{
"chapter": {
"id": "probabilites",
"level": "seconde",
"theme": "Statistiques et probabilités",
"title": "Probabilités",
"description": "Modèle probabiliste : loi de probabilité, événement contraire,\néquiprobabilité et formule $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$, probabilité conditionnelle $P_A(B)$,\narbres de probabilité (pondérations et multiplication le long\nd'un chemin), loi des grands nombres en version vulgarisée.",
"parties": [
{
"id": "modele",
"title": "Vocabulaire, modèle et simulation"
},
{
"id": "evenements",
"title": "Calculs sur les événements"
},
{
"id": "deux-epreuves",
"title": "Expériences à deux épreuves"
},
{
"id": "conditionnelles",
"title": "Probabilités conditionnelles"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition"
],
"title": "Qu'est-ce qu'une probabilité ?",
"partie": "modele",
"statement": "Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un\névénement ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est toujours un nombre\ncompris entre $0$ (événement impossible) et $1$\n(événement certain)."
},
{
"text": "$1{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : aucune probabilité ne dépasse $1$ (on ne\npeut pas être « plus que certain »)."
},
{
"text": "$-0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative ; le\nminimum est $0$, pour un événement impossible."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : $\\dfrac{7}{5} = 1{,}4 > 1$. Dans une\nfraction de probabilité, le numérateur ne peut pas\ndépasser le dénominateur."
}
],
"explanation": "Pour tout événement $A$ : $0 \\leq P(A) \\leq 1$. Les valeurs\nextrêmes : $P = 0$ (impossible) et $P = 1$ (certain)."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"contraire"
],
"title": "Probabilité de l'événement contraire",
"partie": "evenements",
"statement": "Soit $A$ un événement de probabilité $P(A) = 0{,}3$. Que vaut\nla probabilité de son contraire $\\overline{A}$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3\n= 0{,}7$ : l'un des deux se réalise forcément."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le contraire n'a la même probabilité que si\n$P(A) = 0{,}5$. En général : $P(\\overline{A}) = 1 -\nP(A)$."
},
{
"text": "$-0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative. On\nretranche **de $1$**, pas de $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{0{,}3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'inverse n'intervient pas ici (et\n$1/0{,}3 \\approx 3{,}3 > 1$). La règle est additive :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$."
}
],
"explanation": "$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$, donc $P(\\overline{A}) = 1 -\nP(A)$. Réflexe très utile quand le contraire est plus simple\nà compter que l'événement lui-même."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equiprobabilite",
"calcul"
],
"title": "Un dé équilibré",
"partie": "modele",
"statement": "On lance un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir un nombre pair ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : issues favorables $\\{2\\,;\\,4\\,;\\,6\\}$,\nsoit $3$ sur $6$ issues équiprobables : $\\dfrac{3}{6} =\n\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'**une**\nface précise. « Pair » regroupe trois faces : on\nadditionne leurs probabilités."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de compte : les pairs entre $1$ et $6$ sont $2$,\n$4$ et $6$ : trois issues sur six, soit $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de compte : il y a **trois** nombres pairs sur le\ndé ($2$, $4$, $6$), pas deux."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité : $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ : nombre\nde cas favorables sur nombre de cas possibles."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equiprobabilite",
"calcul"
],
"title": "Tirage dans une urne",
"partie": "modele",
"statement": "Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5$ boules favorables sur $5 + 3 = 8$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est le **total** des boules\n($8$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{5}{8}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $8$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{5}{8}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ ».",
"variants": [
{
"statement": "Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5$ boules favorables sur $5 + 3 = 8$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est le **total** des boules\n($8$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{5}{8}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $8$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{5}{8}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ »."
},
{
"statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $7$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{11}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4$ boules favorables sur $4 + 7 = 11$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est le **total** des boules\n($11$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{7}{11}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{4}{11}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $11$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{4}{11}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ »."
},
{
"statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $5$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{2}{7}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2$ boules favorables sur $2 + 5 = 7$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est le **total** des boules\n($7$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{7}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{2}{7}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $7$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{2}{7}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ »."
},
{
"statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et $5$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{6}{11}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $6$ boules favorables sur $6 + 5 = 11$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{6}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le dénominateur est le **total** des boules\n($11$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{11}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{6}{11}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $11$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{6}{11}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ »."
}
]
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modele",
"raisonnement"
],
"title": "L'équiprobabilité est une hypothèse",
"partie": "modele",
"statement": "Un jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La\nprobabilité de gagner est-elle nécessairement $\\dfrac{1}{2}$ ?",
"options": [
{
"text": "Non, l'équiprobabilité est une hypothèse à justifier",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'équiprobabilité est une hypothèse du\nmodèle, pas une conséquence du nombre d'issues. Gagner\nau loto ou perdre au loto sont deux issues, certainement\npas équiprobables. Le choix du modèle se justifie\n(symétrie, fréquences observées)."
},
{
"text": "Oui : deux issues, donc une chance sur deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur fondamentale : compter les issues ne suffit pas,\nil faut justifier leur équiprobabilité. Sinon tout serait\nà $50\\ \\%$, même gagner au loto."
},
{
"text": "Oui, si le jeu est programmé sur un ordinateur",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le support du jeu ne dit rien des probabilités,\nqui dépendent de sa **conception** : un programme peut\ntrès bien favoriser la perte."
},
{
"text": "Non : la probabilité de gagner est toujours inférieure à\n$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'interdit un jeu favorable au joueur. Le\npoint est qu'on ne peut pas conclure **sans information**\nsur le modèle."
}
],
"explanation": "Point d'insistance du programme : une loi de probabilité est\nune **hypothèse du modèle choisi** (symétrie d'un dé, ou\nfréquences observées via la loi des grands nombres) ; elle ne\nse déduit pas du simple comptage des issues."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"arbre",
"chemin"
],
"title": "Multiplier le long d'un chemin",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.\nQuelle est la probabilité du chemin « $A$ puis $B$ »\n(c'est-à-dire de l'événement $A \\cap B$) ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$0{,}18$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, on **multiplie**\nles pondérations des branches : $P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$."
},
{
"text": "$0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$ additionne, ce qui\nconviendrait à des chemins **différents** (cas\nincompatibles). Le long d'un même chemin, les branches\ns'enchaînent : on multiplie."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $0{,}6 = P_A(B)$ suppose $A$ déjà réalisé.\nLe chemin complet exige aussi de passer la première\nbranche ($0{,}3$)."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $0{,}3 = P(A)$ ne mène qu'au premier étage.\nIl faut encore la branche $A \\to B$ ($0{,}6$)."
}
],
"explanation": "Règle de l'arbre : la probabilité d'un chemin est le\n**produit** des pondérations de ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 =\n0{,}18$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle",
"definition"
],
"title": "Que signifie $P_A(B)$ ?",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Que désigne la notation $P_A(B)$ ?",
"options": [
{
"text": "La probabilité que $B$ se réalise, **sachant que** $A$\nest réalisé",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place dans le monde où $A$ a eu\nlieu, et on y mesure les chances de $B$."
},
{
"text": "La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : « $A$ et $B$ » se note $P(A \\cap B)$ ; sur\nl'arbre, c'est le **produit** $P(A) \\times P_A(B)$, pas\nla pondération d'une seule branche."
},
{
"text": "La probabilité que $A$ se réalise sachant $B$",
"correct": false,
"feedback": "Inversion : l'indice indique la **condition**. Dans\n$P_A(B)$, c'est $A$ qui est supposé réalisé."
},
{
"text": "Le produit $P(A) \\times P(B)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit n'a pas de statut général. La\nconditionnelle se lit sur la deuxième branche de l'arbre,\nou se calcule dans un tableau croisé."
}
],
"explanation": "$P_A(B)$ : probabilité de $B$ **conditionnée** par $A$\n(l'indice porte la condition). Sur un arbre, c'est la\npondération de la branche $A \\to B$ ; dans un tableau\nd'effectifs : $\\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}\n{\\text{Card}(A)}$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle",
"tableau"
],
"title": "Conditionnelle dans un tableau d'effectifs",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Dans un lycée de $100$ élèves, il y a $60$ filles, dont $24$\ndemi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on\napprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité\nqu'elle soit demi-pensionnaire ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{24}{60} = 0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sachant « fille », l'univers se réduit\naux $60$ filles : $P_F(D) = \\dfrac{\\text{Card}(F \\cap D)}\n{\\text{Card}(F)} = \\dfrac{24}{60}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{100} = 0{,}24$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}24 = P(F \\cap D)$ garde l'univers entier.\nL'information « c'est une fille » **réduit** l'univers\naux $60$ filles."
},
{
"text": "$\\dfrac{60}{100} = 0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}6 = P(F)$ est la probabilité de la\ncondition elle-même, pas celle de la demi-pension sachant\nla condition."
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{44}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{24}{44} = P_D(F)$,\nprobabilité d'être une fille **sachant** demi-pensionnaire."
}
],
"explanation": "Pont entre statistiques et probabilités (au programme) : le\ntirage au sort d'un individu fait des fréquences\nconditionnelles des probabilités conditionnelles :\n$P_F(D) = \\dfrac{24}{60} = 0{,}4$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"conditionnelle",
"inversion"
],
"title": "$P_A(B)$ et $P_B(A)$",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "En général, les probabilités conditionnelles $P_A(B)$ et\n$P_B(A)$ sont-elles égales ?",
"options": [
{
"text": "Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent\nen général",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le lycée précédent, $P_F(D) =\n\\dfrac{24}{60} = 0{,}4$ alors que $P_D(F) =\n\\dfrac{24}{44} \\approx 0{,}545$. Confondre les deux est\nl'erreur d'inversion du conditionnement."
},
{
"text": "Oui : c'est la même intersection $A \\cap B$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le numérateur est commun, mais les\n**dénominateurs** diffèrent ($\\text{Card}(A)$ contre\n$\\text{Card}(B)$) : les deux quotients n'ont aucune raison\nde coïncider."
},
{
"text": "Oui, dès que $A$ et $B$ sont compatibles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la compatibilité (intersection non vide) ne\nrétablit pas l'égalité : l'exemple du lycée le montre\n($0{,}4 \\neq 0{,}545$)."
},
{
"text": "Non, elles sont toujours complémentaires ($P_A(B) +\nP_B(A) = 1$)",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune relation systématique de ce type :\n$0{,}4 + 0{,}545 \\neq 1$. Elles sont simplement\ndifférentes en général."
}
],
"explanation": "$P_A(B) = \\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}{\\text{Card}(A)}$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}{\\text{Card}(B)}$ :\nmême numérateur, dénominateurs différents. Leur confusion\n(« inversion du conditionnement ») est au cœur des erreurs de\ntype « faux positifs »."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-probabilite"
],
"title": "Compléter une loi de probabilité",
"partie": "modele",
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}2$ et $P(b) = 0{,}5$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}7$ est la somme des deux probabilités\nconnues ; il faut la retrancher de $1$ :\n$1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}2 + 0{,}5) = 0{,}3$.",
"variants": [
{
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}2$ et $P(b) = 0{,}5$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}7$ est la somme des deux probabilités\nconnues ; il faut la retrancher de $1$ :\n$1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}2 + 0{,}5) = 0{,}3$."
},
{
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}1$ et $P(b) = 0{,}7$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}1 - 0{,}7 = 0{,}2$."
},
{
"text": "$0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}8$ est la somme des deux probabilités\nconnues ; il faut la retrancher de $1$ :\n$1 - 0{,}1 - 0{,}7 = 0{,}2$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}1 + 0{,}7) = 0{,}2$."
},
{
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}4$ et $P(b) = 0{,}2$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}6$ est la somme des deux probabilités\nconnues ; il faut la retrancher de $1$ :\n$1 - 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}4$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}4 + 0{,}2) = 0{,}4$."
},
{
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}3$ et $P(b) = 0{,}1$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}6$."
