{
  "chapter": {
    "id": "calcul-integral",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Calcul intégral",
    "description": "Intégrale d'une fonction continue : définition par l'aire sous la\ncourbe, lien avec les primitives ($F(b) - F(a)$), linéarité,\npositivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par\nparties, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.",
    "parties": [
      {
        "id": "definition",
        "title": "Intégrale et aire"
      },
      {
        "id": "proprietes",
        "title": "Propriétés de l'intégrale"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Calculer une intégrale et l'exploiter"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "aire"
      ],
      "title": "Sens géométrique de l'intégrale",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $f$ continue et **positive** sur $[a\\,;\\,b]$. Que\nreprésente $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'aire sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition de l'intégrale d'une\nfonction continue positive : l'aire, en unités d'aire,\ndu domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des\nabscisses et les droites $x = a$ et $x = b$."
        },
        {
          "text": "La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale mesure une **aire**, pas une longueur\nd'arc (notion hors programme)."
        },
        {
          "text": "L'accroissement $f(b) - f(a)$ de la fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $f(b) - f(a)$ est la variation de $f$. La\nformule $F(b) - F(a)$ fait intervenir une **primitive**\n$F$, pas $f$ elle-même."
        },
        {
          "text": "La pente moyenne de la courbe entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pente moyenne est $\\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$\n(taux de variation). L'intégrale, elle, cumule les valeurs\nde $f$ : c'est une aire."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $f$ continue positive sur $[a\\,;\\,b]$,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx$ est l'aire du domaine sous la courbe,\nexprimée en unités d'aire du repère."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "primitives"
      ],
      "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'intégrale vaut\n$\\dfrac{1^3}{3} - \\dfrac{0^3}{3} = \\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de primitive : $\\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de\n$x$, pas de $x^2$. Pour $x^2$, on monte à\n$\\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{4}$ viendrait de $\\dfrac{x^4}{4}$,\nqui est une primitive de $x^3$. Pour $x^2$, la primitive\nest $\\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{3}$ est $\\displaystyle\\int_{-1}^{1}\nx^2\\,dx$, sur un intervalle deux fois plus long. Entre\n$0$ et $1$, l'aire vaut $\\dfrac{1}{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_0^1 x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_0^1 =\n\\dfrac{1}{3}$. Le tiers de l'unité d'aire : c'est l'aire sous\nla parabole entre $0$ et $1$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "logarithme"
      ],
      "title": "Une intégrale avec $\\dfrac{1}{x}$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_1^e \\dfrac{1}{x}\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est\n$\\ln(x)$, donc l'intégrale vaut\n$\\ln(e) - \\ln(1) = 1 - 0 = 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e - 1$ correspondrait à la primitive $x$\n(c'est-à-dire à l'intégrale de la constante $1$). Ici la\nprimitive est $\\ln x$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut la **différence** $F(e) - F(1)$. Avec\n$F = \\ln$ : $1 - 0 = 1$, pas $e$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{e^2} + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de primitive : tu as utilisé $-\\dfrac{1}{x}$, qui\nprimitive $\\dfrac{1}{x^2}$. Pour $\\dfrac{1}{x}$, la\nprimitive de référence est $\\ln x$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, $\\int \\dfrac{1}{x}$ se calcule avec\n$\\ln$ : $\\int_1^e \\dfrac{dx}{x} = [\\ln x]_1^e = 1$. C'est même\nla définition historique de $e$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite"
      ],
      "title": "Utiliser la linéarité",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^2 g = -1$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^2 \\left(2f + 3g\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité,\n$2\\int f + 3\\int g = 2 \\times 4 + 3 \\times (-1) = 8 - 3 =\n5$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\int g = -1$ est **négative** (c'est\npossible pour une intégrale). $8 + 3 = 11$ oublie ce\nsigne : le bon calcul est $8 - 3 = 5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 - 1 = 3$ ignore les coefficients $2$ et $3$.\nLa linéarité les conserve : $2 \\times 4 + 3 \\times (-1)$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $8 = 2\\int f$ seul. Il faut ajouter la\ncontribution $3\\int g = -3$."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité de l'intégrale :\n$\\int (\\alpha f + \\beta g) = \\alpha \\int f + \\beta \\int g$.\nIci : $2 \\times 4 + 3 \\times (-1) = 5$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe",
        "aire"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction négative",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $f$ continue et **négative** sur $[0\\,;\\,2]$, avec\n$\\displaystyle\\int_0^2 f(x)\\,dx = -3$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et\nles droites $x = 0$ et $x = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour une fonction négative, l'aire est\nl'**opposé** de l'intégrale :\n$\\mathcal{A} = -\\int_0^2 f = 3$. Une aire est toujours\npositive."
        },
        {
          "text": "$-3$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une aire est une grandeur **positive**. C'est\nl'intégrale qui peut être négative ; l'aire correspondante\nen est l'opposé."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le domaine entre la courbe et l'axe est bien réel\net étendu ; son aire vaut $|-3| = 3$."
        },
        {
          "text": "$6$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun doublement n'intervient. Aire $=$ opposé de\nl'intégrale $= 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Sous l'axe, l'intégrale compte l'aire **négativement** : pour\n$f \\leq 0$ sur $[a\\,;\\,b]$, l'aire du domaine vaut\n$-\\int_a^b f$. Ici : $3$ unités d'aire."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chasles"
      ],
      "title": "Relation de Chasles",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 3$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 10$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 10 - 3 = 7$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $10 - 3$."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 10 - 3 = +7$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 7$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 3$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 10$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 10 - 3 = 7$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $10 - 3$."
            },
            {
              "text": "$-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 10 - 3 = +7$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 7$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 9$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 9 - 4 = 5$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $9 - 4$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 9 - 4 = +5$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 5$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 2$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 11$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 11 - 2 = 9$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $11 - 2$."
            },
            {
              "text": "$-9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 11 - 2 = +9$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 9$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 6$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 14$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 14 - 6 = 8$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $14 - 6$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 14 - 6 = +8$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
            },
            {
              "text": "$84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 8$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Valeur moyenne d'une fonction",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec\n$\\displaystyle\\int_1^4 f(x)\\,dx = 9$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[1\\,;\\,4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{9}{4-1} = 3$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[1\\,;\\,4]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 4 - 1 = 3$, pas par la\nborne $4$."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec\n$\\displaystyle\\int_1^4 f(x)\\,dx = 9$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[1\\,;\\,4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{9}{4-1} = 3$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[1\\,;\\,4]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 4 - 1 = 3$, pas par la\nborne $4$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[2\\,;\\,6]$ avec\n$\\displaystyle\\int_2^6 f(x)\\,dx = 20$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[2\\,;\\,6]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{20}{6-2} = 5$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[2\\,;\\,6]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{10}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 6 - 2 = 4$, pas par la\nborne $6$."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[3\\,;\\,5]$ avec\n$\\displaystyle\\int_3^5 f(x)\\,dx = 14$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[3\\,;\\,5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{14}{5-3} = 7$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[3\\,;\\,5]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $14$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{14}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 5 - 3 = 2$, pas par la\nborne $5$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[2\\,;\\,5]$ avec\n$\\displaystyle\\int_2^5 f(x)\\,dx = 18$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[2\\,;\\,5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{18}{5-2} = 6$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[2\\,;\\,5]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{18}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 5 - 2 = 3$, pas par la\nborne $5$."
            },
            {
              "text": "$54$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integration-par-parties"
      ],
      "title": "Intégration par parties",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,e^x\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par parties avec $u = x$, $v' = e^x$ :\n$\\left[x\\,e^x\\right]_0^1 - \\int_0^1 e^x\\,dx = e - (e - 1)\n= 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e - 1 = \\int_0^1 e^x\\,dx$, l'intégrale **sans**\nle facteur $x$. Le facteur $x$ exige une intégration par\nparties."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $e = [x\\,e^x]_0^1$ n'est que le terme tout\nintégré ; il faut lui retrancher $\\int_0^1 e^x\\,dx = e - 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as primitivé chaque facteur séparément\n($\\frac{x^2}{2}$ et $e^x$ mélangés). Un produit ne se\nprimitive pas facteur par facteur : c'est précisément le\nrôle de l'intégration par parties."
        }
      ],
      "explanation": "Intégration par parties :\n$\\int_a^b u\\,v' = [u\\,v]_a^b - \\int_a^b u'\\,v$. Avec $u = x$\n(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^x$ :\n$e - (e - 1) = 1$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Aire sous une parabole",
      "partie": "definition",
      "statement": "Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de\n$f(x) = 4 - x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$\net $x = 2$. Quelle est son aire ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n  \\fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\\x,{4-\\x*\\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);\n  \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{4-\\x*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3,2.4) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée\nvers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses\nen -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des\nabscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"182.545pt\" height=\"174.826pt\" viewBox=\"0 0 182.545 174.826\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 -5.71875 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g 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C -35.328896 26.342537 -34.510455 29.028904 -34.001377 30.661871 C -33.492298 32.290921 -32.673857 34.836312 -32.164779 36.379211 C -31.655701 37.922109 -30.83726 40.326525 -30.328181 41.779356 C -29.815187 43.236103 -29.000662 45.495627 -28.487668 46.862307 C -27.978589 48.228986 -27.160148 50.351451 -26.65107 51.628062 C -26.141992 52.90859 -25.323551 54.886163 -24.814472 56.076623 C -24.305394 57.267083 -23.486953 59.10368 -22.977875 60.207988 C -22.468796 61.308381 -21.650355 63.007919 -21.141277 64.022159 C -20.628283 65.032484 -19.813758 66.591046 -19.300763 67.515219 C -18.791685 68.443308 -17.973244 69.856979 -17.464166 70.695 C -16.955087 71.529105 -16.136646 72.801801 -15.627568 73.55367 C -15.11849 74.301624 -14.300049 75.433344 -13.79097 76.095146 C -13.281892 76.756947 -12.463451 77.747692 -11.954373 78.319426 C -11.441379 78.895076 -10.626853 79.740929 -10.113859 80.226511 C -9.604781 80.712094 -8.78634 81.420887 -8.277261 81.816402 C -7.768183 82.215832 -6.949742 82.779734 -6.440664 83.089097 C -5.931586 83.39846 -5.113144 83.821387 -4.604066 84.044598 C -4.094988 84.263893 -3.276547 84.54976 -2.767469 84.682904 C -2.254474 84.812131 -1.436033 84.957023 -0.926955 85.000099 C -0.417877 85.043175 0.400565 85.047091 0.909643 85.000099 C 1.418721 84.957023 2.237162 84.816047 2.74624 84.68682 C 3.255319 84.553676 4.07376 84.271725 4.582838 84.05243 C 5.095832 83.833135 5.910358 83.410208 6.423352 83.100845 C 6.93243 82.791482 7.750871 82.22758 8.259949 81.832066 C 8.769028 81.436551 9.587469 80.731674 10.096547 80.246091 C 10.605625 79.760509 11.424066 78.914656 11.933145 78.342922 C 12.442223 77.771188 13.260664 76.780443 13.769742 76.118641 C 14.282737 75.460756 15.097262 74.329036 15.610256 73.581082 C 16.119334 72.833129 16.937775 71.560433 17.446854 70.722412 C 17.955932 69.888307 18.774373 68.474636 19.283451 67.550463 C 19.79253 66.62629 20.610971 65.071644 21.120049 64.057403 C 21.629127 63.043163 22.447568 61.347541 22.956647 60.247148 C 23.469641 59.146756 24.284166 57.310158 24.79716 56.119699 C 25.306238 54.933155 26.12468 52.955582 26.633758 51.675054 C 27.142836 50.398442 27.961277 48.279894 28.470356 46.913214 C 28.979434 45.546535 29.797875 43.287011 30.306953 41.83418 C 30.816031 40.381349 31.634473 37.976933 32.143551 36.437951 C 32.656545 34.895052 33.47107 32.349661 33.984065 30.72061 C 34.493143 29.09156 35.311584 26.405193 35.820662 24.689991 C 36.32974 22.970873 37.148182 20.143531 37.65726 18.338261 C 38.166338 16.532991 38.984779 13.564674 39.493857 11.669336 C 40.006852 9.773999 40.821377 6.668621 41.334371 4.683216 C 41.843449 2.701727 42.661891 -0.548542 43.170969 -2.620098 C 43.680047 -4.687739 44.498488 -8.078984 45.007566 -10.240608 C 45.516645 -12.398317 46.335086 -15.930536 46.844164 -18.178313 C 47.353242 -20.426089 48.171683 -24.099284 48.680762 -26.433212 C 49.193756 -28.76714 50.008281 -32.585227 50.521275 -35.009223 C 51.030354 -37.429302 51.848795 -41.388364 52.357873 -43.898512 C 52.866951 -46.408659 54.194471 -53.108912 54.194471 -53.108912 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 84.8934, 119.066103)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"143.706806\" y=\"70.116113\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"148.55971\" y=\"71.175473\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ est positive sur $[-2\\,;\\,2]$, donc\nl'aire vaut $\\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\\,dx =\n\\left[4x - \\dfrac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} =\n\\dfrac{16}{3} + \\dfrac{16}{3} = \\dfrac{32}{3} \\approx\n10{,}7$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{16}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de bornes : $\\dfrac{16}{3} =\n\\int_0^2 (4 - x^2)\\,dx$, la **moitié droite** seulement. Le\ndomaine s'étend de $-2$ à $2$."
