{
  "chapter": {
    "id": "nombres-reels-intervalles",
    "level": "seconde",
    "theme": "Nombres et calculs, algèbre",
    "title": "Nombres réels et intervalles",
    "description": "Ensembles de nombres ($\\mathbb{N}$, $\\mathbb{Z}$, $\\mathbb{D}$,\n$\\mathbb{Q}$, $\\mathbb{R}$), droite numérique, intervalles et\nappartenance, valeur absolue comme distance, inéquations\n$|x - a| \\leq r$, encadrements décimaux et arrondis.",
    "parties": [
      {
        "id": "ensembles",
        "title": "Ensembles de nombres"
      },
      {
        "id": "intervalles",
        "title": "Intervalles et appartenance"
      },
      {
        "id": "valeur-absolue",
        "title": "Valeur absolue et distance"
      },
      {
        "id": "encadrements",
        "title": "Encadrements et arrondis"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "appartenance"
      ],
      "title": "Borne ouverte ou fermée",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Le nombre $5$ appartient-il à l'intervalle $[2\\,;\\,5[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : le crochet ouvert exclut la borne $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $[2\\,;\\,5[$ contient les réels $x$ tels\nque $2 \\leq x < 5$. L'inégalité **stricte** exclut $5$."
        },
        {
          "text": "Oui : $5$ est écrit dans l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais\nn'y appartiennent que si le crochet est **fermé** (tourné\nvers l'intérieur). Ici il est ouvert : $5$ exclu."
        },
        {
          "text": "Oui, car $5 \\geq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il faut vérifier les **deux** conditions.\n$5 \\geq 2$ certes, mais la seconde exige $x < 5$, ce que\n$5$ ne vérifie pas."
        },
        {
          "text": "Non, car $5$ n'est pas entre $2$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raison imprécise : $2$ appartient bien à l'intervalle (sa\nborne est fermée). C'est le **crochet ouvert en $5$** qui\nexclut $5$, pas une position « entre »."
        }
      ],
      "explanation": "$[2\\,;\\,5[ \\,= \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid 2 \\leq x < 5\\}$ :\nborne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue\n(crochet ouvert). Donc $2 \\in [2\\,;\\,5[$ mais\n$5 \\notin [2\\,;\\,5[$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "notation"
      ],
      "title": "Traduire une inégalité en intervalle",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "À quel intervalle correspond la condition $x \\geq 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut $3$ (crochet\nfermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert)."
        },
        {
          "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce crochet ouvert exclut $3$, ce qui traduirait\nl'inégalité **stricte** $x > 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cet intervalle contient les nombres\n**inférieurs** ou égaux à $3$."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notation incorrecte : $+\\infty$ n'est pas un nombre, on ne\npeut jamais fermer le crochet de son côté."
        }
      ],
      "explanation": "$x \\geq 3 \\Leftrightarrow x \\in [3\\,;\\,+\\infty[$. Inégalité large ($\\geq$, $\\leq$) : crochet fermé sur la borne ; inégalité stricte ($>$, $<$) : crochet ouvert ; du côté de $\\pm\\infty$, le\ncrochet est toujours ouvert."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "definition"
      ],
      "title": "Valeur absolue et distance",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Pour deux réels $x$ et $a$, que représente $|x - a|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La distance entre $x$ et $a$ sur la droite numérique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la\nvaleur absolue au programme : $|5 - 2| = 3$, distance\nentre $5$ et $2$."
        },
        {
          "text": "Le nombre $x - a$ rendu positif seulement si $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur absolue rend la **différence** positive\nquel que soit le signe de $x$ : $|2 - 5| = 3$ aussi."
        },
        {
          "text": "Le plus grand des deux nombres $x$ et $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $|x - a|$ mesure leur **écart**, pas leur\nmaximum : $|7 - 4| = 3$, alors que le plus grand est $7$."
        },
        {
          "text": "Le milieu de $x$ et $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le milieu est $\\dfrac{x + a}{2}$. La valeur\nabsolue de la différence donne la **longueur** du segment,\npas son centre."
        }
      ],
      "explanation": "$|x - a|$ = distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$.\nCas particulier : $|x| = |x - 0|$ est la distance de $x$ à\n$0$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre une inéquation $|x| \\leq r$",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[-4\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 4$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $4$ de $0$ », donc entre $-4$ et $4$."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli des négatifs : $|-3| = 3 \\leq 4$, donc $-3$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 4$ mais\n$|-10| = 10 > 4$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
        },
        {
          "text": "$\\{-4\\,;\\,4\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 4$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
        }
      ],
      "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 4$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $4$ de $0$ », donc entre $-4$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli des négatifs : $|-3| = 3 \\leq 4$, donc $-3$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 4$ mais\n$|-10| = 10 > 4$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
            },
            {
              "text": "$\\{-4\\,;\\,4\\}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 4$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 3$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $3$ de $0$ », donc entre $-3$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli des négatifs : $|-2| = 2 \\leq 3$, donc $-2$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 3$ mais\n$|-10| = 10 > 3$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
            },
            {
              "text": "$\\{-3\\,;\\,3\\}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 3$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-6\\,;\\,6]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 6$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $6$ de $0$ », donc entre $-6$ et $6$."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli des négatifs : $|-5| = 5 \\leq 6$, donc $-5$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 6$ mais\n$|-10| = 10 > 6$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
            },
            {
              "text": "$\\{-6\\,;\\,6\\}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 6$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-5\\,;\\,5]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 5$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $5$ de $0$ », donc entre $-5$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$[0\\,;\\,5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli des négatifs : $|-4| = 4 \\leq 5$, donc $-4$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 5$ mais\n$|-10| = 10 > 5$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
            },
            {
              "text": "$\\{-5\\,;\\,5\\}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 5$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensembles",
        "rationnels"
      ],
      "title": "La nature de $\\dfrac{1}{3}$",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quelle est la nature du nombre $\\dfrac{1}{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rationnel, mais pas décimal",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),\nmais son écriture décimale $0{,}333\\ldots$ ne s'arrête\njamais : il n'est pas décimal (démonstration au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "Décimal, car il s'écrit $0{,}33$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}33$ n'est qu'une **valeur approchée** :\n$3 \\times 0{,}33 = 0{,}99 \\neq 1$. Aucune écriture décimale\nfinie n'égale $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "Irrationnel, car son écriture décimale est infinie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un\nnombre irrationnel. $\\dfrac{1}{3}$ est un quotient\nd'entiers, donc rationnel (son développement est infini\nmais **périodique**)."
        },
        {
          "text": "Entier, une fois simplifié",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est déjà irréductible et vaut\nenviron $0{,}33$ : ce n'est pas un entier."
        }
      ],
      "explanation": "Emboîtements : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$.\n$\\dfrac{1}{3} \\in \\mathbb{Q}$ mais $\\dfrac{1}{3} \\notin\n\\mathbb{D}$ : tout rationnel n'est pas décimal."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "irrationnels"
      ],
      "title": "La nature de $\\sqrt{2}$",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quelle est la nature du nombre $\\sqrt{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Irrationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{2}$ n'est le quotient d'aucun\ncouple d'entiers. Son irrationalité est une\ndémonstration du programme (raisonnement par l'absurde\navec la parité)."
        },
        {
          "text": "Rationnel, car $\\sqrt{2} = \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un rationnel est un quotient de deux\n**entiers** ; or $\\sqrt{2}$ au dénominateur n'est pas\nentier. Cette écriture ne prouve rien."
        },
        {
          "text": "Décimal, car $\\sqrt{2} = 1{,}414$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}414$ est une approximation\n($1{,}414^2 = 1{,}999396 \\neq 2$). Aucun décimal n'a un\ncarré exactement égal à $2$."
        },
        {
          "text": "Ce n'est pas un nombre réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2}$ est parfaitement réel : c'est la\nlongueur de la diagonale d'un carré de côté $1$, un point\nprécis de la droite numérique."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sqrt{2}$ est réel (constructible géométriquement) mais\nirrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les\nirrationnels remplissent $\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q}$,\navec $\\pi$ comme autre exemple du programme."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrement décimal",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Quel est l'encadrement de $\\pi$ d'amplitude $10^{-2}$ par des\ndécimaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}14 < \\pi < 3{,}15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux\nchiffres après la virgule et leur écart vaut exactement\n$10^{-2} = 0{,}01$."
        },
        {
          "text": "$3{,}1 < \\pi < 3{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son\namplitude vaut $0{,}1 = 10^{-1}$, dix fois trop large."
        },
        {
          "text": "$3{,}14 < \\pi < 3{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'amplitude vaut ici $0{,}02 = 2 \\times 10^{-2}$.\nL'encadrement demandé serre $\\pi$ entre deux décimaux\nconsécutifs au centième."
        },
        {
          "text": "$\\pi = 3{,}14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}14$ est une valeur **approchée**, pas une\négalité : $\\pi$ est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.\nD'où l'intérêt des encadrements."
        }
      ],
      "explanation": "Encadrer un réel à $10^{-n}$ près : le placer entre deux\ndécimaux consécutifs à $n$ chiffres. Pour $\\pi$ :\n$3{,}14 < \\pi < 3{,}15$ (amplitude $10^{-2}$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "intersection"
      ],
      "title": "Intersection d'intervalles",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Que vaut l'intersection $[1\\,;\\,5] \\cap [3\\,;\\,8]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres\ncommuns, ceux qui vérifient à la fois $1 \\leq x \\leq 5$ et\n$3 \\leq x \\leq 8$, soit $3 \\leq x \\leq 5$."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,8]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la **réunion** : $[1\\,;\\,8]$ regroupe les\nnombres qui sont dans l'un **ou** l'autre. L'intersection\ngarde le « et »."
        },
        {
          "text": "$[5\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent\ndans l'ordre croissant. La zone commune est $[3\\,;\\,5]$."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple\n$4$ appartient aux deux). L'intersection est vide\nseulement quand ils sont disjoints."