},
{
"text": "$0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}4$ est la somme des deux probabilités\nconnues ; il faut la retrancher de $1$ :\n$1 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}6$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}3 + 0{,}1) = 0{,}6$."
}
]
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-grands-nombres"
],
"title": "Fréquences et loi des grands nombres",
"partie": "modele",
"statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'une pièce équilibrée avec un\nprogramme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de\n« pile », d'après la loi des grands nombres (version\nvulgarisée du programme) ?",
"options": [
{
"text": "Elle est, sauf exception, proche de $0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : « lorsque $n$ est grand, sauf exception,\nla fréquence observée est proche de la probabilité ».\nC'est ce lien qui permet aussi d'**estimer** une\nprobabilité inconnue par simulation."
},
{
"text": "Elle vaut exactement $0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le hasard laisse toujours fluctuer la fréquence\nautour de $0{,}5$ ($0{,}4987$, $0{,}5031$…). La loi parle\nde **proximité**, pas d'égalité."
},
{
"text": "Après une série de piles, la pièce compense avec plus de\nfaces",
"correct": false,
"feedback": "Illusion du joueur : la pièce n'a pas de mémoire, chaque\nlancer reste à $0{,}5$. L'équilibre vient de la\n**dilution** des écarts dans le grand nombre, pas d'une\ncompensation."
},
{
"text": "Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où\nentre $0$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $10\\,000$ lancers, une fréquence de\n$0{,}3$ serait extraordinairement improbable. La\nstabilisation des fréquences est précisément le contenu\nde la loi des grands nombres."
}
],
"explanation": "Version vulgarisée au programme : « lorsque $n$ est grand,\nsauf exception, la fréquence observée est proche de la\nprobabilité ». Elle justifie l'estimation de probabilités par\nsimulation, et interdit l'idée de « compensation » du hasard."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"arbre",
"interpretation"
],
"title": "Interpréter une pondération de l'arbre",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre $0{,}2$\nporté par la branche allant de $\\overline{A}$ vers $B$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : A\navec 0,3 et A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et\nB-barre avec 0,4. Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre\navec 0,8.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La probabilité $P_{\\overline{A}}(B)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est une probabilité conditionnelle.\nToute branche de deuxième niveau porte une probabilité\n**conditionnée par son point de départ** : ici, $B$\nsachant $\\overline{A}$."
},
{
"text": "La probabilité $P(B)$ de l'événement $B$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(B)$ n'apparaît sur aucune branche unique :\n$B$ peut arriver par deux chemins ($A$ puis $B$, ou\n$\\overline{A}$ puis $B$)."
},
{
"text": "La probabilité $P(\\overline{A} \\cap B)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'intersection est la probabilité du **chemin\ncomplet** : $0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}14$, pas la\npondération d'une seule branche."
},
{
"text": "La probabilité $P(\\overline{A})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(\\overline{A}) = 0{,}7$ est portée par la\nbranche du **premier** niveau. Le $0{,}2$ vit au second\nniveau, donc conditionné."
}
],
"explanation": "Grammaire de l'arbre (au programme) : au premier niveau, les probabilités simples ; sur les branches suivantes, les probabilités **conditionnelles** sachant le nœud de départ ; le produit le long d'un chemin donne la probabilité de l'intersection."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"evenements-extremes"
],
"title": "Événement certain, événement impossible",
"partie": "modele",
"statement": "On lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de\nl'événement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » ?",
"options": [
{
"text": "$1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'événement est **certain** : toutes les\nissues conviennent, probabilité $\\frac{6}{6} = 1$, le\nmaximum possible."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Inverse : $0$ est la probabilité d'un événement\n**impossible** (« obtenir $7$ ») : ici tout tirage\nconvient."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{1}{6}$ vaut pour UNE face précise :\nl'événement proposé les accepte toutes les six."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse jamais $1$ :\n$6$ est le **nombre d'issues**, pas une probabilité."
}
],
"explanation": "Échelle des probabilités : de $0$ (impossible) à $1$\n(certain), jamais au-delà. Tout résultat hors de\n$[0\\ ;\\ 1]$ signale une erreur de calcul."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"incompatibles"
],
"title": "Événements incompatibles",
"partie": "evenements",
"statement": "$A$ et $B$ sont incompatibles (ils ne peuvent pas se\nproduire en même temps), avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) =\n0{,}4$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : incompatibles, sans aucun recouvrement : les\nprobabilités s'additionnent simplement : $0{,}3 +\n0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}12$",
"correct": false,
"feedback": "Produit : $0{,}3 \\times 0{,}4$ concernerait des\névénements **indépendants** ET simultanés ($A \\cap B$) :\nla réunion d'incompatibles s'additionne."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction : rien à retrancher ici : l'intersection\nest vide ($P(A \\cap B) = 0$)."
},
{
"text": "Impossible à savoir",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'incompatibilité est exactement l'information\nqui permet de conclure : addition directe."
}
],
"explanation": "Incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$) : $P(A \\cup B) =\nP(A) + P(B)$ : le cas particulier confortable. Avec\nrecouvrement, la formule générale retranche l'intersection."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 1,
"skills": [
"deux-pieces"
],
"title": "Deux pièces équilibrées",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux « pile » ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quatre issues équiprobables (PP, PF, FP,\nFF), une seule favorable : $\\frac{1}{4}$ (ou $\\frac{1}{2}\n\\times \\frac{1}{2}$ le long de l'arbre)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2}$ vaut pour UNE pièce : la deuxième\ndoit aussi tomber sur pile : on multiplie les deux\n$\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers mal compté : « deux piles, deux faces, un de\nchaque » ne sont PAS équiprobables : « un de chaque »\nrecouvre deux issues (PF et FP) : l'univers correct a\nquatre issues."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : trois autres issues existent (PF, FP, FF) :\nl'événement n'a rien de certain."
}
],
"explanation": "Expérience à deux épreuves : l'univers est le produit\n(ici $2 \\times 2 = 4$ issues équiprobables). Le piège\nhistorique (compter « un de chaque » comme UNE issue) date\nde d'Alembert : l'arbre le dissout."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reunion-generale"
],
"title": "La formule de la réunion",
"partie": "evenements",
"statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = 0{,}5 +\n0{,}4 - 0{,}2$ : l'intersection, comptée deux fois dans\nla somme, se retranche une fois."
},
{
"text": "$0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Double comptage : $0{,}5 + 0{,}4$ compte deux fois la\nzone commune : la formule la retire : $-0{,}2$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $0{,}2$ est l'**intersection** ($A$ et $B$\nensemble) : la réunion ($A$ ou $B$) est bien plus\nlarge."
},
{
"text": "$1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Alerte : une probabilité au-dessus de $1$ est\nimpossible : signe certain qu'une soustraction manque."
}
],
"explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme\n« patate » le montre : additionner les deux zones compte\ndeux fois le recouvrement. Garde-fou : le résultat doit\nrester dans $[0\\ ;\\ 1]$."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 2,
"skills": [
"deux-des"
],
"title": "Somme de deux dés",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir une somme égale à $7$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $36$ couples équiprobables ; six donnent\n$7$ : $(1\\ ;6), (2\\ ;5), (3\\ ;4), (4\\ ;3), (5\\ ;2), (6\\\n;1)$, soit $\\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}$ : la somme la\nplus probable."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Sommes équiprobables imaginées : les valeurs $2$ à $12$\nexistent, mais avec des poids différents ($7$ se\nfabrique de six façons, $2$ d'une seule)."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre oublié : $(3\\ ;4)$ et $(4\\ ;3)$ sont deux issues\ndistinctes (premier dé, second dé) : six couples, pas\ntrois."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la valeur $7$ de la somme n'est pas son nombre\nde décompositions : on compte les **couples** ($6$)."
}
],
"explanation": "Deux dés : univers de $36$ couples ordonnés équiprobables :\ncompter les couples favorables. Les sommes, elles, ne sont\nPAS équiprobables : leur histogramme en pyramide culmine à\n$7$."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle-contraire"
],
"title": "Contraire dans un monde conditionné",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}7$. Que vaut $P_A(\\bar{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde restreint à $A$, $B$ et\n$\\bar{B}$ se partagent tout : $P_A(\\bar{B}) = 1 -\nP_A(B)$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $B$ et son contraire ne peuvent pas peser\npareil sauf à $0{,}5$ : ils somment à $1$ : $1 - 0{,}7\n= 0{,}3$."
},
{
"text": "Impossible sans connaître $P(A)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la règle du contraire fonctionne À L'INTÉRIEUR\ndu monde conditionné : $P_A(B) + P_A(\\bar{B}) = 1$,\nquel que soit $P(A)$."
},
{
"text": "$-0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative : le\ncontraire se calcule par $1 - 0{,}7$."
}
],
"explanation": "Les probabilités conditionnelles obéissent à toutes les\nrègles des probabilités : $P_A(\\bar{B}) = 1 - P_A(B)$. Sur\nl'arbre : les branches issues d'un même nœud somment à $1$."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-intersection"
],
"title": "Intersection dans un tableau",
"partie": "evenements",
"statement": "Sur $200$ élèves, le tableau croisé indique $30$ élèves à la\nfois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.\nQue vaut $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif})$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}15$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'intersection se lit dans la case\ncroisée, rapportée à l'effectif **total** :\n$\\frac{30}{200} = 0{,}15$."
},
{
"text": "$30$",
"correct": false,
"feedback": "Effectif brut : une probabilité est une **proportion** :\ndiviser par le total $200$."
},
{
"text": "$\\dfrac{30}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais total : l'univers compte $200$ élèves : la case\nse divise par $200$ (diviser par un sous-total donnerait\nune **conditionnelle**)."
},
{
"text": "$0{,}85$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}85 = 1 - 0{,}15$ est la probabilité du\n**contraire** de l'intersection."
}
],
"explanation": "Dans un tableau croisé : une case divisée par le total donne la probabilité de l'intersection ; une case divisée par une marge donne une probabilité conditionnelle.\nLe choix du dénominateur fait toute la différence : total\npour « et », marge pour « sachant »."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"arbre-branche-manquante"
],
"title": "Branche manquante d'un arbre",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}25$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$p = 0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $0{,}7$ est la somme des deux\nbranches connues ; $1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$p = 0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}3$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit.",
"variants": [
{
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}25$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$p = 0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $0{,}7$ est la somme des deux\nbranches connues ; $1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$p = 0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}3$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit."
},
{
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}15$, $0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}15 - 0{,}6 = 0{,}25$."
},
{
"text": "$p = 0{,}75$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $0{,}75$ est la somme des deux\nbranches connues ; $1 - 0{,}15 - 0{,}6 = 0{,}25$."
},
{
"text": "$p = 0{,}15$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}25$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit."
},
{
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}1$, $0{,}3$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6$."
},
{
"text": "$p = 0{,}4$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $0{,}4$ est la somme des deux\nbranches connues ; $1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6$."
},
{
"text": "$p = 0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}6$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit."
},
{
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}32$, $0{,}48$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}32 - 0{,}48 = 0{,}2$."
},
{
"text": "$p = 0{,}8$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $0{,}8$ est la somme des deux\nbranches connues ; $1 - 0{,}32 - 0{,}48 = 0{,}2$."
},
{
"text": "$p = 0{,}32$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}2$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit."
}
]
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"sans-remise"
],
"title": "Deux tirages sans remise",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire\ndeux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux rouges ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : première rouge : $\\frac{3}{5}$ ; il\nreste alors $2$ rouges sur $4$ boules : $\\frac{2}{4}$.\nL'arbre multiplie le long du chemin, avec des\nprobabilités **mises à jour** : $\\frac{3}{5} \\times\n\\frac{2}{4} = \\frac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise fantôme : $\\frac{3}{5} \\times \\frac{3}{5} =\n\\frac{9}{25}$ suppose l'urne inchangée. Après un premier\ntirage rouge, il reste $2$ rouges sur $4$ : sans remise,\nla deuxième branche s'actualise."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{2}{5}$ est la proportion de bleues :\nl'événement demande DEUX tirages : produit de deux\nfractions."
