{
  "chapter": {
    "id": "continuite",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Continuité",
    "description": "Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la\ndérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction\ncontinue (suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$), théorème des\nvaleurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,\nméthode de dichotomie.",
    "parties": [
      {
        "id": "continuite",
        "title": "Continuité et discontinuités"
      },
      {
        "id": "tvi",
        "title": "Théorème des valeurs intermédiaires"
      },
      {
        "id": "applications",
        "title": "Résolution approchée et suites"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Continuité en un point",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.\nQue signifie « $f$ est continue en $a$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x) = f(a)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la limite en $a$ existe **et** coïncide avec\nla valeur $f(a)$. Graphiquement, la courbe se trace sans\nlever le crayon au voisinage de $a$."
        },
        {
          "text": "$f$ est définie en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : une fonction peut être définie en $a$ avec un\nsaut (par exemple $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = 1$ si\n$x \\geq 0$, définie en $0$ mais discontinue)."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x)$ existe",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il faut de plus que cette limite soit **égale**\nà $f(a)$. Une limite existante mais différente de $f(a)$\nlaisse un point décroché."
        },
        {
          "text": "$f$ est dérivable en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : la dérivabilité **entraîne** la continuité,\nmais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse\n(valeur absolue en $0$)."
        }
      ],
      "explanation": "Définition : $f$ est continue en $a$ si\n$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$. Trois exigences en une : la\nfonction est définie en $a$, la limite existe, et les deux\ncoïncident."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivabilite",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Continuité et dérivabilité",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Quelle affirmation est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur\ncet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité\nest une exigence plus forte que la continuité."
        },
        {
          "text": "Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur\ncet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $x \\mapsto |x|$ est continue sur $\\mathbb{R}$ mais\npas dérivable en $0$ (la courbe a un point anguleux)."
        },
        {
          "text": "Continuité et dérivabilité sont équivalentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur\nabsolue est continue partout sans être dérivable en $0$."
        },
        {
          "text": "Une fonction continue n'est jamais dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,\nexponentielle…) sont continues. Les deux propriétés\ncoexistent très souvent."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie à retenir : dérivable $\\Rightarrow$ continue, mais\ncontinue $\\not\\Rightarrow$ dérivable. Contre-exemple canonique :\n$x \\mapsto |x|$ en $0$ (continue, point anguleux)."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "existence"
      ],
      "title": "Théorème des valeurs intermédiaires",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
        },
        {
          "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
        }
      ],
      "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-2\\,;\\,5]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
            },
            {
              "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
            }
          ],
          "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-2\\,;\\,5]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[0\\,;\\,3]$ avec $f(0) = -1$ et\n$f(3) = 6$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[0\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(0) = -1$ et\n$f(3) = 6$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
            },
            {
              "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[0\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
            }
          ],
          "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-1\\,;\\,6]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[2\\,;\\,6]$ avec $f(2) = -4$ et\n$f(6) = 3$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[2\\,;\\,6]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(2) = -4$ et\n$f(6) = 3$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
            },
            {
              "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[2\\,;\\,6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
            }
          ],
          "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-4\\,;\\,3]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue sur $[-1\\,;\\,2]$ avec $f(-1) = -3$ et\n$f(2) = 1$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[-1\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(-1) = -3$ et\n$f(2) = 1$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
            },
            {
              "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[-1\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
            },
            {
              "text": "Elle n'admet aucune solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
            }
          ],
          "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-3\\,;\\,1]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "unicite",
        "monotonie"
      ],
      "title": "Unicité de la solution",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[1\\,;\\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet une unique solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
        },
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
        },
        {
          "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
        },
        {
          "text": "La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
        }
      ],
      "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[1\\,;\\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet une unique solution dans $[1\\,;\\,4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
            },
            {
              "text": "Elle admet au moins deux solutions",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
            },
            {
              "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
            },
            {
              "text": "La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[0\\,;\\,3]$, avec $f(0) = -1$ et $f(3) = 6$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet une unique solution dans $[0\\,;\\,3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
            },
            {
              "text": "Elle admet au moins deux solutions",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
            },
            {
              "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(0) = -1$ et $f(3) = 6$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
            },
            {
              "text": "La solution est $x = 1{,}5$, milieu de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[2\\,;\\,6]$, avec $f(2) = -4$ et $f(6) = 3$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet une unique solution dans $[2\\,;\\,6]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
            },
            {
              "text": "Elle admet au moins deux solutions",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
            },
            {
              "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(2) = -4$ et $f(6) = 3$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
            },
            {
              "text": "La solution est $x = 4$, milieu de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[-1\\,;\\,2]$, avec $f(-1) = -3$ et $f(2) = 1$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle admet une unique solution dans $[-1\\,;\\,2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
            },
            {
              "text": "Elle admet au moins deux solutions",
              "correct": false,
              "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
            },
            {
              "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(-1) = -3$ et $f(2) = 1$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
            },
            {
              "text": "La solution est $x = 0{,}5$, milieu de l'intervalle",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "piege"
      ],
      "title": "L'hypothèse de continuité est essentielle",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ définie sur $[0\\,;\\,2]$ (mais **pas nécessairement\ncontinue**) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation\n$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, la fonction peut sauter par-dessus $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sans continuité, par exemple $f(x) = -1$\nsur $[0\\,;\\,1[$ et $f(x) = 1$ sur $[1\\,;\\,2]$ change de\nsigne sans jamais s'annuler. La continuité est une\nhypothèse indispensable du théorème."
        },
        {
          "text": "Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le théorème exige la **continuité**. Sans elle, sa\nconclusion s'effondre : une fonction en escalier change de\nsigne sans s'annuler."
        },
        {
          "text": "Oui, car $f$ change de signe entre $0$ et $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une\nfonction **continue**. Une fonction discontinue peut passer\nde $-1$ à $1$ d'un coup."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que $f$ soit croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut\nsauter par-dessus $0$ (escalier croissant de $-1$ à $1$).\nC'est bien la continuité qui interdit le saut."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la\ncontinuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier\nqui vaut $-1$ puis $1$ change de signe sans s'annuler."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-recurrente",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$",
      "partie": "applications",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $\\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la\nsuite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$\nconverge vers un réel $\\ell$. Que vérifie $\\ell$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(\\ell) = \\ell$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par continuité de $f$, en passant à la\nlimite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient\n$\\ell = f(\\ell)$ : la limite est un **point fixe** de $f$."
        },
        {
          "text": "$f(\\ell) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de $f$. Le\npassage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne\n$\\ell = f(\\ell)$, pas $f(\\ell) = 0$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la suite évolue à partir de $u_0$, elle n'a aucune\nraison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation\nde point fixe."
        },
        {
          "text": "$f'(\\ell) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la\nlimite (et $f$ n'est même pas supposée dérivable). La\npropriété utilisée est la continuité."
        }
      ],
      "explanation": "Si $u_n \\to \\ell$ et $f$ est continue en $\\ell$, alors\n$f(u_n) \\to f(\\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1} \\to \\ell$. Par\nunicité de la limite : $f(\\ell) = \\ell$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dichotomie",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Une étape de dichotomie",
      "partie": "applications",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\\,;\\,2]$,\navec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel\nintervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution\nde $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[1{,}5\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le changement de signe se produit entre\n$f(1{,}5) < 0$ et $f(2) > 0$ : la racine est dans la moitié\ndroite."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,1{,}5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture des signes : sur $[1\\,;\\,1{,}5]$, la\nfonction reste négative aux deux bornes ($f(1) < 0$ et\n$f(1{,}5) < 0$) : pas de traversée de zéro garantie là."
        },
        {
          "text": "$[1{,}25\\,;\\,1{,}75]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour\ndu milieu, elle **choisit la moitié** où le signe change."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de\n$f$ au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient\nla racine."
        }
      ],
      "explanation": "Dichotomie : on évalue $f$ au milieu $m$ de l'intervalle. Si\n$f(m)$ a le même signe que la borne gauche, la racine est dans\n$[m\\,;\\,b]$ ; sinon dans $[a\\,;\\,m]$. Ici $f(1{,}5) < 0$ comme\n$f(1)$ : on garde $[1{,}5\\,;\\,2]$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonctions-usuelles"
      ],
      "title": "Continuité des fonctions usuelles",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Laquelle de ces fonctions est continue sur $\\mathbb{R}$ tout\nentier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto x^3 - 2x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur\n$\\mathbb{R}$, comme les fonctions exponentielle, sinus et\ncosinus."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en $0$, elle\nn'est donc pas continue **sur $\\mathbb{R}$** (elle l'est sur\nchacun des intervalles $]-\\infty\\,;\\,0[$ et\n$]0\\,;\\,+\\infty[$)."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sqrt{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la racine carrée n'est définie que sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, elle ne peut pas être continue sur\n$\\mathbb{R}$ entier."
        },
        {
          "text": "La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \\geq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette fonction saute de $-1$ à $1$ en $0$ : elle\nest définie sur $\\mathbb{R}$ mais **discontinue** en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les\nfonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,\nracine, inverse…). Pour être continue **sur $\\mathbb{R}$**, il\nfaut d'abord être définie sur $\\mathbb{R}$ : seul le polynôme\nconvient ici."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Localiser la solution après un calcul",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\\,;\\,1]$,\navec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\\alpha$ l'unique\nsolution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que\npeut-on dire de $\\alpha$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0\\,;\\,0{,}5[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(0) = -1 < 0$ et $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ :\nle changement de signe (donc $\\alpha$) se situe entre $0$ et\n$0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0{,}5\\,;\\,1[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ signifie qu'en\n$0{,}5$ la fonction a **déjà dépassé** $0$. Comme elle\ncroît, elle s'est annulée avant."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $0{,}8$ est la **valeur** $f(0{,}5)$, une\nordonnée. $\\alpha$ est une abscisse, l'endroit où $f$\ns'annule."
