{
  "chapter": {
    "id": "concentration-loi-grands-nombres",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Probabilités",
    "title": "Concentration et loi des grands nombres",
    "description": "Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration pour\nla moyenne d'un échantillon, loi des grands nombres :\ninterprétation, calculs de bornes, détermination d'une taille\nd'échantillon, limites de ces majorations.",
    "parties": [
      {
        "id": "inegalites",
        "title": "Inégalités de concentration"
      },
      {
        "id": "lgn",
        "title": "Loi des grands nombres et sondages"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "enonce"
      ],
      "title": "Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\\mu$ et de\nvariance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\ntout réel $\\delta > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité d'un écart à la moyenne d'au\nmoins $\\delta$ est **majorée** par $\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\geq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : l'inégalité **majore** la probabilité des\ngrands écarts (c'est une garantie de rareté), elle ne la\nminore pas."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : le seuil $\\delta$ intervient **au\ncarré**, en cohérence avec la variance (qui est en unités\nau carré)."
        },
        {
          "text": "$P\\left(X \\geq \\delta\\right) \\leq \\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité contrôle l'**écart à l'espérance**\n$|X - \\mu|$, pas la valeur brute de $X$."
        }
      ],
      "explanation": "Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \\mu| \\geq \\delta) \\leq\n\\dfrac{V(X)}{\\delta^2}$. Plus la variance est petite ou le\nseuil grand, plus les grands écarts sont improbables."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "calcul"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ d'espérance $\\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que\ndonne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{\\delta^2} = \\dfrac{4}{16} =\n0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{4}{4}$ oublie le carré du seuil.\n$\\delta^2 = 16$, la borne vaut $\\dfrac{4}{16} = 0{,}25$.\n(Une borne de $1$ ne dirait d'ailleurs rien.)"
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) = 0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Attention au statut : l'inégalité fournit une\n**majoration**, pas la valeur exacte. La probabilité réelle\npeut être bien plus petite."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5 = \\dfrac{2}{4}$ mélange l'écart-type\n($\\sigma = 2$) et la variance. La formule utilise la\n**variance** : $\\dfrac{4}{16}$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(|X - \\mu| \\geq \\delta) \\leq \\dfrac{V}{\\delta^2} =\n\\dfrac{4}{4^2} = 0{,}25$ : au plus une chance sur quatre de\ns'écarter d'au moins $4$ (soit $2\\sigma$) de la moyenne."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "interpretation"
      ],
      "title": "Rôle de la variance",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait\nque la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ est proportionnelle à la\nvariance $V$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Moins la variable est dispersée, plus les grands écarts\nsont rares",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la variance mesure la dispersion ; une\npetite variance rend les écarts importants d'autant plus\nrares. C'est le sens profond de l'inégalité."
        },
        {
          "text": "Plus la variance est grande, plus la variable est proche de\nsa moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : une **grande** variance signifie une grande\ndispersion, donc des écarts plus fréquents ; la borne\ngrossit avec $V$."
        },
        {
          "text": "La variance donne la probabilité exacte des écarts",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité ne fournit qu'une **majoration**\nuniverselle, valable pour toute loi. La probabilité exacte\ndépend de la loi précise de $X$."
        },
        {
          "text": "La borne n'a d'intérêt que lorsque $V = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $V = 0$ la variable est constante et tout est\ntrivial. C'est justement pour $V > 0$ que l'inégalité\nquantifie la rareté des écarts."
        }
      ],
      "explanation": "L'écart-type $\\sigma$ est l'unité naturelle de dispersion : la\nborne se réécrit $P(|X - \\mu| \\geq k\\sigma) \\leq\n\\dfrac{1}{k^2}$. Les écarts de plusieurs écarts-types\ndeviennent vite improbables."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "enonce"
      ],
      "title": "Inégalité de concentration",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une\nvariable d'espérance $\\mu$ et de variance $V$. Que dit\nl'inégalité de concentration pour $\\delta > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{n\\,\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à\n$M_n$, dont la variance vaut $\\dfrac{V}{n}$. Le facteur $n$\nau dénominateur fait toute la force du résultat."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque le facteur $n$ : la moyenne d'échantillon est\n**moins dispersée** qu'une observation isolée\n($V(M_n) = V/n$), la borne doit en profiter."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{nV}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $nV$ est la variance de la **somme** $S_n$, pas de\nla moyenne. Pour $M_n$, on divise : $\\dfrac{V}{n}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) = \\dfrac{V}{n\\,\n\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Statut incorrect : c'est une **majoration** ($\\leq$), pas\nune égalité. La probabilité réelle est souvent bien plus\nfaible."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité de concentration :\n$P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\leq \\dfrac{V}{n\\delta^2}$. Quand\n$n$ grandit, la borne tend vers $0$ : la moyenne d'échantillon\nse concentre autour de $\\mu$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "taille-echantillon"
      ],
      "title": "Déterminer une taille d'échantillon",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via\nl'inégalité de concentration, que\n$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq 0{,}5\\right) \\leq 0{,}05$. Quelle\ntaille $n$ suffit ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 80$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne est $\\dfrac{V}{n\\delta^2} =\n\\dfrac{1}{0{,}25\\,n}$ ; exiger $\\dfrac{1}{0{,}25\\,n} \\leq\n0{,}05$ donne $n \\geq \\dfrac{1}{0{,}25 \\times 0{,}05} =\n80$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $n = 20$, la borne vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}25 \\times 20} = 0{,}2$, quatre fois trop\ngrand. Le carré de $\\delta = 0{,}5$ au dénominateur\npénalise fortement."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 400$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $400 = \\dfrac{1}{0{,}05^2}$ mélange le risque et\nle seuil. Le calcul correct : $n \\geq\n\\dfrac{V}{\\delta^2 \\times 0{,}05} = 80$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'un facteur $10$ : $\\dfrac{1}{0{,}25 \\times 8} =\n0{,}5$, dix fois au-dessus du risque visé."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode (capacité attendue) : imposer\n$\\dfrac{V}{n\\delta^2} \\leq \\alpha$ et isoler $n$ :\n$n \\geq \\dfrac{V}{\\alpha\\,\\delta^2} =\n\\dfrac{1}{0{,}05 \\times 0{,}25} = 80$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-grands-nombres",
        "enonce"
      ],
      "title": "Loi des grands nombres",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon d'une variable d'espérance $\\mu$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\to 0$ pour tout $\\delta >\n0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour tout $\\delta > 0$, $P\\left(|M_n -\n\\mu| \\geq \\delta\\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend\nvers $+\\infty$ : la probabilité qu'un écart donné\npersiste s'évanouit quand l'échantillon grandit, $M_n$\nse concentre sur $\\mu$."
        },
        {
          "text": "$M_n$ devient exactement égale à $\\mu$ pour $n$ assez grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $M_n$ reste aléatoire pour tout $n$ ; c'est la\n**probabilité** des écarts qui s'éteint, pas l'aléa\nlui-même."
        },
        {
          "text": "$M_n$ devient constante pour $n$ assez grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque nouvel échantillon donne une moyenne\nlégèrement différente. La dispersion diminue\n(en $1/\\sqrt{n}$) sans jamais s'annuler."
        },
        {
          "text": "La somme $S_n$ devient égale à $n\\mu$ pour $n$ assez\ngrand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : la somme s'écarte de $n\\mu$ de plus en\nplus en valeur absolue (écart-type $\\sigma\\sqrt{n}$).\nC'est la **moyenne** qui se stabilise."
        }
      ],
      "explanation": "Loi des grands nombres : pour tout $\\delta > 0$,\n$P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\to 0$ quand $n \\to +\\infty$\n(conséquence directe de l'inégalité de concentration). La\nmoyenne empirique converge vers l'espérance."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-grands-nombres",
        "frequences"
      ],
      "title": "Fréquences et pile ou face",
      "partie": "lgn",
      "statement": "On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit\nla loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart\nqui tend vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence est la moyenne d'un\néchantillon de Bernoulli d'espérance $0{,}5$ : elle se\nconcentre sur $0{,}5$."
        },
        {
          "text": "Après une série de « pile », un « face » devient plus\nprobable pour compenser",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'illusion du joueur : les lancers sont\n**indépendants**, la pièce n'a pas de mémoire. La\ncompensation se fait par dilution (les écarts pèsent de\nmoins en moins dans la fréquence), pas par correction."
        },
        {
          "text": "Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de\n« face » dès que $n$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité exacte est même de plus en plus rare.\nC'est la **proportion** qui se rapproche de $0{,}5$, pas\nles effectifs qui s'égalisent."
        },
        {
          "text": "La fréquence oscille sans se stabiliser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est précisément ce que la loi des grands nombres\nexclut (en probabilité) : la fréquence se stabilise autour\nde $0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "La loi des grands nombres relie fréquences et probabilités :\nla fréquence observée converge vers la probabilité théorique.\nAucune « mémoire » de la pièce n'est en jeu : l'écart absolu\npeut croître, mais il est dilué par $n$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "limites"
      ],
      "title": "Une borne universelle mais grossière",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Pour une variable $X$ d'espérance $\\mu$ et d'écart-type\n$\\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq 2\\sigma\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au plus $\\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{(2\\sigma)^2} =\n\\dfrac{\\sigma^2}{4\\sigma^2} = \\dfrac{1}{4}$. C'est\nuniversel, valable pour **toute** loi admettant une\nvariance."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège du programme : $0{,}05$ est un ordre de grandeur\n**empirique** observé pour beaucoup de lois usuelles, pas\nla borne de Tchebychev. L'inégalité, universelle, ne\ngarantit que $\\dfrac{1}{4}$ : elle est loin d'être\noptimale."