},
{
"text": "$\\dfrac{6}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{3}{5} + \\frac{2}{4} - \\dots$ : aucune\naddition ici : le chemin « rouge puis rouge » se calcule\nen **produit** : $\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}$."
}
],
"explanation": "Sans remise : chaque tirage modifie l'urne : les\nprobabilités de la deuxième branche se recalculent avec une\nboule de moins. C'est la différence structurelle avec le\ntirage avec remise (branches identiques)."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 3,
"skills": [
"au-moins-un"
],
"title": "« Au moins un » par le contraire",
"partie": "evenements",
"statement": "On lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **au moins un** six ?",
"options": [
{
"text": "$1 - \\dfrac{25}{36} = \\dfrac{11}{36}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un six » est\n« aucun six » : $\\frac{5}{6} \\times \\frac{5}{6} =\n\\frac{25}{36}$ : le complément fait le reste."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{2}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : elle compte deux fois le double six\n($\\frac{1}{36}$) : le calcul exact passe par le\ncontraire (ou retranche l'intersection :\n$\\frac{12 - 1}{36}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\frac{1}{36}$ est la probabilité de DEUX\nsix : « au moins un » est beaucoup plus fréquent\n($\\frac{11}{36}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'obtenir six\nen un seul lancer ; avec deux lancers, les chances\nd'obtenir au moins un six augmentent."
}
],
"explanation": "« Au moins un » : passer systématiquement par le\ncontraire « aucun » : $P = 1 - P(\\text{aucun})$. Un seul\nproduit au lieu d'un inventaire de cas : le réflexe le plus\nrentable du chapitre."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-vs-conditionnelle"
],
"title": "« Et » ou « sachant » ?",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Dans un lycée, $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif}) =\n0{,}15$ et $P_{\\text{interne}}(\\text{sportif}) = 0{,}6$.\nQue signifie la différence entre ces deux nombres ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}15$ compte dans tout le lycée, $0{,}6$ seulement\nparmi les internes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $0{,}15$ est la proportion des élèves à\nla fois internes et sportifs dans TOUT le lycée ;\n$0{,}6$ est la proportion de sportifs PARMI les\ninternes. Même case du tableau, deux dénominateurs (le\ntotal, puis l'effectif des internes), d'où des valeurs\ntrès différentes."
},
{
"text": "Les deux nombres devraient être égaux : il y a une\nerreur d'énoncé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ils coïncideraient seulement si tous les élèves\nétaient internes : en général, conditionner change le\ndénominateur, donc la valeur."
},
{
"text": "$0{,}6$ est faux : une conditionnelle est toujours plus\npetite que l'intersection",
"correct": false,
"feedback": "Inverse : la conditionnelle divise l'intersection par un\nnombre $\\leq 1$ : elle est toujours plus **grande** (ou\négale)."
},
{
"text": "$0{,}15$ concerne les internes, $0{,}6$ les sportifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux concernent les élèves internes ET\nsportifs : c'est l'univers de référence (total ou\ninternes) qui distingue les deux mesures."
}
],
"explanation": "« Et » = intersection (dénominateur : tout l'univers) ;\n« sachant » ou « parmi » = conditionnelle (dénominateur : la\ncondition). Lien : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ (ici\n$0{,}15 = 0{,}25 \\times 0{,}6$ : un quart d'internes)."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equiprobabilite-piege"
],
"title": "Le faux « une chance sur deux »",
"partie": "modele",
"statement": "« Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une\nchance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?",
"options": [
{
"text": "Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être\néquiprobables",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE à\njustifier (symétrie du dé, tirage au hasard…), pas une\nconséquence du nombre d'issues : ici gagner est\ninfiniment plus rare que perdre."
},
{
"text": "Il est correct : deux issues, donc $\\dfrac{1}{2}$\nchacune",
"correct": false,
"feedback": "Le sophisme visé : compter les issues ne suffit jamais :\nil faut leur POIDS : au loto, les combinaisons perdantes\nécrasent l'unique gagnante."
},
{
"text": "Il est correct si on joue une seule fois",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le nombre de tentatives ne change pas la\nprobabilité d'un tirage : elle reste minuscule à chaque\ngrille."
},
{
"text": "Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,\nmatch nul",
"correct": false,
"feedback": "Hors sujet : ajouter des issues ne répare rien :\nl'erreur est de postuler l'équiprobabilité sans\njustification."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité se **justifie** (symétrie, « au hasard »),\nelle ne se décrète pas en comptant les issues. Le\nraisonnement « soit ça marche, soit ça rate : 50/50 » est le\nsophisme probabiliste le plus répandu : savoir le démonter."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-probabilite",
"controle"
],
"title": "Une loi de probabilité impossible",
"partie": "modele",
"statement": "Pourquoi le tableau donnant $0{,}3$, $0{,}25$, $0{,}2$ et $0{,}3$ ne\ndéfinit-il pas une loi de probabilité ?",
"options": [
{
"text": "La somme des probabilités vaut $1{,}05$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités de toutes les issues doit\nvaloir exactement $1$."
},
{
"text": "Deux issues ont la même probabilité",
"correct": false,
"feedback": "Rien ne l'interdit : dans une situation d'équiprobabilité, toutes les\nissues ont même probabilité."
},
{
"text": "Les valeurs ne sont pas des fractions",
"correct": false,
"feedback": "Une probabilité peut s'écrire sous forme décimale : $0{,}25$ et\n$\\dfrac{1}{4}$ désignent le même nombre."
},
{
"text": "Il y a quatre issues et non deux",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre d'issues est libre : un dé en présente six sans que cela\npose problème."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre compris entre\n$0$ et $1$, et la somme de ces nombres vaut $1$. Les deux conditions se\nvérifient avant tout autre calcul."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 3,
"skills": [
"arbre",
"probabilite-totale"
],
"title": "Additionner deux chemins",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Dans un arbre, deux chemins distincts mènent à l'événement $B$, de\nprobabilités $0{,}12$ et $0{,}3$. Que vaut $P(B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}42$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les probabilités des chemins menant à un même\névénement s'additionnent."
},
{
"text": "$0{,}036$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une addition : on multiplie le long d'un\nchemin, on additionne entre chemins."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin retenu : le second contribue aussi à la réalisation de\n$B$."
},
{
"text": "$0{,}18$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les deux chemins s'excluent mutuellement,\nleurs probabilités s'ajoutent."
}
],
"explanation": "Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin\net on additionne les résultats des chemins qui aboutissent au même\névénement."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equiprobabilite",
"denombrement"
],
"title": "Compter les cas favorables",
"partie": "modele",
"statement": "On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.\nQuelle est la probabilité d'obtenir un roi ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le jeu compte quatre rois, donc\n$\\dfrac{4}{32} = \\dfrac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : il y a un roi par couleur, donc quatre\nen tout."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{4}{32}$ se simplifie en $\\dfrac{1}{8}$, pas\nen $\\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur faux : il vaut $32$, le nombre total de cartes du jeu."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le\nquotient du nombre de cas favorables par le nombre total de cas."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 3,
"skills": [
"arbre",
"tirage-avec-remise"
],
"title": "Deux tirages avec remise",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ bleues. On tire une boule,\non la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux rouges ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{9}{64}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la remise laisse la composition inchangée, donc\n$\\dfrac{3}{8} \\times \\dfrac{3}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{6}{56}$",
"correct": false,
"feedback": "Tirage sans remise : $\\dfrac{3}{8} \\times \\dfrac{2}{7}$ suppose que\nla première boule n'est pas remise dans l'urne."
},
{
"text": "$\\dfrac{6}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une multiplication : on multiplie les probabilités\nle long d'un chemin de l'arbre."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul tirage pris en compte : le second réduit encore la\nprobabilité, qui passe sous $\\dfrac{1}{5}$."
}
],
"explanation": "Avec remise, les deux tirages se font dans la même urne, donc les\nprobabilités portées par les branches d'un même niveau sont identiques.\nSans remise, elles changent d'un niveau à l'autre."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"probabilite-conditionnelle",
"calcul"
],
"title": "De l'intersection à la conditionnelle",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) = 0{,}1$.\nQue vaut $P_A(B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}25$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}1}{0{,}4}$."
},
{
"text": "$0{,}04$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $0{,}4 \\times 0{,}1$ donnerait\nl'intersection si les événements étaient indépendants."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : $0{,}4 - 0{,}1$ correspond à la\nprobabilité de $A$ sans $B$, pas à une conditionnelle."
},
{
"text": "$4$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : une probabilité ne dépasse jamais $1$, ce qui\nsuffit à écarter ce résultat."
}
],
"explanation": "La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ se calcule en divisant la\nprobabilité de l'intersection par celle de la condition, qui doit être non\nnulle."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"simulation",
"loi-des-grands-nombres"
],
"title": "Ce qu'une simulation peut montrer",
"partie": "modele",
"statement": "Une simulation de $10\\,000$ lancers d'un dé donne une fréquence de\n$0{,}168$ pour la face $6$. Que peut-on en conclure ?",
"options": [
{
"text": "Le dé semble équilibré",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}167$, la fréquence observée\nen est très proche."
},
{
"text": "Le dé est truqué en faveur du $6$",
"correct": false,
"feedback": "L'écart avec $\\dfrac{1}{6}$ vaut environ $0{,}001$, bien trop petit\npour signaler un truquage."
},
{
"text": "La probabilité du $6$ vaut exactement $0{,}168$",
"correct": false,
"feedback": "Une fréquence observée n'est pas une probabilité : une autre\nsimulation donnerait un résultat légèrement différent."
},
{
"text": "Le nombre de lancers est trop faible pour conclure",
"correct": false,
"feedback": "Dix mille lancers suffisent largement à stabiliser une fréquence\nautour de sa probabilité."
}
],
"explanation": "La loi des grands nombres affirme que la fréquence observée se rapproche\nde la probabilité quand le nombre d'expériences augmente. Elle ne rend\njamais les deux nombres exactement égaux."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"contraire",
"calcul"
],
"title": "Gagner ou perdre",
"partie": "evenements",
"statement": "Dans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou\npar une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut $\\dfrac{3}{8}$.\nQuelle est la probabilité de gagner cette partie ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc\n$1 - \\dfrac{3}{8} = \\dfrac{5}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même\nprobabilité que si elles valent toutes deux $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : ce nombre dépasse $1$, ce qui est impossible pour\nune probabilité. La règle est additive, pas multiplicative."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur changé en route : il reste $8$, seul le numérateur\ndevient $8 - 3 = 5$."
}
],
"explanation": "Deux événements contraires se partagent la totalité :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$. Quand l'énoncé donne la probabilité du\ncontraire, il suffit de la retrancher de $1$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou\npar une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut $\\dfrac{3}{8}$.\nQuelle est la probabilité de gagner cette partie ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc\n$1 - \\dfrac{3}{8} = \\dfrac{5}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même\nprobabilité que si elles valent toutes deux $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : ce nombre dépasse $1$, ce qui est impossible pour\nune probabilité. La règle est additive, pas multiplicative."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur changé en route : il reste $8$, seul le numérateur\ndevient $8 - 3 = 5$."
}
],
"explanation": "Deux événements contraires se partagent la totalité :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$. Quand l'énoncé donne la probabilité du\ncontraire, il suffit de la retrancher de $1$."
},
{
"statement": "Dans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou\npar une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut $\\dfrac{2}{5}$.\nQuelle est la probabilité de gagner cette partie ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc\n$1 - \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{3}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même\nprobabilité que si elles valent toutes deux $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : ce nombre dépasse $1$, ce qui est impossible pour\nune probabilité. La règle est additive, pas multiplicative."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur changé en route : il reste $5$, seul le numérateur\ndevient $5 - 2 = 3$."
