{
"chapter": {
"id": "vecteurs-du-plan",
"level": "seconde",
"theme": "Géométrie",
"title": "Vecteurs du plan",
"description": "Égalité de deux vecteurs, coordonnées d'un vecteur et de\n$\\overrightarrow{AB}$, somme et produit par un réel, relation de\nChasles, colinéarité et déterminant, norme, milieu d'un segment,\nalignement et parallélisme.",
"parties": [
{
"id": "vecteurs-egalite",
"title": "Vecteurs, égalité et translation"
},
{
"id": "operations",
"title": "Somme, différence et relation de Chasles"
},
{
"id": "coordonnees",
"title": "Coordonnées, milieu et norme"
},
{
"id": "colinearite",
"title": "Colinéarité et alignement"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"egalite",
"parallelogramme"
],
"title": "Égalité de vecteurs et parallélogramme",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan (non alignés).\nQue signifie l'égalité $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$ABCD$ est un parallélogramme",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$\nsignifie que $[AB]$ et $[DC]$ ont même direction, même sens\net même longueur : c'est la caractérisation vectorielle du\nparallélogramme $ABCD$."
},
{
"text": "$ABCD$ est un rectangle",
"correct": false,
"feedback": "Trop fort : l'égalité vectorielle ne dit rien des angles.\nElle garantit un parallélogramme, rectangle seulement si un\nangle droit s'y ajoute."
},
{
"text": "Les segments $[AB]$ et $[DC]$ ont la même longueur",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : l'égalité de vecteurs exige aussi même\n**direction** et même **sens**. Deux segments de même\nlongueur peuvent pointer n'importe où."
},
{
"text": "$A = D$ et $B = C$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux vecteurs égaux peuvent avoir des\nreprésentants d'origines différentes ; c'est tout l'intérêt\nde la notion."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ $\\Leftrightarrow$\n$ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). La\ntranslation qui envoie $A$ sur $B$ envoie alors $D$ sur $C$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"lecture-graphique",
"coordonnees"
],
"title": "Lire les coordonnées d'un vecteur",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Sur la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées du\nvecteur $\\vec{u} = \\overrightarrow{AB}$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.7,-0.7) grid (5.7,4.7);\n \\draw[->] (-0.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\fill (1,1) circle (0.07) node[below left,font=\\small] {$A$};\n \\fill (4,3) circle (0.07) node[above right,font=\\small] {$B$};\n \\draw[->,very thick,blue] (1,1) -- (4,3);\n \\node[blue,above left,font=\\small] at (2.7,2) {$\\vec{u}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec quadrillage. Le point A est en (1 ; 1)\net le point B en (4 ; 3). Le vecteur u, tracé en bleu de A\nvers B, avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux\nvers le haut.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on se déplace de\n$3$ carreaux vers la droite et de $2$ vers le haut :\n$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(4\\,;\\,3)$ sont les coordonnées du **point**\n$B$. Celles du vecteur mesurent le **déplacement** de $A$\nvers $B$."
},
{
"text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées inversées : le déplacement horizontal ($3$)\ns'écrit en premier, le vertical ($2$) en second."
},
{
"text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as **additionné** les coordonnées de $A$ et\n$B$. Un vecteur se lit par différence (arrivée moins\ndépart)."
}
],
"explanation": "Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A) =\n(4-1\\,;\\,3-1) = (3\\,;\\,2)$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"coordonnees",
"calcul"
],
"title": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Soient $A(2\\,;\\,-1)$ et $B(5\\,;\\,3)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (5 - 2\\,;\\,3 - (-1)) = (3\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.\nSoustraire un négatif revient à additionner."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $(-3\\,;\\,-4)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$3 - (-1) = 4$.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(2\\,;\\,-1)$ et $B(5\\,;\\,3)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (5 - 2\\,;\\,3 - (-1)) = (3\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.\nSoustraire un négatif revient à additionner."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $(-3\\,;\\,-4)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$3 - (-1) = 4$."
},
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,-3)$ et $B(4\\,;\\,2)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (4 - 1\\,;\\,2 - (-3)) = (3\\,;\\,5)$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.\nSoustraire un négatif revient à additionner."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $(-3\\,;\\,-5)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$2 - (-3) = 5$."
},
{
"statement": "Soient $A(3\\,;\\,-2)$ et $B(7\\,;\\,1)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (7 - 3\\,;\\,1 - (-2)) = (4\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.\nSoustraire un négatif revient à additionner."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $(-4\\,;\\,-3)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$1 - (-2) = 3$."
},
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,-4)$ et $B(6\\,;\\,2)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (6 - 1\\,;\\,2 - (-4)) = (5\\,;\\,6)$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6$.\nSoustraire un négatif revient à additionner."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : $(-5\\,;\\,-6)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$2 - (-4) = 6$."
}
]
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme",
"coordonnees"
],
"title": "Somme de deux vecteurs",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(-1\\,;\\,4)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on additionne coordonnée par coordonnée :\n$(2 + (-1)\\,;\\,3 + 4) = (1\\,;\\,7)$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $2 + (-1) = 1$, pas $3$ (tu as soustrait\n$-1$ au lieu de l'ajouter)."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la deuxième coordonnée vaut $3 + 4 = 7$. Chaque\ncoordonnée s'additionne indépendamment."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,12)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as **multiplié** les coordonnées. La somme de\nvecteurs est une addition coordonnée par coordonnée."
}
],
"explanation": "$\\vec{u}(x\\,;\\,y) + \\vec{v}(x'\\,;\\,y') =\n(x + x'\\,;\\,y + y')$ : les déplacements s'enchaînent, les\ncoordonnées s'ajoutent."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"produit-reel",
"coordonnees"
],
"title": "Produit d'un vecteur par un réel",
"partie": "operations",
"statement": "Soit $\\vec{u}(2\\,;\\,-1)$. Quelles sont les coordonnées de\n$-3\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-6\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$-3$ : $(-3 \\times 2\\,;\\,-3 \\times (-1)) = (-6\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(-6\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $-3 \\times (-1) = +3$. Le produit de\ndeux négatifs est positif."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la première coordonnée vaut $-3 \\times 2 = -6$.\nLe facteur $-3$ s'applique avec son signe."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as **soustrait** $3$ aux coordonnées.\nMultiplier un vecteur par un réel multiplie chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "$k\\,\\vec{u}(x\\,;\\,y) = (kx\\,;\\,ky)$. Pour $k = -3$ :\n$(-6\\,;\\,3)$, vecteur de sens opposé et trois fois plus long."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"chasles"
],
"title": "Relation de Chasles",
"partie": "operations",
"statement": "Pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques, que vaut la somme\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$\nrevient à aller directement de $A$ à $C$ : c'est la\nrelation de Chasles."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{CA}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : l'enchaînement part de $A$ et aboutit à\n$C$, donc $\\overrightarrow{AC}$ (et non le retour\n$\\overrightarrow{CA}$)."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{BB} = \\vec{0}$. La somme ne\ns'annule que pour un aller-retour, comme\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BA}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} \\times \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : on ne « multiplie » pas deux vecteurs\nen seconde. La relation de Chasles concerne la **somme**."
}
],
"explanation": "Relation de Chasles : $\\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AC}$ : la lettre\nintermédiaire ($B$) s'efface quand elle termine le premier\nvecteur et commence le second."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite",
"determinant"
],
"title": "Tester la colinéarité par le déterminant",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soient $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(4\\,;\\,6)$. Ces vecteurs\nsont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = 2 \\times 6 - 3\n\\times 4 = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le déterminant $xy' - yx'$ est nul, c'est\nle critère de colinéarité (on voit d'ailleurs que\n$\\vec{v} = 2\\vec{u}$)."
},
{
"text": "Non, car leurs coordonnées sont différentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité demande la **proportionnalité**,\npas l'égalité. Ici $\\vec{v} = 2\\vec{u}$ : colinéaires."
},
{
"text": "Non, car $2 \\times 6 + 3 \\times 4 = 24 \\neq 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de formule : le déterminant est une **différence**\nen croix, $xy' - yx'$, pas une somme."
},
{
"text": "Oui, car toutes leurs coordonnées sont positives",
"correct": false,
"feedback": "La conclusion est bonne mais l'argument est faux : les\nsignes ne disent rien de la colinéarité. Seul le\ndéterminant nul (ou la proportionnalité) conclut."
}
],
"explanation": "$\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ et $\\vec{v}(x'\\,;\\,y')$ sont colinéaires\n$\\Leftrightarrow$ $\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = xy' - yx' = 0$\n(produit en croix). Ici $12 - 12 = 0$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"determinant",
"calcul"
],
"title": "Calculer un déterminant",
"partie": "colinearite",
"statement": "Que vaut le déterminant de $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(1\\,;\\,5)$, et que peut-on en déduire ?",
"options": [
{
"text": "$\\det = 7$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 5 - 3 \\times 1 = 10 - 3 = 7 \\neq\n0$ : les directions sont distinctes."
},
{
"text": "$\\det = 13$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de formule : $13 = 2 \\times 5 + 3 \\times 1$\nadditionne au lieu de soustraire. Le déterminant est\n$xy' - yx' = 7$ (la conclusion reste bonne, pas le\ncalcul)."
},
{
"text": "$\\det = 0$ : les vecteurs sont colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $2 \\times 5 = 10$ et $3 \\times 1 = 3$\nne se compensent pas : $\\det = 7 \\neq 0$."
},
{
"text": "$\\det = 7$ : les vecteurs sont colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Calcul juste, conclusion inversée : la colinéarité\ncorrespond à un déterminant **nul**. Ici $7 \\neq 0$ :\nnon colinéaires."
}
],
"explanation": "$\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = xy' - yx' = 10 - 3 = 7$.\nDéterminant non nul $\\Leftrightarrow$ vecteurs non\ncolinéaires : ils forment deux directions distinctes du plan."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"milieu",
"calcul"
],
"title": "Coordonnées du milieu",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$ et $B(5\\,;\\,8)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{1 + 5}{2}\\,;\\,\\dfrac{2 + 8}{2}\\right) =\n(3\\,;\\,5)$."
},
{
"text": "$I(6\\,;\\,10)$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(6\\,;\\,10)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et\n$\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Vérifie tes moyennes."
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(3\\,;\\,5)$.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$ et $B(5\\,;\\,8)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(3\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{1 + 5}{2}\\,;\\,\\dfrac{2 + 8}{2}\\right) =\n(3\\,;\\,5)$."