        },
        {
          "text": "$16$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16 = 4 \\times 4$ est l'aire du rectangle\nenglobant (base $4$, hauteur $4$). La parabole en occupe\nles deux tiers : $\\dfrac{32}{3}$."
        },
        {
          "text": "$8$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8$ serait l'aire du triangle de sommets\n$(-2\\,;\\,0)$, $(2\\,;\\,0)$, $(0\\,;\\,4)$. La parabole est\nplus « bombée » qu'un triangle : $\\dfrac{32}{3} > 8$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_{-2}^{2}(4-x^2)\\,dx = \\left[4x -\n\\frac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} = \\left(8 - \\frac{8}{3}\\right) -\n\\left(-8 + \\frac{8}{3}\\right) = \\frac{32}{3}$. (Au passage :\nexactement les deux tiers du rectangle $4 \\times 4$, résultat\nd'Archimède.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "La fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \\in I$. On pose\n$F(x) = \\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$. Que vaut $F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le théorème fondamental : $F$ est la\nprimitive de $f$ qui s'annule en $a$, donc $F' = f$."
        },
        {
          "text": "$f'(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'étage : dériver l'intégrale rend $f$ elle-même,\npas sa dérivée. Intégrer puis dériver ramène au point de\ndépart."
        },
        {
          "text": "$F(x) - F(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un mélange avec la formule\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. La **dérivée** de\n$x \\mapsto \\int_a^x f$ est $f(x)$."
        },
        {
          "text": "$f(x) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne fixe $a$ ne réapparaît pas dans la\ndérivée (elle ne pilote qu'une constante d'intégration).\n$F'(x) = f(x)$ tout court."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème fondamental de l'analyse : pour $f$ continue,\n$x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est dérivable, de dérivée $f$.\nC'est le pont entre aire et primitive, et la preuve que toute\nfonction continue admet des primitives."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "methode-rectangles",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Rectangles et fonction décroissante",
      "partie": "definition",
      "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_0^1 f(x)\\,dx$ avec $f$\ncontinue et **décroissante**, on découpe $[0\\,;\\,1]$ en $n$\nmorceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la\nhauteur est prise au bord **gauche** de chaque morceau. Cette\nsomme est :",
      "options": [
        {
          "text": "Supérieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ décroissant, sa valeur au bord gauche\nest la plus grande du morceau : chaque rectangle **dépasse**\nla courbe. La somme majore l'intégrale."
        },
        {
          "text": "Inférieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : ce serait le cas des rectangles à bord\n**droit** (ou d'une fonction croissante avec bord gauche).\nIci chaque rectangle englobe la courbe."
        },
        {
          "text": "Exactement égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les rectangles laissent un écart avec la courbe\n(sauf fonction constante). L'égalité n'apparaît qu'à la\nlimite $n \\to +\\infty$."
        },
        {
          "text": "Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la monotonie fixe le sens **pour tout** $n$ :\nbord gauche et fonction décroissante donnent une majoration systématique."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode des rectangles avec fonction monotone : bords gauches\net droits fournissent un **encadrement** de l'intégrale. Pour\n$f$ décroissante : somme à gauche $\\geq \\int \\geq$ somme à\ndroite, et l'écart fond quand $n$ grandit."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire-entre-courbes"
      ],
      "title": "Aire entre deux courbes",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,1]$, on a $x \\geq x^2$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et de\n$g(x) = x^2$ sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$ unité d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire entre deux courbes est\n$\\int_0^1 \\left(x - x^2\\right) dx =\n\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $\\dfrac{1}{2} = \\int_0^1 x\\,dx$ est l'aire sous\nla droite seule. Il faut lui **retrancher** l'aire sous la\nparabole."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3} = \\int_0^1 x^2\\,dx$ est l'aire sous\nla parabole. L'aire entre les deux courbes est la\ndifférence $\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** les deux aires\n($\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}$). Le domaine entre les courbes\ncorrespond à leur **différence**."
        }
      ],
      "explanation": "Si $f \\geq g$ sur $[a\\,;\\,b]$, l'aire entre les deux courbes\nvaut $\\int_a^b \\left(f(x) - g(x)\\right) dx$. Ici :\n$\\int_0^1 (x - x^2)\\,dx = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{3} =\n\\frac{1}{6}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "integrale-constante"
      ],
      "title": "Intégrale d'une constante",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_2^5 3\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $5 - 2\n= 3$ et de hauteur $3$ : $3 \\times 3 = 9$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $3$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($3$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $5 - 2 = 3$ de l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $3$\n($3t + C$) redonne $15 - 6 = 9$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_2^5 3\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $5 - 2\n= 3$ et de hauteur $3$ : $3 \\times 3 = 9$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $3$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($3$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $5 - 2 = 3$ de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $3$\n($3t + C$) redonne $15 - 6 = 9$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_1^4 5\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $4 - 1\n= 3$ et de hauteur $5$ : $5 \\times 3 = 15$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $5$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($3$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20 = 5 \\times 4$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $4 - 1 = 3$ de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{15}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $5$\n($5t + C$) redonne $20 - 5 = 15$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_3^7 2\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $7 - 3\n= 4$ et de hauteur $2$ : $2 \\times 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $2$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($4$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $14 = 2 \\times 7$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $7 - 3 = 4$ de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $2$\n($2t + C$) redonne $14 - 6 = 8$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_2^6 4\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $6 - 2\n= 4$ et de hauteur $4$ : $4 \\times 4 = 16$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $4$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($4$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $24 = 4 \\times 6$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $6 - 2 = 4$ de l'intervalle."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
            }
          ],
          "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $4$\n($4t + C$) redonne $24 - 8 = 16$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bornes-echangees"
      ],
      "title": "Échanger les bornes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sachant que $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx = \\dfrac{1}{3}$,\nque vaut $\\displaystyle\\int_1^0 x^2\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe :\n$\\int_b^a = -\\int_a^b$ (avec $F$ primitive : $F(0) -\nF(1) = -(F(1) - F(0))$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale est **orientée** : parcourir\nl'intervalle à rebours renverse le signe."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\int_a^a = 0$ exige des bornes **égales** ;\nici elles sont échangées : signe opposé."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun doublement : seule l'orientation change,\ndonc seulement le signe."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ : conséquence directe de\n$[F]_a^b = F(b) - F(a)$. Utile pour remettre les bornes dans\nle bon ordre avant tout calcul ou toute relation de Chasles."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Une intégrale d'exponentielle",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^t$ est sa propre primitive :\n$[e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \\approx 1{,}72$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse oubliée : le crochet soustrait la valeur en\n$0$, et $e^0 = 1$ ne vaut pas zéro !"
        },
        {
          "text": "$1 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $F(0) - F(1) = 1 - e$ est l'opposé du résultat ;\nle crochet se lit $F(1) - F(0) = e - 1$, et une\nintégrale de fonction positive est positive."
        },
        {
          "text": "$e + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le crochet est $F(1) \\textbf{−} F(0)$ : on\nsoustrait, on n'additionne pas."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b e^t dt = e^b - e^a$. L'oubli du $-F(a)$, surtout\nquand $F(a) \\neq 0$ comme ici, est l'étourderie la plus\nfréquente du chapitre : toujours écrire le crochet complet."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "positivite"
      ],
      "title": "Positivité de l'intégrale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "$f$ est continue et positive sur $[a\\ ;\\ b]$ (avec $a <\nb$). Que peut-on dire de $\\displaystyle\\int_a^b f(t)\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est positive ou nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de\nl'axe ne peut pas être négative : la positivité passe de\nla fonction à l'intégrale."
        },
        {
          "text": "Elle est strictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la fonction nulle est positive et son\nintégrale vaut $0$ : l'inégalité large est la bonne\nconclusion."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans calculer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un théorème général (la positivité), qui\ndonne le signe sans aucun calcul : l'argument le plus\néconomique des sujets."
        },
        {
          "text": "Elle vaut $f(b) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $F(b) - F(a)$ fait intervenir une\n**primitive** $F$, pas la fonction elle-même."
