence :\nune fonction croissante (racine, cube) conserve l'ordre ; une fonction décroissante (inverse sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$) le renverse. L'argument\nattendu cite la fonction et son sens." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-cube" ], "title": "Résoudre une équation $x^3 = k$", "partie": "equations", "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -8$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-2)^3 = -8$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 2$ et $x = -2$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $2^3 = +8 \\neq -8$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-2)^3 = -8$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -\\dfrac{8}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-8$ : c'est $-2$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence.", "variants": [ { "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -8$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-2)^3 = -8$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 2$ et $x = -2$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $2^3 = +8 \\neq -8$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-2)^3 = -8$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -\\dfrac{8}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-8$ : c'est $-2$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence." }, { "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -27$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^3 = -27$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 3$ et $x = -3$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $3^3 = +27 \\neq -27$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-3)^3 = -27$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-27$ : c'est $-3$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence." }, { "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -64$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-4)^3 = -64$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 4$ et $x = -4$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $4^3 = +64 \\neq -64$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-4)^3 = -64$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -\\dfrac{64}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-64$ : c'est $-4$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence." }, { "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -125$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-5)^3 = -125$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 5$ et $x = -5$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $5^3 = +125 \\neq -125$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-5)^3 = -125$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -\\dfrac{125}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-125$ : c'est $-5$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence." } ] }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "position-carre-identite" ], "title": "Parabole et diagonale sur $[0\\ ;\\ 1]$", "partie": "comparaisons", "statement": "Sur l'intervalle $[0\\ ;\\ 1]$, comment se situe la courbe de\n$y = x^2$ par rapport à la droite $y = x$ ?", "options": [ { "text": "En dessous", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - x = x(x - 1) \\leq 0$ sur $[0\\ ;\\\n1]$ (produit d'un positif et d'un négatif) : la parabole\nplonge sous la diagonale entre les deux points de\ncontact, en $0$ et en $1$." }, { "text": "Au-dessus", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0{,}5$ : $0{,}25 < 0{,}5$ : la\nparabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus\naprès $1$)." }, { "text": "Elles ne se rencontrent jamais", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^2 = x$ en $x = 0$ et $x = 1$ : deux points\ncommuns, bornes exactes de l'intervalle." }, { "text": "Elles sont confondues sur cet intervalle", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^2 = x$ seulement aux deux extrémités :\nentre les deux, l'écart $x - x^2$ est strictement\npositif (maximal en $0{,}5$)." } ], "explanation": "La position relative se lit sur le signe de la différence : $x^2 - x =\nx(x - 1)$, négatif entre ses racines $0$ et $1$. La même\nétude redonne $a^2 < a$ pour $0 < a < 1$ : deux habits d'un\nmême fait." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-inverse", "courbe" ], "title": "L'allure de la courbe de l'inverse", "partie": "courbes", "statement": "Quelle est la forme de la courbe de la fonction inverse ?", "options": [ { "text": "Deux branches séparées par les axes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : cette courbe, appelée hyperbole, a une branche dans\nle quart en haut à droite et une autre en bas à gauche." }, { "text": "Une courbe en U tournée vers le haut", "correct": false, "feedback": "C'est la parabole de la fonction carré. La fonction inverse n'est pas\ndéfinie en $0$, donc sa courbe est coupée en deux." }, { "text": "Une droite passant par l'origine", "correct": false, "feedback": "Une droite correspondrait à une fonction linéaire. Ici le produit\n$x \\times f(x)$ vaut $1$, ce qui interdit le passage par l'origine." }, { "text": "Une branche unique partant de l'origine", "correct": false, "feedback": "C'est la courbe de la fonction racine carrée, définie seulement sur\nles nombres positifs." } ], "explanation": "La fonction inverse est définie sur $\\mathbb{R}$ privé de $0$. Sa courbe\ncomporte donc deux branches, symétriques par rapport à l'origine, qui\ns'approchent des axes sans jamais les toucher." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-carre", "variations" ], "title": "Sens de variation de la fonction carré", "partie": "courbes", "statement": "Comment varie la fonction carré sur l'intervalle\n$]-\\infty\\,;\\,0]$ ?", "options": [ { "text": "Elle est décroissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : plus un nombre négatif est petit, plus son carré est\ngrand. Ainsi $(-5)^2 = 25$ dépasse $(-2)^2 = 4$." }, { "text": "Elle est croissante", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $-5 < -2$, pourtant $25 > 4$. L'ordre est inversé sur\nles nombres négatifs." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Les images changent : $(-1)^2 = 1$ et $(-3)^2 = 9$ sont différents." }, { "text": "Elle est croissante puis décroissante", "correct": false, "feedback": "Le changement de sens a lieu en $0$ seulement, il n'y a donc qu'un\nseul sens de variation sur cet intervalle." } ], "explanation": "La fonction carré décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, le\nminimum étant atteint en $0$. C'est la lecture du creux de la parabole." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "inequation", "fonction-carre" ], "title": "Résoudre une inéquation $x^2 \\geq k$", "partie": "equations", "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \\geq 4$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2] \\cup [2\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $4$ sont ceux qui\ns'éloignent d'au moins $2$ de l'origine." }, { "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Moitié oubliée : $x = -3$ convient aussi, car $(-3)^2 = 9 \\geq 4$." }, { "text": "$[-2\\,;\\,2]$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \\leq 4$. Pour\n$x = 0$, on obtient $0 \\geq 4$, ce qui est faux." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$1^2 = 1 < 4$." } ], "explanation": "L'inéquation $x^2 \\geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à\n$\\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \\leq a$ donne un\nintervalle centré.", "variants": [ { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \\geq 4$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2] \\cup [2\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $4$ sont ceux qui\ns'éloignent d'au moins $2$ de l'origine." }, { "text": "$[2\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Moitié oubliée : $x = -3$ convient aussi, car $(-3)^2 = 9 \\geq 4$." }, { "text": "$[-2\\,;\\,2]$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \\leq 4$. Pour\n$x = 0$, on obtient $0 \\geq 4$, ce qui est faux." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$1^2 = 1 < 4$." } ], "explanation": "L'inéquation $x^2 \\geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à\n$\\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \\leq a$ donne un\nintervalle centré." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \\geq 9$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3] \\cup [3\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $9$ sont ceux qui\ns'éloignent d'au moins $3$ de l'origine." }, { "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Moitié oubliée : $x = -4$ convient aussi, car $(-4)^2 = 16 \\geq 9$." }, { "text": "$[-3\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \\leq 9$. Pour\n$x = 0$, on obtient $0 \\geq 9$, ce qui est faux." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$1^2 = 1 < 9$." } ], "explanation": "L'inéquation $x^2 \\geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à\n$\\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \\leq a$ donne un\nintervalle centré." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \\geq 25$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-5] \\cup [5\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $25$ sont ceux qui\ns'éloignent d'au moins $5$ de l'origine." }, { "text": "$[5\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Moitié oubliée : $x = -6$ convient aussi, car $(-6)^2 = 36 \\geq 25$." }, { "text": "$[-5\\,;\\,5]$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \\leq 25$. Pour\n$x = 0$, on obtient $0 \\geq 25$, ce qui est faux." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-5] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$1^2 = 1 < 25$." } ], "explanation": "L'inéquation $x^2 \\geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à\n$\\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \\leq a$ donne un\nintervalle centré." }, { "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \\geq 16$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4] \\cup [4\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $16$ sont ceux qui\ns'éloignent d'au moins $4$ de l'origine." }, { "text": "$[4\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Moitié oubliée : $x = -5$ convient aussi, car $(-5)^2 = 25 \\geq 16$." }, { "text": "$[-4\\,;\\,4]$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \\leq 16$. Pour\n$x = 0$, on obtient $0 \\geq 16$, ce qui est faux." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,-4] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$1^2 = 1 < 16$." } ], "explanation": "L'inéquation $x^2 \\geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à\n$\\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \\leq a$ donne un\nintervalle centré." } ] }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-inverse", "equation" ], "title": "L'équation $\\dfrac{1}{x} = 0$", "partie": "equations", "statement": "L'équation $\\dfrac{1}{x} = 0$ admet-elle une solution ?", "options": [ { "text": "Non, aucun nombre ne convient", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un quotient est nul seulement si son numérateur l'est,\nor ce numérateur vaut $1$." }, { "text": "Oui, la solution est $x = 0$", "correct": false, "feedback": "La valeur $0$ est justement interdite : la fonction inverse n'y est\npas définie." }, { "text": "Oui, la solution est $x = 1$", "correct": false, "feedback": "Vérification : $\\dfrac{1}{1}$ vaut $1$ et non $0$." }, { "text": "Oui, une infinité de solutions", "correct": false, "feedback": "Aucune valeur ne convient : plus $x$ grandit, plus $\\dfrac{1}{x}$\ns'approche de $0$ sans jamais l'atteindre." } ], "explanation": "Un quotient s'annule si et seulement si son numérateur s'annule, le\ndénominateur restant non nul. La courbe de la fonction inverse ne coupe\ndonc jamais l'axe des abscisses." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-signes", "fonction-affine" ], "title": "Quand une expression affine est positive", "partie": "signes", "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-3x + 6$ est-elle positive ?", "options": [ { "text": "Pour $x \\leq 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $2$, et le coefficient $-3$\nétant négatif, elle est positive avant cette valeur." }, { "text": "Pour $x \\geq 2$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x = 3$, l'expression vaut $-3$, donc elle est\nnégative après $2$." }, { "text": "Pour $x \\leq -2$", "correct": false, "feedback": "Racine mal calculée : $-3x + 6 = 0$ donne $x = 2$, et non $x = -2$." }, { "text": "Pour tout réel", "correct": false, "feedback": "L'expression change de signe : elle vaut $-3$ pour $x = 3$, ce qui\nsuffit à écarter cette réponse." } ], "explanation": "Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$. Elle prend\nensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant.", "variants": [ { "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-3x + 6$ est-elle positive ?", "options": [ { "text": "Pour $x \\leq 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $2$, et le coefficient $-3$\nétant négatif, elle est positive avant cette valeur." }, { "text": "Pour $x \\geq 2$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x = 3$, l'expression vaut $-3$, donc elle est\nnégative après $2$." }, { "text": "Pour $x \\leq -2$", "correct": false, "feedback": "Racine mal calculée : $-3x + 6 = 0$ donne $x = 2$, et non $x = -2$." }, { "text": "Pour tout réel", "correct": false, "feedback": "L'expression change de signe : elle vaut $-3$ pour $x = 3$, ce qui\nsuffit à écarter cette réponse." } ], "explanation": "Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$. Elle prend\nensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant." }, { "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-2x + 8$ est-elle positive ?", "options": [ { "text": "Pour $x \\leq 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $4$, et le coefficient $-2$\nétant négatif, elle est positive avant cette valeur." }, { "text": "Pour $x \\geq 4$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x = 5$, l'expression vaut $-2$, donc elle est\nnégative après $4$." }, { "text": "Pour $x \\leq -4$", "correct": false, "feedback": "Racine mal calculée : $-2x + 8 = 0$ donne $x = 4$, et non $x = -4$." }, { "text": "Pour tout réel", "correct": false, "feedback": "L'expression change de signe : elle vaut $-2$ pour $x = 5$, ce qui\nsuffit à écarter cette réponse." } ], "explanation": "Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$. Elle prend\nensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant." }, { "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-4x + 12$ est-elle positive ?", "options": [ { "text": "Pour $x \\leq 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $3$, et le coefficient $-4$\nétant négatif, elle est positive avant cette valeur." }, { "text": "Pour $x \\geq 3$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x = 4$, l'expression vaut $-4$, donc elle est\nnégative après $3$." }, { "text": "Pour $x \\leq -3$", "correct": false, "feedback": "Racine mal calculée : $-4x + 12 = 0$ donne $x = 3$, et non $x = -3$." }, { "text": "Pour tout réel", "correct": false, "feedback": "L'expression change de signe : elle vaut $-4$ pour $x = 4$, ce qui\nsuffit à écarter cette réponse." } ], "explanation": "Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$. Elle prend\nensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant." }, { "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-5x + 5$ est-elle