},
{
"text": "$I(6\\,;\\,10)$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(6\\,;\\,10)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et\n$\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Vérifie tes moyennes."
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(3\\,;\\,5)$."
},
{
"statement": "Soient $A(2\\,;\\,-4)$ et $B(6\\,;\\,2)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(4\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{2 + 6}{2}\\,;\\,\\dfrac{-4 + 2}{2}\\right) =\n(4\\,;\\,-1)$."
},
{
"text": "$I(8\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(8\\,;\\,-2)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(5\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{2 + 6}{2} = 4$ et\n$\\dfrac{-4 + 2}{2} = -1$. Vérifie tes moyennes."
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(4\\,;\\,-1)$."
},
{
"statement": "Soient $A(-3\\,;\\,1)$ et $B(5\\,;\\,7)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(1\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{-3 + 5}{2}\\,;\\,\\dfrac{1 + 7}{2}\\right) =\n(1\\,;\\,4)$."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(2\\,;\\,8)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié."
},
{
"text": "$I(4\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(4\\,;\\,3)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{-3 + 5}{2} = 1$ et\n$\\dfrac{1 + 7}{2} = 4$. Vérifie tes moyennes."
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(1\\,;\\,4)$."
},
{
"statement": "Soient $A(0\\,;\\,3)$ et $B(4\\,;\\,-5)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(2\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{0 + 4}{2}\\,;\\,\\dfrac{3 - 5}{2}\\right) =\n(2\\,;\\,-1)$."
},
{
"text": "$I(4\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(4\\,;\\,-2)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié."
},
{
"text": "$I(2\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,-4)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{0 + 4}{2} = 2$ et\n$\\dfrac{3 - 5}{2} = -1$. Vérifie tes moyennes."
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(2\\,;\\,-1)$."
}
]
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"norme",
"calcul"
],
"title": "Norme d'un vecteur",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{3^2 + 4^2} =\n\\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3 + 4$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{9 + 16}$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la racine : $25$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$\\sqrt{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25}$."
}
],
"explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{9 + 16} = 5$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{3^2 + 4^2} =\n\\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3 + 4$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{9 + 16}$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la racine : $25$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{25} = 5$."
},
{
"text": "$\\sqrt{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25}$."
}
],
"explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{9 + 16} = 5$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(6\\,;\\,8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{6^2 + 8^2} =\n\\sqrt{100} = 10$."
},
{
"text": "$14$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6 + 8$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{36 + 64}$."
},
{
"text": "$100$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la racine : $100$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{100} = 10$."
},
{
"text": "$\\sqrt{14}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{6 + 8}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{6^2 + 8^2} = \\sqrt{100}$."
}
],
"explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{36 + 64} = 10$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(5\\,;\\,12)$ ?",
"options": [
{
"text": "$13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{5^2 + 12^2} =\n\\sqrt{169} = 13$."
},
{
"text": "$17$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5 + 12$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{25 + 144}$."
},
{
"text": "$169$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la racine : $169$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{169} = 13$."
},
{
"text": "$\\sqrt{17}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{5 + 12}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{169}$."
}
],
"explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{25 + 144} = 13$."
},
{
"statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(8\\,;\\,15)$ ?",
"options": [
{
"text": "$17$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{8^2 + 15^2} =\n\\sqrt{289} = 17$."
},
{
"text": "$23$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8 + 15$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{64 + 225}$."
},
{
"text": "$289$",
"correct": false,
"feedback": "Oubli de la racine : $289$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{289} = 17$."
},
{
"text": "$\\sqrt{23}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{8 + 15}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{289}$."
}
],
"explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{64 + 225} = 17$."
}
]
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"determinant"
],
"title": "Alignement de trois points",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soient $A(0\\,;\\,1)$, $B(2\\,;\\,4)$ et $C(6\\,;\\,10)$. Ces trois\npoints sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$\nsont colinéaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(6\\,;\\,9)$ ont un déterminant nul,\n$2 \\times 9 - 3 \\times 6 = 18 - 18 = 0$ : les vecteurs\nsont colinéaires ($\\overrightarrow{AC} =\n3\\overrightarrow{AB}$), donc les points alignés."
},
{
"text": "Non, car les longueurs $AB$ et $AC$ sont différentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des points alignés n'ont aucune raison d'être\néquidistants. L'alignement se teste par la\n**colinéarité** des vecteurs, pas par les longueurs."
},
{
"text": "Non, car les trois points ont des ordonnées différentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls les points d'une droite **horizontale**\npartagent la même ordonnée. Une droite oblique traverse\ntoutes les ordonnées."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer la figure dans un\nrepère",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le calcul du déterminant tranche sans figure :\n$\\det(\\overrightarrow{AB}\\,;\\,\\overrightarrow{AC}) = 0$,\npoints alignés. C'est la force du calcul vectoriel."
}
],
"explanation": "$A$, $B$, $C$ alignés $\\Leftrightarrow$ $\\overrightarrow{AB}$\net $\\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\\Leftrightarrow$\n$\\det = 0$. Ici $\\det = 2 \\times 9 - 3 \\times 6 = 0$ :\nalignés."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"milieu",
"caracterisation"
],
"title": "Caractérisation vectorielle du milieu",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Quelle égalité vectorielle caractérise « $I$ est le milieu de\n$[AB]$ » ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{IA} + \\overrightarrow{IB} = \\vec{0}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : depuis le milieu, les vecteurs vers $A$ et\nvers $B$ sont opposés, leur somme est nulle. Formulation\néquivalente : $\\overrightarrow{AI} =\n\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{IA} = \\overrightarrow{IB}$",
"correct": false,
"feedback": "Piège : deux vecteurs **égaux** ont le même sens ; ici\n$\\overrightarrow{IA}$ et $\\overrightarrow{IB}$ pointent\ndans des sens opposés. L'égalité forcerait $A = B$."
},
{
"text": "$IA = IB$",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : l'égalité des **longueurs** caractérise\ntoute la médiatrice de $[AB]$, pas seulement son milieu.\nIl faut l'information vectorielle (direction comprise)."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AI} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de coefficient : ce point serait **au-delà** de\n$B$, deux fois trop loin. Le milieu correspond à\n$\\overrightarrow{AI} = \\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$."
}
],
"explanation": "Caractérisation vectorielle du milieu (au programme) : $I$\nmilieu de $[AB]$ $\\Leftrightarrow$ $\\overrightarrow{IA} +\n\\overrightarrow{IB} = \\vec{0}$ $\\Leftrightarrow$\n$\\overrightarrow{AI} = \\frac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$. La\nversion « longueurs » $IA = IB$ décrit la médiatrice entière."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"translation"
],
"title": "Image par une translation",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Quelle est l'image du point $A(2\\ ;\\ 1)$ par la translation\nde vecteur $\\vec{u}(3\\ ;\\ -2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$A'(5\\ ;\\ -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : appliquer une translation revient à ajouter les coordonnées du vecteur : $(2 + 3\\ ;\\ 1 - 2)$."
},
{
"text": "$A'(-1\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction : $(2 - 3\\ ;\\ 1 + 2)$ applique le vecteur\n**opposé** : la translation ajoute $\\vec{u}$, elle ne le\nretire pas."
},
{
"text": "$A'(6\\ ;\\ -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication : les coordonnées du vecteur\ns'**ajoutent** à celles du point, elles ne les\nmultiplient pas."
},
{
"text": "$A'(3\\ ;\\ -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ oublié : $(3\\ ;\\ -2)$ sont les\ncoordonnées du **vecteur** : l'image part de $A$ et se\ndécale de $\\vec{u}$."
}
],
"explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}(a\\ ;\\ b)$ : chaque point\nglisse de $a$ horizontalement et $b$ verticalement : $A'(x_A\n+ a\\ ;\\ y_A + b)$. Le vecteur EST le déplacement."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"oppose"
],
"title": "Vecteur opposé",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Quel est l'opposé du vecteur $\\vec{u}(4\\ ;\\ -3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-\\vec{u}(-4\\ ;\\ 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'opposé change le signe des **deux**\ncoordonnées : même direction, même longueur, sens\ncontraire."
},
{
"text": "$(-4\\ ;\\ -3)$",
"correct": false,
"feedback": "Une seule coordonnée basculée : l'opposé retourne le\nvecteur entier : les deux signes changent."
},
{
"text": "$(4\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seul le signe du $-3$ a changé : ce vecteur\nn'est ni $\\vec{u}$ ni son opposé."
},
{
"text": "$\\left(\\dfrac{1}{4}\\ ;\\ -\\dfrac{1}{3}\\right)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : les inverses concernent les nombres ;\nl'**opposé** d'un vecteur change les signes, pas les\nvaleurs."
}
],
"explanation": "$-\\vec{u}$ : mêmes coordonnées avec signes opposés.\nPropriété clé : $\\vec{u} + (-\\vec{u}) = \\vec{0}$, et\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 1,
"skills": [
"produit-reel"
],
"title": "Multiplier un vecteur par un réel",
"partie": "operations",
"statement": "Soit $\\vec{u}(2\\ ;\\ -1)$. Quelles sont les coordonnées de\n$3\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\ ;\\ -3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$3$ : même direction et même sens, longueur multipliée\npar $3$."
},
{
"text": "$(5\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(2 + 3\\ ;\\ -1 + 3)$ ajoute $3$ au lieu de\nmultiplier **par** $3$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication partielle : le facteur $3$ s'applique aux\n**deux** coordonnées."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $3 \\times (-1) = -3$ : multiplier par un\npositif conserve les signes."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(2\\ ;\\ -1)$. Quelles sont les coordonnées de\n$3\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\ ;\\ -3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$3$ : même direction et même sens, longueur multipliée\npar $3$."
},
{
"text": "$(5\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(2 + 3\\ ;\\ -1 + 3)$ ajoute $3$ au lieu de\nmultiplier **par** $3$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication partielle : le facteur $3$ s'applique aux\n**deux** coordonnées."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $3 \\times (-1) = -3$ : multiplier par un\npositif conserve les signes."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(-3\\ ;\\ 2)$. Quelles sont les coordonnées de\n$4\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-12\\ ;\\ 8)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$4$ : même direction et même sens, longueur multipliée\npar $4$."
},
{
"text": "$(1\\ ;\\ 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(-3 + 4\\ ;\\ 2 + 4)$ ajoute $4$ au lieu de\nmultiplier **par** $4$."