        }
      ],
      "explanation": "Positivité : $f \\geq 0$ sur $[a\\ ;\\ b]$ (et $a \\leq b$)\n$\\Rightarrow \\int_a^b f \\geq 0$. Combinée à la linéarité,\nelle fournit la comparaison des intégrales : le duo\nthéorique du chapitre."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux intégrales",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 1]$, on sait que $f(t) \\leq g(t)$ pour tout\n$t$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 f(t)\\,dt \\leq \\int_0^1 g(t)\\,dt$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégration **conserve l'ordre** (dans\nle sens croissant des bornes) : l'aire sous la courbe la\nplus basse est la plus petite."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 f(t)\\,dt \\geq \\int_0^1 g(t)\\,dt$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens renversé : intégrer ne retourne pas les\ninégalités : plus la fonction est haute, plus l'aire est\ngrande."
        },
        {
          "text": "Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la croissance de l'intégrale est un théorème\n(conséquence de la positivité appliquée à $g - f$)."
        },
        {
          "text": "$f(t) = g(t)$ quelque part",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : l'hypothèse n'exige aucun contact entre les\ncourbes ; la conclusion porte sur les **aires**."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance : $f \\leq g$ sur $[a\\ ;\\ b] \\Rightarrow \\int_a^b\nf \\leq \\int_a^b g$ (pour $a \\leq b$). C'est l'outil des\nencadrements d'intégrales qu'on ne sait pas calculer : on\nencadre la fonction, on intègre l'encadrement."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Une intégrale de cosinus",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi/2} \\cos t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $[\\sin t]_0^{\\pi/2} = \\sin\\frac{\\pi}{2}\n- \\sin 0 = 1 - 0 = 1$ : l'arche montante du cosinus\nenferme une aire exactement égale à $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ serait $\\int_0^{\\pi}$ (l'arche complète\nsymétrique)… non : $\\int_0^{\\pi}\\cos = 0$ par\ncompensation ; sur $[0\\ ;\\ \\frac{\\pi}{2}]$, le cosinus\nreste positif : aire $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{\\pi}{2}$ est la **largeur** de\nl'intervalle : l'aire sous le cosinus se calcule avec la\nprimitive $\\sin$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : la primitive de $\\cos$ est $+\\sin$ (le moins\nappartient à la primitive de $\\sin$, qui est $-\\cos$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int \\cos = \\sin$, $\\int \\sin = -\\cos$ : les deux crochets\ntrigonométriques à connaître. $\\int_0^{\\pi/2}\\cos t\\,dt = 1$\nest le résultat de référence."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "imparite",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction impaire",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{-2}^{2} t^3\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction cube est impaire et\nl'intervalle est centré en $0$ : les aires de part et\nd'autre de l'origine sont opposées et se compensent\nexactement. Calcul de contrôle :\n$\\left[\\frac{t^4}{4}\\right]_{-2}^2 = 4 - 4 = 0$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = \\frac{2^4}{4} + \\frac{2^4}{4}$ additionne\nce qui doit se soustraire : $(-2)^4 = +16$ aussi : le\ncrochet donne $4 - 4 = 0$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16 = 2^4$ est la primitive $t^4$ prise sans\nle facteur $\\frac{1}{4}$ et évaluée à la seule borne\nsupérieure. La primitive de $t^3$ est $\\frac{t^4}{4}$,\net le crochet entre $-2$ et $2$ vaut $4 - 4 = 0$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 = \\frac{2^4}{4}$ n'est qu'une moitié du\ncrochet : l'autre borne apporte $-4$… c'est-à-dire\n$-\\frac{(-2)^4}{4}$ : total nul."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction impaire sur $[-a\\ ;\\ a]$ : intégrale nulle, par\nsymétrie. Réflexe d'économie ($t^3$, $t^5$, $\\sin$…), et\nleçon en creux : intégrale nulle ne signifie pas aire nulle."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale-nulle"
      ],
      "title": "Intégrale nulle, fonction nulle ?",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_{-1}^{1} f(t)\\,dt = 0$ avec\n$f$ continue. Peut-on en déduire que $f$ est nulle sur\n$[-1\\ ;\\ 1]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $f(t) = t$ a une intégrale nulle sans être nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les zones positives et négatives peuvent\nse **compenser** : une intégrale nulle dit que le bilan\nest équilibré, pas que la fonction est plate."
        },
        {
          "text": "Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $\\int_{-1}^1 t\\,dt = 0$ par imparité, et $f(t) =\nt$ n'est pas la fonction nulle : la compensation des\nsignes fait le travail."
        },
        {
          "text": "Oui, si $f$ est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité ne sauve pas l'énoncé : $f(t) = t$ est\ncontinue. (Le résultat devient vrai en ajoutant $f\n\\geq 0$ : là, aucune compensation possible.)"
        },
        {
          "text": "Non, mais $f$ doit s'annuler en $0$ précisément",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $f$ doit s'annuler **quelque part** (elle\nchange de signe), mais pas nécessairement en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int f = 0$ : bilan équilibré, pas fonction nulle. Le\ncomplément vrai : si $f \\geq 0$, continue, d'intégrale\nnulle, alors $f = 0$ : c'est la positivité **stricte** qui\ninterdit la compensation."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integration-par-parties",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 t\\,e^t\\,dt$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Par intégration par parties, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 t\\,e^t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u = t$, $v' = e^t$ : $[t\\,e^t]_0^1 -\n\\int_0^1 e^t dt = e - (e - 1) = 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $e - 1$ est le terme $\\int e^t$ seul ; il\nfaut le **soustraire** du crochet $[te^t]_0^1 = e$ :\n$e - (e - 1) = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : primitiver chaque facteur ($\\frac{t^2}{2}$,\n$e^t$) puis multiplier n'est pas une règle : le produit\nexige l'intégration par parties."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt au crochet : $[te^t]_0^1 = e$, mais l'intégration\npar parties retranche encore $\\int_0^1 e^t = e - 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \\int_a^b u'v$ : choisir $u = t$\n(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^t$. Résultat à\ncontrôler : $\\int_0^1 te^t = 1$."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "encadrement",
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Encadrer une intégrale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 2]$, on sait que $1 \\leq f(t) \\leq 3$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ en\ndécoule ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : intégrer l'encadrement : $\\int_0^2 1 =\n2$ en bas, $\\int_0^2 3 = 6$ en haut : les bornes sont\nmultipliées par la largeur $2$."
        },
        {
          "text": "$1 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : l'encadrement de $f$ se multiplie par\nla longueur de l'intervalle ($2$) : c'est la **valeur\nmoyenne** qui reste entre $1$ et $3$."
        },
        {
          "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction vaut au moins $1$ sur une largeur\n$2$ : l'aire ne peut pas être inférieure à $2$."
        },
        {
          "text": "Aucun : il faut connaître $f$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la comparaison :\nencadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale, sans\nla calculer."
        }
      ],
      "explanation": "$m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\ ;\\ b]$ $\\Rightarrow$ $m(b-a) \\leq\n\\int_a^b f \\leq M(b-a)$ : l'inégalité de la moyenne.\nAutrement dit, la valeur moyenne de $f$ reste entre $m$ et\n$M$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "Dériver $x \\mapsto \\int_0^x f(t)\\,dt$",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $F(x) = \\displaystyle\\int_0^x e^{-t^2}\\,dt$. Que vaut\n$F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F'(x) = e^{-x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème fondamental : $x \\mapsto\n\\int_0^x f(t)\\,dt$ est LA primitive de $f$ qui s'annule\nen $0$ : sa dérivée est $f(x)$, ici $e^{-x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F'(x) = -2x\\,e^{-x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-2xe^{-x^2}$ est la dérivée de $e^{-x^2}$ :\nmais $F$ n'est pas $e^{-x^2}$, c'est son intégrale : la\ndérivation la ramène à $e^{-x^2}$ exactement."
        },
        {
          "text": "$F'(x) = e^{-t^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variable fantôme : $t$ est la variable **muette**\nd'intégration : la dérivée s'exprime en $x$ :\n$e^{-x^2}$."
        },
        {
          "text": "Impossible : $e^{-t^2}$ n'a pas de primitive explicite",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : pas de primitive **par formule**, certes,\nmais la primitive existe (fonction continue) et c'est\nprécisément $F$ : sa dérivée se lit sans calcul."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème fondamental : pour $f$ continue, $F(x) = \\int_a^x\nf(t)\\,dt$ est dérivable et $F' = f$. Il fabrique des\nprimitives même quand aucune formule n'existe : c'est le cas\nde $e^{-t^2}$ (la gaussienne)."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire",
        "signe"
      ],
      "title": "Aire quand la fonction change de signe",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 2\\pi]$, $\\displaystyle\\int_0^{2\\pi} \\sin\nt\\,dt = 0$. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de\nsinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire se découpe aux changements de\nsigne : $\\displaystyle\\int_0^{\\pi}\\sin t\\,dt =\n[-\\cos t]_0^{\\pi} = 2$ pour l'arche au-dessus de l'axe,\net l'arche en dessous contribue autant, comptée\npositivement ($|-2| = 2$) : total $4$."
        },
        {
          "text": "$0$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion aire/intégrale : l'intégrale vaut $0$ parce\nqu'elle compte les zones sous l'axe **négativement** ;\nl'aire, toujours positive, les compte en valeur absolue."
        },
        {
          "text": "$2$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Une arche oubliée : chaque arche vaut $2$ unités d'aire,\net il y en a deux sur $[0\\ ;\\ 2\\pi]$."
        },
        {
          "text": "$2\\pi$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\pi$ est la largeur de l'intervalle ; l'aire\nse calcule avec la primitive de $\\sin$, arche par arche."
        }
      ],
      "explanation": "L'aire entre la courbe et l'axe est $\\int |f|$ : découper l'intervalle\naux zéros de $f$, intégrer morceau par morceau, sommer les\nvaleurs absolues. L'intégrale brute, elle, fait le **bilan**\nalgébrique : $0$ ici."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une intégrale de polynôme",
      "partie": "definition",
      "statement": "Combien vaut $\\displaystyle\\int_1^2 (2x + 1)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive est $x^2 + x$, et $6 - 2 = 4$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne inférieure oubliée : $6$ est la valeur de la primitive en $2$,\nil reste à retrancher sa valeur en $1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur de la fonction : $2 \\times 2 + 1$ donne $5$, mais une intégrale\nn'est pas une image."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Primitive incomplète : le terme constant $1$ donne $x$ dans la\nprimitive, souvent oublié."
        }
      ],
      "explanation": "Une intégrale se calcule en prenant une primitive, puis en soustrayant ses\nvaleurs aux deux bornes. Le choix de la constante est sans importance,\nelle disparaît dans la différence."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire et signe de la fonction",
      "partie": "definition",
      "statement": "Une fonction est négative sur $[a\\,;\\,b]$. Que représente\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale est négative, l'aire géométrique étant sa\nvaleur absolue."
        },
        {
          "text": "L'aire entre la courbe et l'axe",
          "correct": false,
          "feedback": "Une aire est positive, alors que cette intégrale est négative."
        },
        {
          "text": "Zéro, faute d'aire au-dessus de l'axe",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intégrale d'une fonction strictement négative n'est jamais nulle."