        }
      ],
      "explanation": "Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de\n**recouvrement** : $[1\\,;\\,5] \\cap [3\\,;\\,8] = [3\\,;\\,5]$\n(du plus grand début au plus petit bout)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "reunion"
      ],
      "title": "Réunion d'intervalles",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Que vaut la réunion $[1\\,;\\,3[ \\,\\cup\\, [3\\,;\\,5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[1\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre $3$, exclu du premier\nintervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :\naucun trou, la réunion est l'intervalle complet."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,5] \\setminus \\{3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ appartient bien à la réunion, car\n$3 \\in [3\\,;\\,5]$. Il suffit d'être dans **au moins un**\ndes deux intervalles."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la réunion ne garde pas que le premier\nintervalle ; elle ajoute tout $[3\\,;\\,5]$."
        },
        {
          "text": "$\\{3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'**intersection** (qui vaudrait d'ailleurs\n$\\varnothing$ ici, $3$ n'étant pas dans le premier). La\nréunion rassemble tout : $[1\\,;\\,5]$."
        }
      ],
      "explanation": "La réunion contient tous les nombres appartenant à l'un **ou** à l'autre.\nLes deux intervalles se raccordent exactement en $3$ :\n$[1\\,;\\,3[ \\,\\cup\\, [3\\,;\\,5] = [1\\,;\\,5]$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre une inéquation $|x - a| \\leq r$",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 3| \\leq 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|x - 3| \\leq 1$ signifie « $x$ à distance\nau plus $1$ de $3$ » : l'intervalle de centre $3$ et de\nrayon $1$, soit $[3 - 1\\,;\\,3 + 1]$."
        },
        {
          "text": "$[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de centre : $[-1\\,;\\,1]$ résout $|x| \\leq 1$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $3$."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,4[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $2$ et $4$ (à distance exactement $1$) sont\nsolutions : crochets fermés."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du côté gauche : $2{,}5$ vérifie\n$|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \\leq 1$. La distance joue des deux\ncôtés de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[2\\,;\\,4]$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 3| \\leq 1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x - 3| \\leq 1$ signifie « $x$ à distance\nau plus $1$ de $3$ » : l'intervalle de centre $3$ et de\nrayon $1$, soit $[3 - 1\\,;\\,3 + 1]$."
            },
            {
              "text": "$[-1\\,;\\,1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de centre : $[-1\\,;\\,1]$ résout $|x| \\leq 1$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $3$."
            },
            {
              "text": "$]2\\,;\\,4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $2$ et $4$ (à distance exactement $1$) sont\nsolutions : crochets fermés."
            },
            {
              "text": "$[3\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du côté gauche : $2{,}5$ vérifie\n$|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \\leq 1$. La distance joue des deux\ncôtés de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[2\\,;\\,4]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 5| \\leq 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[3\\,;\\,7]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x - 5| \\leq 2$ signifie « $x$ à distance\nau plus $2$ de $5$ » : l'intervalle de centre $5$ et de\nrayon $2$, soit $[5 - 2\\,;\\,5 + 2]$."
            },
            {
              "text": "$[-2\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de centre : $[-2\\,;\\,2]$ résout $|x| \\leq 2$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $5$."
            },
            {
              "text": "$]3\\,;\\,7[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $3$ et $7$ (à distance exactement $2$) sont\nsolutions : crochets fermés."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,7]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du côté gauche : $4$ vérifie\n$|4 - 5| = 1 \\leq 2$. La distance joue des deux\ncôtés de $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[3\\,;\\,7]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 7| \\leq 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[4\\,;\\,10]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x - 7| \\leq 3$ signifie « $x$ à distance\nau plus $3$ de $7$ » : l'intervalle de centre $7$ et de\nrayon $3$, soit $[7 - 3\\,;\\,7 + 3]$."
            },
            {
              "text": "$[-3\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de centre : $[-3\\,;\\,3]$ résout $|x| \\leq 3$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $7$."
            },
            {
              "text": "$]4\\,;\\,10[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $4$ et $10$ (à distance exactement $3$) sont\nsolutions : crochets fermés."
            },
            {
              "text": "$[7\\,;\\,10]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du côté gauche : $5{,}5$ vérifie\n$|5{,}5 - 7| = 1{,}5 \\leq 3$. La distance joue des deux\ncôtés de $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[4\\,;\\,10]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 4| \\leq 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[0\\,;\\,8]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $|x - 4| \\leq 4$ signifie « $x$ à distance\nau plus $4$ de $4$ » : l'intervalle de centre $4$ et de\nrayon $4$, soit $[4 - 4\\,;\\,4 + 4]$."
            },
            {
              "text": "$[-4\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de centre : $[-4\\,;\\,4]$ résout $|x| \\leq 4$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $4$."
            },
            {
              "text": "$]0\\,;\\,8[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $0$ et $8$ (à distance exactement $4$) sont\nsolutions : crochets fermés."
            },
            {
              "text": "$[4\\,;\\,8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du côté gauche : $2$ vérifie\n$|2 - 4| = 2 \\leq 4$. La distance joue des deux\ncôtés de $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[0\\,;\\,8]$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ensembles",
        "inclusion"
      ],
      "title": "La chaîne des ensembles de nombres",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{D} \\subset\n\\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :\nentiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Q} \\subset\n\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur au départ : $\\mathbb{Z}$ contient les négatifs, que\n$\\mathbb{N}$ n'a pas : c'est $\\mathbb{N} \\subset\n\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{Q} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur au milieu : $\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q}$ et non\nl'inverse : $\\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être\ndécimal."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R} \\subset \\mathbb{Q}$, car tout réel a une\nécriture décimale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2}$ et $\\pi$ sont réels mais pas\nrationnels : $\\mathbb{Q}$ est strictement plus petit que\n$\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{D} \\subset\n\\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$, chaque inclusion étant\nstricte : $-2 \\in \\mathbb{Z}\\setminus\\mathbb{N}$,\n$0{,}7 \\in \\mathbb{D}\\setminus\\mathbb{Z}$,\n$\\frac{1}{3} \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\mathbb{D}$,\n$\\sqrt{2} \\in \\mathbb{R}\\setminus\\mathbb{Q}$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arrondi"
      ],
      "title": "Arrondi au centième",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Quel est l'arrondi au centième du nombre $2{,}4567$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2{,}46$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le chiffre suivant ($6 \\geq 5$) fait\narrondir **au-dessus** : $2{,}4567 \\approx 2{,}46$."
        },
        {
          "text": "$2{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la **troncature** (on coupe sans regarder la\nsuite). L'arrondi observe le chiffre suivant : $6$, donc\non monte à $2{,}46$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de rang : $2{,}5$ est l'arrondi au **dixième**. Au\ncentième, on garde deux chiffres après la virgule."
        },
        {
          "text": "$2{,}457$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est\nl'arrondi au **millième**."
        }
      ],
      "explanation": "Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule\net regarder le troisième : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente\nle dernier chiffre conservé. $2{,}45\\underline{6}7 \\to\n2{,}46$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nature-pi"
      ],
      "title": "La nature de $\\pi$",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Dans quels ensembles de nombres se trouve $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{R}$ mais $\\pi \\notin \\mathbb{Q}$ :\nc'est un irrationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\pi$ ne s'écrit comme aucune fraction\nd'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni\ndécimal, ni entier."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{Q}$, car $\\pi = \\dfrac{22}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur célèbre : $\\frac{22}{7} \\approx 3{,}142857$\nn'est qu'une **approximation** : $\\pi$ n'est égal à\naucune fraction."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{D}$, car $\\pi = 3{,}14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}14$ est un arrondi : les décimales de\n$\\pi$ ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas)."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\notin \\mathbb{R}$ : c'est un nombre « spécial »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\pi$ est un point parfaitement réel de la\ndroite numérique (entre $3{,}14$ et $3{,}15$) :\n« irrationnel » ne veut pas dire « irréel »."
        }
      ],
      "explanation": "$\\pi$ et $\\sqrt{2}$ : les deux irrationnels de référence :\ndans $\\mathbb{R}$, hors de $\\mathbb{Q}$. Leur développement\ndécimal est infini SANS période : aucune fraction ne les\natteint."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalle-non-borne"
      ],
      "title": "Traduire $x \\geq 2$",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Quel intervalle traduit la condition $x \\geq 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : borne $2$ **incluse** (crochet fermé,\ncar $\\geq$), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est\npas un nombre)."
        },
        {
          "text": "$]2\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne exclue à tort : $\\geq$ inclut la valeur $2$ :\ncrochet **fermé** en $2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cet intervalle traduit $x \\leq 2$ : la\ncondition $\\geq$ regarde vers la droite."
        },
        {
          "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Crochet impossible : $+\\infty$ n'est pas un nombre : le\ncrochet est toujours **ouvert** du côté de l'infini."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité large ($\\geq$, $\\leq$) : borne incluse, crochet\nfermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.\nTrois règles, zéro exception."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "appartenance-Z-N"
      ],
      "title": "$-3$ et les ensembles de nombres",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Quelle affirmation est correcte au sujet de $-3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{Z}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{N}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathbb{N}$ ne contient que les entiers\n**positifs ou nul** ; les négatifs entrent au niveau de\n$\\mathbb{Z}$ (entiers relatifs)."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$ et $-3 \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\mathbb{N} = \\{0, 1, 2, \\dots\\}$ ne contient\naucun négatif ; $-3$ n'entre qu'à l'étage $\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{Z}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{Q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-3 = \\frac{-3}{1}$ est une fraction d'entiers\n: tout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles\ns'emboîtent)."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{Q}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout rationnel est réel. $-3$ a sa place sur la\ndroite numérique, trois unités à gauche de zéro."
        }
      ],
      "explanation": "Emboîtement : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$ : un\nnombre appartient à son premier étage ET à tous les\nsuivants. $-3$ entre en $\\mathbb{Z}$ et monte jusqu'à\n$\\mathbb{R}$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decimal-ou-non"
      ],
      "title": "$\\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ?",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Le nombre $\\dfrac{1}{7}$ est-il un nombre décimal ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : son écriture décimale ne s'arrête jamais",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un nombre décimal a un nombre FINI de\nchiffres après la virgule. Or $\\frac{1}{7} =\n0{,}142857\\,142857\\dots$ boucle sur le motif $142857$\nsans fin : rationnel, mais pas décimal."
        },
        {
          "text": "Oui : il a des chiffres après la virgule",
          "correct": false,
          "feedback": "Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il\nfaut qu'elles **s'arrêtent** ($0{,}25$ oui,\n$0{,}142857\\dots$ non)."