        },
        {
          "text": "Exactement $\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Statut incorrect : $\\dfrac{1}{4}$ est une **majoration**.\nPour la plupart des lois, la probabilité réelle est très\ninférieure."
        },
        {
          "text": "Au plus $\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{\\sigma^2}{(2\\sigma)^2} =\n\\dfrac{1}{4}$, pas $\\dfrac{1}{2}$ (le seuil entre au\ncarré)."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $\\delta = k\\sigma$ : $P(|X - \\mu| \\geq k\\sigma) \\leq\n\\dfrac{1}{k^2}$. Pour $k = 2$ : au plus $25\\,\\%$. La force de\nl'inégalité est son universalité, sa faiblesse est d'être\nsouvent très pessimiste (simulations : autour de $5\\,\\%$)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "calcul"
      ],
      "title": "Quadrupler l'échantillon",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille\nd'échantillon $n$ par $4$ (à $\\delta$ fixé). Que devient la\nborne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne est inversement proportionnelle à\n$n$ : quatre fois plus de données, une garantie quatre fois\nplus forte."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ concernerait l'écart-type de\n$M_n$ (en $1/\\sqrt{n}$). La borne de concentration, elle,\nest en $1/n$ : division par $4$."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne dépend de $n$ à la puissance $1$, pas au\ncarré. Facteur $4$, pas $16$."
        },
        {
          "text": "Elle est inchangée, seul $\\delta$ compte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur contient le produit $n\\delta^2$ :\nla taille d'échantillon améliore directement la garantie."
        }
      ],
      "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est en $\\dfrac{1}{n}$ :\nmultiplier $n$ par $4$ la divise par $4$. (L'écart-type de\n$M_n$, lui, n'est divisé que par $2$ : deux échelles à ne pas\nconfondre.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "complementaire"
      ],
      "title": "Passer à l'événement contraire",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ d'espérance $\\mu$ et de variance $V$. Que peut-on\ndéduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement $|X - \\mu| < \\delta$ est le\ncontraire de $|X - \\mu| \\geq \\delta$ : sa probabilité est\n**minorée** par $1 - \\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\leq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : en passant au complémentaire, la majoration\ndes grands écarts devient une **minoration** de la\nprobabilité de rester proche."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ majore la probabilité des\n**grands** écarts, pas celle de l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien en déduire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le passage au complémentaire est immédiat :\n$P(A) = 1 - P(\\bar{A})$ transforme la majoration en\nminoration."
        }
      ],
      "explanation": "Version « rassurante » de l'inégalité :\n$P(|X - \\mu| < \\delta) \\geq 1 - \\dfrac{V}{\\delta^2}$. C'est\nsous cette forme qu'on garantit qu'une variable reste proche\nde sa moyenne avec un niveau de confiance donné."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "frequence",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Variance d'une fréquence",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Soit $S_n \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ et $F_n = \\dfrac{S_n}{n}$\nla fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{p(1-p)}{n}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(F_n) = \\dfrac{V(S_n)}{n^2} =\n\\dfrac{np(1-p)}{n^2} = \\dfrac{p(1-p)}{n}$. La fréquence se\nconcentre sur $p$ quand $n$ grandit."
        },
        {
          "text": "$np(1-p)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $np(1-p)$ est la variance de la **somme** $S_n$.\nDiviser par $n$ élève $n$ au carré dans la variance :\n$V(S_n/n) = V(S_n)/n^2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{p(1-p)}{n^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $V(F_n) = \\dfrac{V(S_n)}{n^2} =\n\\dfrac{np(1-p)}{n^2}$ ; le $n$ du numérateur simplifie\nl'un des deux du dénominateur : $\\dfrac{p(1-p)}{n}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{p}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque le facteur $(1-p)$. La variance d'une\nBernoulli est $p(1-p)$, d'où $\\dfrac{p(1-p)}{n}$ pour la\nfréquence."
        }
      ],
      "explanation": "$F_n = M_n$ pour un échantillon de Bernoulli : $E(F_n) = p$ et\n$V(F_n) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$. Appliquer la concentration à\n$F_n$ fonde l'estimation d'une proportion par sondage."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "interpretation",
        "limites"
      ],
      "title": "Force et faiblesse de l'inégalité",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle vaut pour toute variable admettant une variance",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : son universalité, sans rien connaître de\nla loi. Elle permet des garanties a priori (tailles\nd'échantillon, loi des grands nombres) là où la loi\nexacte est inconnue."
        },
        {
          "text": "Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une majoration, souvent très pessimiste\n(pour $2\\sigma$ : borne $0{,}25$ contre environ $0{,}05$\nobservé sur les lois usuelles)."
        },
        {
          "text": "Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle s'applique à toute variable ayant une\nvariance, binomiale ou non. C'est précisément sa force."
        },
        {
          "text": "Elle dispense de calculer l'espérance et la variance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle **utilise** l'espérance et la variance ;\nelle ne les fournit pas et n'en dispense pas."
        }
      ],
      "explanation": "À retenir en deux phrases : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev\nest universelle (aucune hypothèse sur la loi) mais loin d'être\noptimale. Elle suffit pourtant à démontrer la loi des grands\nnombres et à dimensionner des échantillons par condition\nsuffisante."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "effet-seuil"
      ],
      "title": "Doubler le seuil d'écart",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la\nborne $\\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient **au carré** :\ndoubler $a$ quadruple $a^2$ : les grands écarts sont\nquadratiquement plus rares."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : la borne dépend de $a^2$, pas de $a$ :\nfacteur $4$, pas $2$."
        },
        {
          "text": "Elle double",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : un seuil plus **exigeant** (plus grand)\nrend l'événement plus rare : la borne descend."
        },
        {
          "text": "Elle ne change pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil est au dénominateur : la borne dépend\ndirectement de lui."
        }
      ],
      "explanation": "$P(|X - \\mu| \\geq a) \\leq \\frac{V(X)}{a^2}$ : la décroissance\nen $\\frac{1}{a^2}$ est le message quantitatif de\nl'inégalité : s'éloigner deux fois plus est au moins quatre\nfois plus rare."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "lgn-simulation"
      ],
      "title": "Fréquence sur un grand échantillon",
      "partie": "lgn",
      "statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de\nquelle valeur la fréquence d'apparition du six\ndoit-elle se stabiliser ?",
      "options": [
        {
          "text": "Autour de $\\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}167$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : loi des grands nombres : la fréquence\nobservée converge vers la **probabilité théorique**\n$\\frac{1}{6}$ quand le nombre de lancers grandit."
        },
        {
          "text": "Autour de $\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2}$ vaudrait pour pile ou face ; le\nsix est une face sur six : fréquence limite\n$\\frac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "Autour de $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : une fréquence est une **proportion** entre\n$0$ et $1$, pas la valeur de la face."
        },
        {
          "text": "Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est précisément le contenu de la loi des\ngrands nombres : les fluctuations s'amortissent et la\nfréquence se cale sur $\\frac{1}{6}$."
        }
      ],
      "explanation": "Loi des grands nombres : la moyenne (ou fréquence)\nd'échantillon converge vers l'espérance (ou probabilité)\nthéorique. La simulation la rend visible : courbe des\nfréquences qui s'aplatit sur $\\frac{1}{6}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "application-numerique"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité avec des valeurs",
      "partie": "lgn",
      "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 100$ et pour variance $V(X) =\n25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 100| \\geq 10)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{100} = 0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{25}{10^2}$ :\nau plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{10} = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $2{,}5$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) = 0{,}25$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{25} = 0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 100$ et pour variance $V(X) =\n25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 100| \\geq 10)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{100} = 0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{25}{10^2}$ :\nau plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{10} = 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $2{,}5$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) = 0{,}25$ exactement",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{25} = 0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas."
        },
        {
          "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 60$ et pour variance $V(X) =\n20$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 60| \\geq 10)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(|X - 60| \\geq 10) \\leq \\dfrac{20}{100} = 0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{20}{10^2}$ :\nau plus une chance sur cinq de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 60| \\geq 10) \\leq \\dfrac{20}{10} = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $2$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 60| \\geq 10) = 0{,}2$ exactement",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 60| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{20} = 0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas."
        },
        {
          "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 40$ et pour variance $V(X) =\n16$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 40| \\geq 10)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(|X - 40| \\geq 10) \\leq \\dfrac{16}{100} = 0{,}16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{16}{10^2}$ :\nau plus environ une chance sur six de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 40| \\geq 10) \\leq \\dfrac{16}{10} = 1{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $1{,}6$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 40| \\geq 10) = 0{,}16$ exactement",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 40| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{16} = 0{,}625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas."
        },
        {
          "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 200$ et pour variance $V(X) =\n50$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 200| \\geq 10)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$P(|X - 200| \\geq 10) \\leq \\dfrac{50}{100} = 0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{50}{10^2}$ :\nau plus une chance sur deux de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 200| \\geq 10) \\leq \\dfrac{50}{10} = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $5$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 200| \\geq 10) = 0{,}5$ exactement",
              "correct": false,
              "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
            },
            {
              "text": "$P(|X - 200| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{50} = 0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
            }
          ],
          "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "borne-inutile"
      ],
      "title": "Une borne qui ne dit rien",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \\mu| \\geq 4)\n\\leq \\dfrac{25}{16} \\approx 1{,}56$. Que faut-il en\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien, la borne dépasse $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une probabilité est toujours $\\leq 1$,\nla borne est ici sans contenu. Majorer par $1{,}56$ une\nquantité qui ne dépasse jamais $1$ n'apprend rien :\nTchebychev n'est utile que pour $a > \\sigma$ (ici $a = 4\n< 5 = \\sigma$)."