        },
        {
          "text": "La moitié de l'aire concernée",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun facteur $\\dfrac{1}{2}$ n'apparaît : seul le signe distingue\nl'intégrale de l'aire."
        }
      ],
      "explanation": "L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous. Pour obtenir une aire géométrique, on intègre la\nvaleur absolue, ou l'on découpe selon le signe."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Calculer une valeur moyenne",
      "partie": "definition",
      "statement": "Quelle est la valeur moyenne de $f(x) = x$ sur $[0\\,;\\,4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $8$, que l'on divise par l'amplitude\n$4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $8$ est la valeur de l'intégrale, pas la moyenne."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne supérieure recopiée : elle sert de diviseur, elle n'est pas le\nrésultat."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul inversé : diviser $4$ par $8$ ne correspond à aucune étape."
        }
      ],
      "explanation": "La valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ vaut\n$\\dfrac{1}{b-a}\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$. C'est la hauteur du\nrectangle de même aire que celle sous la courbe."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integration-par-parties",
        "methode"
      ],
      "title": "Choisir les fonctions d'une intégration par parties",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour calculer $\\displaystyle\\int_0^1 x e^{x}\\,dx$ par parties, que\nchoisit-on de dériver ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le facteur $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sa dérivée vaut $1$, ce qui simplifie l'intégrale\nrestante."
        },
        {
          "text": "Le facteur $e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sa dérivée ne se simplifie pas, et l'intégrale obtenue serait plus\ncompliquée que celle de départ."
        },
        {
          "text": "Les deux facteurs à la fois",
          "correct": false,
          "feedback": "La formule impose de dériver l'un et de primitiver l'autre, jamais les\ndeux."
        },
        {
          "text": "Aucun, on primitive le produit",
          "correct": false,
          "feedback": "Un produit n'a pas de primitive immédiate : c'est justement le rôle de\nl'intégration par parties."
        }
      ],
      "explanation": "On choisit de dériver le facteur dont la dérivée se simplifie, ici le\npolynôme, et de primitiver celui dont la primitive reste simple, ici\nl'exponentielle."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale",
        "chasles"
      ],
      "title": "Découper une intégrale",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^3 f = 7$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 12$, combien vaut\n$\\displaystyle\\int_3^5 f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la relation de Chasles donne $12 - 7$."
        },
        {
          "text": "$19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intégrales additionnées : elles se retranchent, la première portion\nétant incluse dans la seconde."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de la soustraction : on retranche l'intégrale sur la portion la\nplus courte."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes soustraites : $5 - 3$ donne l'amplitude, pas la valeur de\nl'intégrale."
        }
      ],
      "explanation": "La relation de Chasles décompose une intégrale selon un point\nintermédiaire. Elle se réarrange pour obtenir l'intégrale sur une portion\nmanquante."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux intégrales sans les calculer",
      "partie": "definition",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,1]$, on a $x^3 \\leq x^2$. Que peut-on en déduire pour\nleurs intégrales sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 x^3 \\leq \\displaystyle\\int_0^1 x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre sur un intervalle\nparcouru dans le sens croissant."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 x^3 \\geq \\displaystyle\\int_0^1 x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : les valeurs sont $\\dfrac{1}{4}$ et $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "Les deux intégrales sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux fonctions ne coïncident qu'en $0$ et en $1$, l'inégalité est\nstricte ailleurs."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "La croissance de l'intégrale conclut directement à partir de\nl'inégalité entre les fonctions."
        }
      ],
      "explanation": "Si $f \\leq g$ sur $[a\\,;\\,b]$ avec $a \\leq b$, alors l'intégrale de $f$ y\nest inférieure à celle de $g$. Cette propriété sert à encadrer une\nintégrale que l'on ne sait pas calculer."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "integrale-constante",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver une borne",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on\n$\\displaystyle\\int_0^b 4\\,dt = 20$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$b = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante\nmultipliée par la longueur de l'intervalle, soit $4b$. On\nrésout donc $4b = 20$, ce qui donne $b = 5$."
        },
        {
          "text": "$b = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser\npar la hauteur $4$, ce qui donne $b = 5$."
        },
        {
          "text": "$b = 80$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : de $4b = 20$ on tire\n$b = \\dfrac{20}{4} = 5$."
        },
        {
          "text": "$b = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure\nl'intervalle, et il vaut $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $[0\\,;\\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 4$ est un\nrectangle de hauteur $4$ et de largeur $b$ : son aire vaut $4b$.\nL'égalité demandée devient une simple équation du premier degré.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on\n$\\displaystyle\\int_0^b 4\\,dt = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante\nmultipliée par la longueur de l'intervalle, soit $4b$. On\nrésout donc $4b = 20$, ce qui donne $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$b = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser\npar la hauteur $4$, ce qui donne $b = 5$."
            },
            {
              "text": "$b = 80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : de $4b = 20$ on tire\n$b = \\dfrac{20}{4} = 5$."
            },
            {
              "text": "$b = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure\nl'intervalle, et il vaut $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 4$ est un\nrectangle de hauteur $4$ et de largeur $b$ : son aire vaut $4b$.\nL'égalité demandée devient une simple équation du premier degré."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on\n$\\displaystyle\\int_0^b 3\\,dt = 21$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante\nmultipliée par la longueur de l'intervalle, soit $3b$. On\nrésout donc $3b = 21$, ce qui donne $b = 7$."
            },
            {
              "text": "$b = 21$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser\npar la hauteur $3$, ce qui donne $b = 7$."
            },
            {
              "text": "$b = 63$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : de $3b = 21$ on tire\n$b = \\dfrac{21}{3} = 7$."
            },
            {
              "text": "$b = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure\nl'intervalle, et il vaut $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 3$ est un\nrectangle de hauteur $3$ et de largeur $b$ : son aire vaut $3b$.\nL'égalité demandée devient une simple équation du premier degré."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on\n$\\displaystyle\\int_0^b 5\\,dt = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante\nmultipliée par la longueur de l'intervalle, soit $5b$. On\nrésout donc $5b = 20$, ce qui donne $b = 4$."
            },
            {
              "text": "$b = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser\npar la hauteur $5$, ce qui donne $b = 4$."
            },
            {
              "text": "$b = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : de $5b = 20$ on tire\n$b = \\dfrac{20}{5} = 4$."
            },
            {
              "text": "$b = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure\nl'intervalle, et il vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 5$ est un\nrectangle de hauteur $5$ et de largeur $b$ : son aire vaut $5b$.\nL'égalité demandée devient une simple équation du premier degré."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on\n$\\displaystyle\\int_0^b 2\\,dt = 18$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante\nmultipliée par la longueur de l'intervalle, soit $2b$. On\nrésout donc $2b = 18$, ce qui donne $b = 9$."
            },
            {
              "text": "$b = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser\npar la hauteur $2$, ce qui donne $b = 9$."
            },
            {
              "text": "$b = 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : de $2b = 18$ on tire\n$b = \\dfrac{18}{2} = 9$."
            },
            {
              "text": "$b = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure\nl'intervalle, et il vaut $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 2$ est un\nrectangle de hauteur $2$ et de largeur $b$ : son aire vaut $2b$.\nL'égalité demandée devient une simple équation du premier degré."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bornes-echangees",
        "linearite"
      ],
      "title": "Somme de deux intégrales opposées",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[1\\,;\\,3]$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_3^1 f(t)\\,dt + \\int_1^3 f(t)\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe de\nl'intégrale, donc les deux termes sont opposés et leur somme est\nnulle."
        },
        {
          "text": "$2\\displaystyle\\int_1^3 f(t)\\,dt$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux intégrales ne sont pas égales : celle de $3$ à $1$ est\nl'opposée de celle de $1$ à $3$, pas sa copie."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_1^3 f(t)\\,dt$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un des deux termes a été oublié : celui de $3$ à $1$ ne vaut pas\nzéro, il vaut l'opposé de l'autre."
        },
        {
          "text": "$f(3) - f(1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec les primitives : c'est $F(3) - F(1)$ qui intervient\ndans un calcul d'intégrale, et non $f(3) - f(1)$."
        }
      ],
      "explanation": "Par convention, $\\displaystyle\\int_b^a f = -\\int_a^b f$. Ajouter les\ndeux intégrales revient donc à ajouter un nombre et son opposé, ce qui\ndonne $0$ quelle que soit la fonction continue $f$."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite",
        "integrale-constante"
      ],
      "title": "Ajouter une constante à la fonction",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue telle que\n$\\displaystyle\\int_0^3 f(x)\\,dx = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^3 \\bigl(f(x) - 2\\bigr)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et\ncelle de la constante $-2$ sur $[0\\,;\\,3]$ vaut\n$-2 \\times 3$. On obtient $5 - 6 = -1$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $-2$\napporte $-2 \\times 3$, et non $-2$."
        },
        {
          "text": "$-10$",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,\npuisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : le terme constant apporte $-2 \\times 3$, qu'il\nfaut ajouter à $5$."
        }
      ],
      "explanation": "La linéarité permet d'écrire\n$\\displaystyle\\int_0^{3}(f + k) = \\int_0^{3} f + \\int_0^{3} k$.\nLa seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la\nconstante multipliée par la longueur de l'intervalle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue telle que\n$\\displaystyle\\int_0^3 f(x)\\,dx = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^3 \\bigl(f(x) - 2\\bigr)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et\ncelle de la constante $-2$ sur $[0\\,;\\,3]$ vaut\n$-2 \\times 3$. On obtient $5 - 6 = -1$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $-2$\napporte $-2 \\times 3$, et non $-2$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,\npuisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : le terme constant apporte $-2 \\times 3$, qu'il\nfaut ajouter à $5$."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet d'écrire\n$\\displaystyle\\int_0^{3}(f + k) = \\int_0^{3} f + \\int_0^{3} k$.\nLa seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la\nconstante multipliée par la longueur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue telle que\n$\\displaystyle\\int_0^4 f(x)\\,dx = 7$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^4 \\bigl(f(x) + 3\\bigr)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et\ncelle de la constante $3$ sur $[0\\,;\\,4]$ vaut\n$3 \\times 4$. On obtient $7 + 12 = 19$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $3$\napporte $3 \\times 4$, et non $3$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,\npuisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : le terme constant apporte $3 \\times 4$, qu'il\nfaut ajouter à $7$."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet d'écrire\n$\\displaystyle\\int_0^{4}(f + k) = \\int_0^{4} f + \\int_0^{4} k$.\nLa seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la\nconstante multipliée par la longueur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue telle que\n$\\displaystyle\\int_0^2 f(x)\\,dx = 9$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^2 \\bigl(f(x) + 4\\bigr)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et\ncelle de la constante $4$ sur $[0\\,;\\,2]$ vaut\n$4 \\times 2$. On obtient $9 + 8 = 17$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $4$\napporte $4 \\times 2$, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,\npuisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : le terme constant apporte $4 \\times 2$, qu'il\nfaut ajouter à $9$."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet d'écrire\n$\\displaystyle\\int_0^{2}(f + k) = \\int_0^{2} f + \\int_0^{2} k$.\nLa seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la\nconstante multipliée par la longueur de l'intervalle."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue telle que\n$\\displaystyle\\int_0^3 f(x)\\,dx = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^3 \\bigl(f(x) + 3\\bigr)\\,dx$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et\ncelle de la constante $3$ sur $[0\\,;\\,3]$ vaut\n$3 \\times 3$. On obtient $5 + 9 = 14$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $3$\napporte $3 \\times 3$, et non $3$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,\npuisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : le terme constant apporte $3 \\times 3$, qu'il\nfaut ajouter à $5$."
