{
"chapter": {
"id": "variations-extremums",
"level": "seconde",
"theme": "Fonctions",
"title": "Variations et extremums",
"description": "Croissance et décroissance sur un intervalle, tableaux de\nvariations, maximum et minimum, variations des fonctions affines\n(signe du coefficient directeur), des fonctions carré et inverse,\nlectures graphiques et problèmes d'optimisation.",
"parties": [
{
"id": "sens-variation",
"title": "Sens de variation"
},
{
"id": "tableaux",
"title": "Tableaux de variations"
},
{
"id": "extremums",
"title": "Extremums et optimisation"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"croissance"
],
"title": "Définition d'une fonction croissante",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?",
"options": [
{
"text": "Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors\n$f(a) \\leq f(b)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante **conserve\nl'ordre** : des antécédents rangés donnent des images\nrangées dans le même sens."
},
{
"text": "$f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion signe/variations : une fonction peut être\nnégative et croissante (elle monte en restant sous\nl'axe). Le signe dit où est la courbe, pas où elle va."
},
{
"text": "La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "Même confusion : être au-dessus de l'axe signifie\n$f > 0$. La croissance parle du sens de parcours de la\ncourbe (elle monte)."
},
{
"text": "$f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : « pour certains » ne suffit pas ; la\ndéfinition exige la conservation de l'ordre pour **tous**\nles couples de $I$."
}
],
"explanation": "$f$ croissante sur $I$ : pour tous $a, b \\in I$, $a < b\n\\Rightarrow f(a) \\leq f(b)$ (ordre conservé) ; décroissante :\nordre renversé. À bien distinguer du **signe** de $f$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"extremum"
],
"title": "Lire un maximum sur la courbe",
"partie": "extremums",
"statement": "La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur\n$[-4\\,;\\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur\nest-il atteint ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);\n \\draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{4*\\x/(\\x*\\x+1)});\n \\draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);\n \\draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);\n \\node[blue,font=\\small] at (3.4,1.35) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une courbe qui monte depuis (-4 ; -0,9)\nenviron, passe par l'origine, culmine au point (1 ; 2) marqué\nen pointillés, puis redescend vers (4 ; 0,9). Elle possède\naussi un minimum en (-1 ; -2), marqué en pointillés.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point le plus haut de la courbe est\n$(1\\,;\\,2)$ : la plus grande **image** est $2$, prise en\nl'antécédent $1$."
},
{
"text": "Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Inversion classique : le maximum est l'**ordonnée** du\nsommet ($2$), et il est atteint **en** l'abscisse $1$.\nNe pas échanger les deux nombres."
},
{
"text": "Le maximum vaut $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est la borne de l'intervalle de définition\n(un antécédent extrême), pas la plus grande image. La\ncourbe ne monte jamais au-dessus de $2$."
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : c'est justement parce qu'elle monte puis\nredescend que le sommet $(1\\,;\\,2)$ est un maximum,\natteint par la fonction."
}
],
"explanation": "Le maximum de $f$ est la plus grande **valeur** prise\n(ordonnée du point le plus haut), « atteint en » son\nantécédent : ici $f(1) = 2$. Formulation complète : « le\nmaximum de $f$ vaut $2$, atteint en $x = 1$ »."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"variations"
],
"title": "Lire les variations sur la courbe",
"partie": "tableaux",
"statement": "D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction\n$f$ est-elle croissante ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);\n \\draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{4*\\x/(\\x*\\x+1)});\n \\draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);\n \\draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);\n \\node[blue,font=\\small] at (3.4,1.35) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une courbe qui descend de (-4 ; -0,9)\nenviron jusqu'au minimum (-1 ; -2), monte ensuite jusqu'au\nmaximum (1 ; 2) en traversant l'origine, puis redescend vers\n(4 ; 0,9). Les points extrêmes sont marqués en pointillés.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe monte du creux $(-1\\,;\\,-2)$\njusqu'au sommet $(1\\,;\\,2)$ : c'est l'intervalle de\ncroissance."
},
{
"text": "Sur $[0\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de bornes : la montée commence dès le minimum en\n$x = -1$ et s'arrête au maximum en $x = 1$ (après quoi la\ncourbe redescend)."
},
{
"text": "Sur $[-2\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Trop large : en $x = -1{,}5$ la courbe descend encore, et\nen $x = 1{,}5$ elle redescend déjà. Les variations changent\nexactement aux extremums."
},
{
"text": "Sur $[-4\\,;\\,-1]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur cet intervalle la courbe **descend** (elle\nplonge vers le minimum). C'est un intervalle de\ndécroissance."
}
],
"explanation": "Les intervalles de variations se délimitent aux **abscisses\ndes extremums** : décroissante sur $[-4\\,;\\,-1]$, croissante\nsur $[-1\\,;\\,1]$, décroissante sur $[1\\,;\\,4]$. On les\nconsigne dans un tableau de variations."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"comparaison"
],
"title": "Comparer des images sans calcul",
"partie": "tableaux",
"statement": "Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\\,;\\,10]$. Comment se\ncomparent $f(3)$ et $f(7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\leq f(7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3 < 7$ et $f$ croissante : l'ordre des\nantécédents se transmet aux images."
},
{
"text": "$f(3) \\geq f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
},
{
"text": "$f(3) = f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'égalité systématique caractérise une fonction\n**constante**. La croissance ne l'impose pas."
},
{
"text": "On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est toute la puissance de l'information\n« croissante » : elle permet de comparer les images\n**sans aucun calcul**."
}
],
"explanation": "Utilisation type des variations : $f$ croissante sur $I$ et\n$a < b$ dans $I$ $\\Rightarrow$ $f(a) \\leq f(b)$. Comparer des\nimages sans formule, juste avec le tableau de variations."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 1,
"skills": [
"affine",
"variations"
],
"title": "Variations d'une fonction affine",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Quel est le sens de variation de la fonction affine $f(x) =\n3x - 5$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Strictement croissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une affine $f(x) = mx + p$, tout se\nlit sur le signe de $m$ : ici $m = 3 > 0$, la fonction\nmonte de $3$ par unité ($f(0) = -5$, $f(1) = -2$)."
},
{
"text": "Strictement décroissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-5$ est l'ordonnée à l'origine, elle place la\ndroite mais ne donne pas son inclinaison. Le sens de\nvariation dépend de $m = 3 > 0$ : $f(0) = -5$ puis $f(1)\n= -2$, la fonction monte."
},
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,\\tfrac{5}{3}]$, puis\ncroissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une fonction affine est représentée par une\n**droite**, elle garde le même sens de variation sur\ntout $\\mathbb{R}$. En $x = \\frac{5}{3}$ la fonction\ns'annule, elle ne change pas de sens : $f(1) = -2$,\n$f(2) = 1$, $f(3) = 4$."
},
{
"text": "Constante, égale à $-5$, sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-5$ n'est que la valeur en $0$. Constante\nexigerait $m = 0$ ; ici $m = 3$, la fonction monte de\n$3$ par unité."
}
],
"explanation": "Variations d'une affine $f(x) = mx + p$ (démonstration au\nprogramme) : croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$,\nconstante si $m = 0$. L'ordonnée à l'origine $p$ n'y joue\naucun rôle."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"affine",
"calcul"
],
"title": "Retrouver une fonction affine",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et\n$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = 2x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $p = f(0) = 2$, et le taux\nd'accroissement $m = \\dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} =\n\\dfrac{8}{4} = 2$."
},
{
"text": "$f(x) = 2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0) = 2$, pas\n$10$. Contrôle : ta formule donnerait $f(0) = 10$."
},
{
"text": "$f(x) = 4x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de taux : $m = \\dfrac{10 - 2}{4 - 0} = 2$, pas\n$4$. Contrôle : $4 \\times 4 + 2 = 18 \\neq 10$."
},
{
"text": "$f(x) = 8x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est la **variation totale** $f(4) - f(0)$ ;\nle coefficient directeur la rapporte à l'écart des\nantécédents : $8 \\div 4 = 2$."
}
],
"explanation": "Déterminer une affine : $p = f(0)$ (ordonnée à l'origine) et\n$m = \\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (taux d'accroissement). Ici\n$f(x) = 2x + 2$, à vérifier sur les deux valeurs données."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"carre",
"variations"
],
"title": "Variations de la fonction carré",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, croissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la parabole descend jusqu'à son sommet\n$(0\\,;\\,0)$ puis remonte : minimum $0$ atteint en $0$."
},
{
"text": "Croissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4$ alors que $-3 < -2$ :\nsur les négatifs, le carré **décroît**."
},
{
"text": "Croissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, décroissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversés : ce tableau décrirait une parabole tournée\nvers le **bas** (comme $x \\mapsto -x^2$)."
},
{
"text": "Décroissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur les positifs, le carré croît sans conteste\n($2^2 < 3^2$). Le sens change en $0$."
}
],
"explanation": "La fonction carré décroît sur $]-\\infty\\,;\\,0]$ et croît sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$ (démonstration au programme) ; son minimum\nest $0$, atteint en $0$. Image mentale : la parabole."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inverse",
"variations",
"piege"
],
"title": "L'inverse est-elle décroissante partout ?",
"partie": "sens-variation",
"statement": "La fonction inverse est décroissante sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ et\nsur $]-\\infty\\,;\\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante\nsur l'ensemble $]-\\infty\\,;\\,0[ \\,\\cup\\, ]0\\,;\\,+\\infty[$ tout\nentier ?",
"options": [
{
"text": "Non, la décroissance ne vaut que sur chaque intervalle",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) =\n-1 < f(1) = 1$ : entre les deux branches, l'ordre est\n**conservé** et non renversé. La monotonie se déclare\ntoujours **sur un intervalle**."
