{
  "chapter": {
    "id": "denombrement",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Algèbre et géométrie",
    "title": "Combinatoire et dénombrement",
    "description": "Principes additif et multiplicatif, $k$-uplets d'un ensemble\n($n^k$), $k$-uplets d'éléments distincts, permutations et\nfactorielle, nombre de parties d'un ensemble ($2^n$),\ncombinaisons $\\binom{n}{k}$, symétrie et triangle de Pascal,\nmodélisation (mots, chemins, tirages).",
    "parties": [
      {
        "id": "principes",
        "title": "Principes de dénombrement et modélisation"
      },
      {
        "id": "listes",
        "title": "Listes, arrangements et permutations"
      },
      {
        "id": "combinaisons",
        "title": "Combinaisons"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Principe multiplicatif",
      "partie": "principes",
      "statement": "Un menu se compose d'une entrée choisie parmi $3$ et d'un plat\nchoisi parmi $4$. Combien de menus différents peut-on\ncomposer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :\n$3 \\times 4 = 12$ menus (principe multiplicatif)."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4$ compterait un choix **ou** l'autre\n(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit\nune entrée **et** un plat : on multiplie."
        },
        {
          "text": "$3^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^4 = 81$ compterait $4$ choix successifs parmi\n$3$ options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi $3$,\npuis un parmi $4$."
        },
        {
          "text": "$4^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4^3 = 64$ compterait $3$ choix successifs parmi\n$4$ options. La situation n'a que deux étapes :\n$3 \\times 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à\n$n_1$, puis $n_2$ choix, offre $n_1 \\times n_2$ possibilités.\nLe principe additif ($+$) sert pour des cas **disjoints** (l'un\nou l'autre)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "permutations",
        "factorielle"
      ],
      "title": "Permutations",
      "partie": "listes",
      "statement": "De combien de façons peut-on aligner $5$ livres distincts sur\nune étagère ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5$ choix pour la première place, $4$ pour\nla deuxième, etc. : $5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1\n= 120$ permutations."
        },
        {
          "text": "$5^5 = 3125$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^5$ autoriserait de replacer le même livre à\nplusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule\nfois, les choix diminuent à chaque étape : c'est $5!$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 \\times 5$ ne modélise que deux étapes avec\nremise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :\n$5!$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre de choix pour la **première**\nplace seulement. Chaque place suivante multiplie encore les\npossibilités."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est\n$n! = n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times 1$. Ici $5! = 120$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "k-uplets"
      ],
      "title": "$k$-uplets avec répétition",
      "partie": "listes",
      "statement": "Combien existe-t-il de codes à $4$ chiffres (chaque chiffre\nallant de $0$ à $9$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^4 = 10\\,000$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10$ choix pour chacune des $4$ positions,\nrépétitions permises : $10 \\times 10 \\times 10 \\times 10 =\n10^4$ ($4$-uplets d'un ensemble à $10$ éléments)."
        },
        {
          "text": "$4^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant inversé : la base est le nombre d'options par\nposition ($10$), l'exposant le nombre de positions ($4$).\n$4^{10}$ compterait des mots de $10$ lettres sur $4$\nsymboles."
        },
        {
          "text": "$10 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = 5\\,040$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous\ndistincts). Or un code comme $7\\,7\\,2\\,2$ est permis :\n$10^4$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times 4$ ne correspond à aucun principe de\ndénombrement ici. Les choix se **multiplient** position par\nposition : $10^4$."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments (répétitions\nautorisées) : $n^k$. Ici $10^4 = 10\\,000$ codes."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrangements"
      ],
      "title": "$k$-uplets d'éléments distincts",
      "partie": "listes",
      "statement": "Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums\npossibles (premier, deuxième, troisième) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$336$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les places sont **ordonnées** et un\ncoureur n'occupe qu'une place : $8$ choix pour l'or, $7$\npour l'argent, $6$ pour le bronze, soit $8 \\times 7\n\\times 6 = 336$."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8^3 = 512$ autoriserait un même coureur sur\nplusieurs marches. Les éléments doivent être\n**distincts** : les choix décroissent, $8 \\times 7\n\\times 6$."
        },
        {
          "text": "$56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\binom{8}{3} = 56$ ignore l'**ordre**, il\ncompterait les trios de médaillés sans distinguer or,\nargent, bronze. Un podium est ordonné : $56 \\times 3! =\n336$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 3!$ est le nombre de façons d'ordonner un\ntrio **déjà choisi**. Il faut aussi choisir le trio parmi\nles huit coureurs."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de $k$-uplets d'éléments **distincts** d'un ensemble à\n$n$ éléments : $n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$.\nIci $8 \\times 7 \\times 6 = 336$ : l'ordre compte, pas de\nrépétition."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Choisir sans ordre",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Combien de façons y a-t-il de choisir $3$ délégués parmi $8$\nélèves (les trois rôles étant identiques) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$56$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le\n**groupe** compte : c'est une combinaison,\n$\\binom{8}{3} = \\dfrac{8 \\times 7 \\times 6}{3!} = 56$."
        },
        {
          "text": "$336$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 \\times 7 \\times 6$ compte les choix\n**ordonnés**. Chaque groupe de $3$ y apparaît $3! = 6$\nfois : il faut diviser, $336 / 6 = 56$."
        },
        {
          "text": "$112$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{8 \\times 7 \\times 6}{3} = 112$ divise\npar $3$ au lieu de $3! = 6$. Chaque groupe de trois\nélèves apparaît $6$ fois parmi les $336$ choix ordonnés\n(autant que d'ordres possibles), pas $3$ fois :\n$\\binom{8}{3} = 56$."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8^3$ compte des triplets avec répétition (un\nélève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une\n**partie** à 3 éléments : $\\binom{8}{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une combinaison compte les **parties** à $k$ éléments d'un\nensemble à $n$ éléments : $\\binom{n}{k} =\n\\dfrac{n(n-1)\\cdots(n-k+1)}{k!}$. L'ordre du choix ne compte\npas. Ici $\\binom{8}{3} = 56$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parties"
      ],
      "title": "Nombre de parties d'un ensemble",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Combien un ensemble à $5$ éléments possède-t-il de parties\n(sous-ensembles, y compris $\\varnothing$ et lui-même) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^5 = 32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités\n(dedans ou dehors), d'où $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2\n\\times 2 = 32$ parties."
        },
        {
          "text": "$5^2 = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant et base inversés : c'est $2$ choix (présent ou\nabsent) répété $5$ fois, donc $2^5$, pas $5^2$."
        },
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la factorielle compte les **ordres** (les\npermutations). Une partie n'est pas ordonnée : $2^5 = 32$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 = \\binom{5}{2}$ ne compte que les parties à\n**deux** éléments. Il faut toutes les tailles, de $0$ à\n$5$ : $32$ en tout."
        }
      ],
      "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : chaque élément est\nindépendamment retenu ou écarté. C'est aussi\n$\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\dbinom{6}{2}$",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut $\\dbinom{6}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\binom{6}{2} = \\dfrac{6 \\times 5}{2!} =\n\\dfrac{30}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division par $2!$ : $6 \\times 5 = 30$ compte\nles couples **ordonnés**. Chaque paire y figure deux fois :\n$30/2 = 15$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 2 = 12$ n'est pas la formule. On\ncalcule $\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$720$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $720 = 6!$ compte toutes les permutations de $6$\néléments, pas les paires. $\\binom{6}{2} =\n\\dfrac{6!}{2!\\,4!} = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$. Ici\n$\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$ : quinze paires possibles parmi\nsix éléments."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "symetrie"
      ],
      "title": "Utiliser la symétrie des combinaisons",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut $\\dbinom{10}{8}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$45$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par symétrie $\\binom{n}{k} =\n\\binom{n}{n-k}$ : choisir les $8$ retenus revient à choisir\nles $2$ écartés. $\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} =\n\\dfrac{10 \\times 9}{2} = 45$."
        },
        {
          "text": "$90$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division par $2!$ : $10 \\times 9 = 90$ compte\nles couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$80$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times 8$ n'est pas une formule de\ncombinaison. Le raccourci est la symétrie :\n$\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} = 45$."
        },
        {
          "text": "$28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie mal appliquée : $\\binom{8}{2} = 28$ remplace le\n$10$ par $8$. La règle conserve le $n$ et remplace $k$\npar $n - k$ : $\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} = 45$."
        }
      ],
      "explanation": "Symétrie : $\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}$, car choisir les\nélus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le\npetit indice : $\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} = 45$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-pascal"
      ],
      "title": "Relation de Pascal",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour\n$0 \\leq k \\leq n - 1$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n+1}{k+1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal\nest la somme des deux coefficients situés juste au-dessus\nde lui."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} \\times \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n+1}{k+1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la relation est **additive** (une somme), pas\nmultiplicative. Teste : $\\binom{2}{0} + \\binom{2}{1} = 3 =\n\\binom{3}{1}$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n}{k+2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme fait passer à la ligne **suivante** du\ntriangle ($n+1$), pas deux cases plus loin sur la même\nligne."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n-1}{k} \\times n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité\nest fausse en général : $\\binom{4}{2} = 6 \\neq\n\\binom{3}{2} \\times 4 = 12$)."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Pascal : $\\binom{n}{k} + \\binom{n}{k+1} =\n\\binom{n+1}{k+1}$. Interprétation combinatoire : pour choisir\n$k+1$ objets parmi $n+1$, on sépare les choix contenant ou non\nun objet fixé."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "somme-combinaisons"
      ],
      "title": "Somme d'une ligne du triangle de Pascal",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut la somme\n$\\dbinom{5}{0} + \\dbinom{5}{1} + \\dbinom{5}{2} + \\dbinom{5}{3}\n+ \\dbinom{5}{4} + \\dbinom{5}{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2^5 = 32$, car\n$\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$ (démonstration au\nprogramme : on compte les parties d'un ensemble à $n$\néléments de deux façons)."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^2$ inverse base et exposant. La somme d'une\nligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est\n$2^n$."