        },
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0{,}4\\,;\\,0{,}5[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : le seul calcul disponible localise $\\alpha$\nentre $0$ et $0{,}5$. Resserrer davantage exigerait\nd'évaluer $f$ en d'autres points."
        }
      ],
      "explanation": "On encadre $\\alpha$ par les points où $f$ change de signe :\n$f(0) < 0 < f(0{,}5)$ et $f$ strictement croissante donnent\n$\\alpha \\in \\,]0\\,;\\,0{,}5[$. Chaque nouvelle évaluation de $f$\nresserre l'encadrement (principe de la dichotomie)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-convergente",
        "image"
      ],
      "title": "Image d'une suite convergente",
      "partie": "applications",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle converge vers $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 2$ et $f$ continue en $2$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(2) = 7$."
        },
        {
          "text": "Elle converge vers $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $2$,\nc'est-à-dire $7$."
        },
        {
          "text": "Elle converge vers $f(7)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7$ est déjà une image ($f(2) = 7$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$2$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
        }
      ],
      "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle converge vers $7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 2$ et $f$ continue en $2$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(2) = 7$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $2$,\nc'est-à-dire $7$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $f(7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7$ est déjà une image ($f(2) = 7$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$2$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
            }
          ],
          "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $3$ avec $f(3) = 5$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $3$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle converge vers $5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 3$ et $f$ continue en $3$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(3) = 5$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $3$,\nc'est-à-dire $5$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $f(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est déjà une image ($f(3) = 5$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$3$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
            }
          ],
          "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $1$ avec $f(1) = 4$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $1$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle converge vers $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 1$ et $f$ continue en $1$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(1) = 4$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $1$,\nc'est-à-dire $4$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $f(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est déjà une image ($f(1) = 4$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$1$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
            }
          ],
          "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $4$ avec $f(4) = 9$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $4$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Elle converge vers $9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 4$ et $f$ continue en $4$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(4) = 9$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $4$,\nc'est-à-dire $9$."
            },
            {
              "text": "Elle converge vers $f(9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est déjà une image ($f(4) = 9$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
            },
            {
              "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$4$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
            }
          ],
          "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "tableau-de-variations"
      ],
      "title": "Nombre de solutions d'après un tableau de variations",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Une fonction $f$, continue sur $[0\\,;\\,4]$, croît strictement\nde $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de\n$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$\nadmet-elle de solutions sur $[0\\,;\\,4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,2]$, $f$ passe de $-3$ à $5$ en\ncroissant strictement : une unique solution. Sur\n$[2\\,;\\,4]$, $f$ reste entre $5$ et $1$, toujours\nstrictement positive : aucune solution."
        },
        {
          "text": "Exactement deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche\ndécroissante, $f$ va de $5$ à $1$ **sans traverser** $0$.\nIl faut comparer $0$ aux valeurs extrêmes de chaque branche."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur $[0\\,;\\,2]$, $f$ passe de $-3$ (négatif) à $5$\n(positif) en étant continue : elle s'annule forcément."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de\nrepasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions\nse comptent branche par branche."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : appliquer le corollaire du TVI **sur chaque intervalle\nde monotonie**, en vérifiant si $0$ est compris entre les\nvaleurs aux bornes. Branche montante $[-3\\,;\\,5]$ : une\nsolution. Branche descendante $[1\\,;\\,5]$ : $0$ n'y figure pas,\naucune solution."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Ce que dit exactement le théorème",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[a\\,;\\,b]$. Que garantit exactement le\nthéorème des valeurs intermédiaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte\n**au moins une fois** sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur\nintermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur\nposition."
        },
        {
          "text": "Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte\n**exactement une fois**",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être\natteinte plusieurs fois (courbe qui oscille)."
        },
        {
          "text": "$f$ ne prend aucune valeur en dehors de\n$[f(a)\\,;\\,f(b)]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à\nl'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le\nthéorème parle des valeurs **intermédiaires**, pas d'un\nencadrement de $f$."
        },
        {
          "text": "$f$ est strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la monotonie est une **hypothèse supplémentaire**\nqu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même\nn'en dit rien."
        }
      ],
      "explanation": "Le TVI est un théorème d'**existence** : chaque valeur\nintermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni\nunicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut\ndes calculs, par exemple une dichotomie)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "partie-entiere",
        "discontinuite"
      ],
      "title": "Une fonction en escalier",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand\nentier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : juste avant $2$ ($x = 1{,}99$), elle\nvaut $1$ ; en $2$, elle vaut $2$ : le saut interdit de\ntracer la courbe sans lever le crayon."
        },
        {
          "text": "Oui : elle est définie en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité\nexige que les valeurs voisines **rejoignent** la valeur\nau point, or à gauche elles restent à $1$."
        },
        {
          "text": "Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la partie entière est justement LE\ncontre-exemple usuel : continue nulle part sur les\nentiers."
        },
        {
          "text": "Non, car elle n'est pas définie en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagnostic faux : elle est parfaitement définie\n($\\lfloor 2 \\rfloor = 2$) : c'est le **saut à gauche**\nqui casse la continuité."
        }
      ],
      "explanation": "La partie entière est en escalier : discontinue en chaque\nentier (saut de hauteur $1$), continue partout ailleurs.\nL'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique\npas « continue »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "continuite-point"
      ],
      "title": "Raccorder deux expressions en un point",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x$ si $x \\geq 2$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $4 + a$, et $f(2) = 6$ ; la continuité en $2$ impose $4 + a = 6$.\n"
        },
        {
          "text": "$a = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $2^2 + a = 4 + a$, et non vers $a$.\n"
        },
        {
          "text": "$a = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $4 + a = 6$ donne $a = 6 - 4 = 2$.\n"
        },
        {
          "text": "$a = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $4 + a$ soit égale à $f(2) = 6$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$f$ est continue en $2$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(2)$ quand $x$ tend vers $2$. À droite, $3x$ tend vers $6$, qui est $f(2)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $4 + a$. Il faut donc $4 + a = 6$, soit $a = 2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x$ si $x \\geq 2$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $4 + a$, et $f(2) = 6$ ; la continuité en $2$ impose $4 + a = 6$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $2^2 + a = 4 + a$, et non vers $a$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $4 + a = 6$ donne $a = 6 - 4 = 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $4 + a$ soit égale à $f(2) = 6$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$f$ est continue en $2$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(2)$ quand $x$ tend vers $2$. À droite, $3x$ tend vers $6$, qui est $f(2)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $4 + a$. Il faut donc $4 + a = 6$, soit $a = 2$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 3$ et $f(x) = 5x$ si $x \\geq 3$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $3$, $f(x)$ tend vers $9 + a$, et $f(3) = 15$ ; la continuité en $3$ impose $9 + a = 15$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $3$, $f(x)$ tend vers $3^2 + a = 9 + a$, et non vers $a$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $9 + a = 15$ donne $a = 15 - 9 = 6$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $9 + a$ soit égale à $f(3) = 15$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$f$ est continue en $3$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(3)$ quand $x$ tend vers $3$. À droite, $5x$ tend vers $15$, qui est $f(3)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $9 + a$. Il faut donc $9 + a = 15$, soit $a = 6$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 1$ et $f(x) = 4x$ si $x \\geq 1$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $1$, $f(x)$ tend vers $1 + a$, et $f(1) = 4$ ; la continuité en $1$ impose $1 + a = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $1$, $f(x)$ tend vers $1^2 + a = 1 + a$, et non vers $a$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $1 + a = 4$ donne $a = 4 - 1 = 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $1 + a$ soit égale à $f(1) = 4$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$f$ est continue en $1$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(1)$ quand $x$ tend vers $1$. À droite, $4x$ tend vers $4$, qui est $f(1)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $1 + a$. Il faut donc $1 + a = 4$, soit $a = 3$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 4$ et $f(x) = 6x$ si $x \\geq 4$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$a = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $4$, $f(x)$ tend vers $16 + a$, et $f(4) = 24$ ; la continuité en $4$ impose $16 + a = 24$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $4$, $f(x)$ tend vers $4^2 + a = 16 + a$, et non vers $a$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = -8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $16 + a = 24$ donne $a = 24 - 16 = 8$.\n"
            },
            {
              "text": "$a = 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $16 + a$ soit égale à $f(4) = 24$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$f$ est continue en $4$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(4)$ quand $x$ tend vers $4$. À droite, $6x$ tend vers $24$, qui est $f(4)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $16 + a$. Il faut donc $16 + a = 24$, soit $a = 8$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "application"
      ],
      "title": "Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$\nadmet-elle une solution dans $[0\\ ;\\ 1]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par le TVI : $f$ continue, $f(0) < 0 < f(1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le trio complet, continuité plus valeurs\nde signes opposés aux bornes, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) =\n1 > 0$ : la courbe doit traverser l'axe entre $0$ et\n$1$."
        },
        {
          "text": "Parce que $f(0{,}5) = 0$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375$ : le\nTVI garantit l'existence **sans** exhiber la valeur."
        },
        {
          "text": "Tout polynôme s'annule quelque part",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux en général : $x^2 + 1$ ne s'annule jamais. C'est le\nchangement de signe **observé** qui fait fonctionner le\nthéorème."
        },
        {
          "text": "Parce que $f$ est strictement croissante sur $[0\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro\n(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la\ncroissance ajoutera l'**unicité**."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma de rédaction TVI : 1) $f$ continue ; 2) $f(a)$ et\n$f(b)$ calculées, de signes opposés ; 3) conclusion\nd'existence. (Ici $f' = 3x^2 + 1 > 0$ offre en prime\nl'unicité : corollaire du TVI.)"