},
{
"text": "Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout",
"correct": false,
"feedback": "Piège : le recollement échoue en traversant $0$ :\n$-1 < 1$ mais $\\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \\frac{1}{1}$.\nOrdre conservé, pas renversé."
},
{
"text": "Oui, car sa courbe descend de gauche à droite sur tout\nson tracé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : chaque **branche** descend, mais la\nbranche de droite est entièrement **au-dessus** de celle\nde gauche : globalement, l'ordre n'est pas renversé."
},
{
"text": "Non, car la fonction inverse est croissante sur les\nnégatifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $]-\\infty\\,;\\,0[$, l'inverse est bien\ndécroissante ($-2 < -1$ et $-\\frac{1}{2} > -1$). Le\nproblème est le **passage** d'une branche à l'autre."
}
],
"explanation": "Subtilité au programme : la fonction inverse est décroissante\nsur **chacun** des intervalles $]-\\infty\\,;\\,0[$ et\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, mais pas sur leur réunion (contre-exemple :\n$f(-1) < f(1)$). La monotonie est une notion d'intervalle."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"extremum",
"forme-canonique"
],
"title": "Extremum d'une expression $(x - a)^2 + b$",
"partie": "extremums",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-2)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 2$ : donc $f(x) \\geq 1$ et $f(2) = 1$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $1$ :\nles valeurs partent de $1$ vers le haut. $1$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 2 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 2$, et la valeur minimale est\nalors $1$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(2\\,;\\,1)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $1$ en $2$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-2)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 2$ : donc $f(x) \\geq 1$ et $f(2) = 1$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $1$ :\nles valeurs partent de $1$ vers le haut. $1$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 2 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 2$, et la valeur minimale est\nalors $1$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(2\\,;\\,1)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $1$ en $2$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 3)^2 - 2$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $-2$, atteint en $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-3)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 3$ : donc $f(x) \\geq -2$ et $f(3) = -2$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $-2$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $-2$ :\nles valeurs partent de $-2$ vers le haut. $-2$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $3$, atteint en $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 3 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 3$, et la valeur minimale est\nalors $-2$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(3\\,;\\,-2)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $-2$ en $3$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 1)^2 + 5$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $5$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-1)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 1$ : donc $f(x) \\geq 5$ et $f(1) = 5$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $5$ :\nles valeurs partent de $5$ vers le haut. $5$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 1 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 1$, et la valeur minimale est\nalors $5$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(1\\,;\\,5)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $5$ en $1$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = (x - 4)^2 + 3$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $3$, atteint en $x = 4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-4)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 4$ : donc $f(x) \\geq 3$ et $f(4) = 3$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $3$, atteint en $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $3$ :\nles valeurs partent de $3$ vers le haut. $3$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $4$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 4 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 4$, et la valeur minimale est\nalors $3$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(4\\,;\\,3)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $3$ en $4$."
}
]
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"extremum"
],
"title": "Maximum sur un intervalle",
"partie": "tableaux",
"statement": "Soit $f$ une fonction **croissante** sur $[1\\,;\\,5]$. Où $f$\natteint-elle son maximum sur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante culmine à la\nborne **droite** de l'intervalle, les images grandissent\navec les antécédents ; ce maximum vaut $f(5)$."
},
{
"text": "En $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la borne gauche porte le **minimum** d'une\nfonction croissante (elle part d'en bas)."
},
{
"text": "Le maximum vaut $5$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion antécédent/image : $5$ est l'abscisse où le\nmaximum est atteint ; le maximum lui-même est la valeur\n$f(5)$, inconnue sans plus d'information."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur un intervalle **fermé** $[1\\,;\\,5]$, une\nfonction croissante atteint ses deux extrêmes aux bornes."
}
],
"explanation": "Fonction croissante sur $[a\\,;\\,b]$ : minimum $f(a)$ à\ngauche, maximum $f(b)$ à droite. (L'inverse pour une\ndécroissante.) Distinguer toujours l'extremum (une image) de\nl'endroit où il est atteint (un antécédent)."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation",
"modelisation"
],
"title": "Un problème d'optimisation",
"partie": "extremums",
"statement": "Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos\nrectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire\nmaximale possible ?",
"options": [
{
"text": "$25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : périmètre $20$ donne largeur $x$ et\nlongueur $10 - x$ ; l'aire $x(10 - x)$ culmine en $x = 5$\n(sommet de la parabole) : un carré $5 \\times 5$."
},
{
"text": "$24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \\times 4$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $6 \\times 4 = 24$ respecte bien le périmètre,\nmais le carré $5 \\times 5 = 25$ fait mieux. Le sommet de\nla parabole $x(10-x)$ est en $x = 5$."
},
{
"text": "$100$ m$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $100 = 10 \\times 10$ exigerait $40$ m de\ngrillage. Avec un périmètre de $20$, largeur $+$ longueur\n$= 10$."
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il\nest grand",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : allonger oblige à **amincir** (le périmètre est\nfixe) : un enclos $9 \\times 1$ ne fait que $9$ m$^2$.\nL'aire monte puis redescend : maximum au carré."
}
],
"explanation": "Modélisation : $x + \\ell = 10$, aire $A(x) = x(10 - x)$,\nparabole tournée vers le bas de sommet $x = 5$ : maximum\n$A(5) = 25$ m$^2$. À périmètre fixé, le carré maximise l'aire."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-variations",
"lecture"
],
"title": "Exploiter un tableau de variations",
"partie": "tableaux",
"statement": "Une fonction $f$ définie sur $[0\\,;\\,7]$ décroît de $f(0) = 5$\nà $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel\nest le minimum de $f$ sur $[0\\,;\\,7]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$, atteint en $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau de variations est la\nplus petite valeur : $-2$, prise en $x = 3$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $3$ est l'**abscisse** où le minimum est\natteint. Le minimum lui-même est l'image $-2$."
},
{
"text": "$0$, car c'est le début de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ni la borne $0$ ni son image $f(0) = 5$ ne sont\nminimales : la fonction descend en dessous, jusqu'à $-2$."
},
{
"text": "$4$, la dernière valeur du tableau",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4 = f(7)$ n'est même pas la plus grande valeur\n(c'est $5 = f(0)$). Le minimum se lit au **creux** du\ntableau : $-2$."
}
],
"explanation": "Dans un tableau de variations, le minimum global se lit au\npoint le plus bas des flèches (ici $-2$ en $x = 3$) et le\nmaximum au point le plus haut (ici $5$ en $x = 0$) : penser à\ncomparer **toutes** les valeurs charnières."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"minimum-carre-plus-constante"
],
"title": "Minimum d'une expression $x^2 + k$",
"partie": "extremums",
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 3$, et la valeur $3$ est atteinte : minimum\n$3$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 3 = 3$ : le $+3$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$3$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(3) = 12$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+3$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 3)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 3$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 3$).",
"variants": [
{
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 3$, et la valeur $3$ est atteinte : minimum\n$3$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 3 = 3$ : le $+3$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$3$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(3) = 12$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+3$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 3)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 3$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 3$)."
},
{
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 5$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 5$, et la valeur $5$ est atteinte : minimum\n$5$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 5 = 5$ : le $+5$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$5$, atteint en $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(5) = 30$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+5$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 5)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 5$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 5$)."
},
{
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 2$, et la valeur $2$ est atteinte : minimum\n$2$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 2 = 2$ : le $+2$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$2$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(2) = 6$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+2$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 2)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 2$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 2$)."
},
{
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 6$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 6$, et la valeur $6$ est atteinte : minimum\n$6$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 6 = 6$ : le $+6$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$6$, atteint en $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(6) = 42$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+6$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 6)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 6$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 6$)."
}
]
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations",
"stricte"
],
"title": "Croissance stricte et images égales",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction est strictement croissante sur $I$. Deux nombres\ndistincts de $I$ peuvent-ils avoir la même image ?",
"options": [
{
"text": "Non, jamais",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) < f(b)$, l'inégalité étant\nstricte."
},
{
"text": "Oui, si les deux nombres sont proches",
"correct": false,
"feedback": "La proximité ne change rien : l'inégalité stricte vaut pour tout\ncouple de nombres distincts."
},
{
"text": "Oui, aux bornes de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Les bornes ne bénéficient d'aucune exception, la définition les\ninclut."
},
{
"text": "Oui, si la fonction est constante par endroits",
"correct": false,
"feedback": "Un palier contredirait la croissance stricte : celle-ci serait\nseulement large."
}
],
"explanation": "La croissance au sens large autorise des images égales, la croissance\nstricte les interdit. C'est cette différence qui garantit l'unicité de\nla solution d'une équation $f(x) = k$."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-comparaison"
],
"title": "Comparer via un tableau de variations",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\\ ;\\ 5]$.\nComment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(1) \\leq f(4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1 < 4$, tous deux dans l'intervalle de\ncroissance : l'ordre des images suit celui des\nantécédents."
},
{
"text": "$f(1) \\geq f(4)$",
"correct": false,
"feedback": "Renversement injustifié : ce serait la conclusion sur un\nintervalle de **décroissance** : ici la flèche monte."
},
{
"text": "$f(1) = f(4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'égalité systématique caractérise les\nfonctions constantes : une flèche croissante sépare les\nimages."
},
{
"text": "Impossible sans les valeurs de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est exactement le service rendu par le\ntableau : comparer sans calculer, par le seul sens de\nvariation."
}
],
"explanation": "Un tableau de variations est une machine à comparer : deux\nantécédents dans un même intervalle monotone se classent\nimmédiatement. (Deux antécédents à cheval sur un extremum :\nle tableau ne suffit plus.)"
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations-affine"
],
"title": "Variations de $f(x) = -2x + 7$",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +\n7$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Strictement décroissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une fonction affine, tout est dans le\nsigne du coefficient directeur $m$ : ici $m = -2 < 0$, la\ndroite descend de $2$ par unité ($f(0) = 7$, $f(1) = 5$)."