        },
        {
          "text": "$31$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $31 = 2^5 - 1$ oublie un terme (souvent\n$\\binom{5}{0} = 1$, la partie vide). La somme complète vaut\n$32$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $64 = 2^6$ est la somme de la ligne **suivante**\n($n = 6$). Pour $n = 5$ : $2^5 = 32$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$ : regrouper les parties d'un\nensemble à $n$ éléments par taille $k$ redonne le nombre total\nde parties. Pour $n = 5$ : $1+5+10+10+5+1 = 32$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "mots"
      ],
      "title": "Mots binaires à nombre de « 1 » fixé",
      "partie": "principes",
      "statement": "Combien existe-t-il de mots de longueur $6$ formés de $0$ et de\n$1$ contenant **exactement deux** « 1 » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par\nle choix des $2$ positions des « 1 » parmi les $6$ :\n$\\binom{6}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^6 = 64$ compte **tous** les mots de longueur\n$6$, sans contrainte sur le nombre de « 1 ». La\ncontrainte réduit à $\\binom{6}{2}$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 5 = 30$ ordonne les deux positions\n(première puis deuxième), comptant chaque mot deux fois.\nIl faut diviser par $2$ : $15$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 2$ ne modélise pas le choix des\npositions. Le bon objet est une combinaison :\n$\\binom{6}{2} = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "Lien fondamental du programme : les mots de longueur $n$ sur\n$\\{0\\,;\\,1\\}$ ayant exactement $k$ « 1 » sont au nombre de\n$\\binom{n}{k}$ (choix des positions). C'est le même comptage\nque les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de\nBernoulli."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "piege"
      ],
      "title": "Tirage simultané",
      "partie": "principes",
      "statement": "On tire **simultanément** $2$ cartes dans un jeu de $32$\ncartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$496$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :\non compte les paires, $\\binom{32}{2} = \\dfrac{32 \\times\n31}{2} = 496$."
        },
        {
          "text": "$992$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32 \\times 31 = 992$ compte les tirages\n**successifs sans remise** (ordre retenu). En tirage\nsimultané, {as, roi} et {roi, as} sont le même tirage :\non divise par $2$."
        },
        {
          "text": "$1024$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32^2 = 1024$ compte les tirages successifs\n**avec remise** (la même carte pouvant sortir deux\nfois), ce qui est impossible simultanément."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32 \\times 2$ ne correspond à aucun principe de\ncomptage. Paires parmi $32$ : $\\binom{32}{2} = 496$."
        }
      ],
      "explanation": "Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » signifie sans ordre, donc des combinaisons ; « successivement sans remise » = $k$-uplets\ndistincts ; « avec remise » = $k$-uplets quelconques ($n^k$).\nIci : $\\binom{32}{2} = 496$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "factorielle",
        "convention"
      ],
      "title": "La convention $0! = 1$",
      "partie": "listes",
      "statement": "Que vaut $0!$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement\nune façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle\nfait marcher toutes les formules ($\\binom{n}{0} =\n\\frac{n!}{0!\\,n!} = 1$)."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $0! = 0$, toutes les formules en\nfactorielle diviseraient par zéro : la convention\n$0! = 1$ est justement choisie pour les sauver."
        },
        {
          "text": "Non défini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0!$ est parfaitement défini, par convention\négale à $1$ : le produit vide vaut $1$ (comme une somme\nvide vaut $0$)."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :\njamais négative."
        }
      ],
      "explanation": "$0! = 1$ : le produit de zéro facteur vaut $1$ (élément\nneutre de la multiplication). Indispensable pour\n$\\binom{n}{0} = \\binom{n}{n} = 1$ : les cas extrêmes des\nformules."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "application"
      ],
      "title": "Les poignées de main",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien\nde poignées de main sont échangées ?",
      "options": [
        {
          "text": "$28$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une poignée de main est une **paire** de\npersonnes, sans ordre : $\\binom{8}{2} = \\frac{8 \\times\n7}{2} = 28$."
        },
        {
          "text": "$56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double comptage : $8 \\times 7 = 56$ compte les paires\n**ordonnées** (Alice-Bob et Bob-Alice), ce qui n'a pas\nde sens pour une poignée de main : diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8^2 = 64$ inclut les couples ordonnés ET les «\npoignées avec soi-même » : la bonne structure est la\npaire non ordonnée d'éléments distincts."
        },
        {
          "text": "$40\\,320$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8! = 40\\,320$ ordonne les huit personnes en\nfile : rien à voir avec le choix de $2$ personnes parmi\n$8$."
        }
      ],
      "explanation": "Choisir $2$ objets parmi $n$ sans ordre : $\\binom{n}{2} =\n\\frac{n(n-1)}{2}$. Modèle des poignées de main, des matchs\nd'un tournoi, des segments joignant $n$ points…"
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrangements"
      ],
      "title": "Le podium",
      "partie": "listes",
      "statement": "Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums\n(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$720$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,\net l'**ordre compte** (or, argent, bronze) : $10 \\times\n9 \\times 8 = 720$, un $3$-uplet d'éléments distincts."
        },
        {
          "text": "$120$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre perdu : $\\binom{10}{3} = 120$ compte les\n**groupes** de trois médaillés sans distinguer or,\nargent, bronze : chaque groupe donne $3! = 6$ podiums,\n$120 \\times 6 = 720$."
        },
        {
          "text": "$1000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétition indue : $10^3 = 1000$ autorise le même\ncoureur aux trois places, impossible dans une course."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 + 9 + 8 = 27$ additionne, or les choix\nsuccessifs se **multiplient** (principe multiplicatif)."
        }
      ],
      "explanation": "Avec ordre et sans répétition, on compte des $k$-uplets d'éléments distincts :\n$n(n-1)\\cdots(n-k+1)$. La question à se poser d'abord :\nl'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →\ncombinaison."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Compter par le complémentaire",
      "partie": "principes",
      "statement": "Combien de mots binaires de longueur $5$ contiennent **au\nmoins un** $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$31$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le total $2^5 = 32$ moins le seul mot\nsans aucun $1$ ($00000$) : $2^5 - 1 = 31$. « Au moins un\n» se compte presque toujours par le complémentaire."
        },
        {
          "text": "$32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un mot de trop : $2^5 = 32$ compte tous les mots, dont\n$00000$ qui ne contient aucun $1$ : il faut le retirer\ndu total."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ compte les mots avec **exactement un** $1$\n($\\binom{5}{1}$) : « au moins un » englobe un, deux…\njusqu'à cinq $1$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^4 = 16$, fixer un $1$ quelque part, ne\nmodélise pas « au moins un » (surcomptage et\nsous-comptage mêlés). La voie sûre : total moins le cas\ninterdit."
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au\nlieu d'une somme de cinq termes ($\\binom{5}{1} + \\dots +\n\\binom{5}{5} = 31$, le contrôle). Réflexe valable tel quel\nen probabilités."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "permutations",
        "anagrammes"
      ],
      "title": "Anagrammes de MATHS",
      "partie": "listes",
      "statement": "Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former\navec les lettres du mot MATHS ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cinq lettres **toutes distinctes** à\nordonner : une permutation de $5$ objets, soit $5! =\n120$."
        },
        {
          "text": "$5^5 = 3125$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétition indue : $5^5$ autorise MMMMM : chaque lettre\nne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{5} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la combinaison choisit **sans ordonner** :\nchoisir les $5$ lettres parmi $5$, certes une façon,\nmais l'anagramme est un **ordre** : $5!$."
        },
        {
          "text": "$5 \\times 4 = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :\n$5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$."
        }
      ],
      "explanation": "Permutation de $n$ objets distincts : $n!$. (Avec des\nlettres répétées, on diviserait par les factorielles des\nrépétitions : hors programme, mais la question tombe avec\ndes lettres distinctes.)"
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Comité avec contrainte",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Un groupe compte $5$ filles et $4$ garçons. Combien de\ncomités de $3$ personnes contiennent exactement $2$ filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux choix indépendants, les $2$ filles\nparmi $5$ puis le garçon parmi $4$ : $\\binom{5}{2}\n\\times \\binom{4}{1} = 10 \\times 4 = 40$, le principe\nmultiplicatif assemble les deux."
        },
        {
          "text": "$84$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrainte ignorée : $\\binom{9}{3} = 84$ compte **tous**\nles comités de $3$, y compris ceux à $0$, $1$ ou $3$\nfilles."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $\\binom{5}{2} +\n\\binom{4}{1} = 14$. On choisit les filles **et** le\ngarçon : étapes successives, donc produit (la somme\nservirait pour des cas exclusifs)."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $\\binom{5}{2} = 10$ ne choisit que les\nfilles ; le comité a $3$ membres, il reste à choisir le\ngarçon ($4$ façons)."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma « exactement $k$ de type A » : $\\binom{|A|}{k} \\times\n\\binom{|B|}{r-k}$ : combinaison dans chaque catégorie,\nproduit entre catégories. La structure exacte des questions\nde loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\dbinom{10}{3}$",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Combien vaut $\\dbinom{10}{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{10 \\times 9 \\times 8}{3 \\times 2 \\times 1} =\n\\dfrac{720}{6}$."
        },
        {
          "text": "$720$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $720$ compte les tirages ordonnés de trois éléments\ndistincts, donc chaque groupe six fois."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit trop court : le numérateur comporte trois facteurs\ndécroissants, pas seulement $10 \\times 3$."