            }
          ],
          "explanation": "La linéarité permet d'écrire\n$\\displaystyle\\int_0^{3}(f + k) = \\int_0^{3} f + \\int_0^{3} k$.\nLa seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la\nconstante multipliée par la longueur de l'intervalle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitives",
        "methode"
      ],
      "title": "Choisir la primitive utile",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour calculer $\\displaystyle\\int_1^2 \\dfrac{1}{x^2}\\,dx$, quelle\nprimitive de $x \\mapsto \\dfrac{1}{x^2}$ utilise-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $-\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$\\dfrac{1}{x^2}$. L'intégrale vaut alors\n$-\\dfrac{1}{2} + 1 = \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ est\n$-\\dfrac{1}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction à intégrer."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln(x^2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme intervient pour\nl'inverse, pas pour l'inverse du carré."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{2}{x^3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la dérivée de $\\dfrac{1}{x^2}$, pas une primitive : les deux\nopérations ont été échangées."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer une intégrale commence toujours par le choix d'une primitive,\nque l'on contrôle en la dérivant. Ici $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ a pour\nprimitive $-x^{-1}$, c'est-à-dire $-\\dfrac{1}{x}$."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "exponentielle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Intégrale d'une exponentielle composée",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{2t}\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{e^{2} - 1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $e^{2t}$ est\n$\\dfrac{e^{2t}}{2}$, d'où\n$\\dfrac{e^{2}}{2} - \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^{2}}{2} - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La borne $0$ a été mal traitée : elle donne\n$\\dfrac{e^{0}}{2} = \\dfrac{1}{2}$, et non $1$."
        },
        {
          "text": "$2\\,\\bigl(e^{2} - 1\\bigr)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement inversé : on divise par $2$, puisque la dérivation de\n$e^{2t}$ ferait sortir ce facteur."
        },
        {
          "text": "$e^{2} - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement oublié : la primitive de $e^{2t}$ comporte un facteur\n$\\dfrac{1}{2}$ que l'on ne peut pas omettre."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive de $t \\mapsto e^{at}$ est $t \\mapsto \\dfrac{e^{at}}{a}$.\nL'intégrale vaut donc $\\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit\n$\\dfrac{e^{a} - 1}{a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{2t}\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{2} - 1}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $e^{2t}$ est\n$\\dfrac{e^{2t}}{2}$, d'où\n$\\dfrac{e^{2}}{2} - \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{2}}{2} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La borne $0$ a été mal traitée : elle donne\n$\\dfrac{e^{0}}{2} = \\dfrac{1}{2}$, et non $1$."
            },
            {
              "text": "$2\\,\\bigl(e^{2} - 1\\bigr)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : on divise par $2$, puisque la dérivation de\n$e^{2t}$ ferait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$e^{2} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la primitive de $e^{2t}$ comporte un facteur\n$\\dfrac{1}{2}$ que l'on ne peut pas omettre."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $t \\mapsto e^{at}$ est $t \\mapsto \\dfrac{e^{at}}{a}$.\nL'intégrale vaut donc $\\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit\n$\\dfrac{e^{a} - 1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{3t}\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{3} - 1}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $e^{3t}$ est\n$\\dfrac{e^{3t}}{3}$, d'où\n$\\dfrac{e^{3}}{3} - \\dfrac{1}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{3}}{3} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La borne $0$ a été mal traitée : elle donne\n$\\dfrac{e^{0}}{3} = \\dfrac{1}{3}$, et non $1$."
            },
            {
              "text": "$3\\,\\bigl(e^{3} - 1\\bigr)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : on divise par $3$, puisque la dérivation de\n$e^{3t}$ ferait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$e^{3} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la primitive de $e^{3t}$ comporte un facteur\n$\\dfrac{1}{3}$ que l'on ne peut pas omettre."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $t \\mapsto e^{at}$ est $t \\mapsto \\dfrac{e^{at}}{a}$.\nL'intégrale vaut donc $\\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit\n$\\dfrac{e^{a} - 1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{4t}\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{4} - 1}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $e^{4t}$ est\n$\\dfrac{e^{4t}}{4}$, d'où\n$\\dfrac{e^{4}}{4} - \\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{4}}{4} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La borne $0$ a été mal traitée : elle donne\n$\\dfrac{e^{0}}{4} = \\dfrac{1}{4}$, et non $1$."
            },
            {
              "text": "$4\\,\\bigl(e^{4} - 1\\bigr)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : on divise par $4$, puisque la dérivation de\n$e^{4t}$ ferait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$e^{4} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la primitive de $e^{4t}$ comporte un facteur\n$\\dfrac{1}{4}$ que l'on ne peut pas omettre."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $t \\mapsto e^{at}$ est $t \\mapsto \\dfrac{e^{at}}{a}$.\nL'intégrale vaut donc $\\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit\n$\\dfrac{e^{a} - 1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{5t}\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{5} - 1}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $e^{5t}$ est\n$\\dfrac{e^{5t}}{5}$, d'où\n$\\dfrac{e^{5}}{5} - \\dfrac{1}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{e^{5}}{5} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La borne $0$ a été mal traitée : elle donne\n$\\dfrac{e^{0}}{5} = \\dfrac{1}{5}$, et non $1$."
            },
            {
              "text": "$5\\,\\bigl(e^{5} - 1\\bigr)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : on divise par $5$, puisque la dérivation de\n$e^{5t}$ ferait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$e^{5} - 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la primitive de $e^{5t}$ comporte un facteur\n$\\dfrac{1}{5}$ que l'on ne peut pas omettre."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $t \\mapsto e^{at}$ est $t \\mapsto \\dfrac{e^{at}}{a}$.\nL'intégrale vaut donc $\\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit\n$\\dfrac{e^{a} - 1}{a}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une intégrale imposée",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$b = e^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $\\ln b - \\ln 1 = \\ln b$.\nL'équation $\\ln b = 2$ a pour unique solution $b = e^{2}$."
        },
        {
          "text": "$b = 2e$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\\ln b = 2$\néquivaut à $b = e^{2}$, et non à $b = 2e$."
        },
        {
          "text": "$b = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut\nencore résoudre $\\ln b = 2$."
        },
        {
          "text": "$b = \\ln(2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait\nle logarithme, donc $b = e^{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est $\\ln$, donc\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = \\ln b$. L'équation\n$\\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = e^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $\\ln b - \\ln 1 = \\ln b$.\nL'équation $\\ln b = 2$ a pour unique solution $b = e^{2}$."
            },
            {
              "text": "$b = 2e$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\\ln b = 2$\néquivaut à $b = e^{2}$, et non à $b = 2e$."
            },
            {
              "text": "$b = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut\nencore résoudre $\\ln b = 2$."
            },
            {
              "text": "$b = \\ln(2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait\nle logarithme, donc $b = e^{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est $\\ln$, donc\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = \\ln b$. L'équation\n$\\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = e^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $\\ln b - \\ln 1 = \\ln b$.\nL'équation $\\ln b = 3$ a pour unique solution $b = e^{3}$."
            },
            {
              "text": "$b = 3e$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\\ln b = 3$\néquivaut à $b = e^{3}$, et non à $b = 3e$."
            },
            {
              "text": "$b = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut\nencore résoudre $\\ln b = 3$."
            },
            {
              "text": "$b = \\ln(3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait\nle logarithme, donc $b = e^{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est $\\ln$, donc\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = \\ln b$. L'équation\n$\\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = e^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $\\ln b - \\ln 1 = \\ln b$.\nL'équation $\\ln b = 5$ a pour unique solution $b = e^{5}$."
            },
            {
              "text": "$b = 5e$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\\ln b = 5$\néquivaut à $b = e^{5}$, et non à $b = 5e$."
            },
            {
              "text": "$b = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut\nencore résoudre $\\ln b = 5$."
            },
            {
              "text": "$b = \\ln(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait\nle logarithme, donc $b = e^{5}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est $\\ln$, donc\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = \\ln b$. L'équation\n$\\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle."
        },
        {
          "statement": "Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$b = e^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale vaut $\\ln b - \\ln 1 = \\ln b$.\nL'équation $\\ln b = 4$ a pour unique solution $b = e^{4}$."
            },
            {
              "text": "$b = 4e$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\\ln b = 4$\néquivaut à $b = e^{4}$, et non à $b = 4e$."
            },
            {
              "text": "$b = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut\nencore résoudre $\\ln b = 4$."
            },
            {
              "text": "$b = \\ln(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait\nle logarithme, donc $b = e^{4}$."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est $\\ln$, donc\n$\\displaystyle\\int_1^b \\dfrac{1}{x}\\,dx = \\ln b$. L'équation\n$\\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "primitives"
      ],
      "title": "Calculer une intégrale avec une primitive",
      "partie": "definition",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $[a\\,;\\,b]$ et $F$ une primitive de\n$f$ sur cet intervalle. Que vaut $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(b) - F(a)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégrale est la variation de la primitive entre\nles deux bornes, ce que l'on note\n$\\bigl[F(x)\\bigr]_a^b = F(b) - F(a)$."
        },
        {
          "text": "$F(a) - F(b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes inversées : on retranche la valeur en $a$ à celle en $b$.\nCe choix donnerait l'opposé de l'intégrale."
        },
        {
          "text": "$f(b) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la primitive $F$, et non $f$, que l'on évalue aux bornes.\nLa fonction $f$ ne sert qu'à la déterminer."
        },
        {
          "text": "$F(b) \\times F(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intégrale est une différence, pas un produit : elle mesure ce\nque la primitive a gagné entre $a$ et $b$."