},
{
"text": "Strictement croissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais paramètre : c'est le signe du coefficient directeur\n$-2$ qui décide, pas celui de l'ordonnée à l'origine $7$ :\nla hauteur de départ ne dit rien de la pente. Contrôle :\n$f(0) = 7$ et $f(1) = 5$, la fonction descend."
},
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,3{,}5]$, puis croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite ne change jamais de direction. En\n$x = 3{,}5$ la fonction s'annule ($f(3{,}5) = 0$), elle\nn'atteint pas un minimum : $f(4) = -1$ puis $f(5) = -3$,\nla descente continue. Les variations en deux temps\nappartiennent aux paraboles."
},
{
"text": "Constante, égale à $7$, sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ n'est que la valeur en $0$ : $f(0) = 7$ mais\n$f(1) = 5$. Constante exigerait $m = 0$ ; ici $m = -2$, la\nfonction descend de $2$ par unité."
}
],
"explanation": "Affine $y = mx + p$ : croissante si $m > 0$, décroissante si\n$m < 0$, constante si $m = 0$. Le signe de la pente EST le\nsens de variation : la lecture la plus rapide du chapitre."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-nombre-solutions"
],
"title": "Nombre de solutions d'après un tableau",
"partie": "tableaux",
"statement": "La courbe de $f$ se trace d'un seul trait, sans lever le\ncrayon. $f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\\ ;\\ 3]$, puis croît de\n$-2$ à $6$ sur $[3\\ ;\\ 7]$. Combien de solutions a\nl'équation $f(x) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Deux",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une solution dans chaque phase. En\ndescendant de $8$ à $-2$, la fonction traverse $0$ une\nfois ; en remontant de $-2$ à $6$, une seconde fois :\ndeux passages par zéro.\n"
},
{
"text": "Une seule",
"correct": false,
"feedback": "Remontée oubliée : après le creux à $-2$, la fonction\nretraverse le niveau $0$ en remontant vers $6$.\n"
},
{
"text": "Aucune",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : $0$ n'apparaît pas dans le tableau,\nmais celui-ci n'affiche que les valeurs extrêmes ; $0$,\ncompris entre $-2$ et $8$, est atteint en chemin, puisque\nla courbe se trace sans lever le crayon.\n"
},
{
"text": "Trois",
"correct": false,
"feedback": "Trop : chaque flèche monotone traverse un niveau donné\nau plus une fois : deux flèches encadrant le creux :\ndeux solutions.\n"
}
],
"explanation": "Compter les solutions de $f(x) = k$ sur un tableau : une par\nflèche dont les valeurs encadrent $k$ strictement. Esquisser\nmentalement la courbe (descente, creux, remontée) sécurise\nle décompte."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"forme-canonique-maximum"
],
"title": "Maximum d'une expression $-(x - a)^2 + b$",
"partie": "extremums",
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 1)^2 \\geq 0$, donc $-(x-1)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 4$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 1$.\n"
},
{
"text": "$4$, atteint en $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 1)^2$ s'annule en $x =\n1$ (la valeur qui annule la parenthèse).\n"
},
{
"text": "$1$, atteint en $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $1$ est l'abscisse du sommet, $4$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $4$.\n"
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $4$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée).\n"
}
],
"explanation": "Expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint\nen $x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans\naucun calcul.",
"variants": [
{
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 1)^2 \\geq 0$, donc $-(x-1)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 4$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 1$.\n"
},
{
"text": "$4$, atteint en $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 1)^2$ s'annule en $x =\n1$ (la valeur qui annule la parenthèse).\n"
},
{
"text": "$1$, atteint en $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $1$ est l'abscisse du sommet, $4$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $4$.\n"
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $4$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée).\n"
}
],
"explanation": "Expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint\nen $x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans\naucun calcul."
},
{
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 2)^2 + 5$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 2)^2 \\geq 0$, donc $-(x-2)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 5$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 2$.\n"
},
{
"text": "$5$, atteint en $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 2)^2$ s'annule en $x =\n2$ (la valeur qui annule la parenthèse).\n"
},
{
"text": "$2$, atteint en $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $2$ est l'abscisse du sommet, $5$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $5$.\n"
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $5$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée).\n"
}
],
"explanation": "Expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint\nen $x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans\naucun calcul."
},
{
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 3)^2 + 7$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$, atteint en $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 3)^2 \\geq 0$, donc $-(x-3)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 7$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 3$.\n"
},
{
"text": "$7$, atteint en $x = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 3)^2$ s'annule en $x =\n3$ (la valeur qui annule la parenthèse).\n"
},
{
"text": "$3$, atteint en $x = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $3$ est l'abscisse du sommet, $7$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $7$.\n"
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $7$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée).\n"
}
],
"explanation": "Expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint\nen $x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans\naucun calcul."
},
{
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 5)^2 + 2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$2$, atteint en $x = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 5)^2 \\geq 0$, donc $-(x-5)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 2$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 5$.\n"
},
{
"text": "$2$, atteint en $x = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 5)^2$ s'annule en $x =\n5$ (la valeur qui annule la parenthèse).\n"
},
{
"text": "$5$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $5$ est l'abscisse du sommet, $2$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $2$.\n"
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $2$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée).\n"
}
],
"explanation": "Expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint\nen $x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans\naucun calcul."
}
]
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"extremum"
],
"title": "Où se situe le maximum",
"partie": "tableaux",
"statement": "Une fonction croît sur $[0\\,;\\,3]$ puis décroît sur $[3\\,;\\,8]$.\nEn quelle valeur son maximum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le maximum est atteint au changement de sens, là où la\nmontée s'arrête et la descente commence."
},
{
"text": "En $8$",
"correct": false,
"feedback": "La fonction décroît jusqu'en $8$, donc elle y prend au contraire sa\nplus petite valeur sur $[3\\,;\\,8]$."
},
{
"text": "En $0$",
"correct": false,
"feedback": "La fonction croît à partir de $0$, donc toutes les images suivantes\ndépassent $f(0)$."
},
{
"text": "En $4$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $4$ appartient à la phase de décroissance, donc $f(4)$ est\ndéjà inférieur à $f(3)$."
}
],
"explanation": "Sur un tableau de variations, un maximum se lit au sommet d'une flèche\nmontante suivie d'une flèche descendante. La valeur du maximum est\nl'ordonnée $f(3)$, atteinte en $x = 3$."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"image-intervalle"
],
"title": "Images d'un intervalle",
"partie": "tableaux",
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,4]$ et sa courbe se trace\nsur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a\n$f(0) = -1$ et $f(4) = 7$. Quelles valeurs les images prennent-elles\nsur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Toutes celles de $[-1\\,;\\,7]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font\nparcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.\n"
},
{
"text": "Seulement $-1$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les\nvaleurs intermédiaires.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Ensembles confondus : $[0\\,;\\,4]$ contient les nombres de départ, pas\nleurs images.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[-7\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : le minimum vaut $-1$ et le maximum $7$, dans cet\nordre.\n"
}
],
"explanation": "Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un\nintervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité\npar les images des bornes.",
"variants": [
{
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,4]$ et sa courbe se trace\nsur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a\n$f(0) = -1$ et $f(4) = 7$. Quelles valeurs les images prennent-elles\nsur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Toutes celles de $[-1\\,;\\,7]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font\nparcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.\n"
},
{
"text": "Seulement $-1$ et $7$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les\nvaleurs intermédiaires.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Ensembles confondus : $[0\\,;\\,4]$ contient les nombres de départ, pas\nleurs images.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[-7\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : le minimum vaut $-1$ et le maximum $7$, dans cet\nordre.\n"
}
],
"explanation": "Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un\nintervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité\npar les images des bornes."
},
{
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,4]$ et sa courbe se trace\nsur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a\n$f(0) = 2$ et $f(4) = 9$. Quelles valeurs les images prennent-elles\nsur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Toutes celles de $[2\\,;\\,9]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font\nparcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.\n"
},
{
"text": "Seulement $2$ et $9$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les\nvaleurs intermédiaires.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Ensembles confondus : $[0\\,;\\,4]$ contient les nombres de départ, pas\nleurs images.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[-9\\,;\\,-2]$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : le minimum vaut $2$ et le maximum $9$, dans cet\nordre.\n"
}
],
"explanation": "Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un\nintervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité\npar les images des bornes."
},
{
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,4]$ et sa courbe se trace\nsur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a\n$f(0) = -3$ et $f(4) = 5$. Quelles valeurs les images prennent-elles\nsur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Toutes celles de $[-3\\,;\\,5]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font\nparcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.\n"
},
{
"text": "Seulement $-3$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les\nvaleurs intermédiaires.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Ensembles confondus : $[0\\,;\\,4]$ contient les nombres de départ, pas\nleurs images.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[-5\\,;\\,3]$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : le minimum vaut $-3$ et le maximum $5$, dans cet\nordre.\n"
}
],
"explanation": "Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un\nintervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité\npar les images des bornes."
},
{
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,4]$ et sa courbe se trace\nsur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a\n$f(0) = 1$ et $f(4) = 6$. Quelles valeurs les images prennent-elles\nsur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Toutes celles de $[1\\,;\\,6]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font\nparcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.\n"
},
{
"text": "Seulement $1$ et $6$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les\nvaleurs intermédiaires.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Ensembles confondus : $[0\\,;\\,4]$ contient les nombres de départ, pas\nleurs images.\n"
},
{
"text": "Toutes celles de $[-6\\,;\\,-1]$",
"correct": false,
"feedback": "Signes inversés : le minimum vaut $1$ et le maximum $6$, dans cet\nordre.\n"
}
],
"explanation": "Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un\nintervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité\npar les images des bornes."