        },
        {
          "text": "$1\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tirages avec répétition : $10^3$ compte les listes ordonnées où un\nélément peut revenir."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les parties de $k$ éléments d'un\nensemble de $n$ éléments. Il vaut le nombre de listes ordonnées divisé par\n$k!$, car l'ordre ne compte pas."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "denombrement",
        "complementaire"
      ],
      "title": "Au moins une fille",
      "partie": "principes",
      "statement": "Dans un groupe de $12$ personnes dont $5$ filles, combien de comités\nde $3$ personnes comptent au moins une fille ?",
      "options": [
        {
          "text": "$185$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{12}{3} - \\dbinom{7}{3} = 220 - 35$."
        },
        {
          "text": "$220$",
          "correct": false,
          "feedback": "Total de tous les comités : il faut encore retirer ceux qui ne\ncomptent aucune fille."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comités sans aucune fille : c'est précisément l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$105$",
          "correct": false,
          "feedback": "Comités à exactement une fille : $5 \\times \\dbinom{7}{2}$ oublie ceux\nqui en comptent deux ou trois."
        }
      ],
      "explanation": "Compter par le complémentaire évite de distinguer les cas « une fille »,\n« deux filles » et « trois filles ». On retranche au total le nombre de\ncomités sans aucune fille."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "denombrement",
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Un code à quatre chiffres",
      "partie": "principes",
      "statement": "Combien de codes de quatre chiffres peut-on former avec les chiffres\nde $0$ à $9$, répétitions autorisées ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10\\,000$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quatre positions, dix possibilités chacune, soit\n$10^4$."
        },
        {
          "text": "$5\\,040$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions interdites : $10 \\times 9 \\times 8 \\times 7$ compte les\ncodes à chiffres tous distincts."
        },
        {
          "text": "$1\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une position oubliée : $10^3$ compte les codes de trois chiffres, pas\nde quatre."
        },
        {
          "text": "$210$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de choix sans ordre : $\\dbinom{10}{4}$ ignore que la position\ndes chiffres compte."
        }
      ],
      "explanation": "Quand les répétitions sont autorisées et l'ordre compte, le nombre de\nlistes de $k$ éléments choisis parmi $n$ vaut $n^k$."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Une égalité entre coefficients",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "À quoi $\\dbinom{15}{12}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{15}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : choisir $12$ éléments revient à en écarter $3$, d'où\nla symétrie $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{15}{12}$ n'a pas d'autre écriture",
          "correct": false,
          "feedback": "La symétrie des coefficients binomiaux en donne toujours une seconde,\nsouvent plus simple à calculer."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{12}{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Écriture impossible : on ne peut pas choisir $15$ éléments parmi $12$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{15}{12} \\times \\dbinom{15}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux coefficients sont égaux, ils ne se multiplient pas."
        }
      ],
      "explanation": "La symétrie $\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n}{n-k}$ traduit qu'une partie et son\ncomplémentaire se correspondent. On l'utilise pour ramener le calcul au\nplus petit des deux indices."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "denombrement",
        "permutations"
      ],
      "title": "Ranger des livres",
      "partie": "principes",
      "statement": "De combien de façons peut-on ranger $5$ livres distincts sur une\nétagère ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit erroné : $5^2$ ne correspond à aucun comptage de cette\nsituation."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Choix sans ordre : $\\dbinom{5}{2}$ compterait des paires, alors qu'il\ns'agit de ranger tous les livres."
        },
        {
          "text": "$3\\,125$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions autorisées : $5^5$ supposerait qu'un même livre puisse\noccuper plusieurs places."
        }
      ],
      "explanation": "Ranger $n$ objets distincts revient à compter les permutations, soit $n!$.\nChaque place réduit d'une unité le nombre de choix restants."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "denombrement",
        "cas-disjoints"
      ],
      "title": "Partager un comptage en cas",
      "partie": "principes",
      "statement": "Pour compter les comités de $3$ personnes comptant exactement une\nfille parmi $5$ filles et $7$ garçons, que calcule-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5 \\times \\dbinom{7}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on choisit la fille, puis les deux garçons, et l'on\nmultiplie les deux comptages."
        },
        {
          "text": "$5 + \\dbinom{7}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Choix successifs additionnés : le principe multiplicatif s'applique\nquand les choix se combinent."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{12}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Total de tous les comités, sans la contrainte sur le nombre de filles."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{1} \\times \\dbinom{7}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Effectif du comité dépassé : une fille et trois garçons font quatre\npersonnes."
        }
      ],
      "explanation": "Quand des choix s'enchaînent, leurs nombres se multiplient. Quand des cas\ns'excluent, leurs nombres s'additionnent. Ici la fille et les garçons se\nchoisissent successivement."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "parties"
      ],
      "title": "Somme d'une ligne du triangle de Pascal",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut la somme $\\dbinom{6}{0} + \\dbinom{6}{1} + \\dbinom{6}{2} +\n\\cdots + \\dbinom{6}{6}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$64$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque terme compte les parties à $k$ éléments\nd'un ensemble à $6$ éléments ; la somme les compte toutes, soit\n$2^6$."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6^2$ ne compte pas les parties d'un ensemble."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $21 = \\dbinom{7}{2}$ n'est qu'un coefficient, pas la\nsomme d'une ligne."
        },
        {
          "text": "$720$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6! = 720$ compte les permutations, pas les parties."
        }
      ],
      "explanation": "$\\displaystyle\\sum_{k=0}^{n} \\dbinom{n}{k} = 2^n$ : on classe les\nparties d'un ensemble à $n$ éléments selon leur nombre d'éléments."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "denombrement",
        "tirage"
      ],
      "title": "Simultané ou successif",
      "partie": "principes",
      "statement": "Un tirage simultané de trois jetons dans une urne se compte avec quel\noutil ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une combinaison",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la simultanéité supprime l'ordre, on compte donc des\nparties."
        },
        {
          "text": "Une puissance",
          "correct": false,
          "feedback": "Une puissance compte des listes avec répétition, impossibles dans un\ntirage simultané."
        },
        {
          "text": "Une factorielle seule",
          "correct": false,
          "feedback": "La factorielle compte les rangements de tous les éléments, pas le choix\nde trois d'entre eux."
        },
        {
          "text": "Une somme de combinaisons",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule combinaison suffit ici : la somme servirait à réunir des cas\ndisjoints."
        }
      ],
      "explanation": "Un tirage simultané se compte par des combinaisons, un tirage successif\nsans remise par des listes d'éléments distincts, et un tirage successif\navec remise par des puissances."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "triangle-de-pascal",
        "relation"
      ],
      "title": "Utiliser la relation de Pascal",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "À quoi $\\dbinom{8}{3} + \\dbinom{8}{4}$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{9}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n+1}{k+1}$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{16}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Indices additionnés : la relation n'ajoute qu'une unité à chacun d'eux."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{8}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Indices du bas additionnés seulement : le nombre du haut augmente lui\naussi d'une unité."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{9}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Indice du bas mal choisi : c'est le plus grand des deux, augmenté de\nrien, qui apparaît."
        }
      ],
      "explanation": "La relation de Pascal engendre le triangle du même nom : chaque coefficient\nest la somme des deux situés juste au-dessus de lui."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "denombrement",
        "listes"
      ],
      "title": "Podium sans ex aequo",
      "partie": "principes",
      "statement": "Combien de podiums différents peut-on former avec $8$ coureurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$336$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 7 \\times 6$, l'ordre des trois places\ncomptant."
        },
        {
          "text": "$56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre ignoré : $\\dbinom{8}{3}$ compte les trios sans distinguer les\nplaces."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions autorisées : $8^3$ supposerait qu'un coureur puisse\noccuper deux places."
        },
        {
          "text": "$40\\,320$",
          "correct": false,
          "feedback": "Classement complet : $8!$ ordonne les huit coureurs, pas seulement les\ntrois premiers."
        }
      ],
      "explanation": "Un podium est une liste de trois éléments distincts : le premier choix\noffre huit possibilités, le deuxième sept, le troisième six."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "denombrement",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Ce que change l'ordre",
      "partie": "principes",
      "statement": "Quelle question faut-il se poser avant tout dénombrement ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles permises",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ces deux réponses déterminent entièrement l'outil à\nutiliser."
        },
        {
          "text": "Les effectifs sont-ils pairs ou impairs",
          "correct": false,
          "feedback": "La parité des effectifs n'intervient dans aucune des formules de\ndénombrement."
        },
        {
          "text": "Le résultat sera-t-il un grand nombre",
          "correct": false,
          "feedback": "L'ordre de grandeur du résultat ne dit rien de la méthode à employer."
        },
        {
          "text": "Les éléments sont-ils numérotés",
          "correct": false,
          "feedback": "Les éléments d'un ensemble sont toujours supposés distincts, qu'ils\nportent un numéro ou non."
        }
      ],
      "explanation": "Répondre à ces deux questions oriente vers l'outil : puissance si l'ordre\ncompte avec répétition, liste d'éléments distincts sans répétition,\ncombinaison si l'ordre ne compte pas."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "denombrement",
        "application"
      ],
      "title": "Deux cartes de la même couleur",
      "partie": "principes",
      "statement": "Dans un jeu de $32$ cartes réparties en quatre couleurs de $8$\ncartes, combien y a-t-il de mains de deux cartes de même couleur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$112$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times \\dbinom{8}{2} = 4 \\times 28$."
        },
        {
          "text": "$28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule couleur comptée : il reste à multiplier par les quatre\ncouleurs possibles."
        },
        {
          "text": "$496$",
          "correct": false,
          "feedback": "Total de toutes les mains : $\\dbinom{32}{2}$ ne tient pas compte de la\ncontrainte de couleur."
        },
        {
          "text": "$256$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre pris en compte : $4 \\times 8 \\times 8$ compterait deux fois\nchaque main et autoriserait la même carte deux fois."