        },
        {
          "text": "Que l'événement est certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une majoration ne rend rien certain : elle\nplafonne. Et un plafond au-dessus de $1$ ne plafonne\nrien du tout."
        },
        {
          "text": "Que l'inégalité est fausse dans ce cas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité reste **vraie** ($P \\leq 1 \\leq\n1{,}56$) : elle est simplement inutile, nuance\nimportante."
        },
        {
          "text": "Qu'il faut recalculer la variance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul est correct : c'est le seuil $a$,\ntrop petit devant l'écart-type, qui vide la borne de\nson intérêt."
        }
      ],
      "explanation": "Tchebychev n'informe que pour $a > \\sigma$ (borne $< 1$).\nEn deçà de l'écart-type, les écarts sont fréquents : aucune\ninégalité universelle ne peut les rendre rares."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taille-echantillon"
      ],
      "title": "Dimensionner un échantillon",
      "partie": "lgn",
      "statement": "$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \\leq\n\\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par\nBienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \\geq 0{,}05) \\leq\n0{,}05$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 2000$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(F) \\leq \\dfrac{1}{4n}$ donne la borne\n$\\dfrac{1/(4n)}{0{,}05^2} = \\dfrac{100}{n}$ ; exiger\n$\\dfrac{100}{n} \\leq 0{,}05$ donne $n \\geq 2000$, soit\n$n \\geq \\dfrac{1}{4 \\times 0{,}05^3}$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 400$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n = 400$ donne une borne $\\frac{100}{400} =\n0{,}25$ : cinq fois trop lâche pour l'objectif\n$0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'échelle : avec $n = 20$, la borne vaut $5$ :\ntotalement vide. La double exigence (écart fin ET risque\nfaible) coûte cher en taille."
        },
        {
          "text": "Aucun $n$ ne suffit",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne $\\frac{100}{n}$ fond avec $n$ : tout\nobjectif est atteignable, ici dès $n = 2000$."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma d'estimation : $V(F) \\leq \\frac{1}{4n}$, borne\n$\\frac{1}{4n\\delta^2}$, qu'on force sous le risque voulu.\nUne précision fine et un risque faible exigent un grand échantillon : le\ncoût, chiffré, des sondages sérieux."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance-frequence"
      ],
      "title": "La fréquence vise juste",
      "partie": "lgn",
      "statement": "$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants\nde probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(F) = p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence vise la bonne cible, quelle\nque soit la taille $n$. $F = \\frac{X}{n}$ avec $X$\nbinomiale : $E(F) = \\frac{np}{n} = p$, l'estimateur est\n**sans biais** ; $n$ ne joue que sur la dispersion\nautour de $p$."
        },
        {
          "text": "$E(F) = np$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $np$ est l'espérance du **nombre** de\nsuccès $X$ ; la fréquence divise par $n$ : $E(F) = p$."
        },
        {
          "text": "$E(F)$ tend vers $p$ quand $n$ grandit",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance mal placée : l'espérance vaut **exactement** $p$\ndès $n = 1$ : c'est la fréquence observée (pas son\nespérance) qui converge quand $n$ grandit."
        },
        {
          "text": "$E(F) = \\dfrac{p}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{p}{n}$ tendrait vers $0$ : la fréquence\nmoyenne serait systématiquement trop basse. La division\npar $n$ s'applique à $X$, dont l'espérance est $np$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(F) = p$ et $V(F) = \\frac{p(1-p)}{n}$ : viser juste\n(espérance) et trembler de moins en moins (variance en\n$\\frac{1}{n}$) : les deux moteurs de la loi des grands\nnombres."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "calcul"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité à un exemple",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Une variable a pour espérance $50$ et pour variance $25$. Que majore\nl'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - 50| \\geq 10)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne vaut $\\dfrac{V(X)}{\\delta^2} =\n\\dfrac{25}{100}$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart non élevé au carré : le dénominateur vaut $10^2$, pas $10$. Une\nprobabilité ne dépasse d'ailleurs jamais $1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine prise à tort : la formule divise la variance par le carré de\nl'écart."
        },
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : $\\dfrac{100}{25}$ ne correspond pas non plus, et le\ncalcul proposé donne $\\dfrac{1}{25}$."
        }
      ],
      "explanation": "L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore $P(|X - E(X)| \\geq \\delta)$ par\n$\\dfrac{V(X)}{\\delta^2}$. Elle vaut pour toute variable, sans hypothèse sur\nsa loi."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "majoration"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité de concentration",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "$M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n = 100$ d'une\nvariable de variance $V = 4$. Quelle majoration de\n$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq 0{,}5\\right)$ donne l'inégalité de\nconcentration ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{n\\delta^2} = \\dfrac{4}{100 \\times\n0{,}25}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}08$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\delta$ doit être élevé au carré, pas multiplié par\n$n$ seul."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ oublie la taille $n$ de\nl'échantillon."
        },
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{V}{n}$ oublie de diviser par $\\delta^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité de concentration : $P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right)\n\\leq \\dfrac{V}{n\\delta^2}$."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-des-grands-nombres",
        "enonce"
      ],
      "title": "Ce qu'affirme la loi des grands nombres",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Que garantit la loi des grands nombres pour la moyenne d'un\néchantillon ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un écart à l'espérance aussi petit qu'on veut, pour $n$ assez grand",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité d'un écart dépassant un seuil fixé tend\nvers $0$."
        },
        {
          "text": "Une égalité exacte avec l'espérance à partir d'un certain rang",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune taille finie ne supprime le hasard : l'écart devient petit,\njamais nul."
        },
        {
          "text": "Une décroissance de la moyenne vers zéro",
          "correct": false,
          "feedback": "La moyenne se rapproche de l'espérance, qui n'a aucune raison d'être\nnulle."
        },
        {
          "text": "Une répartition symétrique des observations",
          "correct": false,
          "feedback": "La symétrie dépend de la loi étudiée, elle n'est pas une conséquence de\nla taille."
        }
      ],
      "explanation": "La loi des grands nombres énonce que la probabilité d'un écart supérieur à\nun seuil fixé tend vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente.\nElle découle de l'inégalité de concentration."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "portee"
      ],
      "title": "Une borne parfois inutile",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Pour une variable de variance $9$, que donne l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev avec un écart de $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une borne supérieure à $1$, donc sans intérêt",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{4}$ dépasse $1$, alors qu'une probabilité y\nest toujours inférieure."
        },
        {
          "text": "Une borne de $0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient inversé : la formule divise la variance par le carré de\nl'écart, soit $\\dfrac{9}{4}$."
        },
        {
          "text": "Une borne de $4{,}5$, donc utile",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur est fausse, et toute borne supérieure à $1$ n'apprend rien."
        },
        {
          "text": "Aucune borne, l'inégalité ne s'applique pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle s'applique toujours : c'est seulement son résultat qui peut être\ntrivial."
        }
      ],
      "explanation": "L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est universelle mais grossière. Elle\nn'apporte une information que si l'écart considéré dépasse nettement\nl'écart-type."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "S'écarter de deux écarts-types",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ une variable d'espérance $\\mu$ et d'écart-type\n$\\sigma > 0$. Quelle majoration de\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq 2\\sigma\\right)$ donne l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{(2\\sigma)^2} =\n\\dfrac{\\sigma^2}{4\\sigma^2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil $2\\sigma$ est élevé au carré."
        },
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}05$ ne découle pas de l'inégalité, qui donne ici\n$\\dfrac{1}{2^2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ minore la probabilité de l'événement\ncontraire."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $\\delta = k\\sigma$, l'inégalité donne\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq k\\sigma\\right) \\leq \\dfrac{1}{k^2}$, quelle\nque soit la loi."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "taille"
      ],
      "title": "Quadrupler la taille",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "On multiplie par $4$ la taille d'un échantillon.\nQue devient la borne de l'inégalité de concentration, à écart fixé ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La racine carrée intervient pour l'écart-type, pas pour cette borne."
        },
        {
          "text": "Elle est multipliée par $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un échantillon plus grand améliore la garantie, il ne la dégrade pas."
        },
        {
          "text": "Elle est inchangée",
          "correct": false,
          "feedback": "La taille figure au dénominateur de la borne, elle agit donc\ndirectement."
        }
      ],
      "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{n}$ à écart fixé. À borne fixée, c'est en\nrevanche l'écart garanti qui varie comme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moyenne-echantillon",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Écart-type d'une moyenne d'échantillon",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Une variable a pour écart-type $\\sigma = 6$. Quel est l'écart-type\nde la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n = 36$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} =\n\\dfrac{6}{6}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par $\\sqrt{n}$, pas par $n$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : moyenner un échantillon réduit la dispersion."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36$ est la taille de l'échantillon."
        }
      ],
      "explanation": "$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$, donc $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ :\nquadrupler la taille divise l'écart-type par deux."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "majoration"
      ],
      "title": "Pourquoi le facteur un quart",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "D'où vient le $\\dfrac{1}{4}$ dans la borne\n$\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "De la valeur maximale de $p(1-p)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce produit atteint $\\dfrac{1}{4}$ pour $p = 0{,}5$ et\nne le dépasse jamais."
