{
  "chapter": {
    "id": "fonctions-images-antecedents",
    "level": "seconde",
    "theme": "Fonctions",
    "title": "Fonctions, images et antécédents",
    "description": "Vocabulaire des fonctions : image, antécédent, ensemble de définition,\ncourbe représentative. Calculs d'images et d'antécédents à partir d'une\nformule, d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.",
    "parties": [
      {
        "id": "vocabulaire",
        "title": "Vocabulaire et notation"
      },
      {
        "id": "images-antecedents",
        "title": "Images et antécédents par le calcul"
      },
      {
        "id": "lecture",
        "title": "Lecture graphique et tableaux"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Lire une égalité $f(2)=5$",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ une fonction. Que signifie l'égalité $f(2) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'image de $2$ par $f$ est $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(2)$ désigne l'image de $2$ par la fonction\n$f$. On peut aussi dire que $2$ est **un** antécédent de $5$."
        },
        {
          "text": "L'image de $5$ par $f$ est $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'inversion : l'image de $5$ s'écrirait $f(5)$. Ici\nc'est bien $2$ qui entre dans la fonction, et $5$ qui en sort."
        },
        {
          "text": "$f(5) = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien ne permet d'échanger les rôles de $2$ et $5$.\nEn général $f(5)$ n'a aucune raison de valoir $2$."
        },
        {
          "text": "$5$ est un antécédent de $2$ par $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'inversion du vocabulaire : c'est $2$ qui est un\nantécédent de $5$, car $f$ transforme $2$ en $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'écriture $f(2)=5$ : le nombre qui **entre** ($2$) a pour\n**image** le nombre qui **sort** ($5$), et $2$ est un **antécédent**\nde $5$. Le sens de lecture ne s'inverse jamais."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "image"
      ],
      "title": "Calculer une image",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as calculé $3 \\times 4 = 12$ mais oublié de\nsoustraire $5$. Il faut appliquer **toute** la formule."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $3 \\times 4 + 5 = 17$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 3x + 5$, pas à $3x - 5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as résolu $3x - 5 = 4$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $4$. On demande l'**image** de $4$ : on\nremplace $x$ par $4$ dans la formule."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer l'image de $4$, c'est remplacer $x$ par $4$ :\n$f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 7$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as calculé $3 \\times 4 = 12$ mais oublié de\nsoustraire $5$. Il faut appliquer **toute** la formule."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $3 \\times 4 + 5 = 17$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 3x + 5$, pas à $3x - 5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as résolu $3x - 5 = 4$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $4$. On demande l'**image** de $4$ : on\nremplace $x$ par $4$ dans la formule."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer l'image de $4$, c'est remplacer $x$ par $4$ :\n$f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 7$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x - 3$.\nQuelle est l'image de $5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(5) = 4 \\times 5 - 3 = 20 - 3 = 17$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as calculé $4 \\times 5 = 20$ mais oublié de\nsoustraire $3$. Il faut appliquer **toute** la formule."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $4 \\times 5 + 3 = 23$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 4x + 3$, pas à $4x - 3$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as résolu $4x - 3 = 5$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $5$. On demande l'**image** de $5$ : on\nremplace $x$ par $5$ dans la formule."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer l'image de $5$, c'est remplacer $x$ par $5$ :\n$f(5) = 4 \\times 5 - 3 = 17$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - 7$.\nQuelle est l'image de $6$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(6) = 2 \\times 6 - 7 = 12 - 7 = 5$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as calculé $2 \\times 6 = 12$ mais oublié de\nsoustraire $7$. Il faut appliquer **toute** la formule."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $2 \\times 6 + 7 = 19$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 2x + 7$, pas à $2x - 7$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{13}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as résolu $2x - 7 = 6$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $6$. On demande l'**image** de $6$ : on\nremplace $x$ par $6$ dans la formule."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer l'image de $6$, c'est remplacer $x$ par $6$ :\n$f(6) = 2 \\times 6 - 7 = 5$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 5x - 4$.\nQuelle est l'image de $3$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(3) = 5 \\times 3 - 4 = 15 - 4 = 11$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as calculé $5 \\times 3 = 15$ mais oublié de\nsoustraire $4$. Il faut appliquer **toute** la formule."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $5 \\times 3 + 4 = 19$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 5x + 4$, pas à $5x - 4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as résolu $5x - 4 = 3$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $3$. On demande l'**image** de $3$ : on\nremplace $x$ par $3$ dans la formule."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer l'image de $3$, c'est remplacer $x$ par $3$ :\n$f(3) = 5 \\times 3 - 4 = 11$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "antecedent"
      ],
      "title": "Calculer un antécédent",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on résout $3x - 5 = 7$, soit $3x = 12$,\ndonc $x = 4$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 7 - 5 = 16$ est l'**image** de $7$.\nChercher un antécédent de $7$, c'est résoudre $f(x) = 7$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{7 - 5}{3} = \\dfrac{2}{3}$ vient d'un\nmauvais transfert du $-5$. Dans $3x - 5 = 7$, le $-5$ passe\nde l'autre côté en $+5$ : $3x = 7 + 5 = 12$."
        },
        {
          "text": "$-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $3x = 12$ donne $x = 4$,\npas $x = -4$."
        }
      ],
      "explanation": "Un antécédent de $7$ est une solution de l'équation $f(x) = 7$ :\n$3x - 5 = 7 \\Leftrightarrow 3x = 12 \\Leftrightarrow x = 4$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $3x - 5 = 7$, soit $3x = 12$,\ndonc $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 \\times 7 - 5 = 16$ est l'**image** de $7$.\nChercher un antécédent de $7$, c'est résoudre $f(x) = 7$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{7 - 5}{3} = \\dfrac{2}{3}$ vient d'un\nmauvais transfert du $-5$. Dans $3x - 5 = 7$, le $-5$ passe\nde l'autre côté en $+5$ : $3x = 7 + 5 = 12$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $3x = 12$ donne $x = 4$,\npas $x = -4$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $7$ est une solution de l'équation $f(x) = 7$ :\n$3x - 5 = 7 \\Leftrightarrow 3x = 12 \\Leftrightarrow x = 4$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x - 3$.\nQuel est l'antécédent de $17$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $4x - 3 = 17$, soit $4x = 20$,\ndonc $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4 \\times 17 - 3 = 65$ est l'**image** de $17$.\nChercher un antécédent de $17$, c'est résoudre $f(x) = 17$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{17 - 3}{4} = \\dfrac{7}{2}$ vient d'un\nmauvais transfert du $-3$. Dans $4x - 3 = 17$, le $-3$ passe\nde l'autre côté en $+3$ : $4x = 17 + 3 = 20$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $4x = 20$ donne $x = 5$,\npas $x = -5$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $17$ est une solution de l'équation $f(x) = 17$ :\n$4x - 3 = 17 \\Leftrightarrow 4x = 20 \\Leftrightarrow x = 5$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - 7$.\nQuel est l'antécédent de $5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $2x - 7 = 5$, soit $2x = 12$,\ndonc $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 \\times 5 - 7 = 3$ est l'**image** de $5$.\nChercher un antécédent de $5$, c'est résoudre $f(x) = 5$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{5 - 7}{2} = -1$ vient d'un\nmauvais transfert du $-7$. Dans $2x - 7 = 5$, le $-7$ passe\nde l'autre côté en $+7$ : $2x = 5 + 7 = 12$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $2x = 12$ donne $x = 6$,\npas $x = -6$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $5$ est une solution de l'équation $f(x) = 5$ :\n$2x - 7 = 5 \\Leftrightarrow 2x = 12 \\Leftrightarrow x = 6$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 5x - 4$.\nQuel est l'antécédent de $11$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $5x - 4 = 11$, soit $5x = 15$,\ndonc $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$51$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5 \\times 11 - 4 = 51$ est l'**image** de $11$.\nChercher un antécédent de $11$, c'est résoudre $f(x) = 11$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{11 - 4}{5} = \\dfrac{7}{5}$ vient d'un\nmauvais transfert du $-4$. Dans $5x - 4 = 11$, le $-4$ passe\nde l'autre côté en $+4$ : $5x = 11 + 4 = 15$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $5x = 15$ donne $x = 3$,\npas $x = -3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $11$ est une solution de l'équation $f(x) = 11$ :\n$5x - 4 = 11 \\Leftrightarrow 5x = 15 \\Leftrightarrow x = 3$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Nombre d'images d'un nombre",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de\ndéfinition. Combien $a$ possède-t-il d'images par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition même d'une fonction.\nÀ chaque nombre de l'ensemble de définition, elle associe\n**une unique** image."
        },
        {
          "text": "Au plus deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu confonds avec les **antécédents**, qui peuvent\nêtre plusieurs (par exemple $9$ a deux antécédents par\n$x \\mapsto x^2$). L'image, elle, est toujours unique."
        },
        {
          "text": "Autant qu'on veut",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si un même $a$ avait plusieurs images, $f$ ne serait\npas une fonction. C'est le nombre d'**antécédents** qui peut\nvarier."
        },
        {
          "text": "Aucune, sauf si la courbe coupe l'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout nombre de l'ensemble de définition a une image,\nindépendamment de l'axe des ordonnées."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition\n**exactement une** image. En revanche, un nombre peut avoir zéro,\nun ou plusieurs **antécédents**."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "antecedent"
      ],
      "title": "Antécédents par la fonction carré",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.\nQuels sont les antécédents de $9$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3$ et $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 9$ a deux solutions, $x = 3$ et\n$x = -3$, car $(-3)^2 = 9$ aussi."
        },
        {
          "text": "$3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli classique : $(-3)^2 = 9$ également. Une équation\n$x^2 = k$ avec $k > 0$ a toujours **deux** solutions opposées."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $81 = 9^2$ est l'**image** de $9$. On demande les\nantécédents, c'est-à-dire les solutions de $x^2 = 9$."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9 \\div 2 = 4{,}5$ n'a rien à voir avec l'équation\n$x^2 = 9$. Le carré n'est pas une multiplication par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Chercher les antécédents de $9$, c'est résoudre $x^2 = 9$ :\nles solutions sont $3$ et $-3$. Pour $k > 0$, l'équation $x^2 = k$\na deux solutions : $\\sqrt{k}$ et $-\\sqrt{k}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "image"
      ],
      "title": "Lire une image sur la courbe",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuelle est l'image de $1$ par $f$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"148.246pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 148.246 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.625 4.109375 -5.3125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.3125 3.6875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.078125 C 3.609375 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.21875 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.875 -5.28125 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.125 4.625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.0625 -6.296875 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.40625 Z M 4.5625 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 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          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $1$ est sur\nl'axe des abscisses, donc $f(1) = 0$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est l'image de $0$ (le sommet de la courbe est\nen $(0\\,;\\,-1)$). Pour lire $f(1)$, on part de $x = 1$ sur\nl'axe des abscisses."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as relu l'abscisse de départ. L'image se lit sur\nl'axe des **ordonnées**, à la verticale de $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est l'image de $2$ (le point $(2\\,;\\,3)$ est sur\nla courbe), pas celle de $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour lire $f(1)$ : on repère $x = 1$ sur l'axe des abscisses, on\nmonte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du\npoint atteint. Ici le point est $(1\\,;\\,0)$, donc $f(1) = 0$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "antecedent"
      ],
      "title": "Lire des antécédents sur la courbe",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"148.246pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 148.246 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.625 4.109375 -5.3125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.3125 3.6875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.078125 C 3.609375 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.21875 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.875 -5.28125 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.125 4.625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.0625 -6.296875 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.40625 Z M 4.5625 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.375 -2.328125 3.375 -2.46875 C 3.375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.609375 -2.5625 C 2.78125 -3.546875 2.78125 -3.546875 2.8125 -3.65625 C 2.84375 -3.796875 2.84375 -3.84375 2.9375 -3.921875 C 3.015625 -3.96875 3.0625 -4 3.15625 -4 C 3.25 -4 3.34375 -3.984375 3.421875 -3.9375 C 3.3125 -3.890625 3.203125 -3.765625 3.203125 -3.625 C 3.203125 -3.5 3.296875 -3.390625 3.453125 -3.390625 C 3.609375 -3.390625 3.78125 -3.53125 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.421875 -4.1875 3.15625 -4.1875 C 2.890625 -4.1875 2.484375 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.328125 2.234375 -3.203125 2.203125 -2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.90625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.23056 -22.675692 L 61.228978 -22.675692 M -61.23056 0.00156367 L 61.228978 0.00156367 M -61.23056 22.67882 L 61.228978 22.67882 M -61.23056 45.356076 L 61.228978 45.356076 M -61.23056 68.033332 L 61.228978 68.033332 M -45.35334 -38.552913 L -45.35334 83.906626 M -22.676084 -38.552913 L -22.676084 83.906626 M 0.00117191 -38.552913 L 0.00117191 83.906626 M 22.678428 -38.552913 L 22.678428 83.906626 M 45.355684 -38.552913 L 45.355684 83.906626 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -65.765226 0.00156367 L 65.367106 0.00156367 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071092 2.392569 C -1.694185 0.95561 -0.850069 0.280318 0.00189811 0.00156367 C -0.850069 -0.277191 -1.694185 -0.956409 -2.071092 -2.389442 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 132.845768, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"136.544515\" y=\"111.013227\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00117191 -43.087578 L 0.00117191 88.044754 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070974 2.389834 C -1.694067 0.956801 -0.849952 0.277582 -0.00191019 -0.00117191 C -0.849952 -0.279926 -1.694067 -0.955219 -2.070974 -2.392178 \" transform=\"matrix(0, -0.99494, -0.99494, 0, 67.612115, 15.447318)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"58.894455\" y=\"9.820905\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.62942\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"23.760153\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.191666\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"46.322398\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"87.88202\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.444265\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.686289\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"83.555879\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"56.818016\" y=\"60.992638\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"56.818016\" y=\"38.430393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -48.757284 82.147725 C -48.757284 82.147725 -45.820548 69.851124 -44.693752 65.406759 C -43.566957 60.962394 -41.757016 54.158432 -40.630221 50.118457 C -39.503425 46.078481 -37.697411 39.926255 -36.566689 36.29067 C -35.439893 32.655085 -33.633879 27.146742 -32.507083 23.915547 C -31.376361 20.684352 -29.570347 15.823818 -28.443551 12.997013 C -27.316755 10.166282 -25.506815 5.957484 -24.380019 3.531144 C -23.253223 1.108729 -21.443283 -2.456186 -20.316487 -4.474211 C -19.189692 -6.496161 -17.383677 -9.409341 -16.252956 -11.026901 C -15.12616 -12.644462 -13.320146 -14.909831 -12.19335 -16.123002 C -11.062628 -17.336172 -9.256614 -18.957659 -8.129818 -19.762513 C -7.003022 -20.571293 -5.193082 -21.54497 -4.066286 -21.949361 C -2.93949 -22.353751 -1.12955 -22.675692 -0.00275421 -22.675692 C 1.124042 -22.679618 2.930056 -22.353751 4.060778 -21.949361 C 5.187573 -21.548897 6.993588 -20.575219 8.120383 -19.770365 C 9.251105 -18.961585 11.057119 -17.344024 12.183915 -16.130854 C 13.310711 -14.917684 15.120651 -12.652314 16.247447 -11.038679 C 17.374243 -9.421119 19.184183 -6.50794 20.310979 -4.485989 C 21.437775 -2.467964 23.243789 1.093024 24.374511 3.519365 C 25.501307 5.94178 27.307321 10.150578 28.434117 12.977383 C 29.564838 15.804188 31.370853 20.664721 32.497648 23.895916 C 33.624444 27.127111 35.434384 32.631528 36.56118 36.267113 C 37.687976 39.902698 39.497916 46.054925 40.624712 50.0949 C 41.751508 54.134875 43.557522 60.934911 44.688244 65.379276 C 45.81504 69.823642 48.74785 82.120242 48.74785 82.120242 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"111.725747\" y=\"45.633756\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"116.566128\" y=\"46.691377\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$-2$ et $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 3$ coupe la courbe\nen deux points, d'abscisses $-2$ et $2$."