}
]
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"definition",
"fonction-constante"
],
"title": "Le cas d'une fonction constante",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction constante sur un intervalle est-elle croissante sur cet\nintervalle ?",
"options": [
{
"text": "Oui, au sens large",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) \\leq f(b)$, puisque les deux\nimages sont égales. La définition large est satisfaite."
},
{
"text": "Non, car ses images ne changent pas",
"correct": false,
"feedback": "La croissance au sens large n'exige pas que les images augmentent,\nseulement qu'elles ne diminuent pas."
},
{
"text": "Non, une fonction est croissante ou constante",
"correct": false,
"feedback": "Les deux qualificatifs ne s'excluent pas : une fonction constante est\nà la fois croissante et décroissante au sens large."
},
{
"text": "Oui, et elle est strictement croissante",
"correct": false,
"feedback": "La croissance stricte exigerait $f(a) < f(b)$, or les deux images sont\négales."
}
],
"explanation": "La croissance au sens large se définit par $a < b \\Rightarrow\nf(a) \\leq f(b)$, et la croissance stricte par une inégalité stricte sur\nles images. Une constante vérifie la première, pas la seconde."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-racine",
"variations"
],
"title": "Variations de la fonction racine carrée",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Comment varie la fonction racine carrée sur son ensemble de\ndéfinition ?",
"options": [
{
"text": "Elle est croissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si $0 \\leq a < b$, alors $\\sqrt{a} < \\sqrt{b}$. Ainsi\n$\\sqrt{4} = 2$ est inférieur à $\\sqrt{9} = 3$."
},
{
"text": "Elle est décroissante",
"correct": false,
"feedback": "Contre-exemple : $1 < 4$ et pourtant $\\sqrt{1} = 1$ est plus petit que\n$\\sqrt{4} = 2$."
},
{
"text": "Elle décroît puis croît",
"correct": false,
"feedback": "Aucun changement de sens : la fonction est définie seulement sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, où elle monte sans interruption."
},
{
"text": "Elle croît puis décroît",
"correct": false,
"feedback": "Les images continuent d'augmenter aussi loin que l'on aille :\n$\\sqrt{100} = 10$ dépasse $\\sqrt{81} = 9$."
}
],
"explanation": "La fonction racine carrée est croissante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$. C'est ce\nqui permet de comparer deux racines en comparant les nombres qu'elles\ncontiennent."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-cube",
"variations"
],
"title": "Variations de la fonction cube",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Comment varie la fonction cube sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est croissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le cube conserve l'ordre, y compris sur les négatifs,\ncar $(-3)^3 = -27$ est inférieur à $(-2)^3 = -8$."
},
{
"text": "Elle décroît puis croît",
"correct": false,
"feedback": "C'est le comportement de la fonction carré. Le cube, lui, ne change\njamais de sens de variation."
},
{
"text": "Elle est croissante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "La croissance vaut aussi sur les négatifs : $-5 < -1$ donne\n$-125 < -1$."
},
{
"text": "Elle est décroissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Contre-exemple : $1 < 2$ et pourtant $1 < 8$. Les images augmentent\navec les nombres."
}
],
"explanation": "Contrairement au carré, le cube conserve le signe et l'ordre. Sa courbe\nmonte sans interruption, en traversant l'origine."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"raisonnement",
"variations"
],
"title": "Somme de deux fonctions croissantes",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Les fonctions $f$ et $g$ sont croissantes sur un intervalle $I$.\nQue peut-on dire de la fonction $f + g$ sur $I$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est croissante sur $I$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) \\leq f(b)$ et\n$g(a) \\leq g(b)$, et l'addition de ces deux inégalités conclut."
},
{
"text": "Elle est décroissante sur $I$",
"correct": false,
"feedback": "Contre-exemple : avec $f(x) = x$ et $g(x) = x$, la somme vaut $2x$,\nqui est croissante."
},
{
"text": "Son sens dépend des deux fonctions",
"correct": false,
"feedback": "L'addition des deux inégalités vaut dans tous les cas, sans hypothèse\nsupplémentaire."
},
{
"text": "Elle est croissante si $f$ et $g$ sont positives",
"correct": false,
"feedback": "Le signe n'intervient pas : $f(x) = x - 10$ et $g(x) = x - 10$ sont\nnégatives sur $[0\\,;\\,1]$ et leur somme reste croissante."
}
],
"explanation": "Les inégalités s'additionnent membre à membre sans changer de sens. Ce\nraisonnement ne vaut pas pour le produit, où le signe des fonctions\nintervient."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"extremum",
"lecture-graphique",
"piege"
],
"title": "Maximum, abscisse ou ordonnée",
"partie": "extremums",
"statement": "Une fonction atteint son maximum au point de coordonnées\n$(2\\,;\\,9)$. Quel est ce maximum ?",
"options": [
{
"text": "$9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le maximum est la plus grande valeur prise par la\nfonction, donc une ordonnée."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion fréquente : $2$ est la valeur en laquelle le maximum est\natteint, pas le maximum lui-même."
},
{
"text": "$11$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées additionnées : le maximum se lit sur un seul axe, celui\ndes ordonnées."
},
{
"text": "Le point $(2\\,;\\,9)$",
"correct": false,
"feedback": "Le maximum est un nombre, pas un point. Le point indique où il est\natteint."
}
],
"explanation": "On distingue toujours le maximum, qui est une valeur de $f$, et la valeur\nde $x$ en laquelle il est atteint. La phrase type est « le maximum vaut\n$9$, atteint en $x = 2$ »."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 1,
"skills": [
"tableau-variations",
"lecture"
],
"title": "Lire une flèche descendante",
"partie": "tableaux",
"statement": "Dans un tableau de variations, que signifie une flèche descendante\nsur un intervalle ?",
"options": [
{
"text": "La fonction y est décroissante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la flèche indique le sens dans lequel évoluent les\nimages quand $x$ augmente."
},
{
"text": "Les images y sont négatives",
"correct": false,
"feedback": "Le signe des images ne se lit pas sur la flèche : une fonction peut\ndécroître en restant positive, de $10$ à $3$ par exemple."
},
{
"text": "La courbe y passe sous l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "La position par rapport à l'axe relève du signe, pas des variations."
},
{
"text": "Les valeurs de $x$ y diminuent",
"correct": false,
"feedback": "Dans un tableau, $x$ se lit toujours de gauche à droite en\naugmentant : ce sont les images qui diminuent."
}
],
"explanation": "La première ligne d'un tableau de variations donne les valeurs de $x$ dans\nl'ordre croissant, et les flèches décrivent le comportement des images."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonction-affine",
"variations"
],
"title": "Une affine de coefficient nul",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Quelles sont les variations de la fonction affine définie par\n$f(x) = 0 \\times x + 4$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est constante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toutes les images valent $4$, la courbe est une droite\nhorizontale."
},
{
"text": "Elle est croissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "La croissance stricte exigerait des images qui augmentent, or elles\nvalent toutes $4$."
},
{
"text": "Elle est décroissante sur $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucune image ne diminue : $f(0)$ et $f(100)$ valent tous deux $4$."
},
{
"text": "Elle croît puis décroît en $4$",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre $4$ est une ordonnée, il ne peut pas marquer un changement\nde sens sur l'axe des abscisses."
}
],
"explanation": "Le sens de variation d'une fonction affine est donné par le signe de son\ncoefficient directeur : positif elle croît, négatif elle décroît, nul elle\nest constante."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation",
"modelisation"
],
"title": "Un enclos le long d'un mur",
"partie": "extremums",
"statement": "On dispose de $12$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire\nadossé à un mur, qui en tient lieu sur un côté. Quelle aire maximale\npeut-on obtenir ?",
"options": [
{
"text": "$18$ m²",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, la longueur vaut $12 - 2x$\net l'aire $x(12 - 2x)$, maximale pour $x = 3$."
},
{
"text": "$9$ m²",
"correct": false,
"feedback": "Cette aire correspond à un carré de côté $3$ m, qui n'utilise que\n$9$ m de grillage sur les $12$ disponibles."
},
{
"text": "$36$ m²",
"correct": false,
"feedback": "Le mur ne dispense que d'un seul côté : un carré de $6$ m de côté\ndemanderait $18$ m de grillage."
},
{
"text": "$16$ m²",
"correct": false,
"feedback": "Cette aire s'obtient avec $x = 2$, soit un enclos de $2$ m sur $8$ m,\nqui n'est pas le meilleur partage."
}
],
"explanation": "Le mur remplace un côté, donc le grillage couvre deux largeurs et une\nlongueur. L'aire s'écrit $x(12 - 2x)$, c'est-à-dire\n$-2(x - 3)^2 + 18$, dont le maximum se lit directement."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 3,
"skills": [
"variations",
"raisonnement"
],
"title": "Deux intervalles qui se chevauchent",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction peut-elle être strictement croissante sur $[0\\,;\\,2]$ et\nstrictement décroissante sur $[1\\,;\\,3]$ ?",
"options": [
{
"text": "Non, les deux se contredisent sur $[1\\,;\\,2]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sur cette partie commune, les images devraient à la\nfois augmenter et diminuer."
},
{
"text": "Oui, si elle change de sens en $2$",
"correct": false,
"feedback": "Le changement devrait alors avoir lieu avant $1$, sans quoi la\ndécroissance annoncée sur $[1\\,;\\,2]$ est fausse."
},
{
"text": "Oui, si les intervalles sont fermés",
"correct": false,
"feedback": "Le type de bornes ne change rien : la contradiction porte sur tout\nl'intérieur de la partie commune."
},
{
"text": "Non, une fonction a un seul sens de variation",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, raison fausse : la fonction carré change bien de\nsens en $0$, sur deux intervalles qui ne se chevauchent pas."