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "balayage",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer la solution par balayage",
      "partie": "applications",
      "statement": "$f$ est continue et strictement croissante, et la\ncalculatrice donne $f(1{,}32) \\approx -0{,}004 < 0$ et\n$f(1{,}33) \\approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la\nsolution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}32 < \\alpha < 1{,}33$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.\nChangement de signe entre deux valeurs consécutives du\nbalayage : $\\alpha$ est coincé dans cet intervalle."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 1{,}325$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : le milieu de l'intervalle est une\n**approximation** raisonnable, pas la valeur exacte : le\nbalayage ne donne que des encadrements."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 1{,}33$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}33$ est la valeur où $f$ devient positive,\nmais $f(1{,}33) > 0$ strictement : le zéro est franchi\n**avant** $1{,}33$, quelque part dans l'intervalle."
        },
        {
          "text": "Rien, la calculatrice ne prouve rien",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les\ncalculs de la machine fournissent un encadrement\nparfaitement rigoureux."
        }
      ],
      "explanation": "Balayage : tableau de valeurs au pas $10^{-n}$, repérer le\nchangement de signe : encadrement d'amplitude $10^{-n}$.\n(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par $2$\nà chaque étape.)"
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "corollaire-tvi"
      ],
      "title": "Le corollaire du TVI",
      "partie": "tvi",
      "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[2\\ ;\\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\\ ;\\ 5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($1 \\in [-3\\ ;\\\n4]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
        },
        {
          "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
        },
        {
          "text": "Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(2)$ et $f(5)$\nsont toutes atteintes."
        },
        {
          "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\\ ;\\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[2\\ ;\\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\\ ;\\ 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($1 \\in [-3\\ ;\\\n4]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
            },
            {
              "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
            },
            {
              "text": "Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(2)$ et $f(5)$\nsont toutes atteintes."
            },
            {
              "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\\ ;\\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points."
        },
        {
          "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[0\\ ;\\ 4]$, avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 6$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle dans $[0\\ ;\\ 4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Exactement une, car $3$ est compris entre $-2$ et $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($3 \\in [-2\\ ;\\\n6]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
            },
            {
              "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
            },
            {
              "text": "Aucune : $3$ n'est ni $f(0)$ ni $f(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(0)$ et $f(4)$\nsont toutes atteintes."
            },
            {
              "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\\ ;\\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points."
        },
        {
          "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[1\\ ;\\ 3]$, avec $f(1) = -5$ et $f(3) = 2$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = -1$ a-t-elle dans $[1\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Exactement une, car $-1$ est compris entre $-5$ et $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($-1 \\in [-5\\ ;\\\n2]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
            },
            {
              "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
            },
            {
              "text": "Aucune : $-1$ n'est ni $f(1)$ ni $f(3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(1)$ et $f(3)$\nsont toutes atteintes."
            },
            {
              "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $-1$."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\\ ;\\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points."
        },
        {
          "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[-2\\ ;\\ 1]$, avec $f(-2) = 0$ et $f(1) = 8$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle dans $[-2\\ ;\\ 1]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Exactement une, car $5$ est compris entre $0$ et $8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($5 \\in [0\\ ;\\\n8]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
            },
            {
              "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
              "correct": false,
              "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
            },
            {
              "text": "Aucune : $5$ n'est ni $f(-2)$ ni $f(1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(-2)$ et $f(1)$\nsont toutes atteintes."
            },
            {
              "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\\ ;\\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contre-exemple",
        "discontinuite"
      ],
      "title": "Sans continuité, le TVI s'effondre",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ définie sur $[0\\ ;\\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$\net $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune\nsolution. Comment est-ce possible ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ n'est pas continue sur $[0\\ ;\\ 2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle saute par-dessus la valeur $0$.\nSans continuité, rien n'oblige à passer par les valeurs\nintermédiaires : une fonction en escalier (par exemple\n$-1$ puis $1$) enjambe le zéro."
        },
        {
          "text": "C'est impossible : le TVI l'interdit",
          "correct": false,
          "feedback": "Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions **continues** :\nl'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est\npas."
        },
        {
          "text": "$f$ n'est pas définie sur tout l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Contradiction avec l'énoncé : $f$ est définie sur $[0\\\n;\\ 2]$, avec $f(0) = -1$ ; c'est la continuité, pas la\ndéfinition, qui manque."
        },
        {
          "text": "$f$ prend des valeurs complexes entre les deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs\nréelles : l'explication est le saut d'une fonction\ndiscontinue."
        }
      ],
      "explanation": "L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle\nqui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.\nToute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,\nsous peine d'appliquer un théorème faux."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Repérer une discontinuité sur une courbe",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Sur une courbe, à quoi reconnaît-on qu'une fonction n'est pas continue\nen un point ?",
      "options": [
        {
          "text": "La courbe présente un saut en ce point",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les valeurs à gauche et à droite ne se rejoignent pas,\nle tracé impose de lever le crayon."
        },
        {
          "text": "La courbe présente un angle en ce point",
          "correct": false,
          "feedback": "Un angle signale une non-dérivabilité : la valeur absolue reste\ncontinue en $0$."
        },
        {
          "text": "La courbe coupe l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Traverser l'axe est le comportement le plus banal, et il n'empêche\nnullement la continuité."
        },
        {
          "text": "La courbe change de sens de variation",
          "correct": false,
          "feedback": "Un changement de sens décrit un extremum, compatible avec la\ncontinuité."
        }
      ],
      "explanation": "Une discontinuité se voit à un saut du tracé. Un angle, un extremum ou un\npassage par zéro n'ont, eux, aucune incidence sur la continuité."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "application"
      ],
      "title": "Combien de solutions garantit le théorème",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Une fonction continue sur $[0\\,;\\,5]$ vérifie $f(0) = -2$ et\n$f(5) = 7$. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au moins une solution à $f(x) = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le théorème assure l'existence, l'unicité exigeant en\nplus la stricte monotonie."
        },
        {
          "text": "Exactement une solution à $f(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'unicité demande la stricte monotonie, dont l'énoncé ne dit rien."
        },
        {
          "text": "Aucune solution à $f(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le changement de signe entre les deux bornes impose au contraire un\npassage par zéro."
        },
        {
          "text": "Exactement deux solutions à $f(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème ne compte jamais les solutions : il en garantit\nl'existence."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une\nsolution. Son corollaire, qui ajoute la stricte monotonie, garantit en\noutre l'unicité."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "fonctions-usuelles"
      ],
      "title": "Une fonction continue sur son ensemble",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle continue ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur $\\mathbb{R}$ privé de $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elle est continue partout où elle est définie, donc sur\nchacun des deux intervalles."
        },
        {
          "text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle n'est pas définie en $0$, la continuité n'y a donc aucun sens."
        },
        {
          "text": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle est tout aussi continue sur les nombres négatifs, où sa courbe est\nd'un seul tenant."
        },
        {
          "text": "Sur aucun intervalle, à cause du saut en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il n'y a pas de saut : la fonction n'est simplement pas définie en $0$,\net sa courbe est continue de part et d'autre."
        }
      ],
      "explanation": "Les fonctions usuelles, polynômes, exponentielle, logarithme, inverse,\nracine, sinus, cosinus, sont continues sur tout intervalle de leur\nensemble de définition."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "dichotomie",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Réduire l'intervalle par dichotomie",
      "partie": "applications",
      "statement": "Une solution est localisée dans $[1\\,;\\,2]$. Après trois étapes de\ndichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}125$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit\n$\\dfrac{1}{2^3}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule étape prise en compte : il en reste deux."
        },
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux."
        },
        {
          "text": "$0{,}333$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en\ntrois."
        }
      ],
      "explanation": "La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$\nétapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une solution est localisée dans $[1\\,;\\,2]$. Après trois étapes de\ndichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}125$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit\n$\\dfrac{1}{2^3}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule étape prise en compte : il en reste deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}333$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en\ntrois."
            }
          ],
          "explanation": "La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$\nétapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$."
        },
        {
          "statement": "Une solution est localisée dans $[0\\,;\\,2]$. Après trois étapes de\ndichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit\n$\\dfrac{2}{2^3}$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule étape prise en compte : il en reste deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}667$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en\ntrois."
            }
          ],
          "explanation": "La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$\nétapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$."
        },
        {
          "statement": "Une solution est localisée dans $[2\\,;\\,6]$. Après trois étapes de\ndichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit\n$\\dfrac{4}{2^3}$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule étape prise en compte : il en reste deux."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux."
            },
            {
              "text": "$1{,}333$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en\ntrois."
            }
          ],
          "explanation": "La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$\nétapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$."
        },
        {
          "statement": "Une solution est localisée dans $[3\\,;\\,3{,}5]$. Après trois étapes de\ndichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit\n$\\dfrac{0{,}5}{2^3}$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule étape prise en compte : il en reste deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux."
            },
            {
              "text": "$0{,}167$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en\ntrois."
            }
          ],
          "explanation": "La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$\nétapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "hypotheses"
      ],
      "title": "Une hypothèse manquante",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Quelle hypothèse ajoute-t-on au théorème des valeurs intermédiaires\npour obtenir l'unicité de la solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "La stricte monotonie sur l'intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction strictement monotone ne peut pas prendre\ndeux fois la même valeur."
        },
        {
          "text": "La dérivabilité sur l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivabilité sert souvent à établir la monotonie, mais elle ne suffit\npas à elle seule."
        },
        {
          "text": "La positivité de la fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe de la fonction n'a aucun rapport avec le nombre de solutions."
        },
        {
          "text": "La convexité sur l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction convexe peut prendre deux fois la même valeur, de part et\nd'autre de son minimum."
        }
      ],
      "explanation": "Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ajoute la stricte\nmonotonie, ce qui transforme l'existence en existence et unicité."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "suite"
      ],
      "title": "Continuité et suite convergente",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une suite $(u_n)$ converge vers $\\ell$ et $f$ est continue en\n$\\ell$. Vers quoi tend $(f(u_n))$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $f(\\ell)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité permet de faire passer la limite à\nl'intérieur de la fonction."
        },
        {
          "text": "Vers $\\ell$",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction transforme les termes : la limite obtenue est l'image de\n$\\ell$, pas $\\ell$ lui-même."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune raison : si $f$ est la fonction carré et $\\ell = 3$, la limite\nvaut $9$."