        }
      ],
      "explanation": "On partage le comptage selon la couleur, quatre cas disjoints, et l'on\ncompte dans chacun les paires possibles. Les cas s'additionnent, d'où la\nmultiplication par quatre."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "convention",
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Choisir tous les éléments",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut $\\dbinom{12}{12}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ : une seule façon de tout prendre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il n'existe qu'une partie à $12$ éléments\ndans un ensemble qui en compte $12$, l'ensemble tout\nentier. La formule le confirme :\n$\\dfrac{12!}{12!\\,0!} = 1$."
        },
        {
          "text": "$12$ : autant de choix que d'éléments",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 = \\dbinom{12}{1}$ compte les parties à **un**\nélément. Ici les douze éléments sont tous retenus, ce qui\nne laisse aucune liberté."
        },
        {
          "text": "$0$ : aucun élément n'est écarté du tout",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un coefficient binomial compte des parties, et il\nen existe bien une, l'ensemble entier. Un coefficient nul\nsignifierait qu'aucun choix n'est possible."
        },
        {
          "text": "$12!$ : tous les ordres possibles comptent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une combinaison ne tient pas compte de l'ordre.\nLes $12!$ rangements des douze éléments donnent tous la\nmême partie."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dbinom{n}{n} = 1$ et $\\dbinom{n}{0} = 1$ : prendre tout le\nmonde, ou ne prendre personne, se fait d'une seule façon. Ces\ndeux cas extrêmes encadrent chaque ligne du triangle de Pascal."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "k-uplets",
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Les réglages d'un cadenas",
      "partie": "listes",
      "statement": "Un cadenas comporte $4$ molettes, chacune portant $6$\nsymboles différents. Combien de réglages ce cadenas\npermet-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1296$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des\nautres, avec $6$ possibilités à chaque fois :\n$6^{4} = 1296$."
        },
        {
          "text": "$4096$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base et exposant inversés : la base est le nombre de\nsymboles par molette ($6$), l'exposant le nombre de\nmolettes ($4$), d'où $6^{4} = 1296$."
        },
        {
          "text": "$360$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant\nsuppose des symboles tous différents, alors que deux\nmolettes peuvent afficher le même."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 4$ n'est pas un principe de\ndénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs\nnombres de positions se multiplient entre eux."
        }
      ],
      "explanation": "Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on\ncompte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit\n$n^k$. Ici $6^{4} = 1296$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un cadenas comporte $4$ molettes, chacune portant $6$\nsymboles différents. Combien de réglages ce cadenas\npermet-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1296$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des\nautres, avec $6$ possibilités à chaque fois :\n$6^{4} = 1296$."
            },
            {
              "text": "$4096$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base et exposant inversés : la base est le nombre de\nsymboles par molette ($6$), l'exposant le nombre de\nmolettes ($4$), d'où $6^{4} = 1296$."
            },
            {
              "text": "$360$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant\nsuppose des symboles tous différents, alors que deux\nmolettes peuvent afficher le même."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 \\times 4$ n'est pas un principe de\ndénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs\nnombres de positions se multiplient entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on\ncompte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit\n$n^k$. Ici $6^{4} = 1296$."
        },
        {
          "statement": "Un cadenas comporte $3$ molettes, chacune portant $8$\nsymboles différents. Combien de réglages ce cadenas\npermet-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$512$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des\nautres, avec $8$ possibilités à chaque fois :\n$8^{3} = 512$."
            },
            {
              "text": "$6561$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base et exposant inversés : la base est le nombre de\nsymboles par molette ($8$), l'exposant le nombre de\nmolettes ($3$), d'où $8^{3} = 512$."
            },
            {
              "text": "$336$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant\nsuppose des symboles tous différents, alors que deux\nmolettes peuvent afficher le même."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8 \\times 3$ n'est pas un principe de\ndénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs\nnombres de positions se multiplient entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on\ncompte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit\n$n^k$. Ici $8^{3} = 512$."
        },
        {
          "statement": "Un cadenas comporte $4$ molettes, chacune portant $5$\nsymboles différents. Combien de réglages ce cadenas\npermet-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$625$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des\nautres, avec $5$ possibilités à chaque fois :\n$5^{4} = 625$."
            },
            {
              "text": "$1024$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base et exposant inversés : la base est le nombre de\nsymboles par molette ($5$), l'exposant le nombre de\nmolettes ($4$), d'où $5^{4} = 625$."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant\nsuppose des symboles tous différents, alors que deux\nmolettes peuvent afficher le même."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5 \\times 4$ n'est pas un principe de\ndénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs\nnombres de positions se multiplient entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on\ncompte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit\n$n^k$. Ici $5^{4} = 625$."
        },
        {
          "statement": "Un cadenas comporte $3$ molettes, chacune portant $6$\nsymboles différents. Combien de réglages ce cadenas\npermet-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$216$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des\nautres, avec $6$ possibilités à chaque fois :\n$6^{3} = 216$."
            },
            {
              "text": "$729$",
              "correct": false,
              "feedback": "Base et exposant inversés : la base est le nombre de\nsymboles par molette ($6$), l'exposant le nombre de\nmolettes ($3$), d'où $6^{3} = 216$."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant\nsuppose des symboles tous différents, alors que deux\nmolettes peuvent afficher le même."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 \\times 3$ n'est pas un principe de\ndénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs\nnombres de positions se multiplient entre eux."
            }
          ],
          "explanation": "Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on\ncompte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit\n$n^k$. Ici $6^{3} = 216$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "listes",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Des lettres toutes différentes",
      "partie": "listes",
      "statement": "Combien de mots de $3$ lettres deux à deux différentes\npeut-on écrire avec les $6$ premières lettres de\nl'alphabet ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune\nlettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une\nunité à chaque place : le produit vaut $120$."
        },
        {
          "text": "$216$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions indues : $6^{3}$ autoriserait deux fois la\nmême lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix\ndiminuent : $120$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes\nde lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots\nd'ordres différents sont bien deux mots."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 3$ additionne des idées sans\nrapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où\nun produit de $3$ facteurs décroissants."
        }
      ],
      "explanation": "Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des\nlistes de $k$ éléments distincts, soit\n$n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$. Ici $120$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien de mots de $3$ lettres deux à deux différentes\npeut-on écrire avec les $6$ premières lettres de\nl'alphabet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune\nlettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une\nunité à chaque place : le produit vaut $120$."
            },
            {
              "text": "$216$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $6^{3}$ autoriserait deux fois la\nmême lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix\ndiminuent : $120$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes\nde lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots\nd'ordres différents sont bien deux mots."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 \\times 3$ additionne des idées sans\nrapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où\nun produit de $3$ facteurs décroissants."
            }
          ],
          "explanation": "Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des\nlistes de $k$ éléments distincts, soit\n$n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$. Ici $120$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $2$ lettres deux à deux différentes\npeut-on écrire avec les $9$ premières lettres de\nl'alphabet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune\nlettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une\nunité à chaque place : le produit vaut $72$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $9^{2}$ autoriserait deux fois la\nmême lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix\ndiminuent : $72$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes\nde lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots\nd'ordres différents sont bien deux mots."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9 \\times 2$ additionne des idées sans\nrapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où\nun produit de $2$ facteurs décroissants."
            }
          ],
          "explanation": "Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des\nlistes de $k$ éléments distincts, soit\n$n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$. Ici $72$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $4$ lettres deux à deux différentes\npeut-on écrire avec les $7$ premières lettres de\nl'alphabet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$840$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune\nlettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une\nunité à chaque place : le produit vaut $840$."
            },
            {
              "text": "$2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $7^{4}$ autoriserait deux fois la\nmême lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix\ndiminuent : $840$."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes\nde lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots\nd'ordres différents sont bien deux mots."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $7 \\times 4$ additionne des idées sans\nrapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où\nun produit de $4$ facteurs décroissants."
            }
          ],
          "explanation": "Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des\nlistes de $k$ éléments distincts, soit\n$n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$. Ici $840$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $2$ lettres deux à deux différentes\npeut-on écrire avec les $6$ premières lettres de\nl'alphabet ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune\nlettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une\nunité à chaque place : le produit vaut $30$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $6^{2}$ autoriserait deux fois la\nmême lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix\ndiminuent : $30$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes\nde lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots\nd'ordres différents sont bien deux mots."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 \\times 2$ additionne des idées sans\nrapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où\nun produit de $2$ facteurs décroissants."
            }
          ],
          "explanation": "Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des\nlistes de $k$ éléments distincts, soit\n$n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$. Ici $30$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Nommer le nombre de parties",
      "partie": "principes",
      "statement": "Comment nomme-t-on le nombre de parties à $k$ éléments d'un\nensemble à $n$ éléments ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un coefficient binomial",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce nombre se note $\\dbinom{n}{k}$ et se lit\n« $k$ parmi $n$ ». C'est aussi le coefficient qui apparaît\ndans le triangle de Pascal."
        },
        {
          "text": "Une puissance $n^k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une puissance $n^k$ compte des listes avec\nrépétition. Une partie n'est ni ordonnée ni répétitive."
        },
        {
          "text": "Une liste d'éléments distincts",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une liste retient l'ordre des éléments, alors\nqu'une partie ne le retient pas. Les deux comptages\ndiffèrent d'un facteur $k!$."
        },
        {
          "text": "Une factorielle d'ordre $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une factorielle compte les rangements d'un\nensemble, pas le choix d'une partie. Elle intervient au\ndénominateur du coefficient binomial."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dbinom{n}{k}$, le coefficient binomial, compte les parties à\n$k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Vocabulaire à\ndistinguer des listes (ordonnées) et des puissances\n(répétitions autorisées)."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tirage",
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Une poignée de jetons",
      "partie": "principes",
      "statement": "Un sac contient $10$ jetons de couleurs toutes différentes.\nOn en prélève $3$ en une seule fois. Combien de\nprélèvements différents peut-on obtenir ?",
      "options": [
        {
          "text": "$120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir\nune partie, sans ordre : $\\dbinom{10}{3} = 120$."