},
{
"text": "$(-12\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication partielle : le facteur $4$ s'applique aux\n**deux** coordonnées."
},
{
"text": "$(-12\\ ;\\ -8)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $4 \\times (2) = 8$ : multiplier par un\npositif conserve les signes."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(4\\ ;\\ -5)$. Quelles sont les coordonnées de\n$2\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(8\\ ;\\ -10)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$2$ : même direction et même sens, longueur multipliée\npar $2$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ -3)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(4 + 2\\ ;\\ -5 + 2)$ ajoute $2$ au lieu de\nmultiplier **par** $2$."
},
{
"text": "$(8\\ ;\\ -5)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication partielle : le facteur $2$ s'applique aux\n**deux** coordonnées."
},
{
"text": "$(8\\ ;\\ 10)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $2 \\times (-5) = -10$ : multiplier par un\npositif conserve les signes."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(1\\ ;\\ 3)$. Quelles sont les coordonnées de\n$5\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\ ;\\ 15)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$5$ : même direction et même sens, longueur multipliée\npar $5$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(1 + 5\\ ;\\ 3 + 5)$ ajoute $5$ au lieu de\nmultiplier **par** $5$."
},
{
"text": "$(5\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Multiplication partielle : le facteur $5$ s'applique aux\n**deux** coordonnées."
},
{
"text": "$(5\\ ;\\ -15)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $5 \\times (3) = 15$ : multiplier par un\npositif conserve les signes."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$."
}
]
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"difference"
],
"title": "Coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $\\vec{u}(5\\ ;\\ 2)$ et $\\vec{v}(1\\ ;\\ 4)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\ ;\\ -2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(5 - 1\\ ;\\\n2 - 4) = (4\\ ;\\ -2)$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(5 + 1\\ ;\\ 2 + 4)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait."
},
{
"text": "$(-4\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : $(1 - 5\\ ;\\ 4 - 2)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$(4\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $2 - 4 = -2$ ; on soustrait dans l'ordre,\n$\\vec{u}$ moins $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)",
"variants": [
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(5\\ ;\\ 2)$ et $\\vec{v}(1\\ ;\\ 4)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\ ;\\ -2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(5 - 1\\ ;\\\n2 - 4) = (4\\ ;\\ -2)$."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(5 + 1\\ ;\\ 2 + 4)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait."
},
{
"text": "$(-4\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : $(1 - 5\\ ;\\ 4 - 2)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$(4\\ ;\\ 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $2 - 4 = -2$ ; on soustrait dans l'ordre,\n$\\vec{u}$ moins $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)"
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(3\\ ;\\ 7)$ et $\\vec{v}(6\\ ;\\ 1)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-3\\ ;\\ 6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(3 - 6\\ ;\\\n7 - 1) = (-3\\ ;\\ 6)$."
},
{
"text": "$(9\\ ;\\ 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(3 + 6\\ ;\\ 7 + 1)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ -6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : $(6 - 3\\ ;\\ 1 - 7)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$(-3\\ ;\\ -6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $7 - 1 = 6$ ; on soustrait dans l'ordre,\n$\\vec{u}$ moins $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)"
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(8\\ ;\\ 1)$ et $\\vec{v}(2\\ ;\\ 5)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\ ;\\ -4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(8 - 2\\ ;\\\n1 - 5) = (6\\ ;\\ -4)$."
},
{
"text": "$(10\\ ;\\ 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(8 + 2\\ ;\\ 1 + 5)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait."
},
{
"text": "$(-6\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : $(2 - 8\\ ;\\ 5 - 1)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$(6\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $1 - 5 = -4$ ; on soustrait dans l'ordre,\n$\\vec{u}$ moins $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)"
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(7\\ ;\\ 3)$ et $\\vec{v}(4\\ ;\\ 6)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\ ;\\ -3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(7 - 4\\ ;\\\n3 - 6) = (3\\ ;\\ -3)$."
},
{
"text": "$(11\\ ;\\ 9)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition : $(7 + 4\\ ;\\ 3 + 6)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait."
},
{
"text": "$(-3\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : $(4 - 7\\ ;\\ 6 - 3)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $3 - 6 = -3$ ; on soustrait dans l'ordre,\n$\\vec{u}$ moins $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)"
}
]
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallelogramme-construction"
],
"title": "Construire le quatrième sommet",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Soient $A(0\\ ;\\ 0)$, $B(3\\ ;\\ 1)$ et $C(4\\ ;\\ 3)$. Où\nplacer $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$D(1\\ ;\\ 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ parallélogramme $\\iff\n\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ : avec\n$\\overrightarrow{AB}(3\\ ;\\ 1)$ : $D = C - (3\\ ;\\ 1) =\n(1\\ ;\\ 2)$."
},
{
"text": "$D(7\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais côté : $(7\\ ;\\ 4) = C + \\overrightarrow{AB}$\nconstruit $ABDC$ (ordre des lettres différent) : pour\n$ABCD$, le côté $[DC]$ est parallèle à $[AB]$ : $D = C -\n\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "$D(4\\ ;\\ 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le point $C$ : un parallélogramme a\nquatre sommets **distincts**."
},
{
"text": "$D(-3\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $A - \\overrightarrow{AB}$ prolonge $[BA]$ :\nle quatrième sommet se construit à partir de $C$."
}
],
"explanation": "$ABCD$ parallélogramme $\\iff \\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ (attention à l'**ordre des lettres** :\nles sommets se suivent le long du bord). Le calcul : une\négalité vectorielle et une soustraction de coordonnées."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"chasles-enchainee"
],
"title": "Chasles en chaîne",
"partie": "operations",
"statement": "Que vaut la somme $\\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CD}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AD}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points intermédiaires s'effacent en\ncascade : $A \\to B \\to C \\to D$ revient à $A \\to D$."
},
{
"text": "$\\vec{0}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme ne s'annule que si le chemin\n**revient** à son départ ($+\\overrightarrow{DA}$\nmanquerait pour boucler)."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{DA}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $D$ :\n$\\overrightarrow{AD}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CD}$ : on ne\npeut pas simplifier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} =\n\\overrightarrow{AC}$ d'abord, puis $\\overrightarrow{AC}\n+ \\overrightarrow{CD} = \\overrightarrow{AD}$ : tout\ns'enchaîne."
}
],
"explanation": "Chasles se cascade : dans une somme de vecteurs « bout à\nbout », seuls comptent le départ et l'arrivée. Boucle\nfermée ($\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} +\n\\overrightarrow{CA}$) : vecteur nul."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite-parametre"
],
"title": "Paramètre de colinéarité",
"partie": "colinearite",
"statement": "Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\\vec{u}(3\\ ;\\ m)$\net $\\vec{v}(6\\ ;\\ 10)$ sont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "$m = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : déterminant nul : $3 \\times 10 - 6\n\\times m = 30 - 6m = 0 \\iff m = 5$. (Cohérent :\n$\\vec{v} = 2\\vec{u}$.)"
},
{
"text": "$m = 20$",
"correct": false,
"feedback": "Équation mal posée : le déterminant est $xy' - x'y = 30\n- 6m$, qui s'annule en $5$ (pas $\\frac{60}{3}$)."
},
{
"text": "$m = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $30 - 42 = -12 \\neq 0$ : la proportionnalité\nexige $\\frac{m}{10} = \\frac{3}{6}$, soit $m = 5$."
},
{
"text": "Aucune : les premières coordonnées sont différentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité demande la **proportionnalité**\n($6 = 2 \\times 3$ passe très bien), pas l'égalité."
}
],
"explanation": "Colinéarité : $xy' - x'y = 0$. Avec un paramètre, le\ndéterminant devient une équation du premier degré. Contrôle\nfinal par la proportionnalité des colonnes."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteur-nul"
],
"title": "Le vecteur nul",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Que vaut $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{0}$, le vecteur nul",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis revenir :\ndéplacement total nul ($\\overrightarrow{BA} =\n-\\overrightarrow{AB}$)."
},
{
"text": "$2\\overrightarrow{AB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AB}$ (deux fois le MÊME sens) : ici le\nretour annule l'aller."
},
{
"text": "Le nombre $0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : la somme de deux vecteurs est un\n**vecteur** : le vecteur nul $\\vec{0}$, pas le réel $0$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ajouter $\\overrightarrow{BA}$ n'est pas neutre :\nc'est l'opposé exact de $\\overrightarrow{AB}$ : tout\ns'annule."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc leur\nsomme est $\\vec{0}$ (coordonnées $(0\\ ;\\ 0)$, aucune\ndirection). Distinguer soigneusement $\\vec{0}$ (vecteur) de\n$0$ (nombre)."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"distance-points"
],
"title": "Distance entre deux points",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 2)$ et $B(4\\ ;\\ 6)$. Que vaut la distance\n$AB$ ?",
"options": [
{
"text": "$5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\ ;\\ 4)$, et $AB\n= \\|\\overrightarrow{AB}\\| = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ : le\ntriangle $3$-$4$-$5$."
},
{
"text": "$7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3 + 4$ additionne les écarts : la distance\n« à vol d'oiseau » passe par Pythagore : $\\sqrt{9 +\n16}$."
},
{
"text": "$25$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $25$ est $AB^2$ : la distance vaut\n$5$."
},
{
"text": "$\\sqrt{7}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4}$ oublie les **carrés** : la\nformule est $\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$."
}
],
"explanation": "$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ : la norme du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ : écarts, carrés, somme,\nracine : quatre gestes dans cet ordre."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 3,
"skills": [
"egalite-ordre-lettres"
],
"title": "Quel parallélogramme pour $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$ ?",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "On sait que $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$\n(points non alignés). Quel quadrilatère est un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$ABDC$ (dans cet ordre)",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{CD}$ envoie $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$\npar la même translation : les côtés $[AB]$ et $[CD]$\nsont parallèles de même sens : le tour du quadrilatère\nse lit $A, B, D, C$."
},
{
"text": "$ABCD$ (dans cet ordre)",
"correct": false,
"feedback": "Le piège de l'ordre des lettres : $ABCD$ parallélogramme\ncorrespond à $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ (le $D$ et le $C$ inversés) : ici\nles sommets se suivent en $A, B, D, C$."
},
{
"text": "$ACBD$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : cet ordre croise les côtés (papillon) :\nl'égalité donnée apparie $[AB]$ avec $[CD]$ dans le même\nsens : contour $A, B, D, C$."