        },
        {
          "text": "$2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : la droite $y = 3$ coupe aussi la courbe du côté des\nabscisses négatives, au point $(-2\\,;\\,3)$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu cherches les antécédents **de** $3$, c'est-à-dire\nles abscisses des points d'ordonnée $3$. Le nombre $3$ est ici\nune ordonnée, pas une abscisse."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = f(3)$ serait l'**image** de $3$ (hors du\ngraphique). Les antécédents se lisent en coupant la courbe\npar la droite horizontale $y = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour lire les antécédents de $3$ : on trace la droite horizontale\n$y = 3$ et on lit les **abscisses** des points d'intersection avec\nla courbe. Ici, elle coupe $\\mathcal{C}_f$ en $(-2\\,;\\,3)$ et\n$(2\\,;\\,3)$ : les antécédents sont $-2$ et $2$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "courbe"
      ],
      "title": "Courbe représentative",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Qu'est-ce que\nla courbe représentative de $f$ dans un repère ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ensemble des points de coordonnées $(x\\,;\\,f(x))$ pour $x$\ndans $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un point $M(x\\,;\\,y)$ appartient à la courbe\nsi et seulement si $y = f(x)$."
        },
        {
          "text": "L'ensemble des points de coordonnées $(f(x)\\,;\\,x)$ pour $x$\ndans $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'inversion : l'abscisse est la variable $x$, et\nl'ordonnée est l'image $f(x)$, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "Le tableau des valeurs de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un tableau de valeurs ne donne que quelques points ;\nla courbe est l'ensemble de **tous** les points\n$(x\\,;\\,f(x))$."
        },
        {
          "text": "La droite qui passe par tous les points où $f$ s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les points où $f$ s'annule sont seulement les\nintersections de la courbe avec l'axe des abscisses."
        }
      ],
      "explanation": "La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points\n$M(x\\,;\\,f(x))$ pour tous les $x$ de l'ensemble de définition.\nL'équation de la courbe est $y = f(x)$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensemble-definition"
      ],
      "title": "Ensemble de définition",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x - 2}$.\nQuel est son ensemble de définition ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les réels sauf $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 2$, et la\ndivision par zéro est impossible. Partout ailleurs, le calcul\nest possible."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x = 2$, le dénominateur vaut $0$ et le\nquotient n'existe pas. Il faut exclure cette valeur."
        },
        {
          "text": "Tous les réels sauf $-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : on résout $x - 2 = 0$, qui donne $x = 2$,\npas $x = -2$."
        },
        {
          "text": "Les réels strictement supérieurs à $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un quotient existe dès que son dénominateur est non\nnul, même s'il est négatif. Tu confonds avec la condition de\nla racine carrée."
        }
      ],
      "explanation": "Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non\nnul : $x - 2 \\neq 0$, donc $x \\neq 2$. L'ensemble de définition\nest $\\mathbb{R}$ privé de $2$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-de-valeurs",
        "antecedent"
      ],
      "title": "Antécédents dans un tableau de valeurs",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne :\n$f(-2) = 5$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$.\n\nD'après ce tableau, quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ et $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans la ligne des images, $2$ apparaît deux\nfois, pour $x = -1$ et pour $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$-1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : il faut balayer **toute** la ligne des images. La\nvaleur $2$ apparaît aussi dans la colonne de $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est l'image de $-2$. Pour trouver des\nantécédents de $2$, on cherche $2$ dans la ligne du **bas**\net on remonte à la ligne du haut."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as relu le nombre cherché. Les antécédents sont\nles valeurs de $x$ dont l'image vaut $2$, ici $-1$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un tableau de valeurs, les antécédents de $2$ se trouvent en\nrepérant $2$ dans la ligne des images $f(x)$, puis en lisant les\nvaleurs de $x$ correspondantes : ici $-1$ et $1$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "L'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.\nA-t-on toujours $f(a + b) = f(a) + f(b)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : par exemple $f(1+1) = 4$ alors que $f(1) + f(1) = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ n'est en général\npas égal à $a^2 + b^2$. Un seul contre-exemple suffit à\nréfuter l'égalité."
        },
        {
          "text": "Oui, car c'est vrai pour toute fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur très répandue : une fonction ne « distribue » pas sur\nl'addition. Teste toujours sur des valeurs concrètes avant de\ngénéraliser."
        },
        {
          "text": "Oui, car $f$ est donnée par une formule",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avoir une formule ne donne aucune propriété\nparticulière. Ici $(1+1)^2 = 4 \\neq 1^2 + 1^2 = 2$."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si $a$ et $b$ sont positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même pour $a$ et $b$ positifs l'égalité échoue,\ncomme le montre $a = b = 1$. Elle n'est vraie que si $a$ ou\n$b$ est nul."
        }
      ],
      "explanation": "$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit $2ab$ empêche\nl'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ dès que $a$ et $b$ sont non nuls.\nContre-exemple : $f(1+1) = 4 \\neq 2 = f(1) + f(1)$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"148.246pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 148.246 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.625 4.109375 -5.3125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.3125 3.6875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.078125 C 3.609375 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.21875 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.875 -5.28125 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.125 4.625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.0625 -6.296875 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.40625 Z M 4.5625 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.375 -2.328125 3.375 -2.46875 C 3.375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.609375 -2.5625 C 2.78125 -3.546875 2.78125 -3.546875 2.8125 -3.65625 C 2.84375 -3.796875 2.84375 -3.84375 2.9375 -3.921875 C 3.015625 -3.96875 3.0625 -4 3.15625 -4 C 3.25 -4 3.34375 -3.984375 3.421875 -3.9375 C 3.3125 -3.890625 3.203125 -3.765625 3.203125 -3.625 C 3.203125 -3.5 3.296875 -3.390625 3.453125 -3.390625 C 3.609375 -3.390625 3.78125 -3.53125 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.421875 -4.1875 3.15625 -4.1875 C 2.890625 -4.1875 2.484375 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.328125 2.234375 -3.203125 2.203125 -2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.90625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.23056 -22.675692 L 61.228978 -22.675692 M -61.23056 0.00156367 L 61.228978 0.00156367 M -61.23056 22.67882 L 61.228978 22.67882 M -61.23056 45.356076 L 61.228978 45.356076 M -61.23056 68.033332 L 61.228978 68.033332 M -45.35334 -38.552913 L -45.35334 83.906626 M -22.676084 -38.552913 L -22.676084 83.906626 M 0.00117191 -38.552913 L 0.00117191 83.906626 M 22.678428 -38.552913 L 22.678428 83.906626 M 45.355684 -38.552913 L 45.355684 83.906626 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -65.765226 0.00156367 L 65.367106 0.00156367 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071092 2.392569 C -1.694185 0.95561 -0.850069 0.280318 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fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"58.894455\" y=\"9.820905\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.62942\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"23.760153\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.191666\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"46.322398\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"87.88202\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.444265\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.686289\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"83.555879\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"56.818016\" y=\"60.992638\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"56.818016\" y=\"38.430393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -48.757284 82.147725 C -48.757284 82.147725 -45.820548 69.851124 -44.693752 65.406759 C -43.566957 60.962394 -41.757016 54.158432 -40.630221 50.118457 C -39.503425 46.078481 -37.697411 39.926255 -36.566689 36.29067 C -35.439893 32.655085 -33.633879 27.146742 -32.507083 23.915547 C -31.376361 20.684352 -29.570347 15.823818 -28.443551 12.997013 C -27.316755 10.166282 -25.506815 5.957484 -24.380019 3.531144 C -23.253223 1.108729 -21.443283 -2.456186 -20.316487 -4.474211 C -19.189692 -6.496161 -17.383677 -9.409341 -16.252956 -11.026901 C -15.12616 -12.644462 -13.320146 -14.909831 -12.19335 -16.123002 C -11.062628 -17.336172 -9.256614 -18.957659 -8.129818 -19.762513 C -7.003022 -20.571293 -5.193082 -21.54497 -4.066286 -21.949361 C -2.93949 -22.353751 -1.12955 -22.675692 -0.00275421 -22.675692 C 1.124042 -22.679618 2.930056 -22.353751 4.060778 -21.949361 C 5.187573 -21.548897 6.993588 -20.575219 8.120383 -19.770365 C 9.251105 -18.961585 11.057119 -17.344024 12.183915 -16.130854 C 13.310711 -14.917684 15.120651 -12.652314 16.247447 -11.038679 C 17.374243 -9.421119 19.184183 -6.50794 20.310979 -4.485989 C 21.437775 -2.467964 23.243789 1.093024 24.374511 3.519365 C 25.501307 5.94178 27.307321 10.150578 28.434117 12.977383 C 29.564838 15.804188 31.370853 20.664721 32.497648 23.895916 C 33.624444 27.127111 35.434384 32.631528 36.56118 36.267113 C 37.687976 39.902698 39.497916 46.054925 40.624712 50.0949 C 41.751508 54.134875 43.557522 60.934911 44.688244 65.379276 C 45.81504 69.823642 48.74785 82.120242 48.74785 82.120242 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"111.725747\" y=\"45.633756\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"116.566128\" y=\"46.691377\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x = -1$ et $x = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses aux\npoints d'abscisses $-1$ et $1$ ; ce sont les solutions de\n$f(x) = 0$."
        },
        {
          "text": "$x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $x = 0$, la courbe passe par $(0\\,;\\,-1)$, donc\n$f(0) = -1 \\neq 0$. Tu as confondu avec le sommet de la\ncourbe."
        },
        {
          "text": "$x = -1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : la courbe traverse l'axe des abscisses **deux** fois.\nIl faut relever toutes les intersections."
        },
        {
          "text": "$(0\\,;\\,-1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : une solution de $f(x) = 0$ est un\n**nombre** (une abscisse), pas un point. Et $(0\\,;\\,-1)$\nn'est pas sur l'axe des abscisses."