        }
      ],
      "explanation": "Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$, alors\n$\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) - F(a)$. Le choix de la\nprimitive est sans importance : une constante ajoutée s'élimine dans\nla soustraction."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "aire"
      ],
      "title": "Aire sous une droite",
      "partie": "definition",
      "statement": "La droite tracée ci-dessous est la courbe de la fonction $f$ définie\npar $f(x) = x + 1$. Quelle est l'aire du domaine coloré, compris entre\ncette droite, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n  \\fill[blue!20] (0,0) -- (3,0) -- (3,4) -- (0,1) -- cycle;\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.7,-0.7) grid (4.7,4.7);\n  \\draw[->] (-0.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-0.6:3.6,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x+1});\n  \\node[blue,font=\\small] at (4.1,4.2) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la droite d'équation y = x + 1, qui passe\npar les points de coordonnées (0 ; 1) et (3 ; 4). Le domaine\ncompris entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites\nverticales d'abscisses 0 et 3 est colorié en bleu clair : c'est un\ntrapèze de bases 1 et 4 et de hauteur 3.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"140.025pt\" height=\"140.558pt\" viewBox=\"0 0 140.025 140.558\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.296875 -2.984375 C 3.359375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.28125 -4.15625 C 4.328125 -4.15625 4.5625 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.96875 4.296875 -3.734375 4.296875 -3.484375 C 4.296875 -3.328125 4.40625 -3.140625 4.671875 -3.140625 C 4.890625 -3.140625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.84375 3.25 -3.625 C 3 -4.265625 2.46875 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.84375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.765625 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.0625 2.703125 -3.484375 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.515625 2.171875 -1.140625 C 2 -0.53125 1.65625 -0.109375 1.21875 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.03125 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.21875 -0.578125 2.25 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.8125 -1.515625 4.78125 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.671875 -1.46875 4.65625 -1.40625 C 4.328125 -0.34375 3.65625 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.953125 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.625 Z M 3.296875 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.765625 C 4.84375 -3.90625 4.84375 -3.921875 4.84375 -4 C 4.84375 -4.171875 4.703125 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.453125 -4.265625 4.296875 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.1875 -4 4.109375 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4.09375 -5.625 4.09375 -5.3125 C 4.09375 -4.984375 3.71875 -4.3125 3.671875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.0625 C 3.609375 -4.015625 3.65625 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.84375 -4.015625 4.21875 -4.1875 4.34375 -4.390625 C 4.375 -4.4375 4.875 -5.265625 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.109375 4.625 -6.28125 4.125 -6.28125 C 3.0625 -6.28125 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.921875 C 0.453125 -3.953125 0.125 -2.65625 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.390625 Z M 4.5625 -1.390625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.28125 -2.328125 3.359375 -2.328125 3.359375 -2.46875 C 3.359375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.59375 -2.5625 C 2.78125 -3.53125 2.78125 -3.546875 2.796875 -3.65625 C 2.828125 -3.78125 2.84375 -3.828125 2.9375 -3.90625 C 3 -3.953125 3.0625 -3.984375 3.140625 -3.984375 C 3.234375 -3.984375 3.34375 -3.96875 3.421875 -3.9375 C 3.296875 -3.890625 3.1875 -3.75 3.1875 -3.609375 C 3.1875 -3.484375 3.296875 -3.390625 3.4375 -3.390625 C 3.59375 -3.390625 3.78125 -3.515625 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.40625 -4.1875 3.140625 -4.1875 C 2.875 -4.1875 2.46875 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.3125 2.234375 -3.1875 2.1875 -2.984375 C 2.15625 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.109375 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.40625 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -0.984375 1.75 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.515625 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.890625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 0.984375 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.9375 1.796875 0.8125 C 2.046875 0.46875 2.171875 -0.25 2.1875 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 21.175781 118.675781 L 84.515625 118.675781 L 84.515625 34.222656 L 21.175781 97.5625 Z M 21.175781 118.675781 \"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -14.88201 -0.00177009 L 99.923577 -0.00177009 M -14.88201 21.258524 L 99.923577 21.258524 M -14.88201 42.518818 L 99.923577 42.518818 M -14.88201 63.779112 L 99.923577 63.779112 M -14.88201 85.039406 L 99.923577 85.039406 M -0.00177089 -14.882009 L -0.00177089 99.923578 M 21.258523 -14.882009 L 21.258523 99.923578 M 42.518817 -14.882009 L 42.518817 99.923578 M 63.779111 -14.882009 L 63.779111 99.923578 M 85.039405 -14.882009 L 85.039405 99.923578 \" transform=\"matrix(0.993085, 0, 0, -0.993085, 21.17754, 118.674023)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -19.134069 -0.00177009 L 103.774424 -0.00177009 \" transform=\"matrix(0.993085, 0, 0, -0.993085, 21.17754, 118.674023)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073028 2.389767 C -1.695417 0.957992 -0.849725 0.277505 -0.0000998715 -0.00177009 C -0.849725 -0.277112 -1.695417 -0.957598 -2.073028 -2.389374 \" transform=\"matrix(0.993085, 0, 0, -0.993085, 124.433693, 118.674023)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"128.125854\" y=\"126.430018\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177089 -19.134068 L -0.00177089 103.774425 \" transform=\"matrix(0.993085, 0, 0, -0.993085, 21.17754, 118.674023)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073027 2.389375 C -1.695416 0.957599 -0.849724 0.277112 -0.000099068 0.00177089 C -0.849724 -0.277504 -1.695416 -0.957991 -2.073027 -2.389766 \" transform=\"matrix(0, -0.993085, -0.993085, 0, 21.17754, 15.41787)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"12.477121\" y=\"9.803096\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.002461\" y=\"131.074677\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"61.115451\" y=\"131.074677\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"82.22844\" y=\"131.074677\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"103.341429\" y=\"131.074677\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"9.939789\" y=\"100.43105\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"9.939789\" y=\"79.318061\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"9.939789\" y=\"58.205071\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"9.939789\" y=\"37.092082\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -12.757947 8.502347 C -12.757947 8.502347 -10.067468 11.192827 -9.036904 12.223391 C -8.002407 13.257888 -6.346425 14.91387 -5.315861 15.944434 C -4.281364 16.974997 -2.629315 18.63098 -1.594818 19.665477 C -0.564254 20.696041 1.091728 22.352023 2.126225 23.38652 C 3.156789 24.417084 4.812771 26.073066 5.843335 27.10363 C 6.877832 28.138127 8.533814 29.794109 9.564378 30.824673 C 10.598875 31.85917 12.254857 33.515152 13.285421 34.545716 C 14.315985 35.57628 15.971967 37.232262 17.006464 38.266759 C 18.037028 39.297323 19.69301 40.953305 20.727507 41.987802 C 21.758071 43.018366 23.414053 44.674348 24.444617 45.704912 C 25.479114 46.739409 27.135096 48.395391 28.16566 49.425955 C 29.200157 50.460452 30.85614 52.116434 31.886703 53.146998 C 32.9212 54.177562 34.573249 55.833544 35.607746 56.868041 C 36.63831 57.898605 38.294292 59.554587 39.32879 60.589084 C 40.359353 61.619648 42.015335 63.27563 43.045899 64.306194 C 44.080396 65.340691 45.736379 66.996673 46.766942 68.027237 C 47.801439 69.061734 49.457422 70.717716 50.487985 71.74828 C 51.522483 72.778844 53.174531 74.434826 54.209029 75.469323 C 55.239592 76.499887 56.895574 78.155869 57.930072 79.190366 C 58.960635 80.22093 60.616618 81.876912 61.647181 82.907476 C 62.681678 83.941973 64.337661 85.597955 65.368224 86.628519 C 66.402722 87.663016 68.058704 89.318999 69.089268 90.349562 C 70.123765 91.380126 71.775813 93.036108 72.810311 94.070605 C 73.840874 95.101169 76.531354 97.791649 76.531354 97.791649 \" transform=\"matrix(0.993085, 0, 0, -0.993085, 21.17754, 118.674023)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"102.955119\" y=\"31.93797\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"107.785485\" y=\"32.99362\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$7{,}5$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le domaine est un trapèze de bases $1$ et $4$ et\nde hauteur $3$, d'aire $\\dfrac{(1 + 4) \\times 3}{2} = 7{,}5$. Le\ncalcul $\\int_0^3 (x+1)\\,dx$ donne la même valeur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{2}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $+1$ a été oublié : $\\dfrac{9}{2}$ est l'aire sous la droite\nd'équation $y = x$, c'est-à-dire le triangle seul."
        },
        {
          "text": "$3$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le rectangle de hauteur $1$ a été compté : il faut y ajouter\nle triangle situé au-dessus, d'aire $4{,}5$."
        },
        {
          "text": "$12$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire du rectangle $3 \\times 4$ qui contient le domaine :\nla partie située au-dessus de la droite n'en fait pas partie."
        }
      ],
      "explanation": "Quand la courbe est une droite, l'aire se lit directement comme celle\nd'un trapèze : $\\dfrac{(\\text{petite base} + \\text{grande base})\n\\times \\text{hauteur}}{2}$. Le calcul intégral redonne ce résultat."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "positivite",
        "signe"
      ],
      "title": "Lire le signe à partir de l'intégrale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue sur $[0\\,;\\,2]$ et vérifie\n$\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt = -1$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ prend des valeurs strictement négatives",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $f$ était positive sur tout l'intervalle, son\nintégrale le serait aussi. Une intégrale négative impose donc au\nmoins une valeur strictement négative."
        },
        {
          "text": "$f$ est négative sur tout l'intervalle $[0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la fonction peut être positive par endroits, pourvu\nque la partie négative l'emporte sur l'ensemble."
        },
        {
          "text": "$f$ est positive sur au moins une partie de $[0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien ne l'impose : une fonction négative partout convient aussi et\ndonne bien une intégrale négative."
        },
        {
          "text": "Le signe de $f$ reste totalement indéterminé",
          "correct": false,
          "feedback": "On sait au moins une chose : $f$ ne peut pas rester positive sur\ntout l'intervalle, sans quoi l'intégrale le serait."