},
{
"text": "Aucun : une égalité vectorielle ne fait pas un\nparallélogramme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est LA caractérisation vectorielle du\nparallélogramme : deux côtés opposés portés par des\nvecteurs égaux."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD} \\iff ABDC$\nparallélogramme ; $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC} \\iff ABCD$ parallélogramme. L'ordre des\nlettres du contour suit les flèches : dessiner deux flèches\négales rend l'ordre évident."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"somme-geometrique"
],
"title": "La règle du parallélogramme",
"partie": "operations",
"statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont tracés depuis la même origine\n$O$. Comment se construit géométriquement $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "C'est la diagonale issue de $O$ du parallélogramme\nconstruit sur $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : compléter le parallélogramme : la somme\npart de $O$ et rejoint le sommet opposé : équivalent du\n« bout à bout » de Chasles."
},
{
"text": "C'est l'autre diagonale du parallélogramme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'autre diagonale représente la **différence**\n$\\vec{u} - \\vec{v}$ (elle joint les extrémités des deux\nvecteurs)."
},
{
"text": "C'est le vecteur qui joint l'extrémité de $\\vec{u}$ à\ncelle de $\\vec{v}$",
"correct": false,
"feedback": "C'est la différence $\\vec{v} - \\vec{u}$ : la somme, elle,\npart de l'origine commune vers le sommet opposé."
},
{
"text": "On ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux constructions existent : bout à bout\n(Chasles) ou parallélogramme (même origine) : le\nrésultat est le même vecteur."
}
],
"explanation": "Deux visualisations de $\\vec{u} + \\vec{v}$ : mettre\n$\\vec{v}$ au bout de $\\vec{u}$ (Chasles), ou compléter le\nparallélogramme depuis l'origine commune : sa diagonale\nissue de $O$ est la somme (l'autre diagonale : la\ndifférence)."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"produit-reel-negatif"
],
"title": "Multiplier par un réel négatif",
"partie": "operations",
"statement": "Comment $-2\\vec{u}$ se compare-t-il à $\\vec{u}$ (non nul) ?",
"options": [
{
"text": "Même direction, sens contraire, longueur doublée",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe retourne le sens, le $|{-2}| =\n2$ double la longueur, la direction (la droite) ne\nchange jamais."
},
{
"text": "Direction différente, même sens, longueur doublée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $k\\vec{u}$ reste toujours sur la même droite\nque $\\vec{u}$ (c'est la définition de la colinéarité),\net le signe négatif retourne le sens."
},
{
"text": "Même direction, même sens, longueur doublée",
"correct": false,
"feedback": "Signe ignoré : le facteur négatif **retourne** le\nvecteur : sens contraire."
},
{
"text": "Même direction, sens contraire, longueur divisée par $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la longueur est multipliée par $|k| = 2$, pas\npar $\\frac{1}{2}$."
}
],
"explanation": "$k\\vec{u}$ : direction inchangée, longueur $\\times |k|$,\nsens conservé si $k > 0$, inversé si $k < 0$. Les trois\nattributs d'un vecteur (direction, sens, norme) réagissent\nchacun à sa façon."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite",
"parallelisme",
"determinant"
],
"title": "Parallélisme de deux droites",
"partie": "colinearite",
"statement": "Dans un repère, $A(1\\,;\\,2)$, $B(4\\,;\\,3)$, $C(0\\,;\\,0)$ et\n$D(6\\,;\\,2)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car le déterminant est nul",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,1)$ et\n$\\overrightarrow{CD}(6\\,;\\,2)$ donnent\n$3 \\times 2 - 1 \\times 6 = 0$."
},
{
"text": "Non, car les points sont distincts",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites parallèles peuvent être distinctes : c'est même le cas\ngénéral. Le critère porte sur les vecteurs directeurs."
},
{
"text": "Non, car les vecteurs ont des normes différentes",
"correct": false,
"feedback": "La norme n'intervient pas : $\\overrightarrow{CD} = 2\\overrightarrow{AB}$\nreste colinéaire à $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "Oui, car les quatre points sont alignés",
"correct": false,
"feedback": "Conclusion juste, raison fausse : $C$ n'appartient pas à $(AB)$,\npuisque $\\overrightarrow{AC}(-1\\,;\\,-2)$ n'est pas colinéaire à\n$\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,1)$."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont\ncolinéaires, ce que le déterminant détecte : il est nul si et seulement\ns'il y a colinéarité."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"vecteur"
],
"title": "Ce qui définit un vecteur",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Deux flèches tracées à des endroits différents du plan peuvent-elles\nreprésenter le même vecteur ?",
"options": [
{
"text": "Oui, si direction, sens et longueur coïncident",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un vecteur n'a pas de position, seuls ces trois\ncaractères le définissent."
},
{
"text": "Non, chaque vecteur a une origine fixée",
"correct": false,
"feedback": "L'origine n'appartient pas au vecteur : elle sert seulement à en\ntracer un représentant."
},
{
"text": "Oui, à condition qu'elles se coupent",
"correct": false,
"feedback": "Deux représentants d'un même vecteur sont parallèles, donc ils ne se\ncoupent généralement pas."
},
{
"text": "Non, sauf si les deux flèches sont opposées",
"correct": false,
"feedback": "Des flèches opposées représentent au contraire deux vecteurs\ndifférents, $\\vec{u}$ et $-\\vec{u}$."
}
],
"explanation": "Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Il\nadmet donc une infinité de représentants, tous parallèles et de même\nlongueur."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 3,
"skills": [
"milieu",
"coordonnees"
],
"title": "Retrouver un point à partir du milieu",
"partie": "coordonnees",
"statement": "On donne $A(-1\\,;\\,4)$ et $B(2\\,;\\,1)$. Quelles sont les coordonnées du\npoint $C$ tel que $B$ soit le milieu de $[AC]$ ?",
"options": [
{
"text": "$C(5\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : de $x_B = \\dfrac{x_A + x_C}{2}$ on tire\n$x_C = 2x_B - x_A = 5$, et de même $y_C = -2$."
},
{
"text": "$C(0{,}5\\,;\\,2{,}5)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce sont les coordonnées du milieu de $[AB]$, alors que\n$B$ est déjà le milieu cherché."
},
{
"text": "$C(3\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur pris pour un point : $(3\\,;\\,-3)$ sont les coordonnées de\n$\\overrightarrow{AB}$, qu'il faut ajouter à celles de $B$."
},
{
"text": "$C(1\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : on a retranché $\\overrightarrow{AB}$ au lieu de\nl'ajouter, ce qui place $C$ du mauvais côté de $B$."
}
],
"explanation": "Dire que $B$ est le milieu de $[AC]$ équivaut à\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{BC}$. On ajoute donc à $B$ les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite",
"vecteur-nul"
],
"title": "Le vecteur nul et la colinéarité",
"partie": "colinearite",
"statement": "Le vecteur nul $\\vec{0}$ est-il colinéaire au vecteur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-5)$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\vec{0} = 0 \\times \\vec{u}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le vecteur nul s'obtient en multipliant n'importe quel\nvecteur par $0$, il est donc colinéaire à tous."
},
{
"text": "Non, car il n'a pas de direction",
"correct": false,
"feedback": "L'absence de direction n'empêche pas la colinéarité : la définition\ndemande seulement un réel $k$ tel que $\\vec{0} = k\\vec{u}$."
},
{
"text": "Non, car ses coordonnées sont nulles",
"correct": false,
"feedback": "Le déterminant conclut : $0 \\times (-5) - 0 \\times 2 = 0$, donc les\ndeux vecteurs sont bien colinéaires."
},
{
"text": "Oui, mais seulement si $\\vec{u}$ est nul",
"correct": false,
"feedback": "Aucune condition sur $\\vec{u}$ : le facteur $0$ convient quel que soit\nle vecteur choisi."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par\nun réel. Le vecteur nul vérifie cette condition avec tout vecteur, ce qui\nexplique la convention."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parallelogramme",
"coordonnees"
],
"title": "Reconnaître un parallélogramme",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "On donne $A(0\\,;\\,1)$, $B(3\\,;\\,2)$, $C(4\\,;\\,5)$ et $D(1\\,;\\,4)$.\nLe quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,1)$ et\n$\\overrightarrow{DC}(3\\,;\\,1)$ sont égaux."
},
{
"text": "Oui, car $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$",
"correct": false,
"feedback": "Sommets mal ordonnés : $\\overrightarrow{CD}(-3\\,;\\,-1)$ est l'opposé de\n$\\overrightarrow{AB}$, il faut comparer avec $\\overrightarrow{DC}$."
},
{
"text": "Non, car les côtés n'ont pas la même longueur",
"correct": false,
"feedback": "Ils l'ont : $AB = DC = \\sqrt{10}$, et $AD = BC = \\sqrt{10}$ également."
},
{
"text": "Non, car les diagonales ne se coupent pas",
"correct": false,
"feedback": "Elles se coupent en leur milieu commun $(2\\,;\\,3)$, ce qui confirme au\ncontraire le parallélogramme."
}
],
"explanation": "Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$. L'ordre des lettres compte :\non parcourt le contour dans le même sens."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 2,
"skills": [
"norme",
"produit-par-un-reel"
],
"title": "Norme d'un vecteur multiplié",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour norme $2$.\nQuelle est la norme du vecteur $-3\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la longueur est multipliée par $|-3| = 3$, donc elle\npasse de $2$ à $6$."
},
{
"text": "$-6$",
"correct": false,
"feedback": "Une norme est une longueur, donc toujours positive. Le signe change\nseulement le sens du vecteur."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Le facteur est oublié : multiplier par $-3$ triple la longueur, seul\nun facteur de valeur absolue $1$ la laisserait inchangée."
},
{
"text": "$-1$",
"correct": false,
"feedback": "Somme au lieu de produit : le calcul fait est $2 - 3$, alors que la\nnorme se multiplie."
}
],
"explanation": "Pour tout réel $k$, la norme de $k\\vec{u}$ vaut $|k|$ fois celle de\n$\\vec{u}$. Le signe de $k$ n'agit que sur le sens."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"oppose",
"coordonnees"
],
"title": "Coordonnées du vecteur opposé",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Dans un repère, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(5\\,;\\,-2)$. Quelles sont celles de $\\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc\nles deux coordonnées changent de signe."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : parcourir le\nchemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur\nentier, donc l'ordonnée change elle aussi."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la\nmême façon, puisque tout le vecteur se retourne."