        },
        {
          "text": "Du nombre de cas possibles",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun comptage n'intervient : la borne vient d'une majoration de\nvariance."
        },
        {
          "text": "D'une convention de calcul",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur se démontre : $p(1-p)$ est un trinôme dont le maximum vaut\n$\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "De la division par quatre de l'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart apparaît au carré au dénominateur, il n'est pas divisé."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit $p(1-p)$ est maximal en $p = 0{,}5$, où il vaut\n$\\dfrac{1}{4}$. Majorer la variance par cette valeur rend la borne\nutilisable sans connaître $p$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "ecart"
      ],
      "title": "Diviser l'écart garanti par deux",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "À garantie fixée, que faut-il faire pour diviser par deux l'écart\ngaranti entre fréquence et probabilité ?",
      "options": [
        {
          "text": "Multiplier la taille par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart varie comme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$, donc\nquadrupler $n$ le divise par deux."
        },
        {
          "text": "Multiplier la taille par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart serait divisé par $\\sqrt{2}$, soit environ $1{,}41$."
        },
        {
          "text": "Diviser la taille par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réduire l'échantillon dégrade la précision au lieu de l'améliorer."
        },
        {
          "text": "Multiplier la taille par $16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce facteur diviserait l'écart par quatre, bien au-delà du but visé."
        }
      ],
      "explanation": "La précision d'une estimation progresse comme la racine carrée de la\ntaille. Chaque gain d'un facteur deux sur la précision coûte quatre fois\nplus d'observations."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-des-grands-nombres",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Ce que la loi des grands nombres ne dit pas",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Après une longue série de piles, la loi des grands nombres\nannonce-t-elle un rattrapage par les faces ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, les lancers restent indépendants",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence se rapproche de $0{,}5$ par dilution des\nécarts passés, non par compensation."
        },
        {
          "text": "Oui, l'équilibre finit par se rétablir",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'erreur du joueur : aucune force ne corrige les résultats déjà\nobtenus."
        },
        {
          "text": "Oui, sinon la loi serait fausse",
          "correct": false,
          "feedback": "La loi porte sur la fréquence, pas sur l'écart entre les effectifs, qui\npeut même grandir."
        },
        {
          "text": "Non, car la pièce n'est pas équilibrée",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : le raisonnement vaut aussi pour une\npièce parfaitement équilibrée."
        }
      ],
      "explanation": "La fréquence converge parce que les lancers récents pèsent de moins en\nmoins, pas parce que le hasard corrigerait le passé. L'écart entre le\nnombre de piles et celui de faces peut au contraire augmenter."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "hypotheses"
      ],
      "title": "Les hypothèses de l'inégalité",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Que faut-il connaître d'une variable pour appliquer l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev ?",
      "options": [
        {
          "text": "Son espérance et sa variance",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucune hypothèse sur la loi elle-même n'est\nnécessaire."
        },
        {
          "text": "Sa loi de probabilité complète",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est justement l'intérêt de l'inégalité : elle se passe de cette\nconnaissance."
        },
        {
          "text": "Qu'elle suit une loi binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inégalité vaut pour toute variable admettant une espérance et une\nvariance."
        },
        {
          "text": "Qu'elle prend des valeurs positives",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe des valeurs n'intervient nulle part dans l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne demande que l'espérance et la\nvariance. Sa généralité explique qu'elle donne des bornes assez larges."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "sondage"
      ],
      "title": "Garantie chiffrée d'un sondage",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Pour évaluer la proportion $p$ de personnes favorables à un projet, on en interroge $2\\,500$ au hasard, ce qu'on modélise par un échantillon de variables de Bernoulli de paramètre $p$. La fréquence observée $F$ est leur moyenne, et la variance commune vérifie $p(1-p) \\leq \\dfrac{1}{4}$. Quel majorant de $P(|F - p| \\geq 0{,}05)$ l'inégalité de concentration fournit-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{n\\delta^2} \\leq \\dfrac{0{,}25}{2\\,500 \\times 0{,}05^2} = \\dfrac{0{,}25}{6{,}25} = 0{,}04$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}08$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart type $\\dfrac{1}{2}$ a pris la place de la variance : l'inégalité de concentration utilise $V \\leq \\dfrac{1}{4}$, ce qui donne $0{,}04$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}002$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le seuil $\\delta = 0{,}05$ n'a pas été élevé au carré : $\\dfrac{0{,}25}{2\\,500 \\times 0{,}05} = 0{,}002$ n'est pas la borne de l'inégalité.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}96$",
          "correct": false,
          "feedback": "$0{,}96$ minore la probabilité de l'événement contraire $|F - p| < 0{,}05$ ; la question porte sur un écart d'au moins $0{,}05$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité de concentration : $P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\leq \\dfrac{V}{n\\delta^2}$. Ici $M_n$ est la fréquence $F$, $\\mu = p$, $n = 2\\,500$, $\\delta = 0{,}05$ et $V \\leq \\dfrac{1}{4}$ : un écart d'au moins $5$ points a une probabilité au plus égale à $0{,}04$, quelle que soit la valeur de $p$."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "effet-seuil",
        "bienayme-tchebychev"
      ],
      "title": "Retrouver le facteur appliqué au seuil",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur\nfaut-il multiplier le seuil $\\delta$ pour que la borne\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$ soit divisée par $9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc\nmultiplier $\\delta$ par $3$ divise la borne par\n$3^2 = 9$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : un seuil multiplié par $9$ diviserait la\nborne par $9^2$, bien plus que demandé. Le facteur\ncherché est la racine carrée de $9$, soit $3$."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est\n$\\sqrt{9} = 3$ qui convient, car seul le carré du\nfacteur agit sur la borne."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur deux de trop : avec $6$, la borne serait\ndivisée par $6^2$, soit quatre fois trop. On garde\n$3$."
        }
      ],
      "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{\\delta^2}$. La diviser par un\nnombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine\ncarrée de ce nombre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur\nfaut-il multiplier le seuil $\\delta$ pour que la borne\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$ soit divisée par $9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc\nmultiplier $\\delta$ par $3$ divise la borne par\n$3^2 = 9$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : un seuil multiplié par $9$ diviserait la\nborne par $9^2$, bien plus que demandé. Le facteur\ncherché est la racine carrée de $9$, soit $3$."
            },
            {
              "text": "$4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est\n$\\sqrt{9} = 3$ qui convient, car seul le carré du\nfacteur agit sur la borne."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur deux de trop : avec $6$, la borne serait\ndivisée par $6^2$, soit quatre fois trop. On garde\n$3$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{\\delta^2}$. La diviser par un\nnombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine\ncarrée de ce nombre."
        },
        {
          "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur\nfaut-il multiplier le seuil $\\delta$ pour que la borne\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$ soit divisée par $25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc\nmultiplier $\\delta$ par $5$ divise la borne par\n$5^2 = 25$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : un seuil multiplié par $25$ diviserait la\nborne par $25^2$, bien plus que demandé. Le facteur\ncherché est la racine carrée de $25$, soit $5$."
            },
            {
              "text": "$12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est\n$\\sqrt{25} = 5$ qui convient, car seul le carré du\nfacteur agit sur la borne."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur deux de trop : avec $10$, la borne serait\ndivisée par $10^2$, soit quatre fois trop. On garde\n$5$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{\\delta^2}$. La diviser par un\nnombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine\ncarrée de ce nombre."
        },
        {
          "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur\nfaut-il multiplier le seuil $\\delta$ pour que la borne\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$ soit divisée par $100$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc\nmultiplier $\\delta$ par $10$ divise la borne par\n$10^2 = 100$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : un seuil multiplié par $100$ diviserait la\nborne par $100^2$, bien plus que demandé. Le facteur\ncherché est la racine carrée de $100$, soit $10$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est\n$\\sqrt{100} = 10$ qui convient, car seul le carré du\nfacteur agit sur la borne."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur deux de trop : avec $20$, la borne serait\ndivisée par $20^2$, soit quatre fois trop. On garde\n$10$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{\\delta^2}$. La diviser par un\nnombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine\ncarrée de ce nombre."
        },
        {
          "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur\nfaut-il multiplier le seuil $\\delta$ pour que la borne\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$ soit divisée par $36$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc\nmultiplier $\\delta$ par $6$ divise la borne par\n$6^2 = 36$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré oublié : un seuil multiplié par $36$ diviserait la\nborne par $36^2$, bien plus que demandé. Le facteur\ncherché est la racine carrée de $36$, soit $6$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est\n$\\sqrt{36} = 6$ qui convient, car seul le carré du\nfacteur agit sur la borne."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur deux de trop : avec $12$, la borne serait\ndivisée par $12^2$, soit quatre fois trop. On garde\n$6$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne varie comme $\\dfrac{1}{\\delta^2}$. La diviser par un\nnombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine\ncarrée de ce nombre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "lgn-simulation",
        "loi-grands-nombres"
      ],
      "title": "Moyenne simulée des numéros d'un dé",
      "partie": "lgn",
      "statement": "On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à\n$6$ faces, numérotées de $1$ à $6$, et on affiche au fur et\nà mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle\nvaleur cette moyenne se stabilise-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise\nautour de l'espérance, ici la moyenne des numéros\n$1$ à $6$, soit $3{,}5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à\n$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $3{,}5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence\nd'une face donnée qui se stabilise autour de $\\dfrac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur maximale et non moyenne : le numéro $6$ ne sort\nqu'une fois sur $6$, les petits numéros tirent la\nmoyenne vers le bas."