}
],
"explanation": "Deux événements contraires se partagent la totalité :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$. Quand l'énoncé donne la probabilité du\ncontraire, il suffit de la retrancher de $1$."
},
{
"statement": "Dans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou\npar une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut $\\dfrac{7}{10}$.\nQuelle est la probabilité de gagner cette partie ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc\n$1 - \\dfrac{7}{10} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même\nprobabilité que si elles valent toutes deux $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{10}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : ce nombre dépasse $1$, ce qui est impossible pour\nune probabilité. La règle est additive, pas multiplicative."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur changé en route : il reste $10$, seul le numérateur\ndevient $10 - 7 = 3$."
}
],
"explanation": "Deux événements contraires se partagent la totalité :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$. Quand l'énoncé donne la probabilité du\ncontraire, il suffit de la retrancher de $1$."
},
{
"statement": "Dans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou\npar une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut $\\dfrac{5}{9}$.\nQuelle est la probabilité de gagner cette partie ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{9}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc\n$1 - \\dfrac{5}{9} = \\dfrac{4}{9}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même\nprobabilité que si elles valent toutes deux $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient inversé : ce nombre dépasse $1$, ce qui est impossible pour\nune probabilité. La règle est additive, pas multiplicative."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Dénominateur changé en route : il reste $9$, seul le numérateur\ndevient $9 - 5 = 4$."
}
],
"explanation": "Deux événements contraires se partagent la totalité :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$. Quand l'énoncé donne la probabilité du\ncontraire, il suffit de la retrancher de $1$."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"evenements-extremes",
"definition"
],
"title": "Une couleur absente de l'urne",
"partie": "modele",
"statement": "Une urne ne contient que des boules rouges et des boules vertes. On en\ntire une au hasard. Que vaut la probabilité de l'événement « la boule\ntirée est bleue » ?",
"options": [
{
"text": "$0$ : aucune issue ne le réalise",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'urne ne contient aucune boule bleue, donc aucun cas\nfavorable. La probabilité vaut $0$, le bas de l'échelle."
},
{
"text": "$1$ : tout tirage le réalise",
"correct": false,
"feedback": "Extrêmes confondus : $1$ est la probabilité d'un événement certain.\nIci, c'est l'inverse, aucun tirage ne convient."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$ : il y a trois couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Couleur inventée : le bleu n'appartient pas à l'univers, qui ne\ncompte que des boules rouges et des boules vertes."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$ : bleue ou non bleue",
"correct": false,
"feedback": "Piège du « soit oui, soit non » : deux réponses envisageables ne font\npas deux issues équiprobables, surtout si l'une ne survient jamais."
}
],
"explanation": "L'échelle des probabilités va de $0$ à $1$ : $0$ pour un événement\nqu'aucune issue ne réalise, $1$ pour un événement que toutes réalisent.\nAvant tout calcul, on vérifie que l'événement figure dans l'univers."
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"denombrement",
"equiprobabilite"
],
"title": "Jetons numérotés",
"partie": "modele",
"statement": "Une urne contient $20$ jetons numérotés de $1$ à $20$, indiscernables\nau toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir\nun multiple de $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ ne dépassant pas $20$ sont au\nnombre de $6$, donc $\\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Un multiple de trop : $3 \\times 7 = 21$ dépasse\n$20$ et ne figure donc sur aucun jeton."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Raccourci trompeur : « un jeton sur $3$ » ne vaudrait que si $3$\ndivisait $20$. On dénombre ici $6$ multiples sur $20$ jetons."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : $6$ jetons portent un multiple de\n$3$, et non un seul."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$. Tout le travail consiste à dénombrer les cas\nfavorables, ici les multiples de $3$ jusqu'à $20$.",
"variants": [
{
"statement": "Une urne contient $20$ jetons numérotés de $1$ à $20$, indiscernables\nau toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir\nun multiple de $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ ne dépassant pas $20$ sont au\nnombre de $6$, donc $\\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Un multiple de trop : $3 \\times 7 = 21$ dépasse\n$20$ et ne figure donc sur aucun jeton."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Raccourci trompeur : « un jeton sur $3$ » ne vaudrait que si $3$\ndivisait $20$. On dénombre ici $6$ multiples sur $20$ jetons."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : $6$ jetons portent un multiple de\n$3$, et non un seul."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$. Tout le travail consiste à dénombrer les cas\nfavorables, ici les multiples de $3$ jusqu'à $20$."
},
{
"statement": "Une urne contient $25$ jetons numérotés de $1$ à $25$, indiscernables\nau toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir\nun multiple de $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{6}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les multiples de $4$ ne dépassant pas $25$ sont au\nnombre de $6$, donc $\\dfrac{6}{25} = \\dfrac{6}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Un multiple de trop : $4 \\times 7 = 28$ dépasse\n$25$ et ne figure donc sur aucun jeton."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Raccourci trompeur : « un jeton sur $4$ » ne vaudrait que si $4$\ndivisait $25$. On dénombre ici $6$ multiples sur $25$ jetons."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : $6$ jetons portent un multiple de\n$4$, et non un seul."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$. Tout le travail consiste à dénombrer les cas\nfavorables, ici les multiples de $4$ jusqu'à $25$."
},
{
"statement": "Une urne contient $30$ jetons numérotés de $1$ à $30$, indiscernables\nau toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir\nun multiple de $4$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{30}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les multiples de $4$ ne dépassant pas $30$ sont au\nnombre de $7$, donc $\\dfrac{7}{30} = \\dfrac{7}{30}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Un multiple de trop : $4 \\times 8 = 32$ dépasse\n$30$ et ne figure donc sur aucun jeton."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Raccourci trompeur : « un jeton sur $4$ » ne vaudrait que si $4$\ndivisait $30$. On dénombre ici $7$ multiples sur $30$ jetons."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{30}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : $7$ jetons portent un multiple de\n$4$, et non un seul."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$. Tout le travail consiste à dénombrer les cas\nfavorables, ici les multiples de $4$ jusqu'à $30$."
},
{
"statement": "Une urne contient $14$ jetons numérotés de $1$ à $14$, indiscernables\nau toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir\nun multiple de $3$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{2}{7}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ ne dépassant pas $14$ sont au\nnombre de $4$, donc $\\dfrac{4}{14} = \\dfrac{2}{7}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Un multiple de trop : $3 \\times 5 = 15$ dépasse\n$14$ et ne figure donc sur aucun jeton."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Raccourci trompeur : « un jeton sur $3$ » ne vaudrait que si $3$\ndivisait $14$. On dénombre ici $4$ multiples sur $14$ jetons."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul cas favorable compté : $4$ jetons portent un multiple de\n$3$, et non un seul."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$. Tout le travail consiste à dénombrer les cas\nfavorables, ici les multiples de $3$ jusqu'à $14$."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"deux-pieces",
"equiprobabilite-piege",
"raisonnement"
],
"title": "Exactement un « pile »",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir\nexactement un « pile » ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur les quatre issues PP, PF, FP et FF, deux\nconviennent, PF et FP, soit $\\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule issue comptée : l'ordre des pièces distingue PF de FP, ce\nqui donne deux cas favorables sur quatre."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Piège de d'Alembert : « deux piles », « deux faces » et « un de\nchaque » ne pèsent pas pareil, le dernier regroupant deux issues."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu avec « au moins un pile », qui réunit PP, PF et\nFP. « Exactement un » exclut le double pile."
}
],
"explanation": "L'univers d'un lancer de deux pièces compte quatre issues équiprobables,\nobtenues en distinguant l'ordre des pièces. On dénombre ensuite celles\nqui réalisent l'événement, deux ici."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tableau-intersection",
"interpretation"
],
"title": "D'une probabilité à un effectif",
"partie": "evenements",
"statement": "Un collège compte $400$ élèves. On en choisit un au hasard : la\nprobabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut $0{,}15$.\nCombien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?",
"options": [
{
"text": "$60$ élèves",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif\ntotal, donc $0{,}15 \\times 400 = 60$."
},
{
"text": "$340$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Effectif du contraire : $400 - 60 = 340$ compte les\nélèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois."
},
{
"text": "$15$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage pris pour un effectif : $0{,}15$ correspond à\n$15\\ \\%$, qu'il reste à appliquer aux $400$ élèves."
},
{
"text": "$600$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Virgule déplacée d'un rang : le produit $0{,}15 \\times 400$ vaut\n$60$, et non dix fois plus."
}
],
"explanation": "La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité\n$P(A \\cap B)$ se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en\nmultipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des\nprobabilités aux nombres d'individus.",
"variants": [
{
"statement": "Un collège compte $400$ élèves. On en choisit un au hasard : la\nprobabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut $0{,}15$.\nCombien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?",
"options": [
{
"text": "$60$ élèves",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif\ntotal, donc $0{,}15 \\times 400 = 60$."
},
{
"text": "$340$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Effectif du contraire : $400 - 60 = 340$ compte les\nélèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois."
},
{
"text": "$15$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage pris pour un effectif : $0{,}15$ correspond à\n$15\\ \\%$, qu'il reste à appliquer aux $400$ élèves."
},
{
"text": "$600$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Virgule déplacée d'un rang : le produit $0{,}15 \\times 400$ vaut\n$60$, et non dix fois plus."
}
],
"explanation": "La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité\n$P(A \\cap B)$ se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en\nmultipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des\nprobabilités aux nombres d'individus."
},
{
"statement": "Un collège compte $250$ élèves. On en choisit un au hasard : la\nprobabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut $0{,}12$.\nCombien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?",
"options": [
{
"text": "$30$ élèves",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif\ntotal, donc $0{,}12 \\times 250 = 30$."
},
{
"text": "$220$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Effectif du contraire : $250 - 30 = 220$ compte les\nélèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois."
},
{
"text": "$12$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage pris pour un effectif : $0{,}12$ correspond à\n$12\\ \\%$, qu'il reste à appliquer aux $250$ élèves."
},
{
"text": "$300$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Virgule déplacée d'un rang : le produit $0{,}12 \\times 250$ vaut\n$30$, et non dix fois plus."
}
],
"explanation": "La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité\n$P(A \\cap B)$ se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en\nmultipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des\nprobabilités aux nombres d'individus."
},
{
"statement": "Un collège compte $500$ élèves. On en choisit un au hasard : la\nprobabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut $0{,}08$.\nCombien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?",
"options": [
{
"text": "$40$ élèves",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif\ntotal, donc $0{,}08 \\times 500 = 40$."
},
{
"text": "$460$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Effectif du contraire : $500 - 40 = 460$ compte les\nélèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois."
},
{
"text": "$8$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage pris pour un effectif : $0{,}08$ correspond à\n$8\\ \\%$, qu'il reste à appliquer aux $500$ élèves."
},
{
"text": "$400$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Virgule déplacée d'un rang : le produit $0{,}08 \\times 500$ vaut\n$40$, et non dix fois plus."
}
],
"explanation": "La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité\n$P(A \\cap B)$ se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en\nmultipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des\nprobabilités aux nombres d'individus."
},
{
"statement": "Un collège compte $300$ élèves. On en choisit un au hasard : la\nprobabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut $0{,}25$.\nCombien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?",
"options": [
{
"text": "$75$ élèves",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif\ntotal, donc $0{,}25 \\times 300 = 75$."
},
{
"text": "$225$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Effectif du contraire : $300 - 75 = 225$ compte les\nélèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois."
},
{
"text": "$25$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Pourcentage pris pour un effectif : $0{,}25$ correspond à\n$25\\ \\%$, qu'il reste à appliquer aux $300$ élèves."
},
{
"text": "$750$ élèves",
"correct": false,
"feedback": "Virgule déplacée d'un rang : le produit $0{,}25 \\times 300$ vaut\n$75$, et non dix fois plus."