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement, c'est lire les abscisses des\npoints d'intersection de la courbe avec l'**axe des abscisses** :\nici $-1$ et $1$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul-image-formule"
      ],
      "title": "Image par une fonction affine",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f(x) = 3x - 1$. Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : remplacer $x$ par $4$ : $f(4) = 3\n\\times 4 - 1 = 11$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $-1$ oublié : $3 \\times 4 = 12$, puis on retire\n$1$ : $11$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $\\dfrac{4 + 1}{3}$ résout $f(x) = 4$ :\nc'est chercher un **antécédent** de $4$, pas son image."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne au lieu de multiplier :\n$3x$ signifie $3 \\times x$."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la\nformule et effectuer. Image de $4$ : partir de $4$ (donnée)\net arriver à $f(4)$ (résultat) : le sens direct de la\nmachine-fonction.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 3x - 1$. Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remplacer $x$ par $4$ : $f(4) = 3\n\\times 4 - 1 = 11$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-1$ oublié : $3 \\times 4 = 12$, puis on retire\n$1$ : $11$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : $\\dfrac{4 + 1}{3}$ résout $f(x) = 4$ :\nc'est chercher un **antécédent** de $4$, pas son image."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne au lieu de multiplier :\n$3x$ signifie $3 \\times x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la\nformule et effectuer. Image de $4$ : partir de $4$ (donnée)\net arriver à $f(4)$ (résultat) : le sens direct de la\nmachine-fonction."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 2x - 5$. Quelle est l'image de $8$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remplacer $x$ par $8$ : $f(8) = 2\n\\times 8 - 5 = 11$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-5$ oublié : $2 \\times 8 = 16$, puis on retire\n$5$ : $11$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{13}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : $\\dfrac{8 + 5}{2}$ résout $f(x) = 8$ :\nc'est chercher un **antécédent** de $8$, pas son image."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2 + 8 = 10$ additionne au lieu de multiplier :\n$2x$ signifie $2 \\times x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la\nformule et effectuer. Image de $8$ : partir de $8$ (donnée)\net arriver à $f(8)$ (résultat) : le sens direct de la\nmachine-fonction."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 4x - 3$. Quelle est l'image de $5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remplacer $x$ par $5$ : $f(5) = 4\n\\times 5 - 3 = 17$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-3$ oublié : $4 \\times 5 = 20$, puis on retire\n$3$ : $17$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : $\\dfrac{5 + 3}{4}$ résout $f(x) = 5$ :\nc'est chercher un **antécédent** de $5$, pas son image."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4 + 5 = 9$ additionne au lieu de multiplier :\n$4x$ signifie $4 \\times x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la\nformule et effectuer. Image de $5$ : partir de $5$ (donnée)\net arriver à $f(5)$ (résultat) : le sens direct de la\nmachine-fonction."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 6x - 2$. Quelle est l'image de $3$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remplacer $x$ par $3$ : $f(3) = 6\n\\times 3 - 2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le $-2$ oublié : $6 \\times 3 = 18$, puis on retire\n$2$ : $16$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inverse : $\\dfrac{3 + 2}{6}$ résout $f(x) = 3$ :\nc'est chercher un **antécédent** de $3$, pas son image."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 + 3 = 9$ additionne au lieu de multiplier :\n$6x$ signifie $6 \\times x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la\nformule et effectuer. Image de $3$ : partir de $3$ (donnée)\net arriver à $f(3)$ (résultat) : le sens direct de la\nmachine-fonction."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "antecedent-equation"
      ],
      "title": "Antécédent par le calcul",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f(x) = 2x + 1$. Quel est l'antécédent de $5$ par\n$f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre\nl'équation $f(x) = 5$, soit $2x + 1 = 5$ :\n$2x = 4$, $x = 2$. Contrôle : $f(2) = 5$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $11 = f(5)$ est l'**image** de $5$ :\nl'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(5) = 11 \\neq 5$ : l'antécédent est le nombre\nde départ qui DONNE $5$, pas $5$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $f(3) = 7 \\neq 5$ : la résolution donne\n$x = \\dfrac{5 - 1}{2} = 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation\n$f(x) = k$ : le sens **inverse** de la fonction. Image : on\ncalcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 2x + 1$. Quel est l'antécédent de $5$ par\n$f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre\nl'équation $f(x) = 5$, soit $2x + 1 = 5$ :\n$2x = 4$, $x = 2$. Contrôle : $f(2) = 5$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $11 = f(5)$ est l'**image** de $5$ :\nl'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(5) = 11 \\neq 5$ : l'antécédent est le nombre\nde départ qui DONNE $5$, pas $5$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $f(3) = 7 \\neq 5$ : la résolution donne\n$x = \\dfrac{5 - 1}{2} = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation\n$f(x) = k$ : le sens **inverse** de la fonction. Image : on\ncalcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 3x + 4$. Quel est l'antécédent de $19$ par\n$f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre\nl'équation $f(x) = 19$, soit $3x + 4 = 19$ :\n$3x = 15$, $x = 5$. Contrôle : $f(5) = 19$."
            },
            {
              "text": "$61$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $61 = f(19)$ est l'**image** de $19$ :\nl'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(19) = 61 \\neq 19$ : l'antécédent est le nombre\nde départ qui DONNE $19$, pas $19$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $f(6) = 22 \\neq 19$ : la résolution donne\n$x = \\dfrac{19 - 4}{3} = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation\n$f(x) = k$ : le sens **inverse** de la fonction. Image : on\ncalcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 5x + 2$. Quel est l'antécédent de $-8$ par\n$f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre\nl'équation $f(x) = -8$, soit $5x + 2 = -8$ :\n$5x = -10$, $x = -2$. Contrôle : $f(-2) = -8$."
            },
            {
              "text": "$-38$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $-38 = f(-8)$ est l'**image** de $-8$ :\nl'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(-8) = -38 \\neq -8$ : l'antécédent est le nombre\nde départ qui DONNE $-8$, pas $-8$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $f(-1) = -3 \\neq -8$ : la résolution donne\n$x = \\dfrac{-8 - 2}{5} = -2$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation\n$f(x) = k$ : le sens **inverse** de la fonction. Image : on\ncalcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = 4x + 3$. Quel est l'antécédent de $15$ par\n$f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre\nl'équation $f(x) = 15$, soit $4x + 3 = 15$ :\n$4x = 12$, $x = 3$. Contrôle : $f(3) = 15$."
            },
            {
              "text": "$63$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $63 = f(15)$ est l'**image** de $15$ :\nl'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(15) = 63 \\neq 15$ : l'antécédent est le nombre\nde départ qui DONNE $15$, pas $15$ lui-même."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrôle : $f(4) = 19 \\neq 15$ : la résolution donne\n$x = \\dfrac{15 - 3}{4} = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation\n$f(x) = k$ : le sens **inverse** de la fonction. Image : on\ncalcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notation-fleche"
      ],
      "title": "La notation $x \\mapsto 2x + 3$",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Que signifie l'écriture $f : x \\mapsto 2x + 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ le nombre\n$2x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la flèche $\\mapsto$ se lit « a pour\nimage » : c'est la description du procédé, équivalente\nà $f(x) = 2x + 3$."
        },
        {
          "text": "L'équation $x = 2x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune égalité à résoudre ici : la flèche\ndécrit une **transformation**, pas une contrainte."
        },
        {
          "text": "Le point de coordonnées $(x\\ ;\\ 2x + 3)$… et rien\nd'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop réducteur : la notation définit le procédé pour\nTOUS les $x$ à la fois (dont les points de la courbe\nsont la trace graphique)."
        },
        {
          "text": "Que $f$ vaut toujours $2x + 3$, quel que soit le nombre\n$f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion d'objets : $f$ est la **fonction** (le\nprocédé), $f(x)$ est le nombre résultat : la flèche\nrelie l'entrée $x$ à la sortie $2x + 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux notations pour le même objet : $f : x \\mapsto 2x + 3$\n(le procédé) et $f(x) = 2x + 3$ (la formule de l'image).\nBien distinguer $f$ (la machine) de $f(x)$ (ce qui en\nsort)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "appartenance-courbe"
      ],
      "title": "Un point sur la courbe ?",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Le point $M(2\\ ;\\ 5)$ appartient-il à la courbe de la\nfonction $f(x) = x^2 + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $f(2) = 4 + 1 = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $M(a\\ ;\\ b)$ est sur la courbe $\\iff\nf(a) = b$ : on calcule l'image de l'abscisse et on\ncompare à l'ordonnée."
        },
        {
          "text": "Non, car $f(5) \\neq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées inversées : on évalue $f$ en\nl'**abscisse** ($2$) et on compare à l'**ordonnée**\n($5$), pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "Oui, car $2 + 5 = 7$ est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : aucune règle de parité ici : le seul test\nest $f(2) \\stackrel{?}{=} 5$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans tracer la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul remplace le dessin : c'est même tout\nl'intérêt : $f(2) = 5$ ✓, aucun tracé nécessaire."
        }
      ],
      "explanation": "Appartenance à la courbe : $M(a\\ ;\\ b) \\in \\mathcal{C}_f\n\\iff f(a) = b$. La courbe EST l'ensemble des points\n$(x\\ ;\\ f(x))$ : le test algébrique est exact là où la\nlecture graphique reste approximative."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "image-negatif"
      ],
      "title": "Image d'un nombre négatif",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 2x$. Quelle est l'image de $-1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(-1) = (-1)^2 - 2 \\times (-1) = 1 + 2\n= 3$ : le carré donne $+1$ et « moins fois moins »\ndonne $+2$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux signes ratés : $(-1)^2 = +1$ et $-2 \\times (-1) =\n+2$ : tout est positif : $3$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - 2 = -1$ traite $-2x$ comme $-2 \\times\n(+1)$ : or $x = -1$ : le produit vaut $+2$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : $1$ est le carré seul : le terme $-2x =\n+2$ s'ajoute : $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Substituer un négatif : parenthèses obligatoires : $(-1)^2 =\n1$, $-2(-1) = +2$. La quasi-totalité des erreurs d'images\nvient des signes : écrire l'étape intermédiaire au complet."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "antecedents-produit"
      ],
      "title": "Antécédents de $0$ par une forme factorisée",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f(x) = (x - 1)(x + 3)$. Quels sont les antécédents de\n$0$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ et $-3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(x) = 0$ est une équation produit\nnul : $x - 1 = 0$ ou $x + 3 = 0$ : la forme factorisée\nlivre les antécédents de $0$ sans calcul."
        },
        {
          "text": "$-1$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes inversés : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$ (et $x + 3\n= 0$ donne $-3$) : le signe bascule en isolant."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(0) = (-1)(3) = -3 \\neq 0$ : les antécédents\nde $0$ sont les valeurs qui **annulent** le produit."
        },
        {
          "text": "$1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : chaque facteur fournit un antécédent :\n$-3$ annule aussi le produit."
        }
      ],
      "explanation": "Antécédents de $0$ = solutions de $f(x) = 0$ : avec une\nforme factorisée, le produit nul les donne immédiatement.\nGraphiquement : les abscisses des points où la courbe coupe\nl'axe."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensemble-definition",
        "racine-carree"
      ],
      "title": "Définition d'une fonction racine",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\sqrt{x - 3}$.\nQuel est son ensemble de définition ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une racine carrée exige $x - 3 \\geq 0$, donc\n$x \\geq 3$. La valeur $3$ convient, car $\\sqrt{0} = 0$."
        },
        {
          "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne exclue à tort : $x = 3$ donne $\\sqrt{0} = 0$, un résultat\nparfaitement défini. La borne est donc fermée."
        },
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la condition porte sur $x - 3 \\geq 0$, pas sur\n$x + 3 \\geq 0$. Pour $x = -3$, on aurait $\\sqrt{-6}$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité retournée : pour $x = 0$, on obtient $\\sqrt{-3}$, qui\nn'existe pas. La condition impose $x$ au-dessus de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Une racine carrée n'est définie que sur les nombres positifs ou nuls.\nOn résout donc $x - 3 \\geq 0$, ce qui donne $x \\geq 3$, c'est-à-dire\nl'intervalle $[3\\,;\\,+\\infty[$."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensemble-definition",
        "quotient"
      ],
      "title": "Valeur interdite d'un quotient",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 4}$.\nSur quel ensemble $f$ est-elle définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les réels sauf $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 4$, et une\ndivision par zéro est impossible. Partout ailleurs le calcul se fait."
        },
        {
          "text": "Tous les réels sauf $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $x - 4$ s'annule pour $x = 4$, pas pour $x = -4$.\nPour $x = -4$, le dénominateur vaut $-8$, ce qui est autorisé."
        },
        {
          "text": "Tous les réels sauf $-\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais étage de la fraction : $-\\dfrac{1}{2}$ annule le numérateur,\nce qui donne $f(x) = 0$, une valeur tout à fait définie."