        }
      ],
      "explanation": "La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que\nsur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se\nrapproche de l'espérance du numéro tiré.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à\n$6$ faces, numérotées de $1$ à $6$, et on affiche au fur et\nà mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle\nvaleur cette moyenne se stabilise-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise\nautour de l'espérance, ici la moyenne des numéros\n$1$ à $6$, soit $3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à\n$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $3{,}5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence\nd'une face donnée qui se stabilise autour de $\\dfrac{1}{6}$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale et non moyenne : le numéro $6$ ne sort\nqu'une fois sur $6$, les petits numéros tirent la\nmoyenne vers le bas."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que\nsur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se\nrapproche de l'espérance du numéro tiré."
        },
        {
          "statement": "On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à\n$10$ faces, numérotées de $1$ à $10$, et on affiche au fur et\nà mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle\nvaleur cette moyenne se stabilise-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise\nautour de l'espérance, ici la moyenne des numéros\n$1$ à $10$, soit $5{,}5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à\n$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $5{,}5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence\nd'une face donnée qui se stabilise autour de $\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale et non moyenne : le numéro $10$ ne sort\nqu'une fois sur $10$, les petits numéros tirent la\nmoyenne vers le bas."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que\nsur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se\nrapproche de l'espérance du numéro tiré."
        },
        {
          "statement": "On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à\n$20$ faces, numérotées de $1$ à $20$, et on affiche au fur et\nà mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle\nvaleur cette moyenne se stabilise-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise\nautour de l'espérance, ici la moyenne des numéros\n$1$ à $20$, soit $10{,}5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à\n$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $10{,}5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence\nd'une face donnée qui se stabilise autour de $\\dfrac{1}{20}$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale et non moyenne : le numéro $20$ ne sort\nqu'une fois sur $20$, les petits numéros tirent la\nmoyenne vers le bas."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que\nsur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se\nrapproche de l'espérance du numéro tiré."
        },
        {
          "statement": "On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à\n$4$ faces, numérotées de $1$ à $4$, et on affiche au fur et\nà mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle\nvaleur cette moyenne se stabilise-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise\nautour de l'espérance, ici la moyenne des numéros\n$1$ à $4$, soit $2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à\n$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $2{,}5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence\nd'une face donnée qui se stabilise autour de $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur maximale et non moyenne : le numéro $4$ ne sort\nqu'une fois sur $4$, les petits numéros tirent la\nmoyenne vers le bas."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que\nsur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se\nrapproche de l'espérance du numéro tiré."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "echantillon"
      ],
      "title": "Variance de la moyenne d'un échantillon",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $9$. On prélève un\néchantillon de taille $25$ de cette variable et on note $M_n$\nla moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}36$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n} =\n\\dfrac{9}{25} = 0{,}36$, ce qui fonde l'inégalité de\nconcentration."
        },
        {
          "text": "$225$",
          "correct": false,
          "feedback": "Somme et moyenne confondues : $225$ est la variance\nde la somme des $25$ variables, à diviser par $25^2$\npour la moyenne."
        },
        {
          "text": "$0{,}0144$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division de trop : le facteur $\\dfrac{1}{n^2}$ s'applique\nà la variance de la somme, déjà égale à $225$, d'où\n$0{,}36$."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart-type et variance confondus : $0{,}6$ est\nl'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}36$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \\mu$ et\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui\nresserre la moyenne autour de l'espérance.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $9$. On prélève un\néchantillon de taille $25$ de cette variable et on note $M_n$\nla moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n} =\n\\dfrac{9}{25} = 0{,}36$, ce qui fonde l'inégalité de\nconcentration."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et moyenne confondues : $225$ est la variance\nde la somme des $25$ variables, à diviser par $25^2$\npour la moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}0144$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le facteur $\\dfrac{1}{n^2}$ s'applique\nà la variance de la somme, déjà égale à $225$, d'où\n$0{,}36$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type et variance confondus : $0{,}6$ est\nl'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}36$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \\mu$ et\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui\nresserre la moyenne autour de l'espérance."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $4$. On prélève un\néchantillon de taille $100$ de cette variable et on note $M_n$\nla moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n} =\n\\dfrac{4}{100} = 0{,}04$, ce qui fonde l'inégalité de\nconcentration."
            },
            {
              "text": "$400$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et moyenne confondues : $400$ est la variance\nde la somme des $100$ variables, à diviser par $100^2$\npour la moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}0004$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le facteur $\\dfrac{1}{n^2}$ s'applique\nà la variance de la somme, déjà égale à $400$, d'où\n$0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type et variance confondus : $0{,}2$ est\nl'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}04$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \\mu$ et\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui\nresserre la moyenne autour de l'espérance."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $16$. On prélève un\néchantillon de taille $25$ de cette variable et on note $M_n$\nla moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n} =\n\\dfrac{16}{25} = 0{,}64$, ce qui fonde l'inégalité de\nconcentration."
            },
            {
              "text": "$400$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et moyenne confondues : $400$ est la variance\nde la somme des $25$ variables, à diviser par $25^2$\npour la moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}0256$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le facteur $\\dfrac{1}{n^2}$ s'applique\nà la variance de la somme, déjà égale à $400$, d'où\n$0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type et variance confondus : $0{,}8$ est\nl'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}64$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \\mu$ et\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui\nresserre la moyenne autour de l'espérance."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $1$. On prélève un\néchantillon de taille $4$ de cette variable et on note $M_n$\nla moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n} =\n\\dfrac{1}{4} = 0{,}25$, ce qui fonde l'inégalité de\nconcentration."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Somme et moyenne confondues : $4$ est la variance\nde la somme des $4$ variables, à diviser par $4^2$\npour la moyenne."
            },
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le facteur $\\dfrac{1}{n^2}$ s'applique\nà la variance de la somme, déjà égale à $4$, d'où\n$0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type et variance confondus : $0{,}5$ est\nl'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}25$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \\mu$ et\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui\nresserre la moyenne autour de l'espérance."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance-frequence",
        "sondage"
      ],
      "title": "Deux sondages de tailles différentes",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Deux instituts étudient la même population, dans laquelle une\nproportion $p$ de personnes est favorable à un projet. Le\npremier interroge $200$ personnes au hasard, le second\n$2\\,000$. On note $F_1$ et $F_2$ les fréquences obtenues. Que\npeut-on dire de $E(F_1)$ et de $E(F_2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles sont égales toutes les deux à la proportion $p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance d'une fréquence vaut $p$ quelle\nque soit la taille de l'échantillon. Celle-ci agit sur la\nvariance, pas sur l'espérance."
        },
        {
          "text": "Celle du grand échantillon est plus proche de $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance mal placée : les deux espérances valent déjà\nexactement $p$. C'est la fréquence observée, non son\nespérance, qui se rapproche de $p$."
        },
        {
          "text": "Celle du grand échantillon est dix fois plus petite",
          "correct": false,
          "feedback": "Rapport appliqué au mauvais indicateur : la taille divise\nla variance par dix, alors que l'espérance reste $p$."
        },
        {
          "text": "Elles dépendent des réponses effectivement recueillies",
          "correct": false,
          "feedback": "Observation et espérance confondues : les réponses font\nvarier les fréquences obtenues, jamais leur espérance, qui\nvaut $p$ avant tout sondage."
        }
      ],
      "explanation": "Une fréquence est la moyenne d'un échantillon de variables de\nBernoulli : son espérance vaut $p$ pour toute taille $n$, et sa\nvariance $\\dfrac{p(1-p)}{n}$ décroît quand $n$ augmente."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "binomiale",
        "frequence"
      ],
      "title": "Variance d'une fréquence avec des valeurs",
      "partie": "lgn",
      "statement": "On répète $100$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont\nla probabilité de succès vaut $0{,}2$, et on note $F$ la\nfréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}0016$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n} =\n\\dfrac{0{,}2 \\times 0{,}8}{100} = 0{,}0016$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de succès et fréquence confondus : $16$ est la\nvariance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par\n$100^2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Effectif oublié : $0{,}16$ est la variance d'une seule\népreuve. La moyenne de $100$ épreuves est $100$ fois moins\ndispersée."
        },
        {
          "text": "$0{,}002$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut\n$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}0016$ après division par\n$100$."
        }
      ],
      "explanation": "La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et\n$V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs\nde l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète $100$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont\nla probabilité de succès vaut $0{,}2$, et on note $F$ la\nfréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0016$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n} =\n\\dfrac{0{,}2 \\times 0{,}8}{100} = 0{,}0016$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de succès et fréquence confondus : $16$ est la\nvariance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par\n$100^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif oublié : $0{,}16$ est la variance d'une seule\népreuve. La moyenne de $100$ épreuves est $100$ fois moins\ndispersée."
            },
            {
              "text": "$0{,}002$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut\n$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}0016$ après division par\n$100$."
            }
          ],
          "explanation": "La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et\n$V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs\nde l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$."
        },
        {
          "statement": "On répète $400$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont\nla probabilité de succès vaut $0{,}5$, et on note $F$ la\nfréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}000625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n} =\n\\dfrac{0{,}5 \\times 0{,}5}{400} = 0{,}000625$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de succès et fréquence confondus : $100$ est la\nvariance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par\n$400^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif oublié : $0{,}25$ est la variance d'une seule\népreuve. La moyenne de $400$ épreuves est $400$ fois moins\ndispersée."