        }
      ],
      "explanation": "La positivité de l'intégrale se lit dans un seul sens : une fonction\npositive a une intégrale positive. Par contraposée, une intégrale\nstrictement négative interdit à $f$ de rester positive partout."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "symetrie",
        "calcul"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction paire",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "La fonction $f$ est continue et **paire** sur $\\mathbb{R}$, et\n$\\displaystyle\\int_0^3 f(t)\\,dt = 4$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{-3}^{3} f(t)\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la\nmême contribution : $2 \\times 4 = 8$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule moitié a été comptée : l'intervalle\n$[-3\\,;\\,3]$ est deux fois plus long que $[0\\,;\\,3]$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le résultat pour une fonction **impaire**, dont les deux\nmoitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie\ndouble l'intégrale, quelle que soit la valeur de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction paire, $\\displaystyle\\int_{-a}^{a} f =\n2\\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue et **paire** sur $\\mathbb{R}$, et\n$\\displaystyle\\int_0^3 f(t)\\,dt = 4$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{-3}^{3} f(t)\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la\nmême contribution : $2 \\times 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule moitié a été comptée : l'intervalle\n$[-3\\,;\\,3]$ est deux fois plus long que $[0\\,;\\,3]$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat pour une fonction **impaire**, dont les deux\nmoitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie\ndouble l'intégrale, quelle que soit la valeur de $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction paire, $\\displaystyle\\int_{-a}^{a} f =\n2\\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue et **paire** sur $\\mathbb{R}$, et\n$\\displaystyle\\int_0^4 f(t)\\,dt = 5$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{-4}^{4} f(t)\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la\nmême contribution : $2 \\times 5 = 10$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule moitié a été comptée : l'intervalle\n$[-4\\,;\\,4]$ est deux fois plus long que $[0\\,;\\,4]$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat pour une fonction **impaire**, dont les deux\nmoitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie\ndouble l'intégrale, quelle que soit la valeur de $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction paire, $\\displaystyle\\int_{-a}^{a} f =\n2\\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue et **paire** sur $\\mathbb{R}$, et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f(t)\\,dt = 6$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{-5}^{5} f(t)\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la\nmême contribution : $2 \\times 6 = 12$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule moitié a été comptée : l'intervalle\n$[-5\\,;\\,5]$ est deux fois plus long que $[0\\,;\\,5]$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat pour une fonction **impaire**, dont les deux\nmoitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie\ndouble l'intégrale, quelle que soit la valeur de $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction paire, $\\displaystyle\\int_{-a}^{a} f =\n2\\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue et **paire** sur $\\mathbb{R}$, et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f(t)\\,dt = 7$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_{-5}^{5} f(t)\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la\nmême contribution : $2 \\times 7 = 14$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule moitié a été comptée : l'intervalle\n$[-5\\,;\\,5]$ est deux fois plus long que $[0\\,;\\,5]$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat pour une fonction **impaire**, dont les deux\nmoitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie\ndouble l'intégrale, quelle que soit la valeur de $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction paire, $\\displaystyle\\int_{-a}^{a} f =\n2\\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par\nrapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "imparite",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Reconnaître une fonction impaire",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{-1}^{1} \\dfrac{t}{t^2 + 1}\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction est impaire, car remplacer $t$ par\n$-t$ change le numérateur en son opposé sans toucher au\ndénominateur. Sur un intervalle symétrique, les deux moitiés se\ncompensent."
        },
        {
          "text": "$\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est ce que donnerait la primitive évaluée en $1$ seulement : la\nborne $-1$ fournit exactement la même valeur, qui se retranche."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La primitive $\\dfrac{1}{2}\\ln(t^2+1)$ est correcte, mais elle\nprend la même valeur en $-1$ et en $1$ : la différence est nulle."
        },
        {
          "text": "$2\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux moitiés ont été ajoutées comme pour une fonction paire,\nalors qu'ici elles sont de signes contraires."
        }
      ],
      "explanation": "Sur un intervalle symétrique $[-a\\,;\\,a]$, l'intégrale d'une fonction\nimpaire est nulle. Repérer cette parité évite tout calcul : ici\n$f(-t) = -f(t)$ pour tout réel $t$."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "methode-rectangles",
        "calcul"
      ],
      "title": "Somme de deux rectangles",
      "partie": "definition",
      "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 x^2\\,dx$ en découpant\n$[0\\,;\\,2]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur\nchacun, la hauteur du rectangle au bord **droit**. Que vaut la somme\ndes aires de ces deux rectangles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\\dfrac{2}{2}$\net pour hauteurs respectives\n$\\left(\\dfrac{2}{2}\\right)^2$ et $2^2$, d'où la somme $5$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les hauteurs ont été prises au bord **gauche** : le premier\nrectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles\nn'en donne qu'une approximation, ici par excès."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "La largeur a été prise égale à $2$ au lieu de $\\dfrac{2}{2}$ :\nle résultat obtenu est deux fois trop grand."
        }
      ],
      "explanation": "La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des\nrectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et\nune fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^2 x^2\\,dx$ en découpant\n$[0\\,;\\,2]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur\nchacun, la hauteur du rectangle au bord **droit**. Que vaut la somme\ndes aires de ces deux rectangles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\\dfrac{2}{2}$\net pour hauteurs respectives\n$\\left(\\dfrac{2}{2}\\right)^2$ et $2^2$, d'où la somme $5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les hauteurs ont été prises au bord **gauche** : le premier\nrectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles\nn'en donne qu'une approximation, ici par excès."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La largeur a été prise égale à $2$ au lieu de $\\dfrac{2}{2}$ :\nle résultat obtenu est deux fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des\nrectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et\nune fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx$ en découpant\n$[0\\,;\\,1]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur\nchacun, la hauteur du rectangle au bord **droit**. Que vaut la somme\ndes aires de ces deux rectangles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\\dfrac{1}{2}$\net pour hauteurs respectives\n$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2$ et $1^2$, d'où la somme $\\dfrac{5}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les hauteurs ont été prises au bord **gauche** : le premier\nrectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $\\dfrac{1}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles\nn'en donne qu'une approximation, ici par excès."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La largeur a été prise égale à $1$ au lieu de $\\dfrac{1}{2}$ :\nle résultat obtenu est deux fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des\nrectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et\nune fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^4 x^2\\,dx$ en découpant\n$[0\\,;\\,4]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur\nchacun, la hauteur du rectangle au bord **droit**. Que vaut la somme\ndes aires de ces deux rectangles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\\dfrac{4}{2}$\net pour hauteurs respectives\n$\\left(\\dfrac{4}{2}\\right)^2$ et $4^2$, d'où la somme $40$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les hauteurs ont été prises au bord **gauche** : le premier\nrectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $8$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{64}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles\nn'en donne qu'une approximation, ici par excès."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "La largeur a été prise égale à $4$ au lieu de $\\dfrac{4}{2}$ :\nle résultat obtenu est deux fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des\nrectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et\nune fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale."
        },
        {
          "statement": "On approche $\\displaystyle\\int_0^3 x^2\\,dx$ en découpant\n$[0\\,;\\,3]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur\nchacun, la hauteur du rectangle au bord **droit**. Que vaut la somme\ndes aires de ces deux rectangles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{135}{8}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\\dfrac{3}{2}$\net pour hauteurs respectives\n$\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2$ et $3^2$, d'où la somme $\\dfrac{135}{8}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{27}{8}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les hauteurs ont été prises au bord **gauche** : le premier\nrectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $\\dfrac{27}{8}$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles\nn'en donne qu'une approximation, ici par excès."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{135}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La largeur a été prise égale à $3$ au lieu de $\\dfrac{3}{2}$ :\nle résultat obtenu est deux fois trop grand."
            }
          ],
          "explanation": "La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des\nrectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et\nune fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire-entre-courbes",
        "calcul"
      ],
      "title": "Aire entre une parabole et une droite",
      "partie": "definition",
      "statement": "Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 3x$ se coupent aux points\nd'abscisses $0$ et $3$, et $g(x) \\geq f(x)$ sur $[0\\,;\\,3]$.\nQuelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{2}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{3}\\bigl(3x - x^2\\bigr)\\,dx =\n\\dfrac{27}{2} - 9 = \\dfrac{9}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{27}{2}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore\nretirer celle qui se trouve sous la parabole."
        },
        {
          "text": "$9$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est\ncompris entre les deux courbes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{4}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Une division de trop : la différence des deux aires vaut $\\dfrac{9}{2}$, il\nn'y a pas lieu de la partager ensuite."
        }
      ],
      "explanation": "Lorsque $g \\geq f$ sur $[\\alpha\\,;\\,\\beta]$, l'aire entre les deux\ncourbes vaut $\\displaystyle\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\bigl(g(x) -\nf(x)\\bigr)\\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux\naires séparément.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 3x$ se coupent aux points\nd'abscisses $0$ et $3$, et $g(x) \\geq f(x)$ sur $[0\\,;\\,3]$.\nQuelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{2}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{3}\\bigl(3x - x^2\\bigr)\\,dx =\n\\dfrac{27}{2} - 9 = \\dfrac{9}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{27}{2}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore\nretirer celle qui se trouve sous la parabole."
            },
            {
              "text": "$9$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est\ncompris entre les deux courbes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{4}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division de trop : la différence des deux aires vaut $\\dfrac{9}{2}$, il\nn'y a pas lieu de la partager ensuite."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque $g \\geq f$ sur $[\\alpha\\,;\\,\\beta]$, l'aire entre les deux\ncourbes vaut $\\displaystyle\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\bigl(g(x) -\nf(x)\\bigr)\\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux\naires séparément."
        },
        {
          "statement": "Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 2x$ se coupent aux points\nd'abscisses $0$ et $2$, et $g(x) \\geq f(x)$ sur $[0\\,;\\,2]$.\nQuelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{2}\\bigl(2x - x^2\\bigr)\\,dx =\n4 - \\dfrac{8}{3} = \\dfrac{4}{3}$."
            },
            {
              "text": "$4$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore\nretirer celle qui se trouve sous la parabole."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est\ncompris entre les deux courbes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division de trop : la différence des deux aires vaut $\\dfrac{4}{3}$, il\nn'y a pas lieu de la partager ensuite."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque $g \\geq f$ sur $[\\alpha\\,;\\,\\beta]$, l'aire entre les deux\ncourbes vaut $\\displaystyle\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\bigl(g(x) -\nf(x)\\bigr)\\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux\naires séparément."
        },
        {
          "statement": "Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 6x$ se coupent aux points\nd'abscisses $0$ et $6$, et $g(x) \\geq f(x)$ sur $[0\\,;\\,6]$.\nQuelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{6}\\bigl(6x - x^2\\bigr)\\,dx =\n108 - 72 = 36$."
            },
            {
              "text": "$108$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore\nretirer celle qui se trouve sous la parabole."
            },
            {
              "text": "$72$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est\ncompris entre les deux courbes."
            },
            {
              "text": "$18$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division de trop : la différence des deux aires vaut $36$, il\nn'y a pas lieu de la partager ensuite."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque $g \\geq f$ sur $[\\alpha\\,;\\,\\beta]$, l'aire entre les deux\ncourbes vaut $\\displaystyle\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\bigl(g(x) -\nf(x)\\bigr)\\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux\naires séparément."
        },
        {
          "statement": "Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 4x$ se coupent aux points\nd'abscisses $0$ et $4$, et $g(x) \\geq f(x)$ sur $[0\\,;\\,4]$.\nQuelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\displaystyle\\int_0^{4}\\bigl(4x - x^2\\bigr)\\,dx =\n32 - \\dfrac{64}{3} = \\dfrac{32}{3}$."
            },
            {
              "text": "$32$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore\nretirer celle qui se trouve sous la parabole."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{64}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est\ncompris entre les deux courbes."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{3}$ unités d'aire",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division de trop : la différence des deux aires vaut $\\dfrac{32}{3}$, il\nn'y a pas lieu de la partager ensuite."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque $g \\geq f$ sur $[\\alpha\\,;\\,\\beta]$, l'aire entre les deux\ncourbes vaut $\\displaystyle\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\bigl(g(x) -\nf(x)\\bigr)\\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux\naires séparément."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integrale-nulle",
        "positivite"
      ],
      "title": "Fonction positive d'intégrale nulle",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Une fonction $f$ est continue et **positive** sur $[0\\,;\\,1]$, et\n$\\displaystyle\\int_0^1 f(t)\\,dt = 0$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est nulle sur $[0\\,;\\,1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $f$ prenait une valeur strictement positive,\nsa continuité la maintiendrait positive sur tout un intervalle\nautour de ce point, ce qui donnerait une aire strictement\npositive."