        },
        {
          "text": "Oui : toute fraction d'entiers est un nombre décimal",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seules les fractions dont le dénominateur\n(simplifié) n'a que des facteurs $2$ et $5$ sont\ndécimales : $7$ n'en fait pas partie."
        },
        {
          "text": "Non : $\\dfrac{1}{7}$ est un nombre irrationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc\n**rationnel** : il est non décimal, mais parfaitement\nrationnel (ses décimales se répètent)."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie fine : un décimal a un développement fini ; un rationnel, un développement fini **ou** périodique ; un irrationnel, un développement infini sans période.\n$\\frac{1}{4} = 0{,}25$ (décimal), $\\frac{1}{7}$ (rationnel\nnon décimal), $\\sqrt{2}$ (irrationnel)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "appartenance-inclusion"
      ],
      "title": "$\\in$ ou $\\subset$ ?",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Quelle écriture est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\in \\mathbb{N}$ et $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\in$ relie un **élément** à un ensemble\n($2$ est un nombre), $\\subset$ relie deux **ensembles**\n($\\mathbb{N}$ est contenu dans $\\mathbb{Z}$)."
        },
        {
          "text": "$2 \\subset \\mathbb{N}$ et $\\mathbb{N} \\subset\n\\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symbole inadapté pour $2$ : un nombre est un\n**élément**, il appartient ($\\in$) à $\\mathbb{N}$, il\nn'y est pas inclus. La seconde partie, $\\mathbb{N}\n\\subset \\mathbb{Z}$, est juste."
        },
        {
          "text": "$2 \\in \\mathbb{N}$ et $\\mathbb{N} \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symbole inadapté pour $\\mathbb{N}$ : un ensemble est\n**inclus** ($\\subset$) dans un autre, il ne lui\nappartient pas. La première partie, $2 \\in \\mathbb{N}$,\nest juste."
        },
        {
          "text": "Les deux symboles sont interchangeables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ils décrivent deux relations de natures\ndifférentes : appartenir (élément-ensemble) et être\ninclus (ensemble-ensemble)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\in$ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;\n$\\subset$ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test\nrapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une\ncollection ?"
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison-fraction-decimal"
      ],
      "title": "Comparer $\\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Lequel des deux nombres $\\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ est le\nplus grand ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}43$, car $\\dfrac{3}{7} = 0{,}4285\\dots < 0{,}43$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : diviser (ou comparer $3 \\times 100$ et\n$43 \\times 7 = 301$ : $300 < 301$) : la fraction est\nlégèrement en dessous."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$, car une fraction est plus précise",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la\n**taille** : seul le calcul compare ($0{,}4286 <\n0{,}43$)."
        },
        {
          "text": "Ils sont égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{3}{7}$ n'est pas décimal : il ne peut\npas être exactement $0{,}43$ (produit en croix : $300\n\\neq 301$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$, car $3 + 7 = 10 > 0{,}43$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération sans sens : additionner numérateur et\ndénominateur ne mesure rien : on compare par division ou\nproduit en croix."
        }
      ],
      "explanation": "Comparer fraction et décimal : mettre au même format\n(division posée) ou produit en croix ($3 \\times 100$ contre\n$43 \\times 7$). Les écarts minuscules ($300$ contre $301$)\njustifient l'exigence de calcul exact."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "notation"
      ],
      "title": "Un intervalle non borné",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Par quelle inégalité se traduit l'appartenance\n$x \\in \\, ]-\\infty\\,;\\,5[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x < 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne $5$ est ouverte, donc exclue, et rien ne\nlimite $x$ du côté des valeurs négatives."
        },
        {
          "text": "$x \\leq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne incluse à tort : le crochet ouvert devant $5$ signifie que\ncette valeur ne fait pas partie de l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$x > 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : l'intervalle part de $-\\infty$, il contient donc les\nnombres situés en dessous de $5$."
        },
        {
          "text": "$-5 < x < 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne inférieure inventée : $-\\infty$ n'est pas un nombre, aucune\nvaleur ne borne l'intervalle par le bas."
        }
      ],
      "explanation": "Le symbole $-\\infty$ est toujours accompagné d'un crochet ouvert, car ce\nn'est pas un nombre. Seule la borne finie décide du type de crochet."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $|x| \\geq 3$",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $|x| \\geq 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3] \\cup [3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : être à une distance d'au moins $3$ de l'origine, c'est\nêtre en dessous de $-3$ ou au-dessus de $3$."
        },
        {
          "text": "$[-3\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité retournée : cet intervalle est l'ensemble des solutions de\n$|x| \\leq 3$. Pour $x = 0$, on a $|0| = 0 < 3$."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié oubliée : $x = -5$ convient aussi, car $|-5| = 5 \\geq 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3] \\cup [0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que\n$|1| = 1 < 3$."
        }
      ],
      "explanation": "L'écriture $|x|$ mesure la distance de $x$ à $0$. Une distance supérieure\nou égale à $3$ correspond aux deux demi-droites éloignées de l'origine, et\nnon à un intervalle centré."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "distance"
      ],
      "title": "Distance entre deux nombres",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Quelle est la distance entre les nombres $-2$ et $5$ sur la droite\nnumérique ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la distance vaut $|{-2} - 5| = |{-7}| = 7$.\nOn la lit aussi en comptant de $-2$ à $0$, puis de $0$ à $5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : le calcul fait est $-2 + 5$. Une distance se calcule\navec une soustraction, puis une valeur absolue."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le\nrôle des barres dans $|{-2} - 5|$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul nombre pris en compte : $5$ est la distance de $0$ à $5$,\nalors que le point de départ est $-2$."
        }
      ],
      "explanation": "La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne\ndépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la distance entre les nombres $-2$ et $5$ sur la droite\nnumérique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance vaut $|{-2} - 5| = |{-7}| = 7$.\nOn la lit aussi en comptant de $-2$ à $0$, puis de $0$ à $5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : le calcul fait est $-2 + 5$. Une distance se calcule\navec une soustraction, puis une valeur absolue."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le\nrôle des barres dans $|{-2} - 5|$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul nombre pris en compte : $5$ est la distance de $0$ à $5$,\nalors que le point de départ est $-2$."
            }
          ],
          "explanation": "La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne\ndépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la distance entre les nombres $-4$ et $6$ sur la droite\nnumérique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance vaut $|{-4} - 6| = |{-10}| = 10$.\nOn la lit aussi en comptant de $-4$ à $0$, puis de $0$ à $6$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : le calcul fait est $-4 + 6$. Une distance se calcule\navec une soustraction, puis une valeur absolue."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le\nrôle des barres dans $|{-4} - 6|$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul nombre pris en compte : $6$ est la distance de $0$ à $6$,\nalors que le point de départ est $-4$."
            }
          ],
          "explanation": "La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne\ndépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la distance entre les nombres $-7$ et $2$ sur la droite\nnumérique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance vaut $|{-7} - 2| = |{-9}| = 9$.\nOn la lit aussi en comptant de $-7$ à $0$, puis de $0$ à $2$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : le calcul fait est $-7 + 2$. Une distance se calcule\navec une soustraction, puis une valeur absolue."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le\nrôle des barres dans $|{-7} - 2|$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul nombre pris en compte : $2$ est la distance de $0$ à $2$,\nalors que le point de départ est $-7$."
            }
          ],
          "explanation": "La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne\ndépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la distance entre les nombres $-1$ et $9$ sur la droite\nnumérique ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la distance vaut $|{-1} - 9| = |{-10}| = 10$.\nOn la lit aussi en comptant de $-1$ à $0$, puis de $0$ à $9$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : le calcul fait est $-1 + 9$. Une distance se calcule\navec une soustraction, puis une valeur absolue."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le\nrôle des barres dans $|{-1} - 9|$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul nombre pris en compte : $9$ est la distance de $0$ à $9$,\nalors que le point de départ est $-1$."
            }
          ],
          "explanation": "La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne\ndépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "intersection"
      ],
      "title": "Une intersection vide",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Que vaut $[0\\,;\\,2] \\cap \\, ]3\\,;\\,5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ensemble vide",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucun nombre n'est à la fois inférieur à $2$ et\nsupérieur à $3$, les deux intervalles sont disjoints."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réunion et intersection confondues : $[0\\,;\\,5]$ contient $2{,}5$, qui\nn'appartient à aucun des deux intervalles."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle inventé : les nombres entre $2$ et $3$ ne sont dans aucun\ndes deux ensembles, encore moins dans les deux."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,2] \\cup \\, ]3\\,;\\,5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symbole mal lu : $\\cap$ demande les nombres communs, alors que $\\cup$\nrassemblerait tous les nombres des deux intervalles."
        }
      ],
      "explanation": "L'intersection réunit les nombres appartenant aux deux intervalles à la\nfois. Un schéma sur la droite numérique montre ici deux morceaux séparés."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Écrire un intervalle avec une valeur absolue",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Comment l'intervalle $[2\\,;\\,6]$ s'écrit-il à l'aide d'une valeur\nabsolue ?",
      "options": [
        {
          "text": "$|x - 4| \\leq 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le centre de l'intervalle est $4$ et son rayon vaut\n$2$, puisque $6 - 2 = 4$ et que la moitié de $4$ vaut $2$."
        },
        {
          "text": "$|x - 2| \\leq 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes recopiées telles quelles : cette inéquation décrit\n$[-4\\,;\\,8]$, un intervalle bien plus large."
        },
        {
          "text": "$|x - 4| \\leq 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rayon doublé : cette inéquation décrit $[0\\,;\\,8]$. Le rayon est la\nmoitié de la longueur de l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$|x + 4| \\leq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du centre : cette inéquation décrit $[-6\\,;\\,-2]$, symétrique de\nl'intervalle cherché par rapport à l'origine."