        },
        {
          "text": "Tous les réels sauf $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : c'est le dénominateur, et non $x$, qui doit\nêtre non nul. Pour $x = 0$, on obtient $f(0) = -\\dfrac{1}{4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Un quotient n'est défini que si son dénominateur est non nul. On résout\ndonc $x - 4 = 0$, ce qui donne la seule valeur interdite $x = 4$."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "image",
        "quotient"
      ],
      "title": "Image par une fonction quotient",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x + 2}$.\nCombien vaut $f(-1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-1 + 2 = 1$, donc $f(-1) = \\dfrac{1}{1} = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu en route : $\\dfrac{1}{3}$ est la valeur de $f(1)$.\nIci $x$ vaut $-1$, donc le dénominateur vaut $1$ et non\n$3$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est\n$\\dfrac{1}{-1 - 2}$, alors que la formule ajoute $2$ à $x$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\\dfrac{1}{2}$.\nIl faut bien substituer la valeur $-1$ à la place de $x$."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\nà effectuer. Avec $x = -1$, le dénominateur vaut $-1 + 2 = 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x + 2}$.\nCombien vaut $f(-1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-1 + 2 = 1$, donc $f(-1) = \\dfrac{1}{1} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu en route : $\\dfrac{1}{3}$ est la valeur de $f(1)$.\nIci $x$ vaut $-1$, donc le dénominateur vaut $1$ et non\n$3$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est\n$\\dfrac{1}{-1 - 2}$, alors que la formule ajoute $2$ à $x$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\\dfrac{1}{2}$.\nIl faut bien substituer la valeur $-1$ à la place de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\nà effectuer. Avec $x = -1$, le dénominateur vaut $-1 + 2 = 1$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x + 3}$.\nCombien vaut $f(-1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-1 + 3 = 2$, donc $f(-1) = \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu en route : $\\dfrac{1}{4}$ est la valeur de $f(1)$.\nIci $x$ vaut $-1$, donc le dénominateur vaut $2$ et non\n$4$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est\n$\\dfrac{1}{-1 - 3}$, alors que la formule ajoute $3$ à $x$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\\dfrac{1}{3}$.\nIl faut bien substituer la valeur $-1$ à la place de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\nà effectuer. Avec $x = -1$, le dénominateur vaut $-1 + 3 = 2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x + 5}$.\nCombien vaut $f(-2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-2 + 5 = 3$, donc $f(-2) = \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu en route : $\\dfrac{1}{7}$ est la valeur de $f(2)$.\nIci $x$ vaut $-2$, donc le dénominateur vaut $3$ et non\n$7$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est\n$\\dfrac{1}{-2 - 5}$, alors que la formule ajoute $5$ à $x$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\\dfrac{1}{5}$.\nIl faut bien substituer la valeur $-2$ à la place de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\nà effectuer. Avec $x = -2$, le dénominateur vaut $-2 + 5 = 3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x + 4}$.\nCombien vaut $f(-3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-3 + 4 = 1$, donc $f(-3) = \\dfrac{1}{1} = 1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe perdu en route : $\\dfrac{1}{7}$ est la valeur de $f(3)$.\nIci $x$ vaut $-3$, donc le dénominateur vaut $1$ et non\n$7$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est\n$\\dfrac{1}{-3 - 4}$, alors que la formule ajoute $4$ à $x$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\\dfrac{1}{4}$.\nIl faut bien substituer la valeur $-3$ à la place de $x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\nà effectuer. Avec $x = -3$, le dénominateur vaut $-3 + 4 = 1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calcul",
        "image",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Image d'une expression littérale",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 1$.\nQuelle est l'expression développée de $f(a + 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^2 + 2a$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a+1)^2 - 1 = a^2 + 2a + 1 - 1 = a^2 + 2a$."
        },
        {
          "text": "$a^2 + 2a + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : le développement de $(a+1)^2$ est correct,\nmais la fonction retranche encore $1$ au résultat."
        },
        {
          "text": "$a^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Identité remarquable ratée : $(a+1)^2$ vaut $a^2 + 2a + 1$ et non\n$a^2 + 1$. Pour $a = 2$, le carré vaut $9$, pas $5$."
        },
        {
          "text": "$2a + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré confondu avec le double : $(a+1)^2$ n'est pas $2(a+1)$.\nPour $a = 3$, ces deux expressions valent $16$ et $8$."
        }
      ],
      "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe : $f(a+1) = (a+1)^2 - 1 = a^2 + 2a$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonction-carre",
        "image"
      ],
      "title": "Deux nombres opposés par la fonction carré",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$.\nQue peut-on dire de $f(-3)$ et de $f(3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ces deux images sont égales",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $3^2 = 9$. Deux nombres opposés ont\ntoujours le même carré."
        },
        {
          "text": "Ces deux images sont opposées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(-3)^2$ vaut $9$ et non $-9$. Le carré d'un\nnombre négatif est positif."
        },
        {
          "text": "La première est plus petite que la seconde",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre non conservé : $-3 < 3$, mais la fonction carré ne conserve\npas l'ordre sur les nombres négatifs. Les deux images valent $9$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer sans la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Comparaison immédiate par le calcul : la formule suffit, $(-3)^2$\net $3^2$ valent tous deux $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout réel $x$, $(-x)^2 = x^2$. La fonction carré donne donc la même\nimage à deux nombres opposés, ce qui se voit sur la symétrie de sa courbe."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-valeurs",
        "lecture"
      ],
      "title": "Ce qu'un tableau de valeurs ne dit pas",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(0) = 4$, $f(1) = 1$,\n$f(2) = 0$ et $f(3) = 1$. Que vaut $f(2{,}5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "On ne peut pas le déduire de ce tableau",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un tableau ne donne que quelques images choisies.\nSans la formule ou la courbe, $f(2{,}5)$ reste inconnue."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$, la moyenne de $f(2)$ et de $f(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne abusive : rien n'impose à $f$ de varier de façon régulière\nentre $2$ et $3$. La courbe peut faire tout autre chose."
        },
        {
          "text": "$0$, la même image que pour $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur voisine recopiée : $f(2) = 0$ ne dit rien de $f(2{,}5)$,\nqui correspond à un autre nombre de départ."
        },
        {
          "text": "$1$, la même image que pour $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur voisine recopiée : $f(3) = 1$ concerne $x = 3$ seulement,\npas les nombres situés entre $2$ et $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableau de valeurs est un échantillon. Il donne les images de quelques\nnombres, jamais celles de tous les autres."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Dans un même repère, les courbes de $f$ et de $g$ se coupent en deux\npoints, d'abscisses $-1$ et $2$. Quelles sont les solutions de\nl'équation $f(x) = g(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ et $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en un point commun, les deux courbes ont la même\nordonnée pour la même abscisse, donc $f(x) = g(x)$."
        },
        {
          "text": "$f(-1)$ et $f(2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Images confondues avec les solutions : $f(-1)$ et $f(2)$ sont les\nordonnées des points d'intersection, pas les valeurs de $x$ cherchées."
        },
        {
          "text": "Tous les réels de $[-1\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle au lieu de solutions : entre les deux points, une courbe\npasse au-dessus de l'autre, donc $f(x)$ et $g(x)$ diffèrent."
        },
        {
          "text": "Aucune, il faut résoudre par le calcul",
          "correct": false,
          "feedback": "Lecture graphique refusée à tort : une intersection se lit\ndirectement, le calcul ne sert qu'à confirmer les valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre $f(x) = g(x)$ revient à chercher les abscisses des points communs\naux deux courbes. On lit les abscisses, jamais les ordonnées."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "antecedent",
        "equation",
        "fonction-affine"
      ],
      "title": "Antécédent par une fonction décroissante",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 7$.\nQuel est l'antécédent de $1$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-2x + 7 = 1$ donne $-2x = -6$, donc $x = 3$.\nVérification : $-2 \\times 3 + 7 = 1$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe perdu à la division : de $-2x = -6$ on tire $x = 3$, car un\nquotient de deux nombres négatifs est positif."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équation mal recopiée : $x = 4$ est la solution de $-2x + 7 = -1$.\nIci le second membre vaut $+1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $5$ est l'image de $1$, pas son antécédent. On cherche\nle nombre qui entre, pas celui qui sort."
        }
      ],
      "explanation": "Chercher l'antécédent de $1$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 1$.\nL'image, elle, se calcule directement en remplaçant $x$ par une valeur."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "modelisation",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Traduire une phrase par une égalité",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Une entreprise note $C(q)$ le coût de production, en euros, de $q$\nobjets. Produire $10$ objets coûte $45$ euros. Comment cette phrase\ns'écrit-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$C(10) = 45$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la quantité produite entre dans la fonction, le coût\nen sort."
        },
        {
          "text": "$C(45) = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : $C(45)$ désignerait le coût de $45$ objets, une tout\nautre information."
        },
        {
          "text": "$10$ est l'image de $45$ par $C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vocabulaire inversé : c'est $45$ qui est l'image, puisque le coût est\nle résultat du calcul."
        },
        {
          "text": "$45$ est un antécédent de $10$ par $C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vocabulaire inversé : l'antécédent est le nombre d'objets, donc $10$,\net son image est le coût $45$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une situation concrète, la grandeur dont on part est l'antécédent et\ncelle que l'on obtient est l'image."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "equation"
      ],
      "title": "Nombre de solutions d'une équation",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe d'une fonction $f$ admet un point le plus bas, d'ordonnée $1$.\nCombien l'équation $f(x) = -1$ a-t-elle de solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes les ordonnées de la courbe valent au moins $1$,\ndonc la droite d'équation $y = -1$ ne la rencontre jamais."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Une solution supposerait un point d'ordonnée $-1$ sur la courbe, alors\nque le minimum atteint vaut $1$."
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux solutions correspondraient à une droite horizontale coupant la\ncourbe, ce qui n'arrive ici que pour les ordonnées supérieures à $1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans l'expression",
          "correct": false,
          "feedback": "L'information suffit : connaître le minimum permet déjà d'exclure\ntoute ordonnée qui lui est inférieure."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de solutions de $f(x) = k$ se lit au nombre de points communs\nentre la courbe et la droite horizontale d'équation $y = k$."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notation",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Distinguer $f$ et $f(x)$",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Quelle est la différence entre les écritures $f$ et $f(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est la fonction, $f(x)$ est un nombre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ désigne le procédé de calcul, $f(x)$ le résultat\nobtenu pour une valeur de $x$."
        },
        {
          "text": "Les deux écritures désignent la même chose",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion courante : $f$ ne dépend d'aucune valeur, alors que $f(x)$\nchange avec $x$."
        },
        {
          "text": "$f$ est la courbe, $f(x)$ est la fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "La courbe porte un autre nom, souvent $\\mathcal{C}_f$. La lettre $f$\nseule désigne bien la fonction."
        },
        {
          "text": "$f(x)$ est l'antécédent de $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $f(x)$ est l'image de $x$. L'antécédent est au contraire\nun nombre qui entre dans la fonction."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction est le procédé, l'image est le résultat. On écrit\n$f : x \\mapsto 2x + 3$ pour la fonction, et $f(4) = 11$ pour une image."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "antecedent",
        "definition"
      ],
      "title": "Nombre d'antécédents d'un nombre",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents par une même fonction ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, il peut en avoir plusieurs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction carré donne $4$ à la fois pour $-2$ et\npour $2$, qui sont deux antécédents de $4$."
        },
        {
          "text": "Non, il en a exactement un",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'image qui est unique, pas l'antécédent. Un nombre peut même\nn'avoir aucun antécédent."
        },
        {
          "text": "Non, sinon $f$ ne serait pas une fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "La condition porte sur les images : un nombre de départ a une seule\nimage, mais un nombre d'arrivée peut venir de plusieurs départs."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement si $f$ change de formule",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune condition de ce genre : la fonction carré, définie par une\nseule formule, fournit déjà deux antécédents à $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque nombre de départ a une image et une seule, c'est la définition\nd'une fonction. En revanche un nombre d'arrivée peut avoir zéro, un ou\nplusieurs antécédents, que l'on lit sur les points d'intersection entre\nla courbe et une droite horizontale."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "image-formule",
        "calcul-image"
      ],
      "title": "Image par une fonction affine",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x + 5$.\nQuelle est l'image de $2$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $2$, ce qui donne\n$3 \\times 2 + 5 = 11$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Attention au signe du second terme : il faut ajouter $5$, pas le\nsoustraire. Le calcul donne $11$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $3$ multiplie $x$, et $5$ est le terme constant.\nOn calcule $3 \\times 2 + 5 = 11$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $3$ multiplie\n$2$, puis on ajoute $5$, donc $f(2) = 11$."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans\nl'expression de la fonction, puis effectuer le calcul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x + 5$.\nQuelle est l'image de $2$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $2$, ce qui donne\n$3 \\times 2 + 5 = 11$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention au signe du second terme : il faut ajouter $5$, pas le\nsoustraire. Le calcul donne $11$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ multiplie $x$, et $5$ est le terme constant.\nOn calcule $3 \\times 2 + 5 = 11$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $3$ multiplie\n$2$, puis on ajoute $5$, donc $f(2) = 11$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans\nl'expression de la fonction, puis effectuer le calcul."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 4x - 3$.\nQuelle est l'image de $3$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$, ce qui donne\n$4 \\times 3 - 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention au signe du second terme : il faut ajouter $-3$, pas le\nsoustraire. Le calcul donne $9$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $4$ multiplie $x$, et $-3$ est le terme constant.\nOn calcule $4 \\times 3 - 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $4$ multiplie\n$3$, puis on ajoute $-3$, donc $f(3) = 9$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans\nl'expression de la fonction, puis effectuer le calcul."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = -2x + 7$.\nQuelle est l'image de $5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, ce qui donne\n$-2 \\times 5 + 7 = -3$."
            },
            {
              "text": "$-17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention au signe du second terme : il faut ajouter $7$, pas le\nsoustraire. Le calcul donne $-3$."
            },
            {
              "text": "$33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-2$ multiplie $x$, et $7$ est le terme constant.\nOn calcule $-2 \\times 5 + 7 = -3$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $-2$ multiplie\n$5$, puis on ajoute $7$, donc $f(5) = -3$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans\nl'expression de la fonction, puis effectuer le calcul."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 4x + 13$.\nQuelle est l'image de $3$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$, ce qui donne\n$4 \\times 3 + 13 = 25$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention au signe du second terme : il faut ajouter $13$, pas le\nsoustraire. Le calcul donne $25$."
            },
            {
              "text": "$43$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $4$ multiplie $x$, et $13$ est le terme constant.\nOn calcule $4 \\times 3 + 13 = 25$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $4$ multiplie\n$3$, puis on ajoute $13$, donc $f(3) = 25$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans\nl'expression de la fonction, puis effectuer le calcul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul-image-formule",
        "image-formule"
      ],
      "title": "Image par une fonction carrée",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$.\nQuelle est l'image de $5$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$28$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, ce qui donne\n$5^2 + 3 = 25 + 3 = 28$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $5^2$ signifie\n$5 \\times 5$, et non $2 \\times 5$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme\nconstant n'intervient qu'une fois ce carré calculé."