}
],
"explanation": "Deux intervalles de variation ne peuvent se chevaucher que si le sens y\nest le même. C'est pourquoi un tableau de variations découpe l'axe en\nintervalles qui ne se recouvrent pas."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations",
"comparaison"
],
"title": "Comparer deux images par décroissance",
"partie": "sens-variation",
"statement": "La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\\,;\\,10]$.\nComment $f(2)$ et $f(7)$ se comparent-ils ?",
"options": [
{
"text": "$f(2) > f(7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la décroissance renverse l'ordre, donc le plus petit\nnombre de départ a la plus grande image."
},
{
"text": "$f(2) < f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre conservé à tort : ce serait le cas pour une fonction\ncroissante."
},
{
"text": "$f(2) = f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "La décroissance stricte interdit deux images égales pour deux nombres\ndistincts."
},
{
"text": "Cela dépend du signe de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Le signe des images n'intervient pas : seule compte la façon dont\nelles évoluent."
}
],
"explanation": "Sur un intervalle où $f$ décroît, comparer deux images revient à comparer\nles nombres de départ, puis à renverser l'inégalité obtenue."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 2,
"skills": [
"calcul",
"variations-affine"
],
"title": "Coefficient directeur d'une fonction affine",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction affine $f$ vérifie $f(1) = 5$ et $f(4) = 17$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement\n$\\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \\dfrac{12}{3}\n= 4$."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Soustractions inversées : le numérateur s'écrit\n$f(4) - f(1)$, dans le même ordre que $4 - 1$ au\ndénominateur. Le taux vaut $4$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $12$ est la variation totale des images. Il\nreste à la rapporter à l'écart $3$ des antécédents, ce qui donne\n$4$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les\nantécédents au dénominateur. Le taux vaut $4$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux\nd'accroissement $\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de\npoints choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation.",
"variants": [
{
"statement": "Une fonction affine $f$ vérifie $f(1) = 5$ et $f(4) = 17$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement\n$\\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \\dfrac{12}{3}\n= 4$."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Soustractions inversées : le numérateur s'écrit\n$f(4) - f(1)$, dans le même ordre que $4 - 1$ au\ndénominateur. Le taux vaut $4$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $12$ est la variation totale des images. Il\nreste à la rapporter à l'écart $3$ des antécédents, ce qui donne\n$4$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les\nantécédents au dénominateur. Le taux vaut $4$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux\nd'accroissement $\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de\npoints choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation."
},
{
"statement": "Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = 9$ et $f(6) = 1$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$-2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement\n$\\dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \\dfrac{-8}{4}\n= -2$."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Soustractions inversées : le numérateur s'écrit\n$f(6) - f(2)$, dans le même ordre que $6 - 2$ au\ndénominateur. Le taux vaut $-2$."
},
{
"text": "$-8$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $-8$ est la variation totale des images. Il\nreste à la rapporter à l'écart $4$ des antécédents, ce qui donne\n$-2$."
},
{
"text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les\nantécédents au dénominateur. Le taux vaut $-2$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux\nd'accroissement $\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de\npoints choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation."
},
{
"statement": "Une fonction affine $f$ vérifie $f(0) = -3$ et $f(5) = 12$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement\n$\\dfrac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \\dfrac{15}{5}\n= 3$."
},
{
"text": "$-3$",
"correct": false,
"feedback": "Soustractions inversées : le numérateur s'écrit\n$f(5) - f(0)$, dans le même ordre que $5 - 0$ au\ndénominateur. Le taux vaut $3$."
},
{
"text": "$15$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $15$ est la variation totale des images. Il\nreste à la rapporter à l'écart $5$ des antécédents, ce qui donne\n$3$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les\nantécédents au dénominateur. Le taux vaut $3$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux\nd'accroissement $\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de\npoints choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation."
},
{
"statement": "Une fonction affine $f$ vérifie $f(0) = -5$ et $f(8) = 11$.\nQuel est son coefficient directeur ?",
"options": [
{
"text": "$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement\n$\\dfrac{f(8) - f(0)}{8 - 0} = \\dfrac{16}{8}\n= 2$."
},
{
"text": "$-2$",
"correct": false,
"feedback": "Soustractions inversées : le numérateur s'écrit\n$f(8) - f(0)$, dans le même ordre que $8 - 0$ au\ndénominateur. Le taux vaut $2$."
},
{
"text": "$16$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : $16$ est la variation totale des images. Il\nreste à la rapporter à l'écart $8$ des antécédents, ce qui donne\n$2$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les\nantécédents au dénominateur. Le taux vaut $2$."
}
],
"explanation": "Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux\nd'accroissement $\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de\npoints choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 3,
"skills": [
"carre",
"image-intervalle"
],
"title": "Images d'un intervalle par la fonction carré",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-3\\,;\\,2]$, quel ensemble\ndécrivent les carrés $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$[0\\,;\\,9]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction carré décroît de $9$ à $0$ sur\n$[-3\\,;\\,0]$, puis croît de $0$ à $4$. Toutes les valeurs\ncomprises entre $0$ et $9$ sont donc prises."
},
{
"text": "$[4\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont\nl'image $0$ est plus petite que $4$."
},
{
"text": "$[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Borne oubliée : l'image de $-3$ vaut $9$, un nombre qui dépasse\nlargement $4$."
},
{
"text": "$[-9\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est\n$0$, atteinte en $x = 0$."
}
],
"explanation": "Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de\nvariations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à\n$[-3\\,;\\,2]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus\ngrande des images des deux bornes.",
"variants": [
{
"statement": "Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-3\\,;\\,2]$, quel ensemble\ndécrivent les carrés $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$[0\\,;\\,9]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction carré décroît de $9$ à $0$ sur\n$[-3\\,;\\,0]$, puis croît de $0$ à $4$. Toutes les valeurs\ncomprises entre $0$ et $9$ sont donc prises."
},
{
"text": "$[4\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont\nl'image $0$ est plus petite que $4$."
},
{
"text": "$[0\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Borne oubliée : l'image de $-3$ vaut $9$, un nombre qui dépasse\nlargement $4$."
},
{
"text": "$[-9\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est\n$0$, atteinte en $x = 0$."
}
],
"explanation": "Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de\nvariations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à\n$[-3\\,;\\,2]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus\ngrande des images des deux bornes."
},
{
"statement": "Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-5\\,;\\,3]$, quel ensemble\ndécrivent les carrés $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$[0\\,;\\,25]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction carré décroît de $25$ à $0$ sur\n$[-5\\,;\\,0]$, puis croît de $0$ à $9$. Toutes les valeurs\ncomprises entre $0$ et $25$ sont donc prises."
},
{
"text": "$[9\\,;\\,25]$",
"correct": false,
"feedback": "Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont\nl'image $0$ est plus petite que $9$."
},
{
"text": "$[0\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Borne oubliée : l'image de $-5$ vaut $25$, un nombre qui dépasse\nlargement $9$."
},
{
"text": "$[-25\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est\n$0$, atteinte en $x = 0$."
}
],
"explanation": "Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de\nvariations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à\n$[-5\\,;\\,3]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus\ngrande des images des deux bornes."
},
{
"statement": "Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-4\\,;\\,1]$, quel ensemble\ndécrivent les carrés $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$[0\\,;\\,16]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction carré décroît de $16$ à $0$ sur\n$[-4\\,;\\,0]$, puis croît de $0$ à $1$. Toutes les valeurs\ncomprises entre $0$ et $16$ sont donc prises."
},
{
"text": "$[1\\,;\\,16]$",
"correct": false,
"feedback": "Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont\nl'image $0$ est plus petite que $1$."
},
{
"text": "$[0\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Borne oubliée : l'image de $-4$ vaut $16$, un nombre qui dépasse\nlargement $1$."
},
{
"text": "$[-16\\,;\\,1]$",
"correct": false,
"feedback": "Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est\n$0$, atteinte en $x = 0$."
}
],
"explanation": "Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de\nvariations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à\n$[-4\\,;\\,1]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus\ngrande des images des deux bornes."
},
{
"statement": "Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-7\\,;\\,3]$, quel ensemble\ndécrivent les carrés $x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$[0\\,;\\,49]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction carré décroît de $49$ à $0$ sur\n$[-7\\,;\\,0]$, puis croît de $0$ à $9$. Toutes les valeurs\ncomprises entre $0$ et $49$ sont donc prises."
},
{
"text": "$[9\\,;\\,49]$",
"correct": false,
"feedback": "Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont\nl'image $0$ est plus petite que $9$."
},
{
"text": "$[0\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Borne oubliée : l'image de $-7$ vaut $49$, un nombre qui dépasse\nlargement $9$."
},
{
"text": "$[-49\\,;\\,9]$",
"correct": false,
"feedback": "Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est\n$0$, atteinte en $x = 0$."
}
],
"explanation": "Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de\nvariations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à\n$[-7\\,;\\,3]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus\ngrande des images des deux bornes."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"croissance",
"tableau-comparaison"
],
"title": "Minorer une image grâce à la croissance",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction $f$ est croissante sur $[0\\,;\\,10]$ et l'on sait que\n$f(2) = 5$. Que peut-on affirmer à propos de $f(8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(8) \\geq 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2 < 8$ et la croissance conserve l'ordre, donc\n$f(8)$ est au moins égal à $f(2)$."
},
{
"text": "$f(8) \\leq 5$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre renversé : cette conclusion vaudrait pour une fonction\ndécroissante. Ici les images grandissent avec les antécédents."
},
{
"text": "$f(8) = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Égalité impossible à affirmer : la croissance autorise $f(8) = 5$,\nmais aussi $f(8) = 100$. Elle ne donne qu'une minoration."
},
{
"text": "On ne peut rien affirmer sans la formule de $f$",
"correct": false,
"feedback": "La formule est inutile : le sens de variation suffit à minorer\n$f(8)$ par une valeur déjà connue."