        },
        {
          "text": "$f$ change de signe sur $[0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'énoncé l'interdit : la fonction est positive, aucune\ncompensation entre parties positives et négatives n'est possible."
        },
        {
          "text": "$f$ s'annule seulement en $0$ et en $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Beaucoup trop peu : s'annuler en deux points isolés laisserait une\naire strictement positive entre les deux."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conclusion est au contraire complète : positivité et intégrale\nnulle forcent la fonction à être nulle partout."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction continue et positive, l'intégrale mesure une aire :\nelle ne peut s'annuler que si cette aire est vide, donc si la fonction\nest nulle sur tout l'intervalle. La continuité est indispensable."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "trigonometrie",
        "calcul"
      ],
      "title": "Intégrale d'un sinus sur une arche",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi} 2\\sin t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2\\sin t$ est\n$-2\\cos t$, d'où\n$-2\\cos \\pi + 2\\cos 0 = 2 + 2 = 4$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le résultat sur $[0\\,;\\,2\\pi]$, où les deux arches se\ncompensent. Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le sinus reste positif."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs\n$-2\\cos \\pi$ et $2\\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux."
        },
        {
          "text": "$2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une\nfonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche."
        }
      ],
      "explanation": "Une primitive de $\\sin$ est $-\\cos$, donc\n$\\displaystyle\\int_0^{\\pi} \\sin t\\,dt = -\\cos\\pi + \\cos 0 = 2$. Un\ncoefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi} 2\\sin t\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $2\\sin t$ est\n$-2\\cos t$, d'où\n$-2\\cos \\pi + 2\\cos 0 = 2 + 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat sur $[0\\,;\\,2\\pi]$, où les deux arches se\ncompensent. Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le sinus reste positif."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs\n$-2\\cos \\pi$ et $2\\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux."
            },
            {
              "text": "$2\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une\nfonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $\\sin$ est $-\\cos$, donc\n$\\displaystyle\\int_0^{\\pi} \\sin t\\,dt = -\\cos\\pi + \\cos 0 = 2$. Un\ncoefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi} 3\\sin t\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $3\\sin t$ est\n$-3\\cos t$, d'où\n$-3\\cos \\pi + 3\\cos 0 = 3 + 3 = 6$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat sur $[0\\,;\\,2\\pi]$, où les deux arches se\ncompensent. Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le sinus reste positif."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs\n$-3\\cos \\pi$ et $3\\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux."
            },
            {
              "text": "$3\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une\nfonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $\\sin$ est $-\\cos$, donc\n$\\displaystyle\\int_0^{\\pi} \\sin t\\,dt = -\\cos\\pi + \\cos 0 = 2$. Un\ncoefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi} 5\\sin t\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $5\\sin t$ est\n$-5\\cos t$, d'où\n$-5\\cos \\pi + 5\\cos 0 = 5 + 5 = 10$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat sur $[0\\,;\\,2\\pi]$, où les deux arches se\ncompensent. Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le sinus reste positif."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs\n$-5\\cos \\pi$ et $5\\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux."
            },
            {
              "text": "$5\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une\nfonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $\\sin$ est $-\\cos$, donc\n$\\displaystyle\\int_0^{\\pi} \\sin t\\,dt = -\\cos\\pi + \\cos 0 = 2$. Un\ncoefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi} 4\\sin t\\,dt$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $4\\sin t$ est\n$-4\\cos t$, d'où\n$-4\\cos \\pi + 4\\cos 0 = 4 + 4 = 8$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le résultat sur $[0\\,;\\,2\\pi]$, où les deux arches se\ncompensent. Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le sinus reste positif."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs\n$-4\\cos \\pi$ et $4\\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux."
            },
            {
              "text": "$4\\pi$",
              "correct": false,
              "feedback": "La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une\nfonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche."
            }
          ],
          "explanation": "Une primitive de $\\sin$ est $-\\cos$, donc\n$\\displaystyle\\int_0^{\\pi} \\sin t\\,dt = -\\cos\\pi + \\cos 0 = 2$. Un\ncoefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-integrales",
        "limite"
      ],
      "title": "Une suite d'intégrales",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour tout entier naturel $n$, on pose\n$I_n = \\displaystyle\\int_0^1 x^n\\,dx$. Que peut-on dire de la suite\n$(I_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$I_n = \\dfrac{1}{n + 1}$, donc $(I_n)$ tend vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$,\nd'où $I_n = \\dfrac{1}{n + 1}$, qui tend vers $0$."
        },
        {
          "text": "$I_n = \\dfrac{1}{n}$, donc $(I_n)$ tend vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ ;\nd'ailleurs $I_0 = 1$, alors que $\\dfrac{1}{0}$ n'existe pas."
        },
        {
          "text": "$I_n = 1$ pour tout $n$, car $1^n = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^n$ ne vaut $1$ qu'en $x = 1$ ; sur $[0\\,;\\,1[$, il est\nstrictement inférieur à $1$."
        },
        {
          "text": "$(I_n)$ est croissante, car $x^n$ augmente avec $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $0 \\leq x \\leq 1$, on a $x^{n+1} \\leq x^n$ ; la\nsuite est décroissante."
        }
      ],
      "explanation": "Même sans calcul, on voit que $(I_n)$ est décroissante, car\n$x^{n+1} \\leq x^n$ sur $[0\\,;\\,1]$, et minorée par $0$, car\n$x^n \\geq 0$ ; elle converge donc."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-integrales",
        "integration-parties",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Une relation de récurrence par parties",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Pour tout entier naturel $n$, on pose\n$I_n = \\displaystyle\\int_0^1 x^n e^x\\,dx$. Une intégration par\nparties donne une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$I_{n+1} = e - (n + 1)\\,I_n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{n+1}$ et $v' = e^x$, on obtient\n$I_{n+1} = \\left[x^{n+1}e^x\\right]_0^1 - (n + 1)\\,I_n$, et le\ncrochet vaut $e$."
        },
        {
          "text": "$I_{n+1} = e + (n + 1)\\,I_n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la formule d'intégration par parties\n**retranche** l'intégrale de $u'v$."
        },
        {
          "text": "$I_{n+1} = e - n\\,I_n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée de $x^{n+1}$ est $(n + 1)x^n$, pas $nx^n$."
        },
        {
          "text": "$I_{n+1} = (n + 1)\\,I_n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme entre crochets, $\\left[x^{n+1}e^x\\right]_0^1 = e$,\na été oublié."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $I_0 = e - 1$, la relation donne $I_1 = e - (e - 1) = 1$, ce\nque l'on vérifie par un calcul direct."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale-aire",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Intégrale lue comme une aire",
      "partie": "definition",
      "statement": "La fonction $f$ représentée ci-contre est positive sur\n$[0\\,;\\,4]$. Que vaut $\\displaystyle\\int_0^4 f(x)\\,dx$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\fill[blue!15] (0,0) -- (0,1) -- (2,3) -- (4,3) -- (4,0) -- cycle;\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-1,-1) grid (5,4);\n  \\draw[->] (-1,0) -- (5.3,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1) -- (0,4.3) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[thick,blue] (0,1) -- (2,3) -- (4,3);\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Fonction affine par morceaux : segment de (0 ; 1) à (2 ; 3), puis\nsegment horizontal de (2 ; 3) à (4 ; 3). Le domaine sous la courbe\nentre 0 et 4 est grisé.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"141.726pt\" height=\"122.416pt\" viewBox=\"0 0 141.726 122.416\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(84.999084%, 84.999084%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 22.128906 99.90625 L 22.128906 80.15625 L 61.625 40.660156 L 101.125 40.660156 L 101.125 99.90625 Z M 22.128906 99.90625 \"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -19.84088 -19.841159 L 99.212663 -19.841159 M -19.84088 -0.000864577 L 99.212663 -0.000864577 M -19.84088 19.843355 L 99.212663 19.843355 M -19.84088 39.68365 L 99.212663 39.68365 M -19.84088 59.52787 L 99.212663 59.52787 M -19.84088 79.36424 L 99.212663 79.36424 M -19.84088 -19.841159 L -19.84088 79.372089 M -0.000585506 -19.841159 L -0.000585506 79.372089 M 19.843634 -19.841159 L 19.843634 79.372089 M 39.683929 -19.841159 L 39.683929 79.372089 M 59.528149 -19.841159 L 59.528149 79.372089 M 79.372368 -19.841159 L 79.372368 79.372089 M 99.204814 -19.841159 L 99.204814 79.372089 \" transform=\"matrix(0.995252, 0, 0, -0.995252, 22.129489, 99.90539)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -19.84088 -0.000864577 L 104.766376 -0.000864577 \" transform=\"matrix(0.995252, 0, 0, -0.995252, 22.129489, 99.90539)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072794 2.389391 C -1.692081 0.956807 -0.84823 0.277802 -0.000454983 -0.000864577 C -0.84823 -0.279531 -1.692081 -0.954612 -2.072794 -2.39112 \" transform=\"matrix(0.995252, 0, 0, -0.995252, 126.598109, 99.90539)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"130.298456\" y=\"107.677313\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000585506 -19.841159 L -0.000585506 84.925802 \" transform=\"matrix(0.995252, 0, 0, -0.995252, 22.129489, 99.90539)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070698 2.390841 C -1.693909 0.958258 -0.850059 0.279252 0.00164112 0.000585506 C -0.850059 -0.278081 -1.693909 -0.957086 -2.070698 -2.38967 \" transform=\"matrix(0, -0.995252, -0.995252, 0, 22.129489, 15.185227)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"13.409091\" y=\"9.55641\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"39.585214\" y=\"109.159243\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"59.333005\" y=\"109.159243\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"79.081791\" y=\"109.159243\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"98.829582\" y=\"109.159243\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.041076\" y=\"83.032882\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"14.041076\" y=\"63.284096\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"14.041076\" y=\"43.536305\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.000585506 19.843355 L 39.683929 59.52787 L 79.372368 59.52787 \" transform=\"matrix(0.995252, 0, 0, -0.995252, 22.129489, 99.90539)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un trapèze d'aire $\\dfrac{(1 + 3) \\times 2}{2} =\n4$, puis un rectangle d'aire $3 \\times 2 = 6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 4 = 12$ est l'aire du rectangle qui contient\nle domaine."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la première partie est un trapèze d'aire $4$, pas un\ntriangle d'aire $2$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est la valeur maximale de $f$, pas une aire."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction positive, l'intégrale est l'aire du domaine sous\nla courbe, en unités d'aire ; on la découpe en figures simples."
    }
  ]
}