positive ?", "options": [ { "text": "Pour $x \\leq 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $1$, et le coefficient $-5$\nétant négatif, elle est positive avant cette valeur." }, { "text": "Pour $x \\geq 1$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x = 2$, l'expression vaut $-5$, donc elle est\nnégative après $1$." }, { "text": "Pour $x \\leq -1$", "correct": false, "feedback": "Racine mal calculée : $-5x + 5 = 0$ donne $x = 1$, et non $x = -1$." }, { "text": "Pour tout réel", "correct": false, "feedback": "L'expression change de signe : elle vaut $-5$ pour $x = 2$, ce qui\nsuffit à écarter cette réponse." } ], "explanation": "Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$. Elle prend\nensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant." } ] }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "tableau-signes", "produit" ], "title": "Signe d'un produit et ordre des racines", "partie": "signes", "statement": "Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 4)$ est-il négatif ?", "options": [ { "text": "Sur $]-4\\,;\\,1[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les deux racines, les facteurs sont de signes\ncontraires, donc leur produit est négatif." }, { "text": "Sur $]1\\,;\\,4[$", "correct": false, "feedback": "Racines mal lues : $(x + 4)$ s'annule en $-4$, pas en $4$. Le signe se\nlit entre $-4$ et $1$." }, { "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-4[$", "correct": false, "feedback": "Pour $x = -5$, les deux facteurs valent $-6$ et $-1$, et leur produit\nest positif." }, { "text": "Sur $]-1\\,;\\,4[$", "correct": false, "feedback": "Signes des racines inversés : les valeurs qui annulent le produit sont\n$1$ et $-4$." } ], "explanation": "Un tableau de signes place les racines dans l'ordre croissant, donne le\nsigne de chaque facteur, puis celui du produit ligne par ligne." }, { "id": "q25", "difficulty": 1, "skills": [ "fonction-valeur-absolue", "courbe" ], "title": "La courbe de la valeur absolue", "partie": "courbes", "statement": "Quelle est l'allure de la courbe de la fonction valeur absolue ?", "options": [ { "text": "Deux demi-droites formant un V", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la courbe suit $y = -x$ avant $0$ et $y = x$ après,\navec une pointe à l'origine." }, { "text": "Une parabole tournée vers le haut", "correct": false, "feedback": "La parabole est arrondie en son sommet, alors que la valeur absolue\nforme un angle. De plus $|2| = 2$, pas $4$." }, { "text": "Une droite passant par l'origine", "correct": false, "feedback": "Une droite unique ne conviendrait que si la fonction était linéaire.\nOr $|-3| = 3$ et non $-3$." }, { "text": "Deux branches d'hyperbole", "correct": false, "feedback": "C'est la courbe de la fonction inverse. La valeur absolue, elle, est\ndéfinie en $0$, où elle vaut $0$." } ], "explanation": "Pour $x \\geq 0$, $|x| = x$ ; pour $x < 0$, $|x| = -x$. La courbe est donc\nformée de deux morceaux de droites symétriques par rapport à l'axe des\nordonnées." }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-racine", "comparaison" ], "title": "Racine carrée et nombres entre $0$ et $1$", "partie": "comparaisons", "statement": "Pour un nombre $x$ compris strictement entre $0$ et $1$, comment\n$\\sqrt{x}$ se compare-t-il à $x$ ?", "options": [ { "text": "$\\sqrt{x}$ est plus grand que $x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $x = 0{,}25$, la racine vaut $0{,}5$, donc elle\ndépasse le nombre de départ." }, { "text": "$\\sqrt{x}$ est plus petit que $x$", "correct": false, "feedback": "C'est vrai au-delà de $1$ seulement : $\\sqrt{9} = 3 < 9$, mais\n$\\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$." }, { "text": "Les deux nombres sont égaux", "correct": false, "feedback": "L'égalité n'a lieu que pour $x = 0$ et $x = 1$, exclus par l'énoncé." }, { "text": "Cela dépend de la valeur de $x$", "correct": false, "feedback": "La comparaison est la même sur tout l'intervalle : prendre la racine\ny rapproche de $1$ par le haut." } ], "explanation": "Élever au carré un nombre compris entre $0$ et $1$ le diminue, donc\nl'opération inverse, la racine carrée, l'augmente. C'est ce que montre le\ncroisement de la courbe avec la droite d'équation $y = x$." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-cube", "symetrie" ], "title": "Symétrie de la courbe du cube", "partie": "courbes", "statement": "Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cube ?", "options": [ { "text": "Une symétrie par rapport à l'origine", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$, donc les points d'abscisses opposées\nont des ordonnées opposées." }, { "text": "Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées", "correct": false, "feedback": "C'est le cas de la fonction carré. Ici $(-2)^3 = -8$ alors que\n$2^3 = 8$, les ordonnées ne coïncident pas." }, { "text": "Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Aucune courbe de fonction n'a cette symétrie : un nombre aurait alors\ndeux images opposées." }, { "text": "Aucune symétrie particulière", "correct": false, "feedback": "La relation $(-x)^3 = -x^3$ vaut pour tout réel, elle impose la\nsymétrie par rapport à l'origine." } ], "explanation": "Une fonction vérifiant $f(-x) = -f(x)$ a une courbe symétrique par\nrapport à l'origine. C'est le cas du cube, alors que le carré vérifie\n$f(-x) = f(x)$ et présente une symétrie axiale." }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "tableau-signes", "quotient" ], "title": "Valeur interdite dans un tableau de signes", "partie": "signes", "statement": "Dans le tableau de signes du quotient $\\dfrac{x - 2}{x + 1}$, que\nplace-t-on sous la valeur $-1$ ?", "options": [ { "text": "Une double barre", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le dénominateur s'annule en $-1$, le quotient n'y est\ndonc pas défini." }, { "text": "Un zéro", "correct": false, "feedback": "Un zéro signalerait que le quotient s'annule, ce qui arrive seulement\nquand le numérateur est nul, ici en $2$." }, { "text": "Un signe moins", "correct": false, "feedback": "Aucun signe ne peut être attribué : le quotient n'existe pas pour\n$x = -1$." }, { "text": "Rien, la colonne reste vide", "correct": false, "feedback": "La valeur interdite doit apparaître explicitement, sans quoi\nl'ensemble de définition disparaît de la lecture." } ], "explanation": "Dans un tableau de signes, un zéro marque une racine et une double barre\nune valeur interdite. Les deux se lisent respectivement sur le numérateur\net sur le dénominateur." }, { "id": "q29", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-carre", "equation" ], "title": "Une équation sans solution", "partie": "equations", "statement": "Combien l'équation $x^2 = -9$ a-t-elle de solutions réelles ?", "options": [ { "text": "Aucune", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut donc\npas valoir $-9$." }, { "text": "Une seule, $x = -3$", "correct": false, "feedback": "Vérification : $(-3)^2$ vaut $9$ et non $-9$. Le signe moins ne\ntraverse pas le carré." }, { "text": "Deux, $x = -3$ et $x = 3$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres sont les solutions de $x^2 = 9$. L'équation posée a\nun second membre négatif." }, { "text": "Une infinité", "correct": false, "feedback": "Une équation du type $x^2 = a$ a zéro, une ou deux solutions selon le\nsigne de $a$, jamais davantage." } ], "explanation": "L'équation $x^2 = a$ n'a pas de solution si $a$ est négatif, une seule si\n$a$ est nul, et deux solutions opposées si $a$ est positif." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-racine", "ensemble-definition" ], "title": "Définition d'une racine composée", "partie": "courbes", "statement": "Sur quel ensemble la fonction définie par $f(x) = \\sqrt{5 - x}$\nest-elle définie ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition $5 - x \\geq 0$ équivaut à $x \\leq 5$." }, { "text": "$[5\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Inégalité retournée : pour $x = 6$, on obtiendrait $\\sqrt{-1}$, qui\nn'existe pas." }, { "text": "$[-5\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Signe mal reporté : la quantité sous la racine est $5 - x$, et non\n$x + 5$." }, { "text": "$\\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Une racine carrée impose une condition : ici elle exclut tous les\nnombres supérieurs à $5$." } ], "explanation": "On résout l'inéquation qui exprime la positivité de la quantité sous le\nradical. Attention au coefficient négatif devant $x$, qui renverse le\nsens de l'inégalité." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "calcul", "carre" ], "title": "Image d'un négatif par la fonction carré", "partie": "courbes", "statement": "Quelle est l'image de $-3$ par la fonction carré ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-3) \\times (-3) = 9$. Le produit de deux nombres\nnégatifs est positif." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un\ncarré n'est jamais négatif, et l'image vaut $9$." }, { "text": "$-6$", "correct": false, "feedback": "Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier\nle nombre par lui-même, ce qui donne $9$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas\nun facteur $2$. Le calcul attendu est $(-3) \\times (-3) = 9$." } ], "explanation": "L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit\n$x \\times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le\nsigne de $x$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est l'image de $-3$ par la fonction carré ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-3) \\times (-3) = 9$. Le produit de deux nombres\nnégatifs est positif." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un\ncarré n'est jamais négatif, et l'image vaut $9$." }, { "text": "$-6$", "correct": false, "feedback": "Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier\nle nombre par lui-même, ce qui donne $9$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas\nun facteur $2$. Le calcul attendu est $(-3) \\times (-3) = 9$." } ], "explanation": "L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit\n$x \\times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le\nsigne de $x$." }, { "statement": "Quelle est l'image de $-6$ par la fonction carré ?", "options": [ { "text": "$36$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-6) \\times (-6) = 36$. Le produit de deux nombres\nnégatifs est positif." }, { "text": "$-36$", "correct": false, "feedback": "Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un\ncarré n'est jamais négatif, et l'image vaut $36$." }, { "text": "$-12$", "correct": false, "feedback": "Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier\nle nombre par lui-même, ce qui donne $36$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas\nun facteur $2$. Le calcul attendu est $(-6) \\times (-6) = 36$." } ], "explanation": "L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit\n$x \\times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le\nsigne de $x$." }, { "statement": "Quelle est l'image de $-8$ par la fonction carré ?", "options": [ { "text": "$64$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-8) \\times (-8) = 64$. Le produit de deux nombres\nnégatifs est positif." }, { "text": "$-64$", "correct": false, "feedback": "Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un\ncarré n'est jamais négatif, et l'image vaut $64$." }, { "text": "$-16$", "correct": false, "feedback": "Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier\nle nombre par lui-même, ce qui donne $64$." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas\nun facteur $2$. Le calcul attendu est $(-8) \\times (-8) = 64$." } ], "explanation": "L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit\n$x \\times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le\nsigne de $x$." }, { "statement": "Quelle est l'image de $-7$ par la fonction carré ?", "options": [ { "text": "$49$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-7) \\times (-7) = 49$. Le produit de deux nombres\nnégatifs est positif." }, { "text": "$-49$", "correct": false, "feedback": "Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un\ncarré n'est jamais négatif, et l'image vaut $49$." }, { "text": "$-14$", "correct": false, "feedback": "Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier\nle nombre par lui-même, ce qui donne $49$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas\nun facteur $2$. Le calcul attendu est $(-7) \\times (-7) = 49$." } ], "explanation": "L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit\n$x \\times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le\nsigne de $x$." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "cube", "fonction-cube" ], "title": "Calculer une image par la fonction cube", "partie": "courbes", "statement": "Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-3)$ ?", "options": [ { "text": "$-27$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et\n$(-3) \\times (-3) \\times (-3) = -27$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne\nun produit positif. Ici le résultat vaut $-27$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-3$, alors que le cube\nen compte trois et vaut $-27$." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne\nsignifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-27$." } ], "explanation": "Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le\nsigne du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube\ndu carré.", "variants": [ { "statement": "Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-3)$ ?", "options": [ { "text": "$-27$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et\n$(-3) \\times (-3) \\times (-3) = -27$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne\nun produit positif. Ici le résultat vaut $-27$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-3$, alors que le cube\nen compte trois et vaut $-27$." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne\nsignifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-27$." } ], "explanation": "Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le\nsigne du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube\ndu carré." }, { "statement": "Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-4)$ ?", "options": [ { "text": "$-64$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et\n$(-4) \\times (-4) \\times (-4) = -64$." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne\nun produit positif. Ici le résultat vaut $-64$." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-4$, alors que le cube\nen compte trois et vaut $-64$." }, { "text": "$-12$", "correct": false, "feedback": "Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne\nsignifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-64$." } ], "explanation": "Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le\nsigne du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube\ndu carré." }, { "statement": "Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-5)$ ?", "options": [ { "text": "$-125$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et\n$(-5) \\times (-5) \\times (-5) = -125$." }, { "text": "$125$", "correct": false, "feedback": "Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne\nun produit positif. Ici le résultat vaut $-125$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-5$, alors que le cube\nen compte trois et vaut $-125$." }, { "text": "$-15$", "correct": false, "feedback": "Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne\nsignifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-125$." } ], "explanation": "Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le\nsigne du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube\ndu carré." }, { "statement": "Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-7)$ ?", "options": [ { "text": "$-343$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et\n$(-7) \\times (-7) \\times (-7) = -343$." }, { "text": "$343$", "correct": false, "feedback": "Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne\nun produit positif. Ici le résultat vaut $-343$." }, { "text": "$49$", "correct": false, "feedback": "Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-7$, alors que le cube\nen compte trois et vaut $-343$." }, { "text": "$-21$", "correct": false, "feedback": "Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne\nsignifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-343$." } ], "explanation": "Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le\nsigne du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube\ndu carré." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "racine", "calcul" ], "title": "Appliquer la fonction racine carrée", "partie": "courbes", "statement": "On applique la fonction racine carrée au nombre $36$. Quel résultat\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6 \\times 6 = 36$, et la racine carrée d'un\nnombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne." }, { "text": "$6$ ou $-6$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 36$, qui a deux solutions. La racine\ncarrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,\nle positif." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $18 \\times 18$ dépasse\nlargement $36$. Le nombre cherché est $6$." }, { "text": "$1296$", "correct": false, "feedback": "Opération inverse : ce nombre est le carré de $36$. La racine carrée\nramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $6$." } ], "explanation": "La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut\n$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de\ntête.", "variants": [ { "statement": "On applique la fonction racine carrée au nombre $36$. Quel résultat\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6 \\times 6 = 36$, et la racine carrée d'un\nnombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne." }, { "text": "$6$ ou $-6$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 36$, qui a deux solutions. La racine\ncarrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,\nle positif." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $18 \\times 18$ dépasse\nlargement $36$. Le nombre cherché est $6$." }, { "text": "$1296$", "correct": false, "feedback": "Opération inverse : ce nombre est le carré de $36$. La racine carrée\nramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $6$." } ], "explanation": "La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut\n$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de\ntête." }, { "statement": "On applique la fonction racine carrée au nombre $64$. Quel résultat\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 8 = 64$, et la racine carrée d'un\nnombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne." }, { "text": "$8$ ou $-8$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 64$, qui a deux solutions. La racine\ncarrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,\nle positif." }, { "text": "$32$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $32 \\times 32$ dépasse\nlargement $64$. Le nombre cherché est $8$." }, { "text": "$4096$", "correct": false, "feedback": "Opération inverse : ce nombre est le carré de $64$. La racine carrée\nramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $8$." } ], "explanation": "La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut\n$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de\ntête." }, { "statement": "On applique la fonction racine carrée au nombre $144$. Quel résultat\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $12 \\times 12 = 144$, et la racine carrée d'un\nnombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne." }, { "text": "$12$ ou $-12$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 144$, qui a deux solutions. La racine\ncarrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,\nle positif." }, { "text": "$72$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $72 \\times 72$ dépasse\nlargement $144$. Le nombre cherché est $12$." }, { "text": "$20736$", "correct": false, "feedback": "Opération inverse : ce nombre est le carré de $144$. La racine carrée\nramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $12$." } ], "explanation": "La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut\n$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de\ntête." }, { "statement": "On applique la fonction racine carrée au nombre $16$. Quel résultat\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 4 = 16$, et la racine carrée d'un\nnombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne." }, { "text": "$4$ ou $-4$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 16$, qui a deux solutions. La racine\ncarrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,\nle positif." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $8 \\times 8$ dépasse\nlargement $16$. Le nombre cherché est $4$." }, { "text": "$256$", "correct": false, "feedback": "Opération inverse : ce nombre est le carré de $16$. La racine carrée\nramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $4$." } ], "explanation": "La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut\n$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de\ntête." } ] }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "parite", "fonction-valeur-absolue" ], "title": "Une égalité de la valeur absolue", "partie": "courbes", "statement": "Quelle égalité la fonction valeur absolue vérifie-t-elle pour tout\nnombre réel $x$ ?", "options": [ { "text": "$|-x| = |x|$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la valeur absolue efface le signe, donc un nombre et\nson opposé ont la même image." }, { "text": "$|-x| = -|x|$", "correct": false, "feedback": "Une valeur absolue n'est jamais strictement négative, alors que\n$-|x|$ l'est dès que $x$ n'est pas nul." }, { "text": "$|-x| = x$", "correct": false, "feedback": "Égalité mise en défaut par $x = -4$ : le membre de gauche vaut $4$\net le membre de droite vaut $-4$." }, { "text": "$|x| = x$ pour tout réel", "correct": false, "feedback": "Cette égalité ne vaut que pour les nombres positifs : pour $x = -4$,\nla valeur absolue vaut $4$ et non $-4$." } ], "explanation": "Une fonction qui vérifie $f(-x) = f(x)$ pour tout réel a une courbe\nsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées. C'est le cas de la valeur\nabsolue et du carré, mais pas du cube, qui vérifie $f(-x) = -f(x)$." }, { "id": "q35", "difficulty": 2, "skills": [ "signe-affine", "tableau-de-signes" ], "title": "Combien de changements de signe", "partie": "signes", "statement": "Combien de fois l'expression $ax + b$, avec $a \\neq 0$, change-t-elle\nde signe sur $\\mathbb{R}$ ?", "options": [ { "text": "Une seule fois, en sa racine", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'expression s'annule en $-\\dfrac{b}{a}$, prend le\nsigne contraire à celui de $a$ avant, et le signe de $a$ après." }, { "text": "Deux fois, comme un produit de facteurs", "correct": false, "feedback": "Deux changements supposeraient deux racines, ce qui est le cas d'un\nproduit tel que $(x - 1)(x + 2)$, pas d'une expression affine." }, { "text": "Jamais : son signe est celui de $a$", "correct": false, "feedback": "Le signe de $a$ ne vaut qu'après la racine : pour $2x - 4$ et\n$x = 0$, l'expression vaut $-4$ alors que $a$ vaut $2$." }, { "text": "Cela dépend du signe de $b$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $b$ déplace la racine sur l'axe, mais il ne modifie