        },
        {
          "text": "Elle peut ne pas converger",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité garantit la convergence de la suite image."
        }
      ],
      "explanation": "La continuité en $\\ell$ autorise l'écriture\n$\\lim f(u_n) = f(\\lim u_n)$. C'est ce qui permet de déterminer la limite\nd'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "tableau-variations"
      ],
      "title": "Compter les solutions sur un tableau",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Une fonction continue décroît de $5$ à $-1$ sur $[0\\,;\\,3]$, puis\ncroît de $-1$ à $4$ sur $[3\\,;\\,8]$. Combien l'équation $f(x) = 2$\na-t-elle de solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la valeur $2$ est encadrée par les valeurs extrêmes de\nchacune des deux phases."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque phase de monotonie fournit une solution, puisque $2$ y est\nencadré."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $2$ appartient à l'intervalle $[-1\\,;\\,5]$, elle est donc\nbien atteinte."
        },
        {
          "text": "Trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tableau ne comporte que deux phases monotones, donc au plus deux\nsolutions."
        }
      ],
      "explanation": "On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque\nintervalle de stricte monotonie, puis on additionne les solutions\nobtenues."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "Continue sans être dérivable",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Quelle fonction est continue en $0$ sans y être dérivable ?",
      "options": [
        {
          "text": "La valeur absolue",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sa courbe forme un angle en $0$, sans saut mais sans\ntangente unique."
        },
        {
          "text": "La fonction carré",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle est dérivable partout, de dérivée $2x$."
        },
        {
          "text": "La fonction inverse",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle n'est même pas définie en $0$, donc ni continue ni dérivable en ce\npoint."
        },
        {
          "text": "L'exponentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle est dérivable sur tout $\\mathbb{R}$, et sa dérivée est\nelle-même."
        }
      ],
      "explanation": "Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Un\npoint anguleux donne un exemple de continuité sans dérivabilité."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une solution",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Pour $f$ continue et strictement croissante, on trouve\n$f(1{,}3) < 0$ et $f(1{,}4) > 0$. Où se situe la solution de\n$f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Entre $1{,}3$ et $1{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le changement de signe localise la solution entre ces\ndeux valeurs."
        },
        {
          "text": "En dessous de $1{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La stricte croissance impose que $f$ y soit encore plus négative."
        },
        {
          "text": "Au-dessus de $1{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction y est déjà positive et continue de croître."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas la localiser",
          "correct": false,
          "feedback": "Le changement de signe fournit précisément un encadrement au dixième\nprès."
        }
      ],
      "explanation": "Un balayage repère l'intervalle où la fonction change de signe. En\nraffinant le pas, on encadre la solution avec la précision voulue."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "corollaire-tvi"
      ],
      "title": "Compter les solutions de $x^3 - 3x = 1$",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Combien de solutions réelles l'équation $x^3 - 3x = 1$ admet-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Trois",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $g(x) = x^3 - 3x$ a pour dérivée $3(x - 1)(x + 1)$. $g$ croît de $-\\infty$ à $g(-1) = 2$, décroît jusqu'à $g(1) = -2$, puis croît vers $+\\infty$ ; la valeur $1$ est atteinte une fois sur chacun des trois intervalles.\n"
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Le corollaire du TVI s'applique séparément sur chaque intervalle où $g(x) = x^3 - 3x$ est strictement monotone : il y en a trois, et $1$ est atteint sur chacun, car $g(-1) = 2$ et $g(1) = -2$.\n"
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux est le nombre de changements de variation de $g(x) = x^3 - 3x$ (en $-1$ et en $1$), pas le nombre de solutions : ces changements délimitent trois intervalles de stricte monotonie.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "L'équation n'a pas de solution évidente, mais $g(x) = x^3 - 3x$ est continue et passe de $2$ en $-1$ à $-2$ en $1$ : le TVI garantit une solution dans $]-1\\ ;\\ 1[$, et deux autres existent hors de cet intervalle.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On étudie $g(x) = x^3 - 3x$ : $g'(x) = 3x^2 - 3$ s'annule en $-1$ et en $1$. Sur $]-\\infty\\ ;\\ -1]$, $g$ croît de $-\\infty$ à $2$ ; sur $[-1\\ ;\\ 1]$, elle décroît de $2$ à $-2$ ; sur $[1\\ ;\\ +\\infty[$, elle croît de $-2$ à $+\\infty$. Sur chaque intervalle, $g$ est continue et strictement monotone et $1$ est une valeur intermédiaire : une solution par intervalle, soit trois."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite",
        "derivabilite"
      ],
      "title": "Non continue, donc non dérivable",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Une fonction $f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $a$, et elle n'est pas continue en $a$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ n'est pas dérivable en $a$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. Si $f$ était dérivable en $a$, elle y serait continue, ce qui est exclu.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire de sa dérivabilité en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la réciproque, qui est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable, mais une fonction dérivable est toujours continue.\n"
        },
        {
          "text": "Sa courbe admet une asymptote verticale en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pas nécessairement : la fonction égale à $0$ sur $]-\\infty\\ ;\\ 1[$ et à $1$ sur $[1\\ ;\\ +\\infty[$ n'est pas continue en $1$, et sa courbe n'a aucune asymptote verticale.\n"
        },
        {
          "text": "$f$ n'est dérivable en aucun point de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "La discontinuité ne concerne que le point $a$ : la fonction égale à $x$ pour $x < a$ et à $x + 1$ pour $x \\geq a$ est dérivable en tout autre point.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Le programme affirme que toute fonction dérivable est continue. Par contraposée, une fonction qui n'est pas continue en $a$ n'est pas dérivable en $a$. La réciproque est fausse : la racine carrée est continue en $0$ sans y être dérivable."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "Sans continuité, plus de garantie",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Une fonction non continue vaut $-1$ en $0$ et $3$ en $1$.\nPrend-elle nécessairement la valeur $0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle peut sauter par-dessus",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction valant $-1$ avant $0{,}5$ et $3$ ensuite\nne prend jamais la valeur $0$."
        },
        {
          "text": "Oui, comme toute fonction",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité, écartée\npar l'énoncé."
        },
        {
          "text": "Oui, si elle est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction en escalier de l'exemple est croissante et saute pourtant\npar-dessus $0$."
        },
        {
          "text": "Non, car elle n'est pas définie partout",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : une fonction en escalier est définie\nsur tout l'intervalle."
        }
      ],
      "explanation": "L'hypothèse de continuité est ce qui interdit les sauts. Sans elle, une\nfonction peut passer d'une valeur négative à une valeur positive sans\njamais s'annuler."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite-point",
        "piege"
      ],
      "title": "Limite à gauche en un point de raccord",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1$\nsi $x < 3$, et par $f(x) = 4x - 1$ si $x \\geq 3$.\nQuelle est la limite de $f$ en $3$ par valeurs inférieures ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $3$, seule la première expression\nintervient, et $2 \\times 3 + 1 = 7$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $f(3)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de\nla limite à droite, pas de la limite à gauche."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression\ndonne $2 \\times 3 + 1 = 7$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle\ntendent les images $f(x)$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une limite à gauche en $3$, on n'utilise que l'expression\nvalable avant $3$. Ici elle donne $7$ alors que\n$f(3) = 11$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas\ncontinue en $3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1$\nsi $x < 3$, et par $f(x) = 4x - 1$ si $x \\geq 3$.\nQuelle est la limite de $f$ en $3$ par valeurs inférieures ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $3$, seule la première expression\nintervient, et $2 \\times 3 + 1 = 7$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(3)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de\nla limite à droite, pas de la limite à gauche."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression\ndonne $2 \\times 3 + 1 = 7$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle\ntendent les images $f(x)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une limite à gauche en $3$, on n'utilise que l'expression\nvalable avant $3$. Ici elle donne $7$ alors que\n$f(3) = 11$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas\ncontinue en $3$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 2$\nsi $x < 2$, et par $f(x) = 2x + 3$ si $x \\geq 2$.\nQuelle est la limite de $f$ en $2$ par valeurs inférieures ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $2$, seule la première expression\nintervient, et $3 \\times 2 - 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(2)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de\nla limite à droite, pas de la limite à gauche."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression\ndonne $3 \\times 2 - 2 = 4$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle\ntendent les images $f(x)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une limite à gauche en $2$, on n'utilise que l'expression\nvalable avant $2$. Ici elle donne $4$ alors que\n$f(2) = 7$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas\ncontinue en $2$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 4$\nsi $x < 5$, et par $f(x) = 3x - 4$ si $x \\geq 5$.\nQuelle est la limite de $f$ en $5$ par valeurs inférieures ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $5$, seule la première expression\nintervient, et $2 \\times 5 + 4 = 14$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(5)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de\nla limite à droite, pas de la limite à gauche."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression\ndonne $2 \\times 5 + 4 = 14$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle\ntendent les images $f(x)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une limite à gauche en $5$, on n'utilise que l'expression\nvalable avant $5$. Ici elle donne $14$ alors que\n$f(5) = 11$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas\ncontinue en $5$."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1$\nsi $x < 2$, et par $f(x) = 2x + 3$ si $x \\geq 2$.\nQuelle est la limite de $f$ en $2$ par valeurs inférieures ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $2$, seule la première expression\nintervient, et $2 \\times 2 + 1 = 5$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(2)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de\nla limite à droite, pas de la limite à gauche."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression\ndonne $2 \\times 2 + 1 = 5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle\ntendent les images $f(x)$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une limite à gauche en $2$, on n'utilise que l'expression\nvalable avant $2$. Ici elle donne $5$ alors que\n$f(2) = 7$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas\ncontinue en $2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "continuite"
      ],
      "title": "Continuité sur un intervalle",
      "partie": "continuite",
      "statement": "Que signifie « la fonction $f$ est continue sur l'intervalle\n$[0\\ ;\\ 3]$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est continue en chaque réel de cet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité sur un intervalle se définit point par\npoint, en chaque réel de cet intervalle."
