{
  "chapter": {
    "id": "information-chiffree-statistiques",
    "level": "seconde",
    "theme": "Statistiques et probabilités",
    "title": "Information chiffrée et statistiques",
    "description": "Proportions et pourcentages (dont pourcentage de pourcentage),\névolutions : variation absolue et relative, coefficient\nmultiplicateur, évolutions successives et réciproques ; moyenne\n(linéarité, pondération par classes), écart-type et dispersion,\nclasse médiane.",
    "parties": [
      {
        "id": "proportions",
        "title": "Proportions et pourcentages"
      },
      {
        "id": "evolutions",
        "title": "Évolutions et coefficients multiplicateurs"
      },
      {
        "id": "moyennes",
        "title": "Moyennes"
      },
      {
        "id": "dispersion",
        "title": "Médiane, étendue et dispersion"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proportion"
      ],
      "title": "Calculer une proportion",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans une classe de $30$ élèves, il y a $12$ filles. Quelle est\nla proportion de filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{12}{30} = \\dfrac{4}{10} = 0{,}4 =\n40\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$12\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12$ est l'**effectif**, pas la proportion. Il\nfaut le rapporter au total : $\\dfrac{12}{30}$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2{,}5 = \\dfrac{30}{12}$ renverse la fraction (et\nn'est d'ailleurs pas un pourcentage). Une proportion se calcule par $\\dfrac{\\text{partie}}{\\text{tout}}$."
        },
        {
          "text": "$60\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $60\\ \\%$ est la proportion des **garçons**\n($18/30$). Attention au groupe dont on parle."
        }
      ],
      "explanation": "Proportion $= \\dfrac{\\text{effectif de la partie}}\n{\\text{effectif total}} = \\dfrac{12}{30} = 0{,}4$, exprimable\nen fraction, en décimal ou en pourcentage ($40\\ \\%$)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proportion",
        "pourcentage-de-pourcentage"
      ],
      "title": "Pourcentage de pourcentage",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans un lycée, $40\\ \\%$ des élèves sont en seconde, et\n$50\\ \\%$ de ces élèves de seconde mangent à la cantine. Quelle\nproportion des élèves du lycée sont des élèves de seconde\nmangeant à la cantine ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se\n**multiplient** : $0{,}5 \\times 0{,}4 = 0{,}2 = 20\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$90\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $40$ et $50$ n'a pas de sens, les\ndeux pourcentages ne portent pas sur le même ensemble.\nOn multiplie : $50\\ \\%$ **de** $40\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$45\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moyenne des deux pourcentages ne correspond à\nrien ici. Le mot « de » se traduit par une\nmultiplication."
        },
        {
          "text": "$10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $0{,}5 \\times 0{,}4 = 0{,}2$, soit\n$20\\ \\%$, pas $10\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Ensembles de référence emboîtés (au programme) : la proportion\nde la partie dans le tout est le **produit** des proportions\nintermédiaires : $50\\ \\%$ de $40\\ \\%$ $= 20\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "evolution",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Le coefficient d'une hausse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Augmenter une quantité de $5\\ \\%$ revient à la multiplier par\nquel coefficient ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}05$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $+5\\ \\%$ signifie garder les $100\\ \\%$ et\najouter $5\\ \\%$ : coefficient $1 + 0{,}05 = 1{,}05$."
        },
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}05$ **réduit** la quantité à\n$5\\ \\%$ d'elle-même (une chute de $95\\ \\%$). Le\ncoefficient d'une hausse dépasse $1$."
        },
        {
          "text": "$1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}5$ correspond à $+50\\ \\%$. Pour $+5\\ \\%$ :\n$1{,}05$ (attention à la place du zéro)."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $5$ est une hausse de $400\\ \\%$.\nLe passage en coefficient se fait par $1 +\n\\dfrac{5}{100}$."
        }
      ],
      "explanation": "Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :\n$+t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)$\net $-t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 - \\frac{t}{100}\n\\right)$. Ici : $\\times\\,1{,}05$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Augmenter une quantité de $5\\ \\%$ revient à la multiplier par\nquel coefficient ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $+5\\ \\%$ signifie garder les $100\\ \\%$ et\najouter $5\\ \\%$ : coefficient $1 + 0{,}05 = 1{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}05$ **réduit** la quantité à\n$5\\ \\%$ d'elle-même (une chute de $95\\ \\%$). Le\ncoefficient d'une hausse dépasse $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}5$ correspond à $+50\\ \\%$. Pour $+5\\ \\%$ :\n$1{,}05$ (attention à la place du zéro)."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $5$ est une hausse de $400\\ \\%$.\nLe passage en coefficient se fait par $1 +\n\\dfrac{5}{100}$."
            }
          ],
          "explanation": "Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :\n$+t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)$\net $-t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 - \\frac{t}{100}\n\\right)$. Ici : $\\times\\,1{,}05$."
        },
        {
          "statement": "Augmenter une quantité de $3\\ \\%$ revient à la multiplier par\nquel coefficient ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}03$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $+3\\ \\%$ signifie garder les $100\\ \\%$ et\najouter $3\\ \\%$ : coefficient $1 + 0{,}03 = 1{,}03$."
            },
            {
              "text": "$0{,}03$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}03$ **réduit** la quantité à\n$3\\ \\%$ d'elle-même (une chute de $97\\ \\%$). Le\ncoefficient d'une hausse dépasse $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}3$ correspond à $+30\\ \\%$. Pour $+3\\ \\%$ :\n$1{,}03$ (attention à la place du zéro)."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $3$ est une hausse de $200\\ \\%$.\nLe passage en coefficient se fait par $1 +\n\\dfrac{3}{100}$."
            }
          ],
          "explanation": "Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :\n$+t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)$\net $-t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 - \\frac{t}{100}\n\\right)$. Ici : $\\times\\,1{,}03$."
        },
        {
          "statement": "Augmenter une quantité de $8\\ \\%$ revient à la multiplier par\nquel coefficient ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}08$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $+8\\ \\%$ signifie garder les $100\\ \\%$ et\najouter $8\\ \\%$ : coefficient $1 + 0{,}08 = 1{,}08$."
            },
            {
              "text": "$0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}08$ **réduit** la quantité à\n$8\\ \\%$ d'elle-même (une chute de $92\\ \\%$). Le\ncoefficient d'une hausse dépasse $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}8$ correspond à $+80\\ \\%$. Pour $+8\\ \\%$ :\n$1{,}08$ (attention à la place du zéro)."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $8$ est une hausse de $700\\ \\%$.\nLe passage en coefficient se fait par $1 +\n\\dfrac{8}{100}$."
            }
          ],
          "explanation": "Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :\n$+t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)$\net $-t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 - \\frac{t}{100}\n\\right)$. Ici : $\\times\\,1{,}08$."
        },
        {
          "statement": "Augmenter une quantité de $2\\ \\%$ revient à la multiplier par\nquel coefficient ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}02$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $+2\\ \\%$ signifie garder les $100\\ \\%$ et\najouter $2\\ \\%$ : coefficient $1 + 0{,}02 = 1{,}02$."
            },
            {
              "text": "$0{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}02$ **réduit** la quantité à\n$2\\ \\%$ d'elle-même (une chute de $98\\ \\%$). Le\ncoefficient d'une hausse dépasse $1$."
            },
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1{,}2$ correspond à $+20\\ \\%$. Pour $+2\\ \\%$ :\n$1{,}02$ (attention à la place du zéro)."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : multiplier par $2$ est une hausse de $100\\ \\%$.\nLe passage en coefficient se fait par $1 +\n\\dfrac{2}{100}$."
            }
          ],
          "explanation": "Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :\n$+t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 + \\frac{t}{100}\\right)$\net $-t\\ \\% \\leftrightarrow \\times\\left(1 - \\frac{t}{100}\n\\right)$. Ici : $\\times\\,1{,}02$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evolution",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Appliquer une baisse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un article coûte $80$ euros. Son prix baisse de $20\\ \\%$.\nQuel est le nouveau prix ?",
      "options": [
        {
          "text": "$64$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $80 \\times (1 - 0{,}2) = 80 \\times 0{,}8\n= 64$ euros."
        },
        {
          "text": "$60$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as retiré $20$ **euros** au lieu de $20\\ \\%$.\nLa baisse vaut $20\\ \\%$ de $80$, soit $16$ euros."
        },
        {
          "text": "$16$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16$ euros est le **montant de la baisse**\n($0{,}2 \\times 80$), pas le prix final ($80 - 16 = 64$)."
        },
        {
          "text": "$96$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $80 \\times 1{,}2 = 96$ est une\n**hausse** de $20\\ \\%$. Une baisse multiplie par $0{,}8$."
        }
      ],
      "explanation": "$-20\\ \\%$ : coefficient $0{,}8$. Nouveau prix\n$= 80 \\times 0{,}8 = 64$ euros. Le réflexe multiplicatif\névite les erreurs et prépare les évolutions successives.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un article coûte $80$ euros. Son prix baisse de $20\\ \\%$.\nQuel est le nouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $80 \\times (1 - 0{,}2) = 80 \\times 0{,}8\n= 64$ euros."
            },
            {
              "text": "$60$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as retiré $20$ **euros** au lieu de $20\\ \\%$.\nLa baisse vaut $20\\ \\%$ de $80$, soit $16$ euros."
            },
            {
              "text": "$16$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $16$ euros est le **montant de la baisse**\n($0{,}2 \\times 80$), pas le prix final ($80 - 16 = 64$)."
            },
            {
              "text": "$96$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $80 \\times 1{,}2 = 96$ est une\n**hausse** de $20\\ \\%$. Une baisse multiplie par $0{,}8$."
            }
          ],
          "explanation": "$-20\\ \\%$ : coefficient $0{,}8$. Nouveau prix\n$= 80 \\times 0{,}8 = 64$ euros. Le réflexe multiplicatif\névite les erreurs et prépare les évolutions successives."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $50$ euros. Son prix baisse de $10\\ \\%$.\nQuel est le nouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $50 \\times (1 - 0{,}1) = 50 \\times 0{,}9\n= 45$ euros."
            },
            {
              "text": "$40$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as retiré $10$ **euros** au lieu de $10\\ \\%$.\nLa baisse vaut $10\\ \\%$ de $50$, soit $5$ euros."
            },
            {
              "text": "$5$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ euros est le **montant de la baisse**\n($0{,}1 \\times 50$), pas le prix final ($50 - 5 = 45$)."
            },
            {
              "text": "$55$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $50 \\times 1{,}1 = 55$ est une\n**hausse** de $10\\ \\%$. Une baisse multiplie par $0{,}9$."
            }
          ],
          "explanation": "$-10\\ \\%$ : coefficient $0{,}9$. Nouveau prix\n$= 50 \\times 0{,}9 = 45$ euros. Le réflexe multiplicatif\névite les erreurs et prépare les évolutions successives."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $120$ euros. Son prix baisse de $25\\ \\%$.\nQuel est le nouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$90$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $120 \\times (1 - 0{,}25) = 120 \\times 0{,}75\n= 90$ euros."
            },
            {
              "text": "$95$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as retiré $25$ **euros** au lieu de $25\\ \\%$.\nLa baisse vaut $25\\ \\%$ de $120$, soit $30$ euros."
            },
            {
              "text": "$30$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $30$ euros est le **montant de la baisse**\n($0{,}25 \\times 120$), pas le prix final ($120 - 30 = 90$)."
            },
            {
              "text": "$150$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $120 \\times 1{,}25 = 150$ est une\n**hausse** de $25\\ \\%$. Une baisse multiplie par $0{,}75$."
            }
          ],
          "explanation": "$-25\\ \\%$ : coefficient $0{,}75$. Nouveau prix\n$= 120 \\times 0{,}75 = 90$ euros. Le réflexe multiplicatif\névite les erreurs et prépare les évolutions successives."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $60$ euros. Son prix baisse de $15\\ \\%$.\nQuel est le nouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$51$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $60 \\times (1 - 0{,}15) = 60 \\times 0{,}85\n= 51$ euros."
            },
            {
              "text": "$45$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as retiré $15$ **euros** au lieu de $15\\ \\%$.\nLa baisse vaut $15\\ \\%$ de $60$, soit $9$ euros."
            },
            {
              "text": "$9$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ euros est le **montant de la baisse**\n($0{,}15 \\times 60$), pas le prix final ($60 - 9 = 51$)."
            },
            {
              "text": "$69$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $60 \\times 1{,}15 = 69$ est une\n**hausse** de $15\\ \\%$. Une baisse multiplie par $0{,}85$."
            }
          ],
          "explanation": "$-15\\ \\%$ : coefficient $0{,}85$. Nouveau prix\n$= 60 \\times 0{,}85 = 51$ euros. Le réflexe multiplicatif\névite les erreurs et prépare les évolutions successives."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolutions-successives",
        "piege"
      ],
      "title": "Une hausse puis une baisse de même taux",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix augmente de $10\\ \\%$, puis diminue de $10\\ \\%$.\nQuelle est l'évolution globale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une baisse de $1\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix\nfinal vaut $99\\ \\%$ du prix initial. La baisse porte sur\nun montant **plus élevé** que la hausse."
        },
        {
          "text": "Un retour exact au prix initial",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,\ncar ils ne portent pas sur la même base. $100 \\to 110 \\to\n99$."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $1\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99 < 1$ :\nl'effet net est une **baisse**."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la\nbaisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}99$) donne\nle bilan exact : $-1\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Évolutions successives : on **multiplie les coefficients**,\njamais on n'additionne les taux. $1{,}1 \\times 0{,}9 =\n0{,}99$, soit $-1\\ \\%$ au total.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un prix augmente de $10\\ \\%$, puis diminue de $10\\ \\%$.\nQuelle est l'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $1\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix\nfinal vaut $99\\ \\%$ du prix initial. La baisse porte sur\nun montant **plus élevé** que la hausse."
            },
            {
              "text": "Un retour exact au prix initial",
              "correct": false,
              "feedback": "Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,\ncar ils ne portent pas sur la même base. $100 \\to 110 \\to\n99$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $1\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99 < 1$ :\nl'effet net est une **baisse**."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la\nbaisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}99$) donne\nle bilan exact : $-1\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : on **multiplie les coefficients**,\njamais on n'additionne les taux. $1{,}1 \\times 0{,}9 =\n0{,}99$, soit $-1\\ \\%$ au total."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $20\\ \\%$, puis diminue de $20\\ \\%$.\nQuelle est l'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $4\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}2 \\times 0{,}8 = 0{,}96$ : le prix\nfinal vaut $96\\ \\%$ du prix initial. La baisse porte sur\nun montant **plus élevé** que la hausse."
            },
            {
              "text": "Un retour exact au prix initial",
              "correct": false,
              "feedback": "Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,\ncar ils ne portent pas sur la même base. $100 \\to 120 \\to\n96$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $1{,}2 \\times 0{,}8 = 0{,}96 < 1$ :\nl'effet net est une **baisse**."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la\nbaisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}96$) donne\nle bilan exact : $-4\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : on **multiplie les coefficients**,\njamais on n'additionne les taux. $1{,}2 \\times 0{,}8 =\n0{,}96$, soit $-4\\ \\%$ au total."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $30\\ \\%$, puis diminue de $30\\ \\%$.\nQuelle est l'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $9\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}3 \\times 0{,}7 = 0{,}91$ : le prix\nfinal vaut $91\\ \\%$ du prix initial. La baisse porte sur\nun montant **plus élevé** que la hausse."
            },
            {
              "text": "Un retour exact au prix initial",
              "correct": false,
              "feedback": "Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,\ncar ils ne portent pas sur la même base. $100 \\to 130 \\to\n91$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $9\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $1{,}3 \\times 0{,}7 = 0{,}91 < 1$ :\nl'effet net est une **baisse**."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la\nbaisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}91$) donne\nle bilan exact : $-9\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : on **multiplie les coefficients**,\njamais on n'additionne les taux. $1{,}3 \\times 0{,}7 =\n0{,}91$, soit $-9\\ \\%$ au total."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $50\\ \\%$, puis diminue de $50\\ \\%$.\nQuelle est l'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $25\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1{,}5 \\times 0{,}5 = 0{,}75$ : le prix\nfinal vaut $75\\ \\%$ du prix initial. La baisse porte sur\nun montant **plus élevé** que la hausse."
            },
            {
              "text": "Un retour exact au prix initial",
              "correct": false,
              "feedback": "Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,\ncar ils ne portent pas sur la même base. $100 \\to 150 \\to\n75$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $1{,}5 \\times 0{,}5 = 0{,}75 < 1$ :\nl'effet net est une **baisse**."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $50\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la\nbaisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}75$) donne\nle bilan exact : $-25\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : on **multiplie les coefficients**,\njamais on n'additionne les taux. $1{,}5 \\times 0{,}5 =\n0{,}75$, soit $-25\\ \\%$ au total."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolution-reciproque"
      ],
      "title": "Évolution réciproque",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix a augmenté de $25\\ \\%$. Quel pourcentage de baisse le\nramènerait exactement à sa valeur initiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient réciproque est\n$\\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de\n$20\\ \\%$. Contrôle : $100 \\to 125 \\to 100$."
        },
        {
          "text": "$25\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège symétrique : $125 \\times 0{,}75 = 93{,}75 \\neq\n100$. La baisse porte sur une base plus grande, il en faut\nmoins en pourcentage."
        },
        {
          "text": "$12{,}5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moitié du taux ne correspond à rien. La\nréciproque se calcule par l'**inverse du coefficient** :\n$1/1{,}25 = 0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$80\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $0{,}8$ est le **coefficient** multiplicateur\nde la baisse ; le taux de baisse correspondant est\n$1 - 0{,}8 = 20\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Évolution réciproque : coefficient inverse.\n$\\times 1{,}25$ se défait par $\\times \\dfrac{1}{1{,}25} =\n\\times 0{,}8$, c'est-à-dire $-20\\ \\%$ (et non $-25\\ \\%$)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "taux-evolution"
      ],
      "title": "Calculer un taux d'évolution",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $40$ à $46$\nmilliers. Quel est le taux d'évolution ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+15\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{46 - 40}{40} = \\dfrac{6}{40}$ : hausse de\n$15\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$+6\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la **variation absolue** (en milliers).\nLe taux la rapporte à la valeur **de départ** :\n$6/40 = 15\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$+13\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{6}{46} \\approx 13\\ \\%$ divise par la\nvaleur d'**arrivée**. Le taux d'évolution se calcule\ntoujours par rapport à la valeur initiale."
        },
        {
          "text": "$+1{,}15\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $1{,}15$ est le **coefficient\nmultiplicateur** ($46/40$), pas le taux. Le taux en est\nla partie au-delà de $1$ : $15\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation\nrelative, rapportée à la valeur initiale). Ici $\\dfrac{6}{40} =\n+15\\ \\%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}15$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $40$ à $46$\nmilliers. Quel est le taux d'évolution ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{46 - 40}{40} = \\dfrac{6}{40}$ : hausse de\n$15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+6\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est la **variation absolue** (en milliers).\nLe taux la rapporte à la valeur **de départ** :\n$6/40 = 15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+13\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{6}{46} \\approx 13\\ \\%$ divise par la\nvaleur d'**arrivée**. Le taux d'évolution se calcule\ntoujours par rapport à la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "$+1{,}15\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $1{,}15$ est le **coefficient\nmultiplicateur** ($46/40$), pas le taux. Le taux en est\nla partie au-delà de $1$ : $15\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation\nrelative, rapportée à la valeur initiale). Ici $\\dfrac{6}{40} =\n+15\\ \\%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}15$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $50$ à $56$\nmilliers. Quel est le taux d'évolution ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+12\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{56 - 50}{50} = \\dfrac{6}{50}$ : hausse de\n$12\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+6\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est la **variation absolue** (en milliers).\nLe taux la rapporte à la valeur **de départ** :\n$6/50 = 12\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+11\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{6}{56} \\approx 11\\ \\%$ divise par la\nvaleur d'**arrivée**. Le taux d'évolution se calcule\ntoujours par rapport à la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "$+1{,}12\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $1{,}12$ est le **coefficient\nmultiplicateur** ($56/50$), pas le taux. Le taux en est\nla partie au-delà de $1$ : $12\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation\nrelative, rapportée à la valeur initiale). Ici $\\dfrac{6}{50} =\n+12\\ \\%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}12$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $20$ à $27$\nmilliers. Quel est le taux d'évolution ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+35\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{27 - 20}{20} = \\dfrac{7}{20}$ : hausse de\n$35\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est la **variation absolue** (en milliers).\nLe taux la rapporte à la valeur **de départ** :\n$7/20 = 35\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+26\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{7}{27} \\approx 26\\ \\%$ divise par la\nvaleur d'**arrivée**. Le taux d'évolution se calcule\ntoujours par rapport à la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "$+1{,}35\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $1{,}35$ est le **coefficient\nmultiplicateur** ($27/20$), pas le taux. Le taux en est\nla partie au-delà de $1$ : $35\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation\nrelative, rapportée à la valeur initiale). Ici $\\dfrac{7}{20} =\n+35\\ \\%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}35$."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $25$ à $29$\nmilliers. Quel est le taux d'évolution ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+16\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{29 - 25}{25} = \\dfrac{4}{25}$ : hausse de\n$16\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est la **variation absolue** (en milliers).\nLe taux la rapporte à la valeur **de départ** :\n$4/25 = 16\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$+14\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{29} \\approx 14\\ \\%$ divise par la\nvaleur d'**arrivée**. Le taux d'évolution se calcule\ntoujours par rapport à la valeur initiale."