        },
        {
          "text": "$22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par\n$+ 3$, ce qui conduit à $28$."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\neffectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition\nensuite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$.\nQuelle est l'image de $5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, ce qui donne\n$5^2 + 3 = 25 + 3 = 28$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $5^2$ signifie\n$5 \\times 5$, et non $2 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme\nconstant n'intervient qu'une fois ce carré calculé."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par\n$+ 3$, ce qui conduit à $28$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\neffectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition\nensuite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 1$.\nQuelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $4$, ce qui donne\n$4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $4^2$ signifie\n$4 \\times 4$, et non $2 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme\nconstant n'intervient qu'une fois ce carré calculé."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par\n$- 1$, ce qui conduit à $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\neffectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition\nensuite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 7$.\nQuelle est l'image de $6$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$43$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $6$, ce qui donne\n$6^2 + 7 = 36 + 7 = 43$."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $6^2$ signifie\n$6 \\times 6$, et non $2 \\times 6$."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme\nconstant n'intervient qu'une fois ce carré calculé."
            },
            {
              "text": "$29$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par\n$+ 7$, ce qui conduit à $43$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\neffectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition\nensuite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 1$.\nQuelle est l'image de $6$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $6$, ce qui donne\n$6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $6^2$ signifie\n$6 \\times 6$, et non $2 \\times 6$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme\nconstant n'intervient qu'une fois ce carré calculé."
            },
            {
              "text": "$37$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par\n$- 1$, ce qui conduit à $35$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis\neffectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition\nensuite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "antecedent-equation",
        "equation"
      ],
      "title": "Quelle équation résoudre ?",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$.\nQuelle équation faut-il résoudre pour trouver les antécédents de $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 + 3 = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chercher les antécédents de $7$, c'est chercher les\nnombres dont l'image vaut $7$, donc résoudre $f(x) = 7$."
        },
        {
          "text": "$7^2 + 3 = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : ce calcul donne l'image de $7$, alors que l'on cherche\nles nombres qui ont $7$ pour image."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3 = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $7$ a disparu : c'est lui qui doit figurer au second membre,\npuisqu'il s'agit de l'image imposée."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3 = 7$ ou bien $x^2 + 3 = -7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule équation suffit : l'image vaut $7$, pas $-7$. Les deux\nsolutions opposées apparaîtront au moment de résoudre $x^2 = 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une image se calcule, un antécédent se cherche : les antécédents de $k$\npar $f$ sont les solutions de l'équation $f(x) = k$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "antecedents-produit",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Un facteur qui ne s'annule jamais",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (x - 4)(x^2 + 1)$.\nQuels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ seulement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.\nLe premier s'annule pour $x = 4$, le second vaut au moins $1$."
        },
        {
          "text": "$4$ et $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est\n$x - 4$ qui s'annule, et pour une seule valeur."
        },
        {
          "text": "$4$ et $-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 1 = 0$ donnerait\n$x^2 = -1$, impossible car un carré n'est jamais négatif."
        },
        {
          "text": "Le nombre $0$ n'a aucun antécédent",
          "correct": false,
          "feedback": "Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = 4$, le produit\nvaut $0$, donc $4$ est bien un antécédent de $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 1$\nreste supérieur ou égal à $1$ quel que soit $x$ : seul le premier\nfacteur peut s'annuler.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (x - 4)(x^2 + 1)$.\nQuels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ seulement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.\nLe premier s'annule pour $x = 4$, le second vaut au moins $1$."
            },
            {
              "text": "$4$ et $-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est\n$x - 4$ qui s'annule, et pour une seule valeur."
            },
            {
              "text": "$4$ et $-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 1 = 0$ donnerait\n$x^2 = -1$, impossible car un carré n'est jamais négatif."
            },
            {
              "text": "Le nombre $0$ n'a aucun antécédent",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = 4$, le produit\nvaut $0$, donc $4$ est bien un antécédent de $0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 1$\nreste supérieur ou égal à $1$ quel que soit $x$ : seul le premier\nfacteur peut s'annuler."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (x + 3)(x^2 + 5)$.\nQuels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$ seulement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.\nLe premier s'annule pour $x = -3$, le second vaut au moins $5$."
            },
            {
              "text": "$-3$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est\n$x + 3$ qui s'annule, et pour une seule valeur."
            },
            {
              "text": "$-3$ et $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 5 = 0$ donnerait\n$x^2 = -5$, impossible car un carré n'est jamais négatif."
            },
            {
              "text": "Le nombre $0$ n'a aucun antécédent",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = -3$, le produit\nvaut $0$, donc $-3$ est bien un antécédent de $0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 5$\nreste supérieur ou égal à $5$ quel que soit $x$ : seul le premier\nfacteur peut s'annuler."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (x - 6)(x^2 + 2)$.\nQuels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ seulement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.\nLe premier s'annule pour $x = 6$, le second vaut au moins $2$."
            },
            {
              "text": "$6$ et $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est\n$x - 6$ qui s'annule, et pour une seule valeur."
            },
            {
              "text": "$6$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 2 = 0$ donnerait\n$x^2 = -2$, impossible car un carré n'est jamais négatif."
            },
            {
              "text": "Le nombre $0$ n'a aucun antécédent",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = 6$, le produit\nvaut $0$, donc $6$ est bien un antécédent de $0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 2$\nreste supérieur ou égal à $2$ quel que soit $x$ : seul le premier\nfacteur peut s'annuler."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (x - 5)(x^2 + 8)$.\nQuels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ seulement",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.\nLe premier s'annule pour $x = 5$, le second vaut au moins $8$."
            },
            {
              "text": "$5$ et $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est\n$x - 5$ qui s'annule, et pour une seule valeur."
            },
            {
              "text": "$5$ et $-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 8 = 0$ donnerait\n$x^2 = -8$, impossible car un carré n'est jamais négatif."
            },
            {
              "text": "Le nombre $0$ n'a aucun antécédent",
              "correct": false,
              "feedback": "Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = 5$, le produit\nvaut $0$, donc $5$ est bien un antécédent de $0$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 8$\nreste supérieur ou égal à $8$ quel que soit $x$ : seul le premier\nfacteur peut s'annuler."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "appartenance-courbe",
        "calcul-image"
      ],
      "title": "Reconnaître un point de la courbe",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2$.\nParmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(3\\,;\\,7)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(3) = 9 - 2 = 7$, donc l'ordonnée\ncorrespond bien à l'image de l'abscisse."
        },
        {
          "text": "$(7\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée\nest son image, jamais l'inverse."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,\net non $3 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore\n$-2$, ce qui conduit à $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Un point $M(a\\,;\\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si\n$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à\nl'ordonnée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2$.\nParmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(3\\,;\\,7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(3) = 9 - 2 = 7$, donc l'ordonnée\ncorrespond bien à l'image de l'abscisse."
            },
            {
              "text": "$(7\\,;\\,3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée\nest son image, jamais l'inverse."
            },
            {
              "text": "$(3\\,;\\,4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,\net non $3 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$(3\\,;\\,9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore\n$-2$, ce qui conduit à $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Un point $M(a\\,;\\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si\n$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à\nl'ordonnée."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 5$.\nParmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(4\\,;\\,21)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 16 + 5 = 21$, donc l'ordonnée\ncorrespond bien à l'image de l'abscisse."
            },
            {
              "text": "$(21\\,;\\,4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée\nest son image, jamais l'inverse."
            },
            {
              "text": "$(4\\,;\\,13)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $4^2$ vaut $16$,\net non $4 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$(4\\,;\\,16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore\n$5$, ce qui conduit à $21$."
            }
          ],
          "explanation": "Un point $M(a\\,;\\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si\n$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à\nl'ordonnée."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3$.\nParmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(5\\,;\\,22)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(5) = 25 - 3 = 22$, donc l'ordonnée\ncorrespond bien à l'image de l'abscisse."
            },
            {
              "text": "$(22\\,;\\,5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée\nest son image, jamais l'inverse."
            },
            {
              "text": "$(5\\,;\\,7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $5^2$ vaut $25$,\net non $5 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$(5\\,;\\,25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore\n$-3$, ce qui conduit à $22$."
            }
          ],
          "explanation": "Un point $M(a\\,;\\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si\n$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à\nl'ordonnée."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2$.\nParmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(7\\,;\\,51)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f(7) = 49 + 2 = 51$, donc l'ordonnée\ncorrespond bien à l'image de l'abscisse."
            },
            {
              "text": "$(51\\,;\\,7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée\nest son image, jamais l'inverse."
            },
            {
              "text": "$(7\\,;\\,16)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $7^2$ vaut $49$,\net non $7 \\times 2$."
            },
            {
              "text": "$(7\\,;\\,49)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore\n$2$, ce qui conduit à $51$."
            }
          ],
          "explanation": "Un point $M(a\\,;\\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si\n$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à\nl'ordonnée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul-litteral",
        "image"
      ],
      "title": "Image d'une variable décalée",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$.\nQuelle est l'expression réduite de $f(x + 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-2(x + 1) + 5 = -2x - 2 + 5$,\nsoit $-2x + 3$ après réduction."
        },
        {
          "text": "$-2x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $1$ traverse le\nfacteur $-2$ et modifie le terme constant."
        },
        {
          "text": "$-2x + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $1$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il\nest d'abord multiplié par $-2$."
        },
        {
          "text": "$-2x + 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans la distribution : le produit $-2 \\times 1$\nvaut $-2$, qui s'ajoute au terme constant."
        }
      ],
      "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe et on réduit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$.\nQuelle est l'expression réduite de $f(x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2x + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-2(x + 1) + 5 = -2x - 2 + 5$,\nsoit $-2x + 3$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$-2x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $1$ traverse le\nfacteur $-2$ et modifie le terme constant."
            },
            {
              "text": "$-2x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $1$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il\nest d'abord multiplié par $-2$."
            },
            {
              "text": "$-2x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la distribution : le produit $-2 \\times 1$\nvaut $-2$, qui s'ajoute au terme constant."
            }
          ],
          "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe et on réduit."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 1$.\nQuelle est l'expression réduite de $f(x + 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3(x + 2) - 1 = 3x + 6 - 1$,\nsoit $3x + 5$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$3x - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $2$ traverse le\nfacteur $3$ et modifie le terme constant."
            },
            {
              "text": "$3x + 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $2$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il\nest d'abord multiplié par $3$."
            },
            {
              "text": "$3x - 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la distribution : le produit $3 \\times 2$\nvaut $6$, qui s'ajoute au terme constant."
            }
          ],
          "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe et on réduit."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -4x + 7$.\nQuelle est l'expression réduite de $f(x + 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4x - 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-4(x + 3) + 7 = -4x - 12 + 7$,\nsoit $-4x - 5$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$-4x + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $3$ traverse le\nfacteur $-4$ et modifie le terme constant."
            },
            {
              "text": "$-4x + 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $3$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il\nest d'abord multiplié par $-4$."
            },
            {
              "text": "$-4x + 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la distribution : le produit $-4 \\times 3$\nvaut $-12$, qui s'ajoute au terme constant."
            }
          ],
          "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe et on réduit."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 5$.\nQuelle est l'expression réduite de $f(x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2(x + 1) + 5 = 2x + 2 + 5$,\nsoit $2x + 7$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$2x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $1$ traverse le\nfacteur $2$ et modifie le terme constant."
            },
            {
              "text": "$2x + 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $1$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il\nest d'abord multiplié par $2$."
            },
            {
              "text": "$2x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la distribution : le produit $2 \\times 1$\nvaut $2$, qui s'ajoute au terme constant."
            }
          ],
          "explanation": "On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,\npuis on développe et on réduit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "courbe",
        "lecture"
      ],
      "title": "Deux points sur une même verticale",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Une courbe tracée dans un repère coupe la droite verticale d'équation\n$x = 2$ en deux points distincts. Peut-elle être la courbe d'une\nfonction ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, car $2$ aurait deux images",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux points auraient la même abscisse $2$ et des\nordonnées différentes, or un nombre a une seule image."
        },
        {
          "text": "Oui, comme la courbe de la fonction carré",
          "correct": false,
          "feedback": "La courbe de la fonction carré coupe chaque verticale en un seul\npoint : c'est la droite horizontale $y = 4$ qu'elle coupe deux fois."
        },
        {
          "text": "Oui, si les deux points sont symétriques",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune symétrie n'y change rien : deux ordonnées pour la même\nabscisse contredisent la définition d'une fonction."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si la courbe est une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Une droite verticale n'est d'ailleurs pas une courbe de fonction,\npour exactement la même raison."
        }
      ],
      "explanation": "La courbe d'une fonction rencontre chaque droite verticale en un point\nau plus, puisque chaque nombre de l'ensemble de définition possède une\nimage unique. Une droite horizontale, elle, peut la couper plusieurs fois."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonction-affine",
        "calcul-image"
      ],
      "title": "L'image de zéro par une fonction affine",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction affine définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = ax + b$. Que vaut $f(0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a \\times 0 + b = b$. L'image de $0$ par une fonction\naffine est toujours son terme constant."
        },
        {
          "text": "$a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $a$ multiplie $x$ : pour $x = 0$, ce produit disparaît\net seul $b$ subsiste."