        },
        {
          "text": "Elle garde le même signe sur tout l'intervalle $[0\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction continue peut très bien changer de signe : c'est même\nce qui rend le théorème des valeurs intermédiaires utile."
        },
        {
          "text": "Elle est croissante sur tout l'intervalle $[0\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité ne dit rien du sens de variation : une fonction peut\nêtre continue et changer plusieurs fois de sens."
        },
        {
          "text": "Sa courbe est un segment de droite sur $[0\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une courbe continue se trace sans lever le crayon, mais elle n'a\naucune raison d'être rectiligne."
        }
      ],
      "explanation": "Être continue sur un intervalle signifie être continue en chacun de ses\npoints. Graphiquement, la courbe se trace d'un seul trait, sans saut ni\ntrou."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "partie-entiere",
        "discontinuite"
      ],
      "title": "La partie entière loin des entiers",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction partie entière est-elle continue en $1{,}5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, elle est constante autour de $1{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $]1\\ ;\\ 2[$ la fonction est constante égale à\n$1$, donc elle est continue en chaque point de cet intervalle."
        },
        {
          "text": "Non, elle n'est continue en aucun réel de $\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les sauts n'ont lieu qu'aux entiers. Entre deux entiers, la\nfonction est constante, donc continue."
        },
        {
          "text": "Non, car elle est constante sur des morceaux séparés",
          "correct": false,
          "feedback": "Être constante par morceaux n'empêche pas d'être continue à\nl'intérieur de chaque morceau : seuls les raccords posent problème."
        },
        {
          "text": "Oui, car elle est croissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : la croissance n'entraîne pas la\ncontinuité, comme le montrent les sauts aux entiers."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction partie entière saute d'une unité en chaque entier, et\nseulement là. En dehors des entiers, elle est localement constante,\ndonc continue."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "image",
        "monotonie"
      ],
      "title": "Ensemble des valeurs prises sur un intervalle",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur\n$[-1\\ ;\\ 4]$, avec $f(-1) = 2$ et $f(4) = 9$.\nQuel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[-1\\ ;\\ 4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2\\ ;\\ 9]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle\nprend une fois et une seule chaque valeur entre $2$ et $9$."
        },
        {
          "text": "$[-1\\ ;\\ 4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont\nles images, comprises entre $2$ et $9$."
        },
        {
          "text": "$[-1\\ ;\\ 9]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux bornes ont été mélangées : $-1$ est un antécédent alors\nque $9$ est une image."
        },
        {
          "text": "$]2\\ ;\\ 9[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les bornes sont atteintes, puisque $f(-1) = 2$ et\n$f(4) = 9$ : l'intervalle image est fermé."
        }
      ],
      "explanation": "L'image d'un intervalle $[a\\ ;\\ b]$ par une fonction continue et\nstrictement croissante est l'intervalle $[f(a)\\ ;\\ f(b)]$, bornes\ncomprises.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur\n$[-1\\ ;\\ 4]$, avec $f(-1) = 2$ et $f(4) = 9$.\nQuel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[-1\\ ;\\ 4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[2\\ ;\\ 9]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle\nprend une fois et une seule chaque valeur entre $2$ et $9$."
            },
            {
              "text": "$[-1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont\nles images, comprises entre $2$ et $9$."
            },
            {
              "text": "$[-1\\ ;\\ 9]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux bornes ont été mélangées : $-1$ est un antécédent alors\nque $9$ est une image."
            },
            {
              "text": "$]2\\ ;\\ 9[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes sont atteintes, puisque $f(-1) = 2$ et\n$f(4) = 9$ : l'intervalle image est fermé."
            }
          ],
          "explanation": "L'image d'un intervalle $[a\\ ;\\ b]$ par une fonction continue et\nstrictement croissante est l'intervalle $[f(a)\\ ;\\ f(b)]$, bornes\ncomprises."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur\n$[0\\ ;\\ 5]$, avec $f(0) = -3$ et $f(5) = 1$.\nQuel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[0\\ ;\\ 5]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-3\\ ;\\ 1]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle\nprend une fois et une seule chaque valeur entre $-3$ et $1$."
            },
            {
              "text": "$[0\\ ;\\ 5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont\nles images, comprises entre $-3$ et $1$."
            },
            {
              "text": "$[0\\ ;\\ 1]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux bornes ont été mélangées : $0$ est un antécédent alors\nque $1$ est une image."
            },
            {
              "text": "$]-3\\ ;\\ 1[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes sont atteintes, puisque $f(0) = -3$ et\n$f(5) = 1$ : l'intervalle image est fermé."
            }
          ],
          "explanation": "L'image d'un intervalle $[a\\ ;\\ b]$ par une fonction continue et\nstrictement croissante est l'intervalle $[f(a)\\ ;\\ f(b)]$, bornes\ncomprises."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur\n$[1\\ ;\\ 6]$, avec $f(1) = -2$ et $f(6) = 4$.\nQuel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[1\\ ;\\ 6]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-2\\ ;\\ 4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle\nprend une fois et une seule chaque valeur entre $-2$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$[1\\ ;\\ 6]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont\nles images, comprises entre $-2$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$[1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux bornes ont été mélangées : $1$ est un antécédent alors\nque $4$ est une image."
            },
            {
              "text": "$]-2\\ ;\\ 4[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes sont atteintes, puisque $f(1) = -2$ et\n$f(6) = 4$ : l'intervalle image est fermé."
            }
          ],
          "explanation": "L'image d'un intervalle $[a\\ ;\\ b]$ par une fonction continue et\nstrictement croissante est l'intervalle $[f(a)\\ ;\\ f(b)]$, bornes\ncomprises."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur\n$[-1\\ ;\\ 4]$, avec $f(-1) = -3$ et $f(4) = 9$.\nQuel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[-1\\ ;\\ 4]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$[-3\\ ;\\ 9]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle\nprend une fois et une seule chaque valeur entre $-3$ et $9$."
            },
            {
              "text": "$[-1\\ ;\\ 4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont\nles images, comprises entre $-3$ et $9$."
            },
            {
              "text": "$[-1\\ ;\\ 9]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux bornes ont été mélangées : $-1$ est un antécédent alors\nque $9$ est une image."
            },
            {
              "text": "$]-3\\ ;\\ 9[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les bornes sont atteintes, puisque $f(-1) = -3$ et\n$f(4) = 9$ : l'intervalle image est fermé."
            }
          ],
          "explanation": "L'image d'un intervalle $[a\\ ;\\ b]$ par une fonction continue et\nstrictement croissante est l'intervalle $[f(a)\\ ;\\ f(b)]$, bornes\ncomprises."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "existence"
      ],
      "title": "Situer l'unique solution",
      "partie": "tvi",
      "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 6]$. Elle croît strictement de\n$f(0) = -4$ à $f(2) = 3$, puis décroît strictement de $f(2) = 3$ à\n$f(6) = -1$. L'équation $f(x) = -2$ admet une seule solution : où\nse situe-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Dans l'intervalle $[0\\ ;\\ 2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\ ;\\ 2]$, $f$ parcourt $[-4\\ ;\\ 3]$, qui\ncontient $-2$ ; sur $[2\\ ;\\ 6]$, elle ne descend que jusqu'à $-1$."
        },
        {
          "text": "Dans l'intervalle $[2\\ ;\\ 6]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur cette partie, $f$ prend toutes les valeurs de $[-1\\ ;\\ 3]$, et\n$-2$ est strictement plus petit que $-1$."
        },
        {
          "text": "Dans l'intervalle $[2\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres $2$ et $3$ sont une abscisse et une image : ils ne\ndélimitent pas un intervalle d'abscisses."
        },
        {
          "text": "Le tableau ne permet pas de conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Le tableau donne les valeurs extrêmes de chaque branche : il suffit\nde regarder laquelle contient $-2$."
        }
      ],
      "explanation": "On applique le théorème des valeurs intermédiaires branche par branche.\nSur chacune, la solution existe si la valeur visée est comprise entre\nles deux valeurs extrêmes de la branche."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tableau-de-variations",
        "unicite"
      ],
      "title": "Les valeurs qui donnent deux solutions",
      "partie": "tvi",
      "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 7]$. Elle croît strictement de\n$f(0) = -1$ à $f(4) = 3$, puis décroît strictement de $f(4) = 3$ à\n$f(7) = 0$. Pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x) = k$\nadmet-elle exactement deux solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $k$ dans $[0\\ ;\\ 3[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque branche fournit une solution quand $k$ est\ncompris entre ses extrémités, et $k = 3$ ne donne que $x = 4$."
        },
        {
          "text": "Pour $k$ dans $[0\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $k = 3$ est le maximum, atteint en $x = 4$ seulement : les\ndeux branches s'y rejoignent et la solution est unique."
        },
        {
          "text": "Pour $k$ dans $]0\\ ;\\ 3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $k = 0$ convient pourtant : elle est atteinte une fois sur\nla première branche, et une seconde fois en $x = 7$."
        },
        {
          "text": "Pour $k$ dans $[-1\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'ensemble des valeurs prises par $f$. Entre $-1$ et $0$, la\nseconde branche ne descend pas assez bas pour donner une solution."
        }
      ],
      "explanation": "Sur chaque branche, $f$ est continue et strictement monotone : elle prend\nune fois et une seule chaque valeur comprise entre les extrémités de la\nbranche. On compte donc les branches dont les valeurs encadrent $k$."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "derivabilite"
      ],
      "title": "Un point anguleux sur la courbe",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La courbe de $f$ est formée de deux segments qui se rejoignent en\nformant un angle au point d'abscisse $1$. Que peut-on dire de $f$\nen $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est continue en $1$, mais elle n'y est pas dérivable",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe se trace sans lever le crayon, mais elle\nn'admet pas de tangente unique au point anguleux."
        },
        {
          "text": "Elle est dérivable en $1$, mais elle n'y est pas continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : toute fonction dérivable en un point y est continue.\nC'est la réciproque qui est fausse."