            },
            {
              "text": "$+1{,}16\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $1{,}16$ est le **coefficient\nmultiplicateur** ($29/25$), pas le taux. Le taux en est\nla partie au-delà de $1$ : $16\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Taux d'évolution $= \\dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation\nrelative, rapportée à la valeur initiale). Ici $\\dfrac{4}{25} =\n+16\\ \\%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}16$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne-ponderee"
      ],
      "title": "Moyenne pondérée",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Un élève a obtenu $10$ (coefficient $2$) et $16$ (coefficient\n$1$). Quelle est sa moyenne pondérée ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2 \\times 10 + 1 \\times 16}{2 + 1}\n= \\dfrac{36}{3} = 12$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $13$ est la moyenne **simple** $(10 + 16)/2$,\nqui ignore les coefficients. Le $10$, compté double, tire\nla moyenne vers le bas."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as peut-être pondéré à l'envers (le $16$\ncompté double) : $(10 + 32)/3 = 14$. Ici c'est le $10$\nqui a le coefficient $2$."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division : $36$ est la somme pondérée ; il\nreste à diviser par la somme des coefficients ($3$)."
        }
      ],
      "explanation": "Moyenne pondérée $= \\dfrac{\\sum (\\text{coefficient} \\times\n\\text{valeur})}{\\sum \\text{coefficients}} = \\dfrac{36}{3} =\n12$. Même formule pour une moyenne par classes (les effectifs\npondèrent les centres)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne",
        "linearite"
      ],
      "title": "Linéarité de la moyenne",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "La moyenne d'une série de notes est $11$. Si l'on ajoute $2$\npoints à **chaque** note, que devient la moyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ajouter une constante à toutes les valeurs\ndécale la moyenne de la même constante (linéarité de la\nmoyenne)."
        },
        {
          "text": "$11$, elle ne change pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moyenne suit les valeurs. C'est\nl'**écart-type**, mesure de dispersion, qui resterait\ninchangé par un décalage."
        },
        {
          "text": "$13$, mais seulement si toutes les notes sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune condition n'est requise, la linéarité vaut\npour n'importe quelle série : $\\overline{x + 2} =\n\\overline{x} + 2$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans les notes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'intérêt de la linéarité : conclure sur la\nmoyenne **sans recalculer** toute la série."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité de la moyenne (au programme) : ajouter $k$ à toutes\nles valeurs ajoute $k$ à la moyenne ; multiplier toutes les\nvaleurs par $a$ multiplie la moyenne par $a$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecart-type",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter l'écart-type",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux classes ont la même moyenne de $12$ ; la classe A a un\nécart-type de $1$, la classe B un écart-type de $4$. Comment\ninterpréter ces valeurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les notes de B sont plus dispersées autour de $12$ que\ncelles de A",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart-type mesure la **dispersion**\nautour de la moyenne : notes resserrées en A (autour de\n$11$-$13$), très étalées en B."
        },
        {
          "text": "La classe B a un meilleur niveau que la classe A",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le **niveau** se compare avec la moyenne, ici\nidentique ($12$). L'écart-type parle d'homogénéité, pas\nde niveau."
        },
        {
          "text": "La classe B compte $4$ fois plus d'élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart-type ne dit rien de l'effectif. Il\ns'exprime dans l'unité des valeurs (des points), pas en\nnombre d'élèves."
        },
        {
          "text": "Il y a une erreur : deux classes de même moyenne ont le\nmême écart-type",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : moyenne et dispersion sont indépendantes.\n$\\{11\\,;\\,13\\}$ et $\\{8\\,;\\,16\\}$ ont la même moyenne\n$12$ et des dispersions très différentes."
        }
      ],
      "explanation": "Deux indicateurs complémentaires : la moyenne situe le\n**centre** de la série, l'écart-type mesure l'**étalement**\nautour de ce centre. Comparer deux séries exige de regarder le\ncouple (moyenne ; écart-type)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moyenne-classes"
      ],
      "title": "Moyenne d'une série regroupée en classes",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Une série est regroupée en classes : $[0\\,;\\,10[$ avec $4$\nvaleurs et $[10\\,;\\,20[$ avec $6$ valeurs (répartition\nsupposée uniforme dans chaque classe). Quelle est la moyenne\nestimée de la série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on pondère les **centres** des classes\n($5$ et $15$) par les effectifs :\n$\\dfrac{4 \\times 5 + 6 \\times 15}{10} = \\dfrac{110}{10} =\n11$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10$ est la moyenne des centres **sans\npondération** $(5 + 15)/2$. La classe la plus nombreuse\n($6$ valeurs) doit peser davantage."
        },
        {
          "text": "$12{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as peut-être moyenné les bornes $(10 + 20)/2\n\\ldots$ ? La méthode : centres de classes ($5$ et $15$)\npondérés par les effectifs ($4$ et $6$)."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15$ est le centre de la seule deuxième classe ;\nla première (centre $5$) tire la moyenne vers le bas :\n$11$."
        }
      ],
      "explanation": "Série regroupée : chaque classe est représentée par son\n**centre** (répartition uniforme), et la moyenne est la\nmoyenne pondérée des centres par les effectifs :\n$\\frac{4 \\times 5 + 6 \\times 15}{10} = 11$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "classe-mediane"
      ],
      "title": "Déterminer la classe médiane",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une série de $20$ valeurs est regroupée ainsi : $[0\\,;\\,10[$ :\n$8$ valeurs ; $[10\\,;\\,20[$ : $7$ valeurs ; $[20\\,;\\,30[$ :\n$5$ valeurs. Quelle est la classe médiane ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[10\\,;\\,20[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la médiane partage les $20$ valeurs en\ndeux moitiés de $10$. Effectifs cumulés : $8$ après la\npremière classe, $15$ après la deuxième : la barre des\n$10$ est franchie **dans** $[10\\,;\\,20[$."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,10[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette classe ne contient que les $8$ premières\nvaleurs, la moitié ($10^{\\text{e}}$-$11^{\\text{e}}$\nvaleurs) n'y est pas atteinte."
        },
        {
          "text": "$[20\\,;\\,30[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avant cette classe, on a déjà cumulé $15$\nvaleurs, la moitié est dépassée depuis la classe\nprécédente."
        },
        {
          "text": "La classe la plus nombreuse, donc $[0\\,;\\,10[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la classe la plus nombreuse est la classe\n**modale**. La classe médiane se trouve avec les\n**effectifs cumulés**, en cherchant où passe la moitié de\nl'effectif."
        }
      ],
      "explanation": "Classe médiane : celle où les effectifs cumulés atteignent la\nmoitié de l'effectif total ($10$ sur $20$). Cumuls : $8$,\npuis $15$ : la classe médiane est $[10\\,;\\,20[$. À ne pas\nconfondre avec la classe modale (la plus nombreuse)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "etendue"
      ],
      "title": "Étendue d'une série",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Les notes d'un groupe sont : $8, 11, 12, 15, 17$. Que vaut\nl'étendue de la série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'étendue est la différence entre le maximum et le minimum, $17 - 8 = 9$ : la largeur totale de la plage des valeurs."
        },
        {
          "text": "$17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $17$ est le maximum : l'étendue mesure\nl'écart entre les deux extrêmes."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $12$ est la médiane (valeur centrale) :\nl'étendue compare les deux bouts : $17 - 8$."
        },
        {
          "text": "$12{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $12{,}6$ est la moyenne : l'étendue ignore\nles valeurs intermédiaires : $\\max - \\min$."
        }
      ],
      "explanation": "L'étendue est la différence $\\max - \\min$ : l'indicateur de dispersion le plus\nsimple (et le plus fragile : une seule valeur extrême le\nfait exploser). À distinguer des indicateurs de position\n(moyenne, médiane)."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "mediane-impaire"
      ],
      "title": "Médiane d'un effectif impair",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Quelle est la médiane de la série ordonnée $3, 5, 8, 9,\n12, 14, 20$ (sept valeurs) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sept valeurs : la médiane est la\n$\\frac{7+1}{2} = 4^{\\text{e}}$ valeur, $9$, qui partage la\nsérie en deux moitiés de trois : trois valeurs avant,\ntrois après."
        },
        {
          "text": "Environ $10{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\frac{71}{7} \\approx 10{,}14$ est la\n**moyenne** de la série ; la médiane est une valeur de\n**position** (le milieu de la liste ordonnée), pas la\nmoyenne arithmétique."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage : $8$ est la troisième valeur : il en reste\nquatre après elle : le vrai centre est la quatrième\n($9$)."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage : $12$ laisse quatre valeurs avant et deux\naprès : le partage équitable se fait en $9$."
        }
      ],
      "explanation": "Effectif impair $n$ : la médiane est la valeur de rang $\\frac{n+1}{2}$, une fois les valeurs rangées. Effectif pair : moyenne des\ndeux valeurs centrales. Premier geste, toujours : ordonner\nla série."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evolutions-successives"
      ],
      "title": "Deux hausses successives",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix augmente de $20\\ \\%$, puis de $30\\ \\%$. Quelle est\nl'évolution globale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+56\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se\nmultiplient : $1{,}2 \\times 1{,}3 = 1{,}56$, soit une\nhausse de $56\\ \\%$ : la deuxième hausse porte aussi sur\nla première."
        },
        {
          "text": "$+50\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux\nne s'additionnent pas, les **coefficients** se\nmultiplient ($1{,}2 \\times 1{,}3 \\neq 1{,}5$)."
        },
        {
          "text": "$+6\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6\\ \\%$ ne retient que le produit des taux\n($0{,}2 \\times 0{,}3 = 0{,}06$), qui s'ajoute en réalité à\nleur somme $0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$+25\\ \\%$ en moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas\nl'évolution **cumulée** : composer, c'est multiplier."
        }
      ],
      "explanation": "Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +\nt$), jamais additionner les taux : $1{,}2 \\times 1{,}3 =\n1{,}56$ : $+56\\ \\%$ (les $6\\ \\%$ d'écart : la hausse sur la\nhausse).",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un prix augmente de $20\\ \\%$, puis de $30\\ \\%$. Quelle est\nl'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+56\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se\nmultiplient : $1{,}2 \\times 1{,}3 = 1{,}56$, soit une\nhausse de $56\\ \\%$ : la deuxième hausse porte aussi sur\nla première."
            },
            {
              "text": "$+50\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux\nne s'additionnent pas, les **coefficients** se\nmultiplient ($1{,}2 \\times 1{,}3 \\neq 1{,}5$)."
            },
            {
              "text": "$+6\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6\\ \\%$ ne retient que le produit des taux\n($0{,}2 \\times 0{,}3 = 0{,}06$), qui s'ajoute en réalité à\nleur somme $0{,}5$."
            },
            {
              "text": "$+25\\ \\%$ en moyenne",
              "correct": false,
              "feedback": "Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas\nl'évolution **cumulée** : composer, c'est multiplier."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +\nt$), jamais additionner les taux : $1{,}2 \\times 1{,}3 =\n1{,}56$ : $+56\\ \\%$ (les $6\\ \\%$ d'écart : la hausse sur la\nhausse)."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $10\\ \\%$, puis de $20\\ \\%$. Quelle est\nl'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+32\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se\nmultiplient : $1{,}1 \\times 1{,}2 = 1{,}32$, soit une\nhausse de $32\\ \\%$ : la deuxième hausse porte aussi sur\nla première."
            },
            {
              "text": "$+30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux\nne s'additionnent pas, les **coefficients** se\nmultiplient ($1{,}1 \\times 1{,}2 \\neq 1{,}3$)."
            },
            {
              "text": "$+2\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2\\ \\%$ ne retient que le produit des taux\n($0{,}1 \\times 0{,}2 = 0{,}02$), qui s'ajoute en réalité à\nleur somme $0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$+15\\ \\%$ en moyenne",
              "correct": false,
              "feedback": "Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas\nl'évolution **cumulée** : composer, c'est multiplier."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +\nt$), jamais additionner les taux : $1{,}1 \\times 1{,}2 =\n1{,}32$ : $+32\\ \\%$ (les $2\\ \\%$ d'écart : la hausse sur la\nhausse)."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $50\\ \\%$, puis de $10\\ \\%$. Quelle est\nl'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+65\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se\nmultiplient : $1{,}5 \\times 1{,}1 = 1{,}65$, soit une\nhausse de $65\\ \\%$ : la deuxième hausse porte aussi sur\nla première."
            },
            {
              "text": "$+60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux\nne s'additionnent pas, les **coefficients** se\nmultiplient ($1{,}5 \\times 1{,}1 \\neq 1{,}6$)."
            },
            {
              "text": "$+5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5\\ \\%$ ne retient que le produit des taux\n($0{,}5 \\times 0{,}1 = 0{,}05$), qui s'ajoute en réalité à\nleur somme $0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$+30\\ \\%$ en moyenne",
              "correct": false,
              "feedback": "Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas\nl'évolution **cumulée** : composer, c'est multiplier."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +\nt$), jamais additionner les taux : $1{,}5 \\times 1{,}1 =\n1{,}65$ : $+65\\ \\%$ (les $5\\ \\%$ d'écart : la hausse sur la\nhausse)."
        },
        {
          "statement": "Un prix augmente de $30\\ \\%$, puis de $40\\ \\%$. Quelle est\nl'évolution globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$+82\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se\nmultiplient : $1{,}3 \\times 1{,}4 = 1{,}82$, soit une\nhausse de $82\\ \\%$ : la deuxième hausse porte aussi sur\nla première."
            },
            {
              "text": "$+70\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux\nne s'additionnent pas, les **coefficients** se\nmultiplient ($1{,}3 \\times 1{,}4 \\neq 1{,}7$)."
            },
            {
              "text": "$+12\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12\\ \\%$ ne retient que le produit des taux\n($0{,}3 \\times 0{,}4 = 0{,}12$), qui s'ajoute en réalité à\nleur somme $0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$+35\\ \\%$ en moyenne",
              "correct": false,
              "feedback": "Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas\nl'évolution **cumulée** : composer, c'est multiplier."
            }
          ],
          "explanation": "Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +\nt$), jamais additionner les taux : $1{,}3 \\times 1{,}4 =\n1{,}82$ : $+82\\ \\%$ (les $12\\ \\%$ d'écart : la hausse sur la\nhausse)."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coefficient-vers-taux"
      ],
      "title": "Lire un coefficient multiplicateur",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix est multiplié par $0{,}85$. Quelle évolution cela\ntraduit-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une baisse de $15\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}85 = 1 - 0{,}15$ : coefficient\nsous $1$ = baisse, et le taux est le complément à $1$."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $85\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $85\\ \\%$ est ce qui **reste**, pas ce qui\npart : la baisse est $1 - 0{,}85 = 15\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $85\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une hausse a un coefficient **supérieur** à\n$1$ ($\\times 1{,}85$ pour $+85\\ \\%$) : $0{,}85 < 1$ :\nle prix diminue."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $0{,}85\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion coefficient/taux : $0{,}85$ est le\nmultiplicateur, pas un pourcentage : l'écart à $1$\n($0{,}15$) donne le taux."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire : coefficient $= 1 + t$ : $\\times 1{,}2$ =\n$+20\\ \\%$ ; $\\times 0{,}85$ = $-15\\ \\%$. Lire l'écart à $1$,\ndans les deux sens : la conversion doit être un automatisme."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-initiale"
      ],
      "title": "Retrouver la valeur initiale",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Après une hausse de $25\\ \\%$, un article coûte $150$ euros.\nQuel était son prix initial ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est\n**diviser** par son coefficient : $150 \\div 1{,}25 =\n120$. Contrôle : $120 \\times 1{,}25 = 150$."
        },
        {
          "text": "$112{,}50$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège classique : retirer $25\\ \\%$ du prix FINAL\n($150 - 37{,}50 = 112{,}50$) applique le taux à la\nmauvaise base. Les $25\\ \\%$ portaient sur le prix\ninitial : on divise par $1{,}25$."
        },
        {
          "text": "$125$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $125 \\times 1{,}25 = 156{,}25 \\neq 150$ :\nsoustraire $25$ euros confond taux et montant."
        },
        {
          "text": "$187{,}50$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : multiplier par $1{,}25$ applique la\nhausse une **deuxième** fois : pour remonter, on divise."
        }
      ],
      "explanation": "Évolution réciproque : diviser par le coefficient (jamais\nappliquer le taux opposé). Une hausse de $25\\ \\%$ se défait\npar $\\div 1{,}25$, soit $-20\\ \\%$ : les pourcentages ne sont\npas symétriques."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moyenne-et-dispersion"
      ],
      "title": "La moyenne ne dit pas tout",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux classes ont la même moyenne de $12$ à un contrôle, mais\nles écarts-types valent $1$ (classe A) et $5$ (classe B).\nComment interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les notes de A sont resserrées, celles de B sont étalées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : même centre, dispersions opposées. A est\nhomogène autour de $12$ ; B est hétérogène, avec\nd'excellentes notes ET des notes faibles : deux réalités\npédagogiques très différentes derrière un même $12$."
        },
        {
          "text": "La classe B est meilleure, son écart-type est plus grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart-type mesure l'**étalement**, pas le\nniveau : le niveau moyen est identique ($12$ partout)."
        },
        {
          "text": "Les deux classes ont exactement les mêmes notes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même moyenne n'implique pas mêmes notes : les\nécarts-types différents prouvent justement des\nrépartitions distinctes."
        },
        {
          "text": "Il y a une erreur, une même moyenne impose un même\nécart-type",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : moyenne et écart-type sont **indépendants** :\n$\\{11, 12, 13\\}$ et $\\{2, 12, 22\\}$ partagent la moyenne\n$12$ avec des dispersions sans rapport."
        }
      ],
      "explanation": "Résumer une série exige DEUX indicateurs : position\n(moyenne, médiane) ET dispersion (écart-type, étendue). Deux\nséries de même moyenne peuvent être radicalement\ndifférentes : réflexe critique face à toute moyenne isolée."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "mediane",
        "effectif-pair"
      ],
      "title": "Médiane d'un effectif pair",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Quelle est la médiane de la série $3$, $5$, $9$, $13$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec quatre valeurs, on prend la demi-somme des deux\nvaleurs centrales, soit $\\dfrac{5 + 9}{2}$."
        },
        {
          "text": "$7{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la moyenne de la série, $\\dfrac{3+5+9+13}{4} = 7{,}5$, qui n'a\naucune raison de coïncider avec la médiane."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : l'effectif étant pair, il faut\nfaire la moyenne des deux valeurs du milieu."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même erreur du côté opposé : $5$ et $9$ encadrent la médiane, qui se\nsitue entre les deux."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales de la série ordonnée. Pour un effectif impair, c'est la valeur\ndu milieu."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evolution",
        "taux"
      ],
      "title": "Une baisse plus forte qu'il n'y paraît",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix passe de $80$ euros à $60$ euros.\nQuel est le taux d'évolution ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-25$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{60 - 80}{80} = -0{,}25$, soit une baisse de\n$25$ %."
        },
        {
          "text": "$-20$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : la baisse vaut $20$ euros,\nqu'il faut encore rapporter à la valeur de départ."
        },
        {
          "text": "$-33{,}3$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $60$ revient à calculer l'évolution\nde $60$ vers $80$, dans l'autre sens."
        },
        {
          "text": "$-75$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Proportion confondue avec le taux : $\\dfrac{60}{80} = 75$ % est la\npart du prix conservée, pas la baisse."
        }
      ],
      "explanation": "Le taux d'évolution vaut\n$\\dfrac{\\text{valeur finale} - \\text{valeur initiale}}{\\text{valeur initiale}}$.\nLe dénominateur est toujours la valeur de départ."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolution",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Trois baisses successives",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix subit trois baisses successives de $10$ %.\nQuelle est la baisse globale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$27{,}1$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}9^3 = 0{,}729$, donc le prix conserve $72{,}9$ %\nde sa valeur."
        },
        {
          "text": "$30$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux additionnés : les pourcentages d'évolution ne s'ajoutent pas,\nce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient."
        },
        {
          "text": "$24{,}3$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $24{,}3$ % est la baisse obtenue si l'on\napplique le dernier rabais au seul montant déjà retiré."
        },
        {
          "text": "$72{,}9$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Part conservée prise pour la baisse : le prix final vaut $72{,}9$ %\nde l'ancien, donc la baisse est le complément."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque baisse de $10$ % correspond au coefficient $0{,}9$. Trois baisses\ndonnent $0{,}9^3 = 0{,}729$, soit une baisse globale de $27{,}1$ %."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proportion",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Proportion d'une sous-population",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans un lycée de $1\\,200$ élèves, $420$ sont en seconde.\nQuelle proportion cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$35$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{420}{1\\,200} = 0{,}35$."
        },
        {
          "text": "$42$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Effectif recopié : $420$ élèves ne font pas $42$ %, il faut diviser\npar l'effectif total."
        },
        {
          "text": "$28{,}6$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{1\\,200}{420}$ n'a pas de sens comme\nproportion, une proportion ne dépasse pas $100$ %."
        },
        {
          "text": "$3{,}5$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'un facteur $10$ : $3{,}5$ % de $1\\,200$ ferait seulement\n$42$ élèves."