        }
      ],
      "explanation": "Tout intervalle fermé borné s'écrit $|x - c| \\leq r$, où $c$ est son\ncentre et $r$ son rayon. On les obtient par la demi-somme et la\ndemi-différence des bornes."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrondi",
        "troncature"
      ],
      "title": "Troncature ou arrondi",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Tronquer un nombre positif au centième consiste à supprimer tous les\nchiffres situés après le chiffre des centièmes. Quel nombre obtient-on\nen tronquant $2{,}478$ au centième ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2{,}47$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tronquer consiste à couper après le deuxième chiffre\ndécimal, sans regarder les suivants.\n"
        },
        {
          "text": "$2{,}48$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'arrondi, pas la troncature : l'arrondi tient compte du\nchiffre suivant, la troncature l'ignore.\n"
        },
        {
          "text": "$2{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rang mal choisi : $2{,}4$ est la troncature au dixième. Le centième\ncorrespond au deuxième chiffre après la virgule.\n"
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double erreur : c'est un arrondi, et au dixième au lieu du centième.\n"
        }
      ],
      "explanation": "La troncature coupe l'écriture décimale au rang demandé. L'arrondi, lui,\nchoisit la valeur approchée la plus proche, ce qui peut faire augmenter le\ndernier chiffre."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ensembles",
        "irrationnels"
      ],
      "title": "Somme de deux irrationnels",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours irrationnelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle peut être rationnelle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{2}$ et $-\\sqrt{2}$ sont irrationnels, et leur\nsomme vaut $0$, qui est entier."
        },
        {
          "text": "Oui, toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple immédiat : $\\sqrt{2} + (-\\sqrt{2}) = 0$, un nombre\nrationnel."
        },
        {
          "text": "Oui, sauf si les deux nombres sont égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition inutile : $\\sqrt{2} + \\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$ reste\nirrationnel, alors que $\\sqrt{2} + (-\\sqrt{2})$ ne l'est pas."
        },
        {
          "text": "Non, elle est toujours rationnelle",
          "correct": false,
          "feedback": "Affirmation trop forte : $\\sqrt{2} + \\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$ est encore\nirrationnel."
        }
      ],
      "explanation": "L'ensemble des irrationnels n'est pas stable par addition. Un seul\ncontre-exemple suffit à réfuter une affirmation du type « toujours »."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ensembles",
        "decimaux"
      ],
      "title": "Un décimal est-il rationnel ?",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Tout nombre décimal est-il un nombre rationnel ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, tout décimal est rationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un décimal s'écrit comme une fraction de dénominateur\nune puissance de $10$, par exemple $0{,}37 = \\dfrac{37}{100}$."
        },
        {
          "text": "Non, seuls les entiers le sont",
          "correct": false,
          "feedback": "Les entiers sont rationnels, mais ils ne sont pas les seuls :\n$0{,}5 = \\dfrac{1}{2}$ l'est aussi."
        },
        {
          "text": "Non, cela dépend du nombre de décimales",
          "correct": false,
          "feedback": "Un décimal a par définition un nombre fini de décimales, ce qui donne\ntoujours une écriture fractionnaire."
        },
        {
          "text": "Oui, et tout rationnel est décimal",
          "correct": false,
          "feedback": "La réciproque est fausse : $\\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être\ndécimal, son écriture ne s'arrête jamais."
        }
      ],
      "explanation": "Les ensembles s'emboîtent : $\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q}$, l'inclusion\nétant stricte. Un décimal est une fraction particulière, de dénominateur\n$10$, $100$, $1\\,000$, et ainsi de suite."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement",
        "inegalites"
      ],
      "title": "Encadrer un opposé",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 5$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-5 \\leq -x \\leq -2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les\nbornes échangent leur rôle."
        },
        {
          "text": "$-2 \\leq -x \\leq -5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus\npetite, or $-5 < -2$."
        },
        {
          "text": "$2 \\leq -x \\leq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe non reporté : si $x$ vaut $3$, alors $-x$ vaut $-3$, qui n'est\npas compris entre $2$ et $5$."
        },
        {
          "text": "$-5 \\leq -x \\leq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule borne traitée : la borne $2$ devient $-2$ elle aussi,\npuisque les deux membres changent de signe."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des\ninégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 3$, évite l'erreur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 5$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5 \\leq -x \\leq -2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les\nbornes échangent leur rôle."
            },
            {
              "text": "$-2 \\leq -x \\leq -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus\npetite, or $-5 < -2$."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq -x \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe non reporté : si $x$ vaut $3$, alors $-x$ vaut $-3$, qui n'est\npas compris entre $2$ et $5$."
            },
            {
              "text": "$-5 \\leq -x \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule borne traitée : la borne $2$ devient $-2$ elle aussi,\npuisque les deux membres changent de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des\ninégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 3$, évite l'erreur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 7$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-7 \\leq -x \\leq -1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les\nbornes échangent leur rôle."
            },
            {
              "text": "$-1 \\leq -x \\leq -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus\npetite, or $-7 < -1$."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq -x \\leq 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe non reporté : si $x$ vaut $2$, alors $-x$ vaut $-2$, qui n'est\npas compris entre $1$ et $7$."
            },
            {
              "text": "$-7 \\leq -x \\leq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule borne traitée : la borne $1$ devient $-1$ elle aussi,\npuisque les deux membres changent de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des\ninégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 2$, évite l'erreur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $4 \\leq x \\leq 9$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9 \\leq -x \\leq -4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les\nbornes échangent leur rôle."
            },
            {
              "text": "$-4 \\leq -x \\leq -9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus\npetite, or $-9 < -4$."
            },
            {
              "text": "$4 \\leq -x \\leq 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe non reporté : si $x$ vaut $5$, alors $-x$ vaut $-5$, qui n'est\npas compris entre $4$ et $9$."
            },
            {
              "text": "$-9 \\leq -x \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule borne traitée : la borne $4$ devient $-4$ elle aussi,\npuisque les deux membres changent de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des\ninégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 5$, évite l'erreur."
        },
        {
          "statement": "On sait que $3 \\leq x \\leq 10$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-10 \\leq -x \\leq -3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les\nbornes échangent leur rôle."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq -x \\leq -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus\npetite, or $-10 < -3$."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq -x \\leq 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe non reporté : si $x$ vaut $4$, alors $-x$ vaut $-4$, qui n'est\npas compris entre $3$ et $10$."
            },
            {
              "text": "$-10 \\leq -x \\leq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule borne traitée : la borne $3$ devient $-3$ elle aussi,\npuisque les deux membres changent de signe."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des\ninégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 4$, évite l'erreur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement",
        "somme"
      ],
      "title": "Encadrer une somme",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 3$ et $2 \\leq y \\leq 4$.\nQuel encadrement de $x + y$ en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3 \\leq x + y \\leq 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis\ncelles de droite entre elles."
        },
        {
          "text": "$2 \\leq x + y \\leq 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes multipliées : $2$ et $12$ encadreraient le produit $xy$, pas\nla somme."
        },
        {
          "text": "$1 \\leq x + y \\leq 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule variable prise en compte : pour $x = 3$ et $y = 4$, la somme\nvaut $7$, hors de cet encadrement."
        },
        {
          "text": "$3 \\leq x + y \\leq 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $3$ et $4$,\nce qui donne $7$ et non $12$."
        }
      ],
      "explanation": "Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des\ninégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer\nl'opposé.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 3$ et $2 \\leq y \\leq 4$.\nQuel encadrement de $x + y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\leq x + y \\leq 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis\ncelles de droite entre elles."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq x + y \\leq 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes multipliées : $2$ et $12$ encadreraient le produit $xy$, pas\nla somme."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq x + y \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule variable prise en compte : pour $x = 3$ et $y = 4$, la somme\nvaut $7$, hors de cet encadrement."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq x + y \\leq 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $3$ et $4$,\nce qui donne $7$ et non $12$."
            }
          ],
          "explanation": "Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des\ninégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer\nl'opposé."
        },
        {
          "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 5$ et $1 \\leq y \\leq 3$.\nQuel encadrement de $x + y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3 \\leq x + y \\leq 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis\ncelles de droite entre elles."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq x + y \\leq 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes multipliées : $2$ et $15$ encadreraient le produit $xy$, pas\nla somme."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq x + y \\leq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule variable prise en compte : pour $x = 5$ et $y = 3$, la somme\nvaut $8$, hors de cet encadrement."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq x + y \\leq 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $5$ et $3$,\nce qui donne $8$ et non $15$."
            }
          ],
          "explanation": "Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des\ninégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer\nl'opposé."
        },
        {
          "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 4$ et $3 \\leq y \\leq 6$.\nQuel encadrement de $x + y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4 \\leq x + y \\leq 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis\ncelles de droite entre elles."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq x + y \\leq 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes multipliées : $3$ et $24$ encadreraient le produit $xy$, pas\nla somme."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq x + y \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule variable prise en compte : pour $x = 4$ et $y = 6$, la somme\nvaut $10$, hors de cet encadrement."
            },
            {
              "text": "$4 \\leq x + y \\leq 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $4$ et $6$,\nce qui donne $10$ et non $24$."
            }
          ],
          "explanation": "Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des\ninégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer\nl'opposé."
        },
        {
          "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 3$ et $5 \\leq y \\leq 7$.\nQuel encadrement de $x + y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7 \\leq x + y \\leq 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis\ncelles de droite entre elles."
            },
            {
              "text": "$10 \\leq x + y \\leq 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes multipliées : $10$ et $21$ encadreraient le produit $xy$, pas\nla somme."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq x + y \\leq 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule variable prise en compte : pour $x = 3$ et $y = 7$, la somme\nvaut $10$, hors de cet encadrement."
            },
            {
              "text": "$7 \\leq x + y \\leq 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $3$ et $7$,\nce qui donne $10$ et non $21$."
            }
          ],
          "explanation": "Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des\ninégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer\nl'opposé."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeur-exacte",
        "approximation"
      ],
      "title": "Valeur exacte et valeur approchée",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Peut-on écrire $\\sqrt{2} = 1{,}414$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, $1{,}414$ n'est qu'une valeur approchée",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1{,}414^2 = 1{,}999396$, différent de $2$. La valeur\nexacte s'écrit $\\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "Oui, la calculatrice donne ce résultat",
          "correct": false,
          "feedback": "La calculatrice affiche un arrondi : $\\sqrt{2}$ a un développement\ndécimal infini et non périodique."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition d'écrire trois décimales",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun nombre fini de décimales ne convient, puisque $\\sqrt{2}$ est\nirrationnel."