        },
        {
          "text": "Elle n'est ni continue ni dérivable au point d'abscisse $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux segments se rejoignent, donc la courbe ne présente aucun\nsaut : la fonction est bien continue en $1$."
        },
        {
          "text": "Elle est continue et dérivable au point d'abscisse $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux segments n'ont pas la même pente : il n'existe pas de\ntangente unique, donc pas de nombre dérivé en $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Continuité et dérivabilité ne se lisent pas de la même façon : la\ncontinuité interdit les sauts, la dérivabilité exige en plus une\ntangente unique. Un point anguleux sépare les deux notions."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "hypotheses",
        "tvi"
      ],
      "title": "Une hypothèse à vérifier avant tout",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction\ninverse sur l'intervalle $[-1\\ ;\\ 1]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle n'est pas définie en $0$, donc pas continue",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'hypothèse de continuité sur tout l'intervalle\nn'est pas remplie, puisque la fonction n'existe pas en $0$."
        },
        {
          "text": "Oui, elle est continue sur son ensemble de définition",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème exige la continuité sur l'intervalle étudié tout\nentier, et $0$ appartient à $[-1\\ ;\\ 1]$."
        },
        {
          "text": "Oui, car elle change de signe entre $-1$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le changement de signe ne remplace pas la continuité : ici la\nfonction ne prend jamais la valeur $0$."
        },
        {
          "text": "Non, car elle n'est pas croissante sur $[-1\\ ;\\ 1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : la monotonie n'est requise que\npour l'unicité, pas pour l'existence."
        }
      ],
      "explanation": "Avant d'appliquer le théorème, on vérifie deux points : la fonction est\ndéfinie sur tout l'intervalle fermé, et elle y est continue. La fonction\ninverse échoue sur le premier."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-convergente",
        "contre-exemple"
      ],
      "title": "La réciproque sur les suites",
      "partie": "applications",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $\\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite\ntelle que la suite $\\left(f(u_n)\\right)$ converge. Peut-on en déduire\nque $(u_n)$ converge ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : si $f$ est constante, $\\left(f(u_n)\\right)$ converge toujours",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $f$ constante et $u_n = (-1)^n$, la suite\n$\\left(f(u_n)\\right)$ est constante alors que $(u_n)$ diverge."
        },
        {
          "text": "Oui : la continuité de $f$ transporte la limite dans les deux sens",
          "correct": false,
          "feedback": "La propriété du cours va dans un seul sens : si $(u_n)$ converge\nvers $\\ell$, alors $\\left(f(u_n)\\right)$ converge vers $f(\\ell)$."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement si la fonction $f$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "La croissance ne suffit pas non plus : une fonction croissante peut\nêtre constante sur un intervalle entier."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si la suite $(u_n)$ est bornée",
          "correct": false,
          "feedback": "Une suite bornée ne converge pas forcément : la suite de terme\ngénéral $(-1)^n$ le montre."
        }
      ],
      "explanation": "La continuité permet de passer de la limite de $(u_n)$ à celle de\n$\\left(f(u_n)\\right)$, jamais l'inverse. Un contre-exemple avec une\nfonction constante suffit à écarter la réciproque."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "point-fixe",
        "suite-recurrente",
        "suite"
      ],
      "title": "Calculer la limite d'une suite récurrente",
      "partie": "applications",
      "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 6}$. On admet qu'elle converge vers un réel\n$\\ell \\geq 0$. Que vaut $\\ell$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\sqrt{x + 6}$ est continue,\ndonc $\\ell = \\sqrt{\\ell + 6}$, soit $\\ell^2 = \\ell + 6$. La\nseule racine positive est $3$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "$6$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :\nl'équation $\\ell^2 = \\ell + 6$ donne $\\ell = 3$."
        },
        {
          "text": "$-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'autre racine de $\\ell^2 - \\ell - 6 = 0$, écartée car tous\nles termes de la suite sont positifs ou nuls."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \\sqrt{6}$\nest strictement positif, et la suite croît."
        }
      ],
      "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers\n$\\ell$, alors $\\ell$ vérifie $\\ell = f(\\ell)$. On résout cette équation,\npuis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 6}$. On admet qu'elle converge vers un réel\n$\\ell \\geq 0$. Que vaut $\\ell$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\sqrt{x + 6}$ est continue,\ndonc $\\ell = \\sqrt{\\ell + 6}$, soit $\\ell^2 = \\ell + 6$. La\nseule racine positive est $3$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :\nl'équation $\\ell^2 = \\ell + 6$ donne $\\ell = 3$."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre racine de $\\ell^2 - \\ell - 6 = 0$, écartée car tous\nles termes de la suite sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \\sqrt{6}$\nest strictement positif, et la suite croît."
            }
          ],
          "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers\n$\\ell$, alors $\\ell$ vérifie $\\ell = f(\\ell)$. On résout cette équation,\npuis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite."
        },
        {
          "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 12}$. On admet qu'elle converge vers un réel\n$\\ell \\geq 0$. Que vaut $\\ell$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\sqrt{x + 12}$ est continue,\ndonc $\\ell = \\sqrt{\\ell + 12}$, soit $\\ell^2 = \\ell + 12$. La\nseule racine positive est $4$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$12$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :\nl'équation $\\ell^2 = \\ell + 12$ donne $\\ell = 4$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre racine de $\\ell^2 - \\ell - 12 = 0$, écartée car tous\nles termes de la suite sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \\sqrt{12}$\nest strictement positif, et la suite croît."
            }
          ],
          "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers\n$\\ell$, alors $\\ell$ vérifie $\\ell = f(\\ell)$. On résout cette équation,\npuis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite."
        },
        {
          "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 20}$. On admet qu'elle converge vers un réel\n$\\ell \\geq 0$. Que vaut $\\ell$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\sqrt{x + 20}$ est continue,\ndonc $\\ell = \\sqrt{\\ell + 20}$, soit $\\ell^2 = \\ell + 20$. La\nseule racine positive est $5$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "$20$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :\nl'équation $\\ell^2 = \\ell + 20$ donne $\\ell = 5$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre racine de $\\ell^2 - \\ell - 20 = 0$, écartée car tous\nles termes de la suite sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \\sqrt{20}$\nest strictement positif, et la suite croît."
            }
          ],
          "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers\n$\\ell$, alors $\\ell$ vérifie $\\ell = f(\\ell)$. On résout cette équation,\npuis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite."
        },
        {
          "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 30}$. On admet qu'elle converge vers un réel\n$\\ell \\geq 0$. Que vaut $\\ell$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\sqrt{x + 30}$ est continue,\ndonc $\\ell = \\sqrt{\\ell + 30}$, soit $\\ell^2 = \\ell + 30$. La\nseule racine positive est $6$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "$30$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :\nl'équation $\\ell^2 = \\ell + 30$ donne $\\ell = 6$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre racine de $\\ell^2 - \\ell - 30 = 0$, écartée car tous\nles termes de la suite sont positifs ou nuls."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \\sqrt{30}$\nest strictement positif, et la suite croît."
            }
          ],
          "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers\n$\\ell$, alors $\\ell$ vérifie $\\ell = f(\\ell)$. On résout cette équation,\npuis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "balayage",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Affiner un balayage",
      "partie": "applications",
      "statement": "Pour une fonction continue et strictement croissante, un balayage au pas\nde $0{,}1$ donne $f(1{,}4) < 0$ et $f(1{,}5) > 0$. Comment obtenir un\nencadrement de la solution $\\alpha$ d'amplitude $0{,}01$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En balayant $[1{,}4\\ ;\\ 1{,}5]$ au pas de $0{,}01$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on reprend le balayage sur le seul intervalle qui\ncontient $\\alpha$, avec un pas dix fois plus petit."
        },
        {
          "text": "En balayant $[0\\ ;\\ 2]$ au pas de $0{,}01$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat serait correct, mais on testerait inutilement des\ncentaines de valeurs déjà écartées par le premier balayage."
        },
        {
          "text": "En reprenant le balayage de $[1{,}4\\ ;\\ 1{,}5]$ au pas de $0{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un pas de $0{,}1$ sur un intervalle d'amplitude $0{,}1$ ne fournit\naucune valeur intermédiaire : l'encadrement ne progresse pas."
        },
        {
          "text": "En annonçant la valeur approchée $\\alpha \\approx 1{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien ne dit que $\\alpha$ est au milieu de l'intervalle : une valeur\nannoncée sans calcul n'est pas un encadrement."
        }
      ],
      "explanation": "Le balayage se poursuit en divisant le pas par dix sur le dernier\nintervalle trouvé. Chaque reprise ajoute une décimale à l'encadrement de\nla solution."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "existence",
        "tvi"
      ],
      "title": "Quelle équation a sûrement une solution",
      "partie": "tvi",
      "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 3]$, avec $f(0) = 4$ et\n$f(3) = 1$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution\ndans $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x) = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ est compris entre $f(3) = 1$ et $f(0) = 4$, donc\nune fonction continue prend forcément cette valeur au passage."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $0$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit\nque $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $5$ dépasse $f(0) = 4$ : le théorème ne renseigne pas sur\nles valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$."
        },
        {
          "text": "$f(x) = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $-1$ est hors de l'encadrement $[1\\ ;\\ 4]$ : le théorème\nne permet aucune conclusion à son sujet."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise\nentre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle\ndescende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 3]$, avec $f(0) = 4$ et\n$f(3) = 1$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution\ndans $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(x) = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ est compris entre $f(3) = 1$ et $f(0) = 4$, donc\nune fonction continue prend forcément cette valeur au passage."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $0$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit\nque $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $5$ dépasse $f(0) = 4$ : le théorème ne renseigne pas sur\nles valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $-1$ est hors de l'encadrement $[1\\ ;\\ 4]$ : le théorème\nne permet aucune conclusion à son sujet."