}
],
"explanation": "La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité\n$P(A \\cap B)$ se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en\nmultipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des\nprobabilités aux nombres d'individus."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reunion-generale",
"incompatibles"
],
"title": "Retrouver l'intersection",
"partie": "evenements",
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{1}{2}$, $P(B) = \\dfrac{2}{5}$ et $P(A \\cup B) = \\dfrac{4}{5}$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en\n$P(A \\cap B) = \\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} - \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{1}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Somme brute : $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{9}{10}$ additionne les deux zones\nsans rien retrancher, alors que la réunion est connue."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction mal placée : $\\dfrac{4}{5} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{10}$ mesure la\npartie de $B$ située hors de $A$, pas la zone commune."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on\nlirait $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{5}$, ce qui n'est pas le cas ici."
}
],
"explanation": "L'égalité $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se lit dans les deux\nsens. Comparer $P(A) + P(B)$ à $P(A \\cup B)$ renseigne aussitôt :\nl'écart entre les deux est exactement $P(A \\cap B)$.",
"variants": [
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{1}{2}$, $P(B) = \\dfrac{2}{5}$ et $P(A \\cup B) = \\dfrac{4}{5}$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en\n$P(A \\cap B) = \\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} - \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{1}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Somme brute : $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{9}{10}$ additionne les deux zones\nsans rien retrancher, alors que la réunion est connue."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction mal placée : $\\dfrac{4}{5} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{10}$ mesure la\npartie de $B$ située hors de $A$, pas la zone commune."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on\nlirait $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{5}$, ce qui n'est pas le cas ici."
}
],
"explanation": "L'égalité $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se lit dans les deux\nsens. Comparer $P(A) + P(B)$ à $P(A \\cup B)$ renseigne aussitôt :\nl'écart entre les deux est exactement $P(A \\cap B)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{3}{5}$, $P(B) = \\dfrac{1}{2}$ et $P(A \\cup B) = \\dfrac{9}{10}$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en\n$P(A \\cap B) = \\dfrac{3}{5} + \\dfrac{1}{2} - \\dfrac{9}{10} = \\dfrac{1}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{11}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Somme brute : $\\dfrac{3}{5} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{11}{10}$ additionne les deux zones\nsans rien retrancher, alors que la réunion est connue."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction mal placée : $\\dfrac{9}{10} - \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{3}{10}$ mesure la\npartie de $B$ située hors de $A$, pas la zone commune."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on\nlirait $\\dfrac{3}{5} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{9}{10}$, ce qui n'est pas le cas ici."
}
],
"explanation": "L'égalité $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se lit dans les deux\nsens. Comparer $P(A) + P(B)$ à $P(A \\cup B)$ renseigne aussitôt :\nl'écart entre les deux est exactement $P(A \\cap B)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{2}{3}$, $P(B) = \\dfrac{1}{2}$ et $P(A \\cup B) = \\dfrac{5}{6}$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en\n$P(A \\cap B) = \\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{2} - \\dfrac{5}{6} = \\dfrac{1}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Somme brute : $\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{7}{6}$ additionne les deux zones\nsans rien retrancher, alors que la réunion est connue."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction mal placée : $\\dfrac{5}{6} - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{6}$ mesure la\npartie de $B$ située hors de $A$, pas la zone commune."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on\nlirait $\\dfrac{2}{3} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5}{6}$, ce qui n'est pas le cas ici."
}
],
"explanation": "L'égalité $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se lit dans les deux\nsens. Comparer $P(A) + P(B)$ à $P(A \\cup B)$ renseigne aussitôt :\nl'écart entre les deux est exactement $P(A \\cap B)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{3}{8}$, $P(B) = \\dfrac{1}{2}$ et $P(A \\cup B) = \\dfrac{3}{4}$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en\n$P(A \\cap B) = \\dfrac{3}{8} + \\dfrac{1}{2} - \\dfrac{3}{4} = \\dfrac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Somme brute : $\\dfrac{3}{8} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{7}{8}$ additionne les deux zones\nsans rien retrancher, alors que la réunion est connue."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction mal placée : $\\dfrac{3}{4} - \\dfrac{3}{8} = \\dfrac{3}{8}$ mesure la\npartie de $B$ située hors de $A$, pas la zone commune."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on\nlirait $\\dfrac{3}{8} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{4}$, ce qui n'est pas le cas ici."
}
],
"explanation": "L'égalité $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ se lit dans les deux\nsens. Comparer $P(A) + P(B)$ à $P(A \\cup B)$ renseigne aussitôt :\nl'écart entre les deux est exactement $P(A \\cap B)$."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"arbre-branche-manquante",
"chemin"
],
"title": "Remonter un chemin",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Sur un arbre à deux niveaux, la branche allant de $A$ vers $B$ porte la\npondération $\\dfrac{1}{2}$, et le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité\n$\\dfrac{3}{10}$. Quelle pondération porte la branche menant à $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\nmultiplient, donc $P(A) = \\dfrac{3}{10} \\div \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $\\dfrac{3}{10}$ est déjà le\nproduit des deux branches, il reste à le partager par $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne\ns'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins\ndifférents, jamais les pondérations d'un même chemin."
}
],
"explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses\nbranches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve\nl'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé\ndoit redonner la probabilité du chemin.",
"variants": [
{
"statement": "Sur un arbre à deux niveaux, la branche allant de $A$ vers $B$ porte la\npondération $\\dfrac{1}{2}$, et le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité\n$\\dfrac{3}{10}$. Quelle pondération porte la branche menant à $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\nmultiplient, donc $P(A) = \\dfrac{3}{10} \\div \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $\\dfrac{3}{10}$ est déjà le\nproduit des deux branches, il reste à le partager par $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne\ns'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins\ndifférents, jamais les pondérations d'un même chemin."
}
],
"explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses\nbranches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve\nl'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé\ndoit redonner la probabilité du chemin."
},
{
"statement": "Sur un arbre à deux niveaux, la branche allant de $A$ vers $B$ porte la\npondération $\\dfrac{2}{5}$, et le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité\n$\\dfrac{1}{10}$. Quelle pondération porte la branche menant à $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\nmultiplient, donc $P(A) = \\dfrac{1}{10} \\div \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $\\dfrac{1}{10}$ est déjà le\nproduit des deux branches, il reste à le partager par $\\dfrac{2}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne\ns'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins\ndifférents, jamais les pondérations d'un même chemin."
}
],
"explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses\nbranches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve\nl'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé\ndoit redonner la probabilité du chemin."
},
{
"statement": "Sur un arbre à deux niveaux, la branche allant de $A$ vers $B$ porte la\npondération $\\dfrac{3}{4}$, et le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité\n$\\dfrac{3}{8}$. Quelle pondération porte la branche menant à $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\nmultiplient, donc $P(A) = \\dfrac{3}{8} \\div \\dfrac{3}{4} = \\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $\\dfrac{3}{8}$ est déjà le\nproduit des deux branches, il reste à le partager par $\\dfrac{3}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne\ns'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins\ndifférents, jamais les pondérations d'un même chemin."
}
],
"explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses\nbranches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve\nl'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé\ndoit redonner la probabilité du chemin."
},
{
"statement": "Sur un arbre à deux niveaux, la branche allant de $A$ vers $B$ porte la\npondération $\\dfrac{2}{3}$, et le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité\n$\\dfrac{1}{2}$. Quelle pondération porte la branche menant à $A$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\nmultiplient, donc $P(A) = \\dfrac{1}{2} \\div \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{3}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication au lieu d'une division : $\\dfrac{1}{2}$ est déjà le\nproduit des deux branches, il reste à le partager par $\\dfrac{2}{3}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne\ns'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins\ndifférents, jamais les pondérations d'un même chemin."
}
],
"explanation": "La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses\nbranches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve\nl'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé\ndoit redonner la probabilité du chemin."
}
]
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle-contraire",
"controle"
],
"title": "Un chemin vers le contraire",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{2}{5}$ et $P_A(B) = \\dfrac{1}{4}$. Que vaut\n$P(A \\cap \\overline{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde de $A$, $\\overline{B}$ pèse\n$1 - \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{3}{4}$, et le chemin complet donne\n$\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{3}{4} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin laissé inachevé : $\\dfrac{3}{4}$ est $P_A(\\overline{B})$, mesuré à\nl'intérieur de $A$ seulement, et dépasse d'ailleurs $P(A)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire oublié : $\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{1}{10}$ est la probabilité de\n$A \\cap B$, avec $B$ et non son contraire."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire pris sur le mauvais événement : $1 - \\dfrac{1}{10}$ mesure « ne\npas avoir $A$ et $B$ », un événement bien plus large."
}
],
"explanation": "Dans le monde restreint à $A$, les règles ordinaires s'appliquent :\n$P_A(\\overline{B}) = 1 - P_A(B)$. On redescend ensuite au chemin complet\npar $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) \\times P_A(\\overline{B})$. Contrôle\nindispensable : le résultat ne peut pas dépasser $P(A)$.",
"variants": [
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{2}{5}$ et $P_A(B) = \\dfrac{1}{4}$. Que vaut\n$P(A \\cap \\overline{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde de $A$, $\\overline{B}$ pèse\n$1 - \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{3}{4}$, et le chemin complet donne\n$\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{3}{4} = \\dfrac{3}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin laissé inachevé : $\\dfrac{3}{4}$ est $P_A(\\overline{B})$, mesuré à\nl'intérieur de $A$ seulement, et dépasse d'ailleurs $P(A)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire oublié : $\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{1}{10}$ est la probabilité de\n$A \\cap B$, avec $B$ et non son contraire."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire pris sur le mauvais événement : $1 - \\dfrac{1}{10}$ mesure « ne\npas avoir $A$ et $B$ », un événement bien plus large."
}
],
"explanation": "Dans le monde restreint à $A$, les règles ordinaires s'appliquent :\n$P_A(\\overline{B}) = 1 - P_A(B)$. On redescend ensuite au chemin complet\npar $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) \\times P_A(\\overline{B})$. Contrôle\nindispensable : le résultat ne peut pas dépasser $P(A)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{3}{5}$ et $P_A(B) = \\dfrac{1}{5}$. Que vaut\n$P(A \\cap \\overline{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{12}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde de $A$, $\\overline{B}$ pèse\n$1 - \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{4}{5}$, et le chemin complet donne\n$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{12}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin laissé inachevé : $\\dfrac{4}{5}$ est $P_A(\\overline{B})$, mesuré à\nl'intérieur de $A$ seulement, et dépasse d'ailleurs $P(A)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire oublié : $\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{3}{25}$ est la probabilité de\n$A \\cap B$, avec $B$ et non son contraire."
},
{
"text": "$\\dfrac{22}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire pris sur le mauvais événement : $1 - \\dfrac{3}{25}$ mesure « ne\npas avoir $A$ et $B$ », un événement bien plus large."
}
],
"explanation": "Dans le monde restreint à $A$, les règles ordinaires s'appliquent :\n$P_A(\\overline{B}) = 1 - P_A(B)$. On redescend ensuite au chemin complet\npar $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) \\times P_A(\\overline{B})$. Contrôle\nindispensable : le résultat ne peut pas dépasser $P(A)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{1}{2}$ et $P_A(B) = \\dfrac{3}{10}$. Que vaut\n$P(A \\cap \\overline{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde de $A$, $\\overline{B}$ pèse\n$1 - \\dfrac{3}{10} = \\dfrac{7}{10}$, et le chemin complet donne\n$\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{7}{10} = \\dfrac{7}{20}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin laissé inachevé : $\\dfrac{7}{10}$ est $P_A(\\overline{B})$, mesuré à\nl'intérieur de $A$ seulement, et dépasse d'ailleurs $P(A)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire oublié : $\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{3}{10} = \\dfrac{3}{20}$ est la probabilité de\n$A \\cap B$, avec $B$ et non son contraire."