            },
            {
              "text": "$0{,}00125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut\n$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}000625$ après division par\n$400$."
            }
          ],
          "explanation": "La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et\n$V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs\nde l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$."
        },
        {
          "statement": "On répète $50$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont\nla probabilité de succès vaut $0{,}4$, et on note $F$ la\nfréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0048$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n} =\n\\dfrac{0{,}4 \\times 0{,}6}{50} = 0{,}0048$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de succès et fréquence confondus : $12$ est la\nvariance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par\n$50^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif oublié : $0{,}24$ est la variance d'une seule\népreuve. La moyenne de $50$ épreuves est $50$ fois moins\ndispersée."
            },
            {
              "text": "$0{,}008$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut\n$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}0048$ après division par\n$50$."
            }
          ],
          "explanation": "La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et\n$V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs\nde l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$."
        },
        {
          "statement": "On répète $200$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont\nla probabilité de succès vaut $0{,}1$, et on note $F$ la\nfréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}00045$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n} =\n\\dfrac{0{,}1 \\times 0{,}9}{200} = 0{,}00045$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Nombre de succès et fréquence confondus : $18$ est la\nvariance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par\n$200^2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}09$",
              "correct": false,
              "feedback": "Effectif oublié : $0{,}09$ est la variance d'une seule\népreuve. La moyenne de $200$ épreuves est $200$ fois moins\ndispersée."
            },
            {
              "text": "$0{,}0005$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut\n$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}00045$ après division par\n$200$."
            }
          ],
          "explanation": "La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et\n$V(F) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs\nde l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "hypotheses",
        "concentration"
      ],
      "title": "Ce que suppose l'inégalité de concentration",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "L'inégalité de concentration\n$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ porte sur la moyenne $M_n$ de $n$\nvariables aléatoires. Que suppose-t-elle sur ces variables ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles sont indépendantes et de même loi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition d'un échantillon de\ntaille $n$, la seule hypothèse qui permette d'écrire\n$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$."
        },
        {
          "text": "Elles suivent une loi binomiale de paramètre $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hypothèse trop forte : le cas binomial n'est qu'un exemple.\nL'inégalité vaut pour tout échantillon admettant une\nvariance."
        },
        {
          "text": "Elles ne prennent que des valeurs positives",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe des valeurs n'intervient pas : seul compte l'écart\nà l'espérance, mesuré en valeur absolue."
        },
        {
          "text": "Elles ont la même espérance, sans plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition incomplète : sans indépendance, la variance de la\nmoyenne n'est plus $\\dfrac{V}{n}$ et la borne tombe."
        }
      ],
      "explanation": "Un échantillon de taille $n$ est une liste de $n$ variables\naléatoires indépendantes et de même loi. C'est cette hypothèse\nqui donne $V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$, donc l'inégalité."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "majoration",
        "concentration"
      ],
      "title": "Majorer la variance par un quart",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Pour dimensionner un sondage, un institut majore la variance\n$p(1-p)$ par $\\dfrac{1}{4}$ alors que la proportion réelle vaut\n$0{,}1$. Quel effet cette majoration a-t-elle sur la borne\nobtenue ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle reste valable, mais plus grande que nécessaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : majorer la variance ne peut qu'agrandir la\nborne. Celle-ci reste donc vraie, simplement plus prudente\nque la borne exacte."
        },
        {
          "text": "Elle devient fausse, la variance étant mal évaluée",
          "correct": false,
          "feedback": "Une majoration ne rend rien faux : remplacer $0{,}09$ par\n$0{,}25$ agrandit la borne, donc conserve l'inégalité."
        },
        {
          "text": "Elle est inchangée, la variance valant bien un quart",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur réelle négligée : ici $p(1-p) = 0{,}09$, nettement\nmoins que $0{,}25$. Les deux bornes diffèrent."
        },
        {
          "text": "Elle n'a plus de sens sans la valeur exacte de $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est tout l'intérêt de la majoration : elle fournit une\ngarantie valable pour toute valeur de $p$, connue ou non."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit $p(1-p)$ ne dépasse jamais $\\dfrac{1}{4}$ : le\nremplacer par cette valeur donne une borne plus grande, donc\nune garantie toujours vraie, parfois trop prudente."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "frequences",
        "loi-des-grands-nombres"
      ],
      "title": "Estimer une probabilité inconnue",
      "partie": "lgn",
      "statement": "On lance $2000$ fois une pièce dont on ignore si elle est\néquilibrée et l'on obtient $1240$ fois « pile ». Quelle\nestimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des\ngrands nombres justifie-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}62$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée\n$\\dfrac{1240}{2000} = 0{,}62$ se stabilise autour de la\nprobabilité cherchée, qu'elle estime donc."
        },
        {
          "text": "$0{,}38$",
          "correct": false,
          "feedback": "Événement contraire estimé : $0{,}38$ est la fréquence de\n« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}62$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la\nfréquence observée pointe vers $0{,}62$."
        },
        {
          "text": "$1240$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $1240$ compte les « pile ». Une\nprobabilité s'obtient en divisant par $2000$."
        }
      ],
      "explanation": "La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une\nprobabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand\nnombre de répétitions.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance $2000$ fois une pièce dont on ignore si elle est\néquilibrée et l'on obtient $1240$ fois « pile ». Quelle\nestimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des\ngrands nombres justifie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}62$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée\n$\\dfrac{1240}{2000} = 0{,}62$ se stabilise autour de la\nprobabilité cherchée, qu'elle estime donc."
            },
            {
              "text": "$0{,}38$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire estimé : $0{,}38$ est la fréquence de\n« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}62$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la\nfréquence observée pointe vers $0{,}62$."
            },
            {
              "text": "$1240$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $1240$ compte les « pile ». Une\nprobabilité s'obtient en divisant par $2000$."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une\nprobabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand\nnombre de répétitions."
        },
        {
          "statement": "On lance $5000$ fois une pièce dont on ignore si elle est\néquilibrée et l'on obtient $1750$ fois « pile ». Quelle\nestimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des\ngrands nombres justifie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée\n$\\dfrac{1750}{5000} = 0{,}35$ se stabilise autour de la\nprobabilité cherchée, qu'elle estime donc."
            },
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire estimé : $0{,}65$ est la fréquence de\n« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la\nfréquence observée pointe vers $0{,}35$."
            },
            {
              "text": "$1750$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $1750$ compte les « pile ». Une\nprobabilité s'obtient en divisant par $5000$."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une\nprobabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand\nnombre de répétitions."
        },
        {
          "statement": "On lance $4000$ fois une pièce dont on ignore si elle est\néquilibrée et l'on obtient $1880$ fois « pile ». Quelle\nestimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des\ngrands nombres justifie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}47$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée\n$\\dfrac{1880}{4000} = 0{,}47$ se stabilise autour de la\nprobabilité cherchée, qu'elle estime donc."
            },
            {
              "text": "$0{,}53$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire estimé : $0{,}53$ est la fréquence de\n« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}47$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la\nfréquence observée pointe vers $0{,}47$."
            },
            {
              "text": "$1880$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $1880$ compte les « pile ». Une\nprobabilité s'obtient en divisant par $4000$."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une\nprobabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand\nnombre de répétitions."
        },
        {
          "statement": "On lance $2500$ fois une pièce dont on ignore si elle est\néquilibrée et l'on obtient $1600$ fois « pile ». Quelle\nestimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des\ngrands nombres justifie-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fréquence observée\n$\\dfrac{1600}{2500} = 0{,}64$ se stabilise autour de la\nprobabilité cherchée, qu'elle estime donc."
            },
            {
              "text": "$0{,}36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Événement contraire estimé : $0{,}36$ est la fréquence de\n« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la\nfréquence observée pointe vers $0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$1600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $1600$ compte les « pile ». Une\nprobabilité s'obtient en divisant par $2500$."
            }
          ],
          "explanation": "La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une\nprobabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand\nnombre de répétitions."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ecart",
        "concentration"
      ],
      "title": "Écart garanti par un sondage",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Un sondage porte sur $1000$ personnes et l'on majore la variance\npar $\\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\\delta$ entre la fréquence\nobservée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration\ngarantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on impose $\\dfrac{1}{4n\\delta^2} \\leq 0{,}1$,\nd'où $\\delta^2 \\geq 0{,}0025$ puis\n$\\delta = 0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$0{,}0025$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $0{,}0025$ est la valeur de\n$\\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit\n$0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$0{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Majoration de la variance par $1$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,\nqui vaut $0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$0{,}025$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la\nracine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient\n$0{,}05$."