pas le\nnombre de changements de signe, qui reste égal à un." } ], "explanation": "Une expression affine non constante s'annule une fois et une seule, en\n$-\\dfrac{b}{a}$. Son tableau de signes comporte donc toujours deux\ncolonnes, séparées par un zéro." }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-affine", "signe-affine" ], "title": "Racine d'une expression affine", "partie": "signes", "statement": "En quelle valeur l'expression $4x - 12$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "$x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation $4x - 12 = 0$ donne\n$4x = 12$, puis $x = 3$ après division par $4$." }, { "text": "$x = -3$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de\nl'autre côté du signe égal. La racine vaut $3$." }, { "text": "$x = 12$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : une fois $4x = 12$ obtenu, il reste\nà diviser par $4$, ce qui donne $3$." }, { "text": "$x = 48$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $4$ se\ndivise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $3$." } ], "explanation": "La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre\n$-\\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau\nde signes.", "variants": [ { "statement": "En quelle valeur l'expression $4x - 12$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "$x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation $4x - 12 = 0$ donne\n$4x = 12$, puis $x = 3$ après division par $4$." }, { "text": "$x = -3$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de\nl'autre côté du signe égal. La racine vaut $3$." }, { "text": "$x = 12$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : une fois $4x = 12$ obtenu, il reste\nà diviser par $4$, ce qui donne $3$." }, { "text": "$x = 48$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $4$ se\ndivise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $3$." } ], "explanation": "La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre\n$-\\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau\nde signes." }, { "statement": "En quelle valeur l'expression $-3x + 15$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "$x = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation $-3x + 15 = 0$ donne\n$-3x = -15$, puis $x = 5$ après division par $-3$." }, { "text": "$x = -5$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de\nl'autre côté du signe égal. La racine vaut $5$." }, { "text": "$x = -15$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : une fois $-3x = -15$ obtenu, il reste\nà diviser par $-3$, ce qui donne $5$." }, { "text": "$x = 45$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $-3$ se\ndivise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $5$." } ], "explanation": "La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre\n$-\\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau\nde signes." }, { "statement": "En quelle valeur l'expression $5x + 20$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "$x = -4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation $5x + 20 = 0$ donne\n$5x = -20$, puis $x = -4$ après division par $5$." }, { "text": "$x = 4$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de\nl'autre côté du signe égal. La racine vaut $-4$." }, { "text": "$x = -20$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : une fois $5x = -20$ obtenu, il reste\nà diviser par $5$, ce qui donne $-4$." }, { "text": "$x = -100$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $5$ se\ndivise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $-4$." } ], "explanation": "La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre\n$-\\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau\nde signes." }, { "statement": "En quelle valeur l'expression $8x - 16$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "$x = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation $8x - 16 = 0$ donne\n$8x = 16$, puis $x = 2$ après division par $8$." }, { "text": "$x = -2$", "correct": false, "feedback": "Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de\nl'autre côté du signe égal. La racine vaut $2$." }, { "text": "$x = 16$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : une fois $8x = 16$ obtenu, il reste\nà diviser par $8$, ce qui donne $2$." }, { "text": "$x = 128$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $8$ se\ndivise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $2$." } ], "explanation": "La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre\n$-\\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau\nde signes." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "racine-croissante", "comparaison" ], "title": "Encadrer une racine carrée", "partie": "comparaisons", "statement": "Entre quels entiers consécutifs le nombre $\\sqrt{30}$ se situe-t-il ?", "options": [ { "text": "Entre $5$ et $6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 = 25$ et $6^2 = 36$ encadrent $30$.\nLa fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se\ntransmet aux racines." }, { "text": "Entre $4$ et $5$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $5^2 = 25$ est\ninférieur à $30$, donc $\\sqrt{30}$ dépasse $5$." }, { "text": "Entre $6$ et $7$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $6^2 = 36$ dépasse\ndéjà $30$, donc $\\sqrt{30}$ reste inférieur à $6$." }, { "text": "Entre $15$ et $16$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $15^2 = 225$, un nombre bien plus\ngrand que $30$." } ], "explanation": "Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers\nconsécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine\ncarrée transporte alors cet encadrement aux racines.", "variants": [ { "statement": "Entre quels entiers consécutifs le nombre $\\sqrt{30}$ se situe-t-il ?", "options": [ { "text": "Entre $5$ et $6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 = 25$ et $6^2 = 36$ encadrent $30$.\nLa fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se\ntransmet aux racines." }, { "text": "Entre $4$ et $5$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $5^2 = 25$ est\ninférieur à $30$, donc $\\sqrt{30}$ dépasse $5$." }, { "text": "Entre $6$ et $7$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $6^2 = 36$ dépasse\ndéjà $30$, donc $\\sqrt{30}$ reste inférieur à $6$." }, { "text": "Entre $15$ et $16$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $15^2 = 225$, un nombre bien plus\ngrand que $30$." } ], "explanation": "Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers\nconsécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine\ncarrée transporte alors cet encadrement aux racines." }, { "statement": "Entre quels entiers consécutifs le nombre $\\sqrt{50}$ se situe-t-il ?", "options": [ { "text": "Entre $7$ et $8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$ encadrent $50$.\nLa fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se\ntransmet aux racines." }, { "text": "Entre $6$ et $7$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $7^2 = 49$ est\ninférieur à $50$, donc $\\sqrt{50}$ dépasse $7$." }, { "text": "Entre $8$ et $9$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $8^2 = 64$ dépasse\ndéjà $50$, donc $\\sqrt{50}$ reste inférieur à $8$." }, { "text": "Entre $25$ et $26$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $25^2 = 625$, un nombre bien plus\ngrand que $50$." } ], "explanation": "Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers\nconsécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine\ncarrée transporte alors cet encadrement aux racines." }, { "statement": "Entre quels entiers consécutifs le nombre $\\sqrt{75}$ se situe-t-il ?", "options": [ { "text": "Entre $8$ et $9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8^2 = 64$ et $9^2 = 81$ encadrent $75$.