}
],
"explanation": "Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, de coordonnées\n$(-x\\,;\\,-y)$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(5\\,;\\,-2)$. Quelles sont celles de $\\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc\nles deux coordonnées changent de signe."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : parcourir le\nchemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur\nentier, donc l'ordonnée change elle aussi."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la\nmême façon, puisque tout le vecteur se retourne."
}
],
"explanation": "Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, de coordonnées\n$(-x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(-3\\,;\\,4)$. Quelles sont celles de $\\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc\nles deux coordonnées changent de signe."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : parcourir le\nchemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur\nentier, donc l'ordonnée change elle aussi."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la\nmême façon, puisque tout le vecteur se retourne."
}
],
"explanation": "Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, de coordonnées\n$(-x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(6\\,;\\,1)$. Quelles sont celles de $\\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-6\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc\nles deux coordonnées changent de signe."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : parcourir le\nchemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé."
},
{
"text": "$(-6\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur\nentier, donc l'ordonnée change elle aussi."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la\nmême façon, puisque tout le vecteur se retourne."
}
],
"explanation": "Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, de coordonnées\n$(-x\\,;\\,-y)$."
},
{
"statement": "Dans un repère, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(14\\,;\\,2)$. Quelles sont celles de $\\overrightarrow{BA}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-14\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc\nles deux coordonnées changent de signe."
},
{
"text": "$(14\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ : parcourir le\nchemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé."
},
{
"text": "$(-14\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur\nentier, donc l'ordonnée change elle aussi."
},
{
"text": "$(14\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la\nmême façon, puisque tout le vecteur se retourne."
}
],
"explanation": "Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, de coordonnées\n$(-x\\,;\\,-y)$."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 1,
"skills": [
"translation",
"coordonnees"
],
"title": "Retrouver le vecteur d'une translation",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Une translation de vecteur $\\vec{t}$ transforme le point\n$A(2\\,;\\,5)$ en le point $B(7\\,;\\,1)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\vec{t}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(7 - 2\\,;\\,1 - 5)$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est\n$\\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$."
},
{
"text": "$(9\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur\ns'obtiennent par la différence « arrivée moins départ »."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent\nle déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$."
}
],
"explanation": "Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :\n$\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$.",
"variants": [
{
"statement": "Une translation de vecteur $\\vec{t}$ transforme le point\n$A(2\\,;\\,5)$ en le point $B(7\\,;\\,1)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\vec{t}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(7 - 2\\,;\\,1 - 5)$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est\n$\\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$."
},
{
"text": "$(9\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur\ns'obtiennent par la différence « arrivée moins départ »."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent\nle déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$."
}
],
"explanation": "Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :\n$\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$."
},
{
"statement": "Une translation de vecteur $\\vec{t}$ transforme le point\n$A(-1\\,;\\,3)$ en le point $B(4\\,;\\,6)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\vec{t}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(4 - (-1)\\,;\\,6 - 3)$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est\n$\\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,9)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur\ns'obtiennent par la différence « arrivée moins départ »."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent\nle déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$."
}
],
"explanation": "Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :\n$\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$."
},
{
"statement": "Une translation de vecteur $\\vec{t}$ transforme le point\n$A(3\\,;\\,-2)$ en le point $B(-1\\,;\\,2)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\vec{t}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(-1 - 3\\,;\\,2 - (-2))$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est\n$\\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur\ns'obtiennent par la différence « arrivée moins départ »."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent\nle déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$."
}
],
"explanation": "Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :\n$\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$."
},
{
"statement": "Une translation de vecteur $\\vec{t}$ transforme le point\n$A(3\\,;\\,10)$ en le point $B(12\\,;\\,6)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\vec{t}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(9\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}$, dont les\ncoordonnées valent $(12 - 3\\,;\\,6 - 10)$."
},
{
"text": "$(-9\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est\n$\\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$."
},
{
"text": "$(15\\,;\\,16)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur\ns'obtiennent par la différence « arrivée moins départ »."
},
{
"text": "$(12\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent\nle déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$."
}
],
"explanation": "Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :\n$\\vec{t} = \\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$."
}
]
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 1,
"skills": [
"chasles"
],
"title": "Faire apparaître un point intermédiaire",
"partie": "operations",
"statement": "On souhaite faire apparaître le point $B$ dans l'écriture du vecteur\n$\\overrightarrow{AC}$. Par quelle somme peut-on le remplacer ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point ajouté termine le premier vecteur et\ncommence le second, si bien que le trajet mène encore de $A$ à $C$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CB}$",
"correct": false,
"feedback": "Le second vecteur est retourné : il faut partir de $B$ pour\nrejoindre $C$, donc écrire $\\overrightarrow{BC}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Le premier vecteur est retourné : le trajet doit commencer en $A$,\ndonc débuter par $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{CB}$",
"correct": false,
"feedback": "Les deux vecteurs sont retournés : cette somme vaut\n$\\overrightarrow{CA}$, soit l'opposé du vecteur cherché."
}
],
"explanation": "La relation de Chasles se lit dans les deux sens : elle permet aussi de\ndécouper un vecteur en passant par un point choisi, à condition que ce\npoint termine le premier vecteur et commence le second."
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"vecteur",
"egalite"
],
"title": "Ce qui manque pour conclure à l'égalité",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Deux vecteurs non nuls ont la même direction et la même longueur.\nQue faut-il vérifier de plus pour affirmer qu'ils sont égaux ?",
"options": [
{
"text": "Qu'ils sont orientés dans le même sens",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : direction, sens et longueur définissent un vecteur.\nLes deux premiers caractères étant acquis, il reste le sens."
},
{
"text": "Qu'ils partent tous deux du même point",
"correct": false,
"feedback": "L'origine ne fait pas partie du vecteur : deux représentants tracés\nà des endroits différents décrivent le même vecteur."
},
{
"text": "Qu'ils sont portés par une même droite",
"correct": false,
"feedback": "Cette condition est déjà contenue dans « même direction », et elle\nne dit toujours rien du sens des deux flèches."
},
{
"text": "Qu'ils ont tous deux des coordonnées positives",
"correct": false,
"feedback": "Le signe des coordonnées ne joue aucun rôle : deux vecteurs de\ncoordonnées négatives peuvent parfaitement être égaux."
}
],
"explanation": "Un vecteur est déterminé par trois caractères : sa direction, son sens\net sa longueur. Deux vecteurs sont égaux exactement quand ces trois\ncaractères coïncident."
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 1,
"skills": [
"caracterisation",
"milieu"
],
"title": "Traduire une symétrie par une égalité",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Le point $C$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $B$.\nQuelle égalité vectorielle traduit cette situation ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{BC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $B$ est le milieu de $[AC]$, donc le déplacement de\n$A$ vers $B$ se répète à l'identique de $B$ vers $C$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CB}$",
"correct": false,
"feedback": "Le second vecteur est retourné : cette égalité imposerait\n$A = C$, alors que $B$ doit se trouver entre les deux."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BA} = \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Ces deux vecteurs partent de $B$ dans des sens opposés : leur\négalité forcerait encore une fois $A = C$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Cette égalité signifierait $A = B$ : c'est le déplacement de $A$ à\n$B$ qu'il faut retrouver de $B$ à $C$."
}
],
"explanation": "Dire que $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ revient à dire\nque $B$ est le milieu de $[AC]$, ce que traduit l'égalité\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{BC}$."
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme",
"coordonnees"
],
"title": "Retrouver un vecteur dans une somme",
"partie": "operations",
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\\,;\\,-2)$ et la somme\n$\\vec{u} + \\vec{w}$ a pour coordonnées $(7\\,;\\,3)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche $\\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,\nsoit $(7 - 3\\,;\\,3 - (-2))$."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : $\\vec{u}$ a déjà été compté\ndans la somme, il faut donc le retirer."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de\n$\\vec{w}$, car les termes ont été inversés."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le\nmauvais ordre : il faut calculer $3 - (-2)$."
}
],
"explanation": "De $\\vec{u} + \\vec{w} = \\vec{s}$ on tire $\\vec{w} = \\vec{s} - \\vec{u}$,\net la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre.",
"variants": [
{
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\\,;\\,-2)$ et la somme\n$\\vec{u} + \\vec{w}$ a pour coordonnées $(7\\,;\\,3)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche $\\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,\nsoit $(7 - 3\\,;\\,3 - (-2))$."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : $\\vec{u}$ a déjà été compté\ndans la somme, il faut donc le retirer."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de\n$\\vec{w}$, car les termes ont été inversés."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le\nmauvais ordre : il faut calculer $3 - (-2)$."
}
],
"explanation": "De $\\vec{u} + \\vec{w} = \\vec{s}$ on tire $\\vec{w} = \\vec{s} - \\vec{u}$,\net la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre."
},
{
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour coordonnées $(-1\\,;\\,4)$ et la somme\n$\\vec{u} + \\vec{w}$ a pour coordonnées $(1\\,;\\,1)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche $\\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,\nsoit $(1 - (-1)\\,;\\,1 - 4)$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : $\\vec{u}$ a déjà été compté\ndans la somme, il faut donc le retirer."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de\n$\\vec{w}$, car les termes ont été inversés."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le\nmauvais ordre : il faut calculer $1 - 4$."
}
],
"explanation": "De $\\vec{u} + \\vec{w} = \\vec{s}$ on tire $\\vec{w} = \\vec{s} - \\vec{u}$,\net la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre."
},
{
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour coordonnées $(5\\,;\\,2)$ et la somme\n$\\vec{u} + \\vec{w}$ a pour coordonnées $(2\\,;\\,8)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-3\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche $\\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,\nsoit $(2 - 5\\,;\\,8 - 2)$."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,10)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : $\\vec{u}$ a déjà été compté\ndans la somme, il faut donc le retirer."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de\n$\\vec{w}$, car les termes ont été inversés."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le\nmauvais ordre : il faut calculer $8 - 2$."
}
],
"explanation": "De $\\vec{u} + \\vec{w} = \\vec{s}$ on tire $\\vec{w} = \\vec{s} - \\vec{u}$,\net la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre."
},
{
"statement": "Le vecteur $\\vec{u}$ a pour coordonnées $(9\\,;\\,4)$ et la somme\n$\\vec{u} + \\vec{w}$ a pour coordonnées $(19\\,;\\,1)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(10\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche $\\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,\nsoit $(19 - 9\\,;\\,1 - 4)$."