        }
      ],
      "explanation": "On écrit la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$, on la force sous le\nrisque accepté, puis on isole $\\delta$ : l'écart garanti varie\ncomme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un sondage porte sur $1000$ personnes et l'on majore la variance\npar $\\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\\delta$ entre la fréquence\nobservée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration\ngarantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on impose $\\dfrac{1}{4n\\delta^2} \\leq 0{,}1$,\nd'où $\\delta^2 \\geq 0{,}0025$ puis\n$\\delta = 0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0025$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}0025$ est la valeur de\n$\\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit\n$0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Majoration de la variance par $1$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,\nqui vaut $0{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}025$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la\nracine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient\n$0{,}05$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$, on la force sous le\nrisque accepté, puis on isole $\\delta$ : l'écart garanti varie\ncomme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Un sondage porte sur $500$ personnes et l'on majore la variance\npar $\\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\\delta$ entre la fréquence\nobservée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration\ngarantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}05$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on impose $\\dfrac{1}{4n\\delta^2} \\leq 0{,}05$,\nd'où $\\delta^2 \\geq 0{,}01$ puis\n$\\delta = 0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}01$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}01$ est la valeur de\n$\\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit\n$0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Majoration de la variance par $1$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,\nqui vaut $0{,}1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la\nracine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient\n$0{,}1$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$, on la force sous le\nrisque accepté, puis on isole $\\delta$ : l'écart garanti varie\ncomme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Un sondage porte sur $6250$ personnes et l'on majore la variance\npar $\\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\\delta$ entre la fréquence\nobservée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration\ngarantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}02$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on impose $\\dfrac{1}{4n\\delta^2} \\leq 0{,}1$,\nd'où $\\delta^2 \\geq 0{,}0004$ puis\n$\\delta = 0{,}02$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0004$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}0004$ est la valeur de\n$\\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit\n$0{,}02$."
            },
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Majoration de la variance par $1$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,\nqui vaut $0{,}02$."
            },
            {
              "text": "$0{,}01$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la\nracine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient\n$0{,}02$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$, on la force sous le\nrisque accepté, puis on isole $\\delta$ : l'écart garanti varie\ncomme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
        },
        {
          "statement": "Un sondage porte sur $3125$ personnes et l'on majore la variance\npar $\\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\\delta$ entre la fréquence\nobservée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration\ngarantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}05$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}04$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on impose $\\dfrac{1}{4n\\delta^2} \\leq 0{,}05$,\nd'où $\\delta^2 \\geq 0{,}0016$ puis\n$\\delta = 0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0016$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $0{,}0016$ est la valeur de\n$\\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit\n$0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$0{,}08$",
              "correct": false,
              "feedback": "Majoration de la variance par $1$ au lieu de\n$\\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,\nqui vaut $0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$0{,}02$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la\nracine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient\n$0{,}04$."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit la borne $\\dfrac{1}{4n\\delta^2}$, on la force sous le\nrisque accepté, puis on isole $\\delta$ : l'écart garanti varie\ncomme $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taille",
        "concentration"
      ],
      "title": "Renforcer la garantie d'un sondage",
      "partie": "lgn",
      "statement": "À écart $\\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de\nl'inégalité de concentration de $90$ % à $99$ %. Par\ncombien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le risque passe de $0{,}1$ à $0{,}01$, donc la\nborne doit être divisée par $10$. Comme elle varie en\n$\\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur."
        },
        {
          "text": "$100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance\n$1$. Diviser le risque par $10$ demande $10$ fois\nplus d'observations."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}1$ et\n$0{,}01$ qu'il faut comparer par quotient, non par\nsoustraction."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée\npar $2$, alors que le risque visé est $10$ fois plus\npetit."
        }
      ],
      "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné\nimpose de multiplier la taille par ce même facteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À écart $\\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de\nl'inégalité de concentration de $90$ % à $99$ %. Par\ncombien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le risque passe de $0{,}1$ à $0{,}01$, donc la\nborne doit être divisée par $10$. Comme elle varie en\n$\\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance\n$1$. Diviser le risque par $10$ demande $10$ fois\nplus d'observations."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}1$ et\n$0{,}01$ qu'il faut comparer par quotient, non par\nsoustraction."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée\npar $2$, alors que le risque visé est $10$ fois plus\npetit."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné\nimpose de multiplier la taille par ce même facteur."
        },
        {
          "statement": "À écart $\\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de\nl'inégalité de concentration de $80$ % à $95$ %. Par\ncombien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le risque passe de $0{,}2$ à $0{,}05$, donc la\nborne doit être divisée par $4$. Comme elle varie en\n$\\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance\n$1$. Diviser le risque par $4$ demande $4$ fois\nplus d'observations."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}2$ et\n$0{,}05$ qu'il faut comparer par quotient, non par\nsoustraction."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée\npar $2$, alors que le risque visé est $4$ fois plus\npetit."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné\nimpose de multiplier la taille par ce même facteur."
        },
        {
          "statement": "À écart $\\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de\nl'inégalité de concentration de $90$ % à $98$ %. Par\ncombien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le risque passe de $0{,}1$ à $0{,}02$, donc la\nborne doit être divisée par $5$. Comme elle varie en\n$\\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance\n$1$. Diviser le risque par $5$ demande $5$ fois\nplus d'observations."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}1$ et\n$0{,}02$ qu'il faut comparer par quotient, non par\nsoustraction."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée\npar $2$, alors que le risque visé est $5$ fois plus\npetit."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné\nimpose de multiplier la taille par ce même facteur."
        },
        {
          "statement": "À écart $\\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de\nl'inégalité de concentration de $70$ % à $95$ %. Par\ncombien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le risque passe de $0{,}3$ à $0{,}05$, donc la\nborne doit être divisée par $6$. Comme elle varie en\n$\\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance\n$1$. Diviser le risque par $6$ demande $6$ fois\nplus d'observations."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}3$ et\n$0{,}05$ qu'il faut comparer par quotient, non par\nsoustraction."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée\npar $2$, alors que le risque visé est $6$ fois plus\npetit."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est inversement\nproportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné\nimpose de multiplier la taille par ce même facteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire",
        "contraire"
      ],
      "title": "Minorer la probabilité de rester proche",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $20$ et de\nvariance $4$. On pose $q = P\\left(|X - 20| < 5\\right)$.\nQue garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$q \\geq 0{,}84$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}16$ la\nprobabilité d'un écart d'au moins $5$, donc l'événement\ncontraire a une probabilité d'au moins\n$1 - 0{,}16 = 0{,}84$."
        },
        {
          "text": "$q \\leq 0{,}84$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts\nrevient à minorer celle de rester proche, d'où\n$q \\geq 0{,}84$."
        },
        {
          "text": "$q \\geq 0{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne non complémentée : $0{,}16$ majore la probabilité\nd'un écart d'au moins $5$. Il reste à écrire\n$1 - 0{,}16$."
        },
        {
          "text": "$q = 0{,}84$",
          "correct": false,
          "feedback": "Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas\nune valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}84$."
        }
      ],
      "explanation": "On calcule d'abord la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, puis on\npasse à l'événement contraire :\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $20$ et de\nvariance $4$. On pose $q = P\\left(|X - 20| < 5\\right)$.\nQue garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}84$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}16$ la\nprobabilité d'un écart d'au moins $5$, donc l'événement\ncontraire a une probabilité d'au moins\n$1 - 0{,}16 = 0{,}84$."
            },
            {
              "text": "$q \\leq 0{,}84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts\nrevient à minorer celle de rester proche, d'où\n$q \\geq 0{,}84$."
            },
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne non complémentée : $0{,}16$ majore la probabilité\nd'un écart d'au moins $5$. Il reste à écrire\n$1 - 0{,}16$."
            },
            {
              "text": "$q = 0{,}84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas\nune valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}84$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, puis on\npasse à l'événement contraire :\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $30$ et de\nvariance $9$. On pose $q = P\\left(|X - 30| < 6\\right)$.\nQue garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}75$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}25$ la\nprobabilité d'un écart d'au moins $6$, donc l'événement\ncontraire a une probabilité d'au moins\n$1 - 0{,}25 = 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$q \\leq 0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts\nrevient à minorer celle de rester proche, d'où\n$q \\geq 0{,}75$."
            },
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne non complémentée : $0{,}25$ majore la probabilité\nd'un écart d'au moins $6$. Il reste à écrire\n$1 - 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$q = 0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas\nune valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}75$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, puis on\npasse à l'événement contraire :\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $12$ et de\nvariance $9$. On pose $q = P\\left(|X - 12| < 5\\right)$.\nQue garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}64$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}36$ la\nprobabilité d'un écart d'au moins $5$, donc l'événement\ncontraire a une probabilité d'au moins\n$1 - 0{,}36 = 0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$q \\leq 0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts\nrevient à minorer celle de rester proche, d'où\n$q \\geq 0{,}64$."
            },
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne non complémentée : $0{,}36$ majore la probabilité\nd'un écart d'au moins $5$. Il reste à écrire\n$1 - 0{,}36$."
            },
            {
              "text": "$q = 0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas\nune valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}64$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, puis on\npasse à l'événement contraire :\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $45$ et de\nvariance $4$. On pose $q = P\\left(|X - 45| < 10\\right)$.\nQue garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}96$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}04$ la\nprobabilité d'un écart d'au moins $10$, donc l'événement\ncontraire a une probabilité d'au moins\n$1 - 0{,}04 = 0{,}96$."
            },
            {
              "text": "$q \\leq 0{,}96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts\nrevient à minorer celle de rester proche, d'où\n$q \\geq 0{,}96$."
            },
            {
              "text": "$q \\geq 0{,}04$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne non complémentée : $0{,}04$ majore la probabilité\nd'un écart d'au moins $10$. Il reste à écrire\n$1 - 0{,}04$."
            },
            {
              "text": "$q = 0{,}96$",
              "correct": false,
              "feedback": "Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas\nune valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}96$."
            }
          ],
          "explanation": "On calcule d'abord la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, puis on\npasse à l'événement contraire :\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "borne-inutile",
        "bienayme-tchebychev"
      ],
      "title": "À partir de quel seuil la borne informe",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $9$. Pour quelles\nvaleurs du seuil $\\delta$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement\ninférieure à $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\delta > 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{\\delta^2} < 1$ équivaut à\n$\\delta^2 > 9$, soit $\\delta > 3$ : le seuil doit\ndépasser l'écart-type."