        },
        {
          "text": "$720$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les\nprélèvements un par un. Chaque poignée y figure $3!$\nfois, d'où la division à faire."
        },
        {
          "text": "$1000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétitions indues : $10^{3}$ suppose que le même jeton\npuisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un\nseul prélèvement."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times 3$ ne correspond à aucun modèle. Un\nprélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison."
        }
      ],
      "explanation": "Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)\nsignifie sans ordre et sans répétition, donc\n$\\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le\nproduit décroissant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un sac contient $10$ jetons de couleurs toutes différentes.\nOn en prélève $3$ en une seule fois. Combien de\nprélèvements différents peut-on obtenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir\nune partie, sans ordre : $\\dbinom{10}{3} = 120$."
            },
            {
              "text": "$720$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les\nprélèvements un par un. Chaque poignée y figure $3!$\nfois, d'où la division à faire."
            },
            {
              "text": "$1000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $10^{3}$ suppose que le même jeton\npuisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un\nseul prélèvement."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10 \\times 3$ ne correspond à aucun modèle. Un\nprélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)\nsignifie sans ordre et sans répétition, donc\n$\\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le\nproduit décroissant."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient $11$ jetons de couleurs toutes différentes.\nOn en prélève $2$ en une seule fois. Combien de\nprélèvements différents peut-on obtenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$55$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir\nune partie, sans ordre : $\\dbinom{11}{2} = 55$."
            },
            {
              "text": "$110$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les\nprélèvements un par un. Chaque poignée y figure $2!$\nfois, d'où la division à faire."
            },
            {
              "text": "$121$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $11^{2}$ suppose que le même jeton\npuisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un\nseul prélèvement."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $11 \\times 2$ ne correspond à aucun modèle. Un\nprélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)\nsignifie sans ordre et sans répétition, donc\n$\\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le\nproduit décroissant."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient $12$ jetons de couleurs toutes différentes.\nOn en prélève $4$ en une seule fois. Combien de\nprélèvements différents peut-on obtenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$495$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir\nune partie, sans ordre : $\\dbinom{12}{4} = 495$."
            },
            {
              "text": "$11880$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les\nprélèvements un par un. Chaque poignée y figure $4!$\nfois, d'où la division à faire."
            },
            {
              "text": "$20736$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $12^{4}$ suppose que le même jeton\npuisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un\nseul prélèvement."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12 \\times 4$ ne correspond à aucun modèle. Un\nprélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)\nsignifie sans ordre et sans répétition, donc\n$\\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le\nproduit décroissant."
        },
        {
          "statement": "Un sac contient $10$ jetons de couleurs toutes différentes.\nOn en prélève $2$ en une seule fois. Combien de\nprélèvements différents peut-on obtenir ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir\nune partie, sans ordre : $\\dbinom{10}{2} = 45$."
            },
            {
              "text": "$90$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les\nprélèvements un par un. Chaque poignée y figure $2!$\nfois, d'où la division à faire."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Répétitions indues : $10^{2}$ suppose que le même jeton\npuisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un\nseul prélèvement."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10 \\times 2$ ne correspond à aucun modèle. Un\nprélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison."
            }
          ],
          "explanation": "Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)\nsignifie sans ordre et sans répétition, donc\n$\\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le\nproduit décroissant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-pascal",
        "calcul"
      ],
      "title": "Le troisième terme d'une ligne",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 7$\ncommence par $1$ puis par $7$. Quel est son terme\nsuivant ?",
      "options": [
        {
          "text": "$21$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce terme est $\\dbinom{7}{2} =\n\\dfrac{7 \\times 6}{2} = \\dfrac{42}{2} =\n21$."
        },
        {
          "text": "$42$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $42$ compte les couples\nordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où\n$\\dbinom{7}{2} = 21$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne voisine : $15$ est le troisième terme de\nla ligne de rang $7 - 1$. La relation de Pascal fait\npasser de l'une à l'autre."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du\ntriangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours\n$\\dbinom{n}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{0}$, $\\dbinom{n}{1}$, $\\dbinom{n}{2}$, etc. Son\ntroisième terme vaut donc $\\dfrac{n(n-1)}{2} = 21$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 7$\ncommence par $1$ puis par $7$. Quel est son terme\nsuivant ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce terme est $\\dbinom{7}{2} =\n\\dfrac{7 \\times 6}{2} = \\dfrac{42}{2} =\n21$."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $42$ compte les couples\nordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où\n$\\dbinom{7}{2} = 21$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $15$ est le troisième terme de\nla ligne de rang $7 - 1$. La relation de Pascal fait\npasser de l'une à l'autre."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du\ntriangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours\n$\\dbinom{n}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{0}$, $\\dbinom{n}{1}$, $\\dbinom{n}{2}$, etc. Son\ntroisième terme vaut donc $\\dfrac{n(n-1)}{2} = 21$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 9$\ncommence par $1$ puis par $9$. Quel est son terme\nsuivant ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce terme est $\\dbinom{9}{2} =\n\\dfrac{9 \\times 8}{2} = \\dfrac{72}{2} =\n36$."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $72$ compte les couples\nordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où\n$\\dbinom{9}{2} = 36$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $28$ est le troisième terme de\nla ligne de rang $9 - 1$. La relation de Pascal fait\npasser de l'une à l'autre."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du\ntriangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours\n$\\dbinom{n}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{0}$, $\\dbinom{n}{1}$, $\\dbinom{n}{2}$, etc. Son\ntroisième terme vaut donc $\\dfrac{n(n-1)}{2} = 36$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 6$\ncommence par $1$ puis par $6$. Quel est son terme\nsuivant ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce terme est $\\dbinom{6}{2} =\n\\dfrac{6 \\times 5}{2} = \\dfrac{30}{2} =\n15$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $30$ compte les couples\nordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où\n$\\dbinom{6}{2} = 15$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $10$ est le troisième terme de\nla ligne de rang $6 - 1$. La relation de Pascal fait\npasser de l'une à l'autre."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du\ntriangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours\n$\\dbinom{n}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{0}$, $\\dbinom{n}{1}$, $\\dbinom{n}{2}$, etc. Son\ntroisième terme vaut donc $\\dfrac{n(n-1)}{2} = 15$."
        },
        {
          "statement": "Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 8$\ncommence par $1$ puis par $8$. Quel est son terme\nsuivant ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : ce terme est $\\dbinom{8}{2} =\n\\dfrac{8 \\times 7}{2} = \\dfrac{56}{2} =\n28$."
            },
            {
              "text": "$56$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $56$ compte les couples\nordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où\n$\\dbinom{8}{2} = 28$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $21$ est le troisième terme de\nla ligne de rang $8 - 1$. La relation de Pascal fait\npasser de l'une à l'autre."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du\ntriangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours\n$\\dbinom{n}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne\n$\\dbinom{n}{0}$, $\\dbinom{n}{1}$, $\\dbinom{n}{2}$, etc. Son\ntroisième terme vaut donc $\\dfrac{n(n-1)}{2} = 28$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "anagrammes",
        "permutations"
      ],
      "title": "Anagrammes commençant par une lettre imposée",
      "partie": "listes",
      "statement": "Les lettres du mot JEUX sont toutes différentes. Combien de\nses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la\nlettre J ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à\nranger librement les autres lettres, soit $6$\npermutations."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrainte ignorée : $24$ compte **toutes** les\nanagrammes. Celles qui commencent par J n'en sont\nqu'une part."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en\ndeux familles, mais en autant de familles que de premières\nlettres possibles."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une lettre de trop bloquée : seule la première place est\nimposée, les autres restent entièrement libres."
        }
      ],
      "explanation": "Fixer la première lettre revient à permuter les autres :\nil reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.\nContrôle : les familles selon la première lettre partagent\nbien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les lettres du mot JEUX sont toutes différentes. Combien de\nses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la\nlettre J ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à\nranger librement les autres lettres, soit $6$\npermutations."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $24$ compte **toutes** les\nanagrammes. Celles qui commencent par J n'en sont\nqu'une part."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en\ndeux familles, mais en autant de familles que de premières\nlettres possibles."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une lettre de trop bloquée : seule la première place est\nimposée, les autres restent entièrement libres."
            }
          ],
          "explanation": "Fixer la première lettre revient à permuter les autres :\nil reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.\nContrôle : les familles selon la première lettre partagent\nbien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux."
        },
        {
          "statement": "Les lettres du mot CUBES sont toutes différentes. Combien de\nses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la\nlettre C ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à\nranger librement les autres lettres, soit $24$\npermutations."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $120$ compte **toutes** les\nanagrammes. Celles qui commencent par C n'en sont\nqu'une part."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en\ndeux familles, mais en autant de familles que de premières\nlettres possibles."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une lettre de trop bloquée : seule la première place est\nimposée, les autres restent entièrement libres."
            }
          ],
          "explanation": "Fixer la première lettre revient à permuter les autres :\nil reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.\nContrôle : les familles selon la première lettre partagent\nbien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux."
        },
        {
          "statement": "Les lettres du mot POINTS sont toutes différentes. Combien de\nses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la\nlettre P ?",
          "options": [
            {
              "text": "$120$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à\nranger librement les autres lettres, soit $120$\npermutations."
            },
            {
              "text": "$720$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $720$ compte **toutes** les\nanagrammes. Celles qui commencent par P n'en sont\nqu'une part."
            },
            {
              "text": "$360$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en\ndeux familles, mais en autant de familles que de premières\nlettres possibles."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une lettre de trop bloquée : seule la première place est\nimposée, les autres restent entièrement libres."
            }
          ],
          "explanation": "Fixer la première lettre revient à permuter les autres :\nil reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.\nContrôle : les familles selon la première lettre partagent\nbien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux."