},
{
"text": "$(28\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : $\\vec{u}$ a déjà été compté\ndans la somme, il faut donc le retirer."
},
{
"text": "$(-10\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de\n$\\vec{w}$, car les termes ont été inversés."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le\nmauvais ordre : il faut calculer $1 - 4$."
}
],
"explanation": "De $\\vec{u} + \\vec{w} = \\vec{s}$ on tire $\\vec{w} = \\vec{s} - \\vec{u}$,\net la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre."
}
]
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 2,
"skills": [
"difference",
"chasles"
],
"title": "Différence de deux vecteurs de même origine",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. Quel vecteur est égal à\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{CB}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : soustraire revient à ajouter l'opposé, donc\n$\\overrightarrow{CA} + \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CB}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : c'est $\\overrightarrow{AC} - \\overrightarrow{AB}$\nqui vaut $\\overrightarrow{BC}$, l'opposé du vecteur cherché."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{CA}$",
"correct": false,
"feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $-\\overrightarrow{AC}$ vaut bien\n$\\overrightarrow{CA}$, mais il reste à lui ajouter\n$\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BA}$",
"correct": false,
"feedback": "Le point $C$ a disparu du résultat alors qu'il figure dans le\ncalcul : c'est lui qui devient l'origine du vecteur obtenu."
}
],
"explanation": "Une différence se ramène à une somme :\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{CA} = \\overrightarrow{CB}$. Deux vecteurs de même\norigine ont pour différence le vecteur qui joint leurs extrémités."
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"distance-points",
"norme"
],
"title": "Distance exacte entre deux points",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de\nla distance $AB$, avec $A(1\\,;\\,2)$ et $B(5\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,2)$, donc\n$AB = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{20}$."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $20$ est le carré de la distance, il reste à en\nprendre la racine."
},
{
"text": "$\\sqrt{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Carrés oubliés : les écarts $4$ et $2$ ont été additionnés\ntels quels, alors que la formule les élève au carré."
},
{
"text": "$\\sqrt{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,\ncomme dans le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé,\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est\npas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine.",
"variants": [
{
"statement": "Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de\nla distance $AB$, avec $A(1\\,;\\,2)$ et $B(5\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{20}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,2)$, donc\n$AB = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{20}$."
},
{
"text": "$20$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $20$ est le carré de la distance, il reste à en\nprendre la racine."
},
{
"text": "$\\sqrt{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Carrés oubliés : les écarts $4$ et $2$ ont été additionnés\ntels quels, alors que la formule les élève au carré."
},
{
"text": "$\\sqrt{12}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,\ncomme dans le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé,\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est\npas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine."
},
{
"statement": "Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de\nla distance $AB$, avec $A(0\\,;\\,-1)$ et $B(2\\,;\\,5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{40}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,6)$, donc\n$AB = \\sqrt{2^2 + 6^2} = \\sqrt{40}$."
},
{
"text": "$40$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $40$ est le carré de la distance, il reste à en\nprendre la racine."
},
{
"text": "$\\sqrt{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Carrés oubliés : les écarts $2$ et $6$ ont été additionnés\ntels quels, alors que la formule les élève au carré."
},
{
"text": "$\\sqrt{32}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,\ncomme dans le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé,\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est\npas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine."
},
{
"statement": "Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de\nla distance $AB$, avec $A(1\\,;\\,-2)$ et $B(4\\,;\\,4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{45}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,6)$, donc\n$AB = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{45}$."
},
{
"text": "$45$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $45$ est le carré de la distance, il reste à en\nprendre la racine."
},
{
"text": "$\\sqrt{9}$",
"correct": false,
"feedback": "Carrés oubliés : les écarts $3$ et $6$ ont été additionnés\ntels quels, alors que la formule les élève au carré."
},
{
"text": "$\\sqrt{27}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,\ncomme dans le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé,\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est\npas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine."
},
{
"statement": "Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de\nla distance $AB$, avec $A(0\\,;\\,-3)$ et $B(4\\,;\\,3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\sqrt{52}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,6)$, donc\n$AB = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{52}$."
},
{
"text": "$52$",
"correct": false,
"feedback": "Racine oubliée : $52$ est le carré de la distance, il reste à en\nprendre la racine."
},
{
"text": "$\\sqrt{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Carrés oubliés : les écarts $4$ et $6$ ont été additionnés\ntels quels, alors que la formule les élève au carré."
},
{
"text": "$\\sqrt{20}$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,\ncomme dans le théorème de Pythagore."
}
],
"explanation": "Dans un repère orthonormé,\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est\npas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 2,
"skills": [
"parallelisme",
"colinearite"
],
"title": "Colinéarité et position de deux droites",
"partie": "colinearite",
"statement": "Les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ sont\ncolinéaires et non nuls. Que peut-on affirmer des droites $(AB)$ et\n$(CD)$ ?",
"options": [
{
"text": "Elles sont parallèles, voire confondues",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la colinéarité donne une direction commune, mais\nrien n'interdit aux quatre points d'être sur une même droite."
},
{
"text": "Elles sont parallèles et forcément distinctes",
"correct": false,
"feedback": "Trop fort : si $C$ appartient à la droite $(AB)$, les deux droites\nsont confondues et la colinéarité reste vraie."
},
{
"text": "Elles sont sécantes en un unique point du plan",
"correct": false,
"feedback": "Deux droites sécantes ont des directions différentes, donc des\nvecteurs directeurs non colinéaires."
},
{
"text": "Elles sont confondues, comme les deux vecteurs",
"correct": false,
"feedback": "Deux vecteurs colinéaires ne sont pas confondus pour autant : ils\npeuvent être portés par deux droites parallèles distinctes."
}
],
"explanation": "Deux droites sont parallèles, au sens large, exactement quand leurs\nvecteurs directeurs sont colinéaires. Distinguer le cas confondu\ndemande une information supplémentaire, par exemple un point commun."
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"produit-par-un-reel",
"produit-reel-negatif"
],
"title": "Retrouver le coefficient de colinéarité",
"partie": "operations",
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,-2)$ et $\\vec{v}(-9\\,;\\,6)$ sont\ncolinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$k = -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-3 \\times 3 = -9$ et\n$-3 \\times -2 = 6$. Le facteur étant négatif, les deux\nvecteurs sont de sens contraires."
},
{
"text": "$k = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : avec ce facteur positif, $\\vec{v}$ pointerait dans le\nmême sens que $\\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent."
},
{
"text": "$k = -\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de\n$\\vec{v}$ par celles de $\\vec{u}$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$k = -12$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées\nde $\\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs colinéaires vérifient $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ pour un réel\n$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe\nindique si les deux vecteurs vont dans le même sens.",
"variants": [
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,-2)$ et $\\vec{v}(-9\\,;\\,6)$ sont\ncolinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$k = -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-3 \\times 3 = -9$ et\n$-3 \\times -2 = 6$. Le facteur étant négatif, les deux\nvecteurs sont de sens contraires."
},
{
"text": "$k = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : avec ce facteur positif, $\\vec{v}$ pointerait dans le\nmême sens que $\\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent."
},
{
"text": "$k = -\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de\n$\\vec{v}$ par celles de $\\vec{u}$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$k = -12$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées\nde $\\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs colinéaires vérifient $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ pour un réel\n$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe\nindique si les deux vecteurs vont dans le même sens."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(5\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(-10\\,;\\,-6)$ sont\ncolinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$k = -2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-2 \\times 5 = -10$ et\n$-2 \\times 3 = -6$. Le facteur étant négatif, les deux\nvecteurs sont de sens contraires."
},
{
"text": "$k = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : avec ce facteur positif, $\\vec{v}$ pointerait dans le\nmême sens que $\\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent."
},
{
"text": "$k = -\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de\n$\\vec{v}$ par celles de $\\vec{u}$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$k = -15$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées\nde $\\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs colinéaires vérifient $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ pour un réel\n$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe\nindique si les deux vecteurs vont dans le même sens."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(-2\\,;\\,1)$ et $\\vec{v}(8\\,;\\,-4)$ sont\ncolinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$k = -4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-4 \\times -2 = 8$ et\n$-4 \\times 1 = -4$. Le facteur étant négatif, les deux\nvecteurs sont de sens contraires."
},
{
"text": "$k = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : avec ce facteur positif, $\\vec{v}$ pointerait dans le\nmême sens que $\\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent."
},
{
"text": "$k = -\\dfrac{1}{4}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de\n$\\vec{v}$ par celles de $\\vec{u}$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$k = 10$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées\nde $\\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs colinéaires vérifient $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ pour un réel\n$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe\nindique si les deux vecteurs vont dans le même sens."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(-3\\,;\\,2)$ et $\\vec{v}(15\\,;\\,-10)$ sont\ncolinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ ?",
"options": [
{
"text": "$k = -5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $-5 \\times -3 = 15$ et\n$-5 \\times 2 = -10$. Le facteur étant négatif, les deux\nvecteurs sont de sens contraires."
},
{
"text": "$k = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : avec ce facteur positif, $\\vec{v}$ pointerait dans le\nmême sens que $\\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent."
},
{
"text": "$k = -\\dfrac{1}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de\n$\\vec{v}$ par celles de $\\vec{u}$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$k = 18$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées\nde $\\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas."
}
],
"explanation": "Deux vecteurs colinéaires vérifient $\\vec{v} = k\\,\\vec{u}$ pour un réel\n$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe\nindique si les deux vecteurs vont dans le même sens."
}
]
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 3,
"skills": [
"somme-geometrique",
"norme"
],
"title": "Longueur d'une somme de vecteurs",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. À quelle\ncondition a-t-on $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = \\|\\vec{u}\\| + \\|\\vec{v}\\|$ ?",
"options": [
{
"text": "Lorsqu'ils ont même direction et même sens",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux déplacements s'enchaînent alors en ligne\ndroite, et les longueurs s'ajoutent bout à bout."
},
{
"text": "Pour n'importe quels vecteurs non nuls du plan",
"correct": false,
"feedback": "Faux dès que les directions diffèrent : le chemin direct est plus\ncourt que le détour par l'extrémité de $\\vec{u}$."
},
{
"text": "Lorsqu'ils ont même direction et des sens contraires",
"correct": false,
"feedback": "Les deux déplacements se compensent alors en partie : la somme est\nplus courte que chacune des deux longueurs additionnées."