        }
      ],
      "explanation": "Une proportion est le quotient de l'effectif de la partie par l'effectif\ntotal. On la convertit en pourcentage en multipliant par $100$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "moyenne",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Ce qu'une moyenne d'ensemble ne peut pas valoir",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Deux classes ont pour moyennes respectives $11$ et $14$.\nQuelle valeur la moyenne de l'ensemble des élèves ne peut-elle pas\nprendre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une moyenne d'ensemble reste comprise entre les deux\nmoyennes, donc entre $11$ et $14$."
        },
        {
          "text": "$11{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur atteignable : elle correspond à une première classe bien plus\nnombreuse que la seconde."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur atteignable : elle correspond à deux classes d'effectifs\nproches, la seconde étant un peu plus nombreuse."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur limite atteignable : elle correspondrait à une première classe\nd'effectif négligeable devant la seconde."
        }
      ],
      "explanation": "La moyenne d'un regroupement est une moyenne pondérée par les effectifs.\nElle se situe toujours entre les deux moyennes de départ, et se rapproche\nde celle du groupe le plus nombreux."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecart-type",
        "dispersion"
      ],
      "title": "Un écart-type nul",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Que signifie un écart-type égal à $0$ pour une série statistique ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toutes les valeurs sont égales",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucun écart à la moyenne, donc toutes les valeurs\ncoïncident avec elle."
        },
        {
          "text": "La moyenne de la série est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "La moyenne et l'écart-type sont indépendants : la série $5$, $5$, $5$\na une moyenne de $5$ et un écart-type nul."
        },
        {
          "text": "La série contient une seule valeur",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de valeurs n'est pas en cause : la série $7$, $7$, $7$, $7$\nen contient quatre et son écart-type est nul."
        },
        {
          "text": "La médiane est égale à la moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité peut se produire avec une série très dispersée, comme\n$0$, $5$, $10$, dont l'écart-type n'est pas nul."
        }
      ],
      "explanation": "L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne. Il est positif ou\nnul, et il ne s'annule que si la série est constante."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evolution",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Du coefficient au taux",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Une quantité est multipliée par $1{,}04$.\nQuel taux d'évolution cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une hausse de $4$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $t = 0{,}04$."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $104$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient lu comme un taux : une hausse de $104$ % correspondrait\nau coefficient $2{,}04$."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $1{,}04$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Virgule mal placée : le taux s'obtient en retranchant $1$ au\ncoefficient, ce qui donne $0{,}04$."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $4$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Un coefficient supérieur à $1$ correspond toujours à une hausse ;\nune baisse de $4$ % donnerait $0{,}96$."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient multiplicateur associé à un taux $t$ vaut $1 + t$, où $t$\nest écrit sous forme décimale. Un coefficient inférieur à $1$ signale une\nbaisse."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolution",
        "pourcentage",
        "piege"
      ],
      "title": "Une hausse suivie d'une baisse identique",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix augmente de $50$ % puis baisse de $50$ %.\nQue vaut-il par rapport au prix initial ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il en représente $75$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1{,}5 \\times 0{,}5 = 0{,}75$, le prix a donc perdu un\nquart de sa valeur."
        },
        {
          "text": "Il est revenu au prix initial",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux évolutions ne se compensent pas : la baisse porte sur un\nmontant plus élevé que la hausse."
        },
        {
          "text": "Il en représente $100$ % plus $25$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de l'écart inversé : le prix final est inférieur au prix\ninitial, pas supérieur."
        },
        {
          "text": "Il en représente $50$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la dernière évolution serait prise en compte, alors que la\nhausse initiale compte aussi."
        }
      ],
      "explanation": "Deux évolutions successives se traduisent par le produit de leurs\ncoefficients. Une hausse et une baisse de même taux ne se compensent\njamais, car elles ne s'appliquent pas à la même base."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "statistiques",
        "mediane",
        "moyenne"
      ],
      "title": "L'effet d'une valeur extrême",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Dans une série de salaires, on remplace le plus élevé par une valeur\nbien plus grande. Quel indicateur change le plus ?",
      "options": [
        {
          "text": "La moyenne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la moyenne utilise la somme de toutes les valeurs,\ndonc une valeur extrême la déplace beaucoup."
        },
        {
          "text": "La médiane",
          "correct": false,
          "feedback": "La médiane dépend du rang des valeurs, pas de leur montant : elle\nreste inchangée si l'ordre l'est."
        },
        {
          "text": "Les deux autant l'une que l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est justement leur différence de sensibilité qui justifie de donner\nles deux indicateurs."
        },
        {
          "text": "Aucun des deux",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme des valeurs change, donc la moyenne aussi, même si la\nmédiane reste la même."
        }
      ],
      "explanation": "La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane beaucoup moins.\nPour des salaires, la médiane décrit souvent mieux la situation d'une\npersonne ordinaire."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pourcentage",
        "proportion"
      ],
      "title": "Appliquer un pourcentage à un effectif",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans une classe de $32$ élèves, $75$ % pratiquent un sport.\nCombien d'élèves cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}75 \\times 32 = 24$, c'est-à-dire les trois quarts\nde la classe."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément calculé : $8$ est le nombre d'élèves qui ne pratiquent\naucun sport."
        },
        {
          "text": "$75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage recopié : il dépasse l'effectif de la classe, donc il ne\npeut pas être un nombre d'élèves."
        },
        {
          "text": "$23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrondi inutile : le produit $0{,}75 \\times 32$ tombe juste, il vaut\nexactement $24$."
        }
      ],
      "explanation": "Appliquer un pourcentage revient à multiplier l'effectif total par le\nnombre décimal correspondant. Ici $75$ % s'écrit $0{,}75$."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolution",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Annuler une hausse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix a augmenté de $25$ %. De quel pourcentage faut-il le baisser\npour revenir au prix initial ?",
      "options": [
        {
          "text": "De $20$ %",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut multiplier par $\\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$,\nsoit une baisse de $20$ %."
        },
        {
          "text": "De $25$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "La baisse porterait sur un montant plus élevé : $100 \\times 1{,}25\n\\times 0{,}75$ donne $93{,}75$, en dessous du prix initial."
        },
        {
          "text": "De $75$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Complément mal interprété : une baisse de $75$ % ramènerait le prix\nbien en dessous de sa valeur de départ."
        },
        {
          "text": "De $30$ %",
          "correct": false,
          "feedback": "Estimation approximative : le calcul exact donne $\\dfrac{1}{1{,}25}$,\nsoit exactement $0{,}8$."
        }
      ],
      "explanation": "L'évolution réciproque correspond au coefficient inverse. Ici on passe de\n$1{,}25$ à $\\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, donc à une baisse de $20$ %."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "statistiques",
        "etendue",
        "dispersion"
      ],
      "title": "Deux séries de même moyenne",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux séries ont la même moyenne mais des écarts-types très différents.\nQu'est-ce qui les distingue ?",
      "options": [
        {
          "text": "La dispersion de leurs valeurs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les séries $9$, $10$, $11$ et $0$, $10$, $20$ ont la\nmême moyenne, mais la seconde est bien plus étalée."
        },
        {
          "text": "Leur nombre de valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "L'effectif n'est pas en cause : deux séries de trois valeurs peuvent\ndéjà présenter des écarts-types très différents."
        },
        {
          "text": "La somme de leurs valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "À effectif égal, une même moyenne signifie une même somme : c'est la\nrépartition qui change."
        },
        {
          "text": "Le signe de leurs valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Des valeurs toutes positives suffisent à obtenir des dispersions très\ndifférentes, comme le montrent $9$, $10$, $11$ et $0$, $10$, $20$."
        }
      ],
      "explanation": "La moyenne résume la position d'une série, l'écart-type sa dispersion.\nDeux séries de même moyenne peuvent décrire des réalités très éloignées."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "taux-evolution",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Quelle hausse est la plus forte",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le nombre d'adhérents d'un premier club passe de $50$ à $60$,\ncelui d'un second club de $200$ à $220$. Lequel a connu la plus\nforte hausse en pourcentage ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le premier, avec une hausse de $20\\ \\%$ contre $10\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{10}{50} = 20\\ \\%$ dépasse\n$\\dfrac{20}{200} = 10\\ \\%$, car la même variation pèse plus\nlourd sur un petit effectif."
        },
        {
          "text": "Le second, qui gagne $20$ adhérents contre $10$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : $20$ adhérents de plus,\nrapportés à $200$, ne font que $10\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "Les deux, car leur hausse en pourcentage est identique",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux taux diffèrent : $20\\ \\%$ pour le premier club,\n$10\\ \\%$ pour le second. Seul le calcul les départage."
        },
        {
          "text": "Le second, parce qu'il compte davantage d'adhérents",
          "correct": false,
          "feedback": "L'effectif de départ ne décide de rien par lui-même : il sert de\nréférence au calcul, qui donne $10\\ \\%$ contre $20\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Comparer deux évolutions impose de passer par les taux, c'est-à-dire de\nrapporter chaque variation à sa valeur initiale. Les variations absolues\nfavorisent mécaniquement les grands effectifs.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre d'adhérents d'un premier club passe de $50$ à $60$,\ncelui d'un second club de $200$ à $220$. Lequel a connu la plus\nforte hausse en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le premier, avec une hausse de $20\\ \\%$ contre $10\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{10}{50} = 20\\ \\%$ dépasse\n$\\dfrac{20}{200} = 10\\ \\%$, car la même variation pèse plus\nlourd sur un petit effectif."
            },
            {
              "text": "Le second, qui gagne $20$ adhérents contre $10$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : $20$ adhérents de plus,\nrapportés à $200$, ne font que $10\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "Les deux, car leur hausse en pourcentage est identique",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux taux diffèrent : $20\\ \\%$ pour le premier club,\n$10\\ \\%$ pour le second. Seul le calcul les départage."
            },
            {
              "text": "Le second, parce qu'il compte davantage d'adhérents",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif de départ ne décide de rien par lui-même : il sert de\nréférence au calcul, qui donne $10\\ \\%$ contre $20\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux évolutions impose de passer par les taux, c'est-à-dire de\nrapporter chaque variation à sa valeur initiale. Les variations absolues\nfavorisent mécaniquement les grands effectifs."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'adhérents d'un premier club passe de $40$ à $50$,\ncelui d'un second club de $300$ à $345$. Lequel a connu la plus\nforte hausse en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le premier, avec une hausse de $25\\ \\%$ contre $15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{10}{40} = 25\\ \\%$ dépasse\n$\\dfrac{45}{300} = 15\\ \\%$, car la même variation pèse plus\nlourd sur un petit effectif."
            },
            {
              "text": "Le second, qui gagne $45$ adhérents contre $10$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : $45$ adhérents de plus,\nrapportés à $300$, ne font que $15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "Les deux, car leur hausse en pourcentage est identique",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux taux diffèrent : $25\\ \\%$ pour le premier club,\n$15\\ \\%$ pour le second. Seul le calcul les départage."
            },
            {
              "text": "Le second, parce qu'il compte davantage d'adhérents",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif de départ ne décide de rien par lui-même : il sert de\nréférence au calcul, qui donne $15\\ \\%$ contre $25\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux évolutions impose de passer par les taux, c'est-à-dire de\nrapporter chaque variation à sa valeur initiale. Les variations absolues\nfavorisent mécaniquement les grands effectifs."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'adhérents d'un premier club passe de $80$ à $100$,\ncelui d'un second club de $500$ à $560$. Lequel a connu la plus\nforte hausse en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le premier, avec une hausse de $25\\ \\%$ contre $12\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{20}{80} = 25\\ \\%$ dépasse\n$\\dfrac{60}{500} = 12\\ \\%$, car la même variation pèse plus\nlourd sur un petit effectif."
            },
            {
              "text": "Le second, qui gagne $60$ adhérents contre $20$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : $60$ adhérents de plus,\nrapportés à $500$, ne font que $12\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "Les deux, car leur hausse en pourcentage est identique",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux taux diffèrent : $25\\ \\%$ pour le premier club,\n$12\\ \\%$ pour le second. Seul le calcul les départage."
            },
            {
              "text": "Le second, parce qu'il compte davantage d'adhérents",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif de départ ne décide de rien par lui-même : il sert de\nréférence au calcul, qui donne $12\\ \\%$ contre $25\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux évolutions impose de passer par les taux, c'est-à-dire de\nrapporter chaque variation à sa valeur initiale. Les variations absolues\nfavorisent mécaniquement les grands effectifs."
        },
        {
          "statement": "Le nombre d'adhérents d'un premier club passe de $30$ à $36$,\ncelui d'un second club de $150$ à $175$. Lequel a connu la plus\nforte hausse en pourcentage ?",
          "options": [
            {
              "text": "Le premier, avec une hausse de $20\\ \\%$ contre $16{,}7\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{6}{30} = 20\\ \\%$ dépasse\n$\\dfrac{25}{150} = 16{,}7\\ \\%$, car la même variation pèse plus\nlourd sur un petit effectif."
            },
            {
              "text": "Le second, qui gagne $25$ adhérents contre $6$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Variation absolue prise pour un taux : $25$ adhérents de plus,\nrapportés à $150$, ne font que $16{,}7\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "Les deux, car leur hausse en pourcentage est identique",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux taux diffèrent : $20\\ \\%$ pour le premier club,\n$16{,}7\\ \\%$ pour le second. Seul le calcul les départage."
            },
            {
              "text": "Le second, parce qu'il compte davantage d'adhérents",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif de départ ne décide de rien par lui-même : il sert de\nréférence au calcul, qui donne $16{,}7\\ \\%$ contre $20\\ \\%$."
            }
          ],
          "explanation": "Comparer deux évolutions impose de passer par les taux, c'est-à-dire de\nrapporter chaque variation à sa valeur initiale. Les variations absolues\nfavorisent mécaniquement les grands effectifs."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taux",
        "piege"
      ],
      "title": "Points ou pourcentage",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le taux de réussite à un examen passe de $80\\ \\%$ à $84\\ \\%$.\nDe quel pourcentage ce taux a-t-il augmenté ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84 - 80}{80} = 5\\ \\%$. Le taux de\nréussite gagne $4$ points, ce qui représente une hausse de\n$5\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$4\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Points et pourcentage confondus : le taux gagne $4$\n**points**, mais cette hausse rapportée à $80$ vaut $5\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$84\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur finale recopiée : $84\\ \\%$ est le nouveau taux de\nréussite, pas son évolution."
        },
        {
          "text": "$4{,}8\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $84$ prendrait la valeur\nd'arrivée comme base, alors que le taux se rapporte à $80$."
        }
      ],
      "explanation": "Un pourcentage peut lui-même évoluer. Sa variation absolue s'exprime en\npoints, sa variation relative en pourcentage : passer de $80\\ \\%$ à\n$84\\ \\%$, c'est gagner $4$ points, soit $5\\ \\%$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le taux de réussite à un examen passe de $80\\ \\%$ à $84\\ \\%$.\nDe quel pourcentage ce taux a-t-il augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84 - 80}{80} = 5\\ \\%$. Le taux de\nréussite gagne $4$ points, ce qui représente une hausse de\n$5\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points et pourcentage confondus : le taux gagne $4$\n**points**, mais cette hausse rapportée à $80$ vaut $5\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$84\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur finale recopiée : $84\\ \\%$ est le nouveau taux de\nréussite, pas son évolution."
            },
            {
              "text": "$4{,}8\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $84$ prendrait la valeur\nd'arrivée comme base, alors que le taux se rapporte à $80$."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage peut lui-même évoluer. Sa variation absolue s'exprime en\npoints, sa variation relative en pourcentage : passer de $80\\ \\%$ à\n$84\\ \\%$, c'est gagner $4$ points, soit $5\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le taux de réussite à un examen passe de $40\\ \\%$ à $44\\ \\%$.\nDe quel pourcentage ce taux a-t-il augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{44 - 40}{40} = 10\\ \\%$. Le taux de\nréussite gagne $4$ points, ce qui représente une hausse de\n$10\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points et pourcentage confondus : le taux gagne $4$\n**points**, mais cette hausse rapportée à $40$ vaut $10\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$44\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur finale recopiée : $44\\ \\%$ est le nouveau taux de\nréussite, pas son évolution."
            },
            {
              "text": "$9{,}1\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $44$ prendrait la valeur\nd'arrivée comme base, alors que le taux se rapporte à $40$."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage peut lui-même évoluer. Sa variation absolue s'exprime en\npoints, sa variation relative en pourcentage : passer de $40\\ \\%$ à\n$44\\ \\%$, c'est gagner $4$ points, soit $10\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le taux de réussite à un examen passe de $60\\ \\%$ à $69\\ \\%$.\nDe quel pourcentage ce taux a-t-il augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{69 - 60}{60} = 15\\ \\%$. Le taux de\nréussite gagne $9$ points, ce qui représente une hausse de\n$15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$9\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points et pourcentage confondus : le taux gagne $9$\n**points**, mais cette hausse rapportée à $60$ vaut $15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$69\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur finale recopiée : $69\\ \\%$ est le nouveau taux de\nréussite, pas son évolution."
            },
            {
              "text": "$13\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $69$ prendrait la valeur\nd'arrivée comme base, alors que le taux se rapporte à $60$."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage peut lui-même évoluer. Sa variation absolue s'exprime en\npoints, sa variation relative en pourcentage : passer de $60\\ \\%$ à\n$69\\ \\%$, c'est gagner $9$ points, soit $15\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le taux de réussite à un examen passe de $60\\ \\%$ à $84\\ \\%$.\nDe quel pourcentage ce taux a-t-il augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84 - 60}{60} = 40\\ \\%$. Le taux de\nréussite gagne $24$ points, ce qui représente une hausse de\n$40\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$24\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Points et pourcentage confondus : le taux gagne $24$\n**points**, mais cette hausse rapportée à $60$ vaut $40\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$84\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur finale recopiée : $84\\ \\%$ est le nouveau taux de\nréussite, pas son évolution."
            },
            {
              "text": "$28{,}6\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise référence : diviser par $84$ prendrait la valeur\nd'arrivée comme base, alors que le taux se rapporte à $60$."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage peut lui-même évoluer. Sa variation absolue s'exprime en\npoints, sa variation relative en pourcentage : passer de $60\\ \\%$ à\n$84\\ \\%$, c'est gagner $24$ points, soit $40\\ \\%$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne-ponderee"
      ],
      "title": "Moyenne de deux groupes réunis",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Une classe de $30$ élèves obtient $12$ de moyenne à un devoir, une\nautre de $20$ élèves obtient $15$. Quelle est la moyenne des\n$50$ élèves réunis ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{30 \\times 12 + 20 \\times 15}{50}\n= 13{,}2$, chaque moyenne étant pondérée par son effectif."
        },
        {
          "text": "$13{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne des deux moyennes : elle ne vaudrait que si les deux classes\navaient le même effectif, ce qui n'est pas le cas ici."
        },
        {
          "text": "$13{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pondérations échangées : c'est $12$ qui concerne $30$ élèves, et\n$15$ qui en concerne $20$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la seconde classe serait prise en compte ; la première tire la\nmoyenne d'ensemble de son côté."
        }
      ],
      "explanation": "Réunir deux groupes revient à calculer une moyenne pondérée par les\neffectifs : $\\dfrac{30 \\times 12 + 20 \\times 15}{50} = 13{,}2$.\nLe résultat se situe toujours entre les deux moyennes de départ.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une classe de $30$ élèves obtient $12$ de moyenne à un devoir, une\nautre de $20$ élèves obtient $15$. Quelle est la moyenne des\n$50$ élèves réunis ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{30 \\times 12 + 20 \\times 15}{50}\n= 13{,}2$, chaque moyenne étant pondérée par son effectif."
            },
            {
              "text": "$13{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux moyennes : elle ne vaudrait que si les deux classes\navaient le même effectif, ce qui n'est pas le cas ici."
            },
            {
              "text": "$13{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pondérations échangées : c'est $12$ qui concerne $30$ élèves, et\n$15$ qui en concerne $20$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde classe serait prise en compte ; la première tire la\nmoyenne d'ensemble de son côté."
            }
          ],
          "explanation": "Réunir deux groupes revient à calculer une moyenne pondérée par les\neffectifs : $\\dfrac{30 \\times 12 + 20 \\times 15}{50} = 13{,}2$.\nLe résultat se situe toujours entre les deux moyennes de départ."
        },
        {
          "statement": "Une classe de $24$ élèves obtient $11$ de moyenne à un devoir, une\nautre de $16$ élèves obtient $16$. Quelle est la moyenne des\n$40$ élèves réunis ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{24 \\times 11 + 16 \\times 16}{40}\n= 13$, chaque moyenne étant pondérée par son effectif."
            },
            {
              "text": "$13{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux moyennes : elle ne vaudrait que si les deux classes\navaient le même effectif, ce qui n'est pas le cas ici."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pondérations échangées : c'est $11$ qui concerne $24$ élèves, et\n$16$ qui en concerne $16$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde classe serait prise en compte ; la première tire la\nmoyenne d'ensemble de son côté."
            }
          ],
          "explanation": "Réunir deux groupes revient à calculer une moyenne pondérée par les\neffectifs : $\\dfrac{24 \\times 11 + 16 \\times 16}{40} = 13$.\nLe résultat se situe toujours entre les deux moyennes de départ."