        },
        {
          "text": "$\\delta > 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variance et écart-type confondus : la condition\n$\\delta^2 > 9$ porte sur le carré du seuil et donne\n$\\delta > 3$."
        },
        {
          "text": "$\\delta > 4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne\ndescend sous $1$ dès que $\\delta$ dépasse $3$."
        },
        {
          "text": "$\\delta > 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà\nune borne de $\\dfrac{1}{4}$, alors que $3$ suffit pour\npasser sous $1$."
        }
      ],
      "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ n'apprend quelque chose que\nlorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil\nsupérieur à l'écart-type.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $9$. Pour quelles\nvaleurs du seuil $\\delta$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement\ninférieure à $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\delta > 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9}{\\delta^2} < 1$ équivaut à\n$\\delta^2 > 9$, soit $\\delta > 3$ : le seuil doit\ndépasser l'écart-type."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance et écart-type confondus : la condition\n$\\delta^2 > 9$ porte sur le carré du seuil et donne\n$\\delta > 3$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 4{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne\ndescend sous $1$ dès que $\\delta$ dépasse $3$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà\nune borne de $\\dfrac{1}{4}$, alors que $3$ suffit pour\npasser sous $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ n'apprend quelque chose que\nlorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil\nsupérieur à l'écart-type."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $25$. Pour quelles\nvaleurs du seuil $\\delta$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement\ninférieure à $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\delta > 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{25}{\\delta^2} < 1$ équivaut à\n$\\delta^2 > 25$, soit $\\delta > 5$ : le seuil doit\ndépasser l'écart-type."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance et écart-type confondus : la condition\n$\\delta^2 > 25$ porte sur le carré du seuil et donne\n$\\delta > 5$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 12{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne\ndescend sous $1$ dès que $\\delta$ dépasse $5$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà\nune borne de $\\dfrac{1}{4}$, alors que $5$ suffit pour\npasser sous $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ n'apprend quelque chose que\nlorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil\nsupérieur à l'écart-type."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $49$. Pour quelles\nvaleurs du seuil $\\delta$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement\ninférieure à $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\delta > 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{49}{\\delta^2} < 1$ équivaut à\n$\\delta^2 > 49$, soit $\\delta > 7$ : le seuil doit\ndépasser l'écart-type."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance et écart-type confondus : la condition\n$\\delta^2 > 49$ porte sur le carré du seuil et donne\n$\\delta > 7$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 24{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne\ndescend sous $1$ dès que $\\delta$ dépasse $7$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà\nune borne de $\\dfrac{1}{4}$, alors que $7$ suffit pour\npasser sous $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ n'apprend quelque chose que\nlorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil\nsupérieur à l'écart-type."
        },
        {
          "statement": "Une variable aléatoire a pour variance $36$. Pour quelles\nvaleurs du seuil $\\delta$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement\ninférieure à $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\delta > 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{36}{\\delta^2} < 1$ équivaut à\n$\\delta^2 > 36$, soit $\\delta > 6$ : le seuil doit\ndépasser l'écart-type."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Variance et écart-type confondus : la condition\n$\\delta^2 > 36$ porte sur le carré du seuil et donne\n$\\delta > 6$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne\ndescend sous $1$ dès que $\\delta$ dépasse $6$."
            },
            {
              "text": "$\\delta > 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà\nune borne de $\\dfrac{1}{4}$, alors que $6$ suffit pour\npasser sous $1$."
            }
          ],
          "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ n'apprend quelque chose que\nlorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil\nsupérieur à l'écart-type."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "portee",
        "bienayme-tchebychev"
      ],
      "title": "Majorer un écart d'un seul côté",
      "partie": "inegalites",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\\mu$ et de\nvariance $V$, et soit $\\delta > 0$. Peut-on majorer\n$P\\left(X \\geq \\mu + \\delta\\right)$ à l'aide de l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, par $\\dfrac{V}{\\delta^2}$, en raison d'une inclusion",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement $X \\geq \\mu + \\delta$ est\ninclus dans $|X - \\mu| \\geq \\delta$, sa probabilité est\ndonc au plus aussi grande."
        },
        {
          "text": "Non, elle ne porte que sur la valeur absolue de l'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion trop rapide : l'inclusion d'un événement dans un\nautre transmet la majoration, sans autre hypothèse."
        },
        {
          "text": "Oui, par $\\dfrac{V}{2\\delta^2}$, l'écart étant symétrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie supposée à tort : la loi de $X$ n'a aucune raison\nd'être symétrique et les deux côtés peuvent peser très\ninégalement."
        },
        {
          "text": "Oui, par $1 - \\dfrac{V}{\\delta^2}$, en passant au contraire",
          "correct": false,
          "feedback": "Complémentaire mal placé : cette quantité minore la\nprobabilité de rester proche de $\\mu$, elle ne majore pas\nles écarts."
        }
      ],
      "explanation": "Si $A \\subset B$ alors $P(A) \\leq P(B)$ : tout événement inclus\ndans $|X - \\mu| \\geq \\delta$ hérite de la majoration\n$\\dfrac{V}{\\delta^2}$, souvent très large pour un seul côté."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fréquence",
        "concentration"
      ],
      "title": "Une fréquence est une moyenne",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Pourquoi l'inégalité de concentration s'applique-t-elle à la\nfréquence $F$ de succès obtenue sur $n$ épreuves identiques et\nindépendantes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que $F$ est la moyenne de $n$ variables de Bernoulli",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque épreuve fournit $1$ en cas de succès\net $0$ sinon ; la moyenne de ces valeurs est exactement la\nfréquence de succès."
        },
        {
          "text": "Parce que $F$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre de succès qui suit cette loi, pas la\nfréquence, qui en est le quotient par $n$."
        },
        {
          "text": "Parce que $F$ est toujours comprise entre $0$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument sans rapport : l'inégalité ne demande pas que la\nvariable soit bornée, mais qu'elle soit une moyenne\nd'échantillon."
        },
        {
          "text": "Parce que $F$ se rapproche de $p$ quand $n$ grandit",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion prise pour hypothèse : cette convergence est ce\nque l'inégalité démontre, elle ne justifie pas son emploi."
        }
      ],
      "explanation": "Une fréquence de succès est la moyenne d'un échantillon de\nvariables de Bernoulli : tout ce qui vaut pour $M_n$ vaut donc\npour elle, avec $\\mu = p$ et $V = p(1-p)$."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "application-numerique",
        "bienayme-tchebychev"
      ],
      "title": "Application avec un écart-type",
      "partie": "lgn",
      "statement": "Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une\nvariable aléatoire $X$ d'espérance $500$ et d'écart-type\n$4$. Quel majorant de\n$P\\left(|X - 500| \\geq 12\\right)$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev fournit-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la variance vaut $4^2 = 16$, d'où\n$\\dfrac{16}{12^2} = \\dfrac{1}{9}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir\nla variance $16$, et non $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $12^2$.\nUne borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient renversé : la variance est au numérateur et le\ncarré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\\dfrac{1}{9}$."
        }
      ],
      "explanation": "L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour\nobtenir la variance, puis on applique\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une\nvariable aléatoire $X$ d'espérance $500$ et d'écart-type\n$4$. Quel majorant de\n$P\\left(|X - 500| \\geq 12\\right)$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev fournit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la variance vaut $4^2 = 16$, d'où\n$\\dfrac{16}{12^2} = \\dfrac{1}{9}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir\nla variance $16$, et non $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $12^2$.\nUne borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : la variance est au numérateur et le\ncarré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\\dfrac{1}{9}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour\nobtenir la variance, puis on applique\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une\nvariable aléatoire $X$ d'espérance $250$ et d'écart-type\n$3$. Quel majorant de\n$P\\left(|X - 250| \\geq 12\\right)$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev fournit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la variance vaut $3^2 = 9$, d'où\n$\\dfrac{9}{12^2} = \\dfrac{1}{16}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{48}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir\nla variance $9$, et non $3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $12^2$.\nUne borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : la variance est au numérateur et le\ncarré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\\dfrac{1}{16}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour\nobtenir la variance, puis on applique\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une\nvariable aléatoire $X$ d'espérance $800$ et d'écart-type\n$6$. Quel majorant de\n$P\\left(|X - 800| \\geq 15\\right)$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev fournit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la variance vaut $6^2 = 36$, d'où\n$\\dfrac{36}{15^2} = \\dfrac{4}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{75}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir\nla variance $36$, et non $6$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{12}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $15^2$.\nUne borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{25}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : la variance est au numérateur et le\ncarré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\\dfrac{4}{25}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour\nobtenir la variance, puis on applique\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "statement": "Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une\nvariable aléatoire $X$ d'espérance $400$ et d'écart-type\n$2$. Quel majorant de\n$P\\left(|X - 400| \\geq 10\\right)$ l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev fournit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la variance vaut $2^2 = 4$, d'où\n$\\dfrac{4}{10^2} = \\dfrac{1}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{50}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir\nla variance $4$, et non $2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $10^2$.\nUne borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Quotient renversé : la variance est au numérateur et le\ncarré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\\dfrac{1}{25}$."
            }
          ],
          "explanation": "L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour\nobtenir la variance, puis on applique\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        }
      ]
    }
  ]
}