},
{
"text": "$\\dfrac{17}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire pris sur le mauvais événement : $1 - \\dfrac{3}{20}$ mesure « ne\npas avoir $A$ et $B$ », un événement bien plus large."
}
],
"explanation": "Dans le monde restreint à $A$, les règles ordinaires s'appliquent :\n$P_A(\\overline{B}) = 1 - P_A(B)$. On redescend ensuite au chemin complet\npar $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) \\times P_A(\\overline{B})$. Contrôle\nindispensable : le résultat ne peut pas dépasser $P(A)$."
},
{
"statement": "On donne $P(A) = \\dfrac{3}{10}$ et $P_A(B) = \\dfrac{2}{5}$. Que vaut\n$P(A \\cap \\overline{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{9}{50}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde de $A$, $\\overline{B}$ pèse\n$1 - \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{3}{5}$, et le chemin complet donne\n$\\dfrac{3}{10} \\times \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{50}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin laissé inachevé : $\\dfrac{3}{5}$ est $P_A(\\overline{B})$, mesuré à\nl'intérieur de $A$ seulement, et dépasse d'ailleurs $P(A)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire oublié : $\\dfrac{3}{10} \\times \\dfrac{2}{5} = \\dfrac{3}{25}$ est la probabilité de\n$A \\cap B$, avec $B$ et non son contraire."
},
{
"text": "$\\dfrac{22}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire pris sur le mauvais événement : $1 - \\dfrac{3}{25}$ mesure « ne\npas avoir $A$ et $B$ », un événement bien plus large."
}
],
"explanation": "Dans le monde restreint à $A$, les règles ordinaires s'appliquent :\n$P_A(\\overline{B}) = 1 - P_A(B)$. On redescend ensuite au chemin complet\npar $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) \\times P_A(\\overline{B})$. Contrôle\nindispensable : le résultat ne peut pas dépasser $P(A)$."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau",
"probabilite-conditionnelle"
],
"title": "Compléter avant de conditionner",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Un club compte $200$ adhérents, dont $80$ femmes. La natation est\npratiquée par $50$ adhérents, dont $30$ hommes. On choisit un adhérent\nau hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité\nqu'elle pratique la natation ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nageuses sont $50 - 30 = 20$, et la\ncondition réduit l'univers aux $80$ femmes :\n$\\dfrac{20}{80} = \\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Case non complétée : $50$ compte tous les nageurs. En retirant les\n$30$ hommes, il reste $20$ nageuses."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers non réduit : $\\dfrac{20}{200}$ est la probabilité d'être à\nla fois femme et nageuse, rapportée à tout le club."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{20}{50}$ répond à « femme\nsachant nageur », alors que la condition donnée est « femme »."
}
],
"explanation": "Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la\nsomme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le\ndénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total.",
"variants": [
{
"statement": "Un club compte $200$ adhérents, dont $80$ femmes. La natation est\npratiquée par $50$ adhérents, dont $30$ hommes. On choisit un adhérent\nau hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité\nqu'elle pratique la natation ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nageuses sont $50 - 30 = 20$, et la\ncondition réduit l'univers aux $80$ femmes :\n$\\dfrac{20}{80} = \\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Case non complétée : $50$ compte tous les nageurs. En retirant les\n$30$ hommes, il reste $20$ nageuses."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers non réduit : $\\dfrac{20}{200}$ est la probabilité d'être à\nla fois femme et nageuse, rapportée à tout le club."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{20}{50}$ répond à « femme\nsachant nageur », alors que la condition donnée est « femme »."
}
],
"explanation": "Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la\nsomme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le\ndénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total."
},
{
"statement": "Un club compte $500$ adhérents, dont $250$ femmes. La natation est\npratiquée par $80$ adhérents, dont $40$ hommes. On choisit un adhérent\nau hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité\nqu'elle pratique la natation ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{4}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nageuses sont $80 - 40 = 40$, et la\ncondition réduit l'univers aux $250$ femmes :\n$\\dfrac{40}{250} = \\dfrac{4}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Case non complétée : $80$ compte tous les nageurs. En retirant les\n$40$ hommes, il reste $40$ nageuses."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers non réduit : $\\dfrac{40}{500}$ est la probabilité d'être à\nla fois femme et nageuse, rapportée à tout le club."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{40}{80}$ répond à « femme\nsachant nageur », alors que la condition donnée est « femme »."
}
],
"explanation": "Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la\nsomme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le\ndénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total."
},
{
"statement": "Un club compte $200$ adhérents, dont $50$ femmes. La natation est\npratiquée par $40$ adhérents, dont $28$ hommes. On choisit un adhérent\nau hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité\nqu'elle pratique la natation ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{6}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nageuses sont $40 - 28 = 12$, et la\ncondition réduit l'univers aux $50$ femmes :\n$\\dfrac{12}{50} = \\dfrac{6}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Case non complétée : $40$ compte tous les nageurs. En retirant les\n$28$ hommes, il reste $12$ nageuses."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{50}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers non réduit : $\\dfrac{12}{200}$ est la probabilité d'être à\nla fois femme et nageuse, rapportée à tout le club."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{12}{40}$ répond à « femme\nsachant nageur », alors que la condition donnée est « femme »."
}
],
"explanation": "Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la\nsomme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le\ndénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total."
},
{
"statement": "Un club compte $300$ adhérents, dont $120$ femmes. La natation est\npratiquée par $60$ adhérents, dont $45$ hommes. On choisit un adhérent\nau hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité\nqu'elle pratique la natation ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les nageuses sont $60 - 45 = 15$, et la\ncondition réduit l'univers aux $120$ femmes :\n$\\dfrac{15}{120} = \\dfrac{1}{8}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Case non complétée : $60$ compte tous les nageurs. En retirant les\n$45$ hommes, il reste $15$ nageuses."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers non réduit : $\\dfrac{15}{300}$ est la probabilité d'être à\nla fois femme et nageuse, rapportée à tout le club."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{15}{60}$ répond à « femme\nsachant nageur », alors que la condition donnée est « femme »."
}
],
"explanation": "Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la\nsomme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le\ndénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tirage-avec-remise",
"au-moins-un"
],
"title": "Au moins une rouge, avec remise",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une\nboule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité\n$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}$, d'où\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire non retourné : $\\dfrac{9}{25}$ est la probabilité de n'obtenir\naucune rouge. L'événement demandé en est le complément."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est\nqu'un cas particulier de « au moins une rouge »."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : ajouter deux fois $\\dfrac{2}{5}$ compte deux\nfois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège."
}
],
"explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux\nbranches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe\npar le contraire « aucun » : un seul produit, puis\n$P = 1 - P(\\text{aucune rouge})$.",
"variants": [
{
"statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une\nboule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{16}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité\n$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}$, d'où\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire non retourné : $\\dfrac{9}{25}$ est la probabilité de n'obtenir\naucune rouge. L'événement demandé en est le complément."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est\nqu'un cas particulier de « au moins une rouge »."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : ajouter deux fois $\\dfrac{2}{5}$ compte deux\nfois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège."
}
],
"explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux\nbranches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe\npar le contraire « aucun » : un seul produit, puis\n$P = 1 - P(\\text{aucune rouge})$."
},
{
"statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues. On tire une\nboule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{39}{64}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité\n$\\dfrac{5}{8} \\times \\dfrac{5}{8} = \\dfrac{25}{64}$, d'où\n$1 - \\dfrac{25}{64} = \\dfrac{39}{64}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{25}{64}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire non retourné : $\\dfrac{25}{64}$ est la probabilité de n'obtenir\naucune rouge. L'événement demandé en est le complément."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{64}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est\nqu'un cas particulier de « au moins une rouge »."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : ajouter deux fois $\\dfrac{3}{8}$ compte deux\nfois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège."
}
],
"explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux\nbranches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe\npar le contraire « aucun » : un seul produit, puis\n$P = 1 - P(\\text{aucune rouge})$."
},
{
"statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $6$ boules bleues. On tire une\nboule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{16}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité\n$\\dfrac{6}{8} \\times \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{9}{16}$, d'où\n$1 - \\dfrac{9}{16} = \\dfrac{7}{16}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{9}{16}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire non retourné : $\\dfrac{9}{16}$ est la probabilité de n'obtenir\naucune rouge. L'événement demandé en est le complément."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{16}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est\nqu'un cas particulier de « au moins une rouge »."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : ajouter deux fois $\\dfrac{2}{8}$ compte deux\nfois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège."
}
],
"explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux\nbranches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe\npar le contraire « aucun » : un seul produit, puis\n$P = 1 - P(\\text{aucune rouge})$."
},
{
"statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $5$ boules bleues. On tire une\nboule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{56}{81}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité\n$\\dfrac{5}{9} \\times \\dfrac{5}{9} = \\dfrac{25}{81}$, d'où\n$1 - \\dfrac{25}{81} = \\dfrac{56}{81}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{25}{81}$",
"correct": false,
"feedback": "Contraire non retourné : $\\dfrac{25}{81}$ est la probabilité de n'obtenir\naucune rouge. L'événement demandé en est le complément."
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{81}$",
"correct": false,
"feedback": "Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est\nqu'un cas particulier de « au moins une rouge »."
},
{
"text": "$\\dfrac{8}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : ajouter deux fois $\\dfrac{4}{9}$ compte deux\nfois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège."
}
],
"explanation": "Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux\nbranches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe\npar le contraire « aucun » : un seul produit, puis\n$P = 1 - P(\\text{aucune rouge})$."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"deux-des",
"loi-des-grands-nombres"
],
"title": "Combien de fois cette somme ?",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un\nprogramme simule $3\\,960$ lancers. Environ combien de fois la somme\n$5$ devrait-elle apparaître ?",
"options": [
{
"text": "environ $440$ fois",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4$ couples donnent la somme $5$, soit une\nprobabilité $\\dfrac{4}{36}$, et\n$3\\,960 \\times \\dfrac{4}{36} = 440$."
},
{
"text": "environ $360$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de $2$ à $12$ n'ont\npas le même poids, celle-ci s'obtient de $4$ façons sur $36$."
},
{
"text": "environ $660$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité d'un dé unique : $\\dfrac{1}{6}$ vaut pour une face, pas\npour une somme obtenue avec deux dés."
},
{
"text": "environ $110$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Un seul couple compté : $4$ couples différents donnent la somme\n$5$, ce qui multiplie d'autant le résultat."
}
],
"explanation": "Deux dés forment un univers de $36$ couples équiprobables. La loi des\ngrands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions\nobservées : sur $3\\,960$ lancers, on en attend environ $440$, à des\nfluctuations près.",
"variants": [
{
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un\nprogramme simule $3\\,960$ lancers. Environ combien de fois la somme\n$5$ devrait-elle apparaître ?",
"options": [
{
"text": "environ $440$ fois",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4$ couples donnent la somme $5$, soit une\nprobabilité $\\dfrac{4}{36}$, et\n$3\\,960 \\times \\dfrac{4}{36} = 440$."
},
{
"text": "environ $360$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de $2$ à $12$ n'ont\npas le même poids, celle-ci s'obtient de $4$ façons sur $36$."
},
{
"text": "environ $660$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité d'un dé unique : $\\dfrac{1}{6}$ vaut pour une face, pas\npour une somme obtenue avec deux dés."
},
{
"text": "environ $110$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Un seul couple compté : $4$ couples différents donnent la somme\n$5$, ce qui multiplie d'autant le résultat."
}
],
"explanation": "Deux dés forment un univers de $36$ couples équiprobables. La loi des\ngrands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions\nobservées : sur $3\\,960$ lancers, on en attend environ $440$, à des\nfluctuations près."
},
{
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un\nprogramme simule $1\\,980$ lancers. Environ combien de fois la somme\n$4$ devrait-elle apparaître ?",
"options": [
{
"text": "environ $165$ fois",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3$ couples donnent la somme $4$, soit une\nprobabilité $\\dfrac{3}{36}$, et\n$1\\,980 \\times \\dfrac{3}{36} = 165$."