        },
        {
          "statement": "Les lettres du mot PLANCHE sont toutes différentes. Combien de\nses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la\nlettre P ?",
          "options": [
            {
              "text": "$720$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à\nranger librement les autres lettres, soit $720$\npermutations."
            },
            {
              "text": "$5040$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $5040$ compte **toutes** les\nanagrammes. Celles qui commencent par P n'en sont\nqu'une part."
            },
            {
              "text": "$2520$",
              "correct": false,
              "feedback": "Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en\ndeux familles, mais en autant de familles que de premières\nlettres possibles."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une lettre de trop bloquée : seule la première place est\nimposée, les autres restent entièrement libres."
            }
          ],
          "explanation": "Fixer la première lettre revient à permuter les autres :\nil reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.\nContrôle : les familles selon la première lettre partagent\nbien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-combinaisons",
        "parties"
      ],
      "title": "Une ligne privée de ses extrémités",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Que vaut la somme des coefficients $\\dbinom{4}{k}$ lorsque\n$k$ parcourt les entiers de $1$ à $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$14$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{4} = 16$,\net l'on en retire les deux extrémités\n$\\dbinom{4}{0} = 1$ et $\\dbinom{4}{4} = 1$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Extrémités conservées : $2^{4} = 16$ est la somme\nde la ligne **complète**, dont les deux $1$ du bord sont\nici exclus."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$\nchacune, il faut donc retrancher $2$ au total."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne voisine : $2^{3} = 8$ est la somme de\nla ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $4$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties\nd'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et\nl'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut la somme des coefficients $\\dbinom{4}{k}$ lorsque\n$k$ parcourt les entiers de $1$ à $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{4} = 16$,\net l'on en retire les deux extrémités\n$\\dbinom{4}{0} = 1$ et $\\dbinom{4}{4} = 1$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extrémités conservées : $2^{4} = 16$ est la somme\nde la ligne **complète**, dont les deux $1$ du bord sont\nici exclus."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$\nchacune, il faut donc retrancher $2$ au total."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $2^{3} = 8$ est la somme de\nla ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $4$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties\nd'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et\nl'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme des coefficients $\\dbinom{5}{k}$ lorsque\n$k$ parcourt les entiers de $1$ à $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{5} = 32$,\net l'on en retire les deux extrémités\n$\\dbinom{5}{0} = 1$ et $\\dbinom{5}{5} = 1$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extrémités conservées : $2^{5} = 32$ est la somme\nde la ligne **complète**, dont les deux $1$ du bord sont\nici exclus."
            },
            {
              "text": "$31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$\nchacune, il faut donc retrancher $2$ au total."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $2^{4} = 16$ est la somme de\nla ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $5$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties\nd'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et\nl'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme des coefficients $\\dbinom{6}{k}$ lorsque\n$k$ parcourt les entiers de $1$ à $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$62$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{6} = 64$,\net l'on en retire les deux extrémités\n$\\dbinom{6}{0} = 1$ et $\\dbinom{6}{6} = 1$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extrémités conservées : $2^{6} = 64$ est la somme\nde la ligne **complète**, dont les deux $1$ du bord sont\nici exclus."
            },
            {
              "text": "$63$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$\nchacune, il faut donc retrancher $2$ au total."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $2^{5} = 32$ est la somme de\nla ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $6$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties\nd'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et\nl'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties."
        },
        {
          "statement": "Que vaut la somme des coefficients $\\dbinom{3}{k}$ lorsque\n$k$ parcourt les entiers de $1$ à $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{3} = 8$,\net l'on en retire les deux extrémités\n$\\dbinom{3}{0} = 1$ et $\\dbinom{3}{3} = 1$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Extrémités conservées : $2^{3} = 8$ est la somme\nde la ligne **complète**, dont les deux $1$ du bord sont\nici exclus."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$\nchacune, il faut donc retrancher $2$ au total."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ligne voisine : $2^{2} = 4$ est la somme de\nla ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $3$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties\nd'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et\nl'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-de-pascal",
        "relation"
      ],
      "title": "Deux coefficients connus",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "On sait que $\\dbinom{7}{2} = 21$ et que\n$\\dbinom{7}{3} = 35$. Que vaut $\\dbinom{8}{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$56$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{7}{2} + \\dbinom{7}{3} =\n\\dbinom{8}{3}$, soit $21 + 35 = 56$."
        },
        {
          "text": "$735$",
          "correct": false,
          "feedback": "Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal\ns'engendre par des **sommes**, chaque coefficient étant le\ntotal des deux situés au-dessus."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction à la place de l'addition : on additionne les\ndeux coefficients de la ligne $7$ pour obtenir celui de\nla ligne suivante."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à\nnégliger $\\dbinom{7}{2} = 21$, qui compte aussi dans\nla somme."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Pascal : $\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} =\n\\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de\nproche en proche, sans aucun calcul de factorielle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\dbinom{7}{2} = 21$ et que\n$\\dbinom{7}{3} = 35$. Que vaut $\\dbinom{8}{3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$56$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{7}{2} + \\dbinom{7}{3} =\n\\dbinom{8}{3}$, soit $21 + 35 = 56$."
            },
            {
              "text": "$735$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal\ns'engendre par des **sommes**, chaque coefficient étant le\ntotal des deux situés au-dessus."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction à la place de l'addition : on additionne les\ndeux coefficients de la ligne $7$ pour obtenir celui de\nla ligne suivante."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à\nnégliger $\\dbinom{7}{2} = 21$, qui compte aussi dans\nla somme."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Pascal : $\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} =\n\\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de\nproche en proche, sans aucun calcul de factorielle."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\dbinom{9}{3} = 84$ et que\n$\\dbinom{9}{4} = 126$. Que vaut $\\dbinom{10}{4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$210$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{9}{3} + \\dbinom{9}{4} =\n\\dbinom{10}{4}$, soit $84 + 126 = 210$."
            },
            {
              "text": "$10584$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal\ns'engendre par des **sommes**, chaque coefficient étant le\ntotal des deux situés au-dessus."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction à la place de l'addition : on additionne les\ndeux coefficients de la ligne $9$ pour obtenir celui de\nla ligne suivante."
            },
            {
              "text": "$126$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à\nnégliger $\\dbinom{9}{3} = 84$, qui compte aussi dans\nla somme."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Pascal : $\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} =\n\\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de\nproche en proche, sans aucun calcul de factorielle."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\dbinom{6}{1} = 6$ et que\n$\\dbinom{6}{2} = 15$. Que vaut $\\dbinom{7}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{6}{1} + \\dbinom{6}{2} =\n\\dbinom{7}{2}$, soit $6 + 15 = 21$."
            },
            {
              "text": "$90$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal\ns'engendre par des **sommes**, chaque coefficient étant le\ntotal des deux situés au-dessus."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction à la place de l'addition : on additionne les\ndeux coefficients de la ligne $6$ pour obtenir celui de\nla ligne suivante."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à\nnégliger $\\dbinom{6}{1} = 6$, qui compte aussi dans\nla somme."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Pascal : $\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} =\n\\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de\nproche en proche, sans aucun calcul de factorielle."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\dbinom{7}{1} = 7$ et que\n$\\dbinom{7}{2} = 21$. Que vaut $\\dbinom{8}{2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la relation de Pascal donne\n$\\dbinom{7}{1} + \\dbinom{7}{2} =\n\\dbinom{8}{2}$, soit $7 + 21 = 28$."
            },
            {
              "text": "$147$",
              "correct": false,
              "feedback": "Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal\ns'engendre par des **sommes**, chaque coefficient étant le\ntotal des deux situés au-dessus."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Soustraction à la place de l'addition : on additionne les\ndeux coefficients de la ligne $7$ pour obtenir celui de\nla ligne suivante."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à\nnégliger $\\dbinom{7}{1} = 7$, qui compte aussi dans\nla somme."
            }
          ],
          "explanation": "Relation de Pascal : $\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} =\n\\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de\nproche en proche, sans aucun calcul de factorielle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cas-disjoints",
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Au moins deux filles dans l'équipe",
      "partie": "principes",
      "statement": "Un atelier réunit $6$ filles et $3$ garçons. On y forme\nune équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au\nmoins deux filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$65$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un\ngarçon ($45$ équipes), ou trois filles ($20$\néquipes). Les cas s'excluent, donc les nombres\ns'additionnent."
        },
        {
          "text": "$45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un cas oublié : $45$ compte les équipes à **exactement**\ndeux filles. Les équipes entièrement féminines en\ncomptent aussi au moins deux."
        },
        {
          "text": "$84$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrainte ignorée : $84$ compte toutes les équipes\nde trois personnes, y compris celles qui ne comptent\naucune fille."
        },
        {
          "text": "$35$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi\ndeux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie\nle nombre d'équipes par $3$."
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement\ndeux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix\nsuccessifs se multiplient ; entre les cas, les nombres\ns'additionnent.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un atelier réunit $6$ filles et $3$ garçons. On y forme\nune équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au\nmoins deux filles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un\ngarçon ($45$ équipes), ou trois filles ($20$\néquipes). Les cas s'excluent, donc les nombres\ns'additionnent."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un cas oublié : $45$ compte les équipes à **exactement**\ndeux filles. Les équipes entièrement féminines en\ncomptent aussi au moins deux."
            },
            {
              "text": "$84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $84$ compte toutes les équipes\nde trois personnes, y compris celles qui ne comptent\naucune fille."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi\ndeux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie\nle nombre d'équipes par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement\ndeux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix\nsuccessifs se multiplient ; entre les cas, les nombres\ns'additionnent."
        },
        {
          "statement": "Un atelier réunit $5$ filles et $4$ garçons. On y forme\nune équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au\nmoins deux filles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un\ngarçon ($40$ équipes), ou trois filles ($10$\néquipes). Les cas s'excluent, donc les nombres\ns'additionnent."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un cas oublié : $40$ compte les équipes à **exactement**\ndeux filles. Les équipes entièrement féminines en\ncomptent aussi au moins deux."