},
{
"text": "Jamais, car une longueur ne s'additionne pas ainsi",
"correct": false,
"feedback": "Le cas de deux vecteurs de même sens fournit un contre-exemple\nimmédiat, en alignant les deux déplacements."
}
],
"explanation": "Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements. Le\ntrajet direct est au plus aussi long que le trajet en deux étapes, avec\négalité exactement quand les deux étapes vont dans le même sens."
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 2,
"skills": [
"chasles-enchainee",
"somme"
],
"title": "Chasles avec des termes en désordre",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Que vaut la somme\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CD} + \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AD}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une somme se réordonne librement, et\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CD}$\nmène de $A$ à $D$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AC}$",
"correct": false,
"feedback": "Un terme a été laissé de côté : après $\\overrightarrow{AC}$, il\nreste à ajouter $\\overrightarrow{CD}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BD}$",
"correct": false,
"feedback": "Le trajet commence en $A$, pas en $B$ : seul le point de départ et\nle point d'arrivée subsistent dans le résultat."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{DA}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : l'enchaînement part de $A$ et aboutit en $D$, ce qui\ndonne $\\overrightarrow{AD}$."
}
],
"explanation": "L'addition de vecteurs est commutative : on peut réordonner les termes\npour que les points intermédiaires s'enchaînent, puis appliquer la\nrelation de Chasles."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"colinearite-parametre"
],
"title": "Paramètre et alignement de trois points",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,6)$ et $C(6\\,;\\,m)$. Pour\nquel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,4)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(6 - 1\\,;\\,m - 2)$ ont un déterminant\nnul pour $m = 12$."
},
{
"text": "$m = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter\ndepuis $A$, et non depuis $B$."
},
{
"text": "$m = -8$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur\n$\\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire."
},
{
"text": "$m = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$\nn'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés quand $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une\néquation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,6)$ et $C(6\\,;\\,m)$. Pour\nquel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,4)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(6 - 1\\,;\\,m - 2)$ ont un déterminant\nnul pour $m = 12$."
},
{
"text": "$m = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter\ndepuis $A$, et non depuis $B$."
},
{
"text": "$m = -8$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur\n$\\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire."
},
{
"text": "$m = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$\nn'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés quand $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une\néquation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Soient $A(0\\,;\\,1)$, $B(2\\,;\\,-3)$ et $C(5\\,;\\,m)$. Pour\nquel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = -9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,-4)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(5 - 0\\,;\\,m - 1)$ ont un déterminant\nnul pour $m = -9$."
},
{
"text": "$m = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter\ndepuis $A$, et non depuis $B$."
},
{
"text": "$m = 11$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur\n$\\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire."
},
{
"text": "$m = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$\nn'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés quand $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une\néquation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Soient $A(-1\\,;\\,3)$, $B(2\\,;\\,5)$ et $C(8\\,;\\,m)$. Pour\nquel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 9$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(8 - (-1)\\,;\\,m - 3)$ ont un déterminant\nnul pour $m = 9$."
},
{
"text": "$m = 7$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter\ndepuis $A$, et non depuis $B$."
},
{
"text": "$m = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur\n$\\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire."
},
{
"text": "$m = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$\nn'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés quand $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une\néquation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,3)$, $B(5\\,;\\,11)$ et $C(11\\,;\\,m)$. Pour\nquel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 23$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,8)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(11 - 1\\,;\\,m - 3)$ ont un déterminant\nnul pour $m = 23$."
},
{
"text": "$m = 15$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter\ndepuis $A$, et non depuis $B$."
},
{
"text": "$m = -17$",
"correct": false,
"feedback": "Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur\n$\\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire."
},
{
"text": "$m = 11$",
"correct": false,
"feedback": "Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$\nn'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés quand $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une\néquation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"parallelogramme-construction",
"egalite-ordre-lettres"
],
"title": "Quatrième sommet de $ABDC$",
"partie": "vecteurs-egalite",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$, $B(4\\,;\\,3)$ et $C(2\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, donc on ajoute\n$(3\\,;\\,1)$ aux coordonnées de $C$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre des lettres mal lu : retrancher $\\overrightarrow{AB}$ à $C$\nconstruit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent\ndes sommets opposés."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées simplement additionnées : $\\overrightarrow{AB}$ se\ncalcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore."
}
],
"explanation": "Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :\n$ABDC$ équivaut à $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, d'où\n$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\\overrightarrow{AB}$.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$, $B(4\\,;\\,3)$ et $C(2\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, donc on ajoute\n$(3\\,;\\,1)$ aux coordonnées de $C$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre des lettres mal lu : retrancher $\\overrightarrow{AB}$ à $C$\nconstruit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent\ndes sommets opposés."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées simplement additionnées : $\\overrightarrow{AB}$ se\ncalcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore."
}
],
"explanation": "Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :\n$ABDC$ équivaut à $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, d'où\n$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"statement": "Soient $A(-2\\,;\\,1)$, $B(1\\,;\\,5)$ et $C(3\\,;\\,-1)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, donc on ajoute\n$(3\\,;\\,4)$ aux coordonnées de $C$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre des lettres mal lu : retrancher $\\overrightarrow{AB}$ à $C$\nconstruit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent\ndes sommets opposés."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées simplement additionnées : $\\overrightarrow{AB}$ se\ncalcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore."
}
],
"explanation": "Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :\n$ABDC$ équivaut à $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, d'où\n$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"statement": "Soient $A(0\\,;\\,3)$, $B(5\\,;\\,1)$ et $C(2\\,;\\,4)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$(7\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, donc on ajoute\n$(5\\,;\\,-2)$ aux coordonnées de $C$."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre des lettres mal lu : retrancher $\\overrightarrow{AB}$ à $C$\nconstruit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent\ndes sommets opposés."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées simplement additionnées : $\\overrightarrow{AB}$ se\ncalcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore."
}
],
"explanation": "Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :\n$ABDC$ équivaut à $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, d'où\n$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"statement": "Soient $A(-3\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,9)$ et $C(5\\,;\\,-2)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un\nparallélogramme ?",
"options": [
{
"text": "$(11\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose\n$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, donc on ajoute\n$(6\\,;\\,7)$ aux coordonnées de $C$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-9)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre des lettres mal lu : retrancher $\\overrightarrow{AB}$ à $C$\nconstruit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,13)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent\ndes sommets opposés."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées simplement additionnées : $\\overrightarrow{AB}$ se\ncalcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore."
}
],
"explanation": "Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :\n$ABDC$ équivaut à $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$, d'où\n$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\\overrightarrow{AB}$."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 2,
"skills": [
"difference",
"produit-par-un-reel",
"coordonnees"
],
"title": "Coordonnées de $2\\vec{u} - \\vec{v}$",
"partie": "operations",
"statement": "Soient $\\vec{u}(3\\,;\\,-1)$ et $\\vec{v}(4\\,;\\,2)$. Quelles sont\nles coordonnées du vecteur $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double d'abord $\\vec{u}$, puis on retranche\n$\\vec{v}$ : $(2 \\times 3 - 4\\,;\\,2 \\times -1 - 2)$."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de\n$2\\vec{u} + \\vec{v}$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\\vec{u}$, il ne\ns'applique pas à la différence entière."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : les coordonnées de $\\vec{u}$ doivent d'abord être\ndoublées avant la soustraction."
}
],
"explanation": "Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :\n$2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v\\,;\\,2y_u - y_v)$.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(3\\,;\\,-1)$ et $\\vec{v}(4\\,;\\,2)$. Quelles sont\nles coordonnées du vecteur $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double d'abord $\\vec{u}$, puis on retranche\n$\\vec{v}$ : $(2 \\times 3 - 4\\,;\\,2 \\times -1 - 2)$."
},
{
"text": "$(10\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de\n$2\\vec{u} + \\vec{v}$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\\vec{u}$, il ne\ns'applique pas à la différence entière."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : les coordonnées de $\\vec{u}$ doivent d'abord être\ndoublées avant la soustraction."
}
],
"explanation": "Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :\n$2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v\\,;\\,2y_u - y_v)$."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(-2\\,;\\,5)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,3)$. Quelles sont\nles coordonnées du vecteur $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double d'abord $\\vec{u}$, puis on retranche\n$\\vec{v}$ : $(2 \\times -2 - 1\\,;\\,2 \\times 5 - 3)$."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,13)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de\n$2\\vec{u} + \\vec{v}$."
},
{
"text": "$(-6\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\\vec{u}$, il ne\ns'applique pas à la différence entière."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : les coordonnées de $\\vec{u}$ doivent d'abord être\ndoublées avant la soustraction."
}
],
"explanation": "Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :\n$2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v\\,;\\,2y_u - y_v)$."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(4\\,;\\,2)$ et $\\vec{v}(-3\\,;\\,5)$. Quelles sont\nles coordonnées du vecteur $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(11\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double d'abord $\\vec{u}$, puis on retranche\n$\\vec{v}$ : $(2 \\times 4 - (-3)\\,;\\,2 \\times 2 - 5)$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,9)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de\n$2\\vec{u} + \\vec{v}$."
},
{
"text": "$(14\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\\vec{u}$, il ne\ns'applique pas à la différence entière."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : les coordonnées de $\\vec{u}$ doivent d'abord être\ndoublées avant la soustraction."
}
],
"explanation": "Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :\n$2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v\\,;\\,2y_u - y_v)$."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(-7\\,;\\,6)$ et $\\vec{v}(9\\,;\\,7)$. Quelles sont\nles coordonnées du vecteur $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-23\\,;\\,5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double d'abord $\\vec{u}$, puis on retranche\n$\\vec{v}$ : $(2 \\times -7 - 9\\,;\\,2 \\times 6 - 7)$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,19)$",
"correct": false,
"feedback": "Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de\n$2\\vec{u} + \\vec{v}$."
},
{
"text": "$(-32\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\\vec{u}$, il ne\ns'applique pas à la différence entière."
},
{
"text": "$(-16\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Facteur oublié : les coordonnées de $\\vec{u}$ doivent d'abord être\ndoublées avant la soustraction."
}
],
"explanation": "Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :\n$2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v\\,;\\,2y_u - y_v)$."