},
{
"text": "environ $180$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de $2$ à $12$ n'ont\npas le même poids, celle-ci s'obtient de $3$ façons sur $36$."
},
{
"text": "environ $330$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité d'un dé unique : $\\dfrac{1}{6}$ vaut pour une face, pas\npour une somme obtenue avec deux dés."
},
{
"text": "environ $55$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Un seul couple compté : $3$ couples différents donnent la somme\n$4$, ce qui multiplie d'autant le résultat."
}
],
"explanation": "Deux dés forment un univers de $36$ couples équiprobables. La loi des\ngrands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions\nobservées : sur $1\\,980$ lancers, on en attend environ $165$, à des\nfluctuations près."
},
{
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un\nprogramme simule $5\\,940$ lancers. Environ combien de fois la somme\n$9$ devrait-elle apparaître ?",
"options": [
{
"text": "environ $660$ fois",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4$ couples donnent la somme $9$, soit une\nprobabilité $\\dfrac{4}{36}$, et\n$5\\,940 \\times \\dfrac{4}{36} = 660$."
},
{
"text": "environ $540$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de $2$ à $12$ n'ont\npas le même poids, celle-ci s'obtient de $4$ façons sur $36$."
},
{
"text": "environ $990$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité d'un dé unique : $\\dfrac{1}{6}$ vaut pour une face, pas\npour une somme obtenue avec deux dés."
},
{
"text": "environ $165$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Un seul couple compté : $4$ couples différents donnent la somme\n$9$, ce qui multiplie d'autant le résultat."
}
],
"explanation": "Deux dés forment un univers de $36$ couples équiprobables. La loi des\ngrands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions\nobservées : sur $5\\,940$ lancers, on en attend environ $660$, à des\nfluctuations près."
},
{
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un\nprogramme simule $2\\,376$ lancers. Environ combien de fois la somme\n$6$ devrait-elle apparaître ?",
"options": [
{
"text": "environ $330$ fois",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5$ couples donnent la somme $6$, soit une\nprobabilité $\\dfrac{5}{36}$, et\n$2\\,376 \\times \\dfrac{5}{36} = 330$."
},
{
"text": "environ $216$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de $2$ à $12$ n'ont\npas le même poids, celle-ci s'obtient de $5$ façons sur $36$."
},
{
"text": "environ $396$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Probabilité d'un dé unique : $\\dfrac{1}{6}$ vaut pour une face, pas\npour une somme obtenue avec deux dés."
},
{
"text": "environ $66$ fois",
"correct": false,
"feedback": "Un seul couple compté : $5$ couples différents donnent la somme\n$6$, ce qui multiplie d'autant le résultat."
}
],
"explanation": "Deux dés forment un univers de $36$ couples équiprobables. La loi des\ngrands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions\nobservées : sur $2\\,376$ lancers, on en attend environ $330$, à des\nfluctuations près."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"simulation",
"loi-grands-nombres",
"modele"
],
"title": "Estimer une probabilité inconnue",
"partie": "modele",
"statement": "On cherche à connaître la probabilité de gagner à un jeu dont le\nmécanisme n'est pas public. Un programme simule $40$ parties, dont $26$\nsont gagnées. Que peut-on en conclure ?",
"options": [
{
"text": "La fréquence $0{,}65$ en donne une estimation grossière",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée estime la probabilité, mais\n$40$ parties restent peu nombreuses. En simuler davantage\nresserrerait l'estimation."
},
{
"text": "La probabilité de gagner vaut exactement $0{,}65$",
"correct": false,
"feedback": "Fréquence prise pour une probabilité : une autre série de $40$\nparties donnerait un autre résultat. L'observation estime, elle ne\ndétermine pas."
},
{
"text": "Rien : une simulation ne renseigne jamais sur une probabilité",
"correct": false,
"feedback": "Prudence excessive : estimer une probabilité inconnue par la\nfréquence observée est précisément l'usage de la loi des grands\nnombres."
},
{
"text": "La probabilité vaut $0{,}5$, puisqu'on gagne ou on perd",
"correct": false,
"feedback": "Équiprobabilité décrétée : deux issues ne font pas deux chances\négales, et l'observation suggère ici le contraire."
}
],
"explanation": "Quand le modèle n'est pas connu, on l'estime : la fréquence observée sur\nun grand nombre de répétitions approche la probabilité. Le nombre de\nrépétitions décide de la confiance accordée à l'estimation, et quelques\ndizaines de parties ne suffisent pas à trancher finement."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 3,
"skills": [
"sans-remise",
"calcul"
],
"title": "Une de chaque couleur",
"partie": "deux-epreuves",
"statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire\nsuccessivement deux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir une boule de chaque couleur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{8}{15}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et\n« bleue puis rouge », chacun de probabilité\n$\\dfrac{4}{6} \\times \\dfrac{2}{5}$. Leur somme vaut $\\dfrac{8}{15}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et\ndouble le résultat, qui vaut $\\dfrac{8}{15}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi $5$\nboules seulement, et non $6$."
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Branches additionnées : le résultat dépasse $1$, ce qui est\nimpossible. Le long d'un chemin, on multiplie."
}
],
"explanation": "Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur $5$ boules.\n« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie\nle long de chacun, puis on additionne les deux résultats.",
"variants": [
{
"statement": "Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire\nsuccessivement deux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir une boule de chaque couleur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{8}{15}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et\n« bleue puis rouge », chacun de probabilité\n$\\dfrac{4}{6} \\times \\dfrac{2}{5}$. Leur somme vaut $\\dfrac{8}{15}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et\ndouble le résultat, qui vaut $\\dfrac{8}{15}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{4}{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi $5$\nboules seulement, et non $6$."
},
{
"text": "$\\dfrac{16}{15}$",
"correct": false,
"feedback": "Branches additionnées : le résultat dépasse $1$, ce qui est\nimpossible. Le long d'un chemin, on multiplie."
}
],
"explanation": "Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur $5$ boules.\n« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie\nle long de chacun, puis on additionne les deux résultats."
},
{
"statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire\nsuccessivement deux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir une boule de chaque couleur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{7}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et\n« bleue puis rouge », chacun de probabilité\n$\\dfrac{6}{8} \\times \\dfrac{2}{7}$. Leur somme vaut $\\dfrac{3}{7}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et\ndouble le résultat, qui vaut $\\dfrac{3}{7}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi $7$\nboules seulement, et non $8$."
},
{
"text": "$\\dfrac{29}{28}$",
"correct": false,
"feedback": "Branches additionnées : le résultat dépasse $1$, ce qui est\nimpossible. Le long d'un chemin, on multiplie."
}
],
"explanation": "Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur $7$ boules.\n« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie\nle long de chacun, puis on additionne les deux résultats."
},
{
"statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues. On tire\nsuccessivement deux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir une boule de chaque couleur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{15}{28}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et\n« bleue puis rouge », chacun de probabilité\n$\\dfrac{3}{8} \\times \\dfrac{5}{7}$. Leur somme vaut $\\dfrac{15}{28}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{56}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et\ndouble le résultat, qui vaut $\\dfrac{15}{28}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{15}{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi $7$\nboules seulement, et non $8$."
},
{
"text": "$\\dfrac{61}{56}$",
"correct": false,
"feedback": "Branches additionnées : le résultat dépasse $1$, ce qui est\nimpossible. Le long d'un chemin, on multiplie."
}
],
"explanation": "Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur $7$ boules.\n« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie\nle long de chacun, puis on additionne les deux résultats."
},
{
"statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $7$ boules bleues. On tire\nsuccessivement deux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir une boule de chaque couleur ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{18}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et\n« bleue puis rouge », chacun de probabilité\n$\\dfrac{2}{9} \\times \\dfrac{7}{8}$. Leur somme vaut $\\dfrac{7}{18}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et\ndouble le résultat, qui vaut $\\dfrac{7}{18}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{28}{81}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi $8$\nboules seulement, et non $9$."
},
{
"text": "$\\dfrac{79}{72}$",
"correct": false,
"feedback": "Branches additionnées : le résultat dépasse $1$, ce qui est\nimpossible. Le long d'un chemin, on multiplie."
}
],
"explanation": "Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur $8$ boules.\n« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie\nle long de chacun, puis on additionne les deux résultats."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"arbre",
"intersection"
],
"title": "Deux fournisseurs, une pièce de B défectueuse",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Un atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une\npièce vienne du fournisseur $A$ vaut $\\dfrac{3}{5}$, sinon elle vient de $B$. Une\npièce de $A$ est défectueuse avec une probabilité $\\dfrac{1}{20}$, une pièce de\n$B$ avec une probabilité $\\dfrac{1}{10}$. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nprise au hasard vienne de $B$ et soit défectueuse ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on suit le seul chemin « $B$ puis défaut » et\non multiplie ses pondérations :\n$\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{1}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement confondu : $\\dfrac{1}{10}$ est la probabilité qu'une\npièce soit défectueuse **sachant** qu'elle vient de $B$. Il\nreste à la multiplier par $P(B) = \\dfrac{2}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin incomplet : $\\dfrac{2}{5}$ est seulement la probabilité que la\npièce vienne de $B$, défectueuse ou non."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais chemin : $\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{3}{100}$ est la\nprobabilité qu'une pièce vienne de $A$ et soit défectueuse."
}
],
"explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes pondérations de ses branches :\n$P(B \\cap D) = P(B) \\times P_B(D)$.",
"variants": [
{
"statement": "Un atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une\npièce vienne du fournisseur $A$ vaut $\\dfrac{3}{5}$, sinon elle vient de $B$. Une\npièce de $A$ est défectueuse avec une probabilité $\\dfrac{1}{20}$, une pièce de\n$B$ avec une probabilité $\\dfrac{1}{10}$. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nprise au hasard vienne de $B$ et soit défectueuse ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{25}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on suit le seul chemin « $B$ puis défaut » et\non multiplie ses pondérations :\n$\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{1}{25}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement confondu : $\\dfrac{1}{10}$ est la probabilité qu'une\npièce soit défectueuse **sachant** qu'elle vient de $B$. Il\nreste à la multiplier par $P(B) = \\dfrac{2}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin incomplet : $\\dfrac{2}{5}$ est seulement la probabilité que la\npièce vienne de $B$, défectueuse ou non."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais chemin : $\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{3}{100}$ est la\nprobabilité qu'une pièce vienne de $A$ et soit défectueuse."
}
],
"explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes pondérations de ses branches :\n$P(B \\cap D) = P(B) \\times P_B(D)$."
},
{
"statement": "Un atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une\npièce vienne du fournisseur $A$ vaut $\\dfrac{2}{5}$, sinon elle vient de $B$. Une\npièce de $A$ est défectueuse avec une probabilité $\\dfrac{1}{5}$, une pièce de\n$B$ avec une probabilité $\\dfrac{1}{20}$. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nprise au hasard vienne de $B$ et soit défectueuse ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{100}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on suit le seul chemin « $B$ puis défaut » et\non multiplie ses pondérations :\n$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{3}{100}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement confondu : $\\dfrac{1}{20}$ est la probabilité qu'une\npièce soit défectueuse **sachant** qu'elle vient de $B$. Il\nreste à la multiplier par $P(B) = \\dfrac{3}{5}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin incomplet : $\\dfrac{3}{5}$ est seulement la probabilité que la\npièce vienne de $B$, défectueuse ou non."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais chemin : $\\dfrac{2}{5} \\times \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{2}{25}$ est la\nprobabilité qu'une pièce vienne de $A$ et soit défectueuse."
}
],
"explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes pondérations de ses branches :\n$P(B \\cap D) = P(B) \\times P_B(D)$."