\nLa fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se\ntransmet aux racines." }, { "text": "Entre $7$ et $8$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $8^2 = 64$ est\ninférieur à $75$, donc $\\sqrt{75}$ dépasse $8$." }, { "text": "Entre $9$ et $10$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $9^2 = 81$ dépasse\ndéjà $75$, donc $\\sqrt{75}$ reste inférieur à $9$." }, { "text": "Entre $37$ et $38$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $37^2 = 1369$, un nombre bien plus\ngrand que $75$." } ], "explanation": "Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers\nconsécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine\ncarrée transporte alors cet encadrement aux racines." }, { "statement": "Entre quels entiers consécutifs le nombre $\\sqrt{115}$ se situe-t-il ?", "options": [ { "text": "Entre $10$ et $11$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $10^2 = 100$ et $11^2 = 121$ encadrent $115$.\nLa fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se\ntransmet aux racines." }, { "text": "Entre $9$ et $10$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $10^2 = 100$ est\ninférieur à $115$, donc $\\sqrt{115}$ dépasse $10$." }, { "text": "Entre $11$ et $12$", "correct": false, "feedback": "Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $11^2 = 121$ dépasse\ndéjà $115$, donc $\\sqrt{115}$ reste inférieur à $11$." }, { "text": "Entre $57$ et $58$", "correct": false, "feedback": "Racine confondue avec la moitié : $57^2 = 3249$, un nombre bien plus\ngrand que $115$." } ], "explanation": "Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers\nconsécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine\ncarrée transporte alors cet encadrement aux racines." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "valeur-absolue", "inequation" ], "title": "Nombres de petite valeur absolue", "partie": "equations", "statement": "Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 2$ ?", "options": [ { "text": "Ceux de $]-2\\,;\\,2[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les\nnombres situés à moins de $2$ de zéro forment cet intervalle." }, { "text": "Ceux de $]-\\infty\\,;\\,2[$", "correct": false, "feedback": "Branche négative oubliée : $-20$ est bien inférieur à $2$, mais\nsa valeur absolue vaut $20$, ce qui dépasse $2$." }, { "text": "Ceux de $[0\\,;\\,2[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue\nvaut $1$, un nombre inférieur à $2$." }, { "text": "Ceux de $\\{-2\\,;\\,2\\}$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 2$. L'inégalité stricte\nretient au contraire tout ce qui se trouve entre eux." } ], "explanation": "L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition\n$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert\ncentré en zéro et de demi-longueur $k$.", "variants": [ { "statement": "Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 2$ ?", "options": [ { "text": "Ceux de $]-2\\,;\\,2[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les\nnombres situés à moins de $2$ de zéro forment cet intervalle." }, { "text": "Ceux de $]-\\infty\\,;\\,2[$", "correct": false, "feedback": "Branche négative oubliée : $-20$ est bien inférieur à $2$, mais\nsa valeur absolue vaut $20$, ce qui dépasse $2$." }, { "text": "Ceux de $[0\\,;\\,2[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue\nvaut $1$, un nombre inférieur à $2$." }, { "text": "Ceux de $\\{-2\\,;\\,2\\}$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 2$. L'inégalité stricte\nretient au contraire tout ce qui se trouve entre eux." } ], "explanation": "L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition\n$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert\ncentré en zéro et de demi-longueur $k$." }, { "statement": "Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 6$ ?", "options": [ { "text": "Ceux de $]-6\\,;\\,6[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les\nnombres situés à moins de $6$ de zéro forment cet intervalle." }, { "text": "Ceux de $]-\\infty\\,;\\,6[$", "correct": false, "feedback": "Branche négative oubliée : $-60$ est bien inférieur à $6$, mais\nsa valeur absolue vaut $60$, ce qui dépasse $6$." }, { "text": "Ceux de $[0\\,;\\,6[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue\nvaut $1$, un nombre inférieur à $6$." }, { "text": "Ceux de $\\{-6\\,;\\,6\\}$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 6$. L'inégalité stricte\nretient au contraire tout ce qui se trouve entre eux." } ], "explanation": "L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition\n$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert\ncentré en zéro et de demi-longueur $k$." }, { "statement": "Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 3$ ?", "options": [ { "text": "Ceux de $]-3\\,;\\,3[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les\nnombres situés à moins de $3$ de zéro forment cet intervalle." }, { "text": "Ceux de $]-\\infty\\,;\\,3[$", "correct": false, "feedback": "Branche négative oubliée : $-30$ est bien inférieur à $3$, mais\nsa valeur absolue vaut $30$, ce qui dépasse $3$." }, { "text": "Ceux de $[0\\,;\\,3[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue\nvaut $1$, un nombre inférieur à $3$." }, { "text": "Ceux de $\\{-3\\,;\\,3\\}$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 3$. L'inégalité stricte\nretient au contraire tout ce qui se trouve entre eux." } ], "explanation": "L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition\n$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert\ncentré en zéro et de demi-longueur $k$." }, { "statement": "Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 7$ ?", "options": [ { "text": "Ceux de $]-7\\,;\\,7[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les\nnombres situés à moins de $7$ de zéro forment cet intervalle." }, { "text": "Ceux de $]-\\infty\\,;\\,7[$", "correct": false, "feedback": "Branche négative oubliée : $-70$ est bien inférieur à $7$, mais\nsa valeur absolue vaut $70$, ce qui dépasse $7$." }, { "text": "Ceux de $[0\\,;\\,7[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue\nvaut $1$, un nombre inférieur à $7$." }, { "text": "Ceux de $\\{-7\\,;\\,7\\}$", "correct": false, "feedback": "Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 7$. L'inégalité stricte\nretient au contraire tout ce qui se trouve entre eux." } ], "explanation": "L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition\n$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert\ncentré en zéro et de demi-longueur $k$." } ] }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "courbes", "piege" ], "title": "Un point commun à toutes les courbes", "partie": "courbes", "statement": "Parmi les cinq fonctions de référence du chapitre, à savoir le carré,\nl'inverse, la racine carrée, le cube et la valeur absolue, combien ont\nune courbe passant par le point $(1\\,;\\,1)$ ?", "options": [ { "text": "Les cinq", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1^2$, $\\dfrac{1}{1}$, $\\sqrt{1}$, $1^3$ et $|1|$\nvalent tous $1$, donc les cinq courbes passent par ce point." }, { "text": "Deux, le carré et le cube", "correct": false, "feedback": "Calcul incomplet : $\\sqrt{1}$, $|1|$ et $\\dfrac{1}{1}$ valent eux\naussi $1$ et conviennent donc également." }, { "text": "Trois, le carré, le cube et la racine", "correct": false, "feedback": "Deux fonctions oubliées : l'inverse et la valeur absolue donnent\nelles aussi $1$ comme image de $1$." }, { "text": "Une seule, la fonction carré", "correct": false, "feedback": "Réponse trop prudente : il suffit de calculer l'image de $1$ par\nchacune des cinq fonctions pour constater qu'elles valent toutes $1$." } ], "explanation": "Le point $(1\\,;\\,1)$ appartient à toutes les courbes de référence, car\n$1$ est son propre carré, son propre cube, son propre inverse et sa\npropre racine. C'est un