        },
        {
          "text": "Non, car $\\sqrt{2}$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Une racine carrée est toujours positive ou nulle : $\\sqrt{2}$ vaut\nenviron $1{,}414$, c'est bien un nombre positif."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe $=$ relie deux écritures du même nombre. Pour une valeur\napprochée on utilise $\\approx$, et l'on précise le rang de l'arrondi."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensembles",
        "appartenance"
      ],
      "title": "L'écriture ne dit pas tout",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "À quel ensemble le nombre $\\dfrac{9}{3}$ appartient-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "À $\\mathbb{N}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{3} = 3$, un entier naturel. L'écriture\nfractionnaire ne change pas la nature du nombre."
        },
        {
          "text": "À $\\mathbb{Q}$ mais pas à $\\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écriture prise pour la nature : la fraction se simplifie en $3$, qui\nappartient bien à $\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "À $\\mathbb{D}$ mais pas à $\\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout entier est décimal, et $\\dfrac{9}{3}$ vaut $3$ : les deux\nappartenances sont vraies en même temps."
        },
        {
          "text": "À $\\mathbb{R}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Réponse trop large : $3$ appartient à $\\mathbb{R}$, mais aussi à tous\nles ensembles emboîtés en dessous."
        }
      ],
      "explanation": "Pour déterminer la nature d'un nombre, on le met d'abord sous sa forme la\nplus simple. Une même valeur admet plusieurs écritures, dont certaines\nmasquent son appartenance."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "intervalle-non-borne"
      ],
      "title": "L'intervalle des réels négatifs",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Quel intervalle est formé exactement des réels strictement négatifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,0[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un réel strictement négatif vérifie $x < 0$, ce que\ntraduit le crochet ouvert en $0$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne de trop : ce crochet fermé ajoute $0$, qui n'est pas\nstrictement négatif. Cet intervalle traduit $x \\leq 0$."
        },
        {
          "text": "$]0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cet intervalle rassemble les réels strictement\npositifs, ceux qui vérifient $x > 0$."
        },
        {
          "text": "$[-\\infty\\,;\\,0[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notation incorrecte : $-\\infty$ n'est pas un nombre, le crochet qui\nle borde reste toujours ouvert."
        }
      ],
      "explanation": "Un intervalle non borné traduit une seule inégalité : $x < 0$ donne\n$]-\\infty\\,;\\,0[$, avec un crochet ouvert du côté de l'infini."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "reunion"
      ],
      "title": "Une réunion qui ne se simplifie pas",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Que vaut la réunion $]-\\infty\\,;\\,1] \\,\\cup\\, ]4\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ensemble des réels tels que $x \\leq 1$ ou $x > 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la réunion rassemble les réels appartenant à l'un au\nmoins des deux intervalles, sans les fusionner en un seul."
        },
        {
          "text": "L'ensemble $\\mathbb{R}$, car les deux bornes se rejoignent",
          "correct": false,
          "feedback": "Trou oublié : aucun réel de $]1\\,;\\,4]$ n'appartient à l'un des deux\nintervalles, donc la réunion n'est pas $\\mathbb{R}$."
        },
        {
          "text": "L'intervalle $]1\\,;\\,4]$, situé entre les deux bornes",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est exactement l'ensemble des réels **exclus** de la réunion, donc\nle contraire de la réponse attendue."
        },
        {
          "text": "L'ensemble vide, car les deux intervalles sont disjoints",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'intersection : c'est elle qui est vide ici. La\nréunion, elle, contient tous les éléments des deux intervalles."
        }
      ],
      "explanation": "Deux intervalles disjoints se réunissent sans se simplifier : on garde\nl'écriture $A \\cup B$, et l'appartenance se lit avec un « ou »."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "distance"
      ],
      "title": "Deux nombres à une distance donnée",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Quels sont les deux réels situés à la distance $4$ du nombre $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ et $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on part de $3$ et on avance de $4$ dans les deux\nsens : $3 - 4 = -1$ et $3 + 4 = 7$."
        },
        {
          "text": "$1$ et $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $4$ au nombre\n$3$, et non l'inverse, ce qui donne $-1$."
        },
        {
          "text": "$-4$ et $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les deux réels situés à la distance $4$ de $0$. Ici le\npoint de départ est $3$, donc les réels cherchés sont $-1$ et $7$."
        },
        {
          "text": "$3$ et $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux données sont recopiées : $3$ est le point de départ et\n$4$ la distance, aucun des deux n'est une réponse."
        }
      ],
      "explanation": "La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.\nElle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quels sont les deux réels situés à la distance $4$ du nombre $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$ et $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on part de $3$ et on avance de $4$ dans les deux\nsens : $3 - 4 = -1$ et $3 + 4 = 7$."
            },
            {
              "text": "$1$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $4$ au nombre\n$3$, et non l'inverse, ce qui donne $-1$."
            },
            {
              "text": "$-4$ et $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les deux réels situés à la distance $4$ de $0$. Ici le\npoint de départ est $3$, donc les réels cherchés sont $-1$ et $7$."
            },
            {
              "text": "$3$ et $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux données sont recopiées : $3$ est le point de départ et\n$4$ la distance, aucun des deux n'est une réponse."
            }
          ],
          "explanation": "La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.\nElle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les deux réels situés à la distance $5$ du nombre $-1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6$ et $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on part de $-1$ et on avance de $5$ dans les deux\nsens : $-1 - 5 = -6$ et $-1 + 5 = 4$."
            },
            {
              "text": "$6$ et $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $5$ au nombre\n$-1$, et non l'inverse, ce qui donne $-6$."
            },
            {
              "text": "$-5$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les deux réels situés à la distance $5$ de $0$. Ici le\npoint de départ est $-1$, donc les réels cherchés sont $-6$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$-1$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux données sont recopiées : $-1$ est le point de départ et\n$5$ la distance, aucun des deux n'est une réponse."
            }
          ],
          "explanation": "La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.\nElle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les deux réels situés à la distance $2$ du nombre $6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ et $8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on part de $6$ et on avance de $2$ dans les deux\nsens : $6 - 2 = 4$ et $6 + 2 = 8$."
            },
            {
              "text": "$-4$ et $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $2$ au nombre\n$6$, et non l'inverse, ce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$-2$ et $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les deux réels situés à la distance $2$ de $0$. Ici le\npoint de départ est $6$, donc les réels cherchés sont $4$ et $8$."
            },
            {
              "text": "$6$ et $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux données sont recopiées : $6$ est le point de départ et\n$2$ la distance, aucun des deux n'est une réponse."
            }
          ],
          "explanation": "La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.\nElle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre."
        },
        {
          "statement": "Quels sont les deux réels situés à la distance $7$ du nombre $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$ et $12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on part de $5$ et on avance de $7$ dans les deux\nsens : $5 - 7 = -2$ et $5 + 7 = 12$."
            },
            {
              "text": "$2$ et $12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $7$ au nombre\n$5$, et non l'inverse, ce qui donne $-2$."
            },
            {
              "text": "$-7$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les deux réels situés à la distance $7$ de $0$. Ici le\npoint de départ est $5$, donc les réels cherchés sont $-2$ et $12$."
            },
            {
              "text": "$5$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux données sont recopiées : $5$ est le point de départ et\n$7$ la distance, aucun des deux n'est une réponse."
            }
          ],
          "explanation": "La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.\nElle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "rationnels",
        "decimaux"
      ],
      "title": "Pourquoi $0{,}25$ est rationnel",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Pourquoi le nombre $0{,}25$ est-il un nombre rationnel ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce qu'il est le quotient des entiers $25$ et $100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}25 = \\dfrac{25}{100}$, quotient de deux entiers,\nce qui est la définition d'un rationnel."
        },
        {
          "text": "Parce qu'il compte exactement deux chiffres après la virgule",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de décimales ne fonde rien : $\\dfrac{1}{3}$ est rationnel\nsans avoir d'écriture décimale finie."
        },
        {
          "text": "Parce qu'il est compris entre $0$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La position sur la droite numérique ne dit rien de la nature :\n$\\sqrt{0{,}5}$ est aussi entre $0$ et $1$, et il est irrationnel."
        },
        {
          "text": "Il ne l'est pas : un décimal n'est pas une fraction",
          "correct": false,
          "feedback": "Tout décimal s'écrit sur $10$, $100$, $1\\,000$ : c'est une fraction,\ndonc un rationnel. L'inclusion $\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q}$ le dit."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre est rationnel lorsqu'il s'écrit comme quotient de deux entiers.\nUn décimal en fournit toujours un, de dénominateur une puissance de $10$."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "decimal-ou-non",
        "decimaux"
      ],
      "title": "Repérer la fraction décimale",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, une écriture décimale qui\ns'arrête."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur $3$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{2}{3}$ ne s'arrête jamais."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{5}{6}$ ne s'arrête jamais."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur $7$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{4}{7}$ ne s'arrête jamais."
        }
      ],
      "explanation": "Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne\ncontient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$\nou $1\\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, une écriture décimale qui\ns'arrête."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $3$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{2}{3}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{5}{6}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $7$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{4}{7}$ ne s'arrête jamais."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne\ncontient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$\nou $1\\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7}{8} = 0{,}875$, une écriture décimale qui\ns'arrête."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $3$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{1}{3}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $9$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{2}{9}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{5}{6}$ ne s'arrête jamais."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne\ncontient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$\nou $1\\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{5} = 0{,}6$, une écriture décimale qui\ns'arrête."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $9$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{5}{9}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{7}{6}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $3$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{2}{3}$ ne s'arrête jamais."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne\ncontient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$\nou $1\\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{20}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{20} = 0{,}45$, une écriture décimale qui\ns'arrête."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $15$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{4}{15}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $12$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{7}{12}$ ne s'arrête jamais."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture\ndécimale de $\\dfrac{5}{6}$ ne s'arrête jamais."
            }
          ],
          "explanation": "Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne\ncontient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$\nou $1\\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "appartenance-Z-N",
        "ensembles"
      ],
      "title": "Entier relatif mais pas naturel",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Parmi ces nombres, lequel appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-7$ est un entier, donc dans $\\mathbb{Z}$, mais les\nentiers naturels sont positifs ou nuls."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre appartient bien à $\\mathbb{Z}$, mais aussi à $\\mathbb{N}$ :\nla seconde condition n'est pas remplie."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\\mathbb{Q}$, donc il\nn'est ni dans $\\mathbb{Z}$ ni dans $\\mathbb{N}$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\sqrt{5}$ est irrationnel : il appartient à $\\mathbb{R}$, mais à\naucun des deux ensembles cités."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\\mathbb{Z}$ y ajoute\nleurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les\néléments de $\\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\\mathbb{N}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-7$ est un entier, donc dans $\\mathbb{Z}$, mais les\nentiers naturels sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre appartient bien à $\\mathbb{Z}$, mais aussi à $\\mathbb{N}$ :\nla seconde condition n'est pas remplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\\mathbb{Q}$, donc il\nn'est ni dans $\\mathbb{Z}$ ni dans $\\mathbb{N}$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{5}$ est irrationnel : il appartient à $\\mathbb{R}$, mais à\naucun des deux ensembles cités."