        },
        {
          "statement": "Une classe de $10$ élèves obtient $9$ de moyenne à un devoir, une\nautre de $40$ élèves obtient $14$. Quelle est la moyenne des\n$50$ élèves réunis ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{10 \\times 9 + 40 \\times 14}{50}\n= 13$, chaque moyenne étant pondérée par son effectif."
            },
            {
              "text": "$11{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux moyennes : elle ne vaudrait que si les deux classes\navaient le même effectif, ce qui n'est pas le cas ici."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pondérations échangées : c'est $9$ qui concerne $10$ élèves, et\n$14$ qui en concerne $40$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde classe serait prise en compte ; la première tire la\nmoyenne d'ensemble de son côté."
            }
          ],
          "explanation": "Réunir deux groupes revient à calculer une moyenne pondérée par les\neffectifs : $\\dfrac{10 \\times 9 + 40 \\times 14}{50} = 13$.\nLe résultat se situe toujours entre les deux moyennes de départ."
        },
        {
          "statement": "Une classe de $44$ élèves obtient $9$ de moyenne à un devoir, une\nautre de $16$ élèves obtient $15$. Quelle est la moyenne des\n$60$ élèves réunis ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{44 \\times 9 + 16 \\times 15}{60}\n= 10{,}6$, chaque moyenne étant pondérée par son effectif."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux moyennes : elle ne vaudrait que si les deux classes\navaient le même effectif, ce qui n'est pas le cas ici."
            },
            {
              "text": "$13{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pondérations échangées : c'est $9$ qui concerne $44$ élèves, et\n$15$ qui en concerne $16$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule la seconde classe serait prise en compte ; la première tire la\nmoyenne d'ensemble de son côté."
            }
          ],
          "explanation": "Réunir deux groupes revient à calculer une moyenne pondérée par les\neffectifs : $\\dfrac{44 \\times 9 + 16 \\times 15}{60} = 10{,}6$.\nLe résultat se situe toujours entre les deux moyennes de départ."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne-classes"
      ],
      "title": "Moyenne estimée sur trois classes",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Les durées de trajet de $20$ salariés, en minutes, se répartissent\nainsi : $[0\\,;\\,10[$ : $4$ salariés ; $[10\\,;\\,20[$ : $10$ ;\n$[20\\,;\\,30[$ : $6$. Quelle est la durée moyenne estimée ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$ minutes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on pondère les centres $5$, $15$ et $25$ par les\neffectifs, ce qui donne $16$ minutes."
        },
        {
          "text": "$15$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Centres non pondérés : leur moyenne vaut $15$, mais les trois\nclasses n'ont pas le même effectif."
        },
        {
          "text": "$11$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes inférieures employées : chaque classe se représente par son\ncentre, pas par le début de son intervalle."
        },
        {
          "text": "$21$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes supérieures employées : elles surestiment la durée de chaque\ntrajet, alors que le centre la représente au mieux."
        }
      ],
      "explanation": "Sur une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre, puis\non calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Les centres valent ici\n$5$, $15$ et $25$ minutes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les durées de trajet de $20$ salariés, en minutes, se répartissent\nainsi : $[0\\,;\\,10[$ : $4$ salariés ; $[10\\,;\\,20[$ : $10$ ;\n$[20\\,;\\,30[$ : $6$. Quelle est la durée moyenne estimée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on pondère les centres $5$, $15$ et $25$ par les\neffectifs, ce qui donne $16$ minutes."
            },
            {
              "text": "$15$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Centres non pondérés : leur moyenne vaut $15$, mais les trois\nclasses n'ont pas le même effectif."
            },
            {
              "text": "$11$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inférieures employées : chaque classe se représente par son\ncentre, pas par le début de son intervalle."
            },
            {
              "text": "$21$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes supérieures employées : elles surestiment la durée de chaque\ntrajet, alors que le centre la représente au mieux."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre, puis\non calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Les centres valent ici\n$5$, $15$ et $25$ minutes."
        },
        {
          "statement": "Les durées de trajet de $20$ salariés, en minutes, se répartissent\nainsi : $[0\\,;\\,10[$ : $10$ salariés ; $[10\\,;\\,20[$ : $6$ ;\n$[20\\,;\\,30[$ : $4$. Quelle est la durée moyenne estimée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on pondère les centres $5$, $15$ et $25$ par les\neffectifs, ce qui donne $12$ minutes."
            },
            {
              "text": "$15$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Centres non pondérés : leur moyenne vaut $15$, mais les trois\nclasses n'ont pas le même effectif."
            },
            {
              "text": "$7$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inférieures employées : chaque classe se représente par son\ncentre, pas par le début de son intervalle."
            },
            {
              "text": "$17$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes supérieures employées : elles surestiment la durée de chaque\ntrajet, alors que le centre la représente au mieux."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre, puis\non calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Les centres valent ici\n$5$, $15$ et $25$ minutes."
        },
        {
          "statement": "Les durées de trajet de $20$ salariés, en minutes, se répartissent\nainsi : $[0\\,;\\,10[$ : $6$ salariés ; $[10\\,;\\,20[$ : $9$ ;\n$[20\\,;\\,30[$ : $5$. Quelle est la durée moyenne estimée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14{,}5$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on pondère les centres $5$, $15$ et $25$ par les\neffectifs, ce qui donne $14{,}5$ minutes."
            },
            {
              "text": "$15$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Centres non pondérés : leur moyenne vaut $15$, mais les trois\nclasses n'ont pas le même effectif."
            },
            {
              "text": "$9{,}5$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inférieures employées : chaque classe se représente par son\ncentre, pas par le début de son intervalle."
            },
            {
              "text": "$19{,}5$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes supérieures employées : elles surestiment la durée de chaque\ntrajet, alors que le centre la représente au mieux."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre, puis\non calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Les centres valent ici\n$5$, $15$ et $25$ minutes."
        },
        {
          "statement": "Les durées de trajet de $20$ salariés, en minutes, se répartissent\nainsi : $[0\\,;\\,10[$ : $2$ salariés ; $[10\\,;\\,20[$ : $11$ ;\n$[20\\,;\\,30[$ : $7$. Quelle est la durée moyenne estimée ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17{,}5$ minutes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on pondère les centres $5$, $15$ et $25$ par les\neffectifs, ce qui donne $17{,}5$ minutes."
            },
            {
              "text": "$15$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Centres non pondérés : leur moyenne vaut $15$, mais les trois\nclasses n'ont pas le même effectif."
            },
            {
              "text": "$12{,}5$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inférieures employées : chaque classe se représente par son\ncentre, pas par le début de son intervalle."
            },
            {
              "text": "$22{,}5$ minutes",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes supérieures employées : elles surestiment la durée de chaque\ntrajet, alors que le centre la représente au mieux."
            }
          ],
          "explanation": "Sur une série regroupée, on remplace chaque classe par son centre, puis\non calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Les centres valent ici\n$5$, $15$ et $25$ minutes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "classe-mediane"
      ],
      "title": "Classe médiane et effectifs cumulés",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Une série de $30$ valeurs est répartie en quatre classes.\nLes effectifs cumulés croissants valent $6$ pour $[0\\,;\\,5[$,\n$14$ pour $[5\\,;\\,10[$, $21$ pour $[10\\,;\\,15[$ et $30$ pour\n$[15\\,;\\,20[$. Quelle est la classe médiane ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[10\\,;\\,15[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la moitié de l'effectif vaut $15$, et c'est\ndans cette classe que les effectifs cumulés franchissent ce seuil."
        },
        {
          "text": "$[5\\,;\\,10[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Classe précédente : les effectifs cumulés y restent sous\n$15$, la moitié des valeurs n'est pas encore atteinte."
        },
        {
          "text": "$[15\\,;\\,20[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Classe suivante : le seuil de $15$ est déjà franchi avant\nelle, donc la médiane se situe plus tôt."
        },
        {
          "text": "Celle qui compte le plus de valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Classe modale et classe médiane confondues : la première se repère\nau plus grand effectif, la seconde aux effectifs cumulés."
        }
      ],
      "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés croissants\natteignent la moitié de l'effectif total, ici $15$. Les effectifs\ncumulés évitent d'avoir à reconstituer toute la série.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une série de $30$ valeurs est répartie en quatre classes.\nLes effectifs cumulés croissants valent $6$ pour $[0\\,;\\,5[$,\n$14$ pour $[5\\,;\\,10[$, $21$ pour $[10\\,;\\,15[$ et $30$ pour\n$[15\\,;\\,20[$. Quelle est la classe médiane ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[10\\,;\\,15[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moitié de l'effectif vaut $15$, et c'est\ndans cette classe que les effectifs cumulés franchissent ce seuil."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,10[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe précédente : les effectifs cumulés y restent sous\n$15$, la moitié des valeurs n'est pas encore atteinte."
            },
            {
              "text": "$[15\\,;\\,20[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe suivante : le seuil de $15$ est déjà franchi avant\nelle, donc la médiane se situe plus tôt."
            },
            {
              "text": "Celle qui compte le plus de valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe modale et classe médiane confondues : la première se repère\nau plus grand effectif, la seconde aux effectifs cumulés."
            }
          ],
          "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés croissants\natteignent la moitié de l'effectif total, ici $15$. Les effectifs\ncumulés évitent d'avoir à reconstituer toute la série."
        },
        {
          "statement": "Une série de $30$ valeurs est répartie en quatre classes.\nLes effectifs cumulés croissants valent $13$ pour $[0\\,;\\,5[$,\n$21$ pour $[5\\,;\\,10[$, $27$ pour $[10\\,;\\,15[$ et $30$ pour\n$[15\\,;\\,20[$. Quelle est la classe médiane ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[5\\,;\\,10[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moitié de l'effectif vaut $15$, et c'est\ndans cette classe que les effectifs cumulés franchissent ce seuil."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,5[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe précédente : les effectifs cumulés y restent sous\n$15$, la moitié des valeurs n'est pas encore atteinte."
            },
            {
              "text": "$[10\\,;\\,15[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe suivante : le seuil de $15$ est déjà franchi avant\nelle, donc la médiane se situe plus tôt."
            },
            {
              "text": "Celle qui compte le plus de valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe modale et classe médiane confondues : la première se repère\nau plus grand effectif, la seconde aux effectifs cumulés."
            }
          ],
          "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés croissants\natteignent la moitié de l'effectif total, ici $15$. Les effectifs\ncumulés évitent d'avoir à reconstituer toute la série."
        },
        {
          "statement": "Une série de $30$ valeurs est répartie en quatre classes.\nLes effectifs cumulés croissants valent $4$ pour $[0\\,;\\,5[$,\n$11$ pour $[5\\,;\\,10[$, $20$ pour $[10\\,;\\,15[$ et $30$ pour\n$[15\\,;\\,20[$. Quelle est la classe médiane ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[10\\,;\\,15[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moitié de l'effectif vaut $15$, et c'est\ndans cette classe que les effectifs cumulés franchissent ce seuil."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,10[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe précédente : les effectifs cumulés y restent sous\n$15$, la moitié des valeurs n'est pas encore atteinte."
            },
            {
              "text": "$[15\\,;\\,20[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe suivante : le seuil de $15$ est déjà franchi avant\nelle, donc la médiane se situe plus tôt."
            },
            {
              "text": "Celle qui compte le plus de valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe modale et classe médiane confondues : la première se repère\nau plus grand effectif, la seconde aux effectifs cumulés."
            }
          ],
          "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés croissants\natteignent la moitié de l'effectif total, ici $15$. Les effectifs\ncumulés évitent d'avoir à reconstituer toute la série."
        },
        {
          "statement": "Une série de $30$ valeurs est répartie en quatre classes.\nLes effectifs cumulés croissants valent $7$ pour $[0\\,;\\,5[$,\n$18$ pour $[5\\,;\\,10[$, $26$ pour $[10\\,;\\,15[$ et $30$ pour\n$[15\\,;\\,20[$. Quelle est la classe médiane ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[5\\,;\\,10[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moitié de l'effectif vaut $15$, et c'est\ndans cette classe que les effectifs cumulés franchissent ce seuil."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,5[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe précédente : les effectifs cumulés y restent sous\n$15$, la moitié des valeurs n'est pas encore atteinte."
            },
            {
              "text": "$[10\\,;\\,15[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe suivante : le seuil de $15$ est déjà franchi avant\nelle, donc la médiane se situe plus tôt."
            },
            {
              "text": "Celle qui compte le plus de valeurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Classe modale et classe médiane confondues : la première se repère\nau plus grand effectif, la seconde aux effectifs cumulés."
            }
          ],
          "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés croissants\natteignent la moitié de l'effectif total, ici $15$. Les effectifs\ncumulés évitent d'avoir à reconstituer toute la série."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "mediane-impaire"
      ],
      "title": "Ordonner avant de conclure",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Les temps de cinq coureurs, en minutes, sont relevés dans l'ordre\nd'arrivée au contrôle : $12$, $7$, $15$, $9$ et $11$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fois la série ordonnée, $11$ occupe le\ntroisième rang sur cinq, avec deux temps avant et deux après."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Liste non ordonnée : $15$ est au milieu de l'énoncé, mais la\nmédiane se lit après avoir rangé les valeurs."
        },
        {
          "text": "$10{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne calculée : elle additionne les cinq temps, alors que la\nmédiane ne retient que la valeur centrale."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étendue calculée : l'écart entre le plus grand et le plus petit\ntemps mesure la dispersion, pas la position centrale."
        }
      ],
      "explanation": "Premier geste : ordonner la série. Pour cinq valeurs, la médiane est la\ntroisième, celle qui laisse autant de valeurs de part et d'autre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les temps de cinq coureurs, en minutes, sont relevés dans l'ordre\nd'arrivée au contrôle : $12$, $7$, $15$, $9$ et $11$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fois la série ordonnée, $11$ occupe le\ntroisième rang sur cinq, avec deux temps avant et deux après."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Liste non ordonnée : $15$ est au milieu de l'énoncé, mais la\nmédiane se lit après avoir rangé les valeurs."
            },
            {
              "text": "$10{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne calculée : elle additionne les cinq temps, alors que la\nmédiane ne retient que la valeur centrale."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : l'écart entre le plus grand et le plus petit\ntemps mesure la dispersion, pas la position centrale."
            }
          ],
          "explanation": "Premier geste : ordonner la série. Pour cinq valeurs, la médiane est la\ntroisième, celle qui laisse autant de valeurs de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Les temps de cinq coureurs, en minutes, sont relevés dans l'ordre\nd'arrivée au contrôle : $6$, $14$, $8$, $20$ et $10$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fois la série ordonnée, $10$ occupe le\ntroisième rang sur cinq, avec deux temps avant et deux après."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Liste non ordonnée : $8$ est au milieu de l'énoncé, mais la\nmédiane se lit après avoir rangé les valeurs."
            },
            {
              "text": "$11{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne calculée : elle additionne les cinq temps, alors que la\nmédiane ne retient que la valeur centrale."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : l'écart entre le plus grand et le plus petit\ntemps mesure la dispersion, pas la position centrale."
            }
          ],
          "explanation": "Premier geste : ordonner la série. Pour cinq valeurs, la médiane est la\ntroisième, celle qui laisse autant de valeurs de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Les temps de cinq coureurs, en minutes, sont relevés dans l'ordre\nd'arrivée au contrôle : $5$, $17$, $12$, $4$ et $9$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fois la série ordonnée, $9$ occupe le\ntroisième rang sur cinq, avec deux temps avant et deux après."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Liste non ordonnée : $12$ est au milieu de l'énoncé, mais la\nmédiane se lit après avoir rangé les valeurs."
            },
            {
              "text": "$9{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne calculée : elle additionne les cinq temps, alors que la\nmédiane ne retient que la valeur centrale."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : l'écart entre le plus grand et le plus petit\ntemps mesure la dispersion, pas la position centrale."
            }
          ],
          "explanation": "Premier geste : ordonner la série. Pour cinq valeurs, la médiane est la\ntroisième, celle qui laisse autant de valeurs de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Les temps de cinq coureurs, en minutes, sont relevés dans l'ordre\nd'arrivée au contrôle : $4$, $10$, $18$, $19$ et $12$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une fois la série ordonnée, $12$ occupe le\ntroisième rang sur cinq, avec deux temps avant et deux après."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Liste non ordonnée : $18$ est au milieu de l'énoncé, mais la\nmédiane se lit après avoir rangé les valeurs."
            },
            {
              "text": "$12{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne calculée : elle additionne les cinq temps, alors que la\nmédiane ne retient que la valeur centrale."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : l'écart entre le plus grand et le plus petit\ntemps mesure la dispersion, pas la position centrale."
            }
          ],
          "explanation": "Premier geste : ordonner la série. Pour cinq valeurs, la médiane est la\ntroisième, celle qui laisse autant de valeurs de part et d'autre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "mediane",
        "effectif-pair"
      ],
      "title": "Médiane de six valeurs",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Un magasin relève son nombre de clients sur six journées, rangées dans\nl'ordre croissant : $4$, $7$, $9$, $13$, $16$ et $20$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'effectif est pair, donc la médiane est la\ndemi-somme des deux valeurs centrales, $\\dfrac{9 + 13}{2}$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : $9$ laisse deux journées\navant elle et trois après, le partage n'est pas équitable."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même décalage de l'autre côté : $9$ et $13$ encadrent la\nmédiane, qui se situe entre les deux."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étendue calculée : $20 - 4$ mesure l'écart entre les deux\njournées extrêmes, pas le centre de la série."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales, ici la troisième et la quatrième. Elle n'appartient donc pas\ntoujours à la série.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un magasin relève son nombre de clients sur six journées, rangées dans\nl'ordre croissant : $4$, $7$, $9$, $13$, $16$ et $20$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'effectif est pair, donc la médiane est la\ndemi-somme des deux valeurs centrales, $\\dfrac{9 + 13}{2}$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : $9$ laisse deux journées\navant elle et trois après, le partage n'est pas équitable."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même décalage de l'autre côté : $9$ et $13$ encadrent la\nmédiane, qui se situe entre les deux."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : $20 - 4$ mesure l'écart entre les deux\njournées extrêmes, pas le centre de la série."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales, ici la troisième et la quatrième. Elle n'appartient donc pas\ntoujours à la série."
        },
        {
          "statement": "Un magasin relève son nombre de clients sur six journées, rangées dans\nl'ordre croissant : $3$, $6$, $8$, $12$, $15$ et $22$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'effectif est pair, donc la médiane est la\ndemi-somme des deux valeurs centrales, $\\dfrac{8 + 12}{2}$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : $8$ laisse deux journées\navant elle et trois après, le partage n'est pas équitable."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même décalage de l'autre côté : $8$ et $12$ encadrent la\nmédiane, qui se situe entre les deux."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : $22 - 3$ mesure l'écart entre les deux\njournées extrêmes, pas le centre de la série."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales, ici la troisième et la quatrième. Elle n'appartient donc pas\ntoujours à la série."
        },
        {
          "statement": "Un magasin relève son nombre de clients sur six journées, rangées dans\nl'ordre croissant : $2$, $5$, $11$, $15$, $18$ et $27$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'effectif est pair, donc la médiane est la\ndemi-somme des deux valeurs centrales, $\\dfrac{11 + 15}{2}$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : $11$ laisse deux journées\navant elle et trois après, le partage n'est pas équitable."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même décalage de l'autre côté : $11$ et $15$ encadrent la\nmédiane, qui se situe entre les deux."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : $27 - 2$ mesure l'écart entre les deux\njournées extrêmes, pas le centre de la série."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales, ici la troisième et la quatrième. Elle n'appartient donc pas\ntoujours à la série."
        },
        {
          "statement": "Un magasin relève son nombre de clients sur six journées, rangées dans\nl'ordre croissant : $2$, $7$, $12$, $16$, $20$ et $21$.\nQuelle est la médiane de cette série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'effectif est pair, donc la médiane est la\ndemi-somme des deux valeurs centrales, $\\dfrac{12 + 16}{2}$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule valeur centrale retenue : $12$ laisse deux journées\navant elle et trois après, le partage n'est pas équitable."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Même décalage de l'autre côté : $12$ et $16$ encadrent la\nmédiane, qui se situe entre les deux."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Étendue calculée : $21 - 2$ mesure l'écart entre les deux\njournées extrêmes, pas le centre de la série."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs\ncentrales, ici la troisième et la quatrième. Elle n'appartient donc pas\ntoujours à la série."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne-et-dispersion",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Ajouter des points à toutes les notes",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Un professeur ajoute $3$ points à toutes les notes d'un devoir.\nQue deviennent la moyenne et l'écart-type de la série ?",
      "options": [
        {
          "text": "La moyenne augmente de $3$, l'écart-type est inchangé",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le décalage déplace toute la série, donc son centre,\nmais les écarts entre les notes restent exactement les mêmes."
        },
        {
          "text": "La moyenne et l'écart-type augmentent de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart-type mesure des écarts entre notes : ajouter la même valeur\npartout ne les modifie pas."
        },
        {
          "text": "La moyenne est inchangée, l'écart-type augmente de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux effets sont intervertis : c'est la moyenne qui suit le\ndécalage, la dispersion qui n'y est pas sensible."
        },
        {
          "text": "La moyenne augmente de $3$, l'écart-type est multiplié par $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication étirerait la série ; ici les notes sont\nseulement décalées, sans se rapprocher ni s'éloigner."