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise\nentre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle\ndescende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 3]$, avec $f(0) = 7$ et\n$f(3) = 3$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution\ndans $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(x) = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ est compris entre $f(3) = 3$ et $f(0) = 7$, donc\nune fonction continue prend forcément cette valeur au passage."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $1$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit\nque $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $8$ dépasse $f(0) = 7$ : le théorème ne renseigne pas sur\nles valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $-2$ est hors de l'encadrement $[3\\ ;\\ 7]$ : le théorème\nne permet aucune conclusion à son sujet."
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise\nentre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle\ndescende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 3]$, avec $f(0) = 5$ et\n$f(3) = 2$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution\ndans $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(x) = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ est compris entre $f(3) = 2$ et $f(0) = 5$, donc\nune fonction continue prend forcément cette valeur au passage."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $1$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit\nque $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $6$ dépasse $f(0) = 5$ : le théorème ne renseigne pas sur\nles valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $-1$ est hors de l'encadrement $[2\\ ;\\ 5]$ : le théorème\nne permet aucune conclusion à son sujet."
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise\nentre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle\ndescende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est continue sur $[0\\ ;\\ 3]$, avec $f(0) = 8$ et\n$f(3) = 4$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution\ndans $[0\\ ;\\ 3]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f(x) = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6$ est compris entre $f(3) = 4$ et $f(0) = 8$, donc\nune fonction continue prend forcément cette valeur au passage."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $2$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit\nque $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $9$ dépasse $f(0) = 8$ : le théorème ne renseigne pas sur\nles valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur $0$ est hors de l'encadrement $[4\\ ;\\ 8]$ : le théorème\nne permet aucune conclusion à son sujet."
            }
          ],
          "explanation": "Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise\nentre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle\ndescende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "image",
        "tvi"
      ],
      "title": "Image d'un intervalle par une fonction continue",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Que peut-on dire de l'ensemble des valeurs prises par une fonction\ncontinue sur l'intervalle $[1\\ ;\\ 5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "C'est nécessairement un intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité interdit les sauts, donc toutes les\nvaleurs entre deux images sont elles-mêmes des images."
        },
        {
          "text": "C'est nécessairement l'intervalle $[1\\ ;\\ 5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intervalle $[1\\ ;\\ 5]$ est celui des antécédents : les images\npeuvent occuper un tout autre intervalle."
        },
        {
          "text": "C'est une réunion de plusieurs intervalles",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait le cas pour une fonction qui saute, donc discontinue.\nIci les valeurs forment un seul bloc."
        },
        {
          "text": "C'est un ensemble de valeurs isolées",
          "correct": false,
          "feedback": "Des valeurs isolées correspondent à une fonction en escalier, qui\nn'est pas continue."
        }
      ],
      "explanation": "C'est une autre formulation du théorème des valeurs intermédiaires :\nl'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "monotonie",
        "unicite"
      ],
      "title": "Croissante ne suffit pas",
      "partie": "tvi",
      "statement": "Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires réclame une\nfonction strictement monotone. Une fonction croissante au sens large\ngarantit-elle l'unicité de la solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : un palier donne une infinité de solutions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $f$ est constante égale à $2$ sur $[1\\ ;\\ 3]$,\nl'équation $f(x) = 2$ a une infinité de solutions."
        },
        {
          "text": "Oui : la croissance au sens large suffit toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Une croissance au sens large autorise les paliers, sur lesquels la\nfonction prend une même valeur une infinité de fois."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que la fonction soit continue",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité assure l'existence de la solution, pas son unicité.\nC'est la stricte monotonie qui écarte les répétitions."
        },
        {
          "text": "Non, car une telle fonction n'est jamais continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : une fonction croissante au sens\nlarge peut parfaitement être continue."
        }
      ],
      "explanation": "La stricte monotonie garantit que chaque valeur est atteinte au plus une\nfois. Avec une croissance au sens large, un palier suffit à ruiner\nl'unicité."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "continuite-point",
        "application"
      ],
      "title": "Régler la pente pour raccorder",
      "partie": "continuite",
      "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 3$\nsi $x < 4$, et par $f(x) = mx - 9$ si $x \\geq 4$. Pour quelle\nvaleur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la continuité impose $11 = 4m - 9$,\néquation dont la solution est $m = 5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent\nseulement prendre la même valeur en $4$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur commune des deux expressions en $4$, pas le\ncoefficient cherché : il reste à résoudre $4m - 9 = 11$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'équation a bien été posée, mais la division finale par $4$ a\nété oubliée, ce qui donne $m = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction définie par deux expressions est continue au point de\nraccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit\ncette égalité, puis on la résout.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 3$\nsi $x < 4$, et par $f(x) = mx - 9$ si $x \\geq 4$. Pour quelle\nvaleur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la continuité impose $11 = 4m - 9$,\néquation dont la solution est $m = 5$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent\nseulement prendre la même valeur en $4$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur commune des deux expressions en $4$, pas le\ncoefficient cherché : il reste à résoudre $4m - 9 = 11$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation a bien été posée, mais la division finale par $4$ a\nété oubliée, ce qui donne $m = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie par deux expressions est continue au point de\nraccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit\ncette égalité, puis on la résout."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 1$\nsi $x < 2$, et par $f(x) = mx - 3$ si $x \\geq 2$. Pour quelle\nvaleur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la continuité impose $5 = 2m - 3$,\néquation dont la solution est $m = 4$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent\nseulement prendre la même valeur en $2$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur commune des deux expressions en $2$, pas le\ncoefficient cherché : il reste à résoudre $2m - 3 = 5$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation a bien été posée, mais la division finale par $2$ a\nété oubliée, ce qui donne $m = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie par deux expressions est continue au point de\nraccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit\ncette égalité, puis on la résout."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x + 5$\nsi $x < 3$, et par $f(x) = mx + 11$ si $x \\geq 3$. Pour quelle\nvaleur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la continuité impose $17 = 3m + 11$,\néquation dont la solution est $m = 2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent\nseulement prendre la même valeur en $3$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur commune des deux expressions en $3$, pas le\ncoefficient cherché : il reste à résoudre $3m + 11 = 17$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation a bien été posée, mais la division finale par $3$ a\nété oubliée, ce qui donne $m = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie par deux expressions est continue au point de\nraccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit\ncette égalité, puis on la résout."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x + 3$\nsi $x < 4$, et par $f(x) = mx - 9$ si $x \\geq 4$. Pour quelle\nvaleur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la continuité impose $15 = 4m - 9$,\néquation dont la solution est $m = 6$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent\nseulement prendre la même valeur en $4$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur commune des deux expressions en $4$, pas le\ncoefficient cherché : il reste à résoudre $4m - 9 = 15$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'équation a bien été posée, mais la division finale par $4$ a\nété oubliée, ce qui donne $m = 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Une fonction définie par deux expressions est continue au point de\nraccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit\ncette égalité, puis on la résout."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Nombre de solutions lu sur une courbe",
      "partie": "tvi",