}
],
"explanation": "Une fonction croissante conserve l'ordre : un encadrement des\nantécédents se transmet aux images. Une seule valeur connue suffit donc\nà minorer toutes les images situées à sa droite."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-racine",
"extremum"
],
"title": "Extremum de la fonction racine carrée",
"partie": "extremums",
"statement": "La fonction racine carrée admet-elle un extremum sur son ensemble de\ndéfinition $[0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, un minimum égal à $0$, atteint en $0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction croît à partir de $0$, et\n$\\sqrt{0} = 0$ est donc la plus petite de toutes ses images."
},
{
"text": "Oui, un maximum égal à $0$, atteint en $0$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum inversé : toutes les autres images dépassent\n$0$, qui joue donc le rôle d'un plancher et non d'un plafond."
},
{
"text": "Non, elle ne cesse de croître sans jamais s'arrêter",
"correct": false,
"feedback": "La croissance n'interdit pas un extremum : la borne $0$ appartient\nà l'ensemble de définition, et son image est la plus petite."
},
{
"text": "Oui, un minimum égal à $1$, atteint en $1$",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre $1$ n'a rien de particulier ici :\n$\\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ est déjà plus petit que $1$."
}
],
"explanation": "Une fonction croissante sur un intervalle dont la borne gauche est\nincluse atteint son minimum en cette borne. La racine carrée a donc pour\nminimum $0$, et elle n'a pas de maximum."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-cube",
"extremum"
],
"title": "La fonction cube a-t-elle un maximum",
"partie": "extremums",
"statement": "La fonction cube admet-elle un maximum sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Non, ses images grandissent sans fin",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction cube croît sur $\\mathbb{R}$ sans\ns'arrêter, puisque $10^3 = 1000$ et $100^3 = 1\\,000\\,000$."
},
{
"text": "Oui, son maximum vaut $0$, atteint en $0$",
"correct": false,
"feedback": "Le nombre $0$ n'est ni un plafond ni un plancher : $2^3 = 8$ le\ndépasse et $(-2)^3 = -8$ lui est inférieur."
},
{
"text": "Oui, son maximum vaut $1$, atteint en $1$",
"correct": false,
"feedback": "Contre-exemple immédiat : $2^3 = 8$ dépasse $1$, qui n'est donc pas\nla plus grande image."
},
{
"text": "Non, mais elle admet un minimum en $0$",
"correct": false,
"feedback": "Pas de minimum non plus : $(-10)^3 = -1000$ descend en dessous de\ntoute valeur fixée à l'avance."
}
],
"explanation": "Une fonction croissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier n'a ni maximum ni\nminimum. Un extremum suppose toujours un changement de sens de variation\nou une borne incluse dans l'intervalle d'étude."
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"fonction-affine",
"extremum"
],
"title": "Maximum d'une affine sur un intervalle",
"partie": "extremums",
"statement": "Sur l'intervalle $[-2\\,;\\,6]$, en quelle valeur la fonction\n$f(x) = -4x + 1$ atteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient $-4$ est négatif, donc $f$ décroît.\nLe maximum est atteint à la borne gauche et vaut\n$f(-2) = 9$."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de variation inversé : comme $-4$ est négatif, la borne\ndroite porte le minimum, $f(6) = -23$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change\njamais de direction en chemin."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux\nextrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(-2) = 9$."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses\nextremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient\ndirecteur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite.",
"variants": [
{
"statement": "Sur l'intervalle $[-2\\,;\\,6]$, en quelle valeur la fonction\n$f(x) = -4x + 1$ atteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient $-4$ est négatif, donc $f$ décroît.\nLe maximum est atteint à la borne gauche et vaut\n$f(-2) = 9$."
},
{
"text": "En $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de variation inversé : comme $-4$ est négatif, la borne\ndroite porte le minimum, $f(6) = -23$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change\njamais de direction en chemin."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux\nextrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(-2) = 9$."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses\nextremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient\ndirecteur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[1\\,;\\,4]$, en quelle valeur la fonction\n$f(x) = -3x + 5$ atteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient $-3$ est négatif, donc $f$ décroît.\nLe maximum est atteint à la borne gauche et vaut\n$f(1) = 2$."
},
{
"text": "En $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de variation inversé : comme $-3$ est négatif, la borne\ndroite porte le minimum, $f(4) = -7$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change\njamais de direction en chemin."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux\nextrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(1) = 2$."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses\nextremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient\ndirecteur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[-1\\,;\\,7]$, en quelle valeur la fonction\n$f(x) = -5x + 2$ atteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = -1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient $-5$ est négatif, donc $f$ décroît.\nLe maximum est atteint à la borne gauche et vaut\n$f(-1) = 7$."
},
{
"text": "En $x = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de variation inversé : comme $-5$ est négatif, la borne\ndroite porte le minimum, $f(7) = -33$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change\njamais de direction en chemin."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux\nextrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(-1) = 7$."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses\nextremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient\ndirecteur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[-4\\,;\\,10]$, en quelle valeur la fonction\n$f(x) = -5x + 3$ atteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le coefficient $-5$ est négatif, donc $f$ décroît.\nLe maximum est atteint à la borne gauche et vaut\n$f(-4) = 23$."
},
{
"text": "En $x = 10$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de variation inversé : comme $-5$ est négatif, la borne\ndroite porte le minimum, $f(10) = -47$."
},
{
"text": "En $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change\njamais de direction en chemin."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux\nextrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(-4) = 23$."
}
],
"explanation": "Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses\nextremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient\ndirecteur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 1,
"skills": [
"fonction-constante",
"extremum"
],
"title": "Extremum d'une fonction constante",
"partie": "extremums",
"statement": "Une fonction constante sur un intervalle y admet-elle un maximum ?",
"options": [
{
"text": "Oui, égal à sa valeur, atteint partout",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toutes les images sont égales, donc chacune est la\nplus grande, et elle est bien prise par la fonction."
},
{
"text": "Non, aucune image ne dépasse les autres",
"correct": false,
"feedback": "Un maximum n'a pas à dépasser strictement les autres images : il\nsuffit qu'aucune ne lui soit supérieure."
},
{
"text": "Oui, mais seulement à la borne droite",
"correct": false,
"feedback": "Aucune borne n'est privilégiée : la valeur maximale est atteinte en\ntout point de l'intervalle."
},
{
"text": "Non, un maximum suppose une montée puis une descente",
"correct": false,
"feedback": "Ce n'est pas la définition : un maximum est une image qu'aucune\nautre ne dépasse, quelles que soient les variations."
}
],
"explanation": "Le maximum de $f$ sur $I$ est une image atteinte par $f$ et supérieure\nou égale à toutes les autres. Une fonction constante remplit cette\ncondition en chacun des points de l'intervalle."
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-canonique",
"extremum"
],
"title": "Extremum lu sur un carré décalé",
"partie": "extremums",
"statement": "Soit $f(x) = 3(x + 1)^2 - 4$. Quel extremum la fonction $f$\nadmet-elle sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = -1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3(x + 1)^2$ est positif ou nul et s'annule\npour $x = -1$. La plus petite valeur de $f$ est donc $-4$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : la parenthèse $x + 1$ s'annule pour\n$x = -1$, et non pour $x = 1$."
},
{
"text": "Un maximum égal à $-4$, atteint lui aussi en $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum : le coefficient $3$ est positif, donc le\ncarré s'ajoute à $-4$ et les images partent de $-4$ vers le haut."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-1$, atteint en $x = -4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $-4$ est la valeur de l'extremum et $-1$\nl'endroit où il est atteint."
}
],
"explanation": "Dans une écriture $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$, le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$ : la fonction admet le minimum $\\beta$,\natteint en $x = \\alpha$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = 3(x + 1)^2 - 4$. Quel extremum la fonction $f$\nadmet-elle sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = -1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3(x + 1)^2$ est positif ou nul et s'annule\npour $x = -1$. La plus petite valeur de $f$ est donc $-4$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : la parenthèse $x + 1$ s'annule pour\n$x = -1$, et non pour $x = 1$."
},
{
"text": "Un maximum égal à $-4$, atteint lui aussi en $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum : le coefficient $3$ est positif, donc le\ncarré s'ajoute à $-4$ et les images partent de $-4$ vers le haut."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-1$, atteint en $x = -4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $-4$ est la valeur de l'extremum et $-1$\nl'endroit où il est atteint."
}
],
"explanation": "Dans une écriture $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$, le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$ : la fonction admet le minimum $\\beta$,\natteint en $x = \\alpha$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = 2(x + 5)^2 + 3$. Quel extremum la fonction $f$\nadmet-elle sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2(x + 5)^2$ est positif ou nul et s'annule\npour $x = -5$. La plus petite valeur de $f$ est donc $3$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : la parenthèse $x + 5$ s'annule pour\n$x = -5$, et non pour $x = 5$."
},
{
"text": "Un maximum égal à $3$, atteint lui aussi en $x = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum : le coefficient $2$ est positif, donc le\ncarré s'ajoute à $3$ et les images partent de $3$ vers le haut."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-5$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $3$ est la valeur de l'extremum et $-5$\nl'endroit où il est atteint."
}
],
"explanation": "Dans une écriture $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$, le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$ : la fonction admet le minimum $\\beta$,\natteint en $x = \\alpha$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = 4(x - 2)^2 + 1$. Quel extremum la fonction $f$\nadmet-elle sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4(x - 2)^2$ est positif ou nul et s'annule\npour $x = 2$. La plus petite valeur de $f$ est donc $1$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $1$, atteint en $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : la parenthèse $x - 2$ s'annule pour\n$x = 2$, et non pour $x = -2$."
},
{
"text": "Un maximum égal à $1$, atteint lui aussi en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum : le coefficient $4$ est positif, donc le\ncarré s'ajoute à $1$ et les images partent de $1$ vers le haut."
},
{
"text": "Un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $1$ est la valeur de l'extremum et $2$\nl'endroit où il est atteint."