        }
      ],
      "explanation": "Ajouter une même valeur à toutes les données décale la moyenne d'autant,\npar linéarité, et laisse la dispersion intacte. Position et dispersion\nsont deux informations indépendantes."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "moyenne",
        "linearite"
      ],
      "title": "Multiplier toutes les valeurs",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $7$ sont\nmultipliées par $2$. Que vaut la moyenne de la nouvelle série ?",
      "options": [
        {
          "text": "$14$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, multiplier toutes les valeurs par\n$2$ multiplie la moyenne par $2$, d'où $7 \\times 2 = 14$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : ajouter $2$ à chaque\nvaleur donnerait $9$, mais l'énoncé multiplie."
        },
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inverse : diviser par $2$ correspondrait à des valeurs\nréduites, alors qu'elles sont agrandies."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne inchangée : c'est faux ici, puisque chaque valeur est\nmodifiée. Seul un écart-type peut résister à certains changements."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité de la moyenne : multiplier toutes les valeurs par un nombre\nmultiplie la moyenne par ce nombre, tout comme ajouter une constante\najoute cette constante à la moyenne.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $7$ sont\nmultipliées par $2$. Que vaut la moyenne de la nouvelle série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, multiplier toutes les valeurs par\n$2$ multiplie la moyenne par $2$, d'où $7 \\times 2 = 14$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : ajouter $2$ à chaque\nvaleur donnerait $9$, mais l'énoncé multiplie."
            },
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse : diviser par $2$ correspondrait à des valeurs\nréduites, alors qu'elles sont agrandies."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne inchangée : c'est faux ici, puisque chaque valeur est\nmodifiée. Seul un écart-type peut résister à certains changements."
            }
          ],
          "explanation": "Linéarité de la moyenne : multiplier toutes les valeurs par un nombre\nmultiplie la moyenne par ce nombre, tout comme ajouter une constante\najoute cette constante à la moyenne."
        },
        {
          "statement": "Toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $6$ sont\nmultipliées par $3$. Que vaut la moyenne de la nouvelle série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, multiplier toutes les valeurs par\n$3$ multiplie la moyenne par $3$, d'où $6 \\times 3 = 18$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : ajouter $3$ à chaque\nvaleur donnerait $9$, mais l'énoncé multiplie."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse : diviser par $3$ correspondrait à des valeurs\nréduites, alors qu'elles sont agrandies."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne inchangée : c'est faux ici, puisque chaque valeur est\nmodifiée. Seul un écart-type peut résister à certains changements."
            }
          ],
          "explanation": "Linéarité de la moyenne : multiplier toutes les valeurs par un nombre\nmultiplie la moyenne par ce nombre, tout comme ajouter une constante\najoute cette constante à la moyenne."
        },
        {
          "statement": "Toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $12$ sont\nmultipliées par $5$. Que vaut la moyenne de la nouvelle série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, multiplier toutes les valeurs par\n$5$ multiplie la moyenne par $5$, d'où $12 \\times 5 = 60$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : ajouter $5$ à chaque\nvaleur donnerait $17$, mais l'énoncé multiplie."
            },
            {
              "text": "$2{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse : diviser par $5$ correspondrait à des valeurs\nréduites, alors qu'elles sont agrandies."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne inchangée : c'est faux ici, puisque chaque valeur est\nmodifiée. Seul un écart-type peut résister à certains changements."
            }
          ],
          "explanation": "Linéarité de la moyenne : multiplier toutes les valeurs par un nombre\nmultiplie la moyenne par ce nombre, tout comme ajouter une constante\najoute cette constante à la moyenne."
        },
        {
          "statement": "Toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $13$ sont\nmultipliées par $5$. Que vaut la moyenne de la nouvelle série ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, multiplier toutes les valeurs par\n$5$ multiplie la moyenne par $5$, d'où $13 \\times 5 = 65$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : ajouter $5$ à chaque\nvaleur donnerait $18$, mais l'énoncé multiplie."
            },
            {
              "text": "$2{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inverse : diviser par $5$ correspondrait à des valeurs\nréduites, alors qu'elles sont agrandies."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne inchangée : c'est faux ici, puisque chaque valeur est\nmodifiée. Seul un écart-type peut résister à certains changements."
            }
          ],
          "explanation": "Linéarité de la moyenne : multiplier toutes les valeurs par un nombre\nmultiplie la moyenne par ce nombre, tout comme ajouter une constante\najoute cette constante à la moyenne."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pourcentage-de-pourcentage",
        "proportion"
      ],
      "title": "Une proportion dans une proportion",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans une commune, $60\\ \\%$ des habitants possèdent un vélo et, parmi\nces possesseurs, $25\\ \\%$ l'utilisent chaque jour. Quelle proportion\ndes habitants utilise un vélo chaque jour ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se multiplient, donc\n$25\\ \\%$ de $60\\ \\%$ valent $15\\ \\%$ des habitants."
        },
        {
          "text": "$85\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentages additionnés : les deux taux ne portent pas sur le même\nensemble, donc leur somme ne représente rien."
        },
        {
          "text": "$42{,}5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moyenne des deux taux : elle ne correspond à aucune population du\nproblème, le mot « parmi » appelle une multiplication."
        },
        {
          "text": "$25\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second taux recopié : il se rapporte aux seuls possesseurs de vélo,\npas à l'ensemble des habitants de la commune."
        }
      ],
      "explanation": "Quand un ensemble de référence est inclus dans un autre, les\nproportions se multiplient : $60\\ \\% \\times 25\\ \\% = 15\\ \\%$ des\nhabitants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans une commune, $60\\ \\%$ des habitants possèdent un vélo et, parmi\nces possesseurs, $25\\ \\%$ l'utilisent chaque jour. Quelle proportion\ndes habitants utilise un vélo chaque jour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se multiplient, donc\n$25\\ \\%$ de $60\\ \\%$ valent $15\\ \\%$ des habitants."
            },
            {
              "text": "$85\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentages additionnés : les deux taux ne portent pas sur le même\nensemble, donc leur somme ne représente rien."
            },
            {
              "text": "$42{,}5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux taux : elle ne correspond à aucune population du\nproblème, le mot « parmi » appelle une multiplication."
            },
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second taux recopié : il se rapporte aux seuls possesseurs de vélo,\npas à l'ensemble des habitants de la commune."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un ensemble de référence est inclus dans un autre, les\nproportions se multiplient : $60\\ \\% \\times 25\\ \\% = 15\\ \\%$ des\nhabitants."
        },
        {
          "statement": "Dans une commune, $40\\ \\%$ des habitants possèdent un vélo et, parmi\nces possesseurs, $30\\ \\%$ l'utilisent chaque jour. Quelle proportion\ndes habitants utilise un vélo chaque jour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se multiplient, donc\n$30\\ \\%$ de $40\\ \\%$ valent $12\\ \\%$ des habitants."
            },
            {
              "text": "$70\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentages additionnés : les deux taux ne portent pas sur le même\nensemble, donc leur somme ne représente rien."
            },
            {
              "text": "$35\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux taux : elle ne correspond à aucune population du\nproblème, le mot « parmi » appelle une multiplication."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second taux recopié : il se rapporte aux seuls possesseurs de vélo,\npas à l'ensemble des habitants de la commune."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un ensemble de référence est inclus dans un autre, les\nproportions se multiplient : $40\\ \\% \\times 30\\ \\% = 12\\ \\%$ des\nhabitants."
        },
        {
          "statement": "Dans une commune, $20\\ \\%$ des habitants possèdent un vélo et, parmi\nces possesseurs, $45\\ \\%$ l'utilisent chaque jour. Quelle proportion\ndes habitants utilise un vélo chaque jour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se multiplient, donc\n$45\\ \\%$ de $20\\ \\%$ valent $9\\ \\%$ des habitants."
            },
            {
              "text": "$65\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentages additionnés : les deux taux ne portent pas sur le même\nensemble, donc leur somme ne représente rien."
            },
            {
              "text": "$32{,}5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux taux : elle ne correspond à aucune population du\nproblème, le mot « parmi » appelle une multiplication."
            },
            {
              "text": "$45\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second taux recopié : il se rapporte aux seuls possesseurs de vélo,\npas à l'ensemble des habitants de la commune."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un ensemble de référence est inclus dans un autre, les\nproportions se multiplient : $20\\ \\% \\times 45\\ \\% = 9\\ \\%$ des\nhabitants."
        },
        {
          "statement": "Dans une commune, $20\\ \\%$ des habitants possèdent un vélo et, parmi\nces possesseurs, $40\\ \\%$ l'utilisent chaque jour. Quelle proportion\ndes habitants utilise un vélo chaque jour ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les proportions emboîtées se multiplient, donc\n$40\\ \\%$ de $20\\ \\%$ valent $8\\ \\%$ des habitants."
            },
            {
              "text": "$60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Pourcentages additionnés : les deux taux ne portent pas sur le même\nensemble, donc leur somme ne représente rien."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moyenne des deux taux : elle ne correspond à aucune population du\nproblème, le mot « parmi » appelle une multiplication."
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Second taux recopié : il se rapporte aux seuls possesseurs de vélo,\npas à l'ensemble des habitants de la commune."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un ensemble de référence est inclus dans un autre, les\nproportions se multiplient : $20\\ \\% \\times 40\\ \\% = 8\\ \\%$ des\nhabitants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolution-reciproque",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Annuler une baisse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le prix d'un forfait a baissé de $20\\ \\%$. De quel pourcentage\nfaudrait-il l'augmenter pour retrouver son prix d'avant la baisse ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la baisse multiplie par $1{,}25$ à l'envers, donc il\nfaut multiplier par $1{,}25$, soit une hausse de $25\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie supposée : la hausse s'appliquerait à un prix déjà réduit,\ndonc elle rendrait moins que ce qui a été perdu."
        },
        {
          "text": "$10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié du taux : aucune règle ne la justifie, la réciproque se\ncalcule avec l'inverse du coefficient."
        },
        {
          "text": "$1{,}25\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient pris pour un taux : $1{,}25$ est le multiplicateur, et\nle taux correspondant est son écart à $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Une évolution s'annule en multipliant par l'inverse de son coefficient.\nUne baisse de $20\\ \\%$ multiplie par $1{,}25$ à l'envers, donc il faut\nune hausse de $25\\ \\%$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le prix d'un forfait a baissé de $20\\ \\%$. De quel pourcentage\nfaudrait-il l'augmenter pour retrouver son prix d'avant la baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la baisse multiplie par $1{,}25$ à l'envers, donc il\nfaut multiplier par $1{,}25$, soit une hausse de $25\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie supposée : la hausse s'appliquerait à un prix déjà réduit,\ndonc elle rendrait moins que ce qui a été perdu."
            },
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du taux : aucune règle ne la justifie, la réciproque se\ncalcule avec l'inverse du coefficient."
            },
            {
              "text": "$1{,}25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : $1{,}25$ est le multiplicateur, et\nle taux correspondant est son écart à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution s'annule en multipliant par l'inverse de son coefficient.\nUne baisse de $20\\ \\%$ multiplie par $1{,}25$ à l'envers, donc il faut\nune hausse de $25\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le prix d'un forfait a baissé de $50\\ \\%$. De quel pourcentage\nfaudrait-il l'augmenter pour retrouver son prix d'avant la baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$100\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la baisse multiplie par $2$ à l'envers, donc il\nfaut multiplier par $2$, soit une hausse de $100\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$50\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie supposée : la hausse s'appliquerait à un prix déjà réduit,\ndonc elle rendrait moins que ce qui a été perdu."
            },
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du taux : aucune règle ne la justifie, la réciproque se\ncalcule avec l'inverse du coefficient."
            },
            {
              "text": "$2\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : $2$ est le multiplicateur, et\nle taux correspondant est son écart à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution s'annule en multipliant par l'inverse de son coefficient.\nUne baisse de $50\\ \\%$ multiplie par $2$ à l'envers, donc il faut\nune hausse de $100\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le prix d'un forfait a baissé de $60\\ \\%$. De quel pourcentage\nfaudrait-il l'augmenter pour retrouver son prix d'avant la baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$150\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la baisse multiplie par $2{,}5$ à l'envers, donc il\nfaut multiplier par $2{,}5$, soit une hausse de $150\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie supposée : la hausse s'appliquerait à un prix déjà réduit,\ndonc elle rendrait moins que ce qui a été perdu."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du taux : aucune règle ne la justifie, la réciproque se\ncalcule avec l'inverse du coefficient."
            },
            {
              "text": "$2{,}5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : $2{,}5$ est le multiplicateur, et\nle taux correspondant est son écart à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution s'annule en multipliant par l'inverse de son coefficient.\nUne baisse de $60\\ \\%$ multiplie par $2{,}5$ à l'envers, donc il faut\nune hausse de $150\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Le prix d'un forfait a baissé de $80\\ \\%$. De quel pourcentage\nfaudrait-il l'augmenter pour retrouver son prix d'avant la baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$400\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la baisse multiplie par $5$ à l'envers, donc il\nfaut multiplier par $5$, soit une hausse de $400\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$80\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Symétrie supposée : la hausse s'appliquerait à un prix déjà réduit,\ndonc elle rendrait moins que ce qui a été perdu."
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du taux : aucune règle ne la justifie, la réciproque se\ncalcule avec l'inverse du coefficient."
            },
            {
              "text": "$5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : $5$ est le multiplicateur, et\nle taux correspondant est son écart à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Une évolution s'annule en multipliant par l'inverse de son coefficient.\nUne baisse de $80\\ \\%$ multiplie par $5$ à l'envers, donc il faut\nune hausse de $400\\ \\%$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficient-vers-taux"
      ],
      "title": "Une population multipliée",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "En dix ans, la population d'une ville a été multipliée par $2$.\nDe quel pourcentage a-t-elle augmenté ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une hausse de $100\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $2 - 1 =\n100\\ \\%$ de hausse. La population gagne $100\\ \\%$ de son effectif."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $200\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient converti trop vite : $200\\ \\%$ correspond à la\npopulation finale, pas à ce qu'elle a gagné."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $2\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient pris pour un taux : une hausse de $2\\ \\%$ donnerait un\ncoefficient à peine supérieur à $1$."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $100\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : un coefficient supérieur à $1$ traduit toujours une\nhausse, jamais une baisse."
        }
      ],
      "explanation": "Un coefficient multiplicateur $k$ correspond au taux $k - 1$, écrit en\npourcentage. Multiplier par $2$, c'est augmenter de $100\\ \\%$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "En dix ans, la population d'une ville a été multipliée par $2$.\nDe quel pourcentage a-t-elle augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une hausse de $100\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $2 - 1 =\n100\\ \\%$ de hausse. La population gagne $100\\ \\%$ de son effectif."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $200\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient converti trop vite : $200\\ \\%$ correspond à la\npopulation finale, pas à ce qu'elle a gagné."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $2\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : une hausse de $2\\ \\%$ donnerait un\ncoefficient à peine supérieur à $1$."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $100\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : un coefficient supérieur à $1$ traduit toujours une\nhausse, jamais une baisse."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient multiplicateur $k$ correspond au taux $k - 1$, écrit en\npourcentage. Multiplier par $2$, c'est augmenter de $100\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "En dix ans, la population d'une ville a été multipliée par $3$.\nDe quel pourcentage a-t-elle augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une hausse de $200\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $3 - 1 =\n200\\ \\%$ de hausse. La population gagne $200\\ \\%$ de son effectif."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $300\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient converti trop vite : $300\\ \\%$ correspond à la\npopulation finale, pas à ce qu'elle a gagné."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $3\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : une hausse de $3\\ \\%$ donnerait un\ncoefficient à peine supérieur à $1$."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $200\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : un coefficient supérieur à $1$ traduit toujours une\nhausse, jamais une baisse."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient multiplicateur $k$ correspond au taux $k - 1$, écrit en\npourcentage. Multiplier par $3$, c'est augmenter de $200\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "En dix ans, la population d'une ville a été multipliée par $4$.\nDe quel pourcentage a-t-elle augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une hausse de $300\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $4 - 1 =\n300\\ \\%$ de hausse. La population gagne $300\\ \\%$ de son effectif."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $400\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient converti trop vite : $400\\ \\%$ correspond à la\npopulation finale, pas à ce qu'elle a gagné."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $4\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : une hausse de $4\\ \\%$ donnerait un\ncoefficient à peine supérieur à $1$."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $300\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : un coefficient supérieur à $1$ traduit toujours une\nhausse, jamais une baisse."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient multiplicateur $k$ correspond au taux $k - 1$, écrit en\npourcentage. Multiplier par $4$, c'est augmenter de $300\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "En dix ans, la population d'une ville a été multipliée par $5$.\nDe quel pourcentage a-t-elle augmenté ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une hausse de $400\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient vaut $1 + t$, donc $5 - 1 =\n400\\ \\%$ de hausse. La population gagne $400\\ \\%$ de son effectif."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $500\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient converti trop vite : $500\\ \\%$ correspond à la\npopulation finale, pas à ce qu'elle a gagné."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $5\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient pris pour un taux : une hausse de $5\\ \\%$ donnerait un\ncoefficient à peine supérieur à $1$."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $400\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : un coefficient supérieur à $1$ traduit toujours une\nhausse, jamais une baisse."
            }
          ],
          "explanation": "Un coefficient multiplicateur $k$ correspond au taux $k - 1$, écrit en\npourcentage. Multiplier par $5$, c'est augmenter de $400\\ \\%$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-initiale"
      ],
      "title": "Le tarif d'avant la remise",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le tarif d'un abonnement a baissé de $20\\ \\%$ : il s'élève désormais à\n$96$ euros. Combien valait-il avant cette baisse ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est diviser par son\ncoefficient. Contrôle : $120$ diminué de $20\\ \\%$ donne bien\n$96$ euros."
        },
        {
          "text": "$115{,}2$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux appliqué à la mauvaise base : les $20\\ \\%$ portaient sur le\ntarif d'avant, pas sur les $96$ euros actuels."
        },
        {
          "text": "$116$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux et montant confondus : $20$ est un pourcentage, on ne peut pas\nl'ajouter directement à des euros."
        },
        {
          "text": "$24$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Montant de la baisse : $24$ euros représentent ce qui a été\nretiré, auquel il reste à ajouter le tarif actuel."
        }
      ],
      "explanation": "Une baisse de $20\\ \\%$ se défait par une division, jamais en appliquant\nle taux opposé à la valeur d'arrivée. Le contrôle est immédiat : on\nrefait l'évolution dans le bon sens.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le tarif d'un abonnement a baissé de $20\\ \\%$ : il s'élève désormais à\n$96$ euros. Combien valait-il avant cette baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est diviser par son\ncoefficient. Contrôle : $120$ diminué de $20\\ \\%$ donne bien\n$96$ euros."
            },
            {
              "text": "$115{,}2$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux appliqué à la mauvaise base : les $20\\ \\%$ portaient sur le\ntarif d'avant, pas sur les $96$ euros actuels."
            },
            {
              "text": "$116$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux et montant confondus : $20$ est un pourcentage, on ne peut pas\nl'ajouter directement à des euros."
            },
            {
              "text": "$24$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Montant de la baisse : $24$ euros représentent ce qui a été\nretiré, auquel il reste à ajouter le tarif actuel."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $20\\ \\%$ se défait par une division, jamais en appliquant\nle taux opposé à la valeur d'arrivée. Le contrôle est immédiat : on\nrefait l'évolution dans le bon sens."
        },
        {
          "statement": "Le tarif d'un abonnement a baissé de $25\\ \\%$ : il s'élève désormais à\n$150$ euros. Combien valait-il avant cette baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$200$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est diviser par son\ncoefficient. Contrôle : $200$ diminué de $25\\ \\%$ donne bien\n$150$ euros."
            },
            {
              "text": "$187{,}5$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux appliqué à la mauvaise base : les $25\\ \\%$ portaient sur le\ntarif d'avant, pas sur les $150$ euros actuels."
            },
            {
              "text": "$175$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux et montant confondus : $25$ est un pourcentage, on ne peut pas\nl'ajouter directement à des euros."
            },
            {
              "text": "$50$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Montant de la baisse : $50$ euros représentent ce qui a été\nretiré, auquel il reste à ajouter le tarif actuel."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $25\\ \\%$ se défait par une division, jamais en appliquant\nle taux opposé à la valeur d'arrivée. Le contrôle est immédiat : on\nrefait l'évolution dans le bon sens."
        },
        {
          "statement": "Le tarif d'un abonnement a baissé de $30\\ \\%$ : il s'élève désormais à\n$56$ euros. Combien valait-il avant cette baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est diviser par son\ncoefficient. Contrôle : $80$ diminué de $30\\ \\%$ donne bien\n$56$ euros."
            },
            {
              "text": "$72{,}8$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux appliqué à la mauvaise base : les $30\\ \\%$ portaient sur le\ntarif d'avant, pas sur les $56$ euros actuels."
            },
            {
              "text": "$86$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux et montant confondus : $30$ est un pourcentage, on ne peut pas\nl'ajouter directement à des euros."