      "statement": "La courbe ci-contre représente une fonction $f$ continue sur\n$[0\\,;\\,5]$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle\ndans cet intervalle ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-1,-3) grid (6,5);\n  \\draw[->] (-1,0) -- (6.3,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-3) -- (0,5.3) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[thick,blue,domain=0:5,samples=80] plot (\\x,{-2+4*sin(deg(\\x*pi/5))+0.2*\\x});\n  \\node[blue,above] at (2.5,2.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Courbe d'une fonction continue sur [0 ; 5] : elle part de -2 en 0,\nmonte jusqu'à un maximum voisin de 2,5 près de x = 2,6, puis\nredescend jusqu'à -1 en 5.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"142.285pt\" height=\"158.418pt\" viewBox=\"0 0 142.285 158.418\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -2.984375 C 3.375 -3.25 3.59375 -4.15625 4.296875 -4.15625 C 4.34375 -4.15625 4.578125 -4.15625 4.78125 -4.03125 C 4.5 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.21875 -3.328125 5.21875 -3.71875 C 5.21875 -4.234375 4.640625 -4.375 4.296875 -4.375 C 3.71875 -4.375 3.375 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.375 2.1875 -4.375 C 1.15625 -4.375 0.59375 -3.09375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.75 0.6875 -2.75 0.71875 -2.75 C 0.796875 -2.75 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.859375 C 1.171875 -3.90625 1.828125 -4.15625 2.171875 -4.15625 C 2.359375 -4.15625 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.53125 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.765625 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.34375 0.109375 4.90625 -1.171875 4.90625 -1.421875 C 4.90625 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.703125 -1.515625 4.6875 -1.46875 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.34375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.796875 -0.421875 2.796875 -0.765625 C 2.796875 -0.984375 2.859375 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -2.984375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.8125 -3.78125 C 4.859375 -3.90625 4.859375 -3.9375 4.859375 -4 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.265625 4.5625 -4.265625 C 4.46875 -4.265625 4.3125 -4.203125 4.21875 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.078125 -3.53125 C 4.015625 -3.265625 3.9375 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.390625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.3125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.359375 1.875 -1.984375 2.203125 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.5625 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.375 1.59375 -4.375 C 0.65625 -4.375 0.28125 -2.9375 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.75 0.390625 -2.75 0.40625 -2.75 C 0.5 -2.75 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.859375 1.234375 -4.15625 1.5625 -4.15625 C 1.640625 -4.15625 1.8125 -4.15625 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.59375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.09375 1.0625 -1.53125 1.0625 -1.0625 C 1.0625 -0.1875 1.6875 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.65625 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.953125 1.78125 0.796875 1.390625 C 0.953125 1.390625 1.078125 1.390625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.859375 0.015625 Z M 4.8125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-4\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.8125 1.046875 -2.8125 C 1.125 -2.8125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.359375 -3.53125 C 3.3125 -3.53125 3.3125 -2.15625 3.3125 -1.828125 C 3.3125 -1.546875 3.3125 -1 3.0625 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.734375 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.859375 3.359375 -3.75 2.375 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.953125 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.703125 3.765625 -5.828125 C 3.765625 -5.90625 3.71875 -5.9375 3.671875 -5.9375 C 3.65625 -5.9375 3.625 -5.9375 3.546875 -5.890625 C 3.125 -5.734375 2.71875 -5.65625 2.34375 -5.65625 C 1.96875 -5.65625 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.890625 C 1.0625 -5.9375 1.046875 -5.9375 1.03125 -5.9375 C 0.921875 -5.9375 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.703125 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 4.90625 -1.5625 C 4.90625 -1.609375 4.859375 -1.625 4.8125 -1.625 C 4.640625 -1.625 4.40625 -1.46875 4.390625 -1.46875 C 4.203125 -1.34375 4.15625 -1.28125 4.046875 -1.109375 C 3.734375 -0.640625 3.296875 -0.3125 2.65625 -0.3125 C 1.765625 -0.3125 0.953125 -0.953125 0.953125 -2.4375 C 0.953125 -3.328125 1.3125 -4.5 1.84375 -5.296875 C 2.28125 -5.921875 2.8125 -6.4375 3.828125 -6.4375 C 4.203125 -6.4375 4.453125 -6.296875 4.453125 -5.9375 C 4.453125 -5.59375 4.078125 -4.890625 3.96875 -4.6875 C 3.90625 -4.578125 3.90625 -4.5625 3.90625 -4.53125 C 3.90625 -4.46875 3.953125 -4.46875 4.015625 -4.46875 C 4.203125 -4.46875 4.578125 -4.6875 4.703125 -4.84375 C 4.71875 -4.890625 5.296875 -5.859375 5.296875 -6.359375 C 5.296875 -6.90625 4.84375 -6.984375 4.484375 -6.984375 C 3.046875 -6.984375 1.875 -6.046875 1.421875 -5.484375 C 0.234375 -4.0625 0.125 -2.53125 0.125 -2.015625 C 0.125 -0.5625 0.859375 0.234375 2 0.234375 C 3.59375 0.234375 4.90625 -1.3125 4.90625 -1.5625 Z M 4.90625 -1.5625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.828125 -2.734375 L 3.5 -2.734375 C 3.640625 -2.734375 3.734375 -2.734375 3.734375 -2.890625 C 3.734375 -2.984375 3.640625 -2.984375 3.515625 -2.984375 L 2.875 -2.984375 C 3.03125 -3.875 3.09375 -4.1875 3.140625 -4.390625 C 3.171875 -4.546875 3.328125 -4.6875 3.5 -4.6875 C 3.5 -4.6875 3.6875 -4.6875 3.828125 -4.609375 C 3.53125 -4.515625 3.515625 -4.265625 3.515625 -4.21875 C 3.515625 -4.078125 3.640625 -3.96875 3.796875 -3.96875 C 3.984375 -3.96875 4.1875 -4.125 4.1875 -4.390625 C 4.1875 -4.703125 3.84375 -4.890625 3.5 -4.890625 C 3.1875 -4.890625 2.84375 -4.703125 2.65625 -4.359375 C 2.53125 -4.109375 2.46875 -3.796875 2.328125 -2.984375 L 1.78125 -2.984375 C 1.640625 -2.984375 1.546875 -2.984375 1.546875 -2.84375 C 1.546875 -2.734375 1.640625 -2.734375 1.765625 -2.734375 L 2.28125 -2.734375 C 2.265625 -2.703125 1.828125 -0.203125 1.671875 0.546875 C 1.625 0.6875 1.515625 1.21875 1.171875 1.21875 C 1.171875 1.21875 1 1.21875 0.875 1.140625 C 1.15625 1.046875 1.171875 0.796875 1.171875 0.75 C 1.171875 0.609375 1.0625 0.5 0.90625 0.5 C 0.71875 0.5 0.5 0.65625 0.5 0.921875 C 0.5 1.234375 0.828125 1.421875 1.171875 1.421875 C 1.625 1.421875 1.921875 0.953125 2.015625 0.8125 C 2.265625 0.34375 2.421875 -0.515625 2.4375 -0.59375 Z M 2.828125 -2.734375 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -17.007969 -51.023408 L 102.04825 -51.023408 M -17.007969 -34.016499 L 102.04825 -34.016499 M -17.007969 -17.009589 L 102.04825 -17.009589 M -17.007969 0.00124623 L 102.04825 0.00124623 M -17.007969 17.008156 L 102.04825 17.008156 M -17.007969 34.015065 L 102.04825 34.015065 M -17.007969 51.025901 L 102.04825 51.025901 M -17.007969 68.03281 L 102.04825 68.03281 M -17.007969 85.035794 L 102.04825 85.035794 M -17.007969 -51.023408 L -17.007969 85.03972 M -0.00105905 -51.023408 L -0.00105905 85.03972 M 17.009776 -51.023408 L 17.009776 85.03972 M 34.016686 -51.023408 L 34.016686 85.03972 M 51.023595 -51.023408 L 51.023595 85.03972 M 68.034431 -51.023408 L 68.034431 85.03972 M 85.04134 -51.023408 L 85.04134 85.03972 M 102.044324 -51.023408 L 102.044324 85.03972 \" transform=\"matrix(0.995, 0, 0, -0.995, 20.50496, 104.78249)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -17.007969 0.00124623 L 106.755379 0.00124623 \" transform=\"matrix(0.995, 0, 0, -0.995, 20.50496, 104.78249)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073991 2.392107 C -1.693181 0.955235 -0.849117 0.279984 -0.00112663 0.00124623 C -0.849117 -0.277491 -1.693181 -0.956668 -2.073991 -2.389614 \" transform=\"matrix(0.995, 0, 0, -0.995, 126.922996, 104.78249)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"130.62161\" y=\"112.552445\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00105905 -51.023408 L -0.00105905 89.746849 \" transform=\"matrix(0.995, 0, 0, -0.995, 20.50496, 104.78249)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070345 2.39192 C -1.693461 0.955048 -0.849397 0.279796 -0.00140678 0.00105905 C -0.849397 -0.277678 -1.693461 -0.956856 -2.070345 -2.389802 \" transform=\"matrix(0, -0.995, -0.995, 0, 20.50496, 15.287663)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"11.78677\" y=\"9.661485\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"35.13544\" y=\"114.034\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"52.0584\" y=\"114.034\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"68.98136\" y=\"114.034\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"85.90432\" y=\"114.034\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"102.82728\" y=\"114.034\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"5.286435\" y=\"141.09004\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"12.418595\" y=\"141.09004\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"5.286435\" y=\"124.16708\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"12.418595\" y=\"124.16708\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"12.418595\" y=\"90.734085\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"12.418595\" y=\"73.811125\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"12.418595\" y=\"56.888165\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"12.418595\" y=\"39.965205\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00105905 -34.016499 L 1.074632 -31.09957 L 2.154249 -28.182642 L 3.22994 -25.277491 L 4.305631 -22.384118 L 5.381322 -19.506448 L 6.457013 -16.652334 L 7.532704 -13.821775 L 8.608394 -11.018697 L 9.688011 -8.254878 L 10.763702 -5.526392 L 11.839393 -2.837165 L 12.915084 -0.195048 L 13.990775 2.399959 L 15.066466 4.936077 L 16.142157 7.421158 L 17.221774 9.843426 L 18.297465 12.198954 L 19.373156 14.495593 L 20.448847 16.713715 L 21.524538 18.861171 L 22.600229 20.930109 L 23.67592 22.92053 L 24.755536 24.828508 L 25.831227 26.654041 L 26.906918 28.38928 L 27.982609 30.030298 L 29.0583 31.584946 L 30.133991 33.041447 L 31.209682 34.403727 L 32.289299 35.667861 L 33.36499 36.829921 L 34.440681 37.893834 L 35.516372 38.851749 L 36.592063 39.70759 L 37.667754 40.457433 L 38.743445 41.101278 L 39.823062 41.639123 L 40.898753 42.07097 L 41.974443 42.392892 L 43.050134 42.612741 L 44.125825 42.71874 L 45.201516 42.71874 L 46.277207 42.616667 L 47.356824 42.400744 L 48.432515 42.082747 L 49.508206 41.662678 L 50.583897 41.136611 L 51.659588 40.504544 L 52.735279 39.77433 L 53.81097 38.942044 L 54.890587 38.011611 L 55.966278 36.986956 L 57.041969 35.864155 L 58.11766 34.654984 L 59.193351 33.351592 L 60.269041 31.957905 L 61.344732 30.481774 L 62.424349 28.927126 L 63.50004 27.286108 L 64.575731 25.570499 L 65.651422 23.784224 L 66.727113 21.923357 L 67.802804 19.99575 L 68.878495 18.005329 L 69.958112 15.952094 L 71.033803 13.847823 L 72.109494 11.684663 L 73.185185 9.474393 L 74.260876 7.217013 L 75.336567 4.920373 L 76.412258 2.584475 L 77.491874 0.213244 L 78.567565 -2.185469 L 79.643256 -4.607736 L 80.718947 -7.057485 L 81.794638 -9.519011 L 82.870329 -11.996241 L 83.94602 -14.481323 L 85.025637 -16.966405 \" transform=\"matrix(0.995, 0, 0, -0.995, 20.50496, 104.78249)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"57.633385\" y=\"54.444445\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"62.853155\" y=\"55.930975\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Deux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe une\nfois pendant la montée et une fois pendant la descente."
        },
        {
          "text": "Une seule, d'après le théorème des valeurs intermédiaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le théorème garantit au moins une solution sur chaque\nintervalle où $1$ est atteint ; la fonction n'est pas monotone."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe dépasse bien la hauteur $1$."
        },
        {
          "text": "Trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : après son maximum, la courbe ne fait que descendre ; elle\nne repasse qu'une fois par la hauteur $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone,\nl'équation $f(x) = k$ a au plus une solution, et exactement une si\n$k$ est entre les valeurs aux bornes."
    }
  ]
}