            }
          ],
          "explanation": "$\\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\\mathbb{Z}$ y ajoute\nleurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les\néléments de $\\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\\mathbb{N}$."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-4$ est un entier, donc dans $\\mathbb{Z}$, mais les\nentiers naturels sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre appartient bien à $\\mathbb{Z}$, mais aussi à $\\mathbb{N}$ :\nla seconde condition n'est pas remplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\\mathbb{Q}$, donc il\nn'est ni dans $\\mathbb{Z}$ ni dans $\\mathbb{N}$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{3}$ est irrationnel : il appartient à $\\mathbb{R}$, mais à\naucun des deux ensembles cités."
            }
          ],
          "explanation": "$\\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\\mathbb{Z}$ y ajoute\nleurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les\néléments de $\\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\\mathbb{N}$."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-9$ est un entier, donc dans $\\mathbb{Z}$, mais les\nentiers naturels sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre appartient bien à $\\mathbb{Z}$, mais aussi à $\\mathbb{N}$ :\nla seconde condition n'est pas remplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\\mathbb{Q}$, donc il\nn'est ni dans $\\mathbb{Z}$ ni dans $\\mathbb{N}$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{2}$ est irrationnel : il appartient à $\\mathbb{R}$, mais à\naucun des deux ensembles cités."
            }
          ],
          "explanation": "$\\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\\mathbb{Z}$ y ajoute\nleurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les\néléments de $\\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\\mathbb{N}$."
        },
        {
          "statement": "Parmi ces nombres, lequel appartient à $\\mathbb{Z}$ sans appartenir à\n$\\mathbb{N}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $-14$ est un entier, donc dans $\\mathbb{Z}$, mais les\nentiers naturels sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre appartient bien à $\\mathbb{Z}$, mais aussi à $\\mathbb{N}$ :\nla seconde condition n'est pas remplie."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\\mathbb{Q}$, donc il\nn'est ni dans $\\mathbb{Z}$ ni dans $\\mathbb{N}$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\sqrt{7}$ est irrationnel : il appartient à $\\mathbb{R}$, mais à\naucun des deux ensembles cités."
            }
          ],
          "explanation": "$\\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\\mathbb{Z}$ y ajoute\nleurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les\néléments de $\\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\\mathbb{N}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "appartenance-inclusion",
        "notation"
      ],
      "title": "Traduire une phrase en symboles",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "Comment traduire en symboles la phrase « l'intervalle $[0\\,;\\,1]$ est\ncontenu dans $\\mathbb{R}$, et le nombre $0{,}5$ lui appartient » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[0\\,;\\,1] \\subset \\mathbb{R}$ et $0{,}5 \\in [0\\,;\\,1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\subset$ relie deux ensembles, $\\in$ relie un nombre\nà un ensemble."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,1] \\in \\mathbb{R}$ et $0{,}5 \\subset [0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux symboles sont échangés : un intervalle est un ensemble, un\nnombre est un élément."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,1] \\subset \\mathbb{R}$ et $0{,}5 \\subset [0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La première écriture est correcte, mais $0{,}5$ est un nombre : il\nappartient à l'intervalle, il n'y est pas contenu."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,1] \\in \\mathbb{R}$ et $0{,}5 \\in [0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La seconde écriture est correcte, mais un intervalle est un ensemble\nde nombres : il est inclus dans $\\mathbb{R}$, il n'en est pas un\nélément."
        }
      ],
      "explanation": "Pour choisir le symbole, on regarde ce qui est écrit à gauche : un nombre\nappelle $\\in$, un ensemble appelle $\\subset$."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeur-exacte",
        "approximation"
      ],
      "title": "Valeur exacte d'une aire",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Un disque a pour rayon $3$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur\nexacte de son aire, en centimètres carrés ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2 = \\pi \\times 3^2 = 9\\pi$, et\ngarder $\\pi$ conserve la valeur exacte."
        },
        {
          "text": "$28{,}27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée\nde $\\pi$ : on écrirait $\\mathcal{A} \\approx 28{,}27$."
        },
        {
          "text": "$9 \\times 3{,}14$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\\pi$ : ce produit donne une valeur\napprochée, alors que $9\\pi$ est exacte."
        },
        {
          "text": "$6\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le périmètre du disque, $2\\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré\ndu rayon : $9\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Une valeur exacte garde les symboles $\\pi$ et $\\sqrt{\\ }$ tels quels.\nDès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et\nle signe $=$ cède la place à $\\approx$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un disque a pour rayon $3$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur\nexacte de son aire, en centimètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9\\pi$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2 = \\pi \\times 3^2 = 9\\pi$, et\ngarder $\\pi$ conserve la valeur exacte."
            },
            {
              "text": "$28{,}27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée\nde $\\pi$ : on écrirait $\\mathcal{A} \\approx 28{,}27$."
            },
            {
              "text": "$9 \\times 3{,}14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\\pi$ : ce produit donne une valeur\napprochée, alors que $9\\pi$ est exacte."
            },
            {
              "text": "$6\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du disque, $2\\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré\ndu rayon : $9\\pi$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur exacte garde les symboles $\\pi$ et $\\sqrt{\\ }$ tels quels.\nDès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et\nle signe $=$ cède la place à $\\approx$."
        },
        {
          "statement": "Un disque a pour rayon $5$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur\nexacte de son aire, en centimètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\pi$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2 = \\pi \\times 5^2 = 25\\pi$, et\ngarder $\\pi$ conserve la valeur exacte."
            },
            {
              "text": "$78{,}54$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée\nde $\\pi$ : on écrirait $\\mathcal{A} \\approx 78{,}54$."
            },
            {
              "text": "$25 \\times 3{,}14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\\pi$ : ce produit donne une valeur\napprochée, alors que $25\\pi$ est exacte."
            },
            {
              "text": "$10\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du disque, $2\\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré\ndu rayon : $25\\pi$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur exacte garde les symboles $\\pi$ et $\\sqrt{\\ }$ tels quels.\nDès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et\nle signe $=$ cède la place à $\\approx$."
        },
        {
          "statement": "Un disque a pour rayon $4$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur\nexacte de son aire, en centimètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16\\pi$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2 = \\pi \\times 4^2 = 16\\pi$, et\ngarder $\\pi$ conserve la valeur exacte."
            },
            {
              "text": "$50{,}27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée\nde $\\pi$ : on écrirait $\\mathcal{A} \\approx 50{,}27$."
            },
            {
              "text": "$16 \\times 3{,}14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\\pi$ : ce produit donne une valeur\napprochée, alors que $16\\pi$ est exacte."
            },
            {
              "text": "$8\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du disque, $2\\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré\ndu rayon : $16\\pi$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur exacte garde les symboles $\\pi$ et $\\sqrt{\\ }$ tels quels.\nDès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et\nle signe $=$ cède la place à $\\approx$."
        },
        {
          "statement": "Un disque a pour rayon $6$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur\nexacte de son aire, en centimètres carrés ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36\\pi$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2 = \\pi \\times 6^2 = 36\\pi$, et\ngarder $\\pi$ conserve la valeur exacte."
            },
            {
              "text": "$113{,}10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée\nde $\\pi$ : on écrirait $\\mathcal{A} \\approx 113{,}10$."
            },
            {
              "text": "$36 \\times 3{,}14$",
              "correct": false,
              "feedback": "$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\\pi$ : ce produit donne une valeur\napprochée, alors que $36\\pi$ est exacte."
            },
            {
              "text": "$12\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le périmètre du disque, $2\\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré\ndu rayon : $36\\pi$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur exacte garde les symboles $\\pi$ et $\\sqrt{\\ }$ tels quels.\nDès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et\nle signe $=$ cède la place à $\\approx$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison-fraction-decimal",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Situer une fraction entre deux décimaux",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "À quel intervalle le nombre $\\dfrac{11}{4}$ appartient-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2{,}7\\,;\\,2{,}8]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{11}{4} = 2{,}75$, nombre compris entre $2{,}7$\net $2{,}8$."
        },
        {
          "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le reste n'est pas la partie décimale : de $11 = 4 \\times 2 +\n3$ on ne tire pas $2{,}3$, mais $2{,}75$."
        },
        {
          "text": "$[0{,}3\\,;\\,0{,}4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{4}{11} \\approx 0{,}36$, alors que le nombre\nétudié est $\\dfrac{11}{4} = 2{,}75$."
        },
        {
          "text": "$[7\\,;\\,7{,}1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :\n$11 - 4 = 7$ ne répond pas à la question."
        }
      ],
      "explanation": "Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :\nl'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite\nnumérique.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À quel intervalle le nombre $\\dfrac{11}{4}$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2{,}7\\,;\\,2{,}8]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{11}{4} = 2{,}75$, nombre compris entre $2{,}7$\net $2{,}8$."
            },
            {
              "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas la partie décimale : de $11 = 4 \\times 2 +\n3$ on ne tire pas $2{,}3$, mais $2{,}75$."
            },
            {
              "text": "$[0{,}3\\,;\\,0{,}4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{4}{11} \\approx 0{,}36$, alors que le nombre\nétudié est $\\dfrac{11}{4} = 2{,}75$."
            },
            {
              "text": "$[7\\,;\\,7{,}1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :\n$11 - 4 = 7$ ne répond pas à la question."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :\nl'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite\nnumérique."
        },
        {
          "statement": "À quel intervalle le nombre $\\dfrac{13}{8}$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[1{,}6\\,;\\,1{,}7]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{13}{8} = 1{,}625$, nombre compris entre $1{,}6$\net $1{,}7$."
            },
            {
              "text": "$[1{,}5\\,;\\,1{,}6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas la partie décimale : de $13 = 8 \\times 1 +\n5$ on ne tire pas $1{,}5$, mais $1{,}625$."