}
]
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 1,
"skills": [
"base",
"coordonnees",
"combinaison"
],
"title": "Écrire un vecteur avec $\\vec{i}$ et $\\vec{j}$",
"partie": "coordonnees",
"statement": "Dans une base orthonormée $(\\vec{i}, \\vec{j})$, le vecteur\n$\\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\\,;\\,-2)$. Quelle écriture\nlui correspond ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u} = 3\\vec{i} - 2\\vec{j}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ signifie\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$, ici avec $x = 3$ et\n$y = -2$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -2\\vec{i} + 3\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\\vec{i}$,\nla seconde multiplie $\\vec{j}$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 3\\vec{i} + 2\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $-2$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 3(\\vec{i} - 2\\vec{j})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, on obtient\n$3\\vec{i} - 6\\vec{j}$ ; le coefficient de $\\vec{j}$\nserait $-6$ au lieu de $-2$."
}
],
"explanation": "Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses\ncoordonnées dans la base $(\\vec{i}, \\vec{j})$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans une base orthonormée $(\\vec{i}, \\vec{j})$, le vecteur\n$\\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\\,;\\,-2)$. Quelle écriture\nlui correspond ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u} = 3\\vec{i} - 2\\vec{j}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ signifie\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$, ici avec $x = 3$ et\n$y = -2$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -2\\vec{i} + 3\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\\vec{i}$,\nla seconde multiplie $\\vec{j}$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 3\\vec{i} + 2\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $-2$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 3(\\vec{i} - 2\\vec{j})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, on obtient\n$3\\vec{i} - 6\\vec{j}$ ; le coefficient de $\\vec{j}$\nserait $-6$ au lieu de $-2$."
}
],
"explanation": "Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses\ncoordonnées dans la base $(\\vec{i}, \\vec{j})$."
},
{
"statement": "Dans une base orthonormée $(\\vec{i}, \\vec{j})$, le vecteur\n$\\vec{u}$ a pour coordonnées $(-4\\,;\\,1)$. Quelle écriture\nlui correspond ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u} = -4\\vec{i} + \\vec{j}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ signifie\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$, ici avec $x = -4$ et\n$y = 1$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = \\vec{i} - 4\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\\vec{i}$,\nla seconde multiplie $\\vec{j}$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -4\\vec{i} - \\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $1$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -4(\\vec{i} + \\vec{j})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, on obtient\n$-4\\vec{i} - 4\\vec{j}$ ; le coefficient de $\\vec{j}$\nserait $-4$ au lieu de $1$."
}
],
"explanation": "Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses\ncoordonnées dans la base $(\\vec{i}, \\vec{j})$."
},
{
"statement": "Dans une base orthonormée $(\\vec{i}, \\vec{j})$, le vecteur\n$\\vec{u}$ a pour coordonnées $(2\\,;\\,5)$. Quelle écriture\nlui correspond ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u} = 2\\vec{i} + 5\\vec{j}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ signifie\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$, ici avec $x = 2$ et\n$y = 5$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 5\\vec{i} + 2\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\\vec{i}$,\nla seconde multiplie $\\vec{j}$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 2\\vec{i} - 5\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $5$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = 2(\\vec{i} + 5\\vec{j})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, on obtient\n$2\\vec{i} + 10\\vec{j}$ ; le coefficient de $\\vec{j}$\nserait $10$ au lieu de $5$."
}
],
"explanation": "Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses\ncoordonnées dans la base $(\\vec{i}, \\vec{j})$."
},
{
"statement": "Dans une base orthonormée $(\\vec{i}, \\vec{j})$, le vecteur\n$\\vec{u}$ a pour coordonnées $(-2\\,;\\,-3)$. Quelle écriture\nlui correspond ?",
"options": [
{
"text": "$\\vec{u} = -2\\vec{i} - 3\\vec{j}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ signifie\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$, ici avec $x = -2$ et\n$y = -3$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -3\\vec{i} - 2\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\\vec{i}$,\nla seconde multiplie $\\vec{j}$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -2\\vec{i} + 3\\vec{j}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $-3$."
},
{
"text": "$\\vec{u} = -2(\\vec{i} - 3\\vec{j})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en développant, on obtient\n$-2\\vec{i} + 6\\vec{j}$ ; le coefficient de $\\vec{j}$\nserait $6$ au lieu de $-3$."
}
],
"explanation": "Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique\n$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses\ncoordonnées dans la base $(\\vec{i}, \\vec{j})$."
}
]
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme",
"lecture-graphique",
"parallelogramme"
],
"title": "Repérer la somme de deux vecteurs",
"partie": "operations",
"statement": "Sur la figure, $\\overrightarrow{OU}$ représente $\\vec{u}$ et\n$\\overrightarrow{OV}$ représente $\\vec{v}$. Quel point $M$ vérifie\n$\\overrightarrow{OM} = \\vec{u} + \\vec{v}$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.5,-2.5) grid (4.5,4.5);\n \\draw[->,very thick,blue] (0,0) -- (3,1);\n \\draw[->,very thick,red] (0,0) -- (1,3);\n \\fill (0,0) circle (0.07) node[below left] {$O$};\n \\node[blue,below right] at (3,1) {$U$};\n \\node[red,above left] at (1,3) {$V$};\n \\foreach \\p/\\n/\\pos in {(4,4)/A/above right,(2,-2)/B/below right,(-2,2)/C/above left,(2,2)/D/right}\n \\fill \\p circle (0.08) node[\\pos] {$\\n$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Quadrillage. Depuis O, un vecteur bleu va vers U, trois carreaux\nà droite et un en haut, et un vecteur rouge va vers V, un\ncarreau à droite et trois en haut. Quatre points sont marqués,\navec O pour origine : A (4 ; 4), B (2 ; -2), C (-2 ; 2) et\nD (2 ; 2).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Le point $A$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $OUAV$ est un parallélogramme ; $A$ s'obtient\nen appliquant à $U$ la translation de vecteur $\\vec{v}$\n(un carreau à droite, trois en haut)."
},
{
"text": "Le point $B$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\overrightarrow{OB} = \\vec{u} - \\vec{v}$. Pour\nla somme, on enchaîne $\\vec{u}$ puis $\\vec{v}$."
},
{
"text": "Le point $C$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\overrightarrow{OC} = \\vec{v} - \\vec{u}$, l'autre\ndiagonale du parallélogramme orientée de $U$ vers $V$."
},
{
"text": "Le point $D$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $D$ est le milieu de $[OA]$ ;\n$\\overrightarrow{OD} = \\dfrac{1}{2}(\\vec{u} + \\vec{v})$, pas\nla somme elle-même."
}
],
"explanation": "Règle du parallélogramme : avec des représentants de même origine\n$O$, $\\vec{u} + \\vec{v}$ est représenté par la diagonale issue de\n$O$ du parallélogramme construit sur $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$."
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 1,
"skills": [
"representer",
"coordonnees",
"translation"
],
"title": "Placer l'extrémité d'un vecteur",
"partie": "coordonnees",
"statement": "On représente le vecteur $\\vec{u}(-1\\,;\\,2)$ à partir du point\n$A(2\\,;\\,1)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité\n$B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(1\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$ donne\n$x_B = 2 + (-1)$ et $y_B = 1 + (2)$."
},
{
"text": "$B(3\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\\vec{u}$. Ce\npoint $C$ vérifie $\\overrightarrow{CA} = \\vec{u}$, et non\n$\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$."
},
{
"text": "$B(-1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de\n$\\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant\nd'origine $A$."
},
{
"text": "$B(4\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coordonnées de $\\vec{u}$ ont été échangées ;\nl'abscisse $-1$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $2$ à $y_A$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,\non ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur.",
"variants": [
{
"statement": "On représente le vecteur $\\vec{u}(-1\\,;\\,2)$ à partir du point\n$A(2\\,;\\,1)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité\n$B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(1\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$ donne\n$x_B = 2 + (-1)$ et $y_B = 1 + (2)$."
},
{
"text": "$B(3\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\\vec{u}$. Ce\npoint $C$ vérifie $\\overrightarrow{CA} = \\vec{u}$, et non\n$\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$."
},
{
"text": "$B(-1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de\n$\\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant\nd'origine $A$."
},
{
"text": "$B(4\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coordonnées de $\\vec{u}$ ont été échangées ;\nl'abscisse $-1$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $2$ à $y_A$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,\non ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur."
},
{
"statement": "On représente le vecteur $\\vec{u}(4\\,;\\,-1)$ à partir du point\n$A(-3\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité\n$B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(1\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$ donne\n$x_B = -3 + (4)$ et $y_B = 2 + (-1)$."
},
{
"text": "$B(-7\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\\vec{u}$. Ce\npoint $C$ vérifie $\\overrightarrow{CA} = \\vec{u}$, et non\n$\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$."
},
{
"text": "$B(4\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de\n$\\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant\nd'origine $A$."
},
{
"text": "$B(-4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coordonnées de $\\vec{u}$ ont été échangées ;\nl'abscisse $4$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $-1$ à $y_A$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,\non ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur."
},
{
"statement": "On représente le vecteur $\\vec{u}(3\\,;\\,5)$ à partir du point\n$A(1\\,;\\,-2)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité\n$B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(4\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$ donne\n$x_B = 1 + (3)$ et $y_B = -2 + (5)$."
},
{
"text": "$B(-2\\,;\\,-7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\\vec{u}$. Ce\npoint $C$ vérifie $\\overrightarrow{CA} = \\vec{u}$, et non\n$\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$."
},
{
"text": "$B(3\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de\n$\\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant\nd'origine $A$."
},
{
"text": "$B(6\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coordonnées de $\\vec{u}$ ont été échangées ;\nl'abscisse $3$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $5$ à $y_A$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,\non ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur."
},
{
"statement": "On représente le vecteur $\\vec{u}(-2\\,;\\,-3)$ à partir du point\n$A(0\\,;\\,4)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité\n$B$ ?",
"options": [
{
"text": "$B(-2\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$ donne\n$x_B = 0 + (-2)$ et $y_B = 4 + (-3)$."
},
{
"text": "$B(2\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\\vec{u}$. Ce\npoint $C$ vérifie $\\overrightarrow{CA} = \\vec{u}$, et non\n$\\overrightarrow{AB} = \\vec{u}$."
},
{
"text": "$B(-2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de\n$\\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant\nd'origine $A$."
},
{
"text": "$B(-3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les coordonnées de $\\vec{u}$ ont été échangées ;\nl'abscisse $-2$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $-3$ à $y_A$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,\non ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur."
}
]
}
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}