        },
        {
          "text": "$a + b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est $f(1)$ : c'est pour $x = 1$ que le produit $ax$ vaut\nexactement $a$."
        },
        {
          "text": "$0$, car on multiplie par zéro",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le terme $ax$ s'annule : le terme constant $b$ ne dépend pas de\n$x$ et reste présent."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, l'image de $0$ vaut $b$.\nGraphiquement, c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des\nordonnées."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fonction-carre",
        "image-negatif"
      ],
      "title": "Image d'un négatif par l'opposé du carré",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.\nQuelle est l'image de $-3$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-3)^2 = 9$,\npuis on prend l'opposé, ce qui donne $-9$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien\n$9$, mais $f(x)$ en est l'opposé."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $(-3)^2$ vaut $9$,\nalors que $-2 \\times -3$ vaut $6$."
        },
        {
          "text": "$-6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le\nsigne de la formule mal reporté."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre\nnégatif, le carré est positif, et l'image est donc négative.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.\nQuelle est l'image de $-3$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-3)^2 = 9$,\npuis on prend l'opposé, ce qui donne $-9$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien\n$9$, mais $f(x)$ en est l'opposé."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $(-3)^2$ vaut $9$,\nalors que $-2 \\times -3$ vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le\nsigne de la formule mal reporté."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre\nnégatif, le carré est positif, et l'image est donc négative."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.\nQuelle est l'image de $-5$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-5)^2 = 25$,\npuis on prend l'opposé, ce qui donne $-25$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien\n$25$, mais $f(x)$ en est l'opposé."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $(-5)^2$ vaut $25$,\nalors que $-2 \\times -5$ vaut $10$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le\nsigne de la formule mal reporté."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre\nnégatif, le carré est positif, et l'image est donc négative."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.\nQuelle est l'image de $-4$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-4)^2 = 16$,\npuis on prend l'opposé, ce qui donne $-16$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien\n$16$, mais $f(x)$ en est l'opposé."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $(-4)^2$ vaut $16$,\nalors que $-2 \\times -4$ vaut $8$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le\nsigne de la formule mal reporté."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre\nnégatif, le carré est positif, et l'image est donc négative."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.\nQuelle est l'image de $-7$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-7)^2 = 49$,\npuis on prend l'opposé, ce qui donne $-49$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien\n$49$, mais $f(x)$ en est l'opposé."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $(-7)^2$ vaut $49$,\nalors que $-2 \\times -7$ vaut $14$."
            },
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le\nsigne de la formule mal reporté."
            }
          ],
          "explanation": "Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre\nnégatif, le carré est positif, et l'image est donc négative."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tableau-de-valeurs",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Ce qu'un tableau dit du nombre de solutions",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(-3) = 4$, $f(0) = -1$,\n$f(2) = 4$ et $f(5) = 7$. Que peut-on affirmer sur l'équation\n$f(x) = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-3$ et $2$ ont tous deux pour image $4$. Comme le\ntableau ne montre que quatre nombres, il peut en exister d'autres."
        },
        {
          "text": "Elle admet exactement deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tableau ne donne que quatre images parmi une infinité : rien\nn'interdit à un autre nombre d'avoir aussi $4$ pour image."
        },
        {
          "text": "Elle admet une seule solution, $-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La ligne des images contient deux fois la valeur $4$, pour $x = -3$\net pour $x = 2$."
        },
        {
          "text": "Elle n'a aucune solution lisible ici",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $4$ figure pourtant deux fois dans la ligne des images du\ntableau."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableau de valeurs permet d'affirmer qu'une solution existe, jamais\nqu'il n'y en a pas d'autre : il ne montre qu'un échantillon de nombres."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "modelisation",
        "fonction-affine"
      ],
      "title": "Écrire la fonction d'un tarif",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Un taxi facture $4$ euros de prise en charge, puis $2$ euros par\nkilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.\nQuelle est l'expression de $P(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(x) = 2x + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $2$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc\nils multiplient $x$, tandis que les $4$ euros sont payés une fois."
        },
        {
          "text": "$P(x) = 4x + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui\nmultiplie $x$, pas la prise en charge."
        },
        {
          "text": "$P(x) = 6x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie\npas à chaque kilomètre."
        },
        {
          "text": "$P(x) = 2x$",
          "correct": false,
          "feedback": "La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le\nclient paie déjà $4$ euros."
        }
      ],
      "explanation": "Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée\npar unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une\nfonction affine.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un taxi facture $4$ euros de prise en charge, puis $2$ euros par\nkilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.\nQuelle est l'expression de $P(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(x) = 2x + 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $2$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc\nils multiplient $x$, tandis que les $4$ euros sont payés une fois."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 4x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui\nmultiplie $x$, pas la prise en charge."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie\npas à chaque kilomètre."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 2x$",
              "correct": false,
              "feedback": "La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le\nclient paie déjà $4$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée\npar unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une\nfonction affine."
        },
        {
          "statement": "Un taxi facture $5$ euros de prise en charge, puis $3$ euros par\nkilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.\nQuelle est l'expression de $P(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(x) = 3x + 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $3$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc\nils multiplient $x$, tandis que les $5$ euros sont payés une fois."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 5x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui\nmultiplie $x$, pas la prise en charge."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 8x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie\npas à chaque kilomètre."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 3x$",
              "correct": false,
              "feedback": "La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le\nclient paie déjà $5$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée\npar unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une\nfonction affine."
        },
        {
          "statement": "Un taxi facture $2$ euros de prise en charge, puis $5$ euros par\nkilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.\nQuelle est l'expression de $P(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(x) = 5x + 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $5$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc\nils multiplient $x$, tandis que les $2$ euros sont payés une fois."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 2x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui\nmultiplie $x$, pas la prise en charge."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie\npas à chaque kilomètre."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le\nclient paie déjà $2$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée\npar unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une\nfonction affine."
        },
        {
          "statement": "Un taxi facture $8$ euros de prise en charge, puis $5$ euros par\nkilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.\nQuelle est l'expression de $P(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(x) = 5x + 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les $5$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc\nils multiplient $x$, tandis que les $8$ euros sont payés une fois."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 8x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui\nmultiplie $x$, pas la prise en charge."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 13x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie\npas à chaque kilomètre."
            },
            {
              "text": "$P(x) = 5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le\nclient paie déjà $8$ euros."
            }
          ],
          "explanation": "Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée\npar unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une\nfonction affine."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notation",
        "piege"
      ],
      "title": "Les parenthèses de $f(x)$",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Dans l'écriture $f(x)$, les parenthèses indiquent-elles une\nmultiplication ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(x)$ se lit « $f$ de $x$ ». La lettre $f$ nomme une\nfonction, pas un nombre que l'on pourrait multiplier."
        },
        {
          "text": "Oui, $f(x)$ se lit comme le produit $f \\times x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le calcul littéral : dans $3(x+1)$ les parenthèses\nmarquent bien un produit, car $3$ est un nombre."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement si $f$ est un nombre",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction n'est jamais un nombre : dans ce chapitre, la lettre $f$\ndésigne toujours le procédé de calcul."
        },
        {
          "text": "Non, sauf quand $f$ est une fonction affine",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune formule ne fait exception : $f(x)$ désigne une image, que $f$\nsoit affine ou non."
        }
      ],
      "explanation": "La notation $f(x)$ est une notation d'image, pas un produit. Elle ne se\ndéveloppe donc jamais : $f(2x)$ ne vaut pas $2f(x)$."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "notation-fleche",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Traduire une phrase en notation fléchée",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "La fonction $g$ associe à tout nombre son carré diminué de $3$.\nComment s'écrit-elle avec la notation à flèche ?",
      "options": [
        {
          "text": "$g : x \\mapsto x^2 - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on élève d'abord au carré, puis on retranche $3$,\nexactement dans l'ordre annoncé par la phrase."
        },
        {
          "text": "$g : x \\mapsto (x - 3)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des opérations inversé : cette écriture retranche $3$ avant\nd'élever au carré, ce qui donne une autre fonction."
        },
        {
          "text": "$g : x \\mapsto 3 - x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les rôles sont échangés : « diminué de $3$ » signifie que l'on\nretranche $3$ au carré, et non le contraire."
        },
        {
          "text": "$g : x^2 - 3 \\mapsto x$",
          "correct": false,
          "feedback": "La flèche part toujours du nombre de départ : à gauche la variable,\nà droite l'expression de son image."
        }
      ],
      "explanation": "La notation $g : x \\mapsto x^2 - 3$ se lit « $g$ associe à $x$ le nombre\n$x^2 - 3$ ». Elle équivaut à l'écriture $g(x) = x^2 - 3$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racine-carree",
        "antecedent"
      ],
      "title": "Antécédent par la fonction racine carrée",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $4$ par $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on résout $\\sqrt{x} = 4$, donc $x = 4^2 = 16$.\nVérification : $\\sqrt{16} = 4$."
        },
        {
          "text": "$16$ et $-16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-16$ n'appartient\nmême pas à l'ensemble de définition de $f$."
        },
        {
          "text": "$2$ et $-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 4$ : ici, c'est la racine carrée\nde $x$ qui vaut $4$, pas son carré."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $2$ est l'image de $4$, puisque\n$\\sqrt{4} = 2$. On cherche le nombre dont l'image vaut $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre\n$\\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne\n$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $4$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $\\sqrt{x} = 4$, donc $x = 4^2 = 16$.\nVérification : $\\sqrt{16} = 4$."
            },
            {
              "text": "$16$ et $-16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-16$ n'appartient\nmême pas à l'ensemble de définition de $f$."
            },
            {
              "text": "$2$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 4$ : ici, c'est la racine carrée\nde $x$ qui vaut $4$, pas son carré."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $2$ est l'image de $4$, puisque\n$\\sqrt{4} = 2$. On cherche le nombre dont l'image vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre\n$\\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne\n$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $9$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $\\sqrt{x} = 9$, donc $x = 9^2 = 81$.\nVérification : $\\sqrt{81} = 9$."
            },
            {
              "text": "$81$ et $-81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-81$ n'appartient\nmême pas à l'ensemble de définition de $f$."
            },
            {
              "text": "$3$ et $-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 9$ : ici, c'est la racine carrée\nde $x$ qui vaut $9$, pas son carré."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $3$ est l'image de $9$, puisque\n$\\sqrt{9} = 3$. On cherche le nombre dont l'image vaut $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre\n$\\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne\n$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $25$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $\\sqrt{x} = 25$, donc $x = 25^2 = 625$.\nVérification : $\\sqrt{625} = 25$."
            },
            {
              "text": "$625$ et $-625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-625$ n'appartient\nmême pas à l'ensemble de définition de $f$."
            },
            {
              "text": "$5$ et $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 25$ : ici, c'est la racine carrée\nde $x$ qui vaut $25$, pas son carré."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $5$ est l'image de $25$, puisque\n$\\sqrt{25} = 5$. On cherche le nombre dont l'image vaut $25$."
            }
          ],
          "explanation": "Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre\n$\\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne\n$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ par\n$f(x) = \\sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $36$ par $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on résout $\\sqrt{x} = 36$, donc $x = 36^2 = 1296$.\nVérification : $\\sqrt{1296} = 36$."
            },
            {
              "text": "$1296$ et $-1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-1296$ n'appartient\nmême pas à l'ensemble de définition de $f$."
            },
            {
              "text": "$6$ et $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec l'équation $x^2 = 36$ : ici, c'est la racine carrée\nde $x$ qui vaut $36$, pas son carré."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $6$ est l'image de $36$, puisque\n$\\sqrt{36} = 6$. On cherche le nombre dont l'image vaut $36$."
            }
          ],
          "explanation": "Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre\n$\\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne\n$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-valeurs",
        "appartenance-courbe"
      ],
      "title": "Du tableau de valeurs à la courbe",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(-2) = 5$, $f(1) = -4$\net $f(3) = 0$. Quel point appartient à coup sûr à la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1\\,;\\,-4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité $f(1) = -4$ fournit le point d'abscisse $1$\net d'ordonnée $-4$ de la courbe."
        },
        {
          "text": "$(-4\\,;\\,1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées échangées : $-4$ est une image, il figure donc en\nordonnée, et $1$ en abscisse."
        },
        {
          "text": "$(5\\,;\\,-2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées échangées sur une autre colonne : l'égalité $f(-2) = 5$\ndonne le point $(-2\\,;\\,5)$."
        },
        {
          "text": "$(-2\\,;\\,-5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe modifié sans raison : le tableau annonce $f(-2) = 5$, donc\nl'ordonnée est positive."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque égalité $f(a) = b$ d'un tableau de valeurs fournit un point\n$(a\\,;\\,b)$ de la courbe : l'antécédent en abscisse, l'image en ordonnée."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "L'égalité $f(2x) = 2f(x)$",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 4$.\nA-t-on toujours $f(2x) = 2f(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $f(2x) = 2x + 4$ et $2f(x) = 2x + 8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux calculs se mènent séparément et diffèrent\nde $4$. Pour $x = 1$, on obtient $6$ d'un côté et $10$ de l'autre."
        },
        {
          "text": "Oui : le facteur $2$ sort toujours de la fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "Dans $2f(x)$, le terme constant $4$ est lui aussi doublé, alors qu'il\nne l'est pas dans $f(2x)$."
        },
        {
          "text": "Oui, car $f$ est une fonction affine",
          "correct": false,
          "feedback": "Être affine ne donne aucune propriété de ce genre : il faudrait que\nle terme constant soit nul."