            },
            {
              "text": "$24$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Montant de la baisse : $24$ euros représentent ce qui a été\nretiré, auquel il reste à ajouter le tarif actuel."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $30\\ \\%$ se défait par une division, jamais en appliquant\nle taux opposé à la valeur d'arrivée. Le contrôle est immédiat : on\nrefait l'évolution dans le bon sens."
        },
        {
          "statement": "Le tarif d'un abonnement a baissé de $40\\ \\%$ : il s'élève désormais à\n$72$ euros. Combien valait-il avant cette baisse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$ euros",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : remonter une évolution, c'est diviser par son\ncoefficient. Contrôle : $120$ diminué de $40\\ \\%$ donne bien\n$72$ euros."
            },
            {
              "text": "$100{,}8$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux appliqué à la mauvaise base : les $40\\ \\%$ portaient sur le\ntarif d'avant, pas sur les $72$ euros actuels."
            },
            {
              "text": "$112$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux et montant confondus : $40$ est un pourcentage, on ne peut pas\nl'ajouter directement à des euros."
            },
            {
              "text": "$48$ euros",
              "correct": false,
              "feedback": "Montant de la baisse : $48$ euros représentent ce qui a été\nretiré, auquel il reste à ajouter le tarif actuel."
            }
          ],
          "explanation": "Une baisse de $40\\ \\%$ se défait par une division, jamais en appliquant\nle taux opposé à la valeur d'arrivée. Le contrôle est immédiat : on\nrefait l'évolution dans le bon sens."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proportion",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Part des voitures électriques",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Un garage a vendu $250$ voitures cette année, dont $40$ électriques.\nQuelle part des voitures vendues est électrique ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{40}{250} = 16\\ \\%$, l'effectif de la\npartie rapporté à l'effectif total."
        },
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Effectif recopié : $40$ est un nombre de voitures, qu'il reste à\nrapporter aux $250$ ventes."
        },
        {
          "text": "$84\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Part complémentaire : $84\\ \\%$ désigne les voitures vendues qui\nne sont pas électriques."
        },
        {
          "text": "$625\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient renversé : une proportion ne dépasse jamais $100\\ \\%$, le\ntotal doit figurer au dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Une proportion rapporte l'effectif d'une partie à l'effectif total, puis\nse convertit en pourcentage en multipliant par $100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un garage a vendu $250$ voitures cette année, dont $40$ électriques.\nQuelle part des voitures vendues est électrique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{40}{250} = 16\\ \\%$, l'effectif de la\npartie rapporté à l'effectif total."
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif recopié : $40$ est un nombre de voitures, qu'il reste à\nrapporter aux $250$ ventes."
            },
            {
              "text": "$84\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Part complémentaire : $84\\ \\%$ désigne les voitures vendues qui\nne sont pas électriques."
            },
            {
              "text": "$625\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : une proportion ne dépasse jamais $100\\ \\%$, le\ntotal doit figurer au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Une proportion rapporte l'effectif d'une partie à l'effectif total, puis\nse convertit en pourcentage en multipliant par $100$."
        },
        {
          "statement": "Un garage a vendu $400$ voitures cette année, dont $60$ électriques.\nQuelle part des voitures vendues est électrique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{60}{400} = 15\\ \\%$, l'effectif de la\npartie rapporté à l'effectif total."
            },
            {
              "text": "$60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif recopié : $60$ est un nombre de voitures, qu'il reste à\nrapporter aux $400$ ventes."
            },
            {
              "text": "$85\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Part complémentaire : $85\\ \\%$ désigne les voitures vendues qui\nne sont pas électriques."
            },
            {
              "text": "$666{,}7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : une proportion ne dépasse jamais $100\\ \\%$, le\ntotal doit figurer au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Une proportion rapporte l'effectif d'une partie à l'effectif total, puis\nse convertit en pourcentage en multipliant par $100$."
        },
        {
          "statement": "Un garage a vendu $150$ voitures cette année, dont $36$ électriques.\nQuelle part des voitures vendues est électrique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{36}{150} = 24\\ \\%$, l'effectif de la\npartie rapporté à l'effectif total."
            },
            {
              "text": "$36\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif recopié : $36$ est un nombre de voitures, qu'il reste à\nrapporter aux $150$ ventes."
            },
            {
              "text": "$76\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Part complémentaire : $76\\ \\%$ désigne les voitures vendues qui\nne sont pas électriques."
            },
            {
              "text": "$416{,}7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : une proportion ne dépasse jamais $100\\ \\%$, le\ntotal doit figurer au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Une proportion rapporte l'effectif d'une partie à l'effectif total, puis\nse convertit en pourcentage en multipliant par $100$."
        },
        {
          "statement": "Un garage a vendu $600$ voitures cette année, dont $84$ électriques.\nQuelle part des voitures vendues est électrique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{84}{600} = 14\\ \\%$, l'effectif de la\npartie rapporté à l'effectif total."
            },
            {
              "text": "$84\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif recopié : $84$ est un nombre de voitures, qu'il reste à\nrapporter aux $600$ ventes."
            },
            {
              "text": "$86\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Part complémentaire : $86\\ \\%$ désigne les voitures vendues qui\nne sont pas électriques."
            },
            {
              "text": "$714{,}3\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : une proportion ne dépasse jamais $100\\ \\%$, le\ntotal doit figurer au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Une proportion rapporte l'effectif d'une partie à l'effectif total, puis\nse convertit en pourcentage en multipliant par $100$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evolutions-successives",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Un seul coefficient pour deux hausses",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un loyer augmente de $10\\ \\%$, puis de $20\\ \\%$ l'année suivante.\nPar quel coefficient unique peut-on remplacer ces deux évolutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et les deux hausses\nvalent donc $(1 + 10/100) \\times (1 + 20/100) = 1{,}32$."
        },
        {
          "text": "$1{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux additionnés : la seconde hausse porte aussi sur la première, ce\nque l'addition ignore."
        },
        {
          "text": "$2{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients additionnés : leur somme dépasse $2$, alors qu'un loyer\nqui augmente deux fois n'a pas doublé."
        },
        {
          "text": "$1{,}02$",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux multipliés entre eux : ce sont les coefficients, et non les\ntaux, qui se multiplient."
        }
      ],
      "explanation": "Enchaîner deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients :\n$(1 + 10/100) \\times (1 + 20/100) = 1{,}32$. Ce coefficient unique\nrésume les deux hausses.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un loyer augmente de $10\\ \\%$, puis de $20\\ \\%$ l'année suivante.\nPar quel coefficient unique peut-on remplacer ces deux évolutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}32$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et les deux hausses\nvalent donc $(1 + 10/100) \\times (1 + 20/100) = 1{,}32$."
            },
            {
              "text": "$1{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux additionnés : la seconde hausse porte aussi sur la première, ce\nque l'addition ignore."
            },
            {
              "text": "$2{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients additionnés : leur somme dépasse $2$, alors qu'un loyer\nqui augmente deux fois n'a pas doublé."
            },
            {
              "text": "$1{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux multipliés entre eux : ce sont les coefficients, et non les\ntaux, qui se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Enchaîner deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients :\n$(1 + 10/100) \\times (1 + 20/100) = 1{,}32$. Ce coefficient unique\nrésume les deux hausses."
        },
        {
          "statement": "Un loyer augmente de $20\\ \\%$, puis de $25\\ \\%$ l'année suivante.\nPar quel coefficient unique peut-on remplacer ces deux évolutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et les deux hausses\nvalent donc $(1 + 20/100) \\times (1 + 25/100) = 1{,}5$."
            },
            {
              "text": "$1{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux additionnés : la seconde hausse porte aussi sur la première, ce\nque l'addition ignore."
            },
            {
              "text": "$2{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients additionnés : leur somme dépasse $2$, alors qu'un loyer\nqui augmente deux fois n'a pas doublé."
            },
            {
              "text": "$1{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux multipliés entre eux : ce sont les coefficients, et non les\ntaux, qui se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Enchaîner deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients :\n$(1 + 20/100) \\times (1 + 25/100) = 1{,}5$. Ce coefficient unique\nrésume les deux hausses."
        },
        {
          "statement": "Un loyer augmente de $5\\ \\%$, puis de $40\\ \\%$ l'année suivante.\nPar quel coefficient unique peut-on remplacer ces deux évolutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}47$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et les deux hausses\nvalent donc $(1 + 5/100) \\times (1 + 40/100) = 1{,}47$."
            },
            {
              "text": "$1{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux additionnés : la seconde hausse porte aussi sur la première, ce\nque l'addition ignore."
            },
            {
              "text": "$2{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients additionnés : leur somme dépasse $2$, alors qu'un loyer\nqui augmente deux fois n'a pas doublé."
            },
            {
              "text": "$1{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux multipliés entre eux : ce sont les coefficients, et non les\ntaux, qui se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Enchaîner deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients :\n$(1 + 5/100) \\times (1 + 40/100) = 1{,}47$. Ce coefficient unique\nrésume les deux hausses."
        },
        {
          "statement": "Un loyer augmente de $10\\ \\%$, puis de $60\\ \\%$ l'année suivante.\nPar quel coefficient unique peut-on remplacer ces deux évolutions ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}76$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et les deux hausses\nvalent donc $(1 + 10/100) \\times (1 + 60/100) = 1{,}76$."
            },
            {
              "text": "$1{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux additionnés : la seconde hausse porte aussi sur la première, ce\nque l'addition ignore."
            },
            {
              "text": "$2{,}7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficients additionnés : leur somme dépasse $2$, alors qu'un loyer\nqui augmente deux fois n'a pas doublé."
            },
            {
              "text": "$1{,}06$",
              "correct": false,
              "feedback": "Taux multipliés entre eux : ce sont les coefficients, et non les\ntaux, qui se multiplient."
            }
          ],
          "explanation": "Enchaîner deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients :\n$(1 + 10/100) \\times (1 + 60/100) = 1{,}76$. Ce coefficient unique\nrésume les deux hausses."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quartiles",
        "ecart-interquartile"
      ],
      "title": "Calculer un écart interquartile",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Pour une série de notes, le premier quartile vaut $Q_1 = 8$, la\nmédiane $11$ et le troisième quartile $Q_3 = 14$. Que vaut l'écart\ninterquartile ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart interquartile vaut $Q_3 - Q_1 = 14 - 8$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est l'écart entre la médiane et chacun des\nquartiles, pas l'écart entre les deux quartiles."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $11$ est la médiane, un indicateur de position et non de\ndispersion."
        },
        {
          "text": "$22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart interquartile est une différence, pas une somme."
        }
      ],
      "explanation": "Environ la moitié des valeurs se situent entre $Q_1$ et $Q_3$.\nL'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de cette\nmoitié centrale."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison-series",
        "indicateurs"
      ],
      "title": "Choisir les indicateurs d'une comparaison",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Deux séries de salaires ont la même médiane. La première contient\nquelques valeurs très élevées. Quel couple d'indicateurs est le plus\nadapté pour comparer leurs dispersions sans être influencé par ces\nvaleurs extrêmes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Médiane et écart interquartile",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ces indicateurs dépendent du rang des valeurs,\npas de leur grandeur : quelques valeurs très élevées ne les\ndéplacent presque pas."
        },
        {
          "text": "Moyenne et écart type de chaque série",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moyenne et l'écart type sont calculés à partir de\ntoutes les valeurs ; quelques valeurs extrêmes les augmentent\nfortement."
        },
        {
          "text": "Moyenne et étendue de chaque série",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'étendue dépend uniquement des deux valeurs extrêmes,\nc'est l'indicateur le plus sensible à ces valeurs."
        },
        {
          "text": "Médiane et moyenne des salaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont deux indicateurs de position. Aucun ne mesure la\ndispersion."
        }
      ],
      "explanation": "On associe la moyenne à l'écart type, et la médiane à l'écart\ninterquartile. Le second couple résiste mieux aux valeurs extrêmes."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "mediane",
        "classes",
        "estimation"
      ],
      "title": "Estimer la médiane dans sa classe",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Dans une série de $100$ temps de trajet, $40$ valeurs sont inférieures\nà $10$ minutes et $20$ valeurs sont dans la classe $[10\\,;\\,20[$. On\nsuppose ces $20$ valeurs réparties uniformément dans la classe.\nQuelle estimation de la médiane obtient-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$ minutes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la médiane est la $50$e valeur environ, soit la\n$10$e des $20$ valeurs de la classe : on se place à la moitié de\nla classe, donc à $10 + 5$ minutes."
        },
        {
          "text": "$10$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10$ est la borne inférieure de la classe médiane. Il\nfaut encore avancer de $10$ valeurs dans la classe."
        },
        {
          "text": "$20$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à $20$ minutes, on a atteint $60$ valeurs ; la médiane\nse situe avant."
        },
        {
          "text": "$12{,}5$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque $10$ valeurs pour atteindre la $50$e, soit la\nmoitié des $20$ valeurs de la classe, et non le quart."
        }
      ],
      "explanation": "La classe médiane est celle où les effectifs cumulés dépassent la\nmoitié de l'effectif total ; avec une répartition uniforme, on y\nplace la médiane proportionnellement."
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proportion",
        "fraction",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "D'une fraction à un pourcentage",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans un club, $3$ membres sur $8$ sont mineurs. Quel\npourcentage des membres cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$37{,}5\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{8} = \\dfrac{37{,}5}{100}$, soit\n$37{,}5\\ \\%$.\n"
        },
        {
          "text": "$3\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est un effectif ; un pourcentage rapporte cet\neffectif à $100$, pas à $8$.\n"
        },
        {
          "text": "$30\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ a été multiplié par $10$ sans tenir compte du\ntotal $8$.\n"
        },
        {
          "text": "$8\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8$ est l'effectif total, pas une proportion.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est $100$ :\non écrit la fraction, puis on la convertit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un club, $3$ membres sur $8$ sont mineurs. Quel\npourcentage des membres cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$37{,}5\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{8} = \\dfrac{37{,}5}{100}$, soit\n$37{,}5\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$3\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est un effectif ; un pourcentage rapporte cet\neffectif à $100$, pas à $8$.\n"
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ a été multiplié par $10$ sans tenir compte du\ntotal $8$.\n"
            },
            {
              "text": "$8\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est l'effectif total, pas une proportion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est $100$ :\non écrit la fraction, puis on la convertit."
        },
        {
          "statement": "Dans un club, $7$ membres sur $20$ sont mineurs. Quel\npourcentage des membres cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7}{20} = \\dfrac{35}{100}$, soit\n$35\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est un effectif ; un pourcentage rapporte cet\neffectif à $100$, pas à $20$.\n"
            },
            {
              "text": "$70\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ a été multiplié par $10$ sans tenir compte du\ntotal $20$.\n"
            },
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est l'effectif total, pas une proportion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est $100$ :\non écrit la fraction, puis on la convertit."
        },
        {
          "statement": "Dans un club, $9$ membres sur $40$ sont mineurs. Quel\npourcentage des membres cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$22{,}5\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{40} = \\dfrac{22{,}5}{100}$, soit\n$22{,}5\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$9\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est un effectif ; un pourcentage rapporte cet\neffectif à $100$, pas à $40$.\n"
            },
            {
              "text": "$90\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ a été multiplié par $10$ sans tenir compte du\ntotal $40$.\n"
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $40$ est l'effectif total, pas une proportion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est $100$ :\non écrit la fraction, puis on la convertit."
        },
        {
          "statement": "Dans un club, $11$ membres sur $25$ sont mineurs. Quel\npourcentage des membres cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$44\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{11}{25} = \\dfrac{44}{100}$, soit\n$44\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$11\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $11$ est un effectif ; un pourcentage rapporte cet\neffectif à $100$, pas à $25$.\n"
            },
            {
              "text": "$110\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $11$ a été multiplié par $10$ sans tenir compte du\ntotal $25$.\n"
            },
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25$ est l'effectif total, pas une proportion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est $100$ :\non écrit la fraction, puis on la convertit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proportion",
        "effectif-total",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Retrouver l'effectif total",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Dans un lycée, $18$ élèves font du théâtre, ce qui représente\n$30\\ \\%$ des élèves de seconde. Combien y a-t-il d'élèves de\nseconde ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ élèves",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $30\\ \\%$ du total vaut $18$, donc le total\nvaut $\\dfrac{18}{0{,}30} = 60$.\n"
        },
        {
          "text": "$48$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner un effectif et un pourcentage n'a pas de\nsens.\n"
        },
        {
          "text": "$5$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est $30\\ \\%$ de $18$ ; ici on connaît la\npartie et on cherche le tout.\n"
        },
        {
          "text": "$18$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18$ est l'effectif de la partie, pas le total.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Si une proportion $p$ d'un ensemble correspond à un effectif $n$,\nl'effectif total vaut $\\dfrac{n}{p}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un lycée, $18$ élèves font du théâtre, ce qui représente\n$30\\ \\%$ des élèves de seconde. Combien y a-t-il d'élèves de\nseconde ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ élèves",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $30\\ \\%$ du total vaut $18$, donc le total\nvaut $\\dfrac{18}{0{,}30} = 60$.\n"
            },
            {
              "text": "$48$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner un effectif et un pourcentage n'a pas de\nsens.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est $30\\ \\%$ de $18$ ; ici on connaît la\npartie et on cherche le tout.\n"
            },
            {
              "text": "$18$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est l'effectif de la partie, pas le total.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si une proportion $p$ d'un ensemble correspond à un effectif $n$,\nl'effectif total vaut $\\dfrac{n}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un lycée, $12$ élèves font du théâtre, ce qui représente\n$40\\ \\%$ des élèves de seconde. Combien y a-t-il d'élèves de\nseconde ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ élèves",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $40\\ \\%$ du total vaut $12$, donc le total\nvaut $\\dfrac{12}{0{,}40} = 30$.\n"
            },
            {
              "text": "$52$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner un effectif et un pourcentage n'a pas de\nsens.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est $40\\ \\%$ de $12$ ; ici on connaît la\npartie et on cherche le tout.\n"
            },
            {
              "text": "$12$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est l'effectif de la partie, pas le total.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si une proportion $p$ d'un ensemble correspond à un effectif $n$,\nl'effectif total vaut $\\dfrac{n}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un lycée, $21$ élèves font du théâtre, ce qui représente\n$35\\ \\%$ des élèves de seconde. Combien y a-t-il d'élèves de\nseconde ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ élèves",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $35\\ \\%$ du total vaut $21$, donc le total\nvaut $\\dfrac{21}{0{,}35} = 60$.\n"
            },
            {
              "text": "$56$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner un effectif et un pourcentage n'a pas de\nsens.\n"
            },
            {
              "text": "$7$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est $35\\ \\%$ de $21$ ; ici on connaît la\npartie et on cherche le tout.\n"
            },
            {
              "text": "$21$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $21$ est l'effectif de la partie, pas le total.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si une proportion $p$ d'un ensemble correspond à un effectif $n$,\nl'effectif total vaut $\\dfrac{n}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un lycée, $12$ élèves font du théâtre, ce qui représente\n$50\\ \\%$ des élèves de seconde. Combien y a-t-il d'élèves de\nseconde ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$ élèves",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $50\\ \\%$ du total vaut $12$, donc le total\nvaut $\\dfrac{12}{0{,}50} = 24$.\n"
            },
            {
              "text": "$62$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner un effectif et un pourcentage n'a pas de\nsens.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est $50\\ \\%$ de $12$ ; ici on connaît la\npartie et on cherche le tout.\n"
            },
            {
              "text": "$12$ élèves",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est l'effectif de la partie, pas le total.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si une proportion $p$ d'un ensemble correspond à un effectif $n$,\nl'effectif total vaut $\\dfrac{n}{p}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proportion",
        "complementaire"
      ],
      "title": "La proportion complémentaire",
      "partie": "proportions",
      "statement": "Lors d'un sondage, $35\\ \\%$ des personnes interrogées répondent\n« oui » ; toutes les autres répondent « non ». Quelle proportion\nrépond « non » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$65\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux réponses se partagent la totalité,\n$100\\ \\%$ ; donc $100 - 35 = 65\\ \\%$.\n"
        },
        {
          "text": "$35\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $35\\ \\%$ est la proportion de « oui ».\n"
        },
        {
          "text": "$17\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la moitié de $35$ ne correspond à rien ici.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans l'effectif total",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une proportion complémentaire se calcule sans\nconnaître l'effectif, par rapport à $100\\ \\%$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Deux proportions qui se complètent dans un même ensemble ont pour\nsomme $1$, soit $100\\ \\%$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lors d'un sondage, $35\\ \\%$ des personnes interrogées répondent\n« oui » ; toutes les autres répondent « non ». Quelle proportion\nrépond « non » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux réponses se partagent la totalité,\n$100\\ \\%$ ; donc $100 - 35 = 65\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$35\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $35\\ \\%$ est la proportion de « oui ».\n"
            },
            {
              "text": "$17\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié de $35$ ne correspond à rien ici.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans l'effectif total",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proportion complémentaire se calcule sans\nconnaître l'effectif, par rapport à $100\\ \\%$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux proportions qui se complètent dans un même ensemble ont pour\nsomme $1$, soit $100\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Lors d'un sondage, $62\\ \\%$ des personnes interrogées répondent\n« oui » ; toutes les autres répondent « non ». Quelle proportion\nrépond « non » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$38\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux réponses se partagent la totalité,\n$100\\ \\%$ ; donc $100 - 62 = 38\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$62\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $62\\ \\%$ est la proportion de « oui ».\n"
            },
            {
              "text": "$31\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié de $62$ ne correspond à rien ici.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans l'effectif total",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proportion complémentaire se calcule sans\nconnaître l'effectif, par rapport à $100\\ \\%$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux proportions qui se complètent dans un même ensemble ont pour\nsomme $1$, soit $100\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Lors d'un sondage, $48\\ \\%$ des personnes interrogées répondent\n« oui » ; toutes les autres répondent « non ». Quelle proportion\nrépond « non » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$52\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux réponses se partagent la totalité,\n$100\\ \\%$ ; donc $100 - 48 = 52\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$48\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $48\\ \\%$ est la proportion de « oui ».\n"
            },
            {
              "text": "$24\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié de $48$ ne correspond à rien ici.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans l'effectif total",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proportion complémentaire se calcule sans\nconnaître l'effectif, par rapport à $100\\ \\%$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux proportions qui se complètent dans un même ensemble ont pour\nsomme $1$, soit $100\\ \\%$."