},
{
"statement": "Un atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une\npièce vienne du fournisseur $A$ vaut $\\dfrac{3}{4}$, sinon elle vient de $B$. Une\npièce de $A$ est défectueuse avec une probabilité $\\dfrac{1}{25}$, une pièce de\n$B$ avec une probabilité $\\dfrac{1}{5}$. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nprise au hasard vienne de $B$ et soit défectueuse ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on suit le seul chemin « $B$ puis défaut » et\non multiplie ses pondérations :\n$\\dfrac{1}{4} \\times \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{1}{20}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement confondu : $\\dfrac{1}{5}$ est la probabilité qu'une\npièce soit défectueuse **sachant** qu'elle vient de $B$. Il\nreste à la multiplier par $P(B) = \\dfrac{1}{4}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin incomplet : $\\dfrac{1}{4}$ est seulement la probabilité que la\npièce vienne de $B$, défectueuse ou non."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais chemin : $\\dfrac{3}{4} \\times \\dfrac{1}{25} = \\dfrac{3}{100}$ est la\nprobabilité qu'une pièce vienne de $A$ et soit défectueuse."
}
],
"explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes pondérations de ses branches :\n$P(B \\cap D) = P(B) \\times P_B(D)$."
},
{
"statement": "Un atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une\npièce vienne du fournisseur $A$ vaut $\\dfrac{3}{10}$, sinon elle vient de $B$. Une\npièce de $A$ est défectueuse avec une probabilité $\\dfrac{1}{10}$, une pièce de\n$B$ avec une probabilité $\\dfrac{1}{20}$. Quelle est la probabilité qu'une pièce\nprise au hasard vienne de $B$ et soit défectueuse ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{7}{200}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on suit le seul chemin « $B$ puis défaut » et\non multiplie ses pondérations :\n$\\dfrac{7}{10} \\times \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{7}{200}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement confondu : $\\dfrac{1}{20}$ est la probabilité qu'une\npièce soit défectueuse **sachant** qu'elle vient de $B$. Il\nreste à la multiplier par $P(B) = \\dfrac{7}{10}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Chemin incomplet : $\\dfrac{7}{10}$ est seulement la probabilité que la\npièce vienne de $B$, défectueuse ou non."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais chemin : $\\dfrac{3}{10} \\times \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{3}{100}$ est la\nprobabilité qu'une pièce vienne de $A$ et soit défectueuse."
}
],
"explanation": "Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit\ndes pondérations de ses branches :\n$P(B \\cap D) = P(B) \\times P_B(D)$."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-vs-conditionnelle",
"inversion"
],
"title": "Ce qu'une conditionnelle ne dit pas",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "Dans un lycée, on sait seulement que\n$P_{\\text{interne}}(\\text{sportif}) = 0{,}6$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "Rien : $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif})$ reste inconnue",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif}) =\nP(\\text{interne}) \\times 0{,}6$, et la part des internes dans le\nlycée n'est pas donnée."
},
{
"text": "Que $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif})$ vaut aussi $0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre « et » et « sachant » : $0{,}6$ se rapporte aux seuls\ninternes. Rapportée à tout le lycée, l'intersection est plus petite."
},
{
"text": "Que $P_{\\text{sportif}}(\\text{interne})$ vaut $0{,}6$ par symétrie",
"correct": false,
"feedback": "Inversion du conditionnement : cette seconde probabilité a pour\ndénominateur l'effectif des sportifs, et non celui des internes."
},
{
"text": "Que les internes sont plus sportifs que les élèves externes",
"correct": false,
"feedback": "Comparaison non fondée : aucune information n'est donnée sur les\nélèves externes, avec lesquels il faudrait comparer."
}
],
"explanation": "Une probabilité conditionnelle mesure une proportion à l'intérieur de la\ncondition. Pour en tirer l'intersection, on multiplie par la probabilité\nde la condition : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$. Échanger les rôles\nde $A$ et de $B$ change le dénominateur, donc le résultat."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 2,
"skills": [
"echantillonnage",
"frequence"
],
"title": "Fréquence observée",
"partie": "modele",
"statement": "On lance $100$ fois une pièce équilibrée et on obtient $56$ fois « pile\n». Quelle est la fréquence observée de « pile » ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "$0{,}5$ est la probabilité de « pile » pour une pièce équilibrée. La\nfréquence observée se calcule sur les lancers réalisés :\n$\\dfrac{56}{100}$.\n"
},
{
"text": "$56$",
"correct": false,
"feedback": "$56$ est l'effectif de « pile ». La fréquence est cet effectif divisé\npar le nombre de lancers.\n"
},
{
"text": "$0{,}44$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la fréquence de « face » : $\\dfrac{44}{100}$.\n"
},
{
"text": "$0{,}56$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{56}{100} = 0{,}56$.\n"
}
],
"explanation": "La fréquence observée d'un résultat est le quotient de son effectif par\nla taille de l'échantillon. Elle varie d'un échantillon à l'autre,\nautour de la probabilité."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sensibilite",
"faux-positifs",
"conditionnelle"
],
"title": "La sensibilité d'un test",
"partie": "conditionnelles",
"statement": "On applique un test de dépistage à $1000$ personnes. Parmi les\n$100$ personnes malades, $90$ ont un test positif ; parmi les\n$900$ personnes saines, $45$ ont aussi un test positif. La\n**sensibilité** du test est la probabilité qu'il soit positif\nsachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{90}{100}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place parmi les $100$ malades et on\ncompte les tests positifs : $P_M(T) = \\dfrac{90}{100}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{90}{135}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{90}{135}$ est la part de\nmalades parmi les $135$ tests positifs, soit $P_T(M)$, et non\n$P_M(T)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{855}{900}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{855}{900}$ est la part de tests négatifs\nparmi les personnes saines, c'est-à-dire la **spécificité**\ndu test."
},
{
"text": "$\\dfrac{90}{1000}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{90}{1000}$ est la probabilité\nd'être malade **et** positif, $P(M \\cap T)$, rapportée à toute\nla population."
}
],
"explanation": "Sensibilité : $P_M(T)$, la capacité du test à repérer les\nmalades. Spécificité : $P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, sa\ncapacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont\nles personnes saines au test positif.",
"variants": [
{
"statement": "On applique un test de dépistage à $1000$ personnes. Parmi les\n$100$ personnes malades, $90$ ont un test positif ; parmi les\n$900$ personnes saines, $45$ ont aussi un test positif. La\n**sensibilité** du test est la probabilité qu'il soit positif\nsachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{90}{100}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place parmi les $100$ malades et on\ncompte les tests positifs : $P_M(T) = \\dfrac{90}{100}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{90}{135}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{90}{135}$ est la part de\nmalades parmi les $135$ tests positifs, soit $P_T(M)$, et non\n$P_M(T)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{855}{900}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{855}{900}$ est la part de tests négatifs\nparmi les personnes saines, c'est-à-dire la **spécificité**\ndu test."
},
{
"text": "$\\dfrac{90}{1000}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{90}{1000}$ est la probabilité\nd'être malade **et** positif, $P(M \\cap T)$, rapportée à toute\nla population."
}
],
"explanation": "Sensibilité : $P_M(T)$, la capacité du test à repérer les\nmalades. Spécificité : $P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, sa\ncapacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont\nles personnes saines au test positif."
},
{
"statement": "On applique un test de dépistage à $1000$ personnes. Parmi les\n$60$ personnes malades, $48$ ont un test positif ; parmi les\n$940$ personnes saines, $94$ ont aussi un test positif. La\n**sensibilité** du test est la probabilité qu'il soit positif\nsachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{48}{60}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place parmi les $60$ malades et on\ncompte les tests positifs : $P_M(T) = \\dfrac{48}{60}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{48}{142}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{48}{142}$ est la part de\nmalades parmi les $142$ tests positifs, soit $P_T(M)$, et non\n$P_M(T)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{846}{940}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{846}{940}$ est la part de tests négatifs\nparmi les personnes saines, c'est-à-dire la **spécificité**\ndu test."
},
{
"text": "$\\dfrac{48}{1000}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{48}{1000}$ est la probabilité\nd'être malade **et** positif, $P(M \\cap T)$, rapportée à toute\nla population."
}
],
"explanation": "Sensibilité : $P_M(T)$, la capacité du test à repérer les\nmalades. Spécificité : $P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, sa\ncapacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont\nles personnes saines au test positif."
},
{
"statement": "On applique un test de dépistage à $1000$ personnes. Parmi les\n$40$ personnes malades, $38$ ont un test positif ; parmi les\n$960$ personnes saines, $96$ ont aussi un test positif. La\n**sensibilité** du test est la probabilité qu'il soit positif\nsachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{38}{40}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place parmi les $40$ malades et on\ncompte les tests positifs : $P_M(T) = \\dfrac{38}{40}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{38}{134}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{38}{134}$ est la part de\nmalades parmi les $134$ tests positifs, soit $P_T(M)$, et non\n$P_M(T)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{864}{960}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{864}{960}$ est la part de tests négatifs\nparmi les personnes saines, c'est-à-dire la **spécificité**\ndu test."
},
{
"text": "$\\dfrac{38}{1000}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{38}{1000}$ est la probabilité\nd'être malade **et** positif, $P(M \\cap T)$, rapportée à toute\nla population."
}
],
"explanation": "Sensibilité : $P_M(T)$, la capacité du test à repérer les\nmalades. Spécificité : $P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, sa\ncapacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont\nles personnes saines au test positif."
},
{
"statement": "On applique un test de dépistage à $1000$ personnes. Parmi les\n$150$ personnes malades, $135$ ont un test positif ; parmi les\n$850$ personnes saines, $170$ ont aussi un test positif. La\n**sensibilité** du test est la probabilité qu'il soit positif\nsachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{135}{150}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place parmi les $150$ malades et on\ncompte les tests positifs : $P_M(T) = \\dfrac{135}{150}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{135}{305}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{135}{305}$ est la part de\nmalades parmi les $305$ tests positifs, soit $P_T(M)$, et non\n$P_M(T)$."
},
{
"text": "$\\dfrac{680}{850}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{680}{850}$ est la part de tests négatifs\nparmi les personnes saines, c'est-à-dire la **spécificité**\ndu test."
},
{
"text": "$\\dfrac{135}{1000}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais dénominateur : $\\dfrac{135}{1000}$ est la probabilité\nd'être malade **et** positif, $P(M \\cap T)$, rapportée à toute\nla population."
}
],
"explanation": "Sensibilité : $P_M(T)$, la capacité du test à repérer les\nmalades. Spécificité : $P_{\\overline{M}}(\\overline{T})$, sa\ncapacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont\nles personnes saines au test positif."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"echantillonnage",
"fluctuation"
],
"title": "Taille de l'échantillon",
"partie": "modele",
"statement": "Que se passe-t-il pour les fréquences observées quand on augmente la\ntaille des échantillons ?",
"options": [
{
"text": "Elles fluctuent davantage autour de la proportion.",
"correct": false,
"feedback": "C'est l'inverse : plus l'échantillon est grand, plus les\nfréquences observées se resserrent autour de la proportion.\n"
},
{
"text": "Elles deviennent toutes égales à la proportion.",
"correct": false,
"feedback": "La fluctuation diminue mais ne disparaît pas : deux échantillons, même\ngrands, donnent en général des fréquences différentes.\n"
},
{
"text": "Elles fluctuent moins autour de la proportion.",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la loi des grands nombres ; plus $n$\nest grand, plus la fréquence observée est proche de $p$, sauf\nexception.\n"
},
{
"text": "La proportion dans la population change.",
"correct": false,
"feedback": "La proportion $p$ est une donnée de la population : la taille des\néchantillons ne la modifie pas.\n"
}
],
"explanation": "Plus les échantillons sont grands, plus les fréquences observées se\nresserrent autour de la proportion $p$ : c'est ce qui permet d'estimer\nune proportion à partir d'un échantillon."
}
]
}