            },
            {
              "text": "$84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $84$ compte toutes les équipes\nde trois personnes, y compris celles qui ne comptent\naucune fille."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi\ndeux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie\nle nombre d'équipes par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement\ndeux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix\nsuccessifs se multiplient ; entre les cas, les nombres\ns'additionnent."
        },
        {
          "statement": "Un atelier réunit $4$ filles et $5$ garçons. On y forme\nune équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au\nmoins deux filles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$34$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un\ngarçon ($30$ équipes), ou trois filles ($4$\néquipes). Les cas s'excluent, donc les nombres\ns'additionnent."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un cas oublié : $30$ compte les équipes à **exactement**\ndeux filles. Les équipes entièrement féminines en\ncomptent aussi au moins deux."
            },
            {
              "text": "$84$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $84$ compte toutes les équipes\nde trois personnes, y compris celles qui ne comptent\naucune fille."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi\ndeux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie\nle nombre d'équipes par $5$."
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement\ndeux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix\nsuccessifs se multiplient ; entre les cas, les nombres\ns'additionnent."
        },
        {
          "statement": "Un atelier réunit $6$ filles et $4$ garçons. On y forme\nune équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au\nmoins deux filles ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un\ngarçon ($60$ équipes), ou trois filles ($20$\néquipes). Les cas s'excluent, donc les nombres\ns'additionnent."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un cas oublié : $60$ compte les équipes à **exactement**\ndeux filles. Les équipes entièrement féminines en\ncomptent aussi au moins deux."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $120$ compte toutes les équipes\nde trois personnes, y compris celles qui ne comptent\naucune fille."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi\ndeux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie\nle nombre d'équipes par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement\ndeux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix\nsuccessifs se multiplient ; entre les cas, les nombres\ns'additionnent."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege",
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Les diagonales d'un polygone",
      "partie": "principes",
      "statement": "Un polygone convexe possède $8$ sommets. Une diagonale\njoint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone\na-t-il de diagonales ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de\n$\\dbinom{8}{2} = 28$, dont $8$ sont des côtés :\nil reste $28 - 8 = 20$ diagonales."
        },
        {
          "text": "$28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Côtés comptés : $\\dbinom{8}{2} = 28$ compte toutes\nles paires de sommets, or les $8$ paires de sommets\nvoisins forment les côtés, pas des diagonales."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double comptage : de chaque sommet partent $8 - 3$\ndiagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une\npar extrémité."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8$ est le nombre de côtés du polygone. Les\ndiagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de\nsommets dépasse quatre."
        }
      ],
      "explanation": "On compte les paires de sommets, $\\dbinom{n}{2}$, puis on\nretire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les\ncôtés. D'où $\\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un polygone convexe possède $8$ sommets. Une diagonale\njoint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone\na-t-il de diagonales ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de\n$\\dbinom{8}{2} = 28$, dont $8$ sont des côtés :\nil reste $28 - 8 = 20$ diagonales."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côtés comptés : $\\dbinom{8}{2} = 28$ compte toutes\nles paires de sommets, or les $8$ paires de sommets\nvoisins forment les côtés, pas des diagonales."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double comptage : de chaque sommet partent $8 - 3$\ndiagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une\npar extrémité."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est le nombre de côtés du polygone. Les\ndiagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de\nsommets dépasse quatre."
            }
          ],
          "explanation": "On compte les paires de sommets, $\\dbinom{n}{2}$, puis on\nretire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les\ncôtés. D'où $\\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales."
        },
        {
          "statement": "Un polygone convexe possède $6$ sommets. Une diagonale\njoint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone\na-t-il de diagonales ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de\n$\\dbinom{6}{2} = 15$, dont $6$ sont des côtés :\nil reste $15 - 6 = 9$ diagonales."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côtés comptés : $\\dbinom{6}{2} = 15$ compte toutes\nles paires de sommets, or les $6$ paires de sommets\nvoisins forment les côtés, pas des diagonales."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double comptage : de chaque sommet partent $6 - 3$\ndiagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une\npar extrémité."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre de côtés du polygone. Les\ndiagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de\nsommets dépasse quatre."
            }
          ],
          "explanation": "On compte les paires de sommets, $\\dbinom{n}{2}$, puis on\nretire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les\ncôtés. D'où $\\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales."
        },
        {
          "statement": "Un polygone convexe possède $10$ sommets. Une diagonale\njoint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone\na-t-il de diagonales ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de\n$\\dbinom{10}{2} = 45$, dont $10$ sont des côtés :\nil reste $45 - 10 = 35$ diagonales."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côtés comptés : $\\dbinom{10}{2} = 45$ compte toutes\nles paires de sommets, or les $10$ paires de sommets\nvoisins forment les côtés, pas des diagonales."
            },
            {
              "text": "$70$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double comptage : de chaque sommet partent $10 - 3$\ndiagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une\npar extrémité."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est le nombre de côtés du polygone. Les\ndiagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de\nsommets dépasse quatre."
            }
          ],
          "explanation": "On compte les paires de sommets, $\\dbinom{n}{2}$, puis on\nretire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les\ncôtés. D'où $\\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales."
        },
        {
          "statement": "Un polygone convexe possède $9$ sommets. Une diagonale\njoint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone\na-t-il de diagonales ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de\n$\\dbinom{9}{2} = 36$, dont $9$ sont des côtés :\nil reste $36 - 9 = 27$ diagonales."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Côtés comptés : $\\dbinom{9}{2} = 36$ compte toutes\nles paires de sommets, or les $9$ paires de sommets\nvoisins forment les côtés, pas des diagonales."
            },
            {
              "text": "$54$",
              "correct": false,
              "feedback": "Double comptage : de chaque sommet partent $9 - 3$\ndiagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une\npar extrémité."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est le nombre de côtés du polygone. Les\ndiagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de\nsommets dépasse quatre."
            }
          ],
          "explanation": "On compte les paires de sommets, $\\dbinom{n}{2}$, puis on\nretire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les\ncôtés. D'où $\\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "mots",
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Une lettre imposée un nombre de fois",
      "partie": "listes",
      "statement": "Combien de mots de $5$ lettres écrits avec l'alphabet\n$\\{A\\,;\\,B\\,;\\,C\\}$ contiennent exactement $2$ fois la\nlettre $A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$80$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on choisit les $2$ places du $A$\n($10$ façons), puis on remplit les autres avec\n$B$ ou $C$ ($8$ façons) : $10 \\times\n8 = 80$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deuxième étape oubliée : $10$ ne place que les\nlettres $A$. Les places restantes admettent encore deux\nlettres chacune."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première étape oubliée : $8$ remplit les places\nlibres, mais il faut d'abord décider **où** se trouvent\nles lettres $A$."
        },
        {
          "text": "$243$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrainte ignorée : $3^{5} = 243$ compte tous les\nmots de $5$ lettres, sans condition sur le nombre de\n$A$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places\nde la lettre imposée, $\\dbinom{n}{k}$, puis remplir les\n$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,\n$2^{n-k}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien de mots de $5$ lettres écrits avec l'alphabet\n$\\{A\\,;\\,B\\,;\\,C\\}$ contiennent exactement $2$ fois la\nlettre $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on choisit les $2$ places du $A$\n($10$ façons), puis on remplit les autres avec\n$B$ ou $C$ ($8$ façons) : $10 \\times\n8 = 80$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deuxième étape oubliée : $10$ ne place que les\nlettres $A$. Les places restantes admettent encore deux\nlettres chacune."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première étape oubliée : $8$ remplit les places\nlibres, mais il faut d'abord décider **où** se trouvent\nles lettres $A$."
            },
            {
              "text": "$243$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $3^{5} = 243$ compte tous les\nmots de $5$ lettres, sans condition sur le nombre de\n$A$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places\nde la lettre imposée, $\\dbinom{n}{k}$, puis remplir les\n$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,\n$2^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $4$ lettres écrits avec l'alphabet\n$\\{A\\,;\\,B\\,;\\,C\\}$ contiennent exactement $2$ fois la\nlettre $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on choisit les $2$ places du $A$\n($6$ façons), puis on remplit les autres avec\n$B$ ou $C$ ($4$ façons) : $6 \\times\n4 = 24$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deuxième étape oubliée : $6$ ne place que les\nlettres $A$. Les places restantes admettent encore deux\nlettres chacune."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première étape oubliée : $4$ remplit les places\nlibres, mais il faut d'abord décider **où** se trouvent\nles lettres $A$."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $3^{4} = 81$ compte tous les\nmots de $4$ lettres, sans condition sur le nombre de\n$A$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places\nde la lettre imposée, $\\dbinom{n}{k}$, puis remplir les\n$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,\n$2^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $6$ lettres écrits avec l'alphabet\n$\\{A\\,;\\,B\\,;\\,C\\}$ contiennent exactement $2$ fois la\nlettre $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$240$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on choisit les $2$ places du $A$\n($15$ façons), puis on remplit les autres avec\n$B$ ou $C$ ($16$ façons) : $15 \\times\n16 = 240$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deuxième étape oubliée : $15$ ne place que les\nlettres $A$. Les places restantes admettent encore deux\nlettres chacune."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première étape oubliée : $16$ remplit les places\nlibres, mais il faut d'abord décider **où** se trouvent\nles lettres $A$."
            },
            {
              "text": "$729$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $3^{6} = 729$ compte tous les\nmots de $6$ lettres, sans condition sur le nombre de\n$A$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places\nde la lettre imposée, $\\dbinom{n}{k}$, puis remplir les\n$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,\n$2^{n-k}$."