            },
            {
              "text": "$[0{,}6\\,;\\,0{,}7]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{8}{13} \\approx 0{,}62$, alors que le nombre\nétudié est $\\dfrac{13}{8} = 1{,}625$."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,5{,}1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :\n$13 - 8 = 5$ ne répond pas à la question."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :\nl'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite\nnumérique."
        },
        {
          "statement": "À quel intervalle le nombre $\\dfrac{21}{8}$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2{,}6\\,;\\,2{,}7]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{21}{8} = 2{,}625$, nombre compris entre $2{,}6$\net $2{,}7$."
            },
            {
              "text": "$[2{,}5\\,;\\,2{,}6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas la partie décimale : de $21 = 8 \\times 2 +\n5$ on ne tire pas $2{,}5$, mais $2{,}625$."
            },
            {
              "text": "$[0{,}3\\,;\\,0{,}4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{8}{21} \\approx 0{,}38$, alors que le nombre\nétudié est $\\dfrac{21}{8} = 2{,}625$."
            },
            {
              "text": "$[13\\,;\\,13{,}1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :\n$21 - 8 = 13$ ne répond pas à la question."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :\nl'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite\nnumérique."
        },
        {
          "statement": "À quel intervalle le nombre $\\dfrac{9}{4}$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2{,}2\\,;\\,2{,}3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{4} = 2{,}25$, nombre compris entre $2{,}2$\net $2{,}3$."
            },
            {
              "text": "$[2{,}1\\,;\\,2{,}2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le reste n'est pas la partie décimale : de $9 = 4 \\times 2 +\n1$ on ne tire pas $2{,}1$, mais $2{,}25$."
            },
            {
              "text": "$[0{,}4\\,;\\,0{,}5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{4}{9} \\approx 0{,}44$, alors que le nombre\nétudié est $\\dfrac{9}{4} = 2{,}25$."
            },
            {
              "text": "$[5\\,;\\,5{,}1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :\n$9 - 4 = 5$ ne répond pas à la question."
            }
          ],
          "explanation": "Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :\nl'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite\nnumérique."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inegalites",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une expression affine",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On sait que $3 \\leq x \\leq 7$. Quel encadrement de $2x - 1$ en\ndécoule ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5 \\leq 2x - 1 \\leq 13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $2$, positif, puis on ajoute\n$-1$ aux trois membres."
        },
        {
          "text": "$6 \\leq 2x - 1 \\leq 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication par $2$ est faite, mais le terme $-1$ a été\noublié : il s'ajoute aussi aux bornes."
        },
        {
          "text": "$2 \\leq 2x - 1 \\leq 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $-1$ est ajouté, mais la multiplication par $2$ manque :\nles deux opérations agissent sur les bornes."
        },
        {
          "text": "$13 \\leq 2x - 1 \\leq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes inversées : $2$ est positif, le sens des inégalités est donc\nconservé, et la borne la plus petite reste à gauche."
        }
      ],
      "explanation": "On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :\nmultiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change\nque si l'on multiplie par un nombre négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $3 \\leq x \\leq 7$. Quel encadrement de $2x - 1$ en\ndécoule ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 \\leq 2x - 1 \\leq 13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $2$, positif, puis on ajoute\n$-1$ aux trois membres."
            },
            {
              "text": "$6 \\leq 2x - 1 \\leq 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $2$ est faite, mais le terme $-1$ a été\noublié : il s'ajoute aussi aux bornes."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq 2x - 1 \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-1$ est ajouté, mais la multiplication par $2$ manque :\nles deux opérations agissent sur les bornes."
            },
            {
              "text": "$13 \\leq 2x - 1 \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inversées : $2$ est positif, le sens des inégalités est donc\nconservé, et la borne la plus petite reste à gauche."
            }
          ],
          "explanation": "On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :\nmultiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change\nque si l'on multiplie par un nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 4$. Quel encadrement de $3x + 2$ en\ndécoule ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 \\leq 3x + 2 \\leq 14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $3$, positif, puis on ajoute\n$2$ aux trois membres."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq 3x + 2 \\leq 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $3$ est faite, mais le terme $2$ a été\noublié : il s'ajoute aussi aux bornes."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq 3x + 2 \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2$ est ajouté, mais la multiplication par $3$ manque :\nles deux opérations agissent sur les bornes."
            },
            {
              "text": "$14 \\leq 3x + 2 \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inversées : $3$ est positif, le sens des inégalités est donc\nconservé, et la borne la plus petite reste à gauche."
            }
          ],
          "explanation": "On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :\nmultiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change\nque si l'on multiplie par un nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 5$. Quel encadrement de $4x - 3$ en\ndécoule ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5 \\leq 4x - 3 \\leq 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $4$, positif, puis on ajoute\n$-3$ aux trois membres."
            },
            {
              "text": "$8 \\leq 4x - 3 \\leq 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $4$ est faite, mais le terme $-3$ a été\noublié : il s'ajoute aussi aux bornes."
            },
            {
              "text": "$-1 \\leq 4x - 3 \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-3$ est ajouté, mais la multiplication par $4$ manque :\nles deux opérations agissent sur les bornes."
            },
            {
              "text": "$17 \\leq 4x - 3 \\leq 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inversées : $4$ est positif, le sens des inégalités est donc\nconservé, et la borne la plus petite reste à gauche."
            }
          ],
          "explanation": "On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :\nmultiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change\nque si l'on multiplie par un nombre négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $4 \\leq x \\leq 6$. Quel encadrement de $5x - 5$ en\ndécoule ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15 \\leq 5x - 5 \\leq 25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, positif, puis on ajoute\n$-5$ aux trois membres."
            },
            {
              "text": "$20 \\leq 5x - 5 \\leq 30$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $5$ est faite, mais le terme $-5$ a été\noublié : il s'ajoute aussi aux bornes."
            },
            {
              "text": "$-1 \\leq 5x - 5 \\leq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-5$ est ajouté, mais la multiplication par $5$ manque :\nles deux opérations agissent sur les bornes."
            },
            {
              "text": "$25 \\leq 5x - 5 \\leq 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Bornes inversées : $5$ est positif, le sens des inégalités est donc\nconservé, et la borne la plus petite reste à gauche."
            }
          ],
          "explanation": "On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :\nmultiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change\nque si l'on multiplie par un nombre négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "somme",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une différence",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 5$ et $2 \\leq y \\leq 3$. Quel\nencadrement de $x - y$ en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2 \\leq x - y \\leq 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $1$ et\n$y$ vaut $3$, le plus grand quand $x$ vaut $5$ et $y$ vaut\n$2$."
        },
        {
          "text": "$-1 \\leq x - y \\leq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour\nl'addition, jamais pour la soustraction."
        },
        {
          "text": "$-3 \\leq x - y \\leq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été\néchangés."
        },
        {
          "text": "$3 \\leq x - y \\leq 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se\ntraitent pas de la même façon."
        }
      ],
      "explanation": "On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les\ninégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $1 \\leq x \\leq 5$ et $2 \\leq y \\leq 3$. Quel\nencadrement de $x - y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2 \\leq x - y \\leq 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $1$ et\n$y$ vaut $3$, le plus grand quand $x$ vaut $5$ et $y$ vaut\n$2$."
            },
            {
              "text": "$-1 \\leq x - y \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour\nl'addition, jamais pour la soustraction."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq x - y \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été\néchangés."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq x - y \\leq 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se\ntraitent pas de la même façon."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les\ninégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $2 \\leq x \\leq 6$ et $1 \\leq y \\leq 3$. Quel\nencadrement de $x - y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1 \\leq x - y \\leq 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $2$ et\n$y$ vaut $3$, le plus grand quand $x$ vaut $6$ et $y$ vaut\n$1$."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq x - y \\leq 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour\nl'addition, jamais pour la soustraction."
            },
            {
              "text": "$-5 \\leq x - y \\leq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été\néchangés."
            },
            {
              "text": "$3 \\leq x - y \\leq 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se\ntraitent pas de la même façon."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les\ninégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $0 \\leq x \\leq 5$ et $2 \\leq y \\leq 4$. Quel\nencadrement de $x - y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4 \\leq x - y \\leq 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $0$ et\n$y$ vaut $4$, le plus grand quand $x$ vaut $5$ et $y$ vaut\n$2$."
            },
            {
              "text": "$-2 \\leq x - y \\leq 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour\nl'addition, jamais pour la soustraction."
            },
            {
              "text": "$-3 \\leq x - y \\leq 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été\néchangés."
            },
            {
              "text": "$2 \\leq x - y \\leq 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se\ntraitent pas de la même façon."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les\ninégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $0 \\leq x \\leq 8$ et $1 \\leq y \\leq 6$. Quel\nencadrement de $x - y$ en découle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-6 \\leq x - y \\leq 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $0$ et\n$y$ vaut $6$, le plus grand quand $x$ vaut $8$ et $y$ vaut\n$1$."
            },
            {
              "text": "$-1 \\leq x - y \\leq 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour\nl'addition, jamais pour la soustraction."
            },
            {
              "text": "$-7 \\leq x - y \\leq 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été\néchangés."
            },
            {
              "text": "$1 \\leq x - y \\leq 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se\ntraitent pas de la même façon."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les\ninégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "troncature",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Retrouver un nombre par sa troncature",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les\nchiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième\nd'un nombre positif $x$ vaut $2{,}3$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $2{,}3$, et $2{,}4$ est le\npremier à ne plus commencer ainsi."
        },
        {
          "text": "$]2{,}3\\,;\\,2{,}4[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne exclue à tort : $2{,}3$ a bien lui-même pour troncature au dixième\n$2{,}3$, il appartient donc à l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne incluse à tort : la troncature de $2{,}4$ vaut $2{,}4$, ce nombre\ndoit être exclu."
        },
        {
          "text": "$[2{,}25\\,;\\,2{,}35[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cet intervalle est celui des nombres dont l'**arrondi** au dixième\nvaut $2{,}3$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant."
        }
      ],
      "explanation": "Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la\nvirgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne\ngauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les\nchiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième\nd'un nombre positif $x$ vaut $2{,}3$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $2{,}3$, et $2{,}4$ est le\npremier à ne plus commencer ainsi."