        },
        {
          "text": "Non, sauf lorsque $x$ est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe de $x$ ne change rien : l'écart entre $2x + 4$ et $2x + 8$\nvaut $4$ pour tout nombre $x$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction ne se distribue pas sur les opérations : $f(2x)$ se calcule\nen remplaçant $x$ par $2x$, tandis que $2f(x)$ double le résultat déjà\nobtenu. Les deux coïncident seulement dans des cas particuliers."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inequation",
        "graphique",
        "comparaison-courbes"
      ],
      "title": "Résoudre graphiquement f(x) < g(x)",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Sur $[-3\\,;\\,3]$, les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ se coupent\naux points d'abscisses $-1$ et $2$, et la courbe de $f$ est sous\ncelle de $g$ exactement entre ces deux points. Quel est l'ensemble\ndes solutions de $f(x) < g(x)$ sur $[-3\\,;\\,3]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-1\\,;\\,2[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on cherche les abscisses où la courbe de $f$ est\nstrictement sous celle de $g$. Les points d'intersection sont\nexclus, car l'inégalité est stricte."
        },
        {
          "text": "$[-1\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $-1$ et en $2$, on a $f(x) = g(x)$, ce qui ne vérifie\npas l'inégalité stricte."
        },
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,-1[ \\cup ]2\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur ces intervalles, la courbe de $f$ est au-dessus de\ncelle de $g$ : c'est l'ensemble des solutions de $f(x) > g(x)$."
        },
        {
          "text": "$\\{-1\\,;\\,2\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$, pas\nde l'inéquation."
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre graphiquement $f(x) < g(x)$, c'est lire les abscisses des\npoints de la courbe de $f$ situés sous la courbe de $g$."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre graphiquement f(x) = 3",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie\nsur $[-2\\,;\\,2]$. Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 3$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12)\n{$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y)\n{$\\y$};\n  \\draw[domain=-2:2,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n  \\draw[dashed,red] (-2.7,3) -- (2.7,3) node[right,font=\\small] {$y=3$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). Une droite horizontale en pointillés d'équation y = 3 est tracée.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"159.772pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 159.772 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.546875 C 4.03125 -3.28125 3.96875 -3.015625 3.90625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.828125 -0.109375 1.71875 -0.546875 1.71875 -0.921875 C 1.71875 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.28125 2.421875 -3.390625 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.40625 1.609375 -4.40625 C 0.65625 -4.40625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.953125 C 0.84375 -3.875 1.234375 -4.1875 1.578125 -4.1875 C 1.65625 -4.1875 1.828125 -4.1875 1.828125 -3.859375 C 1.828125 -3.609375 1.71875 -3.359375 1.65625 -3.171875 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.296875 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.171875 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2.015625 1.828125 1.546875 1.828125 C 1.40625 1.828125 0.96875 1.796875 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.0625 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.046875 1.546875 2.046875 C 2.578125 2.046875 3.609375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.84375 -3.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.046875 -2.046875 C 6.203125 -2.046875 6.375 -2.046875 6.375 -2.25 C 6.375 -2.4375 6.203125 -2.4375 6.046875 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.046875 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.5625 -1.484375 4.5 -1.484375 C 4.40625 -1.484375 4.03125 -1.359375 3.828125 -1.0625 C 3.59375 -0.75 3.234375 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.859375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.296875 -5.53125 2.8125 -5.8125 3.53125 -5.8125 C 3.96875 -5.8125 4.125 -5.65625 4.125 -5.34375 C 4.125 -5.015625 3.75 -4.328125 3.703125 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.09375 C 3.625 -4.03125 3.6875 -4.03125 3.71875 -4.03125 C 3.875 -4.03125 4.234375 -4.21875 4.375 -4.40625 C 4.40625 -4.46875 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.734375 C 4.890625 -6.140625 4.640625 -6.3125 4.15625 -6.3125 C 3.078125 -6.3125 2 -5.734375 1.3125 -4.953125 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.859375 C 0.125 -0.5 0.875 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 6.34375 -2.96875 C 6.46875 -2.96875 6.640625 -2.96875 6.640625 -3.15625 C 6.640625 -3.34375 6.4375 -3.34375 6.296875 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.15625 C 0.515625 -2.96875 0.6875 -2.96875 0.8125 -2.96875 Z M 6.296875 -1.140625 C 6.4375 -1.140625 6.640625 -1.140625 6.640625 -1.328125 C 6.640625 -1.515625 6.46875 -1.515625 6.34375 -1.515625 L 0.8125 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.296875 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 4.5 -3.453125 C 4.5 -3.484375 4.515625 -3.546875 4.515625 -3.59375 C 4.515625 -3.71875 4.4375 -3.859375 4.25 -3.859375 C 4.125 -3.859375 3.96875 -3.78125 3.890625 -3.609375 C 3.890625 -3.578125 3.796875 -3.21875 3.75 -3.015625 L 3.296875 -1.234375 C 3.21875 -0.96875 3.21875 -0.953125 3.203125 -0.875 C 3.203125 -0.828125 2.8125 -0.125 2.171875 -0.125 C 1.625 -0.125 1.625 -0.6875 1.625 -0.859375 C 1.625 -1.265625 1.734375 -1.703125 2.125 -2.703125 C 2.1875 -2.90625 2.25 -3.03125 2.25 -3.203125 C 2.25 -3.640625 1.921875 -3.953125 1.484375 -3.953125 C 0.625 -3.953125 0.265625 -2.6875 0.265625 -2.578125 C 0.265625 -2.5 0.328125 -2.46875 0.390625 -2.46875 C 0.484375 -2.46875 0.5 -2.53125 0.53125 -2.640625 C 0.71875 -3.296875 1.078125 -3.734375 1.453125 -3.734375 C 1.671875 -3.734375 1.671875 -3.5625 1.671875 -3.4375 C 1.671875 -3.28125 1.625 -3.125 1.546875 -2.90625 C 1.125 -1.796875 1.015625 -1.421875 1.015625 -1 C 1.015625 0 1.8125 0.09375 2.15625 0.09375 C 2.59375 0.09375 2.90625 -0.140625 3.0625 -0.296875 C 2.953125 0.15625 2.84375 0.5625 2.5 1.015625 C 2.234375 1.375 1.875 1.609375 1.484375 1.609375 C 1.234375 1.609375 0.9375 1.515625 0.8125 1.265625 C 1.28125 1.265625 1.34375 0.875 1.34375 0.78125 C 1.34375 0.59375 1.203125 0.46875 1 0.46875 C 0.78125 0.46875 0.5 0.640625 0.5 1.046875 C 0.5 1.515625 0.90625 1.828125 1.484375 1.828125 C 2.390625 1.828125 3.359375 1.0625 3.625 0.015625 Z M 4.5 -3.453125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.228022 -22.678339 L 61.230955 -22.678339 M -61.228022 -0.00017141 L 61.230955 -0.00017141 M -61.228022 22.677997 L 61.230955 22.677997 M -61.228022 45.356165 L 61.230955 45.356165 M -61.228022 68.034333 L 61.230955 68.034333 M -45.356826 -38.553448 L -45.356826 83.905529 M -22.678658 -38.553448 L -22.678658 83.905529 M -0.000489646 -38.553448 L -0.000489646 83.905529 M 22.677678 -38.553448 L 22.677678 83.905529 M 45.355846 -38.553448 L 45.355846 83.905529 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 67.859864, 103.347485)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -65.766003 -0.00017141 L 65.365995 -0.00017141 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 67.859864, 103.347485)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073319 2.390093 C -1.693849 0.958281 -0.848846 0.277584 0.000069252 -0.00017141 C -0.848846 -0.277927 -1.693849 -0.954712 -2.073319 -2.390435 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 133.328056, 103.347485)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"137.040102\" y=\"111.144903\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000489646 -43.087517 L -0.000489646 88.044481 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 67.859864, 103.347485)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072362 2.390754 C -1.692893 0.95503 -0.851802 0.278245 0.00102548 0.000489646 C -0.851802 -0.277266 -1.692893 -0.957963 -2.072362 -2.389774 \" transform=\"matrix(0, -0.998517, -0.998517, 0, 67.859864, 15.235399)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"59.11086\" y=\"9.588757\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.693867\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"23.850237\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.337232\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"46.493602\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"88.202646\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.846011\" y=\"115.348658\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.869587\" y=\"128.461181\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"57.026955\" y=\"128.461181\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"57.026955\" y=\"83.588835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"57.026955\" y=\"60.944472\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"57.026955\" y=\"38.301107\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.356826 68.034333 C -45.356826 68.034333 -42.626213 57.389638 -41.573871 53.54409 C -40.525441 49.698543 -38.843258 43.810904 -37.794828 40.317441 C -36.746398 36.820066 -35.064216 31.495763 -34.015786 28.350473 C -32.967356 25.20127 -31.285173 20.436391 -30.236743 17.639273 C -29.188313 14.842156 -27.50613 10.640611 -26.4577 8.191666 C -25.40927 5.742722 -23.727088 2.100601 -22.678658 0.00374064 C -21.630228 -2.093119 -19.948045 -5.179729 -18.899615 -6.928416 C -17.851185 -8.673192 -16.169002 -11.196465 -15.120572 -12.59698 C -14.072142 -13.993583 -12.38996 -15.957433 -11.34153 -17.005863 C -10.2931 -18.054293 -8.610917 -19.45872 -7.562487 -20.155066 C -6.514057 -20.855323 -4.831874 -21.696414 -3.783444 -22.048499 C -2.735014 -22.396672 -1.052832 -22.678339 -0.0044017 -22.678339 C 1.044028 -22.678339 2.726211 -22.396672 3.774641 -22.048499 C 4.826983 -21.700326 6.505254 -20.859235 7.557596 -20.158978 C 8.606026 -19.462632 10.288208 -18.058205 11.336638 -17.009775 C 12.385068 -15.961345 14.067251 -14.001407 15.115681 -12.604804 C 16.164111 -11.20429 17.846294 -8.684928 18.894724 -6.93624 C 19.943154 -5.187553 21.625336 -2.104856 22.673766 -0.00799552 C 23.722196 2.088865 25.404379 5.730985 26.452809 8.17993 C 27.501239 10.624963 29.183422 14.830419 30.231852 17.623625 C 31.280282 20.420742 32.962464 25.185622 34.010894 28.330912 C 35.059324 31.480115 36.741507 36.804418 37.789937 40.297881 C 38.838367 43.795256 40.52055 49.678983 41.56898 53.52453 C 42.61741 57.370078 45.348022 68.01086 45.348022 68.01086 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 67.859864, 103.347485)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"112.132101\" y=\"45.530368\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"116.989885\" y=\"46.591791\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.228022 68.034333 L 61.230955 68.034333 \" transform=\"matrix(0.998517, 0, 0, -0.998517, 67.859864, 103.347485)\"/>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"132.511828\" y=\"37.4304\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"139.920823\" y=\"37.4304\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"149.629544\" y=\"37.4304\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\{2\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La courbe atteint aussi la hauteur $3$ pour $x = -2$ : l'équation a deux\nsolutions.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{-2\\,;\\,2\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les points de la courbe d'ordonnée $3$ sont $(-2\\,;\\,3)$\net $(2\\,;\\,3)$ ; les solutions sont leurs abscisses.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{8\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3$ a été lu comme une abscisse. On cherche les abscisses des points de\nla courbe dont l'ordonnée vaut $3$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3$ est la valeur de $f(x)$ ; les solutions sont des valeurs de $x$,\nlues sur l'axe des abscisses.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre graphiquement $f(x) = k$, c'est lire les abscisses des points\nde la courbe d'ordonnée $k$, c'est-à-dire de ses points d'intersection\navec la droite horizontale $y = k$."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre graphiquement f(x) < 0",
      "partie": "lecture",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie\nsur $[-2\\,;\\,2]$. Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$f(x) < 0$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12)\n{$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y)\n{$\\y$};\n  \\draw[domain=-2:2,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3).",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"148.246pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 148.246 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.625 4.109375 -5.3125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.3125 3.6875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.078125 C 3.609375 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.21875 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.875 -5.28125 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.125 4.625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.0625 -6.296875 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.40625 Z M 4.5625 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 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-2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.90625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.23056 -22.675692 L 61.228978 -22.675692 M 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0.00189811 0.00156367 C -0.850069 -0.277191 -1.694185 -0.956409 -2.071092 -2.389442 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 132.845768, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"136.544515\" y=\"111.013227\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00117191 -43.087578 L 0.00117191 88.044754 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070974 2.389834 C -1.694067 0.956801 -0.849952 0.277582 -0.00191019 -0.00117191 C -0.849952 -0.279926 -1.694067 -0.955219 -2.070974 -2.392178 \" transform=\"matrix(0, -0.99494, -0.99494, 0, 67.612115, 15.447318)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"58.894455\" y=\"9.820905\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.62942\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"23.760153\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.191666\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"46.322398\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"87.88202\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.444265\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.686289\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"83.555879\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"56.818016\" y=\"60.992638\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"56.818016\" y=\"38.430393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.35334 68.033332 C -45.35334 68.033332 -42.624688 57.389627 -41.576415 53.545957 C -40.528141 49.698362 -38.843837 43.813111 -37.795564 40.314941 C -36.74729 36.820696 -35.066912 31.49688 -34.018638 28.348134 C -32.966439 25.203313 -31.28606 20.437006 -30.237787 17.641611 C -29.189513 14.842289 -27.505209 10.637417 -26.456936 8.191445 C -25.408662 5.745474 -23.728284 2.102037 -22.68001 0.00156367 C -21.631737 -2.094983 -19.947432 -5.176986 -18.899159 -6.928034 C -17.850885 -8.675157 -16.170507 -11.19965 -15.118307 -12.597348 C -14.070034 -13.995046 -12.389656 -15.958105 -11.341382 -17.006378 C -10.293109 -18.054652 -8.608804 -19.456276 -7.560531 -20.155125 C -6.512257 -20.853974 -4.831879 -21.698089 -3.783606 -22.047514 C -2.731406 -22.396938 -1.051028 -22.675692 -0.00275421 -22.675692 C 1.045519 -22.679618 2.725898 -22.396938 3.778097 -22.047514 C 4.826371 -21.698089 6.506749 -20.8579 7.555022 -20.159051 C 8.603296 -19.460202 10.2876 -18.058578 11.335874 -17.010304 C 12.384147 -15.962031 14.064526 -14.002898 15.112799 -12.6052 C 16.164999 -11.207502 17.845377 -8.683009 18.89365 -6.935886 C 19.941924 -5.188764 21.626228 -2.106762 22.674502 -0.0102147 C 23.722775 2.090258 25.403154 5.733696 26.451427 8.179667 C 27.499701 10.625638 29.184005 14.83051 30.232278 17.625906 C 31.280552 20.421302 32.96093 25.187609 34.01313 28.332429 C 35.061403 31.47725 36.741782 36.804991 37.790055 40.299236 C 38.838329 43.793481 40.522633 49.678731 41.570907 53.526327 C 42.61918 57.369996 45.347832 68.009775 45.347832 68.009775 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"111.725747\" y=\"45.633756\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"116.566128\" y=\"46.691377\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $-1$ et en $1$, $f(x) = 0$ : l'inégalité est stricte, les bornes sont\nexclues.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{-1\\,;\\,1\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les solutions de $f(x) = 0$. On cherche les $x$ pour lesquels la\ncourbe est sous l'axe des abscisses.\n"