        },
        {
          "statement": "Lors d'un sondage, $57\\ \\%$ des personnes interrogées répondent\n« oui » ; toutes les autres répondent « non ». Quelle proportion\nrépond « non » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$43\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux réponses se partagent la totalité,\n$100\\ \\%$ ; donc $100 - 57 = 43\\ \\%$.\n"
            },
            {
              "text": "$57\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $57\\ \\%$ est la proportion de « oui ».\n"
            },
            {
              "text": "$28\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la moitié de $57$ ne correspond à rien ici.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans l'effectif total",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une proportion complémentaire se calcule sans\nconnaître l'effectif, par rapport à $100\\ \\%$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Deux proportions qui se complètent dans un même ensemble ont pour\nsomme $1$, soit $100\\ \\%$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q52",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "proportion",
        "comparaison",
        "ensembles-differents"
      ],
      "title": "Comparer deux proportions d'ensembles différents",
      "partie": "proportions",
      "statement": "En seconde A, $15$ élèves sur $40$ sont demi-pensionnaires ; en\nseconde B, $21$ élèves sur $60$. Dans quelle classe la proportion\nde demi-pensionnaires est-elle la plus grande ?",
      "options": [
        {
          "text": "En seconde A, $37{,}5\\ \\%$ contre $35\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{15}{40} = 0{,}375$ et\n$\\dfrac{21}{60} = 0{,}35$ ; la proportion est plus grande en A,\nmême si l'effectif est plus petit.\n"
        },
        {
          "text": "En seconde B, car $21 > 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : comparer les **effectifs** ne suffit pas, les deux\nclasses n'ont pas la même taille.\n"
        },
        {
          "text": "Elles sont égales, les deux classes ayant le même profil",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}375$ et $0{,}35$ sont deux proportions\ndifférentes.\n"
        },
        {
          "text": "En seconde B, $21\\ \\%$ contre $15\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15$ et $21$ ne sont pas des pourcentages ; il faut les\nrapporter à $40$ et à $60$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Pour comparer des parts d'ensembles de tailles différentes, on\ncompare les proportions, pas les effectifs."
    },
    {
      "id": "q53",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "histogramme",
        "lecture-graphique",
        "effectif"
      ],
      "title": "Lire un histogramme",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "L'histogramme ci-dessous donne la répartition des temps de\ntrajet, en minutes, des $50$ élèves d'une classe de seconde.\nCombien d'élèves mettent au moins $20$ minutes ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[xstep=10,ystep=5] (40,20);\n  \\draw[->] (0,0) -- (44,0) node[right,font=\\small] {min};\n  \\draw[->] (0,0) -- (0,23) node[above,font=\\small] {effectif};\n  \\foreach \\x in {0,10,20,30,40} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {5,10,15,20} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\foreach \\a/\\h in {0/8,10/20,20/15,30/7}\n    \\draw[fill=blue!30] (\\a,0) rectangle (\\a+10,\\h);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Histogramme à quatre classes de même amplitude 10 minutes :\n[0 ; 10[ effectif 8, [10 ; 20[ effectif 20, [20 ; 30[\neffectif 15, [30 ; 40[ effectif 7.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"267.32pt\" height=\"147.213pt\" viewBox=\"0 0 267.32 147.213\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 7.4375 0 L 7.4375 -0.28125 C 6.984375 -0.28125 6.75 -0.28125 6.75 -0.546875 L 6.75 -2.265625 C 6.75 -3.046875 6.75 -3.296875 6.453125 -3.625 C 6.265625 -3.84375 5.90625 -3.9375 5.5 -3.9375 C 4.859375 -3.9375 4.421875 -3.5625 4.171875 -3.09375 C 4.0625 -3.625 3.703125 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.234375 -3.9375 1.796875 -3.484375 1.609375 -3.0625 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 L 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.28125 2.359375 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.375 -3.71875 3.546875 -3.375 3.546875 -2.75 L 3.546875 -0.6875 C 3.546875 -0.28125 3.4375 -0.28125 2.859375 -0.28125 L 2.859375 0 C 3.28125 -0.015625 3.4375 -0.03125 3.875 -0.03125 C 4.296875 -0.03125 4.421875 -0.015625 4.890625 0 L 4.890625 -0.28125 C 4.296875 -0.28125 4.203125 -0.28125 4.203125 -0.6875 L 4.203125 -2.3125 C 4.203125 -3.28125 4.890625 -3.71875 5.4375 -3.71875 C 5.921875 -3.71875 6.078125 -3.375 6.078125 -2.75 L 6.078125 -0.6875 C 6.078125 -0.28125 5.984375 -0.28125 5.390625 -0.28125 L 5.390625 0 C 5.8125 -0.015625 5.984375 -0.03125 6.421875 -0.03125 C 6.84375 -0.03125 6.953125 -0.015625 7.4375 0 Z M 7.4375 0 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 2.25 0 L 2.25 -0.28125 C 1.671875 -0.28125 1.640625 -0.328125 1.640625 -0.671875 L 1.640625 -3.9375 L 0.359375 -3.84375 L 0.359375 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1.015625 -3.515625 1.015625 -3.078125 L 1.015625 -0.6875 C 1.015625 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.328125 -0.28125 L 0.328125 0 C 0.71875 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.296875 -0.03125 C 1.453125 -0.03125 1.8125 -0.03125 2.25 0 Z M 1.75 -5.375 C 1.75 -5.640625 1.546875 -5.859375 1.28125 -5.859375 C 1.015625 -5.859375 0.796875 -5.640625 0.796875 -5.375 C 0.796875 -5.109375 1.015625 -4.890625 1.28125 -4.890625 C 1.546875 -4.890625 1.75 -5.109375 1.75 -5.375 Z M 1.75 -5.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 4.875 0 L 4.875 -0.28125 C 4.421875 -0.28125 4.203125 -0.28125 4.1875 -0.546875 L 4.1875 -2.265625 C 4.1875 -3 4.1875 -3.265625 3.9375 -3.578125 C 3.734375 -3.828125 3.40625 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.125 -3.9375 1.734375 -3.328125 1.609375 -3.078125 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 L 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.25 2.328125 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.421875 -3.71875 3.53125 -3.28125 3.53125 -2.75 L 3.53125 -0.6875 C 3.53125 -0.28125 3.4375 -0.28125 2.84375 -0.28125 L 2.84375 0 C 3.265625 -0.015625 3.4375 -0.03125 3.859375 -0.03125 C 4.296875 -0.03125 4.40625 -0.015625 4.875 0 Z M 4.875 0 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 3.8125 -1.0625 C 3.8125 -1.125 3.765625 -1.171875 3.6875 -1.171875 C 3.59375 -1.171875 3.5625 -1.109375 3.5625 -1.078125 C 3.25 -0.171875 2.46875 -0.15625 2.328125 -0.15625 C 1.90625 -0.15625 1.53125 -0.390625 1.328125 -0.703125 C 1.03125 -1.140625 1.03125 -1.671875 1.03125 -2.046875 L 3.5625 -2.046875 C 3.765625 -2.046875 3.8125 -2.046875 3.8125 -2.234375 C 3.8125 -3.15625 3.3125 -4 2.171875 -4 C 1.09375 -4 0.265625 -3.0625 0.265625 -1.96875 C 0.265625 -0.796875 1.203125 0.09375 2.28125 0.09375 C 3.375 0.09375 3.8125 -0.859375 3.8125 -1.0625 Z M 3.203125 -2.25 L 1.03125 -2.25 C 1.109375 -3.625 1.921875 -3.78125 2.171875 -3.78125 C 2.65625 -3.78125 3.1875 -3.40625 3.203125 -2.25 Z M 3.203125 -2.25 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-4\">\n<path d=\"M 5.765625 -5.65625 C 5.765625 -5.984375 5.4375 -6.296875 4.921875 -6.296875 C 4.71875 -6.296875 4.3125 -6.234375 3.953125 -5.921875 C 3.765625 -6.140625 3.40625 -6.296875 2.90625 -6.296875 C 1.984375 -6.296875 0.953125 -5.796875 0.953125 -4.859375 L 0.953125 -3.84375 L 0.25 -3.84375 L 0.25 -3.5625 L 0.953125 -3.5625 L 0.953125 -0.6875 C 0.953125 -0.28125 0.859375 -0.28125 0.265625 -0.28125 L 0.265625 0 C 0.6875 -0.015625 0.859375 -0.03125 1.265625 -0.03125 C 1.6875 -0.03125 1.84375 -0.015625 2.28125 0 L 2.28125 -0.28125 C 1.6875 -0.28125 1.59375 -0.28125 1.59375 -0.6875 L 1.59375 -3.5625 L 3.5 -3.5625 L 3.5 -0.6875 C 3.5 -0.28125 3.40625 -0.28125 2.8125 -0.28125 L 2.8125 0 C 3.28125 -0.015625 3.40625 -0.03125 3.859375 -0.03125 L 4.984375 0 L 4.984375 -0.28125 L 4.8125 -0.28125 C 4.15625 -0.28125 4.125 -0.375 4.125 -0.703125 L 4.125 -3.5625 L 5.171875 -3.5625 L 5.171875 -3.84375 L 4.109375 -3.84375 L 4.109375 -4.859375 C 4.109375 -5.65625 4.53125 -6.0625 4.9375 -6.0625 C 4.953125 -6.0625 5.0625 -6.0625 5.203125 -6.015625 C 5.109375 -5.984375 4.96875 -5.875 4.96875 -5.640625 C 4.96875 -5.421875 5.140625 -5.25 5.359375 -5.25 C 5.609375 -5.25 5.765625 -5.421875 5.765625 -5.65625 Z M 3.59375 -5.921875 C 3.5 -5.890625 3.296875 -5.796875 3.296875 -5.515625 C 3.296875 -5.4375 3.3125 -5.25 3.53125 -5.171875 C 3.5 -5.0625 3.5 -4.984375 3.5 -4.875 L 3.5 -3.84375 L 1.5625 -3.84375 L 1.5625 -4.828125 C 1.5625 -5.734375 2.328125 -6.0625 2.90625 -6.0625 C 3.015625 -6.0625 3.3125 -6.0625 3.59375 -5.921875 Z M 3.59375 -5.921875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-5\">\n<path d=\"M 3.8125 -1.0625 C 3.8125 -1.171875 3.71875 -1.171875 3.6875 -1.171875 C 3.59375 -1.171875 3.59375 -1.15625 3.53125 -1 C 3.328125 -0.390625 2.828125 -0.15625 2.375 -0.15625 C 1.796875 -0.15625 1.078125 -0.609375 1.078125 -1.9375 C 1.078125 -3.328125 1.78125 -3.75 2.3125 -3.75 C 2.4375 -3.75 2.921875 -3.734375 3.25 -3.5 C 3.0625 -3.46875 2.875 -3.34375 2.875 -3.09375 C 2.875 -2.859375 3.0625 -2.671875 3.296875 -2.671875 C 3.53125 -2.671875 3.71875 -2.828125 3.71875 -3.109375 C 3.71875 -3.65625 3.09375 -4 2.296875 -4 C 1.15625 -4 0.296875 -3.046875 0.296875 -1.921875 C 0.296875 -0.78125 1.234375 0.09375 2.28125 0.09375 C 3.53125 0.09375 3.8125 -0.984375 3.8125 -1.0625 Z M 3.8125 -1.0625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-6\">\n<path d=\"M 3.046875 -1.109375 L 3.046875 -1.609375 L 2.796875 -1.609375 L 2.796875 -1.140625 C 2.796875 -0.46875 2.53125 -0.15625 2.203125 -0.15625 C 1.609375 -0.15625 1.609375 -0.9375 1.609375 -1.09375 L 1.609375 -3.5625 L 2.90625 -3.5625 L 2.90625 -3.84375 L 1.609375 -3.84375 L 1.609375 -5.484375 L 1.359375 -5.484375 C 1.34375 -4.734375 1.03125 -3.8125 0.171875 -3.796875 L 0.171875 -3.5625 L 0.953125 -3.5625 L 0.953125 -1.109375 C 0.953125 -0.109375 1.671875 0.09375 2.140625 0.09375 C 2.734375 0.09375 3.046875 -0.46875 3.046875 -1.109375 Z M 3.046875 -1.109375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-7\">\n<path d=\"M 3.265625 -5.65625 C 3.265625 -6 2.921875 -6.296875 2.4375 -6.296875 C 1.734375 -6.296875 1.015625 -5.765625 1.015625 -4.875 L 1.015625 -3.84375 L 0.296875 -3.84375 L 0.296875 -3.5625 L 1.015625 -3.5625 L 1.015625 -0.6875 C 1.015625 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.328125 -0.28125 L 0.328125 0 C 0.796875 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.359375 -0.03125 L 2.5 0 L 2.5 -0.28125 L 2.3125 -0.28125 C 1.671875 -0.28125 1.640625 -0.375 1.640625 -0.703125 L 1.640625 -3.5625 L 2.671875 -3.5625 L 2.671875 -3.84375 L 1.609375 -3.84375 L 1.609375 -4.859375 C 1.609375 -5.671875 2.046875 -6.0625 2.4375 -6.0625 C 2.53125 -6.0625 2.609375 -6.046875 2.703125 -6.015625 C 2.609375 -5.984375 2.46875 -5.875 2.46875 -5.640625 C 2.46875 -5.421875 2.640625 -5.25 2.859375 -5.25 C 3.109375 -5.25 3.265625 -5.421875 3.265625 -5.65625 Z M 3.265625 -5.65625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 4.21875 -2.859375 C 4.21875 -3.453125 4.1875 -4.21875 3.875 -4.890625 C 3.484375 -5.734375 2.8125 -5.9375 2.296875 -5.9375 C 1.75 -5.9375 1.078125 -5.734375 0.6875 -4.875 C 0.40625 -4.25 0.359375 -3.53125 0.359375 -2.859375 C 0.359375 -2.28125 0.375 -1.40625 0.765625 -0.703125 C 1.171875 0.046875 1.875 0.203125 2.28125 0.203125 C 2.859375 0.203125 3.53125 -0.046875 3.90625 -0.875 C 4.171875 -1.46875 4.21875 -2.140625 4.21875 -2.859375 Z M 2.296875 -0.03125 C 2.03125 -0.03125 1.390625 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.453125 1.125 -2.96875 C 1.125 -3.5625 1.125 -4.28125 1.234375 -4.765625 C 1.40625 -5.5625 1.984375 -5.71875 2.28125 -5.71875 C 2.625 -5.71875 3.1875 -5.546875 3.359375 -4.703125 C 3.453125 -4.21875 3.453125 -3.53125 3.453125 -2.96875 C 3.453125 -2.40625 3.453125 -1.65625 3.359375 -1.140625 C 3.171875 -0.109375 2.515625 -0.03125 2.296875 -0.03125 Z M 2.296875 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 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-6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.8125 1.046875 -2.8125 C 1.125 -2.8125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.359375 -3.53125 C 3.3125 -3.53125 3.3125 -2.15625 3.3125 -1.828125 C 3.3125 -1.546875 3.3125 -1 3.0625 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.734375 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.859375 3.359375 -3.75 2.375 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.953125 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.703125 3.765625 -5.828125 C 3.765625 -5.90625 3.71875 -5.9375 3.671875 -5.9375 C 3.65625 -5.9375 3.625 -5.9375 3.546875 -5.890625 C 3.125 -5.734375 2.71875 -5.65625 2.34375 -5.65625 C 1.96875 -5.65625 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.890625 C 1.0625 -5.9375 1.046875 -5.9375 1.03125 -5.9375 C 0.921875 -5.9375 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.703125 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000223003 -0.00156592 L 204.088941 -0.00156592 M -0.000223003 25.513016 L 204.088941 25.513016 M -0.000223003 51.02367 L 204.088941 51.02367 M -0.000223003 76.534325 L 204.088941 76.534325 M -0.000223003 102.041053 L 204.088941 102.041053 M -0.000223003 -0.00156592 L -0.000223003 102.04498 M 51.021086 -0.00156592 L 51.021086 102.04498 M 102.046323 -0.00156592 L 102.046323 102.04498 M 153.067632 -0.00156592 L 153.067632 102.04498 M 204.085014 -0.00156592 L 204.085014 102.04498 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000223003 -0.00156592 L 224.097683 -0.00156592 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07388 2.390058 C -1.692948 0.956654 -0.848614 0.277261 -0.000353475 -0.00156592 C -0.848614 -0.280392 -1.692948 -0.955859 -2.07388 -2.389263 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 242.01207, 131.89688)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"245.707992\" y=\"134.82622\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"253.3424\" y=\"134.82622\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"255.893148\" y=\"134.82622\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000223003 -0.00156592 L -0.000223003 116.952376 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072617 2.391847 C -1.695612 0.954516 -0.851278 0.279049 0.000909588 0.000223003 C -0.851278 -0.278603 -1.695612 -0.957997 -2.072617 -2.391401 \" transform=\"matrix(0, -0.994682, -0.994682, 0, 18.906472, 15.368092)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"5.657302\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-4\" x=\"9.733148\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"15.084368\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-5\" x=\"19.160215\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-6\" x=\"23.236061\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"26.803541\" y=\"11.572135\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-7\" x=\"29.354289\" y=\"11.572135\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"16.614723\" y=\"141.145437\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"65.072668\" y=\"141.145437\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"69.655988\" y=\"141.145437\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"115.823355\" y=\"141.145437\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"120.406675\" y=\"141.145437\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"166.573047\" y=\"141.145437\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"171.156367\" y=\"141.145437\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"217.323734\" y=\"141.145437\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"221.907054\" y=\"141.145437\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"10.821693\" y=\"109.395174\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"6.238196\" y=\"84.01983\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"10.821517\" y=\"84.01983\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"6.238196\" y=\"58.645482\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"10.821517\" y=\"58.645482\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"6.238196\" y=\"33.270138\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"10.821517\" y=\"33.270138\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(69.999695%, 69.999695%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000223003 -0.00156592 L -0.000223003 40.817052 L 51.021086 40.817052 L 51.021086 -0.00156592 Z M -0.000223003 -0.00156592 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(69.999695%, 69.999695%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 51.021086 -0.00156592 L 51.021086 102.04498 L 102.046323 102.04498 L 102.046323 -0.00156592 Z M 51.021086 -0.00156592 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(69.999695%, 69.999695%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 102.046323 -0.00156592 L 102.046323 76.534325 L 153.067632 76.534325 L 153.067632 -0.00156592 Z M 102.046323 -0.00156592 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(69.999695%, 69.999695%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 153.067632 -0.00156592 L 153.067632 35.715707 L 204.088941 35.715707 L 204.088941 -0.00156592 Z M 153.067632 -0.00156592 \" transform=\"matrix(0.994682, 0, 0, -0.994682, 18.906472, 131.89688)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$22$ élèves",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on additionne les effectifs des classes\n$[20\\,;\\,30[$ et $[30\\,;\\,40[$ : $15 + 7 = 22$."
        },
        {
          "text": "$15$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : « au moins $20$ minutes » compte aussi les $7$ élèves\nde la classe $[30\\,;\\,40[$."
        },
        {
          "text": "$28$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $8 + 20 = 28$ élèves mettent **moins** de\n$20$ minutes."
        },
        {
          "text": "$35$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on a compté la classe $[10\\,;\\,20[$ au lieu de la\nclasse $[30\\,;\\,40[$ ; ses élèves mettent moins de $20$\nminutes."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un histogramme à classes de même amplitude, la hauteur de\nchaque rectangle donne l'effectif de la classe."