            },
            {
              "text": "$]2{,}3\\,;\\,2{,}4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne exclue à tort : $2{,}3$ a bien lui-même pour troncature au dixième\n$2{,}3$, il appartient donc à l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$[2{,}3\\,;\\,2{,}4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : la troncature de $2{,}4$ vaut $2{,}4$, ce nombre\ndoit être exclu."
            },
            {
              "text": "$[2{,}25\\,;\\,2{,}35[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des nombres dont l'**arrondi** au dixième\nvaut $2{,}3$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant."
            }
          ],
          "explanation": "Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la\nvirgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne\ngauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature."
        },
        {
          "statement": "Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les\nchiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième\nd'un nombre positif $x$ vaut $5{,}7$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[5{,}7\\,;\\,5{,}8[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $5{,}7$, et $5{,}8$ est le\npremier à ne plus commencer ainsi."
            },
            {
              "text": "$]5{,}7\\,;\\,5{,}8[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne exclue à tort : $5{,}7$ a bien lui-même pour troncature au dixième\n$5{,}7$, il appartient donc à l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$[5{,}7\\,;\\,5{,}8]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : la troncature de $5{,}8$ vaut $5{,}8$, ce nombre\ndoit être exclu."
            },
            {
              "text": "$[5{,}65\\,;\\,5{,}75[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des nombres dont l'**arrondi** au dixième\nvaut $5{,}7$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant."
            }
          ],
          "explanation": "Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la\nvirgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne\ngauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature."
        },
        {
          "statement": "Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les\nchiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième\nd'un nombre positif $x$ vaut $0{,}8$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[0{,}8\\,;\\,0{,}9[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $0{,}8$, et $0{,}9$ est le\npremier à ne plus commencer ainsi."
            },
            {
              "text": "$]0{,}8\\,;\\,0{,}9[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne exclue à tort : $0{,}8$ a bien lui-même pour troncature au dixième\n$0{,}8$, il appartient donc à l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$[0{,}8\\,;\\,0{,}9]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : la troncature de $0{,}9$ vaut $0{,}9$, ce nombre\ndoit être exclu."
            },
            {
              "text": "$[0{,}75\\,;\\,0{,}85[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des nombres dont l'**arrondi** au dixième\nvaut $0{,}8$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant."
            }
          ],
          "explanation": "Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la\nvirgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne\ngauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature."
        },
        {
          "statement": "Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les\nchiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième\nd'un nombre positif $x$ vaut $3{,}1$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[3{,}1\\,;\\,3{,}2[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $3{,}1$, et $3{,}2$ est le\npremier à ne plus commencer ainsi."
            },
            {
              "text": "$]3{,}1\\,;\\,3{,}2[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne exclue à tort : $3{,}1$ a bien lui-même pour troncature au dixième\n$3{,}1$, il appartient donc à l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$[3{,}1\\,;\\,3{,}2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne incluse à tort : la troncature de $3{,}2$ vaut $3{,}2$, ce nombre\ndoit être exclu."
            },
            {
              "text": "$[3{,}05\\,;\\,3{,}15[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des nombres dont l'**arrondi** au dixième\nvaut $3{,}1$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant."
            }
          ],
          "explanation": "Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la\nvirgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne\ngauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inclusion",
        "intervalles"
      ],
      "title": "Inclusion de deux intervalles",
      "partie": "intervalles",
      "statement": "L'intervalle $[1\\,;\\,3]$ est-il inclus dans l'intervalle $]0\\,;\\,3[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : le réel $3$ appartient au premier, pas au second",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'inclusion exige que **tous** les éléments passent,\net $3$ est exclu de $]0\\,;\\,3[$."
        },
        {
          "text": "Oui : toutes les bornes de $[1\\,;\\,3]$ sont dans $]0\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "La borne $3$ n'appartient pas à $]0\\,;\\,3[$, dont le crochet droit est\nouvert : l'inclusion échoue à cause d'elle."
        },
        {
          "text": "Oui : l'intervalle $[1\\,;\\,3]$ est le plus court des deux",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur ne décide pas : un intervalle plus court peut très bien\ndéborder de l'autre, comme ici en $3$."
        },
        {
          "text": "Non : le réel $0$ n'appartient pas à l'intervalle $[1\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de l'inclusion inversé : on vérifie que les éléments du premier\nsont dans le second, pas l'inverse."
        }
      ],
      "explanation": "$A \\subset B$ signifie que tout élément de $A$ est aussi élément de $B$.\nUn seul élément manquant suffit à faire échouer l'inclusion."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "definition"
      ],
      "title": "Valeur absolue d'un nombre négatif",
      "partie": "valeur-absolue",
      "statement": "Lorsque $x$ est un réel strictement négatif, que vaut $|x|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-x$, qui est alors un nombre positif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $x = -4$, $|x| = 4 = -(-4)$. L'opposé d'un nombre\nnégatif est positif."
        },
        {
          "text": "$x$, car la valeur absolue ne change rien",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait vrai pour $x$ positif seulement : une valeur absolue n'est\njamais strictement négative."
        },
        {
          "text": "$-x$, qui est alors un nombre négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe $-$ devant une lettre ne rend pas le nombre négatif : il\ndésigne l'opposé, positif ici puisque $x$ est négatif."
        },
        {
          "text": "$0$, car un nombre négatif est sans distance",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul $0$ est à la distance $0$ de l'origine : $|-4| = 4$, la distance\nde $-4$ à $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Par définition, $|x| = x$ si $x \\geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. Dans les\ndeux cas le résultat est positif ou nul : c'est la distance de $x$ à $0$."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "nature-pi",
        "irrationnels"
      ],
      "title": "La nature de $\\pi - 3$",
      "partie": "ensembles",
      "statement": "Le nombre $\\pi - 3$ est-il un nombre rationnel ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : sinon $\\pi$ serait une somme de rationnels",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $\\pi - 3$ était rationnel, $\\pi = (\\pi - 3) + 3$ le\nserait aussi, ce qui est faux."
        },
        {
          "text": "Oui : $\\pi - 3$ vaut environ $0{,}14$, un décimal",
          "correct": false,
          "feedback": "$0{,}14$ n'est qu'une valeur approchée : elle ne dit rien de la nature\ndu nombre exact."
        },
        {
          "text": "Oui : retrancher un entier rend un nombre rationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "Retrancher un entier translate le nombre sans changer sa nature :\n$\\sqrt{2} - 1$ reste irrationnel lui aussi."
        },
        {
          "text": "Non : tout nombre plus petit que $1$ est irrationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "La taille du nombre ne décide de rien : $0{,}5$ est plus petit que\n$1$ et parfaitement rationnel."
        }
      ],
      "explanation": "La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle :\ndans le cas contraire, on isolerait l'irrationnel comme différence de deux\nrationnels. Retrancher $3$ à $\\pi$ ne change donc pas sa nature."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrondi",
        "chiffres-significatifs"
      ],
      "title": "Arrondir à trois chiffres significatifs",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On mesure une longueur et la calculatrice affiche $0{,}0482735$ m.\nQuel est l'arrondi de ce nombre à trois chiffres significatifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}0483$ m",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les zéros de tête ne comptent pas. Les trois\nchiffres significatifs sont $4$, $8$ et $2$, et le chiffre\nsuivant, $7$, fait arrondir à $483$."
        },
        {
          "text": "$0{,}048$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce nombre n'a que deux chiffres significatifs, $4$ et\n$8$. Les zéros placés avant le $4$ ne comptent pas."
        },
        {
          "text": "$0{,}0482$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une troncature. Le chiffre suivant est $7$, donc\non arrondit au-dessus."
        },
        {
          "text": "$0{,}05$ m",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet arrondi ne garde qu'un seul chiffre significatif."
        }
      ],
      "explanation": "Les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre\nnon nul. Leur nombre traduit la précision d'une mesure."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arrondi",
        "precision",
        "probleme"
      ],
      "title": "Un résultat trop précis",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "Les côtés d'un rectangle, mesurés au millimètre près, valent\n$12{,}4$ cm et $7{,}3$ cm. Quelle écriture de l'aire est la plus\nadaptée à la précision des mesures ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $90{,}5$ cm²",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les données ont trois chiffres significatifs, on\nen garde autant pour le résultat : $12{,}4 \\times 7{,}3 = 90{,}52$,\narrondi à $90{,}5$."
        },
        {
          "text": "Exactement $90{,}52$ cm²",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les mesures sont approchées, donc l'aire aussi. Écrire\nquatre chiffres laisse croire à une précision que l'on n'a pas."
        },
        {
          "text": "Environ $100$ cm²",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cet arrondi perd une grande partie de l'information\ncontenue dans les mesures."
        },
        {
          "text": "Environ $90{,}520$ cm²",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ajouter un zéro final affiche une précision encore plus\ngrande, que les mesures ne permettent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Un résultat calculé à partir de mesures s'arrondit avec un nombre de\nchiffres significatifs comparable à celui des données."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "encadrement",
        "balayage",
        "racine"
      ],
      "title": "Encadrer racine de deux par balayage",
      "partie": "encadrements",
      "statement": "On calcule les carrés de $1{,}40$, $1{,}41$, $1{,}42$, … et l'on\nobtient $1{,}41^2 = 1{,}9881$ et $1{,}42^2 = 2{,}0164$. Quel\nencadrement de $\\sqrt{2}$ en déduit-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}41 < \\sqrt{2} < 1{,}42$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$, et la fonction racine\ncarrée conserve l'ordre sur les nombres positifs."
        },
        {
          "text": "$1{,}9881 < \\sqrt{2} < 2{,}0164$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces nombres encadrent $2$, pas $\\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$1{,}40 < \\sqrt{2} < 1{,}41$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}41^2$ est encore inférieur à $2$, donc\n$\\sqrt{2}$ est supérieur à $1{,}41$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{2} = 1{,}41$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}41^2 \\neq 2$. Le nombre $\\sqrt{2}$ est irrationnel,\naucune écriture décimale finie ne lui est égale."
        }
      ],
      "explanation": "Algorithme de balayage : on augmente $x$ par pas de $10^{-n}$ tant\nque $x^2 < 2$ ; on obtient un encadrement de $\\sqrt{2}$ d'amplitude\n$10^{-n}$."
    }
  ]
}