        },
        {
          "statement": "Combien de mots de $5$ lettres écrits avec l'alphabet\n$\\{A\\,;\\,B\\,;\\,C\\}$ contiennent exactement $3$ fois la\nlettre $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on choisit les $3$ places du $A$\n($10$ façons), puis on remplit les autres avec\n$B$ ou $C$ ($4$ façons) : $10 \\times\n4 = 40$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deuxième étape oubliée : $10$ ne place que les\nlettres $A$. Les places restantes admettent encore deux\nlettres chacune."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Première étape oubliée : $4$ remplit les places\nlibres, mais il faut d'abord décider **où** se trouvent\nles lettres $A$."
            },
            {
              "text": "$243$",
              "correct": false,
              "feedback": "Contrainte ignorée : $3^{5} = 243$ compte tous les\nmots de $5$ lettres, sans condition sur le nombre de\n$A$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places\nde la lettre imposée, $\\dbinom{n}{k}$, puis remplir les\n$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,\n$2^{n-k}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "factorielle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Simplifier un quotient de factorielles",
      "partie": "listes",
      "statement": "Que vaut $\\dfrac{8!}{6!}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$56$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $6$ se\nsimplifient, et il reste les deux plus grands :\n$8 \\times 7 = 56$."
        },
        {
          "text": "$336$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs\nstrictement supérieurs à $6$, c'est-à-dire deux\nfacteurs seulement."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne\nsont pas égaux. Le second vaut $8 - 1$, pas $8$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait\npas au numérateur. Un quotient de factorielles se\nsimplifie facteur par facteur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \\times (n-1)$ : le dénominateur\nannule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification\nest celle qui donne $\\dbinom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{8!}{6!}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$56$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $6$ se\nsimplifient, et il reste les deux plus grands :\n$8 \\times 7 = 56$."
            },
            {
              "text": "$336$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs\nstrictement supérieurs à $6$, c'est-à-dire deux\nfacteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne\nsont pas égaux. Le second vaut $8 - 1$, pas $8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait\npas au numérateur. Un quotient de factorielles se\nsimplifie facteur par facteur."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \\times (n-1)$ : le dénominateur\nannule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification\nest celle qui donne $\\dbinom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{6!}{4!}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $4$ se\nsimplifient, et il reste les deux plus grands :\n$6 \\times 5 = 30$."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs\nstrictement supérieurs à $4$, c'est-à-dire deux\nfacteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne\nsont pas égaux. Le second vaut $6 - 1$, pas $6$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait\npas au numérateur. Un quotient de factorielles se\nsimplifie facteur par facteur."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \\times (n-1)$ : le dénominateur\nannule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification\nest celle qui donne $\\dbinom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{10!}{8!}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$90$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $8$ se\nsimplifient, et il reste les deux plus grands :\n$10 \\times 9 = 90$."
            },
            {
              "text": "$720$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs\nstrictement supérieurs à $8$, c'est-à-dire deux\nfacteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne\nsont pas égaux. Le second vaut $10 - 1$, pas $10$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait\npas au numérateur. Un quotient de factorielles se\nsimplifie facteur par facteur."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \\times (n-1)$ : le dénominateur\nannule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification\nest celle qui donne $\\dbinom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\dfrac{9!}{7!}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $7$ se\nsimplifient, et il reste les deux plus grands :\n$9 \\times 8 = 72$."
            },
            {
              "text": "$504$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs\nstrictement supérieurs à $7$, c'est-à-dire deux\nfacteurs seulement."
            },
            {
              "text": "$81$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne\nsont pas égaux. Le second vaut $9 - 1$, pas $9$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait\npas au numérateur. Un quotient de factorielles se\nsimplifie facteur par facteur."
            }
          ],
          "explanation": "$\\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \\times (n-1)$ : le dénominateur\nannule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification\nest celle qui donne $\\dbinom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "principe-multiplicatif",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Des trajets en deux étapes",
      "partie": "principes",
      "statement": "Entre les villes $A$ et $B$ passent $4$ routes, et entre\n$B$ et $C$ il en passe $3$. Combien de trajets de $A$ à\n$C$ traversent la ville $B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque route de la première étape se\nprolonge par chacune de la seconde :\n$4 \\times 3 = 12$ trajets."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Principe additif employé à tort : la somme compterait un\ntrajet **ou** l'autre. Ici les deux étapes se parcourent\nl'une après l'autre, donc on multiplie."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.\nCe sont les deux nombres de routes qui se multiplient\nentre eux."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les\ntrajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois."
        }
      ],
      "explanation": "Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$\npossibilités donnent $n_1 \\times n_2$ parcours complets. Le\nprincipe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Entre les villes $A$ et $B$ passent $4$ routes, et entre\n$B$ et $C$ il en passe $3$. Combien de trajets de $A$ à\n$C$ traversent la ville $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque route de la première étape se\nprolonge par chacune de la seconde :\n$4 \\times 3 = 12$ trajets."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Principe additif employé à tort : la somme compterait un\ntrajet **ou** l'autre. Ici les deux étapes se parcourent\nl'une après l'autre, donc on multiplie."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.\nCe sont les deux nombres de routes qui se multiplient\nentre eux."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les\ntrajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$\npossibilités donnent $n_1 \\times n_2$ parcours complets. Le\nprincipe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints."
        },
        {
          "statement": "Entre les villes $A$ et $B$ passent $5$ routes, et entre\n$B$ et $C$ il en passe $2$. Combien de trajets de $A$ à\n$C$ traversent la ville $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque route de la première étape se\nprolonge par chacune de la seconde :\n$5 \\times 2 = 10$ trajets."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Principe additif employé à tort : la somme compterait un\ntrajet **ou** l'autre. Ici les deux étapes se parcourent\nl'une après l'autre, donc on multiplie."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.\nCe sont les deux nombres de routes qui se multiplient\nentre eux."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les\ntrajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$\npossibilités donnent $n_1 \\times n_2$ parcours complets. Le\nprincipe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints."
        },
        {
          "statement": "Entre les villes $A$ et $B$ passent $6$ routes, et entre\n$B$ et $C$ il en passe $4$. Combien de trajets de $A$ à\n$C$ traversent la ville $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque route de la première étape se\nprolonge par chacune de la seconde :\n$6 \\times 4 = 24$ trajets."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Principe additif employé à tort : la somme compterait un\ntrajet **ou** l'autre. Ici les deux étapes se parcourent\nl'une après l'autre, donc on multiplie."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.\nCe sont les deux nombres de routes qui se multiplient\nentre eux."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les\ntrajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$\npossibilités donnent $n_1 \\times n_2$ parcours complets. Le\nprincipe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints."
        },
        {
          "statement": "Entre les villes $A$ et $B$ passent $5$ routes, et entre\n$B$ et $C$ il en passe $3$. Combien de trajets de $A$ à\n$C$ traversent la ville $B$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque route de la première étape se\nprolonge par chacune de la seconde :\n$5 \\times 3 = 15$ trajets."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Principe additif employé à tort : la somme compterait un\ntrajet **ou** l'autre. Ici les deux étapes se parcourent\nl'une après l'autre, donc on multiplie."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.\nCe sont les deux nombres de routes qui se multiplient\nentre eux."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les\ntrajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois."
            }
          ],
          "explanation": "Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$\npossibilités donnent $n_1 \\times n_2$ parcours complets. Le\nprincipe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parties",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Remonter des parties à l'effectif",
      "partie": "combinaisons",
      "statement": "Un ensemble possède exactement $64$ parties. Combien\ncompte-t-il d'éléments ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et\n$2^{6} = 64$. L'ensemble compte donc $6$ éléments."
        },
        {
          "text": "$32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32$ est le nombre de parties d'un ensemble\nayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut\nlire, pas la moitié du total."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties\nau carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 64$."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de\nl'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif."
        }
      ],
      "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver\nl'effectif revient donc à reconnaître $64$ comme une\npuissance de $2$ : ici $64 = 2^{6}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un ensemble possède exactement $64$ parties. Combien\ncompte-t-il d'éléments ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et\n$2^{6} = 64$. L'ensemble compte donc $6$ éléments."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $32$ est le nombre de parties d'un ensemble\nayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut\nlire, pas la moitié du total."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties\nau carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 64$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de\nl'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif."
            }
          ],
          "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver\nl'effectif revient donc à reconnaître $64$ comme une\npuissance de $2$ : ici $64 = 2^{6}$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble possède exactement $32$ parties. Combien\ncompte-t-il d'éléments ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et\n$2^{5} = 32$. L'ensemble compte donc $5$ éléments."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $16$ est le nombre de parties d'un ensemble\nayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut\nlire, pas la moitié du total."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties\nau carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 32$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de\nl'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif."
            }
          ],
          "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver\nl'effectif revient donc à reconnaître $32$ comme une\npuissance de $2$ : ici $32 = 2^{5}$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble possède exactement $128$ parties. Combien\ncompte-t-il d'éléments ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et\n$2^{7} = 128$. L'ensemble compte donc $7$ éléments."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $64$ est le nombre de parties d'un ensemble\nayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut\nlire, pas la moitié du total."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties\nau carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 128$."
            },
            {
              "text": "$49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de\nl'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif."
            }
          ],
          "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver\nl'effectif revient donc à reconnaître $128$ comme une\npuissance de $2$ : ici $128 = 2^{7}$."
        },
        {
          "statement": "Un ensemble possède exactement $256$ parties. Combien\ncompte-t-il d'éléments ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et\n$2^{8} = 256$. L'ensemble compte donc $8$ éléments."
            },
            {
              "text": "$128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $128$ est le nombre de parties d'un ensemble\nayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut\nlire, pas la moitié du total."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties\nau carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 256$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de\nl'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif."
            }
          ],
          "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver\nl'effectif revient donc à reconnaître $256$ comme une\npuissance de $2$ : ici $256 = 2^{8}$."
        }
      ]
    }
  ]
}