    },
    {
      "id": "q54",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "frequences-cumulees",
        "mediane",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Estimer la médiane sur les fréquences cumulées",
      "partie": "dispersion",
      "statement": "Le polygone des fréquences cumulées croissantes ci-dessous\nconcerne les temps de trajet, en minutes, de $50$ élèves. En\nsupposant la répartition uniforme dans chaque classe, quelle\nestimation de la médiane obtient-on ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=3.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (0,0) grid[xstep=10,ystep=0.2] (40,1);\n  \\draw[->] (0,0) -- (44,0) node[right,font=\\small] {min};\n  \\draw[->] (0,0) -- (0,1.12);\n  \\foreach \\x in {0,10,20,30,40} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y/\\t in {0.2/0{,}2,0.4/0{,}4,0.6/0{,}6,0.8/0{,}8,1/1} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\t$};\n  \\draw[very thick,blue] (0,0) -- (10,0.16) -- (20,0.56) -- (30,0.86) -- (40,1);\n  \\foreach \\p in {(0,0),(10,0.16),(20,0.56),(30,0.86),(40,1)} \\fill[blue] \\p ellipse (0.45 and 0.022);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Polygone des fréquences cumulées croissantes, segments reliant\nles points (0 ; 0), (10 ; 0,16), (20 ; 0,56), (30 ; 0,86) et\n(40 ; 1).",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"269.295pt\" height=\"131.095pt\" viewBox=\"0 0 269.295 131.095\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 7.421875 0 L 7.421875 -0.28125 C 6.96875 -0.28125 6.734375 -0.28125 6.734375 -0.546875 L 6.734375 -2.265625 C 6.734375 -3.03125 6.734375 -3.28125 6.4375 -3.609375 C 6.25 -3.828125 5.890625 -3.9375 5.484375 -3.9375 C 4.84375 -3.9375 4.40625 -3.5625 4.15625 -3.09375 C 4.046875 -3.609375 3.703125 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.234375 -3.9375 1.796875 -3.46875 1.609375 -3.0625 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 L 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.265625 2.34375 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.375 -3.71875 3.53125 -3.359375 3.53125 -2.75 L 3.53125 -0.6875 C 3.53125 -0.28125 3.4375 -0.28125 2.84375 -0.28125 L 2.84375 0 C 3.265625 -0.015625 3.4375 -0.03125 3.859375 -0.03125 C 4.296875 -0.03125 4.40625 -0.015625 4.875 0 L 4.875 -0.28125 C 4.296875 -0.28125 4.1875 -0.28125 4.1875 -0.6875 L 4.1875 -2.3125 C 4.1875 -3.265625 4.890625 -3.71875 5.421875 -3.71875 C 5.90625 -3.71875 6.078125 -3.359375 6.078125 -2.75 L 6.078125 -0.6875 C 6.078125 -0.28125 5.96875 -0.28125 5.390625 -0.28125 L 5.390625 0 C 5.8125 -0.015625 5.96875 -0.03125 6.40625 -0.03125 C 6.828125 -0.03125 6.953125 -0.015625 7.421875 0 Z M 7.421875 0 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 2.25 0 L 2.25 -0.28125 C 1.671875 -0.28125 1.640625 -0.328125 1.640625 -0.671875 L 1.640625 -3.9375 L 0.359375 -3.84375 L 0.359375 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.515625 1 -3.078125 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.328125 -0.28125 L 0.328125 0 C 0.71875 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.296875 -0.03125 C 1.4375 -0.03125 1.8125 -0.03125 2.25 0 Z M 1.75 -5.375 C 1.75 -5.640625 1.546875 -5.84375 1.28125 -5.84375 C 1 -5.84375 0.796875 -5.640625 0.796875 -5.375 C 0.796875 -5.109375 1 -4.890625 1.28125 -4.890625 C 1.546875 -4.890625 1.75 -5.109375 1.75 -5.375 Z M 1.75 -5.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 4.875 0 L 4.875 -0.28125 C 4.421875 -0.28125 4.1875 -0.28125 4.1875 -0.546875 L 4.1875 -2.265625 C 4.1875 -3 4.1875 -3.265625 3.9375 -3.578125 C 3.734375 -3.828125 3.390625 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.125 -3.9375 1.734375 -3.328125 1.609375 -3.078125 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 L 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.25 2.328125 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.40625 -3.71875 3.53125 -3.28125 3.53125 -2.75 L 3.53125 -0.6875 C 3.53125 -0.28125 3.421875 -0.28125 2.84375 -0.28125 L 2.84375 0 C 3.265625 -0.015625 3.421875 -0.03125 3.859375 -0.03125 C 4.28125 -0.03125 4.40625 -0.015625 4.875 0 Z M 4.875 0 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 4.21875 -2.84375 C 4.21875 -3.453125 4.1875 -4.21875 3.875 -4.875 C 3.484375 -5.71875 2.8125 -5.9375 2.28125 -5.9375 C 1.75 -5.9375 1.078125 -5.71875 0.6875 -4.859375 C 0.40625 -4.25 0.359375 -3.53125 0.359375 -2.84375 C 0.359375 -2.265625 0.375 -1.40625 0.75 -0.703125 C 1.171875 0.046875 1.875 0.203125 2.28125 0.203125 C 2.859375 0.203125 3.515625 -0.046875 3.890625 -0.875 C 4.15625 -1.46875 4.21875 -2.140625 4.21875 -2.84375 Z M 2.28125 -0.03125 C 2.015625 -0.03125 1.375 -0.15625 1.21875 -1.15625 C 1.125 -1.6875 1.125 -2.453125 1.125 -2.953125 C 1.125 -3.5625 1.125 -4.265625 1.234375 -4.75 C 1.40625 -5.546875 1.984375 -5.703125 2.28125 -5.703125 C 2.625 -5.703125 3.171875 -5.53125 3.34375 -4.703125 C 3.453125 -4.21875 3.453125 -3.515625 3.453125 -2.953125 C 3.453125 -2.40625 3.453125 -1.65625 3.359375 -1.125 C 3.171875 -0.109375 2.515625 -0.03125 2.28125 -0.03125 Z M 2.28125 -0.03125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 2.703125 -5.6875 C 2.703125 -5.90625 2.703125 -5.9375 2.46875 -5.9375 C 1.921875 -5.359375 1.109375 -5.359375 0.828125 -5.359375 L 0.828125 -5.078125 C 1 -5.078125 1.546875 -5.078125 2.015625 -5.3125 L 2.015625 -0.71875 C 2.015625 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.875 -0.28125 L 0.875 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.71875 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.84375 0 L 3.84375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.703125 -0.390625 2.703125 -0.71875 Z M 2.703125 -5.6875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 4.109375 -1.578125 L 3.859375 -1.578125 C 3.84375 -1.453125 3.78125 -0.9375 3.65625 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.109375 -3.28125 4.109375 -4.1875 C 4.109375 -5.21875 3.265625 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.859375 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.375 -3.96875 1.375 -4.28125 C 1.375 -4.546875 1.1875 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.734375 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.65625 2.078125 -5.65625 C 2.984375 -5.65625 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.1875 C 3.296875 -3.28125 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.078125 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.859375 0 Z M 4.109375 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.09375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.390625 3.171875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.625 -5.40625 0.625 -4.734375 C 0.625 -4.4375 0.828125 -4.265625 1.09375 -4.265625 C 1.34375 -4.265625 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.015625 1.3125 -5.15625 1.015625 -5.15625 C 1.25 -5.53125 1.796875 -5.703125 2.234375 -5.703125 C 2.96875 -5.703125 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.828125 -3.671875 C 2.5625 -3.265625 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.203125 1.515625 -3.203125 1.515625 -3.09375 C 1.515625 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.75 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.125 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.578125 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.28125 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.65625 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.09375 -0.28125 C 3.421875 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.96875 3.40625 -6.03125 3.234375 -6.03125 C 3.125 -6.03125 3.125 -6.015625 3.03125 -5.890625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-5\">\n<path d=\"M 1.1875 -2.953125 C 1.1875 -3.859375 1.296875 -4.359375 1.53125 -4.828125 C 1.703125 -5.1875 2.140625 -5.703125 2.8125 -5.703125 C 2.984375 -5.703125 3.390625 -5.671875 3.59375 -5.359375 C 3.265625 -5.359375 3.125 -5.1875 3.125 -4.9375 C 3.125 -4.71875 3.28125 -4.53125 3.53125 -4.53125 C 3.78125 -4.53125 3.953125 -4.6875 3.953125 -4.953125 C 3.953125 -5.453125 3.59375 -5.9375 2.78125 -5.9375 C 1.640625 -5.9375 0.390625 -4.796875 0.390625 -2.8125 C 0.390625 -0.40625 1.46875 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.296875 0.203125 4.1875 -0.625 4.1875 -1.8125 C 4.1875 -2.9375 3.359375 -3.796875 2.359375 -3.796875 C 1.828125 -3.796875 1.4375 -3.484375 1.1875 -2.953125 Z M 2.296875 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.21875 -1.125 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.609375 1.484375 -3.578125 2.34375 -3.578125 C 2.484375 -3.578125 2.921875 -3.578125 3.203125 -3.015625 C 3.375 -2.6875 3.375 -2.25 3.375 -1.8125 C 3.375 -1.390625 3.375 -0.953125 3.203125 -0.625 C 2.9375 -0.109375 2.53125 -0.046875 2.296875 -0.046875 Z M 2.296875 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-6\">\n<path d=\"M 1.53125 -4.046875 C 1.265625 -4.21875 1.0625 -4.453125 1.0625 -4.78125 C 1.0625 -5.359375 1.6875 -5.703125 2.265625 -5.703125 C 2.953125 -5.703125 3.515625 -5.234375 3.515625 -4.609375 C 3.515625 -3.984375 2.96875 -3.578125 2.625 -3.359375 Z M 2.84375 -3.21875 C 3.28125 -3.4375 3.9375 -3.890625 3.9375 -4.609375 C 3.9375 -5.4375 3.09375 -5.9375 2.296875 -5.9375 C 1.359375 -5.9375 0.625 -5.265625 0.625 -4.4375 C 0.625 -4.109375 0.75 -3.78125 0.96875 -3.53125 C 1.125 -3.359375 1.171875 -3.328125 1.6875 -3 C 0.90625 -2.625 0.390625 -2.078125 0.390625 -1.34375 C 0.390625 -0.40625 1.3125 0.203125 2.28125 0.203125 C 3.3125 0.203125 4.1875 -0.53125 4.1875 -1.5 C 4.1875 -2.359375 3.53125 -2.78125 3.296875 -2.9375 C 3.203125 -3 2.953125 -3.15625 2.84375 -3.21875 Z M 1.9375 -2.84375 L 3.0625 -2.140625 C 3.265625 -2.015625 3.703125 -1.734375 3.703125 -1.1875 C 3.703125 -0.484375 3 -0.046875 2.28125 -0.046875 C 1.515625 -0.046875 0.859375 -0.609375 0.859375 -1.34375 C 0.859375 -1.984375 1.3125 -2.515625 1.9375 -2.84375 Z M 1.9375 -2.84375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.875 0.96875 1.515625 C 0.90625 1.5625 0.90625 1.578125 0.90625 1.609375 C 0.90625 1.671875 0.96875 1.71875 1.03125 1.71875 C 1.125 1.71875 1.84375 1.03125 1.84375 -0.015625 C 1.84375 -0.5625 1.640625 -0.96875 1.265625 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.78125 -0.734375 0.78125 -0.484375 C 0.78125 -0.234375 0.96875 0 1.265625 0 C 1.390625 0 1.53125 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 4 0 L 241 0 L 241 130.195312 L 4 130.195312 Z M 4 0 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000720928 0.00179721 L 204.089943 0.00179721 M -0.000720928 20.411257 L 204.089943 20.411257 M -0.000720928 40.820717 L 204.089943 40.820717 M -0.000720928 61.230176 L 204.089943 61.230176 M -0.000720928 81.635703 L 204.089943 81.635703 M -0.000720928 102.045163 L 204.089943 102.045163 M -0.000720928 0.00179721 L -0.000720928 102.049096 M 51.020962 0.00179721 L 51.020962 102.049096 M 102.042645 0.00179721 L 102.042645 102.049096 M 153.068261 0.00179721 L 153.068261 102.049096 M 204.08601 0.00179721 L 204.08601 102.049096 \" transform=\"matrix(0.993144, 0, 0, -0.993144, 21.039778, 115.685379)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000720928 0.00179721 L 224.098215 0.00179721 \" transform=\"matrix(0.993144, 0, 0, -0.993144, 21.039778, 115.685379)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072316 2.38926 C -1.694727 0.957569 -0.849086 0.277122 0.000488993 0.00179721 C -0.849086 -0.277461 -1.694727 -0.957908 -2.072316 -2.389598 \" transform=\"matrix(0.993144, 0, 0, -0.993144, 243.800296, 115.685379)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"247.490501\" y=\"118.610188\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"255.1131\" y=\"118.610188\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"257.659903\" y=\"118.610188\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000720928 0.00179721 L -0.000720928 113.895944 \" transform=\"matrix(0.993144, 0, 0, -0.993144, 21.039778, 115.685379)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071007 2.392116 C -1.693419 0.956493 -0.85171 0.279979 0.00179766 0.000720928 C -0.85171 -0.278537 -1.693419 -0.955051 -2.071007 -2.390675 \" transform=\"matrix(0, -0.993144, -0.993144, 0, 21.039778, 2.372879)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"18.751575\" y=\"124.919631\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"67.135561\" y=\"124.919631\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"71.711792\" y=\"124.919631\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"117.806758\" y=\"124.919631\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"122.382989\" y=\"124.919631\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"168.478948\" y=\"124.919631\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"173.055179\" y=\"124.919631\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"219.150145\" y=\"124.919631\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"223.726376\" y=\"124.919631\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.849642\" y=\"97.419475\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.426049\" y=\"97.419475\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"12.968498\" y=\"97.419475\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.849642\" y=\"77.150401\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.426049\" y=\"77.150401\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"12.968498\" y=\"77.150401\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.849642\" y=\"56.87934\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.426049\" y=\"56.87934\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-5\" x=\"12.968498\" y=\"56.87934\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.849642\" y=\"36.610265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"10.426049\" y=\"36.610265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-6\" x=\"12.968498\" y=\"36.610265\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"12.968498\" y=\"17.207212\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"1.19553\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000720928 0.00179721 L 51.020962 16.328578 L 102.042645 57.147498 L 153.068261 87.763654 L 204.089943 102.049096 \" transform=\"matrix(0.993144, 0, 0, -0.993144, 21.039778, 115.685379)\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 23.320312 115.683594 C 23.320312 114.453125 22.300781 113.457031 21.039062 113.457031 C 19.78125 113.457031 18.757812 114.453125 18.757812 115.683594 C 18.757812 116.917969 19.78125 117.914062 21.039062 117.914062 C 22.300781 117.914062 23.320312 116.917969 23.320312 115.683594 Z M 23.320312 115.683594 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 73.992188 99.46875 C 73.992188 98.238281 72.972656 97.238281 71.710938 97.238281 C 70.453125 97.238281 69.433594 98.238281 69.433594 99.46875 C 69.433594 100.699219 70.453125 101.699219 71.710938 101.699219 C 72.972656 101.699219 73.992188 100.699219 73.992188 99.46875 Z M 73.992188 99.46875 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 124.664062 58.929688 C 124.664062 57.699219 123.644531 56.699219 122.382812 56.699219 C 121.125 56.699219 120.105469 57.699219 120.105469 58.929688 C 120.105469 60.160156 121.125 61.160156 122.382812 61.160156 C 123.644531 61.160156 124.664062 60.160156 124.664062 58.929688 Z M 124.664062 58.929688 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 175.335938 28.523438 C 175.335938 27.292969 174.316406 26.296875 173.058594 26.296875 C 171.796875 26.296875 170.777344 27.292969 170.777344 28.523438 C 170.777344 29.757812 171.796875 30.753906 173.058594 30.753906 C 174.316406 30.753906 175.335938 29.757812 175.335938 28.523438 Z M 175.335938 28.523438 \"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 226.007812 14.335938 C 226.007812 13.105469 224.988281 12.105469 223.730469 12.105469 C 222.46875 12.105469 221.449219 13.105469 221.449219 14.335938 C 221.449219 15.566406 222.46875 16.566406 223.730469 16.566406 C 224.988281 16.566406 226.007812 15.566406 226.007812 14.335938 Z M 226.007812 14.335938 \"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Environ $18{,}5$ min",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence $0{,}5$ est atteinte dans la\nclasse $[10\\,;\\,20[$, entre $0{,}16$ et $0{,}56$ ; par\nproportionnalité, $10 + 10 \\times \\dfrac{0{,}5 - 0{,}16}{0{,}40}\n= 18{,}5$."
        },
        {
          "text": "Environ $20$ min",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20$ est la borne supérieure de la classe médiane ;\nen $20$, la fréquence cumulée vaut déjà $0{,}56$."
        },
        {
          "text": "Environ $15$ min",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le centre de la classe médiane ne tient pas compte\ndes effectifs. En $15$, la fréquence cumulée vaut\n$0{,}36$ seulement."
        },
        {
          "text": "Environ $10$ min",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $10$, la fréquence cumulée ne vaut que $0{,}16$ ;\nla moitié des élèves n'est pas encore atteinte."
        }
      ],
      "explanation": "La médiane est l'abscisse du point du polygone d'ordonnée $0{,}5$ :\non la lit sur le graphique ou on la calcule par\nproportionnalité dans la classe médiane."
    },
    {
      "id": "q55",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne",
        "suppression-valeur"
      ],
      "title": "La moyenne après le retrait d'une valeur",
      "partie": "moyennes",
      "statement": "Une série de $10$ valeurs a pour moyenne $12$. On retire la\nvaleur $21$. Quelle est la moyenne des valeurs restantes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme passe de $10 \\times 12 = 120$ à\n$120 - 21 = 99$, répartie sur $9$ valeurs :\n$\\dfrac{99}{9} = 11$."
        },
        {
          "text": "$9{,}9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme a bien diminué, mais il ne reste que\n$9$ valeurs ; on divise par $9$, pas par $10$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : retirer une valeur différente de la moyenne modifie\nla moyenne. Elle ne reste $12$ que si la valeur retirée vaut\n$12$."
        },
        {
          "text": "$99$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division : $99$ est la somme des valeurs\nrestantes, pas leur moyenne."
        }
      ],
      "explanation": "On raisonne sur la somme : somme $=$ effectif $\\times$ moyenne.\nRetirer une valeur supérieure à la moyenne la fait baisser ; une\nvaleur inférieure la fait monter.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une série de $10$ valeurs a pour moyenne $12$. On retire la\nvaleur $21$. Quelle est la moyenne des valeurs restantes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme passe de $10 \\times 12 = 120$ à\n$120 - 21 = 99$, répartie sur $9$ valeurs :\n$\\dfrac{99}{9} = 11$."
            },
            {
              "text": "$9{,}9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme a bien diminué, mais il ne reste que\n$9$ valeurs ; on divise par $9$, pas par $10$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retirer une valeur différente de la moyenne modifie\nla moyenne. Elle ne reste $12$ que si la valeur retirée vaut\n$12$."
            },
            {
              "text": "$99$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de la division : $99$ est la somme des valeurs\nrestantes, pas leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "On raisonne sur la somme : somme $=$ effectif $\\times$ moyenne.\nRetirer une valeur supérieure à la moyenne la fait baisser ; une\nvaleur inférieure la fait monter."
        },
        {
          "statement": "Une série de $5$ valeurs a pour moyenne $14$. On retire la\nvaleur $6$. Quelle est la moyenne des valeurs restantes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme passe de $5 \\times 14 = 70$ à\n$70 - 6 = 64$, répartie sur $4$ valeurs :\n$\\dfrac{64}{4} = 16$."
            },
            {
              "text": "$12{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme a bien diminué, mais il ne reste que\n$4$ valeurs ; on divise par $4$, pas par $5$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retirer une valeur différente de la moyenne modifie\nla moyenne. Elle ne reste $14$ que si la valeur retirée vaut\n$14$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de la division : $64$ est la somme des valeurs\nrestantes, pas leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "On raisonne sur la somme : somme $=$ effectif $\\times$ moyenne.\nRetirer une valeur supérieure à la moyenne la fait baisser ; une\nvaleur inférieure la fait monter."
        },
        {
          "statement": "Une série de $4$ valeurs a pour moyenne $10$. On retire la\nvaleur $22$. Quelle est la moyenne des valeurs restantes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme passe de $4 \\times 10 = 40$ à\n$40 - 22 = 18$, répartie sur $3$ valeurs :\n$\\dfrac{18}{3} = 6$."
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme a bien diminué, mais il ne reste que\n$3$ valeurs ; on divise par $3$, pas par $4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retirer une valeur différente de la moyenne modifie\nla moyenne. Elle ne reste $10$ que si la valeur retirée vaut\n$10$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de la division : $18$ est la somme des valeurs\nrestantes, pas leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "On raisonne sur la somme : somme $=$ effectif $\\times$ moyenne.\nRetirer une valeur supérieure à la moyenne la fait baisser ; une\nvaleur inférieure la fait monter."
        },
        {
          "statement": "Une série de $10$ valeurs a pour moyenne $8$. On retire la\nvaleur $17$. Quelle est la moyenne des valeurs restantes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme passe de $10 \\times 8 = 80$ à\n$80 - 17 = 63$, répartie sur $9$ valeurs :\n$\\dfrac{63}{9} = 7$."
            },
            {
              "text": "$6{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la somme a bien diminué, mais il ne reste que\n$9$ valeurs ; on divise par $9$, pas par $10$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : retirer une valeur différente de la moyenne modifie\nla moyenne. Elle ne reste $8$ que si la valeur retirée vaut\n$8$."
            },
            {
              "text": "$63$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli de la division : $63$ est la somme des valeurs\nrestantes, pas leur moyenne."
            }
          ],
          "explanation": "On raisonne sur la somme : somme $=$ effectif $\\times$ moyenne.\nRetirer une valeur supérieure à la moyenne la fait baisser ; une\nvaleur inférieure la fait monter."
        }
      ]
    }
  ]
}