}
],
"explanation": "Dans une écriture $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$, le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$ : la fonction admet le minimum $\\beta$,\natteint en $x = \\alpha$."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = 4(x + 5)^2 - 10$. Quel extremum la fonction $f$\nadmet-elle sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $-10$, atteint en $x = -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $4(x + 5)^2$ est positif ou nul et s'annule\npour $x = -5$. La plus petite valeur de $f$ est donc $-10$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-10$, atteint en $x = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : la parenthèse $x + 5$ s'annule pour\n$x = -5$, et non pour $x = 5$."
},
{
"text": "Un maximum égal à $-10$, atteint lui aussi en $x = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Sens de l'extremum : le coefficient $4$ est positif, donc le\ncarré s'ajoute à $-10$ et les images partent de $-10$ vers le haut."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-5$, atteint en $x = -10$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $-10$ est la valeur de l'extremum et $-5$\nl'endroit où il est atteint."
}
],
"explanation": "Dans une écriture $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$, le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$ : la fonction admet le minimum $\\beta$,\natteint en $x = \\alpha$."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-canonique-maximum",
"extremum"
],
"title": "Retrouver une expression depuis son maximum",
"partie": "extremums",
"statement": "Une fonction définie sur $\\mathbb{R}$ admet pour maximum $7$, atteint en\n$x = -2$. Parmi ces expressions, laquelle peut être la sienne ?",
"options": [
{
"text": "$-(x + 2)^2 + 7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins devant le carré tourne la parabole\nvers le bas, la parenthèse s'annule en $-2$ et il reste $7$."
},
{
"text": "$-(x - 2)^2 + 7$",
"correct": false,
"feedback": "Sommet mal placé : la parenthèse $x - 2$ s'annule en $x = 2$, donc\nle maximum serait atteint en $2$."
},
{
"text": "$(x + 2)^2 + 7$",
"correct": false,
"feedback": "Sans le signe moins, le carré s'ajoute à $7$ : la valeur $7$\ndeviendrait un minimum et non un maximum."
},
{
"text": "$-2(x + 7)^2 + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : cette expression donne un maximum égal à $2$,\natteint en $x = -7$."
}
],
"explanation": "Une expression $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ atteint son maximum $\\beta$ en\n$x = \\alpha$, car le carré, toujours positif, est retranché et vaut au\nmieux $0$."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"inverse",
"variations"
],
"title": "Maximum de l'inverse sur un intervalle",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Sur l'intervalle $[2\\,;\\,5]$, en quelle valeur la fonction inverse\natteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$, où elle vaut $\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne\ngauche."
},
{
"text": "En $x = 5$, où elle vaut seulement $\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Borne inversée : $\\dfrac{1}{5}$ est la plus petite image sur cet\nintervalle, c'est donc le minimum de la fonction."
},
{
"text": "Au milieu de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de\nsens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre."
},
{
"text": "Elle n'y admet pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la\nfonction atteint bien son maximum, à la borne gauche."
}
],
"explanation": "La fonction inverse décroît sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ : sur un intervalle\n$[a\\,;\\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut\n$\\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\\dfrac{1}{b}$.",
"variants": [
{
"statement": "Sur l'intervalle $[2\\,;\\,5]$, en quelle valeur la fonction inverse\natteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 2$, où elle vaut $\\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne\ngauche."
},
{
"text": "En $x = 5$, où elle vaut seulement $\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Borne inversée : $\\dfrac{1}{5}$ est la plus petite image sur cet\nintervalle, c'est donc le minimum de la fonction."
},
{
"text": "Au milieu de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de\nsens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre."
},
{
"text": "Elle n'y admet pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la\nfonction atteint bien son maximum, à la borne gauche."
}
],
"explanation": "La fonction inverse décroît sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ : sur un intervalle\n$[a\\,;\\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut\n$\\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\\dfrac{1}{b}$."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[4\\,;\\,10]$, en quelle valeur la fonction inverse\natteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 4$, où elle vaut $\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne\ngauche."
},
{
"text": "En $x = 10$, où elle vaut seulement $\\dfrac{1}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Borne inversée : $\\dfrac{1}{10}$ est la plus petite image sur cet\nintervalle, c'est donc le minimum de la fonction."
},
{
"text": "Au milieu de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de\nsens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre."
},
{
"text": "Elle n'y admet pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la\nfonction atteint bien son maximum, à la borne gauche."
}
],
"explanation": "La fonction inverse décroît sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ : sur un intervalle\n$[a\\,;\\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut\n$\\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\\dfrac{1}{b}$."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[5\\,;\\,20]$, en quelle valeur la fonction inverse\natteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$, où elle vaut $\\dfrac{1}{5}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne\ngauche."
},
{
"text": "En $x = 20$, où elle vaut seulement $\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Borne inversée : $\\dfrac{1}{20}$ est la plus petite image sur cet\nintervalle, c'est donc le minimum de la fonction."
},
{
"text": "Au milieu de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de\nsens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre."
},
{
"text": "Elle n'y admet pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la\nfonction atteint bien son maximum, à la borne gauche."
}
],
"explanation": "La fonction inverse décroît sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ : sur un intervalle\n$[a\\,;\\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut\n$\\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\\dfrac{1}{b}$."
},
{
"statement": "Sur l'intervalle $[3\\,;\\,20]$, en quelle valeur la fonction inverse\natteint-elle son maximum ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 3$, où elle vaut $\\dfrac{1}{3}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne\ngauche."
},
{
"text": "En $x = 20$, où elle vaut seulement $\\dfrac{1}{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Borne inversée : $\\dfrac{1}{20}$ est la plus petite image sur cet\nintervalle, c'est donc le minimum de la fonction."
},
{
"text": "Au milieu de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de\nsens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre."
},
{
"text": "Elle n'y admet pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la\nfonction atteint bien son maximum, à la borne gauche."
}
],
"explanation": "La fonction inverse décroît sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ : sur un intervalle\n$[a\\,;\\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut\n$\\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\\dfrac{1}{b}$."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 2,
"skills": [
"minimum-carre-plus-constante",
"raisonnement"
],
"title": "Une parabole qui ne coupe pas l'axe",
"partie": "extremums",
"statement": "Soit $f(x) = x^2 + 4$. Quelle est la plus petite valeur prise par\n$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?",
"options": [
{
"text": "Le minimum vaut $4$ et la courbe évite cet axe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ donne $f(x) \\geq 4$, avec égalité en\n$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus\nde l'axe."
},
{
"text": "Le minimum vaut $4$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : si toutes les images valent au moins $4$, aucune\nne peut être nulle."
},
{
"text": "Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 4 = 4$, car le terme $4$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "Le minimum vaut $-4$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : le nombre $4$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche\npas. Le sommet est le point $(0\\,;\\,4)$."
}
],
"explanation": "L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand\n$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe\nne rencontre jamais l'axe des abscisses.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $f(x) = x^2 + 4$. Quelle est la plus petite valeur prise par\n$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?",
"options": [
{
"text": "Le minimum vaut $4$ et la courbe évite cet axe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ donne $f(x) \\geq 4$, avec égalité en\n$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus\nde l'axe."
},
{
"text": "Le minimum vaut $4$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : si toutes les images valent au moins $4$, aucune\nne peut être nulle."
},
{
"text": "Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 4 = 4$, car le terme $4$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "Le minimum vaut $-4$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : le nombre $4$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche\npas. Le sommet est le point $(0\\,;\\,4)$."
}
],
"explanation": "L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand\n$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe\nne rencontre jamais l'axe des abscisses."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^2 + 7$. Quelle est la plus petite valeur prise par\n$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?",
"options": [
{
"text": "Le minimum vaut $7$ et la courbe évite cet axe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ donne $f(x) \\geq 7$, avec égalité en\n$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus\nde l'axe."
},
{
"text": "Le minimum vaut $7$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : si toutes les images valent au moins $7$, aucune\nne peut être nulle."
},
{
"text": "Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 7 = 7$, car le terme $7$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "Le minimum vaut $-7$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : le nombre $7$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche\npas. Le sommet est le point $(0\\,;\\,7)$."
}
],
"explanation": "L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand\n$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe\nne rencontre jamais l'axe des abscisses."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^2 + 9$. Quelle est la plus petite valeur prise par\n$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?",
"options": [
{
"text": "Le minimum vaut $9$ et la courbe évite cet axe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ donne $f(x) \\geq 9$, avec égalité en\n$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus\nde l'axe."
},
{
"text": "Le minimum vaut $9$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : si toutes les images valent au moins $9$, aucune\nne peut être nulle."
},
{
"text": "Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 9 = 9$, car le terme $9$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "Le minimum vaut $-9$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : le nombre $9$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche\npas. Le sommet est le point $(0\\,;\\,9)$."
}
],
"explanation": "L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand\n$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe\nne rencontre jamais l'axe des abscisses."
},
{
"statement": "Soit $f(x) = x^2 + 14$. Quelle est la plus petite valeur prise par\n$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?",
"options": [
{
"text": "Le minimum vaut $14$ et la courbe évite cet axe",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ donne $f(x) \\geq 14$, avec égalité en\n$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus\nde l'axe."
},
{
"text": "Le minimum vaut $14$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : si toutes les images valent au moins $14$, aucune\nne peut être nulle."
},
{
"text": "Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 14 = 14$, car le terme $14$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "Le minimum vaut $-14$ et la courbe coupe cet axe en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Signe faux : le nombre $14$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche\npas. Le sommet est le point $(0\\,;\\,14)$."