repère commode pour les tracer." }, { "id": "q40", "difficulty": 1, "skills": [ "lecture-graphique", "inverse" ], "title": "Où la courbe de l'inverse est au-dessus de l'axe", "partie": "courbes", "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ la courbe de la fonction inverse se\nsitue-t-elle au-dessus de l'axe des abscisses ?", "options": [ { "text": "Pour $x > 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inverse d'un nombre strictement positif est\nstrictement positif, donc toute cette branche est au-dessus de l'axe." }, { "text": "Pour $x < 0$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : l'inverse d'un nombre négatif est négatif, ainsi\n$\\dfrac{1}{-4}$ vaut $-0{,}25$, et cette branche est sous l'axe." }, { "text": "Pour tout $x$ non nul", "correct": false, "feedback": "La branche de gauche est entièrement sous l'axe : $\\dfrac{1}{-2}$\nvaut $-0{,}5$, un nombre négatif." }, { "text": "Pour $x > 1$ seulement", "correct": false, "feedback": "Condition trop forte : $\\dfrac{1}{0{,}5}$ vaut $2$, donc la courbe\nest déjà au-dessus de l'axe entre $0$ et $1$." } ], "explanation": "Un quotient de deux nombres de même signe est positif. La fonction\ninverse prend donc le signe de $x$ : sa courbe est au-dessus de l'axe\ndes abscisses sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ et en dessous sur\n$]-\\infty\\,;\\,0[$." }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "variations", "fonction-valeur-absolue" ], "title": "Sens de variation de la valeur absolue", "partie": "courbes", "statement": "Comment varie la fonction valeur absolue sur $\\mathbb{R}$ ?", "options": [ { "text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, croissante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $x$ négatif, $|x| = -x$ et les images diminuent\nquand $x$ augmente ; pour $x$ positif, $|x| = x$ et elles augmentent." }, { "text": "Croissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, puis décroissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Sens inversés : ce tableau décrirait un V retourné, alors que\n$|-3| = 3$ dépasse $|-1| = 1$." }, { "text": "Croissante sur $\\mathbb{R}$, sans changement de sens", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $-3 < -1$ et pourtant $|-3| = 3$ dépasse\n$|-1| = 1$. Les images diminuent sur les négatifs." }, { "text": "Décroissante sur $\\mathbb{R}$, sans changement de sens", "correct": false, "feedback": "Contre-exemple : $1 < 3$ et pourtant $|1| = 1$ est inférieur à\n$|3| = 3$. Les images augmentent sur les positifs." } ], "explanation": "La courbe en V descend jusqu'à l'origine puis remonte : la fonction\nvaleur absolue décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, avec\nun minimum égal à $0$ atteint en $0$." }, { "id": "q42", "difficulty": 3, "skills": [ "comparaison-inverses", "piege" ], "title": "Inverses de deux nombres de signes contraires", "partie": "comparaisons", "statement": "On sait que $-4 < 2$. Comment se comparent alors $\\dfrac{1}{-4}$ et\n$\\dfrac{1}{2}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{-4} < \\dfrac{1}{2}$, l'ordre est conservé", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{-4}$ vaut $-0{,}25$ et $\\dfrac{1}{2}$ vaut\n$0{,}5$. Un négatif reste inférieur à un positif." }, { "text": "$\\dfrac{1}{-4} > \\dfrac{1}{2}$, l'ordre est renversé", "correct": false, "feedback": "Règle appliquée hors de son domaine : passer à l'inverse ne renverse\nl'ordre que si les deux nombres ont le même signe." }, { "text": "$\\dfrac{1}{-4} = \\dfrac{1}{2}$, les inverses coïncident", "correct": false, "feedback": "Un nombre négatif et un nombre positif ne peuvent pas être égaux :\n$-0{,}25$ et $0{,}5$ sont bien distincts." }, { "text": "Ces deux inverses ne se comparent pas", "correct": false, "feedback": "Ce sont deux nombres ordinaires, donc comparables : il suffit de les\ncalculer pour obtenir $-0{,}25$ et $0{,}5$." } ], "explanation": "La fonction inverse est décroissante sur chacune de ses deux branches,\nmais pas de l'une à l'autre. Dès que les deux nombres encadrent zéro, on\ncompare directement les inverses obtenus, sans invoquer de règle." }, { "id": "q43", "difficulty": 2, "skills": [ "carre-entre-0-et-1", "cube" ], "title": "Cube et carré d'un nombre inférieur à 1", "partie": "comparaisons", "statement": "On choisit un nombre $a$ strictement compris entre $0$ et $1$. Le cube\n$a^3$ est-il plus grand ou plus petit que le carré $a^2$ ?", "options": [ { "text": "Plus petit que $a^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $a^3 = a^2 \\times a$, et multiplier par un nombre\ninférieur à $1$ diminue. Avec $a = 0{,}5$, on obtient $0{,}125$\ncontre $0{,}25$." }, { "text": "Plus grand que $a^2$", "correct": false, "feedback": "Intuition des grands nombres : au-delà de $1$ le cube dépasse bien le\ncarré, mais entre $0$ et $1$ chaque multiplication rapproche de zéro." }, { "text": "Toujours égal à $a^2$", "correct": false, "feedback": "L'égalité $a^3 = a^2$ ne se produit qu'en $a = 0$ et $a = 1$, deux\nvaleurs écartées par l'énoncé." }, { "text": "Cela dépend de la valeur choisie", "correct": false, "feedback": "La conclusion est la même sur tout l'intervalle : $0{,}9^3 = 0{,}729$\nest déjà inférieur à $0{,}9^2 = 0{,}81$." } ], "explanation": "Multiplier un nombre positif par un facteur compris entre $0$ et $1$ le\ndiminue. Sur $]0\\,;\\,1[$, les puissances successives décroissent donc :\n$a^3 < a^2 < a < 1$." }, { "id": "q44", "difficulty": 3, "skills": [ "position-carre-identite", "tableau-de-signes" ], "title": "Parabole et droite $y = 2x$", "partie": "comparaisons", "statement": "Pour quelles valeurs de $x$ la parabole d'équation $y = x^2$ passe-t-elle\nen dessous de la droite d'équation $y = 2x$ ?", "options": [ { "text": "Pour $x$ dans $]0\\,;\\,2[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la différence $x^2 - 2x = x(x - 2)$ est négative\nentre ses deux racines $0$ et $2$, donc la parabole y passe sous la\ndroite." }, { "text": "Pour $x$ dans $]-\\infty\\,;\\,2[$", "correct": false, "feedback": "Négatifs oubliés : pour $x = -1$, la parabole donne $1$ et la droite\ndonne $-2$, donc la parabole est au-dessus." }, { "text": "Pour $x$ dans $]2\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Intervalle mal placé : pour $x = 3$, la parabole donne $9$ et la\ndroite donne $6$, donc la parabole repasse au-dessus après $2$." }, { "text": "Pour aucune valeur de $x$", "correct": false, "feedback": "Pour $x = 1$, la parabole donne $1$ et la droite donne $2$ : la\nparabole est bien en dessous à cet endroit." } ], "explanation": "Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence de\nleurs expressions. Ici $x^2 - 2x = x(x - 2)$, et le tableau de signes de\nce produit le donne négatif entre $0$ et $2$." }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-cube", "piege" ], "title": "Résoudre $x^3 = x$", "partie": "equations", "statement": "Combien de solutions réelles l'équation $x^3 = x$ admet-elle ?", "options": [ { "text": "Trois : $-1$, $0$ et $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$, et un produit est nul\nlorsque l'un de ses facteurs l'est." }, { "text": "Une seule : $x = 0$", "correct": false, "feedback": "Solution partielle : $1^3 = 1$ et $(-1)^3 = -1$ conviennent aussi,\nce qui porte le compte à trois." }, { "text": "Deux : $-1$ et $1$", "correct": false, "feedback": "Le nombre $0$ est oublié : $0^3 = 0$, donc $0$ est également\nsolution de cette équation." }, { "text": "Une infinité, tout réel convient", "correct": false, "feedback": "Vérification immédiate : $2^3 = 8$, qui diffère de $2$. Seuls trois\nnombres conviennent." } ], "explanation": "On ramène l'équation à un produit nul : $x^3 = x$ équivaut à\n$x(x - 1)(x + 1) = 0$. Il ne faut jamais simplifier par $x$ sans savoir\nsi $x$ est nul, sous peine de perdre une solution." } ] }