        },
        {
          "text": "$]-1\\,;\\,1[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe est strictement sous l'axe des abscisses entre\n$-1$ et $1$, bornes exclues.\n"
        },
        {
          "text": "$[-2\\,;\\,-1[\\,\\cup\\,]1\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur ces intervalles, la courbe est au-dessus de l'axe : c'est l'ensemble\ndes solutions de $f(x) > 0$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre graphiquement $f(x) < 0$, c'est lire les abscisses des points\nde la courbe situés strictement sous l'axe des abscisses."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "intersection"
      ],
      "title": "Résoudre graphiquement f(x) = g(x)",
      "partie": "lecture",
      "statement": "Les courbes ci-dessous représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies\nsur $[-2\\,;\\,2]$. Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$\n?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12)\n{$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y)\n{$\\y$};\n  \\draw[domain=-2:2,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n  \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n  \\draw[thick,red] (-2,-1) -- (2.6,3.6) node[right,font=\\small]\n{$\\mathcal{C}_g$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). La courbe de g est une droite passant par (-2 ; -1), (-1 ; 0), (0 ; 1) et (2 ; 3).",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"148.246pt\" height=\"148.779pt\" viewBox=\"0 0 148.246 148.779\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 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\"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 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1.453125 -2.625 0.671875 -1.8125 0.671875 -1 C 0.671875 -0.40625 1.078125 0 1.640625 0 C 1.953125 0 2.21875 -0.15625 2.421875 -0.328125 L 2.296875 0.21875 C 2.21875 0.453125 2.1875 0.625 1.9375 0.8125 C 1.671875 1.015625 1.421875 1.015625 1.25 1.015625 C 0.984375 1.015625 0.90625 1 0.796875 0.984375 C 0.921875 0.90625 0.953125 0.765625 0.953125 0.703125 C 0.953125 0.515625 0.796875 0.46875 0.71875 0.46875 C 0.53125 0.46875 0.375 0.640625 0.375 0.84375 C 0.375 1.21875 0.9375 1.21875 1.25 1.21875 C 2.03125 1.21875 2.59375 0.921875 2.734375 0.375 Z M 2.546875 -0.828125 C 2.515625 -0.71875 2.515625 -0.71875 2.4375 -0.625 C 2.21875 -0.375 1.921875 -0.203125 1.65625 -0.203125 C 1.4375 -0.203125 1.171875 -0.328125 1.171875 -0.78125 C 1.171875 -1.03125 1.3125 -1.625 1.5 -1.921875 C 1.71875 -2.28125 2.015625 -2.421875 2.25 -2.421875 C 2.703125 -2.421875 2.828125 -1.984375 2.828125 -1.921875 C 2.828125 -1.90625 2.8125 -1.859375 2.796875 -1.828125 Z M 2.546875 -0.828125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -61.23056 -22.675692 L 61.228978 -22.675692 M -61.23056 0.00156367 L 61.228978 0.00156367 M -61.23056 22.67882 L 61.228978 22.67882 M -61.23056 45.356076 L 61.228978 45.356076 M -61.23056 68.033332 L 61.228978 68.033332 M -45.35334 -38.552913 L -45.35334 83.906626 M -22.676084 -38.552913 L -22.676084 83.906626 M 0.00117191 -38.552913 L 0.00117191 83.906626 M 22.678428 -38.552913 L 22.678428 83.906626 M 45.355684 -38.552913 L 45.355684 83.906626 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -65.765226 0.00156367 L 65.367106 0.00156367 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071092 2.392569 C -1.694185 0.95561 -0.850069 0.280318 0.00189811 0.00156367 C -0.850069 -0.277191 -1.694185 -0.956409 -2.071092 -2.389442 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 132.845768, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"136.544515\" y=\"111.013227\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00117191 -43.087578 L 0.00117191 88.044754 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070974 2.389834 C -1.694067 0.956801 -0.849952 0.277582 -0.00191019 -0.00117191 C -0.849952 -0.279926 -1.694067 -0.955219 -2.070974 -2.392178 \" transform=\"matrix(0, -0.99494, -0.99494, 0, 67.612115, 15.447318)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"58.894455\" y=\"9.820905\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.62942\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"23.760153\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.191666\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"46.322398\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"87.88202\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"110.444265\" y=\"115.201922\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.686289\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"128.267469\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"56.818016\" y=\"83.555879\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"56.818016\" y=\"60.992638\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"56.818016\" y=\"38.430393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.35334 68.033332 C -45.35334 68.033332 -42.624688 57.389627 -41.576415 53.545957 C -40.528141 49.698362 -38.843837 43.813111 -37.795564 40.314941 C -36.74729 36.820696 -35.066912 31.49688 -34.018638 28.348134 C -32.966439 25.203313 -31.28606 20.437006 -30.237787 17.641611 C -29.189513 14.842289 -27.505209 10.637417 -26.456936 8.191445 C -25.408662 5.745474 -23.728284 2.102037 -22.68001 0.00156367 C -21.631737 -2.094983 -19.947432 -5.176986 -18.899159 -6.928034 C -17.850885 -8.675157 -16.170507 -11.19965 -15.118307 -12.597348 C -14.070034 -13.995046 -12.389656 -15.958105 -11.341382 -17.006378 C -10.293109 -18.054652 -8.608804 -19.456276 -7.560531 -20.155125 C -6.512257 -20.853974 -4.831879 -21.698089 -3.783606 -22.047514 C -2.731406 -22.396938 -1.051028 -22.675692 -0.00275421 -22.675692 C 1.045519 -22.679618 2.725898 -22.396938 3.778097 -22.047514 C 4.826371 -21.698089 6.506749 -20.8579 7.555022 -20.159051 C 8.603296 -19.460202 10.2876 -18.058578 11.335874 -17.010304 C 12.384147 -15.962031 14.064526 -14.002898 15.112799 -12.6052 C 16.164999 -11.207502 17.845377 -8.683009 18.89365 -6.935886 C 19.941924 -5.188764 21.626228 -2.106762 22.674502 -0.0102147 C 23.722775 2.090258 25.403154 5.733696 26.451427 8.179667 C 27.499701 10.625638 29.184005 14.83051 30.232278 17.625906 C 31.280552 20.421302 32.96093 25.187609 34.01313 28.332429 C 35.061403 31.47725 36.741782 36.804991 37.790055 40.299236 C 38.838329 43.793481 40.522633 49.678731 41.570907 53.526327 C 42.61918 57.369996 45.347832 68.009775 45.347832 68.009775 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"111.725747\" y=\"45.633756\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"116.566128\" y=\"46.691377\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.35334 -22.675692 L 58.963608 81.63733 \" transform=\"matrix(0.99494, 0, 0, -0.99494, 67.612115, 103.243743)\"/>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"129.974929\" y=\"23.992825\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-1\" x=\"134.814315\" y=\"24.983784\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\{-1\\,;\\,2\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les courbes se coupent aux points $(-1\\,;\\,0)$ et\n$(2\\,;\\,3)$ ; les solutions sont leurs abscisses.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{0\\,;\\,3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les ordonnées des points d'intersection. Les solutions sont des\nvaleurs de $x$ : $-1$ et $2$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{-1\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les courbes se coupent aussi au point $(2\\,;\\,3)$ : l'équation a deux\nsolutions.\n"
        },
        {
          "text": "$\\{(-1\\,;\\,0)\\,;\\,(2\\,;\\,3)\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les points d'intersection. Les solutions de l'équation sont\nleurs abscisses seulement.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$, c'est lire les abscisses des\npoints d'intersection des deux courbes."
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonction-sur-n",
        "image",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Une fonction définie sur les entiers",
      "partie": "images-antecedents",
      "statement": "Une chaîne de vidéos compte $50$ abonnés, puis gagne $3$ abonnés chaque\nsemaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est\n$u(n) = 50 + 3n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut\n$u(4)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$62$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u(4) = 50 + 3 \\times 4 = 62$."
        },
        {
          "text": "$212$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de priorité : $(50 + 3) \\times 4$ multiplie aussi\nl'effectif de départ. Seul $3n$ dépend du nombre de\nsemaines."
        },
        {
          "text": "$131$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3n$ signifie $3 \\times n$, et non $3^n$. Le\nnombre d'abonnés augmente de $3$ par semaine."
        },
        {
          "text": "$57$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a additionné $4$ au lieu de multiplier :\n$3n = 3 \\times 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ modélise un phénomène\ndiscret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une chaîne de vidéos compte $50$ abonnés, puis gagne $3$ abonnés chaque\nsemaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est\n$u(n) = 50 + 3n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut\n$u(4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$62$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u(4) = 50 + 3 \\times 4 = 62$."
            },
            {
              "text": "$212$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de priorité : $(50 + 3) \\times 4$ multiplie aussi\nl'effectif de départ. Seul $3n$ dépend du nombre de\nsemaines."
            },
            {
              "text": "$131$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3n$ signifie $3 \\times n$, et non $3^n$. Le\nnombre d'abonnés augmente de $3$ par semaine."
            },
            {
              "text": "$57$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné $4$ au lieu de multiplier :\n$3n = 3 \\times 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ modélise un phénomène\ndiscret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de vidéos compte $120$ abonnés, puis gagne $5$ abonnés chaque\nsemaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est\n$u(n) = 120 + 5n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut\n$u(6)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$150$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u(6) = 120 + 5 \\times 6 = 150$."
            },
            {
              "text": "$750$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de priorité : $(120 + 5) \\times 6$ multiplie aussi\nl'effectif de départ. Seul $5n$ dépend du nombre de\nsemaines."
            },
            {
              "text": "$15745$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5n$ signifie $5 \\times n$, et non $5^n$. Le\nnombre d'abonnés augmente de $5$ par semaine."
            },
            {
              "text": "$131$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné $6$ au lieu de multiplier :\n$5n = 5 \\times 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ modélise un phénomène\ndiscret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de vidéos compte $30$ abonnés, puis gagne $7$ abonnés chaque\nsemaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est\n$u(n) = 30 + 7n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut\n$u(3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$51$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u(3) = 30 + 7 \\times 3 = 51$."
            },
            {
              "text": "$111$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de priorité : $(30 + 7) \\times 3$ multiplie aussi\nl'effectif de départ. Seul $7n$ dépend du nombre de\nsemaines."
            },
            {
              "text": "$373$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7n$ signifie $7 \\times n$, et non $7^n$. Le\nnombre d'abonnés augmente de $7$ par semaine."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné $3$ au lieu de multiplier :\n$7n = 7 \\times 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ modélise un phénomène\ndiscret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$."
        },
        {
          "statement": "Une chaîne de vidéos compte $200$ abonnés, puis gagne $4$ abonnés chaque\nsemaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est\n$u(n) = 200 + 4n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut\n$u(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$220$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u(5) = 200 + 4 \\times 5 = 220$."
            },
            {
              "text": "$1020$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de priorité : $(200 + 4) \\times 5$ multiplie aussi\nl'effectif de départ. Seul $4n$ dépend du nombre de\nsemaines."
            },
            {
              "text": "$1224$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4n$ signifie $4 \\times n$, et non $4^n$. Le\nnombre d'abonnés augmente de $4$ par semaine."
            },
            {
              "text": "$209$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on a additionné $5$ au lieu de multiplier :\n$4n = 4 \\times 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ modélise un phénomène\ndiscret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$."
        }
      ]
    }
  ]
}