}
],
"explanation": "L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand\n$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe\nne rencontre jamais l'axe des abscisses."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-nombre-solutions",
"lecture"
],
"title": "Compter les antécédents d'un nombre",
"partie": "tableaux",
"statement": "Le tableau de variations de $g$ sur $[-3\\,;\\,6]$ montre une montée de\n$-4$ jusqu'à $9$, puis une descente de $9$ jusqu'à $1$, la courbe se\ntraçant sans lever le crayon. Combien de nombres ont pour image $0$\npar $g$ ?",
"options": [
{
"text": "Un seul, pendant la montée",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $-4$ et $9$, donc la montée le\ntraverse une fois ; la descente s'arrête à $1$, toujours au-dessus\nde $0$."
},
{
"text": "Deux, un par flèche du tableau",
"correct": false,
"feedback": "Descente mal lue : elle s'arrête à $1$, un nombre supérieur à $0$,\ndonc cette flèche ne traverse pas le niveau $0$."
},
{
"text": "Aucun, car $0$ n'apparaît pas",
"correct": false,
"feedback": "Un tableau n'affiche que les valeurs extrêmes : entre $-4$ et $9$,\ntoutes les valeurs intermédiaires sont prises, dont $0$."
},
{
"text": "Trois, une par valeur du tableau",
"correct": false,
"feedback": "Trois antécédents supposeraient trois flèches : le tableau n'en\ncomporte que deux, donc au plus deux antécédents."
}
],
"explanation": "Sur chaque flèche d'un tableau de variations, un nombre admet un\nantécédent exactement lorsqu'il est compris entre les deux valeurs\nextrêmes de cette flèche. On compte ensuite flèche par flèche."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 3,
"skills": [
"stricte",
"raisonnement"
],
"title": "Deux images égales sous une croissance large",
"partie": "sens-variation",
"statement": "Une fonction $f$ est croissante au sens large sur $[0\\,;\\,5]$ et\nvérifie $f(1) = f(4)$. Que peut-on en déduire sur $[1\\,;\\,4]$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ y est constante",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour $x$ entre $1$ et $4$, la croissance donne\n$f(1) \\leq f(x) \\leq f(4)$. Les deux bornes étant égales, toutes ces\nimages le sont aussi."
},
{
"text": "$f$ y est strictement croissante",
"correct": false,
"feedback": "La croissance stricte est exclue : elle imposerait\n$f(1) < f(4)$, ce que l'énoncé contredit."
},
{
"text": "$f$ y est strictement décroissante",
"correct": false,
"feedback": "La décroissance contredirait l'hypothèse : la fonction est\ncroissante au sens large sur tout $[0\\,;\\,5]$."
},
{
"text": "On ne peut rien en déduire de plus",
"correct": false,
"feedback": "L'encadrement $f(1) \\leq f(x) \\leq f(4)$ suffit à conclure, sans\nconnaître la moindre formule."
}
],
"explanation": "La croissance au sens large autorise des paliers. Deux images égales aux\nextrémités d'un intervalle forcent la fonction à rester constante entre\nles deux, puisque ses images y sont encadrées par deux valeurs égales."
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 1,
"skills": [
"modelisation",
"extremum"
],
"title": "Maximum d'une température",
"partie": "extremums",
"statement": "La température d'un four monte de $20$ degrés à $240$ degrés pendant les\n$15$ premières minutes de chauffe. Sur l'intervalle de temps\n$[0\\,;\\,15]$, quel est le maximum de la température ?",
"options": [
{
"text": "$240$ degrés, après $15$ minutes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la température ne fait que croître, donc sa plus\ngrande valeur est celle de la borne droite."
},
{
"text": "$20$ degrés, au moment du départ",
"correct": false,
"feedback": "C'est la valeur de départ, donc le minimum sur cet intervalle,\npuisque la température ne fait que monter."
},
{
"text": "$15$ minutes, la fin de la chauffe",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre l'instant et la température : $15$ minutes est\nl'antécédent, alors que le maximum est une image."
},
{
"text": "$220$ degrés, la hausse enregistrée",
"correct": false,
"feedback": "L'écart entre les deux températures mesure la hausse totale, pas la\ntempérature atteinte, qui vaut $240$ degrés."
}
],
"explanation": "Sur un intervalle où une grandeur ne fait que croître, son maximum est\natteint à la borne droite. Il faut toujours distinguer la valeur\nmaximale de l'instant où elle est atteinte."
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 1,
"skills": [
"extremum",
"raisonnement"
],
"title": "Ce que garantit un minimum",
"partie": "extremums",
"statement": "Une fonction $f$ admet un minimum égal à $-3$ sur $[0\\,;\\,8]$. Que\npeut-on affirmer de ses images sur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "Elles valent toutes au moins $-3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un minimum est une image qu'aucune autre ne descend\nen dessous, et qui est effectivement prise par la fonction."
},
{
"text": "Elles valent toutes au plus $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : c'est la définition d'un maximum. Un minimum sert de\nplancher, pas de plafond."
},
{
"text": "Elles valent toutes exactement $-3$",
"correct": false,
"feedback": "Seule une fonction constante prendrait toujours la même image : ici\n$-3$ est seulement la plus petite."
},
{
"text": "Elles sont toutes négatives ou nulles",
"correct": false,
"feedback": "Le signe des images n'est pas imposé : la fonction peut monter\njusqu'à $100$ tout en restant minorée par $-3$."
}
],
"explanation": "Dire que $-3$ est le minimum de $f$ sur un intervalle, c'est affirmer\ndeux choses : toutes les images valent au moins $-3$, et la valeur $-3$\nest atteinte par la fonction."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 3,
"skills": [
"balayage",
"extremum",
"algorithme"
],
"title": "Approcher un maximum par balayage",
"partie": "extremums",
"statement": "Une fonction $f$ est croissante puis décroissante sur $[0\\,;\\,1]$.\nOn calcule $f(x)$ pour $x = 0$ ; $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; … ; $1$ et la plus\ngrande valeur obtenue est $f(0{,}6)$. Que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "Le maximum est atteint entre $0{,}5$ et $0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(0{,}5) < f(0{,}6)$ et $f(0{,}7) < f(0{,}6)$,\ndonc $f$ n'a pas encore changé de sens de variation en $0{,}5$ et\nl'a déjà fait en $0{,}7$."
},
{
"text": "Le maximum est atteint exactement en $0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le balayage n'examine que des valeurs espacées de\n$0{,}1$ ; le maximum peut se situer entre deux d'entre elles."
},
{
"text": "Le maximum est atteint entre $0{,}6$ et $0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'exclut que le maximum soit un peu avant $0{,}6$ :\nil faut garder les deux voisins."
},
{
"text": "Le maximum de $f$ vaut $0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}6$ est une abscisse. Le maximum est une valeur de\n$f$, proche de $f(0{,}6)$."
}
],
"explanation": "Un balayage avec un pas plus petit sur $[0{,}5\\,;\\,0{,}7]$ affine\nl'approximation de l'abscisse du maximum."
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 3,
"skills": [
"longueur-courbe",
"algorithme",
"distance"
],
"title": "Longueur approchée d'une courbe",
"partie": "extremums",
"statement": "Pour approcher la longueur de la courbe de $f(x) = x^2$ entre les\npoints d'abscisses $0$ et $2$, on la remplace par les segments\njoignant les points d'abscisses $0$, $1$ et $2$. Quelle valeur\nobtient-on ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{2} + \\sqrt{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $(0\\,;\\,0)$ à $(1\\,;\\,1)$, la longueur est\n$\\sqrt{1 + 1}$ ; de $(1\\,;\\,1)$ à $(2\\,;\\,4)$, elle est\n$\\sqrt{1 + 9}$. On additionne."
},
{
"text": "$\\sqrt{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la longueur du seul segment de $(0\\,;\\,0)$ à\n$(2\\,;\\,4)$, qui ne suit pas la courbe."
},
{
"text": "$\\sqrt{1 + 1} \\times \\sqrt{1 + 9}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les longueurs des segments mis bout à bout\ns'additionnent, elles ne se multiplient pas."
},
{
"text": "$\\sqrt{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner les nombres sous deux\nracines : $\\sqrt{2} + \\sqrt{10} \\neq \\sqrt{12}$."
}
],
"explanation": "En multipliant les points intermédiaires, la somme des longueurs des\nsegments se rapproche de la longueur de la courbe : c'est l'idée\nd'un algorithme de calcul approché."
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 3,
"skills": [
"dichotomie",
"extremum",
"algorithme"
],
"title": "Nombre d'étapes d'une dichotomie",
"partie": "extremums",
"statement": "Pour encadrer l'abscisse du maximum d'une fonction sur\n$[0\\,;\\,4]$, on applique une dichotomie : à chaque étape,\nl'intervalle qui contient le maximum est remplacé par l'une de\nses deux moitiés. Combien d'étapes faut-il au minimum pour\nobtenir un intervalle d'amplitude inférieure ou égale à $0{,}1$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$ étapes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : après $n$ étapes, l'amplitude vaut\n$\\dfrac{4}{2^n}$. Pour $n = 5$, $\\dfrac{4}{32} = 0{,}125$ ;\npour $n = 6$, $\\dfrac{4}{64} = 0{,}0625 \\leq 0{,}1$."
},
{
"text": "$5$ étapes",
"correct": false,
"feedback": "Une étape de moins : après $5$ étapes, l'amplitude vaut\n$\\dfrac{4}{32} = 0{,}125$, encore supérieure à $0{,}1$."
},
{
"text": "$40$ étapes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $40 = \\dfrac{4}{0{,}1}$ serait le nombre de pas d'un\nbalayage de pas $0{,}1$. La dichotomie divise l'amplitude\npar $2$ à chaque étape."
},
{
"text": "$20$ étapes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : retirer $0{,}2$ à chaque étape n'est pas une\ndichotomie ; l'amplitude est divisée par $2$, d'où $6$\nétapes seulement."
}
],
"explanation": "La dichotomie est bien plus rapide qu'un balayage : l'amplitude\nest divisée par $2$ à chaque étape, soit par $2^n$ après $n$\nétapes."
}
]
}